Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление

Л.Э.Эльсгольц ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ От редакторов серии ЧАСТЬ I ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Введение Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка § 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной § 2. Уравнения с разделяющимися переменными § 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными § 4. Линейные уравнения первого порядка § 5. Уравнения в полных дифференциалах § 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения dy/dx=f(x,y) § 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка § 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно производной § 9. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения Задачи к главе 1 Глава 2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого § 1. Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения п-го порядка § 2. Простейшие случаи понижения порядка § 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка § 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера § 5. Линейные неоднородные уравнения § 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера § 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов § 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний § 9. Понятие о краевых задачах Задачи к главе 2 Глава 3. Системы дифференциальных уравнений § 1. Общие понятия § 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка

8 8 9 15 15 19 24 27 32 39 61 68 75 82 85 85 87 93 107 113 124 137 147 159 165 168 168 171

§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций § 4. Системы линейных дифференциальных уравнений § 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 6. Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений и уравнений n-го порядка Задачи к главе 3 Глава 4. Теория устойчивости § 1. Основные понятия § 2. Простейшие типы точек покоя § 3. Второй метод А. М. Ляпунова § 4. Исследование на устойчивость по первому приближению § 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочлена § 6. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка § 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях Задачи к главе 4 Глава 5. Уравнения в частных производных первого порядка § 1. Основные понятия § 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка § 3. Уравнения Пфаффа § 4. Нелинейные уравнения первого порядка Задачи к главе 5 ЧАСТЬ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Введение Глава 6. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами § 1. Вариация и ее свойства § 2. Уравнение Эйлера x1

§ 3. Функционалы вида

∫ F ( x, y , y ,..., y , y' , y' 1

2

n

1

2

,..., y 'n )dx

178 181 192 199 201 203 203 206 215 221 227 230 234 238 241 241 243 255 260 278 280 284 284 292 305

x0

§ 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка § 5. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных § 6. Вариационные задачи в параметрической форме § 7. Некоторые приложения Задачи к главе 6 Глава 7. Вариационные задачи с подвижными границами и некоторые другие задачи § 1. Простейшая задача с подвижными границами § 2. Задача с подвижными границами для функционалов вида

308 312 317 320 324 327 327 334

x1

∫ F ( x, y, z, y ' , z' )dx

x0

§ 3. Экстремали с угловыми точками 338 § 4. Односторонние вариации 346 Задача к главе 7 349 Глава 8. Достаточные условия экстремума 351 § 1. Поле экстремалей 351 § 2. Функция E(x, y, p, y') 357 § 3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду 368 Задачи к главе 8 373 Глава 9. Вариационные задачи на условный экстремум 375 375 § 1. Связи вида ϕ(x, y1ь y2,..., yn)=0 382 § 2. Связи вида ϕ(x, y1ь y2,..., yn, y'1ь y'2,..., y'n)=0 § 3. Изопериметрические задачи 385 Задачи к главе 9 393 Глава 10. Прямые методы в вариационных задачах 394 § 1. Прямые методы 394 § 2. Конечно-разностный метод Эйлера 395 § 3. Метод Ритца 397 § 4. Метод Канторовича 406 Задачи к главе 10 412 Ответы и указания к задачам 414 Рекомендуемая литература 421 Предметный указатель 422 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 327—350 Асимптотически устойчивое решение Вариационное исчисление 281 204 — —, основная лемма 295 Бернулли уравнение 30 Вариационный принцип 281, 320 Бесселя уравнение 139 Вариация 284, 288, 289, 309, 313 — функции 141—143 Вейерштрасса функция 359 Бигармоническое уравнение 317 Векторная линия 245 Близость кривых 285, 286 Брахистохрона 281, 304, 332, 364 — поверхность 244 Взаимности принцип 388 Вариации постоянной метод 28 Влияния функция 123, 161 — 165 Вариационная задача 281 Вронского определитель 97, 185 — — в параметрической форме Галеркина метод 410 317—320 Гамильтона — Якоби уравнение 370 — — на условный экстремум 375— Гамма-функция 140 393 Геодезическая линия 282, 381 — —, прямые методы решения 394— Голономные связи 382 413 Граничная задача 13, 159 — — с подвижными границами

Грина функция 161 — 165 Гурвица теорема 227 Дикритический узел 211 Динамическая система 170 Дирихле задача 315 Дифференциальное уравнение 9 — — Бернулли 30 — — Бесселя 139 — — в полных дифференциалах 32 Дифференциальное уравнение в частных производных 10 — — — — — первого порядка 241— 279 — — высшего порядка 85—167 — —, интеграл 20 — —интегрирование 10 — —,— с помощью рядов 137—146 — — Клеро 73 — — Лагранжа 73 — — линейное высшего порядка 93—106, 113—124 — — — неоднородное с постоянными коэффициентами 124—136 — — — однородное с постоянными коэффициентами 107—110 — — — первого порядка 27 — — —, фундаментальная система решений 100 — —, не решенное относительно производной 68 — —, общее решение 15, 86 — —, общий интеграл 20, 32 — — обыкновенное 10 — — однородное 25 — —, операторный метод решения 129—136 — —, особое решение 57, 78 — —, периодические решения 143— 146 — —, порядок 10 — — Пфаффа 255 — —, решение 10, 169

— — Риккати 31 — — с разделенными переменными 19 — — с разделяющимися переменными 21 — —, теорема существования и единственности решения 39— 61, 75— 82, 85—87 — — Эйлера 110—113, 136 Изоклины 17 Изопериметрическая задача 282, 317, 385 Изопериметрические условия 282,386 Интеграл дифференциального уравнения 20 — первый 89, 179 — полный 261 Интегральная кривая 16, 169 — — особая 78 —- поверхность 261, 268 Интегрируемая комбинация 178 Интегрирующий множитель 35 Канторовича метод 406—412 Квазилинейное уравнение в частных производных 243 Клеро уравнение 73 Ковалевской теорема 242 Коши задача 13 — метод 121, 268 Краевая задача 13, 159 Лагранжа уравнение 73 Лагранжа — Шарли метод 264 Лагранжиан 324 Лапласа уравнение 315 Лежандра условие 362 Линейная зависимость 96, 185 — система дифференциальных уравнений 181—192 — — — — с постоянными коэффициентами 192—199 Линейное дифференциальное уравнение 27 — — — в частных производных

неоднородное 243 — — — — — — однородное 243 — — — высших порядков 93—106, 113—124 — — — с постоянными коэффициентами 107—110, 124—136 — — —, фундаментальная система решений 100 Линейный дифференциальный оператор 94—183 — функционал 287 Липшица условие 40 Ляпунова второй метод 215 — теорема 215, 217 — функция 215 Максимум функционала 289 — — сильный 290 — — слабый 290 — — строгий 289 Малкина теорема 235 Малого параметра метод 147—158 Метрическое пространство 48 Минимум функционала 289 Минимум функционала сильный 290 — — слабый 290 Наклон поля 351 Наложения принцип 114, 189 Начальная задача 13 Неголономные связи 382 Непрерывный функционал 285, 286 Неустойчивое решение 204 Неустойчивый предельный цикл 226 — узел 208, 211 — фокус 209 Общее решение дифференциального уравнения 15, 86 Общий интеграл дифференциального уравнения 20 Обыкновенное дифференциальное уравнение 10 Огибающая 74 Оператор линейный

дифференциальный 94, 183 Операторный метод решения дифференциальных уравнений 129—136 — многочлен 129 Определитель Вронского 97, 185 Оптимальная функция 391 Оптимальное управление 391 Особая интегральная кривая 78 — точка 57 Особое решение дифференциального уравнения 57, 78 Остроградского уравнение 314 Остроградского — Гамильтона принцип 320 Остроградского — Лиувилля формула 106 Первого приближения система уравнений 221 Первый интеграл 89, 179 Периодические решения дифференциального уравнения 143—146 Периодичности условия 157 Плотность функции Лагранжа 324 Покоя точка 171, 205 Поле собственное 351 — центральное 351 — экстремалей 352 Полная интегрируемость уравнения Пфаффа 256 Полное пространство 48 Полный интеграл 261 Полуустойчивый предельный цикл 226 Порядок дифференциального уравнения 10 Последовательных приближений метод 199 Предельный цикл 23, 226 — — неустойчивый 226 — — полуустойчивый 226 — — устойчивый 226

Пространство метрическое 48 — полное 48 — равномерной сходимости 50 — фазовое 12, 170 Прямые методы в вариационном исчислении 394—413 Пуассона уравнение 315 Пфаффа уравнение 255 Равномерной сходимости пространство 50 Расстояние 48 Резонанс 145, 152 Риккати уравнение 31 Ритца метод 397—406 Рунге метод 64, 201 Связи голономные 382 — неголономные 382 Связный экстремум 282 Седло 59, 208 Сжатых отображений принцип 48 Сильный экстремум 290, 360 Системы дифференциальных уравнений 168—202 — линейных дифференциальных уравнений 181—192 — — — — с постоянными коэффициентами 192—199 Слабый экстремум 290, 359, 360 Собственное поле 351 Специальные решения 253 Стационарного действия принцип 320 Строгий экстремум 290 Суперпозиции принцип 114, 189 Трансверсальности условие 331, 336 Узел 58 — дикритический 211 — неустойчивый 208, 211 —- устойчивый 207, 211 Управление оптимальное 391 Управляющая функция 391 Уравнения в частных производных 10

— — — — первого порядка 241 — 279 Уравнивание 61 Условный экстремум 282, 375—393 Устойчивое' решение (по Ляпунову) 204 — — по отношению к постоянно действующим возмущениям 236 Устойчивый предельный цикл 222 — узел 207, 211 — фокус 209 Фазовая траектория 170 Фазовое пространство 12, 170 Фокус 59 — неустойчивый 209 — устойчивый 209 Фундаментальная система решений 100 Функционал 280, 284 — линейный 287 — непрерывный 285, 286 Характеристик метод 268 Характеристики 245, 248, 254, 268, 269, 273 Характеристическая полоса 269, 273 Характеристическое уравнение 107, 194 Центр 59, 210 Центральное поле 351 Цикл предельный 23, 226 Четаева теорема 218 Штермера метод 62, 200 Эйлера дифференциальное уравнение 110—113, 136 — конечно-разностный метод 395— 397 — ломаная 13, 40 — метод 39, 61, 199 — уравнение (в вариационном исчислении) 297, 306, 368, 377 Эйлера — Пуассона уравнение 310 Экстремаль 297, 310

Экстремум связаный 282 — условный 282, 375—393 — функционала 290 — — сильный 290, 360

— — слабый 290, 359, 360 Якоби первый метод 277 — уравнение 356 — условие 355