SCHAUM'S
OUTLINE
SERIES
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Schaum's OuJline of Theory and Problems of PROBABILITY AND STA ΤΙSΤΙCS)
MURRA Υ R. SPIEGEL, Ph. D. FORMER PROFESSOR ΑΝD CHAJRMAN OF MATHEMATlCS RENSSELAER POLYTECHNJC INSTlTUTE OF CONNECTlCUT
ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ:
ΣΩΤΗΡΙΟΣ Κ. ΠΕΡΣΙ Δ ΗΣ,
Ph. D .
Κ ΑΘΗΓ ΗΤΗΣ ΠΑΝ Ε ΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑ ΛΟΝ ΙΚΗΣ
McGRA W-HILL, NEW YORK ΕΣΠΙ
, ΑΘΗΝΑ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Τό σπουδαίο καί γοητευτικό πεδίο τών πιθανοτήτων αρχισε νά άναπτύσσεται
τόν
170 αίώνα μέ τίς προσπάθειες διάσημων μαθηματικών, δπως ό Fermat καί ό Pascal, νά άπαντήσουν σέ έρωτήσεις σχετικές μέ τυχερά παιχνίδια. 'Όμως, μόλις
τόν 20ό αίώνα θεμελιώθηκε μιά αύστηρή μαθηματική θεωρία μέ άξιώματα, ό ρισμούς καί θεωρήματα.
Μέ τήν πάροδο του χρόνου ή Θεωρία Πιθανοτήτων
αρχισε νά έφαρμόζεται όχι μόνο στή μηχανολογία, τή φυσική καί τά μαθηματικά, άλλά καί σ'
αλλα πεδία, δπως στήν οίκονομία, τή γεωργία, τό έμπόριο, τήν
Ιατρική, τήν ψυχολογία, κτλ.
Σέ πολλές μάλιστα περιπτώσεις οί έφαρμογές συ
νέβαλαν στή διεύρυνση καί έπέκταση της θεωρίας. 'Η Στατιστική αρχισε νά άναπτύσσεται πολύ νωρίτερα άπό τή Θεωρία Πιθα νοτήτων κυρίως μέ τή συλλογή, όργάνωση καί παρουσίαση δεδομένων μέ πίνακες
καί γραφικές παραστάσεις.
Μέ τήν πρόοδο της Θεωρίας Πιθανοτήτων άναγνω
ρίστηκε δτι ή Στατιστική μπορεί νά χρησιμοποιηθεί γιά νά βγουν σωστά συμπε ράσματα καί νά ληφθουν λογικές άποφάσεις άπό μιά άνάλυση τών δεδομένων, δπως στή
δειγματοληψία καί τήν πρόβλεψη.
Σκοπός αύτου του βιβλίου είναι νά παρουσιάσει μιά σύγχρονη είσαγωγή στή Θεωρία Πιθανοτήτων καί τή Στατιστική σέ πανεπιστημιακό έπίπεδο. κόλυνση του άναγνώστη τό βιβλίο διαιρείται σέ δύο μέρη.
Γιά διευ
Τό πρώτο άσχολεί
ται μέ τή Θεωρία Πιθανοτήτων (καί μπορεί μόνο του νά χρησιμοποιηθεί σάν είσαγωγή στό θέμα), ένώ τό δεύτερο μέ τή Στατιστική. Τό βιβλίο αύτό μπορεί νά χρησιμοποιηθεί ή σάν κύριο σύγγραμμα γιά ενα τυ πικό μάθημα σέ πιθανότητες καί στατιστική η σάν ενα συμπλήρωμα γιά όποιοδή ποτε αλλο άναγνωρισμένο σύγγραμμα.
Μπορεί άκόμα νά χρησιμοποιηθεί άπό
έπιστήμονες έρευνητές καθώς καί γιά αύτοδιδασκαλία.
'Υπολογίζεται δτι ή ϋλη
του μπορεί νά διδαχτεί σ' ενα έτήσιο μάθημα η έκλεκτικά σ' ενα έξαμηνιαίο.
Εύχαριστώ ίδιαίτερα τόν
Literary Executor του Sir Ronald Α. Fisher, F.R.S., Logman Group Ltd., London, γιά τήν αδεια νά χρησιμοποιήσω τόν Πίνακα ΠΙ άπό τό βιβλίο τους Statistical Tables for Biol~ gical. AgricuZturα! αnd Medica! Reseαrc}l (6η εκδοση, 1974). Μ' αύτή τήν εύκαι ρία εύχαριστώ άκόμα τόν David Beckwith γιά τήν έξαιρετική σύνταξη του βιβλί ου καί τόν Nicola Monti γιά tήν καλλιτεχνική του έργασία. τόν Δρα
Frank Yates, F.R.S.,
καί τήν
Μ. Σεπτέμβριος
R.
SPIEGEL
1975
.... ' .'~'
"":
ΧΕ ~ .. " - , ....... --.
w;
"' •
-\,.",
· 'Si.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ
"Οτανγνωρίζουμε τό νόμο εξελίξεως ενός αίτιοκρατικου φαινόμενου, μπορουμε άπό όρισμέ να άρχικά δεδομένα νά προβλέψουμε τί θά γίνει μετά άπό κάποιο χρονικό διάστημα.
Συχνά
δμως δέ γνωρίζουμε τό νόμο, γιατί τό φαινόμενο είναι πολύπλοκο καί δέ δέχεται λεπτομερή
μαθηματική περιγραφή η δέν μπορεί νά διατυπωθεί νόμος πού νά εκφράζει μιά σχέση αίτιου άποτελέσματος.
Σέ κάθε περίπτωση δμως θέλουμε νά ξέρουμε τί θά γίνει.
Αύτή ή επιθυμία
προβλέψεως του μέλλοντος είναι ενα άνθρώπινο όνειρο, τόσο άρχαίο όσο καί ή άνθρώπινη ϋπαρξη.
Στήν περίπτωση πού δέν ύπάρχει αύστηρός αίτιοκρατικός νόμος, ή επιθυμία αύτή βρίσκει τήν επιστημονική της ενσάρκωση στή Θεωρία Πιθανοτήτων καί τή Στατιστική.
Ή Θεωρία
Πιθανοτήτων άποτελεί, μπορεί νά πεί κανείς, ενα είδος θεωρητικής προβλέψεως του μέλ λοντος, γιατί σ' αύτή θεωρουμε γνωστή τήν πιθανότητα νά συμβεί κάτι άλλο. είναι ενα είδος πρακτικής προβλέψεως του μέλλοντος.
Ή Στατιστική
Σ' αύτή μελετάμε βασικά τίς πιθανό
τητες πραγματοποιήσεως διαφόρων έναλλακτικών καταστάσεων, άφου έξετάσουμε στήν πρά ξη τί συμβαίνει σέ παρόμοιες καταστάσεις.
'Από τή γενική καί άφηρημένη αύτή περιγραφή
είναι φανερό ότι ή Θεωρία Πιθανοτήτων είναι πιό «βασική» επιστήμη, ένώ ή Στατιστική είναι πιό «έφαρμοσμένψ' καί στηρίζεται στή Θεωρία Πιθανοτήτων.
Καί οί δυό δέχονται αυστηρή
μαθηματική θεμελίωση καί διατύπωση. Είναι πολύ δύσκολο νά δώσει κανείς σ' ενα μόνο σύγγραμμα τίς θεωρητικές βάσεις τής Θεωρίας Πιθανοτήτων καί τίς πρακτικές έφαρμογές τής Στατιστικής.
'Ακόμα πιό δύ
σκολο εΙναι νά προσπαθήσει κανείς νά ίκανοποιήσει τό φοιτητή, πού θέλει ενα σύγγραμμα
κατανοητό, καί τόν επιστήμονα η επαγγελματία, πού θέλει σαφείς καί σύντομες όδηγίες γιά τίς εφαρμογές.
Τό σύγγραμμα τοϋ Μ.
R. Spiegel, •Απλά
πετυχαίνει αύτά σέ άξιοθαύμαστο βαθμό. πρώτο μέρος.
πού δίνεται εδώ στήν ελληνική γλώσσα, καί μεθοδικά είσάγονται οί πιθανότητες στό
'Από τά σύνολα πηγαίνουμε εϋκολα καί άνάλαφρα στίς πιθανότητες, στίς
τυχαίες μεταβλητές, στίς κατανομές.
Στό δεύτερο μέρος παρουσιάζεται πρώτα ή δουλειά πού
χρειάζεται γιά τή συλλογή στοιχείων, ή δειγματοληψία, καί άκολουθουν διαδοχικά πολυπλο
κότερα θέματα: οί εκτιμήσεις, οί ελεγχοι, ή προσαρμογή καμπυλών καί ή άνάλυση διασποράς. 'Αποδείξεις δίνονται εκεί πού χρειάζονται καί μόνον όταν είναι άρκετά άπλές ωστε νά μήν επισκιάζουν μέ τόν όγκο καί τίς δυσκολίες τους τίς εκφωνήσεις τών θεωρημάτων.
'Εφαρ
μογές δίνονται μέ μορφή λυμένων καί άλυτων προβλημάτων σέ τυχερά παιχνίδια, γεωμε τρικά προβλήματα, καθημερινές ερωτήσεις, ιατρικές ερευνες, οίκονομικά θέματα, εκλογικές
προβλέψεις, βιομηχανικούς ελεγχους ποιότητας καί πολλούς άλλους τομείς, όπου σήμερα οί Πιθανότητες καί ή Στατιστική χρησιμοποιουνται ευρύτατα.
Καί όλα αυτά προϋποθέτουν άπό
τόν άναγνώστη τή γνώση όλίγων άνώτερων γενικών μαθηματικών, πού διδάσκονται στά δύο
πρώτα χρόνια μετά τή μέση εκπαίδευση.
'Έτσι τό βιβλίο αύτό εΙναι κατάλληλο σάν κύριο τι
βοηθητικό σύγγραμμα γιά όλους δσους ένδιαφέρονται η χρησιμοποιουν Πιθανότητες καί Στατιστική.
Στό θέμα πού πραγματεύεται τό βιβλίο αυτό ύπάρχουν πολλά καί καλά πανεπιστημι ακά συγγράμματα, πού βέβαια χρησιμοποιήθηκαν σάν βάση γιά τήν όρολογία, πού δμως
παρ.ουσίασε κάποιες δυσκολίες, επειδή γράφεται γιά πρώτη φορά στή δημοτική γλώσσα. αύτό μέ βοήθησαν πολλοί συνάδελφοί μου πού τούς εύχαριστώ πολύ. ευχαριστίες στόν εκδοτικό οίκο
McGraw-Hill
πού παραχώρησε τά δικαιώματα, τό τυπογρα
φείο Λεοντακιανάκου γιά τή φωτοστοιχειοθεσία του ελληνικοϋ κειμένου, τήν
PRINT
Σ'
'Επίσης όφείλονται
GRAPHO-
Ε.Π.Ε. γιά τήν εκτύπωση καί τήν εκδοτική εταιρεία ΕΣΠΙ γιά τή σύνθεση τύπων
καί κειμένου γιά τήν άρτια εμφάνιση του βιβλίου.
Τέλος, ευχαριστίες όφείλονται στόν
κ. Π. Μωυσιάδη γιά μιά κριτική άνάγνωση τής πρώτης εκδόσεως. Μάϊος
1977
Σ.
ΠΕΡΣΙΔΗΣ
••
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Μέρος Ι
Κεφάλαιο
1
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ή νΕννοια του Συνόλου.
γράμματα του
Τό βασικό Σύνολο καί τό Κενό Σύνολο.
Δειγματόχωροι.
Θεωρήματα μέ Σύνολα.
Γεγονότα.
Μερικά Σημαντικά Θεωρήματα.
Πιθανότητες ύπό
Θεωρήματα γιά
τής
Συνθήκη.
Θε<ί>ρημα ή Τύπος του
'Απαριθμήσεως.
τελεστές.
Διαγράμματα
Ή Προσέγγιση του
Δέντρων.
StirIing
Πιθανότητες ύπό Συνθήκη. Διατάξεις.
γιά τό
Τά Ά
'Εκτίμηση Πιθανοτήτων.
Συνδυαστική Άνάλυση.
Bayes.
1
Διαν
'Αρχή του Δυϊσμου.
Ή νΕννοια τής Πιθανότητας.
ξ~iliματα τής Πιθανότητας. Γεγονότα.
2
....................................
Ύποσύνολα.
Πράξεις μέ Σύνολα.
Venn.
Πειράματα Τύχης.
Κεφάλαιο
Πιθανότητες
'Ανεξάρτητα
Ή Θεμελιώδης Άρχή
ΣυνδυασμοΙ
Διωνυμικοί Συνν
n1.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
38
ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Τυχαίες Μεταβλητές.
Διακριτές Κατανομές Πιθανότητας.
Συναρτήσεις Κατανομής γιά
4ιακριτές Τυχαίες Mεταβλητές~- Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συναρτήσεις Κατανο- μής γιά Συνεχείς Τυχαίες Mε~αβλητές.Ό Κανόναζτου LeibI1iZ.' Γραφικές Παραστάσεις. 1 Πολυδιάστατες Κατανομές. 'Ανεξάρτητες 'Τυχαίες Μεταβλχn&ς . -'-Αλλαγή ΜεΉ!Ι3λψων. ~ςΙhθαΥ.ότηmς...Συναρτήσεων Τυχαίω:ν Μετqβ~ητω~ Συνελίξεις. Συνθήκη. Γεωμετρικά Προβλήματα. .-
Κεφάλαιο
3
Κατανομές ύπό
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 'Ορισμός τής Μέσης 'Τιμής. τή Μέση Τιμή. σπορά.
Συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητων.
Ή. Διασπ~ρά 1<Ξαί ή Τυπική
•Απόκλιση.
Τυποποιημένες Τυχαίες Μεταβλητές.
ματαγιά Ροπογεννήτριες. Συνδιασπορά. κη.
76
μετροι Θέσεως.
Ροπογεννήτριες.
Χαρακτηριστικές ΣυναρΤή<;εις.
Συντελεστής Συσχετίσεως.
Ή Άνισότητα του
Ροπές.
Chebyshev.
Μερικά Θεωρήματα γιά
Μερικά Θεωρήματα γιά τή Δια Μερικά Θεωρή
Διασπορές Κοινής Κατανομής.
Μέση Τιμή, Διασπορά καί Ροπές ύπό Συνθή
Ό Νόμος των Μεγάλων Άριθμων.
'Εκατοστιαία Σημεία.
v
Αλλες Παράμετροι Διασπορας.
νΑλλες Παρά
' Ασυμμετρία
καί
Κύρτωση.
Κεφάλαιο
4
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ή Διωνυμική Κατανομή.
Μεγάλων 'Αριθμων γιά Δοκιμές τής Κανονικής Κατανομής. Κατανομή του
Poisson.
........................................ 108
Μερικές 'Ιδιότητες τής Διωνυμικής Κατανομής. Ή Κανονική Κατανομή.
BemouIli.
Ό Νόμος των
Μερικές Ίδίότητες
Σχέση Μεταξύ Διωνυμικής καί Κανονικής Κατανομής.
Μερικές 'Ιδιότητες τής Κατανομής του
-Διωνυμικής καί Κατανομής του
Poisson.
Poisson.
Ή
Σχέση Μεταξύ
Σχέση Μεταξύ Κανονικής καί Κατανομής του
Ή .....:..Υπεργε Cauchy. Ή Κατα ._ν~l!.ή .Γάμα. Ή Κατανομή Βήτα. ·Η Κατανομή χΙ. Ή Κατανομή t τοϋ Student. Ή Κατανομή F. Σχέσεις Μεταξύ των Κατανομων χΙ, t καί F. . Ή Διδιάστατη Κανονική Κατανομή. Διάφορες Κατανομές. ..., ..
Poisson.
- ωμετρική
Τό Κεντρικό
Κατανομή .
Όριακό
Θεώρημα.
Ή Πολυωνυμική Κατανομή.
.-J:L:.Ομοιόμορφη Κατανομή.
'Η Κατανομή του
-~"".r.~' "'.ι;.
_·...f~.: : • f:Ι~4Ι-",~"",,~" Κ_
__
::ι:-,
].II~4... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .rm
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Μέρος Κεφάλαιο
5
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Πληθυσμός καί Δείγμα. Έπανατοποθέτηση. τανομή
Διαφορών
καί
σπορών.
Άθροισμάτων.
• Αγνωστη
•Αλλες
Δειγματική
Κατανομή
τής
Κατανομή
Δειγματικης
Κατανομές Συχνότητας.
Κατανομές Σχετι
'Υπολογισμός Μέσης Τιμής, Διασποράς καί Ροπών.
Άξιοπιστία.
Διαστήματα
γιά 'Αναλογίες.
Κα
Άναλογίας.
Κατανομή τοϋ Λόγου Δειγματικών Δια
...................................... 194
Άμερόληπτες καί Άποτελεσματικές Έκτιμήσεις. στοσύνης.
Στα
Διασπορά.
Διασπορά Πληθυσμοϋ.
ΣΤΑ ΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Διαστήματος.
Παράμετροι Πληθυσμοϋ.
Ή Δειγματική Μέση Τιμή.
Κατανομή Δειγματικής
Στατιστικές Συναρτήσεις.
κης Συχνότητας.
6
Ή
Δειγματοληψία Μέ καί Χωρίς
Τυχαίοι' Αριθμοί.
Δειγματοληπτικές Κατανομές.
τής Δειγματικής Μέσης Τιμής.
Διασποράς.
155
.....
Στατιστική Συμπερασματολογία.
Τυχαία Δείγματα.
τιστικές Συναρτήσεις.
Κεφάλαιο
Στατιστική
11
Σημειακές Έκτιμήσεις καί Έκτιμήσεις
Έκτιμήσεις Παραμέτρων Πληθυσμοϋ μέ Διαστήματα Έμπι
Έμπιστοσύνης
γιά
Μέσες
Τιμές.
Διαστήματα
Έμπιστοσύνης
Διαστήματα Έμπιστοσύνης γιά Διαφορές καί 'Αθροίσματα.
Έμπιστοσύνης γιά Διασπορές.
Διαστήματα
Διαστήματα Έμπιστοσύνης γιά Λόγους Διασπορών.
Έ
κτιμήσεις Μέγιστης Πιθανοφάνειας.
Κεφάλαιο
7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Στατιστικές Άποφάσεις.
Στατιστικές 'Υποθέσεις.
θέσεων καί Σημαντικότητας.
Σφάλματα Τύπου Ι καί Τύπου ΙΙ.
Έλεγχοι μέ τήν Κανονική Κατανομή.
Διαγράμματα Έλέγχου Ποιότητας.
μών σέ Δειγματικές Κατανομές Συχνότητας. Πίνακες Συνάφειας.
Κεφάλαιο
8
Διόρθωση τοϋ
Έλεγχοι
Έλεγχοι Σημαντικότητας γιά Μικρά Δείγματα.
Σχέση Μεταξύ Έκτιμητικής καί Έλέγχου 'Υποθέσεων. Έλέγχου.
Έλεγχοι 'Υπο
Έπίπεδο Σημαντικότητας.
Μονόπλευροι καί Δίπλευροι Έλεγχοι.
Σημαντικότητας γιά Μεγάλα Δείγματα. σχύς
................ . 211
Μηδενική 'Υπόθεση.
Yates.
Χαρακτηριστικές Καμπύλες.
'Ι
Προσαρμογή Θεωρητικών Κατανο
'Ο Έλεγχος
χ 2 γιά Καλή Προσαρμογή.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Προσαρμογή Καμπυλών.
Παλινδρόμηση.
Εύθεία Έλάχιστων Τετραγώνων.
~58
Ή Μέθοδος τών Έλάχιστων Τετραγώνων.
νων.
Πολλαπλή Παλινδρόμηση.
κής Συσχετίσεως.
Γενικευμένος Συντελεστής Συσχετίσεως.
Συσχέτιση καί
Ή Περίπτωση Ένός Παράγοντα.
Μέθοδοι γιά τόν 'Υπολογισμό Μεταβολών.
'Ολική Μετα
Άναμενόμενες Τιμές τών Μεταβολών.
Κατανομές τών Μεταβολών.
Τροποποιήσεις γιά Άνισο Πλήθος Μετρήσεων.
Συμβολισμός γιά Πειράματα μέ Δύο Παράγοντες.
Παράγοντες.
Σχεδίαση Πειραμάτων.
'Ο "Ελεγ
Πίνακες Άναλύσεως Δια
Ή Περίπτωση Δύο Παραγόν
Μεταβολές γιά Πειράματα μέ Δύο
Άνάλυση Διασποράς γιά Δύο Παράγοντες.
καί 'Επανάληψη.
Σύντομοι
Τό Γραμμικό Μοντέλο γιά Άνάλυση Δια
γιά τή Μηδενική 'Υπόθεση τών ϊσων Μέσων Τιμών.
F
σποράς. των.
Δειγματοληπτική Θεωρία τής Συ
Μεταβολή Μέσα στά Δείγματα καί Μεταβολή Μεταξύ τών Δειγμάτων.
σποράς.
Πιθανο
........................................... 306
'Ο Σκοπός τής Άναλύσεως Διασποράς.
χος
Συσχέτιση Τάξεων.
'Ανεξαρτησία.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ βολή.
Έλάχιστων Τετραγώ
'Ο Συντελεστής Γραμμι
Πιθανοθεωρητική Έρμηνεία τής Συσχετίσε
Δειγματοληπτική Θεωρία τής Παλινδρομήσεως.
σχετίσεως.
9
Ή Παραβολή
Τυπικό Σφάλμα Έκτιμήσεως.
θεωρητική Έρμηνεία της Παλινδρομήσεως. ως.
.Η
Ή Εύθεία Έλάχιστων Τετραγώνων ώς Συνάρτηση τών
Διασπορών καί τής Συνδιασποράς τοϋ Δείγματος.
Κεφάλαιο
/
Συντελεστής Συνάφειας.
Πειράματα μέ-~o Παράγoντ.ε~ ,<~.
;>.'." '-<;. '.:;"~_.;t."""",,;.r-,,,"' ~ ..;>.-:;..~
57,1='
2Β?
11'
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Παράρτημα
Α
Μαθηματικοί Τύποι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "
341
Παράρτημα
Β
Τεταγμένες Υ
344
Παράρτημα
C
Έμβαδό τής Τυπικής Κανονικής Καμπύλης άπό Ο εως Ζ
Παράρτημα
D
Έκατοσταία Σημεία
Παράρτημα
Ε
•••••••••••••••••• "
345
τού Student μέ Ι' Βαθμούς Έλευθερίας .. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "
346
F
tp
τής Κατανομής
t
'Εκατοσταία Σημεία χ;; τής Κατανομής χ 2 μέ
Παράρτημα
τής Τυπικής Κανονικής Καμπύλης στό Σημείο
ι'
Βαθμούς
U5το καί
99το
347
Έλευθερίας
Έκατοστιαίο Σημείο τής
Κατανομής F μέ
1'1'
I'~ Βαθμούς 'Ελευθερίας.............................. 348
Παράρτημα
G
Κοινοί (Δεκαδικοί) Λογάριθμοι (τέσσερα ψηφία) . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . .. 350
Παράρτημα
Η
Τιμές τού ρ-λ
.....................................................
352
Παράρτημα
Ι
Τυχαίοι 'Αριθμοί . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · ' · ·
352
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
353
.............................
ΑΓΓΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 379
\
-
.~
ΜΕΡΟΣ
Ι
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
"'~-'--:--""
υμ
CΒ_ιιωΙ4.1IΑ4,
2
--1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
1
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ
Ή θεωρία πιθανοτήτων καί ή στατιστική καί γενικότερα τά μαθηματικά βασίζονται στήν εννοια
τοϋ συνόλου, πού εΙναι πρωταρχική εννοια (δέν όρίζεται). μένων, πού καλοϋνται μέλη ή στοιχεία τοϋ συνόλου. κεφαλαίο γράμμα, δπως Α, Β,
C.
'Ένα σύνολο εΙναι μιά συλλογή άντικει
Συνήθως ενα σύνολο παριστάνεται μ' ενα
'Ένα στοιχείο παριστάνεται μ' ενα μικρό γράμμα, δπως
α,
b.
Συνώνυμα τοϋ συνόλου εΙναι ή κλάση καί ή συλλογή. 'Εάν ενα στοιχείο α άνήκει σ' ενα σύνολο
C,
γράφουμε
α (l
'Εάν καί τό α καί τό
C.
b
C,
γράφουμε
άνήκουν στό
α ε
C,
C.
'Εάν τό α δέν άνήκει στό
γράφουμε
(1,
b
ε
C.
Γιά νά εΙ
ναι ενα σύνολο όρισμένο μέ σαφήνεια (δπως θά δεχόμαστε), πρέπει νά μποροϋμε νά άποφασίσουμε, αν ενα στοιχείο άνήκει ή δέν άνήκει στό σύνολο. Μποροϋμε νά όρίσουμε ενα σύνολο ή άναφέροντας ενα-ενα δλα τά στοιχεία του ή μέ μιά
Ιδιότητα πού Ικανοποιείται άπό κάθε στοιχείο του καί μόνον.
Ή πρώτη μέθοδος καλείται μέθοδος
τής άναγραφης καί ή δεύτερη μέθοδος τής περιγραφής. ΠαράδεΙΎμα Ι.Ι.
σύνολο {α, στοιχείων
Τό σύνολο τών φωνηέντων τοϋ άηλικοϋ άλφάβητου μπορεί νά όριστεί μέ τή μέθοδο τής άναγραφής ώς τό
e, ί, ο, υ} ή μέ τή μέθοδο τής περιγραφής ώς τό σύνολο {Χ Ι χ φωνήεν}, πού διαβάζεται «τό σύνολο τών Χ, όπου Χ φωνήεν ...
Τό σύνολο {Χ Ι Χ έπίπεδο τρίγωνο 1 είναι τό σύνολο όλων τών έπίπεδων τριγώνων.
ΠαράδεΙΎμα Ι.2.
Ή μέθοδος τής
άναγραφής δέν μπορεί νά χρησιμοποιηθεί έδώ. ΠαράδεΙΎμα Ι.3.
'Εάν ρίξουμε δύο συνηθισμένα ζάρια, οΙ άριθμοί πού είναι δυνατό νά έμφανιστοϋν στήν πάνω πλευρά κάθε
ζαριοϋ είναι τά στοιχεία τo~ συνόλου {Ι, 2, 3, 4, 5, G}.
ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ 'Εάν κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α άνήίcει καί σ' ενα σύνολο Β τοϋ Β καί γράφουμε Α
«τό Β περιέχει τό Α»,
'Εάν Α C Β καί
c Β ,.,
Β -:J Α
,
πού διαβάζονται άντίστοιχα «τό Α περιέχεται στό Β»
Προφανώς γιά κάθε σύνολο Α εΙναι Α
ΒCΑ
,
καλοϋμε τό Α ύποσύνολο
ij
cA.
λέμε δτι τά Α καί Β εΙναι ίσα καί γράφουμε Α
=
Β. Στήν περίπτω
ση αύτή τά Α καί Β εχουν άκριβώς τά ίδια στοιχεία. 'Εάν τό Α δέν εΙναι ίσο μέ τό Β, δηλ. έάν τά Α καί Β δέν εχουν άκριβώς τά 'ίδια στοιχεία, γράφουμε
'Εάν Α
Α =F Β.
cB
Παράδειγμα 1.4.
καί Α =F Β, λέμε οτι τό Α εΙναι γνήσιο ύποσύνολο τοϋ Β.
Ίό σύνολο {α, ί, u.) είναι γνήσιο ί,ποσύνολο τοϋ {α, e, ί, ο, 11.}.
Παράδειγμα 1.5. Τό σύνολο {ί, ο. α. 11, e} είναι ύποσύνολο τοϋ {α, Ρ,ί, ο, 1Ι}. δχι δμως γνήσιο. ίσα. Μιά άπλή άλλαγή στή σειρά άναγραφης τών στοιχείων δέν άλλάζει τό σύνολο.
1
Τά δύο σύνολα είναι
--ΡΕ
,-
2
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Παράδειγμα Ι.6.
Κ Ε Φ.
1
Στή ρίψη ένός ζαριοϋ τά ζυγά άποτελέσματα ε{ναι στoΙXεlα τοϋ συνόλου {2, 4, 6;, πού εΙναι γνήσιο
ύποσύνολο τού συνόλου δλων τών δυνατών άποτελεσμάτων
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Τό παρακάτω θεώρημα Ισχύει γιά όποιαδήποτε σύνολα
θεώρημα
-
'Εάν
1-1:
Α, Β,
C.
AcB καί BcC, τότε AcC.
ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ ΚΑΙ ΤΟ ΚΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ
Γιά πολλούς λόγους περιοριζόμαστε σέ ύποσύνολα tνός όρισμένου συνόλου, πού καλείται βα
σικό σύνολο ή βασικός χώρος καί συμβολίζεται μέ τικό σέ κάθε πρόβλημα.
Ίl.
Τό σύνολο αύτό ε{ναι συνήθως διαφορε
Τά στοιχεία του καλοϋνται συχνά σημεία τοϋ χώρου.
Ε{ναι χρήσιμο νά θεωρήσουμε καί ~να σύνολο χωρίς στοιχεία. ή μηδενικό σύνολο καί συμβολίζεται μέ Παράδειγμα Ι.7.
\Ο.
Τό σύνολο αύτό καλείται κενό
ΕΙναι ύποσύνολο κάθε συνόλου.
-Ενα άξιοσημεΙωτο σύνολο εΙναι τό σύνολο CJ( δλων τών πραγματικών άριθμων, δπω; οΙ
πού μπορούν νά παρασταθοϋν άπό τά σημεΙα μιίiς πραγματικής εύθε[ας. δπως ό άξονας των
τικοί άριθμοί καί
α
<
μέ α ~ χ ~ b καί
b}
καί
{Χ
α
Παράδειγμα Ι.8.
<
α
Χ ~
χ.
'Εάν
(J
καί
v2, ;;-,
3, -Ζ. /, εΙναι πραγμα
b, τά ύποσύνολα {χ Ι α ~ ;Ι' ~ b} καΙ {χ α < χ < b} τού CJ( (πού σψβολ ί~oνται σύντομα χ < b) καλούνται άντίστοιχα κλειστό καΙ d~οικτό διάστημα. Τά ύποσύ\'ολα Ιr (J:- .1' <
<
b}
καλούνται συχνά ήμιανοικτά
1'\
ήμίκλειστα διαστήματα.
Τό σύνολο των πραγματικών άριθμων Χ γιά τούς όποΙους
πάρχουν πραγματικοί άριθμοί μέ τετράγωνο ίσο μέ
-1.
χ2
= -1
εΙναι τό κενό σίΝολο. γιατί δέν ύ
-Αν δμως συμπεριλάβουμε καί μιγαδικού; άριθμοί;ς, τό σί,νολο
αύτό δέν εΙναι τό κενό. Παράδειγμα Ι.9.
'Εάν ρίξουμε
περίπτωση) σύνολο
fva ζάρι, {1, 2, 3, 4, 5, 6}.,
τό σύνολο δλων των δυνατών άποτελεσμάτων εΙναι τό (βασικό γι' αίιτή τήν
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΟΥ νΕΝΝ Τό βασικό σύνολο ΊΕ μπορεί νά παρασταθεί γε
11
ωμετρικά άπό τό σύνολο των σημείων ένός όρθογω νίου.
Στήν περίπτωση αύτή ~να ύποσύνολο του ΊΙ
(όπως τό Α ή Β, πού δίνονται σκιασμένα στό Σχ. 1-1) παριστάνεται άπό τό σύνολο των σημείων στό έσω τερικό μιας κλειστής καμπύλης (συνήθως κύκλου). Τέτοια διαγράμματα καλουνται διαγράμματα τού
Venn
καί χρησιμοποιουνται συχνά γιά νά περιγραφουν γε
Σχ.
ωμετρικά σχέσεις μεταξύ συνόλων.
1·]
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ
1.
'Ένωση.
Τό σύνολο όλων των στοιχείων (η σημείων) πού άνήκουν ή στό Α. ή στό Β ή καί
στά δύο καλείται ενωση των Α καί Β καί συμβολίζεται μέ Α
UΒ
(σκιασμένο τμήμα στό Σχ.
1-2). 11
Σχ.
1-2
Σχ.
1-3
Σχ.
}-:
Κ Ε Φ.
2.
1
ΣγΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Τομή.
3
Τό σύνολο δλων των στοιχείων που ανηκουν καί στό Α καί στό Β καλείται τομή
των Α καί Β καί συμβολίζεται μέ Α πΒ (σκιασμένο τμήμα στό Σχ.
Δύο σύνολα Α καί Β γιά τά όποία Α χεία, καλουνται ξένα.
3.
Διαφορά.
Στό Σχ.
nB
δηλ. σύνολα πού δέν εχουν κοινά στοι
Ι-Ι τά Α καί Β είναι ξένα σύνολα.
Τό σύνολο πού περιέχει δλα τά στοιχεία του Α πού δέν άνήκουν στό Β καλείται
διαφορά των Α καί Β καί συμβολίζεται μέ Α
4.
= Φ,
Συμπλήρωμα.
'Εάν
BcA,
τότε τό Α
-
-
Β (σκιασμένο τμήμα στό Σχ.
συμπλήρωμα του Β καί συμβολίζεται μέ Α υΒ συμβολίζεται μέ
(Α
'Εάν
Α
= 'U,
τό 'U -
Β' (σκιασμένο τμήμα στό Σχ.
1-6).
Β καλείται άπλά Τό συμπλήρωμα
UB)'. τι
Ιl
Σχ.
1-4).
Β καλείται συμπλήρωμα τού Β ώς πρός τό Α καί
συμβολίζεται μέ B~ (σκιασμένο τμήμα στό Σχ. 1-5). του
1-3).
Σχ.I-6
1-5
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ θεώρημα
Α υΒ
1-2:
ΒυΑ
=
•Αντιμεταθετι κή
Ιδιότητα
Υιά τήν ενωση θεώρημα
Α
1-3 :
(Α
U(BUC) =
ΑUΒU
UB) uC
C
Προσεταιριστική Ιδιότητα
Υιά τήν ενωση θεώρημα
ΒπΑ
AnB
1-4 :
.Αντιμεταθετική
Ιδιότητα
Υιά τήν τομή θεώρημα
1-5 :
(Α
An(BnC)
n Β) n C =
Α
nΒnC
Προσεταιριστική Ιδιότητα Υιά τήν τομή
θεώρημα
1-6 :
An(BUC) = (AnB)U(AnC)
Πρώτη έπιμεριστική Ιδιότητα
θεώρημα
1"7:
AU(BnC) = (AUB)n(AUC)
Δεύτερη έπιμεριστική ίδιότητα
θεώρημα
1-8 :
Α
θεώρημα
1-9:
νΑνΑcΒ, τότε
θεώρημα
1-10:
AUy-)
=
θεώρημα
1-11:
ΑυΊI
= 'U,
θεώρημα
1-12α:
(Α υΒ)'
= A'nB'
πρωτος κανόνας τοϋ
θεώρημα
1-12b:
(Α ΠΒ)'
= A'uB'
Δεύτερος κανόνας του
θεώρημα
1-13:
Α
Τά Θεωρ.
-
Β
=
= AnB' Α,
(Α ΠΒ)
A'-::JB' ή B'cA'
Anςzι ΑΠΊI
=
Φ Α
=
De Morgan De Morgan
U (Α nB')
1-12a, 1-12b καί 1-13 μπορουν νά γενικευτουν (βλέπε Προβλ. 1.69 καί 1.74).
ΑΡΧΗ ΤΟΥ Δ Υ·Ι·ΣΜΟΥ
Κάθε σχέση μεταξύ συνόλων έξακολουθεί νά Ισχύει, έάν άντικαταστήσουμε τίς ένώσεις μέ τομές, τίς τομές μέ ένώσεις, τά διάφορα σύνολα μέ τά συμπληρώματά τους καί άντιστρέψουμε τή φορά των συμβόλων περιεκτικότητας C
καί
'-
-::J.
-----....._--
~ - . - .,...... -------------------
----------------------------------~-----
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
4
Κ Ε Φ.
1
ΠΕΙΡΑΜΑΤ Α ΤΥΧΗΣ
'Όλοι γνωρίζουμε τή σπουδαιότητα τών πειραμάτων στήν έπιστήμη καί τήν τεχνική.
Τέτοια
πειράματα βασίζονται σέ μιά θεμελιώδη άρχή (παραδοχή): 'Επανάληψη του πειράματος κάτω άπό τίς ϊδιες (κατά τό δυνατό) συνθήκες θά δώσει ούσιαστικά τά ϊδια άποτελέσματα.
'Υπάρχουν όμως πειράματα πού, όταν έπαναλαμβάνονται κάτω άπό τίς ϊδιες συνθήκες (όσο τουλάχιστο μπορουμε νά καθορίσουμε), δέ δίνουν ούσιαστικά ϊδια άποτελέσματα. ματα καλοϋνται πειράματα τύχης. Παράδειγμα
1.10.
W
Αν ρίξουμε ~να νόμισμα, τό άποτέλεσμα θά εΙναι «κεφάλι», πού τό συμβολίζουμε μέ Κ (ή
ματα», πού τό συμβολίζουμε μέ Γ (ή Ο), δηλ. ~να στοιχείο τοϋ συνόλου Παράδειγμα
1.11.
W
Παράδειγμα
1.12.
W
1),
ή «γράμ
{Κ. Γ} (ή {ο, Ι}).
Αν ρίξουμε ~να ζάρι, τό άποτέλεσμα τοϋ πειράματος θά εΙναι νά ερθει στήν πάνω όψη fνας άπό τούς
άριθμούς τού συνόλου
ΓΓ
Τέτοια πειρά
Μερικά παραδείγματα εΙναι τά ~ξής:
{Ι,
2, 3, 4, 5, 6}.
Αν ρίξουμε ενα νόμισμα δύο φορές, τό άποτέλεσμα θά εΙναι ενα στοιχείο τού συνόλου
{ΚΚ, ΚΓ. ΓΚ,
δηλ. δύο φορές κεφάλι, ή πρώτη κεφάλι καί ή δεύτερη γράμματα, κτλ.
),
Παράδειγμα
νΕστω ότι μιά μηχανή κατασκευάζει βίδες.
1.13.
στοιχείο τού συνόλου Παράδειγμα
χρόνος
t
Μιά τυχαία βίδα μπορεί νά εΙναι καλή ή έλαττωματική, δηλ.
{καλή, έλαττωματική}.
νΑν σ' ενα πείραμα μετραμε τή ζωή ήλεκτρικών λαμπτήρων μιας 1:ταιρείας, τό άποτέλεσμα εΙναι κάποιος
1.14.
σέ ώρες στό διάστημα, Π.χ.,
Ο;ΞΞ t ;ΞΞ
(Δεχόμαστε ότι κανείς λαμπτήρας δέν κρατάει πάνω άπό
4000.
4000
ώρες.)
ΔΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΙ
d
Τό σύνολο
όλων τών δυνατών άποτελεσμάτων ~νός πειράματος τύχης καλείται χώρος δειγ
μάτων η δειγματόχωρος.
Τό κάθε δυνατό άποτέλεσμα καλείται σημείο του δειγματόχωρου.
Τά άπο
τελέσματα ~νός πειράματος 'μποροϋν νά περιγραφουν συχνά άπό περισσότερους άπό ενα δειγματό χωρους, άλλά συνήθως ενας δειγματόχωρος δίνει τίς περισσότερες πληροφορίες.
c5
Τό
άντιστοι
χεί στό βασικό σύνολο. Παράδειγμα
1.15.
νΑν ρίξουμε ενα ζάρι,ενας δειγματόχωρος εΙναι ό {Ι,
2,3,4,5, 6}.
~Eνας άλλος εΙναι ό
{περιττός,
άρτιος). ΕΙναι φανερό όμως, ότι άπό τό δεύτερο δέν μπορεί νά προσδιοριστεί, άν Π.χ. τό άποτέλεσμα διαιρείται μέ
3.
Συχνά εΙναι χρήσιμο νά παριστάνεται ό δειγματόχωρος γραφικά.
Σέ μιά τέτοια περίπτωση εΙναι σκόπιμο νά χρησιμοποιουνται άριθμοί άντί γραμμάτων (αν εΙναι δυνατό). Παράδειγμα
ματα» καί
1
Ά ν ρίξουμε ενα νόμισμα δυό φορές καί παραστήσουμε μέ
1.16.
τό «κεφάλι», ό δειγματόχωρος (Παράδ.
σημεία τού Σχ.
1-7,
δπου Π.χ. τό
10,1)
•11,1)
10.1'
1.12)
Ο τό «γράμ
μπορεί νά παρασταθεί μέ τά
:0,
παριστάνει «γράμματα στήν πρώτη ρίψη καί
11,
Ο.
Σχ.
κεφάλι στή δεύτερψ>.
Έάν ενας δειγματόχωρος εχει πεπερασμένο πλήθος σημείων (όπως στό Παράδ. πεπερασμένος δειγματόχωρος.
τούς φυσικούς άριθμούς
σιμος.
ο;?; χ ;:::
1-7
1.16),
καλείται
'Εάν τά σημεία του δειγματόχωρου μπορουν νά άντιστοιχηθοϋν μέ
1,2,3, ...
ενα πρός εναν, καλείται απειρος άριθμήσιμος δειγματόχωρος.
'Εάν τά σημεία του δειγματόχωρου μπορουν νά άντιστοιχηθουν του αξονα χ (π.χ.
Οι
1)
μέ τά σημεία ~νός διαστήματος
ενα πρός ενα, τότε ό δειγματόχωρος καλείται απειρος μή άριθμή
'Ένας πεπερασμένος η απειρος άριθμήσιμος δειγματόχωρος καλείται διακεκριμένος η δια
κριτός δειγματόχωρος.
'Ένας απειρος μή άριθμήσιμος καλείται καί μή διακεκριμένος η συνεχής
δειγματόχωρος.
ΓΕΓΟΝΟΤΑ
'Ένα ένδεχόμενο η γεγονός εΙναι ενα ύποσύνολο Α ενός δειγματόχωρου δυνατών άποτελεσμάτων.
δηλ. ενα σύνολο
'Εάν τό άποτέλεσμα ενός πειράματος εΙναι στοιχείο του Α, λέμε ότι
συνέβει η πραγματοποιήθηκε τό γεγονός Α.
'Ένα γεγονός πού περιλαμβάνει ενα μόνο σημείο του
ι:5, καλείται συχνά άπλό η στοιχειώδες γεγονός.
21&42
-
~,
............. _-
222&lMA2El_tz_aa:xcu. . . . .M==ggaitl& 1 Ε&πεi!α.Ε2
lα.MΙZAMSΙZZ.54
~.
Κ Ε Φ.
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
1
Παράδειγμα
1.17.
5
"Αν ρίξουμε ενα νόμισμα δυό φορές, τό γεγονός νά ερθει μόνο μιά φορά
«κεφάλι» εΙναι τό ύποσύνολο (του δειγματόχωρου) πού περιλαμβάνει τά σημεία καί
(Ι,Ο)
(Σχ.
(Ο, Ι'ί
1-8).
Τό ίδιο τό ~ εΙναι ενα γεγονός πού καλείται βέβαιο γεγονός, έπειδή όπωσδήποτε ενα άπό τά στοιχεία του πραγματοποιείται.
Τό κενό σύ
νολο ~ εΙναι έπίσης ενα γεγονός καί καλείται άδύνατο γεγονός, έπειδή δέν μπορεί νά πραγματοποιηθεί ενα στοιχείο του.
Σχ.
1-8
Έπειδή τά γεγονότα είναι σύνολα, συμπεράσματα που αναφέρονται σέ γεγονότα μποροϋν νά διατυπωθοϋν στή γλώσσα της θεωρίας συνόλων καί άντίστροφα. των άντίστοιχη μέ τήν άλγεβρα συνόλων της σελ.
'Έτσι εχουμε μιά άλγεβρα γεγονό
3.
Κάνοντας πράξεις μέ γεγονότα τοϋ Θι, δηλ. μέ σύνολα, παίρνουμε άλλα γεγονότα τοϋ
ef.
'Έτσι, έάν Α καί Β εΙναι γεγονότα, τότε
1.
ΑυΒ εΙναι τό γεγονός «ή ΑήΒή καί τά δύο»
2.
ΑπΒ
εΙναι τό γεγονός «καί Α καί Β>,.
3.
Α'
εΙναι τό
4.
Α -Β εΙναι τό γεγονός «Α άλλά όχι καί Β».
γεγονος
.
«όχι Α».
Έάν τά σύνολα πού άντιστοιχοϋν στά γεγονότα Α καί Β εΙναι ξένα, δηλ.
Α
nΒ
=:
~,
τότε τά
γεγονότα αύτά εΙναι άσυμβίβαστα, δηλ. άποκλείονται άμοιβαία. Παράδειγμα
1.18.
Στό πείραμα όπου ρίχνουμε δύο φορές ενα νόμισμα καλουμε Α τό γεγονός «τουλάχιστο μιά φορά
κεφάλι» καί Β τό γεγονός «γράμματα στή δεύτερη ρίψη».
ΑuΒ
=
{ΚΓ. ΓΚ, ΚΚ, ΓΓ} Α'
=
{ΓΓ}
ΕΙναι
=
Α
= {ΚΓ,
AnB
ΒΓ
Α-Β
ΓΚ, ΚΚ},
Β
=
{ΚΓ, ΓΓ}
Ι(αί
άρα
{ΚΓ)
{ΓΚ, ΚΚ}
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σ' ενα τυχαίο πείραμα ύπάρχει πάντα άβεβαιότητα γιά τό αν θά συμβεί ενα όρισμένο γεγονός ή Οχι.
Σάν ενα μέτρο της πιθανότητας νά συμβεί τό γεγονός αύτό όρίζουμε κατάλληλα εναν άριθμό
μεταξύ Ο καί ή
100~.
1.
Έάν είμαστε βέβαιοι οτι τό γεγονός θά συμβεί, λέμε ΟΤΙ ή πιθανότητα εΙναι
Έάν είμαστε βέβαιοι ΟΤΙ
πιθανότητα εΙναι σημαίνει οτι
±,
75%
τότε κατά πρός
δέ
θά συμβεί, λέμε ΟΤΙ ή πιθανότητα εΙναι μηδέν.
25% τό γεγονός θά συμβεί, 3 πρός 1 τό γεγονός δέ
25~~ ή
ένω κατά
75%
δέ
1
Έάν ή
θά συμβεί.
Αύτό
θά συμβεί.
Ύπάρχουν δύο άξιοσημείωτες μέθοδοι μέ τίς όποίες έκτιμαμε (ούσιαστικά όρίζουμε αύθαίρετα) τήν πιθανότητα ενός γεγονότος.
1.
Κλασσική (ή έκ των προτέρων) μέθοδος (ή όρισμός).
Έάν τό πείραμα μπορεί νά δώσει
ρετικά καί έξ 'ίσου πιθανά άποτελέσματα, άπό τά όποία
h
n
διαφο
είναι εύνοίκά (έάν συμβεί ενα άπό
αύτά, τότε μόνο συμβαίνει τό γεγονός), ή πιθανότητα τού γεγονότος είναι /ι/π.
Παράδειγμα
1.19.
Άς έκτιμήσουμε τήν πιθανότητα νά ερθει κεφάλι σέ μιά ρίψη ένός νομίσματος.
Έπειδή ύπάρχουν δύο
έξ ίσου πιθανά άποτελέσματα, δηλ. κεφάλι καί γράμματα (άγvOOυμε τήν περίπτωση νά σταθεί όρθιο τό νόμισμα) καί έπειδή τό εύνοϊκό άποτέλεσμα εΙναι !':να άπό αύτά, δηλ. τό κεφάλι, συμπεραίνουμε, ότι ή πιθανότητα νά ερθει κεφάλι σέ μιά ρίψη εΙναι
2
7
1/2.
Δεχτήκαμε βέβαια ότι ή ρίψη γίνεται τίμια καί τό νόμισμα εΙναι κανονικό.
6 2.
Κ Ε Φ.
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Μέθοδος (ή όρισμός) τής σχετικής συχνότητας (ή έκ των ύστέρων όρισμός).
'Εάν μετά άπό
παναλήψεις του πειράματος μέ 1L πολύ μεγάλο, ενα γεγονός παρατηρείται, στι συνέβει τότε ή πιθανότητα του γεγονότος αύτου είναι
h
n
1
έ
φορές,
Ή πιθανότητα αύτή καλείται καί έμπειρική
h/n.
πιθανότητα. Παράδειγμα
εΙναι
1.20. 532/1000
Σέ χίλιες ρίψεις Ι:νός νομίσματος ήρθε «κεφάλι»
532
φορές.
W
Αρα ή πιθανότητα τοϋ γεγονότος «κεφάλι»
= 0.532.
Ή κλασσική μέθοδος καί ή μέθοδος τής σχετικής συχνότητας εχουν σοβαρές άδυναμίες, γιατί οί σροι «έξ ίσου πιθανά γεγονότα» καί « 1L πολύ μεγάλο» είναι άσαφείς.
Γιά νά άποφύγουν αύτές
τίς άσάφειες οί μαθηματικοί παρουσίασαν τά τελευταία χρόνια μιά άξιωματική μέθοδο θεμελιώσεως τής θεωρίας πιθανοτήτων.
ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
'Έστω Θf ενας δειγματόχωρος.
'Εάν ό
στοιχουν σέ γεγονότα και αντίστροφα.
GJ
'Εάν ό
είναι διακριτός, τότε σλα τά ύποσύνολά του άντι
d
είναι συνεχής, μόνο όρισμένα ύποσύνολά του
(πού καλοϋνται μετρήσιμα) άντιστοιχουν σέ γεγονότα.
Σέ κάθε γεγονός Α τής κλάσεως
γεγονότων άντιστοιχουμε εναν πραγματικό άριθμό Ρ(Α). νάρτηση όρισμένη στήν
τητα
C
C
των
'Έτσι ή Ρ είναι μιά πραγματική συ
καί καλείται συνάρτηση πιθανότητας.
Ή τιμή Ρ(Α)
καλείται πιθανό
καί δεχόμαστε στι ίκανοποιεί τά έξής άξιώματα:
'Αξίωμα
1.
Γιά κάθε γεγονός Α τής κλάσεως
C
Ρ(Α)
'Αξίωμα
2.
Γιά τό βέβαιο γεγονός
e5
είναι ΞΞ;
τής κλάσεως
Ο
(1)
C είναι
P(c5) = 1 'Αξίωμα
3.
'Εάν τά γεγονότα Αι, Α 2 ,
• ••
C
της κλάσεως
P(A I UA 2 U···) = Ρ(Α ι ) Είδικότερα, γιά δύο
(2) είναι άνά δύο άσυμβίβαστα, τότε
+ Ρ(Α2) +
(3)
άσυμβίβαστα γεγονότα είναι
(4) ΜΕΡΙΚΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤ Α 'Από τά προηγούμενα άξιώματα μπορουμε νά άποδείξουμε διάφορα θεωρήματα, πού είναι χρή σιμα σέ προβλήματα πιθανοτήτων.
Ρ(Α 2 )
Θεώρημα
1-15:
Ρ(Α ι ).
Γιά κάθε γεγονός Α είναι ο
~ Ρ(Α)
~
δηλ. κάθε πιθανότητα είναι μεταξύ Ο καί Θεώρημα
-
1-16:
P(C}»
=
1
(5)
1. ο
(6)
δηλ. ή πιθανότητα του άδύΎατου γεγονότος είναι μηδέν.
Θεώρημα
1-17:
'Εάν Α' είναι τό συμπλήρωμα του Α, τότε Ρ(Α')
Θεώρημα
1-18:
'Εάν
Α
βίβαστα,
=
= 1-
Αι uA 2 U ... UA n , σπου τά
Ρ(Α)
Αι, Α 2 ,
(7)
• •• ,
An
τότε
<
.,; _ / ...
",,~..,. .....
---
Χ_Ζ
_suz
είναι άνά
δύο άσυμ
11'
'?bt
Κ Ε Φ.
7
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
1
Είδικότερα, έάν Α
Ρ(Α)
=
= cJ,
τότε
(Προσθετικό θεώρημα
1-19
11
+ Ρ(Α 2 ) + ... + P(An)
(8)
+ Ρ(Α 2 ) + ... + P(A n) = 1
Ρ(Α ι ) θεώρημα
Ρ(Α ι )
Θεώρημα όλικών πιθανοτήτων):
(9)
. Εάν
Α καί Β είναι δύο
όποιαδήποτε γεγονότα, τότε
=
P(AUB)
Ρ(Α)
+ Ρ(Β)
- p(AnB)
(10)
Γενικότερα, έάν Αι, Α Ζ , Α 3 είναι τρία όποιαδήποτε γεγονότα, τότε
Ρ(Α ι U Α 2 U Α 3 )
=
+
Ρ(Α ι )
Ρ(ΑΖ)
+
Ρ(Α 3 )
- P(AlnA z) - p(A z nA 3 )
-
P(A 3 nA l )
+ p(A l nA z nA 3 )
(11)
Τά παραπάνω μπορουν νά γενικευτουν γιά 11 γεγονότα (βλέπε Πρόβλ.
θεώρημα
1-20:
Γιά όποιαδήποτε γεγονότα Α καί Β είναι
Ρ(Α) θεώρημα
1-21:
1.79).
=
Ρ(Α
nB)
+
Ρ(Α
nB')
(12)
Έστω ότι, όταν συμβαίνει τό Α, συμβαίνει όπωσδήποτε καί ενα άπό τά άσυμ βίβαστα γεγονότα
Αι, Α 2 ,
=
Ρ(Α)
Απ.
••• ,
p(AnA l )
Είναι
+ p(AnA 2 ) + ... + p(AnA n )
(13)
ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
'Εάν ενας δειγματόχωρος τότε άπό τό Θεώρ.
1-18
cJ
περιέχει μόνον τά στοιχειώδη (άπλά) γεγονότα Αι, Α 2 ,
••• ,
A n,
εχουμε Ρ(Α ι )
+ Ρ(Α Ζ ) + ... + P(A n)
= 1
Συνεπώς μπορουμε νά διαλέξουμε όποιουσδήποτε μή άρνητικούς άριθμούς άπλών αύτών γεγονότων μέ τόν όρο νά πληρουν τήν
(14) ώς
πιθανότητες τών
(14).
'Εάν δεχτουμε ότι τά άπλά αύτά γεγονό
= 1, 2,
... , 11
τα εχουν ίσες πιθανότητες, τότε
1 n
P(A k ) 'Εάν τό Α περιέχει
11
Ιί
(15)
τέτοια άπλά γεγονότα, τότε
h
Ρ(Α) = n πού θυμίζει τόν κλασσικό όρισμό τής σελ.
(16)
Μποροϋμε βέβαια νά χρησιμοποιήσουμε κι άλλες
5.
μεθόδους έκτιμήσεως τής πιθανότητας, όπως ή μέθοδος τής σχετικής συχνότητας τής σελ.
6,
κτλ.
'Εκτίμηση τών πιθανοτήτων τών διαφόρων δυνατών άποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης όδηγεί στή δημιουργία ενός μαθηματικοϋ μοντέλου, πού μπορεί νά δοκιμαστεί πειραματικά, όπως
δοκιμάζεται Π.χ. μιά φυσική θεωρία.
Παράδειγμα
1.21.
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά ~ρθει
Ό δειγματόχωρος εΙναι
fxouv ίσες
J = {Ι, 2, ;). 4, 5, G}.
ή
5
σέ μιά ρίψη Ινός ζαριοϋ;
'Εάν δεχτοϋμε, ότι όλα τά Cιπλά γεγονότα (σημεία τοϋ δειγματόχωρου)
πιθανότητες, τότε
P(l)
=
2
=
Ρ(2)
.,# .........
<
=
=
Ρ(6)
= -61
,
8
Κ Ε Φ.
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Τό γεγονός νά ερθει
2
ή
5
εΙναι τό
2 υ 5.
Συνεπώς
==
Ρ(2u5)
1
Γ(2,
-'-
1 3
Ρ(5)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ
Θεωρουμε δύο γεγονότα Α καί Β (Σχ.
>
μέ Ρ(Α)
1-9)
συμβεί τό Ε μέ τήν προϋπόθεση στι εχει συμβεί τό
eS.
γίνεται ό νέος δειγματόχωρος καί άντικαθιστα τό
i
Ο.
Α.
Έστω Ρ(Β Α) ή πιθανότητα νά
'Επειδή τό Α εχει πραγματοποιηθεί,
Ή παρατήρηση αύτή μας όδηγεί στόν
όρισμό
Ρ(Β Ι Α) == .Ρ(Λ nB)
(17)
P(AnB) == Ρ(Α)Ρ(Β!Α)
(18)
,
Σύμφωνα μέ τήν
(18)
Ρ(Α)
ή πιθανότητα νά πραγματοποιηθουν καί
τό Α καί τό Β ισουται μέ τήν πιθανότητα νά συμβεί τό Α έπί τήν πιθανότητα νά συμβεί τό Β ύπό τήν προϋπόθεση νά συμ
βεί τό Α.
Ή Ρ(Β Ι Α) καλείται πιθανότητα ύπό συνθήκη η
δεσμευμένη
πιθανότητα
του Β δεδομένου του Α.
Δείχνεται
εύκολα ότι ή πιθανότητα ύπό συνθήκη ίκανοποιεί τά άξιώ ματα της σελ.
6.
Παράδειγμα
Νά βρεθεί ή πιθανότητα νά fρθει σέ μιά ρίψη ζαριού άποτέλεσμα μιιcρότερo τού
1.22.
Σχ.
άλλη πληροφορία, (b)
4,
έάν (α)
δέ δίνεται
εΙναι γνωστό δτι ή ρίψη fδωσε περιττό άριθμό.
(α) -Εστω Β τό γεγονός «μιιcρότερo άπό άπό τό Θεώρ.
1-9
'Επειδή τό Β
4 ».
εΙναι ή !:νωση τών γεγονότων
1, 2
ιcαί
3 ,
εχουμε
1-18 Ρ(Β)
=
Ρ(1)
+
Ρ(2)
_L
1 6
-
['(:))
1 +-
-t-
l
6 . 6
1 2
όπου δεχτήιcαμε ϊσες πιθανότητες γιά δλα τά άπλά γεγονότα.
(b) "Έστω Α τό γεγονός «περιττός άριθμός». Ρ(Β! Α)
ΕΙναι Ρ(Α
c-:::
Ρ(Α)
n
= ~- = ~
Β)
ιcαί
1/3 1/2
-.--
ΓΙΑ)
Ρ(Α πΒ)
= Ζ = ~;.
-Αρα
2 3
Παρατηρούμε στι ή έπί πλέον πληροφορία (δτι τό άποτέλεσμα ε{ναι περιττό) αύξάνει τήν πιθανότητα άπό -~ σέ
R.
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ
θεώρημα
1-22:
Γιά όποιαδήποτε τρία γεγονότα
Αι, Α 2 , Α 3 ε{ναι
(1.9) Σύμφωνα μέ τή σχέση αύτή ή πιθανότητα νά συμβουν συγχρόνως τά Αι, Α 2 καί Α 3 ε{ναι ίση μέ τήν πιθανότητα νά συμβεί τό Αι
έπί τήν πιθανότητα νά συμβεί τό Α2 δεδομένου του Αι καί έπί
τήν πιθανότητα νά συμβεί τό Α:! δεδομένων των Α ι καί Α::.
Τό θεώρημα αύτό γενικεύεται εύκο
λα γιά 1'ι γεγονότα.
θεώρημα
1-23:
'Έστω Α ενα γεγονός πού αν συμβεί, τότε πραγματοποιείται όπωσδήποτε ενα άπό
τά άσυμβίβαστα άνά δύο γεγονότα
ι'
Μ
&&1 ••
tEΙ
... ..,., . .
Αι, Α 2 ,
--.~
Ζ Ι!
4
..• ,
An•
Είναι
_ _ &SΚ&EZΙ&Ι
--- - - - - - - - - - - - - - - -
AfZ'mr.'.
Κ Ε Φ.
ΣγΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
1
9
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ
'Εάν Ρ(Β Ι Α)
=
Ρ(Β), δηλ. ή πιθανότητα του Β δέν έπηρεάζεται από τό αν συνέβει ή όχι τό
Α, τότε λέμε ότι τά Α καί Β ε{ναι άνεξάρτητα γεγονότα.
Ρ(ΑπΒ) όπως προκύπτει από τήν
=
Ρ(Α)Ρ(Β)
Άντίστροφα, έάν ισχύει ή
(18).
Αύτό σημαίνει ότι
(21),
(21) τότε τά Α καί Β ε{ναι ανεξάρτητα.
Μερικές ιδιότητες γιά ανεξάρτητα γεγονότα δίνονται στά Προβλ.
καί
1.91
1.92.
'Εάν τά γεγονότα Αι, Α 2 , Α 3 ε{ναι ανά δύο ανεξάρτητα, δηλ.
j =/= k
όπου
.1,lc
= 1,2,3
(22)
καί έπί πλέον
(23) τότε λέμε άπλά ότι τά γεγονότα αύτά ε{ναι ανεξάρτητα.
Ό όρισμός αύτός γενικεύεται εύκολα γιά
περισσότερα γεγονότα.
ΘΕΩΡΗΜΑ 'Ή ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ
BAYES
'Έστω ότι ή ενωση των ασυμβίβαστων γεγονότων Αι, Α 2 ,
••• ,
Α" είναι ό δειγματόχωρος
(αύτό σημαίνει ότι όπωσδήποτε ενα καί μόνον από τά γεγονότα αυτά θά πραγματοποιηθεί).
ef, 'Ε
άν Α είναι ενα όποιοδήποτε γεγονός, τότε ισχύει ό έξής τύπος: θεώρημα
1-24
(τύπος του
Bayes): Ρ(Α,,) Ρ(Α Ι Α,,)
(24)
n
Σ Ρ(Α,,) Ρ(Α Ι Αι,) k=I
Τόν τύπο αυτο χρησιμοποιουμε συχνά γιά νά βρουμε τίς πιθανότητες των διαφόρων γεγονότων Αι, Α 2 • ••• , Α" πού εχουν σάν αποτέλεσμα τήν πραγματοποίηση του Α.
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σέ πολλές περιπτώσεις τό πλήθος των σημείων του δειγματόχωρου δέν ε{ναι πολύ μεγάλο καί δέν είναι δύσκολο νά απαριθμηθουν τά διάφορα γεγονότα στούς ύπολογισμούς πιθανοτήτων.
'Υ
πάρχουν όμως προβλήματα, όπου ή απ' ευθείας απαρίθμηση ε{ναι πρακτικά δύσκολη ή καί αδύνατη. Σέ τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται ή συνδυαστική άνάλυση, πού μπορεί νά θεωρηθεί σάν μιά αποτελεσματική μέθοδος απαριθμήσεως.
Η ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΕΩΣ. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΔΕΝΤΡΩΝ 'Εάν κάτι μπορεί νά γίνει μέ 1'11 διαφορετικούς τρόπους καί μετά κάτι αλλο μπορεί νά γίνει
μέ
n2
διαφορετικούς τρόπους,
τότε όλα αύτά τά
1.:
...
καί τελικά κάτι μπορεί νά γίνει μέ
'nk
διαφορετικούς τρόπους,
«κάτι» μπορουν νά γίνουν σ' αύτή τή σειρά μέ 1ΙιΙΙ2' .. nk
διαφορετικούς
τρόπους. Παράδειγμα
1.23.
'Εάν ενας άνδρας
fXEt
δύο πουκάμισα καί τέσσερις γραβάτες, εχει
2' 4
=
8
έκλογές (συνδυασμούς)
πουκάμισου καί γραβάτας.
Ή παραπάνω αρχή μπορεί νά απεικονιστεί μ' ενα διάγραμμα, πού καλείται διάγραμμα δέντρου,
έπειδή μοιάζει μέ δέντρο (Σχ.
1-10).
---------------------------~
10
Κ Ε Φ.
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Παράδειγμα
Άντάπουκάμισαπαριστάνονταιμέ
1.24.
Τι, Τ 2 • Τ 3 • Τ 4 ,
γραβάτες μέ
1
καιοι
51,52
οί όκτώ διαφορετικοί τρόποι έκλογής ε
νός πουκάμισου "αί μιας γραβάτας δίνονται στό διάγραμμα δέντρου τοϋ Σχ.
2
1-10.
3
ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ V
4
Ας ύποθέσουμε ότι εχουμε
n
διαφορετικά αντικεί
μενα καί θέλουμε νά διατάξουμε τ από αύτά σέ μιά εύ θεία.
n
Έπειδή ύπάρχουν
διαλέξουμε τό πρώτο αντικείμενο,
n - 1 τρόποι γιά τό
δεύτερο (αφού τό πρώτο εχει χρησιμοποιηθεί), λικά ?Ί, -
r
+
5
διαφορετικοί τρόποι γιά νά
6
... καί τε 7
τρόποι γιά τό Γ αντικείμενο, επεται από
1
τή θεμελιώδη αρχή τής απαριθμήσεως ότι τό πλήθος τών
8
διατάξεων είναι Σχ.
1-10
n(1ι-1)(1ι-2)'··(π-τ+1)
nP r =
(25)
Τό γινόμενο αύτό εχει τ παράγοντες καί δίνει τό πλήθος ηΡ τ τών διατάξεων τών 11 άντικειμένων άνά
1'.
Στήν είδική
περίπτωση όπου "Ρ"
δηλ. τό 11 παραγοντικό.
r = n
=
ή
του
l' =11 , ή
=
π!
(26)
Χρησιμοποιώντας παραγοντικά μπορούμε νά γράψουμε τήν
καί ή
(27)
=
(25)
π! (π
(27)
- ],) !
συμφωνούν μόνον έάν ο!
= 1.
Πραγματικά αύτός είναι ό όρισμός
Ο!.
Παράδειγμα Ε,
(25)
δίνει
π(π-1)(π-2),··1
ηΡ τ Έάν
(25)
f'. (;
1.25,
Τό πλήθος τών διαφόρων διατάξεων τριών γραμμάτων διαλεγμένων άπό τά επτά γράμματα Α, Β,
C, D,
εΙναι
-Ρη ,., = ~ 4! = ί'6'5 =
210
'Έστω ότι εχουι.,.ιε 11 αντικείμενα από τά όποία 111 είναι ενός (πρώτου) ε'ίδους (δέν μπορουν νά διακριθούν μεταξύ τους), 1/2 είναι ενός αλλου (δεύτερου είδους), δους (ε{ναι βέβαια
π
=
Πι
+ 112 + ... + ILk).
μένων αύτών είναι
Παράδειγμα χει
1
Μ,
4
11 ι; είναι ενός αλλου
11!
ηP1'll~ll~' Βλέπε Πρόβλ.
... ,
( 1,,) εί
Τό πλήθος τών διαφορετικών διατάξεων τών αντικει
111
(28)
! 112 ! ... 111; !
1.34.
1.26. Τό πλήθος τών διαφόρων διατάξεων τών 11 γραμμάτων τής λέξεως ,V Ι 5 S Ι S S ι Ρ Ρ Ι, πού περιέ 4 S καί 2 Γ, εΙναι
Ι,
Ι!
111 41 4! 2!
3-1,650
ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
Σέ μιά διάταξη λαμβάνεται ύπόψη καί ή σειρά τών αντικειμένων.
διαφορετική από τήν bcα.
ή διατάξεως τών αντικειμένων έπί εύθείας. συνδυασμός αbc
WΕτσι ή διάταξη αl)C είναι
Σέ πολλά προβλήματα όμως δέν ένδιαφερόμαστε γιά τή σειρά έκλογής
είναι ό ίδιος μέ τόν
WΕτσι παίρνουμε τούς διάφορους συνδυασμούς.
l)Cα.
Π.χ. ό
Κ Ε Φ.
1
11
ΣγΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Τό πλήθος τών συνδυασμών
τικειμένων άνά
r
άντικειμένων άπό
συμβολίζεται μέ
r
n
άντικείμενα ή, όπως λέμε συνηθέστερα, π άν
ή (~). 'Από τό Πρόβλ.
nGr
=
( nr )
1.36
εχουμε
n!
nGr
(29)
r!(11-r)!
πού γράφεται καί
n(n - 1)· .. (π - 1'+1)
(~)
(30)
τ!
Δείχνεται εϋκολα ότι ή
Παράδειγμα
(31)
Τό πλήθος τών διαφορετικών τριάδων πού μπορούν νά προκύψουν άπό
1.27.
8 διαφορετικά τραπουλόχαρτα
ε{ναι
8·7' 6 -3-!-
=
56
ΔΙΩΝΥΜΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ
ΟΙ άριθμοί
(29)
καλουνται συχνά διωνυμικοί συντελεστές, έπειδή προκύπτουν άπό τό άνάπτυγμα
του διώνυμου
(χ + y)n = Xn + (7)ΧΠ-ΙΥ + (~)XΠ-2y2 + .'. + (:)yn
(32)
οι συντελεστές αύτοί εχουν πολλές ένδιαφέρουσες ίδιότητες. Παράδειγμα
(Χ
1.28.
Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ 'Όταν τό
n
χ4
+ Υ)4
ΓΙΑ ΤΟ
STIRLING
+
(~)X3Y
(~)X2Y2
+
+
(~)XY3
+
(:)Υ4
π!
εΙναι μεγάλο, ό άμεσος ύπολογισμός του π! δέν εΙναι εϋκολος στήν πράξη.
Στήν
περίπτωση αύτή μπορουμε νά χρησιμοποιήσουμε τόν προσεγγιστικό τύπο
π! ,..., Υ2"πn n e- ιι όπου
e = 2.71828 ...
στήν
(33)
(33)
εΙναι ή βάση τών φυσικών λογαρίθμων (βλέπε Πρόβλ.
1.48).
σημαίνει ότι ό λόγος του άριστε ρου μέλους πρός τό δεξιό τείνει στό
Τό σύμβολο
,...,
n~
00.
1,
όταν
Στήν πραγματικότητα τό δεξιό μέλος εΙναι ό πρώτος δρος ένός άσυμπτωτικου άναπτύγματος του άριστε ρου μέλους (βλέπε καί σελ.
342).
Λυμένα Προβλήματα ΣΥΝΟΛΑ
1.1.
'Έστω Α τό
..
σύνολο τών
πραγματικών
άριθμών πού
ό
καθένας
εχει τετράγωνο ίσο μέ
Πώς περιγράφεται τό σύνολο αύτό μέ τή μέθοδο (α) τής περιγραφής
25.
καί
(b)
τής
άναγραφης;
(α) Α (b)
=
Έπειδή
{Χ Ι χ 2 χ2
= 25},
πού διαβάζεται «τό σύνολο τών στοιχείων χ γιά τά όποία χ 2 = 25 ".
= 25, f:πεται δτι
χ
=5
ή
χ
= -5.
νΑρα
Α
= {5, -5},
δηλ. τό Α περιγράφεται μέ άνα
γραφή τών στοιχείων πού περιέχει.
Ρ
2 2
12 1.2.
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠlθΑΝΟΤΗΤΕΣ
=
'Έστω Α
{χ Ι χ περιττός},
Έπειδή χ 2 Τά στοι-χεία δμως νήιc:ει στό
1.3.
+ 15
8χ
3
Α. δηλ.
καί Β
Είναι άλήθεια δτι "Ο-χι. ΙΙριθμό
5
c
Ο
=
1'\
(χ
Β
-
=
3)(Χ -
iχ
{χ
=Ο
5)
2
Κ Ε Φ.
-8χ+15=0}. Δείξτε
αν καί μόνον αν χ
1'\
χ
= 5,
BcA. qουμε Β
= {3,5}.
Έτσι ιc:άθε στοιχείο του Β ά
Α.
{2} = 2 ;
Τό 2 εΙναι lνας πραγματιιc:ός ΙΙριθμός. ένώ τό {2} εΙναι Ένα σύνολο μέ
2.
=3
εΙναι περιττοί ΙΙκέραιοι ιc:αΙ συνεπώς ΙΙνήιc:oυν στό Α.
δτι
1
lva
lva σύνολο πού περιέχει τόν πραγματιιc:ό
μόνο στοιχείο ιc:αλείται συχνά μονοσύνολο ιc:αΙ πρέπει νά διαχωρίζεται άπό τό
στοι-χείο πού περιέχει.
1.4.
Ποιές άπό τίς παρακάτω προτάσεις είναι σωστές καί ποιές όχι; (α)
{χ ι χ # χ}
(b)
νΑν Α
=
= {χ
{~}.
Ι χ 2 =4, Χ>9}
καί
(α) 'Η πρόταση αύτή δέν ε\ναι σωστή.
Β
=
{Χ! χ;ΞΞ;η,
τότε
B~A.
Κάθε στοιχείο θεωρείται ίσο πρός τόν t:αυτό του, άρα δέν ύπάρχει
στοιχείο πού νά εΙναι διάφορο ΙΙπό τόν έαυτό του, δηλ. δεξιό μέλος lπρεπε νά ήταν γραμμένο τό Φ
{Χ
\ χ =F- Χ}
ιc:αί δχι τό {φ}.
= φ.
Τό λάθος βρίσκεται στό δτι στό
Τό {Φ} εΙναι ~να μονοσύνολο μέ μοναδικό
στοιχείο του τό κενό σύνολο.
(b)
Τό Α εΙναι τό σύνολο δλων τών χ γιά τά όποία χ 2 αρα
Α
= φ.
=4
ιc:αί
> 9.
χ
Τέτοιος άριθμός δμως δέν ύπάρχει.
Άλλά τό κενό σύνολο εΙναι ύποσύνολο όποιουδήποτε συνόλου, άρα Α
cB
ή
B:JA,
δηλ. ή
ε{ναι
xEC.
πρόταση εΙναι σωστή.
1.5.
'Εάν Α
cB
καί Β C
C,
δείξτε δτι Α C
Έστω χ lναστοιχείοτου Α, δηλ.
C.
χΕΑ.
Έπειδή
"Αρα κάθε στοιχείο του Α εΙναι στοιχείο του
C,
δηλ.
AcB, Α
εlναι
χΕΒ.
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΔΑ. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΟΥ
1.6.
Έπειδή
BcC,
c C.
VENN
'Εάν τό βασικό σύνολο είναι Ί1 = {·ι ο, π, 5, -Υ!2, -4} καί θεωρήσουμε τά ύποσύνολά του
Α
= {-Υ!2,π,Ο}, Β = {5,i,-y2,-4} (c) (AUB) n C, (d)
Α U Β,
(α) Α n Β
=
(b) Α υ Β
{-γ2, π, Ο} n {5, Ι -γ2, -4}
{-Υ2}
{-γ2, π, Ο} υ {5, i, -γ2, -4}
{-V2, π, Ο, 5, !,-4}
(c)
(ΑuΒ) n C
(d)
ΒΙ
= =
C'
"Αρα (ε)
Α
-
=
{-γ'2,π,0,5,!,-4} n {i,-4} = {Ι-4} [Χρησιμοποιήθηκετό άποτέλεσματου (b).J
τό σύνολο τών στοιχείων του Ί1 πού δέν άνήκουν στό
Β
τό σύνολο τών στοι-χείων του Ί1 πού δέν ΙΙνήκουν στό
C
ΒΙ υ C' Β
καί C = {i,-4}, νά βρεθοϋν τά (α) Α n Β, (b) Cf, (e) Α-Β, (Ι) (BnC)', (g) (AnC) υ (Bnc).
Βι U
=
=
{Ο,π} υ {ο,π,5,--..[2}
=
Τό ίδιο άποτέλεσμα μπορεί νά προκύψει άπό τό θεώρ.
(Ι)
Β n C "Αρα
=
Α n ΒΙ
{5,·Ι -γ'2, -4} n {~, -4}
(BnC)'
=
= =
{Ο, π, 5, --..[2} .
{Ο,π,5,--..[2}.
τό σύνολο τών στοι-χείων του Α πού δέν ΙΙνήκουν στό
Α - Β
{ο, π}.
1-8,
Β
{Ο, π}.
δηλ.
{~,Ο,π,5,-v'2,-4} n {Ο,π}
.j,
{ο, π}
Ι!. -4}.
{ο, π, 5, -γ'2}.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .~&
~
Κ Ε Φ.Ι
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
13
Τό άποτέλεσμα αύτό μαζί μέ Ι:κείνο τού (d) άποτελοϋν έπαλήθευση τού δεύτερου κανόνα τοϋ (Θεώρ.
(ρ)
l-12b,
=
AnC
Άπό τό
σελ.
{-V2, ..,O} n {i,-4} (ι) ~χoυμε
Β
n C
"Αρα
1.7.
=
φ.
= {.i, -4}
(Α
nC) u (EnC)
(α) Δείξτε τόν πρώτο κανόνα τού
φ
u
{~,-4}
(Θεώρ. 1-12α, σελ.
De Morgan
Περιγράψτε τή σχέση αύτή χρησιμοποιώντας ενα διάγραμμα τού
(α)
Έχουμε
{Χ Ι χ Ε ΑυΒ}
=
{Χ Ι χΕΑ, χΕΒ}
(Α υΒ)'
3):
(b)
(AuE)' =
{.ι: Ι χΕΑ" ΧΕΒ'}
=
= A'nB'.
Venn. =
Α'
Τό αποτέλεσμα αύτό μπορεί νά γενικευτεί γιά πεπερασμένο αριθμό συνόλων (βλέπε Πρόβλ.
(b)
Στό διάγραμμα τού Α' καί
De. Morgan
3).
Venn
τοϋ Σχ.
1-11
τό σκιασμένο τμήμα παριστάνει τό (Α 'cJB)"
Ε' παριστάνονται μέ παράλληλες διαγώνιες γραμμές κάθετες μεταξύ τους.
n
1.69).
Στό Σχ.
Τό
Ε'
A'nB'
1-12
τά
παριστά
νεται από τό τμήμα ~πoυ καί οί δύο οίκογένειες των παράλληλων γραμμων ύπάρχουν (δικτυωμένο τμήμα), πού είναι τό ίδιο μέ τό σκιασμένο τμήμα τού Σχ.
1-11.
(AUB)'
Σκιασμένο τμήμα
Δικτυωμένο τμήμα
1-11
Σχ.
Σχ.
"Ας σημειωθεί δτι ή μέθοδος μέ τό διάγραμμα τοι, Συχνά δμως τά διαγράμματα τοϋ
Venn
=
Α'
nB'
1-12
δέν αποτελεί απόδειξη. δr.ως αυτή του (α).
Venn
χρησιμοr.οιοϋnαι γιά τήν αναKάί~υψη σχέσεων. πού μετά δείχνονται
αύστηρά.
1.8.
Δείξτε τήν πρώτη έπιμεριστική ίδιότητα (σελ. Α
Είναι
ι,
(Πι:Ι:) ---
χ
Ε Α,
;.,_~
Ε
:χ
.t' Ε Α,
;ι'
Ε Ε
ή
Σ
Ε
{.}.
Χ
Ε Α.
χ
Ε Β
ij
χ
Ε Α,
(Α
-
1.9.
n (Β U C) =
~ ,Ι'
{Χ
Γ
Α
3):
;ι, Ε Α
'
r
[Ι)
u
nΒ
(Α Γl
(Α
n Β) U (Α n C).
EuC:
ή
Ε Α
,;;
('} χ
Ε
C1
n C)
C)
Δείξτε στι γιά δύο όποιαδήποτε σύνολα Α καί Β ε{ναι
= (Α ΓιΒ)
Α
U
(Α
nB').
Είναι
ΙΙΓ
Γ
Γ
Α
{Χ
,1'
Ε ΑπΕ
ij
.1'
Ε
ArB'1
~Aλλη μέθοδος.
Χρησιμοποιώντας τό Πρόβλ.
1.18
.4.
καί θέτοντας
C
= Β'
εχουμε
u Β')
(Α ΓΙΕ)
u
Ar:1{
(ΑπΒ)
u (AnB')
ΓΙ (Β
(Α
n Ε) u
Τό άποτέλεσμα αύτό μπορεί νά γενικευτεί (βλέπε Πρόβλ.
1.74).
Α
Γ
-,
...........:.
(Α
(Α
r;B')
nΒ
Ι
)
(ArE)L(AnB')
Κ Ε Φ. 1
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
14
ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ ΤΥΧΗΣ, ΔΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΕΓΟΝΟΤΑ 1.10.
Τραβάμε στήν τύχη ενα χαρτί άπό μιά συνηθισμένη τράπουλα μέ 52 χαρτιά. Περιγράψτε τό δειγματόχωρο, έάν (α) δέ ληφθουν καί (b) ληφθουν ύπόψη οί τέσσερις διαφορετικές σειρές.
(α) 'Εάν αγνοήσουμε τίς τέσσερις διαφορετικές σειρές (κοϋπες, μπαστούνια, καρρά, σπαθιά), ό δειγματόχωρος
περιέχει τά στοιχεία άσος, δύο,
. . .,
δέκα, βαλές, ντάμα, ρήγας καί μπορεί νά παρασταθεί μέ
{1,2, .
.. ,13}.
'Εάν λάβουμε ύπόψη μας δτι ύπάρχουν τέσσερις διαφορετικές σειρές, εχουμε τέσσερις διαφορετικούς (ί σους (δηλ. (ίσο κούπα, άσο μπαστούνι, (ίσο καρρό, (ίσο σπαθί), τέσσερα διαφορετικά δυάρια, κοκ. 'Εάν παραστήσουμε μέ 1, 2, 3, 4 αντίστοιχα τίς κοϋπες, τά μπαστούνια, τά καρρά καί τά σπαθιά, τότε ό
(b)
δειγματόχωρος περιέχει
σημεία καί δίνεται στό Σχ. Ι-Ι3. Π.χ. ό βαλές μπαστούνι παριστάνεται
52
από τό σημείο (11,2).
.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
7
8
9
10
11
13
5
6
12
4
4
•
•
•
•
•
•
3
•
•
•
•
•
2
•
•
•
•
•
•
•
2
3
-
Σχ.
1.11.
Στό πείραμα του Προ βλ. 1.10 εστω Α τό γεγονός νά ε{ναι ρήγας τό χαρτί πού τραβάμε καί Β τό γεγονός νά ε{ναι όποιοδήποτε σπαθί. Περιγράψτε τά γεγονότα (α) Α uB, (b) ΑπΒ,
(c) AuB', (d) A'uB', (e)
Α
(b)
Α π Ε
(c)
'Επειδή Ε = {σπαθί}, Ε'
(d)
(ε)
(j)
u
Α-Β, (Ι) Αι-Β',
(g)
(ΑπΒ) u (ΑΠΒ').
{η ρήγας ή σπαθί ή καί τά δύο}.
(α)
V
-
1-13
Ε
{καί ρήγας καί σπαθί}
Αρα Α
u
Β'
=
=
=
{ρήγας σπαθί}.
{οχι σπαθί}
=
{μπαστούνι, καρρό, κούπα}.
{ρήγας μπαστούνι η >'Jιγας καρρό η ρήγας κούπα}.
Α' u Ε' = {οχι ρήγας ή όχι σπαθί}
=
{οχι ρήγας σπαθί}.
Τό ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει από τήν
(b)
καί τή σχέση
A'uB' =
(ΑlιΕ)'.
Α - Ε = {ρήγας άλλά όχι σπαθί}Tc\
'ίδιο σύνολο είναι Α Π Ε'
Α'
_
= {ρήγας
καί όχι σπαθΟ.
Ε' = {οχι ρήγας και όχι «όχι σπαθί»}
=
{όποιοδήποτε σπαθί εκτός από τό ρήγα σπαθί;.
Αύτό μπορεί "ά προκύψει καί από τή σχέση Α' - Β'
Ι
(g)
(Α n Ε) u
= Α'π(Β')' = A'nE. (Α n Ε') = {(ρήγας και σπαθί) ή (ρήγας καί οχι σπ~θί)} = {ρήγας;.
Αύτό μπορεί νά προκύψει και άπό τή σχέση (Α n Ε) u (Α nE') = Α.
1.12.
Χρησιμοποιώντας τό Σχ.
1-13
περιγράψτε τά γεγονότα (α)
AUB, (b)
Α'πΒ'.
Τά γεγονότα αύτά παριστάνονται στό διάγραμμα τοϋ Venn τοϋ Σχ. 1-14. Ειναι φανερό δτι τό Α' πΒ' είναι τό συμπλήρωμα τοϋ Α υΒ, δπως προβλέπει τό Θεώρ. 1-12α. Μέ δμοιο τρόπο μποροϋν νά παρασταθοϋν τά διάφορα γεγονότα τοϋ Προβλ. Ι.ΙΙ.
.
.~
.,57
Κ Ε Φ.
1
15
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
c
•
•
•
•
•
•
•
D
•
•
•
•
•
•
•
S
•
•
•
•
•
•
•
Η
•
•
•
•
•
•
1
2
3
4
5
6
~,
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
7
8
9
10
11
τό Θεώρ.
1-16.
•
Σχ.
,.
•
12
13
ΑυΒ
1-14
ΜΕΡΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ
1.13.
Δείξτε (α) τό Θεώρ. (α)
Είναι (σελ.
Α2
=
Αι
τό Θεώρ.
1-14, (b)
u(A 2
Αι), σπου Αι καί Α 2 -
-
Άπό τό Άξίωμα
1 εχουμε
Ρ(Α 2 )
=
Ρ(Α 2 -
Α ι)
=
Έπειδή
Α
Ρ(Α) ~ Ο.
Ρ(Α)
(c)
Είναι
= dUΦ
d
καί
= φ.
dne>
Δείξτε (α) τό Θεώρ. (α)
Είναι Α υΑ'
= ef
καί
1-17 καί
Α
nA' = φ.
Α
(1)
u
Β
=
Α
u
[Β
Έπειδή τά σύνολα Α καί Β
του Σχ.
Ρ(Α ι )
C ι:J, άπό τό Θεώρ. 1-14 καί τό Άξίωμα 2 προκύπτει
=
P(e])
1
ή
Ρ(Φ)
=
ο
= P(e))
1-15
ή
=
Ρ(Α)
+ Ρ(Α')
1
1 - Ρ(Α)
εχουμε
- (AnB)]
-
nB) :3 καί
(Α
να, χρησιμοποιώντας τό Άξίωμα
1-14
+ Ρ(Α 2 -Α ι )
Ρ(Α 2 ) -
+ Ρ(Φ)
Ρ(Α')
Venn
3
Άρα
πού γράφεται
Άπό τό διάγραμμα του
;ΞΞ
Άξίωμα
(b) τό Θεώρ. 1-19.
Ρ(Α υΑ')
(b\
Ρ(Α I )
Άπό τό
Χρησιμοποιώντας τό Άξίωμα 3 εχουμε
P(ef) = P(d)
1.14.
Αι είναι άσυμβίβαστα γεγονότα.
εχουμε
6)
καί αρα
(b)
1-15, (c)
ε{ναι ξέ τό Θεώρ.
εχουμε
ΡΙΑ υΒ)
Ρ(Α) -i- Ρ(Β
Ρ(Α) Ή σχέση
Venn, Πρόβί..
(1),
μπορεί
-
+ Ρ(Β)
(Α
-
nB»
Ρ(Α
n Β)
πού πρόκυψε άπό τό διάγραμμα του νά
δειχτεί
καί
αύστηρά
(βλέπε
1.17).
Σχ.
1-15
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
1.15.
Τραβάμε στήν τύχη ενα χαρτί άπό μιά συνηθισμένη τράπουλα τών
52 χαρτιών. Νά βρεθεί (b) βαλές κούπα, (c) τρία σπαθί η εξι καρρό, (d) κούπα, (e) όχι κούπα, (Ι) δέκα η μπαστούνι, (g) ούτε τέσσερα ούτε σπαθί.
ή πιθανότητα νά εΙναι τό χαρτί αύτό (α) {ίσος,
=
-----~
16
~~-
~~~-~-~--~--~~-~
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΕΣ
S, D, C τίς κούπες, τά μπαστούνια, τά καρρά καί τά σπαθιά άντίστοιχ α καί
Έάν συμβολίσουμε μέ Η, μέ
Ι,2,
... , Ι3 τόν άσο, τό δύο, . . . , τό ρήγα, τότε 1'\ κούπα, κτλ. Ό δειγματόχωρος εΙναι αύτός 'Έτσι π.χ. Ρ(6 n C) = Ι/52.
νει τρία σημείο. (α)
Κ Ε Φ. Ι
τό
3nH παριστάνει τό τρία κούπα, τό 3υΗ παριστά 1.lO(b) μέ ίσες πιθανότητες 1/52 γιά κάθε
τού Προβλ.
P(lnH Tj lnS τι lnD τι lnC)
Ρ(Ι)
P(lnH)
1 52
+ P(lnS) + P(lnD) + P(lnC)
1
Ι
1
1 13
+ 52 + 52 + 52 =
Τό ίδιο άποτέλεσμα προκύπτει, άν χρησιμοποιηθεί ό δειγματόχωρος τού Πρόβλ. 1.1Ο(a)
π.χ. ό
άσος,
πάρχουν
r:XEl πιθανότητα 1/13.
13 άριθμοί, άρα ό καθένας r:χει mθανότητα 1/13. 1
(b) P(l1nH)
52
P(3nC Tj 6nD)
(c)
, δπου κάθε σημείο,
Έπίσης μπορεί νά ύπολογιστεί μέ τήν άπλή λογική σκέψη δτι ύ
(d) Ρ(Η) =
1 , 1 52' 52
+ P(6nD)
P(3nC)
1 52
=
P(lnH τι 2nH ή ... 13nH)
1 + 52
1
26 1 + 52
-Ι- ...
13 52
1
4
Μέ άπλή λογική σκέψη θά μπορούσαμε νά πούμε δτι ύπάρχουν τέσσερις lσοπίθανες σειρές καί συνεπώς ή
t.
κάθε μιά εχει πιθανότητα
(e)
Ρ(Η')
(()
Τό
=
1 -
Ρ(Η)
1Ο καί τό 8
=
1-
4" '
δπου χρησιμοποιήσαμε τό (d) καί τό θεώρ.
δέν εΙναι άσυμβίβαστα.
1~(10US)
(g)
3
1:.4
=
Ρ(10)
Άπό τό θεώρ.
+ PIS)
εχουμε
1-19
- P(10n8)
=
ι
.
Ι
4" -
13 +
1 52
4 13
Ή πιθανότητα τού γεγονότος «ούτε τέσσερα ούτε σπαθί» συμβολίζεται μέ Ρ(4' n τό θεώρ.
Ι-12α
εΙναι
4'nC'
== (4UC)'.
=
P(4'nC')
1-17.
C').
Άλλά σύμφωνα μέ
"Αρα
pr(4UC)']
l-P{4UC) 1 -
[Ρ(4)
+ P(C)
- P(4nC)]
2J
1 1 l-[1 3+J-5
=
193
Μπορούμε νά βρούμε τό άποτέλεσμα αύτό καί άπό τό διάγραμμα τού
Venn, πού εΙναι (γιά τό γεγονόςαύτό) 1-16. Έπειδή τό συμπλήρωμα περιέχει 52 - 16 36 μέ 1/52, ή ζητούμενη πιθανότητα εΙναι 36/52 9/13.
τό συμπληρωματικό τού σκιασμένου τμήματος στό Σχ.
=
σημεία (στοιχειώδη γεγονότα) μέ πιθανότητες ίσες
c
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
D
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
s
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Η
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2
3
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4
Σχ.
1.16.
Βγάζουμε στήν τύχη
5
μπλέ σφαίρες.
μπλέ,
(d)
1-16
μιά σφαίρα άπό ενα κουτί πού περιέχει
6
κόκκινες,
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά βγεί σφαίρα (α) κόκκινη,
όχι κόκκινη,
κόκκινη ή άσπρη;
(e)
_
,Ι ""'"
•
_~, ο
• • ;:;
.:
" . ...
~ ι' ••
----
=
4 άσπρες καί (b) λευκή, (c)
---
. ---------------------------~
Κ Ε Φ.Ι
(α)
17
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Πρώτη μέθοδος. Συμβολίζουμε μέ Κ. Λ καί Μ τά γεγονότα νά βγεί κόκκινη, άσπρη, μπλέ σφαίρα άντίστοιχα. πλήθος κόκκινων σφαιρών
=
Ρ(Κ)
6
όλικό πλήθος σφαιρών
6
+
2 5
6
=
4 +.5
Έχουμε
15
Δεύτερη μέθοδος.
P(R):= 6/15
= 2/5,
Ρ(Λ)
(c)
Ρ(Μ)
«(Ι)
Ρ(δχι κόκκινη)
(e)
Πρώτη μέθοδος.
tπειδή
'Εάν τό καθένα έχει πιθανότητα
1/15,
έχου
15
5
5 6+4+5
=
σημεία.
άντιστοιχοϋν σέ κόκκινες σφαίρες.
4
= 6 + 44 +
(b)
= 15
6+ 4+ 5 6 σημεία
Ό δειγματόχωρος περιέχει με
=
1 3
5 15
Ρ(Κ')
=
Ρ(Κ)
1 -
=
l'(κόκκινη ή άσπρη)
= 1 - -52
')
ύ
5 πλήθος κόκκινων καί άσπρων σφαιρών
P(KuA)
όλικό πλήθος σφαιρών
G+ 4 G -+- 4 + 5
10 15
2
Τό Ιδιο άποτέλεσμα μπορεί νά ύπολογιστεί όπως στό (ΟΙ. Δεύτερη μέθοδος. Ρ(Μ)
1 -
Ρ(Μ')
Γ(Κ υΛ)
1 3
1
2 3
=
Τρίτη μέθοδος. 'Επειδή τά γεγονότα Κ καί Α είναι άσυμβίβαστα, επεται άπό τή σχέση
Ρ(Κ
u
Λ)
=
Ρ(Κ)
+
=
Γ(Α)
2 5
τής σελ.
(4)
4
2
15
.)
6
δτι
η
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤ Α ΓΕΓΟΝΟΤ Α
1.17.
'Ένα ζάρι ρίχνεται δυό φορές. καί
1, 2, 3
ή
4
Ζητάμε τήν
4, 5
η
6
στήν πρώτη ρίψη
στή δεύτερη.
~Eστω Α ι τό γεγονός « ψψ>.
Βρείτε τήν πιθανότητα νά ερθει
Γ(Α ι
4, 5
ή
()
στήν πρώτη ρίψψ> καί
Λ~
τό γεγονός «1,
2, ;)
ή
4
στή δεύτερη ρί
n A~).
Πρώτη μέθοδος. Έχουμε
δπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση
]J(A 2 1 Αι)
τής πρώτης καί τής δεύτερης ρίψεως. ίσοπίθανα γεγονότα, καί δτι
Ρ(Α)
=
Γ(.4 2 ), πού προκύπτει άπό τήν άνεξαρτησία τών άποτελεσμάτων
'Επίσης δεχτήκαμε δτι
= 4/6, tπε;ιδή τά
Ρ(Α ι)
1, 2. 3
καί
= 3/() , έπειδή 4
τά
4, 5
ή
6
είναι τρία άπό εξι
είναι τέσσερα άπό εξι ίσοπίθανα γεγονότα.
Δεύτερη μέθοδος.
Κάθε δυνατό dποτέλεσμα τής πρώτης ρίψεως μπορεί νά συνδυαστεί μέ ενα δυνατό dποτέλεσμα τής δεύτερης ρίψεως, άρα έχουμε
6' G
= 36
ίσοπίθανα δυνατά άποτελέσματα.
Κάθε ευνοϊκό άποτέλεσμα τής πρώτης ρίψεως μπορεί νά συνδυαστεί μέ ενα εύνοϊκό άποτέλεσμα τής δεύτερης ρίψεως, άρα έχουμε
3·4
= 12
ίσοπίθανα εύνοϊκά άποτελέσματα.
Συνεπώς
18
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΕΣ
Αύτό έπαληθεύει τήν άνεξαρτησία τών Αι
1.18,
Κ Ε Φ.
Α Ζ , έπειδή
καί
Ρίχνουμε ενα ζευγάρι ζάρια δύο φορές.
Νά
•
6
7
καί
καί στίς δύο ρίψεις.
11
•
(3,6)
βρεθεί ή πιθανότητα νά ερθει άθροισμα διάφορο άπό
1
(4,6)
•
δ
(4,5)
Ό δειγματόχωρος μιας ρίψεως δίνεται στό Σχ.
17, «5
δπου Π.χ. τό σημείο
τό πρώτο ζάρι καί
τό δεύτερο».
2
1/36
τότε τά
8
δίνονται
Ρ(Α)
εΙναι
τό
&.
(ύ-
.~
•
3
~
«άθροισμα
γεγονός
η
7
•
(1, 4)
(5,4)
2
11",
•
0,3)
(2,3)
•
(2,2)
0.2)
•
άπό τό σκιασμένο τμήμα τού Σχ.
= 8/36 = 2/9.
•
καί
1-l7
(1,1)
~Αρα ή πιθανότητα νά μήν Ι:χου-
7
•
(2, 1)
11
ή
2
εΙναι
=
Ρ(Α')
1-
=
Ρ(.4)
Τά άποτελέσματα τής πρώτης πιθανότητα νά μή φέρουμε
•
(3,2)
7
2 7 1-- = 9 9
νατοποθέτηση του πρώτου,
•
(4, 1)
3 Σχ.
ρίψεως (δείκτης
ή
•
(3, 1)
5
4
Πρώτο Ζάρι
1) καί τής δεύτερης (δείκτης
2)
1-17 είναι άνεξάρτητα.
~ Αρα ή
ουτε στήν πρώτη ουτε στή δεύτερη ρίψη είναι
11
Τραβάμε ενα χαρτί άπό μιά τράπουλα δυό
•
(6, 3)
εύνοϊκά άποτελέσματα γιά τό γεγονός αύτό
με (σέ μιά ρίψη τών δύο ζαριών) άθροισμα
1.19.
•
(6, ()
Ν
ποθέτουμε δτι τά ζάρια εΙναι κανονικά).
'Εάν Α
•
4 Q.
.",
Τά σημεία εΙ-
καί στό καθένα δίνουμε πιθανότητα
36
ναι
1-
παριστάνει .ό γεγονός
(5,2)
(b)
52
χαρτιών καί μετά ενα δεύτερο (α) μετά άπό έπα
χωρίς έπανατοποθέτηση.
Ποιά ή πιθανότητα νά τραβήξουμε
άσους;
Πρώτη μέθοδος.
'Έστω
Ζητάμε τήν (α)
τό γεγονός
Ρ(Α ι πΑ 2 )
'Επειδή ύπάρχουν
λι
(b)
Αι
P(Azl Α Ι)
Πάλι Ρ(Α ι)
«άσος
τέσσερις
= 4/52,
= 4/52.
στό πρώτο τράβηγμα» καί
Α:2 τό γεγονός
= Ρ(Αι)Ρ(ΑΖIΑιί. «σοι,
Ι:χουμε
Ρ(Α Ι)
= 4/52.
«άσος
στό δεύτερο τράβηγμα».
'Εάν τό χαρτί ξανατοποθετηθεί, εχουμε πά
έπειδή τό άποτέλεσμα τού πρώτου τραβήγματος δέν έπηρεάζει τό δεύτερο.
'Εάν δμως τό χαρτί δέν ξανατοποθετηθεί, εχουν μείνει τρείς
(ύποθέτουμε δτι εν ας βγήκε στό πρώτο τράβηγμα).
Άρα
Ρ(Α:2; Α Ι)
) .
Ρ(ΑιπΑ Ζ ) = Ι(ΑιIΡ(ΑΖIΑ ι ) =
= 3/51
(4')(3\ 52
51)
άσοι
W
Αρα
στην τράπουλα
καί
1 = 221
Δεύτερη μέθοδος.
(α)
Τό πρώτο τράβηγμα μπορεί νά δώσει εχουμε
(52)(52)
52
διαφορετικά χαρτιά καί τό δεύτερο τό ίδιο.
Άρα μπορούμε νά
διαφορετικά ίσοπίθανα άποτελέσματα.
Σέ κάθε τράβηγμα ύπάρχουν τέσσερις
ασοι,
άρα ύπάρχουν
(4)(4)
εύνοϊκές περιπτώσεις καί ή ζη
του μένη πιθανότητα είναι
(b)
Τό πρώτο τράβηγμα μπορεί νά δώσει εχουμε
(52)(51)
52
(4)(4)
1
(52)( 52)
169
διαφορετικά χαρτιά καί τό δεύτερο
διαφορετικά ίσοπίθανα άποτελέσματα.
51.
-Αρα μπορούμε νά
Κ Ε Φ.1
19
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Στήν περίπτωση αύτή ύπάρχουν τέσσερις
άσοι γιά τό πρώτο τράβηγμα καί τρείς
(ύποθέτουμε δη τραβήξαμε Εναν άσο τήν πρώτη φορά), δηλ.
άσοι γιά τό δεύτερο
(4)(3) εύνοϊκές περιπτώσεις.
-Αρα ή ζητού
μενη, πιθανότητα ε\ναι
(52)(51) 221 (4)(3)
1.20.
Άπό τό κουτί τοϋ Προβλ.
. (b)
τραβάμε διαδοχικά τρείς σφαίρες (α) μέ έπανατοποθέτηση,
1.16
χωρίς έπανατοποθέτηση.
1
Νά βρεθεί ή πιθανότητα νά ε{ναι οί σφαίρες στή σειρά κόκ
κινη, άσπρη καί μπλέ. 'Εάν Κ ι
«κόκκινη στό πρώτο τράβηγμα .. , Λ 2
=
τρίτο τράβηγμα», ζητάμε τήν (α)
Ρ(ΚιΠ Λ
«άσπρη στό δεύτερο τράβηγμα .. καί Μ 3
=
=
«μπλέ στ6
2 ΠΜ3 ).
'Εάν ξαναβάλουμε τίς σφαίρες στό κουτί, τά τρία γεγονότα εΙναι άνεξάρτητα καί εχουμε
Ρ(ΚιΠ Λ
2nM3)
=
Ρ(Κ ι ) Ρ( Λ
21 Κι) Ρ(Μ3 1 Κ ι π
Ρ(Κ ι ) Ρ( Λ
2)
Λ 2)
Ρ(Μ3 )
(6+~+5)(6+1+5)(6+~+5)
8
225
(b) 'Εάν δέν ξαναβάλουμε τίς σφαίρες στό κουτί, τά γεγονότα δέν εΙναι άνεξάρτητα καί εχουμε Ρ(Κ ι ) Ρ(Λ
21
Κ ι )Ρ(Μ3 1 κιπ Λ 2)
(6 +~ +5)(5 + ~ + 5)(5 +~ + 5) 1.21.
Ποιά ε{ναι ή πιθανότητα νά ερθει ενα τουλάχιστον 'Εάν Αι
= «4
στήν πρώτη ρίψη» καί Α 2
«4 = Ζητάμε τήν
Ρ(Α ι
= «4
4
91
σέ δύο ρίψεις ενός ζαριοϋ;
4
στή δεύτερη ρίψη, τότε
ή στήν πρώτη ρίψη ή στή δεύτερη ή καί στίς δύο»
«ενα τουλάχιστον
4
στίς δύο ρίψεις ..
uA 2 ).
Πρώτη μέθοδος. Τά γεγονότα Α ι καί
(21)
Α2
δέν εΙναι άσυμβίβαστα, ε\ναι όμως άνεξάρτητα.
εχουμε
+ Ρ(Α 2 ) Ρ(Α ι ) + Ρ(Α Ζ ) -
Ρ(Α ι )
Ρ(Α
•Αρα
άπό τίς σχέσεις
(10)
καί
ι πΑ 2 )
P(A J )
Ρ(Α 2 )
Δεύτερη μέθοδος.
ρ(ενα τουλάχιστον
Ε\ναι κ:αί άρα
Ρ(ενα τουλάχιστον
4
4
στίς δύο ρίψεις)
στίς δύο ρίψεις)
=
+ Ρ (κανένα
1 -
Ρ(κανένα
1 -
Ρ(όχι
4
4 στίς δύο ρίψεις)
4
=
στίς δύο ρίψεις)
στήν πρώτη ρίψη καί όχι
=
1 - Ρ(ΑΊ πA~)
l-(i)(%)
1 - Ρ(Α'ι) P(A~)
11 36
Τρίτη μέθοδος. Πλήθος περιπτώσεων στίς δύο ρίψεις
ΕΙναι
= 6·6 =36.
Πλήθος περιπτώσεων νά συμβεί τό Α ι καί όχι τό
Α2
5
Πλήθος περιπτώσεων νά συμβεί τό Α 2 καί όχι τό
Αι
5
Πλήθος περιπτώσεων νά συμβεί τ6 Α ι καί τό Α Ζ
7
1
1
4
στή δεύτερη)
20
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
•Αρα συνεπώς
1.22.
+
1
μαϋρες σφαίρες.
Ένα άλλο κουτί περιέχει
3
Τραβαμε μιά σφαίρα άπό κάθε κουτί.
Ποιά είναι ή πιθανότητα
νά
τό πληθος τών περιπτώσεων νά συμβεί ή τ6 Α ι ή τό Α 2 ή καί τά δύο είναι Ρ(Α
ι
= 11/3G.
υΑ 2 )
'Ένα κουτί περιέχει καί
5
μαϋρες.
4
άσπρες καί
(α) καί οί δύο άσπρες, Έάν Α ι
=
2
καί οί δύο μαϋρες,
(b)
«άσπρη άπό τό πρώτο κουτί» καί Λ 2
n
=
((1 )
Ρ( Α!
(b)
, 1 , ( Α 1ι n Λ 2) =
(c)
Α:.»
Ρ(Λ ι )Ρ(Λ
11
καί
άσπρες
είναι
-
άπό τό δεύτερο κουτί», τότε:
2 ! Αι)
Ρ(Α ι )Ρ(Α 2 )
(412)(3:5)
')
Ρ( A~} Ρ( A~)
(4:2)(3~5)
1 4
5 24
=
Ή ζητούμενη πιθανότητα είναι
Δείξτε τό Θεώρ.
1-23
της σελ.
'Όταν συμβεί τό γεγονός
r, Α ι
καί
Α
r, Α 2
Ρ( Α ; n Λ;)
(εύκολα γενικεύεται γιά μεγαλύτερα
11).
Α, τότε συμβαίνει ενα άπό τά δύο άσυμβίβαστα γεγονότα Α
Α
2) -
8.
=2
n
Θά δείξουμε τό θεώρημα γιά
Τά
5 -1- 5
1
(c) ή μιά άσπρη καί ή άλλη μαύρη;
= «άσπρη
Ρ') ( Λ J Ρ ( Α 2, Ι Α 1
1 - Ρ( Λ 1 n Α
1.23.
Κ Ε Φ.
είναι άσυμβίβαστα.
Ρ(Α)
=
=
u
(Α ηΑ ι )
(Α
Άπό τό Άξίωμα
Ρ(Α
+
nA 1)
Ρ(Α
Αι καί
Α 2'
• Αρα
nA z) fχουμε
3
nA z}
Ρ(Α ι ) Ρ(Α Ι Αι) -1- Ρ(Α 2 ) Ρ(Α Ι Α 2 ) όπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση
1.24.
'Ένα κουτί
1
(18)
τής σελ.
περιέχει τρείς κόκκινες καί δύο μπλέ σφαίρες, ένώ ενα άλλο κουτί
δύο κόκκινες καί όκτώ μπλέ σφαίρες. μιά σφαίρα άπό τό κουτί
Il.
1,
II
περιέχει
Piχνουμε ενα νόμισμα καί, άν ερθει κεφάλι, βγάζουμε
ένώ άν ερθει γράμματα, βγάζουμε μιά σφαίρα άπό τό κουτί
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά βγεί κόκκινη σφαίρα; Έστω ότι Ι καί
είναι τά γεγονότα νά βγάλουμε σφαίρα άπό τό κουτί Ικαί
II
II
άντίστοιχα καί Κ τό γεγονός
νά βγεί κόκκινη σφαίρα.
Έπειδή μιά κόκκινη σφαίρα μπορεί νά βγεί άπό τό κουτί Ι η
άπστελέσματα τοϋ Πρόβλ.
1.23
=
ΡΙΚ)
ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ
1.25.
8.
Κ,
Αι
=
Ι,
1'(l)F'(K!])+P(IljP(K!II)
Τά γεγονότα
1-24
(θεώρημα του
Α l' Α 2 , ..• , Α"
πραγματοποιηθεί ένα γεγονός
1-23
.4 =
= 1I.
Α:ι
Jl,
χρησιμοποιούμε τά
Ή ζητούμενη πιθανότητα είναι
_(1.)(_3) + (!.') (_2\ = 2 2
-
2/\2+8}
3+2
5
BAYES
Δείξτε τό Θεώρ.
τό Θεώρ.
μέ
Bayes).
είναι άσυμβίβαστα καί ή
ενωσή τους εΙναι ό δεΙΥματόχωρος.
Α, όπωσδήποτε θά συμβεί ένα καί μόνον άπό τά
Αι, Α 2 , . . . ,
A u.
• Αρα
αν
Συνεπώς dπό
εχσυμε
u
ΓιΑ)
άπ' όπου
=
Ρ(Α!) 1'(Α
! Αι) + ... + P(A n ) Ρ(Α
\An} =
:Σ P(A k ) Ρ(Α Ι Αι) k=l
11
:Σ P(A k ) Ρ(Α Ι Αι,)
k=l
1.26.
~Ας ύποθέσουμε δτι αυτος πού ρίχνει τό νόμισμα στό Πρόβλ.
1.24
δέ μας λέει άν ήρθε
κεφάλι ή γράμματα καί συνεπώς δέν ξέρουμε άπό ποιό κουτί βγήκε ή σφαίρα.
Ξέρουμε
Κ Ε Φ.
21
ΣΎΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΕΣ
1
όμως ότι βγήκε κόκκινη σφαίρα. κουτί
/,
Ποιά είναι ή πιθανότητα νά πήραμε τή σφαίρα άπό τό
δηλ. νά ήρθε κεφάλι;
ΗΟ πως στό Πρόβλ.
1.24
άπό τό κουτί Ι δεδομένου
θέτουμε Α
= Κ,
Αι
= 1,
A;J
στι βγήκε κόκκινη σφαίρα.
= 1I.
Ζηταμε τήν πιθανότητα νά πήραμε τή σφαίρα
'Από τόν τύπο του του
Bayes
γιά
n
=2
ή πιθανότητα
αύτή είναι
Ρ(Ι) Ρ(Κ
P(lIK)
•Αρα
P(l)
Ρ(Κ
! Ι) +-
i 1)
P(lI)
μπορούμε νά στοιχηματίσουμε μέχρι
3
Ρ(Κ
πρός
= 43
! ΙΙ) 1
στι ή κόκκινη σφαίρα είναι άπό τό κουτί Ι.
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΠΑΡΙθΜΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΔΕΝΤΡΩΝ
1.27.
Μιά τριμελής έπιτροπή άποτελείται άπό εναν έκπρόσωπο των έργατων, εναν των βιομηχάνων καί εναν των καταναλωτων. τρείς,
του
τέσσερις.
έκπρόσωπου Πόσες
Οί ύποψήφιοι γιά τή θέση του έκπρόσωπου των έργατων είναι
των
βιομηχάνων
διαφορετικές
(α) τή θεμελιώδη άρχή τής άπαριθμήσεως, (α)
δύο καί
έπιτροπές
του έκπρόσωπουτων
μπορουν νά
(b)
ενα διάγραμμα δέντρου.
Μέ κάθε εναν άπό τούς τρείς ύποψήφιους γιά τή θέση τοϋ έκπρόσωπου των έργατων μπορεί νά συνδυαστεί ενας άπό τούς δύο ύποψήφιους γιά τη θέση τοϋ έκπρόσωπου τών βιομηχάνων. τικούς συνδυασμούς καί καθένας μπορεί νά συνδυαστεί μέ τούς έκπρόσωπου τών καταναλωτών.
(b)
καταναλωτων
σχηματιστουν; Χρησιμοποιήστε
Έτσι ~χoυμε
3' 2·4
= 24
Έτσι εχουμε
τέσσερις
3' 2 = 6
διαφορε
ύποψήφιους γιά τη θέση του
δυνατές συνθέσεις τής έπιτροπής.
L I , L z, L 3 , των βιομηχάνων Τό διάγραμμα δέντρου δίνεται στό Σχ. 1-18 καί
νΑς συμβολίσουμε τούς ύποψήφιους γιά τή θέση τοϋ έκπρόσωπου τών έργατών μέ
μέ
Μι, 1"'12' καί τών καταναλωτών μέ
δείχνει στι ύπάρχουν
αύτές είναι
L 1,'I-1 j P
j ,
Ρ ι , Ρ2 , Ρ3 , Ρ4 •
24 δυνατές συνθέσεις L j M j P 2 • κτλ.
τής έπιtρoπής.
ΗΟπως φαίνεται άπό τό διάγραμμα οί συνθέσεις
1
2 3 4
5 6 7
8 fJ
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
20
21 22 23 24 Σι.
ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ
1.28.
1-18
Μέ πόσους τρόπους μπορουν νά διαταχτουν στή σειρά πέντε μάρμαρα διαφορετικων χρω μάτων; Τά πέντε μάρμαρα μπορουν νά τοποθετηθοϋν σέ πέντε θέσεις: πληρωθεί μέ πέντε διαφορετικούς τρόπους.
-
-
-
-
-.
Ή πρώτη θέση μπορεί νά
'Όταν αύτό γίνει, ή δεύτερη θέση μπορεί νά πληρωθεί μέ
τέσσερις
3
n
-
;
ΞΕ
22
ΣγΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
διαφορετικούς τρόπους (εμειναν τέσσερα μάρμαρα). δύο καί Τι
πέμπτη μέ εναν τρόπο.
Κ Ε Φ.Ι
Μετά Τι τρίτη μέ τρείς διαφορετικούς τρόπους, Τι τέταρτη μέ
~ Αρα:
Πλήθος διατάξεων τών
5
μαρμάρων στή σειρά
5!
120
Γενικά
=
Πλήθος διατάξεων ΊΙ άντικειμένων σέ σειρά Αύτό είναι τό πλήθος τών διατάςεων 71 άντικειμένων άνά
1.29.
Ή(Ί! -
=
l)(n - 2)· ··1
11!
καί συμβολίζεται μέ nP n'
n
Μέ πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν νά καθ ί σουν στή σειρά
άνθρωποι σέ
10
καρέ
4
κλες; Στήν πρώτη καρέκλα μπορεί νά καΙΗ σει όποιοσδήποτε άπό τούς δέκα, στή δεύτερη όποιοσδήποτε άπό τούς ύπόλοιπους εννέα, στήν τρίτη άπό τούς όκτώ καί στήν τέταρτη άπό τούς επτά.
Πλήθος διατάξεων
10
άνθρώπων σε
4
καρέκλες
~ Αρα:
= 10·9·8·7 = 5040
Γενικά Πλήθος διατάξεων 11 διαφορετικών άντικειμένων άνά
Τό
1.31.
πλήθος τών διατάζεων 11 (διαφορετικών)
1.28)
(α)
= 8·7·6 = 336
sP3
n Ρ τι
=
(Πρόβλ.
άντικειμένων άνά
r
,.
=
,ψι
1) ... (71
συμβολίζεται με
n Ρ τ'
Γιά
r =
π,
εχουμε
(c)
15 Ρ Ι
15
6
Οί γυναίκες κάθονται στίς ζυγές
Πόσες διατάξεις εΙναι δυνατές;
Οί ανδρες μπορούν νά καθίσουν κατά τρόπους.
Κάθε μιά
διάταξη
τών
διαφορετικούς τρόπους καί ο! γυναίκες κατά
sP:;
άνδρών μπορεί νά
συνδυαστεί μέ
μιά
διάταξη
(120)(24)
1.32.
r + 1)
-
11! •.
Πέντε άνδρες καί τέσσερις γυναίκες κάθονται στή σειρά. θέσεις.
-
Πόσοι τετραψήφιοι άριθμοί μπορούν νά σχηματιστούν άπό τά
έάν (α) έπιτρέπονται έπαναλήψεις,
δέν
(b)
έπιτρέπονται
1Ο
4Ρ.Ι
διαφορετικούς
τών γυναικών.
=
Συνεπώς:
2880
ψηφία Ο,
έπαναλήψεις,
(c)
1,2,3, ... , 9, τό
τελευταίο
ψηφίο είναι μηδέν καί δέν έπιτρέπονται έπαναλήψεις; (α)
Τό πρώτο ψηφίο δέν μπορεί νά είναι μηδέν (γιά νά είναι ό άριθμός τετραψήφιος). μπορούν νά εΙναι όποιαδήποτε.
(b)
~Aρα μπορούν νά σχηματιστούν
Τό πρώτο ψηφίο μπορεί νά είναι όποιοδήποτε άπό τά
9·10·10·10
Τό δεύτερο ψηφίο μπορεί νά είναι όποιοδήποτε άπό τά
9
Τό τρίτο ψηφίο μπορεί νά είναι όποιοδήποτε άπό τά
ύπόλοιπα ψηφία.
Τό τέταρτο ψηφίο μπορεί νά είναι όποιοδήποτε ι1πό τά
-Αρα
μπορούν νά σχηματιστοϋν
9· 9 • 8 • 7 = 4536
άριθμοί.
μή μηδενικά ψηφία.
9
8
Τά ύπόλοιπα ψηφία
9000
7
ύπόλοιπα ψηφία.
ύπόλοιπα ψηφία.
άριθμοί.
-Αλλη μέθοδος.
Τό πρώτο ψηφίο μπορεί νά είναι όποιοδήποτε άπό τά
κατά
(c)
gl':J τρόπους.
Άρα μπορούν νά σχηματιστοϋν
Τό πρώτο ψηφίο μπορεί νά εκλεγεί κατά Icατά
7.
W
!J μή μηδενικά, τά ύπόλοιπα μπορούν νά έκλεγοϋν
9· gP;j = 9·9·8·7
= 4536
όριθμοί.
διαφορετικούς τρόπους, ενώ τό δεύτερο κατά
9
9· 8 • 7 = 504
Αρα μπορούν νά σχηματιστοϋν
8
ιcαί τό τρίτο
άριθμοΙ
~Aλλη μέθοδος.
Τό πρώτο ψηφίο μπορεί νά εκλεγεί Icατά πους.
wApa
μποροϋν νά σχηματιστούν
9·
9
8 Ρ'}.
διαφορετιιcούς τρόπους ιcαί τά δύο έπόμενα Icατά
= 9' 8 • 7 = 504
~P:!.
τρό
άριθμοΙ
/
μa
Κ Ε Φ.
/
1
ΣγΝΟΛΑ ΚΑΙ
23
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
,....l.33. Τέσσερα διαφορετικά βιβλία μαθηματικών, εξι διαφορετικά βιβλία φυσικής καί δύο δια --. φορετικά βιβλία χημείας τοποθετοϋνται σ' ενα ράφι. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι τοποθετή σεως ύπάρχουν, έάν (α) τά βιβλία κάθε τομέως πρέπει νά μποϋν μαζί, (b) μόνον τά βιβλία τών μαθηματικών πρέπει νά μποϋν μαζί; (α)
Τά βιβλία τών μαθηματικών μπορούν νά διαταχτούν κατά 4 Ρ .. κατά
(;Ρ ι ;
== 6!
= 2!
τρόπους καί τής χημείας κατά 2Ρ2
διαταχτούν κατά
3Ρ3
= 3!
τρόπους.
= 4!
διαφορετικούς τρόπους, τής φυσικής
τρόπους.
Σάν όμάδες τά βιβλία μπορούν νά
"Αρα:
=
Σύνολο δυνατών διατάξεων
..Ι!
6! 2! 3!
=
207,360
Θεωρούμε τά βιβλία τών μαθηματικών σάν ενα μεγάλο βιβλίο, όπότε εχουμε
(b)
διαταχτούν κατά κατά
HP!j
.. Ρ4 = 4!
= 9!
τρόπους.
τρόπους.
9
βιβλία πού μπορούν νά
Τά βιβλία τών μαθηματικών μπορούν νά διαταχτούν μεταξύ τους
"Αρα: Σύνολο δυνατών διατάξεων
9!4!
8,709,120
Πέντε κόκκινα μάρμαρα, δύο ασπρα καί τρία μπλέ τοποθετοϋνται σέ μιά εύθεία.
1.34.
'Εάν τά
μάρμαρα του ίδιου χρώματος ε{ναι τελείως δμοια μεταξύ τους, πόσες διαφορετικές διατάξεις εχουμε; Έστω ότι εχουμε Ν διαφορετικές διατάξεις.
'Εάν πολλαπλασιάσουμε τό Ν έπί τό πλήθος τών διατάξεων
τών πέντε κόκκινων μαρμάρων μεταξύ τους καί έπί τό πλήθος τών διατάξεων τών δύο ασπρων μαρμάρων μεταξύ τους καί έπί τό πλήθος τών διατάξεων τών τριών μπλέ μαρμάρων μεταξύ τους, θά πρέπει νά βρούμε τό πλήθος τών διατάξεων δέκα διαφορετικών μαρμάρων.
15! 2!
3!)Ν
"Αρα
= 10!
καί συνεπώς
Ν
= 10!/(5! 2! 3!)
Γενικά, τό πλήθος τών διαφορετικών διατάξεων 1/ άντικειμένων, άπό τά όποία n ι μοια,
1.35.
/
-;;Ί
... ,
111. είναι όμοια, είναι
11!
,
·n,! 1Ι 2 !"
όπου 1/, -
1/2
+ .,. + 11,.
'l1k!
είναι όμοια, 172 είναι ό-
= 11.
"Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορουν επτά ανθρωποι νά καθίσουν σ' ενα στρογγυλό τραπέζι (α) χωρίς περιορισμούς, (α)
ετσι ωστε δύο όρισμένοι νά μήν ε{ναι δίπλα-δίπλα;
(b)
Έστω ότι ενας κάθεται σέ μιά όποιαδήποτε θέση.
Οί ύπόλοιποι εξι μπορούν νά καθίσουν κατά
6!
= 720
διαφορετικούς τρόπους, πού είναι τό ζητούμενο.
(b)
Θεωρούμε τούς δύο όρισμένους άνθρώπους σάν εναν ανθρωπο.
νά καθίσουν κατά τά
2!
5!
διαφορετικούς τρόπους.
διαφορετικούς τρόπους.
καθίσουν κατά
5! 2!
= 240
Έχουμε ετσι εξι άνθρώπους πού μπορούν
Οί δύο ανθρωποι μπορούν νά καθίσουν δίπλα-δίπλα κα
"Αρα οί επτά ανθρωποι μέ τούς δύο όρισμένους δίπλα-δίπλα μπορούν νά διαφορετικούς τρόπους.
Χρησιμοποιώντας τό άποτέλεσμα τού
(ο)
συμπεραίνουμε ότι επτά ανθρωποι μπορούν νά καθίσουν σ' ενα
στρογγυλό τραπέζι μέ δύο όρισμένους οχι δίπλα-δίπλα κατά
720 - 240
= 480
διαφορετικούς τρόπους.
ΣΥΝΔγΑΣΜΟΙ
1.36.
Κατά πόσους τρόπους μπορουν
10 άντικείμενα νά χωριστουν σέ δύο όμάδες μέ 4 καί 6 άν
τικείμενα άντίστοιχα; Τό πλήθος αύτό είναι ούσιαστικά τό πλήθος τών διατάξεων
μεταξύ τους καί 6 πάλι όμοια μεταξύ τους, δηλ. ~ 4! 6!
=
10
άντικειμένων άπό τά όποία
10·9·8·7 ..Ι!
=
Τό πρόβλημα είναι ίσοδύναμο μέ τό νά βρούμε τό πλήθος τών διαφορετικών όμάδων
όμάδα 11
10
άντικειμένων (ή σειρά έκλογής δέ
άντικειμένων άνά
r,
συμβολίζεται μέ
"C T
λαμβάνεται ύπόψη).
4
είναι όμοια
210. 4
άντικειμένων άπό μιά
Αύτό είναι γενικά τό πλήθος τών συνδυασμών
ή (~) καί είναι η(7ι-1)···(π--τ+1)
τ!
2
.&2'
24
1.37.
Ύπολογίστε τά (α)
7C 4
(b)
6C 5
(c)
4C4
(α)
7! 4' 3! 6! 5' 1!
7·6'5'4 7'6'5 4! 3'2'1 6'5'4·3'2 6, 5!
=
= 1. Τυπικά
4
35. ή
6C5
=
6C!
άντικειμένων άνά
4.
έάν όρίσουμε ο!
= 1.
= 4!4!ο! = 1,
4 C4
1
7C 4 , (b) 6C 5 , (c) 4C4.
είναι οί συνδυασμοί τών
4C4
1.38.
Κ Ε Φ.
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
= 6.
. Αλλά
μόνον ενας τέτοιος συνδυασμός ύπάρχει, δηλ.
Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί νά σχηματιστεί μιά πενταμελής έπιτροπή άπό έννέα ύποψήφιους;
126
1.39.
Μιά έπιτροπή περιλαμβάνει θηματικούς
καί
7
μαθηματικούς καί
2
φυσικούς.
Πόσες
φυσικούς, πού διαλέγονται άπό
3
διαφορετικές
έπιτροπές
μπορουν νά σχηματιστουν,
έάν (α) ό κάθε μαθηματικός καί κάθε φυσικός μπορεί νά ε{ναι στήν έπιτροπή,
συγκεκριμένος φυσικός πρέπει νά συμμετέχει,
μα
5
(b)
ενας
δύο όρισμένοι μαθηματικοί δέν μπορουν
(c)
νά συμμετέχουν; (α)
Δύο μαθηματικοί άπό πέντε μποροϋν νά διαλεχτοϋν κατά 5C2 διαφορετικούς τρόπους. Τρείς φυσικοί άπό έπτά μποροϋν νά διαλεχτοϋν κατά
Πλήθος δυνατών έπιτροπών
(b)
=
sC 2
Πλήθος δυνατών έπιτροπών
= sC 2
Πλήθος δυνατών έπιτροπών
=
=
=
10' 35
350
διαφορετικούς τρόπους.
διαφορετικούς τρόπους. ' 6C2
Δύο μαθηματικοί άπό τρείς μποροϋν νά .διαλεχτοϋν κατά 3C2 Τρείς φυσικοί άπό έπτά μποροϋν νά διαλεχτοϋν κατά
1.40.
' 7C3
Δύο μαθηματικοί άπό πέντε μποροϋν νά διαλεχτοϋν κατά 5C2 Δύο φυσικοί άπό εξι μποροϋν νά διαλεχτοϋν κατά 6C2
(c)
διαφορετικούς τρόπους.
7C 3
,C3
=
10' 15 = 150
διαφορετικούς τρόπους.
διαφορετικούς τρόπους.
3C2' 7C3
=
3·35
=
105
Πόσες διαφορετικές σαλάτες μπορουν νά γίνουν άπό μαρούλι, άντίδια, βλήτα, κάρδαμο καί ραδίκια; Κάθε ενα άπό τά παραπάνω λαχανικά μπορεί νά χρησιμοποιηθεί ή νά μή χρησιμοποιηθεί γιά νά γίνει μιά
σαλάτα, δηλ. γιά τό καθένα εχουμε δύο έκλΟΥές. έκλΟΥή όπου
δέ
Συνεπώς συνολικά
25 έκλογές.
Πρέπετ δμως νά άφαιρεθεί τΊ
χρησιμοποιοϋμε λαχανικό, άρα: Πλ ήθος σαλατών
25 -
31
1
WΑλλη μέθοδος.
Μποροϋμε νά φτιάξουμε μιά σαλάτα μέ ενα λαχανικό άπό τά πέντε, μέ δύο άπό τά πέντε, . . . , μέ πέντε Δπό τά πέντε.
Τό πλήθος τών σαλατών είναι 5C!
+ 10 + 10 + 5 + 1 = nCI + "C Z + "C 3 + ... + nC" = 2" - 1 .
+ 5C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5
Γενικά γιά κάθε άκέραιο
tl
εχουμε
=
5
31
. _ '~.•41.)· Πόσες λέξεις (χωρίς εννοια ίσως) μέ 4 διαφορετικά σύμφωνα καί 3 διαφορετικά φωνήεντα
/'(I,~
μπορουμε νά σχηματίσουμε άπό 7 διαφορετικά σύμφωνα καί 5 διαφορετικά φφνήεντα;
/
Τά
4
διαφορετικά σύμφωνα μποροϋν νά διαλεχτοϋν κατά 7C4
διαφορετικούς τρόπους.
φωνήεντα μποροϋν νά διαλεχτοϋν κατά 5C3 διαφορετικούς τρόπους. φωνήεντα) μποροϋν νά διαταχτοϋν κατά
Πλήθος λέξεων
7 Ρ7
=
= 7!
7C4' 5C3'
Τά
7
διαφορετικούς τρόπους.
7!
=
35 '10' 5040
αύτά γράμματα
Τά
(4
3
διαφορετικά
σύμφωνα καί
3
• Αρα:
=
1,764,000
i1I'" . . . . .,• •: _
1:1
-Κ Ε Φ.
1
ΣγΝΟΛΑ ΚΑΙ
25
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΙΩΝΥΜΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ
1.42.
Δείξτε
δτι
Είναι 11
!
π(π -1)! r! (n-r)!
r!(n-r)!
ιπ
- ;'-;-
+
(11.-1)!
+
(11 -
\ γιά 11
= 0,1,2, . , .• παίρνουμε τούς
1) /
τ(π-ι)!
1'! (11 -1')!
γ-Ι)!
r
Τό άποτέλεσμα αύτό εχει μιά ένδιαφέρουσα έφαρμσγή.
+ lI)n
-1)!
ί')!
(n-r)(n-1)! r! (π - τ)! τ! (tt -
τού (Χ
τ)(rι
τ! (11 -
(π-Ι)! (τ-Ι)! (rι -1")!
+ (n - ι) \1' - Ι
Έάν γράψουμε τούς συντελεστές τού άναπτύγματος
παρακάτω άριθμούς πού σχηματίζουν τό λεγόμενο τρίγωνο τού
Pascal: n=Ο
1/=1 11
1
1
= 2
2
11=3
3
=4 1Ι = 5 n. = 6
.ι
11
1
5 6
1
6
4
1
10
10
15
1
3
20
5 15
1 6
1
κτλ.
Καθένας άπό τούς άριθμούς αυτούς προκύπτει άπό πρόσθεση τών δύο άριθμών της προηγούμενης σειράς πού βρίσκονται ό ενας λίγο άριστερά καί ό άλλος λίγο δεξιά.
1.43.
Έτσι Π.χ.
Ύ πολΟΥίστε τό σταθερό δρο στό άνάπτυΥμα του
10
., + -1) χ-
= 4 + 6,
12
15
= 10..;.. 5,
κτλ.
.
χ
Σύμφωνα μέ τό θεώρημα τού διώνυμου
Ό σταθερός δρος εχει
3k - 12 =
Ο,
/,' = 4,
δηλ.
(12) \ 4
καί συνεπώς είναι
= 12' 11 • 10 • 9 = 495
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
1.44.
'Ένα κουτί περιέχει
8 κόκκινες, 3 ασπρες καί 9 μπλέ σφαίρες.
' Εάν βγάλουμε 3 σφαίρες
στήν τύχη χωρίς επανατοποθέτηση, ποιά είναι ή πιθανότητα (α) νά είναι καί οί τρείς κόκ κινες,
(e)
3
(b)
καί οί τρείς άσπρες,
(c)
δύο κόκκινες καί μία μπλέ,
(d)
τουλάχιστο μία άσπρη,
μία άπό κάθε χρώμα, (ι) νά βγοϋν στή σειρά κόκκινη, ασπρη, μπλέ;
26
Κ Ε Φ.
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
(α)
1
Πρώτη μέθοδος.
Συμβολίζουμε μέ
Κ ι' Κ 2' Κ 3 τά γεγονότα «κόκκινη σφαίρα στό πρώτο τράβηγμα .. , «κόκκινη σφαίρα
στό δεύτερο τράβηγμα» καί «κόκκινη σφαίρα στό τρίτο τράβηγμα». σφαίρες» είναι
KlnK2nK~
Τό γεγονός «βγήκαν τρείς κόκκινες
καί ή πιθανότητά του
14 285 Δεύτερη μέθοδος. Ζητούμενη
(b)
=
πιθανότητα
Μέ τή δεύτερη μέθοδο τού
πλήθος έκλογών πλήθος έκλογών
3 3
σφαιρών άπό σφαιρών άπό
κόκκινες
8 20
συνολικά
(α\ εχουμε
Ρ(καί οί τρείς ασπρες)
3C3 = -C-
20
1
1140
3
Μπορεί νά χρησιμοποιηθεί καί ή πρώτη μέθοδος τού (α). Ρ(
(c)
κόκκινες καί
2
1
άσπρη)
(πλήθος έκλογών
άπό
2
8
κόκκινες)(πλήθος έκλογών
(πλήθος έκλογών
(d)
(8 C 2)(3C ι)
7
20 C3
95
17 C 3
Ρ(καμιά άσπρη)
34 57
20 C 3
3
άπό
1
άπό
3
άσπρες)
20 )
καί άρα
Ρ(τουλάχιστο μιά άσπρη)
(~Cl)(3Cl)(9Cl)
18
20 C 3
95
(ε)
Ρ(μιά άπό κάθε χρώμα)
(f)
Ρ(κόκκινη, άσπρη, μπλέ στή σειρά)
1 _ 34
23
57
57
;! Ρ(μιά άπό κάθε χρώμα)
=
= ~(~:) =
935'
-Αλλη μέθοδος.
8)/3)(9) 3 ( 20 \19 18 = 95
1.45.
Στό παιχνίδι του πόκερ τραβάμε πέντε χαρτιά άπό μιά τράπουλα
52 χαρτιών. 'Υπολο (b) 4 ασοι καί 1 ρήγας, 2 βαλέδες, (d) έννέα, δέκα, βαλές, ντάμα, ρήγας, (e) 3 άπό μιά σειρά σειρά (οί σειρές είναι: κοϋπες, μπαστούνια, καρρά, σπαθιά), . (/) τουλά
γίστε τήν πιθανότητα νά βγουν στήν πεντάδα
δεκάρια καί
καί
(c) 3 2
άπό μιά αλλη
χιστο
1
ασος.
(α)
Ρ(
4
ασοι)
(b)
Ρ(
4
(c)
Ρ(
3 δεκάρια καί 2 βαλέδες)
ασοι
ΙΙ C 4 )( 4R C j
)
~c;καί
1
ρήγας)
(α)
4
ασοι,
1 54,145 (4 C 4)(4 C j
)
52 C 5
(4 C:j)(I C2) S2 C 5
1 649,740 1 108,290
64 162,435
u
Ζ
Ρ(
(e)
(ι)
1.46.
27
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠlθΑΝΟΤΗΤΕΣ
Κ Ε Φ.Ι
6.πό μιά σειρά καί
3
6.πό μιά άλλη)
2
έπειδή ϋπάρχουν
τέσσερις
Ρ(κανένας ασος)
4S C 5 52 C S
=
(4 '13C3)(3 • 13CZ) C 52
429 4165
:;
δυνατές έκλογδς γιά τήν πρώτη σειρά καί τρείς γιά τη δεύτερη.
=
Ρ(τουλάχιστον fνας άσος) = 1 _ 35,673
.d και ρα
35,673 54,145
54,145
Ύ πολογίστε τήν πιθανότητα νά έμφανιστοϋν τρία
6
σέ πέντε ρίψεις ~νός ζαριοϋ.
'Έστω δτι τά άποτελέσματα τών ρίψεων γράφονται σέ πέντε θέσεις
fva 6, tάν ήρθε fξι, ή fva 6' 6 61 1'\ 66' 6 61 6, κτλ. Ή πιθανότητα νά Ι:ρθουν Ρ(6
6 6' 6 6')
(δχι
έάν δέν ήρθε fξι.
6),
-
-
-
-
-.
Σέ κάθε θέση γράφεται
Π.χ., αν ήρθαν συνολικά τρία
6,
θά fχουμε
666'
στή σειρά αύτή είναι
666' 6 61
==
18,472 54,145 .
.
Ρ(6) Ρ(6) Ρ(6') Ρ(6) P(tϊ')
Τήν ίδια πιθανότητα Ι:χει κάθε άλλο άποτέλεσμα μέ τρία
1 1 5 1 5 == _. - • - • - .-
6
666
6
'Επειδή ύπάρχουν
6.
sC 3 = 10
τέτοιοι (μεταξύ τους
άσυμβίβαστοι) συνδυασμοί, ή ζητούμενη πιθανότητα είναι
Ρ(666'66' ην' 66'66'61'\ ... ) Γενικά, έάν Ρ
==
Ρ(Α)
καί
q
==
Ρ
1-
==
(1)3(5)2 5! (1)3(5)2 125 == 5C 3'6 '6 == 3!2! '6 '6 == 3888 Ρ(Α '),
μπορούμε νά δείξουμε μέ τήν προηγούμενη μέθοδο δτι ή
πιθανότητα νά πάρουμε χ φορές τό Α σέ 1t άνεξάρτητες προσπάθειες είναι
1.47.
Τοποθετοϋμε σ
ενα ράφι εξι βιβλία μαθηματικών καί τέσσερα φυσικής.
Νά βρεθεί ή πι
θανότητα νά εΙναι τρία όρισμένα βιβλία μαθηματικών μαζΙ ~Oλα τά βιβλία μπορούν νά διαταχτούν κατά ιοΡιο τρία δρισμένα μαθηματικά τά
8 Ρ8
κατά
= 8!
3 Ρ3
βιβλία σάν
διαφορετικούς τρόπους.
== 3!
Ι:να,
1.48.
Ύ πολογίστε τό
'Εάν θεωρήσουμε τά
βιβλία, πού μπορούν νά διαταχτούν κα
Αρα ή ζητούμενη πιθανότητα είναι
W
8! 3! 10!
STIRLING
διαφορετικούς τρόπους.
Άλλά τά τρία δρ ισμένα βιβλία μαθηματικών μπορούν νά διαταχτούν
διαφορετικούς τρόπους.
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ
== 10!,
Ι:χουμε όκτώ συνολικά
ΓΙΑ ΤΟ
1
15
n!
50!.
Γιά μεγάλο n Ι:χουμε
n! - V2",n
nn e- n .
•Αρα
Χρησιμοποιώντας δεκαδικούς λογάριθμους βρίσκουμε
log (V100", 50 50 e- 50 )
logN
'21 log 100 + '21 log '" +
=
1
210g 100
+
1
"21og 3.142
'21 (2) + '21 (0.4972) + άπ' δπου
Ν
== 3.04
χ
1064
περίπου.
50 log 50 -
+
50 log e
50 log 50 -
50(1.6990) -
50 log 2.718
50(0.4343)
== 64.4836
28
Κ Ε Φ.
ΣΎΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
1
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1.49.
Δύο παίκτες, ό Α καί ό Β, παίζουν σκάκι κες τού Β, καί
2
ίσοπαλίες.
κερδίσει ό Α καί τά τρία, χνίδια εναλλακτικά,
(d)
φορές πού τελειώνουν μέ
12
6
νίκες τού Α,
4
νί
Έάν παίξουν τρία παιχνίδια, ποιά ε{ναι ή πιθανότητα (α) νά νά ε{ναι ίσοπαλίες δύο παιχνίδια, (c) νά κερδίσουν τά παι
(b)
νά κερδίσει ό Β τουλάχιστο ενα παιχνίδι;
Συμβολίζουμε μέ Αι, Αι, Α 3 τά γεγονότα νά κερδίσει ό Α τό πρώτο, τό δεύτερο, τό τρίτο παιχνίδι ά\'τίστοιχα καί μέ Ει, Β 2 , Ε 3
νά κερδίσει δ
Β τό πρώτο, τό δεύτερο, τό τρίτο παιχνίδι άντίστοιχα.
Σύμφωνα μέ τά προηγούμενα άποτελέσματα δεχόμαστε δη (έμπειρική πιθανότητα)
Ρ(ό Α κερδίζει ενα δρισμένο παιχνίδι)
(α) Ρ(δ Α κερδίζει τρία παιχνίδια)
=
=
1 = '2'
ι;
12
P(Aι(',A~πA3)
Ρ(δ Β κερδίζει ενα δρισμένο παιχνίδι)
Ρ(Α ι )Ρ(Α 2 }Ρ(Α;ι)
=
(~)(~)(~)
=:
1
.ι
== 12 =
3
i
δπου δεχτήκαμε δη τό άποτέλεσμα ένός παιχνιδιού είναι άνεξάρτητο τών προηγούμενων άποτελεσμάτων. (Αύτό δέν είναι σωστό, αν Π.χ. οί παίκτες έπηρεάζονται ψυχολογικά άπό τίς προηγούμενες ήττες ή νίκες τους.)
=k 1 if
Σέ κάθε παιχνίδι ή πιθανότητα μή ίσοπαλίας είναι q + = καί αρα ή πιθανότητα ίσοπαλίας είναι Ρ = 1 - q Ή πιθανότητα δύο ίσοπαλιών σέ τρία παιχνίδια είναι (Πρόβλ. 1.46)
(b)
={
'i
(3 2 3') ,ρ q \ -j Ρ(ό Α καί ό
(c)
Β κερδίζουν έναλλακηκά)
=
2
=
3
(L γ (~)
=~
(') ι \j 6 ,70)
Ρ(κερδίζουν στή σειρά δ Α ή κερδίζουν στή σειρά ό
[>IΑ
ι
πΕ 2 πΑ;)
+
Ρ(Α ι )Ρ(Ε 2 )Ρ(Α 3 )
,
μετά δ
Β καί μετά δ
Β, μετά ό Α καί μετά ό
Ρ(ό Β
κερδίζει τουλάχιστον ενα παιχνίδι)
Ρ (ό Β
Β)
1'(B ι Γ,A 2 ΓiB: 1 )
+
P(lJj)P(A 2 )l'(B:,)
= (d)
Α)
5 3(;
δέν κερδίζει κανένα παιχνίδι)
P(B;πB~ΓIB;\)
1
Ρ(Β;) P(B~) P(l(,)
= 1.50.
Ό Α καί ό Β παίζουν
ενα παιχνίδι ρίχνοντας εναλλακτικά δύο ζάρια.
πρώτος αθροισμα χνίδι (α)
(α) αύτός
7 κερδίζει τό παιχνίδι. πού θά ρίξει πρώτος, (b)
καί τό Σχ.
1-17.
'Εάν ό
'Όποιος φέρει
Νά βρεθεί ή πιθανότητα νά κερδίσει τό παι αύτός πού θά ρίξει δεύτερος.
Ή πιθανότητα νά ερθει αθροισμα 7 στήν πρώτη ρίψη τών ζαριών είναι
1.18
1Η
27
t., δπως
προκύπτει άπό τό Πρόβλ.
Α ρίξει πρώτος, τότε δ Α μπορεί νά κερδίσει, αν συμβεί ένα άπό τά έξής
άσυμβίβαστα γεγονότα:
Ό Α κερδίζει στήν πρώτη ρίψη.
Πιθανότητα
= t.
(1) (2)
'Ο Α χάνει στήν πρώτη ρίψη, δ Β χάνει στή δεύτερη, ό Α κερδίζει στήν τρίτη.
(3)
Ό
Πιθανότητα
= (~)Γ.~ 1(1;).
Α χάνει, δ Β
Πιθανότητα
χάνει, δ Α χάνει, ό Β χάνει, ό Α
κερδίζει στήν πέμπτη ρίψη.
= (% )(~ )(~)( ~)( t) .
........................................ ....................................... . Συνεπώς ή πιθανότητα νά κερδίσει δ Α είναι
α)+(~)α)(~) +(~)α)(%)(~)(t)
1[
='61-1-
+ ...
(_)2 % + (5)-1 '6..'-'" ]
1/6 1 -
Ι5/6μ
r. 11
δπου χρησιμοποιήσαμε τή σειρά 6 της σελ. 341 [γεωμετρική πρόοδος μέ απειρους δρους καί λόγο ".
= (5/6)η.
... (b)
29
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Κ Ε Φ.1
Μέ όμοιο τρόπο βρίσκουμε δτι ή πιθανότητα νά κερδίσει δ Β τό παιχνίδι είναι
5/36 1 - (5/6)2 "Αρα αύτός πού παίζει πρώτος εύνοείται νά κερδίσει
6
πρός
5.
5 11 Ε\ναι βέβαια
1
•Ας σημειωθεί δτι δέ θέσαμε δριο στό πόσες φορές θά ρίξουν καί ~τσι δέν ύπάρχει περίπτωση Ισοπαλίας. 1.151 καί 1.152.)
(Βλέπε καί Προβλ.
1.51.
Μιά μηχανή κατασκευάζει τικές.
μέ
12,000
βίδες τήν ήμέρα άπό τίς δποίες τό
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά εΙναι έλαττωματικές
600
12
3% εΙναι έλαττωμα
άπό ενα τυχαίο δείγμα
βίδες.
'Από τίς
12,000
βίδες οί
11,640
εΙναι καλές καί οί
360
εΙναι Ιλαττωματικές.
"Αρα ή ζητούμενη πιθα
νότητα εΙναι
360 C Ι2Ίι.640 C588 l2.000 C Boo
1.52.
Ένα κουτί περιέχει
κόκκινες καί
5
4
άπό τό κουτί χωρίς έπανατοποθέτηση.
άσπρες σφαίρες.
Τραβαμε δύο σφαίρες διαδοχικά
'Εάν ή δεύτερη είναι άσπρη, ΠΟ1ά ή πιθανότητα νά
εΙναι καί ή πρώτη άσπρη; Πρώτη μέθοδος. Έάν Α 1
καί Α 2
εΙναι τά γεγονότα «άσπρη σφαίρα στό πρώτο τράβηγμα" καί «άσπρη σφαίρα στό δεύτερο
τράβηγμα», ζητάμε τήν
Ρ( Α 1 Ι Α 2) , πού εΙναι
Ρ( Α 1 n Α
Ρ( Α ι ) Α 2)
Ρ( Α
2)
(4/9)(3/8) 4/9
2)
3 8
Δεύτερη μέθοδος.
Έφ' δσον ξέρουμε δτι ή δεύτερη σφαίρα εΙναι άσπρη, "Αρα ή πιθανότητα ε{ναι
1.53.
μένουν τρείς άσπρες σφαίρες στίς ύπόλοιπες όκτώ.
3/8.
Οί πιθανότητες νά ζουν μετά άπό είκοσι χρόνια ενας ανδρας καί μιά γυναίκα εΙναι
0.9 δύο,
άντίστοιχα.
(b)
Νά βρεθεί ή πιθανότητα νά ζουν μετά άπό
κανένας,
1.54.
Ε{ναι
Ρ(.4)
= 0.8
=
καί
Ρ( Γ)
= 0.9.
ΡΙΑ
n
=
(α)
Ρ(καί οί δύο ζωντανοί)
(b)
Ρ(κανένας ζωντανός)
(c)
Ρ(τουλάχιστον ~νας ζωντανός}
καί
καί
οί
Γ)
μετά είκοσι χρόνια καί Γ νά ε{ναι ζωντανή
Ύποθέτουμε δτι τά Α καί Γ ε{ναι άνεξάρτητα γεγονότα.
Ρ(Α) Ρ( Γ)
=
(0.8)(0.9) =
0.72
n
διαφορετικά γράμματα σέ 'it φακέλους μέ διαφορετικές
Ποιά είναι ή πιθανότητα νά πάει ενα τουλάχιστον γράμμα στό σωστό παρα
λήπτη;
h
0.8
= P(A'n Γ') = Ρ(Α')Ρ( Γ') = (0.2)(0.1) = 0.02 = 1 - Ρ(κανένας ζωντανός) = 1 - 0.02 = 0.98
Μιά γραμματέας βάζει στήν τύχη διευθύνσεις.
χρόνια (α)
τουλάχιστο ενας.
(c)
Συμβολίζουμε μέ Α τό γεγονός νά εΙναι ζωντανός δ άνδρας
ή γυναίκα.
είκοσι
... !<'-"" .-. --~
:; .;..~--"'_ .. _ - -
30
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Συμβολίζουμε μέ Αι, Α Ζ , ••• , φάκελο. τήν
Τό γε)'ονός «τουλάχιστον
Ρ(ΑιυΑΖυ'"
An fva
τά γεγονότα νά
fXEt μπεί τό πρώτο, δεύτερο, . . . ,
γράμμα στό σωστό φάιcελo» ε{ναι
Γενικεύοντας τΙς σχέσεις
uA,,).
Κ Ε Φ.Ι
(10)
ιcαΙ
(11)
Αι
της σελ.
11
γράμμα στό σωστό
uAzu '" UA"
7
ηουμε (Πρόβλ.
καΙ άρα ζητάμε
1.79)
(1)
δπου
~P(Ak) ε{ναι τό άθροισμα των πιθανοτήτων των A k άπό Ι ι:ως
των πιθανοτήτων των
Ρ(Α ι )
(2) επειδή άπ6 τούς
π, ~ P(AjnA,-:> εΙναι τό άθροισμα
AjnA k μέ j καΙ k άπό Ι fως 1Ι καί k> j, κτλ. ι
= -
1
καΙ γενικά
11
π φακέλους μόνον ννας ηει τή σωστή διεύθυνση.
(3)
Ρ(Α ι )Ρ(Α 2 \Α ι )
p(A t nA 2 } =
'Έτσι fχουμε
=
'Ακόμα
(;)ΙΙ ~ ι)
επειδή, εάν τό πρωτο γράμμα εΙναι στό σωστό φάκελο, τότε μόνον fνας άπό τούς ύπόλοιπους 1t ό σωστός.
Ι
φακέλους ε{ναι
~Oμoια βρίσκουμε
κτλ. καί τελικά
p(A1nA?n ... nA )
(5)
-
n
Στό άθροισμα ~ P(AjnA,,} ύπάρχουν ·Ομοια στό Σ P(AinAjnA k )
= (1:)(_Ι ).. .(l)1 1Ι 11 Ι
=
~ π!
= nC2 δροι μέ τήν τιμή πού δίνεται άπό τή σχέση (3). ύπάρχουν (~) = n C3 δροι μέ τήν τιμή πού δίνεται άπό τήν (4). -Αρα ή (;)
ζητούμενη πιθανότητα εΙναι
(~)(~) - (~)(~)(n ~ ι) + (;)(*)(1Ι ~ ι)(π ~ 2)
(:)(:!)
+
(-1)"-1
+
(-l}"-Il.π!
Ξέρουμε δμως δτι (βλέπε Παράρτημα Α)
e'" Γιά
χ
=
-ι
=
fχουμε
ή
Παρατηροϋμε δτι γιά μεγάλο
n
ή πιθανότητα εΙναι περίπου
φθάσει Ι:να γράμμα στό σωστό παραλήπτη.
πρακτικά σταθερή γιά
1Ι
> 10.
- e- 1 =
0.632Ι. -Αρα εΙναι άρκετά πιθανό νά
Μέ άλλα λόγια ή πιθανότητα νά φθάσει Ι:να τουλάχιστο γράμμα στό σωστό
παραλήπτη ε{ναι πρακτικά ή ίδια γιά
1.55.
Ι
Τό άξιοσημεΙωτο στό άποτέλεσμα αύτό ε{ναι δη ή πιθανότητα μένει
n
ίσο μέ
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά εχουν
ΙΟ ή
10,000.
n τυχαίοι άνθρωποι (n ~ 365) γενέθλια σέ διαφορε
τικές ήμερομηνίες. Δεχόμαστε δη ήμέρες γενεθλίων.
fva
fτος foχEt
365
ήμέρες καΙ δτι δλες οΙ ήμέρες ενός fτους
fxouv
τήν ίδια πιθανότητα νά εΙναι
Κ Ε Φ.
1
31
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Ό πρώτος άπό τούς 11 άνθρώπους
=
κάποια ήμέρα γενέθλια μέ πιθανότητα
365/365 1. Ή πιθανότητα 364/365. Ή πιθανότητα νά fXEI γενέθλια ό τρίτος μιά ήμέρα διαφορετική άπό τούς δύο πρώτους ε{ναι 363/365, κοκ. Τελικά, ή πιθανότητα νά fχει γενέθλια ό n tiνθρωπος μιά ήμέρα διαφορετική άπό δλους τούς άλλους ε{ναι (365 - n + 1)/365. Συνεπώς fXEI
νά εχει γενέθλια ό δεύτερος μιά άλλη ήμέρα ε{ναι
=
Ρ (δλοι fxouv διαφορετικές ήμέρες γενέθλια)
Πόσοι άνθρωποι άπαιτουνται στό Πρόβλ.
1.56.
σέ διαφορετικές ήμέρες μικρότερη άπό
365. 364 • 363 ... 365 - n + 1 365 365 365 365
γιά νά γίνει ή πιθανότητα νά εχουν γενέθλια
1.55 1/2;
Έάν Ρ ε{ναι ή πιθανότητα τοϋ προηγούμενου προβλήματος, λογαριθμίζοντας fχουμε
(1)
Ιη Ρ = Ιη ( 1 - 3~5)
Έπειδή δμως (σελ.
341,
τύπος
...,.. ... +
Ιη (1 -
1 n3;5 )
7)
(2) ή
Ιη (1 - 3~5)
+
Ιη
(1-
Χ)
καί
2)
-Χ
2
(1) μπορεί νά γραφεί Ιη Ρ
(3)
Έπίσης ε{ναι (σελ.
1 καί ή
+
2
τύποι
341,
+ ... +
(η
1
n(1/
=
- 1)
-1) 2
12
+
+ '" +
22
(η
η(η
- 1)2
- 1)(2n -1)
6
γίνεται
(3)
(5)
η(η
Ιη Ρ
Γιά 11 άρκετά μικρότερο τοϋ
365
- 1)
(ας ποϋμε
1)(2η
n(n -
- 1)
12(365)2
730
< 30 ), ό δεύτερος καί οΙ άνώτεροι δροι τοϋ δεξιοϋ μέλους τής (5)
11
ε{ναι άμελητέοι μπροστά στόν πρώτο καί εχουμε κατά προσέγγιση
=
Ιηρ
(6) Γιά Ρ
=
:t
ε{ναι Ιη Ρ
l1(n -
(7)
730
άπ' δπου
11
= -
Ιη
2 = -0.693
1) = 0693 .
= 23.
ή
η(ll -
1)
730
καί συνεπώς
1/2 -
π
- 506 =
Ο
ή
(ιι
Συμπεραίνουμε λοιπόν δτι, άν τό 11 ε{ναι μεγαλύτερο τοϋ
- 23)(π+ 22)
23,
=
Ο
τότε μάλλον δύο άνθρωποι
εχουν γενέθλια τήν ίδια ήμέρα.
'Άλυτα Προβλήματα ΣΥΝΟΛΑ
1.57.
Έστω Α τό σύνολο τών άρτιων φυσικών άριθμών μεταξύ ναγραφής,
{Χ Ι χ 2 -
3Χ
+2
Έστω
1.59.
Δείξτε δτι γιά κάθε σύνολο Α ε{ναι Α
=
Ο},
Β
=
c
Β
ή Α
καί
{Χ Ι χ 2 ~ 16}.
15.
Δώστε τό Α μέ τή μέθοδο
(α)
τής ά
-:JB
ή
Α
=
Β.
(α)
Έάν Α καί Β ε{ναι δύο σύνολα, τότε ε{ναι
Έάν χ καί Υ δύο πραγματικοί άριθμοί, τότε ή χ
(b)
-
Εναι Α C Β;
C Α.
Έξετάστε άν οΙ άκόλουθες προτάσεις ε{ναι άληθείς ή ψευδείς: ή Α
Ρ
=
5
της περιγραφής.
1.58.
1.60.
Α
(b)
~
(
,
<Υ
ή
Χ> Υ ή χ
::;:.. .".::. .......--~-"2
= Υ.
32 1.61. 1.62.
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Έστω cJ τό σύνολο (ή ή κλάση) δλων των συνόλων πού δέν ε{ναι στοιχεία τού εαυτού των.
d
οΙ ει d.
Ε ~Γ, τότε
δοξο τοϋ
Δείξτε στι, έάν
(b)
c-J' <Ξ c5.
(a)
Δείξτε στι,
Τό παράδοξο αύτό καλείται παρά·
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΟΥ
VENN
11 = (1,2,3,4,5) καί τά ύποσύνολα Α = {Ί. 5), Ε = {2, 5, 3;, C = (4,2). C), \b) (Α '-"; Β) υ (Ό (c) Α π (Β υ C). (d) (Α πΒι υ (Α n C I , (e) Α' n C'), (f) (AuB) - (AuC), (g) υιπη'uΕ. (h) Α - (B'uC'). Έστω
(αΙ Α υ (Ευ
11 τό σύνολο όλων των μή άρνητικων άκεραίων. Α
:;ι' Ι ;ι'
=
Νάβρεθοϋντά
άρτιος άκέραιος, 1 ~
(α) ΑυΒ,
ΑπΒ,
(b)
Περιγράψτε μ' ενα διάγραμμα τού
(BuC)
(c)
Α' i' (ΒυΙ'ί'
(b)
Α υ
(BrC)
(rl)
Α
(Α
1.67.
Δείξτε
Β)'
-
(α)
=
Α'
τό Θεώρ.
-
Θεωροϋμε τά ύποσύνολα
καί
IJ =
((Ι) Α-Β,
: .Ι·
.Ι' πρωτος άριθμός, Ο
(e) Β-Α,
<
;ι, ;ΞΞ 4)
(f) (A-B)',JIB-A).
- (BnC)
Β';
Δικαιολογήστε τήν άπάντηση.
(b) τό Θεώρ.
1-2,
Νά (Β' π
καθένα άπό τά παρακάτω σύνολα:
Venn
Α π
Ειναι
.r < 6 r
(c) Α'πΒ"
(α)
1.66.
1.68.
τότε
fl. c5,
Έστω τό βασικό σύνολο
βρεθούν τά σύνολα
1.65.
d
Russell.
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ.
1.64.
1
Δείξτε ότι τό μοναδικό ύποσύνολο του κενοίι συνόλου εΙναι τό κενό σύνολο.
έάν
1.63.
Κ Ε Φ.
Δείξτε τό δεύτερο κανόνα του
1-3,
De Morgan
(c)
(Θεώρ.
τό Θεώρ.
1-4. Περιγράψτε τόν κανόνα αυτό μ' ενα διάγραμμα τοϋ
1-12b).
Venn. 1.69.
Γενικευστε τόν πρωτο καί τό δεύτερο κανόνα τοϋ
1.70.
'Εξετάστε τήν εφαρμογή της άρχής τού δυϊσμου στά θεωρήματα τής σελ.
1.71.
Δείξτε δτι
(Α
= Α,
ΒΙ υ Β
-
γιά πολλά σύνολα (βλέπε Πρόβλ.
De Morgan
εάν καί μόνον έάν
Ε
c
Α.
1.17).
3.
Περιγράψτε τή σχέση αύτή μ' ενα διάγραμμα τοϋ
Venn. 1.72. 1.73.
Νά εξεταστεί εάν ίσχύει ή δέν ίσχύει ή πρόταση: 'Εάν
Δείξτε δτι
Α υ Β
=
[Α
(Α
-
Α
-
Β
=
n Β)! u [Β - (Α ΓΙ Π)1 υ (Α πΕ).
IL), τότε
Α
=
Β.
Περιγράψτε τή σχέση μ' ενα διάγραμμα τοϋ
Venn. 1.74.
Γενικεύστε τό άποτέλεσμα του Προ βλ.
1.9.
ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ ΤΥΧΗΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΕΓΟΝΟΤΑ
1.75.
Περιγράψτε ενα δειγματόχωρο γιά μάδα
500
ένήλικων άνδρων,
(c)
(α) τρείς ρίψεις ενός νομίσματος,
πληθος των τηλεφωνημάτων πού εΙσέρχονται σ' ενα τηλεφωνικό κέντρο,
ταγράφονται
1.76.
Σ' καί
άπό ενα μετρητή
(c) Ar.B,
ω}
«3
ή
6 ..
AnB" (c)
Ι(')
τό πλήθος των σωματίων πού κα
(f) τή ρίψη ενός νομίσματος καί ενός ζαριού.
Geiger,
ενα πείραμα τύχης ρiχνουμε ενα νόμισμα καί ί:tνα ζάρι. Β τό γεγονός
(b) τό πλήθος των καπνιστων σέ μιά δ (d) τό
τό πλήθος των ρίψεων ενός νομίσματος μέχρις δτου ερθει γράμματα,
'Εάν Α ε{ναι τό γεγονός «κεφάλι .. γιά τό νόμισμα
γιά τό ζάρι, περιγράψτε μέ λόγια τή σημασία των εξής γεγονότων: (α) Α',
Α--Β,
(f) Η-Α,
(g) Α'υΒ.
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ
1.77.
Συμπληρωστε τήν άπόδειξη στό Πρόβλ.
1.I4(b)
AuB δπου τά
1.78.
Α καί
Β
-
(Α
n lJ)
Δείξτε τή σχέση (Ι Ι) της σελ.
δείχνοντας (όχι μέ διάγραμμα τοϋ
Α υ ίΒ
εΙναι άσυμβίβαστα γεγονότα.
7.
-
IAnB):
Venn)
ότι
(b)
Β',
-41........; ; ..................----------------------------------------Κ Ε Φ.Ι
33
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
1.79.
Γενικεϋστε τίς σχέσεις
1.80.
Δείξτε
(10)
καί
P(A'UB') =
δτι
Ι
(11)
της σελ.
7
δείχνοντας Ι:τσι τή σχέση
(1)
του Προ βλ.
1.54.
- P(AnB).
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ
1.81.
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα (άκριβώς
(ο)
(b)
1.82.
i! κατά προσέγγιση) καθενός άπό τά άκόλουθα γεγονότα: i! βαλές σπαθί ή ντάμα καρρό στό τράβηγμα ενός χαρτιού
Νά εμφανιστεί ή ρήγας
i!
άσος
άνακατεμένη τράπουλα
52
χαρτιών.
Νά εμφανιστεί άθροισμα
8
σε μιά ρίψη δύο ζαριών.
(c)
Νά ε\ναι καλή μιά τυχαία βίδα, εάν σ'
(d)
Νά Ι:ρθει άθροισμα
(c)
Νά lρθει τουλάχιστο μιά φορά κεφάλι σέ τρείς ρίψεις ενός νομίσματρς.
7
ή
11
lva δείγμα 600 βιδών 12 ήσαν ελλατωματικές.
σέ μιά ρίψη δύο ζαριών.
Τραβάμε στήν τύχη τρία χαρτιά άπό μιά συνηθισμένη τράπουλα.
τράβηγμα»,
άπό μιά καλά
A~ τό "ρήγας στό δεύτερο τράβηγμα» καί
W
Ας είναι
Α ι τό γεγονός «ρήγας στό πρώτο
Α 3 τό «ρήγας στό τρίτο τράβηγμα».
Περιγράψτε μέ
λόγια τή σημασία τών εξής:
(α) P(A1nAf),
1.83.
(b) Ρ(Α ι υΑ 2 ),
Βγάζουμε στην τύχη !;να κομμάτι μάρμαρο άπό κομμάτια μαρμάρου.
1.84.
(c)
'Από τό κουτί τού Προβλ.
1.83
δεύτερο επίσης στήν τύχη.
δχι μπλέ,
1.85.
(ί)
κουτί μέ
κόκκινα,
10
(d) άσπρο,
30
άσπρα,
βγάζουμε στήν τύχη
lva
(!)
μπλέ καί
πορτοκαλί
15 fj
πορτοκαλί
κόκκινο,
(b)
(α)
καί τά δύο μάρμαρα άσπρα,
(b)
τό πρώτο
καί τά δύο κόκκινα ή καΙ τά δύο άσπρα ή ενα κόκκινο
τό πρώτο πορτοκαλί,
τό πρώτο άσπρο καί τό δεύτερο άλλο χρώμα,
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
20
κομμάτι μάρμαρο καί, άφού τό ξαναβάλουμε, βγάζουμε ενα
(c) κανένα πορτοκαλί, (d)
(e) τό δεύτερο δχι μπλε,
(α)
(e) κόκκινο ή άσπρο ή μπλέ.
Νά βρεθεί ή πιθανότητα νά είναι
κόκκινο καί τό δεύτερο άσπρο, κόκκινο,
lva
(e) PUA1nA z) u (A;nA 3 »).
Νά βρεθΙ;ί ή πιθανότητα τό μάρμαρο πού βγάλαμε νά είναι
ούτε κόκκινο, ούτε μπλέ,
κι ενα άσπρο,
«(Ι) Ρ(ΑΊnΑ~nΑ~J)'
(c) P(A;uA;),
(g) τουλάχιστον ενα μπλέ, (h) τό πολύ ενα
μόνον ενα κόκκινο.
(j)
εάν τό πρώτο μάρμαρο δέν ξανατοποθετείται στό κουτί.
1.84,
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ
1.86.
Ένα κουτί περιέχει
2
κόκκινες κα!
3
τηση ποιά εΤναι ή πιθανότητα νά είναι
μπλε σφαίρες. (α)
Έάν βγάλουμε δύο σφαίρες στήν τύχη χωρίς έπανατοποθέ
καί οί δύο μπλε,
(b)
καί οΙ δύο κόκκινες,
(c)
μιά κόκκινη καί μιά
μπλέ;
1.87.
Ποιά είναι ή πιθανότητα νά τραβήξουμε άπό μιά τράπουλα τρείς άσους στή σειρά πανατοποθέτηση
1.88.
(α) μέ καί
(b)
χωρίς
ε
;
Έάν σέ μιά οΙκογένεια μέ δύο παιδιά ενα τουλάχιστον παιδί είναι άγόρι, ποιά είναι ή πιθανότητα νά εΙναι καί τά δύο άγόρια;
1.89.
Δείξτε δτι ή πιθανότητα ύπό συνθήκη, πού όρίστηκε μέ τή σχέση σελ.
6
>
1.90.
Δείξτε δη, εάν
Γ(Α)
1.91.
Έάν τά Α
Β είναι άνεξάρτητα, δεϊ~τε δτι
1.92.
Έάν Α, Β,
BnC, (c)
1.93.
καί
C
Ρ(Β), τότε
Ρ(Α
i Β)
>
Ικανοποιεί τά άξιώματα πιθανότητας της
Ρ(Β ι Α).
(α)
τά Α καί Ε' καί
(b)
τά
Α' καί Β' είναι άνεξάρτητα.
είναι τρία άνεξάρτητα γεγονότα, δείξτε δτι είναι άνεξάρτητα καί τά (α) Α
Α καί
Β
καί
BuC, (b)
Α
καί
- C.
Έστω δτι σέ μιά ρίψη δύο ζαριών
Αι
=
«περιττός στό πρώτο ζάρι»,
«περιττό άθροισμα». Δείξτε δη τά τρία γεγονότα Αι, A~, Α;; δύο.
(17),
καί συνεπώς δλα τά θεωρήματα γιά πιθανότητες.
Α:].
= .. περιττός στό δεύτερο ζάρι»,
Α3
=
δέν ε[ναι άνεξάρτητα, ενώ είναι άνεξάρτητα άνά
34 1.94.
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
'Ένα κουτί περιέχει σφαίρες.
ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ
3 κόκκινες καί 5 άσπρες σφαίρες, ένώ ενα άλλο κουτί περιέχει 4 κόκκινες καί 2 άσπρες
Μετά βγάζουμε μιά σφαίρα από τό δεύτερο κουτί.
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά εΙναι άσπρη;
BAYES
'Ένα κουτί περιέχει μαρα.
1
Παίρνουμε στήν τύχη μιά σφαίρα από τό πρώτο κουτί καί τή βάζουμε στό δεύτερο χωρίς νά δούμε τό
χρώμα της.
1.95.
Κ Ε Φ.
3
μπλέ καί
κόκκινα μάρμαρα, ένώ ενα αλλο κουτί περιέχει
2
μπλέ καί
2
Διαλέγουμε ενα κουτί στήν τύχη καί απ' αυτό βγάζουμε ενα μάρμαρο πάλι στήν τύχη.
5
κόκκινα μάρ
'Εάν τό μάρμαρο
εΙναι μπλέ, ποιά ή πιθανότητα νά προέρχεται από τό δεύτερο κουτί;
1.96.
Τρία όμοια κουτιά κοσμημάτων εχουν δύο συρτάρια τό καθένα. χρυσό ρολόΙ
Σέ κάθε συρτάρι τού πρώτου κουτιού ύπάρχει ενα
Σέ κάθε συρτάρι τού δεύτερου κουτιού ύπάρχει ενα αργυρό ρολόΙ
χρυσό ρολόϊ στό ενα συρτάρι 'κι ενα αργυρό στό αλλο.
Στό τρίτο κουτί ύπάρχει ενα
'Εάν διαλέξουμε ενα κουτί στήν τύχη, ανοίξουμε ενα
συρτάρι του στήν τύχη καί βρούμε ενα αργυρό ρολόϊ, ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά εχει τό αλλο συρτάρι χρυσό ρολόϊ;
1.97.
Τρία δοχεία εχουν καί
4
μαύρες
τύχη).
τό
ασπρες καί
2
τρίτο.
μαύρες σφαίρες τό ενα,
3
Διαλέγουμε
στήν τύχη
ενα
4
δοχείο
ασπρες καί
καί
1
μαύρη τό δεύτερο καί
άσπρες
3
βγάζουμε από αυτό μιά σφαίρα (πάλι στήν
νΑν ή σφαίρα εΙναι άσπρη, ποιο. εΙναι ή πιθανότητα νά βγήκε από τό πρώτο δοχείο;
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΔΕΝΤΡΩΝ
1.98.
Χρησιμοποιώντας ενα διάγραμμα δέντρου προσδιορίστε τά δυνατά αποτελέσματα γιά τρείς διαδοχικές ρίψεις ένός νομίσματος.
1.99.
Τραβάμε διαδοχικά τρία χαρτία από μιά τράπουλα χωρίς έπανατοποθέτηση.
δέντρου ύπολογίστε μέ πόσους τρόπους μπορούν νά βγούν (α)
(b)
1.100.
Χρησιμοποιώντας ενα διάγραμμα
ενα καρρό, ενα σπαθί καί μιά κούπα διαδοχικά,
δύο κούπες καί μετά ενα σπαθί η ενα μπαστούνι.
Μέ πόσους τρόπους τρία διαφορετικά νομίσματα μπορούν νά μπούν σέ δύο διαφορετικά πορτοφόλια;
ΔΙΑΤΑΞ:ΕΙΣ
1.101.
Ύπολογίστε τά (α) 4 Ρ 2,
1.102.
Γιά ποιές τιμές τού
1.103.
Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν
1.104.
n
(b) ί Ρ 5. (c) 10 Ρ 3'
= n P 4;
1Ι+Ι Ρ 3
εΙναι
ανθρωποι νά καθίσουν σ' εναν καναπέ μέ
(α)
περιττούς,
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
1.107.
Πόσοι διαφορετικοί τριψήφιοι αριθμοί μπορούν νά σχηματιστούν από Κατά πόσους περιορισμό,
έάν τρία δ
1'2'3' ... '9'
εάν πε
έάν έπιτρέπονται έπαναλήψεις ψηφίων στόν αριθμό.
τρόπους μπορούν
(b)
(b)
(b) μέ άρτια τά δύο πρώτα ψηφία;
1.106.
1.105,
θέσεις;
(c) έάν δύο δρισμένα βιβλία πρέπει νά εΙναι στά άκρα;
Πόσοι αριθμοί μέ πέντε διαφορετικά ψηφία μπορούν νά σχηματιστούν από τά ψηφία ριοριστούμε σέ αριθμούς
1.108.
3
Κατά πόσους τρόπους έπτά βιβλία μπορούν νά διαταχτούν σ' ενα ράφι (α) χωρίς περιορισμούς, ρισμένα <βιβλία πρέπει νά εΙναι μαζί,
1.105.
5
3
άνδρες καί
3
3
γυναίκες νά καθίσουν σ
μέ δύο δρισμένες γυναίκες όχι δίπλα-δίπλα,
τεσσάρια,
4
δυάρια καί
ενα στρογγυλό τραπέζι
2
τριάρια; (α) χωρίς
(c) μέ κάθε γυναίκα μεταξύ δύο ανδρών;
ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
1.109.
Ύπολογίστε τά
1.110.
Γιά ποιά τιμή τού
1.111.
Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε νά διαλέξουμε εξι έρωτήσεις άπό δέκα;
1.112.
(α) 5C;!,
11
(b) sC.\, (c) 10C~,
εΙναι
3·
n
+ IC;\
Πόσες διαφορετικές έπιτροπές μέ γυναίκες;
3
= 7' "C ~;
ανδρες καί
4
γυναίκες μπορούν νά σχηματιστούν άπό
8
ανδρες καί
6
-.
•
w
Κ Ε Φ.
1.113.
1
Κατά πόσους τρόπους μποροϋμε νά διαλέξουμε
8
35
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
γυναίκες,
4
άγόρια καί
κορίτσια
5
(α)
ανδρες,
2
4
γυναίκες,
χωρίς περιορισμούς,
άγόρια καί
3
κορίτσια άπό
3
6
ανδρες,
έάν πρέπει νά πάρουμε εναν όρισμένο αν
(b)
δρα καί μιά όρισμένη γυναίκα;
1.114.
Κατά πόσους τρόπους μποροϋν νά χωριστοϋν τρείς όμάδες άπό
1.115.
Άπό
5
2
άνθρωποι σέ
δύο δμάδες άπό
7
οίκονομολόγους σχηματίζουμε μιά έπιτροπή
3
10
Ια)
καί
3
άνθρώπους,
(b)
άνθρώπους;
διοικητικούς ύπαλλήλους καί
κονομΟλΟΥων.
(b)
καί
5, 3
6
Πόσες διαφορετικές έπιτροπές μποροϋν νά σχηματιστοϋν, έάν (α)
δύο συγκεκριμένοι διοικητικοί πρέπει νά εΙναι στήν έπιτροπή,
(c)
διοικητικών καί
2
οί
δέν έπιβληθοϋν περιορισμοί,
ένας συγκεκριμένος οίκονομολόγος δέν
μπορεί νά εΙναι στήν έπιτροπή;
1.116.
'Υπολογίστε τό πλήθος
(α)
τών συνδυασμών καί
προκύψουν άπό τά γράμματα τής λέξεως
(b) τών διατάξεων τεσσάρων γραμμάτων πού μποροϋν νά
Tennessee.
ΔΙΩΝΥΜΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ
(1:).
1.111.
'Υπολογίστε τά (α) 6 C
1.118.
Άναπτύξτε τά
1.119.
'Υπολογίστε τό συντελεστή του χ στό άνάπτυγμα τού
1.120.
Δείξτε 6τι
(α) (Χ
;j,
(b)
+ Υ)6,
(b)
(Χ
(c) (RC2)(4C:J)/12C5'
-
Υ)4,
(c) (χ -
χ-ψ,
(
Χ
«(Ι) lχ 2 ""7""
2\fJ
+ χ)
+ .. , + (!
(α)
2)4.
.
n)
\ ?l
... + (-1)" ( 11\)
(b)
ο
\ ??
n
1.121.
Δείξτε
(α)
δτι
:Σ j(nCj)
Π' 2,,-1,
;=1
"
:Σ (-I)i- 1 j("C)
(b)
ο.
j=l
ΠΙΘΑΝΟΤΙΠΕΣ ΜΕ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
1.122.
Ρίχνουμε δύο ζάρια δυό φορές. μιά φορά,
1.123.
(c)
Τραβαμε διαδοχικά δύο χαρτιά στήν τύχη άπό μιά τράπουλα.
7
(α)
μιά φορά,
(b) τουλάχιστο
Νά βρεθεί ή πιθανότητα
(α)
τό πρώτο χαρτί νά μήν
εΙναι δέκα σπαθί ή άσος,
(b) τό πρώτο χαρτί νά είναι (ίσος καί τό δεύτερο νά μήν εΙναι, (c) τουλάχιστον ενα
χαρτί νά είναι καρρό, (d)
τά δύο χαρτιά νά εΙναι άπό διαφορετικές σειρές,
(βαλές, ντάμα, ρήγας), ξέρουμε
1.124.
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά φέρουμε άθροισμα
δυό φορές.
«)
τό δεύτερο χαρτί νά μήν εΙναι φιγούρα, (g)
στι τό πρώτο ήταν φιγούρα,
(11)
(e)
τό πολύ ένα χαρτί νά είναι φιγούρα
τό δεύτερο χαρτί νά μήν ε{ναι φιγούρα, έάν
τά χαρτιά νά ε{ναι φιγοϋρες ή μπαστούνια ή καί τά δύο.
Μιά κάλπη περιέχει 9 λαχνούς άριθμημένους άπό τό 1 εως τό
9.
'Εάν τραβήξουμε τρείς λαχνούς, ύπολογίστε
τήν πιθανότητα νά βγουν στή σειρά περιττός, αρτιος, περιττός ή άρτιος, περιττός, ιiρτιος.
1.125.
Ό Α εύνοείται εύνοείται ό Α
1.126.
2
νά κερδίσει κάθε παιχνίδι πού παίζει μέ τόν
(b)
παίκτες παίρνει
13
Β.
'Εάν παίξουν τρία παιχνίδια, πώς
νά μή χάσει τά δύο πρώτα παιχνίδια;
χαρτιά στήν τύχη άπό μιά τράπουλα (α)
7
καρρά,
2
σπαθιά,
3
52
χαρ
κοϋπες καί
1
όλα τά φύλλα μιας σειράς.
Ένα δοχείο περιέχει
ση.
4
(b)
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά πάρει ενας όρισμένος παίκτης
μπαστούνι,
1.128.
πρός
Στό παιχνίδι του μπρίτζ καθένας άπό τούς τιών.
1.127.
3
(α) νά κερδίσει δύο τουλάχιστον παιχνίδια,
6
κόκκινα καί
8
Νά βρεθεί ή πιθανότητα νά εΙναι
(α) Ρίχνουμε δύο ζάρια τρείς φορές.
μπλέ μάρμαρα.
3
κόκκινα καί
Βγάζουμε πέντε μάρμαρα στήν τύχη χωρίς έπανατοποθέτη
2
μπλέ.
Ποιά ή πιθανότητα νά φέρουμε άθροισμα
7
τουλάχιστο μιά φορά;
(b) Πόσες ρίψεις χρειάζονται γιά νά γίνει ή προηγούμενη πιθανότητα μεγαλύτερη άπό 0.95;
- - - - - --- ---
36 1.129
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Τραβάμε τρία χαρτιά άπό μιά συνηθισμένη τράπουλα άπό τήν ίδια σειρά
1.130.
52 χαρτιών.
'Υπολογίστε τήν πιθανότητα
1
(α) νά είναι όλα
(b) νά τραβήξουμε τουλάχιστο δύο ασους.
ποιο. είναι ή πιθανότητα ενας παίκτης τού μπρίτζ νά εχει
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ
Κ Ε Φ.
STlRLING
ΓΙΑ ΤΟ
(άπό τά
9
χαρτιά άπό μιά σειρά;
13)
n!
1.131.
Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους
1.132.
Δείξτε ότι γιο. μεγάλες τιμές τού 11 είναι κατά προσέγγιση
1.133.
'Υπολογίστε τό σχετικό σφάλμα τού τύπου τού
1.134.
'Υπολογίστε κατά προσέγγιση τό αποτέλεσμα τού Προβλ.
30
ανθρωποι μπορούν νά έκλεγούν άπό
100;
= 22n /y:;;:n.
2n C n
Stirling γιά n = 10.
1.51.
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1.135.
'Ένας δειγματόχωρος εχει τρία σημεία μέ αντίστοιχες πιθανότητες 2ρ, ρ2
1.136.
Δείξτε στι. Μν Α
1.137.
Δείξτε στι
1.138.
Πόσες λέξεις μπορούν νά γίνουν άπό 5 γράμματα, έάν (α) όλα το. γράμματα είναι διαφορετικά, (b) 2 είναι ίδια,
Α
-
Β', τότε
c
(Α "Β)
=
Α ηΒ
καί 4ρ
'Υπολογίστε τό ρ.
- 1.
= ~').
Α.Γ,Β'.
(c) σλα είναι διαφορετικά άλλά δύο δρισμένα δέν μπορούν νά είναι δίπλα-δίπλα;
1.139.
Διαλέγουμε στήν τύχη τέσσερις μονοψήφιους άκέραιους (άπό Ο όλοι διαφορετικοί,
1.140.
(b)
εως
ποιο. είναι ή πιθανότητα
9).
(α) νά είναι
τό πολύ δύο νά είναι ίδιοι;
Ρίχνουμε πολλές φορές δυό ζάρια.
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά έρθει γιο. πρώτη φορά άθροισμα
11
στήν εκτη
ρίψη;
1.141.
Πόσες τουλάχιστο φορές πρέπει νά ρίξουμε το. ζάρια στό Πρόβλ. άθροισμα
1.142.
11
μεγαλύτερη άπό
(α)
1.140
γιο. νά εΙναι τΊ πιθανότητα νά φέρουμε
0.5, (b) 0.95;
Έξετάστε τό εξής έπιχείρημα: Δέν ύπάρχει «κανονικό" νόμισμα, γιατί όσες φορές κι αν ρίξουμε ενα νόμισμα εί ναι τελείως απίθανο νά ερθει κεφάλι τόσες φορές όσες καί γράμματα.
1.143.
Άς ύποθέσουμε στι σέ κανονικό
1.144.
500
ρίψεις ενός νομίσματος ήρθε κεφάλι
Δείξτε στι γιο. δποιαδήποτε γεγονότα Γ(Α
1.145.
:ΞΞ
+
Ρ(Α Ζ )
2,3, ... ,12.
(d)
τής ίδιας σειράς), (b)
-+- '"
-c- P(A n )
Μπορούμε νά δώσουμε πιθανότητα
τέσσερεις
1/11
σέ
φλός
στόν
(C)
ασο (δέκα, βαλέ
τελείως διαφορετικά
ασους.
Ή πιθανότητα νά πετύχει ενας σκοπευτής ενα στόχο είναι
"Ένα ράφι είναι χωρισμένο σέ
έντελως όμοια βιβλία;
(α)
φούλ (τρία ίδια φύλλα καί αλλα δύο πάλι ίδια),
5'
στόχο μιά φορά, ποιά είναι ή πιθανότητα νά πυροβολήσει
(ο)
Είναι δυνατό νά είναι
εΙναι
Ρ(Α ι )
Νά ύπολογιστεί στό πόκερ ή πιθανότητα νά εχει ενας συγκεκριμένος παίκτης χαρτιά,
1.148.
φορές συνέχεια.
αύτά το. γεγονότα; Γιατί;
ντάμα, ρήγα, ασο
1.147.
Α ι, Α 2' . . . , Α"
ι uA;1U' .. uA,,)
Τό αθροισμα στή ρίψη δύο ζαριών μπορεί νά εΙναι καθένα άπ'
1.146.
24
τό νόμισμα; Δικαιολογήστε τήν άπάντηση.
(b)
6
τμήματα.
Έάν πυροβολεί συνεχώς μέχρις στου κτυπήσει τό
5
φορές;
Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν νά τοποθετηθουν
Τό ίδιο πρόβλημα γιά 11 τμήματα καί r
στή φυσική, σταν ίσχύει τΊ στατιστική τών
Bose-Einstein.
βιβλία.
4
Παρόμοια προβλήματα προκύπτουν
_,
Τ
Κ Ε Φ.
1.149.
1
(α) Ένα ράφι είναι Ίωρισμένο σέ
12
6
τμήματα.
( r
>
Ένας παίκτης παίρνει στό πόκερ ήδη πάρει
(σ)
ρουμε πόσα
5
(b)
Τό ίδιο πρόβλημα μέ
n
Παρόμοια προβλήματα προκύπτουν στή φυσική, όταν ίσχύει ή στατιστική των
n).
έλπίδα νά είναι
5
ενα
δύο
5, (b)
Θέλει λοιπόν νά «πετάξει» τό
2, 3, 4, 6, 8.
(όπότε κάνει κέντα).
5,
8
τμήματα καί
r
Fermi-Dirac.
καί νά πάρει άλλο Ίαρτί μέ τήν
Ποιά είναι ή πιθανότητα νά πετύΊει, Μν οΙ ύπόλοιποι τρείς παίκτες εχουν
(c) τρία 5, (d)
κανένα
5;
Μπορείνάλυθείτόπρόβλημα, άν δέν ξέ
ΕΊουν πάρει οΙ άλλοι παίκτες;
1.151.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
1.152.
Γενικευστε τό άποτέλεσμα του Προβλ.
1.153.
Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μΠΟΡουν νά τοποθετηθουν
έντελως όμοια βιβλία, ετσι ώστε νά μήν ύπάρχει άδειο τμήμα;
βιβλία
1.150.
37
ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
1.50,
έάν τό παΙΊνίδι περιλαμβάνει μόνον τρείς ρίψεις.
1.151.
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά εΊουν στό μπρίτζ (σ)
δύο,
(b)
τρείς καί
(c)
τέσσερις
παίκτες μιά πλήρη σειρά
ό καθένας.
1.154.
1.155.
Δείξτε δτι
(nr) = ,:i (~)(n - ~). Τί έξήγηση μπορεί νά δοθεί στό πλαίσιο τής συνδυαστικής άναλύσεως; J=O
J
[Ύπόδειξη: Θεωρήστε τό
(1
l' -
J,
+ x)k (1 + x),,-k
Δείξτε δτι (2~t) = (~) 2 + (~) 2 +
καί ύπολογίστε τό συντελεστή του
.,. + (::) 2.
xj.]
πως μπορεί νά έρμηνευτεί ή σΊέση αύτή στό πλαίσιο
τής συνδυαστικής άναλύσεως;
1.156.
Δείξτε ότι ή πιθανότητα νά βάλει ή γραμματέας του Προβλ.
είναι
1 -
α!
1!-α
:Σι
k=O
(-1)k
-k ι .
άκριβως α γράμματα στούς σωστούς φακέλους
[Ύπόδειξη: 'Εάν Ρ,,(α) είναι ή ζητούμενη πιθανότητα, δείξτε ότι
•
καί χρησιμοποιήστε τό άποτέλεσμα του Προβλ.
4
1.54
1.54.)
1 a.
Pn(a) = -, Pn-a
(Ο)
----~-----
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
2
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
νΑς ύποθέσουμε ότι σέ κάθε σημείο ενός δειγματόχωρου άντιστοιχουμε εναν άριθμό. ετσι μιά συνάρτηση όρισμένη στό δειγματόχωρο.
'Έχουμε
Ή συνάρτηση αύτή καλείται τυχαία μεταβλητή ή
στοχαστική συνάρτηση καί συμβολίζεται συνήθως μ' ενα κεφαλαίο γράμμα, π.χ.
Χ
ή Υ.
Γενικά
μιά τυχαία μεταβλητή εχει κάποια όρισμένη φυσική, γεωμετρική ή άλλους είδους σημασία. Παράδειγμα 2.1. ΓΓ}.
c5 =
Άς ύποθέσουμε δτι ενα νόμισμα ρίχνεται δύο φορές, όπότε ό δειγματόχωρος εΙναι
Έστω Χ τό πλήθος των όψεων «κεφάλι» πού άντιστοιχούν σέ κάθε σημείο.
δειγματόχωρου καί τιμ ων τής Χ δίνεται στόν Πίν.
Π.χ. στό ΓΚ έμφανίζεται ενα «κεφάλι», άρα Χ
2-1.
(ΚΚ. ΚΓ. ΓΚ.
Ή άντιστοιχία μεταξύ σημείων τού
= 1.
Ή Χ ε{
ναι μιά τυχαία μεταβλητή. Πίν. Σημείο
Δειγματόχωρου
2-1
ΚΚ
Ι
ΚΓ
2
!
1
Χ
Ι
Ι
ΓΚ
Ι
1
Ι
Ι
ΓΓ
Ο
~ Ας σημειωθεί δτι κι άλλες τυχαίες μεταβλητές μπορούν νά όριστούν στόν ίδιο δειγματ6-χωρο (π.χ. τό πλήθος των όψεων «κεφάλι» μείον τό πλήθος των όψεων «γράμματα»
ΙCΤλ.).
'Εάν μιά τυχαία μεταβλητή παίρνει πεπερασμένο ή άπειρο άριθμήσιμο πλήθος τιμών, καλείται άπαριθμητή ή διακριτή τυχαία μεταβλητή, ένω έάν παίρνει άπειρο μή άριθμήσιμο πλήθος τιμών, καλεί ται συνεχής τυχαΙα μεταβλητή.
ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
'Έστω Χ μιά διακριτή τυχαία μεταβλητή καί άς ύποθέσουμε ότι οί τιμές πού μπορεί νά πάρει εΙναι
Χι, Χ2, Χ3, •••
διατεταγμένες σέ αύξουσα σειρά.
νΑς ύποθέσουμε ότι οί πιθανότητες νά πά
ρει ή μεταβλητή τίς τιμές αύτές εΙναι
k = 1,2, ...
(1)
Ε{ναι βολικό νά όρίσουμε μιά συνάρτηση πιθανότητας ή κατανομή πιθανότητας
Ρ(Χ
τέτοια ώστε γιά Χ Γενικά ή
f(x)
= Xk
ή
=
Χ)
= f(x)
(2)
(2) νά δίνει τήν (1). ένω γιά άλλες τιμές του Χ νά εΙναι f(x)
= Ο.
εΙναι μία συνάρτηση πιθανότητας, έάν
1.
f(x) ~ Ο
2.
Σ f(x) = 1 χ
όπου τό άθροισμα νοείται ώς πρός όλες τίς δυνατές τιμές του Χ.
Μιά γραφική παράσταση τής
j(X) κα
λείται γραφική παράσταση της πιθανότητας. Παράδειγμα
2.1. (b)
2.2. (α) Προσδιορίστε τή συνάρτηση πιθανότητας πού άντιστοιχεί στήν τυχαία μεταβλητή Χ τού Παραδ.
Σχεδιάστε τή γραφική της παράσταση.
38
54&&
Ω
.&$
2
&
2&
7
Κ Ε Φ.
(α)
39
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
Γιά ενα κανονικό νόμισμα έχουμε
Ρ( ΚΚ) = ~
1 4
Ρ(ΚΓ)
1 4
Ρ(ΓΚ)
1 4
Ρ(ΓΓ)
ιcαί άρα
Ρ(Χ
=
Ο)
Ρ(ΓΓ)
Ρ(Χ
=
1)
Ρ(ΚΓυΓΚ)
Ρ(Χ =
2)
= Ρ( ΚΚ)
=
~
Πίν.
=~
Ή συνάρτηση πιθανότητας δίνεται στόν Πίν.
(b)
2-2
χ
Ο
1
2
{(Χ)
1/4
1/2
1/4
2-2.
Μιά γραφική παράσταση αύτής τής συναρτήσεως πιθανότητας μπορεί νά δοθεί μ' ενα ραβδόγραμμα. όπως στό Σχ. ή μ' ενα ίστόγραμμα, όπως στό Σχ.
Σ' ενα ραβδόγραμμα τό άθροισμα των τεταγμένων είναι
2-2.
ίστόγραμμα τό άθροισμα των έμβαδων εΙναι τή γίνεται συνεχής, Π.χ.
Χ
= 1
1.
2-1,
Ι, ένω σ' ενα
Σ' ενα ίστόγραμμα μπορουμε νά φανταστουμε ότι ή τυχαία μεταβλη
σημαίνει Χ μεταξύ
0.5
καί
1.5,
f(x)
f(x)
---O~------~~------J2---------X
Q
Σχ,
2-1,
2
Ραβδόγραμμα
Σχ,
2-2.
'Ιστόγραμμα
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ή άθροιστική συνάρτηση κατανομής ή άπλά συνάρτηση κατανομής γιά μιά τυχαία μεταβλητή Χ όρίζεται μέ τή σχέση
Ρ(Χ ~ Χ)
= F(x)
(3)
όπου Χ είναι ενας όΠόιοσδήποτε πραγματικός άριθμός, δηλ.
-oc
<
Χ
<
00,
Ή συνάρτηση κατα
νομής μπορεί νά ληφθεί άπό τή συνάρτηση πιθανότητας, έπειδή
F(x)
=
Ρ(Χ ~ Χ)
=
Σ f(u)
(4)
ιι~x
όπου τό ι'ίθροισμα στό δεξιό μέλος νοείται ώς πρός όλα τά
u
γιά τά όποία
u
~ χ,
Άντίστροφα, ή
συνάρτηση πιθανότητας μπορεί νά προκύψει άπό τή συνάρτηση κατανομής,
Έάν ή Χ παίρνει πεπερασμένο πλήθος τιμών Χι, Χ2, • , ., Χ", τότε ή συνάρτηση κατανομής είναι ο
-00
:Ι~l
/(J.:l) /(:ι.'ι)
F(x)
. !(Χι) ~
Παράδειγμα
2,3,
< Χ < ΧΙ ~ χ < Χ2 ~ χ < Χ3
+ /(:ι.'2)
:ι.'2
+ ... + t'(Xn)
Χ" ~ :Ί.'
<
oc
(α) Προσδιορίστε τή συνάρτηση κατανομής τής τυχαίας μεταβλητής Χ του Παραδ.
γραφική της παράσταση.
(.5)
2.2. (b)
Δώστε τή
40
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
(α)
-«>
[;
Ή
(b)
<
Χ
<
F(x) Ο
O;ax
~ l1
l;ax<2
J
1 2~x
FIx) παριστάνεται στό Σχ. 2-3.
i}±
.<ι
~----
.;-
Στήν προηγούμενη κατανομή παρατηρού
με τά έξης, πού ίσχύουν καί γενικότερα:
J_
Ι,
2
εΙναι
;},
Ι
2-1.
'
t
'Έτσι μπορού
__________
με νά προσδιορίσουμε τή συνάρτηση
1~
l' :!
!i
1. !, πού είναι άκριβώς οί
τεταγμένες τού Σχ.
Ι
:2
Οί άπότομες μεταβολές στά σημεία Ο,
1.
,
J .;-
-+~
______L-______
ο
πιθανότητας άπό τή συνάρτηση κατα
~_________
Σχ.
2-3
Έπειδή ή γραφική παράσταση μιας συναρτήσεως κατανομής εχει τή μορφή τού Σχ.
δτι εχουμε μιά κλιμακωτή συνάρτηση.
τιμή άπό δεξιά (π.χ. ή τιμή στό
1
Χ
2
νομης.
2-3,
λέμε
Ή τιμή της συναρτήσεως γιά άκέραιο δρισμα εΙναι ή
εΙναι
{t
και οχι
i).
κατανομής εΙναι συνεχής άπό δεξιά στά σημεία Ο,
3.
2
Ή συνάρτηση κατανομής είναι
F(x)
2.
Κ Ε Φ.
'Ακριβέστερα λέμε δτι ή συνάρτηση
1, 2.
Καθώς προχωραμε άπό άριστερά πρός τά δεξιά, ή συνάρτηση κατανομης η μένει σταθερή η αύξάνει παίρνοντας τιμές άπό Ο εως
1.
Αύτό σημαίνει δτι είναι μιά αυξουσα συνάρτηση
(άκριβέστερα μή φθίνουσα).
ΣγΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
Έάν ή Χ εΙναι μιά συνεχής τυχαία μεταβλητή, ή πιθανότητα νά πάρει ή Χ μία όρισμένη τιμή,
εΙναι γενικά μηδέν.
Συνεπώς δέν μπορούμε νά όρίσουμε μιά συνάρτηση πιθανότητας μέ τόν ίδιο
τρόπο, δπως γιά μιά διακριτή μεταβλητή.
Γιά νά φθάσουμε σέ μιά κατανομή πιθανότητας γιά
μιά συνεχή τυχαία μεταβλητή, παρατηρούμε στι ή πιθανότητα νά βρίσκεται ή Χ μεταξύ δύο διαφο ρετικών τιμών εχει νόημα. Παράδειγμα
βώς
"Εάν διαλέξουμε εναν άνδρα άπό ί':να μεγάλο πλήθος ένηλίκων, ή πιθανότητα νά εΙναι τό ύψος του
2.4.
μέτρα είναι μηδέν.
1.78
Ή πιθανότητα δμως νά ε{ναι τό ύψος του Χ μεταξύ
1.65
καί
1.8-4
άκρι
.\"
είναι διάφορη τοϋ
μηδενός (θετική).
Ή παρατήρηση αύτή καί οΙ Ιδιότητες
Ι καί
2
της σελ.
38
μας όδηγούν στό νά δεχτούμε
άξιωματικά τήν ύπαρξη μιας συναρτήσεως I(;ι~) γιά τήν όποία
1.
f(x)
~ Ο
2.
I~
j(x)dx = 1
Ή δεύτερη άπό τίς παραπάνω σχέσεις έκφράζει τό γεγονός στι ή τυχαία (πραγματική) μεταβλητή
είναι μεταξύ
-
00
καί
00
'Ορίζουμε τώρα τήν πιθανότητα νά πάρει ή Χ τιμές μεταξύ α καί
1)
μέ
τή σχέση
Ρ(α <χ < b)
= f"f(X) dx
(6)
" Μπορούμε νά δείξουμε δτι ό όρισμός αύτός ίκανοποιεί τά άξιώματα τής σελ.
6.
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
2
Μιά συνάρτηση
πού ίκανοποιεί τίς συνθήκες Ι καί
f(x)
41
nIeAr-.;OTHTAr
2
καλείται συνάρτηση πιθανότητας ή
κατανομή πιθανότητας γιά τήν άντίστοιχη συνεχή τυχαία μεταβλητή.
Συχνότερα όμως καί σωστό
τερα καλείται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ή άπλά συνάρτηση πυκνότητας. νότητες μποροϋν νά όριστοϋν άπό τή σχέση Παράδειγμα
(α)
2.5.
Νά προσδιοριστεί ή σταθερή
ετσι ώστε ή συνάρτηση
c
ι(χ)
νά είναι συνάρτηση πυκνότητας. (α)
άλλιώς
Νά ύπολογιστεί ή
(b)
'Από τήν Ιδιότητα Ι Εχουμε
c
~ Ο.
Ρ(1
<
Χ
< 2).
Τό δλοκλήρωμα τής ίδιότητας
-cx~ I~
'CO
f
~.
πρέπει νά Ισουται μέ
(b)
3
-<;ι;
1,
Είναι
=
}'(Χ) (/χ
f'
2 }
< Χ < 2) =
9"):
• 1
Στήν περίπτωση πού ή
2
=
!Jc
i1
c = } Ιθ.
άρα
Ρ(}
f(x)
2
d
Χ
=
--
x~ Ι ~
27 Ι ]
~ 27
<
(6) τά
P(l ;:ΞΞ χ ~ 2)
=
- -= 27
7 27
εΙναι συνεχής, όπως θά δεχόμαστε πάντα έκτός έάν δηλωθεί τό
άντίθετο, ή πιθανότητα νά πάρει ή Χ μιά όρισμένη τιμή εΙναι μηδέν.
καταστήσουμε στήν
ΟΙ διάφορες πιθα
(6).
μέ
;:ΞΞ.
'Έτσι στό Παράδ.
Ρ(1;:ΞΞ Χ
Συνεπώς μποροϋμε νά άντι
2.5 εΙναι
= Ρ(1 < Χ ~ 2) = Ρ(l < Χ < 2)
< 2)
7 27
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΓΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
Κατ' άναλογία μέ τή σχέση
(4)
τής σελ.
39
όρίζουμε τή συνάρτηση κατανομής
F(x)
γιά μιά
συνεχή τυχαία μεταβλητή μέ τή σχέση
Ρ(Χ;:ΞΞ χ) = Ρ(-χ- < Χ;:ΞΞ χ) = I~
F(x) Σέ σημεία όπου ή Παράδειγμα
f(x)
εΙναι συνεχής, τό ;:ΞΞ στήν
Γ(}
<
χ
(7)
dlL
μπορεί νά άντικατασταθεί μέ
(α) Βρείτε τή συνάρτηση κατανομής γιά τήν τυχαία μεταβλητή του Παραδ.
2.6.
άποτέλεσμα αύτό γιά νά ύπολογίσετε τήν
(α)
(7)
f(u)
2.5.
<.
(b) Χρησιμοποιήστε τό
:?i 2).
'Έχουμε
F(x) 'Εάν
χ
<
Ο, τότε
F(x)
=
Ο.
'Εάν
=
ΡιΧ Ξ'Ξ χ)
<
Ο;;Ξ χ
3,
τότε
= 'Εάν
χ ~
3,
i
I }
Ο
., J
-1/-,,11
g
τότε
[3 f(u) du + )0
F(x)
i
I
3
f(u) dt'
i
Q
3
1
+
Q 112 άιι •
J~x
Ο
du
1
;}
"Αρα ή ζητούμενη συνάρτηση κατανομής είναι
;r
F(x)
"Ας σημειωθεί 6τι ή
F'(.r)
αύξάνει άπό Ο εως
F(.1') είναι καί συνεχής.
L
-,
_. 1,
{:'/27
<
Ο
0;-:.1'<3 .1' Ξ;:
3
δπως κάθε συ\'άρ,:ηση κατανομής.
Στό παράδειγμα αύτό ή
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
42 (b)
2
'Έχουμε Ρ(1
< Χ;ΞΞΞ
2)
= =
Ρ(Χ;ΞΞΞ
Ρ(Χ;ΞΞΞ
2) -
F(2) -
F(1)
23 13 -= 27 = 27 όπως στό Παράδ.
1)
7 27
2.5.
+
Ή πιθανότητα νά είναι τό Χ μεταξύ Χ καί Χ
ΔΧ είναι
(8) καί συνεπώς, έάν τό Δχ είναι μικρό, εχουμε
+ ΔΧ)
Ρ(χ ~ χ ~ Χ Παραγωγίζοντας τήν
(9)
εχουμε
(7)
dF(l~)
<ΤΧ σ'
Ι(Χ)ΔΧ
όλα τά σημεία όπου ή
είναι συνεχής.
f(x)
=
f(x)
(10)
Μέ αλλα λόγια ή παράγωγος τής συναρτήσεως
κατανομής είναι ή συνάρτηση πυκνότητας.
Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ
LEIBNIZ
Γιά νά πάρουμε τή σχέση
(10)
χρησιμοποιήσαμε τή γνωστή σχέση
d dx
fXπ f(u) du
f(x)
Ή σχέση αύτή είναι είδική περίπτωση του κανόνα του ματος
d dx
( α2 ('Τ)
JaJ(r)
όπου αι, α2 καί
F
i
F(u, Χ) du
Q2 (X)
αl(.Τ)
aF ax
-du
+
(11)
Leibniz
F(α2(X), Χ)
γιά παραγώγιση ένός όλοκληρώdαo
Ρ( aι(χ), Χ) dαI dx
d Χ
(12)
είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις τής Χ.
ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
'Εάν ή
j'(x)
είναι ή συνάρτηση πυκνότητας γιά μιά τυχαία μεταβλητή Χ, μπορουμε νά παρα
στήσουμε γραφικά τήν
Υ
μέ μιά καμπύλη, όπως στό Σχ.
= f(x)
δέν κατεβαίνει κάτω άπό τόν αξονα τών Χ.
Άπό τήν ίδιότητα
μεταξύ καμπυλης καί αξονα τών Χ ίσουται μέ α καί
b,
δηλ. ή Ρ(α
< Χ < b)
1.
2-4. Έπειδή f(x) ΞΞ; ο, ή καμπύλη 2 τής σελ. 40 επεται ότι τό έμβαδό
Γεωμετρικά, ή πιθανότητα νά είναι ή Χ μεταξύ
παριστάνεται άπό τό σκιασμένο έμβαδό του Σχ.
2-4.
F(x)
f(x)
---~--------------
b
α
Σχ.
~----4-----------------------x Σχ.
2-4
ii
ΙΙΙΙ Ι
2-5
-~ΙΙ"1I7"7ΙΙ"""II""""7.·.s.n.57.;.Έ""$""s....... s .....'sτ ..π ........................8k
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗ1ΈΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
Ή συνάρτηση κατανομής
1)
καί δίνεται στό Σχ.
F(x)
= Ρ(Χ ~ Χ)
43
ε{ναι μιά αύξουσα συνάρτηση (αύξάνει άπό Ο εως
2-5.
ΠΟΛγΔIΑΣΤΑΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τά προηγούμενα μπορούν νά γενικευτούν εύκολα γιά δύο η περισσότερες τυχαίες μεταβλητές.
Θεωροϋμε τήν τυπική περίπτωση δύο τυχαίων μεταβλητων καί των δύο διακριτων η καί των δύο συνεχων.
Μέ όμοιο τρόπο έξετάζεται ή περίπτωση μιας διακριτής καί μιας συνεχούς μεταβλητής
καί γενικεύονται τά άποτελέσματα γιά περισσότερες μεταβλητές.
1.
Διακριτές μεταβλητές.
Έάν Χ καί Υ είναι δύο διακριτές τυχαίες μεταβλητές όρίζουμε τή κοινή συνάρτηση πιθανό τητας των' Χ καί Υ μέ τή σχέση
Ρ(Χ όπου
1.
f(x, Υ) ΞΞΞ; ο
2.
Σ Σ f(x, Υ) Ι
= Χ, Υ = Υ) =
f(x, Υ)
=1
Υ
(Τά άθροίσματα νοοϋνται ώς πρός όλες τίς τιμές των Χ καί
Έστω ότι ή Χ μπορεί νά πάρει τίς
... ,
Υ".
(13)
Ή πιθανότητα τοϋ γεγονότος
nL τιμές Χι, Χ2, Χ
=
καί
Xj
Υ
Υ.)
... , χ π•
= Yk
καί ή Υ τίς 1/. τιμές Υι, Υ2,
είναι
(14) Μιά κοινή συνάρτηση πιθανότητας μπορεί νά περιγραφεί μέ εναν πίνακα κοινής πιθανότητας,
όπως ό Πίν.
2-3.
Ή πιθανότητα νά είναι Χ
τες της γραμμης τοϋ
Ρ(Χ Γιά
j
= 1, 2,
πίνακα.
Yk,
k = 1,2, ... , n 2-3.
= Yk) =
ΥΖ
Υι
I(Χι, Υι)
Χ2
I(Χ2, Υι)
= Υ"
---'---
11
Σ f(Xj, Yk)
(15)
"=1
προκύπτει αν άθροίσουμε όλες τίς πιθανότητες
'11
fz(Y,,) = Σ f(Xj, Yk)
(16)
j=l
2-3
Ι
I(Χ ι , ΥΖ)
i
...
Ι
...
Ι
l(x 1 • Υ,,)
Ι ι (Χι)
Ι
Ι(ΧΖ, Yll)
! ι (ΧΖ)
I(x m , Y n )
Ιι
i
...
!(Χ2' ΥΖ)
Ι
Σύνολα ~
=
fl (Xj)
τά άποτελέσματα των άθροίσεων αύτων δίνονται στήν κάτω σειρά τοϋ
ΧΙ
Χ,,,
προκύπτει αν άθροίσουμε όλες τίς πιθανότη
δηλ.
Πίν.
~
Xj
... , m τά άποτελέσματα των άθροίσεων αύτων δίνονται στή δεξιά στήλη τοϋ
Ρ(Υ
Πίν.
= Xj) =
'Όμοια ή πιθανότητα νά είναι Υ
της στήλης τού
Γιά
=
Xj, δηλ.
I(Χ πι , Υι)
ΙΖ(Υι)
ί
Σύνολα Υπ
t
ι
,
i
j
...
JXx"!1 ΥΖ)
.f2 (Υ2)
Ι
Ι
...
Ι Ι ι
ι
.f2 (Υπ)
(x m ) 1
~ Γενικό Σύνολο
--~-----
---~..,..----
------;;ιr-
------~
44
_ _ _ _ _ _ _ __
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
Έπειδή οΙ πιθανότητες
(15) καί (16) προκύπτουν κατά κάποιο τρόπο στό περιθώριο τού πί νακα, καλούμε συχνά τίς 11 (Xj) καί !2(Yk) [ή άπλά 11 (Χ) καί 12(Υ)] περιθώριες συναρτήσεις πι θανότητας των Χ καί Υ άντίστοιχα.
W
'"
=
Σ Iι(xj)
;= ι
ΟΙ σχέσεις αύτές γράφονται καί
Ας σημειωθεί ότι
tn
"
Σ 12(Yk)
1
(17)
1
~'=1
tl
Σ Σ !(Xj, Υ") j=l ';=1
=
(18)
1
πού σημαίνει δπλά ότι τό άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των δυνατων γεγονότων είναι
1,
όπως φαίνεται καί στήν κάτω δεξιά άκρη τού πίνακα. Ή κοινή συνάρτηση κατανομης των Χ καί Υ όρίζεται μέ τή σχέση
F(x, Στόν Πίν.
2.
2-3
ή
F(x,
Υ)
=
Σ
Ρ(Χ;ΞΞ:1.', Υ ~ Υ)
Σ !(1Ι, υ)
u~.τ
(19)
V;;Y
Υ) είναι τό άθροισμα όλων των όρων μέ Χj;ΞΞ Χ,
Υ,,;:ΞΞ Υ.
Συνεχείς μεταβλητές.
Στήν περίπτωση όπου καί οί δύο μεταβλητές είναι συνεχείς, Ισχύουν άνάλογα μέ τήν προη γούμενη περίπτωση μέ άντικατάσταση των άθροισμάτων μέ όλοκληρώματα.
'Έτσι ή κοινή
συνάρτηση πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητων Χ καί Υ ή, όπως συνηθέστερα καλείται, κοινή συνάρτηση πυκνότητας όρίζεται μέ τίς σχέσεις
Ή
Ζ
1.
Ι(Χ, Υ) ~ ο
2.
ι:
=
i:
Ι(Χ, Υ) dx dy =
1
{(Χ, Υ) παριστάνει μιά έπιφάνεια πού καλείται tπιφάνεια πιθανότητας (Σχ.
νολικός όγκος μεταξύ της έπιφάνειας αύτης καί τού έπίπεδου ΧΥ Ισούται μέ Ιδιότητα
καί
2.
Ή πιθανότητα νά βρεθεί τό Χ μεταξύ α καί
b
1
2-6).
Ό συ
σύμφωνα μέ τήν
καί συγχρόνως τό Υ μεταξύ
c
d παριστάνεται άπό τό σκιασμένο όγκο τού Σχ. 2-6 καί δίνεται άπό τή σχέση
Ρ(a < Χ < b, c < Υ
< d)
ΓΙ)
=
J.τ=a
fdy=r
Ι(Χ, Υ) dx dy
(20)
Ζ
,-_ _-
Ζ
=
!(Χ, Υ)
~~~--~------------Y a,r-------,,ιL--
b~---------+----
Σχ.
2-6
Γενικότερα, έάν Α εΙναι Ι:να γεγονός, ύπάρχει μιά άντίστοιχη περιοχή καί ή πιθανότητα τού Α είναι τό όλοκλήρωμα στήν
•
_!._, .. ,~,.~
_ .•
'
.;:: ,-...
'R. A ,
'R.. A
τού έπίπεδου .ΤΥ
δηλ .
i'"-""t,.t.,. - ___ ο
----------------~------------......................
_
Κ Ε Φ.
45
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
Ρ(Α)
ΙΙ f(x, Υ) dx dy
=
(21)
'1{Α
Ή κοινή συνάρτηση κατανομής των Χ καί Υ όρίζεται στήν περίπτωση αύτή μέ τή σχέση Υ)
F(x,
fY
f"
Ρ(Χ;::Ξ Χ, Υ;::Ξ Υ)
=
U:::::-:o
Κατ'
άναλογία μέ τή σχέση
(1 Ο)
τής σελ.
42
υΨ
- = Θχ ΟΥ
Ι(ιι, υ) du dv
(22)
υ=-ο;η
εχουμε
f(x , Υ)
(23)
πού σημαίνει ότι ή συνάρτηση πυκνότητας προκύπτει άπό μερική παραγώγιση τής συναρτή σεως κατανομής ώς πρός Χ καί Υ.
, Από
(22)
τήν
εχουμε
Ρ(Χ;::Ξ Χ)
Fl
5.: _ο; ι: _"
(χ)
f(u,
υ) du dv
(24)
(25') πού καλουνται περιθώριες συναρτήσεις κατανομής η άπλά συναρτήσεις κατανομής των Χ καί Υ άντίστοιχα.
Οί παράγωγοι των
(24)
καί
(25)
ώς πρός Χ καί Υ καλουνται περιθώριες συναρτήσεις
πυκνότητας η άπλά συναρτήσεις πυκνότητας των Χ καί Υ καί δίνονται άπό τίς σχέσεις
λ:
Ιι (Χ)
_,.,
f(x,
υ) dv
ι: _ο:; !(u,Y) (!ΙΙ
(26)
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ W
Ας ύποθέσουμε ότι οί Χ καί Υ εΙναι διακριτές τυχαίες μεταβλητές.
'Εάν τά γεγονότα Χ
= Χ καί Υ = Υ εΙναι άνεξάρτητα γιά κάθε Χ καί Υ, τότε λέμε ότι οί Χ καί Υ εΙναι άνεξάρτητες τ~αίες μεταβλητές.
Στήν περίπτωση αύτή εΙναι
Ρ(Χ
= Χ,
Υ = Υ)
=
Ρ(Χ
= ;ι~) Ρ(Υ = Υ)
(27)
η ίσοδύναμα
(28) 'Αντίστροφα, έάν γιά όλα τά Χ καί Υ ή κοινή συνάρτηση πιθανότητας
j'(X,
Υ) μπορεί νά έκφρα
στεί σάν γινόμενο μιας συναρτήσεως μόνον του Χ καί μιας συναρτήσεως μόνον του Υ (πού εΙναι βέβαια οί περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας των Χ καί τες.
Υ),
τότε οί Χ καί Υ εΙναι άνεξάρτη
'Αλλιως οί Χκαί Υ έξαρτωνται ή μιά άπό τήν άλλη.
'Εάν οί Χ καί Υ εΙναι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, λέμε ότι εΙναι άνεξάρτητες τυχαίες μετα βλητές, έάν τά γεγονότα ση αύτή
Χ;::Ξ Χ
καί
Υ;::Ξ Υ
εΙναι άνεξάρτητα γιά κάθε χ καί Υ.
Στήν περίπτω
μπορουμε νά γράψουμε
Ρ(Χ;::Ξχ, Υ;::ΞΥ)
=
Ρ(Χ;::ΞΧ)Ρ(Υ;::ΞΥ)
(29)
η ίσοδύναμα·
(30) όπου οί
F J (χ)
καί
Fz(Y)
εΙναι οί (περιθώριες) συναρτήσεις κατανομής των Χ καί Υ άντίστοι
χα. 'Αντίστροφα, έάν γιά κάθε χ καί Υ ή κοινή συνάρτηση κατανομης
tnz
F(x,
Υ) μπορεί νά έκφρα-
46
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
στεί σάν γινόμενο μιας συναρτήσεως μόνον του χ καί μιας συναρτήσεως μόνον του
2
11 (πού εΙναι
βέβαια οί περιθώριες συναρτήσεις κατανομής τών Χ καί Υ), τότε οί Χ καί Υ εΙναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.
'Αλλιώς οί Χ καί Υ έξαρτώνται ή μιά από τήν άλλη.
Γιά συνεχείς ανεξάρτητες μεταβλητές ή κοινή συνάρτηση· πυκνότητας .f(J:, Υ) γράφεται σάν γινόμενο μιας συναρτήσεως
ΙΊ(Χ) του χ μόνον καί μιας συναρτήσεως
!2(Υ) του Υ μόνον, πού
εΙναι οΙ (περιθώριες) συναρτήσεις πυκνότητας τών Χ καί Υ αντίστοιχα.
ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
Δεδομένων τών κατανομών πιθανότητας μιας ή περισσότερων τυχαίων μεταβλητών, ένδιαφερό μαστε συχνά νά βρουμε τίς κατανομές άλλων τυχαίων μεταβλητών, πού έξαρτώνται από τίς προη γούμενες κατά κάποιο συγκεκριμένο τρόπο.
Δίνουμε έδώ μερικά θεωρήματα χρήσιμα σέ τέτοια
προβλήματα γιά διακριτές καί συνεχείς μεταβλητές.
1.
Διακριτές μεταβλητές.
θεώρημα
2-1:
Έστω Χ μιά διακριτή τυχαία μεταβλητή μέ συνάρτηση πιθανότητας άν
U
σχέση
U=
τής
καί αντίστροφα μέ
U
Έ
f(x).
εΙναι μιά άλλη διακριτή τυχαία μεταβλητή πού όρίζεται από τήν Χ μέ μιά φ(Χ) τέτοια ώστε σέ μιά τιμή τής Χ νά αντιστοιχεί μιά μόνον τιμή
Χ
ψ(υ), τότε ή συνάρτηση πιθανότητας τής
=
U
εΙναι
rι(ιι) θεώρημα
2-2:
=
f(ΙP(u)]
(31)
Έστω στι χ καί Υ εΙναι διακριτές τυχαίες μεταβλητές μέ κοινή συνάρτηση πιθανότητας
f(x,
Υ).
νΑν
U
καί
V
εΙναι δύο άλλες διακριτές τυχαίες μετα
βλητές, πού συνδέονται μέ τίς Χ καί Υ μέ τίς σχέσεις φ;!(Χ, Υ)
μέ αντίστροφες τίς
Χ
=
ψl(U, V),
Υ
=
U = φl(Χ, η,
V =
Ψ2(υ, V), ετσι ώστε σέ κάθε
ζευγος τιμών τών Χ καί Υ νά αντιστοιχεί ενα μόνο ζευγος τιμών τών
U καί V καί αντίστροφα, τότε ή κοινή συνάρτηση πιθανότητας τών U καί V εΙναι (32)
2.
Συνεχείς μεταβλητές.
θεώρημα
2-3:
Έστω Χ μιά συνεχής τυχαία μεταβλητή μέ πυκνότητα πιθανότητας υ
= ς,(Χ)
μέ αντίστροφη τήν Χ
σπως στό Θεώρ.
2-1,
= ψ( U),
τότε ή πυκνότητα πιθανότητας
g(u) idu!
rι(ιι)
ή
θεώρημα
2-4:
=
f(x)
=
f(x).
Έάν
μέ τιμές μία πρός μία αντίστοιχες
g(u)
τής υ Ικανοποιεί τήν
f(x) idx!
Ι ~~.I
f[of(1t») ψ(ιι)!
(33) (34)
Έστω στι Χ καί Υ εΙναι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές μέ κοινή συνάρτηση
πυκνότητας f(;I:, Υ). Έάν υ = ψl(Χ, η, V = φ~(X, Υ) μέ αντίστροφες τίς Χ = ψl(U, V), Υ = y.,(U, V), μέ ζεύγη τιμών αντίστοιχα ενα πρός ενα σπως στό
Θεώρ. 2-2, τότε ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας rι(ΙΙ,I') τών U καί l' ίκανο ποιεί τίς
ρ(u,υ)ldιιdυ[ ή
f](If,l')
Στήν προηγούμενη σχέση ή
Ι
=
{(.Γ,Υ\[dΧdΥ[
(ι(χ, Υ) ι
== {(Χ,Υ) σ(ιι,I') Ι
Ίακωβιανή όρίζουσα ή απλά
(3.5) (36)
Ίακωβιανή εΙναι
,
Κ Ε Φ.
αaπηz;
2
.
ης;
1Χ
...
.',. ,
m
Ζ
47
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
a(x, Υ) a(U, υ)
J
ΒΧ
ΒΧ
au
Βυ
ay
ay
Αιι
Βυ
(37)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Τά Θεωρ. τών.
καί
2-2
2-4
άναφέρονται σέ κοινές συναρτήσεις πιθανότητας δύο τυχαίων μεταβλη
Στήν πράξη όμως ζηταμε συχνά νά βροϋμε τήν κατανομή πιθανότητας μιας όρισμένης συναρ
τήσεως διαφόρων τυχαίων μεταβλητών.
Τά παρακάτω θεωρήματα εΙναι συχνά χρήσιμα σέ τέτοια
προβλήματα.
θΒώρημα
2-5:
'Έστω στι Χ καί Υ ε{ναι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές καί νάρτηση αυτων.
V =
'Εάν θέσουμε (αύθαίρετα)
U
= φl(Χ, Υ)
μιά συ
Χ, τότε ή συνάρτηση πυκνότητας
τής υ ε{ναι ή περιθώρια πυκνότητα πού προκύπτει άπό τήν κοινή πυκνότητα τών υ
καί
V
σύμφωνα μέ τό Θεώρ.
'Ένα σμοιο θεώρημα Ισχύει γιά διακριτές
2-4.
μεταβλ ητές.
θεώρημα
2-6:
'Εάν /(;Ι', Υ)
είναι ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας τών Χ καί Υ, τότε ή συνάρ
τηση πυκνότητας
g(U)
τής τυχαίας μεταβλητής
U=
φl(Χ, Υ) προκύπτει άπό πα
ραγώγιση ώς πρός Μ τής συναρτήσεως κατανομής
G(1t)
=
Ρ[φl(Χ, Υ) ;Ξ;ιι]
=
5Ι Ι(Χ, Υ) dx dy
(38)
'1{
σπου CJ( είναι ή περιοχή στήν όποία
ΦI(Χ, Υ) ;:ΞΞ ιι.
ΣΥΝΕΛΙ:ΞΕΙΣ
Σάν έφαρμογή τών προηγούμενων θεωρημάτων μποροϋμε νά δείξουμε (Πρόβλ. συνάρτηση πυκνότητας τοϋ άθροίσματος
U =
Χ
+Υ
2.23)
δτι ή
δύο συνεχών τυχαίων μεταβλητών Χ καί Υ
μέ κοινή συνάρτηση πυκνότητας Ι(:ι:, Υ) εΙναι
g(u)
=
I~ /(.ι-, ΙΙ -
;1:)
(Ι.τ
Στήν εΙδική περίπτωση δπου οί Χ καί Υ εΙναι άνεξάρτητες, εχουμε .f(x, Υ)
(39)
(39) /1 (χ) /Z(?J) καί ή
δίνει
= I~ /1 (;t.) .fΛιι - χ) (IX
g(ll)
πού καλείται συνέλιξη τών fJ καί
/2
καί συμβολίζεται μέ
I1
(40)
* /2.
Ή συνέλιξη εχει τίς παρακάτω άξιοσημείωτες ίδιότητες:
1.
11*/2 = /2';'/1
2.
IΊ~'
(/2 ':'
3.
II~'
(/2
(/1 ,;,
12) * /~
/3) = .fJ ,;,
12 + /1
Ν
-t-
=
,~ Ι:;
Οϊ σχέσεις αύτές δείχνουν δτι Ισχύουν ή άντιμεταθετική Ιδιότητα, ή προσεταιριστική Ιδιότητα καί ή έπιμεριστική ίδιότητα γιά τήν πράξη τής συνελίξεως.
,-----'-
---
----- - - - , - - - - - - - - - - - - -
48
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ· ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠlθΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ
Γνωρίζουμε ήδη δτι, έάν Ρ(Α)
>
Ο. τότε
Ρ(Β Ι Α) = Έάν Χ καί Υ εΤναι (Β: Υ
=
Υ), τότε ή
Ρ(Α πΒ)
διακριτές τυχαίες μεταβλητές καί θεωρήσουμε τά γεγονότα
Ι(Χ, Υ)
(Α: Χ
= Χ),
γίνεται
(41)
Ρ(Υ = Υ Ι Χ = Χ) όπου
(41)
Ρ(Α)
= Ρ(Χ = Χ, Υ = Υ)
= I(Χ,1/) I1 (~.)
(42)
εΤναι ή κοινή συνάρτηση πιθανότητας καί
θώρια συνάρτηση πιθανότητας τής Χ.
/1 (Χ)
εΤναι ή περι
Μέ τή σχέση
Ι(Υ Ι χ) == f(x, Υ)
(43)
I1 (χ)
όρίζουμε τή συνάρτηση πιθανότητας ύπό συνθήκη τής Υ δεδομένης τής Χ.
~Oμoια, ή συνάρτηση
πιθανότητας ύπό συνθήκη τής Υ δεδομένης τής Χ εΙναι
Ι Υ) == f(x, Υ)
f(x Μερικές φορές θά συμβολίσουμε τίς
f(x
(44)
12 (Υ)
i Υ)
καί
f(y! ;1:)
μέ
fl
(.ι; Ι Υ) καί
12(Y i χ)
άντίστοιχα.
Τά παραπάνω έπεκτείνονται ευκολα στήν περίπτωση όπου οί Χ καί Υ εΙναι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.
Π.χ. ή συνάρτηση πυκνότητας ύπό συνθήκη της Χ δεδομένης τής Υ εΙναι
f(y Ιχ)
f(x, Υ)
==
,
(45)
/1 (;1')
όπου Ι(Χ, Υ) ε{ναι ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας των Χ καί Υ καί Ιι(Χ) ή περιθώρια συνάρ τηση πυκνότητας της Χ. ξύ C καί
d
Έτσι Π.χ. άπό τήν
δεδομένου ότι χ
< Χ < χ + dx
(45)
βρίσκουμε ότι ή πιθανότητα νά εΙναι ή Υ μετα
εΙναι
P(c
(46)
Τά άποτελέσματα αύτά γενικεύονται ευκολα.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μερικά προβλήματα πιθανότητας προκύπτουν άπό γεωμετρικά προ
βλήματα ή δέχονται γεωμετρική έρμηνεία.
Π.χ. άς ύποθέσουμε ότι
εχουμε εναν έπίπεδο στόχο μέ έμβαδό Κ καί εστω ενα τμήμα του μέ έμβαδό Κ ι.
Ε{ναι λογικό νά δεχτουμε ότι ή πιθανότητα νά χτυπή
σουμε τήν περιοχή μέ έμβαδό ΚΙ εΙναι άνάλογη του Κι.
Όρίζουμε
λοιπόν
Ρ( χτύπημα περιοχής έμβαδοϋ Κι) = ~1 όπου δεχτήκαμε ότι ή πιθανότητα νά χτυπήσουμε τό στόχο εΙναι
(47) 1.
Βέ
βαια μποροϋν νά γίνουν καί άλλες παραδοχές (π.χ. ότι είναι πιθανότερο νά χτυπηθεί ή κεντρική περιοχή, κτλ.).
Βασικά οΙ παραδοχές όρίζουν
τή συνάρτηση κατανομής πιθανότητας.
.Ι ___ '__
.... _
Σι.
••
~
';"_j1- - ,
.. ".------
2-7
-
;
φι
Κ Ε Φ.
2
-
7
7
7
F
49
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
Λυμένα Προβλήματα ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
2.1.
'Έστω δτι ή τυχαία μεταβλητή Χ παριστάνει τό αθροισμα των άποτελεσμάτων στή ρίψη δύο
ζαριων.
(α)
Προσδιορίστε τήν κατανομή πιθανότητας τής Χ.
κά αύτή τήν κατανομή πιθανότητας μ' (α)
Τά σημεία τοϋ δειγματόχωρου γιά τή ρίψη δύο ζαριών δίνονται στό Σχ.
ενα ίστόγραμμα.
18. Ή τυχαία (3,2) εχουμε χ 5. ·Επειδή όλα τά 36 σημεία εχουν τήν ίδια πιθανότητα, ιcάθε σημείο εχει πιθανότητα 1/36. Eύιcoλα εχουμε τόν Πίν. 2-4. Π.χ. Υιά Χ = 5 εχουμε τά τέσσερα σημεία (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) ιcαί συνεπώς άντίστοιχη πιθανότητα 4/36. μεταβλητή Χ είναι τό αθροισμα τών συντεταΥμένων ιcάθε σημείου.
Πίν.
(b)
(b) Παραστήστε γραφι
ενα ραβδόγραμμα η μ'
Χ
2
3
i
.f(x)
1/36
2/36
Ιι
τής σελ.
1-17
2-4
4
5
ι :
6
7
Ι
8
9
10
11
12
3/36
4/36
Ι
5/36
6/36
Ι
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
ι
ι
ι
Μποροϋμε νά παραστήσουμε τήν κατανομή πιθανότητας μ' ενα ραβδόΥραμμα, όπως στό Σχ. ίστόΥραμμα, όπως στό Σχ.
2-8
2-9,
2-8,
η μ' ενα
αν άντίστοιχα θεωρήσουμε τήν Χ σάν διαιcριτή η συνεχή μεταβλητή.
Στό Σχ.
τό αθροισμα όλων τών τε ταΥ μένων είναι
είναι
=
Έτσι Π.χ. Υιά τό
1,
ενώ στό Σχ.
2-9
τό αθροισμα τών εμβαδών τών όρθΟΥωνίων
1.
j(x) 6136
4/36 336 2 '3fi
] 36
Ι 2
5
3
8
6 Σχ.
9
]0
11
Ι
12
2-8
f(x) 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
2
3
5
4
6
7 Σχ.
-
j , _ .. -
---~,..;
2-9
.;.,.:-:: ..... - - - -
8
9
10
11
12
Χ
-~-:---~------------~-~- - - - - -
50 2.2.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΑΣ
(α) Προσδιορίστε καί
(b)
Κ Ε Φ.
2
παραστήστε γραφικά τήν κατανομή πιθανότητας γιά άγόρια καί
κορίτσια σέ οίκογένειες μέ τρία παιδιά.
(Δεχτείτε ίσες πιθανότητες γιά άγόρια καί κο
ρίτσια.) (α)
Στό Πρόβλ.
1.46
μελετήσαμε τήν περίπτωση 11 άνεξάρτητων προσπαθειών (δοκιμών), δπου κάθε προσπάθεια
(δοκιμή) είχε δυνατά άποτελέσματα Α καί Α' μέ άντίστοιχες πιθανότητες Ρ καί ή πιθανότητα νά πάρουμε χ άκριβώς φορές τό Α σέ 1Ι προσπάθειες είναι
ρ.
q == 1 nCxpIq"-X.
Βρήκαμε δτι
Τό άποτέλεσμα
αύτό έφαρμόζεται στό πρόβλημα πού εχουμε έδώ μέ τήν παραδοχή δτι οί διάφορες γεννήσεις (προσπάθειες)
είναι άνεξάρτητες.
•Αρα,
ίάν Α είναι τό γεγονός «άγόρι».
Ρ(άκριβως χ άγόρια)
Ρ(Χ == χ)
=
==
n
==
καί
3
Ρ
==
q ==
-!Σ,
:JG'.T(~Y αΥ-Χ
δπου ή τυχαία μεταβλητή Χ παριστάνει τό πλήθος των άγοριών σέ μιά
Πίν.
οίκογένεια (ή Χ όρίζεται στό δειγματόχωρο τών τριών γεννήσεων).
Ή συνάρτηση πιθανότητας γιά τήν Χ
f(x) = δίνεται στόν Πίν.
(b)
3CX(~) 3
2-10
μεταβλητή).
(διακριτή μεταβλητή) ή δπως στό Σχ.
2-11
χ
Ο
1
2
3
.f(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
ΓΙ
(συνεχής
Ή άρχή τού άξονα χ εχει μετατοπιστεί γιά νά
::: ~
γίνουν καλύτερα τά σχήματα.
ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ
2.3.
1/8
(α) Νά βρεθεί ή συνάρτηση κατανομής
F(;1')
τυχαία μεταβλητή Χ του Προβλ.
Νά γίνει γρα
2.1. (b)
γιά τήν
F(x) =
Ρ(Χ;ΞΞ Χ)
:Σ
==
Ι(ιι)
F(x)
(b)
ιΙ
Ο
Ι Ι
καί χρησιμοποι-
2
1
Σχ.
Ι
3
2-10
f(x)
1I~I
ώντας τά άποτελέσματα του Προβλ.
ι
Ο
φική παράσταση τής συναρτήσεως κατανομής.
(α) Έχουμε
2-5
2-5.
Γραφικά ή συνάρτηση πιθανότητας μπορεί νά παρασταθεί δπως στό Σχ.
εχουμε
2.1
< 2
3/8
1/36
2~.T<3
2/8
3/36
3;ΞΞ:ι:<4
6/36
4;;;.;'<5
-:;<
<
.Ι·
1/8
11
35/36
;ΞΞ .1'
12 ;ΞΞ
1
Ή γραφική παράσταση δίνεται στό Σχ.
.1:
< 12
Σχ.
2-11
< '"
2-12.
F(x) 1
-
33/36 30/36
! ι
27/36 24136
r-ι
,....-.J
21/36 18/36 15/36 12/36 9136 6/36
3/36
Ι
------~------~====~--~----~--~--~----~--~--~----~--~-----------x 9 10 11 12 7 8 6 4 2 3 5 Σχ.
2-12
.C12t
-,ιιτςψ ?S1 ' 5 ' Ζ SS'7T
Κ Ε Φ.
2.4.
7 TW7M5
rn
2
(α) Προσδιορίστε τη συνάρτηση κατανομής
2.2. (α)
51
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΑΣ
(b)
F(x) γιά τήν τυχαία μεταβλητή Χ τοϋ Προ βλ.
Παραστήστε γραφικά αύτή τή συνάρτηση κατανομής.
Χρησιμοποιώντας τόν Πίν.
Ειουμε
2-5
=
F(x)
<
-00
ο
χ
<Ο < 1 < 2 < 3
1/8
Ο ~ χ
1/2
1
~ χ
7/8
2
~ χ
1
3~x<""
(b) Ή γραφική παράσταση δίνεται στό Σι. 2-13.
F(x)
7/8 6/8
5/8 4/8 3/8
2/8 1/8 ο
3
2 Σχ.
2-13
ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
2.5.
Μιά τυχαία μεταβλητή Χ εχει συνάρτηση πυκνότητας cιo.
(α)
Ύπολογίστε τήν τιμή τής σταθερής
ται τό ΧΊ μεταξύ
καί
1/3
f:", i '"
(α) Πρέπει νά εΙναι
( b)
=
f(x) dx
= Ι/π. 'Εάν 1:.3 ~ Χ 2 ~
δπου
-cιo
<Χ <
1.
cdx
_" χ 2
"αί
= c/(x 2 + 1),
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά βρίσκε-
(b)
c.
Λχ)
+1
1,
άπ' δπου
=
ctan- 1 χ
Ι'"
-00
c
1
1,
τότε ή V3:::; 3 - χ :::; - 1 ή
f-
-;
Va/3
-1
dx
1
χ 2 + 1 +;
f
1 Va/3
-1:::; -
Χ :::;-
V3 3
_
2
dx
χ2 + 1
= ;
f
WApα ή
ζητούμενη πιθανότητα εΙναι
dx
1 0./3/3
χ2 + 1
= ; [tan- t (1)
-
tan- l
(~) ]
;(~ -~) = ~ 2.6.
Προσδιορίστε τή συνάρτηση κατανομής γιά τή συνάρτηση πυιcνότητας τοϋ Προ βλ, Ε{ναι
F(x)
=
f
x
f(u)du
-00
~ [tan- 1 χ -
= -1 fX 1ί
-00
tan- 1 (-00)]
du
--τ-+ 1 1Ι
= :1 [ tan-lu ΙΧ ιι
2.5.
]
-οι:
= ~[tan-l χ + ~J
-21 + -1 tan- 1 χ 7r
-----
----
-------------------
2.7.
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕ1ΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
52
2
Ή συνάρτηση κατανομής τής τυχαίας μεταβλητής Χ εΙναι
f1-
=
F(x)
e- 2x
x~O
Ίο
χ<Ο
Βρείτε (α) τή συνάρτηση πυκνότητας, (δ) τήν πιθανότητα νά εΙναι Χ> θανότητα νά ε{ναι
-3 <
Χ ;ΞΞ
(ο)
4.
Ρ(Χ>
(b)
d
=
.f(x)
dx F(x)
__ {2 e0
2x
καί (c) τήν
2
πι
χ>Ο
Χ<Ο
2)
νΑλλη μέθοδος.
Άπό τόν όρισμό
(σ)
ΡΙ-3
<
Ρ(Χ;;Ξ
Χ;;Ξ
= F(2) = 1- e- 4 . "Αρα Ρ(Χ> 2) = 1 - (1 - e- 4 ) =
2)
f
-3
Χ;;Ξ
4)
4)
e- 4
/(11.) d11.
4
"Αλλη μέθοδος.
Ρ(-3
<
=
Ρ(Χ;;Ξ
F(4) -
=
Ρ(Χ;;Ξ
4) -
-3)
F(-3)
(1-e- S )
(Ο)
-
=
e- S
1 -
ΚΟΙΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
2.8.
Ή κοινή συνάρτηση πιθανότητας δύο διακριτών τυχαίων μεταβλητών Χ καί Υ εΙναι
= c(2:t· + Υ), γιά άκέραια χ καί = ο γιά δλα τά άλλα χ καί Υ.
Υ στά διαστήματα
Ο ~ χ ;ΞΞ
(b)
(α) Ύπολογίστε τήν τιμή τής σταθερής ι'.
Ο;ΞΞ Υ ;ΞΞ
2,
Ύπολογίστε τήν
3,
ενώ
Ρ(Χ
= 2,
f(x, Υ) j(x, Υ)
Υ
= 1).
(c) Ύπολογίστε τήν Ρ(Χ ~ 1, Υ;ΞΞ 2). (ο)
Τά σημεία (Χ, Υ) του δειγματόχωρου πού εχουν πιθανότητες διάφορες του μηδενός δίνονται στό Σχ. 2-14. πιθανότητες, πού άντιστοιχοϋν στά σημεία αύτά. προκύπτουν άπό τήν έκφραση
Πίν,
2-6,
Έπειδή τό γενικό σύνολο
Πίν.
Ο
Ο
c
2σ
3σ
6σ
1
2σ
3σ
4σ
5σ
14σ
2
4σ
5σ
6c
7σ
22σ
&
6σ
Σύνολο
1
2
3
12σ
9σ
.1
~
_
+ Υ}
= 1/42.
ΟΙ
καί δίνονται στόν
Υ
~.~ -..,.
1, εχουμε c
2-6
Ο
Σύνολο
•
Ι
42σ πρέπει νά ίσούται μέ
c(2x
15σ
t
3
•
•
2
•
•
1
•
•
Ο
1
2
Χ
42σ
Σχ.
' . . - _-?'-~ ...._~-'
3a. 11111 L
1J&
2
2-14
'Ψ1
#1
Κ Ε Φ.
Άπό τόν Πίν.
2-6
Μ'
}'$'$'-'
1)
1,
Υ ~
~
2)
53
5
5c
42
Σ !(Χ,Υ)
χΕ;;;l
y~2
+ 3c + 4c) +
(2c
όπως φαίνεται καί από τό σκιασμένο τμήμα τού Πίν.
(4c
24 42
=
24c
+ 5c + 6c)
4 7
2-6.
Προσδιορίστε τίς περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας τών τυχαίων μεταβλητών
(b) (α)
Υ
του Προβλ.
2-6.
=
Ρ(Χ
= ;ι,) = /1 (Χ)
Ρ(Χ
Χ)
{
1
1
11
-+-+== 7 3 21
τού Πίν.
καί προκύπτει από τή δεξιά στή
= 1/7
Χ
=Ο
14c == 1/3
Χ
=1
Χ
=2
2-6.
22c
:.=
11/21
1
Ή περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας τής Υ ε[ναι γραμμή
Χ καί
Έτσι εχουμε
6c
Έλεγχος:
(α)
2.8.
Ή περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας τής Χ είναι λη τού Πίν.
(b)
Ο'Τ
Έπίσης Ρ(Χ Ε;;;
2.9.
g-, 2m '
g
εχουμε
Ρ(Χ=2, Υ=
(c)
r.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
(b)
r
5
"
S
Ρ( Υ
==
Υ)
== /2 (μ)
καί προκύπτει από τήν τελευταία
Έτσι εχουμε
Ρ(Υ
== Υ) {
6c == 1/7
Υ=Ο
9c == 3/14
Υ=1
12c == 2/7 15c
Υ=2
= 5/14
Υ
=3
'Έλεη~:oς:
2.10.
Δείξτε δτι οί τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ του Προβλ.
2.8
δέν ε{ναι άνεξάρτητες.
Έάν οί τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ ήσαν άνεξάρτητες, θά επρεπε νά ε'ίχαμε γιά κάθε Χ
Ρ(Χ Άλλά, όπως προκύπτει από τά Προβλ.
Ρ(Χ = 2 , Υ =
1)
καί αρα
= Χ,
Υ
2.8(b)
= 11) = καί
== ~ 42
Ρ(Χ
2.9,
Ρ(Χ
Υ
==
Χ) Ρ(Υ
= Υ)
ε[ναι
Ρ(Χ = 2)
= 2,
==
=
;~
Ρ(Υ
3
= 1)
14
1) 7"- Ρ(Χ = 2) Ρ(Υ = 1)
Στό 'ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε, αν παρατηρήσουμε δτι ή κοινή συνάρτηση πιθανότητας μπορεί νά γραφεί σάν μιά συνάρτηση μόνον τού Χ έπί μιά συνάρτηση μόνον τού
2.11.
(2χ
+ Υ)/42
δέν
Υ.
Ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας δύο συνεχών τυχαίων μεταβλητών Χ καί Υ ε{ναι
f(x, Υ)
Ρ(Χ ~
ο
Ιο
άλλιως
Υ ~
c.
(c)
Ύπολογίστε τήν
(a)
Έπειδή ή όλική πιθανότητα πρέπει νά Ισοϋται μέ
3,
< χ < 4, 1 < Υ < 5
JCXY
(α) Ύπολογίστε τήν τιμή τής σταθερής
5
καί Υ
(b)
Ύπολογίστε τήν Ρ(l
2). 1,
εχουμε
< Χ < 2,
2
< Υ < 3).
54
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
'Αντικαθιστώντας τήν εκφραση τής
2
!(χ. Υ) στό όλοκλήρωμα εχουμε
(4 (5 J.r=O JJI= Ι cxy dx dy ΧΥ215
J
,4
C
--
f
c
dx
y~1
2
.=0
(25Χ - - - -χ) dx
4
2
.1'=0
2
96c
"Αρα
(b)
96c
=1
καί
c
= 1/96.
Χρησιμοποιώντας τήν τιμή τοϋ
Ρ(1
<
Χ
< 2, 2 <
Υ
< 3)
c
πού βρήκαμε, εχουμε
(~ (3 ΧΙL dx dy Jx=1 J Y =2 96
=
-1 96
f2 [f,3 .τ=1
Υ=2
.
xydy
Ρ(Χ ΞΞ;
(c)
3,
Υ:Ξ'Ξ
(4
2)
J'2
-1 96, 1
ΧΥ
'Υ=Ι 96
J",=3
5 192
χΥdη
.(=1
.
3Χ d
(4
-
96
(Χ2 )1
]
-
",=1 2
Υ=2
dx
5 128
1
-1 96
dx
i 2 χΥ2 \3
2
dx dy .
r'τ=3! ['2
96 J",=3
-1
-
dx 2
(2 5χ dx 96 ).r=1 2 1
=
]
14
r=3
χΥ2 - \2 dx 2 Υ= 1
7 128
"2 Χ
2.12. Προσδιορίστε τίς περιθώριες συναρτήσεις κατανομής (ο) τής Χ καί (b) τής Υ τοϋ Προβλ. 2.11. (α)
Ή περιθώρια συνάρτηση κατανομής τής Χ μέ
F 1 (x)
P(X;;a
O;;a
χ
<4
είναι
'" J"=-,,, ('" i u=-"
Χ)
.!"(u, 1') dH dl'
'" f5 ~ du dl' s,u=O "=1 96 [j,5 ΙΙl' dl' ] du - 1 s,'1" Γιά χ ~ 4
είναι
F 1 (χ)
= 1,
tνω γιά Χ
<
υ=1
u=O
96
χ2
16
Ο είναι F I(Χ)
= Ο.
"Αρα χ<ο
Ο;ΞΞχ<4 χ ΞΞ:;
'Επειδή ή F 1 (Χ) είναι συνεχής στά Χ
=Ο
καί
(b) Ή περιθώρια συνάρτηση κατανομής τής 1" μέ
Χ
= 4,
1;ΞΞ 11
< 5
τά
<
4
μποροϋν νά άντικατασταθοϋν μέ ;;a.
είναι
Ρ(Υ;ΞΞ Υ)
f 1" 4
u=O
ιω dιιdl'
v=196
Υ2
- 1
24 ι
!
_________~____~-·-·lΆ., _ _ _. _
•.•
~" ...___ . '
.0
~i>'~""""-~-
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΑΣ
2 Γιά
Υ ~
5
είναι
F 2 (y)::: 1,
ένω γιά
Υ
<
είναι
1
F~(!I)::: Ο.
55
νΑρα
Υ
<
1
1:ΞΞΥ<5 Υ ~
'Επειδή ή F 2 (Υ) είναι συνεχής στά
2.13.
Υ:::
1 ιcαί
Υ
= 5,
τά
<
5
μπορουν νά άντικατασταθουν μέ
Προσδιορίστε τήν κοινή συνάρτηση κατανομής των τυ'Χαίων μεταβλητων Χ καί Υ τοϋ Προ βλ.
2. Ι 1.
Άπό τό Πρόβλ.
φαίνεται δτι ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας των Χ κc.ί γ μπορεί νά γραφεί σάν
2.1I
γινόμενο μιας συναρτήσεως μόνον του χ έπί μιά συνάρτηση μόνον του
ΙΖ(Υ),
δπου
J
(;lX
Ο
ΙΟ
μέ
1/96.
(;IC2 ::: C :::
F Ι (χ) F ~ (Υ). νεται ή
χ
<
Πραγματικά, ε{ναι
1
4
άλλιως
<
Υ
.f(x,1I)::: 11 (χ).
< 5
άλλιως
νΑρα οί Χ καί γ ε{ναι άνεξάρτητες καί ή ιcoινή συνάρτηση κατανομής ε{ναι
οι περιθώριες κατανομές
F(x, Υ)
<
Υ.
F 1 (Χ) καί F 2 (Υ) προσδιορίστηκαν στό Πρόβλ. 2.12.
στίς διάφορες περιοχές του έπίπεδου.
F(1:.Y)
F(1:,II) = ο
=
F(1:. ν} = 1
1:2 16
11=5
F(1:.II)
F(1:.V)
=ο
= F(1:.II)
1:2(112-1)
=
ιι2-1 ~
(16)(24)
ν=1 χ
F(1:. ν)
=ο
F(1:.II)
=ο
F(1:.V) = ο
1:=' Σχ.
Στό Πρόβλ. 2.11 ύπολογίστε τήν Ρ(Χ
2-15
+ Υ < 3).
ΊΙ
Ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας των Χ ιcαί Υ εΙναι διά
φορη του μηδενός μέσα στό τετράγωνο
<
5
του Σχ.
2-16.
Ο
<
χ
<
4, 1
<
5~---------------'
Υ
Ή ζητούμενη πιθανότητα εΙναι
Ρ(Χ + Υ <
= ΙΙ Ι(Χ,Υ) dx dy
3)
<J(
μέ
+
CJ{ τό σκιασμένο τμ ημα του τετράγωνου. δπου χ Υ < 3. CJ{ εΙναι .f(X,I/) = X1//fJ6. ή προηγούμενη πι
'Επειδή στήν
θανότητα ε{ναι
i 13-'" ΧΥ 2
χ=ο
1/=1
-dxdy 96 1
96
f2_ [f3-X χ-ο
!Ι=Ι
ΧΥ dy
] dx
Σχ.
2·16
F(x, Υ) ::: 2-15 δί
Στό Σχ.
Υ
2.14.
:ΞΞ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
56
1
--
f2 -X1l- -2j3-x dx χ=ο
96
-1
!Υ=Ι
2
192
12
[χ(3
- χ)2 -
χ]
Κ Ε Φ.
2
1
dx
48
0;=0
ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
2.15.
Δείξτε τό Θεώρ.
2-1 της σελ. 46. U
Ή συνάρτηση πιθανότητας της
g(u)
=
P(U
είναι
= ιι) =
Μέ δμοιο τρόπο μπορεί νά δειχτεί τό Θεώρ.
2.16.
Δείξτε τό Θεώρ.
της
2-3
σελ.
2-2
Ρ[Χ
(βλέπε Πρόβλ.
= ψ(ΙΙ)]
l[ψ(ΙΙ)]
2.66).
46.
Θεωρούμε πρώτα την περίπτωση δπου ή
..ψι)
= ΙΙ] =
Ρ[φ(Χ)
είναι γνήσια αύξουσες συναρτήσεις.
=
ιι
φ(χ)
u
=
ιcαί ή Χ
Τότε
"z~----------I
(1)
= φ("') Ί'\ ο; = ψ(υ) u
ή
υ,~
(2) ..
Θέτοντας
χ
[ U' g(u) d1l
=
~
fX.- ι(χ) dx ΧΙ
'til
= ψ(ιι)
________
στό όλoιcλήρωμα τοϋ δεξιοϋ μέλους ~χoυμε
i'" '" Υ(ΙΙ)
Σχ.
2-17
du
Ή σχέση αύτή Ισχύει γιά κάθε 1Ι ι ιcαίιι 2 • αρα
=
Υ(ίΙ) 'Έτσι δείξαμε τήν Ο.
2.17.
ψ'(ι!) ~ Ο
(34) της σελ. 46 γιά ~!(ιι)
καί
Δείξτε τό Θεώρ.
ψ'(ίΙ) ~ Ο
2-4
της σελ.
Ο.
Ή ίδια σχέση μπορεί νά δειχτεί Υιά τίς περιπτώσεις ψ'(Jι)
<
2.67).
46.
·Υποθέτουμε πρώτα δτι, αν τά χ ιcαί
2.16,
>
(βλέπε Πρόβλ.
Ι[Ψ(ΙΙ)]ψ'(ιι)
Υ αύξάνουν,τό ίδιο συμβαίνει ιcαί μέ τά
u
ιcαί
υ.
~Oπως στό Πρόβλ.
fχουμε
Ρ(Χ ι ή
•
U. (V, [ΤΙΙ J g(u, υ)
f.r,
du dt,
ΧΙ
V1
Θέτοντας
χ
=
11 =
Ψι(ιι, υ),
λoιcληρωτιιcoϋ λογισμοϋ
ΨΖ(ΙΙ, 'υ)
< χ < Χ2,
111
<
λΥ,ι(χ, 11) dx
στό όλοκλήρωμα τού δεξιοϋ μέλους ~χoυμε άπό γνωστό θεώρημα τοϋ ό
ιJ(x,
J
πού είναι ή σχέση
v)]J d1l
({υ
11)
ιJ(ιι, υ)
'Έτσι
(36)
τήν περίπτωση δπου
dy
.
δπου
Ίακωβιανή.
< 112)
Υι
i:' i:ΊίΨι(u, υ), Ψ2(ΙΙ' είναι ή
Υ
της σελ.
J
<
46 στήν
περίπτωση πού
J
>
Ο.
Μέ δμοιο τρόπο μΠΟΡοϋμε νά δείξουμε τήν
(36) Υιά
Ο.
.r \
------------------____. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Ι Imt . . . . . . . . .8a. . . . . . . . . I'~i .
Κ Ε Φ.
2.18.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
Ή συνάρτηση πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ εΙναι Χ
f(x)
= 1,2,3, "
.
άλλιως
Προσδιορίστε τή συνάρτηση πιθανότητας τής τυχαίας μεταβλητής
U == ή τήν χ ==
μενη συνάρτηση
Χ4
+ 1.
+ 1 , οΙ
δπως προκύπτει άπό τό θεώρ.
4
{0
2 -Vu=ϊ
=
άλλιώς
ή τό Πρόβλ.
2-1
u == 2,17,82, ...
2.15.
Ή συνάρτηση πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ εΙναι
-3 < f(x)
χ
<6
άλλιως
Προσδιορίστε τήν πυκνότητα πιθανότητας τής τυχαίας μεταβλητής Έχουμε
==
ιι
άντίστροφα.
U
~(12
Στά
== dx/ da == -3,
χ
Χ)
-
== -3
ή
Χ
καί
χ
== 12 - 3ιι. Άρα σέ == 6 άντιστοιχοϋν οί
επεται άπό τό θεώρ.
2-3
U = !(12 -
=5
u
2.16
καί
u
δτι ή
== 2
άντίστοιχα.
{ ~12 - 311 )2/27
2
r 5 (12 -
)2
3U)2
27
_ (12 - 3U)3 dIt
243
\5 == 1 2
Βρείτε τήν πυκνότητα πιθανότητας τής τυ
U=
χαίας μεταβλητής
Έχουμε τοϋ χ τιμή
ιι
==
χ2 ή Χ
τοϋ
ιι <1= Ο
u
-3
γιά τίς όποίες
<
χ ~
6
άντιστοιχεί σέ
τή
άντιστοιχεί σέ
9
<
Ο ~
U
<
χ
Ο ~
'Όπως φαίνεται άπό τό Σχ.
<
3
Σέ
κάθε
τιμή
ιι, άλλά σέ κάθε
ά ντιστοιχοϋν δύο τιμές τοϋ Χ.
γιά τίς όποίες
σέ τιμές τοϋ
2.19.
== ::!:yu.
άντιστοιχεί μιά μόνο τιμή τοϋ
τιμές τοϋ Χ
u
Χ2, οπου Χ εΙναι ή
τυχαία μεταβλητή του Προβλ.
u
Οί
< 6 άντιστοιχοϋν 11 < 36 (Σχ. 2-18).
2-18, 9,
~
τό διάστημα
ένώ τό
3
<
-3 Χ
<
Στήν περίπτωση αύ
36.
δέν μποροϋμε νά χρησιμοποιήσουμε τό θεώρ.
2-4
άμέσως, μποροϋμε δμως νά προχωρήσουμε μέ άλλο τρό πο.
Ή συνάρτηση κατανομής της
G(u) Έάν
Ο ~
u
~
9,
== P(U
9
<
ιι
ε{ναι
Σχ.
u)
2-18
εχουμε
P(U
G(u)
Έάν δμως
~
U
< 36,
~
P(X2~U)
u)
S_:
==
P(-yu~X~yu)
f(x)dx
εχουμε
G(u)
=
P(U~ιι)
==
P(-3<X
i
Vu
_~
Έπειδή ψ'(ιl)
συνάρτηση πυκνότητας γιά τήν
ε{ναι
"Έλεγχος:
Χ).
κάθε τιμή τοϋ χ άντιστοιχεί μόνο μιά τιμή τοϋ U καί τιμές
(σελ.46) ή τό Πρόβλ.
g(It)
-
Χ4
\! u -
g(U)
2.20.
U=
τιμές u καί Χ τών τυχαίων μεταβλητών U καί Χ συνδέονται μέ τή σχέση ιι == 1, δπου ιι == 2, 17,82, . .. (παίρνουμε τήν πραγματική θετική ρίζα). •Αρα ή ζητού πιθανότητας γιά τήν U ε{ναι
Έπειδή
+1
χ4
2.19.
57
f(x) dx
58
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
Έπειδή ή συνάρτηση πυκνότητας g(U) ε{ναι ή παράγωγος τής G(U), εχουμε χρησιμοποιώντας τόν κανόνα του
Leibniz
+ !( -yu)
Hvu)
ο ~ ιι ~
2yu
J
!(vu)
g(It)
l
Ο
καί άπό τόν όρισμό τής μ:ι~)
<
9
2ΥΤι
9
<
ιι
36
άλλιως
[ Υ'ϊί/81 g(1t)
=
1:ΙΙ/
162
9
<
ιι
<
36
άλλιως
2,t - 19 +1(3/21::6 243 ο 243 9 3j2
Έλεγχος:
2.21.
1
'Εάν οί τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ εχουν κοινή συνάρτηση πυκνότητας
{
f(x, Υ) (βλέπε Πρόβλ.
2.11),
~Y/96
ο
< Χ < 4, 1 < Υ < 5
άλλιως
= χ + 2Υ,
U
νά βρεθεί ή συνάρτηση πυκνότητας της
Πρώτη μέθοδος.
Έστω
= χ + 2Υ,
u
l'
=
σχέση διαλέχτηκε αύθαίρετα.
αύτου δίνει
χ
<
4,
1)
1
<
χ
= v,
Υ 10,
<
<
= :Ηιι -
Υ
Χ,
δπου
υ).
τή
δεύτερη
Ή περιοχή
5 άντισ~oιχεί στήν Ο
δηλ.
ή
Λύση του συστήματος
σκιασμένη
υ
<
περιοχή
<
0< 4, 2
του
Σχ.
2-19. Ή
Ίακωβιανή ε[ναι
J
=
αχ
σχ
σιι
συ
α1Ι
σΥ
σιι
συ
10 11.2 2-4
ή
1 2 Σχ.
κοινή συνάρτηση πυκνότητας των υ καί
g(u, Ή
1
1 2
= Άπό τό θεώρ.
'
{~'<ιΙ
υ)
-
2
v}/384
<
V
1[ -
2-19
ε[ναι
V
<
10,
Ο
<
V
<
άλλιως
περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας τής
υ ε{ναι
f
"-2
υ(ιι - υ)
t'=O
d11
384
(4 υ(lΙ - υ) dv ).'=0 384 (4 )t·= ,,-10
,!ψι-υ) dv 384
,
6
10
<
u
•.-:.- ~ .... ...,.. '-.~ .. -----
<
10
< u < 14
άλλιως
ο
... .'ι .
2
4
Κ Ε Φ.
2
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΑΣ
δπως φαίνεται άπό τίς σκιασμένες περιοχές Ι. ΙΙ. ΠΙ το\) Σχ.
Έκτελώντας τίς δλοκληρώσεις βρ~σKoυμε
2-19.
(u - 2)2(U + 4)/2304
2
< 10 <
(3u - 8)/144
=
Ul(U)
{ ~348U -
6
u3 -
59
2128)/2304
< <
u
u
10 14
άλλιώς
Μπορεί νά έπαληθευτεί δτι τό δλοκλήρωμα της
uI(u)
εlναι
1.
Δεύτερη μέθοδος. Ή συνάρτηση κατανομης της τυχαίας μεταβλητης
Ρ(Χ + 2Υ ~
ff
=
u)
+ 2Υ
Χ
j(x, Υ)
εlναι
ιι ;~ dxdy
ιιχ dy =
%+2Υ ~ "
Γιά
2
<
u
<
6
Ι:χουμε άπό τό Σχ.
i
2-20
"-2 i(,,-%)/2 %=0
1/=1
20+211 :$ " 0<%<4 1 < 11 < S
Υιά τό τελευταίο δλoΙCΛήρωμα
ΧΥ d d
96 Χ Υ
i
-
U -
2
ι=Ο
768
ΠαραΎωΎίζοντας ιήν Ι:κφραση αύτή ώς πρός u βρίσκουμε (ιι - 2)2(U πάλι τό άποτέλεσμα της πρώτης μεθόδου Ύιά
Σχ.
2.22.
6
<
ιι
< 10.
Χ Jd
[X(U-X)2
- 192
+ 4)/2304.
Μέ δμοιο τρόπο βρίσκουμε
κτλ.
Σχ.
2-20
2-21
'Εάν οί τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ εχουν κοινή συνάρτηση πυκνότητας
ο
f(x, Υ) (βλέπε Πρόβλ.
2.11),
ΟΙ σχέσεις εΙναι ~χoυμε
τίς
έξισώσεις
ιι
< Χ < 4,
1
<Υ<5
άλλιως
νά βρεθεί ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας των
= χ Υ 2, V = χ 2 Υ. ΔιαιΡώντας κατά μέλη βρίσκουμε = v 2 / 3 u- 1 / 3 , Υ = u 2 / 3 v- 1 / 3• Ή περιοχή Ο <
χ
Υ/Χ χ
<
στό έπίπεδο uv στην περιοχή Ο
<
v2/3u-l/3
<
1 <
"4
u%13v- l / 3
πού γράφεται καί
v 2 < 64u Ή περιοχή αύτή δίνεται σκιασμένη aτό Σχ. Ή
..
Χ
Ίακωβιανή εlναl
2-21.
v
< u2 <
125υ
< 5
U
= ΧΥ2, V = Χ2Υ.
= u/v 4, 1
<
1'\ Υ
Υ
<
= Ux/v. 5
'Έτσι
άπεικονίζεται
-
60
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
J
Συνεπώς ή
κοινή συνάρτηση πυκνότητας τών
U
καί
(v2/3U-l/3)(u2/3V-1/3)
g(u,
{
ή
g(u,
ε{ναι σύμφωνα μέ τό θεώρ.
(-k IΓ 2/3 V - 2/3)
-'-----9=-6=-----'-
υ)
V
v2
<
64u, v
2-4
< u2 <
125υ
άλλιώς
Ο { ~ -1/3 v -1/3/288
υ)
<
v2
641Ι,
V
<
u2
<
125υ
άλλιώς
ΣΥΝΕΛΙΞΕΙΣ
2.23. 'Έστω f(x, Υ) ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας δύο τυχαίων μεταβλητών Χ καί Υ. δτι ή συνάρτηση πυκνότητας της U = χ + Υ εΙναι
f_: f(υ,
g(u)
Δείξτε
υ) dv
u-
Πρώτη μέθοδος.
Θέτοντας
=χ+
U
Υ,
V
=χ
εχουμε τίς έξισώσεις
ιι
=
Χ
+
Υ,
Χ
=
V
ή
Χ
= v,
11
= u - v.
Ή
Ίακωβιανή τοϋ μετασχηματισμοϋ ε[ναι
J
Άπό τό Θεώρ.
2-4
τής σελ.
46
iix iiu
iix iiv
iiy iiu
iJy iiv.
ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας τών
g(ll, υ) Συνεπώς άπό τή σχέση
(26)
Ι ~ -~ [
τής σελ.
45
= f(v, u -
-1
U
καί
V
ε{ναι
υ)
εχουμε τήν περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας της
g(u)
f-:
f(v, u -
U
υ) clv
Δεύτερη μέθοδος.
Ή συνάρτηση κατανομής τής σπου
χ"';- Υ
;;;
ιι,
υ
=χ+ Υ
δίνεται άπό τό διπλό όλοκλήρωμα τής !(Χ, Υ) στήν περιοχή
δηλ.
ιι
α(IΙ)
r+y
~ tι
Ή περιοχή αύτή παριστάνεται σκιασμένη στό Σχ.
Ή συνάρτηση πυκνότητας τής
Υ
/(x,y)dxdy
U
2-22.
ε{ναι ή παράγωγος της
• Αρα
G(u)
ώς
πρός ι.ι καί άρα ε{ναι
g(u)
ι: /(Χ, u - Χ) dx
όπου χρησιμοποιήσαμε τόν κανόνα τοϋ
Leibniz πρώτα στό όλOKλήρω~
μα ώς πρός χ καί μετά στό όλοκλήρωμα ώς πρός
Υ.
&
Σχ.2-22
-....
Κ Ε Φ.
2.24.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
Νά λυθεί τό προηγούμενο πρόβλημα, έάν Χ καί Υ ε{ναι άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές μέ συναρτήσεις πυκνότητας Ιι(Χ) καί
f2(Y) άντίστοιχα.
Στήν περίπτωση αύτή ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας εΙναι πυκνότητας της
υ
=χ+Υ
I1
Αύτή εΙναι ή συνέλιξη τών
f(x, Υ)
= I1 (Χ) 12(Y)
καί συνεπώς ή συνάρτηση
εΙναι
f_
Υ(IΙ) =
2.25.
61
x
=
",/l(V)/2(It-V)dl>
11'1
καί 12'
Έάν Χ καί Υ ε{ναι άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές μέ συναρτήσεις πυκνότητας
11(Χ)
2e-2r { Ο
=
χΞΞΞ;Ο
ΥΞΞΞ;Ο
χ<Ο
Υ<Ο
νά βρεθεί ή συνάρτηση πυκνότητας του άθροίσματος
υ
=
χ
+
Υ.
Σύμφωνα μέ τό προηγούμενο πρόβλημα ή ζητούμενη συνάρτηση πυκνότητας εΙναι ή συν έλιξ η τών
12' . Έτσι
il
Έπειδή ή
11
εχουμε
εΙναι μηδέν γιά
'v
=
i
g(u)
<
Ο καί ή /2 έπίσης μηδέν γιά
ν
>
u, εχουμε
U
(2e- 2V )(3e- 3
6e- 3u (U e" dv γιά
u
~ Ο
καί
g(U,)
f.:
'Έλεγχος:
2.26.
Δείξτε
ότι
=ο
* 12 =
I1
-'ο
γιά
g(tt)
f2
<
u dIt
* I1
ο.
6 ('" (e- 2u
=
•
-
e-- 3u ) du
ο
('Ιδιότητα
1
τής σελ.
47).
ΕΙναι
Θέτοντας
w
=υ
-
υ, όπότε
ι.'
= ιι -
1Ι'.
dυ
=
-(lw,
εχουμε
12 * 11
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ
2.27.
Ύπολογίστε τά (ιι)
(α)
f(y 12), (b) Ρ(Υ
Χρησιμοποιώντας τά άποτελέσματα τών Προβλ.
/(Υ Ι χ) καί γιά Χ
L~
______________
=
2.8
καί
Ι(Χ, Υ)
11 (Χ)
γιά τήν κατανομή του Προβλ.
2.9 __
εχουμε
~~i'---,-1{)/42 /1 (Χ)
=2 Ι(Υ 12)
(b)
= 1 Ι Χ = 2)
Ρ(Υ
=
(4
+ Υ)/42
11/21
4+Υ
22
= 1 Ι Χ = 2) = 1(1 Ι 2) = -225
2.8.
καί
2.28.
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
62 'Εάν οί Χ
rcai
Υ εχουν κοινή συνάρτηση πυκνότητας
(α)
Γιά
Ο
<
χ
(α)
+ ΧΥ
iO
f(x, Υ) ύπολογίστε τά
2
f(y Ι Χ),
Ο
< χ < 1, Ο < Υ < 1
{
dλλιώς
(b) Ρ(Υ>
t j t < Χ < t + dx).
<1
= ~( (~+ ΧΥ) dy =
11 (Χ)
.4
++ {
Υ} = !J.x. 11 (Χ)
Ι(Υ Ι Χ)
καί
~+~
3
4ΧΥ
3
2Χ
2
Ο<Υ
l Ο
Γιά άλλες τιμές τοϋ Χ ή Ι(Υ Ι χ) δέν δρίζεται.
Ρ(Υ > t Ι t
(b)
2.29.
<
χ < t + dx) = Iι~/(y ι t) dy =
(1 3 + 2Υ dy λl2 4
9
16
Ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας τών τυχαίων μεταβλητών Χ καί Υ εΙναι ο ;:ΞΞ χ ;:ΞΞ
f(x, Υ)
1, Ο;:ΞΞ Υ ;:ΞΞ χ
dλλιως
Νά βρεθουν (α) ή περιθώρια πυκνότητα της Χ,
(b) ή περιθώρια πυκνότητα (d) ή πυκνότητα υπό συνθήκη της Υ.
πυκνότητα υπό συνθήκη της Χ, Ή περιοχή δπου ή νεται σκιασμένη στό Σχ.
(α)
ι(χ, Υ) εΙναι διάφορη του μηδενός παριστά
2-23.
Γιά νά βρουμε τήν περιθώρια πυκνότητα τής
Χ κρατάμε σταθε
ρό τό Χ καί όλοκληρώνουμε ιός πρός Υ άπό Ο κόρυφη λουρίδα στό Σχ.
11 (χ)
της Υ,
=
2-23).
fX
Υ
fως Χ (κατα
Βρίσκουμε
8ΧΥ dy = 4χ 3
Υ=Ο
γιά Ο
(b)
<
χ
<
1.
Γιά δλα τά άλλα χ εΙναι LΙ (Χ)
·Ομοια, ή περιθώρια πυκνότητα τής Υ προκύπτει έάν όλοκληρώ σου με ιός πρός χ μέ σταθερό Υ ι'ιπό ζόντια λουρίδα στό Σχ.
2-23).
Γιά
Χ Ο
Γιά όλες τίς άλλες τιμές του Υ ε[ναι
(c)
= Ο.
<
=Υ
12 (Υ)
=1
~ως Χ
<
Υ
(όρι
βρίσκουμε
1
= Ο.
Σχ.
Ή συνάρτηση πυκνότητας ύπό συνθήκη τής Χ γιά Ο
<
Υ
<1
είναι y~x~1
~ 2χ/(1- Υ2)
γιά άλλα χ
lO
= Ο.
Ή συνάρτηση πυκνότητας ύπό συνθήκη δέν όρίζεται, όταν 12 (Υ)
(d)
Ή συνάρτηση πυκνότητας ύπό συνθήκη της Υ γιά
' 2 (Υ Ι Χ)
Ι(Χ Υ)
lι(χ)
=
=
Ο
<
χ
{
2Υ/χ
. jUi
~
- . . ._.. ,... . ~
~-~-
1 2
O~Y~X γιά άλλα Υ
11 (χ)
_-ο
2&
είναι
Ο
Ή συνάρτηση πυκνότητας ύπό συνθήκη δέν όρίζεται, όταν
2
<
a
= Ο.
2-23
(c)
ή
Κ Ε Φ.
iΙ
'Έλεγχος:
1"1
(χ) dx
.(
Ι 4χ 3 dx
=
1,
1
i% ο
2.30.
12 (ylx)dy
= i% ο
Έξετάστε αν οί τυχαίες μεταβλητές τοϋ Προβλ. Στή σιcιασμένη περιοχή τοϋ Σχ. I~x,y)"# lι(χ)
12 (Υ)
2-23
εΙναι
συναρτήσεως
τό χ ΙCαί τό
f(x,
Υ)
2
;dy
χ
2.29
= 8ΧΥ,
=
1
εΙναι άνεξάρτητες ή όχι.
= 4χ ,
I1 (χ)
12 (Υ)
3
= 4y(1- Υ2).
νΑρα
ΙCαί συνεπώς οΙ Χ ΙCαί Υ δέν ε{ναι άνεξάρτητες.
Πρέπει νά σημειωθεί δτι άπό τήν fιcφραση μιας τό
63
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
Ι(Χ, Υ)
= 8ΧΥ
δέν fπεται δτι ή
f(x,
Υ) γράφεται σάν γινόμενο
τοϋ χ μόνο έπί μιά συνάρτηση τοϋ :ιι μόνο, γιατί ή συνθήκη
Υ ΙCαί (άντίθετα άπό δτι στό Πρόβλ.
Υ χωρίς νά περιέχει τό
2.21)
O;a 11 ;a
χ
περιέχει ΙCαί
δέν ε{ναι δυνατό νά βρεθεί άλλη Ισοδύναμη συνθήιcη γιά
Χ.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
2.31.
'Ένας τοξότης εχει βρεί ότι ή πιθανότητα νά κτυπήσει
τό στόχο μεταξύ
P(r όπου
R
r
καί
r
+ dr
~ R ~ r+dr) =
εΙναι
C[l -
(~)2Jdr
εΙναι ή άπόσταση τοϋ σημείου πού χτύπησε τό
βέλος άπό τό κέντρο,
τοϋ στόχου (Σχ.
2-24).
c
μιά σταθερή καί α ή άκτίνα
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά
κτυπήσει ό τοξότης τό «κέντρο», πού θεωρείται ότι εχει
άκτίνα
Δεχτείτε ότι ό τοξότης πετυχαίνει πάντα τό
b.
στόχο. Ή συνάρτηση πυΙCΝότητας ε{ναι
Σχ.
2-24
'Επειδή ό τοξότης πετυχαίνει πάντα τό στόχο, εχουμε
άπ'
όπου
c
=
3/2α.
Συνεπώς ή ζητούμενη πιθανότητα ε{ναι
bI3α 2 -
b2 )
2α 3
2.32.
Διαλέγουμε στήν τύχη δύο σημεία στό διάστημα Ο ~ χ ~
νά εΙναι τό αθρoισμ~ των τετραγώνων τους μικρότερο άπό
1. Ύπολογίστε 1.
Έστω δτι οΙ τυχαίες μεταβλητές Χ ιcαί Υ άντιστοιχοϋν στά σημεία πού διαλέγουμε.
ε{ναι έξ ίσου πιθανά, οΙ συναρτήσεις πυιcνότητας τών Χ ιcαί' Υ ε{ναι
O;ay;al άλλιώς
Άλλά οΙ Χ ιcαί Υ εΙναι άνεξάρτητες.
-
άλλιώς
Συνεπώς ή ιcoινή συνάρτηση πυΙCΝότητας εΙναι
,;
τήν πιθανότητα
'Επειδή δλα τά σημεία
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
64
(2)
f(x, Υ)
=
Ο ~ χ ~
{~
Ιι(χ)Ι 2 (Υ)
1,
Ο ~ Υ ~
1
2
Ύ
άλλιώς
Ή ζητούμενη πιθανότητα εΙναl
ρ(Χ2 + Υ2 ~ 1)
(3)
ιι dx dy
=
<J{
δπου ~ εΙναι ή περιοχή
τό όλοκλήρωμα στήν
χ2
+ Υ2
~
χ ~ ο,
Υ ~ Ο (Σχ. 2-25). Προφανώς (3) εΙναι τό tμβαδό τοϋ σκιασμένου τμήματος τοϋ κύκλου καί
1,
Σχ.2-25
άρα ή πιθανότητα Ισοϋται μέ π14.
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
2.33.
'Εάν οί τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ εχουν κοινή συνάρτηση πυκνότητας
C(2X
Ι(Χ, Υ)
+ Υ)
.2
{ O
< Χ < 6,
Ο
<Υ <5
άλλιως
νά βρεθοϋν (α) ή σταθερή c, (b) οί περιθώριες συναρτήσεις κατανομής των Χ καί Υ, (c) οί περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας των Χ καί Υ, (d) ή Ρ(3 < Χ < 4, Υ> 2), (e) ή Ρ(Χ> 3), (Ι) ή Ρ(Χ + Υ> 4), (g) ή κοινή συνάρτηση κατανομής καί (h) νά έξετα στεί έάν οί Χ καί Υ εΙναι άνεξάρτητες τι Οχι. (α)
Ή όλική πιθανότητα είναι
16 f5 Χ=2
Έπειδή αύτή Ισοϋται μέ 1, εχουμε
(b)
.[:2 C( 2ΧΥ + Υ; )1: dx .[:2 C(10X + 2:) dx
Υ=Ο c(2x + Υ) dx dy
210c
C = 1/210.
Ή περιθώρια συνάρτηση κατανομής τής Χ είναι
Ρι(Χ)
:=
Ρ(Χ;;Ξχ)
=
i:_",i:_"".f(1t,'U)dUdV
•
[ χ= _ ... λ,Γ'"= _ο:; 11
J~5
x
f 16 J~5 υ~2
v=O
υ=2
~=O
Ο du d1,' =
2u + v --dudu 210
2ι,ι + v du dv
ο
χ
2χ 2
+
< 5χ
2
- 18
84
=
1
2;;Ξχ<6
x~6
210
Ή περιθώρια συνάρτηση κατανομής τής Υ είναι
λ: λ: _" Ο
!f 15sy _00
dIt
dv
+ vd d Ι. ιι=2 Ι'=Ο 2ιΟ u v 6 2ιι + v -dudv 6
l1
«=2
v=O
2u
210
Υ<Ο
Ο
Υ2
+
16Υ
0;;ΞΥ<5
105 1
Υ ~
5
-
~?Π 7Γ
Κ Ε Φ.
65
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
(c)
ηη
;;Ρ
7
$
ΒΛ
7
τ
. Η περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας της Χ ε{ναι
d
=
11 (11:)
dx F 1(Χ)
{0(4Χ + 5)/84
=
2<χ<6
άλλιώς
Ή περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας της Υ είναι
{ ~2Y
0<Υ<5
+ 16)/105
άλλιώς
Ρ(3
(d)
< Χ < 4,
=
Ρ(Χ> 3)
(e)
1 (6 (5 210 )Χ=3 )11=0 (2Χ + Υ) dx dy
Ρ(Χ+ Υ>
(Ι)
1 (4 (5 210 )Χ=3 )11=2 (2χ + Υ) dx dy
=
Υ> 2)
=
3 20
23 28
ιι f(x, Υ) dx dy
4)
'1{ δπου
'l{ είναι ή σκιασμένη περιοχή τού Σχ. 2-26.
Ή πιθανότητα αύτή
γράψουμε
Ρ(Χ
+
Υ
>
4)
=
1 -
Ρ(Χ
+
Υ ~
4)
=
1 -
ff
ύπολογίζεται εύκολότερα, αν
f(x,
Υ) dx dy
'1{' δπου 'l{' ή μιιcρή τριγωνική περιοχή τού Σχ. Ρ(Χ+ Υ ~
καί συνεπώς Ρ(Χ
+Υ >
4)
_1_
4)
210
2-26.
Εύκολα φαίνεται δτι
(4
(4-Χ (2χ + Υ) dx dy
35
= 33/35. v
11
Σχ.2-26
(g)
2
)Χ=2 )11=0
Σχ.
2-27
Ή κοινή συνάρτηση κατανομης είναι
F(x,y) Στό έπίπεδο καί
2
(Χ. Υ)
ιιν
(Σχ. 2-27) ή 6, Ο <. v < 5 Σχ. 2-27 l"χουμε
P(X~X, Y~y) =
=
i:-., i:-"
f(1l,v)dudv
περιοχή όλοκληρώσεως είναι τό κοινό τμημα τών περιο"χών [σ' αύτό τό τμήμα ή
F(x, Υ)
=
16ill 11=2
v=n
f(u,
ν)
είναι διάφορη τού μηδενός].
2u + ν -210 du dv
=
16Υ
+ Υ2
105
u
~ Χ,
ν ~ Υ
Γιά τό σημείο
66
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
Γιά σημείο
(Χ.1/)
είναι ή ίδια.
2
σ' άλλη περιοχή. Π.χ. μέσα στό όρθογώνιο, παίρνουμε άλλο άποτέλεσμα. άλλά ή μέθοδος
Τά πλήρη άποτελέσματα δίνονται στό Σχ.
2-28.
Υ
=
F(z,y)
=
F(x,y)
Ο
2",2
+ 5Ζ
F(x,y)
- 18
=1
84 --- -
-
F(x.y)
-
--Ι- -
r----------.- -- - ------- ---
-- -
=
F(z,y)
=Ο
2χ 2Υ
+
ΧΥ2 -
8Υ -
F(x,y)
211'
+ 1611 = Υ2 105
420
F(x,y)
=
ο
Σχ.
(h)
2.34.
=
F(x, Υ)
ο
=ο
2-28
Οί τυχαίες μεταβλητές δέν είναι άνεξάρτητες, έπειδή
'Έστω ή τυχαία μεταβλητή Χ μέ συνάρτηση πυκνότητας Ο<χ
άλλιως
= h(X)
Νά βρεθεί μιά συνάρτηση Υ
~X(l- Χ)
{
f(x)
πού νά εχει συνάρτηση πυκνότητας Ο<Υ
g(y)
άλλιως
Δεχόμαστε δη ή άγνωστη συνάρτη"η των σημείων του διαστήματος
Χ ~ χ
J:'"
h
στό
σεις κατανομής των Χ καί Υ είναι ίσες.
είναι τέτοια ώστε νά καθορίζει μιά συνεχή άμφψονότιμη άπεικόνιση Υ ~ Υ
Εύκολα φαίνεται δτι χ
Υ
= Υ2
ή Υ
= h(x).
Τότε
Ρ(Χ ~ Χ)
Συνεπως γιά χ καί Υ άπό Ο ~ως
i
=
6u(1 - u) du 3χ 2 -
2.35.
F(x, Υ)
2χ 3
= Ιι(χ) = +vx
=
1
= Ρ(Υ ~ Υ),
δηλ. οί συναρτή
εχουμε
Y
12v3 (1- v 2 ) dv
3Υ 4 -
2Υ6
είναι μιά λύση πού εχει τίς ζητούμενες Ιδιότητες.
νΑρα
= +VX.
Νά βρεθεί ή συνάρτηση πυκνότητας της των Χ καί Υ ε{ναι
U
= ΧΥ,
έάν ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας
f(x, Υ).
Πρώτη μέθοδος.
Έστω δη ναι
U =
ΧΥ
καί
ν
=
Χ.
Συνεπως
u
= Χ!!,
t'
=Χ
ή
Χ
=
υ,
11
= u!ν
καί ή Ίακωβιανή εΙ-
Κ Ε Φ.
2
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
J
σχ
σχ
ou
συ
σΥ
σΥ
ou
συ
Ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας των
U
καί
V
67
είναι
Υ(1Ι, υ) άπ'
δπου προκύπτει ή περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας τής
U
f
g(u)
~I ι(υ,~) dv
oc -oc ου
υ
Δεύτερη μέθοδος. Ή συνάρτηση κατανομής τής
U
είναι
G(u)
-=
ff ΧΥ ~
Γιά
u
~ Ο
Υ) dx dy
f(x, u
ή περιοχή όλοκληρώσεως δίνεται σκιασμένη στό Σχ.
Παραγωγίζοντας ώς πρός
καί χρησιμοποιώντας τόν κανόνα τοϋ
u
Leibniz
βρίσκουμε
f '" .,-1 f 1
g(u) .
"Ετσι εχουμε
2-29.
-ο::
Τό ίδιο άποτέλεσμα προκύπτει γιά (διακεκομμένη στό Σχ.
11
<
Ο,
ιχ
U) dx
( Χ,Χ
όπότε ή περιοχή όλοκληρώσεως περιορίζεται άπό τήν άλλη ύπερβολή
2-29).
1
Ι Σχ.
2.36.
2-29
Σχ.
'Ένα πάτωμα εχει παράλληλες γραμμές σέ άπόσταση
μήκους
α
πέφτει τυχαία στό πάτωμα.
γραμμή του πατώματος.
l
2-30
τή μιά άπό τήν αλλη.
Μιά βελόνα
Νά βρεθεί ή πιθανότητα νά κόψει ή βελόνα μιά
(Αύτό ε{ναι τό πρόβλημα της βελόνας του
Buffon.)
"Εστω Χ ή τυχαία μεταβλητή πού δίνει τήν άπόσταση τοϋ μέσου τής βελόνας άπό τήν πλησιέστερη γραμμή (Σχ.
2-30)
καί
θ
ή
τυχαία
μεταβλητή
γραμμής.
Συμβολίζουμε μέ χ καί
πό Ο
.. /2.
~ως
πού
δίνει
τήν
όξεία
θ τίς τιμές των Χ καί Θ.
γωνία
της
διευθύνσεως
τής
Ή Χ παίρνει τιμές άπό Ο
βελόνας
ί:ως
1/2
καί
μιας
καί ή Θ
ά
"Εχουμε
-
)~-.!--.>-~.,.... '..:;.;.,:;~
- - - - - -----=--=-~-------------------------
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
68
Ρ(χ
Χ ~
<
x+dx)
2 = [dx
i
-dx
Ο
Ι
=
i
1
11"12
καί
2 -de 11"
Ο
2 .
+ de) = -;: ae
θ ~ e
= 2ΙΙ
δηλ. οί συναρτήσεις πυκνότητας τών Χ καί θ είναι ;1 (χ) l/22
<
P(e
2
12(e)
= 2/11",
ε-:-:-. Ι::~ε
=1
'Επειδή οί Χ καί θ είναι άνεξάρτητες, ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας είναι Ι(Χ,
4
e)
lπ Ή άντίστοιχη
'Από τό Σχ. 2-30 είναι φανερό δτι ή βελόνα θά κόψει μιά γραμμή, έάν Χ ~ (α/2 πιθανότητα είναι
4J: Π/2 i(Ο/2J5ίnθ
-
θ=Ο
111"
ι=Ο
dxde
=
2α 111"
Τό άποτέλεσμα αύτό εχει επαληθευτεί καί πειραματικά μέ πολλές ρίψεις βελόνα.;. :-:::-. -"- σχετική συχνό τητα τών εύνοϊκών περιπτώσεων εχει βρεθεί πολύ κο\'tά στήν πιθανότητα πού βρήκαι-;:.
2.37. Δύο άνθρωποι συμφωνοϋν νά συναντηθοϋν μεταξύ 2:00 μ.μ. καί 3:00 μ.μ., χωρίς όμως αύτός πού θά
Υ
ερθει πρώτος νά περιμένει τόν άλλο περισσότερο άπό
15 λεπτά.
Ποιά ε{ναι ή πιθανότητα νά συ
ι----1---
ναντηθοϋν; Έστω δτι οί χρόνοι άφίξεως τών δύο άνθρώπων (σέ κλά σματα τής ωρας μετά τίς
2:00 μ.μ.) παριστάνονται άπό τίς τυ
χαίες μεταβλητές Χ καί Υ.
Δεχόμαστε δτι ή πιθανότητα άφί
ξεως τοϋ ενός ή τοϋ άλλου ε{ναι ή ίδια γιά ίσα διαστήματα,
όπότε οί συναρτήσεις πυκνότητας τών Χ καί Υ ε{ναι
11 (χ)
12(Υ)
{~
Ο ~ χ ~
{~
Ο ~ Υ ~
1
άλλιώς
·1
1
άλλιώς
....--
-
Έπειδή οί Χ καί Υ ε{ναι άνεξάρτητες, ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας ε{ναι
(1)
Ο ~ χ ~ 1, Ο ~ Υ :;;;
{~
[(Χ, Υ)
"Αρα ή ζητούμενη πιθανότητα ε{ναι (15 λεπτά
=!
άλλιώς
τής ωρας)
Ρ(ΙΧ- ΥΙ ~~)
(2)
ιι dxdy '1{
δπου CJ( είναι ή σκιασμένη περιοχή τοϋ Σχ. 2-31. Τό δεξιό μέλος της (2) είναι τό l;μpι~Ξ: ~.: ~Jιοχης αύτης, πού είναι ίσο μέ 1 - (~)(i) = 17υ [τό τετράγωνο εχει εμβαδό 1, ενώ τό κάθε τρίγωνο -: ~ _ . Συνεπώς ή ζη τούμενη πιθανότητα είναι
"
"".
ι...,
7/16.
.
, ..
Ό:"
.
21
.
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
69
'Άλυτα Προβλήματα ΔΙΑΚΡΠΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
2.38.
ΗΕνα νόμισμα ρίχνεται τρείς φορές. «κεφάλι», δωστε
2.39.
'Εάν ή τυχαία μεταβλητή Χ παριστάνει τό πλήθος των άποτελεσμάτων
(α.) τήν κατανομή πιθανότητας τής Χ
ΗΕνα κιβώτιο περιέχει
5
άσπρα καί
μαϋρα μάρμαρα.
3
συμβολίσουμε μέ Χ τό πλήθος των λευκων,
σ' ~ναν πίνακα καί
μιά γραφική της παράσταση.
(b)
'Εάν βγάλουμε δύο μάρμαρα χωρίς έπανατοποθέτηση καί
(α) βρείτε τήν κατανομή πιθανότητας τής Χ καί
(b) παραστήστε
την γραφικά.
2.40. 2.41.
Νά λυθεί τό προηγούμενο πρόβλημα μέ έπανατοποθέτηση.
Ή τυχαία μεταβλητή Ζ παριστάνει τό πλήθος των άποτελεσμάτων «κεφάλι» μείον τό πλήθος των άποτελεσμάτων «γράμματα» σέ δύο ρίψεις ~νός νομίσματος. σματα μέ αύτά των Παραδ.
2.42.
2.1
καί
Βρείτε τήν κατανομή πιθανότητας τής Ζ.
Ή τυχαία μεταβλητή Χ παριστάνει τό πλήθος των
συνηθισμένη
τράπουλα.
(α) Δώστε
Συγκρίνετε τά άποτελέ
2.2.
σ'
~ναν
άσων
πίνακα
σέ τέσσερα χαρτιά πού τραβαμε στήν τύχη άπό μιά
τήν
κατανομή
πιθανότητας
τής
Χ.
(b) Παραστήστε
τήν κατανομή αύτή γραφικά.
ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑ Τ ΑΝΟΜΗΣ
2.43.
Ή συνάρτηση πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ δίνεται στόν Πίν. νάρτηση κατανομής τής
Χ.
Πίν.
βρεθοϋν
(α) Δωστε σ' ~ναν πίνακα τή συ
Πίν.
2-7
Χ
1
2
3
f(x)
1/2
1/3
1/6
Χ
F(x)
παρασταθοϋν γραφικά οΙ συναρτήσεις
2-8
1
2
3
4
1/8
3/8
3/4
1
2.44.
Νά
2.45.
Νά βρεθοϋν καί νά παρασταθοϋν γραφικά οΙ συναρτήσεις κατανομής στά Προβλ.
2.46.
Στόν
Πίν.
καί νά
2-7.
(b) Παραστήστε τή συνάρτηση κατανομής γραφικά.
κατανομής στά Προβλ.
2.41
2.38, 2.39 καί 2.40. καί
2.42.
2-8 δίνεται ή συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ. Ύπολογίστε (α) τή συνάρ (b) Ρ(1 ~ Χ ~ 3), (c) Ρ(Χ ~ 2), (d) Ρ(Χ < 3), (e) Ρ(Χ> 1.4).
τηση πιθανότητας καί τίς
ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
2.47.
Μιά τυχαία μεταβλητή Χ Ι:χει συνάρτηση πυκνότητας
{~e-3X
f(x)
χ> ο
x~o
Ύπολογίστε
2.48.
(α) τή σταθερή
C καί τίς
(b)
Ρ(I<Χ<2),
(C)
Ρ(Χ ~
Νά βρεθεί ή συνάρτηση κατανομής τής τυχαίας μεταβλητής τοϋ Προβλ.
(d)
3), 2.47.
Ρ(Χ
< 1).
Νά γίνει γραφική παράσταση των
συναρτήσεων πυκνότητας καί κατανομής καί νά περιγραφεί ή σχέση τους.
2.49.
Μιά τυχαία μεταβλητή Χ Ι:χει συνάρτηση πυιcνότητας
f(x)
{
::2 ;: =: : ο
Νά ύπολογιστοϋν
(α)
ή σταθερή C καί οΙ
(b)
Ρ(Χ>
άλλιως
2),
(c) Ρ(I/2
<
Χ
< 3/2).
6
~.----------------------------------------------------
-----
---~
70
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙθΑΝΟΤΗΤΑΣ
2.50.
Νά βρεθεί ή συνάρτηση κατανομής τής τυχαίας μεταβλητής Χ του Προ βλ.
2.51.
·Η συνάρτηση κατανομής τής τυχαίας μεταβλητής Χ εΙναι
2
2.49.
0;ax<3 x~3 χ<Ο
·Εάν Ρ(Χ Ρ(1
2.52.
= 3) = Ο,
νά βρεθουν (α)
ή σταθερή
(b) ή συνάρτηση πυκνότητας καΙ οΙ (c) Ρ(Χ> 1), (ιΙ)
c,
< Χ < 2).
Μπορεί ή συνάρτηση
CO(l - χ 2 )
=
F(x)
{
Δλλιώς
νά παριστάνει συνάρτηση κατανομής; Γιατί;
2.53.
'Εάν ή συνάρτηση πυκνότητας τής τυχαίας μεταβλητής Χ εΙναι
νά βρεθουν
(α) ή σταθερή
c, (b) ή Ρ(-!
< Χ < !),
(c) ή Ρ(Χ> 1),
(d) ή συνάρτηση κατανομής.
ΠΟΛΥΔΙΑΣΤλΤΕΣ ΚΑΤλΝΟΜΕΣ ΚΑΙ λΝΕΞλΡΤΗΤΕΣ ΜΕΤλΒΛΗΤΕΣ
2.54.
=
2.55.
= cxy γιά χ = (b) Ρ(Χ = 2, Ρ(Υ = 3ί.
Ή κοινή συνάρτηση πιθανότητας δύο διακριτών τυχαίων μεταβλητών Χ καί Υ εΙναι ι(χ, Υ)
=
1, 2, 3 καί Υ 1, 2, 3 καί μηδέν γιά Υ 3), (c) P(I;a Χ ;a 2, Y;a 2), (d)
ιίλλες τιμές.
Ρ(Χ ~
2),
Νά ύπολογιστουν (α)
(e) Ρ(Υ
Νά βρεθουν οΙ περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας
(α)
< 2),
(Ι)
της Χ καί
ή σταθερή
Ρ(Χ
(b)
=1),
(g)
c
καί οΙ
τής Υ του Προβλ.
2.54.
Ε\ναι οΙ
Χ καΙ Υ Δνεξάρτητες;
2.56.
Δείξτε δτι οΙ διακριτές τυχαίες ματαβλητές Χ καΙ Υ εΙναι Δνεξάρτητες, έάν καί μόνο έάν γιά δλες τΙς τιμές τών χ καί Υ ή κοινή συνάρτηση πιθανότητας μπορεί νά έκφραστεί σάν γινόμενο μιας συναρτήσεως του χ μόνο
έπί μιά συνάρτηση του Υ μόνο.
2.57.
ΟΙ συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ Ι!χουν κοινή συνάρτηση πυκνότητας
Ι(Χ, Υ) Ύπολογ.Ιστε
+ Υ2)
ο
;a
χ
;a 1, O;a
Υ
;a 1
Δλλιως
< -!'
Υ
> ~-),
(c) Ρ(!
< Χ < Ι),
(ιΙ) Ρ(Υ
< !).
Ε\ναι Δνε.
Υ;
Προσδιορίστε τίςπεριθώριες συναρτήσεις κατανομής κνότητας του Προβλ.
2.59.
CO(X2 {
(α) τή σταθερή c ιcαΙ τΙς (b) Ρ(Χ
ξάρτητες οΙ Χ καί
2.58.
=
(α) τής Χ
καί
(b)
τής Υ γιά τήν κοινή συνάρτηση πυ
2.57.
Δείξτε τήν πρόταση του Προ βλ.
2.56
γιά συνεχείς μεταβλητές.
ΚΑΤλΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝλΡΙΉΣΕΙΣ ΠYΚNOTmAΣ ΥΠΟ ΣΥΝθΗΚΗ
2.60.
Προσδιορίστε τή
συνάρτηση πιθανότητας ύπό συνθήκη (α) της Χ δεδομένης τής Υ,
τής Χ γιά τήν κατανομή του Προ βλ.
(b) τής Υ δεδομένης
2.54.
'I111I'n1m"'I"III··--------______________________.nlll.lIIII!rIII'''''fI!"""'----------.. •• I!,:ii, ΔΙ.ΙΙ,ΙΙ
"Ι!!''';
Κ Ε Φ.
2.61.
2
"Έστω
f(x,
ο ~ Χ ~
Υ)
Ο ~ Υ ~
1,
1
άλλιώς
Νά βρεθεί ή συνάρτηση πυκνότητας ύπό συνθήκη
2.62.
71
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
Νά βρεθεί ή πυκνότητα ύπό συνθήκη
(α)
(α)
τής Χ δεδομένης τής Υ,
της Χ δεδομένης τής Υ,
(b)
τής
τής Υ δεδομένης τής
(b)
Χ.
Υ δεδομένης τής Χ του Προβλ.
2.57. Χ Ξ;; ο,
2.63.
f(x , Υ)
"Έστω
άλλιώς
ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας τών Χ καί Υ. Χ δεδομένης τής Υ καί
(b)
Υ Ξ;; Ο
Προσδιορίστε τή συνάρτηση πυκνότητας ύπό συνθήκη
τής Υ δεδομένης τής
(α)
της
Χ.
ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
2.64.
Έάν ή Χ ~xει συνάρτηση πυκνότητας
νά βρεθεί ή συνάρτηση πυκνότητας τής
2.65.
Υ
χ> ο
=
f(x)
x~O
= Χ2. .f(x), να βρεθεί ή συνάρτηση πυκνότητας τής Χ3 •
'Εάν ή συνάρτηση πυκνότητας της Χ είναι
Έφαρμόστε τό
άποτέλεσμα γιά
x~o
f(x)
χ<ο
Πώς μπορεί νά έλεγχτεί ή άπάντηση;
2.66.
Δείξτε τό Θεώρ.
2-2
τής σελ.
46.
2.67.
Δείξτε τό Θεώρ.
2-3
τής σελ.
46
2.68.
γιά
(α) ψ'(/ι)
Ή Χ ~xει συνάρτηση πυκνότητας τήν πυκνότητας τής
Υ
=
Ο,
(b) ψ/(/Ι) ~ Ο,
= (2;;-)-l/2 e- x' I 2,
(c) ψ'(Η) ~ Ο.
-:;;
<
2.69.
Έπαληθευστε δτι τό όλοκλήρωμα της οι(ιι)
2.70.
Έάν ή πυκνότητα 111ς Χ είναι
2.71.
Συμπληρώστε τόν ύπολογισμό τής Υι(ΙΙ) στή δεύτερη μέθοδο του Προβλ.
2.72.
"Έστω δη ή πυκνότητα τής Χ ε{ναι
f(x) = l/π(χ 2
Ποιά είναι ή πυκνότητα τών (α) 3Χ
- - - - - --_
χ
< ""
Ποιά . είναι ή συνάρτηση
Χ2;
f(x)
~.
f(x)
<
- 2,
στήν πρώτη μέθοδο του Προβλ.
+ 1),
-CI;
~ 1/2 l Ο (b).\"3
<
Χ
-1
<
<
ποιά είναι ή πυκνότητα τής Υ
0..:,
χ
2.21 ίσουται μέ 1.
<
2.21.
= tan- 1 Χ;
'Ελέγξτε τό άπστέλεσμα.
1
άλλιώς
+ 1;
..
αι:
72
Κ Ε Φ.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΠΙΤΑΣ
2.73.
'Ελέγξτε μέ απ' εύθείας όλοκλήρωση τήν κοινή συνάρτηση πυκνότητας τοϋ Προβλ.
2.74.
'Έστω δτι οΙ Χ καί Υ ~χoυν κοινή συνάρτηση πυκνότητας
~-(X+Y)
{
f(x, Υ) 'Εάν
2.75.
= ΧΙΥ,
1;
= Χ + Υ,
2.22.
Υ ~ Ο
αλλιώς
ποιά εΙναι ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας τών
U
καί
V;
Χρησιμοποιώντας τό αποτέλεσμα τοϋ Προβλ. 2.22 βρείτε τή συνάρτηση πυκνότητας τών (α)
V = 2.76.
U
Χ ~ ο,
2
U=
ΧΥ2,
Ib)
Χ2Υ.
'Έστω δτι ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας τών τυχαίων μεταβλητών Χ καΙ Υ ε\ναι Ι(Χ, Υ)
- '" < Χ < "', -
σο
R sin θ,
δτι ή συνάρτηση πυκνότητας της
δείξτε
<
Υ
<
σο.
'Εάν
R
καί θ
εΙναι
δύο
R
νέες
τυχαίες
μεταβλητές
μέ
= (2".) -Ie -
Χ
=R
cos θ,
(Τ· + 11'), Υ
=
εΙναι T~O τ<ο
ο ~ Χ ~
2.77.
f(x, Υ)
'Έστω δτι
Ο ~ Υ ~
1,
1
αλλιώς
εΙναι ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας τών Χ καί Υ.
Νά βρεθεί ή συνάρτηση πυκνότητας της
Ζ
= ΧΥ.
ΣΥΝΕΛΙΞΕΙΣ
2.78.
~Eστω δτι οί ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ εΙναι Ισόνομες, δηλ. fχει ή κάθε μιά τήν ίδια κατανομή, μέ συνάρτηση πυκνότητας
ο ~
f(t)
+
'Έστω δτι οί ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ εΙναι Ισόνομες μέ συνάρτηση πυκνότητας
t
Δείξτε δτι (α)
ΞΞ; ο
αλλιώς
Προσδιορίστε τή συνάρτηση πυκνότητας τής Χ
2.81.
1
Υ καί έλέγξτε την απάντηση.
f(t)
2.80.
~
αλλιώς
Προσδιορίστε τή συνάρτηση πυκνότητας τής Χ
2.79.
t
+
Υ
καί έλέγξτε τήν απάντηση.
f I *U 2 +f3 )
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
2.21 μέ τό μετασχηματισμό 2Υ U;:;:; Χ + Ζ.
=Ζ
καί χρήση συνελίξεων γιά τόν προσδιορισμό της
συναρτήσεως πυκνότητας τής
2.82,
'Εάν οΙ ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές
Χι
καί
Χ2
εΙναι Ισόνομες μέ συνάρτηση πυκνότητας
t ~ Ο
f(t) νά βρεθεί ή συνάρτηση πυκνότητας της ΧΙ
t
<
Ο
+ Χ2 •
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
2.83.
Διαλέγουμε στήν τύχη δύο σημεία σ' ~να εύθύγραμμο τμήμα μήκους α
>
Ο.
νά σχηματιστεί τρίγωνο μέ τά τρία κομμάτια τοϋ εύθύγραμμου τμήματος;
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά μπορεί
Κ Ε Φ.
2.84.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
"Ενα λεωφορείο φθάνει σέ μιά στάση μιά χρονική στιγμή μεταξύ είναι έξ ίσου πιθανές).
μ.μ. καί
3:00
3:30
73
μ.μ. (δλες οί χρονικές στιγμές
'Εάν στό διάστημα αύτό κάποιος πάει στή στάση μιά τυχαία στιγμή καί περιμένει τό πολύ
πέντε λεπτά, ποιά είναι ή πιθανότητα νά μήν πετύχει τό λεωφορείο;
2.85.
Δύο εύθύγραμμα τμήματα ΑΒ καί σημεία Ρ καί τό ΑΡ.
Q
στά ΑΒ καί
CD
CD
εχουν μηκος
καί
8 crn
6 crn
άντίστοιχα.
Διαλέγουμε στήν τύχη δύο
άντίστοιχα καί κατασκευάζουμε ενα τρίγωνο μέ βάση τό
Δείξτε δτι ή πιθανότητα νά εχει τό τρίγωνο έμβαδό μεγαλύτερο άπό
12 crn 2
είναι
CQ καί ϋψος (1 - lη 2)12.
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
2.86.
"Εστω τήν
c.
f(x) (b)
= c/3X,
Χ
= 1,2, ... ,
τή συνάρτηση κατανομής.
2.87.
ή συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητης Χ.
Προσδιορίστε τή συνάρτηση κατανομης.
(d)
'Υπολογίστε τήν
Ρ(2
(α) 'Υπολογίστε
(c) Παραστηστε γραφικά τή συνάρτηση πιθανότητας καί ~ Χ < 5) καί (e) τήν Ρ(Χ> 3).
"Εστω δτι ή Χ ~ Ο
f(x)
άλλιιί>ς
είναι ή συνάρτηση πυκνότητας μιας τυχαίας μεταβλητης Χ. συνάρτηση κατανομης.
πολογίστε
2.88.
(d)
τήν
Ρ(Χ ~
1)
καί
(e) τήν Ρ(2 ~ Χ
'Υπολογίστε τήν c.
(b) Προσδιορίστε τή 'Υ
< 3).
Ή συνάρτηση πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητης Χ είναι
r:Ρ
δπου Ρ μιά σταθερή.
(α)
'Υπολογίστε τίς (α) Ρ(Ο ~ Χ
'Υπολογίστε τή σταθερή
Χ
=1
χ=2
1~p
f(x)
2.89.
(α)
Παραστηστε γραφικά τή συνάρτηση πυκνότητας καί τή συνάρτηση κατανομης.
(c)
χ
=3
άλλιως
< 3),
(b) Ρ(Χ> 1).
c ετσι ωστε ή χ ~ ο
F(x)
χ> ο
νά είναι ή συνάρτηση κατανομης της τυχαίας μεταβλητης
2.90.
Χ.
(b) 'Υπολογίστε τήν Ρ(1
Μιά τυχαία μεταβλητή Χ εχει συνάρτηση πυκνότητας
f(x)
J!.o:!
=
(1 - χη
ο ~ χ ~
1
άλλιως
{
Προσδιορίστε τή συνάρτηση πυκνότητας της τυχαίας μεταβλητης
2.91.
Υ
= X"l.
καί έλέγξτε τό άποτέλεσμα.
Δύο άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ εχουν άντίστοιχα συναρτήσεις πυκνότητας Υ> ο
χ> ο
f(x) 'Υπολογίστε τά (α)
2.92.
< Χ < 2).
cl καί
g(y)
χ ~ ο
1'2'
(b) Ρ(Χ
+Υ >
1), (ι') Ρο
< Χ < 2,
Ποιά σχέση ύπάρχει μεταξύ των άποτελεσμάτων τω\' (1'), (d) λογηστε τήν άπάντηση.
Υ ~ Ο
καί
Υ ~ 1), (d) Ρ(1
< Χ < 2),
(c) Ρ(Υ ~ 1).
(c) του προηγούμενου προβλήματος;
Δικαιο
74 2.93.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
Οί τυχαίες μεταβλητές
Χ ιcαί Υ
fxouv
{
~(2X + Υ)
Ο
<
(α) τή σταθερή c, (b) τήν Ρ(Χ> 1" Υ < "*), Χ ιcαί (d) τήν περιθώρια συνάρτηση πυιcνότητας ';ής Υ.-
-t,
Υ
Χ
< 1,
< ~)
= Ρ(Χ > -t) Ρ(Υ < ~-).
Στό Πρόβλ.
2.93 εΙναι
2.95.
Στό Πρόβλ.
2.91
2.96.
Οί τυχαίες μεταβλητές Χ ιcαί Υ Ι:χουν κοινή συνάρτηση πυιcνότητας
προσδιορίστε τή συνάρτηση πυιcνότητας
Ο Υ)
<
Γιατί;
(α) τής
<
Χ
Υ,
(b) τής Χ + Υ.
Χ2,
Ο
<
< 1
Υ
άλλιώς
(α) Είναι οί Χ ιcαί Υ άνεξάρτητες;
>
< 2
Υ
(c) τήν περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας τής
2.94.
f(x,
<
Ο
άλλιώς
Ύπολογίστε
Ρ(Χ>
2
ιcoινή συνάρτηση πυιcνότητας
Υ)
f(x,
Κ Ε Φ.
Ύπολογίστε τίς
Ρ(Χ>
(b)
!),
(c) Ρ(Χ
!).
< t,
Υ>!-), (d) Ρ(Χ
+Υ
2.97.
Γενιιcεϋστε τά Προβλ.
2.98.
Έστω δτι οί άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ εΙναι Ισόνομες μέ συνάρτηση πυιcνότητας (ή κάθε μία)
1(11)
2.99.
2.78 ιcαί 2.79 γιά τρείς ή περισσότερες μεταβλητές.
= (2;;-)-l!2 e -tι 12,
11
< "'.
Προσδιορίστε τή συνάρτηση πυιcνότητας τής
1).
Υ
Υ.
(b)
Ύπολογίστε τήν Ρ(1 ~ Χ
< 3,
Υ i:Ξ::
(c) ΕΙναι οΙ Χ ιcαί Υ άνεξάρτητες;
(α)
1,
J CXJj
Ο ~ χ ~ 2, Ο ~ Υ ~ χ
l
άλλιώς
Ο
Είναι οί Χ ιcαί Υ άνεξάρτητες; Υ i:Ξ::
Ύπολογίστε τίς
(b) Ρ(!
Ζ
= Χ2+ Y~.
Πίν.
2-9
χ
Ο
1
2
Ο
1/18
1/9
1/6
1
1/9
1/18
1/9
2
1/6
1/6
1/18
Υ εΙναι
/(Χ, Υ)
< Χ < 1).,
(c)
Ρ(Υ i:Ξ:: 1),
(d) P(-t
<
Χ
<
1).
Έστω δτι οί άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ ΙCαί Υ εΙναι ίσόνομες μέ συνάρτηση πυκνότητας λ"
δπου λ
>
Ο.
e-
" -11 !
f(lt) =
.
Η
Δείξτε ότι ή συνάρτηση πυιcνότητας τής Χ
g(H)
(2λ)" e- 2λ /1
!
= 0,1,2, ... +Υ
είναι
11=0,1,2, ...
Ποιό εΙναι τό άνάλογο τοϋ θεωρήματος τής συνελίξεως γιά διαιcριτές μεταβλητές; στό
2.103.
ΙCαί
Έστω δτι ή ιcoινή συνάρτηση πιθανότητας τών τυχαίων μεταβλητών Χ ΙCαί
2.102.
Χ
(α) Προσδιορίστε τίς περιθώριες συναρτήσεις
2-9.
πιθανότητας τών Χ ιcαί
2.101.
<
Ή ιcoινή συνάρτηση πιθανότητας δύο τυχαίων μεταβλητών
δίνεται στόν Πίν.
2.100.
-cι:
2
Πρόβλ.
Μιά ράβδος μήιcoυς
δύο φορές τό βελ τιωθοϋν;
'Εφαρμόστε τό θεώρημα αύτό
2.10 l.
άλλο;
L
σπάει σέ δυό ιcoμμάτια.
Διατυπώστε ιcαθαρά τίς
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά είναι τό ~να ιcoμμάτι μεγαλύτερο άπό
παραδοχές πού ιcάνατε.
Ε\ναι
ρεαλιστιιcές;
Πώς μποροϋν νά.
r
Κ Ε Φ.
2.104.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
2
Μιά βελόνα μήκους
α
<1
πέφτει σ' ~να πάτωμα πού εΙναι φτιαγμένο ιiπό τετράγωνα πλακάκια πλευράς
τε δη ή πιθανότητα νά κόψει ή βελόνα τουλάχιστο μιά πλευρά τετραγώνου εΙναι
2.105.
'Έστω
f(x,
Υ, Ζ)
Ζ >-~), (b) Ρ(Ζ
<
Χ
Δείξ
(Τό μηιcoς της
<
Χ
<
ι,
ο
Ο
< 11 < 1,
<
Ζ
< 1
άλλιώς
ή κοινή συνάρτηση πυιcνότητας τριων τυχαίων μεταβλητων Χ, Υ ιcαί Ζ.
< t,
l.
- a)/.l2.
Έξηγηστε τήν άπάντηση.
ο
2.101.
α(4Ι
Γιά ποιά πλευρά τετραγώνου ή mθανότητα του προηγούμενου προβλήματος γίνεται μέγιστη; βελόνας θεωρείται σταθερό.)
2.106.
75
Ύπολογίστε τίς
(α) Ρ(Χ>
t,
Υ
+ Υ).
'Ένα σύνολο σωματίων κινείται πρός Ι\ναν κοίλο ήμι σφαιρικό στόχο
παράλληλα πρός τόν άξονα συμμετρίας
ABC
(Σχ.
2-32).
ΟΒ τού ήμισφαιρίου ιcαί ή δέσμη fχει άκτίνα
σωματίων εΙναι
r Ι/α
f(I')
ΙΟ
0<
<
l'
α.
Τά σωμάτια κινουνται
Έάν ή κατανομή των
α
άλλιως
δπου r ή άπόσταση άπό τόν άξονα συμμετρίας, δείξτε δτι ή ιcατανoμή των σωματίων στό στόχο εΙναι
)
Υ(θ) δπου ή γωνία
θ όρίζει τό σημείο
Γ
cos
θ
ο
\ο
<
< "/2
θ
άλλιως
Ρ τού στόχου.
~
t
~
• • •
α
-τ
!
r
t
• ~
•
C Σχ.
2.108.
2-32
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα στό προηγούμενο πρόβλημα νά χτυπήσει ~να σωμάτιο τό στόχο μεταξύ θ
=
Ο καί
θ
=
./4 ; 2.109.
'Έστω δη οΙ τυχαίες μεταβλητές
.f(x, Υ,
Ζ)
Κ, γ ιcαί Ζ
r1 Lο
COS
~xoυν ιcoι νή συνάρτηση πυιcνότητας
.'1: cos"y
COS.Z
0<
'1:"
< 1,
Ο
<
Υ
< 1,
Ο<Ζ<Ι
άλλιως
Δείξτε δη, άν ιcαί δύο όποιεσδήποτε άπ' αύτές τίς τυχαίες μεταβλητές ε\ναι άνεξάρτητες (π.χ. οΙ περιθώριες
συναρτήσεις πυκνότητας γράφονται σάν γινόμενα, δπως πρέπει), οΙ τρείς αύτές μεταβλητές δέν ε\ναι άνεξάρτητες.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
3
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
Μιά πολύ σημαντική εννοια στή θεωρία πιθανοτήτων καί τή στατιστική εΙναι ή εννοια της μαθηματικής έλπίδας η άναμενόμενης τιμής ή μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητης. Γιά μιά διακριτή
τυχαία μεταβλητή Χ μέ δυνατές τιμές Χι, ... , Xn ή μέση τιμή όρίζεται μέ τή σχέση n
=
Ε(Χ)
χιΡ(Χ
= Χι) + .,. +
XnP(X
=X
Σ XjP(X= Xj)
n)
(1)
j=l
ή, αν θέσουμε
Ρ(Χ
= Xj) = !(Xj),
Ε(Χ)
=
Χι!(Χι)
μέ τήν
+ '"
+ Xn!(X n)
=
"
Σ xf(x)
Σ Xjf(Xj)
(2)
j=l
δπου ή τελευταία αθροιση νοείται ώς πρός δλες τίς δυνατές τιμές του Χ.
Στήν είδική περίπτωση
πού δλες οί πιθανότητες εΙναι 'ίσες εχουμε
Ε(Χ)
=
Χι
+ Χ2 + ... + X n
(3)
n πού καλείται καί άριθμητικός μέσος δρος ή άπλά μέσος δρος των
ΧΙ, Χ2,
•.• , X n •
Γιά μιά συνεχή τυχαία μεταβλητή Χ μέ συνάρτηση πυκνότητας !(Χ) ή άναμενόμενη ή μέση τιμή όρίζεται μέ τή σχέση
Ε(Χ)
f'"
= .
πού προκύπτει καί άπό τήν
(2),
Χ !(Χ) dx
(4)
-χ
αν άντικαταστήσουμε τό αθροισμα μέ όλοκλήρωμα.
Ή άναμενόμενη τιμή της Χ, πού καλείται καί προσδοκώμενη ή προσδοκητή τιμή, συμβολίζεται μέ JLx η μέ JL (δταν εΙναι φανερό γιά ποιά μεταβλητή πρόκειται). Ή μέση τιμή της Χ άντιπροσωπεύει κατά κάποιο τρόπο δλες τίς δυνατές τιμές της Χ καί εΙναι μιά παράμετρος θέσεως η κεντρικής τάσεως.
Στή σελ.
84
θά έξετάσουμε καί άλλες τέτοιες
παραμέτρους, πού δίνουν μιά γενική (καί έλλιπή) περιγραφή της κατανομης. Παράδειγμα ερθει
4,
κερδίσει
σ'
Έστω
ε{ναι
3.1.
χάνει
Σ' ενα παιχνίδι ενας παίκτης ρίχνει
30
δρχ. έάν ερθει
6
fva
ζάρι.
Ό παίκτης κερδίζει
20
καί ουτε κερδίζει ουτε χάνει άν ερθει άλλος άριθμός.
δρχ. έάν Ερθει
2, 40
δρχ. έάν
Πόσες δραχμές άναμένεται νά
ενα παιχνίδι;
Χ ή τυχαία μεταβλητή πού παριστάνει τό κέρδος τοϋ παίκτη σέ μιά ρίψη τοϋ ζαριοϋ.
Τά δυνατά άποτελέσματα
1'2' ... '6 μέ άντίστοιχα κέρδη χι' Χ2, ... , Χ6 καί πιθανότητες !(Χι), !(Χ2), ... , !(Χ6)' Ή συνάρτηση πιθανότη
τας της Χ δίνεται στό Σχ.
3-1.
Ή άναμενόμενη ή μέση τιμή ε{ναι
76
f
-Γ
Κ Ε Φ.
3
Πίν.
5
Παράδειγμα
3-1
Xj
Ο
+20
Ο
+40
Ο
-30
f(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Συνεπώς ό παίκτης άναμένεται νά κερδίζει πληρώνει
77
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
5
δρχ. άνά παιχνίδι.
Γιά νά εΙναι τίμιο τό παιχνίδι θά πρέπει ό παίκτης νά
δρχ. Υιά τή συμμετοχή του σέ κάθε παιχνίδι.
"Η συνάρτηση πυκνότητας τής τυχαίας μεταβλητής Χ εΙναι
3.2.
f(x) "Η μέση τιμή τής
{
:\χ
0<χ<2
Ο
άλλιώς
Χ εΙναι
Ε(Χ)
I:~ χ f(x)
=
2 χ2
dx
1
=
ο
- dx 2
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
'Έστω Χ μιά τυχαία μεταβλητή.
'Εάν Υ
Ρ(Υ=Υ)
= g(X) εΤναι μιά άλλη τυχαία μεταβλητή, τότε Σ
= ξι!
1.
Ρ(Χ=χ)
g(X)=y}
'Εάν ή Χ εΤναι διακριτή τυχαία μεταβλητή μέ συνάρτηση πιθανότητας
f(x),
τότε
E[g(X)] n
Σ g(Xj) f('yj)
Σ g(X) f(x)
=
(5)
j=l
2.
'Εάν ή Χ εΤναι συνεχής τυχαία μεταβλητή μέ πυκνότητα πιθανότητας
=
E[g(X)]
f'"
f(x),
g(x) f(x) dx
τότε
(6)
-00
Οί προηγούμενες σχέσεις μποροϋν εύκολα νά γενικευτοϋν σέ συναρτήσεις δύο ή περισσότερων τυχαίων μεταβλητών.
'Έτσι, έάν π.χ. Χ καί Υ εΤναι δύο συνεχείς τυχαίες μεταβλητές μέ κοινή
συνάρτηση πυκνότητας
f(x,
Υ),
E[g(X,
τότε ή μέση τιμή τής
Υ)] =
f'" f'" -ο:>
Παράδειγμα
3.3.
Υ) f(x, Υ)
g(X,
dx dy
(7)
-00
'Εάν Χ εΙναι ή τυχαία μεταβλητή τού Παραδ.
Ε(3Χ2 - 2Χ) = 5_"'", (3χ 2 -
Υ) εΙναι
g(X,
2x)f(x) clx
3.2,
=
τότε
i 2 (3χ - 2Χ)( ~ Χ) 2
dx
=-
1;
ΜΕΡΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
θΒώρ"μα
3-1:
'Εάν
c
εΤναι μιά σταθερή, τότε
E(cX) = cE(X) θΒώρ"μα
3-2:
'Εάν Χ καί Υ εΙναι δύο τυχαίες μεταβλητές, τότε Ε(Χ
θΒώρ"μα
.1-3:
(8)
+ Υ)
= Ε(Χ)
+ Ε(Υ)
(9)
'Εάν Χ καί Υ εΙναι δύο άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, τότε Ε(ΧΥ)
=
Ε(Χ) Ε(Υ)
(10)
Τά θεωρήματα αύτά γενικεύονται εύκολα.
51&&21 ;
78
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
3
Η ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ Η ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
'Όπως είδαμε στή σελ. καί συμβολίζεται μέ μ.
ή μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι μιά παράμετρος θέσεως
76,
Μιά αλλη άξιοσημείωτη ποσότητα στή θεωρία πιθανοτήτων καί τή στα
τιστική είναι ή διασπορά η διακύμανση η μεταβλητότητα πού όρίζεται μέ τή σχέση
Var (Χ) =
Ε[(Χ - μ)2]
καί δείχνει πόσο «άπλωμένη» είναι ή κατανομή. άριθμός.
(11)
Προφανώς ή διασπορά είναι ενας μή άρνητικός
Ή θετική τετραγωνική της ρίζα καλείται τυπική άπόκλιση καί είναι
(12) 'Όταν δέν ύπάρχει περίπτωση συγχύσεως, ή τυπική άπόκλιση συμβολίζεται συχνά μέ σ άντί γιά σ2 •
σ χ καί ή διασπορά μέ
'Εάν Χ είναι μιά διακριτή τυχαία μεταβλητή μέ συνάρτηση πιθανότητας
f(x),
τότε ή διασπο
ρά δίνεται άπό τή σχέση
σ~
n
=
Ε[(Χ - μ)2]
Σ (Xj - μ)2 f(Xj)
=
=
Σ (Χ - μ)2 f(x)
(13)
j=l
'Εάν δλες οί πιθανότητες είναι ίσες, ή σχέση αύτή γίνεται
σ2 = πού είναι ή διασπορά τών
n
[(Χι
-
μ)2
+
(:Ι'2
-
μ)2
+ ... + (x n -
μ)2]/n
(14)
άριθμών Χι, ... , X n •
'Εάν Χ είναι μιά συνεχής τυχαία μεταβλητή μέ συνάρτηση πυκνότητας είναι
σ~ = Ε[(Χ - μ)2]
=
i:
(Χ - μ)2 f(x)
f(x),
τότε ή διασπορά
(15)
dx
Ή διασπορά η ή τυπική άπόκλιση άποτε λουν ενα μέτρο του πόσο διασπαρμένες είναι
μιιcρή διασπορά
οί τιμές τής τυχαίας μεταβλητής γύρω άπό τή μέση τιμή μ.
'Εάν οί διάφορες δυν<ιτές τιμές
είναι συγκεντρωμένες κοντά στή μέση τιμή, ή
μεγάλ η διασπορά
διασπορά είναι μικρή, ένώ έάν είναι μαλλον διασπαρμένες, ή διασπορά είναι μεγάλη. Σχ.
3- Ι
Στό
δίνονται δύο συνεχείς κατανομές μέ τήν μ
ίδια μέση τιμή, άλλά διαφορετικές διασπορές. Σχ.
Παράδειγμα
3.4.
Στό Παράδ.
. Υπολογίστε
3-1
τή διασπορά καί τήν τυπική απόκλιση τής τυχαίας μεταβλητής τοϋ Παραδ.
3.2 βρήκαμε μ = Ε(Χ) = 4/3.
3.2.
Ή διασπορά ε{ναι
καί ή τυπική άπόκλιση
W
Χ
Ας σημειωθεί δτι, έάν ή Χ έκφράζεται σέ όρισμένες μονάδες, π.χ.
έκφράζεται σέ
cm 2
καί ή τυπική άπόκλιση σέ
cm,
cm,
τότε ή διασπορά τής
δηλ. τίς ίδιες μονάδες μέ τήν Χ.
Γι' αύτό
χρησιμοποιείται συχνότερα ή τυπική άπόκλιση.
ΜΕΡΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ
θεώρημα
3-4:
Ηναι δπου
Ε(Χ2)
μ
=
- [E(X)J2
(16)
Ε(Χ).
---------------------------πIlΙ",ΙnιιιιIΙΙmiIΙΙΙI'ΙΙΙ'ΙnΙi--_~lllll1Πιiiιlmr.ιlnmmΊ1fInr.11111ι111
n
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
3
θεώρημα
c
Έάν
3-5:
79
ε{ναι μιά σταθερή, τότε
=
Var(cX)
c2 Var(X)
(17)
= J-L = Ε(Χ).
θεώρημα
3-6:
Ή ποσότητα Ε[(Χ -
θεώρημα
3-7:
Έάν Χ καί Υ ε{ναι άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, τότε
3-7
γίνεται έλάχιστη, όταν α
Var(X + Υ)
Var (Χ)
Υ)
Var (Χ)
Var(X Τό Θεώρ.
a)2]
+ Var (Υ) + Var (Υ)
ή
σ~
ή
σ~
-+ σ~. + σ~.
(18) (19)
γενικεύεται εύκολα γιά περισσότερες άπό δύο άνεξάρτητες μεταβλητές.
Γενικά,
ή διασπορά άθροίσματος ή διαφοράς άνεξάρτητων μεταβλητών ίσοϋται μέ τό (ίθροισμα τών δια σπορών.
ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΕΣ
'Έστω Χ μιά τυχαία μεταβλητή μέ μέση τιμή μ καί τυπική άπόκλιση
σ (σ> Ο).
'Ορίζουμε
τήν άντίστοιχη ΤIJΠOΠOιημένη ή ΤIJΠική ή άνηγμένη τυχαία μεταβλητή μέ τή σχέση
Χ* = Χ
μ
-
(20)
σ
Ή Χ* εχει μιά σπουδαία ίδιότητα: Ή μέση τιμή της ε{ναι ίση μέ μηδέν καί ή διασπορά της ίση μέ ενα, δηλ.
Ε(Χ*) Έπίσης ή
=
Ο
Var (Χ*)
=
(21)
1
Χ* δέν εχει διαστάσεις (ε{ναι άδιάστατη ποσότητα, δηλ. καθαρός άριθμός), είτε εχει
διαστάσεις ή Χ είτε όχι. ΟΙ τιμές μιάς τυποποιημένης μεταβλητής καλοϋνται μερικές φορές καί ΤIJΠικά άποτελέσματα,
όπότε λέμε ότι ή Χ έκφράζεται σέ τυπικές μονάδες, δηλ. ή σ παίρνεται σάν μονάδα μετρήσεως τής διαφοράς
Χ
-
μ.
Τυποποιημένες μεταβλητές χρησιμοποιοϋνται συχνά στή σύγκριση διαφορετι
κών κατανομών.
ΡΟΠΕΣ
Έάν Χ ε{ναι μιά τυχαία μεταβλητή, καλείται ροπή τάςεως κή ροπή τάςεως
]'
r
της Χ περί τή μέση τιμή μ ή κεντρι
ή ποσότητα
(22) όπου
r
= Ο, 1,2,. . . =
Σ (Xj - μ)' f(Xj)
;= ι
=
r
l'
= 0,1,2, ... ,
καί J-L 2
= σ~, δηλ. ή κεντρική ροπή
dx
γιά διακριτή μεταβλητή
(23)
γιά συνεχή μεταβλητή
(24)
της Χ περί τήν άρχή μέ τή σχέση μ;
όπου
=Ο
Σ (Χ - μ)' f(x)
μτ = .Ι~"" (Χ - μ)' f(x) Έπίσης όρίζουμε τή ροπή τάςεως
μ·ι
Γενικά ε{ναι
n
J-L r
= 1,
. Εύκολα φαίνεται ότι μο
δεύτερης τάξεως ε{ναι ή διασπορά.
=
Ε(ΧΤ)
Στήν περίπτωση αύτή ίσχύουν οί τύποι
(25) (23)
καί
(24)
μέ μ
=
Ο.
ΟΙ ροπές πού όρίσαμε συνδέονται μέ τή σχέση
μτ
=
μ~
- (~)μ;-ιμ + ... + (-l)i(;)μ~_jμj + .. , + (_l)Tμ~μ'
(26)
..
~_.~~
~~--~~
~
! _
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
80 Έπειδή
lι~
καί
= 1
μ~
3
= μ, ή (26) δίνει σάν εΙδικές περιπτώσεις τίς
(27)
ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ
Ή ροπογεννήτρια συνάρτηση ή άπλά ροπογεννήτρια μιας τυχαίας μεταβλητής Χ όρίζεται μέ τη σχέση
(28) πού γράφεται
n
MX(t)
=
Σ etx; f(Xj)
Mx{t) =
L-
Άναπτύσσοντας σέ σειρά
Taylor
MX(t)
=
r" εΙι/(χ)
j=l
_
γιά διακριτή μεταβλητή
(29)
γιά συνεχή μεταβλητή
dx
(30)
Χ
εχουμε [Πρόβλ. 3.15(α)]
1 +ι-ιt
=
Σ etxf(x)
+
t2
.ιι;2!
+ '., +
tT
μ~1'!
+ ...
(31)
Έάν ε!ναι γνωστοί οί συντελεστές του άναπτύγματος αύτού, μπορούμε νά ύπολογίσουμε εύκολα τίς
ροπές τής
Χ, γι' αύτό καί ή
Λι χ ω
καλείται ροπογεννήτρια.
Εύκολα δείχνεται [Πρόβλ.3.15J
δτι
(32) δηλ. ή
μ; εΙναι ή παράγωγος τάξεως l' τής
κίνδυνος συγχύσεως, γράφουμε
M(t)
άντί
Mx(t) ύπολογισμένη γιά MX(t).
στό
t =
Ο.
ΒΟ ταν δέν ύπάρχει
ΜΕΡΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ
θεώρημα
3-8:
'Εάν Μ x(t) εΤναι ή ροπογεννήτρια τής τυχαίας μεταβλητής Χ καί α καί. Ο) δύο σταθερές, τότε ή ροπογεννήτρια τής (Χ
Λ;1 0>a) θεώρημα
3-9:
[;(i)
=
+ a)/b
b (b #
εΤναι
earIbMx(i)
'Εάν Χ καί Υ ε{ναι δύο άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές μέ ροπογεννήτριες καί
"'.fy(t)
(33)
Mx(t)
άντίστοιχα, τότε
(34) Τό Θεώρ.
3-9
γενικεύεται εύκολα γιά περισσότερες άπό δύο άνεξάρτητες μεταβλητές, δηλ. ή ροπο
γεννήτρια άθροίσματος άνεξάρτητων μεταβλητών Ισούται μέ τό γινόμενο τών ροπογεννητριών.
θεώρημα
3-10
(Θεώρημα μοναδικότητας):
J1.1 xXt)
καί
My(t)
Οί τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ μέ ροπογεννήτριες
εΙναι ίσόνομες, δηλ. εχουν τήν ίδια κατανομή πιθανότητας, έάν
καί μόνον έάν εΙναι
Mx(t) = My(t)
γιά κάθε
t.
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
'Εάν θέσουμε
t=
ίω, δπου ί ε{ναι ή φανταστική μονάδα, παίρνουμε άπό τή ροπογεννήτρια
μιά άξιοσημείωτη συνάρτηση πού καλείται χαρακτηριστική συνάρτηση καί συμβολίζεται μέ
i
r
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
3
81 (35)
'Έπεται ότι.
n
φ (ω) χ
= ;=1 Σe
φχ(ω) ΟΙ σχέσεις
(31)
καί
(32)
iωχ
; f(Xj)
=
Σ eiωΧf(Χ)
{~ eiωΧf(Χ) dx
=
γιά διακριτή μεταβλητή
(36)
γιά συνεχή μεταβλητή
(37)
γίνονται
+ r
μ'
καί
=
τ
(-1)Τί Τ _-+.(ω) d dωΤΨΧ
.
ω
Τ
'!-Τ ιι '~ r
r!
+
(38)
Ι ω~O
(39)
'Όταν δέν ύπάρχει κίνδυνος συγχύσεως γράφουμε συχνά φ(ω) άντί γιά φχ(ω). Άπό τά Θεωρ.
3-8, 3-9
καί
3-10
εχουμε τά παρακάτω θεωρήματα γιά χαρακτηριστικές συναρ
τήσεις.
θεώρημα
'Εάν φχ(ω) εΙναι ή χαρακτηριστική συνάρτηση τής τυχαίας μεταβλητής Χ καί
3-11:
α
καί
b (b #
Ο) δύο σταθερές, τότε ή χαρακτηριστική συνάρτηση τής (Χ
εΙναι -+.
( )
'Ι'(Χ+ο)/I, ω
θεώρημα
-
-
eοίωlV-+.'Ι'χ (."!.bJ'1
+ α)/b (40)
'Εάν Χ καί Υ εΙναι δύο άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές μέ χαρακτηριστικές συ
3-12:
ναρτήσεις φχ(ω)
καί φ\,(ω) άντίστοιχα, τότε
(41) Γενικά, ή χαρακτηριστική συνάρτηση άθροίσματος άνεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Ισοϋται μέ τό γινόμενο τών χαρακτηριστικών συναρτήσεων. θεώρημα
3-13
(Θεώρημα μοναδικότητας): ΟΙ τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ μέ χαρακτηριστικές συ
ναρτήσεις 1)χ("') καί φΥ(ω) εΙναι Ισόνομες, δήλο εχουν τήν ίδια κατανομή πιθανό τητας, έάν καί μόνον έάν εΙναι Άπό τή σχέση
μετασχηματισμένη
Fourier
(37)
x("') = ΦΥ(Ι") γιά κάθε ω.
προκύπτει μιά σημαντική Ιδιότητα: Ή χαρακτηριστική συνάρτηση εΙναι ή
Fourier
τής συναρτήσεως πυκνότητας /(:ι:).
'Όπως δείχνεται στήν
'Ανάλυση
ή συνάρτηση πυκνότητας προκύπτει άπό τή χαρακτηριστική συνάρτηση άπό τόν τύπο
(42) πού δίνει τήν άντίστροφη μετασχηματισμένη
μεταβλητές, όπου εχουμε σειρές συνάρτηση πιθανότητας
σχέση
(36).
f(x)
(Βλέπε Πρόβλ.
Fourier
Fourier.
Παρόμοιες σχέσεις Ισχύουν γιά διακριτές
άντί γιά όλοκληρώματα Fοuήer.
Στήν περίπτωση αύτή ή
μπορεί νά βρεθεί σύμφωνα μέ τή θεωρία τών σειρών Fοuήer άπό τή
3.39.)
'Ένας άλλος λόγος γιά τόν όποίο χρησιμοποιείται ή χαρακτηριστική συνάρτηση εΙναι ότι ή φχ(ω)
πάντα ύπάρχει, ένώ ή ροπογεννήτρια δέν ύπάρχει πάντα.
ΔΙΑΣΠΟΡΕΣ ΚΟΙΝΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ. ΣΥΝΔΙΑΣΠΟΡΑ Τά προηγούμενα μποροϋν νά γενικευτοϋν γιά δύο ή περισσότερες μεταβλητές.
'Έτσι Π.χ.
έάν Χ καί Υ εΙναι δύο συνεχείς τυχαίες μεταβλητές μέ κοινή συνάρτηση πυκνότητας
f(x, Υ), οί
άναμενόμενες ή μέσες τιμές τών Χ καί Υ εΙναι
ΙΧ
82
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
Ε(Χ)
=
ι: ι:
μΥ = Ε(Υ) = {~ ι:
xf(x,y)dxdy,
καί οί διασπορές
S-: I-~ (Χ
=
(43)
yf(x,y)dxdy
μχ)2 f(x, Υ) dx dy
-
(44)
{~ ι: (Υ - μΥ)2 f(x, Υ) dx dy
=
3
Γιά δύο τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ μιά άλλη άξιοσημείωτη ποσότητα εΙναι ή συνδιασπορά ή
συνδιακύμανση ή συμμεταβλητότητα πού όρίζεται μέ τή σχέση
σ ΧΥ
=
Cov (Χ, Υ)
=
Ε[(Χ - μχ)(Υ - μΥ)]
(45)
Χρησιμοποιώντας τήν κοινή συνάρτηση πυκνότητας εχουμε
σ
I~ Ι: (Χ - μχ)(Υ - μΥ) f(x, Υ) dx dy
=
ΧΥ
Παρόμοιες σχέσεις εχουμε γιά δύο διακριτές μεταβλητές. γιά τίς
(43)
καί
(46)
Στήν περίπτωση αύτή εχουμε άντί
(46)
μΥ = Σ Σ Υ f(x, Υ)
μχ = Σ Σ xf(x,Y) χ
Υ
χ
(47)
Υ
(48) δπου τά άθροίσματα νοουνται γιά δλες τίς δυνατές τιμές τών Χ καί Υ. Γιά τή
συνδιασπορά ίσχύουν τά άκόλουθα θεωρήματα:
θεώρημα
3-14 :
θεώρημα
3-15:
σ ΧΥ =
Ε(ΧΥ) - Ε(Χ) Ε(Υ)
Ε(ΧΥ) - μχμΥ
(49)
Έάν Χ καί Υ εΙναι δύο άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, τότε
σ ΧΥ θεώρημα
=
Var (Χ ± Υ) = Var (Χ)
3-16:
(50)
= Cov(X, Υ) = ο
+ Var (Υ)
± 2 Cov (Χ, Υ)
(51)
ή
θεώρημα
(52)
3-17 :
(53)
Τό άντίστροφο του Θεωρ. Θεώρ.
3-16
δίνει τό Θεώρ.
3-15 δέν ίσχύει πάντα. 3-7.
Έάν οί Χ καί Υ εΙναι άνεξάρτητες, τό
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ
Έάν οί Χ καί Υ εΙναι άνεξάρτητες, τότε τότε
Cov (Χ,
Υ)
=
σ ΧΥ
=
σχσ Υ •
Cov (Χ,
Υ)
= σ χΥ =
Ο.
Άντίθετα,
έάν· Χ
=
Υ,
Γι' αύτό μπορουμε νά θεωρήσουμε σάν μέτρο της άνεξαρτησίας
δύο μεταβλητών τήν ποσότητα
(54)
Ρ
πού εΙναι άδιάστατη καί καλείται συντελεστής συσχετίσεως.
-1
;ΞΞ ρ ;ΞΞ
1.
Έάν Ρ
τιστες η όρθογώνιες. καί νά μήν εΙναι.
=
Άπό τό Θεώρ.
3-17
προκύπτει δτι
Ο, δηλ. ή συνδιασπορά εΙναι μηδέν, τότε οί Χ καί Υ καλουνται άσυσχέ
Στήν περίπτωση αύτή μπορεί οί Χ καί Υ νά εΙναι άνεξάρτητες, άλλά μπορεί Ή συσχέτιση θά έξεταστεί άναλυτικότερα στό Κεφ.
8.
Κ Ε Φ.
3
83
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ, ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ Έάν οί Χ καί Υ εχουν κοινή συνάρτηση πυκνότητας
f(x,
Υ),
τότε, όπως είδαμε στό Κεφ.
ή συνάρτηση πυκνότητας ύπό συνθήκη της Υ δεδομένης της Χ εΙναι που Ιι(Χ) εΙναι ή περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας της Χ.
Ι(Υ Ι χ)
= f(x,
2,
Υ)/Ιι (Χ), ό
'Ορίζουμε τώρα τή μέση ή άναμενό
μενη τιμή ύπό συνθήκη της Υ δεδομένης της Χ μέ τή σχέση
= ι:
E(YjX=x) όπου τό
Χ
καί
3-3
3-2
=
χ
<
σημαίνει χ
Χ ~ χ
+
yf(ylx)dy
(55)
dx στήν περίπτωση συνεχών μεταβλητών.
Τά Θεωρ.
3-1,
ίσχύουν καί γιά μέσες τιμές ύπό συνθήκη.
Δύο χρήσιμες ίδιότητες εΙναι οί ~ξης:
= χ) =
1.
Ε(Υ Ι Χ
2.
Ε(Υ) = ι:
Ε(Υ)
δταν οί Χ καί Υ εΙναι άνεξάρτητες.
E(YjX=x)fl(x)dx
Συχνά εΙναι βολικότερο νά ύπολογίζουμε μέσες τιμές χρησιμοποιώντας τήν Ιδιότητα
2
παρά άπ'
εύθείας. ΠαράδεΙΥμα
3.5.
Τό ταξίδι σέ μιά μαιcρινή πόλη διαριcεί
άποφασίζει ρίχνοντας
b
ώρες μέ τό λεωφορείο ΙCαί
c
ώρες μέ τό τραίνο.
Έδώ Ιχουμε μιά κοινή κατανομή τής Χ (άποτέλεσμα ρίψεως τού νομίσματος) καί της
Υ b γιά Χ Ι
=1
ιcαί Υ
= Υc
γιά Χ
==
Ο.
τίς σχέσεις
καί Άπό τήν Ιδιότητα
2
Έάν ιcάπoιoς
νόμισμα αν θά πάρει τό λεωφορείο ή τό τραίνο, ποιά ε{ναι ή μέση διάρκεια του ταξιδιού του;
fva
"Επειδή οΙ Υ ι, ιcαί
Υ (διάρκεια ταξιδιού) μέ
Υ
=
Υ c ε{ναι άνεξάρτητες της Χ, fχουμε άπό τήν Ιδιότητα
Ε(Υ! Χ
= Ο)
= E(}'cl
Χ
= Ο)
Ε(Υ! Χ
= 1) = E(Ybl
Χ
= 1)
E(Y c )
c
-
b
(μέ άθροισμα άντί γιά όλoιcλήρωμα) παίρνουμε
Ε(}')
=
Ε(Υ Ι Χ
Ο) Ρ(Χ
=
= Ο)
Ε(Υ
+
iΧ
= 1) Ρ(Χ = 1)
c+b 2
Μέ δμοιο τρόπο όρίζουμε τή διασπορά ύπό συνθήκη της Υ δεδομένης της Χ
Ε[(Υ - μΥχ)2 Ι Χ = Χ] όπου μΥΧ
= Ε(Υ Ι Χ = χ).
ι: (Υ - μη)2 f(y Ι χ) dy
=
Έπίσης όρίζουμε τή ροπή τάξεως
(56)
ύπό συνθήκη της Υ δεδομένης
r
τής Χ περί κάποια τιμή α μέ τή σχέση
Ε[(Υ - α)'ι Χ = Χ] = I:~ (Υ - αγ f(y Ι Χ) dy
(.57)
Τά γνωστά θεωρήματα γιά διασπορές καί ροπές Ισχύουν καί γιά τά άντίστοιχα μεγέθη ύπό συνθή κη.
Η ANIΣOTlΠA ΤΟΥ
CHEBYSHEV
'Ένα σημαντικό θε.ώρημα στή θεωρία πιθανοτήτων καί τή στατιστική, πού άναφέρεται σέ μιά γενική ίδιότητα διακριτών ή συνεχών μεταβλητών μέ πεπερασμένες μέση τιμή καί διασπορά, εΙναι γνωστό σάν άνισότητα του
θεώρημα
3-18
Chebyshev.
(Άνισότητα τού
Chebyshev):
Έάν ή Χ εΙναι μιά τυχαία μεταβλητή (διακριτή ή
συνεχής) μέ μέση τιμή μ καί διασπορά μό ε
Ρ(ΙΧ ή μέ
if-
πεπερασμένες, τότε γιά κάθε θετικό άριθ
είναι
ε
-
μΙ ΞΞ ε)
:ΞΞ
= kcr, Ρ(IΧ
-
-
μΙ ΞΞ
----
)-'-~~._~ ."'..; ..;,..; ......
kcr)
::;
σ2 --;ι
1 k2
(58) (59)
~ . ---------- --------------------------~~--------.......................................'z.i2ιr;J
84
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
Παράδειγμα
Θέτοντας στήν άνισότητα τοϋ
3.6.
Chebyshev k = 2
3
Ι!:χουμε
Ρ(ΙΧ
P(iX - μΙ ~ 2σ) ~ 0.25
-
μΙ
<
2σ)
~
0.75
Αύτό σημαίνει ότι ή πιθανότητα νά διαφέρει ή Χ άπό τή μέση τιμή της δύο τι περισσότερες φορές την τυπική της άπόκλιση εΙναι μικρότερη τι ίση τοϋ
0.25.
Ή, Ισοδύναμα, δτι ή πιθανότητα νά διαφέρει ή Χ ciπό τή μέση τιμή της
λιγότερο άπό δύο φορές τήν τυπική της άπόκλιση εΙναι μεγαλύτερη τι ίση τού γιά όποιαδήποτε κατανομή πιθανότητας της
0.75.
Τό άξιοσημείωτο εΙναι δτι αύτό Ισχύει
Χ.
Ο ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓ ΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Τό έπόμενο θεώρημα, πού εΙναι γνωστό σάν νόμος τών μεγάλων άριθμών, εΙναι μιά ένδιαφέρουσα συνέπεια τής άνισότητας του
θεώρημα
3-19
Chebyshev.
(Νόμος των μεγάλων άριθμων): 'Έστω ότι οϊ τυχαίες μεταβλητές Χι, Χ 2 ,
• ••
εΙναι
(τελείως) άνεξάρτητες καί εχουν πεπερασμένες μέση τιμή μ καί διασπορά σ2.
'Έάν
Sn =
ΧΙ
+ Χ2 + ... + X n(n = lim n-",
Έπειδή
S,,/11
p(ISn_ IL / ~ ι) n
εΙναι ό μέσος όρος των Χι,
διαφέρει ό μέσος όρος
S,,/n
τότε
1,2, ... ), Ι
... , X n ,
Ο
(60)
τό θεώρημα αύτό λέει ότι ή πιθανότητα νά
άπό τή μέση τιμή μ περισσότερο άπό ι τείνει στό μηδέν, όταν n~~.
Σάν συνέπεια του θεωρήματος αύτου θά περίμενε κανείς ότι σωστό.
=
Μπορουμε όμως νά δείξουμε ότι μέ πιθανότητα
Ισχυρός νόμος τών μεγάλων άριθμών,
ένώ τό Θεώρ.
1
εΤναι
lim Sn/n = lim S,,/n
καλείται
3-19
μ, άλλά αύτό δέν εΙναι
= μ,
άσθενής
πού συχνά καλείται νόμος
τών
μεγάλων
άριθμών ή άπλά νόμος τών μεγάλων άριθμών.
ΑΛΛΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΘΕΣΕΩΣ
Είδαμε ότι ή μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής Χ δίνει μιά Ιδέα τών τιμών τής κατανομής, ενα μέτρο τής κεντρικής τάσεως, όπως λέμε.
~Αν καί ή μέση τιμή χρησιμοποιείται συχνότερα,
μερικές φορές προτιμώνται δύο άλλες παράμετροι θέσεως.
Αύτές εΙναι ή πιθανότερη τιμή καί ή
διάμεση τιμή.
1.
Πιθανότερη τιμή είναι ή τιμή πού εχει τή μεγαλύτερη πιθανότητα νά συμβεί. ή
f(x)
γίνεται μέγιστη.
κατανομή. δικόρυφη,
2.
Γι' αύτή τήν τιμή
Έάν αύτό συμβαίνει γιά μιά τιμή, τότε λέμε ότι εχουμε μονοκόρυφη
Μερικές φορές όμως αύτό συμβαίνει γιά περισσότερες άπό μιά τιμές, όπότε εχουμε τρικόρυφη,
κτλ., πολυκόρυφη κατανομή.
Διάμεση τιμή η διχοτόμος τιμή καλείται ή τιμή γιά τήν όποία Ρ(Χ ~ Χ)
= Ρ(Χ ~ Χ) = i.
Στήν περίπτωση συνεχους κατανομής ή διάμεση τιμή άντιστοιχεί στό σημείο πού χωρίζει τήν
καμπύλη πυκνότητας σέ δύο κομμάτια μέ εμβαδό
1/2
κάτω άπό τό κάθε κομμάτι.
Στήν περί
πτωση διακριτής κατανομής ένδέχεται νά μήν ύπάρχει μιά μόνο διάμεση τιμή (Πρόβλ.
ΕΚΑΤΟΣΤΙΑΙΑ ΣΗΜΕΙΑ
Συχνά εΙναι βολικό νά διαιρουμε τό έμβαδό μεταξύ μιας καμπύλης πυκνότητας καί του όριζόντιου άξονα μέ τετμημένες, ετσι ωστε τό άριστερά μιας τετμημένης
εμβαδό νά εΙναι ενα μέρος του όλου εμβαδου.
Τό
μέρος α του έμβαδου καλείται ποσοστό καί ή άντί στοιχη τετμημένη κατοστιαίο σημείο.
α-ποσοστιαίο σημείο ή ~Eτσι στό Σχ.
3-2
100 α-στό έ
Χα είναι τό
ποσοστιαίο σημείο μέ άντίστοιχο ποσοστό ιι.
α Σχ.
3-2
3.34).
-Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
3
Σέ πίνακες δίνονται τιμές τής
Χα.
85
Π.χ. Χ.Ιό εΙναι τό 0.10-ποσοστιαίο σημείο
εκατοστιαίο σημείο, δηλ. ή τετμημένη μέ
0.10
1'\ 10%
1'\
τό 10το
του έμβαδου πρός τά άριστερά.
ΑΛΛΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
ΗΟ πως ύπάρχουν διάφορες παράμετροι θέσεως, ύπάρχουν καί διάφορες παράμετροι διασποράς,
πού δίνουν μιά περιληπτιιcή, έλλιπή Ιδέα του πώς εΙναι ιcατανεμημένες οΙ πιθανότητες στίς διάφορες τιμές τής τυχαίας μεταβλητής.
ΈΙCτός άπό τή διασπορά
(1'\
τήν τυπιιcή άπόΙCλιση) εχουμε ΙCαί τίς
εξής παραμέτρους διασπορας:
1.
Πλάτος
1'\
εκταση είναι ή διαφορά τής μεγαλύτερης δυνατής τιμής τής μεταβλητής μείον τή
μικρότερη δυνατή τιμή.
2.
Έάν μιά άπό τίς τιμές αυτές είναι απειρη, τό πλάτος δέν όρίζεται.
Κεντρικό πλάτος καλείται ή διαφορά Χ.75 - X.2S, ένώ μισοκεντρικό πλάτος ιcαλείται ή ποσότητα
t(X.75 - Χ.25).
3.
Μέση άπόλυτη άπόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ καλείται ή μέση τιμή τής \Χ συμβολίζεται μέ Μ.Α.Α.( Χ).
-
μΙ καί
Έτσι εχουμε
=
Μ.Α.Α.(Χ)
Ε[[Χ - μΙ]
Σ ΙΧ
Μ.Α.Α.(Χ)
Ε[ ΙΧ - μ!] = ι:
-
μΙ f(x)
jx -
γιά διακριτή μεταβλητή
(61)
μΙ f(x) dx γιά συνεχή μεταβλητή
(62)
ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΚΥΡΤΩΣΗ
1.
Άσυμμετρία.
Συχνά μιά κατανομή δέν είναι συμμετριιcή, δηλ. δέν ύπάρχει τιμή τής τυχαίας
μεταβλητής ώς πρός τήν όποία ή συνάρτηση πιθανότητας συμμετριιcή.
1'\ ή
πυκνότητα πιθανότητας νά είναι
Σέ τέτοιες περιπτώσεις ή ιcατανoμή παρουσιάζει συχνά μιά «ουρά» πρός τά δεξιά
(Σχ.3-3, κατανομή άσύμμετρη πρός τά δεξιά) πρός τά άριστερά).
1'\
πρός τά άριστερά (Σχ.
3-4, κατανομή
άσύμμετρη
Μιά ποσότητα πού μπορεί νά χρησιμοποιηθεί σάν μέτρο τής άσυμμετρίας,
καλείται συντελεστής άσυμμετρίας ή άπλά άσυμμετρία ή άΙCόμα συντελεστής λοξότητας η λοξό τητα.
Μιά τέτοια ποσότητα εΙναι ή
(63) πού δέν εχει διαστάσεις.
Ή
lX
3
είναι θετιιcή
δεξιά η πρός τά άριστερά άντίστοιχα.
1'\
άρνητική γιά ιcατανoμή άσύμμετρη πρός τά
Γιά συμμετρική κατανομή ε{ναι
α3
=
Ο.
'Ασύμμετρη
πρός τά δεξιά
Σχ.
2.
Κύρτωση.
Σχ.
3-3
3-4
Σχ.
3-5
Μιά κατανομή μπορεί νά εΙναι «συγΙCεντρωμένη» ιcoντά στή μέση τιμή, όπότε ή
ιcαμπύλη πού τήν παριστάνει παρουσιάζει μιά εντονη ιcύρτωση (καμπούριασμα), όπως ή συνε χής ιcαμπύλη στό Σχ.
3-5.
Μπορεί όπως μιά κατανομή νά μήν είναι συγκεντρωμένη κατ' αυτό
τόν τρόπο, όπότε ή καμπύλη πού τήν παριστάνει δέν παρουσιάζει σαφή κύρτωση, οπως ή διαιcειcoμμένη καμπύλη στό Σχ.
3-5.
Μιά ποσότητα πού μπορεί νά χρησιμοποιηθεί σάν μέτρο
τής ιcυρτώσεως, καλείται συντελεστής κυρτώσεως η άπλά κύρτωση.
Μιά τέτοια ποσότητα ε{
ναι ή
(64)
7
86
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
πού δέν εχει διαστάσεις.
Ή ποσότητα αύτή συγκρίνεται συνήθως μέ τό
στοιχη ποσότητα γιά τήν κανονική κατανομή (Κεφ.
3,
3
πού εΙναι ή άντί
4).
ΕΙναι δυνατό νά όρίσουμε συντελεστές άσυμμετρίας καί κυρτώσεως χρησιμοποιώντας άλλες
παραμέτρους θέσεως καί διασποράς.
Συνήθως όμως χρησιμοποιοϋνται οΙ συντελεστές πού όρί
σαμε έδω.
Λυμένα Προβλήματα ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
3.1.
Σ' ενα λαχνό ύπάρχουν λιάδων δρχ. καί
5
200
βραβεία (κέρδη) των
βραβεία των
100
χιλιάδων δρχ.,
5
χιλιάδων δρχ.
20
βραβεία των
'Εάν πρόκειται νά μοιραστοϋν
25 χι 10,000
λαχνοί, πόσο πρέπει νά πληρώσει κανείς γιά ενα λαχνό; Πίν. Έστω
Χ τυχαία
μεταβλητή πού
κέρδος ενός λαχνοϋ. Οί τιμές τής Χ μέ τίς άντίστοιχες πιθανότητες δίνονται στόν Πίν.
3-2.
νότητα νά κερδίσει ~νας λαχνός
25
20/10,000
= 0.002.
Χ (χιλ. δρχ.)
χιλιάδες δραχμές.
=
5
25
100
Ο
0.02
0.002
0.0005
0.9775
Έτσι, Π.χ. πιθα
χιλιάδες δρχ. εΙναι
Ρ(Χ
Ή μέση τιμή τής Χ εΙναι
Ε(Χ)
3-2
παριστάνει τό
(5)(0.02)
+ (25)(0.002) +
= Χ)
(100)(0.0005)
+
(0)(0.9775)'
Συνεπώς ή τιμή πού πρέπει νά πληρώσει κανείς γιά ενα λαχνό είναι
=
0.2
200
δρχ.
Στήν πράξη ή
τιμή είναι πολύ μεγαλύτερη, έπειδή δέν άναμένεται νά πουληθοϋν δλοι οΙ λαχνοί καί έπειδή πρέπει νά κερδίσει κάτι καί ό όργανωτής.
3.2.
'Υπολογίστε τή μέση τιμή τοϋ άθροίσματος των άποτελεσμάτων στή ρίψη δύο ζαριων. "Εάν Χ καί Υ είναι τά δύο άποτελέσματα, i:χουμε
7 2 καί άπό τό Θεώρ.
3-2
3.3.
Ύπολογίστε
τή
μέση
τιμή
+ Ε(Υ)
Ε(Χ)
Ε(Χ+Υ)
τής διακριτής
τυχαίας
7
μεταβλητής Χ πού
πιθανότητας (χ
= 1,2,3, ... )
i) +
3(
~) + 4{ 1~) +
2
Είναι
Θέτοντας
8
i!;χουμε
1.8
καί άφαιρώντας
1.8
-Αρα
8
1+ 2
2
= 2.
2
1
'2+
2(
-
1 4
+
1 4
+
(υ + 3 ( 116) + 1 8
+
1 16
+ '"
1
εχει
συνάρτηση
r Κ Ε Φ.
3.4.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
3
87
Μιά συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ εχει πυκνότητα πιθανότητας
{~Γ2X
f(x) Νά ύπολογιστουν οί
(α) Ε(Χ),
Ε(Χ) =
(α)
f_"",
χ>Ο
x~O
Ε(Χ2).
(b)
χ f(x)
=
dx
i'"
x(2e- 2I} dx
(b)
2
3.5.
-2 [ (e-2x) (χ 2 )
(f e-z:t)
(2Χ) -4-
-
+
(e- :t)J Ι'" 2
(2)
1
ο
-8
2
Ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας δύο τυχαίων μεταβλητών Χ καί Υ ε{ναι
Ύ πολογίστε τίς
(α) Ε(Χ),
= ι:
f_:
Ο
{ ΧΥ/96
f(x, Υ)
< χ < 4, 1 < Υ < 5
άλλιώς
'-ο
(b) Ε(Υ), (c) Ε(ΧΥ), (d) Ε(2Χ
i:o .[:1
=
+ 3Υ). 8 3
(α)
Ε(Χ)
(b)
Ε(Υ)
(c)
Ε(ΧΥ) = Ι-Χ., f-"'", (ΧΥ) f(x, Υ) dx dy
(d)
Ε(2Χ + 3Υ) = 5-"", Ι:", (2Χ + 3Υ) f(x, Υ) dx dy = i~o ~5=1 (2Χ + 3 Υ { ; : ) dx dy
xf(x,y)dxdy
X(;:)dXd Y
1
4 (5 Χ=Ο Jy=t
(ΧΥ)(ΧΥ) dx dy = 96
248 27
47 3
-Αλλη μέθοδος.
(c)
'Επειδή οί Χ καί Υ εΙναι άνεξάρτητες, έχουμε Ε(ΧΥ)
(d)
Άπό τά θεωρ.
3.1
καί
3-2
Ε(2Χ+3Υ) 3.6.
Δείξτε τό Θεώρ. Έστω
f(x,
3-2
=
της σελ.
=
της σελ.
248
Ε(Χ) Ε(Υ)
77
2Ε(Χ)
27
έχουμε
+
3Ε(Υ) = 2(~) + 3(~1)
47 3
77.
Υ) ή κοινή συνάρτηση πιθανότητας τών διακριτών τυχαίων μεταβλητών Χ καί
~ ~ (Χ
Ε(Χ+ Υ)
χ
=
ΕΊναι
+ Υ) f(x, Υ)
Υ
~ ~ χ !(Χ, Υ) Χ
Υ.
Υ
Ε(Χ)
+
~ ~ Υ f(x, Υ) Χ
+
Υ
Ε(Υ)
'Εάν ή μιά ή καί οί δύο μεταβλητές εΙναι συνεχείς, ίσχύει ή ίδια άπόδειξη μέ όλοκληρώματα άντί άθροίσματα. θεώρημα ίσχύει καί έάν οί Χ καί Υ είναι άνεξάρτητες καί Μν δέν είναι.
-----
-----
Τό
3.7.
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
88 Δείξτε τό Θεώρ.
της σελ.
3-3
77.
'Έστω Ι(Χ, Υ) ή κοινή συνάρτηση πιθανότητας τών διακριτών μεταβλητών Χ καί
εΙναι άνεξάρτητες, ~xoυμε
= I 1 (Χ) 12(Y)
Ι(Χ, Υ)
3
Ε(ΧΥ)
~ ~ ΧΥ Ι(Χ, Υ)
=
:ι:
Υ.
'Έάν οΙ Χ καί
Υ
καί Δρα
~ ~ ΧΥ I 1 (Χ) 12 (Υ)
=
!Ι
:ι:
!Ι
= ~ [Χ II (χ) ~ ΥI2(Υ)] ~ [Χ
I1 (Χ) Ε(Υ)]
:ι:
Ε(Χ) Ε(Υ)
'Εάν ι'ι μία 1'Ικαί οΙ δύο μεταβλητές ε{ναι συνεχείς, Ισχύει ή Ιδια άπόδειξη μέ όλoΙCΛηρώματα dvτi γιά τά dvτioτolXQ άθροίσματα.
Ε\ναι φανερό δτι ή άπόδειξη βασίζεται στό δη ή Ι(Χ, Υ) μπορεί νά γραφεί σάν μιά συνάρτηση
του Χ έπί μία συνάρτηση του Υ γιά δλα τά Χ καί
Υ, δηλ. ατό δη οΙ Χ καί Υ εΙναι dνεξάρτητες.
ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ TYmΚH ΑΠΟΚΛΙΣΗ
3.8.
Ύπολογίστε (α) τή διασπορά καί
τήν τυπική άπόκλιση τοϋ άθροίσματος τών άποτελε
(b)
σμάτων στή ρίψη δύο ζαριών. (α)
Άπό τό Πρόβλ.
~xoυμε
3.2
Ε(Χ2) Άπό τό Θεώρ.
3-4
= Ε(Υ) = 7/2.
Ε(Χ)
Ε(Υ2)
=
'Επίσης
1 i) + 2<~) + ... + 62(~) 2
=
(
~xoυμε
(Χ) =
Vat·
Var
(Υ) =
καί, έπειδή οΙ Χ καί Υ εΙναι άνεξάρτητες, τό Θεώρ.
Var
(Χ
+ Υ)
Ύπολογίστε (α) τή διασπορά καί Προβλ. (α)
=
σΧ+Υ =
(b)
3.9.
91 6
Var
\/Var
α) 2
961 δίνει
3-7
(Χ)
35
12
+
Var
(Χ + Υ)
35 6
(Υ)
~
=
τήν τυπική άπόκλιση της τυχαίας μεταβλητης τοϋ
(b)
3.4.
Άπό τό Πρόβλ.
3.4
ή μέση τιμή τής Χ εΙναι μ
Var(X)
= Ε(Χ)
=
t.
wApa
= Ε[(Χ-μ)2] = Ε[( Χ -~YJ =
{'" ( 2"1)2 Χ -
)0
ή διασπορά εΙναι
f-"'", (Χ -~Y/(X)dX
1
(2e- 2 X) dx
4
WΑλλη μέθοδος.
Σύμφωνα μέ τό Θεώρ.
Var(X)
=
3.4
~xoυμε
Ε[(Χ- μ )2]
σ =
(b)
3.10.
Δείξτε τό Θεώρ.
3-4
της σελ.
'Έχουμε
Ε[(Χ -
μ)2]
=
Ε(Χ2)
yVar
-
[Ε(Χ)]2
=
i _(~)2
(Χ) = ~ = ~
78.
= =
Ε(Χ2)
-
+ μ2) 2 μ 2 + μ2
Ε(Χ2)
-
[Ε(Χ)]2
Ε(Χ2 -
2μΧ
=
Ε(Χ2) -
2μΕ(Χ)
+ μ2
1 4
Κ Ε Φ.
3
3.11.
Δείξτε τό Θεώρ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
Ε[(Χ
ειναι
έπειδή α
3.12.
=
Ε(Χ
-
μ)
= Ε(Χ) -
μ
79. =
α)2)
-
= Ο.
=
= (Χ - μ)/σ εΙναι Var(X*) = 1.
(α) ειναι έπειδή Ε(Χ)
Ε[(Χ
-
Ε[(Χ
-
Ε[(Χ
-
+
μ)
-
(μ
-
α»)2]
+ 2(Χ - μ)(μ - α) -1- (μ - α)21 μ)2] + 2(μ - α)Ε(Χ - μ) + (μ - α)2 μ)2] + (μ - α)2 μ)2
Συνεπώς ή
Εϊ(Χ
-
α)2]
f-χει έλά-χιστη τιμή δταν
(μ
-
α)2
Ε(Χ*) =
μιά τυποποιημένη τυχαία μεταβλητή, δείξτε δτι
Ε(Χ - μ)
=
=
Ο,
δηλ.
! [Ε(Χ - μ)]
! [Ε(Χ) - μ]
=
σ
=
σ
(α) Ε(Χ*)
Ο
μ.
'Επίσης
Var
Δείξτε τό Θεώρ. ειναι
=
σ
(Χ*)
=
δπου χρησιμοποιήσαμε τό θεώρ.
3.13.
Ε[{(Χ
μ.
Έάν Χ* Ο, (b)
(b)
της σελ.
3-6
89
της σελ.
3-7
Var
(Χ
Var
3-5
(Χ ~ μ)
της σελ.
=
:ΖΕ[(Χ - μ)2]
79
ιc:αί τή σχέση
(μχ
+ μΥ)}2]
Εί(Χ
-
= μ):!]
1
=σ • 2
79.
+ Υ) =
Ε[{(Χ
+ Υ)
-
+ (Υ - μΥ)}2] Ε [(Χ - μχ)2 + 2(Χ - μχ)(Υ - μΥ) + (Υ - μΥ)2] Ε[(Χ - μχ)2) + 2Ε[(Χ - μχ)(Υ - μΥ)] + Ε[(Υ Var (Χ) + Var (Υ) Ε[{(Χ
=
-
μχ)
μΥ)2]
δπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση
Ε[(Χ
μχ)(Υ
-
-
μΥ)]
=
Ε(Χ
-
μχ) Ε(Υ
-
μΥ)
=
ο
Ή σχέση αύτή ε\ναι συνέπεια της άνεξαρτησίας των Χ ιc:αί Υ ιc:αί συνεπώς των Χ πpoιc:ύπτει ή σχέση
(19)
της σελ.
79,
άν θέσουμε -Υ
-
μχ καί
ΡΟΠΕΣ ΚΑΙ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ
3.14.
Δείξτε τή σχέση Ε{ναι
(26)
μτ
της σελ. Ε[ (Χ
=
79.
μ)Τ]
-
Ε[ Χτ
-
(~)XT-Ιμ + .. , + (-1){i)χr-;μ; + ... + (-1 γ - ι (.,.: ι)ΧμΤ-Ι + <_l)ΤμΤ]
Ε(Χτ)
-
(~)E(XΤ-1)μ + ... , + (-ι){j)Ε(ΧΤ-i)μ; + .. , + (-1)Τ-Ι(.,.-1 .,. )Ε(Χ)μτ-Ι + (-1)Τ μΤ
μ; - (~)μ:-lμ
+ .. , +
+ .. , +
<-ι);(;)μ:_jμi
(-ι)τ-Ιτμτ
δπου οΙ τελευταίοι ,δύο δροι δίνουν (-1)Τ-Ι(τ-1)μΤ.
Υ
-
μΥ'
άντί γιά Υ ιc:αί χρησιμοποιήσουμε τό θεώρ.
+
(_1)-Τ μ Τ
Eύιc:oλα
3-5.
90
3.15.
Δείξτε (α) τή σχέση (α)
(31)
καί
τή σχέση
(b)
Χρησιμοποιώντας τό άνάπτυγμα του
1
(b)
Ή σχέση
(32)
80.
+
t2X2 2Τ
+
ΙΧ
t3X3 + ""3! + ...
εΙναι άμεση συνέπεια τής γνωστής Ιδιότητας τής σειράς
=
Taylor
~ cn(t - α)π π=Ο
..!... ~f(t) Ι Ι=α n! dt n
νά εχει συντελεστές
3-9
)
+ ~~ Ε(Χ2) + ;~ Ε(Χ3) + ...
tE(X)
f(t)
Δείξτε τό Θεώρ.
3
(Παράρτημα Α) εχουμε
eU
+
της σελ.
(32)
Ε( 1
3.16.
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
της σελ.
80.
Έπειδή οΙ Χ ιcαί Υ είναι άνεξάρτητες, μιά συνάρτηση τής Χ ιcαί μιά συνάρτηση τής Υ είναι έπίσης άνε ξάρτητες.
•Αρα Mx+y(t)
3.17.
=
E[e ΙCX + Y )]
=
E(etXe tY )
E(e ΙX )
Ή τυχαία μεταβλητή Χ μπορεί νά πάρει τίς τιμές μιά τιμή.
καί
1
=
E(etY)
μέ πιθανότητα
-1
Νά βρεθοϋν (α) ή ροπογεννήτρια συνάρτηση καί
Mx(t) My(t)
(b)
t
γιά τήν κάθε
οί πρώτες τέσσερις ροπές
περί τήν άρχή.
E(e tX )
(α)
(b)
Έπειδή
1
-t-
t2
t
+
+
t
+ 2! -
2! t2
t3
+
3!
t4 4!
+
t4
t3
3Τ
+ 4! -
εχουμε
Είναι δμως
Συγιcρίνoντας τίς δύο τελευταίες σχέσεις εχουμε
μ
= ο,
μ~
=
= ο,
μ~
1,
μ~
= 1,
·Ολες οΙ ροπές περιττής τάξεως είναι μηδέν ιcαί δλες οΙ ροπές άρτιας τάξεως ίσες μέ ~να.
3.18.
Μιά τυχαία μεταβλητή Χ εχει συνάρτηση πυκνότητας
2e- 2X
f(x)
{o
Προσδιορίστε (α) τή ροπογεννήτρια καί
(b)
(α)
f'"
Είναι
M(t)
E(e,tx)
=
-
2e lt - ~)." Ι'" t - 2 111
&3
χΞΞ::;Ο χ<Ο
τίς πρώτες τέσσερις
ροπές περί τήν άρχή.
er.r f(x) dx Χ>
2
2--=-t'
δπου δεχτήιcαμε
t
<
2
2
Κ Ε Φ.
Γιά
(b)
Itj < 2
εΙναι
2 2 - t
1 1 - t/2
Μ(Ι)
καί, έπειδή
συμπεραίνουμε δτι μ
3.19.
91
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
3
= t.
l.
μ2 =
μ;
=!.
μ4
= !.
Ύπολογίστε τίς πρώτες τέσσερις ροπές (α) περί την άρχή,
περί τή μέση τιμή γιά μιά
(b)
τυχαία μεταβλητή μέ συνάρτηση πυκνότητας
{ ~X(9 - Χ')/81
f(x)
άλλιώς
Ε(Χ)
1 μι
(α)
=~ 81
Ε(Χ 2 )
1
μΖ
-4
81
-4
81
μ4 = Ε(Χ4) = ~ 81
'Από τίς σ-χέσεις
(b)
(27)
τής σελ.
(3
Jo
i i
χ 2 (9 _ χ2) dx
8 5
μ
3
ο
χ 3 (9 -
χ2)
dx
χ 4 (9
χ2)
dx
3
3
ο
-
216
35
(3 χ 5 (9 - χ2) dx Jo
27 2
~oυμε
80
μι
Ο
μ2 =
3 -
μ3
2;: - 3(3)(~) + 2(~Y
(~y = ~~ = σ2 32
=
875
3693 8750
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
3.20.
Νά βρεθεί ή χαρακτηριστική συνάρτηση τής τυχαίας μεταβλητής Χ του Προ βλ.
3.17.
Ή -xαραrτηριστιICή συνάρτηση ε\ναι
Ε(eiωΧ) = eiω(1}(~) + e;ω(-l)(~) δπου χρησιμοποιήσαμε τούς τύπους τού
eie μέ
3.21.
θ
= ω.
=
cos
θ
=
~(eiω+ e- ίω ) =
cos...,
EuIer
+ ί sin θ·
e-
iθ
Τό ίδιο άποτέλεσμα προκύπτει καί άπό τό Πρόβλ.
=
cos
3. Ι 7(α),
θ -
ί
sin
θ
αν θέσουμε
t
= iω.
Προσδιορίστε τή χαρακτη ριστική συνάρτηση τής τυχαίας μεταβλητής Χ μέ συνάρτηση πυκνότητας
f(x)
r 1/2α
!xl < α
ΙΟ
άλλιώς
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
92
3
Ή χαρακτηριστική συνάρτηση είναι Ε(e ίωΧ )
f '" eίωχ
=
_",
ίωχ
= 1.- ια e ίω .τ dx
j"(x) dx
2α
eίαω -
α
1.e ι -α = 2α iω
sin
2iαω
δπου πάλι χρησιμοποιήσαμε τούς τύπους τοϋ Euler μέ· θ
3.22.
e-
-α
ίαω
αω
aω
= αω.
Προσδιορίστε τή χαρακτηριστική συνάρτηση τής τυχαίας μεταβλητής Χ μέ συνάρτηση πυκνότητας f(x) = ce- a1xl , -00 < χ < 00, δπου α > Ο καί c κατάλληλη σταθερή, 'Επειδή ή j(x) είναι συνάρτηση πυκνότητας, εχουμε
f-"" άπ'
f(x) dx
1
δπου
eax \0 e-ax \ c+c--oc α
καί αρα c
= α/2.
-α
=
00
ο
2c
1
α
Ή χαρακτηριστική συνάρτηση είναι Ε(e ίωΧ )
α e(α+ίω)χ
-2
α
+ 1ω.
10
+
-ο:
α
2(a
+ iω) +
α
2(a -
α
e-(α-ίω)χ Ι'" -
(α - 1ω ')
Ο
iω)
ΣΥΝΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ
3.23.
Δείξτε τό Θεώρ.
3-14 τής σελ. 82.
'Από τόν όρισμό της συνδιασπορας δύο τυχαίων μεταβλητών Χ καί Υ εχουμε
Cov (Χ, Υ)
UXY
= Ε[ΧΥ -
3.24.
Δείξτε τό Θεώρ.
3-15
τής σελ.
=
Ε[(Χ - μχ)(Υ - μΥ)]
μχΥ - μΥ Χ + μχμΥ]
Ε(ΧΥ) -
μχΕ(Υ) -
Ε(ΧΥ) -
μχμΥ -
Ε(ΧΥ) -
μχμΥ
Ε(ΧΥ) -
Ε(Χ) Ε(Υ)
μΥΕ(Χ)
μΥμχ
+ Ε(μχμΥ)
+ μχμΥ
82.
'Εάν οΙ Χ καί Υ ε{ναι άνεξάρτητες, τότε Ε(ΧΥ) = Ε(Χ) Ε(Υ) καί άπό τό Πρόβλ. 3.23 UXY
=
Cov (Χ, Υ)
=
Ε(ΧΥ) - Ε(Χ) Ε(Υ)
=
Ο
... ...................
~--------------_._'- --~.-~.--
,. Κ Ε Φ.
3.25.
3
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
Γιά τίς τυχαίες μεταβλητές του Προ βλ. 2.8 ύπολογίστε τίς ποσότητες (α) Ε(Χ), (b) (c) Ε(ΧΥ), (d) Ε(Χ2), (e) Ε(Υ2), (Ι) Var (Χ), (g) Var (Υ), (/ι) Cov (Χ, Υ), (i) ρ.
Ε(Χ)
(α)
:Σ ::Σ xf(:r, Υ)
= =
(b)
Ε(Υ)
+
::Σ::Σ yj(x, Υ)
=
:r
=
=
+
=
+
=
(0)2(6c)
(ί)
r
=
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
Μέ
(α)
(b) (c)
c
= 1/210
Var
=
Cov
=
+
(3)(15C)
78 42
=
13 7
=
Var(Y)
(Χ, Υ)
σΧΥ σχσΥ
3.25
=
-
+
(1)(1)(3c)
=
+
(0)(3)(3c)
(1)(2)(4c)
(2)(1)(5c)
+
+
(1)(3)(5c)
+
(2)(2)(6c)
(2)(3)(7c)
17 7
= :Σ χ 2 [ :Σ f(x, Υ)] Υ
+
(1)2 (14c)
(l)2(9c)
(Χ)
+
=
(2)2 (22c)
102c
=
102 42
=
=
192c
=
192 42
=
230 441
=
55 49
17 7
= ~ Υ 2 [ ~ !\Χ, Υ) ]
Υ
= Υ
σΧΥ
(0)2 (6c)
+
+
χ
=
σ2
102 42
Υ
::Σ ::Σ Υ 2 !(Χ, Υ)
(g)
(h)
=
=
Χ
+
(2)(12c)
(2)(0)(4c)
::Σ :Σ χ 2 f(x, Υ)
=
σ2
78c
29 21
χ
(O)(1)(c) -;- (0)(2)(2c)
(1)(0)(2c)
102c
χ
(f)
+
(1)(9c)
(0)(0)(0)
χ
=
=
:Σ Υ [::Σ f(x, Υ)]
=
+
Ε(Υ2)
=
Υ
+
(e)
58 42
58c
::Σ:Σ 'Ι'Υ f(x, Υ)
=
Ε(Χ2)
=
(2)(22c)
Υ
χ
(d)
Υ
+
(1 )(14c)
Υ
(0)(6c)
Ε(ΧΥ)
(c)
χ
(0)(6c)
Ε(Υ),
:Σ χ [ :Σ f(x, Υ)]
=
Υ
χ
3.26.
93
= =
-Ι-
(2)~(12c)
Ε(Χ2) -
ΕΟ'2)
Ε(ΧΥ)
-
+
(3)2(15c)
[Ε(ΧΨ
-
[Ε(Υ)]2
Ε(Χ) Ε(Υ)
-20/147 Υ230/441 Υ55/49
=
=
α~y
17 7
=
372 -
=
~7
(173Υ
αυ(~3)
-
-20
Υ'23ο V55
=
-0.2103
γιά τίς τυχαίες μεταβλητές του Προβλ.
=
32 7
20 147
=
περίπου.
2.33.
Ι':χουμε
Ε(Χ)
Ε(Υ)
Ε(ΧΥ)
=
_1_
[6 j'5
210. Χ=2
!I=U
(χ)(2χ + Υ) dx ιΖΥ =
f'6 55Υ=Ο (Υ)(2χ + Υ)
=
1 210 • ι=2
=
1 210
dx dy
f6Χ=2 i"Υ=Ο (ΧΥ)(2χ + Υ)
dx dy
268 63 170 63
=
=
80 7
2
2&&·
Τ
94
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
f
6
(5
1220
2~0 χ=2 Jy=O (χ 2 )(2Χ + Υ) dx dy
(d)
3
63 1175 126
(e)
(f)
Var
σ~
(g)
σ2
(h)
=
Υ
(i)
=
=
(Υ)
Var
Ε(Χ2)
(Χ)
Ε(Υ2)
= Ε(ΧΥ)
Cov(X,Y)
1175 _ 126
=
[Ε(Υ)]2
-
_
1220 _ 63
[Ε(Χ)]2
-
Ε(Χ)Ε(Υ)
=
(170Υ
5036 3969
=
63
16,225 7938
=
63
=
80 _ (268)(170) 7 63 63 -200
-200/3969
ρ
(268Υ
=
Υ5036/3969 Υ 16,225/7938
_ 200
3969
-0.03129
περίπου.
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ, ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ
3.27.
Στό Πρόβλ.
2.8
ύπολογίστε τή μέση τιμη ύπό συνθήκη της Υ δεδομένου δτι
·Οπως στό Πρόβλ.
2.27
ή συνάρτηση πιθανότητας ύπό συνθήκη της Υ μέ
f(y 12)
Χ
=2
Χ
= 2.
είναι
4+Υ
=
22
Ή μέση τιμή ύπό συνθήκη εΙναι
Ε(Υ Ι Χ = 2)
=
δπου τό άθροισμα νοείται ώς πρός δλα τά δυνατά Υ μέ
:ΣΥ Υ(4 22+ Υ) Χ
= 2.
•Αρα
19 11
3.28.
Στό Πρόβλ.
(b)
2.29
ύπολογίστε τή μέση τιμή ύπό συνθήκη (α) της Υ δεδομένης της Χ καί
της Χ δεδομένης της Υ. 2Χ
(α)
3
(b)
Ε(Χ Ι Υ
= Υ)
Ι_Χχ
2(1 - Υ3)
3(1 -
3.29.
Στό Πρόβλ. Ή
2.29
=
2(1
lX
(1:' Y )dX X
Z
+ Υ + Υ2)
3(1 +
Υ2)
i Υ)
ύπολογίστε τή διασπορά ύπό συνθήκη της Υ δεδομένης της Χ.
ζητούμενη διασπορά (ροπή δεύτερης τάξεως περί τή μέση τιμή) είναι
Ε[(Υ-μΥχ)2I Χ =χ] = δπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση
ΑΝΙΣΟΤΗΤ Α ΤΟΥ
3.30.
=
xfl(xly)dx
f_: (Υ-μΥχ)2f2(Υlχ)dΥ μΥΧ
=
= Ε(Υ Ι Χ = χ) = 2χ/3
1:r(y-2;)X~;)dY
χΖ
18
άπό τό Πρόβλ. 3.28(α).
CHEBYSHEV
Δείξτε τήν άνισότητα του
Chebyshev.
Θά δώσουμε τήν άπόδειξη γιά συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. μέ άθροίσματα άντί γιά όλοκληρώματα.
Γιά διακριτές μεταβλητές ή άπόδειξη είναι ή ίδια
Έάν .f(X) είναι ή συνάρτηση πυκνότητας της
Χ, τότε
:
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
3
95
Έπειδή ή όλο"ληρωτέα συνάρτηση είναι μή άρνητι"ή, ή τιμή του όλο"ληρώματος δέν αύξάνεται, αν περιοριστεί τό διάστημα όλο"ληρώσεως.
σ2 ~
•Αρα
r
J1X-ILI
Τό τελευταίο όλο"λήρωμα Ισούται μέ Ρ(!Χ
3.31.
r
(Χ - μ)2 f(x) dx ~
~.
> 1)
μΙ
-
.).
μΙ ~
-
Γιά τήν τυχαία μεταβλητή τοϋ Προβλ. άνω φράγμα γιά τήν Ρ(ΙΧ
J1x-ILI
.2 f(x)
~(
dx
.2
r
J 1x - ILI
~.
f(x) dx
μΙ
> 1),
Συνεπώς
ύπολογίστε (α) τήν Ρ(ΙΧ
3.18
άπότήν άνισότητα τοϋ
-
(b)
ενα
Συγκρίνετε τά δύο
Chebyshev.
άποτελέσματα. (α)
'Από τό Πρόβλ.
3.18
= 1/2.
εχουμε μ
Ρ(!Χ
-
<
μ!
·Αρα
1)
J:
;!!2
1 -
"αί
(b)
= μ; -
'Από τό Πρόβλ. 3.18 εχουμε σ 2
Ρ(ΙΧ Ρ(ΙΧ
δίνει
(1 -
= 1/4.
μ2
1 -
2e- 2x dx
-
e- 3
e-η
0.04979
Ή άνισότητα του Chebyshev
μ! ~ ε)
-
μΙ ~
~
1)
σ2
=
0.25
Συγ"ρίνοντας τά δύο άποτελέσματα παρατηρουμε δτι τό δεύτερο (άπό τήν άνισότητα του πολύ μεγαλύτερο.
Στήν πράξη ή άνισότητα του
Chebyshev
Chebyshev)
είναι
χρησιμοποιείται γιά έ"τιμήσεις πιθανοτήτων, όταν
λεπτομερείς ύπολογισμοί είναι δύσ"ολοι ή άδύνατοι.
ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
3.32.
Δείξτε τό νόμο των μεγάλων άριθμων (Θεώρ.
·Αρα
=
Ε(Χ ι )
Είναι
Ε
Ε(Χ 2 )
= Var
Var
(Χι)
(
+ ... + Χn )
χι
(Χι
"αί
Var
δπου χρησιμοποιήσαμε τό Θεώρ.
3-5
=
'"
=
Var
σ2
+ '" + Ε(Χ Iι )]
(Χι)
1
-(nμ)
n
μ
+
(~π)
n
ιcαί μιά έπέιcταση του Θεωρ.
Chebyshev
μ
= Var (X n ) =
n
+ ... + X n )
84).
... = E(X n ) =
1 - [Ε(Χ ι )
n
Var
'Από τήν άνισότητα του
(Χ 2 )
=
σελ.
3-19,
3-7.
εχουμε
ιcαί παίρνοντας τό δριο γιά 1Ι -. oc
lim 11_
iX)
p(\Sn - μ ι 1l
~
.)
Ο
2#25&
96
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
3
ΑΛΛΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΘΕΣΕΩΣ
3.33.
Ή συνάρτηση πυκνότητας μιας συνεχοϋς μεταβλητής Χ εΙναι
4.1"(9 -
f(x)
χ2)/81
Ο :Ξ:Ξ χ :Ξ:Ξ
άλλιώς
ο
Ύπολογίστε (α) τήν πιθανότερη τιμή,
3
(b)
τή διάμεση τιμή.
Συγκρίνετέ τις μέ τή μέση
(c)
τιμή. (α.)
Ή πιθανότερη τιμή είναι τό σημείο δπου ή j(x) γίνεται μέγιστη. τής
j(X)
~[4;("(9 dx 81
καί χ = είναι
(b)
V3 =
1.73 περίπου.
-24χ/81,
;r:?)]
12χ 2
36 -
ο
81
Στό σημείο αύτό έχουμε πραγματικά μέγιστο, γιατί ή δεύτερη παράγωγος
δηλ. άρνητιιcή.
Ή διάμεση τιμή είναι ή τιμή α γιά τήν όποία Ρ(Χ ~ α) Ρ(Χ ~ α.)
4
((Ι
8ι)0
=
Θέτοντας τήν πιθανότητα αύτή ίση μέ
= 1/2.
Γιά
Ο
α
<
9
~ ~y'2
3
εχουμε
."(9 -- .τη (1,,'
3Ga~
+ 81 =
Ο
δπου
36 ~ J(36)2 - 4(2)(81) 2(2) 'Επειδή ή διάμεση τιμή είναι μεταξύ Ο ιcαί
3,
α
= 1.62
2
παίρνουμε
9 ij
<
έχουμε
1/2
2α 4 άπ'
Γιά νά βρουμε τά σχετικά μέγιστα
μηδενίζουμε τήν παράγωγό της, δπότε
9 _ Γn
-Υ2
2
περίπου.
Ε(Χ)
(c)
=
841
λ~ χ 2 (9 -
πού είναι σχεδόν ίση μέ τή διάμεση τιμή.
= -814 ( 3χ·Ί
;("2) (lX
5\
13
~ \ι 5) 10
-
Οί τρείς τιμές δίνονται στό Σχ.
=
1.60
3-6.
!(Χ)
Διάμεση τιμή'"
Μέση τιμή
J. :!
~
1.62
V3
~ Πιθανότερη τιμή '"
= 1.60 --~
---..,...-;--,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _L -_ _ _ _ _ _
~~
_ _L -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
~L-
2 Σχ.
3.34.
___________
x
2
3-6
Μιά διακριτή τυχαία μεταβλητή εχει συνάρτηση πιθανότητας
Νά ύπολογιστουν (α) ή πιθανότερη τιμή,
/(;(.)
= 1/2",
όπου
χ
= 1,2,
(b) ή διάμεση τιμή καί (c) νά συγκρι
θουν μέ τή μέση τιμή. (α)
Ή πιθανότερη τιμή είναι ή τιμή πού εχει τή μεγαλύτερη πιθανότητα. τιμή είναι προφανως
χ
= 1
μέ πιθανότητα
1/2.
Στήν περίπτωση αύτή ή πιθανότερη
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
3
(b)
Έάν χ είναι όποιαδήποτε τιμή μεταξύ θε άριθμός μεταξύ
καί
1
2
97
1 καί 2, είναι Ρ(Χ;Ξ χ) =.~
μπορεί νά ληφθεί ώς διάμεση τιμή.
μέσο τοϋ διαστήματος, δηλ. στήν περίπτωση πού εχουμε έδώ τό
(c)
·Οπως βρέθηκε στό Πρόβλ. κείνη τοϋ Προ βλ.
μ
3.3,
= 2.
καί Ρ(Χ ~ χ)
=}
Συνεπώς κά
Συνήθως παίρνουμε ώς διάμεση τιμή τό
3/2.
"Αρα ή σειρά τών τριών παραμέτρων είναι άντίστροφη άπό έ
3.33.
ΕΚΑΤΟΣΤΙΑΙΑ ΣΗΜΕΙΑ
3.35.
Ύπολογίστε τά (α) 10το, Προ βλ.
(b) 25το καί
3.33.
'Από τό Πρόβλ.
Ι:χουμε
3.33(b)
P(X~α) (α)
Τό 10το
(18α 2 -
(b)
tκατοστιαίο
a 4 )/81
σημείο είναι
= 0.10.
8~(9;2
=
ή
- :~)
τιμή τοϋ α, γιά τήν όποία
(18α 2 -
α4
18a2 81
=
Χρησιμοποιώντας τή μέθοδο τοϋ Προβλ.
Τό 25το tκατοστιαίο σημείο Ικανοποιεί τήν έξίσωση
Ρ(Χ:ΞΞ α)
3.33
ση/81
= 0.10,
βρίσκουμε
= 0.25,
a
δηλ.
ή λύση τής
= 0.68
περίπου.
άπ' δπου προκύπτει
α
=
περίπου.
1.098 (c)
(c) 75το ~Kατoστιαία σημεία της κατανομης τοϋ
Τό 75το tκατοστιαίο σημείο Ικανοποιεί τήν έξίσωση
(18α 2 -
α 4 )/81
= O.7fi, άπ'
δπου
σ
= 2.121
περί
που.
ΑΛΛΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
3.36.
Ύπολογίστε (α) τό πλάτος,
(b) τό μισοκεντρικό πλάτος καί (c) τή μέση άπόλυτη άπόκλι
ση τής κατανομής τοϋ Προβλ.
(a)
Έπειδή δλες οΙ τιμές μοια, χ
(b)
έπειδή
= ο.
χ
δλες οΙ
>
3.33.
3 εχουν πιθανότητα μηδέν, παίρνουμε ώς μέγιστη δυνατή τιμή τήν χ
τιμές
χ
"Αρα τό πλάτος είναι
<
Ο
εχουν πιθανότητα
3-
Ο
μηδέν,
= 3.
παίρνουμε ώς
= 3.
δυνατή τιμή
·0τήν
'Από τό Πρόβλ. 3.35 Ι:χουμε τά 25το καί 75το tκατοστιαία σημεία ίσα μέ 1.098 καί 2.121 άντίστοιχα.
"Αρα
= 2.121 -2 1.098 μ = 1.60 = 8/5. "Αρα
Μισοκεντρικό πλάτος
(c)
έλάχιστη
'Από τό Πρόβλ.
3.33
ή μέση τιμή είναι
Μέση άπόλυτη άπόκλιση
=
Μ.Α.Α. = Ε(ΙΧ - μΙ) .( 3[
[
χ ~I ~~ (9 - χ 2 ) _
-
dx
fσ8/5 α χ )[~~ (9 - χ2) ] 0.555
περίπου
Ι: Ιχ - μΙ f(x) dx
=
]
0.51
dx
+
fs:5 (Χ - g)[:~(9 - χ2) JdX
περίπου.
ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΚΥΡΤΩΣΗ
3.37.
Ύπολογίστε τούς συντελεστές (α) άσυμμετρίας καί Προ βλ.
3.19.
'Από τό Πρόβλ.
3.19(bI
Ι:χουμε
11 25 (α)
Συντελεστής άσυμμετρίας
-0.1253
(b) κυρτώσεως γιά την κατανομή τοϋ
98
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
(b)
3
Συντελεστής κυρτώσεως
Συνεπώς ύπάρχει μιά μικρή άσυμμετρία πρός τά άριστερά, δπως φαίνεται καί στό Σχ. εΙναι λιγότερο «αΙχμηρή» άπό τήν κανονική κατανομή, πού εχει κύρτωση
3-6.
Ή κατανομή αύτή
3.
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
3.38.
'Εάν M(t) εΙναι ή ροπογεννήτρια μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, δείξτε δτι ή μέση τιμή εΙ ναι μ
= Μ'(Ο) καί ή διασπορά σ 2
•Από
τή σχέση
(32)
τής σελ.
εχουμε μέ
80
=
μί καί άπό τή σχέση
[Μ'(Ο))2 .
=1
r
=2 = Μ"(Ο)
καί
r
μι
Μ'(Ο)
(27) Μ"(Ο)
Μ'(Ο)
μ
3.39.
= Μ"(Ο) -
Έστω Χ μιά τυχαία μεταβλητή πού παίρνει τιμές Xk =
όπου k = ±1, ... , ±n.
(b) (α)
(α) Προσδιορίστε
[Μ'(Ο)]2
k μέ άντίστοιχες πιθανότητες Pk,
χαρακτηριστική
συνάρτηση Φ(ω) τής Χ.
'Εκφράστε τήν Pk μέ τήν Φ(ω). 'Η χαρακτηριστική συνάρτηση εΙναι
φ(ω)
(b)
τή
-
=
n
n
::s
Ε(ε ίωΧ )
k =-n
Πολλαπλασιάζουμε τήν προηγούμενη σχέση έπί
e- ijw
ναι
:Σ
i
2
"
e- ijw
φ(ω) duJ
1
eHk-j)w
{
Pj
j μέ k,
Ε{-
ei(k-j)wduJ
ω=Ο
\2Π
i(k - j)
dω
ω=Ο
ή, άντικαθιστώντας τό
PkiZ77
eHk-j)w
2Π
Pk ε;κω
καί δλοκληρώνουμε ώς πρός ω άπό Ο ~ως 2".
k = -n
ω=Ο
έπειδή
::s = k=-n
eiWXk Pk
Ο
=
Ο
2..
k0;6j k=j
....! (277 e-ijωφ(ω)dω 2.. )ω=Ω
-1
2..
1277 ω=Ο
.
e-tΙ,ωφ(ω)(Ιω
n
::s
Ή σειρά
Ρι, eiI,w (τό
1t
μπορεί νά γίνει άπειρο, άν ή σειρά μέ άπειρους δρους συγκλίνει)
k=-n
καλείται σειρά
Fourier
τής φ(ω)
μέ συντελεστές
Fοuήer άντικαθισταται μέ τό όλοκλήρωμα
3.40.
Γιά μιά συνεχή τυχαία μεταβλητή ή σειρά
Fourier Pk' Fourier.
Προσδιορίστε τήν κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ πού εχει χαρακτηρι στική συνάρτηση Άπό τό Πρόβλ.
Φ(ω)
3.39
=
COS
ω.
εχουμε
Ρι,
1 2..
f2"
-1 5,217
2..
ω=Ο
~
1277
4"
e-,ikw
ω=Ο
ω=Ο
. .
ε-,κω
cos
ω d uJ
[ε ίω +
e- iW ]
duJ
2
eiO-k)ιo(luJ + ~ (217 4 ..
)",=0
e-i(!+k)wduJ
Κ Ε Φ.
3
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
Γιά k
=1
βρίσκουμε
Ρ!
=
t.
Γιά k
= -1
βρίσκουμε
1) -
Ι
99 Γιά άλλες τιμές τοϋ k προκύπτει
= {-.
Ρι,
=
ο.
Συνεπώς ή τυχαία μεταβλητή παίρνει τιμές
Χ = { -11 Τό άντίστροφο πρόβλημα λύθηκε στό Πρόβλ.
3.41.
μέ πιθανότητα
1/2
μέ πιθανότητα
1/2
3.20.
Ύπολογίστε τούς συντελεστές (α) άσυμμετρίας καί
(b) κυρτώσεως τής κατανομής πού ό
ρίζεται άπό τήν κανονική καμπύλη μέ πυκνότητα
-1- e-r 2 12
f(x) (α)
Ή κατανομή δίνεται στό Σχ.
3-7.
-00
γ2;
<χ<
Έπειδή είναι συμμετρική, f-χουμε
<Υ.)
μί
=μ =Ο
καί μ;
= ο.
W
Αρα δ
συντελεστής άσυμμετρίας είναι μηδέν.
!(χ)
----~=---------------+_------------~~--~x Σχ.
(b)
3-7
Έ-χουμε
_ 2r(3)2
-
Υ;
δπου -χρησιμοποιήσαμε τό μετασ-χηματισμό άπό τό Παράρτημα Α.
χ 2 /2
=
V
καί τίς Ιδιότητες
(2)
καί
(5)
της συναρτήσεως γάμα
Μέ δμοιο τρόπο παίρνουμε
-1-
{2;
f'"
-ο:
χ.4
2 e -χ /2 d χ
=
-2...[2π
..!.Γ(!)2 = ~Γ(~\ = ~.~ Υπ 2 2 Υ; 2/ Έτσι f-χουμε 2
Ε[(Χ -
μ)2]
Ε(Χ2)
μ4
Ε[(Χ -
μ)4]
Ε(Χ4)
σ
καί τό συντελεσ.τή κυρτώσεως μ4
σ4
3
ι
1'2
=
ι
μ.·ι
1
= 3
i'" ο
x 4 e- x 2 12 dx
3
100 3.42.
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
Δείξτε ότι -1;ΞΞ ρ ;ΞΞ
1
(βλέπε σελ.
Γιά όποιαδήποτε πραγματική σταθερή
3
82). c
έχουμε
τό άριστερό μέλος γράφεται
σ~ + σ~(c2
- 2:;V)
= = c,
Γιά νά είναι ή ποσότητα αύτή μή άρνητική γιά κάθε τιμή της
σ2
Χ
ΧΥ
~
0'2 σ 2
Ή σχέση αύτή ίσοδυναμεί μέ τήν
ρ2 ~
σ
πρέπει νά είναι
σ2 Χ
σΧΥ)2
( c - - .χ,
1
V
1 ή τήν -1 ~ ρ ~ 1.
"Άλυτα Προβλήματα ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
3.43.
Ή τυχαία μεταβλητή Χ όρίζεται μέ τή σχέση
Ε(2Χ
3.44.
+ 5),
Έστω Χ
(α) Ε(Χ).
3.45.
(c) Ε(Χ2).
μιά τυχαία μεταβλητή μέ συνάρτηση πυιcvότητας
(b)
Ε(χη,
(b)
Ε(χη,
1/3
πιθαν.
1/2 .
Ύπολογίστε τίς
(α) Ε(Χ),
(b)
. πιθαν. 1/6
.!'(Χ)
J3x
2
to
0~x~1 άλλιώς
Ύπολογίστε
τίς
'Υπολογίστε
τίς
(c) Ε[(Χ-Ι)2].
f(x)
Ή συνάρτηση πυκνότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ εΙναι
(α) Ε(Χ),
3.46.
Χ
πιθαν.
(c) Ε[(Χ - 1)2J. (c) Εί(Χ - 1)2].
ΓΓ'"
ίο
x~o άλλιώς
Ποιά είναι ή μέση τιμή του άθροίσματος τών άποτελεσμάτων τριών διαδοχικών ρίψεων tνός ζαριου; Πώς δι καιλογεϊται ή άπάντηση;
x~o
/(Χ)
3.47.
Μιά τυχαία μεταβλητή Χ εχοι συνάρτηση πυκνότητας
3.48.
'Εάν Χ καί Υ είναι δύο άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές μέ συνάρτηση πυιcvότητας
f 2e-
/(ιl.) ύπολογίστε τίς
(α) Ε(Χ
+ Υ),
(b)
Ε(Χ2
l
+ 1'2),
Ο
Ic)
2u
χ<Ο
ΙΙ ~ Ο
άλλιώς Ε(ΧΥ).
Βρείτε τήν
E(e 2X /3).
Κ Ε Φ.
101
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
3
(α) Ε(Χ
+
= Ε(Χ) + Ε(Υ),
Υ)
= Ε(Χ) ΕΙΥ)
3.49.
'Ισχύουν οί σχέσεις
3.50.
Ο{ τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ εχουν κοινή συνάρτηση πυκνότητας
Γ~x(x
f(x, 'Υπολογίστε τίς
(α) Ε(Χ),
Ίσχύουν ο{ σχέσεις
(α) Ε(Χ
3.52.
Ο{ τυχαίες μεταβλητές Χ καί
+ Υ)
Ε(ΧΥ)
«(Ι) Ε(ΧΥ).
+ Υ) = Ε(Χ) + Ε(Υ),
(b) Ε(ΧΥ)
ο ~ χ ~
3.53.
Ίσχύουν ο{ σχέσεις
3.54.
Έστω
(d) 3.55.
Ε(Υ2),
Υ)
(e)
LΟ
+
Υ),
(f)
'Υπολογίστε τίς (σ) Ε(3Χ
n
3.50;
Γιατί;
Ο ~ Υ ~
1,
στό Πρόβλ.
3.52;
Γιατί;
1
(d) Ε(ΧΥ). (b) Ε(ΧΥ) = Ε(Χ) Ε(Υ)
11 ~ 2
'Υπολογίστε τίς (α) Ε(Χ),
(b) Ε(Υ), (c) Ε(Χ2),
+ 2Υ),
Υ παίρνουν τίς τιμές (μέ τίς άντίστοιχες πιθανότητες)
πιθαν.
1/3
πιθαν.
2/3
Ε(2Χ2
(b)
Υ = { -32
- 1'2), (c)
Ε(ΧΥ),
ΧΙ. Χ2 , .•• , Χ"
τυχαίες μεταβλητές
Χι,
=
~
{
-1
'Υπολογίστε τίς (σ) Ε(Χ ι
στό Πρόβλ.
Ε(ΧΥ).
Οί άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ καί
Ή κάθε μιά άπό τίς
+ Υ),
άλλιώς
χ = {~ 3.56.
(c) Ε(Χ
ο ~ Χ ~ 1, O;:Ξi
~
Ε(Χ
= Ε(Χ) Ε(}')
άλλιώς
+ Υ) =- Ε(Χ) + Ε(Υ),
r:l-(2x+y)
f(x,
Υ)
(b) Ε(Υ),
(α) Ε(Χ
Γιατί;
Υ !!:χουν κοινή συνάρτηση πυκνότητας
f(x, 'Υπολογίστε τίς (α) Ε(Χ),
3.48;
άλλιώς
+ Υ),
(c) Ε(Χ
στό Πρόβλ.
ο ~ χ ~ 1, Ο ~ Υ ~ 2
ΙΟ
Ε(Υ),
(b)
3.51.
Υ)
(b)
+ Χ2 + ... + X n ),
3/4 1/4
Ε(Χ2Υ).
(d)
παίρνει τίς τιμές
πιθαν.
1/2
πιθαν.
1/3
πιθαν.
1/6
E(Xi + X~
(b)
πιθαν.
πιθαν.
+ ...
-+- X~).
ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
3.57.
'Υπολογίστε (α) τή διασπορά καί (b)
τήν τυπική άπόκλιση τών άποτελεσμάτων στή ρίψη ενός ζαριού.
3.58.
Έστω Χ μιά τυχαία μεταβλητή μέ συνάρτηση πυκνότητας
-2 f(x) 'Υπολογίστε τίς
3.59.
(σ) Vcιr (Χ),
άλλιώς
Έστω Χ μιά τυχαία μεταβλητή μέ συνάρτηση πυκνότητας
[e-.z: 'Υπολογίστε τίς
8
(α)
Var
(Χ),
ΙΟ
x~O
άλλιώς
(b) σχ.
'Υπολογίστε τή διασπορά καί τήν τυπική άπόκλιση τής τυχαίας μεταβλητής Προβλ.
3:61.
2
(b) σχ.
f(x)
3.60.
~ Χ ~
Χ
(α) τού Προβλ.
3.43, (b)
3.44.
Μιά τυχαία μεταβλητή
Χ εχει
Ε(Χ)
= 2,
Ε(χη
= 8.
'Υπολογίστε τίς
(σ)
Var
(Χ),
(b)
σχ.
τού
102 3.62.
Έάν ή τυχαία μεταβλητή Χ εχει Ε[(Χ
(c)
3.63.
Κ Ε Φ.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
-1)2]
= 10,
Ε[(Χ -
= 6,
2)2]
ύπολογίστε τίς (α) Ε(Χ), (b)
3
Var (Χ),
σχ.
Δείξτε τό Θεώρ.
τής σελ.
3-1
77.
ΡΟΠΕΣ ΚΑΙ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ
3.64.
Νά βρεθοϋν
(α)
ή
ροπογεννήτρια τής τυχαίας μεταβλητής
Χ καί
3.65.
(α)
(b)
οί πρώτες
τέσσερις
πιθαν.
1/2
πιθαν.
1/2
ροπές περί τήν άρχή.
Βρείτε τή ροπογεννήτρια τής τυχαίας μεταβλητής Χ μέ συνάρτηση πυιcvότητας
f(x) (b)
1/2 { -1/2
=
=
{ο
Χ/2
'Υπολογίστε άπό τή ροπογεννήτρια τίς πρώτες
3.66.
'Υπολογίστε τίς πρώτες
3.67.
(α)
τέσσερις
άλλιώς
τέσσερις
ροπές περί τή μέση τιμή
ροπές περί τήν άρχή.
(α) στό Πρόβλ.
3.43, (b)
στό Πρόβλ.
3.44.
Βρείτε τή ροπογεννήτρια μιας τυχαίας μεταβλητής μέ συνάρτηση πυιcvότητας x~O
f(x) (b)
'Υπολογίστε τίς πρώτες
3.68.
'Υπολογίστε τίς πρώτες
3.69.
Ή Χ εχει συνάρτηση περί τήν άρχή,
3.70.
(b)
τέσσερις
άλλιώς
ροπές περί τήν άρχή.
τέσσερις ροπές περί τή μέση τιμή στό Πρόβλ. 3.67.
πυκνότητας
= {1/(b f(x)
Ο
α)
α ~ Χ ~ b άλλιώς·
'Υπολογίστε τή ροπή τάξεως
k
(α)
περί τή μέση τιμή.
Έάν M(t) είναι ή ροπογεννήτρια μιας τυχαίας μεταβλητής
Χ, δείξτε δτι οΙ ροπές τρίτης κα! τέταρτης τάξεως
περί τή μέση τιμή είναι
μ3
Μ"'(Ο) -
μ4
ΜΟν)(Ο) -
+ 2[Μ'(0)]3 4Μ"'(0) Μ'(Ο) + 6Μ"(0)[Μ'(0)]2
3Μ"(0) Μ'(Ο)
- 3[Μ'(0)]4
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
3.71.
Δείξτε τό Θεώρ.
3.72.
Βρείτε τή χαρακτηριστική συνάρτηση τής τυχαίας μεταβλητής Χ = {:
3.73.
Βρείτε τή χαρακτηριστική συνάρτηση τής τυχαίας μεταβλητής Χ μέ συνάρτηση πυκνότητας
3-11.
f(x)
3.74.
{
Ixl
~/2a
Ρ
πιθαν.
q
=1-
Ρ
~ α
άλλιώς
Ποιά είναι ή χαρακτηριστική συνάρτηση μιας τυχαίας μεταβλητής πού fXE! συνάρτηση πυκνότητας
fx)
3.75.
πιθαν.
Θεωροϋμε τίς Ισόνομες άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές
άλλιώς
Xk
= { -11
πιθαν.
1/2
πιθαν.
1/2
(k
= 1,2, .. . , n).
ΔεΤξ-
Κ Ε Φ.
3
103
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
τε δτι ή χαρακτηριστική συνάρτηση τής τυχαίας μεταβλητής ΧΊ
είναι
3.76.
+ Χ2 + ... + X n
Vn
[cos (ω/Υ'1ϊ)]".
ή χαρακτηριστική συνάρτηση τοϋ Προβλ. 3.75 τείνει στήν e- ω212 • ['Υπόδειξη: Λο χαρακτηριστική συνάρτηση ιcαί χρησιμοποιήστε τόν κανόνα τοϋ L' Hospital.]
Δείξτε δτι, δταν 1Ι γαριθμίστε τη
-7
"',
ΣΥΝΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ
3.77.
'Εάν οΙ τυχαίες μεταβλητές Χ ιcαί Υ εχουν κοινή συνάρτηση πυκνότητας Ο ~ Χ ~
Ι(Χ, Υ) ύπολογίστε τίς (α)
Var
(Χ),
(b) Var (Υ),
(c) σχ,
(d) σΥ,
~-(X+Y)
{
(e) σχΥ,
3.79.
Στό Πρόβλ.
2.57
ύπολογίστε τίς (α)
Var
(Χ),
(b)Var
3.80.
Στό Πρόβλ.
2.99
ύπολογίστε τίς (α)
Var
(Χ),
(b)Var(Y), (c)
3.81.
Ύπολογίστε Ε(Χ)
3.82.
= 2,
Ι(Χ, Υ)
άλλιως,
(α) τή συνδιασπορά καί Ε(Υ)
= 3,
Ε(ΧΥ)
(Υ), (c) σχ,
σΥ,
(e) σΧΥ, (Ι) ρ.
σχ, (d) σΥ,
(e) σΧΥ, (f) ρ.
(d)
(b) τό συντελεστή συσχετίσεως δύο τυχαίων μεταβλητων Χ καί
= 10,
Ε(χη
= 9,
Ε(Υ2)
Ό συντελεστής συσχετίσεως δύο τυχαίων μεταβλητών Χ καί
5.
(f) ρ.
Υ ~ Ο
Χ ~ ο,
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
μέ
1
άλλιως
3.78.
3.77
Ο ~ Υ ~
1,
= 16.
-:1-,
Υ είναι
ένώ οΙ διασπορές τους είναι
Υ, έάν
3
καί
Ύπολογίστε τή συνδιασπορά.
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ, ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ
3.83.
'Εάν οί Χ καί
Υ εχουν κοινή συνάρτηση πυκνότητας Ο ~ Χ ~
f(x,
Υ)
ύπολογίστε τή μέση τιμή ύπό συνθήκη
(α)
της Υ δεδομένης τής
Γ
3.84.
3.85.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
έάν
f(x,
Ο ~ Υ ~
Υ)
2e-(x+2y)
ΙΟ
Χ ~ ο,
Χ,
(b)
(α)
τής
'Εάν Χ καί
Υ δεδομένης της Χ,
1
(b)
της Χ δεδομένης της Υ.
Υ ~ Ο
άλλιώι:
Έστω δτι ή ιcoινή συνάρτηση πιθανότητας τών Χ καί Υ δίνεται στόν Πίν. τιμή
3.86.
3.83,
1,
άλλιως
της Χ δεδομένης της
2-9
τη σελ.
74.
Ύπολογίστε τή μέση
Υ.
Υ είναι συνεχείς άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, δείξτε δτι οΙ πυκνότητες ύπό συνθήκη της Χ δε
δομένης της Υ καί της Υ δεδομένης της Χ είναι άντίστοιχα οΙ περιθώριες πυκνότητες της Χ καί της Υ.
3.87.
Διατυπώστε καί λύστε τό άνάλογο τοϋ Προβλ.
3.88.
Δώστε ενα παράδειγμα γιά τό Πρόβλ.
3.89.
Στό Πρόβλ.
3.90.
Τό ίδιο στό Πρόβλ.
3.84.
3.91.
Τό ίδιο στό Πρόβλ.
2.99.
3.83
3.86
3.86
γιά δια"ριτές τυχαίες μεταβλητές.
"αί ενα γιά τό Πρόβλ.
3.87.
ύπολογίστε τή διασπορά ύπό συνθήκη (α) της Υ δεδομένης της Χ,
(b) της Χ δεδομένης της Υ.
104
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΤΟΥ
3.92.
Κ Ε Φ.
3
CHEBYSHEV
Μιά τυχαία μεταβλητή Χ εχει μέση τιμή
3
καί διασπορά
2. Χρησιμοποιώντας (b) Ρ(!Χ - 31 ~ 1).
τήν άνισότητα του
Chebyshev
ύπολογίστε ενα άνω φράγμα γιά τίς
(α) Ρ(ΙΧ - 3! ~ 2),
3.93.
Δείξτε τήν άνισότητα του
γιά μιά διακριτή μεταβλητή
3.94.
Μιά τυχαία μεταβλητή Χ εχει συνάρτηση πυκνότητας f(x) +.e-1xl, - 0 0 < χ < 00. (α) Ύπολογίστε τήν Ρ(ΙΧ μΙ > 2). (b) Χρησιμοποιώντας τήν άνισότητα του Chebysh~y ύπολογίστε ενα άνω φράγμα γιά τήν Ρ(ΙΧ-μ
Chebyshev
=
-
> 2) 3.95.
Χ.
καί συγκρίνετέ το μέ τό προηγούμενο άποτέλεσμα.
'Έστω δτι ή κάθε μιά άπό τίς n άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές
Χι, Χ 2 , ••• ,
-1 ;;::
f(x) Έάν Sn
==
ΧΙ
+ Χ2 + ... + X n ,
χ;;::
X n fχει συνάρτηση πυκνότητας
1
άλλιως
δείξτε δτι
ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
3.96.
Δείξτε δτι ό (άσθενής) νόμος των μεγάλων άριθμων μπορεί νά διατυπωθεί μέ τή σχέση
Περιγράψτε μέ λόγια τί σημαίνει ή σχέση αύτή.
3.97.
Θεωρουμε τίς
(α)
Έάν ή
ή
(b)
n άνεξάρτητες Ισόνομες μεταβλητές X k (k
X k παριστάνει τό πληθος Sn = ΧΙ + ... + X n ;
= 1, ... , n)
πιθαν.
Ρ
πιθαν.
q
=1-
μέ
Ρ
των άποτελεσμάτων «κεφάλι» στήν
k
ρίψη ενός νομίσματος, τί παριστάνει
Δείξτε δτι ό νόμος των μεγάλων άριθμων δίνει στήν περίπτωση αύτή
Τί σημαίνει αύτό;
3.98.
Ή κάθε μιά άπό τίς άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές
X k, k
f(x)
= 1,2, ... ,
-00
<
χ
<
εχει συνάρτηση πυκνότητας
00
Δείξτε δτι ό νόμος των μεγάλων άριθμων δέν Ισχύει στήν περίπτωση αύτή.
3.99.
(α)
Θά Ισχύει ό νόμος των μεγάλων άριθμων, έάν ή συνάρτηση πυκνότητας του προηγούμενου προβλήματος
άντικατασταθεί μέ τήν
(b)
f(x) = c/(1
+χ
4 );
Ε\ναι άπαραίτητο νά ύπάρχουν δλες οΙ ροπές γιά νά Ισχύει ό νόμος των μεγάλων άριθμων; Δικαιολογηστε τίς άπαντήσεις.
ΑΛΛΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΘΕΣΕΩΣ
3.100.
'Υπολογίστε
(α) τήν πιθανότερη τιμή καί
(b) τή διάμεση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητης Χ μέ συνάρτηση
πυκνότητας
f(x) Συγκρίνετέ τις μέ τή μέση τιμή.
=
{~-I
χΞ;Ξ; Ο
άλλιως
Κ Ε Φ.
3.101.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
3
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
105
έάν ή συνάρτηση πυκνότητας εΙναι
3.100,
Ο ~ χ ~
f(x) 3.102.
'Υπολογίστε
(α)
τή διάμεση τιμή καί
1
άλλιιiΊς
(b) τήν πιθανότερη τιμή τής τυχαίας μεταβλητής Χ
= JΙ-Ι2
Χ, έάν
πιθαν. 1/3 πιθαν.
2/3
Συγκρίνετε τά άποτελέσματα μέ τή μέση τιμή.
3.103.
Σέ όκτώ κλήρους εΙναι γραμμένοι οί άριθμοί
στε
(α) τή μέση τιμή,
1, 3, 2, 1, 5, 6, 3, 3. 'Εάν τραβήξουμε fvav κλήρο, ύπολογί (b) την πιθανότερη τιμή καί (c) τή διάμεση τιμή τοϋ άποτελέσματος τής κληρώσεως.
ΕΚΑΤΟΣΤΙΑΙΑ ΣΗΜΕΙΑ
3.104.
·Υπολογίστε τά
(α) 25το καί
(b) 75το tκατοστιαία σημεία μιας τυχαίας μεταβλητής μέ συνάρτηση πυκνότητας O~x~1
.f(x)
3.105.
'Υπολογίστε τά
(α) lΟτο,
άλλιιiΊς
(b) 25το, (c) 75το καί (d) 90στό tκατοστιαία σημεία γιά μιά τυχαία μεταβλητή μέ
συνάρτηση πυκνότητας
Γ C(X -
f(x) δπου
3.106.
c
\0
χ
<
1
άλλιιiΊς
μιά κατάλληλη σταθερή.
Μιά τυχαία μεταβλητή Χ εχει συνάρτηση πυκνότητας
J e-
f(x) Δείξτε δτι τό
3.107.
-1 <
χη
x
Ι Ο
άλλιώς
100ρ-οστό tκατοστιαίο σημείο εΙναι -]n
Μιά τυχαία μεταβλητή Χ εχει συνάρτηση πυκνότητας
100ιι-οστό tκατοστιαίο σημείο εΙναι
tan
χ Ε Ο
(Ρ - -})'"
j"(x)
δπου Ο
<
Ρ), δπου Ο ;;Ξ Ρ
(1 -
= 1/.. (1 + χ
<
<
Ρ
2 ),
1.
-O'J
<
Χ
<
O'J.
Δείξτε δτι τό
1.
ΑΛΛΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
3.108.
'Υπολογίστε
(α) τό πλάτος,
μεταβλητής τοϋ Προβλ.
(b) τό μισοκεντρικό πλάτος καί
(c) τή μέση άπόλυτη άπόκλιση τής τυχαίας
3.104.
3.] 09.
Τό ίδιο γιά τήν τυχαία μεταβλητή τοϋ Προβλ.
3.110.
Γιατί στά Προβλ.
3.111.
Δείξτε δτι τό μισοκεντρικό πλάτος τής τυχαίας μεταβλητής τοϋ Προβλ.
3.106
εΙναι
t ln 3.
3.112.
Δείξτε δτι τό μισοκεντρικό πλάτος τής τυχαίας μεταβλητής τοϋ Προβλ.
3.107
εΙναι
1.
3.113.
'Υπολογίστε τή Μ.Α.Α. τής τυχαίας μεταβλητής
3.1Η.
3.106
καί
3.107
3.105.
τό πλάτος δέν άποτελεί κατάλληλο μέτρο γιά τή διασπορά τής κατανομής;
(α) τοϋ Προβλ.
3.106
καί
(b)
τοϋ Προβλ.
3.107.
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά διαφέρει ή Χ άπό τή μέση τιμή της περισσότερο άπό τό μισοκεντρικό της πλά τος
(α)
στό Πρόβλ.
3.104, (b)
στό Πρόβλ.
3.106;
ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΚΥΡΤΩΣΗ
3.115.
Έστω
j"(x)
___ {C (l o
τυχαίας μεταβλητής Χ.
χ2)
-1:ΞΞ: χ ~ 1 άλλιιiΊς
δπου
c
'Υπολογίστε τούς συντελεστές
μιά κατάλληλη σταθερή, ή συνάρτηση πυκνότητας μιας
(α)
άσυμμετρίας καί
(b)
κυρτώσεως.
2
106 (α)
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
Κ Ε Φ.
άσυμμετρίας καί
3.106.
3.116.
'Υπολογίστε τούς συντελεστές
3.117.
Μπορεί νά όριστεί συντελεστής κυρτώσεως γιά τήν κατανομή του Προβλ.
3.118.
'Εάν
C(1 -
= { O
f(x)
κυρτώσεως γιά τήν κατανομή του Προβλ.
(b)
3
rιατί;
3.107;
1:1) Ixl >
α
(c κατάλληλη σταθερή) εΙναι ή συνάρτηση πυΙCΝότητας της Χ, ύπολογίστε τούς συντελεστές (α) άσυμμετρίας καΙ (b) κυρτώσεως.
3.119.
'Υπολογίστε τούς συντελεστές
(α) άσυμμετρίας καί
(b)
κυρτώσεως γιά τήν κατανομή μέ συνάρτηση πυΙCΝότητας x~o
f(x)
χ<ο
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
3.120.
Ή τυχαία μεταβλητή
γίστε
Χ παίρνει τίς τιμές
(α) τή μέση τιμή,
καί
2, 1
(b) τή διασπορά, (c)
:3
μέ άντίστοιχες πιθανότητες
τή ροπογεννήτρια,
1/3, 1/6,
καί
1/2.
(d) τή χαρακτηριστική συνάρτηση,
'Υπολο
(e) τή
ροπή τρίτης τάξεως περί τή μέση τιμή.
3.121.
'Υπολογίστε τίς ποσότητες πού ζητουνται στό προηγούμενο πρόβλημα γιά μιά μεταβλητή πυκνότητας
δπου
3.122.
c
<
Ο
f(x)
Χ μέ συνάρτηση
<1
χ
άλλιως
μιά κατάλληλη σταθερή.
Ρίχνουμε τρείς φορές
fva
ζάρι.
Ύπολογίστε
(α) τή μέση τιμή καί
(b) τή διασπορά του άθροίσματος των
άποτελεσμάτων.
3.123.
'Έστω Χ μιά τυχαία μεταβλητή μέ συνάρτηση πυΙCΝότητας O~x~2
f(x)
άλλιως
δπου c μιά κατάλληλη σταθερή. -'Υπολογίστε τή χαρακτηριστική συνάρτηση,
(α) τή μέση τιμή, (b)
(c) τό συντελεστή άσυμμετρίας,
τή διασπορά,
(C) τή ροπογεννήτρια, (d)
(Ι) τό συντελεστή κυρτώσεως.
3.124.
Ύπολογίστε τή μέση τιμή του πλήθους των γραμμάτων πού θά φθάσουν στό σωστό παραλήπτη στό Πρόβλ.
3.125.
Ή κοινή συνάρτηση πυιcνότητας των Χ καί Υ εΙναι
Ο
cxy
f(x, Υ) 'Υπολογίστε τίς (α) Ε(Χ2
3.126.
(b) Ε(ΥΧ2
<
Χ
<
1, Ο
<
Υ
<
1
άλλιως
+ Υ2).
Κάθε μιά άπό τίς άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ fXEt συνάρτηση πυιcνότητας f(u) -00
3.127.
+ Υ2),
{ Ο
00.
'Υπολογίστε τίς ποσότητες πού ζητουνται στό προηγούμενο πρόβλημα.
'Έστω Χ μιά τυχαία μεταβλητή μέ συνάρτηση πυιcνότητας
f(x) 'Εάν Υ
= Χ2.
ύπολογίστε τίς
(α) Ε(Χ),
1.156.
=
t
{o
(b) Ε(Υ),
-1
<
χ
<
άλλιως
(c) Ε(ΧΥ).
1
= (27T)-lI2 c -u I2, 2
Κ Ε Φ.
3.128.
107
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
3
Χρησιμοποιώντας τό άποτέλεσμα τού Προβλ.
δείξτε δτι μποροϋμε νά εχουμε
3.127
Ε(ΧΥ)
= Ε(Χ) Ε(Υ)
χωρίς
οί Χ καί Υ νά ε{ναι άνεξάρτητες.
3.129.
Δείξτε δτι, έάν Χ καί Υ ε{ναι δύο άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, τότε δπου [(Χ) καί
g(Y)
ε{ναι συναρτήσεις τών Χ
καί Υ άντίστοιχα.
Ε [f(X)
g(Y)] = E[f(X)]· E(g(Y)] ,
Τί περιορισμούς πρέπει νά πληρουν οΙ συ
ναρτήσεις αύτές;
3.130.
Έάν Χ καί Χ καί
Υ ε{ναι
δύο τυχαίες μεταβλητές μέ κοινή συνάρτηση πυΙCΝότητας
M(t, (α) Προσδιορίστε τή
[", S:",
E[etx+tιYJ
ιι)
ή ροπογεννήτρια τών
n
(b)
Ε{ναι ή ροπογεννήτρια αύτή
Υ; Δικαιολογήστε τήν άπάντηση.
Υ);
3.130
γιά νά ύπολογιστεί ή
E(Xmyn) ,
άκέραιοι.
Πώς θά μποροϋσε νά όριστεί ή χαρακτηριστική συνάρτηση δύο μεταβλητών άπό τή ροπογεννήτρια τού Προβλ.
3. Ι 30; 3.]33.
f(x,
Δείξτε πώς μπορεί νά χρησιμοποιηθεί ή ροπογεννήτρια τοϋ Προβλ. σπου 111 καί
3.125.
τή ροπογεννήτρια τής
tni
'Ισχύει αύτό γιά κάθε κοινή συνάρτηση κατανομής
3.132.
Υ),
etx+uY{(x, Υ) dx dy
ροπογεννήτρια γιά τήν κατανομή τοϋ Προβλ.
τών Χ καί Υ ίση μέ τή ροπογεννήτρια τής Χ
3.131.
f(x,
Υ όρίζεται μέ τή σχέση
Δώστε ενα παράδειγμα.
Σ' ενα παιχνίδι ενας παίκτης ρίχνει ενα νόμισμα μέχρι νά ερθει «κεφάλι». παίκτης κερδίζει
δραχμές.
2k
Έάν αύτό συμβεί στήν kστή ρίψη, ό
'Υπολογίστε τή μέση τιμή τοϋ κέρδους τού παίκτη.
Έξετάστε τό νόημα τού
άποτελέσματος.
3.] 34.
Έξετάστε τό Πρόβλ.
3.135.
Δείξτε στι, έάν
Χ ι'
3. Ι 33, ... , X n
έάν τό νόμισμα δέν ε{ναι κανονικό.
ε{ναι τυχαίες μεταβλητές, τότε
"
~ Var (Χ,,)
+
k=1
3.136.
Έστω
= 3.137.
fL
M(t) ή ροπογεννήτρια τής τυχαίας μεταβλητής Χ. Ε(Χ), (b) Κ"(Ο) σ2 Var (Χ).
=
=
Στό Πρόβλ.
3.136
=
Δείξτε στι, έάν
t =
Έκφράστε τά άποτελέσματα τών Προ βλ.
3.139.
Ή κάθε μιά άπό τίς άνεξάρτητες Ισόνομες τυχαίες μεταβλητές
3.136
f(x)
3.140.
>
Ο.
= Ιn M(t) ,
τότε
(α) Κ'(Ο)
Ο.
3.138.
α
K(t)
έκφράστε τίς ροπές τρίτης καί τέταρτης τάξεως σάν συναρτήσεις τοϋ Κ καί τών παραγώγων του
ύπολογισμένων γιά
σπου
~ Cov (X j , Χ,,) j ... "
καί
=
3.137
[ 1/2α
Ίο
μέ τή χαρακτηριστική συνάρτηση.
Ixl
Χ ι' Χ 2' •.. , Χ n
εχει συνάρτηση πυκνότητας
~ α
άλλιώς
Προσδιορίστε τή χαρακτηριστική συνάρτηση τής
Δείξτε στι, σταν ίδιότητα αύτή μ'
11 ..... "",
ή χαρακτηριστική συνάρτηση του Προβλ. 3.139 τείνει στήν e- ω2/2 • Συγκρίνετε τήν 3.75 καί 3.76. Τί συμπεράσματα βγάζετε γιά τίς όριακές
αύτές πού δείχτηκαν στά Προβλ.
κατανομές τών δύο περιπτώσεων;
.. )-~~~- .~~.- '. ;'Z"~""~ ω
&
Ζa
&
2 ιωΙ:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
4
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ W
Ας ύποθέσουμε ότι έκτελουμε ενα πείραμα τύχης πολλές φορές, Π.χ. ρίχνουμε ενα νόμισμα ή
ενα ζάρι, τραβάμε εναν κλήρο, κτλ. δοκιμή ή προσπάθεια.
Κάθε φορά πού έκτελουμε τό πείραμα λέμε ότι κάνουμε μιά
Σέ κάθε δοκιμή ενα γεγονός, Π.χ. νά έρθει κεφάλι στή ρίψη του νομίσματος,
εχει μιά όρισμένη πιθανότητα νά πραγματοποιηθεί.
Σέ πολλές περιπτώσεις ή πιθανότητα αύτή δέν
άλλάζει άπό δοκιμή σέ δοκιμή, δηλ. τά άποτελέσματα τών διαφόρων δοκιμών εΙναι άνεξάρτητα. Τέτοιες δοκιμές καλουνται άνεξάρτητες ή δοκιμές λέτησε στό τέλος του 'Έστω
1)
Bernoulli,
άπό τόν
James Bernoulli
ή πιθανότητα νά πραγματοποιηθεί ενα γεγονός σέ μιά μόνο δοκιμή
πιθανότητα νά μήν πραγματοποιηθεί τό γεγονός εΙναι έπιτυχίας, ένώ ή
q
καί πιθανότητα άποτυχίας.
άκριβώς χ φορές σέ
n
πού τίς με
Ι Ίου αίώνα.
Bernoulli.
Ή
ρ.Ή Ρ λέγεται καί πιθανότητα
q = 1-
Ή πιθανότητα νά πραγματοποιηθεί τό γεγονός αύτό
δοκιμές, δηλ. νά εχουμε
:('
έπιτυχίες καί
n -
χ άποτυχίες, δίνεται άπό τή
συνάρτηση πιθανότητας
Η!
:r
χ!(π-χ)! Ρ q
n-x
(1)
όπου ή τυχαία μεταβλητή Χ παριστάνει τό πλήθος τών έπιτυχιών σέ 11 δοκιμές καί
χ
= 0,1,
... ,π. Παράδειγμα
4.1.
Ή πιθανότητα νά φέρουμε άιcριβώς
Ρ(Χ
= 2) =
2
φορές «ιcεφάλι» σέ
(6) (1)2(12")6-2 22
=
6! 2! 4!
6
ρίψεις tνός νομίσματος ε{ναι
(1)2(1 )6-2 2" 2"
=
15 64
Ή διακριτή συνάρτηση πιθανότητας (Ι) καλείται διωνυμική κατανομή, έπειδή γιά , .. ,11
χ
= 0,1,2,
δίνει τούς όρους του άναπτύγματος του διώνυμου
Καλείται έπίσης καί κατανομή του
Bernoulli.
διωνυμική ή λέμε ότι εΙναι διωνυμικά η κατά
Μιά τυχαία μεταβλητή μέ κατανομή τήν (Ι) λέγεται
Bernoulli
κατανεμημένη.
ΜΕΡΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ,//'
Μερικές άξιοσημείωτες ίδιότητες τής διωνυμική ς κατανομής δίνονται στόν επόμενο πίνακα.
108
Κ Ε Φ.
109
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
Πίν.
4-1 μ
--
σ2
--
Μέση τιμή
Διασπορά
Τυπική άπόκλιση
σ
Συντελεστής άσυμμετρίας
α3
πμ
1llJq
--
YJlpq
--
q-p YJlpq
, Συντελεστής κυρτώσεως
3
--
α4
+1-
6pq
Y1llJq
M(t) =
ΡΟΠΟΥεννήτρια
φ(ω)
Χαρακτη ριστική συνάρτηση
Παράδειγμα
4.2.
Σέ
100
Ό νόμος των μεγάλων άριθμων τής σελ.
θεώρημα
4-1
+ Ρeiω)n
= ΙΙ00)(!) = 50
φορές (μέση τιμή
= V(100)(i)(t) = 5.
Ο ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓ ΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΔΟΚΙΜΕΣ
Bernoulli
= (q
+ pet)n
ρίψεις tνός νομίσματος άναμένουμε νά fρθει «κεφάλι» μ
πλήθους έπιτυχιων) μέ τυπική άπόκλιση σ
δοκιμων
(q
84
BERNOULLI
εχει μιά ένδιαφέρουσα έρμηνεία στήν περίπτωση
καί μπορεί νά διατυπωθεί ώς έξής:
(Νόμος των μεγάλων άριθμων γιά δοκιμές BernoulIμ: Έστω Χ ή τυχαία μεταβλητή πού παριστάνει τό πλήθος των έπιτυχιων σέ άναλογία των έπιτυχιων. ε
ενας
n
δοκιμές
Bernoulli, όπότε X/n
ε{ναι ή
'Εάν Ρ εΙναι ή πιθανότητα έπιτυχίας (σέ μιά δοκιμή) καί
θετικός άριθμός, τότε
lim n_o:>
Ρ(ΙΙ Χ n
-
ρ \ ~ ε) = Ο
(8)
Αύτό σημαίνει δτι μετά άπό πολλές δοκιμές ε{ναι πολύ πιθανό ή άναλογία των έπιτυχιων Χ/η νά ε{ναι όσο θέλουμε κοντά στήν ρ. όρισμός τής πιθανότητας τής σελ.
Έτσι δικαιολογείται κατά
6.
κάποιο
τρόπο
ό
έμπειρικός
Άπό τόν Ισχυρό νόμο των μεγάλων άριθμων (σελ.
προκύπτει ενα άκόμα Ισχυρότερο συμπέρασμα: Μέ πιθανότητα ίση μέ τή μονάδα εχουμε
lim
= Ρ, δηλ. ή Χ/1Ι συγκλίνει στήν Ρ έκτός άπό ενα άμελητέο πλήθος περιπτώσεων.
n-'"
84) Χ/τι
Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
Μιά άπό τίς πιό σημαντικές κατανομές πιθανότητας γιά συνεχείς μεταβλητές ε{ναι ή κανονική κατανομή ή κατανομή τού
Ή συνάρτηση πυκνότητας τής κατανομής αύτής ε{ναι
Gauss. f(x)
=
_1_ e-(ι-μ)2 /2σ 2
σΥ2π
-00
<Χ<
(4)
00
δπου μ καί σ ε{ναι σταθερές ίσες άντίστοιχα μέ τή μέση τιμή καί τήν τυπική άπόκλιση.
Ή
άντίστοιχη συνάρτηση κατανομής εΙναι
--------
----
110
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Ρ(Χ;::ΞΞ χ)
F(x)
=
_1_ σV2π
e-<Ι'-μ)2 ι2σ 2 dv
fX
4
(5)
-00
Στήν περίπτωση αύτή λέμε δτι ή τυχαία μεταβλητή Χ εΙναι κανονική η κανονικά κατανεμημένη μέ
μέση τιμή μ. καί διασπορά ~. Έάν Ζ εΤναι ή τυποποιημένη μεταβλητή πού άντιστοιχεί στήν Χ, δηλ. Χ - μ. =--
Ζ
(6)
σ
τότε ή μέση τιμή τής Ζ εΤναι Ο καί ή διασπορά τητας τής Ζ προκύπτει άπό τήν
(4),
Στήν περίπτωση αύτή ή συνάρτηση πυκνό
1.
έάν θέσουμε μ.
=Ο
καί
σ
= 1,
δηλ. εΤναι
= _1_ e-z2I2
f(z)
(7)
V2π
Ή κατανομή αύτή καλείται συχνά τυπική η τυποποιημένη κανονική κατανομή καί εχει συνάρτηση κατανοι.ιής
Ρ(Ζ;ΞΞ Ζ)
=
F(z)
=
SZ V2π
r Υ2;. J o
e- Iι ' I2 du = ~ + _1_
_1_
-00
Ή τιμή Ζ καλείται μερικές φορές τυπικό dποτέλεσμα. σφάλματος
erf (Ζ).
πού δίνεται σέ πίνακες.
Ή
z
e-,,2/2
du
(8)
συνδέεται άμεσα μέ τή συνάρτηση
F(z)
Συγκεκριμένα εΤναι
(9)
καί
Μιά γραφική παράσταση τής συναρτήσεως πυκνότητας
ποιημένη κανονική καμπύλη, δίνεται στό Σχ.
1, 2 καί 3 -1 καί +1,
τυπικές άποκλίσεις άπό τή μέση τιμή.
Ζ
= -2
καί
Ζ
+2,
= -3
τοϋ όλικοϋ έμβαδοϋ πού ίσοϋται μέ
Ρ(-1;::ΞΞΖ~l)
=
0.6827,
καί
+3
(7),
πού καλείται συχνά τυπική η τυπο
Σημειώνονται τά έμβαδά πού άντιστοιχοϋν σέ
4-1.
Τά έμβαδά αύτά περιλαμβάνονται μεταξύ
καί εΤναι ίσα μέ
καί
Ζ = 99.73%
= 0.9973
(10)
68.27%, 95.45%
Αύτό σημαίνει ότι
1.
P(-2;::ΞΞZ~2)
=
0.9545,
Ρ(-3;::ΞΞΖ;ΞΞ3)
j(z)
-3
-2
-1
1
Ο
3
2
-68.27%......f-----95.450/0----~ • .....ι---------99.73%-------..... Σχ.
Στό Παράρτημα τοϋ Ζ.
C
4-1
δίνονται σ' ~ναν πίνακα τιμές τοϋ έμβαδοϋ μεταξύ Ο καί μιας θετικής τιμής
Χρησιμοποιώντας τή συμμετρία τής καμπύλης περί τό Ζ
=
Ο
μποροϋμε νά ύπολογίσουμε
τά έμβαδά άλλων τμημάτων.
14
2
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
111
ΜΕΡΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Στόν παρακάτω πίνακα δίνονται μερικές Ιδιότητες τής κανονικής κατανομής. Οίν.
4-2
Μέση τιμή
μ
Διασπορά
σ2
Τυπική άπόκλιση
σ
Συντελεστής άσυμμετρίας
α3
==
Συντελεστής κυρτώσεως
α4
== 3
==
M(t)
ΡΟΠΟ'Υεννήτρια
==
φ("')
Χαρακτηριστική συνάρτηση
Ο
e"t+
ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤ ΑΝΟΜΗΣ
Έάν τό
n
εΤναι μεγάλο καί ούτε τό Ρ ούτε τό
q εΤναι κοντά στό μηδέν, Τι διωνυμική κατανομή
μπορεί νά προσεγγιστεί άρκετά καλά άπό μιά τυπική κανονική κατανομή μέ μεταβλητή
X-np
Ζ
(11)
Vll]JQ Ή Χ παριστάνει τό πλήθος των έπιτυχιων σέ 1Ι δοκιμές τυχίας.
Ή
προσέγγιση
(Πρόβλ.
4.17).
γίνεται
καλύτερη,
όταν
τό
n
Bemoulli
αύξάνει,
καί Ρ εΙναι ή πιθανότητα έπι
καί γίνεται άκριβής στό όριο
Στήν πράξη ή προσέγγιση ε{ναι πολύ καλή, όταν καί τό
μεγαλύτερα του
np
καί τό
nq
ε{ναι
Ή προσέγγιση τής διωνυμική ς κατανομής μέ τήν κανονική κατανομή περι
5.
γράφεται άπό τή σχέση
lim Ρ(α π-ο:
;ΞΞ Χ
- nΡ;ΞΞ Vnpq
b)
=
_1_
ν/2,;
Μέ άλλα λόγια. ή τυποποιημένη τυχαία μεταβλητή (Χ
r
Ja
b
(12)
e-,.'I2 dll
- np)/Vnpq
εΤναι άσυμπτωτικά κανονική
(δηλ. συμπεριφέρεται άσυμπτωτικά σάν κανονική μεταβλητή).
Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ
POISSON
'Έστω Χ μιά διακριτή τυχαία μεταβλητή πού μπορεί νά πάρει τίς τιμές
0,1,2, ...
μέ συνάρ
τηση πιθανότητας
f(x)
=
Ρ(Χ
= Χ) =
όπου λ μιά δεδομένη θετική σταθερή. άνακαλύφθηκε άπό τόν
S. D. Poisson Poisson.
AIe- h -1Χ.
Χ
= 0,1,2, .,.
(13)
Ή κατανομή αύτή καλείται κατανομή του στίς άρχές του 190υ αΙώνα.
Poisson,
έπειδή
Λέμε άκόμα ότι ή μεταβλητή
Χ ε{ναι κατανεμημένη κατά
Τιμές τής διάφορα λ.
f(x)
μπορουν νά ύπολογιστουν άπό τό Παράρτημα Η, πού δίνει τιμές του
Έπίσης μπορουν νά ύπολογιστουν μέ χρήση λογαρίθμων.
ΜΕΡΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΟΥ
POISSON
Στόν πίνακα πού άκολουθεί δίνονται μερικές Ιδιότητες τής κατανομής του
Poisson.
e- h
γιά
112
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Πίν.
4-3
Μέση τιμή
Ι
Διασπορά
Συντελεστής ασυμμετρίας
"3
Συντελεστής κυρτώσεως
"4
q
=1-
(1) τό
μ είναι περίπου
1,
Ι
φ(ω)
μικρότερο τοϋ
'Εάν θέσουμε
λ
λ
= I/VΛ
=
+
(Ι/λ)
eλ(cf-ΙJ
eλ(eiω-ΙJ
POISSON
11 είναι μεγάλο καί ή πιθανότητα έπιτυχίας μ πολύ μικρή,
50
δοκιμές
(11
ΞΞ:';
50)
Στήν πρά
καί συγχρόνως
Σέ μιά τέτοια περίπτωση ή διωνυμική κατανομή προσεγγίζεται πολύ καλά
5.
άπό τήν κατανομή τοϋ
4-3:
=
λ
τότε έξετάζουμε, δπως λέμε, ενα σπάνιο γεγονός.
ξη θεωροϋμε ενα γεγονός σπάνιο, έάν εχουμε τουλάχιστον
11])
σ2
= 3
ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΟΥ
'Εάν στή διωνυμική κατανομή
=
M(t) =
ΡΟΠΟΥεννήτρια
όπότε τό
μ
σ = VΛ
Τυπική απόκλιση
Χαρακτηριστική συνάρτηση
4
=
Poisson 1ψ, q
= 11}).
μέ λ
=1
καί
Αύτό φαίνεται καί άπό τή σύγκριση των Πιν.
ρ'~ Ο στόν Πίν.
4-1,
ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΟΥ
παίρνουμε τόν Πίν.
4-1
καί
4-3.
POISSON
'Επειδή ύπάρχει μιά σχέση μεταξύ τής διωνυμική ς καί τής κανονικής κατανομής καί μιά σχέση μεταξύ τής διωνυμική ς καί τής κατανομής τοϋ
Poisson, άναμένεται νά ύπάρχει καί μιά σχέση μεταξύ Poisson. Πραγματικά μποροϋμε νά δείξουμε δτι, έάν Χ είναι ή τυχαία μεταβλητή στήν κατανομή (13) τοϋ Poisson καί (Χ - λ)/Υλ είναι ή άντίστοιχη τυποποιη τής κανονικής καί τής κατανομής τοϋ
μένη τυχαία μεταβλητή, τότε
(14) Αύτό σημαίνει δτι ή κατανομή τοϋ
Poisson
τείνει στήν κανονική κατανομή, δταν
λ ->
00,
ή δτι ή
(Χ - λ)/\;λ είναι dσυμπτωτικά κανονική.
ΤΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
Ή όμοιότητα μεταξύ
(12)
καί
(έκτός άπό τή διωνυμική καί τοϋ ση.
(14) δημιουργεί τό έρώτημα, έάν ύπάρχουν κι άλλες κατανομές Poisson) πού εχουν τήν κανονική κατανομή σάν όριακή περίπτω
Τό σημαντικό θεώρημα πού άκολουθεί δείχνει δτι ύπάρχει μιά μεγάλη κλάση κατανΟμa>ν μέ
αύτή τήν Ιδιότητα.
θεώρημα
4-2 (Κεντρικό όριακό θεώρημα): Έστω δτι οί άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χι, Χι, ... είναι ίσόνομες (ή κάθε μιά εχει τήν ίδια συνάρτηση πιθανότητας, άν πρόκειται γιά διακριτές μεταβλητές, ή τήν ίδια συνάρτηση πυκνότητας, άν πρόκειται γιά συνε 2
χείς μεταβλητές) μέ πεπερασμένες μέση τιμή μ καί διασπορά σ • Χ 2 +··· +Χ" (11 1,2, ... ), τότε
=
Έάν Sn
= ΧΙ +
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
113
(15) δηλ. ή τυχαία μεταβλητή (Sn - 'Hft)/ayn, πού είναι ή τυποποιημένη μεταβλητή άντί στοιχη στήν Sn, συμπεριφέρεται άσυμπτωτικά σάν κανονική μεταβλητή. Τό θεώρημα αύτό ίσχύει κάτω άπό γενικότερες συνθήκες, δπως Π.χ. στήν περίπτωση δπου οί Χι, Χ2 ,
•••
εΙναι άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές μέ τήν 'ίδια μέση τιμή καί τήν 'ίδια διασπορά, δχι
δμως Ισόνομες.
Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
Έστω δτι τά γεγονότα στοιχες πιθανότητες Ρι, Ρ2,
Αι, Α 2 ,
•••
,A k
δπου Ρι
... , Pk
=
μποροϋν νά πραγματοποιηθοϋν σέ μιά δοκιμή μέ άντί-
+ Ρ2 + ... + ρ, = 1.
'Εάν οί τυχαίες μεταβλητές Χι,
X k μέ ΧΙ + Χ2 + ... + Χι, n, παριστάνουν άντίστοιχα θηκε τό καθένα άπό τά Αι, Α 2 , ••• , A~ σέ τι δοκιμές, τότε Χ2 ,
••• ,
Ρ(Χ 1 - ' l1ι, ( Πι
+ 112
+ nk
7
Χ2 -- n2, ... , Χ k -- llk ) --
'ίl!
τό πόσες φορές πραγματοποιή-
ϊ1Ι!'1Ι2!"'1ΙΙ,!
"ι
(16)
11, • • ., "k 1)ι μη μι-
-
•
= n) εΙναι ή κοινή συνάρτηση πιθανότητας τών τυχαίων μεταβλητών Χι,
.. . ,Xk • Ή κατανομή αύτή, πού εΙναι γενίκευση τής διωνυμικής κατανομής, καλείται πολυωνυμική κατανομή, έπειδή τό δεξιό μέλος τής
(16)
εΙναι ό γενικός δρος του άναπτύγματος του (μι
+ Ρ2
+ ... + PI,)". ΠαράδεΙΎμα
4.3.
"Αν ρίξουμε ~να ζάρι
φορές, ή πιθανότητα νά φέρουμε τά
12
Ι,
2, 3, 4, 5
καί
6
άιcριβώς δύο φορές τό
ιcαθένα εΙναι
Ρ(Χ ι = 2, Χ2 = 2, ... , X G 2) ::=
21 21
::=
2\2~1 21 21α)2 (~)2 (~) (i)2 (i)X~ Χ
::=
5i~,~~2
= 0.00344
Τά γεγονότα Αι, Α Ζ , ... , A k άναμένεται νά έμφανίστουν nJJl,11JJ2, ... , npk φορές σέ
'IL
δοκι
μές, δηλ.
... ,
Ε(Χ ι )
(17)
Η ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ν Ας ύποθέσουμε, δτι ενα κουτί περιέχει
b
κίτρινες καί 1" κόκκινες σφαίρες.
σφαίρα στήν τύχη, σημειώνουμε τό χρώμα της καί τήν ξαναβάζουμε στό κουτί.
δοκιμή.
'Εάν τήν έπαναλάβουμε
τοποθέτηση.
n
Βγάζουμε μιά
Αύτή ε{ναι μιά
φορές, εχουμε ενα πείραμα πού λέγεται δειγματοληψία μέ έπανα
'Εάν ή Χ παριστάνει τό πλήθος τών κίτρινων σφαιρών (έπιτυχιών) σέ
τότε, δπως προκύπτει άπό τή διωνυμική κατανομή
(1),
n
δοκιμές,
ή πιθανότητα χ άκριβώς έπιτυχιών ε{ναι
(18) έπειδή ]J
= b/(b + τ), q
=1-
μ
= Y/(b + 1').
"Εάν δέν ξαναβάζουμε τίς σφαίρες στό κουτί, εχουμε τή λεγόμενη δειγματοληψία χωρίς έπανατο ποθέτηση καί τότε
Ρ(Χ
Αύτή ε{ναι ή ύπεργεωμετΡική κατανομή.
= χ)
(19)
Ή μέση τιμή καί ή διασπορά τής κατανομής αύτης ε{ναι
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
114
Ilb1'(b + l' - n) (b+r)2(b+r-1)
μ
4
(20)
'Εάν σλες οί σφαίρες (κίτρινες καί κόκκινες) ε{ναι Ν μέ άναλογία κίτρινες πρός κόκκινες ίση μέ Ρ πρός
q = 1-
ρ, τότε
b
]J
καί οί
(19)
καί
q
Ν'
(20)
r = b+r
l'
μ
=
(ΝΡ)( nNq ;Ι'
(23)
r
(21)
Nq
) χ
(22)
(~) ο
n]J
ILJJq(N -11)
_
σ-
(23)
Ν-Ι
(ή τό Ν ε{ναι πολύ μεγαλύτερο άπό τό η), ή
ρ(χ=χ)
Οί
Νρ,
b
γίνονται άντίστοιχα
Ρ(Χ= χ)
'Όταν Ν ~ ο.<;
ή
Ν
δίνει τήν
(22)
(18),
πού γράφεται
(24)
=
γίνονται μ
=
(25)
n]J
πού συμφωνοϋν μέ τίς δύο πρώτες σχέσεις τοϋ Πίν.
4-1.
Τά άποτελέσματα αύτά δικαιολογοϋνται
μέ τήν παρατήρηση στι )'ιά μεγάλο Ν δειγματοληψία μέ έπανατοποθέτηση καί δειγματοληψία χωρίς έπανατοποθέτηση
δέ
διαφέρουν πρακτικά,
Η ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
Λέμε στι μιά τυχαία μεταβλητή Χ ε{ναι όμοιόμορφα κατανεμημένη στό διάστημα έάν ή συνάρτηση πυκνότητας ε{ναι
{~/(b
t(x) Ή κατανομή αύτή
- αl
α ~ χ ~
b,
(26)
άλλιώς
καλείται όμοιόμορφη κατανομή.
Ή συνάρτηση κατανομης ε{ναι
P(X~x)
F(x)
{
~"-
al/(b -
αl
χ<α
a~x
(27)
x~b
Ή μέση τιμή καί ή διασπορά ε{ναι άντίστοιχα
1 -(b -
1
μ =Z(α+b)
Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ
12
Cauchy,
(28)
CAUCHY
Λέμε στι μιά τυχαία μεταβλητή εΙναι κατανεμημένη κατά τού
α)2
Cauchy ή δτι άκολουθεί τήν κατανομή
έάν ή συνάρτηση πυκνότητας της Χ ε{ναι
t(x)
α
α> ο,
-00
<χ <
00
(29)
Κ Ε Φ.
Ή κατανομή αύτή εΙναι συμμετρική περί τό μέ μηδέν.
115
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
χ
=
Ο
καί συνεπώς ή μέση τιμή μπορεί νά ληφθεί ίση
Ή διασπορά δμως καί οΙ ροπές άνώτερης τάξεως δέν ύπάρχουν.
'Επίσης δέν ύπάρχει ή
ροπογεννήτρια, ένώ ή χαρακτηριστική συνάρτηση ύπάρχει καί εΙναι
(30)
Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΓΑΜΑ
Μιά τυχαία μεταβλητή Χ άκολουθεί τήν κατανομή γάμα, Μν ή συνάρτηση πυκνότητας εΙναι
χ>Ο
f(x)
(α, β
>
Ο)
(31)
χ;Ξ":ΞΟ
δπου
Γ(α) εΙναι ή συνάρτηση γάμα (βλέπε Παράρτημα Α).
=
μ.
Ή μέση τιμή καί ή διασπορά εΙναι
(32)
αβ
Ή ροπογεννήτρια καί ή χαρακτηριστική συνάρτηση εΤναι
M(t)
=
(1 -
φ(ω)
βt)-α
= (1- βiω)-α
'(33)
Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΒΗΤΑ
Μιά τυχαία μεταβλητή άκολουθεί τήν κατανομή βήτα, Μν ή συνάρτηση πυκνότητας εΙναι χ"-I(1- χ)/3-Ι Β(α, β)
f(x) {
Ο
Ο<χ
(α,β
> Ο)
(34)
άλλιώς
δπου Β(α, β) εΙναι ή συνάρτηση βήτα (βλέπε Παράρτημα Α). εται μέ τή συνάρτηση γάμα μέ τή σχέση
'Επειδή ή συνάρτηση βήτα συνδέ
του Παραρτήματος Α, ή κατανομή βήτα μπορεί νά ό
(9)
ριστεί καί μέ τή συνάρτηση πυκνότητας
Γ(α + β)
;1""-1(1 _
Γ(α) Γ(β)
f(x)
{
δπου τά α καί β εΙναι θετικά.
χ)/3-Ι
Ο<χ<Ι
(35)
άλλιώς
Ο
Ή μέση τιμή καί ή διασπορά εΙναι α
μ
Γιά α
> 1,
β
>1
(36)
α+β
ύπάρχει μιά μοναδική πιθανότερη τιμή
=
χ
Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ χ
α-Ι
2
WΕστω δτι ή κάθε μιά άπό τίς ν άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χι, Χ 2 , κή κατανομή
(37)
α+β-2
μέ μέση τιμή Ο καί διασπορά
') =
χ-
χ Ι2
1.
• , .,
χ" εχει κανονι
Θεωροϋμε τήν τυχαία μεταβλητή
+ χ:Ι2 + . . . + χ2"
(38)
116
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
(τό συμβολο χ 2 θεωρείται δτι συμβολίζει μιά μεταβλητή καί διαβάζεται «χί τετράγωνο»). Μπορεί νά δειχτεί δτι γιά Χ ΞΞ; Ο εΙναι
=
P(x2~x)
καί
Ρ(χ 2 ~ Χ)
=Ο
γιά
Χ
<
1
2 !2Γ(ι,/2) υ
i
X
u(vI2)-l
ο
e- u12 du
(39)
Ο.
Ή κατανομή πού όρίζεται μέ τή σχέση
(39)
καλείται κατανομή χ 2 μέ ν βαθμούς έλευθερΙας.
Ή
κατανομή αύτή εχει συνάρτηση πυκνότητας
1
2"Ι~ Γ( 1'/2)
f(x)
{
ΕΙναι φανερό δτι ή κατανομή χ β
= 2.
2
χ(,'Ι2)-Ι e- xI2
χ>ο
(40)
x~o
Ο
εΙναι μιά είδική περίπτωση τής κατανομής γάμα μέ
α
= ν/2,
νΑρα
(41)
ιι
Γιά μεγάλο Ι' (ν SΞ; 30) μπορεί νά δειχτεί δτι ή μεταβλητή
ν2ν - Ι' άκολουθεί μέ μεγάλη διασπορά 1.
ffx2 -
προσέγγιση τήν κανονική κατανομή μέ μέση τιμή Ο καί
Οί προηγούμενες παρατηρήσεις συνοψίζονται στό άκόλουθο θεώρημα. θεώρημα
Χι, Χ 2 ,
'Εάν κάθε μιά άπό τίς τυχαίες μεταβλητές
4-3:
κατανομή μέ μέση τιμή Ο καί διασπορά 1, τότε ή
/
••• ,
Χυ
άκολουθεί κανονική
= xi + Χ: + ... + X~
άκο
λουθεί κατανομή χ 2 μέ ν βαθμούς έλευθερίας. Δύο ι'iλλα χρήσιμα θεωρήματα εΙναι τά έξής:
θεώρημα
'Εάν οί άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές
4-4:
κατανομή
τους W
χ
2
μέ νι, Ι'Ζ' •.• ,
υι ,
U2 ,
••• ,
υι, άκολουθουν (ή κάθε μιά)
βαθμούς έλευθερίας άντίστοιχα, τότε τό ι'iθρoισμά
I'k
= U ι + U + ... + τλ
άκολουθεί κατανομή χ 2 μέ Ι' ι
2
+
1'2
+ ... + I'k
βαθ
μούς έλευθερίας.
θεώρημα
4-5:
Έστω δτι
νομή
χ2
γι καί
Vz
εΙναι δύο τυχαίες μεταβλητές.
μέ νι βαθμούς έλευθερίας καί ή
ι' βαθμούς έλευθερίας (ι'
>
ΤΙ
= Vl
'Εάν ή
+ V2
Vl
άκολουθεί κατα
έπίσης κατανομή χ2 μέ
Ι'ι), τότε ή V 2 άκολουθεί κατανομή χ2 μέ
ν
-
νι
βαθμούς έλευθερίας.
Γιά τήν κατανομή χ 2 καί τίς κατανομές
καί
t
F
(πού περιγράφονται παρακάτω) συνηθίζεται
στή στατιστική νά χρησιμοποιείται τό 'ίδιο σύμβολο καί γιά τήν τυχαία μεταβλητή καί γιά τήν
τιμή της. ται μέ
νΕτσι τά έκατοστιαία σημεία τής κατανομής χ
X~,ν ή
χ; (έάν τό ν έννοείται) καί όχι μέ ΧΡ.,' ή
2
μέ ν βαθμούς έλευθερίας συμβολίζον (βλέπε Παράρτημα Ε).
Ό συμβο
λισμός αύτός μπορεί νά δημιουργήσει σύγχυση, γι' αύτό καί χρειάζεται προσοχή.
ΧΙ'
'Ιδιαίτερη
προσοχή χρειάζεται στήν άλλαγή μεταβλητών σέ συναρτήσεις πυκνότητας
Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ
t
ΤΟΥ
STUDENT
Μιά τυχαία μεταβλητή μέ συνάρτηση πυκνότητας
Ι'
f(t)
1)
r ( -2- (
+
FπΓ
ν)
( '2
1
t 2 )-(,,+1)/2
+Ι'
-χ
Χ>
(42)
117
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
Κ Ε Φ.
t
άκολουθεί τήν κατανομή
κατανομή
t, μέ
τού
εΙναι μεγάλο (ν ~
30),
ή άπλά
Student,
Ι' βαθμούς tλευθερίας.
'Εάν τό
ή γραφική
11
Ι(Ι)
παράσταση
ο
.•
τής f(t) προσεγγίζεται καλά άπό τήν τυπική κανο νική καμπύλη, όπως φαίνεται στό Σχ.
(Πρόβλ.
4-2
μέ Ι' βαθμούς έλευθερίας συμβολίζονται μέ ή μέ
tp
t tp.v
Τά έκατοστιαία σημεία τής κατανομής
4.161). ,
έάν τό ν έννοείται (τιμές δίνονται στό
Παράρτημα
Έπειδή
D).
t
t
κατανομή
t l - p = -t p ,
συμμετρική, εΙναι
Ή κατανομή
ή
-4
εΙναι
-3
-2
-1
t. 05 = -t. 95 •
Π.χ.
Σχ.
4-2
~χει μέση τιμή καί διασπορά μ.
Ο
=
καί
ιΓ
(ν>
2)
(43)
Τό έπόμενο θεώρημα θά μας χρησιμεύσει άργότερα: θεώρημα
4-6:
'Εάν ή τυχαία μεταβλητή Υ άκολ.ουθεί κανονική κατανομή μέ μέση τιμή Ο καί
διασπορά
1 καί ή Ζ άκολουθεί κατανομή χ 2 μέ ν βαθμούς έλευθερίας καί οί Υ
καί Ζ ε{ναι άνεξάρτητες, τότε ή τυχαία μεταβλητή
Τ = ~
(44)
vzr;
άκολουθεί κατανομή
Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ
μέ
t
11
βαθμούς έλευθερίας.
F
Μιά τυχαία μεταβλητή άκολουθεί τήν κατανομή
μέ νι καί
F
1'2
βαθμούς tλευθερίας, έάν εχει
συνάρτηση πυκνότητας
Γ(ν ι
;
1'2)
r(i) r(i) 1,~'1I2ν?f2U("l/2)-l(ν2 +ν lU)-(v +v )/2
u>O
Ο
u;ΞΞΟ
l
f(u)
Τά έκατοστιαία σημεία τής κατανομής ή
Fp
γιά Ρ
όταν τά
1'1,
= 0.95
καί
1'~ έννοουνται. Ρ
γιά νι,
F
1'2
Στό Παράρτημα
2
βαθμούς έλευθερίας συμβολίζονται μέ
F
(45)
F p "'I"'2
δίνονται τιμές των έκατοστιαίων σημείων
= 0.99.
·Η μέση τιμή καί ή διασπορά εΙναι
(46)
καί
·Η κατανομή εχει μιά πιθανότερη τιμή
=
u
l'ι(-ν-ι -
2
)(
1'2 1'2
+2
(47)
)
Τά έπόμενα θεωρήματα θά μας χρησιμεύσουν άργότερα.
θεώρημα
4-7:
'Εάν ή κάθε μιά άπό τίς άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές νομή χ 2 μέ νι καί
1'2
Vl
Vl/ν }
V = -V 2 /ν 2 άκολουθεί κατανομή
9
καί
V2
άκολουθεί κατα
βαθμούς έλευθερίας άντίστοιχα, τότε ή τυχαία μεταβλητή
F
μέ νι καί
1'2
βαθμούς έλευθερίας.
(48)
118
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
θεώρημα
4
4-8:
ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ χ 2 ,
ΚΑΙ
t
F
Fι-P.I,I'
θεώρημα
4-9:
θεώρημα
4-10:
t~ _ (ρ/2), ι' 2
Xv,l' Ι'
Η ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
Γενικεύοντας τήν κανονική κατανομή Υιά δύο τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ παίρνουμε τήν κοινή συνάρτηση πυκνότητας
f(x, Υ)
όπου
-00
<
Χ
<
00,
-00
<
Υ
<
Ή κατανομή αύτή καλείται διδιάστατη κανονική κατανομή μέ
00.
μέσες τιμές των Χ καί Υ 'ίσες μέ μι, μι, τυπικές άποκλίσεις σι, σ 2 καί συντελεστή συσχετίσεως ρ. Γιά κάθε κοινή κατανομή ή μεταβλητων (Θεώρ. Πρόβλ.
Ρ
=
Ο
ε{ναι άναΥκαία συνθήκη Υιά τήν άνεξαρτησία των τυχαίων
Στήν περίπτωση όμως τής
3-15).
(49)
ή συνθήκη αύτή εΙναι καί ίκανή (βλέπε
4.51).
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Στίς παρακάτω κατανομές οί σταθερές α, β, α, άντίθετο.
Ή χαρακτηριστική συνάρτηση
αν θέσουμε
1.
t=
ίω •
Γεωμετρική κατανομή.
f(x) μ
Ή τυχαία μεταβλητή έπιτυχία.
2.
θεωρούνται θετικές, έκτός καί δηλώνεται τό
b, ...
φ(ω) προκύπτει άπό τή ροπογεννήτρια (όπου δίνεται),
=
Ρ(Χ
= χ) =
1
= -
Ρ
σ
2
-
-
q 2
]Jqx-I
Χ
= 1,2, ...
M(t) =
pe
1- qe t
Ρ
Χ παριστάνεί τό πλήθος των δοκιμων
Bemoulli
μέχρι καί τήν πρώτη
Ή πιθανότητα έπιτυχίας σέ μιά μόνο δοκιμή ε{ναι ρ.
Κατανομή του
Pascal
ή άρνητική διωνυμική κατανομή.
f(x) =
μ
Ρ(Χ=Χ)
=
(~= ~)pTqX-T
l'
rq
Ρ
ρ~
M(t)
Χ
= r,r + 1, ...
(1- qe')'
Ή τυχαία μεταβλητή Χ παριστάνει τό πλήθος των δοκιμων όπου συμπληρώνονται μή.
t
r
έπιτυχίες.
Ή εΙδική περίπτωση
l'
Bemoulli
= 1
μέχρι καί τή δοκιμή
δίνει τή γεωμετρική κατανο
Κ Ε Φ.
3.
4
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Έκθετική κατανομή.
{
f(x) 1
1
σ2
α
Κατανομή τού
~e-=
χ>Ο
x~O
μ
4.
119
α: t
M(t) =
α2
Weibull χ>Ο
f(x)
x~O
μ
5.
Κατανομή τού
Maxwel1 χ>Ο
f(x)
x~O
2{!;
μ
Λυμένα Προβλήματα ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.1.
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά ερθουν σέ τρείς ρίψεις ενός νομίσματος «κεφάλι», λύ
1
(b) 2
φορές CCΓράμματα» καί
1
«κεφάλι»,
(c)
τουλάχιστο
1
(α)
«κεφάλι»,
3 (d)
φορές τό πο
«γράμματα».
Πρώτη μέθοδος.
Μέ Κ παριστάνουμε τό άποτέλεσμα «κεφάλι» καί μέ Γ τό άποτέλεσμα «γράμματα». κεφάλι στην πρώτη
Έτσι ΚΓΚ σημαίνει
ρίψη, γράμματα στή δεύτερη καί κεφάλι στήν τρίτη.
Έπειδή ύπάρχουν δύο δυνατά άποτελέσματα γιά κάθε ρίψη, ύπάρχουν
(2)(2)(2)
= 8
δυνατά άποτελέσματα
(σημεία τοϋ δειγματόχωρου), τά έξής:
ΚΚΚ. ΚΚΓ, ΚΓΚ. ΚΓΓ, ΓΓΚ. ΓΚΚ. ΓΚΓ, ΓΓΓ Γιά 1:να κανονικό νόμισμα τό καθένα άπ'
=
Ρ(
(b)
Ρ(2 φορές γράμματα καί 1 κεφάλι)
Ρ(ΚΚΚ)
Ρ(τουλάχιστο
Ρ(
=
1
νΑρα:
1
Ρ (ΚΓΓ υ ΓΓΚ υ Γκη
Ρ (ΚΓη
(c)
1/8.
= 8
(α)
3 φορές κεφάλι)
αύτά τά γεγονότα εχει πιθανότητα
+
Ρ(ΓΓΚ)
+
Ρ (Γκη
3 8
φορά κεφάλι)
1, 2 ή 3 φορές κεφάλι)
Ρ( 1 ιcεφάλι)
+ Ρ(2
κεφάλι)
+ Ρ(3
κεφάλι)
+ Ρ (ΚΚΓ υ ΚΓΚ υ ΓΚΚ) + Ρ (ΚΚΚ) + Ρ (Γκη + Ρ (ΓΓΚ) + Ρ (κκη + Ρ (ΚΓΚ) + Ρ (ΓΚΚ) + Ρ (ΚΚΚ) = 8"7
Ρ (ΚΓΓ υ ΓΚΓ υ ΓΓΚ)
=
Ρ (ΚΓη
Ν
120
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
Έπίσης
Ρ(τουλάχιστο
«(Ι)
Ρ(τό πολύ
1
1
φορά ιcεφάλι)
=
Ρ( ο
φορά γράμματα)
=
P(ΙCανένα ιcεφάλι)
1 -
ή
+ Ρ( 1
Ρ( Ο γράμματα)
Ρ (ΚΚΚ)
1 2
7
8
γράμματα)
+ Ρ (ΚΚΓ υ ΚΓΚ u ΓΚΚ) + Ρ (ΚΚΙ) + Ρ (ΚΓΚ) + Ρ (ΓΚΚ)
Ρ (ΚΚΚ)
4
8
φορά γράμματα)
1
8
~
1 -
Ρ(ΓΓΙ)
1 -
Δεύτερη μέθοδος.
1
8
(b)
Ρ (2 φορές γράμματα ιcαί
(c)
Ρ(τουλάχιστο
1
1
=
ιcεφάλι)
φορά ιcεφάλι)
Ρ
( 32)(12)2(-21)1 -= 83
(1, 2
Ρ(
1
ή
3
ιcεφάλι)
φορές ιcεφάλι)
+
Ρ
ιcεφάλι)
(2
+
Ρ (3
ιcεφάλι)
Έπίσης
Ρ (τουλάχιστο
(d)
Ρ(τό πολύ
1
1
φορά ιcεφάλι)
1 -
φορά γράμματα)
P(ΙCανένα ιcεφάλι)
Ρ( ο ή
1
φορά γράμματα)
Ρ( Ο γράμματα)
+ ρ,( 1
γράμματα)
Μπορούμε άιcόμα νά χρησιμοποιήσουμε συμβολισμό μέ τυχαίες μεταβλητές.
Έάν π.χ. ή Χ παριστάνει τό
πόσες φορές ήρθε ιcεφάλι στίς τρείς ρίψεις, τότε
Ρ(τουλάχιστο
1
φορά ιcεφάλι)
=
Ρ(Χ ΞΞ:
1)
Ι'(Χ
= 1) + Ρ(Χ = 2) + Ρ(Χ = 3)
7
8
μέ παρόμοιο συμβολισμό γιά άλλες περιπτώσεις.
4.2.
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα σέ πέντε ρίψεις ενός ζαριού νά έμφανιστεί τό
(b)
τό πολύ μιά φορά,
(c)
Πιθανότητα νά ερθει
3
σέ μιά ρίψη
Πιθανότητα νά μήν ερθει
Ρ
(3
δύο φορές)
Ρ(Χ
(α) δύο φορές,
τουλάχιστο δύο φορές.
Έστω δη ή τυχαία μεταβλητή Χ παριστάνει τό πόσες φορές ήρθε
(α)
3
= 2)
3
=
σέ μιά ρίψη
Ρ
= q 625
3888
3
σέ πέντε ρίψεις τού ζαριού.
1 6 Ι-ρ
5 6
ΕΙναι.
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
Ρ(
(b)
Ρ(
(c)
3
3
τουλάχιστο Ρ(Χ ~
Ρ(Χ
=
2
3125
+ 3125
7776
7776
Ρ(Χ=Ο)+Ρ(Χ=l)
=
3125 3888
φορές)
2)
= 2)
+ Ρ(Χ = 3) + Ρ(Χ = 41 +
625 ,125 3888 -r 3888
4.3.
=
Ρ(Χ;ΞΞΙ)
τό πολύ μιά φορά)
121
25
+
7776
+
Ρ(Χ
1
763
7776
3888
= 5)
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά εχει μιά οίκογένεια τεσσάρων παιδιών (α) τουλάχιστο γόρι,
(b)
τουλάχιστο
1
άγόρι καί τουλάχιστο
1
κορίτσι.
1
ά
(Σέ μιά γέννηση εΙναι έξ ίσου
πιθανό νά γεννηθεί άγόρι ή κορίτσι.) (α)
Ρ(l
δΥόρι)
Ρ(3
δΥόρια)
=
(:) (iγαΥ = ~,
Ρ(2
δΥόρια)
(~)aX(tY = 1,
Ρ(
δΥόρια)
4
(~ )(t)\~)2
.3 8
(4)(~γ(!)o \4
2.
1 16
\2
"Αρα
Ρ(τουλάχιστο
1
Ρ(
δΥόρι)
1
+ Ρ( 2
1 δΥόρι)
3
1
1
δΥόρια)
+ Ρ( 3
δΥόρια)
+ Ρ( 4
δΥόρια)
15
4 +8 + 4 + 16
16
-Αλλη μέθοδος.
Ρ (τουλάχιστο (b)
Ρ(τουλάχιστο
1
1
δΥόρι)
= 1 -
δΥόρι καί τουλάχιστο
1
Ρ(κανένα δΥόρι) = κορίτσι)
1 -
1 -
(~) = 4
Ρ(κανένα δΥόρι)
-
1 -
116
= ~~
Ρ (κανένα κορίτσι)
Θά μπορούσαμε νά είχαμε λύσει τό πρόβλημα συμβολίζοντας μέ Χ τό πλήθος τών δΥοριών σέ μιά οΙκογένεια
τεσσάρων παιδιών.
Τότε Π.χ. Υιά τήν περίπτωση (α) έχουμε
Ρ(Χ ~
4.4.
Σέ ρι,
1)
= Ρ(Χ = 1)
+ Ρ(Χ = 2) +
Ρ(Χ = 3) + Ρ(Χ =
4)
= 15
16
2000 οίκογένειες μέ τέσσερα παιδιά, πόσες άναμένεται νά εχουν (α) τουλάχιστο 1 άγό (b) 2 άγόρια, (c) 1 ή 2 κορίτσια, (d) κανένα κορίτσι; Χρησιμοποιώντας τά δποτελέσματα τού Προβλ.
4.3
(α) 'Αναμενόμενο πλήθος οίΚΟΥενειών μέ τουλάχιστο (b)
'Αναμενόμενο πλήθος οίΚΟΥενειών μέ 2 δΥόρια
(c)
Ρ(
1
ή
2
κορίτσια)
Ρ(
1 κορίτσι)
Ρ( 1 άΥόρι)
..:...
+
Ρ( 2
=
εχουμε
1
δΥόρι = 2000'
2000
(~~) =
Ρ( 2 δΥόρια)
1875
= 2000
(~)
750
κορίτσια)
Ρ( 2 δΥόρια)
= ~+t
5 8
2
122
'Αναμενόμενο πλήθος οίlCΟΥενειών μέ
4.5.
1
ή
2
κορίτσια =
(d)
'Αναμενόμενο πλήθος οίΚΟΥενειών μέ κανένα κορίτσι =
'Εάν
20%
ξ)
1250
(2000{ :6)
τυχαίες βίδες νά εΙναι έλαττωματικές (α)
4
Ή πιθανότητα νά εΙναι έλαττωματική μιά βίδα ε{ναι
= 0.8.
(2000{
4
125
άπό τίς βίδες πού κατασκευάζει μιά μηχανή εΙναι έλαττωματικές, ύπολογίστε τήν
πιθανότητα σέ
Ρ
= 0.2,
1, (b)
Ο,
(c)
λιγότερες άπό
νά μήν εΙναι έλαττωματική
q
2.
=1-
Ρ
'Εάν ή τυχαία μεταβλητή Χ παριστάνει τό πλήθος τών έλαττωματικών βιδών, τότε
(α)
Ρ(Χ
= 1)
(~ }0.2!1 (0.8)3 =
0.4096
(b)
Ρ(Χ
= Ο)
(~ }0.2)0 (0.8)4 =
0.4096
(c)
Ρ(Χ
< 2)
Ρ(Χ
= Ο) + Ρ(Χ = 1)
0.4096
4.6.
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
+ 0.4096 =
0.8192
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά φέρουμε αθροισμα
7
τουλάχιστο μιά φορά σέ τρείς ρίψεις
δυό ζαριών. Σέ μιά ρίψη δύο ζαριών ή πιθανότητα νά ερθει άθροισμα
νά μήν ερθει
ε{ναι
7
q
=1-
Ρ
= 5/6.
Ρ (καμιά φορά άθροισμα
4.7.
7
σέ τρείς ρίψεις)
Ρ (τουλάχιστο μιά φορά άθροισμα
καί
εΙναι
7
Ρ
= 1/6
(Πρόβλ.
2.1)
καί ή πιθανότητα
-Αρα
7
=
(~) ( ~ )0 (~) 3= ~;~
σέ τρείς ρίψεις)
=
1 -
~~~
91 216
Προσδιορίστε τή ροπογεννήτρια συνάρτηση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ πού άκολουθεί διωνυμική κατανομή. Πρώτη μέθοδος.
'Επειδή ή Χ εχει διωνυμική κατανομή
f(x)
Ρ(Χ:= Χ)
Ή ΡΟΠΟΥεννήτρια εΙναι
M(t)
E(e tX )
:Σ etx f(x)
i etX(n)pxqn-x
χ=Ο
χ
Δεύτερη μέθοδος.
Γιά μιά άκολουθία
n
δοκιμών
r
Ο
Ί 1
BernouIli
όρίζουμε
γιά άποτυχία στή δοκιμή j
γιά έπιτυχία στή δοκιμή j
(j
= 1,2, ... π)
_/
Κ Ε Φ.
123
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4 Οί μεταβλητές
Μμ> Άπό τό Θεώρ.
= Χι + Χ 2 + ... + X n • Ή ροπογεννήτρια (j = 1,2, .. . π) = efOq + etlp = q + pe!
X j εΙναι άνεξάρτητες καί
3-9
Χ
X j εΙναι
βρίσκουμε τή ζητούμενη ροπογεννήτρια
(q
4.8.
τής
+ pe!)"
Δείξτε δτι ή μέση τιμή καί ή διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής πού άκολουθεί διωνυμική
κατανομή εΙναι μ
= np
= npq.
σ2
καί
Έφαρμόζοντας τή δεύτερη μέθοδο τού Προβλ.
4.7
=
Oq
Ε(Χ)
E[(X j
"Αρα
σ2
= Var
=
Ε(Χ)
μ
(Χ)
δπου χρησιμοποιήσαμε τό Θεώρ.
Ε(Χ ι )
= Var
(Χι)
+
p)2j =
-
+ q2p
p2q
βρίσκουμε γιά
1ρ (Ο
=
j
= 1,2, . .. n
Ρ
- p)2 q
= pq(p + q)
+
=
(1- ρ)2Ρ pq
=
1ψ
(Χ,,)
=
+ Ε(Χ Ζ ) + .. , + E(X n )
+ Var (Χ 2 ) + ., .
..L
Var
npq
3-7 γιά τήν σ2 •
Τά ίδια άποτελέσματα προκύπτουν (πιό δύσκολα) καί μέ παραγώγιση τής ροπογεννήτριας (βλέπε Πρόβλ. η άπό τή συνάρτηση πιθανότητας (βλέπε Πρόβλ.
4.9.
'Εάν ή πιθανότητα νά εΙναι μιά βίδα έλαττωματική εΙναι καί
(b)
(α)
Μέση τιμή:
(b)
Διασπορά:
σ2
=
πρ
= 40,
= (400)(0.1)
δηλ. περιμένουμε
= npq = (400)(0.1}(0.9) = 36,
ύπολογίστε (α) τή μέση τιμή
40
400
βίδες.
βίδες νά εΙναι έλαττωματικές.
άρα Τι τυπική άπόκλιση εΙναι σ
ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓ ΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΔΟΚΙΜΕΣ
4.10.
0.1,
τήν τυπική άπόκλιση του πλήθους των έλαττωματικων σέ μ
3.38)
4.152).
= v'36 = 6.
BERNOULLI
Δείξτε τόν (άσθενή) νόμο των μεγάλων άριθμων γιά δοκιμές
Bernoulli
(Θεώρ.
4-1).
Έάν Χ εΙναι μιά τυχαία μεταβλητή μέ πεπερασμένες μέση τιμή μ καί διασπορά σ 2 , εχουμε άπό τήν άνι σότητα τού
Chebyshev
(1)
Ρ(!Χ -
Έάν Τι Χ εχει διωνυμική κατανομή, τότε
μ
1'\
= np,
~ kσ) σ
= V npq
καί Τι (Ι) γίνεται
Ρ(\Χ - πρΙ ~ k"'; npq )
(2) ή
(3)
'Εάν θέσουμε Ε
-
Παίρνοντας τό δριο
/,
{i!,
n .....
ccι
Τι
γράφεται
(3)
εχουμε τή σχέση
1im
n-+oo
Ρ(Ι1 ~n - ρ 1 ~.) = Ο
Τό άποτέλεσμα αύτό προκύπτει άμέσως καί άπό τό Θεώρ. 3-19 μέ
-,
.'.:
"
..
..
":':-"... ~~~
8"
= Χ,
μ
= πρ, σ = Ynpq.
124 4.11.
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τί σημαίνει ό (άσθενής) νόμος των μεγάλων άριθμων γιά τό πλήθος των ρίψεις ενός
I/G
σέ διαδoχιιcές
3
ζαριοϋ;
Σύμφωνα μέ τό νόμο τών μεγάλων ι'ιριθμών ή πιθανότητα νά διαφέρει ή άναλογία τών
τό
4
περισσότερο άπό
•
>
Ο
τείνει στό μηδέν, όταν
σέ
3
1t
ρίψεις ι'ιπό
11 -> "".
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.12.
Ύπολογίστε
τό
αξονα (α) άπό Ζ
Ζ
= 2.21, (d)
(α)
έμβαδό
μεταξύ
=
Ο
εως Ζ
άπό
Ζ
= 0.81
Στόν πίνακα τού Παραρτήματος
λη τού μέ
:ι:.
0.3849
τής
τυπιιcής άπό Ζ
= 1.2, (b) εως
C
= 1.94,
Ζ
ΙCανOνΙΙCής
δεξιά τοϋ Ζ
(e)
βρίσκουμε τήν τιμή
ιcαμπύλης
εως Ζ
= -0.68
=
Ο,
(c) = -1.28.
ΙCαί
τοϋ
άπό Ζ
όριζόντιου
= -0.46
εως
στή στή
1.2
Τό έμβαδό πού ζηταμε δίνεται στήν πρώτη στήλη ίσο καί εΙναι ή πιθανότητα νά εΙναι ή
Ζ
μεταξύ Ο
καί
1.2.
Άρα Ζ=Ο
Ρ(Ο ~ Ζ ~
(b)
1.2)
0.3849
Ζ
=
Ο
γραμμήμέ Ζ ίσομέ
fως
Ζ
= +0.68.
1.2
Τό έμβαδό αύτό δίνεται στή
καίστήστήλη
0.6
καίε!ναιίσομέ
8
Αύτή ε{ναι ή πιθανότητα νά βρεθεί τό Ζ άπό
1'(-0.68
-1-
~ Ζ ~ Ο)
Υ'2;
= Ζητούμενο έμβαδό
1
,
f'O
Τό έμβαδό άπό
-0.46
Ρ(-0.46 ~ Ζ ~
Ο
= -0.46
=Ο
Ζ
=
Ο
=
fως Ζ
fως Ζ
fως Ζ
f2.21
Υ'2;
Υ?;
-1-
vz;.
=
Ο
Ο)
= 2.21)
=- 0.46)
fως' Ζ
= 2.21) -0.46
τήν πιθανότητα νά πάρει ή
-1-
2.21)
Ζ τιμή
Σχ.
2.21
4-5
e- u 212 du
-0.46
fO
.
e- u- /2 du
1 + --
..j2; , Ο
-0.46
iO.
46
Ο
e - U "ι"- du
[2.21
+ -1VZ;
i
Ο
2 21 .
e- u 2 12 du
e- ιι 2 12
dI!
0.1772 + 0.4864
0.6636
(έμβαδό άπό
-
=
4-4
0.2517
0.4864 = 0.6636
_1_
Ζητούμενο έμβαδό
"ι.,
(έμβαδό άπό Ζ
0.6636 Ισούται μέ l:ως 2.21, δηλ.
-0.68
e-Il'-dlI
(έμβαδό άπό Ζ
+
Ο, δηλ.
Σχ.
(0.68
Υ?;
0.1772
0.2517.
fως
e- H "., , - dH
-'-)n
(έμβαδό άπό
+
-0.68
-0.68
(έμβαδό ι'ιπό Ζ
+
(d)
Ζ=
4-3
Άπό τή συμμετρία fπεται δτι τό ζητούμενο έμβαδό ε!ναι Τσο μέ τό έμβαδό ι'ιπό
(c)
Σχ.
Ζ
=Ο
(έμβαδό άπό
fως Ζ
Ζ
=
= 1.94)
Ο fως Ζ
= 0.81)
0.4738 - 0.2910 = 0.1828 0.81 Τό έμβαδό αύτό Ισούται μέ Ρ(0.81 ~ Ζ ~
Ζ
..
1.94).
1.94
Σχ.4-6
)~~~~..:- .;.:...::;. ,.-~ ..;.,.:;;""~
2
1&
ΩΜ
ffiilii
ii%iiίi ΙΙΙ
iiiiiii::iiiiiiiiiJiC"
lilIi.liillililiii
~
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤ ΑΝΟΜΕΣ
4
Ζητούμενο έμβαδό
(e)
= -1.28
(έμβαδό άπό Ζ
_.
+
(έμβαδό δεξιά του Ζ
+
0.3997
=
0.5
εως Ζ
=
=
125
Ο)
Ο)
0.8997 -1.28
Τό έμβαδό αύτό Ισουται μέ Ρ(Ζ Ξ::
4.13.
Νά ύπολογιστεί ή
Σχ.4-7
-1.28).
τιμή τοϋ Ζ γιά τήν όποία τό έμβαδό (μεταξύ τής τυπικής κανονικής
καμπύλης καί τοϋ όριζόντιου άξονα) (α) μεταξύ Ο καί Ζ ε{ναι Ζ ε{ναι (α)
μεταξύ
0.8621, (c)
Στόν πίνακα του Παραρτήματος
1.1
καί στή στήλη
6,
καί Ζ ε{ναι
-1.5
0.0217.
C τό 0.3770 βρίσκεται στή γραμμή Ζ = 1.16.
πού σημαίνει
Άπό τή συμμετρία μιά άλλη δυνατή τιμή του Ζ "Αρα
-1.16.
Ζ
άριστερά τοϋ
0.3770, (b)
= ±1.16.
Ή θετική τιμή του Ζ
ε{ναι ή
Ζ
=
Ικανοποιεί τήν
έξίσωση
i VZ;
-1-
(b)
Ζ
Z
Ο
'Επειδή τό έμβαδό ε{ναι μεγαλύτερο του τμήμα του έμβαδου άπό Ο ~ως Ζ άπ' δπου βρίσκουμε
(c)
=
e- U 2 12 du
εΙναι
= 1.09.
Ζ
Ι':ως Ο, πού ε{ναι
-1.5
'Εάν τό
Έμβαδό άπό
4-8
Σχ.
4-9
0.5, τό Ζ ε{ναι θετικό. Τό 0.8G21 - 0.5 = 0.3G21,
Ζ ε{ναι δεξιά του
-1.5
Ι':ως
=
Ζ
"Αρα τό Ζ
0.4332.
ή
0.0217
"Αρα
=
(έμβαδό άπό
τό έμβαδό άπό
άπ' δπου
Ζ fως
Ο ε{ναι
'Εμβαδό άπό
Ζ ε{ναι άριστερά του Ζ
εως
-1.5
!:ως Ο)
0.4332 - 0.0217
=
-1.5,
(έμβαδό άπό
(έμβαδό άπό
0.0217
"Αρα τό έμβαδό άπό Μέ γραμμική
= 0.4115.
-1.5
Ζ
itως Ο
Ζ fως ο)
Ο
fως Ζ) -
ε{ναι Ζ
-1.5
itως ο)
0.4332
0.0217 + 0.4332 = 0.4549. = -1.694 ή μέ λιγότερη
Ζ
-1.5 Σχ.
Ζ=-- UjU.
15
μονάδες.
500
φοιτητές ό μέσος δρος ήταν
Βαθμοί άπό
185
120
151
4-11
μονάδες καί ή τυπική
~Αν δεχτόϋμε δτι οί βαθμοί εχουν κατανεμηθεί σύμφωνα μέ τήν
κανονική κατανομή, ύπολογίστε πόσοι φοιτητές πήραν (α) ρισσότερες άπό
Ζ
τότε
(έμβαδό άπό
παρεμβολή βρίσκουμε
Σ' ενα τέστ πού δόθηκε σέ
άπόκλιση
Ζ !:ως ο)
Σχ. 4 -10
-
άκρίβεια
!:ως Ο)
= -1.35.
Ζ
Έάν τό
ή
-1.5
(έμβαδό άπό
(έμβαδό άπό Ζ
0.4332 -
Ζ
ε{ναι άρνητικό.
τότε
-1.5. -
(α)
Σχ.
'Εάν τό Ζ ήταν θετικό, τό έμβαδό θά ήταν μεγαλύτερο άπό τό έμβαδό άπό
4.14.
0.3770
120
εως
155
μονάδες, (Ιι) πε
μονάδες.
fως
τητα άπό τήν περιοχή
155 μονάδες προέρχονται στήν πραγματικό 119.5 ~ως 155.5 μονάδες. Τυποποιώντας
τήν κατανομή βρίσκουμε δτι στίς
119.5
άντιστοιχεί
(119.5 - 151)/15
-2.10 στίς
155.5
άντιστοιχεί
(155.5 - 1511/15 0.30
..
)
....:,,-
.....
:;-;:.,:-;~
-2.10
0.30
Σχ. 4 - 12
Ε.Ε
2!
126
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
= -2.10 Ζ = -2.10
(έμβαδό άπό
Ποσοστό φοιτητών
Ζ
(έμβαδό άπό
+
(έμβαδό άπό Ζ
0.4821 Συνεπώς
(b)
500(0.6000)
= 300
+ 0.1179 =
φοιτητές πήραν άπό
Φοιτητές πού πήραν πάνω άπό
~ως
120
155
fως Ζ ~ως Ζ
=Ο
~ως
= 0.30) = Ζ = 0.30) Ο)
0.6000 μονάδες.
185 μονάδες, πήραν στήν πραγματικότητα (185.5 - 151)/15 2.30 τυπικές μονάδες.
στήν τυπική κατανομή σέ
4
=
πάνω άπό W
185.5,
πού άντιστοιχεί
Αρα
Ποσοστό φοιτητών
= (έμβαδό
δεξιά τοϋ Ζ
(έμβαδό δεξιά τοϋ Ζ (έμβαδό άπό Ζ
-
=
0.5 - 0.4893
= 2.30) = Ο) = Ο ~ως Ζ = 2.30)
0.0107 2.30
Συνεπώς
'Εάν ή
W
500(0.0107) = 5
φοιτητές πήραν πάνω άπό
μονάδες.
185
Σχ.
4-13
παριστάνει τίς μονάδες πού πήρε ενας τυχαίος φοιτητής, τά προηγούμενα άποτελέσματα μποροϋν νά
γραφοϋν
Ρ(119.5 ~
4.15.
W
~
=
155.5)
P(W
0.6000
~
] 85.5) =
0.0107
Ή μέση έσωτερική διάμετρος μιας ροδέλας σ' ενα δείγμα άπό ζει
μιά
μηχανή
ε{ναι
0.502 cm
καί ή τυπική άπόκλιση
200 ροδέλες πού κατασκευά 0.005 cm. ΟΙ ροδέλες αύτές
προορίζονται γιά μηχανισμούς άκριβείας καί γι' αύτό θεωροϋνται καλές μόνον έάν εχουν διάμετρο άπό
0.496
εως
Ύπολογίστε τό ποσοστό των έλαττωματικων άπό τίς
0.508 cm.
ροδέλες πού κατασκευάζει ή μηχανή, αν δεχτοϋμε δτι οί διάμετροί τους άκολουθοϋν κανο νική κατανομή.
0.496
σέ τυπικές μονάδες
=
(0.496 - 0.502)/0.005
-1.2
0.508
σέ τυπικές μονάδες
=
(0.508 - 0.502)/0.005
1.2
Ποσοστό μή έλαττωματικών
= -1.2 ~ως Ζ = 1.2) Ζ = Ο ~ως Ζ = 1.2)
(έμβαδό κανονικής κατανομής άπό Ζ (δύο φορές τό έμβαδό άπό
2(0.3849)
=
ή
0.7698
77%
-1.2
νΑρα τό ποσοστό τών έλαττωματικών εΙναι
100'ϊC
- 77%
= 23%.
Σχ.
Τό άποτέλεσμα αύτό τροποποιείται λίγο, έάν θεωρήσουμε δτι στό διάστημα
πραγματικότητα δλες οΙ ροδέλες άπό
4.16.
0.4955
~ως
0.5085 cm.
0.496
~ως
M(t) Θέτοντας στό όλοκλήρωμα
M(t)
(χ
-
= μ)/σ
= -1 f'" J2; -'"
E(e tX )
= υ,
όπότε
-1-
σ...j2;
χ
f'"
eμt+σvt-(ι, 2 12)dv
etΧe-(χ-μ) 2 12σ 2
dx
_'"
= μ + συ
=
4-14
0.508 cm
εΙναι στήν
Τά δύο πρώτα ψηφία δμως δέν άλλάζουν.
Ύπολογίστε τή ροπογεννήτρια της κανονικής κατανομής. Έχουμε
1.2
καί
dx
= σ dυ,
~χoυμε
Κ Ε Φ.
127
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
Μιά νέα άλλαγή μεταβλητής
M(t)
σΙ :=
v -
w
δίνει
(_1_ f'" Υ'2; -'"
e μt + (σ2 ι'Ι2)
:=
e- w ' I2
dW)
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.17.
Ύ πολογίστε τήν πιθανότητα νά ερθει κεφάλι άπό
~ως
3
μίσματος χρησιμοποιώντας (α) τη διωνυμική κατανομή,
6 (b)
φορές σέ
10
ρίψεις ενός νο
προσεγγιστικά τήν κανονική
Kαιrανoμή. (α)
Έάν Χ παριστάνει τό πόσες φορές ήρθε κεφάλι σέ
W
Ρ(Χ:=
3)
Ρ(Χ:=
5)
(130)αx(~χ
Αρα ή ζητούμενη
~ )5 α Υ
(150) (
:=
:=
10
ρίψεις, τότε
15 128
Ρ(Χ:=4)
(140)(~)4(~)6
105 512
63 256
Ρ(Χ:=6):= (160)αΧ(~)4
105 512
:=
πιθανότητα εΙναι
Ρ(3 ~ X~
15 128
6)
+
105, 63 512 ' 256
+
105 512
99 128
:=
0.7734
Συχνότητα
Πιθανότητα
Πιθανότητας
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
/
Ι Ο
Ι ι
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ο
Σχ.
(b)
πιθανότητα
εΙναι
4-15
Σχ.
1'\
(διακριτή μεταβλητή)
στό Σχ.
4-16
6
7
8
9
10
Άποτελεσμάτων «Κεφάλι»
4-15
Ή κατανομή πιθανότητας γιά τό πλήθος των άποτελεσμάτων «κεφάλι» σέ
γραφικά δπως στό Σχ.
:;
3
Πλήθος
Πλήθος Άποτελεσμάτων «Κεφάλι»
10
4-16
ρίψεις μπορεί νά παρασταθεί
(συνεχής μεταβλητή).
τό άθροισμα των έμβαδων των σκιασμένων όρθογωνίων τού Σχ.
4-16
Ή ζητούμενη κα{ μπορεί νά
προσεγγιστεί άπό τό έμβαδό πού δρίζει ή άντίστοιχη κανονική κατανομή (διακεκομμένη καμπύλη). Γιά συνεχή
μεταβλητή
3
lως
6
φορές "κεφάλι .. σημαίνει
lως
2.5
6.5.
•Η
άντίστοιχη κανονική κατανομή lχει μέ
ση τιμ1'\ καί τυπική άπόκλιση τίς σταθερές τής διωνυμιΙCΉς κατανομής, δηλ. :=
Vnpq
= V(10)(t)(t)
μ:=
np
:=
10(t)
:=
1.58. Έπειδή
:=
2.5
σέ τυπικές μονάδες
6.5 σέ τυπικές μονάδες
= =
(2.5 - 5)/1.58 {6.5 - 5)/1.58
= =
-1.58 0.95
ή ζητούμενη πιθανότητα εΙναι
Έμβαδό άπό
Ζ
= -1.58
(έμβαδό άπό Ζ
+
lως Ζ:=
= -1.58
(έμβαδό άπό Ζ
0.4429
+ 0.3289
:=
=Ο
0.95
lως Ζ
=
~ως Ζ:=
Ο)
0.95)
0.7718
Ή τιμή αύτή ε{ναι άρκ:ετά κ:οντά στή σωστή αύτή βελτιώνεται γιά μεγαλύτερες τιμές τού
0.7734. n.
Ή άκ:ρίβεια
-1.58
0.95
Σχ.
-
4-17
5
καί
σ
-------------------------
.. _-~-~~-
128 4.18.
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Ρί-χνουμε ενα νόμισμα
φορές.
500
'Υπολογίστε τήν πιθανότητα τό πλήθος των άποτελε
σμάτων κεφάλι νά μή διαφέρειάπό τό
ΕΙναι (ο)
μ =
11jJ
=
(500{
υ =
φορές.
21,0.5
Ζητούμενη πιθανότητα
(b)
φορές.
280.5
219.5
Ι:ως
φορές ή, θεωρώντας τήν κατανομή συνεχή,
260
30.
11.18 239.5 1:-
260.5
σέ τυπικές μονάδες
0.94
= (έμβαδό κανονικής καμπύλης άπό Ζ = -0.94 ~ως Ζ = 0.94) = (δύο φορές τό έμβαδό άπό Ζ = Ο Ι:ως Ζ = 0.94) = 2(0.3264) = 220
!tως
φορές ή, θεωρώντας τήν κατανομή συνεχή,
280
0.6528 ~
219.5
Είναι
σέ τυπικές μονάδες
Ζητούμενη
240
~ )(t) =
(500/
= (239.5 - 250)/11.18 = -0.94
Ζητάμε τήν πιθανότητα νά έρθει κεφάλι ως
σ = yn:;;q =
περισσότερο άπό
10, (b)
Είναι
σέ τυπικές μονάδες
23D.5
(α) περισσότερο άπό
250
250
Ζητάμε τήν πιθανότητα νά έρθει κεφάλι ως
4
=
(219.5 - 250)/11.18
-2.73
(δύο φορές τό έμβαδό άπό Ζ
πιθανότητα
=
280.5 Ο !tως Ζ
σέ τυπικές μονάδες
= 2.73
= 2.73)
2(0.4968) = 0.9936 Συνεπώς είναι πολύ πιθανό νά διαφέρει τό πλήθος τών άποτελεσμάτων κεφάλι άπό τό
άπό
'Εάν έρθει κεφάλι
30.
280
λιγότερο
250
φορές, τότε θά πρέπει νά ύποψιαστοϋμε δτι οί δύο όψεις δέ θά
fxouv
τήν
ϊδια πιθανότητα νά έρθουν σέ μιά ρίψη, δηλ. δτι τό νόμισμα δέν είναι κανονικό.
4.19.
Ρί-χνουμε ενα ζάρι φορές καί
(ο)
(b)
120 φορές. 'Υπολογίστε 14 φορές.
τήν πιθανότητα νά ερθει
4
(α) τό πολύ
18
τό πολύ
Ή πιθανότητα νά έρθει 4 σέ μιά ρίψη είναι Ρ
=
Ζητάμε τήν πιθανότητα νά έρθει
φορές.
4
τό πολύ
18
Ι
καί νά μήν έρθει' q
= ~..
Ή πιθανότητα αύτή είναι άκριβώς
Ό ύπολογισμός αύτός είναι δύσκολος, γι' αύτό χρησιμοποιοϋμε προσεγγιστικά τήν κανονική κατανομή. Θεωροϋμε τήν κατανομή συνεχή, δπότε τό
Ο εως :18 άντιστοιχεί σέ -0.5 Ι:ως 18.5 μέ μέση τιμή καί
τυπική άπόκλιση άντίστοιχα
μ
=
1ψ =
1200)
=
20
σ
καί
=
V1lJJq
11\/5'
=
(120) (5
.,
! i '6
4.08
ι\
Ftvat
--0.5
σέ τυπικές μονάδες
=
(-0.5 - 201/4.08 ::::
18.5
(έμβαδό κανονικής καμπύλης άπό Ζ
Ζητούμενη πιθανότητα
(έμβαδό άπό
-
= -0.37
σέ τυπικές μονάδες
= -5.02
Ι:ως Ζ
= -0.37)
= -5.02 Ι:ως Ζ = ο) = -0.37 εως Ζ = υ) = 0.3557
Ζ
(έμβαδό άπό Ζ
0.5 - 0.1443 (b)
~5.02
Μέ τόν ϊδιο τρόπο βρίσκουμε
-0.5
σέ τυπικές μονάδες
=
-5.02
14.5
σέ τυπικές μονάδες
(έμβαδό κανονικής καμπύλης άπό Ζ
Ζητούμενη πιθανότητα
(έμβαδό άπό
Ζ
= -5.02
-(έμβαδ6άπό
0.5 - 0.4115 • Αρα φορές τό
άπό δείγματα τών
4.
120
=
!tως Ζ
=
=
(14.5 - 20)/4.08
= -5.02
fως Ζ
=
-1.35
= -1.35)
Ο)
::.=-1.35 i:ως Ζ=Ο) 0.0885
ρίψεων λιγότερα άπό τό ~να δέκατο θά
fxouv
τό καθένα
14
ή λιγότερες
Κ Ε Φ.
4
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ
129
POISSON
Δείξτε δτι ή διωνυμική κατανομή μπορεί νά προσεγγιστεί μέ τήν κατανομή τού POiSSOn .
4.20.
. Εάν
ή Χ εχει διωνυμική κατανομή, τότε
Ρ(Χ
(i) όπου Ε(Χ)
= np.
Θέτουμε λ
=
=
Χ)
= λ!n.
np, δπότε Ρ
Ή (Ι) γίνεται
Ρ(Χ= Χ)
n(n-l)(n-z.) ... (n-X+l).( _ _ _--'-
-,-_..c.c.:..."--_~c-'-
Χ!
11 ..... oc,
Ι
- -λ)n-ι n
(1- 1)(1 - ~) .. '(1 -~) ( n
= ~Oταν
λ-
nX
_
λ)" .Τ 1 - -
1t
11
-'---'--'-----'-~--..:.----"-λI
n
χ!
εΤναι
καί
λ)n-χ = (Ι 1 - \
1t
-
(1 - -λ)"(1 - -λ)-Ι )/
11
όπου χρησιμοποιήσαμε τή γνωστή σχέση
(ι + ~)"
lim
n-+co
Άρα, όταν
n"'"
μέ λ σταθερό (όπότε
C()
πού είναι ή κατανομή τοϋ
W
Ρ"'" Ο), τότε
Ρ(Χ= Χ)
(2)
e"
11.
----
Poisson.
Αλλη μέθοδος.
Ή ροπογεννήτρια της διωνυμικης κατανομης είναι
(3)
(q
Μέ λ
=
np, δηλ. Ρ
= λ!n,
+ pet)n
= (1 -
Ρ
+ pe!)"
[1
+ p(e t -
ΙΨ
ή ποσότητα αύτή γράφεται
(4) πού γιά
n ...... ""
τείνει στήν
(5) Αύτή εΤναι ή ροπογεννήτρια της κατανομης τοϋ
Poisson.
Τό ζητούμενο άποτέλεσμα ~πεται άμέσως άπό τό Θεώρ.
3-10.
4.21.
'Επαληθεύστε ΟΤΙ ή συνάρτηση ΕΤναι προφανές ότι Ρ(Χ
=
~ Ρ(Χ=χ) χ=Ο
Χ)
(2) του Προβλ. 4.20 είναι μιά συνάρτηση
>
Ο γιά
χ
= 0,1, ... , e- λ
έφ' δσον λ 00
λΧ
~ -
χ=ο χ!
>
Ο.
πού συμπληρώνει τήν έπαλήθευση .
-
........................... -.Ί.~~I-~......... .
Έπίσης εΤναι
e- λ • e λ
=
πιθανότητας.
=
1
130 4.22.
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τό ενα δέκατο των εργαλείων πού κατασκευάζει μιά έταιρεία εΙναι ελαττωματικά. λογίστε τήν πιθανότητα νά εΙναι σ' ενα τυχαίο δείγμα λεία ελαττωματικά
(b)
Ή κατανομή του
Poisson
'Εάν ή Χ παριστάνει τό πλήθος τών έλαττωμα-
2)
λΧe- λ
= np = (10)(0.1) = 1.
2!
χ!
Ρ ~
καί
0.1
λ
= np
~
5.
Ή πιθανότητα νά άντιδράσει ασχημα ενας άσθενής σέ μιά ενεση εΙναι γίνει σέ
3,
(b)
2000
0.001.
'Εάν ή ενεση
άσθενείς, ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά άντιδράσουν ασχημα
περισσότεροι άπό
Έστω δτι ή Χ παριστάνει τό πλήθος τών άσθενών πού θά άντιδράσουν άσχημα.
Poisson,
Ή Χ ~χει διωνυμική
fXEI
κατανομή
όπότε
Ρ(Χ
=
Χ)
=
(α)
(b)
(α) άκριβως
άσθενείς.
2
κατανομή, άλλά, έπειδή ή «άσχημη άντίδραση>' εΙναι σπάνιο γεγονός, μπορουμε νά δεχτουμε δτι του
"Αρα
Ρ(Χ = 2) = (1)2 e - l = ό.1839 i\ 0.18
= --
Γενικά, ή προσέγγιση είναι καλή, Μν
4.23.
= 0.1.
πού προσεγγίζει τή διωνυμική αύτή κατανομή εχει λ
Ρ(Χ=χ)
προσεγγίζοντας τή
έργαλείων, τότε ή διωνυμική κατανομή δίνει
10
Ρ(Χ=
(b)
POiSSOn.
Ή πιθανότητα έλαττωματικου έργαλείου είναι Ρ τι κών έργαλείων στό δείγμα τών
Ύπο
εργαλείων δύο άκριβως εργα
(α) χρησιμοποιώντας τή διωνυμική κατανομή,
διωνυμική κατανομή μέ μιά κατανομή τού (α)
10
4
Ρ(Χ
Ρ(Χ
> 2)
λ
δπου
χ!
=
0.180
3) [Ρ (Χ
1
= Ο) + Ρ(Χ =
2 0 e- 2
1 - [ ------ο! 1 -
= np = (2000)(0.001) = 2
+
Ρ(Χ
= 2)]
2 2 e- 2 ]
21e-2
+ 1"! + """2!
=
5e- 2
1)
0.323
Ένας άκριβής ύπολογισμός μέ τή διωνυμική κατανομή εχει πολύ περισσότερη δουλειά.
ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
4.24.
'Επαληθεύστε τό κεντρικό όριακό θεώρημα γιά μιά τυχαία μεταβλητή Χ πού άκολουθεί τή διωνυμική κατανομή καί δείξτε ετσι στι ή προσέγγιση τής διωνυμική ς κανονική κατανομή ε{ναι σωστή. Μέ άντίστοιχη τυπική μεταβλητή
E(e tx *)
Χ*
= (χ -
np)/ynpq
ή ροπογεννήτρια είναι
E(et(X-np)/ ν;pq) e~tnpf νm;qE(etX/ vtίPQ)
e-tnp/ν;pq :Σ
etx/..r;;:p;j(n)pxqn-x
e-tnp! νm;q
(n)(pe t / νm;q)x qn-x
χ=Ο
:Σ
χ=Ο
Χ
Χ
e-tnp-;..r;;:p;j(q
+ petf..r;;:p;j)n
[e-tpfvtίPQ(q
+ petfνm;q)]"
(qe-tPI.,r;pQ + petqjΓnPίi)n
κατανομής μέ μιά
Κ Ε Φ.
4
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
'Επειδή όμως
1
+
=
q
lχουμε
qe-tPI V1ίPίi
+
petqj V1ίPίi
+
u
u2 2!
131
u3
+ 3! +
(1 _~ + + ... ) + Ρ (1 + --..!:!!.-. + 2
t p2
ynpq
2npq
ynpq
=
Καθώς n
n
= 1,2, ...
εχουμε Sn
μέση τιμή μ καί διασπορά
+ .. ,
)n
tO + 2π + ...
Xk
4-2).
= ΧΙ + Χ Ζ + " . + X n.
'Επειδή
κάθε μιά άπό τίς Χι, Χ Ζ , ••• ,
σ Ζ , ε\ναι
E(Sn) 'Επειδή οΙ
( 1
pq(p + q)t 2 2npq
+ ... )
Τό ζητούμενο άποτέλεσμα επεται άμέσως άπό τό Θεώρ.
Δείξτε τό κεντρικό όριακό θεώρημα (Θεώρ. Γιά
+
Ρ
2npq
τό δεξιό μέλος τείνει στήν et2 !2, πού εΙναι ή ΡΟΠΟΥεννήτρια συνάρτηση τής τυπικής κανονικής 3-10.
--> '"
κατανομής.
4.25.
=
E(e tx *)
"Αρα
+
q
2 t q2
=
Ε(Χ ι )
+ Ε(Χ Ζ ) + '" +
X n εχει
πμ
E(X n)
εΙναι άνεξάρτητες, εχουμε
=
Var (Sn)
Var
+ Var (Χ 2 ) + ... +
(Χι)
Ή τυπική μεταβλητή πού άντιστοιχεί στήν
nσ 2
Yar (X n )
εΙναι
Sn
S n*
--
μέ ΡΟΠΟΥεννήτρια
Ε[ etCXI -jJ.)Ισ Yn etCX2- jJ.)ΙσVn .
.. etCXn - jJ.)ισVn]
Ε[et(ΧΓjJ.)ισVnj • Ε[et(Χ2-jJ.)ισΓnj .. ·E[etCXn-jJ.)IuYnj {Ε[et(Χι-jJ.)ισΓn ]}n όπου στά δύο τελευταία βήματα χρησιμοποιήσαμε τό ότι οί Χ" εΙναι άνεξάρτητες καί Ισόνομες. σέ σειρά
Taylor
t(Xl - μ)
Ε[ 1
+
Ε(l)
+ σΥΊι . r:: Ε(Χ ι -
1
+
σyn
. t .r::::-(O)
σΥ Π
+
Ι 2 (Χ ι
+
t
+
t2
2 -.-(σ ) 2σ 2 π
2π
00,
- μ)2
2σ2π
μ)
(1 + ("
καί άρα
·Οταν π -->
Άναπτύσσοντας
εχουμε
μ
+ ...
]
-2 .) Ε[(Χ ι - μ)2] σ-η
+
+ '"
+ ... )Π
ή ποσότητα αύτή τείνει στήν e t2I2 , πού εΙναι ή ΡΟΠΟΥεννήτρια τής τυπικής κανονικής κατανομής.
Τό ζητούμενο άποτέλεσμα ε{ναι άμεση συνέπεια τού Θεωρ.
..
)~";':"~"":<~';:..:;...λ~';''':-;'''''''~
ει
3-\0 .
a
2
.
&ΕΖΙ2t
132
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
'Ένα κουτί περιέχει
4.26.
κόκκινες,
5
ασπρες καί
4
μπλέ σφαίρες.
3
Διαλέγουμε μιά σφαίρα
στήν τύχη, σημειώνουμε τό χρωμα της καί τήν ξαναβάζουμε στό κουτί. βουμε τό πείραμα αύτό ρες,
2
ασπρες καί
1
φορές, ύπολΟΥίστε τήν πιθανότητα νά βγοϋν
6
3
Έάν έπαναλά κόκκινες σφαί
μπλέ.
Πρώτη μέθοδος. Ρ(κόκκινη σ'
5 12
ενα τράβηγμα)
Ρ(μπλέ σ'
Ρ(
-Αρα
3
κόκκινες,
άσπρες,
2
1
μπλέ)
fva
=
Ρ(άσπρη σ'
τράβηγμα)
fva
4 12
τράβηγμα)·
3 12
=
6! (5)3(4)2(3)1 3!2!1! 12 12 12
=
625 5184
Δεύτερη μέθοδος.
Ή πιθανότητα νά βγοϋν τρείς κόκκινες σφαίρες στά τρία πρώτα τραβήγματα ε{ναι βγοϋν μετά δύο άσπρες σφαίρες ε{ναι στή σειρά
κόκκινες σφαίρες,
3
2
(4/12)2
άσπρες καί
καί μετά μία μπλέ ε{ναι
1
(3/12)1.
(5/12)3.
Ή πιθανότητα νά
-Αρα ή πιθανότητα νά βγοϋν
μπλέ εΙναι
Ό ίδιος συνδυασμός σφαιρών μπορεί νά βγεί μέ διαφορετική σειρά κατά
6! 3! 2! 1! διαφορετικούς τρόπους.
-Αρα
ή
ζητούμενη πιθανότητα ε{ναι
6! (5):!(4)2(3)1 3! 2! 1! 12 12 12 Τρίτη μέθοδος.
Ή ζητούμενη πιθανότητα εΙναι ό δρος
Ρ""
= 4/12,
Ρ/ι
= 3/12
P~P~,Pb
στό άνάπτυγμα τοϋ (Pr
+ P u' + Pb)6,
δπου
Pr = 5/12,
εΙναι οΙ άντίστοιχες πιθανότητες. Άναπτύσσοντας καταλήγουμε στό ίδιο άποτέλεσμα.
ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤ ΑΝΟΜΗ
4.27.
'Ένα κουτί περιέχει
6
μπλέ καί
4
κόκκινες σφαίρες.
Διαλέγουμε στήν τύχη μιά σφαίρα,
σημειCΊ)νOυμε τό χρώμα της, άλλά δέν τήν ξαναβάζουμε στό κουτί. ϊδιο
5
φορές, ύπολΟΥίστε τήν πιθανότητα νά βΥοϋν
3
νΑν έπαναλάβουμε τό
μπλέ σφαίρες.
Πρώτη μέθοδος.
Μποροϋμε νά διαλέξουμε νά διαλέξουμε τίς ύπόλοιπες (
6\(4\ 3) 2) δ
μπλέ σφαίρες άπό τίς
6
κόκκινες σφαίρες όπό τίς
. .. . τροποι για . να πετυχουμε
ιαφορετικοι
Συνολικά ύπάρχουν ζητούμενη
2
3
κατά (~) διαφορετικούς τρόπους. 'Επίσης μπορούμε 4
κατά
'ζ' ητουμενο
το
(:)
διαφορετικούς τρόπους. -Αρα ύπάρχουν
δ'
συν υασμο.
(150) διαφορετικοί τρόποι γιά νά διαλέξουμε 5 σφαίρες όπό τίς 1 Ο σφαίρες. -Αρα 1'1
πιθανότητα εΙναι
10 21
Κ Ε Φ.
4
133
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Δεύτερη μέθοδος.
Ε\ναι
b
= 6,
r
= 4,
n
= 5,
= 3.
χ
"Αρα
άπό
τή
σχέση
της
(19)
σελ.
έχουμε
113
τή
ζητούμενη
πιθανότητα
= 3) =
Ρ(Χ
ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.28.
Δείξτε δτι ή μέση τιμή καί ή διασπορά τής όμοιόμορφης κατανομής τής σελ.
άντίστοιχα (α)
(α) μ
Ε\ναι
= :t(a + b), (b)
μ
=
114
εΙναι
= /2(b - a)2.
Cb Χ dx J~ b - α
=
Ε(Χ)
σ2
χ2
=
α
Ιb α) α
2(b -
b2
=
-
2(b -
α2 α)
α
+
b
2
(b)Έπίσης Ε(Χ2)
=
i
b
a
b2
α3
b3 3(b -
x2dx b - α
+ ab
α)
+
α2
3
"Αρα ή διασπορά εΙναι σ2
=
Ε[(Χ
b2
-
=
μ)2]
+ ab + α
-
Ε(Χ2)
μ2
2
1 -(b-a)2 12
3 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ
4.29.
CAUCHY
Γιά τήν κατανομή
του
δείξτε δτι (α) ή
Cauchy
ροπογεννήτρια δέν ύπάρχει, ένω
(b)
ή
χαρακτηριστική συνάρτηση ύπάρχει. (α)
-
Ή ροπογεννήτρια της Χ είναι
πού δέν ύπάρχει γιά πραγματιιcό
Αύτό μπορεί νά φανεί άπό τό δτι π.χ. γιά
t. e tx
ιcαί
-α
f'"
7Τ
+
1
-co
.) e'X +
χ-
χ ~ Ο,
t >
Ο είναι
t2 x 2
+ 2! +
tx
at 2
~
"dx
α-
2,.
["
Jo
χ2
+ ai
f
χ2
+
α2 dx
δπου τό τελευταίο όλoιcλήρωμα άπoιcλίνει.
(b)
Ή χαραιcτηριστιιcή συνάρτηση της Χ εΙναι
Ε(e iωΧ )
=~ π
α -;
f '" f '"
_'"
_",
e ίωχ χ
2
+
α
2
dx
cos ωΧ d χ2 + α 2 Χ
π
00 sin ωΧ dx _οα χ 2 + α2
2α ['" cos ωΧ dx 2 o χ + α2
,. J
Μπορεί νά δειχτεί δτι τό όλoιcλήρωμα αύτό ύπάρχει ιcαί Ισοϋται μέ e- αω (βλέπε Προβλ.
4.30.
'Έστω δτι ή τυχαία μεταβλητή Θ εχει όμοιόμορφη κατανομή στό διάστημα - ~;;ΞΞ θ ;;ΞΞ ~. = α tan Θ, α> ο, εχει κατανομή κατά Cauchy στό διάστημα -00 < χ < 00.
Δείξτε δτι ή Χ
Ή συνάρτηση πυιcνότητας της θ
είναι
1(8)
=
1 "
10
4.159).
_Ξ..-<θ~ΙΙ 2 = 2
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
134 Θέτοντας
χ
=
α
tan
θ
Ι':χουμε
= tan-l~
θ •Από
τό Θεώρ.
2-3
4
τής σελ.
46
=
dx
α
χ2
+ a2 > Ο
fχουμε τή συνάρτηση πυιc:vότητας της
Ι
Ι
de Ι(θ) dx
=
g(x) πού ε\ναι 1'ι κατανομή τοϋ
de
καΙ
α
Cauchy.
Χ
= -;1 χ2 +α a 2
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΓΑΜΑ
4.31.
Δείξτε δτι ή μέση τιμή καί ή διασπορά τής κατανομής γάμα ε{ναι άντίστοιχα ι? (α)
=
αβ2. Ε\ναι·
iο
μ
Θέτοντας
χΙβ
=t
Θέτοντας χι β
=t
[χα-ιe-χιβ]
βα Γ(α)
L = 1 βα Γ(α)
Ε(Χ2)
Ε\ναι
Χ
fχουμε μ
(b)
oo
=
i
oo
100Ο χ [χα-ιe-χιβ] βα Γ(α) 2
Ι':χουμε
β α+ _lβ.
Ε(ΧΊ)
βα Γ(α)
= έπειδή
Γ(α
+ 2)
β2
Γ(α) Γ(α
χαe-
χιβ
βα Γ(α)
Γ(α) Γ(α
dx
=
+ 1)
i""
=
dx
i""
oo
β
=
tae- t dt
ο
iο
=
dx
χα+
αβ
1 e-χlβ
βα Γ(α)
ta+le-tdt
ο
=
+ 2)
β2(α
= (α + 1) Γ(α + 1) = (α + 1)α Γ(α). -Αρα σ2 = Ε(Χ2) - μ2 = β2(α + 1)α -
+ 1)α
(αβ)2
αβ2
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΒΗΤΑ
4.32.
Ύπολογίστε τή μέση τιμή τής κατανομής βήτα. Ε\ναι
μ
=
Γ(α + β)
Ε(Χ)
Γ(α) Γ(β)
=
i
l
ο
l'(α + β) (Ι α(1
Γ(α) Γ(β»)ο Γ(α
+ β)
χ
Γ(α
Γ(α) Γ(β) Γ(α Γ(α
+ β)
- χ
)13-1 d
dx
χ
+ 1) Γ(β) + 1 + β)
αΓ(α) Γ(β)
Γ(α) Γ(β) (α
4.33.
χ[χα-Ι(1- χ)/3-1)
+ β) Γ(α + β)
=
α
α+β
Ύπολογίστε τή διασπορά τής κατανομής βήτα. Ή ροπή δεύτερης τάξεως περί τήν άρχή εΙναι
Ε(Χ2)
Γ(α + β)
Γ(α) Γ(β)
i
l 2[
ο χ χ
α-Ι(1 -
χ
)/3- Ι ] d'f
Γ(α+β) (Ι x a + 1 (1-x)/3-1dx )0
Γ(α) Γ(β)
=
Γ(α
+ β)
+ 2) Γ(β) + 2 + β) (α + 1)α Γ(α) Γ(β) (α + β + 1)(α + β) Γ(α + β)
Γ(ο:
Γ(α) Γ(β) Γ(α Γ(α
+ β)
Γ(α) Γ(β)
=
α(α (α
+
1)
+ β)(α + β + 1)
I1
Ι!
dx
(α) μ
= αβ,
(b)
Κ Ε Φ.
Χρησιμοποιώντας τό Πρόβλ.
=
σ2
ΚΑΤΑΝΟΜΗ χ
4.34.
Ε(Χ2)
έχουμε τή διασπορά
4.32
α(α+1)
=
[Ε(Χ)]2
-
(
-:-(α--:+-'βΞ+)(:;:-α-'-:+..::..eβ:-..... -:-.:-7"1)
-
α'
α
+β
)2
=
αβ
(α
+ β)2(α + β + 1)
2
Δείξτε στι ή ροπογεννήτρια της τυχαίας μεταβλητής Χ πού άκολουθεί κατανομή χ 2 μέ βαθμούς έλευθερίας είναι
M(t)
=
M(t)
=
E(e tX )
1 2 v / 2 Γ(ν/2)
1
Θέτοντας στό τελευταίο όλοκλήρωμα (1-
2t)x/2
=u
1:"" e Ο
(""
Jo
tx x("-2)/2 e -x/2dx
x
2u )(1'-2)/2 2 ([Η U 1 - 2Ι e- 1 - 2t
(1 - 2t)-,'/2
u(vI2)-le-udu
('" (
1'(.,/2)
i'"Ο
dx
βρίσκουμε
2 υI2 Γ(υ/2»)0
1
=
M(t)
=
(1 -
2ι)-νI2
Οί τυχαίες άνεξάρτητες μεταβλητές ΧΙ καί Χ2 άκολουθοϋν ή κάθε μιά τήν κατανομή μέ ν ι καί
+Χ 2
θερίας. (α)
ν
= (1- 2t)-·'/2.
2 v12 1'(1'/2)
4.35.
135
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
ν Ζ βαθμούς έλευθερίας άντίστοιχα.
Δείξτε
(α) στι ή ροπογεννήτρια της Ζ
~
= ΧΙ
είναι (1-2t}-<"1+"2)/2 καί (b) δτι ή Ζ εχει κατανομή χ2 μέ νι+Υ Ζ βαθμούς έλευ
Ή ροπογεννήτρια της
=
M(t)
E[et<X
l
Ζ
= ΧΙ + Χ 2 = E(e
+Χ 2 )]
εΙναι
tXl )
δπου χρησιμοποιήσαμε τό Πρόβλ.
E(JX 2)
4.34.
(b) Άπό τό Πρόβλ. 4.34 συμπεραίνουμε δτι ή κατανομή χ:! μέ Ifι + 1'2 βαθμούς έλευθερίας εχει ροπογεννήτρια τήν (1 - 2t)- (Ι', + "2)/2. Άπό τό Θεώρ. 3-10 επεται δτι ή Ζ ιίκολουθεί την ίδια κατανομή. Γενικεύοντας τό άποτέλεσμα αύτό έχουμε τό Θεώρ.
4.36.
4-4.
~Eστω δη ή τυχαία μεταβλητή Χ εχει κανονική κατανομή μέ μέση τιμή Ο καί διασπορά
1.
Δείξτε δτι ή Χ 2 εχει κατανομή χ2 μέ Ζητάμε τήν κατανομή της
Υ
=
Χ2
1
βαθμό έλευθερίας.
δεδομένου δτι ή Χ άκολουθεί τήν τυπική κανονική κατανομή.
Έπειδή
ή άντιστοιχία μεταξύ των τιμων των Χ καί Υ δέν εΙναι μία πρός μία, δέν μποροϋμε νά έφαρμόσουμε τό Θεώρ.2-3 δπως εΙναι.
Γιά
Υ
<
Ο
εΙναι φανερό δτι Ρ(Υ ~ Υ) Ρ(Υ ~ Υ)
= Ο.
P(X2~y)
-1-
Γιά
=
εχουμε
P(-yY~X~+γy)
f+1';;. e-
..f2; - νΥ
Υ ~ Ο
x 12
dx
= -2νΙ2π
i+ ο
VY
e- x 2 12 dx
Στό τελευταίο όλοκλήρωμα άλλάζουμε τή μεταβλητή όλοκληρώσεως μέ τό μετασχηματισμό
Ρ(Υ ~ Υ)
=
_1_
χ
= +Vt,
όπότε
(Υ t-l/2e-t/2 dt
Υ'2; )0
•Αλλά αύτή εΙναι κατανομή Χ 2 μέ 1 βαθμό έλευθερίας, δπως φαίνεται άπό τή σχέση (39) της σελ. 116 [εΙναι Γ( t)
= Vii]·
136 4.37.
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Δείξτε τό Θεώρ.
4-3 τής σελ. 116 γιά
ι'
4
= 2.
Σύμφωνα μέ τό Πρόβλ. 4.36, έάν ο{ ΧΙ καί Χ 2 lxouv ή κάθε μιά κατανομή μέ μέση τιμή Ο καί διασπορά 1, τότε οΙ χ; καί χ; fxouv ή κάθε μιά κατανομή χ2 μέ 1 βαθμό tλευθερίας. Άλλά τότε ή Ζ x~ + χ; lχει κατανομή χ 2 μέ 1 + 1 == 2 βαθμούς έλευθερίας (ύποθέτουμε δτι οΙ ΧΙ καί Χ 2 ε\ναι άνεξάρτητες). Εϋκολα προκύπτει τό γενικό άποτέλεσμα γιά θετικό άκέραιο ν. (Βλέπε Πρόβλ. 4.150.)
=
4.38.
Στό ΣΊ.
4-18
δίνεται ή γραφική παράσταση τής κατα
νομής χ? μέ 5 βαθμούς έλευθερίας. βολισμό βλέπε σελ.
x~
116.)
(Γιά τόν συμ
Ύπολογίστε τίς τιμές χ;,
γιά τίς όποίες
(α) τό δεξιό σκιασμένο έμβαδό Ισούται μέ
0.05,
(b)
τό όλικό σκιασμένο έμβαδό Ισούται μέ
(c)
τό άριστερό σκιασμένο έμβαδό ίσούται μέ
(d)
τό δεξιό σκιασμένο έμβαδό ίσούται μέ
(α)
0.05, χ'
0.10,
χ'
ι
2
0.01.
Σχ.
4-18
'Εάν τό δεξιό σκιασμένο tμβαδό Ισούται μέ 0.05, τότε τό tμβαδό άριστερά του x~ Ισουται μέ (1 - 0.05) 0.95, δηλ. τό χΞ είναι τό 95το εκατοστιαίο σημείο, χ15'
==
Στόν πίνακα του Παραρτήματος Ε κοιτάμε στή γραμμή πού άντιστοιχεί σέ
τής γραμμής αύτή ς καί τής στήλης μέ
χ.295
"
ίσο με
Στή διασταύρωση
5.
βρίσκουμε 11.1, πού είναι ή ζητούμενη τιμή του χ 2 •
'Επειδή ή κατανομή δέν είναι συμμετρική, ύπάρχουν πολλές τιμές γιά τίς δποίες τό δλικό σκιασμένο tμβαδό
(b)
είναι
Π.χ.
0.05.
τό
δεξιό
σκιασμένο
τμήμα
δμως τά δύο tμβαδά διαλέγονται ίσα, δηλ.
0.025
μπορεί
νά
είναι
0.04
καί
τό
άριστερό
0.01.
Συνήθως
τό καθένα.
xi
'Εάν τό δεξιό σκιασμένο τμήμα είναι 0.025. τό έμβαδό άριστερά τού ε\ναι 1 - 0.025 = 0.975 καί x~ είναι τό 97.5-οστό εκατοστιαίο σημείο, X~975, πού άπό τό Παράρτημα Ε προκύπτει ϊσο μέ 12.8. ·Ομοια, tπειδή τό σκιασμένο τμήμα είναι 0.025, τό έμβαδό άριστερά του xi είναι 0.025 καί xi είναι τό 2.50στό εκατοστιαίο σημείο, x.~25' πού Ισουται μέ 0.831 .
• Αρα (c)
οί ζητούμενες τιμές είναι
0.831
καί
12.8.
'Εάν τό άριστερό σκιασμένο τμήμα εχει έμβαδό 0.10, xi εΙναι τό 10το εκατοστιαίο σημείο καί ίσοϋται μέ
1.61. (d)
4.39.
γιά τίς όποίες τό πρός τά δεξιά έμβαδό τής κατανομής χ 2 εί ναι 0.05, εάν οί βαθμοί έλευθερίας v είναι (α) 15, (b) 21, (c) 50. Ύπολογίστε τίς τιμές τού /
γιά
4.40.
'Εάν τό δεξιό σκιασμένο tμβαδό είναι 0.01, τό έμβαδό άριστερά τού x~ είναι 0.99 καί x~ είναι τό 99το εκατοστιαίο σημείο, X~99' πού Ισούται μέ 15.1.
Στόν πίνακα τού Παραρτήματος Ε βρίσκουμε στή στήλη μέ X~95 τίς τιμές == 21, (c) 67.5 γιά γ == 50.
(α) 25.0 γιά
l'
==
15, (b) 32.7
v
Ύπολογίστε τή διάμεση τιμή τής κατανομής χ2 γιά
(α)
9, (b) 28
καί
(c) 40
βαθμους
έλευθερίας.
'Από τόν πίνακα του Παραρτήματος Ε βρίσκουμε άπό τή στήλη X~50 (έπειδή ή διάμεση τιμή εΙναι τό σημείο) (α) 8.34 γιά ,. 9, (b) 27.3 γιά v 28, (c) 39.3 γιά v == 40.
50στό εκατοστιαίο Παρατηρούμε κά, γιά
ι'
>
10
=
=
δτι ή διάμεση τιμή εΙναι περίπου ίση μέ τό πλήθος των βαθμων έλευθερίας.
ή διάμεση τιμή ε\ναι ίση μέ
ι> -
0.7,
ΠραΎματι
δπως φαίνεται άπό τόν πίνακα.
ΙΖ2
Κ Ε Φ.
4.41.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4 Ύπολογίστε τό X~95 γιά
= 50
(α) v
ιcαί
(b)
= 100
v
137 βαθμούς tλευθερίας.
- ...j2" -
Γιά " μεγαλύτερο dπό 30, μποροϋμε νά χρησιμοποιήσουμε τό γεγονός δτι 1'ι (ω περίπου κανονική κατανομή μέ μέση τιμή μηδέν καΙ διασπορά lνα.
'Εάν Ζρ
1) lχει
ε\ναι τό 100ρ-οστ6 l:κατοστιαΤο ση
μείο τής τumιcης KανoνιΙCΗς κατανομής, μποροϋμε νά γράψουμε μέ καλή προσέπιση
dπ' δπου
(α) Γιά τιμή
(b)
Γιά
ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.42.
=
χ 2Ρ
,,= 50
ε\ναι X~95
= -!-(Ζ.95 + ...j2(50) -
1 )2
= !(1.64 + γ99 )2 = 69.2,
1 )2
πού ε\ναι dρκετά κοντά στήν
πού προκύπτει dπό τό Παράρτημα Ε.
67.5
,,= 100 t
+ ...j2" -
~(zΡ ~
ε\ναι X~95
ΤΟΥ
Δείξτε τό Θεώρ.
= -!-(Ζ.95 + V2(100) -1 )2 = !(1.64 + γ'ϊ99)2 = 124.0
(πραγματική τιμή 124.3).
STUDENT
4-6 της σελ. 117.
·Επειδή 1'ι Υ dκολουθεί κανονική κατανομή μέ μέση τιμή Ο καΙ διασπορά
1,
lχει συνάρτηση πuκνότητας
-1- e - y2/ 2
(1)
Υ2;
·Επειδή 1'ι Ζ dκολουθεί κατανομή
χ2 μέ
" βαθμούς έλευθερίας, lxει συνάρτηση Π\>κνότητας
1
(2)
2"12 Γ(ν/2)
z("/2)-1 e -z/2
Ζ>Ο
·Επειδή ο{ Υ καΙ Ζ ε\ναι dνεξάρτητες, 1'ι κοινή συνάρτηση πuκνότητας εlναι τό γινόμενο των
(1) καί (2), δηλ.
_ _-=.1___ Ζ(ν/2)-1 e -(Υ2+ Ζ )/2
...J2; 2 ν /2 ΓΙ,,/2)
γιά
-00
<
Υ
<
+00,
Ζ> Ο.
= ΥΙν' Ζ/" εΙναι = Ρ(Τ ~ Χ) = Ρ(Υ;;;; xV Ζ/" )
'Η συνάρτηση κατανομής τής Τ F(x)
ff
1
..j2;. 21,/21'(,./2)
Z ("/2)-1 e -(y2+ Z )/2 dy dz
'1{
δπου '1{ εΙναι 1'ι περιοχή τοϋ έπίπεδου ΥΖ μέ Υ ;;;; xVZϊv.
ώς πρός Υ dπό -
00
lως χα.
=
F(x)
Θέτοντας στήν dΥΥύλη Υ = F(x)
w
1 ['" 2".2,'/21,(,./2) • Ζ=Ο
ua
f"x= __ [f="'o
1
-J2'U,. 2"/21'(,,/2)_
z(,·-1>/2
~
dz
Υ:;;;, r
(
"2
.
= -.,
w(v-1)/2e-w
(1
]
+ u 2/,,)(v+ 1)/2
dw
du
+ u2I,,)(v + 1)/2
πού εΙναι Τι συνάρτηση κατανομής τής κατανομής
•
-(z/2)[1+(,.2//I)J dzJdU
du
u=-oc (1
,,)
u
e
'" [iω=Ο
f.'"
- - -1- - - • 2(" + 1)/2 ..j2; 21'/2 Γ( ,,/2)
Γ(ψ) iX
-,
y 2 /2 d ] Y
βρίσκουμε
2 = 3..(1 + U ) 1'ι σχέση αύτή γράφεται 2\ ι·
F(x)
.~""
Ζ(/ι12)- ι e-z/2 [λ"'..rzϊV eΥ = _ '"
V2,;
'Έτσι lxoUμE
00.
= =
Μέ
Θεωροϋμε πρωτα σταθερό τό Ζ καΙ όλοκληρώνουμε
Μετά όλOKληρώνOUΜε ώς πρός Ζ dπό Ο lιoς
τοϋ
t
Student.
. ~
___
_,
~_,
•
r
_" _
_
_' .. ~ ~
~
~
_ _' "
_
~
~
~
~
138 4.43.
Στό Σχ.
δίνεται ή γραφική παράσταση τής κατανομής
4-19
(α) τό δεξιό σκιασμένο έμβαδό Ισοϋται μέ
0.05,
(b)
τό όλικό σκιασμένο έμβαδό ίσοϋται μέ
0.05,
(c)
τό όλικό μή σκιασμένο έμβαδό ίσοϋται μέ
0.99,
(d)
τό dριστερό σκιασμένο έμβαδό ίσοϋται μέ
0.01,
(e)
τό έμβαδό dριστερά τοϋ
(α)
ίσοϋται μέ
tl
Έάν τό δεξιό σκιασμένο έμβαδό είναι εΙναι τό
95το εκατοστιαίο σημείο,
(δ)
0.025
βαθμούς
9
Άπό τ6
0.01/2
tl
ίση μέ
0.01,
είναι
= 0.95,
tl
9
καί τή στήλη
0.99,
W
τό όλικό σκιασμένο έμβαδό είναι Έτσι βρίσκουμε
t. 995
= 3.25.
(1 - 0.99)
= 0.01
καί τό
τότε άπό τή συμμετρία τό δεξιό σκιασμένο έμβαδό ε{
0.01,
t. 99 = 2.82.
W
Αρα ή τιμή του
γιά τήν όποία τό άριστερά της
t,
-2.82.
Έάν τό έμβαδό άριστερά του ι ι είναι πίνακα βρίσκουμε δτι Ισουται μέ
είναι τό
0.90, t l
90στό εκατοστιαίο σημείο,
t. 90 ,
πού άπό τόν
1.38.
Ύπολογίστε τίς τιμές τοϋ t γιά τίς όποίες τό δεξιά του t έμβαδό τής κατανομής t τοϋ
Student είναι 0.05 Άπό τή στήλη
Υιά
ν
= 27,
γιά ν ίσο μέ
(α)
16, (b) 27, (c) 200.
t.95 του πίνακα του Παραρτήματος
(c) 1.645 γιά v
= 200.
Ή
τελευταία
D
παίρνουμε τίς τιμές
τιμή,
πού
δίνεται
(α)
στή
1.75
γραμμή
γιά
v
= 16,
Υιά ρ ίσο
μέ
προκύψει άπό τήν άντίστοιχη κανονική κατανομή, πού άποτελεί καλή προσέγγιση Υιά τόσο μεγάλο
ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.45.
δηλ.
1.83.
=
= 0.005.
Άπό τόν πίνακα εχουμε
έμβαδό ίσουται μέ
(1 - 0.05)
0.05, τότε άπό τη συμμετρία τό κάθε σκιασμένο τμήμα εχει έμ ι ι είναι (1 - 0.025) 0.975. Αρα t l είναι τό 97.5-0στό ε Παράρτημα D προκύπτει τιμή του Ι ι ίση μέ 2.26.
Έάν τό άριστερό σκιασμένο έμβαδό είναι
0.01.
είναι
t}
4-19
βρίσκουμε τή γραμμή πού άντιστοιχεί σέ v ίσο μέ
D
Έάν τό όλικό μή σκιασμένο έμβαδό είναι
ναι
(e)
τ6 έμβαδό άριστερά του
καί τό έμβαδό άριστερά του
δεξιό σκιασμένο έμβαδό είναι
(d)
Σχ.
Στή διασταύρωσή τους εχουμε τήν τιμή του
κατοστιαίο σημείο, (975'
(c)
0.05,
0.90.
Έάν τό όλικό σκιασμένο έμβαδό είναι βαδό
μέ
Student
t. 95 •
Στόν πίνακα του Παραρτήματος
t. 95 •
του
τοϋ
t
4
Ύπολογίστε τήν τιμή Ι Ι γιά τήν όποία
έλευθερίας.
4.44.
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
>
Ο,
V2
>
Vι
καί
V2
είναι
Ο, ένω είναι Ο σέ κάθε άλλη περίπτωση.
Γιά τό μετασχηματισμό "l UW
11
w
U
ή
εχει
Ρ.
4-7.
Ή κοινή συνάρτηση πιθανότητας των
'υι
1.70
"',
F
Δείξτε τό Θεώρ.
γιά
(δ)
Ίακωβιανή είναι
Μυ ι , V2)
iJ(H,1U)
Ι συ ι ισιι
Ι iJV2IiJU
iJVlIiJW
Ι
GV.)dW
ι
Ι
, VlW/P2 Ο
21
pl U / V
1
Ι
"ι lΟ Ι':;
g(u,1V)
22.\1
Κ Ε Φ.
189
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4 Υιά
u >
ο,
w >
ο, tνίII ε\ναι Ο σέ ιc:άθε 4λλη περίπτωση.
Ή περιθώρια συνάρτηση πυιc:νότητας 'ή\ς
U
μπορεΤ νά βρεθεΤ μt όλoιc:λήρωση ιbς πρός
w
4πό Ο lιoς σο,
δηλ.
h(u) Υιά
u
>
ο, tνίII ε\ναι
=
(Ρ Ιρ )",/2 U (p,/2)-t
Ι
2 + ,,1)/2 Γ(Ρ /2) Γ(1Ι2/2)
2('"
Ο Υιά
i σo
ι
u;a
Ο.
Ο
'Από τη σχέση
r σο wp-le-
e - [ι + (1',"/1'1)](10/2) dw
τοil Παραρτήματος Α
IS
01O
Jo
W[(v, +νι>/2} -ι
= Γ(ρ)
dw
aP
lχoυμε
h(u)
4.46.
'Εάν ν ι >
=
-2)
v . 2, δείξτε δτι ή κατανομή F fχει μόνο μιά πιθανότερη τιμή ίση μέ (. ~
(v ~ 2)' 2
Ή πιθανότερη τιμή ε\ναι έιc:είνη Υιά τήν όποία Υίνεται μtyιστη 1'ι συνάρτηση πυιc:νότητας.
Παραλείποντας μιά
σταθερή lχοuμε τη συνάρτηση πυιc:νότητας u(v,/2) -ι (112
+ "ιuΓ (111 + ,,1)12
Ή θέση τοil ΣXετιιc:oil μtyιστoυ, 4ν 6πάΡχει, ΠΡOΙCΎπτει Δπό τό μηδενισμό 'ti\ς παραycίryOυ, δηλ.
(~ -1}u(νI/2)-2(Ρ2+ΡιUΓ(ΡΙ+Ρ2)/2
-
U(JI,I2>-l P1 ("l; Jl2}(1I2+111U)-[(νl+νI)/2J-t u
~ Ο,
=
= Ο
βρίσκουμε
Ο
=
u
Έξετάζοντας τη δεύτερη παράΥωΥΟ συμπεραίνουμε δn fχοuμε πραyμαπιc:ά lνα μέΥιστο στη θέση αότή.
4.47.
Χρησιμοποιώντας τόν πίνακα γιά την κατανομή
F. 95,lO,l5, (b)
(c)
F.99,l5,9,
F
άπό τό Παράρτημα
F
ύπολσγίστε τά (α)
(d) F.Ol,l5,9.
F. 05,8,30,
(α)
'Από τό Παράρτημα F μέ
Ι'ι
= 10,
112
= 15
(b)
'Από τό Παράρτημα F μt
"ι
= 15,
"2
=9
(c)
'Από τό θεώρ. 4-8 'ή\ς σελ. 118 lxouμE
βρίσκουμε Ρ. 95 ,ιο,Ι5 βρίσιc:oυμε
•95.30.8
1
F
.99,9,15
ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
F,
= 4.96. 1 = 3.08 = 0.325 •
Ρ. 09 ,Ι5,Β
F .05,8,30 -- F 1
(d ) 'Από τό θεώρ. 4-8 'ti\ς σελ. 118 qouμE F .ΟΙ,Ι5, Β --
= 3.80.
χ2 ΚΑΙ
1 = 3.89
= 0.257.
t
4.48. Έπαλ ηθεϋστε τίς σχέσεις (α) F. 95 = t~975, (b) F. 99 = t~995. (α)
Συyιc:ρίνoυμε τά στοιχεΤα της πρώτης στήλης 'ti\ς λης
t. 975
(Παράρτημα
161
D).
F. 95
(Παράρτημα
F, σελ. 348) μέ τά στοιχεΤα 'ti\ςστή
Bλtπoυμε δτι
= (12.71)2,
18.5
= (4.30)2,
10.1
= (3.18)2,
7.71
.$
= (2.78)2,
ιcτλ .
2
Ζω
.._
..
(b)
Συγκρίνουμε τά στοιχεία τής πρώτης στήλης τής λης
t.995 (Παράρτημα
=
4050
4.49.
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
140
Δείξτε τό Θεώρ.
(63.66)2,
= (9.92)2,
98.5
34.1
= (5.84)2,
21.2
=
(4.60)2,
κτλ.
4-9 τής σελ. 118, πού γράφεται σύντομα
γενικεύοντας έτσι τό Πρόβλ. "1
F. 99 (Παράρτημα F, σελ. 349) μέ τά στοιχεία τής στή
Βλέπουμε δτι
D).
F t-
Έστω
4
= 1,
"Ζ
=ρ
2
=
p
tt-(P/Z)
4.48.
στή συνάρτηση πυιcνότητας τής κατανομής
F [(45),
σελ.
117].
Ε\ναι
f(u)
=
γιά
u> Ο, ενώ f(u}
=Ο
~νας άριθμός γιά τόν όποίο
γιά
u ~ Ο.
Ρ( U ~
Άπό τόν όρισμό του εκατοστιαίου σημείου ~πεται δτι
F Ι-Ρ) = 1 -
ρ.
,,(Ψ) {,-, 1ι- / (1 + ,,('''''' γ;;Γ(~) ο -; ιΙιι t = +Νu ~χoυμε
Γ(Ρ + ν;;Γ Άπό τήν
(42)
τής σελ.
1) i
-2-
2
116
t - p εΙναι
1- Ρ
Ι 2
Άλλάζοντας τή μεταβλητή σέ
F
Αρα
W
ν)
( 2"
ο
+~ (1 1 Ρ
t 2 )-(v+0I2 +_
dt
μ
1 -
Ρ
συμπεραίνουμε δη τό άριστερό μέλος τής παραπάνω σχέσεως Ισούται μέ
2' Ρ(Ο
<
τ ~
+VF t - p )
δπου Τ εΙναι μιά τυχαία μεταβλητή πού άιcολουθεί τήν κατανομή
μέ
t
ι'
βαθμούς έλευθερίας.
W
Αρα
1; Ρ = Ρ(Ο < τ ~ +-JF 1 - P )
=
Ρ(Τ ~
+VF1 -
P ) -
= Ρ(Τ ~ +VFx- p ) δπου χρησιμοποιήσαμε τή συμμετρία της κατανομής
Ρ(Τ ~
t.
~
Συνεπώς
+VF1 - P ) =
1-111
-
Ρ(Τ ~ Ο)
l-J!..
IΙΙ Η i liιiii :ii! Ιιiιll:ιll:
2
1'1:1
ΙιτΙ/II:Ι-ΗIΙψ ΙΙII;;1
ι 11I1111I11I1Iffi 1[1 Ι, F 11111".'11111. ,IHlllu_ml
_ο,
"'1'1'1'
Κ Ε Φ.
4
141
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Άλλά
Ι Ι --(Ρ!2)
ε\ναι ~νας άριθμός γιά τόν όποίο
ι-Ε
=
Ρ(Τ ~ t l - (ρ/Ζ»
2
Τέτοιος άριθμός ύπάρχει μόνον ~νας, έπειδή ή συνάρτηση πυχνότητας τής κατανομής
+yF l -
p
=
ΙΙ-(Ρ!2)
Fl-
=
p
t ε\ναι θετική,
~Αρα
ti-(pIZ)
δηλ. ή άποδεικτέα σχέση.
4.50.
ΈπαληθεύστετόΘεώρ.4-10τήςσελ.1l8γιά (α)
Συγκρίνουμε τά στοιχεία της τελευταίας γραμμης της
τής στήλης x.~5 (Παράρτημα Ε, σελ. 347).
3.84
= 3.~4,
3.00
= 0.95
(α) Ρ
F. 95
καί
(Παράρτημα
(b) F,
Ρ
σελ.
= 0.99. 348,
1'2
= 00) μέ τά στοιχεία
Βλέπουμε δτι
2 .6 Ο
= 5:9,
= 7.81 3'
2.37
=
9.49 4 '
2 . 21
11.1 =5 '
κτΛ..
Έτσι έπαληθεύεται τό θεώρημα.
(b)
Συγκρίνουμε τά στοιχεία της τελευταίας γραμμης της
τής στήλης X~99 (Παράρτημα Ε, σελ. 347).
6.63 = 6.;3,
4.61 = 9.;1 ,
F. 99
(Παράρτημα
F, σελ. 349,
1'2
= 00) μέ τά στοιχεία
Βλέπουμε δη
3.78 =
1~.3,
3.32
13.3
3.02
-4-'
15.1 -5-'
κτλ.
Έτσι έπαληθεύεται τό θεώρημα.
Γενικά, τό Θεώρ.
4-10 μπορεί νά δειχτεί άπό τήν κατανομή Fτης σελ. 117, δταν vz ....
00
(βλέπε Πρόβλ.
4.145).
ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΉ ΚΑΝΟΝΙΚΉ ΚΑΤΑΝΟΜΉ
4.51.
Οί τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ εχουν κοινή συνάρτηση πυκνότητας τή διδιάστατη κανονι κή κατανομή. Δείξτε ότι οί Χ καί Υ είναι άνεξάρτητες έάν καί μόνον έάν δ συντελεστής συσχετίσεως είναι μηδέν. Έάν
δ
πυκνότητας
συντελεστής
(49)
της σελ.
συσχετίσεως
118
ε\ναι
μηδέν,
δηλ.
Ρ
=
Ο,
τότε
ή
διδιάστατη
κανονική
συνάρτηση
γίνεται
!(Χ, Υ)
[
'J[
- - e-(χ-μl) !2σl
1
•
σl'~
'J
- - - e-(y-Il.J /2σ.
1
2
σ2~
Έπειδή αύτή ε\ναι γινόμενο μιιiς συναρτήσεως μόνο του χ έπί μιά συνάρτηση μόνο του
Υ, οΙ Χ καί Υ ε\ναι
άνεξάρτητες.
'Αντίστροφα, έάν οΙ Χ καί Υ ε\ναι άνεξάρτητες, ή
!(Χ,l/) της (49) γράφεται σάν Ύινόμενο μιας συναρτή
σεως μόνο του χ έπί μιά συνάρτηση μόνο του Υ (Ύιά κάθε χ καί
Υ).
Αύτό εΙναι δυνατό μόνο έάν Ρ
= Ο.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4.52.
'Υ πολογίστε τήν πιθανότητα σέ διαδοχικές ρίψεις ενός ζαριού τό
3
νά ερθει γιά πρώτη φορά
στήν πέμπτη ρίψη. Πρώτη μtθoδoς.
θανότητα νά μήν ~ρθει
Ή mθανότητα νά μήν ~ρθει
3 στήν πρώτη ρίψη ε\ναι 5/6, στή δεύτερη ρίψη 5/6, κτλ. wApa ή πι 3 στίς τέσσερις πρώτες ρίψεις ε\ναι (5/6)(5/6)(5/6)(5/6) (5/6}4. Μετά άπ' αύτό ή
πιθανότητα νά ~ρθει
στήν πέμπτη ρίψη ε\ναι
3
=
(
5
'6
1/6.
)4(1) '6
~Aρα ή ζητούμενη πιθανότητα ε\ναι
=
625 7776
Μ
22;Ι
142
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
Δεύτερη μέθοδος.
Χρησιμοποιώντας τή γεωμετρική κατανομή (σελ.
118) μέ
Ρ
= 1/6,
q
= 5/6,
χ
= 5
fχουμε ιiμέσως δτι ή
ζητούμενη πιθανότητα εΊναι
(.!)(~)4 6 6 4.53.
Δείξτε τίς εκφράσεις τής σελ. του
Weibull.
(α)
ειναι
119
γιά
7776
(α) τή μέση τιμή καί
(b)
τή διασπορά τής κατανομής
μ
J:"'(U)
ab Ι Ό α /
όπου χρησιμοποιήσαμε τήν άντικατάσταση
(b)
~
=
=
u
-
ο
α
e-u-u(l/b)-l du 1 b
αχΌ στόν ύπολογισμό του όλοκληρώματος.
ΕΊναι
-abαl/Ό
i"'( ο
α- 2ΙΌ
=
[""
•
1 ~ )1+(l/b) e- U _u(lfb)-l du
b
α
u 2/b e- u du
ο
καί άρα
σ2
=
Ε[(Χ
-
=
μ)2]
Ε(Χ2)
-
μΙ
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
4.54.
Ή πιθανότητα νά άποφοιτήσει ενας φοιτητής πού μόλις μπήκε σέ κάποιο πανεπιστήμιο
είναι ενας,
4.55.
0.4. 'Υπολογίστε τήν (c) τουλάχιστον ενας.
πιθανότητα νά άποφοιτήσει άπό
= 5CO(0.4)O (0.6)5 = 0.07776
(α)
Ρ(κανένας)
(b)
Ρ (fνας)
(c)
Ρ{τουλάχιστον 1:νας)
= :;C (0.4)1(0.6)4 = l
= 1-
0.2592
Ρ(κανένας)
ή
ή
0.08
0.26
=
6
φοιτητές
(α) κανένας,
(b)
περίπου.
περίπου.
0.92224
Ποιά είναι ή πιθανότητα νά φέρουμε άθροισμα σέ
5
9
ή
0.92
περίπου.
(α) δύο φορές,
(b)
τουλάχιστο δύο φορές
ρίψεις δύο ζαριών;
Κάθε δυνατό ιiπoτέλεσμα tν6ς ζαριού μπορεί νά συνδυαστεί μέ τά δυνατά ιiπoτελέσματα του άλλου ζα ριού.
• Αρα
fχουμε
6·6 = 36
δυνατά καί Ισοπίθανα άποτελέσματα, πού συμβολίζουμε μέ
(1,1), (1,2)
κτλ
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
Άπό τίς
36
αύτές περιπτώσεις lΊουμε άθροισμα
πιθανότητα νά φέρουμε άθροισμα
9
9 σέ μιά μόνο ρίψη είναι
(α) Ρ(δύο φορές
9
σέ Ι:ξι ρίψεις) =
Ρ(τουλάΊιστο δύο φορές
=
=
9)
στίς f:ξης τέσσερις:
σέ μιά μόνο ρίψη των ζαριων είναι
φέρουμε άθροισμα
(b)
9
143
q
6Cz( ~γ α)
Ρ
= 8/9.
+ Ρ(τρείς
10,240
960
νΑρα ή
(3,6), (4,5), (5,4), (6,3).
= 4/36 = 1/9, ένω ή πιθανότητα νά μή
= 5~;ί~~01
6-2
9)
Ρ(δύο
61,440 531,441
=1-
Ρ
9)
+ Ρ (τέσσερις
48
+
9)
Ρ(πέντε
+ Ρ (~ξι
9)
72,689 531,441
1 531,441
+ 531,441 + 531,441 + 531,441 +
9)
-Αλλη μέθοδος.
Ρ(τουλάΊιστο δύο φορές
1 -
4.56.
6
1\0 (8)6 CO( 9) 9
Ρ(μιά φορά
9) -
-
6
9)
_
(~)5 C ! (1)1 9 9
72,689 531,441
-
'Εάν ή πιθανότητα νά είναι έλαττωματικό ενα σπίρτο, δηλ. νά μήν άνάψει, είναι
πολογίστε των σέ
4.57.
Ρ(καμιά φορά
1 -
9)
(α) τή μέση τιμή καί
400
(b)
0.1,
ύ
τή διασπορά τής κατανομής τών έλαττωματικών σπίρ
σπίρτα.
=
= 400(0.1) = 40,
(α)
Μέση τιμή
(b)
Διασπορά = npq = 400(0.1)(0.9) = 36 καί τυπική άπόκλιση =
np
'Υπολογίστε τούς συντελεστές (α)
δηλ. άναμένουμε
έλαττωματικά σπίρτα.
40
(α) άσυμμετρίας καί
Συντελεστής άσυμμετρίας
=
v'36
= 6.
(b) κυρτώσεως τοϋ Προ βλ. 4.56.
q - ρ
=
0.9 - 0.1
=
6
ynpq
0.133
'Επειδή ό συντελεστής άσυμμετρίας είναι θετικός, ή κατανομή είναι άσύμμετρη πρός τά δεξιά.
(b)
Συντελεστής κυρτώσεως
Έπειδή είναι λίγο μεγαλύτερος τού
4.58.
= 3,
3
+
=
1 - 6pq
+
3
1 - 6(0.1)(0.9) 36
1lpq
άνάλογα μέ πόσες έρωτήσεις άπάντησε ό φοιτητής άπό ενα σύνολο
βαθμοί
άκολουθοϋν
κατώτερου (α)
κανονική
κατανομή
μέ μέση τιμή
(α) τό ποσοστό τών φοιτητών πού πήραν
10%
τής τάξεως,
(c)
6,
6.7 καί (b) τό
0,1,2, ... , 10 μονάδες 10 έρωτήσεων.Έάν οί τυπική άπόκλιση 1.2,
τόν έλάχιστο βαθμό τοϋ άνώτερου
μεγαλύτερο βαθμό τοϋ
10%
Έπειδή θά έφαρμόσουμε τήν κανονική κατανομή, θά θεωρήσουμε τά δεδομένα συνεχή. νει
5.5
~ως
6.5
(Σχ.
4-20).
3.01
ή κατανομή είναι λίγο πιό αΙΊμηρή άπό τήν κανονική.
Οί δυνατοί βαθμοί σέ μιά έξέταση στό μάθημα τής βιολογίας είναι
ύπολογίστε
=
τής τάξεως. "Ετσι Π.χ.
6 σημαί
Έχουμε
5.5
σέ τυπικές μονάδες
(5.5 - 6.7)/1.2
-1.0
6.5
σέ τυπικές μονάδες
(6.5 - 6.7)/1.2
-0.17
Ζητούμενο ποσοστό
=
(έμβαδό άπό Ζ (έμβαδό άπό
-
= -1
Ζ
= --1
(έμβαδό άπό Ζ
[ως Ζ [ως Ζ
= -0.17)
=
= -0.17
Ο)
[ως
Ζ
=
Ο)
= 0.3413 - 0.0675 = 0.2738 = 27%
!2&&
&&&
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
144
-
Ι
-0.Ι7
Σχ.
Σχ. 4 -20
(b)
==
=1
=
ΝΕνας μετρητής
Z;l
==
Geiger
4-22
όπότε
βαθμός
καί
χι
:::2 ή
ή
5
άντίστοιχη
6.7)/1.2 = 1.28
(Χ:! -
= 5.2 καί
:1:2
(πλησιέστερος άκέραιος).
τιμή
σέ
= 8.2
τυπικές μονάδες.
ή
'Από τή
8.
καταγράφει τό πλήθος των σωματίων πού εΙσέρχονται μέσα σέ μιά
παριστάνεται ό άξονας των χρόνων μέ άρχή τό Ο.
νότητα νά καταγραφεί
lva
σωμάτιο σ'
άνάλογη τοϋ ΔΙ, δηλ. ίση μέ Δt
μικρότερος
1.28,
βρίσκουμε
t. Στό Σχ.
στό
= 0.40
Ύπολογίστε τήν πιθανοτητα νά μή μετρήσει σωμάτιο σέ χρονικό διάστη-
κοιλότητά του. μα
6.7)/1.2 = -1.28,
(ΧΙ -
Έστω ΧΖ δ ζητούμενος συμμετρία εχουμε
4.59.
4-21
(μέ μεγάλη προσέγγιση).
-1.28
Έπειδή
'Από τό Σχ.
-Αρα
0.10.
Έμβαδό άπό Zl lως Ο
(c)
4-21
Έστω χι δ ζητούμενος μεγαλύτερος βαθμός καί Ζι ή άντίστοιχη τιμή σέ τυπικές μονάδες. τό "μβαδό άριστερά τοϋ Ζι είναι
καί Ζι
4
:..t
εΙναι
] -
λ
:..t.
lva
μικρό χρονικό διάστημα
Ι
Ή πιθα Δt εΙναι
Ή πιθανότητα νά μήν καταγραφεί σωμάτιο
..
t
ο
λ Δ! (άγνοοϋμε άλλους δρους άνώτερης τάξεως, "πειδή τό
Σχ. 4 - 22
εΙναι μικρό).
t,
Έστω Ρο (t) ή πιθανότητα νά μήν καταγραφεί σωμάτιο σέ χρόνο
νά μήν καταγραφεί σωμάτιο σέ χρόνο t
+ Δt.
πιθανότητα νά μήν καταγραφεί σωμάτιο σέ χρόνο σωμάτιο σέ χρόνο
δπότε
Ρο
lt
+ ΔΙ)
είναι ή πιθανότητα
Έάν οί άφίξεις των σωματίων είναι άνεξάρτητα γεγονότα, ή
+ Δt
t
είναι τό γινόμενο της πιθανότητας νά μήν καταγραφεί
έπί τήν πιθανότητα νά μήν καταγραφεί σωμάτιο σέ χρόνο Δt, δηλ.
t
(1) δπου άγνοήσαμε πάλι δρους άνώτερης τάξεως.
(2)
Άπό τήν (Ι) εχουμε
Po(t +
lim
ΔΙ) -
PO(t)
-λρου)
Δt
Δt_Ο
πού γράφεται
dP O
(3)
Τι
-λΡ ο
ή
+ cl
ή
dP O Ρο
-λdt
Όλοκλ η ρώνοντας βρίσκουμε
InP o =
-λt
Fιναι βέβαιο δτι σέ χρόνο μηδέν δέν 1:χει καταγραφεί σωμάτιο, άρα τής
4.60.
c
Ρο(Ο)
= c = 1.
ΕΙσάγοντας τήν τιμή
στήν προηγούμενη εκφραση εχουμε
Ύ πολογίστε τήν πιθανότητα ενας μετρητής Έστω
Geiger
νά καταγράψει ενα σωμάτιο σέ χρόνο
Ρ ι (t) ή πιθανότητα νά καταγραφεί ~να σωμάτιο σέ χρόνο
πιθανότητα σέ χρόνο
t + Δt.
Σέ χρόνο
t+
t,
δπότε
Ρ ι (t
+ olt)
t.
θά είναι ή ίδια
olt θά καταγραφεί ~να σωμάτιο, Μν συμβεί ενα άπό τά "ξης δύο
άσυμβίβαστα γεγονότα:
(ϊ)
Νά καταγραφοϋν
σωμάτιο σέ χρόνο
καί
Ο σέ χρόνο Δt.
(ίί)
Νά καταγραφοϋν Ο σωμάτια σέ χρόνο
καί
1
1
σέ χρόνο Δt.
11
".,...
Κ Ε Φ.
145
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
Ή πιθανότητα τοϋ (ί) είναι
Ρ ι (Ι)(l
λ Δt).
-
Ή πιθανότητα τοϋ (ίί) είναι Ρ ο (t)λ ΔΙ.
"Αρα άγνοώντας πάλί δρους άνώτερης τάξεως εχουμε
=
ριυ+ΔΙ)
(1)
ρ ι ω(1-λΔΙ) +Po(Ι)λ~Ι
πού γράφεται
Pl(Ι+~Ι)
(2)
- Ρι(Ι)
~Ι
Παίρνοντας τό δριο
ΔΙ -> Ο καί χρησιμοποιώντας τό
dP 1
-
(3)
=
(It
Ρο
(t) (Πρόβλ. 4.59) βρίσκουμε
λe- λΙ -
λΡ I
ή
dP 1 Τι
(4)
+ λΡ ι
λe- λΙ
e λΙ εχουμε
Πολλαπλασιάζοντας τή σχέση αύτή έπί
(5) καί
λ
όλοκληρώνοντας
Γιά
=
Ρ ι (Ι)
(6) Ι
=Ο
ή πιθανότητα
λΙe- λΙ
+ C2e-λt
Ρ ι (Ο) (νά καταγραφεί ενα σωμάτιο σέ χρόνο μηδέν) είναι
=
Ρ ι (ι)
(7)
Ο.
"Αρα
t
=Ο
καί
λte- λr
Συνεχίζοντας κατ' αύτό τόν τρόπο μποροϋμε νά δείξουμε δτι ή πιθανότητα νά καταγραφοϋν άκριβώς χρόνο
C2
n
σωμάτια σέ
είναι
Ρ 7! (t)
(8) Έχουμε δηλ. τήν κατανομή τοϋ
Poisson.
'Άλυτα Προβλήματα ΔΙΩΝγΜΙΚΗ ΚΑ ΤΑΝΟΜΗ
4.61.
'Υπολογίστε τήν πιθανότητα νά ερθει σέ
(g) 6
4.62.
6
ρίψεις ένός νομίσματος
(αΙ σ,
(b) 1, (c) 2,
U)
(d) 3, (e) 4,
5,
φορές «κεφάλι».
Ποιά είναι ή πιθανότητα νά ερθουν
(α) τουλάχιστο
2,
(b) λιγότερες άπό 4 φορές «κεφάλι» σέ μιά ρίψη 6 νο
μισμάτων;
4.63.
'Εάν ή Χ παριστάνει τό πλήθος τών άποτελεσμάτων «κεφάλι» σέ μιά ρίψη θανότητες
4.64.
Άπό
800
(α) Ρ(Χ
= 3), (b)
οΙκογένειες μέ
5
Ρ(Χ
< 2),
(c) Ρ(Χ;'Ξ 2),
παιδιά πόσες άναμένεται νά εχουν
ρια; ΟΙ πιθανότητες νά εΙναι
J!:va
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά ερθει άθροισμα
4.66.
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά φέρουμε άθροισμα Άπανταμε στήν τύχη ΝΑΙ ή ΟΧΙ σέ τουλάχιστον
6
4 νομισμάτων, ύπολογίστε τίς πι
< Χ :5 3).
(α)
3
άγόρια,
(b) 5 κορίτσια,
(C) 2
ή
3
άγό
παιδί άγόρι ή κορίτσι είναι ίσες.
4,65.
4.67.
(d) P(l
10
(α) μιά φορά,
11 9
(b) δύο φορές σέ δύο ρίψεις δύο ζαριών;
μιά φορά σέ τρείς ρίψεις δύο ζαριών;
έρωτήσεις (ή μία άπάντηση είναι σωστή).
Ποιά ή πιθανότητα νά εΙναι
άπαντήσεις σωστές;
•
2
a
ΩΧ&'
146 4.68.
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Ένας άσφαλιστής άσφαλίζει
5
άνδρες μέ τήν ίδια ήλι"ία "αί "ατάσταση ύγείας.
Σύμφωνα μέ στατιστι"ά στοι
χεία ή πιθανότητα ενας άνδρας αύτης της "ατηγορίας (ήλι"ίας. ύγείας, "τλ.) νά ζεί μετά άπό Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά ζούν μετά
2.
4.69.
(d)
τουλάχιστον
'Υπολογίστε
χρόνια
30
(α) "αί οΙ
άνδρες,
5
4
30
i.
χρόνια εΙναι
(b) τουλάχιστον
(c) μόνον
3,
1.
(α) τή μέση τιμή,
(b) τήν τυπι"ή άπόΙCΛιση,
= 0.7
"υρτώσεως μιας διωνυμι!djς "ατανομής μέ Ρ
"αί
(c) τό συντελεστή άσυμμετρίας.
n = 60.
= 100
4.70.
Δείξτε ότι γιά μιά συμμετριιcή διωνυμι"ή "ατανομή μέ
1Ι
4.71.
'Υπολογίστε γιά τή διωνυμι"ή "ατανομή τά
μ)3
4.72.
Δείξτε τούς τύπους τής σελ.
(α.) ~ (Χ
-
ό συντελεστής "υρτώσεως εΙναι
"αί
f(x)
(d) τό συντελεστή
Τί σημαίνουν τά άποτελέσματα;
(b)
~ (Χ
μ)4
-
2.9.
f(x).
109 γιά τούς συντελεστές άσυμμετρίας "αί "υρτώσεως.
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.73.
Σέ μιά έξέταση ή μέση τιμή των βαθμων ήταν
τυπι"ές μονάδες δύο φοιτητων πού πήραν
78 "αί
93
"αί ή τυπι"ή άπό"λιση
62. (b)
(α) Ύπολογίστε τούς βαθμούς σέ
10.
Τί πήραν δύο φοιτητές μέ βαθμούς
"αί
-0.6
1.2
τυ
πι"ές μονάδες άντίστοιχα;
4.74.
Ύπολογίστε
88 4.75.
= 1.87,
"αί
άντίστοιχα.
1.4
"αί
Ζ
(α)
Ζ
= -1.20
= -1.45, (d) γιά Z·~ 2.16,
Ζ
= 2.40, (b)
(α) άριστερά τού Ζ
= -1.78, (b)
Ζ
= 1.23
"α
=
άριστερά τού Ζ
(e) γιά -0.80 ~ Ζ ~ 1.53, (f) άριστερά τού Ζ
Έάν ή Ζ εχει "ανoνιΙCΉ "ατανομή μέ μέση τιμή Ο "αί διασπορά Ρ(-1.96;ΞΞ Ζ;ΞΞ
'Υπολογίστε τίς τιμές τού του
"αί
= -0.50. 0.56, (c = -2.52 "αί δεξι,
= 1.83.
-1.64), (b)
Ζ εΙναι
0.0730, (e)
4.80.
'Υπολογίστε τήν
Ρ(IΖΙ ~
Ζ γιά τί~ όποίες
τό έμβαδό άπό
Ύπολογίστε τό
1.96), (c)
τό έμβαδό άπό
0.0314, (c)
4.79.
4.81.
(b) τήν τυπι"ή άπό"λιση των βαθμων μιας έξετάσεως. έάν οΙ βαθμοί 70 "αι
Ύπολογίστε τό έμβαδό της "ανονι"ής "αμπύλης τού Ζ
4.78.
= -2.35
(c) Ζ
δεξιά τού Ζ
4.77.
-0.6
Ύπολογίστε τό έμβαδό τής "ανoνιιci'jς "αμπύλης μεταξύ
Ζ
4.76.
(α) τή μέση τιμή "αί
είναι σέ τυπι"ές μονάδες
-Ζ
lως Ζ
1,
ύπολογίστε τίς πιθανότητες
(α) τό έμβαδό δεξιά του Ζ εΙναι
-0.23 lως Ζ είναι. 0.9000.
είναι
0.5722, (d)
0.2266,
(b)
;
τό έμβαδό άριστερ
τό έμβαδό μεταξύ
Ζι, έάν ή Ζ ά"ολουθεί τήν τυπι"ή "ανOνιΙCΉ "ατανομή "αί Ρ(Ζ ~ Ζι)
Ρ(Χ>
(α) Ρ(Ζ
1).
1.15
"αί Ζ ε{νι
= 0.84.
8), έάν ή Χ fXEt "ανονι"ή "ατανομή μέ μέση τιμή 5 "αΙ romΙCΉ άπό"λιση 2.
Ή τιμή ενός βιομηχανι"ού προϊόντος σέ
300 "αταστήματα ά"ολουθεί τήν "ανονι"ή "ατανομή μέ μέση τιμή 3 δρχ. Πόσα "αταστήματα πουλανε τό προϊόν αύτό (α) περισσότερο άπό 72 δρχ., (c) 65 lως 71 δρχ., (d) 68 δρχ.; Δεχόμαστε. ότι οΙ τιμές στρorγυλεύoνται στήν πλπ
δρχ. "αί τυπι"ή άπό"λιση
(b) τό πολύ 64 δρχ., σιέστερη δραχμή.
4.82.
Ή διάμετρος μιας μπίλιας σέ ρουλεμάν εχει "ανονι"ή "ατανομή μέ μέση τιμή ση
0.0025 cm. 0.617 cm. (c)
4.83.
Πόσες μπίλιες (ποσοστό) fχoυν διάμετρο μι"ρότερη άπό
0.608 cm,
Σέ μιά τελι"ή έξέταση ό μέσος βαθμός ε{ναι "ειται νά πάρουν ενα χρηματι"ό βραβείο.
(d) ίση μέ
72
(α) άπό
0.610
lως
0.6140 cm "αΙ τυπι"ή άπό"λι 0.618 cm. (b) μεγαλύτερη ό }
0.615 cm;
"αί ή τυπι"ή άπό"λιση
9.
ΟΙ φοιτητές τού άνώΤεΡου
10'/0
π
-
Ποιός εΊναι ό μι"ρότερος βαθμός των φοιτητων πού θά πάρουν χρη
τι"ό βραβείο;
4.84.
Έάν τά άποτελέσματα μιας μετρήσεως ά"ολουθούν κανονι"ή "ατανομή, τί ποσοστό διαφέρει άπό τή μέση μή
4.85.
(α) περισσότερο άπό τό μισό,
(b) λιγότερο άπό τά τρία τέταρτα της τυπι"ής άπο"λίσεως;
Έάν μ είναι ή μέση τιμή καί σ ή τυπική άπόκλιση των άποτελεσμdτων μιας μετρήσεως. τί ποσοστό των ποτελεσμάτων είναι μ -
1.5σ;
(α) στήν περιοχή
μ::: 2σ,
(b) έξω άπό τήν περιοχή
μ:::
1.2 σ,
(c) μεγαλύτερο ι
_ ;)
Κ Ε Φ.
4.86.
147
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
Στό Πρόβλ.
4.85 ύπολογίστε τή σταθερή α ετσι ώστε τό ποσοστό 75%, (b) μικρότερων άπό μ - ασ νά είναι 22'7c.
νά είναι
τών άποτελεσμάτων
(α) στήν περιοχή
μ
± ασ
ΠΡΟΣΕΓΓιΣΗ ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
l
4.87.
Σέ200 ρίψεις f;νός νομίσματος ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά ~ρθει κεφάλι άπό
~
4.88.
r
90,
(c)
λιγότερες άπό
4.90.
(α)
12
έρωτήσεις άπό
(α)
80
~ως
120,
(b)
λιγότερες
φορές.
100
άπό
24
40.
'Υπολογίστε τήν πιθανότητα σ' ενα τυχαίο δείγμα
(α) τό πολύ
30, (b) 30
έως
50,
(c) 35 έως
45,
περισσότερα.
Ποιά είναι ή πιθανότητα νά φέρουμε άθροισμα f;πτά περισσότερες άπό' 25 φορές σέ 100 ρίψεις δύο ζαριών;
Έάν
3
POISSON
στούς
100
100
λαμπτήρες μιας f;ταιρείας είναι έλαττωματικοί, ύπολΟΥίστε τήν πιθανότητα νά είναι σ' ενα
λαμπτήρων
Στό Πρόβλ. τό πολύ
(α) Ο,
(b) 1, (c) 2, (d) 3,
(c) 4,
έλαττωματικοί.
(f) 5
4.91 ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά είναι έλαττωματικοί 2 λαμπτήρες.
'Ένα κουτί περιέχει μιά κόκκινη καί f;πτά άσπρες σφαίρες. σέ
8 τραβήγματα Poisson.
(α) περισσότεροι άπό
(α) τή
διωνυμική
100,000. 'Υπολογίστε τήν 6, (d) 8, (e) 4 εως 8, (f) λιγότερα
κατανομή
καί
(b)
πιθανότητα νά εχουμε σέ μιά πόλη άπό
θαλάσσια άτυχήματα σ'
3
προσεγγιστικά τήν
200,000
3,
κατοίκων
3
3
φορές
κατανομή
του
σ' ενα χρόνο γιά (α) Ο,
(b) 2, (c)
Ενα χρόνο.
ΧΙ καί Χ 2 είναι άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές μέ κατανομή του
Poisson
καί σταθερές
λ l καί
λ2 ,
+ λ2•
[Ύπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τή ρο
Δείξτε τό κεντρικό όριακό θεώρημα γιά τήν περίπτωση πού οΙ Χ Ι' Χ 2 , • ••
ε{ναι άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές
δείξτε ότι ή πογεννήτρια.]
Χι
+ Χ2
Εως
Τραβαμε μιά σφαίρα στήν τύχη, σημειώνουμε τό χρώμα
Σύμφωνα μέ στατιστικά στοιχεία ό μέσος όρος τών θαλάσσιων άτυχημάτων (πνιγμών) είναι
Έάν οΙ
5, (b). 1
'Υπολογίστε τήν πιθανότητα νά βγεί κόκκινη σφαίρα άκριβώς
χρησιμοποιώντας
πληθυσμό
4.95.
άκριβώς
τουλάχιστον
(b)
άπό τά προϊόντα μιας μηχανής είναι έλαττωματικά.
της καί τήν ξαναβάζουμε στό κουτί.
4.94.
συνολικά
20
κομμάτια του προϊόντος νά είναι έλαττωματικά
10% 400 (d) 55 ή
(c)
4.93.
(d)
άπό
δείγμα
4.92.
115,
Τό
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ
4.91.
ή περισσότερες 'άπό
Έάν Ενας φοιτητής άπαντάει στήν τύχη σέ f;ρωτήσεις μέ δύο δυνατές άπαντήσεις, ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά άπαντήσει σωστά
4.89.
85
εχει κατανομή του
Poisson
Γενικευστε τό άποτέλεσμα γιά
n
μέ σταθερή
λl
μεταβλητές.
ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
4.96.
καί ή κάθε μιά άκολουθεί την κατανομή του
4.97.
Poisson.
Δείξτε τό κεντρικό όριακό θεώρημα γιά τίς άνεξάρτητες μεταβλητές
Χι,
4.98.
μέ πιθανότητα
1/2
μέ πιθανότητα
1/2
Δείξτε τό κεντρικό όριακό θεώρημα γιά τίς άνεξάρτητες μεταβλητές μέ πιθανότητα Ρ
Χι, όπου
4.99.
q
=1-
Ρ
(γενίκευση του Πρόβλ.
μέ πιθανότητα
4.97).
Έξηγήστε γιατί μπορεί νά μήν Ισχύει τό κεντρικό όριακό θεώρημα γιά άνεξάρτητες Ισόνομες τυχαίες μεταβλητές μέ κατανομή
Cauchy 1
.. (χ2 + 1)
f(x) =
Ζ
Ι
22
q
&
.2
2
....
)~...;.-~.;
.-' ~
,
-00
<
χ
<
00
..:; ..;;.,.':;'~
t ! 22Si2dJU......&i 2223
:Ζ:εΑ
!
&
α.13%λ.C·
148
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
4
ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.100. 4.101.
Δείξτε τίς σχέσεις
(17)
Ρίχνουμε
6
(b)
4.102.
fva
ζάρι
φορές.
113.
Ύπολογίστε την πιθανότητα νά lpθouv
(α)
άσος,
1
δυάρια καί
2
3
τριάρια,
όλα τά δυνατά άποτελέσματα μιά φορά.
Ένα κουτί περιέχει ενα πολύ μεγάλο πλήθος κόκκινων, άσπρων, μπλέ καί κίτρινων σφαιρών σέ άναλογία
2: 1. Ύπολογίστε 1 κίτρινη, (b) 8
4.103.
της σελ.
τήν πιθανότητα νά τραβήξουμε σέ κόκκινες καί
2
τραβήγματα
10
(α)
4
κόκκινες,
άσπρες,
3
2
4: 3 :
μπλέ καί
κίτρινες σφαίρες.
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά μή φέρουμε
ή
1, 2
3
σέ
τέσσερις
ρίψεις tνός ζαριου.
ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.104.
Άπό ί:\να κουτί μέ
τηση.
4.105.
5
'Εάν διαλέξουμε
13
10
άσπρες σφαίρες βγάζουμε στην τύχη
•Από 60
(α)
(α)
6
νά είναι φιγουρες,
(b)
ύποψήφιους σέ μιά άνώτερη σχολή οί
ποιά είναι ή πιθανότητα
4.107.
Λύστε τό Πρόβλ.
4.108.
Δείξτε άπ'
κόκκινες,
4
8 σφαίρες χωρίς έπανατοποθέ (b) δλες άσπρες, (C) τουλάχιστο μιά κόlC1Cινη
χαρτιά στήν τύχη καί χωρίς έπανατοποθέτηση όπό μιά τράπουλα τών
στε τήν πιθανότητα
4.106.
κόκκινες καί
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά είναι
4.106
(α)
10, (b)
τό πολύ
2
είναι άνήλικοι.
40 άπ'
μέ τη διωνυμική προσέγγιση
εύθείας ότι ή σχέση
(22)
τής σελ.
114
52
χαρτιών, ύπολογί
νά μήν περιέχουν φΙ-Υούρα.
'Εάν διαλέξουμε τυχαία
ύποψήφιους,
20
αύτούς νά είναι άνήλικοι;
ή
(18)
(24)
καί έξετάστε την άκρίβεια της προσεγγίσεως.
δίνει τή σχέση
(1)
της σελ.
108,
δταν
Ν ~
00.
ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.109.
Έστω ότι ή Χ είναι όμοιόμορφα κατανεμημένη στό διάστημα
(b) Ρ(ΙΧ
-11
Ε
-2
~ χ ~
2.
Ύπολογίστε τίς
(α) Ρ(Χ
<]
-!).
4.110.
Προσδιορίστε τή ροπογεννήτρια της όμοιόμορφης κατανομης.
4.111.
Ύπολογίστε Υιά τήν όμοιόμορφη κατανομή τίς ροπές
4.112.
Ύπολογίστε τούς συντελεστές
4.113.
'Εάν οί Χ καί
(α) άσυμμετρίας καί
(α) τρίτης καί
(b) τέταρτης τάξεως περί τη μέση ΤΨ"
(b) κυρτώσεως τής όμοιόμορφης κατανομής.
Υ είναι άνεξάρτητες καί όμοιόμορφα κατανεμημένες στό διάστημα άπό
Ο lως
1,
ύπολογίστε τήν
Ρ(!Χ-ΥΙ ~.μ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ
4.114.
'Εάν ή τυχαία μεταβλητή (α) Ρ(Χ
4.115.
CAUCHY
< 2),
Χ άκολουθεί τήν κατανομή του
Cauchy
[έξ.
(29),
σελ.
J 14)
μέ
α
= 2, ύπολΟΥίστε ~Ις
(b) Ρ(Χ2;;;; 12).
Δείξτε ότι τό μισοκεντρικό πλάτος τής κατανομης του
Cauchy
εΙναι α.
Γιατί στην περίπτωση αύτή χρησιμοποιεί
ται τό μισοκεντρικό πλάτος άντί τής τυπικής άποκλίσεως;
4.116.
Δείξτε ότι, έάν οΙ
ΧΙ καί Χ 2 είναι άνεξάρτητες καί ή κάθε μιά όκολουθεί την ίδια κατανομή του
Cauchy,
τότε
Χ 2 άκολουθεί τήν τυπική κανονική καταν
.ή.
τήν ίδια κατανομή άκολουθεί καί δ μέσος δρος τους.
4.117. 4.118.
Γενικευστε τό Πρόβλ.
4.116.
Ή κάθε μιά ιJ.πό τίς άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ΧΙ καί
Δείξτε ότι ή
Υ
= Χ Ι /Χ2
εχει κατανομή τού
Cauchy.
ΚΑΤΑΝΟΜΗ Γ ΑΜΑ
4.119.
'Επαληθευστε δτι ή σχέση
(31)
της σελ.
115
δίνει μιά συνάρτηση πυκνότητας.
Κ Ε Φ.
Έάν ή Χ εχει κατανομή γάμα μέ
4.121.
'Υπολογίστε τίς πιθανότερες τιμές της κατανομής γάμα.
Έπαληθευστε τίς έιcφράσεις
(33)
α
= 3,
4.120.
4.122.
149
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤ ΑΝΟΜΕΣ
4
τής σελ.
β
= 2,
ύπολογίστε τίς
(α) Ρ(Χ;:Ξ Ι),
(b) Ρ(I;:Ξ Χ;:ΞΞ 2).
Ύιά τή ροπογεννήτρια καί 'τή χαρακτηριστική συνάρτηση τής
115
κατανομής γάμα.
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΒΗΤΑ
4.123.
Έπαληθευστε ότι ή σχέση
4.124.
Μιά τυχαία μεταβλητή Χ l:XEl ιcατανoμή βήτα μέ
4.125.
Δείξτε ότι ή ιcατανoμή βήτα l:χει μιά μόνο πιθανότερη τιμή
(34)
της σελ.
115
δίνει μιά συνάρτηση πυκνότητας.
(Χ::: 3,
β
Ύπολογίστε τήν Ρ(ΙΧ
= 2. χ
=
(α -
1)/(α
+β-
- ·!Ι ~
:1).
2).
ΚΑΤΑΝΟΜΗ χΙ
4.126.
Γιά μιά κατανομή x~ μέ ξιά του x~ είναι
4.127.
ΎπολΟΎίστε (α)
4.128. 4.129.
8, (b)
τίς τιμές
Ι!),
12 βαθμούς έλευθερίας ύπολογίστε τήν τιμή του χ; γιά τήν όποία (α) τό έμβαδό δε (c) τό έμβαδό δεξιά του χΖ ε{ναι 0.025.
(b) τό έμβαδό άριστερά του χ; είναι 0.99,
0.05,
(c) 28,
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
του «Ι)
4.127,
χ 2 γιά
40
τίς
όποίες τό
πρός
τά
δεξιά έμβαδό
τής
ιcατανoμής χ 2 είναι
0.05
γιά
βαθμούς έλευθερίας.
έάν τό πρός τά δεξιά έμβαδό είναι
0.01.
(α) 'Υπολογίστε τά x~ ιcαί χΞ, έάν τό μεταξύ τους έμβαδό είναι έλευθερίας ΙCαί τά ύπόλοιπα δύο έμβαδά 'ίσα.
0.95 γιά κατανομή χ 2 μέ .'
= 20
βαθμούς
(b) Έάν δέν ύποθέσουμε ότι τά δύο (δεξιό καί άριστερό) έμβαδά
είναι 'ίσα, ύπολογίζονται τά x~ καί x~;
4.130.
Έάν ή τυχαία μεταβλητή υ άκολουθεί κατανομή χ 2 μέ
P(U> χΞ) = 0.025, (b) P(U
< xi) = 0.50, (c)
4.131.
Ύπολογίστε τά
(α) x.~.5 καί
4.132.
Ύπολογίστε τά
(α) X.t25 καί (b) x.~7S . γιά
4.133.
(b) χ1ιs γιά ρ
ρ
= 7,
Ρ(χi;:Ξ υ ~ x~)
ύπολογίστε τά
xi καί x~ γιά τά όποία
= 150.
"= 250. 10";- Ζρ....[2;., όπου Ζιι είναι
Δείξτε ότι Ύιά μεγάλες τιμές του ρ μιά ιcαλή προσέπιση του X~, δίνει ή εκφραση τό 100ρ-οστό έΙCαΤOστιαίO σημείο τής τυπικής ιcανoνΙKής κατανομής.
4.134.
Δείξτε ότι
ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.135.
.t
έμβαδό δεξιά του
t1
ως
= Ι',
(b) Var(x2)
= 2'0.
t ΤΟΥ STUDENT
Γιά τήν ιcατανoμή ναι
4.136.
(α) Ε(χ2)
(α)
= 0.90.
0.10,
tl
είναι
του
Student μέ 15 βαθμούς έλευθερίας ύπολογίστε τήν τιμή του t 1 γιά την όποία (α) τό 0.01, (b) τό έμβαδό άριστερά του t l είναι 0.95, (c) τό έμβαδό δεξιά του t 1 εί έμβαδό δεξιά του t] ιcαί άριστερά του - t 1 είναι 0.01, (e) τό έμβαδό άπό -t l ε
είναι
(d) τό όλιιcό
0.95.
ΎπολΟΎίστε τίς τιμές του t Ύιά τίς όποίες τό πρός τά δεξιά έμβαδό στήν κατανομή 4, (b) 12, (c) 25, (d) 60, (e) 150 βαθμούς έλευθερίας.
t του Student είναι 0.01 "(ιά
(α)
4.137.
4.138.
=
=
Έάν ή τυχαία μεταβλητή (α)
4.139.
=
Ύπολογίστε τό t 1 στήν κατανομή t του Student, έάν (α) τό έμβαδό άπό - t 1 εως t 1 είναι 0.90 καί ι' 25, (b) τό έμβαδό άριστερά του -t l είναι 0.025 καί ι' 20, (c) τό όλικό έμβαδό δεξιά του t 1 ιcαί άριστερe του - t l είναι 0.01 καί ρ = 5, ((l) τό έμβαδό δεξιά του t l είναι 0.55 ιcαί ν 16.
U άκολουθεί την κατανομή t μέ /Ι = 10, ύπολογίστε τήν c l:τσι ώστε νά εΙ,,-αι P(U> c/ = 0.05, (b) P(-c ~ U ~ c) = 0.98, (c) P(U ~ c) = 0.20, (d) P(U ~ c) = 0.90.
Δείξτε ότι ή "ατανομή t μέ ενα βαθμό έλευθερίας ε\ναι μιά κατανομή του Cauchy.
11
•
44
ΕΜ&Μ
2
.. 2i
2
F
150 4.140.
Δείξτε δτι γιά
ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.141.
Ρ> 2 ή διασπορά τής κατανομής
2).
'Υπολογίστε τά:
u =
Ο εως
Δείξτε τίς σΊέσεις
4.144.
Δείξτε ότι τό Θεώρ.
(46)
τής σελ.
4-8
4-10
τής σελ.
τής σελ.
(Ι) F. Ol ,8.8·
= P2u/(pt
της σελ.
(45)
117
είναι ίσο
+ P2U). ]
ιι 7 .•
118.
ΣXEΣElΣ ΜΕΤΑΞγ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ χ 2 , Δείξτε τό Θεώρ.
F. 05 ,9,20,
co τής συναρτήσεως ΠUlCVότητας
[Ύπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τό μετασχηματισμό v
4.143.
(ε)
(c) F. 99 ,60,24, (d) F. 01 • 30 ,l2,
F.99.120,60,
Έπαληθευστε ότι τό όλοκλήρωμα άπό
μέ Ι.
4.145.
του Student είναι ν!(ν -
t
4
F
(α) F. 95,15.12, (b)
4.142.
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
t
u =
[Ύπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τό μετασΊηματισμό
ΚΑΙ
Ι/ν.]
F
118.
ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
4.146.
'Εάν οί Χ καί Υ εχουν κοινή συνάρτηση πυκνότητας
b2
καί
4.147.
< ac,
f(x, Υ)
= ke-(ar
2
+2bXY+ Cy 2)
μέ
α, b, c, k
σταθερέ
δείξτε ότι άκολουθοϋν διδιάστατη κανονική κατανομή.
Έάν οί Χ καί Υ εΊουν κοινή συνάρτηση πυlCVότητας τήν
(49) της σελ. 118, δείξτε ότι ο{ διασπορές των π ο -
ριθώριων κατανομων ε{ναι άντίστοιχα σr καί σ~. ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
4.148,
'Υπολογίστε προσεγγιστικά τήν παράσταση
(3~O
)
(0.02)2 (0.98)298
+ (3~O) (0.02)3 (0.98)297
καί δώστε μιά ερμηνεία μέ πιθανότητες.
4.149.
Έάν ή
Χ εχει κανονική κατανομή μέ μέση τιμή
έλευθερίας;
4.150.
Βλέπε Πρόβλ.
μ καί διασπορά
εΊει ή
Χ2 κατανομή
Γενικεύστε τό Πρόβλ. 4.37 δείχνοντας 6τι, έάν οί άνεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές
Χι,
... , Χρ
κανονική κατανομή μέ μέση τιμή σ καί διασπορά 1, τότε ή ~ x~ εχει κατανομή χ 2 μέ ρίας.
βαΕ
•
v
βαθμούς έλε1 :-
Ι<=Ι
Έάν
Χι,
... , X n
είναι άνεξάρτητες Ισόνομες τυχαίες μεταβλητές μέ κατανομή
έλευθερίας άντίστοιχα, προσδιορίστε τήν κατανομή τής
4.152.
1
εΊουν ή κάθε μ,ά
v
4.151.
χ 2 μέ
4.36.
ΧΙ
χ 2 καί
Δείξτε άπ' εύθείας τά άποτελέσματα του Πρόβλ. 4.8 ύπολογίζοντας τά άθροίσματα (α) n
( b) ~
Ρι,""
Pn βαθ~
,ς
+ ... + X n • n!
n
~ χ---::--:----;-:
χ=Ο
χ! (n -
Χ)
!
αί
!
2 n. χ=Ο Χ Χ! (n-x)!
4.153.
Προσδιορίστε τη ροπογεννήτρια της ύπεργεωμετρικής κατανομής.
4.154.
Ή κάθε μιά άπό τίς άνεξάρτητες μεταβλητές
X k, k
= 1, ... , n,
άκολουθεί γεωμετρική κατανομή.
Δείξτε δτι
n
ή
~ Xk
άκολουθεί κατανομή του Pascal.
k=l
4.155.
4.156.
Μπορεί ό άσθενής νόμος των μεγάλων ό.ριθμών νά προκύψει άπό τό κεντρικό όριακό θεώρημα;
Δείξτε τό κεντρικό όριακό θεώρημα στήν περίπτωση πού οι εΊουν τήν ίδια κατανομή.
4.157.
Δείξτε τη γενική έξίσωση
(8)
τού Προβλ.
4.60.
ΧΙ, Χ 2 , •.•
Γιατί;
είναι άνεξάρτητες, άλλά YEvtl(u δέ\'
4
4.158.
Δείξτε τό Θεώρ.
4.159.
Δείξτε δτι
4-5
τής σελ.
116.
-2αλ'" Ο
7r
+α
(20)
4.161.
Δείξτε δτι, δταν ι,
.... "',
4.162.
Έξετάστε τί συμβαίνει στή διασπορά τής κατανομής
(23)
τής σελ.
(α> Ο,
dx
2
Δείξτε τίς σχέσεις
ή κατανομή
+ 1'2
δπου
k
τοϋ
τείνει στήν κανονική κατανομή.
Student
fva
t,
δταν
(α)
1'=1,
μόριο {δανικοϋ άερίου ταχύτητα μεταξύ V
καί Τ εΙναι άντίστοιχα ή σταθερή τοϋ (α) τή
ταχύτητα
> Ο)
F,
(b) 1'=2. δταν
(α) 1'2
= 2.
Ή πιθανότητα νά fχει
γίστε
LJ
114.
Έξετάστε τί συμβαίνει στή μέση τιμή καί τή διασπορά τής κατανομής
(c) νι
4.164.
καί
cOSUJX
χ2
4.160.
4.163.
151
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤ ΑΝΟΜΕΣ
Κ Ε Φ.
σταθερή
(δηλ.
τήν
τή
μέση
τετραγωνική
ρίζα
c,
(b)
Boltzmann
ταχύτητα,
τής
μέσης
καί 1'..J.. (lυ
(b)
τοϋ
άποτελέσματα μέ αύτά πού προκύπτουν άπό τήν κατανομή τοϋ
τετράγωνου
Maxwell
τής
της σελ.
1'2
= 4,
είναι
καί ή άπόλυτη θερμοκρασία τοϋ άερίου.
(c) τήν πιθανότερη ταχύτητα, τιμής
= 2,
!d)
τή
μέση
ταχύτητας).
"Υπολο
τετραγωνική
Συγκρίνετε
119.
& &
τά
-
ΜΕΡΟΣ
11
ΣΤΑΤΙΣΤΙΙ(Η
~.~
2&
222#
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
5
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΕΙΓΜΑ.
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ
Στήν πράξη θέλουμε συχνά νά βγάλουμε συμπεράσματα γιά μιά μεγάλη όμάδα άτόμων ή άντι
κειμένων.
'Αντί νά μελετήσουμε όλόκληρη τήν όμάδα, τόν πληθυσμό σπως λέμε, πού εΙναι δύσκολο
ή άδύνατο, μπορούμε νά έξετάσουμε ενα μικρό μέρος αύτου τού πληθυσμου, δηλ. ενα δείγμα.
Αύτό
γίνεται μέ σκοπό νά συμπεράνουμε κάτι γιά τόν πληθυσμό άπό τά άποτελέσματα έξετάσεως του
δείγματος.
Οί άρχές καί οί μέθοδοι πού χρησιμοποιούνται γιά τό σκοπό αύτό άποτελουν τή Στα
τιστική Συμπερασματολογία. Παράδειγμα
5.1.
Γιά ενα πλήθος
Ή διαδικασία λήψεως ενός δείγματος καλείται δειγματοληψία.
12,000 100
ή τό ύψος τους έξετάζοντας μόνον Παράδειγμα
5.2.
ένήλικων φοιτητών (αύτός ε{ναι ό πληθυσμός) ζητάμε νά μελετήσουμε τό βάρος φοιτητές (τό δείγμα).
Ζητάμε νά βγάλουμε συμπεράσματα γιά τό ποσοστό τών έλαττωματικών βιδών άπό τήν tξαήμερη παραγω
γή ένός έργοστασίου έξετάζοντας
20
τυχαίες βίδες άπό τήν παραγωγή κάθε ήμέρας.
βιδών τής έξαήμερης παραγωγής άποτελεί τόν πληθυσμό, ένώ οί Παράδειγμα
5.3.
120
Στήν περίπτωση αύτή τό σύνολο τών
βίδες τό δείγμα.
Ζητάμε νά έξετάσουμε έάν ενα νόμισμα ε{ναι κανονικό ή όχι ρίχνοντάς το πολλές φορές.
περιλαμβάνει όλες τίς δυνατές ρίψεις.
Ό πληθυσμός
Ένα δείγμα μπορεί νά ληφθεί, έάν ξεχωρίσουμε μερικές ρίψεις, π.χ. τίς πρώτες
60,
καί σημειώσουμε πόσες φορές ήρθε «κεφάλι» καί πόσες «γράμματα».
Παράδειγμα
5.4.
Ζητάμε νά βγάλουμε συμπεράσματα γιά τά χρώματα
200
σφαιρών (πληθυσμός) βγάζοντας
20
σφαίρες
(δείγμα) άπό τό κουτί πού περιέχει τίς σφαίρες μέ έπανατοποθέτηση ή χωρίς έπανατοποθέτηση.
Μερικά σημεία πρέπει νά τονιστούν ίδιαίτερα.
Πρώτο, ή λέξη πληθυσμός δέ σημαίνει γενικά
δ,τι στήν καθημερινή γλώσσα, σπω ς Π.χ. στή φράση «πληθυσμός τής' Αθήνας».
Δεύτερο, ή λέξη
πληθυσμός δηλώνει συχνά ενα πλήθος παρατηρήσεων ή μετρήσεων άντί γιά πλήθος άτόμων ή
ηκειμένων.
'Έτσι μπορούμε νά θεωρήσουμε δτι στό Παράδ.
βάρη ή ϋψη καί στι στό Παράδ.
5.4
5. Ιό
πληθυσμός περιλαμβάνει
ό πληθυσμός περιλαμβάνει τά χρώματα τών
200
άν
12,000
σφαιρών.
Τρίτο, ό πληθυσμός μπορεί νά περιλαμβάνει πεπερασμένο (συνήθως) ή άπειρο πλήθος στοιχείων.
Τό πλήθος αύτό παριστάνεται μέ Ν καί καλείται μέγεθος του πληθυσμου. του δείγματος καλείται μέγεθος του δείγματος καί συμβολίζεται μέ 11.
12.000,
1/
= 100, ένώ
στό Παράδ.
5.3
τό Ν είναι άπειρο καί 11
Τό πλήθος των στοιχείων Στό Παράδ.
= 60.
5.1
είναι Ν
=
ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΜΕ ΚΑΙ ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ
'Εάν βγάλουμε ενα άντικείμενο άπό ενα κουτί, μπορούμε νά τό ξαναβάλουμε
ξαναβάλουμε πρίν βγάλουμε ενα άλλο.
ή νά μήν τό
Στήν πρώτη περίπτωση τό 'ίδιο άντικείμενο μπορεί νά βγεί
πολλές φορές, ένω στή δεύτερη μόνο μιά φορά.
'Έτσι εχουμε δειγματοληψία μέ έπανατοποθέτηση,
σπου ενα στοιχείο του πληθυσμού μπορεί νά έκλεγεί πολλές φορές, καί δειγματοληψία χωρίς έπανα τοποθέτηση, σπου ενα στοιχείο του πληθυσμΟύ μπορεί νά έκλεγεί τό πολύ μιά φορά. 'Ένας πεπερασμένος πληθυσμός μπορεί νά θεωρηθεί άπειρος σέ δειγματοληψία μέ έπανατοπο
θέτηση, έπειδή μπορουμε νά πάρουμε δείγματα όποιουδήποτε μεγέθους.
Σέ πολλές περιπτώσεις
στήν πράξη, άκόμα καί δειγματοληψία χωρίς έπανατοποθέτηση άπό εν αν πολύ μεγάλο πληθυσμό μπορεί νά θεωρηθεί σάν δειγματοληψία άπό άπειρο πληθυσμό.
155
&
Δ
Ε
156
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ. ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Είναι φανερό ότι τά συμπεράσματα γιά τόν πληθυσμό θά είναι σωστά, έάν τό δείγμct έκλεγεί ετσι ώστε νά άντιπροσωπεύει τόν πληθυσμό άρκετά καλά.
'Ένα άπό τά σπουδαία προβλήματα τής Στατι
στικής Συμπερασματολογίας είναι ό τρόπος έκλογής ενός δείγματος. Ένας τρόπος έκλογής ενός δείγματος είναι νά διαλέξουμε ετσι τό δείγμα ώστε κάθε στοιχείο τού πληθυσμΟύ νά εχει την ίδια πιθανότητα νά είναι στό δείγμα.
Έχουμε τότε ενα τυχαίο δείγμα.
Άπό
ενα μικρό σχετικά πληθυσμό μπορούμε νά πάρουμε ενα τυχαίο δείγμα χρησιμοποιώντας κλήρους
1'1
εναν πίνακα τυχαίων άριθμών (Παράρτημα Ι), πού εχουν είδικά βρεθεί γιά τέτοιους σκοπούς (βλέπε Πρόβλ.
5.43).
Γενικά όμως, συμπεράσματα γιά τόν πληθυσμό άπό ενα δείγμα είναι σωστά μέ κάποια πιθανότητα καί όχι βεβαιότητα.
Γιά πεπερασμένο πληθυσμό μερικοί συγγραφείς περιορίζουν τήν εννοια τού
τυχαίου δείγματος σέ δειγματοληψία μέ έπανατοποθέτηση μόνον.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ
Ένας πληθυσμός θεωρείται γνωστός, όταν γνωρίζουμε τήν κατανομή πιθανότητας f(x) (συ νάρτηση πιθανότητας
1'1
συνάρτηση πυκνότητας) γιά ενα μέγεθος πού χαρακτηρίζει τά στοιχεία τού
πληθυσμού καί παριστάνεται άπό μιά τυχαία μεταβλητή Χ.
Π.χ. στό Παράδ.
παριστάνει τό βάρος ή τό ϋψος καθ' ενός άπό τούς
φοιτητές.
12,000
5.1
ή Χ μπορεί νά
'Εάν ή Χ άκολουθεί την κανονική κατανομή, λέμε ότι ό πληθυσμός ε{ναι κανονικά κατανεμημέ
νος
1'1
ότι εχουμε κανονικό πληθυσμό.
'Όμοια, εάν ή Χ εχει διωνυμική κατανομή, λέμε ότι ό πλη
θυσμός είναι διωνυμικά κατανεμημένος η ότι εχουμε διωνυμικό πληθυσμό.
Στην Εκφραση τής f(x) άναμένεΊαι νά ύπάρχουν όρισμένες παράμετροι, όπως μ καί σ στήν περίπτωση τής κανονικής κατανομής καί Ρ στήν περίπτωση τής διωνυμικής.
~Αλλες παράμετροι
(π.χ. ροπές, συντελεστές άσυμμετρίας καί κυρτώσεως, κτλ.) μποροϋν νά ύπολογιστοϋν.
καλούνται παράμετροι πληθυσμοϋ.
'Όταν ό πληθυσμός δίνεται, γνωρίζουμε τήν
j(X),
'Όλες αύτές
καί συνεπώς
είναι γνωστές καί οί παράμετροι τού πληθυσμού.
Ένα σπουδαίο πρόβλημα προκύπτει, όταν ή
j(X)
τού πληθυσμΟύ δέν είναι γνωστή άκριβώς,
άλλά γνωρίζουμε μόνον όρισμένες ίδιότητές της η εχουμε μιά γενική ίδέα τής συμπεριφορας της. Έτσι Π.χ. μποροϋμε νά εχουμε ένδείξεις ότι ενας πληθυσμός είναι κανονικά κατανεμημένος, άλλά νά μή γνωρίζουμε τίς τιμές τών μ καί σ τοϋ πληθυσμού, όπότε θά πρέπει νά τίς έκτιμήσουμε.
ΣΤΑΠΣΠΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Μποροϋμε νά πάρουμε τυχαία δείγματα άπό εναν πληθυσμό καί νά χρησιμοποιήσουμε αύτά τά δείγματα γιά νά έκτιμήσουμε τίς παραμέτρους τού πληθυσμού.
Έστω ότι στό Παράδ.
θυσμοϋ.
5.1
ή τυχαία μεταβλητή Χ παριστάνει τό ύψος τών φοιτητών τού πλη
Γιά νά διαλέξουμε ενα δείγμα
100
φοιτητών, άρχίζουμε διαλέγοντας ενα φοιτητή.
'Εάν
χι είναι τό ύψος τού φοιτητή, μποροϋμε νά θεωρήσουμε τό Χι σάν τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής Χι, πού παριστάνει τό ύψος τοϋ φοιτητή πού διαλέγεται πρώτος (δείκτης
1).
ΠΟ μοια διαλέγουμΕ
στήν τύχη ενα δεύτερο φοιτητή καί, αν Χ2 τό ϋψος του, θεωρούμε τό Χ2 σάν τιμή μιας τυχαίας μετα· βλητής Χ2, πού παριστάνει τό ϋψος τού φοιτητή πού διαλέγεται δεύτερος.
μέχρι τήν
Χ ιοο , άφοϋ τό μέγεθος τού δείγματος είναι
100.
Έτσι συνεχίζουμε
Γιά άπλότητα δεχόμαστε ότι ή δειγ
ματοληψία είναι μέ έπανατοποθέτηση, όπότε κάθε φοιτητής μπορεί νά έκλεγεί καμία, μία η περισ σότερες φορές.
~ Ας σημειωθεί όμως ότι, έπειδή τό δείγμα είναι πολύ μικρότερο άπό τόν πληθυσμό,
δέν εχει ούσιαστική σημασία αν ή δειγματοληψία είναι μέ η χωρίς έπανατοποθέτηση.
Κ Ε Φ.
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
Στή γενική περίπτωση ενα δείγμα μεγέθους τών τυχαίων μεταβλητών Χι, Χ 2 ,
Xn
••• ,
157
μπορεί νά περιγραφεί άπό τίς τιμές Χι, Χ2, ••• , X n
n
Σέ δειγματοληψία μέ έπανατοποθέτηση οί Χι, Χ 2 ,
Χ".
εΙναι άνεξάρτητες καί ίσόνομες μέ κατανομή πιθανότητας (ή κάθε μιά) f(x).
••• ,
Ή κοινή κα
τανομή πιθανότητας είναι
Ρ(Χ ι
= ΧΙ, Χ2 = Χ2,
•.• , Χ"
= Χ,,) =
(1)
f'(XI) f(Xz) ... f(Xn)
Μιά ποσότητα πού προκύπτει άπό ενα δείγμα στή διαδικασία έκτιμήσεως τών παραμέτρων του πληθυσμου καλείται στατιστική δειγματική συνάρτηση ή άπλά στατιστική συνάρτηση ή δειγματοσυνάρ τηση.
Μαθηματικά μιά στατιστική συνάρτηση γιά ενα δείγμα μεγέθους 1L μπορεί νά όριστεί ώς μιά
συνάρτηση
g(X J ,
••• ,
ΧΙ!) τών τυχαίων μεταβλητών Χι,
εΙναι μιά τυχαία μεταβλητή μέ τιμές Ρ(λ~l,
... , Χ,,).
... , Χ".
Ή συνάρτηση g(X l ,
... ,
Χ,,)
Ή Στατιστική έξετάζει τέτοιες τυχαίες μετα
βλητές καί τίς τιμές τους.
Σέ κάθε παράμετρο του πληθυσμου θά ύπάρχει μιά άντίστοιχη στατιστική συνάρτηση άπό ενα
δείγμα.
Συνήθως, ή μέθοδος ύπολογισμου τής τιμής τής στατιστικής συναρτήσεως άπό τό δείγμα
είναι σμοια μέ τή μέθοδο ύπολογισμου τής παραμέτρου άπό εναν (πεπερασμένο) πληθυσμό
υΟ πως
σμως θά δουμε, ό τρόπος αύτός μπορεί νά μή δίνει τήν «καλύτερη έκτίμησψ> γιά τήν παράμετρο.
'Ένα σπουδαίο πρόβλημα στή θεωρία δειγματοληψίας είναι ή εϋρεση τής κατάλληλης στατιστικής συναρτήσεως πού θά μας δώσει τήν καλύτερη δυνατή έκτίμηση γιά μιά παράμετρο του πληθυσμου. Τέτοια προβλήματα θά συναντήσουμε σέ έπόμενα κεφάλαια. Γενικά, θά χρησιμοποιήσουμε έλληνικά γράμματα (π.χ. τρους του πληθυσμου καί λατινικά (π.χ.
μ., σ) γιά νά συμβολίσουμε τίς παραμέ
γιά τίς τιμές τών άντίστοιχων στατιστικών συναρ
m, s)
τήσεων.
ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗωΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
'Όπως εϊδαμε, μιά στατιστική συνάρτηση είναι μιά τυχαία μεταβλητή πού είναι συνάρτηση τών
τυχαίων μεταβλητών Χι,
... , Χ"
ένός δείγματος.
V
Αρα μπορουμε νά μιλαμε γιά κατανομή πιθανό
τητας μιας στατιστικής συναρτήσεως, πού καλείται δειγματοληπτική κατανομή ή κατανομή δειγμα τοληψίας.
'Εάν θεωρήσουμε σλα τά δυνατά δείγματα μεγέθους π πού μπορουμε νά πάρουμε άπό εναν πλη θυσμό, εχουμε γιά κάθε δείγμα μιά τιμή γιά τή στατιστική συνάρτηση.
νΕτσι εχουμε τήν κατανομή
τής στατιστικής συναρτήσεως, δηλ. τή δειγJ1ατοληπτική κατανομή. 'Από τή δειγματοληπτική κατανομή μιας στατιστικής συναρτήσεως μπορουμε νά ύπολογίσουμε μέση τιμή, τυπική άπόκλιση, ροπές, κτλ.
Ή τυπική άπόκλιση καλείται καί τυπικό σφάλμα.
Η ΔΕΙΓΜΑ ΤΙΚΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
'Εάν Χι, Χ 2 ,
••• ,
Χ" είναι οί τυχαίες μεταβλητές γιά ενα δείγμα μεγέθους Ι/, καλείται δειγμα-
τική μέση τιμή ή μέση τιμή δείγματος ή τυχαία μεταβλητή
Χ 'Εάν Χι, Χ2, ••• , χ"
=
ΧΙ
+ Χ 2 + ... + X n
(2)
1/
εΙναι οί τιμές τών τυχαίων μεταβλητών σ' ενα όρισμένο δείγμα, τότε ή μέση
τιμή α lJτου του δείγματος είναι ,λΊ
+
.ι'2
+ ... + :ι:/Ι
(3)
11 Παράδειγμα 5.5.
Σ' fva δείγμα μεγέθους 5 ο{ τιμές τών τυχαίων μεταβλητών είναι 7, 9, 1, 6, 2.
Συνεπώς ή μέση τιμή
τοϋ δείγματος αύτοϋ εΙναι χ
=
-
7+9+1+6+2 5
=
.)"-~-).~"\",~ ..;,.:-;~ JMk2M&
5
$12
158
5
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
'Έστω
f(x)
Τι κατανομή πιθανότητας ένός πληθυσμου.
Έάν πάρουμε ενα δείγμα μεγέθους
n
ά
πό τόν πληθυσμό, είναι φυσικό νά ζητήσουμε τήν κατανομή πιθανότητας τής στατιστικής συναρ
τήσεως
Χ.
Αύτή είναι Τι δειγματοληπτική κάτανομή τής μέσης τιμής τού δεiyματος ή κατανομή τής
δειγματικής μέσης τιμής.
Σχετικά είναι τά παρακάτω θεωρήματα.
θεώρημα 5-1: Ή μέση τιμή
μχ
τής δειγματικής μέσης τιμής Χ εΙναι
Ε(Χ)
=
μχ = μ
(4)
όπου μ ή μέση τιμή του πληθυσμοϋ. Σύμφωνα μέ τό θεώρημα αύτό ή άναμενόμενη τιμή τής δειγματικής μέσης τιμής ίσουται μέ
θεώρημα
5-2:
μ.
Έάν ενας πληθυσμός είναι απειρος ή έάν ή δειγματοληψία εΙναι μέ έπανατοπο
θέτηση, τότε ή διασπορά
σ~ τής δειγματικfjς μέσης τιμης είναι
Ε[(Χ - μ)2] = σΙ = :
(5)
όπου ~ ή διασπορά του πληθυσμου. θΒώρημα
5-3:
Έάν ό πληθυσμός εχει μέγεθος Ν καί πάρουμε δείγμα μεγέθους νατοποθέτηση, τότε άντί γιά τήν
(5)
η
=
σ~ ένώ
ή
μχ
νΑς σημειωθεί ότι ή
θεώρημα
5-4:
δίνεται άπό τήν
(6)
δίνει τήν
(5),
~ Ν χωρίς έπα
n
εχουμε
- n)
2
σ (Ν n Ν-1
(4). όταν N~
00.
Έάν ό πληθυσμός άπ' όπου παίρνουμε τά δείγματα είναι κανονικός μέ μέση τιμή μ καί διασπορά σ 2 , τότε ή δειγματική μέση τιμή εχει κανονική (δειγματοληπτικτ
κατανομή μέ μέση τιμή μ καί διασπορά θεώρημα
5-5:
U2!n.
Έάν ό πληθυσμός άπ' όπου παίρνουμε τά δείγματα εχει κάποια κατανομή (ό~
άναγκαστικά κανονική) μέ μέση τιμή μ καί διασπορά
~, τότε ή (άντίστοιχη σττ\
Χ) τυποποιημένη μεταβλητή Ζ
εΙναι άσυμπτωτικά κανονική, δηλ.
1im Ρ(Ζ ~ Ζ) =
n-"" Τό Θεώρ.
5-5
_1_ νf2:;
Ι% e- u2I2 dιι
(8)
-oc
είναι συνέπεια του κεντρικοϋ όριακου θεωρήματος τής σελ.
112.
βέβαια ότι ό πληθυσμός είναι απειΡος ή ότι ή δειγματοληψία είναι μέ έπανατοποθέτηση.
τικά τό σ!y'n στήν
Δεχόμαc.; Διαφορε
(7) πρέπει νά άντικατασταθεί άπό τό σχ της (6).
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ
'Έστω ότι ενας πληθυσμός είναι απειρος κ{Ιί διωνυμικός μέ Ρ καί
q
= 1-
Ρ
άντίστοιχα
ς
πιθανότητες νά εχει (έπιτυχία) ή νά μήν εχει (άποτυχία) ενα στοιχείο του πληθυσμου μιά όρισμένη
Ιδιότητα. μέ
Ρ
=
t
'Ένα παράδειγμα άποτελεί ό πληθυσμός όλων τών δυνατών ρίψεων ένός νoμίσμα~'-"ς τήν πιθανότητα μιά όρισμένη ρίψη νά δώσει «κεφάλι».
= Κ Ε Φ.
159
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
Θεωρουμε όλα τά δυνατά δείγματα μεγέθους 1'Ι άπό τόν πληθυσμό αύτό καί γιά κάθε δείγμα θεωρουμε τή στατιστική συνάρτηση πού παριστάνει τήν άναλογία ή τό ποσοστό των επιτυχιων στό
δείγμα.
νΕχουμε ετσι τή δειγματοληπτική κατανομή της δειγματικης άναλογίας tπιτυχιών μέ μέση τιμή
καί τυπική άπόκλιση άντίστοιχα
σ Οί σχέσεις αύτές προκύπτουν άπό τίς Γιά μεγάλες τιμές του
n (n ΞΞΞ 30)
(4)
~ pq
=
ρ
καί
n
~ ρ(l - ρ)
=
αν θέσουμε μ
(5),
(9)
n
=
ρ,
σ
= ffq.
ή δειγματοληπτική κατανομή τής άναλογίας είναι σχεδόν
κανονική, όπως προκύπτει άπό τό Θεώρ.
5-5.
Γιά πεπερασμένο πληθυσμό καί δειγματοληψία χωρίς επανατοποθέτηση ή δεύτερη άπό τίς
σχέσεις (9) πρέπει νά άντικατασταθεί άπό τήν (6) μέ σ νΑς σημειωθεί ότι τά δεξιά μέλη των σχέσεων τυπική άπόκλιση
(9)
ypq.
=
προκύπτουν εύκολα άπό τή μέση τιμή καί τήν
(πρ καί ΥΠΡq) τής διωνυμικής κατανομής μέ διαίρεση μέ
n.
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ
Θεωρουμε δύο πληθυσμούς.
Γιά κάθε δείγμα μεγέθους
ζουμε τήν τιμή μιας στατιστικής συναρτήσεως γιά τό
51
μέ μέση τιμή
fLst
nl
άπό τόν πρώτο πληθυσμό ύπολογί
Έτσι εχουμε μιά δειγματοληπτική κατανομή
51.
καί τυπική άπόκλιση
'Όμοια, γιά κάθε δείγμα μεγέθους 11~ άπό
U ' SI
τό δεύτερο πληθυσμό ύπολογίζουμε τήν τιμή μιας στατιστικής συναρτήσεως
δειγματοληπτική κατανομή μέ μέση τιμή
,-'S
•
καί τυπική άπόκλιση
U
S
S2
καί εχουμε μιά
'
•
Παίρνοντας όλους τούς δυνατούς συνδυασμούς δύο δειγμάτων (ενα άπό τόν πρώτο πληθυσμό καί ενα άπό τό δεύτερο) εχουμε μιά δειγματοληπτική κατανομή της διαφορας gυναρτήσεων.
των στατιστικών
Sl - S2
Ή μέση τιμή καί ή τυπική άπόκλιση τής δειγματοληπτικής αύτής κατανομής συμ
βολίζονται άντίστοιχα μέ μ,SΓS. καί
USI-S.
καί δίνονται άπό τίς σχέσεις
(10) μέ τήν προϋπόθεση ότι τά δείγματα δέν έξαρτώνται τό ενα άπό τό αλλο. άνεξάρτητα, όταν οί
SI
καί
82
Γιά παράδειγμα εστω ότι οί
(Λέμε ότι τά δείγματα είναι
είναι άνεξάρτητες.)
51
καί 5~ είναι οί μέσες τιμές Χ ι καί Χ 2 δύο δειγμάτων άπό δύο
πληθυσμούς μέ πα:ραμέτρους (μέση τιμή καί τυπική άπόκλιση) μι, σι καί 1-'"'2' σ Ζ άντίστοιχα.
σχέσεις
(10)
δίνουν
σ;
Οί
, σ;
--+-πι Π2
'
όπου χρησιμοποιήθηκαν οί
(4)
καί
Οί σχέσεις
(5).
λα καί δειγματοληψία μέ επανατοποθέτηση. Ζ
=
(10)
καί
(11)
(11)
ίσχύουν καί γιά πεπερασμένα σύνο
Ή τυποποιημένη μεταβλητή
(Χι - .Υ) - (μι - μ2)
(12)
. /~ + ~
\J πι
nz
εχει στήν περίπτωση αύτή σχεδόν κανονική κατανομή, έάν τά πι καί 1'Ι2 είναι μεγάλα (1/1, 112 Ξ::
30).
Παρόμοια άποτελέσματα μπορούν νά ληφθΟύν γιά πεπερασμένους πληθυσμούς καί δειγματοληψία χωρίς επανατοποθέτηση, αν χρησιμοποιήσουμε τίς
(4)
καί
(6).
Άντίστοιχα άποτελέσματα προκύπτουν γιά δειγματοληπτική κατανομή τής διαφορας τών πο σοστών άπό δύο διωνυμικούς πληθυσμούς μέ παραμέτρους
περίπτωση αύτή
81
καί
82
1 σ
1'1-Ρ.
n
1)1, ql καί 1)2, q2 άντίστοιχα.
είναι οί άναλογίες τών επιτυχιών Ρ ι καί Ρ2 καί οί σχέσεις
_ ,ι V
-
σ
2
Ρ,
+
σ
2
Ρ.
_
-
Ι PlqI + P2Q2 -
'\1 - ν
Πι
112
! L,
(11)
Στήν
δίνουν
(13)
Εl
160
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
Μερικές φορές ένδιαφερόμαστε γιά τή δειγματοληπτική κατανομή τού άθροίσματος τών στατι στικών συναρτήσεων
καί
Sl
Μέ τόν προηγούμενο συμβολισμό 'ή μέση τιμή καί 'ή τυπική
S2.
άπόκλιση τής δειγματοληπτικής αύτής κατανομής εΙναι
(Η) γιά άνεξάρτητα δείγματα.
'Επίσης μπορούν νά βρεθούν σχέσεις άντίστοιχες μέ τίς
(11).
Η ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ
'Εάν Χι, Χ2,
εΙναι οί τυχαίες μεταβλητές γιά ενα δείγμα μεγέθους
... , X n
n,
τότε 'ή τυχαία.
μεταβλητή πού δίνει τή δειγματική διασπορά ή διακύμανση (ή διασπορά ή διακύμανση τού δείγματος\ εΙναι
'" + (X -XY = (Χ ι -Χ)2+(Χ 2 -Χ)2+ 11 Ε(Χ) = μ, θά ήταν ώραίο νά είχαμε καί E(S?) = σ • 1l
s~
'Επειδή (Θεώρ. 5-1)
2
(1.'5 ) 'Όταν 'ή άναμενόμεν
τιμή μιας στατιστικής συναρτήσεως ίσούται μέ τήν άντίστοιχη παράμετρο τού πληθυσμού, 'ή στατι
στική συνάρτηση καλείται άμερόληπτη ή άβίαστη έκτιμήτρια καί 'ή τιμή της άποτελεί μιά άμερόληΠΤ 11 ή άβίαστη έκτίμηση τής παραμέτρου τού πληθυσμού.
Είναι δμως (Πρόβλ.
5.20)
n -1 "
(1 [)
--σ~
n
πού γιά μεγάλα
n
(π.χ.
π ~
δέ
30)
διαφέρει ούσιαστικά άπό τό
(Χι - Χ)2
_n_S~
+ (Χ 2 -
n-l
Χ)2 1Ι -
σ2 •
'Εάν όρίσουμε
+ ... + (Χ" -
.1")2
(1.
1
τότε εχουμε Άπό τίς σχέσεις αύτές φαίνεται γιατί πολλοί πού χρησιμοποιουν στατιστικές μεθόδους όρίζουν
'. .,. S2 [άντικαθιστουν τό n μέ 1Ι - 1 στόν παρονομαστή χρησιμοποιήσουμε τόν όρισμό (15).
διασπορά ενός δείγματος ίση μέ τής
(15»).
Παράδειγμα
'Εμείς δμως θά
5.6.
Στό Παράδ.
r
η
=
5.5.
S:! άντί γιά
ή διασπορά τού δείγματος (άκριβέστερα ή τιμή της) εΙναι
(4 - 6)2
+
(7 - 6)2
+
(5 - 6)2
+
(8 - 6)2 -r (6 -
5
6'12
-
2
ένω μιά άμερόληπτη έκτίμηση τής διασποράς τού πληθυσμού εΙναι ή
8"2
=
~S2
=
(4 - f})2 -
\1 - 6)2 -'- 1,5 - βμ
4
-'-
(8 - 6)2
+
(6 - 6\2
=
2.5
4
Οί προηγούμενες σχέσεις ίσχύουν γιά δειγματοληψία άπό απειρο πληθυσμό η άπό πεπερασμένο μέ έπανατοποθέτηση.
'Εάν εχουμε δειγματοληψία άπό πεπερασμένο πληθυσμό μεγέθους Ν χωr,Ις
έπανατοποθέτηση, τότε
(19) 'Όταν
Ν ~ cr.., ή σχέση αύτή δίνει τήν
(16).
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Παίρνοντας δλα τά δυνατά δείγματα μεγέθους 11 άπό εναν πληθυσμό καί ύπολογίζοντας τή ί.~J σπορά κάθε δείγματος εχουμε τή δειγματοληπτική κατανομή τής δειγματικής διασπορας.
δμως γιά τήν κατανομή τής S2 ή τής
S2
'Αντί
εΙναι βολικότερο νά βρουμε τή δειγματοληπτική κι α
νομή τής τυχαίας μεταβλητής Ο)
Κ Ε Φ.
161
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
Ή κατανομή τής τυχαίας αυτής μεταβλητής περιγράφεται άπό τό άκόλουθο θεώρημα:
θεώΡιιμα
'Εάν ενας πληθυσμός εχει κανονική κατανομή, τότε ή τυχαία μεταβλητή
5-6:
πού
(20),
όρίζεται γιά κάθε δείγμα μεγέθους η άπό τόν πληθυσμό, εχει κατανομή χ 2 μέ 1ι -
1
βαθμούς έλευθερίας.
Γιά τό λόγο αύτό ή μεταβλητή δίνεται στό Πρόβλ.
παριστάνεται συχνά μέ χ 2 •
(20)
Ή άπόδειξη τού Θεωρ.
5-6
5.22.
ΑΓΝΩΣΤΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Σύμφωνα μέ τά Θεωρ.
5-4
καί
5-5
ή τυποποιημένη τυχαία μεταβλητή Ζ
Χ - ιι = -'
(21)
σΙ,fiϊ.
είναι κανονική, έάν ό πληθυσμός (άπ' σπου παίρνουμε τά δείγματα μεγέθους 1/) είναι κανονικός, ένω είναι άσυμπτωτικά κανονική, έάν ό πληθυσμός δέν είναι κανονικός.
Ε'ιναι φανερό στι στήν
ή διασπορά τού πληθυσμού θεωρείται γνωστή.
(21)
Συχνά όμως δέ γνωρίζουμε τή διασπορά τού πληθυσμού.
'Ένας τρόπος γιά νά τήν έκτιμήσουμε
είναι νά χρησιμοποιήσουμε μιά η περισσότερες διασπορές δειγμάτων καί νά θέσουμε τήν έκτίμηση στήν
Μιά καλύτερη λύση είναι νά άντικαταστήσουμε τήν σ στήν
(21).
βλητή
S καί
Τ Χρησιμοποιώντας τό Θεώρ.
Student
n- 1
μέ
5-7:
4-6
5-7
λ
-
μέ τήν τυχαία μετα
μ.
(22)
SIvn=Ί-
SIViϊ
μπορούμε νά δείξουμε ότι ή
Τ άκολουθεί τήν κατανομή
t
τού
Τό άποτέλεσμα αύτό διατυπώνεται στό έπόμενο θεώρημα,
5.24.
Γιά δείγματα μεγέθους λουθεί τήν κατανομή
Τό Θεώρ.
χ
Χ-μ.
=
βαθμούς έλευθερίας.
πού δείχνεται στό Πρόβλ.
θεώρημα
(21)
νά μελετήσουμε τή δειγματοληπτική κατανομή τής νέας στατιστικής συναρτήσεως
t
n
άπό κανονικό πληθυσμό ή τυχαία μεταβλητή
μέ 11 -
1
(22)
άκο
βαθμούς έλευθερίας.
ίσχύει καί γιά δείγματα άπό πληθυσμό μέ καμπύλη πυκνότητας παρόμοια μέ τήν
κανονική καμπύλη (κωδωνοειδή). 'Επειδή δέν είναι άπαραίτητο νά ξέρουμε τή διασπορά τού πληθυσμΟύ, λέμε στι ή προηγούμενη
μέθοδος άνήκει στήν άκριβή δειγματοληψία η δειγματοληψία }'ιά μικρά δείγματα. Ό
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΣΠΟΡΩΝ Στή σελ.
9)
159
είδαμε πως μπορούμε νά βρούμε τήν κατανομή διαφοράς στατιστικών συναρτήσεων
(π.χ. διαφοράς μέσων τιμων).
Μέ τήν ίδια μέθοδο μπορούμε νά βρούμε τή δειγματοληπτική κατανο
μή τής διαφοράς si - S~ τών δειγματικων διασπορών. Ή κατανομή όμως αύτή είναι πολύπλοκη. Γι' αυτό θεωρούμε τή στατιστική συνάρτηση siIs~. 'Εάν ό λόγος αυτός είναι πολύ διαφορετικός του 1, τότε ή διαφορά είναι μεγάλη. θεώρημα
ια-
-
5-8:
Θεωρούμε δύο δείγματα μέ μεγέθη n~ καί
\-'τί
διασπορές σ~ καί
:α-
ή στατιστική συνάρτηση
F 70)
άκολουθεί κατανομή
F
n
άπό δύο κανονικούς πληθυσμούς μέ
'Εάν οί δειγματικές διασπορές εΙναι άντίστοιχα S~ καί S~,
ai.
2 S"'ι/ Ι σι
IΙZS~/(111 - l)cri
= ---"-------" 1l8i./(i/-1)cr;! F
μέ
m - 1,
1l -
(23)
Α 2 / σ22
~~2
1
βαθμούς έλευθερίας.
1Ι ε.Σ
._
_
Α
162
Κ Ε Φ.
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
Τό προηγούμενο θεώρημα μπορεί νά έφαρμοστεί καί γιά πληθυσμούς μέ καμπύλες πυκνότητας παρόμοιες μέ τήν κανονική καμπύλη (κωδωνοειδείς καμπύλες).
ΑΛΛΕΣ ΣΤΑ ΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΕΙναι φανερό ότι έκτός άπό τή μέση τιμή καί τή διασπορά ενός δείγματος μπορούμε νά όρίσουμε καί άλλες στατιστικές συναρτήσεις, όπως διάμεση τιμή, πιθανότερη τιμή, συντελεστές άσυμμετρίας καί κυρτώσεως, κτλ.
Οί όρισμοί είναι άνάλογοι μέ αύτούς του Κεφ.
'Επίσης μπορούμε τίς
3.
περισσότερες φορές νά βρούμε τίς δειγματοληπτικές κατανομές αύτών των στατιστικων συναρτήσεων
11
τουλάχιστον τίς μέσες τιμές καί τίς τυπικές άποκλίσεις τους, πού καλουνται συχνά τυπικά
σφάλματα.
Μερικά άπό αύτά τά τυπικά σφάλματα δίνονται στόν παρακάτω πίνακα.
Πίν.
5-1
ΤΥΠΙΚΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στατιστική Σιινάρτηση
,
Τυπικό Σφάλμα
Ι
Παρατηρήσεις
Ι
Ί
μιιcρά δείγμα-
Ι
τα άπό άπειρο πληθυσμό ή, αν ή δειγματοληψία
Ή σχέση ίσχύει γιά μεγάλα
.
ij
εΙναι μέ επανατοποθέτηση, άπό πεπερασμένο. Μέση τιμή
=
σχ
δειγματoληπτιιcή ιcατανoμή τής μέσης τιμής εΙναι
σ
περίπου ιcανoνιιcή γιά
Vn
ιι ~ 30 (άσυμπτωτιιcά ιcα- Ι
νονική) ιcαί αν άιcόμα ή κατανομή τού πληθυσμού i δέν ε{ναι ιcανoνιιcή.
Άναλογία
=
~ Ρ(l;: ρ)
~
=
ΕΙναι πάντα
= μέση
μχ = Ι'
σρ
=
σ~
_
1.2533 σ
Γιά Η ~ 30
ειναι πάντα
=
Ρ
ή δειγματοληπτική κατανομή Ι '
της (δειγματικής) διάμεσης τιμής ε{ναι περίπου κανονική.
Διάμεση τιμή
-
r
τιμή πληθυσμού
ΟΙ προηγούμενες παρατηρήσεις γιά τή μέση
τιμή Ισχύουν κι εδώ. μρ
σδ,τ.
Ή
Ή σχέση Ισχύει γιά κανονικό
που κανονικό πληθυσμό.
1\ περί
ΕΙναι πάντα
Vn Γιά
1Ι ~
ή κατανομή τής S ε{ναι πε-
100
Ι
ρίπου κανονική.
(1)
σs
--
Τυmκή άπόκλιση
(2)
σs
--
Ή (Ι) Ισχύει γιά ιcανoνΙKό
σ
--
νικό πληθυσμό.
ν'2n
ρεί νά χρησιμοποιηθεί ή
W
·Οταν
4nσ 2
μι
πληθυσμό), ή Γιά
=
3σ 4
(2)
1Ι ~
1'1
περίπου ΙCανo
Γιά μή κανονικό πληθυσμό μπο
(2).
(πού
Ισχύει
δίνει τήν
100,
1':;
γιά
Ι
κανονικ(
(1).
=σ
μέ μεγάλη προσέγ
γιση.
(1)
σ
s
,
--
Διασπορά
(2)
a.s2
--
,>
σ-
\Jf!;;
~μ4
,ι
ΟΙ προηγούμενες παρατηρήσεις γιά τήν τυπι
κή άπόκλιση Ισχύουν κι εδώ. θυσμό ή
σ4
(2)
δίνει τήν
Jt
S
2
=
Γιά KανOνΙΙCό πλη
(1).
ΕΙναι
(1Ι -
l)σηιι
δηλ. περίπου σ~ γιά μεγάλο
11 (11 ~
30).
~--------------------~--------------------~---------------------------------,
Ε!
-
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
163
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 'Εάν ενα δείγμα (ή ακόμα κι ενας πληθυσμός) είναι μεγάλο, εΙναι δύσκολο νά παρατηρήσουμε διάφορα χαρακτηριστικά μεγέθη του ή νά ύπολογίσουμε τιμές στατιστικων συναρτήσεων, δπως μέση τιμή, τυπική απόκλιση, κτλ. Γι' αύτό είναι χρήσιμο νά όργανώνουμε κάπως τά δεδομένα. παράδειγμα θεωρούμε ενα δείγμα μέ βάρη
100
Γιά
κιβωτίων φρούτων ενός αγροτικού συνεταιρισμού.
Χωρίζουμε τά δεδομένα σέ κλάσεις ή τάζεις ή κατηγορίες καί βρίσκουμε τό πλήθος των κιβωτίων κάθε ε
..,
κλάσεως, πού καλείται συχνότητα της κλάσεως αύτης.
Τό αποτέλεσμα, πού δίνεται στόν Πίν.
5-2,
~
.
καλείται κατανομή συχνότητας ή πίνακας συχνότητας .
ν
ά
Πίν.
ΒΑΡΗ
;>-2
Βάρος
Πλήθος
(kg)
Κιβωτίων
60-62
> 8
.;:::
18
66-68
42
69-71
27
72-74
8
30
8 = ~
5
63-65
\
20
V' Ο
'Επειδή
t::
/ Ι
"S8
61
67
β4
Βάρος Σχ.
5
60
εως καί
62
κιλά
(kg).
κτλ.
70
73
76
(kg)
5-1
Τό διάστημα αύτό καλείται
κιβώτια εχουν βάρος στό διάστημα αύτό, ή συχνότητα τής κλά
Τά βάρη καταγράφονται βέβαια στρογγυλεμένα στήν πλησιέστερη μονάδα,
5.
59.5
,, \
10
συνεπως ή πρώτη κλάση περιλαμβάνει στήν πραγματικότητα βάρη στό διάστημα
ακραίες τιμές
\
/.
.<
Ή πρώτη κλάση περιλαμβάνει τά βάρη διάστημα τής κλάσεως.
\
/
Φ I~
100
Σύνολο
σεως αύτή ς είναι
40
ΚΙΒΩΤΙΩΝ ΦΡΟΥΤΩΝ
100
καί
62.5
καλούνται δρια της κλάσεως.
59.5-62.5. Οί 62.5-65.5,
Ή επόμενη κλάση είναι ή
Τό πλάτος τού διαστήματος μιας κλάσεως, δηλ. τό πάνω δριο μείον τό κάτω δριο, συμβολί
ζεται μέ
Cj.
Συνήθως διαλέγουμε όλες τίς κλάσεις ετσι ιδστε νά εχουν τό 'ίδιο πλάτος, πού τότε
συμβολίζεται άπλά μέ
c.
Στήν περίπτωσή μας
c = 62.5 - 59.5 = 3.
lJ
Τό μέσο τού διαστήματος μιας κλάσεως καλείται μέσο ή κέντρο της κλάσεως καί μπορεί νά
θεωρηθεί σάν τιμή αντιπροσωπευτική τής κλάσεως. κλάσεως είναι τό
Στό παράδειγμά μας τό κέντρο τής πρώτης
61.
Μιά γραφική παράσταση τής κατανομής συχνότητας μπορεί νά δοθεί μέ ενα ίστόγραμμα, σάν αύτό πού δίνεται σκιασμένο στό Σχ.
5-1,
ή μ' ενα πολύγωνο συχνότητας, δηλ. μιά τεθλασμένη πολυγωνική
γραμμή πού ενώνει τά κέντρα των πάνω πλευρων των όρθογωνίων τού ίστογράμματος (διακεκομ μένη στό Σχ.
5-1).
)-
:6
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ γ-
'Εάν στόν Πίν.
5-2
σημειώναμε τή σχετική συχνότητα ή τό ποσοστό των κιβωτίων σέ μιά κλάση
αντί γιά τό πλήθος των κιβωτίων τής κλάσεως, θά ε'ίχαμε μιά κατανομή σχετικής συχνότητας. ή σχετική συχνότητα ή τό ποσοστό πού αντιστοιχεί στήν κλάση
η-
αντίστοιχο ίστόγραμμα είναι τό 'ίδιο μ' αύτό τού Σχ. 5-1, έκτός από τό δτι στόν κατακόρυφο αξονα παριστάνεται σχετική συχνότητα αντί γιά συχνότητα.
είναι 1 ή 100%.
63-65
είναι
'Έτσι π. χ.
:1-
18/100 ή 18%. Τό
Τό αθροισμα των έμβαδων των όρθογωνίων
164
Κ Ε Φ.
θΕΩΡIΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
Μπορούμε νά θεωρήσουμε τήν κατανομή τής σχετικής συχνότητας σάν μιά κατανομή πιθανότη
τας, όπου οΙ πιθανότητες ~χoυν άντικατασταθεί μέ σχετικές συχνότητες.
ΟΙ σχετικές συχνότητες
μπορούν νά θεωρηθούν σάν έμπεψικές πιθανότητες καί άρα ή κατανομή τής σχετικής συχνότητας σάν
κατανομή tμπεψικης πιθανότητας. Στό Κεφ.
2 είδαμε ότι γιά κάθε κατανομή πιθανότητας f(x) μπορούμε νά F(x) = Ρ(Χ ~ Χ) καί νά τήν παραστήσουμε γραφικά. Κατ'
ση κατανομής
όρίσουμε μιά συνάρτη άναλογία μπορούμε νά
όρίσουμε γιά κάθε κατανομή συχνότητας μιά άθροιστική κατανομή συχνότητας ή μιά άθροιστική κατανομή σχετικής συχνότητας καί νά παραστήσουμε γραφικά τά μεγέθη αύτά (βλέπε Πρόβλ.
5.30).
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΗΣ ΠΜΗΣ, ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ Μπορούμε νά περιγράψουμε μιά κατανομή συχνότητας δίνοντας τό κέντρο κάθε κλάσεως καί τήν
άντίστοιχη συχνότητα (Πίν.
Ή όλική συχνότητα πρέπει νά εΙναι
5-3).
n = lι
+ 12 + ... + Πίν.
Λ = Σ
11
f
Κέντρο Κλάσεως
Συχνότητα Κλάσεως
χι
Χ2
11 12
Xk
fk
άριθμοί ίσοι μέ Χι,
/2
δηλ.
5-3
n
Σύνολο
Έπειδή ύπάρχουν
n,
άριθμοί ίσοι μέ Χ2, ••• , Λ ίσοι μέ Xk, ή μέση τιμή
τους ε{ναι
!ιΧι
+ !ΖΧΖ + ... + Λχι<
~Ix
n
(24)
n
καί ή διασπορά (ή διακύμανση)
82
=
νΑς σημειωθεί ότι οί
οί
f/n
Λ(χι
- i:)2
+ f'l.(X'l. -
X)'l.
+ ... + fk(Xk -
Χ)2
Σ!(χ
καί
(25)
χ)2
(25)
n
n (24)
-
εΙναι άνάλογες μέ τίς
(2)
τής σελ.
76
καί
(13)
τής σελ.
78,
έάν
θεωρηθούν έμπειρικές πιθανότητες.
'Όταν όλες οί κλάσεις εχουν τό ίδιο πλάτος τής μέσης τιμής καί τής διασποράς. χοϋμε εναν άκέραιο
u
c,
ύπάρχουν διάφορες μέθοδοι γιά τόν ύπολογισμό
Σέ μιά τέτοια κωδικοποιημένη μέθοδο, όπως λέγεται, άντιστοι
στό κέντρο κάθε κλάσεως μέ τό μετασχηματισμό
Χ
=
α
+ cu
(26)
όπου α εΙναι ενα άπό τά κέντρα των κλάσεων (αύθαίρετα έκλεγμένο).
Ο{ τύποι γιά τή μέση τιμή
καί τή διασπορά γίνονται
α + !: Σ n
fu
=
α +
cii
(27)
(28)
.2&3
-
Κ Ε Φ.
5
165
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
Παρόμοιοι τύποι ίσχύουν γιά ροπές άνώτερης τάξεως.
Έτσι οί ροπές τάξεως
1"
περί τή μέση τιμή
καί τήν άρχή είναι άντίστοιχα /1(Χι-iΨ+
=
111,,-
~f(x
+fk(χl,-χγ
...
nι~
jΊχr
=
-
χγ
(29)
n
11
+
+ j'kX~
~IXT
n
(30)
n
Οί ροπές αύτές συνδέονται μέ τίς σχέσεις ο
ΠΙΙ
m2
(31)
κτλ.
Έάν γράψουμε
τότε οί σχέσεις
111 r καί αρα οί
(31)
=
(31)
ίσχύουν καί γιά τά Μ.
~/(x
-
χ),
~ η(α
+ οl{)
11
- (α
+ cIi)}r
1'1
γίνονται
1Πι κτλ.
Είναι δμως
Ή δεύτερη άπό τίς
(32)
o2(M~
-
Μ;2)
o3(M~
- 3M~M~ + 2Μ;3)
(82)
c.J(M: - 4M~M~ + 6M;2M~ - 3M~4)
είναι βέβαια 'ίδια μέ τήν
(28).
Μέ παρόμοιο τρόπο μποροϋμε νά βροϋμε κωδικοποιημένους τύπους γιά άλλα στατιστικά μεγέθη, δπως ή άσυμμετρία, ή κύρτωση, κτλ.
Λυμένα Προβλήματα ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
5.1.
'Ένας πληθυσμός περιλαμβάνει τούς πέντε άριθμούς
2,3,6,8, 11.
Θεωροϋμε δλα τά δυ
νατά δείγματα μεγέθους δύο πού μποροϋμε νά πάρουμε μέ έπανατοποθέτηση.
στοϋν (α) ή μέση τιμή τοϋ πληθυσμοϋ, τιμή
(b)
Νά ύπολογι
ή τυπική άπόκλιση τοϋ πληθυσμοϋ, (ο) ή μέση
τής δειγματοληπτικής κατανομής τής δειγματικής μέσης τιμής,
(d)
ή τυπική άπό
κλιση τής δειγματικής μέσης τιμής.
2+3-'-6+8+11
(α)
ιι
(2 - 6)2 + (3 - 6):? +
(b)
(6 -
6)2
5 Ι(αί
•
5
σ
~
30 = 6.0 5
(8 - 6)2 + (11 - 6)2
16 + 9 +
Ο
5
+ 4 + 25
10.8
= 3.29 .
& ...
166
Κ Ε Φ.
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
(c)
5(5) = 25
'Υπάρχουν
5
δείγματα μεγέθους δύο μέ επανατοποθέτηση (επειδή κάθε άριθμός πού θά βγεί πρώτος
μπορεί νά συνδυαστεί μέ όποιοδήποτε άπό τούς άριθμούς γιά δεύτερο).
Τά δείγματα αύτά εΙναι
(2,2)
(2,3)
(2,6)
(2,8)
(2,11)
(3,2)
(3,3)
(3,6)
(3,8)
(3,11)
(6,2)
(6,3)
(6,6)
(6,8)
(6,11)
(8,2)
(8,3)
(8,6)
(8,8)
(8,11)
(11,2)
(11,3)
(11,6)
(11,8)
(11,11)
Οί άντίστοιχες μέσες τιμές τών δειγμάτων εΙναι
(1)
•Αρα
2.5
4.0
5.0
6.5
2.5
3.0
4.5
5.5
7.0
4.0
4.5
6.0
7.0
8.5
5.0
5.5
7.0
8.0
9.5
6.5
7.0
8.5
9.5
11.0
ή μέση τιμή τους εΙναι
=
μχ
δηλ. εχουμε
(d)
2.0
μχ
Ή διασπορά
=
άθροισμα δλων τών τιμών τής
(1)
Μιά γενική άπόδειξη δίνεται στό Πρόβλ.
μ.
150 25
25
6.0
5.6.
σ~ τής δειγματοληπτικής κατανομής τής δειγματικής μέσης τιμής προκύπτει μέ άφαίρεση τής
μέσης τιμής
6
διαίρεση μέ
25.
άπό κάθε άριθμό τής όμάδας (Ι), ϋψωση στό τετράγωνο, άθροιση τών
25
άποτελεσμάτων καί
Τό τελικό άποτέλεσμα ε{ναι
σ~
=
12~
=
άπ' δπου
5.40
σχ = Υ'5.40 = 2.32
Έτσι επαληθεύεται δτι γιά πεπερασμένο πληθυσμό και δειγματοληψία μέ επανατοποθέτηση (η γιά άπειρο πληθυσμό) είναι
5.2.
σ~
χ
= σ'2/ π , έπειδή
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
5.1,
10.8/2 = 5.40.
Μιά γενική άπόδειξη δίνεται στό Πρόβλ.
έάν ή δειγματοληψία είναι χωρίς έπανατοποθέτηση.
Οί άπαντήσεις στά (α) καί (b) εΙναι ίδιες μ' αύτές τού Προβλ.
(c)
5.7.
5.1, δηλ. μ
Στήν περίπτωση τής δειγματοληψίας χωρίς έπανατοποθέτηση ύπάρχουν δσον ό πρώτος καί ό δεύτερος άριθμός εΙναι διαφορετικοΙ
5C2
= 6,
= 10
σ
= 3.29.
δείγματα μεγέθους δύο, εφ
Τά δείγματα αύτά εΙναι
(2,3), (2,6), (2,8), (2,11), (3,6), (3,8), (3,11), (6,8), (6,11), (8,11) καί τό καθένα εχει τήν 'ίδια πιθανότητα νά εμφανιστεί. τό
(3,2\.
Σάν δείγμα βέβαια τό
(2,3)
θεωρείται τό ίδιο ~
Οί άντίστοιχες δειγματικές μέσες τιμές είναι
2.5, 4.0, 5.0, 6.5, 4.5, 5.5, 7.0, 7.0, 8.5, 9.5 καί ή μέση τιμή τής δειγματοληΠΤΙΚής κατανομής εΙναι
μχ
δηλ. εΙναι πάλι μ,χ
(d)
= =
2.5
+
4.0
+
5.0
+
6.5
+ 4.5 +
5.5
+
7.0
+
7.0
+ 8.5 + 9.5
10
6.0
μ.
Ή διασπορά τής δειγματοληπτικής κατανομής εΙναι
2 σχ άπ' δπου σχ
_
(2.5 - 6.0)2"';" (4.0 - 6.0)2
(5.0 - 6.0)2 10
+ ... +
(9.5 - 6.0)2
4.05
= 2.01.
Έτσι έπαληθεύεται ή σχέση
4.05.
+
-
2
σχ
= σΠ2 (Ν - π) Ν - 1 '
Μιά γενική άπόδειξη δίνεται στό Πρόβλ.
5.47.
επειδή τό δεξιό μέλος εΙναι
10.8(5 - 2) 2 5 - 1
:=ο
Κ Ε Φ.
5.3.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5 Τό βάρος
167
3000 φοιτητών ενός πανεπιστημίου βρέθηκε στι άκολουθεί την κανονική κατανομή 68.0 κιλά καί τυπική άπόκλιση 3 κιλά. 'Εάν πάρουμε 80 δείγματα τών 25
μέ μέση τιμή
φοιτητών, πώς μπορεί νά ύπολογιστεί ή άναμενόμενη τιμή καί ή τυπική άπόκλιση τής δειγμα
τικής μέσης τιμής, έάν ή δειγματοληψία γίνεται
(α) μέ έπανατοποθέτηση,
(b)
χωρίς έπανα
3000
φοιτητών μέ καί
τοποθέτηση; Τό πλήθος τών δειγμάτων μεγέθους
25 πού μπορούμε νά πάρουμε άπό (3000)25 καί 3000C25, δηλ. καί
~ναν πληθυσμό
χωρίς επανατοποθέτηση είναι άντίστοιχα τού
80.
-Αρα άπό τά
80
πειραματικη μεση τιμή.
στίς δύο περιπτώσεις πολύ μεγαλύτερο
δείγματα δέν μπορούμε νά ύπολογίσουμε τή δειγματoληπτιΙCΗ μέση τιμή, άλλά μόνο μιά Έπειδή όμως τά δείγματα είναι πολλά, περιμένουμε οΙ πειραματικές τιμές τής μέσης τιμής
καί τής τυπικής άποκλίσεως νά είναι περίπου οΙ ίδιες μ' αύτές τής θεωρητικής δειγματοληπτικής κατανομής.
i'x =
(α)
μχ
(b)
=
μ
=
μ
68.0 κιλά
= 68.0
κιλά
σχ
καί
0.6.
πού είναι λίγο μικρότερο άπό τό
σχ
καί
=
.~ ΥΠ
=
.~ v25
;;~~=~
=
=
= 0.6
κιλά
~
3000 - 25 3000 - 1
-Αρα
Συνεπώς γιά πρακτικούς σκοπούς δέν εχει σημασία άν ή δειγματοληψία
ε{ναι μέ η χωρίς επανατοποθέτηση.
- Αρα τιμή
5.4.
68.0
άναμένουμε ή πειραματική κατανομή τών μέσων τιμών τών δειγμάτων νά είναι περίπου κανονική μέ μέση
κιλά καί τυπική άπόκλιση
Πόσα δείγματα τού Πρόβλ.
(b)
μικρότερη άπό
κιλά.
0.6
άναμένουμε μέ μέση τιμή (α) άπό
5.3
Ή μέση τιμή ενός δείγματος σέ τυπικές μονάδες είναι
Ζ
Χ-μχ
66.8 68.3
σέ τυπικές μονάδες
= (66.8 - 68.0)/0.6 = -2.0
σέ τυπικές μονάδες
=
(68.3 - 68.0)/0.6
Ποσοστό δειγμάτων μέ μέση τιμή άπό
=
+
=
+ 0.1915 =
-Αρα άναμένουμε
66.4
= -2 εως
(εμβαδό άπό Ζ
0.4772
(b)
66.8
(εμβαδό κανονικής καμπύλης άπό Ζ
(εμβαδό άπό Ζ
Ζ
68.3
κιλά,
=
εως
Χ
- 68.0
0.5 68.3
= -2.0
εως Ζ
= 0.51
= Ο)
Ο εως
Ζ
= 0.5) -2.0
0.6687
(80)(0.6687) = 53
δείγματα
0.5 Σχ.
5-2
Σχ.
5-3
= (66.4 - 68.0)/0.6 = -2.67
σέ τυπικές μονάδες
Ποσοστό δειγμάτων μέ μέση τιμή μικρότερη άπό
66.4
(εμβαδό κανονικής καμπύλης άριστερά του Ζ
(εμβαδό άριστερά τού Ζ
-
εως
0.6
σχ
(α)
66.8
κιλά;
66.4
(έμβαδά άπά Ζ
=
= -2.67)
Ο)
= -2.67
εως Ζ
=
ο)
0.5 - 0.4962 = 0.0038 - Αρα
άναμένουμε
(80)(0.0038)
= 0.304
-2.67 δείγματα, δηλ. μάλλον
κανένα.
5.5.
Πεντακόσιες μικρές μπίλιες άπό ρουλεμάν εχουν μέσο βάρος (ή κάθε μιά) 5.02 gr καί τυπι 0.30 gr. 'Εάν πάρουμε τυχαία 100 μπίλιες άπό τίς πεντακόσιες, ποιά εΙναι ή πιθανότητα τό βάρος τους νά είναι (α) 496 εως 500 gr, (b) μεγαλύτερο άπό 510 gr; κή άπόκλιση
Ή κατανομή τών μέσων τιμών τών δειγμάτων εχει μχ
=
- ""'-. . -.••• »
~~ Ν - Π = Υπ
Ν- 1
........,) ". . . -"': . .
--------_.!Ι!!Ι!ΙΙ
~
=
μ
= 5.02
gr
0.30. Ι 500 - 100 V100 ν 500 - 1
~""'-----
καί
0.027
-
168
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
(α)
Τό όλικό βάρος τού δείγματος θά είναι μεταξύ μεταξύ
καί
4.96
καί
496
500,
5
έάν τό μέσο βάρος μιας μπίλιας στό δείγμα εΙναι
5.00 gr.
4.96
σέ τυπικες μονάδες
5.00
σέ τυπικές μονάδες
=
-2.22
(4.96 - 5.02)/0.027 (5.00 - 5.02)/0.027
=
-0.74
Ζητούμενη πιθανότητα
= -2.22 εως Ζ = -0.74) (έμβαδό από Ζ = -2.22 εως Ζ = Ο) - (έμβαδό από Ζ = -0.74 εως Ζ = Ο)
=
(έμβαδό από
Ζ
0.4868 - 0.2704 (b)
=
-2.22
Σχ.5-4
0.2164
Τό όλικό βάρος τού δείγματος θά είναι μεγαλύτερο από
τερο από
510 gr, έάν τό μέσο (5.10 - 5.02)/0.027 = 2.96.
ή σέ τυπικές μονάδες
5.10 gr
-0.74
βάρος μιας μπίλιας εΙναι μεγαλύ
Ζητούμενη πιθανότητα
= 2.96) Ζ = Ο)
(εμβαδό δεξιά τού Ζ (εμβαδό δεξιά τού
(εμβαδό από
-
Ζ
==
Ο εως Ζ
= 2.96)
0.5 - 0.4!185 = 0.0015 • Αρα
ή πιθανότητα οί
51 Ο gr
Οί
2.96
μπίλιες να ζυγίζουν περισσότερο από
Σχ.5-5
εΙναι πολύ μικρή.
Δείξτε τό Θεώρ.
5.6.
100
... ,
Χ j, Χ:!,
5-1
τής σελ.
Χ"
ειναι ίσόνομες τυχαίες μεταβλητές μέ μέση τιμή
158. μ, δηλ.
= 1,2, .. . ,?ι
k
Ή μέση τιμή ένός δείγματος, δηλ. ή δειγματική μέση τιμή, είναι
ΧΙ
+ Χπ
+ 1Ι
καί αρα
1
=
-; (1Ιμ)
Δείξτε τό Θεώρ.
5.7.
5-2
τής σελ.
158.
Είναι
ΧΙ
-
π
Έπειδή οί
Xj
, •.. ,
Χ"
μ
Χ?
+-- + π
είναι ανεξάρτητες καί ή κάθε μιά εχει διασπορά
σ 2,
εχουμε από τά Θεωρ.
3-5 καί 3-7
Var (οΥ)
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ
5.8.
'Υπολογίστε τήν πιθανότητα σέ «κεφάλι»,
(b)
τουλάχιστο τά
Θεωροί>με τίς
120
it
(α)
(α)
40%
εως
60%
νά είναι
νά είναι «κεφάλι».
ρίψεις σάν δείγμα άπό τόν (άπειρο) πληθυσμό όλων τών δυνατών ρίψεων.
αύτό ή πιθανότητα νσ. ερθει «κεφάλι .. ε!ναι -
ρίψεις ενός νομίσματος
120
Ρ
==
i
Στόν πληθυσμL
καί ή πιθανότητα νά ερθει «γράμματα .. είναι
q = 1-
]J
1
'2' Ζηταμε τήν πιθανότητα σε (τό
60'1"
νομής.
τού
120).
120
ρίψεις νά ερθει «κεφάλι .. από
Χρησιμοποιούμε (όπως στό Κεφ.
4)
48
φορές (τό
40%
του
120)
εως
72
φορέ.
τήν κανονική κατανομή αντί τής διωνυμικής κατα
Έπειδή τό πλήθος τών αποτελεσμάτων «κεφάλι» είναι διακριτή μεταβλητή, ζητάμε τήν πιθανότητα ν-'
εχουμε τιμή από
47.5
εως
72.5.
Γ ~ Κ Ε Φ.
169
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
άναμενόμενο πλήθος άποτελεσμάτων «κεφάλι»
μ
=
ynpq
=
47.5
σέ τυπικές μονάδες
=
47.5 - 60 5.48
-2.28
72.5
σέ τυπικές μονάδες
=
72.5 - 60 5.48
2.28
(120)(
= 120( ~ )
np
~)(~) =
u
μέ τυπική άπόκλιση
=
60
5.48
~ ~~ ~
Ζητούμενη πιθανότητα (έμβαδό κανονικής καμπύλης
............ .• •.•••.:•........ ..............•....: :
= -2.28 εως Ζ = 2.28) 2(έμβαδό άπό Ζ = Ο εως Ζ = 2.28) 2(0.4887) = 0.9774
..
..
άπό Ζ
'
".~."
.
,,- ,
,
-2.28
2.28 Σχ.
5-6
WΑλλη μέθοδος.
Ρ
1 2
=
40%
0.50
σέ τυπικές μονάδες
rf
60-ΙΓ σέ τυπικές μονάδες
• Αρα εως
Ζ
=
= '.Jr;; -:;- = ~-H!) 120
= -
Up
=
0.40 - 0.50 0.0456
=
0.60 - 0.50 0.0456
0.0456
-2.19
= 2.19
ή ζητούμενη πιθανότητα ίσουται μέ τό έμβαδό τής τυπικής κανονικής καμπύλης άπό
2.Ηι,
δηλ.
Ζ
= -2.19
2(0.4857) = 0.9714.
Τά δύο άποτελέσματα συμφωνουν στά δύο πρώτα δεκαδικά ψηφία, άλλά δέν εΙναι ίσα, έπειδή στή δεύτερη
μέθοδο άγνοήσαμε τό γεγονός δτι εχουμε διακριτή μεταβλητή. Γιά διόρθωση άφαιρουμε 2~
τό
0.40
καί προσθέτουμε 2~
= 2(f20)
στό
'Επειδή
0.60.
1/240 = 0.00417,
= 2(1120)
άπό
εχουμε σέ τυπικές μονά
δες
0.40 - 0.00417 - 0.50 = -2.28 0.0456
0.60
καί
+
0.00417 - 0.50 0.0456
2.28
Μέ τίς τιμές αύτές οί δύο μέθοδοι δίνουν τά ίδια άποτελέσματα .
•Ας σημειωθεί δτι τά (0.40 - 0.00417) 72.5/120 γιά τήν πρώτη μέθοδο.
καί
+ 0.(0417)
(0.60
(b) Χρησιμοποιώντας τή δεύτερη μέθοδο του (α) καί έπειδή
(0.6250 - 0.00417) σέ τυπικές μονάδες Ζητούμενη πιθανότητα
=
*
=
άντιστοιχουν σέ άναλογίες
0.625~
=
(έμβαδό τής κανονικής καμπύλης δεξιά το\> Ζ
-
(έμβαδό άπό
= Ο) Ζ = Ο
καί
εχουμε
0.6250 - 0.00417 - 0.50 0.0456
(έμβαδό δεξιά του Ζ
47.5/120
εως Ζ
2.65
= 2.65)
= 2.65)
0.5 - 0.4960 = 0.0040
5.9.
Πεντακόσιοι άνθρωποι ρίχνουν ενα νόμισμα φέρουν «κεφάλι» (α) άπό
40%
εως
120 φορές ό καθένας.
60% (b)
Πόσοι άναμένεται νά
τουλάχιστο ί τοϋ συνολικοϋ άριθμοϋ των ρί
ψεων;
Τό πρόβλημα αύτό συνδέεται στενά μέ τό Πρόβλ.
5.8.
'Εδώ εχουμε
500
δείγματα μεγέθους
120
άπό τόν
άπειρο πληθυσμό δλων τών δυνατών ρίψεων.
(α)
Στό
(α) του Προβλ.
5.8
βρήκαμε δτι άπ' δλα τά δυνατά δείγματα τών
εχει άναλογία άποτελεσμάτων «κεφάλι» άπό 40<70
n
εως
60%.
120
ρίψεων τό
Συνεπώς άπό τά
97.74% άναμένεται νά 500 τά 489 άναμένεται νά
a2.
170
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
έχουν άναλογίες σ' αύτά τά όρια, δηλ.
489
άνθρωποι άναμένεται νά φέρουν «κεφάλι»
40'70
εως
60%
5
τών
άποτελεσμάτων τους.
500 - 489 = 11
Ε{ναι φανερό ότι
εως
40%
πού βέβαια δέν είναι σωστό.
(b)
Ένας τέτοιος κίνδυνος ύπάρχει πάντα σέ προβλήματα πιθανοτήτων.
(500}(0.0040) = 2
Με παρόμοιους συλλογισμούς συμπεραίνουμε ότι
λι» περισσότερο άπό τά
5.10.
άνθρωποι άναμένεται νά φέρουν άναλογίες έξω άπό τό διάστημα
Είναι πιθανό οί άνθρωποι αύτοί νά συμπεράνουν ότι τό νόμισμα δέν είναι κανονικό (τίμιο),
60o/c.
Βρέθηκε στι τό
2%
i
των έργαλείων πού κατασκευάζει ενα έργοστάσιο είναι έλαττωματικά.
Ποιά είναι ή πιθανότητα σέ μιά άποστολή ή περισσότερα,
μρ (α)
(b) 2%
=
έργαλείων νά είναι έλαττωματικά (α)
400
3%
ή λιγότερα;
= 0.02
Ρ
άνθρωποι άναμένεται νά φέρουν «κεφά
τών άποτελεσμάτων τους.
σρ
καί
=
-
r;;;; =
0.02(0.98) _ 0.14 = 0.007 400 -- 20
ν~
Έπειδή ή μεταβλητή είναι διακριτή, έχουμε διόρθωση
1/2Η
= 1/800 = 0.00125
(0.03 - 0.00125) σέ τυπικές μονάδες = 0.03 - 0.00125 - 0.02 0.007
=
Ζητούμενη πιθανότητα
(έμβαδό κανονικής καμπύλης δεξιά του
Έάν δέν εϊχαμε χρησιμοποιήσει τή διόρθωση θά ειχαμε βρεί πιθανότητα
Ζ
καί
= 1 25 .
= 1.25) = 0.1056
0.0764.
~Aλλη μέθοδος.
Τό
11.5
3%
του
400
είναι
12
έλαττωματικά έργαλεία.
Θεωρώντας τή μεταβλητή συνεχή θά πιiρoυμε όπό
καί πάνω.
μ Τό
0.1056,
= (2%
του
σέ τυπικές μονάδες είναι
11.5
σ = V1tpq =
400) = 8
= 1.25
(11.5 - 8)/2.8
V(400)(0.02)(0.98)
= 2.8
καί συνεπώς ή ζητούμενη πιθανότητα είναι
οπως πρίνο
(0.02
(b)
Ζητούμενη
+ 0.00125) σέ τυπικές μονάδες = 0.02 + 0.00125 - 0.02 = Ο 18 0.007
πιθανότητα
.
(έμβαδό κανονικης καμπύλης άριστερά του Ζ
0.5000
+ 0.0714
= 0.18)
= 0.5714
Έάν δέν είχαμε θεωρήσει τή μεταβλητή συνεχή (δηλ. δέν έίχαμε κάνει τή διόρθωση) θά ε'ίχαμε βρεί
0.500'"
Έπίσης μπορεί νά χρησιμοποιηθεί ή δεύτερη μέθοδος του (α).
5.11.
'Ένας ύποψήφιος πήρε στίς έκλογές τό
τούσαμε
(α)
200, (b) 1000
46%
των ψήφων.
Έάν πρίν άπό τίς έκλογές Ρ
.
τυχαίους ψηφοφόρους ποιόν εΙχαν σκοπό νά ψηφίσουν, ΠΟ1.ά
ήταν ή πιθανότητα περισσότεροι άπό τούς μισούς νά λέγανε ότι θά ψηφίσουν τόν ύποψήφιο αύτό; (α)
μρ
=
Ρ
= 0.46
κα!
σρ
=
.
r;;; =
ν~
~ 0.46(0.54)
= 0.0352
200
1I2n = 1/400 = 0.0025, πλειοψηφία σ' ενα δείγμα σημαίνει άναλογία ϋπέρ του ύποψήφ J = 0.5025 1'1 μεγαλύτερη. Ή ίδια άναλογία προκύπτει, αν παρατηρήσουμε ότι πλειοψηφία εχουμε μέ 101 ύπέρ του ύποψήφιου, πού γίνεται 100.5, έάν θεωρήσουμε τή μεταβλητή συνεχή, δηλ. άναλο":']. 100.5/200 = 0.5025. Αρα 0.5025 σέ τυπικές μονάδες (0.5025 - 0.46)/0.0352 = 1.21 καί Έπειδή
0.50
+ 0.0025
w
Ζητούμενη πιθανότητα
=
(έμ~αδό κανονικής καμπύλης δεξιά του Ζ
0.500Q - 0.3869 = 0.1131
= 1.21)
μ
Κ Ε Φ.
5
171
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
μ.ρ = Ρ
(b)
= 0.46,
= "";pq/n = ....;0.46(0.54)/1000 =
σρ
Ο .5005
"δ
σέ τυπικες μονα ες
καί
0.0158
0.5005 - 0.46 0.0158
=
=.256
(έμβαδό KανOνι!Cής καμπύλης δεξιά τοϋ Ζ
Ζητούμενη πιθανότητα
= 2.56)
0.5000 - 0.4948 = 0.0052
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ
5.12.
Ή τυχαία μεταβλητή
7, 8
υ ι παριστάνει ενα όποιοδήποτε άπό τά στοιχεία του πληθυσμού
U2
καί ή τυχαία μεταβλητή
θυσμου 2,4.
8,
παριστάνει ενα όποιοδήποτε άπό τά στοιχεία του πλη
'Υπολογίστε τά (α) μυ' (b) μυ 2 ' (c) μιl 1 - υ' (d) συ 1 , (e) συ' (Ι) σ υ 1 -v 2 . 1 2 2
(α)
μυ, = μέση τιμή της
U 1 = i<3 + 7
(b)
μυ.
(c)
Ό πληθυσμός πού περιλαμβάνει τίς διαφορές των στοιχείων εΙναι
3-2
μέση τιμή της U2
=
7-2
3-4
+ 8) =
= i(2 + 4) = 3
8 - 2
7-4
6
ή
8-4
1
"Αρα
+
1
5
6
-1
3
4
+6+
5
+3+4
(-1)
3
6
σ2
(d)
υ,
=
διασπορά της
(e)
U1 =
διασπορά τής
(3 - 6)2
+
(7 - 6)2
(2 - 3)2
U2
3
+
14
(8 - 6)2
3
+
(4 - 3)2
2
-
1
(f) (1 - 3)2
+
(5 - 3)2
+
(6 - 3)2
+
(-1- 3)2
+
(3 - 3)2
+
(4 - 3)2
6
'Επαληθεύεται ετσι ή σχέση συ -υ επεται άπό τό Θεώρ.
5.13.
1
3-7.
2
= νσυ2 + συ2 1
17
3
γιά άνεξάρτητα δείγματα.
Ή γενική άπόδειξη
2
Οί ήλεκτρικοί λαμπτήρες ενός έργοστασίου Α εχουν ζωή μέ μέση τιμή κή άπόκλιση
200
1400 ώρες καί τυπι 1200 ώρες δείγματα των 125 λαμπτή
ώρες, ένω ενός άλλου έργοστασίου Β εχουν ζωή μέ μέση τιμή
καί τυπική άπόκλιση
100
ώρες.
'Εάν έξετάσουμε δύο τυχαία
ρων (ενα δείγμα άπό κάθε έργοστάσιο), ποιά εΙναι ή πιθανότητα τό δείγμα άπό τό έργοστάσιο
Α νά εχει μέση τιμή τουλάχιστο (α)
160
ώρες,
(b) 250
ώρες μεγαλύτερη τής μέσης τιμής
του δείγματος άπό τό έργοστάσιο Β;
Α
--~------
172
Κ Ε Φ.
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
6
'Εάν ΧΑ καί ΧΕ εΙναι οί μέσες τιμές τής ζωής τών λαμπτήρων τών δειγμάτων Α καί Ε άντίστοιχα, τότε
1400 - 1200 = 200 η σΒ
"
σΑ
+ (200)2
(100)2 125
+nA Πn
=
καί
ώρες
20
125
ώρες
Ή τυποποιημένη μεταβλητή γιά τή διαφορά τών μέσων τιμών εΙναι
(ΧΆ Ζ
- Xn )
-
(μχ. -χ-
Α
•
n
)
Ή τυχαία αύτή μεταβλητή άκολουθεί μέ μεγάλη προσέγγιση κανονική κατανομή. (α)
Ή διαφορά
ώρες είναι σέ τυπικές μονάδες
160
= Ή διαφορά
(b)
0.5000
ώρες εΙναι σέ τυπικές μονάδες
250
= -2.
(160 - 200)/20
(έμβαδό κανονικής καμπύλης δεξιά του Ζ
Ζητούμενη πιθανότητα
+ 0.4772 =
-2)
0.9772
=
(250 - 200)/20
2.:;0.
(έμβαδό κανονικής καμπύλης δεξιά του Ζ
Ζητούμενη πιθανότητα
==
= 2.:;0)
0.1)000 - 0.4938 = 0.0062
5.14.
'Ένα βιβλίο ζυγίζει
0.50
κιλά κατά μέσο όρο μέ τυπική άπόκλιση
πιθανότητα δύο όμοια κιβώτια μέ
1000
0.02
κιλά.
Ποιά εΙναι ή
βιβλία τό καθένα νά διαφέρουν περισσότερο άπό
2
κιλά;
Έάν ΧΙ καί
είναι οί μέσες τιμές βάρους σέ κάθε δείγμα, εχουμε
X'J
=
= 0.50 - 0.50
Ο
(0.02)2 , (0.02)2 1000 τ 1000 Ή τυποποιημένη μεταβλητή γιά τή διαφορά τών μέσων τιμών εΙναι
Ζ
0.000895 (Χ ι - Χ 2 )
Ζ 'J
-
~
0.002 - Ο 0.000895
=
διαφορά
2/1000
Ζ ~
2 23
.
= 0.002
-0.002 - Ο 0.0008~)5
Ο καί άκολουθεί μέ
0.0008\15
μεγάλη προσέγγιση κανονική κατανομή.
Ή διαφορά τών 2 κιλών στά κιβώτια σημαίνει ,Υ ι - Χ:; ~ 0.002 η ΧΙ - Χ2 ~ -0.002 καί
-
κιλά γιά τίς μέσες τιμές.
wApa
__ ο -2.23
Συνεπώς
Ρ(Ζ ~
5.15.
2.23
ή
Ζ ~
-2.23)
=
Ρ(Ζ ~
2.23)
+ Ρ(Ζ ~ -2.23) =
Δύο παίκτες Α καί Β ρίχνουν ενα νόμισμα ρίψεις φέρει τουλάχιστο
50
ό Β.
5
50
2/0.5000 - 0.4871)
φορές ό καθένας.
=
0.0258
Ό Α. κερδίζει, έάν στίι
φορές «κεφάλι» περισσότερες άπό τόν Β.
' Αλλιώς
κερδίζε
Ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά κερδίσει ό Α;
Έάν
ΡΑ
καί
Pn
είναι ή άναλογία τών άποτελεσμάτων «κεφάλι» πού θά φέρει ό κάθε παίκτης, εχουμε
=
Ο
2(t)(t) = 0.10 50
καί
Ή τυποποιημένη μεταβλητή γιά τή διαφορά άναλογιών εΙναι
Ζ
= (Ρ Α -
P n - 0)/0.10.
Μετατρέποντας τή μεταβλητή σΙ συνεχή ζητάμε τήν πιθανότητα νά φέρει δ Α περισσότερες άπό
«κεφάλι», πού σημαίνει διαφορά στίς άναλογίες μεγαλύτερη άπό
/0.10 = 0.9. Ζ 0.9 καί
=
Συνεπώς
4.5/50 = 0.09
ή
Ζ μεγαλύτερη άπό
4.5 φορ (0.09 - Ο)
Ή πιθανότητα γι' αύτό τ6 γεγονός δίνεται άπό τό έμβαδό τής κανονικής καμπύλης δεξιά του ε\ναι
ιι
-
= 0.1841. = 0.8159: 0.1841
0.5000 - 0.3159
0.1841) : 0.1841
ή
4.43 πρός 1 ό Α χάνει.
Γ Κ Ε Φ.
5.16.
5
Οί μετρήσεις δύο διαστημάτων εδωσαν μέσες τιμές
τυπικές άποκλίσεις (τυπικά σφάλματα)
0.16 crn
καί
καί την τυπική άπόκλιση (α) τοϋ άθροίσματος καί Έάν υ ι καί
D2
27.3 crn καί 15.6 crn άντίστοιχα μέ 0.08 crn. Ύπολογίστε τή μέση τιμή (b) τής διαφοράς των διαστημάτων.
εΙναι τά διαστήματα. έχουμε
(α)
μD,+D 2
συ, +υ.
(b)
+ μυ, = = νσD,2 + σD.2 μD,
+ μD. 2 + σ2 ΥσD, D.
+ 15.6 = 42.9 cm V (0.16)2 + (0.08)2 = 0.18 27.3
=
27.3 - 15.6
μυ,
μD,-D. σD,-D.
5.17.
173
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
V (0.16)2
11.7 cm
+ (0.08)2 =
'Ένας όρισμένος τύπος ήλεκτρικων λαμπτήρων εχει μέση ζωή
κλιση
150
άλλος.
ώρες.
0.18 cm
1500
ώρες καί τυπική άπό
Τρείς λαμπτήρες συνδέονται ετσι ώστε, Όταν καεί ό ενας, νά άνάβει ό
'Εάν ή ζωή ένός λαμπτήρα άκολουθεί κανονική κατανομή, ποιά εΙναι ή πιθανότητα
οί τρείς λαμπτήρες νά διαρκέσουν Υιά φωτισμό (α) τουλάχιστο
4200
cm
5000
ώρες,
(b)
τό πολύ
ώρες;
Έάν
καί
L J• L2
L3
παριστάνουν τίς ζωές τών τριών λαμπτήρων, τότε
+ μL. + μL3 2 + σ2 + σ2 Υσ1'1 Ι,. L μL,
+
1500
+
1500
4500
1500
ώρες
V3(150)2 = 260 ώρες
3
(α)
5000
= (5000 - 4500)/260 = 1.92.
ώρες σέ τυπικές μονάδες
Ζητούμενη πιθανότητα
(έμβαδό κανονικής καμπύλης δεξιά του Ζ
= (b)
4200
0.5000 - 0.4726
=
= 1.92)
0.0274
= (4200 - 4500)/260 = -1.15.
ώρες σέ τυπικές μονάδες
(έμβαδό κανονικής καμπύλης άριστερά του Ζ
Ζητούμενη πιθανότητα
= -1.15)
= 0.5000 - 0.3749 = 0.1251
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
5.18.
Στό Πρόβλ.
5.1
ύπολΟΥίστε (α) τή μέση τιμή τής δεΙΥματικής διασποράς καί
(b)
τήν τυπική
άπόκλιση τής δεΙΥματικής διασποράς (πού καλείται καί τυπικό σφάλμα τής διασποράς). (α)
Οί διασπορές τών
25
δειγμάτων (δειγματικές διασπορές) του Προβλ.
εΙναι
5.1
Ο
0.25
4.00
9.00
20.25
0.25
Ο
2.25
6.25
16.00
4.00
1.00
6.25
2.25
Ο
9.00
6.25
1.00
Ο
2.25
20.25
16.00
6.25
2.25
Ο
Ή μέση τιμή τους εΙναι άθροισμα όλων τών διασπορών
135 25
25 Έπαληθεύεται ετσι ή σχέση το δεξιό μέλος Ισούται μέ
"S2
{(10.8)
=
(π-Ι)(σ 2 )/11,
επειδή γιά
11=
=
5.40
2 καί σ 2 = 10.8 [Πρόβλ. 5.1(b)]
= 5.4.
Τό άποτέλεσμα αύτό δείχνει γιατί μερικοί συγγραφείς όρίζουν τή δειγματική διασπορά μέ τή σχέση
=n (b)
:.. 1 S2, πού δίνει μ§. = σ2 (βλέπε σχετικές παρατηρήσεις στή σελ. 160). Ή διασπορά σ~2 τής δειγματοληπτικής κατανομής τής δειγματικης διασποράς προκύπτει μέ άφαίρεση
της μέσης τιμής
διαίρεση μέ
25.
5.40
άπό κάθε μιά άπό τίς
Έτσι βρίσκουμε
-
ί
ιιι
λ
S2
,)~..:...~.;.-
$
ε
<
<
4Μ
σ~.
25
δειγματικές διασπορές, ύψωση στό τετράγωνο, πρόσθεση καί
= 575.75/25 = 23.03
. ,. "' . .;;-.--,.:";'~ U ; 2# «4 ι
a
ή
&
U
s ' = 4.80.
a
2!
ει
174 5.19.
Κ Ε Φ.
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
Νά λυθεί τό προηγούμενο πρόβλημα, έάν ή δειγματοληψία εΙναι χωρίς έπανατοποθέτηση. (α)
Ύπάρχουν
10
δείγματα μέ διασπορές πού δίνονται πάνω (ή κάτω) άπό τήν κύρια διαγώνιο τοϋ πίνακα τοϋ
προηγούμενου προβλήματος.
=
μs2
0.25
Συνεπώς
+ 4.00 + 9.00 + 20.25 + 2.25 +
10
6.25
+ 16.00 + 1.00 + 6.25 + 2.25
6.75
Αύτή είναι μιά μερική περίπτωση τής σχέσεως IL S' = (Ν ~ 1) (n : 1)0'2 [σχέση (19) της σελ. 160]. Πραγματικά, μέ Ν = 5, 1Ι = 2 καί 0'2 = 10.8 ή σχέση αύτή δίνει μΞ' = (iK!)(10.8) = 6.75. (b)
Άφαιροϋμε
ροϋμε
5.20.
μέ
6.75 άπό κάθε μιά 10. Έτσι βρίσκουμε
άπό τίς
10
δειγματικές διασπορές, τετραγωνίζουμε, προσθέτουμε καί διαι
= 39.675
0'~2
ή
= 6.30.
O'S'
Δείξτε δτι
δπου καί
82 είναι ή διασπορά ενός τυχαίου UJ- ή διασπορά του πληθυσμοϋ.
δείγματος μεγέθους
n
(δειγματική διασπορά, σελ.
160)
Πρώτη μέθοδος. Έχουμε
=
Χ
1
;(Χ ι
Χι -
+ ... + Χ1/) =
1
I)Χ
-n [(n -
Χ
-
1
2
-
... -
Χ
1/
]
"Αρα
~2 [(n - 1)2(Χ ι - μ)2 + (Χ 2 - μ)2 + ... +
μ)2 + μικτά γινόμενα]
(X n -
'Επειδή οί μεταβλητές είναι άνεξάρτητες, ή άναμενόμενη τιμή ένός μικτοϋ γινόμενου είναι μηδέν.
Ε[(Χ ι - Χ)2]
ι μ)2] + Ε[(Χ 2 - μ)Ζ] + ... + E[(X n - μ)2])
~2 {(π -
=
1)2 Ε[(Χ -
n-1 -0'2 n
~Oμoια Ε[ (Xk - Χ)2]
= (π -
γιά k
1)0'2/n
n1
=
E(S2)
Ε[(Χ ι
1n Δεύτερτ
= 2, ... , n. -
Χ)2
-
"Αοα
+ ... + (X n -
[n -n
- - 01' 2 + . . .
-
Χ)2]
n-n
1 ] +--0'2
μέθοδος.
Είναι Χ, - Χ = (X j
-
μ) - (Χ (X j
-
μ).
Χ)2 =
-
"Αρα (Xj
μ)2 - 2(Xj
-
-
μ)(Χ - μ)
+ (Χ -
μ)2
καί
(1)
~ (Xj
-
=
Χ)2
δπου τδ άθροισμα νοείται άπό
j
=
1
~ (X j εως
n.
-
μ)2 -
2(Χ - μ) ~ (Xj
-
μ)
Τό άθροισμα αύτό γράφεται
-+
:Σ (Χ
-
μ)2
Συνεπώς
s Κ Ε Φ.
5
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
:Σ (X j
(2)
έπειδή :Σ (X j
-
μ) =
:Σ X j
'Χρησιμοποιώντας τό Πρόβλ.
-
5.7
Χ)2
-
=
:Σ (Xj
-
μ)2 -
2n(X - μ)2
=
:Σ (Xj
-
μ)2 -
n(X - μ)2.
nμ = n(X - μ).
j
n(: )
-
nE[(Χ-μ)2]
-
=
(n-1)u 2
n-1
--σ 2
n
5-4
της σελ.
158.
X j • j = 1,2, ... , n.
'Επειδή ή ιcάθε
εΙναι μιά ιcανoνιιcή τυ'Χαία μεταβλητή μέ μέση τιμή μ ΙCαί διασπορά
ή 'XαραΙCτηρισΤΙKή της συνάρτηση ε{ναι (Πίν.
Φj(ω) 'Η
nu2
όπου
Δείξτε τό Θεώρ.
σ2 ,
n(X - μ)2
Παίρνοντας τή μέση τιμή καθενός άπό τά μέλη της (2) καί
Ε[:Σ(χ;_μ)2]
-X)2]
=
5.21.
+
βρίσιcoυμε
Ε[ :Σ (X
άπ'
175
σελ. Ι 11)
4-2,
=
χαραKτηριστιιcή συνάρτηση τού άθροίσματος ΧΙ
e ίμω -(σ'ω')/2
+ Χ2 + ... + X n
ε{ναι (θεώρ.
3-12)
φ(ω) = φι(ω) Φ2(ω)" 'φπ(ω) = e ίnμω -(nσ'ω')/2 έπειδή
οί
Xj
εlναι άνεξάρτητες.
νΑρα ή χαραιcτηριστιιcή συνάρτηση της
Χ
ε{ναι (θεώρ.
=
Χι
+ Χ2 + .. , + Χ" n e ίμω- [(σΊη)ω2 J/2
3-11)
Άλλά αύτή ε!ναι ή χαραιcτηριστιιcή συνάρτηση Υιά ιcανoνική ιcατανoμή μέ μέση τιμή μ ΙCαί διασπορά Συνεπώς (θεώρ.
5.22.
3-13)
Δείξτε τό Θεώρ. '"
ΕΙναl (1Ι - 1)8:2
u2 In ..
εχουμε τό ζητούμενο άποτέλεσμα.
5-6 =
της σελ.
161.
n
:Σ (Χ· - Χ)2. ;= ι ) n
V =:Σ
;=1
(X j
_
Συνεπώς άπό τή σχέση (2) τού Προ βλ. 5.20 Ι:χουμε V μ)2
?
Υ.,- =
,
σ-
(Χ
-
=
νι
+ V 2•
όπου
μ)2
"Ι σ- n
Σύμφωνα μέ τό θεώρ. 4-3 της σελ. Ι 16, ή V εχει ιcατανoμή χ 2 μέ n βαθμούς έλευθερίας. Ή Χ {χει ιcανoνική Πάλι άπό τό θεώρ. 4-3 μέ v = 1 ιcαί (Χ - μ)
ιcατανoμή (Πρόβλ. 5.21) μέ μέση τιμή μ ιcαί διασπορά u2 ln.
lν u2 1n άντί Υιά Χ ι συμπεραίνουμε ότι ή V 2. εχει ιcατανoμή χ 2 μέ 1 βαθμό έλευθερίας. ε!ναι άνεξάρτητες, τότε άπό τό Θεώρ. 4-5 επεται 6τl ή νι
5.23.
ΙCαί
V2
5.1
5-6
'Από τό Πρόβλ 5.1(b) εχουμε n = 2, σ2 = 10.8.
7.2.
wApa μέ 8~ = 7.2 εlναι
(2)(7.2)
10.8
-_
.....
Αν οί V ι ιcαί V 2 ΟΙ
ύπολογίστε τό άναμενόμενο πληθος των δειγμάτων τοϋ
πού εχουν δειγματική διασπορά μεγαλύτερη άπό
τέλεσμα αύτό μέ τό πραγματικό.
(α)
W
εχει ιcατανoμή χ 2 μέ n - 1 βαθμούς έλευθερίας.
όμως ε!ναι πραγματιιcά άνεξάρτητες (Πρόβλ. 5.135), άρα εχουμε τό ζητούμενο.
(α) Χρησιμοποιώντας τό Θεώρ. Πρόβλ.
Vι
1.33
(b)
Συγκρίνετε τό άπο
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
176 Σύμφωνα μέ τό Θεώρ. 5-6 ή
χ2
=
= 2S2 /10.8
?ιΞ!/σ 2
εχει κατανομή χ 2 μέ 1 βαθμό έλευθερίας.
5
Άπό τόν
πίνακα τοϋ Παραρτήματος Ε εχουμε
P(S2
~
si) =
1.33) = 0.25
Ρ(χ Ζ ~
•Αρα 25% τών δειγμάτων, δηλ. 6 δείγματα, άναμένεται νά εχουν δειγματική διασπορά μεγαλύτερη άπό 7.2. (b)
Άπό τό Πρόβλ.
• Αρα
5.18
βρίσκουμε μετρώντας δτι πραγματικά
6
δείγματα εχουν διασπορά μεγαλύτερη
άπό
7.2.
τά δύο άποτελέσματα συμφωνοϋν.
ΑΓΝΩΣΤΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ
5.24.
Δείξτε τό Θεώρ. Θέτουμε
Υ
5-7
της σελ.
Χ-μ
nS 2
= --. σ/~
Ζ
=
Ι 61. ρ
-2 •
σ
= n -1. .
Έπειδή κάθε
X j εχει KανOνΙΙCή κατανομή μέ μέση τιμή
μ καί διασπορά σ 2 , επεται (Πρόβλ. 5.21) δτι ή Χ εχει κανονική κατανομή μέ μέση τιμή μ καί διασπορά u 21n ΙCαί τό ίδιο ή Υ μέ μέση τιμή Ο καί διασπορά 1. Άπό τό Θεώρ. 5-6 (σελ. 161) ή τό Πρόβλ. 5.22 επετα; δτι 1'1 Ζ εχει κατανομή χ2 μέ ι' 11 - 1 βαθμούς έλευθερίας. Τέλος, άπό τό Θεώρ. 4-6 (σελ. 117) συμπεραίνουμε δτι
=
ή τυχαία μεταβλητή
t
άκολουθεί τήν κατανομή
5.25.
τοϋ
Student
μέ
εχουμε Ρ( -1.376 ~ Τ ~
άποτέλεσμα στό Πρόβλ.
Χ-μ
S/Vn -1
SIVii
1.376) 5.1;
t
λ
βαθμούς έλευθερίας.
n - 1
Σύμφωνα μέ τόν πίνακα της κατανομης
D)
Χ-'μ
=
Τ
του
= 0.60.
Student
γιά
βαθμό έλευθερίας (Παράρτημα
1
Συμφωνεί αύτό τό άποτέλεσμα μέ τό άντίστοιχο
Άπό τίς τιμές της Χ στήν (Ι) της σελ. 166 καί τίς τιμές τής S2 στό Πρόβλ. 5.18(a) παίρνουμε τίς άκόλουθες
τιμές γιά τήν Τ = (Χ
μ)/(S/V1):
-
-co
-7.0
-7.0
-1.0
-0.33
0.11
-Ο(;
-1.0
-0.20
0.25
-1.0
-1.0
1.0
1.0
-0.33
-0.20
1.0
""
2.33
0.11
0.25
1.0
2.33
00
• Αρα υπάρχουν στήν πραγματικότητα 16 τιμές πού ίκανοποιοϋν τή σχέση (0.60)(25) = 15. Αυτό δέν ε{ναι πολύ ασχημο οϋτε άναπάντεχο, γιατί τά
-1.376;ΞΞΞ Τ;ΞΞΞ
1.376.
ένώ περιμέναμι
δείγματα είναι σχετικά λίγα.
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΣΠΟΡΩΝ
5.26.
Δείξτε τό Θεώρ.
5-8
Θεωροϋμε τά δείγματα
της σελ.
161.
Χι,
...• Χ"'
S2
= .!. m
καί
ΙΊ,
... , Y n
μέ μεγέθη
m
καί 1Ι άντίστοιχα.
ΟΙ δειγματικές δια
σπορές είναι
ι
m
~ (Χ J - Χ)2, j=1
S"
2
=.!n j=:Σ1 (Υ·Υ)2 )
δπου Χ καί }Τ οΙ δειγματικές μέσες τιμές.
'Από τό Θεώρ. 5-6 (σελ. 161) επεται ότι οΙ 1llSi/ai καί 1IS;/u; άκολουθοϋν ιcατανoμή χ2 μέ m - 1 ιcαι n - 1 βαθμούς έλευθερίας άντίστοιχα. -Αρα άπό τό Θεώρ. 4-7 (σελ. 117) συμπεραίνουμε δτι ή F άκολουθεϊ κατανομή
F
μέ
m - 1, n - 1
7nsi/(nι - l)ui nS~/(n
-
1)σ;
βαθμούς έλευθερίας.
f
•
Κ Ε Φ.
5.27.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
Άπό δύο κανονικούς πληθυσμούς μέ διασπορές
θους
καί
8
άντίστοιχα.
10
177
καί
20
36
παίρνουμε δύο δείγματα μεγέ
Ποιά είναι ή πιθανότητα νά είναι ή διασπορά τοϋ πρώτου δείγ
ματος μεγαλύτερη άπό δύο φορές τή διασπορά τοϋ δεύτερου; 'Έχουμε
m
= 8,
= 10,
n
σi
= 20, F
σΞ
= 36.
"Αρα
8Si/(7)(20)
=
10S§/(9)(36)
=
si
1.85 S2 2
=
= 9.
n- 1
'Εάν
τούς πίνακες τοϋ
si > 2S~,
τότε F > 3.70. Παραρτήματος F, μεταξύ 0.01
=
εΙναι Ρι = m - 1 7, Ρ2 Ή πιθανότητα γιά νά συμβαίνει αύτό εΙναι, δπως προκύπτει άπό καί 0.05. Γιά μεγαλύτερη άκρίβεια χρειάζονται λεπτομερέστεροι
Τό πλήθος .τών βαθμών έλευθερίας γιά τόν άριθμητή καί τόν παρονομαστή
πίνακες.
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
5.28.
Στόν Πίν.
5-4
δίνονται τά βάρη (στρογγυ
λεμένα σέ γραμμάρια) δείγματος.
Πίν.
ροδακίνων ένός
40
Προσδιορίστε τήν κατανομή
συχνότητας. Τό μεγαλύτερο βάρος εΙναι κρότερο
119 gr,
176 gr καί τό διαφορά 57 gr.
άρα Itχουμε
'Εάν χωρίσουμε τό διάστημα αύτό σέ τό
πλάτος
κάθε
κλάσεως
θά
εΙναι
5
μι
Ε{ναι
11
150
132
144
125
149
157
158
140
147
136
148
152
144
168
126
138
176
163
119
154
165
146
173
142
147
135
153
140
135
161
145
135
142
150
156
145
128
Πίν.
πε
57/20 =
20
κλάσεις, τό
3 gr
περίπου.
βολικό δμως νά πάρουμε τό πλάτος κάθε
κλάσεως ίσο μέ
5 gr καί τά κέντρα τών κλάσεων ίσα 120, 125, 130, 135, ... gr. "Αρα τά διαστήμα τα τών κλάσεων θά ε[ναι 118-122, 123-127, 128132, ... , Μέ τήν έκλογή αύτή τά δρια τών κλάσεων ε[ναι 117.5, 122.5, 127.5, ... ,πού δέ συμπίπτουν μέ
βάρη πού μας δίνονται.
Ή ζητούμενη κατανομή συχνότητας δίνεται στόν Πίν
164
146
Βάρος
πλάτος κάθε κλάσεως θά εΙναι
μέ τά
138
κλάσεις,
5715 =
ρίπου.
'Εάν χωρίσουμε τό διάστημα σέ
5-5.
'Αφοϋ καθορίσουμε τά διαστήματα τών κλά
σεων (άριστερή στήλη), σημειώνουμε μέ μιά γραμμή (μεσαία στήλη) σέ ποιά κλάση άνήκει κάθε δεδομένο
βάρος.
5-4
Τό πληθος τών γραμμών μας δίνει τή συχνό
5-5 Συχνότητα
gr
118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147 148-152 153-157 158-162 163-167 168-172 173-177
Ι
1 2
11 11 1111 fH./..
2 4 6 8 5 4 2 3 1 2
Ι
Ίffj.. Ι Ι Ι
'H/..L
1111 11 111 Ι
11
τητα (δεξιά στήλη).
Σύνολο
40
'Υπάρχουν βέβαια καί άλλες κατανομές συχνότη τας γιά τά ίδια δεδομένα.
'Έτσι Π.χ. μέ
σεις, δηλ. πλάτος κλάσεως ίσο μέ τανομή
συχνότητας τοϋ Πίν.
9 gr,
7
μόνον κλά
~χoυμε τήν κα
Πίν. Βάρος
5.29.
Κατασκευάστε ενα Ιστόγραμμα καί ενα πολύ γωνο συχνότητας γιά κάθε μιά άπό τίς δύο κατανομές τοϋ Προβλ.
5.28.
Τό Ιστόγραμμα καί τό πολύγωνο συχνότητας γιά τίς δύο περιπτώσεις (Πίν. Σχ.
5-7
καί
5-8.
5-5
5-6
5-6.
καί Πίν.
5-6) δίνονται
στά
Τά κέντρα βάσεων τών όρθογωνίων
ε[ναι τά κέντρι! τών κλάσεων.
Στήν κατακόρυφη κλί
Συχνότητα
gr
118-126 127-135 136-144 145-153 154-162 . 163-171 172-180
111 Ίffj..
Ίffj..
1111
Ίffj..
fH./..
ΙΙ
ι-H-L
1111 11
3 5 9 12 5 4 2
μακα ~χoυν σημειωθεί συχνότητες, δπως γίνεται συνή
θως στήν πράξη.
Σύνολο
40
; ι
Ι
ΕΚ,&'
178
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
8
Βάρος
Σχ.
Βάρος
(gr)
Σχ.
5-7
(gr)
5-8
Π{ν.
5.30.
Πέντε νομίσματα ρίχνονται όλα μαζί
1000
φορές καί
σέ κάθε ρίψη καταγράφεται τό πλήθος των άποτελε σμάτων «κεφάλι».
0,1,2,3,4,5
Έτσι ξέρουμε πόσες φορές ήρθαν
νομίσματα «κεφάλι» (Πίν.
ραστηστε γραφικά τά δεδομένα.
(b)
fi 6
φορές «κεφάλι».
(c)
Πλήθος Άποτελεσμάτων
Πλήθος Ρίψεων
«Κεφάλι ..
(Συχνότητα)
(α) Πα
5-7).
Δωστε σ'
gva πί Ο, 1,2,
νακα τήν άναλογία των ρίψεων μέ λιγότερες άπό
3, 4, 5,
1
Παραστήστε γρα
Τά δεδομένα παριστάνονται Ύραφικά στό Σχ. Τό Σχ.
5-9 εΙναι ~να
5-91'\
στό Σχ.
2
5-10.
ραβδόΎραμμα καί φαίνεται mό φυσικό,
Ύιατί τό πλήθος των ρίψεων παίρνει μόνον άκέραιες τιμές.
Τό Σχ.
1000.
5-\0
εΙναι ενα ίστόγραμμα των δεδομένων.
Ι
Ο
φικά τόν προηγούμενο πίνακα.
(α)
5-7
38
144 342
3
287
4
164
5
25
Σύνολο
Ι
Τό δλικό σκιασμένο έμβαδό είναι ή δλική συχνότητ(
συνεχή.
350
300
300 ;>
;>
9
'"7
ρ:
a
250
'" ρ:
ο
φ
200
200
V' Ο
150
φ
.<
t::
t::
100 &0
60 Ο
1&0
~
~
.< 100
Ι
ι
Ο
2
Πλήθος
3
•Αποτελεσμάτων Σχ.
(b)
250
;7
V'
4
Ο
5 Πλήθος Άποτελεσμάτων "Κεφάλι»
«Κεφάλι»
Σχ.
5-9
Ό ζητούμενος πίνακας είναι ό Πίν.
5-8
2"
5-10
καί δίνει την άθροιστική κατανομή συχνότητας καί τήν άναλογία ττ
άθροιστικής κατανομής συχνότητας τού πλήθους των άποτελεσμάτων «κεφάλι».
«λιγότερο άπό
σημαίνει «λιγότερο η τό πολύ ίσο μέ
Ι
1000
Χρήση τού Ιστογράμματος ή τού πολύΎωνου συχνότητας σημαίνει ότι θεωρούμε τά δεδομένα σάl'
350
Ι
1 ".
-Ας σημειωθεί ότι Π.χ. το
Κ Ε Φ.
179
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
Πίν.
5-8
Πλήθος
. Αναλογία Πλήθος Ρίψεων
(άναλογία
«Κεφάλι»
(άθροιστική συχνότητα)
άθροιστικης συχνότητας)
λιγότερο άπό Ο
Ο
1 2 3 4
38 182 524 811 975 1000
λιγότερο άπό
λιγότερο άπό λιγότερο άπό λιγότερο άπό λιγότερο άπό
λιγότερο άπό
5 6
0.0 3.8 18.2 52.4 81.1 97.5 100.0
'M~
100
80
80
> 3
:>
3
'"
:Ξr ρ:
'"
:Ξr ρ:
60
Ι>="
';;:' Ο
«!j 40
40
«
>
:<
t:: 20
20
Ο
2
Πλήθος
4
5
. Αποτελεσμάτων Σχ.
0123456
«Κεφάλι»
Πλήθος 'Αποτελεσμάτων «Κεφάλι»
5-11
Σχ.
Ή ζητούμενη γραφική παράσταση δίνεται στό Σχ.
(c)
60
!j
<J'
Ο
φ
Ρίψεων
•Αποτελεσμάτων
Τό Σχ.
5-11
ή στό Σχ.
5-12.
εΙναι πιό φυσικό γιά τήν παρουσίαση άσυνεχών μεγεθών.
5-11
Ή άναλογία τών ρίψεων εΙναι
προφανώς άσυνεχές μέγεθος, γιατί ή άναλογία Π.χ. γιά λιγότερες άπό
άναλογία γιά λιγότερες άπό Τό Σχ.
5-12
1.75
φορές «κεφάλι», κτλ., πού εΙναι
5-12
2 φορές 18.2%.
«κεφάλι» εΙναι ίδια μέ τήν
δίνει τό πολύγωνο άθροιστικής συχνότητας γιά τά δεδομένα πού θεωροϋνται σάν συνεχή.
"Ας σημειωθεί δτι τά Σχ.
5-11
καί
5-12
άντιστοιχοϋν στά Σχ.
5-9
καί
5-10.
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ, ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ
5.31.
Ύπολογίστε τή μέση τιμή τών άριθμών
5,3,6,5,4,5,2,8,6,5,4,8,3,4,5,4,8,2,5,4.
Πρώτη μέθοδος. χ
=
::Σ χ
5+3+6+5+4+5+2+8+6+5+4+8+3+4+5+4+8+2+5+4
20
n 96
20
= 4.8
Δεύτερη μέθοδος.
'Υπάρχουν εξι χ
5.32.
=
Τέσσερις
δύο
3,
δύο
6,
πέντε
4,
δύο
2
καί τρία
8.
"Αρα
(6)(5) + (2}(3) + (2)(6) + (5)(4) + (2)(2) + (3)(8) 6+2+2+5+2+3
96
20
4.8
όμάδες μαθητών τής πρώτης τάξεως του γυμνασίου περιλαμβάνουν 15, 20, 10 18 μαθητές. Τό μέσο ϋψος τών μαθητών σέ κάθε όμάδα είναι άντίστοιχα 162, 148, 153 καί 140 cm. Ποιό είναι τό μέσο ϋψος δλων των μαθητων των όμάδων; καί
i
5,
-~----
180
(15)(162)
5.33.
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
Άπό τόν Πίν.
5-2
(σελ.
+ (20)(148) + (10)(153) + (18)(140) 15 + 20 + 10 + 18
150 cm
πού δίνει τήν κατανομή συχνότητας των
163),
5
κιβωτίων φρού
100
των, ύπολογίστε τό μέσο βάρος ενός κιβώτιου φρούτων. Ή λύση τοϋ προβλήματος δίνεται στόν Πίν.
εχουν βάρος
·Ολα τά κιβώτια μέ βάρος
5-9.
κιλά, πού ε{ναι τό κέντρο της κλάσεως.
61
πρόβλημα άνάγεται στόν ύπολογισμό τοϋ μέσου βάρους
100
Π(Υ.
κιβωτίων, {ιπό τά όποία
5
305
63-65
64
18
1152
66-68
67
42
2814
69-71
70
27
1890
72-74
73
8
584
κιλά, κτλ.
=
:i. /Χ :i. /
:i.
=
fx
n
6745 100
=
:i./
=
= 100
(27)
Xj τό κέντρο της j κλάσεως.
α
ε{ναι ίση μέ τό πλάτος κάθε κλάσεως
Xj
=
+ CUj
(ή άπλά
χ
= 6745
:i./x
=
α
c
της σελ.
Ή διαφορά
164
5.35).
γιά τή μέση τιμή.
Xj - α τοϋ Xj άπό κάποιο όρισμένο κέντρο κλάσεως δηλ. εχουμε Xj - α CUj ή
=
πολλαπλασιασμένο έπί εναν {ικέραιο Uj,
+ Cu).
Ή μέση τιμή ε{ναι
= α
έπειδή n
5.35.
+
:i./jUj C--
= :i. /j.
Νά λυθεί τό Πρόβλ. μένο τύπο τού
5.33 μέ τόν Προβλ. 5.34.
n
α
+
ciί
κωδικοποιη
Π(ν" χ
/
-2
5 18 42 27 8
61 64
πού καλείται κωδικoπoιημiνη μέθοδοι;, διευκολύνει τίς
α -~67
Ο
πράξεις καί ένδείιcνυται νά χρησιμοποιείται δσο τό δυ-
70 73
1 2
5-10.
Τό μέσο βάρος των κιβωτίων ε{ναι
5-10
u
"Η μέθοδος αύτή,
"Η λύση δίνεται στόν Πίν.
νατό συχνότερα.
18
Οί ύπολογισμοί, πού σέ τέτοια προβλήματα γίνονται μερικές φορές μακριοj καί κουρα
Δείξτε τόν κωδικοποιημένο τύπο
α
κιλά,
6745 λά . κι
στικοί, μποροϋν νά άπλοποιηθοϋν μέ διάφορες μεθόδους (βλέπε π.χ. Πρόβλ.
'Έστω
'Έτσι τό
61
/χ
61
-=
5.34.
~χoυν βάρος
60-62
Χ
64
5
Συχνότητα (Ι)
n
εχουν βάρος
κιλά θεωροϋνται δτι
5-9
Κέντρο Κλάσεως (χ)
Βάρος (κιλά)
60-62
Τό ίδιο γίνεται καί μέ τίς άλλες κλάσεις.
-1
n = 100 67.45
κιλά
/u -10 -18 Ο
27 16 Σ/u
= 15
Ρ • Κ Ε Φ.
5.36.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
181
Ύπολογίστε τή διασπορά καί τήν τυπική άπόκλιση των άριθμων τού Προβλ. (α)
5.31.
Πρώτη μέθοδος. ~Oπως στό Πρόβλ.
82
~ (Χ
=
5.3 ι
χ)2
-
n
=
εχουμε
χ
= 4.8.
(5 - 4.8)2
+ (3 -
59.20 20
2.96
-Αρα
+ (6 -
4.8)2
+
4.8)2 20
(5 - 4.8)2
+ '" + (4 -
4.8)2
Δεύτερη μέθοδος.
~
χ)2
f(x -
n
_
6(5 - 4.8)2
+ 2(3 -
4.8)2
= 5;~0
+ 5(4 -
=
~I(x
8
χ)2
-
15(162 - 150)2
+ 20(148 -
150)2 + 20
15
8
= 8.10
= v' 65.6
Ύπολογίστε τήν τυπική άπόκλιση τών βαρών τών Είναι Χ
= 67.45
κιλά.
+ 10(153 + 10 + 18
Πίν. Μέσο
(κιλά)
Κλάσεως Χ
60-62
150)2
100
κιβωτίων φρούτων τού Προβλ.
5-11.
5-11
χ-χ=
61
-6.45
41.6025
5
208.0125
63-65
64
-3.45
11.9025
18
214.2450
66-68
Χ
-
χ)2
Συχνότητα
f(x -
f
χ)2
67
-0.45
0.2025
42
8.5050
69-71
70
2.55
6.5025
27
175.5675
72-74
73
5.55
30.8025
8
246.4200
852.7500 100
=
-
= ~! =
v'8.5275
=
100
2.92
Δείξτε τόν κωδικοποιημένο τύπο (28) της σελ. 164 γιά τή διασπορά. 5.34
έχουμε
Χ; χ
ι
+ 18(140 -
(Χ
~Oπως στό Πρόβλ.
'-
5.32.
- 67.45
8
13
3(8 - 4.8)2.
cm.
n
J,
150)2
Ό ύπολογισμός της τυπικης άποκλίσεως δίνεται στόν Πίν.
Βάρος
+
65.6
•Αρα ή τυπική άπόκλιση τοϋ δείγματος είναι
Ι !
4.8)2
= v'2.96 = 1.36.
n
4130 63
5.39.
+ 2(2 -
4.8)2
W
Ύπολογίστε τήν τυπική άπόκλιση τών ύψών τών μαθητών τού Προ βλ. 82
5.38.
4.8)2
= 2.96
(b) Γιά τήν τυπική άπόκλιση τοϋ δείγματος έχουμε
5.37.
+ 2(6 -
-
=
α
+ CU;
=
α
+
καί
~f;u·1 c_ _
n
α
+
cU
~I(x
- χ)2
852.7500
κιλά
=
5.33.
182
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
"Αρα
~ ~ f·(x. - χ)2 n
1: ~ f.(cu n
"
- cu)2
'
J
c2 -n ~ f.(u· - u)2
,J
2 2 c ~ f,u~ _ 2uc n " n
=
Χρησιμοποιώντας τόν κωδικοποιημένο τύπο τοϋ Προβλ. κλιση των βαρων των κιβωτίων φρούτων τοϋ Προβλ. Ό ύπολογισμός δίνεται στόν Πίν.
5-12,
n
J1
'
c2 ~fjuj n
=
5.40.
2
~ f·u. + c ~ f·u 2
5.39 5.33.
πού περιλαμβάνει τόν Πίν.
5-10
ύπολογίστε τήν τυπική άπό
τού Προβλ.
5.35.
Άπό τήν τελευταία
στήλη Cχουμε
(3)2 καί άρα
8
= 2.92
[190~ -. (11;0) ]
61 64 _67 70
5-12
u
f
fu
Ι1ι 2
-2 -1
5 18 42 27 8
-10 -18
20 18
χ
Ο
1 2
73
n
5.41.
8.5275
κιλά.
ΟΙν.
α
=
= ~! = 100
Ο
Ο
27 8
27 32
~ Ιιι
= 15
= 97
Σfu 2
Υπολογίστε τίς πρωτες τέσσερις ροπές περί τή μέση τιμή γιά τήν κατανομή τοϋ Προβλ. Συνεχίζοντας μέ τη μέθυδο τού Προβλ.
5.40
παίρνουμε τόν Πίν. Οίν.
χ
61 64 67 70 73
u
-2 -1 Ο
1 2
f
5
18 42 27 8 n=~f=100
5-13.
5-13
fu
fu 2
fu:l
fu 4
-10 -18
20 18
-40 -18
80 18
~fu
Ο
Ο
Ο
Ο
27 16
27 32
27 64
27 128
= 15
5.33.
~fu2
= 97
aa
~Iιι3
= 33
!2
~fU4
= 253
• Κ Ε Φ.
183
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
Άπό τόν πίνακα αύτό εχουμε χρησιμοποιώντας τό συμβολισμό τής σελ.
~fu = 0.15
M~ M~ = καί άπό τή σχέση
4
=
=
c 2(M; - Μ;2)
(α)
2.53
n
9[0.97 - (0.15)2J
=
8.5275
- 3M~M; + 2M~3) = 27[0.33 - 3(0.15)(0.97) + 2(0.15)3] =
m3 =
c 3 (M;
'm4
c4(M~ - 4Μ; Μ;
+ 6M?M~ - 3M~4) 4(0.15)(0.33) + 6(0.15)2(0.97) -
3(0.15)4]
Ύπολογίστε τούς συντελεστές (α) άσυμμετρίας καί Προβλ.
~fu4
ΜΙ
0.97
n
0.33
n
(32)
81 [2.53 -
5.42.
3
Ο
ml
m2
~fu2
~fu3
ΜΙ
n
165
199.3759
κυρτώσεως Υιά τήν κατανομή τοϋ
(b)
5.33.
Άπό τό Πρόβλ.
5.41
έχουμε
m2
=
= 8.5275
82
m3
= -2.6932
m3
Συντελεστής άσυμμετρίας
α~
83
-2.6932 V(8.5275)3 (δ)
-2.6932
Άπό τό Πρόβλ.
-0.14
εχουμε
5.41
mz =
= 199.3759
m4
82
= 8.5275
Συντελεστής κυρτώσεως
199.3759 (8.5275)2 = 2.74 Άπό τά άποτελέσματα αύτά συμπεραίνουμε δτι ή κατανομή εΙναι λίγο άσύμμετρη πρός τά άριστερά καί λιγότερη αίχμηρή άπό τήν κανονική.
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
5.43.
(α) Μέ πιό τρόπο μποροϋμε νά διαλέξουμε
30
τυχαία δείγματα μέ
μέ έπανατοποθέτηση άπό τόν πίνακα των κιβωτίων τής σελ.
άριθμούς;
(b) ΎπολΟΥίστε τή (c) Συγκρίνετε τίς
δειγμάτων. (α)
Άντιστοιχοϋμε
fva
κιλά
ό.ριθμ{ζονται
5-14).
ό.ριθμίζονται
05-22,
'Έτσι τά
00-04,
ους
διψήφιους
τά
5
κιβώτια μέ βάρη
18
μέ βάρη
63-65
51, 77, 27, 46, 40,
νας ό.πό τούς ό.ριθμούς αύτούς όρίζει
Ι
fva
fva
κιβώτιο στό διάστημα
νουμε
67
κιλά
της
66-68
κλάσεως).
70,67,67
κτλ.
Καθέ
κιβώτιο ό.πό τήν
καί τό βάρος του.
όρίζει
νουν κιβώτια μέ βάρη
ι
5-14
(κέντρο
5-14
Βάρος
(κιλά)
Συχνότητα
"Αριθμός
60-62
5
00-04
63-65
18
05-22
66-68
42
23-64
69-71
27
65-91
72-74
8
92-99
τήν πρώτη σειρά fχουμε τούς τυχαί
ό.ριθμούς
τρίτη στήλη τοϋ Πίν.
ΠΙν.
00, 01, 02, . -. . , 99
κτλ.
•Από
χρησιμοποιώντας τυχαίους
τιμές αύτές μέ τίς θεωρητικές.
Παίρνουμε τώρα τυχαίους άριθμούς ό.πό τόν πίνακα τοϋ Παραρτήματος Ι.
κιβώτια τό καθένα καί
μέση τιμή καί τήν τυπική άπόκλιση τοϋ μέσου βάρους των
διψήφιο άριθμό
σέ κάθε κιβώτιο (Πίν.
60-62
163
4
Π.χ.
ό
51
κιλά. πού τό παίρ ΟΙ
77,27,46
κιλά ό.ντίστοιχα.
δί
184
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
~Eτσι παίρνουμε τόν Πίν.
5-15, πού δίνει τούς άριθμούς των κιβωτίων πού πήραμε, τά άντίστοιχα βάρη καί τό 30 δείγματα. •Ας σημειωθεί δτι άντί νά άρχίσουμε ά;τό τήν πρώτη γραμμή τού
μέσο βάρος καθενός άπό τά
πίνακα των τυχαίων άριθμων, θά μπορούσαμε νά άρχίσουμε άπό όπουδήποτε καί νά άκολουθήσουμε όποιοδή ποτε συγκεκριμένο τρόπο έκλογής.
Πίν. Άριθμοί Κιβωτίων
Άντίστοιχα
Μέσο
(πού πήραμε)
Βάρη
Βάρος
. Αριθμοί
Κιβωτίων
Άντίστοιχα
Μέσο
Βάρη
Βάρος
(πού πήραμε)
1.
51,77,27,46
67,70,67,67
67.75
16.
11, 64, 55, 58
64, 67, 67,
β7
66.25
2.
40, 42, 33, 12
67, 67, 67, 64
66.25
17.
70, 56, 97, 43
70, 67, 73, 67
69.25
3.
90, 44, 46, 62
70, 67, 67, 67
67.75
18.
74, 28, 93, 50
70, 67, 73, 67
69.25
69.25
19.
79, 42, 71, 30
70, 67, 70, 67
68.50
58, 60, 21, 33
67, 67, 64, 67
66.25
4.
16, 28, 98, 93
64, 67, 73, 73
5.
58, 20, 41, 86
67, 64, 67, 70
67.00
20.
6.
19, 64, 08. 70
64, 67, 64, 70
G(;.25
21.
75,79,74,54
70, 70, 70, 67
69.25
7.
56, 24, 03, 32
67, 67, 61, 67
65.50
22.
06, 31, 04, 18
64, 67, 61, 64
64.00
8.
34, 91, 83, 58
67, 70, 70, 67
68.50
23.
67, 07, 12, 97
70, (;4, 64, 73
67.75
31,71,
88
β9,
9.
70, 65, 68, 21
70, 70, 70, 64
68.50
24.
67, 70, 70, 70
69.25
10.
96, 02, 13, 87
73, 61, 64, 70
67.00
25.
11,6·1,21,87
64, 67, 6'1, 70
66.25
11.
76, 10, 51, 08
70, 64, 67, 64
66.25
26.
03, 58, 57, 93
61, 67, 67, 73
67.00
12.
63, 97, 45, 39
67, 73, 67, 67
68.50
27.
53, 81, 93, 88
67, 70, 73, 70
70.00
13.
05, 81, 45, 93
64, 70, 67, 73
(;8.50
28.
23, 22, 96, 79
67, 64, 73, 70
68.50
14.
96, 01, 73, 52
73, 61, 70, 67
67.75
29.
98, 56, 59, 36
73, 67, 67, 67
68.50
15.
07, 82, 54, 24
64, 70, 67, 67
67.00
30.
08, 15, 08, 84
64, 64, 64, 70
65.50
Πίν.
5-16
u
fu
fu 2
1
-4
-4
16
64.75
Ο
-3
Ο
Ο
65.50
//
2
-2
-4
8
66.25
lΉ.ί Ι
6
-1
-6
6
α_67.00
1//1
4
Ο
Ο
Ο
67.75
1111
4
1
4
4
68.50
!HL.
7
2
14
28
69.25
ΊHJ..
5
3
15
45
70.00
Ι
1
4
4
16
Μ. Τ. Δείγματος
64.00
Πλήθος
f
Ι
ΙΙ
'.i.f (b)
5-15
Στόν Πίν.
5-16
νομή τής
δειγματικής μέσης τιμής.
= ]ι = 30
= 23
~Iιι
'.i. 11.1.2
=
123
δίνεται ή κατανομή συχνότητας τού μέσου βάρους των δειγμάτων, δηλ. ή δειγματοληπτική κατα
Μέση τιμή
α
+
Μέ τίς γνωστές κωδικοποιημένες μεθόδους εχουμε
cu
Τυπική άπόκλιση
α
+
c'.i. ΙΙΙ
=
67.00
+
(0.75)(23)
30
n
c
67.58
κιλά
~ u-
-νιι-
(0.75)
-
Γ123
ν 30
_
(23)2 30
=
1.41
κιλά
ω
,-
Ι
Ι
..
,ιι----------------------
Κ Ε Φ.
(c)
185
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
Ή θεωρητική μέση τιμή της δειγματοληπτικης κατανομης της δειγματικής μέσης τιμής, δηλ. ή
τή μέση τιμή τιμή
67.58
μ τοϋ πληθυσμοϋ, πού εΙναι
67.45
κιλά (Πρόβλ.
μχ, ίσοϋται μέ
Ή τιμή αύτή εΙναι άρκετά κοντά στήν
5.33).
πού βρήκαμε έδώ.
Ή θεωρητική τιμή τής τυπικής άποκλίσεως (τυπικοϋ σφάλματος) τής δειγματικής μέσης τιμής, δηλ. ή
π.χ, ίσοϋται μέ
uIvn,
δπου
των δειγμάτων είναι n = 4. βρήκαμε εδώ.
5.44.
ΟΙ διαφορές
σ
=
2.92 ε{ναι ή τυπική άπόκλιση τοϋ πληθυσμοϋ (Πρόβλ.5.40). Τό μέγεθος "Αρα σΙFι = 2.~2Iv'4 = 1.46 κιλά, πού εΙναι άρκετά κοντά στό 1.41 πού όφείλονται στό δτι πήραμε μόνο 30 δείγματα.
"Η τυπική άποιcλιση των βαρων των ένήλικων κατοίκων μιας χώρας είναι
νουμε δείγματα μέ
200
10.0
κιλά.
Παίρ
ένήλικους κατοίκους τό καθένα καί ύπολογίζουμε τήν τυπική άπό
κλιση καθενός δείγματος.
Ύπολογίστε
(α) τή μέση τιμή καί
(b)
τήν τυπική άπόκλιση τής
δειγματοληπτικής κατανομής τής δειγματικής τυπικής άποκλίσεως. Ζηταμε τή δειγματοληπτική μέση τιμή καί τή δειγματοληπτική τυπική άπόκλιση γιά δειγματοληψία, πού
μπορεί νά θεωρηθεί δτι γίνεται άπό απειρο πληθυσμό ή άπό πεπερασμένο μέ επανατοποθέτηση.
'Από τόν Πίν.
5-1
εχουμε (α)
σ
fLs -
10.0
κιλά
10
σ
([ι)
=
0.50
κιλά
"';400
5.45.
Τί ποσοστό των δειγμάτων του Προβλ.
5.44
άπό
κιλά;
κιλά,
11.U
(b)
μικρότερες άπό
8.8
θά εχει τυπικές άποκλίσεις (α) μεγαλύτερες
Ή δειγματοληπτική κατανομή τών τυπικών άποκλίσεων εχει περίπου κανονική κατανομή μέ μέση τιμή κιλά καί τυπική άπόκλιση
(α)
Τά
(b)
κιλά εΙναι σέ τυπικές μονάδες
11.0
τοϋ Ζ
Τά
= 2.0
8.8
10.0Ί!0.50
(11.0 (0.5 - 0.4772) = 0.0228.
;;
= -2.4
= 2.
Τό εμβαδό τής κανονικής καμπύλης δεξιά
"Αρα τό ζητούμενο ποσοστό εΙναι
περίπου.
2.3%
=
κιλά εΙναι σέ τυπικές μονάδες
στερά τοϋ
5.46.
εΙναι
10.0
κιλά.
0.50
(8.8 - 10.0)/0.50 -2.4. Τό εμβαδό της κανονικής καμπύλης άρι (0.5 - 0.4918) = 0.0082. "Αρα τό ζητούμενο ποσοστό εΙναι 0.8~( περίπου.
εΙναι
Σ' εναν πληθυσμό γίνονται
6
μετρήσεις μιας στατιστικης συναρτήσεως.
Ποιά είναι ή πι
θανότητα τά δύο τελευταία άποτελέσματα νά είναι μικρότερα άπό τά τέσσερα πρωτα άπο τελέσματα; Έστω δτι ό πληθυσμός εχει συνάρτηση πυκνότητας
άποτελέσματα μεγαλύτερα άπό U
Ή πιθανότητα νά εΙναι τά
f(x).
καί τό τέταρτο μεταξύ ιι καί 4 C3
(1)
[i'"
f(x) dx
u + du
3
άπό τά
4
πρώτα
ε{ναι
ΤΙ(ΙΙ) dJl
Ή πιθανότητα νά ε{ναι τά δύο τελευταία άποτελέσματα μικρότερα άπό U
(καί συνεπώς μικρότερα άπό τά τέσσερα
πρώτα) είναι
[I~", f(x) dx Τ
(2) "Αρα ή πιθανότητα νά εΙναι τά ρα άπό
u
(3) Έπειδή ή
4
εΙναι τό γινόμενο τών
πρώτα άποτελέσματα μεγαλύτερα άπό U
(1) 4C 3
u
καί
(2),
[λ
OC
f(x) dx
μπορεί νά πάρει όποιαδήποτε τιμή άπό
σματα μικρότερα άπό τά
4
καί συγχρόνως τά
2
τελευταία μικρότε
δηλ.
Τ Ι(ιι) dlt [I~'"
f(x) dx
J2
- '" εως "', ή πιθανότητα νά εΙναι τά 2 τελευταία άποτελέ (3) άπό -.., εως "', δηλ.
πρώτα δίνεται άπό τό όλοκλήρωμα τής
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑ ΤΟΛΗΨΙΑΣ
186
5
Γιά νά ύπολογίσουμε τήν πιθανότητα αύτή θέτουμε υ
(5) δπότε εχουμε
dv
(6) Γιά ιι =
εΙναι υ
C()
=1
καί u
=
= -oc
= Ο.
είναι υ
i'"
υ =
1-
f(u) dlt
f(x) dx
Άρα ή (4) γίνεται
=
1
4 1'(3) 1'(4)
15
1'(7)
πού είναι ή ζητούμενη πιθανότητα.
'Αξιοσημείωτο είναι τό γεγονός ότι ή πιθανότητα αύτή δέν έξαρταται άπό τήν
κατανομή πιθανότητας .f(X). Μέ άλλα λόγια ή στατιστική συνάρτηση πού έξετάσαμε δέν έξαρταται άπό τίς παραμέτρους τοϋ πλ ηθυσμοϋ.
5.47.
'Έστω {Χι, Χ2, ... , Xn} ενα τυχαίο δείγμα μεγέθους 'tl πού πρόκυψε άπό πληθυσμό μεγέ θους Ν μετά άπό δειγματοληψία χωρίς έπανατοποθέτηση. 'Εάν ή μέση τιμή καί ή δια σπορά τοϋ πληθυσμοϋ εΙναι μ καί σ 2 , δείξτε στι (α) E(X j ) = μ, (b) COν (X j , X k ) = -ση (Ν
-1).
"Εστω ότι δ πληθυσμός περιλαμβάνει τούς άριθμούς {al, α2, ... , αΝ}, όχι κατ' άνάγκη ιiιαφορετικούς. Σέ τυχαία δειγματοληψία κάθε δείγμα εχει τήν Ίδια πιθανότητα 11 NC" να ληφθεί, άρα οί Χ j εΙναι ίσόνομες μεταβλητές, δηλ.
μέ πιθαν
1/Ν
μέ πιθαν
1/Ν
(j μέ πιθαν
Δέν είναι όμως άνεξάρτητες μεταβλητές. 'Εάν
j
1/117
ή κοινή συνάρτηση κανατανομής τών X j καί X k είναι
k,
d:
= 1,2, ... , n)
λ"" ν
λ όπου τά λ καί ι' μεταβάλλονται άπό 1 εως Ν.
Συνεπώς
Ν
Ε(Χ)
(α)
E[X j Ν
~ λ=Ι
-
μ)(Χ k
-
μ
μ)]
Ν
~ (αλ - μ)(α v - μ) P(X j
= αλ, X k =α v)
1'=1
1( 1 )
Ν
=
= αλ)
~ αλΡ(Χ; λ=Ι
(b)
="
Ν - 1
Ν ~
λ ..
(αλ - μ)(αv - μ)
v=l
όπου τό τελευταίο άθροισμα περιέχει Ν(Ν - 1) όρους άντίστοιχους μέ όλα τά δυνατά ζεύγη μέ άνισα λ καί
v. Είναι όμως
[(αι - μ)
Ν
+ (α2 -
μ)
+ ... + (αΝ -
μψ
~ (αλ - μ)2 λ=l
+
Ν
~ λ#ν=Ι
(αλ - μ)(α ... - μ)
Ρ
Κ Ε Φ.
5
187
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
Στήν έξίσωση αύτή τό άριστερό μέλος ε{ναι μηδέν, έπειδή
+ α2 + ... + αΝ =
αl
Έπίσης τό πρώτο άθροισμα του δεξιου μέλους Ισουται μέ Ν
~
λ .. ιι=l
Δείξτε δτι
5.47
=
(αλ - μ)(α" - μ)
-Αρα
-Νσ2
2) = = .!.(-Ι-)(-Νσ Ν Ν-Ι
καί
5.48.
Νμ
Νσ 2 •
(α) ή μέση τιμή ιcαί
(b)
ή διασπορά της δειγματιιcής μέσης τιμής στό Πρόβλ.
εΙναι άντίστοιχα
σj Ε
=
(α)
(
χι
=
- n)
σ2 (Ν n Ν-Ι
+ ... + Χ rι )
n[Ε(Χ ι ) + ... + E(X,,)J ι
n
.!.(μ + ... + μ)
μ
n
δπου χρησιμοποιήσαμε τό Πρόβλ. 5.47(α).
(b)
Χρησιμοποιώντας τά Θεωρ.
3-5
καί
3-16
(γενικευμένο) καί τό Πρόβλ.
5.47
εχούμε
Var (Χ)
2 + 1Ι(Π -Ι)(- ~)J ..!...[1Iσ n Ν-Ι 2
σ2 [Ι n
_.!!:..::.l.] Ν-Ι
= σn2 (ΝΝ-Ι - n)
"Άλυτα Προβλήματα ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΠΚΗΣ ΜΕΣΗΣ ΠΜΗΣ
5.49.
Ένας πληθυσμός περιλαμβάνει τούς τέσσερις άριθμούς δύο πού μποροϋμε νά πάρουμε μέ έπανατοποθέτηση.
3,7,11, 15. 'Υπολογίστε
Θεωρουμε δλα τά δυνατά δείγματα μεγέθους (α) τή μέση τιμή του πληθυσμου,
(b)
τήν
τυπική άπόκλιση του πληθυσμου, δειγματικής μέσης τιμής.
(c) τή μέση τιμή τής δειγματικής μέσης τιμής, (d) τήν τυπική άπόκλιση τής Έπαληθευστε τά (C) καί (d) άπό τά (α) καί (b) μέ κατάλληλους τύπους.
5.50.
Νά λυθεί τό προηγούμενο πρόβλημα γιά δειγματοληψία χωρίς έπανατοποθέτηση.
5.51.
Τά βάρη
0.048 gr.
Ι500
πακέτων τσιγάρων ε{ναι κανονικά κατανεμημένα μέ μέση τιμή
τό καθένα καί μέ δειγματοληψία
5.52.
22.40 gr καί τυπική άπόκλιση 300 δειγμάτων μέ 36 πακέτα
'Υπολογίστε τή μέση τιμή καί τήν τυπική άποκλιση τών μέσων τιμών
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
5.51,
(α) μέ έπανατοποθέτηση,
έάν δ πληθυσμός περιλαμβάνει
72
(b)
χωρίς έπανατοποθέτηση.
πακέτα τσιγάρα.
l' • ί
1
188 5.53.
Πόσα δείγματα τού Προβλ. (ι:)
22.42.
5.54.
Κ Ε Φ.
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5.51
μικρότερες άπό
θά εχουν μέσες τιμές
22.37 gr, (d)
(α)
άπό
μικρότερες άπό
22.39 εως 22.41 gr, (b) μεγαλύτερες 22.38 ή μεγαλύτερες άπό 22.41 gr;
5
άπό
'Ένα έργοστάσιο κατασκευάζει μιά λυχνία τηλεοράσεως μέ μέση ζωή
'Υπολογίστε τήν πιθανότητα ενα τυχαίο δείγμα μικρότερη άπό
ώρες,
785
(c) μεγαλύτερη άπό
5.55.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
5.56.
Τά βάρη τών δεμάτων πού φορτώνονται σ'
50
κιλά.
ρο άπό
5.54
γιά δείγμα μέ
Έάν ό γερανός σηκώσει
25
64
800 ώρες καί τυπική άπόκλιση 60 ώρες. 16 λυχνιών νά εχει μέση ζωή (α) άπό 79Ω Ιως 810 ώρες, (b) 820 ώρες, (d) άπό 770 εως 830 ώρες.
λυχνίες.
fva
Έξηγήστε τή διαφορά.
καράβι μέ γερανό εχουν μέση τιμή
κιλά καί τυπική άπόκλιση
300
τυχαία δέματα συγχρόνως, ποιά ε{ναι ή πιθανότητα νά ζυγίζουν περισσότε
κιλά, πού ε{ναι τό δριο τού γερανού;
8200
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ
5.57.
Έάν δεχτούμε δτι οί πιθανότητες νά γεννηθεί άγόρι ή κορίτσι ε{ναι ίσες, ύπολογίστε τήν πιθανότητα στίς
μενες γεννήσεις ρισσότερο άπό
5.58.
Σέ
ρια,
5.59.
5.60.
1000
200 έπό Ib) άπό 43% fως 57% νά ε{ναι κορίτσια, (C) πε
(α) λιγότερο άπό 40°;' νά είναι άγόρια, νά ε{ναι άγόρια.
54%
δείγματα μέ
(Ι)) άπό
200 παιδιά στό καθένα, πόσα δείγματα άναμένεται νά εχουν 40% εως 60% κορίτσια, (C) 53o/c ή περισσότερα κορίτσια;
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
'Ένα κουτί περιέχει
ματα τών
20
5.57,
80
έάν πάρουμε τίς έπόμενες
σφαίρες άπό τίς όποίες
1 ΩΟ
60%
(άντί γιά
200)
ε{ναι κόκκινες καί
γεννήσεις.
άγό
·100/0
Έξηγηστε τή διαφορά.
άσπρες.
40%
jφαιρών μέ έπανατοποθέτηση, πόσα δείγματα άναμένεται νά εχουν
άσπρων σφαιρών,
(α) λιγότερο άπό
Έάν πάρουμε
δείγ
50
(α) ίσο άριθμό κόκκινων καί
(b) 12 κόκκινες καί 8 άσπρες σφαίρες, (c) 8 κόκκινες καί 12 άσπρες, «(1) 10 ή περισσό
τερες άσπρες σφαίρες;
5.61.
Έπαληθεύστε πειραματικά τά άποτελέσματα τού Προ βλ.
Άντί γιά κόκκινες καί άσπρες σφαίρες μπορείτε νά
5.60.
χρησιμοποιήσετε χαρτάκια μέ τά γράμματα Κ καί Α ή δύο είδη νομισμάτων.
Τί σφάλματα ένδέχεται νά δημιουργη
θούν στή δεύτερη περίπτωση;
5.62.
'Ένα έργοστάσιο κατασκευάζει λαμπτηρες άπό τούς όποίους τό
5%
δέματα τών
(α) λιγότερους άπό
100
λαμπτήρων, πόσα δέματα άναμένεται νά εχουν
ε{ναι έλαττωματικοί.
90
Έάν πουληθούν
1000 98
καλούς λαμπτηρες, (b)
ij περισσότερους καλούς λαμπτηρες;
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ
5.63.
Δύο τύποι καλωδίων Α καί Β άντέχουν σέ μέγιστο φορτίο
300
καί
200
κιλά άντίστοιχα.
Έάν δοκιμάσουμε
100
4000
τητα τό μέσο μέγιστο φορτίο τού Β νά ε{ναι τουλάχιστο
5.64.
5.65.
Νά λυθεί τό προηγούμενο πρόβλημα γιά δοκιμή
Τό μέσο άποτέλεσμα σ'
fva
100
τέστ νοημοσύνης ε{ναι
πιθανότητα τά μέσα άποτελέσματα δύο όμ1δων μέ σότερες μονάδες,
5.66.
(b) 6 ή περισσότερες μονόδες,
'Ένα κουτί περιέχει
60
κόκκινες καί
40
4500
κιλά κατά μέσο δρο μέ τυπική άπόκλιση
(α)
600
κιλά καί
5(1
Έξηγήστε τίς διαφορές.
μονάδες μέ τυπική άπόκλιση
8
μονάδες.
καί 36 φοιτητές άντίστοιχα νά διαφέρουν
Ποιά ε{ναι ή
(α) 3 ή περισ
(c) 2 εως 5 μονάδες;
άσπρες σφαίρες.
σφαίρες τό καθένα καί σημειώνουμε τά χρωματά τους.
Παίρνουμε μέ έπανατοποθέτηση δύο δείγματα μέ
Ποιά ε{ναι ή πιθανότητα νά
κόκκινες σφαίρες περισσότερες άπό τό άλλο;
5.67.
τύπου Β, ποιά ε{ναι ή πιθανό
(b) 450 κιλά μεγαλύτερο τού Α;
καλωδίων άπό κάθε τύπο.
72
28
καί
καλώδια τύπου Α καί
Νά λυθεί τό προηγούμενο πρόβλημα γιά δειγματοληψία χωρίς έπανατοποθέτηση.
fXEt fva
δείγμα τουλάχιστο
30 8
Ρ
Κ Ε Φ.
5.68.
189
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
Στίς έκλογές Ι:νας ύποψήφιος Ι:λαβε τό
τών ψήφων.
65%
Ποιά ε[ναι ή πιθανότητα δύο δείγματα μέ
ρους τό καθένα νά δώσουν ποσοστά γιά τόν ύποψήφιο πού δέ διαφέρουν περισσότερο άπό
5.69.
Έάν οΙ
(b)
5.70.
υ ι καί
=
a u ι +u Ι
VaU2 1
+
(b)
ItuI+u.
καί 62.34 κιλά άντίστοιχα.
Ύπολογίστε
(α) τή μέ
τήν τυπική άπόκλιση του άθροίσματος τών τριών βαρών.
Ή μέση τιμή τής τάσεως μιας μπαταρίας ε[ναι πιθανότητα
(α)
ψηφοφό
aU2 2 •
Τρία βάρη βρέθηκαν νά ε[ναι (μέσες τιμές) 20.48, 35.97 ση τιμή καί
5.71.
όρίζονται δπως στό Πρόβλ. 5.12, έπαληθεύστε τίς σχέσεις
Uz
200
μεταξύ τους;
10%
τέσσερις
καί ή τυπική άπόκλιση
15.0 vo1t
0.2 vo1t.
τέτοιες μπαταρίες σέ σύνδεση σειράς νά Ι:χουν δλική τάση τουλάχιστο
Ποιά ε[ναι ή
60.8 volt;
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙλΣΠΟΡλΣ
5.72.
Στό Πρόβλ.
5.73.
Νά λυθεί τό προηγούμενο πρόβλημα γιά δειγματοληψία χωρίς έπανατοποθέτηση.
5.74.
(α) τή μέση τιμή καί
"Ένας κανονικός πληθυσμός εχει διασπορά
ρές
5.75.
ύπολογίστε
5.49
(α) μικρότερες άπό
(b)
10,
15.
τό τυπικό σφάλμα τής
(b)
Τί ποσοστό τών δειγμάτων μεγέθους
μεγαλύτερες άπό
δειγματικής διασπορας.
5
άναμένεται νά εχει διασπο
(c) άπό 5 Itως 10;
20,
Οί λυχνίες τηλεοράσεως πού φτιάχνει μιά εταιρεία εχουν μέση ζωή
2000 ώρες και τυπική άπόκλιση 60 ώρες. 10 τυχαίες λυχνίες, ποιά ε[ναι ή πιθανότητα ή τυπική άπόκλιση του δείγματος νά ε[ναι (α) μικρό 50 ώρες, (b) άπό 50 Itως 70 ώρες;
Έάν πάρουμε τερη άπό
λΓΝΩΣΤΗ ΔΙλΣΠΟΡΑ ΠΛΗθΥΣΜΟΥ
5.76.
Σύμφωνα μέ τόν πίνακα του Παραρτήματος ~ Τ ~ 1)
= 0.50.
D
t του Student γιά 1 βαθμό έλευθερίας ε[ναι Ρ(-1 5.1 μέ αύτή τήν τιμή; Έξηγήστε τή διαφορά (άν ύ
τής κατανομής
Συμφωνουν τά άποτελέσματα του Προβλ.
πάρχει).
5.77.
Έλέγξτε έάν έπαληθεύονται τά άποτελέσματα του Προβλ.
~ Τ~
5.78.
1.376)
= 0.60,
δπου ή
Τ Ι:χει κατανομή t
μέ v
Περιγράψτε πώς θά μπορουσε νά χρησιμοποιηθεί τό Θεώρ. τήν κατανομή
t
του
Student,
5.49
μέ
(α)
Ρ(-1 ~ Τ ~
1) = 0.50,
Ρ(-1.376
(b)
= 1. 5-7
δπως αύτός του Παραρτήματος
της σελ.
161
γιά νά κατασκευαστεί Ι:νας πίνακας γιά
D.
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΔΕΙΓΜλΤΙΚΩΝ ΔΙλΣΠΟΡΩΝ
5.79.
Δύο δείγματα μεγέθους
4
καί
8
προέρχονται άπό Ι:ναν κανονικό πληθυσμό.
διασπορά του ενός δείγματος μεγαλύτερη Δπό
γεγόνότος αύτου μέ τούς Δριθμούς
5.80.
καί
Δύο έταιρείες Α καί Β κατασκευάζουν λαμπτήρες. έταιρείας Α καί Β.
50
ώρες τής Β.
τή διασπορά του άλλου.
θεωρουμε τό γεγονός νά ε[ναι ή Πώς σχετίζεται ή mθανότητα του
Ή ζωή τών λαμπτήρων εχει τυπική άπόκλιση
Παίρνουμε Ι:να δείγμα
8
λαμπτήρων τής Α καί Ι:να δείγμα
16
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά ε{ναι ή διασπορά του πρώτου δείγματος μεγαλύτφη άπό
(b) 1.2
5.81.
0.01
1.5 φορές 0.05;
40
ώρες τής
λαμπτήρων τής
(a)
δύο φορές,
φορές τή διασπορά του δεύτερου δείγματος.
Νά λυθεί τό Πρόβλ. 5.80, έάν οΙ τυπικές άποκλίσεις ε[ναι (α) 40, (b) 50 ώρες καί γιά τίς δύο εταιρείες.
190
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑ ΤΟΛΗΨΙΑΣ
Κ Ε Φ.
5
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
5.82.
Στόν Πίν.
5-17
δίνεται ή κατανομή συχνότητας της ζωής
ών ραδιοφώνου, πού μέτρησε
i:va έργαστήριο.
Πίν.
λυχνι
400
'Από τόν πίνακα αύτό
Ζωή Λυχνίας
Πληθος
(ώρες)
Λυχνιών
ύπολογίστε (α)
τό άνω άκρο της πέμπτης κλάσεως,
(b)
τό κάτω άκρο τής όγδοης κλάσεως,
(c)
τό μέσο της i:βδομης κλάσεως,
(d)
τά δρια τής τελευταίας κλάσεως,
(e)
τό πλάτος κάθε κλάσεως,
(Ι)
300 - 399
14
400 - 499
46
500 - 599
58
600 - 699
76
τή συχνότητα της τετάρτης κλάσεως,
700 -799
68
(g)
τή σχετική συχνότητα της fκτης κλάσεως,
800 - 899
62
(h)
τό ποσοστό τών λυχνιών μέ ζωή όχι μεγαλύτερη άπό
900 - 999
48
1000-1099
22
1100-1199
6
600
ώ
ρες,
(ί)
τό ποσοστό τών λυχνιών μέ ζωή τουλάχιστο
900
ώρες,
(j)
τό ποσοστό τών λυχνιών μέ ζωή τουλάχιστο
500
ώρες, άλλά
1000
μικρότερη άπό
5.83.
5-17
Κατασκευάστε
(α) ενα ίστόγραμμα καί
400
Σύνολο
ώρες.
ενα πολύγωνο συχνότητας γιά τήν κατανομή συχνότητας τού Πρόβλ.
(b)
5.82. 5.84.
5.85.
Άπό τά δεδομένα τού Προβλ.
5.82
μα τής σχετικής συχνότητας,
(c)
Άπό τά δεδομένα τού Προβλ.
5.82
κατασκευάστε
(α) μιά κατανομη της σχετικής συχνότητας,
(b)
ενα ίστόγραμ
ενα πολύγωνο τής σχετικής συχνότητας.
κατασκευάστε
(α) μιά άθροιστική κατανομή συχνότητας,
(b) μιά άθροιστική
κατανομή σχετικής συχνότητας καί τίς άντίστοιχες γραφικές παραστάσεις.
5.86.
'Εκτιμήστε τό ποσοστό λυχνιών τού Προβλ.
ρες,
5.87.
5.82
μέ ζωή
(α) μικρότερη άπό
560
ώρες,
(b)
τουλάχιστο
970
ώ
(c) άπό 620 εως 890 ώρες.
Τό μήκος τών μεταλλικών βραχιόνων μιας λάμπας σχεδιαστηρίου πού κατασκευαι,ει Ι:να έργοστάσιο μπορεί νά μετρηθεί μέ άκρίβεια χιλιοστού.
είναι
'Εάν τά μέσα τών κλάσεων μιας κατανομής συχνότητας τών μηκών τών βραχιόνων
0.321, 0.324, 0.327, 0.330, 0.333
καί
0.336
μέτρα, ύπολογίστε
(α) τό πλάτος,
(b)
τά δρια καί (c) τά
άκρα κάθε κλάσεως.
5.88.
Στόν Πίν.
5-18
δίνονται σέ κιλά τά βάρη
60
έργαλείων ένός δείγματος άπό τήν παραγωγή ένός έργοστασίου καί
ζητείται νά προσδιοριστεί μιά κατανομή συχνότητας.
0.738
0.729
0.743
0.740
0.736
5-18 0.741
0.735
0.731
0.726
0.737
0.728
0.737
0.736
0.735
0.724
0.733
0.742
0.736
0.739
0.735
0.745
0.736
0.742
0.740
0.72~
0.738
0.725
0.733
0.734
0.732
0.733
0.730
0.732
0.730
0.739
0.734
0.738
0.739
0.727
0.735
0.734
0.732
0.736
0.741
0.736
0.744
0.735
0.735
0.729
0.734
0.730
0.740
Πίν.
5.89.
0.735
0.732
0.735
0.727
0.732
0.737
0.731
0.746
Στό Πρόβλ.
5.88
νά σχεδιαστούν ενα ίστόγραμμα καί ενα πολύγωνο συχνότητας.
Νά βρεθεί ή κατανομή σχετικής
συχνότητας καί νά γίνουν τό άντίστοιχο ίστόγραμμα καί τό άντίστοιχο πολύγωνο.
Νά βρεθούν ή άθροιστική
κατανομή συχνότητας καί ή άθροιστική κατανομή σχετικής συχνότητας καί νά γίνουν οΙ γραφικές παραστάσεις.
5.90.
Άπό τά άποτελέσματα τού Προβλ.
0.732
κιλά,
(b)
5.89
όχι μεγαλύτερο άπό
σματα αύτά μέ έκείνα πού δίνει ό Πίν.
5.91.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
5.89
ύπολογίστε τό ιroσoσστό τών έργαλείων μέ βάρος
0.736 5-18.
κιλά,
Ύιά τά δεδομένα τού Προβλ.
(C)
άπό
5.82.
0.7;)0
!'ως
0.738
κιλά.
(α) μεγαλύτερο άπό
Συγκρινετε τά άποτελέ
!
Ι ι
r , ~
Κ Ε Φ.
191
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ, ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ
5.92.
Ένας φοιτητής πήρε
85, 76, 93, 82 καί 96 μονάδες 'Υπολογίστε τό μέσο δρο των βαθμ&ν του.
μάθημα. 5.93.
Ένας
ψυχολόγος
σέ πέντε μαθήματα μέ μέγιστο έκατό μονάδες γιά κάθε
βρήκε δτι ενας πελάτης του άντιδρα σέ διάφορους έξωτερικούς έρεθισμούς σέ χρόνο
0.46, 0.50, 0.49, 0.52, 0.53. 0.44
καί
0.55
δευτερόλεπτα.
0.53,
Ποιός εΙναι ό μέσος χρόνος άντιδράσεως τοϋ πελά
τη σέ έξωτερικούς έρεθισμούς;
5.94.
Ένα σύνολο άριθμων περιλαμβάνει εξι
6,
έπτά
7,
καί
89
όκτώ
8.
έννέα
καί δέκα
9
10.
Ποιός εΙναι ό μέσος δρος των
άριθμων τοϋ συνόλου;
5.95.
'Ένας φοιτητής πήρε άντίστοιχα
έξέταση ένός μαθήματος. πρός τούς άριθμούς
5.96.
Τρείς τάξεις μέ
2,4
καί
καί
32, 25
71, 78
μονάδες στό έργαστήριο, τήν πρώτη έξέταση καί τή δεύτερη
Τί τελικό βαθμό πρέπει νά πάρει,
17
5,
(b)
(α) έάν ή άξία των βαθμων αότων είναι
άνάλογη
έάν οί βaθμοί εΙναι ίσοδύναμοι;
μαθητές πήραν μέσους βαθμούς
79, 74
καί
μονάδες άντίστοιχα.
82
Ποιός εΙναι
ό μέσος βαθμός δλων των μαθητων;
5.97.
Ό μέσος μηνιαίος μισθός των ύπαλλήλων ένός καταστήματος εΙναι
ένηλίκων εΙναι
καί των άνηλίκων
5200
4200
5000
δρχ.
Έάν ό μέσος μηνιαίος μισθός των
δρχ. άντίστοιχα, ύπολογίστε τά ποσοστά ένήλικων καί άνήλικων
ύπαλλήλων.
5.98.
Στόν Πίν.
5-19
δίνεται ή κατανομή τοϋ μέγιστου φορτίου (σέ τόννους)
πού άντέχει ~νας τόπος συρματόσχοινου.
στο φορτίο
Πίν.
'Υπολογίστε τό μέσο μέγι
(α) άπό τόν όρισμό τής μέσης τιμής,
Μέγιστο Φορτίο
(b) μέ τήν κωδικο
'Υπολογίστε τήν Χ γιά τά δεδομένα τοϋ Πίν. (α) τόν όρισμό
(b)
.f
98
Στόν Πίν.
75
5-21
56
42
5-20
30
21
15
11
6
2
5 12 17 14 6 3 1 60
Σύνολο
2
δίνεται ή κατανομή τής έσωτερικής διαμέτρου ένός εϊδους παξιμαδιων (περικοχλίων) πού κατασκευά
μηχανή.
'Υπολογίστε τή μέση διάμετρο τών παξιμαδιών.
Πίν. Διάμετρος
(cm)
Πίν.
5-21 Συχνότητα
Κλάση
5-22 Συχνότητα
0.7247-0.7249
2
ισ-κάτω άπό
15
3
0.7250-0.7252 0.7253-0.7255
6
15-κάτω άπό
20 25
7 16
0.7256-0.7258 0.7259-0.7261 0.7262-0.7264 0.7265-0.7267
8 15 42
20- κάτω
άπό
25- κάτω 30- κάτω
άπό
30 35
12 9
68 49
35-κάτω άπό
40
40- κάτω
45
5 2
0.7268-0.7270
25
0.7271-0.7273
18
0.7274-0.7276 0.7277-0.7279 0.7280-0.7282
12 4
Σύνολο
6
χρησιμοποιώντας
462 480 498 516 534 552 570 588 606 624
χ
ζει μιά
9.3- 9.7 9.8-10.2 10.3-10.7 10.8-11.2 11.3-11.7 11.8-12.2 12.3-12.7 12.8-13.2
τήν κωδικοποιημένη μέθοδο. Πίν.
5.100.
5-20
Συχνότητα
(τόννοι)
ποιημένη μέθοδο.
5.99.
5-19
1 250
άπό
άπό
Σύνολο
54
192 5.101.
Ύπολογίστε τή μέση τιμή γιά τά δεδομένα τού Πίν.
5.102.
Ύπολογίστε τήν τυπική άπόκλιση των άριθμων: (α)
5.103.
Κ Ε Φ.
θΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
(α)
3, 6, 2, 1, 7, 5, Προσθέτοντας
5-22.
(c) Ο, ο, ο, ο, Ο, 1, 1, 1.
(b) 3.2,4.6,2.8, 5.2, 4.4,
σέκάθεlνανάπότούςάριθμούς
5
5
παίρνουμε τούς
3,6,2,1,7,5
8,11,7,6,12,10.
τε δτι οΙ δύο δμάδες άριθμων Ι!;χουν τήν ίδια τυπική άπόκλιση άλλά διαφορετικές μέσες τιμές.
Δείξ
πως συνδέονται
οΙ μέσες τιμές των δύο δμάδων;
(b)
Πολλαπλασιάζοντας κάθε εναν άπό τούς άριθμούς τούς
11, 17, 9, 7, 19, 15.
έπί
3, 6, 2, 1, 7, 5
2
καί προσθέτοντας
5
παίρνουμε
Ποιές σχέσεις συνδέουν τίς μέσες τιμές καί τίς τυπικές άποκλίσεις των δύο όμάδων
των άριθμων;
(C)
Ποιές Ιδιότητες της μέσης τιμης καί της τυπιιc:ης άποκλίσεως έπαληθεύονται μέ τίς σχέσεις πού βρέθηκαν στά
(α) καί
(b);
5.104.
Ύπολογίστε τήν τυπική άπόκλιση των άριθμων τής άριθμητικής προόδου
4, 10, 16, 22, ... , 154.
5.105.
'Υπολογίστε τή~ τυπική άπόΙCλιση τής κατανομής
(b) τού Προβλ. 5.99.
5.106.
'Υπολογίστε
(α) τή μέση τιμή καί
(α) τού Προβλ.
5.98,
(b) τήν τυπική άπόκλιση γιά τήν κατανομή τού Προβλ. 5.30.
'Εξηγήστε τή
σημασία των άποτελεσμάτων.
5.107.
(α)
"Υπολογίστε τήν τυπική άπόΙCλιση
διαμέτρους στά διαστήματα
(Χ ±
8 των διαμέτρων των παξιμαδιων τού Προβλ.
(Χ ±
8),
28),
(Χ ±
38);
(C)
πού θά παίρναμε, άν θεωρούσαμε τήν κατανομή κανονική.
5.108.
(b)
Προσδιορίστε μιά κατανομή συχνότητας γιά τά δεδομένα αύτά καί ύπολογίστε τήν τυπική άπόκλιση.
(c)
Συγκρίνετε τά άποτελέσματα των (α) καί (b).
(α) Ένα πλήθος
n
ypq.
'Υπολογίστε τίς ροπές άριθμούς
(α) πρώτης,
"Υπολογίστε τίς ροπές
ή τυπιιcή
(b) δεύτερης,
(c) τρίτης καί
(d) τέταρτης τάξεως περί τήν άρχή γιά τούς
(b) δεύτερης,
(c) τρίτης ιcαί
(d) τέταρτης τάξεως πφί τή μέση τιμή γιά
(α) πρώτης,
'Υπολογίστε τίς ροπές μούς τού Προ βλ.
5.115.
=
q 1- ρ. Δείξτε δτι (b) ·Εφαρμόστε τό άποτέλεσμα αύτό στό Πρόβλ. 5.102 (c).
4, 7, 5, 9, 8, 3, 6.
τούς άριθμούς τού Προβλ.
5. Ι Ι Ι.
(α) πρώτης,
= 1ΙΙ~
-
(b) δεύτερης,
(c) τρίτης ιcαί
(d) τέταρτης τάξεως περί τό 7 γιά τούς άριθ
5.11 Ι.
Άπό τά άποτελέσματα των Προ βλ.
(α) n~
5.28.
5.88.
άριθμων περιέχει άσους καί μηδενικά σέ άναλογία Ρ πρός
άπόκλιση των άριθμων αύτων είναι
5.114.
(b) μέ έΙCείνα
Ύπολογίστε τή μέση τιμή καί τυπική άπόΙCλιση γιά τά δεδομένα τού Προβλ.
5.110.
5.113.
Τί ποσοστό εχει
(α)
Νά λυθεί τό προηγούμενο πρόβλημα γιά τά δεδομένα τού Προβλ.
5.112.
(b)
Σέ τί όφείλονται οΙ διαφορές;
5.109.
5.111.
5.100.
Συγκρίνετε τά άποτελέσματα τού
nt{2,
"Υπολογίστε τίς πρώτες
(b) m3
καί 5.112 έπαληθεύστε 3'm~ ~ + 2m{3, (c) m4
5.111
= nt:J -
τίς άκόλουθες σχέσεις μεταξύ των ροπων:
= m~ -
4m{m; + 6m{2m2 - 3m{4.
τέσσερις ροπές περί τή μέση τιμή γιά τούς άριθμούς τής άριθμητιιc:ης προόδου
2, 5, 8, 11,
14,17. 5.116. 5.117.
·Εάν ή ροπή πρώτης τάξεως περί τό
Ισούται μέ
5,
ποιά εΙναι ή μέση τιμή;
'Εάν οΙ πρώτες τέσσερις ροπές tνός συνόλου άριθμών περί τό
τίς άντίστοιχες ροπές περί
5.118.
2
(α) τή μέση τιμή,
Ύπολογίστε τίς πρώτες τέσσερις
(b) τό 5,
3
εΙναι ίσες μέ
-2, 10, -25
καί
(c) τό μηδέν.
ροπές περί τή μέση τιμή των άριθμών Ο, Ο, Ο,
1, 1, 1, 1,1.
50,
ύπολογίστε
,. Κ Ε Φ.
5.119.
5.120.
193
ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΙΓΜΑ ΤΟΛΗΨΙΑΣ
5 (α)
Δείξτε ότι ms
=
1n~ -
511Ι~ m~
+ 10m?111~ -
'Ένα πλήθος π άριθμών περιλαμβάνει
καί
(C) 1113
(b) 1n2,
(a)m l ,
άσους
1011ι{3 1112
+ 41/ι{5.
(b) Βρείτε τήν έκφραση γιά τό mβ.
καί μηδενικά σέ άναλογία Ρ πρός
'Εφαρμόστε τά άποτελέσματα στό Πρόβλ.
(d) m4'
q= 15.118.
5.121.
'Από τόν Πίν. 5-23 ύπολογίστε τίς πρώτες τέσσερις ροπές περί τή μέση τιμή.
5.122.
'Υπολογίστε τίς πρώτες τέσσερις ροπές περί τή μέση τιμή γιά τήν ιcατανoμή τού Προ βλ.
ρ.
'Υπολογίστε τά
Πίν. 5-23
f
Χ
5.123.
(e)
5.124.
Χ,
(f)
(h)
χ
(i)
ύπολογίστε
ΙCαί
4
(j)
(Χ
τά
+ 1)3.
(α) άσυμμετρίας καί
(b)
κυρτώσεως γιά τήν ιcατανoμή τού
(α) άσυμμετρίας καί
(b) κυρτώσεως γιά τήν ιcατανoμή τού
5.121.
5.98.
Βλέπε Πρόβλ.
-12.8
άντίστοιχα.
12
1
14
4
16
6
18
10
20
7
22
2
Σύνολο
5.122.
Οϊ ροπές περί τή μέση τιμή γιά δύο κατανομές ε{ναι τής δεύτερης τάξεως καί
5.127.
(g)
χ3 ,
'Υπολογίστε τούς συντελεστές Προ βλ.
5.126.
8,
χ2 ,
'Υπολογίστε τούς συντελεστές Προβλ.
5.125.
5.101
Γιά τήν ιcατανoμή τού Προβλ.
5.98.
ιcαί
9
16
30
ιcαί τής τρίτης τάξεως
-8.1
Ποιά κατανομή ε{ναι περισσότερο άσύμμετρη πρός τά άριστερά;
Οϊ ροπές τετάρτης τάξεως περί τή μέση τιμή τών δύο κατανομών τού Προβλ. Ποιά
ιcατανoμή
μοιάζει
της,
(ό) ή άσυμμετρία της;
5.126 ε{ναι 230
ιcαί
περισσότερο μέ τήν ιcανoνιιcή ιcατανoμή, αν ληφθεί ύπόψη μόνο
780
άντίστοιχα.
(α) ή αίχμηρότητά
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
5.128.
'Ένας πληθυσμός περιέχει θους
5
ιcατανoμής
5.129.
5.130.
άριθμούς μέ μέση τιμή
(b)
40
ιcαί τυπιιcή άπόιcλιση
'Εάν πάρουμε δείγματα μεγέ
3.
χωρίς έπανατοποθέτηση, ύπολογίστε τή μέση τιμή τής δειγματoληπτιιcής
τής δειγμαΤΙΙCής διασπορας.
Ένας τύπος λυχνίας πού ιcατασιcευάζει μιά έταιρεία έχει μέση ζωή
ώρες μέ τυπιιcή άπόιcλιση
μέ
(α) μέση ζωή μεγαλύτερη άπό
τυπιιcή άπόΙCλιση μεγαλύτερη άπό
'Εάν στό Πρόβλ.
5.129 ή 910
1000 δέματα 910 ώρες, (b)
900
έταιρεία στέλνει σέ πελάτες της
τιμή μεγαλύτερη άπό
5.131.
7
(α) μέ έπανατοποθέτηση,
100
λυχνίες στό ιcαθένα.
διάμεση τιμή τής ζωής τών λυχνιών ε{ναι
ώρες;
80
ώρες.
Ή
Πόσα δέματα άναμένεται νά έχουν
95
ώρες;
ώρες, πόσα δέματα θά έχουν διάμεση
900
Συγιcρίνετε τό άποτέλεσμα αύτό μέ τό άποτέλεσμα τού
(α) τού Προβλ.
5.129.
'Ο δείιcτης νοημοσύνης τών ιcατoίιcων μιας πόλεως ε{ναι ιcανoνιιcά ιcατανεμημένoς μέ μέση τιμή
72 ιcαί τυπιιcή 8 μονάδες. 'Υπολογίστε (α) τόν έλάχιστο δείιcτη νοημοσύνης τού έξυπνότερου 20%, (b) τήν πιθα νότητα σέ 100 ιcατoίKoυς ό έλάχιστος δείιcτης νοημοσύνης τού έξυπνότερου 20% νά ε{ναι μιιcρότερoς τού 76. άπόιcλιση
5.132,
ΔείΕτε ότι 1'1 διασπορά τών 11 άριθμών τής άριθμητιιcής προόδου
α, α
l)d 2 • [Ύπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τίς σχεσεις 1 + 2 + 3 + + (11 - 1)2 t11(Π - 1)(211 - 1). ΈφαΡμογή: Πρόβλ. 5.104.]
Λ(1l 2 -
+ ... 5.133.
Ι
=
Δείξτε ότι οί πρώτες τέσσερις ροπές περί τή μέση τιμή τών άριθμών
=
1/11 [Ύπόδειξη:
5.134.
+ d, α + 2d, ... , α + (π - l)d ε{ναι ,., + (11- 1) = tn(n -1), 12 + 22 + 32
14 + 24
ο,
1/1
2
1 = -12 (π
+ 34 + ... + (π -
2
-
l)d 2
α
+ d, a + 2d,
1 = -240 (π
'
1)4 = ion(11-
'Oιcτώ μετρήσεις γίνονται τυχαία σ' ί:ναν πληθυσμό.
a,
1)(2π
-1)(3112 -
3π
-1),
2
-
.,"
1)(3π 2 -
α
+ (π -
l)d
7)d 4
ΈφαΡμογή: Πρόβλ.
5.115.]
Ποιά ε{ναι ή πιθανότητα τά τρία πρώτα άποτελέσματα νά ε{ναι
μεγαλύτερα άπό τά πέντε τελευταία;
5.135.
Δείξτε ότι οί V ι ιcαί V 2 τού Προ βλ. 5.22 ε{ναι άνεξάρτητες.
5.136.
Δείξτε τή σχέση
(19) τής σελ. 160.
ξΙ
-...............................................-----------------------------------------a
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
6
ΣΤΑΠΣΠΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΑΜΕΡΟΛΗΠΤΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΠΜΗΣΕΙΣ 'Όπως άναφέραμε στό Κεφ.
5,
μιά στατιστική συνάρτηση καλείται άμερόληπτη έκτιμήτρια μιας
παραμέτρουτου πληθυσμου, Μν ή άναμενόμενη τιμή τής στατιστικής συναρτήσεως ίσουται μέ τήν παράμετρο του πληθυσμοϋ. Ή J~μ!l.αύττιΚ(lλείται τότε άμερόληπτη έκτίμηση τής παραμέτρου.--- -'-.------
---------
--~-
Παράδει"(ρα 6.1.
-~
- -
'Η μέση τιμή Χ ιcαί ή διασπορά
(σελ. 157 ιcαί 160) εΙναι άμεΡόληπτες ειcτιμήτριες τής μέσης τιμή' μ ΙCαί διασποράς τοϋ πληθυσμοϋ, δηλ. Ε("1:) = μ. E(S2) = σ2 • ΟΙ τιμές Χ ΙCαί s-~ είναι άμερόληπτες ε ιcτιμήσεις. 'Η 8 δμως δέν είναι γενιιcά άμερόληπτη ειcτιμήτρια τής σ.
82
σ2
'~άy δύ'?(Jτατιστικ~s συναρτήσε:ς!x()~ν τήν'ίδια μέση τιμή, λέμε οτι ή στατιστική συνάρ.τ~η μέ
τή μίκρότεΡ1Lδιασπορά ε{Υg.ι πιόάποτελεσματική η·άποδοτική έκτιμήτΡΨ1fαj οτιήτιμή της δίνει μιά πιό
άποτελεσμά.;ική η άποδοτική έι<τiμήση~ ΕΙναι φανερό δτι θιi· προτιμούσαμε νά εχουμε στην πραξη έκτιμησείςπσό'ε{ναι· συγχρόνως άμερ6ληπτες καί άποτελεσματικές (δηλ. μέ τή μικρότερη δυνατή διαhπορά), άλλά αύτό δέν εΙναι πάντα δυνατό. Παράδει"(ρα
6.2.
Ή μέση τιμή ιcαΙ ή διάμεση τιμή Ινός δείγματος Ι:χουν καί οΙ δύο τήν ίδια μέση τιμή, πού εΙναι ιcαί μέση
τιμή τοϋ πληθυσμοϋ.
Ή διασπορά δμως τής μέσης τιμής τοϋ δείγματος εΙναι μιιcρότεpη άπό τή διασπορά τής διάμεσης
τιμής ΙCαί αρα ή μέση τιμή τοϋ δείγματος εΙναι μιά πιό άΠOτελεσματιΙCΉ ειcτίμηση τής μέσης τιμής τοϋ πληθυσμοϋ (βλέπε Πίν.
5-1,
σελ.
162).
Στήν πράξη χρηοιμοποιοϋνται συχνά μεροληπτικές (δηλ. μή άμερόληπτες) καί μή άποτελεσματικές έκτιμήσεις, έπειδή εΙναι σχετικά ευκολος ό ύπολογισμός τους.
ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ. ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ Ή έκτίμηση μιας παραμέτρου τοϋ πληθυσμοϋ μπορεί νά δοθεί μέ εναν άριθμό. μιά σημειακή έκτίμηση τής παραμέτρου.
'Έχουμε τότε
Ή έκτίμηση μιας παραμέτρου του πληθυσμοϋμπορεί νά
δοθεί καί μέ ενα διάστημα, μέσα στό όποίο πιστεύουμε οτι περιέχεται ή παράμετρος του πληθυσμού. WΕχουμε τότε μιά έκτίμηση διαστήματος τής παραμέτρου.
Μιά πληροφορία γιά τό σφάλμα η τήν
άκρίβεια τής έκτιμήσεως λέμε δτι περιγράφει τήν άξιοπιστία τής έκτιμήσεως.
Γενικά, οί μέθοδοι
έκτιμήσεως αγνωστων στατιστικών συναρτήσεων έξετάζονται σ' ενα ίδιαίτερο κεφάλαιο τής Στατι στικής, τήν Παράδει"(μα
Έκτιμητική.
6.3.
'Εάν μιά άπόσταση βρεθεί ίση μέ
δμως βρεθεί ίση μέ
5,28:!:: 0.03
5.28
"χιλιόμετρα, δηλ. άπό
χιλιόμετρα, ε"χουμε μιά σημειαιcή ειcτίμηση τής άποστάσεως. Έάν
5.25
~ως
5.31
χιλιόμετρα, Ι:χουμε μιά ειcτίμηση διαστήματος.
ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 'Έστω δτι Ρ-Β
καί
σΒ εΙναι ή μέση τιμή καί ή τυπική απόκλιση (τυπικό σφάλμα) τής δειγματο
ληπτικής κατανομής μιας στατιστικής συναρτήσεως
S.
'Εάν ή κατανομή αύτή του
S
εΙναι κατά
προσέγγιση κανονική (πράγμα πού συμβαίνει γιά πολλές στατιστικές συναρτήσεις έάν
είναι φυσικό νά περιμένουμε νά είναι οί τιμές τής
2a S
εως P-s
+ 2a S '
p-S -
3a S
εως P-s
+ 3aS
σέ ποσοστό
ριπτώσεων άντίστοιχα.
194
Α
S
στά διαστήματα p-s - "
S
εως μ,ς
68.27%, 95.45%, 99.73 ck
n ~ 30),
+ σΞ ,
fLs-
περίπου τών πε
-Κ Ε Φ.
ΣΤΑ ΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
6
195
'Ισοδύναμα, περιμένουμε νά είναι ή εχουμε έμπιστοσύνη ότι είναι τό /L S στά διαστήματα
εως
S
+ σs ,
S - 2σs εως S
ρίπου των περιπτώσεων.
+ 2σs ,
S - 3σs εως S
+ 3σ s
S - σs 68.27%, 95.45%, 99.73 % πε 68.27%, 95.45%, 99.73% διαστήματα
σέ ποσοστό
Τά διαστήματα αύτά καλουνται
έμπιστοσύνης γιά τήν έκτίμηση της
(δηλ. γιά τήν έκτίμηση της παραμέτρου του πληθυσμου γιά
fLs
τήν περίπτωση μιας άμερόληπτης έκτιμήτριας
S ±
2σs ,
S±
3σs )
καλουνται
S). Τά άκρα των διαστημάτων 68.27%, 95.45%, 99.73% δρια έμπιστοσύνης.
αύτων
(S ± σ.ψ
1.96 σ s καί S ± 2.58 σs είναι τά 95% καί 99% (ή 0.95 καί 0.99) όρια έμπι στοσύνης γιά τήν fLs' Τό 0.95 ή τό 0.99, δηλ. ή άντίστοιχη πιθανότητα, καλείται συχνά συντελε στής έμπιστοσύνης. Οί άριθμοί 1.96, 2.58, κτλ. στά όρια έμπιστοσύνης καλουνται κρίσιμες τιμές 'Όμοια, τά
S
±
καί συμβολίζονται μέ Zc.
Άπό τό συντελεστή έμπιστοσύνης μπορουμε νά προσδιορίσουμε τίς
κρίσιμες τιμές καί άντίστροφα.
Στόν Πίν. έμπιστοσύνης.
6-1
δίνονται μερικές τιμές του
πού άντιστοιχοϋν σέ διάφορους συντελεστές
Zr
Τιμές του Zc γιά άλλους συντελεστές έμπιστοσύνης μπορουν νά ύπολογιστουν άπό
τό έμβαδό της κανονικης καμπύλης (Παράρτημα
C).
Πίν.
6-1
Συντ.
Έμπιστοσύνης Zc
99.73%
99%
98%
96%
95.45%
95%
90%
80%
68.27%
50%
3.00
2.58
2.33
2.05
2.00
1.96
1.645
1.28
1.00
0.6745
Σέ περίπτωση πού μιά στατιστική συνάρτηση εχει δειγματοληπτική κατανομή διαφορετική άπό
τήν κανονική (π.χ.κατανομή χ
2
ή
t
ή F), μποροϋμε πάλι νά προσδιορίσουμε διαστήματα έμπι
στοσύνης καί άλλα σχετικά μεγέθη (συνήθως άρκετά εύκολα).
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ
1.
ΜεΎάλα δείΎματα
(n
~
30).
Έάν ή στατιστική συνάρτηση
S εΙναι ή δειγματική μέση τιμή Χ, τότε τά 95% καί 99% όρια έμπιστοσύνης γιά τήν έκτίμηση της μέσης τιμης μ του πληθυσμου εΤναι Χ ± 1.96 σ χ καί Χ ± 2.58 σχ άντίστοιχα. Γενικότερα, τά όρια έμπιστοσύνης εΙναι Χ ± Ζοσχ ' όπου τό ZC έ ξαρταται άπό τό συντελεστή έμπιστοσύνης καί δίνεται στόν παραπάνω πίνακα. ώντας τίς τιμές του σ χ άπό τό Κεφ.
5
Χρησιμοποι
συμπεραίνουμε ότι τά όρια έμπιστοσύνης γιά τή μέση
τιμή του πληθυσμου εΙναι
Χ ± Zc~
(1)
Vn
γιά δειγματοληψία άπό άπειρο πληθυσμό ή μέ έπανατοποθέτηση άπό πεπερασμένο καί
Χ
±
zc:n ~~=~
(2)
γιά δειγματοληψία άπό πεπερασμένο πληθυσμό μεγέθους Ν χωρίς έπανατοποθέτηση. Γενικά, ή τυπική άπόκλιση σ του πληθυσμου εΙναι άγνωστη καί γιά νά πάρουμε τά όρια
έμπιστοσύνης χρησιμοποιουμε τήν έκτιμήτρια
2.
Μικρά δείΎματα (11
Λ
S
ή
S.
< 30).
Στήν περίπτωση αύτή χρησιμοποιουμε τήν κατανομή
νης.
Π.χ. έάν
μάτια μέ
2.5 %
-t. 975
καί
t. 975
εΙναι οί τιμές της
γιά νά πάρουμε τά όρια έμπιστοσύ
Τ πού χωρίζουν τήν κατανομή σέ τρία κομ
του έμβαδου σέ κάθε άκραίο κομμάτι, τότε τό
τήν Τ εΙναι (βλέπε σελ.
95 %
διάστημα έμπιστοσύνης γιά
161) -t.975
b
t
<
t. 975
(3)
-Ι
196
Κ Ε Φ.
ΣΤΑ ΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
άπ'
δπου συμπεραίνουμε δτι ή μ. ε{ναι στό διάστημα λ
λ
8 Χ - t. 975 , r;;;;n < V 95%
έμπιστοσύνη.
χ-
<
/1
Π
μέ
6
r
8 + t . 975 Vn -
(4)
Γενικά,τά δρια έμπιστοσύνης γιά τή μέση τιμή ένός πληθυσμου ε{ναι λ
Χ δπου ή τιμή
tc
Ξ:Ξ;
τά
30
tc
προκύπτει άπό τό Παράρτημα
Σύγκριση των
n
±
καί
(5)
Zc καί
tc
(1)
8 --
(5)
Vn
D.
δείχνει δτι γιά μικρά δείγματα άντικαθισταμε τό
ε{ναι περίπου ίσα.
δείγματα ε{ναι δτι στήν (5) είσέρχεται τό
Zc μέ
t c•
Γιά
Ένα πλεονέκτημα της δειγματοληψίας μέ μικρά
S καί
ετσι μπορεί νά χρησιμοποιηθεί ή τυπική
άπόκλιση του δείγματος άντί γιά τήν τυπική άπόκλιση του πληθυσμου, πού συχνά δέν ε{ναι γνωστή
(τό ίδιο βέβαια μπορεί νά γίνει καί γιά μεγάλα δείγματα).
ΛΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ANAΛOΓlEΣ
Έστω δτι ή στατιστική συνάρτηση
θους
Ξ:Ξ;
11,
30,
παριστάνει τήν άναλογία έπιτυχιων σέ ενα δείγμα μεγέ
S
πού προέρχεται άπό ενα διωνυμικό πληθυσμό, στόν όποίο Ρ είναι ή άναλογία των
έπιτυχιων, δηλ. ή πιθανότητα έπιτυχίας.
Τά δρια έμπιστοσύνης γιά τό Ρ είναι Ρ
είναι ή άναλογία έπιτυχιων σ' ενα δείγμα μεγέθους 1ι. Κεφ.
5
±
Ζοσρ. δπου Ρ
Χρησιμοποιώντας τίς τιμές του σρ άπό τό
συμπεραίνουμε δτι τά δρια έμπιστοσύνης γιά τήν άναλογία του πληθυσμου είναι
Ρ
±
zc..JPi.
=
Ρ
±
zo~ Ρ(1: Ρ )
(6)
γιά δειγματοληψία άπό απειρο πληθυσμό η μέ έπανατοποθέτηση άπό πεπερασμένο πληθυσμό.
'Ό-
μοια, τά δρια έμπιστοσύνης άπό πεπερασμένο πληθυσμό μεγέθους Ν είναι
(pqΓN=n ρ ± Ζον --:;-ν Ν=1 γιά δειγματοληψία χωρίς έπανατοποθέτηση.
(7)
WΑς σημειωθεί δτι τά άποτελΟΟματα αύτά προκύπτουν
άπό τίς (1) καί (2), αν άντικαταστήσουμε τά Χ καί σ μέ τά Ρ καί
ypq.
Γιά νά ύπολογίσουμε τά παραπάνω δρια έμπιστοσύνης χρησιμοποιουμε τήν έκτίμηση προκύπτει άπό τό δείγμα) γιά τήν ρ.
Μιά άκριβέστερη μέθοδος δίνεται στό Πρόβλ.
Ρ (πού
6.27.
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ
'Εάν
SI
καί
82
είναι δύο στατιστικές συναρτήσεις μέ κατά προσέγγιση κανονική κατανομή, τά
δρια έμπιστοσύνης γιά τή διαφορά των παραμέτρων του πληθυσμου πού άντιστοιχουν στίς
81
καί
82
είναι
81 - 82 ± ΖcσSΙ-S2 = 81 - 82 ±
Zc yσ~1
+ σ~2
(8)
'Επίσης τά δρια έμπιστοσύνης γιά τό αθροισμα των παραμέτρων του πληθυσμου είναι
81 Οί σχέσεις
(8)
καί
(9)
+ 82 ±
ZCUSI+S2 = 81
+ S2 ± zoyσ~1 +σ~2
(9)
ίσχύουν γενικά μόνο γιά άνεξάρτητα δείγματα.
'Εφαρμόζοντας τά προηγούμενα εχουμε γιά τή διαφορά των μέσων τιμων δύο απειρων πληθυσμων τά δρια έμπιστοσύνης
(10)
Κ Ε Φ.
197
ΣΤΑ ΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
6
σπου ΧΙ' σι, n l καί Χ Ζ , σ Ζ , n 2 είναι άντίστοιχα γιά τά δύο δείγματα ή μέση τιμή, ή τυπική άπό κλιση καί τό μέγεθος.
ΥΟ μοια , τά σρια έμπιστοσύνης γιά τή διαφορά των άναλογιων των δύο πληθυσμών είναι (γιά
απειρους πληθυσμούς)
Ρι -
=
Ρ"- ± Ζ,σ ι, Ι -1' Ζ C
Ρι -
σπο\) Ρ ι καί Ρ2 οί άναλογίες στά δείγματα,
ρι(l - Ρι)
Ρ"- ± Zc
nl
καί
+ pz(l- ΡΖ)
nl
(11)
nz
n2 τά μεγέθη των δύο δειγμάτων καί Ρι καί
Ρ2 οί άναλογίες στούς δύο πληθυσμούς (πού έκτιμωνται συνήθως άπό τά Ρ ι καί Ρ 2 ).
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΣΠΟΡΕΣ
Τά σρια έμπιστοσύνης γιά τήν ~ ή τήν σ μποροϋν νά ληφθοϋν άπό τήν ιδιότητα τής στατιστι
κής συναρτήσεως nS2fuz = (n -l)S2f~ νά άκολουθεί κατανομή χ 2 ' μέ n - 1 βαθμούς έλευθερί ας.
'Εάν π.χ. οί X~025 καί Χ:975 χωρίζουν τήν κατανομή χ2 σέ τρία τμήματα μέ 2.5% τοϋ έμβα δοϋ γιά τό καθένα άπό τά άκραία τμήματα, τότε ενα 95% διάστημα έμπιστοσύνης είναι τό
Χ2
nS
<
~
2
7
=
.025
(12)
ή ισοδύναμα
(13) νΑρα μποροϋμε νά ποϋμε στι τό σ είναι στό διάστημα
Syn
~
σ
Syn
~
Χ.975
SVn-l
~
σ
SVn-l
~
Χ.975
μέ
95%
έμπιστοσύνη.
(14)
Χ.Ο25
(15)
Χ. Ο 25
'Όμοια, μποροϋμε νά βροϋμε (ίλλα διαστήματα έμπιστοσύνης.
Γενικά θέλουμε σσο τό δυνατό μικρότερο διάστημα έμπιστοσύνης.
Γι' αύτό γιά στατιστικές
συναρτήσεις μέ συμμετρική δειγματοληπτική κατανομή, δπως είναι ή κανονική κατανομή καί ή κατανομή τοϋ
Student,
παίρνουμε ϊσα έμβαδά γιά τά δύο ακραία τμήματα.
Γιά μή συμμετρικές
2
κατανομές δμως, δπως ή κατανομή
χ , πρέπει γενικά νά ρυθμίσουμε διαφορετικά τά ακραία έμβαδά
γιά νά πάρουμε τό μικρότερο διάστημα (βλέπε Πρόβλ.
6.28).
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΛΟΓΟΥΣ ΔΙΑΣΠΟΡΩΝ
5 (σελ. 161), έάν δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα μεγεθων 1rL καί n μέ sΞ προέρχονται άπό δύο κανονικούς πληθυσμούς μέ διασπορές σΞ, τότε ή τυχαία
ΗΟ πως εϊδαμε στό Κεφ.
διασπορές
si,
'" Si/
μεταβλητή -Λ--
S~/~
καί
F. 99
ui.
εχει κατανομή
είναι οί τιμές τής
F
κάθε ακραίο τμήμα, τότε μέ
F
μέ
m-l, n-l
πού χωρίζουν τήν κατανομή σέ τρία τμήματα μέ
98%
τό
98%
'Έτσι π.χ., έάν
1%
~
τοϋ έμβαδοϋ γιά
S~/~
-",-- ~ S~/~
F. 99
(16)
διάστημα έμπιστοσύνης γιά τό λόγο σ;/~ των διασπορων των δύο πληθυσμων είναι
1
'" SI
F. 99 S"'z
2
< =
ui
~
2
< =
'"
1 Si F. ol S"'2
2
14
--
F. oι
έμπιστοσύνη είναι
F. ol νΑρα ενα
βαθμούς έλευθερίας.
~.----------------------------------------------------------------------------
(17)
198
Κ Ε Φ.
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
"Ας σημειωθεί ότι ή F.99 προκύπτει άπό τό δεύτερο πίνακα το1;) Παραρτήματος Ή
F.o 1
είναι ή άντίστροφη τής
σελ. Ι
4-8,
Μέ όμοιο τρόπο μπορούμε νά βρούμε ενα πρώτο πίνακα τού Παραρτήματος
(σελ.
349).
μέ τούς βαθμούς έλευθερίας άριθμητή καί παρονομαστή άντι
F. 99
στραμμένους (σύμφωνα μέ τό Θεώρ.
F
6
18).
90%
διάστημα έμπιστοσύνης χρησιμοποιώντας τόν
Τό διάστημα αύτό είναι
F.
(18)
ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Μ;ΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ "Αν καί διαστήματα έμπιστοσύνης είναι πολύ χρήσιμα στήν έκτίμηση μιας παραμέτρου πλη
θυσμού, συχνά είναι βολικό νά εχουμε μιά σημειακή έκτίμηση.
Γιά νά πάρουμε τήν «καλύτερη
έκτίμηση>' χρησιμοποιούμε τή μέθοδο τής μέγιστης πιθανοφάνειας. 'Έστω ότι ή κατανομή τού πληθυσμού περιγράφεται άπό μιά συνάρτηση πυκνότητας
f(x,
θ),
όπου θ ή παράμετρος πού θέλουμε νά έκτιμήσουμε χρησιμοποιώντας μιά όρισμένη στατιστική συ νάρτηση.
'Εάν οί π παρατηρήσεις
Χι,
... , Χ"
είναι άνεξάρτητες, ή κοινή συνάρτηση πυκνότη
τας γιά τίς παρατηρήσεις αύτές είναι
L
=
I(~:ι, θ)
πού καλείται συνάρτηση πιθανοφάνειας. τή μέγιστη πιθανοφάνεια γωγο τού λογάριθμου τής
L. L,
f(X2,
θ)
... f(x n, θ)
(19)
'Ως μιά έκτίμηση τής θ μπορεί νά ληφθεί ή τιμή πού δίνει
Άντί νά μηδενίσουμε τήν παράγωγο τής
L,
μηδενίζουμε τήν παρά
όπότε εχουμε
1 Ι(Χι, θ)
af(xI, θ) ao
+ ... +
af(xn, θ)
1
f(xn,
θ)
-Ι
(20)
Ο
aθ
Άπό τήν έξίσωση αύτή ύπολογίζεται τό θ άπό τά ΧΑ-.
Ή μέθοδος αύτή μπορεί νά γενικευτεί.
ι
'Έτσι στήν περίπτωση πού εχουμε νά προσδιορίσουμε
ι
Ι
πολλές παραμέτρους συγχρόνως, παίρνουμε τίς μερικές παραγώγους ώς πρός τίς παραμέτρους, τίς μηδενίζουμε καί λύνουμε τό σύστημα πού προκύπτει.
Λυμένα Προβλήματα ι
ΑΜΕΡΟΛΗΠΤΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
6.1.
Δώστε ενα παράδειγμα έκτιμήτριας (ή έκτιμήσεως) πού είναι σματική,
(b)
άμερόληπτη καί μή άποτελεσματική,
(c)
(α) άμερόληπτη καί άποτελε-
μεροληπτική καί μή άποτελεσματική.
(α) 'Η δειγματική μέση τιμή Χ καί ή τροποποιημένη δειγματική διασπορά (b)
Ή δειγματική διάμεση τιμή καί ή στατιστική συνάρτηση
.},ωι
S2 =
+ Q2)'
1~
σπου οί
:.
1 S2.
Ρι καί Q2 χωρίζουν τό
άνώτερο καί τό κατώτερο τέταρτο τού δείγματος. Οί δύο αύτές στατιστικές συναρτήσεις δίνουν άμερόληπτες έκτιμήσεις τής μέσης τιμής τού πληθυσμού. ΕΙναι δμως καί οί δύο λιγότερο άποτελεσματικές άπό τήν Χ. λ
(c)
Ή δειγματική τυπική άπόκλιση μισοκεντρικό πλάτος.
S,
ή τροποποιημένη τυπικήάπόκλιση
S,
ή μέση άπόλυτη άπόκλιση καί τό
.
Ι
-- !
Ι
Γ!
Κ Ε Φ.
6.2.
199
ΣΤΑ ΏΣΏΚΕΣ ΕΚΏΜΗΣΕΙΣ
6
Πέντε μετρήσεις τής διαμέτρου μιας σφαίρας εδωσαν τίς τιμές
6.37 cm. 'Υπολογίστε καί (b) τής διασπορας (α)
6.33, 6.37, 6.36, 6.32
άμερόληπτες καί άποτελεσματικές έκτιμήσεις
καί
(α) τής μέσης τιμής
του άπειρου πληθυσμου των άποτελεσμάτων των μετρήσεων.
Μιά άμερόληπτη καί άπoτελεσματιιcή έκτίμηση τής μέσης τιμής εΙναι ή
=
χ
=
:Σχ 1Ι
+ 6.36 + 6.32 + 6.37
6.33 -1- 6.37
6.35 cm
5
Μιά άμερόληπτη καί άπoτελεσματιιcή έιcτίμηση τής διασπορας είναι ή
(b)
8'2
=
n
=
--82 1ι-1
(6.33 - 6.35)2
=
:Σ(χ
- χ)2 n-1
+
(6.37 - 6.35)2
+ (6.36 -
+
6.35)2 5- 1
(6.32 - 6.35)2
+ (6.37 -
6.35)2
0.00055 cm 2
8' = ν'0.00055
"Ας σημειωθεί δτι ή σμου.
6.3.
'Έστω δτι τά βάρη των μα άπό τά βάρη σεις (α)
= 0.023
εΙναι μιά έιcτίμηση τής τυπικής άποκλίσεως του πληθυ
Ή έκτίμηση αύτή δμως δέν εΙναι άμερόληπτη ούτε άπoτελεσματιιcή.
1546
100
κιβωτίων φρούτων του Προβλ.
κιβωτίων.
(α) τής μέσης τιμής καί Άπό τό Πρόβλ.
(b)
5.33
άποτελουν ενα τυχαίο δείγ
'Υπολογίστε άμερόληπτες καί άποτελεσματικές έκτιμή τής διασπορας του πληθυσμου.
5.33:
67.45
Άμερόληπτη ιcαί άπoτελεσματιιcή έκτίμηση τής μέσης τιμής
(b)
Άπό τό Πρόβλ.
5.38:
'Αμερόληπτη ιcαί άπoτελεσματιιcή έιcτίμηση τής διασπορας ΕΙναι
ιcιλά
8' = v' 8.6136 = 2.93. "Ας σημειωθεί 82 ιcαί 8'2 ή μεταξύ 8 ιcαί s.
= 8'2
= _n_ 82 n-1
=
19090 (8.5275) = 8.6136
'ότι, έπειδή τό n είναι μεγάλο, δέν ύπάρχει oύσιαστιιcή
διαφορά μεταξύ
6.4.
'Υπολογίστε μιά άμερόληπτη άλλά όχι άποτελεσματική έκτίμηση τής μέσης τιμής του πλη θυσμου στό Πρόβλ.
6.2.
Ή διάμεση τιμή του δείγματος εΙναι μιά άμερόληπτη άλλά οχι άπoτελεσματιιcή έκτίμηση τής μέσης τιμής του
πληύυσμου.
Στήν περί1tτωση αύτή ή διάμεση τιμή εΙναι
6.36 cm.
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ (ΜΕΓΑΛΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ)
6.5.
'Υπολογίστε τά
(α)
ρους των κιβωτίων του
καί
(b) 99% Προβλ. 6.3.
95%
διαστήματα έμπιστοσύνης γιά τή μέση τιμή του βά
(α) Τά 95% δρια έμπιστοσύνης ε{ναι Χ'± 1.96σ/y'n.
=
Μέ Χ = 67.45 ιcιλά καί χρησιμοποιώντας τήν 8' 2.93 ιcιλά ώς μιά έιcτίμηση τής σ (βλέπε Πρόβλ. 6.3) βρίσκουμε όρια έμπιστοσύνης 67.45 ± 1.96(2.93/V1Oo) ή 67.45 ± 0.57 ιcιλά. "Αρα τό 95% διά στημα έμπιστοσύνης γιά τή μέση τιμή μ του πληθυσμοϋ εΤναι
66.88
< μ < 68.02.
Μπορουμε συνεπώς νά πουμε δτι ή μέση τιμή του πληθυσμου εΙναι άπό πιθανότητα
0.95
ή νά γράψουμε συμβoλιιcά
Ρ(66.88
< u < 68.02)
βέβαιοι δτι ή μέση τιμή του πληθυσμου βρίσιcεται μεταξύ
(b)
66.88
= 0.95.
ιcαι
68.02
66.88
εως
Τά 99,1r δρια έμπιστοσύνης γιά τήν άγνωστη μέση τιμή του πληθυσμοί' εΙναι Χ ± 2.58σ/y'n. λ
i: ±
ι
2.58..:n
67.45 .± 2.58 2.93
ΥϊΟο
ιcιλά μέ
95%
κιλά.
μα πού εχουμε εΙναι
ι
68.02
Μέ άλλα λόγια είμαστε
67.45 ± 0.76
κιλά
Γιά τό δείγ
200
Κ Ε Φ.
ΣΤΑΤΙΣΠΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
-Αρα τό
διάστημα έμπιστοσύνης γιά τή μέση τιμή του πληθυσμου 11 ε{ναι
99%
66.69
<
μ
6
< 68.21.
Στόν ύπολογισμό των προηγούμενων διαστημάτων έμπιστοσύνης δεχτήκαμε δτι ό Πλ.ηθυσμός εΙναι άπειρος ή τόσο μεγάλος ώστε νά μήν
μικρούς
=
. ["N"=n
Στήν περίπτωσή μας
6.6.
σημασία αν ή δειγματοληψίαεΙναι χωρίς ή μέ έπανατοποθέτηση.
καί δειγματοληψία χωρίς έπανατοποθέτηση θέτουμε .ίn ~ ~ ~ άντί γιά
πληθυσμούς
γίνονται
lXEL
-νw=ι
67.45 ± 0.56
καί
=
1546 - 100 1546 - 1
= 0.967
καί, αν χρησιμοποι ηθεί, τά δρια έμπιστοσύνης
Οί
200
μπίλιες l:νός τυχαίου δείγματος
άπό την παραγωγή μιας l:βδομάδας έχουν διαμέτρους μέ μέση τιμή Ύπολογίστε τά
0.042 cm.
.::n.
κιλά άντίστοιχα.
67.45 ± 0.73
Μιά μηχανή κατασκευάζει μπίλιες γιά ρουλεμάν.
κλιση
Γιά
(α)
καί
95%
(b) 99%
0.824 cm
καί τυπική άπό
δρια έμπιστοσύνης γιά τή μέση
τιμή της διαμέτρου του πληθυσμου. (α)
Τά
δρια έμπιστοσύνης εΙναι
95%
Χ ± 1.96
Α
σ
=
Vn
S
1.96 Vn
:f ±
0.824 ± 1.96 0.042
=
0.824 ± 0.0058 cm
0.824 ± 2.58 0.042 Υ200
=
0.824 ± 0.0077 cm
V200
0.824 ± 0.006 cm. (b)
Τά
δρια έμπιστοσύνης εΙναι
99%
ή
Α
=
Χ ± 2.58~ Υπ
:f ± 2.58
8
Vn
0.824 ± 0.008 cm.
Στούς προηγούμενους ύπολογισμούς δεχτήκαμε δτι ή δειγματική τυπική άπόκλιση πού μας δόθηκε εΙναι ή
τροποποιημένη τυπική άπόκλιση
8'.
Έάν εΙναι ή s θά πρεπει νά χρησιμοποιήσουμε τήν
Υ200/1998, πού ούσιαστικά δέ
=
διαφέρει άπό τήν Β.
Γενικά γιό n ~ 30 τά
S
8' = Y1!/(n -1) S καί
8'
μποροϋν νά
θεωρηθουν ίσα.
6.7.
Ύπολογίστε τά
(α)
98%, (b) 90%
καί
(c) 99.73% δρια έμπιστοσύνης γιά τη μέση τιμή
της διαμέτρου του πληθυσμου του Προ βλ.
(α)
Έστω
Ζ
= Ζ"
ή τετμημένη της KανOνι!Cής καμπύλης πού ~xει στά
δεξιά της έμβαδό
Ζ
βαδό (Σχ.
εΙναι
τό έμβαδό άπό
Ζ
Συνεπώς τά
Χ ± 2.33 ~ Vn (b)
-Zc
τη συμμετρία ~πεται δτι τό έμβαδό
ε{ναι έπίσης
1o/c
καί δτι τό σκιασμένο έμ
Έπειδή δλο τό έμβαδό εΙναι '{σο μέ ~να.
98%.
=Ο
~ς Ζ
98%
δρια έμπιστοσύνης εΙναι
=
=
Zc εΙναι
0.824 ± 2.33 0.042
V200
0.49.
=
Τά
0.45.
90%
Υπ
99.73%
= 1.645.
Αρα Zc
= 2.33.
Ζ
=
Ο
fως Ζ
ΣΧ·6-1
=
δρια έμπιστοσύνης εΙναι
Χ ± 1.645 -.!!.... Τά
-Αρα Zc
W
0.824 ± 0.0069 cm
Τό Zc πρέπει νά εΙναι τέτοιο ώστε τό έμβαδό άπό Zc νά εΙναι
(c)
.Από
1 %.
=
άριστερά της
6-1)
6.6.
= 0.824 ±
1.645 0.042 Υ200
δρια έμπιστοσύνης
= 0.824 ±
0.0049 cm
εΙναι
0.824 ± 3 0.042 Υ200
=
Ο. 824 +- Ο.0089 cm
Σχ. 6-2
~,..--------------_-.
• ,
Κ Ε Φ.
6.8.
ΣΤΑ ΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
6
201
Ένας ψυχολόγος βρήκε ότι ό χρόνος άντιδράσεως σέ έξωτερικούς έρεθισμούς εχει τυπική άπόκλιση
μεγάλο πρέπει νά εΙναι τό δείγμα τών μετρήσεων γιά νά εΙναι
(α)
ότι τό σφάλμα στήν έκτίμηση του μέσου χρόνου άντιδράσεως
δέν
0.05 sec. Πόσο 95%, (b) 99% βέβαιος ύπερβαίνει τά 0.01 sec;
(α) Τά 95<Jc δρια έμπιστοσύνης εΙναι Χ ± 1.96uI...;n καί τό σφάλμα στήν έκτίμηση εΙνα! l.96uIVn. Μέ σ 8 0.05 sec τό σφάλμα αύτό θά ε[ναι 0.01 sec, Μν (1.96)(0.05)/Yn 0.01 ή Vn 11.96)(0.05) /0.01 = 9.8 ή 11 = 96.04. "Αρα μπορεί νά εΙναι 95% βέβαιος δτι τό σφάλμα ε[ναι μικρότερο άπό 0.01 sec, έάν τό n εΙναι τουλάχιστο 97.
= =
(b)
6.9.
=
Τά 99% δρια έμmστοσύνης εΙναι Χ ± 2.58αΙ";;'. "Αρα (2.58)(0.05)/";;' μπορεί νά εΙναι 99% βέβαιος δτι τό σφάλμα ε{ναι μικρότερο άπό 0.01 sec, έάν άπό 167.
'Ένα τυχαίο δείγμα
75 τών
βαθμών;
200
(b) 75 ± 1 ;
= 0.01 τό
ή n
= 166.4.
200 βαθμούς συνολικά εχει 95% όρια έμπιστοσύνης γιά τή
(α) Ποιά εΙναι τά
10.
"Αρα
ε{ναι ίσο ή μεγαλύτερο
n
βαθμών στά μαθηματικά άπό
καί τυπική άπόκλιση
βαθμών εΙναι (α)
50
=
μέση τιμή
μέση τιμή
Μέ τί έμπιστοσύνη μπορεί νά πεί κανείς ότι ή μέση τιμή τών
'Επειδή τό μέγεθος τού πληθυσμού δέν ε[ναι πολύ μεγάλο σέ σύγκριση μέ τό μέγεθος τού δείγματος, τά
200
95%
δρια
έμπιστοσύνης ε{ναι
Χ ± 1.96 αχ = Χ ± 1.96 .ίn ~ ~ =~ (b)
= 75 ±
75 ± 1.96...!Q.. . 1200 - 50 Υ50ν 200 - 1
2.4
Τά δρια έμπιστοσύνης ε{ναι
Χ·
-+- zcax
= χ. -
-+-
Αύτό πρέπει νά ε{ναι ίσο μέ άπό
Ζ
=Ο
έμπιστοσύνη
Zc
σ
~ = ""FΓ=l
Vn ν
75 ± 1,
άρα
1.23 Zc
75 ±
=1
Zc
ή
(10)
Υ5ο
Zc
200 - 50 200 - 1
= 0.81.
=
75 ± 1 23 . Zc
Τό έμβαδό της κανονικής καμπύλης
= 0.81 ε{ναι 0.2910. "Αρα ή μέση τιμή δλων των βαθμων ε{ναι στό διάστημα αύτό μέ 2(0.2919) = 0.582 ή 58.2%.
εωζ
Ζ
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ (ΜΙΚΡΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ)
6.10.
ΟΙ
95 % κρίσιμες τιμές γιά τήν κανονική κατανομή εΙναι ±1.96. Ποιές εΙναι οΙ άντίστοιχες τιμές γιά τήν κατα· νομή t μέ (α) ν = 9, (b) ~. = 20, (C) ν = 30, (d) ν = 60; Γιά
95%
πρέπει νά ε{ναι
έμπιστοσύνη τό όλικό σκιασμένο έμβαδό τού Σχ. 6-3
0.05.
καί ή τετμημένη
δηλ.
(α)
±2.26,
Συνεπώς τό δεξιό σκιασμένο έμβαδό ε{ναι
t. 97S ' (b)
οι ζητούμενες κρίσιμες τιμές εΙναι
0.025
±t.975 ,
±2.09, (c) ±2.04, (d) ±2.00. Σχ.
6.11.
Δέκα μετρήσεις τής διαμέτρου μιας σφαίρας εδωσαν μέση τιμή Χ
dπόκλιση 8
= 0.06
cm.
Ύπολογίστε
τά
(α)
95%
καί
(b) 99%
6-3
= 4.38 cm
όρια
καί τυπική
έμπιστοσύνης
γιά
τήν πραγματική διάμετρο τής σφαίρας.
(α) Τά 95% δρια έμπιστοσύνης ε[ναι Χ ± t. 975 (SIVn=T). 'Επειδή
= 0.06
ρ
= n -1 = 10 - 1 = 9,
τά ζητούμενα
95'i'ί
εχουμε t. 975 δρια έμπιστοσύνης ε{ναι
4.38 ± 2.26
itn
0.06 νιο - 1
= 2.26
=
(βλέπε Πρόβλ.
4.38 ± 0.0452 cm
6.10).
Μέ Χ
= 4.38
καί 8
202
Κ Ε Φ.
ΣΤΑ ΠΣΠΚΕΣ ΕΚΠΜΗΣΕΙΣ
6
•Αρα είμαστε 9'5% βέβαιοι δτι ή πραγματική διάμετρος (δηλ. ή μέση τιμή δλων τών άποτελεσμάτων) εΙναι 4.38 - 0.045 4.335 καί 4.38 + 0.045 4.425 cm.
=
μεταξύ
(b)
Γιά
v
=9
εχουμε
=
= 3.25.
t. 995
Τά
g :±: t. 995 (S!Vn -1) •Αρα
6.12.
τό
99%
99% δρια εμπισΤΟ<:Jύνης εΙναι
=
διάστημα έμπιστοσύνης εΙναι
(α) Νά λυθεί τό Πρόβλ.
εως
4.315
4.445 cm.
έάν δεχτουμε ότι ίσχύουν οΙ μέθοδοι γιά μεγάλα δείγματα.
6.11,
(b)
Συγκρίνετε τά άποτελέσματα των δύο μεθόδων.
(α)
Τά
95% δρια εμπιστοσύνης στή δειγματοληψία μεγάλων δειγμάτων εΙναι
g :±: 1.96~ Υπ
=
=
4.38::!: 1.96 0.06
V10
δπου χρησιμοποιήσαμε τήν τυπική άπόκλιση
εμπιστοσύνης εΙναι 4.38::!: (2.58)(0.06)/ΥΊΟ (b)
4.38 :±: 0.0650 cm
4.38:±: 3.25(0.06!V10 -1)
4.38::!: 0.037 cm
0.06 του δείγματος ώς εκτίμηση 4.38:±: 0.049 cm.
=
τής σ.
·Ομοια, τά
99%
δρια
Σέ κάθε περίπτωση τό διάστημα εμπιστοσύνης άπό τή θεωρία μικρών δειγμάτων εΙναι μεγαλύτερο άπ6 τ6 άντίστοιχο της θεωρίας μεγάλων δειγμάτων.
Γενικά, ή άκρίβεια τών εκτιμήσεων άπό μικρά δείγματα εΙναι
μικρότερη άπό τήν άιφίβεια άπό μεγάλα δείγματα.
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
6.13.
Άπό
100
τυχαίους ψηφοφόρους πού ρωτήθηκαν σέ μιά περιοχή, οΙ
σουν εν αν όρισμένο ύποψήφιο.
Ύπολογίστε τά
(α)
55
(b) 99%
95%,
εlπαν ότι θά ψηφί
καί
(c) 99.73%
όρια
έμπιστοσύνης γιά τήν άναλογία των ψήφων πού θά πάρει ό ύποψήφιος αύτός κατά τίς έ κλογές σ' όλη τήν περιοχή. (α)
Τά
95% δρια εμπιστοσύνης γιά τήν άναλογία Ρ του πληθυσμου εΙναι Ρ
::!: 1.96 σρ
=
Ρ::!:
1.96
~ ρ(1 n- ρ)
=
δπου χρησιμοποιήσαμε τή δειγματική άναλογία
0.55
= 0.55::!: 0.13. 0.55 ::!: 3Υ (0.55)(0.45)/100 = 0.55 ::!: 0.15.
Τά 99% δρια έμπιστοσύνης γιά τήν Ρ εΙναι 0.55::!: 2.58Υ(0.55)(0.45)/100
(c)
Τά 99.73% δρια εμπιστοσύνης γιά τήν Ρ είναι 6.27
0.55 ± 0.10
ώς εκτίμηση της ρ.
(b)
Στό Πρόβλ.
6.14.
(0.55)(0.45) 100
0.55::!: 1.96
δίνεται μιά άκριβέστερη μέθοδος.
Πόσους ψηφοφόρους πρέπει νά ρωτήσουμε στό Πρόβλ.
6.13
γιά νά είμαστε
95%
βέβαιοι
ότι ό ύποψήφιος θά έκλεγεί; Ό ύποψήφιος θά έκλεγεί Μν ρ>
=·0.95.
0.50.
Γιά νά είμαστε
95%
βέβαιοι δτι θά εκλεγεί πρέπει Πιθαν(ρ>0.50)
'Η (Ρ - ρ)/Υ ρ(1 - p)/n εΙναι άσυμπτωτικά κανονική, άρα Πιθαν
ρ- Ρ < ( Υρ(1p)/n
β
1 Ιβ e- u /2 du = --
)
2
νΖ;
-00
Πιθαν (ρ > Ρ - βΥρ(1- p)/n) Σύγκριση μέ τή σχέση Πιθαν.(ρ
> 0.50)
= 0.95
Ρ - βΥ ρ(1 - p)/n 'Από τό Πρόβλ.
6.13
fχουμε
Ρ
= 0.55.
ιcαί χρήση του Παραρτήματος
C δίνουν
=
1.645
μέ
0.50
8
=
Χρησιμοποιώντας καί τήν έκτίμηση
0.55 - 1.645Y(0.51)(0.49)/n
=
0.50
n
Ρ
=
= 0.51 271
βρίσκουμε
Ι
t
Κ Β Φ.
6.15.
203
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΠΜΗΣΕΙΣ
6 Σt
40 ρίψεις ένός νομίσματος ήρθε 24 φορές (b) 99.73% -δρια έμπιστοσύνης γιά τήν άναλογία
«κεφάλι...
Ύπολογίστε τά
(α)
95%
καί
των άποτελεσμάτων «κεφάλι •• σέ πολύ με
γάλο άριθμό ρίψεων τοϋ νομίσματος. (α)
Γιά
έμπιστοσύνη εΤναι Zc
95%
= 0.60 ±
zcyP(1 - P)/n
0.15.
=
= 1.96.
Μέ Ρ = 24/40 0.6 καί n = 40 ~χoυμε τά δρια Ρ wApa τό ζητούμενο διάστημα εΤναι 0.45 Ι:ως 0.75.
(b) Γιά 99.73% έμmστοσύνη εΤναι Zc = 3. Πάλι άπό τόν τύπο Ρ ± 0.23. wApα τό ζητούμενο διάστημα εΤναι 0.37 εως 0.83.
·0 dκριβέστερος τύπος τού ΠΡο8λ. 6.27 δίνει Υιά 950/c 99.73% διάστημα έμπιστοσύνης τό 0.37 Ι:ως 0.79.
=Ρ ±
Zc V Ρ(1
- P)/n βρίσκουμε Ρ
διάστημα έμπιστοσύνης τό
0.45
~ως
0.74
=Ρ ± = 0.60 καί γιά
ΔΙΑΣΤΉΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ
6.16.
'Ένα δείγμα
150
λαμπτήρων τύπου Α εδωσε μέση ζωή
1400
ώρες γιά κάθε λαμπτήρα μέ
τυπική άπόκλιση 120 ώρες. 'Ένα άλλο δείγμα 200 λαμπτήρων τύπου Β εδωσε μέση ζωή 1200 ώρες γιά κάθε λαμπτήρα μέ τυπική άπόκλιση 80 ώρες. Ύπολογίστε τά (α) 95% καί (b) 99% δρια έμπιστοσύνης γιά τή διαφορά τής μέσης ζωής των λαμπτήρων τύπου Α μείον τή μέση ζωή των λαμπτή ρων τύπου Β. Τά δρια έμπιστοσύνης γιά τή διαφορά των μέσων τιμων των δύο πληθυσμων εΙναι
(α) Τά 95% δρια έμπιστοσύνης εΤναι 1400 -1200 ± 1.96V(120)2f150 + (80)2/100 WApα μπορούμε νά είμαστε άπό
175
Ι:ως
225
95%
6.17.
Άπό
24.8.
βέβαιοι δη ή διαφορά των μέσων τιμων των δύο πληθυσμων εΙναι
ώρες.
(b) Τά 99% δρια έμπιστοσύνης εΤναι 1400 - 1200 ± 2.58V(120)2/150 άπό
= 200 ±
+ (80)2fl00
= 200:±: 32.6.
WApa μπορούμε νά είμαστε 99% βέβαιοι δτι ή διαφορά των μέσων τιμων των δύο πληθυσμων εΙναι 167 Ι:ως 233 ώρες.
600 άνήλικους πού ρωτήθηκαν τυχαία γιά ενα πρόγραμμα τηλε 100 ένήλικοι καί οΙ 300 άνήλικοι άπάντησαν δτι τούς άρεσε. Ύπολογίστε τά 95% καί (b) 99% όρια έμπιστοσύνης γιά τή διαφορά των άναλογιων δλων των ένηλί 400
ένήλικους καί
οράσεως, οΙ (α)
κων καί όλων των άνηλίκων πού παρακολούθησαν τό πρόγραμμα καί τούς αρεσε. Τά δρια έμπιστοσύνης γιά τή διαφορά των άναλογιων των δύο πληθυσμων εΤναι
δπου οΙ δεΤκτες
1
300/600 = 0.50
καί
καί
2
Ρ2
dναφέρονται άντίστΌιχα στούς άνήλικους καί τούς ένήλικους άκροατές.
(α) 95% δρια έμπιστοσύνης: 0.50 - 0.25 ± 1.96V(0.50)(0.50)/600 W
εως
(b)
=
Αρα μπορούμε νά είμαστε
95%
+ (0.25)(0.75)/400 = 0.25 ±
0.06.
βέβαιοι δη ή πραγματική διαφορά των άναλογιων εΙναι άπό
0.19
0.31.
99% δρια έμπιστοσύνης: 0.50 - 0.25 ± 2.58V(0.50)(0.50)/600 W
εως
ΕΙναι Ρ ι
= 100/400 = 0.25.
Αρα
0.33.
μπορούμε
νά
t'ίμαστε
99%
βέβαιοι δτι
ή
+ (0.25)(0.75)/400 = 0.25 ±
πραγματική
0.08.
διαφορά άναλογιων εΙναι
άπό
0.17
~-~
204 6.18.
-------------------------~-:-
Κ Ε Φ.
ΣΤΑ ΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
Μιά έταιρεία κατασκευάζει μπαταρίες μέ μέση τάση
volt. 'Εάν τέσσερις (b) 99%, (c) 99.73% 'Εάν
45.1 volt
καί τυπική άπόκλιση
τέτοιες μπαταρίες συνδεθουν στή σειρά, ύπολογίστε τά
καί
Ει, Ε 2 , Ε 3 καί
(d) 50%
(α)
6
0.04 95%,
δρια έμπιστοσύνης γιά τήν όλική τάση.
Ε 4 εΙναι οΙ τάσεις τών τεσσάρων μπαταριών, fχουμε καί
(α)
Τά
(b)
Τά
(c)
Τά
= 180.4 ± 0.16 99% δρια έμπιστοσύνης εΙναι. 180.4 ± 2.58(0.08) = 180.4 ± 0.21 99.73% δρια έμπιστοσύνης εΙναι 180.4 ± 3(0.08) = 180.4 ± 0.24
(d)
Τά
50%
95%
δρια έμπιστοσύνης εΙναι
δρια έμπιστοσύνης εΙναι
Ή τιμή
0.054 volt
180.4 ± 1.96(0.08)
180.4 ± 0.6745(0.08)
volt volt volt
= 180.4 ± 0.054
volt
καλείται πιθανό σφάλμα.
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΣΠΟΡΕΣ
6.19.
Ή τυπική άπόκλιση πού παρουσίασε ή ζωή Ύπολογίστε τά
(α)
καί
95%
(b) 99%
200
ήλεκτρικών λαμπτήρων ε{ναι
100
ώρες.
δρια έμπιστοσύνης γιά τήν τυπική άπόκλιση του
πληθυσμου άπ' δπου προέρχονται οί λαμπτήρες. Στήν περίπτωση αύτή έφαρμόζεται ή θεωρία μεγάλων δειγμάτων.
νης γιά τήν τυπική dπόκλιση σ τού πληθυσμού εΙναι έκτίμηση τού
S
"Αρα μπορούμε νά είμαστε
(b)
σελ.
162) τά
δρια έμπιστοσύ
'Ως
95%
= 100 ± 9.8.
βέβαιοι δτι ή τυπική dπόκλιση τού πληθυσμού εΙναι dπό
90.2
εως
ώρες.
Τά 99% δρια έμπιστοσύνης εΙναι 100 ± 2.58(100)Ιν' 400 •Αρα μπορούμε 112.9 ώρες.
6.20.
5-1,
σ παίρνουμε τή δειγματική τυπική dπόκλιση.
(α) Τά 95~~ δρια έμπιστοσύνης εΙναι 100 ± 1.96(100)Ιν' 400
109.8
Έτσι (Πίν.
± Zc σΙ~, δπου Zc εΙναι ή θετική κρίσιμη τιμή.
νά είμαστε
= 100 ± 12.9 .
99'7c βέβαιοι δτι ή τυπική dπόκλιση του πληθυσμου εΙναι dπό 87.1 εως
Πόσο μεγάλο πρέπει νά εΙναι ~να δείγμα λαμπτήρων του Προβλ.
6.19
γιά νά είμαστε
99.73%
βέβαιοι δτι ή τυπική άπόκλιση του πληθυσμου δέ διαφέρει άπό τήν τυπική άπόκλιση του
δείγματος περισσότερο άπό
(α)
5%, (b) 10%;
"Οπως στό Πρόβλ. 6.19, τά 99.73% δρια έμπιστοσύνης γιάτήν σ εΙναι S ± 3σΙy'2n = πήραμε τήν 8
ώς έκτίμηση τής
σ.
38Ι~ s
6.21.
(α)
'Εάν 300Ι~
= 5,
(b)
'Εάν 300ΙΥ'21ϊ
= 10,
τότε
11.
8
± 38Iy'2n, δπου
"Αρα τό σχετικό σφάλμα στήν τυπική dπόκλιση εΙναι
= 1800.
τότε 1Ι
= 450.
=
300 %
6n
"Αρα τό δείγμα πρέπει νά fχει τουλάχιστο 1800 λαμπτήρες. "Αρα τό δείγμα πρέπει νά εχει τουλάχιστο 450 λαμπτήρες.
Ένα φορτίο ζάχαρης περιλαμβάνει
1000 σακουλες ζάχαρη (πληθυσμός). Τό βάρος μιας 16 σακουλες βρέθηκε νά εχει τυπική άπόκλιση 2.40 gr. (b) 99% δρια έμπιστοσύνης γιά τήν τυπική άπόκλιση του
σακούλας σ' ~να τυχαίο δείγμα άπό Ύπολογίστε τά
(α)
95%
καί
βάρους μιας σακούλας στόν πληθυσμό. (α)
Τά 95% δρια έμπιστοσύνης εΙναι
SvnIX.9i5
καί
svnIx.025'
t
1
Ρ
Κ Ε Φ.
ΣΤΑ ΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
6 Γιά ρ Χ.Ο25
= 16 -
1 = 15 βαθμούς έλευθερίας εχουμε X~975
= 2.50.
205
= 27.5
ή Χ.975
= 5.24
ιcαί X~025 = 6.26 ή
Τά 95% όρια έμπιστοσύνης εΙναι 2.40vί6Ι5.24 ιcαί 2.40Υ16/2.50, δηλ. 1.83 ιcαί 3.84 gr. 'Έ τσι μποροϋμε νά είμαστε 95% βέβαιοι ότι, άν ζυγίσουμε τίς χίλιες σαιcoϋλες, θά βροϋμε τά βάρη τους νά εχουν τυπιιcή άπόΙCλιση μεταξύ 1.83 ιcαί 3.84 gr. (b)
Τά 99'ί( όρια έμπιστοσύνης εΙναι SvnIX.995 ιcαί svnIX.005'
= 16 -1 = 15 = 2.14.
Γιά ρ ή
Χ.ΟΟ5
βαθμούς έλευθερίας εχουμε X~995
= 32.8
= 5.73
ή Χ.995
ιcαί
X~005 = 4.60
Τά 99% όρια έμπιστοσύνης εΙναι 2.40vί6Ι5.73 ιcαί 2.40Υ16/2.14, δηλ. 1.68 ιcαί 4.49 gr. 'Έ 99% βέβαιοι ότι, άν ζυγίσουμε τίς χίλιες σαιcoυλες,. θά βροϋμε τά βάρη τους νά εχουν τυπιιcή άπόΙCλιση μεταξύ 1.68 ιcαί 4.49 gr. τσι μποροϋμε να ειμαστε
6.22.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
(α)
6.19
σύμφωνα μέ τή θεωρία μικρών δειγμάτων.
Τά 95(;~, όρια έμπιστοσύνης εΙναι SvnIX.975 καί svnIX.025' Γιά
v
= 200 - 1 = 199
~ (Ζ.975 + V2(199) -
1 )2
~ (1.96 + 19.92)2 =
2
~ (Ζ.025 + V2(199) -
1 )2
~(-1.96 + 19.92)2
Χ.025
Χ.975
4.41,
2
Χ.Ηί:;
άπ' όπου
βαθμούς έλευθερίας βρίσιcoυμε, όπως στό Πρόβλ.
= 15.5
καί
Χ.025
239 161
= 12.7.
"Αρα τά 95% δρια έμπιστοσύνης εΙναι 100V200Ι15.5 = 91.2 ιcαί 100V200I12.7 'Έτσι μποροϋμε νά είμαστε 95% βέβαιοι ότι ή τυπιιcή άπόΙCλιση του πληθυσμοϋ 111.3 ώρες.
τίστοιχα. ως
Τό διάστημα αύτό πρέπει νά συγιcριθεί μέ αύτό πού βρέθηιcε στό Πρόβλ.
(b) Τά 99% όρια έμπιστοσύνης εΙναι SvnI X.9!J5 Γιά
v
= 200 - 1 = 199 2
~ (Z.!I!J5 +
2
"2 (Ζ.005 +
1
Χ.ΟΟ5
= 15.9
εΙναι άπό
ώρες άν 91.2 ε
6.19(a).
SΓnI Χ.005 .
βαθμούς έλευθερίας εχουμε
X.99~
άπ' δπου Χ.995
καί
= 111.3
καί
Χ.ΟΟ5
V2(199) - 1 )2
~ (2.58 + 19.92)2
V2(199) - 1 )2
~ (-2.58 + 19.92)2
253
=
150
= 12.2.
"Αρα τά 99(/< όρια έμπιστοσύνης εΙναι 1Ο0Υ200Ι15.9 = 88.9 ιcαί 100νl2OoΙ12.2 = 115.9 ώρες άν 'Έτσι μποροϋμε νά είμαστε 99% βέβαιοι ότι ή τυπιιcή άπόιcλιση του πληθυσμοϋ εΙναι άπό 88.9 εως 115.9 ώρες.
τίστοιχα.
Τό διάστημα αύτό πρέπει νά συγιcριθεί μέ αύτό πού βρέθηκε στό Πρόβλ.
6.19(b).
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΛΟΓΟΥΣ ΔΙΑΣΠΟΡΩΝ
6.23.
'Από δύο κανονικούς πληθυσμούς παίρνουμε δύο δείγματα μέ μεγέθη χα. καί (α)
'Εάν οί διασπορές τών δειγμάτων εΙναι
(b) 90% 'Έχουμε
1n
καί
18
= 16,
11
= 10,
= 20,
8i
2
= 18
111
η
---8111 1 1
1
~2
8~
=
11
11 -
.,
1 8~
ιcαί
16
καί
10
άντίστοι
άντίστοιχα, ύπολογίστε τά (α)
δρια έμπιστοσύνης γιά τό λόγο τών διασπορών.
"'., 8 -
Ζ
24
άρα
(~~)ι24)
25.2
(190) (18)
20.0
98%
r i 206
Κ Ε Φ.
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
• Από
τό Πρόβλ.
θερίας.
1/3.89
4.47(b)
F. 99 = 4.96 γιά 4.47(d) εχουμε
εχουμε
'Επίσης άπό τό Πρόβλ. καί άρα
l/F. ol = 3.89.
= 16 -1 = 15
lΙι
γιά
= 15
lΙι
καί
-Αρα χρησιμοποιώντας τή σχέση
καί 1'2
"2
=9
= 10 -1 = 9
6
βαθμούς έλεu
βαθμούς έλευθερίας
F. 01
=
(17) τής σελ.197 βρίσκουμε Ύιά τό 98%
διάστημα έμπιστοσύνης
(
1 )( 25.2) 4.96 . 20.0
;a
0.283
~
ή
Πάλι άπό τό Παράρτημα
(b)
F
βρίσκουμε
σΤ σ22
uf ι1
= 2.84
(3.89)( 25.2 ) 20.0
~
4.90
F. 05
= 1/2.59.
~
3.263
-Αρα τό
90%
διάστημα έμπιστο
διάστημα έμπιστοσύνης είναι πολύ μικρότερο άπό τό
98%
διάστημα έμπιστο
F. 95
καί
~
σύνης, είναι
ή
0.4437
-Ας σημειωθεί δτι τό
90%
O"t
~
ι1
σύνης, δπως βέβαια άναμέναμε.
6.24.
Ύπολογίστε τά
(α)
κλίσεων του Προ βλ.
98% 6.23.
καί
(b) 90%
δρια έμπιστοσύνης γιά τό λόγο των τυπικων απο
Παίρνοντας τίς τετραγωνικές ρίζες των άνισοτήτων του Προβλ.
6.23
βρίσκουμε γιά τά
98%
καί
90%
δρια
έμπιστοσύνης
(α)
0.53
σι
~
~
2.21
~
1.39
0"2
0.67
(b)
σι
~
0"2
ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ
6.25.
'Έστω δτι
απόκλιση
n
μετρήσεις σ' ~ναν κανονικό πληθυσμό μέ άγνωστη μέση τιμή καί γνωστή τυπική
~δωσαν τίς
τιμές
των
ΧΙ,
... , X n •
Έκτιμηστε τή μέση τιμή του πληθυσμου
μέ τή μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας. Έπειδή εχουμε
καί
lη L
(~)
= - "2n Ιη (2πσ ) 2
-
1
~
2σ 2 . . (Zk -
μ)2
Παίρνοντας τή μερική παράγωΎΟ ώς πρός μ fχoυμε
1 ίJL
(9)
L
Θέτοντας
ίJL/ίJμ
=Ο
ίJμ
βρίσκουμε
ή
(5)
-Αρα
μ
ή μέθοδος τής μέγιστης πιθανοφάνειας δίνει ώς έκτίμηση τής μέσης τιμής τού πληθu.σμoύ τη μέση τιμή τού
δείγματος.
ι
1
Ρ
Κ Ε Φ.
6.26.
207
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
6
'Εάν στό Πρόβλ.
6.25
είναι γνωστή ή μέση τιμή καί άγνωστη ή διασπορά του πληθυσμοϋ,
έκτιμήστε τή διασπορά μέ τή μέθοδο τής μέγιστης πιθανοφάνειας. Οί σχέσεις τοϋ Προβλ.
6.25
τή μερική παράγωγο ώς πρός
μέχρι τήν
(2)
Ισχύουν καί έάν θέσουμε !(Χι" σ 2 )
1
ίJL
n
L ίJσ2 = Θέτοντας
aL/ίJu 2
Βλέπε καί Πρόβλ.
=
Ο
άντί γιά
!(Xk,
μ).
Παίρνοντας
σ 2 εχουμε
- 2σ2
1
+ 2(σ2)2 ~ (x k - μ)2
βρίσκουμε
6.63.
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
6.27.
(α)
'Εάν Ρ είναι ή άναλογία έπιτυχιών σ' ενα δείγμα μεγέθους
n,
δείξτε ότι τά όρια έμπι
στοσύνης γιά τήν έκτίμηση τής άναλογίας έπιτυχιών Ρ στόν πληθυσμό μέ κρίσιμη τιμή
Zc
είναι
+
Ρ
Ζε
f P(l - Ρ)
-+-
Zc ν
2n -
Ρ
z~
+ 4n2
n
Ζ2
+ ~ n
1
(b) Μέ τόν τύπο αύτό ύπολογίστε τά 99.73% όρια έμπιστοσύνης του Προ βλ. 6.13. (c) Δείξ τε ότι γιά μεγάλο 11 ό προηγούμενος τύπος δίνει τόν Ρ = Ρ ± ZcVP(l- P)/n,. πού χρησι μοποιήθηκε στό Πρόβλ. 6.13. (α)
Ρ-ρ_
Ή δειγματική άναλογία Ρ εΙναι σέ τυπικές μονάδες
σρ
Ρ-ρ
Γ~=:::;::;=
";p(l- ρ)/π
Ή μεγαλύτερη καί ή μικρότερη τιμή τής τυπικής αύτής μεταβλητής ε{ναι κάποιο συντελεστή έμπιστοσύνης).
±ZC
(τό
Zc
άντιστοιχεί σέ
Στά άκραία αύτά σημεία εχουμε
Ρ - Ρ = ±zc~P(l:P) η τετραγωνίζοντας
Ρ2
Πολλαπλασιάζοντας έπί
n
= n + Ζ;,
b
2ρΡ
+
ρ)
z2 P(1-
ρ2
n
C
βρίσκουμε
(π
'Εάν α
-
+ Ζέ)ρ2 -
= -(2πΡ + Ζ;) καί c
(2πΡ
+ zl)p + nP2
= ?ιΡ2,
=
Ο
ή έξίσωση γίνεται
ap2
+ bp + c = Ο.
ε{ναι
Ρ
=
-b ± "';b 2 -4ac 2a 2πΡ
+
=
2πΡ
Ρ
=
+ z~)2 + Z~)
+ Z~
+ Z~)
Διαιρώντας άριθμητή καί παρανομαστή μέ
ρ
Z~ ± ...; (2πΡ 2(π
Z~ ± zc"';4nP(1- Ρ) 2(π
+
21t
+
βρίσκουμε Ζ2
_c 2π
±
Zc
P(l- Ρ)
~ι
Ζ2
1 +~
n
z~
+ 4n2
-
4(π
+ Z~ )(nP2)
Οί ρίζες της
-~-
--~-----~--------
-----~~-------
208
Κ Ε Φ.
ΣΤΑ ΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
Γιά τά
(b)
'Εάν τό
(c)
zc = 3. 0.69.
όρια έμπιστοσύνης εχουμε,
99.73%
δίνει όρια έμπιστοσύνης
= 0.40
Ρ
καί
Μέ
Ρ
= 0.55
καί
π
= 100
6
δ τύπος πού βρήκαμε
n είναι μεγάλο, τά z~/2π, z~/4π2 καί z~/π είναι πολύ μικρά καί μπορουν νά άγνοηθουν.
Έτσι
προκύπτει δ ζητούμενος τύπος.
6.28.
ΕΙναι δυνατό νά εχουμε
95%
διάστημα έμπιστοσύνης Υιά τήν τυπική άπόκλιση του πλη
θυσμου μικρότερο άπό αύτό πού βρέθηκε στό Πρόβλ. 6.22(α); Τά
95%
όρια έμπιστοσύνης γιά τήν τυπική άπόκλιση του πληθυσμου στό Πρόβλ. 6.22(α) βρέθηκαν, άφου
πήραμε ίσα έμβαδά γιά τά άιφαία τμήματα τής καμπύλης.
Ε[ναι όμως δυνατό νά προσδιορίσουμε τά 95% όρια έμπιστοσύνης διαλέγοντας τίς τιμές χ 2 (πού χωρίζουν στά τρία τήν καμπύλη) μέ άκραία τμήματα άνισα, άλλά μέ άθροισμα έμβαδων 0.05. Στόν Πίν.
6-2
δίνονται μερικές τιμές των διαχωριστικων σημείων (κρίσιμες τιμές) καθώς καί τά άντίστοιχα
όρια έμπιστoσύvης.
95%
ΠΙν. Κρίσιμες Τιμές
Άκόμα
Πλάτος
Διάστημα 'Εμπιστοσύνης
95%
Χ.Ο!
= 12.44,
Χ.96
= 15.32
92.3
Ι:ως
113.7
21.4
Χ.Ο2
= 12.64,
Χ.97
= 15.42
91.7
εως
111.9
20.2
Χ.Ο3
= 12.76,
Χ.98
= 15.54
91.0
ι\ως
110.8
19.8
Χ.Ο4
= 12.85,
Χ.99
= 15.73
89.9
Ι:ως
110.0
20.1
Άπό τόν πίνακα αύτό βλέπουμε ότι ύπάρχει
19.8.
6-2
fva 95%
διάστημα έμπιστοσύνης, τό
91.0
εως
μέ πλάτος
110.8,
μικρότερο διάστημα μπορεί νά βρεθεί, άν συνεχίσουμε μέ τήν ίδια μέθοδο παίρνοντας άλλες
διαχωριστικές τιμές, όπως οΙ
Χ.Ο31
καί
Χ.981, Χ.Ο32
καί
Χ.982
κτλ.
Γενικά όμως ή μικρή αύτή έλάττωση του διαστηματος δέν άξίζει τόν κόπο.
'Άλυτα Προβλήματα ΑΜΕΡΟΛΗΠΤΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΠΜΗΣΕΙΣ
6.29.
Μετρήσεις των βαρων l:νός τυχαίου δείγματος άπό ι\να σύνολο άντικειμένων fδωσαν
9.4
κιλά.
'Υπολογίστε μιά άμερόληπτη καί άποτελεσματική έκτίμηση
σποράς του πληθυσμοίί.
(c)
8.3, 10.6, 9.7, 8.8. 10.2 (b) τής
(α) τής μέσης τιμής καί
καί δια
Συγκρίνετε τήν τυπική άπόκλιση του δείγματος μέ τήν έκτίμηση τής τυπικής άποκλί
σειος του πληθυσμου.
6.30.
Δέκα λυχνίες τηλεοράσεως μιας l:ταιρείας fδωσαν μέση ζωή
στε
6.31.
(α) τή μέση ζωή καί
(α) Νά λυθεί τό Πρόβλ.
(b)
6.30 γιά
1200
ώρες καί τυπική άπόκλιση
100
ώρες.
τήν τυπική άπόκλιση των λυχνιων τηλεοράσεως πού κατασκευάζει
δείγματα
30,50
καί
100
λυχνιων τηλεοράσεως.
"
'Εκτιμή
l:ταιρεία.
(b) πως φαίνεται νά σχετίζον
ται ή δειγματική τυπική άπόκλιση καί ή έκτίμηση τής τυπικής άποκλίσεως του πληθυσμου, καθώς τό μέγεθος του
δείγματος αύξάνει;
ΔΙΑΣΤΉΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΠΑ ΜΕΣΕΣ ΠΜΕΣ (ΜΕΓΑΛΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ)
6.32.
Ή μέση τιμή καί ή τυπική άπόκλιση των μέγιστων φορτίων πού άντεξαν
5.98) είναι 11.09 καί 0.73 τόννοι.
'Υπολογίστε τά
(α) 95% καί
60 συρματόσχοινα l:νός τύπου (Πρόβλ. (b) 99% όρια έμπιστοσύνης γιά τή μέση
τιμή άντοχής των συρματόσχοινων του τύπου αύτου.
6.33.
Ή μέση τιμή καί ή τυπική άπόκλιση των έσωτερικων διαμέτρων
cm (Πρόβλ. 5.1(0).
'Υπολογίστε τά
(α)
990/0,
μέση διάμετρο του πληθυσμου των παξιμαδιων.
(b) 98%,
250
παξιμαδιων είναι
(c) 95% καί
0.72642 καί 0.00058 (d) 90% όρια έμπιστοσύνης γιά τή
s Κ Ε Φ.
6.34. 6.35.
6
Ύπολογίστε
(α) τά
όρια έμπιστοσύνης καί
50%
(b) τό πιθανό σφάλμα γιά τή μέση διάμετρο στό Πρόβλ.
6.33.
'Η τυπική άπόΙCλιση της ζωης ένός .τύπου λυχνιών εΙναι
είμαστε
(α) Ω5~o,
δέν υπερβαίνει τίς
6.36.
209
ΣΤΑ ΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ
(δ)
20
100 ώρες. Πόσο μεγάλο πρέπει νά εΙναι ενα δείγμα ώστε νά fJO%, (c) 99% ιcαί «l) 99.730/0 βέβαιοι δτι τό σφάλμα στήν έιcτίμηση της μέσης ζωης
ώρες;
Πόσο μεγάλο πρέπει νά εΙναι τό δείγμα στίς διάφορες περιπτώσεις του Προβλ. της μέσης ζωης νά μήν υπερβαίνει τίς
10
6.35,
ώστε τό σφάλμα στήν έιcτίμηση
ώρες;
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ (ΜΙΚΡΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ)
6.37.
Δώδεκα μετρήσεις της άντοχης ένός σπάγγου fδωσαν μέση τιμή μέγιστου φορτίου
1.24 κιλά. 6.38.
'Υπολογίστε τά
Νά λυθεί τό ΠρόβΑ.
(α) 95~!ι,
καί
(δ)
7.38 κιλά καί τυπική άπόκλιση 99% δρια έμπιστοσύνης γιά τό πραγματικό μέγιστο φορτίο.
μέ τίς μεθόδους της θεωρίας γιά μεγάλα δείγματα.
6.37
Νά συγιφιθουν τά άποτελέσματα αύτά
μέ έκείνα του προηγούμενου προβλήματος.
6.39.
Ένας άνθρωπος άντίδρασε σέ πέντε έξωτερικούς έρεθισμούς σέ χρόνο χα.
'Υπολογίστε τά
(α)
καί
95%
(b) 99%
0.28, 0.30, 0.27, 0.33, 0.31 sec
άντίστοι
δρια έμπιστοσύνης Υιά τήν πραγματική μέση τιμή του χρόνου
άντιδράσεως του άνθρώπου αύτου.
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
6.40.
Ένα κουτί περιέχει κόκκινες καί άσπρες σφαίρες σέ άΥνωστη άναλογία.
τυχαίο δείγμα μέ
60 σφαίρες.
Έάν τό
Παίρνουμε μέ έπανατοποθέτηση ενα
70% άπό αύτές εΙναι κόκκινες, υπολογίστε τά
(c) 99.73% δρια έμπιστοσύνης γιά τήν άναλογία τών κόκκινων σφαιρών στό κουτί. προσεγγιστικά καί μέ τόν άκριβέστερο τύπο του Προ βλ.
6.41.
Πόσο μεγάλο πρέπει νά εΙναι τό δείγμα του Προβλ.
(α)
95%,
(b) 99'70 καί
Τό πρόβλημα νά λυθεί
καί
6.27.
6.40 γιά νά είμαστε
(α)
95%, (b) 99% καί (c) 99.73% 5%;
βέβαιοι δτι ή πραγματιιcή καί ή δειγματική άναλΟΥία δέ διαφέρουν περισσότερο άπό
6.42.
Ή διαφορά ψήφων σέ μιά έκλογή άναμένεται νά εΙναι πολύ μικρή γιά δύο υποψήφιους.
Έξηγηστε μ' ενα παράδειγ
μα, πώς θά μπορουσε νά προσδιοριστεί ό έλάχιστος άριθμός ψηφοφόρων πού πρέπει νά έρωτηθουν πρίν άπό τήν
έκλογή ώστε νά είμαστε
(α)
(c) 99% βέβαιοι στήν πρόβλεψη του νιιcητη.
80%, (b) 95%,
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ
6.43.
Δύο δμοιες όμάδες Α καί Β εχουν
50
καί
100
άσθενείς άντίστοιχα.
Στούς άσθενείς της πρώτης δόθηκε ενα νέο
υπνωτικό χάπι, ένώ στούς άσθενείς της δεύτερης δόθηκε ενα γνωστό υπνωτικό χάπι.
Στήν όμάδα Α ό μέσος χρόνος
ύπνου ήταν
7.82 μέ τυπική άπόκλιση 0.24 ώρες. Στήν όμάδα Β ό μέσος χρόνος ύπνου ήταν 6.75 μέ τυπική άπόκλιση 0.30 ώρες. Ύπολογίστε τά (α) 95% καί (b) 99'70 δρια έμπιστοσύνης γιά τή διαφορά τών μέσων χρόνων ύπνου πού προκαλουν τά δύο χάπια.
6.44.
Σ' ενα τυχαίο δείγμα άπό
200 βίδες μιας μηχανης οί 15 ήσαν έλαττωματικές, ένώ σ' fva άλλο τυχαίο δείγμα 100 βίδες μιας άλλης μηχανης ο{ 12 ήσαν έλαττωματιιcές. 'Υπολογίστε τά (α) 95%, (b) 99'70 ιcαί (c) 99.73% δρια έμπιστοσύνης γιά τή διαφορά τών άναλογιών σέ έλαττωματικές βίδες άπό τίς δύο μηχανές.
άπό
6.45.
Ένα έργαλείο πού κατασκευάζει μιά έταιρεία
Ύπολογίστε τά
(α) 95% καί
fXEl μέσο βάρος 0.638 κιλά καί τυπική άπόκλιση 0.012 κιλά. (b) 99% δρια έμπιστοσύνης γιά τό βάρος ένός κιβωτίου μέ 100 έργαλεία.
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΣΠΟΡΕΣ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΕΣ ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ
6.46.
Ή τυπική άπόκλιση του όρίου άντοχης τά
(α)
95%, (b) 99%
καί
100
(c) 99.73%
καλωδίων βρέθηκε πειραματικά ίση μέ
τύπου αύτου.
6.47.
n
1800
κιλά.
'Υπολογίστε
όρια έμπιστοσύνης γιά τήν τυπική άπόκλιση όλων τών καλωδίων του
Ύπολογίστε τό πιθανό σφάλμα της τυπικης άποκλίσεως του Προ βλ.
6.46.
f ι
210 6.48.
Κ Ε Φ.
ΣΤΑΠΣΏΚΕΣ ΕΚΏΜΗΣΕΙΣ
Πόσο μεγάλο πρέπει νά εΙναι
fva
δείγμα γιά νά είμαστε
(α)
95%,
καί
(b) 99%
(c) 99.73';'0 βέβαιοι δτι ή
τυπική άπόκλιση του πληθυσμου δέ διαφέρει άπό τήν τυπική άπόκλιση του δείγματος περισσότερο άπό
6.49.
Ή τυπική άπόκλιση στή ζωή
120
ώρες.
Ύπολογίστε τά
6
20/(;
10 λαμπτήρων ~νός δείγματος άπό τήν παραγωγή μιας f:ταιρείας βρέθηκε ίση μέ 95% καί (b) 99% δρια έμπιστοσύνης γιά τήν τυπική άπόκλιση τής ζωής των
(α)
λαμπτήρων τής f:ταιρείας.
6.50. 6.51.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
6.49,
έάν τό δείγμα fχει
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
6.49
μέ τήν κατανομή
των
120
ώρων.
25
λαμπτήρες (μέ τήν ίδια τυπική άπόκλιση).
χ 2 , έάν ~να δείγμα
100
λαμπτήρων
τήν ίδια τυmκή άπόκλιση
lXEl
Συγκρίνετε τά άποτελέσματα αύτά μέ έκείνα πού δίνει ή κανονική κατανομή.
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΠΑ ΛΟΓΟΥΣ ΔΙΑΣΠΟΡΩΝ
6.52.
Δύο μηχανές κατασκευάζουν μπίλιες γιά ρουλεμάν.
καθένα ή διάμετρος παρουσίασε τυπική άπόκλιση καί
6.53.
καί
(lva άπό κάθε 0.035 cm άντίστοιχα.
μηχανή) μέ
10
μπίλιες τό
Ύπολογίστε τά (α)
98%
(b) 90% δρια έμπιστοσύνης γιά τό λόγο των διασπορών τών δύο πληθυσμών.
Ύπολογίστε τά
(α)
θυσμών στό Πρόβλ.
6.54.
Σέ δύο δείγματα
0.042
98% καί 6.52.
Δύο δείγματα μέ μεγέθη
(b) 900/'0 δρια έμmστοσύνης γιά τό λόγο των τυπικών άποκλίσεων των δύο πλη
6 καί 8 άντίστοιχα lxouv τήνίδια διασπορά.
Ύπολογίστε τά
(α)
98%
καΙ
(b) 90%
διαστήματα έμπιστοσύνης γιά τό λόγο τών διασπορών τών πληθυσμών άπ' δπου προέρχονται τά δείγματα.
6.55.
Πιστεύετε δτι τά δύο δείγματα τού Προ βλ.
6.54
προέρχονται άπό τόν ίδιο πληθυσμό;
Δικαιολογήστε τήν άπάν
τησή σας.
6.56.
Νά λυθούν τά Προβλ.
(α)
6.52
καί
(b) 6.54, έάν κάθε δείγμα lXEl μέγεθος 120.
ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ meΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ
6.57.
'Έστω δτι οΙ
Poisson 6.58.
ΧΙ •... , Χ ΤΙ
άλλά άγνωστο λ.
'Ένας πληθυσμός fχει συνάρτηση πυκνότητας f(x) ναι τά άποτελέσματα
6,59.
παριστάνουν τά άποτελέσματα
n
n
μετρήσεων σ'
lvav
πληθυσμό πού
lXEl
κατανομή τού
Ύπολογίστε τό λ μέ τή μέθοδο τής μέγιστης πιθανοφάνειας.
= 2py;r; x 2 e-
μετρήσεων, ύπολογίστε τη σταθερή
,.
vz2 •
-co
<
Χ
<
'Εάν ΧΙ •... , X n ε{
00.
μέ τη μέθοδο τής μέγιστης πιθανοφάνειας.
'Ένας πληθυσμός fχει συνάρτηση πυκνότητας
f(x) Έάν
n
μετρήσεις lδωσαν Χ ι, ... , Χ
=
(k
+ 1)x k
0~x~1
{ O
n' ύπολογίστε
άλλιως
τήν
μέ τη μέθοδο τής μέγιστης mθανοφάνειας.
k
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
6.60.
ΟΙ κρίσιμες τιμές γιά τό
99%
διάστημα έμmστοσύνης μέ κανονική κατανομή ε{ναι ±2.δ8.
στοιχες τιμές γιά τήν κατανομή t του
Student, έάν
(α)
Jl
= 4,
(b) ρ
= 12,
(c) ρ
= 25,
Ποιές ε{ναι οΙ άντί
(d) ρ
= 30,
(ε) ρ
= 40; 6.61.
6.62. 6.63.
'Από
κατά μέσο δρο στά
τά
500 καλώδια 40 τυχαία lσπασαν 95% καί 99% δρια έμπιστοσύνης
γιά τη μέση τιμή των ύπόλοιπων
νη μπορούμε νά πούμε δτι ή μέση τιμή τού όρίου άντοχής των
150 κιλά. (α) Ποιά ε{ναι 460 καλωδίων; (b) Μέ τΙ έμmστσσύ ύπόλοιπων 460 καλωδίων εΙναι 2400 ± 35 κιλά;
Ποιό άπό τά
95%
~xει έλάχιστο πλάτος;
'Έστω δτι οΙ
Χι,
διασπορά σ2 • • •, Xn ;
διαστήματα έμmστοσύνης του Προ βλ.
... , ΧΤΙ
παριστάνουν
n
2400,
6.51
μέ τυmκή άπόκλιση
μετρήσεις σ' Ιναν κανονικό πληθυσμό μέ άγνωστες μέση τιμή μ καΙ
Μποροϋμε νά ύπολογίσουμε μέ τη μέθοδο τής μέγιστης mθανοφάνειας τά μ καί σ 2 άπό τά Χι, .
'Εάν ναΙ, εΙναι οΙ τιμές αύτές οΙ ίδιες μέ έκείνες πού δίνονται στά Προβλ.
τίς άπαντήσεις.
6.25
κα{
626;
Δικαιολογήστε
r ι
!
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Στήν πράξη αποφασίζουμε πολύ συχνά γιά θέματα σχετικά μέ πληθυσμούς στηριζόμενοι σέ πλη ροφορίες πού προέρχονται από ενα ή περισσότερα δείγματα. στικές άποφάσεις.
Τέτοιες αποφάσεις καλούνται στατι
'Έτσι Π.χ. αποφασίζουμε από δειγματικά δεδομένα, έάν ενας όρός
θεραπεύει μιά
ασθένεια, έάν μιά μέθοδος κατασκευής εΙναι καλύτερη από μιά άλλη, έάν ενα νόμισμα t:ίναι κανονι κό,
κτλ.
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ. ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΥΠΟΘΕΣΗ
Στή διαδικασία λήψεως αποφάσεων κάνουμε συχνά ύποθέσεις γιά τούς πληθυσμούς. τέτοια ύπόθεση, πού μπορεί νά εΙναι ή νά μήν εΙναι αληθής, καλείται στατιστική ύπόθεση.
Μιά
Γενικά,
μιά στατιστική ύπόθεση εΙναι μιά παραδοχή γιά τήν κατανομή πιθανότητας ενός ή περισσότερων πληθυσμών.
Σέ πολλές περιπτώσεις κάνουμε μιά στατιστική ύπόθεση μέ σκοπό νά τήν απορρίψουμε.
Π.χ.
έάν θέλουμε νά αποφασίσουμε έάν ενα νόμισμα δέν εΙναι κανονικό, ύποθέτουμε δτι είναι κανονικό,
δηλ.
Ρ
= 0.5,
δπου 1) εΙναι ή πιθανότητα νά ερθει κεφάλι σέ μιά ρίψη. 'Όμοια, έάν θέλουμε νά
αποφασίσουμε έάν μιά μέθοδος παραγωγής εΙναι καλύτερη από μιά άλλη, ύποθέτουμε δτι δέν ύπάρχει διαφορά μεταξύ τών δύο μεθόδων (δηλ. δτι τά δύο δείγματα προέρχονται από τόν ϊδιο πληθυσμό καί δτι οί διαφορές στά δείγματα οφείλονται σέ τυχαίες αιτίες).
Μιά τέτοια ύπόθεση λέγεται μηδενική
ύπόθεση ή ύπόθεση μηδέν καί συμβολίζεται μέ Η ο . Μιά ύπόθεση πού εΙναι ασυμβίβαστη μέ μιά όρισμένη ύπόθεση καλείται έναλλακτική. μιά ύπόθεση ε{ναι ή Ρ
= 0.5,
έναλλακτικές ύποθέσεις είναι οί Ρ
= 0.7,
Π.χ. εάν
p:j= 0.5. η ρ> 0.5.
Μιά
ύπόθεση έναλλακτική στήν ύπόθεση μηδέν συμβολίζεται μέ Η 1.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 'Εάν, ύποθέτοντας δτι μιά όρισμένη ύπόθεση αληθεύει, βροϋμε δτι τά αποτελέσματα από ενα τυχαίο δείγμα διαφέρουν σημαντικά απ' αύτά πού περιμέναμε (σύμφωνα μέ τήν ύπόθεση πού δεχτή
καμε καί μέσα στά δρια τής δειγματοληπτικής ακρίβειας), τότε λέμε δη οί διαφορές είναι σημαντικές καί μfiλλον πρέπει νά απορρίψουμε τήν ύπόθεση πού κάναμε ή τουλάχιστον νά μήν τή δεχτούμε μέ βάση αύτά τά δεδομένα.
Έτσι, έάν Π.χ. σέ
20
ρίψεις ενός νομίσματος ήρθε κεφάλι
16
φορές, θά
πρέπει μfiλλον νά απορρίψουμε τήν ύπόθεση δτι τό νόμισμα είναι ιοο.νονικό, άν καί μπορεί νά κάνουμε
λάθος. Γιά νά αποφασίσουμε άν θά δεχτοϋμε ή θά απορρίψουμε μιά ύπόθεση ή γιά νά βροϋμε έάν τά αποτελέσματα από δείγματα διαφέρουν σημαντικά από αύτά πού αναμένονται σύμφωνα μέ τήν ύπόθε ση, χρησιμοποιοϋμε διάφορες διαδικασίες, μεθόδους καί κανόνες πού καλουνται γενικά έλεγχοι ύποθέ σεων ή έλεγχοι σημαντικότητας ή κανόνες άποφάσεως.
211
-'Ι
212
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
7
ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΤΥΠΟΥ Ι ΚΑΙ ΤΥΠΟΥ ΙΙ 'Εάν, μέ βάση τά δεδομένα πού έχουμε, απορρίψουμε μιά υπόθεση, πού στήν πραγματικότητα
αληθεύει καί θά έπρεπε νά τή δεχτοϋμε, τότε λέμε ότι κάνουμε ενα σφάλμα τύπου Ι(ή πρώτου είδους). Ό κίνδυνος νά συμβεί κάτι τέτοιο καλείται κίνδυνος πρώτου είδους.
'Αντίθετα, έάν δεχτοϋμε μιά
υπόθεση πού θά έπρεπε νά απορρίψουμε, τότε λέμε ότι κάνουμε ενα σφάλμα τύπου 11 (ή δεύτερου είδους).
Ό κίνδυνος νά συμβεί κάτι τέτοιο καλείται κίνδυνος δεύτερου είδους.
Καί στίς δύο περιπτώσεις
έχουμε πάρει λανθασμένη απόφαση. Γιά νά είναι ενας έλεγχος υποθέσεως καλός, πρέπει νά είναι τέτοιος ωστε νά έλαχιστοποιοϋνται οί κίνδυνοι αυτοί.
Αυτό δέν εΙναι άπλό, έπειδή κάθε προσπάθεια μειώσεως τοϋ ένόςκινδύνου αυξάνει
συνήθως τόν αλλο. νους.
Στήν πράξη προσπαθοϋμε νά μειώσουμε τό σπουδαιότερο από τούς δύο κινδύ
Ό μόνος τρόπος νά μειωθοϋν καί οί δύο κίνδυνοι εΙναι ή αύξηση τοϋ μεγέθους τοϋ δείγμα
τος, πού μπορεί νά είναι η νά μήν είναι δυνατή.
ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 'Όταν έλέγχουμε μιά υπόθεση, ή μέγιστη πιθανότητα μέ τήν όποία δεχόμαστε νά κάνουμε σφάλμα
τύπου Ι καλείται έπίπεδο η στάθμη σημαντικότητας. μέ α,
Ή πιθανότητα αύτή, πού συμβολίζεται συνήθως
καθορίζεται πρίν από τή δειγματοληψία, ωστε τά αποτελέσματα νά μήν έπηρεάσουν τήν τιμή
της.
Στήν
πράξη
χρησιμοποιείται συνήθως ώς επίπεδο σημαντικότητας τό
φυσικά μποροϋν νά χρησιμοποιηθοϋν κι αλλες τιμές.
σημαντικότητας 'ίσο μέ σεις μόνο σέ
ψαμε. ή
η
5%
καί απορρίψουμε τήν ύπόθεση, τότε σέ
0.01,
αλλά
100
δμοιες περιπτώ
είναι δυνατόν νά σφάλλουμε, δηλ. νά είναι αληθής ή ύπόθεση, ένώ έμείς τήν απορρί
Μέ άλλα λόγια εάν απορρίψουμε τήν ύπόθεση, ε'ίμαστε
αποφαση.
0.05
5
0.05
η
0.05
'Εάν Π.χ. πάρουμε γιά εναν έλεγχο έπίπεδο
95 %
βέβαιοι ότι πήραμε τή σωστή
Σέ μιά τέτοια περίπτωση λέμε δτι ή ύπόθεση άπορρίπτεται σέ έπίπεδο σημαντικότητας
5%,
πού σημαίνει δτι ή πιθανότητα νά έχουμε κάνει λάθος είναι
0.05.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 'Εφαρμόζοντας τά προηγούμενα ας υποθέσουμε δτι ή δειγματοληπτική κατανομή μιας στατι
στικής συναρτήσεως 'Από τήν ύπόθεση
S
είναι ή κανονική κατανομή μέ μέση τιμή μΞ καί τυπική
αυτή έπεται δτι ή τυποποιημένη μεταβλητή
τυπική κανονική κατανομή (μέση τιμή Ο καί διασπορά
'Όπως φαίνεται άπό τό Σχ.
7-1,
μποροϋμε νά είμαστε
Ζ
άπόκλιση
σs .
= (S - μs)/σ.ς άκολουθεί τήν
1). 95 %
βέ-
βαιοι ότι, έάν ή υπόθεση είναι όρθή, ή τιμή Ζ από ένα δείγμα θά είναι μεταξύ
-1.96
καί
1.96.
'Εάν δμως πάρουμε ενα δείγμα καί βροϋμε τιμή Ζ έξω άπό τό διάστημα
-1.96
εως
1.96, έχουμε ενα γεγονός πού θά είχε πιθα 0.05 (σκιασμένο έμβαδό στό Σχ. 7-1), έάν
νότητα νά συμβεί μόνον ή ύπόθεση ήταν όρθή.
Ζ
= -1.96
Λέμε τότε δτι ή τιμή Ζ διαφέρει σημαντικά
Ζ
Σχ.
από αύτή πού περιμέναμε σύμφωνα μέ τήν ύπόθεση καί μαλλον θά
= 1.96
7-1
πρέπει νά απορρίψουμε τήν ύπόθεση.
Τό όλικό σκιασμένο έμβαδό
0.05
είναι τό επίπεδο σημαντικότητας τοϋ έλέγχου καί άντιπρο
σωπεύει τήν πιθανότητα νά κάνουμε λάθος απορρίπτοντας τήν ύπόθεση, δηλ. είναι ή πιθανότητα νά κάνουμε ενα σφάλμα τύπου Ι.
Λέμε τότε δτι ή υπόθεση άπορρίπτεται σέ έπίπεδο σημαντικότητας
η ότι ή τιμή Ζ τοϋ συγκεκριμένου δείγματος είναι σημαντική σέ έπίπεδο σημαντικότητας Τό σύνολο τών τιμών Ζ πού βρίσκονται έξω άπό τό διάστημα
-1.96
εως
κρίσιμη περιοχή η περιοχή άπορρίψεως τής ύποθέσεως η περιοχή σημαντικότητας.
1.96
0.05 0.05.
αποτελεί τήν
Τό σύνολο τών
~,.----------------. Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
7
τιμών Ζ πού βρίσκονται μέσα στήν περιοχή
-1.96
εως
1.96
21:3
άποτελεί τήν περιοχή άποδοχης της
ύποθέσεως η περιοχή μή σημαντικότητας.
Μέ βάση τίς προηγούμενες παρατηρήσεις μπορουμε νά διατυπώσουμε τόν εξής κανόνα άποφά σεως η ελεγχο ύποθέσεως η σημαντικότητας:
(α) 'Εάν ή τιμή Ζ άπό ενα δείγμα βρίσκεται εξω άπό τό διάστημα Ζ
< -1.96
η
Ζ>
1.96),
-1.96
εως
(δηλ. εΙναι
1.96
άπορρίπτουμε τήν ύπόθεση σέ επίπεδο σημαντικότητας
άλλα. λόγια ή τιμή Ζ εΙναι σημαντική σέ επίπεδο
0.05
(μέ
0.05).
'Εάν ή Ζ βρίσκεται μέσα στό διάστημα, δεχόμαστε τήν ύπόθεση (η, έάν θέλουμε, δέν παίρ
(b)
νουμε άπόφαση). Φυσικά μπορουμε νά χρησιμοποιήσουμε καί άλλα επίπεδα σημαντικότητας.
0.01
τό
1.96
πρέπει νά άντικατασταθεί σ' όλα τά προηγούμενα μέ τό
σης μπορεί νά χρησιμοποιηθεί ό Πίν. του συντελεστή εμπιστοσύνης είναι
6-1,
2.58
Π.χ. γιά επίπεδο
(βλέπε Πίν.
'Επί
7-1).
επειδή τό αθροισμα του επίπεδου σημαντικότητας καί
100%.
ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΠΛΕΥΡΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ Στόν προηγούμενο ελεγχο ενδιαφερθήκαμε γιά άκραίες τιμές τής στατιστικής συναρτήσεως του άντίστοιχου Ζ δεξιά καί άριστερά άπό τή μέση τιμή, δηλ. καί στά δύο άκρα τής κατανομής.
S
η
'Έ
νας τέτοιος ελεγχος καλείται δίπλευρος. Συχνά όμως ενδιαφερόμαστε γιά άκραίες τιμές μόνο στό ενα ακρο τής κατανομής, όπως π. χ. σταν
ελέγχουμε τήν ύπόθεση στι μιά μέθοδος η διαδικασία εΙναι καλύτερη άπό μιά αλλη (αυτό διαφέρει άπό τό άν ελέγχουμε τήν ύπόθεση στι μιά μέθοδος είναι καλύτερη η χειρότερη άπό μιά αλλη). τέτοιος ελεγχος καλείται μονόπλευρος.
'Ένας
Ή άντίστοιχη κρίσιμη περιοχή είναι στό ενα άκρο τής κα
τανομής καί εχει εμβαδό 'ίσο μέ τό επίπεδο σημαντικότητας. Στόν Πίν.
7-1
δίνονται οί κρίσιμες τιμές του Ζ γιά μονόπλευρο καί δίπλευρο έλεγχο σέ διάφορα
επίπεδα σημαντικότητας.
Κρίσιμες τιμές του Ζ γιά άλλα επίπεδα σημαντικότητας μπορουν νά βρε
θουν άπό πίνακες, πού δίνουν τό εμβαδό τής κανονικής καμπύλης. Πίν. 'Επίπεδο Σημαντικότητας ιι Κρίσιμες Τιμές τού Ζ γιά Μονόπλευρο 1Ελεγχο Κρίσιμες Τιμές τού Ζ γιά Δίπλευρο 1Ελεγχο
0.10
Ι
7-1
0.01
0.05
-1'* -1645
η
1.28
η
-1.fi45 1.645
1.645
-1.% 1.96
καί
καί
-2.33 2.33
0.002
-2.58
-2.88
η 2.58 ------_._---
η
-2.58 2.58
καί
0.005
t------:---_._--η 2.88
..
-2.81 καί 2.~1
-.~.08
Ι
καί ;~.ω~
ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΜΕΓΑΛΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Γιά μεγάλα δείγματα πολλές στατιστικές συναρτήσεις εχουν κανονικές κατανομές (ή τουλά
χιστον περίπου κανονικές) μέ μέση τιμή 1'5 καί τυπική άπόκλιση a S ' Γιά τέτοιες περιπτώσεις μπορουμε νά διατυπώσουμε κανόνες άποφάσεως η ελέγχους ύποθέσεων καί σημαντικότητας μέ βαση
τήν κανονική κατανομή.
Στίς επόμενες ειδικές περιπτώσεις εξετάζονται μερικές στατιστικές συναρ
τήσεις πού παρουσιάζουν ενδιαφέρον στήν πράξη.
Σέ κάθε περίπτωση τά άποτελέσματα ισχύουν γιά
απειρους πληθυσμούς η γιά δειγματοληψία μέ επανατοποθέτηση.
Γιά δειγματοληψία χωρίς επανα
τοποθέτηση άπό πεπερασμένους πληθυσμούς χρειάζονται τροποποιήσεις (βλέπε σελ.
1.
158
καί
160).
Μέσες Τιμές.
=
=
Στήν περίπτωση αυτή εΙναι S Χ (δειγματική μέση τιμή) καί ~s - ~x - μ-, σ s σχ = σπου μ. καί σ ή μέση τιμή καί ή τυπική άπόκλιση του πληθυσμου. Ή τυποποιημένη
a/yn,
μεταβλητή εΤναι Ζ
15
6
=
Χ- μ
a/vn
(1)
214
Κ Ε Φ.7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
'Όταν εΙναι άπαραίτητο χρησιμοποιείται ή s (ή 8) του δείγματος ώς έκτίμηση τής σ. Γιά νά έλέγξουμε τή μηδενική ύποθέση
Η ο , δηλ. δτι ή μέση τιμή του πληθυσμου είναι μ
α, χρησιμοποιουμε τή στατιστική συνάρτηση (Ι).
Η ο (ή τουλάχιστο δέ θά τήν άπορρίψουμε) σέ έπίπεδο θους
n
εχει μέση τιμή
=
Μέ ενα δίπλευρο ελεγχο θά δεχτοϋμε τήν
έάν ενα όρισμένο δείγμα μεγέ
0.05,
μέ
i:
-1.96 ;ΞΞ; Άλλιώς θά άπορρίψουμε τήν ύποθέση.
α ;ΞΞ; 1.96
i: -
(2)
σ/yn
Γιά άλλα έπίπεδα σημαντικότητας ή
(2)
πρέπει νά
τροποποιηθεί κατάλληλα.
Γιά νά έλέγξουμε τήν ύπόθεση δτι ή μέση τιμή τοϋ πληθυσμου εΙναι μεγαλύτερη άπό α,
χρησιμοποιουμε πάλι τή μηδενική ύπόθεση
Έl o στι ή μέση τιμή εΙναι α.
Μέ ενα μονόπλευρο
έλεγχο θά δεχτοϋμε τήν Η ο (ή τουλάχιστο δέ θά τήν άπορρίψουμε) σέ έπίπεδο
Χ ~: <
σ/v n (βλέπε Πίν.
7-1),
άλλιώς θά τήν άπορρίψουμε.
Χ-α
2.
έάν
(3)
1.645
Γιά νά έλέγξουμε τήν ύπόθεση στι ή μέση τιμή
του πληθυσμοϋ εΙναι μικρότερη άπό α, θά δεχτοϋμε τήν Η ο
σ/yn
0.05,
σέ έπίπεδο
0.05,
έάν
> -1.645
(4)
Ά ναλογίες.
Στήν περίπτωση αύτή εΙναι
S =
Ρ (άναλογία έπιτυχιών στό δείγμα) καί
P-s =
μρ
= Ρ, σ = σρ =
πόυ J) εΙναι ή άναλογία έπιτυχιών στόν πληθυσμό, 1ι τό μέγεθος του δείγματος καί σ s
νμ(]/n μέ q = 1- ρ.
Ή τυποποιημένη μεταβλητή εΙναι Ρ-Ρ
Ζ
(5)
vpq/n Μέ Ρ
=
Χ/π,
δπου Χ εΙναι τό πλήθος τών έπιτυχιών σ'
Ζ =
ενα δείγμα, ή
(5)
γίνεται
Χ - ηρ
(6)
ιInpq 'Ισχύουν κι έδώ παρατηρήσεις σμοιες μ'
3.
αύτές πού εγιναν γιά τίς μέσες τιμές.
Διαφορές Μέσων Τιμών.
'Έστω δτι Χι καί Χ 2 εΙναι οί μέσες τιμές δύο μεγάλων δειγμάτων μέ μεγέθη ΎΙι
καί
n2
άντίστοιχα, πού προέρχονται άπό πληθυσμούς μέ μέσες τιμές μι καί μΖ καί τυπικές άποκλί σεις
σι καί σ 2 •
Θεωρουμε τή μηδενική ύπόθεση στι δέν ύπάρχει διαφορά μεταξύ τών μέσων
τιμών τών πληθυσμών, δηλ. δτι μι =
jJ.z'
Άπό τή σχέση
(1 Ι)
τής σελ.
159
συμπεραίνουμε στι
ή κατανομή τής διαφορας τών δειγματικών μέσων τιμών εΙναι περίπου κανονική μέ μέση τιμή καί τυπική άπόκλιση
μ.-Χ -ΧΙ 2
=
Ο
σ2
σ ΧΙ - Χ2
σ2
~+~ nl n2
(7)
σπου μπορουμε, έάν είναι άπαραίτητο, νά χρησιμοποιήσουμε τίς δειγματικές τυπικές άποκλίσεις SI
καί :;2. (ή
81
καί
82)
ώς έκτιμήσεις τών σι καί σΖ •
Χρησιμοποιώντας τήν τυποποιημένη μεταβλητή
(8) (σπως πρίν γιά τίς μέσες τιμές) μπορουμε νά έλέγξουμε τή μηδενική ύπόθεση σέ σύγκριση μέ μιά έναλλακτική ύπόθεση (ή τή σημαντικότητα μιας διαφορας πού μετρήσαμε) σέ όρισμένο έπίπεδο σημαντικότητας.
1
ρ
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
7
Διαφορές
4.
215
Άναλογιών.
Έστω δτι Ρ ι καί Ρ2 είναι οί άναλογίες επιτυχιών σέ δύο μεγάλα δείγματα μεγέθους nl καί n2, πού προέρχονται άπό πληθυσμούς μέ άναλογίες Ρι καί ΡΖ. Θεωρούμε τή μηδενική
ύπόθεση δτι δέν ύπάρχει διαφορά μεταξύ τών μέσων τιμων, δηλ. δτι Ρι
= Ρ2
(αύτό σημαίνει
ούσιαστικά δτι τά δείγματα προέρχονται άπό τόν 'ίδιο πληθυσμό).
Άπό τή σχέση
(13)
τής σελ.
159
συμπεραίνουμε θέτοντας Ρι
= Ρ2 = Ρ
στι ή δειγματολη
πτική κατανομή τής διαφοράς τών άναλογιών είναι περίπου κανονική μέ μέση τιμή καί τυπική
άπόκλιση
"ρ
r
ι-
l'
2
=
Ο
σ
~ Ρι
_
,
δπου μπορούμε νά χρησιμοποιήσουμε την
Ρ2
Ρ-
ρ(l - P)(l. + 1-) nl
=
(9)
n~
nιΡ ι + n 2 P 2 = ----r1l
ώς εκτίμηση τής ρ.
+ n2
Χρησιμοποιώντας τήν τυποποιημένη μεταβλητή
=
Ζ
Ρ ι - Ρ2 σ ΡΙ -
-
Ο
=
Ρ ι - Ρ2
Ρ2
σ ΡΙ -
(10)
Ρ2
μπορούμε νά ελέγξουμε μιά διαφορά σέ κάποιο όρισμένοεπίπεδο εμπιστοσύνης καί συνεπώς νά ελέγξουμε τή μηδενική ύπόθεση. Μέ δμοιο τρόπο μπορούν νά γίνουν ελεγχοι γιά άλλα στατιστικά μεγέθη (βλέπε Πίν.
5-1).
ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΜΙΚΡΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ
'Όταν τά δείγματα είναι μικρά
(n
< 30),
μπορούμε νά διατυπώσουμε ελέγχους ύποθέσεων καί
σημαντικότητας χρησιμοποιώντας άλλες κατανομές, δπως τού
Student,
τήν
χ 2 , τήν
Ρ, κτλ.
'Έτσι
χρησιμοποιείται ή άκριβής θεωρία δειγματοληψίας καί άρα οί έλεγχοι αύτοί ίσχύουν καί γιά μεγάλα δείγματα (όπότε άνάγουν στίς προηγούμεΥες μεθόδους). Μέσες Τιμές.
1.
Γιά νά ελέγξουμε τήν ύπόθεση Η ο
μοποιούμε τήν
Τ
Χ
δτι μιά κανονική κατανομή εχει μέση τιμή
-
μ
χ
-
μ
μ., χρησι-
r-.
= ~S~~ = -λ-\/1/ S
(11)
δπου Χ είναι ή μέση τιμή ένός δείγματος μεγέθους
n.
'Η Τ άντιστοιχεί στήν Ζ = Χ - μ. ,
πού χρησιμοποιήσαμε γιά μεγάλα δείγματα, άλλά μέ
S=
Vll/(n - 1) S
a/vn
φορά βρίσκεται στό δτι, ενώ ή Ζ εχει κανονική κατανομή, ή
t
τού
Student.
άντί γιά σ. 'Η δια
Τ άκολουθεί τήν κατανομή
'Όταν τό η αύξάνει, οί διαφορές μεταξύ τών δύο μεθόδων εξαφανίζονται.
Γενικότερα, ή μέθοδος αύτή μπορεί νά χρησιμοποιηθεί γιά κωδωνοειδή κατανομή πληθυσμού. Οί έλεγχοι τών ύποθέσεων είναι δμοιοι μ' αύτούς της σελ. τού
2.
213
μέ κρίσιμες τιμές τού
t
άντί
Ζ.
Διαφορές Μέσων Τιμών. Έστω δτι δύο τυχαία δείγματα μεγέθους nl καί n2 προέρχονται άπό δύο κανονικούς (ή περίπου κανονικούς) πληθυσμούς μέ 'ίσες τυπικές άποκλίσεις (σι
τιμές καί τυπικές άποκλίσεις Χι, Χ2 καί SI, S2 άντίστοιχα. Ηο
=
σ 2 ) καί στι εχουν μέσες
Γιά νά ελέγξουμε τήν ύπόθεση
στι τά δείγματα προέρχονται άπό τόν ίδιο πληθυσμό, δηλ. δτι μι
=
μ2 καί σι
=
σι, χρησι
μοποιούμε τή μεταβλητή Τ
δπου
σ
--
nlSr nl
>
+ n 2 SΞ
+ r12 -
2
(12)
14
216
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
Ή
Τ άκολουθεί τήν κατανομή τού
σχέσεις
(12)
προκύπτουν άπό τίς σχέσεις
Student μέ ν = nl + n2 - 2 (12) τής σελ. (159) μέ σι
βαθμούς έλευθερίας.
= σι = σ
7
Οί
καί άν χρησιμο
ποιήσουμε ώς εκτίμηση τής ~ τήν ποσότητα
'" (nl - l)Si (nl-1) δπου
'" Si
'" + (n2 -l)S~ + (nz-1)
nlSi + nΖsΞ nl + n2 - 2
'"
καί SΞ είναι οί άμερόληπτες εκτιμήτριες τών σi καί σ~.
Ή ποσότητα αύτή είναι
ενα είδος μέσου δρου τών διασπορών τών δειγμάτων.
3.
Διασπορές. Γιά νά ελέγξουμε τήν ύπόθεση
Η ο στι μιά κανονική κατανομή εχει διασπορά ~ θεωρούμε
τήν τυχαία μεταβλητή
λ
(π
1lS2
- 1)S2 σ
πού (σελ.
161) εχει κατανομή χ2 μέ
θους Jι δώσει διασπορά
s2,
11 -
1
βαθμούς έλευθερίας.
θά δεχτούμε τήν Ηο
ενα δίπλευρο ελεγχο σέ επίπεδο
0.05,
(13)
2
'Εάν ενα τυχαίο δείγμα μεγέ
(ή τουλάχιστο δέ θά τήν άπορρίψουμε) μ'
έάν
(14) , Αλλιώς
θά τήν άπορρίψουμε.
Παρόμοια ίσχύουν γιά άλλα έπίπεδα.
Γιά νά ελέγξουμε τήν ύπόθεση Η ι στι ή διασπορά τοϋ πληθυσμοϋ είναι μεγαλύτερη απο
σ2 ,
χρησιμοποιούμε πάλι τή μηδενική ύπόθεση Η ο , άλλά μονόπλευρο ελεγχο.
ρίψουμε τήν Η ο σέ επίπεδο
0.05
(καί συνεπώς θά συμπεράνουμε στι ή
Έτσι, θά άπορ
Η ι είναι όρθή), Μν
γιά τή διασπορά 82 τοϋ δείγματος είναι n8 2 -;;Ζ
>
(15)
2
Χ.95
Άλλιώς θά δεχτούμε τήν Η ο (ή τουλάχιστο δέ θά τήν άπορρίψουμε).
4.
Λόγοι Διασπορών.
Σέ μερικά προβλήματα θέλουμε νά άποφασίσουμε Μν δύο δείγματα μεγέθους
m
n
καί
μέ
τυπικές άποκλίσεις 8i καί S~ προέρχονται ή δέν προέρχονται άπό τόν ίδιο κανονικό πληθυ σμό.
Σέ μιά τέτοια περίπτωση χρησιμοποιούμε τή στατιστική συνάρτηση (σελ.
161)
Α
~i/σi
F =
(16)
sμ()"~ όπου σr, σ~
τα.
είναι οί διασπορές τών δύο κανονικών πληθυσμών άπ' σπου προέρχονται τά δείγμα
'Εάν Η ο είναι ή μηδενική ύπόθεση στι δέν ύπάρχει διαφορά μεταξύ τών διασπορών τών
πληθυσμών, δηλ. σi
= σΞ, τότε
82
F = ~
(17)
SΞ
Γιά νά ελέγξουμε αύτή τήν ύπόθεση σέ επίπεδο Π.χ. δπως όρίζεται άπό τήν
(16),
εχει κατανομή
F
μέ nL -
0.10, παρατηρούμε πρώτα στι 1, n - 1 βαθμούς ελευθερίας.
ή
Ρ,
~Aρα
χρησιμοποιώντας δίπλευρο ελεγχο θά δεχτούμε τήν Ηο (ή δέ θά τήν άπορρίψουμε) σέ επίπεδο
0.10,
Μν
F. o;, Άλλιώς θά τήν άπορρίψουμε.
;Ξ?
"'2
8ι
Αι
::::
F .95
(18)
82
Παρόμοιες μέθοδοι μποροϋν νά διατυπωθοϋν γιά μονόπλευρο ελεγχο, σταν θέλουμε νά
ελέγξουμε Μν ή διασπορά ενός πληθυσμΟύ είναι με-Υαλύτερη άπό τή διασπορά ενός άλλου.
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
7
217
ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Άπό τίς προηγούμενες παρατηρήσεις φαίνεται στι ύπάρχει κάποια σχέση μεταξύ τής εκτιμητι κής μέ τά διαστήματα εμπιστοσύνης καί τού ελέγχου ύποθέσεων.
τής Η ο σέ επίπεδο
0.05
Π.χ. ή σχέση
είναι ισοδύναμη μέ τή σχέση (Ι) τής σελ.
195,
(2) γιά τήν 95%
πού δίνει τό
παραδοχή
διάστημα
εμπιστοσύνης
- _ 1.96 σ <
vn
Χ
<
=jJ.=
χ- τ,' 1.96
σ
(19)
Vn
Έτσι, τουλάχιστο γιά δίπλευρο ελεγχο, θά μπορούσαμε νά χρησιμοποιήσουμε τά διαστήματα εμπι
στοσύνης τού Κεφ.
6
γιά νά ελέγξουμε τίς διάφορες ύποθέσεις.
στε μονόπλευρα διαστήματα εμπιστοσύνης. καί
7.136),
Γιά μονόπλευρο έλεγχο χρειαζόμα
Τέτοια διαστήματα μπορούν νά όριστούν (Προβλ.
6.14
άλλά σπάνια χρησιμοποιούνται στήν πράξη.
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ. ΙΣΧΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥ 'Όπως άναφέραμε, τό σφάλμα τύπου Ι μπορεί νά περιοριστεί μέ κατάλληλη εκλογή του επίπεδου
σημαντικότητας. ύπόθεση.
Τό σφάλμα τύπου ΙΙ μπορεί νά μηδενιστεί, εάν άπλά καί μόνο δέ δεχτούμε τήν
Πολλές φορές Ωμως, αυτό δέν μπορεί νά γίνει στήν πράξη. Σέ τέτοιες περιπτώσεις χρησι
μοποιούμε συχνά τίς χαρακτηριστικές
11
χαρακτηρίζουσες καμπύλες, πού δίνουν τήν πιθανότητα γιά
τό σφάλμα τύπου ΙΙ κάτω άπό διάφορες ύποθέσεις. έλεγχος ελαχιστοποιεί τά σφάλματα τύπου άποφυγή λανθασμένων άποφάσεων.
11,
Οί καμπύλες αυτές μας δείχνουν πόσο καλά ενας
μέ αλλα λόγια μας δείχνουν τήν ίσχύ τού έλέγχου στήν
Είναι χρήσιμες στή σχεδίαση πειραμάτων, Π.χ. δίνουν τί μέ
γεθος δείγματος νά χρησιμοποιήσουμε, κτλ.
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ
Στήν πράξη είναι πολύ χρήσιμο νά ξέρουμε, εάν μιά διαδικασία αλλαξε άρκετά, ωστε νά άπαιτούν ται διορθώσεις.
Τέτοιες περιπτώσεις προκύπτουν Π.χ. στόν έλεγχο ποιότητας, Ωπου πρέπει κανείς νά
άποφασίσει καί μάλιστα γρήγορα, έάν όρισμένες διαφορές όφείλονται σέ τυχαίες αίτίες ή σέ πραγμα τικές μεταβολές στή διαδικασία παραγωγής, σπως φθορά μηχανημάτων, άνθρώπινα σφάλματα, κτλ.
Τά διαγράμματα έλέγχου ποιότητας μας δίνουν μιά χρήσιμη καί άπλή μέθοδο γιά νά άντιμετωπίσουμε τέτοια προβλήματα (βλέπε Πρόβλ.
7.29).
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
VΟ ταν εχουμε κάποια ενδειξη γιά τήν κατανομή τού πληθυσμού, εΙναι συνήθως δυνατό νά προσαρμόσουμε μιά θεωρητική κατανομή (ενα «μοντέλο», Ωπως λέγεται) στίς κατανομές συχνότητας πού προκύπτουν άπό ενα δείγμα τού πληθυσμΟύ.
Γενικά, χρησιμοποιουνται σέ μιά τέτοια μέθοδο ή
μέση τιμή καί ή τυπική άπόκλιση τού δείγματος ώς εκτιμήσεις τής μέσης τιμής καί τής τυπικής άποκλίσεως του πληθυσμου (βλέπε Προβλ.
7.30, 7.32
καί
7.33).
Τό πρόβλημα έλέγχου τής καλής προσαρμογής μιας θεωρητικής κατανομής σέ μιά δειγματική
κατανομή είναι ουσιαστικά τό 'ίδιο μέ αυτό πού άντιμετωπίζουμε, όταν πρέπει νά άποφασίσουμε, εάν ύπάρχουν σημαντικές διαφορές μεταξύ των τιμων τού πληθυσμΟύ καί τού δείγματος.
tνας άξιοση
μείωτος ελεγχος σημαντικότητας γιά τήν καλή προσαρμογή ε{ναι ό ελεγχος χ 2 πού περιγράφεται παρακάτω.
Στήν προσπάθειά μας νάάποφασίσουμε έάν μιά κανονική κατανομή προσαρμόζεται καλά σέ
όρισμένα δεδομένα, είναι βολικό νά χρησιμοποιούμε ενα ειδικό χαρτί σχεδιάσεως, πού καλείται χιλιοστομετρικό χαρτί πιθανοτήτων
b
if μιλλιμετρέ
πιθανοτήτων (βλέπε Πρόβλ.
7.3\).
22 Ι
~ t 218
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
Ο ΕΛΕΓΧΟΣ
χ2
7
ΓΙΑ ΚΑΛΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ
n
Γιά νά βρούμε έάν ή άναλογία Ρ των έπιτυχιων σ' ενα δείγμα μεγέθους
(πού προέρχεται άπό
ενα διωνυμικό πληθυσμό) διαφέρει σημαντικά άπό τήν άναλογία Ρ των έπιτυχιων στόν πληθυσμό, χρησιμοποιούμε τή στατιστική συνάρτηση
(5)
ή
τής σελ.
(6)
Στήν άπλή αύτή περίπτωση μόνο
214.
δύο γεγονότα Α ι καί Α 2 , πού καλούνται έπιτυχία καί άποτυχία καί εχουν πιθανότητες Ρ καί
1-
Ρ, μπορούν νά συμβούν.
Ή τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ
καλείται συχνά παρατηρούμενη συχνότητα γιά τό γεγονός
= nP
Αι, ένω ή
np
q
=
σ' ενα όρισμένο δείγμα καλείται dναμενόμενη ή
θεωρητική συχνότητα. Παράδειγμα
Έάν ενα δείγμα περιλαμβάνει
7.1.
100
ρίψεις ενός κανονικοϋ νομίσματος. όπότε
= (100)(t) =
μενόμενη συχνότητα των αποτελεσμάτων «κεφάλι» ε!ναι np
50.
= 100,
n
Ρ
= t,
ή ανα
Ή παρατηρούμενη συχνότητα στό δείγμα
αύτό μπορεί βέβαια νά ε!ναι διαφορετική.
Στή γενικότερη περίπτωση σπου εχουμε
πιθανότητες
Ρι, ])2, . . . ,
ενα δείγμα μεγέθους
Ak
n
Pk
k
δυνατά γεγονότα Αι, Α 2 , ••• ,
ό πληθυσμός εχει πολυωνυμική κατανομή (σελ.
Ak 113).
Χι,
... , X k
(μέ τιμές Χι, Χ2,
τό συγκεκριμένο δείγμα), ένω οί άναμενόμενες συχνότητες ε{ναι
npl, ... , npk
άποτελέσματα αύτά μπορούν νά δοθούν σ' εναν πίνακα, σπως ό Πίν.
7-2.
Πίν. Γεγονός Παρατηρούμενη Συχνότητα
Συχνότητα
•
1 .,
... ,
Xk
άντίστοιχα.
για Τά
7-2
...
Ak
Αι
Α2
χι
Χ2
...
Xk
npl
1ΙΡΖ
...
ΠΡk
. Αναμενόμενη
7.2.
'Εάν πάρουμε
άπό τόν πληθυσμό, οί παρατηρούμενες συχνότητες των γεγονότων Αι,
μπορούν νά περιγραφούν άπό τυχαίες μεταβλητές
Παράδειγμα
μέ άντίστοιχες
=
Έστω δτι
fvl1 δείγμα περιλαμβάνει 120 ρίψεις ενός κανονικοίί ζαριοίί. όπότε n 120 καί οΙ πιθανό 1.2 .... '6 ε{ναι δλες ίσες μέ Ι ΟΙ άντίστοιχες άναμενόμενες συχνότητες npl, '1Ρ2' ... , 'ΙΙΡβ (120)( f.) = 20. ΟΙ παρατηρούμενες συχνότητες θά ε{ναι γενικά διαφορετικές άπό τίς άναμενόμενες.
τητες PI' Ρ2 • ... , Ρ6 των ε!ναι δλες ίσες μέ
Μιά γενίκευση της στατιστικής συναρτήσεως
(6),
πού μπορεί νά θεωρηθεί σάν ενα μέτρο των
διαφορων μεταξύ παρατηρούμενων καί άναμενόμενων συχνοτήτων, μπορεί νά ληφθεί, αν τετραγωνί σoυμετήν(~Kαίγράψoυμε
(Χ
(Χι
- np)2 _ npq
Στή σχέση αύτή
n-
ΧΙ ή
ΧΙ
=
- np)2
+
(Χ 2
πρ
- nq)2 nq
(20)
Χ ε{ναι ή ΤJχαία μεταβλητή γιά τή συχνότητα των έπιτυχιων καί Χ 2
τυχαία μεταβλητή γιά τή συχνότητα των άποτυχιων.
ΗΑς σημειωθεί στι
nq
=
ε{ναι ή
άναμενόμενη συχνότητα των άποτυχιων.
Ή μορφή τής
(20) δείχνει στι ενα
μέτρο των διαφορων μεταξύ παρατηρούμενων καί άναμενόμενων
συχνοτήτων στή γενική περίπτωση δίνεται άπό τή στατιστική συνάρτηση (Χι - 1ιρl)2 -'----""---'--+
(Χ 2
ΙΙΡι
- 1l1J2)2 ΎψΖ
.
(Xk - npk)2 + ... + -'-----"--'npk
(21)
σπου ή όλική συχνότητα ε{ναι τό μέγεθος τού δείγματος π, δηλ.
(22) Μιά εκφραση ίσοδύναμη μέ τήν
(21)
ε{ναι ή k
Σ j=1
Ζ2
X~ _J -
npj
n
(23)
Κ Ε Φ.
7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΠΚΟΤΗΤ ΑΣ
Έάν χ 2 χ
2
>
Ο,
219
= Ο, οί παρατηρούμενες καί οί άναμενόμενες συχνότητες εΙναι άκριβως ίσες, ένώ έάν
δέν εΙναι άκριβώς ίσες.
'Όσο μεγαλύτερη εΙναι ή τιμή της
χ 2 , τόσο μεγαλύτερες εΙναι οί
διαφ\1ρές μεταξύ παρατηρούμενων καί άναμενόμενων συχνοτήτων.
"Οπως δείχνεται στό Πρόβλ.
γιση τήν κατανομή
ή χ 2 πού δρίζεται άπό τήν
7.62,
(21)
άκολουθεί μέ μεγάλη προσέγ
χ , έάν γιά κάθε άναμενόμενη συχνότητα εΙναι 2
άναμενόμενες συχνότητες ή προσέγγιση γίνεται άκόμα καλύτερη.
nPi
> 5.
Γιά μεγαλύτερες
Οί βαθμοί έλευθερίας της κατα
νομης εΙναι:
(α) ν =
k - 1,
έάν οΙ άναμενόμενες συχνότητες μποροϋν νά ύπολογιστοϋν χωρίς νά χρειαστεί
έκτίμηση παραμέτρων τοϋ πληθυσμοϋ άπό τό δείγμα. τό
έπειδή άπό τή συνθήκη
k,
(22)
συχνότητες, έάν γνωρίζουμε τίς άλλες
(b)
v
W
Ας σημειωθεί 6τι άφαιροϋμε
1
άπό
προσδιορίζεται μιά δποιαδήποτε άπό τίς άναμενόμενες
k - 1.
= k -1- m, έάν οΙ άναμενόμενες συχνότητες μποροϋν m παραμέτρων τοϋ πληθυσμοϋ άπό τό δείγμα.
νά ύπολογιστοϋν μόνο μέ έκτί
μηση
Στήν πράξη άναμενόμενες συχνότητες ύπολογίζονται μέ βάση μιά ύπόθεση Ηο •
Έάν σύμφωνα
μέ τήν ύπόθεση αύτή ή τιμή της χ2 , πού ύπολογίζεται άπό τήν
(21) ή τήν (23), είναι μεγαλύτερη άπό 2 κάποια κρίσιμη τιμή (π.χ. χ 95 ή Χ:99 , πού είναι οί κρίσιμες τιμές γιά έπίπεδα σημαντικότητας 0.05 καί 0.01),· τότε συμπεραίνόυμε 6τι οί παρατηρούμενες συχνότητες διαφέρουν σημαντικά άπό τίς άναμενόμενες καί 6τι μαλλον πρέπει νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση Η ο στό άντίστοιχο έπίπεδο
. σημαντικότητας.
Άλλιως θά τή δεχτοϋμε ή τουλάχιστο δέ θά τήν άπορρίψουμε.
καλείται έλεγχος χ
2
Ή μέθοδος αύτή
της ύποθέσεως ή της σημαντικότητας.
Έάν ή τιμή της χ 2 εΙναι πολύ κοντά στό μηδέν, πρέπει νάείμαστε προσεκτικοί, έπειδή κάτι τέτοιο (δηλ. νά εΙναι οί παρατηρούμενες συχνότητες περίπου ίσες μέ τίς άναμενόμενες) εΙναι πολύ
σπάνιο.
Γιά νά έξετάσουμε τέτοιες περιπτώσεις, βρίσκουμε έάν ή τιμή της χ2 είναι μικρότερη
άπό χ Ο5 ή x~l' δπότε άποφασίζουμε 6τι ή συμφωνία εΙναι ύπερβολική σέ έπίπεδο σημαντικότητας 2
0.05
ή
0.01
άντίστοι-χα.
Έκτός άπό τήν έφαρμογή του στήν πολυωνυμική καταΥομή ό έλεγχος χ 2 μπορεί νά χρησιμο ποιηθεί γιά νά βροϋμε πόσο καλά άλλες θεωρητικές κατανομές (κανονική,
ζονται σέ πειραματικά δεδομένα (βλέπε Πρόβλ.
Poisson,
κτλ.) προσαρμό
7.44).
ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ
Ό Πίν.
7-2,
6που οί παρατηρούμενες συχνότητες εχουν διαταχτεί σέ μιά γραμμή, καλείται
μονοδιάστατος πίνακας ταςινομήσεως.
. Έπεκτείνοντας
Έπειδή εχει
lc
στη λες, καλείται καί πίνακας συνάφειας 1 χ
τίς ίδέες αύτές εχουμε τό διδιάστατο πίνακα ταςινομήσεως ή πίνακα συνάφειας
6που οί παρατηρούμενες συχνότητες εχουν διαταχτεί σέ
h
γραμμές καί
Σέ κάθε παρατηρούμενη συχνότητα ένός πίνακα συνάφειας μενόμενη
ή
θεωρητική συχνότητα,
h
χ
k
k
Ιι χ
lc . k,
στήλες.
ύπάρχει μιά άντίστοιχη άνα,.
πού ύπολογίζεται σύμφωνα μέ μιά ύπόθεση.
πού γράφονται στίς διάφορες κυψελίδες ή κελιά καλουνται συχνότητες κελιού.
Οί συχνότητες
Ή δλική συχνότητα
σέ κάθε γραμμή ή στήλη καλείται περιθώρια συχνότητα. Γιά νά έξετάσουμε τή συμφωνία μεταξύ παρατηρούμενων καί άναμενόμενων συχνοτήτων ύ
πολογίζοομε τή στατιστική συνάρτηση
(24) 6που τό άθροισμα VOEi'tat ώς πρός όλα τά κελιά του πίνακα συνάφειας καί τά
Xj
καί Π1); άντιπρο
σωπεύουν άντίστοιχα τήν παρατηρούμενη καί τήν άναμενόμενη συχνότητα του κελιοϋ άθροισμα αύτό, πού εΙναι άνάλογο του νων συ-χνοτήτων εlναι
n
(21),
εχει
hlc
όρους.
j.
Τό
Τό άθροισμα όλων τών παρατηρούμε
καί ίσοϋται μέ τό άθροισμα όλων τών άναμενόμενων συχνοτήτων.
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
220
"Οπως πρίν, ή στατιστική συνάρτηση
(24)
ακολουθεί μέ μεγάλη προσέγγιση τήν κατανομή χ2 μέ
τήν προϋπόθεση δτι οί αναμενόμενες συχνότητες δέν εΙναι μικρές.
κατανομής (α) ι'
χ2
γιά
h > 1, lc > 1
= (h -1)( k -1),
Οί βαθμοί έλευθερίας ν τής
εΙναι:
έάν οί αναμενόμενες συχνότητες μπορουν νά ύπολογιστουν χωρίς νά χρει
αστεί έκτίμηση των παραμέτρων του πληθυσμου από τό δείγμα. Πρόβλ.
7
Μιά απόδειξη δίνεται στό
7.48.
(b) ν = (lι - l)(k - 1) - m , έάν οί αναμενόμενες συχνότητες μπορουν νά ύπολΟΥιστουν μόνο μέ έκτίμηση m παραμέτρων του πληθυσμου από τό δείγμα. Οί ελεγχοι σημαντικότητας γιά πίνακες Ιι χ
εΙναι δμοιοι μέ τούς έλέγχους γιά πίνακες
k
Οί αναμενόμενες συχνότητες βρίσκονται μέ κάποια ύπόθεση Η ο •
χ
1
k.
Μιά ύπόθεση πού χρησιμοποιεί
ται συχνά εΙναι ή ανεξαρτησία των δύο ταξινομήσεων. Μπορουμε νά όρίσουμε πίνακες συνάφειας καί γιά περισσότερες διαστάσεις.
με νά εχουμε εν αν τριδιάστατο πίνακα συνάφειας
ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΤΟΥ
h
χ
k
χ
l,
Έτσι Π.χ. μπορου
κτλ.
YATES
'Όταν σχέσεις πού αναφέρονται σέ συνεχείς κατανομές έφαρμόζονται γιά ασυνεχή μεγέθη, μπορουν νά γίνουν όρισμένες διορθώσεις, δπως καί σέ προηγούμενα κεφάλαια. τήν κατανομή χ 2 γράφουμε αντί γιά τή σχέση
χ 2 (διορθωμένη)
=
(:Χ ι - npII - 0.5)2 npl
+
(IΧ2
Γιά νά διορθώσουμε
τήν
(21) -
np21 - 0.5)2 + .,. + (IX k - npkl - 0.5)2 np2npk
(25) Ή διόρθωση αυτή εΙναι γνωστή ώς διόρθωση τού
Yates.
Άνάλογα τροποποιείται ή
Γενικά ή διόρθωση γίνεται μόνον δταν εχουμε ενα βαθμό έλευθερίας, δηλ. Ι'
(24).
= 1.
Γιά μεγάλα
δείγματα ή διορθωμένη εκφραση δίνει ουσιαστικά τά ϊδια αποτελέσματα μέ τήν χ 2 χωρίς διόρθωση, αλλά κοντά στίς κρίσιμες τιμές μπορούν νά προκύψουν δυσκολίες (βλέπε Πρόβλ.
δείγματα, δπου κάθε αναμενόμενη συχνότητα εΙναι μεταξύ
5
καί
σουμε καί τή διορθωμένη καί τή χωρίς διόρθωση τιμή του χ 2 •
10,
7.41).
Γιά μικρά
εΙναι ϊσως καλύτερο νά έξετά
Έάν καί οί δύο τιμές όδΤlΥουν στό
'ίδιο συμπέρασμα γιά μιά ύπόθεση, Π.χ. δτι πρέπει νά απορριφθεί σέ έπίπεδο 0.05, σπάνια δημιουρ γουνται δυσκολίες.
Έάν όδηγουν σέ διαφορετικά συμπεράσματα, τότε μπορουμε ή νά αυξήσουμε τό
μέγεθος τού δείγματος (πού 'ίσως νά μήν εΙναι πρακτικό) ή νά έφαρμόσουμε ακριβείς μεθόδους μέ πολυωνυμική κατανομή.
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ
'Ένα μέτρο του βαθμού συσχετίσεως ή έξαρτήσεως των ταξινομήσεων σ' ενα πίνακα συνάφειας
δίνει ό συντελεστής συνάφειας
~
C -
'Όσο μεγαλύτερη εΙναι ή τιμή τού
C,
_Χ-_ χ2
+n
τόσο μεγαλύτερη εΙναι ή έξάρτηση.
(26) Τό πλήθος των γραμμων
καί των στηλων ένός πίνακα συνάφειας καθορίζει τή μέγιστη τιμή του
C, πού δέν ύπερβαίνει τή μονάδα. Γιά εναν πίνακα lc χ lc ή μέγιστη τιμή του C εΙναι V(k - 1)/k. Βλέπε Πρόβλ. 7.52, 7.53 καί 7.127.
___
---'i,
-,------------------------------Κ Ε Φ.
221
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟθΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
7
Λυμένα Προβλήματα ΕΛΕΓΧΟΙ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜ ΩΝ ΚΑΙ ANAΛOΓlΩN ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
7.1.
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά φέρουμε
εως
40
φορές κεφάλι σέ
60
100
ρίψεις ενός κα
νονιιcοϋ νομίσματος. Σύμφωνα μέ τή διωνυμική κατανομή ή ζητούμενη πιθανότητα είναι
( 1
lOOC40\"2
)40 (1"2 )60
+
(1
\41 (12)Υ9
+ ... +
lOOC4l!\"2)
IOOC 60
(1
"2
)60 (1"2)\40
Ή μέση τιμή καί ή τυπική άπόκλιση τοϋ πλήθους των άποτελεσμάτων κεφάλι σέ
μ Έπειδή καί τό
=
np
σ
= 1000) = 50
V1ιpq
=
100
ρίψεις είναί
=
np καί τό nq είναι μεγαλύτερα τοϋ 5, μποροϋμε ν6. προσεγγίσουμε τή διωνυμική κατανομή μέ
μιά κανονική κατανομή.
Γιά
40
εως
φορές κεφάλι πρέπει νά θεωρήσουμε τιμές άπό
60
39.5
εως
60.5
στήν κανονική κατανομή.
'Έχουμε
39.5 σέ
τυπικές μονάδες
39.5 - 50 = 5
60 ). 5
σ
έ
'
τυπικες
'δ ες =
-60.5 5- 50 = 2. 10
μονα
= (έμβαδό κανονικής καμπύλης άπό Ζ=-2.10 εωςIΖ=2.10) = 2(έμβαδό άπό Ζ = Ο εως Ζ = 2.10) = 2\0.4821) = 0.9642
Ζητούμενη πιθανότητα
7.2.
-2.10
Γιά νά έλέγξουμε τήν ύπόθεση δτι ενα νόμισμα είναι κανονικό, δεχόμαστε τόν εξης κανόνα άποφάσεως:
(1) 'Εάν ενα τυχαίο δείγμα 100 ρίψεων περιλαμβάνει 40 εως 60 φορές τό ά
ποτέλεσμα «κεφάλι», δεχόμαστε τήν ύπόθεση.
Άλλιώς άπορρίπτουμε τήν ύπόθεση.
(2)
(α} Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά άπορριφθεί ή ύπόθεση, ένώ είναι όρθή.
(b)
Έρμηνεϋστε γραφικά τόν κανόνα άποφάσεως καί τό άποτέλεσμα στό
(c)
Τί μποροϋμε νά συμπεράνουμε, έάν τό δείγμα τών τό άποτέλεσμα κεφάλι;
(d) (α)
100
ρίψεων περιλαμβάνει
(c);
Έξηγηστε γιατί.
Άπό τό Πρόβλ.
1 - 0.9642
7.!
ή πιθανότητα νά μήν εχουμε
= 0.0358.
53
φορές
φορές;
Μπορεί νά μήν είναι σωστά τά άποτελέσματα στό
ναι
(b)
60
(α).
40
εως
60
φορές κεφάλι γιά ενα κανονικό νόμισμα εί
Άρα ή πιθανότητα νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση, ένω είναι σωστή, είναι
Ό κανόνας άποφάσεως παριστάνεται στό Σχ.
7-2,
0.0358.
πού δίνει τήν
κατανομή πιθανότητας γιά τά άποτελέσματα «κεφάλι» σέ
100
ρίψεις !:νός κανονικοϋ νομίσματος.
'Εάν σ' εως
2.10,
ενα δείγμα
100
ρίψεων τό Ζ είναι άπό
δεχόμαστε τήν ύπόθεση.
-2.10
Άλλιωςάπορρίπτουμετήν
ύπόθεση καί άποφασίζουμε ότι τό νόμισμα δέν είναι κανονικό.
,
Περιοχή
ι Άπορρίψεως
Τό σφάλμα πού γίνεται, έάν άπορρίψουμε τήν ύπόθεση, Ι
νω αύτή είναι σωστή, εΙναι τό σφάλμα τύπου Ι
Ή πιθανό
Ζ
=
τητα νά κάνουμε αύτό τό σφάλμα εΙναι 0.0358 άπό τό (α) καί παριστάνεται άπό τό σκιασμένο έμβαδό του Σχ. 7-2. Έάν τό πλήθος των άποτελεσμάτων κεφάλι σ' ενα δείγμα περιοχές, τότε ή τιμή αύτή του
100
Σχ.
ρίψεων δώσει
Ζ
-2.10
= 2.10
7-2
Ζ σέ μιά άπό τίς σκιασμένες
Ζ διαφέρει σημαντικά άπ' αύτές πού περιμένουμε γιά κανονικό νόμισμα.
Τό
σκιασμένο έμβαδό, δηλ. ή πιθανότητα νά διαπράξουμε σφάλμα τύπου Ι, καλείται έπίπεδο σημαντικότητα:; τοϋ κανόνα άποφάσεως.
Έτσι, έάν ή ύπόθεση άπορριφθεί, λέμε δη άπορρίφθηκε σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.0358 ή 3.58%.
L
-----------------------------------
222
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
7
Σύμφωνα μέ τόν κανόνα άποφάσεως, θά πρέπει νά δεχτοϋμε τήν ύπόθεση δτι τό νόμισμα εΙναι κανονικό καί στίς
(c)
δύο περιπτώσεις.
Κάποιος βέβαια μπορεί νά πεί ότι ενα άκόμα κεφάλι θά άλλαζε τήν άπόφαση.
Κάτι τέτοιο
δμως παρουσιάζεται συχνά,δταν μιά λεπτή γραμμή χωρίζει τίς περιοχές λήψεως δύο διαφορετικών άποφάσεων. ΝαΙ
(d)
ΕΙναι πιθανό νά δεχτοϋμε δτι ή ύπόθεση εΙναι όρθή, ένώ δέν εΙναι, δπως Π.χ. έάν ή άκριβής πιθανότητα νά
έρθει κεφάλι σέ μιά ρίψη εΙναι
καί δχι
0.7
0.5.
Τό σφάλμα πού κάνουμε μέ τό νά δεχτοϋμε τήν ύπόθεση, ένώ δέν εΙναι σωστή καλείται σφάλμα τύπου ΙΙ στή λήψη τής άποφάσεως (βλέπε Προβλ.
7.3.
7.23-7.25).
Διατυπώστε εν αν κανόνα άποφάσεως γιά τόν ελεγχο τής ύποθέσεως δτι ενα νόμισμα είναι
κανονικό γιά ενα δείγμα (α)
ρίψεων ιtαί έπίπεδο σημαντικότητας
64
(α)
0.05
καί
(b) 0.01.
Πρώτη μέθοδος. Σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.05 κάθε σκιασμένο 7-3 εχει έμβαδό 0.025. •Αρα τό έμβαδό άπό Ο fως Ζι εΙναι 0.5000 - 0.0250 0.4750 καί Ζι 1.96. κομμάτι στό Σχ.
=
=
Ένας κανόνας άποφάσεως εΙναι ό tξής:
(1)
'Εάν τό ση
(2)
Ζ εΙναι άπό
fως
-1.96
1.96, δεχόμαστε
τήν ύπόθε
δη τό νόμισμα εΙναι κανονικό.
Άλλιώς άπορρίπτουμε τήν ύπόθεση. ΟΙ κρίσιμες τιμές
άπό τόν Πίν.
-1.96
καί
1.96
μποροϋν νά ληφθοϋν καί
Σχ.
7-1.
Γιά νά διατυπώσουμε τόν κανόνα γιά τό συγκεκριμένο δείγμα τών
64
7-3
ρίψεων, ύπολογίζοuμε τή μέση τιμή
καί τήν τυπική άπόκλιση τής διωνυμικής κατανομής καί μέ τήν προϋπόθεση δτι τό νόμισμα εΙναι κανονικό βρίσκουμε
= np = 64(0.5) = 32
μ
= (Χ -
Άρα Ζ
Γιά
-1.96 (1)
μ)/σ
καί Χ
= 24.16.
+
Υ64(0.5)(0.5)
-
4
32)/4. - 32)/4 = 1.96
καί Χ
= 39.84.
Γιά
Ζ
= -1.96
εχουμε (Χ
- 32)/4 =
"Αρα ό κανόνας άποφάσεως γίνεται:
καί
24.16
39.84,
δηλ. άν φέρουμε
25
εως
φορές κεφάλι, δεχόμαστε τήν ύπόθεση.
Άλλιώς άπορρίπτοuμε τήν ύπόθεση.
Δεύτερη μέθοδος.
μ
= (Χ -
εχουμε (Χ
= 1.96
σ
'Εάν τό πλήθος τών άποτελεσμάτων κεφάλι εΙναι μεταξύ
39 (2)
Ζ
καί
Μέ πιθανότητα
0.95
τό πλήθος τών άποτελεσμάτων κεφάλι εΙναι μεταξύ
1.96σ, δηλ. μεταξύ np - 1.96Ynpq καί
1.96(4)
= 39.84.
Τρίτη μέθοδος.
-1.96(4)
<
(Χ
np
+ 1.96Ynpq
μ - 1.96 σ καί η μεταξύ 32 - 1.96(4) = 24.16 καί 32 +
"Ετσι εχουμε τόν προηγούμενο κανόνα άποφάσεως.
Ή
- 32)
-1.96 < Ζ < 1.96(4)
< η
1.96 ε!ναι Ισοδύναμη μέ τήν -1.96 < (Χ - 32\/4 < 1.96. Συνεπώς 32 - 1.96(4) < Χ < 32 + 1.96(4) η 24.16 < Χ < 39.84 καί εχουμε
πάλι τόν προηγούμενο κανόνα άποφάσεως.
(b)
Σέ έπίπεδο σημαντικότητας άπό Ο εως
0.01 κάθε σκιασμένο 0.5000 - 0.0050 = 0.4950 ληφθεί καί άπό τόν Πίν. 7-1.
Ζι ε!ναι
αύτό μπορεί νά
"Οπως στή δεύτερη μέθοδο τοϋ (α), μεταξύ μ -
- Αρα (1)
2.58
σ
καί
μ
+ 2.58 σ,
δηλ.
κομμάτι στό Σχ. καί
Ζι
μέ πιθανότητα
32 - 2.58(4)
= 2.58
0.99
7-3
εχει έμβαδό
(άκριβέστερα
0.005. 2.575).
(2) . Αλλιώς
άπορρίπτουμε τήν ύπόθεση.
22
fως
Τό άποτέλεσμα
τό πλήθος τών άποτελεσμάτων κεφάλι εΙναι
= 21.68
καί
32 + 2.58(4)
= 42.32.
ό κανόνας άποφάσεως γίνεται:
Έάν τό πι. ήθος τών άποτελεσμάτων κεφάλι εΙναι
Άρα τό έμβαδό
42,
δεχόμαστε τήν ύπόθεση.
φ-----------------------------------Κ Ε Φ.
7.4.
7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
Πώς μπορεί νά διατυπωθεί ό κανόνας άποφάσεως στό Πρόβλ.
7.3
223 ωστε νά άποφύγουμε ενα
σφάλμα τύπου ΙΙ; Κάνουμε ενα σφάλμα τύπου ΙΙ, οταν δεχόμαστε μιά ύπόθεση, ένώ θά επρεπε νά τήν άπορρίψουμε.
Γιά νά τό
άποφύγουμε, άλλάζουμε τόν κανόνα &τσι ώστε στήν περίπτωση πού πρίν δεχόμαστε τήν ύπόθεση, τώρα μόνο δέν τήν
άπορρίπ'ιουμε, δηλ. δέν παίρνουμε άπόφαση.
Έτσι Π.χ. ό κανόνας άποφάσεως στό Πρόβλ. 7.3(b) γίνεται:
(1)
Έάν τό πλήθος των άποτελεσμάτων κεφάλι ε[ναι άπό
(2)
Άλλιώς άπορρίπτουμε τήν ύπόθεση.
εως
22
42,
δέν άπορρίπτουμε τήν ύπόθεση.
Στήν πράξη ομως ε[ναι πολλές φορές άπαραίτητο νά άποφασίσουμε, έάν πρέπει νά δεχτούμε ή νά άπορρίψουμε μιά ύπόθεση.
7.5.
Σέ τέτοιες περιπτώσεις άπαιτείται πληρέστερη μελέτη τού σφάλματος τύπου
Il
(βλέπε Προβλ.
7.23-7.25).
Σ' ενα πείραμα τηλεπαθητικής έπικοινωνίας μεταξύ δύο άτόμων Α καί Β, ό Α ε{ναι σ
ενα
δωμάτιο καί προσπαθεί νά βρεί τό χρώμα, κόκκινο η μαύρο, μιας κάρτας πού τραβάει ό Β σέ ενα ι'iλλo δωμάτιο άπό
50
καλά άνακατεμένες κάρτες.
μαυρες κάρτες περιλαμβάνονται στίς πενήντα κάρτες.
Ό Α δέν ξέρει πόσες κόκκινες καί 'Εάν ό Α βρεί τά χρώματα
τών, ε{ναι τό άποτέλεσμα αύτό σημαντικό σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.05
32
καρ
καί (b) 0.01;
Έάν Ρ ε[ναι ή πιθανότητα νά βρεί ό Α τό χρώμα μιάς κάρτας, τότε εχουμε νά άποφασίσουμε μεταξύ τών έξής δύο ύποθέσεων:
Η ο:
Ρ
= 0.5,
πού σημαίνει δτι ό Α άπαντάει στήν τύχη.
Hj :
]J
> 0.5,
πού σημαίνει δτι ό Α εχει τηλεπαθητικές ίκανότητες.
Έπειδή ένδιαφερόμαστε γιά τήν ίκανότητα τού Α νά βρίσκει τό χρώμα μεγάλου καί όχι μικρού ποσοστού καρτών, παίρνουμε μονόπλευρο ελεγχο.
Έάν ή ύπόθεση Η() ε[ναι όρθή, ή μέση τιμή καί ή τυπική άπόκλιση του πλήθους των καΡΤών πού βρήκε σωστά ό' Α ε[ναι
=
μ (α)
=
np
50(0.5)
=
25
καί
σ
=
=
ynpq
Υ50(0.5)(0.5)
=
Υ12.5 = 3.54
Γιά μονόπλευρο fλεγχο σέ έπίπεδο έμπιστοσύνης
0.05 πρέπει τό 7-4) νά ε[ναι τέτοιο ώστε τό σκιασμένο τμήμα νά εχει έμβα δό 0.05. Συνεπώς τό έμβαδό άπό Ο Εως Ζι ε[ναι 0.4500 καί Ζι 1.645. Αύτό μπορεί νά ληφθεί καί άπό τόν Πίν. 7-1.
Zj
(Σχ.
=
"Αρα ό κανόνας άποφάσεως η ελεγχος ύποθέσεως ε[ναι:
'Εάν τό Ζ (άπό τίς άπαντήσεις του Α) ε[ναι μεγαλύτερο άπό
(1)
1.645,
τό άποτέλεσμα ε[ναι σημαντικό σέ έπίπεδο
καί ό
0.05
Α εχει τηλεπαθητικές ίκανότητες.
'Εάν τό Ζ ε[ναι μικρότερο άπό
(2)
ναι σημαντικό σέ έπίπεδο
Έπειδή τό
1.645, τό άποτέλεσμα δέν ε[
0.05,
Σχ.
δηλ. όφείλεται στήν τύχη.
7-4
=
32 σέ τυπικές μονάδες ε[ναι (32 - 25)/3.54 1.98, δηλ. μεγαλύτερο από 1.645, συμπεραί 0.05 ό Α εχει τηλεπαθητικές ίκανότητες,
νουμε οτι σέ επίπεδο σημαντικότητας
"Ας σημειωθεί οτι, έπειδή χρησιμοποιουμε συνεχή κατανομή,
31.5 (b)
ε[ναι σέ τυπικές μονάδες
Γιά επίπεδο
32
(η τό
σημαντικότητας
31.5)
(31.5 - 25)/3.54 = 1.84 0.01,
τό εμβαδό
ε[ναι σέ τυπικές μονάδες
άποτέλεσμα δέν εΙναι σημαντικό σέ
άπό Ο εως
1.98 (ή 1.84), έπίπεδο 0.01,
32
σημαίνει
31.5
εως
32.5.
Άλλά τό
καί συνεπώς ίσχύει τό προηγούμενο συμπέρασμα.
Ζι ε[ναι
0.4900
δηλ. μικρότερο από
καί Ζι
= 2.33.
2.33,
σUolπεραίνουμε ΟΤΙ τό
Έπειδή
τό
Συχνά χρησιμοποιείται ή εξης όρολογία: Άποτελέσματα σημαντικά σέ έπίπεδο
μαντικά. κά.
Άποτελέσματα σημαντικά σέ έπίπεδο
Άποτελέσματα σημαντικά μόνο σέ επίπεδο
0.01 λέγονται πολύ ση 0.05 άλλά όχι καί σέ έπίπεδο 0.01 λέγονται πιθανώς σημαντι μεγαλύτερο άπό 0.05 λέγονται μή σημαντικά.
Σύμφωνα μ' αύτή τήν όρολογία τό άποτέλεσμα του Α εΙναι πιθανώς σημαντικό.
"Αρα μάλλον χρειάζονται
καί άλλα πειράματα.
L
;
224
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
7
Έπειδή διάφορα έπίπεδα έμπιστοσύνης όδηγοϋν συχνά σέ διαφορετικές άποφάσεις, εΙναι μερικές φορές προτιμότερο νά δίνονται οί άκριβείς πιθανότητες.
Έτσι στό πρόβλημα αύτό, έπειδή Ρ(Ζ iiΞ;
θά μπορούσαμε νά ποϋμε δτι μέ βάση αύτό τό πείραμα μόνο λέγοντας στι ό Α εχει τηλεπαθητιιcές ίκανότητες.
ij
7.6.
φορές στίς
3
Ή πιθανότητα
100
0.0322
1.84)
= 0.0322,
εΙναι πιθανό νά κάνουμε λάθος
ιcαλείται μερικές φορές πειραματικό
περιγραφικό έπίπεδο σημαντικότητας.
Ό έφευρέτης ένός νέου φάρμακου Ισχυρίζεται ότι αύτό έξαφανίζει τήν άλλεργία γιά στό
90 %
των περιπτώσεων.
Τό φάρμακο αύτό δόθηκε σ' ενα δείγμα
λεργία καί έξαφάνισε τήν άλλεργία στούς
200
8
ώρες
άτόμων μέ άλ
ΕΙναι σωστός ό Ισχυρισμός τού έφευρέτη;
160.
Έστω Ρ ή πιθανότητα νά άπαλλαγεί μέ τό φάρμαιco αύτό Υιά όΙCΤώ ώρες άπό τήν άλλεργία ενα ατομο.
Πρέπει
νά άποφασίσουμε μεταξύ τών έξής δύο {Jποθέσεων:
Ηο :
Ρ
= 0.9,
δηλ. ό ίσχυρισμός τοϋ έφευρέτη εΙναι σωστός.
Hj:
Ρ
< 0.9,
δηλ. ό ίσχυρισμός του έφευρέτη δέν εΙναι σωστός.
Παίρνουμε μονόπλευρο ελεγχο, έπειδή ένδιαφερόμαστε νά βροϋμε αν ή άναλογία άτόμων πού εγιναν ιcαλά εΙναι πολύ μικρή.
0.01,
Έάν πάρουμε έπίπεδο σημαντικότητας 1σο μέ
τμήμα στό Σχ.
Πίν.
εχει έμβαδό
7-5
7-1 έχουμε Ζι
=
τό σκιασμένο
καί άπό τό Πρόβλ.
0.01
ή τόν
7.5 (b)
-2.33. Σχ.
7-5
Ό κανόνας άποφάσεως ε{ναι:
Ι 1)
(2)
Ό Ισχυρισμός δέν εΙναι σωστός, έάν τό Ζ ε!ναι μικρότερο άπό
(δηλ. άπορρίπτουμε τήν Η ο),
-2.33
Άλλιώς ό ίσχυρισμός ε!ναι σωστός καί ή μικρή σχετικά άπόδοση τοϋ φάρμακου όφείλεται σέ τυχαίες αιτίες
(δηλ. δεχόμαστε τήν ύπόθεση Η ο ).
'Εάν ή Η ο είναι όρθή, εχουμε μ = np Τό πώς
1 (;0
ε!ναι σέ τυπικές μονάδες
= 200(0.9) =
180 ιcαί σ = Vrιpq
(160 -180)/4.23 = -4.73,
= v'(200)(0.9)(0.1) = 4.23.
πού εΙναι πολύ μικρότερο άπό
-2.33.
Συνε
σύμφωνα μέ τόν κανόνα άποφάσεως συμπεραίνουμε δτι ό ίσχυρισμός τοϋ έφευρέτη δέν εΙναl σωστός (τά
άποτελέσματα εΙναι πολύ σημαντικαl.
7.7.
Ή μέση ζωή
νά εΙναι
100
1570
τυχαίων λαμπτήρων φθορισμοϋ άπό τήν παραγωγή μιας έταιρείας βρέθηκε
ώρες μέ τυπική άπόκλιση
120
ώρες.
ρων φθορισμοϋ της έταιρείας, έλέγξτε τήν ύπόθεση
μ.
*
1600
σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
καί
0.05
'Εάνμ εΙναι ή μέση ζωή των λαμπτή }L
= 1600 (b) 0.01.
μέ έναλλακτική ύπόθεση τήν
Πρέπει νά βροϋμε τή σωστή άπό τίς δύο ύποθέσεις:
Ηο :
μ
= 1600
Χρησιμοποιοϋμε δίπλευρο ελεγχο, έπειδή ή μικρότερες ιωί μεγαλύτερες τών (α)
1600
μ ~
Έάν τό
(.:!)
'Αλλιώς δεχόμαστε τήν Η"
1600
μ"#
1600
σημαίνει δτι εΙναι δειcτές τιμές τής μέσης ζωής καί
0.05
εχουμε τόν έξής ιcανόνα άποφάσεως:
Ζ άπό τό δείγμα ε{ναι εξω άπό τό διάστημα
-1.96
!\ως
=
1.96,
άπορρίπτουμε τήν
Η(Ι.
(η δέν παίρνουμε άπόφαση).
'Ι-Ι στατιστική συνάρτηση πού θεωροϋμε ε!ναι ή δειγματική μέση τιμή τής Χ εχει μέση τιμή μχ
ώρες
ώρών.
Γιά δίπλευρο υ.εγχο σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(1)
Ηι:
ώρες
μ καί τυπική άπόΙCλιση
σχ
πική άπόκλιση τής ζωής τών λαμπτήρων τής έταιρείας.
=
σ/Υπ,
Χ.
Ή δειγματοληπτική κατανομή
σποι> ι' ΙCαί σ ε{ναι ή μέση τιμή καί ή τυ
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤιΚΟΤΗΤ ΑΣ
7
= 1600
Σύμφωνα μέ τήν ύπόθεση Ηο εχουμε μ
καί σχ
= σΙvn = 12OΙVlOo = 12,
πεδο σημαντικότητας
(ό)
εΙναι εξω άπό τό διάστημα
Έπειδή τό
2.58.
Στό Πρόβλ.
7.7
(Χ
τό διάστημα
0.01,
-1.96
εως
1.96
άντΙKαθιστίiται άπό τό
-2.58
εΙναι μέσα σ' αύτό τό διάστημα, δεχόμαστε τήν Η ο (ή δέν παίρνουμε άπό
-2.50
φαση) σέ έπίπεδο σημαντικότητας
7.8.
Έπειδή ή τιμή Ζ
0.05.
Έάν τό έπίπεδο σημαντικότητας εΙναι
εως
δπου χρησιμο
=
- 1600)/12 -1.96 εως 1;96. άπορρίπτουμε τήν Η ο σέ έπί
ποιήσαμε τήν τυπική άπόκλιση του δείγματος ώς έκτίμηση τής σ.
= (1570 -1600)/12 = -2.50
225
0.01.
έλέγξτε τήν ύπόθεση μ.
= 1600
χρησιμοποιώντας έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
ώρες μέ έναλλακτική ύπόθεση τήν μ καί
0.05
< 1600
(b) 0.01.
Πρέπει νά άποφασίσουμε μεταξύ τών δύο ύποθέσεων:
Ηο :
μ
= 1600
ώρες
Ηι:
< 1600
μ
ώρες
Θά χρησιμοποιήσουμε μονόπλευρο ελεγχο (Σχ.7-5).
(α)
Έάν τό έπίπεδο σημαντικότητας εΙναι
= -1.645.
0.05,
τό σκιασμένο τμήμα του Σχ.
7-5
εχει έμβαδό
0.05
καί άρα Ζι
Άρα ό κανόνας άποφάσεως εΙναι:
(l)
'Εάν τό Ζ εΙναι μικρότερο άπό
(2)
Άλλιώς δεχόμαστε τήν Η ο (ή δέν άποφασίζουμε).
-1.645, άπορρίπτουμε τήν II ο.
Έπειδή, δπως στό Πρόβλ. 7.7(α), τό Ζ εΙναι
δηλ. μικρότερο άπό
-2.50,
-1.645,
άπορρίπτουμε τήν
Η ο σέ έπίπεδο σημαντικότητας 0.05."Ας σημειωθεί δτι τήνίδια άπόφαση πήραμε στό Πρόβλ. 7.7(α)χρησιμο ποιώντας δίπλευρο ελεγχο.
(ί/)
Έάν τό έπίπεδο σημαντικότητας εΙναι
Ζ εΙναι μικρότερο άπό
0.01,
τό
Ζι εΙναι
(1)
Έάν τό
(2)
Άλλιώς δεχόμαστε τήν Η ο (ή δέν άποφασίζουμε). Έπειδή τό Ζ εΙναι
τητας
0.01.
"Αρα ό κανόνας άποφάσεως γίνεται:
-2.33, άπορρίπτουμε τήν Η ο.
δηλ. μικρότερο του
-2.50,
-2.33.
-2.33,
άπορρίπτουμε τήν Η ο σέ έπίπεδο σημαντικό
"Ας σημειωθεί δη ή άπόφαση αύτή διαφέρει άπ' αύτή πού πήραμε στό Πρόβλ.
7.7(b) χρησιμοποι
ώντας δίπλευρο ελεγχο.
Άπό τά προηγούμενα συμπεραίνουμε στι ή άπόφαση (γιά μιά δεδομένη ύπόθεση μονόπλευρο ελεγχο δέν ταυτίζεται πάντα μέ αύτή πού βασίζεται σέ δίπλευρο ελεγχο.
Η ο ) πού βασίζεται σέ
Αύτό όφείλεται στό στι
εχουμε διαφορετική έναλλακτική ύπόθεση σέ κάθε περίπτωση.
7.9.
Τό δριο άντοχής ένός τύπου καλωδίων εχει μέση τιμή
100
κιλά.
κατασκευής αυξησε τό δριο άντοχής. λώδια.
1800
κιλά καί τυπική άπόκλιση
Ή έταιρεία πού φτιάχνει τά καλώδια ισχυρίζεται δτι μιά βελτίωση στή μέθοδο Γιά νά τό έπαληθεύσουμε, δοκιμάζουμε
'Εάν τό μέσο δριο άντοχής τους βρέθηκε
έταιρείας σέ έπίπεδο σημαντικότητας
1850
50
νέα κα
κιλά, εΙναι σωστός ό ισχυρισμός τής
0.01;
Έχουμε νά άποφασίσουμε μεταξύ τών tξής δύο ύποθέσεων:
Ηο :
μ
= 1800
κιλά, δηλ. δέν άλλαξε τό μέσο δριο άντοχης.
Ηι:
μ
>
κιλά, δηλ. αύξήθηκε τό μέσο δριο άντοχής.
1800
Πάλι χρησιμοποιούμε μονόπλευρο fλεγχο (βλέπε Σχ.
7-4).
Σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.01
ό κανόνας άπο
φάσεως εΙναι:
(1)
Έάν τό Ζ εΙναι μεγαλύτερο του
2.33,
τό άποτέλεσμα άπό τό δείγμα τών πενήντα καλωδίων εΙναι σημαντικό
καί άπορρίπτουμε τήν Η ο .
(2)
Άλλιώς δεχόμαστε τήν Β ο (ή τουλάχιστο δέν παίρνουμε άπόφαση). Έάν ή Β ο εΙναι όρθή, βρίσκουμε
Ζ
πού εΙναι μεγαλύτερο τού tταιρείας εΙναι σωστός.
2.33.
=
Χ-μ σ/νn
=
1850 - 1800
3.55
100IV50
"Α ρα τά άποτελέσματα άπό τό δείγμα εΙναι πολύ σημαντικά καί ό Ισχυρισμός τής
226
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟθΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΠΚΟ1ΉΤΑΣ
7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ
7.10.
Σέ δύο τμήματα μιας τάξεως μέ ίδια θέματα.
καί
40
50
φοιτητές άντίστοιχα δόθηκαν σέ μιά έξέταση τά
Στό πρώτο τμήμα ό μέσος βαθμός ήταν
ένω στό δεύτερο ό μέσος βαθμός ήταν
78
74
μονάδες μέ τυπική άπόκλιση
μέ τυπική άπόκλιση
8,
ΤΗταν σημαντική ή
7.
διαφορά στήν άπόδοση των δύο τμημάτων σέ έπίπεδο σημαντικότητας (α) "Έστω δτι τά δύο τμήματα προέρχονται άπό δύο πληθυσμούς μέ μέσες τιμές (βαθμούς)
0.05, (b) 0.01;
μι καί
JL2.
"Έχουμε
νά άποφασίσουμε μεταξύ των ύποθέσεων:
= μ2'
Η ο:
μι
Η ι:
μι #
όπότε ή διαφορά στίς άποδόσεις ε{ναι τυχαία.
μΖ. όπότε ύπάρχει σημαντική διαφορά στίς άποδόσεις των δύο τμημάτων.
'Εάν ή Η ο ε{ναι όρθή, τά δύο τμήματα προέρχονται άπό τόν ίδιο πληθυσμό.
Ή μέση τιμή καί ή τυπική
άπόκλιση της διαφοράς των δειγματικων μέσων τιμων ε{ναι
82 40
+
δπου χρησιμοποιήσαμε τίς δειγματικές τυπικές άποιcλίσεις ώς έκτιμήσεις των
Χι
Ζ (α)
ΧΙ
σ
Χ2
-
74 - 78
Γιά δίπλευρο ελεγχο τά άποτελέσματα ε{ναι σημαντικά σέ έπίπεδο
-1.96
~
-Αρα
1.96.
σέ έπίπεδο
0.05
=
σι καί
1.606 σ2'
-2.49
1.606
Χ2
72 50
0.05,
έάν τό
Ζ ε[ναι εξω άπό τό διάστημα
ή διαφορά στήν άπόδοση των δύο τμημάτων ε{ναι σημαντιιcή καί
τό δεύτερο τμήμα ε{ναι καλύτερο.
(b)
Γιά δίπλευρο ελεγχο τά άποτελέσματα ε{ναι σημαντικά σέ έπίπεδο
-2.58
εως
2.58.
- Αρα
σέ επίπεδο
0.01
'Επειδή τά άποτελέσματα είναι σημαντικά σέ έπίπεδο τά άποτελέσματα είναι πιθανώς σημαντικά (βλέπε Πρόβλ.
7.11.
Τό μέσο βάρος
50 φοιτητών 2.5 κιλά.
τυπική άπόκλιση
θηκε
έάν τό
Ζ ε[ναι εξω άπό τό διάστημα
0.05 7.5).
άλλά δχι καί σέ έπίπεδο
0.01,
συμπεραίνουμε δτι
πού μετέχουν συχνά σέ άθλητικούς άγωνες εΙναι Τό μέσο βάρος
κιλά μέ τυπική άπόκλιση
67.5
0.01.
ή διαφορά στήν άπόδοση των δύο τμημάτων δέν είναι σημαντική.
2.8
50
κιλά.
68.2
κιλά μέ
φοιτητών πού δέ μετέχουν σέ άγώνες βρέ
Έλέγξτε τήν ύπόθεση ότι οί φοιτητές πού
μετέχουν σέ άθλητικούς άγώνες εΙναι γενικά πιό βαρείς άπ' αύτούς πού
δέ
μετέχουν.
Πρέπει νά άποφασίσουμε μεταξύ των δύο ύποθέσεων:
Η ο : μι Ηι :
=
ΙΙ2'
μι ;> 1'2'
δηλ. δέν ιΊπάρχει διαφορά μεταξύ των μέσων βαρων. δηλ. τό μέσο βάρος των άθλητων είναι μεγαλύτερο.
'Εάν ή ύπόθεση Η ο ε{ναι όρθή, τότε /1Χ
Ι
-
-Χ
2
=
(2.5)2 50
Ο
+ (2.8)2 50
δπου χρησιμοποιήσαμε τις δειγματιlcές τυπικές άποκλίσεις ώς έκτιμήσεις των σι
Ζ
Μέ βάση
fva
=
68.2 - 67.5 0.53
μονόπλευρο ~λεγχo σέ έπίπεδο σημαντικότητας
ήταν μΕΎαλύτερο άπό
1.645.
= 0.05,
καί
=
Ο 53
.
σ:Ζ.'
1.32
θά άπορρίπταμε τήν
Η Q. έάν τό
Ζ
"Αρα δέν μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση σ' αύτό τό έπίπεδο σημαντικότητας.
"Ας σημειωθεί δμως δτι ή ύπόθεση μπορεί νά άπορριφθεί σέ έπίπεδο σημαντικότητας νά εχουμε λάθος μέ πιθανότητα
0.10.
0.1 Ο.
Τότε δμως μπορεί
r !
Κ Ε Φ.
7.12.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
7
227
Πόσο πρέπει νά αύξηθεί τό μέγεθος κάθε δείγματος στό Πρόβλ. 7.11 ώστε ή παρατηρούμενη διαφορά τών τικότητας
0.7 κιλών τών δειγματικών μέσων τιμών νά εΙναι σημαντική σέ έπίπεδο σημαν (α) 0.05, (b) 0.01;
Έστω δτι κάθε δείγμα fXE!
Έάν ή ύπόθεση
7.11.
φοιτητές καί τήν τυπική άπόκλιση πού δίνεται (γιά κάθε δείγμα) στό Πρόβλ.
n
Η ο ε{ναι όρθή, τότε μχ-
στ
ι-
χ-
2
=Ο
καί
~ 14~09 =
~ (2.5)2 : (2.8)2
σ~
-+n n
Έάν ή παρατηρούμενη διαφορά τών δειγματικών μέσων τιμών εΙναι
(α)
·Η παρατηρούμενη διαφορά εΙναι σημαντική σέ έπίπεδο
°3~t: Ξ';
Vn
1.645
(b)
Ή παρατηρούμενη διαφορά εΙναι σημαντική σέ έπίπεδο
0.7yn ~ 233 3.75 .
Vn
0.01,
Ξ';;
.Από
1t
78 - 50
= 28
78
Ξ';;
τουλάχιστο.
έάν
12.5
"Αρα πρέπει νά αύξήσουμε τό μέγεθος κάθε δείγματος κατά
7.13.
έάν
8.8
"Αρα πρέπει νά αύξήσουμε τό μέγεθος κάθε δείγματος κατά
κιλά, τότε
3.75
0.05, Ξ';;
vn
0.7~
0.7 3.75/vn
Ζ
0.7
3.75
1t
157 - 50
Ξ';;
= 107
157 τουλάχιστο.
τό σύνολο τών άσθενών μέ μιά όρισμένη άσθένεια σχηματίζουμε τυχαία δύο όμάδες Α
καί Β μέ φάρμακο.
100
άσθενείς στήν κάθε μιά.
'Εάν
75
Στούς άσθενείς της Α (μόνον) δίνουμε ενα νέο
άπό τήν όμάδα Α καί
άπό τήν Β (πού καλείται όμάδα έλέγχο υ) γί
65
νουν καλά, έλέγξτε τήν ύπόθεση ότι τό νέο φάρμακο βοηθάει στήν καταπολέμηση της άσθέ
νειας αύτης σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.01, (b) 0.05, (c) 0.10.
Έστω Ρι ή άναλογία πληθυσμοϋ θεραπευμένων στήν όμάδα Α καί Ρ2 ή άντίστοιχη άναλογία στήν όμάδα Β.
Έχουμε νά άποφασίσουμε μεταξύ τών δύο ύποθέσεων: Η ο:
Ρι
= Ρ2,
δηλ. τό φάρμακο δέν ε{ναι άποτελεσματικό (παρατηρούμενες διαφορές τυχαίες).
Η ι:
Ρι
>
δηλ. τό φάρμακο ε{ναι άποτελεσματικό.
Ρ2,
Έάν ή ύπόθεση Η ο ε{ναι όρθή, fχουμε
pq (
1 1\ -+= 111112)
(0.70)(0.30)(
1~0 + 1~0) =
0.0,,-18
δπου χρησιμοποιήσαμε ώς έκτίμηση τής Ρ τό μέσο δρο τών άναλογιών αύτών πού θεραπεύτηκαν στίς δύο όμάδες,
δηλ.
(75 + 65)/200
= 0.70,
καί
q
=1-
= 0.30.
"Αρα
0.750 - 0.650 0.0648
Ζ
(α)
Ρ
Μέ βάση ενα μονόπλευρο ελεγχο σέ έπίπεδο σημαντικότητας
τό Ζ ήταν μεγαλύτερο άπό
2.33.
1.54
0.01 θά άπορρίπταμε τήν ύπόθεση Η ο μόνον έάν 1.54, συμπεραίνουμε στι ή διαφορά των άποτε
Έπειδή τό Ζ εΙναι μόνον
λεσμάτων στίς δύο όμάδες όφείλεται σέ τυχαίους λόγους.
(b)
Μέ βάση ενα μονόπλευρο ελεγχο σέ έπίπεδο σημαντικότητας
τό Ζ ήταν μεγαλύτερο άπό
1.645.
0.05
θά άπορρίπταμε τήν ύπόθεση Η ο μόνον έάν
"Αρα συμπεραίνουμε πάλι στι ή διαφορά τών άποτελεσμάτων όφείλεται
σέ τυχαίους λόγους.
(c)
Μέ βάση ενα μονόπλευρο fλεγχο σέ έπίπεδο σημαντικότητας μεγαλύτερο άπό
L
1.28.
"Αρα σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.10 άπορρίπτουμε τήν Η ο , έπειδή τό 0.10 τό φάρμακο ε{ναι άποτελεσματικό.
Ζ εΙναι
228
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
Είναι φανερό δτι τό συμπέρασμά μας έξαρταται άπό τό πόσο είμαστε διατεθειμένοι νά διακινδυνέψουμε λανθασμένο συμπέρασμα.
7
fva
'Εάν ή διαφορά στά άποτελέσματα όφείλεται σέ τυχαίους λόγους καί έμείς αποφασίσουμε
δτι τό φάρμακο εΙναι άποτελεσματικό (σφάλμα τύπου Ι), θά δώσουμε τό φάρμακο σέ μεγάλες όμάδες άσθενών καί τότε θά βροϋμε δτι κάναμε λάθος.
Συνήθως θέλουμε νά αποφεύγουμε
fvav
τέτοιο κίνδυνο στην πράξη.
Στην αντίθετη περίπτωση μπορεί νά συμπεράνουμε δτι τό φάρμακο δέν είναι άποτελεσματικό, ένώ στήν πραγμα τικότητα ε{ναι (σφάλμα τύπου
Είναι φανερό δτι ένα τέτοιο σφάλμα εχει σοβαρές συνέπειες, ίδίως δταν πρόκει
11).
ται γιά ανθρώπινες ζωές.
7.14.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
7.13,
νείς τής Α καί
τής Β.
195
έάν κάθε όμάδα εχει
άσθενείς καί θεραπεύτηκαν
300
225
Στήν περίπτωση αύτή οί αναλογίες αύτών πού θεραπεύτηκαν στίς δύο όμάδες εΙναι άντίστοιχα
0.750
καί
195/300
=
= 0.650,
δηλ. οί ίδιες δπως στό Πρόβλ.
pq ( -1
Ο
nl
δπου χρησιμοποιήσαμε ώς έκτίμηση τής
Ρ τήν
1) +-
(225
Έπειδή τό
0.01,
Ζ
= 0.70.
2.~3,
=
3~0 + 3~0) =
0.0374
"Αρα
0.750 - 0.650 0.0374
είναι μεγαλύτερο από
225/300
Η ο είναι όρθή, εχουμε
(0.70)(0.30>(
+ 195)/600
Ζ
τας
=
112
Έάν ή
7.13.
άσθε
2.67
μπορούμε νά απορρίψουμε τήν ύπόθεση σέ έπίπεδο σημαντικότη
δηλ. νά συμπεράνουμε δτι τό φάρμακο εΙναι αποτελεσματικό, μέ πιθανότητα
ΕΙναι φανερό δτι μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος δίνει πιό σίγουρες άποφάσεις. δέν είναι εύκολο ή πρακτικό νά αύξήσουμε τό μέγεθος τού δείγματος.
0.01
νά κάνουμε λάθος.
Σέ πολλές περιπτώσεις δμως
Σέ τέτοιες περιπτώσεις είμαστε ύποχρεωμένοι
νά πάρουμε άποφάσεις μέ τά στοιχεία πού μας δίνονται καί νά διατρέξουμε μερικές φορές σημαντικό κίνδυνο νά κάνουμε λάθος.
7.15.
Άπό
300
ψηφοφόρους πού ρωτήθηκαν στήν περιοχή Α καί
στήν πρώτη καί τό
48%
200
στήν περιοχή Β τό
Σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.05
έλέγξτε τήν ύπόθεση ότι
στήριξη γιά τόν ύποψήφιο στίς δύο περιοχές,
(b)
(α) ύπάρχει διαφορά στήν ύπο
ό ύποψήφιος προτιμάται στήν περιοχή Α.
Έστω δτι ό ύποψήφιος προτιμαται άπό ποσοστό ψηφοφόρων Ρι στήν περιοχή Α καί
Έάν ή ύπόθεση
=
(Η ο : PI
= ΡΖ)
( 1+ 1)
Ο
= 0.472.
pq ~
7)
καί
(0.528)(0.472>(
112
q τίς τιμές
[ω.56)ί300)
3~0 + 2Ξο) =
+ (0.48)(200)j/500
0.0456
= 0.528
καί
1
"Αρα
0.560 - 0.480 0.0456
Ζ
(α)
Ρο! στήν περιοχή Β.
εΙναι όρθή, έχουμε
δπου χρησιμοποιήσαμε ώς έκτιμήσεις τών
- 0.528
56%
στή δεύτερη εΙπαν ότι θά ψηφίσουν εναν όρισμένο ύποψήφιο.
=
1.75
'Εάν θέλουμε νά άποφασίσουμε μόνον έάν ύπάρχει διαφορά μεταξύ τών περιοχών, εχουμε τίς ύποθέσεις (Η ο :
Ρι
= Ρ2) καί
(Η ι: Ρι
"*
ΡΖ), δηλ. χρειαζόμαστε δίπλευρο έλεγχο.
Μέ δίπλευρο ελεγχο σέ έπίπεδο σημαντικότητας τό διάστημα
-1.96
εως
1.96.
Έπειδή τό Ζ
0.05
= 1.75
θά άπορρίψουμε τήν
Ηο , έάν τό Ζ είναι εξω άπό
εΙναι μέσα στό διάστημα αύτό,δέν μποροϋμενάαπορ-
ρίψουμε τήν Η ο στό έπίπεδο αύτό, δηλ. δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των δύο περιοχών.
(b)
'Εάν θέλουμε νά βρούμε έάν ό ύποψήφιος προτιμαται στήν περιοχή Α, εχουμε τίς ύποθέσεις (Η ο : Ρι (Η ι : Ρι
> Ρ2),
Μέ μονόπλευρο ελεγχο σέ έπίπεδο σημαντικότητας λύτερο άπό
= Ρ2)
καί
δηλ. χρειαζόμαστε μονόπλευρο ελεγχο.
1.645.
0.05
θά απορρίψουμε τήν
Η ο' έάν τό Ζ εΙναι μεγα
·Επειδή αύτό συμβαίνει, μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν Η οστό έπίπεδο αύτό καί νά
συμπεράνουμε στι δ ύποψήφιος προτιμαται στήν περιοχή Α.
> Κ Ε Φ.
7
t
ΕΛΕΓΧΟΙ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
7.16.
229
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
ΤΟΥ
STUDENT
Μιά μηχανή κατασκευάζει ροδέλες μέ μέσο πάχος
0.050 cm
γιά μηχανισμούς άκριβείας.
Γιά νά βροϋμε έάν ή μηχανή έργόζεται καλά, παίρνουμε 10 ροδέλες καί μετράμε τό πάχος τους.
'Εάν βρεθεί μέσο πάχος
0.053 cm
μέ τυπική άπόκλιση
0.003 cm, έλέγξτε τήν σημαντικότητας (α) 0.05, (b) 0.01.
θεση δτι ή μηχανή έργάζεται καλά σέ έπίπεδο
ύπό
"Έχουμε τίς ύποθέσεις
= 0.050,
Ηο :
μ
Η 1:
μ #-
δηλ. ή μηχανή έργάζεται καλά. δηλ. ή μηχανή δέν έργάζεται καλά.
0.050,
"Αρα άπαιτείται δίπλευρος fλεγχος.
'Εάν ή ύπόθεση Η ο , ε{ναι όρθή εχουμε Τ = (α)
Γιά δίπλευρο ελεγχο σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(1) (2)
δεχόμαστε τήν Η ο
2.26,
Τ
= 3.00,
(2)
3.25,
βαθμούς έλευθερίας ε{ναι
άπορρίπτουμε τήν ύπόθεση Η() σέ έπίπεδο σημαντικότητας
δεχόμαστε τήν Η ο
-2.26
0.05.
εχουμε τόν έξή ς κανόνα άποφάσεως:
0.01
'Εάν τό Τ ε{ναι στό διάστημα -t.99~ lως 1.995' πού γιά lως
10 - 1 = 9
.
Γιά δίπλευρο έλεγχο σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(1)
3.00.
.
'Αλλιώς άπορρίπτουμε τήν Η ο
'Επειδή
VI0 - 1
εχουμε τόν έξής κανόνα άποφάσεως:
().05
·Εάν τό Τ ε{ναι στό διάστημα -Ι .97~ ~ως 1.975, πού γιά lως
(b)
g; μ vn=ι = 0.05~.~~.050
10 -1
=9
βαθμούς έλευθερίας ε{ναι
-3.25
.
'Αλλιώς άπορρίπτουμε τήν Η ο . 'Επειδή
Τ
= 3.00,
δεχόμαστε τήν ύπόθεση
'Επειδή μποροϋμε νά άπορρίψουμε τήν Η ο
Hn
σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.01 .
άλλά όχι σέ έπίπεδο
0.01 ,
σέ έπίπεδο
0.05
ότι τό άποτέλεσμα τής δειγματοληψίας ε{ναι πιθανώς σημαντικό (Πρόβλ.
7.5).
μποροϋμε νά ποϋμε
Γι' αύτό θά ήταν φρόνιμο νά έλέγξου
με τή μηχανή ή τουλάχιστο νά πάρουμε άλλο ενα δείγμα.
7.17.
'Ένας κατασκευαστής συρματοσχοίνων ίσχυρίζεται δτι κάθε συρματόσχοινο ενός όρισμένου τύπου άντέχει σέ μέγιστο φορτίο βρίσκουμε μέσο μέγιστο φορτίο ύποστηρίξουμε τόν ίσχυρισμό
8000 κιλών. Δοκιμάζουμε 6 τέτοια συρματόσχοινα καί 7750 κιλά μέ τυπική άπόκλιση 145 κιλά. Μποροϋμε νά τοϋ κατασκευαστη σέ έπίπεδο σημαντικότητας (α) 0.05,
(b) 0.01; Έχουμε τίς ύποθέσεις
Η ο:
μ
= 8000
κιλά, δηλ. ό ίσχυρισμός του κατασκευαστή ε{ναι άληθής.
Η 1:
μ
< 8000
κιλά, δηλ. ό ίσχυρισμός τοϋ κατασκευαστή δέν ε{ναι άληθής.
'Απαιτείται μονόπλευρος ελεγχος.
'Εάν ή ύπόθεση Η ο ε{ναι όρθή, εχουμε Τ = g -; μ V n (α)
Γιά μονόπλευρο ελεγχο σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(1)
'Εάν τό Τ ε{ναι μεγαλύτερο άπό
-2.01, (2)
δεχόμαστε τήν Η ο
πού γιά
=
77501;58000
V6=1 =
-3.86.
εχουμε τόν έξής κανόνα άποφάσεως:
6 - 1
=
5
βαθμούς έλευθερίας σημαίνει
Τ
>
.
'Αλλιώς άπορρίπτουμε τήν Η ο .
'Επειδή Τ
(b)
-t.95 ,
0.05
1
= -3.86,
άπορρίπτουμε τήν Η ο .
Γιά μονόπλευρο ελεγχο σέ έπίπεδο σημαντικότητας (Ι)
'Εάν τό
(2)
'Αλλιώς άπορρίπτουμε τήν Η ο 'Επειδή
Τ ε{ναι μεγαλύτερο άπό
Τ
= -3.8G,
-t. 99 ,
0.01
δηλ. Τ
εχουμε τόν έξής κανόνα άποφάσεως:
> -3.36. ,
δεχόμαστε τήν
Η ο.
.
άπορρίπτουμε τήν Η().
Συμπεοαίνουμε λοιπόν δτι δέν μποροϋμε νά ύποστηρίξουμε τόν ίσχυρισμό τοϋ κατασκευαστή.
16
u
230
7.18.
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟθΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
Ό δείκτης νοημοσύνης τιμή
μαθητων από μιά συνοικία μιας πόλεως βρέθηκε νά εχει μέση
16
καί τυπική απόκλιση
107
7
Ό δείκτης νοημοσύνης
10.
συνοικία της πόλεως βρέθηκε νά εχει μέση τιμή
μαθητων από μιά άλλη
14
καί τυπική απόκλιση
112
Ύπάρχει
8.
σημαντική διαφορά στή νοημοσύνη των μαθητων των δύο συνοικιων σέ έπίπεδο σημαντι
κότητας
(α)
'Εάν
μι
0.01,
καί
(b) 0.05;
μΖ είναι οί μέσες τιμές τοϋ δείκτη νοημοσύνης τών μαθητών στίς δύο συνοικίες, εχουμε νά
αποφασίσουμε μεταξύ των δύο ύποθέσεων:
Ηο :
μι
= μ2,
Η 1:
μι
#-
δηλ. δέν ύπάρχει διαφορά στή νοημοσύνη των μαθητων στίς δύο συνοικίες.
μ2, δηλ. ύπάρχει διαφορά στή νοημοσύνη τών μαθητών στίς δύο συνοικίες.
'Εάν ή ύπόθεση Η ο είναι ορθή, τότε
ΧΙ -Χ 2
=
Τ
uV1/nt
δπου
+ 1/112
?IJS~
-
σ
+ 112S~ + ?Ι2 - 2
?lι
"Αρα
16(10)~
-
σ
(α)
16
+
-'- 14(8)~ 14 - 2 = 9.44
9.44V1/16
Μέ βάση ενα δίπλευρο ελεΥχΟ σέ επίπεδο σημαντικότητας από τό διάστημα
- 2.76
εως
εως
-t. 995
'.995,
112 - 107
Τ
καί
πού γιά 11ι
-1-
0.01
Τ είναι έξω
βαθμούς ελευθερίας γίνεται
2.76.
0.01.
Άρα δέν μποροϋμε να απορρίψουμε τήν Η ο σέ επίπεδο σημαντικότητας
(b)
Η ο , εάν τό
θά απορρίψουμε τήν
2 = 16 + 14 - 2 = 28
112 -
1.45
+ 1/14
Μέ βάση ενα δίπλευρο ελεΥχΟ σέ επίπεδο σημαντικότητας
από τό διάστημα
εως
-t. 975
Ι.97~'
πού γιά
0.05
θά απορρίψουμε τήν
βαθμούς ελευθερίας γίνεται
28
Η ο σέ επίπεδο σημαντικότητας
Άρα δέν μποροϋμε να απορρίψουμε τήν
Η ο' εάν τό
-2.05
εως
Τ είναι εξω
2.05.
0.05.
Συνεπώς δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά στή νοημοσύνη τών μαθητών τών δύο συνοικιών.
7.19.
Σ' εναν αγροτικό σταθμό θέλουν νά έλέγξουν τό αποτέλεσμα ενός λιπάσματος στήν παρα γωγή σιταριοϋ.
Γιά τό σκοπό αυτό σπέρνουν
24
δμοια κομμάτια γης καί βάζουν λίπασμα
στά μισά, ένω αφήνουν τά αλλα μισά στή φυσική τους κατάσταση.
τά κομμάτια χωρίς λίπασμα έδωσαν κατά μέσο δρο
4.8
μποϋσελ, ένω τά κομμάτια μέ λίπασμα έδωσαν κατά μέσο δρο
κλιση
0.36
μποϋσελ.
Μέ τήν 'ίδια περιποίηση,
μποϋσελ μέ τυπική απόκλιση
0.40
μποϋσελ μέ τυπική από
5.1
Μέ βάση τά δεδομένα αυτά, μποροϋμε νά συμπεράνουμε δτι ύπάρχει
σημαντική βελτίωση στήν παραγωγή σι ταριοϋ σάν αποτέλεσμα τοϋ λιπάσματος σέ έπίπεδο
σημαντικότητας 'Εάν
μι
καί
(α)
καί
1%
(b) 5%;
μ2 είναι οί μέσες τιμές της αποδόσεως κάθε κομματιού μέ καί χωρίς λίπασμα αντίστοιχα, εχουμε
τίς ύποθέσεις:
'Εάν ή υπόθεση
Η ο:
μι
=
μ2, όπότε ή διαφορά οφείλεται σέ τυχαίους λόγους.
Η ι:
μι
>
μΖ, όπότε τό λίπασμα πραγματικά βελτιώνει τήν παραγωγή.
Η ο είναι όρθή, εχουμε
Τ
=
ΧΙ
-
Χ2
?llsi + Π2S~
δπου
σ -
ν
11. 1
+
t/Z -
2
"Αρα σ
(α)
12(0.40)2
-
12
+
+
12(0.36)2 12 - 2
0.397
t. 99 ,
δηλ. άπό
2.51 γιά
11 ι
+
Τ
5.1 - 4.8 O.397V1/12
Μέ μονόπλευρο ελεγχο καί σέ έπίπεδο σημαντικότητας τερο άπό
καί
112 -
2 = 12
1.85
0.01 θά απορρίψουμε τήν Η ο' εάν τό Τ ε{ναι μεγαλύ + 12 - 2 = 22 βαθμούς έλευθερίας.
"Αρα δέν μποροϋμε νά άπορρίψουμε τήν Η ο σέ έπίπεδο σημαντικότητας
&
+ 1/12
0.01.
Να
Κ Ε Φ.
7
(b)
231
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟθΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
Μέ μονόπλευρο ελεγχο καί σέ έπίπεδο σημαντικότητας
t. 95 ,
τερο άπό
- Αρα
δηλ.
Ι.72 γιά
0.05
θά άπορρίψουμε τήν Η ο , έάν τό
Τ εΙναι μεγαλύ
βαθμούς έλευθερίας.
22
μπορουμε νά άπορρίψουμε τήν Η ο σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.05.
Συνεπως ή βελτίωση στήν παραγωγή σιταριου μέ τό λίπασμα εΙναι πιθανώς σημαντική.
Γιά νά βγάλουμε πιό
σίγουρα συμπεράσματα γιά τή χρησιμότητα του λιπάσματος, χρειαζόμαστε κι αλλα δεδομένα, δηλ. πρέπει νά σπεί ρουμε πειραματικά κι αλλη γη.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗ χ2
7.20.
Μιά μηχανή γεμίζει σακουλάκια μέ καφέ. σακουλάκι
40.0 gr
Στήν κανονική της λειτουργία βάζει σέ κάθε
καφέ μέ τυπική άπόκλιση
0.25 gr. Σ' ενα 0.32 gr. ΕΙναι σημαντική σημαντικότητας (α) 0.05 καί (b) 0.01;
λάκια μετρήθηκε τυπική άπόκλιση άπόκλιση σέ έπίπεδο
τυχαίο δείγμα μέ
20
σακου
αύτή ή διαφορά στήν τυπική
Έχουμε νά άποφασίσουμε μεταξύ δύο ύποθέσεων Ηο :
σ
= 0.25 gr,
Η ι:
σ
> 0.25
gr, δηλ. ή τυπική άπόκλιση εχει αύξηθεί.
= n8 2/u 2 = 20(0.32)2/(0.25)2 =
Ή τιμή του χ 2 γιά τό δείγμα εΙναι χ 2 (α)
δηλ. ή διαφορά τών τυπικών άποκλίσεων όφείλεται στήν τύχη.
32.8.
Χρησιμοποιώντας ενα μονόπλευρο ελεγχο θά άπορρίψουμε τήν Η ο σέ έπίπεδο σημαντικότητας
δειγματική τιμή του χ 2 εΙναι μεγαλύτερη άπό X~95' πού ίσουται μέ 30.Ι γιά " λευθερίας.
(b)
"Αρα σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.05
άπορρίπτουμε τήν
σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.01
έάν ή
0.01,
έάν ή
Η ο.
Χρησιμοποιώντας ενα μονόπλευρο ελεγχο θά άπορρίψουμε τήν Η ο σέ έπίπεδο σημαντικότητας
δειγματική τιμή του χ 2 εΙναι μεγαλύτερη άπό
0.05,
= 20 - 1 = 19 βαθμούς έ
X~99, πού ίσουται μέ 36.2 γιά Ι9 βαθμούς έλευθερίας.
δέν άπορρίπτουμε τήν
Ηο
-Αρα
.
Συνεπώς ή τυπική άπόκλιση του βάρους του καφέ στά σακουλάκια εχει πιθανώς αύξηθεί καί πρέπει νά έξεταστεί ή μηχανή αν λειτουργεί καλά.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
7.21.
F
'Ένας δάσκαλος κάνει τό 'ίδιο μάθημα σέ δύο τάξεις Α καί Β. ένω ή τάξη Β εχει
μαθητές.
25
Ή τάξη Α εχει
16
Σέ μιά έξέταση, αν καί δέν παρουσιάστηκε σημαντική
διαφορά στό μέσο βαθμό των δύο τάξεων, οί βαθμοί τής Α εΙχαν τυπική άπόκλιση δες, ένω οί βαθμοί τής Β κότητας (α)
(α)
12 0.01, (b) 0.05
Μέ δείκτες
καί
1 ..... 82
2
μονάδες.
9
μονά
Μπορούμε νά συμπεράνουμε δτι σέ έπίπεδο σημαντι
ή διασπορά τής Β εΙναι μεγαλύτερη άπό τή διασπορά τής Α;
γιά τίς δύο τάξεις Α καί Β έχουμε
nl =- 82 = nl - Ι ι
ι
μαθητές
16 15 (9)2
=
8ι
= 9,
82
= Ι2
καί
25 (Ι2)2
86.4,
24
=
150
Έχουμε νά άποφασίσουμε μεταξύ δύο ύποθέσεων:
Η ο:
σι
= σΖ,
όπότε ή διαφορά στίς διασπορές όφείλεται σέ τυχαίους λόγους.
Ηι :
σι
< σ2,
όπότε ή διασπορά της Β εΙναι μεγαλύτερη.
Ή άποφάση πρέπει νά βασίζεται σέ μονόπλευρο ελεγχο μέ τήν κατανομή
ρίας γιά τίς δύο τάξεις εΙναι άντίστοιχα
0.01
καί γιά
"ι
= 15,
"2
= 24
"ι
= 16 -
1 = 15,
έχουμε (Παράρτημα
F
=
B~
8'2
=
F)
F.
Τό πληθος τών βαθμων έλευθε
= 25 - 1 = 24. Σέ έπίπεδο σημαντικότητας F. 99 = 2.89. Στήν περίπτωση αύτή εχουμε
150 86.4
"2
=
1.74
ι
Έπειδή
(b)
F
Έπειδήγιά
< F. 99 ,δέν μπορουμε 15
καί
δο σημαντικότητας
νά άπορρίψουμε τήν Η ο σέ έπίπεδο σημαντικότητας Ο.ΟΙ.
24 βαθμούςέλευθερίαςεΙναι F. 95 = 2.11, 0.05 μπορουμε νά άπορρίψουμε τήν Η ο .
εχουμε πάλι
F < F. 95 •
"Αραοϋτεσέέπίπε
232 7.22.
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
Θά άλλαζαν τά συμπεράσματα στό Πρόβλ. σους βαθμούς των δύο τάξεων;
έάν ύπηρχε σημαντική διαφορά στούς
7.21,
7
μέ
Έξηγηστε τήν άπάντηση.
'Επειδή οί πραγματικοί μέσοι βαθμοί δέ χρησιμοποιήθηκαν στό Πρόβλ.
δέν εχει σημασία ποιοί εΙναι.
7.21,
Αύτό άναμένεται, επειδή δέν ενδιαφερόμαστε γιά σημαντική διαφορά στούς μέσους βαθμούς άλλά στίς τυπικές άποκλίσεις.
ΧΑΡ ΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥ ΛΕΣ
7.23.
Στό Πρόβλ.
ποιά ε{ναι ή πιθανότητα νά δεχτουμε την ύπόθεση ότι τό νόμισμα εΙναι
7.2
κανονικό, έάν στήν πραγματικότητα ή πιθανότητα νά ερθει κεφάλι εΙναι Η ο ότι τό νόμισμα εΙναι κανονικό,
Ή ύπόθεση δηλ.
θει
Ρ
= 0.5,
39.5
!:ως
γίνεται δεκτή, Μν σέ
60.5 φορές κεφάλι. Η ο , ενω θά επρεπε νά
άπορριφθεί ή
100
Ρ
ρίψεις ~ρ
γίνει δεκτή (δηλ. ή
τά σκιασμένα τμήματα μέ όλικό έμβαδό α τής άριστε ρης κανονικης καμπύλης τού Σχ. έμβαδό
7-6.
ο,
Ρ
= 0.7
~
Ή πιθανότητα νά
πιθανότητα νά γίνει σφάλμα τύπου Ι), παριστάνεται όπό
στό Πρόβλ. 7.2(α), τό
= 0.5
= 0.7;
Ρ
·Οπως βρέθηΚΕ
39.5
πού παριστάνει τό
60.5
έπίπεδο σημαντικότητας στόν ελεγχο της Η Ο> Ισούται μέ
Σχ.
0.0358. 'Εάν ή πιθανότητα νά ερθει «κεφάλι» σέ μιά ρίψη εΙναι
«κεφάλι» σέ
Ρ
= 0.7.
τότε ή κατανομή των άποτελεσμάτων
ρίψεις παριστάνεται άπό τή δεξιά KανOνΙΙCή καμπύλη τού Σχ.
100
φαίνεται ότι ή πιθανότητα νά δεχτούμε τήν
Η ο , ένω στήν πραγματικότητα είναι
γίνει σφάλμα τύπου 1Ι), δίνεται άπό τό διαγραμμισμένο έμβαδό β.
7-6
7-6. Ρ
Άπό τήν καμπύλη αύτή
= 0.7
(δηλ. ή πιθανότητα νά
Γιά τήν καμπύλη αύτή εχουμε μέση τιμή καί
τυπική άπόκλιση
=
ι'
β
Άρα
1ΙΡ
=
(100)(0.7)
= (έμβαδό
=
σ = Vnpq = V(100)(0.7)(0.3)
70
60.5
σέ τυπικές μονάδες
--
60.5 - 70 4.58
-2.07
39.5
σέ τυπικές μονάδες
=
39.5 - 70 4.58
-6.66
κανονικής καμπύλης άπό
Ζ
= -6.66
εως Ζ
= -2.07) =
=
4.58
0.0192
νΑρα μέ αύτό τόν κανόνα άποφάσεως (μέ βάση τά άποτελέσματα των έκατό ρίψεων) ή πιθανότητα νά δεχτούμε
τήν ύπόθεση, ενω εΙναι
== 0.7.
Ρ
ε{ναι πολύ μικρή.
νΑς σημειωθεί ότι στό πρόβλημα αύτό μάς δόθηκε ό κανόνας άποφάσεως άπ' όπου καί ύπολογίσαμε τά α και β.
7.24.
Στήν πράξη συναντάμε δύο άκόμα περιπτώσεις:
(1)
Διαλέγουμε τό α (π.χ.
(2)
Διαλέγουμε τά α
'Εάν
Ρ
== 0.6, ιι
"Αρα
β
=
==
0.01),
διατυπώνουμε εναν κανόνα άποφάσεως καί ύπολογίζουμε τό β.
καί β καί μετά διατυπώνουμε τόν κανόνα άποφάσεως.
Νά λυθεί τό Πρόβλ. (α)
η
0.05
7.23,
έάν (α) Ρ
= 0.6, (b)
= 0.8,
Ρ
(c) Ρ
= 0.9,
(d) Ρ = 0.4.
ή κατανομή των άποτελεσμάτων «κεφάλι» εχει μέση τιμή καί τυπική άπόκλιση
llΡ
=
(100)(0.6)
==
=
σ
60
V1ιpq
=
V(100)(0.6)(0.4) == 4.90
60.5
σέ τυπικές μονάδες
60.5 - 60 4.90
0.102
39.5
σέ τυπικές μονάδες
39.5 - 60 4.90
-4.18
(έμβαδό κανονικής καμπύλης άπό Ζ
= -4.18
εως Ζ
= 0.102)
=
0.5405
Συνεπως μέ τό δεδομένο κανόνα άποφάσεως εΙναι άρκετά πιθανό νά δεχτούμε τήν ύπόθεση δτι τό νόμισμα εΙναι κανονικό, ενω στήν πραγματικότητα εΙναι
Ρ
==
0.6.
ρ
Κ Ε Φ.
7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
'Εάν Ρ
(b)
τότε μ
(c) (d)
= (έμβαδό
= np = (100)(0.8) = 80
καί σ
60.5
σέ τυπικές μονάδες.
39.5
σέ τυπικές μονάδες
= ynpq = Υ(100)(0.8)(0.2) = 4.
60.5 - 80
-4.88
4
39.5 - 80 4
=
-10.12
= -10.12 εως Ζ = -4.88) = 0.0000 περίπου. Σύγκριση μέ τό (b) ή άπ' εύθείας ύπολογισμός γιά Ρ = 0.9 δίνει β = Ο μέ πολύ καλή προσέγγιση. Άπό τή συμμετρία συμπεραίνουμε δτι γιά Ρ = 0.4 εχουμε β = 0.5405, δπως καί γιά Ρ = 0.6.
-Αρα
7.25.
= 0.8,
233
β
κανονικης καμπύλης άπό Ζ
Παραστήστε γραφικά τά άποτελέσματα των Προβλ. τό
(b) 1- β Στόν Πίν.
ώς συναρτήσεις τοϋ ρ,
7-3
7.23
καί
δίνοντας τό (α) β καί
7.24
Έρμηνεϋστε τίς γραφικές αυτές παραστάσεις.
δίνονται τιμές τοϋ β πού άντιστοιχοϋν σέ δεδομένες τιμές τοϋ Ρ άπό τά Προ βλ.
Πίν.
7.23
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
β
0.0000
0.0000
0.0192
0.5405
0.9642
0.5405
0.0192
0.0000
0.0000
-Ας σημειωθεί δτι τό β παριστάνει τήν πιθανότητα νά γίνει δεκτή ή ύπόθεση 'Εάν πραγματικά εΙναι
πιθανότητα νά γίνει δεκτή ή ύπόθεση νεται στόν Πίν.
Ρ
= 0.5,
Ρ
= 0.5.
7.24.
7-3
Ρ
τητα δέν εΙναι όρθή.
καί
Ρ
= 0.5, ένω στήν πραγματικό
τότε μποροϋμε νά θεωρήσουμε πάλι δτι τό β εΙναι ή
Ή πιθανότητα αύτή εΙναι
1 - 0.0358 = 0.9642
καί περιλαμβά
7-3.
Ι-β
1.0
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1 Ρ
0.2
Ο
0.4
0.6
Ο.Β
Ο
1.0
(b)
(α) Σχ. (α)
Τό β ως συνάρτηση τοϋ Ρ δίνεται στό Σχ. 7-7(α). κανόνα άποφάσεως
ij
7-7 Ή καμπύλη αύτή καλείται χαρακτηριστική καμπύλη τοϋ
έλέγχο υ των ύποθέσεων.
Τό σημείο της καμπύλης δπου τό β γίνεται μέγιστο άπέχει άπό τήν εύθεία
α
= 0.0358,
β
=1
άπόσταση ίση
μέ
πού εΙναι τό έπίπεδο σημαντικότητας τοϋ έλέγχου.
Γενικά, δσο πιό αΙχμηρή εΙναι ή χαρακτηριστική καμπύλη, τόσο καλύτερος εΙναι δ κανόνας άποφάσεως γιά νά άπορριφθοϋν οΙ ύποθέσεις πού δέν Ισχύουν .
.
_
.... -'::..
234
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
Τό
(b)
1-
Ρ
ώς συνάρτηση του Ρ δίνεται στό Σχ.
άποφάσεως η του έλέγχου ύποθέσεων. στική καμπύλη.
Κ Ε Φ.
7
Ή καμπύλη αύτή καλείται καμπύλη Ισχύος του κανόνα
7-7(b).
ΕΙναι φανερό δτι ή καμπύλη αύτή προκύπτει εύκολα άπό τή χαρακτηρι
Καί οί δύο καμπύλες δίνουν ούσιαστικά τίς 'ίδιες πληροφορίες.
Ή ποσότητα
1-
Ρ καλείται συχνά συνάρτηση Ισχύος, επειδή δίνει τήν ίκανότητα η Ισχύ τού Ιλέγχου νά
άπορρίψει μιά ύπόθεση πού δέν ε{ναι όρθή (δηλ. όταν πρέπει νά άπορριφθεί).
Ή ποσότητα Ρ καλείται καί
χαρακτηριστική συνάρτηση του έλέγχου.
7.26.
'Ένα εΙδος σχοινιου άντέχει σέ μέγιστη δύναμη (βάρος) άπόκλιση
κιλά.
24
64
κιλά κατά μέσο όρο μέ τυπική
Γιά νά αύξηθεί ή άντοχή αύτή, γίνεται μιά μικρή άλλαγή στή μέθοδο
κατασκευής του σχοινιού. μασία
300
(α) Διατυπώστε εναν κανόνα άποφάσεως γιά νά βρεθεί μέ δοκι
σχοινιών, έάν πρέπει νά έγκαταλειφθεί ή παλιά μέθοδος κατασκευής σέ έπίπεδο
σημαντικότητας
Σύμφωνα μέ τόν κανόνα αύτό ποιά εΙναι ή πιθανότητα νά δε
0.01. (b)
χτούμε τήν παλιά μέθοδο, έάν στήν πραγματικότητα ή νέα μέθοδος αύξησε τή μέση μέγιστη δύναμη σέ (α)
Έάν μ
310
κιλά χωρίς νά άλλάξει τήν τυπική άπόκλιση;
ε{ναι ή μέση μέγιστη δύναμη, εχουμε τίς ύποθέσεις:
Ηο:
μ:=
Η ι:
/L
300
> 300
κιλά, δηλ. οί δύο μέθοδοι ε{ναι ίσοδύναμες.
κιλά, δηλ. ή νέα μέθοδος είναι καλύτερη άπό τήν παλιά.
Γιά μονόπλευρο ελεγχο σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.01
εχου
με τόν έξης κανόνα άποφάσεως:
(1) Έάν τό Ζ άπό τή μέση τιμή του δείγματος εΙναι μεγαλύτερο του
(2)
2.33
(Σχ.
άπορρίπτουμε τήν
7-8),
Άλλιώς δεχόμαστε τήν
g -
μ
σ/νn
Ζ
Η ο'
g - 300
Είναι Ζ = - - =
Η ο.
24/ν64
> 2.33, g > 300 + 3(2.33)
, χ = 300 + 3Ζ. "Αρα,έάν
300
= 307.0 κιλά.
Σχ.
κιλά
7-8
Συνεπώς δ κανόνας άποφάσεως γίνεται:
(1) Έάν ή μέση μέγιστη δύναμη των 64 σχοινιών εΙναιμεγαλύτερη dπό 307.0 κιλά, dπορρίπτουμε τήν Ηο .
(2)
'Αλλιώς δεχόμαστε τήν
Η ο.
Θεωρούμε τίς δύο ύποθέσεις (Η ο : μ
(b)
καί (Η ι: μ
= 31 Ο κιλά).
= 300 κιλά)
Οί κατανομές τής μέγι
στης δυνάμεως, πού dyτtmotXOUV στίς δύο αύτές ύποθέσεις. δίνονται άπό τίς δύο κανονικές καμπύ λες του Σχ.
7-9.
Ή πιθανότητα νά δεχτουμε τήν παλιά μέθο·
δο, ένώ στην πραγματικότητα ή νέα δίνει
310
κι
λά μέση μέγιστη δύναμη, παριστάνεται dπό τό έμ βαδό Ρ στό Σχ.
7-9. Έπειδή 307.0 κιλά ε{ναι (307.0-310)/3 -1.00, ε
=
σέ τυπικές μονάδες
3()Ο κιλά
30ί"ιλά310 ",λά
χουμε
Σχ.
ρ
=
(εμβαδό τής δεξιάς κανονικής καμπύλης άριστερά του
Αύτή εΙναι ή πιθανότητα νά δεχτουμε τήν (Η ο : μ
μ
7.27.
= 310 κιλά). δηλ.
Σχεδιάστε
7.26.
= 300
Ζ
7-9
= -1.00) =
0.1587.
κιλά), ένώ στήν πραγματικότητα όρθή εΙναι ή (Η ι :
ε{ναι ή πιθανότητα νά κάνουμε σφάλμα τύπου ΙΙ.
(α) μιά χαρακτηριστική καμπύλη καί
(Δεχτείτε δτι ή τυπική άπόκλιση παραμένει
Μέ τή μέθοδο του Προβλ.
7.26(b)
(b) μιά καμπύλη ίσχύος γιά τό Πρόβλ. 24 κιλά.)
μπορούμε νά βροϋμε τό
ρ, δταν ή νέα μέθοδος δίνει σχοινιά μέ μέση
r Κ Ε Φ.
7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟθΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΛΣ
μέγιστη δύναμη μ ίση μέ
305 κιλά, 315 (307.0 - 305)/3 = 0.67
τυπικές μονάδες
=
β
κιλά, κτλ.
Π.χ., εάν
μ.
= 305
κιλά, τότε τά
307.0
κιλά
εΙναι σέ
καί άρα
(έμβαδό τής δεξιάς κανονικής καμπύλης άριστερά τοϋ
Έτσι παίρνουμε τόν Πίν.
235
Ζ
= 0.67)
0.7486
7-4. Πίν. ι
μ
290
β
1.0000
ι
Ι
Ι
7-4
!ι
295
!
300
305
1.0000
Ι
0.9900
0.7486
310
315
320
0.1587
0.0038
0.0000
Ι-β
β
1.0
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5 0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1 ~---.----,--,--.,.----τ--~~ μ
290
295
300
315
305
(k g)
320
290
295
300
(α) Σχ.
(α)
305
310
315
320
(b)
7-10
Ή χαρακτηριστική καμπύλη εχει σχεδιαστεί στό Σχ.7-!ΟΙα). 'Από τήν καμπύλη αύτή βλέπουμε δτι ή πιθανότητα νά διατηρήσουμε τήν παλιά μέθοδο, όταν ή νέα δίνει σχοινιά μέ άντοχή μικρότερη άπό
πρακτικά ίση μέ
(έκτός γιά επίπεδο σημαντικότητας
1
πιθανότητα αύτή πέφτει άπότομα στό μηδέν.
0.01
καί νέα άντοχή ίση μέ
'Όταν ή νέα μέση άντοχή γίνει
315
300
300
κιλά, εΙναι
κιλά).
Μετά ή
κιλά, είναι ούσιαστικά
βέβαιο ότι θά άπορρίψουμε τήν παλιά μέθοδο.
(b)
Ή καμπύλη ίσχύος δίνεται στό Σχ.
7-1 O(b) καί δίνει
τά 'ίδια συμπεράσματα μέ τή χαρακτηριστική καμπύλη.
Ού
σιαστικά οί δύο καμπύλες είναι ίσοδύναμες.
7.28.
Θέλουμε νά έλέγξουμε τήν ύπόθεση δτι ενα νόμισμα εΙναι κανονικό (δηλ. δτι ρίχνοντας όρισμένες φορές τό νόμισμα.
Θέλουμε δμως
τήν ύπόθεση, ένω είναι όρθή, νά είναι τό πολύ ύπόθεση, ένω στήν πραγματικότητα ή Ρ ~
0.6
ή
ρ;ΞΞ
νά εΙναι τό πολύ
0.4),
0.05
καί
Ρ
= 0.5)
(Α) ή πιθανότητα νά άπορρίψουμε
(Β) ή πιθανότητα νά δεχτοϋμε τήν
1J διαφέρει άπό τό 0.5 τουλάχιστο 0.1 (δηλ. εΙναι 0.05. Νά βρεθεί τό έλάχιστο μέγεθος τοϋ δείγματος
(δηλ. τό έλάχιστο πλήθος ρίψεων) πού εΙναι άπαραίτητο καί νά διατυπωθεί ό κανόνας άπο φάσεως. Στό πρόβλημα αύτό εχουμε όρια γιά τίς πιθανό τητες νά γίνουν σφάλματα τύπου Ι καί τύπου
11.
Έτσι
ό περιορισμός (Α) άπαιτεί νά εΙναι ή πιθανότητα νά γίνει σφάλμα τύπου Ι τό πολύ α
= 0.05.
Ρ
Ό περιορι
= 0.5
Ρ
= 0.6
σμός (Β) άπαιτεί νά είναι ή πιθανότητα νά γίνει σφάλμα
τύπου ΙΙ τό πολύ
β
= 0.05.
ριστάνονται γραφικά στό Σχ.
Έστω.
n
τό
πλήθος
ΟΙ άπαιτήσεις αύτές πα
7-11.
τών
(δηλ. τό μέγεθος τοϋ δείγματος). ερθει κεφάλι περισσότερες άπό
τήν ύπόθεση
Ρ
= 0.5.
δοκιμαστικών
ρίψεων
0.025
Έστω άκόμα δτι, εάν χ φορές, άπορρίπτουμε
Έχουμε (Σχ.
7-11):
Σχ.
7-11
~.. ~~.'----------------------------.....''''.~~.~.'~.''.'~.-.~.~...................................a..Ζι•••.~1
236
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
(2)
χ-
Έμβαδό κανονικης καμπύλης γ1ά
1)
= 0.5
δεξιά του
Έμβαδό κανονικής καμπύλης γιά
Ρ
= 0.6
αριστερά του
np
χ
V 1ιpq χ
-
- 0.5 n _r= 0.5v n
•
ισο
_r= 0.49v 1l
Vnpq
Ο 025 .
με.
0.6 n
χ -
np
v
7
ίσο μέ
0.05.
Σωστότερα θά επρεπε νά έξισώσουμε τό έμβαδό από Χ)
(11 -
μέ
0.05,
όταν
Ρ
αλλά ή
= 0.6)
(2)
0.611
-
0.49
ε{ναι αρκετά καλή προσέγγιση.
V
έχει όποιαδήποτε άλλη τιμή από
εως
0.4
-
0.51Ι
0.5yn
ή
= 1.96
τήν κάνουμε
0.05
καί
(4)
βρίσκουμειι
τι (4) χ
= 318.98,
(α)
Ρ
= 0.5
Έάν σέ
319
εΙναι χ -
11Ρ
= 177 -
ρίψεις ερθει κεφάλι
μικρότερη,
όταν
ή
= 0.611 -
319
φορές. Μέ 1Ι
== 17.5.
159.5
Ρ
0.806yn.
νΑρα τό μέγεθος του δείγματος πρέπει νά εΙναι τουλάχιστο
δηλ. πρέπει νά ρίξουμε τό νόμισμα τουλάχιστο
Γιά
ή
ή μικρότερος.
0.49Vn (3)
0.05
αύτόματα
χ == 0.5 n + 0.980yn.
(3)
'Από τήν (2) έχουμε ~- 0.6 n == -1.645 'Από τίς
It
νΑρα !:νας μέσος δρος αύτών τών πιθανοτήτων, πού εΙναι ή
0.6.
πιθανότητα νά γίνει σφάλμα τύπου ΙΙ, εΙναι έπίσης
'Από τήν (Ι) έχουμε χ
0.6
0.49 Υπ
Ας σημειωθεί δτι παίρνοντας στή χειρότερη περίπτωση (δηλ.
0.05,
τήν πιθανότητα αποδοχης ίση μέ
χ -
έως
Vn
159.5:±: 17.5
== 319
εχουμε από τήν
(3)
ή τήν
(4)
χ=:
319, 177.
Έτσι ό κανόνας αποφάσεως εΙναι:
(δηλ.
142
εως
177)
φορές, δεχόμαστε τήν ύπόθεση
1) ==
0.5. (b)
'Αλλιώς απορρίπτουμε τήν ύπόθεση.
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ
7.29.
Μιά μηχανή κατασκευάζει, οταν λειτουργεί κανονικά, μπίλιες γιά ρουλεμάν μέ μέση διάμετρο
0.574 cm
καί τυπική άπόκλιση
παίρνουμε κάθε δύο ώρες ενα
0.008 cm. δείγμα άπό 6
Γιά νά δοϋμε αν ή μηχανή λειτουργεί καλά, μπίλιες καί βρίσκουμε τή μέση τους διάμετρο.
(α) Διατυπώστε εναν κανόνα άποφάσεως γιά τόν έλεγχο τής ποιότητας τών προϊόντων τής
μηχανής (δηλ. γιά νά έλέγχουμε, έάν ή μηχανή λειτουργεί κανονικά).
(b)
Περιγράψτε γρα
φικά τόν κανόνα άποφάσεως.
(α)
Μέ 99.73% έμπιστοσύνη μπορούμε νά πουμε ότι ή δειγματική μέση τιμή Χ εΙναι από (μχ
+ 3σχ)
ή από (μ -
:;σ/\h7) έως (ιι
+- 3σ!...[1ϊ).
Έπειδή μ
== 0.574,
σ
= 0.008
εμπιστοσύνη ή δειγματική μέση τιμή εΙναι μεταξύ (Ο.574 - 0.024/Υ6) καί ~0.574 0.564 καί 0.58,1 cm, V
(1)
(2)
καί n
(μχ - 3σχ)
= 6,
έως
μέ 99.73%
+ 0.Ο24/Υ6)
ή μεταξύ
Αρα ό κανόνας αποφάσεως ε{ναι ό έξής:
'Εάν ή δειγματική μέση τιμή εΙναι από
0.564
εως
0.584 cm,
δεχόμαστε δτι ή μηχανή λειτουργεί καλά.
'Αλλιώς συμπεραίνουμε δτι ή μηχανή δέ λειτουργεί καλά καί πρέπει νά ό.ναζητησουμε την αΙτία πού προκαλεί την ό.νωμαλία.
(b)
Τά αποτελέσματα από τά διάφορα δείγματα μπορουν νά καταγράφονται σ' ενα διάγραμμα όπως αύτό τού Σχ.
πού καλείται διάγραμμα έλέγχου ποιότητας. εΙναι μεταξύ του κάτω δρίου
0.564 cm
Κάθε δείγμα άνππροσωπεύεται άπό ενα σημείο.
καί του άνω δρίου
0.584 cm,
7-12,
Έάν τό σημείο
ή μηχανή λειτουργεί καλά.
~Oταν ένα
σημείο βρεθεί έξω από αύτά τά όρια (δπως τό σημείο άπό τό τρίτο δείγμα της Πέμπτης), ε{ναι δυνατό ή μηχανή νά μή λειτουργεί καλά καί πρέπει νά έλεγχτεί.
Τά δρια' έλέγχου πού πήραμε καλούνται χρησιμοποιήσουμε κι άλλα δρια, δπως πτωση πού έξετάζουμε.
99.73':";' 95%.
99,:"Ic ή
όρια έμπιστοσύνης ή όρια 3σ.
Μπορουμε βέβαια νά
Ή έκλογή τών όρίων αύτών εξαρταται άπό την περί
Ρ Κ Ε Φ.
7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟθΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
Τρίτη
Δευτέρα
,....,
237
Παρασκευή
Πεμπτη
Τετάρτη
0.584
Ε ~
•
V'
...
Ο
•
~ ::ι
.::: ω
<Ι
•
0.574
::ι
r::
•
ι:-
...,t:>
•
•
•
'$:"
:::Ξ
•
•
•
•
•
•
....
•
•
'
0.564
• Σχ.
7-12
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ
7.30.
Προσαρμόστε μιά διωνυμική κατανομή στά δεδομένα τού Προ βλ. ΕΙναι
Ρ(χ φορές κεφάλι σέ
=
ρίψεις)
5
τες νά ερθει κεφάλι ή γράμματα σέ μιά ρίψη.
/(χ)
= 5C"Pzq"-X,
όπου
])
5.30.
καί ιι εΙναι άντίστοιχα οί πιθανότη
Σέ πέντε ρίψεις άναμένουμε νά ερθει κεφάλι
μ
=
'np
=
5ρ
φορές
(μέση τιμή).
Άπό τήν παρατηρούμενη κατανομή συχνότητας τό πλήθος των άποτελεσμάτων κεφάλι εΙναι
ΣΙχ
~
_
(38)(0;
+
(144)(1Ί 4-
(342)(2)
~
+ (164)(4) +
(287)(3)
10 Ο Ο
,Ζ. Ι
(25)(5)
Έξισώνοντας τή θεωρητική μέση τιμή μέ τήν παρατηρούμενη μέση τιμή εχουμε ζητούμενη διωνυμική κατανομή εΙναι
Στόν Πίν.
7-5
ι(χ)
=
= 2.47
2470 _ 2.47 1000 η
Ρ
= 0.494.
νΑρα ή
;,C::ΙO.494)X(0.506)5-x.
δίνονται οί θεωρητικές πιθανότητες, οί θεωρητικές (άναμενόμενες) συχνότητες καί οί παρα
τηρούμενες συχνότητες.
Ή προσαρμογή φαίνεται καλή (βλέπε καί Πρόβλ.
Πίν. Πλήθος
Άποτελε-
σμάτων Κεφάλι
7.31.
5ρ
~
χ
7.43).
7-5 i
Ρ(χ)
Αναμενόμενη iΠαρατηρούμενη
•
Συχνότητα
Ι
Συχνότητα
33.2
ή
33
38
161.9
ή
162
144
0.3162
316.2
ή
316
342
3
0.3087
308.7
ή
309 ,
287
4
0.1507
150.7
ή
Ι
164
5
0.0294
29.4
ή
29 Ι
25
Ο
0.0332
1
0.1619
2
151
Χρησιμοποιώντας είδικό χιλιοστομετρικό χαρτί πιθανοτήτων έλέγξτε, έάν ή κατανομή συ
χνότητας τού Πίν.
5-2
(σελ.
163)
μπορεί νά προσεγγιστεί καλά μέ μιά κανονική κατανομή.
2&
-----------
~
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
238
Πίν.
7
7-6 'Αθροιστι κή Σχετική
Βάρος (κιλά)
Μικρότερο άπό
Συχνότητα
62.5
('70)
5.0
Μικρότερο άπό
65.5
23.0
Μικρότερο άπό
68.5
65.0
*'
99
'ο
90
.... ....
Ι="
>
Μικρότερο άπό
71.5
92.0
Μικρότερο άπό
74.5
100.0
80
'ι="
70 60 50 40 30
ν;ι
....~
1-/
ν;ι
:,<
;:::
Μετά σημειώνουμε
7-13) τά σημεία
'Ι
20
t)
Μετατρέπουμε πρωτα τή δεδομένη κατανομή συχνότητας σέ σέ εΙδικό χαρτί πιθανοτήτων (Σχ.
"
::>
-ι=-
7-6).
lil, ,
"
95
1-/
ω
άθροιστική κατανομή συχνότητας (Πίν.
:,
CS
Ο
10
;«
5
Οα>
πού όρίζονται άπό
τά πάνω όρια των κλάσεων καί τίς άντίστοιχες άθροιστικές σχετικές συχνότητες.
"Οσο πιό πολύ φαίνεται νά είναι τά σημεία αύτά σέ
εύθεία, τόσο καλύτερα ή δεδομένη κατανομή συχνότητας μπορεί νά προσεγγιστεί μέ μιά κανονική κατανομή.
ται ότι ή κατανομή τοϋ Πίν.
'Από τό Σχ.
μπορεί νά προσεγγιστεί άρκετά
5-2
καλά άπό μιά κανονική κατανομή (Πρόβλ.
7.32.
0 . 1 62.5 65.5 68.5 71.5 74.5
φαίνε
7-13
Βάρος (κιλά)
7-32).
Σχ.
Προσαρμόστε μιά κανονική καμπύλη στά δεδομένα τού Προ βλ. Πίν.
Κλάσεως,
(κιλά)
Χ
60-62 63-65 66-68 69-71 72-74
5-2.
7-7
Ι 'Εμβαδό Κανο-
Όρια Βάρος
Ζ γιά τά
νικής Καμπύλης
·Ορια Κλάσεωςl μεταξύ Ο καί Ζ
59.5
-2.72
0.4967
62.5
-1.70
0.4554
65.5
-0.67
0. 2486 Ι
68.5
0.36
0.1406
71.5
1.39
0.4177
74.5
2.41
0.4920
χ
= 61.45
κιλά,
7-13
'Εμβαδό γιά
'Αναμενόμενη
Κάθε Κλάση
Συχνότητα
~
J
s
= 2.92
Παρατηρούμενη Συχνότητα
0.0413
4.13
ή
4
5
0.2068
20.68
ή
21
18
0.3892
38.92
ή
39
42
0.2771
27.71
ή
28
27
0.0743
7.43
ή
7
8
κιλά
Ό ύπολογισμός μπορεί νά όργανωθεί, όπως φαίνεται στόν Πίν.
κάθε κλάσεως χρησιμοποιοϋμε τή σχέση
Ζ
δείγματος ύπολογίστηκαν στά Προ βλ.
καί
5.35
=
7-7. Γιά νά ύπολογίσουμε τό Ζ γιά τά όρια - X)/S, όπου ή μέση τιμή Χ καί ή τυπική άπόκλιση s τοϋ 5.40.
(Χ
Στήν τέταρτη στήλη τά έμβαδά τής κανονικής καμπύλης άπό
Ο !:ως
Ζ προέρχονται άπό τό Παράρτημα
Μετά βρίσκουμε τά έμβαδά τής πέμπτης στήλης (έμβαδά μεταξύ δύο τιμων τοϋ προσθέτοντας (γιά έτερόσημα
Ζ) άφαιρώντας (γιά όμόσημα
C.
Ζ) ή
Ζ) τά πλησιέστερα στοιχεία τής τέταρτης στήλης.
Πολλαπλασιάζοντας τά στοιχεία τής πέμπτης στήλης (πού δίνουν σχετικές συχνότητες) έπί τήν όλική συχνότη
τα π (στήν περίπτωση αύτή είναι
π
= 100)
εχουμε τίς θεωρητικές ή άναμενόμενες συχνότητες τής !:κτης στήλης.
Άς σημειωθεί ότι οί θεωρητικές καί οί παρατηρούμενες συχνότητες συμφωνοϋν άρκετά καλά.
Τό πόσο καλή είναι ή προσαρμογή έξετάζεται στό Πρόβλ.
7.44.
21
..
Ρ-----------
Κ Ε Φ.
7.33.
--------
7
239
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
Στόν Πίν.
7-8
f
δίνεται τό πλήθος
των ήμερων άπό
συ
50
Πίν.
νολικά ήμέρες πού συνέβησαν χ αύτοκινητιστικά άτυχήματα (άνά ήμέρα). νομή τοϋ
Πλήθος
Προσαρμόστε στά δεδομένα αύτά μιά κατα
7·8 Πλήθος
Άτυ-
Ήμερων,
χημάτων, χ
f
Poisson.
Τό μέσο πλήθος των άτυχημάτων εΙναι
+
(21)(0)
λ
45 50
(18)(1)
Στόν Πίν.
7-9
(7)(2) 50
+
(3)(3)
+
(1)(4)
0.90
Άρα ή ζητούμενη κατανομή τού
Ρ(χ
+
Poisson
εΙναι
(0.90)xe-o.~o
άτυχήματα)
Ο
21
1
18
2
7
3
3
4
1
Σύνολο
50
χ!
δίνονται οί πιθανότητες γιά Ο,
1, 2, 3
καί
4
άτυχήματα άπό τήν κατανομή τού
Poisson
καί τό
θεωρητικό πλήθος των ήμερων μέ χ άτυχήματα σέ κάθε μιά ήμέρα (τό πλήθος αύτό προκύπτει άπό τήν άντίστοιχη θεωρητική συχνότητα μέ πολλαπλασιασμό επί
Στήν τέταρτη στήλη δίνεται πάλι τό πραγματικό πλήθος ή
50).
μερων.
Πίν.
7·9
Ι
!
Πλήθος Άτυ-
i
χημάτων, χ
Ρ(χ άτυχήματα)
Θεωρητικό
,Ι
Πλήθος Ήμερων
Πραγματικ6 Πλήθος 'Ημερων
Ο
0.4066
20.33
η
20
21
1
0.3659
18.30
η
18
18
2
0.1647
8.24 ii
8
7
3
0.0494
2.47 ii
2
3
0.0111
0.56 ii
1
1
4 Άς σημειωθεί δτι ή κατανομή τού
Σέ μιά κατανομή τού
Poisson 0.90.
πού εΙναι άρκετά κοντά στό
εΙναι
Poisson σ2
= λ.
προσαρμόζεται καλά στά δεδομένα.
Γιά τή δεδομένη (πραγματική) κατανομή ή διασπορά εΙναι
Αύτό ε!ναι μιά άκόμα ενδειξη γιά τήν καταλληλότητα τής κατανομής τού
0.Β7,
Poisson
γιά τά δεδομένα αύτά.
Ο ΕΛΕΓΧΟΣ χ 2
7.34.
Σέ
200
ρίψεις ενός νομίσματος ήρθε
115
φορές κεφάλι καί
φορές γράμματα.
85
ξτε τήν ύπόθεση δτι τό νόμισμα εΙναι κανονικό σέ επίπεδο σημαντικότητας
(α)
'Ελέγ
0.05, (b)
0.01. = 115, _.~ = 85. = 100, 1ΙΡ2 100, εάν τό
Οί παρατηΡΩύμενες συχνότητες των άποτελεσμάτων κεφάλι καί γράμματα ε!ναι άντίστοιχα :ΙΊ Οί άναμενόμενες συχνότητες των άποτελεσμάτων κεφάλι καί γράμματα ε!ναι 1ΙΡι νόμισμα ε!ναι κανονικό.
(115 - 100)2 100
.) χ-
Έχουμε δύο κλάσεις (κεφάλι καί γράμματα), δηλ.
(α)
".
= 2,
Ή κρίσιμη τιμή χ 95 γιά 1 βαθμό ελευθερίας ε!ναι 3.84. 2
καί
Ή κρίσιμη τιμή x29~ γιά
1 βαθμό ελευθερίας ε!ναι 6.63.
ν
+
= 1< -
'Επειδή
ση στι τό νόμισμα ε!ναι κανονικό σέ επίπεδο σημαντικότητας
(b)
=
"Αρα
(85 - 100)2 100 1
4.50
=2-
1
> 3.84,
4.50
= 1. άπορρίπτουμε τήν ύπόθε
0.05.
Έπειδή 4.50
<
6.63, δέν μπορούμε νά άπορρί 0.01.
ψουμε τήν ύπόθεση δτι τό νόμισμα ε!ναι ιωνΟ\'ικό σέ επίπεδο σημαντικότητας
Συνετιώς τά άποτελέσματα των διακοσίων ρίψεων ε!ναι πιθανώς σημαντικά καί πιθανώς τό νόμισμα νά μήν εΙναι κανονικό.
Ή μέθοδος αύτή συγκρίνεται μέ άλλες προηγούμενων προβλημάτων στό Πρόβλ.
7.36.
Μ_
M_&E&J
240 7.35.
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
Νά λυθεί τό Πρόβλ. χ 2 (διορθωμένο)
7.34 (IΧι
=
μέ τή διόρθωση τοϋ
- npll - 0.5)2
Yates.
<ΙΧ2 - np21 - 0.5)2
+
nPl
(!115 - 1001 - 0.5)2 , (185 - 1001 - 0.5)2 -r 100 100 Έπειδή
4.205
>
καί
3.84
4.205
<
=
(14.5)2 100
+
(14.5)2 100
τά συμπεράσματα εΙναι τά ίδια οπως στό Πρόβλ.
6.63,
7
4.205 7.34.
Στό επόμενο πρόβλημα συγκρίνεται ή μέθοδος αύτή μέ μεθόδους προηγούμενων προβλημάτων.
7.36.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
7.34 μέ προσέγγιση της διωνυμική ς κατανομής μέ κανονική.
Γιά κανονικό νόμισμα έχουμε μέση τιμή καί τυπική άπόκλιση τού πλήθους τών άποτελεσμάτων κεφάλι σέ
= 1lp = (200)(0.5)
ρίψεις μ
= 100, σ
200
= V1ιpq = V(200)(0.5)(0.5) = 7.07.
Πρώτη Μέθοδος.
Τό
εΙναι σέ τυπικές μονάδες
115
(115 - 100)/7.07 = 2.12.
Μέ δίπλευρο έλεγχο καί σέ έπίπεδο σημαντικότητας
κανονικό, έάν τό διάστημα εΙναι
σημαντικότητας
-2.58 0.05
-Ας σημειωθεί ΟΤΙ σέ ελεγχο
0.05 θά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση οτι τό νόμισμα εΙναι' 1.96. Σέ έπίπεδο σημαντικότητας 0.01 τό αντίστοιχο 2.58. -Αρα, οπως στό Πρόβλ. 7.34, μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση σέ έπίπεδο οχι καί σέ έπίπεδο 0.01.
Ζ εΙναι έξω άπό τό διάστημα εως
άλλά
(2.12)2 = 4.50,
εως
-1.96
δηλ. ή τιμή τού
χ 2 , οταν εχουμε δύο μόνον κλάσεις.
χ 2 πού βρέθηκε στό Πρόβλ.
(Βλέπε Πρόβλ.
7.34.
Αυτό συμβαίνει πάντα
4.36.)
Δεύτερη Μέθοδος.
Γιά συνεχή κατανομή, τουλάχιστο
εΙναι σέ τυπικές μονάδες
115 φορές κεφάλι σημαίνει τουλάχιστο 114.5 φορές κεφάλι. (114.5 - 100)/7.07 = 2.05. Έτσι φθάνουμε στά ίδια συμπεράσματα δπως
Τό
114.5
καί μέ τήν
πρώτη μέθοδο.
7.35.
7.37.
-Ας σημειωθεί ΟΤΙ (2.05)2 = 4.20, δηλ. ή τιμή τού χ 2 πού βρέθηκε μέ τή διόρθωση τού Αύτό συμβαίνει πάντα σέ έλεγχο μέ χ 2 , οταν εχουμε δύο μόνον κλάσεις (Πρόβλ. 4.36).
Στόν Πίν.
7-10
ένός ζαριοϋ.
Yates στό Πρόβλ.
δίνονται οί παρατηρούμενες καί οί άναμενόμενες συχνότητες γιά
120
ρίψεις
'Ελέγξτε τήν ύπόθεση δτι τό ζάρι εΙναι κανονικό σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.05. Πίν. Πλευρά Παρατη ρούμενη Συχνότητα
,Αναμενόμενη Συχνότητα
(25 - 20)2 20 Έπειδή εχουμε
Ή κρίσιμη τιμή
k
+
=β
(17 - 20)2 20
+
κλάσεις, εΙναι
1
2
3
4
5
6
25
17
15
23
24
16
20
20
20
20
20
20
(15 - 20)2 20 ι'
7-10
=k-
+
1
(23 - 20)2 20
= 6. -
1
(16 - 20)2 20
5.00
= 5.
χ 95 γιά 5 βαθμούς έλευθερίας εΙναι 11.1. 2
(24 - 20)2
+ -2~ + Έπειδή 5.00
<
11.1, δέν μπορούμε νά απορ
ρίψουμε τήν ύπόθεση δτι τό ζάρι εΙναι κανονικό.
Γιά 5 βαθμούς έλευθερίας εΙναι
X~05
= 1.15,
καί αρα χ 2
οί άναμενόμε~ες συχνότητες δέ συμφωνούν πολύ καλά.
= 5.00 > 1.15.
Συνεπώς οί παρατηρούμενες καί
r ί
Κ Ε Φ.
7
'Ένας πίνακας τυχαίων άριθμων εχει
7.38.
241
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
250
στά ψηφία αύτά δίνεται στόν Πίν.
... , 9
ψηφία.
Ή παρατηρούμενη κατανομή των ο,
1, 2,
Διαφέρει σημαντικά ή παρατηρούμενη αύτή
7-11.
κατανομή άπό τήν άναμενόμενη; Πίν.
1
Ο
Ψηφίο
Ι
2
7-11
3
4
5
6
Ι
!Ι
7
8
9
Ι
Παρατηρούμε-
17
31
29
18
14
20
35
30
20
36
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
νη Συχνότητα
•Αναμενόμενη Συχνότητα
χ
2
(17 - 25)2 25
=
+
(31 - 25)2 25
+
(29 - 25)2 25
+
(18 - 25)2 25
+
. ..
+
'Η κρίσιμη τιμή χ 299 γιά v = k - 1 = 9 βαθμούς έλευθερίας ε!ναι 21.7.
(36 - 25)2 25 'Επειδη
=
23.3
23.3
>
21.7, συμπε
ραίνουμε δτι ή παρατηρούμενη κατανομη διαφέρει σημαντικά άπό την άναμενόμενη κατανομή σέ έπίπεδο σημαντικό-
τητας
7.39.
Σ'
Αύτό δημιουργεί άμφιβολίες γιά τόν αν πραγματικά εχουμε πίνακα τυχαίων άριθμών.
0.01.
ενα πείραμα μετρήσαμε
σινα,
101
κληρονομικότητας τοϋ
3 : 1. Είναι λογικό 0.01, (b) 0.05; Συνολικά εχουμε άναλογία
315
μπιζέλια στρογγυλά καί κίτρινα,
ζαρωμένα καί κίτρινα καί
9 16 (556) =
3
16 (556)
στρογγυλά καί πρά
Σύμφωνα μέ τή θεωρία
οί άριθμοί αύτοί πρέπει νά βρίσκονται σέ άναλογία
9: 3:
νά άμφιβάλλουμε γιά τή θεωρία αύτή σέ επίπεδο σημαντικότητας (α)
315 καί
9: 3 : 3 : 1
Mendel
108
ζαρωμένα καί πράσινα.
32
+ 108 + 101 + 32 = 556 μπιζέλια. + 3 + 3 + 1 = 16, άναμένουμε
'Επειδή τά άναμενόμενα πλήθη μπιζελιών ε!ναι σέ
9
312.75
στρογγυλά καί κίτρινα
3 16 (556)
104.25
στρογγυλά καί πράσινα
1 16 (556)
104.25
34.75 .
ζαρωμένα καί κίτρινα
:αρωμένα καί πράσινα
-Αρα
Χ2
(315 - 312.75)2 . (108 - 104.25)2 312.75 τ 104.25
'Επειδή ύπάρχουν
τέσσερις
+
(101 - 104.25)2 104.25
κατηγορίες (κλάσεις), εχουμε
k = 4
καί
+ v
(32 - 34.75)2 34.75
= 4- 1 = 3
=
0.470
βαθμούς έλευθερίας.
(α)
Γιά v = 3 ε!ναι χ 299
= 11.3
καί αρα δέν μποροϋμε νά άπορρίψουμε τή θεωρία σέ έπίπεδο 0.01.
(b)
Γιά v
= 7.81
καί αρα δέν μποροϋμε νά άπορρίψουμε τή θεωρία σέ έπίπεδο 0.05.
= 3
ε!ναι
χ 295
Συνεπώς τό πείραμα συμφωνεί μέ τή θεωρία.
Άς σημειωθεί δτι γιά 3 βαθμούς έλευθερίας ε!ναι X~05
= 0.352
καί χ 2
= 0.470
>
0.352.
-Αρα. αν καί ή
συμφωνία ε!ναι καλή, τά πειραματικά άποτελέσματα περιέχουν σφάλματα άπό τή δειγματοληψία.
7.40.
'Ένα κουτί περιέχει πάρα πολλά μικρά σφαιρίδια κόκκινα, πορτοκαλί, κίτρινα καί πράσινα. Σ'
ενα δείγμα άπό
5
πορτοκαλί,
4
12
σφαιρίδια, πού πήραμε άπό τό κουτί τυχαία, βρέθηκαν
κίτρινα καί
1
πράσινο.
2
κόn:ινα,
Νά έλεγχτεί ή ύπόθεση δη τό κουτί περιέχει 'ίσο
πλήθος σφαιριδίων άπό κάθε χρωμα. 'Εάν δεχτοϋμε τήν ύπόθεση δτι τό κουτί περιέχει 'ίσο πλήθος σφαιριδίων άπό κάθε χρώμα, τότε άναμένουμε
σφαιρίδια άπό κάθε χρώμα στό δείγμα τών 'Επειδή έλεγχο
h
12
οί άναμενόμενοι αύτοί άριθμοί ε!ναι μικρότεροι άπό
χ 2 άπ' εύθείας.
3
σφαιριδίων.
Γι' αύτό συνδυάζουμε τίς κατηγορίες.
5,
δέν μποροϋμε νά χρησιμοποιήσουμε τόν
242
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
Κ Ε Φ.
7
Έάν θέλουμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση, πρέπει νά συνδυάσουμε τίς κατηγορίες ετσι ωστε νά φανουν εντονα τά
επιχειρήματα
έναντίον τής ύποθέσεως.
πράσινο» καί «πορτοκαλί ή κίτρινο».
Αύτό γίνεται, έάν συνδυάσουμε τίς κατηγορίες σέ δύο: «κόκκινο ή
Γιά τίς κατηγορίες αύτές εχουμε
άναμενόμενο πλήθος γιά κάθε κατηγορία είναι
(3 - 6)2
=2-
1
=1
είναι X~9:;
= 3.84.
(9 - 6)2
+
6 Γιά ιι
3
καί
9
σφαιρίδια στό δείγμα.
Έπειδή τό
έχουμε
6,
3
6
"Αρα δέν μπορουμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση σέ έπίπεδο σημαν
τικότητας 0.05 1:ι5.ν καί μπορούμε σέ έπίπεδο
0.10).
Συνεπώς οί διαφορές στίς συχνότητες τών σφαιριδίων διαφό
ρων χρωμάτων στό δείγμα μπορεί νά όφείλονται σέ τυχαία αίτια. 'Άλλη μέθοδος.
Χρησιμοποιώντας τή διόρθωση του
Yates
εχουμε
(13 - 61 - 0.5)2 -+- ([9 - 61 - 0.5)2
6 πού όδηγεί στό ίδιο συμπέρασμα.
τού
(2.5)2 6
6
+
(2.5)2 6
(Αύτό πρέπει νά άναμένεται, επειδή ή διόρθωση του
2.1
Yates
μειώνει πάντα τήν τιμή
χ 2 .) "Αν χρησιμοποιηθεί ή προσέγγιση
(2-3)2 3 Έπειδή γιά ρ σέγγιση
=4-
=3
1
χ 2 (παρά τό δτι οί συχνότητες είναι μικρές), θά εχουμε
+
(5-3)2 3
είναι χ 295
+
7.81,
χ 2 γιά μικρές συχνότητες δέν είναι καλή.
(4-3)2 ---3--
+
(1-3)2 3
3.33
τά συμπεράσματα δέν άλλάζουν.
Δυστυχώς δμως ή προ-
'Όταν δέν έπιτρέπεται νά συνδυάσουμε συχνότητες (δηλ. νά
ενώσουμε κατηγορίες), θά πρέπει νά χρησιμοποιήσουμε άκριβείς μεθόδους μέ πολυωνυμική κατανομή.
7.41.
Σέ
360
ρίψεις δύο ζαριων ήρθε άθροισμα έπτά
74
φορές και εντεκα
24
χτεί ή ύπόθεση δτι τά ζάρια ε{ναι κανονικά σέ επίπεδο σημαντικότητας 'Από τίς
"Αρα
36
ίσοπίθανες περιπτώσεις άποτελεσμάτων εχουμε ι5.θροισμα επτά σέ
Ρ(έπτά)
ρές επτά καί
=
=i
3GQ
/8 (360) =
καί
ρ(εντεκα)
φορές εντεκα.
20
= /ι; = 1'8
1
=1
εΙναι χ 295
τά ζάρια είναι κανονικά.
χ 2 (διορθωμένο)
= 3.84.
Έπειδή 4.07
Μέ τή διόρθωση του
=
καί ~ντεKα σέ
2.
360 ρίψεις άναμένουμε 1(360)-= 60 φο
(24 - 20)2
+
60
"= 2 -
Νά ελεγ
0.05.
Συνεπώς
(74 - 60)2
Γιά
καί σέ
6
φορές.
Yates
([74 - 60[ - 0.5)2 60
+
20
>
4.07
3.84, θά πρέπει νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση δτι
δμως βρίσκουμε
(124 - 20i - 0.5)2 20
(13.5)2 60
+
(3.5)2 20
3.65
"Αρα μέ βάση τό διορθωμένο χ 2 δέν μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση. Γενικά, γιά μεγάλα δείγματα, δπως εχουμε έδώ, μπορούμε νά εχουμε περισσότερη έμπιστοσύνη στά άποτελέσμα τα μέ τή διόρθωση τού
Yates
παρά στά άποτελέσματα χωρίς διόρθωση.
Έπειδή δμως καί τό διορθωμένο
εΙναι κοντά στήν κρίσιμη τιμή, δέν είναι φρόνιμο νά πάρουμε άποφάσεις μέ αύτή τή βάση.
χ2
Σέ τέτοιες περιπτώσεις
εΙναι καλύτερο νά αύξάνουμε τό μέγεθος τού δείγματος, έφ' δσον ένδιαφερόμαστε είδικά γιά έπίπεδο σημαντικότητας
0.05.
7.42.
'Αλλιώς μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση σέ κάποιο ι5.λλο επίπεδο (π.χ.
Τό πλήθος των άγοριων καί των κοριτσιων σέ κατανομή του Πίν.
7-12.
οίκογένειες μέ πέντε παιδιά εχει τήν
Συμφωνεί ή κατανομή αύτή μέ τήν ύπόθεση δτι άγόρι ή κορίτσι σέ
μιά γέννηση ε{ναι ίσοπίθανα γεγονότα;
.e.
320
0.10).
Κ Ε Φ.
7
243
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟθΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΏΚΟΤΗΤΑΣ
Πίν. Άγόρια
5
Κορίτσια
Ο
Ι
Ι Ι
4 1
• Πλήθος
18
ΟΙκογενειών
56
«5
άνάπτυγμα
(Ρ
Έάν Ρ
= q = i.
άγόρια»,«
2 3
1 4
5
Σύνολο
110
88
40
8
320
+ q)5=
άγόρια,
4
q = 1 -
Ρ
κορίτσι»'
1
(i )5 =
Ρ(4 άγόρια,
1
κορίτσι)
5ψ4(!)
Ρ(3 άγόρια,
2
κορίτσια)
=
Ρ(2 άγόρια,
]
32
=
.Ji.... ~ ')
=
10(~)3(!)2
ΡΟ άγόρι,
]ο 32
(18 - 10)2 10
Έπειδή χ15
+
(56 - 50)2 50
= 11.1
καί X~9
+
= 15.1
=6-
(γιά ι'
5
=
(~)5
κορίτσια)
10. 50, 100, 100, 50, 10.
=5
1
+
(40 - 50)2 50
=
=
~g
352
}Ζ
- Αρα
(8 - 10)~ 10 =
+
12.0
βαθμούς έλευθερίας), μποροϋμε νά άπορρίψου
άλλά όχι καί σέ έπίπεδο
0.05,
10(-})2(t)3 5(.})(~)4
κορίτσια)
καί Ο άγόρια προκύπτει άπό πολλαπλασιασμό τοϋ
5. 4, 3, 2, 1
(110 - 100)2 . (88 - 100)2 100 -;100
με τήν ύπόθεση σέ έπίπεδο σημαντικότητας
κορίτσια)
3 4
ρω άγόρια,
μέ τίς προηγούμενες πιθανότητες καί τά άποτελέσματα ε[ναι
~
κορίτσια» δίνονται άπό τό διωνυμικό
εχουμε
Ρ(5 άγόρια, Ο κορίτσια)
Χ· =
νά γεννηθεί κορίτσι σέ μιά γέννηση, τότε οί
... ' «5
+ 5p 4 q + 10p3q2 + 10p2q3 + 5 pq4 + q5
ρ5
Τό άναμενόμενο πλήθος οικογενειών μέ
320
Ο
3 2
'Εάν Ρ εΙναι ή πιθανότητα νά γεννηθεί άγόρι καί
πιθανότητες τών γεγονότων
7-12
Άρα τά άποτελέσματα ε[ναι
0.01.
πιθανώς σημαντικά καί ίσως δέν εΙναι εξ ίσου πιθανό νά γεννηθεί άγόρι η κορίτσι σέ μιά γέννηση.
ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΛΗΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ
7.43.
Πόσο καλή εΙναι ή προσαρμογή της διωνυμική ς κατανομής στό Πρόβλ.
(38 - 33.2}2 33.2
+
(144 - 161.9)2 161.9
+ (342 -
316.2)2 316.2
+ (287 -
308.7)2 308.7
+ (164 -
7.30;
150.7)2 150.7
-+- (25 - 29.4)2 29.4
7.45 Έπειδή στήν έκτίμηση των άναμενόμενων συχνοτήτων χρησιμοποιήσαμε
τρο Ρ τής διωνυμικης κατανομής), ε[ναι
Γιά
"=
Γιά ρ
4 ε[ναιχ 295 = 9.49.
=4
ε[ναι
x
2 0S
= 0.711.
=k -
.'
1- m
=6-
1~Ι
= 1
παραμέτρου; (τήν παράμε
1 - 1 = 4.
-Αρα έχουμε καλή προσαρμογή.
ΕΙναι όμως χ 2 = 7.54
> 0.711,
άρα ή προσαρμογή δέ\" είναι εξαιρετικά
καλή.
7.44.
Πόσο καλή εΙναι ή προσαρμογή στό Πρόβλ. χ2
= (5 - 4.13)2 -+- (18 - 20.68)2 4.13
+
20.68
7.32;
(42 - 38.92)2 38.92
+
(27 - 27.71)2 27.71
+ (8 -
7.43)2 = 0.959 7.43
Έπειδή στήν εκτίμηση των άναμενόμενων συχνοτήτων χρησιμοποιήσαμε υι
μ
καί τήν τυπική άπόκλιση
σ τής κανονικής κατανομής), ε[ναι
Γιά ρ
= 2 εΙναι χ1ι5 = 5.99.
Γιά ρ
= 2 ε[ναι Χ]ι:; = 0.103.
,.:.= /, -
1-
=2
υι
παραμέτρου; (τή μέση τιμή
= 5 - 1 - 2 = 2.
-Αρα εχουμε πολύ καλή προσαρμογή. ΕΙναι όμως χ 2
= 0.959 > 0.103, άρα ή προσαρμογή δέν είναι έξαιρετικά
καλή.
ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ
7.45.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
7.13 μέ τόν ελεγχο χ2 •
Οί συνθήκες τού προβλήματος δίνονται στόν Πίν.
άποτελεσματικό) άναμένεται νά γίνουν καλά στόν Πίν.
7-14.
70
7-13.
Σύμφωνα μέ τήν ύπόθεση
άσθενείς άπό κάθε όμάδα καί
30
Η Ό (ότι τό φάρμακο δέν εΙναι
νά μή γίνουν καλά. όπως φαίνεται
Μέ αλλα λόγια ή Η ο σημαίνει ότι ή θεραπεία εΙναι άνεξάρτητη τοϋ φάσμακου, δηλ. όη οί κατανομές
συχνότητας εΙναι άνεξάρτητες.
L
.--,.....;.-. ._,.c.- ... _~"""-
-
244
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΠΚΟΤΗΤΑΣ
Πίν.
7-13
Πίν.
Έγιναν
Δέν Έγι-
Καλά
ναν Καλά
'Ομάδα Α (μέ φάρμακο)
'Ομάδα Β (χωρίς φάρμακο) Σύνολο
Δέν Έγι-
Καλά
ναν Καλά
Σύνολο
70
30
100
70
30
100
140
60
200
'Ομάδα Α
25
65
35
100
140
60
200
100
+
(μέ φάρμακο) 'Ομάδα Β (χωρίς φάρμακο) Σύνολο
(65 - 70)2 70
+
(25 - 30)2 30
+
(35 - 30)2 30
2.38 Πίν.
Γιά νά προσδιορίσουμε τό πλήθος τών βαθμών έλευ
θερίας, χρησιμοποιούμε τόν Πίν. τούς Πίν. σύνολα.
7-13
καί
7-14
μέ σημειωμένα μόνον τά διάφορα
7-15
Έγιναν
Δέν ΈΥΙ-
Καλά
ναν Καλά
πού εΙναι ό ίδιος μέ
7-15,
Ηο
Έγιναν Σύνολο
75
(75 - 70)2 70
7-14
ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ
ΠΑΡΑΤΗΡΟΥΜΕΝΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ
7
Σύνολο
'Ομάδα Α
100
'Ομάδα Β
100
ΕΙναι φανερό δτι μπορούμε νά βάλουμε μόνον ~
ναν άριθμό σ' ~να άπό τά κενά κελιά, όπότε προκύπτουν οΙ ύπόλοιποι τρείς.
-Αρα
έχουμε ~να βαθμό έλευθερίας.
140
Σύνολο
Έπειδή γιά
200
60
=
1 βαθμό έλευθερίας εΙναι x.~5 3.84 καί χ 2 = 2.38 < 3.84, τά άποτελέσματα δέν εΙναι ση 0.05. -Αρα δέν μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν Η οστό έπίπεδο αύτό καί ij συμπεραίνουμε δτι τό
μαντικά σέ έπίπεδο
φάρμακο δέν εΙναι άποτελεσματικό
•Ας
σημειωθεί δτι τό
χ2
ij
δέν άποφασίζουμε μέ αύτά τά δεδομένα .
= 2.38
εΙναι τό τετράγωνο τοϋ
γιά δειγματικές άναλογίες μέ πίνακα συνάφειας
2
χ
2
Ζ
= 1.54
φορές άναλογιών μέ κανονική κατανομή, δπως στή σελ.
χ, έπειδή Π.χ.
τράγωνο τού
χ2
>
X~95 σημαίνει
Χ
Ζ, τό Χ εΙναι τό 'ίδιο μέ τό
ε!ναι ίσοδύναμη μέ άπόρριψη σέ έπίπεδο
7.46.
>
Νά λ\)θεί τό Πρόβλ.
7.45
Χ.η;, Ζ.
0.10
ij Χ
<
+
Γενικά, ό έλεγχος
χ2
χ 2 εΙναι ίσοδύναμος μέ ενα δίπλευρο έλεγχο μέ
-Χ.95'
Έπειδή γιά πίνακες
2 χ 2 τό χ 2 εΙναι τό τε 0.05 μέ fλεγχο χ2
- Αρα άπόρριψη τής ύποθέσεως σέ έπίπεδο
μέ μονόπλευρο Ελεγχο μέ τό Ζ.
μέ τή διόρθωση του
2 δ , _
7.13.
215 (βλέπε Πρόβλ. 7.51).
-Ας σημειωθεί άκόμα δτι ενας μονόπλευρος ελεγχος μέ τό
τό
τοϋ Προβλ.
ε!ναι ίσοδύναμος μέ τόν έλεγχο σημαντικότητας γιά δια
Yates.
70\ - 0.5)2 70
-Αρα καταλήγουμε στά ίδια συμπεράσματα δπως στό Πρόβλ.
+
7.45.
+ (IR5 -
30! - 0.5)2 = 1.93 30
Αύτό μποροϋσε νά προβλεφθεί, άφού ή διόρ
θωση τού Yates μειώνει πάντα τό χ 2 •
7.47.
Στόν Πίν.
7-16
σημειώνεται τό πλήθος των μαθη
τών πού προβιβάστηκαν ή άπορρίφτηκαν άπό τούς δασκάλους τους κ.κ. Χ, Υ καί Ζ.
Πίν.
7-16
ΠΑΡΑΤΗΡΟΥΜΕΝΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ
Νά έλεγχτεί ή
χ
Υ
Ζ
Πέρασαν
50
47
56
153
Έμειναν
5
14
8
27
55
6ί
64
180
ύπόθεση δτι ή άναλογία τών μαθητών πού άπoρ~ ρίφτηκαν ε{ναι ή ίδια γιά τούς τρείς δασκάλους. Έάν ή ύπόθεση
Η ο (δτι οΙ τρείς δάσκαλοι άπορρί
πτουν μαθητές μέ τήν ίδια άναλογία) ε!ναι όρθή, άπορρίπτε
ται τό
27/180 = 15%
τών μαθητών καί περνάει τό
85%.
Σύνολο
Σύνολο
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
7
ΟΙ άναμενόμενες συχνότητες δίνονται στόν Πίν. Πίν.
245
7-17.
7-17
ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ Η ο
Πέρασαν
Έμειναν
χ
Υ
Ζ
85%τοϋ55
Σύνολο
85%τοϋ61
85%τού64
= 46.75
= 51.85
= 54.40
15%τοϋ55
150/0τοϋ61
15%τοϋ64
= 8.25
= 9.15
= 9.60
55
61
64
Σύνολο
Πίν.
Υ
χ
153
27
7-18 Ζ
Σύνολο
Πέρασαν
153
Έμειναν
27
Σύνολο
55
61
64
180
180
i
Είναι
χ2
= (50 - 46.75)2
+ (47 -
51.85)2 51.85
46.75
+
(56 - 54.40)2 54.40
+
(5 - 8.25)2 8.25
+
(14 - 9.15)2 9.15
Γιά νά προσδιορίσουμε τό πλήθος των βαθμων έλευθερίας χρησιμοποιούμε τόν Πίν.
μόνον τά σύνολα στίς διάφορες περιπτώσεις.
+
7-18,
(8 - 9.60)2 = 9.60
4.84
σπου εχουν σημειωθεί
Ε{ναι φανερό στι μποροϋμε νά τοποθετήσουμε αύθαίρετα δύο μόνον
άριθμούς σέ δύο διαφορετικές στήλες καί μετά νά ύπολογίσουμε τούς ύπόλοιπους μέ άφαίρεση άπό τά άντίστοιχα σύνολα.
-Αρα
Έπειδή έπειδή X~90
εχουμε δύο βαθμούς έλευθερίας.
X:qs = 5.99. δέν μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν Η ο σέ έπίπεδο 0.05 . -Ας σημειωθεί όμως στι, = 4.61, μποροϋμε νά άπορρίψουμε τήν Η ο σέ έπίπεδο 0.10, έάν έπιτρέπεται νά διακινδυνέψουμε νά
κάνουμε λάθος μιά φορά στίς δέκα.
7.48. Δείξτε ΟΤΙ Υιά εναν πίνακα συνάφειας h χ k (μέ Ιι> 1, k> 1) τό πλήθος των βαθμων έ λευθερίας εΙναι (h -l)(k -1). Ύπάρχουν
h
+ k -1
άνεξάρτητα σύνολα (άθροίσματα) των
βαθμων έλευθερίας είναι
hk - (h
+k -
1) =
lIk
άριθμων των κελιων.
(h - 1)(k - 1)
Τό άποτέλεσμα αύτό ίσχύει, έάν οί παράμετροι τοϋ πληθυσμού είναι γνωστές.
περιγράφεται στό
7.49.
Στόν Πίν.
τής σελ.
(b)
7-19
Jt(α l b 2
-
Ι
ΙΙ
Σύνολο
Α
nlnA/ n
Ίι21ΙΑ!n
ΠΑ
nB
Β
1ΙιΠπ/Π
Π2 1Ι Β!Π
nB
π
Σύνολο
Ηι
1Ι2
11
Σύνολο
Α
αι
az
nA
Β
bt
bz
Σύνολο
nl
n2
7.45,
7-20
ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ
τά άναμενόμενα (σύμφωνα μέ τή μηδενική ύπό&εση) άποτελέσματα δίνονται στόν Πίν.
"Αρα
=
17
Δείξτε ΟΤΙ
2.
Πίν.
ΙΙ
Άλλά
χ
7-19
Ι
~Oπως στό Πρόβλ.
2
α 2 b l )2
ΠΑΡΑΤΗΡΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ
7.20.
Άλλιως χρειάζονται διορθώσεις, όπως
220.
δίνεται ενας γενικός πίνακας συνάφειας
Πίν.
-Αρα τό πλήθος των
αι -
+ bt)(at + αΖ) + b l + a2 + b 2
(α ι
αι
.2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
246
Κ Ε Φ ..
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
~'·~,·
7
"Ομοια
πού γράφεται
(1) όπου
Δ
= α ι δ 2 - α2δι,
+ a2 + δ ι + b 2,
= αι
n
'Εάν χρησιμοποιήσουμε τή διόρθωση τοϋ
'Εφαρμόστε τό άποτέλεσμα του Προβλ. Στό Πρόβλ. καί
n
= 200.
= a2 + b 2, nA = α ι
n2
+ a2,
= δ ι + b 2•
nB
=
π(IΔI-
t n )2
στά δεδομένα του Προ βλ.
7.49
7.45 ε!ναι a1 = 75, a2 = 25, δ ι = 65, b 2 = 35, π ι = 140, n2 7.49 δίνει
7.45.
= 60,
nA
= 100,
nB
= 10.0
-Αρα ή (Ι) τοϋ Πρόβλ.
Χρησιμοποιώντας τή διόρθωση τοϋ
t n )2
7.46)
200[1(75)(35) - (25)(65)1-100]2
1.93
(140 )(60)(100)(1 00)
nrnznAnB
Δείξτε στι ό ελεΥχος
2.38
εχουμε (όπως στό Πρόβλ.
Yates
π(!α ι δ 2 - α2δι! -
=
χ2 (διορθωμένο)
200[(75)(35) - (25)(65)12 (140)(60)(100)(100)
=
χ2
7.51.
+ δι,
= αι
χ2 (διορθωμένο)
(2)
7.50.
ΠΙ
ή (Ι) άντικαθισταται άπό τήν
Yates,
χ 2 γιά δύο δειγματικές άναλογίες εΙναι ίσοδύναμος με εν αν ελεγχο
σημαντικότητας των διαφορων των δειγματικων άναλογιων μέ τήν προσέγγιση τής κανονικής κατανομ ής (βλέπε σελ. Έστω ότι τοϋ Προβλ.
Ρ ι καί
7.49
2 Ι 5).
Ρ 2 ε!ναι οί δειγματικές άναλογίες καί Ρ ή άναλογία στόν πληθυσμό.
Μέ τό συμβολισμό
εχουμε α
Ρι
(1)
=
ι
a2
Ρ2
Πι '
nA
(2)
1 -
n2'
Ρ
n'
δι
Ρι
1-ρ
q
b2
Ρ2
1 -
Πι '
n2
nB
= -n
καί άρα
(3)
α
ΠιΡ ι ,
ι
a2
(4)
nA Χρησιμοποιώντας τίς
(3)
καί
(4)
δι
= rl2 P 2, =
πρ,
πι(l
=
α2 δ ι)2
Π2(1
b2
-
Ρ2 )
= nq
ΠΒ
εχουμε άπό τό Πρόβλ.
π(α ι δ 2 -
- Ρ ι ),
7.49
Π[Π Ι Ρ Ι Π 2(1-Ρ 2 ) -
Π2 Ρ 2 π ι(1-Ρ ι )]2
n r n2n pnq
Π Ι Π2 Π ΑΠΒ
(Ρ ι
=
-
pq(1/n r
πού ε!ναι τό τετράγωνο τής στατιστικής συναρτήσεως
Ρ 2 )2
+ l/nz)
Ζ τής σχέσεως
(έπειδή
(10),
σελ.
n
= Π ι + nz)
215.
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ
7.52.
Ύπολογίστε τό συντελεστή συνάφειας γιά τά δεδομένα του πίνακα συνάφειας του Προ βλ.
7.45. C
=
~ χ/:π
=
2.38 2.38 + 200
=
yf 0.01176
=
0.1084
$ Κ Ε Φ.
7.53.
7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ·
Ύπολογίστε τή μέγιστη τιμή τοϋ Ή μέγιστη τιμή τού
fytvav
έξαρτώνται πλήρως.
fytvav)
γιά δλους τούς δυνατούς πίνακες Πίν.
άντιστοιχεί στην πε
C
ρίπτωση πού οΙ δύο κατηγορίες (δσοι
καί δσοι δέν
C
247 2
χ
2
7.13.
7-21
Έγιναν
καλά
Σέ μιά
στό Πρόβλ.
Δέν Έγι-
Καλά
ναν Καλά
Σύνολο
100
Ο
100
Ο
100
100
100
100
200
τέτοια περίπτωση δλοι δσοι πήραν τό φάρμακο, fγιναν. καλά, ένώ δσοι δέν τό πήραν, δέν εγιναν
'Ομάδα Α
καλά.
(μέ φάρμακο)
'Ο άντίστοιχος πίνακας συνάφειας δίνεται
στόν Πίν.
7-21.
'Ομάδα Β
Έπειδή, στήν περίπτωση πού εχουμε πλήρη
(χωρίς φάρμακο)
άνεξαρτησία, οΙ άναμενόμενες συχνότητες τών κε λιών εΙναι δλες
Χ
Σύνολο
fχουμε
50, 2
_
-
(100 - 50)2 50
-Αρα ή μέγιστη τιμή τού C είναι
(Ο
+
- 50)2 50
Vx 2f{x 2 + n)
(0- 50)2 50
+
+
(100 - 50)2 50
200
= V200/(200 + 200) = 0.7071.
Γενικά, όταν εχουμε πλήρη έξάρτηση σ' εναν πίνακα συνάφειας μέ τό ίδιο πλήθος γραμμών καί στηλών, μόνον
τά στοιχεία τής κύριας διαγωνίου εΙναι δΙάφορα τού μηδενός καί τότε C max
= Υ (k -
1)/k (βλέπε Πρόβλ. 7.127).
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
7.54.
Σ' ενα τέστ δίνονται δέκα έρωτήσεις μέ δύο δυνατές άπαντήσεις (ναί η όχι).
Γιά νά έλέγ
ξουμε τήν ύπόθεση δτι ό φοιτητής άπαντάει στήν τύχη, εχουμε τόν έξης κανόνα άποφά
σεως:
(ί) 'Εάν
τύχη.
(ίί) 'Εάν λιγότερες άπό
7
η περισσότερες άπαντήσεις εΙνάι σωστές, ό φοιτητής δέν άπαντάει σηΙν
7
άπαντήσεις είναι σωστές, ό φοιτητής άπαντάει στήν τύχη.
Ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση, ένω είναι όρθή. Έστω
Ρ ή πιθανότητα νά άπαντήσει ό φοιτητής σωστά μιά έρώτηση.
Ή πιθανότητα νά άπαντήσει σωστά χ άπό τίς 'Εάν ό φοιτητής άπαντάει στήν τύχη, τότε
Ρ(τουλάχιστο
=
σωστές)
7
Ρ(7
Ρ
10
ε{ναι
= 0.5
σωστές) ~ Ρ(8
loCxp·rqιo-x,
όπου
q = 1-
ρ.
καί
σωστές)
+
Ρ(9
σωστές)·
+ Ρ(10
σωστές)
-Αρα ή πιθανότητα νά συμπεράνουμε ότι ό φοιτητής δέν άπαντάει ατήν τύχη (ένώ τό άντίθετο είναι σωστό) είναι
7.55.
Αύτή ε!ναι ή πιθανότητα νά κάνουμε ενα σφάλμα τύπου Ι.
0.1719.
Στό Πρόβλ.
7.54
νά ύπολογιστεί ή πιθανότητα νά γίνει δεκτή ή ύπόθεση
πραγματικότητα είναι Ρ Έάν ή ύπόθεση Ρ(λιγότερες άπό
Ρ
= 0.7
σωστές)
7
= 0.7.
Στό Πρόβλ.
7.54
= 1 -
(g) (α)
Ρ
Ρ(τουλάχιστο
ίΙΟC7(0.7)7(0.3)3
7
= 0.6,
(b) Ρ
= 0.8,
(c) Ρ
= 0.9,
(d) Ρ
Ρ
= 0.3504
= 0.5, ένω στήν πραγl!ατι (e) Ρ = 0.3, (f) Ρ = 0.2,
= 0.4,
= 0.1.
'Εάν
Ρ
1 -
= 0.6 [Ρ(7
ή ζητούμενη πιθανότητα ε!ναι σωστές)
+
Ρ(8
σωστές)+ Ρ(9
σωστές)
+
Ρ(10
σωστές)]
= 1 - lloC7(0.6)7(0.4)3 + loCs(0.6)S(0.4)2 + 10C9(0.6)9(0.4) + loClO(0.6)10]
•
ένω στήν
σωστές)
+ 10Cg(0.7}8(0.3)2 + lOC9(0.7)9(0.3) + loClo(0.3)ΙO]
ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά δεχτοϋμε τήν
κότητα είναι (α) Ρ
= 0.5,
ε!ναι όρθή, τότε
= 1-
7.56.
Ρ
0.618
...
----------------~-------------------------------------------------------------------------------------------- ~
248
Μέ όμοιο τρόπο βρίσκονται τά άποτελέσματα στίς άλλες περιπτώσεις στόν Πίν.
καί
Ρ
Δίνονται επίσης τά άποτελέσματα γιά
7-22.
= 0.7
άπό τό Πρόβλ.
Ρ
Ρ
0.1
0.2
β
1.000
0.999
Στό Πρόβλ.
i
0.3
(b), (C), ... , (g), πού 7.54 (β
άπό τό Πρόβλ.
ι
0.989 i 0.945
7
δίνονται συγκεντρωμένα
=1-
0.1719
= 0.828)
11.
7-22
0.4
ι
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.828
0.618
0.350
0.121
0.013
β
παραστήστε γραφικά
7.56
= 0.5
Ή πιθανότητα β ε{ναι ή πιθανότητα νά γίνει σφάλμα τύπου
7.55.
Πίν.
7.57.
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΠΚΟΤΗΤΑΣ
τήν β ώς συνάρτηση τής Ρ (δηλ. τή
1.0
χαρακτηριστική καμπύλη γιά τόν κα
0.9
νόνα άποφάσεως στό Πρόβλ.
0.8
7.54).
Σχ.
7-14
0.7 Ή ζητούμενη καμπύλη δίνεται στό Σχ.
7-14
καί μοιάζει μέ τή χαρακτηριστική καμπύ
λη τού Προβλ.
νά
0.6
συνάρτηση
τής
γραφικά
Ρ,
0.5
ΥΟμοια θά μπορούσαμε
7.27.
παραστήσουμε
τήν
β)
ώς
0.4
δηλ. τήν καμπύλη Ισχύος
0.3
(1 -
τού κανόνα άποφάσεως.
0.2
Ή γραφική παράσταση δείχνει ότι ό
κα
0.1
νόνας άποφάσεως ε{ναι πολύ ίσχυρός στήν ά
πόρριψη τής Ρ ΞΞ';
7.58.
Ρ
Ρ
= 0.5, όταν πραγματικά ε{ναι
0:2
Ο
0.6
0.4
0.8
1.0
0.8.
'Ένα νόμισμα ρίχνεται
φορές και ερχεται
6
6
φορές κεφάλι.
Μποροϋμε νά συμπεράνουμε
δτι τό νόμισμα δέν εΙναι κανονικό σέ επίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.05
καί
(b) 0.01;
Νά
γίνει ενας μονόπλευρος καί ενας δίπλευρος ελεγχος. Έστω Ρ ή πιθανότητα νά ερθει κεφάλι σέ μιά ρίψη.
Έάν ή ύπόθεση (Η ο: Ρ
= 0.5)
(δηλ. ότι τό νόμισμα ε{ναι
κανονικό) ε{ναι όρθή, τότε Ρ{χ
f(x)
Άρα οΙ πιθανότητες νά ερθει
κεφάλι ε{ναι άντίστοιχα
614'
όπως φαίνεται καί στό Σχ.
φορές κεφάλι σέ
ο,
1, 2, 3, 4, 5
(;r.~, ~
καί
6
ρίψεις)
6 Cx
1)Χ (1)6-Χ _ (2""2
φορές
6
1, iJl, Δ 1, ,;'\
f(x)
7-15.
20/64
Μονόπλευρος Ιλεγχος.
Θά άποφασίσουμε μεταξύ των ύποθέσεων (Η ο : Ρ
·Επειδή Ρ(6 φορές κεφάλι)
0.01562
6
καί
Ρ(5 ή
μπορούμε νά
φορές
άπορρίψουμε
λά οχι καί σέ επίπεδο
0.01
15/64
15/64
1
τήν
ΗΟ
σε έπίπεδο
0.05,
άλ
(δηλ. τό παρατηρούμενο άπο
τέλεσμα ε{ναι σημαντικό σέ επίπεδο
πίπεδο
= 0.5\
= 014 = κεφάλι) = ι! .τ + ,;-\- = 0.1094,
καί (Η ι : ρ> 0.5).
0.05,
άλλά οχι σέ ε
0.01).
Δίπλευρος fλεγχος.
Θά άποφασισουμε μεταξύ των ύποθέσεων (Η ο : Ρ
καί (Η 1: Ρ ~ 0.5).
+ 614 = 0.03125, έπίπεδο
7.59.
0.05,
Έπειδή
μπορούμε
Ρ(Ο ή 6 φορές κεφάλι)
νά
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
Μονόπλευρος fλεγχος. Δίπλευρος ελεγχος.
Έπειδή
&
0.05
Έπειδή
ρίψουμε τήν Η ο σέ επίπεδο
τήν Η ο
Ρ(Ο η
5
::
3
4
5
6
7-15
φορές.
=
6b4
+ 6'4
= ~ = 0.1094,
δέν μπορούμε νά ά
0.01. 1 η 5 ή 6 φορές κεφάλι)
0.05 η 0.01.
&Q§&
2
Σχ.
σέ
Ρ(5 η 6 φορές κεφάλι) η
ο
0.01.
εάν ερθει κεφάλι
7.58,
πορρίψουμε τήν Η ο σέ έπίπεδο
2
άπορρίψουμε
άλλά οχι καί σέ έπίπεδο
= 0.5) = 6~
&. υcι
= 2(674) = 0.2188,. δέν μπορούμενάάπορ
> Κ Ε Φ.
7.60.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΠΚΟΤΗΤ ΑΣ
7
Δείξτε οτι ενας έλεγχος χ 2 γιά δύο μόνον κατηγορίες είναι ίσοδύναμος μέ εναν ελεγχο σημαντικότητας γιά αναλογίες (σελ.
214).
Πίν.
σμό καί
n
ή όλική συχνότητα, fχουμε τήν πε
ρίπτωση τού Πίν.
7-23 (πΡ
καί από τόν όρισμό
- np)2
-'-----''--'- +
ίπ(1
Ρ) -
-
n2(P -
ρ)2
+
n2(P - ρ)2
π(1
Παρατηρούμενη Συχνότητα
πΡ
Άναμενόμενη Συχνότητα
πρ
=
Χι, Χ2 , ••• ,
n(1-
Ρ)
n
n(1- Ρ) = nq
n(P-p)2 pq
Αύτό είναι τό τετράγωνο τής στατιστικής συναρτήσεως
Έστω οτι τά
Σύνολο
n
- p)J2
nq
πρ
npl, np2, ... , npk
ΙΙ
nq
πρ
=
7-23
Ι
Έάν Ρ εΙναι ή δειγματική αναλογία γιά τήν κατηγορία Ι, Ρ ή αναλογία στόν πληθυ
7.61.
249
Ζ τής σχέσεως
(5),
σελ.
(Ρ
-
ρ)2
pq/Jt
214.
X k εχουν πολυωνυμική κατανομή με αναμενόμενες συχνότητες
αντίστοιχα.
'Έστω ακόμα οη Υ ι, Υ 2, ••• , Υ k
τητες μεταβλητές πού ή κάθε μιά εχει κατανομή τού
np2, ... , λk = npk αντίστοιχα.
Poisson
είναι αμοιβαία ανεξάρ
μέ παραμέτρους λι
= npl,
λ2
=
Δείξτε οτι ή κατανομή ύπό συνθήκη των Υ μέ Υι
+ Υ Ζ + ... + Y k
t~
=
είναι ακριβως ή πολυωνυμική κατανομή των Χ.
δπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση
Ρι
+ Ρ2 + ... + Pk
= 1.
Ή κατανομή ύπό συνθήκη πού ζητάμε είναι
P(Y t =Yl'Y2 =Y2""'Yk =Y" ί Y l +Y2 +"'+Y k =rt)
(2)
P(Y l =Yl,Y2 =Y2"",Y k ΡΙΥ ι
=Yk
+ Υ2+
and Y l +Y2 +"'+Yk =n)
...
Άπό τήν (Ι) συμπεραίνουμε δτι ό αριθμητής τού δεξιού μέλους της
+ Υι, = (ι)
(2)
γράφεται
nnpY'pK2 . •. p~k ----.,.---e -" Υι! Υ2!"
Άπό τό Πρόβλ. ΠΡι
4.95
(σελ.
+ np2 + ... + nPk =
καί ή
(2)
147)
γνωρίζουμε δτι ή
n.
•Αρα
Υι
Ύ,,!
+ Υ 2 + ... + Υ k
Ι
Poisson
μέ παράμετρο
γράφεται
Y l +Y2 +"'+Yk =n)
πού εΙναι ή πολυωνυμική κατανομή τών Χ [βλέπε σχέση
Χρησιμοποιώντας τό αποτέλεσμα του Προβλ. σχέση
(2)
γίνεται
Ρ(Υ ι =Υι,Υ 2 =Υ2' ""Yk=Yk
7.62.
εχει κατανομή τού
ό παρονομαστής του δεξlOϋ μέλους τής
(16),
σελ ..
113].
7.61 δείξτε οη τό χ 2 , οπως όρί.ζεται από τή
(21) της σελ. (218), ακολουθεί κατά προσέγγιση κατανομή χ 2 •
Ή σχέση
(21) τής σελ. 214 εlναι δύσκολο νά χρησιμοποιηθεί απ' εύθείας, έπειδή τά Χ δέν ε!ναι άνεξάρτητα. Υ μέ κατανομή τού Poisson καί νά έξετάσουμε τήν κατανομή ύπό τή. συνθήκη Υ 1 + Υ2 + ... + Υ k 11. Γράφουμε συνεπώς τήν (21) Μπορούμε δμως νά αντικαταστήσουμε τίς Χ μέ τίς ανεξάρτητες
=
250
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΠΚΟΤΗΤΑΣ
'Όταν 11 ..... ση
(14),
όλα τά λ τείνουν στό
00,
σελ.
112]
00
καί άπό τό κεντρικό όριακό θεώρημα γιά τήν κατανομή τοϋ
[σχε
εχουμε
χ2
(2) Οί
Poisson
7
= Zi + Z~ + ... + Z~
Ζ είναι άνεξάρτητες κανονικές μεταβλητές μέ μέση τιμή (ή κάθε μιά) Ο καί τυπική άπόκλιση
1
καί έξετά
ζουμε τήν κατανομή τους ύπό τή συνθήκη
(3)
if,
έπειδή οί τυχαίες μεταβλητές είναι συνεχείς,
'Εάν
F v (Χ)
είναι ή άθροιστική συνάρτηση κατανομής γιά μιά μεταβλητή πού άκολουθεί κατανομή
χ2 μέ ρ βαθ
μούς Ελευθερίας, θέλουμε νά δείξουμε ότι
Ρ(Ζi+ΖΞ+···+Ζ~;ΞΞχ IlfiιZI+VP;Z2+···+yp,-;Z,,!<.)
(5)
p(Zi + Z~ +
... + Z~;ΞΞx
καί
fiι Ζι
P(lfiιZI +VP;ZZ+'"
+ ν'ΡΖ Ζ2 + ... + ν'Pk Ζ" Ι < .) +mZ,,1 <.)
γιά κάποια κατάλληλη τιμή τοϋ ν.
zi
Είναι εϋκολο νά δείξουμε τήν (5) γεωμετρικά. Άπό τό Θεώρ. 4-3 γνωρίζουμε ότι (χωρίς συνθήκη) ή + Ζ§ + ... + Z~ άκολουθεί κατανομή χ2 μέ k βαθμούς έλευθερίας. "Αρα, έπειδή ή συνάρτηση πυκνότητας γιά 2 κάθε Zj είναι (2:τ)-Ι/2 e -Ζ /2, εχουμε
(6)
,( .. ·.Γ
F,,(x)
Γιά τόν άριθμητή τής
(7)
εχουμε
(5)
f .. ·f
Άριθμητής
e _(Z2+Z2+"'+Z2)/2d ι 2 k Ζι
d
d
ΖΖ'"
Ζ"
zf+Z~+",+zf~x.
Ι νΡ; Ζ ι+\ΡΖ Ζ 2-'-'"
+vp';Zk! < ε
Άπό τήν άναλυτική γεωμετρία γνωρίζουμε ότι σέ τρισδιάστατο χώρο ή έσωτερικό καί τήν έπιφάνεια μιας σφαίρας μέ άκτίνα
=Ο
α3Χ3
χι
+ x~ + Χ5
;ΞΞ
a2
α καί κέντρο τήν άρχή τών άξόνων καί ή
παριστάνει τό αιΧι
+ α2Χ2 +
παριστάνει ενα έπίπεδο πού περνάει άπό τήν άρχή τών άξόνων καί εχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα τό
(αι, αΖ' α3)' Στό Σχ.
7-16
δίνεται ή τομή τών δύο περιοχών.
Είναι φυ
νερο ότι, έάν μιά συνάρτηση πού έξαρταται άπό τήν άπόσταση μόνο, δηλ.
f(r)
όπου
r
= Vx + χ 2 + χ 2
2 123
όλοκληρωθεί στήν κυκλική τομή (ή σέ μιά λεπτή πλάκα μέ βάση αύτή τήν τομή), ή τιμή τοϋ όλοκληρώματος είναι άνεξάρ τητη τών συνημιτόνων κατευθύνσεως (αl, αΖ, α3)'
Μ' άλλα λό
~'I-----~-"'''-X2
για όλα τά έπίπεδα (πού περνανε άπό τήν άρχή) δίνουν τό Τδιο όλοκλήρωμα.
Κάτ' άνaλογία Ισχύουν τά Τδια σέ περισσότερες διαστά σεις καί μποροϋμε στήν τιμές.
(7)
νά πάρουμε τήν Ρ μέ όποιεσδήποτε
Διαλέγοντας Ρι
=
Ρ2
= '"
ο,
1
εχουμε
(8)
Σχ. Άριθμητής
όπου χρησιμοποιήσαμε τήν
$ ΜΙ
sa
2iidU
ΩΙΙΙ2sω
(6).
Ό συντελεστής
2.
είναι τό πάχος τής πλάκας.
2
7-16
μ
Κ Ε Φ.
7
251
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΠΚΟΤΗΤΑΣ
Γιά νά ύπολογίσουμε τόν παρονομαστή τής
W
=
παρατηροϋμε δτι ή τυχαία μεταβλητή
(5)
+ Υ'ΡΖΖ2 + ... + ~Zκ
v'PιZι
είναι κανονική (έπειδή είναι γραμμικός συνδυασμός άνεξάρτητων καί κανονικων μεταβλητων) καί στι
+ VP2 (Ο) + '" + VPk (Ο)
E(W) = νΡι (Ο)
Var (W)
=
ρι(1)
-Αρα ή συνάρτηση πυκνότητας τής -ι;J' είναι φ(w)
=
Παρονομαστής
(9) Διαιρώντας τίς
(8)
καί
(9)
=
+ Ρ2(1) + ... + Pk(1) =
2
(2π)-ΙJ2 e -w Ι2
=
< ε)
Ρ(ΙΗ':
Φ(0)(2ε)
εχουμε τό ζητούμενο άποτέλεσμα μέ
v
= Ο 1
καί
=
=k -
(2π)-Ι/2(2ε)
1.
Ή προηγούμενη άπόδειξη (πού μπορεί νά γίνει καί αύστηρά) δείχνει εκτός των άλλων στι κάθε γραμμική
συνθήκη πού επιβάλλεται στίς κατά ενα.
Ζ, καί συνεπώς στίς Χ η τίς
Υ, μειώνει τό πλήθος των βαθμων έλευθερίας του χ 2
'Η παρατήρηση αύτή άποτελεί τή βάση γιά τούς κανόνες πού δόθηκαν στή σελ.
219.
'Άλυτα Προβλήματα ΕΛΕΓΧΟΙ ΜΕΣΩΝ ΠΜ ΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
7.63.
'Ένα κουτί περιέχει κόκκινες καί κίτρινες σφαίρες.
κόκκινες καί μισές κίτρινες παίρνουμε
64
κανόνας άποφάσεως είναι ό έξής: Έάν βγήκαν
άπορρίπτουμε.
Γιά νά έλέγξουμε τήν ύπόθεση στι οί σφαίρες είναι μισές
σφαίρες μέ επανατοποθέτηση καί σημειώνουμε τά χρώματά τους. εως
28
36
(α) 'Υπολογίστε τήν πιθανότητα νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση, ενω είναι όρθή.
γραφικά τόν κανόνα άποφάσεως καί τό άποτέλεσμα τοϋ
7.64.
0.01
εμπιστοσύνης δεχόμαστε τήν ύπόθεση; ήταν
Παραστήστε
(δηλ. έάν θέλουμε επίπεδο σημαντικότητας
0.01); (b) Μέ τί συντελεστή (c) Ποιός θά ήταν ό κανόνας άποφάσεως, έάν τό επίπεδο σημαντικότητας
0.05;
Έστω στι στό Πρόβλ.
κίτρινες.
7.63
θέλουμε νά έξετάσουμε τήν ύπόθεση ότι οί κόκκινες σφαίρες είναι περισσότετρες άπό τίς
(α) Ποιά πρέπει νά είναι ή μηδενική ύπόθεση καί ποιά ή εναλλακτική ύπόθεση;
ποιηθεί μονόπλευρος ή δίπλευρος ελεγχος;
τικότητας
7.66.
(b)
(α).
(α) πως πρέπει νά είναι ό κανόνας άποφάσεως στό Πρόβλ. 7.63, Μν θέλουμε, ή πιθανότητα νά άπορριφθεί ή ύπόθεση, ενω είναι όρθή, νά είναι τό πολύ
7.65.
Ό
κόκκινες σφαίρες, δεχόμαστε τήν ύπόθεση, άλλιως τήν
Ποιός γιά επίπεδο
0.05; (d)
Παρατηρήθηκε στι σέ
100
0.05.
(b)
Πρέπει νά χρησιμο
(c) Ποιός θά είναι ό κανόνας άποφάσεως γιά έπίπεδο σημαν
0.01;
ρίψεις δύο ζαριων ήρθε
είναι κανονικά χρησιμοποιώντας τητας
Γιατί;
23
φορές αθροισμα επτά.
(α) ενα δίπλευρο ελεγχο καί
Έλέγξτε τήν ύπόθεση στι τά ζάρια
(b) ενα μονόπλευρο ελεγχο σέ έπίπεδο σημαντικό
Έξηγήστε τούς λόγους (αν ύπάρχουν) γιά τούς όποίους θά προτιμούσατε εναν άπό τούς δύο αύτούς
ελέγχους.
7.67.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
7.68.
Ένας έργοστασιάρχης Ισχυρίζεται δτι τουλάχιστο τό
7.66
σέ επίπεδο σημαντικότητας
Έάν σέ δείγμα
κότητας
7.69.
200 προϊόντων (α) 0.01, (b) 0.05.
του βρέθηκαν
18
0.01. 95% των προϊόντων του Ικανοποιεί όρισμένες προδιαγραφές.
έλαττωματικά, νά έλεγχτεί ό Ισχυρισμός του σέ έπίπεδο σημαντι
Έχει βρεθεί άπό πείρα δτι μιά κλωστή άντέχει βάρος τό πολύ
gr.
Τελέυταία Όμως,'
36
έπίπεδο σημαντικότητας
9.72 gr
κομμάτια τής κλωστής εσπασαν σέ μέσο βάρος (α)
0.05
καί
(b) 0.01
κατά μέσο δρο μέ τυπική άπόκλιση
8.93 gr.
1.40
Μπορεί κανείς νά συμπεράνει σέ
ότι ή ποιότητα τής κλωστής χειροτέρεψε;
----------........ ....................
•••.
....~.~.'
.. 252
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝl1ΚΟΤΗΤΑΣ
Σ' ενα τέστ πού δόθηκε στούς μαθητές τής περιοχής Θεσσαλονίκης ό μέσος βαθμός ήταν
7.70.
Σ' ενα δμως σχολείο μέ 200 μαθητές ό μέσος βαθμός ηταν 75.9.
8.0.
αύτοϋ σέ επίπεδο σημαντικότητας
χρησιμοποιώντας
0.05
74.5
7
μέ τυπική άπόκλιση
Έξετάστε τή σημασία τοϋ άποτελέσματος
(α) μονόπλευρο ελεγχο,
(b) δίπλευρο ελεγχο.
Έξη
γήστε προσεκτικά τά συμπεράσματά σας μέ βάση αύτούς τούς έλέγχους.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
7.71.
σέ επίπεδο σημαντικότητας
7.70
0.01.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕΣΩΝ l1ΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ
'Ένα δείγμα
7.72.
90
ώρες.
ση
120
ήλεκτρικων λαμπτήρων μιας έταιρείας Α παρουσίασε μέση ζωή
100
Ένα αλλο δείγμα ώρες.
'Υπάρχει καμιά διαφορά μεταξύ των μέσων ζωων των ήλεκτρικων λαμπτήρων των δύο έταιρειων σέ
έπίπεδο σημαντικότητας
Στό Πρόβλ.
7.73.
7.72
(α)
(b) 0.01;
0.05,
έλέγξn: τήν ύπόθεση δτι οί ήλεκτρικοί λαμπτήρες τής έταιρείας Β εΙναι καλύτεροι άπό εκείνους τής
έταιρείας Α σέ επίπεδο σημαντικότητας καί τής ερωτήσεως τοϋ Προβλ.
(α)
0.05,
Έξηγήστε τή διαφορά μεταξύ τής ερωτήσεως αύτή ς
(b) 0.01.
'Υπάρχει άντίθεση μεταξύ των δύο άποτελεσμάτων;
7.72.
Σέ μιά εξέταση όρθογραφίας σ' ενα δημοτικό σχολείο ό μέσος βαθμός
7.74.
ε"ώ ό μέσος βαθμός
36
κοριτσιών ήταν
μέ τυπική άπόκλιση
75
32
άγοριων ηταν (α)
0.05
καί
Γιά νά ελέγξουμε τά άποτελέσματα ένός λιπάσματο; στήν παραγωγή σιταριοϋ όρίσαμε εμβαδό. τόν 'ίδιο φωτισμό, κτλ., ρίξαμε λίπασμα στά Στή συγκομιδή πήραμε
καί άφήσαμε τά άλλά
30
72
μέ τυπική άπόκλιση
8,
Έλέγξτε τήν ύπόθεση δτι τά κορίτσια εΙναι
6.
καλύτερα στήν όρθογραφία άπό τά άγόρια σέ επίπεδο σημαντικότητας
7.75.
1190 ώρες μέ τυπική άπόκλιση 1230 ώρες μέ τυπική άπόκλι
λαμπτήρων μιας έταιρείας Β παρουσίασε μέση ζωή
75
30
(b) 0.01.
60
κομμάτια γής μέ τό 'ίδιο
στή φυσική τους κατάσταση.
μποϋσελ κατά. μέσο δρο άπό κάθε κομμάτι άπ' αύτά πού βάλαμε λίπασμα μέ τυπική
18.2
άπόκλιση
0.63
μποϋσελ.
Άπό τά αλλ α (πού δέ βάλαμε λίπασμα) πήραμε
άπόκλιση
0.54
μποϋσελ.
Σέ επίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.05
καί
17.8
μποϋσελ κατά μέσο δρο μέ τυπική
(b) 0.01 ελέγξτε τήν ύπόθεση δτι τό λίπα
σμα βελτιώνει τήν άπόδοση τής γής σέ σιτάρι.
7.76.
Δύο τυχαία δείγματα άπό καί
5
κής ποιότητας καί τας
200 βίδες τής μηχανής Α καί 100 βίδες τής μηχανής Β βρέθηκαν νά περιέχουν 19
ελαττωματικές βίδες άντίστοιχα.
(α) οί δύο μηχανές παράγουν βίδες διαφορετι Χρησιμοποιήστε επίπεδο σημαντικότη
0.05.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
7.77.
Έλέγξτε τήν ύπόθεση δτι
(b) ή μηχανή Β παράγει καλύτερες βίδες άπό τήν Α.
t
ΤΟΥ
STUDENT
Ή μέση ζωή των ήλεκτρικων λαμπτήρων μιας έταιρείας ήταν μέχρι τώρα 'Ένα δείγμα
8
1120 ώρες μέ τυπική άπόκλιση 125 ώρες. 1070 ώρες. επίπεδο σημαντικότητας (α\ 0.05 καί (b)
λαμπτήρων άπό τήν τελευταία παραλαβή ήλεκτριι<:ων λαμπτήρων παρουσίασε μέση ζωή
Έλέγξτε τήν ύπόθεση δτι ή μέση ζωή των λαμπτήρων δέν αλλαξε σέ
0.01. 7.78.
Στό Πρόβλ.
7.77
ελέγξτε τήν ύπόθεση
πεδο σημαντικότητας
7.79.
(α)
0.05 καί
μ
= 1120
μέ εναλλακτική ύπόθεση
ράνουμε σέ επίπεδο σημαντικότητας
Στό ΠρόΒλ.
7.79
(α)
ώρες χρησιμοποιώντας επί
0.01
καί
23.27< πρέπει νά εΙναι χαλκός. Δέκα 23.5% μέ τυπική άπόκλιση 0.24%. Μποροϋμε νά συμπε (b) 0.05 δτι τό κράμα ίκανοποιεί τίς προδιαγραφές;
ελέγξτε τήν ύπόθεση δτι τό μέσο ποσοστό χαλκοϋ εΙναι μεγαλύτερο άπό τό άπαιτούμενο στίς
προδιαγραφές σέ επίπεδο σημαντικότητας
7.81.
< 1120
Οϊ προδιαγραφές γιά τήν παραγωγή ένός κράματος μετάλλων όρίζουν δτι τό άναλύσεις τοϋ κράματος εδωσαν μέσο ποσοστό χαλκοϋ
7.80.
μ
(b) 0.01.
(α)
0.01,
(b) 0.05.
'Ένας είδικός στήν παραγωγή ίσχυρίζεται δτι ή χρησιμοποίηση ένός νέου μηχανήματος στή διαδικασία κατασκευής ένός εξαρτήματος μειώνει ούσιαστικά τό χρόνο κατασκευής.
Τό κόστος δμως είσαγωγής τοϋ νέου αύτοϋ UΠΥανήμα
τος εΙναι μεγάλο καί συμφέρει νά είσαχτεί στήν παραγωγή μόνον αν ό χρόνος κατασκευής μειώνεται κατά τουλάχιστο.
άπόκλιση
Σέ εξι δοκιμές βρέθηκε δτι ό χρόνος κατασκευής μειώνεται κατά μέσο δρο κατά 8Α%
0.32%.
Σέ επίπεδο σημαντικότητας
(G)
0.01 καί
8.0%
μέ τυπική
(b) 0.05 ελέγξτε τήν ύπόθεση δτι τό νέο μηχάνη
μα πρέπει νά είσαχτεί.
!
&
.22U"
&1
§
2
2
;
,
μ
Κ Ε Φ.
7.82.
7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΠΚΟΤΗΤΑΣ
253
Δύο χημικά διαλύματα Α καί Β εξετάστηκαν γιά τό ρΗ τους (βαθμός όξύτητας τού διαλύματος). δειγμάτων τού Α εδωσε μέσο ρΗ
μέ τυπική άπόκλιση
ρΗ
Σέ έπίπεδο σημαντικότητας
7.49
7.52 0.032.
μέ τυπική απόκλιση
0.024.
Άνάλυση
0.05
Άνάλυση
6
δειγμάτων τού Β εδωσε μέσο
5
έξετάστε εάν τά δύο διαλύματα εχουν
διαφ"ρετικό ρΗ.
7.83.
Σέ μιά έξέταση στό μάθημα τής ψυχολογίας μονάδες, ένω
φοιτητές σέ μιά τάξη πήραν μέσο δρο
12
απόκλιση
6
φοιτητές σέ μιά άλλη τάξη πήραν μέσο βαθμό
μονάδες.
'Εξετάστε σέ έπίπεδο σημαντικότητας
15
0.05,
78
μονάδες μέ τυπική
μονάδες μέ τυπική απόκλιση
74
8
έάν ή πρώτη όμάδα των φοιτητων εΙναι καλύτερη από τή
δεύτερη.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗ χ 2
7.84.
Ή τυπική απόκλιση τού όρίου αντοχής ένός όρισμένου τύπου καλωδίου εΙναι μέθοδο κατασκευής των καλωδίων
έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
8
0.05,
κιλά.
240
δοκιμές εδωσαν δρια αντοχής μέ τυπική απόκλιση
Μετά από μιά αλλαγή στή
300
κιλά.
'Εξετάστε σέ
(b) 0.01 τή σημασία τής αύξήσεως πού παρουσιάστηκε στήν τυπική απόκλιση
τού όρίου άντοχής των καλωδίων.
7.85.
Σέ μιά πόλη όρίζεται ώς ετήσια θερμοκρασία ό μέσος δρος των μέσων θερμοκρασιων τής
15 ης ήμέρας κάθε μήνα. 100 έτών εΙναι 16° C, ενω των τελευ (α) 0.05, (b) 0.01 τήν ύπόθεση δτι ή δια
Ή τυπική απόκλιση των ετήσιων θερμοκρασιων τής πόλεως τών τελευταίων
ταίων
15 έτων ε!ναι 10°C.
'Ελέγξτε σέ έπίπεδο σημαντικότητας
σπορά τής θερμοκρασίας στήν πόλη εχει μειωθεί κατά τά τελευταία χρόνια.
7.86.
Στό Πρόβλ. 7.77 ενα δείγμα 20 λαμπτήρων παρουσίασε τυπική απόκλιση στή ζωή των λαμπτήρων 150 ώρες. Ε!ναι ασύνηθες αύτό;
'Εξηγήστε γιατί.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
7.87.
F
sr =
Δύο όμάδες μετρήσεων, μέ 21 καί 9 μετρήσεις ή κάθε μία, έδωσαν διασπορές Σέ επίπεδο σημαντικότητας
(α)
=
16 καί B~ 8 αντίστοιχα. 0.05, (b) 0.01 έλέγξτε τήν ύπόθεση δτι ή διασπορά τού πρώτου πληθυσμού ε!ναι
μεγαλύτερη από τή διασπορά τού δεύτερου πληθυσμού.
7.88.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
7.89.
Στό Πρόβλ.
7.82
7.87,
έάν οί δύο όμάδες εχουν
60
καί
120
μετρήσεις αντίστοιχα.
μπορούμε νά συμπεράνουμε δτι ύπάρχει σημαντική διαφορά στή διασπορά τού ρΗ γιά τά δύο
διαλύματα σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.10;
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΠΚΕΣ ΚΑΜΠΥ ΛΕΣ
7.90.
Στό Πρόβλ.
7.63
ύπολογίστε τήν πιθανότητα νά δεχτούμε τήν ύπόθεση δτι τό κουτί περιέχει 'ίσο αριθμό κόκκι νων καί
κίτρινων σφαιρων, ενω ή πραγματική αναλογία κόκκινων σφαιρών Ρ είναι
(α)
0.6, (b) 0.7,
(c) 0.8,
(d) 0.9,
(e) 0.3.
7.91.
Παραστήστε γραφικά τά αποτελέσματα τού Πρόβλ. γκρίνετε τίς καμπύλες αύτές μέ εκείνες τού Προβλ.
7.90 7.25
δίνοντας τά β καί
β
1-
ώς
συναρτήσεις τού ρ.
Συ
θεωρώντας τήν αναλογία κόκκινων καί κίτρινων σφαιρων
σάν αναλογία αποτελεσμάτων κεφάλι καί γράμματα.
7.92.
Νά λυθούν τά Προβλ.
7.26
καί
7.27
μέ δοκιμασία
400
σχοινιων.
Τί συμπεραίνετε γιά τόν κίνδυνο δεύτερου ε'ίδους,
δταν αύξάνεται τό μέγεθος τού δείγματος;
7.93.
Σχεδιάστε μιά χαρακτηριστική καμπύλη καί μιά καμπύλη ίσχύος γιά τό Πρόβλ. μέ εκείνες τού Προ βλ.
7.65.
Συγκρίνετε τίς καμπύλες αύτές
7.27.
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ
7.94.
'Ένα είδος κλωστής κατασκευάζεται μέ τέτοιο τρόπο ωστε νά εχει μέσο δριο αντοχής ή παραγωγή εξακολουθεί νά δίνει κλωστή αύτής τής ποιότητας, παίρνουμε κάθε
τια τής κλωστής καί βρίσκουμε πειραματικά τό μέσο δριο τής αντοχής τους.
(b) 99%
καί
3
8.64 gr.
Γιο. νά ελέγξουμε έάν
ώρες ενα δείγμα από
Ύπολογίστε τά
(α)
16 κομμα 99.73% ij 3σ,
(c) 95% δρια έλέγχου σ' ενα διάγραμμα έλέγχου ποιότητας καί Ιξηγήστε τή χρήση τους. Ύπο 1.28 gr,
θέστε δτι ή τυπική απόκλιση τοϋ όρίου αντοχής τής κλωστής ε!ναι
""I.!!I~IJIι~- - - - - - - - - -_ _ _ _ _.Ι!!.-....-."::::< _.-....---
254 7.95.
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
Τό
3~;'
άπό τίς βίδες πού κατασκευάζει μιά μηχανή ε!ναι έλαττωματικές.
διατηρείται χαμηλό, έξετάζουμε κάθε τέσσερις
(b) 95'10
ώρες ενα δείγμα άπό
7
Γιά νά έλέγξουμε έάν τό ποσοστό αύτό
200
βίδες.
δρια έλέγχου γιά τό πλήθος τών έλαττωματικών βιδών σέ κάθε δείγμα.
Ύπολογίστε τά
(α)
99%
καί
Άς σημειωθεί δτι έδώ χρειαζόμα
στε μόνον τά άνω δρια έλέγχου.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
7.96.
Προσαρμόστε μιά διωνυμική κατανομή στά δεδομένα τού Πίν.
7.97.
Χρησιμοποιώντας εΙδικό χαρτί πιθανοτήτων βρείτε εάν τά δεδομένα τού
7-24. Πίν.
Προβλ.
5.98
7.98.
Προσαρμόστε μιά KανOνΙΙCή ιcατανoμή στά δεδομένα τού Προβλ.
7.99.
Προσαρμόστε μιά KανOνΙΙCή ιcατανoμή στά δεδομένα τού Προβλ.
7.100.
Προσαρμόστε μιά κατανομή τού
Poisson
Ο
1
2
3
4
30
62
46
10
2
χ
μπορούν νά προσεγγιστούν από μιά κανονική κατανομή.
f
5.98. 5.100.
στά δεδομένα τού Προ βλ.
7.96.
Συγκρίνετε τήν προσαρμογή μέ αύτή τής διωνυμΙΙCής ιcατανoμής.
7.101.
Ή πτώση κεραυνού είναι σπάνιο γεγονός. στήματα παρατηρήθηκε στι σέ ραυνοί (Πίν.
f
Σέ
200
Πίν.
ίσα χρονικά δια
7-25
χ
Ο
1
2
3
4
f
109
65
22
3
1
άπό τά διαστήματα αύτά επεσαν χ κε
Προσαρμόστε μιά κατανομή τού
7-25).
7-24
Poisson
στά δεδο
μένα αύτά.
ΕΛΕΓΧΟΣ χ2
7.102.
Σέ
r,0
ρίψεις ενός νομίσματος ήρθε
37
φορές κεφάλι καί
νόμισμα είναι κανονικό σέ έπίπεδο σημαντικότητας
7.103. 7.104.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
7.102
μέ τή διόρθωση τού
(α)
2:3 φορές γράμματα. 0.05, (b) 0.01.
'Ελέγξτε τήν ύπόθεση στι τό
Yates.
Γιά ενα μεγάλο χρονικό διάστημα οί καθηγητές ενός μαθήματος εβαλαν 12% δεκάρια καί ένιάρια, καί επτάρια,
40%
εξάρια καί πεντάρια,
18%
νας νέος καθηγητής εβαλε στό πρώτο του ετος Σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.05
τεσσάρια καί τριάρια καί
22, 34. 66, 16
καί
12%
Ρίχνουμε
τρία
νομίσματα
(μαζί)
μπορούμε νά πούμε δτι ό νέος καθηγητής διαφέρει από τούς προηγούμενους;
240
φορές
καί σημειώνουμε κάθε φορά τό πλήθος τών νομισμάτων πού ήρθαν κεφάλι. νουμε τελικά τόν Πίν.
7-26,
'Έ
βαθμούς άπό κάθε κατηγορία αντίστοιχα.
12
Πίν.
7.105.
18'7< όκτάρια
δυάρια, μονάδες καί μηδενικά.
Έτσι παίρ
Παρατηρούμενη
όπου σημειώνονται
Συχνότητα
7-26
Ο
1
2
3
24
108
95
23
30
90
90
30
καί οί άναμενόμενες συχνότητες μέ τήν ύπό
θεση δτι τά νομίσματα εΙναι κανονικά.
'Ελέγ
. Αναμενόμενη
ξτε τήν ύπόθεση αύτή σέ έπίπεδο σημαντικό τητας
Συχνότητα
0.05. Πίν.
7.106.
Στόν Πίν.
7-27
δίνεται τό πλήθος τών βι
βλίων πού δανείστηκαν σέ μιά εβδομάδα α
πό μιά δημόσια βιβλιοθήκη.
'Ελέγξτε τήν
ύπόθεση δτι τό πλήθος τών βιβλίων πού
Βιβλία πού δανείστηκαν
7-27
Δευτ.
Τρίτη
Τετ.
Πέμ.
Παρ.
135
108
120
114
146
δανείζονται ανά ήμέρα δέν έξαρτάται από τήν ήμέρα σέ έπίπεδο σημαντικότητας (α)
0.05,
rb) 0.01. Πίν.
7.107.
'Ένα δοχείο περιέχει
ρες. τά
()
κόκκινες καί
3
άσπρες σφαί
Ο κόκ.
Τραβάμε στήν τύχη δύο σφαίρες, σημειώνουμε χρώματά τους καί
Αύτό γίνεται
7-28. (b)
120
τίς ξαναβάζουμε στό δοχείο.
φορές.
Έτσι παίρνουμε τόν Πίν.
(α) Ύπολογίστε τίς αναμενόμενες συχνότητες. Σέ επίπεδο σημαντικότητας
τά
αποτελέσματα
τά
αναμενόμενα.
τού
2
Πίν.
7-28
0.05
έλέγξτε, έάν
εΙναι
σύμφωνα μέ
Πλήθος Περιπτώσεων
άσπρο
6
7-28
1 1
κόκ.
κόκ.
2
άσπρο
Ο ασπρ.
53
61
Κ Ε Φ.
7.108.
7
255
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
Άπό τέσσερις μηχανές πού κατασκευάζουν βίδες παίρνουμε τέσσερα τυχαία δείγματα μέ διακόσιες βίδες τό καθένα. Στά δείγματα αυτά οί έλαττωματικές βίδες μεταξύ τών μηχανών σέ έπίπεδο
Β,
J)crav 2,
1 Ο, 3
αντίστοιχα.
Έξετάστε έάν ύπάρχει σημαντική διαφορα
0.05.
ΚΑΛΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ
7.109.
Χρησιμοποιώντας ελεγχο χ 2 έξετάστε έάν ή προσαρμογή τής θεωρητικής καμπύλης τής διωνυμικής κατανομής στό Πρόβλ.
7.110.
(α) καλή,
Χρησιμοποιώντας ελεγχο
7.98
7.111.
ε!ναι
7.96
καί
(b)
Χρησιμοποιώντας ελεγχο
7.101
0.05.
χ 2 έξετάστε έάν ή προσαρμογή τής θεωρητικής καμπύλης ε!ναι καλή
στό Πρόβλ.
(δ) στό Πρόβλ.
(b) πολύ καλή σέ έπίπεδο σημαντικότητας
7.99
σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.05.
χ 2 έξετάστε έάν ή προσαρμογή της θεωρητικής καμπύλης
ε!ναι καλή.
Συμφωνεί τό συμπέρασμα στό
(α) στό Πρόβλ.
(α) μέ τό αποτέλεσμα τού Προβλ.
Πίν.
ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ
7.112.
Στόν Πίν.
7-29
Σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.01
καί
έλέγξτε τήν ύπόθεση δτι δέν ύπάρχει διαφορά μεταξύ έμβολιασμέ
7-29
'Ασθενείς
Ύγιείς
()
42
17
28
'Εμβολιασμένοι ι---
Μή 'Εμβολιασμένοι
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
7.112
μέ τή διόρθωση τού
Yates. Πίν.
7.114.
Στόν Πίν.
7-30 δίνεται
τό πλήθος τών μαθητών δύο τάξεων Α καί Β, ποί, πέτυχαν η
δέν πέτυχαν σ' ενα διαγώνισμα.
0.01
Σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.05
καί
έλέγξτε τήν ύπόθεση δτι δέν ύπάρχει διαφορά μεταξύ τών δύο τάξεων.
πρόβλημα νά λυθεί χωρίς καί μέ τή διόρθωση τού
____ Τάξη Α
Τό
Yates.
Πέτυχαν
Άπέτυχαν
.
72
17
_ _ _
ο
23
G-J.
Σέ μιά όμάδα ασθενών, πού λέγανε δτι δέν κοιμόντουσαν καλά, εδωσαν σέ αλλους χάπια ϋπνου καί σέ αλλους χάπια ζάχαρης, αν καί δλοι νόμισαν δτι επαιρναν χάπια ϋπνου.
χάπια βελτίωσαν τόν ϋπνο τους η δχι.
Μετά από μερικές ήμέρες οί ασθενείς ρωτήθηκαν, έάν τά
Οί απαντήσεις τους δίνονται στόν Πίν.
χάπια ϋπνου δέ διαφέρουν από τά χάπια ζάχαρης σέ επίπεδο σημαντικότητας
Πίν.
Χάπια 'Ύπνου Πήραν Χάπια Ζάχαρης
7-31. 0.05.
Πίν.
7-31
Κοιμήθηκαν
Δέν Κοιμή-
Καλά
θηκαν Καλά Δημοκρατικοί
Πήραν
7.116.
7-30
(b)
Τάξη Β
7.115.
καί
(b) 0.05
νων καί μή, δηλ. δτι τό έμβόλισ καί ή ασθένεια ε!ναι ανεξάρτητα.
7.113.
7.100 7.109;
δίνονται τά αποτελέσματα ενός πειράματος, πού
εγινε γιά νά προσδιοριστεί ή έπίδραση ενός έμβολίου έναντίον μιας
ασθένειας.
(α) στό Πρόβλ.
Μήπως ή προσαρμογή ε!ναι πολύ καλή;
44
10
81
35
'Ελέγξτε τήν ύπόθεση δτι τά
7-32
Ύπέρ
Κατά
85
78
37
118
61
25
'Α ναποφάσιστοι
.-
Ρεπουμπλικάνοι
Οί Δημοκρατικοί καί οί Ρεπουμπλικάνοι (το. δύο ,.;όμματα στίς ΗΠΑ) ψήφισαν γιο. ενα θέμα. δπως φαίνεται στόν
Πίν.
7.32.
Σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.01
,.;αί
(Ιι)
0.05
έλέγξτε τήν ύπόθεση δτι δέν ύπάρχει διαφορά στο.
δύο κόμματα γιο. αυτό τό θέμα.
7.117.
Στόν Πίν.
0.05
καί
7.33 δίνονται οί αποδόσεις φοιτητών στο. μαθηματικά καί τή φυσική. (b) 0.01 έλέγξτε τήν ύπόθεση δτι οί άποδ';σεις τών φοιτητών στο.
Σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
μαθηματικά καί τή φυσική ε!ναι
ανεξάρτητες.
221.'
---
256
Κ Ε Φ.
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤ ΑΣ
Πίν.
7
7-33 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Μεγάλοι
Μέτριοι
Μικροί
Βαθμοί
Βαθμοί
Βαθμοί
Μεγάλοι Βαθμοί
56
71
12
Μέτριοι Βαθμοί
47
163
38
Μικροί Βαθμοί
14
42
85
:t ~
ϊ;::J
;;.... θ
7.118.
Στόν Πίν.
7-34
δίνονται τά αποτελέσματα μιας ερευνας πού εγινε γιά νά μελετηθεί ή σχέση τής ήλικίας ένός ένήλlκου
όδηγού μέ τό πλήθος τιον αύτοκινητιστικων ατυχημάτων πού εχει.
Σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.05
έλέγξτε τήν ύπόθεση δτι τό πλήθος των ατυχημάτων είναι ανεξάρτητο τής ήλικίας τού όδηγού.
(b) 0.01
δυσκολίες
στή
δειγματοληψία
η
αλλες
αίτίες μπορούν νά έπηρεάσουν τό συμπέρασμα μιας
καί
Ποιές
τέτοιας ερευνας;
7-34
Πίν.
ΗΛΙΚΙΑ ΟΔΗΓΟΥ
21-30
Ι
31-40
Ο
748
Ι
1
74
2
31
Περισσότερα
9
Ζ
~
Ο Θ
c:
f-
::ε
:t :t
< ι::
Χ
....?
7_119.
Δείξτε δτι
χ 2 ::::Σ (xT/npj) - 11
τή σχέση αύτή λύστε τό Πρόβλ.
7.120.
'Εάν
'11; καί
llj
ι ι
ι
Ι Ι
i
Ι
41-50
51-60
61-70
821
786
720
672
60
51
66
50
~22 10 6
16
15
5
7
γιά κάθε πίνακα συνάφειας, δπου n είναι ή όλική συχνότητα.
Χρησιμοποιώντας
7.117.
είναι άντίστοιχα τό αθροισμα των συχνοτήτων τής
ί γραμμής καί τής
j στήλης ενος πίνακα
συνάφειας (δηλ. οί περιθώριες συχνότητες), δείξτε δη ή αναμενόμενη συχνότητα τού κελιού τής τής
7.121. 7.122.
j
στήλης είναι
Δείξτε τή σχέση
(2)
1/;'/1./n,
i
γραμμής καί
χ
k
δπου '/1. ή όλική συχνότητα.
τού Προβλ.
7.49.
'Επεκτείνετε τίς εννοιες πού παρουσιάστηκαν γιά πίνακες συνάφειας
h
χ
k
σέ πίνακες συνάφειας
h
χ
l.
Πού
μπορεί νά εχουν έφαρμογή τέτοιοι πίνακες;
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ
7.123.
Στόν Πίν.
7-35
Πίν.
δίνεται τό πλήθος των γυναικων μέ
όρισμένο χρωμα μαλλιων καί ματιων.
ΧΡΩΜΑ ΜΑΛΛΙΩΝ
στε τό συντελεστή συνάφειας χωρίς καί μέ τή διόρ
θωση τού
Yates.
(b)
--
Συγκρίνετε τά αποτελέσματα αύ
Ξανθά
τά μέ τό μέγιστο δυνατό συντελεστή συνάφειας.
7.124.
Ύπολογίστε τό συντελεστή συνάφειας γιά τά δεδο μένα των Προβλ.
(α)
μέ τή διόρθωση τού
7.112 Yates.
καί
7-35
(α) Ύπολογί
(b) 7.114
χωρίς καί
Ζ
c: c:f: ι:l..
Χ::ε
Ι
Ι
Γαλάζια Άλλο χρωμα
49
30
7.125.
Ύπολογίστε τό συντελεστή συνάφειας γιά τά δεδομένα τού Προβλ.
7.126.
Δείξτε δτι ό μέγιστος συντελεστής συνάφειας ένός πίνακα 3 χ 3 είναι vΊ"::: 0.8165.
7.127.
Δείξτε δτι ό μέγιστος συντελεστής συνάφειας γιά εναν πίνακα k χ k είναι Υ (k - 1)/k.
7.117.
Ι .Αλλο χρωμα
Ι
25
Ι
96
!
~
• Κ Ε Φ.
7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ
257
ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
7.128.
Δύο κουτιά Α καί Β περιέχουν τό καθένα τόν "ίδιο αριθμό σφαιρών, σέ κάθε κουτί δμως ύπάρχουν κόκκινες καί ασπρες
σφαίρες σέ αγνωστη αναλογία. Α
7.129.
32
Παίρνουμε από κάθε κουτί
σφαίρες ήσαν κόκκινες, ένώ στό δείγμα από τό Β
0.05
έλέγξτε τήν ύπόθεση δτι
καί
(b)
50
σφαίρες μέ έπανατοποθέτηση.
σφαίρες ήσαν κόκκινες.
23
Στό δείγμα από τό
Σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α) τά δύο κουτιά περιέχουν κόκκινες καί ασπρες σφαίρες στήν "ίδια αναλογία
τό Α περιέχει περισσότερες κόκκινες σφαίρες από τό Β.
Στό Πρόβλ.
7.54
ύπολογίστε τόν έλάχιστο αριθμό έρωτήσεων πού ενας φοιτητής πρέπει νά απαντήσει σωστά για νά
ειναι ό καθηγητής σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.05, (b) 0.01, (c) 0.001, (d) 0.06
βέβαιος δτι ό φοιτητής
δέν απαντάει στήν τύχη.
7.130.
Γιά τό Πρόβλ.
7.131.
Νά λυθοϋν τά Προβλ.
7.132.
Σέ
8
7.55
σχεδιάστε καμπύλες ανάλογες μέ αυτές τοϋ Προβλ.
7.54-7.56,
έάν τό
στόν κανόνα αποφάσεως τοϋ Προβλ.
7
7.54
γίνει
8.
7 φορές. Μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση δτι τό νόμισμα είναι 0.05, (ό) 0.10, (c) Ο.()}; Χρησιμοποιηστε δίπλευρο ελεΥχΟ.
ρίψεις ένός νομίσματος ήρθε κεφάλι
κανονικό σέ επίπεδο σημαντικότητας
7.23.
(α)
7.133.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
7.132
μέ μονόπλευρο ελεΥχΟ.
7.134.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
7.132,
7.135.
'Εξετάστε πώς μποροϋμε μέ δειγματοληψία νά μελετήσουμε τήν αναλογία διαφόρων είδών ψαριών σέ μιά λίμνη.
7.136.
Πώς μποροϋν νά όριστοϋν μονόπλευρα διαστήματα έμπιστοσύνης;
Δώστε μιά πιθανή έφαρμογή τους.
7.137.
Σ' ενα πανεπιστήμιο καί γιά ενα μεγάλο χρονικό διάστημα τό
τών φοιτητών πού έξετάστφ.:α\' σ' ενα μάθημα
έάν τό νόμισμα ήρθε κεφάλι
φυσικης πηραν άριστα στό μάθημα αυτό.
στό "ίδιο μάθημα οί
7.138.
40.
6
φορές.
10%
Τόν τελευταίο χρόνο από
300
φοιτητές πού έξετάστηκαν πήραν αριστα
Ε!ναι σημαντικό τό αποτέλεσμα αυτό σέ επίπεδο
(α)
0.05, (b) 0.01:
Μέ βενζίνη τής Α έταιρείας πέντε δμοια μηχανάκια διάνυσαν μέ τίς "ίδιες συνθήκες μέση απόσταση
ανά λίτρο μέ τυπική απόκλιση
τυπική απόκλιση
0.54.
χιλιόμετρα.
0.48
Σέ επίπεδο σημαντικότητας
22.6
χιλιόμετρα
Μέ βε\'ζίνη τής Β έταιρείας ή μέση απόσταση ήταν
0.05
21 Α
μέ
ελέγξτε έάν ή βενζίνη τής έταιρείας Α δίνει περισσότερα
χιλιόμετρα ανά λίτρο από τή βενζίνη της Β.
7.139.
Στό Πρόβλ.
7.138
ε!ναι ή διασπορά τής μέσης αποστάσεως (σε χιλιόμετρα ανά λίτρο) μεγαλύτερη γιά τή βενζίνη τής
έταιρείας Β από τή βενζίνη τής Α;
7.140.
Γιά τόν Πίν.
7-36
Γιατί;
δείξτε ότι Πίν.
Ι
Π
ΠΙ
Σύνολο
α1
Q'2
a~
nA
Β
bl
Iι~
b3
nB
Σί'νολο
11ι
112
?l3
n
Α
7.141.
7.142.
Γενικεϋστε τό άποτέλεσμα του Προβλ.
Χρησιμοποιώντας τή σχέση του Προ βλ. στό Πρόβλ.
7.47.
7.140.
7.140 ύπολογίστε τό χ 2
7-36
~
Ι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
8
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ
Στήν πράξη βρίσκουμε συχνά δτι δύο η περισσότερες μεταβλητές συνδέονται μέ κάποια σχέση καί θέλουμε νά διατυπώσουμε τή σχέση αυτή σέ μαθηματική μορφή προσδιορίζοντας μιά εξίσωση πού συνδέει τίς μεταβλητές. Τό πρωτο βήμα είναι ή συλλΟΊή δεδομένων μέ αντίστοιχες τιμές των μεταβλητων.
εάν χ καί Υ είναι αντίστοιχα τό ϋψος καί τό βάρος ενός ενήλικου, τότε ενα δείΊμα από θά μας δώσει ϋψη
Τό επόμενο
Χι, Χ2,
... , Xn
μέ αντίστοιχα βάρη
Υι, ΥΖ,
βήμα είναι νά προσδιορίσουμε τά σημεία
καρτεσιανό σύστημα συντεταΊμένων.
Έτσι,
ενήλικους
n
... , Υπ. (Χι, Υι), (Χ2, Υ2),
... , (X n, Yn)
σ'
ενα
'Έτσι παίρνουμε ενα σύνολο διασπαρμένων σημείων, ενα
σμήνος σημείων. πού συχνά καλείται διάγραμμα διασποράς. 'Από τό διάΊραμμα διασπορας είναι συχνά εύκολο νά σχεδιάσουμε μιά όμαλή καμπύλη πού νά προσεηίζει τά δεδομένα, δηλ. νά περνάει κοντά από τά σημεία αυτά. προσεγγιστική καμπύλη.
'Έτσι, στό Σχ.
Μιά τέτοια καμπύλη καλείται
τά δεδομένα εχουν προσεηιστεί από μιά ευθεία καί λέμε
8-1
δτι ύπάρχει μιά γραμμική σχέση μεταξύ των μεταβλητων.
Στό Σχ.
8-2
οί δύο μεταβλητές φαίνεται νά
συνδέονται, αλλά δχι Ίραμμικά καί λέμε δτι εχουμε μιά μή γραμμική σχέση.
Στό Σχ.
8-3
δέ φαίνεται
νά ύπάρχει σχέση μεταξύ των μεταβλητων.
Υ
Υ
Υ
...
.
L--------------------x Σι.
~------------------x
Σι.
8-1
'.
L-------------_______ x Σι.
8-2
8-3 _
Τό Ίενικό πρόβλημα του προσδιορισμου των εξισώσεων των προσεηιστικων καμπυλων πού προσαρμόζονται σέ όρισμένα δεδομένα καλείται προσαρμογή καμπύλης. καμπύλης ύποδείχνεται συχνά από τό σύνολο των σημείων.
Στήν πράξη τό είδος τής
'Έτσι, στό Σχ.
8-1
θά μπορούσαμε νά
χρησιμοποιήσουμε μιά ευθεία
= α + bx
Υ ενω στό Σχ.
8-2
(1)
θά μπορούσαμε νά χρησιμοποιήσουμε μιά παραβολή (η δευτεροβάθμια καμπύλη)
Υ
= α + bx + cx
2
(2)
Μερικές φορές είναι σκόπιμο νά πάρουμε τά σημεία σέ διαφορετικούς άξονες, δηλ. νά μετασχημα τίσουμε τίς μεταβλητές.
Π.χ., Εάν ό
ευθεία, μπορουμε νά πάρουμε τήν
log Υ log Υ =
ώς συνάρτηση του χ φαίνεται νά παριστάνεται από α
+ bx 258
ώς εξίσωση τής προσεηιστικής καμπύλης.
φι
Κ Ε Φ.
8
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
259
ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 'Ένας από τούς κύριους σκοπούς τής προσαρμογής καμπυλών είναι ή εκτίμηση μιας από τίς
μεταβλητές, τής έξαρτημένης μεταβλητής, από τήν Cίλλη, τήν άνεξάρτητη μεταβλητή. διαδικασία εκτιμήσεως καλείται συχνά παλινδρόμηση.
Ή μέθοδος
'Εάν ή Υ πρόκειται νά εκτιμηθεί από τήν
ij
ή χ
μέ βάση μιά εξίσωση, καλουμε τήν εξίσωση αυτή έξίσωση παλινδρομήσεως τής Υ ώς πρός (ή έπί τήν) Χ
καί τήν καμπύλη πού παριστάνει καμπύλη παλινδρομήσεως τής Υ ώς πρός (ή έπί τήν) Χ.
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Γενικά, σ' ενα σμήνος σημείων μπορουν νά προσαρμοστουν περισσότερες από μιά καμπύλες μιας
όρισμένης μορφής.
Γιά νά αποφύγουμε ύποκειμενικές κρίσεις στήν κατασκευή τέτοιων ευθειών,
παραβολών καί άλλων προσεγγιστικών καμπυλών, είναι απαραίτητο νά όρίσουμε τί εννοουμε μέ τόν δρο «ευθεία μέ τήν καλύτερη προσαρμογή», «παραβολή μέ τήν καλύτερη προσαρμογή», κτλ. Γιά νά δικαιολογήσουμε τόν όρισμό, πού θά δώ
σουμε, θεωρουμε στό Σχ.
(Χι, Υι),
... , (x n, Yn).
8-4
τά δεδομένα σημεία
Υ
Γιά κάποια τιμή του Χ, έστω
Χι, θά ύπάρχει μιά διαφορά μεταξύ τής τιμής Υι καί τής αντίστοιχης τιμής τής καμπύλης
dl
Έστω
C.
ή διαφορά αυτή, πού καλείται συχνά άπόκλιση,
•
σφάλμα ή ύπόλοιπο καί μπορεί νά είναι θετική, αρνη
τική ή μηδέν.
'Όμοια, άς είναι
οί δια
d2, ... , d n
•
φορές πού αντιστοιχουν στίς τιμές Χ2, ..• , X n •
•
'Ένα μέτρο του πόσο καλή είναι ή προσαρμογή
τής καμπύλης
C στά σότητα di + d~ + ...
δεδομένα δίνεται άπό τήν πο
+ d~.
'Εάν ή ποσότητα αύτή
είναι μικρή, ή προσαρμογή είναι καλή, εάν είναι μεγάλη, δέν είναι καλή.
~------------------------------x
Έτσι έχουμε τόν έξής ό Σχ.
ρισμό:
'Ορισμός:
8-4
Άπ' όλες τίς προσεγγιστικές καμπύλες γιά ενα δεδομένο σμήνος σημείων ή καμπύλη μέ
τήν ιδιότητα
d;
+ d~ + ... + d~
= ελάχιστο
είναι ή καμπύλη μέ τήν καλύτερη προσαρμογή. Λέμε δτι μιά τέτοια καμπύλη εχει προσαρμοστεί στά δεδομένα μέ βάση τήν αρχή τών έλάχιστων
τετραγώνων καί καλείται καμπύλη παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων ή άπλά καμπύλη έλάχιστων τετραγώνων.
Μιά ευθεία μέ τήν ιδιότητα αυτή καλείται εύθεία έλάχιστων τετραγώνων, μιά παραβολή
μέ τήν ιδιότητα αυτή καλείται παραβολή έλάχιστων τετραγώνων, κτλ. Ό προηγούμενος όρισμός ίσχύει σταν Χ είναι ή ανεξάρτητη μεταβλητή καί Υή εξαρτημένη.
'Εάν Χ είναι ή εξαρτημένη μεταβλητή, τροποποιουμε τόν όρισμό θεωρώντας όριζόντιες αντί γιά κατακόρυφες αποκλίσεις, πού σημαίνει ουσιαστικά ότι αλλάξαμε τούς άξονες. δίνουν γενικά δύο διαφορετικές καμπύλες ελάχιστων τετραγώνων.
Οί δύο αυτοί όρισμοί
'Εκτός καί δηλώνεται μέ σαφή
νεια τό αντίθετο, θά δεχτοϋμε ΟΤΙ Υ είναι ή εξαρτημένη μεταβλητή καί Χ ή ανεξάρτητη. Είναι δυνατό νά όρίσουμε μιά άλλη καμπύλη ελάχιστων τετραγώνων παίρνοντας τίς κάθετες άποστάσεις τών σημείων του σμήνους από τήν καμπύλη αντί γιά τίς κατακόρυφες ή όριζόντιες
αποστάσεις.
Αυτή ή εκλογή δμως δέν χρησιμοποιείται συχνά.
Η ΕΥΘΕΙΑ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ
Χρησιμοποιώντας τόν προηγούμενο όρισμό μπορουμε νά δείξουμε (Πρόβλ.
ελάχιστων τετραγώνων πού προσεγγίζει τό σμήνος τών σημείων (Χι, Υι),
Υ
•
8.3)
... , (x n, Υπ)
= α + bx
στι ή ευθεία
εχει εξίσωση
(3)
2
lE4a:.
260
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
δπου οί σταθερές α καί
b
Κ Ε Φ.
ίκανοποιούν τίς εξισώσεις
ΣΥ
+bΣΧ α Σ Χ + b Σ χ2 αn
ΣΧΥ
(4)
Οί εξισώσεις αυτές καλούνται κανονικές εξισώσεις γιά τήν ευθεία ελάχιστων τετραγώνων.
.. Σ XjYj.
"
σημειωθεί δτι γιά συντομία γράφουμε Σ Υ, Σ ΧΥ
αντί γιά Σ Yj, ;=1
τίς κανονικές εξισώσεις τής
(3),
(4),
(ΣΥ)(Σχ 2 ) l1Σχ 2
Ή εκφραση γιά τό
b
επί Χ καί άθροιση.
nΣΧΥ
b
(Σχ)2
(Σχ)(ΣΥ)
-
nΣχ 2
-
(5)
(Σχ)2
γράφεται καί
b
=
Σ (Χ - Χ)(Υ -Υ)
-
Σ(χ
(6)
χ)2
δπου, δπως συνήθως, ή γραμμή πάνω από ενα γράμμα σημαίνει μέση τιμή, δηλ. Χ ρώντας τήν πρώτη από τίς
(4)
μέ
n
=
(Σχ)/n.
Διαι
εχουμε
=
Υ 'Άρα, εάν θέλουμε, μπορούμε νά βρούμε τό
- bx.
Αυτός
b
(Σχ)(ΣΧΥ)
-
(3)
καί δέν αποτελεί απόδειξή τους.
(4)
εχσυμε τίς τιμές τών α καί
_
α
Εύκολα θυμόμαστε
εάν παρατηρήσουμε δτι ή πρώτη εξίσωση προκύπτει τυπικά από άθροιση
βέβαια είναι εν ας τρόπος νά θυμόμαστε τίς
(4)
»Ας
;=1
ενώ ή δεύτερη προκύπτει τυπικά από πολλαπλασιασμό τής
Λύνοντας τίς
8
b
α
+ bx
από τήν
(7) ή τήν
(5)
(6)
καί μετά τό α απο τήν
α
=
Υ
Αυτό ισοδυναμεί μέ τό νά γράψουμε τήν ευθεία ελάχιστων τετραγώνων στή μορφή
Υ 'Από τήν
(8)
-
=
Υ
b(x -
φαίνεται δτι ή σταθερή
τόν όρισμό τής ευθείας.
'Από τήν
Χ)
ή
b, (8)
Υ
___ Σ(Χ-Χ)(Υ-Υ)( _-) Υ -
Σ (Χ _ Χ)2
πού είναι ή κλίση τής εύθείας
(3),
χ
(8)
Χ
είναι ή βασική σταθερή γιά
φαίνεται ακόμα δτι ή ευθεία ελάχιστων τετραγώνων περνάει
από τό σημείο (Χ, iί), πού καλείται κέντρο βάρους των δεδομένων. Ή κλίση
b
τής ευθείας παλινδρομήσεως είναι ανεξάρτητη από τήν αρχή τών συντεταγμένων.
Αυτό σημαίνει δτι ό μετασχηματισμός (πού καλείται μεταφορά τών άξόνων)
Χ μέ }Ι καί
k
σταθερές,
δέ
b
=
χ'
μεταβάλλει τό
=
nΣχ'Υ'
+h b,
Υ
=
Υ'
+
(9)
k
πού δίνεται καί από τή σχέση
- (Σχ')(ΣΥ')
1ιΣx'~ - (Σχ')2
Σ(Χ'
- Χ')(Υ' -Υ;)
Σ(χ' _ Χ')2
=
δπσυ τά Χ, Υ εχουν αντικατασταθεί από τά Χ', Υ',
Έπειδή συμβαίνει αυτό, λέμε δτι ή
άμΣτάβλητη ή άναλλοίωτη κάτω από τό μετασχηματισμό
(9).
(10)
b
ε{ναι
Ή α δμως, πού όρίζει τήν τομή τής
εΙJθείας μέ τόν άξονα των Χ, δέν είναι αμετάβλητη.
Στήν ειδική περίπτωση δπου
Ιι
= Χ,
k = ij,
b Οί
σχέσεις
(Ι Ο)
ή
=
(10)
γίνεται
Σχ'Υ'
(1.1)
Σχ'2
καί (Ιl) χρησιμοποιούνται συχνά γιά νά άπλουστευτούν οί ύπολογισμοί στόν
προσδιορισμό τής ευθείας ελάχιστων τετραγώνων. Οί προηγούμενες παρατηρήσεις ισχύουν καί γιά τήν ευθεία παλινδρομήσεως τής Χ ως πρός
Υ.
Οί αντίστοιχες εξισώσεις προκύπτουν τυπικά μέ εναλλαγή τών χ καί Υ στούς προηγούμενους τύ
πους.
'Έτσι, ή εύθεία παλινδρομήσεως ελάχιστων τετραγώνων τής Χ ως πρός Υ είναι
acιιχ&
nl_ .
s
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
8
Κ Ε Φ.
χ _ Χ Γενικά, ή
(12)
=
261
Σ(χ - Χ)(Υ - Υ) (Υ - Υ) Σ(Υ - Υ)2
δέν παριστάνει τήν ίδια εύθεία μέ τήν
(12)
(8).
Η ΕΥΘΕΙΑ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΩΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΣΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΥΝΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΤΟΥ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ
Οί διασπορές καί ή συνδιασπορά τοϋ δείγματος των χ καί Υ δίνονται άπό τίς σχέσεις 9
S- Χ
Σ(Χ-Χ)2
n
-
'
B~
Σ(Υ - Υ)2
_
Sxy
n
= Σ(χ -
Χ)(Υ
Υ)
-
(13)
n
Οί εύθείες παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων τής Υ ώς πρός χ καί τής χ ώς πρός Υ γραφονται άντίστοιχα Υ
-
_ Υ
=
SXY (
S;
_) χ
χ -
_
SXy (
_)
(14)
Χ-Χ=---ΖΥ-Υ
Sy
'Εάν όρίσουμε τυπικά τό δειγματικό συντελεστή συσχετίσεως μέ τή σχέση [δπως μέ τήν σελ.
82]
SXY
r τότε ή
(14)
(54)
τής
(15)
μπορεί νά γραφεί
-
-
χ -χ_ r(Υ Υ) --
Υ -Υ _ r(χ -- -Χ) Sy
sx
Sx
(16)
Sy
'Επειδή οί (Χ
- x)/Sx καί (Υ - Y)/Sy εΙναι τυποποιημένες δειγματικές μεταβλητές ή τυπικά άποτε (16) μας δίνουν εν αν πολύ άπλό τρόπο γιά νά θυμόμαστε τίς εύθείες παλινδρομήσεως. φανερό ότι οί (16) παριστάνουν δύο διαφορετικές εύθείες, έκτός έάν r ±1, όπότε όλα τά ση
λέσματα, οί
Ε{ναι
=
μεία τοϋ δείγματος βρίσκονται πάνω σέ μιά εύθεία καί ύπάρχει πλήρης γραμμική συσχέτιση καί
παλινδρόμηση. Ε{ναι ένδιαφέρον νά σημειώσουμε στι, αν οί δύο εύθείες παλινδρομήσεως
α
+ bx
καί
χ
= c + dy
(16)
γραφούν Υ
=
άντίστοιχα, εΙναι
(17) Μέχρι τώρα δέν εχουμε έξετάσει τήν άκριβή σημασία τοϋ συντελεσΤή συσχετίσεως, άλλά τόν εχουμε μόνον όρίσει άπό τίς διασπορές καί τή συνδιασπορά.
Στή σελ.
263
θά έξετάσουμε τή
σημασία του.
Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Εϋκολα μπορούμε νά έπεκτείνουμε τίς προηγούμενες ιδέες.
'Έτσι, Π.χ. ή παραβολή έλάχιστων
τετραγώνων. πού προσαρμόζεται σ' ενα σμήνος σημείων, εΙναι
Υ δπου οί σταθερές α,
b, c
= α + bx + cx
2
(18)
ίκανοποιοϋν τίς κανονικές έξ,ισώσεις
ΣΥ
na
b Σ Χ + c Σ χ2
+
+ b Σ χ 2 + C Σ χ3 α Σ χ 2 + b Σ χ3 + C Σ χ4
α Σ.l~
Οί έξισώσεις αύτές προκύπτουν τυπικά άπό τίς καί άθροιση.
18
(18)
μέ πολλαπλασιασμό έπί
(19)
1,
χ καί χ 2 άντίστοιχα
262
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
8
ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Τά προηγούμενα μπορουν νά γενικευτοϋν γιά περισσότερες άπό δύο μεταβλητές.
Έτσι, εάν ύ
πάρχει μιά γραμμική σχέση μεταξύ μιας εξαρτημένης μεταβλητής Ζ καί δύο άνεξάρτητων μεταβλη τών Χ καί Υ, τότε ζηταμε μιά εξίσωση τής μορφής
=
Ζ Αυτή καλείται έξίσωση
παλινδρομήσεως
+ bx + cy
α
(20)
τής Ζ ώς πρός Χ καί Υ.
'Εάν Χ είναι ή εξαρτημένη με
ταβλητή, εχουμε μιά παρόμοια εξίσωση, τήν έξίσωση παλινδρομήσεως τής Χ ώς πρός Υ καί Ζ. Τό επίπεδο πού παριστάνει ή
καλείται έπίπεδο παλινδρομήσεως.
(20)
σ' ενα τρισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
Γιά νά προσδιορίσουμε τό επίπεδο παλινδρομήσεως ελάχιστων
b, c
τετραγώνων, ύπολογίζουμε τίς σταθερές α,
άπό τίς σχέσεις
ΣΖ
rια+bΣχ+cΣΥ
Σ:J:Ζ
αΣΧ
+
b Σ χ2
ΣΥΖ
αΣΥ
+
b Σ ΧΥ
+
c Σ ΧΥ
(21)
+ c Σ Υ2
Οί εξισώσεις αυτες καλουνται κανονικές έξισώσεις καί προκύπτουν, σπως στή σελ. άπαίτησή μας νά γίνεται ελάχιστο τό αθροισμα τών τετραγώνων τών άποκλίσεων. πτουν άπό τήν
(20)
μέ πολλαπλασιασμό επί
259,
άπό τήν
Τυπικά προκύ
Χ, Υ άντίστοιχα καί αθροιση.
1,
Τά προηγούμενα μποροϋν νάγενικευτουν σέ μή γραμμικές εξισώσεις, όπότε εχουμε γενικά
έπιφάνειες παλινδρομήσεως σέ χαιρους περισσότερων διαστάσεων.
ΤΥΠΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΣ \
'Εάν Ηε" είναι ή εκτίμηση τής -(.~μής του Υ γιά δεδομένο Χ άπό τήν καμπύλη παλινδρομήσεως
τής Υ ώς πρός Χ, τότε ενα μέτρο του\Πόσο διασπαρμένα είναι τά σημεία γύρω άπό τήν καμπύλη είναι ή ποσότητα
ί
\
~y.I
(22)
Π
\
πού καλείται τυπικό σφάλμα τής έκτιμήdfως τής Υ άπό τήν Χ. 'Επειδή Σ(Υ - Υεκ )2 = Σd 2 (βλέπε σελ. 259), άπ' σλες τίς δυνατές Kαμπύλε~\ παλινδρομήσεως ή καμπύλη ελάχιστων τετραγώνων εχει τό μικρότερο τυπικό σφάλμα εκτιμήσεως. Στήν σχέσεις
περίπτωση
(4),
τής εύθείας παλινδ,ρομήσεως
Sy.:r
Τό
SY.x
σπου τά α καί
b
πληρουν τίς
\
2
η
= α + bx,
Υεκ
\
έχουμε
s~.x
.,
\
=
_
\~. y'l - a~y - b:ΣΧΥ
(23)
π
-
\
Σ (Υ
-1jj)2 -
\
\ . \.
b:Σ (Χ
-
Χ)(Υ
-
π
Υ)
.
(24)
γιά τήν εύθεία ελάχιστων τετραγώνω\ μπορεί νά εκφραστεί ώς συνάρτηση τής διασπορας
καί του συντελεστή συσχετίσεως
\ \
s3.", Σάν συνέπεια αύτής τής σχέσεως έχουμε
=\ ~(1- r \
1· 2 ;ΞΞ Ι
2
(25)
)
δηλ. -1;ΞΞ
r
;ΞΞ
1.
\
Τό τυπικό σφάλμα εκτιμήσεως εχει ίδιότητες &νάλογες μέ αυτές τής τυπικής άποκλίσεως.
Έτσι,
εάν φέρουμε δύο ευθείες παράλληλες πρός τήν ευθε'ία παλινδρομήσεως καί σέ κατακόρυφες άπ' αυτήν άποστάσεις
Sy.x, 2s y .x , 3s y .x, θά δούμε στι (εάν τό, n είναι μεγάλο) μεταξύ αυτών τών δύο ευθειών βρίσκεται άντίστοιχα τό 68%,95%, 99.7% τών \rημεiων του σμήνους (βλέπε Πρόβλ. 8.23).-
-
:..~~--~--~~~~~~~~~~~~~~~--\\~~----~~~~~
/
1.,1111• •1
_i1ΗΙΙΙIΙ."Μ W8H'ιI!lflH
iNiff:1ifwgz;:;;;;; AΨinχ.IΨΙJj;&;Q .
IA2&S&Z 2442&2= Α ΙSZl
Ι& Ι
ρ:s
Κ Ε Φ.
8
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ. ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
263
'Όπως ύπάρχει μιά άμερόληπτη εκτίμηση 82 = 'ns2f(n -1) τής διασπορας πληθυσμου, ύπάρ χει καί μιά άμερόληπτη εκτίμηση του τετράγωνου του τυπικου σφάλματος εκτιμήσεως πού δίνεται άπό τή σχέση = ns~.x/(n - 2). Έξαιτίας αύτής τής εκφράσεως μερικοί προτιμουν τήν (22)
s;.x
μέ
n- 2
O't
άντί γιά
n.
προηγούμενες παρατηρήσεις μπορουν ευκολα νά τροποποιηθουν γιά τήν εύθεία παλινδρομή-
σεως τής χ ώς πρός Υ (όπότε τό τυπικό σφάλμα εκτιμήσεως εΙναι
Sx.y) η γιά μή γραμμική η γιά
πολλαπλή παλινδρόμηση.
Ο ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ Έρχόμαστε τώρα νά εξετάσουμε τή σημασία του συντελεστή συσχετίσεως πού όρίσαμε τυπικά στά προηγούμενα μέ τή σχέση
' Από τή
(15).
σχέση
(25)
καί τούς όρισμούς τών
Sy.x
καί
Sy
εχουμε
(26) ΕΙναι δμως (Πρόβλ.
8.24)
Σ (Υ - ΓιΥ Ή ποσότητα στό άριστερό μέλος τής
Σ (Υ -Υ", )2
= (27)
+
Σ (Υεκ - [Ν
(27)
καλείται συνήθως όλική μεταβολή, ενώ ό πρώτος δρος του
δεξιου μέλους καλείται ύπόλοιπη μεταβολή καί ό δεύτερος παλινδρομική η παραγοντική μεταβολή. όρολογία αύτή όφείλεται στό δτι οί άποκλίσεις Υ
- J!
πτο τρόπο, ενώ οί άποκλίσεις Υεκ
-
Υεκ
μπορουν νά έξηγηθουν μέ βάση τήν εύθεία παλινδρομήσεως
έλάχιστων τετραγώνων καί τείνουν νά άκολουθήσουν μιά όρισμένη συμπεριφορά.
(27)
Ή
συμπεριφέρονται κατά τυχαίο η άπρόβλε
' Από
τίς
(26)
καί
εχουμε
:Σ ('Υ εκ
-
Παλινδρομική
Γι)2 ..
μεταβολή
(28)
'Ολική μεταβολή
~Αρα τό 1·2 παριστάνει τό κλάσμα τής όλικής μεταβολής πού μπορεί νά εξηγηθεί μέ τήν εύθεία
παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων.
Μέ ι'ίλλα λόγια, τό
r
μας λέει πόσο καλά ή εύθεία παλιν
δρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων πpoσαg,μόζεται στά δεόομέΥα.
Έάν δλη ή όλικη μεταβολή
μπορεί νά εξηγηθεί μέ τήν εύθεία παλινδρομήσεως, δηλ. έάν r = 1 η r = ±1, λέμε δτι εχουμε πλή ρη γραμμική συσ έτιση (καί πλ' γραμμική παλινδρόμηση). Έάν ή όλική μεταβολή ισουται μr την ύπόλοιπη μεταβολή, τότε ή παλινδρομική μεταβολή ε ναι μηδέν καί r = Ο. Στήν πράξη ή ποσότητα 2
r 2,
πού μερικές φορές καλείται ~υντελεστής προσδιορισμού, βρίσκεται μεταξύ Ο καί
1.
'Ο συντελεστής συσχετίσεως μπορεί νά ύπολογιστεί άπό τή σχέση
:Σ (Χ
Sxy
l'
-
Χ)(Υ
Γι)
-
(29)
SxSy
Παλινδρομική μεταβολή η άπό τήν
(30)
'Ολική μεταβολή
πού γιά γραμμική παλινδρόμηση εΙναι ίσοδύναμες.
Ό τύπος
(29)
καλείται συχνά τύπος τού γινόμε
νου ροπών γιά γραμμική συσχέτιση.
Στήν πράξη χρησιμοποιουνται συχνά οί ισοδύναμοι τύποι l'
---
n:ΣΧΥ
-
(:Σχ)(:ΣΥ)
(31)
καί
r
:Ι:Υ
- ΧΥ
..-~-
(32)
Ι'
264
'Εάν χρησιμοποιήσουμε τό μετασχηματισμό
=
r πού δείχνει Ότι τό ή
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
(33)
r
π~x'y'
V[n~x'2
-
τής σελ.
(9)
260,
βρίσκουμε
(~X')(~Y')
-
8
(33)
(~χγι [1"1~Y'2 - (~y')2]
είναι άναλλοίωτο σέ μεταφορά των άξόνων.
Είδικότερα, έάν Jι.
= x,k = jj,
γίνεται
~xΎ'
r
(34) πού χρησιμοποιείται συχνά στούς ύπολογισμούς. Ό συντελεστής γραμμικής συσχετίσεως
r
μπορεί νά είναι θετικός ή άρνητικός.
Έάν είναι
θετικός, τό Υ τείνει νά αύξηθεί, Όταν αύξάνεται τό Χ (ή κλίση τής εύθείας έλάχιστων τετραγώνων είναι θετική), ένω έάν είναι άρνητικός, τό Υ τείνει νά μειωθεί, Όταν αύξάνεται τό Χ (ή κλίση είναι άρνητική).
(32), (33)
ή
Τό πρόσημο λαμβάνεται αύτόματα ύπόψη, έάν χρησιμοποιήσουμε μιά άπό τίς
(34).
'Εάν Όμως χρησιμοποιήσουμε τήν
(30),
r
πρέπει μετά νά δώσουμε στό
(29), (3 Ι), τό σωστό
πρόσημο.
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ Ό όρισμός
εως
(34)]
(29)
του συντελεστή συσχετίσεως [η μιά όποιαδήποτε άπό τίς ισοδύναμες μορφές
περιλαμβάνει μόνο δειγματικές τιμές Χ, Υ.
(31)
Συνεπως δίνει τόν 'ίδιο άριθμό γιά Όλες τίς
μορφές καμπυλων παλινδρομήσεως καί δέν είναι χρήσιμος σάν μέτρο προσαρμογής έκτός άπό τήν
περίπτωση τής γραμμικής παλινδρομήσεως, όπότε ταυτίζεται μέ τήν τιμή άπό τή σχέση ρισμός Όμως
~(YεK - Υ)2
Παλινδρομική μεταβολή
~(y
Όλική μεταβολή
[δηλ. ή σχέση
(30)]
Ό ό-
(30).
- Υ)2
(35)
περιλαμβάνει καί τή μορφή τής καμπύλης παλινδρομήσεως (μέσα στό Υεκ) καί
συνεπως είναι κατάλληλος γιά όρισμός του γενικευμένου συντελεστή συσχετίσεως
r.
Ή
(35)
χρησι
μοποιείται γιά νά ύπολογίσουμε συντελεστές μή γραμμικής συσχετίσεως (πού έκφράζουν πόσο καλά μιά
καμπιίλη μή γραμμικής παλινδρομήσεως προσαρμόζεται σ' όρισμένα δεδομένα) ή, μέ κατάλληλη
γ~η, συντελεστές πολλαπλάς συσχετίσεως.
'Η σχέση (25) μεταξύ του συντελεστη συσχετίσε~ς
καί του τυπικου σφάλματος έκτιμήσεως έξακολουθεί νά ισχύει γιά μή γραμμική συσχέτιση. 'Επειδή ό συντελεστής συσχετίσεως είναι μόνον ενα μέτρο του πόσο καλά μιά δεδομένη καμπύλη η έπιφάνεια παλινδρομήσεως προσαρμόζεται στά δειγματικά δεδομένα, δ.b;, εχει νόημα νά χρησιl:!2-
ποιήσουμε ενα συντελεστ'
αμμικής συσ ετίσεω
"Ας υπο εσουμε Όμως Ότι έφαρμόζουμε τήν
(29)
βρίσκουμε μιά τιμή άρκετά μικρότερη άπό
1.
Ότ
ί
ετα λ τέ
δέ συνδέονται γρα
--
Τότε πρέπει νά συ περάνουμε ό ι Ότι ύπάρχει μικρή
συσχέτιση (κάτι πού συμπεραίνουν συχνά Όσοι δέ γνωρίζουν τή θεωρία συσχετισεως), ά
~άρχει μικρή γραμμική συσχέτιση.
ικά.
γιά μεταβλητές πού δέ συνδέονται γραμμικά καί Ότι α οτι υ
Είναι πιθανό νά ύπάρχει μεγάλη μή γραμμική συσχέτιf!!1..
ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΤΑΞΕΩΝ
'Αντί νά χρησιμοποιήσουμε άκριβείς δειγματικές τιμές, η οταν δέν είναι δυνατό να εχουμε
άκριβείς τιμές, μπορουμε νά κατατάξουμε τά δεδομένα σέ αύξουσα ή φθίνουσα σειρά μεγέθους, σπουδαιότητας, κτλ., χρησιμοποιώντας τούς άριθμούς
1,2, ... ,1"1.
Έάν δύο άντίστοιχα σύνολα
τιμων Χ καί Υ καταταχτουν κατ' αύτό τόν τρόπο, ό συντελεστής συσχετίσεως τών τάξεων η συντελε στής συσχετίσεως του
Spearman
είναι rταξ
Όπου
=
1 _ --;-6--,;-~_d_2-:-; n(n 2
-
(36)
1)
d
διαφoρ~ς μεταξύ των τάξεων των άντίστοιχων Χ καί Υ
1"1
πλήθος ζευγων (Χ, Υ) στά δεδομένα
Ό τύπος (36) καλείται τύπος του Spearman γιά συσχέτιση τάξεων (βλέπε Πρόβλ. 8.36).
ut;ACΣCzι_.azaii:
_ 2 MiΙ)_
:&2.
222
3ki 2&&
,,,Ι ΜΙ 2&SU.:aaaCΠ2SΙΙ
j
2
22&2
2 ΕΕ
,
Ρ
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
8
265
ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΕΩΣ 'Ένα σμήνος σημείων, δπως αυτό του Σχ.
σημείων γιά ενα όρισμένο δείγμα. παράσταση.
8-1,
αποτελεί μιά γραφική παράσταση τών δεδομένων
'Ένα άλλο δείγμα θά εχει γενικά μιά διαφορετική γραφική
'Έτσι, κάθε σμήνος σημείων θά δώσει γενικά μιά διαφορετική ευθεία ή καμπύλη
παλινδρομήσεως.
Γιά δείγματα από τόν ίδιο πληθυσμό αναμένουμε βέβαια οί καμπύλες αυτές νά μή
διαφέρουν πολύ μεταξύ τους. 'Όπως εχουμε προσαρμογή καμπύλης σέ δείγματα, εχουμε καί προσαρμογή καμπύλης στόν πληθυσμό απ' όπου προέρχονται τά δείγματα.
Έπειδή τά σημεία ενός σμήνους είναι διασπαρμένα
γύρω από τήν εύθεία ή τήν καμπύλη παλινδρομήσεως, γιά ενα όρισμένο Χ ύπάρχουν διάφορες τιμές
του Υ κατανεμημένες πάνω καί κατω από τήν ευθεία ή τήν καμπύλη.
Αυτή ή εννοια τής κατανομής
όδηγεί στό συμπέρασμα δτι ύπάρχει κάποια σχέση μεταξύ τής προσαρμογής καμπύλης καί τής πιθανότητας.
Ή σχέση αύτή ύλοποιείται μέ τήν εΙσαγωγή τυχαίων μεταβλητών Χ καί Υ πού μπορούν νά πάρουν τίς διάφορες δειγματικές τιμές Χ καί Υ αντίστοιχα.
Π.χ.οί Χ καί Υ μπορούν νά παριστά
νουν τό ϋψος καί τό βάρος τών ενήλικων ανδρών τού πληθυσμου, απ' δπου παίρνουμε τά δείγματα.
'Έτσι δεχόμαστε στι οί Χ καί Υ εχουν μιά κοινή συνάρτηση πιθανότητας ή πυκνότητας !(Χ, Υ), α νάλογα εάν τίς θεωροϋμε διακριτές ή συνεχείς. Δεδομένης τής κοινής συναρτήσεως πυκνότητας ή πιθανότητας
[(Χ, Υ) τών τυχαίων μεταβλητών
Χ καί Υ είναι φυσικό μετά από τίς προηγούμενες παρατηρήσεις νά ρωτήσουμε, εάν ύπάρχει μιά
συνάρτηση
g(X) τέτοια ωστε E{[Y-g(X)1 2 } = έλάχιστο
Μιά καμπύλη
Υ
= g(X)
μέ τήν Ιδιότητα
νων της Υ ώς πρός (ή έπί τήν) Χ. θεώρημα
(37)
(37)
καλείται καμπύλη παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώ
Σχετικό είναι τό έπόμενο θεώρημα:
Έάν Χ καί Υ είναι τυχαίες μεταβλητές μέ κοινή συνάρτηση πυκνότητας ή συνάρ
8-1:
τηση πιθανότητας
Υ), τότε ύπάρχει ή καμπύλη παλινδρομήσεως ελάχιστων τε
f(x,
τραγώνων τής Υ ώς πρός Χ καί εΙναι ή
Υ
= g(X) = Ε(Υ! Χ=χ)
(38)
μέ τήν προϋπόθεση δτι ή Χ καί ή Υ εχουν ή κάθε μιά πεπερασμένη διασπορά. "Ας σημειωθεί στι Ε(Υ
Χ
= Χ)
είναι ή μέση τιμή τής Υ ύπό τή συνθήκη
Χ
=Χ
(σελ.
83).
Παρόμοια Ισχύουν γιά τήν καμπύλη παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων της Χ ώς πρός Υ, όπότε αντί γιά τήν
(37)
εχουμε τήν
Ε{[Χ καί αντί γιά τήν
g(X)
καί Χ
(38) τήν = h(y) είναι
Χ
= h(y) =
-
Ε(Χ
Ιι(Υ)Ί2}
i Υ = Υ).
=
ελάχιστο Γενικά, οί δύο καμπύλες παλινδρομήσεως Υ
=
διαφορετικές.
Ένδιαφέρουσα είναι ή είδική περίπτωση δπου ή κοινή κατανομή είναι ή διδιάστατη κανονική
κατανομή (49) τής σελ. 118. θεώρημα
8-2:
Στήν περίπτωση αύτή εχουμε τό έξής θεώρημα:
Έάν οί Χ καί Υ εχουν ώς κοινή κατανομή τή διδιάστατη κανονική κατανομή, τότε
ή καμπύλη παλινδρομήσεως ελάχιστων τετραγώνων τής Υ ώς πρός Χ είναι μιά εύθεία παλινδρομήσεως μέ
(39) σ
δπου.
ΧΥ
Ρ
εΙναι ό συντελεστής συσχετίσεως του πληθυσμου.
:-...,;.....
-
--:-:-:: ~-- -,-............-.--
(40)
266
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Ή
(39)
γράφεται καί
=
Υ - fJ.y
β( Χ - fJ.x) σ
δπου
β
(41)
ΧΥ
=~
(42)
Παρόμοια ίσχύουν γιά τήν καμπύλη παλινδρομήσεως ελάχιστων τετραγώνων της Χ ώς πρός
πάλι προκύπτει ευθεία.
Ή εξίσωσή της προκύπτει άπό τήν
χ ιcαί Υ (βλέπε καί σελ.
'Εάν ή
f(x,
(39)
Υ) δέν εΙναι γνωστή, μπορούμε πάλι χρησιμοποιώντας τό κριτήριο
βΧ, παίρνουμε τήν ευθεία παλινδρομήσεως
στες) παραμέτρους
Υ, πού
μέ εναλλαγή των Χ καί Υ καί των
261).
προσεγγιστικές καμπύλες παλινδρομήσεως γιά τόν πληθυσμό. fJ. x , fJ. y ' σ χ , σΥ' ρ.
(39),
'Όμοια, εάν
Γενικά, οί παρατηρήσεις των σελ.
259
εως
264
(37)
'Εάν δεχτούμε Π.χ. δτι
νά πάρουμε
g(x) =
α
+
δπου οί σταθερές α, β έξαρτωνται άπό τίς (άγνω
+ βΧ + γχ
g(J.') = α
παλινδρομήσεως ελάχιστων τετραγώνων, κτλ. (βλέπε Πρόβλ.
πληθυσμό.
8
2
, παίρνουμε τήν παραβολή
8.39).
γιά δείγματα μπορούν εύκολα νά επεκταθούν στόν
'Έτσι, Π.χ. τό τυπικό σφάλμα εκτιμήσεως στήν περίπτωση τού πληθυσμού δίνεται άπό τή
σχέση
σ~.x = πού άντιστοιχεί στήν
(25)
της σελ.
σ~(1
- ρ2)
(43)
262.
ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ Άπό τά προηγούμενα εΙναι φανερό δτι ό συντελεστής συσχετίσεως ένός πληθυσμού άποτελεί ενα μέτρο τού πόσο καλά μιά δεδομένη καμπύλη παλινδρομήσεως γιά τόν πληθυσμό προσαρμόζεται στά δεδομένα άπό τόν πληθυσμό.
Οί προηγούμενες παρατηρήσεις γιά τή συσχέτιση σ'
ίσχύουν γενικά καί γιά τόν πληθυσμό.
'Εάν Π.χ. ή
g(X)
Ε[(Υ - Ύγ] = Ε[(Υ - Υεκ )2] δπου Υεκ
= g(X)
καί Υ = Ε(Υ).
προσδιορίζεται άπό τήν
+ Ε[(Υεκ
Οί τρείς ποσότητες στήν
παλινδρομική μεταβολή άντίστοιχα.
τότε
Ύγ]
-
(44)
ενα δείγμα
(37),
(44)
καλούνται όλική, ύπόλοιπη καί
'Έτσι έχουμε εναν όρισμό γιά τό συντελεστή συσχετίσεως ρ τοϋ
πληθυσμοϋ ρ2
=
Παλινδρομική μεταβολή 'Ολική μεταβολή
___ =
Στή γραμμική περίπτωση ή σχέση αύτή μας δίνει τήν
Ε[(Υεκ Ε[(Υ -
(40).
μπορούν νά γραφούν γιά εν αν πληθυσμό καί γιά γραμμική
f)2]
-
(45)
Υ)2]
Σχέσεις παρόμοιες μέ τίς παλινδρόμηση.
Ή
(45)
(31)-(34)
μπορεί νά
χρησιμοποιηθεί ώς όρισμός τού Ρ στή μή γραμμική περίπτωση.
ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΕΩΣ Ή εξίσωση παλινδρομήσεως
Υ
= α + bx
προκύπτει μέ βάση τά δειγματικά δεδομένα.
Συχνά
δμως ενδιαφερόμαστε γιά τήν άντίστοιχη εξίσωση παλινδρομήσεως γιά τόν πληθυσμό, άπ' δπου προέρχεται τό δείγμα.
Δίνουμε εδω μερικούς ελέγχους γιά κανονικό πληθυσμό.
Γιά νά διατηρή
σουμε άπλό τό συμβολισμό, θά χρησιμοποιήσουμε (δπως συνήθως γίνεται) τίς τιμές των δειγματικων μεταβλητων άντί γιά τίς 'ίδιες τίς τυχαίες μεταβλητές.
1.
'Έλεγχος της ύποθέσεως
β
= b.
Γιά νά έλέγξουμε τήν ύπόθεση δτι ό συντελεστής παλινδρομήσεως β είναι 'ίσος μέ μιά όρισμένη τιμή
b,
χρησιμοποιούμε τό γεγονός δτι ή στατιστική συνάρτηση
t
β-b
--yln-2
(46)
Sy.xlSx
,-~~::::;:,_;.·-_t-""""'-·-
it_ιazw
22t
2
E._as
&
πΑ
. + 4Μρμ; Ριtil\ζ ΙΗ ".
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΏΣΗ
8
άκολουθεί κατανομή του
Student
μέ 1Ι -
βαθμούς έλευθερίας.
2
267
Ή Ιδιότητα αύτή μπορεί νά
χρησιμοποιηθεί καί στόν ύπολογισμό διαστημάτων έμπιστοσύνης γιά τούς συντελεστές παλιν δρομήσεως του πληθυσμου άπό δειγματικές τιμές (βλέπε Προ βλ.
2.
8.43
καί
8.44).
'Έλεγχος ύποθέσεων γιά προβλεπόμενες τιμές.
Έστω ότι γιά
= a~o
χ
ή προβλεπόμενη τιμή του Υ άπό τή δειγματική έξίσωση παλινδρο
= α + bxo.
μήσεως εΙναι Υο, δηλ. Υο
Υ γιά τόν πληθυσμό εΙναι
Υρ.
Έστω άκόμα δτι γιά
= Χο
ή προβλεπόμενη τιμή του
(Vo - l/ρ)νι,n - 2
t
Sy,xVn άκολουθεί κατανομή τού
χ
Ή στατιστική συνάρτηση
Student
μέ
+1+
βαθμούς έλευθερίας.
n- 2
(47)
[1l.(xo-x)2Js~]
Ή Ιδιότητα αύτή μπορεί νά
χρησιμοποιηθεί γιά νά βρεθούν δρια έμπιστοσύνης γιά προβλεπόμενες τιμές τού πληθυσμού (Πρόβλ.
3.
8.45).
'Έλεγχος ύποθέσεων γιά προβλεπόμενες μέσες τιμές. Έστω δτι γιά
= Χο
Χ
μήσεως είναι Υο, δηλ. Υο
ή προβλεπόμενη τιμή τού Υ άπό τή δειγματική έξίσωση παλινδρο
= α + bxo.
Έστω άκόμα ότι γιά
τού Υ γιά τόν πληθυσμό είναι Υρ, δηλ.
t άκολουθεί κατανομή του
Student
=
Υρ
= Ε(Υ Ι Χ = Χο).
= Χο
ή προβλεπόμενη μέση τιμή
Ή στατιστική συνάρτηση
(Υο - Υρ)'ντι
- 2 Sy.xV1 + [(Χο- x)2Js;]
n- 2
μέ
χ
(48)
βαθμούς έλευθερίας.
Άπό τήν Ιδιότητα αύτή μπο
ροϋμε νά ύπολογίσουμε δρια έμπιστοσύνης γιά προβλεπόμενες μέσες τιμές τού πληθυσμού (Πρόβλ.
8.46).
ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ Συχνά θέλουμε νά έκτιμήσουμε τό συντελεστή συσχετίσεως Ρ τού πληθυσμού άπό τό συντελεστή
συσχετίσεως l' τοϋ δείγματος ή νά έλέγξουμε μιά ύπόθεση πού άναφέρεται στόν ρ. χρειαζόμαστε τή δειγματοληπτική κατανομή του
r.
Γιά ρ
=
Ο
Γιά κάτι τέτοιο
ή κατανομή αύτή είναι συμμετρική
καί μπορουμε νά χρησιμοποιήσουμε μιά στατιστική συνάρτηση πού εχει κατανομή του Γιά
Ρ Φ. Ο
ή κατανομή είναι άσύμμετρη.
σμό, πού όφείλεται στόν νομή.
1.
Fisher
Student.
Στήν περίπτωση αύτή χρησιμοποιούμε ενα μετασχηματι
καί δίνει μιά άλλη στατιστική συνάρτηση μέ κανονική περίπου κατα
Περιληπτικά εχουμε τούς έξής έλέγχους:
'Έλεγχος τής ύποθέσεως
ρ
= Ο.
Χρησιμοποιούμε τή στατιστική συνάρτηση
t
=
Tyn-2
(49)
y1-r 2 πού εχει κατανομή του
2.
Student
'Έλεγχος τής ύποθέσεως
μέ
n - 2
βαθμούς έλευθερίας (Προβλ.
8.47
καί
8.48).
ρ ~ Ο.
Χρησιμοποιούμε τή στατιστική συνάρτηση
Ζ = ~ Ιη (i ~ ;) =
1.1513
IOgto(i ~ ;)
(50)
πού άκολουθεί κατά προσέγγιση κανονική κατανομή μέ μέση τιμή καί τυπική άπόκλιση
fLz
=.
1 (11 + 2'ln _ ΡΡ) = 1.1513 log lo (11 + _ Ρ) Ρ ,
1
(51)
Άπό τίς Ιδιότητες αύτές μπορούμε νά βρούμε καί όρια έμπιστοσύνης γιά τούς συντελεστές συσΥετίσεω, (Προβλ.
8.49
καί
8.50).
Ή
(50)
καλείται μετασχηματισμός Ζ τού
Fisher.
--- ,
268 3.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ,
Κ Ε Φ.
ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
8
Σημαντικότητα της διαφορας μεταξύ συντελεστών συσχετίσεως. Γιά νά βρουμε έάν δύο συντελεστές συσχετίσεως
καί Π2 διαφέρουν σημαντικά, ύπολογίζουμε άπό τήν 1Ί
καί
~·2.
rl καί r2 δύο δειγμάτων μέ μεγέθη
~Ιι
(50) τά Ζι καί Ζ2 πού άντιστοιχουν στά
Μετά χρησιμοποιουμε τή στατιστική συνάρτηση
Ζι - Ζ2 - μ,ΖI-Ζ2
Ζ
(52)
~1 - + -1nl - 3 n2 - 3
μέ
πού άκολουθεί κανονική κατανομή
(βλέπε Πρόβλ.
(53)
8.5 Ι).
ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ
'Όταν δύο τυχαίες μεταβλητές Χ καί Υ εχουν συντελεστή συσχετίσεως Ρ διάφορο του μηδε νός, δέν είναι άνεξάρτητες (Θεώρ.
των περιθώριων κατανομων. ση σάν τήν
(39)
σελ.
3-15,
δηλ. ή κοινή κατανομή δέ γράφεται σάν γινόμενο
82),
'Επί πλέον, δταν Ρ # Ο,
γιά νά προβλέψουμε τήν τιμή της
μπορουμε νά χρησιμοποιήσουμε μιά έξίσω
Υ άπό τήν τιμή της
Χ.
Πρέπει νά σημειωθεί δτι οί εννοιες της «συσχετίσεως» καί της «έξαρτήσεως», δπως χρησιμοποι ουνται στά προηγούμενα, μεταξύ των Χ καί Υ. Παράδειγμα
δέ
Q'ημαίνουν δτι ύπάρχει όπωσδήποτε σχέση α'ίτιου-άποτελέσματος
Αυτό φαίνεται στά παρακάτω παραδείγματα.
Έστω δτι οί τυχαίες μεταβλητές Χ καί
8.1.
δτι ύπάρχει μιά φυσική έξάρτηση τού Χ άπό τό
Υ παριστάνουν ϋψη καί βάρη ένήλικων άνδρών.
ΕΙναι φανερό
Υ.
Παράδειγμα 8.2 Έστω δτι ή Χ παριστάνει τό μισθό ένός δασκάλου καί ή Υ τό ποσοστό έγκληματικότητας. Ό συντελε στής συσχετίσεως μπόρεί νά εΙναι διάφορος τού μηδενός καί ίσως μπορούμε νά βρούμε μιά έξίσωση παλινδρομήσεως γιά τήν πρόβλεψη τής τιμής τής μιας μεταβλητής άπό τήν άλλη, άλλά δέν εΙναι λογικό νά πούμε, δτι πραγματικά ή ται άπό τήν
Χ έξαρτα
Υ.
Λυμένα Προβλήματα Η ΕΥΘΕΙΑ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ
8.1.
Μιά ευθεία περνάει άπό τά σημεία (Χι, Υι) καί (Χ2, ΥΖ). είναι Υ
-
( Υ2 -
Υι
Χ2
Ή έξίσωση μιας εύθείας εΙναι τής μορφής Υ α
+ bx.
Τά
(Χι, UI) καί (Χ2, ΥΖ)
εΙναι
σημεία
-
Δείξτε δτι ή έξίσωση της ευθείας
ΥΙ)(χ - Χι) ΧΙ
=
Υ
τής
εύθείας, άρα
Υι
= α
+ bXI'
Q
Υ2
Συνεπώς
Υ
-
Υι
(α
+ bx)
-
(α
+ bx I )
(α
+ b,!'z)
-
(α
+ bxI)
(2)
Uz - Υι
=
'Από τήν (2) fχουμε
b =
(Υ2 -
= b(x2 -
ΥΙ)/(ΧΖ -
χι)
Χι)
καί άν
τικαθιστώντας στήν (Ι) παίρνουμε τή ζητούμενη έξίσω
ση.
Σχ.
Ή γραφική παράσταση εΙναι ή εύθεία
8-5.
Ή σταθερή
b
PQ
τού
εΙναι ή κλίση τής εύθείας.
L-------~--------------~----------X Χ2
Σχ.
.....
ΟΜ_Ι.
JΣI
.Μ&&
z:αΆΙZIlι;;;:a;;Ae.
;;Χ!
zaiSJ
8-5
11& 22iJ&2
.L&5WUxessa.
$
Κ Ε Φ.
8.2.
8
269
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
(α) Σχεδιάστε μιά εύθεία πού νά προσεγγίζει τά δεδο μένα του Πίν.
(b)
8-1.
Βρείτε μιά έξίσωση γι' αύτή
χ
Πίν.
8-1
1
3
4
6
8
9
11
14
1
2
4
4
5
7
8
9
τήν εύθεία. (α)
Υ
Σ' ~να όρθογώνιο ιcαρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων παίρ
νουμε τά σημεία
(11, 8)
(1,1), (3,2), (4,4), (6,4), (8,5), (9,7), (14,9) (Σχ. 8-6).
ιcαί
Υ
Φέρνουμε αύθαίρετα μιά είιθεία πού νά περνάει περί που άπό τά σημεία αίιτά (διαιcειcoμμένη στό σχήμα). Πρόβλ.
Στό
10
περιγράφεται ή μέθοδος των έλάιιστων τετρα
8.4
γώνων γιά τόν προσδιορισμό της εύθείας.
(b)
Γιά νά βροϋμε τήν έξίσωση της είιθείας παίρνουμε δύο ό
Q
ποιαδήποτε σημεία Ρ ιcαί τεταγμένες τους.
άντίστοιια.
(12,7.5)
Υ
ή
8.3.
Υ
- 1
ιcαί προσδιορίζουμε τίς συν
Αίιτές ε{ναι άπό τό Σι.
-
Άπό τό Πρόβλ.
ή
Υ
Στό Σι.
8-7
Χ
2
6
= 1 + 0.542 Χ.
Δείξτε τίς κανονικές έξισώσεις
τής εύθείας γιά
fιουμε
7.5 - 1 ( _ Ο) 12 - Ο χ
1
= 0.542 Χ
ιcαί
8-6 (0,1)
8-1
(4)
της σελ.
260
8
10
Σχ.
8-6
12
14
γιά τήν εύθεία έλάχιστων τετραγώνων.
οΙ τιμές τού Υ πού δίνει ή έξίσωση
Υ
Q
Χι' Χ2, ••. , Χ" εΙναι
ΟΙ άντίστοιχες ιcαταιcόρυφες άποιcλίσεις εΙναι
α
+ bxl
- Υι.
dn = α
d2
+
=
α
+ bX2
ΥΖ'
-
bX n - Υ η
Τό άθροισμα των τετραγώνων των άποιcλίσεων εΙναι
Σι.
+ ~d2
ή
Αύτή είναι μιά συνάρτηση των α καί
b,
μηδενίζουμε τίς μερικές παραγώγους, δηλ.
iJF
+ bx _Υ)2 :Σ (α + bx - Υ)2.
iJF iJb
+ bXn -
Yn)2
~(α
=
δηλ.
F(a. b) = aF/aa = ο, aF/ab
~~ (α + bx - Υ)2 οα
οα
(α
8-7
= Ο.
Γιά άκρότατο (μέγιστο ή έλάχιστο)
Έχουμε
~ 2(α + bx - Υ)
~ :b (α + bx - Υ)2 = ~ 2χ(α + bx - Υ)
καί άρα
~ (α + bx - Υ) ή
an
+
=
::Σ x(a
Ο
+ bx -
Υ)
=
Ο
b ~x
πού είναι οί ζητούμενες κανονικές έξισώσεις.
'Εάν ίσχύουν, τό άθροισμα των τετραγώνων των άποκλίσεων γίνεται
άκρότατο ιcαί μάλιστα έλάχιστο, δπως μπορεί νά δειχτεί.
8.4.
Προσαρμόστε μιά εύθεία έλάχιστων τετραγώνων στά δεδομένα του Προβλ. (α) τήν Χ ι&ς άνεξάρτητη μεταβλητή,
.-____
(b)
8.2
παίρνοντας
τήν χ ι&ς έξαρτημένη μεταβλητή .
'::.~ ~-- _ι-~--
..........
~~--------------------
~
.......
270
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΠΣΗ
(α)
Ή έξίσωση τής εύθείας είναι Υ
= α + bx.
Οί κανονικές έξισώσεις ε{ναι
~y
:Σ ΧΥ
=
an
+
+
α :Σ χ
=
b:Σχ
b:Σ χ 2
Ή έργασία γιά τόν ύπολογισμό τών άθροισμάτων δίνεται στόν Πίν.
μοποιηθεί στό
8
Ή τελευταία στήλη θά χρησι
8-2.
(b). Πίν.
Ι
χ
Σχ
Ύπάρχουν
8
χ2
Υ
1
8-2
1
1
Υ2
ΧΥ
1
1
3
2
9
6
4
4
4
16
16
16
6
4
36
24
16
8
5
64
40
25
9
7
81
63
49
11
8
121
88
64
14
9
196
126
= 56
ΣΥ
Ι
Ι Ι
= 40
81 i
Σχ 2
ζεύγη τιμών χ καίΥ, αρα
= 524
= 8.
n
ΣΧΥ
= 364
Σ Υ2
= 256
Οί κανονικές έξισώσεις γίνονται
+ 56b = 40 56a + 524b = 364 8α
άπ' Υ
δπου α
=
= -h + 1\ χ
161
ή
ή Υ
0.545 καί b = /1 ή 0.636. Ή ζητούμενη εύθεία έλάχιστων τετραγώνων είναι = 0.545 + 0.636 Χ. -Ας σημειωθεί δτι αύτή διαφέρει άπό τήν εύθεία τοϋ Προβλ. 8.2.
~Aλλη μέθοδος.
(ΣΥ)(Σχ 2 ) -
α
n:ΣΧΥ
b (b)
(Σχ)(Σ:Ι:Υ)
nΣχ 2 -
(Σχ)(ΣΥ)
-
(40)(524) - (56)(364) (8)(524) - (56)2
(Σχ)2
nΣχ 2 -
(8)(364) "- (56)(40) (8)(524) - (56)~
=
(Σχ)2
ή 0.545
6 11
7 11
η
0.636
Έάν θεωρήσουμε δτι ή χ είναι ή έξαρτημένη μεταβλητή καί ή Υ ή άνεξάρτητη μεταβλητή, ή έξίσωση τών
έλάχιστων τετραγώνων είναι
Χ
= c + dy
καί οί κανονικές έξισώσεις
:ΣΧΥ Άπό τόν Πίν.
8-2
οί κανονικές έξισώσεις γίνονται
+ 40d
56
+
364
8c
40c άπ' δπου
c=
-t
η
-0.50
καί d
=
~
η
256d
1.50.
Οί ίδιες τιμές προκύπτουν άπό τίς σχέσεις
(Σχ)(ΣΥ 2 ) -
c d
2Jiliiii·
(ΣΥ)(ΣΧΥ)
nΣ Υ 2 -
(ΣΥ)2
nΣΧΥ
(Σχ)(ΣΥ)
--
nΣΥ 2 -
=
(56)(256) - (40)(364) (8)(256) - (40)2 (8)(364) - (56)(40) (8)(256) - (40)2
(ΣΥ)2
w
a.
-
=
-0.50
1.50
r
$
Κ Ε Φ.
8
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Συνεπως ή ζητούμενη έξίσωση της εύθείας έλάχιστων τετραγώνων εΙναι χ νΑς σημειωθεί στι λύνοντας τήν έξίσωση αύτή ώς πρός Υ παίρνουμε ε{ναι ή ίδια μέ τήν εύθεία του μέρους
8.5.
καί
Χ
παραστάσεις
= -0.500 + 1.50 Υ
των
Υ
χ
= 0.545 + 0.636 χ
δίνονται στό Σχ.
10 8
σχέση.
(α) του Προβλ.
Προβλ.
8.6.
8.4
!f
== 0.333 + 0.667 χ
11
8.4 καλείται εύθεία
παλινδρομήσεως τής Υ ώς πρός Χ καί χρησιμοποιείται γιά έ
Υ
== -0.500 + 1.50 Υ
6
Ή εύθεία όπό τό του
πού δέν
ή
12
ΟΙ δύο
8-8.
μαίνει δτι τά δεδομένα περιγράφονται πολύ καλά όπό μιά
κτίμηση
= 0.333 + 0.667 Χ,
Υ
8.4.
εύθείες πρακτικά ταυτίζονται στήν περίπτωση αύτή, πού ση γραμμική
= -0.50 + 1.50 Υ.
(α).
Σχεδιάστε τίς δύο εύθείες του Προ βλ. ΟΙ γραφικές
Υ
271
Υ άπό
τό
Χ.
Ή
εύθεία
άπό
τό
= 0.545 -'- 0.636
χ
2
του
(b)
καλείται εύθεία παλινδρομήσεως τής Χ ώς πρός
ο
2
8
10
12
Σχ.
8-8
14
16
καί χρησιμοποιείται γιά έκτίμηση του χ άπό τό Υ.
(α) Δείξτε δτι οί δύο εύθείες ελάχιστων τετραγώνων του Προ βλ. (Χ, iί). δταν Υ
:Σχ
56
"8
1Ι
Άρα τό σημείο
(α)
Τό
ι''ι
(7,5)
= 12.
'Εκτιμήστε τήν τιμή του Υ, δταν χ
(b) = 3.
(Χ,
ii),
Υ
8.4
τέμνονται στό σημείο
'Εκτιμήστε τήν τιμή του Χ,
iΊ = :ΣΥ = 40 = 5
= 7,
n
8
πού καλείται κέντρο βάρου:; των δεδομένων, εΙ ναι τό
εΙναι σημείο της εύθείας
+ 1\(7).
(c)
= 0.545 + 0.636
Έπίσης εΙναι σημείο της εύθείας Χ
Χ
(7,5). Υ = -h + = -4- + i(5).
η ακριβέστερα της
= -~ + iy,
έπειδή 7
ιΊ Χ, έπειδή
5
=
UΑλλη μέθοδος.
Οί έξισώσεις των δύο εύθειων ε{ναι σκουμε τήν τομή των εύθειων
8.7.
(b)
Θέτοντας
(c)
Θέτοντας Υ
= 12
Χ
= 3
Χ
Υ
= 7,
i'τ
=
Υ
+ ιΊ Χ
καί
Χ
= --~ + ~y.
Λύνοντας τό σύστημα αύτό βρί
= 5.
στήν εύθεία παλινδρομήσεως τής Υ ώς πρός Χ βρίσκουμε Υ
στήν εύθεία παλινδρομήσεως τής χ ώς πρός Υ βρίσκουμε
χ
= 0.545 + 0.636(12) =8.2. = -0.50
+ 1.50(3)
= 4.0.
Δείξτε δη ή εύθεία έλάχιστων τετραγώνων περνάει πάντα από τό σημείο (Χ, iί). Πρώτη περίπτωση.
Άνεξάρτητη μεταβλητή εΙναι ή
Χ.
(1)
Υ
Μιά από τίς κανονικές έξισώσεις ε{ναι ή
(2)
:ΣΥ
(3)
iι
Διαιρώντας τήν
Άφαιρώντας τήν
(2)
μέ
n
βρίσκουμε
α
+
bx
= an + b:Σχ
= α + bx
(3) από τήν (Ι) εχουμε τήν εύθεία έλάχιστων τετραγώνων Υ
=
- iι
b(x - Χ)
Ε{ναι φανερό ότι ή εύθεία αύτή περνάει άπά τό σημείο (Χ,
Δεύτερη περίπτωση.
=
Ή έξίσωση έλάχιστων τετραγώνων εΙναι
Άνεξάρτητη μεταβλητή ε{ναι ή
ii).
Υ.
"Οπως στήν πρώτη περίπτωση, άλλά μέ τά χ καί Υ έναλλαγμένα καί μέ σταθερές α,
b,
c, d
άντίστοιχα αντί Υιά
βρίσκουμε ότι ή εύθεία έλάχιστων τετραγώνων γράφεται χ -
(5)
χ
= d(y -
ΕΙναι φανερό δτι ή εύθεία αύτή περνάει όπό τό σημείο ~Aς σημειωθεί δτι γενικά οΙ εύθείες
(4)
καί
(5)
iΊ)
(Χ, iΊ).
δέ συμπίπτουν, άλλά τέμνονται στό σημείο
(Χ, iΊ).
&
2
$
-
272 8.8.
---~---------------
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΠΣΗ
Κ Ε Φ.
8·
Δείξτε δτι ή εύθεία παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων της Υ ώς πρός Χ μπορεί νά γραφεί στή μορφή
260
260,
(4) τού Προβλ. 8.7 εχουμε Υ - fj = b(x - χ).
'Από τήν έξίσωση σελ.
της σελ.
(8)
Άπό τή δεύτερη άπό τίς έξισώσεις
(5) τής
εχουμε
(1) ~(x
'Αλλά
-
n~xy -
=
b χ)2
=
~(x
~x2 -
+χ ) 2x~x + ~x2 2nx 2 + nx 2
~x2 -
nx 2
- 2ΧΧ
~x2
-
2
1
-(~x)2
-
n
~(xy -
- Χ)(Υ - Υ)
(~x)2
-
~(x2
~x2
καί
(~x)(~y)
n~x2
ΧΥ -
fjx
~xy
-
x~y
~xy
-
nxy -
~xy
-
nxy
~
y~x
-
nfjx
+ ~xy + nxfj
(~x)(~y)
-
ΧΥ
+ χΥ)
n
1
-; [n~xy - (~X)(~Y)] νΑρα ή (Ι) γίνεται
καί ετσι έχουμε τήν
8.9.
'Έστω δτι
Χ
(8)
= χ'
τής σελ.
+ h,
Υ
260.
= Υ'
'Από τό Πρόβλ.
+ k,
χ
= χ' + h,
Υ
χ)2
-
καί
h
261.
εΙναι αύθαίρετες σταθερές.
k
n~ΧΎ'
- (~X)(~Y)
τής σελ.
(12)
Δείξτε δτι
(~X')(~Y')
-
n~x'2
(~x')2
-
εχουμε
8.8
=
δπου
n~x2 _ (~x)2
7Ι~XY -
b Έάν
- Χ)(Υ - Υ)
~(x
Μέ όμοιο τρόπο δείχνεται ή
n~xy
=
b
~(X
=
b
+ k,
Υ'
~(x -
π~x2
Χ)(Υ
~(x
-
~(x -
(~x)(~y)
-
(~x)~
χΙ
+
~(x
Χ)(Υ
-
- Υ)
χ)2
εχουμε καί
h,
fj
y'
+k
~(x' - ?)(Υ' -11> ~(x' - Χ')2
- Υ)
χ)2
7ι~xΎ'
(~x')(~y')
-
n~x'2
-
(~x')2
Χρησιμοποιώντας τό άποτέλεσμα αύτό μπορούμε νά συντομεύσουμε τόν προσδιορισμό τής εύθείας έλάχιστων τετρα γώνων άφαιρώντας κατάλληλες σταθερές άπό τά
8.10.
'Εάν στό Πρόβλ.
8.9
εΙναι
h
= Χ,
k
χ καί
= 'Υ, b
Υ (βλέπε Πρόβλ.
δείξτε στι
~xΎ' ~x'2
8.12).
..
~
------------------------------~
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
8
Ή ίδιότητα αύτή προκύπτει άμέσως άπό τό Πρόβλ.
::Σ χ'
καί δμοια
8.11.
=
::ΣΥ'
Στόν Πίν.
8-3
πρός
ενα τέστ νοημοσύνης.
- nx
Ο
(α) Βρείτε τά σημεία σ'
ενα σύστημα όρθογώνιων
8-3
Βαθμοί χ τού Πατέρα
65
63
67
64
68
62
70
66
68
67
69
71
Βαθμοί Υ τοϋ Γιοϋ
68
66
68
65
69
66
68
65
71
67
68
70
Στό Σχ.
fχουμε πάρει τό όρθογώνιο καρτεσιανό
8-9
Υ
(Χ, Υ).
χ
72
= -3.38 + 1.036 y~
.
Ή εύθεία παλινδρομήσεως της Υ ώς πρός χ ε{ναι Υ
=
α
+
bx,
όπου
οΙ
σταθερές
α καί
{κανοποιοϋν
b
."
::ΣΧΥ
=
+
a::Σχ
ι.: 68
."e
b::Σχ
+
<.f"
b::Σχ 2
Τά άθροίσματα δίνονται στόν Πίν.
'0
$ 66
'""
οι κανονικές
8-4.
έξισώσεις γίνονται
12a 800a τούμενη
α
+
+ 800b = 811 53,418b καί
εΙναι
=
,,""
= 35.82 + 0.476 Χ.
Υ
62
Άρα ή ζη
64
70
68
66
Σχ.
8-9
8-4
Ι
χ:Ζ
ΧΥ
Υ2
i
4225
4420
4624
4158
4356
ι
63
66
3969
67
68
4489
4556
4624
64
65
4096
4160
4225
68
69
4624
4692
4761
62
66
3844
4092
4356
70
68
4900
4760
4624
66
65
4356
4290
4225
68
71
4624
4828
5041
4489
4489
68
4761
4692
4624
70
5041
4970
4900
67
71
~
= 800
::ΣΥ
= 811
Ι
::Σχ 2
72
Ή
68
69
0.476 χ
Βαθμός τοϋ Πατέρα
65
67
+
/
" . /
8-9. Πίν.
χ
/
Υ = 35.82
"," / .
62
b = 0.476. Υ
/
.,./
,. ,.'"
/
·~1·· ,.~ \
·
..".
/
54,107
γραφική της παράσταση δίνεται στό Σχ.
Σχ
. ,.
64
= 35.82
έξίσωση
~
ο
= an
::ΣΥ
/ /
70
τίς κανονικές έξισώσεις
άπ' όπου
12
της Χ ώς πρός Υ.
σύστημα καί έχουμε σημειώσει τά σημεία
(b)
πατεράδες μέ τούς
12
εύθεία παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων της Υ ώς
Πίν.
(α)
::Σχ
δίνονται οί μονάδες χ καί Υ πού πηραν άντίστοιχα
(b) Προσδιορίστε τήν (c) 'Όμοια, τήν εύθεία
Χ.
=
::Σ(χ-χ)
έπειδή
Ο.
γιούς τους σ
ιiξόνων.
=
8.9,
273
= 53,418
::ΣΧΥ
= 54,107
Ι Ι
4489
::ΣΥ 2
= 54,849
au4&_ _.2&.. $t&iJ! .
.... 'i
---------------------------------
274
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
-."
8
~Aλλη μέθοδος.
α
(c)
=
(~y)(~x2) n~x2 -
Ή
εύθεία παλινδρομήσεως τής
τίς
κανονικές έξισώσεις
(:Σx)(~xy)
_ 3582 -.,
(~x)2
χ ώς πρός Υ είναι
Χρησιμοποιώντας τά αθροίσματα τοϋ Πίν.
8-4
n~x2 -
=
Χ
=
~x ~xy
cn
=
c
απ' όπου
c = -3.38
φική της παράσταση
d = 1.036.
καί
δίνεται στό Σχ.
+ dy,
(~x)(~y)
=
0.476
(~x)2
όπου οί σταθερές
c καί d ίκανοποιοϋν
+ d~y + d~y2
c~y
εχουμε
+ 811d = + 54,849d =
12c 811c
Π~XY -
b =
800 54,107
Άρα ή ζητούμενη έξίσωση είναι
χ
= -3.38
+ 1.036 Υ.
Ή γρα
8-9.
"Αλλη μέθοδος.
c
8.12.
(~x)(~y2) -
=
n~y2
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
-
(~Y)(~XY)
-3.38,
(~y)2
μέ τή μέθοδο τού Προβλ.
8.11
'Εάν αφαιρέσουμε μιά κατάλληλη σταθερή, εστω ρετικές σταθερές από τά
χ καί
Υ), έχουμε τόν Πίν.
~x'
Ι
Υ'
-
1.036
(~y)2
χ καί Υ (θά μπορούσαμε νά αφαιρέσουμε διαφο
8-5. Πίν.
Χ'
(~y)(~x)
n~y2
8.9.
από τά
68,
Π~XY -
d
8-5 Υ'Ζ
χ'Υ'
χ'2
-3
Ο
9
Ο
Ο
-5
-2
25
10
4
-1
Ο
1
Ο
Ο
-4
-3
16
12
9
Ο
1
Ο
Ο
1
-6
-2
36
12
4
2
Ο
4
Ο
Ο
-2
-3
4
6
9
Ο
3
Ο
Ο
9
-1
-1
1
1
1
1
Ο
1
Ο
Ο
3
2
9
6
4
~y'
= -16
~x'2
=-5
~x'y'
= 106
~y'2
= 47
= 41
Άπό τόν πίνακα βρίσκουμε
=
b
'Επειδή
χ'
=χΧ
=
68, Υ' -χ'
+ 68
n~x'y' n~x'2
=Υ -
(~X')(~y')
-
(~X')2
68 εχουμε χι
16 = -12
+ 68
Ή ζητούμενη έξίσωση παλινδρομήσεως τής
-
Υ
- 67.58 =
=Χ-
= 66.67, Υ ώς πρός
0.476(Χ
(12)(47) - (-16)(-5) (12)(106) - (16)2 68, Υ'
ii = χ είναι
= iι Υ'
+
Υ
- ii
Υ
- 66.07)
Ή μικρή διαφορά από τήν αντίστοιχη εύθεία του Προ βλ.
8. Ι
68.
0.476
"Αρα
5 68 = - 12
= b(x -
= 35.85
+
Χ),
+
68
67.58
δηλ.
0.476
χ
Ι όφείλεται σέ σφάλματα στρογγυλεύσεως.
τρόπο βρίσκουμε τήν έξίσωση παλινδρομήσεως τής χ ώς πρός
Μέ όμοιο
Υ.
ι .------:-"::;: ,,:-...-{""~-
-.._2&2 2L
&12
ζ!4, α JΔi
αωΙΩ
&
2
Ε-Μ
ψ
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
8
275
ΑΝΑΓΩΓΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΕ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
8.13.
Στόν Πίν.
8-6
δίνονται πειραματικές τιμές τής πιέσεως Ρ καί τοϋ άντίστοιχου όγκου
μάζας άέρα.
γ
V μιας PV')' = C, όπου
Σύμφωνα μέ τή θερμοδυναμική ίσχύει μιά σχέση τής μορφής
καί
C σταθερές (σέ κατάλληλες μονάδες). (α) Ύπολογίστε τίς (άριθμητικές) τιμές των γ καί C. (b) Γράψτε τήν έξίσωση πού συνδέει τά Ρ καί V. (c) 'Εκτιμήστε τήν τιμή τής πιέσεως Ρ, όταν V = 100.0. Πίν.
PV"Y = C,
Έπειδή
~OγKoς
V
54.3
61.8
72.4
88.7
118.6
194.0
Πίεση
Ρ
61.2
49.5
37.6
28.4
19.2
10.1
fχουμε παίρνοντας δεκαδικούς λογάριθμους
+
log Ρ Θέτοντας
log V
=χ
γ
καί
log V
=
log Ρ
=Υ
α
= log C
Στόν Πίν.
καί
b
logP
ή
log C
logC -
γ
logV
εχουμε τήν εξίσωση
=
Υ όπου
8-6
α
+
bx
= ~γ.
8-7 δίνονται οΙ τιμές των χ καί Υ (πού ύπολογίζονται άπό τίς τιμές των V καί Ρ τού Πίν. 8-6)
καί άλλα ένδιάμεσα άποτελέσματα.
ΟΙ κανονικές έξισώσεις γιά τήν εύθεία έλάχιστων τετραγώνων μέ έξίσωση τήν (Ι) είναι
::i.y =
απ
+
::i.xy =
b::i.x
a::i.x
+
b::i.x 2
άπ' όπου α
Άρα
Υ
=
(::i.y)(::i.x 2 )
-
1ιΣχ 2 -
= 4.20 -
(::i.x)(::i.xy)
4.20,
(Σχ)2
- (::i.x)(::i.y) n::i.x 2 - (Σχ)2
-1.40
1.40 Χ. Πίν.
χ
πΣΧΥ
b
= logV
Υ
8-7
.,
= logP
χ-
ΧΥ
1.7348
1.7868
3.0095
3.0997
1.7910
1.6946
3.2077
3.0350
1.8597
1.5752
3.4585
2.9294
1.9479
1.4533
3.7943
2.8309 !
Σχ
'Επειδή α
(b)
PVl.40 = 16,000. 'Όταν
V
1.2833
4.3019
2.6617
2.2878
1.0043
5.2340
2.2976
= 11.6953
= 4.20 = log C
(α)
(c)
2.0741
= 100,
είναι
χ
και
::i.y
b
= 8.7975
= -1.40 = -γ,
= log V
= 2
καί
Υ
::i. χ2 εχουμε
= 23.0059 C
= 1.60 χ 104
= log Ρ = 4.20 -
1.40(2).
::i.xy
και
= 16.8543 Υ
-Αρα
= 1.40. Ρ
= antilog 1.40 =
25.1.
8.14.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
8.13
μέ σχεδίαση των δεδομένων σέ λογαριθμικό μιλλιμετρέ.
Γιά κάθε ζεύγος τιμών πιέσεως γαριθμικές κλίμακες του Σχ.
.,
8-10.
Ρ καί ογκου
ν τού Πίν.
8-6
παίρνουμε ενα σημείο στό είδικό μιλλιμετρέ μέ λο
276
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Κ Ε Φ.
8
ΙΟΟ
00 80 -i
~~~-~-~~~.~_._.~
70 .,
40
Q.., ι: Ό ω
tΞ
30 -r,....,-~....,-.-,--'''"'c'-'-~--:"4",~·:-c~···, .,..~~--.,..,.-;-:
20 .,
15
10 .:. ...___ ~ __~_~_:...~. ___.... :..:.._.. ___ .,.,._~._~~~ 10 20 30
40
50
60
~OγKoς
Σχ.
70
80
150
90 100
Φέρνουμε αύθαίρετα μιά εύθεία πού νά περνάει κοντά από τά σημεία πού βρήκαμε.
+
Ή κλίση πρός
AC.
b,
250
300
8-10
αρκετά κοντά στήν εύθεία, ύπάρχει πιθανότατα μιά γραμμική σχέση μεταξύ τών
log Ρ = a
200
V
Υ
b log V
=
a
+
log Ρ
'Επειδή τά σημεία ε!ναι
καί
log V,
εστω ή
bx
πού εΙναι αρνητική στήν περίπτωση αύτή, δίνεται αριθμητικά άπό τό λόγο των μηκών
b
Μετρώντας τά μήκη αύτά βρίσκουμε
Γιά νά ύπολογίσουμε τή σταθερή
= -1.4.
α, χρησιμοποιούμε ενα σημείο τής καμπύλης, εστω τό
V = 100,
Ρ
ΑΒ
= 25.
Βρίσκουμε
a
log Ρ -
b ]og V
+
γ
log Ρ
Συνεπώς
1.4 log
log 25
+
1.4 log 100
log PVI.4
4.2,
4.2,
1.4 καί
+
(1.4)(2)
PV 1 .4
=
4.2
16,000
Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ
Δείξτε τίς κανονικές εξισώσεις
8.15.
της σελ. 261 γιά τήν παραβολή ελάχιστων τετραγώνων
(19)
Υ
'Έστω στι τά σημεία τού δείγματος εΙναι (Χι, πού αντιστοιχούν σέ
χι. Χ2 • ••• , X n
a
+
d} = α
+ bx} + CX; -
Υι.
+ bx + cx 2
yl), (Χ 2 , Υ2), ... , (x n , Υπ)'
Οί τιμές τού
Υ από τήν παραβολή
είναι
bx } + cx~.
-Αρα οί άποκλίσεις από τά Υι. Υ2 •
α
=
... ,
+
a
Υπ
bX2
+ cχΞ,
... ,
a
+ bXn + cx~
είναι
d2 = α
+
bX2
+ cxi -
α
Y'l.
+ bX n + CX~ -
Yn
καί τό άθροισμα τών τετραγώνων τών αποκλίσεων
:Σ d 2
,;
#Μ.2
&
2
;
53
Ε
!Δ
._!2
11 .&
=
:Σ (α + bx
522
+ CX2 -
&2 L2
Υ)2
3ΩΙ
2
Κ Ε Φ.
8
277
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Αύτή είναι μιά συνάρτηση των α καί
b
F(a, b, c) =
:Σ (α + bx
+ cx 2 -
Υ)2
Γιά νά βρούμε τά σημεία δπου ή συνάρτηση αύτή εχει έλάχιστη τιμή, θέτουμε
Ο
iJF = σα
aF
Είναι
iJa iJF
ab iJF iJc
iιF
' Tb
=
aF
ο,
=
iJc
Ο
:Σ
-ίiασ (α + bx + cx 2 -
Υ)2
:Σ 2(α
:Σ
-ίibiJ (α + bx + cx 2 -
Υ)2
:Σ 2χ(α
Υ)2
:Σ 2χ 2 (α
ίi
+ cx 2 -
:Σ -(α+ bx iJc
+ bx + cx 2 + bx + cx 2 -
+ bx + cx 2 -
Άπλοποιώντας καί μηδενίζοντας τά άθροίσματα αύτά εχουμε τίς εξισώσεις
8.16.
Υ)
Υ)
τής σελ.
(19)
Προσαρμόστε μιά παραβολή έλάχιστων τετραγώνων της μορφης Υ δομένα τού Πίν.
Υ)
=
α
261.
+ bx + CX 2
στά δε
8-8. Πίν.
8-8
χ
1.2
1.8
3.1
4.9
5.7
7.1
8.6
9.8
Υ
4.5
5.9
7.0
7.8
7.2
6.8
4.5
2.7
Οϊ κανονικές έξισώσεις είναι
~y
=
+ C~X2 + b~X2 + C~X3 α~x2 + b~X3 + C~X4
απ
=
~xy
(1)
=
~x2y
+
b~x
α~x
Οϊ ύπολογισμοί των άθροισμάτων δίνονται στόν Πίν.
Πίν.
8-9
χ2
χ3
4.5
1.44
1.73
2.08
5.40
6.48
5.9
3.24
5.83
10.49
10.62
19.12
3.1
7.0
9.61
29.79
92.35
21.70
67.27
4.9
7.8
24.01
117.65
576.48
38.22
187.28
χ
Υ
1.2 1.8
Ι
χ4
7.2
32.49
185.19
1055.58
7.1
6.8
50.41
357.91
2541.16
8.6
4.5
73.96
636.06
9.8
2.7
96.04
941.19
=
42.2 7Ι
= 8
~y=
~x2
=
291.20
46.4
~x3
=
2275.35
Ι Ι
Ι
41.04
233.93
48.28
342.79
5470.12
38.70
332.82
9223.66
26.46
259.31
~x4
Ι
χ2 Υ
ΧΥ
5.7
~x
Μέ
8-9.
=
18,971.92
~xy
=
230.42
~x2y
=
1449.00
οί κανονικές εξισώσεις γίνονται
+ 42.2 b + 291.20 c = 46.4 42.2 α + 291.20 b + 2275.35 c = 230.42 291.20 α + 2275.35 b + 18971.92 c = 1449.00 8α
(2)
άπ' δπου
α
= 2.5"88,. b = 2.065, c = -0.2110.
έξίσωση
Υ
19
= 2.588
"Αρα ή ζητούμενη παραβολή ελάχιστων τετραγώνων εχει τήν
+ 2.065 χ
-
0.2110 χ 2
-_ _...
278 8.17.
-----
-
..
_-_.
-
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Χρησιμοποιώντας τήν παραβολή έλάχιστων τετραγώνων του Προβλ.
8.16
8
έκτιμήστε τίς τιμές
τού Υ γιά τίς δεδομένες τιμές του Χ. Γιά
χ
= 1.2
ύπόλοιπες τιμές.
= 2.588 + 2.065(1.2) - 0.2110(1.2}2 = 4.762.
εχουμε Υ,κ
Τά άποτελέσματα δίνονται στόν Πίν.
8-10
Πίν.
Μέ δμοιο τρόπο έκ:τιμαμε τίς
μαζί μέ τίς δεδομένες τιμές του Υ.
8-10
Υε"
4.762
5.621
6.962
7.640
7.503
6.613
4.741
2.561
Υ
4.5
5.9
7.0
7.8
7.2
6.8
4.5
2.7
ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
8.18.
Μιά μεταβλητή Ζ έκτιμαται άπό τίς μεταβλητές Χ καί Υ μέ μιά έξίσωση παλινδρομήσεως
τής μορφής Ζ
= α + bx + cy.
νων προκύπτει, έάν τά α,
(21)
τής σελ.
Δείξτε ότι ή έξίσωση παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώ
c
καί
b
προσδιοριστοϋν ετσι ώστε νά Ικανοποιοϋν τίς σχέσεις
262.
"Έστω δτι τά σημεία του δείγματος είναι (Χι, Υι. Zl)' ... , (X n , Υπ' zn)' έλάχιστων τετραγώνων οί τιμές του
Οί άποκ:λίσεις άπό τά
Ζι,
... , zn
Ζ πού άντιστοιχουν στά
(Χι, Υι),
Άπό τήν έξίσωση παλινδρομήσεως
., ., (X n , Υπ)
είναι
είναι
.. "' κ:αί τό άθροισμα τών τετραγώνων τους
Ή ποσότητα αύτή είναι συνάρτηση τών
~d2
=
σ,
b, c.
παίρνουμε τίς ζητούμενες κ:ανονικές έξισώσεις
8.19.
Στόν Πίν.
8-11
πρός χ καί Υ.
(21)
Μηδενίζοντας τίς μερικ:ές παραγώγους ώς πρός της σελ.
α,
b
κ:αί
c
262.
δίνεται ή ώριαία άποζημίωση Ζ δώδεκα ύπαλλήλων μιας έταιρείας πού πλη
σιάζουν στή συνταξιοδήτηση. έταιρεία αύτή.
~(a+bX+cy-z)2
Ό κάθε ύπάλληλος ε{ναι χ έτων καί εχει Υ χρόνια στήν
(α) Βρείτε τήν έξίσωση παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων του Ζ ώς
(b)
'Εκτιμήστε τίς τιμές του Ζ άπό τίς δεδομένες τιμές των Χ καί Υ.
'Εκτιμήστε τήν ώριαίαάποζημίωση ένός ύπάλληλου ποό ε{ναι
54
έτων καί εχει
9
(c)
χρόνια
στήν έταιρεία. Πίν.
(σ)
8-11
Ώρ. Άπ. (Ζ)
64
71
53
67
55
Ι
58
77
57
56
51
76
68
Ήλικία (χ»
57
59
49
62
51
Ι
50
55
48
52
42
61
57
Χρόνια (Υ)
8
10
6
11
81
7
10
9
10
6
12
9
Ή έξίσωση γραμμικής παλινδρομήσεως είναι
Ζ
=
σ
+ bx + cy
δπου οί σταθερές ίκ:ανοποιουν τίς κανονικές έξισώσεις
~Z
(1)
~XZ
~yz
+ b~x +C~y α~x + b~X2 + C~XY σ~y + b~xy + c~y2
= na
=
Ή έργασία γιά τόν ύπολογισμό των άθροισμάτων δίνεται στόν Πίν.
a
=
8-12.
2
&
β
Κ Ε Φ.
8
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
8-12
Πίν.
Ζ
Χ
64
57
71
59
53
49
Ζ2
χ2
8
4096
3249
10
5041
6
2809
Υ
,
Ι
Ι
279
Υ2
ΧΖ
ΥΖ
ΧΥ
64
3648
512
456
3481
100
4189
710
590
2401
36
2597
318
294
3844
121
4154
737
682
2601
64
2805
440
408
67
62
11
4489
55
51
8
3025
58
50
7
3364
2500
49
2900
406
350
77
55
10
5929
3025
100
4235
770
550
57
48
56
52
51
42
76
61
!
68 :ΣΖ
57
=
:Σχ
753
=
643
Ι Ι Ι
9
3249
2304
81
2736
513
432
10
3136
2704
100
2912
560
520
6
2601
1764
36
2142
306
252
12
5776
3721
144
4636
912
732
9
4624
3249
81
3876
612
513
:ΣΥ
=
:ΣΖ
106
=
2
= 34,843 :Σχ 2
48,139
:ΣΥ
2
976
1
=
=
:ΣΧΖ
:ΣΥΖ
40,830
=
:ΣΧΥ
6796
=
5779
Οϊ κανονικές εξισώσεις (Ι) γίνονται
+ 643b + 106c = 753 643a + 34,843b + 5779c = 40,830 106a + 5779b + 976c = 6796 12α
(2)
άπ' δπου
α
= 3.6512, b = 0.8546, Ζ
(3) (b)
'Από τήν έξίσωση παλινδρομήσεως
(3)
στίς δεδομένες τιμές τών χ καί Υ.
Ή ζητούμενη έξίσωση παλινδρομήσεως εΙναι
c = 1.5063.
=
3.65 + 0.855 Χ + 1.506 Υ
παίρνουμε τίς εκτιμήσεις Ζεκ
γιά τίς τιμές του
Τά άποτελέσματα δίνονται στόν Πίν.
8-13
Ζ πού άντιστοιχου.ν
μαζί μέ τίς δεδομένες τιμές του
Ζ.
Πίν. Ζεκ
64.414 69.136 Ι 54.564173.206 59.286 56.925 65.717 58.229 63.153 48.582 73.857 65.920
•Από
τήν
(3) μέ
Ι
53
= 54
καί
71
64
Ζ
(c)
8-13
χ
Ι Υ
67
=9
77
58
55 βρίσκουμε
57
= 63.356,
Ζεκ
56
51
76
δηλ. ό ύπάλληλος παίρνει περίπου
68 63
δρχ.
τήν ωρα.
ΤΥΠΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΣ
8.20.
Έάν Τι εύθεία έλάχιστων τετραγώνων τής Υ ώς πρός χ εΙναι τυπικό σφάλμα έκτιμήσεως
2
Sy.x
=
ΣΥ2
αΣΥ
-
=
:Σ(Υ -Υ εκ )2
:Σ(ιι
-
- α - bx) -
α
a:Σ(Υ
-
bΣΧΥ
Υ εκ
=
α
+
bx.
-Αρα
- bx)2
- α - bx) -
n
>
α+
1Ι
11
:Σ1/(Υ
=
n
Οί έκτιμήσεις του Υ άπό τήν εύθεία παλινδρομήσεως ε!ναι
8~.x
Υ
εΙναι
Sy.:r.
b:ΣΧ(Υ
- α - bx)
bx,
δείξτε στι τό
280
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕηΣΗ
ΕΙναι όμως
~ (Υ :ΣΧ(Υ
α -
-
=
bx)
=
- a- bx)
~y :ΣΧΥ
a:Σχ
-
=
b:Σχ
an -
8
Ο
b:Σχ 2
-
Κ Ε Φ.
Ο
έπειδή, σπως προκύπτει από τίς κανονικές έξισώσεις,
:ΣΥ
an
+
b:Σχ
~μ(y
Συνεπώς
α
-
=
:ΣΧΥ
- bx}
a:Σχ
:ΣΥ2
+ b:Σχ
α~y
-
2
b:ΣχΥ
-
n
1Ι
Τό αποτέλεσμα αύτό μπορεί νά γενικευτεί σέ μή γραμμικές έξισώσεις παλινδρομήσεως.
8.21.
Δείξτε ότι ή σχέση πού δείχτηκε στό Πρόβλ. ~(y
S~.X
Υ)2
-
8.20
μπορεί νά γραφεί
b~(x
-
Χ)(Υ
-
Υ)
-
n
Πρώτη μέθοδος.
'Έστω
χ
= χ' + Χ, ns~ ..r
= Υ' + iJ.
Υ
~Y~ -
'Από τό Πρόβλ.
α~y -
8.20 εχουμε
δ~xy
+ Χ)(Υ' + Υ) - α(:ΣΥ' + ny) - b:Σ(χ'Υ' + ΧΥ' + χ'Υ + χΥ}
~(y'...L fj}2 -
α:Σ(Υ'
+ Υ)
b:Σ(χ'
-
+ 2y'fj + 'ίΊ2) :ΣΥ'"!. + 2ιί:ΣΥ' + ?ιΥ2 - α1ιΥ - b:Σχ'Υ' :ΣΥ'2 + ιιΠ - any - b:Σχ'Υ' - bΠΧΥ :ΣΥ'2 - b:Σχ'Υ' + ?ιy(ίJ - α - bx)
:Σ(Υ'2
- bχ:ΣΥ' -
bΥ:Σχ'
-
b?lxfj
2
:Σμ'2 :Σ(:ι.ι
b:Σχ'Υ'
-
π):!
-
σπου χρησιμοποιήσαμε τίς σχέσεις σωση
:ΣΥ
=
απ
+ b:Σχ
-
b:Σ(χ
:Σχ'
= ο,
μέ διαίρεση μέ
Χ)(Υ
-
iί)
-
=Ο
:Σ Υ'
καί
Υ
=
+ bx
α
(πού προκύπτει από τήν κανονική έξί
π).
Δεύτερη μέθοδος. Ξέρουμε στι ή εύθεία παλινδρομήσεως γράφεται
a...L bx. άν αντικαταστήσουμε τό στή σχέση τοϋ Προβλ.
8.22.
8.20
a:
Υ
8.1 !(b)
= b(x -
Χ).
Ή μορφή αύτή προκύπτει από τήν Υ
Χ καί τό Υ μέ Υ
- Υ.
=
Μέ τίς 'ίδιες αντικαταστάσεις
έχουμε τή σχέση πού ζητάμε.
Ύπολογίστε τό τυπικό σφάλμα έκτιμήσεως Άπό τό Πρόβλ.
- Υ
μέ μηδέν, τό χ μέ χ -
Sy.x
γιά τά δεδομένα του Προβλ.
ή ευθεία παλινδρομήσεως της
Υ
πρός
χ ειναι Υ
8.11.
= 35.82 + 0.476 Χ.
Στόν Πίν.
8-14 δίνονται οί πραγματικές τιμές της Υ (από τόν Πίν. 8-3) καί οί έκτιμήσεις της Υ, δηλ. οί τιμές Υ.", από τήν ε\,θεία παλινδρομήσεως.
Έτσι Π.χ. γιά
Έπίσης δίνονται οί τιμές Υ
χ
- Υο;:.
= 65
εχουμε
8-14
65
Ι
63
Ι
67
64
68
62
70
66
68
67
69
71
Υ
68
Ι
66
i 68
65
69
66
68
65
71
67
68
70
Υ."
SY.x
Ι
66.76
i 65.81
Ι
67.71
66.28
68.19
65.33
69.14
67.24
68.19
67.71
68.66
69.62
1.24
Ι ~.19 Ι
0.29
-1.28
0.81
0.67
-1.14
-2.24
2.81
-0.71
-0.66
0.38
s~.X
Είναι
καί
66.76.
χ
Υ."
-
= 35.82 + 0.476(65) =
πού χρειάζονται στόν ύπολογισμό τοϋ Sy.x'
Πίν.
Υ
Υ εκ
:Σ (Υ -
Υεκ )2
(1.24)2
+
(0.19)2 + 12
'" +
(0.38)2
1.642
= ΥΙ.642 = 1.28 μονάδες.
ΣiH~
.. Κ Ε Φ.
8.23.
8
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
281
(α) Σχεδιάστε δύο εύθείες παράλληλες πρός τήν εύθεία παλινδρομήσεως τού Προβλ. 8.1\ καί σέ κατακόρυφες άποστάσεις Sy.X.
Τί ποσοστό τών δεδομένων σημείων τού σμή\'ους βρί
(b)
σκεται μεταξύ αύτών τών δύο γραμμών; (a)
Ή εύθεία παλινδρομήσεως τού Προ βλ. γραμμή.
= 35.82 + 0.476 χ
Υ
δίνεται στό Σχ.
8.11
Υ
μέ συνεχή
8-11
ΟΙ δύο παράλληλες γραμμές, πού Τι κάθε
(βλέπε Πρόβλ.
8.22)
= 1.28
8 Υ .χ
μιά ε{ναι σέ κατακόρυφη άπόσταση
άπό τήν εύθεία παλινδρομή
σεως, δίνονται έπίσης στό Σχ.
άλλά διακε
8-11,
κομμένες.
(δ)
•Από
τό Σχ.
μένα
12
προκύπτει ότι τά
8-11
μένων εύθειών, ένώ στίς γραμμές.
8-14
3
φαίνονται νά εΤναι πάνω
Άπό τήν τελευταία σειρά τού Πίν.
προκύπτει ότι τά
άπό τά
2
ε{ναι μεταξύ τών γραμμών.
ποσοστό ε{ναι ~Aλλη
άπό τά δεδο
7
σημεία βρίσκονται μεταξύ τών διακεκομ
9/12
= 75%.
αύτά σημεία
3
Άρα τό ζητούμενο
μέθοδος.
62
Άπό τίς τιμές της τελευταίας σειράς τού Πίν.
9
σημεία
μεταξύ
ε{ναι
:!:SY.X'
μεταξύ
καί
-1.28
66
68
.-
-.,
70
8-14 Σχ.
δηλ.
1.28,
64
~Aρα τό ζητούμενο ποσοστό εΤναι
8-11
= 75%.
9/12
'Εάν τά σημεία ήσαν κανονικά κατανεμημένα πάνω καί κάτω άπό τήν ευθεία παλινδρομήσεω;. τό τών σημείων θά ήταν μεταξύ τών διακεκομμένων ευθειών.
68 c ;
Αυτό συμβαίνει συνήθως γιά δείγματα μεγάλου
μεγέθους.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Μιά καλύτερη έκτίμηση τού τυπικού σφάλματος έκτιμήσεως τού πληθυσμού άπ' δπου ι:ροέρχεται
τό δείγμα ε{ναι ή
'8Υ . χ = yn/(n - 2)
Sy.x
= Υ'ι2/10 (1.28) = 1.40.
Ο ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ
8.24
Δείξτε στι ::Σ(Υ
-
'iί)2
= ::Σ(Υ -
Τετραγωνίζοντας τή σχέση
:Σ(Υ - iJ)2
Υ
=
)2 + ::Σ(Υεκ -
Υεκ - Υ
= (Υ -
Υ εκ
:Σ(Υ - Υεκ)2
'iί)2.
) + (Υ εκ
+
- iι)
:Σ(Υεκ - Υ)2
καί άθροίζοντας έχουμε
+
2:Σ(Υ - Υ εκ )(Υεκ - Υ)
Ή ζητούμενη σχέση επεται άμέσως, έάν δείξουμε δτι τό τελευταίο άθροισμα ε{ναι μηδέν.
Πραγματι>.:ά. αί·τ6 ίσχίJει
γιά γραμμική παλινδρόμηση, έπειδή
:Σ(Υ -
Υ εκ )(Υ εκ -
Υ)
:Σ(Υ
+ bx -
- a - bx)(a
a:Σ(Υ -
+
a - bx)
iJ)
b:ΣΧ(Υ -
a - bx) -
Υ:Σ(Υ -
a - bx)
Ο
πού ε{ναι συνέπεια τών κανονικών έξισώσεων
:Σ (Υ -
- bx) = Ο,
α
:ΣΧ(Υ -
α
- bx)
= Ο.
Μέ παρόμοιο τρόπο μπορεί νά δειχτεί ή σχέση τή;; έκφωνήσεως γιά μή γραμμική παλινδρόμηση. έά\' χρησιμοποι
ήσουμε μιά καμπύλη έλάχιστων τετραγώνων τή~ μορφής
8.25.
'Υπολογίστε
(α) τήν παλινδρομική
μεταβολή,
όλική μεταβολή γιά τά δεδομένα τού Προβλ. Άπό τό Πρόβλ. ποιώντας τίς τιμές
8.12
Υ εκ
εχουμε
τού Πίν.
1ί
= 67.58
8-14
Παλινδρομική μεταβολή
:Σ(Υεκ -
(b)
'Υπόλοιπη μεταβολή;::: :Σ(Υ - Υ εκ )2
Υ)2
=
(b)
τήν
(τό 'ίδιο κι άπό τόν Πίν.
παίρνουμε τόν Πίν.
(α)
= ao + aιχ + a2x2 +
=
μεταβολή
8-4,
έπειδή
1ί
και
(c) τήν
= 811/12 = 67.58).
8-15.
8-15
= (-0.82)2 71S~.I
ύπόλοιπη
... + anx n •
8.11.
Πίν.
=
Υ εκ
+ '" +
(2.04)2
= 19.22.
19.70 (άπό τό Πρόβλ. Χ.22).
Χρη
282 (c)
= ~(Y -
Όλική μεταβολή
Τά ζητούμενα στά (δ)
8.26.
Ύπολογίστε
Υ)2
καί
Συντελεστής συσχετίσεως Έπειδή ή μεταβλητή
r
= 0.7027
ή
τή γενική σχέση
(b)
8.24).
τό συντελεστή συσχετίσεως γιά τά
Παλινδρομική μεταβολή
= γ = Όλική = r = ±ΥΌ,4938 =
(δ)
(άπό τό Πρόβλ.
Χρησιμοποιήστε τά άποτελέσματα του Προβλ.
8.11.
Συντελεστής προσδιορισμου
•Από
= 38.92
2
19.22
8.25.
= 0.4938.
= 38.92
μεταβολή
±0.7027.
Υ,κ αυξάνει καθώς αυξάνει τό
0.70
(30)
8
βρίσκονται καί μέ άπ' ευθείας ύπολογισμό του άθροίσματος των τετραγώνων.
(c)
(α)
γράφουμε
= 19.22 + 19.70
(α) τό συντελεστή προσδιορισμου καί
δεδομένα του Προ βλ.
8.27.
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
χ. ό συντελεστής συσχετίσεως είναι θετικός καί
μέ δύο σημαντικά ψηφία.
τής σελ.
263
δείξτε τή σχέση
(34)
τής σελ.
264
(τόν τύπο του
γινόμενου ροπών) στήν περίπτωση τής γραμμικής παλινδρομήσεως. Ή ευθεία παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων της Υ ώς πρός χ γράφεται
bx', όπου
b
= ~xIyΊ~x'2,
Χ'
= χ-χ
καί
~yf2
8.28.
±
r ~xΎ' είναι θετικό. έάν τ6 Υεκ
χ αυξάνει.
'Άρα τό πρόσημο
ή
Y~K
=
εχουμε
~Y~~ ~yf2
(~Xly')2
~X'2 ~y12
~x'y'
..j~X'2 ~y'2
αυξάνει μέ τό
Χ.
Άντίθετα είναι άρνητικό. εάν τό Υ,κ
πρέπει νά παραλειφθεί.
±
=
= α· + bx
Υ,κ
= Υ-Υ,
(~X'Y} (~X'2) = ~x'2 ~yI2
~y'2
άπ' δπου
Υ)2
~(y-ίi)2
δ2~x'2
=
Έπειδή Υ'
~(Y εκ -
'Ολική μεταβολή ~b2X'2
όταν τό
-Υ.
Παλινδρομική μεταβολή
γ2
Τό αθροισμα
= Υ",
Y~K
μικραίνει,
Έτσι έχουμε τό ζητούμενο τύπο.
Χρησιμοποιώντας τόν τύπο του γινόμενου ροπών ύπολογίστε τό συντελεστή γραμμικής συ σχετίσεως γιά τά δεδομένα του Προβλ.
8.11.
Ό ύπολογισμός μπορεί νά όργανωθεί σπως στόν Πίν.
0.7027
V(84.68)(38.92)
8.26(b). Πίν. χΙ
Χ
Υ
65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69
68 66 68 65 69 66 68
Ι Ι
65 71 67 68 70
71.
= 800 Χ = 800/12 = 66.7
~x
Βρίσκουμε
40.34
r σπως στό Πρόβλ.
8-16.
= 811 Υ = 811/12 = 67.6
~Y
=
χ-χ
Ι
-1.7 -3.7 0.3 -2.7 1.3 -4.7 3.3 -0.7 1.3 0.3 2.3 4.3
8-16 Υ'
=
Υ-Υ
0,4 -1.6 0.4 -2.6 1.4 -1.6 0.4 -2.6 3.4 -0.6 0.4 2.4
χ'Υ'
χ'2
2.89 13.69 0.09 7.29 1.69 22.09 10.89 0.49 1.69 0.09 5.29 18.49 ::Σχ'2
=
84.68
a
Υ'2
-0.68 5.92
0.16 2.56
0.12 7.02 1.82 7.52 1.32 1.82 4.42 -0.18 0.92 10.32
0.16 6.76 1.96 2.56 0.16 6.76 11.56 0.36 0.16 5.76
::Σχ'Υ'=
40.34
::ΣΥ'2
=
38.92
> Κ Ε Φ.
8.29.
8
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Δείξτε τή σχέση
τής σελ.
(17)
283
261.
Ή εύθεία παλινδρομήσεως τής Υ ώς πρός χ ε{ναι
= α + bx
Υ
δπου
b
δπου
d
r8!1
8.,
Ή εύθεία παλινδρομήσεως τής χ ώς πρός Υ εΙναι
= C + dy
χ
= (y::)(~.,) =
bd
8.30.
Χρησιμοποιώντας τή σχέση πού δείχτηκε στό Πρόβλ. μικής συσχετίσεως για τά δεδομένα τού Προ βλ. 'Από τό Πρόβλ.
8.II(b)
καί
8.11(c)
=
b
81/
r 2
8.29
ύπολογίστε τό συντελεστή γραμ
8.11.
εχουμε άντίστοιχα
484 1016
=
484
d
0.476
467
=
r
"Αρα
Τό ίδιο βρέθηκε στά Προβλ.
8.31.
Τ8.,
=
καί
8.26(b)
1.036
0.7027
8.28.
Δείξτε ότι ό συντελεστής γραμμικής συσχετίσεως γράφεται
Στό Πρόβλ.
8.27
~
=
(~x)/π
καί
jj
- Χ)(Υ - Υ)
+ χΥ) = ~xy - njjx + n(iy =
ΧΥ
πΧii
-
-
X~Y ~xy -
y~x
nxy
(~X)(~Y)
n
-
= (~y)/π. =
~(x - χ)2
"Ομοια
~(X
:Σ(ΧΥ - ΧΥ - ΧΥ
- Χ)(Υ - Υ)
~XY
έπειδή Χ
(~x)(~y)
~xΎ'
=
r
~(x
-
δείξαμε δτι
(1)
'Αλλά
n~xy
=
r
=
~(x2 -
:Σχ 2
~(Y
καί
_
+ ( 2) = ~x2 2(~x)2 + (~x)2 =
2ΧΧ
_
Υ)2
n
n ~y2 _
2x~x
+
nx 2
~x2 _(~x)2 n
(~y)2
n
Συνεπώς ή (Ι) γίνεται
r
=
~xy
-
(~x)(~y)/π
=
π~xy
-
(~x)(~y)
+
nxy
---_.-----
--------------------------------....."
284 8.32.
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Χρησιμοποιώντας τόν τύπο του Προβλ.
Άπό τόν Πίν.
ύπολογίστε τό συντελεστή γραμμικής συσχε
8.31 8.11.
τίσεως γιά τά δεδομένα του Προβλ.
8
εχουμε
8-4
=
r
n~xy
-
(~x)(~y)
~[n~x2 - (~x}2][n~y2 - (~y)2)
(12)(54,107) - (800)(811)
=
Υ![(12)(53,418) - (800)2][(12)(54,849) - (811)2J δπως στά Προ βλ. 8.26(b),
8.28
καί
0.7027
8.30.
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ
8.33.
(α) Ύπολογίστε τό συντελεστή γραμμικής συσχετίσεως μεταξύ των μεταβλητων χ καί Υ του
Προβλ.
Ύπολογίστε ~α συντελεστή μή γραμμικής συσχετίσεως μεταξύ των μετα
(b)
8.16.
βλητων αύτων, έάν συνδέονται μέ τήν παραβολική σχέση του Προ βλ.
τή διαφορά μεταξύ των συντελεστων συσχετίσεως του (α) καί του
(b).
8.16. (d)
(c)
Έξηγήστε
Τί ποσοστό της
όλικής μεταβολής παραμένει άνεξήγητο μέ τήν παραδοχή στι ύπάρχει μιά παραβολική σχέση μεταξύ των χ καί Υ; (α)
Χρησιμοποιώντας τά άποτελέσματα του Πίν.
=
r
n~xy
-
8-9
καί τό γεγονός ΟΤΙ
~y2
= 290.52
εχουμε
(~x)(~y)
y![n~x2 - (~x)2J[n~y2 - (~y)η
(8)(230.42) - (42.2)(46.4)
-0.3743
v'[(8)(291.20) - (42.2)2][(8)(290.52) - (46.4)2) (b)
Άπό τόν Πίν.
8-9
εχουμε
ii
= (~y)/n = (46.4)/8 = 5.80.
=
'Ολική μεταβολή Άπό τόν Πίν.
8-10 Παλινδρομική μεταβολή
r2 =
Άρα
(c)
Στό (α)
Παλινδρομική μεταβολή
Όλική μεταβολή
~(y
=
=
- Υ)2
~(Yε"
Υ)2
-
21.40
=
21.02 = - - = 0.9822 21.40
βρήκαμε συντελεστή γραμμικης συσχετίσεως
γραμμική σχέση μεταξύ τών χ καί Υ.
Άρα
-0.3743.
21.02
r
καί
=
0.9911
Αύτό δείχνει ότι πρακτικά δέν ύπάρχει
Στό (b) όμως δ συντελεστής συσχετίσεως βρέθηκε σχεδόν
1.
ύπάρχει μιά μή γραμμική σχέση μεταξύ τών μεταβλητών, πού περιγράφεται όπό τήν παραβολή του Προβλ.
'Υπόλοιπη μεταβολή
(d)
1 -
Όλική μεταβολή
Συνεπώς
1.78%
r2
=
1 -
της δλικης μεταβολ ης παραμένει άνεξήγητο.
0.9822
=
νΑρα
8.16.
0.0178
Μπορεί νά όφείλεται σέ τυχαίους λόγους ή
σέ μιά ιiλλη μεταβλητή πού άγνοήθηκε.
8.34.
Ύπολογίστε τά (α)
(α) Sy καί
Άπό τό Πρόβλ. 8.33(b) εχουμε
8Υ ( b)
(b)
=
Sy.:r: γιά τά δεδομένα του Προβλ.
~(y
. / ν
- Υ)2
= 21.40.
~(y ;; Υ)2
=
8.16.
νΑρα ή τυπική άπόΙCΛιση του Υ εΙναι
~ -21.40 8-
=
1.636
ή
1.64
Πρώτη μέθΟδος. Άπό τό προηγούμενο άποτέλεσμα καί τό Πρόβλ. 8.33(b) προκύπτει τό τυπικό σφάλμα tκτιμήσεως της Υ ώς πρός χ
8Υ •Ζ = 8ΥΥ!1- r 2 =
1.636Υ!1 - (0.9911)2
=
0.218 ή 0.22
. . . .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -_ _
Κ Ε Φ.
8
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
285
Δεύτερη μέθοδος .
. Από
τό Πρόβλ.
8.33
εχουμε
~ 21.40; 21.02
'Υπόλοιπη μεταβολή
0.218
11
ή
0.22
Τρίτη μέθοδος.
Χρησιμοποιώντας τά ένδιάμεσα αποτελέσματα τού Προβλ.
SYX
.
8.35.
8.16
καί τό στι
= ~ ::Σ1ι 2 - α::Σιι - b::ΣΧΥ - c::Σχ 2 Υ =
0.218
= 290.52
::ΣΥ2
ή
εχουμε
0.22
π
Περιγράψτε πως θά μπορούσατε νά ύπολογίσετε ενα συντελεστή πολλαπλής συσχετίσεως γιά τίς μεταβλητές τού Προβλ. Έπειδή ή
8.19.
Ζ προσδιορίζεται από τίς Χ καί
ώς πρός χ καί Υ.
Άπό τό Πρόβλ.
8.\9
Υ, ένδιαφερόμαστε γιά τό συντελεστή πολλαπλής συσχετίσεως της
::Σ(Ζ
'Υπόλοιπη μεταβολή
- Ζεκ )2
+ ... + (68 - 65.920)2
(64 - 64.414)2 ::Σ (Ζ
Όλική μεταβολή
Παλινδρομική μεταβολή ~Aρα
=
Ζ)2
-
258.88
- nz 2
::ΣΖ 2
48,139 - 12(62.75)2
888.25
= 888.25 - 258.88
629.37
. Συντελεστής πολλαπλης συσχετίσεως της
Ζ ώς πρός χ καί Υ
Παλινδρομική μεταβολή
629.37 888.25
Όλική μεταβολή
•Ας
Ζ
εχουμε
σημειωθεί δτι, έάν θεωρούσαμε παλινδρόμηση τής χ ώς πρός Υ καί
τής χ ώς πρός
Υ καί
0.8418
Ζ, ό συντελεστής πολλαπλής συσχετίσεως
Ζ θά ήταν γενικά διαφορετικός.
ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΤΑΞΕΩΝ
8.36.
Δείξτε τό τύπο τού
n
Θεωρούμε ή τάξη τής
j
Spearman
γιά συσχέτιση τάξεων [έξίσωση
τιμές τού Χ καί π αντίστοιχες τιμές τού
τιμής τού
Υ.
Υ.
Έστω
Οί τάξεις δίνονται από τούς ακέραιους
1+2+"'+11
π(π
Ή διασπορά ε[ναι
12
+ 1)/2
+ 22 + ... +
112
n 11(1/
+
1)(2π
+ 1)/6
2
= (Χρησιμοποιήσαμε τίς σχέσεις
1
καί
2
τής σελ.
καί τή διασπορά B~ Ισες αντίστοιχα μέ (π
'Εάν d j =
των
.
__
.
s;, B~
Xj -
Yj
σελ.
Xj ή τάξη τής
εως καί π.
1
n
Π
(36),
j
264].
τψής τού
Ή μέση τιμή των
Χ καί Xj
Yj
εΙναι
n+1 2
_(π~ 1Χ. _(n ~ 1Υ
1
η2 -
12 34\
+ 1)/2
τού Παραρτήματος Α). ·Ομοια βρίσκουμε τή μέση τιμή Υ (n 2 - 1)/12.
καί
ε[ναι οί διαφορές μεταξύ των τάξεων, ή διασπορά
ιcαί τού συντελεστή συσχετίσεως μεταξύ των τάξεων ε[ναι
sa
των αποκλίσεων ώς συνάρτηση
~t.
~~--~-
286
-~---
Άρα
8
si + B~ - sJ
(1)
2s X s y
'Επειδή
d=
Ο
εχουμε
B~
= (~ά2)/Ί! καί ή (Ι) γίνεται
+
1}/12
(112 -
(2)
8.37.
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
(n 2 - 1}/12 -
(112 -
Στόν Πίν.
8-17
δίνονται οί κατατάξεις
(~d2)/n
6~d2
1 -
1)/6
--'--:--:7
11(n2 - 1)
φοιτητών μέ βάση τίς έπιδόσεις τους στό έργαστή
10
ΡΙΟ καί τίς γραπτές έξετάσεις σ' ενα μάθημα βιολογίας.
"Υπολογίστε τό συντελεστή συσχε
τίσεως τάξεων τών φοιτητών. Πίν.
Οί διαφορές
τά
d2
καί
d
8-17
Έργαστήριο
8
3
9
2
7
10
4
6
1
5
Γραπτά
9
5
10
1
8
7
3
4
2
6
των τάξεων στό έργαστήριο καί τά γραπτά δίνονται στόν επόμενο πίνακα.
Δίνονται έπίσης
~d2. Πίν. Διαφορά των τάξεων,
d
-1
-2
-1
1
-1
3
1
2 -1
1
4
1
1
1
9
1
4
1 _
6(24) 10(102 - 1)
d2
6~d2
1 _
Άρα
8-18
n(n 2 - 1)
-1
1
~d2
1
=
24
0.8545
Ή τιμή αύτή δείχνει δτι ύπάρχει κάποια σχέση μεταξύ των έπιδόσεων στό έργαστήριο καί στίς γραπτές έξετάσεις.
8.38.
Ύπολογίστε τό συντελεστή συσχετίσεως τάξεων γιά τά δεδομένα τού Προ βλ.
8.11
καί συγ
κρίνετε τό άποτέλεσμα μέ τό συντελεστή συσχετίσεως πού ύπολογίστηκε μέ ι'iλλες μεθόδους. Οί βαθμοί των πατεράδων καταταγμένοι σέ αυξουσα σειρά είναι
62, 63, 64, 65, 66, 67, 67, 68, 68, 69, 70, 71 'Επειδή ό εκτος καί ό εβδομος ε!ναι 'ίδιοι, δίνουμε στόν καθένα μέση τάξη στόν όγδοο καί τόν ενατο.
"Ομοια, δίνουμε μέση τάξη
6.5.
8.5
Έτσι άντιστοιχοϋμε στούς βαθμούς των πατεράδων τούς άριθμούς
1, 2, 3, 4, 5, 6.5, 6.5, 8.5, 8.5, 10, 11, 12
(2)
"Ομοια, οί βαθμοί των γιων καταταγμένοι σέ αύξουσα σειρά είναι
65, 65, 66, 66, 67, 68, 68. 68, 68, 69, 70, 71
(3)
'Επειδή ό εκτος μέχρι καί τόν ενατο είναι ίσοι. δίνουμε στόν καθένα μΕση τάξη
7.5
Ιδηλ.
(6
+ 7 + 8 + 9)/4].
τσι στούς βαθμούς των γιων άντιστοιχοϋμε τούς άριθμούς
1.5, 1.5, 3.5, 3.5, 5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 10, 11, 12 Μέ τήν κατάταξη αύτή εχουμε άντί γιά τόν Πίν.
8-3
Πίν. Τάξη Πατέρα Τάξη Γιοϋ
τόν Πίν.
8-19.
8-19
4
2
6.5
3
8.5
1
11
5
8.5
6.5
10
12
7.5
3.5
7.5
1.5
10
3.5
7.5
1.5
12
5
7.5
11
, > :
• •
~
~_
~
-
,~
--.
~
>.
'"
~
'"
•
••
κ
~
Έ
• Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤ1ΣΗ
8
Οί διαφορές
d
τών τάξεων καί τά
καί ~d2 δίνονται στόν Πίν.
d2
Πίν.
287
8-20.
8-20
d
-3.5
-1.5
-1.0
1.5
-1.5
-2.5
3.5
3.5
-3.5
1.5
2.5
1.0
d2
12.25
2.25
1.00
2.25
2.25
6.25
12.25
12.25
12.25
2.25
6.25
1.00
=
Συνεπώς
6~d2
1 _
πού συμφωνεί άρκετά καλά μέ τήν τιμή
= 0.7027
r
6(72.50) 12(122 -1)
1 -
n(n2 -1)
=
~d2
=
72.50
0.7465
πού βρέθηκε στό Πρόβλ.
8.26(b).
ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ
ΤΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΕΩΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ
8.39.
' Από
τή σχέση
(37)
δείξτε τή σχέση
(39).
Έστω ση ή έξίσωση παλινδρομήσεως είναι
=
Υ
Ε(Υ! Χ
= χ) = α + βΧ
Γιά νά βροϋμε τήν εύθεία παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων θεωροϋμε τήν ποσότητα
Ε{[Υ -
(α
+ βΧψ} =
Ε{[(Υ - μΥ) Εί(Υ -
σf
F(a,
β)
μχ)
-
μχ)
+
(μΥ -
β2Εί(Χ - fLx)2] -
- 2βσΧΥ
δπου χρησιμοποιήσαμε τίς σχέσεις Ε(Χ 'Εάν
+
μΥ)2)
+ β2σ~
β(Χ -
+
βμχ -
2βΕ[(Χ -
aF
μΥ)]
+
(μΥ -
βμχ -
α)2
(μΥ - βμχ - α)2
= Ο,
Ε(Υ
μΥ)
-
= Ο.
=
-2(μΥ -
βμχ -
α),
Μηδενίζοντας τίς παραγώγους αύτές [γιά νά βροϋμε τό έλάχιστο τής μΥ
Υ
μχ)(Υ -
είναι ή ποσότητα αύτή, εχουμε
Τα
Έτσι, έάν
α)]2}
= α + βΧ, τότε
Υ -
μΥ
=
=
+
α
β(Χ -
2 βσχ
βμχ
μχ)
Υ
ij
-ο (Χ
μΥ
-
=
β)] παίρνουμε τίς
σΧΥ
ij σΧΥ
-
Υ
F(a,
σ
-
μχ)
χ
μΥ
σΥ
Ή όμοιότητα τής προηγούμενης άποδείξεως γιά πληθυσμούς (μέ χρήση μέσων τιμών) μέ τήν άντίστοιχη άπόδειξη γιά δείγματα (μέ χρήση άθροισμάτων) είναι φανερή.
Γενικά, ύπάρχει μιά άντιστοιχία μεταξύ σχέσεων γιά
δείγματα καί γιά πληθυσμούς.
8.40.
Ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας των τυχαίων μεταβλητων Χ καί Υ εΙναι
Ι ~(χ
f(x, Υ)
+ 2Υ)
ΙΟ
1'-
(α) Υ ώς πρός
Ή περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας της Χ είναι
Ιι(Χ)
......
~--------
=
1,
Ο ~ Υ ~
1
Χ,
Χ
άλλιώς
Βρείτε τήν έξίσωση παλινδρομήσεως τής (α)
ο ~ Χ ~
12
i0"3
(Χ
+ 2!1) dy
(b)
ώς πρός
Υ.
288
Κ Ε.Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
γιά
Ο ~ Χ ~
νης τής
Χ
f 1 (Χ) =
ένώ
1,
Ο
άλλιώς.
Άρα γιά
ο;;; χ ;;;
Ή καμπύλη παλινδρομήσεως τής
Υ
f(x,
=
{
Υ)
Ιι(Χ)
Υ ώς πρός
Χ + 2Υ χ+1
Υ<ΟήΥ>1
Ο
Χ ,-Ιναι
Ε(Υ Ι Χ=Χ)
(ι (Χ +
)0 Υ
(b)
f 2 (y
Γιά
1
ή περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας τής
2Y)dΥ =
ο;;; Υ
6Χ
Χ
<
Ο ή Χ>
+6
1.
Υ εΙναι
(ι 2
1
3(1+4Υ)
=
ή πυκνότητα ύπό συνθήκη τής Χ δεδομένης τής Υ εΙναι
;;; 1
2Χ + 4Υ
f(x, Υ) f 2 (y)
Ιι(χIΥ)
1
+ 4Υ
{ χ<Ο
Ο Ή καμπύλη παλινδρομήσεως τής Χ ώς πρός
Χ
=
ή
χ>1
Υ εΙναι
Ε(Χ Ι Υ=Υ)
(ι
Χ
)0
Ή
3Χ + 4
+1
=)0 3'(x+2y)dx
f2(Y) γιά
Χ
Ι Χ) καί ή καμπύλη παλινδρομήσεως δέν όρίζονται γιά
ο;;; Υ ;ΞΞ
- Αρα
(2X+4 Y )d 1 + 4Υ Χ
lι (Χ Ι Υ) καί ή καμπύλη παλινδρομήσεως δέν όρίζονται γιά
Άς σημειωθεί δη οί δύο καμπύλες παλινδρομήσεως
Υ
=
(3Χ
Υ
<
2 + 6Υ 3 + 12Υ
=
Ο ή Υ>
+ 4)/(6χ + 6)
1.
καί
Χ
= (2
+ 6Υ)/(3 + 12Υ)
εΙναι διαφορετικές.
8.41.
Στό Πρόβλ.
8.40
(α) Χ, (b) Υ,
ύπολογίστε τά
(b)
1Τ
(c)
χ2
Άρα
(d)
ο
σχ,
J::O i:o y[i (Χ + 2Υ) ]
(d) σf, (e)
2
σχ
=
Χ2
-
Χ2
11 18
dx dy
(~y = = ~18 9
.[:oi:o Y{~(X+2y)JdXdY .,
σΥ
ΥΖ
_
ΥΖ
i_ (l1Υ 9 18
σ χΥ ,
5 9
dx dy
[Ι X{~(X+2y)JdXdY = ΙΙ χ=Ο • Υ=Ο 3
Υ2
Άρα
(c)
;::0 i~o Χ [i(X + 2Υ) ]
Χ
(α)
Υ δεδομέ
εΙναι
fz(Y Ι Χ)
Ή
ή πυκνότητα ύπό συνθήκη της
1
8
7 18
13 162
= 23 324
4
9
(Ι) ρ.
μ
Κ Ε Φ.
8
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤιΣΗ
289
(e)
"Αρα
-1/162
<Ι)
Ό συντελεστής γραμμικής συσχετίσεως εΙναι μικρός.
Αύτό δικαιολογείται καί άπό τίς εύθείες παλινδρο
μήσεως έλάχιστων τετραγώνων πού θά βρεθουν στό Πρόβλ.
8.42.
-0.0818
Ρ
8.42.
Βρείτε τίς εύθείες παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων της ώς πρός
Υ στό Πρόβλ.
(α) 'Η εύθεία παλινδρομήσεως της Υ ώς πρός Χ είναι Υ - Υ
(b)
Χ
ρ (χ - Χ) ή
=
σΥ
Υ-
σΧΥ
f
-(χ σ2
-
_ Χ)
Ή εύθεία παλινδρομήσεως της Χ ώς πρός
11
Υ εΙναι
-1/162 (
= 13/162
χ-Χ
--= σχ
σΧΥ _ -(Υ-Υ) 2 σ
χ-Χ
σχ
Υ - 18
Χ
(b)
(α) Υ ώς πρός Χ,
8.40.
ρ
( -Υ -- -f)
5)
9"
.
η
σΥ
11)
5 9
-1/162( 23/324 Υ -18
χ--
Υ
χ -
ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΕΩΣ
8.43.
Στό Πρόβλ.
8.11
+ 0.476 Χ.
Έλέγξτε σέ έπίπεδο σημαντικότητας
βρήκαμε δτι ή έξίσωση παλινδρομήσεως της Υ ώς πρός Χ ε{ναι Υ
0.05
λινδρομήσεως της έξισώσεως παλινδρομήσεως του πληθυσμοϋ εΙναι τό πολύ
8 Υ .% 8 χ
έπειδή 8 Υ . χ =
(Πρόβλ.
1.28
καί 8 χ =
8.22)
χ2 =
..JX 2 -
2.66
(Πρόβλ.
8.11).
Μέ βάση ενα μονόπλευρο έλεγχο καί χρησιμοποιώντας τήν κατανομή του
ψουμε τήν ύπόθεση ότι ό συντελεστής παλινδρομήσεως εΙναι τό πολύ
= 10
8.44.
βαθμούς έλευθερίας.
Ύπολογίστε τά Ειναι
±t.975
=:
β
=
±2.23
b
8.45.
είμαστε
Στό Πρόβλ.
Συνεπώς άπορρίπτουμε τήν ύπόθεση.
δρια έμπιστοσύνης του συντελεστη παλινδρομήσεως του Προβλ.
+
t
(γιά
95%
8.11
yn-2 12 - 2
(8- 11 • Χ ) .
Τά
8%
= 10
t. 975 = 2.23
n
35.82
2.23(1.28) 0.476 ± v'ιO 2.66 0.136
ύπολογίστε τά (α)
Υιά
95 % δρια 65.0, (b) 70.0
+ 0.476 χο
t =
καί
0.476 ± 0.340
0.816.
έμπιστοσύνης γιά τούς βαθμούς των γιων πού οί μονάδες.
12 - 2 = 10 βαθμούς έλευθερίας, τά 95% δρια έμπιστοσύνης Υιά τό Υρ εΙναι -+-
=
=
βέβαιοι δτι τό β εΙναι μεταξύ
Υο δπου Υο
όρια έμπιστοσύνης Υιά τό β προκύπτουν αν θέσουμε
95%
8.43.
βαθμούς έλευθερίας) καί εΙναι
2.23 (811.%) -+- Υ12 - 2 8%
πατεράδες τους πηραν Έπειδή
Student σέ έπίπεδο 0.05 θά άπορρί έάν t > t. 95 = 1.81 Υιά 12 - 2
0.180,
95%
b
- Αρα
0.180.
β-/bγn=-2 =
=
t
Ε{ναι
= 35.82
τήν ύπόθεση δτι ό συντελεστής πα
(Πρόβλ.
2.23 _c---;;8J1.x vn - 2
8.11), 8 11 • χ
~
n
= 1.28,
+1+ 8χ
l'l(xo -
= 2.66
η
χ)2
8:;; (Πρόβλ.
8.43) καί n
=:
12.
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
290 (α) 'Εάν χο
τότε Υο
= 65.0,
καί (Χο - χ)2
= 66.76
= (65.0 -
= 2.78.
800/12)2
Τά
95%
8
όρια έμπιστο
σύνης είναι
66.76 :t: 2.23 (1.28)
ΥΤο δηλ. μπορουμε νά είμαστε 95% βέβαιοι δτι οί βαθμοί των γιων είναι μεταξύ 63.0 καί 70.6 μονάδων.
'Εάν Χα = 70.0, τότε Υο = 69.14 καί (Χο - χ)2 = (70.0 - 800/12)2 = 11.11. Τά 95% όρια έμπιστο σύνης είναι 69.14 :t: 5.09, δηλ. μπορουμε νά εϊμαστε 95% βέβαιοι δτι οί βαθμοί των γιων είναι μεταξύ 64.1
(b)
καί
μονάδων.
74.2
"Ας σημειωθεί ότι γιά μεγάλες τιμές του n τά 95% δρια έμπιστοσύνης είναι περίπου Υο ± 1.9681/.:< ή Υο ± 28)/.:< μέ τήν προϋπόθεση δτι τό χο - Χ δέν είναι πολύ μεγάλο. Αύτό συμφωνεί μέ τίς παρατηρή
σεις στό τέλος τής σελ. είναι τό
8.46.
η τό
n
Στό Πρόβλ.
Οί μέθοδοι όμως πού άναπτύξαμε έδω Ισχύουν άνεξάρτητα άπό τό πόσο μεγάλο
262.
χο - :ι.
95% δρια εμπιστοσύνης πατεράδες τους πήραν (α) 65.0, (b) 70.0 μονάδες. 8.11
'Επειδή t.
ύπολογίστε τά
==
2.23
975
γιά
βαθμούς έλευθερίας, τά
10
Υο
δρια έμπιστοσύνης γιά τό Υρ είναι
2.23 ± --8)/.:<
ΥΤο δπου Υο = 35.82 + 0,476 χο (Πρόβλ. 8.11) καί 8 Υ .:<
ο
95%
= 1.28
(Πρόβλ.
(α) 'Εάν χ == 65.0, βρίσκουμε [σπως στό Πρόβλ. 8.45(a)] ότι τά δηλ. μπορουμε νά είμαστε
95%
γιά τό μέσο βαθμό των γιων πού οί
8.43).
950/0
όρια έμπιστοσύνης είναι
66.76 ± 1.07,
95%
όρια εμπιστοσύνης είναι
69.14 ± 1.45,
βέβαιοι ότι δ μέσος βαθμός όλων των γιων, πού οί πατεράδες τους πήραν
65.0 μονάδες, είναι μεταξύ 65.7 καί 67.8 μονάδων.
'Εάν χο == 70.0, βρίσκουμε [όπως στό Πρόβλ. 8.45(b)] δτι τά
(b)
δηλ. μπορουμε νά είμαστε
95%
βέβαιοι στι δ μέσος βαθμός σλων των γιων, πού οΙ πατεράδες τους πήραν
70.0 μονάδες, είναι μεταξύ 67.7 καί 70.6 μονάδων.
ΔΕΙΓΜΛΤΟΛΗmΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ
Σ' ενα δείγμα μεγέθους
8.47.
ό συντελεστής συσχετί~εως βρέθ~Kε ίσo~ μέ Q.32: Σέ επίπεδο
18
/α) 0.05 καί (b) 0.01 μποροϋμε να συμπερανουμε οτι ό άντιστοιχος συνσημαντικοτητας ' ", , '\ εως του- πληθυσμοϋ είναι σημαντικά μεγαλυτερος απο το μη δ'εν; ,
τελεστης συσχετισ
Έχουμε τίς ύποθέσεις (Η ο: ρ == Ο) καί (Η 1: Ρ > Ο) καί στι
0.32-Jϊ8=2
ryn - 2
•
(1,)
_ 175
εαν t > t. 9 5 - . σέ επίπεδο 0.05.
(b)
"
Με βάcrη ενα μονόπλευρο ελεγχο με την καθτα ,
«
==
==
t
'18 - 2
για
1 . 35
νομή τοϋ Student σε επίπεδο ,
== 16 βα μους
0.05
θά άπορρίψουμε τήν Η ο'
~λ θ ρ'ας Άρα δεν μπορουμε νά άπορρίψουμε τήν Η ο
t,
'Επειδή δέν μπορουμε νά άπορρίψουμε τήν Ηο σέ
ευ ε ι
.
επίπεδο
0.05,
δεν μπορουμε καί σέ επίπεδο
0.01.
θ' ήταν ά κετό στό Πρόβλ. 8.47 γιά νά συμπεράνουμε σέ
,
8.48.
::::
{1- (0.32)2
Ποιό ελάχιστο μέγεθος δειγμα:ος α , Ρ _ πληθυσμοϋ εΙναι σημαντικά μεγαλύτερος επίπεδο 0.05 δτι ό συντελεστης συσχετισεως του .
τοϋ μηδενός;
Σέ έπίπεδο
σχέση
0.05
.
, _ student
μέ μονόπλευρο ελεγχο και την κατανομη του 0.32-v:;=2 Γι
== t. 95
τό έλάχιστο n πρέπει νά ίκανοπο ιεί τή
γιά n - 2 βαθμούς ελευθερίας
_(0.32)2
&
;.1 ι.
,. Κ Ε Φ.
8
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΆΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
t. 95 = 1.64
Γιά απειρο πλήθος βαθμών έλευθερίας ε{ναι Γιά
n
Γιά
n
Γιά
n
t. 95
Σ' ενα δείγμα μεγέθους
24
n
= 28.
=
Μπορούμε
νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση ότι ό άντίστοιχος συντελε
0.05
στής συσχετίσεως τού πληθυσμού εΙναι τό πολύ Ζ
r = 0.75.
βρέθηκε συντελεστής συσχετίσεως ϊσος μέ
σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
n = 25;6.
καί άρα
= 1.71, t = 0.32y24!v'1 - (0.32)2 = 1.65. t. 95 = 1.71, t = 0.32V2s!v'1- (0.32)2 = 1.69. t. 95 = 1.71, t = 0.32V26!v'1 - (0.32)2 = 1.72.
= 26, ,,= 24, = 27, ,,= 25, = 28, Ι' = 36,
"Αρα τό έλάχιστο μέγεΟος τού δείγματος ε{ναι
8.49.
291
1 + 0.75) 1.15131og ( 1 _ 0.75
=
=
μΖ
0.9730,
1 yn-3
σΖ
(α) Ρ
ρ
= 0.60, (b)
= 0.50,
1 + 0.60) 1.1513 log ( 1 _ 0.60
1
=
0.6932,
0.2182
Υ'2ι
Ή τυποποιημένη μεταβλητή ε{ναι
=
Ζ
Σέ έπίπεδο
0.05
Ζ - μΖ
0.9730 - 0.6932 0.2182
=
σΖ
"Αρα δέν μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση
1.64.
δτι ό συντελεστής συσχετίσεως τού πληθυσμού ε{ναι τό πολύ
Έάν
= 0.50,
ρ
1.28
μέ μονόπλευρο ελεγχο καί χρησιμοποιώντας τήν κανονική κατανομή θά άπορρίπταμε
τήν ύπόθεση, μόνον έάν τό Ζ ήταν μεγαλύτερο άπό
(b)
=
0.60.
= 1.1513 log 3 = 0.5493 καί Ζ = (0.9730 - 0.5493)/0.2182 = 1.94. "Αρα σέ έπί 0.05 μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση δτι ό συντελεστής συσχετίσεως τού πλη πολύ Ρ = 0.50. μΖ
πεδο σημαντικότητας
θυσμού ε{ναι τό
8.50.
Ό συντελεστής συσχετίσεως μεταξύ τών τελικών βαθμών μαθηματικά βρέθηκε ϊσος μέ
'Υπολογίστε τά
0.80.
95%
φοιτητών στή φυσική καί τά
21
όρια έμπιστοσύνης γιά τό συντε
λεστή. Έπειδή
r = 0.80 καί n Ζ
::!: 1.96 σΖ
Άρα μπορούμε νά ε'ίμαστε
8.51.
= 21,
τά
1.1513 log 95%
σ ~ ~)
1
βέβαιοι δτι τό μΖ ε{ναι μεταξύ
= 0.4904.
'Εάν μΖ
= 1.1513 log
= 0.9155.
"Άρα τά
95%
(~ ~ :) = 1.5606, ρ
δρια έμπιστοσύνης γιά τό Ρ ε{ναι
0.49
λεστών σέ έπίπεδο
καί
καί
0.5366
καί
1.0986::!: 0.4620 1.5606.
0.92.
Οί συντελεστές συσχετίσεως γιά δύο δείγματα μέ μεγέθη
= 0.50
=
::!: 1.96 ( ..; n _ 3)
'Εάν μΖ = 1.1513 log (~ ~ :) = 0.5366, ρ
άντίστοιχα 'ίσοι μέ τι
nl = 28
n2 = 35
καί
βρέθηκαν
ΕΙναι σημαντική ή διαφορά τών δύο συντε
r2 = 0.30.
0.05;
Ζι = 1.151310g(~ ~ ~:) =
Ζ2 = 1.151310g(~~ ~:)
0.5493,
~_1_+_1_
καί
111 -
Έχουμε τίς ύποθέσεις (Η ο: μ ΖI
7
δρια έμπιστοσύνης γιά τό μΖ ε{ναι
95%
~,
...
_""""'"'''''
= μ Ζ2)
,~_
.".~~
καί
...
__
3
n2 -
0.3095
0.2669
3
(Η ι: μ Ζ1 # μΖ2)'
~
~.
""
"'" _
""'" ...,.
-"
_~_"''''' """"'~"'"
)
_
_
''''
_
<
,.,
,
. . . . ." .
_
:;.
~
•
~
~_~
,'*
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
292
8
'Εάν δεχτοϋμε τήν ύπόθεση Η ο, τότε
Ζ
_Αρα
0.5493 - 0.3095 - Ο 0.2669
=
=
0.8985
Μέ δίπλευρο ελεγχο καί κανονική κατανομή θά άπορρίπταμε τήν Η ο μόνον εάν Ζ> 1.96 η Ζ < -1.96. δέν μποροϋμε νά άπορρίψουμε τήν Η ο . Συνεπώς ή διαφορά τών δύο συντελεστών συσχετίσεως δέν ε!ναι
σημαντική σέ έπίπεδο 0.05.
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
8.52. Δείξτε τή σχέση (25) τής σελ. 262. 'Από τά Προ βλ. 8.20 καί 8.21 εχουμε γιά τήν εύθεία έλάχιστων τετραγώνων ~(y
s~.:r Ε!ναι δμως
~(y -
_
b ~ (Χ - Χ)(Υ - Υ)
Υ)2
n
ΎΙ
~(x - Χ)(Υ - Υ)
ii)2
n
n καί άπό τήν (6) τής σελ. 260 εχουμε
b
8~.x
-Αρα
- 8;;
8~
=
=
~(x - Χ)(Υ - Υ) ~(x
- χ)2
= 8~[ 1
(s::r:y) 2J = s~(1 -
-
r
2 )
Μιά παρόμοια σχέση ίσχύει γιά τόν πληθυσμό (βλέπε Πρόβλ. 8.54).
8.53.
Δείξτε δτι Ε[(Υ -1ψ] = Ε[(Υ - Υεκ )2] + Ε[(Υεκ
-
:Υγ] γιά τήν περίπτωση (α) μιας εύ
θείας έλάχιστων τετραγώνων. (b) μιας παραβολής έλάχιστων τετραγώνων. Υ- γ
Έχουμε
-Αρα
(Υ - γ)2
=
=
(Υ - Υ εκ)
(Υ - Υ εκ )2 + (Υ εκ
-
+
(Υ εκ - γ)
γ)2 + 2(Υ - Υ εκ)(Υ εκ
-
γ)
καί
'Η ζητούμενη σχέση προκύπτει άμέσως, εάν δείξουμε δτι ό τελευταίος δρος ε!ναι μηδέν. (α)
Γιά γραμμική παλινδρόμηση
Υ εκ
Ε[(Υ - Υ εκ,)(Υ εκ
-
= α + βΧ. 'Άρα εχουμε γη = Ε[(Υ - α - βΧ)(α + βΧ (α - γ)Ε(Υ - α - βΧ)
=
γ)]
+ βΕ(ΧΥ -
αΧ - βΧ2)
Ο
δπου χρησιμοποιήσαμε τίς κανονικές έξισώσεις
Ε(Υ - α - βΧ) = Ο,
Ε(ΧΥ - αΧ - βΧ2)
Ο
(Βλέπε καί Πρόβλ. 8.3.)
(b)
Γιά παραβολική παλινδρόμηση Υ εκ
Ε[(Υ - Υ εκ )(Υ εκ - γ)]
= α + βΧ + γΧ2.
'Άρα εχουμε
Ε[(Υ - α - βΧ - γΧ2)(α + βΧ + γΧ2 - γ)]
= (α _ γ)Ε(Υ - α - βΧ - γΧ2) + βΕ[Χ(Υ - α - βΧ - γΧ2)]
+ γΕ[Χ2(Υ Ο
α - βΧ - γΧ2)]
• Κ Ε Φ. 8
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
293
δπου χρησιμοποιήσαμε τίς κανονικές εξισώσεις
Ε(Υ
=
- α - βΧ - γΧ2)
[Βλέπε εξ.
τής σελ.
(19)
Ο,
Ε[Χ(Υ
Ο,
- α - βΧ - γΧ2)]
Ε[Χ2(Υ
- α - βΧ - γΧ2)]
Ο
261.]
Μέ Όμοιο τρόπο μποροϋμε νά δείξουμε τή σχέση τής εκφωνήσεως γιά καμπύλες ελάχιστων τετραγώνων μεγαλύτερου βαθμοϋ.
8.54.
Γιά παλινδρόμηση έλάχιστων τετραγώνων δείξτε στι σ~.x Άπό τόν όρισμό τοϋ γενικευμένου συντελεστή συσχετίσεως ρ
= σ~(1 -
καί τό Πρόβλ.
ρ2).
8.53
εχουμε γιά τή γραμμική η
παραβολική παλινδρόμηση Ε[(Υ
1 -
Υ εκ
-
Ε[(Υ -
)2]
1
f'")2]
σ2
Υ.Χ
---;;2 Υ
άπ' δπου εχουμε τή ζητούμενη σχέση.
Ή ίδια σχέση Ισχύει καί γιά καμπύλες παλινδρομήσεως ελάχιστων τετραγώνων μεγαλύτερου βαθμοϋ.
8.55.
Δείξτε στι στήν περίπτωση της γραμμικης παλινδρομήσεως ό συντελεστής συσχετίσεως, πού όρίστηκε μέ τήν
(45)
της σελ.
δίνεται από τήν
266,
(40)
της σελ.
265.
Στήν περίπτωση γραμμικής παλινδρομήσεως τό τετράγωνο τοϋ συντελεστή συσχετίσεως, δηλ. ό συντελεστής προσδιορισμοϋ, εΙναι άπό τήν
(45)
Ε[(Υ ε•
(1)
-
Ε[(Υ -
Άλλά επειδή Υ
= α + βΧ, Ε[(α
(2)
Υν]
Ε[(α
Y)2J
εχουμε
+ βΧ -
"Υ)21
σ ΧΥ
2
Χ
ρ2
(3)
8.56.
Δίνεται ό Πίν.
8-21.
=
σ~y --;;2
=
-;τ-σχ
Άρα ή (Ι) γίνεται
β2Ε[(Χ - Χ)2]
Ε[β2(Χ - Χ)2]
=
2
δηλ. ή ζητούμενη σχέση.
+ βΧ - Y)2J
Χ
σ2
ΧΥ
ή
σΙ σ 2 Χ
Ρ
Υ
=
σ
ΧΥ
σχσ
Υ
Τό σωστό πρόσημο προκύπτει αύτόματα άπό τό σΧΥ'
(α) Βρείτε μιά παραβολή παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων.
(b)
Ύπολογίστε τίς τιμές παλινδρομήσεως για τά ετη πού δίνονται καί συγκρίνετέ τις μέ τίς πραγματικές τιμές. σμό τού
1960
(c)
Έκτιμήστε τόν πληθυσμό του
(d)
Έκτιμήστε τόν πληθυ
καί συγκρίνετέ τον μέ τόν πραγματικό πληθυσμό πού ήταν
μήστε τόν πληθυσμό του
1840
Έτος
Πληθυσμός ΗΠΑ (εκατομμύρια)
179.3.
καί συγκρίνετέ τον μέ τόν πραγματικό πού ήταν Πίν.
(α)
1945.
(e) Έκτι 17.1.
8-21
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
23.2
31.4
39.8
50.2
62.9
76.0
92.0
105.7
122.8 131.7 151.1
1940
1950
Έστω δη οί μεταβλητές χ καί Υ παριστάνουν άντίστοιχα τό ετος καί τόν πληθυσμό τοϋ ετους αύτοϋ.
Ή
εξίσωση τής παραβολής ελάχιστων τετραγώνων εΙναι
Υ
(1) Όπου α,
b
καί
c
= α + bx + cx2
ίκανοποιοϋν τίς κανονικές εξισώσεις
20
Ρ
21+
8
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
294
+ b~x + C~X2 ~XY = α~x + b~x2 + C~x3 ~x2y = a~x2 + b~x3 + C~X4 = an
~Y
(2)
Γιά νά άπλουστεύσουμε τούς ύπολογισμούς παίρνουμε τό μεσαίο ετος, τό
1900, νά άντιστοιχεί σέ χ 1910, 1920, 1930, 1940, 1950 καί 1890, 1880, 1870, 1860, ·1850 1, 2, 3, 4, 5 καί -1, -2, -3, -4, -5. Μέ την έκλογή αύτή τά ~x
= Ο, καί τή μονάδα ετσι ώστε τά ετη νά άντιστοιχοϋν στούς άριθμούς καί
~x3
εΙναιμηδέν καί οί έξισώσεις
άπλοποιοϋνται.
(2)
Οί ύπολογισμοί δίνονται στόν Πίν.
Οί κανονικές έξισώσεις
8.22.
11a
+ 110c
110a
= 886.8
+
1958c = 9209.0
b = 13.00.
Ή δεύτερη άπό τίς προηγούμενες έξισώσεις δίνει
= 0.3974.
= 76.64,
Ή πρώτη καί ή τρίτη δίνουν α
"Αρα ή ζητούμενη έξίσωση εΙναι
= 76.64
11 δπου ή άρχή
χ
=Ο
είναι ή
1η
'Ιουλίου
+ 13.00 χ + 0.3974 χ
1900
2
καί ή μονάδα τοϋ χ άντιστοιχεί σέ δέκα χρόνια. ΠΙν.
8-22
ί
χ4
ΧΥ
-125
625
-116.0
16
-64
256
-125.6
502.4
39.8
9
-27
81
-119.4
358.2
50.2
4
-8
16
-100.4
200.8
62.9
1
-1
1
-62.9
62.9
Ο
76.0
Ο
Ο
Ο
Ο
Ο
1910
1
92.0
1
1
1
92.0
92.0
1920
2
105.7
4
8
16
211.4
422.8
1930
3
122.8
9
27
81
368.4
1105.2
1940
4
131.7
16
64
256
526.8
2107.2
1950
5
151.1
25
125
625
755.5
3777.5
=Ο
~y=
::Sx 2 = 110
Υ
χ2
-5
23.2
25
1860
-4
31.4
1870
-3
1880
-2
1890
-1
1900
Έτος
χ
1850
~x
886.8 (b)
γίνονται
110b = 1429.8
(8)
c
(2)
Οί τιμές άπό τήν έξίσωση παλινδρομήσεως καί δίνονται στόν Πίν.
8-23
(4)
χ3
~x3
'Εκτίμηση Πραγμ.
Τιμή
~x4
= 1958
προκύπτουν γιά
μαζί μέ τίς πραγματικές τιμές.
Πίν. Έτος
=Ο χ
χ2Υ
580.0
Ο,
1, 2, 3, 4,
χ=-3
χ=-2
χ=-1
χ=ο
χ=1
χ=2
χ=3
χ=4
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
21.6
31.0
41.2
52.2
64.0
76.6
90.0
104.2 119.2 135.0 151.<
23.2
31.4
39.8
50.2
62.9
76.0
92.0
105.7 122.8 131.7
(d)
Τό
1960
άντιστοιχεί σέ
φέρει άρκετά όπό τήν πραγματική
Ι
~~;I 151.~ Ι
= 4.5 καί άρα 11 = 76.64 + 13.00(4.5) + 0.3974(4.5)2 = 143.2. χ = 6 καί άρα 11 = 76.64 + 13.00(6) + 0.3974(6)2 = 168.9. Ή τιμή αύτή δι
άντιστοιχεί σέ χ
j
8-23
χ=-4
1945
Ι
Ή συμφωνία είναι καλή.
1850
Τό
Ι
!
= 9209.0
= 1429.8
χ=-5
(c)
ί
~x2y
~xy
= -5, -4, -3, -2, -1,
Ι
179.3.
. '-~~~ ..":----r,;..-.,....--.ι:-
tJ
~--------------------------~ ~.
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
8 (e)
Τό
1840
αντιστοιχεί σέ
χ
και αρα
= -6
τή διαφέρει αρκετά από τήν πραγματική
Υ
= 76.64
295
+ 13.00(-6) + 0.3974(-6)2
= 12.9.
Ή τιμή αύ
17.1.
Στό πρόβλημα αύτό φαίνεται στι μιά σχέση πού ε{ναι ίκανοποιητική γιά μιά περιοχή τιμών δέν ε{ναι κατ' άναγ κη
8.57.
ίκανοποιητική γιά μιά
Στόν Πίν.
8-24
μεγαλύτερη περιοχή.
δίνονται οί μέσες τιμές χρεογράφων καί όμολογιων στό Χρηματιστήριο της
Νέας Ύόρκης γιά τά ετη σχετίσεως.
(b)
(σέ δολλάρια).
1950-1959
Πίν.
1950
Έτος
Ι
1951
1952
Τιμή τών
Χρεογράφων Μέση Τιμή τών 'Ομολογιων
(α)
'Εάν
χ καί
35.22
8-24
1954
1955
1956
1957
1958
1959
43.23
40.06
53.29
54.14
49.12
40.71
55.15
97.81
98.32
100.07
97.08
91.59
94.85
94.65
1953
Ι
ι
Μέση
(α) Ύπολογίστε τό συντελεστή συ
Τί συμπεραίνετε άπ' αύτό τό άποτέλεσμα;
39.871 41.85
ι
ι
Ι 102.43 100.93 Ι 97.43
Υ ε{ναι οί μέσες τιμές των χρεογράφων καί των όμολογιων γιά κάθε ετος,ύπολογίζουμε τό συντε
λεστή συσχετίσεως, σπως φαίνεται στόν Πίν.
Άς σημειωθεί δτι τό ετος χρησιμεύει μόνο γιά νά καθο
8-25.
ριστεί ή αντιστοιχία μεταξύ των χ καί Υ.
Πίν. χ'
Ι
==
Υ'
8-25
=
χ'2
Υ-Υ
Υ'2
χ'Υ'
Χ
1/
χ-χ
R5.22
102.43
-10.04
4.91
100.80
-49.30
24.11
39.87
100.93
-5.39
3.41
29.05
-18.38
11.63
41.85
97.43
-3.41
-0.09
11.63
0.31
0.01
43.23
97.81
-2.03
0.29
4.12
-0.59
0.08
40.06
98.32
-5.20
0.80
27.04
-4.16
0.64
53.29
100.07
8.03
2.55
64.48
20.48
6.50
54.14
97.08
8.88
-0.44
78.85
-3.91
0.19
49.12
91.59
3.86
-5.93
14.90
-22.89
35.16
40.71
94.85
-4.55
-2.67
20.70
12.15
7.13
55.15
94.65
9.89
-2.87
97.81
-28.38
:Σχ = 452.64
:ΣΥ = 975.16
= 449.38
:Σχ'Υ' = -94.67
χ=
45.26
:Σχ'2
Ι
8.24 :ΣΥ'2
= 93.69
Υ=
97.52
Ό τύπος τοϋ γινόμενου ροπων δίνει
r
(b)
~xΎ'
-94.67
ν\:ΣΧ'2)(ΣΥ'2)
v' (449.38)(93.69)
-0.4614
Συμπεραίνουμε στι ύπάρχει κάποια άρνητική συσχέτιση μεταξύ τής τιμής ,ων χρεογράφων καί τής τιμής των
όμολογιων, δηλ. σταν ή τιμή τών χρεογράφων πέφτει, ή τιμή τών όμολογιών φαίνεται νά ανεβαίνει. ~Aλλη μέθοδος.
Ταξινομούμε τίς τιμές των χρεογράφων καί τών όμολογιών σέ αϋξουσα σειρά καί σημειώνουμε στόν Πίν.
τούς αριθμούς πού καθορίζουν τήν τάξη καί τά
-
d
καί
8-26
:Σd 2 •
$ ......
296
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Πίν.
1950
Έτος
Ταξινομημένες
1955
Ι
3
8
9
Ι
1958
1959
7
4
10
9
5
6
7
8
4
1
3
2
-9
-7
Ο
Ο
-4
Ο
5
6
1
8
81
49
Ο
Ο
16
Ο
25
36
1
64
Ταξινομημένες
10
d
1956 1957
195311954
5
Τιμές 'Ομολογιών
Διαφορές
! Ι
d2
1 _
Συνεπώς
6
6:Σd 2 n(n 2 - 1)
=
8
8-26
2 1
1
Τιμές Χρεογράφων
τώνΤάξεων,
1951 )1952
Κ Ε Φ.
1 -
6(272) 10(102 - 1)
=
~d2
==
272
-0.6485
Τό αποτέλεσμα αύτό διαφέρει λίγο από αύτό τής προηγούμενης μεθόδου, άλλά τό συμπέρασμα εΙναι τό ϊδιο.
8.58.
Στόν Πίν.
8-27
δίνονται οί κατανομές συχνότητας τών τελικων βαθμών
μαθηματικά καί τή φυσική.
Ύπολογίστε
μονάδες στά μαθηματικά καί
πού πήραν λιγότερες άπό
70
φοιτητών στά
(α) τό πλήθος τών φοιτητών πού πήραν
μονάδες στή φυσική,
80-89
lQO
μονάδες στά μαθηματικά,
(c)
(b)
7υ-Ί~
τό ποσοστό τών φοιτητών
τό πλήθος τών φοιτητών πού πή
ραν
70
η περισσότερες μονάδες στή φυσική καί λιγότερες άπό
(d)
τό ποσοστό τών φοιτητών πού πέρασε ενα τουλάχιστο άπό τά μαθήματα, έάν Τι βάση στό
καθένα ε{ναι
60
80
μονάδες στά μαθηματικά,
μονάδες. Πίν.
8-27
ΒΑθΜΟI ΜΑθΗΜΑ ΤΙΚΩΝ
40-49
Ι ! Ι
50-59
60-69
90-99 80-89 70-79
(α)
70-79
Σύνολο
Ι
4
4
10
1
4
6
5
16
5
10
8
1
24
9
5
2
2
60-69
1
4
50-59
3
6
6
40-49
3
5
4
Σύνολο
7
15
25
Ύπάρχει μιά στήΛη μέ
70-79
(πλήθος μέ
+
15
40-49
+ 25 =
μονάδες)
+
70
21 17 12
23
20
μονάδες στά μαθηματικά καί μιά γραμμή μέ
Πλήθος φοιτητών πού πήραν λιγότερες από
7
90-99
2
κοινό τους στοιχείο μας λέει δτι τό ζητούμενο πλήθος εΙναι
(b)
80-89
ι
4
10
80-89
100
μονάδες στή φυσική.
t
Τό
φοιτητές.
μονάδες στά μαθηματικά
(πλήθος μέ
50-59
μονάδες)
+ (πλήθος
μέ
60-69
μονάδες)
47
Ποσοστό φοιτητών μέ λιγότερες από
70
μονάδες στά μαθηματικά
= 47/100
47%.
&
a:
-ιιιι-----------------Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
8
(c)
Τό πλήθος τών φοιτητών πού ζηταμε είναι τό iiθρoισμα τών φοιτητών του Πίν. Πίν.
8-28,
πού είναι ενα κομμάτι του
8-27. Ζητούμενο πλήθος φοιτητών Πίν.
= 1 + 5 + 2 + 4 + 10
= 22. Πίν.
8-28
8-29 ΒΑθΜΟΙ
ΒΑθΜΟI
ΜΑθΗΜΑΤιΚΩΝ
60-69
-0:1:....
90-99
φ
80-89 70-79
:ε~
< .... IΩ~ (d)
297
ΜΑθΗΜΑΤιΚΩΝ
70-79
40-49
50-59
6
2
50-59
3
1
4
40-49
3
5
10
Στόν Πίν.
Ι
5
8-29, πού είναι ενα κομμάτι του Πίν. 8-27, περιλαμβάνονται οί φοιτητές μέ βαθμούς μικρότερους Αύτοί είναι 3 + 3 + 6 + 5 17 φοιτητές. •Αρα τό πλήθος τών φοιτητών μέ περισσότερες από 60 μονάδες η στά μαθηματικά ή στή φυσική είναι 100 - 17 83. Συνεπώς τό ζητούμενο ποσοστό είναι 83/100 83<;j.
απο
60
=
μονάδες καί στά μαθηματικά και στή φυσική.
=
=
Ένας πίνακας όπως ό Πίν. συχνότητας.
κλάσεων.
8-27
καλείται μερικές φορές διδιάστατος πίνακας συχνότητας ή διδιάστατη κατανομή
Κάθε όρθογώνιο του πίνακα καλείται κελί καί αντιστοιχεί σ' ενα ζεϋγος κλάσεων η διαστημάτων
Ό άριθμός ενός κελιου καλείται συχνότητα του κελιου.
Έτσι Π.χ. στό
τητα του κελιου πού αντιστοιχεί στό ζευγος τών διαστημάτων κλάσεως
70-79
(α) ό αριθμός
4
είναι ή συχνό
στά μαθηματικά καί
80-89
στή
φυσική. Τά σύνολα πού δίνονται στήν τελευταία γραμμή καί τήν τελευταία στήλη καλουνται περιθώρια σύνολα ή περι θώριες συχνότητες καί άντιστοιχουν στίς συχνότητες κλάσεως γιά χωριστές κατανομές τών βαθμών στά μαθηματικά καί τή φυσική.
8.59.
Πώς πρέπει νά τροποποιηθεί ό τύπος του Προβλ. εΙναι όμαδοποιημένα, όπως στόν Πίν.
8.31
γιά τήν περίπτωση πού τά δεδομένα
8-27;
Γιά όμαδοποιημένα δεδομένα μπορουμε νά θεωρήσουμε ότι οί διάφορες τιμές τών μεταβλητών
πτουν μέ τά κέντρα (μέσα) τών κλάσεων καί ότι
f"
καί
fy
χ καί Υ συμπί
είναι οί αντίστοιχες συχνότητες κλάσεως ή περιθώριες
συχνότητες πού δίνονται στήν τελευταία γραμμή καί στήν τελευταία στήλη τοϋ διδιάστατου πίνακα συχνότητας.
'Εάν
f
Προ βλ.
παριστάνει τή συχνότητα ενός κελιού πού άντιστιχεί στά κέντρα κλάσεων
8.3 Ι
(Χ, Υ).
τότε ό τύπος του
μπορεί νά αντικατασταθεί μέ τόν
r
(1 )
= +
= +
'Εάν θέσουμε χ Χο C"U x καί Υ Υο CyU y • οπου c" καί Cy είναι τά πλάτη τών διαστημάτων τών κλάσεων (πού δεχόμαστε ότι είναι σταθερά) καί Χα και Υο είναι κέντρα κλάσεων (όποιαδήποτε) των άντίστοιχων μεταβλητών, τότε ό τύπος (Ι) γίνεται
r
(2)
Αύτή είναι ή κωδικοποιημένη μέθοδος τοϋ Κεφ.
5,
μέ τήν όποία συντομεύονται οί ύπολογισμοί μέσων τιμών,
τυπικών αποκλίσεων καί ροπών ανώτερης τάξεως.
8.60.
Ύπολογίστε τό συντελεστή γραμμικής συσχετίσεως τών βαθμών μαθηματικών καί φυσικής του Προβλ.
8.58.
Χρησιμοποιοϋμε τόν τύπο
(2)
του Προβλ.
8.59.
Ό ύπολογισμός φαίνεται στόν Πίν.
8-30,
πού καλείται πίνακας
συσχετίσεως.
----
j>
298
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Πίν.
Κ Ε Φ.
8
8-30
Βαθμοί Μαθηματικών, χ
Ι
44.5
χ
64.5
54.5
74.5
84.5
.~ uy
Υ
94.5
;:.,
Ι
-2
ι
Ι
84.5
ι!='
:.ι
Ο
1
-1
64.5
t:j
Ι
1
~
ι
Ι ro1
1
3
-2
~
-3
44.5
!
3
Ι
mf:
Ι
fx
7
Ι
Ι
f xu x
Ι
Ι
fxu; - Αθροισμα
Ι
-14
32
J
5J
,
6
io'
iΠ
Γι5
15
:-4;
ι
Ο
j Ι
31
ι
Ο
!
!
23 i
Ι
ί
Ι
23
Ο
Ι
23
Ι
-1
!
20
ι
,i
!
Ι
44
16
1
Ι Ι
Ο
Ι
21
i
i
21
Ι
,Ι
68
i i
40
i
Ι
Ι
24
Ι
10
-:i./UXu y
= 125
Ι
20
Ι
33
-:i.fyu~
-:i./UXuy
= 125
/
,\-0(.,
-:i.fxu~
39
-3
= 253
= 64
= 236
Ι Ι
108
-:i.fx u x
90
Ι
-36
-:i.lx = 'ΣΙΥ ! -:i.f y u y =n= 100 Ι = -55 j
30
80
ι
Ι
12
Ο
Ι
ι
-34
31
Ι
Ο
Ι
-21
17
Ι
,,
i
i
15
16
40
!
ro'
Ι 1-15
16
24
i
!
ι
,
25
20
Fi1
ι
4
5
10
ίΟ
i
!
2
1
Ι
2
φών ό.ριθμών κάθε Ύραμμης
[ϊ5
8J
!
Ι
6
ι
iΙ
5 fϊ2
'οι
ΓΟ1
Γ4
!
κάθε στήλης
10
'"Άθροισμα μι-
fyu~
fyu y
ΓΖ4
6
i4
9
i
28
4 Γι6
: 4
ι
μι-
χρω" άριθμων
i
4
4
5~
Γ21
54.5
3
Γ4
ο
:::1.
φ
2
2
ΙΙ
Ο
74.5
Ι
-1
Ι
1
..;
6 ~
ΙΥ
Ι Ι
2
Ι
94.5
!
~t-~,'\
/
Ό μικρός αριθμός μέσα στό μικρό όρθογώνιο στήν κάτω δεξιά γωνία κάθε κελιού είναι τό γινόμενο οπου Ι είναι ή συχνότητα τού κελιού. τελευταία στήλη.
jUXu y,
Τό αθροισμα αύτών τών μικρών αριθμών σέ κάθε γραμμή δίνεται στήν
Τό αθροισμα τών μικρών αριθμών σέ κάθε στήλη δίνεται στήν τελευταία γραμμή.
σύνολα τής τελευταίας γραμμής καί τής τελει:ταίας στήλης ε{ναι 'ίσα καί δίνουν τό
-:i.jH x1t yo
το. τελικά
Άπό τόν Πίν.
8-30
εχουμε
r
8.61.
=
V[n-:i.j r u; - (-:i.f xux)2J[n-:i.ly u~ - (-:i./ yu y)2] (100)(125) - (64)(-55)
16,020
V[(100)(236) - (64)2][(100)(253) - (-55)2]
V(19,504)(22,275)
Χρησιμοποιώντας τόν πίνακα συσχετίσεως του Προβλ.
καί
(c)
8 Χ Υ'
Έπαληθευστε τόν τύπο
(α)
(c)
8Υ
8
ΧΥ
cxc y
C.T
=
cy
[-:i.fUxU y n
8.60
ύπολογίστε τά
(α) Sx,
= sxy/s:r;Sy.
-:i.fxu'1- (-:i. -nx-x Υ n f u
Sx
(6)
r
0.7686
-:i.f~u~ _ (-:i.f~UY Υ
-
10
= 10
y x (-:i.f:U ) (-:i.f:U ) ] =
236 _ 100
(~)2 100
~~~ - (~ggy
13.966
= 14.925
(10)(10{~~~ - (160~ )(~;g) ]
160.20
(b)
8Υ
Κ Ε Φ.
8
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
299
Συνεπώς οί τυπικές αποκλίσεις τών βαθμών στά μαθηματικά καί τών βαθμών στή φυσική είναι αντίστοιχα καί
14.9,
ένώ ή συνδιασπορά τους είναι
14.0
νΑρα εχουμε
160.2.
160.20 = 0.7686 (13.966)(14.925) πού συμφωνεί μέ τήν τιμή τού
8.62.
πού βρέθηκε στό Πρόβλ
r,
8.60.
Βρείτε τίς έξισώσεις των εύθειων παλινδρομήσεως πρός Υ γιά τά δεδομένα του Προ βλ. Άπό τόν Πίν.
8-30
(α) τής Υ ώς πρός χ καί
βρίσκουμε
+ (1~~~4) =
64.5
Υ Άπό τό Πρόβλ.
8.61
Υο +
=
εχουμε
sx
cy
~f~Uy
= 13.966,
Sy
+ (1°i~~55) =
74.5
_
= 14.925
καί
r
rs y s
-(χ
Υ-Υ
-
Χ)
Ι
ή
Υ -
χ -
(b)
χ
=
Ύπολογίστε τά τυπικά Προ βλ.
- 69 Ο = •.
69.0 =
r8 x
(16)
τής σελ.
261
καί είναι
(Ο.7686}(14.Α25) ( -"'09) 13.966 χ Ι.,
0.821(Χ -
0.719(Υ -
70.9
σφάλματα εκτιμήσεως
70.9)
(α)
Sy.:r:
8 Υν 1 - r 2
14.925ν1 - (0.7686)2
9.548
(b)
Sx.y
8χ ν1 - r 2
13.966Υ1 - (0.7686)2
8.934
69.0)
(α) Sy.I καί
Χρησιμοποιήστε τά άποτελέσματα του
8.60.
69.0
"'0 Ο = (0.7686)(13.966) ( - 69 Ο) ι. 14.925 Υ .,
r ..
-(Υ-Υ), Sy χ -
8.63.
Υ
'
70.9
= 0.7686.
Οί έξισώσεις γιά τίς εύθείες παλινδρομήσεως προκύπτουν από τήν
(α)
τής χ ώς
(b)
8.60.
(b) Sx.y Προβλ. 8.61.
γιά τά δεδομένα του
'Άλυτα Προβλήματα ΕΥΘΕΙΑ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ
8.64.
Πίν.
Προσαρμόστε μιά εύθεία έλαχιστων τετραγώνων στά δεδομένα τού Πίν. θεωρώντας τήν μεταβλητή.
χ
(α) σάν άνεξάρτητη μεταβλητή,
(b)
8-31
8.65.
Παραστήστε τα δεδομένα καί την εύθεία σ' !:να όρθογώνιο
Γιά τά δεδομένα τού Προβλ. τού χ όταν
8.66.
Υ
8.64
υπολογίστε
χ
3
5
6
8
9
11
Υ
2
3
4
6
5
8
καί
(b)
σάν έξαρτημένη
σύστημα αξόνων.
(α) τίς τιμές τού Υ όταν
χ
= 5
8-31
καί
χ
= 12
τήν τιμή
= 7.
Σχεδιάστε έλεύθερα μιά εύθεία πού νά φαίνεται ότι περνάει κοντά από τά σημεία τού Προβλ. παρασταθεί σέ καρτεσιανό σύστημα αξόνων) καί υπολογίστε τά ζητούμενα τού Προβλ.
8.65.
8.64
(πού εχουν
300 8.67.
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Στόν Πίν.
δίνονται οί τελικοί βαθμοί στήν ίίλγεβρα καί τή φυσική
8.32
μιά μεγάλη όμάδα φοιτητών.
10 φοιτητών πού (b) Προσαρμόστε
(α) Παραστήστε γραφικά τά δεδομένα.
8
διαλέχτηκαν τυχαία από στά δεδομένα μιά ευθεία
ελάχιστων τετραγώνων μέ ανεξάρτητη μεταβλητή τήν Χ.
(c) Τό 'ίδιο αλλά μέ ανεξάρτητη μεταβλητή τήν Υ. 75 μονάδες στήν ίίλγεβρα. Τί βαθμό αναμένεται νά εχει στή φυσική; (e) Έάν ενας
'Ένας φοιτητής πήρε
(d)
φοιτητής πήρε
95
μονάδες στή φυσική, τί βαθμό άναμένεται νά εχει στήν άλγεβρα;
Πίν.
8.68.
Στόν Πίν.
Άλγεβρα (Χ)
75
80
93
65
87
71
98
68
84
77
Φυσική (Υ)
82
78
86
72
91
80
95
72
89
74
δίνονται οί βαθμοί
8.33
ενα σύστημα όρθογώνιων άξόνων. Χ
καί
τής
(c)
8-32
Χ ώς πρός
Πρώτη
Υ.
10 φοιτητών σέ (b) Βρείτε τήν
δύο εξετάσεις ένός μαθήματος.
(d) Παραστήστε γραφικά τίς δύο ευθείες παλινδρομήσεως.
Έξέταση (χ)
Δεύτερη Έξέταση (Υ)
Πίν.
8-33
6
5
8
8
7
6
10
4
9
7
8
7
7
10
5
8
10
6
8
6
Πίν.
ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΕΩΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ
8.69.
Προσαρμόστε μιά παραβολή ελάχιστων τετραγώνων Υ α bx cx 2 στά δεδομένα τού Πίν. 8-34.
8.70.
Στόν Πίν.
v
8-35
δίνεται ή απόσταση
(χιλιόμετρα ανά ωρα).
καί
=
d.
μήστε
d
3
4
5
6
Υ
2.4
2.1
3.2
5.6
9.3
14.6
21.9
τετραγώνων
8-36
Υ
d
ενα όρθογώνιο σύστημα άξόνων υ
= α + bv + cv 2
στά δεδομένα.
20
30
40
50
60
70
Άπόσταση,
d
54
90
138
206
292
396
δίνεται τό πλήθος
Προσαρμόστε στά
μέ λογαριθμική δεδομένα
μιά
κλίμακα γιά τό Υ καί γραμμική γιά τό
καμπύλη
ελάχιστων τετραγώνων της μορ
ab X καί έξηγήστε γιατί ή εξίσωση αύτή αναμένεται νά δώσει καλά αποτελέσματα.
=
πραγματικές τιμές μέ τίς άντίστοιχες τιμές άπό τήν εξίσωση. Πίν. Πλήθος Ώρών
(Υ)
(d) Έκτιμήστε τό Υ δταν Χ
(c) Συγκρίνετε τίς
= 7.
8-36 Ο
1
2
3
4
5
6
32
47
65
92
132
190
275
(Χ)
Πλήθος Βακτηρίων ανά Μονάδα ~OγKoυ
Πώς μπορεί νά χρησιμοποιηθεί ήμιλογαριθμικό μιλλιμετρέ γιά νά βροϋμε κατά προσέγγιση τή ζητούμενη στό Πρόβλ.
8.71
εξίσωση χωρίς τή μέθοδο έλάχιστων τετραγώνων;
Βρείτε τίς κανονικές εξισώσεις γιά τήν τριτοβάθμια καμπύλη έλάχιστων τετραγώνων
Υ
Στόν Πιν. τών
Χ, Υ
δρομήσεως
(b)
8-37 καί
δίνονται ο{ άντίστοιχες τιμές τριών μεταβλη Ζ.
(α)
α
χ
= 10
καί
Ζ
Υ
ώς πρός χ καί
= 6.
Υ.
+ bx + CX 2 + dx 3• 8-37
Χ
3
5
6
8
12
14
Υ
16
10
7
4
3
2
Ζ
90
72
54
42
30
12
Βρείτε τήν έξίσωση γραμμικής παλιν
έλάχιστων τετραγώνων τής
Έκτιμήστε τό Ζ γιά
=
Πίν.
ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
8.74.
Έκτι
Υ τών βακτηρίων άνά μονάδα σγκου σέ μιά καλλιέργεια μετά από Χ ώρες.
όρθογώνιους άξονες
(b)
(c)
8-35
υ
χ (ήμιλογαριθμικό μιλλιμετρέ).
8.73.
2
Ταχύτητα,
(α) Παραστήστε τά δεδομένα σέ
8.72.
1
(μέτρα) πού χρειάζεται ~α τραίνο γιά νά σταματήσει, όταν τρέχει μέ ταχύτητα
(b) Προσαρμόστε μιά παραβολή ελάχιστων τό d, όταν τό v εΙναι 45 καί 80.
Στόν Πίν.
φής
Ο
(α) Σχεδιάστε τό αντίστοιχο σμήνος σημείων σ'
Πίν.
8.71.
8-34
χ
+
+
(α) Παραστήστε τά σημεία σ'
ευθεία παλινδρομήσεως ελάχιστων τετραγώνων τής Υ ώς πρός
2&Μ
• ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Κ Ε Φ.
8
8.75.
Δείξτε δτι ή έξίσωση γιά γραμμική παλινδρόμηση τής
Ζ Έκφράστε τούς συντελεστές α καί
Ζ ώς πρός χ καί Υ γράφεται
= a(x -
f:
301
Χ)
+ b(y -
Υ)
γιά παλινδρόμηση έλάχιστων τετραγώνων.
b
8.76.
Χρησιμοποιήστε τό άποτέλεσμα '!ού Προβλ.
γιά νά λύσετε τό Πρόβλ.
8.77.
Βρείτε τίς κανονικές έξισώσεις γιά γραμμική παλινδρόμηση έλάχιστων τετραγώνων τής
8.75
8.74.
w
ώς πρός
Χ, Υ καί
Ζ.
'Υπάρχει γεωμετρική ερμηνεία;
8.78.
Μιά έπιφάνεια παλινδρομήσεως τής
Ζ
Ζ ώς πρός
=
Α
+
χ καί
Βχ
+
Υ εχει τή μορφή
+
Cy
Dx 2
+
+ Fy 2
ΕΧΥ
Βρείτε τίς κανονικές έξισώσεις πού ίκανοποιούν οί συντελεστές γιά παλινδρόμηση έλάχιστων τετραγώνων.
ΤΥΠΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ
8.79. 8.80.
Στό Πρόβλ.
Γιά τά δεδομένα τού Προβλ.
καί
8.81.
ύπολογίστε τά
8.68
ύπολογίστε
8.68
(Ιι) sx.Y" (α) τήν όλική μεταβολή τού
Υ,
(Ιι) τήν ύπόλοιπη μεταβολή του Υ
(c) τήν παλινδρομική μεταβολή τού Υ.
Χρησιμοποιώντας τά αποτελέσματα τού Προβλ. των δύο έξετάσεων τού Προβλ.
8.82.
(α) SY.x καί
ύπολογίστε τό συντελεστή συσχετίσεως μεταξύ των βαθμων
8.80
8.68.
'Υπολογίστε τό συντελεστή συσχετίσεως μεταξύ των βαθμων των δύο έξετάσεων στό Πρόβλ.
8.68
τόν τύπο του γινόμενου ροπων καί συγκρίνετε τό αποτέλεσμα αύτό μέ έκείνο τού Προβλ. συντελεστή άπ' εύθείας από τίς κλίσεις των εύθειων παλινδρομήσεως τού Προβλ.
8.83.
'Υπολογίστε τή συνδιασπορά γιά τά δεδομένα του Προβλ. τύπο
8.84.
SI)
Στόν Πίν.
=
καί τό άποτέλεσμα τού Προβλ.
rsxs y
8-38
8.81
δίνονται οί ήλικίες καί οί πιέσεις α'ίματος
σεως μεταξύ χ καί Υ.
(α) απ' εύθείας καί
γυναικων.
12.
(α) 'Υπολογίστε τό συντελεστή συσχετί
45
Πίν.
8-38
42
72
36
63
47
55
49
38
42
68
60
147
125
160
118
149
128
150
145
115
140
152
155
8.64.
(Ιι) τού Προβλ.
'Υπολογίστε τό συντελεστή συσχετίσεως γιά τά δεδομένα
(α) τού Προβλ.
8.86.
Ό
καί Υ είναι
συντελεστής
συσχετίσεως
iJ = 20,
Χ.
μεταξύ
δύο
(c). Έ
έτων.
8.85.
= 10 καί
χρησιμοποιώντας τόν
56
(Χ)
Πίεση Αϊματος (Υ)
Χ
(Ιι)
(Ιι) Βρείτε τήν εύθεία παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων της Υ ώς πρός
κτιμηστε τήν πίεση μιας γυναίκας ήλικίας
Ήλικία
8.68 8.82.
η
χρησιμοποιώντας
'Υπολογίστε τόν 'ίδιο
8.81. 8.68.
μεταβλητων χ
r
βρείτε τίς έξισώσεις των εύθειων παλινδρομήσεως
= 0.60.
8.67.
= 1.50,
'Εάν Sx
(α) της Υ ώς πρός Χ,
Sy
= 2.00,
(b) τής Χ ώς
πρός Υ.
8.87.
Γιά τά δεδομένα τού Προβλ.
8.88.
'Εάν Sy.I
8.89.
= 3
καί
s!l
= 5,
8.86
ύπολογίστε τά
(σ\
S!/.,r
κ:αί
(b) s".!!'
ύπολογίστε τό Γ.
'Εάν ά συντελεστής συσχετίσεως μεταξύ τωνχ
καί
)/
είναι
0.50,
τί ποσοστό τής άλικης μεταβολής παραμένει
ανεξήγητο από τήν έξίσωση παλινδρομήσεως;
8.90.
Πίν.
(α) 'Υπολογίστε τό συντελεστή συσχετίσεως μεταξ(, των τιμων τού χ κσί
Υ του Πίν. 8-39.
(b) Πολλαπλασιάστε κάθε χ έπί 2 καί προσθέστε
Πολλαπλασιάστε κάθε Υ έπί 3 καί αφαιρέστε
15.
6.
'Υπολογίστε τό συν
τελεστή συσχετίσεως μεταξύ των νέων τιμων. Γιατί παίρνουμε διαφορετικό αποτέλεσμα;
8-39
χ
2
4
5
6
8
11
Υ
18
1~
10
8
7
5
-----------_.
~
..
302
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
8
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΠΣΕΩΣ
8.91.
Χρησιμοποιώντας τή σχέση
8.92.
Γιά τά δεδομένα του Προβλ.
8.93.
(35)
τής σελ.
8.74
ύπολογίστε τό συντελεστή συσχετίσεως στό Πρόβλ.
264
ύπολογίστε τό τυπικό σφάλμα έκτιμήσεως τής
8.68.
Ζ ώς πρός Χ καί
(α) Ύπολογίστε τό συντελεστή πολλαπλής συσχετίσεως γιά τά δεδομένα του Προ\3λ.
8.74.
(b)Ti
Υ.
ποσοστό τής
όλncής μεταβολής έξηγείται μέ τήν έπιφάνεια παλινδρομήσεως;
8.94.
Δείξτε τή σχέση
(27)
τής σελ.
263
γιά τήν περίπτωση έπιφάνειας γραμμικής παλινδρομήσεως τής Ζ ώς πρός χ
καί Υ. ΣΥΣΧΕΠΣΗ ΤΑΞΕΩΝ
8.95.
Δύο κριτές κατατάξανε ό καθένας χωριστά όκτώ ύποψήφιους Α, Β, δίνεται στόν Πίν.
8-40.
C, D,
Ύπολογίστε τό συντελεστή συσχετίσεως τάξεων.
Ε,
F, G
καί Η σέ μιά σειρά, πού
Πόσο καλά συμφωνουν οι ταξινομήσεις
τών κριτών;
Πίν.
8-40
Ύποψήφιος
Α
Β
C
D
Ε
F
G
Η
Πρώτος Κριτής
5
2
8
1
4
6
3
7
Δεύτερος Κριτής
4
5
7
3
2
8
1
6
8.96.
'Υπολογίστε τό συντελεστή συσχετίσεως τάξεων γιά τά δεδομένα
(α)
του Προβλ.
8.68,
(b) του Προβλ. 8.84.
8.97.
{α) Ύπολογίστε τό συντελεστή συσχετίσεως τάξεων γιά τά δεδομένα του Προβλ.
8.90.
(b) Παρατηρείτε καμιά
ενδειξη μειονεκτημάτων τής μεθόδου συσχετίσεως τάξεων;
8.98.
Πώς μπορεί νά όριστεί ενας συντελεστής πολλαπλής συσχετίσεως τάξεων;
ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΗΠΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΕΩΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΣ
8.99.
Ή κοινή συνάρτηση πυκνότητας τών τυχαίων μεταβλητών Χ καί Υ ε{ναι
(2χ
f(x,
ΙΟ
Υ)
Βρείτε τήν καμπύλη παλινδρομήσεως τής
8.100.
Στό Πρόβλ.
+
3Υ
ο
<
<
Χ
1,
Ο
<
Υ
<
2
άλλιώς
(α) Υ ώς πρός Χ,
(b)
Χ ώς πρός
8.99 βρείτε τήν εύθεία παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων τής
Υ.
(α) Υ ώς πρός Χ,
(b) Χ ώς
πρός Υ.
8.101.
Ύπολογίστε τό συντελεστή γραμμικής συσχετίσεως στό Πρόβλ.
8.102.
Γιά τά δεδομένα του Προβλ.
8.103.
Γιά τά δεδομένα του Προβλ.
Χ,
8.99.
βρείτε τήν καμπύλη παλινδρομήσεως τής
2.8 2.8
(α) Υ ώς πρός Χ,
(b)
βρείτε τήν εύθεία παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων τής
(α)
Υ.
Υ ώς πρός
(b) Χ ώς πρός Υ.
8.104.
Ύπολογίστε τό συντελεστή γραμμικής συσχετίσεως γιά τίς τυχαίες μεταβλητές του Προ βλ. 2.8.
8.105.
Δώστε ενα παράδειγμα ύπολογισμού υπόλοιπης μεταβολής καί
τών Χ καί
8.106.
Χ ώς πρός
(α) του τυπικου σφάλματος έκτιμήσεως,
(b) τής παλινδρομικής καί τής
(c) του γενικευμένου συντελεστή συσχετίσεως γιά τήν περίπτωση δύο τυχαίων μεταβλη
Υ μέ κοινή συνάρτηση πυκνότητας η πιθανότητας
.f(x, Υ).
Γίνονται άπλοποιήσεις στις καμπύλες παλινδρομήσεως τής Υ ώς πρός Χ μεταβλητές είναι άνεξάρτητες;
ij
τής Χ ώς πρός Υ, δταν οί τυχαίες
Γιατί;
- - - - - - - - - - - - - - - - - -. . . .2. . . . . . . . . . . . . .111.
•
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
8
303
ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΕΩΣ
8.107.
27 μιά εξίσωση παλινδρομήσεως τής Υ ώς πρός Χ βρέθηκε νά εΙναι Η = 25.0 + Sy.I = 1.50, s,r = 3.00 καί Χ = 7.50, ύπολογίστε τά (α) 95'70, (b) 99%, όρια εμπιστοσύνης
Μέ βάση ενα δείγμα μεγέθους
2.00 Χ.
Έάν
γιά τό συντελεστή παλινδρομήσεως.
8.108.
Στό Πρόβλ. 8.107 ελέγξτε τήν ύπόθεση ότι ό συντελεστής παλινδρομήσεως τού πληθυσμού εΙναι
(b)
τουλάχιστο
8.109.
Στό Πρόβλ.
8.110.
Στό Πρόβλ.
2.20
ύπολογίστε τά
8.107 8.107
ύπολογίστε τά
πού αντιστοιχούν σέ
8.111.
σέ επίπεδο σημαντικότητας
χ
(α) 95~;~,
(b)
τήν πίεση
99';'ί:
(b)
(b)
1.70,
όρια εμπιστοσύνης γιά τό
Υ, όταν χ
= 6.00.
99ς" όρια εμπιστοσύνης γιά τή μέση τιμή όλων τών τιμών τού
= 6.00.
Στό Πρόβλ. 8.84 ύπολογίστε τά Χ,
(α) 95~~,
(α) τό πολύ
0.01.
95'70 όρια εμπιστοσύνης γιά (α) τό συντελεστή παλινδρομήσεως Υ ώς πρός 45 ετών. (c) τή μέση τιμή τών πιέσεων όλων τών γυναικών πού εΙναι 45
μιας γυναίκας
έτών.
ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣγΣΧΕΤΙΣΕΩΣ
8.112.
Μέ βάση ενα δείγμα μεγέθους
27
βρήκαμε ότι ενας συντελεστής συσχετίσεως εΙναι ίσος μέ
συμπεράνουμε σέ επίπεδο σημαντικότητας
(α)
Μπορούμε νά
0.40.
ότι ό αντίστοιχος συντελεστής συσχετίσεως τού
0.05, (b) 0.01,
πληθυσμού εΙναι σημαντικά μεγαλύτερος από τό μηδέν;
8.113.
Μέ βάση ενα δείγμα μεγέθους
35
βρήκαμε δτι εν ας συντελεστής συσχετίσεως εΙναι 'ίσος μέ
απορρίψουμε τήν ύπόθεση ότι ό συντελεστής συσχετίσεως τού πληθυσμού εΙναι λάχιστο ρ
8.114.
= 0.70
Ύπολογίστε τά θους
28
σέ επίπεδο σημαντικότητας
(α) 95'ίί:,
βρέθηκε 'ίσος μέ
8.115.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
8.116.
'Υπολογίστε τά 95~c
8.11 ί.
ρ
= 0.30,
του
(b)
0.05;
(b) 99% δρια εμπιστοσύνης γιά ενα συντελεστή συσχετίσεως, πού σ' ενα δείγμα μεγέ
0.60.
8. Ι 14, έάν τό μέγεθος τού δείγματος εΙναι 52. δρια εμπιστοσύνης γιά τό συντελεστή συσχετίσεως πού βρέθηκε στό Πρόβλ.
Δύο συντελεστές συσχετίσεως βρέθηκαν από δείγματα μέ μεγέθη
στοιχα.
Μπορούμε νά
0.50.
(α) τό πολύ
Μπορούμε σέ επίπεδο (α)
0.05, (b) 0.01
23
καί
28
νά εΙναι 'ίσοι μέ
0.80
8.84.
καί
άντί
0.95
νά συμπεράνουμε δτι ύπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ τών
δύο συνΤέλεστών;
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
8.118.
'Επαληθεύστε τίς εκφράσεις
8.119.
Δείξτε ότι στήν περίπτωση της γραμμικης παλινδρομήσεως ή έλάχιστη τιμή τής Ε{[Υ -
(5)
της σελ.
260
γιά τούς συντελεστές της εύθείας ελάχιστων τετραγώνων.
σ~
Υ.Χ
8.120.
=
σ'!.(l Υ
-
5χ
-
8Υ
= 2.
-"- βΧ)]:!)
καί Υ είναι 2Χ
-
5Υ
'Υπολογίστε τό συντελεστή γραμμικής συσχετίσεως.
8.121.
Δείξτε ότι ή γωνία μεταξύ των δύο δειγματικών εύθειών παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων εΙναι
8.122,
Δείξτε ότι ό συντελεστής συσχετίσεως μεταξύ χ
r
8.123.
είναι
ρ2)
Οί δειγματικές εύθείες παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων γιά μιά όμάδα τιμών των Χ
= 3,
(α
καίΥ
μπορεί νά γραφεί χι!
-
χΥ
Δείξτε ότι ενας συντελεστής συσχετίσεως είναι άνεξάρτητος από τήν άρχή μετρήσεως τών μεταβλητών καί τίς μονάδες
στίς όποίες εκφράζονται οί μεταβλητές.
[Ύπόδειςη: Δεχτείτε δτι
,ι'
=
Xu
C l , C2 είναι σταθερές, καί δείξτε δτι ό συντελεστής συσχετίσεως μεταξύ τών
στή μεταξύ τών χ
καί
Υ.]
+ CJΧ, ;ι"
καί
Υ'
11'
=
+
Υο C 2 Y, δπου χο, 110' είναι ό ίδιος μέ τό συντελε
304
8.124. 8.125.
Κ Ε Φ.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
si.y
Γιά γραμμική παλινδρόμηση δείξτε δτι
'Ισχύει ή σχέση αύτή γιά μή γραμμική παλινδρόμηση;
B~
Βρείτε τό συντελεστή συσχετίσεως μεταξύ τών
8
τιμών τών μεταβλητών χ καί
300
Υ πού δίνονται στόν Πίν.
8-41.
(Οί τιμές αύτές παριστάνουν ίiψη σέ 'ίντσες καί βάρη σέ λίβρες τριακοσίων ένηλίκων στίς ΗΠΑ.)
1'-.!1
Πίν.
Τ1ΜΕΣ ΤΗΣ ι
Ι ,,
59-62 90-109
2
110-129 130-149
5
150-169
2
i
Ι ι ι
15
,
12
ι
Ι
4
Ι
75-78
2
~
1
22 !
Ι
63
ί
ι
Ι,
28
7
ι
71-74
i
Ι
8
ι
170-189
67-70
1
Ι
7
Ι
63-66
χ
7
1
19
5
32
12
20
7
4
2
,
190-209
2
10
i
1--.
210-229
8.126.
i
1
1
\α) Βρείτε τήν εύθεία παλινδρομήσεως έλάχιστων τετραγώνων τής
χ ώς πρός Υ
γιά τά δεδομένα του Προβλ.
8.125.
(b) 'Εκτιμήστε τίς τιμές τής Υ γιά .τ "ίσο μέ 64 καί 72. 8.127.
Γιά τά δεδομένα τού Προβλ. 8.125 ύπολογίστε τά
8.128.
'Υπολογίστε τά
8.129.
95%
(α) Sy.x
(b) Sx.y.
δρια έμπιστοσύνης γιά τό συντελεστή συσχετίσεως του Προβλ.
8.125.
'Υπολογίστε τό συντελεστή συσχετίσεως μεταξύ τού Δείκτη Τιμών Καταναλωτή καί τού Δείκτη Τιμών Χονδρικής Πωλήσεως τών ΗΠΑ γιά τά ετη τού Πίν.
8-42
(πήραμε τίς τιμές τών έτών Πίν.
1949 iι 1950
'Έτος
Δείκτης
102.8
101.8
Τιμών
Καταναλωτή
Ι
Δείκτης
Ι ,i
Ι
1951
Ι
ι
1952
ι ι
99.2
Χοντρικής
i
103.1
Ι
113.5
(c)
ίσες μέ
114.4
Ι
1955
ι
1956
ι
114.8
i
110.1
111.6
Ι i
1958
i Ι
Ι
123.5
Ι
110.7
114.3
i 117.6 1119.2 ι ι
!
(b) Βρείτε καί σχεδιάστε τήν εύθεία έλάχιστων τετραγώ
191J-l!J·j9,
Πίν. 'Έτος
1958
ι
110.3
lωί συγκρίνετέ τον μέ τόν πραγματικό
ετος ό Δείκτης θά είναι διπλάσιος τού Δείκτη τών έτώ\'
1957
Ι
'Εκτιμήστε τίς τιμές άπό τήν εύθεία καί συγκρίνετέ τις μέ τίς πραγματικές τιμές.
κτη Κόστους 'Ιατρικής Περιθάλψεως γιά τό
Ι
116.2 iι 120.2
i
Ι
8-43.
100).
!
114;8 [ 114.5
Ι
(α) Παραστήστε γραφικά τά δεδομένα του Πίν. νων.
1954
1953
!
!,
111.0
1947-1949
8-42
ι
Τιμών
8.1:~O.
καί
πού τόν πήραμε 'ίσο μέ
«(Ι)
Προβλέψτε τό Δεί
044.4). (ε) 100 μόναδες;
Ποιό
8·43
1950
1951
HJ52
1953
1954
1955
1θ56
1957
106.0
111.1
117.2
121.3
125.2
128.0
132.6
138.0
Δείκτης Κόστους
'Ιατρικής Περιθάλψεως
(1947-1949 = 100)
,- ___ ""-t:~,-...;..-'"-~-
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -_ _ _ _ _ _ _ _ _k
~'Γ'
• Κ Ε Φ.
8.131.
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ, ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
8
(α) Παραστήστε γραφικά τά δεδομένα τού Πίν. μένα αυτα.
305
(b) Βρείτε τήν παραβολή έλάχιστων τετραγώνων γιά τά δεδο(d) Έξηγήστε για-
8-44.
Έκτιμήστε τίς τιμές από τήν παραβολή καί συγκρίνετέ τις μέ τίς πραγματικές.
(c)
τί ή έξίσωση τής παραβολής δέν ε{ναι χρήσιμη γιά μακροχρόνια πρόβλεψη. Π(ν. Έτος
Γεννήσεις ανά
1000
8.132.
Κατοίκους
Έστω ότι Χ καί
τε δτι, έάν g(X)
1915
1920
1925
1930
1935
1940
1945
1950
1955
25.0
23.7
21.3
18.9
16.9
17.9
19.5
23.6
24.6
Υ ε{ναι δύο τυχαίες μεταβλητές μέ κοινή συνάρτηση πυκνότητας (ή πιθανότητας)
=
Ε(Υ
1χ = Χ),
Ε{[Υ όπου <;,>(.ι-)
8-44
τότε
- φ(Χι1η = Ε([Υ - Υ(ΧΙ]:.Ι}
+
E{[g(X) - φ(Χ)]2.
εΙναι όποιαδήποτε συνάρτηση, γιά τήν όποία ύπάρχουν οί σημειωμένες μέσες τιμές.
8.133.
Ύπάρχει σχέση μεταξύ τού Προβλ.
8.134.
Δείξτε τό Θεώρ.
8.135.
Στό Θεώρ.
8.136.
Δείξτε τό Θεώρ.
8-1
8-1
τής σελ.
είναι ή
8-2
265.
8.132
[Ύπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τό Πρόβλ.
g(X) μοναδική;
τής σελ.
265.
καί τής παλινδρομικής και ύπόλοιπης μεταβολής;
Γιατί;
8.132.)
f(X,
Υ).
Δείξ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Ο ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΕΩΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Στό Κεφ.
7 χρησιμοποιήσαμε
τή θεωρία δειγματοληψίας γιά νά έλέγξουμε τή σημαντικότητα τής
διαφοράς δύο δειγματικών μέσων τιμών. δείγματα, είχαν τήν ίδια διασπορά.
Δεχτήκαμε ότι οί δύο πληθυσμοί, άπ'
όπου ήσαν τά
Σέ πολλές περιπτώσεις όμως θέλουμε νά ελέγξουμε τή σημαντι
κότητα τών διαφορών τριών η περισσότερων δειγματικών μέσων τιμών, δηλ. νά ελέγξουμε τή μηδε νική ύπόθεση ότι όλες οί άναμενόμενες τιμές τών δειγματικών μέσων τιμών είναι ίσες. Παράδειγμα
9.1.
Μιά περιοχή σπέρνεται μέ σιτάρι, άφοϋ σέ τέσσερα δμοια κομμάτια της χρησιμοποιήθηκαν τέσσερα
διαφορετικά λιπάσματα.
ΟΙ άποδόσεις άπό τά τέσσερα αύτά κομμάτια ήσαν
28, 22,18
καί
24
μποϋσελ άνά στρέμμα.
Ε{ναι σημαντικές οί διαφορές στίς άποδόσεις τών τεσσάρων κομματιών;
Προβλήματα σάν τό προηγούμενο μπορούν νά λυθούν μέ μιά άξισσημείωτη μέθοδο πού κα λείται άνάλυση διασπορας καί άναπτύχτηκε άπό τόν
Στή μέθοδο αύτή χρησιμοποιείται
Fisher.
ή κατανομή Ρ, πού εξετάστηκε στά ΠRοηγούμενα κεφάλαια. ι
Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ Σ'
ενα πείραμα, όπου τά άποτελέσματα επηρεάζονται άπό ενα μόνο (μή τυχαίο) παράγοντα,
εχουμε α άνεξάρτητα δείγματα μέ
b
τιμές (άποτελέσματα μετρήσεων η παρατηρήσεων) στό καθένα.
Κάθε δείγμα άντιστοιχεί σέ μιά «τιμή» τού παράγοντα. διαφορετικά λιπάσματα, δηλ. α
Έτσι, Π.χ. στό Παράδ.
9.1
εχουμε τέσσερα
= 4.
Τά άποτελέσματα ενός πειράματος πού εξαρτάται άπό εναν παράγοντα μπορούν νά δοθούν σ' εναν
πίνακα μέ α γραμμές καί τής
k
στήλης.
b στήλες (Πίν. 9-1).
Έτσι Π.χ. τό
Τό
παριστάνει τό στοιχείο τής
Xjk
j
γραμμής καί
Χ35 παριστάνει τό άποτέλεσμα τής πέμπτης μετρήσεως γιά τό τρίτο
δείγμα. Πίν.
Μέ
Xj.
9-1
Δείγμα
1
Χ11
Χ12
...
X 1b
Δείγμα
2
Χ21
Χ22
...
X~Ό
Δείγμα α
Χαι
X a2
...
ΧαΌ
συμβολίζουμε τή μέση τιμή τών στοιχείων τής
1 b -b Σ
j
Xjk
.i
γραμμής, δηλ.
= 1,2, ... , α
(1)
k=1
Ή τελεία στό Xj
σημαίνει ότι εχει γίνει άθροιση ώς πρός τό δείκτη k.
δειγματικές μέσες τιμές καί καλούνται συχνά μέσες τιμές γραμμών.
Οί τιμές
Xj. είναι οί
Ή γενική μέση τιμή Χ είναι ή
μέση τιμή όλων τών στοιχείων του πίνακα, δηλ. Χ
1
1
-b Σ α
Xjk
j,k
ab
α
b
j=1
κ=1
Σ Σ
(2)
Xjk
306
a
&
~Ά
,
υ
Κ Ε Φ.
9
307
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
ΟΛΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ. ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΜΕΣΑ ΣΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΜΕΤΑΞγ ΤΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ 'Ορίζουμε τήν όλική μεταβολή V
ώς τό άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των στοιχεί
ων από τή γενική μέση τιμή Χ, δηλ.
. Ολική
μεταβολή·
(3)
V
'Επειδή
( Χ·Ιμ -Χ') J.
Χ
Xjk -
+ (Χ·J. -Χ)
μπορουμε νά δείξουμε τετραγωνίζοντας καί άθΡOίζOVΤας ώς πρός
Σ
(Xjk -
χ)2
Σ
=
j,k
(XjI< -
Xj.)2
+
j,k
(4) j
καί
k
Ότι (Πρόβλ.
9.1)
Σ (Xj. - χ)2
(5)
j,k
(6) Τό πρωτο άθροισμα του δεξιου μέλους τής
(5)
ή τής
καλείται μεταβολή μέσα στά δείγματα (έπειδή
(6)
περιλαμβάνει τά τετράγωνα των άποκλίσεων άπό τίς δειγματικές μέσες τιμές
Xj.)
καί συμβολίζεται
μέ V w , δηλ.
Vw
=
Σ
(7)
Xj.)2
(Xjk -
j,k
Τό δεί)τερο άθροισμα του δεξιου μέλους τής
η τής
(5)
(6)
καλείται μεταβολή μεταξύ των δειγμάτων
(έπειδή περιλαμβάνει τά τετράγωνα των άποκλίσεων των δειγματικων μέσων τιμων μέση τιμή Χ) καί συμβολίζεται μέ
=
Vb
Xj.
άπό τή γενική
Vb, δηλ.
Σ (Xj. - Χ)'!
(8)
j, k
Ή έξίσωση
(5)
η ή
(6)
γράφεται
(9)
V
ΣγΝΤΟΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΤΟΝ γΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ
Γιά νά συντομεύσουμε τόν ύπολογισμό των μεταβολων πού όρίσαμε παραπάνω, χρησιμοποιουμε τούς τύπους
V
(10)
=
(11) Vw
Όπου
..
=
V -
εΙναι τό γενικό άθροισμα όλων των τιμων
δείγματος, δηλ.
.. =
Σ j,k
XjI,
(12)
Vb
Xjk
'Τ.
J.
καί
'Τ j. εΙναι τό άθροισμα των τιμων το\)
= Σ
j
(13)
Xjk
k
Στήν πράξη εΙναι σκόπιμο νά άφαιρέσουμε μιά σταθερή τιμή άπό όλες τίς δεδομένες τιμές του πίνακα.
Κάτι τέτοιο δέν έπηρέαζει τά τελικά άποτελέσματα.
ΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΙΑ ΑΝΑΛγΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Κάθε γραμμή του Πίν.
9-1
άντιπροσωπεύει ενα τυχαίο δείγμα μεγέθους
γενικά εΙναι διαφορετικός γιά κάθε δείγμα).
τυχαίες μεταβλητές
b
X j1 , X j2 ,
•••
,Xjb ,
'Έτσι γιά τό
b
άπό εναν πληθυσμό (πού
j δείγμα εχουμε τίςάνεξάρτητες ίσόνομες
πού παίρνουν τίς τιμές
Xjl, Xj2, • • • , Xjb.
Κάθε μιά άπό τίς
308 XjI,
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
(I~
9
= 1,2, ... , b) μπορεί νά εκφραστεί σάν αθροισμα τής άναμενόμενης τιμής καί ένός «σφάλμα
τος» στή μορφή
(14)
Τά Δjk μποροϋν νά θεωρηθούν ώς άνεξάρτητες (ώς πρός
καΙ k) τυχαίες μεταβλητές, πού ή κάθε
j
μιά εχει κανονική κατανομή μέ μέση τιμή μηδέν καί διασπορά σ2 • Αύτό σημαίνει δτι δεχόμαστε τίς Xjk(j = 1,2, ... , α, 1, = 1,2, ... , b) ώς άνεξάρτητες κανονικές τυχαίες μεταβλητές μέ μέσες τιμές μj καί διασπορά σ2 (γιά δλες ίδια). 'Η σταθερή μ πού όρίζεται μέ τή σχέση
μπορεί νά θεωρηθεί μέση τιμή ένός γενικού πληθυσμοϋ πού περιλαμβάνει δλους τούς πληθυσμούς άπ' δπου προέρχονται τά δείγματα.
'Η (14) μπορεί νά γραφεί (Πρόβλ. 9.18)
(15)
Σα. = Ο . J J
Οί σταθερές
α. θεωροϋνται άποτελέσματα τοϋ παράγοντα πού διαφοροποιεί κατά κάποιο τρόπο τά J
δείγματα.
'Η μηδενική ύπόθεση δτι δλες οί άναμενόμενες μέσες τιμές τών δειγμάτων είναι 'ίσες παριστά
νεται μέ (Η ο : α = Ο, j = 1,2, ... ,α) ή μέ (Ηο: ,ιιί = μ, j = 1,2, ... , α). 'Εάν ή Ηα είναι ορθή, οί (κανονικοί δπως δεχτήκαμε) πληθυσμοί, άπ' δπου προέρχονται τά δείγματα, εχουν ίδια μέση τιμή
ί
καί συνεπώς ταυτίζονται (επειδή εχουμε δεχτεί δτι εχουν καί τήν 'ίδια διασπορά). ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ
'Η μεταβολή V u μεταξύ τών δειγμάτων, ή μεταβολή Vw μέσα στά δείγματα καί ή όλική μετα
βολή V είναι τυχαίες μεταβλητές, πού παίρνουν τίς τιμές πτει άπό τίς (8), (7) καί (3).
Vb, Vw
καί
V
άντίστοιχα, δπως προκύ
Μποροϋμε νά δείξουμε δτι
(α - 1)σ2
+
b Σ α7
(17)
α(b -1)σ 2
(αb -1)σ 2 Άπό τήν
(17)
V,,·
Ε [ α(b _ 1)
εχουμε
S"U:
"Αρα ή
]
+
=
b Σ α7
σ
(18)
(19)
2
(20)
V u; a(b -1)
=
(16)
j
είναι πάντα μιά καλή (άμερόληπτη) εκτίμηση τής σΖ, άνεξάρτητα άπό τό αν ή Ηο είναι όρθή ή όχι. 'Αντίθετα δμως, μόνον εάν ή Η α είναι ορθή, εχουμε
E(_Vu_) α-Ι
=
σ2
(21)
καί συνεπώς μόνο σ' αύτή τήν περίπτωση οί
=
v
Vb
Α
S~
α
ab -1
- 1
(22)
είναι άμερόληπτες εκτιμήσεις τής σ2 • 'Εάν ή Η u δέν είναι ορθή, τότε εχουμε άπό τήν (16) ""·-) E(S b
=
•
σ-
+ ._b Σ' α-Ι
α~
j
J
(23)
μι
Κ Ε Φ.
9
ΑΝΑΛγΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
309
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Χρησιμοποιώντας τό Θεώρ.
4-4 της σελ. 116 μπορούμε V 11', V b καί V.
νά δείξουμε τά έξης βασικά θεωρήματα
γιά τίς κατανομές τών μεταβολών θεώρημα
9-1:
Ή 1ΊJJ!σ'l εχει κατανομή
θεώρημα
9-2:
'Εάν ή μηδενική ύπόθεση Η ο είναι όρθή, ή Vu!σ 2 καί ή V!σ2 εχουν κατανομή χ 2 μέ α
-1
καί
Πρέπει νά τονιστεί ότι τό Θεώρ. Θεώρ.
9-2
ab - 1 9-1
/- μέ a(b -1) βαθμούς ελευθερίας.
βαθμούς ελευθερίας αντίστοιχα.
ισχύει ανεξάρτητα από τό αν δεχτούμε η όχι τήν Ηο, ενώ τό
ισχύει μόνον εάν ύποθέσουμε όρθή την Ηο.
Ο ΕΛΕΓΧΟΣ
ΓΙΑ ΤΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΥΠΟΘΕΣΗ ΤΩΝ ΙΣΩΝ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
F
'Εάν ή Η ο δέν είναι όρθή, δηλ. εάν οί αναμενόμενες μέσες τιμές δέν είναι ϊσες, τότε, όπως
φαίνεται από τήν (23), τό Ξ~ αναμένεται νά είναι μεγαλύτερο από σ 2, τόσο μεγαλύτερο όσο μεγαλύ τερες είναι οί διαφορές μεταξύ τών μέσων τιμών. 'Από τήν (19) όμως τό Ξι; αναμένεται νά εΙναι'ίσο μέ σ2 ανεξάρτητα από τό αν οί άναμενόμενες μέσες τιμές είναι ϊσες η σχι.
συνάρτηση κατάλληλη γιά τόν ελεγχο της ύποθέσεως Η ο είναι ή
5;! Ξ~,.
ν Αρα μιά στατιστική
'Εάν ή τιμή της εΙναι
αρκετά μεγάλη, μπορούμε νά συμπεράνουμε δτι ύπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ τών αναμενό
μενων μέσων τιμών καί νά απορρίψουμε τήν Ηο •
Άλλιώς μποροϋμε η νά δεχτούμε τήν Η ο η νά μήν
αποφασίσουμε μέ βάση αύτά τά δεδομένα.
Γιά νάχρησιμοποιήσουμε τή στατιστική αύτή συνάρτηση πρέπει νά ξέρουμε τήν κατανομή
της.
Αύτή μας δίνεται από τό έπόμενο θεώρημα, πού είναι συνέπεια τού Θεωρ.
θεώρημα 9-3:
της σελ.
5-8
161.
'Η στατιστική συνάρτηση F = SξISJ: εχει κατανομή F μέ α-Ι καί a(b -1) βαθμούς ελευθερίας.
Τό Θεώρ.
μας επιτρέπει νά ελέγξουμε τή μηδενική ύπόl:1εση σε προκαθορισμένο επίπεδο
9-3
σημαντικότητας χρησιμοποιώντας μονόπλευρο ελεγχο καί κατανομή
F.
ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΕΩΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Οί ύπολογισμοί πού απαιτούνται γιά τόν παραπάνω έλεγχο δίνονται περιληπτικά στόν Πίν.
πού καλείται πίνακας άναλύσεως διασπoρiiς. μέθοδο, δηλ. από τίς τήν
υ ιι·
=
υ
-
υο.
καί
(3)
(8),
9-2,
Στήν πράξη ύπολογίζουμε τίς υ καί υο μέ τή μακριά
η μέ τή σύντομη μέθοδο, δηλ. από τίς
νΑς σημειωθεί ότι τό πληθος
(10)
καί
(ll),
καί μετά
των βαθμων ελευθερίας της άλικης με
ab - 1
ταβολης ισούται μέ τό αθροισμα των βαθμών ελευθερίας των μεταβολων μέσα στά δείγματα καί
μεταξύ τών δειγμάτων.
Διαιρώντας κάθε μεταβολή μέ τό πληθος των βαθμών ελευθερίας εχουμε τήν
άντίστοιχη μέση μεταβολή. Πίν. Μεταβολή
'Ελευθερίας
Βαθμοί
Μεταξύ ΔεΙΎμάτων Vb
=
b::Σ (Xj. - χ)2
9-2
α
- 1
Μέση
'B~ --
F
Μεταβολή
vb
~~
α-Ι
~~
1
μέ
α Μέσα στά ΔείΎματα νιο
=
V -
a(b-l)
Vb
Α')
15-
V
tV
= a(b - 1)
1, a(b - 1) βαθμούς έλευθερίας
Όλική
t·
+
=
Vb
=
::Σ (Χ 'k - χ)2
j, k
Vw
ab - 1
J
21
b
2
310
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
9
ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΝΙΣΟ ΠΛΗΘΟΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Στήν περίπτωση πού τά δείγματα
1, ... , α,
περιέχουν διαφορετικό πλήθος μετρήσεων, εστω
111, • . . , fl u άντιστοιχα, οί προηγούμενες σχέσεις τροποποιουνται εύκολα καί έχουμε
Σ
Σ (Xj/c - 5:)2
ν
j,k
j,k
Σ (i· j .
-
.,
τ
X~K J
-
2
(24)
-
n
λψ
(25)
j, k
Vw
'Ι,'
(26)
Vb
-
δπου τό Σ δηλώνει αθροιση ώς πρός k άπό 1 εως nj καί μετά ώς πρός J απο 1 εως Φ, n =
Σi nj
1,k
εΙναι τό όλικό πλήθος των μετρήσεων (τιμων) δλων των δειγμάτων,
δλων των τιμων (στοιχείων),
T
j
Σ δηλώνει τό αθροισμα άπό
7"
εΙναι τό
ε{ναι τό αθροισμα δλων των τιμων (στοιχείων) του
=1
j
j
αθροισμα
δείγματος
καί
εως α.
j
Ό πίνακας γιά τήν άνάλυση διασπορας δίνεται στόν Πίν.
Πίν.
Ι
Μεταβολή
Μεταξύ Δειγμάτων
Vb
-χ)2 = ~llί(Xί. ,
Μέσα στά Δείγματα
V
w
=
V -
υι,
Βαθμοί
'Ελευθερίας
9-3.
9.3
Ι
!Μ'
F
Μεταβολή Ι
εση
ι
!
Ι
α
Ι
- 1
"'2 Sb
Ι
--
"'2 Sb "'2
Vb α-1
S1C
Ι
1~
-
Ι
α
Ι n - α Ι
- -v'"-
"'2 Sw
Ι
μέ α 1~ -
-1,
α βαθμούς
έλευθερίας
Όλική
v ---
Vb
+ -υ ιι·
n-1
:Σ (XjI, - χ)2 j,k
Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΔΥΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ Ή άνάλυση διασποράς, πού παρουσιάσθηκε γιά πειράματα πού έξαρτωνται άπό ενα παράγοντα,
μπορεί νά γενικευτεί.
Παρουσιάζουμε άμέσως παρακάτω τήν περίπτωση, δπου τά άποτελέσματα
του πειράματος επηρεάζονται άπό δύο παράγοντες. Παράδειγμα
9.2.
Σπέρνουμε
4
διαφορετικά είδη σιταριού σέ μιά πεΡΙΟΊή και έπαναλαμβάνουμε τό ίδιο σέ
περιοχές Ίωρίζοντας τίς πέντε πεΡΙΟΊές σέ
(4)(5)
= 20
κομμάτια γης.
ειναι σκόπιμο νά θεωρήσουμε τά
μιας περιοχης (μΙ διαφορετικό ε{δος σιταριού σπαρμένο στό καθένα) σάν μιά όμάδα, όπότε fχουμε Είναι φανερό, ότι ή άπόδοση άνά στρέμμα έξαρταται άπό δύο παράγοντες. σιταριού πού σπέρνουμε καί
5 4
διαφορετικές κομμάτια γης
5 όμάδες κομματιών γης.
ΟΙ παράγοντες αύτοι ε{ναι
(i)
τό εΙδος τοϋ
(Η) ή περιοχή (δηλ. ή όμάδα κομματιών γης) όπου σπέρνουμε (π.χ. διαφορετικό χώμα, κτλ.).
Γενικά, σέ περιπτώσεις δπως αύτή του Παραδ.
9.2, μπορουμε νά σχηματίσουμε δείγματα χωρίζον
τας τά άποτελέσματα του πειράματος μέ βάση τόν πρώτο παράγοντα η μέ βάση τό δεύτερο παράγοντα .
.. Μα
-J1 Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
9
311
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ ΜΕ ΔΥΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ 'Έστω ότι ό πρωτος παράγοντας μπορεί νά πάρει α διαφορετικές «τιμές» καί ό δεύτερος παρά
γοντας
b
διαφορετικές «τιμές».
Μέ τήν προϋπόθεση ότι εχουμε μιά δεδομένη πειραματική τιμή γιά Πίν.
9-4
Δεύτερος παράγοντας
V' ζ:\
V' Ο
...
... >ο
1
2
b
1
xl1
ΧΙ2
ΧΙ!>
ΧΙ.
2
ΧΖΙ
Χ22
XZ!J
Χ2.
α
Χα!
Χα2
Χα!>
Χα.
Χ.Ι
Χ.Ζ
Χ.ι>
;>·8 0.'<:\
..... -
ο.
ζ:\ ι::
κάθε συνδυασμό «τιμων» των δύο παραγόντων, μπορουμε νά παρουσιάσουμε τά δεδομένα, απως στόν Πίν.
Τό στοιχείο
9-4.
αντιστοιχεί σέ (εΙναι ή δεδομένη πειραματική τιμή γιά) «τιμή» του
XjI,
πρώτου παράγοντα ίση μέ
j καί «τιμή» του δεύτερου ίση μέ k. Ή μέση τιμή της j γραμμης εΙναι i~j. καί της Λ: στήλης είναι Χ. κ , απ ου j = 1, ... , α καί /( = 1, ... , b. Ή γενική μέση τιμή είναι
Χ.
Δηλαδή εχουμε
1
Xj.
!>
_
= b κ=ι Σ Χψ,
:Ι~.k
1
a
= -aj=t Σ .
1 ab ,.k Σ
λ:
Xjl<,
(27)'
Xjk
ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΓΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ ΜΕ ΔΥΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ 'Όπως στήν περίπτωση του ενός παράγοντα, μπορουμε νά όρίσουμε μεταβολές καί γιά πειράματα
μέ δύο παράγοντες.
Όρίζουμε πρωτα τήν όλική μεταβολή μέ τή σχέση
'Ι)
.Από
=
Σ(Χjk-Χ)~
(28)
i, k
τήν ταυτότητα
Xjk -
Χ
(Xjk -
+ Χ) + (Xj. -
Xj. - X.k
Χ)
+ (X.k -
Χ)
μπορουμε νά δείξουμε εϋκολα τετραγωνίζοντας καί αθροίζοντας ώς πρός V
=
+V +V
Ve
T
j
καί
lc
ατι
(30)
C
Μεταβολή από τυχαίους λόγους =
απου
(29)
Σ (λ'jk - Xj. - Χ.ι, i, k
+ χ)2
α
Μεταβολή μεταξύ των γραμμων
VT
b Σ (Xj - χ)2
=
;=Ι
b
Vc
=
Μεταβολή μεταξύ των στηλων
= α Σ (Χ.ι, - χ)2 k=1
Ή μεταβολή πού όφείλεται σέ τυχαίους λόγους (π.χ. σφάλματα) λέγεται τυχαία ή ύπόλOlπη μεταβολή. Στούς ύπολογισμούς χρησιμοποιουνται οί τύποι [αντίστοιχοι μέ τούς V
,2 χ2 - -
Σ . jk
1 α Σ ,2 b ;=Ι J. 1 b
-
-α Ve
απου
,.J.
>
,
k=1
V -
είναι τό άθροισμα των στοιχείων της
στήλης καί
Σ_2 '.k
(1Ι) καί
(12)] (31)
ab
1,k
(10),
2
-
2ab
-
~
V, -
(32)
2
ab Vc
(33)
(34)
j γραμμης, τ κ τό άθροισμα των στοιχείων της lc
τό γενικό άθροισμα αλων των στοιχείων.
.1]112,,'
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
312
9
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΓΙΑ ΔΥΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ
Στό μαθηματικό μοντέλο γιά πειράματα μέ δύο παράγοντες δεχόμαστε δτι οί τυχαίες μεταβλη τές X jk , πού παίρνουν τίς τιμές
Xjk,
μπορουν νά γραφουν
(35)
Στήν εκφραση αυτη μ είναι ή γενική μέση τιμή του πληθυσμου, a j είναι τό μέρος τής Xjk πού όφείλεται στόν πρωτο παράγοντα, βκ είναι τό μέρος τής X jk πού όφείλεται στό δεύτερο παρά γοντα καί Δjk είναι τό μέρος τής X jk πού όφείλεται σέ τυχαίους λόγους. 'Όπως καί στήν περί
πτωση του ενός παράγοντα, μπορουμε νά θεωρήσουμε τίς Δjk ώς άνεξάρτητες κανονικές τυχαίες μεταβλητές μέ μέση τιμή μηδέν καί διασπορά σ2 , πού σημαίνει δτι οί Xjk είναι έπίσης άνεξάρτητες
κανονικές μεταβλητές\ μέ διασπορά ~. Μέ κατάλληλες παραδοχές γιά τίς μέσες τιμές των
Xjk
εχουμε
(36) Σα, , J
Σβκ
ο
Ο
k
j
καί αρα
1 -ab
μ
Σ E(X jk ) j,k
,Αντίστοιχα μέ τίς (16)-(18) μπορουμε νά δείξουμε τίς σχέσεις
(a-1)σ2
E(V r )
+
(37)
b Σ α2 ,
)
J
E(V c )
(b -1)σ 2
E(V e )
(α
E(V)
(ab -1)σ2
+
- l)(b -
(38)
α Σ β~ k
(39)
1)σ 2
+
b Σ α J2 ;
(40)
+ α Σk β~
Γιά δύο παράγοντες μπορουμε νά έλέγξουμε τίς έξής δύο μηδενικές ύποθέσεις:
H~! ': Οί άναμενόμενες μέσες τιμές των γραμμων είναι 'ίσες, δηλ.
aj
H~2': Οί άναμενόμενες μέσες τιμές των στηλων είναι 'ίσες, δηλ. β"
= Ο, j = 1, ... , a. = Ο,
k
= 1, '... , lJ.
'Ανεξάρτητα άπό τό αν οί Ηό Ι ) καί H 62J είναι όρθές ή όχι, άπό τήν (39) συμπεραίνουμε δτι μιά καλή
(άμερόληπτη) έκτίμηση τής σ είναι 2
S.'C =
(41)
Ve (a-1)(b-1) ,
δηλ.
'Εάν οί ύποθέσεις Ηό ι) καί H~2) είναι όρθές, τότε καί οι
Vc
λ
5 c• -- b - l'
S2 = __V_
ab -1
(42)
δίνουν άμερόληπτες έκτιμήσεις τής σ2 • 'Εάν δμως οί H~Ι) καί H~~) δέν είναι όρθές, τότε άπό τίς (37)
καί
(38)
εχουμε άντίστοιχα
σ~)
+
b α-Ι
Σ' . α)
(43)
J
E(Sn = σ 2 + b ~ 1 ~ β~
(44)
Δίνουμε άμέσως παρακάτω μερικά θεωρήματα άνάλογα μέ τά Θεωρ. 9-1 καί 9-2.
θεώρημα 9-4: 'Η V./σ2 εχει κατανομή χ2 μέ (α -1)(b - 1) βαθμούς έλευθερίας, άνεξάρτητα άπό τό αν οί Η !) καί Ηι\2) είναι όρθές ή όχι. 6
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _811Ι_ _ _ )9
~-
" Κ Ε Φ.
9
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
313
9-5: 'Εάν ή Ηό Ο εΙναι ορθή, ή Vr/σ'l εχει κατανομή χ 2 μέ α -1 βαθμούς έλευθερίας. 'Εάν ή Ηό 2 ) εΙναι ορθή, ή Vc/σ'l εχει κατανομή χ 2 μέ b - 1 βαθμούς έλευθερίας.
θεώρ"μα
'Εάν καί ή
καί ή H~2) εΙναι ορθές, ή
Hi/)
χ2 μέ
εχει κατανομή
V/u2
ab -1
βαθ
μούς έλευθερίας.
Γιά νά έλέγξουμε τήν ύπόθεση Ηό Ι ) εΙναι φυσικό νά θεωρήσουμε τή στατιστική συνάρτηση λ
Α
λ
S'NS~, έπειδή, δπως φαίνεται άπό τήν
(43), ή S~ άναμένεται νά διαφέρει σημαντικά άπό τήν σ2 ,
H/i2) , θεωροϋμε τή στατιστική συνάρτηση SN§~. Οί ελεγχοι αύτοί βασίζονται στό έξης θεώρημα: έάν οί μέσες τιμές τών γραμμών διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους.
θεώρ"μα 9-6:
Γιά νά έλέγξουμε τήν
'Εάν ή H~O εΙναι όρθή, ή στατιστική συνάρτηση S;/§~ εχει κατανομή F μέ α-1 καί (α
- l)(b - 1) βαθμούς έλευθερίας. Α
λ
συνάρτηση sυs~ εχει κατανομή F μέ
'Εάν ή
.
b- 1
Η&2) εΤναι όρθή, ή στατιστική
καί (α
βαθμούς έλευθε-
-l)(b - 1)
ρίας.
Τό θεώρημα αύτό μας δίνει τή δυνατότητα νά δεχτοϋμε ή νά άπορρίψουμε τήν H~Ι) ή τήν Ηό 2 ) σέ
προκαθορισμένα έπίπεδα σημαντικότητας.
Συνήθως ή άνάλυση διασποράς μέ δύο παράγοντας δί
νεται περιληπτικά σ' εναν πίνακα, δπως ό Πίν.
9-5.
Πίν.
Ι
Μεταβολή
9-5
Ι
Βαθμοί
Ι
Μέση Μεταβολή
Έλευθερίας
F
!
ι
i
Μεταξύ Γραμμών
"ο
s- --
α-Ι
b :Σ (Xj. - χ)2
=
vT
'8;Ιs~
, τ
(a-l)(b-l) βαθμούς έλευθερίας
~Έ/B~ b -
α:Σ (X.k - χ)2
=
Α
sc2 --
Ι
Vc
b -
μέ
Ι
(α
ι,
Ι
Ύπόλοιπη ή Τυχαία
=
υ
-
'υ/,
b-l. -l)(b - Ι)
βαθμούς έλευθερίας
.1 1\,
μέ α-Ι,
α-Ι
j
Μεταξύ Στηλών
Vc
vT --
(α
- l)(b - 1)
- v,.
Ι
"2 Se
Ve
= (a-1)(b -1)
Όλική l'
---
'L". + 1'ι'
-:-- '1 'ι.
ab - 1
:Σ (Xjk - χ)2 ;. k
ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ ΜΕ ΔΥΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Στόν Πίν.
παραγόντων.
9-4
εχουμε ενα μόνο στοιχείο (δεδομένη τιμή) γιά κάθε ζεϋγος «τιμών» τών δύο
Πολλές φορές δμως έπαναλαμβάνουμε τό πείραμα
δεδομένες τιμές γιά κάθε ζεϋγος «τιμών» τών δύο παραγόντων. εχουμε
c
καί
ετσι
εχουμε περισσότερες
Στά παρακάτω θά ύποθέσουμε δτι
δεδομένες τιμές γιά κάθε ζεϋγος «τιμών» τών παραγόντων.
'Εάν τό πλήθος τών τιμών δέν
εΙναι τό ίδιο γιά δλα τά ζεύγη «τιμών» τών παραγόντων, χρειάζονται μερικές τροποποιήσεις.
'Εφ' δσον εχουμε πολλές τιμές γιά ενα ζεϋγος «τιμών» τών δύο παραγόντων, ή πρέπει νά γενικευτεί κατάλληλα.
μή, τήν
b
k
στήλη καί τήν
l
'Έστω
Xjl,t
(35)
τής σελ.
ή τυχαία μεταβλητή πού άντιστοιχεί στήν
έπανάληψη (δεδομένη τιμή).
Τό μοντέλο εχει τώρα
:i
(312) γραμ
314
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
όπου οΙ μ., a
j
•
fi k
όρίζονται όπως πρίν, ~jkt
9
είναι άνεξάρτητες κανονικές τυχαίες μεταβλητές μέ
μέση τιμή μηδέν καί διασπορά ι? καί τά Ύμ: παριστάνουν τήν άλληλεπίδραση μεταξύ γραμμών καί στηλών.
Άντίστοιχα μέ τίς
Σα, = j
Ή όλική μεταβολή
εχουμε
(36) ο,
(45)
J
v
τών δεδομένων μπορεί πάλι νά χωριστεί σέ μεταβολές μεταξύ γραμ
μών υ τ , μεταξύ στηλών V c , άλληλεπιδράσεως Vj καί ύπόλοιπη μεταβολή V όπου
Έτσι είναι
Ve •
+ 'l.'c + υί + V e
Vr
(46)
Σ (J'jkt -- i)2
V
j,k,! α
bc Σ (i j ..
-
i)2
(4~.)
-
i)2
(49)
j=!
b
αc Σ μ.. ",
Vc
1':=1
Vj
(50)
υ•
(5'1.)
Στίς σχέσεις αύτές οί τελείες σέ θέσεις δεικτών σημαίνουν δ,τι καί στά προηγούμενα (σελ.
306).
'Έτσι Π.χ.
1 = -b c
Σ 1':. Ι
1 -b
=
Xjkl
ΣΙ,:
(52)
Xjl-,.
Χρησιμοποιώντας τό κατάλληλο πλήθος βαθμών έλευθερίας γιά κάθε μεταβολή εχουμε τόν παρα κάτω πίνακα άναλύσεως διασποράς. Πίν.
Ι
Βαθμοί
Μεταβολή
'Ελευθερίας
Μεταξύ Γραμμών
9-6
Μέση Μεταβολή
s - --
.... 0
α-Ι
τ
l' r
Ι
F Sf/S~
υτ
--
μέ
α-Ι
Μεταξύ στηλών
Α
b - 1
η
S e-
1'c
--
Άλληλεπιδράσεως
,
'υ·
ij
Ι (α
Τυχαία
ΊJ
- 1)(b - 1)
ab(c-1)
ve ΆΟλική
- 1)
~~/8~
1' c
--
μέ
b - 1
Ι
Ι Ι
Α.,
S: t
1'j
--
s-e ""
(a-l)(b-l)
V --
αb(c
!,
.... 2/.... 0 S ί S
Ι
Ι
b - 1, ab(c -1)
βαθμούς έλευθερίας
i
Ύπόλοιπη
α-Ι, αb(c
βαθμούς έλευθερίας
μέ
(α
e
- l)(b - 1), αb(c -1)
βαθμούς έλευθερίας
c
- 1)
Ι abc - 1
Ι
••
lΓlI--·'-------_
..... a Iw.fi••ιniiII'••iΜIΙΙ,I••'IΙΙΙΙΙΙΙΙiil'ΙΙΙ'ΙΙΙlillllll''''IIIΙIΙΙΙ"'Ι'.,'ΙΙΙ'Iι/Ι'Ν!lΙS"tpIIIIIIiliii!lljΙ!ΙΙΙΙΜ"·ιι.;;φι;• • • • •Ζ,,'
..
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
!J
315
Οί ποσότητες της τελευταίας στήλης τού Πίν. 9-6 μπορούν νά χρησιμοποιηθούν στόν έλεγχο τών εξης μηδενικών ύποθέσεων:
ΗΌ!):
Οί αναμενόμενες μέσες τιμές τών γραμμών είναι ίσες, δηλ. a j
Hiι 2 ):
Οί αναμενόμενες μέσες τιμές τών στηλών είναι ίσες, δηλ. (:1k
H~3):
Δέν ύπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ γραμμών καί στηλών, δηλ. Yjk
= =
Ο. Ο.
=
Ο.
Γιά πρακτικούς λόγους αποφασίζουμε πρώτα, εάν ή H~3} μπορεί νά άπορριφθεί ή όχι σ' ενα προ
καθορισμένο επίπεδο σημαντικότητας χρησιμοποιώντας τό λόγο st/S~ τού
Πίν. 9-6.
'Έχουμε
δύο δυνατές περιπτώσεις:
Περίπτωση Ι.
Ηό 3 ) δέν μπορεί νά άπορριφθεί. Στήν περίπτωση αυτή μπορούμε νά συμπεράνουμε
Ή
Μπορούμε τότε νά ελέγξουμε τίς Ηό ΙΙ καί Ηό 2 ) χρησιμο
στι ή άλληλεπίδραση δέν είναι μεγάλη.
ποιώντας αντίστοιχα τούς λόγους sNs~ καί sg/s~ τού Πίν. 9-6.
Στήν περίπτωση αύτή μερικοί
στατιστικολόγοι «ενώνουν» κατά κάποιο τρόπο τίς μεταβολές διαιρώντας τό αθροισμα υί
αντίστοιχο σύνολο τών βαθμών ελευθερίας (α "
μη
που
~
,
ι
,
προκυπτει αντι για
Περίπτωση ΙΙ.
Ή
,
τον
-1)(b -1)
,
παρανομαστη
1)
+ 't'e
μέ τό
καί χρησιμοποιώντας τήν τι-
λ...,
S
e.
H~3) μπορεί νά απορριφθεί.
ότι ή αλληλεπίδραση είναι σημαντική.
+ ab(c -
Στήν περίπτωση αυτή μπορούμε νά συμπεράνουμε
Διαφορές μεταξύ τών δύο παραγόντων μπορεί τότε νά είναι
σημαντικές, μόνον αν εΙναι μεγάλες σέ σύγκριση μέ τήν αλληλεπίδραση.
Γι' αυτό μερικοί στατι
στικολόγοι συνιστουν νά ελέγχουμε τίς Ηό 1) καί H(i~) χρησιμοποιώντας αντίστοιχα τούς λόγους
si!si
καί
sE!si
αντί γι' αυτούς του Πίν. 9-6.
Έμείς θά χρησιμοποιήσουμε καί τίς δύο εκλογές.
Ή ανάλυση διασποράς μέ επανάληψη γίνεται εύκολα, εάν αθροίσουμε πρώτα όλες τίς τιμές πού αντιστοιχούν σ' ενα ζεύγος «τιμών» τών δύο παραγόντων.
Παίρνουμε έτσι εναν πίνακα μέ ενα
στοιχείο (τιμή) γιά κάθε ζεύγος «τιμών» τών δύο παραγόντων, πού μπορεί νά μελετηθεϊ:, όπως ό Πίν.
9-5.
Ή μέθοδος αύτή παρουσιάζεται στό Πρόβλ.
9.13.
ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΩΝ Ή ανάλυση διασποράς πού περιγράψαμε γίνεται φυσικά μέ βάση τά δεδομένα, πού συνήθως είναι αποτελέσματα ενός πειράματος πού έγινε.
Γιά νά πάρουμε όμως όσο τό δυνατό περισσότερες πληρο
φορίες, ενα πείραμα πρέπει νά σχεδιαστεί από πρίν προσεκτικά. σχεδίαση τού πειράματος.
Μιά τέτοια εργασία καλείται συχνά
Άμέσως παρακάτω δίνουμε μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα σχεδιά
σεως πειραμάτων.
1.
Πλήρης τυχαιότητα.
9.1 μη Α,
ΥΑς ύποθέσουμε στι έχουμε ενα πείραμα σποράς, όπως αυτό τού Παραδ.
της σελ.
306. Γιά νά σχεδιάσουμε ενα τέτοιο πείραμα, μποροϋμε νά χωρίσουμε τή διαθέσι γη σέ 4 χ 4 = 16 κομμάτια (τετράγωνα στό Σχ. 9-1) καί νά βάλουμε κάθε λίπασμα από τά Β, C. D σέ τέσσερα τυχαία κομμάτια. Μέ αύτό τόν τρόπο της πλήρους τυχαιότητας στήν
κατανομή τών λιπασμάτων ελπίζουμε νά ελαχιστοποιήσουμε τήν επίδραση αλλων παραγόντων, δπως διαφορά στή σύσταση τού χώματος, κτλ.
Di ι
Α
clc
B!DIBIA D! C BID ΑΙΒ C!A
Ι
C
II
Α
Ι
BIA,D B!Dlc
ΠΙ
Β
lΓ
ΑΙ
CID , ι
Α
Dl cj Ε Τυχαία
Λατινικά
Διάταξη
Τετράγωνα
Σχ.
9-2
!
ι
Πλήρης
9-1
D δ r C"
Α δ ί Πα) CY D;;
Τυχαιότητα
Σχ.
i
ΒΥ ! Α β !
Σχ.
9-3
D" \
C δ : Β β Α.,
CIJ
D,
]
!
Αα
i Βό
Έλληνo-Λατινιιcά Τετράγωνα
Σι.
9-4
316 2.
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛ ΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Τυ-χαία διάταξη.
'Όταν είναι άπαραίτητο νά εχουμε μιά πλήρη σειρά άποτελεσμάτων γιά κάθε
«τιμψ> ενός άπό τούς παράγοντες, δπως στό Παράδ.
Β,
C, D 9-2).
9.2
γιά κάθε λίπασμα, τοποθετούμε τά
άπό μιά φορά τό καθένα σέ κάθε γραμμή τετραγώνων
(Σχ.
!Ι
/,
Η, Η/,
/V
Α.
σέ τυχαία σειρά
Αύτός ό τρόπος καλείται τυχαία διάταςη καί χρησιμοποιείται, δταν θέλουμε νά περιο
ρίσουμε μιά πηγή σφαλμάτων (έδώ τίς διαφορές μεταξύ γραμμών) καί τίς μεταβολές πού είσά γουν αύτές οί διαφορές.
3.
Λατινικά τετράγωνα.
Μερικές φορές θέλουμε νά περιορίσουμε δύο πηγές σφαλμάτων συγχρό
νως/ δπως Π.χ. τίς διαφορές μεταξύ γραμμών καί στηλών.
9.1
'Έτσι Π.χ. στό πείραμα τού Παραδ.
τά σφάλματα στίς διάφορες γραμμές καί στήλες μπορεί νά οφείλονται σέ διαφορετική
σύσταση του έδάφους.
Σέ μιά τέτοια περίπτωση κάθε λίπασμα πρέπει νά εμφανίζεται μιά φορά
σέ κάθε γραμμή καί μιά φορά σέ κάθε στήλη, δπως στό Σχ.
9-3.
Μιά τέτοια τοποθέτηση
καλείται λατινικό τετράγωνο, επειδή γιά τήν παράστασή της χρησιμοποιουνται συνήθως λατι νικά γράμματα.
4.
Έλληνο-λατινικά τετράγωνα.
'Εάν θέλουμε νά περιορίσουμε τρείς πηγές σφαλμάτων, χρησι
μοποιουμε ενα έλληνο-λατινικό τετράγωνο, δπως αύτό του Σχ.
9-4.
'Ένα τέτοιο τετράγωνο προ
κύπτει ούσιαστικά άπό ύπέρθεση δύο λατινικών τετραγώνων, ενα μέ λατινικά γράμματα
C, D
καί ενα άλλο μέ ελληνικά γράμματα α, β, γ, δ.
ζεται μιά φορά σέ κάθε γραμμή καί μιά φορά σέ κάθε στήλη. μέ τά ελληνικά γράμματα.
Α, Β,
Κάθε λατινικό γράμμα πρέπει νά εμφανί Τό 'ίδιο πρέπει νά συμβαίνει καί
'Επί πλέον κάθε λατινικό γράμμα πρέπει νά εμφανίζεται μιά μόνο
μιά φορά μέ κάθε ελληνικό γράμμα.
'Ένα τετράγωνο πού εχει αύτή τήν ίδιότητα καλείται
όρθογώνιο.
Λυμένα Προβλήματα
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ
9.1.
Δείξτε δτι
Σ (ΧΥΙ' - i'j)2 ~k
+
Σ (Xi, - ;t)2 hk
Τετραγωνίζοντας και άθροίζο\'τας. ώς πρόςj καί
Γιά νά πάρουμε τή (ητοίφενη σχέση πρέπει νά δείξουμε δτι τό τελευταίο ι'iθρoισμα είναι μηδέν.
k
βρίσκουμε
Πραγματικά
εχουμε
έπειδή
Xj,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -_ _2.&_ _ _2 "
> Κ Ε Φ.
9.2.
'Επαληθεϋστε τίς σχέσεις (α) Τ
Τ
(α)
(b) (c)
317
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
9
= αbx,
(b) Τ ί .
~
=
=
=
Tj.
Έπειδή
Xjk
},k
= bX
(c) Στ. = αbx, ; }.
j
αb(α\ ~
},k
(βλέπε σελ. 307).
αbx
Xjk)
~ ΧίΙc
bXj.
k
~Xjk Ι:χουμε
Tj.
k
~
=
Tj
;'
άπό τό
9.3.
~ ~ ;
XjI,
τ
-
k
αbx
(α).
'Επαληθεϋστε τίς σχέσεις
της σελ.
(10)-(12)
307.
Έχουμε
v
-
~ ΧΙι, j,k
~
abx 2
- abx 2
~ Χ?" ;,k }
},k
+
2x(αbx)
τ2
2
ab
Xjk -
δπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση πού δείχτηκε aτό Πρόβλ. 9.2Ιa).
=
~ (χ. - χ)2
j,k
}.
~ xf -
;,k
;,k
}.
+
b
j,k
α
1
b
~
-
~ τ2 -
b2 j=1 k=1 j.
1
α
~ τ2
-
;=1
;.
1 α ~ τ2 b ;=1 j.
-
abx 2
b
2Χ
-b (abx)
9.4.
Στόν Πίν.
(12) προκύπτει άπό τήν
9-7
V
= Vb + V'"
+
αbx 2
αbx 2 τ2
αb
δπου χρησιμοποιήσαμε τίς σχέσεις πού δείχτηκαν στό Πρόβλ. Τελικά ή
+ χ2 )
(Tj.)2 _ 2Χ ~ Tj. + αbx 2
~ ;,k
b
~ (χ? - 2χχΌ
;,k}'}'
2χ ~ χ.
].
-Ομοια
ή τήν
9.2
Vw
=V -
Vb'
δώδεκα όμοιων κομματιών γης, όπου βάλαμε τριών εΙδών λιπά σματα Α, Β ή
θε λίπασμα, βολή,
(d)
Πίν.
δίνεται ή άπόδοση σέ σιτάρι (μποϋσελ άνά στρέμμα)
C.
Ύπολογίστε (α) τή μέση άπόδοση γιά κά
(b),τή γενική μέση άπόδοση,
(c)
τήν όλική μετα
Α
48
49
50
49
Β
47
49
48
48
C
49
51
50
50
τή μεταβολή μεταξύ τών άποδόσεων τών λιπασμάτων
(δηλ. μεταξύ τών δειγμάτων) καί
(e)
τή μεταβολή μέσα στίς άπο
9-7
δόσεις τών λιπασμάτων (δηλ. μέσα στά δείγματα).
t.
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛγΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
318
Π(ν.
Γιά νά άπλοποιήσουμε τίς πράξεις άφαιροϋμε κάποιο κατάλληλο άριθμό, foτro τό 45, άπ' δλα τά δεδομένα (αύτό δέν άλλάζει τίς μεταβολές). Παίρνουμε fτσι τόν Πίν. 9-8.
(α) 'Η μέση τιμή γιά κάθε λίπασμα ε{ναι ή μέση τιμή κάθε γραμμής.
~ (3 + 4 + 5 + 4) _ Χ3.
=
Χ2.
4,
=
~ (2 + 4 + 3 + 3)
1
=
"4 (4 + 6 + 5 + 5)
=
9-8
3
4
5
4
2
4
3
3
4
6
5
5
Άπό τόν Πίν. 9-8
fχουμε
Χι.
9
= 3,
5
Προσθέτοντας 45 παίρνουμε τή μέση άπόδοση 4θ, 48 καί 50 (μποϋσελ άνά στρέμμα) γιά κάθε λίπασμα Α,
Β
καί
άντίστοιχα.
C
Χ
(b)
=
112 (3
+4
-Αρα ή γενική μέση τιμή ε{ναι 45 'Ολική μεταβολή
(c)
=
V
4
+ 4 + 5 + 4 + 2 + 4 + 3+ 3 + 4 + 6 + 5 + 5)
=
= 4!:!
μποϋσελ άνά στρέμμα.
:Σ (χ." - χ)2
j,"
J
+ (4 - 4)2 + (5 - 4)2 + (4 - 4)2 + (2 - 4)2 + (4 - 4)2 + (3 - 4)2 + (3 - 4)2 + (4 - 4)2 + (6 - 4)2 + (5 - 4)2 + (5 -
(3 - 4)2
=
14
b ~ (Xj. - χ)2
,
Μεταβολή μεταξύ των δειγμάτων
(d)
=
4[(4 - 4)2
Μεταβολή μέσα στά δείγματα = v". =
(e) "Αλλη μέθοδος.
V".
4)2
V -
+
(3 - 4)2
=
Vb
+
14 -
(5 - 4)2] 8
= 8
= 6
:Σ (χ." - χ.)2
ι,Κ)
}.
(3 - 4)2
+
+ (4 -
4)2 + (5 - 4)2 + (4 - 4)2 + (4 - 3)2 + (3 - 3)2 + (3 - 3)2 + (4 - 5)2 + (6 - 5)2 + (5 - 5)2 + (5 -
(2 -- 3)2
5)2
6
9.5.
Στό Πρόβλ. 9.4 ύπολογίστε μιά αμερόληπτη έκτίμηση της διασποράς σ2 τού πληθυσμού (α)
από τή μεταβολή μεταξύ των δειγμάτων, έάν ή μηδενική ύπόθεση, δτι σί μέσες τιμές είναι 'ίσες, είναι ορθή καί (b) από τή μεταβολή μέσα στά δείγματα.
82b =
(α)
S'~
(b)
9.6.
vb α-Ι
=
8 3 -
υ
ιο --
a(b -1)
1
=
4
6
2
3(4-1)
3
Μπορούμε στό Πρόβλ. 9.4 νά απορρίψουμε τή μηδενική ύπόθεση δτι οί μέσες τιμές είναι ίσες σέ έπίπεδο σημαντικότητας (α) 0.05 καί (b) 0.01 ; =6
Έχουμε
μέ α-Ι == 3 - 1
-=
(α) Μέ γι == 2 καί
2 καί α(ύ - 1)
== 3(4 - 1) == 9 βαθμούς έλευθερίας.
"2 = 9 εχουμε (Παράρτημα F) F. 95 =4.26. 'Επειδή ψουμε τή μηδενική ύπόθεση σέ έπίπεδο σημαντικότητας 0.05.
"[<'= 6 > F. 9S ' μποροϋμε νά άπορρί
'~ιι--------------.-...,..........,~,,-,,---
Κ Ε Φ.
9
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Μέ
(b)
νι
= 2
καί
"2
= 9
εχουμε
Έπειδή
F.!)!) = 8.02.
δενική ύπόθεση σέ έπίπεδο σημαντικότητας Ή άνάλυση διασποράς γιά τά Προβλ.
319
F = 6
< F. 99 ,δέν
δίνεται στόν Πίν.
9.4-9.6
Βαθμοί
F
Μέση Μεταβολή
Έλευθερίας
λ
a-l=2
= 8
9-9.
9-9
Μεταξύ Γραμμών
vb
μποροϋμε νά άπορρίψουμε τή μη
0.01.
Πίν. Μεταβολή
--=----=----:-- ----- - - - - -
8 = - = 4 2
82 b
.... 2
F =
8 b
"'2 8w
4 = 2/3
=6 Μέσα στίς Γραμμές Vw
=
ν-
= 14-8 =
9.7.
ab - 1
= 14
= (3)(4) -
(α)
μέ
έλευθερίας
1
9.4
χρησιμοποιώντας τούς τύπους
307.
'Έχουμε
~
i.k
= 9 + 16 + 25 + 16
X?k J
+ 4 + 16 + 9 + 9 + 16 + 36 + 25 + 25
= τ
'Επίσης
206
= 3+4+5+4 +2+4+3+3 +4+6+5+5
=
48
(48)2
206 (b)
(3)(4)
206 -
Έπίσης
=
1
-
b
~ j
'1'2
j.
Τι.
3+4+5+4
16
'1'2,
2+4+3+3
12
'1'3.
4+6+5+5
Τ
16+ 12 + 20
= 20 = 48
-
14
'1'2
ab (48)2 (3)(4)
(c)
192
Τά άθροίσματα τών στοιχείων τών γραμμών ε{ναι
Ίιι.
2,9
βαθμούς
=11
Συντομευστε τούς ύπολογισμούς του Προβλ. σελ.
.§ - ~ 9 - 3
6
'Ολική
V
"2 8w -
a(b - 1) = (3)(3) = 9
Vb
νι"
==
v -
ν"
= 14 - 8
200 - 192 (j
8
(10)-(12)
τής
320
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Τά δεδομένα καί τά άποτελέσματα μπορουν νά διαταχτουν δπως στόν Πίν.
Ι
,.
Τ.
~
J.
Α
3
4
5
4
16
256
Β
2
4
3
3
12
144
C
4
6
5
5
20
400
= 206
=
(2~6)2
11
τ = Στ.
Σ τ2
= 48
= 800
;
-
(~)~~
1
;
J.
=
J.
14
(48)2
4" (800) - (3)(4) = Τά άποτελέσματα αύτά ε{ναι ίδια μέ έκείνα του Προβλ.
8
Στή συνέχεια
9.4.
"
άνάλυση ε{ναι
Μιά έταιρεiα θέλει νά dγοράσει μιά νέα μηχανή καί fχει
9.8.
πέντε έκλογές, τίς
Α, Β,
C, D,
Ε.
ΠΙν.
Κάνει λοιπόν μιά δοκι
ίδια.
9-11
Α
68
72
75
42
53
των μηχανων.
Β
72
52
63
55
48
9-
C
60
82
65
77
75
Έλέγξτε τήν ύπόθεση δτι δέν ύπάρχει διαφορά μετα
D
48
61
57
64
50
Ε
64
65
70
68
53
Πέντε fμπειροι χειριστές έργάζονται ό κα Ή
παραγωγή τους (πλήθος προϊόντων) δίνεται στόν Πίν.
11.
ξύ των μηχανων σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.05
καί
(b) 0.01. Άφαιρώντας τό
60
άπό δλα τά δεδομένα παίρνουμε τόν Πίν.
άποτελέσματα των ύπολογισμων.
Πίν.
9-12,
δπου σημειώνονται καί τά ένδιΔμεσα
9-12
,.
T~
Τ.
8
12
15
-18
-7
10
Β
12
-8
3
-5
-2
Ο
Ο
C
Ο
22
6
17
15
60
3600
D
-12
1
-3
4
-10
-20
400
Ε
4
5
10
8
-7
20
400
70
4500
2356 -
11
_ Vb
1
5 (4500)
(70)2
(5)(4)
(70)2
-
'\
)
=
- (5)(4)
-{~::::;.~~~-
'.
1·
Α
~xjJc = 2356
.
"
μή γιά νά διαπιστωθεί αν ύπάρχει διαφορά στην dπόδοση θένας σ' δλες τίς μηχανές γιά ίσα χρονικά διαστήματα.
;"
9-10.
9-10
ΠΙν.
Σ;-Cjl< ;.1<
9
2356 - 245 __
900 - 245
=
100
2111
=
655
;
'.
'"'
Κ Ε Φ.
9
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Σχηματίζουμε τόν Πίν.
~2
a-l=4
v b = 655
a(b - 1)
Μέσα στά Δείγματα
= 1456
'Ολική
ab -1
= 2111
F
Μέση Μεταβολή
• Ελευθερίας
Μεταξύ Δειγμάτων
V
321
9-13
Βαθμοί
Μεταβολή
Vw
.J".
9-13. Πίν.
Γιά
. ;"
b
= 5(4) = 20
~2
= 655 = 163.75 4
Α2 _ 8 w -
F =~ 8w
= 2.25
1456 _ (5)(4) - 72.8
= 24
=
4,20 βαθμούς έλευθερίας !:χουμε F. 95 2.87. wApα δέν μπορούμε νά άπορρίψουμε 0.05. Συνεπώς δέν μπορούμε νά τήν άπορρίψουμε καί σέ έπίπεδο 0.01.
τή μηδενική ύπόθεση σέ
έπίπεδο
ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΝΙΣΟ ΠΛΗθΟΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ
9.9.
Στόν Πίν.
9-14 δίνονται
οί ζωές (σέ ώρες) λυχνι-
ων τηλεοράσεως άπό τρείς kταιρείες ~να δείγμα
Π(ν.
άπό κάθε έταιρεία μέ τρείς, πέντε καί τέσσερεις λυχνίες άντίστοιχα).
Χρησιμοποιώντας τή μα
κριά μέθοδο ύπολογισμοϋ έλέγξτε σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.05, (b) 0.01,
έάν ύπάρ
χει διαφορά στίς λυχνίες μεταξύ των έταιρειων. Άφαιρώντας τό
400
παίρνουμε τόν Πίν.
Δείγμα
1
7
11
9
Δείγμα
2
4
6
8
5
Δείγμα
3
10
8
6
8
V
Vb
V'"
411
409
Δείγμα
2
404
406
408
405
Δείγμα
3
410
408
406
408
(7- 9)2
=
27
9
25
5
32
8
84 12
--
7
Στή συνέχεια !:χουμε
J
+
72
J.
καί άπ' εύθείας, έπειδή εΙναι ίσο μέ
+ (9 - 9)2 + (4 - 5)2 + (6 - 5)2 + (8 - 5)2 + (5 5)2 + (10 - 8)2 + (8 - 8)2 + (6 - 8)2 + (8 - 8)2
(11 - 9)2
+ (2 -
402
Μέση Τιμή
Αθροισμα
= ~(X'k-X)2 = (7 - 7)2 + (11 - 7)2 + ... + (8 - 7)2 Ι." ) = I.k ~ (χ. -χ)2 = ~ n·(x. - χ)2 J. ; 3(9 = - 7)2 + 5(7 - 5)2 + 4(8 - 7)2 = 36 = V - υι. = 72 - 36 = 36
Μπορούμε νά ύπολογίσουμε τό 11'",
-'
407
2
Γενική Μέση Τιμή
τιμές τών δειγμάτων καί ή γενική μέση τιμή.
1
9-15 W
=
Δείγμα
δπου σημειώνονται καί τά άθροίσματα τών γραμμών, οΙ μέσες
9-15,
Πίν.
Χ
9-14
5)2
~.Ι________________~~•.•_~.-~-.......................
322
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛ ΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Ή άνάλυση της διασπορας δίνεται περιληπτικά στόν Πίν.
Πίν.
Έλευθερίας
= 36
v/)
= 362 --
8/)
18
"'2 8
b _
u:
18
- 4"
~~
= 4.5
= 36 =4 9
~2
n-a=9
F
Μέση Μεταβολή
.... 2
α-1=2
= 36
v tv
9-16.
9-16
!
Βαθμοί
Μεταβολή
9
=
=
Γιά 2 καί 9 βαθμούς έλευθερίας εχουμε (Παράρτημα F) F. 9S 4.26, F. 99 8.02. -Αρα μποροϋμε νά άπορρί ψουμε τή μηδενική ύπόθεση (δτι οί μέσες ζωές των λυχνιων των τριων tταιρειων εΤναι ίσες) σέ έπίπεδο σημανηκότη
τας
9.10.
0.05,
όχι όμως καί σέ έπίπεδο
0.01.
Συντομεύστε τούς ύπολογισμούς τοϋ Προβλ.
(26)
τής σελ.
9.9
χρnσιμοποιώντας τούς τύπους
(24), (25)
καί
310.
'Από τόν Πίν.
1Ιι
9-15
εχουμε
= 3,
n2
= 5,
n3
= 4,
n
= 12,
= 27,
Τι.
Τ2.
Άρα
~" ΧΊ, -,1"2
')
'I"~
τ2
~.2:._
Vb
j
nj
v -
vu;
72 + 112+
n
;,k)
π
=
Vb
Μετά προχωράμε δπως στό Πρόβλ.
(27)2 3
=
+
"
.
+ 62
= 25,
+
Τ3.
= 32,
82 _ (84)2 12
(25)2 + (32)2 _ (84)2 5 4 12
=
=
τ
= 84
72
36
36
9.9.
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΔΥΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ
9.11.
Στόν Πίν.
9-17
δίνεται ή συγκομιδή άνά στρέμμα σέ τέσσερεις διαδοχικές σπορές, όπου
χρησιμοποιήθηκαν τρία διαφορετικά λιπάσματα. πολογισμοϋ έλέγξτε σέ έπίπεδο σημαντικότητας
άπόδοση άνά στρέμμα
Χρησιμοποιώντας τή μακριά μέθοδο ύ
0.01,
έάν ύπάρχει σημαντική διαφορά στήν
(α) έξ αίτίας τών διαφορετικών λιπασμάτων,
(b)
έξ αίτίας τών διαφο
ρετικών καιρικών συνθηκών στίς τέσσερεις σπορές. Π(Υ. Σπορά Ι
9-17
Σπορά
Il
Σπορά ΙΙΙ
Σπορά ιν
Λίπασμα Α
4.5
6.4
7.2
6.7
Λίπασμα Β
8.8
7.8
9.6
7.0
Λίπασμα
5.9
6.8
5.7
5.2
C
'Υπολογίζουμε τά άθροίσματα τών γραμμών, τά άθροίσματα τών στηλών, τίς μέσες τιμές τών γραμμών καί των
στηλων καί τή γενική μέση τιμή (Πίν.
9-18) .
....-~~....~....ι-"~
5
t
"1
$
"
~------------------------~ Κ Ε Φ.
9
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Πίν.
Σπορά Ι
323
9-18
Σπορά ΠΙ Ι Σπορά ιν
Σπορά ΙΙ
Ι· Αθροίσματα
Γραμμών
6.7
24.8
6.2
7.0
33.2
8.3
5.2
23.6
5.9
Ι
,
1
Λίπασμα Α
4.5
6.4
Λίπασμα Β
8.8
7.8
9.6
Λίπασμα
5.9
6.8
5.7
19.2
21.0
22.5
18.9
6.4
7.0
7.5
6.3
C
•Αθροίσματα Στηλών
Μέσες Τιμές Στηλών
7.2
Ι Ι
1
Μέσες Τιμές
Γραμμών
Γενικό
"Αθροισμα
= 81.6
Ι Γενική
Μέση Τιμή
= 6.8 ι
υτ
Vc
= Μεταβολή μέσων τιμών τών = 4[(6.2 - 6.8)2 + (8.3 - 6.8)2
γραμμών άπό γενική μέση τιμή
+ (5.9 -
6.8)2) = 13.68
=
Μεταβολή μέσων τιμών τών στηλών άπό γενική μέση τιμή
=
3[(6.4 - 6.8)2
+
(7.0 - 6.8)2
+
(7.5 - 6.8)2
+
(6.3 - 6.8)2]
2.82
Όλική μεταβολή
V
+ (6.4 - 6.8)2 + (7.2 - 6.8)2 + (6.7 - 6.8)2 + (8.8 - 6.8)2 + (7.8 - 6.8)2 + (9.6 - 6.8)2 + (7.0 - 6.8)2 + (5.9 - 6.8)2 + (6.8 - 6.8)2 + (5.7- 6.8)2 + (5.2 - 6.8)2
= (4.5 - 6.8)2
23.08 Ve
=
Τυχαία μεταβολή
=
V -
Vr -
Vc
= 6.58
Τά άποτελέσματα αύτά μας δίνουν γιά τήν άνάλυση τής διασπορας τόν Πίν. Πίν.
9-19
Μέση Μεταβολή Ι
Βαθμοί
Μεταβολή
Έλευθερίας
9-19.
F
,
"8;
3
"8~ = 0.94
= 6.58
6
8'; := 1.097
= 23.08
11
= 13.68
Vc
= 2.82
Ve
V
Ι
F = 'B;/8'~
= 6.84
2
'ΙΙ τ
β.ε.
Ι
= 6.24
2,6
F = 'Βμ8'; = 0.86 β.ε.
3,6
Σέ έπίπεδο σημαντικότητας 0.05 μέ 2, G βαθμούς έλευθερίας εχουμε F. 95 = 5.14. Έπειδή μποροϋμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση δτι οΙ μέσες τιμές τών γραμμών εΙναι ίσες. "Αρα σέ έπίπεδο
6.24> 5.14, 0.05
ύπάρχει
σημαντική διαφορά .στήν άπόδοση έξ αΙτίας τών λιπασμάτων. Έπειδή ή τιμή της
1•
/<'
πού όφείλεται 'οέ διαφορές μεταξύ τών μέσων τιμών τών στηλών ε{ναι μικρότερη άπό
μποροϋμε νά συμπεράνουμε δτι δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά στήν άπόδοση στίς τέσσεΡεις σπορές έξ αί
τίας τών διαφορετικών καιρικών συνθηκών.
L
324 9.12.
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Συντομεϋστε τούς ύπολογισμούς του Προβλ. Άπό τόν Πίν
9
9.11.
εχουμε
9-18
.~ X~k
+
=
(4.5)2 24.8
~ T~
J.
= =
(24.8)2
+
~ τ2
=
(19.2)2
+
j, k
]
Τ
.k
"Αρα
=
V
~
+
b
=
(33.2)2
+
(23.6)2
(21.0)2
+
(22.5)2
2
1:. ~ τ 2
Vr
=
ab
;.
_
V -
Vr -
= +
577.96 -
=
~ (2274.24)
i
αb
.k
Vc
=
πού εΙναι τά ίδια μέ τά άποτελέσματα τού Προβλ.
2274.24
-
=
(18.9)2
554.88
(1673.10) -
23.08 -
577.96
81.6
=
τ2
1 -~T2 α
τ2
αb
=
(5.2)2
23.6
+
33.2
2 -τ X'k
j,k]
+ '" +
(6.4)2
=
23.08
=
554.88
554.88
13.68 -
1673.10
13.68
=
2.82
2.82
6.58
9.1 Ι.
ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ ΜΕ ΔΥΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
9.13.
'Ένας έργοστασιάρχης θέλει νά έλέγξει τήν παραγωγή τεσσάρων μηχανων Α, Β,
C, D.
Γιά τό
σκοπό αύτό καταγράφει τό πλήθος των έλαττωματικων προϊόντων των τεσσάρων μηχανων κατά τή διάρκεια πέντε έργάσιμων ήμερων γιά τίς δύο βάρδιες.
γραφής δίνονται στόν Πίν. χει διαφορά
Τά άποτελέσματα τής κατα
Έλέγξτε σέ έπίπεδο σημαντικότητας
9-20.
(α) στήν παραγωγή των μηχανων καί
Πίν.
(b)
0.05,
έάν ύπάρ
στήν παραγωγή άπό τίς δύο βάρδιες.
9-20 ΔΕΥΤΕΡΗ ΒΑΡΔΙΑ
ΠΡΟΤΗ ΒΑΡΔΙΑ Δευτ.
Τρίτη
Τετάρ.
Πέμπτη
Παρασκ.
Δευτ.
Τρίτη
Τετάρ.
Πέμπτη
Παρασκ.
Α
6
4
5
5
4
5
7
4
6
8
Β
10
8
7
7
9
7
9
12
8
8
c
7
5
6
5
9
9
7
5
4
6
D
8
4
6
5
5
5
7
9
7
10
Τά δεδομένα μπορούν νά δοθούν καί όπως στόν Πίν. Βάρδια.
9-21,
όπου άναφέρονται καί οΙ δύο παράγοντες Μηχανή \(αί
"Ας σημειωθεί ότι γιά κάθε μη-χανή ε-χουμε δύο βάρδιες.
Οί μετρήσεις άπό τίς διάφορες ήμέρες μπορουν
νά θεωρηθούν σάν έπαναλήψεις τής έργασίας κάθε μηχανής γιά τίς δύο βάρδιες.
ι
J
r-JII--------------_ Κ Ε Φ.
9
ΑΝΑΛ ΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Πίν. ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ Ι
ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ιι
Μηχανή
Βάρδια
325
9-21 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ Τρίτη
Δευτ.
Τετάρ.
Παρασ.
Πέμπτη
'Αθροίσματα
Α
{;
6 5
4 7
5 4
5 6
4 8
24 30
Β
{~
10 7
8 9
7 12
7 8
9 8
41 44
C
{;
7 9
5 7
6 5
5 4
9 6
32 31
'D
{;
8 5
4 7
6 9
5 7
5 10
28 38
57
51
54
47
59
268
=
1946 - 1795.6
'Αθροίσματα
Ή όλική μεταβολή γιά δλα τά δεδομένα του Πίν. V
=
62
εlναι
9-21
+ 42 + 52 + ... + 72 + 102 -
(268)2 40
= 150.4
Γιά νά έξετάσουμε τούς δύο παράγοντες Μηχανή καί Βάρδια, περιορίζουμε τήν προσοχή μας στά άθροίσματα τών έπαναλήψεων, πού άντιστοιχοϋν σέ κάθε συνδυασμό τών «τιμών» τών δύο παραγόντων. ται στόν Πίν.
Τά άθροίσματα αύτά δίνον
πού εlναι lνας πίνακας μέ δύο παράγοντες άλλά χωρίς έπανάληψη.
9-22,
Πίν. Πρώτη Βάρδια
9-22
Δεύτερη
ΒάΡδια
•Αθροίσματα
Α
24
30
54
Β
41
44
85
C
32
31
63
D
28
38
66
'Αθροίσματα
125
143
268
Ή όλιΙCΉ μεταβολή γιά τόν Πίν.
=
9-22,
πού συχνά την καλουμε μερική μεταβολή
v.,
εlναι
1861.2 - 1795.6 = 66.6
Ή μεταβολή μεταξύ τών γραμμών εΙναι
v,.
+ (85)2 + (63)2 + (66)2 _
__ (54)2 10
10
10
10
(268)2 __ 18466 1795.L> 40 . '"
= 51.Ο
Ή μεταβολή μεταξύ τών στηλών εΙναι
Vc
-
-
(125)2 + (143)2 (268)2 = 20 20-4()
1803.7 _ 1795.6 = 8.1
'Εάν dφαιρέσουμε άπό τή μερική μεταβολή V. τό άθροισμα τών μεταβολών μεταξύ τών γραμμών καί τών στηλών (V,.
+ V C),
παίρνουμε τή μεταβολή, πού 6φείλεται στίς dλληλεπιδpάσειl; μεταξύ γραμμών καί στηλών,
νί
22
= V. -
V,. -
Vc
= 65.6 -
51.0 - 8.1
=
6.5
326
Κ Ε Φ.
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
9
Τελt1cά, ή ύπόλοιπη μεταβολή, πού μπορεί νά θεωρηθεί σάν τυχαία τι όφειλόμενη σέ σφάλματα (δεχόμαστε δτι οΙ διάφορες ήμέρες δέ δημΙΟ\>ρ'Υοϋν διαφορές στήν παραγω-Υή), βρίσ1Cεται, άν άφαιρέσουμε τή μερι!Cή μεταβολή (δηλ. τό άθροισμα των μεταβολων μεταξύ των γραμμων, των στηλων
v.
1Cai
των άλληλεπιδράσεων) άπό την δλΙ1Cή μεταβολή
"Έτσι Ι:χουμε
ΟΙ μεταβολές αύτές περιλαμβάνονται στόν Πίν.
9-23, δπου δίνεται περιληΠΤΙ1Cά ή άνάλUΣΗ τής διασπoρiiς. Στόν 1Cai οΙ βαθμοί έλεUΘερίας γιά 1Cάθε μεταβολή. 'Επειδή δ Πίν. 9-22 Εχει 4 γραμμές, ή μεταβολή μεταξύ τών γραμμων Ι:χει 4 - 1 = 3 βαθμούς έλεUΘερίας, ένώ ή μεταβολή μεταξύ των στηλών Εχει 2 - 1 1 βαθμό έλεUΘερίας. Ό Πίν. 9-22 fχει 8 στοιχεία, άρα 8 - 1 7 βαθμούς έλεUΘερίας συνολΙ1Cά. Άπό αύτούς 3 όφείλονται στίς γραμμές, 1 στίς στηλες m{ άρα 7 - (3 + 1) = 3 στίς άλληλεπιδράσεις. 'Επειδή δ Πίν. 9-21 Ι:χει 40 στοιχεία, Ι:χει 40 - 1 = 39 βαθμούς έλευθερίας συνολΙ1Cά. Συνεπώς ή τυχαία τι ύπόλοιπη μεταβολή Εχει 39 - 7 = 32 βαθμούς έλεUΘερίας.
ίδιο πίνα1Cα δίνονται
=
=
Πίν. Βαθμοί
Μεταβολή
'Ελευθερίας
Γραμμές (Μηχανές)
= 51.0
V,.
Στήλες (Βάρδιες)
= 8.1
Vc
Άλληλεπιδράσεων
17;
9-23
:,
.... 2 8,.
-- 17.0
17.0 -2.65
--
1
.... 2 8 c
= 8.1
R
= 3.06
"'2 8.
3
= 6.5
F
Μέση Μεταβολή
2.65
•
= 2.167
~;
= 2.65
6.42
2.167 .-. - 0.817 2.65
Mερι!Cή
118
Τυχαία τι Ve
7
= 65.6 Ύπόλοιπη
32
= 84.8
ΌλΙ1Cή
39
= 150.4
V
Τό έπόμενο βήμα εΙναι νά βροϋμε έάν ύπάρχει σημαντι!Cή άλληλεπίδραση μεταξύ των βασΙ1Cων παραγόντων (δηλ. τών γραμμών
Ι:χουμε
1Cai
F = 0.817.
των στηλών τοϋ Πίν.
9-22).
Άπό τόν Πίν.
σημαντι!Cή, δηλ. δέν μποροϋμε νά dπορρίψουμε τήν ύπόθεση ε{ναι
6.42.
'Επειδή
9-23
βλέπουμε δτι Ύιά τήν άλληλεπίδραση
Eu1COλo συμπεραίνουμε δτι σέ έπίπεδο σημαντΙ1Cότητας
F. 95 = 2.90
Ύιά
3, 32
δηλ. δτι οΙ γραμμές Ι:χουν ίσες μέσες τιμές.
0.05
Ηό3 ) της σελ. 315.
ή άλληλεπίδραση δέν εΙναι
Ή τιμή τής
F Υιά τΙς γραμμές
βαθμούς έλευθερίας, μποροϋμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση
Αύτό σημαίνει δτι σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.05
H ,
οΙ μηχανές Εχουν
διαφορές στήν παραγωγή τους.
Γιά
1, 32
βαθμούς έλευθερίας Ι:χοψε
F. 95 = 4.15.
'Επειδή ή
F
γιά τΙς στήλες εΙναι
με νά dπορρίψουμε τήν ύπόθεση Ηό2 ) ότι οΙ στηλες Ι!χουν ίσες μέσες τιμές.
0.05
3.06, δέν μποροϋ
Αύτό σημαίνει δτι σέ έπίπεδο
δέν ύπάΡχει σημαντική διαφορά στήν dπόδοση άπό τίς δύο βάρδιες.
--ί ι
Ι
'Εάν dναλύσουμε τά dποτελέσματα, όπως συνιστοϋν μερικοί στατιστικολόγοι (σελ.
βολή άλληλεπιδράσεων μέ τήν τυχαία μεταβολή, βρίσκουμε άντίστοιχους βαθμούς έλευθερίας 1Cαί άρα στόν παρονομαστή
tnc F
στόν Πίν.
9-23
91.3/35
=-
2.61.
315), "tνώνοντας» τή μετα 17; + 17,. = 6.5 + 84.8 = 91.3 μέ 3 + 32 = 35 Χρησιμοποιώντας την τιμή αύτή άντί γιά τήν 2.65
φθάνουμε στά ίδια συμπεράσματα μέ τήν προηΎούμενη μέθοδο.
--ι
μ
Κ Ε Φ.
9.14.
9
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
9.13
σέ έπίπεδο σημαντικότητας
327 0.01.
Ούτε στό έπίπεδο αύτό εΙναι σημαντική ή άλληλεπίδραση.
Έπειδή F. 99 = 4.47 γιά 3, 32 βαθμούς έλευθερίας καί έπειδή ή F γιά τίς γραμμές εΙναι 6.42, μποροϋμε νά συμπεράνουμε δτι άκόμα καί σέ έπίπεδο 0.01 οί μηχανές παρουσιάζουν διαφορές στήν παραγωγή τους. Έπειδή
F.!!!!
= 7.51
γιά
συμπεράνουμε δτι σέ έπίπεδο
1, 32 βαθμούς έλευθερίας καί έπειδή ή F γιά τίς στήλες εΙναι 3.06, μποροϋμε 0.01 δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά στήν άπόδοση στίς δύο βάρδιες.
νά
ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
9.15.
'Ένας γεωργός θέλει νά έξετάσει τήν έπίδραση τεσ σάρων διαφορετικών λιπασμάτων πόδοση τού κτήματός του.
Α, Β,
Πίν.
στήν ά
C, D
Α
Γιά νά έξαλείψει τά σφάλ
ματα άπό διαφορές στή γονιμότητα τού έδάφους, χω ρίζει τό κτήμα σέ κομμάτια καί βάζει λίπασμα σύμ φωνα μέ τό λατινικό τετράγωνο τοϋ Πίν.
Μετά τή
9-24.
9-24
C 21
18
D 25
Βl1
D 22
Β
12
Α
15
C 19
Β
Α
20
C 23
D 24
15
συγκομιδή σημειώνει σέ κάθε κομμάτι τήν άπόδοση τοϋ
κομματιού άνά μονάδα έμβαδοϋ.
Βρείτε μέ άνάλυση
D 21
C 22
Β
10
Α
17
διασπορας, έάν ύπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ τών λιπασμάτων σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.05
καί
(b) 0.01. Πίν.
18
C
21
D 22
Β
12
Β
Α 20 Ι
Α
C Άθροί σματα
15 22
D 21
77
74
9-25
D 25
Ι ,,
•Αθροίσματα ΒΙΙ
75
Α
15
C
19
68
C
23
D 24
82
Πίν.
Άθροί
Α
Β
C
D
70
48
85
92
10
Β
73
Α
17 71
!
295 Ι
Άθροίζουμε πρώτα τίς γραμμές καί τίς στήλες, όπως φαίνεται στόν Πίν. γιά τίς γραμμές καί τίς στήλες ύπολογίζονται εύκολα.
=
v
f
70
άθροίσματα τών άποδόσεωνγιά κάθε λίπασμα, όπως φαίνεται στόν Πίν.
'Ολική μεταβολή
295
σματα
:
:
9-26
(18)2 + (21)2 + (25)2 + ...
=
5769 - 5439.06
=
(75)2
VT
4
=
+ (10)2 + (17)2 _
(2::)2
329.94
+ (68)2 + (82)2 4
4
5468.25 - 5439.06 (77)2 + (74)2 4 4
Μεταβολή μεταξύ στηλών
'Υπολογίζουμε έπίσης τά
Έτσι εχουμε
=
Μεταβολή μεταξύ γραμμών
9-25.
Ή όλική μεταβολή καί οΙ μεταβολές
9-26.
+
+ (70)2 _ (295)2 4 16
=
29.19
(73)2 + (71)2 _ (295)2 4 4 16
5443.75 - 5439.06 = 4.69 Μεταβολή μεταξύ λιπασμάτων
νι
=
(70)2 (48)2 (85)2 (92)2 (295)2 -4-+ -4-+ -4-+ 4--""16 5723.25 - 5439.06
=
284.19
, i
Ι
XM.4S
328
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Ή άνάλυση τής διασποράς δίνεται στόν Πίν.
9-27. Π{Υ.
9-27
Βαθμοί
Μεταβολή
Έλευθερίας
Μέση Μεταβολή
F
Γραμμές, 29.Ι9
3
9.73
4.92
Στήλες,
3
Ι.563
0.79
Λιπάσματα, 284.Ι9
3
94.73
47.9
'Υπόλοιπη,
6
Ι.978
Όλική,
9
4.69
11.87
Ι5
329.94
=
(α)
Έπειδή F. 9S • 3 • 6 4.76, μποροϋμε σέ έπίπεδο σημαντικότητας 0.05 νά άπορρίψουμε τήν υπόθεση δτι οί μέσες τιμές τών γραμμών εΙναι ίσες. Συνεπώς σέ έπίπεδο 0.05 υπάρχει κάποια διαφορά στή γονιμότητα τοϋ έδάφους άπό μιά γραμμή στήν άλλη. Έπειδή ή τιμή της
γιά τίς στήλες ε{ναι μικρότερη άπό
F
Ι, συμπεραίνουμε δτι δέν υπάρχει διαφορά
στή γονιμότητα τοϋ έδάφους άπό τή μιά στήλη στήν άλλη.
Έπειδή ή τιμή τής
γιά λιπάσματα εΙναι
F
47.9 > 4.76,
μποροϋμε νά συμπεράνουμε δτι υπάρχει ση
μαντική διαφορά μεταξύ τών λιπασμάτων.
=
Έπειδή F. 99• 3 • 6 9.78, μποροϋμε νά δεχτοϋμε τήν υπόθεση δτι δέν υπάρχει διαφορά στή γονιμότητα τοϋ έδάφους μεταξύ τών γραμμών ή τών στηλών σέ tπίπεδο σημαντικότητας 0.01. Γιά τά λιπάσματα δμως συμπε
(b)
ραίνουμε πάλι δτι υπάρχει διαφορά σέ έπίπεδο Ο.ΟΙ.
ΕΛΛΗΝΟ - ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
9.16.
Θέλουμε νά βρούμε αν ύπάρχει διαφορά στήν άπόδοση (δηλ. στά χιλιόμετρα άνά λίτρο ή μίλια άνά γαλόνι) των βενζινων πού παράγουν τέσσερεις έταιρείες
Α, Β,
C, D.
Σχεδιάστε μιά
δοκιμή (πείραμα) μέ τέσσερεις διαφορετικούς όδηγούς, τέσσερα διαφορετικά αύτοκίνητα καί τέσσερεις διαφορετικούς δρόμους. Έπειδή qουμε τό ίδιο πλήθος (τέσσερα) βενζινών, δδηγών, αύτοκινή
των καί δρόμων, μποροϋμε νά χρησιμοποιήσουμε γωνο.
τέσσερις γραμμές τοϋ Πίν.
στήλες.
lva
Πίν.
έλληνο-λατινικό τετρά
Δεχόμαστε δτι τά τέσσερα αύτοκίνητα άντιπροσωπεύονται άπό τίς
9-28
ΟΔΗΓΟΙ
καί οί τέσσερις δδηγοί άπό τίς τέσσερις
Θέτουμε τυχαία τίς τέσσερις βενζίνες Α, Β,
C, D
στά μικρά τε
τράγωνα μέ μόνο περιορισμό κάθε γράμμα νά έμφανίζεται μιά καί μόνο φορά σέ κάθε γραμμή καί σέ κάθε στήλη.
'Έτσι κάθε δδηγός θά δδηγήσει δλα τά
1
αύτοκίνητα καί θά χρησιμοποιήσει όλες τίς βενζίνες χωρίς νά χρησιμο ποιηθεί δόο φορές μιά βενζίνη στό ίδιο αύτοκίνητο. Σέ κάθε μικρό τετράγωνο θέτουμε τυχαία
lva άπό τά γράμματα
σ, β, γ,
δ, πού παριστάνουν τούς δρόμους, μέ τόν ίδιο περιορισμό μέ τά λατινικά γράμματα καί έπί πλέον κάθε ζεϋγος γραμμάτων (f:νός λατινικοϋ καί f:νός
f:λληνικοϋ) νά ύπάρχει μόνο μιά φορά.
'Έτσι, δέν θά χρησιμοποιηθεί ή ίδια
9-28
4
1
2
3
4
ΒΥ
Αβ
Dδ
Ca
Αδ
Βα
Cy
Dβ
Da
Cδ
Ββ
ΑΥ
Cβ
Dy
Αα
Βδ
βενζίνη δύο φορές άπό τόν ίδιο δδηγό ή στό ίδιο αύτοκίνητο ή στόν ίδιο
δρόμο. Μέ τή μέθοδο αύτή μποροϋμε νά πάρουμε διάφορες διατάξεις, όπως αύτή τοϋ Πίν.
9.17.
9-28.
Τά άποτελέσματα τής δοκιμής τού Προ βλ.
9.16 δίνονται
στόν Πίν.
9-29
(σέ μίλια άνά γαλόνι).
Βρείτε μέ άνάλυση τής διασπορας, έάν ύπάρχει σημαντική διαφορά στίς βενζίνες σέ έπίπεδο σημαντικότητας
0.05.
ρ
Κ Ε Φ. !)
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
329
'Υπολογίζουμε πρώτα τά άθροίσματα τών γραμμών ιc:αί τών στηλών, δπως φαίνεται στόν Πίν.
Π(ν.
9-29
Π(ν.
9-30
Άθροί
ΟΔΗΓΟΙ
1
j! :Ζ::
Ζ
~
S
1 2
Β-γ λδ
2
σματα
4
3
λβ
16
15
Βα
18
Cy 11
21
Α-γ
16
15
Βδ
23.
19
υδ
16
Ca 14 -υ β 15
_.
3
υα
14
Cδ
11
Ββ
4
Cfj 16
υ-γ
16
Αα
9-30.
__ ._--
Β-γ
19
λβ
16
υδ
λδ
15
Βα
18
υα
14
Cδ
Cfj 16
υ-γ
Άθροί
64
σματα
C a 14
65
Cy 11
υβ
15
59
11
Ββ
21
λ-γ
16
62
16
λα
15
Βδ 23
70
63
68
256
61
16
Μετά παίρνουμε τά άθροίσματα γιά ιc:άθε λατινικό γράμμα ιc:αί γιά ιc:άθε έλληνιιc:ό γράμμα ώς f:ξής:
"Αθροισμα γιά τό
λ:
"Αθροισμα γιά τό
Β:
"Αθροισμα γιά τό
C:
"Αθροισμα γιά τό
D:
"Αθροισμα γιά τό ο
+ 16 + 15 + 16 1!) + 18 + 21 + 23 16 -1- 11 + 11 + 14 = 14 -1- 16 + 16 + 15 15
+ 18 + 15 + 14 16 + 16 + 21 + 15 19 + 16 + 11 + 16 15 + 11 + 16 + 23 =
:
14
"Αθροισμα γιά τό β: "Αθροισμα γιά τό
γ:
"Αθροισμα γιά τό
δ:
'Υπολογίζουμε τίς μεταβολές πού άντιστοιχοϋν στούς
τέσσερις
Γραμμές:
(65)2 4
+ (59)2 + t62)2 + (70)2
Στήλες:
(64)2 4
+ (61)2 + (63)2 + (68)2
Βενζίνες:
(62)2 4
+ (81)2 + (52)2 +
(61)2 4
+ (68)2 + (62)2 + (65)2
(A,B,C,D) Δρόμοι:
(α, β, γ, δ)
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
81 52 61 61 68 62 65
παράγοντες μέ τή σύντομη μέθοδο.
_ (256)2 16
=
4112.50 - 4096
=
16.50
4102.50 - 4096
=
6.50
=
4207.50 - 4096
=
111.50
=
4103.50 - 4096
_ (256)2 16
(61)2 _ (256)2 4 16
4
62
_ (256)2 16
7.50
Ή όλιιc:ή μεταβολή ε[ναι
(19)2
+ (16)2 + (16)2 + '., + (15)2 + (23)2 _
(256)2 16
=
4244 - 4096
=
148.00
"Αρα ή μεταβολή πού όφείλεται σέ σφάλματα ε[ναι
148.00 - 16.50 - 6.50 - 111.50 - 7.50
=
6.00
Τά άποτελέσματα γιά τήν άνάλυση τής διασπορας συνοψίζονται στόν Πίν.
t:χουμε συνoλιιc:ά 1ι 2 άπό
n -1
-1
βαθμούς έλευθερίας.
βαθμούς έλευθερίας.
χαία σφάλματα.
"Αρα μένουν
Στήν περίπτωσή μας 1t :=
4.
9-31.
Γιά Ινα τετράγωνο
π χ 1t
ΟΙ γραμμές, οΙ στήλες, τά λατινιιc:ά ιc:αί τά f:λληνικά γράμματα εχουν
n2
-
1-
4(π
-1)
= (π -
1)(π
- 3)
βαθμοί έλευθερίας γιά τά τυ
330
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Πίν.
9-31
Βαθμοί
Μεταβολή
F
Μέση Μεταβολή
'Ελευθερίας
Γραμμές (Αύτοκ.)
16.50
""
5.500
5.500 2.000
2.75
')
2.167
2.167 2.000
1.08
Στήλες ('Οδηγοί) .ι
6.50 Βενζίνες
(Α,Β ι
C,D),
9
=
')
37.167
37.167 2.000
18.6
:~
2.500
2.500 2.000
1.25
"
2.000
ύ
111.50 Δρόμοι
(α, β, γ,
8),
7.50 Τυχαία
.)
6.00 'Ολική
15
148.00
= 29.5.
Έχουμε F. 95 • 3.3 = 9.28 καί F.~9. 3.3 ζίνες εΙναι ίδιες σέ έπίπεδο σημαντικότητας
Συνεπώς μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση ότι οί βεν άλλά όχι καί σέ έπίπεδο
0.05.
0.01.
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9.18.
Δείξτε ότι
Σ
Cl'j
=
Ο, δηλ. τή σχέση (15) της σελ. 308.
Ή μέση τιμή τού πληθυσμού, άπ' όπου προέρχεται τό α
α
Σ μ.
;=1
J
=
α
+
~ μ
;=1
9.19.
Δείξτε (α)
(α) τήν έξίσωση
:Σ α·
;=1
(17), (b)
δείγμα, εΙναι μ;
α
αμ
=
J
= (~μί)/α.
όπου χρησιμοποιήσαμε τόν όρισμά μ
j
+
Συνεπώς
τήν έξίσωση
:Σ α·
;= 1 ~α;
(18)
J
=
=
μ
α
:Σ μ.
;= 1 ]
+ αί'
-Αρα
α
+
:Σ α·
;= 1
J
= Ο.
της σελ.
308.
Άρχίζοντας άπά τόν όρισμό εχουμε
Ί'w
α
b :Σ S? ;= 1 J όπου
SJ
εΙναι ή διασπορά τού j δείγματος, όπως όρίζεται άπό τή σχέση (15) τής σελ. 160.
τό μέγεθος τού δείγματος εΙναι
b,
εχουμε
.
Συνεπώς, έπειδή
α
b :Σ E(S?) ;=1
b
i
;=1
α(b όπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση
(16)
τής σελ.
-
'
(~σ2) b 1)σ 2
160.
7
μ:a
Κ Ε Φ.
9
(b)
ΑΝΑΛ ΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Άπό τόν όρισμό εχουμε
331
α
V
b
=
b ~ ;=1
=
b ~ X~
(Xj • -
Χ)2 α
α
;=1
2bX ~ X j . ;=1
J.
+
abX2
α
αbX 2
b ~ χ2 ;=1 J.
έπειδή Χ
(~Xj.)
=
/a.
Γιά τίς άναμενόμενες τιμές βρίσκουμε (παραλείπουμε τό δείκτη άθροίσεως)
(1) Γιά όποιαδήποτε όμως τυχαία μεταβλητή
U ε{ναι E(U2) = Yar (U) Var
(2)
(X j ) +
Var (Χ)
(3)
+ [E(U)]2.
"Αρα
[E(X j )]2
+
[Ε(Χ)]2
Έπειδή όλοι οΙ πληθυσμοί, άπ' όπου προέρχονται τά δείγματα, εΙναι κανονικοί μέ μέσες τιμές
σ 2,
διασπορά
εχουμε άπό τό Θεώρ.
Var
(5)
Var (Χ)
Στό Πρόβλ.
9-1
τής σελ.
σ2
=
ab
+
μ.
=
aj
μ.
καί τό άποτέλεσμα τοϋ Προβλ.
aσ2
Δείξτε τό Θεώρ.
b
μ.}
Ε(Χ)
(7)
9.20.
=
E(X j )
(6)
(2)-(7)
καί τήν ίδια
σ2
(Xj )
ω
Μέ· τίς προηγούμενες σχέσεις
Ilj
5-4 τής σελ. 158
+
b Σ (μ. + aj)2
=
(α - 1)σ 2
+
αb Il2
+
=
(α -1)σ2
+
b Σ α]
-
σ2
2bIl
9.18
-:-
αδμ.2
Σ α;
+
ή σχέση (Ι) δίνει
Σ aj -
abIl2
309.
9.19(u) δείξαμε ότι α
V w = b Σ S~ ;=1
'
όπου S~ εΙναι ή δειγματική διασπορά γιά δείγμα μεγέθους
b πού προέρχεται άπό τόν πληθυσμό
i.
Σύμφωνα μέ
τό Θεώρ. 5-6 τής σελ. 161 ή στατιστική συνάρτηση bSjla 2 εχει κατανομή χ 2 μέ b - 1 βαθμούς έλευθερίας. Έπειδή οί διασπορές SJ ε{ναι άνεξάρτητες, συμπεραίνουμε άπό τό Θεώρ. 4-4 (σελ. 116) δτι ή Υ",/σ 2 εχει κατανο μή χ 2 μέ
9.21.
α(b
Στό Πρόβλ.
- 1) βαθμούς έλευθερίας.
9.13
ύποθέσαμε ότι δέν ύπάρχουν σημαντικές διαφορές στίς έπαναλήψεις, δηλ. τίς
διάφορες ήμέρες τής εβδομάδας. σημαντικότητας
(α)
Μπορουμε νά ύποστηρίξουμε τήν ύπόθεση αύτή σέ έπίπεδο
0.05, (7)) 0.01 ;
Έάν ύπάρχει μεταβολή πού όφείλεται στίς έπαναλήψεις (στίς διάφορες ήμέρες), εχει πεj1ιληφθεί στήν τυχαία μεταβολή
v.
=
R4.8
στόν Πίν.
9-23.
Γιά νά βρούμε τη μεταβολή πού όφείλεται στίς έπαναλήψεις, χρησιμοποιοϋ
με τά άθροίσματα τών στηλών τοϋ Πίν.
9-21.
'Έτσι βρίσκουμε
332
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛ ΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
=
(57)2 8
+
(51)2 + (54)2 + (47)2 888
1807
=
1795.6
+
(59)2 8
(268)2 40
11.4
= 4.
'Επειδή εχουμε πέντε έπαναλήψεις, οί άντίστοιχοι βαθμοί έλευθερίας εΙναι
5- 1
(μετά τήν άφαίρεση τής μεταβολής πού όφείλεται στίς έπαναλήψεις) εΙναι ν~.
= 84.8 - 11.4 = 73.4.
πίνακας γιά τήν άνάλυση τής διασπορας εΙναι δ Πίν.
Βαθμοί
= 51.0
ντ
Μέση Μεταβολή
F
3
17.0
17.0 - 6.49 2.621
1
8.1
8.1 - 3.05 2.621
4
2.85
2.85 2.621
3
2.167
2.167 2.621
28
2.621
Στήλες (Βάρδιες)
= 8.1
νc
'Επαναλήψεις
(Πέντε Ήμερες)
= 11.4
ν επ
.Αλληλεπιδράσεις
= 6.5
νί
'Ο τελικός
9-32
'Ελευθερίας
Γραμμές (Μηχανές)
Ή ύπόλοιπη μεταβολή
9-32.
Πίν.
Μεταβολή
9
= 1.09 0.827
Τυχαία ή
ν:
'Υπόλοιπη
= 73.4
'Ολική
ν
39
= 150.4
=
,Από τόν προηγούμενο πίνακα βλέπουμε οτι ή F γιά τίς έπαναλήψεις εΙναι 1.09. 'Επειδή F. 95 2.71 Υιά 4, 28 βαθμούς έλευθερίας, μπορούμε νά συμπεράνουμε 6τι δέν ύπάρχει σημαντική μεταβολή σέ έπίπεδο σημαντι κότητας
0.05
τών ήμερών.
9.22.
(καί συνεπως τό ίδιο Ισχύει σέ έπίπεδο
0.01)
άπό τίς έπαναλήψεις, δηλ. δέν ύπάρχει διαφορά μεταξύ
Τά συμπεράσματα γιά τίς Μηχανές καί τίς Βάρδιες εΙναι ίδια μέ αύτά του Προβλ.
9. Ι 3.
Περιγράψτε τήν άνάλυση διασπορας στήν περίπτωση οπου τρείς παράγοντες έπηρεάζουν τά άποτελέσματα του πειράματος μέ ενα στοιχείο (τιμή) γιά κάθε συνδυασμό «τιμών» τών παρα γόντων.
Ποιός εΙναι γενικά ό πίνακας γιά τήν άνάλυση διασπορας;
Έστω 6τι Α Α α δ πρώτος,
,
Β
, C
εΙναι οί τρείς παράγοντες καί δτι μπορούν νά πάρουν άντίστοιχα τίς «τιμές» Α ι, ...•
Β ι •... , B b δ δεύτερος καί
C l , . . . , C c δ τρίτος. Ή τιμή άπό τά δεδομένα (άπό τό πείραμα) C l τών παραγόντων συμβολίζεται μέ Xjkl' Παρόμοιος εΙναι δ ύπόλοι πος συμβολισμός. Έτσι Π.χ. τό Xjk. παριστάνει τή μέση τιμή, δταν ό παράγοντας C μεταβάλλεται καί οΙ δύο άλλοι διατηρουν σταθερές τίς «τιμές» τους A j καί B k • Τό xj .. παριστάνει τή μέση τιμή, δταν οΙ Β καί C πού άντιστοιχεί στίς «τιμές»
μεταβάλλονται καί τό Α j
Aj, Bk
καί
παραμένει σταθερό, κτλ.
Ή όλική μεταβολή όρίζεται μέ τή σχέση
(1)
ν
=
~ (Χ'κι - χ)2
;,",Ι
]
καί μπορεί νά χωριστεί σέ έπτά μεταβολές, δπως φαίνεται στόν Πίν.
9-33.
Οί μεταβολές αύτές άντιστοιχουν στούς
τρείς παράγοντες, στίς άλληλεπιδράσεις τών παραγόντων άνά δύο καί τήν άλληλε.πίδραση μεταξύ δλων τών παραγόν των (τυχαία ή ύπόλοιπη μεταβολή). Μέ τίς μεταβολές αύτές ή (Ι) γράφεται
ν
=
νΑ
+ νΒ + νc + νΑΒ + νnc + vCA + vABC
Κ Ε Φ.
9
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
333
δπου
bc ~ (χ. - χ)2 J J..'
=- ca ~ (χ Ι, - χ)2, k .•
vB
Κ.Ι
VABC
=
=
Μεταβολή
~ (ΧίΚΙ - Xj1c. - Χμ- Χ.κι + Χί ..
ν Α (στόν παράγοντα
Α)
vB (στόν παράΒ)
γοντα
vc
(στόν παρά-
C)
γοντα
ν ΑΒ (μεταξύ τών
VBC
Α
Β)
καί
καί
VCA (μεταξύ τών
Α,
R
καί
C)
b-l
"2-~ 8 _
c - 1
"8 2 =vc --
Α
~2
(c-l)(a-l)
(α
b
= (α -
- l)(b - 1)(c - 1)
~2
1
- 1)(b - 1)(c - 1)
β.ε.
~J/~A2BC b - 1, (α - l)(b - 1)(c - 1)
β.ε.
sg/~~c c - 1,
(α
- l)(b - 1)(c -1)
l)(b - 1)
(α
- l)(b -1),
(α
-I)(b -I)(c - 1) β.ε.
"2/"2 8 BC 8 ABC
1JBC
(b - l)(c - 1),
(α
-1)(b - l)(c - 1) β.ε.
~gA/~~c
1JCA
(c -
β.ε.
~~/~~C
VAB
(b - l)(c -1)
=
CA
~l/~~c α-Ι, (α
c-l
C
ΑΒ
F
α-Ι
B
"2 8 BC -
C
ν ΑΒΙ· (μεταξύ τών
" νΑ 82=--
(b -1)(c -1)
Α)
καί
9-33
α-Ι
"2 8
C)
χ)2
Μέση Μεταβολή
(a-l)(b -1)
(μεταξύ τών Β
+ X.1c. + Χ .• Ι -
;.Κ.Ι
Έλευθερίας
Βαθμοί
+ χ)2
b ~ (Χμ - Χ .. ι - Χ ί .. ;. Ι
Π(ν.
ab ~ (2 .. ι - χ)2 Ι
+ χ)2
α ~ (Χ.ΚΙ - x.k - Χ •. Ι VCA
=
V(:
- 1)
l)(α
(c -
Ι)(α
-
Ι), (α
- l)(b -1)(c - 1) β.ε.
VABC
=
ΆΒC
(α
- l)(b -1)(c - 1)
ν
abc - 1
(όλική)
'Άλυτα Προβλήματα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ
9.23.
ΠΙν.
Ένα πείραμα fχει σκοπό νά προσδιοριστεί ή άπόδοση
σιταριοϋ Α, Β,
C, Q,
Ε.
5
διαφορετικών εΙδών
Κάθε εΙδος σιταριοϋ σπέρνεται σέ τέσσερα δμοια
κομμάτια γης διαλεγμένα τυχαία καί οΙ άποδόσεις της σποράς δίνονται σέ μποϋ σελ άνά στρέμμα στόν Πίν.
9-34.
Βρείτε αν ύπάρχει σημαντική διαφορά στίς
άποδόσεις γιά τά τέσσερα είδη τοϋ σιταριοϋ σέ έπίπεδο σημαντικότητας (α) (ιι)
0.05,
_.
_.
'"
0.01.
-
-
~
~-
_.~-
_..
"'-.""-
.~
~
-
...."'-
- . --
. -
9-34
Α
20
12
15
19
Β
17
14
12
15
..-
C
23
16
18
14
D
15
17
20
12
Ε
21
14
17
18
--
-
.
~-"
..
-
-........
334 9.24.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Μιά έταιρεία δοκιμάζει δοκιμάζεται άπό
Πίν.
9-35.
G
διαφορετικούς τύπους
4
Α, Β,
Κ Ε Φ.
έλαστικών τροχών γιά αύτοκίνητα.
C, D
9
Κάθε τύπος
όμοια αύτοκίνητα καί ή ζωή τών έλαστικών τροχών (σέ χιλιάδες χιλιόμετρα) σημειώνεται στόν
'Ελέγξτε σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.05, (b) 0.01,
έάν ύπάρχουν διαφορές μεταξύ τών τεσσά
ρων τύπων έλαστικών τροχών.
9.25.
Ένας δάσκαλος θέλει νά δοκιμάσει τρείς διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας Ι, ΙΙ, ΠΙ
Γιά τό σκοπό αύτό παίρ
νει τυχαία τρείς όμάδες μέ πέντε μαθητές στήν κάθε μιά καί έφαρμόζει στήν κάθε όμάδα μία άπό τίς τρείς μεθόδους. Μετά έξετάζει όλους τούς μαθητές σέ κοινά θέματα καί δίνει τούς βαθμούς τοϋ Πίν. μεθόδους διδασκαλίας σέ έπίπεδο σημαντικότητας Πίν.
Α f-_.-
33 .-
Β
f---
32
9-35
38
36
40
31
40
42
38
30
35 34
31
C
37
35
33
30
34
Πίν.
9-36
Μέθοδος Ι
75
62
71
58
73
Μέθοδος Π
81
85
68
92
90
73
79
60
75
81
f--.
-
----~
'Υπάρχει διαφορά στίς
9-36.
0.05, (b) 0.01;
(α)
Μέθοδος ΠΙ
~~~-
29
D
34
32
30
33
31
ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΝΙΣΟ ΠΛΗΘΟΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ
9.26.
Στόν Πίν.
9-37
δίνονται τά χιλιόμετρα άνά λίτρο πού εκαναν τέσσερεις δμοιες μοτοσυκλέτες μέ πέντε διαφορετικές
μάρκες βενζίνας. ~ Έλέγξτε σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.05,
(b)
0.01,
έάν ύπάρχει σημαντική διαφορά στίς
διάφορες μάρκες.
9.27.
Ένας φοιτητής πήρε σέ διάφορες έξετάσεις καί σέ διάφορα μαθήματα τούς βαθμούς πού δίνονται στόν Πίν. Έλέγξτε σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(α)
0.05
(b) 0.01,
καί
9-38.
έάν ύπάρχει σημαντική διαφορά στούς βαθμούς
μεταξύ τών διαφόρων μαθημάτων. Πίν.
9.28.
9-37
Μάρκα Α
12
15
14
Μάρκα Β
14
12
15
Μάρκα
C
11
12
10
14
Μάρκα
D
15
18
16
17
Μάρκα Ε
10
12
14
12
Δείξτε τίς σχέσεις
καί
(24), (25)
(26)
15
11
14
τής σελ.
310
Πίν.
9-38
Μαθηματικά
72
80
83
Φυσική
81
74
77
Χημεία
88
82
90
87
Άγγλικά
74
71
77
70
75
80
γιά τήν περίπτωση όπου τό πλήθος τών μετρήσεων δέν ε{ναι ϊδιο.
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ
9.29.
Δείξτε τή
σχέση
9.30.
Δείξτε τούς τύπους
9.31.
Τρείς χειριστές κατασκευάζουν ενα έξάρτημα αύτοκινήτου χρησιμοποιώντας τρείς μηχανές.
(30)
τής σελ.
(31 )-(34)
31 Ι.
τής σελ.
311
γιά συντόμευση τών ύπολογισμών.
γωγής τοϋ έργοστασίου θέλCΙ νά δεί, έάν ύπάρχει διαφορά νων.
(ιι) μεταξύ τών χειριστών καί
Ό μηχανικός παρα
(b) μεταξύ τών μηχα
Καταγράφει λοιπόν τό πλήθος τών έξαρτημάτων πού κατασκεύασε σέ μιά ήμέρα κάθε χειριστής χρησιμοποι
ώντας κάθε μηχανή.
'Έτσι προκύπτει ό Πίν.
9-39.
Ύπάρχει διαφορά σέ έπίπεδο σημαντικότητας
Πίν. Χειριστής
1
9-39 Χειριστής
2
Χειριστής
Μηχανή Α
23
27
24
Μηχανή Β
34
30
Μηχανή
28
25
.28 27
C
3
0.05;
--------------------------------------------Κ Ε Φ.
9
9.32.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
ΑΝΆΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
σέ έπίπεδο σημαντικότητας
9.31
335 Πίν.
0.01.
9-40
ΕΙΔΟΣ ΚΑΛΑΜΠΟΚΙΟΥ
9.33.
Σπέρνουμε τέσσερα διαφορετικά εΊδη καλαμποκιου σέ πέντε χωράφια, άφου χωρίσαμε κάθε χωράφι σέ τέσσερα κομμάτια.
καταγράφουμε στόν Πίν. σελ άνά στρέμμα.
9-40
Α
τήν άπόδοση κάθε κομματιου σέ μποϋ
"Ελέγξτε σέ έπίπεδο
κή διαφορά στίς άποδόσεις
Στή συγκομιδή
0.05,
θ Β
Μν ύπάρχει σημαντι
(α) των πέντε χωραφιων,
~ C
(b) των τεσ
~
σάρων εΙδων καλαμποκιου.
9.34.
9.35.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
σέ έπίπεδο σημαντικότητας
9.33
'Έστω δτι στό Πρόβλ.
9-24
9.37.
Στό Πρόβλ.
9.25
(α) των έλαστικων,
'Ελέγξτε σέ έπίπεδο
9.38.
(α) των μεθόδων διδασκαλίας,
D
11
Ε
16
0.05,
Πίν.
9-41
μαλλιων τους.
(b)
ύπάρχει
12 16 14
11
Σέ έπίπεδο
0.05
έλέγξτε έάν ύπάρχει σημαντική διαφορά
των σχολείων.
Π(ν.
100/.,
των άποφοίτων.
καμιά σημαντική
Σέ έπίπεδο
- 9-,11
Καστανοί
Ξανθοί
Μελαχρινοί
Ψηλοί
75
78
80
Μέτριοι
81
76
79
Κοντοί
73
75
77
Καταγράφουμε λοιπόν στόν
πόσοι φοιτητές μέ όρισμένα χαρακτηριστικά εΙ
ναι στό άνώτερο
14 11
Μν ύπάρχει σημαντική διαφορά
Θέλουμε νά δουμε Μν ύπάρχει κάποια διαφορά στούς βαθ των
10 12 15 12
0.01.
μούς των φοιτητων πού νά όφείλεται στό ύψος τους ή τό
χρωμα
15 19 18 16 17
εστω δτι μαθητές άπό ενα σχολείο πήραν τούς βαθμούς τής πρώτης στήλης, μαθητές άπό ενα {ίλλο
σχολείο πήραν τούς βαθμούς της δεύτερης στήλης, κοκ.
μεταξύ
12 15 14
ιν
(b) των αύτοκινήτων.
σέ έπίπεδο σημαντικότητας
9.35
ΠΙ
ή πρώτη μέτρηση τής ζωής κάθε τύπου έλαστικου γίνεται μέ ενα αύτοκίνητο όρισμένου
μεταξύ των διαφορων τύπων
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
11
0.01.
τύπου, ή δεύτερη μέ itva αύτοκίνητο {ίλλου τύπου, κοκ.
9.36.
Ι
0.05
διαφορά μεταξύ των διαφόρων
κατηγοριων;
9.39.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
9.38
0.01.
σέ έπίπεδο
ΠΕΙΡλΜΑΤΑ ΜΕ ΔΥΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
9.40.
'Έστω δτι στό πείραμα του Προ βλ.
9.23
Πίν.
χρησιμοποιήσαμε τέσσερα διαφορετικά
λιπάσματα πού άντιστοιχουγ στίς στήλες του Πίν.
9-34 καί δτι
λέγξτε σέ έπίπεδο σμάτων,
9.41.
9.42.
(b)
0.05
Α
16
18
20
23
Β
15
17
16
19
C
21
19
18
21
D
18
22
21
23
18
24
20
έπαναλαμβάνουμε
τό πείραμα σέ {ίλλη περιοχή, όπότε παίρνουμε τίς άποδόσεις του Πίν.
Μν ύπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ
9-42.
'Ε
(α) των λιπα
των περιοχων.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
9.40
σέ έπίπεδο σημαντικότητας
9-42
r - - ----
0.01.
17
Ε
Στόν Πίν
σέ δύο διαφορετικές
μηχανές Ι καί
σημαντικές διαφορές
μεταξύ
9-43 δίνεται ή παραγωγή (τεμάχια άνά ήμέρα) τεσσάρων διαφορετικων χειριστων 11 στίς διάφορες ήμέρες τής έβδομάδας. Βρείτε σέ έπίπεδο 0.05, έάν ύπάρχουν (α) των χειριστων, (b) των μηχανων.
.--
Πίν.
- Μηχανή
9-·13 Μηχανή
Ι
11
Δευτ.
Τρίτη
Τετάρ.
Πέμπτη
Παρασ.
Δευτ.
Τρίτη
Τετάρ.
Χειριστής Α
15
18
17
20
12
14
16
18
Χειριστής Β
12
16
14
18
11
11
15
12
17 1ι;
Χειριστής
C
14
17
18
16
13
12
14
16
14
11
Χειριστής
D
23
18
17
15
18
20
17
19
16
21
Πέμπτη Παρασ.
15 12
<Ι
336
9
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
9.43.
'Ένα όρθογώνιο χωράφι χωρίζεται σέ μικρότερα όρθογώνια (Πίν.
44)
καί, άφού προστεθεί σέ κάθε μικρό όρθογώνιο
σματα
Α, Β,
C, D,
σπέρνεται μέ καλαμπόκι.
fva
Πίν.
9-
άπό τά λιπά
'Από τίς άποδόσεις
πού σημειώνονται στόν Πίν.
9-44,
πάρχει σημαντική διαφορά
(α) μεταξύ τών λιπασμάτων,
ελέγξτε εάν σέ επίπεδο
0.01 (b)
ύ
στή
10
D 12
Β11
C 12
Β11
D 15
14
C 16
Α
Α
C
8
Α
14
γονιμότητα τού εδάφους παράλληλα πρός τήν κάθε πλευρά τού χωρα φιού.
9.44. 9.45.
9.43
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
-Εστω δτι στό Πρόβλ.
σέ επίπεδο
9.38
0.05.
σημειώνουμε καί τό μέρος
δπου κατάγεται κάθε φοιτητής, όπότε παίρνουμε τόν Πίν.
0.05
Ε, Μ ή
W
D 10
Β
Β
D 16
7
άπ'
Α
Πίν.
Σέ έπίπεδο
9-45.
9-44
C 12
9-45
Ε
75
W 78
Μ
Μ
81
Ε
76
W 79
W 73
Μ
75
Ε
βρείτε, έάν ύπάρχει σημαντική διαφορά στήν άπόδοση τών φοιτητών,
πού νά όφείλεται σέ διαφορές στό χρώμα τών μαλλιών, στό ύψος ή στήν
14
10
καταγωγή τους.
80
77
ΕΛΛΗΝΟ-ΛΑΤιΝΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
9.46.
Γιά νά βελτιώσουμε τήν τροφή πού δίνουμε στίς κότες
~νός όρνιθοτροφείου, προσθέτουμε στή βασική τροφή τους
4
διαφορετικές
ποσότητες
μιά χημική ούσία καί β, γ, δ
Α, Β,
άπό μιά άλλη χημική ούσία.
S4,
άπό
πού ε{ναι χωρισμένα πάλι σέ
C.,
8
Ββ
6
Αα
5
υδ
6
S~
Αδ
4
υα
3
Cβ
7
Βγ
3
s~
υβ
5
Αγ
6
Βδ
5
Ca 6
S.1
Βα
6
Cδ
10
υγ
10
α,
Μετά δίνουμε
τήν τροφή σέ κοτόπουλα τεσσάρων εΙδών
W;J, W 4
C, D
διαφορετικές ποσότητες
4
Sl' S2, S3,
4 όμάδες W l , Π'2,
άνάλογα μέ τά βάρη τους. Σ' ~να όρισμέ
νο χρονικό διάστημα παρατηρείται αύξηση τού βά ρους, πού καταγράφεται στόν Πίν.
0.05
βρείτε
μέ
άνάλυση
9-46.
διασποράς,
Σέ επίπεδο
Αβ
8
έάν δημιουρ
γούνται σημαντικές διαφορές άπό τούς διάφορους πα ράγοντες.
9.47.
Τέσσερις
C l , C z, C 3 , C 4
εταιρείες
ΤΖ , Τ 3 , Τ4 .
Τέσσερις χειριστές
διαφορετικές μηχανές.
47.
κατασκευάζουν (ή κάθε μία) Α, Β,
C, D
τέσσερις
διαφορετικούς τύπους καλωδίων ΤΙ,
μετράνε τήν άντοχή των καλωδίων χρησιμοποιώντας
τέσσερις
Τά άποτελέσματα των μετρήσεων δίνονται στό ~λληνo-λατινΙKό τετράγωνο τού Πίν.
Τί συμπεράσματα μπορείτε νά βγάλετε μέ άνάλυση διασποράς σέ επίπεδο σημαντικότητας Πίν.
9-47
C.,-
T~
Τ. ι
C' I
C" 193
υ~
D" 162
ΑΥ
183
B{J 145
Αβ
164
Βγ
Cδ
171
181
160
D., 198
Cμ
212
Βδ
207
Αα
Βα
Αι\
172
υβ
1G6
Cy 136
157
9-
0.05;
188
ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9.48.
Τά δεδομένα τού Πίν.
9-48
παριστάνουν ποσότητες σκουριάς, πού παρουσίασαν τρία κομμάτια σιδήρου πού ύπέ
στη σαν τρείς διαφορετικές κατεργασίες
0.05, (b) 0.01.
Πίν.
Α, Β η
C.
Ύπάρχει διαφορά μεταξύ των κατεργασιών σέ επίπεδο Πίν.
9-48
Α
3
5
4
4
Ψηλοί
Β
4
2
3
3
Κοντοί
C
6
4
5
5
Μέτριοι
_.
9-49
110
105
118
112
95
103
115
107
108
112
93
104
90
96
102
'. 01.
'1'1
~
(α)
>
Κ Ε Φ.
9.49.
9
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
337
Τά άποτελέσματα άπό ενα τέστ νοημοσύνης, πού δόθηκε σέ ψηλούς, κοντούς καί μέτριους φοιτητές, δίνονται στόν
Πίν.
9-49.
Σέ έπίπεδο
(α)
(b) 0.01 βρείτε, έάν ύπάρχει σημαντική διαφορά στή νοημοσύνη των φοιτητών,
0.05,
πού νά όφείλεται σέ διαφορές στό ϋψος.
9.50.
Δείξτε τίς έξισώσεις
(37)
καί
(38)
τής σελ.
3 Ι 2.
9.51.
Δείξτε τίς έξισώσεις
(39)
καί
(40)
τής σελ.
312.
9.52.
'Εξετάζουμε ένηλίκους πού ταξίδεψαν μιά φορά τουλάχιστον στό έξωτερικό καί άλλους πού δέν ταξίδεψαν, χωρισμέ νους σέ τρείς κατηγορίες άνάλογα μέ τό Δείκτη Νοημοσύνης τους (Δ.Ν.). 'Από τά άποτελέσματα τοϋ Πίν.
βρείτε, έάν ύπάρχει σέ έπίπεδο
0.05
Πίν.
9.53. 9.54.
Στόν Πίν.
9-50
Μεγάλος Δ.Ν.
Μέτριος Δ.Ν.
Ταξίδεψαν
90
81
Δέν Ταξίδεψαν
85
78
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
9.52
σέ έπίπεδο
Ι ::Ξ] Πίν.
0.01.
δόθηκε σέ φοιτητές άπό διάφορα μέρη καί μέ διαφορετικό
σημαντικότητας
9.56.
0.05;
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
9.54
σέ έπίπεδο
Μπορείτε νά βρείτε στό Πρόβλ.
9.42,
0.01.
έάν ύπάρχει σημαντική
Μέτριος
Μικρός
'Αττική
88
80
72
Θράκη
84
78
75
Κρήτη
86
82
70
80
75
79
Νησιά
.'Ιονίου
δας; Γιατί;
Ξέρουμε ότι στούς ύπολογισμούς άναλύσεως διασποράς μποροϋμε νά προσθέσουμε ή νά άφαιρέσουμε μιά σταθερή σέ κάθε τιμή χωρίς νά έπηρεάσουμε τά συμπεράσματα.
'Ισχύει τό 1διο, έάν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε κάθε
τιμή μέ μιά σταθερή;
Δικαιολογήστε τήν άπαντησή σας.
9.58.
Δείξτε τίς σχέσεις
καί
9.59.
Δείξτε τό Θεώρ.
9-3
τής σελ.
309.
9.60.
Δείξτε τό Θεώρ.
9-3
τής σελ.
309.
9.61.
(43)
(44)
τής σελ.
Έστω δτι τά άποτελέσματα τοϋ Πίν.
9-48
312.
στό Πρόβλ.
9.48 ίσχύουν γιά τό νότιο 9-52. Σέ έπίπεδο 0.05
άποτελέσματα γιά τό βόρειο τμήμα δίνονται στόν Πίν. νά όφείλονται
(α) στίς κατεργασίες, Πίν.
(b)
9-53.
στά λιπάσματα καί
ύπάρχουν σημαντικές διαφορές
Πίν.
9-52
9-53
5
4
6
3
Α
Β
3
4
2
3
Β
20
10
20
15
C
18
15
16
17
D
12
11
14
11
Ε
15
12
19
14
5
7
4
6
9.23
καί
17
14
18
12
9.40 σέ μιά τρίτη περιοχή καί παίρνουμε τά άποτεi.f.0.05, έάν ύπάρχει διαφορά πού νά όφείλεται (α,
'Εξετάστε σέ έπίπεδο σημαντικότητας
(b) στις περιοχές.
1:0':
στίς περιοχές;
Έστω δτι έπαναλαμβάνουμε τό πείραμα των Προβλ.
σματα τοϋ Πίν.
τμήμα τής χώρας, ένώ τά άντίσΤΟΙΖα
Α
C
9.62.
9-51
Μεγάλος
Τί συμπεράσματα βγάζετε σέ έπίπεδο
διαφορά στήν παραγωγή τών διαφόρων ήμερων τής έβδομά
9.57.
Χαμηλός Δ.Ν.
δίνονται τά άποτελέσματα σ' ~να τέστ πού
9-51
δείκτη νοημοσύνης.
9.55.
9-50
σημαντική διαφορά άπό τούς δύο παράγοντες.
338 9.63. 9.64.
Νά λυθεί τό Πρόβλ.
9.62 σέ έπίπεδο σημαντικότητας
Στό λατινικό τετράγωνο του Πίν. σποράς σέ έπίπεδο
9.65.
Κ Ε Φ.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
9-54
9
0.01.
δίνονται όρισμένα αποτελέσματα.
Τί συμπεράσματα δίνει ή ανάλυση δια
0.05;
Έπινοήστε ενα πείραμα πού μπορεί νά δώσει τά αποτελέσματα του Πίν. Πίν.
9-54.
9-54
ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ Ι
ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ
9.66.
Στό έλληνο-λατινικό τετράγωνο του Πίν. διασποράς σέ έπίπεδο
I1
Β
16
C 21
Α
Α
18
Β
23
C 14
C 15
Α
18
Β
15
12
9-55 δίνονται όρισμένα αποτελέσματα.
Τί συμπεραίνετε μέ ανάλυση
0.05; Πίν.
9-55
ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ Ι
ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ
ΑΥ
6
Bj3 12
Cδ
Βδ
3
Αα
D y 15
Cj3 14
8
4
υα
18
11
Dj3 15
C y 20
Βα
9
Αδ
5
C a 16
υδ
Αβ
17
ΒΥ
7
6
9.61
Έπινοήστε ενα πείραμα πού μπορεί νά δώσει τά αποτελέσματα του Πίν. 9-55.
9.68.
Περιγράψτε τήν ανάλυση διασποράς γιά πειράματα μέ τρείς παράγοντες καί έπαναλήψεις.
9.69.
Διατυπώστε καί λύστε ενα πρόβλημα στό όποίο νά έφαρμόζεται ή τεχνική του Προβλ.
9.10.
Έάν ατό Πρόβλ.
9.2\
βρήσκαμε δτι ύπάρχει σημαντική διαφορά στίς ήμέρες τής έβδομάδας, δηλ. στίς έπαναλήψεις,
θά έπηρέαζε κάτι τέτοιο τά συμπεράσματα του Προβλ.
9.11.
9.68.
'Αναμένετε νά βρείτε στήν πράξη ενα λατινικό τετράγωνο καιολογήστε τήν απάντησή σας.
9.13;
2
χ
Δικαιολογήστε τήν άπάντησή σας.
2;
'Ένα έλληνο-λατινικό τετράγωνο
3
χ
3;
Δι
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ
_ ..... b _ _ _ _.;.... - ..-..
_~-<"...,.--
.". •
!.
--
~_.
~
-
~
--~-
------~
,
Ι
-
ι
ι
-i ι
!
-- Ι ί
c
Παράρτημα Α
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ
Παρακάτω δίνουμε μερικά άθροίσματα καί σειρές πού συναντώνται συχνά στήν πράξη.
Γιά τίς
σειρές δίνεται καί ή περιοχή συγκλίσεως. m
1.
;~ j = 1
2.
Σ J'2
m
m(m+ 1)
+ 2 + 3 + ... + m =
2
=
12 + 22 + 32 + ... + m 2
m(m + 1)(2m + 1)
6
;=1
3.
χ2
χ3
2!
3!
4.
sinx
5.
cosx
6.
1 1- χ
7.
Ιη
(1-
χ3 χ5 χ7 χ--+---+
3!
Σ7f ;=0 J•
=
8.
e
9.
cos θ
7!
γιά κάθε χ
oc
(
~
. ..
-1 γ χ2Η 1 (2j+1)!
γιά κάθε χ
γιά κάθε χ
1
+ χ + χ + χ + ...
χ)
ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ iB
5!
χ;
00
1+χ+-+-+···
2
3
χ2
χ3
Ixl < 1
χ4
-χ-------
234
.. ,
=
00
χ;
-Σ-.;=1
J
-1
~ χ
<1
EULER
cos θ + ί sin θ,
e- iB sin θ
=
cos θ -
eiB
_
ί
sin θ
e- iB
2ί
Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Γ ΑΜΑ Ή
συνάρτηση
γάμα, πού συμβολίζεται μέ
r(n),
όρίζεται μέ τή σχέση
n>O 23
341
(1)
342
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
Α
Ή συνάρτηση γάμα ίκανοποιεί τήν άναδρομική σχέση
r(n + 1) όπου Γ(l)
= 1.
Χρησιμοποιώντας τήν
τήσεως γάμα σέ
rι
<
(2)
=
(2)
nr(n)
μπορουμε νά έπεκτείνουμε τό πεδίο όρισμου τής συναρ
Ο.
'Εάν 1Ι ε{ναι ενας θετικός άκέραιος, τότε
r(n Γι' αυτό τό λόγο ή
+ 1) =
(3)
n!
Γ(rι) καλείται μερικές φορές παραγοντική συνάρτηση.
Μιά άξιοσημείωτη ίδιό
τητα τής συναρτήσεως γάμα ε{ναι ή
r(p) Γ(l- ρ) = _._Π_ Sln Γιά
]J
=
~
ή
(4)
(4)
ρπ
δίνει
(5) Γιά μεγάλα η εχουμε τόν άσυμπτωτικό τύπο τού
Stirling (6)
όπου τό σύμβολο όταν
n
-):ΧJ.
-
δείχνει ότι ό λόγος τής δεξιίϊς πρός τήν άριστερή ποσότητα τείνει στή μονάδα,
Στήν είδική περίπτωση όπου τό 11 είναι ενας μεγάλος θετικός άκέραιος, μιά καλή
προσέγγιση του
1l!
δίνεται άπό τή σχέση
(7) Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΒΗΤΑ
Ή συν6.ρτηση βήτα, πού συμβολίζεται μέ Β(/η,1Ι), όρίζεται μέ τή σχέση
B(m,n)
=
ilum-l{l-u)n-ldU
rn>
Ο,
n>
Ο
(8)
Ή συνάρτηση βήτα καί ή συνάρτηση γάμα συνδέονται μέ τή σχέση
r(n) Β( rn,n ) -_ r(m) r(m+n)
(9)
ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Παρακάτω δίνονται μερικά όρισμένα όλοκληρώματα πού συναντώνται συχνά στή θεωρία πιθα νοτήτων καί τή στατιστική.
10.
11.
12.
13.
iiS
i'" i'" i'" i'"
e- ax' dx =
~~
α>Ο
r(m: 1) xme-- ax' dx =
e- ax' cos bx dx
e- ax cos bx dx
2α(m+1)/2
-1.J1 -e -b'I4a 2 α α
α2
+ b2
α>Ο,
m>-l
α>Ο
α>Ο
•
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
14.
i
oo
e- ΙΙZ Βίη bx dx
Α
343
b
α>Ο
α> ο, ρ> Ο
15.
α>Ο
1~- e(b -4αc)/4a
-
2
α
2
erfc ( -b- )
2va
δπου ή
erfc(u) =
1 - erf(u) =
1 - -2
i"
Vπo
α>Ο
e- X 2 dx
-2
5'" e-
Vπu
x2
dx
καλείται συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος.
('" COS
18.
Jo
19.
J
χ2
ωΧ dx = 2... e-αω 2α
(Π/2
j
h
o
α> Ο, ω> Ο
+ α2
sin 2m -
l
θ cos 2n -
l
θ
do
r(m) Γ(Π) 2r(m +n)
m>
Ο, π> Ο
&i"
.' Παράρτημα Β
Τεταγμένες Υ τής Τυπικής
Κανονικής Καμπύλης Ο
aτό Σημείο Ζ
Ζ
Ο
1
2
3
Ι
4
5
6
7
8
9
.3984 .3945 .3867 .3752 .3605
.3982 .3939 .3857 .3739 .3589
.3980 .3932 .3847 .3725 .3572
.3977 .3925 .3836 .3712 .3555
.3973 .3918 .3825 .36iJ7 .3538
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
.3989 .3970 .3910 .3814 .3683
.3989 .3965 .3902 .3802 .3668
.3989 .3961 .3894 .3790 .3653
.3988 .3956 .3885 .3778 .3637
.3986 .3951 .3876 .3765 .3621
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
.3521 .3332 .3123 .2897 .2661
.3503 .3312 .3101 .2874 .2637
.3485 .3292 .3079 .2850 .2613
.3467 .3271 .3056 .2827 .2589
.3448 .3251 .3034 .2803 .2565
.3429 .3230 .3011 .2780 .2541
.3410 .3209 .2989 .2756 .2516
.3391 .3187 .2966 .2732 .2492
.3372 .3166 .2943 .2709 .2468
.3352 .3144 .2920
1.0 1.1 1.2 1.3 ·1.4
.2420 .2179 .1942 .1714 .1497
.2396 .2155 .1919 .1691 .1476
.2371 .2131 .1895 .1669 .1456
.2347 .2107 .1872 .1647 .1435
.2323 .2083 .1849 .1626 .1415
.2299 .2059 .1826 .1604 .1394
.2275 .2036 .1804 .1582 .1374
.2251 .2012 .1781 .1561 .1354
.2227 .1989 .1758 .1539 .1334
.2203 .1965 .1736 .1518 .1315
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
.1295 .1109 .0940 .0790 .0656
.1276 .1092 .0925 .0775 .0644
.1257 .1074 .0909 .0761 .0632
.1238 .1057 .0893 .0748 .0620
.1219 .1040 .0878 .0734 .0608
.1200 .1023 .0863 .0721 .0596
.1182 .1006 .0848 .0707 .0584
.1163 .0989 .0833 .0694 .0573
.1145 .0973 .0818 .0681 .0562
.1127 .0957 .0804 .0669 .0551
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
.0540 .0440 .0355 .0283 .0224
.0529 .0431 .0347 .0277 .0219
.0519 .0422 .0339 .0270 .0213
.0508 .0413 .0332 .0264 .0208
.0498 .0404 .0325 .0258 .0203
.0488 .0396 .0317 .0252 .0198
.0478 .0387 .0310 .0246 .0194
.0468 .0379 .0303 .0241 .0189
.0459 :0371 .0297 .0235 .0184
.0449 .0363 .0290 .0229 .0180
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
.0175 .0136 .0104 .0079 .0060
.0171 .0132 .0101 .0077 .0058
.0167 .0129 .0099 .0075 .0056
.0163 .0126 .0096 .0073 .0055
.0158 .0122 .0093 .0071 .0053
.0154 .0119 .0091 .0069 .0051
.0151 .0116 .0088 .0067 .0050
.0147 .0113 .0086 .0065 .0048
.0143 .0110 .0084 .0063 .0047
.0139 .0107 .0081 .0061 .0046
3.0 3.1 3.2 3.3 3.4
.0044 .0033 .0024 .0017 .0012
.0043 .0032 .0023 .0017 .0012
.0042 .0031 .0022 .0016 .0012
.0040 .0030 .0022 .0016 .0011
.0039 .0029 .0021 .0015 .0011
.0038 .0028 .0020 .0015 .0010
.0037 .0027 .0020 .0014 .0010
.0036 .0026 .0019 .0014 .0010
.0035 .0025 .0018 .0013 .0009
.0034 .0025 .0018 .0013 .0009
3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
.0009 .0006 .0004 .0003 .0002
.0008 .0006 .0004 .0003 .0002
.0008 .0006 "1)04 .0003 .0002
.0008 .0005 .0004 .0003 .0002
.0008 .0005 .0004 .0003 .0002
.0007 .0005 .0004 .0002 .0002
.0007 .0005 .0003 .0002 .0002
.0007 .0005 .0003 .0002 .0002
.0007 .0005 .0003 .0002 .0001
.0006 .0004 .0003 .0002 .0001
344
--:- - .
Ι
Ζ
i,I" 9
.268~
.2414
~~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .- - - - - - - -. . &
Παράρτημα
C
Έμβαδό της Τυπικης
KανoνΙKfίς
Καμπύλης άπό Ο έως
Ζ
Ο·
Ζ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
.0000 .0398 .0793 .1179 .1554
.0040 .0438 .0832 .1217 .1591
.0080 .0478 .0871 .1255 .1628
.0120 .0517 .0910 .1293 .1664
.0160 .0557 .0948 .1331 .1700
.0199 .0596 .0987 .1368 .1736
.0239 .0636 .1026 .1406 .1772
.0279 .0675 .1064 .1443 .1808
.0319 .0714 .1103 .1480 .1844
.0359 .0754 .1141 .1517 .1879
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
.1915 .2258 .2580 .2881 .3159
.1950 .2291 .2612 .2910 .3186
.1985 .2324 .2642 .2939 .3212
.2019 .2357 .2673 .2967 .3238
.2054 .2389 .2704 .2996 .3264
.2088 .2422 .2734 .3023 .3289
.2123 .2454 .2764 .3051 .3315
.2157 .2486 .2794 .3078 .3340
.2190 .2518 .2823 .3106 .3365
.2224 .2549 .2852 .3133 .3389
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
.3413 .3643 .3849 .4032 .4192
.3438 .3665 .3869 .4049 .4207
.3461 .3686 .3888 .4066 .4222
.3485 .3708 .3907 .4082 .4236
.3508 .3729 .3925 .4099 .4251
.3531 .3749 .3944 .4115 .4265
.3554 .3770 .3962 .4131 .4279
.3577 .3790 .3980 .4147 .4292
.3599 .3810 .3997 .4162 .4306
.3621 .3830 .4015 .4177 .4319
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
.4332 .4452 .4554 .4641 .4713
:4345 .4463 .4564 .4649 .4719
.4357 .4474 .4573 .4656 .4726
.4370 .4484 .4582 .4664 .4732
.4382 .4495 .4591 .4671 .4738
.4394 .4505 .4599 .4678 .4744
.4406 .4515 .4608 .4686 .4750
.4418 .4525 .4616 .4693 .4756
.4429 .4535 .4625 .4699 .4761
.4441 .4545 .4633 .4706 .47'67
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
.4772 .4821 .4861 .4893 .4918
.4778 .4826 .4864 .4896 .4920
.4783 .4830 .4868 .4898 .4922
.4788 .4834 .4871 .4901 .4925
.4793 .4838 .4875 .4904 .4927
.4798 .4842 .4878 .4906 .4929
.4803 .4846 .4881 .4909 .4931
.4808 .4850 .4884 .4911 .4932
.4812 .4854 .4887 .4913 .4934
.4817 .4857 .4890 .4916 .4936
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
.4938 .4953 .4965 .4974 .4981
.4940 .4955 .4966 .4975 .4982
.4941 .4956 .4967 .4976 .4982
.4943 .4957 .4968 .4977 .4983
.4945 .4959 .4969 .4977 .4984
.4946 .4960 .4970 .4978 .4984
.4948 .4961 .4971 .4979 .4985
.4949 .4962 .4972 .4979 .4985
.4951 .4963 .4973 .4980 .4986
.4952 .4964 .4974 .4981 .4986
3.0 3.1 3.2 3.3 3.4
.4987 .4990 .4993 .4995 .4997
.4987 .4991 .4993 .4995 .4997
.4987 .4991 .4994 .4995 .4997
.4988 .4991 .4994 .4996 .4997
.4988 .4992 .4994 .4996 .4997
.4989 .4992 .4994 .4996 .4997
.4989 .4992 .4994 .4996 .4997
.4989 .4992 .4995 .4996 .4997
.4990 .4993 .4995 .4996 .4997
.4990 .4993 .4995 .4997 .4998
3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
.4998 .4998 .4999 .4999 .5000
.4998 .4998 .4999 .4999 .5000
.4998 .4999 .4999 .4999 .5000
.4998 .4999 .4999 .4999 .5000
.499·8 .4999 .4999 .4999 .5000
.4998 .4999 .4999 .4999 .5000
.4998 .4999 .4999 .4999 .5000
.4998 .4999 .4999 .4999 .5000
.4998 .4999 .4999 .4999 .5000
.4998 .4999 .4999 .4999 .5000
345
'~ ~'-~----------------------------------------------------------------------------------------
Παράρτημα
D
100ρ Έκατοστιαία Σημεία της Κατανομης
t
του
tp
Student
μέ v Βαθμούς Έλευθερίας
ρ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120
""
t. 55
t.60
(70
.158 .142 .137 .134 .132 .131 .130 .130 .129 .129 .129 .128 .128 .128 .128 .128 .128 .127 .127 .127 .127 .127 .127 .127 .127 .127 .127 .127 .127 .127 .126 .126 .126 .126
.325 .289 .277 .271 .267 .265 .263 .262 .261 .260 .260 .259 .259 .258 .258 .258 .257 .257 .257 .257 .257 .256 .256 .256 .256 .256 .256 .256 .256 .256 .255 .254 .254 .253
.727 .617 .584 .569 .559 .553 .549 .546 .543 .542 .540 .539 .538 .537 .536 .535 .534 .534 .533 .533 .532 .532 .532 .531 .531 .531 .531 .530 .530 .530 .529 .527 .526 .524
Άπό:
t. 75
1.000 .816 .765 .741 .727 .718 .711 .706 .703 .700 .697 .695 .694 .692 .691 .690 .689 .688 .688 .687 .686 .686 .685 .685 .684 .684 .684 .683 .683 .683 .681 .679 .677 .674
t. 90
(80
1.376 1.061 .978 .941 .920 .906 .896 .889 .883 .879 .876 .873 .870 .868 .866 .865 .863 .862 .861 .860 .859 .858 .858 .857 .856 .856 .855 .855 .854 .854 .851 .848 .845 .842
i
3.08 1.89 1.64 1.53 1.48 1.44 1.42 1.40 1.38 1.37 1.36 1.36 1.35 1.34 1.34 1.34 1.33 1.33 1.33 1.32 1.32 1.32 1.32 1.32 1.32 1.32 1.31 1.31 1.31 1.31 1.30 1.30 1.29 1.28
t. 95
6.31 2.92 2.35 2.13 2.02 1.94 1.90 1.86 1.83 1.81 1.80 1.78 1.77 1.76 1.75 1.75 1.74 1.73 1.73 1.72 1.72 1.72 1.71 1.71 1.71 1.71 1.70 1.70 1.70 1.70 1.68 1.67 1.66 1.645
t. 975
12.71 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.23 2.20 2.18 2.16 2.14 2.13 2.12 2.11 2.10 2.09 2.09 2.08 2.07 2.07 2.06 2.06 2.06 2.05 2.05 2.04 2.04 2.02 2.00 1.98 1.96
t. 99
31.82 6.96 4.54 3.75 3.36 3.14 3.00 2.90 2.82 2.76 2.72 2.68 2.65 2.62 2.60 2.58 2.57 2.55 2.54 2.53 2.52 2.51 2.50 2.49 2.48 2.48 2.47 2.47 2.46 2.46 2.42 2.39 2.36 2.33
Ι. 995
63.66 9.92 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 3.17 3.11 3.06 3.01 2.98 2.95 2.92 2.90 2.88 2.86 2.84 2.83 2.82 2.81 2.80 2.79 2.78 2.77 2.76 2.76 2.75 2.70 2.66 2.62 2.58
R. Α. Fisher ιc:αί F. Yates, Sratisrica/ Tab/es for Bi%gica/, Agricu/rura/ and Medical Research. Longman Group Ltd., London (προηγούμενος έιc:δότης Oliver and Boyd Ltd., Edinburgh), μέ άδεια των συγγραφέων ιcαί των έιcδoτων.
346
Παράρτημα Ε
100ρ Έκατοστιαία Σημεία x~ της Κατανομής
χΙ
μέ v Βαθμούς Έλευθερίας
2 Χ. 90
/J
1 .0000 1 .0002 .0010 .0039 .0158 21.0100 .0201 ι .0506 .103 .211 3 .0717 .115 .216 .352 .584 4 .207 .297 .484 .711 1.06 5 .412 .554 .831 1.15 1.61 6 .676 .872 1.24 1.64 2.20 7 .989 1.24 1.69 2.17 2.83 8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 9 1.73 2.09 3.33 4.17 2.70 10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 13 3.57 4.11 i 5.01 5.89 7.04 14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 17 5.70 6.41 7.56 10.1 8.67 18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.9 19 6.84 7.63 10.1 8.91 11.7 20. 7.43 8.26 9.59 10.9 12.4 21 8.03 8.90 11.6 13.2 10.3 22 8.64 9.54 11.0 12.3 14.0 23 9.26 10.2 11.7 13.1 14.8 24 ι 9.89 10.9 12.4 13.8 15.7 25 10.5 11.5 13.1 14.6 16.5 12.2 26 11.2 13.8 15.4 17.3 27 11.8 14.6 16.2 18.1 12.9 28 12.5 13.6 15.3 i 16.9 18.9 16.0 17.7 19.8 29 13.1 14.3 30 13.8 15.0 16.8 18.5 20.6 40 20.7 22.2 24.4 26.5 29.1 29.7 50 28.0 32.4 34.8 37.7 60 35.5 37.5 40.5 43.2 46.5 70 43.3 45.4 48.8 51.7 55.3 80 51.2 53.5 60.4 64.3 57.2 90 59.2 61.8 65.6 69.1 73.3 100 67.3 70.1 74.2 77.9 82.4 'Από:
.102 .575 1.21
Ι' ι
1.92 2.67 Ι
3.45 4.25
Ι'
::~~ 'ι
6.74 7.58 8.44 9.30 10.2 11.0 11.9 12.8 13.7 14.6 15.5 16.3 17.2 18.1 19.0 19.9 20.8 21.7 22.7 23.6 24.5 33.7 42.9 52.3 61.7 71.1 80.6 90.1
.455 1.39 2.37 3.36 4.35 5.35 6.35 7.34 8.34 9.34 10.3 11.3 12.3 13.3 14.3 15.3 16.3 17.3 18.3 19.3 20.3 21.3 22.3 23.3 24.3 25.3 26.3 27.3 28.3 29.3 39.3 49.3 59.3 69.3 79.3 89.3 99.3
Ε.
1.32 2.77 4.11 5.39
2.71 4.61 6.25 7.78
9.04 10.2 11.4 12.5 13.7 14.8 16.0 17.1 18.2 19.4 20.5 21.6 22.7 23.8 24.9 26.0 27.1 28.2 29.3 30.4 31.5 32.6 33.7 34.8 45.6 56.3 67.0 77.6 88.1 98.6 109
12.0 13.4 14.7 16.0 17.3 18.5 19.8 21.1 22.3 23.5 24.8 26.0 27.2 28.4 29.6 30.8 32.0 33.2 34.4 35.6 36.7 37.9 39.1 40.3 51.8 63.2 74.4 85.5 96.6 108 118
~::: lι ~:.: Ι
ι
S. Pearson ιcαί Η. Ο. Hartley, Biometrika TabJesfor 137 ιcαί 138. μετά άπό άδεια.
2
3.84 5.99 7.81 9.49 11.1 12.6 14.1 15.5 16.9 18.3 19.7 21.0 22.4 23.7 25.0 26.3 27.6 28.9 30.1 31.4 32.7 33.9 35.2 36.4 37.7 38.9 40.1 41.3 42.6 43.8 55.8 67.5 79.1 90.5 102 113 124
5.02 7.38 9.35 11.1 12.8 14.4 16.0 17.5 19.0 1 1
~~:: 23.3 24.7 26.1 27.5 28.8 30.2 31.5 32.9 34.2 35.5 36.8 38.1 39.4 40.6 41.9 43.2 44.5 45.7 47.0 59.3 71.4 83.3 95.0 107 118 130
Statistίcians. Τόμο
'2
2
Χ. 99 Ι Χ. 995
Χ. 999
6.63 Ι 7.88 9.21 10.6 11.3 12.8 13.3 14.9 15.1 16.7 16.8 18.5' 18.5 ι 20.3 20.1 22.0 21.7 23.6 23.2 25.2 Ι 24.7 26.8 26.2 28.3 27.7 29.8 29.1 31.3 30.6 32.8 32.0 34.3 33.4 35.7 34.8 37.2 36.2 38.6 37.6 40.0 38.9 41.4 40.3 42.8 41.6 ι 44.2 43.0 45.6 44.3 46.9 45.6 48.3 47.0 49.6 48.3 51.0 49.6 52.3 50.9 53.7 66.8 63.7 79.5 76.2 92.0 88.4 100 104 112 116 124 128 136 140
10.8 13.8 16.'3 18.5 20.5 22.5 24.3 26.1 27.9 29.6 31.3 32.9 34.5 36.1 37.7 39.3 40.8 42.3 43.8 45.3 46.8 48'.3 49.7 51.2 52.6 54.1 55.5 56.9 58.3 59.7 73.4 86.7 99.6 112 125 137 149
1 (1966),
i
Πίν.
8,
σελ.
347
b
.ι
.....
Παράρτημα
F
95το 'Εκατοστιαίο Σημείο
F. 95
~
τής Κατανομής /Ι'
............ '...•...""' ..
' ......•
νι: βαθμοί έλευθερίας άριθμητή
2
Ρ2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 co
1
2
3
4
5
6
161 18.5 10.1 7.71 6.61 5.99
200 19.0 9.55 6.94 5.79 5.14
216 19.2 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.07 3.86 3.71 3.59 3.49 3.41 3.34 3.29 3.24 3.20 3.16
225 19.2 9.12 6.39 5.19 4.53 4.12 3.84 3.63 3.48 3.36 3.26 3.18 3.11 3.06 3.01 2.96 2.93 2.90 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.76 2.74 2.73 2.71 2.70 2.69 2.61 2.53 2.45 2.37
230 19.3 9.01 6.26 5.05 4.39 3.97 3.69 3.48 3.33 3.20 3.11 3.03 2.96 2.90 2.85 2.81 2.77 2.74 2.71 2.68 2.66 2.64 2.62 2.60 2.59 2.57 2.56 2.55 2.53 2.45 2.37 2.29 2.21
234 19.3 8.94 6.16 4.95 4.28 3.87 3.58 3.37 3.22 3.09 3.00 2.92 2.85 2.79 2.74 2.70 2.66 2.63 2.60 2.57 2.55 2.53 2.51 2.49 2.47 2.46 2.45 2.43 2.42 2.34 2.25 2.18 2.10
5.5914.74 5.32 4.46 5.1214.26 4.9614.10
4.8413.98 4.75 3.89 4.67 3.81 4.60 3.74 4.54 3.68 4.49 3.63 4.45 3.59 4.41 3.55 4.38 3.5213.13 4.35 3.49 3.10 4.32 3.47 3.07 4.30 3.44 3.05 4.28 3.42 3.03 4.26 3.40 3.01 4.24 3.39 2.99 4.23 3.37 2.98 4.21 3.35 2.96 4.20 3.34 2.95 4.18 3.33 2.93 4.17 3.32 2.92 4.08 3.23 2.84 4.00 3.15 2.76 3.92 3.07 2.68 3.84 3.00 2.60 Άπ6:
Ε.
S. Pearson
ιcαί Η. Ο.
... .
0.05
ν : βαθμοί έλευθερίας παρονομαστή
~
'
0.95
F. 95
8
9
10
12
15
20
24
30
239 19.4 8.85 6.04 4.82 4.15 3.73 3.44 3.23 3.07 2.95 2.85 2.77 2.70 2.64 2.59 2.55 2.51 2.48 2.45 2.42 2.40 2.37 2.36 2.34 2.32 2.31 2.29 2.28 2.27 2.18 2.10 2.02 1.94
241 19.4 8.81 6.00 4.77 4.10 3.68 3.39 3.18 3.02 2.90 2.80 2.71 2.65 2.59 2.54 2.49 2.46 2.42 2.39 2.37 2.34 2.32 2.30 2.28 2.27 2.25 2.24 2.22 2.21 2.12 2.04 1.96 1.88
242 19.4 8.79 5.96 4.74 4.06 3.64 3.35 3.14 2.98 2.85 2.75 2.67 2.60 2.54 2.49 2.45 2.41 2.38 2.35 2.32 2.30 2.27 2.25 2.24 2.22 2.20 2.19 2.18 2.16 2.08 1.99 1.91 1.83
244 19.4 8.74 5.91 4.68 4.00 3.57 3.28 3.07 2.91 2.79 2.69 2.60 2.53 2.48 2.42 2.38 2.34 2.31 2.28 2.25 2.23 2.20 2.18 2.16 2.15 2.13 2.12 2.10 2.09 2.00 1.92 1.83 1.75
246 19.4 8.70 5.86 4.62 3.94 3.51 3.22 3.01 2.85 2.72 2.62 2.53 2.46 2.40 2.35 2.31 2.27 2.23 2.20 2.] 8 2.15 2.13 2.11 2.09 2.07 2.06 2.04 2.03 2.01 1.92 1.84 1.75
248 19.4 8.66 5.80 4.56 3.87 3.44 3.15 2.94 2.77 2.65 2.54 2.46 2.39 2.33 2.28 2.23 2.19 2.16 2.12 2.10 2.07 2.05 2.03 2.01 1.99 1.97 1.96 1.94 1.93 1.84 1.75 1.66 1.57
249 19.5 8.64 5.77 4.53 3.84 3.41 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 2.35 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11 2.08 2.05 2.03 2.01 1.98 1.96 1.95 1.93 1.91 1.90 1.89 1.79 1.70 1.61 1.52
250 19.5 8.62 5.75 4.50 3.81
Hartley, Biometrika Tables for Srarisricians.
Τόμο
7 237 19.4 8.89 6.09 4.88 4.21 3.79 3.50 3.29 3.14 3.01 2.91 2.83 2.76 2.71 2.66 2.61 2.58 2.54 2.51 2.49 2.46 2.44 2.42 2.40 2.39 2.37 2.36 2.35 2.33 2.25 2.17 2.09 2.01
178, μετά άπό άδεια.
348
I.Π7
40 Ι 60 251 19.5 8.59 5.72 4.46 3.77
3.38\3.34 3.08 3.04 2.86 2.83 2.70 2.66 2.57 2.53 2.47 2.43 2.38 2.34 2.31 12.27 2.25 2.20 2.19 2.15 2.15 2.10 2.1112.06 2.07 ι 2.03 2.04 1.99
i
2.01 Ι 1.96 1.98 1.94 1.9611.91 1.94 1.89 1.92 1.87 1.90 1.85 1.88 1.84 1.87 1.82 1.85 1.81 1.84 1.79 1.74 1.69 1.65 1.59 1.55 1.50 1.46 1.39 2 (1972),
Πίν.
252 19.5 8.57 5.69 4.43 3.74 3.30 3.01 2.79 2.62 2.49 2.38 2.30 2.22 2.16 2.11 2.06 2.02 1.98 1.95 1.92 1.89 1.86 1.84 1.82 1.80 1.79 1.77 1.75 1.74 1.64 1.53 1.43 1.32 5,
120 253 19.5 8.55 5.66 4.40 3.70 3.27 2.97 2.75 2.58 2.45 2.34 2.25 2.18 2.11
co
254 19.5 8.53 5.63 4.37 3.67 3.23 2.93 2.71 2.54 2.40 2.30 2.21 2.13 12.07
2.0612.01 2.01 1.96 1.97 1.92 1.93 1.88 1.90 1.84 1.87 1.81 1.84 1.78 1.81 11.76 1.79 1.73 1.77 1.71 1.75 1.69 1.73 1.67 1.71 1.65 1.70 1.64 1.68 1.62 1.58 1.51 1.47 1.39 1.35 1.25 1.22 1.00
σελ.
• ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
349
F
99το 'Εκατοστιαίο Σημείο F.99 της Κατανομής
v1 V
~
/·2'"'-....., 1
1
2
~
F
βαθμοί έλευθερίας άριθμητή
:
βαθμοί έλευθερίας παρονομαστή
z:
3
4
5
6
7
Ι
8
9
F. 99
10
12
15
20
24
30
40
60
4052 5000 5403 5625 5764 5859 592815981 6023605661066157 6209 6235 6261 6287 6313 6339 6366
2
98.5 99.0 99.2 99.2 99.3 99.3
99.4 199.4 99.4 99.4 99.4 99.4
99.4 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5, 99.5
3
34.1
27.7 Ι 27.5 27.3 27.2 27.1 26.9
26.7 26.6 26.5 26.4 26.3 26.2 26.1
30.8 29.5 28.7 28.2 27.9
4
21.2 18.0 16.7 16.0 15.5 15.2 15.0114.8 14.7 14.5 14.4 14.2
14.0 13.9 13.8 13.7 13.7 13.6 13.5
5
16.3 13.3 12.1 11.4 11.0 10.7 10.5110.3 10.2 10.1 9.89 9.72
9.55 9.47 9.38 9.29 9.20 9.11 9.02
6
13.7 10.9 9.78 9.15 8.75 8.47
8.26 8.10 7.98 7.87 7.72 7.561' 7.40 7.31 7.23 7.14 7.06 6.97 6.88
7
12.2 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19
6.9916.84 6.72 6.62 6.47 6.31
6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.74 5.65
6.63 6.37
6.18 i 6.03 5.91 5.81 5.67 5.5215.36 5.28 5.20 5.12 5.03 114.95 4.86
9
10.6 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80
5,61 Ι 5.47 5.35 5.26 5.11 4.9614.8.1 4.73 4.65 4.5. 4.48 4.40 4.31
10
10.0 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39
5.20' 5.06 4.94 4.85 4.71 4.56
8 111.3, 8.65 ·7.59 7.01
4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4.00 3.91
11
9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07
4.89 4.74 4.63 4.54 4.40 4.2514.10 4.02 3.94 3.86 3.78 3.69 3.60
12
9.33 6.93 5.95 5.41
5.06 4.82
4.64 4.50 4.39 4.30 4.16; 4.01
4.86 4.62
4.44 4.30 4.19 4.10 3.9613.82' 3.66 3.59 3.51
13
9.07 6.70 5.74 5.21
14
8.86 6.51
15 . 16
3.86 3.78 3.70 3.62 3.54 3.45 3.36 3.43 3.34 3.25 3.17
4.28 4.14 4.03 3.94 3.80 13.66
3.51 3.43 Ι 3.35 3.27 3.18 3.09 3.00
8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32
4.14 4.00 3.89 3.80 3.67 3.52
3.3713.2913.21 3.13 3.05 2.96 2.87
8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20
4.03 3.89 3.78 3.69
3.26 3.18 3.10 3.02 2.93 2.84 2.75
17
8.40 6.11 5.19 4.67 4.34 4.10
3.93 3.79 3.68 3.59 3.46 3.31 13.16! 3.08.3.00 2.92 2.83 2.75 2.65
18
8.29 6.01
5.09 4.58 4.25 4.01
3.84 3.71 3.60 3.51 3.37 3.23, 3.08 3.00 2.92 2.84 2.75 2.66 2.57
19
8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94
3.77 3.63 3.52 3.43 3.30 3.1513.00 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.49
20
8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87
3.70 3.56 3.46 3.37 3.23 3.0912.94 2.86 2.78 2.69 2.61
21
8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81
3.6413.51 3.40 3.31 3.17 3.03 ι 2.88 2.80 2.72 2.64 2.55 2.4(; 2.36
22
7.95 5.72 4.82 4.31
3.59 3.45 3.35 3.26 3.12 2.9812.83 2.75 2.67 2.58 2.50! 2.40 2.31
23
5.56 5.04 4.70 4.46
3.99 3.76
3.55 3.41
2.52 2.42
Ι 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2.54 2.45 Ι 2.35 2.26
24
7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67
3.50 3.36 3.26 3.17 3.03 2.89
2.74 2.66 2.58 2.49 2.'10 2.31
25
7.77 5.57 4.68 4.18 3.86 3.63
3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85
2.70 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17
2.21
26
7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59
3.42 3.29 3.18 3.09 2.96 2.82
2.66 2.58 2.50 2.42 2.33 2.23 2.13
27
7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56
3.39 3.26 3.15 3.06 2.93 2.78
28
7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53
3.36 3.23 3.12 3.03 2.90 2.75
2.63 2.55 2.47 2.38 2.2912.2U 12.10 2.60 2.52 2.44 2.35 2.26 . 2.17 12.06
29
7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50
3.33 3.20 3.09 3.00 2.87 2.73
30
7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47
3.30 3.17 3.07 2.98 2.84 2.70
40 60
7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.66 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.50
120 fF.)
2.57 2.49 2.41 2.33 2.2312.14 12.03 2.55) 2.4 712.39 2.30 2.21 j 2.11 Ι 2.01
22.·53~ 122.·~207 v
22J 2 . I\2 ,Ι
~.·<}o~~ ~:~~ -
'"
2.02 : 1.92 11.80 1.84 1.73 ί 1.60 !
6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96
2.79 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19
2.03 1.95111.86 1.76 1.6(j 1.53 1.38
6.63 4.61
2.64 2.51 2.41 2.32 2.18 2.04
1.88 1.79 1.70 1.59 1.47 1.32 1.00
3.78 3.32 3.02 2.80
Άπό: Ε.
S. Pearson καί Η. Ο. Hartley, Biometrika Tables for Stalisticians. Τόμο 2 (1972). Πίν. S, σελ. 180, μετά άπό άδεια.
+
120
ΗαΡάρτημα
G Κοινοί (Δεκαδικοί) Λογάριθμοι (τtσσερα ψηφία)
Ν
Ο
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Άνάλογα Μέρη
1
2 3
4
5
6
7
8
9
17 15 14 13 12
21 19 17 16 15
25 23 21 19 18
29 26 24 23 21
33 30 28 26 24
37 34 31 29 27
14 13 12 12 11
17 16 15 14 13
20 18 17 16 16
10 11 12 13 14
0000 0414 0792 1139 1461
0043 0453 0828 1173 1492
0086 0492 0864 1206 1523
0128 0531 0899 1239 1553
0170 0569 0934 1271 1584
0212 0607 0969 1303 1614
0253 0645 1004 1335 1644
0294 0682 1038 1367 1673
0334 0719 1072 1399 1703
0374 0755 1106 1430 1732
4 4 3 3 3
8 8 7 6 6
15 16 17 18 19
1761 2041 2304 2553 2788
1790 2068 2330 2577 2810
1818 2095 2355 2601 2833
1847 2122 2380 2625 2856
1875 2148 2405 2648 2878
1903 2175 2430 2672 2900
1931 2201 2455 .2695 2923
1959 2227 2480 2718 2945
1987 2253 2504 2742 2967
2014 2279 2529 2765 2989
3 3 2 2 2
6 5 5 5 4
811 811 7 10 7 9 7 9
22 21 20 19 18
25 24 22 21 20
20 21 22 23 24
3010 3222 3424 3617 3802
3032 3243 3444 3636 3820
3054 3263 3464 3655 3838
3075 3284 3483 3674 3856
3096 3304 3502 3692 3874
3118 3324 3522 3711 3892
3139 3345 3541 3729 3909
3160 3365 3560 3747 3927
3181 3385 3579 3766 3945
3201 3404 3598 3784 3962
2 2 2 2 2
4 4 4 4 4
6 8 11 13 15 17 6 8 10 12 14 16 6 8 10 12 14 15 6 7 911 13 15 5 7 9 11 12 14
19 18 17 17 16
25 26 27 28 29
3979 4150 4314 4472 4624
3997 4166 4330 4487 4639
4014 4183 4346 4502 4654
4031 4200 4362 4518 4669
4048 4216 4378 4533 4683
4065 4232 4393 4548 4698
4082 4249 4409 4564 4713
4099 4265 4425 4579 4728
4116 4281 4440 4594 47:t2
4133 4298 4456 4609 4757
2 2 2 2 1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 4
30 31 32 33 34
4771 4914 5051 5185 5315
4786 4928 5065 5198 5328
4800 4942 5079 5211 5340
4814 4955 5092 5224 5353
4829 4969 5105 5237 5366
4843 4983 5119 5250 5378
4857 4997 5132 5263 5391
4871 5011 5145 5276 5403
4886 5024 5159 5289 5416
4900 5038 5172 5302 5428
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
4 6 4 6 4 5 4 5 4 5
7 7 7 6 6
9 10 11 13 8 10 11 12 8 9 11 12 8 9 10 12 8 9 10 11
35 36 37 38 39
5441 5563 5682 5798 5911
5453 5575 5694 5809 5922
5465 5587 5705 5821 5933
5478 5599 5717 5832 5944
5490 5611 5729 5843 5955
5502 5623 5740 5855 5966
5514 5635 5752 5866 5977
5527 5647 5763 5877 5988
5539 5658 5775 5888 5999
5551 5670 5786 5899 6010
1 1 1 1
2 2 2 2 2
4 4 3 3 3
5 5 5 5 4
6 6 6 6 5
7 9 10 11 7 8 10 11 7 8 9 10 7 8 9 10 7 8 9 10
40 41 42 43 44
6021 6128 6232 6335 6435
6031 6138 6243 6345 6444
6042 6149 6253 6355 6454
6053 6160 6263 6365 6464
(;064 (;170 6274 6375 6474
6075 6180 6284 6385 6484
6085 6191 6294 6395 6493
6096 6201 6304 6405 6503
6107 6212 6314 6415 6513
6117 6222 6325 6425 6522
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
8 7 7 7 7
9 10 8 9 8 9 8 9 8 9
45 46 47 48 49
6532 6628 6721 6812 6902
6542 6637 6730 6821 6911
6551 6646 6739 6830 6920
6561 6571 6656 6665 6749 6758 6839 (ί848 6928 6!Ι37
6580 6675 6767 6857 6946
6590 6684 6776 6866 6955
6599 6693 6785 6875 6964
6609 6702 6794 6884 6972
6618 6712 6803 6893 6981
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
5 5 5 4 4
6 6 5 5 5
7 7 6 6 6
8 9 7 8 7 8 7 8 7 8
50 51 52 53 54
69~0
σ998
7076 7160 7243 7324
7084 7168 7251 7332
7007 7093 7177 7259 7340
7016 7101 7185 72(,7 7348
7024 7110 7193 7275 735β
7033 7118 7202 7284 73(j4
7042 7126 7210 7292 7372
7050 7135 7218 7300 7380
7059 7143 7226 7308 7388
7067 7152 7235 7316 7396
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
7 8 7 8 7 7 6 7 6 7
Ν
Ο
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 ·2
3
4
5
6
7
8
Ι
1
12 11 10 10 9
7 7 6 6 6
9 10 12 14 15 8 10 11 13 15 8 9 11 13 14 8 9 11 12 14 7 9 10 12 13
9
350
....
.............................'-- ~.~~.~ ................................._. .. .
~φ~------------------------------~ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
G
351
Κοινοί (Δεκαδικοί) Λογάριθμοι (τέσσερα ψηφία)
...
Ν
Ο
1
2
3
4
5
6
7
8
9
55 56 57 58 59
7404 7482 7559 7634 7709
7412 7490 7566 7642 7716
7419 7497 7574 7649 7723
7427 7505 7582 765:7 7731
7435 7513 7589 7664 7738
7443 7520 7597 7672 7745
7451 7528 7604 7679 7752
7459 7536 7612 7686 7760
7466 7543 7619 7694 7767
60 61 62 63 64
7782 7853 7924 7993 8062
7789 7860 7931 8000 8069
7796 7868 7938 8007 8075
7803 7875 7945 8014 8082
7810 7882 7952 8021 8089
7818 7889 7959 8028 8096
7825 7896 7966 8035 8102
65 66 67 68 69
8129 8195 8261 8325 8388
8136 8202 8267 8331 8395
8142 8209 8274 8338 8401
8149 8215 8280 8344 8407
8156 8222 8287 8351 8414
8162 8228 8293 8357 8420
70 71 72 73 74
8451 8513 8573 8633 8692
8457 8519 8579 8639 8698
8463 8525 8585 8645 8704
8470 8531 8591 8651 8710
8476 8537 8597 8657 8716
75 76 77 78 79
8751 8808 8865 8921 8976
8756 8814 8871 8927 8982
8762 8820 8876 8932 8987
8768 8825 8882 8938 8993
80 81 82 83 84
9031 9085 9138 9191 9243
9036 9090 9143 9196 9248
9042 9096 9149 9201 9253
85 86 87 88 89
9294 9345 9395 9445 9494
9299 9350 9400 9450 9499
90 91 92 93 94
9542 9590 9638 9685 9731
95 96 97 98 99 Ν
'Ανάλογα Μέρη
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7474 7551 7627 7701 7774
1 1 1 1 1
2 2 2 1 1
2 2 2 2 2
:3
3 3 3 3
4 4 4 4 4
5 5 5 4 4
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
7 7 7 7 7
7832 7903 7973 8041 8109
7839 7846 7910 7917 7980 7987 8048 8055 8116·8122
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 3 3 3
4 4 4 4 4
5 5 5 5 5
6 6 6 5 5
6 6 6 6 6
8169 8235 8299 8363 8426
8176 8241 8306 8370 8432
8182 8248 8312 8376 8439
8189 8254 8319 8382 8445
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
5 5 5 4 4
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
8482 8543 8603 8663 8722
8488 8549 8609 8669 8727
8494 8555 8615 8675 8733
8500 8561 8621 8681 8739
8506 8567 8627 8686 8745
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
4 4 4 4 4
5 5 5 5 5
6 5 5 5 5
8774 8831 8887 8943 8998
8779 8837 8893 8949 9004
8785 8842 8899 8954 9009
8791 8848 8904 8960 9015
8797 8854 8910 8965 9020
8802 8859 8915 8971 9025
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
4
4 4 4 4
5 5. 4 4 4
5 5 5 5 5
9047 9101 9154 9206 9258
9053 9106 9159 9212 9263
9058 9112 9165 9217 9269
9603 9117 9170 9222 9274
9069 9122 9175 9227 9279
9074 9128 9180 !)232 9284
9079 9133 9186 9238
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
3 3
4 4 4 4 4
4 4 4 4 4
5 5 5 5 5
9304 9355 9405 9455 9504
9309 9360 9410 9460 9509
9315 9365 9415 9465 9513
9320 9370 9420 9469 9518
9325 9375 9425 9474 9523
9330 9380 9430 9479 9528
9335 9385 9435 9484 9533
9340 9390 9440 9489 9538
1 1
1 1 1 1 1
2 2 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 2 2 2
3 3 3 3
4 4 3 3 3
4 4 4 4 4
5. 5 4 4 4
9547 9595 9643 9689 9736
9552 9600 9647 9694 9741
9557 9605 9652 9699 9745
9562 9609 9657 9703 9750
9566 9614 9661 9708 9754
9571 9619 9666 9713 9759
9576 9624 9671 9717 9763
9581 9628 9675 9722 9768
9586 9633 9680 9727 9773
Ο
1 .1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
4 4 4 4 4
9777 9823 9868 9912 9956
9782 9827 9872 9917 9961
9786 9832 9877 9921 9965
9791 9836 9881 9926 9969
9795 9841 9886 9930 9974
9800 9845 9890 9934 9978
9805 9850 9894 9939 9983
9809 9854 9899 9943 9987
9814 9859 9903 9948 9991
9818 9863 9908 9952 9996
Ο
1
Ο
Ο
1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
4 4 4 4 3
4 4 4 4 4
Ο
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
. ";~:::::::..~...r""""'---'
θ289
Ο Ο Ο
Ο Ο Ο Ο
Ο Ο
3
3 3 3
<
ΗαΡάΡτημα Η
(Ο
< λ < 1) 1
Ο
1
2
3
4
0.1 0.2 0.3 0.4
1.0000 .9048 .8187 .7408 .6703
.9900 .8958 .8106 .7334 .6636
.9802 .8869 .8025 .7261 .6570
.9704 .8781 .7945 .7189
.9608 .8694
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
.6065 .5488 .4966 .4493 .4066
.6005 .5434 .4916 .4449 .4025
.5945 .5379 .4868 .4404 .3985
λ
0.0
5
6
7
8
9
.9418 .8521 .7711
.6505
.6313
.9324 .8437 .7634 .6907 .6250
.9231
.7866 .7118 .6440
.9512 .8607 .7788 .7047 .6376
.8353 .7558 .6839 .6188
.9139 .8270 .7483 .6771 .6126
.5886 .5326 .4819 .4360 .3946
.5827 .5273 .4771 .4317 .3906
.5770 .5220 .4724 .4274 .3867
.5712 .5169 .4677 .4232 .3829
.5655 .5117 .4630 .4190 .3791
.5599 .5066 .4584 .4148 .3753
.5543 .5016 .4538 .4107 .3716
(λ
.6~ι77
= 1,2,3, ... ,10)
λ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
e-- λ
.36788
.13534
.04979
.01832
.006738
.002479
.000912
.000335
.. 000123
.000045
04186 10863 37428
19640 97453 93507
87056 90581 94271
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Γιά νά ύπολογίσουμε τό
Παράδειγμα:
e-
λ. γιά άλλες τιμές τού
λ διασπαμε τόν έκθέτη.
e-:U8 = (e-3.00)(e-O.48) = (.0497D}(.6188) = .03081.
Ηαράρτημα Ι Τυχαίοι
45!13fι
74640 2:3491 (;0173
30586 03585
02133 79:::53
42331 83587 52078 75797 81938
64937 1.5630 , 09448 21631 91097
03355 64759 56301 91157 17480
95863 51135 57683 77331 29414
51772 2·1033
Άριθμοί
29044 06568 25424 45406 82322
46621 21960 11645
62898 21387 55870
93582 76105 56974
31041 96799
86707 85659
12973
17169
88116
42187
36081
50884
14070
74950
20790 98527 30277 60710 06829
65304 62586 94623 52290 87843
55189 41889 85418 16835 28195
00745 25439 68829 48653 27279
65253 88036 06652 71590 47152
11822 24034 41982 16159 35683
1580'1 67283 49159 14676 47280
352
""11
..-----------------------------------
-~
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
1
1.57.
(α) Α
1.63.
(α)
= {6, 8, 10, 12, 14}
(b) Α
(c)
(1,2,3,4, 5}
= {Χ Ι Χ
{5}
άρτιος, 5
<Χ<
15}
(e) Υ;)
(g)
{2, 5, 3}
(f) {3}
(h)
{5}
(b) {1,2,3,4,5}
«(1) {5}
1.64.
(α) {2, 3, 4}
(c) {Χ Ι Χ ~ ο, x'i= 2,3, 4}
1.81.
(α) 5/26
1.82.
(α)
Πιθανότητα νά βγεί ρήγας στό πρώτο τράβηγμα καί όχι ρήγας στό δεύτερο.
Ι b)
Πιθανότητα νά βγεί ρήγας η στό πρώτο τράβηγμα η στό δεύτερο η καί στά δύο.
(c)
Πιθανότητα νά βγεί όχι ρήγας η στό πρώτο τράβηγμα η στό δεύτερο
(d)
Πιθανότητα νά μή βγεί ρήγας καί στό πρώτο καί στό δεύτερο καί στό τρίτο τράβηγμα.
(e)
(b) {2}
(b) 5/36
(c) 0.98,
(d) 2/9
(d) {4}
(e) {3}
(Ι) {3,4}
(e) 7/8
ij καί στά δύο.
Πιθανότητα νά βγεί ή ρήγας στό πρώτο καί ρήγας στό δεύτερο η όχι ρήγας στό δεύτερο καί ρήγας στό τρίτο τράβηγμα.
1.83.
(α)
1/3
1.84.
(α)
4/25
1.85.
(b) 3/5
ic) 11/15
(e) 4/5
(d) 2/5
(c) 16/25
(e) 11/15
(b) 4/75
((Ι)
(f) 1/5
(g) 104/225 (h) 221/225
(α)
(c) 118/185
(e) 11/15
(g)
«(Ι)
(f) 1/5
(h) 182/185
29/185
(b) 2/37
64/225
52/185
1.86.
(α)
3/10
1.87.
(α)
1/2197
1.88.
1/3
1.94.
21/56
1.107.
1260
1.95.
21/31
1.108.
(α)
120
1.96.
1/3
1.109.
(α)
10
1.97.
14/57
1.110.
n=6
1.100.
8
1.111.
210
1.101.
(ο)
1.112.
840
1.102.
n=5
1.113.
(α)
42,000
1.103.
60
1.114.
(α)
120
(b) 2520
1.104.
(α)
5040
(b) 720
1.115.
(α)
150
(b) 45
1.105.
(α)
8400
(b) 2520
1.116.
(α)
17
(b) 163
1.106.
!ο)
32.805
1.117.
(α)
20
(b) 330
12
(c) 3/5
( b) 1/10
(b) 1/17,576
(b) 2520
(c) 720
(c) 240
(b) 11,664
353
Ι
i
86/185
..
-;~",:::: ~....ι-""""""--
(b) 72 (b) 70
(c) 12 (c) 45
(b) 7000
(c) 100
(c) 14/99
( ί)
6/25
(j) 52/225 (i) 9/37 (j) 26/111
~-
354 1.118.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
χ6
(α)
(b) χ 4
(c)
χ5
(d)
χ8
+ 6χ Υ + 15χ Υ 2 + 20χ Υ 3 + 15χ Υ3 + 6ΧΥ5 + Υ6 - 4χ Υ + 6χ Υ 2 - 4χΥ3 + Υ4 - 5χ + 10Χ - 10χ- + 5χ- - x- s + 8χ + 24χ + 32χ + 16 5
3
4
2
2
3
3
Ι
6
4
3
2
1.119.
2016
1.122.
(α)
5/13
1.123.
(α)
47/52
1.124.
5/18
1.125.
(α)
81: 44
1.128.
(α)
91/216
1.130.
4(l3C9)(39C4)/52C53
1.138.
(α)
120
1.131.
2.95
1025
1.139.
(α)
3/1250
1.133.
0.8%
1.140.
3125/46,656
1.135.
yll- 3
1.141.
(α)
1.146.
(α)
χ
(b) 11/36
(c) 1/36
(b) 16/221
(c) 15/34
(b)
τουλάχιστο
περίπου
4/ 52 C 5
(h) 77/442
(5)(4)(3)(2)/(52)(51)(50)(49)
126
(b) n+r-lCn -
1.149.
(α)
462
(b) r-lCn -
1.150.
(α)
3/32
(b) 1/16
1.151.
Πιθανότητες: Νά κερδίσει ό Α
(b) 237/5000
(b) 14
(d)
(α)
(α)
4
4 5(l3 C 5)/52C 5
1.148.
2.40.
(g) 40/51
(c) 72
(b) 60
(c)
2/243
(α)
10/13
17
1.147.
2.38.
(Ι)
210/221
(b) 21: 4
(b) (13)(2)(4)(6)/ 52 C 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
(ε)
(d) 13/17
l
t
(d) 1/8
(c) 1/32
= 61/216,
νά κερδίσει ό Β
= 5/36,
ίσοπαλίας
125/216.
2 Χ
Ο
1
Ι(Χ)
1/8
3/8
Χ
Ο
f(x)
9/64
ι
Ι Ι
ι
Ι
2 3/8
1
! 15/32
!
i J
3
Ι 1/8 2
25/64
2.39.
(α)
χ
f(x)
Ο
3/28
1
ι
2
15/28 15/14
ι
355
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
2.42.
2.43.
2.46.
(α)
χ
Ο
1
2
3
4
ι(χ)
194,580 270,725
69,184 270,725
6768 270,725
192 270,725
1 270,725
(α)
Χ
Ο
1
2
3
F(x)
1/8
1/2
7/8
1
Χ
1
2
3
4
Ι(Χ)
1/8
1/4
3/8
1/4
(α)
(b) 3/4
e- 3
2.47.
(α)
2.48.
F(x)
ΊΟ
2.49.
(α) 6/29
(b)
2.50.
3
(b)
r1 -
=
F(x)
e- 6
-
(c) e- 9
(α)
2.53.
(α)
(e) 7/8
(d) 1 - e- 3
χ;::'; Ο
15/29
(c) 19/116
{ ;2Χ' - 2)/29
χ;::,;
1
I;::';Χ;::';2
+ 2)/29
(3χ 2
2;::';Χ;::';3 χΞ;;3
(b)
1/27
(d) 3/8
Χ Ξ;; Ο
e- 3x
1
2.51.
(c) 7/8
ι(χ)
{~2/9
=
0;::';χ<3
(d)
(c) 26/27
άλλιως
1/9
χ;::';Ο
2.54.
(α)
2.55.
(α)
2.57.
(α) 3/2
2.58.
2.60.
2.61.
(α)
i
ι
t
(b)
15/16
(b)
1/36
{οΧ/6
__
11 (Χ)
1/6
(d)
(c) 3/4
(c) 1/4 Χ
(d)
F(x) =
5/6
(b)
Fl(x)
1/4
=
(c) 29/64
{f(x' +Χ)
= LΙ (χ) = 1 2 (Υ)
Ι(Χ Ι Υ)
(b)
Ι(Υ Ι Χ)
(α)
Ι(Χ Ι Υ)
=
Ι(Υ Ι Χ)
=
γιά γιά
ΙΖ(Υ)
(b)
χ;::,;ο
O;::';x~1
(b)
F 2 (y)
=
χΞ;;1
= 1,2,3 Χ = 1,2,3 Υ
(βλέπε Πρόβλ. 2.55) (βλέπε Πρόβλ.
1.0
κάθε άλλο Χ,
Ιο
{ Υο/6
=
+ Υ)/(Χ + t)
(g) 1/2 Υ
= 1,2,3
κάθε ι'ίλλο Υ
(d) 5/16.
ο;::,; Χ
(Χ
χΞ;;2
(Ι) 1/6
(e) 1/6
J(Χ + Υ)/(Υ + t)
r
{:'"
= 1,2,3
κάθε άλλο Χ
(α)
(b)
ι
1/2
0;::';Χ;::';2
;::,; 1,
2.55)
O~y~1 O~y;Sl
Ο ~ χ ~
1,
Ο;::,; Υ
ο;::,; χ
1,
κάθε άλλο Υ
;::,;
;::,; 1
Η(Υ'+ Υ)
Υ;::'; Ο Ο;::';Υ;::';1
ΥΞ;;1
•
-- j ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
356
Ο ~ χ ~
2
{~2 + Υ2)Ι(Υ + -1)
(α)
f(x! Υ)
(b)
f(y [ Χ)
2.63.
(α)
f(x [Υ)
2.64.
e- VΝ/2yy γιά Υ > Ο,
2.68.
(217)-l/2 y -l/2e- Y
2.70.
1/17 for -17/2
2.62.
2.72.
(α)
2.74.
2ve- u/(1
2.77.
g(z)
2.78.
=
{~X2 + Υ2)/(χ 2 +-1)
<
+- ιι)3
Ο
<
Υ
<
Ο ~ Χ ~
1,
Ο ~ Υ ~
Ο ~ Χ ~
1,
κάθε άλλο Υ
(b)
y~O
ο,
>
Ο,
Ο
Υ
<1
(b)
g(y)
ΙΙ ~ Ο, υ ~ Ο
καί
Ο
Χ ~ ο,
Υ ~ Ο
Χ ~ ο,
Υ
<
Ο
=
{
!(1- Υ)-2/3
Ο<Υ<1
-1;(Υ -
I<Υ<2
1)-2/3
άλλιώς
Ο
άλλιώς X
Ο<Ζ<1 άλλιώς
Γ
Ι Χ) = {~-!I
f(y
άλλιώς
άλλιώς
{~lΠZ
1
17/2, Ο άλλιώς
-5 <
γιά
1
άλλιώς
γιά Υ
{:3e- /6
2.82.
g(x)
2.83.
1/4
2.84.
35/288
x~o χ<ο
O~u~1 l~u~2
~-U
g(u)
χ
1
Ο ~ Υ ~
y~O
Χ ~ ο,
= {~-x
= {~
g(y)
Ο ~ Υ ~
1,
κάθε αλλο Χ,
άλλιώς
2.79.
g(u)
{~e-u
2.86.
(αι
2
(b)
2.87.
(α)
4
2.88.
(α)
3/7
2.89.
(α)
c
2.91.
(α) cl
2.93.
(α)
2.95.
(a)
2.96.
1 (b) - (1 2
2.98.
g(z)
2.99.
(b) 7/18
1Ι ~ Ο
u
(b)
Υ ~ Χ
e- 2x (2x
\0
1
<
+ 1)
Υ+
1,
Υ
Χ ~ Ο
(e) 5e- 4
(d) 3e- 2
Χ<Ο
(e) 1/9
(d) 26/81
= 1,2,3, ...
7e- 6
-
(b) 5/7
=1
(b) 3e- 2
= 2,
1/4
C2
=9
re-
2Y
/
2Γ
-
Ι
-
e- 4
(c)
(b)
άλλιώς
L
Ιη
:!
Ο
1 (c) -
2)
{J_e- z /
{
Ιι (Χ)
Υ> Ο
YY
6
2
(c) 4e- s - 4e- 7
(b) ge- z - 14e- 3
(b) 7/64
10
=
3-31
r1 -
F(x)
<
Χ
{~ -
=
1 + -ln 2 2
χ
+t
Ο
Ο
<
Χ
<
1 (d)
άλλιώς
18e- 2U { Ο 1 (d) -ln2
2
e- z - e- 4 12 (Υ)
=
(e) 4e- 3
{Ο
!(Υ
+ 1)
Ο
<
Υ
άλλιώς
u>O άλλιώς
2.100.
(b) 15/256
(c) 9/16
2.106.
(α)
(b) 1/14
2.108.
V2/2
z~o
Ζ<Ο
(d)
45/256
(d)
Ο
<
2
c ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΚΕΦλΛΑΙΟ
Ι
!
1
3
3.43.
(α)
3.44.
(α) 3/4
1
(b) 7
(c) 6 (c) 3/5
(b) 1/4
1
3.52.
(α)
2/3
3.54.
(α)
7/12
(b) 2/3
(c) 7/4
(d) 2/3
3.55.
(α) 3/2
(b) -29/6
(α)
3.46.
10.5
3.56.
(α) π
3.47.
3
3.57.
(α)
35/12
3.48.
(α)
3.58.
(α)
4/3
3.50.
(α) 7/0
3.59.
(α)
1
3.60.
(α) Var (Χ)
3.61.
(α)
3.62.
(α) 3/2
(b) 39/4
3.64.
(α) t(e t / 2
+ e- t / 2 )
3.65.
(α)
(1
3.66.
(α)
μι
= Ο,
(b)
μι
=
3.61.
(α)
1/(1 - t), μι
3.68.
μι
.
1
(b) 2
(b) 1
1
(c) 1/4
= 5,
= V5
σχ
(b) Var (Χ)
= 3/80,
(d) 4/9
(e) 7/4
(Ι)
(c) 1/4
2/3 (d) 1/4
(b) 13n/6 (b) Υ35/Ι2 (b) V4ϊ3 (b) 1
σχ = ..;ϊ5/20
(b) 2
+ 2te 2t μΖ
Ο, μ2
=
(bk+ 1 -
αk +
+ qe
pe iωo
3.13.
(sin
3.14.
(e 2ίω -
3.77.
(α) 11/144
3.18.
(α)
3.79.
(α) 73/960
3.80.
(α) 233/324
3.81.
(α) 4
3.82.
-v'l5/4
3.83.
(α) (3Χ
3.84.
(α)
(b) μ
= -5,
μ3
3/80, μ3
μ4
=::
1
(b)
μ3
= 2,
μ4
μ~
μΖ
4/3,
= 1,
= 2,
μ;
μ~
=
ο, μ.ί
= 16/5,
=1
μ~
=
16/3
= 35
= -121/160,
<
l)/(k
= ο,
(b) μ
= cosh t
= 5,
= 1,
3.12.
V39/2
(c)
e2t )/2t2
Ο, μΖ
=
(d) 5/6
(c) 19/10
(b) 6/5
4
(α)
(c)
(c) 4/3
(b) 7/6
3.45.
3.69.
35ί
= 2307/8960 μ = 1, μ; = 2, μ; = 6, μ.ί = 24 μ4
= 33
+ 1)(b -
α)
(b) [1
+ (-I)k](b -
α)k/2k+
l(k
+ 1)
ίωb
α.ω)/ αω
1
2ίe 2iω -
(b) 11/144
(b) 1
(b)
1)/..,2
(c) 1
(c) ν'iϊΙ12
(d) 1
(b) 73/960 (b) 233/324
(e) Ο
(d) v'ϊi/12
(e) -1/144
({) -1/11
(/) Ο
(c) Υ73/960
(d) Υ73/960
(c) V233I18
(d) V233/18
(e) -1164
({) -15/73
(e) -91/324
({) -91/233
4/V35
+ 2)/(6χ + 3)
1/2 γιά χ ~ Ο
γιά Ο ~ χ ~ 1
(b) (3Υ
+ 2)/(6Υ + 3)
γιά Ο ~ Υ ~ 1
(b) 1 γιά Υ ~ Ο
24
<-=~--
.....................
~------------------
-~-~~~~------------------------
358 3.85.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Χ
Ο
Ε(Υ Ι Χ)
4/3
(α)
3.89.
(α)
3.90.
(α)
3.91.
(α)
6χ 2
+ 6Χ + 1 + 1)2
18(2Χ
1/9
1
Υ
Ο
1
2
Ε(ΧΙ Υ)
4/3
7/6
1/2
(b)
2
' 1
5/7
γιά Ο ;::ΞΞ χ ;::ΞΞ 1
(b)
6Υ2 + 6Υ + 1 ά Ο 18(2Υ + 1)2 γι
Var(Y
1
2
4/5
24/49
Ο
Ι Χ)
5/9
(α)
(b) 0.5
3.103.
(α)
+0
(b) ln 2
3.104.
(α) Ι -
3.101.
(α) ι/-/3
(b)
3.105.
(α) ~1- (3/VιO)
3.108.
(α) 1
(b) (-/3 - 1)/4
3.109.
(α)
1
(b) 0.17
3.113.
(α)
1 - 2e- l
3.114.
(α) 2(ν'3 - Ι )/3
3.116.
(α)
3.118.
(α) Ο
(b) 24/5a
3.119.
(α)
2
(b) 9
3.120.
(α)
7/3
(b) 5/9
3.121.
(α)
1/3
(b) 1/18
3.122.
(α)
21/2
3.123.
(α)
4/3
1
3.94.
(α)
e- 2
3.100.
(α)
2
(b) 2/9
<:
Υ =
(b) 1/4
Υ
Ο
Var(XIY)
5/9
(b)
3.102.
(α)
=
1
(b) 1
Χ
3.92.
<:
(b)
Δέν ύπάρχει.
3
(b) 3
1
-ι
29/36
2 7/Ι2
(c) Ο
(c) 3
iV3
(b)
Ι/2
~1 - (ι/γ2) (b)
~ 1 - (...;3/2)
(c) ..;ϊί2'
~1- (ι/VιO)
(d)
(c) Ι6/8Ι
(c) 0.051 Δέν ύπάρχει.
(b)
(b) 15/7
(b) 9
(c) (e t + 2e 2I (c) 2(e t
Ι
-
+ 3e3t )/6 - t)/t2
(d) (d)
(e ίω
+ 2e
-2(e ίω -
Ι
2ίω
-
+ 3e
3ίω
i..»/ω 2
)/6
(e) -7/27
(e) 1/135
(b) 35/4
+ 2te 2t -(1 + 2iωe
(c) (1 (d)
3.124.
1
3.125.
(α) Ι
(b) 8(2γ2 - 1)/15
3.126.
(α) 2
(b) -.[2π/2
3.127.
(α) Ο
(b) Ι/3
e2t )/2t2 2ίω
-
e 2ίω )/2ω 2
(e) -2ΥΊ8/15 (Ι)
12/5
(c) Ο
....................:.)[..~-.~EΞ .......................
e ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
•
359
4 (δ)
(d) 5/16
(c) 15/64
4.61.
(α)
1/64
4.62.
(α)
57/64
4.63.
(α)
1/4
(δ)
5/16
4.64.
(α)
250
(δ)
25
4.68.
(α)
32/243
4.69.
(α)
42
4.71.
(α) 1lpq(q - Ρ)
4.73.
(α)
1.5, -1.6
4.74.
(α)
75.4
4.75.
(α)
0.8767
(δ)
0.0786
(c) 0.2991
4.76.
(α)
0.0375
(δ)
0.7123
(c) 0.9265
4.77.
(α)
0.9495
(δ)
0.9500
(c) 0.6826
4.78.
(α)
0.75
4.79.
-0.995
4.80.
0.0668
4.81.
(α)
20
4.82.
(α)
93%
4.83.
84
4.84.
(α)
61.7%
(δ)
54.7%
4.85.
(α)
95.4%
(δ)
23.0%
4.86.
(α)
1.15
4.87.
(α)
0.9962
(δ)
0.0687
4.88.
(α)
0.2511
(δ)
0.1342
4.89.
(α)
0.0567
(δ)
0.9198
4.90.
0.0089
4.91.
(α)
0.04979
4.92.
(α)
0.0838
4.93.
(α)
0.05610
3/32
(δ)
21/32
192/243
3.550
(g) 1/64
(f) 3/32
4.65.
(α)
4.66.
64/243
4.67.
193/512
17/162
(δ)
1/324
(d) 242/243
(d) 2.927
+ 3n2p2 q2
72,90
9
-1.86
36
(δ)
(c) 40/243
(δ) npq(1'- 6pq)
(δ)
(δ)
(d) 5/8
(c) -0.1127
(δ)
(δ)
(δ)
(c) 11/16 (c) 500
(δ)
(δ)
(e) 15/64
(c) 2.08
(c) 227
8.1 %
(d) 0.0154
(d) 1.625
η
(e) 0.7251
0.849
(f) 0.0395
(e) ±1.645
(d) 40
(c) 0.47%
(d) 15%
(c) 93.3%
0.77
(δ) (δ)
0.1494
0.5976
(δ)
0.06131
(c) 0.0286
(d) 0.0558
(c) 0.6404
(d) 0.0079
(ι')
0.2241
(c) 0.4232
(d) 0.2241
(e) 0.1680
(f) 0.1008
360
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
4.94.
(α)
4.101.
(a) 5/3888
4.102.
(α)
4.103.
3/8
4.104.
(α)
4.105.
(α)
4.106.
(α) (~~) α~)/α~)
4.109.
(α)
4.111.
(α) Ο
4.112.
(α) Ο
4.113.
1/4
4.114.
(α)
3/4
4.130.
(α)
16.0
(b) 6.35
4.131.
(α)
122.5
(b) 179.2
4.132.
(α)
207.7
(b) 295.2
4.135.
(α)
2.60
(b) 1.75
(c) 1.34
(d) 2.95
(e) 2.13
4.136.
(α)
3.75
(b) 2.68
(c) 2.48
(d) 2.39
(e) 2.33
4.137.
(α)
1.71
(b) 2.09
(c) 4.03
(d) -0.128
4.138.
(α)
1.81
(b) 2.76
(c) -0.879
4.141.
(α)
2.62
(b) 1.73
(c) 1.84
(c) 0.6964
(d) 0.1033
(/) 0.0620
(b) 5/324 (b) 0.000295
0.000348
70/429
(c) 0.1607
(b) 0.04462
0.00248
(b) 1/143
(c) 142/143
(163)(3i)ja;) 4.120.
(α)
13 1-8ve
(b) 2(b - a)4/5
4.126.
(α)
21.0
(b) 26.2
(c) 23.3
(b) 9/5
4.127.
(α)
15.5
(b) 30.1
(c) 41.3
(d) 55.8
4.128.
(α)
20.1
(b) 36.2
(c) 48.3
(d) 63.7
4.129.
(α)
9.59
3/4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
(b) 3/4
(b) 1/3
καί
13 1/2 (b) -e8
-
5 1 -e2
34.2
(c) Άν δεχτοϋμε ίσα έμβαδά δεξιά καί άριστερά, x~
= 2.17
καί χ;
= 14.1.
(d) -1.37 (d) 0.352
(e) 0.361
(Ι)
0.166
5
5.49.
(α)
9.0
(b) 4.47
(c) 9.0
(d) 3.16
5.50.
(α)
9.0
(b) 4.47
(c) 9.0
(d) 2.58
5.51.
(α)
μχ
= 22.40
gr,
σχ
= 0.008 gr
(b) μχ
= 22.40 gr,
σχ
5.52.
(α)
μχ
= 22.40 gr,
σχ
= 0.008
(b) μχ
= 22.40 gr,
σχ
5.53.
(α)
237
5.54.
(α)
0.4972
(b) 0.1587
(c) 0.0918
(d) 0.9544
5.55.
(α)
0.8164
(b) 0.0228
(c) 0.0038
(d) 1.0000
(b) 2
(c) κανένα
gr
(d) 24
λίγο μικρότερο άπό
= 0.0057 gr
0.008 gr.
u ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
5.66.
0.0482
5.67.
0.0136
5.68.
0.0316
5.70.
(α)
5.71.
0.0228
5.72.
(α)
(b) 0.8869
5.73.
(α) 40/3
(b) 28.10
0.0028
(b) 0.9172
5.74.
(α)
0.50
(b) 0.17
0.2150
(b) 0.0064
5.75.
(α)
0.36
(b) 0.49
5.56.
0.0026
5.57.
(α)
0.0019
5.58.
(α)
2
5.59.
(α)
0.0179
5.60.
(α)
6
(b) 9
5.62.
(α)
6
(b) 125
5.63.
(α)
0.0077
5.64.
(α)
5.65.
(α)
5.80.
(α) μικρότερη άπό
0.01
(b)
μεταξύ
5.81.
(α) μικρότερη άπό
0.01
(b)
μικρότερη άπό
5.82.
(α)
5.87.
(c) 218
(b) 996
(c) 2
(d) 12
(c) 0.4504
0.01
949.5
(c)
καί
(Ι)
0.05.
118.79
10.00
(h) 29.5%
76
μέτρα
(c) 0.320-0.322, 0.323-0.325, 0.326-0.328, ... , 0.335-0.337
5.99.
501.0
5.100.
0.72642 cm
5.101.
26.2
5.102.
(α)
78
5.104.
45
5.97.
80'!ι:,20%
5.105.
(α)
5.98.
11.09
5.106.
(α) Χ
5.107.
(α)
0.000576 cm
5.108.
(α)
146.8 gr, 12.9 gr
5.109.
(α)
0.7349
5.111.
(α)
6
5.112.
(α) Ο
5.113.
(α)
5.92.
86
5.93.
0.50
5.94.
8.25
5.95.
(α)
5.96.
δευτερόλεπτα
82
-1
(b) 79
τόννοι
κιλά.
(b) 40 (b) 4 (b) 5
2.16
(b) 0.90
= 2.47
(b) s
(b) 72.1%,93.3%,99.76%
(d) 2188
(c) 288 (c)
Ο
(d) 25.86
(c) -91
(c) 0.484
0.733 τόννοι (b) 38.60
ό.00495 κιλά
(d) 53
(b) 11.49
(g) 62/400
ώρες
μέτρα
(b) 0.3195, 0.3225, 0.3255, ... , 0.3375
(b) 0.74 κιλά
άλλά πλησιέστερα στό
(c) 46'70
(b) 11%
κιλά
(c) 0.28
0.01
0.01
(e) 100
(d) 1099.5, 1199.5
(α) 24'70
0.003
(c) 0.1841
(b) 0.8664
799
(α)
(c) 0.1151
(b) 0.9596
(b) 1000
5.86.
361
= 1.11
= 0.155
ή
15.5%
(ί)
19.0%
(j) 78.0%
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
362 5.115.
Ο,
5.116.
7
5.117.
(α)
5.118.
Ο,
5.121.
7Πι
= Ο,
7/12
= 5.97,ιιι:! = -3.97,
5.122.
ml
= Ο,
7n2
= 0.53743,
5.123.
(α)
26.25,
Ο,
1193.1
0,6,19,42
(b) -4,22, -117, 560
0.2344, -0.058fi, 0.0696
Ο
(c)
7/1·3
(d) 7158.20
5.124.
(α)
-0.2464
(b) 2.62
5.125.
(α)
0.4939
5.126.
ή πρώτη κατανομή
5.127.
(α) ή δεύτερη
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
(α)
9.5
6.30.
(α)
1200
706,428
(e) 26.2
(g)
739.38
(ί)
([) 7.28
(Ιι)
22,247
(j) 24,545
5.128.
(α)
7.2
(b) 8.4
5.129.
(α)
106
(b) 4
5.130.
159
5.131.
(α)
78.7
(b) 0.0090
κιλά
(b) 0.74
ώρες
(κιλά)2
(c)
καί
0.78
0.8β
κιλά άντίστοιχα
(b) 105.4 ώρες
(α) Μέ 30,50 καί 1ΩΟ λυχνίες στό δείγμα ή έκτίμηση τής τυπικής άποκλίσεως τοϋ πληθυσμοϋ ε{ναι 101.7,
101.0
6.33.
πρώτη
= 0.84914
711·4
6
6.29.
6.32.
(b) 2.94
(b) ή
= 89.22
7114
= 0.36206,
92.35
(b) 52.95
6.31.
(c) 1,7,38,74
καί
ώρες άντίστοιχα.
100.5
(b) 11.09 ± 0.24
(α)
11.09 ± 0.18
(α)
0.72642 ± 0.000095 cm
τόννοι
Ή έκτίμηση τής μέσης τιμής ε{ναι τόννοι
( (Ι) 0.72G42 ± 0.000060 cm
(b) 0.000025 cm
6.34.
(α)
6.35.
(α) τουλάχιστο
96
6.36.
(α) τουλάχιστο
384
6.37.
(α)
7.38 ± 0.82
κιλά
(b) 7.38 ± 1.16 κιλά
6.38.
(α)
7.38 ± 0.73
κιλά
(b) 7.38 ± 0.96 κιλά
6.39.
(α)
0.298 ± 0.030 sec
6.40.
(α)
0.70 ± 0.12, 0.69 ± 0.11
6.41.
(α) τουλάχιστο
6.43.
(α)
1.07 ± 0.09
6.44.
(α)
0.045 ± 0.073
0.72642 ± 0.000025 cm
323 ώρες
τουλάχιστο
τουλάχιστο
(b)
ώρες πάντα.
0.72642 ± 0.000072 cm
(c)
(b) 0.72642 ± 0.000085 cm
(b)
1200
(c)
68
τουλάχιστο
(c)
271
167
τουλάχιστο
666
(d) τουλάχιστο 225 (d.)
τουλάχιστο
900
(b) 0.298 ± 0.049 sec
(b)
(b) 0.70 ± 0.15, 0.68 ± 0.15
τουλάχιστο
(c) τουλάχιστο 756
560
(b) 1.07 ± 0.12 (b) 0.045 ± 0.097
ώρες
(c) 0.045 ± 0.112
(c) 0.70 ± 0.18, 0.67
"±::
0.17
c ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
6.45.
(α)
63.8 = 0.24
κιλά
6.46.
(α)
1800 = 249
κιλά
6.47.
86
6.48.
(α)
τουλάχιστο
6.49.
(α)
87.0
~ως
230.9
ώρες
(b) 78.1 ~ως 288.5 ώρες
6.50.
(α)
95.6
~ως
170.4
ώρες
(b) 88.9 ~ως 190.8 ώρες
6.51.
(α)
106.1
~ως
140.5
6.52.
(α)
0.269
~ως
7.70
(b) 0.453 ~ως 4.58
6.53.
(α)
0.519
~ως
2.78
(b) 0.673 ~ως 2.14
6.54.
(α)
0.138
~ως
10.8
(b) 0.259 ~ως 5.02
6.56.
(α)
0.941
~ως
6.58.
Ι'
6.59.
k
6.60.
(α)
=4.60
6.61.
(α)
2400 = 45
6.62.
105.5
(b) 63.8 = 0.31 κιλά
4802
3n
-
2(x~+
-1-
~ως
(b)
ώρες
2.20, 1.067
τουλάχιστο
(c)
τουλάχιστο
11,250
(b) 102.1 ~ως 148.1 ώρες
~ως
(b) 0.654 ~ως 1.53, 0.741
1.944
t:ως
1.35
11.
Ιη (Χι"
'Χ,,)
κιλά
13Η.6
(d) :,:2.75
(c) =2.7Η
(b) =3.06
2400 = 59
κιλά
(b)
(e) =2.70
87.6~(
ώρες
7
o.2r,Or,
Ι/ι)
7.64.
(α) 'Εάν βγήκαν
(c) 'Εάν βγήκαν (α) (Η ο : ρ:;::
22 2·1
0.5),
έως
42
έως
4Ο κόκκινες σφαίρες, δεχόμαστε τήν ύπόθεση.
(Ηι: ρ>
κόκκινες σφαίρες, δεχόμαστε τήν ύπόθεση.
0.5).
(b)
Μονόπλευρος έλεγχος.
σφαίρες, άπορρίπτουμε τήν ύπόθεση Η ο . ρισσότερες άπό
•
8321
+ x~)
...
ί.63.
7.66.
(c) 1800 = 382 κιλά
(b) 1800 = 328 κιλά
κιλά
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7.65.
363
41
Άλλιώς τήν άπορρίπτουμε.
(c) 'Εάν βγήκαν περισσότερες άπό 39 κόκκινες
Άλλιώς τή δεχόμαστε η δέν παίρνουμε άπόφαση.
κόκκινες σφαίρες, άπορρίπτουμε τήν
Ηο .
«(Ι) 'Εάν βγήκαν πε
Άλλιώς τή δεχόμαστε η δέν παίρνουμε άπόφαση.
(α)
Δέν μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση σέ έπίπεδο σημαντικότητας
Ω.Ο;).
(b)
Δέν μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση σέ έπίπεδο σημαντικότητας
Ο.Ω".
7.6ί.
Δέν μπορούμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση σέ έπίπεδο Ω.ΟΙ
ί.68.
Δέν μπορούμε νά άπορρίψουμε τόν ίσχυρισμό μέ μονόπλευρο έλεγχο καί στίς δύο περιπτώσεις.
7.69.
Ναί, καί στά δύο έπίπεδα σημαντικότητας χρησιμοποιώντας μονόπλευρο έλεγχο.
7.ίΟ .
Τό άποτέλεσμα εΙναι σημαντικό σέ έπίπεδο
0.05
(b) 0.99.
Άλλιώς τήν άπορρίπτουμε.
ούτε στό
«(Ι) ούτε στό (b).
μέ μονόπλευρο η δίπλευρο έλεγχο.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
364 7.71.
Τό άποτέλεσμα είναι σημαντικό σέ επίπεδο
7.72.
(ο)
7.73.
Ένας μονόπλευρος ελεγχος δείχνει στι οί λαμπτήρες τής έταιρείας Β είναι καλύτεροι άπό τής Α καί στά δύο επίπεδα.
7.74.
Ένας μονόπλευρος έλεγχος δείχνει στι ή διαφορά είναι σημαντική σέ επίπεδο
7.75.
'Ένας μονόπλευρος ελεγχος δείχνει καί στά δύο επίπεδα δτι τό λίπασμα βελτιώνει τήν άπόδοση τής γής.
7.76.
(α)
Ένας δίπλευρος ελεγχος δείχνει στι δέν ύπάρχει διαφορά μεταξύ των δύο μηχανων σέ έπίπεδο
(b)
'Ένας μονόπλευρος ελεγχος δείχνει στι ή Β δέν παράγει καλύτερες βίδες άπό τήν Α σέ έπίπεδο
ΝαΙ
0.01
καί μονόπλευρο ελεγχο, όχι δμως δίπλευρο.
·Οχι.
(b)
0.05 άλλά όχι καί
0.01.
0.05, 0.05.
7.77.
Ένας δίπλευρος ελεγχος στό ενα ή στό άλλο επίπεδο δέ δίνει ενδείξεις στι ή μέση ζωή άλλαξε.
7.78.
Ένας μονόπλευρος ελεγχος δέ δείχνει ελάττωση τής μέσης τιμής σέ έπίπεδο σημαντικότητας
7.79.
'Ένας δίπλευρος ελεγχος σ' αυτά τά έπίπεδα σημαντικότητας δείχνει στι τό κράμα δέν ίκανοποιεί τίς προδιαγραφές.
7.80.
0,05
ή
0,01.
'Ένας μονόπλευρος ελεγχος στά δύο αυτά επίπεδα δείχνει στι τό μέσο ποσοστό τού χαλκού είναι μεγαλύτερο άπό αυτό πού άπαιτούν οί προδιαγραφές.
7.81.
'Ένας μονόπλευρος ελεγχος δείχνει ότι σέ επίπεδο
7.82.
τό νέο μηχάνημα δέν πρέπει νά είσαχτεί, ένω σέ έπίπεδο
0.01
τό νέο μηχάνημα πρέπει νά είσαχτεί.
0.05
Χρησιμοποιώντας δίπλευρο έλεγχο καί σέ επίπεδο σημαντικότητας Ο,Ω5 δέν μπορούμε νά συμπεράνουμε ότι ύ· πάρχει διαφορά στήν όξύτητα των δύο διαλυμάτων.
7.83.
Χρησιμοπο.ιώντας μονόπλευρο ελεγχο καί σέ έπίπεδο σημαντικότητας φοιτητων δέν είναι
0.05
συμπεραίνουμε δτι ή πρώτη όμάδα των
καλύτερη από τή δεύτερη.
7.84.
Ή αύξηση πού παρουσιάστηκε στήν τυπική άπόκλιση δέν είναι σημαντική σ' αυτά τά επίπεδα.
7.85.
Ή μείωση στή διασπορά τής ετήσιας θερμοκρασίας είναι σημαντική σέ επίπεδο
Ω.Ω5 άλλά όχι καί
7.86.
Αύτό είναι ασύνηθες σέ επίπεδο σημαντικότητας
0,05.
7.87.
Σ'
7.88.
Καί στά δύο επίπεδα σημαντικότητας ή πρώτη διασπορά είναι μεγαλιΊτερη από τή δεύτερη.
7.89,
·Οχι.
7.90.
(ο.)
0.3112
7.94.
(ο.)
8,64 ± 0.96 gr
7.95.
(0.) 6
7.96.
f(x)
7.98.
ΟΙ άναμενόμενες συχνότητες είναι αντίστοιχα
1.7,5.5,12.0, 15.9,
7.99.
ΟΙ άναμενόμενες συχνότητες ε!ναl αντίστοιχα
1.1, -1.0, 11.1,
7.100.
ΟΙ άναμενό.μενες συχνότητες εΙναl άντίστοιχα
-11.7, 5:3...1,
7.101.
f(x)
0.01,
αλλά όχι "αί σε επίπεδο
αυτά τά επίπεδα δέν μπορούμε νά συμπεράνουμε δτι ή πρώτη διασπορά εί\'αι μεγαλύτερη από τή
ib) 0.0118
(c)
Ο
(cl)
Ο
(b) 8.64 ± 0.83 gr
0.01.
δεύτερη.
(e) 0.0118 (c) 8.64 ± 0.63 gr
(b) 4
= 4C:r(0.32)Z(0.G8)4 -Ι.
= (0.61),:.e- O.61 Χ!
Οί άναμενόμενες συχνότητες είναι αντίστοιχα 1~Ι7,
23.!Ι, 3!Ι.5,
:~-1.2,
1·4.6
καί
Οί άναμενόμενες συχνότητες εΙναι αντίστοιχα
32, 60, 43, 13
7.(;, 2.7
καί
καί
2.
0.6.
50.2,49.0, 3G.6, 21.1, 9.4, 3.1
καίl.0.
-1.7.
108.7, 66.3, 20.2, 4.1
καί
0.7.
11.
.------------------_-. 365
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
7.102.
Δέν μποροϋμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση σ'
7.103.
Τό συμπέρασμα εΙναι τό ίδιο.
7.104.
αύτά τά επίπεδα.
Ό νέος καθηγητής φαίνεται οτι διαφέρει άπό τούς άλλους.
Οί μεγαλύτεροι (γενικά) βαθμοί μπορεί νά όφείλονται
σέ καλύτερη διδασκαλία ή χαμηλότερα κριτήρια η καί τά δύο.
7.105.
Δέν ύπάρχει λόγος νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση ΟΤΙ τά νομίσματα εΙναι κανονικά.
7.106.
Δέν ύπάρχει λόγος νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση σ' αύτά τά επίπεδα.
7.107.
(α)
10, 60, 50
άντίστοιχα
(b)
Ή ύπόθεση (οτι τά άποτελέσματα τοϋ Πίν.
μπορεί νά άπορριφθεί σέ επίπεδο
7.108.
Ύπάρχει σημαντική διαφορά σέ επίπεδο
7.109.
(α)
Ναί, εΙναι καλή.
7.110.
(α)
Ή προσαρμογή εΙναι πολύ καλή.
7.111.
(α)
Ή προσαρμογή ε!ναι πολύ κακή σέ επίπεδο
(b)
·Οχι, δέν εΙναι πολύ καλή.
(b)
__
ο
Ή προσαρμογή δέν εΙναι καλή σέ επίπεδο
0.05.
Έπειδή ή διωνυμική καμπύλη προσαρμόζεται καλά στά
Ή ύπόθεση μπορεί νά άπορριφθεί σέ επίπεδο
7.113.
Τό συμπέρασμα εΙναι τό 'ίδιο.
7.114.
Ή ύπόθεση δέν μπορεί νά άπορριφθεί σ' αύτά τά επίπεδα.
7.115.
Ή ύπόθεση δέν μπορεί νά άπορριφθεί σέ επίπεδο
7.116.
Ή ύπόθεση μπορεί νά άπορριφθεί καί στά δύο επίπεδα.
7.117.
Ή ύπόθεση μπορεί νά άπορριφθεί καί στά δύο επίπεδα.
7.118.
Ή ύπόθεση δέν μπορεί νά άπορριφθεί σ' αύτά τά επίπεδα.
7.123.
(α)
0.3863, 0.3779
(μέ τή διόρθωση τοϋ
7.124.
(α)
0.2205, 0.1985
(διορθωμένο)
7.125.
0.4651
0.05,
(α)
Μέ δίπλευρο ελεγχο καί σέ επίπεδο Μέ μονόπλευρο ελεγχο καί σέ επίπεδο
άλλά δχι καί σέ επίπεδο
Yates)
0.05 0.05
(διορθωμένο)
δέν μποροϋμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση ίσων άναλογιών. φαίνεται δτι τό Α εχει περισσότερες κόκκινες σφαίρες άπό τό Β.
7.129.
(α)
7.132.
(α) όχι
7.137.
Μέ μονόπλευρο έλεγχο τό άποτέλεσμα εΙναι σημαντικό σέ επίπεδο
7.138.
Σέ επίπεδο
7.139.
·Οχι σέ επίπεδο
(b) 10 (b)
ναί
0.05
(c) 10
(c) όχι
(d) 8
0.01.
0.05.
(b) 0.0872, 0.0738
(b)
0.05.
(b) Ή προσαρμογή ε!ναι καλή, άλλά οχι πολύ καλή.
7.109.
7.112.
9
εΙναι ίδια μέ τά άναμενόμενα)δέν
0.05.
δεδομένα, αύτό συμφωνεί μέ τό Πρόβλ.
7.128.
7-28
0.05.
7.133 ..
(α) ναί
(b)
ναί
(c) οχι
7.134.
(α) δχι
(b)
οχι
(c) οχι
0.05,
άλλά οχι καί σέ επίπεδο
0.01.
δέν μποροϋμε νά συμπεράνουμε δτι ή βενζίνη τής Α εΙναι καλύτερη άπό τή βενζίνη τής Β.
0.05.
366
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
8 η
8.64.
-0.333
Υ
+ 0.714 χ
(b)
χ
=
9 1 +-Υ 7
η
χ
1.00
(b) 10.00
8.65.
(α)
8.67.
(b) Υ
= 29.13 + 0.661 χ
(c) χ
= -14.39 + 1.15 Υ
8.68.
(b) Υ
= 4.000 + 0.500 χ
(c) χ
= 2.408 + 0.612 Υ
8.69.
Υ
8.70.
(b) d
= 41.77 -
8.71.
(b) Υ
= 32.14(1.427)%
8.74.
(α)
Ζ
= 61.40 -
8.79.
(α)
1.304
(b) 1.443
8.80.
(α)
24.50
(b) 17.00
8.81.
0.5533
8.83.
1.5
8.84.
(α)
0.8961
8.85.
(α)
0.958
8.86.
(α)
Υ
8.87.
(α)
1.60
8.88.
±0.80
8.93.
(α)
8.89.
75%
8.95.
r
8.90.
(α)
8.96.
(α)
0.5606
8.92.
3.12
8.97.
(α)
-1.0000
8.107.
(α)
2.00 ± 0.21
8.108.
(α)
Χρησιμοποιώντας ενα μονόπλευρο ελεγχο μποροϋμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση.
(b)
Χρησιμοποιώντας ενα μονόπλευρο ελεγχο δέν μποροϋμε νά άπορρίψουμε τήν ύπόθεση.
8.109.
(α)
37.0 ± 3.6
(b) 37.0 ± 4.9
8.110.
(α)
37.0 ± 1.5
(b) 37.0 ± 2.1
8.111.
(α)
1.138 ± 0.398
8.112.
(α)
ναί
8.113.
(α)
3.24, 8.24
=
5.51
=
+ 3.20(Χ -
+ 0.733(χ -
3)
1.096 v
Υ
(b)
χ
=
η
3)2
+ 0.08786 v 2
η Υ
3.65
2.51 - 1.20 χ
(e) 95
+ 0.733 χ
2
(c) 170 m, 516 m
= 32.14(10)0.1544%
+ 2.54 Υ
=
Υ
(d) 79
η
Υ
= 32.14eo.3556%
(d) 387
(b) 40
(c) 7.50
80.78
+ 1.138 χ
(b) χ
= 0.45 Υ + 1
(c) 132
(b) 0.872 0.8Χ
+ 12
(b) 1.20
-0.9203
οχι
+ 1.29 Υ
(b)
(b)
0.9927
ταξ
=.2.3 (b) 0.9318
(b) 2.00 ± 0.28
οχι
ναί
(b) 132.0 ± 19.2 8.114.
8.115.
(c) 132.0 ± 5.4 (α)
0.2923
καί
0.7951
(b) 0.1763
καί
0.8361
0.3912
καί
0.7500
(b) 0.3146
(α)
καί
0.7861
, .•• Ρ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ζ ... 4
.,
.. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
8.116.
0.7096
καί
(α)
8.126.
0.9653
Υ
= 3.33 Χ
(b) 146.7
8.117.
(α)
ναί
όχι
(b)
(α)
8.127.
κ:αί
367
66.4
-
173.4
20.36
(b) 3.30
8.120.
4/5
8.128.
0.4547
8.125.
0.5402
8.129.
0.9254
8.130.
(b)
Υ
= 122.42 + 2.19 Χ,
+4.38χ,
8.131.
(b)
Υ
= 18.16 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
••
5
0.1083 Χ
0.6158
=
εάν ή μονάδα του Χ εΙναι ~ έτος καί άρχή ή
έάν ή μονάδα του χ εΙναι
του χ εΙναι
καί
+ 0.4653 χ
έτη καί άρχή ή
1
έτος κ:αί άρχή ή
1
2,
1.
'Ιουλίου
1 'Ιανουαρίου 1954. Ή Υ 107.9 1950. (d) 142.1 (e) 1971.
δπου Υ εΙναι τό πλήθος τών γεννήσεων άνά χίλιους "ατοίκ:ους, ή μονάδα
'Ιουλίου
1935.
9
9.23.
'Υπάρχει σημαντική διαφορά στίς άποδόσεις καί στά δύο επίπεδα σημαντικότητας.
9.24.
Δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά στά δεδομένα επίπεδα σημαντικότητας.
9.25.
'Υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ τών μεθόδων διδασκαλίας σέ επίπεδο
9.26.
'Υπάρχει σημαντική διαφορά σέ έπίπεδο
9.27.
'Υπάρχει σημαντική διαφορά στούς βαθμούς μεταξύ τών μαθημάτων καί στά δύο επίπεδα.
9.31.
Δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ τών χειριστών ή μεταξύ τών μηχανών.
9.32.
Δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ τών χειριστών ή μεταξύ τών μηχανών.
9.33.
'Υπάρχει σημαντι"ή διαφορά μεταξύ τών τεσσάρων εΙδών "αλαμποκιου, άλλά όχι μεταξύ τών χωραφιών.
9.34.
Δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά ούτε μεταξύ τών είδών "αλαμποκιού ούτε μεταξύ τών χωραφιων.
9.35.
Σέ επίπεδο
0.05
ύπάρχει σημαντική διαφορά καί μεταξύ των έλαστι"ών "αί μεταξύ των αύτο"ινήτων.
9.36.
Σέ επίπεδο
0.01
δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά ούτε μεταξύ των ελαστικών ούτε μεταξύ των αύτοκινήτων.
9.37.
Δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά ούτε στίς μεθόδους διδασκαλίας ούτε στά σχολεία.
9.38.
Δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ δποιωνδήποτε κατηγοριών.
9.39
Δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ όποιωνδήποτε κατηγοριων.
9.40.
Σέ επίπεδο
0.05
ύπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των περιοχών, άλλά όχι μεταξύ τών λιπασμάτων.
9.41.
Σέ έπίπεδο
0.01
δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά ούτε μεταξύ των λιπασμάτων ούτε μεταξύ τών περιοχων.
9.42.
'Υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των χειριστών, άλλά όχι μεταξύ των μηχανών.
9.43.
Δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά ούτε μεταξύ τών λιπασμάτων ούτε στή γονιμότητα του εδάφους.
9.44.
Ή άπάντηση παραμένει ή ίδια μ'
0.05,
άλλά οχι καί σέ επίπεδο
αύτή τού Προβλ.
0.05,
άλλά όχι καί σέ επίπεδο
0.01.
0.01.
9.43 .
............... •..•.......................
~--
-
:-•.
~---
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
368 9.45.
Δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά στήν άπόδοση τών φοιτητών πού νά όφείλεται σέ διαφορές στό χρώμα τών μαλλιών, τό ϋψος
9.46.
ij
τήν καταγωγή τους.
Σημαντικές διαφορές ύπάρχουν μόνο στά κοτόπουλα διαφορετικών είδών καί στίς ποσότητες τής πρώτης χημικής ούσίας.
9.47.
Ύπάρχουν σημαντικές διαφορές στούς τύπους τών καλωδίων. Δέ φαίνεται νά ύπάρχουν σημαντικές διαφορές στίς έταιρείες, τούς χειριστές η
τίς μηχανές.
9.48.
Δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ τών κατεργασιών σ'
9.49.
Δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά σ'
9.52.
αύτά τά έπίπεδα.
αύτά τά έπίπεδα.
Ύπάρχουν σημαντικές διαφορές στά άποτελέσματα τών έξετάσεων, πού όφείλονται καί στό δτι ταξίδεψαν
ij δέν
ταξίδεψαν στό έξωτερικό και στό διαφορετικό δείκτη νοημοσύνης.
9.53.
Σέ έπίπεδο έξωτερικό.
9.54.
0.01
δέν ύπάρχουν σημαντικές διαφορές στά άποτελέσματα άπό τό δτι ταξίδεψαν
ij δέν ταξίδεψαν στό
'Υπάρχουν δμως σημαντικές διαφορές άπό διαφορετικό δείκτη νοημοσύνης.
Δέν ύπάρχουν σημαντικές στά άποτελέσματα, πού νά όφείλονται στήν καταγωγή τών φοιτητών.
Ύπάρχουν δμως
σημαντικές διαφορές, πού όφείλονται σέ διαφορετικό δείκτη νοημοσύνης.
9.55.
Ή άπάντηση παραμένει ή 'ίδια μέ αύτή τοϋ Προβλ.
9.61.
Δέν ύπάρχουν σημαντικές διαφορές.
9.62.
Ύπάρχουν σημαντικές διαφορές πού όφείλονται στίς περιοχές, δχι δμως καί στά λιπάσματα.
9.63.
Δέν ύπάρχει σημαντική διαφορά, πού νά όφείλεται στίς περιοχές
9.64.
Ύπάρχουν σημαντικές διαφορές πού όφείλονται στόν παράγοντα
9.66.
Δέν ύπάρχουν σημαντικές διαφορές.
9.54.
ij
1,
τά λιπάσματα.
δχι δμως στόν παράγοντα
2 ij
τά Α, Β,
C.
ΑΓΓ ΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ
Acceptance = άποδοχή, παραδοχή Accuracy = άκρίβεια Ace = άσσος Aggregate = συνολικός Algebra = άλγεβρα Alternative = έναλλακτικός Alternative hypothesis = έναλακτική ύπόθεση Analysis = άνάλυση Analysis of variance = άνάλυση διασπορας Α posteriori approach = έκ των ύστέρων μέθοδος Approach = μέθοδος Approximation = προσέγγιση Α priori approach = έκ των προτέρων μέθοδος Area = έμβαδό Arithmetic mean = άριθμητικός μέσος δρος Assignment = άποστολή, έντολή Associative law = προσεταιριστική ίδιότητα Asymptotic = άσυμπτωτικός AsymptoticaIIy normal random variable = άσυμπτωτικά Asymptotic expansion = άσυμπτωτικό άνάπτυγμα Asymptotic formula = άσυμπτωτικός τύπος Axiom = άξίωμα Axiomatic approach = άξιωματική μέθοδος Axis = άξονας
κανονική τυχαία μεταβλητή
Bar = ράβδος Bar chart = ραβδόγραμμα Bayes' theorem or rule = θεώρημα ij τύπος του Bayes Bernoulli distribution = κατανομή του Bernoulli ij διωνυμική κατανομή Bernoulli trial = δοκιμή Bernoulli Beta distribution = κατανομή βήτα Beta function = συνάρτηση βήτα Biased estimate = μή άμερόληπτη έκτίμηση Bimodal distribution = δικόρυφη κατανομή Binomial coefficients = διωνυμικοί συντελεστές Binomial distribution = διωνυμική κατανομή Binomial expansion = άνάπτυγμα του διώνυμου Binomial population = διωνυμικό ς ij διωνυμικά κατανεμημένος πληθυσμός Birthday = γενέθλια Bivariate distribution = διδιάστατη κατανομή Block = κομμάτι, τμήμα Boltzmann' s constant = σταθερή του Boltzmann Bose-Einstein statistics = στατιστική των Bose-Einstein Boundary = σύνορο Bridge = μπρί τζ, γέφυρα Buffon' s needle problem = πρόβλημα τής βελόνας του Buffon Calculation = ύπολογισμός Case = περίπτωση Category = κατηγορία, κλάση
369
370
ΑΓΓΛΙΚΗ OPOΛOΓlA
Cauchy distribution = κατανομή του Cauchy Cause = αΙτία Cell = κελί, κύτταρο, στοιχείο Cell frequency = συχνότητα κελιου Center = κέντρο Center of gravity = κέντρο βάρους Central limit theorem = κεντρικό όριακό θεώρημα Central moment = κεντρική ροπή Centroid = κέντρο βάρους Certain event = βέβαιο γεγονός Change = άλλαγή, μεταβολή Change of variable = άλλαγή μεταβλητης Characteristic = χαρακτηριστικός Characteristic function = χαρακτηριστική συνάρτηση Chart = χάρτης Chebyshev' s inequality = άνισότητα του Chebyshev Chess = σκάκι Chi-square distribution = κατανομή χ 2 chi-square test = ελεγχος χ 2 Class = κλάση Class boundaries = δρια κλάσεως Classical approach ιο probability = κλασικός όρισμός πιθανότητας Classification = ταξινόμηση Classification table = πίνακας ταξινομήσεως Class interval = διάστημα κλάσεως Class mark = κέντρο η μέσο κλάσεως Closed = κλειστός Closed interval = κλειστό διάστημα Club = σπαθί (χαρτί τράπουλας) Coding method = κωδικοποιημένη μέθοδος Coefficient = συντελεστής Coefficient of contingency = συντελεστής συνάφειας Coin = νόμισμα, κέρμα Collection = συλλογή Column = στήλη Combination = συνδυασμός Combinatorial analysis = συνδυαστική άνάλυση Common = κοινός Commutative law = άντιμεταθετική Ιδιότητα Complement = συμπλήρωμα Complementary enor function = συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος Complete = πλήρης, τέλειος Complete randomization = πλήρης τυχαιότητα Complex = σύνθετος, πολύπλοκος Complex number = μιγαδικός άριθμός Composite event = σύνθετο γεγονός Computation = ύπολογισμός Concept = εννοια, ίδέα Condition = δρος, συνθήκη Conditional distribution = κατανομή ύπό συνθήκη Conditional frequency = συχνότητα ύπό συνθήκη Conditional moment = ροπή ύπό συνθήκη Conditional probability = πιθανότητα ύπό συνθήκη Confidence = εμπιστοσύνη Confidence coefficients or critical values = κρίσιμες τιμές Confidence interval = διάστημα εμπιστοσύνης Confidence level = συντελεστής εμπιστοσύνης Confidence limits = δρια εμπιστοσύνης Constant = σταθερή Contingency = συνάφεια Contingency tables = πίνακες ταξινομήσεως η συνάφειας
~-4
ΑΓΓΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ
Continuity = συνέχεια Continuous = συνεχής Continuous probability distribution = συνεχής κατανομή πιθανότητας Continuous random variable = συνεχής τυχαία μεταβλητή Continuous sample space = συνεχής δειγματόχωρος Control = ελεγχος Control chart = διάγραμμα ελέγχου Control group = όμάδα ελέγχου Convolution = συνέλιξη Cοπectίοn
Cοπelatίοn Cοπelatίοn
=
διόρθωση
= συσχέτιση coefficient =
συντελεστής συσχετίσεως
Counter = άπαριθμητής Counting = άπαρίθμηση Covariance = συνδιασπορά, συνδιακύμανση, συμμεταβλητότητα Critical region = κρίσιμη περιοχή Critical values = κρίσιμες τιμές Cumulative = άθροιστικός Cumulative distribution function = άθροιστική συνάρτηση κατανομής Cumulative frequency distribution = άθροιστική κατανομή συχνότητας Cumulative frequency polygon = πολύγωνο άθροιστικής συχνότητας Curνe
= καμπύλη
Curνe
fitting =
προσαρμογή καμπύλης
Data = δεδομένα Decision = άπόφαση Definition = όρισμός Degree = βαθμός Degrees of freedom = βαθμοί ελευθερίας De Morgan' s la ws = κανόνες του De Morgan Density = πυκνότητα Density function = συνάρτηση πυκνότητας Dependence = εξάρτηση Dependent variables = εξαρτημένες μεταβλητές Derivation = εξαγωγή, παραγωγή Descriptive = περιγραφικός Design = σχέδιο, σχεδίαση Design of experiment = σχεδίαση πειράματος Determination = προσδιορισμός Deviation = άπόκλιση Diagram = διάγραμμα Diamond = διαμάντι, καρρό (τράπουλας) Difference = διαφορά Differentiation = παραγώγιση Dimension = διάσταση Dimensionless = άδιάστατος Discrete = διακριτικός, διακεκριμένος Discrete probability distribution = διακριτή κατανομή πιθανότητας Discrete random variable = διακριτή ή άπαριθμητή τυχαία μεταβλητή Discrete sample space = διακριτός δειγματόχωρος Disjoint sets = ξένα σύνολα Dispersion = διασπορά Dispersion parameters = παράμετροι διασπορας Distribution = κατανομή Distribution function = συνάρτηση κατανομής Distributive law = επιμεριστική ίδιότητα Duality = δυϊσμός Effect = άποτέλεσμα, επίδραση Efficiency = άποτελεσματικότητα, άποδοτικότητα Elementary = στοιχειώδης, βασικός Elementary event = στοιχειώδες γεγονός
371
ΑΓΓΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ
372
EmpiricaI = εμπειρικός EmpiricaI probabiIity = εμπειρική πιθανότητα Empty = κενός Empty set = κενό σύνολο EnveIope = φάκελος EquaI = ϊσος Equation = εξίσωση Error = σφάλμα, λάθος Error function = συνάρτηση σφάλματος Estimation = εκτίμηση Estimation theory = εκτιμητική ή θεωρία εκτιμήσεως Estimator = εκτιμητής EuIer' s formula = τύπος του EuIer Event = γεγονός Exact = άκριβής Exact sampling theory = άκριβής θεωρία δειγματοληψίας ExcIussive = άποκλειστικός Expansion = άνάπτυγμα Expectation = άναμονή, προσδοκία Expected frequency = άναμενόμενη η θεωρητική συχνότητα Expected vaIue = άναμενόμενη η μέση τιμή Experiment = πείραμα ExpIained variation = παλινδρομική η παραγοντική μεταβολή ExponentiaI = εκθετικός Exponential distribution = εκθετική κατανομή ExponentiaI function = εκθετική συνάρτηση Factor = παράγοντας FactoriaI = παραγοντικό FactoriaI function = παραγοντική συνάρτηση FaiIure = άποτυχία Fair = δίκαιος, τίμιος Fair coin = κανονικό η τίμιο νόμισμα
F
dίstήbutίοn
=
κατανομή
F
Fermi-Dirac statistics = στατιστική των Fermi-Dirac Fiducial Iimits = δρια εμπιστοσύνης Finite = πεπερασμένος Finite population = πεπερασμένος πληθυσμός Finite sample space = πεπερασμένος δειγματόχωρος Fisher' s Ζ transformation = μετασχηματισμός του Fisher Fitting = προσαρμογή Formula = τύπος Fourier integral = όλοκλήρωμα Fourier Fourier series = σειρά Fourier Fourier transform = μετασχηματισμένη Fourier Fourier transformation = μετασχηματισμός Fourier Freedom = ελευθερία Frequency = συχνότητα Frequency distribution = κατανομή συχνότητας Frequency poIygon = πολύγωνο συχνότητας Frequency table = πίνακας συχνότητας Full house = φούλ (στό πόκερ) Function = συνάρτηση FundamentaI = θεμελιώδης, βασικός Fundamental ΡήncίΡΙe of counting = θεμελιώδης άρχή της άπαριθμήσεως Game = παιχνίδι Gamma distribution = κατανομή γάμα Gamma function = συνάρτηση γάμα Gas = άέριο Gaussian distribution = κατανομή του Gauss ή κανονική κατανομή
•
!Ι
ΑΓΓΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ
Geiger counter = μετρητής Geiger General = γενικός Generalization = γενίκευση Generating function = γεννήτρια συνάρτηση Geometric mean = γεωμετρικός μέσος δρος Geometric distribution = γεωμετρική κατανομή Geometry = γεωμετρία Graeco-Latin squares = έλληνο-λατινικά τετράγωνα Graph = γραφική παράσταση Graph paper = χαρτί σχεδιάσεως (μέ κλίμακες) Grand mean = γεVΙKή μέση τιμή Gravity = βαρύτητα Half = μισός Harmonic mean = αρμονικός μέσος δρος Head = κεφάλι Heart = καρδιά, κούπα (χαρτί τράπουλας) Height = υψος Heredity = κληρονομικότητα Highly significant result = πολύ σημαντικό αποτέλεσμα Histogram = ίστόγραμμα ΗΥΡergeοmetήc distribution = ύπεργεωμετρική κατανομή Hypothesis = ύπόθεση Ideal gas = ίδανικό αέριο Important = σπουδαίος, σημαντικός Impossible event = αδύνατο γεγονός Inclusion symbols = σύμβολα περιεκτικότητας Increasing function = αύξουσα συνάρτηση Independence = ανεξαρτησία Independent events = ανεξάρτητα γεγονότα Independent random variables = ανεξάρτητες τυχαίες Independent samples = ανεξάρτητα δείγματα Independent νaήabΙe = ανεξάρτητη μεταβλητή Inefficient = μή αποτελεσματικός, μή αποδοτικός Inequality = άνισότητα Inference = συμπέρασμα, συμπερασματολογία Infinite = άπειρος Infinite population = άπειρος πληθυσμός Infinity = άπειρο Instrument = όργανο Integral = όλοκλήρωμα IntelIigence quotient = δείκτης νοημοσύνης Interaction = αλληλεπίδραση Intercept (οη x-axis) = τομή (μέ τόν άξονα χ) Interpretation = έρμηνεία Intersection (of sets) τομή (συνόλων)
μεταβλητές
=
Interνal
=
διάστημα
Invariant = αναλλοίωτος, άμετάβλητος Inverse = αντίστροφος Inverse Fοuήer transforrnation = άντίστροφος Inversion = άντιστροφή
μετασχηματισμός Fοuήer
Jacobian = Ίακωβιανή Joint density function = κοινή συνάρτηση πυκνότητας Joint distribution function = κοινή συνάρτηση κατανομής Joint probability function = κοινή συνάρτηση πιθανότητας Joint probability table = πίνακας κοινής πιθανότητας Kelvin temperature Κ urtosis
25
= κύρτωση
= άπόλυτη
θερμοκρασία
373
374
ΑΓΓ ΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ
Large = μεγάλος Latin squares = λατινικά τετράγωνα Law = νόμος Law of large numbers = νόμος των μεγάλων άριθμων Least-squares line = εύθεία ελάχιστων τετραγώνων Least-squares method = μέθοδος ελάχιστων τετραγώνων Least-squares parabola = παραβολή ελάχιστων τετραγώνων Least-squares regression plane = επίπεδο παλινδρομήσεως ελάχιστων Left = άριστερός, άριστερά Leibniz' s rule = κανόνας του Leibniz Level of significance = επίπεδο σημαντικότητας Likelίhood = mθανοφάνεια Limit = δριο Line = γραμμή, εύθεία Linear = γραμμικός Linear correlation coefficient = συντελεστής γραμμικης συσχετίσεως Linear mode! = γραμμικό μοντέλο Linear relationship = γραμμική σχέση Logarithm = λογάριθμος Lotery = λαχνός, λαχείο
τετραγώνων
Marginal density function = περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας Marginal distribution function = περιθώρια συνάρτηση κατανομης Marginal frequency = περιθώρια συχνότητα. Marginal probability function = περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας Mark = σημάδι Mathematic expectation = μαθηματική ελπίδα Mathematical model = μαθηματικό μοντέλο Maximum = μέγιστος Maxwell distribution = κατανομή τοϋ Maxwell Mean = μέση τιμή Mean deviation = μέση άπόλυτη άπόκλιση Means = μέσο, μέσα Measurable = μετρήσιμος Measurable set = μετρήσιμο σύνολο Measure = μέτρο Measurement = μέτρηση Measure of central tendency = μέτρο κεντρικης τάσεως Measure of dispersion = μέτρο διασπορας Median = διάμεση τιμή Member = μέλος Method = μέθοδος Minimum = ελάχιστος Mode = πιθανότερη τιμή Model = υπόδειγμα, μοντέλο Molecule = μόριο Moment = στιγμή, ροπή Moment generating function = ροπογεννήτρια Multimodal distribution = πολυκόρυφη κατανομή Multinomial distribution = πολυωνυμική κατανομή Multinomial population = πολυωνυμικός πληθυσμός Multiple regression = πολλαπλή παλινδρόμηση Mutually exclusive events = άσυμβίβαστα γεγονότα Needle = βελόνα Negative = άρνητικός Negative binomial distribution = άρνητική διωνυμική Nonlinear relationship = μή γραμμική σχέση Norma! = κανονικός, κάθετος Normal curνe = κανονική καμπύλη Norma! distribution = κανονική κατανομή
κατανομή
.&. . . . . . . . . . . . . . . 2.. . . . . . . . .~?fIi·.~i·~i~ ..............................
• 375
ΑΓΓΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ
Normal equations = κανονικές εξισώσεις Normally distributed random variable = κανονική ή κανονικά κατανεμημένη Normal population = κανονικός ή κανονικά κατανεμημένος πληθυσμός Notation = συμβολισμός ΝυΙΙ hypothesis = μηδενική ύπόθεση ΝυΙΙ set = μηδενικό ij κενό σύνολο Number = άριθμός Observation = παρατήρηση Observed frequency = παρατη ρούμενη συχνότητα Odd = περιττός One-tailed test = μονόπλευρος ελεγχος Open interval = άνοικτό διάστημα Operating characteήstίc curνes = χαρακτηριστικές Operation = επιχείρηση, πράξη Origin = άρχή Orthogonal = όρθογώνιος
καμπύλες
Pair = ζεϋγος Pair of dice = ζάρια Parabola = παραβολή Paradox = παράδοξο Parameter = παράμετρος Particle = σωματίδιο Pascal' s dίstήbutίοn = κατανομή τοϋ Pascal Pascal' s triangle = τρίγωνο τοϋ Pascal Percentage = άναλογία, ποσοστό Percentage frequency = σχετική συχνότητα Percentiles οτ percentile values = εκατοστιαία σημεία Perception = άντίληψη Perfect = τέλειος Perfect linear correlation = πλήρης γραμμική συσχέτιση Permutation = διάταξη Plane = επίπεδο Point = σημείο Point estimate = σημειακή εκτίμηση Poisson distribution = κατανομή τοϋ Poisson Poker = πόκερ Polygon = πολύγωνο Polygon graph οτ frequency polygon = πολύγωνο συχνότητας Population = πληθυσμός Population size = μέγεθος τοϋ πληθυσμοϋ Power curve = καμπύλη ίσχύος Power of a test = ίσχύς ελέγχου Precision = άκρίβεια Prediction = πρόβλεψη Principle = άρχή Principle of duality = άρχή τοϋ δυϊσμοϋ Probability = πιθανότητα Probability distribution = κατανομή πιθανότητας Probability function = συνάρτηση πιθανότητας Probabililty interpretation = πιθανοθεωρητική ερμηνεία Probability surface = επιφάνεια πιθανότητας Probable = πιθανός Probable error = πιθανό σφάλμα Probably significant result = πιθανώς σημαντικό άποτέλεσμα Problem = πρόβλημα Product = γινόμενο Product-moment formula = τύπος τοϋ γινόμενου ροπών Proof = άπόδειξη Proper subset = γνήσιο ύποσύνολο
•
τυχαία μεταβλητή
2ίζ
f
ΑΓΓΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ
376 Property = ίδιότητα Property method = μέθοδος Proportion = άναλογία
τής περιγραφής
QuaIity = ποιότητα QuaIity control = ελεγχος ποιότητας QuaIity control chart = διάγραμμα έλέγχου Quantity = ποσότητα Quotient = πηλίκο
ποιότητας
Random = τυχαίος Random experiment = πείραμα τύχης Randomization = τυχαιότητα Random number = τυχαίος άριθμός Random sampIe = τυχαίο δείγμα Random variabIe = τυχαία μεταβλητή Range = εκταση, πλάτος (κατανομής) Rank = τάξη Rank correIation = συσχέτιση τάξεων Rare event = σπάνιο γεγονός Ratio = λόγος Raw data = άκατέργαστα δεδομένα Reaction = άντίδραση Reaction time = χρόνος άντιδράσεως ReaI = πραγματικός ReaI function = πραγματική συνάρτηση ReaI number = πραγματικός άριθμός Recurrence formula = άναδρομικός τύπος Region = περιοχή, τόπος Region of acceptance = περιοχή άποδοχής Regression = παλινδρόμηση Regression coefficient = συντελεστής παλινδρομήσεως Regression curνe = καμπύλη παλινδρομήσεως Regression equation = έξίσωση παλινδρομήσεως Regression line = εύθεία παλινδρομήσεως Regression surface = έπιφάνεια παλινδρομήσεως Rejection region = περιοχή άπορρίψεως ReIation = σχέση ReIationship = σχέση ReIative = σχετικός, συγγενής ReIative frequency = σχετική συχνότητα ReIative frequency distribution = κατανομή σχετικής συχνότητας ReIiabiIity = άξιοπιστία RepIacement = έπανατοποθέτηση RepIication = έπανάληψη Representative = άντιπροσωπευτικός ResiduaI = ύπόλοιπο Right = δεξιός, δεξιά Root mean square (speed) = μέση τετραγωνική (ταχύτητα) Roster method = μέθοδος τής άναγραφής RoyaI f1ush = φλός στόν ασο RuIe = κανόνας RusseII' s paradox = παράδοξο του RusseI SampIe = δείγμα SampIe mean = μέση τιμή δείγματος η δειγματική μέση SampIe size = μέγεθος του δείγματος SampIe space = δειγματόχωρος SampIe statistic = στατιστική (δειγματική) συνάρτηση SampIe variance = δειγματική διασπορά SampIing = δειγματοληψία
τιμή
------~-----'".
ΑΓΓΛΙΚΗ
ΟΡΟΛΟΓΙΑ
Sampling distribution = δειγματοληπτική κατανομή Sampling technique = τεχνική δειγματοληψίας Sampling theory = δειγματοληπτική θεωρία ή θεωρία δειγματοληψίας Score = άποτέλεσμα Second = δεύτερος Second moment = ροπή δεύτερης τάξεως Semi-interquartile range = μισοκεντρικό πλάτος Series = σειρά Set = σύνολο Sheet = φύλλο Shortcut = σύντομος δρόμος Significance = σημαντικότητα, σπουδαιότητα Significant = σημαντικός, άξιοσημείωτος, σπουδαίος Simple = άπλός Simple event = άπλό ή στοιχειώδες γεγονός Size = μέγεθος Skewness = άσυμμετρία Small = μικρός Space = χώρος Spade = μπαστούνι (χαρτί τράπουλας) Spearman' s formu1a for rank correlation = τύπος τοϋ Spearman γιά συσχέτιση Special = είδικός Speed = ταχύτητα Square = τετράγωνο Staircase function = κλιμακωτή συνάρτηση Standard deviation = τυπική άπόκλιση Standard error = τυπικό σφάλμα Standard error of estimate = τυπικό σφάλμα έκτιμήσεως Standardized random variabIe = τυπική ή τυποποιημένη τυχαία μεταβλητή Standard normal curve = τυπική ή τυποποιημένη κανονική καμπύλη Standard score = τυπικό άποτέλεσμα Standard υηίι = τυπική μονάδα Statistical decision = στατιστική άπόφαση Statistical hypothesis = στατιστική ύπόθεση Statistical inference = στατιστική συμπερασματολογία Statistics = Στατιστική Stirling' s asymptotic formula = άσυμπτωτικός τύπος τοϋ Stirling Stochastic variable = τυχαία ή στοχαστική μεταβλητή Strong = ίσχυρός Strong law of Iarge numbers = ίσχυρός νόμος τών μεγάλων άριθμών Student' s t ί distribution = κατανομή t τοϋ Student Subset = ύποσύνολο Success = έπιτυχία Suit = σειρά χαρτιών τράπουλας Sum = άθροισμα Sure event = βέβαιο γεγονός Surface = έπιφάνεια SymboI = σύμβολο Table = πίνακας Tail = ούρά, γράμματα (πλευρά Taylor series = σειρά Taylor Temperature = θερμοκρασία Tendency = τάση Term = δρος Test = ελεγχος, δοκιμασία Theorem = θεώ ρημα Theoretical = θεωρητικός Theory = θεωρία Time = χρόνος Tolerance = άνοχή
νομίσματος)
377
τάξεων
ΑΓΓ ΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ
378
Tota! = όλικός Tota! variation = όλική μεταβολή Transformation = μετασχηματισμός Trans!ation (ofaxes) = μεταφορά (άξόνων) Treatment = σπουδή, μελέτη Tree diagram = διάγραμμα δέντρου Tria! = δοκιμή, προσπάθεια Triang!e = τρίγωνο Trimoda! distribution = τρικόρυφη κατανομή Two-tai!ed test = δίπλευρος ελεγχος Type = τύπος Type Ι and ΙΙ eποrs = σφάλματα τύπου καί
ΙΙ
Unbiased estimate = άμερόληπτη έκτίμηση Unbiased estimator = άμερόληπτη εκτιμήτρια Uncorre!ated random variab!es = άσυσχέτιστες η ορθογώνιες τυχαίες μεταβλητές Unequa! = ανισος Unexp!ained variation = ύπόλοιπη μεταβολή Uniform = όμοιόμορφος Uniform distribution = όμοιόμορφη κατανομή Uniform!y distributed ~random variab!e = όμοιόμορφα κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή U ηίοη = ενωση Unique = μοναδικός Uniqueness theorem = θεώρημα μοναδικότητας υηίι
= μονάδα
Universa! = παγκόσμιος Universa! set = βασικό σύνολο Universe = σύμπαν Universe of discourse = βασικό
η
βασικός χώρος
σύνολο η βασικός χώρος
Va!ue = τιμή, άξία Variab!e = μεταβλητή Variance = διασπορά Variation = μεταβολή Various = διάφορος, ποικίλος Venn diagram = διάγραμμα του Venn Way = δρόμος, τρόπος Weak = άσθενής, άδύνατος Weak !aw of !arge numbers = άσθενής νόμος Weibul1 distribution = κατανομή του Weibull Yates' correction =
.wa
διόρθωση του
sa
τών μεγάλων άριθμων
Yates
22&2ω
.
Ι:
as
7
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
'Αβίαστη εκτίμηση (βλέπε 'Αμερόληπτη έκτίμηση)
· Απλό
, Αβίαστη
'Απόκλιση,
έκτιμήτρια (βλέπε' Αμερόληπτη έκτιμήτρια)
'Αδιάστατη τυχαία μεταβλητή,
'Αδύνατο γεγονός, 'Αθροίσματα,
· Απόλυτη
· Ακριβής - Αλγεβρα
συνάρτηση κατανομης,
• Αποτυχία, 108 , Αριθμητικός μέσος
164, 178, 179 39 (βλέπε καί
161, 195, 196 5 'Αλλαγή μεταβλητών, 46, 47, 56-60 γιά διακριτές τυχαίες μεταβλητές, 46 γιά συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, 46, 47 , Αλληλεπίδραση γραμμών καί στηλών, 314, 326 'Αμερόληπτη εκτίμηση, 160, 194, 198, 199, 263, 308, 312, 318 'Αμερόληπτη έκτιμήτρια, 160, 194 'Αναλλοίωτη ή άμετάβλητη, 260, 264, 272 · Αναλογία, δειγματοληπτική κατανομή, 158, 159, 162, 168-171 · Ανάλυση διασποράς, 306-338 γιά ανισο πλήθος μετρήσεων, 310, 321, 322 περίπτωση δύο παραγόντων, 312-315 περίπτωση ενός παράγοντα, 306-310, 316-321 περίπτωση τριών παραγόντων, 332, 333 πίνακες, 309, 313, 314, 319, 323 σύντομοι μέθοδοι ύπολογισμου, 307, 311, 317, 319, 320, 324 'Ανάλυση Fourier, 81 · Αναμενόμενη ή θεωρητική συχνότητα, 218 'Αναμενόμενη τιμή, 76, 77, 86-88 γιά κοινή κατανομή, 81, 82 θεωρήματα, 77 όρισμός, 76 συναρτήσεως τυχαίων μεταβλητών, 77 υπό συνθήκη, 83, 94, 265 · Ανεξάρτητα γεγονότα, 9, 17-20, 45 · Ανεξάρτητα δείγματα, 159, 171, 196 · Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, 45, 46, 52-56, 63 · Ανεξάρτητη μεταβλητή, 259, 262, 269, 270 γεγονότων,
Νόμος
· Ασυμβίβαστα
γεγονότα, 5-7 85, 97-99, 143, 156, 183 διωνυμική κατανομή, 109 κανονική κατανομή, 111 κατανομή του Poisson, 112 συντελεστής, 85
Άσυμπτωτικά κανονική τυχαία μεταβλητή,
111, 112,
113, 158, 161 'Ασυνεχής τυχαία μεταβλητή,
• Ασυσχέτιστες
38
τυχαίες μεταβλητές,
Αύξουσα συνάρτηση,
82
40, 41, 43
Βαθμοί έλευθερίας,
116, 117, 135, 219, 220, 309, 312 2, 4 Βέβαιο γεγονός, 5 Βητα, συνάρτηση, 115, 342 Βασικό σύνολο,
Γάμα, κατανομή,
115, 116, 134
Γάμα, συνάρτηση (βλέπε Συνάρτηση γάμα) Γεγονός,
4, 5, 14, 15 5
άδύνατο,
άπλό ή στοιχειώδες, βέβαιο,
σπάνιο,
4
5 115
Γενική μέση τιμή,
306, 311, 312 48, 63, 64 Γεωμετρική κατανομή, 118, 142 σχέση μέ άρνητική διωνυμική, lJ8 Γραμμική σχέση, 258, 262, 284 Γραμμικό μοντέλο, 307, 308, 312, 313 Γραφική παράσταση πιθανότητας, 38 ίστόγραμμα, 39 ραβδόγραμμα, 39 Γεωμετρικά προβλήματα,
μεταβλητή)
47, 61
3
'Αντίστροφος μετασχηματισμός
Δείγμα,
Fourier, 81
155
άνεξάρτητο,
194
'Αξιώματα πιθανότητας,
τυχαίο,
6
159, 171, 196
156
Δειγματική διασπορά,
όρισμός της πιθανότητας,
'Απαριθμήσεως, θεμελιώδης άρχή της,
6 9, 21
Δειγματική μέση τιμή,
160 157, 194, 195
Δει γματοληπτική θεωρία της συσχετίσεως καί της πα
• Απαριθμητή τυχαία μεταβλητή, 38 - Απεφος πληθυσμός, 155, 158
λινδρομήσεως,
379
•
και Μέση τιμή)
'Ασυμμετρία,
'Αντιμεταθετική ίδιότητα
· Αξιωματικός
76, 84 (βλέπε 118
τών μεγάλων άριθμών)
'Ανηγμένη τυχαία μεταβλητή (βλέπε Τυπική τυχαία
'Αξιοπιστία,
δρος,
194, 198, 199
'Αρχή του δυϊσμου, 3 • Αρχή τών ελάχιστων τετραγώνων, 259 · Ασθενής νόμος τών μεγάλων άριθμών (βλέπε
θεωρία δειγματοληψίας,
γιά σύνολα,
151
'Αρνητική διωνυμική κατανομή,
κατανομης)
γιά συνελίξεις,
θερμοκρασία,
'Αποτελεσματική ή άποδοτική έκτίμηση,
'Αθροιστική κατανομή συχνότητας, Συνάρτηση
4, 7
259
τυπική (βλέπε Τυπική άπόκλιση)
79
5, 6
341
• Αθροιστική
γεγονός,
266-268, 289-292
• 380
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
Δειγματοληπτική κατανομή,
157 159, 160, 171-173 διαφόρων στατιστικών συναρτήσεων, 162 δειγματικης άναλογίας, 158, 159, 162, 168-171 δειγματικης διάμεσης τιμης, 162 δειγματικης διασποράς, 160-162, 173-176 δειγματικης μέσης τιμης, 158, 162, 165-168, 184 δειγματικης τυπικης άποκλίσεως, 162 λόγου δειγματικών διασπορών, 161, 162, 176, 177 Δειγματοληψία, 155 μέ ή χωρίς επανατοποθέτηση, 113,114,155,156,165167, 168, 196, 200 διαφορών καί άθροισμάτων,
Διωνυμική κατανομή, άρνητική, ίδιότητες,
108, 109, 119-123, 237
118 108, 109
προσέγγιση μέ κανονική,
127, 128, 168, 169 Poisson, 129 σχέση μέ κανονική, 112, 127, 128 σχέση μέ κατανομή τοϋ Poisson, 112 Διωνυμικοί συντελεστές, 11, 25 Διωνυμικός πληθυσμός, 156, 158, 196 Διώνυμου, άνάπτυγμα, 25, 108 Δοκιμή BernouIli, 108, 118 νόμος τών μεγάλων άριθμών, 109, 123, 124 προσέγγιση μέ κατανομή τοϋ
Δειγματοσυνάρτηση (βλέπε Στατιστική συνάρτηση) Δειγματόχωρος,
4, 14, 15 4
. Εκατοστιαία
84, 85, 99 119 νΕκταση κατανομης, 85 Έκτίμηση, 160, 194-210
απειρος άριθμήσιμος,
απειρος μή άριθμήσιμος,
διακεκριμένος
fj
μή διακεκριμένος πεπερασμένος,
4
διακριτός,
fj
4
συνεχής,
4
230
Δεσμευμένη πιθανότητα (βλέπε Πιθανότητα ύπό συνθήκη)
258 Διάγραμμα διασποράς, 258, 265, 273 Διαγράμματα δέντρων, 9, 10, 21 Διαγράμματα ελέγχου ποιότητας, 217, 236, 237 Διακριτή κατανομή πιθανότητας, 38, 39, 51, 52 Διακριτή τυχαία μεταβλητή, 38, 49, 50 Διακριτός δειγματόχωρος, 4 Διακύμανση (βλέπε Διασπορά) τιμή,
84, 96, 97, 156, 194, 198 162 Διασπορά, 78, 88, 89 γιά κοινή κατανομή, 81, 82 δειγματοληπτική κατανομή,
δειγματική (βλέπε Δειγματική διασπορά) διωνυμικης κατανομής,
109, 123 111 κατανομης τοϋ Poisson, 112 κατανομης F, 81, 82 κατανομης t, 117 μέσης τιμης δείγματος, 158 πλήθους άριθμών, 78 ύπό συνθήκη, 83, 94 ώς κεντρική ροπή, 79 κανονικης κατανομης,
Διάστημα
άνοικτό, κλειστό,
διαστήματος,
2 2
Διάστημα εμπιστοσύνης,
194-206 196, 202, 203 γιά διασπορές, 197, 204, 205 γιά διαφορές καί άθροίσματα, 196, 197, 199,203,204 γιά λόγους διασπορών, 197, 198, 205, 206 γιά μέσες τιμές, 195, 196-202 Διάστημα κλάσεως, 163, 177, 297 Διατάξεις, 10, 21-23 Διαφορά συνόλων, 3 Διδιάστατη κανονική κατανομή, 118, 141 Διδιάστατη κατανομή συχνότητας, 297 Δικόρυφη κατανομή, 84 Διόρθωση τοϋ Yates, 220, 240, 242, 244 Δίπλευρος ελεγχος, 213 γιά άναλογίες,
Διχοτόμος τιμή (βλέπε Διάμεση τιμή)
194, 198, 199
194
μέγιστης πιθανοφάνειας (βλέπε Πιθανοφάνεια) σημειακή,
Δευτεροβάθμια καμπύλη,
Διάμεση
άμερόληπτη (βλέπε 'Αμερόληπτη εκτίμηση) άποτελεσματική ή άποδοτική,
4
Δείκτης νοημοσύνης,
σημεία,
Έκθετική κατανομή,
'Εκτιμητική,
'Εκτιμήτρια,
194 194-210, 259 160, 194
'Εκ τών προτέρων πιθανότητα, 'Εκ τών ύστέρων πιθανότητα,
5 6
νΕλεγχοι ύποθέσεων καί σημαντικότητας,
211-257 214, 221-225 γιά διασπορές, 216 γιά διαφορές άναλογιών, 215, 226-228 γιά διαφορές μέσων τιμών, 214, 215, 226-228 γιά λόγους διασπορών, 216 γιά μεγάλα δείγματα, 213, 214 γιά μέσες τιμές, 213-215, 221-225 γιά μικρά δείγματα, 215, 216 γιά συντελεστές παλινδρομήσεως, 266, 289, 290 γιά συντελεστές συσχετίσεως, 267, 268 μέ κανονική κατανομή, 212, 213 μέ κατανομή F, 216, 231, 232 μέ κατανομή t, 215, 216, 229-231 μέ κατανομή χ 2 , 216, 218, 219, 231 σχέση μέ εκτιμητική, 217 'Έλεγχος ποιότητας, 217 νΕλεγχος x~, 218, 219, 243 • Ελληνο-λατινικά τετράγωνα, 316, 328, 330 Έμπειρική πιθανότητα, 6, 164 κατανομή, 164 'Εναλλακτική ύπόθεση, 211 'Ενδεχόμενο, 4 'Ένωση συνόλων, 2 'Εξαρτημένες μεταβλητές, 259, 262, 268, 269 Έπαναλήψεις, πειράματα μέ, 306, 313-315, 324-327 γιά άναλογίες,
'Επιμεριστική ίδιότητα
γιά συνελίξεις, γιά σύνολα,
47 3, 13
Έπίπεδο σημαντικότητας,
212, 213, 221 224
πειραματικό ή περιγραφικό, πίνακας, Έπιτυχία,
213 108
'Επιφάνεια πιθανότητας,
44
Εύθεία ελάχιστων τετραγώνων,
289, 292-294
259, 260, 265, 268-274,
-• • • • • • • •_____________·.77.:.5.'______w.·- - - - -
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
Θεώρημα όλικών πιθανοτήτων, Θεωρία δειγματοληψίας,
άκριβής,
Κατανομή τοϋ
7
46, 47, 56, 58, 59 151
'Ιδανικό άέριο, ~ Ισα
σύνολα,
Ι
'Ισόνομες τυχαίες μεταβλητές, 'Ιστόγραμμα,
72, 112 39, 49, 163, 177, 178
'Ισχυρός νόμος τών μεγάλων άριθμών, 'Ισχύς ελέγχου, Καμπύλη
84
217, 234
ισχύος,
234, 248
Καμπύλη παλινδρομήσεως,
(βλέπε καί Παλινδρό
259,
μηση)
Κανόνες άποφάσεως (βλέπε
~Eλεγχoι ύποθέσεων καί
σημαντικότητας)
Κανονικές εξισώσεις γιά επίπεδο,
262, 278, 279 260, 269, 270, 293, 294 γιά παραβολή, 261, 276, 277 Κανονική ij κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή, 110 Κανονική καμπύλη, 99 τυπική ij τυποποιημένη, 110, 344, 345 ύπολογισμός τών εμβαδών, 124, 125, 345 Κανονική κατανομή, 109-1 Ι Ι, 124-127 διδιάστατη, 118, 141 ίδιότητες, Ι 11 προσαρμογή, 237, 238 συνάρτηση πυκνότητας, 109 γιά εύθεία,
σχέση
μέ διωννμική,
σχέση
μέ κατανομή τοϋ
Ι Ι Ι
σχέση μέ κατανομή χ 2 , τυπική
τυποποιημένη,
ij
Κανονικός πληθυσμός,
Poisson, 112 135 110
156 48, 61-63
Κατανομές ύπό συνθήκη, Κατανομή
άρνητική διωνυμική,
118
βήτα,
115, 134, 135 γάμα, Ι 15, 116, 134 γεωμετρική, 118, 142 διδιάστατη κανονική,
118, 141
διωνυμική (βλέπε Διωνυμική εκθετική,
κατανομή)
119
όμοιόμορφη,
114, 133
πολυωνυμική (βλέπε Πολυωνυμική
κατανομή)
τοϋ
Cauchy, Ι 14, 115, 133, 134 τοϋ Gauss (βλέπε Κανονική κατανομή) τοϋ Maxwel1, 119 τοϋ Pascal, 118 τοϋ Weibull, 119, 142 τυπικη η τυποποιημένη κανονική, 110 ύπεργεωμετρική (βλέπε • Υ περγεωμετρική
Λαχνός,
Μαθηματικό μοντέλο, γιά άνάλυση
38, 49, 50 38, 39, 51, 52
178
307, 308, 312, 313 195, 199-201
δείγματος,
46, 47
πληθυσμοϋ,
155 155
Μέθοδος έλάχιστων τετραγώνων,
40, 41
άθροιστική,
(βλέπε καί Μέση τιμή)
Μέγεθος
Κατανομή πιθανότητας,
Κατανομή σχετικής συχνότητας,
76, 77 7
διασποράς,
Μεγάλα δείγματα,
συναρτήσεως τυχαίων μεταβλητών,
316, 327, 328
86
Μαθηματική έλπίδα, κατανομή)
τανομή)
συνεχής,
Ι
Λατινικά τετράγωνα,
Κατανομή δειγματοληψίας (βλέπε Δειγματοληπτική κα
διακρι τή,
Poisson, 111, 112, 129, 130, 145 11, 112 προσαρμογή, 239 σχέση μέ διωνυμική, 112 σχέση μέ κανονική, 112, 129 Κατανομή F, Ι 17, 118, 138, 139, 161, 197, 198,216,309 εκατοστιαία σημεία, 348, 349 θεωρήματα, Ι 16, 118 μέση τιμή καί διασπορά, 117 πιθανότερη τιμή, Ι 17 σχέση μέ κατανομές χ 2 καί t, 118, 139-141 Κατανομή t τοϋ Student, 116, 117, 137, 138, 161, 195, 196, 215, 266 θεωρήματα, 117 μέση τιμή καί διασπορά, 117 σχέση μέ κανονική, 117 σχέση μέ κατανομές χ:Ζ καί F, 118, 139-141 ύπολογισμός εμβαδών, 138, 346 Κατανομή χ 2 , Ι 13, Ι 16, 117, 135-137, 197, 216 θεωρήματα, 116 σχέση μέ κανονική κατανομή, 135 σχέση μέ κατανομές t καί F, 118, 139-141 σχέση μέ κατανομή γάμα, 116 ύπολογισμός εμβαδών, 136, 347 Κατηγορία, 163 (βλέπε καί Κλάση) Κελί ij κυψελίδα, 219, 297 Κενό σύνολο, 2 Κεντρικές ροπές, 79 Κεντρικό όριακό θεώρημα, Ι 12, 113, 130,131, 158,250 άπόδειξη, 131 γιά διωνυμική τυχαία μεταβλητή, 130, 131 Κεντρικό πλάτος, 85 Κέντρο βάρους δεδομένων, 260 Κέντρο ij μέσο κλάσεως, Ι 63, Ι 64, 177 Κλάση, Ι, 163, 164, 177, 297 Κλασσικός όρισμός πιθανότητας, 5, 6 Κλιμακωτή συνάρτηση, 40 Κοινή συνάρτηση κατανομής, 44, 45, 55 γιά διακριτές τυχαίες μεταβλητές, 44 γιά συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, 45 Κοινή συνάρτηση πιθανότητας, 43, 44 Κρίσιμες τιμές, 195 Κρίσιμη περιοχή, 212, 213 Κύρτωση, 85, 97-99, 143, 183 διωνυμική κατανομή, 109 κανονική κατανομή, Ι 1 Ι κατανομή τοϋ Poisson, 112 Κωδικοποιημένη μέθΩδος, 164, 165, 180-184, 297 ίδιότητες,
157
161, 195, 196
'Ιακωβιανή,
381
163
259
εύθεία (βλέπε Εύθεία έλάχιστων τετραγώνων) καμπύλη,
259, 265
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
382
'Ομάδα έλέγχου,
Μέθοδος έλάχιστων τετραγώνων (συνέχεια παραβολή,
Μέθοδος τής άναγραφής, Μέθοδος τής περιγραφής, Μέλος συνόλου, Μέση άπόλυτη
Ι,
'Ομοιόμορφη
11 11
Ι,
, Ορθογώνιες , Ορθογώνιο
Ι
Μερική μεταβολή,
'Όρια
325
'Όρια
άπόκλιση,
85, 97 Μέση τετραγωνική ταχύτητα, 151 Μέση τιμή, 76, 96, 97 (βλiπε καί ' Αναμενόμενη δείγματος, 157 διωνυμική ς κατανομής, 109, 123 κανονικής κατανομής, 111 κατανομής τοϋ Poisson, 112 κατανομής F, 117 κατανομής t, 117 όρισμός, 76 Μέσο ή κέντρο κλάσεως, 163 Μέσος δρος, 76, 84
τιμή)
Μεταβλητότητα (βλέπε Διασπορά) Μεταβολή
άλληλεπιδράσεως,
314 308, 309 έλευθερίας, 309
άναμενόμενες τιμές,
βαθμοί
γιά πειράματα μέ δύο παράγοντες, κατανομές, μέση,
311
309
μέσα στά δείγματα,
307, 317, 318
309
μεταξύ γραμμών καί στηλών, μεταξύ δειγμάτων, όλική (βλέπε
311
307, 311
'Ολική
μεταβολή)
παλινδρομική καί ύπόλοιπη,
263,266, 281, 282, 284,
285 σύντομοι μέθοδοι ύπολογισμοϋ, Μετασχηματισμός άντίστροφος,
307
Fourier, 81
81
Μετασχηματισμός μεταβλητών, Μεταφορά τών άξόνων, Μετρήσιμο σύνολο,
258
260
6
Μή γραμμική σχέση, Μηδενική ύπόθεση,
Μηδενικό σύνολο, Μιγαδικοί άριθμοί,
258, 284 211, 214
2 2
Μισοκεντρικό πλάτος,
85, 97, 198 78
Μονάδες τυχαίας μεταβλητής, Μοναδικότητας, θεώρημα
γιά ροπογεννήτριες,
80
γιά χαρακτη ριστικές συναρτήσεις, Μονοκόρυφη κατανομή, Μονόπλευρος ελεγχος,
81, 82
5
Νόμος τών μεγάλων άριθμών, γιά δοκιμές Ξένα σύνολα,
84, 95 BernouIIi, 109, 123, 124
3, 5
'Ολική μεταβολή,
263, 265, 281, 282, 284, 285 307, 311, 317, 318 βαθμοί έλευθερίας, 309, 312 'Ολοκλήρωμα Fourier, 81, 98 άνάλυση διασποράς,
114
114, 133
τυχαίες μεταβλητές,
82
τετράγωνο,
316 έμπιστοσύνης, 195 κλάσεως, 163, 177
Παλινδρόμηση,
259
δειγματοληπτική θεωρία,
266, 267, 289, 290 259, 262 έπίπεδο παλινδρομήσεως, 262 έπιφάνεια παλινδρομήσεως, 262 εύθεία, 265, 271 καμπύλη παλινδρομήσεως, 259, 264, 265, 287-289 πιθανοθεωρητική έρμηνεία, 265, 266, 287-289 πολλαπλή, 262, 278, 279 συντελεστής, 266, 289, 290 Παλινδρομική ή παραγοντική μεταβολή, 263, 266, 281, 282, 284, 285 Παραβολή, 259 έλάχιστων τετραγώνων, 259, 261, 265, 276, 277, 292, 293 Παράγοντες σέ πειράματα, 306-316 Παραγοντική συνάρτηση, 342 Παραγοντικό, 10 τύπος τοϋ Stirling, 11, 27, 342 Παράμετροι διασποράς, 78, 85, 96, 97 Παράμετροι θέσεως ή κεντρικής τάσεως, 76, 84, 86, 96, 97 Παράμετροι πληθυσμοϋ, 156 Παρατηρούμενη συχνότητα, 218 Πειράματα μέ δύο παράγοντες, 31 Ο, 311 μέ έπαναλήψεις, 313-315, 324-327 μεταβολές, 311 συμβολισμός, 311 Πειράματα μέ τρείς παράγοντες, 332, 333 Πείραμα τύχης, 4, 5, 14, 15 Περιθώρια συχνότητα, 219, 297 Περιθώριες συναρτήσεις κατανομής, 45, 54, 55, 268 Περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας, 44, 53 Περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας, 45 Περιοχή άποδοχής, 213 Περιοχή άπορρίψεως, 212, 213 Περιοχή σημαντικότητας, 212, 213 ελεγχοι, 211 έξίσωση παλινδρομήσεως,
Πιθανοθεωρητική έρμηνεία
265, 266, 287-289 266, 287-289 Πιθανό σφάλμα, 204, 209 Πιθανότερη τιμή, 84, 96 κατανομή βήτα, 115 κατανομή F, 117 Πιθανότητα, 6 γραφική παράσταση, 38 έκτίμηση, 7, 8 έμπειρική, 6, 164 εννοια, 5 θεωρήματα, 6, 7, 15 μέ συνδυαστική άνάλυση, 25-27 όρισμοί, 5, 6 τής συσχετίσεως,
12 35, 37
Νόμισμα κανονικό ή τίμιο,
κατανομή,
τής παλινδρομήσεως,
84 213
Μονοσύνολο, Μπρίτζ,
227, 230
'Ομοιόμορφα κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή,
259, 261
συνάρτηση (βλέπε Συνάρτηση πιθανότητας)
$2&2122
sssι:
Ι!Ι
----_. . . .-
--ιrιιιι_---------.lιιιιiιiιιiψΙΖi8-'IiIIiiIίIiιΊ
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
Ροπογεννήτρια (συνέχεια)
Πιθανότητα (συνέχεια)
κατανομή χ 2 ,
41 ύπό συνθήκη, 8, 17-20, 48 Πιθανοφάνεια, 198, 206, 207 συνάρτηση
πυκνότητας,
Πίνακας κοινής πιθανότητας,
223, 226, 231, 239 43, 44
Πίνακας συχνότητας, 163.(βλέπε και Κατανομή συχνό
350, 351
Fourier, 81, 98 Σειρές, 341 σειρά Taylor, 80 μή σημαντικό,
Πίνακες ταξινομήσεως ή συνάφειας,
219, 220, 243-246 ανάλυση διασπορας, 310, 311, 322-327 Πλάτος κατανομής, 85, 97 κεντρικό, 85 μισοκεντρικό, 85, 97, 198 Πλάτος κλάσεως, 163 Πληθυσμός, 155, 158, 159 διωνυμικός ή διωνυμικά κατανεμημένος, 156 κανονικός ή κανονικά κατανεμημένος, 156 μέγεθος, 155 παράμετροι, 156 Πλήρης γραμμική συσχέτιση καί παλινδρόμηση, 261, 263 Πλήρης τυχαιότητα, 315 Πόκερ, 26, 27, 36, 37 Πολλαπλή παλινδρόμηση, 262, 278, 279 Πολύγωνο συχνότητας, 163, 177, 178 αθροιστικής, 179 Πολυδιάστατες κατανομές, 43-45, 52-56 διακριτές, 43, 44 διασπορά, 81, 82 συνεχείς, 44 Πολυκόρυφη κατανομή, 84 Πολυωνυμική κατανομή, 113, 132, 220, 249 Ποσοστιαία σημεία, 84 Πραγματικοί αριθμοί, 2, 12 Πράξεις μέ γεγονότα,
5 2, 3, 12, 13 Πρόβλημα γενεθλίων, 30, 31 Προσαρμογή, 217, 238, 243, 259 ελεγχος χ:!, 218, 219, 243 Προσαρμογή καμπύλης, 258, 265 μέ σύνολα,
Προσδοκώμενη ή προσδοκητή τιμή,
76
ση τιμή)
Προσεγγιστική καμπύλη,
258, 259
Προσεταιριστική ίδιότητα γιά συνελίξεις,
47
3
Προσθετικό θεώρημα,
7
Προσπάθεια (βλέπε Δοκιμή)
39, 49 79, 80, 89-91, 156 κεντρικές, 79 περί τή μέση τιμή, 79 περί τήν αρχή, 79 ύπό συνθήκη, 83, 94 Ροπογεννήτρια, 80, 89-91, 98 διωνυμική κατανομή, 109, 122, 123 θεωρήματα, 80 κανονική κατανομή, 111, 126, 127 κατανομή τοϋ Poisson, 112 Ροπές,
14
Σειρά
Σημαντικό αποτέλεσμα
τητας)
Πίνακες λογαρίθμων,
Ραβδόγραμμα,
135
Σειρά χαρτιών τράπουλας,
Πιθανώς σημαντικό αποτέλεσμα,
γιά σύνολα,
383
(βλέπε καί Μέ
223
πιθανώς σημαντικό,
223 223, 224, 225 Σημειακή έκτίμηση, 194 Σημείο δειγματόχωρου, 4 Σμήνος σημείων, 258, 265, 273 Σπάνιο γεγονός, 112 πολύ σημαντικό,
Στάθμη σημαντικότητας (βλέπε Έπίπεδο σημαντικότητας) Στατιστικές αποφάσεις,
211 211
Στατιστικές ύποθέσεις, Στατιστική,
157
Στατιστική συμπερασματολογία, Στατιστική συνάρτηση, Στοιχείο συνόλου,
155
156, 157
Ι
Στοιχειώδες γεγονός,
4, 7
Στοχαστική συνάρτηση (βλέπε Τυχαία μεταβλητή) Συλλογή,
Ι
Σύμβολα περιεκτικότητας,
3
Συμμεταβλητότητα (βλέπε Συνδιασπορά) Συμπερασματολογία, στατιστική, Συμπλήρωμα συνόλου,
155
3
Συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος,
343 115, 341, 342 αναδρομικός τύπος, 342 ασυμπτωτικός τύπος τοϋ Stirling, 342 Συνάρτηση ίσχύος έλέγχου, 234 Συνάρτηση κατανομής, 39 γιά διακριτές τυχαίες μεταβλητές, 39, 40, 50, 51 γιά συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, 41, 42 κοινή, 44, 45, 55 περιθώρια, 45, 54, 55, 268 ύπό συνθήκη, 48, 61-63 Συνάρτηση πιθανότητας, 6, 38, 41 κοινή, 43 περιθώρια, 44, 53 ύπό συνθήκη, 48 Συνάρτηση πυκνότητας, 41 αθροίσματος, 47 γραφική παράσταση, 42, 43 κοινή, 44, 53, 54 περιθώρια, 45 ύπό συνθήκη, 48 Συνάρτηση γάμα,
Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (βλέπε Συνάρτηση πυκνότητας)
Συνάρτηση σφάλματος, συμπληρωματική,
110
343
Συνδιακύμανση (βλέπε Συνδιασπορά) Συνδιασπορά,
81, 82, 92-94 82 Συνδυασμοί, 10, 11, 23, 24 Συνδυαστική ανάλυση, 9, 21 πιθανότητες μέ, 25-27 Συνέλιξη, 47, 60, 61 θεωρήματα,
384
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
Συνεχής άπό δεξιά, Συνεχής κατανομή
Τυπική ή τυποποιημένη τυχαία μεταβλητή,
40
Συνεχής δειγματόχωρος,
πιθανότητας,
Συνεχής τυχαία μεταβλητή, Σύνολα,
40, 41
38
Ι,
ll-13 2, 4 θεωρήματα, 12, 13 κενό, 2 Συντελεστές Fourier, 98 βασικό,
Συντελεστής άσυμμετρίας (βλέπε
' Ασυμμετρία) 263, 264, 281-284
Συντελεστής γραμμικής συσχετίσεως, γενικευμένος,
264
τύπος γινόμενου ροπών, Συντελεστής έμπιστοσύνης,
79, 89, 110 79, Ι 10 Τυπικό σφάλμα, 157, 165, 194 Τυπικό σφάλμα έκτιμήσεως, 262, 263, 266, 279-281, 284, 285, 293, 299 Τύπος τοϋ γινόμενου ροπών, 263, 282, 293 Τυχαία διάταξη, 315, 316 Τυχαία μεταβλητή, 38, 49, 50 άδιάστατη, 79 άνεξάρτητες, 45, 46, 52-56, 63 άπαριθμητή ή διακριτή, 38, 49, 50 άσυμπτωτικά κανονική, 111, 112, 113, 158, 161 άσυσχέτιστες ή όρθογώνιες, 82 διωνυμική ή κατά Bernoulli κατανεμημένη, 108 κανονική ή κανονικά κατανεμημένη, 110 κατανεμημένη κατά Cauchy, 114 κατανεμημένη κατά Poisson, 111, 249 όμοιόμορφα κατανεμημένη, 114 συνεχής, 38 τυπική ij τυποποιημένη, 79, 89, ! Ι Ο Τυχαία μεταβολή, 311, 326 Τυχαίο δείγμα, 156 Τυχαίοι άριθμοί, 156, 183, 184, 241 πίνακας, 352 Τυπικό άποτέλεσμα,
4
263, 282, 293, 294 195
Συντελεστής κυρτώσεως (βλέπε Κύρτωση) Συντελεστής προσδιορισμοϋ,
263, 282 220, 246, 247 Συντελεστής συσχετίσεως, 82, 83, 92-94, 100, 118, 263, 264, 281-284 γενικευμένος, 264, 284, 285 γιά όμαδοποιημένα δεδομένα, 297 δειγματικός, 261 ελεγχος ύποθέσεων καί σημαντικότητας, 267, 268 πληθυσμοϋ, 265-267 πολλαπλής συσχετίσεως, 264, 285 τάξεων ή τοϋ Spearman, 264, 286 Συσχέτιση, 258-305 δειγματοληπτική θεωρία, 267, 268, 290-292 καί άνεξαρτησία, 268 πιθανοθεωρητική ερμηνεία, 266,287-289 πίνακας, 297 Συσχέτιση τάξεων, 264, 285-287, 295, 296 Συχνότητα, 163 άθροιστική κατανομή, 164, 178, 179 κατανομή, 163, 177-199 σχετική, 163, 164 Συχνότητα κελιοϋ, 219, 297, 298 Σφάλμα ή ύπόλοιπο, 259, 308 Σφάλμα, πιθανό, 204, 209 Σφάλματα τύπου Ι καί 11, 212, 221, 222 Σχεδίαση πειράματος, 315, 316 Σχετική συχνότητα, 163, 164 άθροιστική, 164 κατανομή, 163, 164 όρισμός πιθανότητας μέ, 6 Συντελεστής συνάφειας,
Ύπεργεωμετρική κατανομή,
μέση τιμή
καί διασπορά,
σχέση μέ διωνυμική,
, Υποθέσεις, 211
113, 132, 133 113, 114
113
(βλέπε καί "Ελεγχοι ύποθέσεων καί
σημαντικότητας) 'Υπόθεση έναλλακτική,
211
μηδενική ή μηδέν,
211, 214
'Υπόλοιπη μεταβολή στήν ανάλυση διασπορας, στήν παλινδρόμηση,
259
'Υπόλοιπο,
Ύποσύνολο, γνήσιο,
Ι
Ι
Φλός στόν ασο, Φούλ,
311, 326 263, 266, 281, 282, 284, 285
36
36
Χαρακτηριστικές καμπύλες, Τάξη (βλέπε Κλάση) Τομή συνόλων,
διωνυμική ς κατανομής,
3
Τροποποιημένη δειγματική διασπορά,
θεωρήματα,
198
79 άπόκλιση, 78, 88, 89
(βλέπε καί Διασπορά)
Τυπική ή τυποποιημένη κανονική καμπύλη,
έμβαδά,
110
345
τεταγμένες,
81
κανονικής κατανομής,
Τυπικές μονάδες,
Τυπική
217, 232-236, 248 80, 81, 91, 92, 98, 99 109
Χαρακτηριστική συνάρτηση,
κατανομής τοϋ
Χαρακτηριστική συνάρτηση έλέγχου,
234
Χώρος, βασικός,
Χώρος
344
III Poisson, 112
2, 4 δειγμάτων, 4, 14, 15
/' -,-~~ ..."::...r"""""----
;Ρ
4"
J.
2Ω&SJ
AiS
22Ι sα
i2ES:iE&
ΖΙΙ3.χ,a:U2 1JSΖ
ωΕΙ
S! l&ZiSUΙ:C! :aSΙΙω 22 ιι
1&.
