Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой

Э.Зайлер КАЛИБРОВОЧНЫЕ ТЕОРИИ СВЯЗИ С КОНСТРУКТИВНОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ В предлагаемой читателю книге собраны математически строгие результаты, касающиеся построения и свойств калибровочных полей, как решёточных, так и непрерывных. Многие существенные результаты принадлежат здесь самому автору. Книга состоит из двух частей. В первой части изложена теория, относящаяся к фазовым переходам в решёточных моделях, во второй — теория непрерывных калибровочных полей, точнее, та ее часть, которая на сегодняшний день доступна строгому анализу. В написанном А.А.Мигдалом дополнении приведен ряд нерешенных проблем, важных с точки зрения физики элементарных частиц, и указаны возможные подходы к их исследованию. Оглавление От редактора перевода 5 Предисловие 6 Введение 7 Часть I. Решёточные калибровочные теории 9 1. Схема построения решёточных калибровочных теорий 11 2. Основные свойства 19 а. Свойство положительности по Остервальдеру — Шрадеру и его 20 следствия b. Некоторые наблюдаемые и их смысл 24 с. «Диамагнитное» неравенство 29 d. Корреляционные неравенства 36 3. Методы разложения в ряд 37 а. Общий алгебраический формализм для полимеров 39 b. Приложение описанного выше формализма к решёточным 47 калибровочным теориям. Сходимость с. Результаты: следствия сходимости кластерного разложения 57 4. Некоторые дальнейшие результаты 74 75 а. Двумерные абелевы модели Хиггса: θ-вакуумы, фазовый переход и удержание дробных зарядов b. Трехмерная абелева модель Хиггса: фазовая структура 80 с. Теорема Гута: существование неудерживающей (кулоновой) фазы в 82 четырехмерной U(1)-модели d. SU(n) удерживает, если удерживает Zn 93 е. Взаимосвязь электрических и магнитных свойств в проблеме 96 удержания f. Некоторые грубые соображения о фазовом переходе огрубления 104 поверхности

Часть II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля 107 5. Методы построения непрерывных калибровочных квантовых теорий 107 поля а. Скейлинг-предел 107 b. Прямые непрерывные конструкции 112 6. Сходимость к непрерывному пределу во внешних или обрезанных 120 калибровочных полях а. Сходимость бозонных функций Грина 121 b. Сходимость определителей 128 с. Сходимость состояний (средних значений) во внешних 134 калибровочных полях d. Сходимость средних в полностью квантованных теориях с обрезанием 140 калибровочного поля 7. Устранение всех обрезаний; проверка аксиом в двумерном случае 143 а. Устойчивое разложение 143 b. Оценки, зависящие и не зависящие от объема 153 с. Термодинамический предел; проверка аксиом 163 8. Общий подход к теории нелокальных калибровочно-инвариантных 174 объектов а. Предположения 175 b. Реконструкция релятивистской квантовой механики 179 с. «Функции Вайтмана» и их аналитичность 187 d. Граничные значения («обобщенные функции Вайтмана») 189 е. Локальность и теория рассеяния 190 Приложение. Геометрические аспекты калибровочных теорий 193 Добавление. А.А.Мигдал. Задачи и перспективы калибровочных теорий 196 Литература 210 К введению и части I 211 К части II 213 К добавлению 215 Литература, добавленная при переводе 216 Именной указатель 217 Предметный указатель 219 Именной указатель Балабан (Т. Balaban) 111 Вейнгартен (D. H. Weingarten) 72, Березин Ф. А. 112, 148 120, 167 Березинский В. Л. 13, 77 Вильсон (К. Wilson) 5, 7, 9, 10, 12 Боголюбов Н. 9. 96 Гавендзкий (К. Gawedzki) 6, 72 Борге (С. Borgs) 6 Галлавотти (G. Qallavotti) 37, 41, 63, Бриджес (D. С. Brydges) 6, 120 111 Бэнкс (Т. Banks) 85 Гарсиа (А. М. Garsia) 141 Вандерс (О. Wanders) 6 Гейзенберг (W. Heisenberg) 132 Вегнер (F. Wegner) 7, 9, 58, 63 Гёпферт (М. Gopfert) 64, 74, 109

Гилки (Р. В. Gilkey) 8 Глазер (V. Glaser) 181 Глимм (J. Glimm) 11, 58, 71, 85, 86, 136, 152, 166 Грубер (С. Gruber) 37 Гут (A. Guth) 82, 85 Гуэрра (F. Guerra) 78 да Сильва (R. N. da Silva) 6 Джаффе (A. Jaffe) 11, 68, 71, 85, 86, 136, 152, 166, 190 Добрушин Р. Л. 96, 105 Друфф (J. Drouffe) 9, 13 Дубровин Б. А. 11 Дюрхюус (В. Durhuus) 74, 104 Жинибр (J. Ginibre) 36, 37 Зайлер (Е. Seller) 6 Зиновьев Ю. М. 75 Ито (К. R. Ito) 154 Ициксон (С, Itzykson) 9 Йост (R. Jost) 190 Кавамото (N. Kawamoto) 74 Каданофф (L. P. Kadanoff) 203 Каммарота (С. Cammarota) 55 Кляйн (A. Klein) 181 Когут (J. Kogut) 9, 85 Коноплёва Н. П. 5 Кройц (М. Creutz) 111 Кунц (Н. Kunz) 37 Кунце (Н. Kunze) 185 Купер (A. Cooper) 166, 169 Ландау (L. J. Landau) 181 Люшер (М. Lfischer) 23, 105 Магнен (J. Magnen) 112, 152, 166 Майерсон (R. Myerson) 85 Макк (G. Mack) 58, 64, 72, 74, 79, 93, 96, 100, 102, 109, 198 Малышев В. А. 37, 39, 43, 51, 77, 151 Марра (R. Marra) 39, 69 Мартинелли (G. Martinelli) 206 Мартин-Лёф (A. Martjn-L6f) 37,41 Мечер (Н. Меуег) 72, 74 Мессаже (A. Messager) 95 Мигдал А. А. 5, 196

Миракль-Соль (S. Miracle-Sole) 37, 39, 41, 69, 95 Мэттьюз (М. Т. Matthews) 112 Мюнстер (G. Miinster) 58 Нельсон (Е. Nelson) 29, 138, 150 Новиков С. П. 11 Ойлер (Н. Euler) 132 Остервальдер (К. Osterwalder) 6 Паризи (G. Parizi) 206 Парк (Y. М. Park) 88 Пенроуз (О. Penrose) 44 Петкова (V. В. Petkova) 93, 96, 100, 102, 198 Поляков А. М 9, 13 75, 177 Попов В. Н. 5, 19, 208 Поттхофф (J. Potthoff) 120, 126, 137 Пфистер (С. Pfister) 95 Рёйсенаарс (S. Ruijsenaars) 6 Розен (L. Rosen) 166, 169 Рота (G.-C Rota) 43 Рюэль (D. Ruelle) 38 Саймон (В. Simon) 29 Салам (A. Salam) 112, 134 Сенеор (R. Seneor) 112, 152, 166 Синай Я. Г. 5 Славнов А. А. 5 Спенсер (Т. Spencer) 71, 77, 83, 93, 166 Стейн (Е. Stein) 185 Строкки (F. Strocchi) 8 Томбулис (Т. Tomboulis) 203 т'Хоофт (G. Ч Hooft) 26, 28, 48, 58, 63, 96, 102, 104 Уленброк (D. Uhlenbrock) 29 Фаддеев Л. Д 5, 19. 208 Фейнман (R. Feynman) 10 Фоменко А. Т. 11 Фрёлих (J. Frohlich) 6, 74, 77, 83, 88, 93, 104, 120, 164, 177, 181 Хесс (J. Hess) 29 Хунцикер (W. Hunziker) 29 Хэнсон (A. J. Hanson) 8 Чэллифор (J. L. Challifour) 72, 120,

167 Шрадер (R. Schrader) 29, 108, 120, Шаратчандра (Н. S. Sharatchandra) 126 131 Эгучи (Т. Eguchi) 8, 208 Швингер (J. Schwinger) 115, 116 Эйлер (L. Euler) 50 Шлосман С. Б. 96 Экманн (J.-P. Eckmann) 6 Предметный указатель адронизация 72 — внешний бесконечно сильный 25 антипериодические граничные звезда 175 условия 20 инцидентность 32 асимптотическая свобода 110 калибровка 11, 194 Ахаронова — Бома поле 36 — временная 24 база 193 — унитарная 70 беспорядка оператор 26 калибровочная инвариантность 19, — переменные 48 196 Больцмана фактор 40 буст 180 калибровочное преобразование 12 — мнимый 181 — — сингулярное 26 буста генератор 182 — пространство 16 вакуум 179 квазитеорема (квазирезультат) 7 — унитарный 182 кластер 42, 60 Вегнера — т'Хоофта наблюдаемая кластерное разложение 48—49 беспорядка 28 — свойство сильное 57, 63 виковское упорядочение 126 конфигурация полевая 11 Виллэна действие 13 — решёточного поля Хиггса 15 Виллэна — Полякова действие 13 — — спинорного поля 15 Вильсона действие 17 Костерлица — Таулесса переход 77 — петля 9, 25 кривизна 194 вихревая поверхность 49 КХД 10, 196 вихрей линия 28 КЭД 8, 80 вихрь 24, 27, 39, 49 Кэллена — Симанзика решёточная — массивный 63 функция 109 высокотемпературная область 37 — — уравнения 108 г. у. 154 лапласиан 84, 121 Гарсиа теорема 141 Мермина — Вагнера теорема 96 голономии оператор 194 монополь 24, 48 гранесвязность 70 мультииндекс 40 граф 32 Мэттьюза — Салама формулы 112 — полный 46 134 Гута теорема 86 низкотемпературная область 39 дефект 39 Остервальдера — Шрадера аксиомы дефектная сеть 49 109, 176 дефектов конденсация 68 ОШ 20 диамагнитное неравенство 30, 121 Пайерлса контур 96 заряд 25 парамагнитная гипотеза 36

периметра закон 58, 63 плакет 13 площади закон 26, 27, 63 полимер 38, 39 полимеров активность 38 — несовместимость 39 — совместимость 39 положительность ОШ 20, 21 — по Остервальдеру — Шрадеру 20 — — Симаизику — Нельсону 20, 168 пустая область решётки 70 разомкнутая петля 44 расслоение 193 — векторное ассоциированное 193 — главное 193 релятивистская квантовая механика 179 ренорм-отображение 108 решётка конечная 32 связность 192 связь 38, 47 сечение 195 симметрии нарушение 65, 82 слой 193 спектральности условие 179 спиновое пространство 16 статистическая сумма 40 струна 25 термодинамические функции 47 — — модифицированные 47 т'Хоофта петля 9, 48

Урселла функция 41 условие (R) 32 условное материальное среднее 30 устойчивое разложение 148 Фаддеева — Попова духи 19 Фарри теорема 115, 127 Фредгольма определитель 114 Хиггса модель 65 — область 69 — поле 15 — решёточное действие 15 — скрытый механизм 38 Ходжа разложение 84 цветность 196 цветовой защитный механизм 58 Черна( = Чженя) класс 195 — число 195 шахматные оценки 23 Швингера функция n-петлевая 176 Эгучи — Каваи редукция 208 Янга — Миллса действие 12 — — тензор напряжённости 194 Н-дефект 70 Н-калибровка 70 U-калибровка 66 Y.M. 12 Y.M.V. 12 Y.M.W. 12 θ-вакуум 17 θ-состояние 76