Спектральные портреты оператора Орра-Зоммерфельда при больших числах Рейнгольца

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 3 (2003). С. 89–112 УДК 517.958+517.927+517.928

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ ОПЕРАТОРА ОРРА—ЗОММЕРФЕЛЬДА ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА c 2003 г. °

А. А. ШКАЛИКОВ

АННОТАЦИЯ. С известным в гидродинамике оператором Орра—Зоммерфельда ассоциируется модельная задача вида −iεy 00 + q(x)y = λy, y(−1) = y(1) = 0. Здесь λ — спектральный параметр, ε — малый параметр, который пропорционален вязкости жидкости и обратно пропорционален числу Рейнольдса, q(x) — скорость стационарного профиля жидкости в канале |x| 6 1. Изучается поведение спектра соответствующего модельного оператора при ε → 0 с линейными, квадратичными и монотонными аналитическими функциями. Показано, что множества точек накопления спектра (предельные спектральные графы) модельного оператора и соответствующего оператора Орра—Зоммерфельда совпадают. Совпадают также главные члены функций распределения собственных значений вдоль кривых предельных графов.

СОДЕРЖАНИЕ

1. 2. 3. 4.

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . Модельная задача: случай q(x) = x . . Модельная задача: случай монотонного Случай профиля Куэтта—Пуазейля . . Задача Орра—Зоммерфельда . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . аналитического профиля q(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. 89 . 92 . 97 . 106 . 109 . 111

ВВЕДЕНИЕ Хорошо известное в гидромеханике уравнение Орра—Зоммерфельда возникает при линеаризации уравнения Навье—Стокса в пространственном слое (x, ξ, η) ∈ R3 , где |x| 6 1, (ξ, η) ∈ R2 , когда невозмущенное стационарное решение для скорости течения имеет форму (q(x), 0, 0). Это уравнение относительно функции y = y(x) (см. подробности, например, в монографии Драйзина и Райда [14]) имеет вид £ ¤ (D2 − α2 )2 y − iαR q(x)(D2 − α2 ) − q 00 (x) y = −iαRλ(D2 − α2 )y. (0.1) Здесь D = d/dx, α — волновое число (α 6= 0), возникающее при разделении переменных по (ξ, η) ∈ R2 , R — число Рейнольдса, характеризующее вязкость жидкости, а λ — спектральный параметр. Обычно уравнение Орра—Зоммерфельда рассматривают с краевыми условиями y(±1) = y 0 (±1) = 0.

(0.2)

Основной целью настоящей статьи является решение следующей проблемы: описать качественно поведение спектра задачи (0.1), (0.2) при R → ∞. Число Рейнольдса R обратно пропорционально вязкости жидкости, поэтому сформулированная проблема эквивалентна описанию спектра задачи Орра—Зоммерфельда для жидкости, близкой к идеальной. Долгое время считалось, что для решения этой проблемы важно знать спектр задачи Релея q(x)(D2 − α2 )y − q 00 (x)y = λ(D2 − α2 )y, y(−1) = y(1) = 0.

(0.3)

Работа поддержана грантами РФФИ № 01-01-00691 и № 01-15-96100. c °2003 МАИ

89

90

А. А. ШКАЛИКОВ

Задача Релея получается (после деления уравнения (0.1) на −iαR) формальным предельным переходом при R → ∞ и отбрасыванием «лишних» краевых условий. Изучению спектра задачи (0.3) посвящена обширная литература, с которой читатель может познакомиться в статьях Лина [15] и уже цитированной монографии [14]. В действительности, как станет ясно в дальнейшем, поставленная основная задача об описании спектра задачи Орра—Зоммерфельда при R → ∞ по существу не имеет отношения к задаче Релея. Известно [14], что спектр задачи Релея состоит из отрезка [m, M ], где m и M — минимум и максимум функции q(x) (предполагается, что q(x) непрерывна), и, возможно, изолированных собственных значений вне этого отрезка. Первым, кто заметил, что спектр задачи Орра—Зоммерфельда при больших R не подходит непрерывно к спектру задачи Релея, был, по-видимому, Гейзенберг. Может существовать область, содержащая интервал (m, M ), свободная от спектра задачи (0.1), (0.2) при всех больших числах R. Это явление получило название «язык Гейзенберга». Гейзенберг еще в 1924 году доказал существование фундаментальной системы решений для уравнения (0.1), имеющей специальное представление (см. [14]), что очень существенно для объяснения этого явления. Но нам неизвестны работы Гейзенберга, где содержатся идеи, позволяющие объяснить это явление. Имеется работа Моравец [16], в которой доказано, что в случае профиля Куэтта q(x) = x спектр √ √ задачи (0.1), (0.2) локализуется в δ-окрестностях луча [−i/ 3, −i∞), двух сегментов [±1, −i/ 3] и изолированных собственных значений {µk } задачи Релея для q(x) = x. В действительности задача Релея для q(x) = x изолированных собственных значений не имеет (см. [14]), поэтому последняя оговорка не по существу. Кроме того, в работе [16] была сделана попытка доказать похожий результат для функций более общего вида, нежели q(x) = x. Но было сделано предположение (очень существенное для метода исследования), что функция q(x) должна удовлетворять следующему условию: q(x) — целая функция, вещественная при x ∈ R и отображающая биективно всю комплексную плоскость на себя. По-видимому, осталось незамеченным то обстоятельство, что все такие функции имеют вид q(x) = Θx + θ, где 0 6= Θ, θ ∈ R. Имеется еще одна важная задача, которая оставалась не исследованной. Каким является множество концентрации собственных значений при R → ∞? Моравец подчеркивала в [16], что ее метод не позволяет получить информацию, имеются ли собственные значения при больших R вблизи каждой точки отрезков √ [±1, −i/ 3]. В 90-х годах стали появляться работы (см., например, [17, 20]), в которых с задачей (0.1), (0.2) связывалась более простая задача вида −iεz 00 + q(x)z = λz,

(0.4)

z(−1) = z(1) = 0.

(0.5)

Здесь ε — малый, а λ — спектральный параметры. Задачу (0.4) можно рассматривать как упрощенную модель для (0.1), (0.2). В пользу этого можно привести следующие аргументы. Сделаем в уравнении (0.1) замену z = (D2 − α2 )y. Из этого равенства и краевых условий y(−1) = y 0 (1) = 0 найдем y(x) по формуле Zx 1 y(x) = 2 sh α(x − ξ)z(ξ) dξ. (0.6) α −1

Тогда уравнение (0.1) запишется в виде −iε(D2 − α2 )z + q(x)z + Kz = λz, где

Zx sh 2(x − ξ)q 00 (ξ)z(ξ) dξ,

Kz = −1

Из (0.6) следует, что y(−1) =

y 0 (−1)

1 . αR

= 0, поэтому краевые условия (0.2) примут вид

Z1

Z1 z(ξ) sh α(1 − ξ) dξ = 0,

−1

ε=

(0.7)

z(ξ) ch α(1 − ξ) dξ = 0. −1

(0.8)

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ

91

Таким образом, задача (0.1), (0.2) эквивалентна задаче (0.7), (0.8). Эта редукция была проведена еще в работе Орра 1915 года. Теперь, если пренебречь влиянием интегральной добавки — оператора K (заметим, что для q(x) = x имеем K = 0) — и предположить, что краевые условия не существенно меняют спектральный портрет при ε → 0, то с точностью до сдвига спектрального параметра на величину iεα2 мы приходим к модельной задаче (0.4), (0.5). Конечно, эти аргументы лишь эвристические. Но схожесть качественного поведения спектров модельной задачи и задачи Орра—Зоммерфельда можно обосновать строго, о чем будет сказано ниже. Если в уравнении (0.5) вместо iε участвует параметр ε > 0, то получается самосопряженная задача с малым параметром. Она хорошо изучена относительно давно (см., например, [5]). Спектр такой задачи вещественный, сгущается при ε → 0, причем можно найти явные формулы для локализации собственных значений. Эти формулы называют формулами квантования Бора— Зоммерфельда. Замена параметра ε на iε меняет задачу кардинально. В 1997 году автор [11] описал спектральный портрет модельной задачи (0.4), (0.5) при ε → 0 в случае q(x) = x и обратил внимание на то, что в случае аналитической функции q(x) спектр концентрируется вблизи некоторых кривых, форма которых определяется геометрией линий Стокса уравнения (0.4). Здесь полезно напомнить определения. Нули уравнения q(z) − λ = 0 в комплексной z-плоскости называются точками поворота, а линии ( γλ =

¯ ) Zz p ¯ ¯ z ∈ C ¯ Re i(q(ξ) − λ) dξ = 0 , ¯ ξλ

выходящие из фиксированной точки поворота ξλ , называются линиями Стокса уравнения (0.4). Эти линии либо подходят к границе области G, где функция q(z) голоморфна (в частности, уходят в бесконечность, если q(z) — целая функция), либо заканчиваются в других точках поворота. Наибольшее связное множество, состоящее из линий Стокса и содержащее точку поворота ξλ , называется комплексом Стокса, отвечающим точке ξλ . Комплекс Стокса может содержать несколько точек поворота, но не обязательно все. Объединение комплексов Стокса Γξλ по всем точкам поворота ξλ называется графом Стокса. Мы уже отмечали, что для аналитических (или кусочно-аналитических) функций q(x) спектр задачи (0.4), (0.5) при ε → 0 концентрируется вблизи некоторых кривых в λ-плоскости. Мы называем их предельными спектральными кривыми. Объединение предельных спектральных кривых мы называем предельным спектральным графом. Конечно, не следует путать предельные спектральные кривые или предельный спектральный граф с линиями Стокса или с графом Стокса в z-плоскости. Явную форму предельных спектральных кривых можно найти относительно легко только для линейной функции q(x) = x. Для нелинейных функций q(x) эти кривые принимают сложную форму. Поэтому при описании спектральных портретов несамосопряженных задач с малым или большим параметром серьезные трудности появляются даже в случае модельной задачи (0.4), (0.5). Теперь мы можем более конкретно сформулировать наши цели. 1. Найти функции q(x) частного и общего видов, для которых можно полностью описать спектральные портреты при ε → 0 модельной задачи (0.4), (0.5). Естественно, особое внимание должно быть уделено профилям, являющимся стационарными решениями уравнения Навье—Стокса, в частности, профилям Куэтта q(x) = x, Пуазейля q(x) = 1 − x2 и Куэтта—Пуазейля q(x) = ax2 + bx + c, где a, b, c ∈ R. 2. Если форма предельных спектральных кривых уже установлена, то найти формулы распределения собственных значений вдоль этих кривых при ε → 0. 3. Решить те же задачи для исходной задачи Орра—Зоммерфельда (0.1), (0.2) для тех же функций q(x). В настоящее время поставленные здесь задачи решены только частично. В нашей работе представлены результаты, полученные на основе исследований автора и его аспирантов А. В. Дьяченко, С. Н. Туманова и М. И. Нейман-заде. Укажем также на недавние работы Редпарза [18], Степина [6] и Чапмана [13], которые тесно связаны с нашей темой.

92

А. А. ШКАЛИКОВ

−1

0

1

√ −i/ 3

РИС. 1 1.

МОДЕЛЬНАЯ

ЗАДАЧА: СЛУЧАЙ

q(x) = x

Здесь мы рассмотрим спектральную задачу −iεy 00 = (x − λ)y,

(1.1)

y(−1) = y(1) = 0

(1.2)

с малым параметром ε > 0. Компьютерные расчеты дают удивительный результат: собственные √ значения этой√задачи при ε → 0 локализуются на луче γ∞ = [−i/ 3, −i∞) и вблизи отрезков γ± = [±1, −i/ 3] (см. рис. 1). Естественно, их плотность увеличивается при ε → 0. Основываясь на методе Моравец [16], можно показать (хотя сама задача (1.1), (1.2) в [16] не рассматривалась), что при любом δ > 0 спектр этой задачи при достаточно малых ε < ε0 (δ) заключен в δ-окрестности предельного спектрального графа Γ = γ+ ∪ γ− ∪ γ∞ . Автору не была известна работа Моравец, когда он начал заниматься этой темой. В [11] им было предложено явное решение этой задачи, с указанием явных локализационных формул распределения, основанное на свойствах фундаментальных решений уравнения Эйри. Более того, были выписаны явные формулы для собственных значений вблизи γ+ и γ− . Впоследствии доработка и уточнение этих результатов были проведены в работах Дьяченко и Шкаликова [1, 2]. Здесь мы сформулируем последние результаты о задаче (1.1), (1.2) и изложим основные моменты доказательств. Сначала отметим следующий простой факт. Лемма 1.1. При любом ε > 0 спектр задачи (1.1), (1.2) лежит в замыкании полуполосы Π = {λ Im λ < 0, −1 < Re λ < 1} . Доказательство. Рассмотрим оператор Ly = iεy 00 + xy, порожденный краевыми условиями (1.2). Его спектр совпадает со спектром задачи. Квадратичная форма оператора принимает значения (Ly, y) = −iε(y 0 , y 0 ) + (xy, y). Если kyk = 1 и y лежит в области определения D(L), то эти значения лежат в полуполосе Π. Множество таких значений называется числовым образом оператора L. Теперь утверждение следует из следующего хорошо известного факта: спектр любого оператора лежит в замыкании его числового образа.

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ

93

Замена ξ = (−iε)−1/3 (x − λ) приводит задачу (1.1), (1.2) к следующей: z 00 (ξ) = ξz(ξ), z(ξ1 ) = z(ξ2 ) = 0, iπ/6 −1/3

ξ1 = e

ε

(−1 − λ),

ξ2 = eiπ/6 ε−1/3 (1 − λ).

Мы получили спектральную задачу для уравнения Эйри. Необычность этой задачи в том, что спектральный параметр входит только в краевые условия, причем концевые точки меняются в зависимости от спектрального параметра. Но найти собственные значения этой задачи можно обычным образом. Если v(ξ), w(ξ) — линейно независимые решения уравнения Эйри, то собственные значения определяются уравнением ¯ ¯ ¯ v(ξ1 ) v(ξ2 ) ¯ ¯ = 0. ¯ ∆(λ) = ¯ w(ξ1 ) w(ξ2 )¯ Тем самым задача сводится к исследованию расположения нулей функции ∆(λ) при ε → 0. В качестве функции v(ξ) возьмем функцию Эйри (см. [4]), имеющую асимптотику ³ ³ ´´ 2 3/2 1 v(ξ) = √ 1/4 e− 3 ξ 1 + O |ξ|−3/2 , ξ ∈ Λπ−δ , ξ → ∞, (1.3) 2 πξ где Λπ−δ = {ξ | arg ξ| < π − δ}, δ > 0, и выбираются главные ветви функций ξ 1/4 и ξ 3/2 в секторе Λπ−δ . Область, в которой функция v(ξ) имеет указанную асимптотику, можно расширить. Мы воспользуемся следующим полезным результатом, полученным в [1]. Лемма 1.2. Для функции Эйри v(ξ) асимптотика (1.3) сохраняется в области ¾ ½ ¯ 3 Λ = ξ ¯ |ξ| > 1, | arg ξ| < π − |ξ|−3/2 ln |ξ| , 4 т. е. представление (1.3) верно для всех ξ ∈ Λ, где остаток оценивается величиной C|ξ|−3/2 равномерно по ξ ∈ Λ. Доказательство основано на известном [4] представлении ³ ´ ³ ´ v(ξ) = e−πi/3 v e2πi/3 ξ + eπi/3 v e−2πi/3 ξ .

(1.4)

Теперь нужно заметить, что в пересечении Λ со вторым квадрантом комплексной плоскости справедлива оценка ¯ ³ ¯ ³ ´¯ ´¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯v e−2πi/3 ξ ¯ 6 C|ξ|−3/2 ¯v e2πi/3 ξ ¯ , причем первое слагаемое в представлении (1.4) имеет асимптотику (1.3) в указанном пересечении. Теперь утверждение леммы получается из принципа симметрии. Для формулировки основной теоремы нам потребуется функция Z1 f (λ) = −1

h i √ 2 e−πi/4 x − λ dx = e−πi/4 · (1 − λ)3/2 − (−1 − λ)3/2 . 3

(1.5)

Функция f (λ) голоморфна в√области Π, где лежит спектр. Здесь ветвь корня под интегралом выбирается так, чтобы f (−i/ 3) > 0. Обозначим Λα = {λ ∈ C | arg λ| < α} . Зафиксируем некоторое число σ > 2−2/3 3−1/4 и рассмотрим область Dσ (см. рис. 2), ограниченную справа и слева прямыми Re λ = ±1, а сверху — прямыми, проходящими через точки ±1 и точку ¶ µ 1 1/2 (1.6) dσ = −i √ + σε | ln ε)| . 3 Константа 2−2/3 3−1/4 для выбора σ точна. В проводимых нами вычислениях ее нельзя выбрать меньшей.

94

А. А. ШКАЛИКОВ

−1

0

1

Dσ

РИС. 2 Лемма 1.3. Функция f (λ) обладает следующими свойствами: 1. f (λ) голоморфна в нижней полуплоскости и вещественна на отрицательной мнимой оси; 2. при всех λ ∈ Dσ значения функций f (λ) и −if 0 (λ) лежат в секторе Λπ/6 , а значения функции f 00 (λ) лежат в левой полуплоскости; 3. f (λ) монотонно возрастает и стремится к ∞ при λ → −i∞ вдоль отрицательной мнимой оси;√ √ ¡ ¢ ¡ ¢ 4. f (λ) = 2 iλ + O |λ|−3/2 , f 0 (λ) = i/ iλ + O |λ|−3/2 при λ → ∞, λ ∈ Dσ ; 5. f (dσ ) < Re f (λ) при λ ∈ Dσ ; |λ1 − λ2 | 6. |f (λ1 ) − f (λ2 )| > c p при λ1 , λ2 ∈ Dσ , где постоянная c не зависит от λ1 , λ2 ; |λ1 | + |λ2 | 7. функция f (λ) не принимает вещественные значения при λ ∈ Dσ вне мнимой оси. Доказательство легко получается из явного представления (1.5). Подробности см. в [2]. Пусть {rk }∞ k=1 — занумерованные в порядке возрастания нули функции v(−r), где v(ξ) — функция Эйри, имеющая асимптотику (1.3). Тогда rk > 0 и справедлива асимптотика µ µ ¶¶2/3 µ ¶ 3π 1 1 rk = k− +O , k = 1, 2, . . . (1.7) 2 4 k 4/3 Тот факт, что нумерация в этих формулах начинается с индекса k = 1, не очевиден. Его объяснение дано в [2]. Положим δσ = δσ (ε) = σε| ln ε|, σ > 2−3/2 3−1/4 . Обозначим −πi/6 1/3 µ− ε rk , k = 1, 2, . . . , k1 , k1 + 1, k = −1 + e πi/6 1/3 µ+ ε rk , k =1−e

k = 1, 2, . . . , k1 , k1 + 1,

(1.8)

√ где k1 = k1 (ε) — наибольшее целое число, при котором выполнено неравенство ε1/3 rk1 < 2/ 3 − δσ . √ √ + Числа µ− − = [1, −i/ 3] и γ+ = [−1, −i/ 3]. Они подходят вплотную k и µk лежат на отрезках γ√ к δσ -окрестности узловой точки −i/ 3, но только последнее из этих чисел попадает внутрь этой окрестности. Теперь построим последовательность чисел на мнимой оси. Согласно лемме 1.3, f (−iρ) является возрастающей функцией при ρ ∈ R+ . Более того, √ f (dσ ) = f (−i(1/ 3 + δσ )) > 0.

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ

95

При заданном ε > 0 выберем наименьшее целое число k0 = k0 (ε), такое, что f (dσ ) < πk0 ε1/2 . Тогда каждое из уравнений f (−iρ) − πkε1/2 = 0,

k = k0 − 1, k0 , k0 + 1, . . . ,

имеет единственное решение ρ = ρk > −idσ при k > k0 и ρk0 −1 < −idσ . Последовательность {ρk }∞ k0 −1 монотонна, и ρk → ∞ при k → ∞. Теперь мы готовы сформулировать основной результат о спектральном портрете модельной задачи (1.1), (1.2). Теорема 1.1. Пусть число σ > 2−3/2 3−3/4 фиксировано и δσ = σε| ln ε|. Положим ³ ´3/2 √ 4 ϕ(t) = Re 2eπi/6 − t , t ∈ [0, 2/ 3]. 3 ¡ −1/2 ¡ 1/2 ¢¢ ± ϕ ε rk , 1 6 k 6 Обозначим через Uk окрестности точек µ± k радиуса γk = C exp −ε −1 ∞ 6 k1 + 1, через Uk — окрестности точек −iρk радиуса Cρk ε, k > k0 − 1, и через U0 — δσ -ок√ рестность узловой точки −i/ 3. Тогда существуют числа C = C(σ) и ε0 = ε0 (σ), не зависящие от ε и k, такие, что при всех ε < ε0 кружки´ {Uk± }k11 +1 и {Uk∞ }∞ k0 −1 содержат только одно простое собственное значение задачи (1.1), (1.2). Более того, все собственные значения в Uk∞ чисто мнимые. Все остальные собственные значения лежат в кружке´ U0 . Другими словами, все собственные значения в области Dσ чисто мнимые и имеют асимптотику ¡ ¢ λk = −i ρk + ερ−1 k = k0 − 1, k0 , k0 + 1, . . . (1.9) k O(1) , Все собственные значения вблизи отрезков γ± имеют асимптотику ³ ³ ´´ ± −1/2 1/2 λ± = µ + exp −ε ϕ ε r O(1), k = 1, 2, . . . , k1 , k1 + 1, k k k

(1.10)

а внутри кружка´ U0 содержится σ21/2 33/4 | ln ε| + O(1) собственных значений. Во всех этих формулах величина |O(1)| оценивается константой C, зависящей только от σ. Доказательство. Здесь приведем только основные идеи, ¡ −2πi/3 ¢ подробности можно найти в работе [2]. При помощи функций Эйри v(ξ) и w(ξ) = v e ξ построим характеристический определитель задачи. Имеем ³ ´ ³ ´ ∆(ξ) = v(ξ1 )v e−2πi/3 ξ2 − v e−2πi/3 ξ1 v(ξ2 ). Шаг 1. Сначала изучим нули определителя ∆(λ) в области Dσ . Заметим, что переменные ξj и e−2πi/3 ξj , j = 1, 2, лежат в области Λ из леммы 1.3, если λ ∈ Dσ . Поэтому при всех ¡ λ ∈ D¢σ можно пользоваться асимптотическим представлением (1.3) для функций v(ξj ) и v e−2πi/3 ξj . После простых преобразований получаем уравнение 3/2

4/3 ξ2

e

3/2

−ξ1

= e2iε

−1/2 f (λ)

= 1 + λ−3/2 ε1/2 O(1),

которое в области Dσ эквивалентно уравнению ∆(λ) = 0. Логарифмируя, приходим к уравнениям f (λ) − πkε1/2 = λ−3/2 ε1/2 O(1),

k ∈ Z, λ ∈ Dσ .

(1.11)

Теперь вспомним определение числа k0 и оценку |f 0 (λ)| > C|λ|−1/2 , λ ∈ Dσ , которая следует из леммы 1.3. Воспользовавшись теоремой Руше, можно показать, что уравнение (1.11) имеет единственный корень λk в кружк´е Uk∞ , при условии, что k > k0 + 1. Этот корень обязательно чисто мнимый, поскольку спектр задачи симметричен относительно мнимой оси. В действительности то же самое можно доказать и для индексов k0 и k0 − 1, если рассмотреть более широкую область Dσ0 , где 2−2/3 3−1/4 < σ 0 < σ. Используя приведенные в лемме 1.3 свойства функции f (λ), легко показать, что никаких других корней вне кружков {Uk∞ }∞ k0 −1 в области Dσ нет.

96

А. А. ШКАЛИКОВ

√ Шаг 2. Для исследования нулей определителя ∆(λ) вблизи отрезка [−1, −i/ 3] перепишем уравнение ∆(λ) = 0 в виде v(ξ1 ) v(ξ2 ) ¡ ¢= ¡ ¢. (1.12) v e−2πi/3 ξ1 v e−2πi/3 ξ2 Рассмотрим трапецию Ωσ ⊂ Π, сторонами которой являются линии Re λ =√−1, Re λ = 0, вещественная ось и прямая, проходящие через точки 1 и βσ = −1 + e−π/6 (2/ 3 − δσ ). Точка√βσ является пересечением отрезка γ− и окружности радиуса δσ с центром в узловой точке −i/ 3. Переменные ξ1 , ξ2 , e−2πi/3 ξ1 , e−2πi/3 ξ2 принимают значения в области Λ из леммы 1.2, если λ ∈ Ωσ . Следовательно, можно воспользоваться асимптотикой (1.3) для функций, ¯фигурирующих µ ¶¯ в (1.12). ¯ ¯ 4 3/2 ¯. Сделав Нетрудно показать, что правая часть в (1.12) оценивается величиной C ¯¯exp − ξ2 ¯ 3 замену переменной r = (λ + 1)eiπ/6 , мы получаем из (1.12) соотношение ¡ ¢ ³ ´ v −ε−1/3 r V (r) := ¡ −2πi/3 ¢ = O(1) exp −ε−1/2 ϕ(r) , r = (λ + 1)eiπ/6 . v −e r

(1.13)

Функция V (r) имеет простые нули ε1/3 rk , k = 1, 2, . . ., где rk имеет асимптотику (1.7). Воспользовавшись теоремой Руше (здесь мы опускаем технические подробности), получим, что уравнение имеет ¢¢единственный корень в окрестности точек ε1/3 rk с радиусом γk = ¡ (1.13) ¡ = C exp −ε−1/2 ϕ ε1/2 rk , если 1 6 k 6 k1 + 1. Возвращаясь обратно к переменной λ, получаем утверждение теоремы о собственных значениях вблизи отрезка γ− . Из соотношения (1.13) нетрудно усмотреть, что никаких других нулей вне кружков {Uk− }k11 +1 в области Ωσ нет. Обратим √ внимание, − − − что λk лежат в экспоненциально малых окрестностях точек √0. √ µk , если только |µk − i/ 3| > c > 3, поскольку ϕ(t) → 0 при t → 2/ 3. Однако радиусы βk кружков Uk− растут при µ− → −i/ k α Нетрудно подсчитать, что βk < Cε при некотором α > 1/2 (зависящем от σ) при всех k 6 k1 + 1. Шаг 3. Мы должны показать, что собственные значения отсутствуют в области Π− \ (Ωσ ∪ Dσ ), где Π− — пересечение полуполосы Π с левой полуплоскостью. Воспользовавшись представлением (1.3), нетрудно показать, что для чисел λ из этой области справедливо неравенство ¯ ¯ ³ ´¯ ¯ ³ ´ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯v(ξ1 )v e−2πi/3 ξ2 ¯ > ¯v e−2πi/3 ξ1 v(ξ2 )¯ . Шаг 4. Обозначим через N (ρ, √ ε) число собственных значений задачи (1.1), (1.2), лежащих выше прямой Im λ = −ρ. Пусть ρ > 1/ 3 + δ, δ > 0. Зафиксируем числа ε0 и ε (ε < ε0 ) и определим k0 и k как наибольшие числа, подчиненные условиям 1/2

πε0 k0 < f (−iρ),

πε1/2 k < f (−iρ).

Тогда |N (ρ, ε) − N (ρ, ε0 ) − (k − k0 )| 6 2. Поэтому 1 f (−iρ) + O(1). πε1/2 Нетрудно видеть, что N (ρ, ε0 ) = k0 = 0 при достаточно большом ε0 , поэтому O(1) в последней формуле принимает значения 0 или ±1. Воспользовавшись асимптотикой (1.10), теперь можно подсчитать число собственных значений в кружк´е U0 . Оно равно Ã µ ¶ µ ¶3/2 ! 1 i 4 2 √ − δσ Nσ := 1/2 f − √ − iδσ − + O(1), 3 πε 3 3 N (ρ, ε) = k + O(1) =

где |O(1)| 6 3. После простых преобразований получаем 21/2 33/4 σ | ln ε| + O(1) + o(1), π где o(1) → 0 при ε → 0 и |O(1)| 6 3. Этим заканчивается доказательство теоремы. Nσ =

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ

97

В дополнение к этой теореме скажем еще несколько слов о характере движения собственных значений λk (ε) при ε → 0. Из доказательства теоремы 1.1 и монотонности функции f (−iρ) на полуоси R+ непосредственно следует, что все собственные значения λk (ε), лежащие на мнимой оси в области Dσ , являются простыми и движутся при ε → 0 вверх. В силу их симметрии относительно мнимой оси, они могут сойти с мнимой оси только если собственное значение λk попадает в окрестность кружка U0 и догоняет предыдущее собственное значение λk−1 . После сталкивания они уходят с мнимой оси. Об их движении внутри кружка U0 мы сказать ничего не можем, но при дальнейшем убывании ε они выходят из кружка U0 и движутся вдоль отрезков γ+ и γ− , прижимаясь к ним экспоненциально близко. 2.

МОДЕЛЬНАЯ

ЗАДАЧА: СЛУЧАЙ МОНОТОННОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

q(x)

Здесь мы покажем, что спектральный портрет явно решаемой задачи (1.1), (1.2) не случаен; похожая картина наблюдается для широкого класса монотонных аналитических функций q(x). Естественно, метод исследования будет другим. Для решения задачи будет привлечен метод фазовых интегралов или метод ВКБ. Результаты этого раздела получены автором [19]. Рассмотрим задачу iε2 y 00 + q(x)y = λy,

(2.1)

y(−1) = y(1) = 0.

(2.2)

Обратим внимание на то, что в сравнении с (1.1) здесь малый параметр ε заменен на ε2 . Для простоты можно считать, что q(x) продолжается во всю комплексную плоскость как целая функция, но можно ограничиться только требованием ее аналитичности в окрестности отрезка [−1, 1] вдобавок к основным условиям, которые сформулируем ниже. Пусть область значений функции q(x) при x ∈ [−1, 1] есть отрезок [a, b]. Если L(ε) — оператор, отвечающий спектральной задаче (2.1), (2.2), то область значений его квадратичной формы (Ly, y) при y ∈ D(L), kyk = 1, лежит в полуполосе Π = {λ Im λ < 0, a < Re λ < b} . Следовательно (см. лемму 1.2), при любом ε > 0 собственные значения задачи лежит в этой полосе. Теперь сформулируем основные условия на функцию q(x). (i) Функция q(x) вещественна при x ∈ [−1, 1], и существует область G ⊂ C, такая, что q(z) аналитична в G и биективно отображает G на полуполосу Π (здесь черта означает замыкание областей). (ii) При любом c ∈ (a, b) прообраз луча rc = {λ λ = c − it, 0 6 t < ∞} есть функция относительно мнимой оси, т. е. любая прямая Im λ = const либо пересекает прообраз луча rc только один раз, либо не пересекает вовсе. Из условия (i) следует, что q(x) — строго монотонная функция на отрезке [−1, 1]. Не ограничивая общности, будем считать, что q(x) возрастает. В этом случае область G полностью лежит в нижней полуплоскости (предположив противное, получим противоречие с условием (ii)). Согласно принципу симметрии, q(z) биективно отображает G ∪ G∗ ∪ (−1, 1) на полосу a < Re λ < b, где G∗ — область, симметричная G относительно вещественной оси. В частности, q 0 (x) > 0 при всех x ∈ (−1, 1). Примерами функций, удовлетворяющих сформулированным двум условиям, могут служить q(x) = sin(πx/2), q(x) = (x + 1)2 и другие. В замыкании полуполосы Π определим следующие функции Z1 p Q(λ) = i(q(x) − λ) dx,

λ ∈ Π,

−1

Z±1p Q (λ) = ± i(q(ξ) − λ) dξ, λ ∈ Π, ±

ξλ

98

А. А. ШКАЛИКОВ

0

1 γ+

γ−

γ∞

РИС. 3 где ξλ — единственный корень уравнения q(ξ) − λ = 0, принадлежащий области G, а ветви корней можно фиксировать произвольно. Для определенности фиксируем их условиями Z1 p i(q(x) − a) dx = eiπ/4 α, Q(a) =

α > 0,

(2.3)

−1 +

Q+ (λ) + Q− (λ) = Q(λ).

Q (a) = Q(a),

(2.4)

Конечно, функции Q, Q+ и Q− голоморфны в Π и непрерывны в Π. В полуполосе Π определим кривые γ˜∞ = {λ ∈ Π Re Q(λ) = 0}, γ˜± = {λ ∈ Π Re Q± (λ) = 0}. На рис. 3 эти кривые изображены для случая q(x) = (x + 1)2 /4. Некоторые части этих кривых изображены пунктирными линиями. Позже мы объясним, что эти части не являются точками концентрации собственных значений, а оставшиеся части образуют предельный спектральный граф, в окрестности каждой точки которого собственные значения накапливаются при ε → 0. Докажем важные свойства кривых γ˜± и γ˜∞ . Лемма 2.1. Кривая γ˜+ (˜ γ− ) проходит через угловую точку b (точку a) полуполосы Π и является функцией относительно вещественной оси. Доказательство. Рассмотрим кривую γ˜+ , для γ˜− доказательство аналогично. Фиксируем произвольное число c ∈ (a, b). В силу условия (i) найдется единственная точка ξc ∈ (−1, 1), такая, что q(ξc ) − c = 0. Пусть λ = c − it, t > 0, и ξλ — корень уравнения q(ξ) − λ = 0, ξλ ∈ G. Имеем à Zξc Z1 ! Z1 p p i(q(ξ) − λ) dξ = + i(q(ξ) − λ) dξ =: F1 (λ) + F2 (λ). Q+ (λ) = ξλ

ξλ

Ветвь функции

Q+ (λ)

ξc

определена условием (2.4). Поэтому из непрерывности Q+ (λ) в Π получаем Z1 p Q (c) = i(q(ξ) − c) dξ = eπi/4 αc , +

αc > 0.

ξc

Заметим, что Re F20 (λ)

1 =− 2

Z1

eπi/4

Re p ξc

(q(ξ) − c) + it

dξ < 0,

λ = c − it,

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ

99

поскольку 0 < arg [(q(ξ) − c) + it] < π/2. Поэтому функция Re F2 (c − it) монотонно убывает и стремится к нулю при t → +∞. Далее, обозначим прообраз отрезка λ = c − iµ, 0 6 µ 6 t, при отображении q(z) через ξ(µ). В силу условия (ii) эту кривую можно параметризовать следующим образом: ξ(s) = −is + r(s), 0 6 s = s(µ) 6 s(t), s0 (µ) > 0. При вычислении функции F1 (λ) интеграл можно взять вдоль кривой ξ(µ). Поэтому Zξc p Z0 p Z0 ¡ ¢ √ F1 (λ) = i(q(ξ) − λ) dξ = i(c − iµ − λ) dξ(s) = µ − t d − is(µ) + r(s(µ)) . ξλ

t

s(t)

Учитывая выбор ветви, получаем, что функция Zt

√ t − µ ds(µ)

Re F1 (c − it) = − 0

монотонно убывает при t → +∞. Но тогда функция Re Q+ (c − it) монотонно убывает при изменении t от 0 до +∞, причем значение этой функции в нуле положительно, а в окрестности +∞ она принимает отрицательные значения. Поэтому уравнение Re Q+ (c − it) = 0 имеет единственный корень tc < 0. Следовательно, кривая γ˜+ является функцией относительно вещественной оси. Поскольку Q+ (λ) → 0 при λ → b, эта кривая проходит через точку b. Лемма доказана. Лемма 2.2. Кривая γ˜∞ является функцией относительно мнимой оси. Доказательство. Ветвь функции Q(λ) в Π определена условием (2.3). Так как a < q(x) < b при x ∈ (−1, 1), то при всех t > 0 имеем Re Q(a − it) = Re

Z1 p

i(q(x) − a + it) dx > 0,

−1

Re Q(b − it) = Re

Z1 p

i(q(x) − b + it) dx < 0.

−1

Далее, 1 Re Q (λ) = − 2

Z1

0

eπi/4

Re p −1

q(x) − λ

dx < 0,

(2.5)

поскольку Im(q(x) − λ) > 0 при x ∈ (−1, 1) и λ ∈ Π. Следовательно, при любом фиксированном t > 0 функция Q(c − it) от переменной c ∈ [−1, 1] обращается в нуль только один раз. Лемма доказана. Лемма 2.3. Функции Q+ (λ), Q− (λ), Q(λ) однолистны в полуполосе Π. В частности, функции Im Q+ (λ), Im Q− (λ), Im Q(λ) строго монотонны вдоль кривых γ˜+ , γ˜− , γ˜∞ соответственно. d Доказательство. В лемме 2.1 мы доказали, что Re Q+ (c − it) < 0 при t > 0 и фиксированном dt d + c ∈ (a, b). Следовательно, Re Q (λ) > 0 при λ ∈ Π. Отсюда следует однолистность Q+ (λ) dλ в Π. Поскольку Re Q+ (λ) = 0 вдоль кривой γ˜+ , то производная от функции Im Q+ (λ) вдоль этой кривой не обращается в нуль, а потому сохраняет знак. Аналогичное утверждение справедливо для Q− (λ). Доказанное ранее неравенство (2.5) при λ ∈ Π влечет однолистность функции Q(λ) в Π и монотонность функции Im Q(λ) вдоль этой кривой. Лемма доказана. Лемма 2.4. Если λ лежит выше кривой γ˜+ , то Re Q+ (λ) > 0, если ниже — то Re Q+ (λ) < 0. Аналогично, Re Q− (λ) < 0 (> 0), если λ лежит выше (ниже) кривой γ˜− . Доказательство. Это утверждение следует из доказательства леммы 2.3 и представления (2.4). Лемма 2.5. Кривые γ˜+ и γ˜− имеют единственную точку пересечения в Π.

100

А. А. ШКАЛИКОВ

Доказательство. Кривые γ˜+ и γ˜− можно рассматривать как графики отрицательных непрерывных функций на интервале (a, b). Эти функции обращаются в нуль соответственно в точках b и a. Поэтому имеется по крайней мере одна точка пересечения λ0 . Предположим, что есть другая точка пересечения λ1 . Мы можем считать, что между точками λ0 и λ1 других точек пересечения кривых γ˜+ и γ˜− нет. Части кривых γ˜+ и γ˜− между λ0 и λ1 образуют замкнутую жорданову кривую γ˜ . Внутренность кривой γ˜ есть односвязная область. Рассмотрим функцию Q0 (λ) =

Zξλ p

i(q(x) − λ) dx,

ξ0 = ξλ0 ,

ξ0

которая аналитична в Π. Из определения кривых γ˜± следует, что гармоническая функция Re Q0 (λ) обращается в нуль на кривых γ˜+ и γ˜− . В частности, Re Q0 (λ) = 0 при λ ∈ γ˜ . В силу принципа максимума Re Q0 (λ) ≡ 0 внутри кривой γ˜ . Это влечет Q0 (λ) = const в Π, хотя Q(λ) 6= const. Это противоречие завершает доказательство. Пусть λ0 — точка пересечения кривых γ˜+ и γ˜− . Из представления (2.4) следует, что кривая γ˜∞ проходит через точку λ0 . В силу леммы 2.5, кривая γ˜∞ не имеет других точек пересечения с γ˜+ и γ˜− . Обозначим через γ+ , γ− и γ∞ части кривых γ˜+ , γ˜− и γ˜∞ между точкой-узлом λ0 и точками a, b, −i∞ соответственно. Положим Γ = γ+ ∪ γ− ∪ γ∞ .

(2.6)

Покажем, что Γ есть предельный спектральный граф. Это означает следующее: любая точка λ ∈ Γ является точкой концентрации собственных значений, а все остальные точки λ ∈ C \ Γ этим свойством не обладают. Кроме того, в конце этого раздела мы найдем явные формулы для распределения собственных значений вдоль кривых γ± и γ∞ . Теорема 2.1. При любом τ > 0 найдется ε0 > 0, такое, что все собственные значения задачи (2.1), (2.2) при ε < ε0 лежат внутри τ -окрестности графа Γ. Доказательство. Далее используем результаты асимптотической теории для обыкновенных дифференциальных уравнений, с которыми можно познакомиться в [4, 10]. Важную роль в этой теории играет функция Zz p S(z, λ) = i(q(ξ) − λ) dξ = 0, ξλ

которую мы определяем при λ ∈ Π. Как и раньше, здесь ξλ — единственный корень уравнения q(ξ) − λ = 0 из области G. По условию функция q(z) голоморфна в окрестности отрезка [−1, 1] и допускает аналитическое продолжение в область G. Поэтому найдется число δ > 0 такое, что q(z) голоморфна в области Ω = G ∪ Uδ [−1, 1], где Uδ [−1, 1] — δ-окрестность отрезка [−1, 1] (см. рис. 4). Очевидно, что функция S(z, λ) голоморфна по переменной λ ∈ Π и непрерывна по λ ∈ Π. Она также локально голоморфна по переменной z ∈ G, а ξλ является точкой ветвления. Зафиксируем произвольное число c ∈ (−1, 1) и выберем ветвь этой функции, исходя из условия Re S(1, c) > 0. При других λ ∈ Π ветвь функции S(z, λ) выбираем так, чтобы значения S(1, c) и S(1, λ) были аналитически связными. При фиксированном λ ∈ Π множество {z Re S(z, λ) = 0} определяет линии в z-плоскости, которые называются линиями Стокса. Точка ξλ принадлежит этому множеству, и из нее выходят три линии. Условно будем называть их правой, левой и нижней линиями Стокса. Мы не даем строгих определений этим терминам, но из контекста будет ясно, о каких линиях идет речь. Для понимания ситуации полезно заметить, что помимо комплекса Стокса с узловой точкой ξλ в области Ω могут находиться и другие линии Стокса (на рис. 4 одна такая линия около точки −1 обозначена пунктиром). Принципиальную роль для дальнейшего играет следующее утверждение.

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ

l2

l1

c−

−1

101

c+

+1

ξλ G

l3

РИС. 4 Лемма 2.6. Пусть λ ∈ Π \ {γ+ ∪ γ− }, где γ± — кривые, определенные перед формулировкой теоремы 2.1. Рассмотрим следующие случаи (см. рис. 3): 1. точка λ лежит выше обеих кривых γ˜+ и γ˜− ; 2. λ лежит ниже кривой γ˜− , но выше кривой γ˜+ ; 3. λ ∈ γ˜+ \ γ+ , т. е. лежит на γ˜+ , но находится ниже кривой γ˜− ; 4. λ лежит ниже кривой γ˜+ , но выше кривой γ˜− ; 5. λ ∈ γ˜− \ γ− , т. е. лежит на γ˜− ниже кривой γ˜+ ; 6. λ лежит ниже обеих кривых γ˜+ и γ˜− . Тогда в первом случае левая и правая линии Стокса пересекают интервал (−1, 1) в точках c− = c− (λ) и c+ = c+ (λ) и никакие другие линии Стокса не пересекают отрезок [−1, 1]. Во втором случае только правая линия Стокса пересекает интервал (−1, 1) в точке c+ = c+ (λ) и никакие другие линии Стокса не пересекают отрезок [−1, 1]. В третьем случае правая линия Стокса пересекает точку 1 и никакие другие линии Стокса не пересекают отрезок [−1, 1]. В четвертом и пятом случаях ситуация аналогична второму и третьему случаям, но точки −1 и 1 меняются ролями. Наконец, в шестом случае никакие линии Стокса не пересекают отрезок [−1, 1]. Доказательство. Ветвь функции S(z, λ) определена условием Re S(1, c) > 0 при некотором (а тогда и при всех) c ∈ (−1, 1). Рассмотрим функцию S(z, c − it), t > 0, ветвь которой выбирается условием непрерывности при t > 0. Рассматривая функцию S(z, c) как голоморфную в области G ∪ [−1, c) ∪ (c, 1], получаем, что Re S(z, c) > 0 при c < z 6 1 и Re S(z, c) < 0 при −1 6 z < c. В лемме 2.1 было доказано, что функция Re S(1, c − it) = Re Q+ (c − it) монотонно убывает, когда t возрастает от 0 до +∞, и обращается в нуль один раз. Линии Стокса непрерывно зависят от λ, поэтому при малых значениях t ∈ [0, t0 ] эти линии пересекают интервал (−1, 1) в точках c− (t), c+ (t), мало отличающихся от точки c (см. рис. 4). При всех z ∈ (c+ , 1] имеем Ã Zc+ Zz ! Zz p p Re S(z, c − it) = Re i(q(x) − λ) dx = Re i(q(x) − λ) dx > 0, + ξλ

c+

c+

c+

поскольку лежит на линии Стокса и значения q(x) − λ находятся в первом квадранте комплексной плоскости при λ = c − it и x > c. Последнее неравенство показывает, что линии Стокса не пересекают множество (c+ , 1]. Аналогично, линии Стокса не пересекают множество [−1, c− ) и интервал (c− , c+ ). Далее, функция Z1 p Re Q (c − it) = Re S(1, c − it) = Re i(q(x) − λ) dx +

c+

102

А. А. ШКАЛИКОВ

монотонно убывает при возрастании t от 0. Поэтому точка c+ = c+ (t) движется вправо и достигает точки 1 при подходе λ = c − it к кривой γ˜+ . Аналогично, точка c− (t) движется влево и достигает точки −1 при подходе λ = c − it к кривой γ˜− . Из проведенного анализа легко следуют все другие утверждения леммы. Теперь определим важное понятие канонической области для уравнения (2.1). Будем называть область Ωλ в z-плоскости канонической, если функция S(z, λ) однолистна в этой области (мы не определяем здесь максимальные канонические области). Из определения легко следует, что любая область, которая не содержит точек графа Стокса, является канонической; более того, Re S(z, λ) сохраняет знак в такой области. Отсюда получаем, что любая область, содержащая только одну линию Стокса, тоже является канонической. Лемма 2.7. При любом фиксированном λ ∈ Π \ (γ+ ∪ γ− ) существует путь, соединяющий точки ±1, и каноническая область Ωλ , которая целиком содержит этот путь. Доказательство. Рассмотрим, например, случай, когда λ лежит выше обеих кривых γ˜+ и γ˜− . + Вспомним обозначение Ω = G ∪ Uδ [−1, 1] и рассмотрим область Ω \ Ω+ λ , где Ωλ — область в Ω, ограниченная левой и правой линиями Стокса и содержащая интервал (c− , c+ ) ⊂ (−1, 1) (см. рис. 4). Область Ω\Ω+ λ содержит только нижнюю линию Стокса, выходящую из ξλ и, возможно, некоторые другие линии Стокса. Но эти другие линии не пересекают линий, выходящих из точки ξλ (это общее свойство), и в силу леммы 2.6 не пересекают множеств [−1, c− ) и (c+ , 1]. Поэтому существует путь Ω \ Ω+ λ , соединяющий точки ±1, который пересекает только нижнюю линию Стокса. Очевидно, существует окрестность этого пути, которая не содержит линий Стокса, кроме нижней. Такая область является канонической (как было замечено ранее). Все другие случаи расположения точки λ (см. лемму 2.6) рассматриваются аналогично. Лемма доказана. Теперь воспользуемся следующим известным фактом. Лемма 2.8. При любом фиксированном λ ∈ Π уравнение (2.1) имеет два линейно независимых решения вида 1 −1 v± (z, λ) = e±ε S(z,λ) (1 + O± (ε)) , (2.7) [i(q(z) − λ)]1/4 где функции O± допускают оценки |O± (ε)| 6 Cε с постоянной C, не зависящей от z, если z меняется на любом фиксированном компакте K, лежащем в некоторой канонической области Ωλ . Более того, если K ∈ Ωλ при изменении λ на некотором компакте K 0 в λ-плоскости, то оценка верна с постоянной C, не зависящей от z ∈ K и λ ∈ K 0. Доказательство. См. [4, 10]. Теперь мы можем приступить непосредственно к доказательству теоремы 2.1. Фиксируем произвольное число τ > 0 и обозначим τ -окрестность предельного спектрального графа Γ через Γτ . Возможны шесть случаев расположения числа λ ∈ Π \ Γτ относительно кривых γ˜± , рассмотренных в лемме 2.1. Пусть, например, реализуется первый случай, т. е. λ лежит над кривыми γ˜+ и γ˜− . Характеристический определитель задачи (2.1), (2.2), составленный с помощью пары фундаментальных решений (2.7), имеет вид ¯ + ¯ ³ ´ ¯v (1, λ) v + (−1, λ)¯ ¯ ¯ = T (λ) eε−1 (S(1,λ)−S(−1,λ)) [1] − e−ε−1 (S(1,λ)−S(−1,λ)) [1] , (2.8) ∆(λ) = ¯ − − v (1, λ) v (−1, λ)¯ где функция T (λ) = (i(q(1) − λ)−1/4 (i(q(−1) − λ))−1/4 не обращается в нуль в Π, и для сокращения записи принято обозначение Биркгофа [1] = 1 + O(ε). Из полученного представления имеем ∆(λ) 6= 0, если Re(S(1, λ) − S(−1, λ)) > 0 и ε < ε0 = ε0 (λ).

(2.9)

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ

103

Из леммы 2.8 следует, что полученное асимптотическое представление для ∆(λ) законно, если точки z = ±1 можно соединить путем, целиком лежащим в канонической области уравнения (2.1). Лемма 2.7 гарантирует существование такого пути γλ и такой канонической области Ωλ . Кроме того, точки +1 и −1 в этой канонической области и разделены нижней линией Стокса. Вспомним, что функция Re S(z, λ) при переходе через линию Стокса меняет знак на противоположный. Ранее мы фиксировали ветвь функции S(z, λ) так, что Re S(1, c) > 0 при c ∈ (−1, 1). Это влечет Re S(1, λ) > 0, если λ лежит над кривыми γ˜+ и γ˜− . Но тогда Re S(−1, λ) < 0, а потому неравенство (2.9) выполнено. Из непрерывности функции S(z, λ) по обоим аргументам следует, что неравенство (2.8) сохраняется в некоторой окрестности Uλ точки λ. При этом окрестность Uλ можно выбрать столь малой, что путь γ, соединяющий 1 и −1, не пересекает линий графа Стокса Γµ при всех µ ∈ Uλ , кроме нижних линий. Поэтому каноническая область Ωλ , содержащая γ, может быть выбрана столь малой, что остается канонической при всех µ ∈ Uλ , т. е. можно положить Ωµ = Ωλ . В силу леммы 2.8 асимптотическое представление (2.8) для ∆(λ) сохраняется во всей окрестности Uλ точки λ, и остатки в представлениях [1] + O(ε) в том же соотношении (2.8) могут быть оценены через Cε с постоянной C, не зависящей от µ ∈ Uλ . Зафиксируем число R À 1 и обозначим через ΠR пересечение полуполосы Π с замкнутым кругом радиуса R с центром в нуле. При достаточно малых τ > 0 множество ΠR \ Γτ состоит из трех компактов. Назовем эти компакты верхним, левым и правым. Каждой точке λ из верхнего компакта K + поставим в соответствие окрестность Uλ (которая была построена выше) и из покрытия верхнего компакта такими окрестностями выделим конечное подпокрытие. Тогда получим, что представление (2.8) справедливо для всех λ ∈ K + , причем Re(S(1, λ) − S(−1, λ)) > c > 0,

λ ∈ K +,

где постоянная c зависит только от τ , а представления [1] = 1 + O(ε) таковы, что |O(ε)| < Cε с постоянной C, также зависящей только от τ . Но тогда ∆(λ) 6= 0 при λ ∈ K + , если ε < ε0 , а ε0 = ε0 (τ ) достаточно мало. Аналогично доказывается отсутствие нулей ∆(λ) в левом и правом компактах. Остается показать, что выбор τ -окрестности кривой γ∞ можно делать независимо от выбора числа R, т. е. большие по модулю собственные значения не выходят из τ -окрестности кривой γ∞ , а, наоборот, прижимаются к ней. Доказательство этого факта проводится точно так же, как в лемме 4.4 работы [7] (см. также замечание 4.1 в [7]). Теперь мы хотим получить более полную информацию о поведении собственных значений в окрестности предельного спектрального графа Γ. Для этого полезно ввести понятие функции распределения нулей вдоль кривой. Пусть γ(t), t ∈ [0, 1], — ориентированная гладкая кривая в комплексной плоскости C с концевыми точками z0 и z1 (одна или обе точки могут совпадать с ∞). Будем писать λ1 ≺ λ2 , если λj = γ(tj ) и t1 < t2 . Обозначим через γτ (λ1 , λ2 ) криволинейную полосу ширины 2τ , средней линией которой является кривая γ, а боковые стороны перпендикулярны к γ и проходят через точки λ1 и λ2 . Пусть F (z) — голоморфная в окрестности γ функция. Зафиксируем точку λ1 ∈ γ и обозначим через n(λ1 , λ) число нулей функции F (z) внутри γτ (λ1 , λ), если λ1 ≺ λ. В случае λ ≺ λ1 полагаем n(λ1 , λ) = −n(λ, λ1 ). Функцию N (λ) = n(λ1 , λ) + C, где C — произвольная постоянная, назовем функцией распределения нулей F (z) в τ -окрестности кривой γ (или вдоль кривой γ). Так как собственные значения рассматриваемой задачи являются нулями целой функции ∆(λ), то понятие функции распределения сохраняется и для функций распределения собственных значений вдоль кривых. − Теорема 2.2. Зафиксируем малое число δ > 0 и обозначим через µ+ k , µk и µk корни уравнений

Z1 p i i(q(ξ) − λ) dξ = επ(k − 1/4), k ∈ Z, ξλ

i

Z−1p ξλ

i(q(ξ) − λ) dξ = επ(k − 1/4), k ∈ Z,

104

А. А. ШКАЛИКОВ

Z1 p i i(q(ξ) − λ) dξ = επk, k ∈ Z, −1

лежащие на кривых γ+ , γ− и γ∞ (заметим, что левые части принимают вещественные значеm+ ния на соответствующих кривых). Выберем индексы p± , m± и s0 так, чтобы точки {µ+ k }p+ , − m− ∞ {µk }p− и {µk }s0 представляли все решения этих уравнений на кривых γ+ , γ− и γ∞ вне δ-окрестностей точек a, b и точки-узла λ0 . Тогда найдется число C, зависящее только от δ, такое, что кружки´ радиуса Cε2 с ценm+ +1 − m− +1 ∞ трами в точках {µ+ k }p+ −1 , {µk }p− −1 и {µk }s0 −1 содержат строго по одному собственному значению задачи, а все остальные собственные значения лежат внутри δ-окрестностей Uδ (a), Uδ (b) и Uδ (λ0 ). Функции распределения собственных значений вдоль кривых γ+ , γ− и γ∞ имеют вид 1 + N (λ) = Q (λ) + O(1), если λ ∈ γ+ , iπε 1 − N (λ) = Q (λ) + O(1), если λ ∈ γ− , iπε 1 N (λ) = Q(λ) + O(1), если λ ∈ γ∞ . iπε Остатки в этих формулах оцениваются константой, не зависящей ни от λ, ни от ε, если λ находится вне окрестностей Uδ (a), Uδ (b) и Uδ (λ0 ). l2 −1

+1 l1

ξλ

l3 РИС. 5 Доказательство. Рассмотрим кривую γ+ . Далее нам потребуются формулы перехода из одной канонической области в другую для асимптотических представлений решений. Нужный нам результат сформулируем в удобном для нас виде, имея в виду нашу конкретную задачу. Пусть λ лежит в малой τ -окрестности кривой γ+ , но вне некоторых фиксированных окрестностей концевых точек. Рассмотрим соответствующий этой точке комплекс Стокса Cλ с узловой точкой ξλ (см. рис. 5). Одна из линий Стокса, скажем, l1 , проходит вблизи точки 1 (если λ ∈ γ+ , то l1 проходит через точку 1). Пусть, как и ранее, Ω — объединение области G и δ-окрестности отрезка [−1, 1]. Обозначим через Ω1 каноническую область, заключенную в Ω между линиями l2 и l3 и содержащую линию l1 . Через Ω2 обозначим область в Ω между линиями l1 и l2 и содержащую линию l3 . Пусть vj+ (z, λ), vj− (z, λ) — пары решений, имеющих в областях Ωj , j = 1, 2 асимптотику (2.7). Асимптотика (2.7), справедливая для пары решений v2+ , v2− в области Ω2 , становится неверной в области Ω1 . Но известна формула связи для решений. Лемма 2.9. Справедлива формула перехода: в области Ω1 имеет место представление µ + ¶ µ ¶µ + ¶ v2 (z, λ) v1 (z, λ) iπ/6 −i[1] [1] =e , z ∈ Ω1 , (2.10) 1 0 v2− (z, λ) v1− (z, λ) где [1] = 1 + O(ε). При этом |O(ε)| 6 Cε, где C зависит от z и λ. Но если K — компакт в Ω1 = Ω1 (λ), то найдется окрестность Uλ точки λ, такая, что последняя оценка выполнена для всех z ∈ K и всех λ ∈ Uλ с некоторой константой, зависящей только от компакта K и окрестности Uλ .

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ

105

Доказательство. См. монографии [4, 10]. Теперь можно завершить доказательство теоремы. Построим характеристический определитель ¯ ¯ + ¯v (−1, λ) v + (1, λ)¯ 2 2 ¯. ¯ ∆(λ) = ¯ − v2 (−1, λ) v2− (1, λ)¯ Заметим, что точки −1 и 1 принадлежат областям Ω2 и Ω1 , если λ лежит вблизи кривой γ+ . Воспользовавшись асимптотиками (2.7) и (2.10) и опуская не равный нулю множитель e−iπ/6 T (λ) (см. доказательство теоремы 2.1), получим ¯ ¯ ¯ [1] exp(ε−1 S(−1, λ)) −i[1] exp(ε−1 S(1, λ)) + [1] exp(−ε−1 S(1, λ))¯ ¯. ∆(λ) = ¯¯ ¯ [1] exp(−ε−1 S(−1, λ)) [1] exp(ε−1 S(1, λ)) Ранее ветвь функции S(z, λ) выбиралась так, что Re S(−1, λ) =: α(λ) < 0, если точка λ расположена в τ -окрестности кривой γ+ , но вне окрестностей Uδ (b) и Uδ (λ0 ). Заметим, что Re S(1, λ) → 0 при τ → 0, т. е. число τ > 0 можно выбрать столь малым, что Re S(1, λ) < α(λ)/2. Тогда множитель exp ε−1 (S(−1, λ) + S(1, λ)) экспоненциально убывает, а множитель exp(−ε−1 S(−1, λ)) экспоненциально растет при ε → 0. Следовательно, с точностью до экспоненциально малых слагаемых уравнение ∆(λ) = 0 эквивалентно уравнению −1 S(1,λ)

[1]e−ε или

à cos

1 iε

−1 S(1,λ)

− i[1]eε

=0

! Z1 p π i(q(ξ) − λ) dξ − = O(ε). 4

(2.11)

ξλ

Предположим, что остаточный член O(ε) в этом уравнении равен нулю. Тогда корни на кривой γ+ определяются явно из уравнений −iQ+ (λ) = ε (kπ − π/4) ,

k ∈ Z.

(2.12)

Функция −iQ+ (λ) вещественна и монотонна на кривой γ+ (см. лемму 2.3). Следовательно, найдутся целые числа p+ и m+ , такие, что при p+ 6 k 6 m+ уравнения (2.12) имеют решения µk на кривой γ+ вне δ-окрестностей концевых точек b и λ0 . Существование простых нулей возмущенного m уравнения (2.11) в Cε2 -окрестностях точек {µk }p++ доказывается стандартным приемом с помощью теоремы Руше (см. подробности в теореме 5.1 работы [7]). Представление для функции распределения собственных значений N (λ) вдоль кривой γ+ получается из формул (2.12). Это делается так же, как в теореме 5.2 работы [7]. Конечно, те же утверждения справедливы для собственных значений вблизи кривой γ− . Доказательство формул для собственных значений вблизи кривой γ∞ проводится проще. А именно, для получения асимптотического представления характеристического определителя для значений λ, лежащих ниже кривых γ˜+ и γ˜− , не требуется применения формул перехода. Для таких значений λ весь отрезок [−1, 1] лежит между левой и правой линиями Стокса, а потому асимптотику (2.10) можно использовать одновременно в обеих точках −1 и +1. После простых вычислений получим, что для значений λ, лежащих ниже кривых γ˜+ и γ˜− , уравнение ∆(λ) = 0 эквивалентно уравнению sin

1 Q(λ) = O(ε). iε

Отсюда стандартными приемами получаем локализационные формулы для собственных значений, а затем представление для функции распределения собственных значений вдоль кривой γ∞ . В действительности можно провести более тонкий анализ и получить формулы λk = µk + ε2 µ−1 k O(1),

k = s, s + 1, . . .

вблизи кривой γ∞ (здесь |O(1)| оцениваются постоянной C, не зависящей от k и ε). Для получения этих формул нужно использовать лемму 4.3 из работы [7]. Здесь мы опускаем детали.

106

А. А. ШКАЛИКОВ −1

0

1

РИС. 6 3.

СЛУЧАЙ

ПРОФИЛЯ

КУЭТТА—ПУАЗЕЙЛЯ

Профили вида q(x) = αx2 + βx + γ, α, β, γ ∈ R, отвечают стационарным решениям уравнения Навье—Стокса, поэтому такие функции представляют особый интерес при изучении задачи Орра—Зоммерфельда (0.1), (0.2). Следовательно, важно предварительно изучить модельную задачу (1.1), (1.2) для функций q(x) такого вида. Поскольку µ ¶ β 2 β2 2 αx + βx + γ = α x + + γ − 2, 2α 4α то после замен спектрального и малого параметров √ √ ε = αε0 , λ = α(λ0 − γ + β 2 /4α2 ) приходим к модельной задаче (2.1), (2.2) с функцией q(x) = (x − β 0 )2 , β 0 = β/2α. Далее вместо β 0 будем писать β. Случаи β = 0 и β 6= 0 нужно изучать отдельно. В первом случае (т. е. в случае q(x) = x2 ) известно (см., например, [14]), что собственные функции либо четны, либо нечетны, т. е. спектр задачи (2.1), (2.2) с функцией q(x) = x2 состоит из спектров двух задач на отрезке [0, 1]: iε2 y 00 + x2 y 00 = λy, y(0) = y(1) = 0,

iε2 y 00 + x2 y 00 = λy, y 0 (0) = y(1) = 0.

(3.1)

Первая из этих задач решена в разделе 1, вторая решается точно так же; замена краевого условия y(0) = 0 на условие y 0 (0) = 0 не меняет существа задачи, и метод ее решения остается таким же. Однако задача с несимметричными краевыми условиями iεy 00 + x2 y = λy, y 0 (−1) = y(1) = 0

(3.2)

не сводится к изучению похожих задач на отрезке [0, 1] с монотонной функцией x2 . Ее решение существенно сложнее. Метод решения дан в [7] (хотя в [7] формально рассматриваются краевые условия Дирихле, задача изучается глобально на всем отрезке [−1, 1], и метод решения без изменений переносится на случай произвольных распадающихся краевых условий). Анализ метода показывает, что предельный спектральный граф Γ для функции q(x) = x2 и формулы для функций распределения собственных значений около критических кривых от краевых условий не зависят. Поэтому обе задачи (3.1) и задача (3.2) имеют один и тот же спектральный граф (см. рис. 6) и одинаковые функции распределения собственных значений с точностью до умножения на коэффициент 2.

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ

107

В действительности метод работы [7] можно применить и для решения задачи iε2 y 00 + (x − β)2 y = λy, y(−1) = y(1) = 0

(3.3)

при β 6= 0. Однако предельный спектральный граф этой задачи имеет более сложную форму. То же можно сказать и о формулах для собственных значений и функциях распределения собственных значений вдоль кривых предельного графа. Сформулируем основной результат для задачи (3.3). Не ограничивая общности, предположим, что β ∈ (0, 1). Положим a = (−1 − β)2 , b = (1 − β)2 . Так же как в лемме 1.2, можно показать, что спектр задачи (3.3) лежит в полуполосе Π = {λ Im λ < 0, 0 < Re λ < a} . В полосе Π рассмотрим следующие кривые: γ˜0 = {λ ∈ Π | arg λ = −π/4} , ¯ ( ) Z1 p ¯ ¯ γ˜b = λ ∈ Π ¯ Re i(q(ξ) − λ) dξ = 0 , ¯ √ λ+β

¯ ¯ ¯ λ ∈ Π ¯ Re ¯

( γ˜a =

) Z−1 p i(q(ξ) − λ) dξ = 0 ,

√ − λ+β

¯ ) Z−1 p ¯ ¯ i(q(ξ) − λ) dξ = 0 , λ ∈ Π ¯ Re ¯ √

( γ˜− =

λ+β

¯ ) Z1 p ¯ ¯ λ ∈ Π ¯ Re i(q(ξ) − λ) dξ = 0 , ¯

( γ˜∞ =

−1

где q(ξ) =

(ξ − β)2 .

Нетрудно заметить, что эти кривые не имеют самопересечений (см. лемму 2.5).

Лемма 3.1. Кривые γ˜0 , γ˜b и γ˜− пересекаются в точке λ1 ∈ Π. Кривые γ˜− , γ˜a и γ˜∞ пересекаются в точке λ2 ∈ Π. Никаких других точек пересечения у этих кривых нет. Доказательство. Оно может быть проведено с помощью рассуждений из леммы 2.5. Обозначим через γ0 = [0, λ1 ] часть отрезка γ˜0 между 0 и λ1 , через γb — часть кривой γ˜b , заключенную между точками b и λ1 , через γ− — часть кривой γ˜− , заключенную между точками λ2 и a, наконец, через γ∞ — часть кривой γ˜∞ , заключенную между λ2 и −i∞. Теорема 3.1. Для любого малого числа τ > 0 найдется ε0 = ε0 (τ ) такое, что при всех ε < ε0 собственные значения задачи (3.3) лежат внутри τ -окрестности множества Γ = γ0 ∪ γa ∪ γ− ∪ γb ∪ γ∞ .

(3.4)

Доказательство. На первом шаге доказательства этой теоремы нужно понять геометрию линий Стокса для уравнения Вебера (3.3). В действительности эта работа проведена в [7]. Имеются три причины, по которым точка λ ∈ Π может быть точкой накопления собственных значений при ε → 0. Первая причина: одна из точек +1 или −1 лежит на графе Стокса Cλ уравнения (3.3). Множество таких точек образует кривые, которые мы называем сингулярными. В нашем случае кривые γ˜a , γ˜− и γ˜b являются сингулярными. Однако не все точки некой сингулярной кривой γ˜ принадлежат предельному спектральному графу. Мы должны исключить точки µ ∈ γ˜ , обладающие следующим свойством: имеется путь в комплексной τ -плоскости, соединяющий точки −1 и +1, который пересекает только одну линию Стокса комплекса Стокса Cλ при любом λ ∈ Uδ (µ), если δ достаточно мало. В нашем случае после удаления всех таких точек мы получаем кривые γa , γ− и γb . Вторая причина: имеются точки µ в комплексной λ-плоскости, обладающие тем свойством, что в

108

А. А. ШКАЛИКОВ

любой достаточно малой окрестности Uδ (µ) не сохраняется геометрия графов Стокса (см. детали в [7]). Точки такого типа мы называем критическими. В нашем случае имеется только одна критическая линия γ˜0 (граф Стокса состоит из одного комплекса при µ ∈ γ˜0 , а при µ 6∈ γ˜0 он состоит из двух комплексов). Здесь мы снова должны исключить точки критических линий, которые обладают описанным выше свойством. После этого в нашем случае мы получим кривую γ0 . Наконец, кривую ( ¯ ) Z1 p ¯ ¯ γ˜∞ = λ ¯ Re i(q(x) − λ) dx = 0 ¯ −1

мы называем главной линией. Часть этой линии между −i∞ и первым пересечением с сингулярной или критической линией должна быть включена в предельный спектральный граф. Это предисловие дает понимание того, как надо доказывать теорему 3.1. Здесь полное доказательство опускаем. Подробности можно найти в [9]. Теорема 3.2. Множество (3.4) есть предельный спектральный граф задачи (3.3), т. е. точки λ ∈ Γ и только они являются точками накопления собственных значений при ε → 0. Для любого δ > 0 найдутся числа ε0 = ε0 (δ) и C = C(δ), такие, что для всех ε < ε0 собственные значения задачи (3.3) лежат внутри множества и внутри

Uδ 2 Cε -окрестностей i i

√

= Uδ (0) ∪ Uδ (a) ∪ Uδ (b) ∪ Uδ (λ1 ) ∪ Uδ (λ2 ) точек µk ∈ Γ, определяемых из уравнений

R1 p i(q(ξ) − λ) dξ = ε(πk − π/4), λ+β −1 R

p i(q(ξ) − λ) dξ = ε(πk − π/4),

√ − λ+β −1 R p

i

√

i(q(ξ) − λ) dξ = ε(πk − π/4),

λ+β

i

R1 p

i(q(ξ) − λ) dξ = επk,

µk ∈ γb ,

k ∈ Z,

µk ∈ γa ,

k ∈ Z,

µk ∈ γ− , k ∈ Z, µk ∈ γ∞ , k ∈ Z,

−1

λ0k = (2k + 1)εe−iπ/4 ,

µk ∈ γ0 ,

k ∈ Z.

Cε2 -окрестности

Все точек µk ∈ Γ \ Uδ содержат строго по одному простому собственному значению. Функции распределения собственных значений вдоль кривых графа Γ имеют представление Z1 p 1 N (λ) = i(q(ξ) − λ) dξ + O(1), λ ∈ γb , iπε √ λ+β

1 N (λ) = iπε

Z−1 p

i(q(ξ) − λ) dξ + O(1), λ ∈ γa ,

√ − λ+β

1 N (λ) = iπε √

Z−1 p

i(q(ξ) − λ) dξ + O(1),

λ ∈ γ− ,

λ+β

1 N (λ) = iπε

Z1 p

i(q(ξ) − λ) dξ + O(1), λ ∈ γ∞ ,

−1

1 N (λ) = eiπ/4 λ, λ ∈ γ0 . 2ε Доказательство. Подробности доказательства этой теоремы можно найти в [9]. Спектральный портрет задачи (3.3) для функции q(x) = (7x − 1)2 /64, ε2 = 5000, изображен на рис. 7.

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ −1

0

109 9/16

1

РИС. 7

−1

0

1

РИС. 8

4. ЗАДАЧА ОРРА—ЗОММЕРФЕЛЬДА Описание глобального поведения спектра задачи Орра—Зоммерфельда при R → ∞ проводилось только для функций q(x) = x (профиль Куэтта) и q(x) = x2 или q(x) = 1 − x2 (профиль Пуазейля). Здесь мы укажем на работы [2,8,13,16]. В действительности развитые в работах [8,9] методы могут быть использованы без существенных изменений для исследования профиля Куэтта—Пуазейля q(x) = αx2 + βx + γ. Здесь мы только сформулируем полученные в [2] результаты и обобщение результатов [9]; подробное их доказательство требует серьезной работы. Рис. 8 (заимствованный из работы [3]) дает иллюстрацию первой теоремы этого раздела. Здесь спектр подсчитан для значений α = 1 и R = 4000.

110

А. А. ШКАЛИКОВ

γ

−1

1

t

РИС. 9 Во введении было показано, что в случае профиля Куэтта q(x) = x задача Орра—Зоммерфельда принимает вид −iεz 00 + (iεα2 − x)z = λz, ε = 1/αR, Z1

Z1 sh[α(1 − t)] z(t) dt =

−1

(4.1)

ch[α(1 − t)] z(t) dt = 0. −1

Для описания поведения собственных значений задачи при ε → 0 удобно рассмотреть прямоугольную систему координат {t, γ} в комплексной λ-плоскости, взяв за начало координат точку −1 и √ направив ось t вдоль отрезка [−1, −i/ 3] (см. рис. 9). Обозначим ¯ ¡ ¡ ¢¢¯ ³ ³ ´´ √ ¯sh α 2 − e−iπ/4 t ¯ 1 c(t) = 2 π , ϕ(t) = arg sh α 2 − e−iπ/4 t , sh 2α 2π где берется главная ветвь аргумента. Рассмотрим в {t, γ}-плоскости кривые γ± (t) = ±

ε1/2 c(t)t3/4 ln 1/4 , t1/2 ε

t > 0.

На этих кривых зафиксируем точки ± µ± k = {tk , γ± (tk )},

где

³ h i´2/3 1/3 t± 3π k − 1/4 ∓ ϕ((3πε1/2 k)2/3 ) , k =ε

а индексы k0 , k1 выберем так, чтобы выполнялись неравенства µ ¶ √ 2 3 3/4 1/2 ε | ln ε|, ε1/3 | ln ε| 6 tk 6 2/ 3 − 3 4

k0 6 k 6 k1 ,

k0 6 k 6 k1 . −5/4

3/4 t Теорема 4.1. Обозначим через Uk± окрестности точек µ± , а через k радиуса δk = ε k ± ˆ Uk — симметричные отражения этих окрестностей относительно мнимой оси. Через U±1 обозначим ε1/3 | ln ε|-окрестности точек ±1, а через U0 — окрестность радиуса 2/3·(3/4)3/4 ε1/2 | ln ε| √ узловой точки −i/ 3. Тогда найдутся числа C > 0 и ε0 > 0, такие, что при√всех ε 6 ε0 все собственные значения задачи (4.1), расположенные вблизи отрезков [±1, −i/ 3], лежат вну± ˆ ± k1 +1 ˆ± три кружков U±1 , U0 и {Uk± }kk10 +1 −1 , {Uk }k0 −1 . В каждом из кружков Uk и Uk имеется ровно

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ −1

0

111 1

РИС. 10 одно простое собственное значение. Все другие собственные значения лежат на мнимой оси √ ниже точки −i/ 3 и имеют асимптотику λk = −i(ρk + εO(1)),

k = k0 , k0 + 1, . . . ,

где числа ρk и k0 те же, что в теореме 1.1. Доказательство. Так же как в теореме 1.1, в доказательстве используются специальные свойства функций Эйри. Подробности можно найти в [2]. Теорема 4.2. Для любого τ > 0 существует ε0 = ε0 (τ ), такое, что при ε < ε0 все собственные значения задачи Орра—Зоммерфельда (0.1), (0.2) с профилем Куэтта—Пуазейля q(x) = (x − β)2 , β ∈ (−1, 1), лежат в τ -окрестности предельного спектрального графа Γ соответствующей модельной задачи. Главные члены функций распределения собственных значений вдоль кривых графа Γ имеют представление, указанное в теореме 3.1. Доказательство. В случае β = 0 доказательство получено в [8]. При β 6= 0 доказательство остается по существу таким же, если предварительно провести анализ модельной задачи с функцией q(x) = (x − β)2 (см. [9]). Доказательство результатов о функциях распределения собственных значений использует тауберову технику, развитую в [19]. На рис. 10 изображен спектр задачи Орра—Зоммерфельда для функции q(x) = x2 , α = 1, R = 3000. Автор благодарит профессоров Дж. М. Болла (J. M. Ball, Oxford), Е. Б. Дэвиса (E. B. Davies, Kings College London), Д. Г. Васильева (D. G. Vassiliev, Bath), У. Д. Эванса (W. D. Evans, Cardiff) за интерес к задачам и приглашение в ноябре 2001 на их семинары с лекциями о спектральных портретах несамосопряженных задач. Автор выражает признательность профессорам М. Брауну (M. Brown, Cardiff), С. Дж. Чапману (S. J. Chapman, Oxford), Е. Б. Дэвису (E. B. Davies, Kings College London), Л. Гринбергу (L. Greenberg, Maryland), М. Марлетте (M. Marletta, Cardiff), Л. Н. Трефезену (L. N. Trefethen, Oxford) за плодотворные обсуждения задач о модельном операторе и операторе Орра—Зоммерфельда и за возможность ознакомиться с их работами. Автор искренне благодарит российских специалистов: профессоров Д. В. Георгиевского, С. Ю. Доброхотова, А. М. Ильина, Л. А. Калядина, В. П. Маслова, С. Н. Набоко, Н. Н. Нефедова, Д. А. Попова и В. И. Жука за интерес к теме и полезные дискуссии. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Дьяченко А. В., Шкаликов А. А. О модельной задаче для уравнения Орра–Зоммерфельда с линейным профилем// Функц. анализ и его прилож. — 2002. — 36, № 4

112

А. А. ШКАЛИКОВ

2. Дьяченко А. В., Шкаликов А. А. Уравнение Орра–Зоммерфельда с линейным профилем// Электронная версия: www.arxiv.org/ps/math.FA/0212127. 3. Нейман-заде М. И., Шкаликов А. А. О вычислении собственных значений задачи Орра– Зоммерфельда// Фунд. и прикл. мат. — 2002. — 8, № 1. — С. 301–305 4. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. — М.: Наука, 1990 5. Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов// Итоги науки и техн., сер. Совр. пробл. мат., Фундам. напр. — М.: ВИНИТИ, 1989. — 64 6. Стёпин С. А. Модель перехода от дискретного спектра к непрерывному// Фунд. и прикл. мат. — 1997. — 6, № 4. — С. 1199–1227 7. Туманов С. Н., Шкаликов А. А. О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения Орра–Зоммерфельда с профилем Пуазейля// Изв. РАН. — 2002. — 66, № 4. — С. 177–204 8. Туманов С. Н., Шкаликов А. А. О локализации спектра для задачи Орра–Зоммерфельда при больших числах Рейнольдса// Мат. заметки. — 2002. — 72, № 4. — С. 519–526 9. Туманов С. Н., Шкаликов А. А. О модельной задаче для уравнения Орра–Зоммерфельда с квадратичным профилем// Электронная версия: www.arxiv.org/ps/math-ph/0212074. 10. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1983 11. Шкаликов А. А. О предельном поведении спектра при больших значениях параметра одной модельной задачи// Мат. заметки. — 1997. — 62, № 6. — С. 950–953 12. Шкаликов А. А. Теоремы тауберова типа о распределении нулей голоморфных функций// Мат. сборник. — 1984. — 125, № 3. — С. 317–347 13. Chapman S. J. Subcritical transition in channel flows// J. Fluid Mech. — 2002. — 451. — С. 35–97 14. Drazin R. G., Reid W. H. Hydrodynamic stability. — Cambridge University Press, 1982 15. Lin C. C. On the stability of two-dimensional parallel flows, Part I–III// Q. Appl. Math. — 1945. — 3. — С. 117–142 16. Morawetz C. S. The eigenvalues of some stability problems involving viscosity// J. Rat. Mech. Anal. — 1952. — 1. — С. 579–603 17. Reddy S. G., Schmidt P. J., Henningson D. S. Pseudospectra of the Orr–Sommerfeld operator// SIAM J. Appl. Math. — 1993. — 53, № 1. — С. 15–47 18. Redparth P. Spectral properties of non-selfadjoint operators in the semiclassical regime// Submitted in J. Differ. Equations; Electronic version: www.arxiv.org/ps/math.SP/0003044. 19. Shkalikov A. A. Quasi-classical eigenvalue distribution for a non-selfadjoint Sturm–Liouville operators// In: Spectral Analysis of Differential and Difference operators. — Warsaw: Stephan Banach Intern. Math. Center., 2001. — С. 37–40 20. Trefethen L. N. Pseudospectra of linear operators// ISIAM 95: Proc. Third Int. Congress Industrial Appl. Math. Acad. Verlag, Berlin, 1996. — С. 401–434

Андрей Андреевич Шкаликов Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Россия, 119899, Москва E-mail: [email protected]