ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÎÑÓÄÀ ÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅ ÑÈÒÅÒ èìåíè Ì.Â.ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ
Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé àêóëüòåò
Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà è óñò...
23 downloads
216 Views
800KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÎÑÓÄÀ ÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅ ÑÈÒÅÒ èìåíè Ì.Â.ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ
Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé àêóëüòåò
Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà è óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ ïðîñòåéøåé ìîäåëè ñêåéòáîðäà À.Â. Êðåìíåâ, À.Ñ. Êóëåøîâ
Mo êâà 2007 ãîä
À.Â. Êðåìíåâ, À.Ñ. Êóëåøîâ Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà è óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ ïðîñòåéøåé ìîäåëè ñêåéòáîðäà.
Èçó÷àåòñÿ ïðîñòåéøàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, îïèñûâàþùàÿ äâèæåíèå ÷åëîâåêà íà ñêåéòáîðäå. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî óïðàâëåíèå ñêåéòáîðäîì ñî ñòîðîíû ÷åëîâåêà îòñóòñòâóåò. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìîäåëè ïðåäñòàâëåíû â îðìå óðàâíåíèé èááñà Àïïåëÿ è ïðîâåäåí àíàëèç ýòèõ óðàâíåíèé. Èññëåäóþòñÿ âîïðîñû èíòåãðèðóåìîñòè ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé. Èçó÷åíî âëèÿíèå ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè íà åå äèíàìèêó. Äëÿ ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñòè äèíàìèêè íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì, àñïèðàíòîâ è ñòóäåíòîâ. àáîòà âûïîëíåíà ïðè ÷àñòè÷íîé ïîääåðæêå ÔÔÈ (ãðàíò 07-01-00290).
Êðåìíåâ À.Â., Êóëåøîâ À.Ñ. 2007 ã.
Îãëàâëåíèå Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Îáçîð ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Îïèñàíèå ñêåéòáîðäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü ñêåéòáîðäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Îñíîâíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò . . . . 9 Êèíåìàòè÷åñêèå ñâÿçè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Âû÷èñëåíèå àáñîëþòíîé ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ äîñêè è öåíòðà ìàññ ðàéäåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ñðàâíåíèå ñ èçâåñòíûìè ðåçóëüòàòàìè . . . . . . . . . . . . . . . 30 Óñòîé÷èâîñòü ïðÿìîëèíåéíîãî ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Ñóùåñòâîâàíèå èíâàðèàíòíîé ìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Êà÷åñòâåííûé àíàëèç èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ . . . . . . . . 39 Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé â èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Àíàëèç äâèæåíèÿ ñèñòåìû âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Äîïîëíåíèå
1.
Î
Âûáîðå
îñíîâíûõ
ïàðàìåòðîâ
çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Äîïîëíåíèå äâèæåíèé
2.
Îá
óñòîé÷èâîñòè
íåãîëîíîìíûõ
ñèñòåì
ñòàöèîíàðíûõ ñ
ëèíåéíûìè
ïåðâûìè èíòåãðàëàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Äîïîëíåíèå
3.
Íîðìàëüíàÿ
îðìà
ñèñòåìû
íåëèíåéíûõ äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé . . . . . . 88
Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3
Ââåäåíèå Îáçîð ëèòåðàòóðû
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ñêåéòáîðäèíã èñêóññòâî êàòàíèÿ íà ñêåéòáîðäå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñàìûõ ïîïóëÿðíûõ âèäîâ ñïîðòà [1℄. Ìíîãèå ìèëëèîíû ëþäåé óâëåêàþòñÿ ñêåéòáîðäèíãîì. Ïî äàííûì íà 2003 ãîä, â îäíèõ òîëüêî Ñîåäèíåííûõ Øòàòàõ Àìåðèêè íàñ÷èòûâàëîñü áîëåå 11 ìèëëèîíîâ ëþáèòåëåé ñêåéòáîðäèíãà [2℄. Ýòî êîëè÷åñòâî ðàâíÿëîñü ïðèáëèçèòåëüíî ÷èñëó òåõ, êòî óâëåêàåòñÿ âîëåéáîëîì èëè áîëüøèì òåííèñîì. Íà÷èíàÿ ñ 1993 ãîäà êîëè÷åñòâî ëþäåé, óâëåêàþùèõñÿ ñêåéòáîðäèíãîì, âîçðîñëî ïî÷òè âäâîå [3℄. Îäíàêî, íåñìîòðÿ íà ñòîëü áûñòðî ðàñòóùóþ ïîïóëÿðíîñòü ñêåéòáîðäèíãà, êîëè÷åñòâî ïóáëèêàöèé, ïîñâÿùåííûõ ðàçëè÷íûì âîïðîñàì äèíàìèêè ñêåéòáîðäà, ñðàâíèòåëüíî íåâåëèêî.  êîíöå 70-õ íà÷àëå 80-õ ãîäîâ XX âåêà ïîÿâèëèñü äâå ñòàòüè Ìîíòà Õàááàðäà [4, 5℄, â êîòîðûõ áûëè ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû äâå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, îïèñûâàþùèå äâèæåíèå ÷åëîâåêà íà ñêåéòáîðäå (â äàëüíåéøåì ÷åëîâåêà, êàòàþùåãîñÿ íà ñêåéòáîðäå, áóäåì íàçûâàòü ðàéäåðîì). Ïðè ýòîì äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìîäåëåé èñïîëüçîâàëèñü îáùèå òåîðåìû äèíàìèêè. Ìîäåëè, èçó÷àåìûå íàìè â äàííîé ðàáîòå, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ìîäåëåé, ïðåäëîæåííûõ Õàááàðäîì.  1996 ãîäó ïîÿâèëàñü ñòàòüÿ Þ. . Èñïîëîâà è Á.À. Ñìîëüíèêîâà [6℄, â êîòîðîé òàêæå îáñóæäàëèñü ðàçëè÷íûå âîïðîñû äèíàìèêè ñêåéòáîðäà.  ÷àñòíîñòè, èññëåäîâàëàñü âîçìîæíîñòü ðàçãîíà ñêåéòáîðäà ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåàêöèé íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé (òàê íàçûâàåìûé íåãîëîíîìíûé ðàçãîí). Îäíàêî ìîäåëü ñêåéòáîðäà, ïðåäëîæåííàÿ 4
â [6℄ ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíîé, òîãäà êàê â ðàáîòàõ [4, 5℄ ðàñìàòðèâàëèñü èñêëþ÷èòåëüíî ïðîñòðàíñòâåííûå ìîäåëè, ïðåäñòàâëÿþùèå, êàê êàæåòñÿ, áîëüøèé èíòåðåñ. åçóëüòàòû, èçëîæåííûå â [6℄, ñóùåñòâåííî èñïîëüçîâàëèñü àâòîðàìè äèïëîìíîé ðàáîòû [7℄, â êîòîðîé, ïîìèìî èññëåäîâàíèÿ ìîäåëè ñêåéòáîðäà, âçÿòîé èç [6℄, èçó÷àëèñü òàêæå ìîäåëè îäíîé èç ìîäè èêàöèé ñêåéòáîðäà, íàçûâàåìîé ñíåéêáîðä (ñì., íàïðèìåð, [8, 9℄).  ñòàòüå [10℄ èññëåäîâàëèñü óïðóãèå ñâîéñòâà äîñêè ñêåéòáîðäà, ñäåëàííîé èç êîìïîçèòíîãî ìàòåðèàëà, ïðè ïîñòåïåííîì óâåëè÷åíèè íàãðóçêè íà äîñêó (ñ 60 êã äî 80 êã). Óïðóãèå ñâîéñòâà êîëåñ ñêåéòáîðäà è åíîìåíîëîãè÷åñêèå ìîäåëè äëÿ ñèëû òðåíèÿ, âîçíèêàþùåé ïðè âçàèìîäåéñòâèè êîëåñ ñêåéòáîðäà ñ îïîðíîé ïîâåðõíîñòüþ, îáñóæäàëèñü àâòîðîì ïðåçåíòàöèè [11℄.  2004 ãîäó ñòóäåíò óíèâåðñèòåòà â Ýêñòåðå (Âåëèêîáðèòàíèÿ) Àíäåðñ Ýñòåðëèíã ïðåäñòàâèë ñâîþ êóðñîâóþ ðàáîòó [12℄, â êîòîðîé ïðè ïîìîùè îáùèõ òåîðåì äèíàìèêè èññëåäîâàëàñü îäíà èç ìîäåëåé ñêåéòáîðäà, ïðåäëîæåííûõ â [4, 5℄. Íàðÿäó ñî ñòàòüÿìè [4, 5℄, êóðñîâàÿ ðàáîòà [12℄ ïðåäñòàâëÿåò íàèáîëüøèé èíòåðåñ ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîñòðîåííîé â íåé ìîäåëè ñêåéòáîðäà è ìåòîäîâ åå èçó÷åíèÿ.  òåêñòå íàøåé ðàáîòû ìû åùå íå ðàç áóäåì óïîìèíàòü ñòàòüè [4, 5℄ è êóðñîâóþ ðàáîòó [12℄ è ñðàâíèâàòü ïîëó÷åííûå â íèõ ðåçóëüòàòû ñ òåìè, ÷òî ïîëó÷èëèñü ó íàñ.  íåäàâíåé ñòàòüå [13℄ áûë ñäåëàí êðàòêèé îáçîð îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ ðàáîò [4, 5℄, îäíàêî èññëåäîâàíèÿ, ïðîâåäåííûå â [13℄, íå êàñàëèñü íàïðÿìóþ èçó÷åíèÿ äèíàìèêè ñêåéòáîðäà. Êðîìå òîãî, ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â [4, 5℄ èñïîëüçîâàëèñü àâòîðîì ïðåçåíòàöèé [14, 15℄ äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà. Ýòèì 5
ëèøíèé ðàç ìîæíî ïîä÷åðêíóòü òîò àêò, ÷òî ðàáîòû [4, 5℄ ÿâëÿþòñÿ êëþ÷åâûìè ðàáîòàìè ïî äèíàìèêå ñêåéòáîðäà. Ïðèâåäåííûé ñïèñîê ðàáîò ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ îòðàæàåò âñå ïîëó÷åííûå ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ðåçóëüòàòû ïî äèíàìèêå ñêåéòáîðäà.  ñïèñêå ëèòåðàòóðû, ïðèâåäåííîì â êîíöå ðàáîòû, èìååòñÿ ðÿä ññûëîê íà ýëåêòðîííûå èñòî÷íèêè ( àéëû èëè ñàéòû, ðàçìåùåííûå â Internet). Åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå ññûëêè óæå íå ÿâëÿþòñÿ ðàáî÷èìè, ÷èòàòåëè ìîãóò îáðàòèòüñÿ ê àâòîðàì äàííîãî èññëåäîâàíèÿ ïî àäðåñàì avkremenmail.ru, kuleshovme h.math.msu.su èëè akulepisem.net. Àâòîðû ïîäòâåðæäàþò, ÷òî ðàñïîëàãàþò ýëåêòðîííûìè âåðñèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàáîò â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ññûëêà äàíà íà ýëåêòðîííûé èñòî÷íèê è ãîòîâû ïðåäîñòàâèòü ýòè ðàáîòû âñåì æåëàþùèì. Àâòîðû íàäåþòñÿ, ÷òî èõ èññëåäîâàíèÿ ïðîáóäÿò èíòåðåñ ê äàëüíåéøåìó èçó÷åíèþ äèíàìèêè ñêåéòáîðäà è ïîçâîëÿò ïîëó÷èòü íîâûå, íåîæèäàííûå ðåçóëüòàòû â äàííîé çàäà÷å. Îïèñàíèå ñêåéòáîðäà
Îáû÷íûé ñêåéòáîðä ñîñòîèò èç äîñêè, äâóõ ïîäâåñîê, ñîåäèíÿþùèõ êîëåñà ñ äîñêîé, è ÷åòûðåõ êîëåñ ( èñ. 1-2). Ñîâðåìåííûå äîñêè îáû÷íî èìåþò ðàçìåðû 78-83 ñì. â äëèíó, 17-21 ñì. â øèðèíó è òîëùèíîé 1-2 ñì [1℄. Êðîìå ðàçìåðîâ, äîñêè ðàçëè÷àþòñÿ ïî êîíêåéâó (ïðîãèáó), êîòîðûì îïðåäåëÿåòñÿ, äëÿ êàêèõ öåëåé ïðåäíàçíà÷åí ñêåéòáîðä. Åñëè îñíîâíàÿ öåëü çàêëþ÷àåòñÿ â âîçìîæíîñòè èñïîëíÿòü ñëîæíûå òðþêè, òî ëó÷øå èñïîëüçîâàòü áîëåå ãèáêóþ äîñêó. Áîëåå æåñòêóþ äîñêó ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ïðè êàòàíèè íà áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ (íàïðèìåð, ïðè ñêàòûâàíèè ñ ãîðû). 6
èñ. 1. Ñêåéòáîðä: âèä ñáîêó. Êîëåñà ñêåéòáîðäà îáû÷íî èçãîòàâëèâàþòñÿ èç óðåòàíà, îáåñïå÷èâàþùåãî õîðîøåå âçàèìîäåéñòâèå ñ àñ àëüòîì äàæå ïðè íàëè÷èè âûáîèí. Êîëåñà óêðåïëåíû íà îñÿõ ïðè ïîìîùè ïîäøèïíèêîâ ñ öåëüþ óìåíüøåíèÿ òðåíèÿ êà÷åíèÿ [11℄. Íàèáîëåå ñóùåñòâåííûìè ýëåìåíòàìè ñêåéòáîðäà ÿâëÿþòñÿ ïîäâåñêè, ïðè ïîìîùè êîòîðûõ îñè êîëåñ êðåïÿòñÿ ê äîñêå. Âðàùåíèå êàê ïåðåäíåé, òàê è çàäíåé êîëåñíîé ïàðû ïðîèñõîäèò âîêðóã ñîîòâåòñòâóþùèõ íàêëîííûõ îñåé ïèâîòîâ ( èñ. 1). Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî âñÿêèé ðàç, êîãäà äîñêà íå ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ, êîëåñíûå ïàðû ïîâîðà÷èâàþòñÿ íà ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ ( èñ. 2). Óïðàâëåíèå ñêåéòáîðäîì ïðîèñõîäèò ñ èñïîëüçîâàíèåì èìåííî ýòîé çàâèñèìîñòè ìåæäó óãëîì íàêëîíà äîñêè è óãëàìè ïîâîðîòà êîëåñíûõ ïàð.  íàøåé ðàáîòå ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñêåéòáîðä äâèæåòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè è ïðè ýòîì âñå ÷åòûðå åãî êîëåñà îïèðàþòñÿ î ïëîñêîñòü. Òåì ñàìûì, ìû èñêëþ÷àåì èç ðàññìîòðåíèÿ çàäà÷è, âîçíèêàþùèå ïðè èññëåäîâàíèè ïðûæêîâîé òåõíèêè íà ñêåéòáîðäå. Ñêàæåì òîëüêî, ÷òî áîëüøèíñòâî àâòîðîâ, èçó÷àþùèõ 7
èñ. 2.
èñ. 3.
äàííûå âîïðîñû, ðàññìàòðèâàþò â ñâîèõ èññëåäîâàíèÿõ òàê íàçûâàåìûé ïðûæîê "îëëè" (ïî èìåíè ðàéäåðà Àëëàíà Îëëè åëü àíäà, âïåðâûå åãî èñïîëíèâøåãî) ñòàíäàðòíûé ïðûæîê íà áîðäþð. Èññëåäîâàíèþ ïðûæêà "îëëè"ïîñâÿùåíû, â ÷àñòíîñòè, ðàáîòû [16℄-[24℄. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî â ñëó÷àå íàêëîíà äîñêè ñêåéòáîðäà âîçíèêàåò âîññòàíàâëèâàþùèé ìîìåíò, êîòîðûé âîçâðàùàåò äîñêó â ïåðâîíà÷àëüíîå ïîëîæåíèå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåëè÷èíà ýòîãî ìîìåíòà ïðîïîðöèîíàëüíà óãëó íàêëîíà äîñêè. Òàêîé ìîìåíò ìîæåò âîçíèêàòü, íàïðèìåð, åñëè äîñêà ñîåäèíåíà ñ êîëåñàìè ïðè ïîìîùè òîðñèîííûõ ïðóæèí ( èñ. 3). àíåå òàêîå æå ïðåäïîëîæåíèå î íàëè÷èèè âîññòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà áûëî ñäåëàíî â ðàáîòàõ [4, 5℄. Äàííîå ïðåäïîëîæåíèå âïîëíå îáîñíîâûâàåòñÿ êîíñòðóêòèâíûìè îñîáåííîñòÿìè ñîâðåìåííûõ ïîäâåñîê. Íà èñ. 3á ïðåäñòàâëåíà ïîäâåñêà ñêåéòáîðäà, ïðîèçâîäèìàÿ èðìîé "Seismi ". Îò÷åòëèâî 8
âèäíû ïðóæèíû, ñîçäàþùèå âîññòàíàâëèâàþùèé ìîìåíò, ïðîïîðöèîíàëüíûé óãëó íàêëîíà äîñêè.
Ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü ñêåéòáîðäà Ïîñòàíîâêà
çàäà÷è.
Îñíîâíûå
ñèñòåìû
êîîðäèíàò.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàéäåð, ñòîÿùèé íà ñêåéòáîðäå, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òâåðäîå òåëî, îñòàþùååñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíûì ê ïëîñêîñòè äîñêè âî âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàêëîíå äîñêè íà íåêîòîðûé óãîë ðàéäåð îòêëîíÿåòñÿ îò âåðòèêàëè íà òîò æå óãîë ( èñ. 4).
èñ. 4. Ñêåéòáîðä: âèä ñçàäè. Ââåäåì íåïîäâèæíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò OXY Z ñ íà÷àëîì â íåêîòîðîé òî÷êå O ïëîñêîñòè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ ñêåéòáîðä, è îñüþ OZ ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ. Åäèíè÷íûå âåêòîðû ñèñòåìû 9
èñ. 5. Ñèñòåìà êîîðäèíàò
e e
êîîðäèíàò OXY Z îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî x, y, Îáîçíà÷èì ñåðåäèíû îñåé ïåðåäíèõ è çàäíèõ z. êîëåñ ñêåéòáîðäà ÷åðåç A è B ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü ðàññòîÿíèå AB ðàâíî a ( èñ. 2, 5). Ïîëîæåíèå îòðåçêà AB îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OXY Z îïðåäåëÿåòñÿ êîîðäèíàòàìè X , Y åãî ñåðåäèíû G è óãëîì , êîòîðûé äàííûé îòðåçîê îáðàçóåò ñ íåïîäâèæíîé îñüþ ! ! OX ( èñ. 5). Òîãäà äëÿ ðàäèóñ âåêòîðîâ GA è GB ìû èìååì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ: a ! a GA = X + os x + Y + sin y ;
e
!
GB = X
e a
os ex + Y 2
2
e a sin ey : 2
2
!
!
Äè åðåíöèðóÿ ïî âðåìåíè ðàäèóñ-âåêòîðû GA è GB è ó÷èòûâàÿ, ÷òî OXY Z íåïîäâèæíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ àáñîëþòíûõ ñêîðîñòåé òî÷åê A è B: _ a _ sin x + Y_ + a _ os y ; A = X
10
v e 2 vB = X_ + a2 _ sin ex + Y_
e a_ os ey : 2
2
Ïðè íàêëîíå äîñêè íà óãîë îñü ïåðåäíåé êîëåñíîé ïàðû ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà óãîë Æf ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à îñü çàäíåé êîëåñíîé ïàðû ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà óãîë Ær ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ( èñ. 2, 5). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñêåéòáîðä äâèæåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî åãî êîëåñà íå ìîãóò ïðîñêàëüçûâàòü â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïëîñêîñòè êîëåñà. àññìîòðèì ïåðåäíþþ êîëåñíóþ ïàðó. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îñü êîëåñ îáðàçóåò ñ îñüþ OX óãîë =2 ( Æf ), à ñ îñüþ OY óãîë Æf ( èñ. 6). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïåðåäíåé ïàðû êîëåñ óñëîâèå
èñ. 7.
èñ. 6.
îòñóòñòâèÿ ïðîñêàëüçûâàíèÿ èìååò âèä: a a_ Y_ + _ os os( Æf ) X_ sin os
2
2
2
( Æf ) =0:
Äàííîå óñëîâèå, ïîñëå óïðîùåíèÿ, ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: a Y_ os ( Æf ) X_ sin ( Æf ) + _ os Æf = 0: (1)
2
Àíàëîãè÷íî, ðàññìîòðèì çàäíþþ êîëåñíóþ ïàðó. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îñü êîëåñ îáðàçóåò ñ îñüþ OX óãîë =2 ( + Ær ), à ñ îñüþ OY óãîë + Ær ( èñ. 7). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ çàäíåé ïàðû êîëåñ óñëîâèå îòñóòñòâèÿ ïðîñêàëüçûâàíèÿ èìååò âèä: a_ a Y_ os os( + Ær ) X_ + _ sin os ( + Ær ) =0:
2
2
2
11
Äàííîå óñëîâèå, ïîñëå óïðîùåíèÿ, ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Y_ os ( + Ær )
X_ sin ( + Ær )
a_ os Ær = 0:
2
Ìû ìîæåì ðàçðåøèòü óðàâíåíèÿ ñâÿçåé îòíîñèòåëüíî X_ è Y_ . Ïîëó÷èì
(2)
(1) è (2)
X_ =
a_ [ os Æf os ( + Ær )+ os Ær os ( Æf )℄ ; 2 sin (Æf + Ær )
Y_ =
a_ [ os Æf sin ( + Ær )+ os Ær sin ( Æf )℄ : 2 sin (Æf + Ær )
(3) Ñêîðîñòè òî÷åê A è B ïðè ýòîì áóäóò íàïðàâëåíû ãîðèçîíòàëüíî è ïåðïåíäèêóëÿðíî îñÿì êîëåñ. Ïîêàæåì, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå íà îòðåçêå AB ñóùåñòâóåò òî÷êà P , ñêîðîñòü êîòîðîé íàïðàâëåíà âäîëü ïðÿìîé AB . Äëÿ ýòîãî ââåäåì òðè åäèíè÷íûõ âåêòîðà 1 , 2 , 3 : âåêòîð 1 íàïðàâëåí ïî ïðÿìîé AB â ñòîðîíó äâèæåíèÿ, âåêòîð 3 ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì z íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, à âåêòîð 2 íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî 1 òàê, ÷òîáû âåêòîðû 1 , 2 , 3 îáðàçîâûâàëè ïðàâóþ òðîéêó. Åäèíè÷íûå âåêòîðà x è y íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OXY Z âûðàæàþòñÿ ÷åðåç âåêòîðà 1 è 2 ïî îðìóëàì:
e e e e e e e e e
e e
e
e
e e
ex = os e1
sin e2 ;
ey = sin e1 + os e2:
Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü òî÷êè A â ðàçëîæåíèè ïî 12
e e
âåêòîðàì 1 è 2 èìååò âèä: a_ sin ( os 1 X_ A =
v
+ =
2
e
2
e
sin e2 ) +
a Y_ + _ os (sin 1 + os 2 ) =
X_ os + Y_ sin
e1 +
e
a Y_ os X_ sin + _ 2 :
2
e
Ïóñòü èñêîìàÿ òî÷êà P ðàñïîëîæåíà íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè z îò òî÷êè A, à âåëè÷èíà åå ñêîðîñòè (íàïðàâëåííîé, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, âäîëü AB ) ðàâíà u. Òîãäà ïî îðìóëå Ýéëåðà
vA = vP +
i ! ! PA :
h
e e e
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü ðåïåðà 1 , 2 , 3 îòíîñèòåëüíî ðåïåðà x , y , z ðàâíà _ z = _ 3 è ðàñïèñûâàÿ äàííóþ îðìóëó áîëåå ïîäðîáíî, íàõîäèì
e e e
e
h
X_ os + Y_ sin
e
i
vA = ue1 + _e3 ze1 ;
e1 + Y_ os X_ sin + a2 _
e2 = ue1 + z_ e2:
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
u = X_ os + Y_ sin ;
_ = Y_ os z
a_ X_ sin + :
2
Ïîäñòàâëÿÿ â äàííûå ñîîòíîøåíèÿ âûðàæåíèÿ (3) äëÿ X_ è Y_ , îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
u=
a_ os Æf os Ær ; îòêóäà _ = sin (Æf + Ær )
a sin Æf os Ær : z= sin (Æf + Ær )
u sin (Æf + Ær ) ; a os Æf os Ær
(4)
13
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî ìåæäó òî÷êàìè A è B äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò òî÷êà P , ñêîðîñòü êîòîðîé íàïðàâëåíà âäîëü ïðÿìîé AB . Ïîìåñòèì íà÷àëà âåêòîðîâ 1 , 2 , 3 â òî÷êó P . Ïîëó÷åííóþ òàêèì îáðàçîì ñèñòåìó êîîðäèíàò îáîçíà÷èì P x1 x2 x3 .  äàëüíåéøåì âñå èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ñêåéòáîðäà áóäóò ïðîâîäèòñÿ îòíîñèòåëüíî äâóõ ââåäåííûõ ñèñòåì êîîðäèíàò íåïîäâèæíîé OXY Z è ïîäâèæíîé P x1 x2 x3 .
e e e
èñ. 8. Ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè P ìîæíî äîêàçàòü è äðóãèì ñïîñîáîì, îïèðàÿñü, íàïðèìåð, íà ïîíÿòèå ìãíîâåííîãî öåíòðà ñêîðîñòåé [25, 26℄. Ïîñêîëüêó îòðåçîê AB ñîâåðøàåò ïëîñêîïàðàëëåëüíîå íåïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå â íåïîäâèæíîé ïëîñêîñòè OXY , òî â ýòîé ïëîñêîñòè â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñóùåñòâóåò òî÷êà F ìãíîâåííûé öåíòð ñêîðîñòåé îòðåçêà AB . Ïîñêîëüêó íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ ñêîðîñòè äâóõ òî÷åê A è B îòðåçêà AB íàì èçâåñòíû, òî, êàê ñëåäóåò èç îáùèõ êóðñîâ òåîðåòè÷åñêîé 14
ìåõàíèêè [25, 26℄, ìãíîâåííûé öåíòð ëåæèò íà ïåðåñå÷åíèè îñåé êîëåñ ( èñ. 8). Èç òî÷êè F îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿð íà îòðåçîê AB . Ïîëó÷åííàÿ òàêèì îáðàçîì òî÷êà è áóäåò òî÷êîé P . Ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìãíîâåííîãî öåíòðà ñêîðîñòåé. Åå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A ëåãêî íàõîäèòñÿ èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, èç òðåóãîëüíèêà 4AF P
F P = AP à èç òðåóãîëüíèêà
os Æf
os Æf =z ; sin Æf sin Æf
4BF P
F P = BP
os Ær = (a sin Ær
z)
os Ær : sin Ær
Ïðèðàâíèâàÿ äâà ýòè âûðàæåíèÿ, ïîëó÷àåì
z
os Æf = (a sin Æf
îòêóäà
z=
z)
os Ær ; sin Ær
a sin Æf os Ær : sin (Æf + Ær )
Çàìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó óãëû Æf è Ær íå ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè, òî ðàññòîÿíèå z èçìåíÿåòñÿ, ò.å. òî÷êà P ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ïî îòðåçêó AB . Êèíåìàòè÷åñêèå ñâÿçè
Âûâåäåì òåïåðü ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå óãîë íàêëîíà äîñêè ñ óãëàìè ïîâîðîòà êîëåñíûõ îñåé. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ òåîðèåé êîíå÷íûõ ïîâîðîòîâ, èçëîæåííîé, íàïðèìåð, â êíèãàõ [27, 28℄. àññìîòðèì ïåðåäíþþ ïîäâåñêó ñêåéòáîðäà. Âñå ïåðåìåùåíèÿ ïîäâåñêè áóäåì 15
ðàññìàòðèâàòü îòíîñèòåëüíî ââåäåííîé íàìè ñèñòåìû êîîðäèíàò P x1 x2 x3 . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îñü êîëåñ èìååò äëèíó 2b, òîãäà ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè A äî òî÷åê ïðèêðåïëåíèÿ êîëåñ W1 è W2 ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî, AW1 = AW2 = b. Åñëè äîñêà íå íàêëîíåíà, òî îòíîñèòåëüíî ! ñèñòåìû êîîðäèíàò P x1 x2 x3 âåêòîð AW1 èìååò êîîðäèíàòû (0; b; 0)T . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû îñóùåñòâèëè ïîâîðîò îñè êîëåñ íà óãîë f îòíîñèòåëüíî íàêëîííîé îñè ïèâîòà. Åäèíè÷íûé âåêòîð íàêëîííîé îñè â ðàçëîæåíèè ïî âåêòîðàì 1 , 2 , 3 èìååò âèä:
e e e e=
e
os f e1
sin f e3 ;
ãäå f óãîë íàêëîíà ïåðåäíåé ïîäâåñêè îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëè ( èñ. 1). Êàê èçâåñòíî èç òåîðèè êîíå÷íûõ ïîâîðîòîâ [27, 28℄, åñëè íåêîòîðûé âåêòîð ïîâåðíóòü íà óãîë âîêðóã îñè ñ åäèíè÷íûì íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì , òî â ðåçóëüòàòå ïîâîðîòà âåêòîð ïåðåéäåò â âåêòîð 0 òàêîé, ÷òî
i
i ) i + ( (i ) i) os +[i ℄ sin ; ãäå (i ) îáîçíà÷àåò ñêàëÿðíîå, à [i ℄ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ i è . Ñëåäîâàòåëüíî, â ðåçóëüòàòå ïîâîðîòà íà óãîë f âîêðóã íàêëîííîé îñè ñ åäèíè÷íûì ! âåêòîðîì e = ( os f ; 0; sin f )T âåêòîð AW1 = (0; b; 0)T 0 =(
ïåðåéäåò â âåêòîð
!
!
AW1
= AW10 = (b sin f sin f ; b os f ; b sin f os f )T :
Óãëû è Æf îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè ìû ! îñóùåñòâèì äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïîâîðîòà âåêòîðà AW1 ñíà÷àëà íà óãîë âîêðóã îñè ñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì 1 , à çàòåì íà óãîë Æf âîêðóã îñè ñ åäèíè÷íûì âåêòîðîì
e
16
e
òàêèì, â êîòîðûé ïåðåéäåò âåêòîð 3 ïðè ïåðâîì ïîâîðîòå, ! òî â ðåçóëüòàòå ýòèõ äâóõ ïîâîðîòîâ âåêòîð AW1 äîëæåí ïåðåéòè â òî æå ñàìîå ïîëîæåíèå, ÷òî è ïðè ïîâîðîòå íà óãîë f îòíîñèòåëüíî íàêëîííîé îñè ( èñ. 9).
èñ. 9.
!
Ïðè ïîâîðîòå âåêòîðà AW1 íà óãîë âîêðóã îñè ñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì 1 , îí ïåðåéäåò â âåêòîð
!
!
AW1
e
e
= AW100 = (0; b os ; b sin )T ;
à âåêòîð 3 ïðè òàêîì ïîâîðîòå ïåðåéäåò â âåêòîð
e03 = (0; sin ; os )T :
!
Äàëåå, îñóùåñòâëÿÿ ïîâîðîò âåêòîðà AW100 íà óãîë Æf âîêðóã îñè ñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì 03 íàõîäèì, ÷òî ! âåêòîð AW100 ïåðåéäåò â âåêòîð
e
! AW
1
Æ
= (b sin Æf ; b os os Æf ; b sin os Æf )T : 17
Ïðèðàâíèâàÿ ! òåïåðü ! ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïîíåíòû âåêòîðîâ AW1 è AW1 ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ñîîòíîøåíèé
Æ
sin f sin f = sin Æf ;
os f
= os os Æf ;
(5)
sin f os f = sin os Æf : Âûðàæàÿ sin f èç ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ ñèñòåìû (5) è
ïîäñòàâëÿÿ â òðåòüå ñîîòíîøåíèå, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ñâÿçü ìåæäó óãëàìè è Æf :
tg Æf = tg f sin :
(6)
Àíàëîãè÷íî, äëÿ çàäíåé ïîäâåñêè èìååì:
tg Ær = tg r sin : (7) Âïåðâûå îðìóëû (6)-(7) íåñêîëüêî èíûì ñïîñîáîì
áûëè ïîëó÷åíû â êóðñîâîé ðàáîòå Àíäåðñà Ýñòåðëèíãà [12℄. Äî ýòîãî, â ðàáîòàõ Ìîíòà Õàááàðäà [4, 5℄ ïðè âûâîäå îðìóë, ñâÿçûâàþùèõ óãîë íàêëîíà äîñêè ñ óãëàìè ïîâîðîòà êîëåñíûõ îñåé Æf è Ær ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî âñå ýòè óãëû ÿâëÿþòñÿ ìàëûìè.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðèåé áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîâîðîòîâ [27, 29℄. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû îñóùåñòâèëè áåñêîíå÷íî ìàëûé ïîâîðîò f îñè êîëåñ îòíîñèòåëüíî íàêëîííîé îñè ïèâîòà ( èñ. 1). Ïðè ýòîì îñü êîëåñ ïîâåðíåòñÿ íà óãîë âîêðóã âåêòîðà 1 è íà óãîë Æf âîêðóã 3 òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîâîðîòû ñêëàäûâàþòñÿ ïî îáû÷íîìó ïðàâèëó ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ, ïîëó÷àåì:
e
e
e
e
f = 1 Æf 3 ; 18
e
e
e
e
f os f 1 f sin f 3 = 1 Æf 3 :
Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ íàõîäèì
f os f = ; îòêóäà
f sin f = Æf ;
Æf = tg f :
Àíàëîãè÷íî äëÿ çàäíåé ïîäâåñêè
Ær = tg r : Âïåðâûå ýòè îðìóëû áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòàõ [4, 5℄. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ïðåäïîëîæåíèè î ìàëîñòè óãëîâ , Æf è Ær äàííûå îðìóëû ïîëó÷àþòñÿ ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì èç îðìóë (6)-(7). Âû÷èñëåíèå
àáñîëþòíîé
ñêîðîñòè
öåíòðà
ìàññ äîñêè è öåíòðà ìàññ ðàéäåðà
 ïðåäûäóùåì ïóíêòå ìû äîêàçàëè, ÷òî óãîë íàêëîíà äîñêè ñâÿçàí ñ óãëàìè Æf è Ær ïîâîðîòà êîëåñíûõ îñåé ñîîòíîøåíèÿìè (6)-(7). Ñ ó÷åòîì ýòèõ ñîîòíîøåíèé ðàññòîÿíèå z îò òî÷êè A äî òî÷êè P áóäåò ðàâíî
z=
a sin Æf os Ær a tg Æf a tg f = = ; sin (Æf + Ær ) tg Æf + tg Ær tg f + tg r
ò.å. ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (6)-(7) òî÷êà P âñåãäà íàõîäèòñÿ íà ïîñòîÿííîì ðàññòîÿíèè îò òî÷êè A, çàâèñÿùåì ëèøü îò óãëîâ f è r íàêëîíà ïåðåäíåé è çàäíåé ïîäâåñîê ê ãîðèçîíòàëè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç îñíîâíûõ îñîáåííîñòåé êîíñòðóêöèè ñêåéòáîðäà, ÷òî áûëî îòìå÷åíî òàêæå è â êóðñîâîé ðàáîòå [12℄. Ïî ñëîâàì àâòîðà ðàáîòû [12℄, äàííûé àêò ìîæåò áûòü ïðîâåðåí îïûòíûì ïóòåì. 19
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äîñêà ñêåéòáîðäà ðàñïîëîæåíà íà âûñîòå h îò ïðÿìîé AB . Ïîñêîëüêó ïðè íàêëîíå äîñêè íà óãîë ïðîèñõîäèò âðàùåíèå âñåé êîíñòðóêöèè (äîñêè è ñòîÿùåãî íà íåé ðàéäåðà) âîêðóã ïðÿìîé AB , òî íàêëîí äîñêè ïðèâîäèò òàêæå ê ñìåùåíèþ åå ïðîäîëüíîé îñè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AB ( èñ. 10). àäèóñ-âåêòîð òî÷êè D íà ïðîäîëüíîé îñè äîñêè, äî íàêëîíà ðàñïîëàãàâøåéñÿ íàä òî÷êîé P , áóäåò èìåòü âèä:
!
e
P D = h os 3
e
h sin 2 :
èñ. 10. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëèíà äîñêè òàêæå ðàâíà a, öåíòð ìàññ C äîñêè ðàñïîëîæåí íà åå ïðîäîëüíîé îñè ïîñåðåäèíå ìåæäó òî÷êàìè êðåïëåíèÿ ïîäâåñîê. Òàêèì îáðàçîì, åñëè äîñêà íå íàêëîíåíà, òî åå öåíòð ìàññ C ðàñïîëîæåí íàä òî÷êîé G ñåðåäèíîé îòðåçêà AB íà âûñîòå h. Òî÷êè íà ïðîäîëüíîé îñè äîñêè, äî íàêëîíà ðàñïîëàãàâøèåñÿ íàä òî÷êàìè A è B , îáîçíà÷èì, ñîîòâåòñòâåííî M è N . ! Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà DC èç òî÷êè D â öåíòð ìàññ äîñêè. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî âûðàæåíèå íå çàâèñèò îò òîãî, ãäå ðàñïîëîæåíà òî÷êà D îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ. 20
Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà òî÷êà D ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè M è C . Òîãäà ( èñ. 11)
èñ. 11.
!
!
DC = MC
!
!
èñ. 12.
!
MC = MD + DC; ! a ( z ) = z MD = 1 1
e 2
e
a
2
e1:
 ñëó÷àå, êîãäà òî÷êà D ëåæèò çà òî÷êîé C , èìååì ( èñ. 12):
!
!
! ! DC ! = MD: ! ! ! ! a e : DC = MC MD = z
MC + CD = MD; MC
2
1
Ïîäñòàâëÿÿ â äàííóþ îðìóëó ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ z , íàõîäèì
!
DC =
a sin (Æf Ær ) a (tg f tg r ) : 1= 2 sin (Æf + Ær ) 2 (tg f + tg r ) 1
e
e
Äëÿ íàõîæäåíèÿ àáñîëþòíîé ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ äîñêè âîñïîëüçóåìñÿ îðìóëîé ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé. 21
àäèóñ-âåêòîð òî÷êè C îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû êîîðäèíàò P x1 x2 x3 èìååò âèä:
!
!
!
P C = P D + DC =
a (tg f tg r ) h sin 2 + h os 3 : 2 (tg f + tg r ) 1
e
e
e
Ïåðåíîñíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè C ðàâíà
v
t C
= vP +
i ! ! PC :
h
v
e
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñêîðîñòü òî÷êè P ðàâíà P = u 1 , à óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñèñòåìû êîîðäèíàò P x1 x2 x3 ðàâíà
u (tg f + tg r ) sin 3; a
u sin (Æf + Ær ) 3= a os Æf os Ær
e
e
! = _ 3 =
e
îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:
v
t C
=u 1
(tg f +tg r ) h a
sin2
e1
u
2
(tg f tg r ) sin e2 :
Îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè C ðàâíà
vCr =
e
h _ os 2
e
h _ sin 3 :
Òàêèì îáðàçîì, àáñîëþòíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè C ðàâíà
vC = u u
2
1
(tg f + tg r ) h a
sin2
e1
(tg f tg r ) sin e2 h _ os e2 h _ sin e3 :
(8)
Ïåðåõîäèì ê âû÷èñëåíèþ ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ðàéäåðà. Äëÿ áîëüøåé îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàéäåð ñòîèò íå â öåíòðå äîñêè, à íà åå ïðîäîëüíîé îñè â òî÷êå E íà ðàññòîÿíèè d îò ïåðåäíåãî êðàÿ äîñêè. Ïóñòü öåíòð ìàññ 22
ðàéäåðà íàõîäèòñÿ â òî÷êå R, âûñîòà êîòîðîé íàä òî÷êîé ! P ðàâíà l. Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà DE èç òî÷êè D â òî÷êó, ãäå ñòîèò ðàéäåð. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî âûðàæåíèå íå çàâèñèò îò òîãî, ãäå ðàñïîëàãàåòñÿ òî÷êà D îòíîñèòåëüíî òî÷êè E . Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà òî÷êà D ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè M è E . Òîãäà ( èñ. 13)
èñ. 13.
!
!
DE = ME
!
!
!
èñ. 14.
ME = MD + DE;
!
MD =
e
d 1
( z e 1 ) = (z
e
d) 1 :
 ñëó÷àå, êîãäà òî÷êà D ëåæèò çà òî÷êîé E , èìååì ( èñ. 14):
!
!
!
!
!
!
ME + ED = MD; ME DE = ME
!
!
MD =
MD = (z
!
!
ED = DE:
e
d) 1 :
Ïîäñòàâëÿÿ â äàííóþ îðìóëó ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ z , 23
íàõîäèì
!
DE =
=
(a
d) sin Æf os Ær d sin Ær os Æf 1= sin (Æf + Ær )
(a
d) tg f d tg r 1: tg f + tg r
e
e
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè R èìååò âèä:
!
!
!
!
P R = P D + DE + ER =
(a
=
d) tg f d tg r 1 tg f + tg r
e
e
e
l sin 2 + l os 3 :
Ïåðåíîñíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè R ðàâíà
vRt = vP + ! P!R h
èëè, â ÿâíîì âèäå
v
t R
i
(tg f + tg r ) l
= u 1
a
u ((a a
:
sin2
e1
e
d) tg f
d tg r ) sin 2 :
Îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè R ðàâíà
vRr =
e
e
l _ os 2
l _ sin 3 :
Îêîí÷àòåëüíî, àáñîëþòíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè R ðàâíà
vR = u 24
u ((a a
1
(tg f + tg r ) l a
sin2
e
e1
e
l _ os 2
e
d) tg f d tg r ) sin 2 l _ sin 3 :
(9)
Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ðàéäåðà, ñîãëàñíî ïîñòàíîâêå çàäà÷è, ñîâïàäàåò ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ äîñêè; îíà ðàâíà
= _ e1 + _e3 = _ e1
e
u (tg f + tg r ) sin 3 : a
Òàêèì îáðàçîì, îðìóëû äëÿ àáñîëþòíîé ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ C äîñêè è àáñîëþòíîé ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ R ðàéäåðà èìåþò âèä (8)-(9). Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äàííîé ìîäåëè ñêåéòáîðäà ïîñòðîèì â îðìå óðàâíåíèé èááñà Àïïåëÿ. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ïñåâäîñêîðîñòåé âûáåðåì ïåðåìåííûå u è _ . Ïîñòðîèì ñíà÷àëà óíêöèþ Àïïåëÿ (ýíåðãèþ óñêîðåíèé) äàííîé ñèñòåìû. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ îðìóëîé, ïðèâåäåííîé â êíèãax [27, 30℄
2 1
_ C _ + _ [ C ℄ : (10) W C + 2 2 Çäåñü WC óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ òåëà, C òåíçîð _ óãëîâàÿ èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ, è
S=
m
ñêîðîñòü è óãëîâîå óñêîðåíèå òåëà, ñîîòâåòñòâåííî. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàïðàâëåíèÿ ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè êàê äîñêè, òàê è ðàéäåðà îïðåäåëÿþòñÿ åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè , , ñèñòåìû êîîðäèíàò P , ïîëó÷àþùåéñÿ èç ñèñòåìû P x1 x2 x3 ïîâîðîòîì íà óãîë âîêðóã âåêòîðà 1 . Åäèíè÷íûå âåêòîðû 1 , 2 , 3 è , , ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèÿìè
e e e
e
ee e
e e e e1 = e ; e2 = e os e sin ; e3 = e sin + e os :
Òåíçîðû èíåðöèè äîñêè è ðàéäåðà â ãëàâíûõ îñÿõ 25
èíåðöèè èìåþò âèä: 0
b
1
0
Ibx 0 0 = 0 Iby 0 A ; 0 0 Ibz
r
1
Irx 0 0 = 0 Iry 0 A : 0 0 Irz
Èñïîëüçóÿ îðìóëû (8), (9) äëÿ àáñîëþòíîé ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ äîñêè è öåíòðà ìàññ ðàéäåðà, ìîæíî âû÷èñëèòü àáñîëþòíûå óñêîðåíèÿ ýòèõ òî÷åê. Äëÿ àáñîëþòíîãî óñêîðåíèÿ öåíòðà ìàññ äîñêè ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
wC = wC1e1 + wC2e2 + wC3e3;
wC 1 = u_ 1 u2 (tg2 f
2a
(tg f + tg r ) h a
tg2 r )
sin2
wC 2 = h ( _ 2 sin
(tg f
2
tg r )
3u _ (tg f + tg r ) h a
(u_ sin + u _ os )
wC 3 = äëÿ
(tg f + tg r ) h a
sin2 ;
h (
sin + _ 2 os ) : óñêîðåíèÿ
öåíòðà
wR = wR1e1 + wR2e2 + wR3e3;
26
sin os ;
os )
u2 (tg f + tg r ) sin 1 a
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì:
sin2
ìàññ
ðàéäåðà
wR1 = u_ 1
(tg f + tg r ) l a
3u _ (tg f + tg r ) l a
u2 ((a a2
d) tg f
wR2 = l ( _ 2 sin
((a
sin2
sin os
d tg r ) (tg f + tg r ) sin2 ;
os )
d) tg f a
d tg r )
(u_ sin + u _ os )
u2 (tg f + tg r ) sin 1 a
wR3 =
(tg f + tg r ) l a
sin2 ;
l (
sin + _ 2 os ) :
Óãëîâîå óñêîðåíèå ñèñòåìû èìååò âèä:
u (tg f + tg r )
_ sin 2 a
_ = e1
e
(tg f + tg r ) a
(u_ sin + u _ os ) e3 :
e e e3
_
Èñïîëüçóÿ îðìóëû, ñâÿçûâàþùèå âåêòîðû 1 , 2 , ñ âåêòîðàìè ãëàâíûõ îñåé , , , ïîëó÷èì äëÿ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
e e e
(tg f + tg r )
_ = e
a
(tg f + tg r ) a
(u_ sin + 2u _ os ) sin e
u_ sin os + os2
sin2 u _
e : 27
Ïóñòü mb ìàññà äîñêè, à mr ìàññà ðàéäåðà. Îáîçíà÷èì òàêæå
Ix = Ibx + Irx;
Iy = Iby + Iry ;
Iz = Ibz + Irz :
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ óñêîðåíèé öåíòðà ìàññ äîñêè è ðàéäåðà è äëÿ óãëîâîãî óñêîðåíèÿ ñèñòåìû â îðìóëó (10), íàõîäèì ýíåðãèþ óñêîðåíèé ñèñòåìû:
S =
1 A1 + (C1 2
2D1 ) sin2 + F1 sin4 u_ 2 + E1 2 +
+
C1
3D1 + 3F1 sin2 uu _ _ sin os +
+
D1
F1 sin2 u2 sin os +
+ B1 u_ sin os + u _ os2
u_ _ 2 sin2 :
Çäåñü ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
A1 = mb + mr ; D1 = B1 =
mb h
C1 =
mb
m
2
4
+ 2r ((a a F1 =
(tg f
(tg f
a
tg r ) +
mr l ((a a
(mb h + mr l) ; d) tg f
d tg r ) ;
I
tg r )2 + z2 (tg f + tg r )2 + a
d) tg f
(tg f + tg r )2 a2
(tg f + tg r )
d tg r )2 ; E1 = Ix + mb h2 + mr l2 ; Iy + mb h2 + mr l2
Iz :
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñîñòîèò èç ïîòåíöèàëà ñèë òÿæåñòè äîñêè è ðàéäåðà è ïîòåíöèàëà óïðóãèõ 28
ñèë, âîçíèêàþùåãî çà ñ÷åò íàëè÷èÿ òîðñèîííîé ïðóæèíû, ñîåäèíÿþùåé îñè êîëåñ ñ ïîäâåñêîé. Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç k1 æåñòêîñòü ïðóæèíû, òî òîãäà
V =
k1 2
2
+ mb gh os + mr gl os :
Óðàâíåíèÿ èááñà Àïïåëÿ, îïèñûâàþùèå äèíàìèêó äàííîé ìîäåëè ñêåéòáîðäà, èìåþò âèä:
S = 0; u_
S =
V
èëè, â ÿâíîì âèäå
A1 + (C1
+B1 ( os + C1
2D1 ) sin2 + F1 sin4 u_ +
_ 2 sin ) sin +
3D1 + 3F1 sin2 u _ sin os = 0;
E1 + D1
F1 sin2 u2 sin os +
(11)
+B1 (u_ sin + u _ os ) os + +k1
(mb h + mr l) g sin = 0:
Îñíîâíûì îáúåêòîì íàøåãî äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ ñòàíåò ñèñòåìà óðàâíåíèé (11). Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïîñòîÿííûõ A1 , B1 , : : :, F1 óðàâíåíèÿ (11) èìåþò ïåðâûé èíòåãðàë èíòåãðàë ýíåðãèè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè óìíîæèòü ïåðâîå èç óðàâíåíèé (11) íà u, à âòîðîå íà _ è ñëîæèòü, òî ïîñëå óïðîùåíèÿ ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ 29
ïîëíîé ïðîèçâîäíîé óíêöèè
H=
A1 + (C1
2D1 ) sin2 + F1 sin4 2 u+ 2
E +B1 u _ sin os + 1 _ 2 + 2
(12)
k + 1 2 + (mb h + mr l) g os = 0 : 2 Äàííàÿ óíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé (11) íàì íåäîñòàåò ëèøü îäíîãî äîïîëíèòåëüíîãî ïåðâîãî èíòåãðàëà. Âîïðîñ îá èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (11) áóäåò ðàññìîòðåí íèæå. Ñðàâíåíèå ñ èçâåñòíûìè ðåçóëüòàòàìè
Âî Ââåäåíèè ê äàííîé ðàáîòå ìû óæå óïîìèíàëè î òîì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ìîäåëü ñêåéòáîðäà èçó÷àëàñü ðàíåå â ñòàòüÿõ [4, 5℄, à òàêæå â êóðñîâîé ðàáîòå [12℄. Îäíàêî â ýòèõ ðàáîòàõ èññëåäîâàíèå ìîäåëè ïðîâîäèëîñü ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óïðîùàþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ, ïîýòîìó ïîñòðîåííûå â íèõ óðàâíåíèÿ èìåþò áîëåå ïðîñòîé âèä, ÷åì ïîëó÷åííûå íàìè â ïðåäûäóùåì ïóíêòå óðàâíåíèÿ (11).  ýòîì ïóíêòå ìû ïîêàæåì, êàê èç óðàâíåíèé (11) ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óïðîùàþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ïîëó÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ, èçâåñòíûå èç [4, 5℄ è [12℄.  êóðñîâîé ðàáîòå [12℄ äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà èñïîëüçîâàëèñü îáùèå òåîðåìû äèíàìèêè. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ïîäâåñêè ñêåéòáîðäà ñèììåòðè÷íû (f = r = ), ðàéäåð ñòîèò òî÷íî â öåíòðå äîñêè (d = a=2), ìàññà äîñêè ðàâíà íóëþ 30
(mb = 0), à ðàéäåð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòåðèàëüíóþ
òî÷êó, çàêðåïëåííóþ íà íåâåñîìîì ñòåðæíå íà âûñîòå l îò òî÷êè P . Ïîñëåäíèå ïðåäïîëîæåíèÿ îçíà÷àþò, ÷òî
Ix = Iy = Iz = 0: Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî íà äîñêó íå äåéñòâóåò íèêàêîãî âîññòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà (k1 = 0). Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ïîñòîÿííûå A1 , B1 , : : :, F1 çàïèøóòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
A1 = mr ; B1 = 0; C1 = 0; E1 = mr l2 ; D1 =
2mr l a
tg =
mr l ; a
mr l2 1 = ; = : 2 2 2 a a 2 tg Ïåðâîå èç óðàâíåíèé (11) ïðèíèìàåò âèä F1 =
4mr l2 tg2
mr l2 mr + 2 2 sin4 a
3 mr l 2
2 mr l
+ 2 2 u _ sin3 os a
a
sin2 u_ +
3 mr l a
u _ sin os = 0:
Ìîæíî ïðèâåñòè åãî ê îðìå
mr
2 l l 3mr l 2 2 1 1 sin u_ sin u _ sin os =0 a a a
èëè, îêîí÷àòåëüíî,
1
l sin2 u_ a
3l
a
u _ sin os = 0: 31
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùèì óðàâíåíèåì ðàáîòû [12℄, îïèñûâàþùåì çàêîí èçìåíåíèÿ u. Âòîðîå èç óðàâíåíèé (11) ïðè ñäåëàííûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ïåðåïèøåòñÿ â âèäå:
mr l2 +
mr l a
mr l2 2 sin u2 sin os 2 2 a
mr lg sin = 0:
èëè, ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà mr l2 :
+
1
la
sin2 a2 2
u2 sin os
g sin = 0: l
Äàííîå óðàâíåíèå ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùèì óðàâíåíèåì ðàáîòû [12℄. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, êàê ïîëó÷èòü èç óðàâíåíèé (11) óðàâíåíèÿ, ïðèâåäåííûå â ðàáîòå [12℄.  ðàáîòàõ [4, 5℄ ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî óãîë íàêëîíà äîñêè ÿâëÿåòñÿ ìàëûì. Ïîýòîìó ìû ñìîæåì ëåãêî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äàííîé ìîäåëè ñêåéòáîðäà, óêàçàííûå â ðàáîòàõ [4, 5℄, åñëè ëèíåàðèçóåì óðàâíåíèÿ (11) ïî ïåðåìåííîé . Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ (11) ïåðåïèøóòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
u_ = 0; E1 + B1 u _ + (D1 u2 + k1
(mb h + mr l) g ) = 0:
(13)
Óðàâíåíèÿ (13) ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà, ïîëó÷åííûìè â ðàáîòàõ [4, 5℄. Òàêèì îáðàçîì, â ïðåäïîëîæåíèè ÷òî ìàëûé óãîë, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü ñêîðîñòü u òî÷êè P ïîñòîÿííîé è ðàññìàòðèâàòü åå êàê ïàðàìåòð âî âòîðîì óðàâíåíèè, îïèñûâàþùåì çàêîí èçìåíåíèÿ . 32
Óñòîé÷èâîñòü ïðÿìîëèíåéíîãî ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà
Óðàâíåíèÿ
(11) äîïóñêàþò ÷àñòíîå ðåøåíèå u = u0 = onst;
= 0;
(14)
êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ðàâíîìåðíîìó ïðÿìîëèíåéíîìó äâèæåíèþ ñêåéòáîðäà. àññìîòðèì çàäà÷ó îá óñòîé÷èâîñòè ýòîãî äâèæåíèÿ ñèñòåìû. Ïîëàãàÿ u = u0 + è ñîõðàíÿÿ äëÿ ïðåæíåå îáîçíà÷åíèå, âûïèøåì óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ
E1 + B1 u0 _ + (D1 u20 + k1
(mb h + mr l) g ) = ;
_ = :
(15)
Çäåñü è íå çàâèñÿùèå îò âðåìåíè óíêöèè ïåðåìåííûõ , _ è , ðàçëîæåíèÿ êîòîðûõ ïî ñòåïåíÿì ýòèõ ïåðåìåííûõ íà÷èíàþòñÿ ÷ëåíàìè íå íèæå âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðè ýòîì èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ (äàííûé àêò óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðÿìîé ïðîâåðêîé):
(0; 0; ) = (0; 0; ) = 0: Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, îòâå÷àþùåå ñèñòåìå
(15) èìååò âèä:
E1 2 + B1 u0 + D1 u20 + k1
(mb h + mr l) g = 0: (16)
Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé
E 1 > 0;
B1 u0 > 0;
D1 u20 + k1
(mb h + mr l) g > 0 (17)
óðàâíåíèå (16) èìååò îäèí íóëåâîé êîðåíü è äâà êîðíÿ ñ îòðèöàòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ. Ïîñêîëüêó âñå 33
íåëèíåéíîñòè â ñèñòåìå (15) òîæäåñòâåííî îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè = 0, _ = 0, òî ïðè óñëîâèÿõ (17) èìååò ìåñòî îñîáåííûé ñëó÷àé îäíîãî íóëåâîãî êîðíÿ [31, 32℄ è íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå (14) óñòîé÷èâî, ïðè÷åì àñèìïòîòè÷åñêè îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ , _ è íåàñèìïòîòè÷åñêè îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé u. Ïîñêîëüêó óñëîâèå E1 > 0 âûïîëíÿåòñÿ ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ, òî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè (17) ïðÿìîëèíåéíîãî ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà îêîí÷àòåëüíî ìîãóò áûòü çàïèñàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
mb h
ml (tg f tg r )+ r ((a d) tg f d tg r ) u0 > 0; 2 a (18) u20 g (mb h + mr l) > 0: (19) k1 + (tg f + tg r ) a Ïðè ñòðîãîì íàðóøåíèè ïî ìåíüøåé ìåðå îäíîãî èç íåðàâåíñòâ (18)-(19) óðàâíåíèå (16) èìååò êîðåíü ñ ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ è íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå (14) íåóñòîé÷èâî. Ïîëó÷èì íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå âûâîäû îá óñòîé÷èâîñòè ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà èç àíàëèçà óñëîâèé (18)-(19). Ïîñêîëüêó â óñëîâèå (18) ñêîðîñòü u0 âõîäèò êàê ìíîæèòåëü, òî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ åãî äâèæåíèÿ. Åñëè â îäíîì íàïðàâëåíèè äâèæåíèå ñêåéòáîðäà áóäåò óñòîé÷èâûì, òî â äðóãîì îáÿçàòåëüíî íåóñòîé÷èâûì. Òàêîå ïîâåäåíèå ñâîéñòâåííî ìíîãèì íåãîëîíîìíûì ñèñòåìàì.  ïåðâóþ î÷åðåäü çäåñü ñëåäóåò íàçâàòü çàäà÷ó î äâèæåíèè "êåëüòñêîãî êàìíÿ"(ñì., íàïðèìåð, [33℄-[42℄), â êîòîðîé óñòîé÷èâîñòü âðàùåíèÿ êàìíÿ çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî u0 > 0, f = r = è íåðàâåíñòâî (19) âûïîëíåíî. Òîãäà, êàê ñëåäóåò èç 34
íåðàâåíñòâà (18), óñòîé÷èâîñòü ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà çàâèñèò îò òîãî, ãäå ñòîèò ðàéäåð. Åñëè îí ñòîèò áëèæå ê ïåðåäíåé ïîäâåñêå (d < a=2), òî äâèæåíèå áóäåò óñòîé÷èâûì, à åñëè áëèæå ê çàäíåé ïîäâåñêå òî íåóñòîé÷èâûì. Âûÿñíèì òåïåðü, ïðè êàêîì óñëîâèè áóäåò óñòîé÷èâûì ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñêåéòáîðäà, ò.å. ðåøåíèå
u0 = 0;
= 0:
Ïðè u0 = 0 õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (16) áóäåò èìåòü îäèí íóëåâîé êîðåíü è ïàðó ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
k1
(mb h + mr l) g > 0:
(20)
Ïîêàæåì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (20) ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñêåéòáîðäà áóäåò óñòîé÷èâûì. Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå = 0 ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû. Òîãäà, íà îñíîâàíèè ðåçóëüòàòîâ Â.Â. óìÿíöåâà îá óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì [43, 44℄ (ñì. òàêæå [45, 46℄) ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñêåéòáîðäà áóäåò óñòîé÷èâûì â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïî îòíîøåíèþ ê , _ , åñëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, âû÷èñëåííàÿ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ, áóäåò ïîëîæèòåëüíîé. Äàííîå óñëîâèå êàê ðàç èìååò âèä íåðàâåíñòâà (20). Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñêåéòáîðäà áóäåò óñòîé÷èâûì, åñëè êîý èöèåíò óïðóãîñòè òîðñèîííîé ïðóæèíû äîñòàòî÷íî âåëèê, ÷òîáû êîìïåíñèðîâàòü äåñòàáèëèçèðóþùèé ý åêò äåéñòâèÿ ìîìåíòîâ ñèë òÿæåñòè äîñêè è ðàéäåðà. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (16) ìîæåò èìåòü îäèí íóëåâîé êîðåíü è ïàðó ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé åùå â 35
îäíîì ñëó÷àå êîãäà B1 = 0. Ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, êîãäà ñêåéòáîðä ñèììåòðè÷åí (f = r ), à ðàéäåð ñòîèò â öåíòðå äîñêè (d = a=2). Äåéñòâèòåëüíî, ïðè B1 = 0 õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (16) ïðèíèìàåò âèä:
E1 2 + D1 u20 + k1
(mb h + mr l) g = 0:
Äàííîå óðàâíåíèå áóäåò èìåòü îäèí íóëåâîé è äâà ÷èñòî ìíèìûõ êîðíÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
D1 u20 + k1
(mb h + mr l) g > 0:
(21)
Óñëîâèå (21) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ (14) â ñëó÷àå B1 = 0. Áîëåå ñòðîãèå âûâîäû îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé â ñëó÷àå B1 = 0 áóäóò ïîëó÷åíû íèæå, â îòäåëüíîì ïàðàãðà å, ïîñêîëüêó ñëó÷àé B1 = 0 ÿâëÿåòñÿ îñîáî çàìå÷àòåëüíûì è íóæäàåòñÿ â îòäåëüíîì ðàññìîòðåíèè. Ñóùåñòâîâàíèå èíâàðèàíòíîé ìåðû
 ìåõàíèêå íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ñèñòåìû, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êîòîðûõ ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü è âûðàçèòü âñå íåèçâåñòíûå óíêöèè ïðè ïîìîùè êâàäðàòóð. Îäíàêî, ÷èñëî èíòåãðèðóåìûõ íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì âåñüìà íåâåëèêî, à çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé â ðÿäå ñëó÷àåâ îêàçûâàåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíîé, ÷òî îáóñëàâëèâàåòñÿ îòñóòñòâèåì óíèâåðñàëüíûõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé ñ íåãîëîíîìíûìè ñâÿçÿìè. Îáùèå òåîðåòè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ, êàñàþùèåñÿ òàêèõ ìåòîäîâ, ïðåäëîæåíû â ðàáîòå [47℄ (ñì. òàêæå ñáîðíèê ñòàòåé [48℄). Ñîãëàñíî âûâîäàì, ñäåëàííûì â ýòèõ ðàáîòàõ, ïîèñê íîâûõ 36
èíòåãðèðóåìûõ íåãîëîíîìíûõ çàäà÷ öåëåñîîáðàçíî âåñòè ñðåäè ñèñòåì, îáëàäàþùèõ èíòåãðàëüíûì èíâàðèàíòîì. Òàêèå ñèñòåìû ïî ïîâåäåíèþ èõ àçîâûõ òðàåêòîðèé íàèáîëåå áëèçêè ê ãàìèëüòîíîâûì ñèñòåìàì. Âìåñòå ñ òåì, íàëè÷èå ñîõðàíÿþùåéñÿ ìåðû çíà÷èòåëüíî îáëåã÷àåò ÿâíîå èíòåãðèðîâàíèå äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.  ýòîì ïóíêòå íàìè ðàññìàòðèâàåòñÿ âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ó ñèñòåìû óðàâíåíèé (11) èíâàðèàíòíîé ìåðû ñ àíàëèòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ. Ïðè ðåøåíèè äàííîãî âîïðîñà ñóùåñòâåííî áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé â [47℄. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì ñíà÷àëà âîïðîñû ñóùåñòâîâàíèÿ èíâàðèàíòíîé ìåðû ó ñèñòåì äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, èçëîæåííûå â [47℄, èìåÿ â âèäó ïðèëîæåíèÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé (11). Ñîãëàñíî òåîðåìå î âûïðÿìëåíèè òðàåêòîðèé, â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè íåîñîáîé òî÷êè âñåãäà ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíàÿ ìåðà ñ ãëàäêîé ñòàöèîíàðíîé ïëîòíîñòüþ. Ïîýòîìó çàäà÷à îá èíâàðèàíòíîé ìåðå ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âáëèçè ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ, à òàêæå â äîñòàòî÷íî áîëüøèõ îáëàñòÿõ àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, ãäå òðàåêòîðèè îáëàäàþò ñâîéñòâîì âîçâðàùàåìîñòè. Ïóñòü òî÷êà x = 0 ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ àíàëèòè÷åñêîé ñèñòåìû äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé x_ = x + : (22) Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íàáîð (êîìïëåêñíûõ) ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé 1 ; : : : ; n ìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ ðåçîíàíñíûì, åñëè X
mi i = 0
i
ïðè íåêîòîðûõ íàòóðàëüíûõ çíà÷åíèÿõ mi . Îòìåòèì, ÷òî ïðè èññëåäîâàíèè ñèñòåìû (22) (íàïðèìåð, â òåîðèè íîðìàëüíûõ îðì) îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ áîëåå ñëàáîå 37
óñëîâèå ðåçîíàíñíîñòè:
mi
0è
P i
jmij 6= 0.
P i
mi i = 0 ïðè íåêîòîðûõ öåëûõ
Óòâåðæäåíèå. ([47, 48℄) Åñëè íàáîð 1 ; : : : ; n íåðåçîíàíñíûé, òî â ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 0 óðàâíåíèÿ (22) íå èìåþò èíòåãðàëüíîãî èíâàðèàíòà ñ àíàëèòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ. Çàìå÷àíèå. Ïðè áîëåå ñèëüíîì óñëîâèè îòñóòñòâèÿ ðåçîíàíñíûõ ñîîòíîøåíèé â òðàäèöèîííîì ñìûñëå óðàâíåíèÿ (22) íå èìåþò ïåðâûõ èíòåãðàëîâ, àíàëèòè÷åñêèõ â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 0. Âåðíåìñÿ òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ íàøåé çàäà÷è. Âûøå íàìè áûëî îòìå÷åíî, ÷òî óðàâíåíèÿ (11) äîïóñêàþò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé (14) ðàâíîìåðíûõ ïðÿìîëèíåéíûõ äâèæåíèé ñêåéòáîðäà. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä (16), ïðè ýòîì êîý èöèåíòû äàííîãî óðàâíåíèÿ äîâîëüíî ñëîæíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ìíîãî÷èñëåííûå ïàðàìåòðû çàäà÷è. Åñëè ïðî êîý èöèåíò E1 ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îí ïîëîæèòåëåí ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ, òî êîý èöèåíòû
B1 u0 è D1 u20 + k1
(mb h + mr l) g
ìîãóò ïðèíèìàòü, àêòè÷åñêè, ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (11) äîïóñêàåò èíòåãðàë ýíåðãèè (12). Ôèêñèðóÿ óðîâåíü èíòåãðàëà ýíåðãèè, ìû áóäåì èìåòü äè åðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ íà äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ, íå èìåþùèå â îáùåì ñëó÷àå èíâàðèàíòíîé ìåðû ñ àíàëèòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ. Ñëåäîâàòåëüíî, â îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé èñõîäíûå óðàâíåíèÿ òàêæå íå èìåþò èíâàðèàíòíîé ìåðû. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïîñòîÿííûõ A1 ; B1 ; : : : ; F1 óðàâíåíèÿ (11) 38
íå èìåþò â îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé (14) èíâàðèàíòíîé ìåðû ñ àíàëèòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ. Îäíàêî ïðè íåêîòîðûõ èêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ýòèõ ïîñòîÿííûõ óðàâíåíèÿ (11) âñå æå ìîãóò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíû.  ÷àñòíîñòè, ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè B1 = 0 ïåðâîå èç óðàâíåíèé (11) èíòåãðèðóåòñÿ îòäåëüíî.  ýòîì ñëó÷àå óäàåòñÿ ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèÿ (11) äî êîíöà. Êà÷åñòâåííûé àíàëèç óêàçàííîãî èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ ïðèâåäåí â ñëåäóþùåì ïóíêòå.
Êà÷åñòâåííûé
àíàëèç
èíòåãðèðóåìîãî
ñëó÷àÿ
Èç óñëîâèÿ B1 = 0 ìîæíî íàéòè ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ tg r ÷åðåç äðóãèå ïàðàìåòðû ñèñòåìû
tg r = tg f +
2 (a
2d) mr l tg f : mb ha + 2mr ld
(23)
Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå çíà÷åíèå tg r â âûðàæåíèÿ äëÿ A1 , B1 , : : :, F1 , ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì
A1 = mb + mr ;
B1 = 0;
E1 = Ix + mb h2 + mr l2 ;
mb mr (mb h2 + mr l2 ) (a C1 = (mb ha + 2mr ld)2
+
2d)2 2 tg f +
4Iz (mb h + mr l)2 2 2 (mb h + mr l)2 tg f ; tg ; D = f 1 mb ha + 2mr ld (mb ha + 2mr ld)2
4 (mb h + mr l)2 (Iy Iz + mb h2 + mr l2 ) 2 F1 = tg f : (mb ha + 2mr ld)2 39
Óðàâíåíèÿ
(11) ïðèíèìàþò ïðè ýòîì âèä:
A1 + (C1
3D1 + 3F1 sin2 u _ sin os = 0;
+ C1
E1 + D
+k1 Óðàâíåíèÿ
H=
2D1 ) sin2 + F1 sin4 u_ + F sin2 u2 sin os +
(24)
(mb h + mr l) g sin = 0: (24) äîïóñêàþò èíòåãðàë ýíåðãèè
A1 + (C1
2D1 ) sin2 + F1 sin4 2 E1 2 u +
_ + 2 2
k + 1 2 + (mb h + mr l) g os = 0 :
(25)
2
Ïåðåõîäÿ â ïåðâîì èç óðàâíåíèé (24) ê íîâîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé óãëó , ìîæíî çàïèñàòü äàííîå óðàâíåíèå â âèäå:
3D1 C1 du = d A1 + (C1
3F1 sin2 u sin os : 2D1 ) sin2 + F1 sin4
(26)
Óðàâíåíèå (26) ÿâëÿåòñÿ äè åðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. åøàÿ åãî, íàõîäèì çàâèñèìîñòü u = u ( ). Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííóþ çàâèñèìîñòü â èíòåãðàë ýíåðãèè (25), ïîëó÷èì äè åðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ
_ 2 =
40
2
E1
k1 2
E1
( 0
(mb h + mr l) g os )
A1 + (C1
2D1 ) sin2 + F1 sin4 2 u ( ) : E1
(27)
Óðàâíåíèå (27) òàêæå ÿâëÿåòñÿ äè åðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. åøàÿ åãî, íàõîäèì çàâèñèìîñòü = (t). Ïîäñòàâëÿÿ äàííóþ óíêöèþ â âûðàæåíèå äëÿ u, íàõîäèì çàâèñèìîñòü u = u ( (t)) = u (t). Ïîñëå ýòîãî âñå îñòàâøèåñÿ íåèçâåñòíûå óíêöèè òàêæå ìîãóò áûòü âûðàæåíû êàê óíêöèè âðåìåíè. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ïðîèçâîäíîé óãëà ó íàñ èìååòñÿ âûðàæåíèå
_ =
(tg f + tg r ) a
2 (mb h + mr l) tg f u sin ; mb ha + 2mr ld
u sin =
èç êîòîðîãî, çíàÿ çàâèñèìîñòè u = u (t) è îäíîêðàòíûì èíòåãðèðîâàíèåì íàõîäèì
(t) = 0
2 (mb h + mr l) tg f mb ha + 2mr ld
Zt
= (t)
u ( ) sin ( ) d :
(28)
0
Äëÿ ïðîèçâîäíûõ X_ è Y_ êîîðäèíàò öåíòðà ìàññ äîñêè èìååì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
X_ = u os +
= u os Y_
= u sin = u sin +
(tg f
2
tg r )
u sin sin =
(a
2d) mr l tg f u sin sin ; mb ha + 2mr ld
(tg f
2
tg r )
u sin os =
(a
2d) mr l tg f u sin os ; mb ha + 2mr ld
îòêóäà, èìåÿ ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ óíêöèé u
= u (t), 41
= (t), = (t) íàõîäèì X = X0 +
Zt
u ( ) os ( ) d
0
(a
2d) mr l tg f mb ha + 2mr ld
Y
= Y0 +
+
(a
Zt
Zt
(29)
u ( ) sin ( ) sin ( ) d ;
0
u ( ) sin ( ) d +
0
2d) mr l tg f mb ha + 2mr ld
Zt
(30)
u ( ) sin ( ) os ( ) d :
0
Òàêèì îáðàçîì, ïðè B1 = 0 âñå íåèçâåñòíûå ïåðåìåííûå çàäà÷è íàõîäÿòñÿ ïðè ïîìîùè êâàäðàòóð (27)-(30). Îäíàêî è â ýòîì ñëó÷àå äàëüíåéøåå èññëåäîâàíèå äâèæåíèÿ ñèñòåìû îñòàåòñÿ âåñüìà ñëîæíîé çàäà÷åé. Èç óðàâíåíèÿ (26) ñëåäóåò, ÷òî
u = u0 exp (G ( )
G ( 0 )) ;
(31)
ãäå ïîëîæåíî
1 G ( ) = 2
Z
0
3D1 C1 3F1 w dw; w = sin2 : 2 A1 + (C1 2D1 ) w + F1 w
(32) Çàìåòèì èíòåðåñíóþ îñîáåííîñòü ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ äëÿ u. Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ñêîðîñòü u0 = 0, òî u 0. Òàêèì îáðàçîì, åñëè íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü 42
ñêåéòáîðäà íóëåâàÿ, òî ñäåëàòü åå íåíóëåâîé (ò.å., äðóãèìè ñëîâàìè, ðàçîãíàòü ñêåéòáîðä) íåâîçìîæíî.  ýòîì, íà íàø âçãëÿä, ñîñòîèò ãëàâíîå îòëè÷èå ñêåéòáîðäà îò åãî ìîäè èêàöèè, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ñíåéêáîðä [8, 9℄. àíåå â ðàáîòàõ [49℄-[52℄ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî äàæå ïðè íóëåâîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ñíåéêáîðäà ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî ñêîðîñòü åãî öåíòðà ìàññ áóäåò ðàñòè ëèíåéíî ñî âðåìåíåì.
(32) çàâèñèò îò çíàêà
ßâíîå âûðàæåíèå èíòåãðàëà ïîñòîÿííîé
4A 1 F 1 Åñëè 4A1 F1
2D1 )2
4A1 F1 q
2F1 sin2 + C1 ln 2F1 sin2 + C1
"
C1
4 (C1
2D1
(C1 2D1 )2 4A1 F1 2D1 q 2 2D1 + (C1 2D1 ) 4A1 F1
q
(C1 2D1 )2
q
2D1 + (C1 2D1 )2
3 A1 + (C1 ln 4
2D1 )2 :
2D1 )2 < 0, òî
(C1
G ( ) = q
C1 ln C1
(C1
4A1 F1 4A1 F1
(33)
#
2D1 ) sin2 + F1 sin4 A1
:
43
Åñëè 4A1 F1
( C1
2D1 )2 > 0, òî
"
C1
G ( ) = q
2D1 )2
4 (C1
4A1 F1
2F sin2 + C1 2D1 ar tg q 1 (C1 2D1 )2 4A1 F1 ar tg q (C1
C1
3 A1 + (C1 ln 4
2D1
2D1 )2
(34)
#
4A1 F1
2D1 ) sin2 + F1 sin4
:
A1
Äèñêóññèÿ î òîì, êàêîé èç ýòèõ ñëó÷àåâ áîëåå ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíîé èçè÷åñêîé ñèòóàöèè, ñîäåðæèòñÿ â Äîïîëíåíèè 1 ê äàííîé ðàáîòå. Îêàçûâàåòñÿ, ðåàëüíîé èçè÷åñêîé ñèòóàöèè áîëåå ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àé, êîãäà óíêöèÿ G ( ) îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé (34).  äàëüíåéøåì âñþäó ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî óíêöèÿ G ( ) îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé (34). Çàìåòèì, ÷òî ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ óíêöèè G ( ) à ñëåäîâàòåëüíî è ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ óíêöèè u ( ) ÿâëÿþòñÿ äîâîëüíî ñëîæíûìè. Ïîýòîìó ÷òîáû èññëåäîâàòü êà÷åñòâåííîå ïîâåäåíèå ñèñòåìû â èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî óãîë ÿâëÿåòñÿ ìàëûì, òàê ÷òî ïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü
2 sin ; os 1 :
2
 ðåçóëüòàòå ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (24) ïðèìåò âèä A1 + (C1 2D1 ) 2 u_ + (C1 3D1 ) u
_ =0 44
èëè, ðàçðåøàÿ óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî u_ è ó÷èòûâàÿ ìàëîñòü : (3D1 C1 ) u _ u_ = A1 Èíòåãðèðóÿ äàííîå óðàâíåíèå, íàõîäèì
(3D1 C1 ) 2 u = K exp
: 2A1 Ïîñòîÿííóþ K íàõîäèì èç óñëîâèÿ òîãî, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò u = u0 , à = 0 . Òîãäà
(3D1 C1 ) 2
0 2A1
(3D1 C1 ) 2
0 ; u0 = K exp 2A1 îòêóäà
K = u0 exp è, îêîí÷àòåëüíî,
(3D1 C1 ) 2
u = u0 exp 2A1
02 ;
à ñ ó÷åòîì ìàëîñòè è 0 :
u = u0 +
(3D1
C1 ) u0 2
2A1
02 :
(35)
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (35) âî âòîðîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ , íàõîäèì ÷òî áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ
+
D1 u20 + k1
(mb h + mr l) g
E1
=0
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ ñèòóàöèåé, êîãäà
D1 u20 + k1
(mb h + mr l) g > 0: 45
Òîãäà, îáîçíà÷àÿ
D1 u20 + k1 2
=
(mb h + mr l) g
E1 íàõîäèì, ÷òî èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó
= 0 os ( t) +
_ 0
sin ( t) (36)
 äàëüíåéøåì äðîáü _ 0 = áóäåì îáîçíà÷àòü Æ0 . Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (36) â îðìóëó (35), íàõîäèì çàâèñèìîñòü u îò âðåìåíè:
u = u0 +
(3D1
(3D1
C1 ) u0 0 Æ0 sin (2 t) 2A 1
C1 ) u0 2
0 4A1
2
Æ0 (1
(37)
os (2 t)) :
Óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ îñòàâøèõñÿ íåèçâåñòíûõ óíêöèé , X è Y èìåþò âèä (28)-(30). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ýòèõ óíêöèé íóëåâûå, ò.å.
(0) = 0;
X (0) = 0;
Y (0) = 0:
(38)
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (36)-(37) â îðìóëó (28) è ñîõðàíÿÿ òîëüêî ÷ëåíû íå âûøå âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïî 0 è Æ0 , íàõîäèì
_ =
2u0 (mb h + mr l) tg f ( 0 os ( t) + Æ0 sin ( t)) ; (mb ha + 2mr ld)
îòêóäà ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ èíòåãðèðîâàíèåì ïîëó÷àåì
(t)=
óñëîâèé
îäíîêðàòíûì
2u0 (mb h + mr l) tg f ( 0 sin ( t)+ Æ0 (1 os ( t))) : (mb ha +2mr ld)
(39)
46
ßâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ X_ è Y_ èìåþò âåñüìà ãðîìîçäêèé âèä. Ïîýòîìó âûïèøåì ýòè âûðàæåíèÿ òîëüêî äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ: êîãäà 0 = 0, Æ0 6= 0 è íàîáîðîò, êîãäà 0 6= 0, Æ0 = 0. Ïðè 0
X_ = u0 +
+
= 0, Æ0 6= 0 âûðàæåíèå äëÿ X_ èìååò âèä (3D1
C1 ) u0 Æ02 (1 4A1
os (2 t)) +
(mb h + mr l) (a 2d) mr lu20 Æ02 tg2 f (2 sin ( t) sin (2 t)) (mb ha +2mr ld)2
(mb h + mr l)2 u30 Æ02 tg2 f (3 + os (2 t) (mb ha + 2mr ld)2 2
4 os ( t)) :
Îäíîêðàòíûì èíòåãðèðîâàíèåì ìû ïîëó÷àåì, ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé (38), ÷òî êîîðäèíàòà X èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó
(3D1 C1 ) u0 Æ02 t X = u0 t + 4A1 2 +
sin (2 t) + 2
(mb h + mr l) (a 2d) mr lu20 Æ02 tg2 f 2 (mb ha + 2mr ld)2 2
(3 + os (2 t)
4 os ( t))
(mb h + mr l)2 u30 Æ02 tg2 f sin (2 t) 3t + 2 2 2
(mb ha + 2mr ld)
4 sin ( t) :
(40) 47
Âûðàæåíèå äëÿ Y_ ïðè 0 = 0, Æ0 6= 0 èìååò âèä (a 2d) mr lu0 Æ0 tg f Y_ = sin ( t) (mb ha + 2mr ld)
2 (mb h + mr l) u20 Æ0 tg f (1 os ( t)) : (mb ha + 2mr ld)
Îòñþäà ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé (38) ìû ïîëó÷àåì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ Y (t): (a 2d) mr lu0 Æ0 tg f (1 os ( t)) Y (t) = (mb ha + 2mr ld)
(41) 2 sin ( t) 2 (mb h + mr l) u0 Æ0 tg f t : (mb ha + 2mr ld)
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî â ñëó÷àå
0 = 0, Æ0 6= 0 ïðè íåíóëåâîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè (u0 6= 0) êîîðäèíàòà X (t) òî÷êè G ñåðåäèíû îòðåçêà AB ëèíåéíî ðàñòåò ñî âðåìåíåì. Ïî êîîðäèíàòå Y (t) òàêæå íàáëþäàåòñÿ ëèíåéíûé ðîñò, îäíàêî êîý èöèåíò ïðè t â âûðàæåíèè äëÿ Y (t) èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê ìàëîñòè. Ïîýòîìó ëèíåéíûé ðîñò êîîðäèíàòû Y (t) ÿâëÿåòñÿ íå ñòîëü çíà÷èòåëüíûì, êàê ó X (t). Òåïåðü óêàæåì ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ X (t) è Y (t) â ñëó÷àå, êîãäà 0 6= 0, Æ0 = 0.  ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèå äëÿ X_ èìååò âèä (3D1 C1 ) u0 02 (1 os (2 t)) + X_ = u0 4A 1
+
(mb h + mr l) (a 2d) 02 mr lu20 tg2 f sin (2 t) (mb ha +2mr ld)2
(mb h + mr l)2 02 u30 tg2 f (1 os (2 t)) : (mb ha + 2mr ld)2 2
48
Òàêèì îáðàçîì, ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ óíêöèè X (t) ïðè 0 6= 0, Æ0 = 0 ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé (38) èìååò âèä:
X = u0 t
+
C1 ) u0 02 t 4A 1
(3D1
sin (2 t) + 2
(mb h + mr l) (a 2d) 02 mr lu20 tg2 f (1 2 (mb ha +2mr ld)2 2
(mb h + mr l)2 02 u30 tg2 f t (mb ha + 2mr ld)2 2 Âûðàæåíèå äëÿ Y_ ïðè 0
Y_ =
(a
os (2 t))
(42)
sin (2 t) : 2
6= 0, Æ0 = 0 èìååò âèä
2d) 0 mr lu0 tg f
os ( t) (mb ha + 2mr ld)
2 (mb h + mr l) 0 u20 tg f sin ( t) : (mb ha + 2mr ld)
Òîãäà ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ óíêöèè Y (t) â ñëó÷àå 0 0, Æ0 = 0 ìîæåò áûòü çàïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Y (t) =
(a 2d) 0 mr lu0 tg f sin ( t) (mb ha + 2mr ld)
2 (mb h + mr l) 0 u20 tg f (1 (mb ha + 2mr ld) 2
6=
(43)
os ( t)) :
Àíàëèç îðìóë (42)-(43) ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä, ÷òî â ñëó÷àå 0 6= 0, Æ0 = 0 ïî êîîðäèíàòå X (t) íàáëþäàåòñÿ ëèíåéíûé ðîñò, òîãäà êàê êîîðäèíàòà Y (t) èçìåíÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêè. 49
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (24) èññëåäîâàëàñü ÷èñëåííî ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ
mb = 3 êã;
mr = 75:02 êã;
h = 0:065 ì;
l = 1:037 ì;
a = 0:78 ì; d = a=2; tg f = tg r = 1=3; Ix = 11:64 êã ì2 ; Iy = 12:55 êã ì2 ; Iz = 1:32 êã ì2 ; k1 = 510 Í ì; g = 9:8 ì= 2 : Íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè áûëî âûáðàíî ðàâíûì u0 = 2 ì= : Íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ 0 è _ 0 áðàëèñü ñîîòâåòñòâåííî äâóì îïèñàííûì âûøå ñëó÷àÿì: â îäíîì ñëó÷àå ýòè íà÷àëüíûå âåëè÷èíû áûëè ðàâíû
0 = 0 ðàä;
Æ0 = 0:01 ðàä;
à â äðóãîì ñëó÷àå îíè áûëè ðàâíû
0 = 0:05 ðàä;
Æ0 = 0 ðàä:
Ïðè ýòîì, ïîìèìî ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ, áûëè ïîñòðîåíû ãðà èêè âñåõ íåèçâåñòíûõ óíêöèé ïî íàéäåííûì íàìè ïðèáëèæåííûì îðìóëàì (36)-(43). Íà ïðèâåäåííûõ íèæå ðèñóíêàõ ñëåâà ïðåäñòàâëåíû ãðà èêè óíêöèé, ïîñòðîåííûå â ðåçóëüòàòå ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (24), à ñïðàâà ãðà èêè òåõ æå óíêöèé, ïîñòðîåííûå ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ïðèáëèæåííûì îðìóëàì. Èç àíàëèçà ãðà èêîâ ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì, ÷òî ïðèáëèæåííûå îðìóëû (36)-(43) õîðîøî àïïðîêñèìèðóþò òî÷íîå ðåøåíèå êàê â ñëó÷àå 0 = 0, Æ0 6= 0, òàê è â ñëó÷àå 0 6= 0, Æ0 = 0.  ñëåäóþùåì ïóíêòå ìû ïðîâåäåì èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ñèñòåìû â èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå B1 = 0. 50
èñ. 15. Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè u îò âðåìåíè â ñëó÷àå
0 = 0, Æ0 6= 0, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî (à) è ïî ïðèáëèæåííîé îðìóëå (á).
èñ. 16. Çàâèñèìîñòü óãëà îò âðåìåíè â ñëó÷àå 0 = 0, Æ0 6= 0, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî (à) è ïî ïðèáëèæåííîé îðìóëå (á).
51
èñ. 17. Çàâèñèìîñòü óãëà îò âðåìåíè â ñëó÷àå 0 = 0, Æ0 6= 0, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî (à) è ïî ïðèáëèæåííîé îðìóëå (á).
èñ. 18. Çàâèñèìîñòü êîîðäèíàòû X îò âðåìåíè â ñëó÷àå
0 = 0, Æ0 6= 0, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî (à) è ïî ïðèáëèæåííîé îðìóëå (á).
52
èñ. 19. Çàâèñèìîñòü êîîðäèíàòû Y îò âðåìåíè â ñëó÷àå
0 = 0, Æ0 6= 0, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî (à) è ïî ïðèáëèæåííîé îðìóëå (á).
èñ. 20. Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè u îò âðåìåíè â ñëó÷àå
0 6=, Æ0 = 0, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî (à) è ïî ïðèáëèæåííîé îðìóëå (á).
53
èñ. 21. Çàâèñèìîñòü óãëà îò âðåìåíè â ñëó÷àå 0 6= 0, Æ0 = 0, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî (à) è ïî ïðèáëèæåííîé îðìóëå (á).
èñ. 22. Çàâèñèìîñòü óãëà îò âðåìåíè â ñëó÷àå 0 6= 0, Æ0 = 0, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî (à) è ïî ïðèáëèæåííîé îðìóëå (á).
54
èñ. 23. Çàâèñèìîñòü êîîðäèíàòû X îò âðåìåíè â ñëó÷àå
0 6= 0, Æ0 = 0, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî (à) è ïî ïðèáëèæåííîé îðìóëå (á).
èñ. 24. Çàâèñèìîñòü êîîðäèíàòû Y îò âðåìåíè â ñëó÷àå
0 6= 0, Æ0 = 0, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî (à) è ïî ïðèáëèæåííîé îðìóëå (á).
55
Èññëåäîâàíèå
óñòîé÷èâîñòè
ñòàöèîíàðíûõ
äâèæåíèé â èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå.
 èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå ïðè B1 = 0 óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (24) äîïóñêàþò èíòåãðàë ýíåðãèè (25), êâàäðàòè÷íûé ïî ïñåâäîñêîðîñòÿì u è _ , à òàêæå äðóãîé èíòåãðàë, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî ñëåäóåò èç îðìóëû (31)
u exp ( G ( )) = u0 exp ( G ( 0 )) = j1 :
(44)
Çàìåòèì, ÷òî èíòåãðàë (44) îêàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì îòíîñèòåëüíî ïñåâäîñêîðîñòè u. Ýòîò àêò ñóùåñòâåííî óïðîùàåò èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé â äàííîé çàäà÷å. Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå, êîãäà íåãîëîíîìíûå ñèñòåìû äîïóñêàþò ëèíåéíûå ïî êâàçèñêîðîñòÿì (îáîáùåííûì ñêîðîñòÿì èëè ïñåâäîñêîðîñòÿì) ïåðâûå èíòåãðàëû, èçâåñòíûå â ÿâíîì âèäå, èññëåäîâàíèå âîïðîñîâ ñóùåñòâîâàíèÿ, óñòîé÷èâîñòè è âåòâëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé òàêèõ ñèñòåì îñíîâûâàåòñÿ íà ìîäè èöèðîâàííîé òåîðèè àóñà Ñàëüâàäîðè, Ïóàíêàðå ×åòàåâà è Ñìåéëà [31, 32, 40℄, [53℄-[60℄. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðèè, àíàëèç âîïðîñîâ ñóùåñòâîâàíèÿ, óñòîé÷èâîñòè è áè óðêàöèè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé íåãîëîíîìíîé ñèñòåìû ñâîäèòñÿ ê àíàëèçó ý åêòèâíîãî ïîòåíöèàëà ýòîé ñèñòåìû.  Äîïîëíåíèè 2 èçëîæåíû îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ äàííîãî ïîäõîäà. Ïóñòü W = W ( ) ìèíèìóì óíêöèè H (èíòåãðàëà ýíåðãèè (25)) ïî ïåðåìåííûì _ è u íà óðîâíå j1 èíòåãðàëà, 56
îïðåäåëÿåìîãî ñîîòíîøåíèåì
(44). Òàêèì îáðàçîì,
A1 +(C1 2D1 ) sin2 + F1 sin4 2 W ( )=min H = u ( ) + u; _ 2
k 2 + 1 + (mb h + mr l) g os ; 2
(45) ãäå óíêöèÿ u ( ) îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ (44). Èç îáùåé òåîðèè ñëåäóåò (ñì. Äîïîëíåíèå 2), ÷òî êðèòè÷åñêèì òî÷êàì äàííîãî ý åêòèâíîãî ïîòåíöèàëà îòâå÷àþò ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ ñèñòåìû, ïðè÷åì òî÷êàì ìèíèìóìà óñòîé÷èâûå ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ
dW = 0; d = 0 ïðè ýòîì ïðîèçâîäíàÿ du=d âû÷èñëÿåòñÿ ïî îðìóëå (26). Óñëîâèå dW=d = 0 â ÿâíîì âèäå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
u20 D1 F1 sin2 0 sin 0 os 0 + k1 0 (mb h + mr l) g sin 0 =0: (46) Óñëîâèå (46) ìîæåò áûòü ëåãêî ïîëó÷åíî è èç äðóãèõ ñîîáðàæåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïîëîæèòü = 0 =
onst âî âòîðîì óðàâíåíèè ñèñòåìû (24), òî ìû òàêæå ïîëó÷èì äàííîå óñëîâèå. Ñîîòíîøåíèå (46) îïðåäåëÿåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ñèñòåìû äâå ïîñòîÿííûå
u = u0 = onst;
= 0 = onst
ñâÿçàíû îäíèì ñîîòíîøåíèåì. 57
Èç óñëîâèÿ (46) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà u0 ñóùåñòâóåò ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå (ñì. îðìóëó (14))
u = u0 = onst;
= 0;
êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ðàâíîìåðíîìó ïðÿìîëèíåéíîìó äâèæåíèþ ñêåéòáîðäà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Óñòîé÷èâîñòü äàííîãî ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ ïðè B1 6= 0 (â îáùåì ñëó÷àå) óæå èññëåäîâàëàñü íàìè âûøå â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïóòåì àíàëèçà êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ìû îòìå÷àëè, ÷òî ïðè B1 = 0 õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (16) èìååò îäèí íóëåâîé è äâà ÷èñòî ìíèìûõ êîðíÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (21). Òåïåðü ìû ìîæåì äàòü ñòðîãèå âûâîäû îá óñòîé÷èâîñòè äàííîãî ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ ïðè B1 = 0. Äåéñòâèòåëüíî, íåðàâåíñòâî
d2 W > 0; d 2 â êîòîðîå ïîäñòàâëåíî çíà÷åíèå = 0 äàåò íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ (14) â âèäå
u20 D1 + k1
(mb h + mr l) g > 0:
Âèäíî, ÷òî äàííîå íåðàâåíñòâî â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ óñëîâèåì (21) íåîáõîäèìûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ (14). Ó÷èòûâàÿ òîò àêò, êàê çàïèñûâàåòñÿ ïîñòîÿííàÿ D1 ïðè B1 = 0, ìîæíî ïðèâåñòè óñëîâèå (21) ê âèäó
58
2 (mb h + mr l)2 tg f 2 u0 + k1 (mb h + mr l) g > 0: mb ha +2mr ld
(47)
Àíàëèçèðóÿ óñëîâèå (47), ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû. Åñëè ñêåéòáîðä ÿâëÿåòñÿ ñòàòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (20), ïðè êîòîðîì óñòîé÷èâî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ
u0 = 0;
= 0;
òî, ñîãëàñíî óñëîâèþ (47), ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå (14) áóäåò óñòîé÷èâî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ñêîðîñòè u0 . Åñëè æå óñëîâèå ñòàòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè (20) íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ñêåéòáîðä ìîæåò áûòü ñòàáèëèçèðîâàí, åñëè ñêîðîñòü u0 ïðåâîñõîäèò íåêîòîðîå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå
((mb h + mr l) g u20 > u2 =
k1 ) (mb ha + 2mr ld) tg f : (48) 2 (mb h + mr l)2
 ñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå, êîãäà f = r óñëîâèå (48) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå
= , d = a=2
((mb h + mr l) g k1 ) a tg u20 > u2 = : 2 (m h + m l) b
r
(49)
Âïåðâûå íåðàâåíñòâî (49) áûëî ïîëó÷åíî â ðàáîòå [4℄ â êà÷åñòâå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ïðÿìîëèíåéíîãî ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ñèììåòðè÷íîé ìîäåëè ñêåéòáîðäà. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç çíà÷åíèå u20 = u2 ìåíÿåòñÿ õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ (14). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò è äðóãèå ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ, îòëè÷íûå îò ïðÿìîëèíåéíîãî ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà. Ýòè äâèæåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
u = u0 = onst;
= 0 = onst
(50)
ñ 0 6= 0. Ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ (50) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u0 59
ïî îêðóæíîñòè, öåíòð è ðàäèóñ êîòîðîé îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ýòèõ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé èìååò âèä
d2 W > 0; d 2 = 0 èëè, â ÿâíîì âèäå
A1 + (C1
+k1
P4 sin2 0 u2 + 2D1 ) sin2 0 + F1 sin4 0 0
(51)
(mb h + mr l) g os 0 > 0;
ãäå P4 sin2 0 ïîëèíîì 4-îé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî ñ ïîñòîÿííûìè êîý èöèåíòàìè
sin2
P4 sin2 = A1 D1 +(4D12 C1 D1 3A1 F1 2A1 D1 ) sin2 +
+ (4A1 F1 5D1 F1 2D12 C1 F1 ) sin4 + + (3F1 +2C1 +2D1 ) F1 sin6 2F12 sin8 : Óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè (51) ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé (50) ñêåéòáîðäà èìååò äîâîëüíî ãðîìîçäêèé âèä. Ïîýòîìó äåòàëüíîå àíàëèòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå ïîëó÷åííûõ óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ è óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòäåëüíóþ, âåñüìà ñëîæíóþ çàäà÷ó.  äàííîé ðàáîòå ìû ïðåäñòàâèì òîëüêî ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî àíàëèçà óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ è óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ïðè èçìåíåíèè ëèøü îäíîãî ïàðàìåòðà
p~ = 60
(mb h + mr l) g k1
îòíîøåíèÿ ïîñòîÿííîé (mb h + mr l) g ìîìåíòà ñèëû òÿæåñòè ê ïîñòîÿííîé k1 âîññòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà. Ïîñêîëüêó ðàíåå ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ïàðàìåòðû ñèñòåìû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì 4A1 F1 (C1 2D1 )2 > 0, òî èç îðìóëû (44) ñëåäóåò ÿâíîå âûðàæåíèå ñêîðîñòè u ( ) ÷åðåç ïîñòîÿííóþ j1 äîïîëíèòåëüíîãî ïåðâîãî èíòåãðàëà
u=
A1 + (C1
j1
2D1 ) sin2 + F1 sin4 3=4
0
1
C1 =2 2F sin2 + C1 2D1 A expq ar tg q 1 : 2 2 4A1 F1 (C1 2D1 ) 4A1 F1 (C1 2D1 ) Ïîäñòàíîâêà äàííîãî âûðàæåíèÿ â óñëîâèå j12 sin os D1 F1 sin2 3=2 A1 + (C1 2D1 ) sin2 + F1 sin4
(45) äàåò
1
0
C1 2F sin2 + C1 2D1 A + expq ar tg q 1 4A1 F1 (C1 2D1 )2 4A1 F1 (C1 2D1 )2
+k1
(mb h + mr l) g sin = 0:
(52) Çàïèøåì ñîîòíîøåíèå (52) â îáåçðàçìåðåííîì âèäå. Ââåäåì áåçðàçìåðíûå ïîñòîÿííûå
A~1 = q
A1
~1 = q D
A1
4A1 F1 4A1 F1
(C1 (C1
2D1 )2 2D1 )2
; C~1 = q
A1
; F~1 = q
A1
4A1 F1 4A 1 F 1
(C1 (C1
2D1 )2 2D1 )2
;
;
61
(mb h + mr l) g
p~ =
: k1 àçäåëèì òåïåðü ñîîòíîøåíèå (52) íà k1 è ââåäåì áåçðàçìåðíóþ ïîñòîÿííóþ s1 ïåðâîãî èíòåãðàëà ïî îðìóëå s1 = Òîãäà îáðàçîì:
j1
4A1 F1
(C1
~1 s21 sin os D
A~1 + C~1
F~1 sin2
k1
2D~ 1 sin2 + F~1 sin4
exp C~1 ar tg 2F~1 sin2 + C~1 +
1=8 1=2 :
(52) ïåðåïèøåòñÿ ñëåäóþùèì
ñîîòíîøåíèå
2D1 )2
3=2
2D~ 1
+
(53)
p~ sin = 0:
Äëÿ ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ óñëîâèÿ ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû
mb = 3 êã;
mr = 75:02 êã;
h = 0:065 ì;
(53) âûáåðåì l = 1:037 ì;
d = a=2; tg f = tg r = 1=3; g = 9:8 ì= 2 ; Ix = 11:64 êã ì2 ; Iy = 12:55 êã ì2 ; Iz = 1:32 êã ì2 :
a = 0:78 ì;
Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå (53) íå ìåíÿåò ñâîåãî âèäà ïðè çàìåíå ! , s1 ! s1 . Ïîýòîìó áóäåì èññëåäîâàòü äàííîå ñîîòíîøåíèå òîëüêî ïðè s1 > 0, 2 [0; =2). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âûáîð ñòîëü øèðîêîãî ïðîìåæóòêà èçìåíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ëèøü òåîðåòè÷åñêèé èíòåðåñ. Íà ïðàêòèêå óãîë íå ïðåâîñõîäèò çíà÷åíèÿ =6. 62
~ 1 è F~1 ïðè ýòîì Áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû çàäà÷è A~1 , C~1 , D áóäóò ðàâíû A~1 = 1:35;
C~1 = 0:016;
~ 1 = 1:137; D
F~ = 1:145:
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè òàêîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ~ 1 F~1 sin2 íà èíòåðâàëå 2 (0; =2) âûðàæåíèå D ìåíÿåò çíàê ñ ïîëîæèòåëüíîãî íà îòðèöàòåëüíûé òîëüêî îäèí ðàç, ïðè = òàêîì, ÷òî sin 0:996. Áóäåì ìåíÿòü ïàðàìåòð p~ è ñëåäèòü, êàê ìåíÿåòñÿ íà ïëîñêîñòè (s1 ; ) ãðà èê óíêöèè, çàäàííîé íåÿâíî ñîîòíîøåíèåì (53). Êàæäàÿ òî÷êà ýòîãî ãðà èêà îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå ñèñòåìû, è åñëè ìû îáîçíà÷èì íà ãðà èêå óñòîé÷èâûå è íåóñòîé÷èâûå ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì áè óðêàöèîííóþ äèàãðàììó Ïóàíêàðå ×åòàåâà. Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî ïàðàìåòð p~ äîñòàòî÷íî âåëèê p~ > =2, òàê ÷òî âûðàæåíèå p~ sin áóäåò îòðèöàòåëüíûì ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ 2 (0; =2). Òîãäà äëÿ ëþáîãî 2 (0; ) ñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (53) â âèäå 3=2 (~p sin ) A~1 + C~1 D~ 1 sin2 + F~1 sin4 s21 = sin os D~ 1 F~1 sin2
exp
C~1 ar tg 2F~1 sin2 + C~1
2D~ 1
:
Ïðè 2 [ ; =2) ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (53) íå ñóùåñòâóåò. Íà ïëîñêîñòè (s1 ; ) ãðà èê íåÿâíîé óíêöèè, çàäàííîé ñîîòíîøåíèåì (53), èìååò â ýòîì ñëó÷àå âèä ( èñ. 25). Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî s
F~1 ~ 1 ar sin D
s
~1 D F~1
p~ 2 : 63
èñ. 25. Áè óðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ïðè p~ > =2  ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèå p~ sin ïðè 2 [0; =2) ìåíÿåò çíàê ñ îòðèöàòåëüíîãî íà ïîëîæèòåëüíûé îäèí ðàç, ïðè÷åì çíà÷åíèå , ïðè êîòîðîì ýòî ïðîèñõîäèò, áóäåò áîëüøå çíà÷åíèÿ . Òîãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (53) ñóùåñòâóåò ïðè 2 [0; ) è ïðè 2 ( ; =2). Ñîîòâåòñòâóþùèé ãðà èê íà ïëîñêîñòè (s1 ; ) èìååò âèä èñ. 26.
èñ. 26. 64
Ïóñòü òåïåðü ïàðàìåòð p~ èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ s
1 p~
F~1 ~ 1 ar sin D
s
~1 D : F~1
èñ. 27.  ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèå p~ sin ïðè 2 [0; =2) ìåíÿåò çíàê ñ îòðèöàòåëüíîãî íà ïîëîæèòåëüíûé îäèí ðàç, ïðè÷åì çíà÷åíèå , ïðè êîòîðîì ýòî ïðîèñõîäèò, áóäåò ìåíüøå çíà÷åíèÿ . Òîãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (53) ñóùåñòâóåò ïðè 2 [0; ℄ è ïðè 2 ( ; =2). Ñîîòâåòñòâóþùèé ãðà èê íà ïëîñêîñòè (s1 ; ) èìååò âèä èñ. 27. 65
àññìîòðèì, íàêîíåö, ïîñëåäíþþ âîçìîæíîñòü: p~ 1.  ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèå p~ sin ïîëîæèòåëüíî ïðè âñåõ 2 (0; =2). Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò äâà âèäà ðåøåíèé íóëåâîå ðåøåíèå = 0 è ðåøåíèå ïðè 2 ( ; =2). Ñîîòâåòñòâóþùèé ãðà èê èìååò âèä èñ. 28.
èñ. 28. Òàêèì îáðàçîì, ìû äàëè ïîëíîå ÷èñëåííîå èññëåäîâàíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ó äàííîé ñèñòåìû ðàçëè÷íûõ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé. Êàê óæå ãîâîðèëîñü, ïîäðîáíîå àíàëèòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè è âåòâëåíèÿ ýòèõ äâèæåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòäåëüíóþ çàäà÷ó, êîòîðàÿ áóäåò ðåøåíà â ïîñëåäóþùèõ ðàáîòàõ.  ñëåäóþùåì ïóíêòå èçó÷àåòñÿ ïîâåäåíèå ñèñòåìû âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
u0 = 0; â îáùåì ñëó÷àå, ïðè B1
66
6= 0.
=0
Àíàëèç
äâèæåíèÿ
ñèñòåìû
âáëèçè
ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Ïóñòü â ñòàöèîíàðíîì äâèæåíèè (14) ñêîðîñòü u0 = 0, ò.å. ñêåéòáîðä ñòîèò íà ïëîñêîñòè íåïîäâèæíî. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ýòîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ áóäåò, ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì, ïîëó÷åííûì âûøå, âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà (20). Ïóñòü ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ. àññìîòðèì äâèæåíèå ñèñòåìû âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Äëÿ ýòîãî ðàçðåøèì ñíà÷àëà óðàâíåíèÿ (11) îòíîñèòåëüíî u_ , . Òîãäà ýòè óðàâíåíèÿ ïðèìóò âèä
u_ =
F1 sin2 u2 os2 B1 sin2 + Q
E1 _ 2 + D1
(k + 1
(mb h + mr l) g sin ) B1 sin os Q
+
3D1 E1 C1 E1 + B12 (3F1 E1 + B12 ) sin2 u _ sin os + ; Q
=
B12 _ 2 sin3 os Q
A1 + D1 sin2 A1 + (C1
(54)
2F1 sin4 B1 u _ os2 Q
2D1 ) sin2 + F1 sin4 Q
D1 F1 sin2 u2 sin os + k1 (mb h + mr l) g sin : 67
Çäåñü ÷åðåç Q îáîçíà÷åíî ñëåäóþùåå âûðàæåíèå Q = A1 E1 + (C1 2D1 ) E1 B12 sin2 + B12 + F1 E1 sin4 :
Çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (54) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî îäíîâðåìåííîé çàìåíû B1 ! B1 , u ! u. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì áóäåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñ÷èòàòü, ÷òî B1 > 0.  ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèå u > 0 îïðåäåëÿåò óñòîé÷èâîå íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ, à çíà÷åíèå u < 0 îïðåäåëÿåò íåóñòîé÷èâîå íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ. Ïîëàãàÿ òåïåðü u è ìàëûìè âåëè÷èíàìè, âûïèøåì óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ñèñòåìû ñ ó÷åòîì ÷ëåíîâ äî âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè âêëþ÷èòåëüíî:
u_ =
+
B1 (k1 k1
(mb h + mr l) g ) 2
; A1 E1
(mb h + mr l) g E1
=
B1 u _ : E1
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå
k
21 = 1
(mb h + mr l) g E1
;
îêîí÷àòåëüíî ïðèâåäåì óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ê âèäó B1 21 2 B1 u _ u_ =
; + 21 = : (55) A1 E1 Çàìåòèì, ÷òî ëèíåéíàÿ ÷àñòü âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (55) óæå ïðèâåäåíà ê âèäó, ñîîòâåòñòâóþùåìó íîðìàëüíûì êîëåáàíèÿì. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû (55) ïðèâåäåì åå ê íîðìàëüíîé îðìå [42, 61, 62℄. Ïîäðîáíîñòè òîãî, êàê ïðèâîäèòü ñèñòåìó äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ê íîðìàëüíîé 68
îðìå, èçëîæåíû â Äîïîëíåíèè 3. Íîðìàëèçóþùàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ ïîçâîëÿåò îñòàâèòü â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ òîëüêî òå èç íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ, êîòîðûå îïðåäåëÿþò êà÷åñòâåííûé õàðàêòåð äâèæåíèÿ è èñêëþ÷èòü íåñóùåñòâåííûå ÷ëåíû. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ íîðìàëüíîé îðìû ñèñòåìû (55) óäîáíî ñíà÷àëà ñäåëàòü çàìåíó ïåðåìåííûõ, ââîäÿùóþ ïàðó êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ïåðåìåííûõ z1 è z2 : z1 z2 z1 + z2
= ; _ =
1 ; u = z3 : 2i 2 Â ïåðåìåííûõ zk , k = 1; 2; 3 ñèñòåìà óðàâíåíèé (55) ïðèìåò âèä
z_1 = i 1 z1
B1 (z + z ) z ; 2E1 1 2 3 B1 (z + z ) z ; 2E1 1 2 3
z_2 =
i 1 z1
z_3 =
B1 2 2
z 4A 1 1 1
(56)
2z1 z2 + z22 :
Çàìåòèì, ÷òî ëèíåéíàÿ ÷àñòü ñèñòåìû (56) èìååò äèàãîíàëüíóþ îðìó è ïîëó÷åíèå íîðìàëüíîé îðìû ñâîäèòñÿ ïðîñòî ê âûäåëåíèþ ðåçîíàíñíûõ ÷ëåíîâ â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ñèñòåìû (56). Çàìåíîé ïåðåìåííûõ
iB1 iB1 z2 z3 ; y2 = z2 zz; 4 1 E1 4 1 E1 1 3 iB1 1 2 y3 = z3 + z2 z12 : 8A1 èëè (ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà ìàëîñòè âûøå âòîðîãî) y1 = z1 +
z1 = y1
iB1 yy; 4 1 E1 2 3
z2 = y2 +
iB1 yy; 4 1 E1 1 3
69
iB1 1 2 y1 y22 8A 1 ñèñòåìà óðàâíåíèé (56) ïðèâîäèòñÿ ê ñèñòåìå
z3 = y3 +
y_ 1 = i 1 y1 y_ 2 = y_ 3 =
i 1 y2
B1 yy; 2E1 1 3 B1 yy; 2E1 2 3
(57)
B1 21 yy: 2A1 1 2
Ââîäÿ âåùåñòâåííûå ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ñîãëàñíî îðìóëàì
y1 = 1 ( os 1 + i sin 1 ) ; y2 = 1 ( os 1
i sin 1 ) ; y3 = 2
èç ñèñòåìû (57) ïîëó÷èì íîðìàëèçîâàííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ, êîòîðàÿ ðàñïàäàåòñÿ íà äâå íåçàâèñèìûå ïîäñèñòåìû:
_1 =
B1 ; 2E1 1 2
B1 21 2 _2 = ; 2A 1 1
_ 1 = 1 :
(58) (59)
 (58) îòáðîøåíû ÷ëåíû âûøå âòîðîãî, à â (59) âûøå ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî k , k = 1; 2.  "-îêðåñòíîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (58) è (59) îòëè÷àþòñÿ îò îòâå÷àþùèõ èì ïðàâûõ ÷àñòåé òî÷íûõ óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ íà âåëè÷èíû ïîðÿäêà "3 è "2 ñîîòâåòñòâåííî. åøåíèÿ òî÷íûõ óðàâíåíèé àïïðîêñèìèðóþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (58)-(59) ñ ïîãðåøíîñòüþ ïîðÿäêà "2 äëÿ 1 , 2 è ïîðÿäêà " äëÿ 1 íà èíòåðâàëå âðåìåíè 70
ïîðÿäêà 1=". Îãðàíè÷èâàÿñü ýòîé òî÷íîñòüþ, áóäåì âìåñòî ïîëíûõ óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàòü ïðèáëèæåííóþ ñèñòåìó (58)-(59). Óðàâíåíèå (59) ñðàçó èíòåãðèðóåòñÿ. Ïîëó÷àåì
1 = 1 t + 0 : Ñèñòåìà (58) îïèñûâàåò ýâîëþöèþ àìïëèòóäû 1 êîëåáàíèé äîñêè è ñêîðîñòè 2 ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà èìååò ïåðâûé èíòåãðàë
A1 E1 21 + 2 22 = A1 n21 ; (60)
1 ãäå n1 ïîñòîÿííàÿ, îïðåäåëÿåìàÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè óìíîæèòü ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (58) íà 2E1 1 , à âòîðîå íà 2A1 2 = 21 è ñëîæèòü, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
2E1 1 _1 +
2A 1 _ = 0;
21 2 2
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ó ñèñòåìû (58) ñóùåñòâóåò ïåðâûé èíòåãðàë (60). Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì èíòåãðàëîì äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (58) è ïîëó÷åíèÿ ÿâíûõ çàâèñèìîñòåé 1 = 1 (t) è 2 = 2 (t). Èç èíòåãðàëà (60) íàõîäèì A1
21 n21 22 : (61) 21 = 2
1 E1 Ïîäñòàâëÿÿ äàííîå âûðàæåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (58) ïîëó÷àåì äè åðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ 2 :
_2 =
B1
21 n21 2E1
22 :
(62) 71
Óðàâíåíèå (62) ÿâëÿåòñÿ äè åðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Åãî èíòåãðèðîâàíèå äàåò ÿâíûé âèä óíêöèè 2 â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè
1 n1 1 n2 exp
2 (t) =
1 + n2 exp
B1 1 n1 E1 t
B1 1 n1 E1 t
;
(63)
ãäå n2 íåîòðèöàòåëüíàÿ ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîëÿííàÿ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÿâíîãî âèäà óíêöèè 1 â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè, âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (61) è (63). Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (63) â ñîîòíîøåíèå (61), ïðîèçâîäÿ óïðîùåíèÿ è èçâëåêàÿ êîðåíü, ïîëó÷èì ÿâíûé âèä óíêöèè 1 â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè s
1 (t) = 2
exp B12 E11n1 t A1 n21 n2 : B1 1 n1 E1 1 + n2 exp t
(64)
E1
ðà èêè óíêöèé 1 (t), 2 (t) â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè, âû÷èñëåííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì âûðàæåíèé (63)(64), ïðåäñòàâëåíû íà èñ. 29-32. Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíî íà ñâîéñòâàõ ðåøåíèé (63), (64) ñèñòåìû (58) è èõ ñâÿçè ñ õàðàêòåðîì äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà. Ñèñòåìà (58) èìååò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ
1 = 0;
2 = 1 n1
(65)
(ýòè ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç îáùèõ çàâèñèìîñòåé (63)-(64) åñëè ïîëîæèòü â íèõ n2 = 0). Ïðè ýòîì ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ n1 ìîæåò ïðèíèìàòü êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííîé n1 ñîîòâåòñòâóþò ïðÿìîëèíåéíîìó äâèæåíèþ ñêåéòáîðäà ñ ìàëîé ñêîðîñòüþ 72
èñ. 29. Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû êîëåáàíèé äîñêè 1 îò âðåìåíè â ñëó÷àå n1 > 0, n2 1.
èñ. 30. Çàâèñèìîñòü "ñêîðîñòè"ñêåéòáîðäà 2 îò âðåìåíè â ñëó÷àå n1 > 0, n2 1. 73
èñ. 31. Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû êîëåáàíèé äîñêè 1 îò âðåìåíè â ñëó÷àå n1 < 0, n2 1.
èñ. 32. Çàâèñèìîñòü "ñêîðîñòè"ñêåéòáîðäà 2 îò âðåìåíè â ñëó÷àå n1 < 0, n2 1. 74
â óñòîé÷èâîì íàïðàâëåíèè, à îòðèöàòåëüíûå íåóñòîé÷èâîì. Äåéñòâèòåëüíî, ëèíåàðèçîâàííûå îêðåñòíîñòè ðàâíîâåñèÿ (65) óðàâíåíèÿ (58) äàþò
_1 =
B1
n; 2E1 1 1 1
â â
_ 2 = 0:
Òàêèì îáðàçîì, ïðè n1 > 0 ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óñòîé÷èâî, à ïðè n1 < 0 íåóñòîé÷èâî. Çàâèñèìîñòè óíêöèé 1 è 2 îò âðåìåíè äàþò ïîëíîå ïðåäñòàâëåíèå î õàðàêòåðå äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìû íàõîäèìñÿ â îêðåñòíîñòè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ (n1 > 0) è â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè 2 (0) 0, ò.å. n2 1 (ñëó÷àé n1 > 0, n2 > 1 àíàëîãè÷åí ñëó÷àþ n1 < 0, n2 < 1, êîòîðûé áóäåò ðàññìîòðåí íèæå). Ýòè óñëîâèÿ ñîîòâåòñòâóþò òîìó, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò ñêåéòáîðä ïîëó÷èë ìàëóþ ñêîðîñòü
2 (0) = 1 n1
1 n2 1 + n2
â óñòîé÷èâîì íàïðàâëåíèè. Òîãäà ñ òå÷åíèåì âðåìåíè "àìïëèòóäà"êîëåáàíèé äîñêè 1 ìîíîòîííî óáûâàåò îò åå íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ
2n1 1 (0) = 1 + n2
r
A1 n2 E1
äî íóëÿ, à ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà 2 âîçðàñòàåò ïî ìîäóëþ.  ïðåäåëå ñêåéòáîðä äâèæåòñÿ â óñòîé÷èâîì íàïðàâëåíèè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ 1 n1 . Ïóñòü òåïåðü ìû íàõîäèìñÿ â îêðåñòíîñòè íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ n1 < 0. Ïðåäïîëîæèì ñíîâà, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè n2 < 1, ò.å. 2 (0) < 0 (ñëó÷àé n1 < 0, n2 > 1 àíàëîãè÷åí ðàçîáðàííîìó âûøå ñëó÷àþ 75
n1 > 0, n2 < 1). Ýòè óñëîâèÿ ñîîòâåòñòâóþò òîìó, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò ñêåéòáîðä ïîëó÷èë ìàëóþ ñêîðîñòü 2 (0) = 1 n1
1 n2 1 + n2
â "íåóñòîé÷èâîì"íàïðàâëåíèè.  ýòîì ñëó÷àå ïðåäåëüíîå äâèæåíèå ñèñòåìû áóäåò òàêèì æå, êàê è ïðè 2 (0) 0, íî ýâîëþöèÿ äâèæåíèÿ ñóùåñòâåííî èíàÿ. Ïðè
E ln (n2 ) 0 < t < t = 1 B1 1 n1 "àìïëèòóäà"êîëåáàíèé 1 ïî ìîäóëþ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, à ñêåéòáîðä äâèæåòñÿ â íåóñòîé÷èâîì íàïðàâëåíèè ñî âñå óìåíüøàþùåéñÿ ñêîðîñòüþ.  ìîìåíò t = t ñêîðîñòü ñêåéòáîðäà îáðàùàåòñÿ â íóëü, à "àìïëèòóäà"êîëåáàíèé 1 äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ s
1 (t ) =
A1 n21 : E1
Ïðè t > t ñêåéòáîðä äâèæåòñÿ óæå â óñòîé÷èâîì íàïðàâëåíèè ñ âîçðàñòàþùåé ñêîðîñòüþ, à àìïëèòóäà êîëåáàíèé ìîíîòîííî ïî ìîäóëþ óáûâàåò. Òàêèì îáðàçîì, ïðè 2 (0) < 0 çà âðåìÿ ýâîëþöèè äâèæåíèÿ îäèí ðàç ïðîèñõîäèò ñìåíà íàïðàâëåíèÿ ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Àíàëîãè÷íûå íåëèíåéíûå ý åêòû (â ÷àñòíîñòè, ñìåíà íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ) íàáëþäàëèñü ðàíüøå è â äðóãèõ çàäà÷àõ íåãîëîíîìíîé ìåõàíèêè (íàïðèìåð, â êëàññè÷åñêîé çàäà÷å î äâèæåíèè "êåëüòñêîãî êàìíÿ" [33℄-[42℄). Ýòèì åùå ðàç ìîæíî ïîä÷åðêíóòü ñâÿçü ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ñ êëàññè÷åñêèìè çàäà÷àìè äèíàìèêè íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì. 76
Âîçâðàùàÿñü â èñõîäíûì ïåðåìåííûì , _ , u, ìû ìîæåì íàïèñàòü
= 1 sin 1
_ = 1 1 os 1
B1 os 1 ; 4E1 1 2
B1 sin 1 ; 4E1 1 2
B1 1 2 sin 1 os 1 : 2A 1 1 ðà èêè çàâèñèìîñòè óíêöèé , _ , u îò âðåìåíè, à òàêæå ãðà èê, èçîáðàæàþùèé ïîâåäåíèå òðàåêòîðèé íà ïëîñêîñòè (u; ) ïðåäñòàâëåíû íà èñ. 33-38. Îíè åùå ðàç ïîäòâåðæäàþò ñäåëàííûå íàìè âûâîäû î õàðàêòåðå äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà ñ ìàëîé ñêîðîñòüþ â óñòîé÷èâîì è íåóñòîé÷èâîì íàïðàâëåíèÿõ. u = 2
èñ. 33. Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ñêåéòáîðäà u îò âðåìåíè â ñëó÷àå n1 > 0, n2 1. 77
èñ. 34. Çàâèñèìîñòü óãëà íàêëîíà äîñêè îò âðåìåíè â ñëó÷àå n1 > 0, n2 1.
èñ. 35. Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ñêåéòáîðäà u îò óãëà íàêëîíà äîñêè â ñëó÷àå n1 > 0, n2 1. Ïëîñêîñòü (u; ). 78
èñ. 36. Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ñêåéòáîðäà u îò âðåìåíè â ñëó÷àå n1 < 0, n2 1.
èñ. 37. Çàâèñèìîñòü óãëà íàêëîíà äîñêè îò âðåìåíè â ñëó÷àå n1 < 0, n2 1. 79
èñ. 38. Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ñêåéòáîðäà u îò óãëà íàêëîíà äîñêè â ñëó÷àå n1 < 0, n2 1. Ïëîñêîñòü (u; ). Òàêîâû îñíîâíûå ñâîéñòâà ðàññìîòðåííîé íàìè ïðîñòåéøåé ìîäåëè ñêåéòáîðäà ñî ñòîÿùèì íà íåì ðàéäåðîì ïðè äâèæåíèè ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Äàííóþ ìîäåëü ìîæíî ðàçâèâàòü â ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ: ñ îäíîé ñòîðîíû, ìîæíî ðàññìîòðåòü áîëåå ñëîæíóþ êîíñòðóêöèþ ñêåéòáîðäà è ó÷åñòü íàëè÷èå êîëåñ è õàðàêòåð èõ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ îïîðíîé ïëîñêîñòüþ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû ìîæíî ïîñòðîèòü áîëåå ñëîæíóþ (è áîëåå ñîîòâåòñòâóþùóþ ðåàëüíîñòè) êîíñòðóêöèþ ïîäâåñêè è âûÿñíèòü, êàêèå äîïîëíèòåëüíûå äèíàìè÷åñêèå ý åêòû âîçíèêàþò ïðè òàêîé êîíñòðóêöèè. Ìîæíî ïîñòðîèòü òàêæå áîëåå ñëîæíóþ êîíñòðóêöèþ ðàéäåðà, ââåñòè â ñèñòåìó óïðàâëåíèå è èçó÷àòü ñèñòåìó ñ óïðàâëåíèåì. Âñå ýòè çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ âåñüìà èíòåðåñíûìè è ìû íåïðåìåííî îáðàòèìñÿ ê íèì â áóäóùåì. 80
Äîïîëíåíèå
1.
Î
âûáîðå
çíà÷åíèé
îñíîâíûõ ïàðàìåòðîâ çàäà÷è.  ýòîì äîïîëíåíèè ìû ðàññóæäàåì î òîì, êàêèå çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü îñíîâíûå ïàðàìåòðû çàäà÷è, à ñëåäîâàòåëüíî è ïîñòîÿííûå A1 , B1 , : : : F1 , âõîäÿùèå â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (11). Âî Ââåäåíèè ê äàííîé ðàáîòå ìû óïîìÿíóëè, ÷òî ñîâðåìåííûå äîñêè èìåþò äëèíó îò 78 äî 83 ñì è øèðèíó îò 17 äî 21 ñì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äîñêà ñêåéòáîðäà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíûé ïðÿìîóãîëüíèê ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòîðîíàìè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàññà äîñêè ïðèìåðíî îò 2 äî 3 êã, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ìîìåíò èíåðöèè äîñêè Ibx îòíîñèòåëüíî åå ïðîäîëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0:0048 êã ì2 äî 0:011 êã ì2 , à ìîìåíò èíåðöèè äîñêè Iby îòíîñèòåëüíî ïîïåðå÷íîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ, ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0:1014 êã ì2 äî 0:1722 êã ì2 . Ñîîòâåòñòâåííî, â ñèëó òîãî, ÷òî ïðÿìîóãîëüíèê ïëîñêîå òåëî, ìîìåíò èíåðöèè Ibz îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ äîñêè èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0:1062 êã ì2 äî 0:1832 êã ì2 . Îáñóäèì òåïåðü, â êàêîì äèàïàçîíå èçìåíÿþòñÿ ìîìåíòû èíåðöèè ðàéäåðà. Çàäà÷å âû÷èñëåíèÿ îñíîâíûõ äèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ÷åëîâå÷åñêîãî òåëà (ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ, ìîìåíòîâ èíåðöèè è ò.ä.) ïîñâÿùåíà ìíîãî÷èñëåííàÿ ëèòåðàòóðà. Ïîäðîáíûé îáçîð èìåþùåéñÿ ëèòåðàòóðû áûë ñäåëàí â ðàáîòå [63℄.  íàøåì èññëåäîâàíèè ìû ïîëüçîâàëèñü, â îñíîâíîì, ðåçóëüòàòàìè ðàáîò [64, 65℄. Ñîãëàñíî ýòèì ðàáîòàì, äëÿ íåïîäâèæíî ñòîÿùåãî ñ îïóùåííûìè ðóêàìè ÷åëîâåêà, âåñ êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò 85:81 10:79 êã è ðîñò êîòîðîãî 1:8 0:06 ì, ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî 81
ïîïåðå÷íîé (ìåäèîëàòåðàëüíîé, mediolateral) îñè 2 ñîñòàâëÿåò Irx = 13:56 1:93 êã ì , ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ïåðåäíå-çàäíåé (antero-posterior) îñè 2 ñîñòàâëÿåò Iry = 14:28 1:90 êã ì , à ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé (longitudinal) îñè ñîñòàâëÿåò Irz = 1:42 0:28 êã ì2 . Ïðè ýòîì öåíòð ìàññ ÷åëîâå÷åñêîãî òåëà íàõîäèòñÿ îòíîñèòåëüíî ñòóïíåé íà âûñîòå, ñîñòàâëÿþùåé ïðèáëèçèòåëüíî îò 55% äî 59% îò ïîëíîãî ðîñòà ÷åëîâåêà ( èñ. 39). Ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòà öåíòðà ìàññ ÷åëîâå÷åñêîãî òåëà íàä ïëîñêîñòüþ äîñêè ïðè óêàçàííîì ðîñòå ÷åëîâåêà èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0:957 ì äî 1:062 ì. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíû Ix , Iy , Iz , ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ñóììû ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîìåíòîâ èíåðöèè äîñêè è ðàéäåðà, èçìåíÿþòñÿ â ïðåäåëàõ
Ix
2 (11:635; 15:501) êã ì2; Iz
Iy
2 (12:481; 16:352) êã ì2;
2 (1:246; 1:883) êã ì2:
Äîñêà ñêåéòáîðäà, ñîãëàñíî ïîñòàíîâêå çàäà÷è, ðàñïîëîæåíà íà âûñîòå h îò ïðÿìîé AB , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû îñåé êîëåñ ñêåéòáîðäà. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ýòà âûñîòà èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0:05 ì äî 0:07 ì ïîëó÷àåì, ÷òî âûñîòà l öåíòðà ìàññ ðàéäåðà íàä ïðÿìîé AB èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ
l 2 (1:007; 1:132) ì: Ïðîâåäåííûé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî îòíîøåíèå âûñîòû h, íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ öåíòð ìàññ äîñêè, ê âûñîòå l öåíòðà ìàññ ðàéäåðà èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ
82
h l
2 (0:04; 0:07) :
èñ. 39. Îñíîâíûå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ÷åëîâå÷åñêîå òåëî è ñîäåðæàùèå îñè, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ ñ÷èòàëèñü ìîìåíòû èíåðöèè. Ìåäèîëàòåðàëüíàÿ ïëîñêîñòü (À), ïåðåäíå-çàäíÿÿ ïëîñêîñòü (B) è ïðîäîëüíàÿ ïëîñêîñòü (C).
83
Îòíîøåíèå ìàññû äîñêè mb ê ìàññå ðàéäåðà mr èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ
mb mr
2 (0:02; 0:04) :
Îòíîøåíèå ìîìåíòà èíåðöèè Iz ê ìîìåíòó èíåðöèè Iy èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ
Iz Iy
2 (0:08; 0:15) :
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñ÷èòàòü îòíîøåíèå Iz ê Iy ìàëûì ïàðàìåòðîì (îáîçíà÷èì åãî "), òî îòíîøåíèå h ê l òàêæå èìååò ïîðÿäîê ", à îòíîøåíèå mb ê mr èìååò ïîðÿäîê "2 . Ïîëàãàÿ òåïåðü h = "l, mb = "2 mr , Iz = "Iy âûïèøåì, ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ïî ", ÷åìó ðàâíî âûðàæåíèå 4A1 F1 (C1 2D1 )2 â èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå (ïðè B1 = 0, êîãäà tg r âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå ïàðàìåòðû çàäà÷è ïî îðìóëå (23)):
4A1 F1
(C1
2D1 )2
4mr Iy tg2 f d3
((1
") d + "l tg f ) :
Âèäíî, ÷òî ýòî âûðàæåíèå áóäåò ïîëîæèòåëüíûì ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ. Òàêèì îáðàçîì, ðåàëüíîé èçè÷åñêîé ñèòóàöèè áîëåå ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àé 4A1 F1 (C1 2D1 )2 > 0, êîãäà óíêöèÿ G ( ) îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé (34). 84
Äîïîëíåíèå
2.
Îá
óñòîé÷èâîñòè
ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ñ ëèíåéíûìè ïåðâûìè èíòåãðàëàìè.  ýòîì äîïîëíåíèè êðàòêî èçëîæåíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì, äîïóñêàþùèõ ëèíåéíûå ïî êâàçèñêîðîñòÿì (îáîáùåííûì ñêîðîñòÿì èëè ïñåâäîñêîðîñòÿì) ïåðâûå èíòåãðàëû. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòè ïåðâûå èíòåãðàëû èçâåñòíû â ÿâíîì âèäå. Ïóñòü
vr
H =H( ; )=
1 (A (r) v v) + V (r) = 0 2
(66)
ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû (èíòåãðàë ýíåðãèè), à = ( ; ) = ò ( ) = ; ( 2 k) (67)
K Kvr B rv
R
k-ìåðíûé âåêòîð ëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ (çíà÷îê ò îçíà÷àåò òðàíñïîíèðîâàíèå). Çäåñü 2 n n-ìåðíûé âåêòîð êâàçèñêîðîñòåé (â ÷àñòíîñòè, èìïóëüñîâ èëè îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé), 2 m m-ìåðíûé âåêòîð îïðåäåëÿþùèõ êîîðäèíàò ñèñòåìû ( êîí èãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî îïðåäåëÿþùèõ êîîðäèíàò êîîðäèíàò, dim n). Ìàòðèöà ( ) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ n n-ìàòðèöà ( ( ) 2 C 2 ) êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, V ( ) 2 C 2 : ! ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû, ( ) n k-ìàòðèöà ëèíåéíûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (çäåñü è äàëåå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî 2 âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ( ) 2 C 2 ; rank = k).
v
r
M
R R
M
M
Ar
r
B
r
M
Br
Ar M R Br
85
Ñîãëàñíî òåîðèè àóñà [53℄-[58℄, êðèòè÷åñêèì òî÷êàì óíêöèè H íà èêñèðîâàííûõ óðîâíÿõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ = îòâå÷àþò ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ ñèñòåìû, ïðè÷åì òî÷êàì ìèíèìóìà óñòîé÷èâûå ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ. Ó÷èòûâàÿ ñòðóêòóðó óíêöèè (66) è ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (67) çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê äàííîé óíêöèè íà èêñèðîâàííûõ óðîâíÿõ èíòåãðàëîâ ìîæíî ðåøàòü â äâà ýòàïà. Ñíà÷àëà îïðåäåëÿåòòñÿ åäèíñòâåííûé ìèíèìóì óíêöèè H íà èêñèðîâàííûõ óðîâíÿõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ = onst ïî ïåðåìåííûì (ïðè ýòîì ïåðåìåííûå ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ïàðàìåòðû)
K
K
r
min H
v
K=
v
= H (v (r) ; r)
v = A 1B BòA 1B 1 = v (r) ; (68) 1 ò 1 1 H (v (r) ; r)= W (r)= V (r)+ B A B
: (69) 2 Ôóíêöèÿ W (r) íàçûâàåòñÿ ý åêòèâíûì ïîòåíöèàëîì [40, 59, 60℄. Î÷åâèäíî, ý åêòèâíûé ïîòåíöèàë çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ r 2 M è ïàðàìåòðîâ
2 Rk . Çàòåì çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ
äâèæåíèé ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å àíàëèçà ý åêòèâíîãî ïîòåíöèàëà. Òåîðåìà 1. Åñëè ý åêòèâíûé ïîòåíöèàë ïðèíèìàåò íåâûðîæäåííîå ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå â òî÷êå 0 2 , òî = 0; = 0 = ( 0)
r
r r
M
v v v r
ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå. Òî÷êà 0 , äîñòàâëÿþùàÿ ý åêòèâíîìó ïîòåíöèàëó ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå, àâèñèò îò ïîñòîÿííûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (67). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòàöèîíàðíûå â êîí èãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå òî÷êè 0 = 0( )
r
r
86
r
k R r M
R r Mv R r r
îáðàçóþò â ïðîñòðàíñòâå 2 k; 2 kïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâà. Òàêèå æå ñåìåéñòâà îáðàçóþò â ïðîñòðàíñòâå 2 k; 2 ; 2 n ñòàöèîíàðíûå â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå òî÷êè 0 = 0 ( ), = 0 ( ) = ( 0 ( )), ò.å. ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ. Äàæå ïðè èêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ïîñòîÿííûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (67) ý åêòèâíûé ïîòåíöèàë W ( ) ìîæåò ïðèíèìàòü ñòàöèîíàðíûå çíà÷åíèÿ íå òîëüêî â òî÷êå 0 , íî è, âîîáùå ãîâîðÿ, â íåêîòîðûõ äðóãèõ òî÷êàõ 1 , 2 , : : :. Ýòè òî÷êè òàêæå çàâèñÿò îò ïîñòîÿííûõ .  îáùåì ñëó÷àå ñåìåéñòâà 0 ( ), 1 ( ), 2 ( ), : : : ìîãóò èìåòü (ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ) îáùèå òî÷êè. Òàêèå çíà÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ áè óðêàöèîííûìè ïî Ïóàíêàðå. Î÷åâèäíî, ñîîòâåòñòâóþùèå ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ 0 = 0 ( ), = 0 ( ) = ( 0 ( )) èìåþò îáùèå òî÷êè åñëè è òîëüêî åñëè ñåìåéñòâà 0 ( ), 1 ( ), 2 ( ), : : : èìåþò îáùèå òî÷êè (ñì. (68)). Êðîìå òîãî, ïî ïîñòðîåíèþ ý åêòèâíîãî ïîòåíöèàëà
v v v r r r
r
r
r r r
r v v
r
v r r r r
ind Æ 2 H (v0 ; r0 ) = ind Æ 2 W (r0 ) : (67) Ïîñëåäíèå îáñòîÿòåëüñòâà ïîçâîëÿþò ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ïîñòðîåíèå áè óðêàöèîííûõ äèàãðàìì Ïóàíêàðå ×åòàåâà è îãðàíè÷èòüñÿ ïîñòðîåíèåì ñåìåéñòâ 0 ( ) [ 1 ( ) [ 2 ( ) [ : : : â ïðîñòðàíñòâå f ; g. àññìîòðèì ìíîæåñòâî
r r r
r
h; = h 2 R; 2 Rk : h = hs ( ) ; (s = 0; 1; 2; : : :)
g, ãäå h = hs ( ) = H (v (r) ; r) ; r = rs ( ) ; s = s = 0; 1; 2; : : :
ïðîñòðàíñòâà fh;
ïî
Ìíîæåñòâî Ñìåéëó:
h; â
íàçûâàåòñÿ áè óðêàöèîííûì íåì ïðîèñõîäÿò ïåðåñòðîéêè 87
òîïîëîãè÷åñêèõ òèïîâ îáëàñòåé âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ â êîí èãóðàöèîííîì ïðîññòðàíñòâå, îïðåäåëÿåìûõ ñîîòíîøåíèåì W ( ) h; 2 . Òåîðåìà 2. Åñëè ý åêòèâíûé ïîòåíöèàë ïðèíèìàåò ëîêàëüíî ñòðîãî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ïðè 0 èêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ïîñòîÿííûõ â íåêîòîðîé 0 0 òî÷êå 0 ( ), òî = 0 ( ), = 0 ( 0 ) óñòîé÷èâîå ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå. Òåîðåìà 3. Åñëè èíäåêñ âòîðîé âàðèàöèè ý åêòèâíîãî ïîòåíöèàëà íå÷åòåí â òî÷êå 0 ( 0 ), òî = 0 ( 0 ), = 0 ( 0 ) íåóñòîé÷èâîå ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå. Òåîðåìû 1-3 ñëåäóþò èç òåîðèè àóñà Ñàëüâàäîðè [40℄, [53℄-[60℄ è îòâå÷àþò ñïåöèàëüíîìó âèäó ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (66), (67). Íà îñíîâàíèè ýòèõ òåîðåì è áûëî ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ñêåéòáîðäà â èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå.
r
r
r M
r
r v
r
v
Äîïîëíåíèå ñèñòåìû
v
3.
r r v
Íîðìàëüíàÿ
íåëèíåéíûõ
îðìà
äè åðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé.  ýòîì äîïîëíåíèè îáñóæäàåòñÿ ïðîöåäóðà ïðèâåäåíèÿ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ê íîðìàëüíîé îðìå Ïóàíêàðå.  íàøåì èçëîæåíèè ìû áóäåì ñëåäîâàòü êíèãå [62℄. àññìîòðèì ñèñòåìó äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ àíàëèòè÷åñêèìè â îêðåñòíîñòè íóëÿ ïðàâûìè ÷àñòÿìè
y_1 = f1 (y1 ; : : : ; yn) ; ::: y_n = fn (y1 ; : : : ; yn) : Çäåñü yk êîìïëåêñíûå ïåðåìåííûå 88
(1 k n).
Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïðàâûå ÷àñòè â íóëå îáðàùàþòñÿ â íóëü, ò.å. fk (0; : : : ; 0) = 0, (k = 1; : : : ; n). Çàïèñàííàÿ â âèäå ðÿäîâ ïî ñòåïåíÿì ïåðåìåííûõ ýòà ñèñòåìà èìååò âèä P 1 y m1 : : : ynmn ; y_ 1 = a11 y1 + + a1n yn + fm 1 :::mn 1 ::: P y_ n = an1 y1 + + ann yn + fmn 1 :::mn y1m1 : : : ynmn :
(70)
Ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ïîëîæèòåëüíûì öåëî÷èñëåííûì mk , óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþ n X k=1
×èñëî
mk
=
2:
X
mk
íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì íåëèíåéíîãî ÷ëåíà y1m1 : : : ynmn . Ïîñòàâèì çàäà÷ó: íàéòè òàêóþ àíàëèòè÷åñêóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ (y1 ; : : : ; yn ) ! (z1 ; : : : ; zn ), ÷òîáû îáðàòèòü â íîëü ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå ÷èñëî êîý èöèåíòîâ aij i ëèíåéíîé ÷àñòè ñèñòåìû, à òàêæå è êîý èöèåíòîâ fm 1 :::mn íåëèíåéíîé ÷àñòè âïëîòü äî ëþáîãî çàäàííîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî. Âèä ñèñòåìû, â êîòîðîì äî çàäàííîãî ïîðÿäêà íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ íèêàêîå äàëüíåéøåå óïðîùåíèå â êëàññå àíàëèòè÷åñêèõ çàìåí óæå íåâîçìîæíî, íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé îðìîé Ïóàíêàðå äî ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà. Ïðèâåäåíèå ê íîðìàëüíîé îðìå ìîæíî îñóùåñòâèòü ïîñëåäîâàòåëüíî, íà÷èíàÿ ñ ëèíåéíîé ÷àñòè. Ïîñëå óïðîùåíèÿ ëèíåéíîé ÷àñòè ïðèñòóïàþò ê óïðîùåíèþ ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà, çàòåì óïðîùàþò ÷ëåíû òðåòüåãî ïîðÿäêà è òàê äàëåå âïëîòü äî çàäàííîãî. 89
Çàäà÷à óïðîùåíèÿ ëèíåéíîé ÷àñòè õîðîøî èçâåñòíà: ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì îíà ñâîäèòñÿ ê æîðäàíîâîé îðìå, â êîòîðîé ìàòðèöà ëèíåéíîé ÷àñòè èìååò îòëè÷íûìè îò íóëÿ ëèøü äâå äèàãîíàëè ãëàâíóþ, íà êîòîðîé ñòîÿò ýëåìåíòû, íàçûâàåìûå ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè, è áëèæàéøóþ ê íåé, íà êîòîðîé ñòîÿò ëèáî íóëè, ëèáî åäèíèöû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàøà ñèñòåìà óæå óïðîùåíà ïî ëèíåéíûì ÷ëåíàì. Êðîìå òîãî, ðàññìîòðèì çäåñü òîëüêî ñàìûé ïðîñòîé ñëó÷àé, êîãäà æîðäàíîâà îðìà ÷èñòî äèàãîíàëüíàÿ
y_k = k yk +
X
k y m1 : : : ynmn ; fm 1 :::mn 1
( k = 1; : : : n ) :
Ñóòü ïðèìåíÿåìîé ïðîöåäóðû íîðìàëèçàöèè ïîëíîñòüþ è âî âñåõ äåòàëÿõ âûÿñíÿåòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè îäíîãîåäèíñòâåííîãî íåëèíåéíîãî ÷ëåíà â îäíîì óðàâíåíèè èç n óðàâíåíèé ñèñòåìû
y_ s = sys ;
s 6= k;
y_ k = k yk + f k y1m1 : : : ynmn : Çäåñü óæå m1 ; : : : ; mn èêñèðîâàíû. Òàê ïîëó÷àåòñÿ ïîòîìó, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå, èçìåíÿþùåå ýòîò ÷ëåí, ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíî íå ìåíÿëî íèêàêèõ ÷ëåíîâ íèçøåãî ïîðÿäêà, à òàêæå è íèêàêèõ äðóãèõ ÷ëåíîâ ýòîãî æå ïîðÿäêà. Íóæíîå ïðåîáðàçîâàíèå èìååò âèä (y1 ; : : : ; yn ) ! (z1 ; : : : ; zn ):
ys = zs ;
(s 6= k) ;
yk = zk + hk z1m1 : : : znmn ; ò.å. íåëèíåéíûé ÷ëåí â ïðåîáðàçîâàíèè áåðåòñÿ òî÷íî òàêîãî æå âèäà, ÷òî è ïîäëåæàùèé óíè÷òîæåíèþ. 90
Ïðåæäå ÷åì âíåñòè ýòî ïðåîáðàçîâàíèå â ïðåîáðàçóåìóþ ñèñòåìó, çàïàñåìñÿ îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì, êîòîðîå ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà îòëè÷àåòñÿ îò ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ëèøü çíàêîì ïåðåä íåëèíåéíûì ÷ëåíîì: zk = yk hk y1m1 : : : ynmn + Åñëè íàñ èíòåðåñóåò âûïîëíåíèå ëèøü îäíîãî øàãà, ò.å. óñòðàíåíèå ðàññìàòðèâàåìîãî ÷ëåíà è ïîÿâëÿþùèåñÿ ïðè ýòîì ÷ëåíû áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ íàñ óæå íå áåñïîêîÿò, òî â îáðàòíîì ïðåîáðàçîâàíèè äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ âûïèñàííûìè ÷ëåíàìè. Åñëè æå ìû ïðåäïîëàãàåì ïðîäîëæèòü ïðîöåäóðó äàëüøå, òî îáðàùåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëåäóåò âûïîëíÿòü ñ áîëüøåé òî÷íîñòüþ. Äè åðåíöèðóÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïîëó÷àåì
z_k = y_k
+
hk m1 y1m1 1 y2m2 : : : ynmn y_ 1 +
+ mn y1m
1
: : : ynmn1 1 ynmn 1 y_ n +
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âìåñòî y_ k ïðàâóþ ÷àñòü ñèñòåìû, à âìåñòî yk åãî âûðàæåíèå ÷åðåç zk , íàõîäèì:
z_k = k zk +
+ fk
( k + m1 1 + + mn n ) hk z1m1 : : : znmn +
Äëÿ òîãî, ÷òîáû óñòðàíèòü ðàññìàòðèâàåìûé k íåëèíåéíûé ÷ëåí, ñëåäóåò âûáðàòü h èç óñëîâèÿ
hk =
fk
m1 1 + + mn n
Ýòî âîçìîæíî, åñëè k
k
:
6= m1 1 + + mnn. 91
Íåëèíåéíûé ÷ëåí â k -ì óðàâíåíèè, ïîêàçàòåëè m1 ; : : : ; mn òàêîâû, ÷òî
ó
êîòîðîãî
k = m1 1 + + mn n ; íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíûì. åçîíàíñíûå ÷ëåíû íå ìîãóò áûòü óíè÷òîæåíû íèêàêèìè ïîëèíîìèàëüíûìè çàìåíàìè, îíè âîîáùå íå èçìåíÿþòñÿ ïðè òàêèõ çàìåíàõ. Óñòðàíåíèå íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ îäíîãî ïîðÿäêà â îáùåì ñëó÷àå îñóùåñòâëÿåòñÿ äëÿ êàæäîãî ÷ëåíà íåçàâèñèìî îò äðóãèõ
yk = zk +
X
hkm1 :::mn z1m1 : : : znmn
( k = 1; : : : ; n ) :
Ñóììèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíåíî íà âñå m1 ; : : : ; mn ðàññìàòðèâàåìîãî ïîðÿäêà m1 + + mn = . Ïîñêîëüêó âñå íåëèíåéíûå ÷ëåíû îäíîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïðåîáðàçóþòñÿ íåçàâèñèìî îäèí îò äðóãîãî, òî íàéäåííàÿ âûøå îðìóëà äëÿ hk ñïðàâåäëèâà è â îáùåì ñëó÷àå
hkm1 :::mn
k fm 1 :::mn = m1 1 + + mn n
k
:
Òàêèì îáðàçîì, íîðìàëüíàÿ îðìà ýòî îðìà, â êîòîðîé â ðàçëîæåíèè ïðàâûõ ÷àñòåé ïî ñòåïåíÿì ïåðåìåííûõ ïðèñóòñòâóþò ëèøü ðåçîíàíñíûå ÷ëåíû. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà Òåîðåìà 4. (Ïóàíêàðå-Äþëàê).  êëàññå ïîëèíîìèàëüíûõ çàìåí êîíå÷íîãî ïîðÿäêà ëþáàÿ ñèñòåìà âèäà (70) ïðèâîäèìà ê âèäó, â êîòîðîì âñå ÷ëåíû äî ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî ðåçîíàíñíû. Èñïîëüçóÿ èçëîæåííûé çäåñü ìåòîä ìû ïðîâîäèëè íîðìàëèçàöèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (55) íàøåé ðàáîòû. 92
Ëèòåðàòóðà 1. Òóðñêîâà Ò. îëèêè. Ì.: Âå÷å. 2002. 384 ñ. 2. Skateboarding: Sports Parti ipation in Ameri a. 2004. North Pail Bea h, FL: SGMA International. 3. Sports Parti ipation Series I and II Reports. 2004. Mount Prospe t, IL: National Sporting Goods Asso iation. 4. Hubbard M. Lateral Dynami s and Stability of the Skateboard // Journal of Applied Me hani s. 1979. Vol. 46. P. 931-936. 5. Hubbard M. Human Control of the Skateboard // Journal of Biome hani s. 1980. Vol. 13. P. 745-754. 6. Ispolov Yu.G. and Smolnikov B.A. Skateboard Dynami s // Computer Methods in Applied Me hani s and Engineering. 1996. Vol. 131. P. 327-333. 7. A kermann J.& Strobel M. Die Bes hleunigung Beim Slalomskateboarden. 2000. Diploma Thesis. ETH Z uri h. Switzerland. http://www. ruisin.de/ r_i/movies/pushen.pdf 8. Lewis A.D., Ostrowski J.P., Murray R.M. and Burdi k J.W. Nonholonomi me hani s and lo omotion: the Snakeboard example // Pro eedings of the IEEE ICRA. San Diego. May 1994. IEEE. P. 2391-2400. http://penelope.mast.queensu. a/andrew/papers /ps/1993f_letter.pdf 9. Robinson D. Newtonian exer ise on a snake-board // Physi s Edu ation. 1999. Vol. 34. No 4. P. 232-237 10. Endruweit A. and Ermanni P. Experimental and numeri al investigations regarding the deformation-adapted design of a omposite ex slalom skateboard // Sports Engineering. 2002. Vol. 5. P. 141-154. 11. Gulino D. Skateboard wheels. 2002. http://azkef.org/ChE620/Skateboard%20Wheels.ppt 93
12. Osterling A.E. MAS 3030. On the skateboard, kinemati s and dynami s. 2004. S hool of Mathemati al S ien es, University of Exeter. United Kingdom. http://www.longboard.nu/files/theSkateboard.pdf 13. Wisse M. and S hwab A.L. Skateboards, Bi y les and Three-dimensional Biped Walking Ma hines: Velo itydependent Stability by Means of Lean-to-yaw Coupling // The International Journal of Roboti s Resear h. 2005. Vol. 24. P. 417-429. http://www.tam. ornell.edu/als93/WisS h05.pdf 14. Steinbre her A. Mathematik kann alles au h Skateboard fahren? 2005. Berlin. Germany. http://www.math.tu-berlin.de/anst/Publikationen /Vortraege/051108_UraniaBerlin.pdf 15. Steinbre her A. Numeri al simulation of multibody systems via Runge-Kutta Methods. GAMM Jahrestagung. 2006. Berlin. Germany. http://www.math.tu-berlin.de/anst/Publikationen /Vortraege/060329_GammBerlin.pdf 16. Birr S. und S hon L.H. Der Ollie Analyse und Simulation des Sprunges mit einem Skateboard // Abstra ts der 64 Physikertagung. Dresden. Te hnis he Universit at Dresden. Deuts hen Physikalis hen Gesells haft. 2000. P. 36. http://www.dpg-tagungen.de/ar hive/2000/dresden.pdf 17. Birr S. und S hon L.H. Der Ollie Analyse und Simulation des Sprunges mit einem Skateboard. 2000. http://www.sas habirr.de/dres2000/info.htm 18. Broadt B., Ne o hea C. & Ja obsen S.P. What's an Ollie? // The Physi s Tea her. 1991. Vol. 29. P. 498-499. 19. Bridgman S. Jr. & Collins D.F. Human body motion in an ollie // The Physi s Tea her. 1992. Vol. 30. P. 498-499.
94
20. Frederi k E.C., Determan J.J., Whittlesey S.N. & Hamill J. Biome hani s of skateboarding: Kineti s of the "Ollie"// Pro eedings of the VI Symposium on Footwear Biome hani s. Dunedin, New Zealand: International So iety of Biome hani s. 2003. P. 167-168. http://exeter-resear h. om/e _frederi k_arti les /03-1.pdf 21. Determan J., Frederi k E.C. & Cox J. Impa t for es during skateboard landings // Pro eedings of the XIII Biennial Conferen e. Canadian So iety for Biome hani s. Halifax. 2004. P. 28. http://exeter-resear h. om/e _frederi k_arti les /DetermanetalCSB2004.pdf 22. Frederi k E.C., Determan J.J., Whittlesey S.N. & Hamill J. Biome hani s of skateboarding: Kineti s of the Ollie // Journal of Applied Biome hani s. 2006. Vol. 22. P. 33-40. http://exeter-resear h. om/e _frederi k_arti les /06-1.pdf 23. Froisland A., Matson J.& Stutzman M. The Skateboard Ollie a biome hani al analysis. 2004. http: // www.humboldt.edu/movement/ollie_files /frame.htm 24. Walsh M., Creekmur C. and Woj ik J. For e time measures of beginning and skilled skateboarders performing an Ollie // Pro eedings of the XXIV International Symposium on Biome hani s in Sports. Salzburg, Austria: International So iety of Biome hani s in Sports. Department of Sports S ien e and Kinesiology. University of Salzburg. 2006. P. 447. 25. Ñóñëîâ .Ê. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ì.-Ë.: îñòåõèçäàò. 1946. 655+XVI ñ. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/ Suslov1946ru.djvu 95
26. Áóõãîëüö Í.Í. Îñíîâíîé êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ì.: Íàóêà. Ò. 1. 1969. 468 ñ. Ò. 2. 1972. 332 ñ. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/ Buhgol Kurs1-1965ru.djvu http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/ Buhgol Kurs2-1965ru.djvu 27. Ëóðüå À.È. Àíàëèòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ì.: îñ. èçä-âî èç.-ìàò. ëèò-ðû. 1961. 824 ñ. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/ Lure1961ru.djvu 28. Ëàìá . Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ò. 3. Áîëåå ñëîæíûå âîïðîñû. ÎÍÒÈ ÍÊÒÏ ÑÑÑ . 1936. 380 ñ. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/ Lamb_t3_1936ru.djvu 29. Synge J.L., Gri th B.A. Prin iples of Me hani s. New York: M Graw Hill. 1959. 30. Ardema M.D. Analyti al Dynami s: Theory and Appli ations. New York. Kluwer A ademi Publishers. 2005. 31. Ëÿïóíîâ À.Ì. Îáùàÿ çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Ì.-Ë.: îñòåõèçäàò. 1950. 471 ñ. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/ Lyapunov1950ru.djvu 32. ×åòàåâ Í. . Óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ. Ì.: Íàóêà. 1990. 176 ñ. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/
hetaev.djvu 33. Walker G.T. On a urious dynami al property of elts // Pro eedings of Cambridge Philosophi al So iety. 1895. Vol. 8. pt. 5. P. 305-306. 34. Walker G.T. On a Dynami al Top // Quarterly Journal of Pure and Applied Mathemati s. 1896. Vol. 28. P. 175-184.
96
35. Bondi H. The rigid body dynami s of unidire tional spin // Pro eedings of the Royal So iety of London. Series A. 1986. Vol. 405. P. 265-274. 36. Gar ia A. and Hubbard M. Spin reversal of the rattleba k: theory and experiment // Pro eedings of the Royal So iety of London. Series A. 1988. Vol. 418. P. 165-197. 37. Àñòàïîâ È.Ñ. Îá óñòîé÷èâîñòè âðàùåíèÿ êåëüòñêîãî êàìíÿ // Âåñòíèê Ì Ó. Ñåðèÿ 1. Ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà. 1980. No. 2. Ñ. 97-100. 38. Êàðàïåòÿí À.Â. Î ïåðìàíåíòíûõ âðàùåíèÿõ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà íà àáñîëþòíî øåðîõîâàòîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1981. Ò. 45. Âûï. 5. Ñ. 808-814. 39. Êàðàïåòÿí À.Â. Áè óðêàöèÿ Õîï à â çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ïî øåðîõîâàòîé ïëîñêîñòè // Èçâåñòèÿ ÀÍ ÑÑÑ . Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 1985. No. 2. Ñ. 19-24. 40. Êàðàïåòÿí À.Â. Óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé. Ì.: Ýäèòîðèàë Ó ÑÑ. 1998. 165 ñ. 41. Ìàðêååâ À.Ï. Î äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà íà àáñîëþòíî øåðîõîâàòîé ïëîñêîñòè // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1983. Ò. 47. Âûï. 4. Ñ. 575-582. 42. Ìàðêååâ À.Ï. Äèíàìèêà òåëà, ñîïðèêàñàþùåãîñÿ ñ òâåðäîé ïîâåðõíîñòüþ. Ì.: Íàóêà. 1992. 336 ñ. 43. óìÿíöåâ Â.Â. Îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1967. Ò. 31. Âûï. 2. Ñ. 260-271. 44. óìÿíöåâ Â.Â. Îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ïî îòíîøåíèþ ê ÷àñòè ïåðåìåííûõ // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1971. Ò. 35. Âûï. 1. Ñ. 138-143.
97
45. óìÿíöåâ Â.Â., Êàðàïåòÿí À.Â. Óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì // Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. Îáùàÿ ìåõàíèêà. Ò. 3. Ì.: ÂÈÍÈÒÈ. 1976. C. 5-42. 46. Êàðàïåòÿí À.Â., óìÿíöåâ Â.Â. Óñòîé÷èâîñòü êîíñåðâàòèâíûõ è äèññèïàòèâíûõ ñèñòåì // Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. Îáùàÿ ìåõàíèêà. Ò. 6. Ì.: ÂÈÍÈÒÈ. 1983. 132 ñ. 47. Êîçëîâ Â.Â. Ê òåîðèè èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé íåãîëîíîìíîé ìåõàíèêè // Óñïåõè ìåõàíèêè. 1985. Ò. 8. No. 3. Ñ. 85-107. 48. Íåãîëîíîìíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Èíòåãðèðóåìîñòü, õàîñ, ñòðàííûå àòòðàêòîðû // Ñáîðíèê ñòàòåé ïîä ðåäàêöèåé Áîðèñîâà À.Â. è Ìàìàåâà È.Ñ. ÌîñêâàÈæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé. 2002. 324 ñ. http://i s.org.ru/do ?book=4&dir=r 49. Êóëåøîâ À.Ñ. Î äèíàìèêå ñíåéêáîðäà // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. Ìåæâåäîìñòâåííûé ñáîðíèê íàó÷íûõ òðóäîâ. Äîíåöê. Óêðàèíà. 2005. Âûï. 35. Ñ. 63-72. 50. Êóëåøîâ À.Ñ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñíåéêáîðäà // Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. 2006. Ò. 18. No. 5. Ñ. 37-48. 51. Further Development of the Mathemati al Model of a Snakeboard // Regular & Chaoti Dynami s. 2007. Vol. 12. Issue 3. P. 321-334. 52. îëóáåâ Þ.Ô. Ìåòîä óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì ðîáîòàñíåéêáîðäèñòà // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 2006. Ò. 70. Âûï. 3. Ñ. 355-370. 53. àóñ Ý.Äæ. Îá óñòîé÷èâîñòè çàäàííîãî ñîñòîÿíèÿ äâèæåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, óñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ. Ì.Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé. 2003. 200 ñ. 98
54. àóñ Ý.Äæ. Äèíàìèêà ñèñòåìû òâåðäûõ òåë. Ò. 1-2. Ì.: Íàóêà. 1983. 404 ñ. 544 ñ. 55. Poin are H. Sur l'equilibre d'une masse uide animee d'un mouvement de rotation // A ta Mathemati a. 1885. Vol. 7. P. 259-380. 56. Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes // A ta Mathemati a. 1898. Vol. 22. P. 201-357. 57. Salvadori L. Un'osservazione su di un riterio di stabilit a di Routh // Rendi onti A ademia delle S ienze si he e matemati he. So iet a R. di Napoli. 1953. Vol. 4. P. 269-272. 58. Salvadori L. Sulla stabilit a del movimento // Le mathemati he. 1969. Vol. 24. No 1. P. 218-239. 59. Ñìåéë Ñ. Òîïîëîãèÿ è ìåõàíèêà // Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê. 1972. Ò. 27. No. 2. Ñ. 77-133. 60. Abraham R. and Marsden J.E. Foundations of Me hani s. 1978. Addison-Wesley, Reading, Massa husetts. http:// alte hbook.library. alte h.edu/103/01/ FoM2.pdf 61. Áðþíî À.Ä. Ëîêàëüíûé ìåòîä íåëèíåéíîãî àíàëèçà äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ì.: Íàóêà. 1979. 256 ñ. 62. Æóðàâëåâ Â.Ô. Îñíîâû òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò. 1997. 320 ñ. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/ Zhuravlev2001ru.djvu 63. Bjornstrup J. Estimation of human body segment parameters histori al ba kground // Te hni al report, Laboratory of Image Analysis. Institute of Ele troni Systems. Aalborg University. http://www.vision.au .dk/jorgen/PhD/ EHBSP_ba kground/EHBSP_ba kground.ps
99
64. Hanavan E.P. A mathemati al model of the human body // Te hni al Report TR64102 (AD 608 463). Aerospa e Medi al Resear h Laboratory. WrightPatterson Air For e Base. Ohio. 1964. 65. Damavandi M., Allard P., Barbier F., Lebou her J., Rivard C.H. & Farahpour N. Estimation of Whole Body Moment of Inertia Using Self-imposed Os illations // Pro eedings of the Ninth International Symposium On the 3D Analysis of Human Movement. Universite Valen iennes. http://www.univ-valen iennes.fr/ ongres/3D2006/ Abstra ts/107-Damavandi.pdf
100
Summary. At the present time the skateboarding the art of riding on a skateboard is one of the most popular re reational sports. Skateboarding has several millions of regular parti ipants in the US alone. Despite of the growing number of parti ipants, skateboarding is poorly represented in the s ienti literature. At the late 70th early 80th of the last entury Mont Hubbard [4, 5℄ proposed several mathemati al models des ribing the motion of the rider on a skateboard. To derive equations of motion of models he used the prin ipal theorems of dynami s. In our paper we give the further development of models oered by Hubbard, using equations of motion in the Gibbs-Appell form. Besides the investigations by Hubbard it is ne essary to mention also the paper [6℄ and the re ent paper [13℄ devoted to study various mathemati al models of a skateboard. However the model, proposed in [6℄, is two-dimensional while in the papers [4, 5℄ a more realisti three-dimensional model is studied. As to the paper [13℄, it ontains only the brief review of the main results obtained by Hubbard. The skateboard typi ally onsists of the board, a set of two tru ks and four wheels. The modern board is generally from 78-83 m long, 17-21 m wide and 1-2 m thi k [4℄. Ex ept the dimensions, the boards dier on bending stiness depending on the parti ular appli ation desired. If the basi rider deal
onsists in an opportunity to exe ute di ult tri ks, it is better to use more exible board. More rigid board should be used at high speed riding. The wheels of a skateboard are usually made from urethane whi h allows good tra tion on even fairly rough pavement. They are mounted on the axles on ball bearings to minimize rolling fri tion [11℄. 101
The most essential elements of a skateboard are the tru ks,
onne ting the axles to the board. The rider an otrol the skateboard using the spe i features of tru ks onstru tion. Angular motion of both the front and rear axles is onstrained to be about their respe tive nonhorizontal pivot axes, thus asing a steering angle of the wheels whenever the axles are not parallel to the plane of the board. The vehi le is steered by making use of this stati relationship between steering angles and tilt of the board. We assume, that the skateboard rolls on a horizontal plane and in every instant of time all of its wheels are in onta t with the plane. By other words in our investigation we don't
onsider the problems of the hopping te hni s on a skateboard. Following the papers [4, 5℄ suppose also that there is a torsional spring that exerts a restoring torque between the wheelset and the board proportional to the tilt of the board relative to the wheelset. As against to the previous papers [4, 5℄, we assume the steering angles of the wheel axles and tilt of the board are nite (not in nitesimal). We nd the omplete nonlinear relations between these angles. For the rst time these relations was obtained in the graduate study [12℄. The wheels of the skateboard are assumed to roll without lateral sliding. This
ondition is modelled by onstraints, whi h may be shown to be nonholonomi . To obtain equations of motion of the skateboard, we use the Gibbs-Appell method [30℄. We nd the Gibbs fun tion and using this fun tion we derive the omplete system of equations of motion of the skateboard with the rider. For the simpli ed two-degree-of-freedom model of the skateboard the problems of integrability of obtained equations of motion are investigated. It is shown, that for integrability of this system we need, in addition to the energy integral, another rst integral. In general ase we prove that equations of motion have no 102
invariant measure with an analyti al density. However it is possible to nd, for some values of parameters, the ase, when the equations of motion of the skateboard an be ompletely solve in terms of quadratures. In this ase we give the omplete analyti al investigation of the qualitative behaviour of the skateboard. We present also the stability analysis of a uniform straightline motion of the skateboard. We show, that the stability of this motion depends on its dire tion. If one dire tion of motion is stable, the opposite dire tion is ne essarily unstable. The stability of the skateboard motion depends also on the value of its velo ity. It is theoreti ally possible to have a vehi le, whi h is initially unstable at zero speed and be omes stable at higher speeds due to inertia ee ts. We study also bifur ations of steady motions of the skateboard in the integrable ase and
onstru t the Poin are bifur ation diagrams [55℄. The work was supported nan ially by Russian Foundation for Basi Resear h (07-01-00290).
103
Êðåìíåâ Àíäðåé Ñåðãååâè÷
Âèêòîðîâè÷,
Êóëåøîâ
Àëåêñàíäð
Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà è óñòîé÷èâîñòü ïðîñòåéøåé ìîäåëè ñêåéòáîðäà.
äâèæåíèÿ
M., Èçäàòåëüñòâî Öåíòðà ïðèêëàäíûõ èññëåäîâàíèé ïðè ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì àêóëüòåòå Ì Ó, 2007. 104 ñòð.
Îðèãèíàë ìàêåò èçãîòîâëåí èçäàòåëüñêîé ãðóïïîé ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî àêóëüòåòà Ì Ó èç èñõîäíîãî àéëà àâòîðîâ Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 08.10.2007 ã. Ôîðìàò 6090 1/16. Îáúåì 6,5 ï.ë. Çàêàç 37 Òèðàæ 150 ýêç. Èçäàòåëüñòâî ÖÏÈ ïðè ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîì àêóëüòåòå Ì Ó ã. Ìîñêâà, Âîðîáüåâû ãîðû. Ëèöåíçèÿ íà èçäàòåëüñêóþ äåÿòåëüíîñòü ÈÄ 04059 îò 20.02.2001 ã. Îòïå÷àòàíî íà òèïîãðà ñêîì îáîðóäîâàíèè ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî àêóëüòåòà
