Прикладная теория катастроф

Р.Гилмор ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ. Т.2 Монография известного американского ученого посвящена теории катастроф и ее приложениям в различных областях науки и техники. В русском переводе монография выходит в двух книгах. В книге 2 рассматриваются математические основы теории катастроф и применение ее методов в квантовой механике, климатологии и других областях, а также вопросы, связанные с возможностью более широкого практического применения теории катастроф. Для специалистов, занимающихся моделированием сложных систем управления, физиков, механиков, математиков, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей. Содержание Глава 15. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1. Операторы 2. Классический предельный случай 3. Многочастичные модельные гамильтонианы 4. Алгоритм для фазовых переходов, сопровождающихся изменением энергии основного состояния 5. Приложения 6. Алгоритм для термодинамических фазовых переходов 7. Приложения 8. Теорема о "скачке" 9. Структурная устойчивость и канонические ядра 10. Динамические уравнения движения 11. Стационарные состояния, далекие от равновесных 12. Кратная устойчивость 13. Выводы Литература Глава 16. КЛИМАТОЛОГИЯ 1. Некоторые теории ритма ледниковых периодов 2. Теория Миланковича 3. Практические рекомендации 4. Выводы Литература Часть III. За пределами элементарной катастроф Глава 17. ЗА ПРЕДЕЛАМИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ 1. k>5. 2. n → ∞ 3. m>1 4. Симметризованные катастрофы 5. Катастрофы с ограничениями 6. Выводы

5 6 8 12 17 17 27 30 41 44 48 51 57 63 65 67 67 72 85 86 86 88 88 93 94 95 100 103

Литература Глава 18. ГРАДИЕНТНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 1. Неканоническая форма градиентных систем 2. Фазовые портреты 3. Дерево ветвлений 4. Прогонка 5. Связь между теорией катастроф и теорией бифуркаций 6. Выводы Литература Глава 19. АВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 1. Приведение к градиентной форме 2. Фазовые портреты 3. Геометрия матрицы устойчивости 4. Возмущения седло-узла 5. Бифуркация Хопфа [1] 6. Выводы Литература Глава 20. УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕ К КАТАСТРОФАМ 1. Принцип построения. 1 2. Принцип построения. 2 3. Странные, строительные блоки 4. Гидродинамика. Неустойчивость слоя жидкости подогреваемого снизу 5. Электродинамика. Неустойчивость лазерного разряда 6. Принцип построения. 3 7. Теорема о центральном многообразии 8. Картина турбулентности по Рюэлю и Тейкенсу 9. Выводы Литература Часть IV. Математические теории катастроф Глава 21. ТЕОРЕМА ТОМА 1. Топология 2. Устойчивые функции 3. Наследственные свойства 4. Особенности отображений 5. Теорема Тома 6. Выводы Литература Глава 22. ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТЬ 1. Трансверсальность 2. Приложения 3. Выводы Литература Глава 23. ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И ДЕФОРМАЦИЯ

104 105 105 106 115 123 128 133 133 134 134 136 140 151 156 161 162 163 163 174 181 194 197 200 204 207 213 215 216 216 219 222 224 226 227 227 228 229 236 244 244 246

1. Замена переменных 247 2. Определенность ("усечение" рядов Тейлора) 247 3. Деформация (универсальные возмущения) 251 4. Правила нахождения определенности функций 253 5. Правила вычисления деформации 256 6. Правила нахождения ростков 259 7. Приложения 263 8. Некоторые простые ростки 269 9. Выводы 271 Литература 272 Послесловие 273 Предметный указатель 277 Предметный указатель Диаграмма Кокстера—Дынкина Автономия 133—162 - смежности 91 Активная интерпретация 24 Диаграммный метод 147 Анализ бифуркации 6 Задача Бекара 187 Аттрактор 119, 169, 177, 183 - определенности 246 - Лоренца 185—194 Замена переменных 247 - странный 185, 192, 194 - - гладкая 106 Бифуркация Хопфа 156, 163, 165, Инвариантная поверхность 163, 164, 170, 189, 202 179, 200 - - докритическая 170 Интеграл действия 48, 168 - - субкритическая 159, 160 Каноническое ядро гамильтониана 6, - - суперкритическая 159, 160 44—48 Вариационные принципы 6 Картина турбулентности по РюэлюВетвь 117 Тейкенсу 163, 207—213 - вторичная 119, 120 Катастрофы 117 - нулевая (магистраль, ствол) 117 - внешние (граничные) 102 - первичная 119, 120 - внутренние 102 Возмущение Реrt (l,k) 216 - симметризованные 95—99 - линейное 167 - с ограничением 100—103 - универсальное 239, 251 - типа A_ 1, 100, 101 Возмущения 143—156, 167, 168, 179 - - А_ 2, 44, 57 Вырожденность 106, 339—341 - - A_{\pm 3}, 57 Гидродинамика 194—197 - - А_k 225 Дерево ветвлений (дерево Квантовая механика 5—104 равновесии) 115—123 Климат 70, 83 Деривация 7 Климатология 57—87 Деформация 246—272 - предельного цикла 169 - нереальная 251 Кооперативность поведения 5 - конечная 246 - точка 115 - неверсальная 251 - - вырожденная 115, 134, 183 - общая 134, 153 - - неморсовская 220 - универсальная 97, 251

Критические точки (центры) 157, 163 - - отталкивающие 163 - - притягивающие 163 - удаление 50 Лазер 53—57, 60—62, 197 Лемма Морса 263, 264 Метод "зашнуровывания" 166 - стягивания 146 - фазовых портретов 169 - элементарной теории катастроф 5, 104, 105 - критическое 216 - центральное 205 Множество бифуркационное 141, 151, 168, 220 - открытое 40, 147, 148, 287 - плотное 94 Модели типа Дикке 15—17, 20—22, 30—33 - - МГЛ 13—15, 17, 30—33 - Дикке (D) 12, 15, 20—22, 30—33, 43, 58 - - расширенная 16, 26, 27, 33, 41 - Лоренца 189 МГЛ (МGL) 12, 15, 17, 20, 30, 33, 43 - - расширенная 16, 33—44 Наследственность 216, 222—224, 228 Неравновесные системы 51 Неустойчивость по Рэлею—Бенару 210 Оператор коммутирующий 5 - многочастичный 9 - одночастичный 9 - рождения бозона 7 - - фермиона 7 - сдвига 8 - уничтожения бозона 7 - - фермиона 7 Операторы 6—8 - бозонные 7 - фермионные 7 Определенность 246—272 - конечная 246

Оптическая бистабильность 6, 224, 227 Особенности отображений 224 Осциллятор Ван-дер-Поля 165, 167— 174 - гармонический 137, 167, 168 Отображения 225, 227 - порядка 15, 53, 173, 175 Переменные состояния "плохие" 88, 90 Потоки двумерные 163 - динамические 163 - инвариантные 163 - морсовские 163 - недиссипативные 186 - неприводимые 163 Правила вычисления деформации 256—259 - нахождения определенности 253— 256 - - ростков 259—263 Предел классический 5, 10, 29, 47 Предельный цикл 178, 216, 299 - - устойчивый 165 - инфинитезимальное однородное нелинейное 254 - - осесохраняющее 254 Приближение Буссинеска 212 - среднего поля 5, 13 - "лома" 57, 134 - Максвелла 44, 62 - максимального промедления 44 Принципы построения 163—181 Равновесное состояние 134 Радиус предельного цикла 166 Релаксационные колебания 171—174 Росток 134 - вырожденный 88 - неморсовский 88 - одномодульный 90 - нуль-модульный 90 Ростки 241—244 - пограничные 89 - простые 269

Сборка 116, 125 - двойная 268, 269 - кратная 267—269 Седло 119, 139 - морсовское 169 Система градиентная 105, 136 - - динамическая (D) 105—133, 134, 163 - динамическая 134, 154, 163 - - автономная 134—162 - - диссипативная 51 - - консервативная 51 - неравновесная 51 - - странная 163 Складка 116, 125, 160, 225 Строительные блоки 134 - - странные 181—194 Теорема Лиувилля 186 - о неявной функции 263, 264, 269 - - "скачке" 41—44 - - центральном многообразии 163, 204—207 - Тома 216—227 Теория бифуркаций 128—133 - катастроф 105, 128—133 - Миланковича 72—86 - ритма ледниковых периодов 67—72 Термодинамика 6 Топология 123 Трансверсальность 228—245 Турбулентность 183 Узел 139 - неустойчивый 139 - устойчивый 139 Управляющие параметры (управления) 35, 57, 83, 88, 123, 168 - Гейзенберга 53 Уравнения Блоха—Максвелла 198 - Лоренца 189 - Навье—Стокса 212 - приводящие к катастрофам 163— 215 - прогонки 124

- состояния 228 - Фоккера—Планка (FP) 83 Устойчивость 44—48, 57—62, 108, 165, 206 - динамическая 165 - структурная 165, 220 Фазовые переходы (превращения) 6, 15, 17—27 - - сопровождающиеся изменением энергии основного состояния (в тексте для краткости используется термин "фазовый переход основного состояния") 5, 6, 17—27 Фазовый портрет 61, 106—115, 134— 140, 153, 154, 236 - - второго рода 18, 21, 45 - - первого рода 17, 18, 21, 45 - - термодинамические 15, 27—41, 53 Флаги катастроф 153—172 Фокус 139, 163 - глобально устойчивый 220 - неустойчивый 169, 182, 193, 220 - структурно устойчивый 220 - устойчивый 139, 169 - - квадратичная 1, 15 - - устойчивые 219—222 - Ляпунова 5, 51 Хаос 181, 192 - метастабильный 192 - спирально-винтовой 183 - спиральный 181—184 Цикл 158 - предельный 178, 216, 299 - - неустойчивый 159, 166 - - устойчивый 158, 165, 166, 169 Циклы 163 - предельные 163, 178 - трехмерные 163 Число Милнора 88 - Рейнольдса 212 - Рэлея 196 с-числа 2, 45, 47 q-числа 5, 45, 47

Шум в переменных состояния 84, 85 - - управляющих параметрах 84, 85

Эквивалентная интерпретация 8 Электродинамика 197—200