波動方程式の散乱理論 (紀伊國屋数学叢書 23)

紀伊 國屋数学叢書 23

編集委員 伊藤 戸 田

清 三   (東京大学教授) 宏 

(京都大学教授)

永田

雅 宜   (京都大学教授)

飛田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学教授)

望月

清

波 動 方程 式 の散乱理 論 紀伊國屋書店

ま

え

が

き

  散 乱 理 論 で は 発 展 方 程 式 系 の解 の無 限 の過 去 で の状 態 と無 限 の 未来 で の 状態 とを 比 較 す る.そ の対 応 を 与 え る作 用 素 を 散 乱 作 用 素(scattering

operator)と

呼 ぶ が,こ れ を 直 接 構 成 す る こ とは 一 般 に困 難 で あ る.そ こで 多 くの場 合,問 題 の系 を よ り単 純 な 発 展 方 程 式 系 ― 見 てMollerの 間)=±

波 動 作 用 素(wave

これ を 自 由な 系 と呼 ぶ ―

か ら の摂 動 と

operators)を 介在 させ る.摂 動 の 影 響 がt(時

∞ の近 傍 で無 視 で き る もの とす れ ば,摂 動 を受 け た 系 の解u(t)はt→

±∞ と と もに 自由 な 系 の解u±0(t)に近 づ くこ とが 期 待 され る.こ は散 乱 状 態 を もつ とい い,対 応W±:u±0(t)→u(t)をMollerの ん で い る.こ れ を 用 いれ ば 散 乱 作 用 素 は 

の と き この 系

波 動 作 用 素 と呼

の よ うに 定 義 され る こ と

に な る.   散 乱 理 論 の 目的 は これ らの作 用 素 の存 在 を 示 し,さ らに物 理的 な観 測 量 で あ る散 乱 作 用 素 の性 質 と摂 動 の 形 状 の 関連 を し らべ る こ と に あ る.そ のた め に t→ ±∞ で 無 視 で き る摂 動 の ク ラ ス の確 定,エ

ネ ル ギー 伝 播 の 性 質,生

成作用

素 の ス ペ ク トル構 造 な ど関 連 す る諸 問題 の解 決 が不 可 欠 に な る.   本書 で は これ らの問 題 を 論 じるが,加 藤 やReed-Simonの

大 書 の よ うに総 合

的 な解 説 を 試 み るつ も りは な く,対 象 と方法 を逆 に 制 限 し て,(筆 る)ひ とつ の立 場 を な るべ く詳 細 に述 べ た い と思 う.即 ち,こ

者 も関 係 す

こで は対 象 を 古

典 的 な 音響 波動 方 程式 と相 対 性 量 子論 に 現 れ る半 線 形 波 動 方 程式 と に し ぼ り, 定 常 あ る いは 非定 常 の エ ネ ルギ ー 積 分 を駆 使 す る道 を と る.   本 書 の構 成 は下 図 の よ うに な る:

  第1章

でd'Alembert方

程 式 の 解 に つ い て 述 べ た 後,前

は 線 形 理 論 に 於 け るFriedrichs, ary)方

法 が 解 説 さ れ,後

Morawetz,

Strauss等

関 係 す る(time "d'Alembert方

Povzner,池

半 の 第6,7,8章

部,Eidus以

で

来 の 定 常 的(station

で は 半 線 形 の 問 題 に 対 す るSegal,

の 結 果 が ま と め ら れ る.当

dependent)方

半 の 第2,3,4,5章

然 の こ とな が ら後 者 は時 間 に

法 に な っ て い る.一

言 で いえ ば 本 書 の 立 場 は

程 式 の 摂 動 に 関 す る エ ネ ル ギ ー の 方 法"で

あ り ,こ

法 が 直 接 他 の も っ と一 般 の 問 題 に 適 用 で き る わ け で は な い.結

こ で の 方

果 そのもの より

も散 乱 理 論 に 於 け る種 々の 問題 を こ こで 具体 的 に把 握 して い た だ けれ ば幸 い で あ る.し

か し な が ら,上

記 の 両 大 書 やLax-Phillips,黒

書 が ど の 程 度 存 在 を 主 張 で き る の か,は

田等 の書 物 に混 って本

な は だ こ こ ろ も と な い.

  本 書 の 執 筆 を 勧 め て 下 さ っ た の は 飛 田 武 幸 教 授 と伊 藤 清 三 教 授 で あ る.伊 教 授 に は さ ら に 初 校 の 段 階 で 有 益 な 助 言 を い た だ い た.ま め ら れ て 以 来 数 年 が 経 過 し た が,そ 終 始 お 世 話 に な り続 け,な りて,こ

た,本

藤

書 の執 筆 を勧

の 間 紀 伊 國 屋 書 店 出 版部 の 渦 岡謙 一 氏 に は

ん と か 出 版 に こ ぎ つ け る こ と が で き た.こ

の場をか

れ ら の 方 々 に 心 か ら 御 礼 申 し 上 げ る.

1983年10月

著

者

目

次

ま えが き 第1章

  d'Alembert方

程 式 の初 期値 問題

  §1 記 号,関 数 空 間

 1

  §2 基 本 解 と波 の 伝播

 6

  §3 極 限 振 幅 の 原理

 10

  §4 Laplace作 第2章

用 素 の ス ペ ク トル表 現  

  波 動 方 程 式 に 対 す る ス ペ ク トル 分 解 の 方 法

  §5 双 曲 型 発 展 方 程 式   §6 非 均 質 媒 質 中 の音 響 波 動 伝 播 問 題     §7 2階 楕 円 型 作 用 素 の 自己 共 役 性 と本 質 ス ペ ク トル   §8 楕 円 性評 価,一 第3章

14

意接 続 定 理

  19 24  29   34

  定 常 波動伝 播 問題

  §9 定 常 問 題 に関 す る エ ネ ル ギ ー積 分

  41

  §10 斉 次 方程 式 の解 の一 意性

  45

  §11 定 常 波 の漸 近 的 相 関 数

 50

  §12 放 射 条 件 に 関連 す る先験 評 価  

55

  §13 極 限 吸収 の原 理  

60

第4章

 短 距離 型摂 動 の散 乱問題

  §14 短 距 離 型 の ス ペ ク トル表 現 

67

  §15 波 動 作 用 素 の存 在 と完 全 性  

72

  §16 散 乱 作 用 素 の表 現 と逆 問 題  

78

  §17 散 乱 作 用 素 の解 析 接 続  

82

  §18 波 の 指 数 的 減 衰   第5章 

88

遠 距 離 型 摂 動 の場 合

  §19 極 限 吸収 原 理 の見 直 し   §20 遠 距 離 型 の ス ペ ク トル表 現  

  93 97

  §21 定 常 波 動 作 用 素 の時 間 に依 る表 示  

103

  §22 漸 近 波 動 関 数 とエ ネ ル ギ ー分 布  

110

第6章

  半線 形 波動方程 式

  §23 解 の存 在 と一 意 性  

117

  §24 具 体 的 な 問 題 へ の 応 用 

121

  §25 も うひ とつ の存 在 定 理 

125

第7章 

エ ネ ル ギ ー の伝 播 と減 衰

  §26 エ ネル ギ ー の有 限伝 播 性 と有 界性  

131

  §27 エ ネル ギ ー 減衰 へ の摩 擦 項 の影 響  

135

  §28 局 所 エ ネル ギ ー の 指数 的 減 衰  

141

  §29 非柱 状 の外 部 境 界値 問題  

145

第8章

  半 線 形 方 程 式 の散 乱 問 題

  §30 Huygensの

原理 が使 える問題  

151

  §31 小 さ な初 期 デ ー タを もつ 問 題  

155

  §32 有 効 な エ ネ ル ギ ー評 価 を もつ 問 題  

160

補

足

  165

文

献

 172

索

引 

181

記号表 

184

第1章

  §1  記 号,関

程 式 の初 期 値 問 題

数空間

  こ の 節 で は,本 る.証

  d'Alembert方

書 で 用 い られ る記 号 お よび 基 礎 的 な 関 数 空 間 の 説 明 を す

明 な し で 述 べ た い くつ か の 結 果 に つ い て は,必

溝 畑[67]等

  [A] 

[99],

を 参 照 さ れ た い.

偏 微 分   n-次 元 実Euclid空

…,ξn)等

要 な らSchwartz

で 表 し,Rnで

間Rnの

の 内 積,ノ

点 をx=(x1,…,xn),ξ=(ξ1,

ル ム を そ れ ぞ れ 次 の よ う に 与 え る:

(1.1) Rnの

連 結 開 集 合 を 領 域 と 呼 ぶ.領

ま た領 域

Ω に そ の 閉 包 が 含 ま れ る よ うな 有 界 領 域Gを

び,  し て,そ

域 Ω の 境 界 を ∂Ω で,閉

の よ うに 表 す.複 の 実 部a,虚

部bを

素 数 体Cの

包 を Ω で 表 す.

Ω の 部 分 領 域 と呼

元  

に対

そ れ ぞ れReζ,Imζ

で,ま

た 共 役 複 素 数a-ib

を ζ で 表 す.   Rnま

た はRnの

一 部 分 で 定 義 さ れ た 関 数 は,特

複 素 数 値 を と る も の と す る.関

に こ と わ りの な い か ぎ り,

数f(x)のxj(j=1,…,n)に

(∂f/∂xj)(x)を 簡 単 に ∂jf(x)と 書 く.さ と す る 多 重 指 標 と す る と き,f(x)の

ら に α=(α1,…,αn)を

関 す る偏 導 関 数 非負整数を成分

α 階 の微 分 を

(1.2) と書 く.α 微分を

の 大 き さ￨α￨=α1+…+αnだ

け が 問 題 に な る と き はf(x)の

∇￨α￨f(x)で 代 表 さ せ る こ と に す る.た

(gradient)ベ

ク トル(∂1f(x),…,∂nf(x))を

だ し ∇f(x)はf(x)の

意 味 す る.

α 階 勾 配

  [B]  関 数 空 間   領 域 Ω⊂Rnで

定 義 さ れ た 関 数f(x)の

≦m)が す べ て連 続 で あ る も の全 体 をCm(Ω)で Cm(Ω)(0≦m≦ す.た

∞)に

台(support)と

の こ と で あ っ て,suppfと

は 集 合{x∈

Ω;f(x)≠0}の

表 閉包

は そ れ ぞ れ 適 当 な 位 相 を 導 入 す る こ と が で き る が,こ

C∞0(Ω)の 関 数 列{φj(x)}j=1,2,… 存 在 し て,す

収 束 の 概 念(擬 位 相)を

がC∞0(Ω)で0に

べ て のjに

∞

と と も にKで

こ

与 え て お こ う.

収 束 す る と は,Ω

つ い てsuppφj⊂Kで

の 多 重 指 標 α に 対 し て ∂αxφ(x)がj→ と で あ る.こ

とす る.

書 く 場 合 が あ る.

で は 超 関 数 の 定 義 に 必 要 なC∞0(Ω)の

ト集 合Kが

表 し, 

属 す 関 数 で コ ン パ ク トな 台 を も つ も の 全 体 をCm0(Ω)で

だ し 連 続 関 数f(x)の

  Cm(Ω),Cm0(Ω)に

う ち ∂αxf(x)(￨α￨

の コン パ ク

あ り,さ 一 様 に0に

らに 任 意

収束す るこ

れ を 以下 で は

φj→0 

(C∞0(Ω)で) (j→ ∞) 

(1.3)

の よ うに表 す 場 合 が あ る.   急 減少 関 数族 〓 はC∞(Rn)の

関 数f(x)で,任

意 の 非 負 整 数mに

ついて

(1.4) な る もの全 体 で あ る.〓

は セ ミ ノル ム  

に よ ってFrechet

空 間 に な っ て い る.   Lp(Ω)(1≦p≦ ∞)は

Ω のほ とん どい た る所 で定 義 され たLebesgue可

測関

数で

(1.5)

(μ はRn上

のLebesgue測

で あ る が,特

にp=2の

度)な と きは,ノ

る も の 全 体 で あ る.Lp(Ω)はBanach空

間

ル ム ‖f‖=‖f‖L2(Ω)が 内 積

(1.6) か ら 誘 引 さ れ,L2(Ω)はHilbert空   Ω 上 の 関 数f(x)で,任

間 に な る.

意 の 部 分 領 域 

に 対 し てf(x)∈Lp(G)(1≦p

≦ ∞)と

な る も の,即

ち Ω で の 局 所Lp-関

分 領 域 の 列{Ωk}k=1,2,…

数 全 体 をLploc(Ω)で

表 す.Ω

の部

を

(1.7) を み た す よ う に と れ ば,Lploc(Ω)は Frechet空

セ ミノル ム

‖f‖Lp(Ωk)(k=1,2,…)に

間 に な っ て い る.

 [C]  超 関 数   C∞0(Ω)上 の 連 続 線 形 汎 関 数 を Ω と 呼 び,そ

の 全 体 をD′(Ω)で

と か く.f∈D′(Ω)に

表 す.φ

上 の 超 関 数(distribution)

∈C∞0(Ω)で のf∈D′(Ω)の

値を

〈f,φ〉

対 し て, 〈f(α),φ〉=〈f,(-1)￨α￨∂

(1.8)

定 ま る が,こ

超 関 数fの

意 の φ∈C∞0(Ω′)に対 し て 〈f,φ〉=0と

台 と は,任

れ をfの

αxφ 〉  

に よ っ て 超 関 数f(α)が

の 開 集 合 Ω′ ⊂ Ω の 補 集 合 の こ とを い い,suppfと

α 階 微 分 と呼 び,∂ αxfで 表 す.

の 全 体 を 〓′ で 表 す. 

な る よ うな最 大

書 く.

  〓 上 の 連 続 線 形 汎 関 数 を お だ や か な 超 関 数(tempered び,そ

よ り,

と み な せ る.一

を 持 つ 超 関 数 は 〓 ′の 元 と み な す こ と が で き, 

distribution)と 方,コ

呼

ン パ ク トな 台

の す べ て の 偏 導 関 数 ∂αxf

は ま た 〓 ′に 属 す.  

f(x)∈L1loc(Ω)は

(1.9) に よ っ て Ω 上 の 超 関 数fを

定 め る.ま

たf(x)∈L1loc(Ω)が

あ るm≧0に

対 し

て

(1.10) を 満 たす な らば,こ のfは

  [D] 

Fourier変

お だ や か な 超 関 数 に な る.

換  f(x)∈L1(Rn)のFourier変

換 を 次 の よ うに 定 義 す る:

(1.11)

Fourier像Ff(ξ)はf(ξ)と 〓 上 の1対1連

書 く場 合 が あ る.よ

続 線 形 写 像 を 定 め,逆

く知 ら れ て い る よ うに,Fは

変 換 は 次 の よ うに 与 え ら れ る:

(1.12)  に対 し て

(1.13) に よ っ て 〓′ の 元Ffが

定 ま る が,こ

は や は り 〓′ 上 の1対1連   fが

れ を  

のFourier変

続 線 形 写 像 に な っ て い る.

コ ン パ ク トな 台 を も つ 超 関 数 な ら ば,そ

のFourier変

(Ff)(ξ)=(2π)-n/2〈f,η(x)e-ix・

と 表 せ る.こ る.さ

換 と呼 ぶ.F

こ に η(x)∈C∞0(Rn)はfの

ら に(Ff)(ξ)∈C∞(Rn)で

換は

ξ〉  

台 の 近 傍 で1に

あ り,m≧0が

(1.14)

等 しい 任 意 関 数 で あ

存 在 し て,不

等式

￨∂α ξ(Ff)(ξ)￨≦Cα(1+￨ξ￨)m 

(1.15)

が 任 意 の α に つ い て 成 り立 つ.  

gを

コ ン パ ク トな 台 を もつ 超 関 数 と す る.こ

み 込 み(convolution) 

た み 込 み のFourier変

η(y)φ(x+y)〉

換 に つ い て,次

 

か だ か 多 項 式 の 増 大 度 を も つC∞-関

(1.16)

の 等 式 が 成 り立 つ:

F(f*g)=(2π)n/2(Ff)(Fg).  こ こ に 右 辺 は,た

のたた

を 〈f*g,φ 〉=〈f(x)g(y), 

で 定 義 す る.た

の と きfとgと

(1.17) 数Fgと

〓′ の 元Ff

と の 積 で あ り,〓 ′の 元 と し て 意 味 を も つ.   上 のFourier変

換 はL2(Rn)上

換 を 与 え る(Plancherelの

に 制 限 す る こ と が で き,そ

定 理).さ

ら に,任

れ は ユ ニ タ リー 変

意 のf∈L2(Rn)に

対 して

(1.18) が 成 り立 ち,逆 変 換 は 次 の よ うに 与 え られ る:

(1.19) こ こ にs-limはL2(Rn)で

の 強 収 束 を 意 味 す る.

  [E]  Sobolev空 に 対 し て,重 ∈Hmμ(Ω)と

間   領 域 Ω ⊂Rn,実

み の つ い たSobolev空 は,f(x)お

∂αxf(x)がL2loc(Ω)に

数

μ∈Rお

間Hmμ(Ω)を

よ び 非 負 整 数m=0,1,… 次 の よ うに 定 義 す る.f(x)

よ び 超 関 数 と し て のm階

まで の あ らゆ る偏導 関 数

属 し て お り,

(1.20) な る 不 等 式 が 成 り立 つ と き を い う.Hmμ(Ω)は bert空

ノ ル ム ‖ ‖μ,m,Ωに よ っ てHil

間 に な っ て い る.

  Hm0(Ω)=Hm(Ω)は

通 常 のSobolev空

間 で あ り,H00(Ω)=L2(Ω)で

H0μ(Ω)=L2μ(Ω)は 重 み の つ い たL2-空

間 で あ る.(1.20)で

こ とが 多 い.混

下 で はHm(Ω)の

乱 を 避 け る た め に,以

L2μ(Ω)の ノ ル ム は ‖ ‖ μ で 表 す こ と に す る(第6章 ‖ ‖pで 表 す が,そ   Ω=Rnの

こ で はL2μ(Ω)は

場 合 は,Plancherelの

添字

あ る.ま

た

Ω は省略す る

ノル ムは

‖ ‖Hmで,

以 下 で はLp-ノ

ルムを

現 れ な い). 定理に よって

(1.21) と な る.従

っ てC>1を

大 き く選 べ ば C-1‖f‖m≦ ‖f‖Hm≦C‖f‖m 

が 成 り立 ち,f∈Hm(Rn)とf∈L2m(Rn)と

(1.22)

は 同 値 に な る.

  任 意 の μ に 対 して

(1.23) と す る.Hμ(Rn)は

ノ ル ム ‖f‖Hμ=‖f‖μ に よ っ てHilbert空

(整 数)の と き にHm(Rn)に れ ら は(1.22)に

は2種

間 に な る.μ=m

類 の ノル ム が 定 義 さ れ る こ と に な る が,そ

よ り同 値 な の で,以

下 で は 特 に 必 要 に な ら な い か ぎ り,こ

れ

ら を 区 別 し な い.   C∞0(Ω)は 任 意 のmに Hm(Ω)と

つ い てHm(Ω)に

す る.Hm(Ω)はHm(Ω)の

閉 部 分 空 間 で あ り,そ

間 に な る.実 数 μ≧0に つ い てHμ(Rn)も と 一 致 す る.

属 す.C∞0(Ω)のHm(Ω)で

の 完 備化 を

れ 自 身 がHilbert空

同 様 に 定 義 さ れ る が,こ

れ はHμ(Rn)

  §2  基 本 解 と 波 の 伝 播   均 質(homogeneous)な

媒 質 中 の 音 響 波 動 伝 播 問 題 はd'Alembert方

よ っ て 記 述 さ れ る.即 とす る と き に,音

ち,x∈Rnを

空 間 の 点,t∈Rを

程式に

時 間 の パ ラ メー ター

響 ポ テ ン シ ャ ルw(x,t)は

(2.1) な る初 期 値 問 題 の 解 に な っ て い る.こ Laplace作

用 素)で

あ り,定

数a>0は

こ に ∂2t=∂2/∂t2,  波 の 伝 播 速 度 を 表 す.ま

(n次

元

たf(x,t)は

外 力 の 強 さ を 表 す 関 数 で あ る.   初 期 値 問 題(2.1)を に 属 し,f(x,t)は  

次 の よ うに 考 え よ う:初 各t∈Rに

と す る.こ

期 条件

φ1(x),φ2(x)は

つ い て 〓 ′の 値 を と るtのC∞-関 の と き 解w(x,t)を

 

と も に 

数,即

に 探 し た い.

  問 題 を この よ うに 〓′で 設 定 す る の はFourier変

換 を 使 う た め で あ る.関

w(x,t)等

で 表 す が,こ

のxに

関 す るFourier変

換 をw(ξ,t)等

ち,

数

の と き(2.1)

か ら 次 の 常 微 分 方 程 式 が 得 ら れ る:

(2.2) この初 期 値 問題 は 一 意的 に解 け,

(2.3) 従 っ て(2.1)の

解 を 得 る に は,こ

れ をFourier逆

変 換 す れ ば よ い:

 以 下 で は,こ の 解 の 具 体 的 な 表 示 を 求 め よ う.

は 各tに Fourier逆

つ い て ξ∈Rnの 変換

有 界 な 連 続 関 数 で あ り,〓 ′ξ に 属 し て い る.E(ξ,t)の

(〓 ′ で) 

はd'Alembert方

程 式 の 基 本 解(elementary

solution)と

(2.4)

呼 ば れ,

(2.5) の 解 を 与 え る.こ

こに

δ(x),x∈Rn,はDirac関 〈δ(x),φ 〉=φ(0), 

数,即

ち,

φ(x)∈C∞0(Rn),

 (2.6)

で 定 義 さ れ る超 関 数 で あ る.   補 題2.1 

Sn-1(n≧2)を

上 の 一 重 層 のFourier逆

原 点 を 中 心 と す るRnで

の 単 位 球 面 と す る.Sn-1

像 は 次 の よ う に 与 え ら れ る:

(2.7) (p=1,2,…).こ

こ にJν(s)はBessel関

数 で あ り,特

に

(2.8)   注 意2.1 

本書 で はBessel関

数等,特

殊 関数 の公 式 は森 口-宇 田川-一 松[79]に

った.   証 明   xと

(Γ(p),p>0,は

ξ と の な す 角 を φ とす る と

ガ ン マ 関 数).こ

こ でBessel関

数 の漸 化 式

(2.9) を 用 い れ ば,求 め る等 式 が 得 られ る.   補 題2.2 

θ(s),s∈R,をHeaviside関 θ(s)=0, 

数 と す る: s≦0, 

θ(s)=1, 

s>0. 

(2.10)

依

ま た δ(s),s∈R,を1次 変 換 と し て,次

元 のDirac関

数 とす る.こ

の と きxに

関 す るFourier

の 等 式 が 成 り立 つ:

(2.11) (2.12) (2.13)   証 明   (2.11)は

直 接 計 算 で き る:

(2.12),(2.13)は

補 題2.1を

用 い て 示 さ れ る.す

な わ ち,2次

元 のFourier

変 換 とし て

が 得 られ,ま

た 公 式(1.14)を

用 い れ ば,3次

元 のFourier変

換 とし て

が 得 ら れ る.  (2.4)お

よ び 上 の2つ

  命 題2.3 

d'Alembert方

の 補 題 か ら,次

の 命 題 が 示 さ れ る.

程 式 の 基 本 解E(x,t)は E(x,-t)=-E(x,t) 

で あ り,t>0の

(2.14)

と き 次 の よ うに 表 せ る:

(2.15)

(2.16) (2.17) た だ し 左 辺 の 添 字 は 空 間 の 次 元 を 表 す.   証 明   (2.14)は(2.4)か

ら た だ ち に 得 ら れ る.n=1,2,3に

En(x,t)の

ら 明 ら か で あ る.一

表 示 は 補 題2.2か

般 のnに

対 す る上 の

つ い て は,補

題2.1

よ り次 の 等 式 が 得 ら れ る こ と に 注 意 す る:

と こ ろ が(2.12),(2.13)の

形 か ら 上 の 式 で 

で 置 き か え る こ と が で き,求

め る 等 式 に な る.

  上 の 表 示 か らわ か る よ う に,基

本 解 はxに

は 

つ い て コ ン パ ク トな 台 を も つ.従

っ て 〓′の 元 と の た た み 込 み を 考 え る こ と が で き,(1.17)を

用 いれ ば

(2.18) これ と(2.3)と  定 理2.4 

か ら次 の定 理 が 得 られ る.

初 期 値 問題(2.1)で

の とき,一 意 的 な解  

φ1, 

とす る.こ

が 存 在 し て,次

の よ うに 表 示 され る.

(2.19) こ こ にE(x,t)はd'Alembert方 En(・,t)*φ(n=1,2,3)を

程 式 の 基 本 解 で あ り,t>0の 具 体 的 に 計 算 す れ ば,次

と き に

の よ う に な る:

(2.20) (2.21) (2.22)

 

 この定 理 の系 とし て,波 動 伝 播 を特 徴 づ け る い くつ か の結 果 が 得 られ る.  点(x0,t0)を

頂 点 とす る未 来 光 錐 を Γ+(x0,t0)={(x,t)∈Rn×R;￨x-x0￨
(2.23)

の よ うに 書 く.   定 理2.5(波

の 有 限 伝 播 性)  定 数R>0が

存 在 し て,φ1(x),φ2(x),f(x,t)

の 台 が す べ て 球K(R)={y;￨y￨
解w(x,t)は

含 ま れ て い る と す る.こ

Γ+(0,-R/a)の

外 側 で 恒 等 的 に0で

  定 理2.6(波

の 局 所 減 衰)  f(x,t)≡0と

で 台 はK(R)に

含 ま れ る も の と す る.こ

(ⅰ) n=1の

と き,w(x,t)は

の とき

あ る.

し,φ1(x),φ2(x)は

適当に 滑 らか

の と き 次 の こ と が 言 え る:

Γ+(0,R/a)内

に 一 致 し,

で 

波 は 静 止 の 状 態 に な る.   (ⅱ) n=2p(p=1,2,…)の に 対 し て,正

と き,波

数M=M(a),T=T(a)が

  (ⅲ) n=2p+1(p=1,2,…)の と な り,波

意 のa
存 在 して

と き,w(x,t)は

Γ+(0,R/a)内

は 静 止 の 状 態 に な る(こ れ をHuygensの

  定 理2.7(波 す る.こ

は 静 止 の 状 態 に な ら な い が,任

の 一 様 減 衰)  n≧2と

の と き 正 数M>0,T>0が

し,定

理2.6の

で 恒 等 的 に0

原 理 と 呼 ん で い る). 仮 定 が み た され て い る と

存在 して

  §3  極 限 振 幅 の 原 理   初 期 値 問 題(2.1)で

外 力f(x,t)が

働 く場 合 は,一

の節 で は外 力 が時 間 に関 し て 周期 的 で あ る と し て,解

般 に解 は減 衰 し な い.こ の漸 近 挙 動 を考 え よ う. 

が 次 の初 期 値 問 題 を み た す とす る:

(3.1) た だ しf(x)∈C∞0(Rn)で

あ る.定

理2.4に

よ り,

で あ る か ら,t-sを

あ ら た め てsと

お き,両

辺 にeiσtを

乗 じ れ ば,

(3.2)   (3.2)の

右 辺 はt→ ∞ で 収 束 す る こ とが 期 待 さ れ る.以

る の で あ る が,さ

ら に 極 限 関 数 がHelmholtz方

下 で は これ を 確 か め

程式

(3.3)

(-a2Δ-σ2)u(x,σ)=f(x) 

を み た す こ と も 示 さ れ る.こ る 方 法 が あ り,こ

の よ うに,(3.3)の

解 を(3.1)の

れ を 極 限 振 幅 の 原 理(principle

of

limiting

解 を用 いて 求 め amplitude)と

呼 ん で い る.   E(x,t)はtの

関 数 と し て 有 界 で あ り,Laplace変

換 が で き る.

(3.4) と お く と,(2.5)か

ら (-a2Δ-κ2)G(x,κ)=δ(x), 

が 得 ら れ, 

はHelmholtz方

  (3.5)はFourier変

x∈Rn 

(3.5)

程 式 の 基 本 解 に な る こ とが わ か る.

換 の 方 法 で 解 く こ と が で き,〓 ′ で

(3.6)   命 題3.1 

Imκ>0な

る κ について

(3.7) (3.8) (3.9) こ こ にH0(1)(ζ)はHankel関

数 で あり,左

辺 の添 字 は や は り空 間 次 元 を 表

す.   証 明   G1(x,κ)の

表 示 は(3.6)か

の と き は 補 題2.1を

用 い,さ

らに

ら 留 数 計 算 で 求 め る こ とが で き る.n≧2

 

に注 意 す れ ば よい.  

G(x,κ)の

  定 理3.2 

上 の 表 示 か ら 次 の 定 理 が 得 ら れ る. G(x,κ)は

κ に つ い て 実 軸 を 越 え て 解 析 接 続 で き,空

間次元に よ

っ て 次 の よ うに 特 徴 づ け ら れ る:  (ⅰ) G1(x,κ)は

κ=0を1位

(ⅱ) G2p{x,κ)は

κ=0を

(ⅲ) G2p+1(x,κ)はC全

の 極 とす る.  対 数 分 岐 点 とす る 多 価 関 数 に な る.  体 に 解 析 接 続 さ れ,整

  こ の よ う に 解 析 接 続 さ れ たG(x,κ)は よ う.そ

関 数 に な る.

や は り(3.5)を

こ で σ∈R-{0},f(x)∈C∞0(Rn)に

み た す こ とに 注 意 し

対 して

(3.10) と お く と,こ

れ はHelmholtz方

程 式(3.3)の

ひ とつ の 解 に な る.こ

限 振 幅 の 原 理 に よ っ て 特 徴 づ け ら れ る も の で あ り,次   定 理3.3  (3.1)の

f(x)の

解w(x,t)に

  (ⅰ) n=1の

(ⅱ) n=2pの

(ⅲ) n=2p+1の

台 がK(R)={x;￨x￨
と き は,未

来 光錐

の こ と が 言 え る:

と き は,各x∈R2pに

と き は,未

す る.(2.20)に

で

対 して

来光錐

Γ+(0,R/a)内

eiσtw(x,t)=[G2p+1(・,σ)*f](x).   証 明  n=1と

の 定 理 とな る.

含 ま れ る と す る.こ

Γ+(0,R/a)内

よ り

の解 は 極

で

の と き

右 辺 の 第2項   n=2と

は

Γ+(0,R/a)内

す る.(2.21)に

従 っ て,〓

でG1(・,σ)*fに

右 辺 は

7,…

示 さ れ る.

よ り

′の 位 相 で

と な る こ と に 注 意 す れ ば,(ⅱ)が   n=3と

一 致 す る の で,(ⅰ)が

す る.(2.22)に

Γ+(0,R/a)内

示 さ れ る.n=4,6,…

の 場 合 も 同 様 で あ る.

より

でG3(・,σ)*fと

一 致 す

る の で,(ⅲ)が

示 さ れ る.n=5,

の 場 合 も 同 様 で あ る.

  σ2=(-σ)2>0で

あ る か ら,u(・,±

つ の 解 を 与 え る.こ

れ ら はr=￨x￨→

σ)=G(・,±

σ)*fは

同 じ 問 題(3.3)の2

∞ に お け る 漸 近 的 性 質 に 違 い が あ り,次

の よ うに 特 徴 づ け れ る.   命 題3.4 

σ∈R-{0},f(x)∈C∞0(Rn)に

u(x,σ)はr→

∞

u=O(r-(n-1)/2)か

こ こに

∂r=∂/∂rで

  注 意3.1 

は0に

つ(∂r-iσa-1)u=O(r-(n+1)/2) 

定 義 さ れ たu=

(3.11)

あ る.

本 書 で はO(r-μ),μ>0,はr→

を,o(r-μ)はrμ

対 し て,(3.10)で

と と も に 次 の よ う な 挙 動 を す る.

を 乗 じ て も0に

∞ でrμ

近 づ く関 数 を 表 す.さ

を 乗 じ て も有 界 に と ど ま る 関 数 ら にO(1)は

有 界 関 数 を,o(1)

近 づ く関 数 を 表 す.

  証 明  f(x)の

台 が コン パ ク

ト で あ る か ら,u(x,σ)の

漸 近 的 性 質 は基 本解

Gn(x,σ)の

そ れ と一 致 す る.n=1,n=2p+1の

形 か ら 明 ら か で あ る.n=2pの

と き(3.11)はGn(x,σ)の

と き はHankel関

数 の漸 近 表 示

を 用 い れ ば よ い.   (3.11)はSommerfeldの で あ る.σ>0の

放 射 条 件(radiation

と き を 外 向 き(outgoing)放

(incoming)放

condition)と

呼 ば れ る もの

射 条 件,σ<0の

と きを 内 向 き

射 条 件 と 呼 ん で 区 別 す る.(3.11)はL2loc(Rn)の

量で次の よう

に 一 般 化 さ れ る. u∈L2-μ(Rn)か

こ こ にL2μ(Rn),μ 第3章

で,変

つ(∂r-iσa-1)u∈L2μ-1(Rn) 

∈R,は

§1で 導 入 し た,重

数 係 数 の 問 題 に 対 し て(3.12)に

こ で 明 ら か に さ れ るが,放

  §4  Laplace作

み づ き のL2-空

間 で あ る.後

に

類 似 の 放 射 条 件 を 定 義 す る.そ

射 条 件 は 定 常 波 動 伝 播 問 題(今

解 の 一 意 存 在 を 保 障 す る,無

(3.12)

(1/2<μ<3/2). 

の 場 合 は(3.3))の

限 遠 で の 境 界 条 件 に な って い る.

用 素 の ス ペ ク トル 表 現

  こ の 節 で は,Fourier変

換 に 対 す るPlancherelの

ス ペ ク トル 表 現(spectral

representation)と

  L2-空 間H0=L2(Rn;a-2)を

定 理 をLaplace作

用素の

し て 見 直 す.

内積

(4.1) に よ るHilbert空

間 と し,H0上

の 負 のLaplace作

用 素 を次 の よ う に 定 義 す

る: L0u=-a2Δu 

す な わ ち,L0=-a2Δ Δuは

u∈D(L0)=H2(Rn). 

の 定 義 域D(L0)はSobolev空

(4.2) 間H2(Rn)で

あ り,微

分

超 関 数 の 意 味 で 考 え て い る.

  ま ず,こ

の よ う に 定 義 さ れ た 作 用 素L0の

  自 己 共 役 性 の 証 明 は,後

自 己 共 役 性 を 示 そ う.

に も も っ と一 般 の 場 合 に つ い て 行 な うが,よ

れ た 次 の 補 題 が 欠 か せ な い(証 明 は 例 え ばSmirnov[104]p533を

く知 ら

み よ).

  補 題4.1 

Hilbert空 間H上

十 分 条 件 は,複

の対 称 作 用 素Lが

自己 共 役 で あ るた め の 必 要

素数 ζ が 存 在 し て

(4.3)

R(L-ζ)=R(L-ζ)=H  と な る こ と で あ る.こ

こ にL-ζ=L-ζI(Iは

そ の 値 域 を 表 す.L-ζ   定 理4.2  L0の

あ り,R(L-ζ)は

に つ い て も 同 様 で あ る.

負 のLaplace作

ス ペ ク トル は,半

  証 明   Fourier変

恒 等 写 像)で

用 素L0はH0上

直 線[0,∞)の

換 はH0上

で 正 値,自

己 共 役 で あ る.ま

た

各 点 か ら な る 連 続 ス ペ ク トル で あ る.

の ユニ タ リー 作 用 素 だ か ら,定

L0u=a2￨ξ￨2u(ξ), 

理 の主 張 は

(4.4)

u∈D(L0)=L22(Rn) 

な る掛 算 作 用 素 に対 して 示 され れ ば よ い.L0が

非 負 の対 称 作 用 素 で あ る こ と

は 明 らか で あ る.ま たu∈D(L0)が

を み た せ ば,ほ こ れ はL0の

とん どい た る 所 の ξ∈Rnで￨ξ￨2￨u(ξ)￨2=0,す

正 値 性 を 示 し て い る.L0の

の 値 域 がH0全 が ξ∈Rnの

な わ ちu(ξ)=0.

自 己 共 役 性 を 示 す の にL0+λ,λ>0,

体 に な る こ とを 言 え ば よ い(補

題4.1).そ

れ は(a2￨ξ￨2+λ)-1

有 界 関 数 に な る こ とか ら 明 ら か で あ る.

  一 方 λ≧0の

と き,(a2￨ξ￨2-λ)-1f(ξ)∈H0と

は な い が,H0で

稠 密 で あ る.従

っ て,λ

な る よ う なf(ξ)はH0全

≧0は す べ てL0の

体 で

連 続 ス ペ ク トル の

点 に な って い る.   さ て,L0の

ス ペ ク トル 測 度(単

位 分 解 と も 言 う)を{E0(λ);λ>0}と

し,

リ ゾ ル ベ ン ト(resolvent)を R0(κ)=(L0-κ2)-1, 

で 定 義 す る.L0が のf,g∈H0に

κ∈C, 

Imκ>0 

固 有 値 を も た な い か ら,Stieltjesの

(4.5) 反 転 公 式 に よ り,任

意

対 して

(4.6) こ こに 複 素 数 ζ の平 方 根   Parsevalの

等 式 に よ り,

は  

な る分 岐 を とる も の とす る.

(4.7)

右 辺 の 積 分 を 極 座 標 表 示 す る こ と に よ り,L0の さ ら に はL0の

ス ペ ク トル 表 現 が 得 ら れ る.そ

の 球 面 上 へ の ト レ ー ス(trace)を   Rnが の2つ

れ を 明 確 に 述 べ る た め に,関

数

定 義 し て お か な け れ ば な ら な い.

コ ン パ ク トなCj+1-級(j=0,1,…)超

曲 面 Γ に よ っ て"内"と"外"

の 部 分 に 分 け ら れ る も の とす る.こ

のj次

正 の ス ペ ク トル の 絶 対 連 続 性,

の と きC∞-級

の 関 数f(x)の

Γ 上へ

トレ ー ス γjは 次 の よ うに 定 義 さ れ る: x′ ∈ Γ,  x∈"内" 

こ こ に ν=ν(x′)はx′ ∈ Γ で の"内"か

ら"外"に

(4.8)

向 か う単 位 法 線 ベ ク トル で

あ り,∂ ν=ν・∇ で あ る.   トレ ー ス 作 用 素 に 関 し,本 る が,Γ

書 で 必 要 な 結 果 は 次 の 補 題 で あ る.証

が 超 平 面 の 場 合 に はFourier変

的 に 超 平 面 に 帰 着 す る 変 換 を 行 な う(溝   補 題4.3 

(ⅰ) j≧0(整

換 を 用 い,一

般 の場 合 に境 界 を局 所

畑[67]第3章,島

数),μ>j+1/2と

C∞(Γ)はHμ(Rn)→H[μ-j-1/2](Γ)([ 

す る.こ ]はGauss記

明 は 省略 す

倉[102]付

録).

の と き γj:C∞(Rn)→ 号)な

る連 続 線 形 作 用 素

に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.   (ⅱ) m≧j+1を と き,任

整 数 とす る.γjをHm(Rn)→Hm-j-1(Γ)な

意 の ε>0に

対 し てCε,m>0が

‖γjf｜Hm-j-1(Γ)≦

 注 意4.1  Banach空

間Xの

存在 して

ε ‖f‖Hm(Rn)+Cε,m‖f‖L2(Rn). 

元 をYに

る 作 用 素 とみ る

写す 連続 線 形 作用 素Aを

(4.9)

以下 で はA∈B(X,Y)

と表す こ とが あ る.こ の表 記 に よれ ば,(ⅰ)の 結 論 を γj∈B(Hμ(Rn),H〔 μ-j-1/2〕(Γ))と 書 くこ とが で き る.   上 の 補 題 に 双 対 す る 次 の 結 果 も 必 要 で あ る.   補 題4.4 

h(ξ)∈L2(Γ)のFourier逆

変換 を

(4.10)

とす る.こ わ ち,正

の と き,任

数Cが

意 の μ>1/2に

存 在 し て,任

対 し てF*Γ ∈B(L2(Γ),L2-μ(Rn)).す

意 のh∈L2(Γ)に

対 し

‖F*Γh‖-μ ≦C‖h‖L2(Γ). 

 証明  

  補 題4.3 

(4.11)

とすれ ば

(ⅰ)に

よ り,‖f‖L2(Γ)≦C‖f‖

で あ る か ら(4.11)が   定 理4.5 

な

μ が 成 り 立 ち,〓

はL2μ(Rn)で

稠 密

示 さ れ る.

(E0(λ)f,g),f,g∈H0,はLebesgue測

f,gをL2μ(Rn),μ>1/2,か

度 に 関 し 絶 対 連 続 で あ り,

ら選 べ ば

(4.12) な る 表 示 が 得 ら れ る.こ

こ にS(R),R>0,はRnで

  証 明   L2μ(Rn)がH0で

の 半 径Rの

稠 密 だ か ら(4.12)さ

注 意 す れ ば,(4.12)は(4.7)の

球 面 で あ る.

え 示 せ ば よい,補

題4.3(ⅰ)に

右 辺 を λ で 微 分 す る こ と に よ り得 ら れ る.

  作 用 素F0(σ)∈B(L2μ(Rn),h)(h=L2(Sn-1)),σ>0,を [F0(σ)f](ω)=a-3/2(σa-1)(n-1)/2f(σa-1ω), 

の よ うに 定 義 す る.す

ω ∈Sn-1 

ぐわ か る よ うに,F0(σ)は

作 用 素F*0(σ)∈B(h,L2-μ(Rn))は

(4.13)

σ に つ い て 連 続 で あ り,共

役

次 の よ う に 表 示 さ れ る:

(4.14)   L0の

ス ペ ク トル 表 現 はF0(σ),F*0(σ)を

  定 理4.6 

作 用 素F0を

用 い て 次 の よ う に 与 え ら れ る.

次 の よ うに 定 義 す る:f∈L2μ(Rn)(μ>1/2)に

[F0f](σ,ω)=[F0(σ)f](ω), 

(σ,ω)=R+×Sn-1. 

こ の と きF0はH0をH0=L2(R+;h)(R+=(0,∞))の に 一 意 的 に 拡 張 で き る.こ

のF0を

用 い てL0の

す る と,任

意 のh(σ,ω)∈H0に

勝 手 な 有 界Borel関

ら にF*0:H0→H0をF0の

ついて

(4.15)

上に 写 す ユ ニ タ リー 作 用 素

[F0φ(L0)f](σ,ω)=φ(σ2)[F0f](σ,ω), 

の よ うに ス ペ ク トル 表 現 さ れ る.さ

対 して

f∈H0 

数 φ(L0)は (4.16)

共 役 作用 素 と

(4.17)

(H0で). 

  注 意4.2 

LをHilbert空

間Hで

の 自 己 共 役 作 用 素 とす る と き,R上

の勝 手な

Borel関 数 φ(λ)に対 し て作 用 素 φ(L)が 次 の よ うに定 義 され る:

(4.18)

こ こ に{E(λ),λ

∈R}はLの

  証 明   (4.13),(4.15)よ

従 っ てF0がH0をH0に る.ユ

ス ペ ク トル 測 度 で あ る. り

写 す 等 距 離 作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る こ とが わ か

ニ タ リ ー 性 はPlancherelの

定 理 そ の も の で あ る.(4.16)は

等式

[φ(L0)f]∧(ξ)=φ(a2￨ξ￨2)f(ξ) 

が 成 り立 つ の で,こ   次 に(4.17)を

示 そ う.h(σ,ω)の

れ ば よ い か ら,Nを で き る.Fubiniの

(4.14)お

こ で σ=a￨ξ￨,ω=ξ/￨ξ￨と

よ びF*0の

台 が σ に つ い て コ ン パ ク トの 場 合 を 考 え

充 分 大 き く と っ て,[1/N,N]の 定 理 に よ れ ば,任

(4.19)

お け ば よ い.

意 の

 

等 距 離 性 を 考 慮 し て(4.17)が

外 でh(σ,ω)=0と

仮定

に 対 して

示 さ れ る.

  こ の 節 を 終 え る 前 に 次 の こ と に 注 意 し て お こ う.   命 題4.7 

L0の

の 基 本 解G(x-y;κ)を

リ ゾ ル ベ ン トR0(κ)(κ ∈C,Imκ>0)はHelmholtz方 核(kernel)に

程 式

もつ 積 分 作 用 素 で あ る:f∈H0に

対 し

(4.20)   証 明   (4.19)に

よ り[R0(κ)f]∧(ξ)=(a2￨ξ￨2-κ2)-1f(ξ)と

に 注 意 し て 求 め る 結 果 を 得 る.

な る か ら,(3.6)

第2章

  波 動 方 程 式 に 対 す る ス ペ ク トル 分 解 の 方 法

  一 般 の音 響 波 の伝 播 は,d'Alembert方

程 式 の摂 動 で あ る2階 双 曲 型方 程 式

の初 期-境 界 値 問 題 に よっ て 記 述 さ れ る.こ の よ うな問 題 に 対 し て解 を構 成 し よ うとす れ ば,Fourier変

換 の方 法 は もは や 有 効 で な く,も っ と一 般 の ス ペ

ク トル分 解 を用 い る こ とに な る.本 章 で は この枠 組 を述 べ,そ れ を 具体 的 な問 題 に 適 用す る.ま た,生 成 作 用 素 の楕 円性 に かか わ る基 本 的 事 項 を準 備 す る.

  §5 双 曲 型 発 展 方 程式   HをHilbert空 す.LをHで

間 とし,そ

の 内積,ノ

ル ムを そ れ ぞ れ(,),‖ 

‖ で表

の 非 負値,自 己 共 役 作 用 素 とす る と き

(5.1) な るH上

の 常 微 分 方 程 式 を 双 曲 型 発 展 方 程 式 と い う.た

に 関 す る強 微 分 で あ り,f(t),φ1,φ2等

はHに

  前 節 で 見 た よ うに,負

用 素L0=-a2Δ

の 正 値,自

のLaplace作

己 共 役 作 用 素 を 定 義 し,従

だ し,∂tはH上

のt

属 す も の とす る.

っ てd'Alembert方

はH0=L2(Rn;a-2)上 程 式(2.1)は

上の

意 味 で の 双 曲 型 発 展 方 程 式 に な っ て い る.   (5.1)の

解 を 構 成 す る の にLの

ク トル 測 度 を{E(λ)}と

平 方 根Hを

用 い る と便 利 で あ る.Lの

スペ

す れ ば,Hは

(5.2)

の よ う に 定 義 さ れ る.Hの あ る.ま

たHkの

べ きHk(k=0,1,…)は

定 義 域D(Hk)に

が 定 義 され る が,Hkが

す べ て 非 負 値,自

は 自然 に グ ラ フ ノル ム

閉 作 用 素 な の でD(Hk)は

お り,そ

れ 自 身Hilbert空

N(Hk)で

表 す が,こ

この ノル ムに 関 して 閉 じて

間 に な っ て い る.Hkの

れ はk>0に

己共役 で

独 立 でLの

零 集 合(null

space)を

零 集 合 に 一 致 す る:

N(Hk)=E(0)H.   さ て,発

展 方 程 式(5.1)の

(5.3)

解 と し て は 強 解(strong

solution),即

ち

w(t)∈C2t(R;H)∩C1t(R;D(H))∩Ct(R;D(H2)) 

な る関 数 で(5.1)を   定 理5.1 

(5.4)

満 たす も のを 考 え る こ とに す る.

初 期 値,外 力 を そ れ ぞ れ {φ1,φ2}∈D2(H2)×D(H), 

の よ うに 選 べ ば,(5.1)の

f(t)∈Ct(R;D(H)) 

解 が 一 意 的 に 存 在 し て,次

(5.5)

の よ うに 表 せ る.

(5.6) た だ し,N(H)上

で はH-1sin(Ht)はtI(IはH上

の 恒 等 写 像)の

よ うに

定 義 さ れ る も の とす る.   証 明  f∈D(Hk)(k≧0)と

で あ り,次

す る と

の 等 式 が 成 り立 つ: (j:偶

数)

(j:奇

数).

(5.7) これ か ら(5.6)のw(t)が(5.4)を

み た し,(5.1)の

解 に な る こ と が わ か る.

  解 の 一 意 性 を 示 す の に エ ネ ル ギ ー の 方 法 が 用 い ら れ る.(5.1)の 時 刻tに

解w(t)の

お け るエ ネ ル ギ ー は

(5.8)

で 定 義 され る.こ れ をtで

微 分す れ ば

∂tE(t;w)=Re(∂2tw(t)+H2w(t), 

こ れ を も う一 度tに

∂tw(t))=Re(f(t), 

∂tw(t)).

つ い て 積 分 して

(5.9) こ こ で{φ1,φ2}={0,0},f(t)≡0と な り,∂tw(t)=0が   注 意5.1 

お く と,任

得 ら れ る.従

つ い てE(t;w)=0と

っ てw(t)=w(0)=0.

/1 2‖Hw(t)‖2

(5.8)で

意 のtに

が ポ テ ン シ ャル ・エ ネ ル ギ ー を,

1/ 2‖ ∂tw(t)‖2

が運 動

エ ネ ルギ ー を表 す.  

P0=E(0)をN(H)へ

の 正 射 影 と す る と き,

(5.10) とな る が,こ れ を双 曲型 発 展方 程 式 の 基 本解 と呼 ぶ こ とが あ る.   d'Alembert方

程 式 に つ い て は §2と の 関 係 で 次 の こ と が 成 り立 っ て い る.

 命 題5.2 

E(x,t)を

命 題2.3で

こ の と き,任

意 のf∈H0に

定 め たd'Alembert方

程 式 の 基 本 解 とす る.

ついて

(5.11)   証 明   (4.19)に

従 っ て(2.4)よ

よ り次 の 等 式 が 成 り立 つ:

り求 め る等 式 が 得 ら れ る.

  解 の エ ネ ル ギ ー 伝 播 に 注 目す る の で あ れ ば,(5.1)そ ベ ク トル{Hw(t),∂tw(t)}に

の も の な 考 え る よ り,

対 す る方程 式 系

(5.12) を 考 え る方 が 便 利 で あ る.作 用 素 Λ は

(5.13) で定義 され るが,こ れは直積空 間  

上の 自己共役作用素にな ってい

る.従

っ て Λ は 〓 で の 強 連 続 な ユ ニ タ リ ー 群{e-iΛt;t∈R}を

12)の

解 は これ を 用 い て

生 成 し,(5.

(5.14) の よ うに 得 ら れ る.   命 題5.2 

e-iΛtは 次 の よ うに 分 解 で き る: e-iΛt=e-iHtP(1)+eiHtP(2). 

(5.15)

こ こ にP(j)(j=1,2)は

(5.16) で定義 され る 〓 上 の正 射 影 であ る.   証 明   {φ1,φ2}∈D(H)×Hに

対 し て(5.6)よ

り

(5.17) が 成 り立 つ.こ   (5.15)に

れ と(5.14)と

よ り,エ

か ら 命 題 が 示 さ れ る.

ネ ル ギ ー 伝 播 問 題 はHで

の 挙 動 を 知 る こ と に 帰 着 さ れ る.従 造 の 解 明 が 重 要 に な る.例

え ば,Lが

の ユ ニ タ リー 群{e-iHt;t∈R}

っ て,以

下 の 論 証 で はLの

ス ペ ク トル 構

固有値を持たなければ

(5.18) が 得 ら れ る(Lax-Phillips

[60] chapter

示 す こ と に よ っ て 改 良 され(命 題13.8),さ ば,散

V).こ

の 結 果 はLの

ら にLが

乱 理 論 の 構 成 が 可 能 に な って く る(第4章

絶対連続性を

ス ペ ク トル 表 現 さ れ れ

を み よ).

 エ ネル ギ ー伝 播 問題 は(5 .1)を 一般 化 した 反 復波 動 方 程 式

(5.19) (αjは 相 異 な る正 数)に 対 して も平 行 な議 論 が 可 能 で あ る.   これ を見 るた め に,解 の 具 体 的 表 示 を 求 め てみ よ う(溝 畑[68],望

月[70]).

(5.20) (5.21) と し,u(t),g(t),ψ

を

と お け ば,(5.19)はu(t)に

対 す る 方 程 式 系 と し て 次 の よ うに 変 形 さ れ る:

(5.22) こ こにD(H)は

(5.23)

な る対 角行 列 で あ る.   Hilbert空

間  

に 次 の ノル ム 

を導 入す る.

(5.24) この とき Λ=N-1D(H)N, 

D(Λ)=D(H)2m 

は 〓 で の 自 己 共 役 作 用 素 に な り,(5.22)の

(5.25)

解 は

(5.26) で 与 え ら れ る.e-iΛt=N-1e-iD(H)tNで

あ る か ら,g(t)≡0の

と き に(5.26)を

成 分 ご と に 書 き 下 し て み れ ば,

こ の よ うに,(5.18)の

解 はHで

の ユニ タ リー群  

舞 い に よ っ て 記 述 さ れ る こ とが わ か る の で あ る.

の振

  次 節 以 降 で は 音 響 波 動 伝 播 問 題 を あ つ か う.こ

の 場 合Lは

階 楕 円 型 作 用 素 に な る.本

書 で は 触 れ な い が,電

磁 波 を 記 述 す るMaxwell方

程 式,弾

ら に 量 子 論 に お け るDirac方

性 波 の 方 程 式,さ

方 程 式 な ど は す べ て(5.1)の [122],加

外 部 領 域 で の2

程 式 やKlein-Gordon

型 の 発 展 方 程 式 に 書 く こ と が で き る(Wilcox

藤[51],Reed-Simon[90],Leis[62],Eidus[18],Prosser[87],

Chadam[9]等).

  §6 非均質媒質 中の音響波動伝播問題   O⊂Rnを

コン パ ク トな 障害 物 で,表 面 が充 分滑 らか な も の と す る.外 部 領

域 Ω=Rn-Oで

の音 響 波 の伝 播 は,外 力 が 働 らか な い と して,次

の初 期-境 界

値 問題 に よ って 記 述 され る:

(6.1)

こ こ にa(x)は

波 の 伝 播 速 度 を,ρ(x)は

に 一 様 に 正 で あ る.媒 で あ り,上

質 が 均 質(homogeneous)で

の 方 程 式 はd'Alembert方

(inhomogeneous)な

媒 質 の 密 度 を 表 す 関 数 で,Ω あ れ ばa(x),ρ(x)は

程 式 に な る.し

か し,以

媒 質 の 場 合 を 考 え る の でa(x),ρ(x)は

  境 界 条 件 を 与 え るBはDirichlet条

だ し ν=ν(x)はx∈

法 線 ベ ク トル で あ り,d(x)は   以 後R0>0を

下 では 非 均 質

件 (6.2)

件 Bw(x,t)={ν

を 代 表 す る.た

定数

定 数 で は な い.

Bw(x,t)=w(x,t) 

ま た はNeumann-Robin条

で とも

・∇+d(x)}w(x,t) 

(6 .3)

∂Ω で の Ω の 内 部 か ら 外 部 に 向 か う単 位

∂Ω 上 の 非 負 関 数 で あ る.

大 き く選 ん で,障

害 物Oは

球{x∈Rn;￨x￨
含 まれ

る も の とす る.   (6.1)で

未 知 関 数w(x,t)を w(x,t)=ρ(x)-1/2w(x,t) 

(6.4)

に 変 更 し よ う.簡 初 期-境

単な

計算 で わ か る よ う に,(6.1)か

らw(x,t)に

関す る次の

界 値 問 題 が 導 か れ る:

(6.5)

こ こ に ポ テ ン シ ャ ル 関 数c(x)は

(6.6) で あ り,境 界条 件BはBで

係 数d(x)を

(6.7) で 置 き か え た も の で あ る.ま

  以 下 で は 問 題(6.5)を は 一 応 忘 れ て,係

た

φj(x)=ρ(x)-1/2φj(x).

考 え る.こ

れ が(6.1)か

数a(x),c(x),d(x)に

  仮 定 Ⅰ  a(x),c(x),d(x)は 続 で あ っ て 一 様 に 正,す

対 し て 直 接 条 件 を 課 す.

実 数 値 関 数 で あ る;a(x)は

な わ ち0
a1≦a(x)≦a2, 

c(x)は

Ω で 有 界 で,局

ら導 かれ た もの で あ る こ と

存 在 して x∈

所 的 にHolder連

局 所 的 にHolder連

Ω=Ω

∪ ∂Ω;

続 で あ る;d(x)は

∂Ω でC1-級

で

あ る.   こ れ は 微 分 作 用 素a(x)2{-Δ+c(x)}の

一様 楕 円 性 と,対

の 滑 ら か さ を 保 障 す る 仮 定 で あ る.こ Laplace作

用 素-a2Δ

に"近

い"と

こ で は さ ら に,こ

応 す る"固

有 関 数"

の 微分 作業 素 が 負 の

い う仮 定 を 加 え る.

  摂 動(perturbation)項a(x)-a,c(x)をV(x)で

代 表 さ せ る と き,

正 数 δ0が 存 在 し てr=￨x￨→

∞ で

(6.8) で あ れ ば,そ

れ は 短 距 離 型(short-range)で

を 遠 距 離 型(long-range)と

い う が,本

質 を も つ も の を 意 味 す る こ と に す る:

あ る と い う.短

距 離 型 で な い摂 動

書 で は 遠 距 離 型 の 摂 動 と い えば 次 の 性

正数 

お よび 自然数 

が 存 在 し て 

で

(6.9)

こ こ にx=x/￨x￨で

あ り,従

  仮 定 Ⅱ  a(x)-a,c(x)は か ら 成 っ て い る.即

っ て ∇=∇-x∂rは と も に,短

距 離 型 の 摂 動 と遠 距 離 型 の 摂 動 の 合 成

ち,

a(x)-a=aS(x)+aL(x), 

こ こ にaS(x),cS(x)は(6.8)を   注 意6.1 

球 面 上 の 微 分 を 表 す.

c(x)=cS(x)+cL(x). 

(6.10)

み た し,aL(x),cL(x)は(6.9)を

短 距 離 型 摂 動 の うち 特 にcS(x)に

対 し ては,(6.8)の

み た す. 偏 導 関 数 に関 す る 条

件 は 不 要 で あ る.   こ れ ら の 仮 定 の も と に 論 証 を 進 め る が,我 用 素 を も っ と 一 般 の2階

々 の 方 法 は(6.5)でLaplace作

楕 円 型 作 用 素 に 変 え た,次

の 初 期-境

界値 問題 に対 し

て も 有 効 で あ る:

また は

(6.11)

も ち ろ ん 係 数ajk(x),bj(x)に

適 当 な 条 件 を 課 す 必 要 が あ り,例

えば次の よ う

な 仮 定 の も と で 考 え る と よ い.   仮 定 Ⅲ  ajk(x),bj(x)はC1-級 C1≦C2が

数

存在 して

ajk(x)-δjk,bj(x)は

す べ て 短 距 離 型 摂 動 と遠 距 離 型 摂 動 の 合 成 よ り成 る,こ

に δjkはKroneckerの   (6.5)に

の 実 数 値 関 数 で あ る;ajk(x)=akj(x);正

デ ル タ でj=kな

ら1,j≠kな

ら0を

表 す.

戻 ろ う.こ れ を 双 曲 型 発 展 方 程 式 と 見 る た め に,基 礎 に な るHilbert

空 間 をH=L2(Ω;a(x)-2),即

ち,内

積

こ

(6.12) を と も な っ たL2-空

間 と し,Hで

の 作 用 素Lは

次 の よ う に 定 め る:

(6.13) た だ し

Δuは

  注 意6.2 

超 関 数 の 意 味 で 考 え て お り,Bu￨∂ ∂Ω で のDirichlet条

件Bu≡u=0はuがH1(Ω)に

従 っ て こ の 場 合 はD(L)=H2(Ω)∩H1(Ω)で

 定 理6.1 

な る 不 等 式 が 成 り立 つ.こ か ら 決 ま る 正 数 でuに   こ の 定 理 は,Lの

ト レ ー ス で あ る.

属 す こ と を 意 味 し,

あ る.

仮定 Ⅰの も とに,Lは (Lu,u)≧

Ω は境 界へ の

下 に半 有 界 な 自 己共 役 作 用 素 で あ り

ε‖u‖2H1-C‖u‖2, 

こ に εは1よ

u∈D(L)

 (6.14)

り小 さ い 任 意 の 正 数,Cは

ε とLと

依 ら な い. 本 質 ス ペ ク トル に 関 す る 次 の 定 理 と と も に 次 節 で 証 明 さ

れ る.

 μ∈Rが

自己 共 役 作 用 素  

trum)で

あ る とは,μ

{E(b)-E(a)}Hが   定 理6.2 

の本 質 ス ペ ク トル(essential

を 内 部 に 含 む 任 意 の 区 間 Δ=(a,b)に

spec

つ い てE(Δ)H=

無 限 次 元 に な る と き に 言 う. 仮 定 Ⅰ以 外 にc(x)が c(x)→0 

な る 条 件 を み た す とす る.こ

(￨x￨→

の と きLの

∞) 

本 質 ス ペ ク トル は,半

(6.15)

直 線[0,∞)に

含 ま れ る.   注 意6.3  (6.15)の

本 質 ス ペ ク トル の 安 定 性 に 関 す るWeylの

も とにLの

本 質 スペ ク トルはL0=-a2Δ

点 か ら成 る こ とが わ か る.こ の事 実 は,も 表 現 定理(定 理14.6,20.10)か   仮 定 Ⅰ と(6.15)だ を(5.1)の

定 理([121])を

用 いれ ば,条 件

の そ れ と一 致 し,[0,∞)の

っ と強 い 仮 定 Ⅱの も とで は,Lの

すべ ての スペ ク トル

らの ひ とつ の 帰結 で あ る.

け か らLの

正 値 性 を 示 す こ と は で き な い.そ

形 に 書 くた め に は,Lを

非 負 の,あ

部 分 空 間 に 制 限 す る必 要 が あ る.す

な わ ち,H上

Q=I-E(0) 

こ で(6.5)

る い は も っ と狭 い 正 の,不 の 正 射 影Qを (6.16)

変

で 定 義 し,Lの

か わ りにQLを

"平 方 根"Hを

次 の よ うに 定 義 す る と考

考 えの で あ る.こ

の 制 限 は(5.12)で,Lの

え て も よ い:

(6.17) こ のHは

明 ら か に 非 負,自

己 共 役 で あ り,零

集 合 はN(H)=E(0)Hで

与え

ら れ る.   こ の よ う に,(6.5)は

前 節 で 述 べ た 発 展 方 程 式 の 範 疇 に 入 る.し

で 表 さ れ る 関 数 は 一 般 に 解 そ の も の で は な く,そ

か し,(5.14)

の うち の散 乱 現 象 に か か わ る

部 分 だ け で あ る こ と に 注 意 す べ き で あ る.   L自

身 の 正 値 性 が 保 障 さ れ れ ば 問 題 は 明 快 に な る.こ

で,こ

こ で 例 を い くつ か あ げ て お こ う.

  例6.1 

c(x),d(x)が

性 は 明 ら か で あ り,さ   例6.2 

共 に 非 負 関 数 な らLは らに

ρ(x)∈C2(Ω)を

(6.6),(6.7)で

‖∇u‖=0か

らu=0が

一 様 に 正,d(x)≧0と

与 え ら れ た も の で あ れ ば,Lは

Lの 正 値 性 と 作 用 素 

n≧3の

で あ れ ばLは

正 値 に な る.実

際,Lの

非負

従 うか ら で あ る. し て,c(x),d(x)が 正 値 に な る.実

それぞれ 際,こ

の場 合

のH=L2(Ω;a(x)-2ρ(x)-1)

で の正 値 性 は 同値 で あ り,後 者 が 例6.1の   例6.3 

の よ うな 場 合 も多 い の

方 法 で 示 され るか ら で あ る.

と きは

正 値 に な る.こ

れ に はu∈H1(Ω)に

対 す る恒 等 式

(6.18) を 用 い れ ば よ い.   以 下 で は(4.5)に

な ら っ てLの R(κ)=(L-κ2)-1, 

こ の と き,任

意 のf,g∈Hに

リ ゾ ル ベ ン トをR(κ)で κ∈C, 

対 し てStieltjesの

Imκ>0. 

反転公式

表 す: (6.19)

(6.20) が,や

は り成 り立 つ.

 §7  2階 楕 円 型 作 用 素 の 自 己 共 役 性 と 本 質 ス ペ ク トル  こ の 節 で は 定 理6.1,6.2の  

Lの

対 称 性 と(6.14)の

証 明 を 与 え る. 証 明   υ をC∞0(Ω)(Ω=Ω

∪∂Ω)か

ら選 べ ば

(7.1)

D(L)に

与 え ら れ て い る グ ラ フ ノ ル ム 

D(L)はD(L)で

稠 密 で あ る.從

り立 ち,Lの

対 称 性 が 示 さ れ る.ま

に 関 し,C∞0(Ω)∩

っ て(7.1)は た(7.1)で

任 意 のu,υ υ=uと

∈D(L)に

ついて成

お く と,

(7.2) と な り,c(x)の   Lの

有 界 性 と 補 題4.3(ⅱ)と

に よ り,(6.14)が

自 己 共 役 性 を 言 うの に 補 題4.1を

用 い る.(4.3)は

得 ら れ る. 境 界値 問題

(7.3) の 可 解 性 に 関 す る 主 張 で あ る が,こ

の 問 題 は か な り面 倒 で あ る.し か し Ω=Rn

の 場 合 に は 摂 動 論 的 方 法 に よ る 簡 単 な 証 明 法 が あ る.そ を ま ず 紹 介 し,次   Ω=Rnと

の特 別 の 場 合

に 一 般 の 場 合 を 考 え る こ と に し よ う.

す る と,Laplace作

次 の 補 題 が 使 え る(黒   補 題7.1 

こ で,こ

用 素L0=-a2Δ

田[57]Chapter

L0をHilbert空

間H0上

Ⅲ 参 照). の 自 己 共 役 作 用 素 と し,VをD(V)⊃

D(L0)な

る 作 用 素 で 次 の 性 質 を も つ も の とす る:定

し て,任

意 のu∈D(L0)に

ついて

の 自 己 共 役 性 が 既 知 な の で,

数0<ε<1,C≧0が

存在

(7.4)

‖Vu‖ ≦ ε ‖L0u‖+C‖u‖. 

この とき τ>0を

大 き く選 べ ば

(7.5)

R(L0+V+iτ)=R(L0+V-iτ)=H0. 

従 っ て,特

にVが

対 称 な らL1=L0+Vは

 証 明  最 後 の主 張 は補 題4.1か

自 己 共 役 に な る.

ら従 う.(7.5)を

示 す の に方 程 式

(7.6) を 考 え る.可

解 性 を 言 う で あ る が,(7.6)を

と変形すれば,問 題は  

の可逆性を示す ことに帰着 され る.

な る等 式 か ら,次 の2つ の不 等式 が得 られ る こ とに注 意 す る:

(7.7) こ れ とVの

0<ε<1で

条 件(7.4)に

より

あ る か ら 充 分 大 き な τ>0に

τ に つ い てNeumann級

が 成 り立 つ.こ   Lの

言 え,こ

の

数 に よ る展 開

れ は(7.6)の

可 解 性 を 示 し て い る.

自 己 共 役 性 の 証 明 Ⅰ (Ω=Rnの

て 自 由 空 間H0=L2(Rn;a-2)に の 定 義 域 はD(L)=H2(Rn)で

対 し て0<ε+Cτ-1<1が

場 合)  H=L2(Rn;a(x)-2)は

一 致 し,ノ あ り,L0の

集 合 とし

ル ム も 同 値 に な っ て い る.ま

たL

そ れ と一 致 す る .

  問 題 は 上 の 補 題 と 同 様,

(7.8) の 可 解 性 で あ る.0
仮 定 Ⅰで の 定 数 と し,τ=τ1a2a-21>0と

の 作 用 素L1を L1u=a2(-Δ+c(x))u, 

u∈D(L1)=H2(Rn)

の よ うに 定義 し,Vを V=±iτ{a(x)2-a21}/a(x)2

お く.

な る 掛 算 作 用 素 とす る.こ

の と き(7.8)はH0で

の 次 の 方 程 式 に 変 形 さ れ る.

(7.9)   さ て,V=a2c(x)(掛

算 作 用 素)と

自 己 共 役 に な る.一

方Vは

し て 補 題7.1を

有 界 作 用 素 で あ り,ノ

用 い れ ばL1=L0+Vが ル ムが

‖V‖ ≦ τ￨1-(a1/a2)2￨<τ

の よ うに 評 価 さ れ る.こ  が

Lの

れ と 不 等 式(7.7)を

言え,(7.9)の

対 称 性 は 既 知 な の で,補

  次 に 一 般 の,境

合 せ れ ば,任

意 の τ>0に

つ いて

解 が 次 の よ う に 求 ま る:

題4.1よ

り,Lは

自 己 共 役 に な る.

界 の あ る 場 合 を 考 え よ う.

  こ こ で は ζ=-λ<0を

充 分 小 さ く選 ん で(7.3)の

可 解 性 を 直 接 示 す.(7.3)

に対 応 す る 双 一 次 形 式

(7.10) か ら 出 発 す る が,u,υ Neumann-Robin条

は 境 界 条 件 がDirichlet条 件 の と き に はH1(Ω)か

条 件 の 場 合 に は(7.10)で   簡 単 の た め にH1(Ω)ま   補 題7.2 

λ>0を

件 の と き に はH1(Ω)か

ら選 ん で い る.従

ら,

っ て,Dirichlet

境 界 積 分 は 消 え て い る. た はH1(Ω)をWで

代 表 さ せ る こ と に し よ う.

充 分 大 き く選 べ ば,任

意 のf(x)∈Hに

lλ,(u,υ)=(f,υ),  な る 変 分 問 題 は 唯 ひ と つ の 解u∈Wを

対 して

υ∈W 

も つ.た

(7.11)

だ し,(f,υ)はHで

の内積 で

あ る.   証 明   (6.14)に

よ り,λ>0を

大 き く選 べ ば

lλ(υ,υ)≧ε‖υ ‖2H1, 

と で き る.た

だ し ε は0<ε<1な

通 常 の 内 積(u,υ)H1と W上

た すu∈Wが

る定 数 で あ る.従

同 値 な 内 積 を 定 め る.一

の 連 続 線 形 汎 関 数 を 定 め る.従 一 意 的 に 求 ま る.

υ∈W

っ てlλ(u,υ)はWで

方,各f∈Hに

っ てRieszの

の

対 し て(f,υ)は

定 理 が 使 え,(7.11)を

み

 上 の変 分 問題 で υ をC∞0(Ω)に 制 限 す れ ば,uは

超 関 数 の意 味 で

a(x)2(-Δ+c(x))u+λu=f(x) 

を み た す こ とが わ か る.こ 示 す の だ が,そ   補 題7.3 

のuが

ζ=-λ

(7.12)

に 対 す る(7.3)の

の た め に 次 の 補 題 が 重 要 で あ る.

u∈Wが

変 分 問 題(7.11)の

解 で あ れ ばu∈H2(Ω)で

  こ れ は 楕 円 型 方 程 式 の 解 の 滑 ら か さ に 関 す る 主 張 で あ る.証 の で,こ

解 に な る こ とを

こ で は そ の 道 筋 を 簡 単 に 述 べ る に と どめ る.く

[24],[67],[102]等

あ る.

明 はや っか い な

わ し い 証 明 は,例

えば

を 参 照 せ よ.

 証 明 の 道 筋   ζ(x)を 境 界 の近 傍 で1,境

界 か らす こ し離 れ れ ば0と

なるよ う

なC∞-級 の 関 数 とし て u=ζ(x)u+(1-ζ(x))u≡u1+u2

とお く.u2に つ い ては 境 界 の な い全 空 間 の問 題 に帰 着 され,u2∈H2(Ω)が に 示 され る.u1に

簡単

つ い ては,台 が 境 界 の近 傍 に か ぎ られ 境 界 が 滑 らか な の で,

u1の み たす べ き方 程 式 が次 の よ うに 書 きか え られ る: ∂2vu1+∂vM1u1+M2u1∈L2(Ω). 

(7.13)

こ こ に ∂vは 法 線 方 向 の 微 分 で あ り,Mj(j=1,2)はj階 分 作 用 素 で あ る.u1∈H1(Ω)な う偏 導 関 数 がW上

の で,差

分 近 似 を 作 り,L2(Ω)の

ま ず 示 さ れ る.次

H2(Ω)が

わ か る.

に 方 程 式(7.13)か

∈

ら ∂2vu1∈L2(Ω)が 言 え,μ1∈

自 己 共 役 性 の 証 明 Ⅱ (一 般 の 場 合)  上 の 補 題 に よ り変 分 問 題(7.11)の

解uがH2(Ω)に

属 す か ら,あ

とは 境 界 条 件Bu￨∂ Ω=0が

み た され る こ とを示 せ

ば よ い.BがDirichlet条

件 の と き,そ

こ でNeumann-Robin条

件 の 場 合 を 考 える こ と に す る.

  u∈H2(Ω)な れ ば,結

元 の境 界 に 沿

の 連 続 線 形 汎 関 数 に な る こ と を 用 い る と,∂vM1u1,M2uλ

L2(Ω)が

  Lの

以 下 の 境 界 に 沿 う微

の で(7.11)にGreenの

れ はu∈H1(Ω)よ

公 式 を 用 い,方

り 明 ら か で あ る.そ

程 式(7.12)に

注意す

局 次 の 等 式 が 得 ら れ る:

集 合{υ￨∂ Ω;υ ∈H1(Ω)}はL2(∂

Ω)で 稠 密 な の で,こ

れ か らBu￨∂

Ω=0が

言

え る.

  定 理6.1が

証 明 さ れ た の で,次

に 定 理6.2の

点 を 判 定 す る 次 の 補 題 か ら 始 め よ う(証

証 明 に 進 む.本

質 ス ペ ク トル の

明 は,Riesz-Nagy[93]p364に

従 っ

た).

  補 題7.4 

μ∈RがLの

本 質 ス ペ ク トル に属 す た め の 必 要 十 分 条 件 は,次

の 性 質 をみ たす 関 数 列{fn}⊂D(L)が

存 在 す る こ とで あ る.

(7.14) こ こに 〓 はHで

の 弱 収 束 を 意 味 す る.

  証 明   μ がLの

本 質 ス ペ ク トル の 点 で あ る とす る.Δn=(an,bn)を

に 含 む 区 間 列 でbn-an→0(n→ あ り,fn∈E(Δn)Hな

∞)な

る も の とす れ ば,E(Δn)Hは

る 正 規 直 交 系{fn}n=1,2,…

が 成 り立 つ の で,こ

の{fn}は(7.14)を

  逆 に あ る μ∈Rに

つ い て(7.14)を

元 な ら 不 可 能 で あ る.故

存 在 す る とす る.

つ いて

∞)が

‖E(Δ)fn‖ →1 

こで  

が 選 び 出 せ る.

み た す{fn}⊂D(L)が

‖(I-E(b))fn‖2→0,‖E(a)fn‖2→0(n→

が 従 う.こ

無限次元 で

み た す.

μ を 内 部 に 含 む 任 意 の 区 間 Δ=(a,b)に

従 って

(n→

得 ら れ,こ

れ か ら  (7.15)

∞)

とな る こ とに 注 意 す れ ば,(7.15)はE(Δ)Hが にE(Δ)Hは

μを内部

有限 次

無 限 次 元 で あ り,μ はLの

本質 スペ ク ト

ル の 点 に な る.   次 の 補 題 はRellichの   補 題7.5  す る.こ

G⊂Rnを

定 理 と呼 ば れ て い る. 有 界 領 域 で,境

の と きHm(G)の

界 がCm-級(m=1,2,…)で

あ るもの と

元 を 埋 め 込 み に よ っ てHm-1(G)の

元 と見 な す 写 像

は コ ン パ ク ト作 用 素 に な る.   証 明 は 省 略 す る が,Hm(G)の

元 は 連 続 的 に 延 張 さ れ てHm(Rn)の

元 になる

の で,Fourier変

換 が 使 え,Ascoli-Arzelaの

 定 理6.2の

証 明   μ をLの

と を 示 す.{fn}⊂

定 理 に 帰 着 さ れ る.

本 質 ス ペ ク トル の 点 とす る と き,μ ≧0と

の(L)を(7.14)を

み た す 関 数 列 とす る.

‖Lfn‖ ≦ ‖(L-μ)fn‖+￨μ￨‖fn‖

で あ る か ら,(6.14)に い て Ω(R)={x∈

Ω;￨x￨
の 収 束 列{fn′}を

と れ ばRellichの

含 む. 

つ

定理が使

(弱)に 注 意 す れ ば

(n′→ ∞). 

(7.16)

公式 に より

で あ る が,(6.15)お き く選 ん で,不

よ び(4.9)よ

→ ∞

り,任

意 の0<ε<1に

対 し てR>R0を

大

等式

が 成 り立 つ よ う に で き る.従

こ こ でn′

(n→ ∞)

の 有 界 列 に な る.各R>0に

お く.R>R0と

‖fn′‖Ω(R)→0 

  Greenの

→￨μ￨ 

よ り{fn}はH1(Ω)で

え,{fn}はL2(Ω(R))で

なる こ

って

と す れ ば(7.14),(7.16)に

注 意 して

0≧-μ-ε

が 得 ら れ る.こ

れ は μ が 本 質 ス ペ ク ト ル な ら,0<ε<1な

て も 成 り立 つ べ き 不 等 式 で あ る.よ

っ て μ≧0で

る どん な ε に つ い

な け れ ば な ら な い.

 §8  楕 円 性 評 価,一 意 接 続 定 理   この 節 では 楕 円型 境 界 値 問 題(7.3)の

解 につ い て,ま ず 楕 円性 評 価 を 与 え,

次 に 一 意 接 続 定 理 を 述 べ る.こ れ らは楕 円 型方 程 式 に 特徴 的 な 問題 で あ り,多 くの結 果 が あ る.こ こ では,そ れ らの うち後 に 必 要 とな る最 小 限 の もの をま と め る.

  L

2loc(Ω)

で の 作 用 素Llocを

次 の よ う に 定 義 す る:

(8.1) これ は(6.13)のLを

局 所 的 な 作 用 素 と し て 拡 張 し た も の で あ る.楕

価 式 は こ のLlocに   定 理8.1 

関 す る 先 験(apriori)不

あ る実 数

μ∈Rに

等 式 と し て 導 か れ る.

ついて

u∈D(Lloc)∩L2μ(Ω)か と す る.こ

円性 の 評

の と きu∈H2μ(Ω)で

(8.2)

つLlocu∈L2μ(Ω) 

あ り,

(8.3) こ こにC>0は

μ と作 用 素Llocと

  こ の 定 理 に 必 要 な 補 題 を2つ   補 題8.2  し てCε

uが(8.2)を

に だ け 依 る 定 数 で あ る.

述 べ る.

み た せ ばu∈H1μ(Ω)で

あ り,任

意 の0<ε<1に

対

を 充 分 大 き く選 べ ば

(8.4)   証 明   s>R0と +1)か

つ

して

ζs=ζs(r)をC1-級

ζs(r),ζs′(r)=dζs(r)/drは

の 関 数 で と も にsに

ζs(r)=1(r<s),=0(r>s

一 様 に 有 界 と な る も の と す る.

部 分 積 分 に よ り

 は み な 有 界 な の で,Schwarzの

不 等式を用いて

さ らに

な る 評 価 が あ る(補 き く選 べ ば

題4.3(ⅱ))か

ら,ε=ε

′/(1-2ε ′)と お きCε>0を

充分大

‖ζs∇u‖2μ≦ ε ‖ζsLlocu‖2μ+Cε

こ こ でs→

∞

‖ζsu‖2μ.

とす る と右 辺 は ε‖Llocu‖2μ+Cε‖u‖2μ に 収 束 し,補

題 が 証 明 され

る.  補 題8.3 

(6.13)の

作 用 素Lの

定 義 域 に つ い て 次 の こ とが 言 え る.

D(L)={u∈H1(Ω)∩H2loc(Ω);Δu∈L2(Ω),Bu￨∂n=0}. 

  証 明  D(L)の uがD(L)に

元 が 上 のuの

(8.5)

条件 をみ た す こ とは 明 らか で あ る.逆 に,上 の

属 す た め に はu∈H2(Ω)が

示 され れ ば よ い.そ れ は

f≡a(x)2{-Δ+c(x)}u+λu∈L2(Ω) に 注 意 す れ ば,u,fは 7.3か

変 分 問 題(7.11)を

って 補題

ら導 か れ る.

  定 理8.1の

証 明   uが(8.2)を

の 近 傍 で1,遠

φu∈H1(Ω),さ

題8.3に

  D(L)はH2(Ω)の

Δu+2∇

φ ・∇u+(Δ

よれ ば φu∈D(L)で

閉 部 分 空 間 で あ り,そ

間 に な っ て い る.ま

はD(L)をH全

た λ>0を

体 に 写 す.従

あ る か ら 補 題8.2よ

り

φ)u∈L2(Ω)

あ り,従

っ てu∈H2μ(Ω)と

れ 自身 が ノル ル ム ‖ 大 き く選 べ ば,前

な る.

‖H2に よ っ て

節 で 示 し た よ うに,

っ て 逆 写 像(L+λ)-1;H→D(L)も

連続 に

の φuに つ い て 次 の 不 等 式 が 得 られ る: ‖φu‖H2≦

(8.4)を

∇u+(∇ φ)uで

考 え る.φu

らに

が 得 ら れ る.補

な り,上

の関 数 で境 界

な る も の と し,φuを

あ る が,∇(φu)=φ

Δ(φu)=φ

Hilbert空

み た す とす る.φ(r)をC∞-級

方 で は(1+r)μ(r=￨x￨)と

∈D(Lloc)∩L2(Ω)で

L+λ

み た す こ と が わ か り,従

‖(L+λ)-1(L+λ)φu‖H2≦C‖(L+λ)φu‖. 

考 慮 す れ ば,こ

  境 界 値 問 題(7.3)に

れ か ら 求 め る 不 等 式(8.3)が

(8.6)

導 か れ る.

か か わ る 一 意 接 続 定 理 を 述 べ よ う.こ

こで 紹 介 す る方 法

は 主 要 部 が 定 数 係 数 の 微 分 作 用 素 に の み 有 効 で あ り,Nirenberg[82]に   Poincareの   補 題8.4 

不 等 式 を 少 し 一 般 化 し た 次 の 補 題 が 重 要 で あ る. u∈C∞0(Rn)の

含 ま れ る と す る.こ

台 が 立 方 体Ql={x∈Rn;￨xj￨
の と き 任 意 の η∈Rnに

つい て

依 っ た.

(8.7)   証 明   線 分(-l,l)上 る.す

で 負 のLaplace作

ぐわ か る よ う に,こ

の 問 題 に 対 し て 最 低 固 有 値 は(π/2l)2で

て 任 意 のu(t)∈C∞0(-l,l)に

が 成 り立 つ.一

方,任

用 素-∂2tのDirichlet問

題を考 え あ り,従

っ

つ い て,

意 の γ∈Rに

対 して

￨eγt∂tu￨2=￨(∂t-γ)eγtu￨2≧￨∂t(eγtu)￨2-γ

∂t￨eγtu￨2

が 言 え る の で,不 等 式

を 得,こ

れ か ら(8.7)が

  さ て,G⊂Rnを る.x1軸

原 点Oを

をOで

境 界 点 に も つ 領 域 で,原

の 法 線 方 向 と し,そ

ε の 球 とす る と き,Kε る.ま

示 さ れ る.

∩G-{0}の

G等

存 在 し て,u=0がG∩Kε

  (条 件1) 

あ る ε0>0に

  (条 件2) 

γ0>0,C0>0が

つ い て ∂G∩Kε0上

C1=4(n+1)/π2,を

み た す よ う に と り, 

で はKlに

中心 とす る半 径 標 を もつ よ うに す

を が0<γ<3ε

含 ま れ る よ う に す る(こ

れ は 原 点 でGが

真 に 凸 で あ るか ら

可 能 で あ る).非

負 のC∞-関

数 ζ(x1)

次 の2つ

の 条件 を

上 で 成 り立 つ. で

存 在 し て,0<γ<γ0な

  証 明   lを0
充 分 小 さ く と っ てGγ

をOを

真 に 凸 な も の とす

す る.

を 上 の よ う に と る.u∈C1(G)∩C2(G)が

み た す な ら ば,ε>0が

つ 

の 方 向 づ け はKε

す べ て の 点 が 正 のx1座

たGγ={x∈G;x1=γ}と

  定 理8.5 

点Oで

る任 意 の γ に つ い て

を ζ(x1)=1(0≦x1≦2ε)で

あ り,単

に 選 ぶ.υ(x)=ζ(x1)u(x)と

調 減 少 し てx1=3ε

お く と,l<ε0な

そ の 導 関 数 は ∂G∩Klで0に

な る.そ

の で,条

の 近 く で0に 件1に

こ で υ(x)をKl全

な るよ う

よ り υ(x)お よ び

体 に ∂Gを

越 え て0

で 拡 張 す る.   こ の υ に 対 し て 補 題 の 不 等 式(8.7)を す れ ば,そ

x1≦2ε

適 用 で き る が,今2η=(λ,0,…,0)と

れ は 次 の よ うに な る:

で は υ=uで

あ る か ら,条

従 っ て,C0C1l2<1/2よ

り

が 得 られ る が,左

辺 の 積 分 をx1<ε

件2を

用 いれ ば

に 制 限 し,λ<0と

すれば

(8.8) 右 辺 は λ→-∞

と と も に0に

近 づ くの で,こ

れ か らx1<ε

で υ≡u=0と

な

る こ とが わ か る.  こ の 定 理 の 系 と し て 次 の 一 意 接 続 定 理 が 得 られ る.   定 理8.6 

u∈C2(Ω)が

Ω の 任意 の点 で

￨Δu(x)￨2≦const{￨∇u(x)￨2+￨u(x)￨2} 

な る不 等 式 を み た す とす る.も Ω で 恒 等 的 に0に

あ れ ば,uは

な る.

  証 明   D⊂ Ω をu=0と 含 まれ る球Kで

し Ω の あ る 開 集 合 上 でu=0で

(8.9)

な る最 大 の 開集 合 とす る. 

そ の 境 界 が ∂D∩ Ω の点Xを

般 性 を 失 うこ とな くKの

半 径 を1と

含 む よ うな もの が存 在 す る.一

で き る.変 換

y=x/￨x￨2

で あれ ば,Dに

に よ っ てKの

外 部 をKの

る Ω-Kの

像 をGと

Cauchyデ

内 部 に 移 し,u(x)=υ(y)と

す れ ばGはXで

ー タ は す べ て0に

に つ い て もXの

真 に 凸 で,そ

な っ て い る.uに

近 傍 で 成 り立 ち,点Xで

傍 で0に

な る.こ

れ はuがDを

あ る.従

っ てD=Ω

お く.こ

の 変 換 に よ

の 近 く の ∂Ω 上 で υ の

つ い て の 不 等 式(8.9)は 定 理8.5を

越 え て0に

用 い れ ば,υ

当然 υ はXの

近

な る こ とを 主 張 し て お り,矛

盾で

とな ら ね ば な ら な い.

 この定 理 は 次 章 で Ω で の 斉次 方程 式 {-Δ+c(x)}u-σ2a(x)-2u=0 

に 対 し て 用 い ら れ る.そ   命 題8.7 

(8.10)の

よ).uは

か し,こ

(8.10)

の た め に 次 の 命 題 が 必 要 に な る. 解u∈H2loc(Ω)は

  証 明   こ の 命 題 を 示 す た め に,ま な ら な い.し

(σ>0) 

実 はC2-級

ずu(x)が

で あ る.

連 続 に な る こ とを 言 わ な け れ ば

れ は や っ か い な の で 省 略 す る(Morrey[80]を

連 続 で あ れ ば,-Δ

参照せ

の基本解

(8.11)

を 用 い て,次

の よ うに 表 示 で き る: u=([Δ,ζ]G0)*u+(ζG0)*{σ2a-2(x)-c(x)}u. 

(8.12)

こ こ に ζ(x)は 原 点 の 充 分 小 さ な 近 傍 で1で,台 [Δ,ζ]は Δ と ζ と の 交 換 子[Δ,ζ]f=Δ(ζf)-ζ   (8.12)の 限 な の で,通

右 辺 第1項

は 明 ら か にC2-級

  注 意8.1 

Δfを 表 す.

で あ る.ま

常 の 方 法 で ま ずu∈C1(Ω),次

連 続 性 を 用 い てu∈C2(Ω)が

も 小 さ いC∞0-級 の 関 数 で あ り,

た 第2項

は 積分 範 囲 が 有

に{σ2a(x)-2-c(x)}u(x)のHolder

示 さ れ る.

係 数a(x),c(x)のHolder連

続 性 の仮 定 は こ の命 題 を証 明す るた め だ け に

用 い られ る.   注 意8.2 

Sobolevの

得 ら れ る:係

数a(x),c(x)がC〔n/2〕-1-級

数 に な る.

補 題 を 用 い れ ば,(8.10)の

解uの

で あ れ ば 解uは 

連 続 性 に つ い て 次 の結 果 が

に 属 し,連 続 関

第3章

 定 常 波動 伝 播 問題

  前 章 §5で 少 し触 れ た が,波 成 作 用 素Lの

動 伝 播 のt→ ±∞ で の漸 近 性 質 を調 べ る の に生

スペ ク トル構 造 が 重 要 に な る.Lは(6.13)で

役 作 用 素 で,半 直 線[0,∞)に で あ るが,本

定 義 され た 自 己共

含 まれ る本 質 ス ペ ク トルを もつ(定 理6.2)も

の

章 で は さ らに仮 定 Ⅱの も とに 本 質 ス ペ ク トル の絶 対連 続 性 を 示

す.Stieitjesの

反 転 公 式(6.20)に

注 目す れ ば,絶 対 連 続 性 は 極 限 (L2loc(Ω)で)

の 存 在 か ら導 か れ る.こ

の 極 限 の 存 在 は 物 理 的 に は 当 然 と考 え ら れ て お り,極

限 吸 収 の 原 理(principle

of limiting

absorption)と

名 づ け ら れ て い る.こ

こ

で は こ の 原 理 を 数 学 的 に 証 明 す る.

  §9  定 常 問 題 に 関 す る エ ネ ル ギ ー 積 分   境 界 値 問 題(7.3)で

ζ=κ2(Imκ

≧0)と

お い た も の,即

ち

(9.1) を 考 え よ う.こ で き,そ

れ は 初 期-境

界 値 問 題(6.5)のLaplace変

の 意 味 で 定 常 波 動 伝 播 問 題 と 呼 ば れ る.我

に 対 す る(9.1)の

解 の 構 成,そ

々 の 目 的 は κ=σ ∈R-{0}

れ も  

の と き のL2-解

の 極 限 と し て 構 成 す る こ と で あ る.も し て 極 限 が あ る わ け で な く,ま

換 と考 え る こ とが

た 極 限 がHに

ち ろ ん,任

Ω;￨x￨
B(R)={x∈

対

属 す こ と も 一般 に 期 待 で き な い.

  以 下 で は 次 の 記 号 を 用 い る: Ω(R)={x∈

意 のf∈Hに

 

Ω;￨x￨>R},

(複 写 同 順).   計 算 の 都 合 上,次

の よ うに お く:

(9.2)

こ こに Va ,S(x)=(a+aL(x)+as(x))-2-(a+aL(x))-2 

は 短 距 離 型 条 件(6.8)を

  仮 定 Ⅱか らm(x,κ),p(x,κ)に

対 す る 次 の2つ

仮 定 Ⅱ の 言 い か え に 過 ぎ ず,m(x,κ),p(x,κ)に   補 題9.1  値 を と る.ま R1(K±)>R0が

m(x,κ),p(x,κ)は た,K±

(9.3)

満 た す.

κ=σ ∈R±

の 補 題 が 示 さ れ る.補 題9.1は 課 す べ き 条 件 と考 え て も よ い.

の と き に は 無 限 遠 の近 傍 で 実 数

を Π ± の 勝 手 な コ ン パ ク ト集 合 と す る と き,正

存 在 し て,(x,κ)∈B(R1)×K±

数R1=

で

(9.4) (9.5) (9.6)

∇kp(x,κ)=O(r-1-δ0) 

  補 題9.2 

m(x,κ)の￨x￨に

(k=0,1,2). 

関 す る 積 分 

(9.7) につ い て

(9.8)

(9.9) さ らにN≧3の

ときは

(9.10)   証 明   (9.8)は(9.6)よ

を 得,(9.9)が

り 明 ら か で あ る.さ

示 さ れ る.N≧3の

と き はl=1に

らに

対 す る 上 式 を も う一 度 微 分 で

き,

こ れ に(9.5),(9.6),(9.8)を

適 用 し,∇x=O(r-1)に

の 悪 い 項 が ∇∇m=o(r-2)で

あ る か ら(9.10)が

  次 節 以 降 に 必 要 な(9.1)の   命 題9.3  =φ(r)を

注 意 す れ ば,一

得 ら れ る.

解 に 対 す る 定 常 エ ネ ル ギ ー 積 分 を3つ

f=fj(x)(j=1,2)に

対 す る(9.1)の

実 数 値 関 数 と す れ ば,任

意 のG⊂

番評価

解 をuj=uj(x)と

与 え る. す る.φ

Ω について

(9.11) こ こ にv=v(x)は

∂G上

の 外 法 線 方 向 の 単 位 ベ ク トル で あ る.

  証 明   こ れ は 通 常 のGreenの

公 式 で あ り,等

式

の 左 辺 を 部 分 積 分 す れ ば よ い.   ρ=ρ(x,κ)を(x,κ)∈

Ω ×Π ± の 複 素 数 値 関 数 と し,(9.1)で υ(x,k)=eρ(x,κ)u(x,κ) 

と お く.簡

単 な 計 算 で,υ

(9.12)

に つ い て の 次 の 方 程 式 が 得 ら れ る:

(9.13)

 こ の 方 程 式 に 対 し てGreenの  命 題9.4 

φ=φ(x,κ)を

公 式 を 導 け ば,次

の 命 題 に な る.

複 素 数 値 関 数 と す る.任

意 のG⊂

Ω につ いて

(9.14)   も うひ と つ の 恒 等 式 を 得 る た め に,η=η(x,κ)を (9.13)の

両 辺 に η・ ∇υ を 乗 じ て 実 部 を と る.発

実 の ベ ク トル 値 関 数 と し,

散形 式 を作 って い く と

に 注 意 して,つ い に は 次 の 等式 が得 られ る:

  こ の 等 式 の 両 辺 に 実 数 値 関 数 ψ=ψ(x,κ)を 分 積 分 に よ り,次   命 題9.5 

乗 じ,G⊂

Ω 上 で 積 分 す る.部

の 命 題 が 得 ら れ る.

関 数 ρ,ψ,η を 上 の よ うに と る.任

意 のG⊂

Ω につ い て

(9.15)  (9.1)でLaplace作

用 素 Δ を2階

楕 円型 作 用 素

で 置 き か え た 一 般 の 問 題 に 対 し て は,(9.15)に 雑 に な る.こ   υ=eρuの

対 応 す る恒 等 式 がず い ぶ ん複

こ で 結 果 だ け を 与 え て お こ う. 満 た す 方 程 式 は 次 の よ う に な る:

(9.16) こ こ にD=(D1,…,Dn),Dj=∂j+ibj(x),A=(ajk(x))で

あ る.

  命 題9.6 

関 数 ρ,ψ,η を 上 の よ うに と る.任

意 のG⊂

Ω につ い て

(9.17) こ こ にA′l=(∂lajk(x)),B′l=∂lbj(x)-∂jbl(x),η は ベ ク ト ル の 第l成

  §10 

′l=(∂lη1,…,∂lηn)で

あ り,[ 

]l

分 を 表 す.

斉 次 方 程 式 の 解 の 一 意 性

  σ2>0と

して 斉 次 方 程 式 {-Δ-m(x,σ)2-p(x,σ)}u=0, 

を 考 え よ う.m(x,σ),p(x,σ)は そ れ ら の うち,次

x∈

補 題9.1を

(10.1)

Ω 

満 た す 関 数 で あ る が,こ

の節では

の 条 件 だ け を 用 い る. に つ い て 

任意の 

が存 在 し て (10.2)

p(x,σ)=o(r-1), 

r=￨x￨→

(10.3)

∞. 

  こ こ で の 我 々 の 目標 は 次 の 定 理 で あ る.   定 理10.1  る γ>0に

(10.2),(10.3)を

仮 定 す る.(10.1)の

解u∈H2loc(Ω)が,あ

つ い て条 件

(10.4) を み た す な ら,uは

Ω で 恒 等 的 に0で

あ る.

  こ の 定 理 の 系 と し て 一 意 性 定 理 が 次 の よ うに 述 べ ら れ る.   定 理10.2 

(10.1)の

は Ω で 恒 等 的 に0で   証 明   定 理8.1に

解uが

あ る μ>1/2に

対 し てL2μ-1(Ω)に

あ る. よ りu∈H2μ-1(Ω)と

な るか ら

属 す な ら,u

従 って γ=2μ-1>0と

し て(10.4)が

導 か れ,定

  上 の 定 理 の 特 別 の 場 合 と し て,(10.1)のL2-解 か り,次

理 が 示 さ れ る. は0以

外 存 在 しな い こ と が わ

の 定 理 が 得 ら れ る.

  定 理10.3    さ て,定

(6.13)の 理10.1の

作 用 素Lは

正 の 固 有 値 を 持 た な い.

証 明 に うつ る が,そ

の た め に 命 題9.5を

次 の よ うに 変 形

し て 用 い る.   命 題10.4  =xと

(9.15)でG=B(R,t),κ=σ,f(x)≡0,ρ=β/2logr,ψ=rα,η

お く(α,β

は 実 数).こ

の とき

υ=rβ/2uに

つ い て

(10.5)  証明 今の場合

が 実 数 値 関数 で あ る こ とを考 慮 して,(9.15)で

を 行 な え ば,(10.5)が

導 か れ る.

  補 題10.5 

解uが0<γ<2な

(10.1)の

部分 積分

る γ に つ い て(10.4)を

υ=r(n-1)/2u 

に 対 し 次 の 不 等 式 が 成 り立 つ.R3>R2を ついて

満 たす な ら (10.6)

充 分 大 き く選 べ ば,任

意 のR>R3に

(10.7) こ こにC>0は

γ とR3と

  証 明   (10.5)で

に 依 る 定 数 で あ る.

α=γ-n+1,β=n-1と

で あ る か ら(10.2),(10.3)お

お く.右

辺の被積分関数は

よび

に注 意 す れ ば,充 分 大 きなR3とCに

対し

従 って

が 得 ら れ る が,(10.4)に

注 意 し てtを

適 当 に ∞ に す る こ と に よ り,求

め る不

等 式 が 示 さ れ る.   補 題10.6 

上 の υ と任 意 のR1
ついて

(10.8)   証 明  お く.

命 題9.4でG=B(R,t),κ=σ,f≡0,ρ=n-1/2logr,φ=rγ-n+1と

に 注 意 す れ ば(10.8)が   命 題10.7 

得 ら れ る.

定 理10.1の

い てL2μ(Ω),従

条 件 の も とに,(10.1)の

っ てH2μ(Ω)に

  証 明   (10.4)で

解uは

任 意 の μ>0に

つ

属 す.

は 一 般 性 を 失 う こ と な く0<γ<2と

し て よ い.補

に よ りu=r-(n-1)/2υ

∈L2(γ-1)/2(Ω)が示 さ れ て い る.(10.7)をRに

(T,t)(R3
積 分 し,右

辺 に 補 題10.6の

題10.5

ついて区間

等 式 を 適 用 す る.

に 注 意 す れ ば,次 の不 等式 が 得 られ る:

(10.9) こ れ か らu=r-(n-1)/2υ

∈L2γ/2(Ω)が言 え,右 辺 はTに

で 積 分 可 能 に な る.積

分 を 実 行 す れ ば,大

これ か らu∈L2(γ+1)/2(Ω)が 言 え,右 な る.こ

つ い て[T1,∞)(T1>R3)

き なC>0に

辺 がT1に

対 し

ついて無限遠の近傍で可積分に

の よ うに 次 々 と 積 分 を 操 り返 す こ と が で き,定

理8.1を

用 い れ ば,求

め る 結 果 に な る.   定 理10.1の

証 明   (10.5)に

を 考 慮 す れ ばtを

戻 り,α=-n+3,β>n-2と

す る.上

の命 題

適 当 に ∞ に す る こ と に よ り,

(10.10) (10.2),(10.3)よ で 非 負 に な る.一

左辺

り,R4>R2を 方,υ=rβ/2uよ

大 き く選 べ ば 右 辺 は り

β ≧ β0>n-2,R≧R4

こ こ にMj(R)(j=1,2,3)は

 今,あ

β に 依 ら ず,特

るR≧R4に

ついて

大 き く と れ ば(10.10)の で あ り,従

 とす る と,こ

左 辺 は 負 に な る.右

っ て￨x￨>R4で

用 い れ ばuは

はu(x,κ)≡0.こ

Ω 全 体 で 恒 等 的 に0に

  注 意10.1 

に

Ω=Rnでp(x,σ)≡0の

  Laplace作

用 素 を2階

こ で 一 意 接 続 定 理(定

な る.

場 合,(10.2)を (Rnで)

 (10.11)

楕 円 型 作 用 素 で 置 き か えた 問 題 に つ い て も,係 ∇kajk(x)(k=1,2), 

理10.1は

  し か し こ の 場 合(10.10)に う な 矛 盾 を 導 け な い.そ

理8.6)を

証明 に 一意 接 続 定 理 は 必 要 な い.

ajk(x)-δjk=o(1), 

な る 条 件 を み た せ ば,定

を

辺 は常 に非 負 な の で こ れ は 矛 盾

γm(x,σ)+2r∂rm(x,σ)≧Cγ>0 

で 置 き か え れ ば,定 理10.1の

の 表 示 か ら,β

∇bj(x)=o(r-1)

数 が

 (10.12)

そ の ま ま 成 り立 つ.

対 応 す る式 が 繁 雑 で,命

こ で,も

う一 度(10.5)に

題10.7か

ら直 接 上 の よ

対 応 す る恒 等 式 に 戻 り,次

の も っ と 精 密 な 命 題 を 証 明 す る.   命 題10.8 

斉 次 方 程 式 の 解 が(10.4)を

満 た せ ば,任

意 のk>0,0<ε<1

につ い て

(10.13)   これ よ り任 意 のk>0に

つ い て υ=ekrεu∈H2(Ω)が

法 を こ の υ に 適 用 す れ ば,kを   な お,命

題10.8の

証 明 は,微

言 え る.上

の定 理 の証 明

大 き くす る こ と に よ り 矛 盾 が 得 ら れ る. 分不等式

(10.14) を 導 く こ と に よ り得 ら れ る の で あ る が,こ [71]参

照).

こ で は 省 略 す る(Eidus[18],望

月

  §11  定 常 波 の 漸 近 的 相 関 数   定 常 問 題(9.1)の 一 般 化 とし て り,こ

,定

解 に 対 す る放 射 条 件 を,Sommerfeldの 義 し た い.そ

の た め に,解uの

条 件(3.12)の

遠 方 で の相 を 知 る必 要 が あ

の 節 で そ れ を 近 似 的 に 求 め る.

  問 題 は 次 の よ うに 設 定 さ れ る.遠 れ る も の とす る.こ

方 で 解uの

の と き 関 数 υ=eρuは q(x,κ)=m(x,κ)2-Δ

と な る.他

振 動 せ ず,従

ρ+(∇ ρ)2, 

は と も に 充 分 速 く減 少 す べ き で あ る.こ と 同 じ 挙 動 が 要 請 さ れ,相

振 動 がe-ρ(x,κ)の よ うに 与 え ら

関 数(phase

っ て 方 程 式(9.13)で

係数

p(x,κ)

の よ う に,q(x,κ)に function)ρ(x,κ)の

は短 距 離 型 摂 動 満 たす べ き方 程 式

に い くつ か の 条 件 を と も な っ て ρ(x,κ)は 次 の よ うに 構 成 さ れ る.

  命 題11.1 

補 題9.1の(9.6)式

と き Ω ×Π ± で の 連 続 関 数 q(x,κ)≡m(x,κ)2-Δ

でN=[1/δ1]+1(0<δ1<1)と

と る.こ

の

ρ(x,κ)で 次 の 性 質 を も つ も の が 存 在 す る:

ρ+(∇ ρ)2=O(r-1-δ2), 

δ2=Nδ1-1>0,

 (11.1)

(11.2)

∇2ρ=O(r-1), ∇∇

ρ=o(r-1).

  ρ(x,κ)の 方 程 式(11.1)を

 (11.3)

直 接 解 く こ と は 困 難 な の で,ま

ずr=￨x￨の

方

向 だ け に 注 目 し て 次 の 方 程 式 を 考 え よ う:

(11.4) こ れ は ∂rρの 方 程 式 と し てRiccati型

で あ る.

∂rρ=-im(x,κ)+h(x,κ)

と 置 き,こ

れ を(11.4)に

代入すれば

左 辺 に 注 目 し てn-1/r-2h+∂rm/

m=0の

よ う にhを

定 め る.こ

のとき

(11.5)

(11.6) が 得 ら れ る が,m(x,κ)に と な る.従

対 す る 条 件(9.4),(9.5)か

っ て 上 の ∂rρは(11.4)を

  ρ 自 身 は(11.5)を

右 辺 はO(r-2)

の 結 果,(11.1)の

解 の 第1近

満 た す.

積 分 し て 求 め ら れ る.そ

似 と し て 次 の 関 数 が,定

ら(11.6)の

義 さ れ る:

(11.7)   命 題11.1の

証 明 Ⅰ (δ1>1/2の

場 合 を 考 え る.こ

の と き ρ を(11.7)の

立 つ こ と を 示 そ う.(11.7)を

(9.8)を

場 合)  命 題11.1で

用 い れ ば(11.2)が

よ う に 選 べ ば(11.1)∼(11.3)が

成 り

微分 して

得 ら れ る.(11.3)は

を も う一 度 微 分 し て(9.9)を

ま ず δ1>1/2,N=2の

用 い れ ば よ い.次

こ の

∇ρ お よ び

に

(11.8) よ り,δ2=2δ1-1>0と   注 意11.1 

し て(11.1)が

(11.7)で

得 ら れ る.

は 境 界 の 近 く で の ρ(x,κ)の 定 義 が あ い ま い で あ る.し

ρ(x,κ)は 遠 方 で の 挙 動 が 重 要 で あ り,境

界 の 近 く で は 適 当 に 定 義 さ れ て い る も の とす る.

 上 の証 明か らわ か る よ うに,δ1>1/2な に 本 質 的 で あ る.そ (11.7)を

か し

こ で 一 般 の δ1>0の

る仮 定 は  

を評価 す る の

場 合 に ρ(x,κ)を 構 成 し よ う とす れ ば,

修 正 し て こ の 項 を 消 す よ う に す れ ば よ い.

  次 の よ うに お こ う.

(11.9)

これ を(11.1)に

代 入 し てYに

つ い て の 方 程 式 を 導 く .簡 単 な 計 算 で

(11.10) 右 辺 第1項

はO(r-2)で

あ る.第2項

に着 目し て

(11.11) な る 方 程 式 を 考 え る.こ

れ は ア イ コ ナ ル(eikonal)方

程 式(∇K)2=m2で

 

とお い て 得 ら れ た 式 で も あ る.   以 下 で はY=Y(x,κ)を(11.11)の ∇Y,ΔY等

近 似 解 と し て 構 成 す る.そ

の 挙 動 に つ い て よ い 評 価 が 得 ら れ る な ら,(11

.9)で

の とき導 関数 命 題11.1を

満

た す ρ が 作 ら れ る こ と に な る.   (11.11)の

両 辺 を2mで

割 っ てr=￨x￨に

つ い て 積 分 す る と,

(11.12) こ の 近 似 解 を 逐 次Y0=0,

(11.13) の よ うに 定 め て ゆ く(k≦N-2}."任

意 定 数"Ck(x,κ)は

(11.14)   命 題11.1で

はN=[1/δ1]+1で

し か し 後 の た め に,こ   補 題11.2  で き,次

あ り,k≧[1/δ1]と

こ で は 一 般 にN≧[1/δ1]+1と

N≧[1/δ1]+1と

の 性 質 を み た す:r=￨x￨→

す る.1≦k≦N-2に ∞

い う場 合 は 起 ら な い. して 話 を進 め る. 対 し てYk(x,κ)が

と と も に κ∈K±

に一様に

定 義

(11.15) (11.16) (11.17) こ こ にpは0≦p≦N-k-1な   さ ら にk≦N-3の

る 任 意 の 自 然 数 で あ る. と き はYk(x,κ)はxに

つ い てC3-級

で

(11.18)

∇3Yk(x,κ)=O(r-2-δ1) 

  証 明   証 明 は 帰 納 法 に よ る が,ま の と き は(11.13)よ

ずk≦[1/δ1]-1の

場 合 を 考 え よ う.k=1

り

(11.19) 従 っ て(9.8)を

用 い れ ばp+2≦Nな

た ∇Y1=∇Y1-∇Y0で (11.19)を

るpに

あ る か ら(11.17)も

も う一 度 微 分 し て(9.9)を

つ い て(11.15)が

示 さ れ る.ま

成 り 立 つ,(11.16)を

用 い れ ば よ い.さ

も う一 度 微 分 で き(9.10)も

用 い て(11.18)が

  一 般 のYk,k≦[1/δ1]-1,に

つ いては

言 うに は

ら にN≧4で

あれ ば

得 ら れ る.

(11.20)

(11.21) な る 等 式 よ り,帰

納 的 に 補 題 の 主 張 が 示 さ れ る.(11.15),(11.17)は

の 式 に ∇pを 作 用 し て 得 る の で あ る が,そ -∇Yk

-2)が 現 れ,(9.8)の

評 価 がl≦Nま

な る 条 件 が 必 要 に な る.(11.16),(11.18)の   次 にk≧[1/δ1]の

の と き 右 辺 に ∇p+1∇Yk-1,∇p+1(∇Yk-1 で で あ る か ら,結

局p+k+1≦N

求 め 方 は 上 と 同 様 で あ る.

場 合 を 考 え よ う.N0=[1/δ1]と

で あ っ たが,被 積 分 関 数 が

これ ら

お く.CN0(x,κ)は

(11.22) と な り,(N0+1)δ1>1で YN0(x,κ)が

あ る か ら 積 分 は 収 束 す る.従

定 義 で き る.そ

っ て(11.13)に

よ って

れは

(11.23) と変 形 で き る が,右 す る.従

辺 の 積 分 範 囲 が こ こ で は(r,∞)に

っ てk≦N0-1の

と き の 論 法 が(11.23)に

な っ て い る こ とに 注 意 対 し て 使 え,YN0に

つい

て 補 題 が 示 さ れ る.   一般 のk>N0=[1/δ1]に

つ いて も

で あ る か ら,Ck(x,κ)が

帰 納 的 に 定 義 で き,(11.13)でYk(x,κ)が

れ が 補 題 を 満 た す こ と はYN0の がC2-級

定 ま る.こ

場 合 と 同 様 で あ る.k≦N-2な

で あ る た め に 必 要 に な る こ と も,す

る 条 件 はYk

で に 明 ら か で あ る.

  以 上 で 補 題 の 証 明 を 終 え る.   命 題11.1の

証 明 Ⅱ (0<δ1<1/2の

で,(11.9)でY=YN-2=Y[1/δ1]-1と

従 っ て ∇Yの

場 合)  N=[1/δ1]+1と お く.定

評 価 式(11.15)を

用 い て(11.2)が

仮 定 し て い るの

義か ら

示 さ れ る.さ

ら に 上 の ∇ρ

と

を 微 分 す れ ば,(11.15)に (11.10)式

に 戻 る.等

注 意 し て(11.3)が 式

得 ら れ る.(11.1)を

言 うのに

(11.24) に(11.15),(11.17)を

適 用 す れ ば,こ

O(r-Nδ1),Nδ1>1,と O(r-2δ1)で

な る こ と が わ か る.ま

あ る か ら,(11.10)の

(11.1)が

の 右 辺,従

第3項

た

っ て(11.10)の

第2項

が

ΔYN-2=O(r-1-2δ1),∇YN-2=

はO(r-1-δ1)と

な り,こ

れ らを 合 せ て

示 さ れ る.

  注 意11.2 

上では

補 題11.2をk≦[1/δ1]-1の

は,Nを

大 き く と っ て,補

  §12 

放 射 条件 に 関 連 す る先 験 評価

  定 常 問 題(9.1)の

場 合 に 用 い た.k≧[1/δ1]な

る場 合

正 の 精 度 を 増 そ う と す る と き に 必 要 に な る(§19).

解 に 対 す る 放 射 条 件 は,前

節 の 相関 数

ρ(x,κ)を

用 い て次

の よ う に 定 義 さ れ る.   定 義12.1 

(9.1)の

解u∈H2loc(Ω)が

放 射 条 件 を 満 た す とは

(12.1) な る 正 数 の 組 μ′,μが 存 在 し て, u∈L2-μ

′(Ω)か

つe-ρ

∂r(eρu)≡(∂r+∂rρ)u∈L2μ-1(Ω) 

と な る と き に 言 う.こ

こ に ρ=ρ(x,κ)は

  (12.2)は

た は κ∈ Π-に 従 っ て 外 向 き 放 射 条 件,内

κ∈ Π+ま

とい い,対

応 す る 解uを

 注 意12.1  =κa-1(定

外 向 き 解,内

(9.1)で 摂 動a(x)-a,c(x)が

数)と な り,ρ(x,κ)は(11.7)よ

命 題11.1を

(12.2)

満 た す 関 数 で あ る. 向き放射条件

向 き 解 と呼 ん で 区 別 す る. 短 距 離 型 であ る とす る.こ の と きm(x,κ) り

(12.3) と 書 け る.こ

の ρ を 用 い て 放 射 条 件(12.2)を

表す と

(12.4)

か つ  と な り,κ=σ な っ て い る.

∈R±

で は,こ

れ はSommerfeldの

条 件(3.12)と

本質的に同 じ も の に

  上 の 放 射 条 件 の も とに 極 限 吸 収 原 理 を 証 明 す る の だ が,こ の 準 備 と し て,放   補 題12.1 

の 節 では そ の た め

射 条 件 に 関 連 す る 先 験 評 価 を い くつ か 述 べ る.

φ(r)≧0(r>0)と

R5=R5(K±)>R1を

す る.u∈H2loc(Ω)を(9.1)の

充 分 大 き く選 べ ば,任

意 のR>R5に

解 と す る と, 対 して

(12.5)   証 明   命 題9.3でG=Ω(R),u1=u2=uと 界 条 件Bu￨∂

Ω=0を

し,両

辺 に-i/2を

乗 じ る.境

考慮すれば

(12.6) (11.2)よ R5を

りIm∂rρ=-Rem(x,κ)+o(1)で

あ る か

ら,(9.4)に

注 意 す れ ば,

大 き く選 ん で

が 成 り立 つ よ う に で き る.一

方

±Imκ2=±2ReκImκ

で あ る か ら,￨x￨>R5で

はIm∂rρ

≧0, 

と-Imκ2は

κ∈K±

同 符 号 に な り,(12.6)か

ら

求 め る不 等 式 が 得 ら れ る.   補 題12.2  rp=rp(κ,f,μ

関 数uが

放 射 条 件 を 満 た せ ば,pと

′,μ)(p=1,2,…)が

と も に ∞ に 発 散 す る正 数 列

存在 して

(12.7)   証 明   放 射 条 件(12.2)か   命 題12.3 

Imκ>0と

[内 向 き 解]uもHに

ら 明 ら か で あ る. す る.f∈Hで

属 し,次

≦1な

応 す る(9.2)の

外 向 き解

の 評 価 式 が 成 り立 つ:

2￨Reκ￨Imκ

さ ら に0<γ

あ れ ば,対

‖u‖≦ ‖f‖. 

る γ に つ い てf∈L2γ(Ω)で

(12.8)

あ れ ば,L2-解uはL2γ(Ω)に

属 し, 2￨Reκ￨Imκ

こ こ にCは  証 明

‖u‖γ≦C{‖f‖

κ と γ と に 依 る正 数 で あ る.

 

従って  

の 場 合 を 示 せ ば よ い.(12.5)で

両辺を 

∞

と す れ ば,μ

に(12.5)で ≦1に

が 言 え,上

と同 じ 手順 で

が 導 か れ る.楕 る(12.9)が

′ ≦ μ で あ る こ と に 注 意 し て(12.8)が

φ(r)=(1+r)γ

の で,0<γ

す る.

とす る.u∈H2(Ω)が

得 られ

す で に わ か って い る

対 して

円 性 定 理(定

理8.1)か

ら

‖∂ru‖ ≦C{‖f‖+‖u‖}が

言 え,求

得 ら れ る.

  命 題12.4  向 き 解]と

φ(r)≡1と

で割 っ て

こ こ でR=rp→ る.次

(12.9)

γ+‖u‖}. 

κ∈K±,f∈K2μ(Ω)と す れ ば,任

‖u‖-μ′,B(R)≦CR-μ こ こ にC>0はK±

す る.uを

意 のR>R5に

対 応 す る(9.1)の

外 向 き 解[内

つ い て

′+1/2{‖(∂r+∂rρ)u‖ μ-1,B(R)+‖u‖-μ

′+‖f‖ μ}. 

(12.10)

と μ′ と に 依 る 定 数 で あ る.

  証 明   (12.5)に

戻 って

φ(r)≡1と

す る.R>R5に

対 して

(12.11) 両 辺 に(1+R)-2μ

(11.2),(9.4)に   命 題12.5  1/2<μ

′を 乗 じ て[R,∞)で

注 意 す れ ば,こ

積分す る と

れ か ら(12.10)が

得 ら れ る.

正 数 の 組 μ′,μを 次 の よ う に 選 ぶ: ′≦ μ<1/2+δ, 

μ′+μ ≦1+δ

 

(δ=min{δ0,δ2}). 

(12.12)

め

κ∈K±,f∈L2μ(Ω)と

し,uを

対 応 す る(9.1)の

充 分 大 き なR6=R6(K±)>R5に ‖(∇+Δ

こ こ にC>0はK±,μ

つい て ρ)u‖ μ-1,B(R5)≦C{‖u‖-μ

′+‖f‖

μ}. 

(12.13)

に 依 る 定 数 で あ る.

  こ の 命 題 を 示 す の に 命 題9.5の
外 向 き 解[内 向 き 解]と す れ ば,

し,ρ=ρ(x,κ)を

恒 等 式 を 用 い る.(9.15)式 命 題11.1の

関 数,ま

でG=B(R,t)(R5

た ψ,ηを 次 の よ う に と る:

(12.14)

た だ しjR(r)は

非 減 少 なC∞-級

関 数 で,jR(r)=0(rR+1)と

な

る も の で あ る.   補 題12.6 

任 意 の γ>0に

ば,(x,κ)∈B(R8)×K±

対 し てR8=R8(K±,γ)>R5を

充分 大 き く とれ

で 次 の 不 等 式 が 成 り 立 つ:

(12.15)   証 明 (11.2)を

が 得 ら れ,こ   補 題12.7 

用 い る.(9.4)に

れ か ら(12.15)が r=￨x￨→ η(x,κ)=o(1), 

  証 明   (11.2),(11.3)を

∞

注意 して

示 さ れ る.

と と も に κ∈K±

に一 様 に

∂jη(x,κ)=o(r-1) 

(j=1,…,n). 

(12.16)

用 い れ ば よ い.

 ベ ク トル 値 関 数 θ≡e-ρ ∇υ=(∇+∇

を 用 い て(9.15)を

書 き 直 す.t>R+1な

ρ)u 

るtに

つい て

(12.17)

(12.18)   右 辺 を 下 か ら 評 価 し よ う.ま

次 にRe(2iIm∇

ず 補 題12.6を

ρ・θ)(η・θ)=0,￨x・

また 

θ￨≦￨θ￨に

用いて

注 意 す れ ば

に注 意 し て

  こ れ ら の 不 等 式 を(12.18)に

代 入 す る.さ

ら に,補

題12.7に

よ り,R9>R8

を 充 分 大 き く選 べ ば

とな り,結

局 次 の 補 題 が 得 ら れ る.

 補 題12.8 

任 意 のR9
つ いて

(12.19)  命 題12.5の

証 明   補 題12.6で

γ を 

のよ う

に選ぶ と

ま た(11.1)と(9.7)よ

り,R>R1で

が 成 り立 つ よ うにC(γ)>0を

選 ぶ こ と が で き る.従

っ て(12.19)か

ら

(12.20) 補 題12.2 

よ りt=rpと

ま た 定 理8.1に

おけ ば

よ り

こ こに μ′,μは(12.12)を と な っ て い る.従

満 た す よ うに 選 ん で あ り,従

っ て(12.20)か

っ て-2μ

′ ≧2μ-2-2δ

ら 命 題 の 不 等 式 が 導 か れ る.

  §13  極 限 吸 収 の 原 理   こ こ で は,前 証 明 す る.そ

節 の 先 験 評 価 と §10の

の た め に 補 題 を い くつ か 用 意 す る が,放

組 μ′,μは,(12.12)を

κ∈ Π ±,即 ちImκ>0と

し て(9.1)の

外 向 き 解[内

向 き 解]は

す る.こ

の と き任 意 のf∈L2μ(Ω)に

唯 ひ とつ 存 在 し て,そ

対

れ はL2-解u=

一 致 す る.

  証 明   (12.9)と min{μ,1},に

射 条 件 に 使 わ れ る正 数 の

満 た す も の を ひ と組 選 ん で 固 定 し て お く.

  補 題13.1 

(L-κ2)-1fに

一 意 性 定 理 を 用 い て 極 限 吸 収 の 原理 を

定 理8.1と

か らL2-解u=(L-κ2)-1fはH2γ(Ω),γ=

属 し,H2γ(Ω)⊂H1μ-1(Ω)⊂L2-μ′(Ω)で あ る か ら,放

を 満 た す こ と が わ か る.一

方,外

向 き 解[内

向 き 解]は(12.8)よ

射 条 件(12.2) りHに

属

し て い る こ と が わ か り,一   補 題13.2 

意 性 が 示 さ れ る.

κ=σ ∈R± の 場 合,(9.1)の

外 向 き 解[内

向 き 解]は

存 在す ると

し て も 唯 ひ と つ で あ る.   証 明   2つ あ っ た と し て,そ を 満 た す.φ(r)≡1と

の 差 をuと

し て 補 題12.1を

そ こでC>0を

充 分 大 き く選 べ ば

が 得 ら れ る.両

辺 に(1+R)2μ-2を

す な わ ちu∈L2μ-1(Ω).μ>1/2で   補 題13.3  外 向 き 解[内

乗 じ てRに

射条件 よ り

使 えu≡0が

収 束 列 と し,ulを

す る.{ul}がL2-μ

言 え る.

対 応 す る(9.1)の

′(Ω)で 有 界 な ら,{ul}は

同 じ空 間

な る.

よ り{ul}がL2-μ

て{ul}はH1(Ω(R))で

つ い て 積 分 す る.放

あ る か ら 定 理10.2が

で 前 コ ン パ ク ト(pre-compact)に

  証 明   定 理8.1に

れ は 斉 次 方 程 式(10.1)

用 いれ ば

{κl}⊂K±,{fl}⊂L2μ(Ω)を 向 き 解]と

す れ ば,そ

′(Ω)で 有 界 な ら,任

有 界 に な る.従

{ul}はL2(Ω(R))で

っ てRellichの

意 のR>R6に

定 理(補

題7.5)で

前 コ ン パ ク トに な る. 

一 方 ,命 題12.4,12.5よ

り

が 得 ら れ;μ ′>1/2で

あ る か ら,任

意 の ε>0に

対 し

(13.1)

対 し てR>R6を

充分大 き く

選べば

(13.2) と な る.補   補 題13.4  ら,極

題 は(13.1)と(13.2)と {ul}を

限u0はH2-μ

  証 明   {ul},{Llocul}が

か ら 示 さ れ る.

上 の 補 題 の 関 数 列 と す る.L2-μ ′(Ω)に 属 し,さ と も にL2-μ

′(Ω)でul→u0(l→

ら に 放 射 条 件(12.2)を

∞)な

満 た す.

′(Ω)で の 収 束 列 と な る か ら 定 理8.1を

用 い て,{ul}がH2-μ

′(Ω)でu0に

で 有 界 に な る こ と か ら,命 有 界 に な る.従 と書 き,弱

っ て,弱

極 限 をwと

収 束 す る こ と が わ か る.次

題12.5を

′(Ω)

用 い て,{(∂r+∂rρ)ul}がL2μ-1(B(R6))で

収 束 す る 部 分 列 を 含 む が,そ す る.任

に{ul}がL2-μ

れ を ま た{(∂r+∂rρ)ul}

意 の φ ∈C∞0(B(R6))に

対して

(13.3) が 言 え,w=(∂r+∂rρ)u0と

な る.w∈L2μ-1(B(R6))で

あ る か ら,こ

れ に よ りu0

が 放 射 条 件 を 満 た す こ とが 示 され る.   以 上 よ り,問

題 は 関 数 列{ul}の

の 補 題 で 証 明 さ れ る が,極 る(Eidus[17]参   補 題13.5 

有 界 性 を 示 す こ と に 帰 着 さ れ た.こ

れは次

限 吸 収 の 原 理 を得 る ため の本 質 的 な 部 分 に な って い

照). κ∈K±,f∈L2μ(Ω)と

き 解]をu=u(κ,f)と

す れ ば,正

す る.対

応 す る(9.1)の

数C=C(K±),が

外 向 き 解[内

存 在 して

‖u‖-μ ′≦C‖f‖μ.    証 明   背 理 法 を 用 い よ う.(13.4)を

向

(13.4)

否 定 す る と,複

素 数 列{κl}⊂K±

と関

数 列{fl}⊂L2μ(Ω)で ‖ul‖-μ′=1, 

‖fl‖μ→0, 

κl→ κ0 

と な る も の が 存 在 す る.こ

こ にul=u(κl,fl)は

の 外 向 き解[内

あ る.

  {ul}がL2-μ 分 列{ul′}を

向 き 解]で

′(Ω)で有 界 で あ る か ら,補 含 む.こ

の 極 限 をu0と

(l→ ∞) 

κ=κl,f=flに

題13.3に

よ り,こ

(13.5)

対 応 す る(9.1)

れ は収 束 す る部

す る.

‖u0‖-μ ′=1  で あ っ て,さ

ら にu0は

な る 境 界 値 問 題 を 満 た す.そ → κ0と

(13.6)

な る こ と,お

れ はL2-μ

よ びu0∈H2-μ

′(Ω)でul′ →u0,L2μ(Ω)でfl′

′(Ω)と な る こ と か ら 導 か れ る .一

→0ま 方,補

た κl 題

 

13.4に

よ り,u0は

場 合)ま

放 射 条 件 を 満 た し て い る.従

た は 補 題13.2(Imκ0=0の

(13.6)と

場 合)に

っ て,補

題13.1

よ りu0≡0と

(Imκ0>0の

な ら ね ば な ら ず,

矛 盾 す る.

 これ らの補 題 を 合 せ て 次 の結 果 が 得 られ る.  定 理13.6  (極 限 吸 収 の原 理)  κ0∈K±,f0∈L2μ(Ω)を

{κl}⊂K±

∩ Π ±,{fl}⊂L2μ(Ω)を

そ れ ぞ れ の 極 限 とす る.こ

ul=(L-κ2l)-1fl=R(κl)fl∈D(L) 

はL2-μ ′(Ω)で の 収 束 列 と な り,極 対 応 す る(9.1)の

外 向 き 解[内

  証 明   補 題13.1に 13.3お

よ び13.5よ

り,そ

限 をu0と

れ は κ=κ0,f=f0に

な る.

外 向 き 解[内

極 限 とす る.補

満 た し,従

って κ=κ0,f=f0に

て い る.一

方,補

向 き解]の

題13.4に

対 応 す る(9.1)の た は13.2の

ひ とつ の 集 積 点 で あ る こ とが わ か り,部 列 に な っ て い る.こ

す る と,こ

列 で あ る が,補

の よ う に し て,定

よ りu0は

外 向 き[内

放射条 件を

向 き]解

にな っ 唯

分 列 を と ら な く て も{ul}自

外 向 き 解[内

下では この解 を

u=u(κ,f)=R(κ)f 

し,一

身 が収 束

理 が 証 明 さ れ る.

一 意 的 に 存 在 す る こ と に な っ た.以

の よ うに 表 す.Imκ>0で

題

一 意 性 の 主 張 か らu0は{ul}の

  こ の 定 理 に よ り,任 意 の κ∈ Π ±,f∈L2μ(Ω)に 対 し て,(9.1)の 向 き解]が

(13.7)

れ はL2-μ ′(Ω)で の 前 コ ン パ ク ト集 合 に な る.{ul′}

を ひ とつ の 収 束 部 分 列,u0を

題13.1ま

(l=1,2,…) 

向 き 解]に

よ り{ul}は

収 束 列 と し,

の とき関 数 列

あ れ ばR(κ)はLの

(13.8) リ ゾ ル ベ ン ト(6.19)に

一致

般 に は そ れ の 実 軸 上 へ の 延 長 を 定 義 す る.

  命 題13.7 

(ⅰ) (κ,f)→R(κ)fは

Π ±×L2μ(Ω)か

らH2-μ

′(Ω)へ の 連 続 写 像 で

あ る. (ⅱ) R*(κ)∈B(L2μ

′(Ω),L2-μ(Ω))をR(κ)の R*(κ)f=R(-κ)f, 

  証 明   (ⅰ) {κl}⊂Π ±,{fl}⊂L2μ(Ω)を れ ぞ れ の 極 限 と す る.極

共 役 とす れ ば (κ,f)∈ Π ±×L2μ(Ω). 

収 束 列 と し,κ0∈ Π ±,f0∈L2μ(Ω)を そ

限 吸 収 の 原 理 の 証 明 と 同 様 に,L2-μ ′(Ω)で R(κl)fl→R(κ0)f0 

(13.9)

(l→ ∞)

を 示 す こ と が で き る.H2-μ ′(Ω)で の 収 束 性 は 定 理8.1に

よ る.

  (ⅱ)  f,g∈L2μ(Ω)と

る 列 と す れ ばR*(κl)

=R(-κl)に

す る.{κl}⊂

Π ± を κl→κ(l→ ∞)な

注 意 し ,極 限 吸 収 の 原 理 を 用 い て

が 得 ら れ る.こ

れ は(13.9)を

示 し て い る.

  こ の 命 題 を 用 い て 自 己 共 役 作 用 素Lの   定 理13.8  ∈H,は

{E(λ)}をLの

λ>0の

絶 対 連 続 性 が 示 さ れ る.

ス ペ ク トル 測 度 と す る.こ

関 数 と し てLebesgue測

の と き(E(λ)f,g),f,g

度 に 関 し て 絶 対 連 続 で あ り,特 にf,g

∈L2μ(Ω)に 対 し て は 次 の 等 式 が 成 り立 つ:

(13.10)   証 明 L2μ(Ω)がHで

稠 密 な の で(13.10)を

絶 対 連 続 性 も 示 さ れ る こ と に な る.そ す.命

題13.7(ⅰ)よ

示 せ ば(E(λ)f,g),f,g∈H,の

こ でf,g∈L2μ(Ω)と

し て(13.10)を

示

り, (L2-μ′(Ω)で)

な る収 束 は λ>0に

つ い て 広 義 一 様 収 束 に な って い る.従

ってStieltjesの 反

転 公 式 で,極 限 と積 分 の順 序 を交 換 す る こ とが で き

被 積 分 関 数 は σ に つ いて 連 続 で あ るか ら,こ れ は(13.10)の え る.2つ

目の 等 式 は 命 題13.7(ⅱ)よ

  こ こで 音響 波動 伝 播 問題(6.5)に を い くつ か 述 べ よ う.

最 初 の等 式 を 与

り示 され る.

戻 り,上 の 結果 か ら導 か れ る解 の漸 近 性 質

  Hを(6.17)で

定 義 し,初

こ の と き,(5.14)お

期 デ ー タ をD(H)×QH(Q=I-E(0))か

よ び 命 題5.2か

上の ユ ニ タ リー 群{e-iHt;t∈R}に  命 題13.9 

ら 選 ぶ.

ら わ か る よ うに,エ

ネ ル ギ ー 伝 播 はH

よ っ て 記 述 さ れ る.

任 意 のf,g∈QHに

ついて

弱減衰  またG⊂

Ω を有 界 領 域 とす れ ば,任 意 のf∈QHに

(13.11)

ついて

局所減衰    証 明   両 式 と も 同 じ よ うに 証 明 で き る の で,(13.12)を を 与 え た と き にfl∈L2μ(Ω),N>0を

(13.12) 示 す.任

意 の ε>0

次 の よ うに と る:

‖Qfl-f‖<ε/3, 

‖Qfl-{E(N2)-E(1/N2)}fl‖<ε/3.

この と き

(13.13) が 言 え る.一

方,(13.10)よ

り

で あ る が,σ ‖{R(σ)-R(-σ)}f‖Gが Lebesgueの

σ に つ い て 連 続 で あ る か ら,Riemann-

定理 が使え

(13.14) (13.13),(13.14)よ   系13.10(エ る.こ

り(13.12)が

得 ら れ る.

ネ ル ギ ー の 均 等 分 割) 

の と き 解w(t)の

エ ネ ル ギ ー はt→

(6.5)で{φ1,φ2}∈D(H)×QHと ±∞

す

で

(13.15) の よ うに 均 等 に 分 割 さ れ る(注   証 明   Hφ1±iφ2∈QHと

意5.1参

照).

な る こ と に 注 意 す る.(5.17)よ

り,

と な る が,(13.11)に

よ り右 辺 第2項

ル ギ ー 保 存 則 と 合 せ て(13 (6.5)の

解w(t)の

.15)が

領 域G⊂

はt→

± ∞ で0に

収 束 す る.従

って エ ネ

示 され る.

Ω で の 局 所 エ ネ ル ギ ー を 次 の よ う に 定 義 す る:

(13.16)   系13.11(局

所 エ ネ ル ギ ー の 減 衰)  {φ1,φ2}∈D(H)×QHと

の 有 界 領 域G⊂

Ω に 対 して

す れ ば,任

意

(13.17)   証 明   (5.17)と(13.12)よ

り明 ら か で あ る.

第4章  短距離型摂動 の散 乱問題

  本 章 で は 短 距 離 型 の 摂 動 を あ つ か い,波 の 伝 播 に 関 す る 散 乱 理 論 を 構 成 す る. 中 心 的 な 問 題 は 波 動 作 用 素(wave た め にLの

operators)の

ス ペ ク トル 表 現 が 重 要 な 働 き を す る.ス

伝 播 問 題 か ら の 帰 結 で あ り,そ method)に

従 っ て い る.定

dependent

method)も

が,そ

存 在 と完 全 性 で あ る が,そ

ペ ク トル 表 現 は 定 常 波 動

の 意 味 で 以 下 の 議 論 は 定 常 的 方 法(stationary

常 問 題 を 経 由 し な い,時

あ る.本

書 で は 第8章

間 に 関 係 す る 方 法(time

で非 線 形 の特 別 な場 合 を述 べ る

れ は 線 形 の ポ テ ン シ ヤ ル 散 乱 に あ ま り有 効 で な い.こ

つ 読 者 はLax-Phillips い て のEnss

[60],

[19],黒

の

Phillips

田[58]等

[84],ま

の方 法 に興 味 を も

たSchrodinger方

程式 に つ

を 参 照 し て 欲 し い.

 §14  短 距 離型 の ス ペ ク トル 表現   こ の節 では 作 用 素Lの 現(§4参

スペ ク トル表 現 を,Laplace作

用 素 の スペ ク トル 表

照)を 用 い て,摂 動 論 的 に 構 成 す る.

  摂 動 項 が短 距 離 型 で あ るか ら(9.2)の

分解は (14.1)

定数 の よ う に な る.こ は 条 件(6.8)を

こ にVa,S(x)=a(x)-2-a-2,cS(x)=c(x)で

あ る が,こ

れ ら

満 た す.

  摂 動 論 で はL0の L2(Ω;a(x)-2)と 作 用 素(identification

働 くHilbert空 を,あ

間H0=L2(Rn;a-2)とLの

る 意 味 で 同 一 視 す る 必 要 が あ る.あ

働 く 空 間H= る 意 味 とは 同 一 視

operators) J∈B(H0,H), 

J*∈B(H,H0) 

(14.2)

が定 義 され てい る とい う こと であ る.こ れ らは な るべ く単 純 な"1"に

近い作

用 素 で あ って欲 し い.今 の場 合,同 一 視 作 用 素 として い くつ か 具 体 的 な 作 用 素 が 考 え られ るが,こ

こでは 次 の もの を 採 用 す る.

  定 義14.1 

j(r)(r=｜x￨)を

単 調 非 減 少 なC∞-級

(r>R0+1)な

る も の と す る.f∈L2loc(Rn)に

対 し てJf∈L2loc(Ω)を

[Jf](x)=j(r)f(x),  で 定 義 し,g∈L2loc(Ω)に

関 数 でj(r)=0(r
x∈

Ω

 

(14.3)

対 し てJ*g∈L2loc(Rn)を

(14.4) で 定 義 す る.こ

れ ら は 任 意 のv∈Rに

B(L2v(Ω),L2v(Rn))の

つ い てJ∈B(L2v(Rn),L2v(Ω)),J*∈

よ う に 制 限 で き,従

っ て 特 に(14.2)が

  次 の 補 題 はJ,J*の

定 義 か ら 明 らか で あ ろ う.

  補 題14.1 

互 い に 共 役 に な る.す

J,J*は

な わ ち,任

成 り立 つ.

意 のf∈H0,g∈H,

に対 し て (Jf,g)H=(f,J*g)H0. 

(14.5)

  さ ら に 次 の 補 題 も成 り立 つ.   補 題14.2 

J*J-1はD(L0)=H2(Rn)をH0に

写 す 作 用 素 とみ て コ ン パ ク

トに な っ て い る.   証 明  f∈H0に

対 して (J*J-1)f=a2{(j(r)2-1)/a(x)2+Va,s(x)}f(x) 

で あ る か ら,ま が わ か る.一

ず 右 辺 の 係 数 の 微 分 可 能 性 を 考 慮 す れ ばJ*J-1∈B(H2(Rn))

方 右 辺 の 係 数 が￨x￨→

てR10>R0が

よ っ てRellich定

理(補 V,V*を

題7.5)が

で 減 衰 す る の で,任

意 の ε>0に

対 し

‖f‖, 

使 え,補

R>R10.

題 が 示 さ れ る.

次 の よ う に 定 義 す る: V=LJ-JL0, 

こ の と き,任

∞

存 在 して ‖(J*J-1)f‖B(R)<ε

  補 題14.3 

(14.6)

意 のv∈Rに

ついて

V*=J*L-L0J*. 

(14.7)

(14.8) が 言 え,さ

ら にV,V*は

次 の 意 味 で 互 い に 共 役 で あ る:

(Vf,g)H=(f,V*g)H0, 

f∈H2(Rn),g∈H2(Ω). 

(14.9)

 証明 定義 か ら -a(x)2[Δ

Vf=j(r)a(x)2{a2Va,s(x)Δ+c(x)}f V*g=j(r)a4{Va,s(x)Δ+a-2c(x)}

g+a4[Δ,ja(x)-2]g.

こ こ に[A,B]=AB-BA(交

換 子)で

る か ら,V,V*はO(r-1-δ)な

る 係 数 を も つ2階

か り,(14.8)が

短距 離 型 で あ

の微 分 作 用 素 で あ る こ とが わ ら た だ ち に 得 ら れ る.

ゾ ル ベ ン トR0(κ)=(L0-κ2)-1,R(κ)=(L-κ2)-1は

も に Π ± 全 体 に 延 長 さ れ,μ δ0>0)と

あ る.Va,s(x),c(x)が

示 さ れ る.(14.9)は(14.5)か

  前 章 で 見 た よ う に,リ

,j]f,

′,μを(12.12)を

満 た す 正 数 の 組(た

と だ し,δ=

す る と き に,

R0(κ)∈B(L2μ(Rn),H2-μ

R(κ)∈B(L2μ(Ω),H2-μ

′(Rn)), 

′(Ω)) 

(14.10)

な る κ∈ Π± の 連 続 関 数 に な る.   補 題14.4 

任 意 の κ∈ Π ±に つ い て 次 の"リ

R(κ)J={J-R(κ)V}R0(κ), 

J*R(κ)=R0(κ){J*-V*R(κ)}. 

  証 明   κ∈ Π ± の と き は(14.11)は ら 導 か れ る.κ ∈R±

ゾ ル ベ ン ト"方 程 式 が 成 り立 つ. (14.11)

本 来 の リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 で(14.7)か

の と き は(14.8)に

注 意 し て 極 限 操 作(命

題13.7(i))を

行 な え ば よ い.   命 題14.5  σ>0に

{E(λ)}をLの

ス ペ ク トル 測 度 と す る.任

意 のf,g∈L2μ(Ω)と

対 して

(14.12) こ こ にF0(σ)∈B(L2μ(Rn),h)(h=L2(Sn-1))は(4.13)で

定 義 さ れ た,L0の

ス

ペ ク ト ル 表 現 を 与 え る 作 用 素 で あ る.   証 明 

(14.8),(14.10)に

注 意 し て リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式(14.11)を

用 い る.

命 題13.7(i)お

よ び(14.9)に

(4.12),(4.13)に

よ り,

注 意 す れ ば

(14.13) とな り,従 って 極 限 操 作 を 実 行 して 求 め る等 式 が 得 られ る.  さ て,各

σ∈R±

に 対 し てF(σ)∈B(L2μ(Ω),h)を F(σ)=F0(￨σ￨){J*-V*R(σ)} 

で 定 義 す る.明

ら か にF(σ)は

F*(σ)∈B(h,L2-μ(Ω))は

各R±

(14.14)

で σ に つ い て 連 続 で あ り,共

次 の よ うに 与 え ら れ る: F*(σ)={J-R(-σ)V}F*0(￨σ￨). 

 こ れ ら の 作 用 素 を 用 い てLの   定 理14.6 

(14.15)

ス ペ ク トル 表 現 が 得 ら れ る.

F± を 次 の よ うに 定 義 す る:f∈L2μ(Ω)に

[F±f](σ,ω)=[F(±

  こ の と き 各F± QHをH0=L2(R+;h)の 手 な 有 界Borel関

σ)f](ω), 

対 して

(σ,ω)∈R+×Sn-1. 

は 部 分 的 等 距 離 作 用 素 と し てH上 上 に ユ ニ タ リー に 写 す.こ

(14.16)

に 一 意 的 に 拡 張 さ れ, のF±

を 用 い てLの

の よ うに ス ペ ク トル 表 現 され る.さ 意 のh(σ,ω)∈H0に

f∈H 

ら にF*±:H0→HをF±

(14.17)

の共 役 作 用 素 と

つ い て,

Hで    証 明 

(14.14)と

勝

数 φ(L)は

[F± φ(L)f](σ,ω)=φ(σ2)[F±f](σ,ω), 

す る と,任

役作用素

命 題14.5に

よ り,任

意 のf,g∈L2μ(Ω)とBorel集

(14.18) 合

に対 し て (14.19) こ こに  

今 Δ=(1/N2,N2)と

お い てN→

(Qf,g)=(F±f,F±g)H0. 

L2μ(Ω)はHで さ れ る.F±

稠 密 で あ る か らF±

はQH→H0な

(14.20)

る等 距離 作用 素 に 自然 に拡 張

の ユ ニ タ リー 性 を 言 う ま え に(14.17),(14.18)を

  (14.17)は

φ(t)がBorel集

で あ る.(14.19)を

合 

用 い れ ば,任

∞ とす る と,

示 し て お こ う.

の 定 義 関 数 で あ る場 合 を 示 せ ば 十 分

意 のf∈Hに

対 して

従 って

が 得 られ る.こ

こ に 

あ る.こ

の 等式 か ら

の2つ

は Δ ∩Δ′=φ(空

集 合)な

る 任 意 のBorel集

合 で

a.e. a.e.

となるが,Δの定義関数 

で あ る か ら,求

に対し

め る 次 の 等 式 が 示さ れ る:

(14.21)   (14.18)は のg∈L2μ(Ω)と

次 の よ う に 示 さ れ る.F*(± ΔN=(1/N2,N2)に

σ)h(σ,・)∈L2-μ(Ω)で

対 し て

あ る か ら,任

意

(14.17)に

よ り

χΔN(σ2)[F±g](σ,ω)=[F±E(ΔN)g](σ,ω)で

と な り,L2μ(Ω)はHで

N→

∞

に 注 意 し て(14.18)が

の ユ ニ タ リ ー 性 を 示 す.そ

の 対 応 で あ る こ と,す

示 され る.

の た め に はF*±:H0→QHが1対1

なわ ち

N(F*±)≡{h±

を 示 せ ば よ い.h± ∈N(F*±)と

∈H0;F*±h±=0}={0} 

し よ う.任

(F*±χ Δh±,g)=(h±,χ た だ し

局

稠 密 だ か ら 次 の 等 式 が 成 り立 つ:

とす れ ば,QF*±=F*±

  最 後 にF±

あ る か ら,結

χΔ=χ Δ(σ2)で あ る.従

(14.22)

意 のBorel集

合 

に対 して

ΔF±g)H0=(h±,F±E(Δ)g)H0=0. って

とな る が,Δ は 任 意 であ った か ら これ は F*(±

を 示 し て い る.(14.15)を

(4.14)よ

σ)h±(σ,・)=0 

a.e.,  σ ∈R+ 

用 い て こ れ を 書 き 直 す と,Ω

り こ の 左 辺 は 斉 次Helmholtz方

(14.23)

で

程式

{-Δ-σ2a-2}F*0(σ)h±(σ,・)=0

を 満 た す.一 (12.2)を

方,右

辺 は そ の 形 か ら わ か る よ うに 内 向 き[外

満 た し て い る.従

っ て,一

意 性 定 理(補

方 程 式 に 対 し て 使 え,F*0(σ)h±(σ,・)=0(a.e.,σ と か らF*0h±=0が れ は(14.22)を

言 え,さ

ら にF*0の

題13.2)が

∈R+)が

向 き]放

射条 件

上 のHelmholtz

導 か れ る.こ

れ と(4.17)

ユ ニ タ リー 性 か らh±=0が

従 う.こ

示 し て い る.

 §15  波動 作 用素 の 存 在 と完 全 性  自由空 間 で の波 と摂 動 を受 け た 波 は,そ れ ぞ れ,Hilbert空

間

で の ユニ タ リー群

(15.1)

(15.2) に よ って 記 述 され る(§§5,6を 見 よ).散 乱 理 論 は これ ら2つ の波 をt→ ±∞ で 比 較 す る.そ のた め に 〓0の 元 と 〓 の元 を 同一 視 す る作 用 素が 必要 で あ る.混 乱 の恐 れ は な い と思 わ れ るの で,そ

れ らは や は り  

で表 し, J{f1,f2}(x)=j(r){f1(x),f2(x)}, 

x∈

Ω 

15.3)

(15.4) の よ うに 定 義 す る.こ   定 義15.1 

こ にj(r)は

定 義14.1の

関 数 で あ る.

〓 での強極限

(15.5) が 存 在 す る と き に.こ   命 題15.1 

れ を 波 動 伝 播 問 題 に 対 す るMollerの

波 動 作 用 素 と呼 ぶ.

波 動 作 用 素 は 存 在 す れ ば 〓0か ら〓 へ の 等 距 離 作 用 素 に な り,

2つ の ユ ニ タ リー 群e-iΛ0tとe-iΛtを

次 の よ う に 結 び 合 わ せ て い る:

W±e-iΛ0t=e-iΛtW±. 

(15.6)

 証 明  e-iΛtは〓 で ユ ニ タ リー であ るか ら, 

命 題13.9を

用 い れ ばe-iΛ0tfがt→

題14.2でJ*J-1は は 消 え,W±

±∞

で0に

に対 し

弱 収 束 す る こ と が わ か り,補

〓0上 の コ ン パ ク ト作 用 素 に な る.従 の 等 距 離性

か ら 次 の よ うに 求 ま る:

 

が 得 ら れ る.等

っ て,右

辺 第2項

式(15.6)は(15.5)

 定 義15.2 

W+の

値 域 とW-の

値 域 が 一 致 す る と き,す

なわ ち

R(W+)=R(W-) 

の と き,波

(15.7)

動 作 用 素 は 完 全(complete)で

あ る と い う.波

動作用素が完全 であ

れば 〓0上 の ユ ニ タ リ ー 作 用 素

(15.8) が 存 在 す る が,こ

れ を 散 乱 作 用 素(scattering

  波 動 作 用 素 の 存 在 か ら,任

意の  

operator)と

呼 ぶ.

に対 して

(15.9) こ れ は 自 由 な 波e-iΛ0tfにt→ す る.さ

ら に,も

で 漸 近 す る 摂 動 波e-iΛtW±fの

し も 波 動 作 用 素 が 完 全 な ら(15.9)は

が で き る:本

来 はe-iΛ0tfで

て ゆ が み,最

終的に  

  こ の よ うに,散

±∞

記 述 さ れ る べ き 波 が,摂

存在を主張

次 の よ うに も 言 う こ と 動V=LJ-JL0に

よっ

な る波 に な る.

乱 作 用 素 は 物 理 的 な 観 測 量 に な っ て い る.

  こ の 節 で は 波 動 作 用 素 の 存 在 と 完 全 性 を 示 す が,そ

の た め に 問題 を 単 独 の 作

用素 Hで に 対 す る 同 じ 問 題 に 帰 着 す る.こ

 

(15.10)

の 作 用 素 も ユ ニ タ リー 群e-iH0tとe-iHtと

を

結 び 合 わ せ る 波 動 作 用 素 で あ る.   命 題15.2 

極 限(15.10)が

存 在 す れ ばW±=W±(Λ,Λ0;J)も

存 在 し て,

次 の よ うに 表 せ る:

(15.11) こ こにP(j)(j=1,2)は(5.16)で   証 明   命 題5.2に

定 義 さ れ た 正 射 影 行 列 で あ る.

より

e-iΛ0t=e-iH0tP(1)+eiH0tP(2), 

e-iΛt=e-iHtP(1)+eiHtP(2).

従 って eiΛtJe-iΛ0t=eiHtJe-iH0tP(1)+e-iHtJeiH0tP(2)

と な り,t→

±∞

 こ の よ うに,問

で の 強 極 限 を 考 え る こ と に よ り,(15.11)が 題 は(15.10)の

示 され る.

存 在 と完 全 性 を 示 す こ と に 帰 着 さ れ た.こ

の

問 題 に つ い て は,も   定 理15.3 

っ と 一 般 に,次

φ(λ)を

λ>0で

の 定 理 が 証 明 さ れ る.

は 区 分 的 に 滑 ら か な 単 調 増 大 関 数 と す れ ば, Hで

す な わ ち,左

辺 の 強 極 限 が 存 在 し てF*±F0に

れ ぞ れ(14.16),(4.15)で

 

一 致 す る.こ

定 義 さ れ たQH,H0か

(15.12)

こ にF±,F0は

らH0=L2(R+;h)の

そ 上 へ

の ユ ニ タ リー 作 用 素 で あ る.  注 意15.1 

作 用 素F*±F0:H0→QHは

ユニ タ リー で

F*±F0e-iH0t=e-iHtF*±F0 

の よ うにe-iH0tとe-iHtと tionary)波

(15.13)

を 結 び 合 せ て い る.こ

の よ う な 意 味 でF*±F0を

定 常(sta

動 作 用 素 と呼 ぶ こ と が あ る .

  注 意15.2 

(15.12)か

らW±=W±(φ(L),φ(L0);J):H0→QHが

ユ ニ タ リ ー 作 用 素 に な る こ と が わ か る .(15.10)の 結 で あ る.な

お,W±(φ(L),φ(L0);J)が

存 在 し,φ

存 在 す れ ば φ に 独 立 に な る,と

動 作 用 素 の 不 変 性 原 理(invariance

principle)と

に独 立 な

存 在 と完 全 性 は この こ と のひ とつ の帰

呼 ば れ て い る(加 藤[50]

い う性 質 は 波 Chapter

X).

  こ の 定 理 の 証 明 に 次 の 命 題 が 使 わ れ る.   命 題15.4 

H0の

稠 密 集 合 に 属 す 任 意 のfに ‖(J-F*±F0)e-iφ(H0)tf‖

で あ れ ば,(15.12)が

つ い て

→0 

(t→ ± ∞) 

(15.14)

成 り立 つ.

  証 明   ス ペ ク トル 表 現 定 理4.6,14.6に

よ り

F*±F0f=F*±[eiφ(σ2)te-iφ(σ2)t]F0f=eiφ(L)tF*±F0e-iφ(L0)tf.

従 って ‖eiφ(L)tJe-iφ(L0)tf-F*±F0f‖=‖(J-F*±F0)e-iφ(L0)tf‖

が 得 られ,命 題 が示 され る.  も う ひ とつ 命 題 を 導 くが,そ   補 題15.5 

の た め に 補 題 を2つ

ζ(σ)∈C∞0(R+;X)(X:Banach空

用 意 す る. 間)に

対 し

(15.15) とお く.こ

こに Δ⊂ ⊂R+は

の 仮 定 を み た す.こ

ζ(σ)の 台 を 含 む 区 間 で あ り,φ(λ)は

の と き 任 意 の 自 然 数lに

対 し て 正 数Clが

定 理15

存 在 して

.3

(15.16)  証 明  任 意 のlに つ い て

で あ る か ら部 分 積 分 を行 な い,Δ で φ′(σ2)>0に注 意 す れ ば,求 め る不 等 式 が 得 ら れ る.   補 題15.6 

h(σ,w)∈C∞0(R+;h)に

対 し て 次 の よ うに お く:

ζ(x,σ)=[F*0(σ)h(σ,・)](x).  任 意 の μ>1/2と

Cv,l>0が

自 然 数vに

(15.17)

つ い て ∂jσ ζ(・,σ)∈Hv-μ-j(Rn)で

あ り,適

当 な正 数

存 在して

(15.18)   証 明   F*0(σ)の 表 示(4.14)よ

り,￨α￨≦v,j≦lに

(15.18)は

か ら 導 か れ る.

こ の 等 式 と補 題4.4と

  命 題15.7 

[F0f](σ,ω)がC∞0(R+;h)に

に 含 ま れ る と す る.こ

の と き,γ>0が

対 して

属 し,σ に 関 す る 台 が 区 間  存 在 して

(15.19) (s>0,t∈R±).こ   証 明   F0fの

で あ り,さ

こ にC>0はf,Δ,γ

に よ っ て 決 ま る 定 数 で あ る.

台 が コ ン パ ク トで あ る か ら

らに

(15.20) 一方

,Schwarzの

不 等 式 よ り,正

数p>1に

対 して

(15.21)

自然 数lと 正 数pを p(1+δ)≧ を み た す よ う に 選 び(例

μ+lか

つl>p

え ばl=[p+1],p=(1+μ)δ-1と

ζ(・,σ)=F*0(σ)[F0(σ)f](σ,・)に

対 し て 補 題15.5を

す る),X=H2-μ-l, 用 い る.次

に 補 題15.6を

用 いれ ば

こ れ を(15.21)に

19)が

合 せ れ ば,γ=p-1(l-p)>0と

し て(15.

成 り立 つ こ と が わ か る.

  定 理15.3の f(x)に

代 入 し,(15.20)と

証 明   [F0f](σ,ω)が

命 題15.7の

条 件 を 満 た す よ う な 関 数f=

対 し Gf,±(t)=(J-F*±F0)e-iφ(L0)tf 

と お く.L0に

各 τ>0に

対 す る ス ペ ク トル 表 現 定 理 を 用 い,(14.15)に

(15.22)

注意すれ ば

つ い て 次 の よ う に お く:

(15.23)

であ るか ら

と な り,命

題15.7に

よ り

(15.24)

が 従 う.こ

こ にC>0は

に 対 し て,等

τ>0に

独 立 な 定 数 で あ る.一

方,任

意 のg∈L2μ(Ω)

式

が 成 り立 つ か ら,Lebesgueの

収 束 定 理 が 使 え,

(15.25) (15.24),(15.25)よ 束 す る.従

り,τ

↓0と

っ て,(15.24)を

と も にGf,±

τ(t)はGf,±(t)にHの

も う一 度 使 っ て

が 得 ら れ る.集 合{f∈H0;[F0f](σ,ω)∈C∞0(R+;h)}はH0で こ れ に よ っ て 命 題15.4の   命 題15.2,定  定 理15.8 

中 で 弱 収

稠 密 で あ る か ら,

条 件 が 満 た さ れ る こ とに な り,定

理15.3か

理 が 証 明 さ れ る.

ら 次 の 結 果 が 示 さ れ た こ と を,注

波 動 作 用 素W±=W±(Λ,Λ0;J)は

意 し て お こ う.

存 在 し,

(15.26) の よ うに表 せ る.従 っ てW±

は 〓0を

 

の上 に 写 す ユ ニ タ リー作

用 素 で あ り,完 全 で あ る.

 §16  散 乱 作 用 素 の 表 現 と逆 問 題  定 理15.8か

らわ か る よ うに,波 動 伝 播 問 題 の散 乱 作 用 素 〓 は 存 在 し,

(16.1) の よ う に 与 え ら れ る.こ の 表 現 を 考 え,そ

の 節 で は 〓 のFourier空

間(momentum

space)で

れ を 逆 問 題 の 一 意 性 の 証 明 に 適 用 す る.

  次 の よ うに お こ う:

(12.2) 上の恒等写像  作 用 素 〓 が 核 表 示 され て い る場 合 に,そ 乱 振 幅(scattering   定 理16.1 

amplitude)を

の核 をT-行

(16.3)

列 と呼 ぶ が,こ

れ は散

定 義 す るな ど,物 理 的 に重 要 な 関 数 で あ る.

〓 は 次 の よ うに表 示 され る:任 意 の  

に 対して

(16.4)  証明  

(14.15)よ

に対 し次の等式 が成 り立つ.

り F*(σ)-F*(-σ)={R(σ)-R(-σ)}VF*0(σ), 

で あ る か ら,(14.12),(14.14)が

こ の 等 式 か ら(16.4)が

使 えて

導 か れ る.

  上 の 定 理 を 言 い か え て,次   定 理16.2 

H0上

σ>0,

の よ う に 述 べ る こ とが で き る.

の 作 用 素T±

を 次 の よ うに 定 義 す る:

上の恒 等写像  こ の と き,任

意 のf(σ,ω)∈H0に

(16.5)

対 して

(16.6) な る 表 示 が 得 ら れ る.こ

のT±

を 用 い て(16.4)は

次 の よ うに 書 け る:

〓=T+P(1)-T-P(2). 

 注 意16.1 

Schrodinger型

(16.7)

の 散 乱 作 用 素S±=S±(L,L0;J)は

(16.8) で 定 義 さ れ る か ら,(16.5)を

次 の よ う に 書 く こ と が で き る: ±2πiT±=I-S±; 

S±=F0S±F*0. 

(16.9)

  次 の よ うに お く:

(16.10) (16.6)か

ら わ か る よ う に,T±

は こ のT±(σ)に

よ っ て 次 の よ うに 表 示 さ れ る:

[T±f](σ,ω)=[T±(σ)f(σ,・)](ω). 

以 下 で は 作 用 素2(σa-1)-n+2T±(σ)∈B(h)をT-行

  この よ うに 散 乱作 用 素 あ るい はT-行

(16.11)

列 と 呼 ぶ.

列 の 表 現 を得 た が,重

で あ る.す な わ ち,物 理 的 な観 測量T±(σ)か ら摂 動Vを

要 な のは 逆 問 題

定 め よ,と い う問 題

で あ る.こ れ は一 般 に は,問 題 の設 定 自体 も難 し く,本 書 で深 く立 ち 入 る能 力 は 筆 者 に は な い.   こ の節 の残 りで は,全 空 間Rnで 意 性 を 述 べ る.荒

の ポ テ ン シ ャル散 乱 につ い て,逆 問題 の 一

く言 えば(16.10)の

表 現 式 で右 辺 第2項

を 消 し て し まお うと

い うもの で,比 較 的 と り扱 いや す い.   n≧3,Ω=Rnと

し てH0=L2(Rn;a-2)上

の作 用 素

L=a2{-Δ+c(x)}, 

を 考 え る.ポ テ ン シ ャル関 数c(x)は

D(L)=H2(Rn) 

(16 .12)

当然 短 距 離 型 条件

c(x)=O(r-1-δ) 

(r=￨x￨→

∞) 

(16.13)

を 満 た し て い る も の と す る.   命 題16.3 

作 用 素(16.12)の"リ

ゾ ル ベ ン ト"R(κ),κ

∈ Π ±,は￨Reκ￨が

充 分 大 き な 所 で 次 の よ うに 評 価 さ れ る:

(16.14)   注 意16.2  Dirichlet条 立 つ(§29を

境 界 値 問 題 に対 し て も,∂ Ω が 星 状(star

shaped)で

あ り,境

界条 件 が

件 の場 合 には,境 界積 分 が うま く処 理 で き る の で ,上 の評 価 はそ の ま ま成 り 参 照 せ よ).

 証 明  今 の場 合,相 関 数 は  た か ら,(12.11)よ

り次 の 不 等 式 が 得 ら れ る:

であ っ

(16.15) 一 方 ,(12.19)でR=0,jR(r)≡1,ζ=xと

n≧3,μ<3/2で

あ るか ら

と な り,t→

が 従 う.こ

お く と

∞

で

こ にC(γ)>0は

と と っ て あ る の で,上

κ∈ Π ± に 依 ら な い 定 数 で あ る. 

の不 等 式 か ら ‖θ ‖2μ-1≦C(γ){‖u‖2-μ+‖f‖2μ}. 

u=R(κ)fで

あ る か ら,(16.15),(16.16)を

(16.16)

合 せ て(16.14)が

得 ら れ る.

  こ の 命 題 を 用 い て 次 の 定 理 が 証 明 さ れ る.   定 理16.4 

(16.12)に

対 応 す るT-行

列 は 次 の 性 質 を も つ:

(16.17)   証 明   (16.10)か

ら,任

意 の φ(ω),ψ(ω)∈hに

対 し

(16.18) 補 題4.4と(16.13)と

が 言 え,(16.18)か

に対 し

か ら 

ら(16.17)が

  上 の 定 理 は 短 距 離 型 条 件(16.13)の

従 う. も とで の逆 問 題 の 一 意 性 を 主 張 し て い

る.し

か し(16.17)だ

け で は は っ き り し な い 点 も あ る の で,ポ

テ ン シ ャル に

も っ と 強 い 条 件 を 課 し て み る. c(x)=O(r-(n+1+2δ)/2) 

を 超 短 距 離 型 の 条 件 と呼 ぶ が,こ   定 理16.5  L2(Sn-1)上

(r=￨x￨→

∞) 

(16.19)

の と き は 次 の 結 果 が 得 ら れ る.

c(x)が(16.19)を

満 た す と す る.こ

の 積 分 作 用 素 で あ り,そ

の と きT-行

列 はh=

の 核 は 次 の よ うに 与 え ら れ る:

(16.20) さ らに

(16.21)

a.e. 

と な り,T±(σ)は

ポ テ ン シ ャ ル のFourier変

  証 明   (16.10)に

仮 定(16.19)よ

戻 る.任

換c(ξ)を

一 意 的 に 定 め る.

意 の φ(ω′)∈hに 対 し て

りV=a2c(x)∈L2μ(Rn), 

従 っ て,右

辺 第2項

で

は 積 分 の順 序 交 換 が で き る.さ らに 積分

が 各 点 的 に 意 味 を も つ の で,結   次 に(16.20)で

局(16.20)が

導 か れ る.

σ→ ∞ とす る.ω,ω ′ に 一 様 に

(16.22) と な る か ら,特

に σa-1(ω-ω ′)=ξ を 固 定 し て お け ば(16.21)が

得 ら れ る.

 §17  散 乱 作 用 素 の 解 析 接 続   こ の 節 で はR3に

お け る作 用 素L=a2{-Δ+c(x)}に

つ い て,ポ

テ ンシ ャル

関 数c(x)が

指数的な減衰条件 ￨c(x)￨≦Ce-2αa-1￨x｜

 

を 満 た す 場 合 を 考 え る.c(x)がR3で 左 辺 第2項

(α>0, 

C>0) 

(17.1)

可 積 分 で あ る か ら,今 の 場 合,(16.20)の

も各 点 的 に 意 味 を もつ.そ

こ で 関 数 φ±(x,σ,ω),(σ,ω)∈(R-{0})

×S2,を

(17.2) と お く と,T-行

列 は 次 の よ うに 表 せ る:

(17.3) 上 の

φ ±(x,σ,ω)は

ゆ が ん だ 平 面 波(distorted

mann-Schwinger方

程 式 を 満 た す.即 φ ±(x,σ,ω)+[R0(±

σ)Vφ

plane

waves)で

あ り,Lipp

ち, ±(・,σ,ω)](x)=eiσa-1x・

(17.4)

  (17.1)の

条 件 の も と に,T-行

Imκ>-α

ま で 有 理 型 関 数 と し て 解 析 接 続 で き る こ とを 示 そ う.(17.2)か

わ か る よ う に,φ+と

φ-は

列(17.3)が

ω. 

σ に つ い て 解 析 的 で あ り,

次 の よ う に 関 係 づ け ら れ る:

φ-(x,σ,ω)=φ+(x,-σ,-ω). 

そ こ で,以

ら

(17.5)

下 で は2(σ α-1)-1T+(σ,ω,ω ′)の 方 だ け を 考 え る.

  (17.4)で

σ を 複 素 数 κ に拡 張 し た方 程 式 φ(x,κ,ω)+[R0(κ)Vφ(・,κ,ω)](x)=eiκa-1x・

を 解 き た い.そ の た め にVを2つ V=V1V2; 

(17.6)にV1を

{I+Q0(κ)}V1φ=V1eiκa-1x・

(17.6)

の 掛 算 作用 素 の 積 に 分解 す る.

V1=e-αa-1￨x￨, 

乗 じ れ ば,V1φ

ω  

V2=a2c(x)eαa-1￨x￨ 

(17.7)

に 対 す る方 程 式 ω, 

Q0(κ)=V1R0(κ)V2, 

(17.8)

を 得 る.Q0(κ)が

(17.9) を 核 に も つ 積 分 作 用 素 に な る こ と に 注 意 し よ う(§ §3,4参 (17.7)と

か ら わ か る よ う に,Q0(κ)はHilbert-Schmidt型 κ∈ Π-α={κ;Imκ>-α} 

照).条

件(17.1)と

の作 用 素 とし て (17.10)

に 解 析 的 に 依 っ て い る.   逆 作 用 素{I+Q0(κ)}-1の   Imκ

存 在 と κ に 対 す る 正 則 性 を 言 い た い.

が 充 分 大 き け れ ば 作 用 素 ノ ル ム ‖Q0(κ)‖は 小 さ く な り,{I+Q0(κ)}-1

の 存 在 がNeumann級

数 に よ っ て 保 証 さ れ る .こ

の 事 実 も 用 い て,次

の命 題

を 証 明 す る こ と が で き る.   命 題17.1 

{I+Q0(κ)}-1∈B(L2(R3))は

体 で 存 在 し,κ

極(pole)に

の 有 理 型(meromorphic)関

  こ の 命 題 はFredholmの え ばTamarkin

な る 点 を 除 き,Π-α

積 分 方 程 式 論 に 帰 着 さ れ る.証

[111]の

全

数 に な っ て い る.

方 法 を 用 い る 場 合,積

明 は 省 略 す る が,例

分 核 のHilbert-Schmidtノ

ル ム

お よ び トレ ー ス ノ ル ム を κ に 一 様 に 評 価 す る こ とが 本 質 的 で あ る.Q0(κ)は Hilbert-Schmidt型

で あ る が,一

般 に ト レ ー ス 型 に は な ら な い .そ

{I+Q0(κ)}-1={I-Q0(κ)2}-1{I-Q0(κ)} 

な る 等 式 に 注 意 し て,{I-Q0(κ)2}-1に をL2(R3)の

こで (17.11)

つ い て 命 題 を 証 明 す る こ と に な る .{φj}

完 全 正 規 直 交 系 とす る と きQ0(κ)2のHilbert-Schmidtノ

トレ ー ス ノ ル ム は,そ

な る 評 価 を も つ.従

ル ム,

れ ぞれ

っ て,任

意 の ε>0に

つ い てΠ-α+ε={κ:Imκ

≧-α+ε}

で と も に 一 様 有 界 に な っ て い る.   上 の 命 題 を 用 い て 次 の 定 理 が 得 ら れ る.   定 理17.2 

Q(κ)=V1R(κ)V2は Q(κ)={I+Q0(κ)}-1Q0(κ), 

とお く こ と に よ

り,Hilbert-Schmidt型

κ∈ Π-α 作 用 素 として

 

(17.12)

Π -α に 解 析 接 続 で き,

そ こ で 有 理 型 関 数 に な っ て い る.   証 明   Imκ

≧0で

は"リ

ゾ ル ベ ン ト"方

程 式(14.11)に

よ り

V1R(κ)V2=V1{R0(κ)-R0(κ)VR(κ)}V2=Q0(κ)-Q0(κ)V1R(κ)V2 従 っ て{I+Q0(κ)}-1が

存 在 す る点

で はV1R(κ)V2={I+Q0(κ)}-1Q0(κ)が

. 存 在

し,Hilbert-Schmidt型   次 にQ(κ)の   命 題17.3  が あ れ ば,そ

作 用 素 と し て Π-α で 有 理 型 に な っ て い る.

極 を 調 べ よ う. Imκ ≧0の

と きQ(κ)の

の 平 方 は 作 用 素Lの

  証 明   u∈L2(R3)が

極 は 虚 軸 上 に し か な く,原

点 以 外 に極

負 の 固 有 値 に な る.

方程式 {I+Q0(κ)}u=0 

を 満 た す とす る.κ2がLの て"リ

(17.13)

固 有 値 で な け れ ば,R(κ)V2を

この方 程 式 に作 用 し

ゾ ル ベ ン ト"方 程 式 を 用 い る. R(κ)V2{I+Q0(κ)￨u={R(κ)+R(κ)VR0(κ)}V2u=R0(κ)V2u=0

よ り,(17.13)に   命 題17.4 

戻 れ ばu=-V1R0(κ)V2u=0が 0>Imκ>-α

  証 明   (17.9)か

得 ら れ る.

の と きQ(κ)の

ら わ か る よ うに,任

極 は 虚 軸 に 関 し て 対 称 に 分 布 す る.

意 のu∈L2(R3)に

ついて

{I+Q0(-κ)}u={I+Q0(κ)}u. 

従 っ て κ が 極 で あ る こ と と-κ   原点

κ=0が

  命 題17.5 

(17.14)

が 極 で あ る こ と とは 同 値 に な る.

極 か ど う か と い う 問 題 に つ い て,次

の 命 題 が 成 り立 つ.

n=3でc(x)が

(17.15) を 満 た す と す る.Q0(κ)を

次 の よ う に お く:

Q0(κ)=V1R0(κ)V2; 

V1=(1+r)-1-δ/2, 

V2=a2c(x)(1+r)1+δ/2 (17.16)

こ の と き{I+Q0(κ)}-1∈B(L2(R3))は 存 在 し,連

任 意 の

κ∈ Π0={κ;Imκ

≧0}に

つ い て

続 に な る.

  証 明 

で の{I+Q0(κ)}-1の

存 在 と 連 続 性 は 極 限 吸 収 の 原 理 お よ びLの

正 値 性(例6.3)に

依 る.Q0(0)がHilbert-Schmidt型

存 在 を 言 う の に,方

程 式 {I+Q0(0)}u=0, 

に 対 す る 一 意 性 を 示 せ ば よ い.V2=O(r-1-δ/2)で

な の で{I+Q0(0)}-1の

u∈L2(R3)  あ る か ら

(17.17)

と な り,方

程 式 を 用 い てu=O(r-3/2-δ)が

と し て よ い.υ=R0(0)V2uと

言 え る.一

お け ば,上

般 を 失 う こ と な く3δ<1

と 同 様 に し て υ=O(r-(1+3δ)/2)と

な り,

さ らに

が 満 た さ れ る.こ

こ れ と(17.18)と

υ=-R0(0)Vυ,す

な わ ち,Δ

れ れ か ら逐 次

υ=O(r-(1+kδ)/2)(k≦[1/δ])が

 

(17.18) 言 え,つ

い に は

か ら

が 言 え る が,c(x)に

対 す る2つ

が 得 ら れ る.β<1で

目の条 件 か ら

あ る か ら,こ

(6.18)に

矛 盾 し,(17.17)の

  κ=0で

の{I+Q0(κ)}-1の

≧0,κ →0で

υ=c(x)υ

れ は,も

し 

解 の 一 意 性 が 示 さ れ る. 連 続 性 を 背 理 法 で 示 そ う.{I+Q0(κ)}-1がImκ

有 界 に と ど ま る こ と を 示 せ ば よ い が,逆

な る{fj}⊂L2(R3)が

な ら よ く知 ら れ た 式

に

存 在 す る とす る. uj={I+Q0{κj)}-1fj‖{I+Q0(κj)}-1fj‖-1

とお け ば ‖uj‖=1, 

{I+Q0(κj)}uj→0 

Q0(κj)がHilbert-Schmidt型 強 収 束 す る部 分 列{uj′}を

(L2(R3)で)(j→

で κjに つ い て 連 続 な の で,こ 含 む こ とに な る. (L2(R3)で)

∞).

れ か ら{uj}が

とお く と ‖u‖=1で

あ り,(17.17)が

満 た さ れ る.上

に 示 し た(17.17)の

一

意 性 に こ れ は 矛 盾 す る.   上の 結 果 を 合 せ てT-行   定 理17.6 

T-行

列 に 対 す る次 の 定 理 が 得 られ る.

列2(σa-1)-1T±(σ,ω,ω

関 数 と し て 複 素 領 域{κ;￨Imκ￨<α}上 る.そ

して 極 は0>Imκ>-α

′)は(17.3)で

与 え ら れ る が,σ

に 解 析 接 続 で き,そ

の

こで有 理 型 に な

な る 部 分 領 域 と 非 負 の 虚 軸 上 に あ り,Imκ<0

な る 極 は 虚 軸 に 関 し て 対 称 に 分 布 す る.  注 意17.1 

c(x)が(17.1)以

外 に(17.15)の2つ

目の 条 件 を 満 た す な ら,Lは

で あ り,従 っ てT行

列 は Π0全 体 で 正 則 に な る(命 題17.3,17.5).

  証 明   (17.8)の

右 辺 は￨Imκ￨<α

き(17.8)はQ(κ)の

の と きL2(R3)に

極 の 点 以 外 で 解 け る.こ

属 す.従

っ て,こ

の 解 を(17.6)に

正値

の と

代 入す れ ば

φ(x,κ,ω)が

(17.19) の よ うに 求 ま る.こ φ+(x,σ,ω)の

れ は 上 の 複 素 領 域 で κ の 有 理 型 関 数 で あ り,明

解 析 接 続 に な っ て い る.(17.19)か

らか に

ら各 κ に つ い て

￨φ(x,κ,ω)￨≦Ce￨Imκ￨a-1￨x￨

な る評 価 が 得 られ るの で

(17.20) が￨Imκ￨<α

で 定 義 で き,や は り κ に つ い て 有 理 型 に な る.こ

解 析 接 続 を 与 え る.極 す る命 題17.3,17.4か

に つ い て の 主 張 は(17.19),(17.20)お

関

身の 解 析 接 続 に つ い て 触 れ な か っ た が

R(κ)=R0(κ)-R0(κ)V2{I-Q(κ)}V1R0(κ)  と お く こ と に よ り,R(κ)はImκ>-α だ し,こ

よ びQ(κ)に

ら 導 か れ る.

  上 で は リ ゾ ル ベ ン トR(κ)自

い る.た

れ は(17.3)の

まで 有 理 型 関 数 とし て解 析接 続 され て

の 作 用 素 はL2(R3;eαa-1￨x￨)をL2(R3;e-αa-1￨x￨)に

界 作 用 素 と理 解 し な け れ ば な ら な い.

(17.21)

写す 有

  §18  波 の 指 数 的 減 衰   こ の 節 で は ポ テ ン シ ャ ルc(x)∈C1(R3)に 仮 定 し,次

前 節 の 条 件(17.1),(17.15)を

の 初 期 値 問 題 を 考 え る:

(18.1) こ こ に 初 期 デ ー タ φ1(x),φ2(x)は

と も にD(L2)=H4(R3)に

属 し,コ

ンパ ク

トな 台 を も つ も の とす る.   我 々 の 目的 は 次 の 定 理 で あ る.   定 理18.1 

(18.1)の

解w(x,t)は

次 の 性 質 を も つ:任

に 対 し て 定 数C=C(G,φ1,φ2)>0,γ=γ(c(x))>0が

意 の 有 界 領 域 

存 在 し て,

(18.2)   d'Alembert方

程 式 の 基 本 解E(x,t)(命

題2.3)を

用 い れ ば,(18.1)は

の積 分 方 程 式 に 書 き か え ら れ る:

(18.3) ここ でw0(・,t)はd'Alembert方 〓い て 有 限 時 間 内 に0に

程 式 の 解 で あ り,定 理2.6(ⅲ)に 減 衰 す る.そ

よ りGに

こで問 題 は

〓時 間 的減 衰 を調 べ る こ とに な る.  す ぐわ か る よ うに,wは

初期値問題

(18.4) 〓満 た し て い る.従

っ てLaplace変

換

(18.5) 〓行 なえ ば,次 の 定 常 問題 が得 られ る:

次

(18.6)

  前 節 に 見 た よ う に,こ の 問 題 の 解 は 実 軸 を 越 え て 解 析 接 続 で き る.こ こ で は, さ ら に あ る0<γ<α

な る γ が と れ,解

がImκ

≧-γ

で 正 則 に な る こ とを 示

そ う.   補 題18.2 

α0を0<α0<α

任 意 の ε>0に

の よ うに 選 ん でImκ

つ い て σ0=σ0(ε)>0が ‖Q0(κ)2‖≦ ε

  証 明   Q0(κ)2の

核 をQ1(x,y;κ)と

≧-α0と

す る.こ

の とき

存 在 して  

(￨Reκ￨≧

σ0). 

(18.7)

お く:

(18.8)

こ の 核 のHilbert-Schmidtノ

ル ム を 評 価 し よ う.

(18.9) す ぐわ か る よ うに

従 っ て,任

意 の ε>0に

つ い て(18.9)でRを J1+J2≦

充 分 大 き く とれ ば

ε2/2. 

(18.10)

  J3の 評 価 を 得 る た め に 座 標 変 換(z1,z2,z3)→(ξ,η,φ)を 2lξ=￨x-z￨+￨y-z￨, 

こ こ に2l=￨x-y￨で 表 す 変 数 で あ る.簡

2lη=￨x-z￨-￨y-z￨, 

あ り,φ 単な計算で

は ベ ク トルx-yに

次 の よ う に 行 な う: φ:後

述.

直 交 す る平 面 上 の 角 度 を

そ こで 直交 座 標 系 でz1軸 す れ ば,第1の

が 得 られ,第2の

が 得 ら れ る.従

がy-xに

平 行 に な る よ うに 与 え られ て い る もの と

等式 より

等式 よ り

って

(18.11)

と な り,Jacobi行

列式は

 さて

であ るか ら

こ れ か σ0(R)>0を

ら￨I(x,y;κ)￨≦C￨Reκ￨-1e￨Imκ￨a-1(￨x￨+￨y￨)が

得

ら れ,従

っ て

充 分 大 き く とれ ば J3≦

(18.10)と(18.12)と

ε2/2 

か ら￨Reκ￨≧

(￨Reκ￨≧ σ0で

σ0). 

(18.12)

σ0=

が 得 ら れ,補

題 が 証 明 さ れ る.

  命 題18.3 

0<γ<α

はImκ

な る 複 素 領 域 で 正 則 で あ り,さ

≧-γ

な る γ が 存 在 し て(17.12)の

作 用 素Q(κ)∈B(L2(R3))

ら に ‖I-Q(κ)‖ は こ の 領 域 で 一

様 有 界 で あ る.   証 明   上 の 補 題 に よ り σ0を 充 分 大 き く と れ ば{I-Q0(κ)2}-1はImκ (>-α),￨Reκ￨≧

σ0で 存 在 し て,一

≧-α0

様 有 界 に な る.Q(κ)はImκ>-α

で有

理型 で Q(κ)={I-Q0(κ)2}-1{I-Q0(κ)}Q0(κ) 

と表 せ るか ら,Imκ ￨Reκ￨<σ0な Imκ ≧0の

≧-α0で

る部 分 に,虚 部 分 にQ(κ)の

極 は 存 在 し た と し て も 高 々有 限 個 で,

軸 に 対 称 に 分 布 す る.一 極 は 存 在 し な い.従

こ と が が で き る.‖I-Q(κ)‖   系18.4 

はQ(κ)の

(18.13)

R0(κ),R(κ)も

方,条

≧-γ

よ り,

っ て 命 題 の よ う に γ>0を

の 一 様 有 界 性 は(18.13)よ や は りImκ

件(17.15)に

選ぶ

り明 ら か で あ る.

で 正 則 で,f∈L2(R3;eα￨x￨)に

対 して

(18.14) (18.15) が 成 り立 つ.こ

こ にC>0は

κ に 依 ら な い 定 数 で あ る.

  証 明   (18.14)は

明 ら か で あ ろ う.(18.15)は(17.21)よ

が 得 ら れ る か ら,上

の 命 題 を 考 慮 す れ ば(18.14)に

  定 理18.1の

証 明   (18.6)の

の よ うに 解 け る.こ

(R0(κ)fに

解 はImκ

≧0で

り

帰 着 さ れ る. は

こで 等式

つ い て も 同 様)に

注 意 す れ ば,uは

次 の よ うに 表 せ る:

(18.16)

さ ら にL2f,L20fの Imκ ≧-γ

台 コ ン パ ク ト で あ る か ら,系18.4よ

ま で 解 析 的 に 延 長 さ れ,そ

り,uは

そのまま

こで

な る評 価 を もつ.   さ て,(18.4)の

解w(x,t)はLaplace逆

の よ う に 与 え ら れ る が,上 に よ り,次

のu(x,κ)の

変換 に よ り

性 質 を 考 慮 す れ ばCauchyの

の よ うに 積 分 路 を 移 動 で き る.

従 って

これ と(18.3)の

解w(x,t)の

表 示 とか ら 定 理 が 示 さ れ る.

積分定理

第5章  遠距離型摂 動 の場 合

  本 章 で は遠 距離 型 の 問 題 を あ つ か い,波 動 伝 播 問 題(6.5)の

解 の スペ ク ト

ル表 現 お よびt→ ±∞ で の漸 近 挙 動 を 述 べ る.簡 単 のた め に 摂 動 項 は 短 距 離 型 の 部 分 を含 まず,(9.2)で m(x,κ)2=κ2α(x)-2-c(x),  とな って い る場 合 を 考 え る.一 般 の  

p(x,κ)≡0 の 場 合 は,本 章 で あ つ か う問

題 の短 距離 型 摂 動 に な っ て お り,前 章 の 結果 を適 用 で き る.

  §19  極 限 吸 収 原 理 の 見 直 し   遠 距 離 型 の ス ペ ク トル表 現 は,§14の

摂 動論 的 手法 が有 効 で な く,極 限 吸 収

の原 理 か ら直 接 構 成 し な けれ ば な らな い.そ の た め に,第3章

の結果だけでは

不 充 分 で あ り,こ の節 で必 要 な修 正 を加 え る.そ のた め に遠 距 離 型 条 件(6.9) で,球 面 上 の微 分 可能 性 を充 分 高 め る必 要 が あ る.   命 題19.1  N=2 

こ の と き,必

(6.9)ま た は(9.6)でNを (1/2<δ1<1), 

次 の よ うに定 め る:

N=[2/δ1]+1 

要 な ら ρ(x,κ)を 作 り直 し て,命

(0<δ1<1/2) 

題11.1の(11.1)式

(19.1)

を次の よ

うに 書 き 直 す こ とが で き る:

(19.2)

ここ に

(19.3)

な お(11.2),(11.3)は  注意19.1 

こ こ で の ρ に つ い て もそ の ま ま 成 り立 つ.

上 の命 題 で は α+δ3>2と

  証 明   δ1>1/2の

い う事 実 が 後 に重 要 に な る.

と き は ρ は(11.7)の

悪 い 部分 

関 数 で よ く,(11.8)で

をq1(x,κ)と

  δ1<1/2の

と き は(19.1)に

お け ば(19.2)が

注 意 し て,補

一番評価 の

満 た さ れ る.

正 関数 を

Y=YN-3=Y[2/δ1]-2 と と っ て(11.9)で

ρ を 定 め る.(11.10)の

右 辺 で,第1項

はO(r-2),第2

項 は

と な る((11.24)お れ をq1(x,κ)と

(11.18)に

よ び 補 題11.2参 お く,即

はO(r-1-δ1)で

のq1に

  上 の ρ を 用 い て 命 題12.5を

つ い て(19.2)が

満 た され る.

書 き 直 せ ば,μ ′,μに 対 す る 条 件(12.12)を

の た め に(12.19)式

な る 積 分 の 評 価 が 問 題 に な る(p≡0と

で

し て い る こ と に 注 意 せ よ).(19.2)は

こ の 評 価 の 改 良 に 使 わ れ る.   そ れ を 見 る の に 命 題9.4に

戻 ろ う.(9.14)式

でG=B(R,t),

φ=ijRr2μ-1e-2Reρq1(x,κ)(2Im∂rρ)-1

とお く.両 辺 の実 部 を とれ ば

(η=Im∇

あ る か ら,こ

ち,

注 意 す れ ば,こ

め る こ とが で き る.そ

照).第3項

ρ(Im∂rρ)-1)に 注 意 し て,次

の 等 式 が 得 ら れ る.

緩

これ に

υ=eρu, 

∇υ=eρ(∇+∇

ρ)u=eρ θ を 代 入 す る.

  この等 式 で Im(q1q)=O(γ-α-1-δ3)+Imq21=O(r-α-1-δ3)+ImκO(r-2-2δ3) に 注 意 す れ ば,次   補 題19.2  R
uを

の 不 等 式 が 得 ら れ る. 境 界 値 問 題(9.1)の

解 と す る.任

意 の1/2<μ<3/2,R1<

対 し て

(19.4)  こ の 補 題 を 用 い て 命 題12.5を   命 題19.3 

正数 の組

μ′,μを 次 の よ うに 選 ぶ:

1/2<μ

こ こ に α は(19.3)の (9.1)の

外 向 き解[内

次 の よ う に 改 良 す る こ とが で き る.

′≦ μ<3/2, 

μ+μ ′≦ α. 

正 数 で あ る.κ ∈K±,f∈L2μ(Ω)と 向 き 解]と

(19.5)

し,uを

す れ ば 充 分 大 き なR6=R6(K(±)>R5に

対応す る ついて

(19.6)   証 明   (12.19)の

右 辺 に(19.4)を

代 入 す る.Rを

充 分 大 き く選 べ ば

こ れ か ら 出 発 し て 命 題12.5の の よ うに 選 ぶ.そ

証 明 を た ど る.γ

し て2μ-3-δ3<0に

は 

注 意 し て,(12.8)か

ら得 ら れ

る不等式

を 用 い る.そ

うす れ ば(12.20)に

な る 不 等 式 が 得 ら れ,μ

対応 して

′,μが(19.5)を

満 た せ ば-2μ

′≧2μ-2α

と な り,

t→ ∞ に よ っ て 求 め る 不 等 式 と な る.   §12に

お け る 他 の2つ

立 っ て い る.そ

こ で,こ

の 命題 は μ′,μを(19.5)の れ ら を 用 い て §13の

よ うに 緩 め られ た μ′,μの 条 件 の も と に,補

よ うに と っ て も 当 然 成 り

論 証 を た ど る こ と が で き,こ

題13.5,定

理13.6,命

の

題13.7が

そ の ま ま成 り立 つ こ と に な る.   そ れ ら を 次 の 定 理 に ま とめ て お こ う.   定 理19.4 

μ′,μを(19.5)を

満 た す 正 数 の 組 と し,放

射 条 件 を(12.2)で

定 義 す る.   (ⅰ) Lの

リ ゾ ル ベ ン トR(κ)=(L-κ2)-1はL2μ(Ω)をH2-μ

′(Ω)に 写 す 有 界 作

用 素 と し て 各 Π ± 全 体 に 連 続 的 に 延 長 さ れ る.   (ⅱ)  κ∈K±,f∈L2μ(Ω)に の 唯 ひ と つ の 外 向 き 解[内

対 しu=R(κ)fと 向 き 解]を

与 え,さ

お け ば,こ

れ は 定 常 問 題(9.1)

ら にC=C(K±)>0が

‖(∇+∇ ρ)u‖μ-1,B(R1)≦C‖f‖

μ, 

存 在 して (19.7)

 

‖u‖-μ ′,2≦C‖f‖

(ⅲ) R*(κ)∈B(L2μ

′,L2-μ)をR(κ)の

μ°  

(19.8)

共 役 作 用 素 とす れ ば

R*(κ)f=R(-κ)f 

(κ,f)∈ Π ±×L2μ(Ω). 

(19.9)

 §20  遠 距 離 型 の ス ペ ク トル 表現   この 節 で は 定 理19.4を

用 い て作 用 素Lの

ス ペ ク トル表 現 を構 成 す る.そ の

た め に 放 射 条 件 の定 義 に用 い られ た 相 関 数 ρ(x,κ)が重 要 な働 き をす るが,今 の 場 合,そ れ は 次 の よ うに 与 え られ て い る:

(20.1)

ま た 正 数 の 組 μ′,μは(19.5)を

満 た す よ う に 選 ん で い る.

  ρ(x,κ)の 基 本 的 性 質 は(19.2),(11.2),(11.3)で の と き はY(x,σ)も

与 え ら れ る が,κ=σ

無 限 遠 の 近 傍 で 実 数 値 を と り,さ

∈R±

ら に 次 が 成 り立 つ:

(20.2) (20.3)  補 題20.1 

各 σ∈R±

について

(20.4)   証 明   (20.2),(20.3)をrに

こ こで

∂rY(x,σ)=O(r-2δ1)で

ついて微分すれば

あ る か ら 求 め る 結 果 に な る.

  作 用 素F(σ,r)∈B(L2μ(Ω),h)(h=L2(Sn-1))を

次 の よ う に 定 義 す る:

(20.5)   命 題20.2 

σ ∈R±,f,g∈L2μ(Ω)と

と き 任 意 のt>R0に

対 し て

し,u=R(σ)f,υ=R(σ)gと

す る.こ

の

(20.6)

  証 明   命 題9.3でG=Ω(t),φ

≡1,u1=u,u2=υ

で あ る か ら, 

を 乗 じ,(20.4),(20.5)お

=0に

.6)が

注 意 し て(20

と お く.

よ び 境 界 条 件Bu￨∂

Ω=Bυ￨∂ Ω

得 ら れ る.

  以 下 で はF(σ,t)f,f∈L2μ(Ω),がt→

∞

と と も にhで

強 収 束 し,Lの

スペ

ク トル 表 現 を 与 え る 作 用 素 に な る こ とを 示 す.   補 題20.3  (p=1,2,…)を

σ∈R±,f∈L2μ(Ω)と 補 題12.2の

す る.∞

に 発 散 す る 正 数 列rp=rp(σ,f,μ

′,μ)

よ うに 選 べ ば

(20.7)   証 明  (20.6)でg=fと

お く.μ ′ ≦μ で あ るか ら

が 成 り立 ち(一 般 性 を失 うこ とな く  

と とれ る),(20.7)が

示さ

れ る.   次 に 弱 収 束 を 言 うのだ が,ま ず そ の ため の準 備 をす る.  実 数 値 関 数 ψ(x)∈C2(Ω)を ψ(x)=0(￨x￨
(20.8)

∇kψ(x)=O(r-1-δ1)(k=1,2) の よ う に ひ と つ 選 び,φ

∈h=L2(Sn-1)→

υφ∈L2-μ ′(Ω)を 次 の よ う に 定 義 す

る:

(20.9)   補 題20.4 

φ(x)∈C2(Sn-1)と υ φ=O(r-(n-1)/2), 

gφ=a(x)2{-Δ+c(x)}υ

Bυ φ￨∂Ω=0. 

す る と υφ は 次 の 性 質 を 満 た す. (∂r+∂rρ)υ

φ-σ2υ

φ=O(r-(n-1)/2-1-δ1), 

φ=O(γ-(n-1)/2-1-δ3) 

(20.10)

(20.11)

(20.12)

  証 明   (20.10)の 10)の2つ

最 初 の 評 価 式 と境 界 条 件(20.12)は

目 の 評 価 式 は(20.8)を

の よ う に 示 さ れ る.(20.11)を

明 ら か で あ る.(20.

用い て

言 う の に 微 分 を 実 行 す る.

(20.13)

と な る か ら ∇kφ=O(r-k)(k=1,2)に 用 す れ ば(20.11)が   (20.10)よ

援

示 さ れ る.

り,(19.5)を

を 満 た し,t→

注 意 し て,(19.2),(11.2),(20.8)を

∞

満 た す 任 意 の

と と も に(部

μ′,μに つ い て υφ は 放 射 条 件(12.2)

分 列 を と ら な く て も)

(20.14) と な る.さ

ら に(20.11),(20.12)よ

り υφ=R(σ)gψ  

な る 表 示 も 得 ら れ る.た 1/2+δ3,で

だ し,こ

あ っ て,(19.5)を

(20.15)

の 場 合 のgψ 属 す 関 数 族 はL2μ(Ω),1/2<μ<

み た す 勝 手 な μ で μ を と りか え るわ け に は い

か な い.   補 題20.5 

任 意 のf∈L2μ(Ω),φ

∈C2(Sn-1)に

つ いて

(20.16) こ こ に{rp}は

補 題20.3で

用 い た 発 散 数 列 で あ る.

  証 明   (20.6)でg=gφ,t=rpと

お きp→

∞

とす る.(20.14)お

よび

(20.17)

を考慮すれ ば

F(σ,rp)f∈hがpに ψ(rpx)→1(p→

つ い て 有 界 で あ ∞)と

な る か ら,上

り(補

題20.3),x∈Sn-1に

の 式 よ り(20.16)が

得 ら れ る.

一 様 に

  R(σ)∈B(L2μ(Ω),L2-μ(Ω))の 20.5か

σ∈R± に 対 す る 連 続 性,お

よ び 上 の 補 題20.3,

ら 次 の 命 題 が 証 明 さ れ る.

  命 題20.6 

μ′,μを(19.5)を

満 た す 勝 手 な 正 数 の 組 とす る.

  (ⅰ) F(σ,rp)∈B(L2μ(Ω),h)はp→ で 表 せ ばF(σ)∈B(L2μ(Ω),h)は   (ⅱ) F(σ)は

∞

と と も に 弱 収 束 し,そ

σ∈R±

発 散 数 列{rp(σ,f,μ

の 極 限 をF(σ)

に つ い て 連 続 で あ る.

′,μ)}の 選 び 方 に 依 ら な い.

  (ⅲ) F*(σ)∈B(h,L2-μ(Ω))をF(σ)の

共 役 と す れ ば,任

意 の φ∈C2(Sn-1)に

対 して F*(σ)φ=-iσ{υ

φ-R(-σ)gφ}. 

  証 明  (ⅰ)の前 半 は(20.7)と(20.16)と

(20.18)

を 合 せ た 主 張 で あ る.ま

ら の 右 辺 が と も に σ に つ い て 連 続 で,{rp}の

た,こ

れ

選 び 方 に 依 ら な い か ら(ⅰ)の後 半

と(ⅱ)が示 さ れ る.(ⅲ)は(20.16)が (F(σ)f,φ)h=(f,-iσ{R(σ)-R(-σ)}gφ) と表 せ る か ら,R(σ)gφ=υ   次 にF(σ,rp)がp→

φ に 注 意 す れ ば よ い. ∞

の 組 μ′,μに,(19.5)以

と と も に 強 収 束 す る こ と を 示 そ う.そ

のた め に 正 数

外 に 次 の 条 件 が 要 求 さ れ る: μ ≧1, 

-μ+μ

′+1-δ3≦0. 

こ の 条 件 を 満 た す よ う に μ′,μを 選 ぶ こ と は 可 能 で,例

(20.19)

えば

(20.20) と す れ ば よ い(注   補 題20.7 

意19.1参

照).こ

任 意 のf∈L2μ(Ω),φ

こ に α,δ3は(19.3)の ∈C1(Sn-1)に

正 数 で あ る.

対 して

(20.21) こ こ にrq>rpで

ε(p)はp→

  証 明   命 題20.2で の 差 を 考 え る.(20.17)を

∞

と と も に0に

υ=υ φ,g=gφ 考慮すれ ば

近 づ く 量 で あ る.

と お き,t=rq,t=rpと

し た2つ

の等式

Schwarzの

不 等式に よ り

一 方,(20.13)よ

り

で あ る か ら δ3≦δ1に 注 意 し て

とな り,さ らに 部 分 積 分 で

これ ら の結 果 を合 せ て 求 め る評 価 式 が 得 られ る.   補 題20.8 

任 意 のf∈L2μ(Ω)に

つ いて

(20.22)   証 明   u=R(σ)fと

  命 題20.9 

すれば

μ′,μを(19.5),(20.19)を

σ∈R±,f∈L2μ(Ω)に

満 た す 正 数 の 組 と す る.任

対 し てF(σ,rp)fはp→

∞

意 の

と と も にhでF(σ)fに

強収

束 す る.   証 明   (20.21)でq→

∞

こ こ で φ=F(σ,rp)fと (20.22)が

とす る と

お く.‖F(σ,rp)f‖hはpに

成 り立 つ か ら,正

従 っ て μ′,μの 条 件(20.19)に ψ(rp・)が 一 様 に1に

を 意 味 し,命

数Cが

らに

存在 して

よ り,右

近 づ く こ と か ら,こ

題20.6(i)と

つ い て 有 界 で あ り,さ

辺 はp→

∞

と共 に0に

収 束 す る.

れは

合 せ て 強 収 束 性 が 示 さ れ る.

 以 上 の 準 備 で,次

の ス ペ ク トル 表 現 定 理 を 証 明 す る こ と が で き る.

 定 理20.10 F±

を 次 の よ うに 定 義 す る:f∈L2μ(Ω)に

対 して

(20.23) こ の と き 各F±

は 部 分 的 等 距 離 作 用 素 と し てH上

をH0=L2(R+;h)の 有 界Borel関

上 に ユ ニ タ リー に 写 す.こ

に 一 意 的 に 拡 張 され,QH のF±

を 用 い てLの

勝手な

数φ(L)は

(20.24) の よ うに ス ペ ク トル 表 現 さ れ る.さ す る と,任

意 のh(σ,ω)∈H0に

ら にF*±:H0→HをF±

つい て

の共 役作 用 素 と

(Hで). 

  証 明  F(σ,rp)∈B(L2μ(Ω),h)が

が,任

意 のf,g∈L2μ(Ω)に

強 収 束 す る か ら(20.6)よ

つ い て 成 り立 つ.L2μ(Ω)はHで

て 上 の 主 張 は ユ ニ タ リー 性 を 除 い て す べ て,定

理14.6と

(20.25)

り

稠密 で あ り,従

同 様 に 証 明 さ れ る.

ユ ニ タ リ ー 性 に つ い て も 途 中 ま で 同 じ 証明 を た ど る こ と が で き,結 ∈H0がF*(±

σ)h±(σ,・)=0(a.e.σ>0)を

っ

局h±(σ,ω)

満 た す と き にh±(σ,・)=0(a.e.a>0)

が 成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い.   命 題20.6よ

り,任

そ こ で 今g=gφ,φ

意 のg∈L2μ(Ω)(1/2<μ<1/2+δ3)に

∈C2(Sn-1),と

が 言 え,C2(Sn-1)がhで

お け ばR(±

対 して

σ)gφ=υ φ(・,± σ)で

稠 密 な の でh±(σ,・)=0(a.e.σ>0)が

あ るか ら

従 う.

 §21  定 常 波 動 作 用 素 の 時 間 に依 る表 示  短 距 離 型 摂 動 の場 合,波 動 作 用 素(15.5)は

存 在 して

(21.1) の よ うに 表 せ る(定

理15.8).遠

距 離 型 摂 動 の 場 合 もF*±

え られ た 作 用 素 とす れ ば,(21.1)の右 を 定 義 し て,そ を 

辺 は 意 味 を も つ.そ

を 定 理20.10に

与

こ で(21.1)でW±

れ を 定 常 波 動 作 用 素 と 呼 ぶ こ と に す る. は に 写 す ユニ

タ リー 作 用 素 で,Λ0とΛ

  とを

W±Λ0=ΛW±

の よ うに つ な ぎ 合 せ て い る.定

常 散 乱 作 用 素 は(16.1),す

 (21.2)

な わ ち,

(21.3)

で 定 義 さ れ,Λ0と

可 換 な〓0上

の ユ ニ タ リー 作 用 素 に な る.

 この よ うに 定 常 的 に は 波 動 作 用 素,散 乱 作 用 素 が 遠 距 離 型 の 問 題 に 対 して も 定 義 され る.し か し,こ れ は 時 間 に 関 係 す る定 義 で は な い し,ス ペ ク トル表 現 の構 成 も短 距 離 型 の 場 合 と異 な っ て お り,そ の物 理 的 意 味 づ け は 明瞭 で な い. 事 実,後 に も触 れ るが,遠 距 離 型 の 問 題 に 対 して は(15.5)の

意味での波動作

用 素 は 一 般 に 存 在 しな い.  この 節 で は,上 に 述 べ た 定常 波 動作 用 素 の時 間 に 関係 す る表 示 を,(15.5)に な るべ く似 た 形 で 求 め る.た だ しc(x)=0と 問 題 を か ぎ る.c(x)が

して,最

も簡 単 な 遠 距 離 型 摂 動 に

遠 距 離 型 摂 動 で存 在 す る場 合 は擬 微 分 作 用 素 のL2-有 界

性 に 関 す る結 果 な ども必 要 に な り,簡 単 で は な い.  さて 我 々の仮 定 の も とで は,

(21.4) と な っ て おり,ρ って 相 関 数

を 定 義 す る 補 正 関 数 もY(x,κ)=κY(x)な

ρ は 今 の 場 合,次

る形に求ま

る.従

の よ うに 与 え ら れ る:

(21.5)

(21.6) こ こ に は,R>R0は

(21.7) と な る よ うに 選 ん で あ る(こ '定数'を

れ は ∂rY(x)=O(r-2δ1)よ

加 え る こ と に よ りY(Rx)=0と

 φ=φ(σ,ω)∈C∞0(R+×Sn-1)に

り可 能).ま

たY(x)は

な る よ うに 調 整 し て あ る .

対 し て(20.18),(20.25)か

らF*± φ の 次 の 表

示 が 得 ら れ る:

(21.8) 次 の よ うに お こ う:

(21.9)

ψ(x)は(20.8)を

満 た す 実 数 値 関 数 で あ り,以

∈C∞(R)をtの

下 で は 次 の よ うに 与 え る.ψ1(t)

単 調 非 減 少 関 数 で ψ1(0)=0,=1(t>1)と

な る も の と す る.こ

の とき

(21.10)   命 題21.1 

K*± はH0か

1を 越え な い.さ

ら に,任

らHへ

の 有 界 作 用 素 に 拡 張 さ れ,そ

意 の φ∈H0に

の ノル ムは

対 し てK*±(e-iσtφ)(x)∈Hはtの

連

続 関 数 で あ り,

(21.11) (21.12)  証 明   (21.9),(21.10)に

こ こ でs=ξ(rx)と

が 得 ら れ,K*± Parsevalの

お け ばds=∂rξ(rx)drよ

が 有 界 で‖K*± ‖≦1と

等 式 が 用 い られ て い る.上

と な り,ψ1(s±t)=1(s±t>1)に  

よ り

K*±(e-iσtφ)のtに

り

な る こ と が 示 さ れ る.最

後 の等 式 で は

の 議 論 で φ をe-iσtφ に 変 え れ ば

注 意 し て(21.11),(21.12)が

つ い て の 連 続 性 を 言 う の に,不

等式

導 か れ る.

に 注 目 す れ ば よ い.￨e-iσt-e-iσt′￨≦4で →0(t→t′)で

あ

あ る か ら ,Lebesgueの

り,各

定 理 が 使 え,右

σ に つ い て￨e-iσt-e-iσt′￨ 辺 はt→t′

と と も に0に

近 づ く.

 (21.11)に よ り   0)のt→

(今の場 合Lは

± ∞ での 本 質 的 部 分 は  

剰余項  

正 値 な の でH=√L>

で 与 え られ る こ とが期 待 さ れ る.

を評 価 す るため に,次 の命 題 が 重 要 で あ る.

 命 題21.2 

とし,ζ(x,σ)を 台 が Ω×Δ に 属 す 連 続 関 数 で

(21.13) な る性 質 を もつ もの とす る.ま た ξ(x)を 実 数 値 を とる連 続 関 数 で

(21.14) な る 性 質 を もつ も の とす る.こ

の と き(s,t)∈R+×R+に

対 して

(21.15) と お け ば,η

±(x,s,t)は

各tに

つ い てL1s(R+;H)に

属 し,

(21.16)  こ の 命 題 は 鞍 部 点 法(stationary

phase

method)を

任 意 の φ∈C∞0(R+×Sn-1)に

対 して

用 い て 証 明 さ れ る が ,ひ

と ま ず こ れ を 認 め て 先 に 進 も う.   命 題21.3 

(21.17)   証 明   φ(σ,・)の 台 が 

に 含 まれ る も の とす る.

(21.18) (21.19) と お こ う.

であ るか ら

こ こ に ζφ(x,± σ)は 次 の よ う に 定 め ら れ た 関 数 で あ る:

(20.13)の

表 示 か らわ か る よ う に,ζ φ(x,± σ)は

件(21.13)を

満 た す.ま

を 満 た す.従

っ て,命

が 得 ら れ る.あ

た ξ(x)は(21.6)で

題21.2が

と は 定 理15.3の

δ=δ1と

し て 命 題21.2の

条

定 義 さ れ た 関 数 で あ り,(21.14)

適 用 で きて

証 明 を そ の ま ま た ど っ て(21.17)が

示 さ れ

る.

  命 題21.1,21.3か  定 理21.4 

ら 次 の 定 理 が 示 され る.

(ⅰ) 任 意 のf∈Hに

対 して

(21.20)  (ⅱ)  遠 距 離 型 同 一 視 作 用 素J± ∈B(H0,H)を

次 の よ う に 定 義 す る:

(21.21) この とき定 常 波 動 作 用 素F*±F0が

次 の時間 に 関 係 し た表 現 を もつ:

(21.22)   証 明  (ⅰ) F±f∈C∞0(R± ×Sn-1)と

が 言 え る.こ B(H0,H)で

の よ う なfはHで あ るか ら,(21.20)が

 (ⅱ)  (21.20)でf=F*±F0gと

と な る.e-iHtはH上

な る よ う なfに

稠 密 で あ る.ま 任 意 のf∈Hに

つ い て は 命 題21.3か

た 命 題21.1よ

りK*± ∈

つ い て 成 り立 つ .

お け ば

の ユ ニ タ リ ー 作 用 素 だ か ら,こ

 この 定 理 の 物 理 的 な 意 味 づ け は 次 節 でな され る.

れ は(21.22)を

ら

示 す.

 こ の 節 の 残 り で は 命 題21.2の

証 明 を 与 え る.そ

のた め に

(21.23) と お く.ま

た 

と し,次

の 記 号 を 用 い る:

(C>1は(21.14)の

  補 題21.5 

定 数C1>0が

存 在 し て,任

定 数),

意 のx∈Ω1,s,t∈R+に

つ いて

(21.24)   証 明  ξ(x)≦Crで

あ る か らx∈Ω1で

は

そ こで

を 部 分 積 分 す れ ば,ζ(x,σ)に対

す る 条 件(21.13)か

ら,求

め る不 等 式 が 得 ら

れ る.

  補 題21.6 

定 数C2>0が

存 在 し て,x∈Ω2,s,t∈R+,s>1に

ついて

(21.25)  証 明   次 の よ うに お く:

こ こに

ω(λ)∈C∞(R)は0≦

る 関 数 で あ り,σc=(ξ(x)-t)/2sは point)で

あ る.こ

のh1,h2を

ω(λ)≦1,ω(λ)=1(￨λ￨<1/2),ω(λ)=0(￨λ￨>1)な 相 関数 用 い てη±

σ2s+σt-σ

ξ(x)の

臨 界 点(critical

を 分 解 す る:

(21.26)

 ま ずη±,1を 考 え る.

に注意すれば

(21.27) こ こに 積 分 

は も とも とがΔ

上 の 積 分 で あ った の で, 

け る 極 限 で あ る と考 え る こ とが で き る.従

にお

っ て,Fresnel積

分 とし て

(21.28) 一 方 ,第2項

は 部 分 積 分 で き,ま た積 分 順 序 の交 換 をす れ ば

こ こに

ζ(x,σ)の 条 件(21.13)を

考 慮 す れ ば,こ

れ と(21.28)と

か ら

(21.29) が 得 ら れ る.次 従 っ てh2の

にη±,2を

考え

る.{σ

台 上 で は￨2σs+t-ξ(x)￨>sと

を 部 分 積 分 し て(21.13)を

∈Δ;￨σ-σc￨<1/2}で な る.そ

はh2=0で

あ り,

こ で

用いれば

(21.30) が 得 られ る.(21.29)と(21.30)と   命 題21.2の

こ こ で,

か ら 補 題 が 示 さ れ る.

証 明  次 の 不 等 式 に 注 意 し よ う. 

とし て

と な る こ と に 注 意 す る と,補

題21.5,21.6に

一 方 ,C3>0が

意 のs>0に

存 在 し て,任

よ り

つ いて

これ ら を合 せ て

を得,命 題 が 証 明 され る.

 §22  漸 近 波 動 関 数 とエ ネ ル ギ ー 分 布  こ の節 で はa(x)-aが 期 境 界 値 問 題(6.5)を

遠 距離 型 の摂 動 で あ り,c(x)≡0の

場合について初

考 え,t→ ±∞ に お け る解 の漸 近 的 性 質 を調 べ る.

 初 期 条 件{φ1,φ2}∈D(H)×Hに

対 して 解 を 考 え るの で あ るが,簡 単 の た め

に

(22.1) と お き,解

と して は

(22.2) の表示

(22.3) を 考え る こ と に す る.   次 の よ う に お く:

(22.4)

  補 題22.1 

は ユ ニ タ リ ー 作 用 素 で あ る.

  証 明   F±:H→H0=L2(R+;h)が

これ は

ユ ニ タ リー で あ る か ら,(22.4)に

∼± の 等 距 離 性 を 示 し て い る.H0=L2(R+;h) 

と な る こ と に 注 意 す れ ば,∼ ± は り,ユ

〓 か らH0の

L2(R-;h)で

よ り

あ り

上 へ の 作用 素 とな る こ とが わ か

ニ タ リ ー 性 が 示 さ れ る.

  命 題22.2 

任 意 の 

に対 して

(22.5) と お く と, 

は ユ ニ タ リー作 用 素 で あ り

(22.6) こ こ にK*± ∈B(H0,H)は(21.9)で

定 義 さ れ た 作 用 素 で あ る.

  証 明   f→F±

の ユニ タ リー 性 は 補 題22.1とParsevalの

あ る.(22.6)は

次 の よ うに 示 さ れ る.(21.9)よ

等 式 か ら 明 らか で

り

 左辺

  定 義22.1  e-iΛt,t∈R,に

各 

に 対 し(22.5)の

対 応 す る 波 の 輪 郭(wave

関 数F±(s,x)を

profile)と

ユ ニ タ リー 群

呼 び,

(22.7) をt→

±∞

に お け る 漸 近 波 動 関 数(asymptotic

wave

function)と

呼 ぶ.

  上 の 定 義 お よ び 命 題21.1,定   定 理22.3 

任 意 の 

理21.4か

ら 次 の 定 理 が 示 さ れ る.

に対 し

(22.8) (22.9) (22.10)   証 明   (21.10)に

注意して

写 像 ∼± の ユ ニ タ リー 性 を 用 い れ ば,(22.8),(22.9)の 着 さ れ る.同

様 に(22.10)は

定 理21.4の

証 明 は 命 題21.1に

帰

証 明 に 帰 着 す る.

  こ の よ うに,波

の 伝 播 は 本 質 的 に は 漸 近 波 動 関 数,す

な わ ち,ゆ

球 面 波(22.7)に

よ っ て 記 述 さ れ る こ と が わ か っ た.こ

れ よ り波 の エ ネ ル ギ ー

分 布 につ い て,い

くつ か の 結 果 が 得 ら れ る.

  次 の 記 号 を 用 い る こ と に し よ う.θ1(t),θ2(t)をtの ≦∞

な る も の と す る.C0を

単 位 球 面Sn-1上

がんだ発散

連 続 関 数 で0≦

θ1(t)≦θ2(t)

の可 測 集 合 とし て

と お く.

 命題22.4 

任 意 の 

に対 し

(22.11)   証 明 χK(x)をK(θ1(t),θ2(t);C0)上

で あ る か ら 

の 定 義 関 数 と す る.こ

の とき

とお け ば求 め る式 が 得 られ る.

  任 意 の 領 域K⊂

Ω に 対 し て,解u(t)の

時 刻tに

お け るエ ネルギ ー を

(22.12) で 定 義 す る.t<0の   定 理22.5  在 し て,任

と き も 同 様 に あ つ か え る の でt>0の

任 意 の ε>0と 

意 のt≧t0に

つい て

場 合 を 考 え る.

に 対 し 実 数 η>0とt0≧max{1,η)が

存

(22.13) す なわ ち,ほ

とん どの エ ネ ル ギ ーが同 じ厚 さ を も った 発散 す る"円 環"領 域 に

集 中 し て伝 播 す る.   証 明  任 意 のK⊂

Ω に 対 して

K=K(t-η,t+η;Sn-1)と

ま たt0を

し,η

を 充 分 大 き く と れ ば 命 題22.4に

充 分 大 き く と れ ば 定 理22.3に

E(t;w,K)≦E(0;w,Ω)は

よ り,任

明 ら か な の で,こ

意 のt>t0に

れ ら か ら(22.13)が

よ り

ついて

示 さ れ る.

 次 の 定 理 は"円 錐"内 で の エ ネル ギ ー の 漸 近 分 布 を 記 述 して い る.   定 理22.6 

Cを

こ の と き 任 意 の 

原 点 を 頂 点 と す るRnで

の"円

錐"と

す る:C=R+×C0.

につ い て

(22.14)  証 明   Ω ∩C=K(0,∞;C0)で

あ る か ら 命 題22.4お

よ り

一方

,定

理22.5の

こ れ ら か ら(22.14)が

証 明 か ら も わ か る よ うに

従 う.

よ びParsevalの

等式

  遠 距 離 型 摂 動 に 対 し,第4章

の意 味 で の波 動 作 用 素 は一 般 に存 在 し な い こ と

が(22.7)の

表 示 か ら わ か る.

  Laplace作

用 素 の 遠 距 離 型 ス ペ ク トル 表 現 は,作

用 素F0(σ)∈B(L2μ(Rn),h):

(22.15) (22.16) を 用 い て 構 成 さ れ る.従

っ てd'Alembert方

程 式 に 対 す る漸 近 波 動 関 数 を 求 め

る と,

(22.17) な る 発 散 球 面 波 が 得 られ る.こ

こ に 波 の 輪 郭F0,±(s,x)は

に 属 す 関 数 で あ る.(22.17)と(22.7)と

がt→

±∞

や は り 

で(L2の

意 味 で の)同

じ関数 を与 え るた め に は

が 存 在 す る必 要 が あ るが,遠

距 離 型 摂 動 で は 右 辺 が 発 散 し て し ま う.

  こ の 章 を 終 え る ま え に(22.15)と(4.13)と

の 関 係 を 注 意 し て お こ う.こ

れ ら は 独 立 に 定 義 さ れ,そ

れ ぞ れLaplace作

  次 の 命 題 で,こ

の 作 用 素 が 本 質 的 に は 同 じ も の に な っ て い る こ とが

れ ら2つ

用 素 の ス ペ ク トル 表 現 を 与 え る.

わ か る.   命 題22.7 

fをf(ξ)∈C∞0(Rn)な

る 関 数 と す る.こ

の と きx∈Sn-1に

一

様に

(22.18)  証 明は省略す るが

に お い て,球 面 積 分 に 次 の 補題 を用 い れ ば よい.

  補 題22.8 

h(ω)∈C∞(Sn-1)に

対 し て

(22.19) こ こ にq0(x)は,任

意 の多 重 指 標 α に つ い て

(22.20) を満 たすC∞-関 数 で あ る.   こ の補 題 はMorseの

補 題 と鞍 部 点 法 を 用 い て 証 明 され る.例

に も っ と一 般 の場 合 の証 明 が与 え られ て い る.

えば 松 村[65]

第6章  半線形波動方程式

 以下 の3つ の 章 で は 変数 分離 型 で な い 問題,主 る.我

に半 線 形 の 波 動方 程 式 を考 え

々の関 心 は や は りt→ ±∞ で の解 の漸 近 性 質 に あ るが,そ の まえ に 本 章

で時 間 に 関す る大 域 解 の存 在 を 保 障 し よ う.中 心 的 な問 題 は局 所 解 の存 在 とそ の延 長 可 能 性 で あ る.後 者 に は解 の有 界性 に関 す る先 験 評 価 が 必要 で あ り,そ のた め,非

線 形 項 に 対 す る仮 定 は い っそ う厳 し い もの に な る."小

さい"初 期

デ ー タ に対 して は 先 験 評 価 が 楽 に導 け,仮 定 が 緩 め られ る場 合 が あ る.こ れ に つ い ては 本 章 で は な く,散 乱 問 題 との 関 連 で 第8章 で 言 及 す る.

  §23  解 の 存在 と 一意 性  この節 で は 問 題 を あ る程 度 抽 象 的 にあ つ か うこ とに して,双

曲型 発 展 方程 式

に 対 す る次 の初 期値 問題 を考 え る:

(23.1) こ こ にL=H2はHilbert空

間H上

の 正 値,自

は 線 形 ま た は 非 線 形 の 摂 動 項 を 代 表 す る.ま

己 共 役 作 用 素 で あ り,F(w(t))

た,初 期 デ ー タ{φ1,φ2}はH×H

の 適 当 な ク ラ ス に 属 す も の とす る.   以 下 で は(23.1)の 言 え,(23.1)を

強 解 を 問 題 に す る.こ

の と き はF(w(t))∈Ct(R+;H)が

次 の よ うに 積 分 方 程 式 に 書 き 直 す こ と が で き る.

(23.2) (23.3)

 (23.2)の

局 所 可 解 性 を 縮 小 写 像 の 原 理 に よ っ て 示 そ う.

  関 数u(t)∈Ct([0,T);D(H2))∩C1t([0,T);D(H))の

うち不 等 式

(23.4) を 満 た す も の 全 体 をX(T)と

す る.こ こ に ‖ ‖はHの

ノ ル ム で あ り,‖  ‖eは

(23.5) な る エ ネ ル ギ ー ・ノ ル ム を 表 す.X(T)が

ノル ム ‖   ‖X(T)に よ っ てBanach

空 間 に な る こ と に 注 意 し よ う.  仮 定

Ⅳ  単 調 増 大 な 関 数 θk(λ)(λ≧0,k=1,2)が

υ(t)∈X(T)に

対 し て0≦t
存 在 し て,任

意 のu(t),

次 の 不 等 式 が 成 り立 つ:

(23.6)

(23.7)

 この 条件 の も とにX(T)上

の 作用 素 Φ を次 の よ うに定 義 す る:

(23.8)  命 題23.1 

任 意 のu(t)∈X(T)に

対 して

(23.9) で あ り,さ らに 次 の 不 等 式 が 成 り立 つ:

(23.10) (23.11)   証 明   仮 定 Ⅳ よ りF(u(t))∈Ct([0,T);D(H))が 実 際 に 微 分 す る こ と に よ っ て(23.9)が

示 さ れ る.さ

言 え る.従

っ て(23.8)を

らに

(23.12)

な る 不 等 式 が 得 ら れ,こ

れ と(23.6)と

か ら(23.10)が

Φu(t)-Φ υ(t)に 対 す る 同 様 な 不 等 式 と(23.7)か  定 理23.2(局

示 さ れ る.(23.11)は

ら 得 ら れ る.

所 可 解 性)  仮 定 Ⅳが 満 た され て い る とす る.こ

の とき任 意 の

(23.13) に 対 し てT0>0を 存 在 す る.こ

充 分 小 さ く選 べ ば,(23.2)の

こ に 存 在 区 間[0,T0)は

解 がX(T0)の

中に 一 意 的 に

初 期 デ ー タの ノル ム

(23.14) の大 き さに のみ 依 存 し て決 ま る.  証 明   一 般 に

(23.15) が 言 え,従 2aと

っ て(23.3)のw0(t)に

で き る.さ

こ の と き,写

ら にT0を

つ い てT0>0を

小 さ く し て,次

像w→w0+ΦwはX(T0)で

自身 に 写 し,任

意 のu,υ

小 さ く 選 べ ば ‖w0‖X(T0)≦

の 不 等 式 が 成 り立 つ よ うに す る:

の 球B={u;‖u‖X(T0)≦3a}を

∈Bに

それ

対 し

(23.16) (23.17)  こ の2つ

の 不 等 式 か ら(23.2)の

が で き る.一

意 性 は(23.17)か

の よ うに 定 め る とwn(t)∈Bで

と な る.従 (23.2)を

解w(t)∈X(T0)の

っ てwn(t)はn→ 満 た す.

ら 明 ら か な の で,存

存 在 と一 意 性 を 示 す こ と 在 を 言 う.wn(t)を

逐次

あ って

∞

と と も にXm(T0)で

収 束 し,極

限w(t)は

  大 域 解 の 存 在 を 言 う の に,解

の 有 界 性 に 関 す る 先 験 評 価 が 必 要 に な る.そ

れ

解 が 区 間[0,T)で

初

を 仮 定 に 加 え よ う.   仮 定 Ⅴ  (23.2),(23.13)の 期 デ ー タ に 対 す る(23.14)の 任 意 の0≦t
量aに

存 在 す る とす れ ば,Tと

だ け 依 る 定 数C(T,a)>0が

存 在 し て,

対 して

(23.18)   命 題23.3 

(23.2),(23.13)の

C(T,a)>0が

存 在 し て,任

解 が 区 間[0,T)で

意 のt
存 在 す る とす れ ば,定

数

対 して

(23.19)  証 明   次 の よ うに お く:

方 程 式(23.2)お

よ び(23.12)か

ら,任

意 のt
ついて

線形部分 に対 しては

が 成 り立 つ.従

っ てGronwallの

が 示 さ れ,(23.19)が

不 等式 を用 い て

得 ら れ る.

 局 所 解 の存 在 と上 の先 験 評 価 とか ら大 域 解 の 存 在 が 示 さ れ る.  定 理23.4(大

域 的 可 解 性)  仮 定 Ⅳ,Ⅴ が 満 た され て い る とす る.こ の と き

任 意 の 初 期 デ ー タ(23.13)と

任 意 のT>0に

対 し て(23

.2)の

解 がX(T)の

中 に 一 意 的 に 存 在 す る.   証 明   大 域 解 は 局 所 解 を 延 長 す る こ と に よ り構 成 す る.t=T1
で解が

構 成 さ れ て い れ ば,次 2)を

に 初 期 デ ー タ を{w(T1),∂tw(T1)}と

考 え る の で あ る が,(23.19)よ

に よ ら な い.従   (23.2)の

求 め ら れ た が,こ

に な る も の と 期 待 さ れ る.そ   定 理23.5 

り 局 所 解 の 存 在 範 囲[T1,T1+T0)はT1

っ て 有 限 回 の 延 長 の 操 作 で,解

大 域 解w(t)が

仮 定Ⅳ,Ⅴ

が 唯 ひ と つ 存 在 し,そ

し てt>T1で(23.

は 必 ずTま

で 延 長 さ れ る.

れ は 初 期 値 問 題(23.1)の

強解

れ を 証 明 し よ う.

お よ び 条 件(23.13)の

れ は 上 のw(t)に

  証 明  w(t)∈X(T)が(23.2)を

も と に,(23.1)の

大域的強解

よ っ て 与 え ら れ る.

満 た す と し よ う.定

理5.1お

よ び(23.9)

に注意すれば

そ こ で 微 分 を 実 行 す れ ば(23.1)が (23.1)の

強 解 は(23.2)を

導 か れ,こ

のw(t)は

強 解 に な る.一

方

満 た す の で 一 意 性 は 明 ら か で あ る.

 §24  具 体 的 な 問 題 へ の 応 用  この 節 で は 波 動 方 程 式 の初 期 値 問 題

(24.1) を 考 え る.摂

動 項F(w)を

次 の よ うに 与 え る:

(24.2) 以下では (24.3) と お き,Gのt等   (24.1)を

に 関 す る 偏 導 関 数 をGt等

と略 記 す る.

抽 象 化 す る に はH=L2(Rn;a-2); D(H)=H1(Rn)と

お け ば よ い.問

題 は 仮 定Ⅳ,Ⅴ

を 確 か め る こ と で あ る が,そ

の た め に摂 動 項 に

次 の 条 件 を 課 そ う.   仮 証Ⅵ   F(w(t))は

次 の(A1),(A2),(P1)を

  (A1)b(x,t),c(x,t),d(x,t)は(x,t)∈Rn×R+で

満 た す: 実 数 値 を と り,全

て

の1階  (A2) 

偏 導 関 数 と と も に 有 界,連

定 数C>0が

 (P1)  n=1,2の

とき

の 条 件 の も と に 初 期 値 問 題(24.1)を 対 し て,大

 

n≧5の

  仮 定Ⅳ を 見 る の に 次 のSobolevの m>0を

考 え る.任

域 的 強 解w=w(x,t)が

局 所 解 を 求 め るに は 条 件(A1),(P1)だ

  補 題24.2 

ついて

と

非 線 形 項 を 含 ま な い.

∈H2(Rn)×H1(Rn)に  注 意24.1 

意 の(x,t,w)∈Rn×R+×Cに

と き2≦p<∞;n=3,4の

きF(w)は   定 理24.2 上

存 在 し て,任

続 で あ る.

意 の{φ1,φ2}

唯 ひ とつ 存 在 す る.

け が 用 い られ る.

不 等 式 が 本 質 的 で あ る.

自 然 数 と し,0≦

γ≦1,1≦p,q≦

1/p=1/q-γm/n(n:空

∞

とともに

間 次 元)

な る等 式 を 満 た す とす る.こ の と きγ,m,nの

み に よる定 数C>0が

存在 して

(24.4) こ こ に‖u‖p,1
∞,はLp(Rn)の

略 す る こ とが あ る).た

ノ ル ム で あ る(p=2の

だ しm-n/qが

と きは添 字 を 省

非 負 整 数 の と き は γ=1と

と る こ とは

で き な い.   証 明   一 般 の 場 合 は 例 え ばFriedman[24]を こ こで はm=1,1qの   1/p=1/q-1/nと

場 合 だ け を 証 明 す る.

お け ばHolderの

な る不 等 式 が 得 られ る.従

参 照 し て も ら う こ と にし て,

不 等式 よ り

って問 題 は

(24.5) な る 不 等 式 を 示 す こ と に 帰 着 す る.こ き￨u￨p=(￨u￨r+1)n/(n-1)で

とな るか ら

あ り,ま

こ でr=(q-1)n/(n-q)と た

お く.こ

の と

こ の 両 辺 をx1に

さ ら に,次

つ い て(-∞,∞)で

々 とx2,x3,…

積分すれば

で 積 分 す る こ とに よ り

これ を 

に注意 すれ

で 割 り, 

ば,(24.5)が

得 ら れ る.

  補 題24.3 

任 意 の1
に 対 し て 正 数Cp>1が

存在して

(24.6) がf,∇f∈Lp(Rn)な

る 全 て のfに

つ い て 成 り立 つ.

  証 明   この 補題 は 等 式

とRiesz変 [16]ⅩⅠ.7参   命 題24.4 

換Rjf=F-1[(iξj/￨ξ￨)f(ξ)]のLp-有 照)と

界 性(Dunford-Schwartz

か ら 示 さ れ る.

任 意 のT>0に

対 し てu(t),υ(t)∈X(T)と

す る と,0≦t
(24.7)

(24.8)   証 明   u(t),υ(t)が 滑 ら か な 関 数 の 場 合 に 命 題 を 示 せ ば よ い.F(w(t))の 係 数 に 対 す る 条 件 に よ り(p≧2に

注 意 せ よ)

形 と

右 辺 各 項 のL2-ノ

ル ムを 評 価 す る の だ が,線

形 部 分 に つ い て は 補 題24.3よ

り

(24.9)

な る不 等式 が成 り立 つ.一 方,非 線 形 の 部 分 に つ い て は 補 題24.2も

用 いて

こ こ に γ=n(p-1)/2pで

が要 請さ

れ る が,こ

れ とp≧2と

が 求 ま り,こ   定 理24.1の わ か っ た.そ うに,θ1は

あ る.0≦

γ≦1で

を 合 せ た も の が 条 件(P1)で

れ ら を 合 せ て(24.7),(24.8)が 証 明   上 の 命 題24.4に こ で,仮

あ る た め に  あ る.同

様 にして

示 さ れ る. よ りF(w(t))が

仮 定Ⅳ を 満 た す こ とが

定Ⅴ を 示 せ ば 定 理 が 証 明 さ れ る.(24.7)か

一 般 に ノ ル ム‖w(t)‖e+‖w(t)‖

に 依 っ て い る.そ

らわ か る よ

こ で 勝 手 なTま

で の こ の ノル ム の 有 界 性 を 示 そ う.   Lp+1(Rn)⊃L2(Rn)∩L2p(Rn)で

あ る か ら,(24.1)にGreenの

公式を適用 して

(24.10) (§26参 照).こ 0≦t
こ で(A2)に

注 意 す れ ばGronwallの

不 等 式 が 使 え,任

意 の

つい て

これ と(23.15)と

か ら 求 め る 評 価 式 が 得 ら れ る.

  §25  も う ひ と つ の 存 在 定 理   摂 動 項F(w(t))に 厳 し い.こ

対 す る 前 節 の 条 件(P1)は,n≧3に

れ を も う少 し 緩 め た い が,そ

の は 制 限 し て,次

の た め に,こ

対 し て は い か に も の 節 で はFの

形その も

の 場 合 を 考 え る.

  仮 定Ⅵ′   F(w(t))は

次 の(A1)′,(P1)′

お よ び 前 節 の(A2)を

  (A1)′  (24.2)でb(x,t)=c(x,t)≡0.即

満 た す:

ち,

(25.1) で あ っ てd(x,t)は  (P1)′  n=2,3で

前 節 の(A1)を

満 た す.

あ っ て,

 さて,こ の 問題 に対 し て 前 と同様 に 積分 方 程 式

(25.2) を 考 え,ま

ず 局 所 解 の 存 在 を 示 そ う.そ

の た め にBanach空

間X(T),T>0,

を 次 の よ う に 定 め る:

(25.3)   命 題25.1 Φ
を(23.8)の

る 任 意 のqに

作 用 素 と す る.こ 対 し て

の と き,max{1,n/3,2/(5-n)}

(25.4) こ こ にC>0はqの

み に よ る 定 数 で あ る.

  補 題 を 重 ね て,こ   補 題25.2 

の 命 題 を 証 明 し よ う.

r>1で

次 の 等 式 が 成 り立 つ:

(25.5) (25.6) こ こ にJv(rρ)はBessel関

数 で あ る.

  証 明   r>1,μ+v-λ+1>0,λ>-1と 公 式 と 呼 ば れ る,次 森 口-宇

田 川-一

す る と き,Sonine-Schafheitlinの

の 等 式 が 成 り立 つ(『 岩 波 数 学 辞 典 』,公

松[79]p.193参

式18,19ま

たは

照):

(25.7) こ こ に2F1はBarnesの

と な り,(25.5)が

よ り,(25.6)が

一 般 超 幾 何 関 数 で あ る.こ

得 ら れ る.次

得 ら れ る.

に

の公式を用いれば

 注 意25.1 

  補 題25.3 

(25.6)の

右 辺 は 

に 等 し い.

次 の よ うに お く.

(25.8) こ の と き1/q+1/q′=1,q′>n/(n-1)(n=4の る 任 意 のq,q′

場 合 は さ ら に2/(n-3)>q′)な

に つ い て ‖K(・,t)‖q′

な る不 等式 が成

り 立 つ.こ

こ にC>0はq,q′

  証 明   K(x,t)=t2-nK(t-1x,1)で

とな り,(25.9)が

に よ る 定 数 で あ る.

あ る か らK(x,1)∈Lq′(Rn)で

得 ら れ る.K(x,1)∈Lq′(Rn)を

を 用 い れ ば,K(x,1)は

使 え,r→

K(x,1)のr=1で

の 発 散 の 位 はO(￨r-1￨-(n-3)/2)(n=3に

照)で

  命 題25.1の

あれ ば

示 そ う.第1章

の 補 題2.1

次 の よ うに 表 示 さ れ る:

従 っ て 補 題25.2が

25.1参

(25.9)

≦Ct2-n/q 

あ る か ら,上

∞ で

のq′

証 明   Φu(t)は

に 対 し てK(・,1)∈Lq′(Rn)が

次 の よ う に か け る:

対 し て は 注 意 示 さ れ る.

(25.10) (25.8)か

ら わ か る よ う に,H-2sin(H(t-s))は

核K(x-y,t-s)を

た み 込 み 形 の 積 分 作 用 素 に な っ て い る.従 1/q′+1/q=1な

る任 意 のq,q′>1に

っ て 補 題25.3に

  定 理25.4(局

所 可 解 性)  (25.1)が(A2)お

n=2,3で

よ り命 題 の 不 等 式 が 得 ら れ る. よ び 次 の(P2)を

満 た す と す る:

あ っ て,p≧2.

ま た φ={φ1,φ2}∈H2(Rn)×H1(Rn)を で 線 形 方 程 式 の 解w0(t)が T0≦Tを

不 等 式 を 用 い れ ば,

対して

が 成 り立 つ.従

 (P2) 

っ てHolderの

も つ,た

一 様 連 続 で 有 界 に な る よ う に 選 ぶ.こ

充 分 小 さ く選 べ ば,(25.2)の

の 存 在 区 間[0,T0)は,や

任 意 の 帯 状 領 域{(x,t)∈Rn×[0,T)}

解 がX(T0)に

の と き0<

一 意 的 に 存 在 す る .解

は り

(25.11) の 大 き さ だ け に 依 存 し て 決 ま る.   証 明   qを1
よ うに 選 ぶ.命

題25.1を

こ の 右 辺 に つ い て は,明

らか に

で あ り,ま

不 等 式 よ り(p≧2に

たHolderの

こ こ にr=2q/(2-q)>2.こ

用 いれ ば

注 意 せ よ)

れ ら の不 等 式 か ら

な る非 減 少 関 数 θ の存 在 が 言 え,3-n/q>0に 様 の縮 小 写 像 の原 理 が 使 え る.

注 意 す れ ば,定

理23.2と

同

  大 域 解 は 局 所 解 を 延 張 し て 構 成 す る.そ

の た め に,仮

定Ⅴ に 相 当 す る,解

の

先 験 評 価 が 必 要 に な る.   命 題25.5  こ の と き,こ て,任

仮定 Ⅵ′ が 満 た さ れ,(25.2)の のTと(25.11)の

意 の0≦t
量aと

解 が0≦t
存 在 す る と す る.

に だ け よ る 正 数C(T,a)>0が

存在 し

つ いて

(25.12)   証 明   定 理24.1の

この不 等 式 は

証 明 の 中 で 示 し た よ う に,任

‖w(t)‖eの 有 界 性 を 示 し て お り,さ

‖w(t)‖2の 有 界 性 も 得 ら れ る.一 れ ば,命

題25.1よ

意 の0≦t
ついて

ら に(23.15)を

考慮すれば

方,max{1,n/3}
す

り

(25.13)

こ こ に0≦

β<1,2
∞

で あ る が,こ

な る 不 等 式 を 満 た す よ う に 選 ぶ.そ 2<(p-1)2,  が成

り 立 つ こ と か ら 可 能 で あ る.従

(補 題24.2)を

れ らは

れ は(P1)′

よ り

(p-2)2<2n/(n-2) って

‖w(s)‖p-1(p-1-β)rにSobolevの

適 用 で き,(p-1-β)r=2n/(n-2γ)な

こ れ を(25.13)に

代 入 し て,‖w0(t)‖

∞,‖w(t)‖2,‖

る

γ に つ い て

∇w(t)‖2の

ば

q>1,0≦

β<1な

の で,こ

不 等 式

れ か ら ‖w(t)‖∞ の 有 界 性 が 従 う.

有 界 性 を 用 い れ

 こ の 命 題 と定 理25.4と   定 理25.6(大 ー タ{φ

域 的 可 解 性)  仮 定 Ⅵ ′が 満 た さ れ る と す る.こ

1,φ2}を

X(T)な

定 理25.4の

る(25.2)の

題(24.1)の

か ら 次 の 結 果 が 得 ら れ る.

よ う に 選 べ ば,任

解 が 一 意 的 に 存 在 す る.さ

意 のT>0に ら に,こ

の とき初 期 デ つ い てw(t)∈

のw(t)は

初 期値問

唯 ひ と つ の 大 域 的 強 解 に な っ て い る.

 証 明   定 理 の 前 半 は 定 理23.4の F(w(t))∈Ct([0,T);D(H))が

証 明 と 同 様 に 得 ら れ る.後

言 え れ ば よ い が,こ

半 を い うの に

れ は す で に 定 理25.4の

証

明 の 中 で 示 さ れ て い る.  注 意25.2 

命 題25.1は

次 の よ うに 一 般 化 で き る:

な る任 意 の γ,qに 対 して

(25.14) これ を 用 いれ ば,n≧4の に はBesov空

場 合 に も大 域 解 の存 在 を 言 うこ とが で き る.し か し,そ の た め

間 で の埋 蔵 定 理 が 必 要 と な る.

第7章 

 初 期値 問題(24.1)の

エ ネ ル ギ ー の 伝 播 と減 衰

大域 解 の存 在 が一 応保 障 され た の で,本 章 で は 解 の エ

ネ ル ギ ーを 問題 に し て,そ の 伝 播 と 衰 減 を 論 じ よ う.簡 単 の た め に,以 下 で は 解 は い つ も実数 値 を と る もの とす る.各 節 で エ ネ ル ギ ー 積分 に 関 す る評 価 式 を 駆 使 す るが,そ れ らは 定 常 問 題 に 対 して 第3章 で 用 い られ た もの に 対 応 す る.

  §26  エ ネ ル ギ ー の 有 限 伝 播性 と 有 界性  以 下 で は 解 の エ ネル ギ ーは 次 の よ うに 定 義 され る.  定 義26.1 

w=w(x,t)を(24.1)の

解 とす る.任 意 のt≧0,R>0に

対し

(26.1) を 時 刻tに

お け るKR={x:￨x￨
の 解 の エ ネ ル ギ ー と 呼 ぶ.こ

こに

(26.2) 特 にR=∞

の と き,(26.1)を

解 の 全 エ ネ ル ギ ー と 呼 び,簡

単 にE(t;w)で

表 す.  エ ネ ル ギ ー の 定 義 と し て は,(26

.1)で 

か え た も の を 用 い る こ と が 多 い((5.8),(23.5)な これ ら の 間 に は 本 質 的 な 差 は な い.   補 題26.1 

任 意 のR>0に

対 して

を ∇ で,GをGで ど).次

お き

の 補 題 が 示 す よ う に,

(26.3)  証 明   これ は 次 の 等式 か ら明 らか で あ ろ う.

  次 の よ う に お こ う:

(26.4)

υ(x,t)=r(n-1)/2w(x,t), 

(26.5) (24.1)よ

りυ に 対 す る 次 の 方 程 式 が 得 ら れ る:

(26.6)   次 の3つ な お,そ

の 補 題 は 本 章 を 通 し て よ く用 い ら れ る も の で,(26.6)か こ で はw等

  補 題26.2 

のt等

φ=φ(r,t)を

に 関 す る 偏 導 関 数 がwt等

ら 従 う.

と 略 記 さ れ る.

実 数 値 関 数 とす る と き

(26.7)   証 明  r-n+1φ υtを(26.6)の

両 辺 に 乗 じ て 発 散 形 式 を 作 る.

これ らを 合 せ て補 題 が 示 され る.   補 題26.3 

ζ=ζ(r,t),r=￨x￨,を

実 数 値 関 数 とす る と き

(26.8)  証 明  r-n+1ζυ を(26.6)の

両 辺 に 乗 じ て 発 散 形 式 を 作 る.

これ らを 合 せ て 補 題 が 示 され る.   補 題26.4 

ψ=ψ(r,t)を

実 数 値 関 数 とす る と き

(26.9)   証 明  r-n+1ψx・ ∇υ を(26.6)の

両 辺 に 乗 じ て 発 散 形 式 を 作 る.

さ ら に 命 題9.5を

導 く と き に 示 し た の と 同 様 に,

これ らを 合 せ て 補題 が示 され る.  この 節 の残 りの部 分 で は,エ

ネル ギ ー の有 限伝 播 性 と有 界性 を 主 張 す る次 の

定理 を 示 そ う.以 下 で は特 に こ とわ らな いが,解

の存 在 を保 障 す る仮 定Ⅵ あ る

い はⅥ′は常 に満 た され てい る も の とす る.  定 理26.5   (A3) 

(24.2)に 次 の 条件 を仮 定 す る:

b(x,t)≧0, 

こ の と き,任

G(x,t,w)≧0, 

Gt(x,t,w)≦0.

意 のs≧0,R>0,T>0に

ついて

(26.10)   証 明  K⊂Rn+1を

(26.7)で

φ≡1と

こ こにJはKの

次 の よ うに と る.

し て,両

方G≧0よ

任 意 のt>0に

はJで

の単 位

って仮 定 か ら

りE(s+T;w,R-aT)≧0と

の 不 等 式 が 示 さ れ る.   系26.6 

で 積 分 す る.

側 面 で 

外 法 線 ベ ク トル で あ る.従

を 得 る.一

辺 をK上

対 して

な り(補 題26.1),定

理

(26.11)   系26.7 

b(x,t)≡0,G=G(x,w)で

あ れ ば,任

意 のt>0に

対 して

(26.12)

E(t;w)=E(0;w)  と な り,エ

ネ ル ギ ー 保 存 則 が 成 り 立 つ.

 注 意26.1 

(A3)は(A2)よ

り 強 い 条 件 に な っ て い る.G(x,t,w)が(A3)を

す た め に は 係 数 が 次 の よ うで あ

満 た

れ ば よい:

(26.13)

  §27  エ ネ ル ギ ー 減 衰 へ の 摩 擦 項 の 影 響  こ の 節 で は 摩 擦 項b(x,t)wtが(24.1)の 影 響 す る か を 見 る こ と に す る.全 の 遠 方 で の 挙 動 に よ る が,こ

解 の エ ネ ル ギ ー減 衰 に どの よ うに

エ ネ ル ギ ー の 減 衰 が 起 こ る か ど うか はb(x,t)

こ で は そ れ を は っ き り さ せ た い.

 ま ず 全 エ ネ ル ギ ー の 減 衰 が 起 こ る 場 合 を 考 え よ う.  定 理27.1 

(24.2)に

次 の 条 件 を 課 す:

(A4)

ま た(24.1)の

解w=w(x,t)に

関す る量

(27.1) を 定義 し,初 期 デ ー タが 次 の 条 件 を 満 た す とす る: (27.2) こ の と き 正 数C(ε)>0が

存 在 し て,任

意 のt>0に

つい て

(27.3)   証 明  と お く.辺

補 題26.2でφ=(1+r+at)ε,補 々加 え合 せ れ ば

題26.3で

ζ=φt=εa(1+r+at)ε-1

こ れ をRn×[0,t)で

積 分 す る.(27.3)は

場 合 に 示 され れ ば よ い の で,波 必 要 が な い.従

コ ン パ ク トな 台 を も つ 初 期 デ ー タ の

の 有 限 伝 播 性 に よ り ∇・Y(t)の 積 分 は 考 慮 す る

って

(27.4) さて

で あ る か ら,ab(x,t)(1+r+at)≧2ε,ab(x,0)+2(1+r)-1≦2C1<∞に

注 意

し て

が 得 ら れ る.そ

こ で,あ

るC2≧0に

対 して

(27.5) が 示 さ れ れ ば,こ  (27.5)を

れ ら を(27.4)を

に 代 入 し て(27.3)が

示 す の に 次 の よ うに お こ う.

Z(t)=Z1(t)+Z2(t)+Z3(t)で

あ る が,す

ぐわ か る よ うに

示 さ れ る.

さ らに

よ り 

で あ れ ばZ3(t)≧0も

の と き に はZ1(t)の

φr≧0,φrt≦0に

言 え,C2=0と

し て(27.5)が

示 さ れ る.n=2

評 価 を も う少 し 精 密 に 行 う.

注意すれば

と な る か ら,C2=(n-1)/4=1/4と   上 の 定 理 は(A4)の

し て(27.5)が

示 さ れ る.

も と に 解 の 全 エ ネ ル ギ ーE(t;w)がt→∞

O(t-ε)で 減 衰 す る こ と を 主 張 し て い る.ε の 数 で あ る か ら,b0≧2/aで

あ れ ば ε=1と

は0<ε

と とも に

≦min{1,ab0/2}な

と れ る(ε>1と

る任 意

す る こ と は 一般

に

不 可 能 で あ る).  注意27.1 

(A4)は(A3)よ

い て は(26.13)か d(x,t)≧0で

ら(A4)が

あれ ば,G≦Gwwが

り強 い 条 件 に な って い る.し 導 か れ る.そ

れ はwが

(A5)

と し,(24.2)に

つ

実 数値 を と る の で,c(x,t)≧0,

自明 の 不 等 式 に な るか らで あ る.

  次 の 定 理 は 局 所 エ ネ ル ギ ー の 可 積 分 性 を 主 張 す る.   定 理27.2 

か し(24.3)のGに

次 の 条 件 を 課 す:

ま た(24.1)の

解w=w(x,t)に

関 す る量

(27.6) を 定 義 す る.こ

の と き 定 数C=C(b1,δ,α)>0が

存 在 し て,任

意 のt>0に

つ

いて

(27.7)   証 明   補 題26.2で

こ れ をRn×[0,t)で

φ≡1,補

題26.4でψ=ψ(r)と

積 分 す る.初

お く.辺

々加 え合 せ れ ば

期 デ ー タ の 台 が コ ン パ ク トで あ れ ば

(27.8) が 得 ら れ る.こ

こ でψ(r)を

次 の よ う に 選 ぼ う.

(27.9) す ぐわ か る よ う に,ψ(r)はrに

つ い て単 調 増 大 で

まずψ ≦ γ<1を 考 慮 す れ ば

(27.10)

一方

に つ い て, 

を 考 慮 し,(A5)と

さ らに 

より

こ こ でvを

ψrの 具 体 形 を 用 い れ ば

大 き く と れ ば2[(n-1)(v-1)+δ]/(n-1)(v-1)<α

と で き,従

って

(27.11)

が 得 られ る.(27.10),(27.11)を(27.8)に され,定

代 入 す れ ば,求

め る不 等 式 が 示

理 が 証 明 さ れ る.

 注 意27.2 

(24.3)が(A5)の

最 後 の不 等 式 を 満 た す た め に は

(27.12) が 要 請 さ れ る.α>2,c(x,t)≧0な を 除 き,r=0で

発 散 す るrに

シ ャ ル 項 は(24.3)か

の で,こ

の 条 件 を 満 た すc(x,t)は

つ い て の 単 調 減 少 関 数 に か ぎ ら れ る.こ

ら 実 質 的 に 排 除 さ れ る.一

む 一 定 の 有 界 関 数 が(27.12)を

満 た し て い る.

方,d(x,t)に

恒 等 的 に0の

場 合

の よ うに ポ テ ン

つ い て は,定

数関数 を含

 こ の 節 の 残 りの 部 分 で,定

理27.1のb(x,t)に

対 す る 減 衰 条 件 は,全

エネ

ル ギ ー の 減 衰 が 起 こ る た め の ほ ぼ 必 要 な 条 件 に な っ て い る こ とを 示 そ う.そ た め に, 

の

とし て 線形 方 程 式

(27.13) を 考 え る.こ の 問題 に対 す る下 の結 果 は定 理27.2の

ひ とつ の帰 結 で あ る.

 定理 を 述 べ るた め に次 の記 号 を 導 入す る:U(t,s),t≧s≧0,を

時 刻sに

おけ

る解 を 時 刻tに お け る解 に写 す 作 用 素 とす る.即 ち, U(t,s)w(s)=w(t). 

ま たw(t)と  定 理27.3  き,任

意 の 

て,関

数

(27.14)

同 じ 初 期 デ ー タ を も つd'Alembert方 (27.13)でb(x,t)は(A5)の

程 式 の 解 をw0(t)で 不 等 式 を 満 た す と す る.こ

に対 し てs=s(φ1,φ2)>0が

w(t;s)=U(t,s)w0(s), 

の エ ネ ル ギ ー はt→∞

表 す. の と 存在 し

(27.15)

t≧s 

と と も に 減 衰 し な い.

  証 明   エ ネ ル ギ ー ノ ル ム ‖w(t)‖eを

で 定 義 し,対

応 す る 内 積 を(,)eで

と な る.w(t;s)はt≧sで(27.13)の

が 成 り立 つ.両

表 す.補

題26.1よ

り‖w(t)‖2e=E(t;w)

方程式を満たすか ら

辺 を 積 分 す れ ば,w(s,s)=w0(s)に

注 意 して

(27.16) 定 理 を 証 明 す る の に,任

意 のs>0に

矛 盾 を 導 く.‖w0(t)‖e=‖w0(0)‖e>0が を 考 慮 す れ ば,(27.16)か

つ い て‖w(t;s)‖e→0(t→∞)を 任 意 のtに

仮 定 して

対 し て 成 り立 つ の で,(A5)

ら 次 の 不 等 式 が 導 か れ る:

こ こ で 定 理27.2を

用 いれ ば

と な る か ら,こ

れ ら を 上 に 代 入 し てt→ ∞

が 得 ら れ る.左

辺 はsに

独 立 で あ る が,右

近 づ く.こ れ は 矛 盾 で あ り,従

とす れ ば

辺 はsに

よ り,s→

∞

と と も に0に

っ て 定 理 が 証 明 さ れ る.

 §28  局 所 エ ネ ル ギ ー の指 数 的 減 衰  こ の 節 で は 次 の 定 理 を 証 明 し よ う.   定 理28.1 

nを3以

上 の 奇 数 と し,Rnで

摂 動 項(24.2)は(A5)お  (A6) 

関 す る 台 は コ ン パ ク トで,t,wに

あ る 球K(R)={x;￨x￨
C>0,d>0が

考 え る.

よび 次 の

b(x,t),G(x,t,w)のxに

を 満 た し,初

の 初 期 値 問 題(24.1)を

期 デ ー タ{φ1,φ2}の 存 在 し て,任

一様 に

属す 台 もK(R)に

属 す とす る.こ

意 のt0>0とt>t0+R/aに

の と き定 数

つ いて

E(t;w,at0)≦Ce-d(t-t0)E(0;w) 

(28.1)

な る 不 等 式 が 成 り立 つ.  こ の 定 理 の 証 明 に は,前 bert方

程 式(2.1)の

節 の 結 果(定

理27.2)お

解 に 対 す るHuygensの

よ び §2で 示 し たd'Alem

原 理(定

理2.6(ⅲ))が

用 い られ

る.  U0(t-s),t≧s≧0,を

斉 次d'Alembert方

tに お け る解 に 写 す 作 用 素 と し て,次

程 式 の 時 刻sに

お け る 解 を時 刻

の よ うに お こ う:

υs(t)=w(t)-U0(t-s)w(s). 

(28.2)

  補 題28.2 

υs(t)に

つ い て 次 の こ と が 成 り 立 つ:

 (a) ￨x￨
t≧s+2R/aで

 (c) 

υs(s+2R/a)の

あ る.

υs(t)は(24.1)を

満 た す.

台 は￨x￨<3Rに

含 ま れ る.

 証 明   次 の よ うに お く: u(t)=U0(t-s)w(s), 

K(R,s)を

t≧s; 

=w(t), 

t≦s.

柱 状 領 域K(R,s)={(x,t);￨x￨
す ぐわ か る よ う に,Rn×R+-K(R,s)で っ てu(t)の

台 はt≧s/2で

はd'Alembert方

す れ ば,u(t)は, 程 式 を 満 た す.従

は円錐領域

{(x,t);a(t-s)-R≦￨x￨≦at+R} に 含 ま れ る.従 (a)が

っ て￨x￨
示 され る.次

にt>s+2R/aで

に よ っ てυs(t)=w(t)が￨x￨
共 にd'Alembert方

はu(t)=U0(t-s)w(s)=0と はa(t-s)-R>Rと 成 り 立 つ.ま

な っ て お り,(a) た￨x￨>Rで

程 式 の 解 で あ る か ら,合

れ る.上 に 見 た よ うに,υs(t)は￨x￨>Rでd'Alembert方

な り,

はw(t), せ て(b)が

得 ら

程 式 を 満 た す.そ

こ

でυs(s)≡0に と な る.こ

注 意 す る と,波

れ か ら(c)が

  補 題28.3 

s≦T≦tな

の 有 限 伝 播 性 か ら,￨x￨>a(t-s)+Rで

υs(t)=0

導 か れ る. る 任 意 のTに

つ いて

υT(t)=υs(t)-U0(t-T)υs(T). 

  証 明   U0(t-s)=U0(t-T)U0(T-s)を

(28.3)

用い て(28.3)は

次 の よ う に 示

さ れ

る.

 こ れ ら の 補 題 お よび 定 理26.5,そ 必 要 な 命 題 を3つ   命 題28.4 

の 系,定

理27.2を

用 い て,定

理28.1に

証 明 す る.

任 意 のs≧0とt≧s+R/aに

対して

E(t;w,a(t-s)-R)=E(t;υs,a(t-s)-R). 

ま た,任

意 のt≧s+2R/aに

(28.4)

対 して E(t;υs)≦E(s+2R/a;υs). 

  証 明   (28.4)は Gt(x,t,w)≦0と

補 題28.2(a)か す れ ば,任

(28.5)

ら 明 ら か で あ る.系26.6でb(x,t)≧0,

意 の0≦s≦tに

つ い て,E(t;w)≦E(s;w)な

不 等 式 が 得 ら れ る.υs(t)はt≧s+2R/aで(24.1)を か ら,こ

の 不 等 式 が 使 え,(28.5)が

 命 題28.5 

任 意 のs≧0に

満 た す(補

る

題28.2(b))

得 ら れ る.

対 し てTをT≧s+6R/aと

とれ ば

E(T+2R/a;υT)≦4E(T;υs;5R) 

(28.6)

  証 明   補 題28.2(c),(28.2)お

よ び 波 の 有 限 伝 播 性(定

こ こ でTが5R≦a(T-s)-Rを

満 た す こ と に 注 意 す れ ば,￨x￨<5Rで

w(T)=υs(T)と   命 題28.6 

な り,命

理26.5)に

題 が 示 さ れ る.

任 意 の η>0,R1≧Rに

対 し て,l>6R/a,s+6R/a≦T≦s+l

よ り

な るl,Tが

存 在 して E(T;υs,R1)≦

ηE(s+2R/a;υs). 

  証 明  υs(t)はt≧s+2R/aで(24.1)を 使 え る.即

ち,K=K(R1)>0を

(28 .7)

満 た す か ら,そ 大 き く と る こ と に よ り,任

こ で 定 理27.2が 意 のs1≧s+2R/a

につ い て

(28.8) こ のKCに

対 し てl=KC/η+6R/aと

ど の よ う なTを

お く.そ

と っ て も(28.7)が

し てs+6R/a≦T≦s+lな

成 り立 た な い と し よ う.こ

る

の場 合

(28.9) と な る が,(s+6R/a,s+l)⊂(s1,∞)で

あ る か ら(28.8)と(28.9)を

E(s+2R/a;υs)<E(s1;υs), 

を 得,こ

れ は(28.5)に

  定 理28.1の 命 題28.6に てE(T;υs,5R)≦

っ て 上 のlに

対 し て,(28.7)を

満 たす

存 在 す る.

証 明   R1=5Rと よ り,任

s1≧s+2R/a

矛 盾 す る.従

よ う なTがs+6R/a≦T≦s+lに

合 せ て

し,η

を4η<1の

よ う に 選 ん で 固 定 す る.

意 のs≧0に

対 し てs+6R/a≦T≦s+lな

ηE(s+2R/a;υs)と

な る が,こ

るTが

れ と命 題28.5と

存在 し を合せて

E(T+2R/a;υT)≦4ηE(s+2R/a;υs) な る 不 等 式 が 得 ら れ る.こ

のTを

見 つ け る操 作 を く りか え す こ と に よ り,jと

と も に 無 限 大 に 発 散 す る 数 列{sj}j=0,1,… s0=0, 

を 次 の よ うに 定 め る こ と が で き る.

sj-1+6R/a≦sj≦sj-1+l; 

(28 .10)

E(sj+2R/a;υsj)≦4ηE(sj-1+2R/a;υsj

次 にtをt≧sj+2R/aの

よ うに 選 ぶ.命

-1) 

題28.4に

E(t;w,a(t-sj)-R)=E(t;υs ≦E(t;υsj)≦E(sj+2R/a;υsj)

で あ る か ら,(28.11)を

用 いて

E(t;w,a(t-sj)-R)≦(4η)jE(2R/a;υ0).

よ り

j,a(t-sj)-R)

(28.11)

さ ら にυ0(2R/a)=w(2R/a)-U0(2R/a)w(0)に

注 意 し て,結

局,次

の不等式

が 得 ら れ る. E(t;w,a(t-sj)-R)≦4(4η)jE(0;w).   こ れ か ら(28.1)を t-t0-R/a≧0の 在 し,従

導 く の で あ る が,そ よ う に 選 ぶ.こ

(28.12)

の た め にt0>0を

勝 手 に 固 定 し,tを

の と きsj≦t-t0-R/a≦sj+1と

な るjが

存

って t-sj+1-R/a≦t0≦t-sj-R/a.

こ の 不 等 式 と(28.12)と

か ら

E(t;w,at0)≦E(t;w,a(t-sj)-R/a)≦4(4η)jE(0;w)  が 得 ら れ る.一

方,sjの

(28.13)

作 り 方 か らsj+1≦(j+1)lが

言 え,

j≧(t-t0-R/a-l)/l

と な っ て い る.こ

れ を(28.13)に

代 入 し よ う.4η<1と

し て あ るか ら

(4η)j≦(4η)(t-t0-R/a-l)/l=elog(4η)(t-t0)/l(4η)-1-R/al

と な り,-d=l-1log(4η)<0,C=4(4η)-1-R/alと (28.1)式

お

く こ と に

よ り,求

め

る

が 導 か れ る.

 §29  非柱 状 の 外 部境 界値 問題  こ の 節 で は 本 章 で 述 べ て き た い く つ か の 結 果 を,非 場 合 に 一般 化 す る.当   O(t)をRnで

然,境

柱 状 の外 部 境 界 値 問題 の

界 の 形 状 に は 強 い 制 限 が 必 要 で あ る.

の コ ン パ ク トな 動 き 得 る 障 害 物 と し,Ω(t)をO(t)の

∂Ω(t)を そ の 境 界 とす る.次

外 部,

の よ うに お こ う:

以 下 で は Σ は充 分 滑 らか で あ る とす る.   Qで

次 の 初 期-境 界 値 問 題 を 考 え よ う.

(29.1)

この問 題 に 対 す る大域 解 の 存在 は,O(t)が"ゆ [40]等

で示 され て い る.以

っ く り"変 化す る場 合 に,井 上

下 で は この問 題 に立 ち入 らず に,大

域 解 の 存在 を

認 め て 話 を 進 め る.   定 義29.1 w=w(x,t)を(29.1)の

解 と す る.任

意 のt>0,R>0に

対 し て

(29.2) をΩ(t;R)=Ω(t)∩{￨x￨
時 刻tで

の 解 の エ ネ ル ギ ー と 呼 ぶ.特 の 全 エ ネ ル ギ ー と呼 び,簡

 Σ 上 の外 向 き 法線 方 向 の単 位 ベ ク トル を μr=x・

μxと

にR=∞

単 にE(t;w)で

のと 表 す.

μ=(μx,μt)=(μ1,…,μn,μt)と

し,

お く.

  補 題29.1 

(29.1)の

解wに

ついて

Σ 上 で 次 の 等 式 が 成 り立 つ.

(29.3)  証 明   Σ 上 でw≡0で

あ るか ら,接 線 方 向 の偏 導 関 数 が す べ て0に

な り,

上 の等 式 が 示 され る.  こ の 補 題 を 用 い て,ま

ず 定 理26.5,27.1を

一 般 化 し よ う.そ

のために Σ に

は 次 の 条 件 を 課 す.  (A7) 

μt≦0, 

この 条件 は,障 害 物O(t)が

a-2μ2t-￨μx￨2≦0.

決 し て脹 ら まず,縮

む と して もそ の速 度 は お そ い

とい う状 況 を 表 す も ので あ る.   定 理29.2  >0に

(A3),(A7)を

仮 定 す る.こ

の と き,任

意 のs≧0,T>0,R

つ いて E(s+T;w,R-aT)≦E(s;w,R). 

  証 明 K⊂Rn+1を

(29.4)

次 の よ う に と る.

K={(x,t)∈Q;￨x￨≦R-a(t-s),s
補 題26.2で

φ ≡1と

し て 両 辺 をK上

で 積 分 す る.定 理26.5の

証 明を た ど って

な る 不 等 式 が 得 ら れ る.補

題29.1を

用いれば

左辺第3項 と な り,定

理 が 証 明 さ れ る.

  定 理29.3 

(A4),(A7)を

仮 定 す る.こ

の と き,任

意 のt>0に

つ いて

(29.5) こ こ に ε>0は(A4)に

現 れ る 正 数,C(ε)>0は

ε に の み よ る 正 数 で あ り,

(29.6)   証 明   定 理27.1の

証 明 を た ど る.こ

の と き Σ(t)上 の 境 界 積 分 は 上 と同 様,

と な り,(29.5)が

導 か れ る.

  次 に 定 理27.2を

一 般 化 し よ う.そ の た め に Σ に 課 す 条 件 は 次 の よ うで あ る.

 (A8) 

a-1μt+ψ(r)μr≦0, 

(29.7)

a-2μ2t-￨μx￨2≦0. 

(29.8)

こ こ に ψ(r)は(27.9)で

定 義 さ れ た 関 数 で あ る.

  こ の 条 件 を 満 た す 障 害 物 の 例 は 後 に 述 べ る が,(29.7)で

μt≦0と す る と μr≦0

と な り,こ れ は 障 害 物 が 星 状 で あ る こ と を 主 張 す る(後 述 の 定 義29.2参   定 理29.4 

n≧3と

し,(A5),(A8)を

仮 定 す る.こ

の と き,任

照).

意 のt>0

について

(29.9) こ こ に δ>0は(A5)に

現 れ る 定 数,C>0はt,wに

よ ら な い 定 数 で あ り,

(29.10)   証 明   今 の 場 合,(27.8)に

対 応 す る 等 式 は 次 の よ うに な る.

(29.11)

こ こに

(A8)に

注 意 す れ ば,こ れ か ら

を 得,あ

と は 定 理27.2の

証 明 を た ど っ て,(29.11)か

  上 の 定 理 を 用 い れ ば,定 る.し

か し,こ

理27.3,28.1の

ら(29.9)が

導 か れ る.

一 般 化 が前 の場 合 と同様 に得 られ

れ ら の 結 果 を こ こ に 記 す 必 要 は な い で あ ろ う.

  最 後 にCooper-Strauss[12]に

従 っ て,(A8)を

満 た す 障 害 物 の 例 を2つ

あ げ る.   補 題29.5  は,そ

x=x(t)を

Σ(t)上 の 点 の 運 動 と す る.こ

の と き(29.7),(29.8)

れ ぞ れ 次 の 条 件 と 同 値 に な る.

(29.12) (29.13)   証 明   (dx/dt,1)が

が 言 え,こ

Σ 上 の 接 ベ ク トル に な っ て い る か ら

れ を(29.7),(29.8)に

代 入 す れ ば,そ

れ ぞ れ(29.12),(29.13)と

な る.

  定 義29.2  v=v(y)をyか

の と き にO0は 在 して

O0を

原 点 を 内 部 に 含 む 有 界 領 域 と し,∂O0の

らO0の

星 状(star

各 点yに

対 して

内 部 に 向 か う法 線 方 向 の 単 位 ベ ク トル とす る . y・v(y)≦0, 

y∈ ∂O0 

shaped)で

あ る と い い,さ

(29.14)

ら に 定 数0<α

≦1が

存

y・v(y)≦-α￨y￨, 

の と き にO0は   例29.1(脈

y∈ ∂O0 

(29.15)

一 様 に 星 状 で あ る と い う. 動 す る物 体)  O0を

単 位 球K(1)={￨x￨<1}に

含 まれ る 星状 領

域 と し, O(t)={p(t)y;y∈O0}

と お く.こ

こ にp(t)は

正 値 関 数 で あ る が,も

が 成 り立 て ば,Σ=∂O(t)×{t}上

で 条 件(A8)が

  これ を た し か め る た め に 補 題29.5を x(t)=p(t)y, 

で あ る か ら,次

x=y(回

の場合 転 せ ず)

が 成 り立 つ.

≧(-1+￨y￨-1)ψ

増 加 関 数 で あ る),(29.12)が

  例29.2(回

満 た され る.

用 い る.今

￨y￨≦1, 

仮 定 よ り μr≦0,-a-1dp/dt+￨y￨-1ψ

が 従 い,(29.13)が

しも

成 り 立 つ.次

≧0が

言 え(ψ(γ)は

に￨dp/dt￨≦aよ

単 調

り

成 り 立 つ.

転 す る 物 体)  O0を

単 位 球K(1)に

含 まれ る一 様 に 星 状 な 領 域

と し, O(t)={R(t)y;y∈O0}

と お く.こ

こ でR(t)は

回 転 を 表 す 行 列 関 数 で あ る が,も

で あ れ ば,Σ=∂O(t)×{t}上

で 条 件(A8)が

満 た さ れ る.こ

で の 作 用 素 ノ ル ム で あ る.  こ れ を た し か め る の に,や

は り補 題29.5を

x(t)=R(t)y, 

￨y￨≦1, 

しも

用 い る. μx=R(t)v

こ に ‖ ‖はRn

で あ る か ら ‖dR(t)/dt‖ ≦aで

と な

り,(29.13)が

成

あれ ば

り 立 つ.次

に(29.12)を

 に注意すれば

従 っ て,上

の 仮 定 か ら(29.12)が

示 さ れ る.

言 う.v・y≦-α￨y￨お

よ び

第8章  半線形 方程 式 の散 乱問題

  本 章 で は 初 期 値 問 題(24.1)あ

る い は 初 期-境

乱 問 題 を あ つ か う.波 動 作 用 素 の 存 在,完 べ き問 題 は す で に 明 確 で あ る が,ま 論 を 構 成 す る こ と は で き な い.そ て,今

界 値 問 題(29.1)に

全 性(=散

乱 作 用 素 の 存 在)等,論

だ 未 解 決 の 部 分 も 多 く,こ こ で,こ

対 す る散 ず

こで 統 一 的 な 理

こ で は 個 別 的 な 結 果 を い くつ か 述 べ

後 の 研 究 の 進 展 を 期 待 す る こ と に す る.な

お,本

書 で はKlein-Gordon

方 程 式 に 対 す る 散 乱 問 題 に は 言 及 し な か っ た が,こ の 問 題 はMorawetz-Strauss [78]に

よ る研 究 が あ り,波

動 方 程 式 の 場 合 よ り,よ

ほ ど整 っ た 結 果 が 得 ら れ

て い る.

 §30  Huygensの

原 理 が 使 え る問 題

  こ の 節 で はn≧3を

奇 数 と し,(A5),(A6)の

た は(A5),(A6),(A8)の d'Alembert方

も と で の(29.1)の

程 式 の 解U0(t)φ(φ

  定 理30.1 

解]w(t)を

は 初 期 デ ー タ)と

  以 下 で は エ ネ ル ギ ー ノル ム ‖  ‖eを U0(t),t∈R,が

も と で の(24.1)の

解[ま

考 え,こ

れを

比 較 す る.

と も な うHilbert空

間を

〓eで 表 す.

〓eの ユ ニ タ リー 群 を 与 え る こ と に 注 意 し よ う. (ⅰ)  (波 動 作 用 素 の 存 在)任

意 の 初 期 デ ー タ φ-∈C∞0(Rn)×C∞0(Rn)

に対して ‖w(t)-U0(t)φ-‖e→0 

を 満 た す(24.1)[(29.1)]の

解w(t)が

  (ⅱ)  (散 乱 作 用 素 の 存 在)解w(t)の つ とす る.こ

の と き 

(t→-∞) 

(30.1)

存 在 す る. 初 期 デ ー タw(0)が

が 存 在 して

コ ン パ ク トな 台 を も

‖w(t)-U0(t)φ+‖e→0 

ま た φ+は

φ-か

ら 一 意 的 に 定 ま り,あ ‖φ+‖e≦C‖

  注 意30.1 

る だ け で な く,補

題28.2を

理29.4]か

る 正 数C>0に

対 して

φ-‖e. 

(30.3)

原 理 が 本 質 的 で,(ⅰ)の 証 明 に 直 接 用 い ら れ

通 し て(ⅱ)の 証 明 に も 用 い ら れ る.他

ら 導 か れ るwの

ギ ー の 減 衰 が 必 要 で あ る.そ   補 題30.2 

(30.2)

作 用 素 〓:φ-→ φ+が 散 乱 作 用 素 で あ る.

  こ の 定 理 の 証 明 に はHuygensの

27.2[定

(t→+∞). 

エ ネ ル ギ ー の 有 界 性,お

定 義 す る.w(0)の

台 が￨x￨
る とす れ ば,υs(t)はt≧s+2R/aで(24.1)[(29.1)]を

  3°  正 数C>0が

よび 局 所 エ ネ ル

れ ら を 補 題 と し て ま と め て お こ う.

1° υs(t)を(28.2)で

  2° υs(s+2R/a)の

台 は￨x￨<3Rに 存 在 し て,任

含 まれ

満 た す.

含 ま れ る. 意 のt>0,T∈Rに

ついて

E(t+T;w,R)≦CE(T;w,R+T) 

  4° 任 意 のR1>0に

には定理

対 し て,jと

(30.4)

と も に 無 限 大 に 発 散 す る 数 列Tj=Tj(R1)

が存在 して E(Tj;w,R1)→0 

(j→ ∞). 

(30.5)

 こ の 補 題 は 次 の 命 題 を 証 明 す る の に 使 わ れ る.   命 題30.3 

Tj=Tj(5R)と

と り,t≧Tj+2R/aと ‖υTj(t)‖e→0 

  証 明   (30.6)は

す る.こ

のとき

(j→ ∞). 

(30.6)

次 の よ う に 導 か れ る. (1° (2°

と3°

よ り)

よ り)

(3角 不 等式 よ り)

  定 理30.1の

証 明   (ⅰ) φ-の

こ の と きU0(t)φ-は

滑 ら か で,そ

台 が￨x￨
(3°

よ り)

(4°

よ り).

含 まれ て い る とす る.

の 台 はa￨t￨-R<￨x￨
含 ま れ

る.従

っ てU0(t)φ-はt≦-2R/aで

ま たt=-2R/aで [(29.1)]は

は(24.1)[(29.1)]を

初 期 デ ー タw(-2R/a)=U0(-2R/a)φ-を 未 来 に 向 か っ て も 可 解 に な る.こ

U0(t)φ-に

満 た し て お り,

一 致 す る の で,明

  (ⅱ) U0(t)は

〓eで

ら か に(30.1)が

与 え れ ば(24.1) の 解w(t)はt≦-2R/aで

満 た さ れ る.

ユ ニ タ リ ー 群 を 与 え る か ら,U0(-t)w(t)がt→+∞

強 収 束 す る こ と を 示 せ ば よ い,こ

で

の と き φ+は 次 の よ う に 定 ま る: (〓eで). 

υs(t)を(28.2)で

与 え,も

う 一 度U0(t)の

ユ ニ タ リー 性 を 用 い れ ば

‖U0(-t)w(t)-U0(-s)w(s)‖e=‖w(t)-U0(t-s)w(s)‖e=‖

補 題28.3に

よ れ ばTj≦s≦tに

(30.7)

υs(t)‖e. 

対 し て

(30.8)

υs(t)=υTj(t)-U0(t-s)υTj(s)と

な る

か ら ‖υs(t)‖e≦

が 得 ら れ る.w(0)の 題30.3を

‖υTj(t)‖e+‖

台 は￨x￨
適 用 す る.(30.8)と

含 ま れ る と し て よ い の で,こ

れ はU0(-t)w(t)が

  次 に(30.7),(30.4)お

と な り,(30.3)が

 (30.3)を

υs(t)‖e→0 

(s,t→ ∞)

〓eで 強 収 束 す る こ と を 示 し て い る.

よ びU0(t)の

ユ ニ タ リー 性 を 用 い れ ば

示 さ れ る.

用 い れ ば,次

  定 理30.4 

の右辺に命

合せて

‖U0(-t)w(t)-U0(-s)w(s)‖e=‖

と な る が,こ

υTj(s)‖e

の 結 果 が た だ ち に 得 ら れ る.

方 程 式(24.1)[あ

る い は(29.1)]が

線 形 で あ れ ば,散

乱作用素

〓 は 〓e上 の 有 界 線 形 作 用素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.

  上 の 証 明 は,偶 き ず,別

数 次 元 あ る い は 摂 動 の 台 が コ ン パ ク トで な い 問 題 に は 適 用 で

の 方 法 を探 さ な くて は な ら な い.簡

え よ う.こ

の と き は 任 意 のs,tに

単 の た め に 初 期 値 問 題(24.1)を

つ い て 次 の 等 式 が 成 り立 つ:

考

(30.9) そ こで

‖ υs(t)‖e→0(s,t→ ∞)を

言 う の に,右

辺 の 積 分 のt→

∞

で の収 束性 が

問 題 に な る.

  個 々の 摂 動 に 応 じた 配 慮 は 欠 か せ な い が,次 の2節 へ の 準 備 の た め に 一般 論 を 述 べ れ ば,次 の 命題 とな る.   命 題30.5 

‖F(w(t))‖2がt∈Rに

つ いて 可 積 分 で あ れ ば (〓eで) 

が 存 在 す る.さ

(30.10)

らに この とき は

(30.11)   証 明   ￨s￨<￨t￨と

が 言 え る.こ う.右

す れ ば(30.9)よ

れ と(30.8)と

辺 をw±(t)と

か ら命 題 の 前 半 が 示 さ れ る.次

,固 定 され た 任 意 のTに

が 得 ら れ る.従

に(30.11)を

示そ

おけば ‖w(t)-w±(t)‖e→0 

一方

り

(t→ ± ∞).

つ い て,(30.9)よ

っ てw±(t)はd'Alembert方

り

程 式 を 満 た し,w±(t)=U0(t)φ

±

と な る こ と が わ か る.   系30.6 

F(w(t))が

上 の 命 題 の 仮 定 を 満 た す と き,φ-と

φ+の 間 に 次 の

関 係 が 成 り立 つ:

(30.12)   証 明   (30.11)か

ら 明 ら か で あ ろ う.

 §31  小 さな 初 期 デ ー タ を もつ 問 題  この節 で は 方 程 式 a-2∂2tw-Δw+d￨w￨p-1w=0, 

(x,t)∈R3×R, 

d:定

に つ い て"小 さい"初 期 デ ー タに対 す る散 乱 問 題 を 考 え る.pに

数

 (31.1)

は 次 の 条件 の

どち らか を 課 す:

(P3) (P3)′

  今 の 場 合,解w(t)も"小 件 はw→0に ま たdの

さ い"ま

お け るF(w)の

ま で あ る こ と が 期 待 さ れ る の で,上

の条

減 衰 の 速 さ に 対 す る制 限 と理 解 す べ き で あ る.

正 負 は こ こ で は 問 題 に な ら な い.た

と の か ら み で 重 要 に な る(￨d￨が

だ し￨d￨の

大 き さは 初 期 デ ー タ

小 さ け れ ば 初 期 デ ー タ の"小

さ さ"は

不要 に

な る).   ま ず 波 動 作 用 素 の 存 在 を 示 そ う.t=±

∞

Banach空

次 の よ う に 定 め る:

間Y± α(T)(α>0,T∈R)を

の 近 く で の 解 の 構 成 の た め に,

(31.2)   定 理31.1 

(P3)を

仮 定 す る.α (p-1-2/n)-1<α

の よ う に 選 び,w-(t)をY-α(T0)に と き,あ

るT
  注 意31.1  はn=2の

注 意25.2の

を ≦(n-1)/2  属 すd'Alembert方

解w(t)∈Y-α(T)と

(31.3) 程 式 の 解 と す る.こ が 存 在 し て,t→-∞

で

‖w(t)-w-(t)‖e=O(￨t￨1-α(p-1)), 

(31.4)

‖w(t)-w-(t)‖2=O(￨t￨1-α(p-1-2/n)), 

(31.5)

‖w(t)-w-(t)‖

(31.6)

∞=O(￨t￨-α). 

不 等 式 をn=2,γ=1/2,q>1の

の

場 合 に 用 い れ ば,上

の結 果

場 合 に も そ の ま ま 成 立 す る こ と が わ か る.

 証 明  作 用 素 Φ を 次 の よ うに 定 義 す る. (31.7)

こ の Φ に 対 し てY=Y-α(T)上

で 縮 小 写 像 の 原 理 を 適 用 し た い.u(t),υ(t)∈Y

とす れ ば

(補 題24.2)

さ ら に 命 題25.1を

用 い れ ば,n/3
こ こ にr=2q/(2-q).仮

定 よ りp-6/n>1で

べ ば,3-n/q-α(p-2/q)<-α

つ いて

あ る か らq>1を

と で き る.従

‖Φu-Φ

が 成 り立 ち,t=-∞

るqに

υ‖Y≦C￨T￨-ε(‖u‖Y+‖

っ て,あ

充 分 小 さ く選

る ε>0に

υ‖Y)p-1‖u-υ

ついて

‖Y

で の 局 所 解 の 存 在 が 示 さ れ る.(31.4)∼(31.6)は

すでに

明 ら か で あ る.   上 で はp>(n+6)/n=3と れ る.こ

し た が,こ

れ で はF(w)dw3な

の 問 題 に 対 し て も な ん と か 可 解 性 を 言 い た い の で,位

こ と に し,次

のBanach空

間 を 導 入 す る:

る場 合 が 除 外 さ 相 を 少 し弱 め る

  定 理31.2 

(P3)′ を 仮 定 す る.(31.3)を

Y-α(T0)に 属 すd'Alembert方 (31.1)の

満 た す あ る α に 対 し,w-(t)を

程 式 の 解 と す る.こ

解w(t)∈Y-α(T)と

が 存 在 し て,t→-∞

の と きT
で

‖w(t)-w-(t)‖e=O(￨t￨-2α+1). 

も し もw-(t)∈Y-α(T0)な

ら,さ

(31.8)

らに

‖w(t)-w-(t)‖2=O(￨t￨-4α/3+1),  ‖w(t)-w-(t)‖

が 任 意 の ε>0に

つ い て 言 え,従

∞=O(￨t￨-α+ε) 

Φ を 考 え る.n=3で

これ か らY-α(T)で

の 解 の 存 在,お

す る.先

よ りT<0を (31.9)が

示 され る.ま

あ る か らY=Y-α(T)と

よ び(31.8)が

して

示 さ れ る.次

‖w(t)‖2のt
た1
従 っ て(3-2α)(1-1/q)=ε

は 大 きなwに

な る.

にw-(t)∈

験 不等式

充 分 小 さ く選 べ ば

  注 意31.2 

(31.10)

っ てw(t)∈Y-α-ε(T)と

  証 明   (31.7)の

Y-α(T0)と

(31.9)

の 有 界 性 が 言 え,次

に

とれ ば

の よ うにqを

上 の 定 理 で はY-α(T)がL∞-ノ

選 べ ば(31.10)が

得 ら れ る.

ル ムを 含 ん で い な い の で,F(w)=O(￨w￨3)

対 して も仮 定 し な け れ ば な らな い.

  散 乱 作 用 素 の 存 在 を 示 す の に,上 漸 近 す るw+(t)(d'Alembert方

のw(t)をt→

程 式 の 解)の

∞

に 延 長 し,さ

ら に これ と

存 在 を 言 わ な け れ ば な ら な い.

これ が 次 の 問 題 で あ るが,こ   補 題31.3 

M(t)を

こで初 期 デ ー タの小 さ さが 必 要 に な る.

非 負 の 連 続 関 数 と し,

M(t)≦C1+C2M(t)p 

が0を

(p>1,C1,C2>0) 

含 む あ る 区 間 で 成 り立 つ と す る.こ

(31.11)

の と き,も

し も

C1C1/(p-1)2<(1-p-1)p-1/(p-1) 

で あ れ ば,同

(31.12)

じ区 間 で M(t)≦C1(1-p-1)-1. 

  証 明   関 数 で 最 小 値

φ(λ)=C1+C2λp-λ,λ

(31.13)

≧0,は

真 に 凸 で あ り,λ0=(C2p)-1/(p-1)

φ(λ0)=C1-C2-1/(p-1)(1-p-1)p-1/(p-1)を

φ(λ0)<0,従

っ て

φ(λ)=0は

と る.仮

解 け,M(t)は

で き な い.λ1は(0,C1),(λ0,φ(λ0))を

そ の最 小 の解

定(31.12)よ λ1を

り

越 え る こ とが

結 ぶ 直 線 の 零 点 よ り 小 さ い か ら,(31.13)

が 示 さ れ る.

  定 理31.4 

(P3)ま

初 期 デ ー タ を,対 に と る.た

た は(P3)′

の も とで(31.1)に

応 す るd'Alembert方

だ し α は(31.3)を

 (ⅰ)  次 の 性 質 を も つk>0が

で あ れ ば,(31.1)に

程 式 の 解w0(t)がY+α(0)に

満 た し,か

つ α<1な

存 在 す る:も

C1￨d￨
対 す る初 期 値 問 題 を 考 え, 属す よう

る 正 数 で あ る.

しも

‖w0‖Y+α(0)>0) 

(31.14)

対 す る 初 期 値 問 題 は 唯 ひ と つ の 解w(t)∈Y+α(0)を

も ち,

次 の 評 価 式 が 成 り立 つ: ‖w‖Y+α(0)≦C1(1-p-1)-1. 

  (ⅱ) d'Alembert方  

程 式 の 解w+(t)∈Y+α(0)が

‖w(t)-w+(t)‖e+‖w(t)-w+(t)‖2+￨t￨α

た だ し(P3)′

即 ちn=p=3の

(31.15)

存 在 し て,t→+∞ ‖w(t)-w+(t)‖

と き は α を α-ε(ε

∞→0. 

で (31.16)

は 任 意 の 正 数)で

置 きか

え な け れ ば な ら な い.

  証 明  (ⅰ)  局所 解 の存 在 はp≧2に 先 験 評 価 を導 く.

対 して 定理25.4に

示 され て い る の で,

とお く.定

理31.1の

こ こ にC>0は

証 明 と 同 様,F(w(s))の3種

絶 対 定 数 で あ る.qをn/3に

類 の評 価 式 に よ り

充 分 近 く と れ ば,こ

れか ら

M(t)≦C1+C￨d￨M(t)p が 得 ら れ,C1,￨d￨がC1(C￨d￨)1/(p-1)<(1-p-1)p-1/(p-1)で 使 え る.即

ち,M(t)≦C1(1-p-1)-1な

る 先 験 評 価 が 得 ら れ る.こ

存 在 を 保 障 す る だ け で な く,(31.15)を   (ⅱ) w+(t)を

あ れ ば 補 題31.3が れ は大 域 解 の

も 示 し て い る.

次 の よ うに 定 め る(命

題30.5参

照):

(31.17) や は りF(w(s))に ー

,L2,L∞

対 す る 評 価 式 を 用 い れ ば,右

の 位 相 で 収 束 し,求

  以 上 の 定 理 を ま と め れ ば,散   定 理31.5 

(P3)ま

辺 の 積 分 は そ れ ぞ れ,エ

め る も の に な っ て い る. 乱 作 用 素 の 存 在 に 関 す る 次 の 定 理 が 得 ら れ る.

た は(P3)′

を 仮 定 し,α

条 件 を 満 た す と す る.w-(t)をY-α(0)∩Y+α(0)に と し,次

ネル ギ

は(31.3)お

よ び α<1な

属 すd'Alembert方

る

程 式 の解

の よ うに お く: C0=max{‖w-‖Y-α(0),‖w-‖Y+α(0)}. 

 (ⅰ)  (波 動 作 用 素 の 存 在)  T<0を Y-α(T)[Y-α-ε(T)]が

存 在 し,次

(31.18)

充 分 小 さ く と れ ば,(31.1)の

の 性 質 を 満 た す:t→-∞

解w(t)∈

で

(31.19)   (ⅱ)  (散 乱 作 用 素 の 存 在)  正 数k0>0が はt→+∞

に 延 長 で き る.さ

存 在 し て,C0￨d￨
ら にd'Alembert方

[Y+α-2ε(0)]で 次 の 性 質 を 満 た す も の が 存 在 す る:t→+∞

あ れ ばw(t)

程 式 の 解w+(t)∈Y+α(0) で

(31.20) ま たw+(t)はw-(t)か

ら 一 意 的 に 定 ま り, ‖w+(t)‖e=‖w-(t)‖e. 

  証 明   (ⅰ) こ の 主 張 は 定 理31.1[31.2]そ   (ⅱ) 定 理31.4を

(31.21)

の も の で あ る.

適 用 し た い.t=Tでw(T)を

デ ー タ に も つd'Alembert

方 程 式 の解 は

(31.22) と書 け る の で,こ

れ がY+α(T)[Y+α-ε(T)]に

属 し,そ

き る こ と を 示 す.‖w‖Y-α(T)[‖w‖Y-α-ε(T)]がC0で ば,そ

評価で

評価で きること に注 意 す れ

れ は 次 の 不 等 式 よ り 明 ら か で あ ろ う.

  次 に(31.21)を

一方

の ノ ル ム がC0で

,エ

示 そ う,定

義に よ り

ネル ギ ー 等式 よ り

従 っ て ‖G(w(±t))‖1→0(t→

∞)に

注 意 し て,求

め る 等 式 が 得 ら れ る.

 §32  有 効 な エ ネ ル ギ ー 評価 を もつ 問題  非 線 形 の問 題 を考 え る と きに,解 の"小 で あ り,こ

さ さ"に 依 拠す るの は ひ とつ の立 場

の条 件 を はず す と一 般 に は非 線 形 項 の処 理 が 困 難 にな る.し

か し,

なか に は エ ネ ル ギ ー の方 法 が 成 功 す る問 題 もあ る.こ の 節 で は そ の 一 端 を 紹 介

す るが,こ れ は §26の 発 散 形 式 を巧 妙 に 使 って 得 られ る もの で あ り,一 般 に 通 用 す る方 法 で は な い.   次 の初 期 値 問 題 を考 え よ う.

(32.1) こ こ に{φ1,φ2}∈C∞0(R3)×C∞0(R3)と

し,pに

は 次 の 条 件 を 課 す:

 (P4)   補 題32.1 

(32.1)の

解w(t)に

対 し て 次 の 不 等 式 が 成 り立 つ:

(32.2) こ こ に 

で あ る.

  証 明   補 題26.2で

φ=a-2r2+t2,補

題26.4で

え合 せ る と

両 辺 をxに

つ い てR3上

で 積分 す る と

と な る が,

に注 意 す れ ば,命 題 の不 等 式 が 得 られ る.

ψ=2rtと

お く.両

辺を加

 この 補題 の系 とし て,次 の命 題 が 証 明 で き る.  命題32.2 

正 数C>0が

存在 して

(32.3)   注 意32.1 

n=3で

あ る か ら ‖G(w(t))‖1=‖G(w(t))‖1と

  証 明   エ ネ ル ギ ー 等 式(26.12)に

な っ て い る.

よ り

‖w(t)‖2e+‖G(w(t))‖1=E(0;w).

一 方(32

.2)をtに

つ い て 積 分 し,

に注 意すれ ば

が 得 ら れ る.こ   命 題32.3 

れ ら を 合 せ て(32.3)が 任 意 の0≦

ε<1に

示 さ れ る.

対 し て 正 数C=C(ε)>0が

存在し て

‖w(t)‖∞≦C(1+￨t￨)-ε.    証 明  q↓n/3と る.さ

と も にr=2q/(2-q)↓2n/(6-n)=2と

ら に(P4)よ

(32.4) なるこ と に注 意 す

り 2(p-2)
が 成 り立 つ か ら,2に

充 分 近 いrに

対 し て,0<β<1をr(p-1-β)=p+1と

な る よ うに 選 ぶ こ と が で き る.こ

の とき

が 得 ら れ る が,こ

適用すれ ば

れ に(32.3)を

(32.5) 定 理2.7よ

り

‖w0(t)‖ ∞=O(￨t￨-(n-1)/2).そ

こ で 上 の 不 等 式 か ら ま ず,‖w(t)‖

∞

=O(1)が る.こ

わ か り(β<1に

注 意 せ よ) ,つ

いで

‖w(t)‖∞=O(￨t￨4-(n+2)/q)と

な

れ は 命 題 の 主 張 を 証 明 し て い る.

  こ れ ら の 補 題 を 用 い て 次 の 定 理 が 証 明 され る.   定 理32.4 

(P4)を

仮 定 し,w(t)を

デ ー タ とす る(32.1)の

が 存 在 す る.こ

φ={φ1,φ2}∈C∞0(R3)×C∞0(R3)を

解 とす る.こ

の と き,エ

こ にU0(t)はd'Alembert方

初期

ネ ル ギ ー 空 間 〓e上 の 強 極 限

程 式 の 解 を 表 現 す る 〓e上 の ユ

ニ タ リー 群 で あ る .  証明 

の 方 を 証 明 す る.U0(t)の

ユ ニ タ リー 性 か ら

‖U0(-t)w(t)-U0(-s)w(s)‖e=‖w(t)-U0(t-s)w(s)‖e.

こ こで

に 注 意 す れ ば,補

これ は 強 極 限 

題32.2,32.3を

用 いて

の 存 在 を 示 し て い る.

  こ の 定 理 と定 理31.1[ま の 存 在 が 示 さ れ る.そ

た は31.2]を

の た め に は 

に 属 す こ と を 示 さ な くて は な ら な い.同 上 述 べ る こ と は や め よ う.(p=3の た い).

合 せ れ ば 

に相 当す る散 乱作 用 素

が 適 当 な α>0に

対 し てY+α(T)

じ よ うな 議 論 が 続 くの で,も

と き はStrauss[108]定

理4.10を

う これ 以 見 られ

補

足

  本 書 で は 波 動 方 程 式 の 散 乱 理 論 を 述 べ た が,問 双 方 で 相 当 偏 っ た も の に な っ て し ま った.そ

題 の 取 上 げ 方,証

こ で,以

明 の方 法 の

下 で は文 献 を あ げな が ら

本 文 を 補 お う と 思 う.

  まず,前

半 の 線 形 理 論 全 般 に つ い て 文 献 を あ げ よ う.

  こ こ で はPovzner[85],[86],池 紹 介 し た.こ

部[35],Eidus[17]以

の 方 法 は 主 にSchrodinger方

程 式 の研 究 を 通 して 発 展 し て い る

(短 距 離 型 摂 動 に つ い て はJager[41],斉 に つ い て は 池 部[36],斉

藤[95],北

[37],Jager-Rejto[45]等)が,波 [115],Wilcox[122]等 り,さ

来 の定 常 的 手 法 を

藤[94],望 田[54],望

月[70],遠

動 方 程 式 に 対 し て もShenk の 研 究 が あ る.本

ら にBirman[6],加

藤[51]の

距 離型 摂 動

月-内 山[75],池

部-磯 崎

Ⅱ[101],Thoe

書 の 内 容 は これ ら を 合 せ た も の で あ

抽 象 的 取 扱 い も 参 照 し て い る.

  波 動 伝 播 問 題 に 対 す る 散 乱 理 論 に は,本

書 の 方 法 以 外 に,Lax-Phillips[60],

[61]のRadon変

換 を 用 い た 時 間 に 関 係 す る 方 法,Schulenberger-Wilcox

[97],[98]の1階

双 曲 型 方 程 式 系 に つ い て の 定 常 的 方 法 が あ り,そ

味 深 い.ま

た 後 者 に 関 連 し て 松 村[66],田

さ ら にSchrodinger型

村[112]の

の 問 題 に も 目 を 向 け れ ば,散

研 究 に も 注 目 し た い. 乱 理 論 は 多 種 多 様 で あ り,

加 藤-黒 田[53]に

よ る 抽 象 的 な 定 常 理 論,Friedrichs[26]に

eev[22],[23]か

らAgmon[2],黒

定 常 理 論,Enss[19]に

田[56],[57]に

よ る 大 著 が あ り,上

な 解 説 が な さ れ て い る.こ [95],[122](本

始 ま り,Fadd 至 るFourier空

間での

よ る時 間 に 関 係 す る 方 法 な ど が 展 開 さ れ て い る.

  これ ら を 全 般 的 に 学 ぶ の は 大 変 で あ る が,定 のReed-Simon[91]に

れ ぞれ に興

評 の あ る 加藤[50]お

よび 最 近

に述 べ た種 々の手 法 につ い て 明快

れ ら と 比 較 的 規 模 の 小 さ い 専 門書[57],[58],[60],

書 も こ の 中 に 含 め て い た だ け れ ば 幸 い で あ る)と を 適 宜 利 用 さ れ

る と よ い で あ ろ う.散

乱 理 論 に 関 す る 書 物 は そ の 他 にNewton[81],Taylor

[114],Amrein-Jauch-Sinha[4]が   次 に 第1章   第1章 た.そ

∼ 第5章

あ る.

に つ い て 各 章 ご と に 文 献 を 補 お う.

で はd'Alembert方

程 式,Helmholtz方

こ で は 超 関 数 やFourier変

要 な らSchwartz[99],溝

程式の基本解を具体的に与え

換 に 関 す る 知 識 を あ る 程 度 仮 定 し た の で,必

畑[67]等

に 戻 ら れ る と よ い.も

解 を 学 ぼ う と す る の で あ れ ばVladimirov[120]が

う少 し 手 軽 に 基 本

よ い で あ ろ う.な

お,こ

れ

ら の 方 程 式 に つ い て 物 理 的 な 意 味 を 明 確 に 知 ろ う と す れ ばSommerfeld[107], 藤 田-池 部-犬 井-高 見[27]等   §3 で はHelmholtz方

が あ る.

程 式 に 対 す る 放 射 条 件 を 定 義 し た が,そ

Sommerfeld[107],Rellich[92]に   §4 で はLaplace作

よ っ て は じ め て 示 さ れ た.

用 素 の ス ペ ク トル 表 現 を 求 め た.そ

析 の 基 礎 知 識 を 仮 定 し,自 書 物 は 数 多 く あ り,前 [123],伊   第2章

藤[41]等

[90]に

あ る.具

出 のSmirnov[104],Riesz-Nagy[93]の

似 の 定 式 化 は 前 出 のBirman[6],加

体 的 な 問 題 に つ い て,本

も あ る よ う に,こ

Levi空

れ はBeppo

は 少 し複 雑 に な り,例

え ば 曽 我[105]を

動 論 的 証 明 は 加 藤[48]に

は じ ま る.境

よ る も の で,こ

れ を 具 体 的 な 波 動 伝播 藤[51],Reed-Simon 関数 と して

Ⅱ[101],Lax-Phillips[60]に

間 に 於 て 意 味 づ け さ れ る.n=2の

とき

参 照 さ れ る と よ い.

楕 円 型 作 用 素 の 自 己 共 役 性 を2種

張 と 呼 ん で い る.境

他 に吉 田

書 で はH-1u,u∈QH,の

と き は,Shenk

richs[25]に

の分 野 の

を 参 照 さ れ る と よ い で あ ろ う.

の 意 味 づ け を 怠 っ た.n≧3の

  §7 で2階

こ で は ス ペ ク トル 解

己 共 役 作 用 素 の 定 義 す ら 述 べ な か っ た.こ

で は 双 曲 型 発 展 方 程 式 の 抽 象 論 を ま ず 述 べ,そ

問 題 に 適 用 し た.類

れ の必 要性 は

類 の 方 法 で 証 明 し た.第1の

界 値 問 題 に 対 す る 第2の

摂

方 法 はFried

う し て 求 め た 自 己 共 役 作 用 素LをFriedrichs拡

界 条 件 を 摂 動 論 的 に あ つ か い,第1の

も 可 能 で あ り,Birman[5]等

に 用 い られ て い る.

  §8 で 一 意 接 続 定 理 を 述 べ た が,本 っ と一 般 的 な 方 法 が 溝 畑[67],熊

方 法 を 適用 す る こ と

書 の 方 法 は か な り特 殊 な も の で あ る.も

ノ郷[55]に

述 べ ら れ て い る.

  第3章 で は 定 常 波 動 伝播 問 題 に 対 す る極 限 吸 収 の原 理 を 述 べ た.こ Eidus[17]([18]も

見 よ)に よ って は じめ て厳 密 な証 明 が与 え られ た.こ の 結 果

は 池 部-斉 藤[38]等 山[74]の

の原 理 は

で 一 般 化 が な され て い るが,本 書 では 望 月[70],望

方 法 に よ った.な

お 修 正 項Y(x,k)の

づ い て お り,同 様 の扱 いが 岩 下[43]に 確 な 形 で では な いが)池 部[36],斉

月-内

導 入 は内 山淳 氏 との議 論 に基

用 い られ て い る.放 射 条 件 の 修 正 は(明

藤[95]に

も行 わ れ て い る.そ

こで は ポ テ ン

シ ャル に よる遠 距 離 型 摂 動 が 問 題 に され てお り,本 書 よ り厳 しい条 件 ∇kV(x)=O(r-k-δ) 

を 仮 定 し,ρ0(x,k)に

対 応 す る第0近

(k=0,1,2,…), 

δ>0

似 を-ikrと

し て,ア

イ コ ナル 方 程 式 が

解 か れ る.   本 文 か ら もわ か る よ う に,極 す る 結 果 が 不 可 欠 で あ る.定 経 て,短

限 吸 収 の 原 理 に は §10で 述 べ た 解 の 一 意 性 に 関 理10.1の

距 離 型 摂 動 の も と で 加 藤[49]に

結 論 はRellich[92],Povzner[85]を よ っ て は じ め て 示 さ れ た.そ

Simon[103],Agmon[1],Eidus[18],池 [71],Kalf[47]等 れ ら の う ち,本

部-内 山[39],内

書 で 述 べ た も の は[18],[71]の

[15],Goldstein-Sandefur[31]等

月

方 法 を 簡 略 化 し た も の で あ る.

に 言 う"Schrodinger

の 問 題 はDuffin

で も 扱 わ れ て い る.

で は 短 距 離 型 の 散 乱 理 論 を 述 べ た.本

Schrodinger型

山[117],望

数 多 く の 論 文 に よ り条 件 を 緩 め る 工 夫 が な さ れ て い る.こ

  §13の 最 後 に エ ネ ル ギ ー の 均 等 分 割 に つ い て 述 べ た が,こ

  第4章

の後

methodsに

書 の 方 法 はReed-Simon[91]

よ るacoustic

scattering"の

範 疇 に 入 り,

波 動 作 用 素 の不 変 性 原 理 を 用 いた 散 乱 理 論 の組 立 て に な っ て い

る.   本 書 で は 定 理15.3に に 示 さ れ る.そ を す る が,こ

於 い て 波 動 作 用 素 の 存 在,完

変 性 原 理 が 同時

の た め に §14で 述 べ た 短 距 離 型 の ス ペ ク トル 表 現 が 重 要 な 働 き の 部 分 は[70]と

体 の 証 明 は 数 多 くあ る が,こ [11]を

全 性,不

と も に[36;Ⅱ]を

参 照 し た.な

こ で は 前 出 の[50],[6]以

お不変性原理 自

外 にChandler-Gibson

あ げ る に 留 め よ う.

  散 乱 作 用 素 の 表 現 は 黒 田[57]に

も 述 べ られ て い る.逆

問 題 の 一 意 性 はFaddeev

[20]に た.そ

よ っ てR3で

れ は 望 月[69]で

般 化 さ れ た.本

の超 短 距 離 型 ポ テ ン シ ャル の場 合 が は じめ て 示 さ れ 複 素 ポ テ ン シ ャ ル に,斉

質 的 な 部 分 は 命 題16.3型

短 距 離 型 の 場 合 に一

の リ ゾ ル ベ ン ト評 価 で あ り,同

議 論 は 遠 距 離 型 の 場 合 に も 可 能 で あ る.し ば,そ

藤[96]で

か し 逆 問 題 を"解

く"立

様な

場 か ら見 れ

こ に 用 い ら れ る 情 報 は 多 す ぎ,Gelfand-Levitan[28],Faddeev[21]

の 逆 問 題 の 古 典 と は 異 質 な も の に な っ て い る.一 て は,Lax-Phillipsの

方,障

害 物 に よ る散 乱 に関 し

方 法 の延 長 線 上 で 逆 問 題 の 研 究 も進 め られ て い る.本 書

で 述 べ る こ と は で き な か っ た が,こ

れ に つ い て はMajda[63]等

を参 照 され た

い.   次 に §17で 散 乱 作 用 素 の 解 析 接 続 を,Dolph-McLeod-Thoe[14]に べ(Ramm[88]も

参 照),最

後 に §18で 波 の 指 数 減 衰 に つ い て 述 べ た.後

Ladyzhenskaya[59],Thoe[116]等 補 題18.2型 [20]に

従 っ て述

に 得 ら れ て い る 結 果 で あ る が,そ

の リ ゾ ル ベ ン トに 関 す る 評 価 が 本 質 的 で あ り,本

依 る 証 明 を 紹 介 し た.こ

れ ら の2節

者 は れ には

書 で はFaddeev

は 密 接 な 関 連 が あ り,リ

や 散 乱 核 の 極 の 決 定 は 逆 問 題 と も か か わ る 重 要 な 問 題 で あ る が,本

ゾル ベ ン ト 書 で は述 べ

き れ て い な い.   な お,波

の 指 数 減 衰 に つ い て は 岩 崎[42],Vainberg[118],[119],井

[33],[34]に   第5章

別 の 手 法 で 論 じ ら れ て い る.

で は 遠 距 離 型 の 問 題 を 望 月[73]に

論 と し て は 不 完 全 な も の で あ り.エ 定 と 見 る べ き で あ ろ う.漸 てWilcox[122]に さ れ て い る.本

川

従 っ て 述 べ た.こ

の結 果 は散 乱 理

ネ ル ギ ー伝 播 に か か わ る漸 近 波 動 関 数 の決

近 波 動 関 数 はd'Alembert方

よ っ て 導 入 さ れ た が,そ

程 式 の外 部 問 題 に対 し

こ では 短 距 離 型 の散 乱 理 論 が 応 用

書 で は 鞍 部 点 法 に よ る 直 接 的 構 成 を 行 っ た.そ

の と き §20の ス

ペ ク トル 表 現 が や は り重 要 な 役 割 を す る.   遠 距 離 型 散 乱 に 於 け る 修 正 波 動 作 用 素 は,Coulombポ Dollard[13]で の で,そ

は じ め て 導 入 さ れ た.こ

の 後Buslaev-Matveev[8],Alsholm-加

に よ っ て 一 般 化 され,そ

テ ン シ ャル に対 し て

れ は古 典 力 学 と の関 連 で定 義 され る も 藤[3],Holmander[32]等

の 完 全 性 が 前 出 の 北 田[54],池

部-磯 崎[37]で

示 され

て い る.本

書 の よ うな 遠 距 離 型 摂 動 に 対 し て も 同 様 の 取 扱 い が 期 待 さ れ る が,

ま だ 実 現 さ れ て い な い.

  次 に 後 半 に 移 り,半

線 形 問 題 に 対 す る 補 足 を 行 う.

  半 線 形 波 動 方 程 式 は 古 典 的 な 波 動 伝 播 現 象 も 記 述 す る が,普 子 力 学 に 現 れ る 方 程 式 で,一

般形は

∂2tw-a2Δw+m2w+F(w)=0  の よ うにKlein-Gordon型

通 は相 対 論 的 量

(m≧0,定

に 書 くべ き も の で あ る.こ

数) の 問 題 はSegal[100]以

来Browder[7],Strauss[108],Chadam[10],Morawetz-Strauss[78], Reed[89]等

に よ っ て 研 究 さ れ て き た.本

殊 な(vanishing

massの)場

書 で は そ れ ら の う ちm=0と

合 に 問 題 を 限 っ た が,そ

い う特

うす る こ とで 問題 が や さ

し くな る わ け で は な い.   第6章

で は 大 域 解 の 存 在 定 理 を2つ

う も の で,も に は こ れ ら2つ   第7章

うひ と つ は[108]の

述 べ た.ひ

と つ は[89]の

結 果 で あ る.問

抽 象論 か ら 従

題 を 一 般 化 し よ う とす る と き

の 結 果 は 互 い に 補 い 合 う も の に な る.

で は エ ネ ル ギ ー の 伝 播 と 減 衰 に 関 す る い くつ か の 結 果 を,時

間に関係

す る い わ ゆ る エ ネ ル ギ ー の 方 法 に よ っ て 統 一 的 に ま と め て み た.   摩 擦 項 の 影 響 に よ る全 エ ネ ル ギ ー の 減 衰(定 理27.1)は し 改 良 し た も の で あ る.定 た.た

だ し,[72]で

理27.3は

は 定 理27.2に

松 村[64]の

結果を少

そ れ と 対 を な す 結 果 で 望 月[72]に

依 っ

対 応 す る 先 験 評 価 が 定 常 的 に 求 め られ て い

る.   局 所 エ ネ ル ギ ー の 指 数 減 衰 はMorawetz[76],Strauss[109],MorawetzRalston-Strauss[77]等

数 多 く の 研 究 が あ り,外

衰 と境 界 の 形 状 と の 関 係 が 追 求 さ れ て い る.特

部 境 界 値 問 題 に 対 し .指 に[77]に

は ほ とん ど必 要 か つ

十 分 な 条 件 が 得 ら れ て い る(井 川[34]を

参 照 せ よ).こ

こ と は で き な か っ た.こ

方 法 を 紹 介 し た が,こ

こ で は[109]の

良 い と い うわ け で は な い.な

お,田

持 つ 問 題 が 取 上 げ られ て い る.

村[113]に

数減

の結 果 を 本 書 で述 べ る の方 法 が と くに

時 間 に 関 係 す る ポ テ ン シ ャルを

  第8章

は 散 乱 問 題 を 述 べ た.§30で

を 参 照 し,部

分 的 な 改 良 を 行 っ た.し

はStrauss[110]を,§ か し,個

§31,32で

は[108]

々 の 結 果 は あ ま り満 足 の い く も

の で は な い.   §31で は 非 線 形 項 の 位pが 合 は 係 数dの

大 き い 場 合 を 考 え た が,pが

正 負 が 重 大 に な っ て く る.John[46]に とす る と,解

大 域 解 は 存 在 し な い.な で あ れ ば,d<0で が 言 え る([46]).こ

あ ま り大 き くな い 場

よ れ ば,n=3の

場 合 に は 

は 一 般 に 有 限 時 間 内 に 爆 発(blow-up)し,

お, 

は 臨 界 点 に な っ て お り,n=3, 

あ っ て も,小

さい 初 期 デ ー タに対 す る大 域解 の 存 在

の よ うな 結 果 は 加 藤[52],Glassey[29]に

よ って も研 究

さ れ て い る.   脱 稿 後,§32に

関 連 し てPecher[83],Glassey-Pecher[30]を

で は そ れ ぞ れn=3,n=2の 利 用 で あ る が,定 p<(n+2)/(n-2)の   n=3の

場 合 が 扱 わ れ て い る.証

理32.4が(n+3)/(n-1)よ

知 っ た.そ 明 の 特 徴 はBesov空

り小 さ い あ るp0に

こ

間 の

つ い て,p0<

場 合 に 成 り立 つ こ と が 示 さ れ る.

場 合 に は[83]に

同 じ 結 果 が 得 ら れ る.く

あ る ち ょ っ と し た 工 夫 を 利 用 し て,本

書の方法で も

わ し く述 べ る こ と は し な い が,(P4)を

 (P5) に 変 え た 場 合 で も,命

題32.2に対

応 す る 次 の 結 果 が 成 り立 つ こ と に だ け 注 意

し て お こ う.   命 題32.2′   任 意 の κ>2n+2-(n-1)(p+1)に

対 し,正

数Cκ>0が

存在 し

て

(32.3)′

  証 明   (32.2)に

変 る 次 の 不 等 式 を 用 い る:

こ こ に κ0=2n+2-(n-1)(p+1).0<κ0<5-nで

あ り ‖G(w(t))‖1がtに

有 界 連 続 な こ と に 注 意 す れ ば,こ

照)

が 従 う.こ

こ にCは(32.3)′

が 示 され,命 題 が 得 られ る.

れ か ら([83]参

の 右 辺 の 積 分 で 評 価 さ れ る 量 で あ る.こ

つ いて

れ か ら

文

献

of

solutions

(*印 は講義録 または単行本であ る) [1] 

Agmon,S.:Lower

bounds

of

Schrodinger

equations,J.

d'Anal.Math.23(1970),1-25. [2] 

Agmon,S.:Spectral

properties

theory,Ann.Scuola [3] 

Alsholm,P.,Kato,T.:Scattering Pure

[4]* 

of

Schrodinger

operators

Norm.Sup.Pisa,Ser with

and

scattering

Ⅳ,2(1975),151-218. long-range

potentials,Proc.Symp.

Math.23(1973),393-399.

Amrein,W.O.,Jauch,J.H.,Sinha,K.B.:Scattering

theory

in

quantum

mechanics,Benjamin,1977. [5] 

Birman,M.SH.:Perturbations elliptic

of

operator

under

the

conditions,Vest.Leningrad

the

continuous

change

of

spectrum

the

Univ.,Ser

of

boundary

a

and

singular boundary

Math.Mech.Astron.,1(1962),

22-55(Russian). [6] 

Birman,M.SH.:Existence Nauk

conditions

for

wave

Ser

2,54(1966),91-117).

[7] 

Browder,On

non-linear

[8] 

Buslaev,V.S.,Matveev,V.B.:Wave equation

with

wave

equations,Math.Z.80(1962),249-264. operators

a

slowly

decreasing

Chadam,J.M.:The with

[10] 

decay,Ann.Scuola

range

a

Dollard,J.D.:A

moving

the

Klein-Gordon

equation

u=m2u+G(x,t,u,ux,ut),I,global Norm.Sup.Pisa,26(1972),33-65,

theory,ibid.26(1972),67-95. principle

potentials,Indiana

Cooper.J.,Strauss,W.:Energy off

[13] 

of

Chandler,C.,Gibson,A.G.:Invariance long

[12] 

behavior

for

and

Ⅱ,scattering [11] 

Schrodinger

potential,I,J.Math.Anal.Appl.33(1970),334-348.

Chadam,J.M.:Asymptotics existence

the

Russian).

asymptotic external

for

potential,Theor.Math.Phys.

2(1970),266-274(English.trans.from [9] 

operators,Izv.Akad.

SSSR,Ser.Math.,27(1963),883-906(Amer.Math.Soc.Trans.,

boundedness obstacle,Indiana symptotic

for

scattering

with

Univ.Math.J.28(1979),389-403. and

decay

of

waves

reflecting

Univ.Math.J.25(1976),671-630. convergence

and

the

Coulomb

interaction,J.

Math.phys.5(1964),729-738. [14] 

Dolph,C.L.,McLeod,J.B.,Thoe,D.:The

analytic

continuation

to

the

unphysicalsheetof the resolvent kerneland the scattering operator associated with the Schrodingeroperator,J.Math.Anal.Appl.16 (1966),311-332. [15] 

Duffin,R.J.:Equipartition

of

energy

in

wave

motion,J.Math.Analy.

Appl.32(1970),386-391. [16]* 

Dunford,N.,Schwartz,J.T.:Linear

operators,I,Interscience

John

Wiley,1958. [17] 

Eidus,D.M.:The

principle

of

limiting

absorption,Math.Sb.(N.S.),

58(100)(1962),65-86(Amer.Math.Soc.Trans.Ser [18] 

Eidus,D.M.:The

principle

of

24(1969),91-156(Russian [19] 

[20] 

completeness range

Faddeev,L.D.:The

for

uniqueness

of

Leningrad

Faddeev,L.D.:The

inverse

Research

Math.Nauk .

quantum

mechanical

scattering,

potentials,Comm.Math.Phys.61(1978),285-291.

problem,Bestnik [21] 

amplitude,Uspekhi

Math.Surveys,24(1969),97-167)

Enss,V.:Asymptotic I,short

2,47(1965),157-191). limiting

solutions

for

the

scattering

inverse

Univ.7(1956),126-130(Russian) problem

in

Rep.No.EM-165,New

the

quantum

York

theory

of

scattering,

Univ.1960(translated

from

Russian). [22] 

Faddeev,L.D.:Mathematical quantum

aspects

scattering

1-122(Israel [23] 

theory,Trudy

Program

Faddeev,L.D.:On

the

three

body

problem

in

Math.Inst.Steklov,49(1963),

Sci.Trans.,1965).

the

continuous

of

Friedrichs

spectra,Trudy

model

in

the

perturbation

theory

of

Math.Inst.Steklov,73(1964),292-313

(Russian). [24]* 

Friedman,A.:Partial

differential

equations,Holt-Rinehart

and

Winston,

1969. [25] 

Friedrichs,K.O.:Spektraltheorie wendung

auf

die

halbbeschrankter Spektralzerlegung

von

Operatoren

und

An

Differentialoperatoren,I,Math.

Ann.109(1934),465-487. [26] 

Friedrichs,K.O.:On Pure

[27]* 藤 田宏,池

the

perturbation

部 晃 生,犬 井 鉄郎,高 見 頴 郎:数

Ⅱ(岩波 講 座 基 礎 数 学),岩 [28] 

Gelfand,I.M.,Levitan,B.M.:On equation

of

continuous

spectra,Comm.

Appl.Math.1(1948),361-406.

by

309-360(Amer.Math

its

the spectral

理 物 理 に 現 わ れ る偏 微 分 方 程 式

波 書 店,1977,1979. determination

of

function,Izv.Akad.Nauk Soc

Trans.,1(1951),253-304)

.

a

differential

SSSR

15(1951),

Ⅰ,

[29] 

Glassey,R.:Finite-time

blow-up

for

solutions

of

nonlinear

wave

equa

tions,Math.Z.177(1981),323-340. [30] 

Glassey,R.,Pecher,H.:Time two

[31] 

space

decay

for

non-linear

wave

Goldstein,J.A.,Sandefur,Jr.J.T.:Eqripartition order

equations

in

dimensions,Manu.Math.38(1982),387-400.

abstract

of

hyperbolic

energy

equations,Comm.Partial

for

higher

Diff.Eq.,7(10)

(1982),1217-1251. [32] 

Hormander,L.:The

existence

of

wave

operators

in

scattering

theory,

Math.Z.146(1976),69-91. [33] 

Ikawa,M.:Mixed the

problem

exponential

for

decay

of

the

wave

equation,Ⅳ,the

existence

solutions,J.Math.Kyoto

and

Univ.,19(1979),

375-411. [34] 

Ikawa,M.:Decay two

[35] 

of

convex

solutions

Ikebe,T.:Eigenfunction operators

of

the

obstacles,Osaka

wave

expansions and

their

equations

in

the

exterior

of

J.Math.,19(1982),459-509. associated

applications

to

the

with

scattering

the

Schrodinger

theory,Arch.Rat.

Mech.Anal.5(1960),1-34. [36] 

Ikebe,T.:Spectral

representation

range

potentials,J.Functional

bation

by

short-range

for

Schrodinger

operators

with

long

Anal.,20(1975),158-176,Ⅱ,pertur potentials,Publ.RIMS,Kyoto

Univ.,11(1976),

551-558. [37] 

Ikebe,T.,Isozaki,H.:A pleteness

stationary of

long-range

wave

approach

to

the

operators,Integral

existence

and

Eq.Operator

com Th.,5

(1982),18-49. [38] 

Ikebe,T.,Saito,Y.:Limiting for

[39] 

the

absorption

Schrodinger

Ikebe,T.,Uchiyama,J.:On of

second

the

order

method

and

operator,J.Math.Kyoto

elliptic

absolute

continuity

Univ.12(1972),513-542.

asymptotic

behavior

of

operators,J.Math.Kyoto

eigenfunctions Univ.,11(1971),

425-448. [40] 

Inoue,A.:Sur□u=u3

dans

domaine

non-cylindrique,J.Math.Anal.

Appl,46(1973),777-819. [41]* 

伊 藤 清 三:関

[42] 

Iwasaki,N.:On

数 解 析 Ⅲ(岩 the

波 講 座 基 礎 数 学),岩

principle

of

limiting

波 書 店,1978. amplitude,Publ.RIMS,Kyoto

Univ.Ser.A,3(1968),373-392. [43] 

Iwashita,H.:Spectral long-range

representations perturbations

of

and the

asymptotic

d'Alembert

wave

functions

equation,Tsukuba

for J.

Math(to [44] 

appear).

Jager,W.:Ein

gewohnlicher

Functionen

mit

Differential-operator

Werten

in

einem

zweiter

Ordnung

fur

Hilbertraum,Math.Z.113(1970),

68-98. [45] 

Jager,W.,Rejto,P.:Limiting operators

aboorption

with

exploding

principle

for

potentials,I,J.Math

some

Schrodinger

Anal.Appl.91

(1983),192-228,Ⅱ,ibid.95(1983),169-194. [46] 

John,F.:Blow-up

of

space [47] 

Kalf,H.:Non-existence Royal

[48] 

solutions

of

nonlinear

wave

equations

in

three

dimensions,Manu.Math.28(1979),235-268. of

eigenvalues

Soc.Edinburgh

of

Schrodinger

operators,Proc,

79A(1977),157-172.

Kato,T.:Fundamental

properties

of

Hamiltonian

operators

of

reduced

wave

Schrodinger

type,Traps.Amer.Math.Soc.70(1951),195-211. [49] 

Kato,T.:Growth with

[50]* 

properties variable

of

solutions

of

Coefficient,Comm.Pure

Kato,T.:Perturbation

theory

the

equation

Appl.Math.12(1959),403-425.

for

linear

operators,Springer-Verlag,1966,

第2版1976. [51] 

Kato,T.:Scattering

theory

with

two

Hilbert

spaces,J.Funct.Analy.

1(1967),341-369. [52] 

Kato,T.:Blow-up

of

Comm.Pure [53] 

solutions

of

some

non-linear

hyperbolic

equations,

Appl.Math.32(1980),501-505.

Kato,T.;Kuroda,S.T.:The

abstract

theory

of

scattering,Rocky

Moun

tain,J.Math.1(1971),127-171. [54] 

Kitada,H.:Scattering

theory

potentials,I,abstract Ⅱ,spectral

[55]*  熊 ノ郷 準:偏 [56] 

and

for

Schrodinger

operators

theory,J.Math.Soc.Japan scattering

long-range

theory,ibid.30(1978),603-632.

微 分 方 程 式(共 立 数 学 講 座),共

Kuroda,S.T.:Scattering

with

29(1977),665-691,

theory

theory,J.Math.Soc.Japan

for

立 出 版,1978. differential

operators,I,operator

25(1973),25-104,Ⅱ,selfadjoint

elliptic

operators,ibid.25(1973),222-234. [57]* 

Kuroda,S.T.:An Series

[58]*  黒 田 成 俊:ス [59] 

introduction No.51,

Aarhus

to

scattering

ペ ク トル 理 論 Ⅱ(岩 波 講 座 基 礎 数 学),岩

Ladyzhenskaya,O.A.:On

theory,Lecture

Univ.,1978.

the

principle

of

波 書 店,1979.

limiting

amplitude,Uspekhi

Math.Nauk.12(3)(1957),161-164(Russian). [60]* 

Lax,P.D.,Phillips,R.S.:Scattering

theory,Academic

Press,1967.

Notes

[61] 

Lax,P.D.,Phillips,R.S.:Scattering in

an

even

theory

number

of

space

for

the

acoustic

dimensions,Indiana

equation

Univ.Math.J.22

(1972),101-134. [62] 

Leis,R.:Zur

Theorie

elastischer

Schwingungen

in

inhomogeneous

Me

lien,Arch.Rat.Mech.Anal.39(1970),158-168. [63] 

Majda,A.:High the

frequency inverse

problem

asymptotics of

for

acoustical

the

scattering

matrix

scattering,Comm.Pure

and

Appl.Math.

29(1976),261-291. [64] 

Matsumura,A.:Energy

decay

Proc.Japan [65] 

Matsumura,M.:Uniform systems

of

solutions

of

dissipative

wave

equations,

Acad.53(1977),232-236. estimates

of

partial

of

differential

elementary

solutions

of

first

order

equations,Publ.RIMS,Kyoto

Univ.

6(1970),293-305. [66] 

Matsumura,M.:Asymptotic of

first

behavior

order

systems

Publ.RIMS,Kyoto

[67]* 溝 畑茂:偏 [68]* 

de

complex

du

les

equations

aux

associated

potential

and operators

Utah,Winter

and

and

scattering

in

an

Spring

Mochizuki,K.:Growth

the

functions multiplicity,

pour

des

derivees

with

the

scattering

theory

exterior

equa

partielles,

Schrodinger

inverse

for

second

problem,

order

domain,Lecture

elliptic

Note

Univ.

1972.

properties

of

solutions

equations,J.Math.Kyoto

Mochizuki,K.:Scattering

of

second

order

elliptic

Univ.16(1976),351-373.

theory

for

wave

equations

with

dissipative

Univ.12(1976),383-390.

Mochizuki,K.:Asymptotic

wave perturbations

of

functions the

and

d'Alembert

energy

distributions

equation,J.Ma

for h.

Soc.

34(1982),143-171.

Mochizuki,K.;Uchiyama,J.:Radiation for

Green's

Acad.43(1957),638-543.

differential

Japan

bord

sur

expansions a

Mochizuki,K.:Spectral

long-range

[74] 

mixte

au

terms,Publ.RIMS,Kyoto [73] 

for

France,1966-1970,23-60.

with

differential [72] 

type

problems

Proc.Japan

[71] 

nonuniform

Seminaire

Mochizuki,K.:Eigenfunction operator

[70]* 

of

Univ.12(1976),317-377.

hyperbolique,

College [69] 

infinity

微 分 方程 式 論,岩 波 書店,1965.

Mizohata,S.:Quelques tions

at

characteristics

with

2-body

tials,I,the

conditions

Schrodinger principle

operators of

limiting

with

and

"oscillating"

absorption,J.Math.Kyoto

spectral long-range

theory poten Univ.

18(1978),377-408,Ⅱ,spectral [75] 

Mochizuki,K.,Uchiyama,J.:Time stationary

operators

representations

for"oscillating"long-range

Morawetz,C.S.:Exponential

the

decay

of

solutions

of

the

wave

equation,

Appl.Math.19(1966),439-444.

Morawetz,C.S.,Ralston,J.V.,Strauss,W.A.:Decay wave

of

potentials,Publ.

Univ.18(1982),947-972.

Comm.Pure [77] 

dependent

wave

RIMS,Kyoto [76] 

representation,ibid.19(1979),47-70.

equation

of

outside

nontrapping

solutions

of

obstacles,Comm.Pure

the

Appl.

Math.30(1977),447-508. [78] 

Morawetz,C.S.,Strauss,W.A.:Decay nonlinear

and

relativistic

wave

scattering

of

equation,Comm.Pure

solutions

of

a

Appl.Math.25

(1972),1-31. [79]* 

森 口 繁 一,宇

[80] 

Morrey,C.B.:Quelques ques

[81]* 

田 川銈

久,一

松 信:数

学 公 式Ⅱ,岩

resultats

Internation

aux

du

波 全 書,1960.

recents

du

C.N.R.S.,Paris

Newton,R.G.:Scattering

theory

of

calcul

de

117(June wave

and

variations,Collo 1962),25-30.

particles,McGraw-Hill,

1966. [82] 

Nirenberg,L.Uniqueness with

in

constant

leading

Cauchy

problems for

differential

coefficients,Comm.Pure

equations

Appl.Math.10(1957),

89-105. [83] 

Pecher,H.:Decay

of

solutions

of

nonlinear

wave

equations

in

three

equation

with

space

dimensions,J.Funct.Analy.46(1982),221-229. [84] 

Phillips,R.S.:Scattering range

[85] 

theory

Povzner,A.Ya.:On the

for

perturbation,Indiana the

eigenfunctions

the

wave

a

short

Univ.Math.J.31(1982),609-639.

of

expansions the

of

operator

arbitrary

functions

in

terms

of

-Δu+cu,Mash.Sb.32(74)(1953),

109-156(Amer.Math.Soc.Trans.60(1967),1-49). [86] 

Povzner,A.Ya.:On the

the

Sehrodinger

expansions

in

terms

of

the

equation,Dokl.Akad.Nauk

eigenfunctions SSSR

of

104(3)(1955),

360-363(Russian). [87] 

Prosser,R.T.:Relativistic

potential

scattering,J.Math.Phys.4(1963),

1048-1454. [88] 

Ramm,A.G.:On lem

regions,free for

a

three

166(1966),1319-1322(Soviet [89]* 

Reed,M.:Abstract

of

dimensional

non-linear

resonance

poles

in

the

scattering

potential,Dokl.Akad.Nauk

prob SSSR

Phys.Dokl.11(1966),114-116) wave

equations,Lecture

Note

Math

507,

Springer-Verlag,1976. [90] 

Reed,M.,Simon,B.:The neous

[91]* 

scattering

of

classical

waves from

inhomoge

media,Math.Z.155(1977),163-180.

Reed,M.,Simon,B.:Methods demic

of

Modern

Press,vol.Ⅲ,Scattering

Mathematical

Physics,Aca

theory,1979,vol.Ⅳ,Analysis

of

oper

ators,1978. [92] 

Rellich,F.:Uber

des

k2u=0

in

asymptotische

unendlichen

Verhalten

der

Losungen

von

Δμ+

Gebieten,Jahresber.Deut.Math.Ver.53

(1943),57 [93]* 

Riesz,F.,Nagy,B.Sz.:Functional erick

[94] 

Saito,Y.:The ntial

analysis(English

translation),Fred

Unger,1955. principle operators

of

with

limiting

absorption

operator-valued

for

second

order

differe

coefficients,Publ.RIMS,Kyoto

Univ.7(1972),581-619. [95]* 

Saito,Y.:Spectral range

representations

potentials,Lecture

[96] 

Saito,Y.:Some

properties

[97] 

Schulenberger,J.,Wilcox,C.H.:Completeness

scattering

for Note

of

Schrodinger

operators

with

long

Math.727,Springer-Verlag,1979.

the

scattering

amplitude

and

the

inverse

problem,Oska.J.Math.19(1982),529-549,

perturbations

of

of

uniformly

propagative

wave

operators

for

systems,J.Funct.Analy.

7(1971),447-474. [98] 

Schulenberger,J.,Wilcox,C.H.:The spectral

theory

anisotropic [99]* 

steady

des

沢 聯 訳:超

state

propagation

principle

in

and

inhomogeneous

for

1950-1951,第2版

波 書 店)

nonlinear

relativistic

equations,Ⅱ,Ann.Sci.

Norm.Sup.(4)1(1968),459-497.

Shenk,N.A.,Ⅱ:Eigenfunction wave

wave

distributions,T Ⅰ,Ⅱ,Paris

関 数 論,岩

Segal,I.:Dispersion Ecole

[101] 

for

absorption

media,Arch.Rat.Mech.Anal.41(1972),46-65.

Schwartz,L.:Theorie 1957(岩

[100] 

limiting

equation

expansions in

an

exterior

and

scattering

theory

for

region,Arch.Rat.Mech.Anal.21

(1966),120-150. [102]* 

島 倉 紀 夫:楕

[103] 

Simon,B.:On

円 型 偏 微 分 作 用 素(紀

Comm.Pure [104]* 

Smirnov,V.I.(弥

[105] 

Soga,H.:Singularities

positive

伊 國 屋 数 学 叢 書),紀

eigenvalues

of

one-body

伊 國 屋 書 店,1978. Schrodinger

operators,

Appl.Math.22(1967),531-538. 永 昌 吉 他 訳):高 of

the

等 数 学 教 程12,共 scattering

kernel

立 出 版,1962. for

convex

obstacles,J.

the

Math.Kyoto [106] 

Univ.22(1983),729-765.

Sommerfeld,A.:Die

Greenche

Function

der

Schwingungsgleichung,

Jahresber.Deut.Math.Ver.21(1912),316. [107]* 

Sommerfeld,A.:Lectures Academic

on

Ⅵ ,Partial [108] 

theoretical

physics(English

Press,vol.Ⅱ,Mechanics differential

of

Equations

Strauss,W.A.:Decay

and

in

translation),

deformable

bodies,1964,vol.

Physics,1964.

asymptotics

for □u=F(u),J.Funct.Analy.

2(1968),409-457. [109] 

Strauss,W.A.:Decay

of

nonlinear Rome [110] 

solutions

of

terms,Symposia

hyperbolic

equations

with

localized

Matheinatica Ⅶ,Ist.Naz.Alta

Mat.,

1971,339-355.

Strauss,W.A.:The

existence

of

the

scattering

operator

for

moving

obstacles,J.:Funct.Analy.31(1979),255-262. [111] 

Tamarkin,J.D.:On

Fredholm's

analytic [112] 

in

a

Tamura,H.:The in

crystal

integral

equations

whose

kernels

are

parameter,Ann.Math.28(1927),127-152. principle

optics

with

of

limiting

absorption

perturbations

of

for

long-range

propagative

systems

class,Nagoya

Math.

J.84(1981),169-193. [113] 

Tamura,H.:On

the

time-dependent

decay

of local

energy

for

wave

potentials,J.Math.Soc.Japan

[114]* 

Taylor,J.R.:Scattering

[115] 

Thoe,D.:Spectral

equations

with

33(1981),605-618.

theory,Wiley,1972. theory

for

the

wave

equation

with

a

potential

term,

Arch.Rat.Mech.Anal.22(1966),364-406. [116] 

Thoe,D.:On

the

exponential

decay

of

solutions

of

the

wave

equation,

J.Math.Anal.Appl.16(1966),333-346. [117] 

Uchiyama,J.:Lower

bounds

equations with

of

growth

homogeneous

order

of

solutions

of

Schrodinger

potentials,Publ.RIMS,Kyoto

Univ.

10(1975),425-444 [118] 

Vainberg,B.R.:On of

the

stationary

solutions

problems of

3-55(Russian [119]* 

Vainberg,B.R.:Asymptotic physics,Moscow

[120]* 

Vladimirov,V.(飯

[121] 

Weyl,H.:Uber

non-stationary

short

wave

and

asymptotic

behaviour

the asymptotic behaviour problems,Uspekhi

Math.Surveys

of

solutions

as Mat.Nauk

t→ ∞

of

30(2)(1975),

30(2)(1975),1-58). methods

for

equations

of

mathematical

Univ.,1982(Russian). 野 理 一 他 訳):応 beschrankte quadratische

用 偏 微 分 方 程 式,総 Formen,deren

合 図 書,1971. Differenz

vollstetig

ist.Rend.Civc.Mat.Palermo [122]* 

Wilcox,C.H.:Scattering domains,Lecture

[123]* 

Yosida,K.:Functional

27(1909),373-392. theory

Note

for

the

d'Alembert

Math.442,Springer-Verlag,1975. analysis,Springer-Verlag,1965,第5版1978.

equation

in

exterior

索

引

A

H

ア イ コ ナ ル(eikonal)方 鞍 部 点 法(stationary

程 式   52 phase

波 動 作 用 素(wave

method) 

106

operator) 

―

が 完 全(complete) 

―

の 不 変 性 原 理(invariance

C

principle) 

超 関 数(distribution) 

3

お だ や か な(tempered)― 

― 3

75

Mollerの

―

  73 の―

  79

定 常(stationary)― D

74

の 存 在   73,151,159

Schrodinger型

直 積 空 間   21

73

  103

反 復 波 動 方 程 式   22

楕 円 性 の 評 価   35 d'Aembert方

平 面 波(plane

程式 6

同 一 視 作 用 素(identification  67

wave)

ゆ が ん だ(distorted)―  operator)

Helmholtz方

83

程 式   11

非 柱 状(領 域)  145

遠距離型の―

  107

放 射 条 件(radiation Sommerfeldの

E

canditian)  ―

外 向 き(outgoing)― 

エ ネ ル ギ ー   20,131,146 ―

伝 播 問 題   22

―

保 存 則   135

―

の 均 等 分 割   65

― ―

の 有 限 伝 播 性   134 の 有 界 性   134

14,55

内 向 き(incoming)― Huygensの

原理

14,55

  14

 14,55

 10

I 一 意 性 定 理   45 一 意 接 続 定 理   38

エ ネ ル ギ ー 積 分   131 定 常 ― 

43

K 基 本 解(elementary

F Fourier変 Friedrichs拡

d'Alembert方 換

 5 張   166

Helmholtz方

G

7

程 式 の ― 

11

双 曲 型 発 展 方 程 式 の ―  Klein-Gordon方

逆 問 題 の 一 意 性   81

solution) 程 式 の― 

極 限 吸 収 の 原 理(principle absorption) 

21

程 式   169

63,93

of

limiting

極 限 振 幅 の 原 理(principle amplitude) 

of limiting

零 集 合(null

11

Rellichの

set)  20 定 理   33

リ ゾ ル ベ ン ト(resolvent) 

局 所 エ ネ ル ギ ー   66

―

―

の 減 衰   66

―

の 可 積 分 性   137

―

の 指 数 的 減 衰   141

15

方 程 式   69 ,85

―

の 解 析 接 続   87

Riesz変

換  123

局 所 可 解 性   119 強 解(strong

solution) 

境界条件 Dirichlet― 

S

20

散 乱 作 用 素(scattering 24

Neumann-Robin― 

24

L

の 表 現   78

―

の 解 析 接 続  87

―

の 存 在  151,159,163

Schrodinger型

Laplace変

換  11,88

operator) 

―

の ― 

定 常(stationary)― 

Lippmann-Schwinger方

程 式   83

M

先 験 評 価(apriori

79 103

星 状(star shaped)(領 一様に―   149

摩 擦 項   135

79

域)  80,148

estimate) 

35,56,120

摂 動 項   25

未 来 光 錐   10

非線形の―

  117

摂 動項に対する N

超 短 距 離 型(very

波

short-range)条

遠 距 離 型(long-range)条 ―

の 局 所 減 衰   10

―

の 輪 郭(wave

―

の 指 数 的 減 衰   88

―

の 一 様 減 衰   10

指 数 的 減 衰 条 件   83

profile) 

111

短 距 離 型(short-range)条 Sobolev空

O

非 均 質(inhomogeneous)媒

 5

不 等 式  122

Sonine-Schafheitlinの

音響波動伝播問題

外 向 き 解(outgoing 質 中 の ― 

6

質 中 の ― 

24 音 響 ポ テ ン シ ャル   6

P

相(phase)関

公 式  126 solution) 

数  55,97

双 曲 型 発 展 方 程 式   19 半線形の―

  117

ス ペ ク トル ―

の 絶 対 連 続 性   17,64

―

測 度   15

ポ テ ン シ ャ ル 関 数  25

本 質 ― 

ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー   21

連続―

27   15

ス ペ ク トル 表 現 R

件   25

間  5

重みのついた― Sobolevの

均 質(homogeneous)媒

件   82

件   25

遠 距 離 型 の―

  102

55

Laplace作

用 素 の―

短 距 離 型 の ―  Stieltjesの

  17 U

70

反 転 公 式   15,29

内 向 き 解(incoming

solution) 

55

運 動 エ ネ ル ギ ー   21 T T-行

列   78

Schrodinger型

Z の ― 

大 域 的 可 解 性   121

全 エ ネ ル ギ ー の 減 衰   135 漸 近 波 動 関 数(asymptotic

定 常 波 動 伝 播 問 題   14,41 トレ ー ス(trace) 

80

16

111 自 己 共 役 性   14

wave

function) 

記 号 表

Rnま

た はCで

の領 域

  L, 

  Ω(R),B(R),B(R,t),S(R)    Π±,Π ±,K±   Π-α,π-α

R(κ),E(λ),Q=I-E(0)

  27-28

41-42

  F(σ),F*(σ),F±,F±* 

 42

 Λ0,Λ

 83-84

  W±,〓,W±,S±

 73-74

  〓,〓,T±

関数空間   Cm(Ω),Cm0(Ω),〓,Lp(Ω),Lploc(Ω), D′(Ω),〓

′

  Hmμ(Ω),‖ 

‖μ,m 

  L2μ(Ω),‖  ‖μ 

′) 

118,155

  U0(t) 

5

 78-79

122 141

5

  Hm(Ω),Hm(Ω),‖    C∞t(R;〓

  Φ   

 2-3

‖Hm 

5

特別な関数記号   r=￨x￨,x=x/￨x￨ 

6

  H0=L2(Rn;a-2) 

25-26

  m(x,κ),p(x,κ) 

14

42

  q(x,κ),ρ(x,κ)    h=L2(Sn-1) 

70,100-102

  73

50-51,93-94

  Y(x,κ),Yk(x,κ) 

17

  H=L2(Ω;a(x)-2) 

  θ(x,κ) 

27,

52

58

  vφ(x,κ),gφ(x,κ)    H0=L2(R+;h) 

70,

  Ψ(x),ξ(x) 

98

98,104-105

  E(t;w),E(t;w,R)    H0=L2(R;h) 

  X(T)    〓e 

  θ(x,t) 

110,

118,X(T) 

摂 動 項 に 対 す る仮 定

125

  仮 定 Ⅰ   25,Ⅱ,Ⅲ

151

  Y±α(T) 

131,146

132

155,Y-α(T) 

157

 

Ⅴ 

120,Ⅵ 

(A1),(A2),(P1)  作用素

(P1)′

  L0,R0(κ),E0(λ)    F0(σ),F*0(σ),F0,F*0    P(1),P(2)    ∇=∇-x∂r 

 

14-15 17

22 26

 

  26,Ⅳ 121,Ⅵ

125

122,(A1)′,

  125,(A3) 

135,(A5) 

  118, ′ 

137,(A6) 

134,(A4) 141,

(A7) 

146,(A8) 

147,(P2),

(P3) 

155,(P4) 

161,  (P5)

170

著

望 1939年

者

月

清

群 馬 県 前 橋 市 に 生 れ る.1961年

京 都 大 学 理 学 部 数 学 科 卒 業.1964年 助 手.1966年

同

同 教 養 部 助 教 授.1975年

名 古 屋 工 業 大学 工 学 部 教授.1980年 り信 州 大学 理 学部 教 授.理

よ

学 博 士.

波 動 方 程 式 の 散 乱 理 論 1984年2月29日

  第1刷 発 行C

発行所 

株式 会社 

紀伊 國屋書店

東 京 都 新 宿 区 新 宿3の17の7 電

話

  (354)0131(代

振 替 口 座 

出版部

東

東 京 都 千 代 田 区 五 番 町12番 電

話 

(263)4914-5(編   (263)9006(営

郵

印 刷  研 究 社 印 刷 製 本  三 水 舎 PRINTED IN JAPAN

便

番

表)

京9-125575

号

地 集) 業)

  102

落丁 ・乱丁の際はお と りかえい たします

紀 伊 國 屋 数 学 叢 書 に つ い て

  数学 を学 ぶ に はい ろ い ろ の段 階が あ るが,い ず れ の場 合 で も書 物 な ど に よ って 自学 自習 す る こ とが最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を聞 くとい うよ うな 受動 的 な勉 強 だ け で は,は なは だ不 十 分 で あ る.   み ず か ら学 ぶ た め に 現 在 い ろ い ろ な 数 学 書 が 出版 され て い る.し

か

し,数 学 の進 歩 は極 め て基 礎 的 な考 え方 に対 して さ え常 に影 響 を与 えて お り,従 って ど の よ うな段 階 の勉 強 で あ っ て も,常 に新 しい 考 え方 を理 解 す る こ とが必 要 で あ る.こ の た め には,数 学 の過 去 と将 来 と を結 ぶ 視 点 か ら書 か れ た書 物 が 数 多 く出 版 され る こ とが 望 ま しい.即

ち,新 しい

視 点 と古 典 的 な視 点 と を見 くらべ,基 本 的 な こ と を も将 来 の 発 展 を考 慮 した視 点 か ら説 明す る とい う立 場 で書 か れ た書 物 が 要 望 され てい る.   本 叢 書 は こ の よ うな要 望 に応 え て企 画 され た もの であ っ て,各 巻 が 大 学 理 工学 系 の専 門課 程 の学 生 ま たは 大 学 院 学 生 が そ れ ぞ れ の 分 野 での 話 題,対 象 に つ い て入 門 の段 階 か らあ る程 度 の 深 さ ま で勉 学 す るた め の 伴 侶 とな る こ とを 目指 して い る.こ の た め に我 々 は各 巻 の 話 題 の選 択 につ い て,十 分 配 慮 し,現 代数 学 の発 展 に とっ て重 要 で あ り,ま た 既 刊 書 で 必 ず し も重 点 が置 かれ て い な い も の を選 び,各 分 野 の第 一 線 で活 躍 し て お られ る数 学 者 に執 筆 をお願 い して い る.   学 生諸 君 お よ び数 学 同好 の方 々が,こ

の叢 書 に よ っ て数 学 の種 々の 分

野 に お け る基本 的 な考 え方 を理 解 し,ま た基 礎 的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と もに,更 に現 代 数 学 の最 先 端 へ 向か お うとす る場 合 の 基 礎 と もな る こ と を望 み た い.