Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 7. Auflage

Walter Purkert Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Studienbücher

Wirtschaftsmathematik

Herausgegeben von Prof. Dr. Bernd Luderer, Chemnitz

Die Studienbücher Wirtschaftsmathematik behandeln anschaulich, systematisch und fachlich fundiert Themen aus der Wirtschafts-, Finanzund Versicherungsmathematik entsprechend dem aktuellen Stand der Wissenschaft. Die Bände der Reihe wenden sich sowohl an Studierende der Wirtschaftsmathematik, der Wirtschaftswissenschaften, der Wirtschaftsinformatik und des Wirtschaftsingenieurwesens an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien als auch an Lehrende und Praktiker in den Bereichen Wirtschaft, Finanz- und Versicherungswesen.

www.viewegteubner.de

Walter Purkert

Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 7., aktualisierte Auflage STUDIUM

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Prof. Dr. Walter Purkert, Mathematisches Institut, Universität Bonn [email protected]

1. Auflage 1995 6., überarbeitete Auflage 2008 7., aktualisierte Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1505-7

Vorwort Studierende der Volks- und Betriebswirtschaft haben heutzutage ein betrachtliches Pensum an Mathematik zu absolvieren, und dieses Pensum wird in Zukunft mit Sicherheit nicht geringer werden. Andererseits sind Mathematik und mathematische Statistik Facher, die bei vielen Studierenden der Anfangssemester nicht sehr beliebt sind, ja sogar einer nicht geringen Zahl von ihnen erhebliche Schwierigkeiten bereiten. Viele dieser Schwierigkeiten beruhen erfahrungsgemaB darauf, daB der Schulstoff, der an der Universitat oder Fachhochschule vorausgesetzt werden muB, nicht sicher beherrscht wird. Ein erstes Ziel dieses Bruckenkurses besteht deshalb darin, kompakt und ubersichtlich nochmals diejenigen Teile des Schulstoffes darzustellen, die fUr ein Studium der Volks- und Betriebswirtschaft besonders relevant sind. Es geht vor allem urn sicheres Rechnen mit allgemeinen Zahlen sowie urn den Funktionsbegriff, der als eines der wichtigsten theoretischen Werkzeuge zum Verstandnis von Zusammenhangen im Mittelpunkt steht. Eine Brucke hat aber mindestens zwei Pfeiler, und so solI der Kurs gleichzeitig ein brauchbares Lehrbuch der Mathematik fUr die Anfangssemester sein. rch habe mich bemuht, ein Buch auch fUr diejenigen Studierenden zu schreiben, fur die Mathematik nicht gerade das Lieblingsfach ist. Es wurde deshalb Wert auf groBe Anschaulichkeit gelegt. Auf mathematische Strenge und auf Beweise, die zwar fur den Mathematiker unerlaBlich sind, fUr den Praktiker aber eine unnotige Belastung darstellen, wurde vollkommen verzichtet. Zahlreiche durchgerechnete Beispiele zeigen die Anwendung des Gelernten, und eine Fulle von Abbildungen solI auch das Vorstellungsvermogen anregen. Die Motivationen und Anwendungsbeispiele sind ausnahmslos dem wirtschaftswissenschaftlichen Bereich entnommen. Jedem Kapitel sind zur Festigung des Stoffes Aufgaben beigefUgt. Die Losungen samtlicher Aufgaben sind in Kapitel 9 abgedruckt. Auf Mengenlehre und mengentheoretische Terminologie habe ich bewuBt ver-

Für die6.7.Auflage Auflagewurden wurde der durchgesehen und an einigen Stellen aktualisiert. In der alleText erkannten Fehler beseitigt.

Bonn, Bonn, November September2010 2007

Walter Purkert Purkert Walter

Inhaltsverzeichnis Das Rechnen mit reellen Zahlen 1.1 Grundregeln des Rechnens 1.1.1 Der Bereich der reellen Zahlen 1.1.2 Rechenregeln 1.1.3 Umformen von Gleichungen. Lineare Gleichungen 1.2 Proportionen, Prozentrechnung, Zinsen 1.2.1 Proportionen 1.2.2 Prozentrechnung 1.2.3 Zinsen

11 12 12 13 29 35 35 36 38

1.3 Summenzeichen, Mittel, Indexzahlen 1.3.1 Gebrauch des Summenzeichens 1.3.2 Arithmetisches Mittel 1.3.3 Indexzahlen 1.4 Rechnen mit Ungleichungen und Betragen 1.4.1 Ungleichungen 1.4.2 Das Rechnen mit Betragen

42 42 44 46 52 52 56

1.5 Ubungsaufgaben

59

2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 2.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 2.1.1 Potenzen mit natiirlichen Exponenten 2.1.2 Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten

63 63 63 69

2.1.3 Binomialkoeffizienten, binomischer Lehrsatz

71

2.1.4 Zinseszinsrechnung

74

2.2 Potenzen mit gebrochenen Exponenten 2.2.1 Begriff der Wurzel

79 79

2.2.2 Gebrochene Exponenten 2.3 Logarithmen...........................................................

81 84

2.4 Weitere Typen von Gleichungen.. .... .. ... .. .. .. .. .. .. .. 2.4.1 Weitere aquivalente Umformungen , 2.4.2 Quadratische Gleichungen......................................

87 87 90

8

INHALTSVERZEICHNIS

2.4.3 Wurzelgleichungen.............................................

93

2.4.4 Exponential- und Logarithmengleichungen. . . ... .. . . . . . . . . . . . . . .

95

2.5 Ubungsaufgaben.......................................................

98

3 Zahlenfolgen und Reihen

101

3.1 Arithmetische Folgen und Reihen mit Anwendungen.. . .. .. . . . . . . . . . .. . . 3.1.1 Arithmetische Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103 103

3.1.2 Anwendungen..................................................

105

3.2 Geometrische Folgen und Reihen mit Anwendungen 3.2.1 Geometrische Folgen und Reihen.. .. .. ..

..

113 113

3.2.2 Anwendungen..................................................

116

3.3 Ubungsaufgaben.......................................................

134

4 Funktionen 4.1 Grundbegriffe.......................................................... 4.1.1 Der Funktionsbegriff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 137 137

4.1.2 Graphische Darstellung von Funktionen ..

..

141

4.2 Die elementaren Funktionen .. .. .. .. .. .. .. 4.2.1 Lineare Funktionen .. . . . . . .. . . . . . .. .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. .. . . . . . .

150 150

4.2.2 Ganze rationale Funktionen (Polynome). ..

..

159

4.2.3 Gebrochen-rationale Funktionen 4.2.4 Weitere elementare Funktionen. .. .. . . . .. .. .. .. . .

163 . . .. .. . . . .. .

166

4.3 Allgemeines tiber Funktionen " " .... 4.3.1 Der systematische Aufbau von Funktionen aus den einfachsten elementaren Bestandteilen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170 170

4.3.2 Nullstellen..................

174

4.3.3 Eigenschaften von Funktionen (Beschriinktheit, Monotonie, .. .. .. .. .. .. Konvexitiit)

180

4.3.4 Umkehrfunktionen.............................................

187

4.3.5 Grenzwerte und Stetigkeit......................................

191

4.4 Beispiele okonomischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Kostenfunktionen..............................................

207 207

4.4.2 Angebot, Nachfrage, Umsatz, Gewinn . ... .. .... ... .. .. ..... .. ..

213

4.4.3 Produktlebenszyklen, lnvestitionen, logistische Funktionen. . . . . .

217

4.5 Funktionen mehrerer Variabler. . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Begriff und Beispiele. .. .. . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . .. . .. . .

219 219

4.5.2 Graphische Darstellung. Anwendungen . . . . . . . . . . . . . ... .. . . . . . . .

222

4.6 Ubungsaufgaben.......................................................

229

INHALTSVERZEICHNIS

5 Differentialrechnung 5.1 Begriff und Bedeutung der Ableitung. 5.1.1 Die Ableitung an einer Stelle.

9

.. .. .. .. .. ..

233 233 233

5.1.2 Die Ableitung als Funktion.....................................

239

5.1.3 Das Differential... .. .. .. ... .. .. .... ..... .. ..... . . .. ..... .. .. .. .

240

5.2 Differentiationsregeln und h6here Ableitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Differentiation der elementaren Funktionen. . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .

242 243

.. .. . . ..

.. .. .. .. ..

5.2.2 Differentiationsregeln..........................................

246

5.2.3 H6here Ableitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253

5.3 Untersuchung des Verhaltens von Funktionen mittels ihrer Ableitung .. . 5.3.1 Steigungsverhalten.............................................

255 255

5.3.2 Kriimmungsverhalten..........................................

256

5.3.3 Extrema und Wendepunkte . ..

258

..

.. .. .. ..

.. ..

5.3.4 Kurvendiskussionen............................................

267

5.4 Anwendungen der Differentialrechnung in den Wirtschaftswissenschaften 5.4.1 Grenzfunktionen, Durchschnittsfunktionen . . . .. .. .. ... . . .. .. .. .

271 271

5.4.2 Analyse und Optimierung 6konomischer Funktionen. .. .... .. . ..

279

5.4.3 Elastizitiit 6konomischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

289

5.5 Differentiation von Funktionen mehrerer Veriinderlicher . . . . . .. . . . . . . . . . 5.5.1 Partielle Ableitungen, totales Differential. .. .. . . ... .... .. . ... ...

292 292

5.5.2 Anwendungen..................................................

295

5.6 Ubungsaufgaben.......................................................

301

6 Integralrechnung 6.1 Das unbestimmte Integral. . . . . . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Begriff des unbestimmten Integrals. Integration der elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

307 307

307

6.1.2 Integrationsregeln..............................................

310

6.2 Das bestimmte Integral. .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. 6.2.1 Begriff des bestimmten Integrals... .. ..

316 316

6.2.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. . . . . . .. . . .

321

6.3 Anwendung der Integralrechnung in den Wirtschaftswissenschaften . . . . . 6.3.1 Kontinuierlicher Zahlungsverkehr.. ... . . .. ..... .. .. .. .. . . . . .. . . .

326 326

6.3.2 Konsumenten- und Produzentenrente. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .

332

6.3.3 Investitionsrate und Kapitalstock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

336

6.4 Ubungsaufgaben.......................................................

338

7 Lineare Algebra 7.1 Matrizen und Vektoren .... .. ..... .. .... ... .. .... ... .. .. .. .. ... .... .... 7.1.1 Einfiihrende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

339 339 339

7.1.2 Das Rechnen mit Matrizen und Vektoren.. .. ..

.

343

10

INHALTSVERZEICHNIS

7.2 Lineare Gleichungssysteme 7.2.1 Losbarkeitsverhalten und Losungsalgorithmus

357 357

7.2.2 Berechnung der Inversen einer quadratischen Matrix. . . . . . . . . . . . 7.2.3 Anwendungen..................................................

375 378

7.3 Einfiihrung in die lineare Optimierung.................... 7.3.1 Problemstellung................................................

387 387

7.3.2 Der Simplexalgorithmus........................................

393

7.4 Ubungsaufgaben 8 Erglinzungen zur Finanzmathematik 8.1 Erganzungen zur Tilgungsrechnung..................................... 8.1.1 Zinsanderung nach Ablauf einer Zinsbindung.....

407 407 407

8.1.2 Annuitatendarlehen bei monatlicher Zahlung, aber jahrlicher Verzinsung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

410

8.2 Renditen (Effektivzinsberechnung) . . . . . . . . .. . . . . . .. .. . . . ... .. . . ..... ... 8.2.1 Renditen von Anlagen mit wechselnden Zinssatzen..............

412 412

8.2.2 Renditen bei unterjahriger und stetiger Verzinsung . . . . . . . . . . . . .

413

8.3 Kursrechnung.......................................................... 8.3.1 Begriff des Kurses.. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . .. . .. . . . . . .... . . . .....

415 415

8.3.2 Kurs einer endfalligen Anleihe mit fixem Kupon................

416

8.3.3 Kurs einer Annuitatenschuld

420

8.4 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Losungen der Ubungsaufgaben

422 423

Literaturverzeichnis

447

Index

449

Kapitel 1 Das Rechnen mit reellen Zahlen Vorbemerkung zu den Kapiteln 1 und 2 In den folgenden Kapiteln 1 und 2 beschaftigen wir uns mit Inhalten, die groBtenteils in der Mittelstufe der aIIgemeinbildenden Schule behandelt werden. Aber gerade das ist lange her - und wer weiB schon zu Beginn eines Studiums alles, was er irgendwann in der Schule gelernt hat? Natiirlich ist fUr einen angehenden Wirtschaftswissenschaftler manches aus der Mathematik der Schule kaum relevant (das kann fUr andere Fachrichtungen ganz anders aussehen). Aber was jeder unbedingt konnen soIlte, das ist sicheres Rechnen. Die Erfahrung zeigt, daB gerade mangelnde Rechenfertigkeiten haufig die Ursache fUr die Schwierigkeiten der Studenten in den mathematischen Anfangervorlesungen ist. Wer nicht souveran im Rechnen ist, wird nie ein GefUhl der Unsicherheit beim Umgang mit Formeln iiberwinden konnen. Testen Sie ihre diesbeziiglichen Fahigkeiten, indem Sie die Ubungsaufgaben zu den Kapiteln 1 und 21osen. Wenn sie das fehlerfrei konnen, gehen Sie (nach einem kurzen Blick auf 1.3) gleich zu Kapite13 iiber. Andernfalls sollten Sie sich die Miihe machen, 1 und 2 griindlich zu studieren, auch wenn Ihnen manches trivial vorkommt. Sie sollten auch versuchen, sich zu den Beispielen im Text weitere Beispiele selbst auszudenken - das schult das Verstandnis mehr, als nur immer vorgegebene Beispiele nachzuvoIlziehen.

W. Purkert, Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, DOI 10.1007/978-3-8348-9936-1_1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

12

1.1 1.1.1

Grundregeln des Rechnens Der Bereich der reellen Zahlen

In der Schule haben wir, ausgehend von den natiirlichen Zahlen 1,2,3,4,5, ... den Zahlbereich nach und nach erweitert. Fiigt man zu den natiirlichen Zahlen die Zahl 0 sowie die negativen Zahlen -1, -2, -3, -4, -5, ... hinzu, so erhiilt man den Bereich der ganzen Zahlen. Die negativen Zahlen sind im Mittelalter von italienischen Kaufleuten eingefiihrt worden, urn Schulden von Guthaben zu unterscheiden. AIle moglichen Bruche mit ganzen Zahlen als Ziihler und Nenner (der Nenner 0 ist dabei ausgeschlossen) bilden den Bereich der ratio,15 (= sind Beispiele fUr rationale Zahlen. Stellt nalen Zahlen. ~1, man die rationalen Zahlen als Dezimalzahlen dar, d.h. teilt man im Dezimalsystem den Ziihler durch den Nenner, so erhiilt man abbrechende oder nichtab= 19,625; brechende periodische Dezimalzahlen. ~ ist z.B. gleich 0,3333 ... ; = 0,636363 ... ; = -0,03125; 15 = 15, 0; ~ = 0,2222.... Es gibt Zahlen, wie die Kreiszahl1r, von denen man weii3, dai3 ihre Dezimaldarstellung eine nichtabbrechende nichtperiodische Dezimalzahl ergibt. Fur 1r erhiilt man z.B. den Wert 3,141529265358973923846 ... ; die drei Punkte bedeuten hier, dai3 unendlich viele weitere Stellen folgen, die man aber nicht aus den schon berechneten erschlieBen kann. 1m iibrigen ist es ein beliebter Sport, mit Hilfe von GroBcomputern immer neue und neue Stellen von 1r zu berechnen; man kennt heute schon einige Tausend. Zahlen, die wie 1r eine nicht abbrechende nichtperiodische Dezimaldarstellung haben, heiBen irrationale Zahlen. Bei jeder praktischen Rechnung werden diese irrationalen Zahlen, zu denen z.B. auch Wurzeln wie V2 oder V"5 gehoren, durch endliche Dezimalzahlen, d.h. durch rationale Niiherungen ersetzt. Z.B. geniigt fUr 1r oft die Niiherung 3,14; der Taschenrechner liefert die wesentlich genauere Niiherung 3,1415927.

¥)

2;

1;7

-;2

iJ.

Die rationalen und die irrationalen Zahlen zusammengenommen bilden den Bereich der reellen Zahlen. Dieser Zahlbereich ist' die Grundlage der hoheren Mathematik. Eine anschauliche Vorstellung von den reellen Zahlen kann man mittels der Zahlengeraden gewinnen. Das ist eine horizontale Gerade, auf der irgendwo der Nullpunkt fixiert ist und von dort nach rechts eine Einheitsstrecke abgetragen ist, d.h.die Zahl 1 festgelegt ist. AIle anderen Zahlen sind dann auf der Geraden fixiert.

Abb. 1.1

I

I

-3

-2

I

I

-1,41 -1

I

I

I

~,33

0

0,4

I

I I

I

1 1,26

2

Zahlengerade mit einigen darauf verzeichneten Zahlen

1.1. GRUNDREGELN DES RECHNENS

13

Als Fazit merken wir uns: Die reellen Zahlen, mit denen wir arbeiten, konnen wir uns geometrisch auf der Zahlengeraden vorstellen: Jedem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht genau eine reelle Zahl und umgekehrt entspricht jeder reellen Zahl genau ein Punkt auf der Zahlengeraden. Jede in irgendeinem Zusammenhang auftretende reelle Zahl - ganz gleich, ob sie ihrem Wesen nach rational oder irrational ist - wird in der Praxis durch eine Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen hinter dem Komma dargestellt. Diese Darstellung liefern die heutigen Rechner automatisch mit hinreichender Genauigkeit.

1.1.2

Rechenregeln

Mit den reellen Zahlen sind die vier Grundrechenarten (mit Ausnahme der Division durch Null) uneingeschrankt ausfUhrbar, d.h. wenn zwei Zahlen a und b gegeben sind, so existieren im Bereich der reellen Zahlen ihre Summe a+b, ihre a Differenz a - b, ihr Produkt ab und ihr Quotient b (falls b 1= 0 ist). Wenn uns die Zahlen a und b als Dezimalzahlen gegeben sind, so wissen wir aus den ersten Schuljahren, wie man mittels schriftlicher Rechenmethoden Summe, Differenz, Produkt und Quotient ausrechnet. Heutzutage wird das natiirlich meist mittels eines Taschenrechners erledigt. Urn Mathematik zu betreiben, muB man iiber das Rechnen mit konkreten Zahlen hinaus mit allgemeinen Zahlen (Buchstaben) rechnen. Allgemeine Zahlen sind nichts anderes als Buchstaben, fur die man jede beliebige reelle Zahl gesetzt denken kann. Wir wollen uns diese in der Schule iiber Jahre eingeubte Idee nochmals vergegenwartigen: Es ist offenbar gleichgiiltig, in welcher Reihenfolge man zwei Zahlen addiert: z.B. ist 7 + 3 = 3 + 7; 8,25 + 7,037 = 7,037 + 8,25 usw., man konnte noch beliebig viele weitere konkrete Beispiele aufschreiben. Urn diese GesetzmaBigkeit nicht stets von neuem feststellen zu miissen, sondern sie ganz allgemein ausdriicken zu konnen, trifft man folgende Vereinbarung: a und b werden als Vertreter von zwei beliebigen Zahlen gewahlt; es wird dabei offen gelassen, welche reellen Zahlen man sich unter a und b denken will. Die in Rede stehende GesetzmaBigkeit kommt dann in folgender Gleichung zum Ausdruck: la+b=b+al

(1.1 )

Man nennt dieses Gesetz das Vertauschungs- oder I
14

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

Beispiele: 1)

x+y+a+5=5+x+a+y=a+y+5+x (man konnte weitere Gleichheiten hinzufiigen; wieviele?)

~

2+x+a+5+a+h=x+h+a+a+2+5=~+~+7

Das Kommutativgesetz braucht man also oft, urn gleichnamige Glieder zusammenzufassen.

+ 7y = a + 6xy + 8y

3)

4xy + y + 2xy + a

4)

a 2 + a + 3a 2 + 2ab 4a 2 + a + 2ab (Bemerkung: Obwohl Potenzen erst im Kapitel 2 behandelt werden, wollen wir durchweg schon von der Abkiirzung a . a a 2 Gebrauch machen.)

=

=

Ein analoges Kommutativgesetz gilt fur die Multiplikation:

lab = ba

I

(1.2)

Beispiele: 1)

cde = dec = ecd

2)

6abx· 7 = 6·7· abx = 42abx (Bemerkung: Der Malpunkt kann geschrieben oder auch weggelassen werden; wenn konkrete Zahlen am Ende stehen wird er in der Regel geschrieben: 6ac· 7 bzw. man setzt eine Klammer: (6ac)7. Auch bei gleichen Faktoren schreibt man den Malpunkt: a· a· x· x· a2 x 2 ,)

3)

a . x .b . x . a

= = a . a . b . x . x = a 2bx 2

Weitere Grundgesetze sind die Assoziativgesetze der Addition und Multiplikation: (1.3) (a + b) + c = a + (b + c)

I

I

I(ab)c = a(bc) I

(1.4)

Das Assoziativgesetz der Addition besagt z.B. inhaltlich, daB es bei Addition von drei reellen Zahlen gleichgilltig ist, ob man zuerst die beiden ersten addiert und clann die dritte hinzufilgt oder ob man die erste zur vorher bestimmten Summe der beiden letzten addiert. Man kann also die Klammern beliebig setzen oder auch ganz weglassen: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. Das gilt auch fUr mehrere Summanden; insbesondere folgt aus dem Assoziativgesetz, daB man eine Klammer, vor der ein + -Zeichen steht, d.h. die addiert wird, weglassen kann. Eine Klammer, die als Summand am Anfang steht" kann ebenfalls weggelassen werden.

1.1. GRUNDREGELN DES RECHNENS

15

Beispiele: 1)

(a+b)+(c+d+e)=a+b+c+d+e

2)

(x+2+y)+(6+a+y) = x+2+y+6+a+y = a+x+y+y+6+2 = a+x+2y+8

In 2) wurde auBer dem Assoziativgesetz auch noch das Kommutativgesetz benutzt.

Beispiele fUr die Anwendung des Assoziativgesetzes der Multiplikation:

= abed

1)

( ab)(cd)

2)

(3xy)(2ab) = 3xy . 2ab = 3 ·2· xyab = 6abxy

3)

(zw)(7x)(8zw)(3x) = z· w· 7· x· 8· z· w· 3· x = 3·7·8· x· x· w· w· z· z = 168x 2w 2z 2

In 2) und 3) wurde auBerdem das Kommutativgesetz benutzt. So werden wir nach und nach unser Arsenal an Regeln und Gesetzen erweitern, ohne daB im folgenden bei den einzelnen Beispielen immer wieder darauf hingewiesen wird, welche der schon friiher besprochenen Gesetze zum Tragen kommen. Sie, lieber Leser, sollten aber versuchen, sich dariiber Rechenschaft abzulegen; das iibt ungemein. Die Kunst des Rechnens besteht ganz einfach darin, im gegebenen Fall die jeweils erforderlichen Gesetze richtig anzuwenden; eine systematische, Schritt fUr Schritt vorgehende Wiederholung und Einiibung (auch durch das Ausdenken eigener Aufgaben) wird Sie mit Sicherheit zum J;:rfolg fUhren.

Die beiden Operationen Addition und Multiplikation stehen durch das Distributivgesetz miteinander in Beziehung. Es lautet:

Ia( b + c) =

ab + ac I

(1.5)

Es kann wegen des Kommutativgesetzes natiirlich auch die Summe zuerst stehen: (b + c)a = a(b + c). Das Distributivgesetz liefert die Regel fUr das Multiplizieren eines Faktors mit einer Summe: Man muf3 den Faktor mit jedem Glied der Summe multiplizieren und die entstehenden Produkte addieren. Das gilt auch fUr mehr als zwei Summanden. Beispiele:

= ab + ac + ad + ae + X2 + X3 + ... + xn)y = Xly;t X2Y + X3Y + ... + xnY

1)

a( b + c + d + e)

2)

(Xl

In Beispiel 2) hat die Summe in der Klammer n Summanden. Da n eine beliebige natiirliche Zahl sein kann, ist es unmoglich, aile Summanden wirklich hinzuschreiben, man schreibt den Anfang der Summe und den letzten Summanden und deutet die iibrigen, nicht ausgeschriebenen Summanden durch drei Punkte an. Zur Bezeichnungsweise ist noch folgendes zu bemerken: Hat man eine geringe Zahl verschiedener Summanden, z.B. 2, 3 oder 4, so ist die Bezeichnung mit verschiedenene Buchstaben sachgemaB:

16

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

3)

a + b, a + b + c, a + b + c + d. Das ist sehr aufwendig bei einer groBen Zahl von Summanden und unmoglich bei beliebig vielen (n); in einem solchen Fall verwendet man einen festen Buchstaben (hier x) und unterscheidet die einzelnen Summanden durch unten angebrachte Nummern (Indices): der erste Summand bekommt den Index 1, der zweite den Index 2, usw., schlieBlich der n-te Summand den Index n. Indices treten gerade in okonomischen Zusammenhiingen sehr hiiufig auf. b(7a+5b+c)=7ab+5b2 +be

4)

2xy(x + 6y + z) = 2x 2y + 12xy2 + 2xyz

5)

(XIYI

+ X2Y2 + ... + XnYn)

. 2xy

= 2XYXIYI + 2XYX2Y2 + ... + 2xyx nYn

Das Distributivgesetz ist auch die Grundlage fUr das Ausmultiplizieren von in Klammern stehenden Summen: Es soll z.B. (a + b)( e + d) berechnet werden. Wir setzen zuniichst e+ d = e, dann ist (a + b)(e+ d) = (a + b)e = ae + be nach dem Distributivgesetz. Nun setzen wir fur e wieder e + d ein und verwenden erneut das Distributivgesetz: ae + be = a( e + d) + b( e + d) = ae + ad + be + bd, also (a + b)( e + d) = ae + ad + be + bd. Beim Ausmultiplizieren zweier in Klammern stehender Summen muB man jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multiplizieren und aIle so entstehenden Produkte addieren. Beispiele:

2)

(x + 2y)(4a + 3b) = 4ax + 3bx + 8ay + 6by (a+ b)(a+2b+ e) = a 2 + 2ab+ ae+ ab+ 2b 2 + be = a 2 + 3ab+ae+2b 2 + be In 2) wurden die gleichnamigen Glieder 2ab und ab zu 3ab addiert.

3)

(6a

1)

+ 2b + 4e)(4a + 4b + 5e) = 24a 2 + 24ab + 30ae + 8ab + 8b 2 + 10be+ +16ae+ 16be+ 20e 2 = 24a 2 + 32ab + 46ae + 8b 2 + 26be + 20e 2.

4)

(XI+X2+",+Xn)(YI+Y2+ ... +Ym) =

XIYI+XIY2+ + X2YI

+ X2Y2 +

+XIYm

+

X2Ym

+ XnYI + XnY2 + ... + XnYm· In diesem Beispiel haben wir insgesamt n . m Produkte zu addieren. Fiir n ergiibe sich z.B.: (XI

+ X2 + X3)(YI + Y2 + Y3 + Y4) = XIYI + XIY2 + XIY3 + X2YI X3YI

XIY4 +

+ X2Y2 + X2Y3 + X2Y4 + X3Y2 + X3Y3 + X3Y4·

+

= 3, m = 4

1.1. GRUNDREGELN DES RECHNENS

17

Die Beispiele 3) und 4) zeigen auch, daB man bei der Regel, jedes Glied mit jedem zu multiplizieren, versuchen saUte, eine gewisse Systematik einzuhalten, urn keine Glieder zu vergessen.

A usklammern: Wie jede mathematische Gleichung kann man das Distributivgesetz von links nach rechts oder von rechts nach links lesen und dementsprechend verschieden interpretieren. Bisher haben wir es von links nach rechts gelesen, d.h. a(b+c) war der Ausgangspunkt, ab+ac das Ergebnis. Umgekehrt gelesen, d.h. ab + ac = a(b + c) ergibt es die Regel fur das Ausklammern:

Wenn ein Faktor in jedem Glied einer Summe auftritt, so kann dieser Faktor ausgeklammert werden. Beispiele: 1)

abc+ad+ae=a(bc+d+e)

2)

a2

+ 2abc + axy =

3)

4a

+ 6b + 10c = 2 . 2a + 2· 3b + 2· 5c = 2(2a + 3b + 5c)

4)

2xy + 4x 2 y 2 + 8xyz = 2xy(1

5)

XYI + 2XY2 + 3XY3 + ... + nXYn = X(YI + 2Y2 + 3Y3 + ... + nYn) Die Probe fUr richtiges Ausklammern ist erneutes Ausmultiplizieren der Klammer: Es muB dann der Ausdruck entstehen, von dem man ausgegangen ist. Das macht auch klar, daB Ausklammern von a etwa aus a + ab zu 1 + b fUhrt: a + ab a(l + b) (vgl. Bsp. 4).

a(a

+ 2bc + xv) + 2xy + 4z)

=

Vorzeichenregeln: Zu jeder Zahl a kann man die zugehorige entgegengesetzte Zahl -a finden; die Summe einer Zahl und ihrer entgegengesetzten Zahl ergibt gerade Null: a + (-a) = O. Auf der Zahlengeraden entsteht die entgegengesetzte Zahl von a durch die Spiegelung von a am Nullpunkt: a

o

b

1st a positiv, ist die entgegengesetzte Zahl -a negativ; ist a negativ, so ist die entgegengesetzte Zahl -a positiv. Beispiele: 1)

-5,3 ist die entgegengesetzte Zahl zu 5,3

2)

-( -9)

= 9, d.h.

9 ist die entgegengesetzte Zahl zu -9

18

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

Es gelten folgende sogenannte Vorzeichenregeln: (1.6)

I-(-a)=al I-a = (-1) . a = a . (-1)

I

I(-a)b = a( -b) = -(ab) = -ab! I(-a)(-b) = abl

(1.7) (1.8) (1.9)

Regel (1.8) hat man gelegentlich durch den suggestiven Merksatz "Minus mal Plus" bzw. "Plus mal Minus" ergibt "Minus", Regel (1.9) durch den Merksatz "Minus mal Minus" ergibt "Plus" ausgedriickt. Bei der Subtraktion a - b wird zu a gerade die entgegengesetzte Zahl von b addiert (1.10) la-b=a+(-b)1 Daraus folgt auch -a + b = b - a. Unter Beachtung von (1.10) erhiilt man aus dem Distributivgesetz a(b + c) = ab + ac bei Berucksichtigung der Vorzeichenregeln (1.8) und (1.9) folgende Ergebnisse: (-a)(b + c) = -ab - ac; (-a)( -b + c) = ab - ac; a(b-c)=ab-ac; a( -b - c) = -ab - ac.

(-a)(b - c) = -ab + ac; (-a)( -b - c) = ab + ac; a( -b + c) = -ab + ac;

Diese Formeln braucht man natiirlich nicht zu lernen; man kann sie folgendermaBen beschreiben (und so merkt man sie sich auch): Das Multiplizieren eines Faktors mit einer in Klammern stehenden Summe (auch a - b = a + (-b) oder -b- c = (-b) + (-c) sind ja Summen!) geschieht wie ublich, indem der Faktor mit jedem Glied multipliziert wird; die Vorzeichen der entstehenden Produkte ergeben sich nach den Regeln (1.8) und (1.9), d.h. nach den Regeln "Minus mal Plus" bzw. "Plus mal Minus" ergibt "Minus"und "Minus mal Minus" ergibt "Plus". Dasselbe gilt fUr das Ausmultiplizieren zweier in Klammern stehender Summen: Man muB jedes Glied der einen Klammer mit jedem der anderen Klammer multiplizieren und die genannten Vorzeichenregeln beachten. Beispiele: 1)

(-3)(a+b-c)=-3a-3b+3c

2)

6a(-3a

+ 5b - c) = -18a 2 + 30ab -

6ac

1.1. GRUNDREGELN DES RECHNENS

3)

(2x - 6y)( -x - 2y)

4)

(a - 3b)(-a

+ 5b -

19

= -2x 2 - 4xy + 6xy + 12 y2 = -2x 2 + 2xy + 12y2 c) = _a 2 + 5ab - ac + 3ab - 15b 2 + 3bc =_a 2 + 8ab - ac - 15b 2 + 3bc.

1m folgenden Beispiel sind drei Klammern zu multiplizieren. Man multipliziert zuerst zwei und dann das Ergebnis mit der dritten. Analog verfiihrt man bei mehr als drei Klammern.

5)

(x - y)(x + 2y)(a - b) = (x 2 + 2xy - xy - 2y2)(a - b) = (x 2 + xy - 2y2)(a - b)

= ax 2 -

bx 2 + axy - bxy - 2ay2 + 2by2.

Die Regeln fur das Ausmultiplizieren liefern uns auch die sogenannten binomischen Formeln:

(a+b)2 = (a+b)(a+b)=a 2 +ab+ab+b2 = a2 + 2ab + b2, also

I(a + b)2 = a2 + 2ab + b21

(1.binomischeFormel).

(1.11)

b)2 = a2 - 2ab + b21 (2.binomischeFormel)

(1.12)

Analog ergeben sich:

I(a -

I(a + b)(a -

b) = a2 -

b21

(3.binomischeFormel).

(1.13)

Wir wollen anhand der binomischen Formeln noch zwei allgemeine Gesichtspunkte diskutieren, die fur eine erfolgreiche BeschaJtigung mit Mathematik wichtig sind. So sollte man sich die Inhalte von Formeln moglichst durch Beschreibung in Worten klarmachen, urn sie auch auf Fiille anwenden zu konnen, die nicht die Gestalt der Standardformeln, hier etwa (1.11)-(1.13), haben. Die erste binomische Formel z.B. besagt, daB man das Quadrat einer Summe erhiilt, indem man die Quadrate der Summanden addiert und dazu noch das doppelte Produkt der Summanden hinzufiigt.

Beispiele: 1)

Aus (1.11) folgt z.B. (a + 4X)2 = a 2 + 2· a· 4x + (4X)2 = a 2 + 8ax + 16x 2 (7xy + 6zj2 = (7xy)2 + 2(7xy)(6z) + (6z)2 = 49x 2y2 + 84xyz (y + 3)2 = y2 + 6y + 9

+ 36z 2

20

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

2)

Aus (1.12) folgt etwa (b - 4)2 = b2 - 8b + 16 (3ax - 9CX)2 = 9a 2x 2 - 54acx 2 + 81c2x 2 (1 - p)2 = 1 _ 2p + p2

3)

Aus (1.13) folgt z.B. (2a + 3b)(2a - 3b) = 4a2 - 9b2 (1 - q)(l + q) = 1 _ q2

Die erste binomische Formel kann leicht auf mehr als zwei Summanden ausgedehnt werden, z.B. gilt (a + b + e)2 = a2 + b2 + e2 + 2ab + 2ae + 2be. Ein zweiter Gesichtspunkt ist, daB man eine Gleichung nicht nur von links nach rechts, sondern auch von rechts nach links lesen kann, d.h. jede Seite einer Gleichung kann als Ausgangspunkt, die jeweils andere als Ergebnis betrachtet werden. So liefert die dritte binomische Formel eine Regel, wie man die Differenz zweier Quadrate in zwei Faktoren zerlegen kann: a2 - b2 = (a + b) (a - b), also z.B. 4x 2 - 9y2 = (2x +3y)(2x - 3y), q2 -1 = q2 -1 2 = (q + l)(q -1). Aus der zweiten binomischen Formel wtirde man z.B. folgende Zerlegungen in zwei gleiche Faktoren finden: x 2 - 6xy + 9y2 = (x - 3y)2, 25e 2 - 80ed + 64d 2 = (5e - 8d)2. Wir hatten schon gesehen, daB man bei in Klammern stehenden Summen, die addiert werden, die Klammern weglassen kann, z.B. gilt (x-y)+( -2x+3y-z) = x - y - 2x + 3y - z = -x + 2y - z. Dabei haben wir a + (-b) = a - b beachtet, denn zuniichst ist (x - y) + (- 2x + 3y - z) = x - y + (- 2x) + 3y + (- z) und das ist gleich x - y - 2x + 3y - z. Aus der Vorzeichenregel-a = (-l)a und den Regeln tiber das Ausmultiplizieren einer geklammerten Summe mit einem Faktor erhiilt man eine Vorschrift, wie man mit Klammern verfiihrt, die subtrahiert werden. Beispielsweise ist x - (ab + e) = x + (-l)(a - b + e) = x - a + b - e. Das Ergebnis kann man sich so entstanden denken, daB man die Klammer weglassen kann, aber bei jedem Glied der Klammer das Vorzeichen umkehren muB. Wird eine geklammerte Summe subtrahiert, so kann man die Klammer weglassen, muB aber bei jedem Summanden das Vorzeichen umkehren. Beispiele:

+ (x

- y) - (-2x - 6y) = -x + 2y + x - y

+ 2x + 6y =

2x + 7y

1)

-(x - 2y)

2)

a - [-(4a + b)] = a - [-4a - b] = a + 4a + b = 5a + b Bei mehrfachen Klammern geht man also schrittweise von den inneren zu den auBeren. Oft werden bei mehrfachen Klammern, um sie besser zu unterscheiden, verschiedene Klammersymbole verwendet.

1.1. GRUNDREGELN DES RECHNENS

3)

21

a + 2b - (a - b)( e - d) = a + 2b - (ae - ad - be + bd) = a + 2b - ae + ad + be - bd Hier berechnet man erst das Produkt und wendet dann die Regel liber das Umkehren der Vorzeichen an, Man hatte auch anders verfahren konnen: a + 2b - (a - b)( e - d) = a + 2b + (-1 )( a - b) ( e - d) = a + 2b + (-a = a + 2b -

+ b)( e - d) ae + ad + be - bd.

Falsch ware es, in beiden Faktoren die Vorzeichen umzukehren, d.h, a + 2b + (-a b)( -e + d) zu rechnen; dieser Fehler wird nicht selten begangen.

4)

+

(x - y)(x + y) - (x + y)2 = x 2 _ y2 _ (x 2 + 2xy + y2) (binomische Formeln werden angewandt) = x 2 _ y2 _ x 2 _ 2xy _ y2 = _2 y 2 - 2xy = -2y(x + y) Man kann Klammern bei Faktoren in Fallen, wo MiBverstandnisse entstehen, nicht weglassen. Es soll ja hier -2y mit der Summe (x + y) multipliziert werden. Das ist bei -2y(x + y) klar. Schriebe man aber statt (x + y)(-2y) (x + y) - 2y, so ware das etwas vollig anderes.

Bruchrechnung: Zur Zeit des Rechenmeisters Adam Ries, im 16. Jahrhundert, galt die Bruchrechnung als etwas besonders schwieriges, das nur wenige Menschen beherrschten. Auch heute hat noch mancher damit Probleme. Relativ einfach sind die Regeln der Multiplikation' (1.14) und Division (1.15) von Briichen:

(1.14)

Man multipliziert Briiche, indem man die Zahler und Nenner jeweils multipliziert. Beispiele: 1)

2)

3)

xy x a ab

x .y ,X a.a.b

x 2y a 2b

2( a - b) a + b _ 2( a - b)(a + b) _ 2a 2 - 2b 2 e . e- d e(e - d) e2 - cd Dieses Beispiel zeigt, daB ein Bruchstrich bzgl. Zahler und Nenner auch die Funktion einer Klammer hat: Wird der Bruch durch weitere Rechnungen, wie hier die Multiplikation, in seiner Eigenstandigkeit aufgehoben, muB man Klammern setzen, falls die Zahler oder Nenner aus Summen bestanden haben. a+b e a-b _ (a+b)·e·(a-b) _ (a 2 _b 2)e _ a 2e-b 2e -b-'2d'b+e b·2d·(b+e) -2bd(b+e)-2b 2d+2bed

22

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

a bad ad -e- = b' -;; = be

(1.15)

d Man dividiert einen Bruch durch einen zweiten Bruch, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.

I

I

Beispiele: 2x

1)

2)

3)

3y 2x 3b bx 2·3·b·x = 3y 4a 3·4·a·y 2ay 4a 3b a +b a - b a +b e- d (a + b)( e - d) ae - ad + be - bd e + d : e - d = e + d . a - b = (e + d)( a - b) = ae - be + ad - bd 2xy 2xy 2z 4xyz 4 z = -z- . x 2 y = x 2 yz = X x2 y 2z In den Beispielen 1) und 3) haben wir schon gekiirzt; darauf wird gleich noch genauer eingegangen.

Setzt man in (1.14) b = 1, so erhiilt man (1.16) Man multipliziert einen Bruch mit einer Zahl, indem man den Zahler mit dieser Zahl multipliziert und den Nenner unverandert lafit. Beispiele: 1)

7. ~ = 35

2)

x 2 -1 x(x 2 -1) x 3 -x x--= =--

3)

(a _ b) a + b

3

3

Y

Y

b

= (a -

Y

b)( a + b) b

= a2 -

2

b

b

Regel (1.16) wird auch oft von rechts nach links gelesen, d.h. man kann einen Faktor aus dem Zahler eines Bruches vor den Bruch schreiben. Das benutzt man etwa, urn auszuklammern.

23

1.1. GRUNDREGELN DES RECHNENS

Beispiele: 1) 2)

ab a 2xy b axy ( b ax y ) a + - + - - = a + a- + a - = a 1 + - + cdc d c d 2 x- Y x - y2 x +y --+ - = (x-y)--+(x-y)-= (x-y) x+y y x+y y

1

(1 - - + -+x

x+y

y)

y

Aus (1.15) bekommt man, wenn man d = 1 bzw. b = 1 setzt, die beiden Regeln: a a

b

a

b

e

be

-:e=-=-

(1.17) (1.18)

e

Man dividiert einen Bruch durch eine Zahl, indem man den Nenner mit dieser Zahl multipliziert und den Zahler unverandert lafit. Man dividiert eine Zahl durch einen Bruch, indem man die Zahl mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Beispiele: 7

7

7

1)

3": 6 = H = 18

2)

xy z xy ~ x 2z a+b

3) 4)

5) 6)

=

c

a 2 -b 2

y

= xz a+b c(a 2 -b 2)

-,--:::---:=

(a+b) = -,---'----;"""",--"'---:7 c(a-b)(a+b)

c(a-b) 2 2 (a+b):_c_=(a+b)a -b = (a+b)(a -b ) 2 2 a - b c c x 2y z xz z X ' - = X '2 - = 2- = . Z x y x y xy 2

7a+7b =7(a+b)a-b a+b a+b a-b

2

= 7(a+b)(a-b) (a+b)

=7(a-b)

Aus der Regel (1.14) folgen auch die Regeln fur das f(urzen und Erweitern von Bruchen:

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

24

Hat ein Bruch im Zahler und Nenner einen gemeinsamen Faktor, so kann dieser Faktor weggelassen werden, d.h. (1.19)

ae a e a a Denn nach (1.14) ist be = b' ~ = b ·1 = b . Liest man (1.19) von rechts nach links, so erhalt man die Regel tiber das Erweitern eines Bruches:

In einem Bruch kann man Zahler und Nenner mit demselben Faktor multiplizieren, ohne den Wert des Bruches zu andern. Weitere Beispiele zum Ktirzen: 1)

2) 3) 4)

2xy

6y

2y· x 2y·3

a 2be ab 2e 2

x

3

a be

2-x

4 - x2 xy + x 2 ax - 2x

2-x

(2 - x )(2 + x) x(y + x) x( a - 2)

1 - - da 2 - x 2 + x'

= (2 -

x)· 1

+y a- 2

X

Beispiel 4) zeigt, daB man, falls Zahler oder Nenner oder beide aus Summen bestehen, gemeinsame Faktoren ausklammern muB. 1st das nicht moglich, kann nicht gekiirzt ax+ a z.B. kann weder durch x noch durch a gekiirzt werden. x - ax

werden. Der Bruch

-2--

3a + 2x 2 b kann weder durch 2 noch durch x gekiirzt werden. Der Fehler, in solchen 2 x+4x

Fallen doch zu kiirzen, wird haufig begangen; manche Lehrer versuchen ihm mit dem Spruch "Differenzen und Summen kiirzen die Dummen" vorzubeugen.

5)

a2

+ 2ab + b2 ae + be

(a (a

+ b)2 + b)c

=

a

+b e

6)

xy x 2 -2x

7)

a 2 + 5ab _ a( a + 5b) _ a + 5b a2 e a2 e ae

8)

a 2 + ab + ae ax - by

--;-_x.:..y~

x(x-2)

y x-2

Hier kann man nichts kiirzen. Der Faktor a ist zwar im Zahler enthalten, aber nicht im Nenner.

1.1. GRUNDREGELN DES RECHNENS

25

Das Erweitern benotigt man vor allem bei der Addition oder Subtraktion von Bruchen (s.u.). Die Regel (1.16) liefert eine erste Vorzeichenregel fur Bruche: (1.20) Die weiteren Vorzeichenregeln erhalt man durch Erweitern mit (-1):

(-a) (-1)( -a) = b (-l)b a b

(-l)a (-l)b

a -b -a -b

(1.21)

(1.22)

Beispiele: 1)

2) 3)

4)

5)

3 -3 3 8 8 -8 x-y -(x-y) y-x ---'----'-7- = u-v -(u-v) v-u x- y x- y (y - x) 1 y2 _ x 2 - (y - x )(y + x) (y - x )(y + x) - - y + x Hier ist durch geschickte Anwendung der Vorzeichenregel das Kiirzen ermoglicht worden. 1-q q-1 1-q

=

p

-x - 3 -x + 2

=

p

x +3 =x - 2

=

-p

Die Addition und die Subtraktion von Bruchen gestaltet sich sehr einfach, wenn die zu addierenden oder zu subtrahierenden Briiche gleiche Nenner haben; man sagt in diesem Falle, sie sind gleichnamig.

I~+~=~I I~-~=~I

(1.23)

(1.24)

Gleichnamige Briiche werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre Zahler addiert bzw. subtrahiert und den gleichnamigen Nenner unverandert laf3t.

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

26

Beispiele: c- d

1)

a 3b

+ 3"b =

2)

- -3b3b

a

c- d

a+c-d 3b a-(c-d) 3b

a-c+d 3b

Man erinnere sich bei diesem Beispiel an die Bemerkung, daB ein Bruchstrich wie eine Klammer wirkt, die man setzen muB, wenn der Bruchstrich durch Rechenoperationen aufgehoben wird. In Beispiel 1) wird (c - d) addiert; deshalb wird die Klammer sofort weggelassen.

3)

x

2x+4y

3y+z

- - -x-y -- + -= x-y x-y

x-(2x+4y)+3y+z x-y

= x-2x-4y+3y+z x-y

-~----=----=--

-x - y+ z x-y x+y-z = y-x

=

Die Addition uncl Subtraktion ungleichnamiger Briiche kann durch passendes Erweitern auf den Fall gleichnamiger Briiche zuriickgefiihrt werden. Aus den verschiedenen Nennern wird clabei ein gemeinsamer Nenner, cler sogenannte Hauptnenner, gebilclet. Man kann stets als Hauptnenner das Produkt aller a e vorkommenden Nenner verwenden. Sei z.B. Z; + d zu berechnen. Wir wahlen als Hauptnenner das Produkt bd cler beiden vorkommenclen Nenner. Durch Erweitern wollen wir erreichen, daJ3 beide Briiche cler Summe in Briiche mit dem Nenner bd iibergehen. Bei clem Bruch

a

Z; ist b im Nenner schon vorhanclen.

Urn den Nenner bd zu erreichen, ist mit d zu erweitern; beim zweiten Bruch analog mit b, also

~

=

~:;

~

~~.

Es ist also gerade immer mit dem Teil

des Hauptnenners zu erweitern, cler den Nenner des Bruches, den wir erweitern wollen, zum Hauptnenner erganzt. Als Resultat erhalt man: a e ad be ad + be Z;+d=bd+bd= bd

Analog wird bei mehr als zwei Briichen verfahren: a

b

e

ayz - bxz - exy

x

y

z

xyz

-----=:

Beispiele: 1)

x

y

z

2+3+~=

3ax + 2ay + 2 . 3 . z 2·3·a

3ax + 2ay + 6z 6a

1.1. GRUNDREGELN DES RECHNENS

27

2)

b -ax + -= x- y

a(x-y)+bx -'----;--"-'----;-x(x - y)

3)

3x 6(x - y)

5y _ 3x·7(x+y)-5y·6(x-y) 7(x+y) 6·7(x-y)(x+y) 21x 2 + 21xy - 30xy + 30y2 42(x2 _ y2) 21x 2 - 9xy + 30y2 7x 2 - 3xy + lO y2 42(x2 - y2) 14(x2 _ y2)

4)

a x b y a x -+b y

ay- bx by ay + bx -b-y-

= _ay_-_b_x . _b_y_ = ay by

ay + bx

bx ay + bx

Oft ist es nicht gunstig, als Hauptnenner das Produkt aller vorkommenden Nenner zu wahlen, weil sich dadurch der Rechenaufwand unnotig vergroJ3ert. Sei z.B.

~ +~ +~ x

xy

y

zu addieren. Nehmen wir zunachst als Hauptnenner das

abe axy2 + bxy + ex 2 y Produkt, so ergibt sich - + ~ + - = 2 2 . Hier kann aber noch x xy y x y gekurzt werden: axy2 + bxy + ex 2y xy(ay + b + ex) ay + b + ex Das Ergebnis laJ3t uns X 2y 2 xy . xy xy vermuten, daJ3 man bereits mit dem Hauptnenner xy ausgekommen ware. In der Tat sind aile vorkommenden Nenner als Faktoren in dem Ausdruck xy enthalten, abe ay b ex ay + b + ex -x + -xy + -y = -xy + -xy + -xy = Wir haben so das Ergebnis viel xy einfacher erhalten. Fur die Bildung des Hauptnenners merken wir uns: Man sucht einen Ausdruck, in dem aile beteiligten Nenner als Faktoren vorkommen. Das Produkt der Nenner leistet das immer. Oft aber gibt es "einfachere" Ausdrucke (d.h. solche mit weniger Faktoren), die das bereits leisten. Erweitert wird ein bestimmter Bruch der zu berechnenden Summe oder Differenz dann gerade mit dem Teil des Hauptnenners, der den Nenner des zu behandelnden Bruchs zum Hauptnenner erganzt.

abe . b h Beispiel: - + - - - 2 sel zu erec nen. Die drei Nenner sind x, xy, xy2. Sie x xy xy sind aile Faktoren von xy2, denn

28

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

X.

xy· Y = xy2,

y2 = xy2,

xy2. 1 = xy2.

(1.25)

Ein geeigneter Hauptnenner ist also xy2. Die Zerlegungen in (1.25) zeigen auch, wie man erweitern muB: den ersten Bruch mit y2, denn y2 erganzt den vorhandenen Nenner x zum Hauptnenner, den zweiten Bruch mit y, den dritten mit 1 . abc ay2 + by - c (d.h. der dritte blelht unverandert). Also: - + - - - 2 = 2 X xy xy xy Man gehe die Beispiele 1) - 4) nochmals durch: dort ist der "einfachste" Ausdruck, in dem alle beteiligten Nenner als Faktoren vorkommen, gerade das Produkt der Nenner. Weitere Beispiele: 1)

2)

1

"8 -

1 12

7

+4=

1.3 - 1.2+6 .7 24

43 24

Bei ganzen Zahlen als Nennern ist der einfachste Hauptnenner das kleinste gemeinsame Vielfache. x 2x y - +x+y - - +x-y -y-x Hier konnte man zuniichst meinen, es giibe keinen einfacheren Hauptnenner als das Produkt der drei Nenner. Da aber y - x = -(x - y) ist, gilt nach den Vorzeichenregeln (1.21) und (1.22):

x

2x

y

x

2x

Y

--+--+--=---+--+-y-x x+y x-y x-y y+x x-y -x(x + y) + 2x(x - y) + y(x + y) (x - y)(x + y) x 2 -2xy+y2 (x-y)(x+y)

(x_y)2 (x-y)(x+y)

x-y x+y

2

3)

2x+5 x-5 - x - - 2x - 4x 2

8x +17x+5 = 4x(2x+5)-2x-(x-5) = ----,---;:--4x2 4x2

4)

--- 2 +---=--+..,....,--.,.,x+4 x +8x+16 6x+24 x+4 (x+4)2 6(x+4)

abe

abe

6a(x + 4) - 6b + c(x + 4) 6(x + 4)2 6ax + 24a - 6b + ex + 4c 6(x+4)2

Weitere Beispiele werden im Abschnitt tiber Potenzrechnung behandelt.

Zum AbschluB unseres Exkurses tiber die grundlegenden Rechenregeln stellen wir noch die Regeln tiber das Rechnen mit der Null kurz zusammen: a+O=O+a=a

(1.26)

1.1. GRUNDREGELN DES RECHNENS

a- 0

Aus

29

= -0 + a = a

(1.27)

O·a=a·O=O

(1.28)

Q= o.

(1.29)

a

a

b = 0 folgt a = o.

Ein Bruch ist also dann und nur dann gleich Null, wenn

der Zahler gleich Null ist. Beispiel: Aus

Aus ab

x-y 2 6a +xy

=0

folgt x - y

= 0, d.h. x = y.

= 0 folgt a = 0 oder b = 0;

zusammen mit (1.28) heiBt das:

Ein Produkt ist dann und nur dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Beispiel: Aus Xl . X2 . X3 = 0 kann man schlieBen, daB konnen natiirlich auch zwei oder aile drei der

1.1.3

Xl Xi

= 0 oder X2 = 0 oder gleich Null sein).

X3

= 0 ist (es

U mformen von G leichungen. Lineare G leichungen

Einen Ausdruck in allgemeinen Zahlen - oder, wie man auch sagt, in Variablen - nennt man einen Term; auch konkrete Zahlen sollen zu den Termen gerechnet werden. 16, -5,3, -a, a+b, y-7, (a-b)2, x 2 +2x+5, (x-a)2x - y, ~d sind Beispiele fur Terme. In unseren bisherigen x 2 - 4 c+ Rechnungen sind uns ja zahlreiche andere Beispiele begegnet.

(y + b)(x - c),

a (a-0 2

Ausdrucke, die fur keinen konkreten Wert einen Sinn ergeben, wie --,;: x-x oder y2 - y2 b- b schlossen.

~

2 )

(Q)0 sind keine Terme und werden aus der Betrachtung ausge-

Manche Terme sind fur jede Wahl der in ihnen vorkommenden allgemeinen Zahlen oder Variablen sinnvoll, z.B. a + b, (a + b)2, x 2 + 2x + 5, y - 7, -a,

30

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

(x-a?-(y+b)(x-c). In anderen Termen muB man die Wahl der vorkommenden Variablen einschranken, weil man nie durch Null dividieren darf (spater lernen wir noch weitere verbotene Operationen kennen). Z.B. darf in dem Term x nicht gleich 2 und auch nicht gleich -2 sein, da fur diese Werte

und damit der Ausdruck sinnlos wird. In dem Term Term x kann.

Z Z X

~d muB c #c+

X

Z

-

X - Y x z -4

4= 0

-d sein. 1m

+ 6 unterliegt x keiner Einschrankung, da x Z + 1 nie Null werden +1

2x

Mit Termen, die nicht fur aile Werte der vorkommenden Variablen sinnvoll sind, darf man nur operieren, wenn man die Werte oder Wertekombinationen, fur die der Ausdruck sinnlos wird, ausschlieBt. In der Praxis geht oft aus inhaltlichen Zusammenhangen hervor, ob die Variablen die Werte, fiir die ein Ausdruck sinnlos wird, annehmen konnen oder nicht. So kommt z.B. in der Rentenrechnung (vgl. Kap. 3) der Term qn - 1 vor. Mit diesem Term kann q- 1 bedenkenlos operiert werden, da der Aufzinsungsfaktor q immer groBer als 1 und somit q - 1 stets I- 0 ist.

Eine Gleichheit von zwei Termen Tl, T z:

nennt man eine Gleichung. Oft mussen solche Gleichungen umgeformt werden, z.B., urn sie nach einer derdarin vorkommenden Variablen aufzulosen. Wir wollen jetzt einige wichtige erlaubte Umformungen von Gleichungen kennenlernen. "Erlaubt" bedeutet, daB aus T1 = T z wieder eine Gleichung hervorgeht und daB umgekehrt aus der neu entstandenen Gleichung auf das Bestehen der alten geschlossen werden darf. Wir drucken diese Ubergangsmoglichkeit von einer Gleichung zur anderen und umgekehrt durch einen Doppelpfeil aus; man sagt, die alte und die neue Gleichung sind aquivalent. Es gilt: T1 = T z {::::::::} T1

+ T3 =

T1 = T z {::::::::} T1

-

T z + T3

T3 = T z - T 3

(1.30)

Auf beiden Seiten einer Gleichung darf derselbe Term addiert oder subtrahiert werden. Insbesondere gilt T j = T 2 ¢::::::> T j -T2 = 0 (wenn man namlich aufbeiden Seiten den Term T2 subtrahiert). Etwas lax sagt man oft: Man kann einen Term mit "Minus" auf

1.1. GRUNDREGELN DES RECHNENS

31

die andere Seite "schaffen" . Diese Sprechweise ist ganz suggestiv, man muB nur wissen, was gemeint ist.

(1.31) Beide Seiten einer Gleichung durfen mit demselben Term multipliziert werden, aber nur, wenn der Multiplikator nicht verschwindet. (1.32) Beide Seiten einer Gleichung durfen durch denselben Term dividiert werden, aber nur, wenn der Divisor nicht verschwindet. Die Einschrankung in (1.31) und (1.32), daB der Multiplikator bzw. der Divisor T 3 nicht verschwindet, bedeutet folgendes: Die Operation ist fUr aile die Werte oder Wertekombinationen der im Term T 3 vorkommenden Variablen erlaubt, fUr die T 3 ~ ist. 1st z.B. T 3 = x - 2a, so darf etwa durch T 3 dividiert werden fUr x - 2a ~ 0, d.h. x ~ 2a. Fur aile Wertekombinationen x, a mit x = 2a, z.B. fUr x = 4, a = 2, ware die genannte Operation nicht erlaubt.

°

1m Kapitel 2 werden wir noch weitere erlaubte Umformungen kennenlernen. Lineare Gleichungen: Eine Gleichung mit einer unbekannten GroBe x nennt man linear, wenn man sie durch erlaubte Umformungen auf die Gestalt

Iax = b mit a i- 0 I

(1.33)

bringen kann. a und b faBt man dabei als gegebene GroBen auf. Dividiert man (1.33) auf beiden Seiten durch a (wegen a i- 0 ist das erlaubt), so ergibt sich sofort die Losung (1.34) Lineare Gleichungen konnten schon die agyptischen Priester urn 1800 v. Chr. 16sen. Beispiel: Ein Gewinn von 9500 Euro solI an vier Gesellschafter A, B, C, D, folgendermaBen verteilt werden: B erhalt das Doppelte von A, C erhalt soviel wie A und B zusammen, D erhalt das 1,5-fache von C gemindert urn 1000 Euro. Bezeichnen wir den Anteil von A mit x, so ergibt sich die Gleichung: x + 2x + (x + 2x) + 1, 5(x + 2x) - 1000 = 9500 bzw. 10, 5x - 1000 = 9500. Addition von 1000 auf beiden Seiten liefert 10,5x = 10500, Division durch 10,5 ergibt x = 1000 Euro, woraus sich samtliche Anteile leicht berechnen.

32

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

In den folgenden Beispielen werden - wie allgemein ublich - die vorzunehmenden Umformungen hinter einen senkrechten Strich geschrieben. I: 7 bedeutet also: beide Seiten der Gleichung sind durch 7 zu teilen. Man bestimme x aus folgenden Gleichungen:

1)

7x

+ 3 = 5x -

1-5x

2

1-3

7x - 5x +3 =-2

I: 2

2x =-5 5 x= - 2

2)

1

x _ 3 = 5

1

·(x - 3);

1

+15

x

I- 3

1 = 5(x - 3) 1 = 5x - 15

16 = 5x I: 5 16 x=5 Dies x ist tatsachlich die Losung, da es nicht erlaubt gewesen. 3)

4 x-2

2 x+1 4 = 2(x - 2) x+1

4x+ 4 = 2x - 4

I ·(x -

I- 3 ist. Fur

x = 3 ware ja die Umformung

2);

+ 1);

1

·(x

1

-2x - 4

x

I-

-1

4x - 2x = -4 - 4 2x

= -8

I: 2

x =-4

Das ist die Losung, da x

I- 2 und x I- -1

ist.

In der linearen Gleichung (1.33) kommen drei allgemeine Zahlen, namlich a, x und b VOL Wir hatten a, b als gegeben, x als gesucht angenommen. Man kann auch annehmen, daB x und b gegeben sind und a gesucht ist. Die Lasung lautete b dann a = -, (x #- 0). Es hat sich in der Unterrichtspraxis der Mathematik einx gebiirgert, gegebene GraBen mit den Anfangsbuchstaben des Alphabets (z.B. a, b, c), gesuchte GraBen mit den Endbuchstaben (z.B. x, y, z) zu bezeichnen. Bei praktischen Zusammenhangen, etwa in der Okonomie, laBt sich das nicht durchhalten. Man muB vielmehr aus dem Zusammenhang, aus der Problemstellung entnehmen, welche GraBen gegeben und welche gesucht sind. Die

1.1. GRUNDREGELN DES RECHNENS

33

Aufgabe besteht dann in einem solchen Fall etwa darin, eine Gleichung nach der jeweils gesuchten GroBe aufzulosen (oft wird auch gesagt: die Formel nach der gesuchten GroBe umzustellen). Beispiel: In Abschnitt 1.2 werden wir sehen, daB ein Kapital von K o Euro, welches t Tage lang zu einem Zinssatz von p% angelegt wird, ~65 Euro

Ibo·.

Zinsen bringt. Bezeichnen wir also mit z die Zinsen, so gilt die Gleichung.

K o ·p·t z = ----''---100·360

(1.35)

Hier sind K o, p, t gegeben, gesucht ist z; diese Formel gibt also die Antwort auf die Frage "Wieviel Euro Zinsen bringen K o Euro Kapital in t Tagen bei einem Zinssatz von p% ?". Nun konnte aber auch gefragt werden: "Wieviel Euro muB man anlegen, urn bei einem Zinssatz von p% in t Tagen z Euro Zinsen zu erzielen?" Also etwa konkret: Wieviel Euro muB man anlegen, urn bei einem Zinssatz von 5,2% in 220 Tagen 732,86 Euro Zinsen zu erzielen? Nun ist z, t und p gegeben und K o ist gesucht. (1.35) ist eine lineare Gleichung fur K o: p' t

100 . 360 . K o = z Denn eine lineare Gleichung hat ja - in Worten ausgedruckt - die Gestalt "Bekannte Grol3e mal Unbekannte = einer weiteren bekannten Grol3e" .

p' t

Division durch 100.360 (bzw. Multiplikation mit dem Kehrwert) auf beiden Seiten liefert z· 100·360 Ko=---p' t

- k hl'b . K Fur oblge onkrete Za en ergl t slch 0

- 100· 360 = 732,86 5,2 _220 = 23062,03 E uro.

Ebenso gibt es sinnvolle Fragen, die es erforderlich machen, die Gleichung (oder wie man auch sagt, die Formel) (1.35) nach p oder nach t aufzulosen. Wie lauten diese Fragen? Wie sehen die entsprechenden Auflosungen aus? Weitere Beispiele: 1)

Man lOse nach a auf: a-b - - y =K-x I-e e

(a-b)y=Kxe

34

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

I +by

ay- by = Kxc

I: y

ay = Kxc+ by Kxc + by a= y

2)

Man lose nach q auf: ab-F= ~ q-1

1·(q-1)

(ab-F)(q-1)=qa

= qa ab + F = 0

abq - Fq - ab + F abq - aq - Fq -

abq - aq - Fq

= ab -

(ab - a - F)q

= ab -

q

=

I-qa

F

I +ab - F I q ausklammern

F ab - F ab - a - F

Die Beispiele 1) und 2) zeigen die Strategie, die man bei der Auflosung immer verfolgt: Man bringt aile Terme, die die gesuchte GroBe enthalten, durch erlaubte Umformungen auf eine Seite, aile iibrigen auf die andere Seite. Dann versucht man durch Ausklammern und Division durch den bei der gesuchten GroBe stehenden Faktor die Auflosung. Das funktioniert immer, wenn das Problem auf eine lineare Gleichung flir die gesuchte GroBe flihrt, was natiirlich nicht der Fall zu sein braucht. In Kap. 2 lernen wir weitere Auflosungsverfahren.

3)

-I + -1 = I u

v

.. soli nach u aufgelost werden.

-uI = 1 - -vI

U(I-~)=l 1 u=--l 1-v 4)

I

v

= v-I = v-I -v

Man lose nach i auf: q- 1 F=f-I.q--.?"

t

• 1- q F-liq=-.t

i(F - K q) .

=I -

q

1-q

t=---

F- Kq

35

1.2. PROPORTIONEN, PROZENTRECHNUNG, ZINSEN

1.2

Proportionen, Prozentrechnung, Zinsen

1.2.1

Proportionen

Wenn eine GroBe a zu einer GroBe b dasselbe Verhaltnis hat wie eine GroBe e zu einer GroBe d, also wenn (1.36) la:b=e:dl (gelesen: a zu b wie e zu d) ist, so spricht man von einer Proportion. Sie kann auch so geschrieben werden: (1.37) Multiplikation mit bd auf beiden Seiten von (1.37) liefert die zur Proportion (1.36) gleichwertige Gleichung (1.38) Iad =

bel

Wir merken uns den Sinn von (1.38) in Worten:

In einer Proportion ist das Produkt der Innenglieder gleich dem Produkt der AuBenglieder. Aus (1.38) laBt sich sofort, wenn drei der GroBen gegeben sind, die vierte ermitteln. Eine groBe Auswahl von Aufgaben laBt sich so behandeln, ohne daB man sich irgendein Rechenverfahren merken muB. Die Proportion gewinnt man namlich unmittelbar aus dem inhaltlichen Zusammenhang, dann setzt man die Produkte gemaB (1.38) gleich und lost die entstehende lineare Gleichung. Beispiele: 1)

Aus 4 kg Gam kann man 3 m Tuch weben. Wieviel m Tuch kann man aus 23,5 kg Gam herstellen? Bezeichnen wir diese gesuchte Menge mit x, so besteht die Proportion: 3·23,5 4: 23,5 = 3: x, also 23,5·3 = 4x und x = --4- = 17,625 m.

2)

Mit einem Bauvorhaben haben 12 Arbeiter 16 Tage lang zu tun. Wie lange wiirden 18 Arbeiter benotigen? Hier ist beim Aufstellen der Proportion zu beachten, daB mehr Arbeiter weniger Zeit brauchen, daB also ein umgekehrtes Verhiiltnis vorliegt. 12 : 18 18x

x

3)

= x : 16

= 12 ·16

12 . 16

2

= ~ = 103' Tage.

Bei einer Inventur nahmen 6 Verkiiuferinnen in 8 Stunden 5600 Artikel auf. Wie lange wiirden 9 Verkiiuferinnen in einer gleichartigen Abteilung mit der Aufnahme von 7400 Artikeln zu tun haben?

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

36

Man braucht zwei Schritte: 1st y die Anzahl der Stunden, die 9 Verkauferinnen fUr 5600 Artikel brauchen wiirden und x die gesuchte Stundenzahl, so gilt: 6: 9 = y : 8 (umgekehrtes Verhaltnis) 5600 : 7400 = y : x , also 48 9y = 6·8; y = 9 7400y = 5600x 7400·48 x = 5600.9

4)

24 Lampen ben6tigen bei taglich 6-stiindiger Brennzeit in 15 Tagen 188 kWh. Wieviel kWh verbrauchen 16 Lampen in 40 Tagen bei taglich 4-stiindiger Brennzeit? z: Anzahl der kWh, die 24 Lampen bei tagl. 4-stiindiger Brennzeit in 15 Tagen brauchen y: Anzahl der kWh, die 24 Lampen bei tagl. 4- stiindiger Brennzeit in 40 Tagen brauchen x: gesuchte GroBe 6 : 4 = 188 : z; z : y = 15 : 40; y : x = 24 : 16 188·4 6z = 188 . 4 ; z = - 6 40·188·4 15y = 40z ;y = 15 . 6 24x

5)

= 7,05 Stunden.

= 16y

;x

= 16·40· 188·4 = 222,81 kWh.

24·15·6 100 hollandische Gulden entsprachen friiher 88,20 DM. 1 kg Kaffee kostete 10,40 Gulden. Wieviel kosteten 250 g Kaffe in DM? 100 : 88,20 = 10,40 : y 1000 : 250 = y : x Y=

x

1.2.2

88,20· 10,40 100

= 250· 88,20 . 10,40 = 2 1000.100

'

29 DM.

Prozentrechnung

In der Prozentrechnung bezeichnet man die GroBe, die 100% entspricht, als den Grundwert g, die GroBe, die dem Prozentsatz p% enspricht, als den Prozentwert w. In der Praxis sind immer zwei dieser GraBen gegeben, die jeweils dritte ist dann gesucht. Aus diesem inhaltlichen Zusammenhang ergibt sich sofort folgende Proportion: (1.39) !p:100=w:gl

1.2. PROPORTIONEN, PROZENTRECHNUNG, ZINSEN

37

Also: p. 9 = 100· w.

(1.40)

1st der Prozentwert gesucht, so hat man dann p. 9 P w = - - = Grundwert . -

100

100

.

(1.41 )

Diese Rechnung ist auf dem Taschenrechner durch die % -Taste erleichtert.

GJ

9~ Tastenfolge: p ~ Aus (1.40) erhalt man bei gesuchtem Grundwert 100w p

g=--

(1.42)

und bei gesuchtem Prozentsatz 100w

p=--.

9

(1.43)

Man braucht sich (1.42) und (1.43) nicht zu merken, weil es einfacher ist, fUr jede konkrete Aufgabe die Proportion (1.39)aus dem Inhalt der Aufgabe heraus zu formulieren und dann die gesuchte GroBe zu ermitteln, nachdem man die Proportion gemaB dem Rezept "Produkt der Innenglieder=Produkt der AuBenglieder" umgeformt hat.

Beispiele: 1)

Ein Lieferer gewahrt bei Barzahlung 2t% Skonto. Wie hoch ist der nachgelassene Betrag, wenn der Rechnungsbetrag 7256,30 Euro betragt?

100 : 2,5 = 7256,30 Euro : x _ 7256,30 Euro· 2,5 _ 8 41 E x 100 - 1 1, uro Bei Fragen nach dem Prozentwert ist das allerdings iiberfliissig; man weill: Grundwert . 1~0' also

2, 51K1 ~ 7256,30 [;] 181, 4l. 2)

Ein Artikel wird mit 559 Euro eingekauft und mit 779 Euro ausgezeichnet. Wieviel % betragt der Aufschlag? Aufschlag

= 779 -

559

= 220 Euro

100 : x = 559 : 220 _ 220· 100 _ 39 36% x 559 , o. Oder man rechnet: 100 : y = 559 : 779; y = 139,36%, der Aufschlag ergibt sich dann aus 139,36% - 100% = 39,36%.

38

3)

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

Fur eine Ware, auf die 8% Rabatt gewahrt wurde, zahlt man 432,70 Euro. Wie teuer war sie ursprunglich? 100 : 92

= x : 432,70

x = 470,33 Euro.

4)

Die Miete einer Wohnung betragt nach einer Mieterhohung um 8% 891 Euro. Wie hoch war die bisherige Miete? 100: 108 = x : 891 Euro x

5)

= 825 Euro.

Auf ein Mobelstuck wird 8% Rabatt gewahrt. Auf diesen verminderten Betrag wird noch 3!% Skonto gewahrt. Der Kunde zahlt schlieBlich 8345,32 Euro. Wie teuer war das Mobelstiick? Man braucht hier zwei Schritte: Sei y der um den Rabatt verminderte Betrag, x der gesuchte Preis, so gilt: 100 : 96,5 Y

= y : 8345,32 Euro =

8345,32 Euro . 100 965 ,

100: 92 = x : y 92x = 100y = 8345,32 Euro . 100 . 100 = 9400 E uro. x 96, 5 . 92 Abwegig ware es hier, die beiden Prozentsatze zu addieren und 8345,32 als 88,5% anzusetzen. Warum?

1.2.3

Zinsen

Wird Kapital ausgeliehen oder angelegt, kurz, wird Kapital iiberlassen, so werden Zinsen erhoben. Die Termine, an denen die Zinsen fallig werden, nennt man die Zinszuschlagtermine. Der Zeitraum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zinszuschlagterminen heiBt die Zinsperiode. Die gangigsten Zinsperioden sind das Jahr und der Monat, aber auch Halbjahr und Quartal sind in Gebrauch. Wir betrachten hier nur den Fall nachschiissiger Verzinsung, d.h. die Zinsen werden am Ende der jeweiligen Zinsperiode (bzw. am Ende der Kapitaliiberlassungsfrist) gezahlt. (Das Ende der Kapitaliiberlassungsfrist ist stets ein Zinszuschlagtermin). Ferner geht es hier zunachst urn einfache Verzinsung; das Kapitalwachstum bei Zinseszins betrachten wir in Kap. 2. Einfache Verzinsung bedeutet: der Kapitaliiberlassungszeitraum fallt mit einer Zinsperiode zusammen oder liegt ganz innerhalb einer Zinsperiode. Wir beschranken uns auf das Jahr als Zinsperiode. Die Zinsen eines Kapitals

1.2. PROPORTIONEN, PROZENTRECHNUNG, ZINSEN

39

K o, des sogenannten Anfangskapitals, sind in einem Jahr gerade p% von K o; der Prozentsatz p heiBt der ZinsfuB (auch oft Zinssatz genannt). 1st beim Zinssatz kein Zeitraum angegeben, so bezieht er sich immer auf ein Jahr; manchmal steht auch p.a. (per annum = pro Jahr) dahinter. (Die Zeitangabe p.m. wurde auf einen Monatszins hindeuten). Eine Angabe von z.B. p = 7,3% p.a. bedeutet also, daB 100 Euro, zu diesem Zinssatz angelegt, in einem Jahr 7,30 Euro Zinsen bringen. Ein Kapital K o, zu p% angelegt, bringt in einem Jahr also gemaB (1.41) Ko.

1~0

Euro Zinsen,

denn K o ist der Grundwert, die Zinsen sind der Prozentwert zum Prozentsatz p. Wichtig ist die Berechnung von Tageszinsen, z.B. fUr das Diskontieren von Wechseln, fur die Berechnung von Verzugszinsen, von Zinsen fUr kurzfristige Dispositionskredite und in vielen anderen Fallen. Es wird also gefragt, wieviel Euro Zinsen ein Kapital K o bringt, welches t Tage lang zu p% angelegt ist. Urn diese Frage zu beantworten, mussen wir zunachst einige in Deutschland im kaufmannischen Bereich geltende Regeln kennenlernen: Das Zinsjahr hat 12 gleiche Zinsmonate zu je 30 Zinstagen; das Zinsjahr hat also 360 Zinstage. Falls das Ende eines Uberlassungszeitraums "Ende Februar" lautet, wird der Februar exakt gezahlt mit 28 , gegebenenfalls 29 Tagen (in allen anderen Fallen hat der Februar auch 30 Zinstage!). Bei der Ermittlung der Laufzeit, d.h. beim Zahlen der Zinstage, wird der erste Tag des Uberlassungszeitraums nicht gezahlt, der letzte Tag wird gezahlt. Beispiele zum Ziihlen der Tage: 1)

Jemand Uberzieht am 26.1. sein Konto urn einen gewissen Betrag und gleicht das Konto (ohne weitere Kontenbewegungen) am 17.3. wieder aus. FUr wieviel Tage muB er Uberziehungszinsen zahlen? Januar: 27.1., 28.1., 29.1., 30.1.:4 Tage (der 26.1. ziihlt nicht!). Februar: 30 Tage (die Uberiassungfrist endet nicht mit Ende Februar). Marz: 17 Tage, also insgesamt 51 Tage. FUr das Zahlen der Tage ist folgende EselsbrUcke hilfreich: Tage im ersten angebrochenen Monat: 30-Datum; im Beispiel: Januar: 30 - 26 = 4 Tage. Tage im letzten angebrochenen Monat: =Datum; im Beispiel: Marz: 17 Tage.

2)

Uberiassungszeitraum: 16.2-28.11. Februar: 30 - 16 = 14 Tage Marz-Oktober: 8 Monate zu 30 Tagen = 240 Tage November: 28 Tage. Insgesamt 282 Tage.

Nun k6nnen wir die Tageszinsformel leicht aus einer Proportion gewinnen und dann bei gegebenen Uberlassungszeitraumen anwenden. Bezeichnen wir mit z

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

40

die Zinsen eines Kapitals K o, welches t Tage lang zu p% iiberlassen wird, so verhalt sich z zu den Zinsen in einem Jahr, d.h. zu das ganze Jahr hat 360 Zinstage. Es gilt also

~~~p,

wie t zu 360, denn

z : K o . p = t : 360 100 bzw. 360· z =

K o ' p·t 100

,also schlieBlich

K 'p' t z = -o- - 100·360

(1.44)

Beispiele: 1)

Eine Rechnung tiber 7236,50 Euro, fallig am 25.6., wird am 8.8. bezahlt. Der Verzugszinssatz betragt 6,5%. Wieviel Verzugszinsen werden fallig? = 7236,50 Euro . 6, 5 . 43 = 6 18 E r . 25.6.-8.8.:5 + 30 + 8 = 43 T age, Z 100.360 5 , u 0

2)

Jemand tiberzieht am 5.7. sein Konto urn 2400 Euro und gleicht es am 14.9. wieder aus. Der Zinssatz fUr den Dispositionskredit betrage 14,5%. Wieviel Zinsen bucht ihm die Bank fUr die Uberziehung ab? = 2400 Euro . 14,5 . 69 = 66 70 E r . z 100 . 360 ,u 0

3)

Jemand leiht fUr 9 Monate 12000 Euro zu 7,6% p.a. Wie hoch ist die Riickzahlungssumme? 12000·7,6·270 9 Monate = 270 Tage, z = 100 . 360 = 684 Euro. Die Riickzahlungssumme betragt 12000 Euro

+ 684 Euro

= 12684 Euro.

Beispiel 3) legt noch nahe, direkte Formeln fUr das Endkapital aufzustellen. Es gilt bei nachschussiger Verzinsung: Endkapital = Anfangskapital

+ Zinsen

Fur das Endkapital nach einem Jahr, das wir mit K 1 bezeichnen wollen (das Anfangskapital war ja K o), ergibt sich:

K 1 = K o + K o . --'!!100

(1.45)

1.2. PROPORTIONEN, PROZENTRECHNUNG, ZINSEN

Fiir die GroBe 1 +

41

1~0 hat sich die Abkiirzung q eingebiirgert: (1.46)

q heiBt der Aufzinsungsfaktor. Man kann ihn bei gegebenem p sofort im Kopf berechnen; und umgekehrt weiB man bei gegebenem q sofort, wie graB p ist. Die folgende kleine Beispieltabelle macht das ohne weiteren Kommentar klar:

p

2%

5%

7,2%

41.% 4

61.% 3

12,4%

q

1,02

1,05

1,072

1,0425

1,0633 ...

1,124

Mit dem Aufzinsungfaktor q gilt fiir das Endkapital nach einem Jahr: (1.47) Auf diese wichtige Formel werden wir im Kap.2 noch zuriickkommen. Beispiel: Auf welche Summe wachsen 22000 Euro zu 5,1% in einem Jahr?

K 1 = 22000· 1,051 = 23122 Euro.

Fiir das Endkapital K nach t Tagen gilt:

IK

= Ko(

1

K = K o + K o 10~: ~60

+ 10~: ~60) I

Rechnen wir Beispiel 3) noch nach dieser Formel: K = 12000 (1

+

~~~: ~~~)

= 12000 ·1,057

= 12684 Euro.

(1.48)

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

42

1.3 1.3.1

Summenzeichen, Mittel, Indexzahlen Gebrauch des Summenzeichens

Wir hatten in einigen Beispielen des Abschnittes 1.1.2 schon gesehen, wie man mittels Indices Summen mit einer beliebigen Anzahl von Summanden aufschreiben kann. Betrachten wir dazu noch ein praktisches Beispiel: Aus den wochentlich erfaJ3ten Umsiitzen eines Warenhauses sol1 am Jahresende der Gesamtumsatz ermittelt werden. Das ist eine Summe mit 52 Summanden. Bezeichnen wir den Umsatz in der i-ten Woche mit Ui (Ut ist also der Umsatz in der ersten Woche, U2 in der zweiten, usw.), so gilt fiir den Gesamtumsatz U:

U=

Ut

+ U2 + ... + US2.

(1.49)

Die drei Punkte deuten die iibrigen Summanden an (eigentlich miiJ3te man ja 52 Summanden aufschreiben, da aber das Bildungsgesetz der Summe vo11ig klar ist, geniigt es, ihren Anfang und ihr Ende aufzuschreiben). Das Summenzeichen E dient nun dazu, Summen noch kiirzer und tibersichtlicher als etwa in der Form (1.49) darzuste11en. n

Das Zeichen L

ai (gelesen: Summe tiber a11e ai von i = m bis i = n) ist eine

i=m

abgektirzte Schreibweise fUr die Summe am n

L

ai = am

+ am+t + ... + an'

+ am+t + ... + an'

Es ist also (1.50)

i=m

i heiJ3t der Summationsindex; er beginnt bei der Summationsuntergrenze m, erhoht sich schrittweise urn 1 und endet bei der Summationsobergrenze n. Es ist also insbesondere n

L

ai = at

+ a2 + ... + an'

i=t

Die Bezeichnung dieses Index ist beliebig, d.h. es gilt: n

n

n

Lai = Laj = Lak. ,=m j=m k=m

(1.51 )

Natiirlich darf man fUr den Summationsindex keines der Symbole nehmen, die in den Summationsgrenzen vorkommen; also in (1.51) konnte man die Buchstaben m oder n nicht als Summationsindex benutzen.

1.3. SUMMENZEICHEN, MITTEL, INDEXZAHLEN

43

Beispiele: k

1)

La/ = al

+ a2 + ... + ak

1=1

27

2)

L

bj

= b + b + ... + b27 5

6

j=5 m

3)

L XkYk = XoYo k=O

+ X1Yl + ... + XmYm

n

4)

L i = 1 + 2 + ... + n i=l N

5)

L(n 2

-

n + 2) = 2 + 2 + 4 + ... + (N 2

-

N

+ 2)

n:=:O

n

6)

L

aikXk = ail Xl

+ ai2 X2 + ... + ainXn'

k=l

Summen dieses Typs kommen in den Anwendungen besonders haufig Yor. (s. Kap. 7) n

7)

L

xf(Y/ - ZI) = x~(Ym - zm)

+ X~+l(Ym+l

-

zm+d

+ ... + X~(Yn -

zn)

I=m

Folgende Beispiele zeigen den umgekehrten Vorgang, d.h. eine ausgeschriebene Summe soli durch das Summenzeichen ausgedriickt werden: 1)

In unserem Ausgangsbeispiel (1.49) gilt: 52

U=LUi. i=1 2n

2)

aob6

+ al br + ... + a2nb~n = L

aibr

i=O

3)

5XIX2

+ 5 X2X3 + ... + 5xnxn+l

n

= L

5 Xi Xi+l

i=l

4)

ailxl

+ ai2X2 + ... + aimXm

m

= LaijXj j=l

i ist hier eine feste GroBe. Man kann als Summationsindex jeden Buchstaben wahlen, nur nicht i (und m natiirlich auch nicht)! m

(Was ware denn L aiiXi 7) i=1

5)

1 + 4 + 9 + ... + k 2 =

k

Li i=1

2

44

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

Es gelten fur das Summenzeichen folgende Rechenregeln: n

1)

L (ai i=m n

2)

L

n

+ bi ) =

L

n

ai

i=m

+L

bi

i=m

n

cai =

C

i=m

L

ai

i=m

d.h. ein nicht vom Summationsindex abhangiger Faktor kann aus der Summe ausgeklammert werden. n

3)

L i-I

C

= P + C + ...

+ S=

n .C

v

n Summanden

-

n

n

n

Man beachte insbesondere, daB L aibi La. etwas vollig anderes ist als L ai . L bi ! So ist L aibi = alb l s

1.3.2

i=l

+ a2 b2 + asbs , aber

i=l

s

Lai Lbi i=l

i=l

i=l

s

= (al +a2 + as)(bl + b2 + bs)

i=l

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel oder der Durchschnitt von n Zahlen die Zahl

Xl, X2, ... ,Xn

ist

(1.52)

Beispiel: Die Quartalsumsatze eines Restaurants betrugen im Jahr 2003: Quartal

1

2

3

4

Umsatz (Euro)

135750

122000

207400

157850

Wie hoch ist der durchschnittliche Umsatz pro Quartal? 1

x = 4(135750 + 122000 + 207400 + 157850) =

155750 Euro.

1.3. SUMMENZEICHEN, MITTEL, INDEXZAHLEN

45

Eine grosse praktische Bedeutung hat das gewogene arithmetische Mittel. Betrachten wir folgendes Beispiel: Von einer Ware A sind drei Sorten AI, AIl und AlII auf dem Markt. Die folgende Tabelle enthalt die Preise und die umgesetzten Mengen in einer bestimmten Woche: Warensorte

Preis/kg

umgesetzte Menge

AI

3,- Euro

430 kg

AIl

2,- Euro

950kg

AlII

5,- Euro

70 kg

Gesucht ist der Durchschnittspreis fUr die umgesetzte Ware A in der betrachteten Woche. Hier ware es verfehlt, das Mittel der Preise zu nehmen. Denn die teure Sorte A III hat ja einen viel geringeren Anteil am Verkauf der Ware A als etwa die Sorte All. Deshalb kommt ihr bei der Berechnung des Durchschnittspreises ein viel geringeres Gewicht als der Sorte AIl zu. Man wird hier die umgesetzten Mengen als Gewichtsfaktoren benutzen: 3 . 430 + 2 . 950 + 5 . 70 3 . 430 + 2 . 950 + 5 . 70 x = Durchschnittspreis Gesamtmenge 430 + 950 + 70 = 2,44 Euro/kg.

Kommen MaBzahlen Xl, X2,· .. , Xn unterschiedliche Gewichte gl, g2,···, gn zu, ist das gewogene Mittel der Xi folgendermaBen definiert:

SO

n

LgiXi X=

.::i=::,:l::---_

n

(1.53)

Lgi i=l

Beispiele: 1)

Yl, Y2, . .. , Yn seien die Preise (pro kg von n Sorten einer Ware, Ul, U2, .. . , Un die umgesetzten Mengen der einzelnen Sorten (in kg). Wie lautet die Formel fUr den Durchschnittspreis pro kg? n

LUiYi

f)

= i=~

LUi i=l

2)

Der Preis eines Produktes schwankt von Monat zu Monat. Ein Betrieb ben6tigte das Produkt erstmalig im August 2003 und bezog in den letzten Monaten des Jahres 2003 folgende Mengen zu folgenden Stiickpreisen:

46

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

Monat

8

9

10

11

12

Preis/StUck (Euro)

8,20

8,00

7,80

8,00

8,40

bezogene Menge (StUck)

1200

1070

1290

1300

930

Ublicherweise wird der Restbestand eines Wirtschaftsgutes am Jahresende zum Durchschnittspreis x bilanziert. Es waren am Jahresende noch 200 StUck des betrachteten Produkts vorhanden. Was ist der Bilanzwert dieses Restbestandes? 1200·8,20 + 1070·8,00 + 1290·7,80+ 1300·8,00 + 930·8,40 1200 + 1070 + 1290 + 1300 + 930 = 8,06 Euro/Stlick.

x=---'-------:...,....,--'-,....,.-,,-,--------::-::-::--'-----::-::-----::--::-:-----'--

Bilanzwert 3)

= 8,06 . 200 = 1612 Euro.

Eine Kaffeesorte wird aus drei Sorten gemischt: A mit einem Anteil von 30%zum Preis von 3,60 Euro/kg B mit einem Anteil von 60% zum Preis von 2,90 Euro/kg emit einem Anteil von 10% zum Preis von 4,80 Euro/kg Wieviel kosten 2000kg der Mischung? . /k d M· h 30 . 3,60 + 60 . 2,90 + 10 . 4, 80 P relS g er ISC ung = 100 = 3,30 Euro/kg

Demnach kosten 2000 kg 6600 Euro.

1.3.3

Indexzahlen

Indexzahlen dienen dazu, Entwicklungen zu messen, z.B. die Preisentwicklung, die Umsatzentwicklung, die Entwicklung der Aktienkurse und vieles andere mehr. Sie sind im einfachsten Fall Verhaltnisse von Mittelwerten, oft aber Verhaltnisse von gewogenen Mitteln. Wir wollen hier nur Umsatz-, Preis-, und Mengenindexzahlen behandeln. Wir betrachten einen "Korb" von n verschiedenen Giitern und wollen zunachst die Umsatzentwicklung dieses Korbes durch eine geeignete Indexzahl charakterisieren. Die Preise jedes Gutes (pro Einheit, d.h. etwa pro StUck, pro kg, pro Liter etc.) sowie die umgesetzten Mengen (entsprechend in StUck, kg, Liter etc.) werden periodenweise (etwa wochentlich, monatlich, quartalsweise, jahrlich) registriert. Die Perioden numerieren wir mit 0, 1,2, ... Wir fiihren folgende Bezeichnungen ein: POI, P02, ... , POn seien die Preise der n Giiter in der O-ten Periode, der sogenannten Basisperiode. POj ist also der Preis des j-ten Gutes in der Basisperiode. qOI, q02,· .. , qOn seien die umgesetzten Mengen der n Giiter in der Basisperiode.

47

1.3. SUMMENZEICHEN, MITTEL, INDEXZAHLEN

Entsprechend seien Pil,Pi2,··· ,Pin und qil, qi2,···, qin die Preise bzw. die umgesetzten Mengen in der i-ten Periode, der sogenannten Berichtsperiode. Es solI jetzt die Entwicklung des Umsatzes der n betrachteten Giiter in ihrer Gesamtheit (d.h. des ganzen "Korbes") von der Basisperiode zur Berichtsperiode durch eine Indexzahl ausgedriickt werden. Es gilt: Umsatz = Preis pro Einheit x Menge der umgesetzten Einheiten. Die Umsatze der n Giiter in der Basisperiode sind also die n Produkte POlqOl,P02q02, ... ,POnqOn' Entsprechend sind die Umsatze in der Berichtsperiode die n Produkte Pil qil, Pi2qi2, ... ,Pinqin' Als einen geeigneten Index wird man hier das Verhaltnis der arithmetischen Mittel ansehen k6nnen. Indexzahlen, die die Periode i mit der Periode 0 vergleichen, werden etwa mit dem Symbol 10 ,i bezeichnet. Es wiirde also fUr unseren Umsatzindex gelten:

10 ,i =

1 n - . LPijqij n j=l -l-"'-=n=----

-n . "\' Po 'qo . L.J J J j=l

Wenn wir das nach unseren Kenntnissen iiber Doppelbriiche umformen und n kiirzen, ergibt sich schlieBlich: Umsatzindex

n

10 ,i =

LPijqij j=l .:.,n=----

(1.54)

LPOjqOj j=l

Oft multipliziert man die rechte Seite noch mit 100 und erhalt dann direkt einen Prozentsatz fUr die Anderung. Beispiel: Ftir drei Gtiter wurden tiber 4 Perioden folgende Preise und Mengen ermittelt: Periode 0 1 2 3 Man berechne:

Preis in Euro/Einheit Gut 1 Gut 2 Gut 3 18,20 3,50 105,3,65 17,50 112,18,00 117,3,90 4,10 17,00 132,-

Menge in Einheiten Gut 1 Gut 2 Gut 3 2506 1112 104 1640 2400 103 2320 2230 116 2410 101 2700

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

48

a) Den Umsatzindex 10,1 und den Umsatzindex 10,3; b) den Umsatzindex h,3' Zu b) ist zu bemerken, daB bei der Aufstellung der allgemeinen Formel (1.54) die Basisperiode mit 0, die Berichtsperiode mit i bezeichnet wird. Die Basisperiode kann natiirlich irgendein k sein, die Berichtsperiode i > k, die Formel (1.54) ware dann folgendermaBen zu modifizieren: n

LPijqij

h,i

j=l = .:,n::----

(1.55)

LPkjqkj j=l

1m Beispiel ist k = 2, i = 3, d.h. man will wissen, wie sich der Umsatz von der 2. zur 3. Periode verandert hat. .. 3,65·2400 + 17,50·1640 + 112 . 103 Losung: a) 10 ,1 = 3,50.2506+18,20.1112+105.104 48996 = 39929 ,4 = 1,2271. Der Umsatz stieg von Periode 0 zu Periode 1 um 22,71 % bzw. auf 122,71 % . 4,10·2410 + 17·2700 + 132·101 10 ,3 = 3,50·2506 + 18,20· 1112 + 105· 104 69113 39929,4 1,7309.

=

=

Der Umsatz stieg von Periode 0 zur Periode 3 um 73,09% bzw. auf 173,09% . b) 1

_ 4,10·2410+17·2700+132·101 3,90.2320 + 18 ·2230 + 117· 116

2,3 -

= 69113 = 1 1012.

62750 ' Der Umsatz stieg von Periode 2 zu Periode 3 um 10,12% bzw. auf 110,12% .

Anmerkung: Man liiBt in den Formeln (1.54) bzw. (1.55) oft die Summationsindices und die Summationsgrenzen am Summenzeichen weg und schreibt kurz:

10 , i = - - - bzw. hi = - - LPoqo

,

LPkqk

Wenn man diese Schreibweise in der Literatur findet, muB man sich unbedingt vergegenwartigen, daB i und 0 bzw. i und k hier keine Summationsindices sind, sondern die Perioden kennzeichnen, und daB das Summenzeichen die Summation iiber die n betrachteten Giiter zum Ausdruck bringt; der Summationsindex und die Summationsgrenzen sind weggelassen.

1.3. SUMMENZEICHEN, MITTEL, INDEXZAHLEN

49

Will man die Entwicklung des Preisniveaus des betrachteten Guterkorbes von der Basisperiode zur Berichtsperiode erfassen, kann man nicht - wie bei den Umsiitzen - hier die arithmetischen Mittel der Preise ins Verhiiltnis setzen. Denn werde z.B. vom Gut 2 eine 100 mal gr6Bere Menge von Einheiten umgesetzt als von Gut 1, so wird auf den Preisindex des gesamten Korbes die Preisentwicklung von Gut 2 einen 100 mal so groBen EinfluB haben gegenuber der von Gut 1. Man muB also gewogene Mittel ins Verhiiltnis setzen, d.h. em Preisindex wird so aussehen (gj sind geeignete Gewichte): n

LPij9j j=l n

10 ,i =

n

LPijgj j=l

Lgj j=l n

n

LPOjgj j=l

(1.56)

LPOjgj j=l

n

Lgj j=l

Dabei ist es wichtig, dieselben Gewichte gj fUr die Basisperiode und fUr die Berichtsperiode zu nehmen, andernfalls wurde die .Anderung der Gewichte die Preisiinderung uberlagern und verfiilschen. Fur die Gewichte bieten sich naturgemiiB die umgesetzten Mengen an. Je nachdem, ob man die Mengen der Basisperiode oder die der Berichtsperiode als Gewichte nimmt, erhiilt man verschiedene Indexzahlen mit spezifischen Vor - und Nachteilen. Preisindex nach Laspeyres: Wiihlt man fUr die Gewichte die umgesetzten Mengen der Basisperiode, d.h. gj = qOj, so erhiilt man den n

Preisindex nach Laspeyres:

10 ,i

LPijqOj j=l

= -n--LPOjqOj j=l

oder in Kurzschreibweise

(1.57)

50

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

Preisindex nach Paasche: Wahlt man fUr die Gewichte die umgesetzten Mengen der Berichtsperiode, d.h. gj = qij, so erhalt man den n

Preisindex nach Paasche:

LPij% j=l

10,i =

..:...n,,-----

(1.58)

LPoj% j=l

oder in Kurzschreibweise:

Nach demselben Muster sind die Mengenindexzahlen aufgebaut; hier sind die Gewichte die Preise. Mengenindex nach Laspeyres: Gewichte sind die Preise der Basisperiode: n

10,i=

L%poj j=l

(1.59)

-n---

LqojPoj j=l

oder in Kurzschreibweise:

10i ,

=

LqiPO

.

Lqopo

Mengenindex nach Paasche: Gewichte sind die Preise der Berichtsperiode: n

10,i =

L%Pij j=l

-'--n---

L qOjPij j=l

oder in Kurzschreibweise:

10,i =

LqiPi LqOPi

(1.60)

1.3. SUMMENZEICHEN, MITTEL, INDEXZAHLEN

51

Beispiele: Zugrundegelegt sei die Tabelle von Daten des vorigen Beispiels. Es sind folgende Indexzahlen zu berechnen: a) Preisindex 10 ,3 nach Laspeyres b) Preisindex 10 ,3 nach Paasche c) Mengenindex 11 ,2 nach Laspeyres d) Mengenindex 12 ,3 nach Paasche Zu c) und d) gilt die Bemerkung vom vorigen Beispiel b) sinnngemaB. Lasung (wir geben nur die Rechnung an, den Antwortsatz - die akonomische Interpretation - mage der Leser selbst formulieren): ) = 4,10·2506+17·1112+132·104 =42906,6=10746 (10 46o/c) a 10 ,3 3,50.2506+18,20.1112+105.104 39929,4' 7, 0 4,10·2410 + 17·2700+ 132 -101 = 69113 = 1 0137 (101 37o/c) 3,50.2410 + 18,20.2700 + 105.101 68180' , 0 Die erhebliche Differenz bedarf einer Diskussion (Andeutungen nach dem Beispiel).

b) 1

=

0,3

- 2320·3,65+2230-17,50+116·112 - 60485 -12345 (12345o/c) 2400.3,65+1640.17,50+103.112 - 48996 - , , 0 2410·4,10 + 2700 - 17 + 101 - 132 69113 - - - - 1 1017 (110 1707'0) d) 1 2,3 - 2320.4,10 + 2230 . 17 + 116. 132 - 62734 , , IC c

)

1

1,2-

Unser Beispiel zeigt eine erhebliche Differenz der Preisindexzahlen 10 ,3 nach Laspeyres und Paasche. Wir wollen uns zunachst iiberlegen, wie das zustandekommt und dann einige Bemerkungen iiber die Vor- und Nachteile dieser beiden Indexzahlen machen. Das Gut 2 wird von Periode 0 zu Periode 3 urn einiges billiger, sein Umsatz hat sich mehr als verdoppelt. Der Paasche-Index erfaJ3t diese Anderung besser, weil er die aktuellen Mengen als Gewichte benutzt (denn durch den hohen Umsatz des billigeren Gutes wird der durch die Teuerung der Giiter 1 und 3 entstehende Preisauftrieb viel starker gedampft als das bei weniger Umsatz der Fall ware). Giiter, bei denen bereits geringe Preisanderungen wesentliche Umsatzanderungen bewirken, nennt man preiselastisch. Ein Vorteil des Paasche-Index ist also seine bessere Widerspiegelung der tatsiichlichen aktuellen Verhiiltnisse, was sich insbesondere bei preiselastischen Giitern deutlich bemerkbar macht. Er hat dafiir zwei wesentliche Nachteile: 1) man kann keine fortlaufenden Reihen vergleichbarer Indexzahlen bilden, weil sich die Gewichte ebenfalls von Periode zu Periode mit verandern, 2) man mu:B z.B. beim Preisindex die Mengen in jeder Periode neu erheben, was einen betrachtlichen Arbeits- und Kostenaufwand erfordert. Der Laspeyres-Index wiederum hat den Nachteil, da:B seine Gewichte nicht dem aktuellen Stand entsprechen. Das wirkt sich besonders aus, wenn man preiselastische Giiter vergleicht oder wenn viel Zeit zwischen Basis- und Berichtsperiode liegt. Der Vorteil des Laspeyres-Index

52

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

besteht darin, daB man eine fortlaufende Reihe vergleichbarer Indexzahlen berechnen kann und daB die hohen Kosten fur die fortlaufende Erhebung der Gewichte entfallen. So ist z.B. der yom statistischen Bundesamt veroffentlichte Index der Lebenshaltungskosten ein Laspeyresscher Index.

1.4 1.4.1

Rechnen mit U ngleichungen und Betragen Ungleichungen

Wir erinnern uns an die in 1.1.1 eingefuhrte Zahlengerade. Man sagt, eine reelle Zahl a ist kleiner als eine reelle Zahl b (geschrieben a < b), falls a auf der Zahlengeraden links von b liegt; entsprechend ist a > b, wenn a rechts von b liegt. a < b bedeutet demnach dasselbe wie b > a. Wir brauchen also nur fur das <-Zeichen die Regeln anzugeben. Beispiel: 2 < 3; -1 < 0; 5 > 0; -18 < -3; -9 < 0,5; 8 > -22

Eine Zahl a heiBt positiv, wenn a > 0 ist; sie heiBt negativ, wenn a < 0 ist. a ::; b (gelesen: a kleiner-gleich b) bedeutet: a < b oder a = b; entsprechend bedeutet a ?: b, daB a > b oder a = b ist. Aus a ::; b und gleichzeitig a ?: b folgt a = b (denn a < b ist sowohl mit a > b als auch mit a = b unvertraglich). a ::; x ::; b bedeutet, daB x zwischen a und b liegt, einschlieBlich der Grenzen; a < x < b bedeutet, daB x zwischen a und b liegt ausschlieBlich der Grenzen. Die Kleiner-Beziehung ist transitiv, d.h. aus a < b, b < c folgt a < c. (Man mache sich alle diese Dinge an der Zahlengeraden klar.) Rechengesetze: a
a+c
(1.61)

a
a-c
(1.62)

~

(man erinnere sich des Gebrauchs des Zeichens

~

in 1.1.3)

Diese Regeln lauten in Worten: Eine Ungleichung bleibt bestehen, wenn man auf beiden Seiten diesselbe Zahl addiert oder subtrahiert.

1.4. RECHNEN MIT UNGLEICHUNGEN UND BETRAGEN

53

Beispiele: 1)

-6 < -3

1

+5

-1 < 2

2)

8< 17 1-12 -4 < 5

3)

a < b {:::::} a - b < 0 (bzw. b- a > 0) (das folgt durch Subtraktion von b bzw. durch Subtraktion von a auf beiden Seiten).

a < b

{::=?

ae < be, falls e > 0

(1.63)

Eine Ungleichung darf mit einer positiven Zahl multipliziert werden. a


{::=?

ae > be, falls e

<0

(1.64)

Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, so muB das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden. Die Regeln (1.63) und (1.64) sind gleiehzeitig Regeln fur die Division durch eine Zahl, denn Division durch d#-O ist gleichbedeutend mit Multiplikation mit lid, und bei d> 0 ist auch lid> 0 und bei d < 0 ist auch lid < O. Eine Ungleichung darf durch eine positive Zahl dividiert werden. Wird eine Ungleichung durch eine negative Zahl dividiert, so muB das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden. Beispiele:

1)

7,6<10

2)

7

3)

-12<01:4;

4)

-5 < -1

1·3;

< 10 1·(-2);

I: (-2);

22,8 < 30. -14> -20. -3

< O. 5

1

2> 2·

SchlieBlich gilt noch folgende Regel: Sind a, b beide positiv oder beide negativ, so gilt: aus a < b folgt

1

1

a

b

->-

(1.65)

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

54

d.h.: Sind die Seiten einer Ungleichung beide positiv oder beide negativ, so kann man auf beiden Seiten zum Kehrwert ubergehen, wenn man das Ungleichheitszeichen umkehrt. Beispiele: 1

1)

7 < 10;

2)

-3< -2;

1

"7 > 10' 1

1

-3> -2'

ABe Rechenregeln gelten auch fur Ungleichungen yom Typ a :::; b oder a > b oder a 2: b. Sie gelten auch unverandert, wenn rechts und links des Ungleichheitszeichens Terme stehen. Das benutzen wir nun, urn einfache Ungleichungen zu losen. Beispiele: 1)

Fiir welche x ist -3x + 2 < 4x - 9 ? -3x + 2

< 4x 2 < 4x + 2 + 9 < 7x 11 < 7x

I +3x I +9

9

3x - 9

I: 7

11

-<x 7

11 x> 7' Fiir aile reellen Zahlen x, die groBer sind als 11/7, ist die Ungleichung -3x+ 2 erfiillt. 2)

< 4x - 9

Fiir welche x gilt (a - x)b > I<x? ab - bx

> I< x

I +bx

+ bx (K + b)x.

ab> I<x ab>

Nun kann man nicht einfach durch I< +b dividieren (es sei denn, man wiiBte aus inhaltlichen Zusammenhangen, daB K +b > 0 ist). Wir miissen also zwei Faile unterscheiden: 1. Fall: I<

+ b > O.

Dann kann man durch I< Fiir I<

+ b > 0 erfiillen

+ b dividieren

und man erhalt } ab b > x oder x <

also aile x mit x <

~b K+

{+

die gegebene Ungleichung.

~b' K+

1.4. RECHNEN MIT UNGLEICHUNGEN UND BETRAGEN

+ b < O. durch K + b liefert jetzt Ka~ b < x.

55

2. Fall: K Division x>

3)

Fur K

+b<

0 erfUllen also aile x mit

Ka~ b die gegebene Ungleichung.

3x - 1 Fur welche x ist - - > 1 ? 2x+ 2 Urn die Ungleichung zu lasen, wird man sie mit 2x + 2 multiplizieren; aber auch hier muB man die Faile 2x + 2 > 0 und 2x + 2 < 0 unterscheiden.

1. Fall: 2x + 2> 0, d.h. 2x> -2 oder x > -1. Multiplikation mit 2x + 2 liefert in diesem Fall:

> 2x + 2 I - 2x + 1 3x - 2x > 2 + 1 3x - 1

x> 3. Fur die x, die graBer als 3 sind, ist die Bedingung, unter der dies Ergebnis erzielt wurde, namlich x > -I, automatisch erfullt, also: aile x > 3 erfiillen die gegebene Ungleichung. 2. Fall: 2x + 2 < 0, d.h. 2x < -2 oder x < -1. Multiplikation mit 2x + 2 liefert jetzt 3x - 1 < 2x + 2 x

1 -2x

+1

< 3.

Die Bedingung unter der dieses Ergebnis zustande kam, war x < -I, also von den x, die kleiner als 3 sind, kommen nur die x < -1 in Frage. Die Faile 1 und 2 ergeben zusammen das Resultat: Die gegebene Ungleichung ist fUr x < -1 und fUr x > 3 -1 hat der Term auf der linken erfUllt; fUr -1 ::; x ::; 3 ist sie nicht erfUllt (fUr x Seite keinen Sinn).

=

4)

x-I Fur welche x ist - - < 4 ? x+2-

+ 2> 0, d.h. x-I::; 4x + 8 1 -x -9::; 3x I: 3

1. Fall: x

-3::; x

~

x> -2. 8

x

-3.

Wieder miissen die Bedingungen x> -2 und das Ergebnis x Fall 1 liefert also: x > -2. Fall 2: x

+ 2 < 0, d.h. x < -2

x-I ~ 4x + 8

-3

~ x.

1

-x - 8

~

-3 gleichzeitig gelten,

56

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

x:::; -3 und x :::; -2 sind gleichzeitig flir aile x:::; -3 erfUllt. Die gegebene Ungleichung gilt also fUr x :::; -3 und flir x > -2; flir -3 < x < -2 gilt sie nicht (flir x = -2 ist der linke Term sinnlos).

1.4.2

Das Rechnen mit Betragen

Unter dem Betrag einer Zahl a (bezeichnet lal, gelesen "Betrag von a" ) versteht man den Abstand des Punktes a auf der Zahlengeraden zum Punkte O. Der Abstand kann nie negativ sein, also gilt lal > 0. Nach dieser Definition ist 101 = 0; 131 = 3; 17,81 = 7,8; allgemein: lal = a, falls a ~ ist.

°

Es gilt I - 31 = 3, denn der Punkt -3 ist auf der Zahlengeraden 3 Einheiten links von Null, also vom Punkt 0 drei Einheiten entfernt. Ebenso ist 1- 91 = 9; I - 3,751 = 3,75 usw. Fur jede negative Zahl a ist also lal = -a. Das ist, so merkwiirdig es aussieht, richtig, denn z.B. 1- 91 = -( -9) = 9 (a ist hier -9 !), 1- 7,51 = -(-7,5) = 7,5. Wir konnen also den Betrag auch folgendermaBen definieren:

lal =

o} <°

a fUr a> { -a fUr a

-

Das bei Generationen von Schulern und Studenten immer wieder auftretende psychologische Problem beim Verstandnis dieser Forme! besteht darin, daB man irgendwie assoziiert, daB -a immer negativ ist. Das ist durchaus falsch, denn -a ist nm bei positivem a negativ, bei negativem a aber positiv: -(-9) = 9. Also nochmals: -a ist positiv fur a < 0. Wenn man das einsieht, ist (1.66) keine Hiirde mehr. Es ist

lal = 1- ai,

(1.67)

denn der Abstand von a zu Null ist aus Symmetriegriinden derselbe wie der Abstand von -a zu Null, ganz gleich, welche Zahl a ist. Also gilt auch

la -

bl =

Ib - ai,

denn b - a = - (a - b).

la -

bl ist der Abstand von a und b auf der Zahlengeraden.

1.4. RECHNEN MIT UNGLEICHUNGEN UND BETRA.GEN

57

Beispiele: 1)

a=-8,b=4

Der Abstand der beiden Punkte ist 12 Einheiten. Es gilt

la - bl = I2)

8 - 41

= I-

121

= 12.

a=4,b=7

Der Abstand beider Punkte ist 3 Einheiten.

la - bl = 14 -

71

= 1- 31 = 3

Fur den Betrag gilt die wichtige Dreiecksungleichung:

Iia + bl ~ lal + Ibl

I

(1.68)

Beispiele: 1)

a=4; b=2 la + bl = 161 = 6; lal + Ibl = 141 + 121 = 4 + 2 = 6; In diesem Fall gilt also das Gleichheitszeichen.

2)

a

= 10; b = -3

la + bl = 110 - 31 = 171 = 7 lal + Ibl = 1101 + 1- 31 = 10 + 3 = 13

7 < 13; in diesem Fall gilt also das Kleiner-Zeichen.

Wir wollen zur Ubung noch ein wenig das Rechnen mit Betragen und das mit Ungleichungen kombinieren. Dabei miissen wir immer wieder auf die Forme! (1.66) zuriickgreifen. Fiir welche x gilt Ix - 21 :s; 4 ? Man muB hier entsprechend der Formel (1.66) eine Fallunterscheidung vornehmen: 1. Fall: x - 2 2:: 0, d.h. x 2:: 2. Dann ist Ix - 21 = x - 2 und

x - 2::; 4 1+2 x:S;6 Aile x mit 2:S; x :s; 6 geniigen also der Ungleichung. 2. Fall: x - 2 < 0, d.h. x < 2. Dann ist Ix - 21 = -(x - 2) und

58

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN

-x

+ 2 :::; 4 I +x -2:::;

x, also x

4

2: -2

Aile x mit -2:::; x < 2 geniigen also auch der Ungleichung. Nimmt man die Ergebnisse beider Faile zusammen, so erhalt man das Endresultat: Die Ungleichung ist fUr aile x mit -2:::; x :::; 6 erfUllt. Bemerkung: Das hatten wir auch aus der geometrischen Bedeutung von Ix - 21 ablesen k6nnen, denn Ix - 21 :::; 4 ist fUr aile diejenigen x erfUllt, die von 2 einen Abstand :::; 4 haben.

Ganz analog erkennt man:

Ix - al < e wird von allen x erfiillt, die von a einen geringeren Abstand als e haben, d.h. von allen x mit a - e < x < a + e.

1.5.

UBUNGSAUFGABEN

1.5

59

Ubungsaufgaben

1)

Man vereinfache folgende Ausdriicke soweit miiglich: a) 5a - 3b + xy+6b - 8xy+ lla; b) (2a)(3x 2y)(-4b); c) 7X1 + 5X2 - X3 + 6X2 - 12x1; d) (x - 6y) - (4x - 9y); e) (3q-5r)-(2q+4r)-(q-llr); f) (2u-v)- [3v - (u - v ))- [(5u + 3v) - (2u - v)); g) 8a - a + [(3a - 2b) - (5a + 3b))- [-(-a + b)).

2)

Man multipliziere die Klammern aus und vereinfache soweit als miiglich:

a) (2a - 3b)(a + 2b);

c) (2ax +

b) (-13x - lOy)(9x - 15y);

1 1 3bY)(2a - 3b);

d) (Xl

n

e) (Laibi)(a - e);

f) (a

+ X2 + ... + xn)(x

+ b)(2a -

- V);

+ b)(2a -

4b) - (3a

b);

i=l

g) (x 3)

+ 9)(x - 2) -

(x

+ 3)2 + (x

1 1 1) (2-p+-q--r 1 1) h) ( -p--q+-r 234364'

- 2)2;

In den folgenden Ausdriicken sind gemeinsame Faktoren auszuklammern: n

c) LXYXiyr i=l

4)

Man berechne folgende Ausdriicke mittels der binomischen Formeln: a) (r-s)2; b) (k+l)2; c) (4-2x)(4+2x); d) (-2-x)2-(I-x)2; e) (a + b + e - d)2; f) (3x + 4y)2 - (2x - 5y)2 + (4x - 3y)(3y + 4x) - 6x 2.

5)

Man zerlege folgende Ausdriicke mittel binomischer Formeln in zwei Faktoren: a) x 2 -1; b) 4a 2 - 9; c) 1- 36x 2 ; d) u 2 + v 2 + w 2 + 2uv + 2uw+ 2vw; e) 25x 2y 2 + 20xy + 4.

6)

Man kiirze die nachfolgenden Briiche soweit als miiglich: 2 2 a) be-b. b) 4x-4y. c) a b-ab . d) (u-v)2. be + b' ay - ax' a 2e - ae 2 ' u2 - v2 ' r - s mp + mq - np - nq f) - ; g) . s- r mp - mq - np + nq

7)

Man multipliziere und kiirze, falls miiglich: a )( x

_ )~. y X2 - Y 2'

b) 4a2-4ab+l.~. ae a 2 - b2 '

c) ~ . axy2 + bxy. a 2 - b2

xy

8)

a2 + a a -

e) -2--1;

d) 7a + 5b . 5a - b 3a

'

+ 4b

6a - 9b'

Folgende Terme sind in einen einzigen Bruch umzuwandeln:

a) 5 - 2x _ 36 - 4x lOax

12bx

+ -;

1 5 g) t - 1 - 1 + t

7t - 9 5 + t 2 - 1 - 1 - t;

Y

x y

y2

b) (3b - 2e)a _ b(4a - 5e)

20a 2 b'

1 1 2 c) - - - + - 2 x

6

+ _1_,

1 d) 1 - - - ;

6be

X- Y

6ab

2a 5 e) - - - -; 3b - a

1

h) a

+ _1__

lOac

+1+

1 1 f) - - - - - ;

6

x - y

4 3a

+2-

~. 10c'

3

a

+ 1;

x

+y

60

KAPITEL 1. DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN 1

k

i) 1 _ 5k - 25k2 _ 1 9)

b) p-q. q-p. 8p . 16q'

39cdy . 13y'

d)

C: b a: b) : G ~ +

x

Y

--+--

g) x - y

x x+y

U

x

c)

(x

2

-

x

- 25. lOx + 25 _ ~) . 3a - 1 9a 2 - 1 . 1 - 3a ' 2

a 2b). a + 2b. e) ( 2b - -;; . -a-'

+ );

1

1-f) _ _U_. 1 l'

+Y .

y' x-y

b -1 b ----b b+ 1 h) b b+ 1. I-b +-b-

Man lose die folgenden Gleichungen nach x auf: a) 12 - (5x + 5) + (2x - 7) = 8x - 20; b) 51a - 23x + 5[2a - 3(2x - 7a) + 4x] - 3(5x - 2a) = 17a - x; x+4 x+6 c) (x - 2)(x - 9) = (x + 4)(x - 7) - 12; d) 7x + 2 = 7x _ 4; e) 2x - 1 _ 5x - 3 x - 2 3x - 6

11)

3k 10k + 1

Folgende Ausdriicke sollen als ein einziger Bruch geschrieben und soweit als moglich gekiirzt werden:

a) 24abx.~.

10)

+ 4 + 25k 2 -

+

8x + 1 _ 5x - 10 -

o.

,

Man stelle folgende Formeln urn: b) K a) a(1 + y) = b nach y; c) e) g)

Sn

= ao + (n -

l)d nach n;

+ r = -rl nach s; + x + s r2 x 2 = y 2 + (x - a)2 nach S

rl

x;

f) 2x + 1

= XY(Ul

x-I

+ 2x + 4 + 1- X

x - 9 = 3 - 8x. x2 - 1 1 - x2

- U2) nach U2; 2

d) 1 + k = a - b nach k; 1- k c y - Yl X - Xl f) - - = - - - nach y; Y2 - Yl X2 - Xl a - b(a - c) h) f = 5 nach a. a+

12)

16 Arbeiter erhalten bei einer taglichen Arbeitszeit von 8 Stunden am Ende einer Woche zusammen 9254,- Euro Lohn. Wieviel wiirden bei gleichen Verhaltnissen 12 Arbeiter erhalten, wenn sie taglich 9 Stunden arbeiten?

13)

Fiir 1000 Lire erhielt man friiher 0,92 DM. Ein Kaufhaus bezog 960 Paar Schuhe fUr 38,4 Mio Lire. Wieviel DM kostete 1 Paar Schuhe?

14)

Jemand kauft einen Elektroherd und erhalt wegen einer Lackbeschadigung 7% PreisnachlaB. Da er bar zahlt, erhalt er auf diesen geminderten Kaufpreis noch 2% Skonto und bezahlt 1093,68 Euro. Wie teuer ist dieser Typ von Elektroherd?

15)

Jemand eroffnet am 6.6. ein Sparbuch, welches zu 2% verzinst wird, mit einer Einzahlung von 2000 Euro. Am 24.10. zahlt er nochmals 1000 Euro ein. Wieviel Euro Zinsen werden am Jahresende gutgeschrieben?

16)

Jemand beansprucht vom 3.2. bis 29.11. einen kurzfristigen Kredit von 5000 Euro zu p = 12,4%. Wie hoch ist die Riickzahlungssumme?

17)

Wieviel Euro muB man anlegen, urn bei p = 5% in 11 Monaten 550 Euro Zinsen zu erzielen?

61

1.5. UBUNGSAUFGABEN

18)

Man erganze in folgender Tabelle den Aufzinsungsfaktor q bzw. den Zinssatz p. 7,03

p

8 13

11,5 1,0504

q 19)

1,062

1,033 ...

Folgende Summen sind mittels des Summenzeichens zu schreiben:

a) Xn + Xn +1 + ... + X2nj b) aoxo + alXl + ... + akXk; _U--'19:....l_+_U_2..:,.92_+_._._._+_U_n....:9_n. d) ail blk + an b2k + . . . + ain bnk; c) , 91 + 92 + + 9n e) 13 +2 3 +3 3 + +n 3 j f) 1+0+1+4+ ... +(n-1)2. 20)

Folgende Ausdrucke, die Summenzeichen enthalten, sind auszuschreiben: n

Laibi

a) i=~

;

Lbi i=l

b) der Preisindex 2n+l

d) L

(j

10,i

+ 1)2;

von Laspeyresj

e) L

21)

aijbjk ;

i=l

j=3

c) der Mengenindex I

n

10,i

von Paasche;

n

g ) "" L..J XiYi2( Zi - Ui ) .

2k+ f) "" L..J 3k + 11.' k=O

i=l

Ein MotorenOl wird aus vier Komponenten gemischt. Die folgende Tabelle gibt die Anteile an der Mischung und die Preise pro Liter der einzelnen Komponenten: Komponente I II III IV

Anteil 10% 40% 30% 20%

Preis/Liter 8,80 Euro 5,30 Euro 6,90 Euro 7,00 Euro

Wieviel kostet ein Liter der Mischung?

22)

Die folgende Tabelle gibt fUr drei Perioden Preise und umgesetzte Mengen von vier Gutern: Periode

Preise pro Einheit 2 4 3 2,80 3,75 12,10 0,90 2,45 3,65 10,80 1,20 2,10 3,80 10,15 1,25 1

0 1 2

Mengen (in 1 2 2760 1020 2810 1000 2950 990

Einheiten) 4 3 475 9412 630 8305 680 8110

Man berechne: a) den Preisindex 10 ,2 nach Laspeyres; b) den Preisindex 10 ,2 nach Paasche; c) den Umsatzindex 10 ,1; d) den Mengenindex h,2 nach Laspeyres; e) den Mengenindex 10 ,1 nach Paasche. 23)

Fur welche x gelten folgende Ungleichungen:

a) 5(3x - 2) > 12x - 9; d)

12x - 11 ?: Ix - 11-

b) 2 + 3(X; 1)

<3_

x

~ 1j

1 c) --1 x-

2

< --1; X+

Kapitel2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 2.1

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

2.1.1

Potenzen mit natiirlichen Exponenten

Ein Produkt a· a· .... a aus n gleichen Faktoren (n > 1) nennt man eine Potenz. Man schreibt abkiirzend: a· a· ... · a = an (2.1) '-..-'

n Faktoren

(gelesen: a hoch n).

an ist also eine Potenz, a heiBt ihre Basis, n heiBt ihr Exponent. versteht man die Zahl a selbst.

Unter a 1

Beispiele: 1)

I n =l;

2)

25

3)

on=o;

(2x)1=2x

= 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 (1,067)4 = 1,067·1,067 ·1,067·1,067 = 1,2961572 Die meisten Taschenrechner besitzen eine Taste zur Berechnung von Potenzen, meist

0, 0, 0 oder iihnlich bezeichnet. Die Tastenfolge zur Berechnung von an ist: a 0 n~, also in obigem Beispiel: Eingabe 1,067, dann 0 driicken, Eingabe mit

4,

~ driicken: 1,2961572.

W. Purkert, Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, DOI 10.1007/978-3-8348-9936-1_2, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

64

4)

(_2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16

5)

(_1)3 = (-1)(-1)(-1) =-1

6)

8)

1st der Exponent gerade, d.h. hat er die Gestalt 2n, so gilt (_a)2n = a 2n , insbesondere (_1)2n = 1. 1st der Exponent ungerade, d.h. hat er die Gestalt 2n+ 1, so gilt (_a)2n+! = _a 2n +!, insbesondere (-1 )2n+! = -1. Die Beispiele 4) und 5) waren konkrete Faile dieser allgemeinen Regeln. Bemerkung: Es ist notig, zwischen _an und (_a)n zu unterscheiden: _2 4 = -16, aber (_2)4 = 16, ebenso zwischen ab n und (ab)n: 3.23 = 3·8 = 24, aber (3·2)3 = 63 = 216. (x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y) = x 3 + 3x 2y + 3xy2 + y3

9)

(2a - b)4

7)

= (2a - b)(2a - b)(2a - b)(2a - b) = 16a 4 - 32a3b + 24a 2b 8ab3 + b4 2

-

Insbesondere ist zu beachten, daB (a + b)n etwas vollig anderes als an + bn ist! Die Gleichsetzung dieser beiden Ausdriicke ist ein oft begangener grober Fehler.

Addieren und subtrahieren kann man Potenzen nor, wenn sie sowohl in der Basis als auch im Exponenten iibereinstimmen.

Ausdriicke vom Typ am ± an oder am ± bm, in denen nor die Basis oder nor der Exponent iibereinstimmen, lassen sich nicht vereinfachen, erst recht nicht Ausdriicke, in denen sowohl Basis als auch Exponent verschieden sind. Beispiele: 1) 2)

3) 4)

+ 8a 3 + 2b 5 + 6b 2 - b5 = 20a 3 - 7a 4 + 19b5 + 6b 2 ax m - bx m + cyx m + ax n = (a - b + cy)x m + ax n r 8 + (_r)8 + r 3 + (-r)3 = r 8 + r 8 + r 3 - r 3 = 2r 8 7x 3 + 3x 2 + 6x - 1 - (2x 3 - x 2 + X - 7) = 5x 3 + 4x 2 + 5x + 6 12a3 - 7a 4 + 18b 5

Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichen Exponenten:

Nach (2.1) ist

anbn = a . a ..... a· b· b· .... b. ~"---'

n Faktoren n Faktoren

Das ergibt unter Beriicksichtigung von Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation (1.2), (1.4):

anbn = Jab)(ab) ... (ab), ' also v

n Faktoren

65

2.1. POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN

(2.2) Nicht ganz exakt, aber suggestiv, driickt man das so aus: Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten unveriindert liiBt. Diese Regel wird auch oft von rechts nach links benutzt: Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert und die entstehenden Potenzen miteinander multipliziert. Nach der Regel iiber die Multiplikation von Briichen ((1.14), wenn man sie von an rechts nach links liest) ergibt sich fUr bn (bei b =1= 0):

~:

=

~: ~ .' : : : : :

=

~ . ~ ..... ~ = (~)

n

,also

'-..,-'

n Faktoren

~ = (~) n

(2.3)

Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten unveriindert liiBt. Von rechts nach links gelesen sagt (2.3): Ein Bruch wird potenziert, indem man Ziihler und Nenner potenziert und die entsprechenden Potenzen durcheinander dividiert. Beispiele: 1)

(-2ab)4 = (_2)4 a4b 4 = 16a4b4 Man beachte den Unterschied zu -(2ab)4

= (5xy?

2)

125x 3 y3

3)

(q _ 1?(q + 1)3

4)

(_a)4(_a)4

5)

= -16a 4b4 bzw.

= ((q -

= (a 2 )4

1)(q + 1))3

= (q2 -

1)3

zu -2(ab)4

= -2a 4b4.

66

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

2x - 3y ) -42 y2 ( 4x

4

;9

6)

(2x - 3y) ·8

4

2

= (4.(2X-3Y)(2X+3Y)) = (2X+3Y)

4

16

=-;-::---=---:--;-

(2x

+ 3y)4

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Es ist nach (2.1):

ana m = a . a· .... a· a· a· .... a = ~~

n Faktoren m Faktoren

a· a· ... · a

n

~

+m

= a n +m , also

Faktoren

(2.4) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.

Beispiele: 1) 2) 3)

an·a=a n+l ; an-I·a=a n 6y2 . y3 . ( xy4) = 6 xy 9 an-2bxa3bm+1 = xa n+l bm+2

5)

(qm _ l)(qm + 1) = q2m - 1 (x n _ yn-I )(2x 2 + y3) = 2x n+2 + Xn y3 _ 2x2yn-1 _ yn+2

6)

uIO-n(uIO+n

4)

+ u 2) = u 20 + U 12 - n

Regel (2.4) wird auch sehr oft von rechts nach links benutzt, etwa in der Form an = an-ka k , also z.B. a 12 = a7a 5 . Das braucht man haufig bei der Bildung des Hauptnenners in der Bruchrechnung oder beim Ausklammern.

Beispiele:

2)

(X-2y)IO lii-Bt sieh z.B. zerlegen in (x-2y)9(x-2y) oder in (x-2y)8(x-2y)2 oder in (x - 2y)7(X - 2y? usw. 7x 4 + 8x 5y + x 6 x 4 (7 + 8xy + x 2)

3)

t n+ 2 _ 3t n + t n - I

4)

-21-2 - -2a + - a3 .1St zu

1)

= =t n-

u x

ux

ux

l

(t 3 - 3t

+ 1)

. Brue h zusammenzu f assen. emem

2.1. POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN

67

Der Hauptnenner ist hier (vgl. die allgemeinen Bemerkungen tiber den Hauptnenner in 1.1.2) u 2x 3 . Es ist x(u 2x 2) u 2x 3 , also ist der erste Bruch mit x zu erweitern. Wegen (ux 2)(ux) u 2X3 ist der zweite Bruch mit ux 2 zu erweitern, der dritte schlieBlich ist 3 wegen u(ux ) u 2x 3 mit u zu erweitern. Also:

=

=

=

2a u 2x 2 - ux 1

+

a ux 3

=

x - 2aux 2 + au u 2x 3

5) 6)

5

2x ..,-------;:-. + (x-y)5

x4 (x-y)4

+

4x 5y (x-y)6

y)2 + 4x5y __..:. (X-y)6 2x 6 - 2x 5y + x 6 _ 2x 5y + X4y2 + 4x 5y (x _ y)6 6 4 3x + x y2

= 2x

5(x _ y)

+ x 4(x _

---'--------'~~--'--~::...:...-

(x - y)6 _ x4(3x2 + y2) (X-y)6

7)

Division von Potenzen mit gleicher Basis:

Die Basis a sei

#- O.

Dann ist n Faktoren a· a· ... · a =----am a· a· ... . a

----~

m

Faktoren

1st n > m, so kann man m Faktoren a kurzen.

1m Zahler bleiben dann

Faktoren a ubrig, d.h. a n - m , im Nenner bleibt 1 ubrig. a .a .a .a .a a2 = - = a 2 Es gilt also: a . a· a 1

n - m

as

-

a3

I-an= an-m am

1st n

fur n >

ml

Z.B. ist

(2.5)

= m, so lassen sich aIle Faktoren a kurzen, und es verbleibt 1: fUr n = m

I

(2.6)

68

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

1st n < m, so bleiben nach clem Kurzen im Nenner m - n Faktoren a ubrig, im Zahler blei bt 1, also

(2.7) Beispiele: 7

1)

2b b4

2)

qn q2

3)

= 2b7 - 4 = 2b3 = qn-2

4x s

(n

4

xrr

> 2) 4

x 12 - S

x4

4)

4x 2y 6z 3 4 x 2 y6 z3 5 1 2y 5 - -2- = _ · _2· _ · - = 2 · y · - = 2x yz4 2 x Y z4 Z Z

5)

_u_ un - 3

6)

-rk+I --

7)

n+l

r k-

= un+1-(n-3) = u4 1

4

1 - -r 5

r k + 1-(k-4) -

(denn n + 1

> n - 3)

(denn k - 4

< k + 1)

x 4 - 3x 3 + 2x 2 - 5x + 1 ist in einzelne Briiche aufzuspalten. x3 3 2 4 x - 3x + 2x - 5x + 1 x 4 3x 3 2x 2 5x 1 2 5 1 - - - - - , ,3- - - - - - = -3- - 3 + - -3 - +3- =3x - 3 + - - -+x x x x x x X x2 x3.

SchlieJ3lich ergibt sich aus clem Potenzgesetz (2.4) noch eine Regel fUr clas Potenzieren einer Potenz: (an)m

= p,n. an .... . an, = an+n+ ...+n, v

m Faktoren wobei man im Exponenten m Summanclen n hat, cler Exponent rechts ist also n·m. (2.8) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Beispiele: 1) 2)

3)

«x + y)2)n+l

=

(x + y)2n+2 2 2 (X y3)5 = (x )5(y3)5 = x 10 y15 (_3a 2)3 = (_3)3(a 2)3 = -27a 6

69

2.1. POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN

4)

(2UV 2)3 . (12u 5v 4 )2 _ 2 3u 3v 6 . 45u10v15 _ (6u 2v)4 . (4u 2v 3 )5 - 6 4u 8v 4 . 12 2u 1ov 8 -

=

2.1.2

34

23 . (2 2 )5 u I3 v 21 .2 4 . 3 2(2 2 )2 u I8 v I2

213u13v21 36.28U18V12

2 5v 9

= 3 6u 5

Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten

Bei den Regeln (2.5)-(2.7) fUr die Division von Potenzen muBten die drei FaIle

n > m, n = m und n < m unterschieden werden, da bisher nach Definition

(2.1) Potenzen nur fUr naturliche Zahlen als Exponenten erkliirt sind. Wenn an

wir wunschen, daB die Regel (2.5): -

am

= an -

m

ganz allgemein, d.h. auch fUr

n ::; m gelte, so muBten Potenzen mit dem Exponenten 0 und mit negativem an Exponenten erkliirt werden. Nun ist - = 1 fur a i 0, also muB, damit (2.5) an auch fUr n = m richtig bleibt, aD = 1 gesetzt werden. Wir definieren also uber

(2.1) hinaus:

IaD =

1

fur

a

i

0I

(2.9)

Fur jede nichtverschwindende Basis hat die Potenz mit dem Exponenten 0 den Wert 1. a3

1

Damit (2.5) etwa fur n = 3, m = 6 gelten solI, miiBte 6' was ja 3 ist, gleich a a a 3- 6 = a- 3

sein.

Also muBte man unter

a- 3

1

gerade den Wert 3 verstehen. a

Diese Betrachtung fUhrt uns nun zur allgemeinen Definition von Potenzen mit negativen Exponenten (fUr a i 0):

(2.10) Durch (2.1), (2.9) und (2.10) ist der Potenzbegriff fur beliebige ganzzahlige Exponenten erkliirt. Entscheidend dafUr, daB diese Erweiterung wirklich Sinn macht, ist die folgende Tatsache (sog. Permanenzprinzip): Die Potenzgesetze (2.2)-(2.5) und (2.8) gelten unveriindert auch fur den erweiterten Potenzbegriff.

70

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

Wir werden den Potenzbegriff im Absehnitt 2.2 noeh mehr erweitern und aueh dann werden die Potenzgesetze weiter gultig sein; die Wurzelgesetze werden sieh als niehts anderes als eine neue Sehreibweise der Potenzgesetze fur gebroehene Zahlen als Exponenten erweisen. Deshalb muB man sieh die Potenzgesetze gut einpragen und versuehen, sie sieher zu beherrsehen. Beispiele: 1)

2) 3)

6 _x = x 6 -(-2) = x 8

4)

(x 2 _ y4)3(X 2 _ y4)-3

5)

xl-mxl+mx-2 = XO = 1

6)

1 (x1-q)l+q = x 1- q =X q2 _-1

7)

Der Bruch

x- 2

= (x 2 _

y4)O

=1

fUr x 2 =J. y4

fUr x =J. 0

2

x 2 y-3 z 5

2 1 soli so umgeformt werden, daB keine Potenzen mit negativem u- vExponenten mehr vorkommen. 2 5 1 . Z5 X Z x2 • _

x 2y-3 z5 U-2V-1

y3

1

1

u2

v

x 2 z5 u 2v y3

y3 - -1-

u2v

Dasselbe Ergebnis erhiHt man, wenn man den Bruch mit entsprechenden Potenzen mit positiven Exponenten erweitert: x 2y-3 z 5 U 2V

8)

1

x2y-3z5.y3u2v U- 2V- 1 . y3 u 2v

x 2y Oz5 u 2v

x 2z 5u 2v

UOVOy3

y3

5 -n + 3 n-2 Der Bruch x n ~ ist so umzuformen, daB Potenzen mit negativen Exponenten x- + x -n nicht mehr vorkommen (n 2: 1 vorausgesetzt). Wir erweitern mit x n und erhalten:

+ 3xn - 2 x- + x 4 - n

5x- n n

(5x- n (x- n

+ 3x n - 2)x n

2 [(t3)-4r2

+ x 4- n )xn

9)

[C~3) -4r

10)

((_2)-3)2 = (_2)-6 = ;6

11)

Der Doppelbruch

5 + 3x 2n - 2 1 + x4

= t 3(-4)(-2) = t 24

=

a2 b- 4

~

b- 4 a- 3 : a- 1 c- 2 soli so umgeformt werden, daB gar kein Bruch mehr

auftritt. Wir beseitigen erst den Doppelbruch und rechnen dann nach den Potenzgesetzen (2.4) und (2.5):

2.1. POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN

2.1.3

71

Binomialkoeflizienten, binomischer Lehrsatz

Binomialkoeffizienten:

Das Produkt 1·2·3· ... ' n der ersten n natiirlichen Zahlen wird mit dem Symbol n! abgekiirzt (gelesen n Fakultat), also

1·2·3· ... · n = n!

O! setzt man = 1

(2.11)

Z.B. ist I! = 1, 2! = 1 . 2 = 2, 4! = 1 . 2 . 3 . 4 = 24. Die Zahl n! wird mit wachsendem n schnell sehr groB, 10! ist bereits 3628800. Wir denken uns jetzt eine Menge von n Dingen und fragen, auf wieviel verschiedene Arten man daraus eine Teilmenge von k Dingen auswiihlen kann. Die Anzahl dieser Auswahlmoglichkeiten wird mit dem Symbol (gelesen n iiber k) bezeichnet. Die Zahlen G) (n ist fest, k kann 0,1,2, ... , n sein) heiBen Binomialkoeffizienten. Z.B. ist die Anzahl der verschiedenen Moglichkeiten, aus einer Menge von 5 Dingen eine Teilmenge von 2 Dingen auszuwahlen. Nehmen wir als die 5 Dinge die Zahlen 1,2,3,4,5, so haben wir folgende Auswahlen von 2 Dingen: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {1,5}; {2,3}; {2,4}; {2,5}; {3,4}; {3,5}; {4,5}, also 10 Moglichkeiten. Es ist also = 10.

G)

G)

G)

(~) ist beispielsweise die Anzahl der moglichen Tips beim Lotto, denn das Zie-

hungsgerat wahlt aus 49 Kugeln 6 Kugeln aus, und die Anzahl der verschiedenen Moglichkeiten, dies zu tun, ist (4;). Wollten wir (~9) nach derselben Methode bestimmen, wie eben G), so hatten wir mehrere Wochen zu tun. Es gibt fUr

G) folgende Berechnungsformel: n) (k

n! k!(n - k)!

(2.12)

Diese Forme! kann man durch Kiirzen noch ein wenig umgestalten, wobei wir

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

72

· (n - k)(n - k + 1)

n! aufspalten: n! = 1·2·3·

(n - 1). n. Damit wird:

n) = 1 . 2 . 3 (n - k) (n - k + 1) (n - 1) . n also (k 1·2·3· ... ·(n-k)·1·2·3· ·k'

I(n) k

~

n( n - 1) . .. . (n - k + 1) 1·2· ... ·k

I

(2.13)

Fur konkrete Berechnungen merkt man sich nicht die Formel (2.13), sondern das in ihr steckende Verfahren: Zum Beispiel sei (~) zu berechnen. Wir schreiben einen Bruchstrich und im Nenner die 6 Faktoren 1·2·3·4·5·6. Dann hat auch der Zahler 6 Faktoren, beginnend bei 49 und dann absteigend: 49·48·47·46·45·44. 49) 49 . 48 . 47 . 46 . 45 . 44 1 . 2 . 3 .4.5.6 = 13983816. Also ist ( 6 = (Leider sind das schrecklich viele mogliche Tips, weshalb man so selten einen Sechser im Lotto gewinnt). Weitere Beispiele:

= 18· 17 . 16· 15 = 3060

1)

18) ( 4

2)

101) ( 3

3)

4 ( 6)

1·2·3·4

= 101 . 100·99 = 166650

=

1·2·3

(= ~ = (~) = (n: k)

6·5·4·3 1 . 2 . 3 .4 = 15

werden, allgemein, d.h.

1 .2

(6)) 2 Diese "Symmetrie" gilt, wie wir sehen

Aus (2.12) folgt noch unter Beachtung von O! = 1 (2.14) Ferner folgt aus (2.12) die schon erwahnte Symmetrie: Ersetzt man k durch n - k, so andert sich der Binomialkoeffizient nicht: (2.15) Das leuchtet auch inhaltlich unmittelbar ein, denn stellen wir uns vor, die Auswahl der k Dinge erfolge durch Farben, dann gibt es genausoviele Moglichkeiten,

2.1. POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN

73

k Dinge zu farben, wie n - k Dinge nicht zu farben. Beim Lotto gibt es genausoviele M6glichkeiten 6 Kugeln zu ziehen, wie 49 - 6 = 43 Kugeln in der Maschine zu lassen. Die Binomialkoeffizienten spielen auBer im binomischen Lehrsatz z.B. in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik eine wichtige Rolle. Binomischer Lehrsatz: Der binomische Lehrsatz liefert einen Ausdruck fUr die Potenz (a + b)n (der Name ruhrt daher, daB man einen Ausdruck mit zwei Summanden, d.h. so etwas wie a + b, ein Binom nennt). Fur n = 2 kennen wir den Lehrsatz schon: (a + b)2 = a 2 + 2ab + V Das ist die erste binomische Formel. Wir berechnen nun durch Ausmultiplizieren die er.sten 5 Potenzen und versuchen dann, eine GesetzmaBigkeit zu entdecken:

(a

+ b)2 =

a 2 + 2ab + b2

(a

+ b)3 =

a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3

(a

+ b)4 =

a4 + 4a 3b + 6a 2b2 + 4ab3 + b4

(a

+ b)5 =

a5 + 5a 4b + lOa 3b2 + lOa 2b3 + 5ab4 + b5

Man erkennt folgende RegelmaBigkeit im Aufbau der Ausdrucke (a+b)n: Jeder Summand der Summe ist - abgesehen von den Zahlenfaktoren - ein Produkt einer Potenz von a mit einer Potenz von b, beginnend bei an (= anbO) uber an-1b\ a n - 2b2, ... bis a1bn - \ bn (= aObn ). Die Summe der beiden Exponenten bei jedem Glied ist also gleich n. Die Zahlen bei jedem Glied, die sogenannten Koeffizienten, erweisen sich gerade als die Binomialkoeffizienten, und zwar steht bei an- k gerade der Koeffizient (Z). (Man prufe das fur (a + b)4, (a + b)5 nach). Nehmen wir von den oben ausgerechneten Ausdrucken die fUr (a + b)4, (a + b)5, so k6nnen wir sie also so schreiben:

In Analogie dazu gilt fUr beliebiges n (binomischer Lehrsatz):

74

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

bzw. unter Verwendung des Summenzeichens (2.16)

Die Formel eignet sich auch zur Berechnung von (a - b)n = (a + (_b))n = (;)a n- 3 b3 + ... + (_1)nb n. (In allen Gliedern, in denen eine ungerade Potenz von b steht, erscheint ein Minuszeichen).

an - (~)an-lb + (;)a n- 2 b2 Beispiele: 1)

(x (x

+ y)6.

+ y)6

Es ist

m=

6, (~) = 15,

m=

20, (~) = 15, (~) = 6, also

= x 6 + 6x 5y + 15x4y2 + 20X 3y3 + 15x 2y4 + 6xy5 + y6

3)

(a - b? = a3 - 3a 2b + 3ab 2 - b3 (x - y)5 = x 5 - 5x 4y + lOx 3y2 _ 10x 2y3 + 5 xy 4 _ y5

4)

(a + 2b)5

5)

(2u - 3v)4 = (2U)4 - 4(2u)3(3v) + 6(2u)2(3v)2 - 4(2u)(3v)3 = 16u 4 - 96u3v + 216u 2v 2 - 216uv3 + 81v4

2)

2.1.4

= a5 + 5a4(2b) + 10a3(2b)2 + 10a 2(2b)3 + 5a(2b)4 + (2b)5 =a5 + lOa 4b + 40a 3b2 + 80a 2b3 + 80ab4 + 32b 5 + (3v)4

Zinseszinsrechnung

Eine wichtige Anwendung findet das Rechnen mit Potenzen in der Zinseszinsrechnung. Man sagt, ein Kapital ist auf Zinseszins angelegt, wenn am Ende der Zinsperiode die Zinsen nicht ausbezahlt, sondern dem Kapital zugeschlagen werden. Das neue, erhohte Kapital bildet die Grundlage fUr die Berechnung der Zinsen in der folgenden Zinsperiode, die dann abermals dem Kapital zugeschlagen werden usw. Die Zinsen einer vorhergehenden Periode werden also in der laufenden Periode mitverzinst - deshalb die Bezeichnung Zinseszins. Giingige Zinsperioden sind - wie bereits in 1.2.3 erwiihnt - das Jahr, das Halbjahr, das Quartal und der Monat. Wir wollen zuniichst das Kapitalwachstum bei jiihrlicher Zinsperiode ermitteln. Es solI also folgende Aufgabe gelost werden:

2.1. POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN

75

Ein Anfangskapital K o werde zu einem Zinssatz von p% p.a. n Jahre lang angelegt. Wie hoch ist das Kapital am Ende des n-ten Jahres? Urn ein konkretes Beispiel zu nennen: Auf welchen Betrag wachsen 3000 Euro in 4 Jahren bei einem Zinssatz von p = 5, 2% p.a.? Bezeichnen wir das Endkapital nach n Jahren mit K n , so wissen wir schon, daB das Kapital K 1 nach einem Jahr K 1 = K o . q ist (1.47), dabei ist q = 1 + 1~0 der Aufzinsungsfaktor. K 1 ist das Startkapital fiir die nachste Periode; es ist also K 2 = K 1 . q das Kapital nach 2 Jahren. Setzen wir hier K 1 = Koq ein, so ist K 2 = Koq . q = K oq 2. Das ist das Anfangskapital fiir die dritte Periode, also K 3 = K 2 . q. Hierin K 2 = K oq 2 eingesetzt und das Potenzgesetz (2.4) angewandt, ergibt K 3 = K 2 . q = K oq 3 usw. Wir haben also K 1 = Koql, K 2 = K oq 2, K 3 = K oq 3 usw. Allgemein also: (2.17) (2.17) wird - etwas irrefiihrend - als Zinseszinsformel bezeichnet. Die Formel liefert das Endkapital, nicht den Zins oder den Zinseszins. Der Gewinn durch den Zinseffekt ware K n - K o = Ko(qn -1). In unserem Eingangsbeispiel ergabe sich K 4 = 3000 .1,052 4 = 3674,38 Euro. Beispiele: 1)

Auf welchen Betrag wachsen a) 6000 Euro bei p = 5% in 10 Jahren b) 150000 Euro bei p = 7,3% in 25 Jahren c) 8000 Euro bei p

= 4~% in 7 Jahren?

a) K 10 = 6000 . 1,05 10 = 9773,37 Euro b) K 25 = 150000.1,07325 = 873140,85 Euro c) K 7 = 8000·1,04333 .. .7 = 10 765, 93 Euro Bei c) ist zu beachten, daB man das ~% moglichst genau approximiert. Rechnet man etwa recht ungenau mit q = 1,043, so ergabe sich K 7 zu 8000 '1, 043 7 = 10741,88 Euro mit einem Fehler von 24,05 Euro. 2)

Auf welchen Betrag wiirde 1 Cent bei p = 2% in 1000 Jahren anwachsen?

K 1000 = 0,01 . 1,02 1000 = 3982646,50 Euro. Bei einem Zinssatz von p = 8% ware K 1000 = 0,01.1,08 1000 = 2,6531.10 31 Euro, eine Geldmenge, die groBer als die auf der ganzen Welt vorhandene ist. Man sieht an diesem Beispiel besonders eindrucksvoll das starke Anwachsen des Endkapitals bei Anwachsen des Zinssatzes, d.h. der Gewinn K n - K o = Ko(qn - 1) hangt nicht linear von q ab (siehe Kap. 4).

76

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

3)

Jemand legt 4000 Euro auf Zinseszins an. Der Betrag wird 10 Jahre lang zu 5,5%, dann weiter 7 Jahre zu 5% verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach 17 Jahren? Nach 10 Jahren ist das Kapital = 4000 '1, 055 10 = 6832,58 Euro. Dies ist das Anfangskapital, welches nun 7 Jahre lang zu 5% verzinst wird, d.h. nach 17 Jahren hat man 6832,58' 1,057 = 9614,13 Euro.

4)

Jemand legt 8000 Euro zu 5,25% an. Nach Ablauf von 6 Jahren verringert er das Guthaben urn 4000 Euro. Das Restguthaben wird weitere 5 Jahre zu 4,75% angelegt. Wie hoch ist das Endguthaben? K 6 = 8000.1,0525 4000 = 6874,83 Euro. Endguthaben = 6874,83.1,0475 5 = 8670,26 Euro.

6-

5)

Ein Stiftungskapital von 100000 Euro soli 20 Jahre lang zu 6,25% angelegt werden. Danach sollen die Zinsen zur Forderung von Studenten verwendet werden. Wie hoch ist dann der jahrlich zur Verfiigung stehende Zinsbetrag, wenn der Zinssatz unverandert 6,25% betragt? K 20 = 100000.1,0625 20 = 336185,34 Euro. Der jahrlich zur Forderung verwendbare Zinsbetrag errechnet sich dann zu 336185,34·0,0625 = 21011,58 Euro.

Unterjiihrige Verzinsung:

1st die Zinsperiode kiirzer als ein Jahr, so spricht man von unterjahriger Verzinsung. Das Jahr werde in m Zinsperioden geteilt. Es ist m = 2 bei halbjahrlichem, m = 4 bei quartalsweisem und m = 12 bei monatlichem Zinszuschlag. Die Frage ist, auf wieviel Euro ein Kapital K o in N solchen Zinsperioden anwachst. Der Jahreszinssatz p, der in diesem Zusammenhang nomineller Zinssatz heiBt, muB auf die Zinsperiode umgerechnet werden: Der Zinssatz pro Zinsperiode,

der sogenannte unterjahrige Zinssatz, ist dann gerade

E.-%. Das Kapital wachst m

also in einer Zinsperiode auf K 1 = K o (1 +

P ). Analoge Betrachtungen, m ·100 wie wir sie bei der Zinseszinsformel (2.17) aufstellten, fiihren auf das Kapital K N nach N Zinsperioden: (2.18)

Beispiele: 1)

Jemand legt 70000 Euro zu nominell5, 2% an. Der Zinszuschlag erfolgt monatlich. Wie hoch ist das Kapital nach 5! Jahren? Es ist m = 12. 5! Jahre ergeben 5! . 12 = 66 Zinsperioden. Es ist also N = 66. Das 5 2 Endkapital ist nach (2.18) gleich 70000 ( 1 + 12.' 100 = 93118,91 Euro.

)66

2.1. POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN

2)

77

Jemand legt 10000 Euro zu 5% p.a. 7 Jahre an. Man vergleiche die Endkapitalien bei a) jiihrlichem; b) halbjahrlichem; c) quartalsweisem; d) monatlichem Zuschlag. a) Endkapital = 10 000· 1,05 7 = 14071,00 Euro

)14 = 14129,74 Euro 5 )28 c) Endkapital = 10 000 ( 1 + 4. 100 = 14159,92 Euro 5 )84 d) Endkapital = 10000 ( 1 + 12. 100 = 14180,36 Euro 5 b) Endkapital = 10000 ( 1 + 2.100

Es ist klar, daB bei gleichem nominellen Zinssatz das Endkapital umso graBer ausfallt, je after der Zinszuschlag erfolgt.

Barwert:

Wir gehen zur ErHiuterung dieses Begriffes von folgendem Beispiel aus: Jemand mochte ein Grundstiick verkaufen und erhalt 2 Angebote: (A) 200 000 Euro sofort (B) 220000 Euro in 3 Jahren. Wie soIl er sich entscheiden? Nehmen wir an, der Verkaufer hat eine Anlagemoglichkeit fUr Kapital von p = 6% p.a. Er konnte dann so iiberlegen: Welches Kapital miiBte mir (B) heute bieten, damit ich, wenn ich es anlege, in 3 Jahren auf 220000 Euro komme? Man nennt dieses Anfangskapital den Barwert des Angebots (B). Wenn dieser Barwert hOher ist als 200000 Euro, d.h. hOher als das Angebot von (A), so wird man (B) wahlen, liegt der Barwert darunter, wird man sich fUr (A) entscheiden. Allgemein gilt folgendes Grundprinzip der Finanzmathematik: Geldbetrage, die zu verschiedenen Zeitpunkten fallig werden, kann man nur dann vergleichen, wenn man sie auf ein und denselben Zeitpunkt umrechnet. Meist rechnet man sie auf die Gegenwart urn, d.h. man zieht die Barwerte zum Vergleich heran. Urn den Barwert des Angebots (B) zu berechnen, bedenken wir, daB die 220000 Euro als Endkapital nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 6% aufzufassen sind. Der gesuchte Barwert ist das entsprechende Anfangskapital K o. Allgemein miissen wir urn den Barwert eines nach n Jahren fallig werdenden Kapitals K n zu berechnen, die Zinseszinsformel (2.17) nach K o auflosen. Das liefert fUr den

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

78

Barwert: (2.19)

In unserem Beispiel ware K o =

2~,00~~0

= 184716,24. Bei einem Zinssatz von

6% ware also das Angebot (A) vorzuziehen. Der Barwert hangt natiirlich entscheidend vom Zinssatz abo Bei p = 3% beispielsweise ware der Barwert des 220000 . . Angebots (B): K o = 3 = 201331,17 Euro. Bel 3% Zmssatz ware also (B) 1,03 vorzuziehen. Beispiele: 1)

Jemand erhalt fUr eine Immobilie drei Angebote: (A) 150000 Euro sofort, 240000 Euro nach 5 Jahren (B) 120000 Euro sofort, 250000 Euro nach 3 Jahren (C) 400000 Euro nach 6 Jahren. Welches Angebot hat den hOchsten Barwert bei einer Verzinsung von 6%? 240000 Barwert (A) = 150000 + """"i"Q65 = 329341,96 Euro

,

Barwert (B) 120000 +

250000 1,06 3 = 329904,82 Euro

400000 Barwert (C) = 1,06 6 = 281984,22 Euro. (B) hat den hOchsten Barwert. 2)

3)

Die Kapitalbeteiligung an einem Unternehmen soli folgendermal3en fallig werden: 150000 Euro sofort, 100000 Euro nach 2 Jahren, 100000 nach weiteren 2 Jahren und 120000 nach nochmaligen 2 Jahren. Wie hoch ist der Barwert der Beteiligung bei einem Zinssatz von 7,25%? 100000 100000 120000 Der Barwert ist gleich 150000 + 0725 2 + -0724 + - - - 6 = 391367,06 Euro. 1, 5 1,0725 1, Jemand hat noch folgende Verbindlichkeiten offen: 5000 Euro fallig in 2 Jahren, 10000 Euro fallig in 4 Jahren. Der Zinssatz betragt 7%. Durch eine Erbschaft kann er die Tilgung sofort vornehmen. Was hatte er zu zahlen? 5000 10000 Barwert= 1 07 2 + 1 074 = 11 996, 15 Euro.

,

,

Bei sofortiger Tilgung der Schuld hatte er 11 996,15 Euro zu zahlen.

79

2.2. POTENZEN MIT GEBROCHENEN EXPONENTEN

2.2

Potenzen mit gebrochenen Exponenten

2.2.1

Begriff der Wurzel

Wir gehen von einem Beispiel aus der Zinseszinsrechnung aus: Jemand hat 13000 Euro bei einem unveriinderlichen Zinssatz angelegt; diese sind in 6 Jahren auf 16929,38 Euro angewachsen. Wie hoch war der Zinssatz? Es ist nach der Zinseszinsformel: 16929,38 = 13000 . q6, d.h. q6 = 161~~~038 = 1,30226. Gesucht ist q, denn wenn wir q wissen, wissen wir auch p. Es ist also die Gleichung q6 = 1,30226 nach q aufzulosen. Allgemein fUhrt die Aufgabe, die Gleichung an = b bei gegebenem b und n nach der Basis a aufzu16sen, auf den Begriff der n-ten Wurzel. Die n-te Wurzel aus b ist nur fur b 2: 0 erkliirt, und zwar folgendermaBen: Die n-te Wurzel aus b 2: 0 (geschrieben {/b) ist diejenige nichtnegative Zahl 2: 0 vorausgesetzt)

a, deren n-te Potenz b ergibt. Die Auflosung von an = b (b nach a liefert also a = {/b an = b

-<==>

a =

\/b

fUr b 2: 0

(2.20)

b heiBt der Radikand, n der Wurzelexponent und a der Wurzelwert. Aus der Definition folgt unmittelbar fUr jedes b 2: 0: (2.21 ) Das Wurzelziehen oder Radizieren ist also eine Umkehrung des Potenzierens, niimlich die Auflosung nach der Basis. Die Auflosung von an = b nach dem Exponenten heiBt logarithmieren und wird in 2.3. behandelt. Insbesondere ist stets \iI = 1, da In = 1 fur jedes n. Es ist y'O = 0, da = 0 fUr jedes n f:. O. Fur b 2: 0 ist .vb = b, da b1 = b. Fur ~, die sogenannte Quadratwurzel schreibt man man liiBt also bei der zweiten Wurzel gewohnlich den Exponenten weg.

on

va,

Beispiele: 1)

v'8I =

2)

vo,T6 = 0,4, denn 0,4 2 =0,16

3)

Vl-16 existiert nicht, da der Radikand negativ ist.

9, denn 92 = 81

80

4)

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

?'256 = 4, denn 44 = 256.

Es ist H = lal, denn auch bei negativem a ist a2 positiv; die Wurzel existiert also stets. Die Wurzel aus a 2 ist aber diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat a2 ergibt. Vnter den beiden Zahlen a und -a, deren Quadrat a2 ist, ist also die nichtnegative zu nehmen, d.h. es ist a zu nehmen fUr a > 0 und -a fUr a < O. Das ist aber der Betrag (vgl. (1.66)). Analog gilt 2~ = lal. Viele Taschenrechner haben eine Taste fUr die n-te Wurzel (bezeichnet mit In diesem Falle ist die Tastenfolge etwa fUr 14,2:

fIX, yta oder ahnlich). 4,21 \fY17

\fY,

EJ 1,2275399.

Wir werden in 2.2.2 sehen, wie man auch mit Taschenrechnern, die nur die haben, Wurzeln berechnen kann. Die Quadratwurzel ist bei Potenztaste

U2J

den meisten Rechnern als gesonderte Taste vorhanden: )2,5: 1,5811388.

2,51 V I Ergebnis:

Nun konnen wir auch unser Ausgangsbeispiellosen: Es war q6 = 1,30226, also q = ytl,30226 = 1,045. Daraus folgt p = 4,5%; das Geld war also zu 4,5% angelegt. Weitere Beispiele: 1)

Ein Immobilienfonds wuchs in 7 Jahren auf 148,2% seines urspriinglichen Werts. Welchern Zinssatz wiirde bei Anlage auf Zinseszins diese Steigerung entsprechen? Hatte man 100 Euro angelegt, wiirde man nach 7 Jahren 148,20 Euro haben. Also q7 = 148,2 = 1 482 q = ,yl 482 = 1 0578081. 100 " , , Der Zinssatz ware also 5,78%.

2)

15000 Euro waren bei unterjahriger, monatlicher Verzinsung 2 Jahre und 9 Monate angelegt und stiegen in dieser Zeit auf 16972,07 Euro. Wie hoch war der nominelle Zinssatz p? Es ist nach (2.18): 16972,07 = 15000 (1

also

16972,07 = 1 00375. 15000 ' Das miissen wir nun nach p auflosen: p = 1200·0,00375 = 4,5%. Der nominelle Zinssatz betrug 4,5% p.a. 1

__ P_ =

+ 12 ~100) 33,

+ 12 ·100

33

2.2. POTENZEN MIT GEBROCHENEN EXPONENTEN

2.2.2

81

Gebrochene Exponenten

In 2.1.1 waren Potenzen an fUr naturliche Exponenten n eingefUhrt worden. 1

Durch die Festsetzung aD = 1 und a- n = - konnte der Potenzbegriff in 2.1.2 an auf beliebige ganze Exponenten ausgedehnt werden. Das Entscheidende dabei war, daB aIle Potenzgesetze gultig blieben. Es erhebt sich nun die Frage (der Erfolg wird es rechtfertigen), ob man auch Potenzen a~ mit gebrochenem Exponenten erkliiren kann. Das hiitte nur Sinn, wenn aIle Potenzgesetze auch fur diesen erweiterten Potenzbegriff Gultigkeit behielten. Was hiitte z.B. a!. fUr eine Bedeutung? Es muBte das Potenzgesetz (2.8) gelten, also etwa

(a!.) n = a!.on =

at

= a.

Nun kennen wir aber schon eine GroBe, die, hoch

n

genommen, a ergibt, niimlich yta. Das fuhrt uns zu folgender Erkliirung: Fur a 2: 0 solI a!. gerade yta sein, fUr a < 0 ist a!. nicht erkliirt. Entsprechend gilt m (m)n m m nr:::;:n. fUr an: an = anon = am, d.h. an ware als yam zu erkliiren. Es wird also jetzt definiert: Fur a 2: 0 ist a~ insbesondere

a!.

= ~, =

va.

(2.22)

Man kann zeigen, daB aIle Potenzgesetze auch fur diese Erweiterung des Potenzbegriffs richtig sind. Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind also eine andere Schreibweise fUr Wurzeln. Beispiele: 1)

vx-y=(x-y)!

2)

yr;2 = a~

3)

{/(u - 2v)3

4)

-=a

5)

(b + 3c) -

1 yr;2

= (u -

2v)~

_2 3

7

8

1

= -:"\/c(b;=+=3==c~r

Die Auffassung der Wurzeln als Potenzen mit gebrochenem Exponenten gestattet jetzt auch die Berechnung von n-ten Wurzeln mit solchen Taschenrechnern,

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

82

die keine Wurzeltaste, aber die

0

-Taste haben.

Z.B berechnet man vt17, 263 = 17,263 t = 17,263°,25 folgendermaBen:

17,263 0°,25 und

B 2,0383515

VI, 325 = 1, 325 t :

1, 325 0

[I] 1 B 7 mB 1,0410208.

Es ist nicht erforderlich, die sogenannten Wurzelgesetze zu lernen; die Wurzelgesetze sind nichts anderes als die Potenzgesetze fUr gebrochene Exponenten. Wir gehen sie jetzt in der Reihenfolge durch, wie sie in 2.1.1 vorkommen: Man kann Wurzeln nur addieren oder subtrahieren, wenn Radikand und Wurzelexponent iibereinstimmen. Beispiele: 1)

ijii + 6ijii - Sijii = -ijii

2)

xy'2x-y+y2y'2x-y- y'2x-y= (x+y2-1)y'2x-y

(2.2) beschrieb, wie man Potenzen mit gleichem Exponenten multipliziert. Wenden wir das auf n-te Wurzeln an, ergibt sich a~ . b~ = (ab)~ bzw.: (2.23) Ebenso erhiilt man aus (2.3)

(2.24) Beispiele:

= (v'a)2 - (v'b)2 = a - b = (JX)2 + 2JXy'Y + (y'Y)2 = X + 2JXY + y

1)

(v'a - v'b)(v'a + v'b)

2)

(JX + y'Y)2

3)

(2.23) gibt auch die Moglichkeit, einen Faktor aus einer Wurzel auszuklammern oder einen Faktor in eine Wurzel zu bringen: Es soll aus ~ der Faktor x 2 ausgeklammert werden: 2 Jx2 _ y2 = x2 y2) = y2 = x . x2 y2 x2

(1-

..;;;'IV1_ IXIV1 _

2.2. POTENZEN MIT GEBROCHENEN EXPONENTEN

:3

Es soli in a './1 -

das a unter die Wurzel gebracht wer.den:

1- 1= ~ . './1 _1=

a './

a3

a3

=

83

=

a3

(1 _~) = .y

a3

a3

=

1.

y';"2ri". y'x = x 2 y'x

~. y!x n +2

5)

.J'625a 0b .J'5a2b3

6)

(2.24) wird auch benutzt beim sogenannten Rationalmachen von Briichen. Man erweitert dabei einen Bruch so, daB Wurzeln im Nenner nicht mehr auftreten:

6

y!x 2n +I

-

4)

1

y!x n - 1 x n +2

3

= • 625a210b3 6 = .J'125aS b3 = a 2 .J'125b3 5a b

2 2V3 2V3 V3 - V3V3 - -3_a_ = a~ = a~ = ~ yr;:J

yr;:J ~

5 V3 - J2

a

5(V3+J2) = 5(V3+J2) =5(V3+J2). (V3 - J2)(V3 + J2) 3- 2

(2.8) schlieBlich ergibt, auf n-te Wurzeln angewandt:

Iififa

=

=1li =

~I

(a~) ~ = a~n

bzw.: (2.25)

Beispiele:

2)

V'J32 = J~ = J2 V'.jUS = V'U5

3)

y/4v04=V'40t=V'V"46.4= 'W

1)

Fur die Potenzgesetze (2.4)-(2.7) ist im FaIle gebrochener Exponenten eine Umschreibung auf Wurzelgesetze nicht vorteilhaft und deshalb nicht ublich; beim Multiplizieren oder Dividieren von Wurzeln mit gleichem Radikanden, aber verschiedenen Wurzelexponenten schreibt man die Wurzeln in Potenzen urn und rechnet dann nach den Potenzgesetzen (dieses Vorgehen fiihrt ja - wie erwiihnt - immer zum Ziel; die Wurzelgesetze haben wir hier nur der Vollstiindigkeit halber, und weil sie traditionell benutzt werden, behandelt). Beispiele: 1)

2)

..ya. {!U = a! . a~ = a!+~ = a~ = ~ yf;f. W = x* . x~ = x*+,k = X k~tJn =

my'x km +1n

84

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

3)

SchlieBlich sei noch bemerkt, daB fUr gegebenes a ~ 0 die GroBe aX gemaB (2.22) fUr jede rationale Zahl x erklart ist. Da irrationale x durch rationale Zahlen beliebig angenahert werden konnen (siehe 1.1.1), ist es naheliegend, aX fUr irrationales x folgendermaBen zu erklaren: Man nahert x sukzessive durch passende rationale Zahlen rl, r2, r3," . immer besser an und betrachtet die Zahlen aTn als immer bessere Naherungen fUr aX. Die heutigen Rechner machen das automatisch, z.B. ergibt ein maBig genauer Taschenrechner fUr 31r den Nahe2 den rungswert 31,544281. Fiir 7./2 z.B. liefert die Eingabe 7 Naherungswert 15,672891.

U2J 0 B

Wir konnen also festhalten, daB fUr a ~ 0 die GroBe aX fiir jede reelle Zahl x, d.h. fiir jedes x der Zahlengeraden, erklart ist.

2.3

Logarithmen

Urn zur Erklarung der Logarithmen zu gelangen, gehen wir von einem praktischen Beispiel der Zinseszinsrechnung aus: Wie lange muB man 10000 Euro zu 5,1% anlegen, urn 16000 Euro zu erhalten? Es ist 16000 = 10000 ·1, 051 n , also 1,051 n = 1,6. Urn die gesuchte Zahl n von Jahren zu erhalten, miiBte also diese Gleichung nach n aufgelOst werden. Allgemein geht es urn die Auflosung der Gleichung an = b nach n. Die Auflosung dieser Gleichung nach a fiihrte auf die Wurzeln, die Auflosung nach n fiihrt auf die Logarithmen: Denjenigen Exponenten n, mit dem man die Basis a potenzieren muB, urn b zu erhalten, nennt man den Logarithmus von b zur Basis a, und man schreibt: n = loga b (gelesen "Logarithmus von b zur Basis a"). Dabei sind a und b positiv und a # 0 vorausgesetzt. Es sind also an = b und n = loga b aquivalente Gleichungen:

Die Definition des Logarithmus kann formelmaBig durch folgende Beziehungen beschrieben werden:

2.3. LOGARITHMEN

85

(2.26)

I

(2.27) Beispiele:

2)

= 2, denn 10 2 = 100. logs 125 = 3, denn 53 = 125

3)

logs 0,5 =

1)

loglo 100

1

III

-3' denn 8-3 = .ys = 2 = 0,5

Diese Logarithmen konnten wir nur angeben, weil man den Exponenten, also den Logarithmus, in diesen Fallen leicht erraten kann. In unserem Ausgangsbeispiel ware die Losung von 1,051 n = 1,6: n = IOgl,0511,6. Das sagt uns erstmal gar nichts. Es wird jetzt darauf ankommen loga b zu berechnen. Dazu dienen die Logarithmen einer festen Basis, die man Tafeln entnehmen kann, viel schneller aber mit einem Taschenrechner berechnen kann. In der Praxis benutzt man Logarithmen zur Basis e (e = 2,7182818 ... ist eine irrationale Zahl; es hat innermathematische Grunde, warum diese Zahl so wichtig ist). Die Logarithmen zur Basis 10, die sogenannten Zehnerlogarithmen, schreibt man nicht 10glO b, sondern log b (manchmal auch 19 b); fUr die Logarithmen zur Basis e, die sogenannten naturlichen Logarithmen, schreibt man nicht loge b, sondern In b. Die charakteristischen Beziehungen (2.26), (2.27) lauten also fur log bzw. fUr In: IOlog b = bj e

lnb

-

b·,

log IOn = n

(2.28)

n

lne = n

(2.29)

Sowohl die Zehnerlogarithmen als auch die naturlichen Logarithmen sind auf den meisten Taschenrechnern durch eine besondere Taste aufrufbar. Urn z.B. log 2, 5 zu berechnen, tippt man 2,5 ein und druckt die Taste LOG man

I

erhalt 0,39794. Durch Eintippen von 2,5 und Drucken der man In 2, 5 = 0,9162907.

I' Taste ILN I erhiilt

Urn nun loga b auf Berechnungen mit log (d.h. mit den auf dem Rechner verfUgbaren Logarithmen zur Basis 10) zuruckzufUhren, formen wir die definierende Gleichung (2.26) ein wenig urn: Es ist a 10ga b = b, ferner nach (2.28) IOloga = a. Setzen wir diesen Ausdruck fUr a oben ein, so ergibt sich (10Ioga)IOgab = b hzw. nach dem Potenzgesetz (2.8): b = IOloga.logab.

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

86

Andererseits ist nach (2.28): b = 1010gb , also log a ·loga b = log b bzw.: log b = 10gb a loga

(2.30)

Mittels dieser Formel k6nnen wir nun die Gleichung an = b tatsachlich aufl6sen n = 10gb

loga

I

(2.31 )

Anmerkung: In wiirde dasselbe leisten, d.h. lnb Ina

(2.32)

n=-

Unser Ausgangsbeispiel fiihrte ja auf die Gleichung 1, 051 n = 1,6, also n=

Die Tastenfolge 1,61 LOG I

log 1,6 . log 1, 051

EJ 1,0511 LOG I EJ liefert n =

9,45 Jahre.

Beispiele: 1)

Man bestimme x aus 7 X = 24, 3. log24,3 x = ~ = 1,6395805.

2)

0,3 =5,17.

3)

In wieviel Jahren verdoppelt sich ein zu p = 5% angelegtes Vermogen? Nehmen wir an, wir haben 1 Euro angelegt, so gilt: 2 = 1·1,05n ,d.h. 1,05 n = 2, log 2 n = -1 05 = 14,21 Jahre. ogl,

x

log5,17 x= logO,3 =-1,364543

Die Logarithmengesetze sind eine unmittelbare Folge der Potenzgesetze. Wir wollen den Logarithmus eines Produktes, d.h. loga (uv) bestimmen. Sei u = aX, also x = loga u, und v = aY , also y = loga v. Dann ist loga (uv) = loga (ax. aY ) = (nach 2.4) loga(a x+y) = (nach 2.27) x + y. Setzen wir die obigen Ausdriicke fiir x und y ein, so erhalten wir: Iloga (uv) = loga u + loga v I

(2.33)

Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.

2.4. WEITERE TYPEN VON GLEICHUNGEN

87

Das gilt auch fur mehr als zwei Faktoren, d.h. loga( UlU2

... un)

= loga Ul + loga U2 + ... + loga Un =

n

L log

a Uk

k=l

Sind hier aile

Uk

= u, so erhalt man

Man kann zeigen, da:B dies nicht nur fur ganzzahlige Exponenten, sondern fUr ganz beliebige reelle Exponenten x gilt: (2.34) Aus (2.34) ergibt sich nochmals die so wichtige Auflosung der Gleichung aX = b nach x (2.30): Wir bilden auf beiden Seiten dieser Gleichung den Zehnerlogarithmus (man sagt auch, die Gleichung wird logarithmiert), das ergibt log aX = log b. Nun wenden wir links (2.34) an (diese Forme! gilt ja fur jeden be!iebigen Logarithmus zu jeder beliebigen Basis, also auch fUr log), das . log b erglbt x log a = log b, also x = -I- . oga

2.4 2.4.1

Weitere Typen von Gleichungen Weitere aquivalente Umformungen

Wir hatten in 1.1.3 schon wichtige aquivalente Umformungen von Gleichungen kennenge!ernt. Durch unsere erweiterten Kenntnisse uber Potenzen, Wurzeln und Logarithmen kommen noch einige hinzu: (2.35)

Beide Seiten einer Gleichung durfen zur selben positiven Basis a (a =1= 1) potenziert werden, bzw. (von rechts nach links ge!esen): Sind zwei Potenzen mit gleicher positiver Basis a (a =1= 1) gleich, so sind auch die Exponenten gleich.

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

88

Beispiele:

=

1)

Man berechne x aus 12 x - 1 12 2x +7 . Nach (2.35) folgt x - 1 = 2x + 7, d.h. x

2)

logx

= -8.

= 1,2. Man bestimme x. = 10 1,2 :::::: 15,8489. 1Ologx ist aber gleich x (2.28), also x :::::: 15,8489.

1Ologx

Sind T1 und T 2 beide > 0, so gilt fUr positives a (a f= 1): (2.36)

Beide Seiten einer Gleichung durfen, wenn sie beide positiv sind, zur selben positiven Basis (f= 1) logarithmiert werden. Beispiel: 1)

Man bestimme x aus 2, 6x = 3,6. log 2, 6x = log 3,6 :::::: 0,5563025. Wegen (2.34) ist log 2, 6x = x ·log2, 6 = x ·0,4149733. Also x . 0,4149733 = 0,5563025, x = 1,340574. (Vgl. den SchluB von Abschnitt 2.3)

Will man von einer Gleichung auf beiden Seiten die n-te Potenz bilden oder die n-te Wurzel ziehen, so ist das bei ungeradem n erlaubt:

= T2 T1 = T2

T1

'¢:::=} '¢:::=}

= T; yT; = yT;

T{'

falls n ungerade

}

(2.37)

Beispiele: 1)

Man lose .y2x - 1 = 1,3. Beide Seiten werden zur 5. Potenz erhoben, das ergibt = 1,35 = 3,71293, also x = 2,356465.

2x -1 2) 3)

= 2. x - 6 = 23 = 8; x = 14. (7x + 3f = 10. Wir ziehen die 7. Wurzel: (x - 6)!

7x

+ 3 = V'lO = 1,3894955.

x:::::: -0,23.

Potenzieren und Radizieren mit geradem Exponenten sind keine iiquivalenten Umformungen. Z.B. hat die Gleichung x - I = 7 nur eine einzige Lasung,

2.4. WEITERE TYPEN VON GLEICHUNGEN

89

niimlich x = 8. Quadriert man sie, so erhiilt man (x - 1)2 = 49 und priift leicht nach, daB diese Gleichung 2 Losungen, niimlich Xl = 8 und X2 = -6 hat. Auch bei geradem Exponenten wird das Potenzieren und Radizieren von Gleichungen zu ihrer Umformung genutzt. Man muB aber dabei beachten, daB beim Potenzieren mit geradem Exponenten Vorzeichen verloren gehen konnen, beim Radizieren mit geradem Wurzelexponenten aus T{' = T2' zwei Gleichungen, niimlich T I = T 2 oder T I = - T 2 entstehen konnen. Also:

falls n gerade. Wenn man (2.38) im ProzeB einer Gleichungsauflosung anwendet, muB man die erhaltenen Losungen an der Ausgangsgleichung iiberpriifen, ob sie diese tatsiichlich erfiillen. Beispiele: 1)

(2x - 3)2 = 25. Durch Wurzelziehen und Beriicksichtigung von (2.38) folgt 2x - 3 = 5 oder 2x - 3 = -5 Das ergibt x = 4 oder x = -1. Beide Werte sind Losungen der Ausgangsgleichung, wie man sich leicht durch Einsetzen iiberzeugt.

2)

v'X=5 = ..j2x + 3. Quadrieren ergibt x - 5 = 2x + 3, d.h. x = -8. Eine Liisung miillte aber x 2: 5 erfiillen, damit v'X=5 einen Sinn hat. Das gefundene x ist also keine Losung.

3)

(x

+ 2)4 = 16. Wir ziehen die 4. Wurzel: x + 2 = 2 oder x + 2 = -2 mit den beiden Losungen Xl = 0, x2 = -4; beide erfiillen die Ausgangsgleichung.

Schliel3lich erwiihnen wir noch, daB folgende Eigenschaft der reellen Zahlen bei der Losung von Gleichungen gelegentlich von Nutzen ist: Ein Produkt von reellen Zahlen ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Daraus folgt:

IT I . T2 •••.• Tn =

0

{:=:?

T I = 0 oder T 2 = 0 oder ... oder Tn = 0

I (2.39)

Hat eine Gleichung die Gestalt "Produkt verschiedener Terme =0" , so erhiilt man die Losungen, indem man die Terme einzeln gleich Null setzt und diese Gleichungen lost.

90

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

Beispiele: 1)

2x(x - 3)(3x + 5) 2x = 0, x = x - 3 = 0, x = 3

°

3x + 5 2)

=°

= 0, x = -~.

Die Gleichung hat also die drei Liisungen 0; 3;

°

-~.

v'2x - 6(e X - 2)(4x - 1) = v'2x - 6 = 0, 2x - 6 = 0, x 3 eX - 2 = 0, eX = 2, x = In2 = 0,6931472

=

4x - 1 = 0, x =

2.4.2

~.

Die Ausgangsgleichung hat also die drei Liisungen 3; 0,6931472;

~.

Quadratische Gleichungen

Wir hatten in 1.1.3 bereits lineare Gleichungen kennengelernt; das waren Gleichungen, die sich nach Umformungen auf die Gestalt ax + b = 0 bringen lieBen. Die Unbekannte kommt in ihnen also nur in der ersten Potenz vor. Gleichungen, in denen die Unbekannte in der zweiten Potenz, aber in keiner haheren Potenz vorkommt, heiBen quadratische Gleichungen. Jede quadratische Gleichung HiBt sich durch iiquivalente Umformungen auf die Form ax 2 + bx + c = 0 bringen. Dabei muB a i- 0 sein, sonst liige ja gar keine quadratische Gleichung vor. Dividiert man durch a so ergibt sich x 2 c - = q setzt: a

Ix

2

+ ~x + ~ a

+ px + q =

a

0

= 0, bzw., wenn man

I

~a

= p,

(2.40)

Das ist die sogenannte Norma/form der quadratischen Gleichung. Urn sie zu lasen, betrachten wir das Quadrat (x

+ ~r

Damit also auf der linken Seite das vollstiindige Quadrat

= x

2

+ px + (~r·

(x + ~)

2

erscheint

-

(von dem ja x 2 + px schon da ist), mussen wir auf beiden Seiten der Gleichung

(~r addieren:

oder (x + ~r = (~r q. Nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel, dann erhalten wir gemiiB (2.38) die beiden Gleichungen x

2

+ px + (~r + q = (~r

x

+~ =

x

+~ =

J(~r -q

-J (~r -

q.

2.4. WEITERE TYPEN VON GLEICHUNGEN

Die Losung

Xl

91

der ersten Gleichung ist

die der zweiten Gleichung

Man faBt diese heiden Losungsformeln in eine Formel zusammen und schreiht (2.41 ) Xl

und

X2

sind die heiden Losungen der quadratischen Gleichung (2.40) in der

Normalform. 1st die sogenannte Diskriminante verschiedene reelle Losungen. 1st

(~) 2

(~) 2 -

q > 0, so giht es zwei

q = 0, so fallen die heiden reellen

-

Losungen zusammen, d.h. es ist in diesem Fall Xl

-

= X2 = -~.

Man spricht dann

von einer Doppelwurzel der Gleichung (2.40) (die Losungen einer Gleichung nennt man auch ihre Wurzeln). 1st reellen Losungen.

(~r

q

< 0, so hat die Gleichung keine

Urn eine vorgegehene quadratische Gleichung zu losen, muB man sie zunachst durch aquivalente Umformungen auf die Form (2.40) hringen. Dann kann man die Losungsformel (2.41) anwenden. Beispiele: 1)

x 2 +5x-14=0 Xl2 ,

= _~2 ± )254 + 14 = _~2 ± )254 + 564

=-~±J¥=-~±~ 5 9 xl=-2+2=2;

2)

16x 2 + 120x + 221

=

5 9 x2=-2-2=-7.

0 Wir stellen zunachst die Normalform her: 2 120 221 _ X + 1"6x + 1"6 - 0 bzw. nach Kiirzen:

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

92

3)

-x 2 +6x-3=0

1:(-1}

6x + 3 = 0 = 3 ± V9=3 = 3 ± v'6 Xl = 3 + 2,4494897 = 5,4494987 = 3 - 2,4494897 = 0,5505103 x

2

-

Xl,2

X2

b2 = O. Xl,2 = ±Vb2 = ± I b I Eine Losung ist b, die zweite -b. (Warum ist das richtig? Vergleichen Sie die Definition des Betrages!)

4)

x2

5)

5x 2 - 27bx

-

+ 10b 2 = 0

27 bx + 2b 2 5

x2 _

_ 27 b 10 ±

6)

=0

729 b2 _ 200 b2 _ 27 b 23 b 100 100 - 10 ± 10

Xl,2 -

xl=5b;

I: 5

x2=0,4b.

2x - 1 1- x 3x - 6 --------=0 x+3 x x-I

Der Term auf der linken Seite ist fiir x :f. -3, x :f. 0 und x :f. 1 definiert; fur diese x kann man ihn mit (x + 3)(x - l)x multiplizieren; man erhiilt: (2x - l)(x - l)x - (1 - x)(x - l)(x + 3) - (3x - 6)(x + 3}x 0 Multipliziert man aus und fal.lt man zusammen, erhiilt man:

=

=0 ~ =0

-5x 2 + 14x + 3 x2 _ 1\ _

5

= Xl = 3;

Xl,2

7)

x4

-

14 10 ±

5

r"1-96--60-

100 + 100 -0,2.

= 3x 2 + 2 = O. X2

bzw.

14

16

= 10 ± 10

Das ist zuniichst keine quadratische Gleichung, sondern eine sogenannte biquadratische Gleichung; sie enthiilt an Potenzen von x nur x 2 und x 4 . Setzt man x 2 = Z, so erhiilt man die in z quadratische Gleichung z2 - 3z + 2 = O. Ihre Losungen sind Zl,2

=

-

~ ± J~ ~ = ~ ±~;

Zl

= 2,

Z2

= 1. Das ergibt fiir x die beiden Gleichungen

V2; X2 = -V2; X3 = 1; X4 = -1; diese vier Zahlen sind die Losungen der Ausgangsgleichung. Biquadratische Gleichungen (d.h. Gleichungen, die nur x 4 und x 2 enthalten) kann man immer durch die Substitution x 2 = Z auf eine in z quadratische Gleichung zuriickfiihren. x 2 = 2 und x 2 = 1 mit den Losungen

Xl

=

2.4. WEITERE TYPEN VON GLEICHUNGEN

8)

93

Man lose die Formel a 2 + bxa - c = 2a 2 + ax + b nach a auf. Zuniichst bringen wir aile Terme auf eine Seite und erhalten eine quadratische Gleichung flir a:

_a 2 + (bx - x)a - (b

+ c) = o.

Die Normalform lautet: a 2 - (bx - x)a + (b + c) = o. Rier ist a die Unbekannte, es ist also p = -(bx - x) und q a ergibt sich aus der Losungsformel (2.41):

al,2

bx-x = 2 - ± J(bX-X)2 -2- (b

= b+ c.

Die Auflosung nach

+ c).

Das kann nicht weiter vereinfacht werden.

9)

x 5 - 3x 4 + 2x 3 = 0 Rier erhiilt man durch Ausklammern von x 3: x 3(x 2 - 3x + 2) = 0 Das liefert nach (2.39) die zwei Gleichungen x 3 = 0 mit der Losung x = 0 und x 2 - 3x + 2 = 0 mit den Losungen 2 und 1. Die Ausgangsgleichung hat also die drei Losungen Xl = 0, X2 = 2 und X3 = 1.

Quadratische Gleichungen nennt man auch Gleichungen zweiten Grades, weil zweite Potenzen der Unbekannten vorkommen. Fiir Gleichungen 5. und hoheren Grades gibt es keine Auflosungsformeln mehr; man muB bei der Auflosung solcher Gleichungen auf numerische Auflosungsverfahren zuriickgreifen. Fiir Gleichungen 3. und 4. Grades sind die Auflosungsformeln ziemlich kompliziert, so daB man auch in diesen Fallen die numerischen Verfahren vorzieht.

2.4.3

Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte GroBe im Radikanden von Wurzeln vorkommt. Urn sie zu lasen, isoliert man maglichst die vorkommenden Wurzeln und beseitigt sie schlieBlich durch Potenzieren. Manchmal wird man dadurch auf Gleichungen gefiihrt, die man lasen kann. In anderen Fallen wird man auf numerische Methoden zuriickgreifen miissen. Da Potenzieren mit geradem Exponenten (z.B. Quadrieren) keine aquivalente Umformung ist, muB man, falls man solche Umformungen vorgenommen hat, stets die Probe machen, d.h. man muB nachrechnen, ob die erhaltenen Lasungen tatsachlich die Ausgangsgleichung erfiillen. Eine notwendige Bedingung dafiir ist, daB die gefundenen Lasungen im Definitionsbereich der Wurzeln liegen, d.h. in dem Bereich, fiir den die vorkommenden Wurzeln iiberhaupt existieren.

94

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

Beispiele: 1)

=

vx=I + v'X=4 3. Wir quadrieren auf beiden Seiten (links muB man dabei die erste binomische Formel anwenden). Das ergibt nach den Wurzelgesetzen

x-I

+ 2J(x -

l)(x - 4)

+x -

4

= 9.

Nun wird die Wurzel isoliert:

2Jx 2

I: 2

5x + 4 = 14 - 2x

-

Jx 2 -5x+4=7-x. Durch Quadrieren wird die Wurzel beseitigt:

x2

-

5x + 4 = 49 - 14x + x 2 .

Nun bringen wir aile Glieder, die x enthalten, auf eine Seite und erhalten die lineare 45 mit der Lasung x 5. Die Wurzel JX"=l ist fiir x :::: 1 definiert, Gleichung 9x Jx - 4 ist fiir x :::: 4 definiert, die ganze linke Seite der Ausgangsgleichung also fiir x :::: 4. Die gefundene Lasung Iiegt im Definitionsbereich. Die Probe ergibt ~ + -v'5=4 2 + 1 3, d.h. unsere gefundene Lasung erfiillt die Ausgangsgleichung.

=

=

2)

=

=

JX"=l+3=x.

I

JX"=l=x-3 x-I X

2

Xl2

,

7x + 10

-

=

= x2 -

+9

=0

~ ± )49

_ 40 =

~±~

4 4 2 2 Xl 5; X2 2. Heide Werte liegen im Definitionsbereich x :::: 1 der Wurzel

=

2

6x

quadrieren

=

Probe: ~ + 3 = 2 + 3 = 5; Xl J2=1 + 3 = 1 + 3 = 4 -# 2; X2 ist

3)

-Yx 2 - 1- 2 = O. -Yx 2 -1 = 2;x 2 -1

JX"=l.

ist Lasung der Ausgangsgleichung. keine Lasung der Ausgangsgleichung.

= 8;x 2 = 9; XI,2 = ±3; Xl = 3; X2 = -3.

Da hier Aquivalenzumformungen erfolgt sind (Erheben in die 3. Potenz: Exponent ungerade!) ist eine Probe nicht erforderlich; beide geniigen der Ausgangsgleichung.

2.4. WEITERE TYPEN VON GLEICHUNGEN

4)

yt4 + V2x + 5 = 3 4 + V2x

I

+ 5 = 27

95

hoch 3

1-4

V2x+ 5 = 23

I

quadrieren

2x+ 5 = 529 x

= 262

Der Definitionsbereich ist x 2: -2,5; die Probe ergibt, daB die gefundene Losung tatsiichlich die Ausgangsgleichung erfiillt.

2.4.4

Exponential- und Logarithmengleichungen

Bei einer Exponentialgleichung befindet sich die Unbekannte im Exponenten einer Potenz. Die einfachste Exponentialgleichung aX = b haben wir schon gelast (Abschnitt 2.3); durch Logarithmieren auf beiden Seiten folgte x . log a = log b mit der Lasung x = llog b. Auch kompliziertere Exponentialgleichungen oga

werden durch Logarithmieren und Anwendung der Logarithmengesetze (2.33) und (2.34) gelast. Beispiele: 1)

5 ·1,04 x

-

2(1,04 X

-

1) = 6. 4

Zuniichst isoliert man 1, 04 2)

x

:

log3· 1, 04 = 4; x = log 1,3 ~ 7,335. 04 x

2 . 32x - 1 = 7 . 3x +1 . Durch Logarithmieren und Beriicksichtigung der Logarithmengesetze erhiilt man log2 + (2x -1)log3 = log7 + (x

+ 1)log3.

Nun werden die x enthaltenden Glieder auf eine Seite gebracht: x log 3 = log 7 + 2 log 3 - log 2 x

3)

= log7 + 2 log 3 -log2 ~ 3,1403.

= 4 . 22x + 1 . 2 (x + 1) log 3 = log 4 + (2x + 1) log 2

1og3

3x '+1

log 3 . x 2 - 2 log 2 . x + log 3 -log 4 - log 2 x 2 _ 2 log 2 x + 1 _ log 4 _ log 2 = 0 log3 log3 log3

=0

96

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

log 2 X12= 3± 'ogI

(log2)2 _ 1 + log4 + log2 log 3 log3 log 3

VO, 3980724 -

= 0,6309298 ± XI ::::: 1,767; 4)

1 + 1,2618595 + 0,6309298

-0,505.

X2:::::

Man lose folgende Formel nach b auf: a . e2b -

1

= db+ 1

loga + (2b - 1) loge = (b + 1) logd (2 log e - logd)b = logd + log e - loga e2

de

b . log d = log -;de

10gb- __a_ -

e2

logd (bzw. b= logd+loge-Ioga). 210ge -Iogd

Bei einer Logarithmengleichung kommt die Unbekannte unter dem Logarithmus vor. Man versucht, solche Gleichungen durch Potenzieren mit der Basis des vorkommenden Logarithmus zu losen. Beispiele: 1) 2)

3)

lnx = 1,7 Potenzieren zur Basis e liefert elnx = e l ,7 bzw. log7 X = 2,8. Potenzieren zur Basis 7 liefert x = 72,8

:::::

X

= e l ,7::::: 5,4739.

232,4205.

1+logx=2Iog(x-l) 10J+logx = 10 2Iog(x-l) Jetzt verwenden wir die Potenzgesetze: 10 1 ·lOlogx = (101og(X-I))2; lOx = (x - 1)2

x 2 -12x + 1 =

°

das ergibt

bzw.

XI,2=6±V35; XI::::: 11,9161; x2:::::0,0839. Die zweite Lasung ist nicht zulassig, da log( x-I) nur fUr x > 1 definiert ist, d.h. die rechte Seite der Gleichung hat fUr x = X2 gar keinen Sinn. Die Ausgangsgleichung hat also die Lasung x ::::: 11,9151.

2.4. WEITERE TYPEN VON GLEICHUNGEN

4)

In(2y+ 1)2 -1 e 1n (2y+l)2

97

=0 =

e1

(2y+l)2=e 4y2

+ 4y + 1 -

Yl,2

= -2 ± V4" -

e= 0 l-e y2+ y + - - = 0 4 r.---:-1/1 l-e

-4-

= -0,5± 2ve 1

0,3244; Y2:::::: -1,3244. Da (2y + 1)2 stets > 0 ist, sind beide Losungen zulassig.

Yl::::::

5)

Man lose folgende Formel nach a auf: In y';l2TI - b a 2 + 1 = e2b ; a 2 = e 2b - 1 al,2=±~

y';l2TI = e b;

= O.

98

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

Ubungsaufgaben

2.5 1)

2)

Man fasse zusammen bzw. klammere aus: 1 3 5 1 a) 17x 2 - 6y2 + 12x 2 - 9y2 - x 2. b) -ab 2 - -a 2b - -ab 2 + -a 2b' , 3 5 6 2' c) 12x s - 4x 7 + 24x 6 - 6x 5; d) 8a 3 - 2b 3 + e3 - lld3 . Man berechne:

b) UX • u l - x . u 2 ; c) en. e7 . en +4 ; d) x 3n - 2 . 2x m - 2n + l ·5x 2n +m e) (a - W(b - a)4(a - W- 1 ; f) (_a)5( _a)4n( _a)2-2m; g) (2a 4 - 12a 3 + a 2)(3a 2 - 2a + 1);

a) x n +l . x;

3)

Man berechne: 71'8 2t 3 a) 1611'2 5 3t 4 ;

a 3(b 2 _ e 2)e 2 b) b2(b+e)a 4 ;

3b

2y

c) ( 2ax 2

2y2 2y2 )2. (5x )3. (5b )2. 3a 2b2 ' 4a 4 '

4)

Folgende Briiche sind zu einem Bruch zusammenzufassen: 2 1+t 3t b) a b e d 1- t a) ~ + i s - 73; yn+2 + yn-l - yn-4 + y5; x4 x5 _ x4 x 6 _ x 5 + 2x 4 c) (x _ 1)4 + (x -1)5 (1 _ X)6

5)

In den folgenden Ausdriicken sind durch Umformung in Potenzen mit negativen Exponenten die Briiche zu beseitigen: e u-v 1 2 1 1 d) -n-; a) 2b; b) - - ; c) 2" - - + 1; e) (uvy' a u+v x x

6)

7)

Man schreibe als Bruch:

a) bn - 3e- 4n ; b) a- x (be)3- X dX -4; 3n l m d) 4a- + 5a - _ 6a- 2m - n .

a) 8)

r:

r2r3;

Man forme so urn, daB keine negativen Exponenten auftreten:

(uv_-6~:4

(xU-4:_~2r;

Man berechne:

a) (3x- 4y-2 _ 2x- 3y-3

b) [

(5~3

3

c) [

(X-z !3-

2

rr

2

+ x- 2y-4). 3x- l y-2

b) (4a- 3 + 2a- 4 - a- 5) : a- 6

c) (y2n-l _ 2y-n+2 + y-4n-3) : y-n+l

9) 10)

Beim Genueser Lotto werden 5 Kugeln aus 90 Kugeln gezogen. Wie viele verschiedene Tips gibt es? Man berechne mittels binomischem Lehrsatz:

a) (a - 2b)4;

d)(u-v?

99

2.5. UBUNGSAUFGABEN

=

11)

Ein Kapital von 120000 Euro wird 9 Jahre zu p wachst es in dieser Zeit an?

6% angelegt. Auf wieviel Euro

12)

Jemand legt 22000 Euro zu p = 5,25% p.a. an. Man vergleiche die Endkapitalien nach 4 Jahren bei a) jahrlichem b) monatlichem Zinszuschlag.

13)

Jemand erhalt fUr ein GrundstUck 3 Angebote: (A) 100000 Euro sofort, 250000 Euro nach 4 Jahren; (B) 80000 Euro sofort, 260000 Euro nach 2 Jahren; (C) 400000 Euro nach 6 Jahren. Welches Angebot ist das gUnstigste, wenn ein Zinsatz von p wird?

= 5,5% p.a. zugrundegelegt

14)

Man berechne mit dem Taschenrechner: a) .y2; b) \0/1,43; c) .y8,6.

15)

Jemand hat 20000 Euro bei einem unveranderlichen Zinssatz angelegt; das Kapital ist nach 4 Jahren auf 24079,43 Euro angewachsen. Wie hoch war der Zinssatz?

16)

FUr welche x sind folgende Wurzeln erklart: a) Vf=X; b) ~a2 - x 2; c) {!(x - 2y)2.

17)

Welche der folgenden Gleichungen sind falsch: a) v(a + b)4 = (a+b)2;

18)

b) _1_.

,

20)

d) {!x 3 + y3 = x+y.

Man schreibe folgende Wurzeln als Potenzen mit gebrochenem Exponenten: a) ifli·

19)

c) va 2 - b2 = a-b;

b) ~ = a;

W'

c) {/x3 _ y3.

Folgende Potenzen sollen als Wurzeln geschrieben werden: a) bio; b) a-~; c) xy2,5; d) U-O,4. Man vereinfache: a) ~ + a~ - 2b~;

d)

+

~

4

3

Z

b)

vbC·..Jab·,.j2(i;

c) -Ya m+2 . -Ya 4m +3.

3

Z -z X x 2 + 2xy + y2

(indem man den Faktor vor der Wurzel unter die Wurzel

bringt). e)

21)

v'a"+b . Va 2 + b2 ;

va 4 -b4

~. ~. v? '

f)

~

JijX2.

lW;

Man berechne: a) log31,6;

23)

~ . -Ya 2b7 .

Die Doppelwurzeln sollen beseitigt werden:

b)~· 22)

g)

b) log64 0,5;

Man bestimme x aus: 1 a) logx - = -1; b) log4 U

c) logk

X

=

1

2'

'\/k;

d) logxx- n ;

e) Ine- 3;

{;?b

100

24)

KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN

Man fasse mittels der Logarithmengesetze zusammen: a) logau+logav-Iogaw;

b) xlnu+ylnv;

1 1 2 c) 3"loga- slogb+ 3" loge.

25)

Wie lange muB man 12000 Euro zu 5,25% anlegen, damit sie auf 17168,64 Euro anwachsen?

26)

Wie lange dauert es, bis sich ein zu p = 4,8% angelegtes Kapital verdreifacht?

27)

Man lOse folgende Gleichungen a) x 2 + 4x - 5 = 0; b) 7x 2 + 21x + 14 = 0; c) x 4 - 5x 2 + 4 = 0; d) x 7 + 5x 6 + 4x 5 = 0; e) (x 2 - 6x + 5)(2x 2 - 19x + 9) = 0; 1 1 1 1 f) (x + 4)2 - (x - 5)2 - (x - 1)2 = 14x - 1; g) - - + - - = - - + - - ; x-2 x-4 x+2 x-7 i) "Ix + 2 - ,;x:::2 = ~; vx+2 j) "Ix + 5 + JX - V4x + 9 = 0; k) 4ij6x - 1 + 5 = 0; I) 1,052 x = 1,765 m) 11 2x = lOx+l. h) V5x - 4

28)

= 1 + V3x + 1;

Man lose folgende Formeln auf: a) u 2x 2 + 2u - (x 2 + y2) = UV - u 2 nach u; b) va:+b - ~ = e nach a; c) e 2b = x - y2 nach b; qn -1 d) Kqn - - - = 0 nach n q-l e) Kqn + (x - 2)q-n - c2 = 0 nach q.

Kapitel3 Zahlenfolgen und Reihen Zunachst wollen wir den Begriff einer Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ein wenig diskutieren, uns dann aber auf arithmetische und geometrische Folgen beschranken. Wenn der Nummer 0 eine reelle Zahl ao, der Nummer 1 eine reelle Zahl aI, der 2 eine reelle Zahl a2 usw., allgemein der Nummer n eine reelle Zahl an zugeordnet ist, dann sagt man, es liegt eine Zahlenfolge ao, aI, a2,' .. VOL Eine Zahlenfolge kann z.B. eine Folge statistischer MaBzahlen sein: an sei das jahrliche Bruttosozialprodukt Frankreichs im Jahre n, wobei das Jahr 0 etwa das Jahr 1950 sein mage. al ist dann das BSP von 1951, a2 das von 1952 usw.; a59 ware in diesem Fall noch nicht bekannt. Man sieht an diesem Beispiel, daB die in der Realitat vorkommenden Zahlenfolgen endlich sind. Da aber das Ende meist nicht von vornherein festliegt, ist die mathematische Idealisierung solcher Zahlenkolonnen durch Zahlenfolgen durchaus vernunftig. Oft ist eine Zahlenfolge durch ein mathematisches Bildungsgesetz gegeben, d.h. durch eine Formel, die angibt, welche Zahl an der Nummer n zugeordnet werden soIl. So liefert die Zinseszinsformel K n = Koqn das Bildungsgesetz fur die Folge K o, K I , K 2 , •• . der Kapitalien, die sich bei Anlage auf Zinseszins bei einem konstanten Zinssatz ergeben. Das erste Glied K o dieser Folge ist das Anfangskapital, K n (fUr n 2': 1) ist das Kapital am Ende des n-ten Jahres. Dem Bildungsge1 2 setz an = _n_ entspricht die Folge 0, -2 , -3 , ~, .... An dieser Folge kannen wir n+ 1 4 eine bemerkenswerte Eigenschaft feststellen: je graBer wir die Nummer n des Folgengliedes an wahlen, desto naher kommt an der Zahl 1; z.B. haben wir fUr

W. Purkert, Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, DOI 10.1007/978-3-8348-9936-1_3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

102

1000 100000 n = 1000: an = 1001 ~ 0,999, fur n = 100000: an = 100 001 ~ 0,999999 usw. Eine Folge, die die Eigenschaft hat, daB ihre Glieder einer festen Zahl 9 immer naher und naher kommen, nennt man konvergent. Die Zahl g, der die Zahlen der Folge beliebig nahe kommen, nennt man ihren Grenzwert und schreibt 9 = limn-H~) an (gelesen "g gleich limes an, n gegen unendlich"). In dieser Schreibweise konnten wir im obigen Beispiel schreiben limn-7oo _n_ = 1. n+1 Eine Folge braucht natiirlich nicht konvergent zu sein, wie uns die Folge der Endkapitalien beim Zinseszins zeigt: die K n wachsen in immer groBeren Schritten, sie konnen sich also keiner festen Zahl immer mehr nahern.

Weitere Beispiele fur Folgen:

1)

111 Die ersten Glieder lauten: 1, 2' 3' 4'

2)

1 , 0,5 , 0,25 , 0,125 , 0,0625 , ...

3)

an = n 2

+ n + 1.

1, 3, 7, 13, ...

(Welche dieser Folgen sind konvergent? Mit welchem Grenzwert?) Naeh unserer Definition beginnen Folgen immer mit dem Glied ao, d.h. mit der Nummer 0. Man kann natiirlieh genauso gut mit aj beginnen, wie das haufig gesehieht. Der Beginn mit ao empfiehlt sieh, wenn man vor aHem arithmetisehe und geometrisehe Folgen im Auge hat.

Die Folge K o, K I , K 2 , •• • der Kapitalien bei Anlage auf Zinseszins hat die Eigenschaft, daB das Kapital in einem bestimmten Jahr stets groBer ist als das im Jahr davor, d.h. es ist stets K n +l > K n . Eine Folge mit dieser Eigenschaft heiBt monoton wachsend. Allgemein heiBt die Folge ao, aI, a2, . .. monoton wachsend, falls an+l > an fur jedes n. Gilt an+l < an fur jedes n, so heiBt die Folge monoton fallend. So sind die Folgen der Beispiele 1) und 2) monoton fallend. Eine Folge braucht weder monoton wachsend noch monoton fallend zu sein, sie kann steigen und wieder fallen, wie das Beispiel "Bruttosozialprodukt" zeigt.

103

3.1. ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

3.1

3.1.1

Arithmetische Folgen und Reihen mit Anwendungen Arithmetische Folgen und Reihen

Eine Folge ao, aI, a2, . .. heiBt eine arithmetische Folge, wenn die DijJerenzzweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, d.h. stets ein und derselben Zahl gleich ist. Nennen wir diese Zahl d die Differenz der Folge, so gilt also al -an = d, a2 - al = d, a3 - a2 = d, allgemein: (3.1) (3.1) kannen wir auch so ausdrucken: Bei einer arithmetischen Folge entsteht das jeweils nachste Glied an+l aus dem vorhergehenden Glied an durch Addition von d: (3.2) 1st d > 0, so ist die Folge monoton wachsend, fUr d < 0 ist sie monoton fallend. Aus (3.2) ergibt sich leicht das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge: Es ist al = ao + d, a2 = al + d = (ao + d) + d = ao + 2d, a3 = a2 + d = (ao + 2d) + d = ao + 3d usw., also allgemein (3.3) Wenn man die Glieder einer arithmetischen Folge bis zum Glied an aufsummiert, so entsteht die sogenannte arithmetische Reihe

Sn

= ao +

n

al + a2 + ... + an

=L

ak·

k=O

Wir wollen sn berechnen, indem wir fUr ak gemaB (3.3) ak = ao + kd einsetzen:

Sn = ao+(ao+d)+(ao+2d)+ ... +(ao+nd) = (n+1)ao+d(1+2+3+ ... +n) Es kommt also darauf an, die Reihe Un = 1+2+3+ .. .+n zu berechnen. Es gibt eine beruhmte Geschichte uber den Mathematiker Carl Friedrich GauB (dessen Portrat fruher den 10-DM-Schein zierte), er habe die Lasung dieser Aufgabe als etwa achtjahriger Junge in der Schule gefunden und dadurch sei sein Talent

104

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

entdeckt worden. GauB schrieb die Reihe Un zweimal hin, einmal in der richtigen Reihenfolge, einmal umgekehrt:

un =l+

2

+

3

+ ... +(n-2)+(n-1)+n

un =n+(n-1)+(n-2)+,..+

3

+

2

+1

Nun addierte er die beiden Gleichungen:

2u n

=

(n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)

Rechts hat man gerade n StUck Summanden, die aIle gleich (n 2u n = n(n + 1) oder

1+2+3+,..+n=

+ 1)

sind, also

n(n + 1) 2

tk=n(n+1). k=l

2

Setzt man dieses Resultat in den Ausdruck fUr die arithmetische Reihe n(n + 1) so erhiilt man Sn = ao(n + 1) + d 2 bzw. nach Ausklammern:

ISn =

Sn

n+ 1 o + nd) I -2-(2a

Das liiBt sich auch anders schreiben, wenn wir beachten, daB ao

ein,

(3.4)

+ nd = an

ist: (3.5)

(3.5) besagt in Worten: Die Summe einer arithmetischen Reihe ist gleich dem Produkt aus der Gliederzahl und dem arithmetischen Mittel von erstem und letztem Glied. Beispiele: 1)

Eine arithmetische Folge mit ao = 5000 und d = -25 sei gegeben. Man berechne das Glied a20 und die Summe 820. a20 = 5000 - 20 . 25 = 4500 820

= 21 . (5000; 4500) = 99750.

3.1. ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

105

21 Wir hi:itten 820 auch nach (3.4) berechnen k6nnen: 820 = 2(2.5000 - 25 . 20) = 10,5 . 9500 = 99750. Dieser zweite Weg setzt nicht die Berechnung des Endgliedes a20 voraus. 2)

Das Glied a12 einer arithmetischen Folge mit Anfangsglied ao = 110 ist 2210. Wie groB ist die Differenz dieser Folge? = a12 12- ao = 22101 - 110. a12 = ao + 12d; d 2 ' d = 175.

3.1.2

Anwendungen

Lineare Abschreibung Zur Bereitstellung wirtschaftlicher Leistungen setzt jeder Betrieb Guter wie Gebaude, Maschinen, Fahrzeuge, Geschafts- und Buroausstattungen etc. ein, deren Wert sich im Verlaufe ihrer wirtschaftlichen Nutzungsdauer vermindert. Entsprechend der eingetretenen Wertminderung mussen also die Anschaffungsoder Herstellungskosten dieser Guter auf die Jahre der wirtschaftlichen Nutzungsdauer verteilt und als Kosten in Rechnung gestellt werden. Diesen ProzeB nennt man Abschreibung. Der in einem bestimmten Nutzungsjahr abgeschriebene Betrag heiBt die Abschreibungsrate oder der Abschreibungsbetrag in diesem Jahr. Die wirtschaftliche Nutzungsdauer kann in vielen Fallen den sogenannten AfA-Tabellen (AfA: "Absetzung fur Abnutzung" ist der juristische Ausdruck fUr Abschreibung) entnommen werden. Die Abschreibung geht als Aufwand in die Erfolgsrechnung des Betriebes ein und mindert den zu versteuernden Gewinn. Die gesetzlichen Grundlagen der Abschreibung findet man deshalb im Einkommenssteuerrecht (§7 EStG). Als Regelfall sieht das Einkommenssteuerrecht die lineare Abschreibung vor. Lineare Abschreibung bedeutet, daB die Abschreibungsrate konstant ist, d.h. die Anschaffungs- oder Herstellungskosten (zu denen der Nettopreis des Wirtschaftsgutes zuzuglich der einmalig auftretenden Beschaffungskosten wie Transportkosten, Montagekosten usw. zahlen) werden gleichmaBig auf die Jahre der Nutzungsdauer verteilt (der Gesetzestext spricht von Absetzung fUr Abnutzung in gleichen Jahresbetragen). Bezeichne Ro die Anschaffungs- oder Herstellungskosten eines Wirtschaftsgutes, R l den Buchwert oder Restwert dieses Gutes am Ende des l-ten Jahres, A die konstante Abschreibungsrate, so gilt bei linearer Abschreibung:

R 1 = Ro - A, d.h. R 1 R 2 = R 1 - A, d.h. R 2

-

Ro = - A R 1 =-A

106

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

usw., allgemein RI+l-R1 = -A. Wir sehen also: Die Buchwerte oder Restwerte R1 am Ende des I-ten Jahres (mit dem Wert R1 geht das Wirtschaftsgut in die Bilanz des Jahres I ein) bilden eine (fallende) arithmetische Folge mit der Differenz d = -A. GemaB (3.3) gilt also fur R( (3.6) Bezeichnen wir mit n die wirtschaftliche Nutzungsdauer in Jahren, so muB in der Regel Rn = 0 sein, da das Gut am Ende der wirtschaftlichen Nutzungsdauer ganz abgeschrieben ist (daB es bei Weiternutzung mit 1 Euro "Erinnerungswert" in die Bilanz eingeht, spielt fUr die Abschreibungsrechnung keine Rolle). SolI das Gut bis auf einen sogenannten Schrottwert S abgeschrieben werden, so ist R n = S zu setzen. Daraus ist die Abschreibungsrate leicht zu berechnen: Es ist nach (3.6) (I = n gesetzt): Rn = Ro - nA. Setzt man das gleich S so folgt S = R o - nA und somit

(3.7) Fur vollstandige Abschreibung, d.h. fur S = 0, gilt: (3.8) Meist ordnet man die Rest- oder Buchwerte R1 und die im Jahre I anfallende Abschreibungsrate in einer Tabelle an, dem sogenannten Abschreibungsplan. So habe z.B. eine Anlage im Wert von 100000 Euro eine Nutzungsdauer von 5 Jahren; sie solI auf 0 abgeschrieben werden. Zuerst wird die Abschreibungsrate nach (3.8) berechnet: A = R o = 100000 Euro = 20000 Eurol Jahr. n 5 Jahre

Der Abschreibungsplan wurde dann etwa folgendermaBen zu erstellen sein: Jahr 1 2 3 4 5

Wert am Jahresanfang 100000 80000 60000 40000 20000

Abschreibungsrate 20000 20000 20000 20000 20000

Buchwert Rl am Jahresende 80000 60000 40000 20000 0

3.1. ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

107

Beispiele: 1)

Eine Anlage mit einem Anschaffungswert von 62000 Euro soli innerhalb von 8 Jahren auf einen Schrottwert von 6000 Euro linear abgeschrieben werden. Man stelle einen Abschreibungsplan auf! Wir ermitteln zunachst die Abschreibungsrate nach (3.7): A = 62000 - 6000 = 56000 = 7000 EurojJahr 8 8

Der Abschreibungsplan sieht dann folgendermaBen aus: Jahr 1 2 3 4 5 6 7 8 2)

Wert am Jahresanfang 62000 55000 48000 41000 34000 27000 20000 13000

Abschreibungsrate 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000

Buchwert Rl am Jahresende 55000 48000 41000 34000 27000 20000 13000 6000

Eine chemische GroBanlage im Wert von 13 Mill. Euro soli innerhalb von 32 Jahren auf den Schrottwert von 1 Mill. Euro abgeschrieben werden. Wie groB ist der Buchwert am Ende des 27. Jahres? 13 - 1 A = 32 = 0,375 Mill. EurojJahr

R 27 = 13 - 27 . 0,375 = 2,875 Mill. Euro

Ratentilgung Wird ein Schuldbetrag (Kredit, Hypothek etc.) durch regelmaBige Zahlungen von Teilbetragen in gleichen Zeitabstanden zuruckgezahlt, so spricht man von Tilgung. Wir betrachten hier nur jahrliche Zahlungen; die Ubertragung auf andere Zeitraume, wie Quartal oder Monat, macht keine Schwierigkeiten. Am Anfang sei der Schuldbetrag So. Mit SI bezeichnen wir die Restschuld nach l Jahreszahlungen, d.h. die am Anfang des Jahres l + 1 vorhandene Restschuld (damit ubereinstimmend mit So die am Anfang des Jahres 1 vorhandene Restschuld). 1m Jahre l werde der Betrag Tt getilgt; Tt heiBt die Tilgungsrate. Die Restschuld SI erhalt man, indem man von der am Jahresanfang des Jahres l bestehenden Restschuld SI-l die Tilgungsrate des Jahres l subtrahiert:

(3.9) also etwa SI = So - T l , S2 = SI - T2, usw. Ublicherweise werden mit der Tilgungsrate 7l die fur das Jahr l angefallenen Zinsen ZI mitgezahlt. Das zu

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

108

verzinsende Kapital im Jahre list die Restschuld SI-l; nach der Jahreszinsformel erhalt man, wenn PI der im Jahre 1 giiltige Zinssatz ist

IZl =

&.

SI-1

I

Der am Ende des Jahres 1 insgesamt zu zahlende Betrag Annuitiit, ist die Summe aus Zinsen und Tilgung:

(3.10) AI,

die sogenannte (3.11)

Die AnnuiUit Al ist also die tatsachliche Belastung des Schuldners im Jahre l. Die Formeln (3.9)-(3.11) gelten ganz allgemein fur jede Tilgungsform. Die Ratentilgung ist nun dadurch charakterisiert, daB die Tilgungsrate 'Tt konstant ist, d.h. nicht vom Jahr l abhangt; es ist demnach 'Tt = T fUr aIle l. Das ergibt, in (3.9) eingesetzt: Sl- SI-1 = - T, d.h. bei der Ratentilgung bilden die Restschuldbetrage der einzelnen Jahre eine (fallende) arithmetische Folge mit der Differenz d = - T. Es gilt also fUr die Restschuldbetrage bei Ratentilgung

lSI = So -lTI Die Zinsen

(3.12)

werden nach (3.10) berechnet. Fur die Annuitaten ergibt sich: sie nehmen bei der Ratentilgung von Jahr zu Jahr ab, da T konstant ist und die Zinsen wegen der geringer werdenden Restschuld von Jahr zu Jahr geringer ausfallen. Al =

Zl

Zl

+ T;

Nach einer gewissen Tilgungszeit von n Jahren wird die Schuld vollstandig getilgt sein; es gilt also, wenn n die gesamte Tilgungszeit in Jahren ist, gemaB (3.12) (3.13) Man kann hieraus T berechnen, wenn n gegeben ist, oder umgekehrt, n berechnen, wenn T gegeben ist. Einen guten Uberblick uber den Ablauf des Tilgungsgeschehens gibt ein sogenannter Tilgungsplan, der Spalten fur die jeweilige Restschuld am Jahresanfang, fUr die Zinsen, die Tilgungsraten und die Annuitaten enthalt. Beispiel: Ein Darlehen von 120000 Euro solI innerhalb von 5 Jahren in Ratentilgung getilgt werden. Der Zinssatz betrage fur die ersten drei Jahre 8%, fUr den Rest der Laufzeit 7,5%. Man stelle den Tilgungsplan auf.

Ein Tilgungsplan hat folgenden Kopf:

109

3.1. ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

Jahr

Restschuld am Jahresanfang

Zinsen

Tilgungsrate

Annuitat

In den Zeilen des Plans stehen die Werte dieser GraBen fUr die einzelnen Jahre; in unserem Beispiel hat der Plan 5 Zeilen. Zunachst berechnen wir nach (3.13) die Tilgungsrate: 0 = 120000 - 5T, T = 120000 . . 5 = 24000 Euro. DIe Spalte TI1gungsrate kann nun ausgefUllt werden. Dann berechnen wir die Restschuldspalte, indem wir, bei 120000 Euro beginnend, immer 24000 Euro vom vorhergehenden Wert abziehen (Benutzung des Speichers beim Taschenrechner!). Nun kann man zeilenweise die Zinsen berechnen, indem man von der in der Zeile I stehenden Restschuld p% nimmt; in unserem Beispiel in den ersten drei Jahren 8%, danach 7,5%. Die Annuitatenspalte ergibt sich durch Addition von Zinsen und Tilungsrate. Der Tilgungsplan fur unser Beispiel sieht dann folgendermaBen aus: Jahr 1 2 3 4 5

Restschuld am J ahresanfang 120000 96000 72000 48000 24000

Zinsen

Tilgungsrate

Annuitat

9600 7680 5760 3600 1800

24000 24000 24000 24000 24000

33600 31680 29760 27600 25800

Man erkennt bereits an diesem einfachen Beispiel einen erheblichen Nachteil der Ratentilgung: Die Belastung des Schuldners ist in den einzelnen Zeitabschnitten sehr unterschiedlich. Diesen Nachteil gleicht die spater zu besprechende Annuitiitentilgung aus, die gleiche Belastungen im gesamten Zeitraum ergibt. Die Annuitatentilgung ist deshalb von graBerer praktischer Bedeutung als die Ratentilgung. Beispiele zur Ratentilgung: 1)

Eine Schuld von 180000 Euro soli innerhalb von 8 Jahren in Ratentilgung getilgt werden. Der Zinssatz betragt iiber die gesamte Laufzeit 8% Man stelle einen Tilgungsplan auf! Wir berechnen zuerst die Tilgungsrate: T = 180 000 = 22500 Euro/Jahr. 8 Der Tilgungsplan ist dann folgender:

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

110

Jahr 1 2 3 4 5 6 7 8 2)

Zinsen 14400 12600 10800 9000 7200 5400 3600 1800

Tilgungsrate 22500 22500 22500 22500 22500 22500 22500 22500

Annuitat 36900 35100 33300 31500 29700 27900 26100 24300

Eine Schuld von 250000 Euro soli in Ratentilgung getilgt werden. Die ersten 5 Jahre betrage die Tilgungsrate 8% der Anfangsschuld, der Zinssatz 7,25%. Fur den Rest der Laufzeit wird die Tilgungsrate auf 12% der Anfangsschuld erhOht, der Zinssatz aber auf 6, 75% gesenkt. Man stelle einen Tilgungsplan auf! Fur die ersten 5 Jahre betragt die Tilgungsrate 8% von 250000 Euro, d.h. 20000 Euro, danach 12% von 250000 Euro, d.h. 30000 Euro. Der Tilgungsplan hat folgende Gestalt: Jahr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3)

Restschuld 180000 157500 135000 112500 90000 67500 45000 22500

Restschuld 250000 230000 210000 190000 170000 150000 120000 90000 60000 30000

Zinsen 18125 16675 15225 13775 12325 10125 8100 6075 4050 2025

Tilgungsrate 20000 20000 20000 20000 20000 30000 30000 30000 30000 30000

Annuitat 38125 36675 35225 33775 32325 40125 38100 36075 34050 32025

Ein Kredit von 13000 Euro soli durch monatliche Ratentilgung innerhalb von 26 Monaten getilgt werden. Der Zinssatz betrage 8% p.a. Man schreibe die ersten 5 Zeilen des Tilgungsplans auf! Wie groB ist die Restschuld zu Beginn des 21. Monats? Wie groB ist die Annuitat im 21. Monat? Die monatliche Tilgungsrate ist T =

132~00

= 500 Euro/Monat. Bei Berechnung der

Zinsen mussen wir beachten, daB die Jahreszinsen (Kapital mal 0,08) noch durch 12 geteilt werden mussen, denn wir haben ja hier Monatszinsen zu berechnen. Die ersten 5 Zeilen des Tilgungsplans sehen folgendermaBen aus (die Annuitat ist hier die monatlich zu leistende Gesamtzahlung): Monat 1 2 3 4 5

Restschuld 13000 12500 12000 11500 11000

Zinsen 86,67 83,33 80,00 76,67 73,33

Tilgungsrate 500 500 500 500 500

Annuitat 586,67 583,33 580,00 576,67 573,33

3.1. ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

111

5 1- 1 war die Restschuld am Beginn des i-ten Zahlungszeitraumes; wir haben also gemaB (3.12) 5 20 = 13000 - 20·500=3000 Euro. Davon betragen die Monatszinsen 3000·0,08 .. 12 = 20 Euro. DIe AnnUltat im 21. Monat betragt also 520 Euro.

Der effektive J ahreszins bei Darlehen mit Laufzeitzinssatz Sogenannte Darlehen mit Laufzeitzinssatz sind im BankkreditgeschaJt, vor allem fUr relativ kurzfristige Darlehen, weit verbreitet. Sie sind dadurch charakterisiert, daB mit einem Zinssatz p, der iiber die volle Laufzeit unverandert bleibt, die Zinsen nach der einfachen Zinsrechnung (kein Zinseszins) berechnet werden, aber so, daB der volle Darlehensbetrag uber die volle Laufzeit verzinst wird. Die monatlich erfolgende Tilgung wird bei der Zinsberechnung nicht beriicksichtigt. Zu den Zinsen kommt meist noch eine Bearbeitungsgebiihr (z.B. 1 - 2% der Darlehenssumme) . Beispiel: Ein Darlehen von 10 000 Euro soIl in 30 Monaten zuriickgezahlt werden. Der Laufzeitzinssatz betragt 0,32% pro Monat (p = 0,32 . 12 = 3,84% p.a.). Die Bearbeitungsgebiihr betragt 2% der Darlehenssumme. Wir haben an . 0,32 . Zmsen: z = 100 ·30·10000 = 960 Euro und an Bearbeltungsgebiihr 200 Euro.

Es sind also insgesamt 10000+960+200 = 11160 Euro, iiber 30 Monate verteilt, zuriickzuzahlen. Das ergibt eine Monatsrate von 11 160 = 372 Euro/Monat. 30 Dem Begriff des "effektiven Zinssatzes" oder (unkorrekt ausgedriickt) "effektiyen Jahreszinses" liegt folgender Gedankengang zugrunde: Die zusatzlich zur Tilgung kommende Belastung durch Zinsen, Gebiihren und andere Kosten des Kredits, hier 1160 Euro, werden als Zinsen gedeutet und man fragt, welchen Zinssatz man anwenden mujJte, urn bei "ehrlicher Rechnung", d.h. bei Berucksichtigung der Tilgung, genau auf diese Belastung als Zinsbetrag zu kommen. Den Zinssatz, den man auf diese Weise errechnet, nennt man den effektiven Zinssatz, abgekiirzt Peff; ihn muB man bei Vergleichen und Entscheidungen zugrunde legen (zum Begriff des Effektivzinses in allgemeineren Zusammenhangen s. Kap. 8). L6sen wir das Problem allgemein: Gegeben sei die Belastung b (im Beispiel 1160 Euro). Die Darlehenssumme werde mit K bezeichnet, die Laufzeit in Monaten mit n. Wir haben zur Berechnung der Zinsen den gesuchten Zinssatz Peff

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

112

K

zugrundezulegen und die Tilgung von monatlich -

n

Euro zu beriicksichtigen,

. . . KKK K . d.h. Je emen Monat lang haben Wir - , 2-, 3-, ... , n- Euro zu verzmsen

n

(s. Abb. 3.1)

n

n

n

Restschuld

n(Kln)=K K

(n-1)(Kln)

....2(Kln)

n

Zeit

Abb. 3.1 Es gilt also fUr die Zinsen bei Beriicksichtigung der Tilgung (Monatszinsen, deshalb Division durch 12 !):

z=

Peff (K K K) -+2-+ ... +n100 . 12 n n n

=

Peff ·-(1+2+ K ... +n). 100· 12 n

Das ergibt nach Abschnitt 3.1.1: Peff z = - c'-:0"""'::--1-c2 1O

K

n(n+1)

n

2

Peff·K = -='---

100·12

n+1 2

Die GroBe n; 1 nennt man in diesem Zusammenhang mittlere Laufzeit, denn die Zinsen unter Beriicksichtigung der Tilgung kann man sich auch so entstanden vorstellen, daB man die volle Darlehensschuld K tiber die mittlere Laufzeit ver.. . Kapital . Zinssatz . zinst. (Man hat genau dIe iibhche Monatszmsformel: 100 . 12 . ZeIt). Der Zinsbetrag z muB nun der Belastung b gleichgesetzt werden: b = Peff' K . n + 1. 100· 12 2

Lost man die Formel nach dem unbekannten Peff auf, so erhi:ilt man: Peff =

100· 12· 2 . b K(n + 1)

(3.14)

3.2. GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

113

In unserem Beispiel war K = 10000 Euro, n = 30, b = 1160 Euro, also Peff =

100· 12·2· 1160 10000. 31 = 8,98%

(Man sieht, daB das erheblich h6her ist als der Nominalzinssatz von 3,84%). Beispiele: 1)

Ein Darlehen von 24 000 Euro mit Laufzeitzinssatz von 0,45% p.m. soli in 36 Monaten getilgt werden. Wie groB sind die monatlichen Raten und wie hoch ist der effektive Jahreszins, wenn die Bearbeitungsgebuhr 1% der Darlehenssumme betragt? a 45 Fur die Zinsen erhalt man z = ;00 . 36 . 24 000 = 3888 Euro, die Gebiihren betragen 24000+ 4128 240 Euro, also b = 4128 Euro. Monatsrate= 36 = 781,33 Euro (in der Praxis wird man etwa 35 Monatsraten zu 780 Euro festlegen und die Differenz mit der 36. Rate verrechnen, d.h. die 36. Rate betragt 828 Euro). Peff =

2)

100 . 12 . 2 ·4128 24000.37 = 11,16%.

Ein Darlehen von 26 000 Euro, z.B. fUr den Kauf eines Autos, wird zu folgenden Bedingungen angeboten: 47 Monatsraten zu 650 Euro, eine Monatsrate zu 702 Euro. Wie hoch ist der effektive Jahreszins? Wir berechnen zunachst die Belastung b durch die Kreditgesamtkosten: b = 47 . 650 + 702 - 26 000 = 5252 Euro, n = 48 Monate Peff =

3.2

3.2.1

100· 12 . 2 . 5252 26 000.49 = 9,89%.

Geometrische Folgen und Reihen mit Anwendungen Geometrische Folgen und Reihen

Eine Folge ao, ai, a2, ... heiBt eine geometrische Folge, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, d.h. stets ein und derselben Zahl q gleich ist. Diese Zahl q heiBt der Quotient der Folge; es gilt also al = q, ao . a2 a3 - = q, - = q usw., allgemem al a2 (3.15)

114

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

(3.15) konnen wir auch so ausdrucken: Bei einer geometrischen Folge entsteht das jeweils nachste Glied an+l aus dem vorhergehenden Glied an durch Multiplikation mit q: (3.16) 1st q > 1, so ist die Folge monoton wachsend, fur q < 1 ist sie monoton fallend. Aus (3.16) ergibt sich leicht das Bildungsgesetz einer geometrischen Folge: Es ist al = aoq, a2 = alq = aoq· q = aoq2, a3 = a2q = aoq2. q = aoq3, usw., also allgemein: (3.17) Wir kennen schon ein wichtiges Beispiel einer geometrischen Folge: Vergleichen wir namlich (3.17) mit der Zinseszinsformel (2.17), so erkennen wir: Die Endkapitalien K n bei Anlage auf Zinseszins bilden eine geometrische Folge mit dem Anfangsglied K o: K n = Koqn. Der Quotient dieser Folge ist gerade der Aufzinsungsfaktor q. Summiert man die Glieder einer geometrischen Folge bis zum Glied an auf, so entsteht die (endliche) geometrische Reihe

Urn eine Formel fUr Sn zu finden, mussen wir einen Ausdruck fUr die Summe Un = 1 + q + q2 + ... + qn-l + qn finden. Multipliziert man Un mit q, so ergibt sich: Un· q = q + q2 + ... + qn + qn+l. Bilden wir nun die Differenz unq - Un, so erkennen wir, daB sich q, q2, ... , qn wegheben, weil sie sowohl in unq als auch in Un vorkommen; es bleibt also unq - Un = qn+l - 1. Klammern wir Un aus, so qn+l _ 1 gilt un(q - 1) = qn+l - 1 und schlieBlich Un = bzw. q-1 (3.18) Das ist die Formel fUr die endliche geometrische Reihe. Der Ausdruck rechts ist also das Ergebnis des Aufsummierens der sukzessiven Potenzen von q, bei qO = 1 beginnend bis qn. Fur unsere ursprungliche Reihe Sn mit dem Anfangsglied ao ergibt sich: qn+l - 1 (3.19) ao + aoq + aol + ... + aoqn = ao -=-----q-1

3.2. GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

115

Man merkt sich: Auf der rechten Seite ist der Exponent von q im Zahler gerade urn eins hOher als beim letzten Glied der Summe. So ist z.B. q12 _

1 + q + ... + qIl =

b + bu + bu

2

a + ax + ax 2

L m

i=O

n+5

xa i

.

L aou' = j=O

q-l

, 8

- 1 + ... + bu 7 = buu-l --,

+ ... + ax k - l

=

x k -1 a---, x-I

+ xa + xa 2 + ... + xam =

x

=

1

ao

un+6

1

-

u- 1

x

am + l

-

a- 1

1

,

.

Beispiele: 1)

Fur eine geometrische Folge mit Anfangsglied ao = 2000 und Quotient q = 0,7 berechne man alSo alS = 2000·0, 71S ~ 9,495.

2)

Eine geometrische Folge habe das Anfangsglied ao Wie groB ist der Quotient q? a21

= 100· q21,

q21

= 278,5963 100'

q

= 100 und das Glied a21 = 278,5963.

= ~1/2 785963 = 1 05. v , ,

11

3)

Man berechne

L2

k

.

k=O 11

' " 2k L..J

k=O

4)

212 _ 1

= 1 + 2 + 22 + ... + 211 = - = 212 - 1 = 4095. 2-1

Wie graB ist 32 + 33

+ ... + 39 ?

3 - 1 Es ist 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 39 = -3-- = 29524. -1 Also: 32 + 33 + ... + 39 = 29524 - 1 - 3 = 29520. 10

2n-4

5)

L

x i =?

i=O 2n-4 ' " xi

L..J

= 1+x

+ x2 + ... + x2n-4

i=O

6)

u + ua + ua 2

+ ... + ua 4k +7

=

1

2n-3 X

-.

x-I

a 4k +8 - 1 = u--:;-a-I

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

116

3.2.2

Anwendungen

Rentenrechnung Renten sind Zahlungen, die periodisch in gleichbleibender Hohe geleistet werden. Werden die Zahlungen am Ende der jeweiligen Zeitabschnitte geleistet, so spricht man von nachschussigen Renten, werden sie am Anfang der jeweiligen Zeitabschnitte geleistet, handelt es sich urn vorschussige Renten.

Zum Beispiel zahle jemand 6 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres 2000 Euro auf ein mit p = 5% verzinstes Konto. Wieviel hat er am Ende des 6. Jahres, d.h. unmittelbar nach der letzten Zahlung? Das Endkapital, nach dem hier gefragt ist, heiBt in diesem Zusammenhang der Rentenendwert. Urn ihn zu bestimmen, berechnen wir nach der Zinseszinsformel (2.17) den Beitrag jeder Rate zum Endkapital: Die letzte Rate wird nicht mehr verzinst, ihr Beitrag ist also 2000 Euro, die vorletzte Rate wird ein Jahr lang verzinst, ihr Beitrag ist 2000· 1,05 Euro, die Rate davor lauft 2 Jahre auf Zinseszins, ihr Beitrag ist 2000.1,05 2 Euro usw.; die erste Rate schlief31ich lauft 5 Jahre auf Zinseszins, ihr Beitrag zum Endkapital ist folglich 2000 . 1,05 5 Euro. Also ergibt sich insgesamt, wenn wir den Rentenendwert dieser nachschussigen Rente nach 6 Jahren mit R 6 bezeichnen: R 6 = 2000 + 2000 ·1,05 + 2000 .1,05 2 + ... + 2000 . 1,055 = 2000 . (1 + 1,05 + 1,05 2 + ... + 1,05 5 ) 1,056 -1 = 2000· 1,05 _ 1 = 13603,82 Euro. Wir sehen also: die Berechnung von Rentenendwerten geschieht mittels der geometrischen Reihe; der Quotient ist der Aufzinsungsfaktor. Uberlegen wir die Sache allgemein: Es werde n Jahre lang jeweils am Jahresende die Rate r eingezahlt. Der zugrundeliegende Zinssatz sei p, der zugehorige Aufzinsungsfaktor ist dann q = 1 + 1~0' Gefragt ist nach dem Rentenendwert

Rn nach diesen n nachschussigen Zahlungen, d.h. nach dem Endkapital unmittelbar nach der letzten Zahlung. Wir bestimmen wie im obigen Beispiel nach der Zinseszinsformel die Beitrage der einzelnen Raten zum Rentenendwert: Die letzte Rate tragt r Euro bei, die vorletzte rq Euro, die davor rq2 Euro usw, die erste schlief31ich liefert den Beitrag rqn-l Euro, denn sie wird n - 1 Jahre lang verzinst. Summiert man das alles, erhalt man den Rentenendwert: Rn

= r + rq + rq2 + ... + rqn-l.

3.2. GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

117

Die Formel fUr die geometrische Reihe ergibt schlieBlich fUr den Rentenendwert

R" einer nachschiissigen Rente mit n Zahlungen der H6he

r:

[R,,=r~[

(3.20)

1m vorschussigen Fall Hiuft jeder Beitrag ein Jahr Hinger; jeder Beitrag muB also mit q multipliziert werden. Bezeichnen wir den vorschussigen Rentenendwert mit R n , so gilt also: _ Rn

=+ rq

rq2

+ rq3 + ... + rqn

=

rq(l

+ q + q2 + ... + qn-l)

=

qn-1 rq--. q-1

Fur den Rentenendwert R n einer vorschiissigen Rente mit n Zahlungen der H6he r gilt: qn -1 [ _ (3.21 ) [ Rn=rq~ Es ist ratsam, sich die Zahlungsweisen und den Zeitpunkt der Erfassung des Endkapitals in beiden Fallen durch eine Zeitskala zu verdeutlichen: nachschiissiger Fall R,. r

r

I

4

r~

. -+--I

I

n-1

5

n

vorschiissiger Fall

R" I

4

I

6

~

-+--I n-1

n

n ist in beiden Fallen die Anzahl der Zahlungen.

Beispiele: 1)

Jemand zahlt 7 Jahre lang jeweils am Jahresende 12 000 Euro auf ein mit 6% verzinstes Konto ein. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 7. Jahres? Es handelt sich urn eine nachschiissige Rente. R7 = 12 000 1, ~~ - 1 = 100 726, 06 Eu1, - 1 roo

118

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

2)

Herr Miiller zahlt fUr seinen Sohn jeweils am Jahresanfang 1000 Euro auf ein Sparbuch, welches mit 4,75% verzinst wird. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 5. Jahres? In diesem Fall handelt es sich urn eine vorschiissige Rente. _ 1,0475 5 -1 R 5 = 1000·1,0475· 1,0475 _ 1 = 5759,26 Euro.

3)

Jemand zahlt 9 Jahre lang jeweils am Jahresende 4500 Euro auf ein Konto. Die ersten 5 Jahre betragt der Zinssatz 5,5%, die restliche Zeit 5%. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 9. Jahres? Wir veranschaulichen uns die Verhaltnisse auf einer Zeitskala: r

I

2

I

3

r

I

4

I

5

t

I

6

Zinssatzanderung

I

7

I

I

9

8

t

Endkapltal

Wir konnen das Endkapital aus zwei Anteilen zusammensetzen: dem Anteil der ersten 5 Raten, die bis zur Zinsanderung gezahlt werden, und dem Anteil der weiteren 4 Raten. Wir berechnen zunachst den ersten Anteil: Das Kapital am Ende des 5. Jah1 055 5 - 1 res betragt R 5 = 4500· { 055 _ 1 = 25114,91 Euro. Dieses Kapital wird bis zum

,

Ende des 9. Jahres noch 4 Jahre zu Zinseszins verzinst, und zwar mit p = 5%; also ist der Beitrag der ersten 5 Raten zum Endkapital 25114,91 . 1,05 4 = 30527,33 Euroo Der Anteil der nachsten 4 Raten ist einfach der Rentenendwert bei 4 Zahlungen: 1,05 4 -1 . R4 = 4500· 0 = 19395,57 Euro. Das Endkapltal am Ende des 9. Jahres betragt 1, 5 - 1 demnach 19395,57 + 30527,33 = 49922,908 Euro. 4)

Herr Kunze will durch regelmaBige Zahlungen am Jahresende innerhalb von 8 Jahren 80000 Euro sparen. Wieviel muB er am Ende jeden Jahres einzahlen, damit bei 5,5% Verzinsung am Ende des 8. Jahres 80000 Euro zur VerfUgung stehen? Hier ist nach der Rate r gefragt und der Endwert ist gegeben. Die nachschiissige Rentenendwertformel muB also nach r aufgelost werden. qn _ 1 q- 1 0,055 R n = r - - , r = R n- - , r = 80000· 1 055 8 q- 1 qn - 1 , _ 1 = 8229,12 Euro.

5)

Wieviel Jahre lang muB man am Anfang jeden Jahres 5000 Euro auf ein Sparkonto einzahlen, bis am Ende des Jahres der letzten Zahlung 100000 Euro iiberschritten werden? Der Zinssatz betrage 6%. Hier ist n unbekannt; wir miissen also die vorschiissige Rentenendwertformel nach n auflosen. Wir 15sen zunachst nach qn auf:

-R = r q ~-1 ~) - - , qn - 1 = -(q - 1, n

~ - 1) qn = -(q q-l ~ ~ n _ 100000 _ ~ 1,06 - 5000.1,06 ·0,06 + 1 - 2,13207,,5

+1

Nun haben wir eine Gleichung yom Typ (2.31), die wir durch Logarithmieren 15sen konnen: h n -_ log 2,1320755 _- 12 , 99 J are. log 1,06 Nach 13 Jahren ist der Betrag von 100000 Euro iiberschritten.

3.2. GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

119

Die Rentenendwertformeln (3.20) und (3.21), die zunachst auf die Periode "Jahr" zugeschnitten sind, kann man auch fUr andere Perioden, etwa Quartal oder Monat, benutzen, aber nur dann, wenn Zahlungsperiode und Verzinsungsperiode iibereinstimmen. Wenn man also z.B. monatlich zahlt und das Konto monatlich verzinst wird, lassen sich die Formeln (3.20), (3.21) im Prinzip benutzen; die erforderlichen Modifikationen wollen wir uns jetzt iiberlegen. Wir wissen aus Abschnitt 2.1.4, daB im FaIle der unterjahrigen Verzinsung q durch 1 + P ersetzt werden muB, wo m die Anzahl der Zinsperioden ist, in m·l00 die das Jahr zerfallt (also z.B. m = 4 bei quartalsweiser Verzinsung). Bezeichnen wir jetzt die Anzahl der Zahlungen mit N (da sie von der Anzahl der Jahre n verschieden ist), so lautet die Rentenendwertformel, etwa im nachschiissigen Fall: (

R N =r

1+

p

m ·100

N

)

-1

P ) - 1 ( 1 + m·l00

.

Beispiele: 1)

Jemand zahlt jeweils am Ende des Monats 100 Euro auf ein monatlich verzinstes Konto, der Zinssatz betrage p = 5% p.a. Wie hoch ist das Kapital nach 3~ Jahren? Es ist m = 12, r = 100, N = 3~ . 12 = 42 5 ( 1 + 12.100

)42

- 1

R 42 = 100 . - - - - - - - - = 4579,52 Euro. 5 12·100

2)

Herr Meyer zahlt jeweils am Anfang eines Quartals 600 Euro auf ein zu 4,5% verzinstes Konto, auf dem die Zinsen quartalsweise gutgeschrieben werden. Wie hoch ist das Kapital nach 6 Jahren? m

= 4,

R24

r

= 600,

= 600 (1

N

= 6 . 4 = 24, vorschiissiger Fall

+ 4 \~o)

.

4 5 ( 1 + 4. '100

)24 -1

4,5

= 16610,99 Euro.

4 ·100

In der Praxis wird es aber oft gerade so sein, daB Zahlungsperiode und Verzinsungsperiode nicht iibereinstimmen. Z.B. wird oft die Zahlungsweise monatlich sein, die Verzinsung aber jahrlich stattfinden.

120

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

Beispiel: Auf ein Konto, das mit 4,5% verzinst wird und bei dem der Zinszuschlag jeweils am Jahresende erfolgt, werden regelmaBig an jedem Monatsanfang 200 Euro eingezahlt. Wir hoch ist das Guthaben am Ende des 8. Jahres? Zur Losung dieses Problems kann man zunachst feststellen, daB das Einzahlungsregime Jahr fur Jahr dasselbe ist. Die Zahlungen eines Jahres und die Zinsen, die diese einzelnen Zahlungen im laufenden Jahr erbringen, ergeben also am Ende eines jeden Jahres stets denselben Betrag r. Wenn wir dieses r berechnet haben, konnen wir fUr die Berechnung des Endkapitals die Rentenendwertformel (3.20) fUr den nachschussigen Fall benutzen (r steht immer am Jahresende zur VerfUgung, ganz gleich, ob die einzelnen Zahlungen am Monatsanfang oder am Monatsende erfolgen). r setzt sich zusammen aus 12 Raten zu 200 Euro zuzuglich der Zinsen, die diese Raten im Laufe des Jahres erbringen. Zur Berechnung dieser Zinsen uberlegen wir, daB die erste Rate 12 Monate verzinst wird, die zweite 11 Monate usw., schlieBlich die letzte einen Monat. Also gilt fUr die gesuchten Zinsen z (Monatszinsformel): z = 200 . 4, 5 . 12 200 . 4, 5 . 11 . . . 200 . 4,5 . 1 12 . 100 + 12· 100 + + 12· 100

= 200·4,5 (12 12 . 100

+

11

+

.. .

+

1)

=

200·4,5 . 78 12 . 100

= 58,50 Euro r

= 12 . 200 + 58,50 = 2458,50 Euro.

Mit diesem r (der sog. Ersatzrente oder Ersatzrate) liefert (3.20): R 8 = 2458, 50

1,045 8 -1 0, 045 = 23060, 76 Euro.

Weitere Beispiele: 1)

Ein Sparplan sieht eine monatliche Einzahlung von 100 Euro jeweils am Monatsende VOL Das Konto hat eine jahrliche Verzinsungsperiode und einen Zinssatz von 5,4%. Wie hoch ist das Vermogen am Ende des 10. Jahres? Hier mtissen wir beachten, daB wegen der Zahlung am Monatsende die erste Rate nur 11 Monate verzinst wird, die zweite 10 Monate usw., also 100·5,4 100·5,4 Z = 2 00 (11 + 10 + ... + 1 + 0) = . 66 = 29,70 Euro. 1 ·1 12·100 r = 12 . 100 + 29,70 = 1229,70 Euro 1 054 10 - 1 RIO = 1229,70· ' 0,054 = 15758,89 Euro.

3.2. GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

2)

121

Auf ein Bausparkonto werden jeweils am Monatsanfang 350 Euro eingezahlt. Die Verzinsung erfolgt bei p = 3,8% p.a. jahrlich. Wie hoch ist die angesparte Summe nach 12~ Jahren? Wir berechnen zunachst R 12 und bestimmen dann noch den Beitrag des letzten halben Jahres. 350·3,8 z = 12. 100 . 78 = 86,45 Euro, r = 12 . 350 + 86,45 = 4286,45 Euro 1 038 12 - 1 R 12 = 4286,45· '0,038 = 63673,37 Euro. Beitrag des letzten halben Jahres: 350 . 3 8 350 . 3 8 6·350 + 12. 1~0 (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 6 . 350 + 12. 1~0 ·21 = 2123,28 Euro. Die angesparte Summe nach 12~ Jahren betragt 63673,37 +2123,28 = 65796,65 Euro.

Bisher haben wir Rentenendwerte berechnet; die Frage danach, wieviel eine zuktinftig tiber einen gewissen Zeitraum zu erfolgende Zahlung heute wert ist, fUhrt auf den Rentenbarwert (die Bedeutung des Begriffes "Barwert" wurde schon in 2.1.4 erHiutert). Beispiel: Aus einer Erbschaft solI 15 Jahre lang eine nachschtissige Rente von 10 000 Euro jahrlich gezahlt werden. Der Erbe wtinscht die sofortige Auszahlung dieses Rentenanspruchs. Wieviel Euro sind auszuzahlen bei einem Zinssatz von 5% ?

Bezeichnen wir den Barwert einer nachschtissigen Rente mit R o, den einer vorschtissigen mit R o, so ergeben sich diese GraBen nach der Formel (2.19), die wir in Worten so fassen kannen: Barwert =

Endwert nach n Jahren . qn

Ftir den Endwert haben wir hier die Rentenendwerte gemaB (3.20) bzw. (3.21) zu setzen. So erhalten wir fUr den nachschiissigen Rentenbarwert: (3.22) Ftir den vorschiissigen Rentenbarwert ergibt sich: (3.23) Die GraBen

n 1 q(qn - 1) q( - ) bzw. heiBen Rentenbarwertfaktoren. qn q _ 1 qn(q - 1)

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

122

Die Lasung unseres Ausgangsbeispieles erhalten wir nun aus (3.22) zu (1 05 15 - 1) Ro = 10000 1, ~515 . 0,05 = 103796,58 Euro Beispiele: 1)

Herr Meyer will einmalig soviel Euro einzahlen, daB er davon 15 Jahre lang am Anfang eines jeden Jahres eine Rente von 12000 Euro beziehen kann. Welchen Betrag muB er bei einem Zinssatz von 6% anlegen? _ 1,06 15 -1 Ro = 12000·1,06· 1,0615 .0,06 = 123539,81 Euro Dieser Betrag muB einmalig angelegt bzw. bis zum Zeitpunkt der ersten Rentenzahlung angespart sein.

2)

Von 100000 Euro Erbschaft soll eine vorschtissige Rente, beginnend im 1. Jahr gezahlt werden. Wie hoch ist diese Rente bei einem Zinssatz von 5% und 10 Jahren Laufzeit? Hier ist nach r gefragt; wir mtissen also (3.23) nach r auflosen: _ qn(q -1) 1,05 10 .0,05 r=Roq (qn_1) =100000"1,05(1,05 10 _1) = 12333,77 Euro.

3)

Jemand soll aus einem Erbschaftsanteil von 80000 Euro eine nachschtissige Rente von jahrlich 15000 Euro erhalten. Wie lange kann er diese Rente beziehen, wenn ein Zinssatz von 6,5% zugrundegelegt wird? Hier ist in (3.22) n gesucht; wir losen zunachst (3.22) nach qn auf (eine schone Ubung fUr das Umformen von Gleichungen): qn _ 1 R o = r qn(q _ 1)' Roqn(q - 1) = r(qn - 1), Roq· qn - Roqn = rqn - r qn(Roq -

Ro - r)

= -r,

r

= qn(Ro + r -

Roq),

qn

r = -:=-----=-Ro +r - Roq

n_ 15000 _ 1,065 - 80000 + 15000 _ 1,065.80000 - 1,5306122. Nach (2.31) ergibt sich fUr n: = log 1, 5306122 = 6 76 J h n logl,065 ' are. Die Rente kann 6 Jahre voll bezahlt werden, der dann tibrigbleibende Betrag entspricht etwa drei Vierteln eines Jahresbeitrages.

Kapitalaufbau und Kapitalverzehr Hierbei geht es urn die Veranderung eines gegebenen Kapitals K o durch regelmaBig erfolgende (vor- oder nachschiissige) Ein- oder Auszahlungen. Beispiel: Auf einem mit p = 6% verzinsten Konto befinden sich 120000 Euro. Es solien jeweils zum Jahresende 12000 Euro abgehoben werden. Wie hoch ist dann das Guthaben nach Ende des 10. Jahres?

3.2. GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

123

Allgemein betrachten wir folgendes Problem: Es ist ein Kapital von K o Euro vorhanden. Wie hoch ist das Kapital nach n Jahren, wenn jahrlich nachschussig (bzw. vorschussig) r Euro eingezahlt (bzw. ausgezahlt) werden (der Aufzinsungsfaktor sei q)? Beim Fall regelmiifJiger Einzahlung (Kapitalaufbau) kommt zum Kapital Koqn, welches sich aus K o entsprechend der Zinseszinsformel ergibt, noch der Anteil aus den regelmaBigen Einzahlungen, der sich nach den Rentenendwertformeln (3.20) bzw. (3.21) berechnet, hinzu. Also hat man fUr das Endkapital En nach n Jahren bei nachschiissigen Einzahlungen:

-11

IEn =Koqn+r~ qn

(3.24)

Bei vorschiissigen Einzahlungen ergibt sich fUr das Endkapital En nach n Jahren: En = Koqn

I

qn - 11 + rq~

(3.25)

Bei regelmiifJigen Auszahlungen (Kapitalverzehr) hat man den Rentenanteil nicht zu addieren, sondern zu subtrahieren. Fur das Endkapital En bei n nachschiissigen Auszahlungen der H6he r ergibt sich demnach: qn -

n

11

~n = Koq - rq=r

I

(3.26)

Bei vorschiissigen A uszahlungen gilt: (3.27) Die Formeln (3.24)-(3.27) heif3en auch die Sparkassenformeln. Auf unser Eingangsbeispiel ware die Formel (3.26) anzuwenden: E lO = 120000· 1,06 10

-

1 06 10 1 12000·' = 56732,18 Euro. 0,06

Beispiele: 1)

Jemand besitzt 50 000 Euro und machte diese durch regelmaBige, jeweils am Jahresende erfolgende Einzahlungen innerhalb von 8 Jahren auf 150000 Euro vermehren. Wieviel muB er jedes Jahr einzahlen bei einem Zinssatz von 6, 5%? Hier kommt (3.24) in Betracht; gesucht ist r: 150000 = 50 000· 1,0658

+ r 1, ~~~:;

1

Dies ist eine lineare Gleichung flir r, die Lasung ist r = 6673,73 Euro.

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

124

2)

Ein Kapital von 200000 Euro wird durch regelmaBige, jeweils am Jahresanfang erfolgende Einzahlungen von je 10 000 Euro vermehrt. Wie hoch ist das Kapital nach 5 Jahren bei einem Zinssatz von 5,3%? 1 053 5 - 1 E 5 = 200000.1,053 5 + 10000· 1,053 '0,053 = 317458,32 Euro

3)

Jemand mochte von einem Kapital von 160000 Euro 10 Jahre lang jahrlich eine vorschussige Rente beziehen. Wie hoch ist diese Rente, wenn er am Ende des 10. Jahres noch 30000 Euro ubrig haben will? Der Zinssatz betrage 5%. 1 1 30000=160000.1 05 10 -r·l 05. ,05 °-1 r=17462,47Euro. , , 0,05'

Von besonderem Interesse ist der Fall des vollstandigen Kapitalverzehrs, d.h. ein Kapital K o wird duch regelmaBige Auszahlungen schlieBlich auf 0 reduziert. Es ist also in den Formeln (3.26) bzw. (3.27) En = 0 zu setzen; bringt man das Glied mit dem Minuszeichen auf die andere Seite, so erhalt man die Formeln des vollstandigen K apitalverzehrs:

qn -1 Koqn = r - q-1

(3.28)

(nachschiissiger Fall)

n qn - 1 Koq = r q - q-1

(3.29)

(vorschiissiger Fall) (3.28) wird uns bei der Annuitatentilgung in anderer Interpretation wiederbegegnen. Beispiele: 1)

Ein Kapital von 50000 Euro solI innerhalb von 7 Jahren durch jahrliche nachschussige Auszahlungen gleicher Hohe aufgebraucht werden. Wie hoch ist die jahrlich ausgezahlte Rate bei einem Zinssatz von 5, 5%? 1,055 7 - 1 Mit (3.28) erhalt man 50000· 1,055 7 = r 0,055 ,woraus r = 8798,22 Euro folgt.

2)

Auf einem mit 6% verzinsten Konto befinden sich 200000 Euro. Es sollen jeweils am Jahresanfang 25000 Euro abgehoben werden. Wie lange dauert es, bis das Geld aufgebraucht ist? 1 n (3.29) ergibt 200000.1 06 n = 25000. 1 06 ,06 - 1 '0,06 ,

125

3.2. GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

Diese Gleichung mufi zunachst nach 1,06 n aufgelost werden: 1,06n (200000 _ 25000· 1,06) = _ 25 000· 1,06 0,06 0,06 Multiplikation mit (-1) und Division durch den Faktor bei 1,06 n ergibt 25000·1,06 1,06n

n

=

0,06 25000· 1,06 _ 200000 0,06

1 _ 200

~oo. 0,06

= 1,8275862

25000·1,06

= logI1, 8275862 = 10,35a J h . 06 re

ogl, Man kann also 10 Jahre lang den voUen Betrag abheben; es bleibt dann ein Restbetrag, der sich leicht exakt berechnen lafit.

Annuitatentilgung Die Grundbegriffe der Tilgungsrechnung und die fUr jede Art von Tilgung geltenden Formeln (3.9)-(3.11) haben wir schon in 3.1.2 kennengelernt. Wir wissen auch schon, wie die Kopfzeile eines Tilgungsplanes aussieht, und wir haben fur die Ratentilgung Tilgungsplane aufgestellt. 1m Unterschied zur Ratentilgung, wo die Tilgungsrate konstant war, ist die Annuitiitentilgung dadurch charakterisiert, daB die Annuitiit stets dieselbe ist. Da infolge der Tilgung die Restschuldbetrage und damit auch die Zinsen in den einzelnen Jahren eine fallende Folge bilden, mussen die Tilgungsraten von Jahr zu Jahr steigen, damit die Summe aus Zinsen und Tilgung immer die gleiche Annuitat A ergibt. Nehmen wir nun an, ein Darlehen von K o Euro werde zu p% Zinsen gewahrt, und es solI innerhalb von n Jahren in Annuitatentilgung getilgt werden. Die Aufgabe besteht darin, den Tilgungsplan aufzustellen. Zunachst muB die unbekannte Annuitat A berechnet werden. Wir gehen davon aus, daB die Tilgungen nachschussig erfolgen. Zur Berechnung von A greifen wir auf die Kapitalverzehrsformel (3.28) zuruck: Dort hatten wir vollstandigen Kapitalverzehr durch regelmaBige Auszahlungen der H6he r; in unserem Fall der Annuitatentilgung geht es urn vollstandigen Schuldenverzehr durch regelmaBige Einzahlungen der H6he A. Wir muBten also in (3.28) r durch A ersetzen und beide Seiten mit (-1) multiplizieren. Da letzteres, wir wir wissen, zu nichts neuem fUhrt, da man beide Seiten wieder durch (-1) dividieren kann, ist die Formel (3.28), wenn man r durch A ersetzt, auch die Grundformel fUr die Annuitatentilgung

126

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

eines Darlehens von K o Euro in n Jahren:

IKOqn=A~1

(3.30)

Fur die Annuitat ergibt sich daraus:

IA = KOqn~ I

(3.31)

Beispiel: Ein Darlehen von 130000 Euro, das zu p = 7,5% gewahrt wurde, solI innerhalb von 7 Jahren in Annuitatentilgung (bei jahrlicher Tilgung) getilgt werden. Man stelle den Tilgungsplan auf!

Zunachst muB nach (3.31) die Annuitat berechnet werden: 0,075 A = 130000· 1,075 7 1,075 7 _ 1 = 24544,04 Euro. Urn den Tilgungsplan aufzustellen, berucksichtigen wir, daB die Restschuld im 1. Jahr gleich der DarlehenshOhe 130000 Euro ist. Die Zinsen im 1. Jahr betragen also 130000· 0,075 = 9750 Euro. Aus diesem Zinsbetrag und der Annuitat k6nnen wir gemaB (3.11) die erste Tilgungsrate berechnen: T1 = A - Zl = 24544,04 - 9750 = 14794,04 Euro. Subtrahieren wir diese Tilgungsrate von 130000 Euro, so erhalten wir die Restschuld im 2. Jahr: 130000 - 14794,04 = 115205,96 Euro. 1m 2. Jahr werden 115205,96 . 0,075 = 8640,45 Euro Zinsen fallig. Also betragt die Tilgungsrate fur das 2. Jahr 24544,04 - 8640,45 =

15903,59 Euro. Dies von der Restschuld des 2. Jahres subtrahiert ergibt die Restschuld des 3. Jahres: 99302,37 Euro,usw. Der gesamte Tilgungsplan fUr das Beispiel sieht folgendermaBen aus: Jahr 1 2 3 4 5 6 7

Restschuld am Jahresanfang 130000,00 115205,96 99302,37 82206,01 63827,42 44070,44 22831,68

Zinsen

Tilgungsrate

Annuitat

9750,00 8640,45 7447,68 6165,45 4787,06 3305,28 1712,38

14794,04 15903,59 17096,36 18378,59 19756,98 21238,76 22831,66

24544,04 24544,04 24544,04 24544,04 24544,04 24544,04 24544,04

Die letzte Tilgungsrate muB mit der letzten Restschuld ubereinstimmen; wenige Cent Differenz erklaren sich aus den Rundungen aller Resultate auf volle Cent.

127

3.2. GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

Die Gesamtbelastung aus Zinsen und Tilgung betragt bei diesem Kredit 7 . 24544, 04 = 171 808, 28 Euro. Wenn die Zahlungen nicht jahrlich, sondern monatlich erfolgen und auch als Zinsperiode der Monat vereinbart worden ist, k6nnen wir die Formel (3.31) auch benutzen, wenn wir - entsprechend dem Vorgehen bei unterjahriger monatlicher Verzinsung - q durch 1 + 12 ~100 und n durch N = Laufzeit der Tilgung in Monaten ersetzen. Das berechnete A ist dann die Gesamtzahlung pro Monat. Der praktisch auch wichtige Fall, daB die Zinsperiode das Jahr ist, die Zahlungen aber monatlich erfolgen, wird im Kapitel 8 behandelt. Beispiel: Ein Kredit von 200000 Euro, der zu p = 8% gewahrt wurde, soll in gleichgroBen Annuitaten bei monatlicher Zahlung innerhalb von 8! Jahren getilgt werden. Wie groB ist die monatliche Zahlung? Yom Tilgungsplan, der in diesem Fall N = 8,5 . 12 = 102 Zeilen hat, wollen wir nur die ersten 5 Zeilen aufschreiben. 8 8 ) 102 12 . 100 A = 200000· ( 1 + 12 . 100 8 102 = 2708,71 Euro 1 ( + 12 . 100) - 1 Bei der Berechnung des Tilgungsplanes geht man genauso vor, wie im vorigen Beispiel, allerdings muB man bei der Zinsberechnung beachten, daB es sich jetzt urn Monatszinsen handelt, d.h. man muB den Jahreszinsbetrag noch durch 12 teilen. Die ersten flinf Zeilen des Tilgungsplanes lauten folgendermaBen: Monat 1 2 3 4 5

Restschuld 200000,00 198624,62 197240,07 195846,29 194443,22

Zinsen 1333,33 1324,16 1314,93 1305,64 1296,29

Tilgungsrate 1375,38 1384,55 1393,78 1403,07 1412,42

Annuitat 2708,71 2708,71 2708,71 2708,71 2708,71

Oft ist bei der Annuitatentilgung nicht die Laufzeit, sondern die Annuitat vorgegeben. Die Formel (3.30) dient dann dazu, die Laufzeit oder Tilgungszeit zu berechnen. Die Aufstellung des Tilgungsplanes erfolgt in der gleichen Weise wie oben. Beispiel: Ein Darlehen von 150000 Euro soll in Annuitatentilgung bei jahrlicher Zahlungsweise getilgt werden. Die Annuitat werde mit 30000 Euro festgelegt, der Zinssatz betrage 8,5%. Man berechne die Tilgungsdauer und stelle den Tilgungsplan auf.

128

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

Es ist nach (3.30):

n 150000. 1 085n = 30000 1, 085 - 1 = 30000 . 1 085n _ 30000 I , 0 085 0 085' 0 085' a so " , 1 = 1 7391304 30000 _ 150000).1 085n = 30000. 1 085n = ( 0,085 150000·0,085' ' 0,085" 130000 n

= logI 1, 7391304 = 6,78a J h 08 reo

ogl, 5 Wenn die Annuitat vorgegeben ist,kann natiirlich nicht erwartet werden, daB die Zeit eine ganze Zahl wird. Der Tilgungsplan hat also 6 regulare Zeilen mit der Annuitat 30000 Euro, in einer 7. Zeile wird der noch verbleibende Rest verrechnet. 1st der Tilgungsrest klein (z.B. wenn man 6,07 Jahre erhalten hatte), wird er in der Praxis auch oft mit der letzten regularen Zeile des Tilgungsplans verrechnet. In unserem Fall sieht der Tilgungsplan folgendermaBen aus:

Jahr 1 2 3 4 5 6 7

Restschuld 150000,00 132750,00 114033,75 93726,62 71693,38 47787,32 21849,24

Zinsen 12750,00 11283,75 9692,87 7966,76 6093,94 4061,92 1857,19

Tilgungsrate 17250,00 18716,25 20307,13 22033,24 23906,06 25938,08 21849,24

Annuitat 30000,00 30000,00 30000,00 30000,00 30000,00 30000,00 23706,43

1m 7. Jahr ist also nicht mehr die volle Annuitat zu zahlen, sondern die Summe aus der letzten Restschuld und den sich aus dieser ergebenden Zinsen.

Bei den meisten langfristigen Krediten mit monatlicher Tilgung wird die (monatliche) Annuitat vorgegeben, und zwar indirekt in folgender Weise: Man gibt die erste Tilgungsrate in % der Darlehenssumme an (z.B. "Tilgung 1%"). Da die Zinsen fUr den ersten Monat aus der Darlehenshohe leicht berechnet werden konnen, ist damit die Annuitat fUr den ersten Monat gegeben; diese Annuitat gilt dann fUr aBe Monate. Ab dem 2. Monat wachst die Tilgungsrate an. Dieses Wachstum weist man im Tilgungsplan oft in einer Spalte "Zinsersparnis" bzw. "zusatzliche Tilgung" extra aus. Die bisherige Spalte Tilgung wird also in zwei Teile aufgespalten: eine konstante Spalte "Tilgung" und eine Spalte "Zinsersparnis". Man darf sich durch die Schreibweise des Planes nicht tauschen lassen: es handelt sich nicht um Ratentilgung, sondern um Annuitatentilgung - die Annuitat ist konstant. Addiert man die beiden Spalten "Tilgung" und "Zinsersparnis" zu einer Gesamtspalte "Tilgung", so erhalt man den Plan einer Annuitatentilgung in der bisher behandelten Form. Beispiel:

129

3.2. GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

Ein Kredit von 200000 Euro soIl bei p = 8% in Annuitiitentilgung bei monatHcher Zahlung getilgt werden. Tilgung: 1% p.m. Wir berechnen zuniichst die Annuitiit: Die erste Tilgungsrate betriigt 1% von 200000 Euro=2000 Euro. Die Zinsen im ersten Monat betragen 200000 .

0~~8

1333,33. Also ist A = 3333,33 Euro. Nun konnen wir die Laufzeit berechnen (wir benutzen dazu (3.30) in der fUr monatliche Zahlung gtiltigen Form): N

200000 (1

_8_) + 12·100

= 3333 33. '

--1 (1 +12-.8)N 100

8 12·100

Analoge Rechnungen wie im vorigen Beispiel Hefem: (1

8

+ 12. 100 )

N

=

20~000.

8 1 - -,--,--:-:--,--,-------,--,3333,33· 12 . 100

1,0066667 N = 1,6666678 N = 76,88 Monate

(~6,4

Jahre).

Der Tilgungsplan in der besprochenen modifizierten Form wtirde folgendermaBen aussehen (wir schreiben von den insgesamt 77 Zeilen die ersten 5 auf): Monat 1 2 3 4 5

Restschuld 200000 198000,00 195986,67 193959,92 191919,66

Zinsen 1333,33 1320,00 1306,58 1293,07 1279,46

Tilgung 2000,00 2000,00 2000,00 2000,00 2000,00

Zinsersparnis -

13,33 26,75 40,26 53,87

Annuitiit 3333,33 3333,33 3333,33 3333,33 3333,33

Geometrisch-degressive Abschreibung (Absetzung fUr Abnutzung in fallenden Jahresbetragen) Die Grundbegriffe der Abschreibungsrechnung haben wir schon bei der linearen Abschreibung in 3.1.2 kennengelernt. Das Einkommenssteuergesetz HiBt fUr bewegliche Giiter des Anlageverm6gens die geometrisch-degressive (kurz: degressive) Abschreibung zu. Sie ist dadurch charakterisiert, daB jedes Jahr ein fester Prozentsatz p vom jeweiligen Restwert am Jahresanjang (im ersten Jahr von den Anschaffungskosten) abgeschrieben wird. Dieser Prozentsatz darf h6chstens das doppelte des bei linearer Abschreibung geltenden Prozentsatzes betragen

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

130

(bei linearer Abschreibung wird immer der gleiche Prozentsatz von den An. . 100% schaffungskosten abgeschneben, namhch N d ) ' p darf auBerdem 20% utzungs auer nicht uberschreiten. Bei 10-jahriger Nutzungsdauer ware das doppelte des linearen Abschreibungssatzes gerade 20%, d.h. das maximal zulassige wurde gerade erreicht. Bei geringeren Nutzungsdauern ubersteigt das doppelte des linearen Satzes die 20%, d.h. bei Nutzungsdauern ::; 10 Jahren ist der Hochstsatz p = 20%. bei hOheren Nutzungsdauern kann man den Hochstsatz leicht berechnen: z.B. sei die Nutzungsdauer 20 Jahre. Dann ist der lineare Abschreibungssatz 100 = 5%, der 20 Hochstsatz fur degressive Abschreibung ware in diesem Fall 2 . 5% = 10%. Wir wollen jetzt die Folge der Restwerte bei degressiver Abschreibung mit einem Abschreibungsprozentsatz von p% berechnen. Die erste Abschreibungsrate ist p p% von den Anschaffungskosten R o: Al = R o ' 100' Der Buchwert oder Restwert R I am

R o (1 -

Ende des ersten Jahres ergibt sich gema/3 R I = R o - Al zu R I =

1~0).

Die Abschreibungsrate A 2 ist p% von R I :

A2 = R 1 •

1~0 =

Rz = R I

A2

-

= R o (1 -

Ro ( 1 -

1~0) . 1~0'

R(1 - L) - Ro (1 - L) .L 100 100 100 L) (1 - L) = R o (1 _ L) 100 100 100 = o

2

So fortfahrend erhalten wir allgemein

I Ro (1- L)I 100

R =

Al = R I -

1 .

p ( P 100 = R o 1 - 100

)1-1 . 100P

(3.32)

Die Restwerte bei geometrisch-degressiver Abschreibung bilden also eine fallende geometrische Folge (das erklart den Namen dieser Art von Abschreibung) mit dem Quotienten 1 -

1~0'

Wir benotigen allerdings die Formeln (3.32) nicht, urn einen Abschreibungsplan aufzustellen. Zu diesem Zweck kann man die Restwerte und die Abschreibungs-

3.2. GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

131

raten, bei R o beginnend, sukzessive ausrechnen. Beispiel: Ein mobHer Kran habe eine Nutzungsdauer von 6 Jahren. Seine Anschaffungskosten betragen 460000 Euro. Er soli mit dem hochstmoglichen Prozentsatz degressiv abgeschrieben werden. Man stelle den Abschreibungsplan auf. Da die Nutzungsdauer < 10 Jahre ist, ist p = 20%. Die Abschreibungsrate im ersten Jahr ware 20% von 460000 Euro also 92000 Euro. 460000 - 92 000 = 368000 Euro ist der Restwert am Ende des ersten Jahres. 0,2 ·368000 = 73600 Euro ist die Abschreibungsrate im 2. Jahr usw. Der Abschreibungsplan hat folgende Form (man beachte, daB Abschreibungsraten auf volle Euro gerundet werden): Jahr 1 2 3 4 5 6

Wert am Jahresanfang 460000 368000 294400 235520 188416 150733

Abschreibungsrate 92000 73600 58880 47104 37683 30147

Restwert am J ahresende 368000 294400 235520 188416 150733 120586

Bei Iinearer Abschreibung, die immer zulassig ist, ware (bei Abschreibung auf 0) die . 460000 Abschreibungsrate glelchbleibend --6- = 76667 Euro gewesen.

Die bei degressiver Abschreibung am Anfang erheblich hOheren Abschreibungsraten gegeniiber linearer Abschreibung stellen in der Regel einen betrachtlichen 6konomischen Vorteil dar. Der Nachteil der rein degressiven Abschreibung besteht u. a. darin, daB man nach endlich vielen Schritten nie auf Null kommt; oft sind am Ende der Nutzungsdauer noch erhebliche Restwerte vorhanden, wie auch das Beispiel zeigt. Um diesen Nachteil auszugleichen, geht man im Verlaufe der Nutzungsdauer zu linearer Abschreibung iiber (das erlaubt das Einkommenssteuergesetz; den umgekehrten Ubergang erlaubt es nicht). Fiir die Berechnung der linearen Abschreibungsrate fUr das Jahr des Ubergangs und die folgenden Jahre (diese Rate ist ja konstant) sind natiirlich der beim Ubergang noch vorhandene Restwert und die restliche Nutzungsdauer zugrunde zu legen. Beispiel: 1m obigen Fall soli im 2. Jahr zu linearer Abschreibung iibergegangen werden. Der zugrundeliegende Wert am Anfang des 2. Jahres von 368000 Euro muB durch die restliche Nutzungsdauer von 5 Jahren dividiert werden, das ergibt die fiir die Jahre 2-6 konstante Abschreibungsrate A = 73 600 Euro. Der modifizierte Abschreibungsplan sieht dann so aus:

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

132

Jahr

Wert am Jahresanfang

Abschreibungsrate

Restwert am Jahresende

1 2 3

460000 368000 294400 220800 147200 73600

92000 73600 73600 73600 73600 73600

368000 294400 220800 147200 73600 0

4 5 6

Eine interessante Ubung fur das Rechnen mit Ungleichungen ist die Bestimmung des optimalen Zeitpunktes fUr den Ubergang von degressiver zu linearer Abschreibung. Optimal wird der Ubergang zu einem Zeitpunkt sein, wenn erstmalig die dann berechnete lineare Abschreibungsrate die degressive Abschreibungsrate erreicht oder ubertrifft. 1m obigen Beispiel haben wir den optimalen Zeitpunkt getroffen, denn im 2. Jahr ist die Abschreibungsrate, wenn man degressiv weiterrechnet, 73600 Euro, wenn man linear weiterrechnet, ebenfalls 73600 Euro. Zur Bestimmung des Jahres fur den optimalen Ubergang nehmen wir an, der Ubergang erfolge im Jahre l. Wurden wir fUr das Jahr l degressiv weiterrechnen, erhielten wir nach (3.32): Al = R I - 1 . 1~0' Lineares Weiterrechnen ergabe A

=

noch vorhandener Restwert Restnutzungsdauer

=

RI -

1

n - (l - 1)

(l - 1 Jahre sind schon vergangen). A solI nun groBer als Al werden: A 2: AI, d.h. RI - 1 P n-(l-l) 2: R I - 1 · 100' bzw. nach Kurzen von R I - 1 (warum ist das erlaubt?) und Multiplikation mit + 1 (warum darf man das?):

n - (l - 1) = n - l

1>

L

- 100

(n - l

+ 1).

Diese Ungleichung ist nach l aufzulOsen:

p P 1 + - l > -(n + 1) 100 - 100 p

P

- l > -(n + 1) - 1. 100 - 100 Schlief3lich folgt daraus durch Multiplikation mit

100 fUr das optimale l die p

3.2. GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN ...

133

Ungleichung

I

1~ n

+1-

100 I P

(3.33)

= 6, p = 20, d.h. 1 ~

7 - 100 = 2; der optimale 20 Ubergang erfolgt im zweiten Jahr, wie wir schon gesehen haben.

In unserem obigen Beispiel ist n Beispiel:

Ein Bagger mit Anschaffungskosten in Hohe von 260000 Euro soll innerhalb von 12 Jahren zuerst degressiv mit dem hochsten zulassigen Prozentsatz, dann nach optimalem Ubergang linear auf Null abgeschrieben werden. Man stelle den Abschreibungsplan auf. Wir berechnen zunachst den hochsten zulassigen Prozentsatz fUr die degressive Abschreibung. Es ist n = 12, der lineare Prozentsatz ware also \°2° = 8!%. Also p = 2.8! = 16~%. Nun berechnen wir gemaB (3.33) das Jahr des optimalen Ubergangs zur linearen Abschreibung: 100 l > 12 + 1 - = 7. 16~ Der optimale Ubergang erfolgt im 7. Jahr. Der Abschreibungsplan sieht folgendermaBen aus: Jahr Wert am Jahresanfang Abschreibungsrate Restwert am Jahresende 1 260000 43333 216667 216667 36111 2 180556 180556 150463 3 30093 150463 25077 4 125386 125386 20898 5 104488 104488 17415 87073 6 87073 14512 7 72561 72561 14512 58049 8 58049 14512 43537 9 43537 14512 29025 10 29025 14512 14513 11 14513 14512 1 12

134

3.3

KAPITEL 3. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN

Ubungsaufgaben

1)

Eine arithmetische Folge mit Anfangsglied 10 und Differenz 6 sei gegeben. Man berechne das Glied a15 und die Summe 815.

2)

Ein Gebaude im Wert von 1,2 Mill. Euro soli innerhalb von 60 Jahren vollstandig abgeschrieben werden. Wie groB ist der Restwert am Ende des 46. Jahres? Anmerkung: Diese Aufgabe ist eine reine Ubung und entspricht nicht der Realitat. Bei Gebauden sieht das Einkommenssteuerrecht (§ 7 EStG, Abs.4 und 5) im Abhiingigkeit vom Datum ihrer Erstellung lineare Abschreibung mit fest vorgegebenen Satzen vor. Teilweise andern sich diese Satze im Laufe der Nutzungsdauer (Abs.5).

3)

Ein Schuldbetrag von 210000 Euro soli innerhalb von 7 Jahren in Ratentilgung bei jahrlicher Zahlungsweise getilgt werden. Der Zinssatz betrage 7,5%. Man stelle den Tilgungsplan auf.

4)

Ein Darlehen von 48000 Euro mit Laufzeitzinssatz von 0,4% p.m. soli in 48 Monaten getilgt werden. Die Bearbeitungsgebuhr betrage 1% der Darlehenssumme. Wie hoch sind die monatlichen Raten und wie groB ist der effektive Jahreszins?

5)

Man berechne: n

11

a) 1+7+72 +7 3 +74 +7 5

b)

2:)0,4)n n=O

c) 22 +2 3 + ... +2 17

d)

2:al k=1

6)

Herr Arnold zahlt 5 Jahre lang jeweils am Jahresende 4000 Euro auf ein Konto, welches mit 5,5% verzinst wird. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 5. Jahres?

7)

Jemand zahlt 10 Jahre lang jeweils am Jahresanfang 5000 Euro auf ein mit 6% verzinstes Konto. Ab dem 11. Jahr will er die Zinsen des angesammelten Verm6gens jahrlich abheben. Wie hoch ist dieser jahrliche Zinsbetrag, wenn unverandert ein Zinssatz von 6% gilt.

8)

Jemand will durch regelmaBige Zahlungen jeweils am Jahresanfang innerhalb von 5 Jahren 20000 Euro sparen. Wieviel muB er am Anfang eines jeden Jahres einzahlen, damit bei 6,5% Verzinsung am Ende des 5. Jahres der genannte Betrag zur Verfiigung steht.

9)

Wieviel Jahre lang muB man am Ende eines jeden Jahres 10 000 Euro auf ein mit 5,5% verzinstes Konto einzahlen, damit unmittelbar nach der letzten Zahlung ein Betrag von mehr als 160000 Euro zur Verfiigung steht?

10)

Jemand zahlt jeweils am Ende eines Monats 250 Euro auf ein Konto ein, bei dem die Zinsen monatlich gutgeschrieben werden. Der Zinssatz betragt 4,5% p.a. Wie hoch ist das Kapital nach 4~ Jahren?

11)

Man berechne das Endkapital nach 10 Jahren fur einen Sparplan mit folgenden Daten: Monatliche Einzahlung jeweils am Monatsanfang 200 Euro; Zinsgutschrift jahrlich; Zinssatz 4,5% p.a.

12)

Welcher Betrag muB vorhanden sein, um davon bei einem Zinssatz von 5,5% 12 Jahre lang eine nachschussige Rente von jahrlich 4000 Euro beziehen zu k6nnen?

13)

Von einem angesparten Betrag von 200000 Euro soli jahrlich eine vorschussige Rente von 24000 Euro gezahlt werden. Wie lange kann bei einem Zinssatz von 6% diese Rente bezogen werden?

3.3. UBUNGSAUFGABEN

135

14)

Ein Kapital von 50000 Euro wird durch regelmaBige jahrliche nachschussige Zahlungen in Hohe von 6000 Euro vermehrt. Wie hoch ist es am Ende des 7. Jahres bei einem Zinssatz von 5 ~ % ?

15)

Von einem Kapital in Hohe von 140000 Euro wird 11 Jahre lang eine nachschussige Rente bezogen. Wie hoch ist diese Rente, wenn verlangt wird, daB nach der 11. Zahlung noch 50000 Euro ubrig sein sollen? Der Zinssatz betrage 5,75%.

16)

Ein Kapital von 120000 Euro soll innerhalb von 6 Jahren durch jahrliche nachschussige Auszahlungen gleicher Hohe aufgebraucht werden. Wie hoch ist die jahrlich ausgezahlte Rate bei einem Zinssatz von 5% ?

17)

Von einem Betrag von 25000 Euro sollen jahrlich jeweils am Jahresende 4000 Euro abgehoben werden. Wie lange dauert es bei einem Zinssatz von 5,2%, bis das Geld aufgezehrt ist?

18)

Ein Darlehen von 100000 Euro, das zu einem Zinssatz von 9% gewahrt worden ist, soll innerhalb von 12 Jahren in Annuitatentilgung bei jahrlicher Zahlung getilgt werden. Man stelle den Tilgungsplan auf.

19)

Ein Kredit von 80000 Euro, der zu p = 8,5% gewahrt wurde, soll innerhalb von 9 Jahren in Annuitatentilgung bei monatlicher Zahlung getilgt werden. Die Zinsperiode soll der Monat sein. Wie hoch ist die monatliche Zahlung? Man stelle die ersten 4 Zeilen des Tilgungsplanes auf.

20)

Ein Darlehen von 240000 Euro soll in Annuitatentilgung bei jahrlicher Zahlungsweise getilgt werden. Die Annuitat ist auf 25% der Darlehenssumme festgelegt. Man berechne die Tilgungsdauer und stelle den Tilgungsplan auf; Zinssatz 10%.

21)

Fur einen Annuitatenkredit in Hohe von 150000 Euro werden folgende Daten angegeben: monatliche Zahlung; Tilgung 0,8% p.m.; Zinssatz 8,5% p.a. Man berechne die Laufzeit und die ersten 5 Zeilen des Tilgungsplanes. Die Zinsperiode soll der Monat sein.

22)

Ein Reisebus mit Anschaffungskosten in Hohe von 380000 Euro soll innerhalb von 8 Jahren zuerst degressiv mit dem hochsten zulassigen Prozentsatz, dann nach optimalem Ubergang linear auf Null abgeschrieben werden. Man stelle den Abschreibungsplan auf.

Kapitel4 Funktionen 4.1

Grundbegriffe

4.1.1

Der Funktionsbegriff

In unzahligen praktischen Situationen hangen die Daten einer okonomischen GroBe y in eindeutiger Weise von den Daten einer anderen GroBe x abo Man kann das auch so ausdriicken: Jedem Wert x aus einem gewissen Bereich von Werten ist eindeutig ein Wert y zugeordnet (eindeutig bedeutet: die Zuordnung mehrerer y zu ein und demselben x ist verboten). Beispiele:

1) Unter fixierten Bedingungen hangt der Energieverbrauch y einer Anlage in eindeutiger Weise von der Laufzeit x abo Die moglichen Werte der Laufzeit sind hier die reellen Zahlen ~ O. 2) Die Einkommenssteuer y hangt (unter fixierten Verhaltnissen wie Steuerklasse, Kinderzahl etc.) in eindeutiger Weise vom Einkommen x abo Die moglichen Werte fUr x sind hier auch aIle Zahlen x ~ O. 3) Die Produktionskosten y hangen eindeutig von der produzierten Menge x abo Hier ist der Bereich der moglichen x durch die Ungleichung 0 :::; x :::; 9 beschrieben, wo 9 die Kapazitatsgrenze fUr die produzierte Menge ist. Diese Uberlegungen fiihren uns zum Begriff der Funktion:

W. Purkert, Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, DOI 10.1007/978-3-8348-9936-1_4, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

138

Wenn jeder reellen Zahl x aus einem Bereich D reeller Zahlen eindeutig eine reelle Zahl y zugeordnet ist, so sagt man, y ist eine Funktion von x, und man schreibt y = f(x). Oft schreibt man auch y = y(x), oder urn den ProzeB des Zuordnens zu symbolisieren, f : x H yoder x J.-.t yoder f : x H f(x). Der Bereich D heiBt der Definitionsbereich oder die Definitionsmenge der Funktion. Die GroBe x heiBt das Argument oder die unabhiingige Variable, die GroBe y der Funktionswert oder die abhiingige Variable. Diese Bezeichnungen deuten darauf hin, daB man die x- Werte aus dem Definitionsbereich frei wahlen kann; mittels der Zuordnungsvorschrift f sind dann die zugehOrigen y- Werte bestimmt. Der Bereich alIer so entstehenden y- Werte heiBt der Wertebereich. Eine kausale Abhiingigkeit im Sinne eines Ursache - Wirkungszusammenhanges braucht dabei nicht zu bestehen. Man kann den hier mit Worten umschriebenen Begriff der Funktion mathematisch exakt mengentheoretisch definieren und hat damit aIle denkbaren - auch die irrsinnigsten - Zuordnungsvorschriften erfaBt. Fur die Anwendungen der Mathematik in der Praxis ist aber eigentlich nur der Fall interessant, daB die Zuordnungsvorschrift durch eine Formel gegeben ist (bzw. durch endlich viele Fomeln fUr einzelne Stucke des Definitionsbereiches, wie z.B. bei der Einkommenssteuer - s. spater). 1, oft auch kurz y = x 2 - 1 oder f(x) = x 2 - 1 geschrieben. Die Vorschrift lautet hier: "Man nehme das Argument, quadriere es und subtrahiere 1. Das ergibt den Funktionswert". Es ist fUr den Anfanger wichtig, sich die Zuordnungsvorschrift, die durch die Formel zum Ausdruck kommt, in Worten zu verdeutlichen. Dann wird ihm auch klar, daB es ganz gleichgultig ist, wie die Variablen bezeichnet sind. E(t) = t 2 - 1, U = v 2 - 1, g(h) = h 2 - 1, ¢(a) = a2 - 1, B = 0 2 - 1, aIle diese Formeln stellen dieselbe Funktion dar (wenn wir immer denselben Definitionsbereich zugrundelegen: t bzw. v bzw. h bzw. a bzw. 0 mogen aIle reellen Zahlen durchlaufen). Beispiel:

y

=

f(x)

=

x2

-

Eine weitere Schwierigkeit fur den Anfanger ist das Einsetzen von konkreten Argumenten in eine Funktion. Nehmen wir wieder als Beispiel f(x) = x 2 - 1. Wenn konkrete Argumentwerte, z.B. x = 3 oder x = Xo oder x = b oder x = Xl + h oder x = 1 - u 2 gegeben sind und die Aufgabe darin besteht, die zugehorigen Funktionswerte f(x) zu berechnen, sollte man sich die Vorschrift der Zuordnung in Worten vor Augen fuhren. Sie heiBt hier - wie schon erwahnt - "Man nehme das vorgelegte Argument, quadriere es und ziehe 1 ab". Das ergibt ohne weiteres:

4.1. GRUNDBEGRIFFE

f(3)

= 32 -

1

f(XI

+ h)

(Xl

=

= 8;

f(xo)

+ h)2 -

f(1 - u 2) = (1 -

U

2)2 -

139

= x5 -

1;

xi + 2x l h + h2 - 1 1 = 1 - 2u 2 + u 4 - 1 = u 4 1=

2u 2

Fur den Ausdruck f(X2) - f(XI) erhielte man

f(X2) - f(XI)

= x~ -

1 - (xi - 1)

= x~ - xi·

Aus der Zuordnungvorschrift ersieht man auch den Definitionsbereich (im Sinne des mathematisch maximal moglichen; oft wird er aus praktischen Grunden eingeschrankt). Eine Funktion kann namlich fUr aile diejenigen x durch einen Ausdruck oder einen Term in x definiert werden, fUr die dieser Ausdruck mathematisch sinnvoll ist.

Beispiele: 1) f (x) = x 2 - 1. Dieser Ausdruck ist fUr aile reellen Zahlen sinnvoll, also besteht D aus allen reellen Zahlen.

2) f(x) = _1_. Den Definitionsbereich bilden hier aile reellen Zahlen mit x-I Ausnahme der 1, denn fur x = 1 wird der Nenner 0 und der Ausdruck sinnlos.

3) f(x) = vii. D besteht hier aus den reellen Zahlen 2: 0, denn fur negative x ist die Wurzel nicht erklart. 1. D besteht aus allen reellen Zahlen x, die entweder 2: loder :s; -1 sind, d.h. aus allen reellen Zahlen x mit IxI 2: 1, denn nur fur diese ist der Radikand positiv und die Wurzel erklart.

4) f(x) = -Vx 2

-

7x

5) f(x) =

2 • Die Ausnahmewerte, fUr die f(x) nicht erklart ist, erhalt x - 3x + 2 man, indem man ausrechnet, fur welche x der Nenner Null wird: x 2-3x+2 = o. Die Losungen dieser quadratischen Gleichung sind Xl = 1 und X2 = 2. D ist also die Menge aller reellen Zahlen mit Ausnahme von 1 und 2.

Weitere Beispiele zur Bestimmung des Definitionsbereiches und zum Einsetzen von Argumentwerten in Funktionen: 1)

1 Man bestimme D und berechne f(7), f(c + 5), f(xd - f(xo). Der x-I Nenner wird Null fiir Xl 1 und X2 -1, D ist also die Menge aller reellen Zahlen mit Ausnahme dieser beiden.

f(x) =

f(7)

-2-- .

1

=

1

= 49 - 1 = 48;

=

1

f(c+5)= (c+5)2-1

1

= c2+10c+24

140

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

f(xd - f(xo) 2)

3)

1

= xr _ 1 -

1

x~ - 1

x~ - x~

= (xr -

l)(x~ - 1)"

g(x) = 4x 2 - 7x + 3. Man bestimme D und berechne g( -1), g( -2 - t). D ist die Menge aller reellen Zahlen. g(-I) = 4(-1)2 -7(-1) + 3 = 14 g(-2-t) = 4(-2-t)2_7(-2-t)+3 = 4(4+4t+t 2)+7(2+t)+3 = 4t 2 +23t+ 33. E(u)

= 2U;~ l'

Bestimme D und berechne E(l), E(-4), E

(*). E(uo

+ 1).

E( u) ist nicht definiert fUr die Losungen der Gleichung 2u 2 - 1 = 0, d.h. fUr

= -j'f.

und U2

(h1)

E (U

o

f(x)

4)

=

j'f

D besteht also aus allen reellen Zahlen mit Ausnahme dieser beiden.

4 E(l) = 2 -1 = 4; 1

E

Ul

-16 16 E(-4) = 32 -1 = - 31 4 h h h2 4h = (1) 2 = 2 _ h 2 = h' 2 - h 2 - 2 - h2 2 h -1 -,;'2

4·

+ 1) --

4

4( Uo + 1) 4uo + 4 - -=----"----'-c-'-----:" 2( Uo + 1)2 - 1 - 2u~ + 4uo + 1

= {VX2=1

fur fur

x 2 -1

Ixl>

I}

Ixl~1

Bei dieser Funktion hat man zwei verschiedene Zuordnungsvorschriften fUr die zwei Teilbereiche, in die ihr Definitionsbereich, die Menge aller reellen Zahlen, geteilt ist. 1m Bereich Ixl > 1, d.h. fUr x < -1 oder x > 1, gilt die erste Zuordnungsvorschrift, sie ist dort uberall sinnvoll. 1m Bereich Ixl ~ 1, d.h. fUr -1 ~ x ~ 1 gilt die zweite Vorschrift; auch sie ist dort iiberall sinnvoll. Wir wollen fUr diese Funktion f(2),

f

(-~)

und f(a + 2) berechnen.

=

f(2) : Da 121 2 > 1, miissen wir zur Berechnung von f(2) die erste Vorschrift nehmen: f(2) = J22=1 = yI3.

f ( -~): Da

I-~I = ~ ~ 1, kommt hier die zweite Vorschrift in Betracht:

f(-D (_D =

2

-1=-~.

f(a+2): Hier hiingt es von a ab, welche Vorschrift in Betracht kommt. Fur la+21 > 1, d.h. fUr a+2 < -1 oder a+2 > 1 ist die erste Vorschrift zu nehmen, also fur a < -30der a > -1. Fur la+ 21 ~ 1, d.h. fUr -3 ~ a ~ -1 kommt die zweite Vorschrift in Betracht. Dieses Ergebnis konnen wir nach einigen einfachen Rechnungen so zusammenfassen: f(a+2)=

va2 + 4a + 3 { a 2 + 4a + 3

fUr a < -3, a> fUr - 3 ~ a ~ -1

-I}

4.1. GRUNDBEGRIFFE

141

Es sei noch bemerkt, daB in der Praxis der okonomisch sinnvolle Definitionsbereich einer Funktion in der Regel kleiner ist als der mathematisch mogliche. So liefert die Formel, die etwa den Energieverbrauch E einer Anlage in Abhangigkeit von der Laufzeit t angibt, namlich E(t) = bt (wobei b eine die Anlage charakterisierende GroBe ist) auch fUr negative t Funktionswerte; okonomisch sind negative Laufzeiten aber sinnlos. Man wird den Definitionsbereich der Funktion E(t) hier deshalb auf t ~ einschranken.

°

4.1.2

Graphische Darstellung von Funktionen

1st eine Funktion y = f( x) gegeben, so kann man fUr jeden konkreten x-Wert den y- Wert bestimmen. Wenn man das fUr eine Anzahl von x- Werten tut, kann man die Resultate in einer Tabelle iibersichtlich zusammenstellen; man nennt eine solche Tabelle eine Wertetabelle der gegebenen Funktion. Beispiel: f( x)

=

x2

-

1

x

2

y

3

Eine Wertetabelle gibt fUr einige ausgewahlte Argumentwerte die zugehorigen Funktionswerte an. Sie besteht somit aus Paaren (x, y), wo die x gewisse Argumentwerte, die y die zugehorigen Funktionswerte sind. In unserem Beispiel besteht die Wertetabelle aus den Paaren (-2,3), (-1,0), (-0,5, -0,75), (0, -1), (0,5, -0,75), (1,0), (2,3). Solche Paare von reellen Zahlen kann man sich in einem rechtwinkligen Koordinatensystem als Punkte veranschaulichen. Ein rechtwinkliges Koordinatensystem besteht aus zwei orientierten, d.h. mit einer Pfeilrichtung versehenen, zueinander senkrechten Achsen, den sogenannten Koordinatenachsen. Wir bezeichnen die horizontale Achse als x-Achse und die vertikale als y-Achse. Die x-Achse heiBt auch die Abszissenachse, die y-Achse die Ordinatenachse (s. Abb. 4.1). Beide Achsen fassen wir als Zahlengerade auf, d.h. auf beiden ist eine Einheit (die Strecke von Obis 1) und damit ein MaBstab fixiert. In den praktischen Anwendungen sind diese MaBstabe (im Unterschied zu unserer Abb. 4.1) oft verschieden groB. Urn ein Zahlenpaar, etwa (-1,2), als Punkt in diesem System darzustellen, zeichnet man durch den Abszissenwert x = -1 eine Senkrechte, durch den Ordinatenwert y = 2 eine Waagerechte (in Abb. 4.1 beide gestrichelt

KAPITEL4. FUNKTIONEN

142

y-Achse

4

3 (-1,2) : ----~--2

-5

-4

-3

-2

-~ -1

(4,2)

------------------e--

°

(0,-1)

1

2

3

4

5

x-Achse

e (3,-1)

-2

-3 -4

Abb. 4.1 eingezeichnet). Der Schnittpunkt beider ergibt den gesuchten Punkt. Bei einiger Ubung braucht man diese senkrechten und waagerechten Linien natiirlich in Wirklichkeit nicht zu zeichnen. In Abb. 4.1 sind als Beispiele noch die Punkte (4,2), (3, -1) und (0, -1) eingetragen. Wir iibertragen nun die Punkte der Wertetabelle unseres Beispiels in ein Koordinatensystem (Abb. 4.2). Die eingetragenen Punkte geben uns schon eine Vorstellung vom Verlauf der Funktion, natiirlich nur eine liickenhafte. Wiirde man die Wertetabelle immer feiner und feiner machen, z.B. die Argumentwerte von -2 bis 2 in Zehntelschritten wiihlen, so ergiibe die graphische Darstellung einer solchen Tabelle schon eine sehr gute Vorstellung vom Veriauf der Funktion, hier also zwischen -2 und 2. Dieser Gedanke fiihrt uns zum Begriff des Graphen einer Funktion: Wir stellen uns aIle moglichen Paare (x, y) graphisch dargestellt vor, wo x den Definitionsbereich der betrachteten Funktion durchliiuft und y der zu x gehOrige Funktionswert f(x) ist. Dann erhiilt man eine Kurve. Diese Kurve heiBt der Graph, die graphische Darstellung oder das Bild der Funktion f( x); er ist ein auBerordentlich wichtiges Mittel, urn sich den VerIauf einer Funktion anschaulich vorzustellen. Wirklich zeichnen hnn man in der Regel nur ein Stiick des Graphen; man wird fiir die graphische Darstellung immer einen solchen Bereich von Argumentwerten auswiihlen, wo die Funktion aus irgendeinem Grunde interessant ist. Abb. 4.3 zeigt die graphische Darstellung der in unserem Beispiel benutzten Funktion y = x 2 -1 im Bereich -2 ::; x ::; 2.

4.1. GRUNDBEGRIFFE

143 y

• (-2,3)

.(2,3)

3

2

(-1,0)

-3

-2

-1 (-0,5, -0,75) •

(1,0)

-1

1 • (0,5 , -0,75)

2

3

x

3

x

(0,-1)

-2

Abb. 4.2 y

-3

Abb.4.3

Urn den Graphen einer gegebenen Funktion zu tinden, stellt man sich eine Wertetabelle her, tragt die Punkte in ein Koordinatensystem ein und versucht dann, den Verlauf des Graphen zu skizzieren. Das wird immer besser gelingen, je mehr Punkte die Wertetabelle ausweist; gegebenenfalls muB man die Wertetabelle durch weitere Zwischenwerte verfeinern. Wie man besonders interessante Punkte der Funktion, z.B. ihre Maxima und Minima, ihre Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) und ihre Wendepunkte tindet, lernen wir spater kennen.

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

144

Beispiele: 1)

f (x)

= 2x -

3

~ ~ y

Abb. 4.4 Der Graph ist eine Gerade. 1,5 4,375

x y

y

4

3

2

-2

-1

0

2

x

-2

-3 -4

Abb. 4.5 Bei der Darstellung von Funktionen verwenden wir auf der x-Achse und der y-Achse oft verschiedene MaBstiibe.

4.1. GRUNDBEGRIFFE

3)

145

f(x) = ...;x Hier kommen nur x-Werte :::: 0 in Frage (negative x gehoren nicht zum Definitionsbereich) . x y

4 2

y

2

o

x

4

3

2

Abb. 4.6

4)

f(x) = V4 - x 2 . Den Definitionsbereich dieser Funktion bilden aile x, die die Ungleichung -2 S; x S; 2 erfiillen. In diesem Fall kann man also den Graphen vollstandig zeichnen, und nicht nur einen Ausschnitt, wie bei den vorigen Beispielen. x

2

o

y

y

-3

-2

-1

o

2

3

x

Abb. 4.7 Der Graph der Funktion ist ein Halbkreis.

1st von einer Funktion die graphische Darstellung gegeben, so kann man zeichnerisch die Funktionswerte ermitteln. Es soli z.B. in Abb. 4.8 der Funktionswert zum Argument Xo gefunden werden. Man errichtet bei Xo eine Senkrechte zur xAchse. Diese schneide den Graphen der Funktion im Punkt Po. Durch Po ziehen wir eine Parallele zur x-Achse. Diese schneide die y-Achse in Yo. Dann ist Yo der dem Argument Xo zugeordnete Funktionswert (denn Po hat die Koordinaten (xo, Yo), und da Po auf dem Graphen liegt, ist Yo = f(xo).

146

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

Y

Yo 1----,jIr"

x

Abb.4.8

Diese Uberlegung zeigt uns auch, wie man feststellen kann, ob eine gezeichnet vorliegende Kurve das Bild einer Funktion ist oder nicht. Wir erinnern uns: Eine Funktion war eine eindeutige Zuordnung von y- Werten zu x- Werten; jedem x aus der Definitionsmenge D muf3 genau ein y entsprechen. Die in Abb. 4.9 gezeichnete Kurve erfullt diese Bedingung nicht, denn zu x = 1 z.B. gehoren zwei y-Werte, namlich 1 und 3. Die in Abb. 4.9 gezeichnete Kurve ist also nicht der Graph einer Funktion. Gelegentlich muf3 man feststellen, ob ein durch seine Koordinaten gegebener Punkt auf dem Graphen einer vorgelegten Funktion liegt oder nicht. Sei z.B. f(x) = x 2 - 2 gegeben. Welcher der folgenden drei Punkte (-1,-1), (-2,0), (3,7) liegen auf dem Graphen dieser Funktion? Urn dies festzustellen, muf3 man prufen, ob fur einen herausgegriffenen Punkt der y- Wert tatsachlich der Funktionswert des gegebenen x- Wertes ist. Beim ersten Punkt ist der x-Wert -1, f( -1) = (_1)2 - 2 = -1, und das stimmt mit dem gegebenen y- Wert uberein. (-1, -1) ist also ein Punkt des Graphen von f( x) = x 2 - 2. f( - 2) = (_2)2 - 2 = 2. Das stimmt nicht mit dem gegebenen y-Wert uberein; (-2,0) liegt also nicht auf dem Graphen. f(3) = 32 - 2 = 7. Der dritte Punkt liegt auf dem Graphen.

°

4.1. GRUNDBEGRIFFE

147

y 4 3+--...,.~

2

-1

o

2

3

x

4

Abb. 4.9

Beispiele: 1)

Stellt folgende Kurve eine Funktion dar? y

x

Abb. 4.10 Ja, zu jedem x gehart genau ein y. (DaB zu verschiedenen x dasselbe y geharen kann, start nicht. Der Graph kann sogar eine Parallele zur x-Achse im Abstand c sein. Dann gehart zu jedem x-Wert ein und derselbe y-Wert y = c; es handelt sich also urn die sogenannte konstante Funktion f(x) = c; s. Abb. 4.11) 2)

Stellt die Kurve in Abb. 4.12 eine Funktion dar? Nein, denn zu x = XQ geharen drei y-Werte.

3)

Welche der Punkte (0,-1), (2,4), (-1,-1), (1,-1), (3,24) liegen aufdem Graphen vonf(x)=x 3 - x - l ? f(O) = -1; (0,-1) liegt auf dem Graphen; f(2) = 5; (2,4) liegt nicht auf dem Graphen; f(-I) = -1; (-1, -1) liegt auf dem Graphen; f(l) = -1; (1,-1) liegt au(dem Graphen; f(3) = 23; (3,24) liegt nicht auf dem Graphen.

148

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

y

c

f(x)=c

x

Abb. 4.11

x

Abb. 4.12

Wie schon erwahnt, kann eine Funktion auch durch verschiedene Vorschriften fiir einzelne Abschnitte ihres Definitionsbereiches gegeben sein. Beispiele: 1)

Ein Reiseveranstalter bietet folgende ermaBigte Reisepreise fUr Kinder und Jugendliche an: Obis 4 Jahre: 10% des Grundpreises, iiber 4 bis 12 Jahre: 30% des Grundpreises, iiber 12 bis 18 Jahre: 70% des Grundpreises. Ab 18 Jahren ist der volle Preis zu zahlen. Bezeichnen wir das Alter mit A, den Preis in % des Grundpreises mit p, dann sieht die Funktion p(A), die den Preis in Abhangigkeit des Alters angibt, so aus:

.


{1O fiirO 30 flir 4 < A p( ) 70 fUr 12 < A A _

:=; 12 :=; 18

100 fUr 18 < A Sie ist also stiickweise konstant; Abb. 4.13 zeigt ihren Graphen. Eine solche stiickweise konstante Funktion nennt man auch eine Treppenfunktion. Ein weiteres Beispiel fUr eine Treppenfunktion ist das Paketporto in Abhangigkeit vom Gewicht.

4.1. GRUNDBEGRIFFE

149

p 110

....-_ _ ptA)

90 70

50 30 10

+.....,......-t--r--r--r--;--r--r---t-.....-.....-. . . 2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24

A

Abb.4.13

2) f(x) =

{

X fur x < 1 2x - 1 fUr 1 ::; x -3x + 14 fUr x > 3

<3

}

Abb. 4.14 zeigt den Graphen dieser Funktion. Die gestrichelten senkrechten Linien markieren, wie bereits bei Beispiel 1), die Abschnitte der verschiedenen Zuordnungsvorschriften.

Abb.4.14

3)

Das Einkommenssteuergesetz (§ 32a) sieht fUr die Berechnung der Einkommenssteuer S (in Euro) in Abhangigkeit yom Einkommen E (in Euro) folgende Vorschrift vor: 0 S E _ (793, ly + 1600)y ( ) - { (265, 78z + 2405)z + 1016 0, 45E - 8845

fUr E::; 7664 } fUr 7665::; E ::; 12739 fUr 12740::; E ::; 52151 fUr E 2: 52152

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

150

Dabei ist y = ~Ob~~4, Z = Elolgo~39. Man sieht, daB die Vorschrift fUr den Abschnitt 7665 :S E :S 52151 progressiv wachst (s. S. 187); ab diesem Einkommen ist sie dann linear. Abb. 4.15 zeigt den Graphen der Einkommenssteuerfunktion SeE).

S (in Tausend Euro)

20 15 10

5

o

7,665

20

30

40

52,152

E (in Tausend Euro)

Abb.4.15

4.2

Die elementaren Funktionen

Wir behandeln jetzt systematisch gewisse Grundtypen von Funktionen, aus denen sich so gut wie aIle praktisch interessanten Funktionen zusammensetzen lassen. Auch die in 4.1. bereits betrachteten Beispiele, die als Zuordnungsvorschrift auch fUr sich versUindlich waren, sind aus den elementaren Funktionen zusammengesetzt.

4.2.1

Lineare Funktionen

Obwohl lineare Funktionen spezielle Falle der in 4.2.2 betrachteten ganzrationalen Funktionen sind, wollen wir sie wegen ihrer besonderen Wichtigkeit eingehend behandeln.

4.2. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN

Eine Funktion der Form f(x) = mx

151

+ b heif3t eine lineare Funktion.

(Man schreibt sie auch oft als y = mx+b). Die reellen Zahlen m und b heif3en die Koeffizienten. Der Definitionsbereich einer linearen Funktion besteht aus allen reellen Zahlen, denn der Ausdruck mx + b ist fUr aile x erkliirt, ganz gleich, welche Zahlen m und b sind. Beispiele: 1) 2)

3) 4)

f(x)=2x-7

(m=2, b=-7)

= 3 (m = 0, b = 3) = -0,5x + 0 (m = -0,5, b = 0) y = + a 2 (m = b =a2 y

y

1l"2 CX

1l"2 C,

1st m = 0, so hat man (wie im Beispiel 2) eine konstante Funktion f(x) = b, bzw. y = b. Hier ist der Funktionswert unabhangig von x immer gleich b. Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Parallele zur x-Achse. Beispiele: s. Abb. 4.16 u. 4.17.

2

f(x)=2

-,

-1

-2

-2

f(x)=-1,5

Abb. 4.16 und 4.17 Typische Beispiele fiir konstante Funktionen sind Fixkostenfunktionen. Die fixen Kosten sind z.B. bei einer Autovermietung die Grundgebiihr einschlief3lich VersicherungjTag; sie hangen nicht von den gefahrenen Kilometern abo Bei einem Telefonanschluf3 sind die fixen Kosten (d.h. die unabhiingig von den verbrauchten Einheiten anfallenden Kosten) die Grundgebiihr und eventuell auftretende

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

152

Leihgebuhren fur die technische Einrichtung. Bei der Produktion eines Gutes sind die fixen Kosten jene Kosten, die stets anfallen, unabhangig davon, wieviel von dem betrachteten Gut produziert wird. Der Graph einer konstanten Funktion war eine spezielle Gerade (parallel zur x-Achse). Allgemein gilt nun: Der Graph einer Iinearen Funktion f( x)

= mx + b ist eine Gerade.

Wir wollen uns jetzt die geometrische Bedeutung der Koeffizienten m und b klarmachen. Setzt man in y = mx + b fUr x den Wert 0 ein, so erhalt man y = b, d.h. f(O) = b. Der Punkt (0, b) liegt also auf dem Graphen der Funktion f(x) = mx + b, mit anderen Worten , die Gerade y = mx + b geht durch den Punkt (0, b). In Abb. 4.18 ist der Fall eines positiven b angenommen , ist b negativ, Iiegt der Schnittpunkt unterhalb der x-Achse.

y

x

Abb. 4.18

Das sogenannte Absolutglied b (d.h. der von x freie Term) in der Funktionsgleichung y = mx + b (oder wie man sich geometrisch auch ausdruckt, in der Geradengleichung y = mx + b) ist also gleich dem Abschnitt auf der y-Achse, dem sogenannten Ordinatenabschnitt. Urn die Bedeutung von m zu klaren, mussen wir zunachst den Begriff der Steigung oder des Anstiegs einer Geraden einfUhren. Auf der gegebenen Geraden werden zwei Punkte PI mit den Koordinaten

(Xl,

YI) und P2 mit den Koordi-

naten (X2' Y2) fixiert (Abb. 4.19). Das Verhaltnis Y2 - YI bezeichnet man als X2 - Xl Steigung oder Anstieg der Geraden. Dieses Verhaltnis ist immer dasseIbe, welche Punkte man auf der Geraden auch auswahlt; eine Gerade hat uberall den gleichen Anstieg.

153

4.2. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN

y

Abb. 4.19

Sei nun eine Gerade durch die Gleichung y = mx + b gegeben. Wir konnen bei gegebenen Abszissenwerten Xl bzw. X2 die zugehorigen Ordinatenwerte leicht berechnen: Yl

= mXl + b,

Y2

= mX2 + b

Fur den Anstieg ergibt sich also: Y2 -

Yl

X2 -

Xl

.::...::.._.::...::..=

mX2

+ bX2 -

(mxl

Xl

+ b)

=

m( X2 X2 -

-

Xl)

=m.

Xl

Der Koeffizient m in dem Ausdruck fur die lineare Funktion f(x) = mx + b bzw. y = mx + b ist der Anstieg der diese Funktion darstellenden Geraden. Zusammenfassung: In der Geradengleichung y = mx Geraden, b ihr Ordinatenabschnitt.

+ b ist m der Anstieg der

1st eine Gerade durch die Gleichung y = mx + b gegeben, so kann man sie folgendermaBen zeichnen: Wir fixieren den Punkt (0, b); durch diesen Punkt geht die Gerade. Dann gehen wir von diesem Punkt aus eine Einheit (oder falls das zeichnerisch bequemer ist - k Einheiten) nach rechts und von dem dann erreichten Punkt urn m Einheiten (oder entsprechend urn k . m Einheiten) nach oben, falls m positiv ist, nach unten, falls m negativ ist. Der dann erreichte Punkt wird mit dem Punkt (0, b) verbunden, und die gesuchte Gerade ist fertig. Die Abb. 4.20-4.22 zeigen dies fur die Beispiele:

154

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

y = 3x + 1 (Abb. 4.20),

y =

1

-2x -

1 (Abb. 4.21)

y

4 = -x 5

(Abb. 4.22)

Abb. 4.20 u. 4.21 y

4

3

5t=4 Einheiten

2

5 Einheiten

2

3

4

5

x

-1

Abb. 4.22

1m Beispiel 2 ware es auch moglich gewesen, eine Einheit nach rechts und ~ Einheit nach unten zu gehen (analog im Beispiel 3 eine Einheit nach rechts und ~ Einheiten nach oben). DaB man stattdessen k Einheiten nach rechts geht mit passend gewahltem k geschieht aus Bequemlichkeit. Hat m die Form

!?,

q so empfielt sich k = q zu wahlen, man geht dann q Einheiten nach rechts und k . m = q. m = q. !? = p Einheiten nach oben (bei m > 0) bzw. unten (bei q m < 0).

155

4.2. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN

Man kann eine Gerade natiirlich auch zeichnen, indem man zwei beliebige Punkte zeichnet und diese verbindet. Beispiel: y = -~x+l. Wahlen wir x = 1, ergibt 1 3 3 sich y = +3"' wahlen wir x = -2' so ist y = 2; die Gerade geht also durch die beiden Punkte (1,~) und (-~, 2) (Abb. 4.23). y

x -1

y = - ~x + 1

-2

Abb.4.23

Beispiele: 1)

Die Gesamtkosten Keiner Produktion mogen vom Output x linear nach dem Gesetz 1 K(x) = 4:x

+ 5,5

abhangen (nach geeigneter Wahl der Einheiten, z.B. Kin TEuro,

x in Tausend-StUck). Die fixen Kosten, die stets anfallen, ganz gleich, ob produziert 1 wird oder nicht, d.h. K(O), betragen hier 5,5 TEuro. Der Anstieg 4: bedeutet: steigt die produzierte Menge urn eine Einheit, d.h. urn 1000 Stuck, so steigen die Kosten urn 0,25 Einheiten, d.h. urn 250 Euro. Abb. 4.24 zeigt die graphische Darstellung. Ein Ii nearer Ansatz fur die Kosten ist ein mogliches Modell; es gibt naturlich eine Reihe von Situationen, in denen ein so einfaches Modell nicht mehr ausreicht.

2)

Der Erlos E in (Euro) hangt bei festem Preis linear von der verkauften Menge x ab, beispielsweise konnte E(x) = 3,2x eine Erlosfunktion sein. Nimmt hier die verkaufte Menge urn eine Einheit zu, steigt der Erlos urn 3,20 Euro (Abb. 4.25).

3)

Fur die Abhangigkeit des Konsums C vom Einkommen Y wahlt man oft ein lineares Modell, d.h. man nimmt an, daB CrY) = aY + Co ist. Co = C(O) ist das sogenannte Existenzminimun; es wird durch den Sozialstaat auch bei Y = 0, d.h. bei keinem Einkommen, garantiert. a gibt an, urn wieviel Geldeinheiten der Konsum steigt, wenn das Einkommen urn eine Einheit steigt. Da in der Regel ein Teil des Einkommens nicht konsumiert wird, ist a < l.Abb. 4.26 zeigt eine Konsumfunktion mit a = 0,4 und Co = 400 Euro, d.h. Cry) = 0,4Y + 400.

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

156

K (T Euro) 7

K(x)= O,25x + 5,5

6

r--------

5

---------- ------------------

4 3

fixe Kosten K(O)

2

3

2

7

6

5

4

8

x (in T. StOck)

9

Abb.4.24

C (in Euro)

E( Euro)

7

E(x)=3,2x

1200

6

C(Y)

=0,4 Y + 400

5

800

4 3

400

2

Existenzminimum

2

3

4

5

6

7

8 x (ME)

400

800

Y (in Eum) 1200

Abb. 4.25 und 4.26

Die Beispiele haben auch gezeigt, daB in der Praxis die Variablen ganz unterschiedlich bezeichnet werden. Man kann sich also nicht an die Form y = mx + b klammern; es kommt vielmehr darauf an, das Inhaltliche eines linearen Zusammenhanges zu verstehen, d.h. zu erkennen, was die unabhangige und was die abhangige Variable ist, was inhaltlich der Ordinatenabschnitt ist und was der Anstieg bedeutet. Bisher war eine Gerade y = mx + b gegeben durch den Wert b, d.h. durch den speziellen Geradenpunkt (0, b), und durch den Anstieg m. Wie findet man nun die Gleichung einer Geraden, die durch einen beliebigen vorgegebenen Punkt

4.2. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN

157

(XI, vd geht und den Anstieg m hat? Wir betrachten neben dem Punkt (Xl, YI) einen beliebigen Geradenpunkt (x,y) (Abb. 4.27). Da der Anstieg der Geraden aus zwei beliebigen ihrer Punkte als Ordinatendifferenz geteilt durch Abszissendifferenz zu ermitteln ist, gilt also Y - YI X - Xl

= m, also Y = m(x -

Xl)

+ YI'

y

Abb. 4.27

Y = m( X

-

xd + YI

(4.1 )

heiBt die Punktrichtungsform oder Punktsteigungsform der Geradengleichung.

Beispiele: 1)

Man gebe die Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt (-1,2) geht und den Anstieg 2 hat.

xI=-l, Yl=2, m=2 Y = 2( x - (-1)) + 2 = 2x + 4. Die Gleichung der Geraden lautet Y = 2x + 4. 2)

Man gebe die Gleichung der Geraden durch (-2,0) an mit dem Anstieg Y

1

= -2(x -

-~.

1

(-2)) + 0 = -2 x -1.

SchlieJ31ich wollen wir die Gleichung der Geraden bestimmen, die durch zwei vorgegebene Punkte (XI,YI) und (X2,Y2) geht. Sei wieder (x,y) ein beliebiger Punkt der Geraden (Abb. 4.28), so konnen wir den Anstieg m auf zwei

158

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

x

Abb. 4.28

verschiedene Weisen ausdriicken: Y - YI

Y2 - YI

(4.2)

m=--=--x - Xl X2 - Xl

Also hat man Y - YI =

Y2 - YI X2 -

Xl

(x - xd·

Y = Y2 - YI (x X2 -

Xl

Xl)

+ YI

(4.3)

heiBt die Zweipunktform der Geradengleichung. Man wird sich nicht die Formel (4.3) merken, sondern viel eher die Uberlegung (4.2), die sofort zu (4.3) fiihrt. Beispiele: 1)

Man bestimme die Gerade durch die beiden Punkte a) (0,1); (-2,3) b) (-1,-2); (2,-4).

a)

= 0, YI = 1, X2 = -2, Y2 = 3 3-1 y = -2 _ 0 (x - 0) + 1 = -x + 1

XI

b) y=

-4-(-2)(x_(_I))+(_2)=_~(x+l)_2=_~x_~ 2-(-1)

3

3

3

159

4.2. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN

4.2.2

Ganze rationale Funktionen (Polynome)

Eine auBerordentlich wichtige Klasse von Funktionen bilden die ganzen rationalen Funktionen, auch kurz Polynome genannt. Eine Funktion der Form

heiBt eine ganze rationale Funktion oder ein Polynom. Die reellen Zahlen ao, aI, az ... an-I, an heiBen die Koeffizienten des Polynoms. Der Exponent der hochsten vorkommenden Potenz von x heiBt der Grad des Polynoms.

In (4.4) ware also der Grad (unter Voraussetzung, daB an =J 0 ist) gerade n. Beispiele: 1) 2)

f(x)=2x 2 -x+1 ao = 1, at = -1, a2 = 2; Grad=2 f(x) -vI3x 7 1rX 6 - bx 2 ax c

=

+

+ +

ao = c, at = a, a2 = -b, a3 = a4 = as = 0, a6 =

71",

a7 =

-vI3;

Grad=7

3)

f(x) = -x + 4.

4)

f(x) = 6. ao = 6; Grad=O f(x) = x P - 1. ao = -1, at = a2 = ... = ap-t = 0, a p = 1; Grad=p f(x)=x s . aO=at=a2=a3=a4=0, as=l; Grad=5 f(x) k x 2n +J + X - 1.

5)

6) 7)

ao = 4, at = -1; Grad=l

=

ao = -1, at = 1, a2 = a3 = ... = a2n = 0, a2n+t = k; Grad=2n

+1

Ein Polynom ist fur aIle Werte von x definiert; wenn der Definitionsbereich nicht durch praktische Belange eingeschrankt ist, kann er also als die Menge der reellen Zahlen angenommen werden. Mittels des Summenzeichens kann (4.4) kurz so geschrieben werden: n

f(x) = Lak xk

(4.5)

k=O

(das Glied ao, das sogenannte Absolutglied, taucht hier in der Form aox o auf, was ja wegen X O = 1 vollig korrekt ist). Eine ganze rationale Funktion vom Grad 0 hat die Form f( x) = aox o, d.h. f(x) = ao. Sie ist also eine konstante Funktion. Ihr Graph ist, wie wir bereits wissen, eine Parallele zur x-Achse.

160

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

Eine ganze rationale Funktion vom Grad 1 hat die Form f(x) = atX + ao (mit i= 0). Sie ist eine lineare Funktion. Ihr Bild ist eine Gerade; ao ist der Orclinatenabschnitt, at cler Anstieg. Diese Funktionenklasse haben wir in 4.2.1 ausfiihrlich besprochen, wobei wir dort traditionsgemaB ao mit b und at mit m bezeichnet haben. at

Ganze rationale Funktionen vom Grad 2, d.h. Funktionen des Typs f( x) = a2x2 + at x + ao (a2 i= 0), heiBen quadratische Funktionen. Ihre Graphen sind Parabeln, und zwar nach oben geoffnete, falls a2 > 0 ist, nach unten geoffnete, falls a2 < 0 ist.Die folgenden Beispiele zeigen solche Parabeln; wir werden spater lemen, wie man besondere Punkte dieser Kurven, z.B. ihre Durchgangspunkte durch die x-Achse (Nullstellen) oder ihre Maxima bzw. Minima, bestimmt. Beispiele fur quadratische Funktionen und ihre Graphen: 1)

y

-3

3

-2

x

-2

Abb. 4.29

2)

f(x)

y

=__21 x 2 + 2

x

Abb. 4.30

4.2. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN

3)

161

f(x)=2x 2 +x+2

x -2

o

-1

2

Abb. 4.31

(Man iiberpriife mit einer kleinen Wertetabelle die Richtigkeit der Abbildungen an einigen Stellen). In 4.4. werden wir Beispiele fiir ganze rationale Funktionen im Bereich der Wirtschaftswissenschaften kennenlernen. Wir wollen uns nun noch iiberlegen, wie man Funktionswerte einer ganzen rationalen Funktion moglichst rationell ausrechnet. Man kann den Funktionswert zu gegebenem Argument x natiirlich direkt berechnen, indem man die einzelnen Potenzen von x berechnet, diese mit den Koeffizienten multipliziert und alles addiert.

Beispiel: f(x) = 2x 4 1,54

= 5,0625;

f(1,5)

1,53

-

x3

+ 6x 2 -

= 3,375;

= 2 . 5,0625 -

3,375

4x

1,5 2

+ 3.

= 2,25;

+ 6·2,25 -

Gefordert sei, f(1, 5) zu berechnen. also

4·1,5

+ 3 = 17,25.

Bei Benutzung des Speichers des Taschenrechners geht das auch ohne das Aufschreiben von Zwischenergebnissen. Allerdings ist dieser Rechenweg sehr umstandlich. Nun konnen wir unser Polynom f(x) = 2x 4 -x 3 +6x 2 -4x+3 durch schrittweises Ausklammern von x nach und nach folgendermaBen umwandeln.

f (x)

x 3 + 6x 2 - 4x + 3 = (2x 3 - x 2 + 6x - 4)x + 3 = ((2x 2 - X + 6)x - 4)x + 3 = (((2x - 1)x + 6)x - 4)x + 3

= 2x

4

-

162

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

Hier sind zur Berechnung von f( x) nur noch Multiplikationen und Additionen gefordert; die Tastenfolge der Berechnung von f(1, 5) auf dem Taschenrechner sahe dann so aus: 2

0 1,5EJ 1 B0 1,5 [±] 6 B0 1,5 EJ4 B0 1,5 [±] 3 B 17,25.

Urn das dauernde Eintippen des Arguments 1,5 zu vermeiden, wird man es abspeichern; d.h. bevor die Berechnung von f(1,5) beginnt, wird 1,51 STO I realisiert, dann sieht die Tastenfolge so aus:

B 17,25. (Dabei ist ISTO Idie Taste fUr Einspeichern, IReL Ider Speicheraufruf; fUr diese Tasten sind auch verschiedene andere Bezeichnungen in Gebrauch). Urn nicht immer das schrittweise Ausklammern wirklich vornehmen zu mussen, ordnet man den Rechengang in einem Schema an, welches unter der Bezeichnung Hornerschema bekannt ist. Man schreibt die Koeffizienten in eine Zeile, lafit darunter eine breite Zeile frei, zieht dann eine Linie, auf der man vorn das Argument notiert, und schreibt unter die Linie vorn den hochsten Koeffizienten nochmals hin (Abb. 4.32).

2

-1

6

-4

3

1,5

2 Abb. 4.32 Das weitere Vorgehen wird aus Abb. 4.33 deutlich. Die schragen Pfeile bedeuten immer Multiplikation mit dem Argument, also hier mit 1,5, die senkrecht nach unten weisenden Pfeile die Addition des jeweils daruber stehenden Koeffizienten.

2

1,5

2 Abb. 4.33

4.2. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN

163

Bei der praktischen Berechnung kommt das Argument in den Speicher; die Zwischenergebnisse braucht man gar nicht mehr zu notieren. Urn f( -2,1) zu berechnen, hiitte man zuerst -2,11 STO zu realisieren; dann sieht das Schema der Berechnung so aus:

I

-1

2

6

-4

-2 1

3

o 86,017

Sind Koeffizienten gleich Null, so miissen diese auch in dem Schema beriicksichtigt werden. Beispiel: f(x)

= x5 -

x3

+ 2x + 4.

Man berechne f(O, 7).

1

0,7 1 Zum AbschluB dieses Abschnittes sei noch bemerkt, daB man die ganz speziellen Polynome, in denen nur der hochste Koeffizient von Null verschieden ist, und zwar gleich 1, als Potenzfunktionen bezeichnet. f(x) = x n , f(x) = x 2 , f(x) = xP-t, f(x) = x 6 sind Beispiele fUr Potenzfunktionen.

4.2.3

Gebrochen-rationale Funktionen

Den Quotienten zweier Polynome nennt man eine gebrochen-rationale Funktion. Eine gebrochen-rationale Funktion hat die Form

164

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

Dabei sind die ai und bk relle Zahlen. Der Definitionsbereich einer gebrochenrationalen Funktionen besteht aus allen reellen Zahlen mit Ausnahme derjenigen, fUr die der Nenner Null wird (d.h. mit Ausnahme der Nullstellen des Nennerpolynoms; vgl. 4.3.2), denn durch Null darf ja nicht geteilt werden. Beispiele: f(x) =

.!.. x

1)

Fiir x = 0 wird hier der Nenner Null und der Ausdruck ist nicht definiert. Der Definitionsbereich besteht also aus allen reellen Zahlen mit Ausnahme der Null.

2)

f( x) = x + 3. Hier ist der Ausnahmewert des Argumentes, fUr den f( x) nicht definiert x-4

ist, x = 4.

x = -2--1' x +

3)

+ 1 wird fUr reelle x nie Null, also ist der Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen.

4)

f(x) =

f(x)

2

x2

x; 6 2' Urn hier festzustellen, fUr welche Werte von x der Nenner Null

x -

x+

wird, mlissen wir die quadratische Gleichung x 2 -3x+2 = Olasen.

=

=

Xl 2

,

= ~±J~ 2 4

-

2=

~ ±~. Xl 2, X2 1. Der Definitionsbereich besteht also hier aus der Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme der Zahlen 1 und 2. Die Bilder gebrochen-rationaler Funktionen konnen sehr verschiedenartige Erscheinungen zeigen: z.B. kann der Graph aus mehreren Zweigen bestehen, die nicht zusammenhangen; es kann Unendlichkeitsstellen geben und Asymptoten (vgl. 4.3.5). Mit der Erarbeitung weiterer mathematischer Hilfsmittel werden wir in die Lage versetzt, eine sogenannte Kurvendiskussion durchzufuhren, d.h. die genannten Erscheinungen exakt zu bestimmen und dann den Graphen zu skizzieren. Beispiele fur okonomische Anwendungen gebrochen-rationaler Funktionen sind in 4.4. angegeben. Die folgenden Bilder sollen einen Eindruck von der Vielfalt gebrochen rationaler Funktionen vermitteln: 1)

f(x)

1

= x+l

2

Abb. 4.34

x

4.2. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN

165

2) y

------------- - - - - - -- - - - - - -----1

-3

-4

-2

.-------.--.---_ ... ----- .... ---

4

3

2

-1

Abb. 4.35 3)

x-I f(x)=~ x y

L 4

3

-5

Abb. 4.36

4)

f(x)

x

1

= 2" - 1 + (x -

1)2

=

2

Abb.4.37

3

4

x

5

x

x

166

4.2.4

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

Weitere elementare Funktionen

1m folgenden sollen noch Wurzel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen behandelt werden. In 4.3.2 werden wir sehen, wie aus Polynomen und den eben genannten elementaren Funktionen kompliziertere Funktionen zusammengesetzt werden konnen. So gut wie jede praktisch relevante Funktion liiBt sich aus den elementaren Funktionen zusammensetzen.

(1) Wurzelfunktionen Eine Funktion der Form f( x) = yX heiBt eine Wurzelfunktion. Wie wir aus 2.2.1 wissen, ist yX nur fUr x ~ 0 definiert. Der Definitionsbereich von f (x) = yX ist also die Menge derjenigen reellen Zahlen, die ~ 0 sind. Abb. 4.38 zeigt die Wurzelfunktionen f(x) = yX, f(x) = {/X, f(x) = \IX. Alle Wurzelfunktionen yX gehen durch den Punkt (1,1), denn yIl = 1 fur jedes n.

3

2

2

3

4

5

6

7

8

x

Abb. 4.38

(2) Exponentialfunktionen Es sei a > 0 und a Exponentialfunktion.

=1=

1. Eine Funktion der Form

f (x)

aX

heiBt eine

Exponentialfunktionen sind fUr aBe x definiert. Auf keinen Fall darf man Exponentialfunktionen mit Potenzfunktionen verwechseln. Bei einer Potenzfunktion f( x) = xn stellt die unabhiingige Variable x die Basis dar, der Exponent n ist konstant. Bei einer Exponentialfunktion f(x) = aX ist die Basis a konstant, die unabhangige Variable steht im Exponenten. Man kann mit einem Taschenrechner die Werte von f(x) = aX bei gegebenem

4.2. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN

167

a leicht berechnen und mittels einer Wertetabelle die Funktion dann zeichnen. Fur die spezielle Basis e (vgl. 2.3.) ist meist noch eine spezielle Taste fur die

0

liefert dann z.B. den Berechnung von eX vorhanden. Die Tastenfolge 0,5 Wert e O,5. Weitere Beispiele: e- 0 ,5 = 0,6065307, eO = 1, e 2 = 7,3890561. Fur die Funktion aX wollen wir noch eine Darstellung durch eX finden. Dazu benutzen wir (2.29), d.h. a = elna und das Potenzgesetz (2.8), welches auch fur beliebige reelle Exponenten gilt. Dann ergibt sich aX = (elnar = ex .lna , d.h. (4.7) Diese Formel wird in der Differentialrechnung benotigt. Man konnte sie auch zur Berechnung von aX auf Rechnern benutzen, die eX besitzen, aber keine allgemeine Potenztaste. Urn z.B. den Wert von 2X fur x = 0,52 zu berechnen, schreiben wir 20 ,52 = eO,52.ln2. Die Tastenfolge sieht dann so aus: 2 ~0o,52 1,4339552.

B0B

Abb. 4.39 zeigt die Graphen dreier Exponentialfunktionen, namlich f(x) = eX, = 2x , f (x) = 1, 5x .

f (x)

y

-3

-2

2

-1

3

x

Abb. 4.39 AIle Exponentialfunktionen aX gehen durch den Punkt (0,1), ganz gleich, welchen Wert a hat, denn aD = 1 fUr jedes a (vgl. (2.9)). Die Werte einer Exponentialfunktion f( x) = aX sind stets positivi nie schneiden die Graphen dieser Funktionen die x-Achse, sondern sie verlaufen immer oberhalb derselben.

168

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

1m obigen Beispiel fUr Exponentialfunktionen war a > 1. In diesen Fiillen niihern sich bei negativen x- Werten die Graphen der Funktion immer mehr der Null, je weiter man nach links geht; fUr positive x wachsen die Funktionswerte sehr stark an. Wir wollen uns noch uberlegen, daB fUr a < 1 sich dieses Verhalten gerade umkehrt: aX niihert sich fUr wachsende positive x immer mehr der Null, wiihrend es fUr negative x stark ansteigt, je weiter man nach links geht. Nehmen wir als Beispiel a

I)X ( -2

=

t.

Nach den Potenzgesetzen ist

1 X • Das Bild von f(x) = 2- x erhiilt man aber gerade durch 2 Spiegelung des Bildes von 2X an der y-Achse. Abb. 4.40 zeigt die Graphen von = -x = T

f(x) = 2X und f(x) =

(t)

x

= 2- X • y

.. .. .... .

7 6

5

.... .. .....

4

~~

...

3

2 '"

................... -2

-1

2

x

Abb. 4.40 (3) Logarithmusfunktionen

Es sei a > 0 und a 1= 1. Eine Funktion der Form f(x) = log a x heiBt eine Logarithmusfunktion. Aus 2.3. wissen wir, daB loga x fUr aIle positiven x und nur fur diese berechnet werden kann. Der Definitionsbereich ist also der Bereich der reellen Zahlen, die > 0 sind. Die speziellen Logarithmusfunktionen zur Basis a = e (bezeichnet als In x) und zur Basis a = 10 (bezeichnet als log x) sind auf den meisten Taschenrechnern durch Funktionstasten direkt realisiert. AIle anderen lassen sich mittels der

4.2. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN

169

log x Forme! (2.30) auf log x zuruckfiihren: loga x = -I- . Eine analoge Formel gilt oga

auch fur In x, man kann also die Berechnung von loga x vermoge loga x = lin x na auch auf die Berechnung von In x zuruckfiihren.

Beispiel: Urn den Graph von f(x) = log2 X zu zeichnen, fertigen wir eine Wertetabelle an. x

0,1 -3,3219281

0,2 -2,3219281

0,5 -1

0,8 -0,3219281

Zur Berechnung: Es ist log2 x = lin x. Wir speichern In 2 = 0,6931472. Urn n2 etwa IOg2 4 zu berechnen, realisieren wir die Tastenfolge 4 RCL 2 (das hatten wir auch im Kopf gekonnt; was war doch gleich log24 ?).

[§] B I

IB

Abb. 4.41 zeigt die Graphen von f(x) = logx (= loglOX), f(x) = Inx (= loge x), f(x) = log2 x . y:= I09:r

y

2

-1

-2

-3

Abb. 4.41

Aile Logarithmusfunktionen gehen durch den Punkt (1,0) (warum?). Wenn sich x (von rechts her) der Null nahert, kommen sie der Ordinatenachse immer naher, erreichen sie jedoch nie (man nennt die y-Achse deshalb eine Asymptote des Graphen einer jeden Logarithmusfunktion; siehe dazu 4.3.5).

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

170

Es sei noch angemerkt, daB zwischen Potenz- und Wurzelfunktionen sowie zwischen Exponential- und Logarithmusfunktinnen jeweils ein enger Zusammenhang besteht: Sie sind Umkehrfunktionen voneinander (s. 4.3.4).

4.3 4.3.1

Allgemeines fiber Funktionen Der systematische Aufbau von Funktionen aus den einfachsten elementaren Bestandteilen

Wir haben schon zahlreiche Beispiele von Funktionen kennengelernt und wollen uns nun einen Einblick in die Systematik des A ufbaus von Funktionen verschaffen. Dabei werden wir erkennen, daB aile von uns betrachteten Funktionen aus den fUnf Grundbestandteilen konstante Funktion, Potenzfunktion, Wurzelfunktion, Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion durch die vier Operationen Addition, Multiplikation, Division und Verkettung gebildet werden. Es ist fUr die spater folgende Differentialrechnung von ausschlaggebender Bedeutung, diese Systematik richtig zu verstehen. Es sei hier schon kurz vorweggenommen, warum. Fur das Differenzieren der funf genannten Grundbestandteile gibt es einfache Formeln, die man nach mehrmaligem Gebrauch im Kopf hat. Fur die vier oben genannten Operationen gibt es Differentiationsregeln (die fUr die Addition hat wegen ihrer Einfachheit keinen besonderen Namen; an die Namen Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel wird sich der Leser noch erinnern). Hat man nun den Aufbau einer Funktion aus den fUnf Grundbestandteilen mittels der vier genannten Operationen richtig verstanden, wird das Differenzieren zum Kinderspiel. Ais Ausgangsmaterial fur die Bildung von komplizierteren Funktionen betrachten wir folgende Funktionstypen: 1) die konstanten Funktionen

f (x) = c;

2) die Potenzfunktionen

f( x) = x n ;

3) die Wurzelfunktionen

f( x) = y'X;

c eine beliebige reelle Zahl;

n eine beliebige naturliche Zah!. n eine beliebige naturliche Zahl; x 2: 0

4) die Exponentialfunktion

f (x) = eX;

5) die Logarithmusfunktion

f(x) = Inx;

x>

o.

4.3. ALLGEMEINES (jBER FUNKTIONEN

171

Addition von Funktionen: Sind zwei Funktionen u( x) und v( x) gegeben, so entsteht durch ihre Addition eine neue Funktion f(x) = u(x)+v(x). Man kann natiirlich auch mehr als zwei Summanden addieren: Seien h(x),h(x), ... ,fk(X) k Funktionen, so entsteht durch ihre Addition eine neue Funktion: k

f(x)

= h(x) + h(x) + ... + fk(X) = Lfi(X). i=1

Beispiele: 1)

u(x) = x, v(x) = 4 f(x) = u(x) + v(x) = x + 4

2)

fl(X) =,jX, h(x) = x 3 , h(x) = eX f(x) = !J(x) + h(x) + h(x) = ,jX + x 3

3)

fi(X) = xi,

+ eX

i=O,I,2, ... ,k

k

k

i=::O

i=O

f(x) = Lfi(x) = Lxi = 1 + x + x 2 + ... + x k

Multiplikation von Funktionen: Sind zwei Funktionen u und v gegeben, so entsteht durch ihre Multiplikation eine neue Funktion f(x) = u(x)v(x). Auch hier kann man mehr als zwei Funktionen multiplizieren: f(x) = h(x)h(x) ... fk(X).

Beispiele: 1)

Das Produkt einer konstanten Funktion u(x) = emit v(x): f(x) = cv(x), z.B. f(x) = 7x 3 (c = 7, v(x) = x 3 ); f(x) = _x 6 (c = -1, v(x) = x 6 ); f(x) = 1l'e x ; f(x) = -3Inx.

2)

u(x) = x 3 , v(x) =,jX;

3)

f(x) = u(x)· v(x) = x 3 ,jX 2 !J(x) = -1, h(x) = x , h(x) = eX; f(x) = !J(x)h(x)h(x) = _x 2ex .

4)

Jedes Polynom entsteht durch die Multiplikation einzelner Potenzfunktionen x O, xl, x 2, ... , x n mit konstanten Funktionen ao, aI, a2, ... , an und anschliessende Addition: f(x) = ao + alX + a2x2 + ... + anx n .

5)

f(x)

= -2x 2ijX -

3e x ·Inx.

Hier sind zwei Produkte, namlich (-2) . x 2 . ijX und (-3) . eX . In x addiert worden.

Division von Funktionen: Sind zwei Funktionen u( x) und v( x) gegeben, so entsteht durch ihre Division eine neue Funktion f( x) =

~~:~.

Hier hat man zu beachten, daB diejenigen

172

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

x-Werte, fUr die v(x) = 0 ist (die Nullstellen von v(x), vgl. 4.3.2) nicht zum Definitionsbereich von f(x) gehOren.

Beispiele: eX I(x) = -I-. Da eX uberall und Inx nur fUr x > 0 definiert nx ist, besteht der Definitionsbereich von I(x) aus allen Werten x > 0 mit Ausnahme von x = 1, denn dart ist In x = o.

1)

u(x) = eX, vex) = lnx.

2)

I(x) = ~~. Definitionsbereich: aile x>

3)

J ede Logarithmusfunktion logo x ist der Quotient von u(x) = In x und der konstanten

2

~x

Funktion v( x)

4)

= In a:

logo x

o.

= lInnax .

Jede gebrochen-rationale Funktion hat die Form I(x)

= ~~;~,

wobei u(x) und vex)

Polynome sind. Definitionsbereich?

5)

_ (7x 2 - X + 3) In x I x _ -3xe X 2 ( ) - (2x - X + l)JX 2xflXe x

= hex) - hex). 2 h (x) und h(x) sind Quotienten: I I (x) = uI((x)), h(x) = u ((x)) mit UI (x) = (-3x) ·e x , VI X V2 X VI(X) = (2x 2 - X + 1) . JX, U2(X) = (7x 2 - X + 3) ·Inx, V2(X) = (2x). fIX· eX. Definitionsbereich von I: aile x> 0 (warum?). Diese Funktion ist zuniichst die Differenz zweier Funktionen: I(x)

Anmerkung: Polynome zerlegt man aus praktischen Grunden nicht weiter in ihre Bestandteile.

Verkettung von Funktionen: Als einfUhrendes Beispiel betrachten wir die Funktion f( x) = v'2x 3 - X + 1. Diese Funktion kann man sich folgendermaBen entstanden denken: Zunachst wird die Funktion v( x) = 2x 3 - X + 1 gebildet. Diese Funktion setzen wir als Argument in die Funktion u(v) = ein: f(x) = ~ = u(v(x)) (die Vorschrift bei u(v) lauteteja "Man bilde die Wurzel des Arguments"; das Argument ist eben jetzt die Funktion v( x).

vv

Man bezeichnet die durch Einsetzen einer Funktion v( x) in eine Funktion u(v) entstehende Funktion f (x) = u(v( x)) als verkettete Funktion; v heiBt die innere, u die iiufJere Funktion. Die Reihenfolge ist bei der Verkettung wesentlich. Bilden wir etwa in obigem Beispiel die Funktion g(x) = v(u(x)), so ergibt sich: v(u(x)) = 2(v'xY - y'X + 1 = (2x - 1)y'X + 1, also eine ganz andere Funktion als f(x) = u(v(x)) = v'2x 3 - X + 1.

4.3. ALLGEMEINES (jBER FUNKTIONEN

173

Man kann auch mehr als zwei Funktionen miteinander verketten. = eV , v(w) = VW, w(x) = 3x - 7. f(x) = u(v(w(x))) = eV3x - 7 .

Beispiel:

u(v)

Beispiele: 1) 2) 3)

u(v) = v 2 - 2v + 1, v(x) = Inx u(v(x)) = (In x)2 - 21n x + 1; v(u( x)) g(h) = \/h, h(x) = eX g(h(x)) = h(g(x)) = e~

= In( x 2 -

2x + 1)

.vex;

1

r(s) = - - , s(t) = Int, t(x) = x 2 - 1 s-1

1 1 1 r(t(s(x))) = (Inx)2-1-1 = (Inx)2-2

r(s(t(x))) = In(x2 -1)-I; s(t(r(x))) = In

[C ~ 1) -1] 2

Man bilde die anderen moglichen Kombinationen der Verkettungen von r, s, t.

In den folgenden Beispielen werden Funktionen gegeben; es soIl herausgefunden werden, wie sie durch Verkettung entstehen. Genau diese Analyse wird man in der Differentialrechnung benotigen. Beispiele: 1)

f(x) = e- X • Innere Funktion ist v(x) = -x; iiuf3ere Funktion u(v) = eV • f(x) u( v(x)).

2)

f(x) =

v(x) = x ·Ina, u(v) = eV , f(x) = u(v(x)). Jede Exponentialfunktion y = aX entsteht durch Verkettung einer linearen Funktion v( x)

3)

4) 5)

=

aX

=x

= edna;

. In a (In a ist ja eine Konstante) als innerer Funktion und der Funktion

u(v) = eV als iiuf3erer Funktion. f(x) = (x - 3)4; u(v) = v4 , v(x) =

X - 3, f(x) = u(v(x)). Man mache sich die Vorschrift der iiuf3eren Funktion stets in Worten klar. Sie lautet hier: Man erhebe das Argument in die 4. Potenz. Das Argument ist die innere Funktion

x-3. f(x) = yte- 2x +5 . Hier sind drei Funktionen verkettet: w(x) = -2x + 5, v(w) = eW , u(v) = 0'V; f(x) = u(v(w(x))). f(x) = In(J3x -7); w(x) = 3x -7, v(w) = VW, u(v) = Inv, f(x) = u(v(w(x)))

In den folgenden Beispielen sind aIle behandelten Operationen (Addition, Multiplikation, Division und Verkettung) kombiniert; die Bezeichnungsweise wechselt absichtlich, urn deutlich zu machen, daB die konkrete Bezeichnung unwesentlich ist und man sich immer darauf konzentrieren muB, was die einzelnen Funktionen "tun", welche Vorschrift sie geben, was also mit ihrem Argument zu tun ist.

174

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

Beispiele: 1)

2)

f(x) = 5(2x+4)3; f(x) = !l(x) . hex); f(x)

hex) = 5, hex) = g(h(x)) mit hex) = 2x + 4 und g(h) = h3 . 1

= 2xe- x + In(1 _

x);

f(x)

= !l(x) + hex);

hex) = u(x)v(x) mit u(x) = 2x, vex) = g(h(x)), hex) = -x, g(h) = eh ; hex) = 3)

f(x)

:«:?, w(x)

= 1, z(x) = s(t(x)) mit t(x) = 1 - x, set) = Int.

x..;x

= (x _ 4)3;

f(x)

hex)

= hex)

hex) = u(x)v(x), u(x) = x, vex) =..;x hex) = w(s(x)) mit sex) = x - 4, w(s) = sa 4)

5)

f(x)

= _x 2 + 2x + 5;

f(x)

= hex)

JX2=1 + 10 hex) hex) = _x 2 + 2x + 5; hex) = u(v(x)) + 10 mit vex)

= x2

-

1, u(v) = yV.

2x

f(x) = eO,8x+4 - In..;x; f(x) = hex) - hex) fleX) = u(v(x)) mit vex) = 0,8x+4, u(v) = eV ; g(x) hex) = h(x)' g(x) = 2x, hex) = s(t(x)) mit t(x) =..;x, set) = Int.

4.3.2

Nullstellen

Ein Argumentwert Xo heiBt Nullstelle einer Funktion f(x), wenn f(xo) = 0 ist. An einer Nullstelle ist also der Funktionswert, d.h. der v-Wert, gleich Null. Da die Punkte der x-Achse gerade dadurch charakterisiert sind, daB ihre yKoordinate Null ist, sind die Nullstellen demnach die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit der x-Achse. Abb. 4.42 zeigt eine Funktion mit den drei Nullstellen Xl, X2, x3' Um die Nullstellen einer Funktion f(x) zu bestimmen, muB man die Gleichung f(x) = 0 nach X auflosen. Nullstellen linearer Funktionen:

1st f( x) = mx + b (m =f 0; fUr m = 0 entsteht die konstante Funktion y = b, die keine Nullstellen hat), so ist die Gleichung fur die Bestimmung der Nullstellen

175

4.3. ALLGEMEINES (jBER FUNKTIONEN

x

Abb. 4.42

mx

+ b = 0 mit der

Lasung Xo

b m

= --.

Jede lineare Funktion f( x) = mx + b mit m 0:1 0 hat eine einzige Nullstelle, die man durch Lasen einer linearen Gleichung findet. Der Graph einer linearen Funktion f (x) = mx + b ist eine Gerade, die bei m 0:1 0 nicht parallel zur x-Achse ist. Die Nullstelle von f( x) ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der x- Achse. Beispiele: 1)

Wo schneidet y

= 2x -

6 die x-Achse?

2x - 6 = 0; Xo = 3. Bei Xo = 3 schneidet die gegebene Gerade die x-Achse.

2)

Man bestimme die Nullstellen von = x + 1 b)f(x)=3x-7

a) y

+ 1 = 0, 4t + 5 = 0,

a) x c)

xo=-I; 5 to = --; 4

c)g(t)=4t+5 7 b)3x-7=0, x O =3

d) u - 6 = 0,

d)h(u)=u-6

Uo = 6.

Nullstellen quadratischer Funktionen:

1st f(x) = azxz+atx+ao (az 0:1 0), so findet man die Nullstellen von f(x) durch Lasen der quadratischen Gleichung azx z + atX + ao = O. Nach Division durch az erhalten wir die Normalform (2.40) und kannen die Lasungsformel (2.41) anwenden. Beispiele:

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

176

3x 2

-

x

2

3x - 6 = 0 -

I: 3

=0 Xl 2 = ~ ± J~ + 2 = ~ ±~. , 2 4 2 2'

X -

2

Xl

= 2;

X2

= -1

Es existieren zwei Nullstellen. Abb. 4.43 zeigt den Graphen von I(x).

x

-2

Abb. 4.43

2)

l(x)=-x 2 +4x-4 -x 2 +4x-4=0 x

2

-

4x

1:(-1)

+ 4 =0 XI,2

= 2 ± v'4"=4";

Xl

= = 2. x2

Es existiert also nur eine Nullstelle. Der Graph der Funktion bertihrt die x-Achse in dieser Nullstelle (Abb. 4.44) (Schnittpunkt meint: einen Punkt gemeinsam haben, es kann auch ein Bertihrungspunkt sein). y

x

-1 -1

-2 -3

-4

Abb. 4.44

3)

= x 2 + 2x + 5; x 2 + 2x + 5 = 0; XI,2 = -1 ± vIf-=5 = -1 ± R. Da R nicht existiert, hat diese Funktion keine reellen Nullstellen. Der Graph der I(x)

Funktion liegt vollstiindig tiber der x-Achse (Abb. 4.45).

4.3. ALLGEMEINES UBER FUNKTIONEN

177

y

-2

2

-1

x

Abb. 4.45

Eine quadratische Funktion kann zwei, eine oder gar keine reellen Nullstellen haben, je nachdem, ob die entsprechende quadratische Gleichung zwei, eine oder gar keine reellen Losungen hat. Nullstellen von Polynomen: Fur Polynome hoheren als zweiten Grades gelingt eine elementare Nullstellenbestimmung nur in Ausnahmefiillen. Man muB hier auf numerische Niiherungsverfahren, z.B. das Newtonsche Niiherungsverfahren zuruckgreifen; dazu sei auf weiterfiihrende Literatur verwiesen. Programme, die Nullstellen von Polynomen berechnen, sind in jeder mathematischen Standardsoftware enthalten. Einige Tatsachen iiber Nullstellen von Polynomen seien noch erwiihnt: 1st xo Nullstelle des Polynoms f(x), so ist f(x) ohne Rest durch x - Xo teilbar. Das kann man sich zunutze machen, urn z.B. bei einem Polynom dritten Grades die Nullstellen zu bestimmen, wenn eine Nullstelle schon bekannt ist (etwa durch Probieren gefunden wurde). Beispiel: 1)

f(x)=x 3 -2x 2 -x+2 Hier findet man durch Probieren XQ = 1 als eine Nullstelle. Nun fiihren wir.die Division durch x-I aus (das Dividieren von Polynomen geschieht nach demselben Verfahren, wie man es bei der schriftlichen Division von Zahlen anwendet):

(x 3 -2x 2 -x +2) : (x - 1) x 3 _x 2 _x 2 -x _x 2 +x -2x +2 -2x +2

o

=x

2

-

X -

2

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

178

Die Lasung der Gleichung x 2 - x - 2 = 0 ergibt die restlichen beiden NulIstelIen von f(x): Xl = 2, X2 = -1; also hat f(x) die drei NulIstelIen 1, 2, -1. Die geringe praktische Bedeutung dieses Verfahrens liegt auf der Hand.

Wichtiger ist die Bemerkung, daB man die Nullstellen sofort ablesen kann, falls ein Polynom als Produkt von Linearfaktoren gegeben ist. Sei z.B. f(x) = 2(x-1)(x+3) = 2x 2 +4x-6 gegeben, so kann f(x) = 0, d.h. 2(x-1)(x+3) = 0 nur sein, wenn die Faktoren einzeln Null werden. 2 ist =I- 0, also bleiben die Gleichungen x-I = 0 und x + 3 = 0; ihre Losungen sind Xl = 1, X2 = -3. Also sind 1 und -3 die Nullstellen von f (x). Beispiele: 1)

Welche NulIstelIen hat f(x) = -7(x - 2)(x - V2)(x Xo

2)

= 2,

Xl

=

V2,

X2

=

-V2.

+ V2)

?

Welche Nullstellen hat f(x) = (x + 2)(x + 6)(x 2 - 1) ? x + 2 = 0 liefert Xl = -2, x + 6 = 0 liefert X2 = -6. x 2 - 1 = O. Die Lasungen dieser quadratischen Gleichung sind X3 = 1, X4 = -1. f(x) hat also die vier NulIstelIen 1,-1,-2,-6.

3)

Welchen Definitionsbereich hat f(x) = (x _ 3)(x ~ 4)(x

+ 5)

?

Der Definitionsbereich einer gebrochen-rationalen Funktion umfaBt aile reellen Zahlen mit Ausnahme der NulIstelIen des Nenners. Diese sind 3, -4, -5.

Ein Polynom n-ten Grades kann hochstens n Linearfaktoren haben. Daraus folgt, daB ein Polynom hochstens so viele reelle Nullstellen hat) wie sein Grad angibt. Nullstellen gebrochen-rationaler Funktionen:

Eine gebrochen-rationale Funktion f( x) hat bekanntlich die Gestalt f( x) =

~~:~,

wo g(x) und h(x) Polynome sind. f(x) = 0 bedeutet

~~:~

= 0; nach

Multiplikation mit h(x) folgt: g(x) = O. Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion sind gerade diejenigen Nullstellen des Zahlerpolynoms, fur die das Nennerpolynom nicht gleichzeitig Null wird (denn letztere gehoren nicht zum Definitionsbereich von f(x)). Beispiele: 1)

Welche Nullstellen hat

f (x) =

x2

- X 2

x-I

2

?

4.3. ALLGEMEINES UBER FUNKTIONEN

179

Wir berechnen zuniichst die Nullstellen des Ziihlerpolynoms: x 2 - x - 2 = 0, Xl = -1, X2 = 2. Nun priifen wir, welche der gefundenen Nullstellen auch Nullstellen des Nenners sind. 22 - 1 = 3 # ,2 ist also keine Nullstelle des Nenners; (_1)2 - 1 = 0, die 1 ist also auszuschlieBen, da sie auch Nullstelle des Nenners ist. I(x) hat Xo = 2 als einzige Nullstelle. 4(x - 3)(x + 2)(x + 1) Welche Nullstellen hat I(x) = ?

°

2)

x(x - 2)

Das Ziihlerpolynom hat die Nullstellen 3, -2, -1. Das Nennerpolynom hat die Nullstellen 0,2, diese sind von denen des Zahlerpolynoms verschieden. I(x) hat also die Nullstellen 3, -2,-1.

Nullstellen beliebiger Funktionen:

Wie im Fall von Polynomen lassen sich bei allgemeineren Funktionen nur in speziellen Fallen die Nullstellen elementar berechnen; im allgemeinen wird man auf die schon erwahnten numerischen Naherungsverfahren zuruckgreifen mussen. Beispiele fur Fiille, wo man die Nullstellen elementar berechnen kann: Man berechne die Nullstellen folgender Funktionen:

1)

In(x - 1)

2) 3) 4)

,y4 - x 2 3e- x _ e3x

1)

Wir wissen, daB die Logarithmusfunktion nur Null wird, wenn das Argument = 1 ist, also haben wir die Gleichung x-I = 1 zu losen. Das ergibt Xo = 2; die Nullstelle ist 2.

2)

,y4 - x 2 = 0. Wir erheben beide Seiten in die 4. Potenz: 4 - x 2 = 0; Xl = 2, = -2. Diese Werte sind, wie wir durch Einsetzen priifen, in der Tat Nullstellen. In3 3e-x-e3x=0,also3e-x=e3x I·e x , 3=e 4X , 4x=ln3; x O =4=0,2746531

In(x+1)+lnx.

X2

3)

ist die gesuchte Nullstelle von I(x).

4)

°

=

In( X + 1) + In X = 0. Wir formen nach den Logarithmengesetzen um: In( X + 1) + In x In[( x + 1 )x], also haben wir In[( x + 1)x] = zu losen. Nach der Bemerkung in 1) ergibt das die Gleichung (x+ 1)x = 1, d.h. x 2 +x-1 = 0 mit den Losungen XI,2 =

-~± ~J5,

d.h. Xl = 0,618034; X2 = -1,618034. X2 kommt nicht in Frage, da In(x + 1) ebenso wie Inx fUr X = X2 gar nicht definiert ist. Die einzige Nullstelle der in 4) genannten Funktion ist also 0,618034.

Schnittpunktbestimmung von J(urven:

Das Problem, diejenigen Punkte zu bestimmen, in denen sich die Graphen zweier Funktionen schneiden, fiihrt auf eine Nullstellenbestimmung. Seien II (x)

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

180

und f2( x) zwei Funktionen, so bestimmt man diejenigen x- Werte, an denen sich ihre Graphen schneiden, aus der Gleichung ft(x) = f2(x), denn in den Schnittpunkten sind ja die Funktionswerte gleich. Setzt man g(x) = ft(x) - f2(x), so fUhrt die Schnittpunktbestimmung auf die Nullstellenbestimmung der Funktion g(x), denn g(x) = 0 bedeutet ja gerade fl(X) = f2(x). Beispiele: 1)

2)

=

=

Wo schneiden sich die Geraden Y 2x - 1 und y x + 4 ? 2x - 1 - (x + 4) = 0; x - 5 = 0; Xo = 5. Durch Einsetzen in eine der Gleichungen ermitteln wir den zugehorigen y- Wert: Yo = 2·5 - 1 = 9. Die Geraden schneiden sich im Punkt (5,9). Wo schneidet die Gerade y = 3x - 2 die Parabel y = x 2 - X - 2 ? x 2 - X - 2 - (3x - 2) = 0; x 2 - 4x = 0; XI,2 = 2 ± 2; Xl = 4; X2 = 0; YI = 10; Y2 =-2 Die Schnittpunkte sind PI(4, 10) und P2 (0, -2).

3)

Die variablen Stiickkosten kv(x) (vgI.4.4) in Abhiingigkeit yom Output x mogen durch

=

~x2 - 2x + 8. Bei welchem Output x folgende Funktion beschrieben werden: kv(x) erreichen die variablen Stiickkosten die Schwelle 25 Einheiten?

Hier ist der Schnittpunkt der Parabel y = ~x2 - 2x + 8 mit der zur x-Achse parallelen Geraden y = 25 gesucht: 1 4"x 2 - 2x + 8 - 25 = 0; x 2 - 8x - 68 = 0; XI,2 = 4 ± ',1'16 + 68 = 4 ± 9, 165. Es kommt nur Xl in Frage, da X2 < 0, aber der Output seiner Natur nach stets positiv ist. Xl = 13,165. Bei einem Output von 13,165 Einheiten wird die Schwelle 25 Einheiten von den variablen Stiickkosten erreicht.

4.3.3

Eigenschaften von Funktionen (Beschranktheit, Monotonie, Konvexitat)

B eschriinktheit:

Eine Funktion f(x) heif3t nach unten beschrankt, falls es eine Zahl m gibt, so daB f(x) 2: mist fur aIle x des Definitionshereiches von f(x). m heif3t eine untere Schranke. f(x) heiBt nach oben beschrankt, falls es eine Zahl M gibt mit f(x) :::; M fUr aIle x des Definitionsbereiches von f(x). M heif3t eine obere Schranke. Eine Funktion, die sowohl nach unten als auch nach oben beschrankt ist, heif3t beschrankt. Der Graph einer nach unten beschrankten Funktion mit der unteren Schranke m liegt vollstandig oberhalb der Geraden y = m.

4.3. ALLGEMEINES (jBER FUNKTIONEN

181

Beispiele:

= eX;

1)

f(x)

2)

f(x) = x 2

m

=0

+ 1; m =

1

Ebenso liegt der Graph einer nach oben durch M beschrankten Funktion unterhalb der Geraden y = M. Beispiele: M = -3

1)

f(x) = _x 2

2)

f(x) = 1 - e- x ; M = 1. Abb. 4.46 zeigt den Graphen dieser Funktion.

-

3;

y

y=1

2

-2

4

3

x

f(x)=1-e· x -2

Abb.4.46

Der Graph einer beschrankten Funktion liegt vollstandig zwischen unterer Schranke m und oberer Schranke ill: Beispiel: 1)

f(x) =

1

.2

~e-2;

m = 0, M =

1

~.

Abb. 4.47 zeigt den Graphen dieser Funktion.

y

-2

-1

2

x

Abb.4.47 Diese Funktion spielt in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik eine herausragende Rolle. Sie wurde von C.F. Gauf3 eingefiihrt und war - etwas modifiziert - auch auf dem 10 DM - Schein abgebildet.

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

182

Monotonie: Urn hier und im Folgenden die Sprechweise abzukiirzen, fiihren wir den Begriff des Intervalls ein. Alle x mit a < x < b bilden das offene Intervall zwischen a und b, bezeichnet mit (a, b). x E (a, b) (gelesen: "x aus (a, b)") bedeutet, daB x im offenen Intervall zwischen a und b liegt, d.h. daB x die Ungleichungen a < x < b erfiillt. Die Menge der x mit a S x S b bezeichnet man als das abgeschlossene Intervall zwischen a und b, in Zeichen [a, bJ. x E [a, bJ bedeutet a S x S b. Beim offenen Intervall gehoren die beiden Grenzen a, b nicht mit zum Intervall, beim abgeschlossenen Intervall gehoren sie dazu. Analog kann man halboffene Intervalle definieren: (a, bJ = Menge aller x mit a < x S b; [a, b) = Menge aller x mit a S x < b. SchlieBlich kann a auch -00 und b auch +00 sein. Damit ist gemeint, daB sich das Intervall im ersten Fall beliebig weit nach links (bis ins "negative Unendlich"), im zweiten Fall beliebig weit nach rechts (bis ins "positive Unendlich") erstreckt. x E (-00, b) bedeutet also: x < b; x E (a, 00) bedeutet: x> a; entsprechend bedeutet x E (-00, b], daB x S b ist und x E [a, 00), daB x 2': a ist. Wenn man irgendein Intervall meint, ohne sich festzulegen, von welcher Art es sein solI, so sagt man, ein Intervall list gegeben. x E I bedeutet dann, daB x im Intervall I liegt. Eine Funktion f (x) heiBt in einem Intervall I ihres Definitionsbereiches monoton wachsend, wenn fUr beliebige XI,X2 E I aus Xl < x2 folgt, f(xd S f(X2). Sie heiBt streng monoton wachsend in I, falls aus Xl < X2 (Xl, X2 E 1) folgt f(XI) < f(X2). Die Abb. 4.48 und 4.49 zeigen Funktionen, die in den eingezeichneten Intervallen I streng monoton wachsen. y

y f(x)

I

x

Abb. 4.48 u. 4.49

I

x

4.3. ALLGEMEINES UBER FUNKTIONEN

183

Abb. 4.50 zeigt eine in I monoton wachsende, aber nicht streng monoton wachsende Funktion. y

x

Abb. 4.50 Bei dieser Funktion ist fur Xl < X2 auch f( xt} = f( X2) zugelassen, wie die beiden eingezeichnetet Argumentwerte Xl und X2 zeigen. Ein praktisches Beispiel zeigt Abb. 4.13. Eine Funktion f (x) heiBt in I monoton fallend, wenn aus Xl < X2 (XI, X2 E 1) stets folgt f(xt} 2: f(X2)' Sie heiBt streng monoton fallend, falls aus Xl < x2 stets folgt f(XI) > f(X2)' Die Abb. 4.51 und 4.52 zeigen Beispiele fUr in I streng monoton fallen de Funktionen, Abb. 4.53 zeigt eine Funktion, die monoton fallt, aber nicht streng monoton fallt. y

y

I

y

x

I

x

Abb. 4.51, 4.52 u. 4.53 Weitere Beispiele: 1)

f(x) = x 3 +1 (Abb. 4.5) ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend. Dasselbe gilt von f(x) = yX (Abb. 4.38), f(x) = eX (Abb. 4.39) und f( x) = In x (Abb.

184

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

4.41).

2) 3)

4)

f(x) = x 2 - 1 (Abb. 4.3) ist in (-00,0) streng monoton fallend, in (0,00) streng monoton wachsend. f(x) = -3x + 1 ist iiberall streng monoton fallend. Das gilt fUr jede lineare Funktion f(x) = mx+b, wenn m < 0 ist. 1st m > 0, so ist f(x) = mx+b iiberall streng rnonoton wachsend. f(x) y

5)

= e- x ist irn gesamten Definitionsbereich streng rnonoton fallend (Abb.

= 2- x ; y = e- x

4.40 zeigt

sieht ahnlich aus).

f( x) = - 2x 2 + 3x + 8 ist in (-00, ~) streng rnonoton wachsend, in (~, 00) streng monoton fallend (Abb. 4.54). Wir werden in der Differentialrechnung (Kap. 5) Methoden

=

~, wo in kennenlernen, urn das Wachsturnsverhalten zu analysieren. So wird XQ unserern Beispiel wachsendes Verhalten in fallendes iibergeht, genau berechnet werden konnen. y

x Abb.4.54

Konvexitiit (I
f( x) heif3t in einem Intervall I von unten konvex, wenn fur zwei beliebige Argumentwerte Xl, X2 E I die Verbindungsstrecke zwischen den Punkten (Xl, f(xd), (X2' f(X2)) innerhalb des Intervalls (Xl, X2) stets oberhalb des Graphen von f(x) liegt. Die Abb. 4.55 und 4.56 veranschaulichen dieses Verhalten. Man kann den Begriff der KonvexiUit auch so fassen: f( x) ist in I von unten konvex, wenn fur jeden Punkt Xo E I die dort an den Graphen von f (x) gezogene Tangente im ganzen Intervall I unterhalb des Graphen der Funktion bleibt (Abb. 4.57 u. 4.58).

4.3. ALLGEMEINES UBER FUNKTIONEN y

185 y

f(x)

x

f(x)

x

I

Abb. 4.55 u. 4.56 Y f(x)

x

I

Abb. 4.57 u. 4.58

f( x) heiJ3t in I von unten konkav, wenn fUr zwei beliebige Argumentwerte Xl,X2 E I die Verbindungsstrecke zwischen den Punkten (Xl,J(Xl)) und (X2,J(X2)) innerhalb des Intervalls (Xl, X2) stets unterhalb des Graphen von f(x) liegt (Abb. 4.59). Es liegt dann fur jeden Punkt Xo E I die dort an den Graphen von f(x) gezogene Tangente im ganzen Intervall I oberhalb des Graphen der Funktion (Abb. 4.60). Ganz anschaulich und unmathematisch kann man sich die Sache so merken: Stellt man sich vor, daB man auf dem Graphen der Funktion mit einem Fahrrad in Richtung wachsende x-Werte entlangfiihrt, so ist die Kurve von unten konvex, wenn man laufend eine Linkskurve fiihrt, sie ist von unten konkav, wenn man laufend eine Rechtskurve fiihrt. Die Punkte, wo Rechts - in Linkskurven

186

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

y

y

x

x

Abb. 4.59 u. 4.60

oder umgekehrt Links- in Rechtskurven iibergehen, nennt man die Wendepunkte der Funktion. Abb. 4.61 zeigt den Graphen einer Funktion, die bis zum Wendepunkt W von unten konkav, und ab dort von unten konvex ist (xo ist die Abszisse des Wendepunktes). y

x

Abb. 4.61 Die Differentialrechnung (Kap. 5) wird uns Mittel und Wege in die Hand geben, urn das Kriimmungsverhalten zu bestimmen und eventuell existierende Wendepunkte zu berechnen. Beispiele: 1)

Die in den Abb. 4.29,4.31,4.37,4.39,4.40 dargestellten Funktionen sind Beispiele fUr von unten konvexe Funktionen.

4.3. ALLGEMEINES UBER FUNKTIONEN

2)

187

Die in den Abbildungen 4.30, 4.38, 4.41, 4.44, 4.46 dargestellten Funktionen sind Beispiele fUr von unten konkave Funktionen.

Fur die wirtschaftswissenschaftliche Praxis ist folgende Ausdrucksweise besonders wichtig: Eine streng monoton wachsende von unten konvexe Funktion heiBt progressiv wachsend. Eine streng monoton wachsende von unten konkave Funktion heiBt degressiv wachsend. Beispiele: 1)

Die Einkommenssteuerfunktion (Abb. 4.15) ist fUr 7665 :S E :S 52151 progressiv wachsend.

2)

Abb. 4.39, 4.49 zeigen Beispiele progressiv wachsender Funktionen.

3)

Abb. 4.38, 4.41, 4.46, 4.48 zeigen Beispiele degressiv wachsender Funktionen.

4.3.4

U mkehrfunktionen

Wir wollen die Problematik zunachst an einem praktischen Beispiel erlautern. Zwischen dem Preis P eines Gutes und der am Markt nachgefragten (abgesetzten) Menge x eines Gutes besteht ein funktionaler Zusammenhang; x = f(p). Eine solche Funktion heiBt eine Nachfragefunktion. Ein Beispiel einer solchen Nachfragefunktion ware etwa x = f(p) = 10J80 - p. 1st ein bestimmter Preis Po gegeben, so liefert die Zuordnungsvorschrift die zugehorige Menge Xo = 10J80 - Po; P ist die unabhangige Variable, x die abhangige Variable. In der graphischen Darstellung (Abb. 4.62) wird dies durch die Pfeile angedeutet: Ausgehend von Po liefert der Graph der Funktion den Wert xo. In der Praxis wird die Frage aber auch oft umgekehrt gestellt: Gegeben ist die nachgefragte Menge xo, gesucht der dazu gehorende Marktpreis Po. Jetzt wird also x als unabhiingige Variable und pals abhiingige Variable gedeutet. Die Pfeile in Abb. 4.63 zeigen die graphische Bestimmung von Po bei gegebenem xo. Urn bei gegebenem x den zugehOrigen Preis rechnerisch zu bestimmen, muB man die Beziehung x = 10J80 - P nach p auflosen:

;0 = )80 - p; Die Funktion p = g(x)

x2

= 80- 100 stellt, wie die Abb. 4.62 und 4.63 zeigen, den-

selben Zusammenhang dar, nur die Rollen von unabhangigen und abhangigen Variablen sind vertauscht. Man nennt die Funktion p = g(x) die Umkehrfunk-

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

188

tion der gegebenen Funktion x = f(p) und bezeichnet sie meist mit f-l(X): p = g(x) = f-l(X). Sie entstand durch Auflosen der Gleichung x = f(p) nach p: das Ergebnis dieser Auflosung ist die Umkehrfunktion p = f- l (x). x (unabh. Variable)

x (abh. Variable)

100

100

80

80

60 Xc=f(po) I-----~ 40

60 Xc I---------'~ 40 20

20 20

40 Po 60

80

100 P

(unabh. Variable)

20

40 Po 60

80

100 P

(abh. Variable)

Abb. 4.62 u. 4.63 Betrachten wir nun die Situation allgemein: Gegeben sei eine Funktion y f(x). Man nennt sie umkehrbar, falls aus Xl =1= X2 stets folgt f(Xl) =1= f(X2), d.h., falls zu jedem y aus dem Wertebereich der Funktion f(x) eindeutig ein Argument x gehort mit f(x) = y. Hat eine Funktion diese Eigenschaft, so kann man also auch zu gegebenem y eindeutig das zugehorige x finden. Die Zuordnung y --t X definiert also auch eine Funktion; man nennt sie die Umkehrfunktion zur Funktion y = f(x). Sie wird - wie erwahnt - meist mit dem Funktionssymbol f- l bezeichnet, d.h. die Umkehrfunktion von y = f(x) (falls f(x) umkehrbar ist) ist x = f-l(y). Die Abb. 4.64 und 4.65 zeigen Graphen umkehrbarer Funktionen: zu jedem y aus dem Wertebereich der Funktion findet man genau ein zugehoriges x. y

f(x)

x

Abb. 4.64 u. 4.65

4.3. ALLGEMEINES UBER FUNKTIONEN

189

Umkehrbarkeit liegt dann vor, wenn jede zur x-Achse parallele Gerade den Graphen der Funktion nie in mehreren Punkten schneidet. Die Abb. 4.66 und 4.67 zeigen Graphen nicht umkehrbarer Funktionen: es gibt y-Werte, zu denen mehrere x- Werte gehoren. y f(x)

x

Abb. 4.66 u. 4.67

Umkehrbarkeit auBert sich rechnerisch darin, daJ3 die Gleichung y deutig nach x auflosbar ist.

= f( x)

em-

Beispiele: 1)

y y

= f(x) = x n . Die Gleichung y = x n ist nicht eindeutig nach x auflosbar, z.B. liefert = x 2 die beiden Auflosungen Xl = -vy, x2 = +vy (Abb. 4.68).

=

Betrachten wir die Funktion y x n nur fUr nichtnegative x, d.h. schranken wir ihren Definitionsbereich auf X 2: 0 ein, so ist X = yIy die Umkehrfunktion von y = x n . (In Abb. 4.68 ware also nur der rechte Zweig der Parabel zu betrachten).

y

x Abb. 4.68

2)

= f(x) = 2x+3. Die Gleichung y = 2x+3 ist eindeutig nach X auflosbar: x = ~(Y-3). x = f-l(y) = ~(y - 3) ist die Umkehrfunktion von f(x). y

190

KAPITEL 4. FUNKTIONEN 1 2x

x

= 2ist die Umkehrfunktion. 2y

3)

y=-;

4)

y eX. Lost man diese Beziehung nach x auf, so erhiilt man x In y. Allgemein gilt: Die Logarithmusfunktion x = loga y ist die Umkehrfunktion von y = aX.

=

=

In der Praxis haben, wie das einfUhrende Beispiel zeigte, die Variablen feste Bedeutungen. Zur Nachfragefunktion x = f(p) = 10J80 - p gehort die Umkehrfunktion P =

f- I (x)

x2 = 80 - 100. x ist die Menge, p der Preis. Es wurde Verwir-

rung stiften, hier die Bezeichnungen zu wechseln, d.h. den Preis plotzlich x und die Menge p zu nennen. In der reinen Mathematik ist es ublich, die unabhangige Variable mit x, die abhangige mit y zu bezeichnen. Bei den Umkehrfunktionen ist das ja zunachst nicht der Fall: x = y'y ist die Umkehrfunktion von y = x n . Man benennt deshalb in der Umkehrfunktion nachtraglich die Variablen wieder urn und sagt: "y = {iX ist die Umkehrfunktion von y = x n ." Dies fUhrt bei Anfangern haufig zu groBer Verwirrung. Auch hier ist es fUr das Verstandnis wichtig, die Zuordnung, welche die Umkehrfunktion realisiert, inhaltlich zu verstehen. Die Umkehrfunktion von y = x n , namlich x = y'y, schreibt folgendes vor: "Man nehme das Argument und ziehe daraus die n-te Wurzel." Nun verbietet nichts, diese Vorschrift wieder wie ublich zu fassen und das Argument x zu nennen: y = {iX bedeutet inhaltlich nach wie vor "Man nehme das Argument und ziehe daraus die n-te Wurzel." Ebenso sieht man ein, daB In x die Umkehrfunktuion von eX, loga x die Umkehrfunktion von aX, x n die Umkehrfunktion von {iX, eX die Umkehrfunktion von In x, aX die Umkehrfunktion 1

von loga x, i(x - 3) die Umkehrfunktion von 2x

+ 3 usw.

ist. Wenn man die

Variablen nicht umbenennt, haben Funktion und Umkehrfunktion denselben Graphen, wie die Abbildungen 4.62, 4.63 zeigen. Man nimmt dabei den Nachteil in Kauf, daB bei der Umkehrfunktion die unabhangige Variable nach oben und die abhangige Variable nach rechts abgetragen ist. Beseitigt man diesen Nachteil und benennt in der Umkehrfunktion die Variablen urn, d.h. wird die unabhangige Variable wieder mit x bezeichnet, die abhangige mit y, so entsteht der Graph der Umkehrfunktion f-I(x) durch Spiegelung des Graphen der Funktion f( x) an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten,

d.h. an der Geraden y

=x

(Abb. 4.69-4.71).

Das letztere zeigt auch die Richtigkeit folgender Tatsache, die die Beispiele schon vermuten lieBen: 1st f-I(X) Umkehrfunktion von f(x), so ist f(x) Umkehrfunktion von f- I (x).

191

4.3. ALLGEMEINES (jBER FUNKTIONEN

y=YX

,

x

,

,'

Abb. 4.69-4.71 Beispiele: 1)

In x ist Umkehrfunktion von eX,

2)

y'X ist Umkehrfunktion von x n , x n ist Umkehrfunktion von y'X (x 2:

4.3.5

eX

ist Umkehrfunktion von In x.

a vorausgesetzt).

Grenzwerte und Stetigkeit

Bei der Ermittlung von Grenzwerten geht es darum, das Verhalten der Funktionswerte einer Funktion f(x) zu untersuchen, wenn das Argument x sich einem Wert Xo nahert oder aber tiber alle Grenzen wachst oder fallt. Wir werden spater sehen, daB die Grundbegriffe der Differential- und Integralrechnung durch spezielle Typen von Grenzwerten definiert werden. (1) Grenzwerte an einer Stelle xo:

Diese Funktion ist fUr

Xo

=

1 nicht definiertj fUr

namlich der sinnlose Ausdruck

o 0 ergeben.

x

3

=x = Xo =

Als einfUhrendes Beispiel betrachten wir die Funktion f(x) Fur jedes x

#

2

x + x-I. x-I 1 wurde sich

-

1 ist die Funktion

definiert. Man kann also die Frage aufwerfen, was mit den Funktionswerten f( x) geschieht, wenn sich x der kritischen Stelle Xo = 1 beliebig nahert. Folgende Wertetabelle zeigt das Verhalten der Funktion bei Annaherung des Arguments x von links und von rechts an die Stelle Xo = 1: x

f(x)

0,99999 1,99998

192

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

1,00001 2,00002

x

f(x)

Man sieht: Wenn wir uns mit dem Argument x dem Wert Xo = 1 immer mehr nahern (ganz gleich wie), kommen die Werte von f(x) der Zahl 2 immer naher und naher. Man bezeichnet deshalb die Zahl 2 als den Grenzwert der Funktion f(x) fur x ---+ 1 ("x gegen 1"). Auch wenn es einen Ftmktionswert an der Stelle Xo nicht gibt, kann ein Grenzwert existieren. Das Beispiel fuhrt uns zu folgender allgemeiner Definition: Kommen die Funktionswerte einer Funktion f(x) bei beliebiger Annaherung von x an eine Stelle Xo einer Zahl a immer naher und naher, so heiBt a der Grenzwert der Funktion f( x) an der Stelle Xo· Man schreibt lim x --+ xo f( x) = a (gelesen: "limes f(x), x gegen Xo, gleich a"). Anmerkung: limx~xo

f(x) = a und lim f(x) = a bedeuten dasselbe; der Bezeichnungsunterschied x--+xo

hat drucktechnische Griinde.

Man sagt auch f( x) strebt gegen a fur x gegen xo. In unserem Beispiel gilt also: x 3 - x 2 + x-I lim = 2. x--+l x-I Der Leser prufe folgende Beispiele mittels einer geeigneten WertetabeIle: 1)

2) 3) 4)

lim(x 3

X"" 0

lim

x~2

x2

+ 3x 2 -

I) = -1

4x + 4 =0 x-2

-

2 rI m x -- -1= 2

x~1

x-I

4 x3 - x + 4 = x~ 2x 2 + 7x +3 3

r

Eine Funktion braucht bei Annaherung an eine Stelle Xo dort keinen Grenzwert zu besitzen. Sie kann z.B. uber alle Schranken hinaus anwachsen. Betrachten 1 wir als Beispiel die Funktion f(x) = 2' Sie ist fur aIle x definiert auJ3er fur x x = O. Die folgende Wertetabelle zeigt, daB f(x) immer groBere Werte annimmt, je niiher x dem Wert Xo = 0 kommt.

4.3. ALLGEMEINES VBER FUNKTIONEN

193

±0,001 1000000

x

f(x)

Abb. 4.72 zeigt den Graphen der Funktion f(x) =

±0,0001 100000000

~. x

y

f(X)=~

x

-1

Abb.4.72 Hat eine Funktion f( x) die Eigenschaft, daB ihre Funktionswerte tiber aIle Grenzen wachsen, wenn x gegen Xo geht, so nennt man sie an der Stelle Xo bestimmt divergent und ordnet ihr dort den uneigentlichen Grenzwert +00 zu. Man schreibt limx-txo f(x) = +00. Ebenso bedeutet liffix-txo f(x) = -00, daB f( x) unbegrenzt fallt, wenn sich x der Stelle Xo immer mehr nahert. Es ist zu beachten, daB +00 bzw. -00 keine Zahlen sind: Die angegebenen Schreibweisen sind nur eine Symbolik ftir die Tatsache, daB f( x) tiber aIle Grenzen wachst oder unter aIle Grenzen fallt, wenn x sich der Stelle Xo nahert.

Beispiele: 1) 2)

3)

. 7x I1m ( x- 2)2

$~2

. I1m

-3

"' ..... -1

lim

"' ..... 1

(x x2

= +00

+ 1)2

-

1

(x - 1)3

=-00

= +00

Auch das priife man mit geeigneten Wertetabellen nacho

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

194

(2) Einseitige Grenzwerte: Wir betrachten die Funktion f( x) =

X

{

-x

+ + 61

fur fur

x:S 3 } x >3 .

Nahert man sich mit dem Argument x von rechts der Stelle Xo = 3, so strebt f(x) gegen 3 (denn rechts von Xo = 3 lautet ja die Vorschrift f(x) = -x + 6). Nahert man sich dem Wert Xo = 3 von links, so strebt f(x) gegen 4 (denn fur x < 3 lautet die Vorschrift f(x) = x + 1). (Abb. 4.73)

x

Abb. 4.73 Das Beispiel gibt Anla13 zu folgender Erklarung einseitiger, d.h. rechtsseitiger Grenzwerte:

links- bzw.

f(x) hat an der Stelle Xo den linksseitigen Grenzwert a, wenn bei Annaherung an Xo von links her die Funktionswerte f( x) der Zahl a immer naher und naher kommen. Man schreibt limx-txo-of(x) = a. Analog gilt limx-+xo+of(x) = b, falls bei Annaherung der Argumente gegen Xo von rechts her die Funktionswerte der Zahl b immer naher und naher kommen. b hei13t der rechtsseitige Grenzwert von f(x) an der Stelle xo. In unserem Beispiel ist also lim x-t3-o f(x) = 4, limx-+3+o f(x) = 3. Stimmen rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert uberein, so hat die Funktion an Xo einen Grenzwert: Aus limx-+xo-o f( x) = limx-txo+o f(x) = a folgt lim x-+ xo f(x) = a, wie sich aus den Erklarungen unmittelbar ergibt. Ganz analog zu den uneigentlichen Grenzwerten konnen links- und rechtsseitige uneigentliche Grenzwerte definiert werden: limx-txo-o f(x) = +00, falls f(x) bei Annaherung an Xo von links her iiber aile Grenzen wachst;

4.3. ALLGEMEINES UBER FUNKTIONEN

195

limx-->xo+o f( x) = +00, falls f( x) bei Annaherung an Xo von rechts her iiber aile Grenzen wachst; limx.....xo-o f(x) Schranke fallt;

= -00, falls

f(x) bei Annaherung an Xo von links her unter jede

limx-->xo+o f(x) = -00, falls f(x) bei Annaherung an Xo von rechts her unter jede Schranke fallt. Beispiele: 1)

I(x)

= -x1 y

x

Abb.4.74 . 1 . 1 I1m - = +00 I 1m -00; "' ..... 0+0 x x . 1 . 1 I 1m --=+00 I1m --=-00; "' ..... -1-0 x + 1 "' ..... -1+0 x + 1

=

"' ..... 0-0

2) 3)

lim

lim

-2--

x - 4

= -00;

x-I

lim

"' ..... -2+0

-2- = - 0 0 ; x - 4

lim

x-I

-2- = + 0 0 x - 4

x-I

--r--4 = +00; (vgl. AbbA.36) x 1 3 2 5 1 3 2 5 -x - 2x +-x -x - 2x +-x . 2 2 lim 2 2 = +00,' I1m = +00; "' ..... 1-0 x 2 - 2x + 1 "' ..... 1+0 x 2 -2x+l "' ..... 2-0

4)

x-I

"' ..... -2-0

"' ..... 2+0

(vgl. Abb. 4.37)

(3) Verhalten einer Funktion im Unendlichen:

Wir betrachten als Beispiel die Funktion nahert sich

f (x)

immer mehr der Zahl 0: x

f(x)

f (x)

1 = -. Wird x immer groBer, so x

1000000 0,000001

196

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

1 Man sagt, f( x) = - strebt gegen 0 fUr x x x - t -00 gegen O.

-t

+00. Ebenso strebt f( x)

1

= - fUr

x

Allgemein definiert man: limx -++ oo f(x) = a, falls bei unbegrenzt wachsendem x die Werte von f(x) sich immer mehr dem Wert a annahern. Analog ist limx -+_ oo f(x) = a, falls bei unbegrenzt fallendem x die Werte von f(x) sich immer mehr dem Wert a annahern. Beispiele: 1)

2)

!. = 0;

lim

4) 5) 6)

7)

$--00

X

(Abb. 4.74)

Allgemeiner gilt (fUr jede natiirliche Zahl n X-Io+OO

3)

lim.!. = 0;

lim +00 x

$ .......

2= 0; xn

x2 lim x_+oo x 2 +-1 lim 2" 0;

$ ......

-00

2=0 xn

x2 lim 2 x_-oo x +-1 (Abb.4.40)

= 1;

=

lim (1 - e-")

$--++00

= 1;

= 1;

~

--e-' .,J27i

(Abb. 4.35)

(Abb. 4.46)

1 ~ = ,,-lim- --e-' = 0; .,J27i r 2x - 1 2 r 2x - 1 2 "...!roo x + 3 = ; "...!~oo x + 3 = ; lim

, , - +00

1

lim

X-+-(X)

> 0):

00

(Abb. 4.47) (Abb. 4.75)

y 5

f(x)= 2x-1 x+3

5

-5

10

x

Abb.4.75

1st lillix_+oo f( x) = a, so sagt man, die Gerade y = a ist eine Asymptote der Funktion f(x), da sich der Graph von f(x) dieser Geraden immer mehr nahert, je groBer x wird. Dieselbe Ausdrucksweise benutzt man fUr limx -+_ oo f(x) = a. Wenn eine Funktion f(x) fUr x - t +00 tiber aIle Grenzen wachst, so ordnen

197

4.3. ALLGEMEINES (jBER FUNKTIONEN

wir ihr den uneigentlichen Grenzwert +00 zu, in Zeichen lill1x->+oo f( x) = +00, fallt sie unter jede Schranke, so ordnen wir ihr den uneigentlichen Grenzwert -00 zu, in Zeichen limx->+oof(x) = -00. Analog sind limx->-oof(x) = +00 und limx->_oo f( x) = -00 erklart. Beispiele: 1)

2) 3) 4) 5)

lim x 2

x-++oo

= +00; 3

lim (_x +

X

x--++oo

+ 2)

lim In x = +00;

x-++oo

= +00; yX = +00;

lim eX

x--++oo

lim

x-++oo

lim x 2

x-+-oo

= +00

= -00; x-+-oo lim (_x

3

+

X

= +00;

+ 2)

(Abb. 4.41) (Abb. 4.39) (Abb. 4.38) (Abb. 4.40)

6)

(4) Grenzwertsiitze und Berechnung von Grenzwerten:

Wir stellen zunachst wichtige Grenzwerte zusammen; einige davon sind schon aus Beispielen bekannt.

· 11m -1n= l'1m -1n= 0

x---++oo

x

x---+-oo

x

lim e- x = 0; x->+oo

fur naturliche Zahlen n

lim a-x = 0, x->+oo

>0

falls a > 1

(4.8) (4.9)

xn lim - = 0 fur jedes n. (4.10) x->+oo eX (4.10) wird oft so ausgedruckt: eX wachst starker als jede Potenz (weshalb letztlich der Nenner uberwiegt und das Ganze gegen Null strebt).

lim aX = 0 x->+oo

fUr a

<1

(4.11)

Wir nehmen jetzt an, daB f( x) und g( x) fUr x -+ Xo endliche Grenzwerte a bzw. b besitzen: limx->xQ f(x) = a, limx->xQ g(x) = b. Dann gelten folgende Grenzwertsiitze: lim (J(x)

X---+XQ

± g(x)) =

lim f(x)

X---+XQ

±

lim g(x) = a

X--+XQ

±b

(4.12)

Der Grenzwert einer Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Grenzwerte. Ebensolche Aussagen gelten fur Produkte und Quotienten: lim (J(x)g(x))

X-+XQ

=

lim f(x)· lim g(x)

X---+XQ

X---+XQ

= a· b

(4.13)

198

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

(4.14) Ferner gilt im Fall von lim

x-+xo

lim (J(x)t

$-+XO

= (lim

:vi f(x) =

lim

ef(x)

=

n

a:

=

f(x))n

= an

(4.15)

lim f(x) =

va

(4.16)

X-+XO

lim

X-+3:o

f (x)

X-+'3:o

= ea

elim",-",o f(x)

(4.17)

x-+xo

lim (lnf(x))

x-+xo

= In (lim

3:-+XO

f(x))

= Ina

(4.18)

In den Formeln (4.12)-(4.18) kann uberall x ~ Xo durch x ~ +00 oder x ~ -00 ersetzt werden, d.h. die Formeln bleiben richtig, wenn limx --++ oo f(x) = a, liffix--++oo g( x) = b oder wenn limx --+_ oo f( x) = a, limx --+_ oo g( x) = b ist. Fur uneigentliche Grenzwerte gelten die Formeln (4.12)-(4.18) im allgemeinen nicht! Beispiele fur Anwendungen (in den einzelnen Schritten sind die angewandten Formeln durch ihre Nummern angegeben): 1)

r

5

+ e- x

x~ -1--

lim (5 - e- X )

(41. 4 )

lim 5 - lim e- X

(41. 2 ) x-+oo

x-+oo

( 1) lim - - 2

X .... 00

(4.8M4.9)

1 lim - - lim 2

5- 0

0- 2

=

5

-

2"'

- - 2 x 3:-+00 X r-+oo X x-co Hier wurde auch die selbstverstiindliche Tatsache benutzt, daB der Grenzwert einer Konstanten gleich dieser Konstanten ist.

2)

r

x~IIJo 1 -

10

(4. 14 2i 4 . 12)

20e-O,8x

r t- 3 t~ e2 - t

(41. 3 ) 0,8x

10 1 - lim 20· lim x-co

X .... 00

(4..:,.9)

3)

10 1 - lim 20· e

(4:,!4)

]~(t - 3) lim e2

t-+O

t

10 1 - 20.0 (4.122i4.17)

x-co

e-O,8x

= 10 !~ t - 3

lim(2 - t)

e t-+O

0- 3

3

= e2 - O =- e2

Fur das Verhalten gebrochen-rationaler Funktionen im Unendlichen lassen sich leicht allgemeine Regeln angeben. Der Trick besteht darin, im Ziihler und Nenner jeweils die hochste Potenz der Variablen auszuklammern. Bevor wir die

4.3. ALLGEMEINES (jBER FUNKTIONEN

199

allgemeine Regel formulieren, zeigen wir das Verfahren an drei charakteristischen Beispielen:

r

1)

"'~~

3x 3 - 2x 2 + X

x3

+4

lim

-x 3 +x 2 +6

(4.14),(~12),(4.8) ~

-1

(3 - ~X + 2+ ~) x2 x3

2

= lim

-....:...-----~

x3

"' ..... 00

(-1 +.!. + ~) X

= -3

"'.....

x3

00

1

4

3--+-+X x2 x3 1

6

-1+-+X x3

Charakteristisch fur dieses Beispiel ist, daB Zahler und Nenner den gleichen Grad haben. ,

hm

2)

"' ..... -00

2x2 7x

3

-

+X +1 2x 2 + 5

=

2 ,x (

hm "'..... -00 1

(4.:.!3)

(

x3

2

7_ x

:2) = 5)

+-

1 2+ .!.x + ~ x

lim _. "'..... -00 x

~

2

7- x

5

+-

~

1

2+-+-2

I'1m _. 1 I'1m "' ..... -00 x "'..... -00

2+ ~ +

=

x (4.8) 0, _2 -_ 0 2 5 7 7--+-3 X x X

Charakteristisch fur dieses Beispiel ist, daB der Nenner einen gr6Beren Grad hat als der Zahler. , 2x3 + X + 1 I1m "' ..... 00 -x +

1 1) x 3 ( 2+-+x2 x3 lim - - - - - - -

5 ="'.. .

3)

00

x

(

5) -1 +;

1

= lim

"'. . .

00

x

2

.

lim

1

2+-+x2 x3 5

-1+ -x

"' ..... 00

Der zweite Grenzwert liefert etwas negatives, die Funktion verhiilt sich also wie _x 2 ; , 2 wegen IIm"'..... oo -x

=

-00

. d emnach I'1m"'..... 00 2x 1st

3

+X+1

-x+5

=

-00,

Charakteristisch fUr dieses Beispiel ist, daB der Grad des Zahlers gr6Ber als der Grad des Nenners ist. Die allgemeine Regel wird genauso gewonnen wie die Einzelergebnisse in diesen Beispielen, namlich durch Ausklammern der h6chsten Potenz der Variablen in Zahler und Nenner: Sei folgende gebrochen-rationale Funktion gegeben:

f

(x)

=

n 1 n anx + an_1X - + bmxm + bm_1x m- 1 +

+ alx + ao + b1x + bo

200

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

1) 1st n = m, d.h. der Grad des Zahlers gleich dem Grad des Nenners, so gilt lim f(x) = x~oo

lim f(x) = ban,

x-+-oo

m

d.h. der Grenzwert fur x - t ±oo ist der Quotient der hiichsten Koeffizienten. In diesem Fall ist also die Gerade y = nach beiden Seiten Asymptote der

:n m

Funktion. Beispiele sind die Funktionen in den Abb. 4.35 und 4.75. 2) 1st n < m, d.h. der Grad des Zahlers kleiner als der Grad des Nenners, so gilt lim f(x) = lim f(x) = X-+-CX)

x~oo

o.

In diesem Fall ist die x-Achse nach beiden Seiten Asymptote der Funktion. Beispiele sind die Funktionen in den Abb. 4.34 u. 4.36. 3) 1st n > m, d.h. der Grad des Zahlers groBer als der Grad des Nenners, so verhalt sich f(x) im Unendlichen wie x n - m ·sgn ::' wobei sgn :: das Vorzeichen an von b bedeutet. m

Beispiele: 1)

2) 3)

lim

x--+-oo

3x + 4 = ~ = -3 -x + 6 -1 2

6u + 4u + 5 3 - U +1 "--+00 7u . at2 + ht + c I t~~ -5t 2 + ht _ c lim

4)

cE~oo ~~ 11 = 0

5)

r

x:'n;,

-3x

3

=0

(Fall 2) a

= -5 =

a

5

(

)

Fall 1

(Fall 2)

+ 5x 2 + X 3x

(Fall 1)

+4

-

6

Diese Funktion verhiilt sich im Unendlichen wie sgn ~3 . x 3 fiir x --+ 00 gegen Grenzwert).

6)

r

x2~00

2x

4

+ 5x -

-00

geht, ist der gesuchte Grenzwert

lifllx--+-oo f(x)

r

-00

,

d.h. wie _x 2 . Da _x 2 (also ein uneigentlicher

1

x-7

2 f(x) verhiilt sich wie sgni . x 3 , d.h.

7)

1

t3

t..!~oo -t

-

1

+ 1.

= -00.

wie x 3 . Wegen limx --+_ oo x 3

-00

ist also

4.3. ALLGEMEINES UBER FUNKTIONEN

201

f(x) verhiilt sich wie _t 2 ; da lirnt __ oo( _t 2 ) = -00 (lirnt.... -oo t 2 = +00) ist, gilt also t3 - 1 1irnt __ oo - -t

+1

= -00.

(5) Stetigkeit von Funktionen:

Anschaulich versteht man unter der Stetigkeit einer Funktion in einem Intervall, daB man den Graphen der Funktion in diesem Intervall ohne Unterbrechung durchzeichnen kann. Wir iiberlegen uns nun, welche Eigenschaften eine Funktion f(x) an einer Stelle Xo des Intervalls haben muB, urn stetig zu sein (Abb. 4.76). y

Xo

x

Abb. 4.76 Zunachst muB f( xo) existieren, denn sonst wiirde an der Stelle Xo kein Punkt des Graphen existieren, der Graph also nicht ohne Unterbrechung zu zeichnen sein. Zweitens miissen bei Annaherung von links oder von rechts die Funktionswerte gegen denselben Grenzwert streben und dieser muB mit dem Funktionswert f(xo) iibereinstimmen. Das bedeutet aber, daB der Grenzwert limx _ xo f(x) existiert und mit f(xo) iibereinstimmt. Man definiert deshalb: f(x) heiBt an der Stelle Xo stetig, falls 1) f(xo) existiert, 2) limx .... xo f(x) existiert, 3) Grenzwert und Funktionswert iibereinstimmen. Kurz kann man das so zusammenfassen:

f(x) heiBt an der Stelle Xo stetig, falls limx _ xo f(x) = f(xo). f(x) heiBt im Intervall (a, b) stetig, falls f( x) an jeder Stelle des Intervalls stetig ist. Aus den Grenzwertsatzen (4.12)-(4.18) folgt: Sind fl(X) und h(x) stetig, so

202

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

± h(x), h(x), h(x)

sind auch h(x)

und

j:i:~ stetig, letztere mit Ausnahme

der Stellen, wo h(x) = 0 ist. 1st f(x) stetig, so sind auch (J(x))n und ef(x) stetig, femer yff(x), falls f(x) 2 0 und lnf(x), falls f(x) > O. f(x) = x ist ersichtlich iiberall stetigj ebenso die konstante Funktion f( x) = c. Daraus ergibt sich mittels der eben formulierten Siitze schrittweise: AIle Polynome sind iiberall stetig. Gebrochen-rationale Funktionen sind iiberall stetig mit Ausnahme der Nullstellen des Nenners. Beispiele: 1) 2)

f(x)

bei stetigen g( x) auch stetig ist.

=

f(x) In(x 2 - 1) ist fiir aile Stellen auBerhalb des abgeschlossenen Intervalls [-1,1] stetig, denn fiir aile diese Stellen ist g( x) = x 2 - 1 > 0 und g( x) ist stetig, also auch f(x)

3)

4)

5) 6)

= e x '-2x+3 ist stetig, da g(x) = x 2 -2x+3 als Polynom stetig ist und f(x) = eg(x)

f(x)

= Ing(x). = V'x 2 - 1 ist stetig fiir aile x auBerhalb des offenen

Intervalls (-1,1), denn fiir diese x ist x 2 - 1 ~ O. Fiir die Beispiele 2) und 3) vergleiche man die graphische Darstellung von g( x) = x 2 -1 in Abb. 4.3. f(x) = 2 x - 6 ist iiberall stetig auBer an x = -3 und x = 2, denn dies sind die x +x - 6 Nullstellen des Nenners. f(x) = (2x 3 - X + 6)4 . (x 2 + 5) ist iiberall stetig als Produkt der iiberall stetigen (2x 3 - X + 6)4 und h(x) x 2 + 5. Funktionen II (x) 2 2 + -x f(x) = x I e ist fiir x > 0 stetig mit Ausnahme von x = 1, weil In x dort gleich

=

nx

Null ist (fiir x

7)

f(x)

~

=

0 ist In x gar nicht erklart).

= x2~ 5 ist fiir aile reellen x stetig, denn stets ist fiir reelle x der Ausdruck 2

x2 +1

x

+1

> 0 und damit auch JX2+'1. Zahler und Nenner sind aber stetige Funktionen.

Wir wenden uns nun der Frage zu, was an einer Unstetigkeitsstelle passieren kann. Theoretisch kann sich eine Funktion an einer Unstetigkeitsstelle so pathologisch verhalten, daB es schwierig oder gar unmoglich ist, sich davon eine anschauliche Vorstellung zu machen. Zum Gluck zeigen aIle Funktionen, die praktisch in Betracht kommen, nur zwei Typen von Unstetigkeitsstellen, niimlich Spriinge und Unendlichkeitsstellen. Abb. 4.77 zeigt eine Funktion, die an der Stelle Xo einen Sprung hat. Typisch fur einen Sprung ist, daB links- und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle Xo verschieden sind. In der Regel kommen Sprunge dadurch zustande,

203

4.3. ALLGEMEINES UBER FUNKTIONEN

y

:

_r~_c.~~_s_':~~!l:_~:~_n~~_~ __ ~ linksseitiger Grenzwert

x

Abb. 4.77

daB eine Funktion aus verschiedenen Stiicken zusammengesetzt wird. Ein Beispiel ist die in Abb. 4.13 dargestellte Preisfunktion, die aus konstanten Stiicken zusammengesetzt ist, wobei an den Stellen, an denen die StUcke aneinandergesetzt sind, Spriinge auftreten. Weitere Beispiele: 1

1)

f(x)

=

-x - 2 fiir x < -2 2 1 -x - 1 fiir -2 ~ x 4

~

2

x-I fiir x> 2 y

x

Abb.4.78

204

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

fUr fUr

2)

~; ; x1 ~ 1, 5 }

fUr x

> 1,5

x

Abb.4.79

Nicht immer, wenn eine Funktion aus Teilen zusammengesetzt ist, sind die Stiickelungsstellen Unstetigkeitsstellen. Ein Beispiel fiir einen stetigen AnschluB der einzelnen Stiicke aneinander ist die Einkommenssteuerfunktion (Abb. 4.15). Ein weiteres Beispiel ist die Funktion

f (x)

=

Ix I =

{

f~r

x x 2: 0 } . -x fur x < 0

Sie hat an Xo = 0 zwar eine Ecke, ist dort aber stetig, denn man kann sie ohne Unterbrechung durchzeichnen (Abb. 4.80).

x

AbbA.80 An einer Unendlichkeitsstelle Xo strebt die Funktion bei Annaherung an die Stelle Xo gegen +00 oder gegen -00, d.h. sie wachst iiber jede Grenze oder sie fiillt unter jede Grenze. Die Abb. 4.81-4.84 zeigen das mogliche Verhalten

4.3. ALLGEMEINES (jBER FUNKTIONEN

205

gebrochen-rationaler Funktionen an einer Unendlichkeitsstelle xo. Wir haben schon zahlreiche Beispiele fUr Funktionen mit Unendlichkeitsstellen kennengelernt (Abb. 4.34,4.36,4.37,4.72,4.74,4.75).

yl

y

.

x x

Abb. 4.81 und 4.82 In Abb. 4.81 ist In Abb. 4.82 ist

lim f(x) =

x--+xo +0

lim f(x) =

x--+xo +0

lim f(x) = +00.

x--+xo-o

lim f(x) = -00.

x--+xo-o

j x

Abb. 4.83 und 4.84 In Abb. 4.83 ist

lim f(x) = +00,

x--+xo+O

y

r

x

lim f(x) = -00, in Abb. 4.84 ist

X--+Xo-O

es gerade umgekehrt. Es handelt sich bei Unendlichkeitsstellen durchweg urn uneigentliche Grenzwerte; ein Grenzwert existiert an diesen Stellen nicht. Es ist moglich, daB eine Funktion f( x) nur auf einer Seite der Unendlichkeitsstellen Xo definiert ist, wie In x an Xo = 0 (Abb. 4.41), oder daB nur bei Annaherung von einer Seite f(x) unbegrenzt wachst oder fallt, wahrend bei Annaherung von der anderen Seite ein endlicher Grenzwert auftritt (Abb. 4.85).

206

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

x Abb. 4.85 Dieses Verhalten zeigt z.B. f(x) = ex=t an Xo = 1. In diesem Fall konnte man von einem Sprung unendlicher GroBe sprechen. 1

Eine dritte Form von Unstetigkeitsstellen sei noch erwahnt, die Lucken. haben keine praktische Bedeutung, weil man sie durch geeignete Definition Funktionswertes an der betreffenden Stelle beseitigen kann. Als Beispiel x3 _ x2 trachten wir die Funktion f(x) = . Sie ist fur Xo = 1 nicht definiert, x-I

Sie des behat

dort also eine Unstetigkeitsstelle. Durch Ausklammern von x 2 im Zahler erhalt 2

man f(x) = x (x -11). Fur x

x Xo

x-

# 1 die Funktion x 2

#

1 kann man x-I kurzenj f(x) stellt also fur

dar. Abb. 4.86 zeigt f(x), wobei die Lucke an der Stelle

= 1 ubertrieben gezeichnet ist. y

/~'I

o,

x

Abb. 4.86 Es ist limx --+l f(x)

= 1.

x x-I

X3 _

f(x) = {

wenn wir also f(1)

2

fUr x

= 1 definieren,

d.h.

# 1}

1 fur x = 1

setzen, so ist die Lucke geschlossen und die Funktion ist stetig. Lucken bezeichnet man deshalb auch als hebbare Unstetigkeitsstellen.

4.4. BEISPIELE OKONOMISCHER FUNKTIONEN

4.4

207

Beispiele okonomischer Funktionen

Okonomische Sachverhalte werden sehr haufig durch quantitative Parameter beschrieben, wie Preise, produzierte Mengen, eingesetzte Mengen, Kosten, Umsatze, Gewinne, Zeiten, Konsum, Einkommen, Einkommenssteuerlast, Abgabenquote, Sparquote, Verbrauch, Investitionen, Arbeitslosenquote u.v.a.m. Man deutet diese Paramter in der Regel als reelle Variable, in vielen Fallen auch dann, wenn es sich (etwa bei einer produzierten Menge) urn Stuckzahlen oder andere diskrete GraBen handelt. Zusammenhange zwischen diesen GraBen werden durch Funktionen beschrieben; die Angabe einer akonomischen Funktion ist also ein mathematisches Modell fUr einen gewissen akonomischen Sachverhalt. Die Kunst der Modellierung besteht darin, maglichst wirklichkeitsnahe Modelle zu tinden. Die Ausubung dieser Kunst ist nicht Sache des Mathematikers, sondern des Wirtschaftswissenschaftlers und setzt neben der fachwissenschaftlichen Kompetenz natiirlich auch sichere mathematische Kenntnisse voraus. Wirklichkeitsnahe Modelle sind insbesondere dann erforderlich, wenn auf der Grundlage dieser Modelle Voraussagen gemacht oder volkswirtschaftliche bzw. betriebswirtschaftliche Entscheidungen getroffen werden sollen. Sie basieren nicht selten auf umfangreichen empirischen Untersuchungen und dem Einsatz statistischer Methoden. Wenn es "nur" darum geht, wirtschaftliche Sachverhalte oder Prozesse qualitativ zu verstehen, genugen oft recht einfache Modelle, d.h. verhaltnisma.Big einfache Typen von Funktionen, die die Realitat qualitativ im groBen und ganzen richtig widerspiegeln. Von dieser Art werden die folgenden Beispiele sein. Manche der in 4.3. besprochenen Funktionen werden uns bei akonomischen Sachverhalten wiederbegegnen.

4.4.1

Kostenfunktionen

(1) Grundbegriffe:

Funktionen, die den Zusammenhang zwischen einem Output x (etwa der produzierten Menge in Mengeneinheiten) und den fUr die Produktion des Outputs x anfallenden Gesamtkosten K (in Geldeinheiten) zum Ausdruck bringen, heiBen Gesamtkostenfunktionen: K = K(x). Die Funktion K(x) enthalt einen outputunabhangigen Anteil, die fixen Kosten K fund einen von x abhangigen Anteil, die variablen Kosten Kv(x).

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

208

(4.19) Graphisch entsteht K(x), indem man die Kurve Kv(x) urn den Betrag K f nach oben verschiebt (bzw. entsteht Kv(x) aus K(x) durch Verschiebung von K(x) urn den Betrag K f nach unten) (Abb. 4.87) K

K(x)

"

Ky(x)

"

x

Abb. 4.87 Dividiert man die Kosten K (x) durch die Anzahl x der produzierten Einheiten, so erhalt man die Stiickkosten k( x): k(x) = K(x) x

(4.20)

Man bezeichnet die Stuckkosten auch als durchschnittliche Kosten; k(x) gibt an, wieviel die Produktion einer Einheit kostet, wenn insgesamt x Einheiten produziert werden. Entsprechend (4.19) ist k(x) die Summe der variablen Stiickkosten kv(x) und der auf die Mengeneinheit (oder das Stuck) bezogenen fixen Kosten kf(x): mit

(4.21 ) (4.22) (4.23)

4.4. BEISPIELE OKONOMISCHER FUNKTIONEN

209

K j qualitativ wie 1 (Abb. x x

Da Kj eine Konstante ist, verhaIt sich kj(x) 4.88). k

x

Abb.4.88 Es ist limx..... +oo kj(x) = 0, limx..... o+o kj(x) = +00. Diese Grenzwerte sind naturlich idealisierte, theoretische Beziehungen; sie bringen aber den okonomischen SachverhaIt qualitativ richtig zum Ausdruck: Die fixen Kosten sind gewissermaBen die Kosten der Produktionsbereitschaft, die in der Rohe K j anfallen, ganz gleich, wieviel produziert wird. Legt man diese Kosten auf die produzierte Menge x urn, so werden sie pro Einheit (oder pro Stuck) immer geringer, je mehr man produziert (Fixkostendegression), und sie wachsen pro Einheit (oder pro Stuck) gewaltig an, wenn man fast nichts produziert. Da k j ( x) gemaB (4.23) in die Stuckkosten eingeht, gilt fur die Stuckkostenfunktion k(x): limx..... o+o k(x) = +00. (2) Konkrete Kostenmodelle: Lineare Gesamtkosten: Man spricht in diesem Fall auch von proportionalen Gesamtkosten. Beispiel:

K(x) k(x)

= 1,3x + 96. 96

= 1,3 + -; x

Es ist Kv(x)

= 1, 3x;

= 1,3;

kj(x)

kv(x)

Kj

= 96

96

= -x

(Abb. 4.89)

(Abb.4.90).

Bei proportionalen Gesamtkosten sind die variablen Stuckkosten konstant und die Stuckkostenfunktion k( x) nahert sich von oben dieser Konstante asymptotisch an.

210

.. . . ..'

K

100

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

.

3

..' . . . . . . . .. . . . . . . . ...

. .. .

k •

/Ky(x)

...

•••• k(x) '. .. .....

2

.. ........

.

..

ky(x:

x

100

100

200

Abb. 4.89 u. 4.90 Progressiv bzw. degressiv wachsende Gesamtkosten

Wenn K(x) progressiv wiichst (wachsend, von unten konvex; vgl. 4.3), spricht man von progressiv wachsenden Gesamtkosten. Die variablen Stiickkosten kv(x) sind dann wachsend (sie konnen progressiv, linear oder degressiv wachsen). Beispiel: K(x)=0,2x 2 +50; kv (x)=0,2x;

K v (x)=0,2x 2 ;

50 kj(x)=-; x

Kj(x) =50;

50 k(x)=0,2x+-. x

Die Abb. 4.91 und 4.92 zeigen die Zusammenhiinge. K

. .. . .. . . ....

. ...

k

/Ky(x)

100

50

.. .. '

20

10

ky(x)

'

10

20

30

x

10

20

30

x

Abb. 4.91 u. 4.92 Wenn K(x) degressiv wiichst (wachsend, von unten konkav), spricht man von degressiv wachsenden Gesamtkosten. Die variablen Stiickkosten kv(x) sind dann fallend.

4.4. BEISPIELE OKONOMISCHER FUNKTIONEN

211

= xo,8+72; Kv(x) = XO,8(zur Erinnerung: XO,8 = x-k = xO,8 1 72 kv(x) = - = XO,8-1 = X-O,2 = - ; kJ(x) = -. X XO,2 X

Beispiel: K(x)

I<J(x)

= 72;

~);

Die Abbildungen 4.93 und 4.94 zeigen die Verhaltnisse. K

K(x)

k

3

100

............

.' .'

100

..

'

2

.. , .' •••• K,,(x) ....... 200

x

300

200

100

300

x

Abb. 4.93 und 4.94 Ertragsgesetzliche [(ostenfunktionen

Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion zeigt emen S-formigen Verlauf (Abb. 4.95). K K(x)

x

Abb. 4.95 Zur Frage, welche okonomische Situation zu einem solchen Kostenverlauf fuhrt, siehe z.B. [Wohe1990, S. 576 ff.]. Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion hat einen degressiv steigenden Abschnitt, der nach Uberschreiten des Wendepunktes W in einen progressiv steigenden Abschnitt iibergeht. Eine genauere Analyse erfordert den Begriff der Grenzkosten, cler auf der Differentialrechnung beruhtj wir kommen auf ertragsgesetzliche Kostenfunktionen in Kap. 5 zuruck.

212

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

Beispiel: K(x) = 0,9x 3

llx 2

-

Kf(x) = 100; kv(x) = 0, 9x

2

-

+ 52x + 100;

llx

+ 52;

Kv(x) = 0,9x 3 100

-

llx 2

+ 52x;

kf(x) = - . x

Abb. 4.96 zeigt K(x) und im selben Achsenkreuz k(x), kf(x) und kv(x). K, k

400 300 200 100 !<.-(x)

I
2

4

6

8

10

12

14

x

Abb. 4.96

Unstetige Kostenverliiufe (Kosten bei Anpassung) Wir nehmen an, daB fUr die Produktion eines Gutes mehrere FlieBlinien bereitstehen. Die Bereitstellungskosten fiir eine FlieBlinie mogen 120 Geldeinheiten (GE) betragen; femer fallen einmalig unabhiingig von den FlieBlinien fixe Kosten von 80 GE an. Bis zu x = 50 Mengeneinheiten geniige eine FlieBlinie fUr die Produktion, dann wird eine weitere FlieBlinie zugeschaltet, bei x = 100 die niichste usw. An den Zuschaltpunkten x = 50,100,150, ... springen die Kosten jeweils urn die Bereitstellungkosten der niichsten FlieBlinie (d.h. urn jeweils 120 GE). Fiir den Betrieb der FlieBlinien nehmen wir proportionale Kosten mit dem Proportionalitiitsfaktor 0,7 an. Dann hat die Kostenfunktion folgende Gestalt:

K(x)

=

0, 7x 0,7x { 0,7x 0,7x

+ 200 + 320 + 440

fUr 0 :::; x :::; 50 } fiir 50 < x :::; 100 fiir 100 < x :::; 150 + 560 fiir 150 < x :::; 200

Abb. 4.97 zeigt die Gesamtkosten K(x), Abb. 4.98 die Stiickkosten k(x), die auch bei den Zuschaltpunkten 50,100,150, ... Spriinge aufweisen.

213

4.4. BEISPIELE OKONOMISCHER FUNKTIONEN

---

K

_ _ K(x)

:>0 )0 )0

50

100

150

6

5 4

k\\

"'''''

3

2

200

x

50

100

150

k(x)

200

x

Abb. 4.97 und 4.98

4.4.2

Angebot, Nachfrage, Umsatz, Gewinn

(1) A ngebots- und N achfragefunktionen Wir nehmen den Fall vollkommener Konkurrenz an, d.h. Anbieter und Nachfrager stehen sich in groBer Zahl gegeniiber. Das Verhalten aller Anbieter wird dann durch eine A ngebotsfunktion Pl (x) charakterisiert, die den Preis P des betreffenden Gutes in Abhangigkeit von der angebotenen Menge x des Gutes (pro Bezugsperiode) angibt. Sie ist monoton wachsend. Man iiberlegt sich das am besten an der Umkehrfunktion, deren graphische Darstellung ja die Spiegelung von Pl (x) an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten ist. Mit der einen Funktion wachst auch die andere monoton und umgekehrt. Die Umkehrfunktion gibt die angebotene Menge als Funktion des Marktpreises an. Es ist klar, daB die Produzenten ihre Angebotsmenge erhohen werden, wenn der Marktpreis steigt. Das Verhalten aller Nachfrager wird durch eine Nachfragefunktion P2(X) charakterisiert: sie gibt den Zusammenhang zwischen der nachgefragten Menge x des betreffenden Gutes (pro Bezugsperiode) und dem Preis des Gutes an. Durch dieselbe Uberlegung wie oben, d.h. durch Betrachtung der Umkehrfunktion, erkennt man, daB die Nachfragefunktion eine monoton fallende Funktion ist, denn wenn der Preis sich erhoht, wird die Nachfrage geringer (einige wenige Giiter, wie Kunstwerke, ausgenommen). Der Schnittpunkt der beiden Kurven definiert den sogenannten I
214

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

p

Konkurrenzpreis -- - -- - - --- -------

P2(X) ~-- (Nachfrage)

x

Abb. 4.99

bzw. fUr einzelne Unternehmen definiert werden. Nachfragefunktionen werden auch als Preis-Absatz-Funktionen bezeichnet; man setzt dabei voraus, daB die nachgefragte Menge abgesetzt wird.

(2) Umsatzfunktionen Umsatzfunktionen geben den Umsatz (in Geldeinheiten) als Funktion der umgesetzten Giitermenge (in Mengeneinheiten) an. Sie werden auch als Erlosfunktionen bezeichnet: E = E(x). Da Umsatz=MengexPreis ist, gilt (4.24)

E(x) ist also gegeben, wenn p in Abhangigkeit von x, d.h. wenn die PreisAbsatz-Funktion p( x) gegeben ist. IE(x)

= x· p(x) I

(4.25)

Hat man statt p(x) deren Umkehrfunktion x = x(p) gegeben, so kann E auch als Funktion von p angegeben werden: (4.26)

Beispiele: 1)

Man kann sich iiberlegen, daB bei vollkommener Konkurrenz kein teilnehmender Betrieb ein Interesse daran hat, den Konkurrenzpreis zu verandern. Er wird als gegebenes Datum des Marktes akzeptiert. In diesem Fall ist also fUr den einzelnen Anbieter P =const.= Po und damit E(x) eine lineare Funktion von x: E(x) = pox.

215

4.4. BEISPIELE OKONOMISCHER FUNKTIONEN

2)

Die Preis-Absatz-Funktion eines Anbieters habe dieForm p(x) = 8 - 0, Ix. Dann gilt E(x) = 8x - 0, Ix 2 (Abb. 4.100). In diesem Beispiel ware die Umkehrfunktion der Preis-Absatz-Funktion x(p) = 80-lOp (das erhaIt man durch Auflosen von p = 8 - 0, Ix nach x) und somit nach (4.26): E(p) = 80p-lOp 2.

3)

Die Preis-Absatz-Funktion eines monopolistischen Anbieters habe die Form p(x) 12, 3e- O,lx. Dann ist E(x) = 12,3xe- O,IX (Abb. 4.101)

200

E

50

E

40

150

30

100

20

50

10 20

40

60

80

x

10

20

30

40

x

Abb. 4.100 u. 4.101

(3) Gewinnfunktionen Die Gewinnfunktion G(x) gibt fUr eine bestimmte Produktion den Zusammenhang zwischen der umgesetzten Menge x (in Mengeneinheiten) und dem Gewinn G (in Geldeinheiten) wieder. Da Gewinn=Umsatz-Kosten ist, gilt

IG(x) = E(x) -

K(x) = x . p(x) - K(x)

I

(4.27)

Dabei ist E(x) die Umsatz- oder Erlosfunktion, K(x) die Gesamtkostenfunktion. Das Mengenintervall, in dem G(x) > 0 ist, heif3t die Gewinnzone. Sie wird begrenzt durch die positiven Nullstellen der Gewinnfunktion, oder - was dasselbe ist - durch die Abszissen der Schnittpunkte von Erlos- und Kostenfunktion. Diese x-Werte (Mengen) heif3en die Gewinnschwellen.

Beispiele: 1)

Wir betrachten zunachst den Fall konstanten Preises; z.B. sei p = 40 Geldeinheiten pro Mengeneinheit (etwa 40 TEuro/Tausend t). Wir legen eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion zugrunde; sei etwa K(x) = x 3 - 3x 2 + 12x + 60. Dann ist G(x) = 40x - (x 3 - 3x 2 + 12x + 60) = -x 3 + 3x 2 + 28x - 60. Die Nullstellen dieser Funktion fur positive x sind Xl = 2 und X2 = 6. Das Intervall (2,6) ist die Gewinnzone; 2 und 6 (bzw. 2000t und 6000t) sind die Gewinnschwellen. In Abb. 4.102 sind die Funktionen E, K, und G in ein Koordinatensystem eingezeichnet.

216

KAPITEL 4. FUNKTIONEN TOM 300 E(x)

200

100

x (1000t)

Abb. 4.102 2)

Als Erlosfunktion wahlen wir E(x) = 8x - 0, 1x 2 . Die Kosten mogen in diesem Fall durchweg progressiv steigen: K(x) = 30 + 0, 2x 2 . Dann gilt G(x) = 8x - 0, 1x 2 - (30 + 0, 2x 2 ) = -0, 3x 2 + 8x - 30. Zur Bestimmung der Gewinnschwellen berechnen wir die Nullstellen: -0, 3x 2 + 8x - 30 = 0;

- 26~x + 100 = 0; 100 = 13,333 ± 8,819. Die Gewinnzone ist (4,514 , 22,152). Abb. 4.103 zeigt E, K und G. Das Stiick zwischen den Kurven E(x) und K(x) (in Abb. 4.103 schraffiert) nennt man iibrigens die Gewinnlinse. In Beispiel 2) lieBen sich die Gewinnschwellen elementar berechnen. 1m allgemeinen muB man zu ihrer Berechnung numerische Verfahren anwenden.

Xl,2

= 131 ± .)177, 777 -

x2

300

200

100

x Abb. 4.103

217

4.4. BEISPIELE OKONOMISCHER FUNKTIONEN

Ahnlich wie bei der Bildung der Stuckkosten erhaJt man durch Division von G( x) durch die Menge x die Stuckgewinnfunktion g( x):

g(x) = G(x)

(4.28)

x

g( x) gibt den Gewinn pro abgesetzter Einheit an, unter der Voraussetzung, daB x Einheiten abgesetzt werden.

Es ist g( x) = G( x) x

E( x) - K (x) x

x· p(x) _ K(x) = p(x) _ k(x), also x x

Ig( x)

= p( x) - k( x)

I

(4.29)

Der Stuckgewinn ist gleich der Differenz von Preis und Stuckkosten. Subtrahiert man von der Umsatzfunktion E( x) nur die variablen Kosten, so erhaJt man den sogenannten Deckungsbeitrag D( x):

jD(x) = E(x) - Kv(x) = G(x)

+ Kj(x) I

(4.30)

Entsprechend ist der Deckungsbeitrag pro Stuck (oder pro Mengeneinheit)

Id( x)

= p( x) - kv(x)

I

(4.31 )

Beispiel: p(x)

= 8-0, Ix;

K v (x)=0,2x 2 ;

4.4.3

K(x)

= 30+0, 2x 2 ;

G(x)

= -0,3x 2 +8x-30;

D(x)=8x-O,Ix 2 -0,2x 2 =-0,3x 2 +8x;

g(x)

30 = -0,3x+8--; X

d(x)=-0,3x+8.

Produktlebenszyklen, Investitionen, logistische Funktionen

(1) Produktlebenszyklen Die Kurve des Produktlebenszyklus beschreibt den mengenmaBigen Umsatz U eines Produktes (pro Zeiteinheit) in Abhangigkeit von der Zeit: U = U(t). Abb. 4.104 zeigt einen Produktlebenszyklus mit seinen typischen Phasen. Man gewinnt solche Kurven z.B. aus Umsatzstatistiken.

218

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

U (Mengeneinheiten I Zeiteinheit)

EinfOhrungs- Wachstums- Reifephase phase phase

Sattigungsphase

Degenerations- t (Jahre) phase

Abb. 4.104 Die Wachstumsphase ist durch starken Anstieg der umgesetzten Menge (und durch steigenden Gewinn) gekennzeichnet. In der Reifephase steigt der Umsatz nur noch schwach, der Gewinn ist relativ konstant. In der Sattigungsphase ist U relativ konstant, der Gewinn beginnt riicklaufig zu werden. In der Degenerationsphase sind U und G stark riicklaufig. (2) Investitionen

Die Investitionen, die eine Volkswirtschaft, eine Branche oder ein Unternehmen tatigen, hangen yom Marktzinssatz abo Z.B. werden die Investitionen fUr Immobilien steigen, wenn die Kreditzinsen sinken. Funktionen, die die Investitionen I in Abhangigkeit yom Zinssatz p darstellen, heiBen Investitionsfunktionen I(p). Abb. 4.105 zeigt einen typischen Verlauf. I(p)

p

Abb. 4.105 (3) Logistische Funktionen geben Bestande in Abhangigkeit von der Zeit wieder, und zwar Bestande, die durch einen Sattigungspunkt charakterisiert sind. Bei-

4.5. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER

219

spiele waren der PKW-Bestand, der Bestand an Hi-Fi-Anlagen, an CD-Playern etc. (absolut oder pro Kopf gerechnet). Logistische Funktionen haben die Form

B(t) =

a

b

1 + e- a

t·

Wegen limt.... co B(t) = a ist also a die obere Sattigungsgrenze.

Abb. 4.106 zeigt die Funktion B(t) = 12

12 05. 1 + 1, 5e- , t

B Sattigungsgrenze -- --- ---- -------.- -- --- ------------ -- ----

10 8 6

4 2 2

3

4

5

Abb. 4.106

4.5

Funktionen mehrerer Variabler

4.5.1

Begriff und Beispiele

Gehen wir zunachst nochmals zu den einfiihrenden Bemerkungen zum Funktionsbegriff unter 4.1.1 zuriick. Dort hatten wir festgestellt, daB haufig die Daten einer okonomischen GroBe y in eindeutiger Weise von den Daten einer anderen GroBe x abhangen. Mittlerweile haben wir zahlreiche Beispiele fiir eine solche funktionale Abhangigkeit kennengelernt. Oft sind aber die Zusammenhange komplexer, und zwar in dem Sinne, daB eine GroBe y nicht nur von einer GroBe x abhangt, sondern von mehreren: y ist abhangig von Xl, xz, ... ,xn · Beispiele: 1)

Die produzierte Menge x eines Gutes hangt von den Einsatzmengen TI, T2, ... Tn gewisser Produktionsfaktoren ab, z.B. vom Stoffeinsatz verschiedener Roh- und Hilfsstoffe, von der eingesetzten Arbeitszeit usw.

2)

In einem Unternehmen, welches 5 Produkte herstellt, hangen die Gesamtkosten K von den Outputmengen xl, X2, X3, X4, Xs der fiinf Produkte abo

220

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

3)

Der Energieverbrauch V einer chemischen Anlage k6nnte z.B. von der Durchsatzmenge x, der Eingangstemperatur T 1 der Einsatzstoffe und der AuBentemperatur To abhiingen.

4)

Die Nachfrage x nach einem Gut hiingt, wie wir gesehen haben, von seinem Preis p ab, aber realistischerweise davon nicht allein, sondern auch von den Preisen Pl,P2, ... ,Pn derjenigen Giiter, die geeignet sind, das fragliche Gut zu substituieren.

Urn auch in solchen Situationen einen adiiquaten Begriff von Funktion definieren zu konnen, fiihren wir zuniichst folgende Sprechweise ein: Eine Zusammenstellung von n reellen Zahlen Xl, X2, ... ,X n in vorgegebener Reihenfolge heiBt ein n- Tupel reeller Zahlen und wird mit (x], X2, ... ,xn ) bezeichnet. Ein 2Tupel (Xl,X2) heiBt ein Paar, ein 3-Tupel (Xl,X2,X3) ein Tripel, ein 4-Tupel (x], X2, X3, X4) ein Quadrupel; fiir 5-Tupel, 6-Tupel usw. gibt es keine besonderen Namen. Tripel reeller Zahlen sind z.B. (1,0, !), (-1,2, -2), (2,2,2). Die Tripel (4, -2,3) und (-2,3,4) sind verschieden, obwohl sie dieselben Zahlen enthalten. Bei n- Tupeln kommt es auf die Reihenfolge an! Unsere Beispiele fiihren uns nun -ganz analog wie bei den Funktionen emer Variablen - zum Begriff einer Funktion mehrerer Variabler: Wenn jedem n- Tupel (X], X2, . .. ,X n ) aus einem Bereich D von n- Tupeln reeller Zahlen eindeutig eine reelle Zahl y zugeordnet ist, so sagt man, y ist eine Funktion von x], x2, .. . , x n und schreibt y = f(xl, X2, ... , x n ). D heiBt der Definitionsbereich der Funktion. Die allgemeinen Bemerkungen zum Funktionsbegriff gelten unveriindert, insbesondere ist es auch hier so, daB die Zuordnungsvorschrift fiir die praktisch interessanten Funktionen in der Regel durch eine Formel ausgedriickt wird, die die unabhiingigen Variablen Xl, X2, ... ,Xn mit der abhiingigen Variablen y eindeutig verkniipft, d.h. zu jedem n- Tupel von Werten der n Variablen, welches in D liegt, erlaubt es die Formel, y eindeutig zu berechnen. Eine besonders wichtige Klasse von Funktionen sind die linearen Funktionen. Sie haben die Form n

y

= f(xl, X2,···, xn) = alxl + a2 X2 + ... + anXn + b = L i=l

aiXi

+ b.

Dabei sind die ai und b feste reelle Zahlen. D ist in diesem Fall die Menge aller moglichen n- Tupel. In praktischen Zusammenhiingen wird D oft eingeschriinkt, z.B. wenn die Xi produzierte Mengen sind, so konnen sie nur positiv oder 0 sein, d.h. D bestiinde in diesem Fall aus allen n- Tupeln, die die Ungleichungen

4.5. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER

221

°

2: 0, X2 2: 0, ... , X n 2: erfullen. Lineare Funktionen spielen in der linearen Optimierung eine wichtige Rolle.

Xl

Beispiele: 1)

y = f(Xl,X2,X3,X4) = 2Xl - X2 - 3X3 + X4 + 5. Fiir diese Funktion ware z.B. f(-1,0,-2,3) = 2(-1) -1· 3(-2) + 3+5 = 12; f(u, -u,2u, -2u) = 2u - (-u) - 3(2u) + (-2u) + 5 = -5u + 5.

2)

f(Xl,X2,'" ,xn ) = Xl + 2X2 + 3X3 + ... + nXn

°-

n

= Ekxk k=l

. ~ n(n + 1) ESlstf(I,I, ... ,I)=L.."k=I+2+ ... +n= 2 . k=l n

f(l, 2, 3, ... , n)

= E k 2 = 12 + 22 + ... + n 2 . k=l

Wie bei Funktionen einer Variablen konnen auch im Fall mehrerer Variabler die Bezeichnungen ganz beliebig sein; das Entscheidende ist die Vorschrift, die angibt, was mit den Argumentwerten zu tun ist, urn den Funktionswert zu erhalten. Insbesondere werden bei zwei unabhiingigen Variablen diese hiiufig mit X und y, die abhiingige Variable mit z bezeichnet: z = f(x,y) oder z = z(x,y). Bei drei unabhiingigen Variablen werden diese oft mit x, y, z, die abhiingige Variable etwa mit u bezeichnet: u = f(x, y, z) oder u = u(x, y, z). Uberhaupt ist es in praktischen Zusammenhiingen meist ublich, nicht das Funktionssymbol f zu verwenden, sondern fur das Funktionssymbol denselben Buchstaben wie fUr die abhiingige Variable zu nehmen: X = x(rl,r2, ... ,rn ), E = E(PI,P2, ... ,Pk), u = u(x, y, z), v = v(r, s, t), K = K(xI, ... , x m ) usw. Beispiele fur Funktionen mehrerer Variabler: 1)

z = f(x, y) = x 2 - xy + y2. Ebenso konnte man z = z(x, y) = x 2 - xy + y2 schreiben.

2)

V = V(s, t) = ..;s + 0,30. (s, t) mit s 2: 0, t 2: 0.

3)

E = E( rl, r2) = CJrl r2;

4)

u=f(x,y,z)=e- (x 2+ y 2+ z 2)

5)

f(Pl,P2, ... ,Pn)=Er;p;;

Hier ist der Definitionsbereich der Bereich aller Paare

D: Aile Paare (rl' r2) mit sgnrl =sgnr2, d.h. mit rl r2 > 0.

n i:l

r;:Konstante.

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

222

4.5.2

Graphische Darstellung. Anwendungen

Urn eine Funktion einer Variablen graphisch darzusteIlen, hatten wir ein zweidimensionales Gebilde, eine Ebene benotigt. Eine Dimension braucht man fiir die unabhangige Variable x, eine fiir die abhangige Variable y. Urn zu definieren, was der Graph einer Funktion von n unabhangigen Variablen ist, braucht man fUr die unabhangigen Variablen n Dimensionen, fiir die abhangige Variable eine Dimension, insgesamt also einen (n + l)-dimensionalen Raum. Man kann in einem solchen Raum sehr wohl von einem Graphen sprechen und Geometrie betreiben; man kann aber nichts veranschaulichen, wenn die Raumdimension groBer als 3, d.h. n groBer als 2 ist, denn nur der dreidimensionale Raum ist unserer Anschauung zuganglich. Deshalb miissen wir uns bei der graphischen Darstellung von Funktionen mehrerer Variabler auf n = 2, d.h. auf Funktionen zweier Variabler beschranken. Eine solche Funktion z = f( x, y) konnen wir graphisch darsteIlen, indem wir im Raum ein rechtwinkliges Koordinatensystem einfiihren. Es besteht aus drei zueinander senkrechten orientierten Achsen wie in Abb. 4.107 dargestellt. z

Abb. 4.107 Jeder Punkt im Raum ist durch drei Koordinaten x, y, z vollstandig bestimmt. In Abb. 4.107 ist der Punkt P = (2,1,3) eingetragen. Er kann als Ecke des eingezeichnetete Quaders bestimmt werden; die Koordinaten der restlichen Ecken sind ebenfalls angegeben. Ein Punkt mit z > 0 liegt iiber der (x,y)Ebene, einer mit z < 0 darunter. Punkte mit z = 0 liegen in der (x, y)- Ebene.

Urn zum Graphen von z = f(x,y) zu gelangen, stellen wir uns aIle moglichen Tripel (x,y,z) fiir die (x,y) aus dem Definitionsbereich von fund z = f(x,y) ist, d.h. aIle Tripel (x,y,f(x,y)), in das Koordinatensystem als Punkte eingezeichnet vor. Diese Punkte bilden, wenn f verniinftige Eigenschaften hat, eine

223

4.5. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER

FHiche, ein "Funktionengebirge". Abb. 4.108 zeigt das "Gebirge" der Funktion z = f(x, y) = 5 - x 2 - 2y 2.

y

Abb. 4.108 Ceteris-paribus- Bedingung

Betrachten wir als Beispiel die Gesamtkostenfunktion K(xl, X2, X3, X4) eines Unternehmens, welches vier Produkte hersteIlt. K(XI,X2,X3,X4) gibt die Gesamtkosten in Abhangigkeit von den Ausbringungsmengen Xl, X2, X3, X4 der vier hergesteIlten Produkte an. Oft ist die Frage interessant, wie K von Xl abhiingt, wenn die ubrige Produktion auf einem festen Stand gehalten wird, d.h. wenn die iibrigen Ausbringungsmengen feste Werte X2 = a2, X3 = a3, X4 = a4 annehmen: K(XI' a2, a3, a4) ist dann nur noch eine Funktion einer Variablen, niimlich von Xl. Ebenso kann man nach der Abhiingigkeit von K von X2 bei festgehaltenen Xl, X3, X4 fragen usw. Die Bedingung, daB nur eine der unabhiingigen Variablen variiert, aIle ubrigen aber feste Werte haben, nennt man die ceteris-paribus-Bedingung. Eine Funktion, unter der ceteris-paribus-Bedingung betrachtet, ist dann nur noch eine Funktion einer Variablen (und kann natUrlich auch graphisch dargesteIlt werden). Beispiel:

= 2Xl + 5X2 + 3X3 + 0, lX5x4 + 6X4. LiiBt man Xl variieren und setzt = 2, X4 = 5, so ist I«Xl, 6,2,5) = 2Xl + 68. Die Funktion !(Xl) =

I«Xl, X2, X3, X4) X2

= 6,

X3

2Xl + 68 gibt die Kosten in Abhiingigkeit von der Ausbringungsmenge Xl an unter der Bedingung, daB von Produkt 2 6 Einheiten, von Produkt 3 2 Einheiten und von Produkt 4 5 Einheiten produziert werden.

224

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

Die Funktion einer Variablen, die man bei Erfiilltsein der ceteris-paribus-Bedingung erhalt, kann ihren Charakter andern, je nachdem, welche konkreten fest en Werte die ubrigen Variablen annehmen. Beispiel: Lassen wir in der Funktion K(X1, X2, X3, X4) des letzten Beispiels X3 variieren und halten fest, etwa Xl = 5, X2 = 3, X4 = 4, so ist K(5, 3, X3, 4) = 0,4x§ + 3X3 + 49, also eine quadratische Funktion von X3. Wiihlt man als feste Werte Xl = 5, X2 = 3, X4 = 0, so ist K(5, 3, X3, 0) = 3X3 + 25, also eine lineare Funktion von X3Xl, X2, X4

Bei Funktionen zweier Variabler bedeutet die ceteris-paribus-Bedingung, daB eine Variable variiert, die andere fest ist. Sei etwa z = f(x, y), so kann man y = Yo festhalten. Geometrisch bedeutet das Festhalten von y am Wert Yo einen Schnitt parallel zur (x, z)- Ebene durch das Funktionsgebirge. Die ausgeschnittene Kurve, auf die (x,z)-Ebene projiziert, hat die Gleichung z = f(x,yo).

-3

Abb. 4.109 Abb. 4.109 zeigt den Schnitt durch die Fliiche von z = f(x, y) = 5 - x 2 - 2y 2 bei Yo = 1; die ausgeschnittene Kurve hat in der (x,z)-Ebene die Gleichung z = f(x, 1) = 5 - x 2 - 2 = 3 - x 2 , ist also eine nach unten offene Parabel. Fur verschiedene Yo erhiilt man verschiedene solcher Parabeln. Ebenso bedeutet das Konstanthalten von x auf dem Wert x = Xo einen Schnitt parallel zur (y, z)Ebene. Abb. 4.110 zeigt einen Schnitt durch die Flache von z = f(x,y) = 5-x 2 -2 y2 bei Xo = 2. Die ausgeschnittene Kurve auf die (y, z)-Ebene projiziert, hat die Gleichung z = f(2, y) = 5 - 4 - 2y 2 = 1 - 2y 2, ist also ebenfalls eine Parabel. Auch hier erhalt man fur verschiedene Xo verschiedene Parabeln.

4.5. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER

225

z

4

y

Abb. 4.110

Weiteres Beispiel: Die lineare Funktion Ihre Schnitte mit den ergibt sich fiir Xl = 2 x2 = -2 hat man die

z = !(Xl,X2) = 3Xl + 5X2 - 3 stellt im Raum eine Ebene dar. Ebenen Xl = a =const. bzw. X2 = b =const. sind Geraden. Z.B. die Gerade z = 6 + 5X2 - 3 = 5X2 + 3 (in der (X2, z)-Ebene). Fiir Gerade z = 3Xl - 10 - 3 = 3Xl - 13 (in der (Xl, z)-Ebene.

Isohiihenlinien

In einer physischen Landkarte sind in der Regel sogenannte Isohohenlinien oder kurz Hohenlinien eingezeichnet. Alle Punkte auf einer Hohenlinie haben in dem realen Gebirge dieselbe Hohe. Man kann sich die Entstehung der Hohenlinien deshalb so vorstellen, daB eine Ebene parallel zur Grundebene das Gebirge schneidet. Die entstehende Linie wird dann auf die Grundebene projiziert und ergibt die Hohenlinie. Ebenso erhalt man die zur Hohe z = Zo gehOrige Isohohenlinie einer Funktion, wenn man das "Funktionsgebirge" mit der zur (x, y)- Ebene parallelen Ebene z = Zo schneidet und die entstehende Schnittkurve in die (x,y)-Ebene projiziert. ABe Punkte, d.h. Paare (x,y) der unabhangigen Variablen, die auf der zu z = Zo gehOrigen IsohOhenlinie liegen, ergeben denselben Funktionswert zoo Isohohenlinien werden auch oft als Isoquanten bezeichnet, denn alle Punkte auf einer Isohohenlinie ergeben dasselbe Quantum z = Zo der GroBe z. Abb. 4.111 zeigt verschiedene Schnitte durch das Gebirge der Funktion z = f( x, y) = 5 - x 2 - 2y 2, und zwar bei Zo = 4, Zo = 2, Zo = 0, Zo = -2. Abb. 4.112 zeigt die zugehOrigen Isohohenlinien x 2 + 2y 2 = 1, x 2 + 2y 2 = 3, x 2 + 2y 2 = 5, x 2 + 2y 2 = 7 in der (x,y)-Ebene.

226

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

z

y

y

x

Abb. 4.111 u. 4.112 Die Gleichungen der Isohohenlinien zur Rohe Zo erhiilt man, indem man in die Funktionsgleichung z = f( x, y) fUr z den Wert Zo einsetzt. IsohOhenlinien spielen in der Praxis eine wichtige Rolle und haben z. T. eigene Bezeichnungen erhalten. Beispiele: 1)

Zur Produktion eines Gutes mogen zwei Produktionsfaktoren erforderlich sein. Die Ausbringungsmenge x des Gutes ist dann eine Funktion der Einsatzmengen rj und r2 der beiden Produktionsfaktoren: x = x(rj, r2)' Eine solche Funktion nennt man eine Produktionsfunktion. Vorausgesetzt ist hier, daB in einem gewissen Bereich die Einsatzmengen der Produktionsfaktoren frei variieren konnen, d.h. die Faktoren miissen beliebig gegeneinander austauschbar (substituierbar) sein. Die Isoquanten x = Xo der Produktionsfunktion sind die Linien gleicher Ausbringung; aile Faktorkombinationen (rj, r2) auf der zur Ausbringungsmenge Xo gehorigen Isoquante fiihren zur Ausbringungsmenge xo. Abb. 4.113 zeigt das "Funktionengebirge" der Produktionsfunktion x = x(rj, r2) = 2, 5r~,3r~,7 mit den eingezeichneten Schnitten bei Xo = 1,3,5. Abb. 4.114 zeigt die zu diesen Ausbringungsmengen gehorigen Isoquanten in der (rj, r2)Ebene. Auf der zu Xo 5 gehorigen Isoquante sind drei Punkte, d.h. drei Faktorkombinationen (rj,r2) eingezeichnet. Sie fiihren, da sie auf der Isoquante Xo = 5 liegen, aile zur Ausbringungsmenge 5 ME. Urn die Isoquante rechnerisch zu bestimmen, setzt man fiir x den Wert 5 ein und erhiilt 5 = 2,5r~,3r~,7. Wir wollen dies in die Form r2 f(rJ) bringen, urn die Funktionsgleichung der Isoquante in der (rj, r2)-Ebene zu erhalten:

=

=

r~,3 =

r

0,3 j

rfo = '01;

0,7 _ -

·r2

5 _ 2

--

2,5

r~,7

= '0I

beide Seiten hoch 10;

y!2TO

r2

= v;:r'

4.5. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER

227

r2

7 6 5

r2

4 3 2

x=5 x=3 2

3

4

5

6

r1

Abb. 4.113 u. 4.114 2)

Der Nutzen N, den eine okonomische Einheit, etwa eine Institution, bei Konsumtion der Mengen XI, X2 zweier Giiter hat, ist eine Funktion dieser Mengen: N = N(XI' X2). Die Isohohenlinien (Kurven gleichen Nutzens) heiBen hier Indifferenzkurven. Sei z.B. N (x I, X2) = 4y!xl.yx2, so ist die zu N = 5 gehorige Indifferenzkurve:

1 = (y!xl) 3 X2; X2 = (5)3 4" (y!xl)3' 4.115 zeigt die zu N = 5 und N = 7 gehorigen Indifferenzkurven.

5 = 4y!xl.yx2;

5)3 ( 4"

Abb. Aile Giitermengenkombinationen (XI,X2), die auf einer festen Indifferenzkurve liegen, gewahren denselben Nutzen. 5 4

3 2

2

3

4

5

Abb. 4.115 3)

Die Kosten der Ausbringungsmenge X eines Gutes hangen bei zwei eingesetzten Produktionsfaktoren von den Einsatzmengen rl, r2 dieser Faktoren ab: K K(rl' r2)' Bei der Annahme fester Faktorpreise PI, P2 ist K(rl, r2) = PI rl +P2r2+c eine lineare Funktion von rl und r2. Die Kostenisoquanten (Isokostenlinien) sind dann Geraden. Diese Geraden heiBen auch Bilanzgeraden. 1st z.B. K(rl' r2) 5rl + Sr2 + 20, so ware die zu

=

=

K

= 30 Geldeinheiten gehorige Bilanzgerade 30 = 5rl + Sr2 + 20, also r2 = - ~rl + ISO.

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

228

Aile Faktorkombinationen (rl' r2), deren Punkte in der (rl' r2)-Ebene auf dieser Geraden liegen, verursachen dieselben Kosten von 30 GE. 4)

Der Gewinn eines Zweiproduktunternehmens hiingt von den Ausbringungsmengen (Xl, X2) der Produkte ab: G = G(Xl, X2)' Die Gewinnisoquanten G = Go sind hier die Kurven gleichen Gewinns. Aile Ausbringungsmengenkombinationen (Xl, X2), die auf einer Gewinnisoquante G(Xl,X2) Go liegen, liefern den gleichen Gewinn Go.

=

Naturlich konnen aBe diese Betrachtungen auch fur n Variable durchgefiihrt werden. Die Isoquanten sind dann nicht Linien, sondern Flachen im n-dimensionalen Raum. Wir betrachten z.B. eine Kostenfunktion, die von den Einsatzmengen rI, r2, .. . ,rn von n Produktionsfaktoren linear abhiingt; die festen Faktorpreise seien PI, P2, ... ,Pn: K(rI, r2,···, rn) = PlrI

+ P2 r 2 + ... + Pnln + C =

n

LPiri

+ C.

i=I

n

Die zu K o gehOrige Isoquante hat die Gleichung L i=I

Pili

+ (c -

K o)

= 0;

das

dadurch erzeugte geometrische Gebilde nennt man eine (n -1 )-dimensionale Hyperebene im n-dimensionalen Raum. ABe Faktorkombinationen (rI' '2, . .. , rn), die auf dieser Hyperebene liegen, ergeben die gleichen Kosten K o. Fur n = 3 ist die Hyperebene eine gewohnliche Ebene im Raum. Sei z.B. K(rI, r2, r3) = 6/1 + 5r2 + 2r3 + 10, so ist die zu K = 50 gehorige Isoquante die Ebene 6/1 + 5r2 + 2r3 - 40 = O. ABe Faktorkombinationen, die auf dieser Ebene liegen, ergeben Kosten von 50 GE.

4.6. UBUNGSAUFGABEN

Ubungsaufgaben

4.6 1)

Man bestimme den Definitionsbereich folgender Funktionen und berechne fUr diese Funktionen f( -2), f(O), f(xQ + 5):

a) f(x) :::: 2x + 6; d) f(x) = -x + 8 + 2)

229

b) f(x) :::: _x 2

+X +1

1 7 12 x - x+

1 x-I

c) f(x) :::: - 2

e) f(x) = { v'x - 4 fUr x-2 fUr

2

Ilxll > 2} x

~2

Welche der Punkte (0, ~), (1,1), (5,3), (-2, ~), (-2, -35), (6, fo), (-1, a) auf dem Graphen der Funktion y = 2x 3 - 6x 2 + 5

t) liegen

2 ~ 4? x + x+ Folgende Funktion soll graphisch dargestellt werden:

b) auf dem Graphen der Funktion y =

3)

f(x) :::: {

~: ~~: 0 < : ~ ~}

+ 8 fUr f (x) stetig? _x 2

1st 4)

x

>2

Man zeichne die Geraden: a)y=-3, e) y = -4x + 6,

b)y::::2x+5,

1 c)y=-"2x+l,

2 d)y=3"x-l

f) K = K(x) :::: 1, 2x + 1510.

5)

Welche Gleichung hat die Gerade durch den Punkt PI mit der Steigung m ? 2 a) P I (I, -2), m = 4; b) PI (0, -1), m = 3"; c) PI(a,b), m = U;

6)

Welche Gleichung hat die Gerade durch die beiden Punkte PI und P2 ? a) P I (2,0), P 2 (-1,2); b) Pd3,4), P2 (-2,-2); c) PI(a,b), P2 (c,d); d) PI (u, -v), P2 ( -u, v)

7)

In welchem Punkt schneiden sich die Geraden ? 1 a)y=3, y=2x-6; b)y=-"2x+4, y=3x-l

c)u::::3v-l, u::::-v+6

d)k=t+2, k=-2t+4

8)

Geben Sie die Gleichungen zweier Geraden an, die sich nicht schneiden!

9)

Geben Sie die Gleichungen zweier Geraden an, die sich im Punkt (-1,3) schneiden!

10)

Ein Unternehmen kann fiir die Produktion eines Gutes wahlweise die Anlage A oder die Anlage B einsetzen. Fiir A betragen die Fixkosten 90 Euro, die variablen Stiickkosten liegen fUr die ersten 200 Stiick bei 1 Euro/Stiick, fiir die nachsten 200 Stiick bei 0,75 Euro/Stiick und fUr mehr als 400 Stiick bei 0,60 Euro/Stiick. Fiir B betragen die Fixkosten 170 Euro, die variablen Stiickkosten liegen fUr die ersten 300 Stiick bei 0,80 Euro/Stiick, fUr die nachsten 200 Stiick bei 0,70 Euro/Stiick und bei der Produktion von 500 Stiick und mehr bei 0,50 Euro/Stiick. Man ermittle die Kostenfunktionen K A (x) und K B (x) und zeichne sie. Ab welcher Stiickzahl ist der Einsatz von B giinstiger als der von A? Wie hoch ist der Kostenvorteil bei einer Produktion von 1000 Stiick?

230

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

11)

Man berechne mittels des Horner-Schemas: a) fiir f(x) = x S - 2x 4 + 6x 3 - x 2 + 1 den Wert f(I,2) b) fiir f(x) = -2x 4 + 6x 3 - 2x 2 + X - 6 den Wert f( -0,8).

12)

Man bestimme den Definitionsbereich folgender Funktionen: x +1 x2 - 1 x a)f(x)=2x_4' b)f(x)=4x2+4' c)f(x)=x2_3x_4' 1 d) f(x) = ~' e) f(x) = In(6 - x), f) f(x) = e3Vx2 +l.

13)

Man berechne a) 1,61,7; b) 2,3- 0,8;

14) 15) 16)

17)

Man bestimme x aus: a) 1,08 x = 1,5; b) 3x = 6,8; c) 5- x = 0,8. Es sei f(x) = _x 2 + 2x + 5, g(x) = eX. Man bestimme f(g(x)) und g(f(x)). Man bestimme reset)) fur a) ret) = 2t + 5, set) =~, c) ret) = In(t 2 + 1), set) = 4t - 1.

d) f(x) = e-(X +2),

g) f(x)

19)

b) ret) = 2e t , set) = t 2

-

1,

Man zerlege nach dem Muster von Abschnitt 4.3.1 f(x) in die einfachsten elementaren Bestandteile: 1 a)f(x)=e X (x+7)4, b)f(x)=x-Y2x 2 +5, c) f(x) = 2x..jX - 3r:::' 2

18)

d) log67;

= (.yx)2 -

7x - 5 e) f(x) = (x _ 3)2'

?x

f) f(x) = In(V3x -7),

2.yx + 5.

Man berechne die Nullstellen von: a)f(x)=7x-2, b)f(x)=x 2 +9x+20, c)f(x)=2x 2 -7x-3, d) f(x) = x 3 - 2x 2 - X + 2, e) f(x) = (x + 1)(x - 3,8)(2x + 5, 6), f) f(x) = (x - 4)(x 2 -1), g) f(x) = (x 2 - X - 2)(x 2 - 3x - 6), x-I . x 2 + 5x + 6 . h)f(x)=x 2 +5' l)f(x)= x2 -1' J) f(x) =In(x-6), k) f(x) = -Y3 - x 2, I) f(x) = 2e- 2x - e2x , m) f(x) = In(x - 2) + In(x

+ 1).

In welchen Punkten schneiden sich a) die Gerade y = 2x + 1 und die Parabel y = ~x2 - 5 b) die Parabeln y = x 2 + X + 2 und y = -2x 2 + 5 ?

20)

Fiir welches positive x erreicht f( x) = 0, 2x 2 - 7 x

21)

Man berechne die Umkehrfunktion (Anm.: Statt y = f(x), x = f-I(y) schreibt man auch oft y = y(x), x = x(y); analog, wenn die Variablen anders heiBen, z.B.

+ 5 die Schwelle

K = K(p), p = p(K)): a) x = x(y) zu y = 7x - 3 b) x = f-I(y) zu y = f(x) = (x 2 + 1)2 im Bereich x> 0. c) P = f-I(x) zu X = f(p) = 2y'6=P

y = 17 ?

4.6.

231

UBUNGSAUFGABEN 1 d) u = u(t) zu t = t(u) = 2u _ 5 e) 0' = g-I(f3) zu f3 = g(O') = e 2a - I

22)

o

Wie lautet zu den gegebenen Funktionen die Umkehrfunktion, wenn man vereinbart, auch in der Umkehrfunktion die unabhiingige Variable mit x, die abhiingige mit y zu bezeichnen: a)Y=f(x)=-3x+5, b)y=f(x)=-Yx 2 -1, c) y f(x) e-'" d) y = f(x) = log4(x - 3) ?

=

23)

Man berechne

a) ",_I lim(x 2

-

7x

2 ) x + 4x - 12 , c "'~ x2 _ 5x + 6 r x 3 - 2x 2 + 5x - 3 ) e "'~ x2 _ X +5

+ 3),

r

b)

2 d) lim x + 4x - 12, ",_-6 x 2 + 7x + 6 24)

"'~ e

0

1 )2 x- 2

x-+2

_1_, lim x +1 ",_-1-0 X + 1 c) lim x , r x ",_4-0 x 2 - 5x + 4 ",..lno x 2 - 5x

b)

d)

lim

",_-1+0

lim f(x) und

"' ..... 2+0

lim f(x) fiir f(x)

"'..... 2-0

2 · 3x3 - 7x + 7x + 4 ) I a "'~~ _x 3 + 3x 2 + X _ 4 '

={

+5

fiir

x

2X + 1

fiir

x

x2 - 5x 1

<2}

-

>2

110m 5x - 9 , ) 10 2x "'..... -00 -2x + 7 c "'...!~oo -x2---6 2 5 d) r x +5 e) r x + 3x + 5 f) lim x + x + 6 "'~~ 2x 3 - X + 9 ' "'~~ x - 8' "'..... -00 2x 4 - X 5 e'" + 4 g) hm , h) hm -. 2 2 "' ..... 00 1 - e- '" "' ..... -00 e '" + 2 Sind die folgenden Funktionen stetig? (Wenn nicht, gebe man die Unstetigkeitsstellen an)

a) f(x) b) f(x)

b)

0

= Ix - 31 I

27)

+4

Man berechne

o

26)

r

-2",+3

Man berechne a) lim (

25)

=

=

{

-~:

fiir

x

fiir

+1

x
fiir

O~x~1

x>

1

x 2 + 6x - 5 (x - 1)2

c) f(x)

=

d) f(x)

={

x3 + 1 fiir x 2 fur 2x - 2 fiir

Fur die Kostenfunktionen

-1

~

x

<

-I}

x< 1

x 2:

1

KAPITEL 4. FUNKTIONEN

232

a) K(x) = 0, 9x + 14, b) I«x) = 0, 8x 3 - 10x z + 60x + 120 ermittle man die variablen Kosten, die fixen Kosten, die Stuckkosten, die auf das Stuck bezogenen fixen Kosten und die variablen Stuckkosten.

28)

Fur die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 10- 0, 3x bestimme man die Erlosfunktion E(x) und unter Zugrundelegung der Kostenfunktion aus 29 a) die Gewinnfunktion und die Gewinnschwellen. Man bestimme femer den Deckungsbeitrag D(x).

L( x)

8 = 1- 2,5 3e- 0 ' x

29)

Welche Siittigungsgrenze hat die logistische Funktion

30)

Welche Gleichung hat die zu z = 4 gehorige Isohohenline der Funktion z 6 - y - 2x z in der (x,y)-Ebene?

31)

?

= I(x, y) =

Fur die Produktionsfunktionen a) x = x(rl,rz) = 6r~,4r~,5, b) X = x(rl, rz) = 6, 2y'rlrz berechne man die zu x = 5, 10, 20 gehorigen Isoquanten und stelle sie in der (rl, rz)Ebene graphisch dar.

32)

Fur die Kostenfunktion I«XI,XZ) = 6+2xl +5xz berechne man die zu I< = 20, 30, 40 gehorigen Isokostenlinien und stelle sie in der (Xl, xz)-Ebene graphisch dar.

33)

Zur Nutzenfunktion N = N(XI, xz) gehorigen Indifferenzkurven.

= 8ijXl fi2 berechne man die zu

N

= 5,

15, 20

Kapitel5 Differentialrechnung 5.1 5.1.1

Begriff und Bedeutung der Ableitung Die Ableitung an elner Stelle

Die Differentialrechnung ist ein mathematisches Werkzeug, um Veranderungen an solchen Vorgangen zu studieren, die man durch Funktionen beschreiben kann. 1m 17. Jahrhundert, der Zeit der Erfindung der Differentialrechnung, stand das Problem der mechanischen Bewegung im Vordergrund. Fur die Bewegung eines Objektes, dessen Geschwindigkeit v(t) eine Funktion der Zeit ist, ist es wichtig zu wissen, wie sich in einem vorgegebenen Zeitpunkt to die Geschwindigkeit in der Nachbarschaft von to, etwa in der nachsten Sekunde, andert. Nimmt sie sehr stark zu, wenn die Zeit von to aus ein kleines Stiickchen weiter lauft, so wird man zum Zeitpunkt to eine starke Beschleunigung verspuren, nimmt sie sehr stark ab, verspurt man eine starke Verzogerung (negative Beschleunigung). 1st die Anderung der Geschwindigkeit gering, so werden auch Beschleunigung bzw. Verzogerung und die damit verbundenen Krafte gering sein. Ein MaB fur die relative Anderung der Geschwindigkeit, etwa die Anderung pro Sekunde, ist also die Beschleunigung. Die Beschleunigung im Zeitpunkt to kann man demnach auffassen als die momentane Anderungsrate der Geschwindigkeit. Fragen nach der Veranderung, nach Anderungsraten an einer vorgegebenen Stelle der unabhangigen Variablen, sind auch fUr die okonomischen Funktionen von groBem Interesse:

W. Purkert, Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, DOI 10.1007/978-3-8348-9936-1_5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

234

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

- Wie verandern sich z.B. die Kosten K(x), wenn man bei einer gewissen Ausbringungsmenge Xo die Ausbringungsmenge ein wenig steigert oder senkt? - Wie verandert sich - etwa fUr einen Monopolisten - die Nachfrage x(p), wenn er bei einem gewissen Preisniveau Po den Preis ein wenig erhoht oder erniedrigt? - Wie verandert sich die Ausbringungsmenge x = x(rl, r2), wenn man bei gegebenen Einsatzmengen rl,O, r2,O der Produktionsfaktoren die Einsatzmenge des ersten Produktionsfaktors etwas erhoht, die des anderen aber bei rO,2 festlaBt? - Wie verandert sich der Gewinn G(x), wenn man bei einer gewissen Ausbringungsmenge Xo die Ausbringungsmenge ein wenig steigert oder senkt? Was man jeweils erfahren will, ist die Tendenz der Anderung der Funktionswerte, wenn die unabhangige Variable an einer Stelle Xo ein wenig verandert wird. Es geht also urn ein MaB fUr die relative Anderung einer Funktion - etwa pro Mengeneinheit, pro Zeiteinheit, allgemein pro Einheit der GroBe x - an einer Stelle Xo. Man konnte das ihre Anderungsrate nennen. Da dieser Begriff aber schon anderweitig vergeben ist, wollen wir von der Starke der Anderung sprechen. In den Wirtschaftswissenschaften gibt es dafUr bei den einzelnen Funktionen (Kosten, Gewinn, Erlos, Konsum, Deckungsbeitrag usw.) spezielle Bezeichnungen (Grenzkosten, Grenzgewinn, Grenzerlos, marginale Konsumquote, Grenzdeckungsbeitrag usw. s. 5.4). Die bisherigen Beispiele machen bereits klar, daB es nicht urn Veranderungen iiberhaupt geht, sondern urn Veranderungen an einer vorgegebenen Stelle der unabhangigen Variablen. So kann es sein, daB an einer Stelle Xl die Gewinnfunktion stark zunimmt, wenn man die Ausbringungsmenge ein wenig erhoht; an einer anderen Stelle X2 kann der Gewinn rapide abnehmen, wenn man die Ausbringungsmenge steigert. Die Differentialrechnung hat es also mit lokalen Eigenschaften der Funktionen zu tun. Wir wollen uns am Beispiel einer Gewinnfunktion klarmachen, daB die Frage nach der Starke der Anderung des Gewinns an einer Stelle Xo auf die Frage fiihrt, die Steigung der Gewinnfunktion an der Stelle Xo zu ermitteln. Dabei stellen wir uns auf den naiven Standpunkt, daB man in Xo an die Funktionskurve eine Tangente zeichnen kann und daB die Steigung der Funktion an def Stelle Xo definiert ist als die Steigung der dort an die Funktionskurve gezeichneten Tangente (Abb. 5.1) Wir betrachten nun die in Abb. 5.2 gegebene Gewinnfunktion G(x) an Xo = 1000 und erhohen von Xo aus die Ausbringungsmenge urn b.x = 2000

5.1. BEGRIFF UND BEDEUTUNG DER ABLEITUNG

235

y

x

Abb. 5.1 Mengeneinheiten. Der Gewinn erh6ht sich dabei von G(xo) auf G(xo + .6.x), d.h. er erh6ht sich um.6.G = G(xo + .6.x) - G(xo) (in der Abb. stark ausgezogen). G

2000

3000

x

Xo+~

Abb. 5.2 Die auf die Mengenanderung .6.x bezogene Gewinnanderung ist demnach .6.G .6. x

-

G(xo

+ .6.x) -

G(xo)

.6. x

Man k6nnte das auch als die durchschnittliche Starke der Anderung im Intervall [xo, Xo + .6.x) auffassen. Diese durchschnittliche Starke der Anderung ist, wie aus Abb. 5.2 unmittelbar hervorgeht, gerade die Steigung der durch die Punkte Po und PI gezogenen Geraden, der sogenannten Sekante durch Po und Pl.

KAPITEL5. DIFFERENTIALRECHNUNG

236

Wir wollen aber nicht diese durchschnittliche Starke der Anderung wissen, sondem die momentane an der Stelle xo. Mit der Wahl von .6.x haben wir uns ziemlich weit von xo entfemt; urn die momentane Anderung an xo zu erfassen, wird man auf den Gedanken kommen, das .6.x immmer kleiner und kleiner zu wahlen, d.h. die durchschnittliche Starke der Anderung auf immer kleinere Intervalle urn xo zu beziehen. Abb. 5.3 zeigt die Schritte .6.x = 2000 (fiihrt auf den Punkt PI)' .6.x = 1000 (P2 ), .6.x = 500 (P3 ), .6.x = 250 (P4 ), .6.x = 100 (Ps ). Dabei nahert sich die jeweilige Sekante Si durch Po und Pi (i = 1,2, 3,4,5) immer mehr der Tangente T.

G

Abb. 5.3 Wenn man z.B . .6.x = 1 wahlte, so ware das in unserem MaBstab faktisch unendlich klein, man konnte die zugehorige Sekante von der Tangente praktisch .6.G nicht mehr unterscheiden. Das zugehorige ware auf ein so kleines Intervall .6. x [xo, xo + .6.x] bezogen, daB es der gesuchten momentanen Starke der Anderung schon sehr nahe kommt. Die ideale Erfassung des momentanen Zustands wiirde man fiir .6.x --t 0 erhalten. Dann ware die Sekante vollkommen in die Tangente iibergegangen. Die momentane Starke der Anderung erhalt man also rechne-

..

.

G(xo+.6.x)-G(xo)

.

.

.

fisch, mdem man hmf).x..... o .6. x ausrechnet; geometflsch 1st Sle gleich der Steigung der Tangente an die Kurve G(x) an der Stelle xo. Diese Gedanken fassen wir jetzt allgemein. Gegeben sei eine Funktion y = f(x); unser Ziel ist es, die Steigung der Tangente an die Funktionskurve an einer Stelle xo zu ermitteln (Abb. 5.4). Dazu betrachten wir einen zweiten Punkt PI auf der Kurve, der die Abszisse

5.1. BEGRIFF UND BEDEUTUNG DER ABLEITUNG y

237

T

x

Abb. 5.4

Xo

+ Llx hat.

Die Steigung der Sekante durch Po und Pt ist

Lly f(xo = Llx

+ Llx) -

f(xo)

Llx

Dieser Quotient heiBt der DijJerenzenquotient der Funktion f( x) an der Stelle Xo. Xo ist fest, Llx fassen wir als variabel auf, dann ist der Differenzenquotient eine Funktion von Llx. Urn nun die Steigung der Tangente zu ermitteln, lassen wir Llx immer kleiner und kleiner werden. Dabei wandert der Punkt Pt auf der Kurve y = f(x) auf den Punkt Po zu; die Sekante durch PO,Pt nahert sich immer mehr der Tangente, ihre Steigung nahert sich immer mehr der gesuchten Tangentensteigung. Man wird also die Tangentensteigung erhalten, indem man den Grenzwert der Sekantensteigung fUr Llx ---; 0 berechnet, · f(xo+Llx)-f(xo) dh . . I1mtlx.....o Llx . Der Grenzwert des Differenzenquotienten

f(xo . I1m tlx--+O

+ Llx) -

f(xo)

Llx

heiBt die erste Ableitung oder kurz die Ableitung von f( x) an der Stelle Xo und wird mit J'(xo) bezeichnet. Geometrisch ist J'(xo) die Steigung der Tangente an die Funktionskurve y = f( x) an der Stelle Xo. A nmerkung 1): Wir waren vom naiven Standpunkt ausgegangen, daB es die Tangente gibt und wir ihre Steigung bestimmen wollen. Das ist vom praktischen Gesichtspunkt aus vollig korrekt. Vom streng mathematischen Standpunkt aus kann man ohne' die Differentialrechnung den Tan-

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

238

gentenbegriff nur fUr sehr spezielle Kurven, wie Kreise, Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln, definieren. Fur allgemeine Kurven, also Graphen beliebiger Funktionen, ermoglicht erst der Ableitungsbegriff die Definition der Tangente. Man geht dabei so vor: Eine Funktion f( x) heiBt an xo differenzierbar, wenn limLl.x_o !(xo+Ll.;t!(x o) existiert. Dieser Grenzwert wird die erste Ableitung von f(x) an xo genannt und mit f'(xo) bezeichnet. Die Gerade durch den Punkt (xo,/(xo)) mit der Steigung f'(xo) heiflt die Tangente an die Kurve y = f(x) an der Stelle xo. Nur die differenzierbaren Funktionen haben eine Tangente. Eine Funktion muB notwendig an xo stetig sein, damit sie dort differenzierbar sein kann. Es gibt aber stetige Funktionen, die nicht differenzierbar sind. Wenn z.B. der Graph einer Funktion Ecken oder Spitzen hat (wie z.B. f(x) = Ixl an x = 0), dann gibt es an diesen Stellen keine eindeutig definierte Tangente, und die Funktion ist dort nicht differenzierbar. Differenzierbare Funktionen sind also in gewissem Sinne "glatt".

A nmerkung 2): Fur die Bezeichnung der 1. Ableitung an xo sind verschiedene Symbole in Gebrauch. Neben

f'(xo) noch y'(xo),

I

~~Ix=xo' (gelesen dy nach dx an x = xo), ~~Ix=xo'

ddxflX=xo oder auch

.. dyl df d kurzer dx xo' dx xo' dx f Ixo'

Beispiele: 1)

f( x) = x 2 sei gegeben. Wir wollen an der Stelle xo = 2 die Ableitung berechnen und die Gleichung der Tangente an die Kurve y = x 2 aufstellen. Der Differenzenquotient lautet an xo = 2: f(2 + Llx) - /(2) (2 + Llx)2 - 22 _ 4 + 4Llx + (LlX)2 - 4 _ A Llx Llx Llx - 4 + uX. Also: 1'(2)= lim f(2+Ll;)-f(x) = lim (4+Llx)=4. ~x~o x ax_o Die Ableitung von y = x 2 an xo = 2 ist 4. Damit wissen wir: Die Steigung der Tangente x 2 (und damit die Steigung der Kurve) an der Stelle 2 ist gleich 4. an die Kurve y Es ist Yo = f(xo) = f(2) = 22 = 4. Wir mussen, urn die Tangentengleichung zu finden, die Gleichung derjenigen Geraden bestimmen, die durch Po(2,4) geht und die Steigung 4 hat. Dazu benutzen wir die Punktrichtungsform (4.1) der Geradengleichung, die in unserem Fall die Gestalt y = m(x - xo) + Yo, also y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 4 hat. Abb. 5.5 zeigt die Verh1iltnisse. f(x) = _x 3. Gesucht ist die Steigung der Tangente (und damit der Kurve) an Xo = 1 und die Gleichung der Tangente an dieser Stelle. -(1 + Llx)3 - (_1)3 -1 - 3Llx - 3(Llx)2 - Llx 3 + 1 Es ist 1'(1) = lim = lim = Ll.x_O Llx Ll.x_O Llx 3 lim (-3 - 3Llx - (LlX)2) -3. Die Steigung der Tangente an y _x an der Stelle Ll.x_O Xo = 1 ist -3. Es ist Yo = _1 3 = -1. Die Gerade durch Po(1,-1) mit der Steigung -3 lautet y = -3(x - 1) - 1 = -3x + 2. Abb. 5.6 zeigt die Verh1iltnisse.

=

2)

=

=

239

5.1. BEGRIFF UND BEDEUTUNG DER ABLEITUNG

x

x

Abb. 5.5 und 5.6

5.1.2

Die Ableitung als Funktion

Es ware sehr muhsam, fUr eine Funktion f(x), fUr deren Ableitung an verschiedenen Stellen man sich interessiert, stets fUr jede Stelle nach dem eben beschriebenen Verfahren die Ableitung auszurechnen. Wir kannen uns aber das Verfahren fUr jede Stelle xo ausgefuhrt denken. Es liefert dann fUr jede reelle Zahl xo des Definitionsbereiches von f(x) eindeutig eine Zahl J'(xo). Das ist aber genau das Kriterium fur die Definition einer Funktion: Jeder reellen Zahl xo (eines gewissen Bereiches) ist eindeutig eine weitere reelle Zahl, hier eben gerade J'(xo), zugeordnet. Es gibt also bei differenzierbaren Funktionen f(x) eine neue Funktion, die wir mit J'(x) bezeichnen und die erste Ableitung oder kurz die Ableitung von f( x) nennen, die folgendes leistet: Ihr Funktionswert J'(xo) an irgendeiner Stelle xo gibt die Steigung der Tangente an y = f(x) an der Stelle xo an. J'(x) kann entsprechend unserer Uberlegung in 5.1.1 so bestimmt werden: Man lafit im Differenzenquotienten die zunachst als fest angenommene Stelle xo variabel sein, d.h. man setzt xo = x. Dann erhalt man

J'(x) = lim f(x + ~;) - f(x). Wir kannen das so zusammenfassen: 6x-.O

X

f( x) sei an jeder Stelle xo des Definitionsbereiches D f differenzierbar, d.h. an jeder Stelle mage der Grenzwert des Differenzenquotienten existieren. Anschaulich gesprochen sei f(x) also in D f eine glatte Funktion. Dann existiert in D f die Ableitung

J'(x) = lim f(x 6x-.O

+ ~x) ~x

f(x).

(5.1)

Der Funktionswert der Ableitung, genommen an einer Stelle Xo, d.h. J'(xo), gibt die Steigung der Tangente an die Kurve y = f(x) an der Stelle Xo an.

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

240

Den Vorgang cler Berechnung cler Ableitung nennt man Differenzieren. Anmerkung: Fiir die Ableitung als Funktion von x sind neben 1'(x) noch verschiedene andere Symbole in Gebrauch, z.B. y'(x), y',

~~, :~,

:x f·

~~

wird auch als Differentialquotient bezeichnet.

Beispiele: 1)

y=f(x)=x 2. (x+Ax)2- x2 I'(x) = Ax_O lim ~ = Ax--+O lim (2x + ~x) = 2x. X 2 Zu f(x) = x geh6rt die Ableitung I'(x) = 2x. Es ist 1'(2) = 2·2 = 4, wie wir schon in 5.1.1 gesehen hatten. Esist 1'(-1) = 2(-1) = -2. Die Steigung der Tangente an die Kurve y = x 2 an der Stelle Xo = -1 ist also -2. Man kann mittels der Ableitung f'(x) = 2x an jeder beliebigen Stelle sofort die Steigung der Tangente an y = x 2 ausrechnen: man braucht die Stelle nur als Argument in I'(x) = 2x einzusetzen.

2)

f(x)

= 2x

3

.

I' 2(x + ~x)3 - 2x 3 = t..,-o 1m ~x

+ 2(~x? = t..,I'1m..... o 6x2~x + 6X(~X)2 ~x = lim (6x2+6x~x+2(~x)2)=6x2, 2 also I'(x) = 6x . Urn z.B. die Steigung der Kurve y = 2x 3 an Xo = 2 zu ermitteln, setzen wir 2 in die Ableitung ein und erhalten 1'(2) = 6.2 2 = 24. Die Steigung ist 24. '() f x

Ax--+O

5.1.3

Das Differential

Wir erinnern nochmals an unser einfiihrendes Beispiel in 5.1.1: G( x) sel eme Gewinnfunktion und G'(xo) ihre Ableitung an xo. Wegen

G'( Xo ) --

l'1m tlG _ l'1m G(xo - c.x-+o tlx C.x_o

+ tlx) tlx

G(xo)

tlG konnen wir sagen, daB fur kleines tlx der Differenzenquotient tlx annahernd tlG gleich der Ableitung ist, wir schreiben dafiir tlx >::i G'(xo). Daraus folgt tlG >::i G'(xo) tlx, d.h: Die Gewinnanderung tlG bei Anderung der Ausbringungsmenge von Xo aus urn tlx erhalt man naherungsweise, wenn man G'(xo) mit tlx multipliziert. Abb. 5.7. zeigt die Verhaltnisse.

5.1. BEGRIFF UND BEDEUTUNG DER ABLEITUNG

241

G G(x)

Abb. 5.7 6.G ist die Funktionsanderung, G'(xo) 6.x ist die Anderung der Tangentenordinate, beides bei Anderung des Arguments urn 6.x. Man sieht, daB 6.G und G'(xo) 6.x immer besser ubereinstimmen, je kleiner 6.x wird. Urn anzudeuten, daB man bei Betrachtungen dieser Art immer an ein sehr kleines 6.x denkt, schreibt man fur 6.x das Zeichen dx und nennt das Produkt G'(x) dx das Differential der Funktion G(x). Es wird mit dG oder auch mit dG( x) bezeichnet. dG( x) gibt naherungsweise an, wie sich der Gewinn andert, wenn man von der Stelle x aus die Ausbringungsmenge urn dx verandert. Fassen wir diese Uberlegungen allgemein: Die Funktion y = f(x) sei fur aile x ihres Definitionsbereiches differenzierbar. Dann heiBt das Produkt 1'( x )dx das Differential der Funktion f (x). Es wird mit dy, df oder df(x) bezeichnet. Das Differential ist die Anderung der Tangentenordinate, wenn die unabhangige Variable von x aus urn dx verandert wird. Das Differential gibt naherungsweise an, urn wieviel sich der Funktionswert f(x) andert, wenn die unabhangige Variable von x aus urn dx verandert wird. Dabei ist die Naherung umso besser, je kleiner dx betragsmaBig ist. Die Abbildungen 5.8 und 5.9 veranschaulichen fur steigende und fallende Funktionen sowie fUr positive und negative Anderungen dx jeweils die Differentiale und ihre Vorzeichen.

242

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

Abb. 5.8 und 5.9 Beispiele: 1)

Es ist (5.1.2) f'(x) = 2x. also gilt fiir das Differential df = 2x dx. Fragen wir z.B. nach der Anderung von f(x), wenn x von x = 2 aus urn dx = 0,1 zunimmt. Das Differential ergibt naherungsweise fiir diese Anderung 2 ·2·0,1 = 0,4. Die exakte Anderung betragt I::.f (2 + 0, 1)2 - 22 0,41. Die iiber das Differential ermittelte Anderung ist fiir dx = 0,1 schon eine recht gute Niiherung fiir die tatsiichliche Funktionsanderung. Sie ist leichter zu berechnen, was bei komplizierten Funktionen noch deutlicher ins Gewicht fallt. y

= f(x) = x 2 .

=

2)

=

=

=

=

y f(x) _x 3 . Hierfiir ist die Ableitung f'(x) -3x 2 (bitte mittels der Definition selbst nachpriifen, d.h. den Grenzwert des Differenzenquotienten ausrechnen). Wir fragen nun nach der Anderung von f(x) an der Stelle 1, wenn sich x urn 0,05 Einheiten vermindert. Das Differential df -3x 2 dx ergibt fiir x 1 und dx -0,05: df 2 -3 . 1 (-0,05) 0,15. die Funktion nimmt also bei Abnahme des x von x 1 aus urn 0,05 Einheiten naherungsweise urn 0,15 Einheiten zu. Die exakte Anderung ist I::.f = -(1 - 0,05)3 - (_1 3) ~ 0,1426.

=

=

=

=

=

=

Weitere Beispiele werden in 5.2 behandelt. Wir werden dem Differential auch beim Elastizitatsbegriff (5.4.3) wiederbegegnen.

5.2

Differentiationsregeln und hohere Ableitungen

Die Differentialrechnung ware ein miihsames Geschaft, wollte man jedesmal die Ableitung durch Grenziibergang aus dem Differenzenquotienten gewinnen. Nun

5.2. DIFFERENTIATIONSREGELN UND HOHERE ABLEITUNGEN 243

haben wir ja bereits in 4.3.1 gesehen, wie man Funktionen aus funf Grundbestandteilen, namlich Konstanten, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen durch Addition, Multiplikation, Division und Verkettung zusammensetzt. Wir werden also alle uns interessierenden Funktionen differenzieren konnen, wenn wir 1) die Ableitungen der funf Typen von Grundfunktionen kennen und 2) Regeln fur die Ableitung einer Summe, eines Produkts, eines Quotienten und einer verketteten Funktion haben. Das Differenzieren wird dadurch zu einem ziemlich formalen und von jedermann leicht erlernbaren Handwerk. Auf eine damit zusammenhangende Gefahr sei hier hingewiesen: Die Erfahrung zeigt, daB manch einer wunderbar differenzieren kann, und daher meint, er beherrsche die Differentialrechnung ganz gut. Das alles nutzt aber nichts, wenn man nicht verstanden hat, was eine Ableitung uberhaupt ist, was man durch sie zum Ausdruck bringen kann und wozu man sie - speziell in den Wirtschaftswissenschaften - benotigt. Dieses Verstandnis ist das Wichtigste; das formale Differenzieren kann heute jeder PC mit entsprechender Software; es wurde also (auBer z.B. in einer Klausur) nichts schaden, wenn man das formale Differenzieren wieder vergessen hatte, aber die grundlegenden Begriffe und ihre Anwendungen sicher beherrschte.

5.2.1 (1)

Differentiation der elementaren Funktionen

f( onstante

Funktionen

Fur f(x) = c ist j'(x) =0.

f(x+6.x)-f(x) c-c 6.x = 6.x = 0 und folglich nach (5.1) auch

I Die Ableitung einer Konstanten ist o. I Dieses Ergebnis war zu erwarten, denn der Graph einer konstanten Funktion ist eine Parallele zur x-Achse und hat uberall die Steigung o. (2) Potenzfunktionen

y = f(x) = x n . Fur die Berechnung des Differenzenquotienten benutzen wir den binomischen Lehrsatz: f(x + 6.x) - f(x) (x + 6.x)n - x n

.:........:._----'--.:........;.. = 6.x

6.x

244

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

(~)xn

+ (~)xn-l~x + G)xn-2(~x)2 + ... + (~)(~x)n _ x n ~x

Es ist (~)xn - x n = x n - x n = O.

G) = n.

Aus dem Ausdruck G)xn-2(~x)2 +

... + (~) (~x)n HiJ3t sich (~x)2 ausklammern, wir schreiben diesen Ausdruck als (~X)2

. R, wobei R gar nicht mehr interessiert. Also:

f

'() l' nxn-l~x+(~x)2·R l' ( n-l A R) = nx n-l . X = 1m A = Ax....O 1m nx + uX . Ax....O ux

I Aus f(x) =

x n folgt j'(x) = nx n- l .

I

(5.2)

Beispiele: 1)

Man berechne die Ableitungen von

a) f(x) = x, ~ b) f(x) = x 3 , c) Y = x 2 , d) u(t) = t 4 , e) v(s) = sk+ 7 , f) E(K) = K2n~3. Losungen: a) f(x) = x = Xl. f'(x) = 1X 1 - 1 = 1xO = 1. Das war auch zu erwarten,

denn die Gerade y = x hat liberal! die Steigung 1. b) f'(x) = 3x 2 , c) y' = 2x, d) u'(t) = 4t 3 , 2 f) E'(K) = (2n - 3)K n-4.

e) v'(s) = (k

+ 7)sk+ 6

(3) WurzelJunktionen

y = f(x) = y'X. Die Wurzel wird als Potenz mit gebrochenem Exponenten geschrieben: f(x) = x~. Man kann zeigen, daB (5.2) auch fur gebrochene Exponenten gilt, d.h.

f'(x)

1 1 1 1 = -x,,= -x--n = -x---n. 1

n

l-n

n

n-l

n

Schreibt man das wieder als Wurzel, so ergibt sich:

Aus f(x) = y'X folgt j'(x) =

j'(x)=

n

~. xn-

1

n

(5.3)

~.

xn -

1

Beispiele: 1)

Man berechne die Ableitungen von

=,;x,

a) f(x) f) x(p) =

k+.yp.

b) y(x)

= -(IX,

c) u(t)

=,yt,

d) v(s) =

1

2n-.ys

5.2. DIFFERENTIATIONSREGELN UND HOHERE ABLEITUNGEN 245

L6sungen: a) f'(x) =

d) v'(s)

1

2y

,-'

b) y'(x)

x

----,1,.........,-== - (2n - 1) 2n-{/s2n-2'

= 3yx 3~'2

e) x'(p) = (k

c) u'(t)

= 4yt !;;;;: 3

1

+ 3) k+y'Pk+2"

Man benutzt fiir das Differenzieren von Wurzelfunktionen meist nicht (5.3), sondern rechnet in Potenzen urn, benutzt dann (5.2) und rechnet das Resultat wieder in Wurzeln urn. (5.2) ist einfacher zu behalten und deshalb auch fUr die Ableitung von Wurzelfunktionen die zentrale Forme!. Beispiele: 1)

f(x)

= ~x2 = x3;

2)

u(t)

= {ji4 = t~;

3)

31"'>

2

f'(x)

2 3 2 2 = -X - = -X- 3 = 3 3 3.yx . 2

1

1

u'(t) - ~t~-l - ~c¥ __ 4_ - 7

= 2n-w = p2n _1 , 3 1 3 x'(p) = - - p = - = - - p 2n - 1 2n - 1

- 7

- 7#'

3

x(p)

3

3-(2n-l) 2n-l

3 = -2n-3- p1 - = = ----== (2n _ 1) 2n-{!p2n-4 2n-4

.

(4) Exponentialfunktion f(x) = eX. Man kann zeigen, daB sich eX beim Differenzieren nicht andert.

I Aus f(x) =

eX

folgt f'(x) =

eX.

I

(5.4)

Mittels (5.4) und der Kettenregel werden wir auch leicht die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = aX tinden. (5) Logarithmusfunktion

f(x) = lnx. Man kann zeigen, dafi hier f'(x) =

!x

ist.

I Aus f(x) = lnx folgt j'(x) = ~.

(5.5)

Mittels der Faktorregel (5.6) konnen wir hieraus auch die Ableitung von f(x) = loga x tinden. Folgende Tabelle stellt die Ableitungen der elementaren Funktionen zusammen (man sollte diese wenigen Formeln auswendig konnen):

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

246

f(x)

J'(x)

c

0

n

nx n - 1

x

eX

In x

5.2.2

auch fUr gebrochenes n

eX 1

x

Differentiationsregeln

(1) Die Behandlung eines konstanten Faktors

Wir wissen bereits, daB f(x) = x 2 die Ableitung J'(x) = 2x hat. Welche Ableitung hat f(x) = -7x 2 ? Sei allgemein f(x) = c· g(x), c ein konstanter, von x unabhangiger Faktor, und g(x) habe die Ableitung g'(x). Wir fragen nach der Ableitung von f(x). Es ist:

J'(x)= lim f(x+6.x)-f(x) = lim cg(x+6.x)-cg(x) ~x--+o 6.x ~x--+O 6.x g = lim c. (x+6.x)-g(x) =c. lim g(x+6.x)-g(x) ~x--+o 6.x ~x--+o 6.x = cg'(x).

Aus f(x) = cg(x) folgt J'(x) = cg'(x). Einen konstanten Faktor kann man vor die Ableitung ziehen.

(5.6)

Regel (5.6) wird auch oft so geschrieben:

(cf(x))' = cJ'(x) oder

d(cf(x)) df d df dx = c dx oder dx (c(J(x)) = c dx'

Immer kommt in dieser Symbolik der dahinter liegende Inhalt zum Ausdruck: Will man das Produkt aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ableiten, so braucht man nur die Ableitung der Funktion mit dem konstanten Faktor zu multiplizieren. Z.B. hat f(x) = logax = Ilnx die Ableitung J'(x) = -11 . ~ = na na x 1 xlna'

5.2. DIFFERENTIATIONSREGELN UND HOHERE ABLEITUNGEN 247

Beispiele: 1)

Man berechne die Ableitung von b) I(x) = -3Inx, -7x 2, 1 , 1 7 f) x(p) pn -1. e) p(x) 7x , n-l Losungen:

a) I(x)

= =

c) u(s) = 5V?",

d) h(t)

= (3a + b)e

l

= __

a) f'(x) = (-7)· 2x = -14x., 2'110, c) u'(s) = 5· 3S3- = 3S-3 =

b) f'(x) = (-3).!.. x

10 30'

=-~X

d) h'(t) = (3a

+ b)e l

f) x'(p) = _1_(n 2 _ l)pn'-2 = (n n-l

e) p'(x) = .!.. . 7x 6 = x 6 ,

7

+ l)pn'-2.

(2) Summenregel

Es sei f(x) die Summe zweier differenzierbarer Funktionen: f(x) = u(x)+v(x). Dann ist . f(x+~x)-f(x) I1m '--'-----'----'--...:-:...

J'(x)

~x__>o

.

I1m

~x__>o

=

(4.12)

=

I'

1m

~x

u(x + ~x) + v(x + ~x) - (u(x) u(x + ~x) - u(x)

~x__>o

~x

+ v(x))

~x

I' v(x + ~x) - v(x) + ~x__>o 1m --'------'---'--'~x

u'(x) + v'(x).

Aus f(x) = u(x) + v(x) folgt J'(x) = u'(x) + v'(x). Eine Summe kann gliedweise differenziert werden. Das gilt auch fUr mehr als zwei Summanden.

(5.7)

Dasselbe gilt fur die Differenz: Aus f(x) = u( x )-v(x) folgt 1'( x) = u'(x )-v'(x). Das folgt unmittelbar aus (5.6) und (5.7), denn f(x) = u(x) - v(x) = u(x) + (-l)v(x). Also J'(x) = u'(x)+((-l)v(x))' = u'(x) + (-l)v'(x) = u'(x)-v'(x). Die Regel (5.7) wird auch oft in einer der folgenden Formen geschrieben:

(u

+ v)' = u' + v' oder

d( u + v) dx

du

dv

= -dx + -dx

d dx

oder - (u

du

dv

+ v) = -dx + -. dx

(5.7) mit (5.6) und (5.2) kombiniert, gestattet das Differenzieren beliebiger PoIynome: 1st f(x) = anx n + an_lX n- l + ... + a2x2 + alX + ao, so ist J'(x) = nanx n- l + (n - 1)a n_lX n- 2 + ... + 2a2x + aI, oder in Summenschreibweise:

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

248

n

n

Aus f(x) = L:akxk folgt f'(x) = L:kakxk-l. k=O

(5.8)

k=O

Man braucht sich (5.8) nicht zu merken, sondern man differenziert einfach wegen (5.7) ein Polynom gliedweise; jedes Glied kann nach (5.2) differenziert werden.

Beispiele: 1)

=

=

Man differenziere /(x) 2x - 3 und allgemein /(x) mx + b. Es ist /(x) = 2x l - 3, also I'(x) = 2· lx l - I = 2x o = 2. Die Konstante -3 fallt beim Differenzieren fort. Die Ableitung ist also die konstante Funktion I'(x) 2. Das war zu erwarten, denn der Funktionswert der Ableitung an einer Stelle Xo gibt die Steigung der Funktion /(x) an dieser Stelle. Die Gerade y = 2x - 3 hat aber iiberall die Steigung 2, also muB die Ableitung iiberall gleich 2 sein, d.h. die konstante Funktion 2. Ebenso ist bei /(x) = mx + b die Ableitung I'(x) = m.

=

2)

Man differenziere

b) /(x) = 0, lx 4 - 2,3x 3 d) v(s) = as 2 +2abs-c

a) /(x) = -2x 2 +x+5 c) u(t) = 2t n + 1 - 3t n + 1 L6sungen:

d/

d/

a)/,(x)= dx =-4x+l

c) u'(t) =

~~

= 2(n + l)t n

+ 0,8x 2 -

8,2x + 6,4 e) E(x) = -x 3 +3x 2 -2x+4

3

2

~:

= 2as + 2ab

b) I'(x) = dx =0,4x -6,9x +1,6x-8,2 -

3nt

n

1

-

d) v'(s) =

dE e) E'(x) = - = -3x 2 + 6x - 2 dx Wie haben hier auch jeweils die Schreibweise als "Differentialquotient" mit angegeben. Der Vorteil dieser Schreibweise besteht darin, daB deutlich erkennbar ist, nach welcher Variablen differenziert wird. 3)

Man differenziere

= =

=

2e x - 31nx + Vi-x b) /(x) -VIxS + 3x 2 - eX a) f(x) 5 4 c) g(t) -3t + t - 20 d) h(u) v'8 + 3(u 2 - 2u + 1) -In 5 L6sungen:

=

a) I' (x) = df = 2e x _ :!. + _1_ - 1 dx x 2Vi '() df 5 L 1 5 6x-e x b) / X =-=--x. + 6x-e =---+ dx 6 6~ dg 1 dh c) g'(t) = dt = -15t 4 + 4t 3 - 0 d) h'(u) = du = 3(2u - 2) = 6u - 6 X

Die Konstanten 3,

v'8 und

- In 5 fallen beim Differenzieren fort.

(3) Produktregel Es sei f( x)

= u( X )v(x)

das Produkt zweier differenzierbarer Funktionen. Dann

5.2. DIFFERENTIATIONSREGELN UND HOHERE ABLEITUNGEN 249

ist

/:::"f

f(x+/:::"x)-f(x)

/:::,.X

/:::,.X

u(x

+ /:::"x) v(x + /:::"x) -

u(x) v(x)

/:::,.x

Addiert man im Zahler den Term -u(x)v(x + /:::"x) + u(x)v(x + /:::"x), der ist und deshalb addiert werden kann, ohne etwas zu verandern, so gilt

/:::"f _ u(x+/:::,.x)-u(x) (

-

-

/:::,.x

Geht hier /:::,.X und es folgt:

") + ux + u ()v(x+/:::"x)-v(x) x " . ux

0 so strebt v( x

--+

f'(x) = lim

~f

Ax-+O uX

I

v x

/:::,.x

=0

= u'(x)v(x)

+ /:::"x)

wegen der Stetigkeit von v gegen v( x)

+ u(x)v'(x).

Aus f(x) = u(x)v(x) folgt j'(x) = u'(x)v(x) +u(x)v'(x)

(5.9)

Die Produktregel (5.9) wird auch oft in einer der folgenden Formen geschrieben:

, , , (uv) = u v + uv oder

d( uv)

du

dv

~ = dx v + u dx

oder

d du dv dx (uv) = dx v + u dx'

In allen diesen Schreibweisen wird der Inhalt symbolisiert, den man in Worten so ausdriicken kann: Die Ableitung eines Produktes aus zwei Faktoren erhalt man so: Ableitung des ersten Faktors mal unverandertem zweiten Faktor plus unveranderter erster Faktor mal Ableitung des zweiten Faktors. Man kann diese Regel auch auf mehr als zwei Faktoren ausdehnen, z.B. gilt:

(uvw)' = u'vw

+ uv'w + uvw'.

Anmerkung: Die Regel (5.6) iiber das Vorziehen eines konstanten Faktors vor die Ableitung kann auch als

= cg(x) = u(x)v(x) mit u(x) = c, = g'(x), also f'(x) = o· g(x) + cg'(x) = cg'(x).

Folgerung aus der Produktregel erhalten werden: f(x)

v(x)

= g(x).

Es ist u'(x)

= 0,

v'(x)

Beispiele zur Produktregel: 1)

= 6xy!X. Es ist u(x) = 6x, v(x) = y!X. f'(x) = 6y!X + 6x 1;;; = 6y'X + 3x y!X = 9y'X. 2y x x

f(x)

KAPITEL5. DWFERENTMLRECHNUNG

250

2)

f(x)=(x 2 -x+1)lnx.

3)

h(z)

= xz 2 e

z

= (2x -

f'(x)

1)lnx +

x2

-

+1

x

x

.

.

Hier ist die Variable, nach der differenziert werden soli, z. x ist ein sogenannter Parameter, der als fest aufgefaBt wird. Das kommt in der Bezeichnung der Funktion als h(z) zum Ausdruck. Wiirde man x hier auch noch als variabel auffassen, so hiitte man eine Funktion h(x, z) von zwei Variablen (siehe 5.5). Hier ist x also eine Konstante und es gilt:

h'(z)

4)

= 2xze Z + xz 2 ez = xzeZ(z + 2).

u(t) = 2t 2 1n t . et .

u(t) ist ein Produkt von 3 Faktoren. 1 u'(t) = 4t In t . e + 2t 2 et + 2t 2 1n t . et = 2te t (2ln t + t In t t

t

+ 1).

(4) Quotientenregel f(x) sei ein Quotient differenzierbarer Funktionen: f(x) =

~~;?

Es ist dann

u(x + ~x) u(x) --v(x + ~x) v(x) Durch einen ahnlichen Trick wie bei der Herleitung der Produktregel ergibt sich

'( ) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x) f X (V(X))2 . Aus f() x

= u(x) f 1

v(x)

0

gt

f'() = u'(x)v(x) - u(x)v'(x) x

(v(x))2

(5.10)

.

Fiir die Quotientenregel sind auch die folgenden Schreibweisen gebrauchlich:

( ~)' = u'v vV

uv' 2

oder

dx

=

du dv -v-udx dx

oder

~ (~) dx v

du dv -v-udx dx = v2

Anmerkung: Die wichtige Potenzregel (5.2) gilt auch fiir negative Exponenten, d.h. aus f(x) = x- n folgt

f'(x)

= (_n)x- n -

f '() X

= O·x

n

1

.

Es ist niimlich f(x)

1 n-l - x ·nx 2n

= x- n = x1n '

u(x)

= (-n) xn-1-2n = ( -n ) x -n-l .

= 1,

v(x)

= xn ,

5.2. DIFFERENTIATIONSREGELN UND HOHERE ABLEITUNGEN 251 Beispiele: 1)

f(x)

= 2x 2 -

2)

f(x)

= ~. x - eX

5x + 6. -x+2 I _ (4x - 5)(-x + 2) - (2x 2 - 5x + 6)(-1) _ -2x 2 + 8x - 4 f(x)(-x+2)2 (-x+2)2 .

f'(x)

3)

=

.!(x - eX) -lnx(l- eX) x (x _ eX )2

az 2 - 1 u(z) = bz2 + 1 . u'(z)

= du = 2az(bz 2 + 1) -

2 (az - 1)2bz (bz 2 + 1)2

dz

4)

x(t) =

sVt - In t

.

(bz 2 + 1)2

.

3ro' Gesucht 1St -d's wud also als konstanter Parameter aufgefaflt.

t~s

x'(t) = dx dt

dx t

= 2z(a + b) .

=

( _s 2Vt

_~) tifS t

(sVt -In t)ifS

t 2( ifS)2

=

=

s ifS [( -2 Vt - 1) - (sVt -In t)] t 2( ifS)2 Int -

~Vt-l

2 t 2ifS

------:::--:=,.---

(5) I<ettenregel in 4.3.1 haben wir schon die Verkettung von Funktionen besprochen, d.h. das Einsetzen von Funktionen in andere Funktionen. Z.B. HiBt sich f(x) = V2x 2 -x+1 schreiben als f(x) = u(v(x)). Es ist hier u(v) = yIV, v(x) = 2x 2 - X + 1. u ist die iiuBere, v die innere Funktion. Sei jetzt f(x) = u(v(x)) und u(v), v(x) seien differenzierbar. Dann gilt fUr den Differenzenquotienten

f(x

+ ~x) -

f(x)

~x

u(v(x + ~x)) - u(v(x)) ~x

Nun ist aber ~v = v(x + ~x) -v(x) also v(x + ~x) = ~v + v. Setzen wir das oben ein und erweitern mit ~v, ~o ergibt sich fiir den Differenzenquotienten

f(x

+ ~x) - f(x) ~x

Mit

~x

geht auch

~v

u(v+~v)-u(v) ~v ~v

~x·

gegen 0 und wir erhalten die sogenannte Kettenregel:

l' (x) = u'(v) v'(x )

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

252

Aus f(x)

== u(v(x)) folgt f'(x)

(5.11)

= u'(v)· v'(x)

Man differenziert eine verkettete Funktion, indem man zunachst die aufiere Funktion differenziert und deren Ableitung mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert. Suggestiv ist die folgende Schreibweise: Fur eine Funktion u(v( x)) gilt:

du dx

-

du dv

dv dx·

-. -

(5.12)

(5.12) lafit sich sofort fur mehrere ineinandergeschachtelte Funktionen erweitern, z.B. ist fur die Funktion u(v(w(x))):

du du dv dw -.-.dx dv dw dx In den folgenden Beispielen fuhren wir aile Schritte in Nebenrechnungen wirklich aus; bei einiger Ubung hat man das dann nicht mehr notig. -

Beispiele: 1)

= v2x 2 - X + 1. Es ist f(x) = u(v(x)) mit u(v) = yIV, v(x) = 2x 2 - X + 1. Es ist u'(v) = 2~' v'(x) = 4x - 1, f'(x) = 4;;/. Damit das eine Funktion von x ist, f(x)

muB fUr v wieder v(x) = 2x 2 -

X

+ 1 eingesetzt

werden: f'(x) =

2)

f(x) = (x 2 +1)5=U(V(X)) mit u(v)=v 5 und v(x)=x 2 +1. u'(v) = 5v 4 , v'(x) = 2x. f'(x) = 5v 4 . 2x = lOx(x 2 + 1)4

3)

f(x)=e-x=u(v(x)) mit u(v)=e v und v(x)=-x. f'(x) = eV (-1) = _e- x .

4x - 1 . 2v2x 2 - X + 1

4)

f(x) = aX = e x .ln a. Ebenso wie in 3) erhiilt man f'(x) = In a· eX In a = (In a)a x . Damit haben wir die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion gefunden: Aus f(x) =a X folgt f'(x) = (lna)a x .

5)

f(x)

6)

h(t) = [In(6t -1)]2. h(t)=u(v(w(t))) mit u(v)=v 2, v(w)=lnw, w(t)=6t-l.

7)

= In(x 2 + 1) = u(v(x)) 1 2x f'(x) = - . 2x = --. V x2 + 1 1 = -, w

u'(v)

= 2v,

h'(t)

= 2v . :;;; . 6 = 21n( 6t -

v'(w) 1

mit u(v)

w'(t)

= Inv, v(x) = x 2 + l.

= 6.

1 12 In( 6t - 1) 1) . 6t _ 1 . 6 = 6t _ 1 .

f(x) = x 2e- 2x '+1. Hier miissen Produkt- und Kettenregei kombiniert werden:

f'(x) = 2xe- 2x '+1

+ x 2e- 2x '+1

. (-4x) = 2xe- 2X '+1(1_ 2x 2).

5.2. DIFFERENTIATIONSREGELN UND HOHERE ABLEITUNGEN 253

8)

I(x)

= xv'illX. 2 - 1

Hier ist die Quotientenregel mit der Kettenregel zu kornbinieren: 1 1 2 r,-x2 - 1 r,-- _ . -(x -1) - vlnx· 2x - - - - 2xvlnx f' (x) = 2v'illX x .::;2x::..v'illX~lo.;:n;.:;x:----..,...,...,,_ _ (x 2 - 1)2 (x 2 - 1)2

9)

10)

=

Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) 0, 05x 3 - 2x 2 + 65x + 220. Man errnittle rnittels des Differentials von K(x) die Anderung der Kosten, wenn die Ausbringungsrnenge x bei Xo = 12 Mengeneinheiten urn 0,5 Einheiten gesenkt wird. Es ist K'(x) = 0, 15x 2 - 4x + 65, also dK = (0, 15x 2 - 4x + 65)dx. Wir haben x = 12 und dx = -0,5 zu setzen, also dK = (0,15 . 12 2 - 4 . 12 + 65)( -0,5) = -19,3. Die Kosten nehrnen naherungsweise urn 19,3 Einheiten abo Die genaue Funktionsdifferenz AK ist gleich -19,36; ihre Berechnung ist wesentlich aufwendiger. 10 8t an to Man errnittle die Steigung der logistischen Funktion I(t) = 1 + e- 0 , und gebe die Gleichung der Tangente an die Kurve an dieser Stelle an. -10(-0,8)e- O,Bt 8e- O,Bt I'(t) -..,...,----..,,= O (1 + e- ,8t)2 - (1 + e- O,Bt)2' 8e- O,B.I,5 1'(1,5) = (1 +e 08.15)2 ' , = 1,4232.

= 1,5

Die Steigung der Kurve an to = 1,5 betragt 1,4232. Es ist 1(1,5) = 7,6852. y = 1, 4232( t - 1,5) + 7, 6852 = 1, 4232t + 5, 5504 lautet die Gleichung der gesuchten Tangente.

11)

Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) = 0, 6x + 100. Man errnittle rnittels des Differentials die Senkung der Stiickkosten, wenn bei xo = 100 die Produktion urn 5 Einheiten erhoht wird. . k() 100. dk -_ _ 10 0 dx . Es 1st x -- 0 , 6 + , k'( x ) -- - -100 2' X

X

x2

100 5 dk = - 100 2 ·5 = - 100 = -0,05. Die Stiickkosten sinken urn 0,05 Einheiten. Die genaue Funktionsdifferenz Ak betragt -0,0526.

5.2.3

Hahere Ableitungen

Wenn die erste Ableitung j'(x) einer Funktion j(x) wieder differenzierbar ist, so kann man sie erneut ableiten: (J'(x))' heiBt dann die zweite Ableitung von j(x) und wird mit j"(x) (gelesen: j zwei gestrichen von x) bezeichnet. Diesen ProzeB der sukzessiven Ableitung kann man fortsetzen und gewinnt so nacheinander die dritte Ableitung j"'(x), die vierte jUVl(x) usw. bis zur n-ten Ableitung j(nl(x). Man kann die n-te Ableitung folgendermaBen rekursiv definieren. (5.13)

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

254

Einen ProzeB rekursiv definieren, bedeutet, seinen n-ten Schritt zu definieren, wenn man aIle Schritte bis (n - 1) schon gegangen ist. In der Tat wird in der Forme! (5.13) vorausgesetzt, daB man die (n - 1)-te Ableitung schon hat. Die n-te Ableitung ist dann die Ableitung der (n - I)-ten. Was ableiten, d.h. die Operation 0' bedeutet, muB anderweitig definiert sein. Fiir die n-te Ableitung sind auch folgende Bezeichnungen gebrauchlich:

dnf(x) dn -d-(gelesen: d n f(x) nach dx hoch n) oder -d f(x) (gelesen: d n nach xn xn dx hoch n f(x) ). Beispiele: 1)

f(x)=x 4 -3x 3 +x 2 -x+1 f'(x) = 4x 3 - 9x 2 + 2x - 1 f"(x) f'''(x) fUVl(x) f(vl(x)

= = = =

12x 2 - 18x + 2 24x - 18 24 f(Vl)(x) = ... = 0

2)

f(x)=e- x , f'(x)=-e- x , f"(x)=e- x , f'''(x)=-e-x,usw. f(nl(x) (_1)n e-x.

3)

f(x)

=

=~,

f'(x) = - x12 '

f"(x) =

:3'

f"'(x) = -

2~43,

fUVl(x) = 2

':5'

4, usw.

I

f(nl(x) = (-W~· x n +1

Die zweite Ableitung wird bei der Untersuchung des Kriimmungsverhaltens (5.3.2) eine wichtige Rolle spielen. Der Funktionswert f'(xo) der ersten Ableitung ergab die Steigung der Funktion f( x) an Xo; entsprechend ist 1"(xo) die Steigung der ersten Ableitung 1'( x) an Xo· Beispiele: 1)

Welche Steigung hat die erste Ableitung von f(x) = x 3 - x 2 + x-I an XQ Es ist f'(x) = 3x 2 - 2x + 1, f"(x) = 6x - 2, 1"(2) = 6·2 - 2 = 10. Die Steigung der ersten Ableitung f'(x) an

XQ

= 2 ist 10.

=2 ?

5.3.

UNTERSUCHUNG DES VERHALTENS VON FUNKTIONEN...

255

Untersuchung des Verhaltens von Funktionen mittels ihrer Ableitung

5.3

5.3.1

Steigungsverhalten

1st eine Funktion f(x) gegeben, z.B. eine Gewinnfunktion, so interessiert man sich dafiir, in welchem Bereich der unabhiingigen Variablen die Funktion steigt und in welchem sie fiiUt. Da J'(x) die Steigung angibt, wird also f(x) monoton wachsen oder steigen, faUs J'(x) > 0 (positive Steigung), f(x) wird monoton fallen, falls J'(x) < 0 (negative Steigung) (Abb. 5.10 u. 5.11). y

y

x

x

f'(Xo»O f(x) steigend in der Umgebung von Xo

f'(Xo)
Abb. 5.10 und 5.11 1st J'(x) > 0 in einem Intervall I, so steigt f(x) in I monoton. 1st J'(x) < 0 in einem Intervall I, so fiillt f( x) in I monoton. Beispiele: 1)

f(x)=x 2 -4x-3. Es ist f'(x) = 2x - 4. f'(x) > 0 fUr 2x - 4> 0, d.h. fUr x > 2. Fiir x> 2 ist f(x) monoton wachsend. f'(x) < 0 fiir x < 2. Dort ist f(x) monoton fallend (Abb. 5.12).

2)

f(x)=x 3 -3x 2 -x+3. f'(x}=3x 2 -6x-1. Wir berechnen die Nullstellen von 1', urn herauszufinden, wo f'(x)

= 0 ergibt x 2 -2x- ~ = O.

XI,2

= 1±~;

Xl

I'

> 0 und wo

= 2,1547;

X2

f' < 0 ist.

= -0,1547.

Fiir x < -0,1547 ist f'(x) > 0, fUr -0,1547 < x < 2,1547 ist f'(x) < 0, fUr x > 2,1547 ist f'(x) wieder> 0 (das findet man leicht durch probeweises Einsetzen von Werten). Also ist f(x) fiir x < -0,1547 und fUr x > 2,1547 monoton wachsend, fiir -0,1547 < x < 2,1547 monoton fallend (Abb. 5.13)

256

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

y=f(x) -2

x

-2

f'(x)
f'(x»O

f'(x»O

f'(x)
f'(x»O

f(x) fallt

f(x) steigt

f(x) wachsend

f(x) fallend

f(x) wachsend

Abb. 5.12 und 5.13

5.3.2

Kriimmungsverhalten

Neben der Tatsache des Steigens oder Fallens einer Funktion interessiert auch die Art des Steigens oder Fallens: steigt die Funktion progressiv oder degressiv, fallt sie iiberlinear oder unterlinear? Wir erinnern uns, daB diese Eigenschaften damit zusammenhangen, ob eine Funktion konvex oder konkav ist (vgl. 4.3.3). Die Frage, ob der Graph einer Funktion f(x) konvex oder konkav gekriimmt ist, kann man mittels der zweiten Ableitung f"( x) beantworten. Betrachten wir eine konvexe Funktion f(x) (Abb. 5.14). Die Steigung einer solchen Funktion ist y

Steigung Steigung = -2 = -0,5

Steigung Steigung =1 = 2.5

x

Abb. 5.14 monoton wachsend (in Abb. 5.14 haben wir vier x- Werte fixiert; man sieht, daB die Steigung standig zunimmt). Die Funktion 1'( x), welche ja die Steigung darstellt, ist also monoton wachsend. Folglich muB die Ableitung dieser Funk-

5.3.

UNTERSUCHUNG DES VERHALTENS VON FUNKTIONEN...

257

tion, und das ist ja gerade f"(x), nach 5.3.1 positiv sein. Entsprechend ist fur konkaves f(x) die zweite Ableitung f"(x) negativ. Es gilt auch die Umkehrung, also 1st in einem Intervall 1"( x) > 0, so ist f( x) in diesem Intervall konvex. 1st in einem Intervall f"(x) < 0, so ist f(x) in diesem Intervall konkav. Dies mit 5.3.1 kombiniert, ergibt folgende Tabelle zur Charakterisierung des Verhaltens von Funktionen mittels der 1. und 2. Ableitung:

l' > 0, 1" > 0, d.h.

1 konvex

d.h.

1 monoton wachsend I' < 0, d.h. 1 monoton faUend

~

1 wachsend, konvex 1 wachst progressiv

1" < 0, d.h.

1 konkav

/

1 wachsend, konkav 1 wachst degressiv

~

1 faUend, konvex 1 faUt unterlinear

(schwacher

als linear)

~

1 faUend, konkav 1 WIt iiberlinear

(starker als

linear)

Beispiele: 1)

=

Gegeben sei die ertragsgesetzliche Kostenfunktion K(x) 0, lx 3 - 3x 2 + 75x + 1000; es ist ihr Wachstumsverhalten zu untersuchen. Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion muB bestandig wachsen. Wir iiberpriifen das zunachst anhand der ersten Ableitung (sie muB fiir aile x positiv sein). K'(x) = 0, 3x 2 - 6x + 75. Fiir x = 0 ist K'(x) = 75 > O. Wenn K'(x) keine Nullstelle hat, dann liegt sie ganz iiber der x-Achse, ist also stets > O. Fiir die Berechnung der Nullstellen haben wir x 2 - 20x + 250 = 0; Xl,2 = 10 ± Vl00 - 250 = 10 ± V-150. Es gibt keine reellen Nullstellen. Also: I<'(x) > 0 flir aile x: K(x) ist iiberall wachsend. Es ist K"(x) = 0,6x-6. K"(x) < 0 flir 0, 6x-6 < 0, d.h. flir x < 10. K"(x) > 0 flir x> 10. K(x) ist also bis x 10 degressiv wachsend, ab x 10 progressiv wachsend.

=

=

258

2)

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

I(x) =.!.. Es ist f'(x) = -~. Das ist fUr aile x auBer fUr x = 0 negativ, d.h. I(x) x x ist in seinem Definitionsbereich (x :I 0) durchweg fallend. 2 f"(x) = 3' f"(x) < 0 fUr x < 0 und f"(x) > 0 fUr x > O. I(x) ist konkav, d.h., x

3)

da es fallend ist, starker als linear fallend fUr x < O. Fur x > 0 ist I(x) konvex. Da es fallend ist, ist es also fUr x > 0 schwacher als linear fallend. (s. Abb. 4.74). x2 I 2x(x 2 +1)-x 2 ·2x 2x I(x) = x 2+1; I(x)= (x2+1)2 = (x 2 +1)2'

f"(x)

= 2(x 2 + 1)2 -

2x· 2(x 2 + 1)· 2x 2 (x + 1)4

= (x 2 + 1)(2x 2 + 2 (x 2 + 1)4

8x 2)

= -6x 2 + 2

(x 2 + 1)3' 2 Wegen (x + 1)2 > 0 fUr aile x wird das Vorzeichen von f'(x) yom Zahler bestimmt: f'(x) > o fUr x > 0 und f'(x) < 0 fUr x < O. Also wachst I(x) fur x > 0 und fiillt fUr x < O. Ebenso wird bei der zweiten Ableitung das Vorzeichen durch den Zahler bestimmt: 1 (l f"(x) < 0 bedeutet -6x 2 + 2 < 0, d.h. 6x 2 > 2, x 2 > 3' Ixl > 3 = 0,5774.

V

Fur x < -0,5774 und x > 0,5774 ist f"(x) < 0, dort ist also I(x) konkav. Fur -0,5774 < x < 0,5774 ist f"(x) > 0, dort ist also I(x) konvex (s. Abb. 4.35).

5.3.3

Extrema und Wendepunkte

(1) Lokale Extrema

Man interessiert sich in den Wirtschaftswissenschaften vielfach fUr Extremwerte (Maxima oder Minima): Bei welcher Ausbringungsmenge ist der Gewinn maximal? Bei welchem Output sind die Stiickkosten minimal? Wo liegt das Minimum der G,renzkosten (s. 5.4) usw. Wir wollen zunachst die Begriffe lokales (oder relatives) Maximum und lokales (oder relatives) Minimum klaren und Wege angeben, wie man diese Punkte findet. Man sagt, f(x) hat an Xo ein lokales oder relatives Maximum (Minimum), wenn f(xo) in einer Umgebung von Xo der groBte (kleinste) Funktionswert ist (Abb. 5.15,5.16). Wie findet man bei gegebener Funktion, die wir als zweimal differenzierbar mit stetiger 2. Ableitung, d.h. als hinreichend glatt, voraussetzen, diese Punkte? Aus den Abbildungen 5.15 und 5.16 ist unmittelbar ersichtlich, daB die Steigung von f(x) an der Stelle eines relativen Maximums oder eines relativen Minimums gleich Null sein muB: Die Tangente an die Kurve ist parallel zur x-Achse. Das

5.3.

UNTERSUCHUNG DES VERHALTENS VON FUNKTIONEN...

y

259

y

f(Xo) 1-------::::..--......-.;;;::----

f(Xo) 1-------:::::.-......=----

x

x

Abb. 5.15 und 5.16 heiBt aber: an der Stelle Xo eines relativen Extremums ist J'(xo) = O. Ein erster Schritt, urn die relativen Extrema einer Funktion f( x) zu finden, besteht also in der Berechnung der Nullstellen der ersten Ableitung. Denn wenn Xo Stelle eines relativen Extremums ist, so gilt notwendigerweise j'(xo) = O. An Stellen mit J'(xo) 1= 0 kann bei glatten Funktionen kein relatives Extremum liegen. Die Bedingung j'(xo) = 0 ist aber allein nicht hinreichend fUr ein relatives Extremum. Das zeigt die Funktion f(x) = x 3 + 1. Die 1. Ableitung j'(x) = 3x 2 hat eine einzige Nullstelle Xo = O. Dort ist also die Tangente an die Kurve y = x 3 + 1 parallel zur x-Achse. Ein relatives Extremum von f(x) liegt aber an Xo = 0 nicht vor (Abb. 5.17). Was unterscheidet diese Situation von der bei relativen Extrema, wie sie in Abb. 5.15 und 5.16 dargestellt sind? Offenbar liegt an Xo ein relatives Maximum vor, wenn dort die Steigung 0 (J'(xo) = 0) und die Funktion in der Umgebung (von unten) konkav ist, d.h. J"(xo) < 0 ist. Ein Minimum liegt vor, wenn J'(xo) = 0 und die Funktion (von unten) konvex ist, d.h. fUr J"(xo) > 0 ist. Es gelten also fUr glatte Funktionen f(x) (genauer gesagt, fUr solche, deren 1. und 2. Ableitung existieren und deren 2. Ableitung eine stetige Funktion ist) folgende hinreichende Bedingungen fur relative Extrema:

260

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

y

f(x)= 0+1

x

Abb. 5.17 1st f'(xo) = 0, f"(xo) > 0, so ist Xo Stelle eines relativen Minimums. 1st f'(xo) = O,J"(XO) < 0, so ist Xo Stelle eines relativen Maximums. Anmerkung: Meist werden diese Bedingungen auswendig gelernt; eine Klippe besteht dann darin, sich zu merken, was bei f"(XO) < 0 bzw. was bei f"(xo) > 0 vorliegt. Wenn man die geometrische Bedeutung der 1. und 2. Ableitung verstanden hat, kann man die Bedingungen aus den Skizzen 5.15 und 5.16 unmittelbar ablesen.

Beispiele: 1)

Man bestimme die lokalen Extrema von f(x)

= x2+ X -

6.

+ 1, r(x) = 2. F(x) = 0 liefert 2x + 1 = 0, Xo = -~ Da F'(x) = 2 > 0 fiir aile x, also auch fUr Xo, ist Xo Stelle eines relativen Minimums von f(x). Der minimale Funktionswert ist f(-~) = -6~. Man bestimme die lokalen Extrema von f(x) = 2x 3 - 3x 2 - 12x + 6. Es ist f'(x) = 6x 2 - 6x - 12, r(x) = 12x - 6, F(x) = 0 ergibt x 2 - x - 2 = O. Es ist F(x) = 2x

2)

XI,2=~±J~+2=~±~.

3)

xI=2, X2=-1.

Weiterhin ist r(xd = 12·2 - 6 = 18 > O. An Xl = 2 hat f(x) also ein relatives Minimum. r(X2) = 12(-1) - 6 = -18 < O. An X2 = -1 hat f(x) ein relatives Maximum. Es ist f(-I) = 13, f(2) = -14 (Abb.5.18). Man bestimme die relativen Extrema von f(x) = 4xe- 2x . F(x) = 4e- 2x + 4x( _2)e- 2x = 4e- 2x (1 - 2x), r(x) = 4( -2)e- 2x (1 - 2x) + 4e- 2x ( -2) = 16e- 2X (x - 1). f' (x) = 0: 4e- 2x (1- 2x) = O. Da 4e- 2x stets > 0 ist, kann die Gleichung nur bestehen, wenn 1- 2x = 0 ist. Das hat die Lasung Xo

=~.

r (~) = 16e-

1

(-~) = -~ < O.

5.3.

UNTERSUCHUNG DES VERHALTENS VON FUNKTIONEN...

-3

4

261

x

Abb. 5.18

f(x) hat an XQ =

~e ~ 0,7358.

~ ein relatives Maximum.

Der maximale Wert ist f

(~)

=

4.~e-1

=

Abb. 5.19 zeigt f(x). y

-1

4)

1

2

2 Abb. 5.19

J«x) = 0, 1x 3 - 3x 2 + 75x + 1000 sei eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion. welchem Output x sind die variablen Stiickkosten minimal? Es ist (4.21) kv(x) = 0, lx 2

-

Bei

3x + 75, k~(x) = 0, 2x - 3, k~(x) = 0,2.

= 0: 0,2x - 3 = 0, XQ = 15. k~(xQ) = 0,2 > O. von XQ = 15 ME ein relatives Minimum. k~(x)

5)

3

kv(x) hat fUr einen Output

Wie muB eine zylindrische Konservendose von 1 Liter (=1000 cm 3 ) Inhalt beschaffen sein, damit sie eine minimale Oberflache hat? Wir nennen den Radius des Zylinders x, seine Hohe h (Abb. 5.20). Dann gilt fiir das Volumen V = 1rX 2 . h, also 1000 = 1rX 2 . h.

Flir die Oberflache 0 (2 Deckel + Mantelflache) gilt: 0 = 21rx 2 + 21rXh. 0 hangt noch von zwei Variablen, von x und h abo h konnen wir aber aus der Gleichung 1000 = 1rx 2 h

durch x ausdrlicken: h = 100~. Setzen wir das in 0 ein, erhalten wir 0 also Funktion 1rX von x: _ 2 1000 _ 2 2000 , _ 2000.,,( _ 4000 O(X)-21rX +21rx'--27rx +--, o (X)-41rX--2- , 0 x)-41r+-3- . 1rX 2 X X X . 0'( x ) = 0, so ergl'b t SIC . h 41rx = -2000 . d er Losung Setzen wlr 2 - b ZW. X3 = -500 mIt x

1r

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

262

Abb. 5.20

Xo

= ~500 --:;;:-

~

5,42 em.

Q"(x)

Minimum, wie verlangt.

= 47r + :~02~ ,

> O. Es handelt sieh also urn ein

1000

Bereehnen wir noeh das zugehorige h: h

7rj

c~or

__ 1000 7r.

~500

--:;;:- __ 2 ~ 500

5~0

7r .

Das ist gerade 2xo, d.h. der Durehmesser der Dose. Die optimale Dose hat also einen quadratisehen Quersehnitt; der Durehmesser betragt 10,84 em, die Hohe betragt ebenfalls 10,84 em.

Anmerkung: Alles bisher Gesagte iiber relative Extrema galt nur fUr glatte Funktionen. Aber aueh fUr Funktionen, die stetig und bis auf einzelne Eeken oder Spitzen glatt sind, liefert die erste Ableitung, wenn man sie links und reehts der Eeke betraehtet (an der Eeke selbst existiert sie ja nieht) ein Kriterium fUr relative Extrema: 1st in einer Umgebung links von Xo f'(x) < 0, in einer Umgebung reehts von Xo dagegen /'(x) > 0, so liegt in Xo ein relatives Minimum vor (Abb. 5.21). 1st in einer Umgebung links von Xo f'(x) > 0, in einer Umgebung reehts von Xo dagegen f'(x) < 0, so liegt in Xo ein relatives Maximum vor (Abb. 5.22).

y

y

,

:"0 f'(x)
f'(x»O

x Abb. 5.21 u. 5.22

x

5.3.

UNTERSUCHUNG DES VERHALTENS VON FUNKTIONEN...

263

Beispiele: 1)

Man untersuche f(x)

= Ixl an XQ = 0 auf relative Extrema.

. f() x -_ Es 1St

fUr fUr

{-x

x

x<> 00 }

x

.

f'(x) = -1 links von XQ = O. f'(x) = 1 rechts von XQ. f(x) ist stetig. Also liegt bei XQ = 0 ein relatives Minimum von f(x) vor (Abb. 5.23). y

f'(x)
f'(x)
x

Abb. 5.23

2)

= {x 22 -

2x + 1 fUr x < 2} x - 6x + 9 fUr x > 2 Man untersuche f(x) an XQ = 2 auf Extrema. Fiir x < 2 gilt f'(x) = 2x - 2. In der Niihe von XQ = 2, etwa fUr 1,5 < x < 2, ist das > O. Fiir x > 2 gilt f'(x) 2x - 6. in der Niihe von XQ 2, etwa fiir 2 < x < 2,5 ist das < O. f(x) ist eine stetige Funktion, denn fiir XQ 2 stimmen beide Zweige iiberein: f(xQ) = 1. Also ist XQ = 2 Stelle eines relativen Maximums (Abb. 5.24). f(x)

=

= =

y

x

Abb. 5.24

264

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

(2) Absolute (globale) Extrema Betrachten wir zunachst als Beispiel die in Abb. 5.18 dargestellte Funktion f(x) = 2x 3 - 3x 2 - 12x + 6 im Intervall [-4,5]. Es ist f( -4) = -122. dieser Wert ist erheblich kleiner als der Funktionswert -14 an der Stelle des relativen Minimums. Ebenso ist f(5) = 121 erheblich groBer als der Funktionswert 13 an der Stelle des relativen Maximum. Hat eine Funktion in einem Intervall [a, b] ein relatives Minimum, so braucht dies nicht das Minimum der Funktionswerte im ganzen Intervall zu sein; dasselbe gilt analog fUr ein relatives Maximum. Die relativen Extrema sind immer nur Extrema im bezug auf ihre Umgebung. Das fiihrt uns auf folgenden Begriff: Xo heiBt Stelle eines absoluten (globalen) Maximums (Minimums) einer Funktion f(x) in einem Intervalll, wenn f(xo) der groBte (kleinste) Funktionswert in 1 ist.

Der Begriff des absoluten oder globalen Extremums hat nur Sinn in Bezug auf ein vorgegebenes Intervall.

In unserem obigen Beispiel ist Xo = -4 Stelle des ahsoluten Minimums von f( x) in [-4,5] und Xl = 5 Stelle des absoluten Maximums von f(x) in [-4,5]. Es fallt auf, daB hier die absoluten Extrema am Rand des Intervalls angenommen werden. Allgemein gilt: Das absolute Maximum (Minimum) einer Funktion f(x) in einem Intervall [a, b] ist entweder eines der in [a, b] liegenden relativen Maxima (Minima) von f(x) oder es ist einer der Randwerte. Es kann natiirlich in [a, b] mehrere x- Werte geben, in denen das absolute Maximum (Minimum) realisiert ist; sie liefem dann alle den gleichen maximalen (minimalen) Funktionswert. Das obige Kriterium zeigt uns auch den Weg zur Bestimmung des absoluten Maximums (Minimums) einer Funktion in einem gegebenen Intervall [a, b]: Wir bestimmen zunachst diejenigen relativen Maxima (Minima), die in diesem Intervallliegen, und vergleichen sie mit den Randwerten f(a), f(b). Bei einer Funktion f( x), die in [a, b] keine relativen Extrema hat, wissen wir also von vorneherein, daB die Extrema, die dann absolute Extrema sind, am Rand des betrachteten Intervalls angenommen werden. Das gilt insbesondere fUr lineare Funktionen.

5.3.

UNTERSUCHUNG DES VERHALTENS VON FUNKTIONEN...

265

Beispiele: 1)

f(x) = Ixl im Intervall [-2,1]. f(x) hat keine relativen Maxima. Es ist f(-2) = 1- 21 = 2, f(l) = 1. Also ist -2 Stelle des absoluten Maximums von f(x) in [-2,1]. f(x) hat an XQ = 0 ein relatives Minimum mit f(O) = O. Kleinere Werte nimmt f(x) nirgends an, also ist das auch das absolute Minimum in [-2,1] (Abb. 5.25). y

-2

-1

2

x

Abb. 5.25 2)

3)

f(x) = 2x - 6, betrachtet in [1,3]. Diese Funktion ist linear, hat also keine relativen Extrema. Da sie wachst, liegt bei XQ = 1 das absolute Minimum in [1,3] mit f(l) = -4, bei Xl = 3 das absolute Maximum in [1,3] mit f(3) = O. f(x) = 4xe- 2x , betrachtet in [0,5] (Abb. 5.19). XQ = ! ist Stelle des absoluten Maximums in [0,5], da f(O) und f(5) beide kleiner als f (!) sind. Das absolute Minimum der Funktion im betrachteten Intervall liegt bei X = 0 (f(0) = 0, aile iibrigen f(x) sind> 0).

4)

Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist dadurch charakterisiert, daB sie zunachst degressiv, dann progressiv wachst, auf jeden Fall also keine relativen Extrema besitzt. Das absolute Maximum der Kosten liegt in einem solchen Fall also am rechten Rand des okonomischen Definitionsbereichs, den man die Kapazitatsgrenze nennt: Bei ertragsgesetzlichen Kostenfunktionen liegt das Maximum der Kosten an der Kapazitatsgrenze (Abb. 5.26). absolutes Kostenmaximum

K

x Kapazitatsgrenze

Abb. 5.26

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

266

(3) Wendepunkte Fiir die in Abb. 5.26 gezeichnete Kostenfunktion ist der eingezeichnete Punkt W ein interessanter Punkt, denn an dieser Stelle geht das degressive in progressives Wachstum iiber. Allgemein nennt man Xo Stelle eines Wendepunktes von f(x), wenn in Xo konkaves in konvexes oder umgekehrt, konvexes in konkaves Verhalten iibergeht. Wir hatten in 5.3.2 fiir konvexes (konkaves) Verhalten als charakteristisch erkannt, daB dort die Steigung wachst (fallt). Beim Ubergang des Kriimmungsverhaltens muB also die Steigung einen relativen Extremwert haben: Geht konkaves in konvexes Verhalten iiber, hat sie ein relatives Minimum (Abb. 5.27), im umgekehrten Fall ein relatives Maximum (Abb. 5.28). Demnach hat an einem Wendepunkt von f( x) die Steigung von f( x) ein relatives y

x

x

Abb. 5.27 und 5.28 Extremum. Die Steigung wird aber gerade durch die Funktion f' (x) gegeben. An einem Wendepunkt von f(x) hat also f'(x) ein relatives Extremum. Also ist hinreichend fUr einen Wendepunkt von f(x), daft die erste Ableitung von f'(x), das ist aber gerade f"(x), gleich 0 ist, und die zweite Ableitung von f'(x), d.h. f"'(x), grafter oder kleiner 0 ist. Zusammenfassend kannen wir feststellen:

f (x)

sei dreimal differenzierbar und fill (x) sei stetig. 1st an der Stelle Xo =1= 0, so ist Xo Stelle eines Wendepunktes von f(x).

f"(xo) = 0 und flll(XO)

Beispiele: 1)

Man bestimme die Wendepunkte der ertragsgesetzlichen Konstenfunktion f(x) = 0, lx 3 - 3x 2 + 75x + 1000. f'(x)=0,3x 2 -6x+75, f"(x)=0,6x-6, f'''(x)=0,6. f"(x) = liefert 0,6x - 6 = 0, d.h. XQ = 10. f"'(xo) = 0,6 =F 0. Also hat f(x) an

°

5.3.

UNTERSUCHUNG DES VERHALTENS VON FUNKTIONEN...

x

2)

=

XQ

einen Wendepunkt, die Koordinaten dieses Wendepunktes sind (10,1550).

Man bestimme die Wendepunkte von f(x) = 4xe- 2x (s. Abb.5.19). f'(x) = 4e- 2x (1- 2x), f"(x) = 16e- 2X (x -1) f'l/(x) = 16e- 2X (3 - 2x). f"(x) = 0: 16e- 2x (x - 1) = O. Wegen 16e- 2x :p 0 fUr aile x mull x-I = 0 sein, also XQ = 1.

1'1/(1)

= 16e- 2 (3 -

Koordinaten (1,

3)

267

2)

e; ).

= e1~ :p

O. f(x) hat einen Wendepunkt an

XQ

= 1 mit

den

Man bestimme die Wendepunkte von f(x) = x 4 - 10x 2 + 9. f'(x) = 4x 3 - 20x, f"(x) = 12x 2 - 20, f"'(x) = 24x.

f"(x)

= 0:

12x 2

-

20

= 0,

x2

5 = 3'

Xl,2::::::

±1, 29.

= -24·1,29 < 0, 1"'(1,29) = 24·1,29> O. Die Funktion hat Wendepunkte an Xl = -1,29 und an X2 = 1,29 (Abb. 5.29).

1"'( -1,29)

y 15

f(x)

10

-5

-4

4

-

5

X

Abb. 5.29

5.3.4

Kurvendiskussionen

Wir hatten uns in 4.1. eine Vorstellung yom Veriauf des Graphen einer Funktion mittels einer Wertetabelle gemacht. Eine solche Skizze ist in der Regel recht grob, da man die fur den Kurvenverlauf wichtigen Punkte, wie Nullstellen, Unstetigkeitsstellen, Extremwerte und Wendepunkte nicht kennt. Mit den in den Kapiteln 4 und 5 behandelten mathematischen Hilfsmitteln sind wir in der Lage, eine genauere Analyse durchzufiihrenj man nennt eine solche Analyse eine Kurvendiskussion. Dabei werden nacheinander im wesentlichen folgende Schritte abgehandelt:

268

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

Definitionsbereich Nullstellen Unstetigkeitsstellen relative Extrema Wendepunkte Wachstumsverhalten Kriimmungsverhalten Verhalten im Unendlichen Graphische Darstellung.

Beispiele: 1)

x2 - 1 f(x)=~4' x (1) Definitionsbereich:

=

=

f(x) ist fiir aile x definiert, auBer fiir x -2 und x 2 (Nullstellen des Nenners). (2) Nullstellen: f(x) = 0, d.h. x 2 - 1 = 0: Xl = -1, X2 = 1 sind die Nullstellen von f(x), denn der Zahler ist an diesen Stellen gleich Null, der Nenner =F O. (3) Unstetigkeitsstellen, Stetigkeitsverhalten: f(x) ist an den Nullstellen des Nenners (x = ±2) unstetig, sonst im ganzen Definitionsbereich, d.h. in den Intervallen (-00, -2), (-2,2), (2,00) stetig. Es ist lim f(x) = 00, lim f(x) = -00, lim f(x) = -00, lim f(x) = 00. $_-2+0

x_-2-0

(4) Relative Extrema:

f '( x ) = (x 2-6x _ 4)2'

f"() X

f'(x) = 0: -6x = 0,

Xo

=

x-I-2-0

$_2+0

2

+ 24 = 18x (x2 _ 4)3 .

o.

24 24 1"(0) = (-4)3 = - 64 < O.

Bei Xo = 0 liegt ein relatives Maximum vor. Der Funktionswert des Maximums ist -1 1 f(O) = - = -.

-4

4

(5) Wendepunkte:

f"(x) = 0: 18x 2 + 24 Wendepunkte.

= O.

Diese Gleichung hat keine reellen Losungen. Es gibt keine

(6) Wachstumsverhalten:

-6x f'(x) = (x2 - 4)2' Da (x 2- 4? stets positiv ist, richtet sich das Vorzeichen von f'(x) nach dem Vorzeichen des Zahlers. -6x > 0 fiir x < 0; -6x < 0 fiir x > 0, also f(x) wachsend in -00 < x < -2, -2 < x < 0; f(x) fallend in 0 < x < 2, 2 < x < 00. (7) Kriimmungsverhalten:

2 + 24 f ll( x ) -- 18x 2 (x -4)3 Da 18x 2 + 24 stets > 0 ist, richtet sich das Vorzeichen von f"(x) nach dem Vorzeichen

5.3.

UNTERSUCHUNG DES VERHALTENS VON FUNKTIONEN...

269

des Nenners. (x 2 - 4)3 hat dasselbe Vorzeichen wie x 2 - 4. Es ist also (x 2 - 4)3 > 0 und damit f"(x) > 0 fUr Ixl > 2, d.h. fUr x < -2 und x > 2. Fiir Ixl < 2, d.h. fUr -2 < x < 2, ist (x 2 - 4? < 0 und damit auch f"(x) < O. Also ist f(x) konvex fUr -00 < x < -2 und 2 < x < 00 und konkav fUr -2 < x < 2. (8) Verhalten im Unendlichen: x2 - 1 x2 - 1 lim = 1, lim - =1 x_oo x 2 - 4 x_-oo x 2 - 4

(9) Graphische Darstellung ,, :,

y

,: ,,

,, ,, ,,

3

- - - - - - - - - - - -:- - --'t

x1

:

4

,,:

f(x)

-----r----------- -

:

345 6 X

-6 -5 -4 -2 -3

-4

Abb. 5.30

2)

f(x)

= (x -l)e-~

(1) Definitionsbereich: f( x) ist fUr aile reellen x definiert. (2) Nullstellen: f(x)

= 0:

Da e-~ stets =f: 0 ist, muB x-I = 0 sein.

Xo

= 1 ist die einzige Nullstelle.

(3) Stetigkeitsverhalten: f(x) ist iiberall stetig.

(4) relative Extrema: f'(x) =

e-~ + (-~) e-~(x 2

f'(x) = 0:

Da

~e-~

= ~e-~(-2) 4

1) =

~e-~(3 2

x),

f"(x) =

~e-~(x 4

=f: 0 ist, muB 3 - x = 0 sein. An

< O. An

Xl

5).

= 3 ist f'(x) = O.

= 3 hat f(x) also ein relatives Maximum. Der Funktionswert am Maximum ist f(3) ~ 0,44626.

1"(3)

Xl

(5) Wendepunkte: f"'(x) = 1'1/(5)

~e-~(7 8

x).

f"(x) = 0 liefert x - 5 = 0, d.h.

= ~e-~(7 - 5) =f: 0, also liegt bei

8 wert ist f(5)

~

0,32834.

X2

X2

= 5.

= 5 ein Wendepunkt vor. Sein Funktions-

270

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

(6) Wachstumsverhalten:

Da in f'(x)

= ~e-~(3-x) der Term ~e-I stets positiv ist, richtet sich das Vorzeichen

von f'(x) nach dem Vorzeichen von 3 - x:

f'(x) > 0: 3 - x> 0, d.h. x < 3, Fur x

f'(x) < 0: 3 - x < 0, d.h. x> 3.

< 3 ist f(x) monoton wachsend, fUr x > 3 monoton fallend.

(7) K riimmungsverhalten:

Da sich in f"(x)

= ~e-~(x -

5) das Vorzeichen nach dem Vorzeichen von (x - 5)

°

richtet, ist f"(x) > fUr x - 5> 0, d.h. fUr x > 5 und f"(x) < 0, fUr x - 5 < 0, d.h. fUr x < 5. Fur x < 5 ist f(x) konkav, fUr x > 5 ist f(x) konvex. (8) Verhalten im Unendlichen:

Da fUr negative x der Term -

(x - 1) flir x -00:

---> -00

lim f(x) =

x_-oo

Es ist f(x)

= x -: 1. e2"

gegen

x

2

-00

x

positiv ist, strebt e - 2" gegen

00

fUr x

---> -00.

Da

strebt, strebt das Produkt f(x) = (x - l)e-I gegen

-00.

Wegen (4.10) gilt:

lim f(x) = 0.

x_oo

(9) Graphische Darstellung: y f(x)

x

Abb. 5.31

271

5.4. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG

5.4

Anwendungen der Differentialrechnung in den Wirtschaftswissenschaften

5.4.1

Grenzfunktionen, Durchschnittsfunktionen

Es sei f(x) eine okonomische Funktion, etwa f(x) = K(x) eine Kostenfunktion. Eine fUr den Wirtschaftswissenschaftler wichtige GroBe ist die Veranderung einer solchen Funktion, d.h. ihr Zuwachs oder ihre Abnahme, wenn von x aus die unabhangige Variable urn eine Einheit zunimmt. Diese GroBe, d.h. t:.f = f (x + 1) - f (x), bezeichnet der Wirtschaftswissenschaftler als Grenzfunk-

.

..

.

. .

t:.f

tlOn. Sle 1St mchts anderes als der Dlfferenzenquot1ent t:.x =

f(x

+ t:.x) - f(x) t:.x

fUr t:.x = 1. Man geht nun in der Regel davon aus, daB eine Einheit von x verschwindend klein ist gegenuber denjenigen x, mit denen man arbeitet. Z.B. habe man es mit Outputmengen von tausenden Tonnen oder zehntausenden Stuck zu tun. Dann ist eine Tonne oder ein Stuck dagegen verschwindend klein. Oder man habe es mit Geldmengen von hunderten Euro zu tun. Dann ist ein Euro dagegen verschwindend klein. Unter dieser Voraussetzung ist

= f(x + 1) - f(x) =

f(x+1)-f(x)

.

.

1 nur sehr wemg von f'(x) versch1eden. Da man mit den Ableitungen wesentlich bequemer arbeiten kann als mit den Differenzen bzw. Differenzenquotienten, faBt man die Ableitung selbst als Grenzfunktion auf:

t:.f

Ais Grenzfunktion, Marginalfunktion oder marginale Quote einer okonomischen Funktion f(x) bezeichnet man ihre erste Ableitung f'(x). Der Wert f'(xo) der Grenzfunktion an einer Stelle Xo gibt (naherungsweise) die Anderung der Funktion fan, wenn von Xo ausgehend die unabhangige Variable urn eine Einheit zunimmt. Die Grenzfunktion kann auch so interpretiert werden: Man stelle sich vor, man habe die unabhangige Variable, irgendwo beginnend, bis zum Wert x + 1 gebracht. Dann ist die Grenzfunktion an der Stelle x die Funktionsanderung, welche durch die letzte Einheit der unabhiingigen Variablen hervorgerufen wurde.

Anmerkungen: 1) Man kann die Grenzfunktion auch als das Differential von f(x) fiir dx = 1 auffassen: df = f'(x)dx ergibt fUr dx = 1 gerade df = f'(x). Diese Auffassung liefert unter Beriicksichtigung der Interpretation des Differentials (5.1.3) unmittelbar die Interpretation der Grenzfunktion als (naherungsweise) Funktionsanderung, die von x aus durch die nachste Einheit

272

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

der unabhangigen Variablen hervorgerufen wird. 2) Die Analyse 6konomischer Zusammenhange mittels Grenzfunktionen bezeichnet man auch als Marginalanalyse. Sie ist besonders wichtig fiir das theoretische Verstandnis betriebswirtschaftlicher und volkswirtschaftlicher Zusammenhange. · Grenzf unk· . Q . I(x + ~x) - I(x) hervorgegangen 1st, . 1st . I·h re twn aus emem uotIenten ~x 3) D a dIe . . MaBeinheit von I MaBeinheit gleich M B . h . . Wlrd z.B. I(x) in Eurojkg gemessen, x m kg (f k6nnte a em elt von x

eine Stiickkostenfunktion sein), dann ist die MaBeinheit der Grenzfunktion j'(x)

= EU~~kg.

Wir wollen nun die Grenzfunktionen von einigen der schon behandelten 6konomischen Funktionen und einigen neu einzufUhrenden Funktionen diskutieren. (1) Grenzsteuer

In Abschnitt 4.2.1 (Abbildung 4.15) hatten wir die Einkommenssteuerfunktion S(E) betrachtet. Ihre Grenzfunktion S'(E) heiBt Grenzsteuer. Der Wert S'(Eo) der Grenzsteuer fUr ein Einkommen Eo gibt an, wieviel Steuern bei diesem Einkommen ein zusatzlich verdienter Euro hervorruft. Es ist z.B. fiir 7665 Euro < 7664)2 7664) E:S 12739 Euro S(E) = 793,1 10 000 + 1600 10000 und damit 0,15862 die Grenzsteuer S'(E) = 10000 E+O, 0384. Fiir Eo = 10000 Euro ist S'(Eo) = 0,197 Euro/Euro, d. h. von jedem zusatzlich verdienten Euro miissen bei diesem Einkommen 19,7 Cent Steuern abgefUhrt werden. Fiir 12740 Euro :S E :S 12739)2 12739) 52151 Euro ist S(E) = 265,78 10000 + 2405 10000 + 1016

(E-

(E-

(E -

(E -

. S '( Eo ) = 0,332 EuE = 0,053156 10000 E+O, 1728. Fiir Eo = 30000 Euro 1st und S '() ro/Euro, d. h. bei 30000 Euro Einkommen verursacht jeder zusatzlich verdiente Euro 33,2 Cent Einkommenssteuer. Fiir Eo = 50000 Euro ist S'(Eo) = 0,439 Euro/Euro, d. h. bei diesem Einkommen miissen fUr einen zusatzlich verdienten Euro 43,9 Cent abgefiihrt werden. Fiir E 2:: 52152 ist S(E) = 0,45E - 8845 und S'(E) = 0,45; diese Grenzsteuer ist konstant, d. h. ab einem Einkommen von 52152 Euro findet keine Progression mehr statt. Jeder zusatzlich verdiente Euro verursacht in diesem Einkommensbereich 45 Cent an Einkommenssteuer. (2) Grenzkosten

1st K(x) eine Gesamtkostenfunktion, so heiBt K'(x) die Grenzkostenjunktion oder kurz die Grenzkosten. K'(xo) gibt die Kostenanderung an, die durch Stei-

5.4. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG

273

gerung des Outputs von Xo aus urn eine Einheit verursacht wird. Entsprechend kann man variable Grenzkosten K~(x) (sie sind gleich den Grenzkostenj warum?), Grenz-Stiickkosten k'(x) usw. betrachten.

Beispiel: Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) =

~x3 -

100x2

+ 26 OOOx + 51 000.

Man bestimme a) die Grenzkosten; b) die Grenzstuckkosten; c) die Schwelle des Ertragsgesetzes. d) Welche Kosten verursacht bei einem Output von 305 Einheiten eine zusatzlich produzierte Einheit? e)Welche Kosten verursacht eine zusatzlich produzierte Einheit an der Schwelle des Ertragsgesetzes? f) Wir wirkt sich bei einem Output von 198 Einheiten eine zusatzlich produzierte Einheit auf die Stuckkosten aus? L6sungen: 1

a) K'(x) = 2'x 2

-

200x

+ 26000.

1 b) Es ist k(x) = K(x) = -6 x 2 x

_

100x + 26000 + 51000. x

Fur die Grenz-Stuckkosten ergibt sich k'(x) =

~x -

100 _

51x~00.

c) Die Schwelle des Ertragsgesetzes ist gerade die Stelle des Wendepunktes von K(x) oder, was dasselbe ist, die Stelle des Extremwertes - hier des Minimums - der Grenzkosten: K"(x) = x - 200, K"'(x) = 1. K"(x) = 0: xo = 200. K'''(200) = 1 =1= O. Bei Xo = 200 liegt die Schwelle des Ertragsgesetzes. d) Es ist K'(305) zu berechnen: K'(305)

= ~ .305 2 -

200·305 + 26000:::::: 11513.

Die bei einem Output von 305 ME durch eine zusatzlich produzierte Einheit verursachten Kosten betragen (naherungsweise) 11513 GE. (Der exakte Wert ist hier 11565 GE.) e) K'(200) = 6000 GE/ME. . 198 51000 GE/ME f) Es 1st k'(198) zu berechnen: k'(198) = "3 - 100 - 198 2 = -35,3 ME . Die Stuckkosten sinken, wenn bei einem Output von 198 Einheiten eine weitere Einheit produziert wird, urn 35,3 GE/ME. (Der exakte Wert ist hier 35,13 GE.)

(3) Grenzerlos Der Erl6s (Umsatz) E ist das Produkt von abgesetzter Menge und Preis: E = x . p. Damit der Erl6s als Funktion der Menge E = E(x) oder als Funktion des Preises E = E(p) geschrieben werden kann, muB die Beziehung zwischen x und p, die Preis-Absatz-Funktion oder Nachfragefunktion, gegeben sein. 1st sie in der Form x = x(p) gegeben, so wird nach Einsetzen E = x(p) . p = E(p) eine Funktion des Preises. Die entsprechende Grenzfunktion E' (p) heiBt der

274

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

Grenzerlos (auch Grenzumsatz) beziiglich des Preises. Liegt die Preis- AbsatzFunktion in der Form p = p( x) vor, so wird nach Einsetzen E = p(x) . x = E( x) eine Funktion der Menge. Die Grenzfunktion E'(x) heiBt. der Grenzerlos (oder Grenzumsatz) beziiglich der Menge. Beispiel: Die Preis-Absatz-Funktion eines monopolistischen Anbieters habe die Form x(p) = 420 - 2, Ip. Man bestimme: a) den Grenzerlos beziiglich des Preises; b) den Grenzerlos beziiglich der Menge. c) Wie verandert sich der Erlos, wenn bei einem Preis von 94 GE/ME der Preis urn eine GE/ME angehoben wird? d) Wie verandert sich der Erlos, wenn bei einem Absatz von 220 ME der Absatz urn eine ME zunimmt? Losungen: a) E(p) = p' x(p) = p(420 - 2, Ip) = -2, Ip2 + 420p. E'(p) = -4, 2p+ 420. b) Urn den Erlos als Funktion von x zu erhalten, miissen wir die Umkehrfunktion p(x) von x(p) = 420 - 2, Ip bestimmen: Aus x = 420 - 2, Ip folgt 2,lp = 420 - x, p = 200 - 0,4762x. E(x) = x(200 - 0, 4762x) = -0, 4762x 2 + 200x. E'(x) = -0, 9524x + 200. c) Es ist E'(p) an p = 94 zu berechnen:

E'(94) = -4,2·94 + 420 = 25,2 G~~E'

Hebt man bei einem Preis von 94 GE/ME den Preis urn eine GE/ME an, so steigt der Erlos urn ca. 25,2 GE. In diesem Fall ist die Voraussetzung, daB eine Einheit gegeniiber den betrachteten Mengen verschwindend klein ist, nicht gut erfiillt. Der exakte Wert von 23,1 GE weicht betrachtlich vom erhaltenen Resultat abo d) Es ist E'(220) zu berechnen: E'(220) = -0,9524·220 + 200 ~ -9,5 GE/ME. Setzt man bei einem Umsatz von 220 ME eine zusatzliche Einheit urn, so vermindert sich der Erlos urn 9,5 GE. (Der exakte Wert ist -10,004).

(4) Grenzgewinn Die erste Ableitung G'(x) der Gewinnfunktion G(x) (vgl. (4.27)) heiBt der Grenzgewinn. Wegen G(x) = E(x) - K(x) ist G'(x) = E'(x) - K'(x), d.h. der Grenzgewinn ist die Differenz von Grenzerl6s und Grenzkosten. Man kann Erl6s und Kosten auch als Funktion des Preises p angeben; dann ist G = G(p) und G'(p) heiBt Grenzgewinn beziiglich des Preises. Prazise miiBte man dann obiges G'(x) als Grenzgewinn beziiglich der Menge bezeichnen. SchlieBlich kann man auch fUr den Erl6s oder Umsatz E einen Produktlebenszyklus U(t) einsetzen (4.4.3. (1)); weiB man dann noch die Kosten in Abhangigkeit von t, so ist G = G(t) = U(t) - K(t) und G'(t) heiBt dann Grenzgewinn beziiglich der Zeit. Ganz Analog zur Bildung der Grenzfunktion bei den bereits besprochenen Beispielen kann man aus den Funktionen g( x) (s. (4.28)) den Grenzstiickgewinn

5.4. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG

275

g'(x), aus D(x) (4.30) den Grenzdeckungsbeitrag D'(x) und aus d(x) (4.31) den Grenzstiickdeckungsbeitrag d' (x) ermitteln. Beispiel: Ein monopolistischer Anbieter produziere mit der Kostenfunktion I< (x) = 0,001 275x 2+ 0, 255x + 150. Die Preis-Absatz-Funktion lautet p(x) = 3,2 - 0, 0064x. Man bestimme: a) den Grenzgewinn; b) den Grenzstiickgewinn c) den Grenzdeckungsbeitrag; d) den Grenzstiickdeckungsbeitrag e) den Grenzgewinn beziiglich des Preises. f) Wie iindert sich der Deckungsbeitrag, wenn die abgesetzte Menge bei einem Absatz von 300 ME um eine Einheit erh5ht wird? g) Wie iindert sich der Stiickgewinn, wenn bei einem Absatz von 150 ME die abgesetzte Menge um eine Einheit zunimmt? h) Fiir welchen Absatz ist der Gewinn maximal? L5sungen:

=

=

=

=

a) Es ist E(x) x·p(x) -0, 0064x 2+3, 2x und G(x) E(x)-I«x) -0,007 675x 2+ 2, 945x - 150. Grenzgewinn: G'(x) = -0,01535x+2,945. G(x) 150 b) g(x) = - - = -0,007675x+2,945--. x x 150 Grenzstiickgewinn: g'(x) = -0,007675+ - 2 . x c) D(x) = E(x) - I
=

Der Stiickgewinn sinkt um 0,001 GE/ME, wenn bei einem Absatz von 150 ME der Absatz um eine Einheit erh5ht wird. (Der exakte Wert ist -0,00105). h) G'(x) = 0: -0,01535x+2,945 = 0, Xo = 191,86 ME. GI/(xo) = -0,01535 < 0, also liegt ein Maximum vor. Das Maximum des Gewinns liegt bei einem Absatz von 191,86 ME. Der Maximalgewinn betragt G(191,86) = 132,51 GE.

276

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

(5) Grenzproduktivitiit Eine Funktion x(1'), welche die Beziehung zwischen der produzierten Menge (Output) x und der eingesetzten Menge l' eines Produktionsfaktors zum Ausdruck bringt, heiBt eine Produktionsfunktion. Ihre Grenzfunktion x'(1') heiBt G1'enzp1'oduktivitiit oder G1'enze1'trag.

Beispiel: 1m Intervall 0 ::; r ::; 260 (r = 260 ist die Kapazitiitsgrenze fUr den Produktionsfaktor r) sei die Produktionsfunktion x(r) = -0, 01r 3 + 7, 9r 2 + 80r gegeben. Man berechne und interpretiere die Grenzproduktivitiit fUr die Einsatzmenge r = 100 ME. ME von x x'(r) = -0,03r 2 + 15, 8r + 80. x'(100) = 1360 ME . Erh6ht man bei einer von r Einsatzmenge von r = 100 ME diese urn eine Mengeneinheit, so wiichst der Output urn 1360 Mengeneinheiten. (Der exakte Wert ist 1364,89 ME.)

(6) G1'enzrate de1' Substitution Sei jetzt x(1'I, 1'2) eine Produktionsfunktion, die von zwei Produktionsfaktoren abhangt. Halten wir x = Xo fest, so ist Xo = x(1'l' 1'2) die Gleichung der Isoquante zum Output Xo; alle Faktorkombinationen (1'I, 1'2)' die auf dieser Kurve liegen, liefern denselben Output Xo (vgl. den Abschnitt "Isohohenlinien" in 4.5.2). Lost man diese Gleichung Xo = x(1'l,1'2) nach 1'2 auf, so erhalt man die Gleichung der Isoquante in der Form 1'2 = fh). Die erste Ableitung 2 d1' = f' (1'I) heiBt die G1'enzrate de1' Substitution. Die Grenzrate der Subd1'1 stitution an einer Stelle 1'1 gibt an, urn wieviel Einheiten man den Input 1'2 andern muB, urn bei Steigerung des Inputs des ersten Faktor von 1'1 aus urn eine Einheit unverandert den Output Xo zu erhalten.

Beispiel: Wir hatten in 4.5.2 die Produktionsfunktion x(rl, r2) = 2, 5r~,3r~,7 betrachtet und zum Output Xo

= 5 bereits die Isoquantengleichung r2 = I(rl) = 2:;;: = 2-Y23r;¥ {r rf

hergeleitet. Wie hoch ist die Grenzrate der Substitution bei rl = 6 Einheiten?

-¥-, ~ ME (vonr2) · 1(6)~-0,09ME(vonrJ)'

'_' _ 7 1n3 ( r2-/(rl)-2v2~ -'73) r l-¥-1_--1,1536787r l

Steigt also bei einem Einsatz von 6 ME des ersten Produktionsfaktors dieser urn eine Mengeneinheit, so muf3, urn nach wie vor einen Output von x = 5 Mengeneinheiten zu erhalten, der Einsatz des zweiten Produktionsfaktors urn 0,09 ME verringert werden. (Der exakte Wert ist -0,08.)

5.4. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG

277

Anme1'kung: 2

1

1'1

1'2

Die beiden zum selben Output Xo gehorigen Grenzraten der Substitution dd1' und dd1' d1'2

d1'1

1'1

1'2

sind Kehrwerte voneinander: -d . -d

= 1.

(7) Marginale Konsumquote Der Zusammenhang zwischen dem Gesamteinkommen X und dem Konsum G einer Bevolkerung in einer gegebenen Zeitperiode wird duch eine (makrookonomische) Konsumfunktion G = G(X) beschrieben. Die Grenzfunktion G'(X) heiBt die marginale K onsumquote. Sie wird auch als Grenzneigung zum K onsum oder Grenzhang zum Konsum bezeichnet. Sie gibt an, urn wieviel Einheiten der Konsum steigt, wenn das Gesamteinkommen, von X ausgehend, urn eine Einheit steigt. Die GroBe 1 - G'(X) heiBt marginale Sparquote oder Grenzneigung bzw. Grenzhang zum Sparen. Auch fur kleinere wirtschaftliche Einheiten, z.B. Haushalte, wird der Zusammenhang zwischen Einkommen X und Konsum G durch eine (mikrookonomische) Konsumfunktion beschrieben. Auch hier heiBt G'(X) marginale Konsumquote, 1 - G'(X) marginale Sparquote. Wahrend fUr makrookonomische Konsumfunktionen lineare Funktionen meist ein brauchbares Modell liefem, wahlt man fUr mikrookonomische Konsumfunktionen in der Regel einen gebrochenrationalen Ansatz. Beispiel: Die monatliche Konsumfunktion eines landlichen 4-Personenhaushalts sei G(X) = 8400 X + 700 . X + 7500 Man ermittle bei einem Einkommen von X = 3800 Euro/Monat die marginale Sparquote. G'(X) = 8400 1 . (X + 7500) - (X + 700) ·1 = 57120000 . (X + 7500)2 (X + 7500)2

G' (3800) = 0,45 Euro/Monat. Euro/Monat

Euro/Monat Die marginale Sparquote betragt 1 - 0,45 = 0,55 E /M . uro onat Ein Haushalt der betrachteten Art konsumiert bei 3800 Euro/Monat Einkommen von jedem weiteren pro Monat verdienten Euro 45 Cent; er spart 55 Cent.

Durchschnittsfunktionen AuBer der Grenzfunktion j'(x) einer okonomischen Funktion f(x) spielt auch

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

278

die Durchschnittsfunktion J( x ) _

f(x) x

eme wichtige Rolle.

Der Wert der

Durchschnittsfunktion f(x) gibt den durchschnittlichen Wert der GroBe f(x) pro Einheit der unabhiingigen Variablen an, wobei sich der Durchschnitt auf siimtliche Einheiten der unabhiingigen Variable bezieht. Der Wert der Durchschnittsfunktion ist also oft als stiickbezogene Grofle zu interpretieren. Z.B. ist die Durchschnittsfunktion einer Kostenfunktion die zugehorige Stiickkostenfunktion; die Durchschnittsfunktion einer Gewinnfunktion ist die zugehOrige Stiickgewinnfunktion. Der Wert J(xo) der Durchschnittsfunktion an einer Stelle Xo liiBt sich folgendermaBen geometrisch interpretieren: Zu Xo gehort der Punkt P( xo, f( xo)) auf dem Graphen von f(x). Die Verbindungsgerade des Koordinatenursprungs 0(0,0) zum Punkt P nennt man den Fahrstrahlan die Funktion f(x) im Punkt P (bzw. an der Stelle xo). Abb. 5.32 zeigt, daB der Wert J(xo) der Durchschnittsfunktion an der Stelle Xo gerade gleich der Steigung des Fahrstrahls an f( x) im Funkt P(xo, f(xo)) ist, denn diese Steigung ist ja (nach der Definition der Steigung Yo-O f(xo) einer Geraden, s. 4.2.1, Abb. 4.19) gerade - - = - - = f(xo). Xo - 0 Xo y

o

x

Abb. 5.32 Wir erinnern nochmals - urn den Unterschied zwischen Grenzfunktion und Durchschnittsfunktion deutlich zu machen - an die geometrische Bedeutung der Grenzfunktion f'(x): f'(xo) gibt die Steigung der Tangente in P(xo, f(xo)) an. Diese ist von der Steigung des Fahrstrahls im allgemeinen verschieden.

Beispiel: Fiir die Produktionsfunktion x(r) = -0, 001r 3 + 7, 9r 2 +80r bestimme und interpretiere man den Wert der Durchschnittsfunktion fUr r = 100 ME.

5.4. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG

.

Es 1St x(r)

= -x(r) = -O,Olr2 + 7, 9r + 80. r

x(100)

= 770

279

ME (von x) ME ( ). ~r

Bei einem Einsatz von insgesamt 100 ME des Produktionsfaktors r entfallen im Durchschnitt auf eine Einheit eingesetzen Produktionsfaktor r 770 Einheiten des Produkts x.

5.4.2

Analyse und Optimierung okonomischer Funktionen

Aus der Fiille der Anwendungen der Differentialrechnung auf das Studium 6konomischer GesetzmaBigkeiten wollen wir hier zwei herausgreifen, die Analyse ertragsgesetzlicher Kostenfunktionen und die Gewinnmaximierung. Bevor wir damit beginnen, solI noch ein allgemeingiiltiger Zusammenhang zwischen Durchschnittsfunktion und Grenzfunktion hergeleitet werden. Hat die Durchschnittsfunktion f (x) an Xo einen Extremwert, so stimmt sie dort mit der Grenzfunktion J'(x) iiberein: f(xo) = J'(xo). Mit anderen Worten: An einer Extremstelle der Durchschnittsfunktion f( x) schneiden sich die Kurven y = J'(x) und y = f(x). Zur Begriindung bedenken wir, daB notwendig fUr ein Extremum von f(x) an

x

= Xo

die Bedingung l'(xo)

= 0 ist.

Es ist J(x)

=

f(x) und somit nach der x

J'(x)x - f(x)' 1 Quotientenregel J'(x) = 2 . J'(xo) = 0 bedeutet, daB der Zahler x

an Xo gleich Null ist, also J'(xo)xo - f(xo) = O. Daraus folgt J'(xo) = f(xo) =

f(xo) wie behauptet.

Xo

(1) Analyse ertragsgesetzlicher [(ostenfunktionen Ertragsgesetzliche Kostenfunktionen (vgl. 4.4.1, (2)) haben einen Verlauf, wie er im oberen Teil der Abb. 5.33 skizziert ist. Drei Punkte (bzw. ihre Outputwerte) sind an solchen Funktionen von besonderem Interesse: a) die Schwelle des Ertragsgesetzes X s : Das ist die Stelle des Wendepunktes von f{(x) bzw. die Stelle des Minimums der Grenzkosten f{'(x). b) das Betriebsminimum B m : Es ist definiert als das Minimum der variablen Stiickkosten kv(x). Wird dieses Minimum an x = X m angenommen, so heiBt X m

280

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

K

o

x K' k

ky

k

min

..

kymin

o

~

x

Abb. 5.33 die Stelle des Betriebsminimums. Der zugehorige minimale Wert der Funktion kv(x), d.h. kv(x m ), wird mit kvmin bezeichnet und heiBt die kurzfristige Preisuntergrenze. Realisiert das Unternehmen diesen Preis, so kann es bei Produktion von X m Einheiten gerade noch die variablen Stiickkosten decken. Da die fixen Kosten kurzfristig unverandert anfallen, auch wenn die Produktion stockt, so ist es sinnvoll, kurzfristig weiter zu produzieren, auch wenn man nur den Preis kvmin erzielt. Sinkt der Preis unter kvmin, d.h. unter die kurzfristige Preisuntergrenze, so ist Stillegung wirtschaftlicher als Weiterproduktion, da man nicht einmal mehr die variablen Stiickkosten decken kann.

5.4. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG

281

Da kv ( x) die Durchschnittsfunktion von K v ( x) ist, folgt aus der eingangs hergeleiteten Beziehung, daB sich kv(x) und K~(x) im Punkt Bm(xm,kvmin) schneiden. Wegen K~(x) = K'(x) (denn Kv(x) und K(x) unterscheiden sich nur urn die Konstante K f' die beim Differenzieren wegfiillt) schneiden sich also die Grenzkostenfunktion und variable Stiickkostenfunktion im Punkte B m des Betriebsminimums (Abb. 5.33). Diese GesetzmiiBigkeit konnen wir auch so ausdriicken: An der Stelle X m des Betriebsminimums sind die Grenzkosten gleich den variablen Stiickkosten: K'(x m) = kv(x m) = kvmin' c) das Betriebsoptimum B o: Es ist definiert als das Minimum der Stiickkosten k(x). Wird dieses Minimum an x = Xo angenommen, so heiBt Xo die Stelle des Betriebsoptimums. Der zum Output Xo geh6rige minimale Wert der Stiickkosten wird mit kmin bezeichnet und heiBt die langfristige Preisuntergrenze. Realisiert ein Unternehmen diesen Preis, so kann es gerade noch die Stiickkosten vollstiindig decken, wenn es den optimalen Output Xo produziert. Sinkt der Preis am Markt auf lange Sicht unter kmin, so kann das Unternehmen bei keinem Output die Stiickkosten decken. Da k(x) die Durchschnittsfunktion von K(x) ist, so gilt k(xo) = K'(xo): Grenzkostenfunktion und Stiickkostenfunktion schneiden sich im Betriebsoptimum Bo(xo, kmin)' Man kann diese GesetzmiiBigkeit auch so formulieren: An der Stelle Xo des Betriebsoptimums sind die Grenzkosten gleich den Stiickkosten. Abb. 5.33 zeigt die besprochenen Zusammenhiinge. Beispiel: K(x) = x 3 - 12x 2 + 54x + 248. Fur diese Kostenfunktion bestimme man: a) die Schwelle des Ertragsgesetzes; b) die Stelle des Betriebsminimums und die kurzfristige Preisuntergrenze; c) die Stelle des Betriebsoptimums und die langfristige Preisuntergrenze. a) I<'(x) = 3x 2 - 24x + 54; K"(x) = 6x - 24; K"'(x) = 6. K"(x) = 0: 6x - 24 = O. X S = 4 ME. K"'(4) = 6 > 0, also hat K'(x) an X s tatsachlich ein Minimum. b) kv(x) = x 2 - 12x + 54; k~(x) = 2x - 12; k~(x) = 2. k~(x) = 0: 2x - 12 = O. X m = 6 ME. k~(x) = 2 > 0, also liegt ein Minimum vor. Das Betriebsmimimum liegt bei einem Output von X m = 6 ME. kvmin = kv (6) = 18 GE/ME. Die kurzfristige Preisuntergrenze liegt bei 18 GE/ME. Der Punkt des Betriebsminimums ist Bm (6, 18); in diesem Punkt schneiden sich die Kurven K'(x) und kv(x).

282

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 248

c) k(x)=x 2 -12x+54+-; x

248 k'(x)=2x-12--; x2

496 k"( X )=2 + -x3'

Multiplizieren wir diese Gleichung mit x 2, so x erhalten wir die Gleichung 3. Grades 2x 3 - 12x 2 - 248 O. Diese Gleichung kann man durch ein Naherungsverfahren lasen; es ergibt sich als Lasung Xo ~ 7,958 ME. k"(7, 958) ~ 2,98> 0, also liegt ein Minimum vor.

k'(x) = 0:

2x - 12 - 2428 = O.

=

Das Betriebsoptimum liegt bei einem Output von Xo = 7,958 ME. kmin = k(7, 958) ~ 53 GE/ME. Der Punkt des Betriebsoptimums ist B o(7, 958, 53); in diesem Punkt schneiden sich die Kurven K'(x) und k(x). Abb. 5.34 zeigt in einem Koordinatensystem die Kurven K'(x), kv(x) und k(x) und veranschaulicht die ermittelten GraBen.

K',

k", k

Abb. 5.34

(2) Gewinnmaximierung

Wir wollen zwei verschiedene Marktsituationen studieren: I) Polypolistischer Anbieter: Das Produkt des Anbieters wird auch von zahlreichen Konkurrenten angeboten. Das hat zur Folge, daB fUr den einzelnen Anbieter der Marktpreis nicht von der von ihm angebotenen Menge x abhangt, sondern aus seiner Sicht zu einem gegebenen Zeitpunkt eine Konstante p ist (im zeitlichen Verlauf kann der Marktpreis natiirlich variieren). Die Erlosfunktion E(x) ist in diesem FaIle linear: E(x) = px. II) Monopolistischer Anbieter: Der Anbieter hat das Monopol auf sein Produkt. Er sieht sich dann einer Preis-Absatz-Funktion p = p(x) gegeniiber, die monoton

5.4. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG

283

fallend ist: Je mehr er anbietet, d.h. je groBer x ist, desto geringer ist der zu erzielende Preis. Die Erlosfunktion ist dann nichtlinear: E(x) = p(x)· x. Diese beiden Faile sind gewissermaBen Extreme; reale Situationen nahern sich diesen Idealfallen nur mehr oder weniger an. Fur die Kostenfunktion wahlen wir zwei Modelle: a) lineare Gesamtkosten b) ertragsgesetzliche Gesamtkosten Ia) Polypolistischer Anbieter, lineare Gesamtkosten: Die Kostenfunktion sei I«x) = 4x+360. Der Marktpreis betrage p = 18 GE/ME. Die Kapazitatsgrenze des Anbieters liege bei Xmax = 90 ME. Es ist E(x) = 18x und G(x) = E(x) - I«x) = 18x - (4x + 360) = 14x - 360. G(x) ist eine lineare Funktion, hat also kein relatives Maximum. Da sie monoton wachsend ist, liegt das Maximum am rechten Rand des Intervalls, d.h. an der Kapazitatsgrenze. Der Maximalgewinn ist Gmax = G(xmax) = G(90) = 900 GE. E,K,G

1800 1600 1400 1200 1000 800 600

Gmax

400 200

x

Abb. 5.35 Die Gewinnschwelle, d.h. derjenige Outputwert, ab dem der Gewinn positiv ist, d.h. ab dem uberhauptGewinn erzielt wird, ist die Nullstelle von G(x) (oder anders ausgedruckt, die Stelle, an der sich Erlosgerade und Kostengerade schneiden): G(x) = 0: 14x - 360 = 0; Xl = 25,7143 ME. Die Bedingung dafiir, daB uberhaupt Gewinn erzielt werden kann, ist im Fall Ia), daB die

284

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

Gewinnschwelle Xl im Intervall [0, xmax] liegt. Wenn der Preis p zu gering ausfallt, tritt das nicht ein. Ware im Beispiel der Preis bei unveranderten Kosten p = 5 GE/ME, so ware G( x) = X - 360 und Xl = 360 lage jenseits der Kapazitatsgrenze. Abb. 5.35 zeigt die Funktionen K(x),E(x) und G(x) unseres Beispiels in einem Koordinatensystem. Betrachten wir noch den Stiickgewinn im Fall la). Wegen E(x) = px und G(x) = E(x) - K(x) ist g(x) = P- k(x): Der Stiickgewinn ist bei konstantem Marktpreis die Differenz zwischen diesem Marktpreis und den Stiickkosten. Fiir X > Xl ist k( x) < p, d.h. der Stiickgewinn positiv. 1m Beispiel ist g( x) = 360 360 360 . 18 - (4 + - ) = 14 - und g'(x) = - 2 ' g'(x) hat keme Nullstelle. X

X

X

Also gibt es keine relativen Extrema und das Maximum von g( x) wird am Rand angenommen. Das Maximum des Stiickgewinns liegt also ebenfalls an der Kapazitatsgrenze. Dort sind die Stiickkosten minimal. Abb. 5.36 zeigt k( x), die Gerade y = p und g( x) in einem Koordinatensystem.

k. P. 9 30 25 p=18

20 15

I-----~-----------~

10

9max

5 70

80

90

x

-5 -10

Abb. 5.36

Ein polypolistischer Anbieter mit linearem Kostenverlauf wird also stets an der Kapazitatsgrenze anbieten, vorausgesetzt, der Marktpreis ist groB genug, d.h. die Gewinnschwelle liegt unterhalb seiner Kapazitatsgrenze.

5.4. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG

285

Ib) Polypolistischer Anbieter, ertragsgesetzliche Gesamtkosten: Die Begriffe Gewinnzone, Gewinnschwelle und deren Ermittlung haben wir fur diesen Fall bereits in 4.4.2. Abschnitt (3) (Abb. 4.102) besprochen. Fur den Gewinn gilt im Fall Ib): G(x) = p(x) - I«x), wo p bezuglich x konstant ist. Daraus folgt: G'(x) = p - I<'(x), GI/(x) = -I O. Sei Xa die Stelle des Gewinnmaximums, so gilt demnach: p = I<'(xa) und I O. Das letztere bedeutet, daB Xa im konvexen Bereich der Kostenfunktion liegen muB. Diese Erkenntnisse konnen wir so zusammenfassen: Das Gewinnmaximum erzielt ein polypolistischer Anbieter mit derjenigen Angebotsmenge Xa, fur die die Grenzkosten I<'(xa) gleich dem Marktpreis p sind. Dabei kann ein solches Maximum nur existieren, wenn diese Angebotsmenge im konvexen Bereich der Kostenfunktion liegt. Hieraus ergibt sich unmittelbar die Angebotsfunktion x(p) eines solchen Anbieters: Zu vorgegebenem Marktpreis p wird er diejenige Menge x anbieten, die der Gleichung p = I<' (x) entspricht. Lost man diese Gleichung nach x auf, erhiilt man die Angebotsfunktion x = x(p), die zu jedem p die anzubietende Menge x unter der Bedingung maximalen Gewinns angibt. p darf dabei nicht unter die langfristige Preisuntergrenze kmin sinken, d.h. x(p) ist langfristig nur fur p ~ kmin definiert. Kurzfristig konnte man x(p) auch fur p :s: kmin benutzen. Wir konnen naturlich auch mit der Umkehrfunktion von x(p) arbeiten, d.h. mit p = I<'(x) selbst. Dem Wert p = kmin entspricht Xo, die Stelle des Betriebsoptimums, groBeren p entsprechen x- Werte rechts von Xo, und wir konnen so formulieren: Die Grenzkosten, von der Stelle des Betriebsoptimums an, stellen die Angebotsfunktion eines gewinnmaximierenden polypolistischen Anbieters dar. Abb. 5.37 zeigt diese Auffassung der Angebotsfunktion ( in der Zeichnung stark ausgezogen) ~nd die graphische Bestimmung der anzubietenden Menge x(p) zu vorgegebenem Marktpreis p > kminZur Stiickgewinnmaximierung im Fall (Ib) ist folgendes zu bemerken: Wegen G(x) = px - I«x) ist g(x) = P - k(x) und damit: g'(x) = -k'(x); gl/(x) = -kl/(x). g'(x) = 0 bedeutet also k'(x) = 0 und gl/(x) < 0 bedeutet kl/(x) > O. Das Maximum von g(x) liegt gerade an der Stelle des Minimums von k(x), d.h. an der Stelle Xo des Betriebsoptimums.

286

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG k, K' k(x)

p

--------------------~-~--~-~----~------

x(p)

x

Abb. 5.37 Ein polypolistischer Anbieter maximiert seinen Stuckgewinn fur die betriebsoptimale Angebotsmenge xo. Beispiel: Ein polypolistischer Anbieter habe die in (1) bereits analysierte Gesamtkostenfunktion I«x) = x 3 - 12x 2 + 54x + 248. Die Kapazitiitsgrenze liege bei 14 ME. Der Marktpreis betrage p = 62 GE/ME. a) Welches ist die bei diesem Preis gewinnmaximale Angebotsmenge? b) Bei welcher Angebotsmenge ist der Stiickgewinn maximal? c) Wie lautet die gewinnmaximale Angebotsfunktion x(p) und in welchem Bereich ist sie gultig? Lasungen: a) Wir mussen p XI,2

= 4±

= I<'(x)

lasen, d.h. 3x 2

Vr::-:s 16 + :3 ~ 4 ± 4, 320.

-

24x

+ 54 = 62, bzw.

x2

-

8x -

~ = o.

' . Wert III . Frage: Es kommt nm d er positive

XG = 8,320 ME. Bei einer Menge von 8,320 ME ist del' Gewinn maximal. Es ist G(x) = 62x - I«x) _x 3 + 12x 2 + 8x - 248. G max G(8, 320) 73,30 GE. b) Del' Stiickgewinn ist an x = XQ, d.h. an del' Stelle des Betriebsoptimums, maximal. Es war XQ = 7,958 ME und kmin ~ 53 GE/ME, d.h. 9max P - kmin 62 - 53 9 GE/ME. An XQ = 7,958 ME wird del' maximale Stuckgewinn von 9 GE/ME erzielt.

=

=

=

=

c) Die Gleichung p

= [{'(x)

liefert 3x 2

Die Auftasung nach x ergibt:

XI,2

-

=4 ±

24x

+ 54 = p,

J16 -

18 +

bzw. x 2

=

-

8x + (18 -

~ = 4 ± J~

Es komrnt nul' das +-Zeichen in Frage, also x(p) = 4 +

J~

-

2.

-

2.

=

~)

= O.

5.4. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG

287

Das gilt (langfristig gesehen) flir p :::: kmin' d.h fUr p :::: 56 G E/ME. Fur die Kapazitatsgrenze x = 14 liefert 3x 2 - 24x + 54 = p den Preis 306 GE/ME. Also gibt x(p) fUr 53 ~ p ~ 306 die jeweils gewinnmaximale Angebotsmenge. Z.B. erhalt man fUr einen Marktpreis von p = 150 GE/ME die gewinnmaximale Angebotsmenge

xa

= 4 + VfI5CJ: 3 - 2 :::::: 10,928 ME.

II) Monopolistischcr Anbieter. Der Cournot- Punkt: Die folgenden Uberlegungen gelten unabhangig von der Form der Kostenfunktion K(x). Wie bereits erwahnt, sieht sich der Monopolist einer Preis-AbsatzFunktion p = p(x) gegeniiber, die man auch als Nachfragefunktion auffassen kann: die Umkehrfunktion x = x(p) gibt die Nachfrage des Marktes in Abhangigkeit von dem vom Monopolisten festgesetzten Preis p. Es ist G(x) = E(x) - K(x) und G'(x) = E'(x) - K'(x). G'(x) = 0 bedeutet E'(x) = K'(x). Die Lasung Xa dieser Gleichung ist Stelle des Gewinnmaximums falls noch G"(xa) < 0 erfiillt ist. An der Stelle xa des Gewinnmaximums stimmen Grenzerlas und Grenzkosten iiberein. Man kann das auch so ausdriicken: Die Stelle xa des Gewinnmaximums ist die Abszisse des Schnittpunktes von Grenzerlas- und Grenzkostenkurve. Der Punkt C auf dem Graphen der Preis-Absatz-Funktion, dessen Abszisse Xa ist, d.h. der Punkt C(xa,p(xa)) heiBt der Cournot-Punkt. p(xa) heiBt der Cournot-Preis, xa die Cournot-Menge. Setzt der Monopolist seinen Preis auf den Cournot-Preis fest, so erzielt er einen maximalen Gewinn. Die dabei nachgefragte und abgesetzte Menge ist die Cournot-Menge. Man kann xa rechnerisch leicht aus den Regeln der Differentialrechnung ermitteln. Den Maximalgewinn erhalt man dann aus der Gewinnfunktion G(x): G max = G(xa). Man kann den Maximalgewinn aber auch folgendermaBen ermitteln: Zu xa gehart der Stiickgewinn g( xa) = p( xa) - k( xa) =( CournotPreis)-(Stiickkosten an der Cournot-Menge). Multipliziert man dies mit der Cournot Menge xa, so erhalt man G(xa) = G max , denn es ist ja g(x)·x = G(x). es gilt also G max = (p(xa)-k(xa))xa; geometrisch kann man das als eine Rechtecksflache interpretieren (s. Abb. 5.38, 5.39) und so den Maximalgewinn aus den Kurven p(x) und k(x) graphisch bestimmen. Abb. 5.38 zeigt die diskutierten Verhaltnisse im Faile Iinearer Kosten (Beispiel 1) und Abb. 5.39 im Faile ertragsgesetzlicher Kosten (Beispiel 2).

288

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

Beispiele: 1)

Monopolistischer Anbieter, lineare Kosten: Die Preis-Absatz-Funktion sei p = p(x) = 15,2 - 0, 8x und die Kostenfunktion K(x) = 4x + 20. Man ermittle den Cournot-Punkt und den Maximalgewinn. Es ist E(x) = xp(x) = -0, 8x 2 + 15, 2x. E'(x) = -1, 6x + 15,2, I<'(x) = 4. E'(x) = K'(x) liefert -1, 6x + 15,2 = 4, die Losung ist XG = 7 ME. G(x) = E(x)-K(x) = -0,8x 2 +11,2x-20. G'(x) = -1,6x+ll,2; G"(x) = -1,6 < 0, also liegt bei XG = 7 ein Maximum vor (xG = 7 hiitte natiirlich auch aus G'(x) = 0 ermittelt werden konnen). p(xG) 15,2 - 0,8·7 9,6 GE/ME. Der Cournot-Punkt ist C(7; 9,6). G max = G(7) = 19,2 GE. 2. Weg zur Bestimmung von G max : 20 20 k(x) = 4 + -;;' k(xG) = k(7) = 4 +"'7 = 6,8571429.

=

G max

=

= (9,6 -

6,8571429) . 7 = 19,2 GE.

p, k, E', K'

15

5

k(x} I---------~----

K'(x}

x Abb. 5.38 2)

Monopolistischer Anbieter, ertragsgesetzliche Kosten: Ein Monopolist habe die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 100 - 1,5x und die Kostenfunktion K(x) = x 3 - 12x 2 + 54x + 248. Man lOse dieselben Aufgaben wie im Beispiel 1).

=

=

Es ist E(x) xp(x) -1,5x 2 + 100x. Die Bedingung fUr das Gewinnmaximum ist E'(x) = K'(x): -3x+100 = 3x 2 -24x+54. Das ergibt die Gleichung x 2 -7x-15! = O.

, = ~2 ± v- 127, 58333 ~ 3,5 ± 5,252. Es kommt nur das positive Ergebnis in Frage, also XG ~ 8,752 ME. p(xG) ~ 86,872 GE/ME. Beim Preis von 86,872 GE/ME realisiert der Monopolist sein Gewinnmaximum. Der Cournot-Punkt ist C(8,752; 86,872). Wir berechnen auch hier G max auf zwei verschiedenen Wegen: Xl2

5.4. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG

289

Es ist G(x) = _x 3 + 10,5x 2 + 46x - 248. (G'(x) = -3x 2 + 21x + 46, G'(x) = 0 -6x + 21, GI/(8,752) -31,512 < 0, alsa liegt ein hiitte auch Xc geliefert; GI/(x) Maximum var). G max = G(xc) ~ 288,48 GE. 248 2. Weg: k(x) = x 2 - 12x + 54 + - ; k(xc) ~ 53,91 GE/ME.

=

=

x

G max = (86,872 - 53,910) ·8, 752

~

288,48 GE.

K', E', p, k

100

k(x)

p(x)

E'(x)

2

4

6

8

~

10

12

14

x

Abb. 5.39

5.4.3

Elastizitat okonomischer Funktionen

Die absolute Anderung einer Funktion f( x) pro zusatzlicher Einheit x, wie sie uns die Grenzfunktion j'(x) gibt, ist zur Charakterisierung des Anderungsverhaltens oft noch nicht aussagekraftig genug. Wir wollen uns das an folgendem Beispiel klarmachen: Zwei Unternehmen A und B erh6hen ihren Output urn eine Einheit; die dadurch verursachte Anderung der Kosten betrage bei beiden 5 Einheiten. Folgende Tabelle zeigt die Verhaltnisse:

KAPITEL5. DWFERENTMLRECHNUNG

290

bisheriger Output x Anderung ~x neuer Output bisherige Kosten [{ Anderung ~[{ neue Kosten

A 20 1 21 95 5 100

B 200 1 201 65 5 70

Die Anderung des Outputs urn eine Einheit bedeutet bei Unternehmen A eine relative Anderung urn 5% bei B urn 0,5%. Die relative Kostenanderung betragt bei A 5,26%, bei B 7,69%. Man sieht, daB die Kosten bei B auf eine Steigerung des Outputs viel empfindlicher reagieren als bei A: Schon eine Steigerung des Outputs urn 0,5% bringt eine Kostensteigerung urn 7,69% hervor, wahrend bei A eine Steigerung des Outputs urn betrachtliche 5% nur eine Kostensteigerung von 5,26% verursacht. Ein MaB fUr die Empfindlichkeit des Reagierens der Kosten auf Anderungen des Outputs wird der Quotient dieser Prozentsatze sein, d.h. das Verhaltnis

~[{ . 100 [{ ~x

~[{

=

-·100 x

JL ~x

=

~[{ . ~. ~x [{

x

LaBt man hier ~x gegen Null gehen, so erhalt man die sogenannte Elastizitat der Kosten beziiglich des Outputs: [{/(X)'X cK,x =

[{(x) .

Der Wert der Elastizitat cK,x an Xo gibt an, urn wieviel % sich die Kosten andern (steigen bei cK,x > 0, sinken bei cK,x < 0), wenn der Output urn 1% zunimmt. Als Elastizitat c f,x der okonomischen Funktion f( x) beziiglich der GroBe x bezeichnet man die Funktion cf,x

=

f'(x) f'(x) f(x) . x = J(x)

=

Grenzfunktion Durchschnittsfunktion

(5.14)

Sie ist eine dimensionslose GroBe und unabhangig davon, in welchen MaBeinheiten man fund x miBt. Die Elastizitat an einer Stelle Xo gibt an, urn wieviel % sich f andert, wenn x bei Xo urn 1% wachst.

5.4. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG

291

1st an Xo Ie f,xl > 1, so heiBt f beztiglich x an der betrachteten Stelle elastisch. Elastisches Verhalten kann man auch so interpretieren: f reagiert sehr sensibel auf .A.nderungen von x, und zwar umso sensibler, je gr6Ber Ie f,xl ist. Den Grenzfall Ie f,xl = 00 nennt man den Fall vollkommener Elastizitat. 1st an Xo Ief,x I < 1, so heiBt f beztiglich x an der betrachteten Stelle unelastisch. U nelastisches Verhalten bedeutet: f reagiert wenig sensibel auf .A.nderungen von x. Je kleiner Ie f,xl ist, desto robuster ist f gegentiber .A.nderungen von x. 1m Grenzfall 10 f,x = 0 heiBt f vollkommen unelastisch oder starr; es reagiert dann auf .A.nderungen von x tiberhaupt nicht mehr. 1m Ubergang von elastischem zu unelastischem Verhalten, d.h. bei lef,xl = 1, nennt man f beztiglich x ausgeglichen elastisch. Beispiele: 1)

Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) = x 3 - 12x2 + 54x + 248. Man bestirnrne und interpretiere die Elastizitat an x = 1 und x = 10. (3x 2 - 24x + 54)x 3x 3 - 24x 2 + 54x EK,x = x3 _ 12x2 + 54x + 248 = x 3 - 12x 2 + 54x + 248 Es ist EK,xlx=l ~ 0,1134. An x = 1 verhalten sich die Kosten bezuglich des Outputs unelastisch: Nirnrnt x an x = 1 urn 1% zu, so steigen die Kosten urn ca. 0,11%. Es ist EK,xlx=lO ~ 1,94. An x = 10 verhalten sich die Kosten bezuglich des Outputs elastisch. Nirnrnt x an x = 10 urn 1% zu, so steigen die Kosten urn ca. 1,94%.

2)

Gegeben sei die Nachfragefunktion x(p) = 22 - 0, 5p irn Bereich 0 :S p :S 44 (x > 0). In welchern Preisbereich ist die Nachfrage elastisch, in welchern unelastisch? Fur die Preiselastizitat der Nachfrage ergibt sich

-0,5p , 22 - 0,5p Das ist fUr 0 :S p :S 44 negativ, also liegt Elastizitat der Nachfrage (d.h. -0,5p Ex,p < -1 vor: 22 _ 0, 5p < -1: -0,5p < 0.5p - 22: p> 22. Ex p =

IEx,pl > 1) bei

Elastische Nachfrage haben wir dernnach bei p > 22. Fur p < 22 ist die Nachfrage unelastisch, fUr p = 0 ist sie starr und fUr p = 44 ist sie vollkornrnen elastisch. 3)

C(x) = 8400 x + 700 sei eine rnikrookonornische Konsurnfunktion (vgl. 5.4.1). Man x + 7500 berechne und interpretiere die Einkornrnenselastizitat des Konsurns fUr ein Einkornrnen von 5000 Euro. Es ist

4)

EC,x

= (x

6800x

+ 700)(x + 7500)·

Ec,xlx=5000

~ 0,4772.

Nirnrnt bei einern Einkornrnen von 5000 Euro das Einkornrnen urn 1% zu, so wachst der Konsurn urn ca. 0,48%. Gegeben sei die Nachfragefunktion x(p) = 12e- o,3P. Man bestirnrne die Bereiche elastischer und unelastischer Nachfrage. -0,3p. Die Nachfrage ist preiselastisch fur -0,3p < -1, d.h. fUr 0,3p > 1, also fUr p > 3t. Fur 0 < p < 3t ist sie unelastisch, fUr p = 0 starr und fUr p = 3t ausgeglichen elastisch.

Ep,x =

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

292

Differentiation von Funktionen mehrerer Veranderlicher

5.5

5.5.1

Partielle Ableitungen, totales Differential

Der Begriff der Ableitung einer Funktion, kombiniert mit der ceteris-paribusBedingung, fiihrt zum Begriff der partielIen Ableitung einer Funktion mehrerer Variabler: Sei y = f(xI, X2,·· ., x n ) eine Funktion von n Variablen. Die partielIe Ableitung von f(xt, X2,"" x n ) nach der Variablen Xi erhiilt man, indem man nur Xi als Variable, aIle anderen Variablen aber als konstant betrachtet und dann f

nach

Beispiel:

Xi

differenziert. Sie wird mit

f(xt, X2)

aa f

aa f

Xt

, fx.

oder

aay

Xi

bezeichnet.

xi + x~ + XiX2'

=

Gesucht sind die partielIen Ableitungen Urn

Xi

zu berechnen, betrachten wir

aaf

Xl

und

f(XI,X2)

aaf . X2

als Funktion von

Xt.

X~

ist

dann eine additive Konstante und fiilIt beim Differenzieren weg; im Ausdruck XiX2 ist X2 eine multiplikative Konstante, bleibt also beim Differenzieren nach Xl

..

.

unverandert. Also gIlt:

af -a = 3x 2I + 2XIX2' Xl

Analog findet man

Weitere Beispiele: 1)

2)

3) n

4)

!(XI, x2,··" Xn )

= LaiX; = alxl + a2x2 + ... + anxn · ;=1

af -a = 2X2 + Xl'2 X2

5.5. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN MEHRERER ...

of

-

Xi

= ai,

293

i = 1,2, ... , n

5)

6) 3 0,3-1 ~ -- 6. r 0,7. 0 ,r

Or2

1

2

- 1 -,

8 r 0,7 r -0,7 . 1

2

Anmerkung: Wir sind heuristisch herangegangen und haben uns urn die Bedingungen, unter denen die partiellen Ableitungen existieren, nicht gekiimmert. Fiir aile aus elementaren Funktionen zusammengesetzten Ausdriicke, wie wir sie etwa in den Beispielen betrachtet haben, gibt es im Definitionsbereich dieser Funktionen keine Probleme. Auf eine geometrische Deutung wird verzichtet, weil sie nur auf den Spezialfall zweier Variabler beschrankt ware. Es sei erwahnt, daB fiir Funktionen f(x, y) zweier Variabler die partielle

~~, an einem Punkt (xo, Yo) genommen, dort die Steigung des x-Richtung, ~~ entsprechend die Steigung in y-Richtung angibt.

Ableitung in

Die partiellen Ableitungen

aa

f

Xi

Funktionsgebirges

einer Funktion f(xt, ... , x n ) sind wiederurn

Funktionen von Xl, ... ,X n (moglicherweise hangen sie von einigen Xi nicht mehr ab; das spielt aber fUr die allgemeine Betrachtung keine Rolle). Den Wert der

aaf

Funktion

Xi

an dem festen Punkt PO(XlO,X20,'" ,xno) (lies:

X -

eins - null,

aa f I

oder mit fXi (XlO' ... ,xno). Die x, Po Interpretation dieser GroBe konnen wir ebenfalls aus der Differentialrechnung einer Variablen iibernehmen: X -

zwei - null usw.) bezeichnen wir mit

af dXi aXi

gibt naherungsweise die Anderung der Funktion fan, wenn

Xi

von

aus urn dXi verandert wird und aIle iibrigen Variablen auf ihrem Stand bei Po festgehalten werden (ceteris-paribus-Bedingung). XiO

Beispiele: 1)

=

Wie andert sich f(x, y, z) x2yz+xy2z+xyz2, wenn am Punkt Po(l, -1,2) die GroBe z urn 0,01 Einheiten zunimmt, und X und y unveranderlich bleiben?

294

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

a[ I

a[

oz

- = x 2 y+xy 2 +2xyz; oz

Es ist dz = 0,01 und somit

Po

2 ( ) 2 +2·1· ( =1· -1) +1· (-1 -1) ·2=-4.

~~ Ipo .dz = -0,04.

Die Funktion nimmt urn 0,04 Einheiten abo Der exakte Wert der Anderung, niimlich [(I; -1; 2,01)-[(1;-1;2) ist -0,0401.

=

=

In der Produktionsfunktion x(r\, r2) 8r~,5r~,6 werde beim Einsatzniveau r1 4, r2 5 der erste Faktor urn 0,1 Einheiten erhoht, der zweite unveriindert gelassen. Wie iindert sich der Output x ?

2)

=

aox

r\

aox I : : : 5,25.

06 -05 06 ' r 2' = 4r 1 ' r 2'; = 8·0, 5r 1-05

Es ist dr\ = 0,1 und :x

I

r1 (4;5)

.dr1

r\ (4;5)

:::::: 0,525. Der Output erhoht sich urn 0,525 ME

(Der exakte Wert ist 0,522).

Man kann zeigen, daB sich im Kleinen - oder, wie man auch sagt, im Infinitesimalen - d.h. bei sehr kleinen dXi, die Einzelanderungen zur Gesamtanderung einfach addieren:

L.n

.=1

fJf fJf -fJ dXi = -fJdX1 Xi Xl

fJf

fJf

+ -fJ dX2 + ... + -fJdX n X2 Xn

t ::.

gibt dann (naherungsweise) die Anderung von fan, wenn sich urn dX2, ... , X n urn dX n andert.

i=l

Xl

urn dXl, X2

dXi heiBt das totale Differential der

•

Funktion f( Xl, X2, ... ,Xn ) und wird mit df bezeichnet: of df = -;;;-dXl UXl

of

of

+ -;;;-dX2 + ... + ~dxn' UX2 UX n

Beispiele: 1)

=

=

Gegeben sei die Produktionsfunktion x x(r1,r2) 6r~,3r~,7. Urn wieviel iindert sich 6 ME, r2 10 ME der erste Faktor urn der Output x, wenn beirn Einsatzniveau r\ 0,2 Einheiten erhoht, der zweite urn 0,1 Einheiten verrnindert wird?

=

Esistdr\=0,2, dr2=-0,lunddx= :xl

r1 (6;\0

berechnen. ox -07 07 -a = 1,8r\ ' r 2', r\

=

.0,2 +

:xl

r2 (6;10)

'(-0,1) zu

ox _ 4 2 0,3 -0,3 -a - , r\ r 2 r2

dx = 2,57·0,2 + 3,60· (-0,1) :::::: 0, 15. (der exakte Wert ist 0,144). Der Output wiichst bei den angegebenen Anderungen urn ca. 0,15 Einheiten. 2)

K(xl, X2, X2) = 2, 8xl,5 + 3, 2x~ + 4x~'\X~,8 + 880 sei die Gesarntkostenfunktion eines

5.5. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN MEHRERER ...

295

Dreiproduktunternehmens. Wie iindern sich die Kosten, wenn sich bei einem Output von XI = 12 ME, X2 = 18 ME, X3 = 22 ME XI urn 0,1 Einheiten verringert, X2 urn 0,02 Einheiten vermehrt und X3 urn 0,1 Einheiten verringert? Es ist dXI = -0,1, dX2 = 0,02, dX3 = -0,1. {)f{

05

-09 08 ' X 3',

-{) =4,2x l ' +0,4x I XI

{)f{

I

{)XI (12,18,22)

~ 15,06;

{)f{

{)f{

-{)

I

X2

=6, 4x 2,

{)X2 (12,18,22)

~ 115,2;

{)f{ _ 3 2 0,1 -0,2

-{) - ,

X3

{)f{

XI

X3

I

{)X3 (12,18,22)

.

~ 2,21.

= 15,06· (-0,1) + 115,2·0,02 + 2, 21· (-0, 1) ~ 0,58. (der exakte Wert ist 0,5815). Die Kosten steigen bei den angegebenen .Anderungen urn ca. 0,58 Einheiten.

df{

5.5.2

Anwendungen

(1) Partielle Grenzfunktionen

Die Interpretation der Ableitung einer okonomischen Funktion als Grenzfunktion kann zwanglos auf 6konomische Funktionen mehrerer Variabler ubertragen werden: 1st f( Xl,

X2, .•. ,X n )

eine okonomische Funktion, so heWen die partieIlen Ab-

leitungen aa f die partieIlen Grenzfunktionen von f(xI, X2, ... , x n ). Xi

Ihre okonomische Deutung folgt ebenfalls unmittelbar aus der Interpretation der GroBe

aa

fl·

X, Po

dXi

fUr

dXi

= 1:

Der Wert der partieIlen Grenzfunktion

aaf

Xi

an einem Punkt Po gibt (nahe-

rungsweise) an, wie sich f andert, wenn Xi von XiO aus urn eine Einheit wachst, wahrend aIle anderen Variablen auf dem Stand von Po gehalten werden (c.p.-Bedingung). Damit diese Naherung brauchbar ist, muB man voraussetzen, daB eine Einheit von Xi verschwindend klein ist verglichen mit den Quantitaten der Variablen, mit denen man arbeitet. 1st

I«XI, X2, . .. ,

kosten. 1st

x n ) eine Kostenfunktion, so hei13en

E(XI' X2, .. . , X n )

aaI< Xi

die partiellen Grenz-

eine Erlosfunktion, so heiBen die

aE

-a die partiellen Xi

296

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

Grenzerlose. Entsprechend sind partielle Grenzgewinne und partielle Grenzproduktivitiiten definiert. (2) Partielle Elastizitiiten

Der Begriff der Elastizitat laf3t sich ebenfalls unmittelbar auf Funktionen mehrerer Variabler iibertragen: 1st f( Xl, X2,· .. ,Xn ) eine okonomische Funktion, so hei13en die Funktionen

af cf,x; =

T' aXi

Xi

=

fx; . Xi

--f-

die partiellen Elastizitaten von f(xI' X2, . .. , x n ). C f,x; Ipo gibt naherungsweise an, urn wieviel % sich f andert, wenn Xi von XiO aus urn 1% zunimmt und alle anderen Variablen auf dem Stand von Po festgehalten werden. Beispiel: Man bestimme und interpretiere die partiellen Elastizitiiten von an Po(4,5). tOf,xl

=

(2XjX2 - 2)xj 2 X j X2 - 2xj

=

2xix2 - 2xj 2 . X j X2 - 2xj

tOf x, ,

=

I(xj, X2)

=

XiX2 - 2xj

XiX2 2 . X j X2 - 2xj

tOf,xl ~

2.11. Nimmt Xj von Xj = 4 aus urn 1% zu, wiihrend wird, so steigt I (niiherungsweise) urn 2,11%.

X2

bei

X2

= 5 festgehalten

tOf,x, ~ 1.11. Nimmt X2 von X2 = 5 aus urn 1% zu, wiihrend wird, so steigt I (niiherungsweise) urn 1,11%.

Xj

bei

Xj

= 4 festgehalten

(3) Extrema ohne Nebenbedingungen; Methode der kleinsten Quadrate

Die ausfiihrliche Behandlung der Theorie der Extrema fiir Funktionen mehrerer Variabler und ihrer zahlreichen Anwendungen in der Okonomie geht iiber den Rahmen eines Briickenkurses hinaus; es sei deshalb auf die weiterfiihrende Literatur verwiesen. Wir begniigen uns hier mit der Angabe der notwendigen Bedingungen fUr ein Extremum und erlautern als Anwendung die Methode der kleinsten Quadrate. Analog wie bei Funktionen einer Variablen gilt:

5.5. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN MEHRERER ...

Wenn f(Xl' hat, so ist

X2,' ..

,xn ) am Punkt

af

I -0

aXl Po -

PO(XlO, X20, ...

297

,xno) ein relatives Extremum

af I - 0

aX n Po -

,

(5.15)

.

(5.15) ist ein Gleichungssytem zur Bestimmung von XlO, X20, . .. ,XnO, d.h. von Po. Die Bestimmung von Po gelingt relativ leicht, wenn (5.15) ein lineares Gleichungssystem darstellt, wie dies bei der Methode der kleinsten Quadrate der Fall ist: Es seien n Wertepaare (Xi, Yi), i = 1, ... , n, statistisch erhoben worden. Beispiele: 1)

In n J ahren seien die Regenmengen worden.

und die Ernteertrage an Kartoffeln Yi bestimmt

Xi

ermittelt.

2)

Zu n Inputs

3)

Zu n Outputwerten

4)

Zu n Zeitpunkten ti wurden die Umsatze Ei einer Warenhauskette ermittelt.

ri

wurden die Outputs

Xi

Xi

wurden aus der Betriebsstatistik die Kosten K i ermittelt.

Wenn man die MeBwertpaare (Xi, Yi) graphisch darstellt, erha.lt man eine Punktwolke. Die Abbildungen 5.40 und 5.41 zeigen zwei Beispiele. y

y

..

.. -., . ..... . .. --.... ' ' "

. ....

.•••. : ..•• :•.• f.

' .f., . , ,

:. :

.

'

... -.. ..

.

::

..

,

x

x

Abb. 5.40 und 5.41 Es geht nun darum, den Zusammenhang zwischen X und Y durch eine Funktion Y = f(x) "m6glic~st gut" zu beschreiben. Man wird als Ansatz fur eine solche Funktion bei def in Abb. 5.40' dargestellten MeBreihe eine quadratische Funktion (eine Parabel), bei der in Abb. 5.41 dargestellten eine lineare Funktion (eine Gerade) wahlen, d.h. der Ansatz lautet im Fall der Abb. 5.40:

298

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

f(x) = ax 2 + bx + c, im Fall der Abb. 5.41: f(x) heiBen Regressionsfunktionen.

= ax + b.

Solche Funktionen

Bei der Auswahl des Typs der Regressionsfunktion kann man gegebenenfalls von Kenntnissen tiber den Zusammenhang zwischen x und Y profitieren, oder man laBt sich durch Vermutungen leiten, die etwa durch die graphische Darstellung der MeBwerte nahegelegt werden. Hat man z.B. durch die Betriebsstatistik zu n verschiedenen Outputwerten die Kosten und weiB man, daB ein ertragsgesetzlicher Zusammenhang zwischen Kosten und Output besteht, so wird der Ansatz fUr die Regressionsfunktion lauten: K(x) = ax 3 + bx 2 + CX + d mit vier unbekannten Parametern a, b, c, d. Oft begntigt man sich mit der Bestimmung einer Regressionsgeraden. Was heiBt nun, die Gerade solI "moglichst gut" den in der Punktwolke zum Ausdruck kommenden Zusammenhang zwischen x und Y beschreiben? In der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird gezeigt, daB das in vieler Hinsicht gtinstigste Kriterium folgendes ist: Man bildet fUr jedes Xi die Abweichung des Funktionswertes f(Xi) vom MeBwert Yi, d.h. f(Xi) - Yi, und bestimmt die unbekannten Parameter so, n

daB Q = 'L:(J(Xi) - Yi)2 minimal wird. Die Summe alter Abweichungsquadrate i=1

wird also minimiert. Abb. 5.42 zeigt fUr 5 MeBpunkte die Abweichungen (stark ausgezogen; da sie fUr die Bildung von Q quadriert werden, spielt ihr Vorzeichen keine Rolle). y f(x)

x

Abb. 5.42

5.5. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN MEHRERER ...

1m FaIle einer Regressionsgeraden f(x) = ax

+ b ist

f(Xi) = aXi

299

+ b und

n

Q(a, b)

= ~)axi + b -

Yi)2.

i=1

Q( a, b) ist eine Funktion der unbekannten Parameter a und b (man beachte, daB Xi und Yi jetzt keine Variablen sind, sondern feste Zahlen, namlich die MeBwerte). 8Q

8Q

7ib = o.

(5.15) liefert fUr ein Minimum von Q die Bedingungen: 8a = 0, Nach der Summenregel ist

~~

die Summe tiber die Ableitungen von (axi

Yi)2 nach a; diese sind nun nach der Kettenregel (( aXi Funktion): 2( aXi + b - Yi) . Xi. Also gilt 8Q 8a =

(

n

n

2

+b-

n

n

Yi) ist die innere

~2(aXi+b-Yi)Xi=2 a~Xi +b~Xi- ~XiYi

Ehen,o e,halt man beachten, daB

t

,=1

t,

~~ ~ 2 (a Xi + b . n -

b=

P+ b +,,: .. + ~ = n

t, Yi)' ~~ =

n . b ist.

Summanden

0,

+ b-

)

Hie,hei

~~ =

.

w"'

noch '"

0 liefern also

das folgende lineare Gleichungssystem ftir die unbekannten Parameter a und b.

n

a· LXi i=1 n

a· LX; i=1

n

+ b· n n

= LYi i=1

+ b· LXi = i=1

n

(5.16)

LXiYi i=1

(5.16) heiBt das System der Normalgleichungen. Beispiel: Eine Statistik tiber Ausbringungsmengen und Kosten ergab tiber 15 Zeitperioden folgende Resultate:

300

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

LX? = 295634,

Ausbringungsmenge Xi Kosten Ki 102 389 117 402 132 436 130 428 178 490 162 471 149 430 136 429 141 446 128 423 109 395 125 416 146 452 159 468 168 471 L : 2082 6546 LXiKi = 917457. Das Normalgleichungssystem lautet:

=

2082a+ 15b 6546 295 634a+ 2082b = 917457

AIs Losung ergibt sich (s. Kap. 7): a ~ 1,33, b ~ 251. K(x) = 1, 33x + 251. Abb. 5.43 zeigt die MeBdaten und die Regressionsgerade K(x) (die Achsen sind an den gekennzeichneten Stellen unterbrochen). K

500

400

100

150 Abb. 5.43

x

5.6.

UBUNGSAUFGABEN

5.6

301

Ubungsaufgaben = x4

1)

Man berechne die 1. Ableitung von /(x) lim /(x + t::.x) - /(x).

2)

Man ermittle die 1. Ableitungen folgender Funktionen: a) /(x) -3x 5 + 2x 3 - x 2 + x-I; b) /(x) 6x- 3 + 4x- 1 + 6x;

Ll.x-O

c)

3)

t::.x

= 7 3s - 1 h(s) = s2 + s+2;

=

)

(

d 9 t)

f) u(s)

= {/(3s -

i) /(x)

7x -x+3 = -x 2 +x - 4;

g) /(x)

6)3;

2

j) y(t)

d) /(u)

= 6x + 3x 3 4

= ulnu.

x2+ X

-

= yltln(t 2 -

h) C(Y)

4t + 1);

850 = 9000 yY++9000;

k) h(z)

1 = -; x

b) /(x)

c) u(t)

=

= (t 2 + 1) In(t -

3z

ze = --. 2z - 1

= te-t;

1)

an to

= 5;

=

7 d) h(s) = s2 :

~~ 1

=

an So

= -3.

Man bestimme die Gleichung der Tangenten an die Graphen folgender Funktionen an den angegebenen Stellen: eX a) /(x) -2x 2 + 6x - 9 an xo 2; b) /(x) x.J2X=l + an xo 3; lnx d) h(s) se- 3s an So 4. c) C(t) ~ (6t + 1)\!t an to 1,5;

= =

= =

-

=

=

=

=

Man untersuche das Steigungsverhalten folgender Funktionen (in welchen Intervallen des jeweiligen Definitionsbereiches steigen sie, in welchen fallen sie?):

a)/(x)=-12x 2 +8x+4;

d) u(s) =

7)

e /(x)

Wie groB ist die Steigung des Graphen folgender Funktionen an den angegebenen Stellen: 5 a) /(x) 8, 3x 2 - 6, 2x + 5 an Xo -2,6; b) /(x) 6 _ e- O,5x an xo 1; c) u(t)

6)

6 = 17~1 V X• ;

)

= 7x 2e- 2x +1 ;

6;

=

5)

= vt; 3;;

Man ermittle die ersten vier Ableitungen der Funktionen: a) /(x)

4)

mittels der Definition, d.h. mittels

2

s -1

s +s+4

b)/(t)=tlnt;

c)/(x)=(x 2 +4)e-(x+3);

.

Man untersuche das Kriimmungsverhalten folgender Funktionen (in welchen Intervallen des Definitionsbereiches sind sie konvex, in welchen konkav?):

t +1 = x 3 - 6x 2 + lOx + 5; b) /(t) = t=T; c) g(u) = u 2 ln u; d) h(z) = z2 e-z; e) /(x) = x 4 + 2x 3 - 12x 2 + 60x + 120. 2

a) /(x) 8)

9)

Man bestimme mittels des Differentials naherungsweie die Anderung der Funktion X + 5, wenn x von xo = 3 aus urn 0,02 zunimmt. Wie groB ist die exakte Funktionsanderung?

7x 3 + 2x 2 -

Man bestimme mittels des Differentials naherungsweise die Anderung der Funktion t 2e- ~t2, wenn t von to -1 aus urn 0,1 abnimmt. Wie groB ist die exakte Funktionsanderung?

u(t)

=

=

302

10)

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

Man ermittle die relativen Extrema folgender Funktionen: a) f(x) = x 2 - 6x + 14; b) f(x) = x 3 + 12x 2 + 45x + 18; d) v(z)

11)

= .fie- z ;

e) k(y)

1 f) f(x) = x 4 + 3'

= 2ylny;

c) g(t)

= t4 -

2t 3 + 1;

x Von einer rechteckigen Glastafel von 100 x 80 em ist eine Ecke, wle III Abb. 5.44 angegeben, weggebrochen. Wo ist auf der Bruchlinie der Punkt P zu wahlen, damit die mit Pals Ecke herausgeschnittene rechteckige Tafel maximale Flache hat? 100

F

80

•••••.•..••••.••••••.•.... p : 30

--3-0--:-Abb. 5.44 12)

Es soli ein oben offenes zylindrisches Gefa13 von 101 Inhalt gefertigt werden. Wie sind die Ma13e zu wahlen, damit moglichst wenig Material verbraucht wird?

13)

Man ermittle die Wendepunkte folgender Funktionen: a) f(x) = 3x 3 - 18x 2 + 6x + 5; b) u(t) = t 4 + 6t 3

60t 2 + 12t - 12; 1 c) f(x) = x 4 - 8x - 18x + 60x + 120; d) c(y) = -.,--; e) g(s) y- + 1 Man fUhre fUr folgende Funktionen eine Kurvendiskussion durch: a) f(x) = x 3 + 7x 2 + 4x - 12 Hinweis: Eine der Nullstellen ist leicht durch Probieren zu finden. 3

14)

b) x(t) = t

2

~~\+2;

2

-

= e- T

,2

.

c) f(x) =x 2 e- x .

15)

Man bestimme fur die Einkommenssteuer S(E) (vgl. 4.1) die Grenzsteuer fur ein Einkommen von 22700 Euro. Wie ist dieser Wert zu interpretieren?

16)

Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) =

1

6X3 -155x 2 +52 000x+46 000. Man bestimme:

a) die Grenzkosten; b) die Grenzstuckkosten; c) die Schwelle des Ertragsgesetzes. d) Welche Kosten verursacht bei einem Output von 250 Einheiten eine zusatzlich produzierte Einheit? e) Welche Kosten verursacht eine zusatzlich produzierte Einheit an der Schwelle des Ertragsgesetzes? f) Wie wirkt sich bei einem Output von 340 Einheiten eine zusatzlich produzierte Einheit auf die Stuckkosten aus? g) Man berechne fUr d) - f) auch die exakten Werte (also bei d) K(251) - K(250)) und vergleiche sie mit den Naherungen, die man mittels der Grenzfunktion erhalt. 17)

Die Preis-Absatz-Funktion eines monopolistischen Anbieters laute x(p) = 500 - 2p. Man bestimme:

5.6. UBUNGSAUFGABEN

303

a) den Grenzerl5s beziiglich des Preises; b) den Grenzerl5s beziiglich der Menge. c) Wie verandert sich der Erl5s, wenn bei einem Absatz von 110 ME der Absatz urn eine ME zunimmt? Man ermittle diese Veranderung naherungsweise mittels des Grenzerl5ses und zum Vergleich exakt. 18)

19)

1

Ein monopolistischer Anbieter produziert mit der Kostenfunktion K(x) = 4x

+ 160.

Seine Preis-Absatz-Funktion ist p(x) = 4 - 0,006x. Man bestimme: a) die Gewinnzone; b) das Maximum des Gewinns; c) den Grenzgewinn; d) den Grenzstiickgewinn; e) den Grenzdeckungsbeitrag; f) den Grenzstiickdeckungsbeitrag; g) den Grenzgewinn beziiglich des Preises. h) Wie andert sich der Gewinn, wenn die abgesetzte Menge bei einem Absatz von 280 ME urn eine Einheit steigt? i) Wie andert sich der Stiickgewinn, wenn bei einem Absatz von 320 ME der Absatz urn eine Einheit sinkt? j) Wie andert sich der Deckungsbeitrag, wenn bei einem Absatz von 250 ME der Absatz urn eine Einheit sinkt? Gegeben sei die Produktionsfunktion x(r) = -0, 01r 3 + 8r 2 + 82r. Man berechne und interpretiere die Grenzproduktivitat bei einer Einsatzmenge von r = 80 ME.

20)

Fiir die Produktionsfunktion x(rl, r2) = 3, 8 r~,4r~,6 bestimme man zum Output x = 2 10 ME die Grenzrate der Substitution ddr . Wie muB man r2 verandern, wenn bei einem rl

21)

Einsatz von 5 ME des Faktors rl dessen Einsatz urn 0,1 Einheiten steigt, der Output x = 10 aber konstant bleiben soli. X + 1000 Man berechne fUr die mikro5konomische Konsumfunktion C(X) = 12000 X + 12000 die marginale Konsumquote und die marginale Sparquote als Funktionen des Einkommens X. Wie hoch sind marginale Konsumquote und marginale Sparquote fiir ein Einkommen von X = 4000 Euro? 3

22)

Gegeben sei die Kostenfunktion K (x) = ~ - 50x 2 + 6000x + 52 000. Fiir diese Kosten~ funktion bestimme man: a) die Schwelle des Ertragsgesetzes; b) die Stelle des Betriebsminimums und die kurzfristige Preisuntergrenze; c) die Stelle des Betriebsoptimums und die langfristige Preisuntergrenze. Hinweis zu c): Die Frage nach dem Betriebsoptimum fiihrt auf eine Gleichung 3. Grades. Man kann die Nullstellen mit einem Naherungsverfahren ausrechnen oder auf dem Computer ausrechnen lassen. OdeI' man ermittelt den Punkt Eo durch eine genaue Zeichnung graphisch.

23)

Ein polypolistischer Anbieter produziere mit der Kostenfunktion aus Aufg. 22); seine Kapazitatsgrenze liege bei x = 180 ME. Der Marktpreis betrage 3100 GE/ME. a) Welches ist die bei diesem Preis gewinnmaximale Angebotsmenge?b) Bei welcher Angebotsmenge ist der Stiickgewinn maximal? c) Wie lautet die gewinnmaximale Angebotsfunktion x(p) und in welchem Bereich ist sie langfristig giiltig?

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

304

24)

Ein polypolistischer Anbieter produziere mit der Kostenfunktion K(x) = 5x + 400. Seine Kapazitatsgrenze liege bei 110 ME. Er sieht sich einem Marktpreis von 15 GE/ME gegeniiber. a) Man bestimme die Gewinnschwelle. b) Bei welchem Absatz wird der Maximalgewinn erzielt und wie groB ist er? c) Wie groB sind das Minimum der Stiickkosten und der maximale Stiickgewinn?

25)

Ein monopolistischer Anbieter habe die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 400 - x. Man bestimme den Cournot-Punkt und den Maximalgewinn, wenn er a) mit der Kostenfunktion K(x) = 0,01x 3 - 2, 4x 2 + 210x + 600 produziert, b) mit der Kostenfunktion K(x) = 50x + 2000 produziert.

26)

Man bestimme die Elastizitat fUr folgende Funktionen: a) f(x) = x n ; b) f(x) = 2x 2 - 3x + 4; c) g(t) = te- 3t ;

d) x(r)

= {'r2;

e) f(u)

= u 2 ln(u3 -

1).

27)

Gegeben sei die Produktionsfunktion x(r) = -0, lr 3 + 6r 2 + 155r. Man bestimme und interpretiere die Elastizitat des Outputs beziiglich des Faktoreinsatzes fUr: a) r = 10 ME; b) r = 50 ME.

28)

Fiir die folgenden beiden Nachfragefunktionen ermittle man, in welchem Preisbereich die Nachfrage elastisch, in welchem sie unelastisch ist: b) x(p) = 8e-!p . a) x(p) = 12 - 0,8p (0::; p::; 15);

29)

S(X) = X

2

-

900X - 5880000 sel.eme . ml'k roo konomlsc . h e Sparfun k' h X + 7500 bon. Man b erec-

ne und interpretiere die Elastizitat des Sparens beziiglich des Einkommens bei einem Einkommen von X = 5000 Euro. 30)

Man berechne die ersten partiellen Ableitungen folgender Funktionen: a) f(XI,X2,X3) = -xi + 2x~ - x~ + 4XlX2 - 2XlX3 + X2X3; b) f(x, y, z) = x(y - z)4

+ z(x - 2y)6;

s-1

c) u(s, t) = - t+l

+

e) f(Xl, X2, ... , Xn ) = en

f) f(Xl,X2, ... ,xn ) = L k=l

n

kx~;

g) Q(a,b,c) = L(c + bx;

..;s

u--:; yt-s

l:n

2 i=1 Xi;

+ ax;

- y;)2.

;=1

(Setzt man hier ~~, ~~, ~~ = 0, so erhalt man das Normalgleichungssystem fUr quadratische Regression. Wie lautet es?) i) f(x, y) = (x - y)2I n(x 2 - 2y) h) g(r, s) = r 2e- 2(r-s); 31)

Wie andert sich die Funktion f(Xl,X2,X3) aus Aufg. 30a), wenn bei X3 = -1 die Variable X2 urn 0,01 abnimmt?

32)

Wie andert sich die Funktion f(x,y,z) aus Aufg. 30b), wenn bei x = 1, y = -2, z = 3 x urn 0,001 zunimmt, y urn 0,02 abnimmt und z ebenfalls urn 0,02 abnimmt? Man bestimme fUr g(r, s) = r 2e 2(r-s) die partiellen Elastizitaten Eg,r, Eg,s und berechne

33)

deren Werte am Punkt Po(l, 2). Man interpretiere die Ergebnisse.

Xl

= 2, X2 = 4,

5.6.

UBUNGSAUFGABEN

34)

Zu den Geschwindigkeiten Vi wurden bei nasser StraBe die Bremswege ergaben sich folgende Daten: vi(km/h) si(m) 15 3,9 32 10,0 98 22,2 45 10,8 70 19,2 24 6,0 56 13,0 88 23,1 79 20,1 36 8,6 65 16,5 67 15,9 Man bestimme die Regressionsgerade S = av + b.

305

Si

gemessen. Es

Kapitel6 Integralrechnung 6.1 6.1.1

Das unbestimmte Integral Begriff des unbestimmten Integrals. Integration der elementaren Funktionen

Ein Produzent habe die Grenzerlosfunktion E'(x) = 6 - 1, 2x. Gesueht ist die Preis-Absatz-Funktion p = p(x). Es ist E(x) = x· p(x). WiiJ3ten wir also E(x), so konnten wir p(x) als E(x) sox

fort ermitteln. Man wird hier auf das Umkehrproblem der Differentialreehnung gefiihrt. In der Differentialreehnung war die Funktion f( x) gegeben und die Ableitung f'(x) gesueht. In der eben diskutierten Situation ist es umgekehrt: Es ist die Ableitung E'(x) der Funktion E(x) gegeben, und es ist die Funktion E(x) selbst gesueht. 1m obigen Beispiel konnen wir die Losung ohne Kenntnis der Integralreehnung finden. Wir iiberlegen so: Welche Funktion ergibt differenziert die Konstante 6? Das ist 6x. Was ergibt differenziert -1,2x? Das ist -0, 6x 2 . Also ist E( x) = 6x - 0, 6x 2 . Genausogut konnten wir aber aueh E( x) = 6x - 0, 6x 2 + 2000 nehmen; statt 2000 ware aueh jede andere Konstante moglieh, denn eine Konstante versehwindet ja beim Differenzieren. In diesem speziellen FaIle hilft eine inhaltliehe Uberlegung, die Eindeutigkeit herzustellen: E(x) muB ja bei x = 0 Null ergeben, denn wenn man niehts absetzt, erlost man niehts. Die Konstante muJ3 also gleieh Null sein, und das Resultat lautet E(x) = -0,6x 2 + 6x, was p(x) = 6 - 0,6x ergibt.

W. Purkert, Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, DOI 10.1007/978-3-8348-9936-1_6, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

308

Wir fassen diese Uberlegungen jetzt allgemein und definieren die grundlegenden Begriffe der Stammjunktion und des unbestimmten Integrals. Gegeben sei eine stetige Funktion j(x). Eine Funktion F(x) heiBt Stammfunktion von j(x), wenn F'(x) = j(x) ist. Den Ubergang von einer Funktion zur Stammfunktion nennt man Integrieren.

Das Integrieren ist also die Umkehroperation des Differenzierens. Beispiel: x3

Zu j(x) = x 2 +1 ist F(x) = "3+x+5 eine Stammfunktion, denn F'(x) = 1 = x 2 + 1 = j (x). Ebensogut ware F( x) = 3

oder allgemein F( x) = ~

3x 2

3+

3

x "3 + x + 1000 eine Stammfunktion

+ x + C, wo C eine beliebige Konstante ist.

1st F(x) eine Stammfunktion von j(x), so ist auch Ft(x) = F(x) Stammfunktion von j(x).

+ C eine

Denn es gilt F{(x) = F'(x) = j(x). Die Stammfunktion einer Funktion ist also nur bis auf eine additive Konstante bestimmt; zwei Stammfunktionen unterscheiden sich urn eine additive Konstante. Fiir unsere okonomischen Funktionen konnen wir feststelIen: Die Kostenfunktion ist eine Stammfunktion der zugehOrigen Grenzkostenfunktion, der Gewinn ist eine Stammfunktion des zugehorigen Grenzgewinns, der Konsum ist eine Stammfunktion der zugehorigen marginalen Konsumquote usw. 1st F(x) irgendeine Stammfunktion, so stellt - wie wir gerade gesehen haben - der Ausdruck F(x) + C jede beliebige Stammfunktion dar. Der Ausdruck F( x) + C reprasentiert also die Schar oder die Menge aller Stammfunktionen. Man nennt die Schar aZZer Stammjunktionen von j(x) das unbestimmte Integral von j(x). Das unbestimmte Integral wird nach Leibniz mit clem Symbol J j(x)dx bezeichnet (gelesen "Integral iiber j(x)dx"). Es gilt also

If

j(x)dx = F(x)

+

cl

(6.1 )

wo F(x) eine Stammfunktion von j(x) und C eine beliebige Konstante ist. in unserem Beispiel ware also J(x 2

x3

+ 1) dx = "3 + x + C.

(6.1) kann auch in

309

6.1. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

folgender Weise geschrieben werden

J

= f(x) + C

(6.2)

f(X)dx) = f(x)

(6.3)

f'(x) dx

oder

Dabei bedeutet

d~

(J

d~ (... ) die Ableitung des

in Klammern stehenden Ausdrucks

nach x (vgl. 5.1.2). In (6.2) und (6.3) kommt besonders pragnant zum Ausdruck, daB Differenzieren und Integrieren inverse Operationen sind. Aus den Regeln uber das Differenzieren elementarer Funktionen sind fur einige Grundfunktionen leicht die unbestimmten Integrale zu berechnen; man nennt sie oft wegen ihrer Bedeutung fur das Geschaft des Integrierens Grundintegrale. So ist, wie man sofort nachrechnet, die Ableitung von F( x) = _l_ xn +I gerade n+1 F'(x) = f(x) = x n , also (6.4) Die Formel (6.4) gilt fur aBe ganzen und gebrochenen n auBer fUr n = -1 (denn 1 fur n = -1 wird die rechte Seite sinnlos). Die Funktion f( x) = x-I = - konnen x wir also nicht nach (6.4) integrieren. Beispiele: 1)

2) 3) 4)

5) 6) 7)

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

310

8)

9)

J::x = J J J

x- t dx

.

dx = {;9

= 2vx + C

2 5 3 5 5t:; x-·dx=-x·+C=-YX 3 +C 3 3

Die Ableitung von F(x)

= lnx

war F'(x)

J-; = J-;;; dX

1 dx

= f(x) = !., also x

= In x + C

(6.5)

(6.5) ist das noch fehlende Stuck, urn aIle Potenzfunktionen x n integrieren zu konnen. Regel (6.5) gilt nur fUr x > 0, denn In x ist ja nur fUr x > 0 definiert. Fur x < 0 gilt:

Jd:

= In(-x)

+C

(6.6)

Unter Berucksichtigung der Definition von Ixl kann man (6.5) und (6.6) zu einer Formel zusammenfassen: (6.7) Die Ableitung von F(x)

= eX ist F'(x) = f(x) = eX, also gilt (6.8)

Die Grundintegrale (6.4), (6.7) und (6.8), kombiniert mit den nun zu besprechenden Integrationsregeln, ermoglichen bereits die Integration eines ansehnlichen Arsenals von Funktionen.

6.1.2

Integrationsregeln

(1) Faktorregel Aus der Regel (5.6) uber die Behandlung eines konstanten Faktors beim Differenzieren erhaJt man eine analoge Regel fur das Integrieren: 1st F( x) eine Stammfunktion von f(x), so ist aF(x) eine Stammfunktion von af(x). Man hat namlich d (5.6) d

dx(aF(x)) = a· dxF(x) = af(x).

6.1. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

311

Man kann das auch so ausdrucken

J

J

af(x) dx = a

(6.9)

f(x) dx

Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden. Beispiele:

=7 j

j 7 dx

2)

j-e X dx=(-l).je x dx=-e X +C

3)

j -3x 2 dx = (-3) . j x 2 dx = (-3) x 3

4)

j

5)

dx

= 7x + C

1)

3

~ dx = 2 j

+C =

_x 3

+C

= 21n Ixl + C

d:

dx 1j 1 x-'dx=2· 2x '+C=v x + C j 2yfX=2 1

r:::

1

(2) Summenregel Aus der Summenregel (5.7) fUr die Differentiation ergibt sich analog wie eben die Summenregel fur Integrale:

J

(J(x)

+ g(x))

dx =

J

f(x) dx

+

J

g(x) dx

(6.10)

Eine Summe kann gliedweise integriert werden. Insbesondere kann man durch Kombination von (6.4), (6.9) und (6.10) jedes beliebige Polynom integrieren. Beispiele: 1) 2)

3)

j (x 2 - 7x + 5) dx = "3 - 2 x2 + 5x + C j (-2x +3x -x +2x -x+1)dx=--x +-x 7

X3

5

4

3

2

1635142312

3

j (-4x 3

+ 3x 2 -

2x + 6) dx

= _x 4 + x 3 -

5

--x +-x --x +x+C

x 2 + 6x + C

4

3

2

312

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

Weitere Beispiele zur Benutzung von (6.9) und (6.10): 1)

2) 3)

J J(

(x

2

_

3 dx= x 3

x~ +7V9")

-4x 3 + 6e" -

~)

dx

+~+5XV9"+C

= _x 4 + 6e" -

j(

3x 2 - -43 - e" + - 2) dx x ~

= x3 +

51n Ixl + C

-22 - e" + -7y716 xv + C x 3

(3) Partielle Integration Integriert man auf beiden Seiten die Produktregel (5.9), d.h. die Gleichung (u(x) v(x))' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x), und beriicksichtigt (6.2), so erhaJt man:

u(x)v(x) =

J

u'(x)v(x)dx

+

J

u(x)v'(x)dx.

Dahei denken wir uns die links noch auftretende Konstante in einem der unbestimmten Integrale auf der rechten Seite untergebracht. Lost man das nach Ju'(x) v(x) dx auf, so erhiilt man die Regel fUr die partielle Integration:

J

u'(x) v(x) dx = u(x)v(x) -

J

u(x) v'(x) dx

(6.11)

Diese Regel kann bei der Integration eines Produktes niitzlich sein, und zwar dann, wenn man von einem der Faktoren eine Stammfunktion kennt oder sie leicht heschaffen kann. Man faBt dann diesen Faktor als u' auf; u ist dann bekannt und (6.11) liefert auf der rechten Seite moglicherweise ein Integral, welches man einfacher berechnen kann als das gegebene. Beispiele: 1)

J e" . xdx Wir fassen e" als u'(x) auf; u(x) ist dann bekannt, namlich u(x) = e" (6.8). (6.11) liefert dann J e" . x dx = e" . x - J e" . 1 dx = e" . x - e" + C = e" (x - 1) + C.

2)

Jx 2 lnxdx.

Wir setzen u'(x)

J

3

~ und (6.11) liefert

3 3 3 x 1 x x - . - dx -In x - - + C 3 x 3 9 Gegebenenfalls stellt man sich das Produkt auch kiinstlich her: J In x dx. Dies schreiben wir als J 1 . In x dx und fassen 1 als u'( x) auf. u( x) ist dann

J

x 2 1n x dx

3)

= x 2 , u(x) ist dann

= -X33 In x -

gleichx. Also jlnxdx=x.lnx-

=

JX.~dx=xlnx-x+C

6.1. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

313

Oft fiihrt Regel (6.11) aber auch auf ein Integral, welches komplizierter ist als dasjenige, das man berechnen sollte. Dann niitzt sie nichts und fiihrt nieht zum Zie\.

Beispiel:

J

l:x dx,

Wir setzen u'(x) = x, v(x) = l:x; dann ist u(x) = ~2 und (6,11) ergibt: 2 2 2 x x 1 (-1) 1 x 1 x G;dx=T'lnxT(lnx)2;dx=T'lnx+ 2(lnx)2 dx ,

JX J JDas Integral auf der rechten Seite ist komplizierter als das Ausgangsintegral; die partielle Integration fiihrt hier nicht zum Ziel.

Wiihrend die Differentiationsregeln immer zum Ziel fiihren, ist das bei den Integrationsregeln nieht der Fall. Das werden wir auch bei der folgenden Regel sehen. Das Integrieren stellt wesentlieh hohere Anforderungen an Einfallsreiehtum und mathematisehes Gespiir als das Differenzieren, Seherzhaft sagt man: "Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst."

(4) Integration dUTch Substitution

J

Ersetzt man im Integral f(x) dx die Variable x dureh eine Funktion emer anderen Variablen t: x = g(t), so gilt

J

f(x)dx =

J

f(g(t))g'(t)dt;

x = g(t)

(6.12)

Diese Regel beruht auf der Kettenregel (5.11) der Differentialrechnung: Wir differenzieren beide Seiten nach t, Die Ableitung der rechten Seite naeh t ist gemiiB (6.3) f(g(t))g'(t). Urn die Ableitung der linken Seite naeh t zu erhalten, iiberlegen wir so: Es sei F(x) Stammfunktion von f(x), so wird naeh der Substitution x = g(t) das F eine Funktion von t und es gilt nach der Kettenregel:

F !iF(g(t)) = dd g'(t) = f(g(t))g'(t), Da J f(x)dx = F(x) + C, ist also die dt t Ableitung der linken Seite aueh gleieh f(g(t))g'(t), Meist wird die Regel von reehts nach links gelesen:

J

f(g(x))g'(x) dx

=

J

f(u) du

mit u

= g(x).

(6.13)

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

314

Beispiel: J 2xJx 2 + 1 dx ist zu berechnen. x 2 + 1, f( u) .jU und g' (x) 2x hat dieses Integral in der Tat die Mit u g( x) Gestalt J f(g(x»g'(x)dx und ist folglich gleich J f(u)du = J .jUdu. Dies kann leicht

=

=

=

=

. . werden: J .jU du = JU2 du = 3U2 2 2 r.: + C. mtegnert + C = 3uyu I

3

Nun kann u wieder

substituiert werden, und man erhiilt das Endergebnis: J2xv'?+1 dx

2· 2 = 3(x + l)y~ x 2 + 1 + C.

1m vorliegenden Beispiel wurde (6.13) ganz formal benutzt, d.h. das vorliegende Integral hatte genau die passende Form. Meist geht man folgendermaBen vor: Man versucht eine Substitution u = g(x). (6.13) zeigt, daB die Differentiale, die im Integral ja zunachst nichts anderes waren als Bestandteil der Bezeichnung (man hatte ja das unbestimmte Integral auch mit J f(x) bezeichnen konnen), sich automatisch richtig transformieren, denn wenn u = g(x) ist, ist ja gerade g'( x) dx gleich duo Wenn es also gelingt, in einem Integral durch Substitution u = g( x) und Umrechung des Differentials dx in du nach der Formel du = g'( x) dx ein Integral zu erhalten, welches nur noch die Variable u enthalt, so kann die Substitutionsmethode zur Losung fiihren. Beispiele: 1)

J

xe

2x2 4 + dx sei zu berechnen.

Wir versuchen die Substitution u Integral vorhanden, also x dx

J J

xe2x2+4 dx

2)

x 2e

2x2

+4

J

= 2x 2 + 4, dann ist du = 4x dx.

= ~ du und somit:

x dx ist ja in dem

=4 ~ e du = ~eu + C = ~e2x2+4 + C. 44 U

dx.

Wir versuchen wieder u

= 2x 2 + 4,

du

= 4x dx,

x dx

= 4"1 duo

Nun bleibt aber ein x

ubrig; wollte man dies auch durch u ausdrucken, so erhielte man x somit:

J

x2e2x2+4 dx

J -

= ~ J~

= J~

-

2 und

2 eU duo

Dieses Integral ist aber auch nicht einfacher als das gegebene; die Substitutionsmethode versagt hier.

Die Substitutionsmethode funktioniert jedoch immer, wenn man eine lineare Funktion von x substituieren kann, und wenn das dann entstehende Integral berechnet werden kann.

315

6.1. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

Beispiel:

j

j

e-

3x 4

+ dx sei zu berechnen.

4 e- 3x +

= -~ j

dx

e

U

du

u

= -3x + 4,

du

= -3 dx, d.h.

dx

= -~ duo

= _~eu + C = _~e-3X+4 + C.

Wir konnen im Fall linearer Substitution eine allgemeine Regel formulieren: J f( ax + b) dx soll berechnet werden. u = ax + b, du = a dx, dx = -1 du, also:

J

+ b)dx =

f(ax

a

lJ

(6.14)

f(u)du.

Beispiele fUr die Anwendung von (6.14): 1) 2)

J J

eax+b

dx

= ~eax+b + C = ~a In lax + bl + C

_1-b dx ax+

3)

j (ax+br dx= a(n 1+ 1) (ax+br+

4)

J

5) 6)

7) 8)

~

V

2x - 7 dx

J J

(3x

= 2"12 . "3(2x 1 (

dx

+ 4)2 = "3' -

e- x dx

3

7) 2

1) 3x + 4

1

+C;

n:f=-1

1 + C = "3(2x -

~

7)v 2x - 7 + C

1

+ C = - 3(3x + 4) + C

= _e- x + C

= -lnll-xl+C j~ I-x

j (-2x + 4)

6

dx

= -21 . "71( -2x + 4)

7

+C

= -141 (-2x + 4) + C 7

Mit einigen weiteren Beispielen zur Substitutionsmethode wollen wir es dann bewenden lassen. Sollte man auf kompliziertere Integrale stoBen, die man nicht bewaltigen kann, so empfiehlt sich ein Blick in eine Integraltafel, z.B. die im Taschenbuch der Mathematik, Teubner Stuttgart-Leipzig, oder die Benutzung eines Computeralgebra-Systems, z.B. MAPLE oder MATHEMATICA. Weitere Beispiele: 1)

J JX=1 x

2

dx.

Wir substituieren u tiber in

= x-I,

du

= dx.

Es ist dann x

= u + 1 und das Integral geht

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

316

j(u+ 1)2,jUdu = j(u 2 +2U+l),jUdU= = Also j x

2)

3)

j(U~+2u~+u~)du

~u~ + ~u~ + ~u~ + C = (~U3 + ~u2 + ~u) ,jU + C 7 5 3 7 5 3

2v'X=l dx =

[~(x -

1)3 +

~(x -

1)2 +

~(x -

1)]

JX=1 +

C.

1 x3dx u = x 4 + 1, du = 4x 3 dx, x 3 dx = - duo j x 4 + l' 4 x3 dx 1 j du 1 1 4 ln j x 4 +1 =4" -:;;=4" lul+C=4"ln(x +l)+C. (Die Betragsstriche k6nnen weggelassen werden, da x 4 + 1 stets > 0 ist.)

j e- x V"1 - e- X dx. je- X V"I-e- x dx= j

u = 1 - e- x , du = -( _e- X ) dx = e- X dx.

~du= jU!dU=~U!+C=~u~+C

= 4~(1 6.2 6.2.1

e- X )V"1 - e- X

+ C.

Das bestimmte Integral Begriff des bestimmten Integrals

Der Ausgangspunkt fUr diese Begriffsbildung ist das FHicheninhaltsproblem: Es soll die Flache unter einer stetigen Kurve bestimmt werden. Genauer gesagt geht es urn die Bestimmung der Flache, die von der x-Achse, den Geraden x = a und x = b und dem Graphen einer stetigen Funktion f (x) begrenzt wird (Abb. 6.1; die gesuchte Fliiche ist schattiert). Wir iiberlegen zuniichst, wie man die Flache eines schmalen Streifens niiherungsweise bestimmen konnte, der von zwei nahe beieinanderliegenden Abszissen Xi und Xi+1, der Funktionskurve und der x-Achse begrenzt wird (Abb. 6.2). Die Fliiche dieses Streifens ist niiherungsweise gleich der Fliiche eines Rechtecks, als dessen Liinge wir den Funktionswert am linken Randpunkt, d.h. f(Xi) nehmen, und dessen Breite gleich ~Xi = Xi+l - Xi ist. Die Ubereinstimmung von Rechtecksfliiche und wirklicher Fliiche des Streifens wird umso besser sein, je schmaler der Streifen ist. Diese qualitative Uberlegung bleibt auch giiltig, wenn wir statt f(Xi) irgendeinen Funktionswert f(~;) mit Xi ~ ~i ~ Xi+l genommen hiitten (die Anniiherung wiire dann moglicherweise ein wenig besser oder ein wenig

6.2. DAS BESTIMMTE INTEGRAL

317

y

y

f(x)

x

b

x

Abb. 6.1 und 6.2 schlechter, je nach Wahl des Zwischenpunktes ~i)' Es liegt nun nahe, die gesuchte FHiche in Abb. 6.1 durch Zerschneiden in Streifen und Summierung der zugeharigen Rechtecke zunachst naherungsweise zu bestimmen und dann durch einen Grenziibergang, der die Streifen immer schmaler und schmaler macht und dafiir ihre Anzahl unbegrenzt anwachsen laBt, schlieBlich zum exakten Wert der Flache zu kommen. Die hier skizzierte Uberlegung wollen wir jetzt genauer durchfUhren. Wir teilen das Intervall [a, b] (die eckigen Klammem bedeuten, daB die Randpunkte dazugeharen) in n Teile, indem wir entsprechend Teilpunkte einfUhren: a = Xo

< Xl < X2 < ... < Xn-l < Xn = b.

Die Langen der Teilstiicke sind b.xo = Xl - Xo, b.xI = X2 - Xl, ... , b.xi = Xi+l - Xi,···, b.Xn-1 = Xn - Xn-l' Unsere Naherungssumme fiir die Flache, die

Summe aller Naherungswerte, hat dann die Form n-l

Sn

=L

i=O

n-l

j(Xi)(Xi+1 - Xi)

=L

j(Xi)b.xi

i=O

Ein Beispiel mit n = 10 ist in Abb. 6.3 dargestellt. Wir wollen, wie in Abb. 6.3, die maximale Streifenbreite, d.h. das Maximum der GraBen b.xi mit 8 bezeichnen. Wenn man nun immer feinere und feinere Zerlegungen betrachtet, so wird 8 -? 0 (und gleichzeitig n -? 00) gehen. Der Grenziibergang 8 - ? 0 wird schlieBlich das gewiinschte Resultat liefem, d.h. Sn wird gegen die gesuchte Flache streben. Man kann zeigen, daB in der Tat fUr stetige Funktionen j(x) (und z.B. auch fUr Funktionen, die bis auf endlich viele Sprungstellen stetig sind) der Grenzwert der Summen Sn fUr 8 - ? 0 existiert. Das fiihrt zu folgender Definition:

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

318

y

f(x)

Xo a

Xl

X:!

X3 X4

Xs

~ X7 Xa

Xs

X lO

X

b

Abb. 6.3 n-l

Der Grenzwert der Wiherungssummen, d.h. lim ~ f(Xi)(Xi+1 - Xi), heiBt 5-+0 L..J i=O

das bestimmte Integral von f(x) zwischen den Grenzen a und b und wird mit

l

bf

(x)dx

bezeichnet. Dabei ist f( x) als stetig vorausgesetzt, a = Xo < Xl < X2 < ... < Xn-l < X n = b ist eine Teilung des Intervalls [a, b] in n Teile und fj = max6.xi = max(xi+l - Xi).

J: f (x) dx wird gelesen "Integral von

a bis b f von X dx". Integrand, a heiBt die untere, b die obere Integrationsgrenze.

f (x) heiBt der

Die geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals fUr Funktionen f (x), deren Graph in [a,b] uber der x-Achse liegt, d.h. fur die f(x) 2: 0 in [a,b] ist, ergibt sich unmittelbar aus dem Gang unserer Uberlegungen:

J:

1st f(x) 2: 0 in [a,b], so ist f(x)dx die FHiche, die von der x-Achse, den Geraden X = a und X = b und dem Graphen der Funktion f( x) begrenzt wird (Abb. 6.1). 1st f(x) ::; 0 in [a,b], so ist jede Summe Sn negativ, da f(Xi) ::; 0 und die 6Xi positiv sind. f(x) dx ist demnach in diesem Fall der negative Wert der FHiche zwischen dem Graphen der Funktion, der x-Achse und den Geraden x = a und x = b. I f(x) dxl ist also in diesem Fall die Fliiche F (Abb. 6.4). Wechselt f(x) in [a,b] das Vorzeichen, so sind zur Fliichenberechnung zusiitzliche Uberlegungen erforderlich (s.u.).

J:

J:

319

6.2. DAS BESTIMMTE INTEGRAL

y

Abb. 6.4 Wir wollen zuniichst als Beispiel ein einfaches bestimmtes Integral mittels der Definition l berechnen, niimlich Jo x dx (Abb.6.5) y

Abb. 6.5 In diesem Fall kann man die Fliiche (Dreiecksfliiche) elementargeometrisch bestimmen:

F

= ~.

Grundlinie . Hohe

= ~ ·1·1 = ~.

Es muB also

J; x dx = ~ sein. Urn das zu

bestiitigen, unterteilen wir das Intervall [0,1] in n gleiche Teile durch die Teilpunkte

o = Xo,

= 2., X2 = 2· 2., ... , Xi = i2., ... , X n = n2. = 1. Es ist dann AXi = n n n n (i+ 1)2. -i2. = 2. und 6 = 2.. 6 -+ 0 bedeutet also n -+ 00. Es ist f(x) = X und somit n n n n f(x;)

XI

1

= i-, n

also ist die Niiherungssumme Sn

n-I 1

=L

i=O

(n-l)n (3.1.1) gleich 2 . Also ist Sn

l i n - I n-I = 2' i. i ist nach

i- . -

n 2 -n

n

n

n

L L i=O

i=O

= ~. Den Grenzwert von Sn fUr n -+ 00 kann man nach denselben Regeln berechnen, wie wir sie fUr gebrochenrationale Funktionen kennengelernt haben: 2 . n-n . X2 - X 1 I1m - -2I I m -2n_co 2n x-co 2x 2 (gleicher Grad der Polynome im Ziihler und Nenner). Also

J;

X

dx

= limn_co Sn = ~.

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

320

Dieses Beispiel zeigt, daB, selbst im allereinfachsten Fall, die Berechnung eines bestimmten Integrals iiber die Definition sehr umstandlich ist. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (6.2.2) wird uns ein effektives Mittel an die Hand geben, urn bestimmte Integrale zu berechnen. Die folgenden Eigenschaften bestimmter Integrale ergeben sich unmittelbar aus der Definition:

l

b

f(x)dx

+

l

c

f(x)dx =

l

c

f(x)dx

vgl. Abb. 6.6

(6.15)

y

a

c

b

x

Abb.6.6

l

bU

(x) ±g(x))dx =

l

b

f(x)dx ±

l

b

g(x)dx

(6.16)

Wir legen noch folgendes per Definition fest: (6.17) Das kann man in Worten auch so ausdriicken: Bei Umkehrung der Integrationsrichtung, d.h. bei Vertauschen der beiden Integrationsgrenzen, kehrt sich das Vorzeichen des Integrals urn.

l

a

f(x)dx

=0

Sind beide Integrationsgrenzen gleich, ist das Integral gleich Null.

(6.18)

321

6.2. DAS BESTIMMTE INTEGRAL

6.2.2

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Begriff der Stammfunktion bzw. des unbestimmten Integrals war ja durch Umkehrung der Differentiation entstanden. Der Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert von Naherungssummen entstand aus dem Problem der Bestimmung des Flacheninhalts. DaB nun zwischen diesen beiden so verschiedenen Begriffen ein enger Zusammenhang besteht, ist von grundlegender Bedeutung. Man bezeichnet diesen Zusammenhang deshalb auch als Hauptsatz oder als Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung. Urn ihn zu gewinnen, betrachten wir die zu einer stetigen Funktion f(x) gehorige Fliichenfunktion FI(x): Wir fixieren einen Abszissenwert a und nehmen die Flache bis zu einem variablen Wert Xj diese Flache bezeichnen wir mit F I (x) (Abb. 6.7). Es entsteht auf diese Weise in der Tat eine Funktion, denn zu jedem y

f(x)

a

x

x

Abb. 6.7

x gibt es eine Zahl FI(x), die Flache unter der Kurve von a bis zu diesem x. Nach unseren bisherigen Erkenntnissen konnen wir diese Flache als bestimmtes Integral schreiben: FI(x) = f(t)dt.

J:

Hier wurde als Integrationsvariable t geschrieben, urn Verwechslungen der Integrationsvariabien mit der variablen oberen Integrationsgrenze zu vermeiden. Die Bezeichnung der Integrationsvariable in einem bestimmten Integral ist niimlich beliebig; es gilt

[f(X)dX

=

l

b

f(t)dt

=

l

b

f(u)du usw.

Unser nachstes Ziel ist es, die Ableitung von FI(x) auszurechnen. Dazu bestimmen wir zunachst FI(xo + ~x) - FI(xo) (Abb. 6.8) FI(xo + ~x) ist die Gesamtflache von a aus gerechnet bis Xo + ~x. Davon wird FI(xo), d.h. die Flache von a aus bis Xo subtrahiert. Ubrig bleibt dann die Flache in dem Streifen von Xo bis Xo + ~x (Abb. 6.8).

322

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

y

y f(x)

f(x)

a

Abb. 6.8 und 6.9 Man kann diese Flache exakt als Rechtecksflache schreiben, indem man folgendes iiberlegt (Abb.6.9): Das Rechteck f(xo) . ~x ist ein wenig zu klein, das Rechteck f( Xo + ~x) . ~x ein wenig zu grofl. Es wird also einen Abszissenwert ~ zwischen Xo und xo+~x geben, so daB exakt gilt: Streifenflache = f(~)·~x. Nun ist ja die Streifenflache gerade FI (xo + ~x) - F I (xo). Also k6nnen wir schlieBen: Es gibt ein ~ mit Xo ~ ~ ~ Xo + ~x, so daB F](xo + ~x) - F](xo) = f(~)· ~x, bzw. FI(xo + ~;; - F](xo) = f(~). Nun lassen wir ~x ---+ 0 gehen. Auf der linken Seite erhalten wir dann die Ableitung F{(xo). Da ~ ein Argumentwert zwischen Xo und xo+~x ist, wandert es gegen Xo, wenn ~x gegen 0 geht. Also geht J(O bei ~x ---+ 0 gegen f(xo) (Stetigkeit von f( x) vorausgesetzt). Somit haben wir das Ergebnis:

Das kann man fiir jedes Xo machen, also gilt allgemein:

F;(x) = f(x).

I Die Flachenfunktion F](x) von f(x) ist eine Stammfunktion von f(x). Oder anders ausgedriickt: Das bestimmte Integral fax f(t) dt mit variabler oberer Grenze ist eine Stammfunktion des Integranden. Oft wird bereits dieser Satz als Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bezeichnet. In vielen Lehrbiichern heiBt die folgende SchluBfolgerung

6.2. DAS BESTIMMTE INTEGRAL

323

der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Es sei F( x) ein beliebige Stammfunktion von f (x). Wir wissen dann, daB sich F( x) von unserer Fliichenfunktion F 1 (x) nur urn eine additive Konstante unterscheidet.

F1 (x) = F(x) Insbesondere gilt:

=

F1 (b)

J:

l

b

f(x) dx

+C

(6.19)

= F(b) + C

(6.20)

Nach (6.18) ist F1 (a) = f(x)dx = 0, andererseits folgt aus (6.19) F1 (a) = F(a) + C. Man hat also 0 = F(a) + C, d.h. C = -F(a). Setzt man das in (6.20) ein, so erhiilt man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: 1st F( x) eine beliebige Stammfunktion von

l

f (x),

so gilt

b

f(x)dx = F(b) - F(a).

(6.21)

J: f( x) dx zu berechnen ist, so braucht man nicht den miihsamen Weg iiber die Definition zu gehen, sondern man berechnet das unbestimmte Integral F( x), in Die Bedeutung dieses Satzes liegt auf der Hand: Wenn ein bestimmtes Integral

welchem man die Konstante fortlassen kann und bildet dann F(b) - F(a).

Beispiel:

1

2 x2 dx sei gesucht.

-1

Es ist

J

2 x dx =

x3

3' also

1 2

-1

23 (_1)3 8 2 x dx = 3 - - 3 - = 3"

1

+ 3"

= 3.

Es hat sich bei solchen Berechnungen folgende Schreibweise eingebiirgert:

Der Ausdruck

[~3]: hedeutet, daB

man erst b einsetzt und dann den Term

subtrahiert, der durch Einsetzen von a entsteht, also unserem Beispiel ist

1

2

-1

x 2 dx

[~3]:

[X3] 2 23 (-1)3 = 3 = "3 - -3- = 3. -1

~ _~3

In

324

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

Beispiele fur die Berechnung bestimmter Integrale: 1)

[3

14 -2

7

(-3x 3 +7x 2 +4x+5)dx= --x 4 +-x 3 +2x 2 +5x 4 3

]4 -2

3 4 +-·4 7 3 +2·4 2 +5·4- (--(-2 3 ) 4 +--2 7 ()3 +2(-2) 2 +5(-2) ) =42. =--·4 4 3 4 3

2)

1 4

1

dx 3x+4'

Zunachst berechnen wir nach der Substitutionsmethode

J

J

J~. 3x+4

u = 3x + 4, dx =

1 1 lui = -lnI3x+41. 1 -du, also -dx- = -1 -du = -In 3 3x + 4 3 u 3 3 4 = [! In 13x + 4 1]4 = ! In 16 - ! In 7 = 0,2755595. Also 1 3x + 4 3 1 3 3

1~

3)

1 2

xeX dx.

-2

Zunachst berechnen wir mittels partieller Integration f xe X dx. Wir setzen v(x) = X, u'(x) = eX, dann ist u(x) = eX, also f xe X dx = xe X - f eX dx = xe X - eX = eX(x -1).

1 1 l,(-X 2

xeX dx = [eX(x -1)]:2 = e2

-

e- 2 (-3) = e 2 + 3e- 2 = 7,7950619.

-2

4)

5)

4

{/X dx =

1

4

[~x{/X] 4 = 4

1

3·4 . 4

+ x 2 )dx = [_ ~5 + 1

1

V4 - ~ . 1 . VII = 4

;3r, 1

= 1

3.

_~ + ~ _

V4 - ~

(_

4

= 4,012203.

(_;)5 (_;)3) +

4

= -'5 + 3 - '5 + 3 = 15' Dieses Beispiel zeigt insbesondere, wie wichtig es ist, die Vorzeichenregeln ganz sorgfaltig zu handhaben und jeden Schritt genau auszufiihren.

Fliichenberechnungen Aus dem bisher Dargelegten wissen wir bereits folgendes:

J: IJ: f (x) dx I ist die Flache zwischen x- Achse, Funktionskurve und den Ge-

f(x) dx ist die Flache zwischen x-Achse, Funktionskurve und den Geraden x = a und x = b, falls in [a, b] f(x) 2 0 ist (Abb. 6.1)

raden x

= a und x = b, falls in [a, b]

f(x):::; 0 ist (Abb. 6.4).

Wenn in [a, b] die Funktion f( x) das Vorzeichen wechselt, liefert die Flache. Wir betrachten folgendes Beispiel:

J: f( x) dx nicht

325

6.2. DAS BESTIMMTE INTEGRAL

1x 3 dx = [x4]1 = -I' - -1 = 0 (Abb.

1 -1

1 1

0 X3 -1

1

o

dx = -

-1

~

liefert die Fliiche F1 , aber mit negativem Vorzeichen.

4

4

4

6.10).

4

1 x 3 dx = - liefert die Fliiche F 2 • Beide sind betragsmiiBig gleich groB und

4

heben sich bei der Berechnung von

11

x 3 dx =

-1

1 0

x 3 dx

+

-1

tx

io

3

dx (Regel

(6.15)) gerade fort. Urn auch in solchen Fiillen die Fliiche berechnen zu konnen, muB man das Integral bei den Nullstellen aufteilen und fUr die unterhalb der xAchse gelegenen Anteile beim Integral den Betrag nehmen. Abb. 6.11 illustriert clas Vorgehen, falls z.B. in [a, b) clrei Nullstellen von f(x) liegen. f(x)=x:

f(x)

x

Abb. 6.10 und 6.11 Fur die Gesamtfliiche F (in cler Abb. schattiert) gilt in diesem Beispiel:

Fur die schattierte Fliiche in Abb. 6.10 hiitten wir demnach:

x

326

J(APITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

Beispiel zur Fliichenberechnung: Man berechne die Gesamtfliiche zwischen Kurve und x-Achse in den Grenzen von a = -2 bis b = 2 fUr f(x) = x 3 - X. Es ist f(x) = x(x 2 -1). Man erhiilt also die Nullstellen, wenn man x = 0 und x 2 -1 = 0 setzt. Also Xl = -1, X2 = 0, X3 = 1. Folglich hat man (Abb. 6.12):

Abb. 6.12

6.3

6.3.1

Anwendung der Integralrechung in den Wirtschaftswissenschaften Kontinuierlicher Zahlungsverkehr

Bevor wir kontinuierliche Zahlungsstrome behandeln kohnen, mussen wir etwas uber stetige Verzinsung vorausschicken. Wir hatten bei der Behandlung der unterjahrigen Verzinsung folgendes hergeleitet: Teilt man das Jahr in m Zinsperioden (z.B. m = 12 bei monatlicher Verzinsung), so gilt fUr das Endkapital

6.3. ANWENDUNG DER INTEGRALRECHUNG

327

K t , auf das ein Anfangskapital K o in t Jahren anwachst (2.18):

K t =Ko (l+

p m·100

)N

Dabei ist N = t . m die Gesamtzahl der Zinsperioden in t Jahren. Losen wir N = t . m nach m auf, und setzen ein, so folgt: p' t

K t = K o ( 1 + N. 100

)N

Wir stellen uns nun vor, daB die Zinsperioden immer kiirzer werden, d.h., daB die Zinsen taglich, stiindlich, ja jede Sekunde und in der Grenze augenblicklich dem Kapital zugeschlagen werden. Man spricht dann von stetiger Verzinsung. Fiir unsere Endkapitalformel wiirde der Ubergang zu immer kiirzeren Zinsperioden bedeuten, daB m und damit N gegen Unendlich gehen. Das Endkapital K t nach einer verflossenen Zeit von t Zeiteinheiten ware also bei stetiger Verzinsung:

K t = lim K o N-too

(1 + -=-N,::-P_._t_)N ·100

Man beweist in der hOheren Mathematik folgende Beziehung:

J~oo (1 + ~)

N

= eX.

Also gilt fUr das Kapital K t bei stetiger Verzinsung zum Zinssatz p: (6.22)

Beispiel: Auf welchen Betrag wachst ein Kapital von 12000 Euro bei stetiger Verzinsung und einem Zinssatz von p = 5% in 7 Jahren an? K 7 = 12000eo,o5.7 = 17028,81 Euro. Zum Vergleich berechnen wir das Kapital nach 7 Jahren bei jahrlicher Verzinsung: K 7 = 12000.1,057 = 16885,21 Euro. Es ist klar, daB das Endkapital bei jahrlicher Verzinsung geringer sein muB als bei stetiger Verzinsung, wo ja die Zinsen augenblicklich und kontinuierlich dem Kapital zugeschlagen und dann mitverzinst werden.

Dieser Vergleich fiihrt uns auf folgendes Problem: Die stetige Verzinsung ist ein Modell, welches leicht zu handhaben und fUr die Behandlung kontinuierlicher

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

328

Zahlungsstrome unerUiBlich ist. Andererseits ist es praktisch nicht ganz adaquat, weil in Wirklichkeit die Zinszuschlage diskret (meist jahrlich) erfolgen. Man konnte diesen Nachteil der stetigen Verzinsung dadurch ausgleichen, daB man mit einem etwas geringeren Zinssatz p arbeitet. Dieser muBte so beschaffen sein, daB bei gegebenem Zinssatz p das Endkapital nach n Jahren bei stetiger Verzinsung mit dem Zinssatz p die gleiche Rohe hat wie das bei jahrlicher Verzinsung mit dem gegebenen Zinsatz p entstehende Endkapital. p heiflt dann der zu p aquivalente stetige Zinssatz. Fur seine Berechnung haben wir nach dem eben Gesagten die Gleichung

_ = K o (p )n 1+ -

Koe Non

100

nach p aufzulosen. Wir konnen zunachst durch K o dividieren und das Potenzgesetz (2.8) anwenden:

Wir ziehen auf beiden Seiten die n-te Wurzel und logarithmieren beide Seiten anschlieBend; dabei beachten wir (2.29): -p- I n ( 1 - p ) 100 + 100 ' woraus sich fur den zu p aquivalenten stetigen Zinssatz

p = 100 In (1 ergibt. Berechnen wir beispielsweise

+ 1~0)

(6.23)

= 100 In q.

p zu p = 5%: p = 100 In 1, 05

~

4,879%.

Wir wollen nun an einem Beispiel prlifen, ob tatsachlich das Endkapital bei stetiger Verzinsung mit dem Zinssatz j5 = 4,879% gleich dem Endkapital bei jahrlicher Verzinsung zu p = 5% ist. Wir wahlen als Beispiel K o = 10 000 Euro und n = 7 Jahre. Dann gilt: K 7(stetig) = 10 000 eO,04879.7 = 14 070, 99 Euro. K 7 (jahrlich) = 10 000· 1, 05 7 = 14 071, 00 Euro. Der Cent Differenz entsteht durch den Rundungsfehler beim Prozentsatz j5 und ist natlirlich unerheblich.

K ontinuierliche Zahlungstr6me Zahlungen sind zunachst diskrete Vorgange: Zu einem gewissen Zeitpunkt wird eine gewisse Summe gezahlt. Es gibt aber auch Situationen, in denen praktisch in jeder Zeiteinheit zahlreiche Einzelzahlungen stattfinden, die sich zu einem

6.3. ANWENDUNG DER INTEGRALRECHUNG

329

Zahlungsstrom summieren, den man sich als kontinuierlich flieBend vorstellen kann. So k6nnen z.B. die Umsatzsteuereinnahmen des Staates als ein kontinuierlicher Zahlungsstrom aufgefaBt werden. Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom wird durch. seine Stromgeschwindigkeit R(t) beschrieben. R(t) heiBt auch Zahlungsfiufl. Der ZahlungsfluB kann folgendermaBen interpretiert werden: R(to)b.t ist naherungsweise das Kapital, welches in der Zeitspanne zwischen den Momenten to und to + b.t flieBt (in Ab. 6.13 ist dieses Kapital das schattierte Rechteck). Seine MaBeinheit ist demnach Geldeinheiten/Zeiteinheit (z.B. Euro/Tag, Mio.Euro/Woche). Um das gesamte Kapital zu berechnen, welches in R

Abb.6.13 der Zeit zwischen zwei Zeitpunkten T] und T 2 flieJ3t, zerlegen wir das Intervall [T], T 2] in n Teile: T] = to < t] < t2 < ... < t n = T 2. Dann ist die Summe n-]

Kn =

L

;=0

R(t;)b.t;

(6.24)

mit b.t; = t;+] - t; naherungsweise das gesamte Kapital. Die Naherung wird umso besser sein, je feiner die Intervallzerlegung ist; bei unbegrenzt zunehmender Feinheit strebt (6.24) gegen das Integral Ii} R(t) dt, welches demnach der exakte Wert des insgesamt im Zeitraum [T], T 2 ] flieJ3enden Kapitals ist:

K =

l

T2

Tl

R(t) dt.

(6.25)

Insbesondere ist das von der Gegenwart (T] = 0) bis zu einem Zeitpunkt T flieJ3ende Kapital

K =

foT R(t) dt.

(6.26)

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

330

(6.25) bzw. (6.26) geben nur das nominelle Kapital an. Jedes Kapital unterliegt aber einer Verzinsung. Die einzelnen Anteile des Zahlungsstromes konnen deshalb nur dann miteinander verglichen werden, wenn sie alle auf einen einheitlichen Zeitpunkt bezogen sind. Wir beziehen sie auf die Gegenwart und wollen deshalb den Barwert oder Gegenwartswert eines Zahlungsstromes berechnen. Lost man (6.22), mit dem Zinssatz p angesetzt, nach K o auf, so erhiUt man den Barwert eines am Zeitpunkt t vorliegenden Kapitals K t : (6.27) Wir wollen fur

-& die Abkiirzung 0: einfUhren: 0: = 1~0 heiBt die zum Zinssatz

p aquivalente stetige Zinsrate. Es gilt nach (6.23): (6.28) Wir haben also fUr den Barwert eines am Zeitpunkt t vorliegenden Kapitals K t bei einem Zinssatz von p% p.a.

IK o =

Kte- at I

(6.29)

Wir nehmen jetzt an, daB unser Zahlungsstrom einer Verzinsung von p% p.a. unterliegt, 0: sei die dazu aquivalente stetige Zinsrate. In dem kleinen Zeitintervall to bis t o+,6,t reprasentiert unser Zahlungsstrom, wie wir oben sahen, naherungsweise das Kapital R(to),6,t. Sein Barwert ist naherungsweise R(to)e- ato ,6,t. Urn den Barwert des Zahlungsstromes im gesamten Intervall [TI , T2 ] zu ermiteln, zerlegen wir es wie oben in Teilintervalle und summieren die Barwertanteile der einzelnen Teilintervalle; wir erhalten dann naherungsweise fUr den Barwert

Ko ~

n-I

:L R(ti)e-ati,6,ti i=O

Nun machen wir die Unterteilung immer feiner und feiner und erhalten in der Grenze den exakten Barwert: (6.30) Insbesondere ist der Barwert eines von jetzt ab bis zu einem Zeitpunkt T mit der Geschwindigkeit R(t) flieBenden Zahlungsstromes, der einer Verzinsung von p% unterliegt: (6.31)

6.3. ANWENDUNG DER INTEGRALRECHUNG

331

Nun ist es einfach, den Wert eines Zahlungsstromes zu einem beliebigen Zeitpunkt T zu bestimmen: Man muB seinen Barwert K o entsprechend (6.22) nur mit e(n multiplizieren: Ein zwischen T1 und T 2 flieBender, mit p% p.a. verzinster Zahlungsstrom mit der Stromgeschwindigkeit R(t) hat zum Zeitpunkt T den Wert (6.32) Beispiele: 1)

Ein Zahlungsstrom habe die konstante Stromgeschwindigkeit R( t) = 124000 Euro I J ahr. Der Zinsatz betrage p = 6% p.a. Man berechne: a) den Barwert des Zahlungsstromes, wenn vorausgesetzt wird, daB er von der Gegenwart an 20 Jahre flieBt, b) den Endwert des Zahlungsstroms nach 25 Jahren, c) den Barwert des im 25. Jahr des Stromes flieBenden Kapitals. Es ist a = In 1,06 = 0,0582689.

a) K o = 124000120 e-atdt = 124000. _1_ [e- at ]20 = 124 000 (e- 20a -1)

°

°

-a

-a

= 124000 (1 _ e- 20a ) = 2128064,6 (1 - e- O,0582689.20) = 1464524 Euro. a

= 2128064,6 (eO,0582689.25 - 1) = 7005313,5 Euro.

= 2128064,6 (e-O,0582689.24 2)

e-O,0582689.25)

= 29750,17 Euro.

Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom mit der stetigen Zinsrate a = 0,05 (d.h. p >:::: 5,127% p.a.) habe die Stromgeschwindigkeit R(t) = 150 000 eO,02t Euro/Jahr. Er flieBe von der Gegenwart an 6 Jahre. Man berechne: a) seinen Barwert b) seinen Wert nach 10 Jahren und 9 Monaten. 6 a) K o = 1 150000eO,02te-O,05tdt = 15000016 e- O,03t dt = 150000 -0,03

°

b)

°

= 5000000(1- e-O,03.6) = 823648,94 Euro. K lO ,75 = eO,05·10,75 ·823648,94 = 1409858,20 Euro.

[e-O,03t]~

332

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

6.3.2

Konsumenten- und Produzentenrente

Wir betrachten die in 4.4.2 (1) beschriebene Marktsituation, die durch eine Nachfragefunktion und eine Angebotsfunktion gekennzeichnet ist. Der Schnittpunkt P(x,P) beider Kurven wird Punkt des Marktgleichgewichts genannt; p ist der Marktpreis oder Konkurrenzpreis, der sich am Markt einstellt. (1)

J( onsumentenrente

Wir fassen nun die Nachfragefunktion PN(X) ins Auge, und zwar im Intervall von 0 bis zur Abszisse x des Marktgleichgewichts (Abb. 6.14). Die Kurve

p

P

1 - - -.........

pl------+'-------"'~

x

x

Abb. 6.14 zeigt, daB viele Nachfrager bereit gewesen waren, fiir das betrachtete Gut mehr zu bezahlen als p, als den Preis, den sie tatsachlich bezahlen. Denn zu dem hOheren Preis P z.B. wird ja auch noch eine gewisse Menge x#-O nachgefragt (Abb. 6.14). Diese Nachfrager sparen also dadurch etwas, daB der tatsachlich von ihnen gezahlte Preis niedriger ausfallt als der Preis, den sie gerade noch zu zahlen bereit gewesen waren. Unser Ziel ist es, die Gesamtsumme dieser Ersparnis fiir aile Konsumenten zu berechnen. Man nennt diese GroBe die Konsumentenrente KR fiir den Gleichgewichtspunkt (x, p). Zu diesem Zweck teilen wir das Intervall [0, x] in n Teile: 0 = Xo < Xl < X2 < X n = x. Xi+l - Xi bezeichnen wir wieder mit ~Xi; ~Xi ist also die Lange des i-ten Teilstiickes. Da die Summe der Langen aller Teilstiicke gleich der Lange x des Gesamtintervalls [0, x] ist, konnen wir sagen, daB die gesamte umgesetzte Menge x gleich ~XO+~XI +.. .+~Xn-l ist. Fiir das Mengenintervall [Xi, xi+d nehmen wir nun an, daB dort naherungsweise iiberall noch der Preis PN( Xi) am linken Randpunkt gilt; diese Naherung ist umso besser, je kleiner das

... <

6.3. ANWENDUNG DER INTEGRALRECHUNG

333

Intervall ist. In [xo, Xl] = [0, Xl] gilt also der Preis PN(XO) = PN(O), in [Xl, X2] gilt der Preis PN(XI) usw. Die Menge boxo wird von denjenigen Konsumenten nachgefragt, die gerade noch bereit gewesen waren, den Preis PN(XO) zu zahlen. Da sie nur den Preis p gezahlt haben, ist ihre Ersparnis

Nachdem diese Nachfrage befriedigt ist, kommt die Menge boXI dazu, die von denjenigen Nachfragern zusatzlich nachgefragt wird, die gerade noch bereit gewesen waren, den Preis PN(XI) zu zahlen. Ihre Ersparnis ist (PN(XI) - P)boXI' usw. Die Gesamtersparnis aller Nachfrager ist also naherungsweise n-l

~::)PN(X;) - p)box;

(6.33)

;=0

(in Abb. 6.15 ist diese Summe schraffiert). p

x

Abb. 6.15 Die Annaherung von (6.33) an den wirklichen Wert der Konsumentenrente wird immer besser, je kleiner die Teilintervalle sind; im Grenzfall {) = max box; -+ 0 geht die Summe in das Integral

l'"(PN(X) - p)dx =

1'" PN(x)dx - p 1'" dx 1'" PN(x)dx - px =

tiber, welches den genauen Wert der Konsumentenrente darstellt.

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

334

1st PN( x) die Nachfragefunktion und (x, p) der Punkt des Marktgleichgewichts, so ist die Konsumentenrente K R fUr diesen Gleichgewichtspunkt: (6.34)

Man kann

if;

PN(X) dx interpretieren als den theoretisch moglichen Umsatz

bzw. die theoretisch moglichen Ausgaben aller Konsumenten, wenn jeder Konsument den Preis gezahlt hatte, den er gerade noch zu zahlen bereit gewesen ware. px ist der tatsachlich am Markt erzielte Umsatz bzw. die fur das betrachtete Gut tatsachlich getatigten Ausgaben aller Konsumenten. Die Differenz zwischen diesen beiden GroBen ist die Konsumentenrente K R (Abb. 6.16, K R ist schraffiert). p

X

x

Abb. 6.16

(2) Produzentenrente

Wir betrachten nun die Angebotsfunktion PA(X) im Intervall [O,x] (Abb. 6.17). Jeder Produzent bietet seine gesamte Ware ab einer gewissen Preisuntergrenze an. Die Angebotsfunktion zeigt, daB es viele Produzenten gibt, die schon angeboten hatten, auch wenn der Marktpreis unterhalb des Gleichgewichtspreises gelegen hatte (Abb. 6.17 zeigt, daB z.B. zu dem eingezeichneten P < peine Angebotsmenge x i= 0 gehort). Diese Produzenten erzielen einen zusatzlichen Gewinn, da der tatsachliche erzielte Preis p hoher ist als der, fur den sie ihre Ware gerade noch verkauft hatten. Die Summe aller dieser Gewinne bezeichnet man als die Produzentenrente PRo Durch analoge Ubedegungen wie bei cler Konsumentenrente ergibt sich:

6.3. ANWENDUNG DER INTEGRALRECHUNG

335

p

Ii 1--------0;0(' pl------::7f"'

x

x Abb. 6.17

1st PA(X) die Angebotsfunktion und (x,p) der Punkt des Marktgleichgewichts, so ist die Produzentenrente PR fUr den Gleichgewichtspunkt (6.35)

Abb.6.18 zeigt die Produzentenrente als schattierte FHiche. p

x

Abb. 6.18 Beispiel: 1)

Fiir die Nachfragefunktion PN (x) = 10 - 0, 5x und die Angebotsfunktion PA (x) 4 + 0, 02x 2 bestimme man die Konsumenten- und die Produzentenrente.

=

Wir bestimmen zunachst den Gleichgewichtspunkt, d.h. den Schnittpunkt beider Kurven.

4x + 0,02x 2 = 10 - 0,5x;

x=

8,86 ME,

x 2 + 25x - 300 = 0;

Xl,2

P = 10 - 0,5·8,86 = 5,57 GE/ME.

= -12,5 ± -J426,25.

336

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

r,86 (10 - 0,5x)dx - 8,86·5,57 = [lOX - 0, 25x L' - 49,35 = 19,63 GE. 2

f{R = Jo

Das sind ca. 40% des Gesamtumsatzes. [8,86

PR=8,86·5,57- Jo

2

(4+0,02x )dx=49,35-

886

[4X+0,02~ 3]

8,86 0

=9,27GE.

Das sind ca. 19% des Gesamtumsatzes. Abb. 6.19 zeigt die Verhaltnisse.

x

X

Abb. 6.19

6.3.3

Investitionsrate und Kapitalstock

1(t) bezeichne die Geschwindigkeit der Nettoinvestitionen einer Volkswirtschaft (etwa in Mrd. GE/Jahr). 1(t) kann also interpretiert werden als ZahlungsfluB eines kontinuierlichen Zahlungsstromes. Aus dieser Interpretation ergibt sich das im Zeitraum to bis to + !:It akkumulierte Kapital naherungsweise zu

1(to)!:lt.

(6.36)

Urn das Kapital zu berechnen, welches von t = 0 bis t = T akkumuliert wird, teilen wir das Intervall [0, T] in n Teile: 0 = to < t 1 < t 2 < ... < t n = T und setzen wie stets !:lt i

= ti+l

n-l

- ti. Dann ist

L 1(t;)!:lti gemaB (6.36) annahernd i=1

das von 0 bis T akkumulierte Kapital. Die Naherung wird umso besser, je feiner wir die Einteilung machen. Fur 8 = max !:lxi ---t 0 geht die Summe in das Integral

iT

1(t) dt iiber, welches exakt angibt, wieviel Kapital von 0 bis T

akkumuliert wird. Der Kapitalstock K(T) einer Volkswirtschaft zum Zeitpunkt T setzt sich zusammen aus dem Kapital, welches bereits bei t = 0 vorhanden

6.3. ANWENDUNG DER INTEGRALRECHUNG

337

war, also K(O), und aus dem von 0 bis T akkumulierten Kapital. Es gilt also fUr den Kapitalstock K(T):

K(T) = K(O)

+

1 T

I(t) dt

(6.37)

Beispiel: Der Kapitalstock an t = 0 betrage 2,8 Billionen Euro, die jahrliche Rate der Nettoinvestitionen, die Investitionsgeschwindigkeit I (t), betrage 22 . to,3 (Mrd. Euro/ J ahr). a) Wie groB ist der Kapitalstock nach 12 Jahren? b) Man vergleiche die Akkumulation im 7. und im 12. Jahr. Losungen: a) K(12)

13 ]12 r12 to,3 dt = 2800 + 22 [t1.'3 ° = 3227,972 Mrd. Euro.

= 2800 + 22 Jo

b) Akkumulation im 7. Jahr

1

= 22 7to,3 dt = 22 [t1'3]7 = 38,566 Mrd. 6 12

Akkumulation im 12. Jahr = 22

1,3

6

to,3 dt = 45,772 Mrd. Euro. / 11

Euro.

KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

338

6.4 1)

2)

Ubungsaufgaben Man berechne die folgenden unbestimmten Integrale:

J J J .) J + /1

a)

(-2x 5 + 3x 4

c)

(2ifU - 3v'u + (f;;5) du;

f)

2s 1 e- + ds;

J

1

x

x3

g)

+ 3x2 + 4x -

J

d)

3

x lnxdx;

1) dx;

b)

J(2~ J

- 6e

h)

J

(to,4 - 3t-O,2) dt;

X )

2 x x e dx;

J_:~ J

e)

dx;

i)

d)

d

e- X x.

(-x 3 +2x 2 -x+4)dx;

-2

1

2;

u:: 4 du;

/-1

Man berechne die folgenden bestimmten Integrale:

a)

3)

e-

-

0 (e- x -3

+2e X )dx;

e)

b)

16

(-X

4

+x2 -7)dx;

-6

xlnxdx;

f)

1°

x 2e x dx;

1 4

c)

g)

(3t

11

O

,6

+ ~)

dt;

-&

-6--'

t +1 Man berechne die GesamtfUiche zwischen x-Achse und Kurve von a = -5 bis b = 5 fUr

folgende Funktionen a) f(x) = x 4 + x 2 + 1;

5

-1

c) f(x)

= x3 -

-1

9x.

4)

Gegeben sei ein kontinuierlicher Zahlungsstrom mit der konstanten Stromgeschwindigkeit R(t) = 250000 EurojJahr, Der Zinssatz betrage P = 6,2% p.a., der Strom flieBt von der Gegenwart an 10 Jahre lang. Man berechne: a) den Barwert des Zahlungsstromes; b) den Wert des Zahlungsstromes am Zeitpunkt T = 7,5 Jahre; c) den Endwert des Zahlungsstromes nach 10 Jahren.

5)

Gegeben sei ein kontinuierlicher Zahlungsstrom mit der Stromgeschwindigkeit R(t) = 200000 + 18000t. Die aquivalente stetige Zinsrate betrage a = 0,05. Der Strom flieBt zwischen t = 3 und t = 12. a) Wie groB ist der zugrundeliegende Zinssatz P (in % p.a.)? b) Man berechne den Barwert des Zahlungsstromes. c) Man berechne den Endwert des Zahlungsstromes am Ende des 12. Jahres.

6)

Gegeben sei die Nachfragefunktion PN(X) = 17 - 0,3x und die Angebotsfunktion PA(X) = 3 + 0,4x. Man bestimme die Konsumenten- und die Produzentenrente fUr das Marktgleichgewicht. Man lOse die gleiche Aufgabe wie in 6) fUr PN(X) = 28-0,03x 2, PA(X) = 10+0,06x 2.

7) 8)

Die Netto-Investitionsgeschwindigkeit betrage I(t) = 50eO,05t (Mrd. EurojJahr). Der Kapitalstock an t = 0 betrage 1,9 Bio Euro. a) Wie groB ist der Kapitalstock nach 9 Jahren? b) Wieviel wird im 8. und 9. Jahr zusammen akkumuliert?

Kapitel 7 Lineare Algebra Die praktische Bedeutung der linearen Algebra ist fiir den Wirtschaftswissenschaftler ungleich gr6Ber als die der Analysis. Letztere ist wiederum fiir das theoretische Verstiindnis wichtiger Grundlagen der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre sowie der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der mathematischen Statistik sehr hilfreich. Da es in den ersten Semestern vor aHem urn das Verstandnis der Grundlagen geht und die Differential- und Integnilrechnung erfahrungsgemaB dem Anfanger mehr Schwierigkeiten macht als die mehr algorithmisch orientierte lineare Algebra, wird in diesem Briickenkurs die Infinitesimalrechnung recht ausfiihrlich behandelt, in die lineare Algebra aber nur eine kurze Einfiihrung gegeben. Hier ist also ganz besonders auf weiterfiihrende Literatur zu verweisen, insbesondere was die Methoden der Optimierung und genereH die rechentechnische Umsetzung der Algorithmen betrifft (z.B. [LudererjWiirker], [GroBmann jTerno]).

7.1 7.1.1

Matrizen und Vektoren Einfiihrende Beispiele

Lineare Gleichungssysteme sind Systeme von Gleichungen, in denen aHe Unbekannten nur in der ersten Potenz vorkommen. Bei der Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate in 5.5.2 wurden wir auf solche Gleichungssysteme gefiihrt. Nennen wir die dort mit a und b bezeichneten Unbekannten jetzt Xl und X2, so hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei

W. Purkert, Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, DOI 10.1007/978-3-8348-9936-1_7, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

340

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

Unbekannten die Gestalt

+ at2 X 2 = + a22X2 =

allXt a2t X t

Die Gr6Ben aik und Gleichungssystem

Xt

= 6,

a12

= -1,

b2

sind gegebene reelle Zahlen. Beispielsweise ist fUr das

bi

6Xt -

all

bt

a2t

= 1,

a22

X2

=-1

+ 3X2 =

4

= 3, bt = -1,

b2

= 4.

Allgemein betrachtet man lineare Gleichungssysteme von m Gleichungen mit n Unbekannten Xt, X2, ... ,X n und schreibt sie analog zum obigen Beispiel folgendermaBen allXt + a12 X 2 + + atnXn = bt a2t X t

oder kurz

L

+ a22 X 2 +

+ a2nXn

=

b2

(7.1 )

n

aikXk

=

bi,

i = 1,2, ... ,m.

(7.2)

k=t

Die Zahlen aik heiBen die Koeffizienten, die bi die rechten Seiten des Gleichungssystems. Dabei ist der erste Index i bei aik die Nummer der Gleichung, der zweite Index k die Nummer der Unbekannten; so ist aik der Koeffizient, der in der i-ten Gleichung bei der k-ten Unbekannten steht (er steht in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte des Systems); bi ist die rechte Seite der i-ten Gleichung. Durch das Schema der Koeffizienten und durch die rechten Seiten ist das Gleichungssystem vollstiindig gegeben; wie man die Unbekannten bezeichnet, ist vollig belanglos, man hiitte sie auch tt, t 2 , ... , t n oder Ut, U2, ... ,Un oder sonstwie nennen k6nnen. Wir sehen somit, daB das rechteckige Zahlenschema

(7.3)

sowie die Spalte

(7.4)

7.1. MATRIZEN UND VEKTOREN

341

das Gleichungssystem vollkommen beschreiben. Ein rechteckiges Zahlenschema der Form (7.3) heiBt eine Matrix, genauer eine (m, n)-Matrix (auch m x n Matrix). mist ihre Zeilenzahl, n ihre Spaltenzahl. Ein Schema (7.4) von reellen Zahlen heiBt ein Vektor, genauer ein m-dimensionaler 5paltenvektor. Ein solcher Vektor ist eine spezielle Matrix, namlich eine (m, 1)-Matrix (m Zeilen, eine Spalte). Ein m- Tupel reeller Zahlen (aI, a2, ... , am) (vgl. 4.5.1) nennt man auch einen m-dimensionalen Zeilenvektor. Ein m-dimensionaler Zeilenvektor kann als (1, m )-Matrix aufgefaBt werden. Beispielsweise ware fUr das Gleichungssystem Xl -

X2

-

2X2

5Xl

+ 2X3 + X4 = +

+ 3X2 -

X3 6X3

+ X4

1 0 = -1

die Koeffizientenmatrix folgende (3,4)-Matrix: -1

-2 3 nnd die ,echte Seite wa,e de' d'eidimen,ionale Spaltenvektoc (_

~) .

Matrizen und Vektoren eignen sich zur mathematischen Beschreibung zahlreicher quantitativer Beziehungen in den Wirtschaftswissenschaften. Das soll noch an einigen Beispielen gezeigt werden. Verfiechtungstabelle Ein GroBunternehmen bestehe aus n Sektoren 51, 52, ... , 5 n . Die Lieferungen des Sektors 5 i an den Sektor 5 k in einem gewissen Zeitabschnitt bezeichnen wir mit aik. Die Lieferungen von 5 i an den Endverbraucher werden mit bi bezeichnet. Dann charakterisiert die (n, n)-Matrix all a2l (

a~l

a12

an

a

aln) a2n

n2 a~n

KAPITEL7. LINEAREALGEBRA

342

den Output des Unternehmens. ProduktionskoejJizienten

Wieder stellen wir uns eine Wirtschaftseinheit vor, welche aus n Sektoren 51, 52, ... , 5n besteht. Mit aik bezeichnen wir jetzt die Zahl der Mengeneinheiten der Produktion des Sektors 5i , die fUr die Produktion von einer Einheit des Sektors 5 k benotigt wird. Die (n, n)-Matrix all

a12

aln

a21

a22

a2n

. . ..

...

..

(

anI

a n2

)

ann

heiBt die Matrix der Produktionskoeffizienten. 1m folgenden Beispiel mit 3 Sektoren wiirden etwa fUr die Produktion einer Einheit des Sektors 52 1,7 Einheiten der Produktion von 51 und 0,5 Einheiten der Produktion von 53 benotigt. empfangender Sektor

51 liefernder Sektor 52 53

51

52

0,1

1,7

2

1,1

° 0,5

53

°

1,4 0,1

RohstoffverbrauchskoejJizienten

Ein Unternehmen mit n Sektoren 5 1 ,52 , ... ,5n verbrauche m Typen von Rohstoffen R l , R 2 , ... , R m . Die Zahl rik gebe an, wieviel Einheiten des Rohstoffes Ri man fur die Produktion einer Einheit im Sektor 5k benotigt. Die rik bilden eine (m, n )-Matrix, die Matrix des Rohstoffverbrauchskoeffizienten. Auch den Vektorbegriff kann man vielfach benutzen: seien Xl, X2, ... , X n die produzierten Mengen eines n-Produktunternehmens, so kann man die Gesamtproduktion als einen n-dimensionalen Produktionsvektor auffassen:

(]

sind PI, P2, ... , Pn die Preise dieser Produkte, so faBt man sie zu einem

7.1. MATRIZEN UND VEKTOREN

343

Preisvektor zusammen:

ebenso bilden n Rohstoffmengen rl, r2, ... , rn einen Rohstoffvektor

7.1.2

Das Rechnen mit Matrizen und Vektoren

Ein rechteckiges Zahlenschema der Form (7.3) heiBt, wie bereits erwahnt, eine (m, n)-Matrix. Wir bezeichnen Matrizen mit fettgedruckten lateinischen GroBbuchstaben. Eine Matrix A der Form (7.3) wird auch kurz folgendermaBen geschrieben A - ( . )k=I, ,n -

a1.k i =l,

,m·

Die m . n Zahlen all, a12, ... ,amn heiBen die Elemente der Matrix; aik ist das Element in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte. Vektoren bezeichnen wir mit fettgedruckten lateinischen Kleinbuchstaben, z.B.

bzw. c = (CI' C2, ... , cn ). Die bi bzw. Ci heiBen die J( omponenten des jeweiligen Vektors. Zwei Matrizen A, B heiBen gleich, in Zeichen A = B, wenn ihre samtlichen Elemente gleich sind: aik = bik fur aile i und k. Das setzt insbesondere voraus, dafi sie die gleiche Gestalt haben, d.h. gleich viele Zeilen und gleichviele Spalten. Zwei Vektoren heifien gleich, wenn aile ihre Komponenten gleich sind; das setzt insbesondere voraus, daB sie dieselbe Dimension haben, d.h. gleiche Anzahl von Komponenten. Eine (n, n)-Matrix, d.h. eine Matrix, in der die Zeilenzahl gleich der Spaltenzahl ist, heiBt eine quadratische Matrix, genauer eine n-reihige quadratische Matrix. Die Elemente all, a22, a33, ... ,ann einer quadratischen Matrix heiBen

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

344

ihre Hauptdiagonalelemente. Sie stehen auf der von links oben nach rechts unten verlaufenden "Diagonalen", der sogenannten Hauptdiagonalen. Beispiel: In der quadratischen 4-reihigen Matrix -1

2

4

2

o

3

-2

0

-3

6

o

-5

4

-4

2

sind -1, 3, 0, 1 die Hauptdiagonalelemente.

1st

A = (::;

:::

:::)

amI am2

amn

eine (m, n)-Matrix, SO heiBt die durch Vertauschen von Zeilen und Spalten aus A hervorgehende Matrix die Transponierte von A und wird mit AT bezeichnet. AT ist dann eine (n, m)-Matrix:

C

Beispiele: 1)

2)

A=( A=

1

2

(-1

3 0

-7

9

4

6

-1

-2

3 4

0 1

),

a2I a12 a22

amI am2

aln a2n

a mn

n (-: 1

AT

3

= ( -7

9

)

)

AT =

-2

-3 3 0

n

Bei einer quadratischen Matrix entsteht die Transponierte durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen. Eine quadratische Matrix heiBt symmetrisch, wenn AT = A ist. Es gilt dann aik = aki fUr aBe i und k.

7.1. MATRIZEN UND VEKTOREN

345

Beispiel: Die folgende 4-reihige Matrix ist symmetrisch (sie iindert sich nicht bei Spiegelung an der Hauptdiagonalen):

r

Die Transponierte eines Zeilenvektors ist ein Spaltenvektor, die Transponierte eines Spaltenvektors ein Zeilenvektor:

(a"a" ... ,a.)T =

(~~

),

(~~

=

(b"b" ... ,b.).

Bevor wir uns den Rechenoperationen mit Matrizen und Vektoren zuwenden, wollen wir noch einige spezielle Matrizen und Vektoren einfUhren: Eine Matrix, in der samtliche Elemente gleich Null sind, heiBt eine Nullmatrix O. Zu jeder Gestalt (m, n) gibt es eine Nullmatrix. Entsprechend heiBt ein Vektor, dessen Komponenten aile verschwinden, ein Nullvektor.

Beispiele:

(~ ~ ~ ~)

ist die (2,4)-Nullmatrix, (

~

) ist der dreidimensionale Nullvektor

(als Spaltenvektor geschrieben).

Die n-dimensional en Vektoren ei, deren i-te Komponente gleich 1, deren iibrige Komponenten aile gleich 0 sind, heiBen die n-dimensionalen Einheitsvektoren. Es gibt davon gerade n-Stiick.

Beispiele: Die vierdimensionalen Einheitsvektoren (als Spalten geschrieben) sind:

Eine quadratische Matrix heiBt eine Diagonalmatrix, wenn aile Elemente auBerhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind, d.h. es gilt aik = 0 fUr i 1= k. Die

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

346

allgemeine Form einer n-reihigen Diagonalmatrix ist demnach: au

A =

o

0

(

o

o

Eine quadratische Matrix heiBt obere Dreiecksmatrix, wenn alle Elemente unterhalb cler Hauptdiagonale gleich Null sind, d.h. aik = 0 fur i > k. Eine quadratische Matrix heiBt untere Dreiecksmatrix, falls alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind, d.h. aik = 0 fur i < k. Beispiele:

(!

5 7 0 0

4

0 -2 0

n

ist eine obere,

(

1 -1 2

0 2 4

: ) i,t ,i" .ut,,, n"i,,"mut
Diejenige n-reihige Diagonalmatrix, in der aile Diagonalelemente gleich 1 sind, heiBt die n-reihige Einheitsmatrix En (meist nur mit E bezeichnet, wenn die Reihenzahl wahrend der Betrachtung fest ist). Fur die Elemente aik der Ein"1 -=1= k } . heltsmatnx gl t: aik = {O, 1, ii = k . Beispiele:

Rechenoperationen (1) Vervielfachung von Matrizen und Vektoren mit einem Skalar

Wenn man mit Matrizen und Vektoren rechnet, so bezeichnet man reelle Zahlen als Skalare, urn sie von den Matrizen und Vektoren, die ja Schemata von reellen Zahlen sind, deutlich zu unterscheiden. 1st A ein Skalar, so soli jetzt erkUirt werden, was das A-fache einer Matrix oder eines Vektors ist. Betrachten wir

7.1. MATRIZEN UND VEKTOREN

347

dazu eine Verflechtungstabelle mit 3 Sektoren:

51

52 53

0,1

1,2

0,8

o

2,1

1,1

2,4 1,1 0,2

Die Elemente aik der dadurch gegebenen 3-reihigen quadratischen Matrix sind die Lieferungen des Sektors 5 i an den Sektor 5 k . Nehmen wir an, diese Lieferungen waren in Tausend Tonnen angegeben, fUr eine weitere Rechnung benotigten wir aber die Angaben in Tonnen. Das ergabe die Matrix 100

1200

o

800

( 2100

1100

2400 ) 1100 200

Sie entsteht aus der urspriinglichen Matrix, indem jedes Element mit 1000 multipliziert wird. Man sagt kurz, die Matrix ist mit 1000 vervielfacht oder multipliziert worden. Dementsprechend wird definiert: 1st A = (aik)7::11: ,::. eine Matrix und ,\ ein Skalar, so versteht man unter ,\A die Matrix ,\A = ('\aik)k,:'l, 1_1,

in

,n ;

,m

,\A (Sinfa~IS)O aIle Elemente von A( r:::t),\ multipliziert.

,\a =

:

, wenn a der Vektor

,\~

:

(7.5) entsprechend ist

ist.

~

Man nennt diese Operation die Vervielfachung oder Multiplikation einer Matrix (oder eines Vektors) mit einem Skalar. Beispiele: 2 -2 -6

1)

6 (-I) ( -1 -1

2)

~ (t)= ( O~5

0)

3 -3

=

C6 -l) 1 1

-2 2 6

)

(2) Addition und 5ubtraktion von Matrizen und Vektoren

Wir betrachten als einfUhrendes Beispiel wieder die Verflechtung zwischen 3 Sektoren. Angenommen, die Lieferungen werden wochentlich erfaBt; in den vier Wochen eines Monats mogen sich folgende Lieferungen ergeben haben:

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

348

2.Woche

1. Woche

51 52 51 0,1 2,0 52 0,5 53 3,2 1,2

°

53

2,4 1,4 0,1

51 52 2,1 51 52 0,7 53 3,0 1,3

° °

3.Woche

53

1,8 1,5 0,1

51 52 1,9 51 52 0,6 0,1 53 3,1 1,1

°

4.Woche

53

2,0 1,6 0,1

51 52 51 0,1 1,8 52 0,6 53 3,0 1,0

°

53

2,1 1,4 0,1

Die Lieferungen im gesamten Monat wird durch eine dreireihige Matrix beschrieben, in der die Elemente durch Addition der entsprechenden Elemente der vier "Wochenmatrizen" entstehen: gesamter Monat

51 52 51 0,2 7,8 52 2,4 0, 1 53 12,3 4,6

53 8,3 5,9 0,4

Entsprechend wird man allgemein die Addition und Subtraktion von Matrizen 1 gleicher Gestalt definieren: Seien A = (aik )7:1 ,'. . . :-::. und B = (bik )7:;,'.·.·.:-::. zwei (m,n)-Matrizen, so heiBt die (m,n)-Matrix

C -- ( a,k.

+ b.,k )k=1, i=1,

,n

,m

(7.6)

die 5umme von A und B und wird mit C = A + B bezeichnet. Entsprechend ist A-B = (aik-bid::L:::-::.. Matrizen werden also addiert (subtrahiert), indem man die an gleicher Stelle stehenden Elemente addiert (subtrahiert). Addieren und Subtrahieren kann man nur Matrizen gleicher Gestalt, d.h. mit gleichen m und n. Es ist z.B. nicht moglich, eine (3,4)-Matrix und eine (2, 3)-Matrix zu addieren. Fur Vektoren gilt sinngemaB:

analog fUr Zeilenvektoren. Vektoren kann man nur addieren und subtrahieren, wenn sie die gleiche Komponentenzahl haben. Beispiele: 1)

(i -~ -;

~) + (~

; -

i

~) = ({ ~ -~ ~)

7.1. MATRIZEN UND VEKTOREN

2)

c:

0 4

0

2) 3 - ( -22 2 1 -34) = -1

-1

-1

0

349

C3

~ ) + ( J)-(t ) - ( ~ ) = ( =~

3)

(

4)

(1,2) - (6,3) = (-5, -1).

2 2

)

-2 3 1 -1

-~

)

Fur die Addition von Matrizen (bzw. Vektoren) gelten folgende Rechenregeln:

(7.7)

A+O= A A+B=B+A A+(B+C) = (A+B)+C

(Kommutativgesetz)

(7.8)

(Assoziativgesetz)

(7.9)

(A+Il)A = AA+IlA}

(7.10)

A(A+B) = AA+AB

(7.9) bedeutet, da£ man bei Addition die Klammern weglassen kann. (7.10) bezeichnet man auch als Distributivgesetze der Vielfachbildung. Eine Matrix der Form At A. + A2A2 + ... + AkAk hei£t eine Linearkombination der k (m, n)-Matrizen All ... A k • Diese Begriffsbildung wird besonders auf Vektoren angewandt: Es seien all ... ,ak k Vektoren (gleicher Dimension), aile als Zeilen oder als Spalten geschrieben, dann hei£t der Vektor

(7.11) eine Linearkombination der Vektoren all . .. ,ak, z.B. ist

e;ne UneMknmbination de' d'ei Vektocen

Jede, beheb;ge Vektoc a

~

C:)

(J), (-1), (J).

de, mmen,ion n i,t LineMkombination (7.11)

der n Einheitsvektoren e., e 2, . .. ,en der Dimension n, dabei sind die Ai gerade die Komponenten ai von a: a = ate, + a2e2 + ... + ane n .

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

350

Beispiel:

Einen Vektm

on

de' Dimen,ion 3 !
als Pfeil vom Koordinatenursprung zum Punkt mit den Koordinaten (at, az, a3) (Ortsvektor). Entsprechend kann man Vektoren der Dimension 2 als Ortsvektoren in der Ebene deuten.

Abb. 7.1 In Abb. 7.1 sind die Vektoren a =

0)

und b =

(=D

eingetragen. Ihre

Summe ist dann gerade die Diagonale des von a und b aufgespannten Parallelogramms (Parallelogrammregel der Vektoraddition). Zwei Vektoren a und b heiBen linear unabhangig, wenn der eine kein A-faches des anderen ist. Zwei linear unabhangige Vektoren weisen also im Raum oder in der Ebene in verschiedene Richtungen. Die Menge aller Linearkombinationen zweier linear unabhangiger dreidimensionaler Vektoren stellt eine Ebene im Raum dar; man sagt, zwei linear unabhangige Vektoren spannen eine Ebene auf. Eine Ebene kann man als zweidimensionalen Teilraum des Raumes betrachten. Diese geometrische Sprechweise ubertragt man auf n-dimensionale Ortsvektoren, obwohl man sich die Sache im n-Dimensionalen nicht mehr vorstellen kann. Man sagt, die Menge aller n-dimensionalen Ortsvektoren (bzw. aller n-Tupel) bildet den n-dimensionalen Raum Rn. k Stuck Vektoren des Rn

351

7.1. MATRIZEN UND VEKTOREN

heiBen linear unabhangig, wenn es nie moglich ist, einen von ihnen als Linearkombination der ubrigen darzustellen. Man kann zeigen, daB es im Rn nicht mehr als n linear unabhangige Vektoren geben kann. Die n Einheitsvektoren ell ... ,en sind linear unabhangig. k linear unabhangige Vektoren spannen einen k-dimensionalen Teilraum oder Unterraum des Rn auf (so wie zwei linear unabhangige Vektoren des R 3 eine Ebene, einen zweidimensionalen Teilraum des R 3 aufspannen). Wir wollen diese geometrische Sprechweise nicht weiter vertiefen; sie wird in der linearen Algebra oft und mit Vorteil benutzt, z.B. zur Beschreibung der Losungsmenge eines linearen Gleichungssystems. (3) Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Die zentrale Operation der linearen Algebra ist die Bildung des Skalarproduktes zweier Vektoren gleicher Dimension, d.h. gleicher Komponentenzahl. Das Ergebnis dieser Operation ist eine reelle Zahl, ein Skalar. Betrachten wir als Beispiel ein Unternehmen, welches 4 Produkte herstellt. Die Komponenten Xi des Produktionsvektors x = (Xl, X2, X3, X4) sind die in einer gewissen Zeitperiode produzierten Mengen. Die Komponenten Pi des Preisvektors p = (PI, P2,P3,P4) geben an, wieviel eine Einheit des i-ten Produktes am Markt kostet. Wollen wir den Gesamterlos bestimmen, so haben wir zu rechnen

Diese GroBe heiBt das Skalarprodukt der beiden Vektoren x und p. Man kann das Skalarprodukt als speziellen Fall der Matrizenmultiplikation (s. (4)) betrachten; dann muB der erste Vektor als Zeile, der zweite als Spalte geschrieben werden. Das Produkt Spalte X Zeile ist dagegen kein Skalar, sondern eine quadratische Matrix. Fur den Umgang mit Vektoren ist diese Einschrankung allerdings ein wenig lastig; ein Skalarprodukt kann unabhangig yom Begriff der Matrizenmultiplikation definiert werden, wenn beide Vektoren die gleiche Dimension haben: Seien a und b zwei n-dimensionale Vektoren mit den Komponenten aI, a2, ... ,an und bl , b2, ... , bn , so heiBt die Summe

das Skalarprodukt von a und b und wird mit ab bezeichnet. n

ab = Laibi i=l

(7.12)

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

352

Beispiel: a=(2,-1,3,6), b=(1,O,-2,4) ab=2·1+(-1)·O+3·(-2)+6.4=20.

Mittels des Skalarprodukts k6nnen wir die Indexzahlen aus 1.3.3 sehr elegant schreiben: Sei Po = (POI, Pm, ... ,Pon) der Preisvektor der Basisperiode, qo = (qOl' q02, ... , qOn) der Mengenvektor der Basisperiode, Pi, qi die entsprechenden Vektoren fUr die Berichtsperiode (i-te Periode), so gilt: fUr den Preisindex nach Laspeyres (1.57): fur den Preisindex nach Paasche (1.58): fUr den Mengenindex nach Laspeyres (1.59): fur den Mengenindex nach Paasche (1.60): und schlieBlich fur den Umsatzindex (1.54)

l . _ qiPi O,'t , qoPi

1

0

, _ ,t -

Piqi Poqo'

In dieser ubersichtlichen Form lassen sich die Bildungsgesetze dieser Indexzahlen besonders leicht durchschauen. (4) Multiplikation von Matrizen

Zur Motivation der Definition des Produktes zweier Matrizen betrachten wir folgende Situation: Ein Betrieb stelle aus 3 Rohstoffen 2 Zwischenprodukte und aus diesen vier Endprodukte her. Die Matrix A der Rohstoffverbrauchskoeffizienten zur Herstellung der Zwischenprodukte werde durch folgende Tabelle wiedergegeben:

Fur die Produktion einer Einheit von Zl braucht man also 6 Einheiten RI , 3 Einheiten R z, 4 Einheiten R 3 . Die Matrix B der Verbrauchskoeffizienten fur

7.1. MATRIZEN UND VEKTOREN

353

die Zwischenprodukte zur Herstellung der Endprodukte werde durch folgende Tabelle wiedergegeben: 0,6 0,4

0,8 0,5

1,1 0,1

2,0 1,2

B = ( 0,6 0,4

0,8 0,5

1,1 0,1

2,0 ) 1,2 .

Wir wollen jetzt die Matrix der Rohstoffverbrauchskoeffizienten fUr die Endprodukte bestimmen, d.h. wir wollen folgende Tabelle ausfUllen:

E1 Ez E3

R1 Rz R3

E4

CZ3

Nennen wir diese Koeffizienten Cik, so ist die Frage, wie sich die Cik aus den Elementen von A und B bestimmen lassen. Beginnen wir mit Cll, d.h. wir wollen wissen, wieviel Einheiten des Rohstoffes R1 man fur eine Einheit des Endproduktes E 1 benotigt. Urn eine Einheit E 1 herzustellen, benotigt man 0,6 Einheiten Zl und 0,4 Einheiten Zz. Urn eine Einheit Zl herzustellen, braucht man 6 Einheiten R 1 , urn eine Einheit Zz herzustellen braucht man 5 Einheiten R1 ; also braucht man insgesamt fUr eine Einheit E 1 : Cll

= 6·0,6 + 5·0,4 = 5,6

Einheiten R1

ist gerade das Skalarprodukt der ersten Zeile von A mit der ersten Spalte von B. Berechnen wir noch CZ3, d.h. wieviel Einheiten R z braucht man fUr die Produktion von einer Einheit E 3 ? Genau wie eben uberlegt man, daB CZ3 = 3 . 1,1 + 0,5·0,1 = 3,35 ist. CZ3 ist das Skalarprodukt der zweiten Zeile von A mit der dritten Spalte von B. Allgemein bekommen wir Cik als das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B . Die auf diese Weise gewonnene Matrix C wird als Produkt von A und B aufgefaBt. Damit die Skalarprodukte wie oben beschrieben uberhaupt gebildet werden konnen, mussen die Zeilen von A genausoviele Komponenten haben wie die Spalten von B (in unserem Beispiel sind es 2), d.h. aber, die Spaltenzahl von A muB gleich der Zeilenzahl von B sein. Diese Vorbetrachtungen fUhren zu folgenden Definitionen: Cll

Zwei Matrizen A und B heiBen (in dieser Reihenfolge) verkettet, wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist. 1st A eine (m,n)-Matrix, so muB B, wenn A und B verkettet sind, eine (n, p)- Matrix sein. Quadratische Matrizen gleicher Reihenzahl sind stets verkettet.

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

354

Beispiel:

61 2) 9

2 -1 3) 1 1 4 '

1

A= ( 6

4

6

.

4 9 A und B sind verkettet. B und A sind nicht verkettet. Die Eigenschaft "verkettet sein" hangt von der Reihenfolge ab!

,n · d A = ( aik )k=l, SIn i=l, ,m ,P ·t C -- ( e,l. )1=l, i=l, ,m mI

,

B = (bkl)~:\'::::;n' verkettet, so heiBt die (m,p)-Matrix

eil = ail bll

+ ai2 b21 + ... + ainbnl =

L aikbkl n

(7.13)

k=l

das Produkt von A und B. Es wird mit C = AB bezeichnet. Merkregel: Eine (m, n)-Matrix multipliziert mit einer (n,p)-Matrix ergibt eine (m,p)Matrix. Das Element Cit der Produktmatrix AB ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der i-ten Spalte von B. Fur die Berechnung des Produkts kann die sogenannte Falksche Anordnung hilfreich sein. Sei z.B. AB zu berechnen fur

A= (

-1

o

1

3

B= (

~ -1

-1 1

-3

AB wird eine (2,4)-Matrix sein. Man schreibt A in Form einer Tabelle links hin und B rechts davon, nach oben versetzt, dann hat man automatisch die richtige Gestalt von C: 1 2 -1 -1 1

0 3

2 4

-1 1

-3

-3 -5

3

-10

0 2 1 2

~

4 0 2 0 12

Wenn man z.B. die 2. Zeile von A mit der dritten Spalte von B multipliziert, so entsteht im Schnittpunkt der verliingerten Zeilen und Spaltenlinien an der

7.1. MATRIZEN UND VEJ(TOREN

richtigen Stelle von C das Element man die anderen PHitze von C aus.

355

= 1 ·0 + 3·2 + 4·1 = 10.

C23

Analog flillt

Beispiele: 1)

Wir berechnen zuniichst die Rohstoffverbrauchskoeffizienten fUr die Endprodukte in unserem einfUhrenden Beispiel:

c=

(

~ o~25 ) 4

( 0,6

0,4

0,8 0,5

1,1

0,1

2) (5,6 1,2 = 3~2

7,3

7,1

2,65

3,35

18 ) . 6,6

4,2

4,6

10,4

Urn beispielsweise eine Einheit E 4 produzieren zu kiinnen, braucht man 18 Einheiten Rl, 6,6 Einheiten R 2 und 10,4 Einheiten R3 ·

2)

Es sei A

=

(10

2 4 -1 1

-n

B=

(-1

Man berechne AB und BA. AB

=(

-3

10

-2

-6 28 -2

-5 )

16 -2

,

2 0 4

-D

BA=U

10) .

9 2 -1 19 20

Auch flir quadratische Matrizen gleicher Reihenzahl, fUr die ja AB und BA stets beide existieren, ist im allgemeinen AB 'I BA. Die Matrizenmultiplikation ist also auch fUr quadratische Matrizen gleicher Reihenzahl nicht kommutativ. Zwei n-reihige quadratische Matrizen mit AB = BA heiBen vertauschbar. Z.B. ist die Einheitsmatrix mit jeder quadratischen Matrix derselben Reihenzahl vertauschbar. 3)

Multipliziert man einen Zeilenvektor, als (1, n)-Matrix aufgefaBt, mit einem Spaltenvektor ((n, I)-Matrix), so erhiilt man eine (l,I)-Matrix (Cll), diese kann man mit dem Skalar Cll identifizieren. Man erhiilt so das Skalarprodukt als Spezialfall der Matrizenmultiplikation

d.h.

Cik

ist gerade

aibk·

356

4)

HAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

1st A

= (aik):~/::.·,::'

kMn liM

n~h

die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems (7.1), so

EinlUhmn,

d~

Vekto". =

schreiben:

Dahni int h =

(:t)

Ax

CO

de, Unhekannten (7.1) ku" '"

= b.

(7.14)

do< Vekto, do< ,e,hten S,iten

Fur das Rechnen mit Matrizen gelten auBer (7.1)-(7.10) noch folgende Rechenregeln (dabei sei A eine (m,n)-Matrix, B und D seien (n,p)-Matrizen und C sei eine (p, q)-Matrix):

(AB)C = A(BC)

(7.15)

(Assoziativgesetz der Multiplikation) Es bedeutet, daB man Klammern beliebig setzen oder auch ganz weglassen kann.

A(B+D)=AB+AD } (B+ D)C = BC +DC (Distributivgesetze)

(7.16)

(7.17)

1st A eine (m, n)-Matrix und E die n-reihige Einheitsmatrix, so ist AE = Ai ist E die m-reihige Einheitsmatrix, so ist EA = A. 1st insbesondere A eine quadratische n-reihige Matrix und E die Einheitsmatrix gleicher Reihenzahl, so gilt

AE = EA = A.

(7.18)

Die Einheitsmatrix spielt also bei der Multiplikation quadratischer Matrizen dieselbe Rolle wie die Zahl 1 bei der Multiplikation der Zahlen. Eine n-reihige quadratische Matrix A. heiBt regular, falls es eine n-reihige quadratische Matrix B gibt mit AB = E. B heiBt dann die zu A inverse Matrix und wird mit A -1 bezeichnet. 1st A regular und A -1 ihre Inverse, so gilt (7.19)

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

357

Sind Al und A 2 regular, so ist auch Al A 2 regular und es gilt: (7.20) Man kann also die Inversenbildung in einem Produkt gliedweise vornehmen, muB aber die Reihenfolge der Faktoren vertauschen!

Fur ein Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten, dessen Koeffizientenmatrix A regular ist, kann man die Lasung sofort hinschreiben, wenn man die Inverse A-I der Koeffizientenmatrix kennt. Denn multipliziert man (7.14) von links mit A-I, so ergibt sich A-I Ax = A-Ib bzw. Ex = x = A-lb. Wir werden in 7.2. sehen, wie man feststellen kann, ob eine gegebene Matrix A regular ist oder nicht, und wie man im FaIle der Regularitat A-I tindet.

7.2

Lineare Gleichungssysteme

7.2.1

Losbarkeitsverhalten und Losungsalgorithmus

Der Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist ein lineares Gleichungssystem von m Gleichungen mit n Unbekannten, d.h. ein System der Form (7'1()'bbm.:~)ie Matrix A =

(aik)7::t'.·.·.:::.

heiBt die Koeffizientenmatrix, der Vektor b =

der Vektor der rechten Seiten. In Matrixschreibweise hat (7.1) die Gestalt:

wo .,

~

(:J

Ax =b,

(7.21)

dec Vekloc de' Unbekannlen i,l. DM Gleichung"y,lem (7.1)

bzw. (7.21) heiBt homogen, wenn aIle bi gleich Null sind, d.h. NuIlvektor ist, andernfalls inhomogen.

wenn b der

Ein Gleichungssystem Jasen, bedeutet fUr die Unbekannten Xl, X2,· .. , X n n Zahlen XI, X2, ... ,Xn so zu tinden, daB die m Gleichungen erfiiIlt sind. Man

kann dM auch folgende'maflen au,ddicken, E, i,1 ein Veklo, ., = ( : ) '" zu

358

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

tinden, daB Ai: gerade den Vektor b ergibt, d.h. i: das Gleichungssystem (7.21) erfUlit. Ein Vektor i: heiBt Losung des linearen Gleichungssystems (7.1) bzw. (7.21), wenn Ai: = b erfullt ist. Die Menge aller Losungen hei13t die Losungsmenge des linearen Gleichungssystems. Beispiele: 1)

4Xl Xl

X2

+ X2

Z =

G)

=

5

= 10

ist eine Lasung, denn 4·3 - 7

= 5 und 3 + 7 = 10.

In diesem Fall gibt es

keine weiteren Lasungen. Die Lasungsmenge besteht aus dem einzigen Vektor

(~);

man sagt, das Gleichungssystem ist eindeutig lasbar,

2)

Xl -

-2XI

2X2

=

3

+ 4X2 = -6

Dieses System hat z.B. die Lasungen (3) (5) ( 4 ) 0' l ' 0,5' unendlich viele weitere. Die L6sungsmenge ist unendlich,

3)

Xl Xl

+ X2 =

+ X2

(1) -1'

(-1) und noch -2

4

= 6

Dieses Gleichungssystem kann keine Lasung haben, denn es enthiilt einen Widerspruch: einmal soll Xl + X2 = 4 sein, zum anderen soll Xl + X2 = 6 sein, Das ist fUr keine Wahl von Xl und X2 zu realisieren. Man driickt diesen Sachverhalt auch so aus: die Lasungsmenge ist leer,

Man kann zeigen, daB die Moglichkeiten fUr das Lasungsverhalten, die in den Beispielen 1) - 3) vorkommen, auch fUr beliebige Gleichungssysteme bereits aile Maglichkeiten ausschOpfen, d.h. es gilt folgender Satz: Ein lineares Gleichungssystem (7.1) bzw. (7.21) hat entweder genau eine Losung, oder es hat unendlich viele Losungen, oder es hat keine Lasung. Wir wollen uns diesen Satz fUr ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten geometrisch klarmachen. Eine lineare Gleichung atXt + azxz = b stellt in der (Xt,xz)-Ebene eine Gerade dar (4.2.1), niimlich fUr az of 0 die Gerade at Xz = --Xt az mit der Steigung

at

b +az

und dem Ordinatenabschnitt

b

und fur az

Odie

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

Gerade

Xl =

359

.!!-, welche eine Parallele zur x2-Achse ist. al all Xl a2lXI

+ a12x2 =

Ein System

bl

(7.22)

+ a22X2 = b2

stellt also 2 Geraden dar. Eine Losung

x

= (::) muB beiden Geradenglei-

chungen geniigen, muB also in der (XI,x2)-Ebene ein Punkt P(Xl,X2) sein, der auf beiden Geraden liegt. Die Losungsmenge des Gleichungssystems (7.22) ist also die Menge aller Punkte, die beiden Geraden gemeinsam ist. Es gibt aber nur drei Moglichkeiten fUr das Schnittverhalten zweier Geraden: 1)

Die Geraden schneiden sich in einem Punkt

P(Xl, X2)

(Abb. 7.2). Dann ist

(::) die einzige Losung von (7.22). Das Gleichungssystem ist eindeutig losbar. 2)

Die beiden Gerade fallen in eine einzige Gerade zusammen (Abb. 7.3). Dann sind alle (::), die auf dieser Geraden liegen, Losungen des zugehorigen Gleichungssystems (7.22). Die Losungsmenge ist unendlich.

3)

Die beiden Geraden sind parallel ohne zusammenzufallen (Abb. 7.4). Dann haben sie keinen gemeinsamen Punkt. Das Gleichungssystem hat keine Losung, die Losungsmenge ist leer.

Abb. 7.2-4 Mit dem im folgenden angegebenen Algorithmus, dem sogenannten GaujJschen Algorithmus, konnen wir feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem iiberhaupt

360

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

Losungen hat. Wenn ja, erlaubt der Algorithmus bei eindeutiger Losbarkeit die zahlenmiiBige Angabe des Losungsvektors. Bei mehrdeutiger Losbarkeit liefert er eine Darstellungsformel fiir die unendlich vielen Losungen; diese nennt man die allgemeine Losung. Wir wollen uns zuniichst iiberlegen, welche Umformungen man mit einem linearen Gleichungssystem vomehmen kann, ohne daB sich die Losungsmenge andert. Wir nennen diese Umformungen die erlaubten Umformungen. Man darf offenbar zwei Gleichungen vertauschen, d.h. man kann im System (7.1) zwei Zeilen vertauschen. Es ist klar, daB dies keinen EinfluB auf die Losungen hat, denn die Bedingungen, die das Gleichungssystem an die Xl, X2, ... ,X n stellt, bleiben bei dieser Operation ja insgesamt dieselben. Aus unserem Wissen iiber erlaubte Termumformungen (Kap. 1) ergibt sich weiter: Man darf eine beliebige Gleichung (Zeile) mit einem Faktor >. i= 0 multiplizieren, d.h. man darf eine beliebige Zeile des Systems durch ihr >.-faches ersetzen. Man darf femer zu einer beliebigen Gleichung des Systems eine andere Gleichung des Systems addieren, d.h. man darf eine Gleichung (Zeile) durch ihre Summe mit einer anderen Gleichung (Zeile) ersetzen. Die letzten beiden Operationen konnen noch in eine zusammengefaBt werden. Die erlaubten Umformungen werden also durch folgenden Satz charakterisiert: Die Losungsmenge eines linearen Gleichungssystems iindert sich nicht, wenn folgende Umformungen vorgenommen werden: 1) Vertauschen zweier Zeilen 2)

Ersetzen einer Zeile durch die Summe aus dem >'l-fachen dieser Zeile und dem >'2-fachen einer anderen Zeile.

Die Grundidee des GauBschen Algorithmus besteht nun darin, die erlaubten Umformungen in systematischer Weise solange anzuwenden, bis das Gleichungssystem die denkbar einfachste Gestalt annimmt. Betrachten wir zunachst den Fall von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Die Koeffizientenmatrix ist in diesem Fall eine (3,3)-Matrix. Das Gleichungssystem wird die denkbar einfachste Gestalt haben, wenn die Spalten der Matrix Einheitsvektoren sind, d.h. wenn es folgendermaBen aussieht:

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

361

~ ~ (::).

Se;ne Lo,ung kann man dann unmittelba, able'en

Wir werden also versuchen, ein Gleichungssystem durch erlaubte Umformungen dahin zu bringen, daB die Koeffizientenmatrix aus m6glichst vielen Einheitsvektoren besteht. Es sei als Beispiel folgendes Gleichungssystem gegeben: 2Xl -3XI Xl

X2

+ 4X2 + X2

+ 4X3 -

15 X3 = -15 X3 = O.

Wir wollen zunachst die Koeffizientenmatrix durch erlaubte Umformungen in eine Diagonalmatrix verwandeln. In einem ersten Schritt mussen also die Koeffizienten bei Xl in der zweiten und dritten Zeile zu Null gemacht werden. Das erreicht man durch folgende Umformungen:

+ +

2. Gleichung . 2 3. Gleichung . (-2)

1. Gleichung ·3 1. Gleichung

neue 2. Gleichung neue 3. Gleichung.

--t --t

Damit erhalten wir das System 2XI -

X2 5X2 3X2

+ 4X3 + lOx3 + 6X3

15 15 15.

Nun sorgen wir dafiir, daB in der 2.Spalte auBer in der Diagonalen alle Koeffizienten zu Null gemacht werden: 1. Gleichung . 5 3. Gleichung . 5

+ +

2. Gleichung 2. Gleichung . 3

10XI 5X2

+ 30X3 + lOx3 60X3

--t --t

neue 1. Gleichung neue 3. Gleichung.

90 15 120.

SchlieBlich werden die Koeffizienten in der 3. Spalte auBerhalb der Diagonalen zu Nullen gemacht: 1. Gleichung . (-2) 2. Gleichung . (-6)

+ +

3. Gleichung 3. Gleichung

-20XI

--t --t

neue 1. Gleichung neue 2. Gleichung.

-60 30

-30X2 60X3 =

120.

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

362

Jetzt wird noch die erste Gleichung durch (-20) dividiert (Multiplikation mit 1 A = - 2 0)' die zweite durch (-30), die dritte durch 60; es ergibt sich das System

=

X2

X3

3

-1 = 2,

womu, ,kh die U;,ung un,e,e, Au,gang"y,tem ,olmt ahlesen liiBt, "

~

( -

~) .

Die Lasung ist eindeutig bestimmt. Man schreibt die einzelnen Schritte oft in Form sogenannter Tableaus, indem man der Einfachheit halber die Unbekannten nicht mehr aufschreibt und die rechten Seiten durch einen Strich abtrennt. Rechts oder links daneben kann man die notwendigen Operationen, die zum nachsten Tableau fuhren, notieren; dabei bedeutet [k] die k-te Zeile. Fur unser Beispiel sehen die Tableaus folgenderma£en aus: [2]·2 [3]· (-2)

+ [1] 03 + [1]

[1] . 5

+ [2]

[3]·5

+ [2] 03

[1] 0(-2) [2] 0(-6)

+ [3] + [3]

[1] 0 (-io) [2] 0 (--10)

Damit lolgt " = ( -

4 -1 -1

15 -15 0

2 0 0

-1 5 -3

4 10 6

15 15 15

[1] [2]

10 0 0

0 5 0

30 10 60

90 15 120

[1] [2] [3]

-20 0 0

0 -30 0

0 0 60

-60 30 120

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3 -1 2

-t

[1]

-t

[3]

-t -t

-t -t

D.

-1 4 1

-t

-t

[3] olD

2 -3 1

[2] [3]

-t

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

363

m

Urn wie irn eben gerechneten Beispiel die Einheitsvektoren in ihrer natiirlichen RRihenfolge e,

~ G),

e,

~

zu e
Zeilen vertauschen. Beispiel: Xl -

2X2

XI

2X2

-3xI

[2] [3]

+ [1]· (-1) + [1]·3

-

+

+ +

X3 4X3

X2 -

X3

3 3

= =

= -4. 1 -2 1 3 1 -2 4 3 -3 1 -1 -4

~[2] ~[3]

1 -2 0

0

0

-5

In der 2. Spalte liiBt sich der Einheitsvektor e,

1 3 2

( O~)

3 0

5

nicht erzeugen, wei! sich

an der Stelle, wo eine Eins erzeugt werden soli, eine Null befindet. Wir vertauschen deshalb die Zeilen [2] und [3]. Das ergibt das folgende Tableau, mit dem dann wie ublich verfahren wird:

[1]·5

[1]·3 [2] . (-3)

+[2]·(-2)

+[3]·(-1) + [3] . 2

[1] : 15

[2] : 15 [3] : 3

1 -2 -5

~[1]

0 0

~[1]

5

~

0 0

[2]

3 5

1 2 0 3

5 5

0

-5

0

0

[1]

15

0

~[2]

0 0

15

0 0

15 -15

0

3

0

~

~[3]

1

Die Losung des gegebenen Systems ist

1 2 0 3

x=

(-

i) .

o o

0 0 1 0

0 1

1 -1 0

364

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

In den bisherigen Beispielen waren die Gleichungssysteme eindeutig losbar. Der GauBsche Algorithmus zeigt aber auch an, wenn der Fall mehrdeutiger Losbarkeit vorliegt und liefert eine Darstellungsformel fur die unendlich vielen Losungen. Wir betrachten als Beispiel das folgende Gleichungssystem: 2XI -Xl Xl -XI

+

X2

+ 4X3

X2

-

2X3

+ 2X3

+ 2X2

-

2X3

-

+

= 0

2X4

-

+

X4

1 1

X4

3.

X4

(7.23)

Der Algorithmus liefert folgende Tableaus:

[2] ·2 [3]· (-2) [4]·2

+ [1] + [1] + [1]

[1]

+ [2]

3

0

~

~

[1]

2 -1

4

-2

0

[3] [4]

0 0 0

1 -1

3

0 0 0

0 0 0

2 -2 6

2

0

4

-2

0 0 0

1

0 0 0

0 0 0

2 2

~

+ [2] + [2] . (-3)

[3] [4]

4 -2 -2 1 0 2 -1 2 -2 1

2 -1

[2] [3] [4]

~

~ ~

-1 1 -1

1

0 0

1 1

0 0

Wir hahen nun ein Tableau erhalten, in dem zwei Zeilen komplett aus Nullen bestehen. Solche Zeilen enthalten fur die Unbekannten keinerlei Information mehr. Sie konnen deshalb weggelassen werden. Dividieren wir die erste Zeile noch durch 2, so sieht das Endtableau folgendermaBen aus: 1 0 2 010 Das entspricht dem Gleichungssystem:

+

Xl X2

oder

Xl X2

= 1= 2.

2X3

+ X4

2X3 -

X4

= 1 = 2

(7.24)

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

365

Hier kann man fUr X3 und X4 beliebige Werte wiihlen. Xl und Xz sind dann bestimmt. Man erhiilt auf diese Weise unendlich viele Losungen von (7.23). Die allgemeine Losung hat also folgende Form:

Wihlt man etwa

x,

~ -1, x, ~ -2,

'0

e,haIt man ;;

(:D

~

Das ist tatsiichlich eine Losung von (7.23), Wle man durch Einsetzen sofort bestiitigt.

x,

~ 1, x, = 0 liefect die Lo,ung ;; =

(-D.

SO konnten wi, un, belie-

big viele weitere Losungen verschaffen. Wichtiger als einzelne konkrete Losungen ist in diesem Fall die Losungsmenge, die durch das Endresultat des Algorithmus, niimlich das Gleichungssystem (7.24) beschrieben wird. Es hat die charakteristische Eigenschaft, daB seine Spalten die maximal mogliche Menge von Einheitsvektoren (bei zwei Zeilen, d.h. zweikomponentigen Vektoren, sind das zwei) enthiilt. Ein Gleichungssystem mit der maximal moglichen Menge von Einheitsvektoren in der Koeffizientenmatrix heiBt kanonisch. Das Resultat des GauBschen Algorithmus ist also im Faile mehrdeutig losbarer Gleichungssysteme ein kanonisches Gleichungssystem. In einem kanonischen Gleichungssystem heiBen die Variablen, in deren zugehOrigen Spalten Einheitsvektoren stehen, Basisvariable, die iibrigen Nichtbasisvariable. In (7.24) sind Xl und Xz die Basisvariablen, X3 und X4 die Nichtbasisvariablen. Beispiel: In dem Gleichungssystem 2X2

Xl -

X2 4X2

mit dem Tableau:

sind

Xl, X4

und

Xs

+ + +

3X3

+

2

X4

2X3

+

8X3

o

2 3 1 0 1 -1 2 0 0 o 4 8 0 1

die Basisvariablen,

X2

und

X3

6 Xs

= -3.

2 6 -3 die Nichtbasisvariablen.

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

366

1m folgenden werden wir sehen, wie der GauBsche Algorithmus anzeigt, daB ein Gleichungssystem unlosbar ist. Betrachten wir als Beispiel das Gleichungssystem 4 2XI 2X2 + X3 = -6 -Xl + 6X2 4X3 = -Xl + 16x2 11x3 = -10. [2]·2 [3]·2

+ [1] + [1]

[1] . 5 [3]

-t

[2] [3]

+ [2]

-t

[1]

+ [2] . (-3)

-t

-t

[3]

2 -1 -1

-2 6 16

1 -4 -11

2 0 0

-2 10 30

1

4

-7

-8

-21

-16

10 0 0

0 10 0

4 -6 -10

-2

12

-7

-8 8

0

Hier fiihrt uns der Algorithmus auf eine Zeile, in der links alles Nullen, rechts aber eine Zahl f:. 0 steht. Die letzte Zeile wiirde ausgeschrieben bedeuten o· Xl + O· X2 +O· X3 = 8, d.h. 0 = 8, was offensichtlich falsch ist. Das Gleichungssystem enthalt also einen Widerspruch und ist folglich nicht losbar. Beispiele: 1) Xl - 4X l -Xl Xl

+ 2X2 - 3X3 - X4 = 6 + X2 - X3 + 2X4 = 3 + 3X2 + 4X3 + X4 = -3 + X2 + X3 + X4 = 5.

[3] [4]

+ [1]·4 + [1] + [1]· (-1)

[1] ·9

+ [2] . (-2)

-+

[1]

[3] ·9 [4]·9

+ [2]. (-5) + [2]

-+

[3] [4]

[2]

-+

[2]

-+ -+

[3] [4]

-+

1 -4 -1 1 1 0 0 0

2 1 3 1

-3 -1 6 -1 2 3 4 1 -3 1 1 5

2 -3 -1 6 9 -13 -2 27 1 5 0 3 -1 4 2 -1

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

[1]·74 [2]·74

+ [3] + [3]·13

[4]·74

+ [3]· (-23)

--+

[1] [2]

--+

[4]

--+

367

9 0 0 0

0 9 0 0

-1 -13 74 23

-5 -2 10 16

0 27 -108 18

666 0 0 0

0 666 0 0

0 0 74 0

-360 -18 10 954

-108 594 -108 3816

Zur Vereinfachung des letzten Schrittes dividieren wir die letzte Zeile durch 954; [1] [2] [3]

+ [4]·360 + [4] ·18 + [4]· (-10)

--+ --+ --+

[1] [2] [3]

666 0 0 666 0 0 0 0

0 0 74 0

-360 -18 10 1

-108 594 -108 4

666 0 0 666 0 0 0 0

0 0 74 0

0 0 0 1

1332 666 -148 4

0

o o o

2 1

-2

1

4

o

1

o o

1

o o

o

2) Xl 2Xl

X2

+ X2

4Xl -

+ -

X3 2X3

X2

X4

+ X4 -

X4

-1 1 -1

1 2 4

-1 1 -1

1 -2 0

1 0 0

-1 3 3

1 -1 -4 3 -4 3

+

X5

-

X5

=

4 = -1 7.

+ X5 = 1 -1 1

0 1 0

4 -1 7

1 4 -3 -9 -3 -9

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

368

3 0

o o

3

-1 -4

0

o

0 3 0

0 -3 0

3 -9 0

1 0

o

1

1 + ~X3

allgemeine Lasung:

x=

-3 + ~X3

-

X4

+ Xs

X3

Xs

3) 2Xl -

X2

2Xl -

X2

2Xl -

X2

3X3

+

X4 -

+

3X3 -

2X4

3X3

2X4 -

2 2 2

-1 -1 -1

2

-1 3 0 0 0 0

o o

Der Einheitsvektor

+ + +

3 3 3

+

1 -1 -2 1 2 -2

Xs Xs 2xs

= 4

=6

= 3.

4 6 3

1 -1 4 -3 2 2 1 -1 -1

(~) kann weder in der zweiten noch in der dritten Spalte erzeugt

werden. Wir wahlen deshalb die 4. Spalte: 6

o o

-3 0 0

9 0 0

0 -3 0

-1 2 -1

14 2 -1

369

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

6 0 0

-3

1 0 0

0 0

9 0 0

-2 0

I

3

0

0

0 0

0 0 -1

15 0 -1

0 1 0

0 0 1

2 0

-3

2 0

5

1

Die Basisvariablen dieses kanonischen Gleichungssystems sind

X2

und

X3

5

1

XI, X4

und

X5.

3

2" + 2" X 2 - 2" X 3

XI

=

X4

= 0

X5

= 1

kannen beliebig gewiihlt werden. Die allgemeine Lasung ist:

4) XI -XI

-

+

5xI -

X2 4X2 2X2

+ + +

-1 4

2X3 3X3 15x3

2

1 -1 5

-2

3 15

1 0 0

-1 3 3

2 5 5

= 0 = 6 = -4. 0 6 -4

0 6

-4

6 6 10 Die letzte Zeile stellt einen Widerspruch dar; das System hat keine Lasung. 3 0 0

0 3 0

11 5 0

Schauen wir uns die durchgerechneten Beispiele von losbaren Gleichungssystemen an, so konnen wir folgendes feststellen: 1st r die Maximalzahl von verschiedenen Einheitsvektoren, die wir durch erlaubte Umformungen in der Koeffizientenmatrix herstellen konnen, so ist das Gleichungssystem eindeutig losbar,

370

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

wenn r gleich der Anzahl n der Unbekannten ist. 1st r < n, so gibt es unendlich viele Losungen, und zwar kann man dann gerade n - r der Unbekannten frei wahlen, die restlichen r sind eindeutig bestimmt. Rang einer Matrix:

Die letzte Betrachtung fuhrt uns auf folgenden Begriff: Die Maximalzahl von verschiedenen Einheitsvektoren; die man durch erlaubte Umformungen in einer Matrix A herstellen kann, heiBt der Rang der Matrix A.

A sei eine (m, n)-Matrix. Es gibt nicht mehr als m Stuck Einheitsvektoren mit m Komponenten. Der Rang ist also:::; m (Zeilenzahl). Ebenso kann man h6chstens soviele Einheitsvektoren erzeugen, wie es Spalten gibt. Der Rang ist also auch :::; n. 1st A eine (m, n )-Matrix, so ist ihr Rang h6chstens gleich min( m, n), d.h. h6chstens gleich dem Minimum von Zeilen- und Spaltenzahl. Eine (2,3)-Matrix z.B. hat hOchstens den Rang 2, eine (5,4)-Matrix h6chstens den Rang 4, eine quadratische n-reihige Matrix h6chstens den Rang n. Urn den Rang einer Matrix zu bestimmen, schreiben wir sie als Tableau und nehmen die erlaubten Umformungen wie bei den Gleichungssystemen vor. Beispiele:

a) A = (

~ -1

3 -1 0

n

b) A =

( -1

~

0 2 1 4 1 6

n

c) A

=

-~2

U

Wir schreiben bei der Lasung die Tableaus aus Platzersparnis nebeneinander. a) 1 2 -1

3 -1 0

1 4 2

1 0 0

3 -7 3

1 2 3

7 0 0

0 -7 0

13 2 27

189 0 0

0 -189 0

0 0 27

0 2 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 0

Der Rang ist 3. b) -1 3 2

0 2 1 4 1 6

Der Rang ist 2.

0 2 2

-1 0 0

0 2 1 10 1 10

0 2 2

-1 0 0

0 1 0

2 10 0

-2 10 0

0 2 0

0 0 1

1

) .

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

371

c) 1

-1

1

-1

0

2 2 1

0 0 0

2 3

1

0

2 0 0 0

1

0 2 0 0

1

0 0 0

0 1 0 0

Der Rang ist 2.

Mit Hilfe des Rangbegriffes kann man auch ein Kriterium dafiir formulieren, daB ein Gleichungssystem uberhaupt losbar ist. Das Tableau des im Beispiel 4) betrachteten, unlosbaren Gleichungssystems hatte schlieJ31ich folgende Gestalt: 3 0 11 035 o 0 0

6 6 10

Hier hat die Koeffizientenmatrix, die auf der linken Seite des senkrechten Striches steht, den Rang 2. Betrachtet man die Matrix, welche aus der Koeffizientenmatrix durch Hinzufiigen der rechten Seite als einer weiteren Spalte entsteht, also das gesamte Tableau ohne Berucksichtigung des senkrechten Striches, so hat diese erweiterte Koeffizientenmatrix den Rang 3. Diese Verschiedenheit der beiden Range ist charakteristisch fiir Unlosbarkeit. Die Matrix, welche aus der Koeffizientenmatrix A eines linearen Gleichungssystems (7.1) durch Hinzufiigen der rechten Seite als weitere Spalte entsteht, heiBt die erweiterte J( oeffizientenmatrix. Beispiel: 2XI -

X2

Xl -

X2

-Xl

Die Koeffizientenmatrix ist (

+ 2X2

+ 3X3 = 0 + X3 = 5 -

X3

i =~ ~) ,

-1

= 1.

die erweiterte Koeffizientenmatrix ist

2-1

( i =~ ~ ~). -1

2

-1

1

Fur das Losungsverhalten eines linearen Gleichungssystems kann nun zusammenfassend folgendes festgestellt werden: Genau dann ist ein lineares Gleichungssystem losbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist.

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

372

1st das der Fall, und sei r der Rang dieser Matrizen, so gilt: 1st r gleich der Anzahl n der Unbekannten, so ist das Gleichungssystem eindeutig losbar. 1st r < n, so gibt es unendlich viele Losungen, und zwar kann man die Werte von n - r Unbekannten beliebig wahlen, die restlichen sind dann eindeutig bestimmt. Insbesondere ist ein Gleichungssystem von n Gleichungen mit n Unbekannten genau dann eindeutig losbar, wenn die Koeffizientenmatrix den Rang n hat. Eine quadratische Matrix, deren Rang gleich ihrer Zeilenzahl ist, d.h. deren Rang die maximal mogliche GroBe erreicht, ist, wie sich zeigen wird, regular. Die letzte Aussage konnen wir dann so formulieren: Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten ist genau dann eindeutig losbar, wenn die Koeffizientenmatrix regular ist. Pivotisierung:

Bisher haben wir bei der Abarbeitung des GauBschen Algorithmus intuitiv "gesehen", was man mit den Gleichungen tun muB, urn an vorgesehenen Stellen des Tableaus Nullen zu erzeugen. Das ist fur das Rechnen mit Hand bei einfachen Systemen meist der schnellste Weg. Fur komplizierte Systeme, wie sie in den Anwendungen vorkommen, braucht man ein systematisches Verfahren. Nehmen wir an, an der Stelle aik soll eine 1, an den ubrigen Stellen der k-ten Spalte, d.h. an den Stellen ajk, j i= i, eine Null erzeugt werden. 1m folgenden Schema sind die k-te Spalte und die beteiligten Zeilen, d.h. die i-te und die j-te Zeile dargestellt: alk a2k

ail

ai2

Iaik I

ail

ain

bi

ajl

aj2

ajk

ajl

ajn

bJ

amk

Das Element aik, an dessen Stelle die 1 erzeugt werden soll, heiBt das Pivotelement. Die i-te Zeile heiBt die Pivotzeile, die k-te Spalte heiBt die Pivotspalte. Die Gesamtheit der Rechenschritte, die die Umwandlung der Pivotspalte In einen Einheitsvektor leistet, heiBt ein Pivotschritt.

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

373

Urn eine Null an der Stelle zu erzeugen, wo Pivotzeile mit (- a

jk

)

aik

.

(neu)

aJ"k

=

steht, multipliziert man die

und addiert dies zur j-ten Zeile. Die neue j-te Zeile

ist also gerade diese Summe, d.h. Es gIlt also

ajk

ajk -

Elemente der j-ten Zeile gilt:

ajl

+ (- a jk )

ail.

aik

ajk -aik aik

(neu)

aJ"1

= 0, wie es sein muJ3.

=

ajl -

b(neu) = b

j

J

_

Fur die ubrigen

ajk -ail aik

(7.25)

ajk b i aik

(7.26)

j =I- i, l =I- k

SchlieJ31ich wird noch, urn eine 1 an der Stelle des Pivotelements zu erzeugen, die Pivotzeile durch aik dividiert: (neu)

ail

b(neu) = ~

ail

=-,

,

aik

aik

(7.27)

I

Die Umformung eines linearen Gleichungssystems durch sukzessive Anwendung der Pivotschritte (7.25)-(7.27) nennt man Pivotisieren. Wir lasen als Beispiel das Gleichungssystem aus Beispiel 1) durch Pivotisieren; die Pivotelemente sind bei jedem Schritt durch einen kleinen Kasten gekennzeichnet.

IT]

2

-1 6 2 3 1 -3 4 1 1 5

-3

-4

1 -1

-1

3

1

1

Es wird zuniichst die zweite Zeile umgeformt. DafUr wollen wir die Rechenschritte noch angeben:

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

374

(neu)

a 22

(neu)

a 23

(neu)

a 24

(

-4)

= a22 -

a21 -a12

=1-

= a23 -

a21 -a13

= -1 -

= a24 -

a21 -a14

( -4) =2- - . (-1) = -2

all

all

all

- - ·2 1

=9

-4)

(

= -13

- - . (-3) 1

1

Die Operation (7.27) brauchen wir nicht vorzunehmen, da das Pivotelement schon 1 ist. Nach dem 1. Pivotschritt sieht das Tableau folgendermaf3en aus (das Pivotelement fUr den nachsten Schritt ist schon gekennzeichnet):

1

-3 -13 1

2

05

0 0 0

-1

-1 -2

6 27

0 2

3 -1

4

Die weiteren Tableaus haben folgende Gestalt:

1

0

0

1

0

0

_1

-~

13 -g

-9

2

3

~

.!Q

_108

23

!§

9

9

2

9

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

9

9

9

_360 666 18 -666

_108 666

1

10

-"74

0

954

74

666

594

666 108

3816 666

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

1

" = (

-D

o o o

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

375

2 1 -2 4

i,t die eindeutig be,timmte Lii,ung.

Weitere Beispiele fUr das Pivotisieren finden sich in 7.2.3 und 7.3.

7.2.2

Berechnung der Inversen einer quadratischen Matrix

Wir erinnern daran, daB eine quadratische Matrix A regular heiBt, wenn es eine quadratische Matrix B derselben Reihenzahl gibt, so daB AB = BA = E ist. B heiBt dann die zu A inverse Matrix und wird mit A-I bezeichnet. A-I ist also durch die Beziehungen (7.19) definiert, falls A regular ist. Das im folgenden beschriebene Verfahren zur Bestimmung der Inversen einer Matrix A wird gleichzeitig ein Kriterium dafUr liefem, daB A regular ist. Es sei A = (aik )7:11,:'.:~:: die gegebene Matrix. Die Elemente der gesuchten Matrix A-I bezeichnen wir mit Xik, also A-I = (Xik)7:L::~::. Es sind insgesamt n 2 Unbekannte Xik zu bestimmen, und zwar aus der Bedingung (7.19), d.h. aus

X3n

1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0

X nn

0 0 0

1

an

a12

aln

Xn

X12

Xln

a21

a22

a2n

X21

X22

X2n

a31

a32

a3n

X31

X32

anI

a n2

ann

Xnl

X n2

Zur Berechnung der ersten Spalte von A-I haben wir, entsprechend den Regeln der Matrizenmultiplikation, das Gleichungssystem

376

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

zu losen; zur Berechnung der zweiten Spalte von A -1 mussen chungssystem

Wlf

das Glei-

losen usw; zur Berechnung der n-ten Spalte von A -1 ist schliel3lich das System

zu losen. Es handelt sich also bei der Bestimmung der Inversen einer (n, n)Matrix urn die Losung von n linearen Gleichungssystemen mit je n Unbekannten. Das sieht auf den ersten Blick nach schrecklich viel Aufwand auf. Der Aufwand reduziert sich jedoch erheblich, da aile diese Gleichungssysteme dieselbe Koeffizientenmatrix, niimlich A, haben. Nur die rechten Seiten wechseln: sie durchlaufen nacheinander die n verschiedenen Einheitsvektoren ell e 2, ... , en' Das legt den Gedanken nahe, aile n Systeme mit einem einzigen Tableau zu losen, in welchem aber nicht nur eine rechte Seite vorhanden ist wie bei einem gewohnlichen Gleichungssystem, sondern in dem gleichzeitig n rechte Seiten behandelt werden. Am Beginn der Rechnung hat man also folgendes Tableau

a3n

1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0

ann

0

0

1

all

a12

a1n

a21

a22

a2n

a31

a32

a n1

a n2

0

Am Ende der Rechnung, d.h. wenn man links lauter Einheitsvektoren erzeugt hat, erhiilt man ein Tableau der folgenden Gestalt:

k-1 n·1st ( Xik ) i:1:.·.·.~~

1 0 0 1 0 0

0 0 1

0 0 0

Xll

X12

X1n

X21

X22

X2n

X31

X32

X3n

0

0

1

X n1

X n2

X nn

0

dann gerade d'Ie gesuch ' A- 1 von. A te 'mverse M atnx

377

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

Beispiele: 1)

Man berechne die inverse Matrix von

A= ( -:

2 -1 0

-5 ) 4

.

-1

Das Ausgangstableau ist das folgende

2 2 -2 -1 1 0

-5 4

-1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Es wird nun links nach und nach die Einheitsmatrix erzeugt; die drei verschiedenen rechten Seiten werden simultan umgeformt. Das ergibt nacheinander (die Operationen, die das niichste Tableau ergeben, sind links notiert):

2 2 -5 -2 -1 4 1 0 -1

[2] [3]· (-2)

+ [1] + [1]

-> ->

[2] [3]

[1]

+[2]·(-2)

->

[1]

[3]

+ [2]. (-2)

->

[3]

[1 ] [2]

+ [3]· (-3) + [3]· (-1)

-> ->

[1] [2]

->

[1]

2

[3]

0 0

[1] : 2 [3] . (-1)

->

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 0 0

2 -5 1 -1 2 -3

0 0 1 0 0 -2

2

0 -3 1 -1 0 -1

-1 -2 0 1 1 0 -1 -2 -2

0 0 1 0 0 -1

2 2 -1

0 0

100 o 1 0 001

4 3 -2

6 2 -2

123 2 3 2 122

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

378

[3]

+ [1] . (-2)

--+

[3]

[1]

+ [2]· (-2)

--+

[1]

[3]

+ [2]

--+

[3]

1 0

2 -1

2

1

3

3

-5

1 0 0

2 -1 1 -1

3 -3

1 0 0

0 1 0

-7

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0

0 1 0

0 0 1

-2

0 0 1

-2

3

1 0

0

-2

1 1

Hier hat die Rechnung eine Nullzeile geliefert. Der dritte Einheitsvektor Iii-fit sich also nicht erzeugen. Die Matrix A hat keine Inverse. Wie wir aus unserer friiheren Definition des Ranges sehen, hat A den Rang 2; d.h. der Rang ist niedriger als die Reihenzahl von A.

Allgemein konnen wir formulieren: Eine n-reihige quadratische Matrix ist genau dann regular, wenn ihr Rang r gleich cler Reihenzahl ist.

7.2.3

Anwendungen

(1) Input- Output-Analyse Wir betrachten eine Wirtschaftseinheit (Volkswirtschaft, Branche, Unternehmen), bestehencl aus Sektoren 5}, 52, ... , 5n . Mit bezeichnen wir die Procluktionskoeffizienten (vgl. 7.1.1), d.h. gibt an, wieviel Einheiten der Sektor 5 i clem Sektor 5k zur Verfiigung stellen muB, damit 5 k eine Einheit seines Produkts produzieren kann. Die quadratische Matrix A = d.h. die Matrix der Produktionskoeffizienten, heiBt auch die Produktionsmatrix. Sie spiegelt die Verftechtung cler einzelnen Sektoren untereinancler wider. Wir bezeichnen mit Xi die Gesamtproduktion des Sektors 5 i .

n

aik

aik

(aik)7:L:::;:,

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

379

wird als Produktionsvektor bezeichnet. Ein gewisser Teil von :r wird zur Produktion selbst gebraucht. Diesen Anteil bezeichnet man als den internen Input. Den Rest, der zur Befriedigung einer auBeren Nachfrage zur VerfUgung steht, bezeichnen wir fUr den Sektor 5 i mit Yi; den Vektor

konnen wir demnach als Vektor der zu befriedigenden auBeren Nachfrage interpretieren. Sowohl:r als auch y beziehen sich auf auf eine gewisse zeitliche Periode. Wir wollen nun die Beziehung zwischen :r und y auffinden. Berechnen wir zunachst den internen Input, den der i-te Sektor 5 i bereitstellt: Zur Produktion von einer Einheit 51 benotigen wir ail Einheiten 5 i , also benotigen wir fur die Produktion von Xl Einheiten Sl gerade ailxl Einheiten 5i . Analog braucht man zur Produktion von X2 Einheiten 52 ai2x2 Einheiten 5 i usw., schlieJ31ich braucht man zur Produktion von x n Einheiten 5 n ainXn Einheiten 5 i . Der gesamte endogene Input, den 5 i bereitstellen muB, ist somit ailXl + ai2X2 +... + ainXn' Zusatzlich stellt 5 i noch Yi Einheiten fur die externe Nachfrage her. Also gilt die Gleichung: Xi

=

ailXl

+ ai2 X 2 + ... + ainXn + Yi =

n

Yi

+ L aikXk·

(7.28)

k=l

n

Der Ausdruck

L

aikxk

ist gerade das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit

k=l

dem Vektor:r. Eine solche Gleichung gilt fUr jedes i, so daB wir aIle diese Gleichungen folgendermaBen in Matrizenform zusammenfassen konnen: :r = A:r

+ y.

(7.29)

Wegen :r = E:r, E Einheitsmatrix, folgt aus (7.29) das lineare Gleichungssystem (7.30) Mit (7.30) konnen zwei verschiedene Aufgaben gelost werden. Zum einen kann bei gegebenem Produktionsvektor :r ausgerechnet werden, wieviel zur Befriedigung der externen Nachfrage zur VerfUgung steht, d.h. y wird berechnet. Das ist eine einfache Matrizenmultiplikation. Zum anderen - und das ist das praktisch wichtigere Problem - kann zu vorgegebener zu befriedigender Nachfrage

380

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

y die dafur erforderliche Produktion a: berechnet werden. Das erfordert die Lasung des linearen Gleichungssystems (7.30). Die Koeffizientenmatrix E - A dieses Gleichungssystems wird auch als Technologiematrix bezeichnet. Sie ist in der Regel uber mehrere Perioden stabil, so daB es sich lohnt, fUr die Lasung von (7.30) eine explizite Formel zu haben, mit deren Hilfe man dann fUr verschiedene vorgegebene y die zugeharigen a: berechnen kann. Durch Multiplikation von (7.30) mit der Inversen von E - A ergibt sich: (7.31) Die Matrix (E - A)-t heiBt nach dem Begrunder der Input-Output-Analyse die Leontjef-Inverse. Hat man sie einmal berechnet, so braucht man nur noch eine Matrizenmultiplikation (Matrix mal Vektor), urn zu vorgegebener Nachfrage y den Produktionsvektor zu bestimmen. Beispiel: Ein Unternehmen bestehe aus 3 Sektoren 5 1 ,52 ,53 , Die Produktionsmatrix A habe folgende Gestalt:

A

=(

0,2 0,2 0,1

0,3 0,25 0,2

a) Man berechne fUr eine Produktion von x

0,1) 0,1 . 0,1

= (~~)

Einheiten den Output y.

Man berechne den Produktionsvektor x, der erforderlich ist, urn folgende externe Nachfrage zu befriedigen: b)

100)

y = ( 2~~

160) . 410 ( 120

y =

,

c)

=(

0,8 -0,2 -0,1

Lasungen: a) Es ist E - A

y

=(

-0,3 0,75 -0,2

0,8 -0,2 -0,1

-0,3 0,75 -0,2

-0,1) -0,1 . 0,9 -0,1) ( 62) -0,1 90 0,9 50

6 ) = (17 50: 1 20,8

Urn b) und c) zu lasen, wird die Leontjef-Inverse berechnet:

(E-A)-I=

1,43798 0,63666 0,23052) 0,417121,558730,21954 . ( 0,25247 0,41712 1,18551

.

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

( 1,43798 0,41712 0,25247

0,63666 1,55873 0,41712

1,43798

0,63666 1,55873 0,41712

b)

x=

c)

• = ( 0,41712 0,25247

381

0,23052 ) ( 200 100) ~ (289 57 ) . 371;02

0,21954 1,18551

80

203,51

0,23052 ) ( 410 160) ~ (51877) 0,21954 732: 16 . 1,18551

120

353,68

Anmerkung:

1st die Produktionsmatrix A nicht direkt gegeben, sondern nur die Lieferungen der einzelnen Sektoren an die ubrigen Sektoren und die Lieferung nach au£en, so kann A berechnet werden, indem man die Inputs des Sektors Si (d.h. die Elemente der i-ten Spalte) durch den gesamten Output von Si dividiert. Beispiel: In einem Unternehmen mit 3 Sektoren werden innerhalb eines Berichtszeitraums folgende innerbetriebliche Lieferungen und Lieferungen an den Endverbrauch registriert:

empfangende Sektoren

liefernde Sektoren

51 52 53

Der Gesamtoutput betriigt fUr 51:

51

52

53

2 4

3 1

7

4

5 6 3

2

+ 3 + 5 + 18 = 28

Endverbrauch 18 12 24 ME, entsprechend fur 52

23 ME und fUr 53 38 ME. Also gilt fur die Produktionsmatrix: 4

a21 = 28 =

1 7'

7

a31 = 28 =

1 4'

'b . h usw., es erg I t SiC:

all =

~ 28

=

J..., 14

Das Modell der Input-Output-Analyse ist insofern noch nicht ganz vollstiindig, als zur Produktion naturlich auch Rohstoffe von au£en ben6tigt werden. Diese Lieferungen von auBen an die einzelnen Sektoren bezeichnet man als exogenen Input. Wir nehmen an, daB m Rohstoffe Rt, R 2 , . •. ,Rm gebraucht werden. rik seien die Rohstoffverbrauchskoeffizienten (vgl. 7.1.1), d.h. rik gibt an, wieviel Einheiten des Rohstoffs R i fur die Produktion von einer Einheit im Sektor Sk 1 benotigt werden. R = (rik)7:t ,'.....:::. sei die Matrix der Rohstoffverbrauchskoef-

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

382

lizienlen. De, Ve,bmnch des i-len Rohsloffs 'ei

r" r

=

[t)

isl daIm de'

Vektor des gesamten Rohstoffverbrauchs. Bei gegebenem Produktionsvektor x kann der zugehorige Rohstoffverbrauchsvektor r folgendermaBen bestimmt werden: Fur Xl produzierte Einheiten des Sektors 8 1 benotigt man ri1x1 Einheiten des Rohstoffs R i , fUr X2 produzierte Einheiten von 8 2 ri2x2 Einheiten von R; usw. Der Gesamtbedarf des Rohstoffs R i ist also n ri

=

Lrikxk k=l

Das ist gerade das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix R mit dem Vektor x. Eine solche Bilanz kann fUr jedes der ri aufgestellt werden, so daB schlieBlich gilt: (7.32) I r=Rx I Hat man die Produktion x bei vorgegebener Nachfrage y aus (7.30) oder (7.31) berechnet, so ermittelt man mittels (7.32) den dafUr erforderlichen Rohstoffeinsatz r. Fur die Bestimmung von R aus Liefermengen gilt sinngemaB das in obiger Anmerkung Gesagte: Sind die Lieferungen an Rohstoffen an die einzelnen Sektoren gegeben, so erhalt man die Rohstoffverbrauchskoeffizienten, indem man fur einen Sektor 8 i die exogenen Inputs von 8 i durch den gesamten Output an 8 i dividiert. Beispiel: 1)

Fur ein Unternehmen mit 2 Sektoren gehen die gegenseitigen Lieferungen der Sektoren, die Lieferungen nach auBen und die Rohstoffiieferungen an die Sektoren aus folgender Tabelle hervor: empfangende Sektoren liefernde Sektoren

Sl S2

R1

Rohstoffiieferungen R 2

R3

Sl

20 10 80 20 70

S2

40 30 20 50 30

Lieferung an Endverbraucher

140 60

Man bestimme die Produktion, die zur Befriedigung der Nachfrage y = derlich ist sowie den zugeh6rigen Rohstoffverbrauch.

G~~)

erfor-

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

383

Zunachst miissen die Produktionsmatrix A und die Matrix R der Rohstoffverbrauchskoeffizienten bestimmt werden. Der Output von 8 1 ist 200 ME, der von 8 z ist 100 ME.

A =

(

zo zoo 10

zoo

E _ A = (

1~~

100

~

)

=(

0,1 0,05

0,4 ) 0, 3

R =

(~:o zoo 70

zoo

0,9 -0,05

1::0) = 100 30

100

0,4 0,1 ( 0,35

0,2) 0,5 . 0,3

-0,4) . 0,7

(7.30) ergibt zur Berechnung von x:

Die Lasung ist x

'

0,9X1 -0,4xz = 200 -0,05X1 +0,7xz = 110.

= (~~~: ~~~) . Das ergibt den Rohstoffverbrauch: 0,4 0,1 ( 0,35

0,2) (301,639) (156,393) 0,5 = 119,508 . 0,3 178,689 159,180

(2) Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

In jedem Unternehmen gibt es in der Regel Abteilungen, wie Fuhrpark oder Reparaturwerkstatt, die einerseits den produzierenden Abteilungen Leistungen erbringen, die andererseits auch wechselseitig Leistungen austauschen. Fur die Selbstkostenermittlung und fur die Preiskalkulation der Endprodukte ist es erforderlich, die innerbetrieblich ausgetauschten Leistungen kostenmaBig richtig zu bewerten. Als Beispiel betrachten wir ein Unternehmen, welches Motoren und Getriebe montiert. Die Motorenfertigung und die Getriebefertigung bezeichnen wir als die Hauptkostenstellen. Das Unternehmen habe die Hilfsbetriebe Fuhrpark und Reparaturwerkstatt. Diese Hilfsbetriebe bezeichnen wir auch als Hilfskostenstellen. Die Kosten, die den Hilfsbetrieben bei der Bereitstellung ihrer Leistungen unmittelbar durch Lahne, Gehalter, Materialverbrauch, Abschreibungen etc. entstehen, bezeichnet man als die primiiren Kosten. Die Hilfskostenstellen erbringen vor allem Leistungen an die Hauptkostenstellen. Sie tauschen aber auch untereinander Leistungen aus: Der Fuhrpark wird gewisse Leistungen fUr sich selbst erbringen, ebenso fur die Werkstatt. Die Werkstatt erbringt neben den Leistungen fUr die Hauptkostenstellen auch gewisse Leistungen fUr sich selbst und fUr den Fuhrpark. Die folgende Tabelle zeigt die gegenseitig zwischen den Hilfskostenstellen erbrachten Leistungen in Leistungseinheiten (LE), ferner die an die Hauptkostenstellen erbrachten Leistungen sowie die primaren Kosten (in Euro):

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

384

Empfanger Fuhrpark Werkstatt Motorenfertigung Getriebefertigung primare Kosten 20000 12000 Fuhrpark 35000 20 100 15000 201800 16000 Werkstatt 550 60 Lieferant

Wir bezeichnen mit PI die unbekannten Kosten pro LE im Fuhrpark, mit P2 die unbekannten Kosten pro LE in der Werkstatt. Diese GraBen heWen auch die Verrechnungspreise. Die Gesamtleistung des Fuhrparks betdigt 20 + 100 + 20 000 + 12000 = 32120 LE. Die Gesamtleistung der Werkstatt betragt 31610 LE. Die Kosten fUr die intern empjangenen Leistungen betragen fur den Fuhrpark 20Pl + 550P2' Man nennt diese Kosten die sekundiiren Kosten. Sekundare Kosten plus primare Kosten ergeben die Gesamtkosten. Die Gesamtkosten des Fuhrparks sind aber andererseits gleich seiner Gesamtleistung 'Pl, d.h. gleich 32120Pl' Die Gegenuberstellung beider Ausdrucke ergibt die Gleichung 35 000+ 20Pl + 550P2 = 32120Pl' Analog erhalt man fur die Werkstatt die Gleichung 201800 + 100Pl + 60P2 = 31610p2' Beide Gleichungen zusammen ergeben folgendes lineares Gleichungssystem fur die Bestimmung der unbekannten Verrechnungspreise PI und P2: 32100pl550P2 = 35000 -100Pl + 31 550P2 = 201800. Die Lasung ist PI = 1,20 Euro/LE,

P2 = 6,40 Euro/LE.

Allgemein bezeichne K l , K 2, . .. , K n die Hilfskostenstellen, PI, P2, .. . , Pn die Verrechnungspreise (Pi sind die Kosten pro LE der Hilfskostenstelle K i ). li bezeichne die Gesamtleistung von K i und aik die Leistung, die K i an K k liefert. Mit k i bezeichnen wir die primaren Kosten von K i . Man kann diese Daten in folgendem Schema zusammenfassen: Empfanger

Lieferant Kl

K 2 ...

K l an K 2 a2l

a12 a22

...

... a2n

l2

k2

K n anI

an2 ... ann

In

kn

K n Gesamtleistung primare Kosten kl al n II

Urn die sekundaren Kosten der Kostenstelle K i zu ermitteln, mussen wir die an K i gehenden Leistungen ali, a2i, . .. , ani mit den entsprechenden Verrechnungspreisen multiplizieren und alles addieren, d.h. aber, wir mussen das Skalarprodukt der i-ten Spalte der Matrix A mit dem Vektor der Verrechnungspreise

7.2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

385

bilden: Sekundaxe Kosten von K i = aliPI + a2iP2 + ... + aniPn' Die Gesamtkosten betragen fur K i gerade liPi Euro. Nach dem Schema "Gesamtkosten = primare Kosten + sekundare Kosten" ergibt sich fur die Hilfskostenstelle K i die Gleichung ki + aliPI + a2iP2 + ... + aniPn = liPi' Das kann fUr jede Hilfskostenstelle gemacht werden und man erhalt schlieBlich das folgende lineare Gleichungssystem zur Bestimmung der Verrechnungspreise PI,··· ,Pn: kl + anPI + a2lP2 + + anlPn ltPI k2 + a12PI + a22P2 + + an2Pn l2P2

ki + aliPI + a2iP2 + ... + aniPn kn

+

alnPI

+

a2nP2

+ ... +

annPn

(7.33)

liPi lnPn

Dieses Gleichungssystem schreiben wir noch folgendermaBen urn:

(It - an)PI -aI2PI

+

a2lP2 (l2 - a22)P2

a3lP3 a32P3

a2nP2

a3nP3

-alnPI

~

Mit L =

o

),

p

=

(~),

+ k

=

anlPn an2Pn

kl k2

(in - ann)Pn

k n.

(~:)

und A

=

In Pn kn laBt sich dieses Gleichungssystem schlieBlich so schreiben:

(aik)~:l ,: : : (7.34)

Beispiel: 1)

Wir betrachten ein Unternehmen mit 4 Hilfskostenstellen K I ••• , K 4 und 4 Hauptkostenstellen HI, ... ,H4 . Die Lieferungen in einer Periode (in Leistungseinheiten) sowie die primaren Kosten der Hilfskostenstellen sind in folgender Tabelle angegeben: Lieferant

Empfanger

K I K2 K 3 K4 HI H2 H3 H4 primare Kosten K I 12 34 50 20 70 K2 27 0 41 36 120 K3 8 40 9 18 10 K4 60 22 10 2 100

82 105 96 32 46 88 24 16 54 56 14 40

12544,70 1699,00 907,30 350,20

386

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

Man bestimme die Verrechnungspreise. Es ist h = 469 LE, l2 = 390 LE, l3 = 179 LE, l4 = 304 LE. Das ergibt folgendes Gleichungssystem fiir die vier Verrechnungspreise P1>P2,P3,P4: 457Pl - 27p2 8P3 - 60P4 = 1544,70 -34pl + 390P2 - 40P3 - 22p4 = 1699,00 -50Pl - 41p2 + 170p3 - 10p4 = 907,30 -20Pl - 36p2 - 18p3 + 302p4 = 350,20.

Die Lasung eines solchen schon etwas komplizierten Systems von Hand geht am schnellsten, wenn man durch Pivotisieren lediglich eine untere Dreiecksmatrix erzeugt und dann die Unbekannten, bei P4 beginnend, durch Einsetzen ermittelt. 457 -34 -50 -20

-27 390 -41 -36

-8 -40 170 -18

-60 -22 -10 302

1544,70 1699,00 907,30 350,20

457 0 0 0

-27 387,99125 -43,95405 -37,18162

-8 -40,59519 169,12473 -18,35011

-60 -26,46390 -16,56455 299,37418

1544, 7000 1813,9230 1076,3044 417,80175

457 0 0 0

-27 387,99125 0 0

-8 -40,59519 164,525586 -22,24039

-60 -26,46390 -19,56254 296,83812

1544,7000 1813,9230 1281,7968 591,63195

457 0 0 0

-27 387,99125 0 0

-8 -40,59519 164,525586 0

-60 -26,46390 -19,56254 294,19368

1544, 7000 1813,9230 1281,7968 764,90356

764,90356

P4

= 294,19368

P3 = P2

1281,7968 + 19,56254' 2,60 164,52586

= 1813,9230 + 26,46390' 2,60 + 40,59519· 8, 10

Pl =

38799125 ,

1544,90 + 60 . 2,60 + 8 . 8, 10 + 27 . 5,70 457

~

2,60 Euro/LE

~

8,10 Euro/LE

~ 5 70 E

'

~

uro

/LE

4,20 Euro/LE

7.3. EINPUHRUNG IN DIE LINEARE OPTIMIERUNG

7.3 7.3.1

387

Einfiihrung in die lineare Optimierung Problemstellung

Eine wichtige Klasse von okonomischen Optimierungsproblemen fUhrt auf Maximum- oder Minimumaufgaben, in welchen eine lineare Punktion n

Z(Xl,X2,""X n ) = LCiXi

(7.35)

i=l

(die Zielfunktion) zu maximieren oder zu minimieren ist. Dabei mussen die Variablen Xl, X2, ... , Xn Nebenbedingungen erfUllen, die die Form linearer Ungleichungen haben: n

i = 1,2, ... , m

L aikXk :::; bi, k=l

(7.36)

Ferner sind aus okonomischen Grunden die Variablen nichtnegativ: Xi

2: 0,

i = 1,2, ... , n

(7.37)

(Nichtnegativitiitsbedingungen). Ein solches durch Z --t max oder Z --t min und durch (7.36)-(7.37) beschriebens Problem nennt man ein lineares Optimierungsproblem (LO-Problem). Fur LO-Probleme versagen wegen des linearen Charakters der Zielfunktion (7.35) die Methoden der Analysis. Wir wollen zuniichst an zwei Beispielen typische Fiille von LO-Problemen fUr zwei Variable studieren. Bei zwei Variablen lassen sich LO-Probleme graphisch veranschaulichen und auch graphisch losen. Die graphische Losung bietet einen guten Zugang zum Verstiindnis der Grundidee des allgemeinen Losungsalgorithmus (Simplexalgorithmus). Beispiel 1: Optimale Produktionsstrategie

Ein Erzeugnis kann mittels zweier verschiedener Verfahren aus drei Komponenten ]{l, f{2,f{3 hergestellt werden. Die drei Komponenten stehen nur in beschriinkter Menge zur VerfUgung. Die folgende Tabelle zeigt die Verbrauchskoeffizienten (Bedarf an ]{l, K 2 ,]{3 fUr die Herstellung einer Mengeneinheit des

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

388

Endprodukts) sowie die maximal verfiigbaren Mengen an K l , K 2 , K 3 : Verbrauchskoeffizient fUr Verfahren 1

Verfahren2

verfiigbare Mengen

1

3 7 1

24 64

Kl K2 K3

5

2

22

Die Frage ist, wieviele Mengeneinheiten des Endproduktes man nach jedem der beiden Verfahren erzeugen soli, urn insgesamt eine m6glichst grofie Menge an Endprodukt herzustellen und gleichzeitig die Restriktionen uber die verfiigbaren Mengen der Ausgangskomponenten einzuhalten. Gefragt ist also eine optimale Produktionsstrategie. Wir stellen zuniichst das mathematische Modell auf. Sei Xl die Menge an Endprodukt, die nach dem Verfahren 1 hergestellt wird, X2 die Menge an Endprodukt, die nach dem Verfahren 2 hergestellt wird. Dann ist die Funktion (7.38)

(die Gesamtmenge des Endproduktes) zu maximieren. Von der Komponente K l ben6tigen wir insgesamt 1 . Xl + 3 . X2 Mengeneinheiten; 24 ME stehen maximal zur VerfUgung, also gilt die Ungleichung Xl +3X2 :::; 24. Analog uberlegt man fur den Bedarf von K 2 und K 3 , so daB sich folgendes System von Nebenbedingungen oder Restriktionen ergibt: Xl+ 3X2 :::; 24 (7.39) 5Xl+ 7X2 :::; 64 2XI

+

X2:::; 22.

Schlief31ich mufi noch (7.40) gelten (NichtnegativiUitsbedingung), denn Produktionsmengen k6nnen nicht negativ sein. Jede Produktkombination (Xl, X2), die den Bedingungen (7.39) und (7.40) geniigt, bezeichnet man als eine zuliissige Liisung. So ist z.B. (4,2) zuHissig, d.h. die Produktion von Xl = 4 ME des Produkts nach Verfahren 1 und von X2 = 2 ME nach Verfahren 2, denn 4 + 3 . 2 = 10 < 24, 5 ·4 + 7 . 2 = 34 < 64 und 2 . 4 + 2 = 10 < 22. Diese L6sung sch6pft die Grenzen der Resourcen bei weitem nicht aus und ist deshalb vermutlich nicht optimal. Wir wollen uns zuniichst den Bereich aller m6glichen zuliissigen L6sungen, den sogenannten

7.3. EINFUHRUNG IN DIE LINEARE OPTIMIERUNG

389

zuliissigen Bereich, geometrisch veranschaulichen. Betrachten wir dazu eine der Ungleichungen aus (7.39), etwa 5x] + 7X2 ::; 64, welche die Restriktion fur die Komponente J{2 zum Ausdruck bringt. Die Obergrenze fur J{2 ist 64. Die Kombinationen (Xl> X2), die diese Grenze ausschopfen, liegen auf der Geraden 5x] + 7X2 = 64; deren Gleichung in Normalform ist X2 = -tX] + 674. Diejenigen Punkte, welche 5x] + 7X2 < 64 erfiiIlen, liegen auf einer Seite dieser Geraden (in Abb. 7.5 durch Pfeile angedeutet). Die Ungleichung 5x] + 7X2 ::; 64 beschreibt also eine Halbebene einschliejJlich der Begrenzung (Abb. 7.5).

Abb. 7.5 und 7.6 Entsprechend beschreiben auch die anderen beiden Ungleichungen von (7.39) je eine Halbebene. Auch die Nichnegativitatsbedingungen (7.40) beschreiben Halbebenen: X] 2:: 0 ist die Halbebene rechts der x2-Achse einschlie£Iich dieser Achse, X2 2:: 0 stellt die Halbebene oberhalb der xrAchse einschlie£Iich dieser Achse dar. In Abb. 7.6 sind aIle diese Halbebenen analog wie in Abb. 7.5 durch ihre Begrenzung und durch Pfeile angedeutet. Die Punkte (x], X2), die gleichzeitig allen diesen Halbebenen angehOren, bilden den zuHissigen Bereich. Er ist in Abb. 7.6 schattiert gezeichnet. Die Geraden, welche die Obergrenzen der Komponenten J{], J{2, J{3 darsteIlen, sind mit diesen Buchstaben bezeichnet. Die Schnittpunkte von je zwei Restriktionsgeraden, wozu auch die Koordinatenachsen zahlen, heiBen die Ecken oder Eckpunkte des Restriktionssystems. Diejenigen Ecken, die dem zulassigen Bereich angehoren, heiBen die zuliissigen Ecken; sie sind im geometrischen Sinne die Eckpunkte des zulassigen Bereichs. In unserem Fall sind die zulassigen Ecken (0,0), (0,8), (3,7), (10,2), (11,0), wahrend der Schnittpunkt ~) von J{] und J{3 keine zuHissige Ecke ist (s. Abb. 7.6).

Ul,

390

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

Urn nun eine optimale Lasung zu finden, betrachten wir die Zielfunktion (7.38) und setzen zuniichst Z = 0, d.h. wir betrachten den Zustand, in dem gar nichts produziert wird. Oem entspricht die Gerade Xl + X2 = 0, d.h. X2 = -Xl' Nun erhahen wir nach und nach Z, also etwa Z = 2, 4, 6,... Oas bedeutet, daB die Zielfunktionsgerade X2 = -Xl in X2 = -Xl + 2, X2 = -Xl + 4 , X2 = -Xl + 6, usw. iibergeht. Geometrisch bedeutet dies, daB die Zielfunktionsgerade nach rechts oben parallel verschoben wird (Abb. 7.7). lS

Oas maximale Z = Xl + X2, welches noch zu einer zuliissigen Lasung (Xl, X2) gehart, wird man erhalten, wenn man diese Parallelverschiebung soweit als irgend m~glich durchfiihrt, d.h. maglichst weit, aber so, daB die verschobene Gerade immer noch mindestens einen Punkt mit dem zuliissigen Bereich gemeinsam hat. In unserem Beispiel erreicht man dieses Maximum, wenn man die Zielfunktionsgerade soweit verschiebt, daB sie durch die Ecke (10,2) geht. Oiese Ecke ist dann die gesuchte Lasung, d.h. die optimale Produktionsstrategie lautet in unserem Beispiel: Xl = 10 ME werden nach Verfahren 1, X2 = 2 ME werden nach Verfahren 2 produziert. Die maximal erzeugbare Menge an Endprodukt betriigt unter Einhaltung der gegebenen Restriktionen 12 ME. Beispiel 2: J(ostenoptimale Futtermischung

Ein Ziichter muB darauf achten, daB seine Tiere geniigend Vitamine erhalten. Wir nehmen an, daB 4 Vitamine A,B,C,O erforderlich sind, und daB ein Tier tiiglich gewisse Mindestmengen dieser Vitamine zu sich nehmen muB. Es magen

7.3. EINFUHRUNG IN DIE LINEARE OPTIMIERUNG

391

zwei verschiedene Futtersorten F I,F 2 zur VerfUgung stehen, die unterschiedliche Preise haben. Die folgende Tabelle zeigt den Gehalt von F I , F 2 an den ben6tigten Vitaminen A;B;C;D (in mg/100g Futter), den Mindestbedarf eines Tieres an Vitaminen (in mg/Tag) und die Preise der beiden Futtermittel an. Futtermittel FI F2

Vitamine

Uiglicher Mindestbedarf pro Tier (in mg)

A B

6 7

1 4

C

6 3

10

22 71 120

9

72

1,50

1,00

D Preis in Euro/100g

Wie muB der Zuchter sein Futter aus den beiden Sorten zusammenstellen, damit einerseits der Vitaminbedarf gedeckt wird, andererseits der £lnanzielle Aufwand fUr das Futter m6glichst gering ist? Es ist femer zu beachten, daB ein Tier nicht mehr als 2kg Futter pro Tag erhalten darf. Bezeichnen wir mit Xl die Menge an F I (in 100g/Tag), mit (in 100g/Tag), so lautet das LO-Problem folgendermaBen: Z = 1,5xI

+X2

6XI+ 7XI+ 6XI +

10x2 ~

3XI+

9X2 ~

XI+

X2 ::::;

Xl

~

X2 ~ 4X2 ~

0,

Min

-t

X2

die Menge an F 2 (7.41 )

22 71 120 72 20

X2 ~

0

(7.42)

(7.43)

Zeichnet man die Restriktionsgeraden und beachtet, daB fUr die ersten vier Restriktionen von (7.42) wegen der ~-Zeichen die Halbebenen oberhalb der jeweiligen Geraden betrachtet werden mussen, so erhalt man den zulassigen Bereich. In Abb. 7.8 ist er schattiert dargestellt. Urn die optimale L6sung zu £lnden, suchte man beim Maximumproblem diejenige Lage der Zielfunktionsgeraden, die von der Nulllage moglichst weit entfemt ist, aber noch mindestens einen Punkt mit dem zulassigen Bereich gemeinsam hat. Entsprechend wird man beim Minimumproblem eine Lage der Zielfunktionsgeraden suchen, die der Nullage m6glichst nahe ist, aber noch mindestens

392

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

Abb.7.8 einen Punkt mit dem zuHissigen Bereich gemeinsam hat. Das erreicht man durch Parallelverschiebung der Zielfunktionsgeraden von der Nullage aus, und zwar soweit, bis sie erstmalig einen Punkt des zuHissigen Bereichs erreicht. In unserem Beispiel geschieht das in der Ecke (5,9) (Abb. 7.8). Die optimale L6sung lautet also Xl = 5, X2 = 9, d.h. das Tier wird pro Tag 500g von F lund 900g von F 2 erhalten. Die Kosten ZMin fur diese Mischung betragen: ZMin = 1,5' 5

+9 =

16,5 Euro.

In beiden Beispielen wurde das Optimum (Maximum bzw. Minimum) in einer

Ecke des zuHissigen Bereichs angenommen. Das gilt fur beliebige LO-Probleme, vorausgesetzt sie haben eine Losung. Es kann vorkommen, daB die L6sung nicht eindeutig bestimmt ist. Betrachten wir dazu als Beispiel folgendes, sehr einfaches La-Problem. Z = Xl + X2 Xl ::; 10 X2 :::; 12 XI+ X2 ::; 14 Xl 2: 0,

X2

2: 0.

Abb. 7.9 zeigt den zulassigen Bereich. Verschieben wir die Zielfunktionsgerade von der Nullage weg, so erreicht sie die optimale Lage, wenn sie mit der Restriktionsgeraden Xl + X2 = 14 zusammenfiillt. In diesem Fall sind aIle Punkte auf der Begrenzung des zulassigen Bereichs, die auf der Restriktionsgeraden Xl + X2 = 14 zwischen den Ecken (10,4)

7.3. EINFUHRUNG IN DIE LINEARE OPTIMIERUNG

393

Abb. 7.9 und 7.10 und (2,12) liegen, optimal. Da die Ecken zu dieser Strecke gehOren, bleibt die Aussage richtig, daB die optimale Lasung in mindestens einer Ecke des zuHissigen Bereichs angenommen wird. Ein allgemeiner Lasungsalgorithmus braucht also nur die endlich vielen Ecken durchzugehen und eine davon zu finden, in der Z optimal ist. LO-Probleme brauchen nicht immer eine Lasung zu haben. Dies tritt ein, wenn sich die Restriktionen widersprechen. Bei unserem Beispiel 2 trate das ein, wenn man verlangt hatte, daB ein Tier hOchstens 1kg Futter pro Tag erhalten solI. Es kann auch vorkommen, daB der zulassige Bereich nicht leer ist und es trotzdem keine optimale Lasung gibt, etwa wenn er bei einem Maximumproblem nach rechts offen ist, so daB man die Zielfunktionsgerade bis ins Unendliche prallel verschieben kann, ohne daB sie den zulassigen Bereich verlaBt (Abb.7.1O).

7.3.2

Der Simplexalgorithmus

Da die graphische Lasung fUr n = 3 Variable schon recht umstandlich, fUr n 2: 4 ganz unmaglich ist, benatigt man einen von der geometrischen Anschauung unabhangigen rechnerischen Algorithmus fUr die Lasung von LO-Problemen. Ein solcher Algorithmus, der sogenannte Simplexalgorithmu8, wurde 1947 von G.B.Dantzig angegeben. 1m Rahmen dieses Briickenkurses solI nur die Grund-

394

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

idee im Fall des Standard-Maximum-Problems dargestellt werden. Die Optimierungstheorie ist heute ein weitverzweigtes Gebiet mit einer umfangreichen Literatur und mit einem groBen Sortiment an einschHigiger Software. Das Standard-Maximum-Problem besteht darin, eine lineare Zielfunktion zu maximieren: (7.44) und zwar unter der Bedingung, daB folgendes System von m Restriktionen erfUllt ist: allxl + a12 x 2 + + alnX n :::; bl a21 X l + a22 X 2 + + a2n X n :::; b2 (7.45)

Hinzu kommen die Nichtnegativitatsbedingungen: Xl

2: 0,

X2

2: 0, ... , X n 2:

°

(7.46)

Unser Beispiel 1 ist ein solches Problem:

+ 3X2

:::;

24

5Xl+ 7X2 :::;

64

2Xl+

22.

Xl

Xl

X2:::;

2: 0,

X2

(7.47)

2: 0.

Urn die Methoden der linearen Algebra anzuwenden, wird das lineare Ungleichungssystem (7.45) zunachst in ein lineares Gleichungssystem verwandelt. Das erreicht man, indem man in jede Ungleichung n

L

aikxk :::;

bi

(i = 1,2 ... , m)

k=l

eine nichtnegative Schlupfvariable n

bi und

L

aikXk

Yi

einfiihrt, welche gerade die Differenz von

darstellt. Es gilt also

k=l

n

L

k=l

aikXk

+ Yi = bi ,

Yi

2:

° (i =

1, ... , m).

7.3. EINFUHRUNG IN DIE LINEARE OPTIMIERUNG

395

In unserem Beispiel ergibt sich nach der EinfUhrung der Schlupfvariablen YI, Y2, Y3: X1+ 3X2 +Y1 = 24 (7.48) 5X1 + 7X2 +Y2 = 64 2X1+ X2 +Y3 = 22 mit Yi 2: O. Okonomisch stellen die Werte der Yi fUr jedes zuHissige (Xl, X2) die nicht ausgenutzten Resourcen dar. Z.B. ist fur Xl = 4, X2 = 2 der Wert von Y1 gleich 14: Bei der Produktion von 4 ME nach Verfahren 1 und von 2 ME nach Verfahren 2 werden von der Gesamtkapazitat an Komponente 1 nur 4 . 1 + 3 . 2 = 10 ME genutzt; Y1 = 14 ME bleiben ungenutzt. Durch die EinfUhrung der Schlupfvariablen lautet das LO-Problem folgendermaBen: Man ermittle die Losung des Gleichungssystems aU X1 + a12 x 2 + a21 x 1 + a22 x 2 +

+ a1n Xn + Y1 + a2n Xn + Y2

(7.49) + Ym = bm

welche den Bedingungen Xl 2: 0, X2 2: 0, ... ,xn 2: 0, Y1 0, ... , Ym 2: 0 genugt und fur welche

z=

> 0, Y2 >

n

2:CiXi i=l

maximal ist. Das Gleichungssystem (7.49) besteht aus m Gleichungen fUr m+n Unbekannte oder Variable. Die Variablen Y1, Y2, ... ,Ym sind die SchlupfvariabIen, die Variablen xl, X2, ... ,X n bezeichnet man als Entscheidungs- oder Problemvariable. In der Matrix des Gleichungsystems (7.49) konnen maximal m Einheitsvektoren vorkommen, da sie m Zeilen hat. Diese m Einheitsvektoren kommen aber tatsachlich vor, denn die Matrix hat ja die Gestalt:

10 0) o o

1

0

0

1

Es handelt sich also bei (7.49) urn ein kanonisches Gleichungssystem mit den Basisvariablen YI, Y2, ... , Ym und den Nichtbasisvariablen XI, X2, ... ,Xn (vgl. 7.2).

396

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

In einem beliebigen kanonischen Gleichungssystem mit m Basisvariablen und n Nichtbasisvariablen findet man sofort eine Losung, wenn man aIle Nichtbasisvariablen gleich Null setzt. Eine solche Losung heiBt eine Basislosung.

Beispiel: Xl

2X l 7XI

+

X2

+

+ +

3X3 X3

2X3

+ X4

+

X5

=6 =8 = 4.

Die Basisvariablen sind X2, X4 und X5. Setzt man die Nichtbasisvariablen gleich Null, so erhiilt man die Basislosung:

Xl

und

X3

Die graphische Losung von LO-Problemen hat gezeigt, daB es auf die Ecken des zuHissigen Bereichs ankommt. Wir betrachten wieder unser Beispielproblem (7.47). Zu ihm gehort nach Einfiihrung der Schlupfvariablen das Gleichungssystem (7.48). Die Frage ist nun, welche der unendlich vielen Losungen von (7.48) die Ecken des zuHissigen Bereichs (vgl. Abb. 7.6) darstellen. Eine Ecke entsteht: durch den Schnitt zweier Restriktionsgeraden oder durch den Schnitt einer Restriktionsgeraden mit einer Koordinatenachse oder durch den Schnitt der beiden Koordinatenachsen. Die erste Restriktionsgerade Xl + 3X2 = 24 ist durch YI = 0 charakterisiert usw.j die Gleichungen YI = 0, Y2 = 0, Y3 = 0 charakterisieren also die Restriktionsgeraden. Die Gleichungen Xl = 0 und X2 = 0 charakterisieren die Koordinatenachsen. Wir konnen also zusammenfassen: Die Geraden, die den zuliissigen Bereich begrenzen, sind durch das Verschwinden je einer Variabler charakterisiert. Die Ecken miissen jeweils auf zwei dieser Gerade liegen. Also gilt: Die Ecken des zuHissigen Bereichs sind durch das Verschwinden von je zwei Variablen charakterisiert. Fassen wir die Variablen Xl, X2, YI, Y2, Y3 zu einem Vektor

7.3. EINPUHRUNG IN DIE LINEARE OPTIMIERUNG

397

zusammen, den wir aus Grunden der Platzersparnis als transponierte Zeile schreiben: a: = (Xl,X2'Yl'Y2'Y3)T, so liefern die folgenden Variablenwerte die Ecken des zuliissigen Bereichs: a:

= ( 0,0,24,64,22)T

a: = ( 11, 0,13, 9, O)T a: a:

= ( 10, 2, 8, 0, O)T = ( 3,7, 0, 0, 9)T

a: = ( 0, 8, 0, 8,14)T

Ecke (0,0) Ecke (11,0) Ecke (10,2) Ecke (3,7) Ecke (0,8)

Jedes der aufgeschriebenen a: stellt eine Basislosung des Systems (7.48) dar; die Null gesetzten Variablen sind jeweils die Nichtbasisvariablen, die iibrigen die Basisvariablen. Da aIle Variablenwerte nichtnegativ sind, sind aIle diese Basislosungen zuliissig. Die Eckpunkte des zuliissigen Bereichs sind also gerade die zuliissigen Basislosungen des Restriktionsgleichungssystems. Man kann diese Aussagen auf das allgemeine Restriktionssystem (7.49) iibertragen: Die Ecken des zuliissigen Bereichs des Restriktionssystems (7.49) sind durch das Verschwinden von je n der Variablen charakterisiert. Wenn in einem Gleichungssystem mit m + n Variablen und Rang m n Variable verschwinden, sind die restlichen m eindeutig bestimmt. Man erhiilt auf diese Weise Basislosungen. Die Ecken des zuliissigen Bereichs sind genau die zuliissigen Basislosungen des Restriktionssystems (7.49). Eine Basislosung ergibt sich aus (7.49) sofort, indem man die n Problemvariablen gleich Null setzt; sie hat die Gestalt a: = (0, ... ,0, bI, b2, .. . ,bm)T und ist wegen bi 2: zuliissig. In unserem Beispiel ist das die Basislosung a: = (0,0,24,64, 22)T. Wenn man andere Basislosungen haben will, muB man das Gleichungssystem durch Pivotschritte so umformen, daB die Einheitsvektoren in anderen Spalten der Koeffizientenmatrix stehen (zu Beginn stehen sie in den letzten m Spalten). Es werden also gewisse Basisvariable durch die Pivotschritte in Nichtbasisvariable, gewisse Nichtbasisvariable in Basisvariable umgewandelt (Basistausch). Der Simplexalgorithmus wird also darin bestehen, von der aus dem Restriktionssystem sofort ablesbaren zuliissigen Basislosung (0, ... ,0, b1 , b2 , • .. , bm)T ausgehend, Schritt fur Schritt zu neuen Basislosungen uberzugehen, und zwar so, daB sich bei jedem Schritt der Wert der Zielfunktion

°

398

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

vergroBert, bis eine Vergrol3erung nicht mehr moglich ist und man das Maximum erreicht hat. Der Algorithmus wird am Beispiel des optimalen Produktionsplanes erliiutert. Zuniichst fiigen wir zum Restriktionssystem noch die Zielfunktionszeile Z = Xl + X2 in der Form -Xl - X2 + Z = 0 hinzu und erhalten folgendes lineare Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 6 Variablen Xl,X2,Yl,Y2,Y3,Z: Xl 5Xl 2Xl

+

3X2

+ 7X2 +

= 24

+Yl

= 64

+Y2

X2

= 22

+Y3

-Xl-X2

+Z=O

Wir schreiben es als Tableau, wobei wir in einer Kopfzeile aIle Variablen auffiihren, in einer Kopfspalte nur die Basisvariablen (im Ausgangstableau Yl, Y2, Y3, Z); die Zielfunktionszeile wird von den iibrigen Zeilen durch eine Linie abgehoben: 0 0 0 1

b 24 64 22 0

1m allgemeinen Fall (7.49) mit der Zielfunktion Z =

L

Xl

Yl Y2 Y3 Z

1 5 2 -1

X2

3 7 1 -1

Yl 1 0 0 0

Y2

Y3

0 1 0 0

0 0 1 0

Z

n

sieht das Aus-

CiXi

i=l

gangstableau des Simplexalgorithmus folgendermaBen aus: Xl

.. . ...

Y2

all a2l

...

Ym

amI

Z

-Cl

.. . .. .

Yl

Xn al n a2n

a mn -cn

Yl 1 0

Y2

0 1

... . .. . ..

0 0

0 0

... ...

Ym

Z

0 0

0 0

1 0

0 1

b bl b2 bm 0

Die erste zuliissige Basislosung ist in unserem Beispiel Xl = 0, X2 = 0, Yl = 24, = 64, Y3 = 22, Z = O. Wir betrachten die erste Spalte des Ausgangstableaus. Der Wert der Z-Zeile ist dort negativ, niimlich -1. Wiirden wir jetzt Xl zur Basisvariablen machen, d.h. Xl > 0 statt Xl = 0, so wiirde Z urn 1 . Xl zunehmen: (-l)XI + (-1)x2 + Z = 0 bedeutet ja Z = 1· Xl + 1· X2. Ein Basistausch bringt also dann eine Zunahme von Z, wenn eine solche Variable zur neuen Basisvariabien gemacht wird, in deren zugehoriger Spalte der Wert der Zielfunktionszeile y'2

399

7.3. EINFUHRUNG IN DIE LINEARE OPTIMIERUNG

negativ ist. 1st der Wert der Zielfunktionszeile in einer Spalte positiv, so wurde ein Basistausch, in welchem diese Spalte zur neuen Basisspalte wird, den Wert von Z verringern. Das fuhrt uns zu folgendem Optimalitatskriterium: Enthalt die Zielfunktionszeile eines Simplextableaus in der k-ten Spalte einen negativen Wert, so fUhrt ein Basistausch, bei dem die k-te Variable Basisvariable wird, zu einer Erhahung von Z. Sind aIle Werte in der Zielfunktionszeile positiv, so hat man das Endtableau erreicht. Die optimale Lasung ist dann die diesem Tableau entsprechende Basislasung. Damit haben wir ein Kriterium fUr die Auswahl der Pivotspalte: wir mussen eine solche Spalte wahlen, in welcher der Wert der Zielfunktion negativ ist. Hat man eine Pivotspalte gewahlt, d.h. will man dort einen Einheitsvektor erzeugen, so steht noch die Wahl der Pivotzeile frei, d.h. die Wahl der Zeile, wo die 1 erzeugt werden soli (in allen ubrigen Zeilen der Pivotspalte muB man dann ja Nullen erzeugen). Es kann durch eine geeignete Wahl der Pivotzeile garantiert werden, daB die entstehende neue Basislasung zulassig ist. Die Bedingung, die das gewahrleistet, nennt man EngpajJbedingung. Sie lautet: Liegt ein Simplextableau vor und soli im nachsten Schritt in der k-ten Spalte ein Einheitsvektor erzeugt werden, so wahle man dasjenige aik als Pivotelement, d.h. dasjenige i als Pivotzeile, fUr das der Quotient

bi seinen kleinsten positiven Wert erreicht. ZweckmaBigerweise fuhrt man im Tableau deshalb noch eine Spalte fur die Quo. bi . tIenten - mIt. aik

In unserem Beispiel werden wir nach der Optimalitatsbedingung etwa die erste Spalte als Pivotspalte fUr den ersten Pivotschritt wahlen (mit derselben Berechb tigung hatte man auch die zweite wahlen kannen). Von den Quotienten - ' ist ail

~

= 22 = 11 der kleinste, also ist die dritte Zeile die Pivotzeile und 2 (im

2 Tableau eingerahmt) das Pivotelement. Das Ausgangstableau fUr den ersten Pivotschritt ist also folgendes: a3I

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

400

Xl

X2

YI

Y2

Y3

Z

b

..h..

24

ail

YI

1

3

1

0

0

0

24

Y2

5

7

0

1

0

0

64

12,8

Y3

@]

1

0

0

1

0

22

11

-1

0

0

0

1

0

Z

-1

Die Berechnung des neuen Tableaus erfolgt nach den Regeln (7.25) - (7.27). (7.27) bezieht sich auf die Umformung der Pivotzeile: aile Elemente dieser Zeile mussen durch das Pivotelement dividiert werden. (7.25) und (7.26) beschreiben die Umformung einer von der Pivotzeile verschiedenen Zeile. Man kann sie sich besser merken, wenn man beachtet, daB die beteiligten Elemente ein Rechteck im Tableau bilden: bi

bJ Fur die Umformung der j-ten Zeile braucht man fur aile Elemente den Quotia~ a~ enten _J_; diesen speichert man ab: _J_ -+ s. Dann lauten die Regeln fur die aik

aik

Umformung der unterstrichenen Elemente einfach so: neues ajl sbi -+ neues bj .

ajl- sail

bj -

-+

Als zweites Tableau ergibt sich nach dem ersten Pivotschritt:

Xl

Xl

X2

0

§. 2

YI

0

Y2

1

Z

0

rn

YI 1

Y2

Y3

Z

b

0

_1

0

13

2 5

..h.. ai2

5,2

0

1

-2

0

9

2

1

0

0

1 2

0

11

22

_1

0

0

1

1

11

2 2

2

Fur den nachsten Schritt kommt als Pivotspalte nur die zweite Spalte in Frage, denn nur dort hat die Zielfunktionszeile ein negatives Element. Berechnet man nun

~, so liefert die EngpaBbedingung die zweite Zeile als Pivotzeile; ~ ist also ai2

7.3. EINFUHRUNG IN DIE LINEARE OPTIMIERUNG

401

das Pivotelement fUr den nachsten Schritt. Dieser liefert das Tableau: Xl

X2

Z

b

0

8

~

§ 9 5

-9

0

2

0

_1

7 9

0

10

0

1

~ 9

1

12

YI

Y2

Y3

5

Xl

0

0

1

-9

X2

0

1

0

9

YI Z

1 0

0 0

9 9

In diesem Tableau enthalt die Zielfunktionszeile keine negativen Werte mehr. Die Basislosung dieses Tableaus muB also die optimale Losung sein. Die Nichtbasisvariablen sind Y2 und Y3. Setzt man sie gleich Null, so findet man Xl = 10, X2 = 2, Z = 12. Diese optimale Losung hatten wir auch graphisch ermittelt. Auch YI = 8 kann okonomisch interpretiert werden: Beim optimalen Produktionsprogramm von 10 ME nach Verfahren 1 und 2 ME nach Verfahren 2 werden die vorhandenen Resourcen der Komponente 1 nicht voll ausgenutzt: Der Bedarf bleibt 8 ME unter der Hochstgrenze. In einem FluBbild kann die Losung des Standard-Maximumproblems mittels Simplexalgorithmus folgendermaBen dargestellt werden: Aufstellen des mathematischen Modells

t EinfOhrung von Schlupfvariablen

+

I

Aufstellen des Ausgangstableaus

•

Gibt es in der Z-Zeile des Tableaus negative Elemente?

+ ja Pivotspalte nach der Optimalitatsbedingung auswahlen

+ Pivotzeile nach der EngpaBbedingung auswahlen

•

'---

Pivotschritt durchfOhren, d.h. neues Tableau berechnen

nein

Basislosung ablesen: optimale Losung. Ende.

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

402

Beispiele: 1)

Man ermittle die optimale Losung des folgenden Standard-Maximum-Problems:

= Xl +

Z

Xl

10 12 14

::; X2 ::;

+ X2 ::;

Xl Xl

Wir benotigen 3 Schlupfvariable Form:

Yl, Y2, Y3;

+

Xl Xl

+

-Xl -

2: 0,

Yl

X2

+

Max

---+

2X2

2: O.

X2

das Gleichungssystem hat dann folgende ~

+ Y3

X2 2X2

10 12

+

Z

=

14

0

Ausgangstableau und weitere Tableaus: Xl

X2

Yl

Y2

Y3

Z

b

1.L ail

Yl

IT]

0

1

0

0

0

10

10

Y2

0

1

0

1

0

0

12

-

Y3

1

1

0

0

1

0

14

14

Z

-1

-2

0

0

0

1

0

X2

Yl

Y2

Y3

Z

b

Xl

1

0

1

0

0

0

10

-

Y2

0

1

0

1

0

0

12

12

Y3

0

IT]

-1

0

1

0

4

4

Z

0

-2

1

0

0

1

10

Xl

X2

Yl

Y2

Y3

Z

b

1.L

Xl

1.L aj2

ai3

Xl

1

0

1

0

0

0

10

10

X2

0

0

IT]

1

-1

0

8

8

Y2

0

1

-1

0

1

0

4

-4

Z

0

0

-1

0

2

1

18

403

7.3. EINPUHRUNG IN DIE LINEARE OPTIMIERUNG

XI

X2

YI

Y2

Y3

Z

b

XI

1

0

0

-1

1

0

2

X2

0

0

1

1

-1

0

8

YI

0

1

0

1

0

0

12

Z

0

0

0

1

1

1

26

Daraus ergibt sich die optimale Basislosung (Nichtbasisvariable gesetzt): XI = 2, X2 = 12, ZM.x = 26. 2)

Y2

und

Y3

gleich Null

Man lase das folgende Standard-Maximum-Problem:

XI XI XI

+ X2 + + 2X2 +

2: 0,

X2

XI

X2

X3

:S 12 X3 2: O.

2: 0,

In diesem Fall werden zwei Schlupfvariable bleaus fiihren zur Lasung:

10

X3:S 3X3

YI, Y2

YI

benotigt. Die folgenden Simplexta-

Y2

Z

b

J.>ail

YI

ITJ

1

Y2

1

2

3

0

1

0

12

Z

-2

-3

-1

0

0

1

0

X2

X3

YI

Y2

Z

b

J.>-

XI

1

1

0

0

10

10 12

ai2

XI

1

1

1

1

0

0

10

10

YI

0

ITJ

2

-1

1

0

2

2

Z

0

-1

1

1

0

1

20

XI

X2

X3

Y2

Z

b

YI

XI

1

0

-1

2

-1

0

8

X2

0

1

2

-1

1

0

2

Z

0

0

3

0

0

1

22

= 8,

X2

= 2,

Die optimale Lasung ist

XI

X3

= 0; ZM.x = 22.

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

404

7.4 1)

Ubungsaufgaben Gegeben sind die Matrizen

U 1

-3 )

o

2

A=

1

D=

,

6

(i 1) 1 -1 1

B=

( ), -1 1

-2

c=(

1 0 6

(-1),

y

0

2 3

und d;, V,ktn"n • =

-1

0 -4 0

2

1

=(

-0,

n z

=

G)'

Man berechne:

a) 2A-4D, D+A T ; b) d) Ax, Dy, Bz, xTy. 2)

2x+3y;

c) AD,

DA,

B T A,

AC;

Man untersuche die folgenden linearen Gleichungssysteme auf Losbarkeit und lose sie im Fall der Losbarkeit:

a)

2Xl

+ 5X2 = -1; X2

Xl

c)

2Ul

+

Ul

e)

=

b)

2,3a -2a

3

U2 - U3 = 5; 6U2 + 2U3 = 8 13u2 - 5U3 = 10 3X2

4Xl -Xl

d)

+ X3 + 8X4 = + 2X3 - X4 =

+ X2 XI+6x2

5Xl

3)

x-y,

X3

+ +

6,2b = 46,1; 1, Ib = -1,4 Yl Y2 + 2Y3 = 8 ; -Yl + 2Y2 - Y3 = -3 Yl + 3Y3 = 13

12 4

= -9 + 3X 4=-7

Man bestimme den Rang folgender Matrizen: a) der Matrizen B und C aus Aufgabe 1);

b) der Matrizen A

=( : -3

4)

-4

-1

-i) 1 3

'

~ -~

B = (

; 2 4

-2

~).

4

Man untersuche folgende Matrizen auf Regularitiit und berechne im reguliiren Fall die Inverse:

A 5)

-~2 ~1

= (-~

1

~ ~) 3 4

B=

~ ~ ~ ( 101)

,

C=

(1

2

-3 )

4

.

Fur ein Unternehmen mit 2 Sektoren gehen die gegenseitigen Lieferungen, die Lieferungen an den Endverbaucher und die Rohstoffiieferungen (alles in ME pro Berichtsperiode) aus folgender Tabelle hervor:

7.4. UBUNGSAUFGABEN

405

empfangende Sektoren liefernde Sektoren

81 82

Rohstoffiieferungen

Rl

R2

81

82

10

80

60 40 30

20 60

10

Lieferung an Endverbraucher 210 130

Man bestimme die Produktion, die zur Befriedigung der Nachfrage y =

G~~)

erfor-

derlich ist sowie den zugeh6rigen Rohstoffverbrauch. 6)

Wir betrachten ein Unternehmen mit 3 Hilfskostenstellen K l , K2 , K3 und einer Hauptkostenstelle H. Die Lieferungen einer Periode (in Leistungseinheiten) sowie die primaren Kosten der Hilfskostenstellen zeigt folgende Tabelle: Empfanger

Lieferanten

Kl K2 K3

Kl

K2

K3

10

50 20 40

70 40

30 80

10

H 280 360 300

primare Kosten 1577 1235 734

Man bestimme die Verrechnungspreise. 7)

8)

Zwei verschiedene Produkte PI, P2 werden auf drei verschiedenen Fertigungsstellen F l , F 2 , F 3 gefertigt. Die Tabelle zeigt, wieviel Stunden pro Tonne PI bzw. P2 man auf den einzelnen Fertigungsstellen ben6tigt. Ferner zeigt sie die Deckungsbeitrage fUr PI und P2 (in Euro/Tonne) und die Kapazitatsgrenzen der Fertigungsstellen in Stunden/Tag. In welcher Mengenkombination miissen PI und P2 taglich hergestellt werden, damit der Gesamtdeckungsbeitrag/Tag maximal ist? Man lOse das Problem graphisch und mit dem Simplexalgorithmus.

Fl F2 F3

PI 1 1 1,5

Deckungsbeitrag (Euro/t)

200

P2

2 1 0,5 300

maximale Tageskapazitat 22h 13h 16,5h

Man lOse graphisch folgendes Minimumproblem: Z = 2Xl +

2X2

-t

7Xl+ x22:14 3Xl + 2X2 2: 17 Xl + 2X2 2: 11 Xl + 5X2 2: 17 Xl 2: 0,

X2

2: o.

Min

KAPITEL 7. LINEARE ALGEBRA

406

9)

Man lOse mittels Simplexalgorithmus die folgenden beiden Standard-Maximum- Probleme:

a)

:s

Xl+

XI+ 5x 2:S Xl

+

3XI+

X2:S

b) Z

2:

23

x2:S4 9 X2

Xl

15 87

0,

:s 17

X2

= Xl + X2 + X3

2:

0;

Xl+ X2+ 2X3:S 2Xl Xl

2: 0,

+ X2+ X2

3X3

2: 0,

Max

---+

8

:s 10 X3

2: o.

Kapitel8 Erganzungen zur Finanzmathematik 8.1

Erganzungen zur Tilgungsrechnung

In Kapitel 3, S. 125-129, wurde die AnnuiUitentilgung als Beispiel fUr die Anwendung geometrischer Folgen und Reihen behandelt. 1m folgenden solI noch auf einige Fragen, die im Zusammenhang mit der AnnuiUitentilgung von praktischer Bedeutung sind, eingegangen werden.

8.1.1

Zinsanderung nach Ablauf einer Zinsbindung

Bei langfristigen Annuitatendarlehen, etwa fUr den Bau eines Eigenheimes, wird bei VertragsabschluB oft fUr einen gewissen Zeitraum ein fester Zinssatz p garantiert. Nach Ablauf dieser Zinsbindung muB der (nicht selten betrachtlich hOhere) Marktzinssatz zugrunde gelegt werden. Z. B. betrage die Zinsbindung 10 Jahre. Urn die danach entstehende Zinsbelastung berechnen zu k6nnen, muB man die Restschuld nach 10 Jahren kennen. Wenn man den kompletten Tilgungsplan berechnet hat, kann man sie unmittelbar ablesen. Es ist jedoch sehr niitzlich, eine Formel zu haben, mit der man die Restschuld nach k Jahren ermitteln kann. Wir hatten uns iiberlegt (S. 125), daB Kapitalverzehr durch regelmaBige Auszahlungen und Schuldenverzehr durch regelmaBige Einzahlungen auf dieselben Formeln fiihren. Man muB nur das Anfangskapital K o durch die Anfangsschuld So, die Einzahlungsrate r durch die Annuitat A ersetzen, dann liefert die Formel

W. Purkert, Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, DOI 10.1007/978-3-8348-9936-1_8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

408

KAPITEL 8. ERGANZUNGEN ZUR FINANZMATHEMATIK

(3.26) die Restschuld Sk nach k Jahren (n ist jetzt k, E ersetzen wir durch S):

k qk - 1 Sk = Soq - A - q-1

(8.1)

Beispiele: 1)

Wir berechnen fUr den Tilgungsplan auf S. 126 die Restschuld nach 6 Jahren, d. h. die Restschuld am Anfang des 7. Jahres: Es ist So = 130000 Euro, A = 24544,04 Euro, q war 1,075 und k = 6. S6

= 130000· 1,0756 -

24544,04 1, ~7~~; 1

,

= 22831,68 Euro

,

wie wir es durch Aufstellung des Tilgungsplanes schon ermittelt hatten. 2)

Ein Darlehen von 260000 Euro soil in Annuitatentilgung bei einem Zinssatz von 5,5 % innerhalb von 30 Jahren getilgt werden. Wie hoch ist die Annuitat und wie hoch ist die Restschuld nach der Ralfte der Tilgungszeit? Wir berechnen zunachst A gemaB Formel (3.31) (statt K o schreiben wir jetzt So, weil wir die Restschuld nach k Jahren mit Sk bezeichnen): A=260000·1,055 S15

= 260000· 1,055

15

-

30

0,055 1055 30 _1 =17889,40Euro,

,

1 055 15 - 1 17889,40 ' 0,055 = 179566,31 Euro.

Das Auslaufen der Zinsbindung kann fur unvorsichtige oder schlecht beratene Kreditnehmer fatale Folgen haben, wie die folgende Rechnung zeigt: Ein Darlehen fUr ein Eigenheim in Hohe von 200000 Euro solI in Annuitatentilgung getilgt werden. Die Annuitat wird auf 13000 EurojJahr festgelegt; dies mage die Hachstsumme sein, die der Schuldner zu zahlen in der Lage ist. Der Zinssatz liegt fUr 8 Jahre fest bei 5 %. Berechnen wir zunachst die Laufzeit dieses Kredits, wenn man von einem Zinssatz von 5 % fur die gesamte Zeit ausgeht. Sei n das Ende der Laufzeit, so gilt Sn = 0; aus (8.1) folgt n _ A qn_1 --. S oq q-1

Dies nach qn aufgelast ergibt n

q =

A

A - So(q - 1) ,

und somit erhalt man fUr die Laufzeit n

log (A-S~q-l)) = -----' -.,------"-'--'-----"-"-logq

(8.2)

8.1. ERGANZUNGEN ZUR TILGUNG5RECHNUNG

409

Fur unser Beispiel erhalten wir n =

log

(13 ooo~~~oogOO'O,05 ) log 1, 05

= 30,05 Jahre,

fur einen solchen Kredit eine durchaus akzeptable Laufzeit. Was geschieht nun, wenn nach der Zinsbindung der Zinssatz auf maBige 7,8 % steigt? Die Restschuld nach 8 Jahren ist 58

= 200000· 1,05

8

-

1 05 8 1 13000 '0, o~ = 171352,68 Euro.

Die Zinsbelastung fUr das folgende Jahr ware dann 171 352, 68 . 0,078 = 13365,51 Euro. Der Schuldner konnte also nicht einmal mehr die Zinsen bedienen geschweige denn weiter tilgen. Weitere Beispiele: 1)

Ein Darlehen von 100 000 Euro wird zu einem Zinssatz von 4,5 % gewahrt; der Zinssatz ist fUr 5 Jahre fest. Es wird 2 % Tilgung vereinbart. Nach Ende der Zinsbindung steigt der Zinssatz auf 8 %. Wie steigt die Belastung, wenn die Tilgung im 6. Jahr wiederum auf 2000 Euro festgelegt wird? Wir berechnen zunachst die Annuitat (Belastung) am Beginn: A = Tilgung

+

Zinsen = 2000 + 4500 = 6500 Euro.

Die Restschuld nach 5 Jahren betragt

8 5 = 100 000· 1, 045 5

-

6500

1,045 5 -1 0, 045 = 89 058, 58 Euro.

Die Belastung nach Ablauf der Zinsbindung betragt 2000 + 89 058, 58· 0, 08 = 9124,69 Euro, was eine ErhOhung urn tiber 40 % bedeutet. 2)

Ein Annuitatendarlehen von 320 000 Euro soli mit einer Annuitat von 25 000 Euro getilgt werden. Der Zinssatz von p = 5,8 % ist fUr 6 Jahre fest. Wie groB ist die Restschuld am Ende der Zinsbindung? Wie lange dauert die Tilgung der Restschuld, wenn die Annuitat beibehalten wird und der Zinssatz auf 8,2 % steigt?

8 6 = 320 000· 1, 0586 - 25 000 1, ~586 - 1 = 275304,62 Euro. ,058

KAPITEL 8. ERGANZUNGEN ZUR FINANZMATHEMATIK

410

Urn die Restlaufzeit bei A = 25 000 und p = 8,2 % zu berechnen, benutzen wir Formel (8.2); fUr die Ausgangsschuld muB jetzt unser berechnetes 56 eingesetzt werden: _

log (

25000 ) 25000 275304,62·0,082

logl,082

n -

_ 29 6 J h -, are.

Die gesamte Tilgungszeit ware also 6 + 29,6 = 35,6 Jahre. Ware der Zinssatz unverandert bei 5,8 % geblieben, so wiirde die Gesamttilgungszeit bei einer Annuitat von 25000 Euro log ( 25000 ) = 25000-320000·0,058 = 24 06 J h n log 1, 058 ' a re betragen. Man sieht aus diesem Beispiel, daB sich die Tilgungszeit durch einen hoheren Zinssatz nach Ende der Zinsbindung ganz erheblich verlangern kann, wenn der Schuldner nicht in der Lage ist, die Belastung (Annuitat) zu erhohen.

Es kann naturlich auch sein, daB der Zinssatz sich im Laufe der Zeit verringert. Dann kann die Belastung gesenkt oder - bei gleicher Belastung - die Laufzeit verkurzt werden. Wird ein Darlehensvertrag in einer Hochzinsphase abgeschlossen, so wird man Zinsbindung moglichst vermeiden oder nur kurze Zeit akzeptieren; wird er in einer Niedrigzinsphase abgeschlossen, wird man eine moglichst lange Zinsbindung anstreben. Die Formel fur die Restschuld kann auch benutzt werden, wenn monatliche Zahlung und (unterjahrige) monatliche Verzinsung vereinbart ist. Man muB dann nur q durch 1 + P und k durch die Anzahl K der Monate ersetzen 100·12 (vgl. S. 127). Beispiel: Ein Annuitatendarlehen von 80000 Euro soli bei monatlicher Zahlung von 500 Euro getilgt werden. Der Zinssatz betrage 4,5%; es ist (unterjahrige) monatliche Verzinsung vereinbart. Wie hoch ist die Restschuld nach 9~ Jahren? Es ist K = 9,5· 12 = 114 Monate.

5 114

8.1.2

45 )114 (1 12 - 500

= 80 000 ( 1 + 100"

+ -!"L)114_ 1 10~

= 51616,34 Euro.

100·12

Annuitatendarlehen bei monatlicher Zahlung, aber jahrlicher Verzinsung

Langfristige Kredite, etwa fUr Eigenheime oder Wohnungen, werden meist durch monatliche (vor- oder nachschussige) regelmaBige Zahlungen getilgt. Wenn kei-

8.1. ERGANZUNGEN ZUR TILGUNGSRECHNUNG

411

ne unterjiihrige Verzinsung vereinbart ist, gilt als Zinsperiode das Jahr; der Tilgungsplan schreitet also jahresweise fort. Urn ihn aufzustellen, muB bei gegebener Hohe a der monatlichen Zahlung und gegebenem Zinssatz p zuniichst die jiihrliche Zahlung, die sogenannte Ersatzannuitiit A, berechnet werden. DafUr gelten die gleichen Uberlegungen wie auf S. 120 fUr die Ersatzrente. Es gilt bei 13·12 P vorschiissiger Zahlung A = a . 12 + - 2 - . 12 . 100' also

A=

a ( 12

13

p)

+ 2 . 100

(8.3)

Analog erhiilt man bei nachschiissiger Zahlung die Ersatzannuitiit 11 A = a ( 12 + 2

p)

. 100

(8.4)

Mit dem A aus (8.4) bzw. (8.5) wird dann wie ublich jahresweise gerechnet. Beispiele: 1)

Jemand kauft eine Eigentumswohnung und nimmt daftir einen Kredit von 120000 Euro auf. Der Zinssatz betrage 5,5 %. Die Riickzahlung erfolgt vorschiissig in Monatsraten zu 700 Euro. Es ist keine unterjahrige Verzinsung vereinbart. a) Man stelle die ersten 5 Zeilen des Tilgungsplans auf. b) Wie groB ist die Restschuld nach 10 Jahren? c) Nach welcher Zeit ist der Kredit getilgt? Es gilt nach (8.3) A Jahr 1 2 3 4 5

= 700(12 + ¥ .0,055) = 8650,25 Euro. Restschuld am J ahresanfang 120000,00 117949,75 115786,74 113504,76 111 097,27

Zinsen

Tilgungsrate

Annuitat

6600,00 6487,24 6368,27 6242,76 6110,35

2050,25 2163,01 2281,98 2407,49 2539,90

8650,25 8650,25 8650,25 8650,25 8650,25

5 10 = 120000.1,055 10 - 8650,25 1, 0~5;:5- 1

,

-

n 2)

log (

8650,25 ) 8650,25-120000·0,055

log 1, 055

_

-

= 93602,30 Euro.

26 9 J h , are.

Jemand m6chte eine Annuitatenschuld von 90000 Euro mit jahrlicher Verzinsung zu

p = 6 % innerhalb von 20 Jahren durch monatliche vorschiissige Zahlungen tilgen.

a) b)

Wie hoch ist die monatliche Belastung? Wie hoch ist die Restschuld nach der Halfte der Laufzeit?

KAPITEL 8. ERGANZUNGEN ZUR FINANZMATHEMATIK

412

Wir berechnen zunachst gemaB (3.31) die Annuitat: A = 90000· 1,06

20

0,06 1,06 20 _ 1 = 7846,61 Euro.

Durch Aufl5sen der Formel (8.3) nach a erhalten wir die monatliche Belastung: a=

A = 7846,61 =63330E 13...l!...2 39 ,uro. 12 + T . 100 1 ,

8 10 = 90000. 1,06 10

8.2 8.2.1

10

-

7846,61 1,06 - 1 = 57751,74 Euro. 0,06

Renditen (Effektivzinsberechnung) Renditen von Anlagen mit wechselnden Zinssatzen

Eine beliebte Form des Sparens ist das sogenannte Wachstumssparen. Die Bedingungen eines solchen Sparvertrages konnten z. B. folgendermaJ3en aussehen: 1m ersten Jahr betdigt der Zinssatz 2,5 %, im zweiten 3 %, im dritten 3,5 % und im vierten 4 %. Die Anlage erfolgt auf Zinseszins, d. h. die Zinsen werden jeweils am Jahresende dem Kapital gutgeschrieben. Es wird nun nach der Rendite dieser Anlage gefragt, genauer gesagt nach demjenigen Zinssatz, der bei Anlage der gleichen Summe tiber die gleiche Laufzeit zum gleichen Endkapital ftihrt. Diesen Zinssatz nennen wir den Effektivzinssatz Peff oder die Rendite der Anlage. 1st K o der angelegte Betrag, so gilt K I = I,025Ko, K 2 = 1, 03KI , K 3 = 1, 035K2 und K 4 = 1, 04K3 . Setzt man hier jeweils sukzessive ein, so ist K 4 = 1,025 ·1,03 ·1,035 ·1,04· K o.

Mit qeff man

= 1 + Peff 100

ist andererseits K 4 = q:ff . K o. Durch Gleichsetzen erMlt

qeff =

11,025, 1,03·1,035·1,04 = 1,0325,

d. h. die Rendite Peff ist gleich 3,25 %. Fassen wir das Problem allgemein: Ein Kapital K o wird ki Jahre zu PI %, k 2 Jahre zu P2 %, ... , k j Jahre zu Pj % auf Zinseszins angelegt. Man berechne den effektiven Zinssatz. Die Laufzeit ist n = k i

+ k 2 + ... + k j . Das Endkapital K n K n = K o q~l q~2 ... q;j

ist

(8.5)

413

8.2. RENDITEN (EFFEKTIVZINSBERECHNUNG)

mit qi = 1 + Pi . Andererseits gilt nach Definition von Peff bzw. qeff: 100 Durch Gleichsetzen erhalt man

(8.6) Beispiel: Fur eine Anlage gelten folgende Zinssatze: 2 Jahre 5 %, ein Jahr 6 %, weitere 2 Jahre 4,5 % und schliel3lich noch 4 Jahre 5,5 %. Es ist k i = 2, k 2 = 1, k 3 = 2, k 4 = 4, qi = 1,05, q2 = 1,06, q3 = 1,045, q4 = 1,055, n = 9. qell =

Vl,05 2 .1,06.1,045 2 .1,0554 = 1,0522;

Pell = 5,22%.

Ein Fehler ware es, das arithmetische Mittel der Zinssatze zu nehmen; dieses liefert manchmal eine sehr gute Naherung, aber man muf3te die Bedingungen genau untersuchen, wann diese Naherung brauchbar ist und wann nicht. Beispiele: 1)

Eine Anlage werde 4 Jahre mit 5 % verzinst und dann weitere 6 Jahre mit 6,5 %. Man berechne die Rendite. Es ist k i = 4, k 2 = 6, qi = 1,05, q2 = 1,065, n = 10 und qell

=

't!1,05 4 .1,065 6

= 1,059;

Peff

= 5,9%.

Das arithmetische Mittel von PI und P2 ist 5,75 %. 2)

Bei Bundesschatzbriefen vom Typ B werden die Zinsenjahrlich wiederangelegt (Anlage auf Zinseszins; bei Schatzbriefen vom Typ A werden die Zinsen jahrlich ausbezahlt). Die Konditionen fUr Bundesschatzbriefe vom Typ B waren im Juli 2004 die folgenden: Laufzeit 7 Jahre; die Zinssatze in den einzelnen Jahren: 2 %, 2,5 %, 3 %, 3,5 %, 4 %, 4,5 %, 5 %. Man berechne die Rendite. qel I

= {II, 02· 1,025· 1,03· 1,035· 1,04· 1,045· 1,05 = 1,03495;

Pel I

= 3,495 %.

Hier liefert das arithmetische Mittel die ausgezeichnete Naherung von 3,5 %.

8.2.2

Rendite bei unterjahriger und stetiger Verzinsung

1st das Jahr in m Zinsperioden geteilt, so folgt aus Formel (2.18) fur das Kapital nach einem J ahr (N = m fUr ein J ahr):

Km = Ko

(1 + m ·100 P )m

414

KAPITEL 8. ERGANZUNGEN ZUR FINANZMATHEMATIK

Wir fragen nun nach der jahrlichen Rendite einer solchen Anlage, d. h. nach dem Zinssatz Peff' der bei jahresweiser Verzinsung nach einem Jahr dasselbe Kapital liefert. Es muE dann gelten Ko

(1 + m

.P ) 100

(1 + m

qeff =

also

= K o qeff'

m

) .P 100

(8.7)

m

Zum Beispiel gilt fUr unterjahrige monatliche Verzinsung qeff = (1

+ 1:00) 12

Beispiele: 1)

Man berechne die Effektivverzinsung fUr P = 5 % bei unterjahriger quartalsweiser und bei unterjahriger monatlicher Verzinsung. a) quartalsweise: qell

= (1 + 4~0) 4 = 1,05094;

b) monatsweise:

( + 5)

qeff =

2)

1

1200

12

Pell

~ 5,09%.

Pel I ~ 5,12 %.

= 1,05116;

Eine Anlage mit einer Laufzeit von 7 Jahren werde unterjahrig monatIich verzinst. Die ersten 3 Jahre gilt ein Zinssatz von 4 %, die nachsten 4 Jahre von 5 %. Man berechne die Rendite. Hier werden die Formeln (8.7) und (8.6) kombiniert. Wir berechnen zunachst die jahrlichen effektiven Aufzinsungsfaktoren q1 und q2 fur die erste und die zweite Periode:

=

q1

( + 4) 1

und schlieBlich qell -_ {jq31 q42_-

7

(

1200

4)

1 + 1200

12

'

36 (

q2

=

5)

1 + 1200

(5 ) + 1

48

1200

12

= 1,0467;

Pel I = 4,67 %.

Bei stetiger Verzinsung mit einem Zinssatz von P % wachst ein Kapital K o auf

K1

=

1-

K o e 100

(vgl. S. 327). Urn hier den zugehorigen Effektivzinssatz Peff zu berechnen, der bei jahresweiser Verzinsung auf das gleiche Kapital fUhrt, hat man 1-

K o e lOO

zu setzen und erhalt

=

K o qeff 1-

(8.8)

qeff = e 100

Fur P = 5 % ergabe sich qeff =

eO,05

= 1,05127;

Peff ~

5,13 %.

8.3. KURSRECHNUNG

8.3 8.3.1

415

K ursrechnung Begriff des Kurses

Jedes Wertpapier hat einen gewissen Nennwert oder Nominalwert, auch Nominalkapital genannt, welches wir mit K nom bezeichnen wollen. 1m allgemeinen ist jedoch der Realwert Kreal des Wertpapiers (auch Handelswert, Preis, Kurswert oder Realkapital genannt) vom Nominalwert verschieden. Das Verhaltnis von Realwert zu Nominalwert, multipliziert mit 100, bezeichnet man als Kurs C des Wertpapiers: C = Kreal . 100 K nom

(S.9)

1st C = 100, so sagt man, das Papier notiere zu pari, bei C > 100 notiert es uber pari, bei C < 100 unter pari. Sei Preal der Marktzinssatz oder Realzinssatz, so gilt fUr den Realwert folgende allgemeine Regel: Der Realwert Kreal eines Wertpapiers ist der mit Preal berechnete Barwert aller aus dem Wertpapier resultierenden zukiinftigen Zahlungen. Sind also Zl, Z2, . .. , Zn die am Ende der Jahre 1, 2" ... , n resultierenden Zahlungen, so gilt (vgl. den Begriff Barwert, S.77): Kreal =

n

L

k=l

Zk

-k-; qreal

- 1 qreal -

+

Preal

100

(S.10)

Zum Beispiel ist fiir eine einmalige nach n Jahren fallige Zahlung R der Realwert R Kreal = -qn . real

Die Begriffe Realwert und Kurs lassen sich am Beispiel des Abtretens einer Forderung anschaulich erlautern. Jemand hat eine Schuld S zum Zinssatz Pnom aufgenommen, die nach j + n Jahren mit Zinseszins zuriickgezahlt werden solI. Die Riickzahlungssumme betragt dann R = S qbt;b. Nach j Jahren m6chte der Glaubiger unseres Schuldners seine Forderung an einen Dritten abtreten. Zu diesem Zeitpunkt betragt der Marktzins Preal. Zu welchem Preis Kreal kann der Dritte die Forderung kaufen und wie ist der Ubernahmekurs?

416

KAPITEL 8. ERGANZUNGEN ZUR FINANZMATHEMATIK

Es ist nach (8.10)

q~om R _ S ~6:'n _ S j K real -- -n- -n-- qnom -n-' qreal

qreal

qreal

S q~om ist aber gerade der Nominalwert K nom von S zum Zeitpunkt j, also gilt fur den Kurs zum Zeitpunkt der Ubernahme:

C

=

Kreal .100

K nom

= S q~om

S %om

(qnom)n . 100

= (qnom)n . 100. qreal

qreal

Hierbei ist n die Laufzeit von der Ubernahme bis zur Falligkeit. Der Kurs hangt also in diesem FaIle nur vom Verhaltnis von Nominal- und Realzins ab: Fur Pnom = Preal hat man einen pari-Kurs, fUr Pnom < Preal liegt der Kurs unter pari, fur Pnom > Preal uber pari. Beispiel: Eine Schuld von 100 000 Euro mit einer Laufzeit von 8 J ahren sei nominell zu 4 % verzinst und soli nach 8 Jahren samt aufgelaufener Zinsen zurtickgezahlt werden. Der GUiubiger braucht nach 6 Jahren dringend Geld und mochte seine Forderung an eine Bank abtreten. Der reale Zinssatz betragt mittlerweile wesentlich mehr als 4 %; die Bank will die Forderung kaufen, wenn sie Preal = 6, 2 % verlangen kann. Zu welchem Preis kauft die Bank? Wie hoch ist der Ubernahmekurs? Es ist j = 6, n = 2, j + n = 8, qnom = 1,04, qreal = 1,062. Kreal

=

100 000· 1, 04 8 1, 062 2

= 121343,82 Euro.

Zu diesem Preis kauft die Bank. Der Ubernahmekurs ist C

1 04)2 = ( 1,'062 ·100 = 95,9

(unter pari).

Ware der Marktzins auf 3,5 % gefallen, ergabe sich fUr den Kurs C

8.3.2

=

1 04)2 ·100 ( 1,'035

= 100,97

(tiber pari).

Kurs einer endfci.lligen Anleihe mit fixem Kupon

Anleihen dieses Typs werden mit einem Nominalbetrag von 100 ausgegeben; ihre restliche Laufzeit bei Erwerb sei noch n Jahre. Sie erbringenjahrlich nachschussig Zinsen in H6he von 100'P;~; = Pnom Euro (Kupon) und am Ende der Laufzeit

417

8.3. KURSRECHNUNG

eine Riickzahlung von R (meist wieder 100). Der Realwert ist gemaf3 (8.10) der mit dem Realzinssatz Preal berechnete Barwert aller Zahlungen. Die regelmaf3igen Zinszahlungen konnen wir als nachschiissige Rente der Rohe r = Pnom auffassen, ihr mit Preal kalkulierter Barwert (s. Rentenbarwert, Formel (3.22)) ist Pnom' n ( ) qreal qreal - 1

Der Barwert der Riickzahlung ist

R

-n-'

qreal

1 Kreal -- -nqreal

Also gilt fUr den Realwert

[ q;eal - 1 Pnom 1 qreal -

+ R]

(8.11)

Da der Nominalwert K nom auf 100 festgelegt ist, gilt nach (8.1) Kreal nom

Kreal 100

C = - K ·100 = - - ·100 = Kreal, d.h.

1 [Pnom qnreal - 1 + R ] C = -nqreal

(8.12)

qreal - 1

Beispiele: 1)

Was kostet eine Anleihe zum Nominalwert von 100 mit einem Kupon von Pnom = 5, einer Restlaufzeit von 4 Jahren und einer Riickzahlung von 100 bei einem Realzinssatz von Preal = 5,5 %? Wieviel muB man investieren, wenn man Anteile im Nominalwert von 20000 Euro kaufen will? K real Man muB 200·98,25

2)

1

= 1,0554

4

[1,055 -1 5· 0,055

]

+ 100 = 98,25.

= 19650 Euro investieren.

Eine Anleihe zum Nominalwert 100 mit Kupon 6 und Riickzahlung 105 habe eine Restlaufzeit von 2 Jahren. Wie hoch ist der Kurs bei Preal = 4 %? 2

1 [1,04 -1 C = Kreal = 1,042 6· 0,04

+ 105]

= 108,39.

An die Formel (8.12) kann man die Frage nach der Rendite oder Effektivverzinsung einer Anleihe mit gegebenem Kupon Pnom, gegebenem Kurs C, gegebener Riickzahlung R und gegebener Laufzeit n kniipfen. Es ist also Preal gesucht. Wir bezeichnen diese gesuchte GroBe jetzt mit x und haben die Gleichung n

x -- 11 +R] C= -1n [Pnom x x-

418

KAPITEL 8. ERGANZUNGEN ZUR FINANZMATHEMATIK

nach x aufzul6sen. Wir multiplizieren beide Seiten mit xn(x - 1), bringen alles auf eine Seite und sortieren nach Potenzen von x:

Cxn(x - 1) = Pnom(x n - 1) + R(x - 1) Cx n+1

-

(C + Pnom)x n - Rx + R

+ Pnom =

0.

Wir suchen also eine Nullstelle der Funktion

f(x) = Cx n+1

-

(C + Pnom)x n - Rx + R

+ Pnom

(8.13)

(vgl. S. 177). Moderne Computeralgebrasysteme liefern die Nullstellen von Polynomen in Sekundenschnelle mit groBer Genauigkeit. Steht ein solches nicht zur VerfUgung, muB man ein Naherungsverfahren einsetzen. Die gesuchte Nullstelle ist ein Aufzinsungsfaktor; sie wird also vermutlich zwischen 1,02 und 1,1 zu suchen sein. Urn einen ersten Naherungswert fUr diese Nullstelle zu tinden, suchen wir in diesem Bereich ein Xl mit YI = f(XI) < und ein Xz mit yz = f(xz) > 0. Durch die Punkte PI(XI; yd und Pz(xz; yz) legen wir die durch sie bestimmte Gerade (Zweipunkteform der Geradengleichung, S.158, Formel (4.3)):

°

Der Schnittpunkt Xo dieser Geraden mit der x-Achse ist ein erster Naherungswert fUr die gesuchte Nullstelle von f(x) (s. Skizze). 1st f(xo) < 0, so kann das y

f(x)

----+---;r-~~r_------t-x

Verfahren mit P(xo; f(xo)) als neues PI und dem alten Pz fortgesetzt werden; ist f(xo) > 0, so wird das Verfahren mit P(xo; f(xo)) als neues Pz und dem alten PI fortgesetzt. Urn diese Uberlegungen an einem Beispiel zu demonstrieren, wahlen wir die Zahlen aus dem vorigen Beispiel 1): Man berechne die Rendite einer Anleihe

8.3. KURSRECHNUNG

419

mit C = 98,25, Pnom = 5, R = 100 und n herauskommen muB. (8.13) liefert

f(x) = 98, 25x5

-

= 4. Hier wissen wir, daB

103, 25x 4

x

= 1,055

100x + 105.

-

1,05 ist YI = f(xd = -0,106 < O. Fur X2 = 1,06 ist Y2 = f(X2) = +0,130> O. Die Gerade durch PI(I, 05; -0, 106), P2 (1, 06; 0, 130) ist

Fur

Xl

=

Y = 23, 6x - 24, 886.

Der Schnittpunkt Xo dieser Geraden mit der y-Achse ergibt sich fur y = 0 zu

Xo

=

24,886 23,6

=

1,0545. Es ist f(xo)

=

-0,0115

<

0, also wiederholt man das

Verfahren mit PI (I, 0545; -0,0115) und P2 (1, 06; 0,130). Das liefert die Gerade y= 25,7273x-27,1409;

deren Schnittpunkt mit der y-Achse ist Xo

= ~~: ~~~~ = 1, 05459 ~ 1,055. Hier

sind wir also bereits nach zwei Schritten am exakten Wert angelangt. Entscheidend dafur, daB das Verfahren rasch zum Ziel fuhrt, ist die geschickte Wahl der Ausgangswerte; hier ist es also ratsam, vor Beginn ein wenig zu probieren. Beispiel: Man berechne die Rendite einer Anleihe mit C n = 6. Es ist gemaB (8.13) f(x) = 102,6x 7

-

106,6x6

= 102,6, -

Pnom

= 4,

R

= 101

und

lOlx + 105.

Um gute Ausgangswerte zu erhalten, berechnen wir eine kleine Wertetabelle

y

Xo

= 0,0916 + 0, 1309 (x _ 1 03) _ 0 1309 = 22 25x - 23 0484 1, 04-1 , 03 ' , , "

= 2~~~~~4 = 1,0359. f(xo) = -0,0172 < O. Die Gerade durch PI (1, 0359; -0,0172),

P2 (1,04jO,0916) lautet

y = 26, 5366x - 27,5064

mit der Nullstelle Xo = 1,0365. f(xo) = -0,0028. Wir sehen, daB wir jetzt sehr nahe an der gesuchten Nullstelle von f(x) sind und probieren nun ein wenig: f(I,0366) = -0,0004; f(I,0367) = +0,0021. Also betragt die Rendite 3,66 %.

420

KAPITEL 8. ERGANZUNGEN ZUR FINANZMATHEMATIK

8.3.3

Kurs einer Annuitatenschuld

Die Rtickzahlung einer Annuitatenschuld mit K nom = 100 tiber eine Laufzeit von n Jahren geschieht in regelmaf3igen nachschtissigen Zahlungen der Hohe A (Annuitat). Ftir die Annuitat gilt (Formel (3.31), 8.126): A

= 100 qnom n qnom - 1 qn -1 nom

Die regelma:Bigen Zahlungen der Hohe A konnen wieder als nachschtissige Rente aufgefa:Bt werden; das Realkapital (das wegen K nom = 100 auch gleich dem Kurs ist) ist der mit dem Realzinssatz Preal berechnete Barwert dieser Rente, also

C= A

q;eal - 1 . q;eal (qreal - 1)

Das ergibt schlie:Blich, wenn man A einsetzt C = 100 n qnom -1 qnom qnnom - 1

n q;eal- 1 ,d.h. ( 1) qreal qreal -

Kreal = C = 100 (qnom)n q;eal - 1 qreal q~om - 1

qnom - 1 qreal - 1

(8.14)

Beispiel: Eine Annuitatenschuld mit Nominalverzinsung 5 %, riickzahlbar in 8 Jahren, soli real mit 7 % verzinst werden. Wie hoch ist der Ausgabekurs? C

= 100 (1,05)8 1,07: -1 1,07

1,05 -1

. 0,05 0,07

= 92,39.

Auch fUr eine AnnuiUitenschuld fUhrt die Frage nach der Rendite bei gegebenem Kurs und gegebener Nominalverzinsung auf die Bestimmung einer Nullstelle eines Polynoms (n + I)-ten Grades. Urn dieses Polynom zu erhalten, setzen wir die unbekannte GroBe qreal in (8.14) gleich x und multiplizieren auf beiden 8eiten mit xn(x - 1): Cxn(x - 1) = 100 q~om(qnom - 1) (x n - 1). q~om - 1 8etzen wir 100 q~om(qnom - 1) = a so ist q~om - 1 ' n 1 Cx + - (C + a)x n + a = 0;

8.3. KURSRECHNUNG

421

wir suchen also eine Nullstelle von

f(x) = Cxn+l - (C + a)x n + a im Bereich von etwa 1,02 bis etwa 1,1.

Beispiel: Welche Rendite hat eine Annuitatenschuld mit einer Laufzeit von 7 Jahren, einem Kurs von 90,2 und einer Nominalverzinsung von 6 %? Es ist 7 = 100 1,06 ·0,06 = 17 9135 C = 90,2, a 1, 067 _ 1 ' und n

= 7. Wir suchen also eine Nullstelle von f(x)

= 90, 2x8 -

108, 1135x7 + 17,9135.

Das beschriebene Naherungsverfahren liefert Xo Effektivverzinsung) betragt 9 %.

= 1,09, d. h. die Rendite

(Real- oder

422

8.4

KAPITEL 8. ERGANZUNGEN ZUR FINANZMATHEMATIK

Ubungsaufgaben

1)

Ein Darlehen von 125000 Euro soil mit 4 % Tilgung bei einem Zinssatz von 6 % in Annuitatentilgung getilgt werden. Wie groB ist die Restschuld nach 9 Jahren?

2)

Ein Darlehen von 40000 Euro soil in Annuitatentilgung bei einem Zinssatz von 6,2 % innerhalb von 15 Jahren getilgt werden. Wie hoch ist die Restschuld nach 10 Jahren? Wie hoch ist die Gesamtieistung des Schuldners am Ende der Laufzeit?

3)

Bei dem Darlehen aus Aufgabe 2 bestehe eine lO-jahrige Zinsbindung. Danach steigt der Zinssatz auf 9 %. Wie lange dauert die Tilgung, wenn man mit derselben Annuitat weiter arbeitet?

4)

Fur ein Annuitatendarlehen von 300000 Euro besteht eine lO-jahrige Zinsbindung mit einem Zinssatz von 5 %. Als Annuitat wurde 18000 Euro veranschlagt, d. h. eine anfangliche Tilgung von 1 %. Nach Ende der Zinsbindung steigt der Zinssatz auf 8,5 %. Reicht diese Annuitat dann, urn uberhaupt noch weiter zu tilgen?

5)

Ein Annuitatendarlehen von 100000 Euro soil bei monatlicher Zahlung von 700 Euro getilgt werden. Der Zinssatz betrage 5,5 %; es ist (unterjahrige) monatliche Verzinsung vereinbart. Wie hoch ist die Restschuld nach 12~ Jahren? Wie lange dauert die Tilgung? Wie hoch sind die Gesamtkosten (Tilgung + Zinsen)?

6)

Ein Annuitatendarlehen von 150000 Euro, fUr das jahrliche Verzinsung zu 5 % vereinbart ist, soil in monatlich nachschussig zu zahlenden Raten von 900 Euro getilgt werden. Wie hoch ist die Restschuld nach 20 Jahren? Wie lange dauert die Tilgung?

7)

Jemand mochte ein Annuitatendarlehen von 200000 Euro mit jahrlicher Verzinsung zu p = 6 % innerhalb von 30 Jahren tilgen. Die Zahlungen sollen monatlich nachschussig

geleistet werden. Wie hoch ist die monatliche Belastung? 8)

Ein Kapital sei auf Zinseszins angelegt, und zwar 3 Jahre zu 4 %, 4 weitere Jahre zu 4,5 % und 6 weitere Jahre zu 5 %. Man berechne die effektive Verzinsung.

9)

Jemand leiht einem Bekannten 20000 Euro zum Freundschaftszins von 2 %, ruckzahlbar samt aufgelaufener Zinsen nach 6 Jahren. Nach 3 Jahren wird die Forderung an einen Dritten abgetreten; dieser verlangt 3,5 % Zinsen. Zu welchem Preis wird die Forderung abgetreten? Wie hoch ist der Ubernahmekurs?

10)

Was kostet eine eine endfallige Anleihe von 100 mit Kupon 4, Restiaufzeit 3 Jahre und Ruckzahlung 101, wenn der Realzinssatz auf 3 % gefallen ist? Wieviel muB man investieren, wenn man Anteile im Nominalwert von 80000 Euro kaufen will?

11)

Man berechne die Rendite einer endfalligen Anleihe mit C = 97,5, Pnom = 6, R = 102 und n = 8.

12)

Man berechne den Kurs einer Annuitatenschuld mit 6 Jahren Laufzeit und Nominalverzinsung 6 % bei einem Realzinssatz von 5 %.

13)

Man berechne die Rendite einer Annuitatenschuld mit einer Laufzeit von 2 Jahren, einem Kurs von 102,5 und einer Nominalverzinsung von 5,4 %.

Kapitel9 ••

Losungen der Ubungsaufgaben 9.1

Aufgaben zu Kapitel 1

1)

a) I6a + 3b - 7xy; e) 2r; f) -9v;

b) -24abx 2y; g) 4(a - b).

2)

a) 2a2 + ab - 6b2;

b) -117x 2 + 105xy + I50y2;

d) -3x

d) XXI +XX2+· .. +XXn-(YXI +YXI +... +yxn ) n

n

n

+ 3y;

2 3 2 c)2 a x - 3abx + "2aby - by;

n

n

n

n

i=l

i=l

i=l

i=l

= LXXi- LYXi = X LXi-y LX;:

n

e)Laaibi - Lcaibi = a Laibi - c Laibi; f) -(4a 2 + ab+3b 2); i=1 i=1 i=1 i=1 1 1 1 5 1 3 g) x 2 - 3x - 23; h) -p2 - -q2 - - r 2 - -pq+ -pr + -qr. 3 18 16 36 24 24 3)

n

a) a(a + b + b2);

b) x(x - 2y + 1);

c) xy L

XiYr.

i=l

4)

a)r 2 -2rs+s 2; b)k 2 +2k+I; c)I6-4x 2; d)6x+3; 2 2 2 e) a + b + c + J2 + 2ab + 2ac + 2bc - 2ad - 2bd - 2cd; f) I5x 2 + 44xy - I8y2.

5)

a) (x - I)(x + 1); e) (5xy + 2)2.

6)

c-I a) c+ 1;

7)

a) a + b. x+y'

8)

a)

b) (2a - 3)(2a + 3);

4

c) b(a - b). c(a - c)' 2 2 b) ab (4a - 4ab + 1). c(a 2 -b2 ) '

b) -~;

6ab(5 - 2x) - 5a 2(36 - 4x) 60a 2 bx

+ 3x

c) (1 - 6x)(1 + 6x);

d) u - v;

u+v

ay + b c) ~b2; a -

a . e) - _ a-I'

d) (u + v + W)2:

g) p+q p-q 2 2 d 35a + I8ab - 5b ) I8a 2 - 3ab - 36b2 .

f) -1;

;

W. Purkert, Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, DOI 10.1007/978-3-8348-9936-1_9, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

424

KAPITEL 9. LOSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN b) 5a Z(3b - 2c) - 3b Z(4a - 5c) 30abc

9)

10)

17a-15b 2y e) 6(3b- a); f) XZ _ yZ; .) 500k 3 - 115k z - 16k + 5 I (5k - I)Z(5k + 1) .

2a

h) - (a

a) ax. b) _ 2q. cd' P' x Z + 2xy _ yZ g) . XZ - 2xy _ yZ' a) x

3abz = 15a z b - lOa z c - 15abz + 15bz c + 5c; 30abc

d)x- y - l ; x _ y

c)XyZ-xZy+2y+6xZ; XZyz 8t + 2 g) t Z - 1;

+ 5c -

20

= 11;

b) x

+ 1)(3a + 2);

c) 1 - (x - 5)(3a + 1) . (x + 5)(3a + 1) ,

d) a + b;

h) b - 1. b+l = 155a. 47'

c) x

= 7,25;

d) x

9 f) x = - - . 10 11)

12)

7 = --; 5

b- a K Sn - ao a) y = - - ; b) Uz = UI - - ; c) n = - - + 1; a xy d TIZ + TI X - TTZ yz - YI e) S = ; f) y = - ( x - XI) + YI; TZ - TI Xz - Xl h) a = 5f - be . I-b-5

x

9 12

= 8 . 16 . 9254 = 7808,06 Euro.

13)

Ein paar Schuhe kostete 36,80 DM.

14)

1200 Euro.

15)

z-

16)

5509,78 Euro.

17)

12000 Euro.

18)

f) u;

_ 2000· 2 . 204 100 . 360

+

1000 . 2 . 66 _ 26 33 E 100 . 360 - , uro.

P

7,03

8!3

11,5

5,04

6,2

3!3

q

1,0703

1,0833 ...

1,115

1,0504

1,062

1,033 ...

n

19)

Zn a) LXi;

k

b) L...J ~a'x" t n i=O

i=n

LUigi C)

i=1

n

.

-n-'

Lgi

d) L....J ~ a'b'k' 1,) J ,

n

f) L(i-l)z.

j=1

i=1

20)

+ azbz + ... + anb n . + bz + ... + bn ' = PilqOI + Pizqoz + + PinqOn POlqOI + Pozqoz + + POnqOn

a ) albl

bl

b) 1

0

i

,

(Preisindex nach Laspeyres);

i=O

9.2. AUFGABEN ZU KAPITEL 2

T

C) 10 i

,

qi1Pi1 + qi2Pi2 + ... +---=.c::..::....~ qinPin = ....::..:..:::=-=_=-=--__

(Mengenindex nach Paasche);

q01Pi1 + q02Pi2 + ... + qOnPin

d) 42 + 52 + ... + (2n + 2)2;

f) 1+

425

3

5

4+ 7+

e) bjk(a1j + a2j + ... + anj);

7 2l + 1 10 + ... + 3l+1;

g) x1yr(Zl - U1) + X2Y~(Z2 - U2) + ... + xny~(zn - un). 10 . 8,80 + 40 . 5,30 + 30 . 6,90 + 20 . 7 6 4 E fL' 100 = , 7 uro Iter.

21)

P=

22)

a) Preisindex

[0,2

(Laspeyres):

_ Ep2qO _ 2,10·2760 + 3,80·1020 + 10,15·475 + 1,25·9412 _ 0 89' 1 0,2- EPoqo -2,80.2760+3,75,1020+12,10,475+0,90,9412- ,1 ,

1<

b) Preisindex 1< 0,2

[0,2

= Ep2q2 = 2,10·2950+3,80·990+10,15·680+1,25·8110 =09817' EpOQ2 2,80·2950 + 3, 75·990 + 12,10·680 + 0,90·8110 ' ,

c) Umsatzindex 1< 0,1

(Paasche):

[0,1:

= EPlql = 2,45·2810 + 3,65 ·1000 + 10,80·6,30 + 1,20· 8305 = 1 0595' EPoqo 2,80·2760 + 3,75·1020 + 12,10·475 + 0,90·9412 ' ,

) d) Mengenindex h,2 ( Laspeyres:

e) Mengenindex

23)

a) x>

1

3;

(Paasche):

[0,1

b) x

h,2 = [0,1

=

Eq2Pl

~

L.."q1Pl

~ :~:~

= 1,0224;

= 1,0147.

7

< 5;

c) Es sind drei Faile zu betrachten: x < 1, -1 < x < 1, x < -1. Die Ungleichung ist fUr -1 < x < 1 und fUr x > 3 erfUllt. 1

2

d) Es sind die drei Faile x 2: 1, Ungleichung ist fUr x

9.2 1)

~

0 und x 2:

~ x

<

1

< 2

1 und x

zu unterscheiden. Die

2

3 erfUllt.

Aufgaben zu Kapitel 2 a) 28x 2 -15y 2;

b) -ab Gb+ 110a );

c) 2x 5 (6x 3

-

2x 2 + 12x - 3);

d) laBt sich nicht weiter vereinfachen.

2)

c) C2n+ll ; d) 10x3x+2m-l; e) (a _ b)n+6; a) x n +2 ; b) u 3 ; 4 2 3 2 f) (_a)4n-2m+7; g) a (6a - 40a + 29a - 14a + 1).

KAPITEL 9. LOSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN

426

20X 2 y 4 c)~;

3)

225 2n+3 5n-1. d) 2iw v ,

f) xy2_yz-6z2. 4)

a)

5)

a)

6)

-3t 5

+ t2 + 1 t6

b)

;

a + by3 _ cy6 + dy n-3 yn+2 ;

b) (u - v)(u + V)-l;

ca- 2 b- 1 ;

bn - 3

b)

a) -4-; en

dx - 4 aX(bc)x

1 c) -

x2

3'

c)

7)

5

c) x (x - 3) . (x -1)6 d) a- 2n- 1;

c) (x _1)2 x -2; 1

1

4

+ -y3 - -' xy'

d) a3n

5

e) (uv)-x. 6

+-- am-1 a2m+n'

X 24 y 16

-2-4-'

z

+ 3x- 3y-6;

b) 4a3 + 2a 2 - aj

c) y3n-2 _ 2y + y-3n-4.

8)

a) 9x- 5y-4 - 6x- 4y-5

9)

90) ( 5

10)

a) a 4 - 8a3b + 24a 2b2 - 32ab3 + 16b4; b) 1 - 6x + 15x 2 - 20x 3 + 15x4 - 6x 5 + x 6 ; c) q5 - 5q4 + lO q3 - lOq2 + 5q - 1; d) u 7 - 7u 6v + 21u 5v 2 - 35u 4v 3 + 35u 3V 4 - 21u 2v 5 + 7uv 6 - v 7 •

11)

202737,48 Euro.

12)

a) 26996,73 Euro;

13)

Barwert des Angebots (A): 301804,19 Euro Barwert des Angebots (B): 313597,63 Euro Barwert des Angebots (C): 290098,33 Euro. Das Angebot (B) ist bei einem Zinssatz von 5,5% p.a. das gtinstigste.

14)

a) 1,1040895;

15)

p = 4,75%.

16)

a) x S 1;

17)

a) ist richtig;

18)

a) x~;

19)

a)

20)

a)ijX2(I+a-2b);

f)

= 90·89·88·87·86 = 43949268.

'01;

lal;

1·2·3·4·5

b) 27128,49 Euro.

c) 1,5377994.

b) 1,0278954;

b) -a

S x Sa;

c) fUr beliebiges x und y.

b) ~ = lal;

c) und d) sind vol1ig falsch.

c) (x 3 _y3)t.

b) y-~; 1 b) ij(t2;

d) b)lablV2C;

1

0/0'

c)am+l;

d) {!(x+y)(z-x);

e)

g) a2b~.

21)

a) 2~;

22)

a) 0,4278157;

b) ~;

b) -01666667;

1

c) -; m

d) -n;

e) -3;

f) -1.

1 ;:-----;: ; ya- b

427

9.3. AUFGABEN ZU KAPITEL 3

23)

a) x = u;

24)

a) loga-;

25)

7 Jahre.

26)

23,43 Jahre.

27)

a)

b) x = 2.

uv

c) log

w

~

Xl = 1, X2 = -5; b) Xl = -1, X2 = -2; c) Xl = 2, X2 = -2, X3 = 1, X4 = -1; d) x 5 (x 2 +5x+4) =0: XI=O, x2=-I, x3=-4;

1

= 5, X2 = 1, X3 = 9, X4 = 2; g) Xl = 40,973666, X2 = 3,026334; 61 k) X = -384; 1) X = 11,20765;

e)

28)

fib .

a)

Xl

UI,2

=

f) X = 3; h) X = 8;

i) X = .j5;

v - 2± J(v - 2)2 +4(x2 + 1)(x 2 +y2) 2(x2 + 1) ;

Jx - y2;

d) n

b) a =

b)2 2 ( ~ + ~;

log 1 - K(q - 1)

= ------:-----'-=--------'-logq

I. qn

e) Kqn + (x - 2)q-n - c2 = 0 K q2n - c2qn + (x - 2) = 0 K z2 - c2 Z + X - 2 = 0

_ VC2 ±

ql,2 -

- 4K(x Jc 4 2K

1

Setze qn

=Z

2)

Unter der Bedingung c4 2: 4K(x - 2) existieren reelle Wurzeln.

9.3

Aufgaben zu Kapitel 3 = 100,

= 880.

1)

al5

2)

R 46 = 1,2 - 0,02' 46 = 0,28 Mia Euro.

3)

Jahr 1 2 3 4 5 6 7

815

Restschuld am Jahresanfang 210000 180000 150000 120000 90000 60000 30000

X

m) X = 0,9235441.

1

c) b = In

j)

Zinsen

Tilgung

Annuitat

15750 13500 11250 9000 6750 4500 2250

30000 30000 30000 30000 30000 30000 30000

45750 43500 41250 39000 36750 34500 32250

= 4;

428

4)

KAPITEL 9. LOSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN

z = 9216 Euro, Pelf

Gebiihr = 480 Euro,

= 9,89%.

b) 1,6666387;

b = 9696 Euro. Monatsrate: 1202 Euro. qn+1 _ 1 1 - a.

5)

a) 19608;

6)

22324,36 Euro.

7)

Endkapital nach 10 Jahren: 69858,21 Euro;

8)

3298,30 Euro.

9)

Am Ende des 12. Jahres werden 160000 Euro iiberschritten.

10)

14933,09 Euro.

11)

30210,56 Euro.

12)

34474,07 Euro.

13)

1,06n

14)

120761,19 Euro.

15)

14140,91 Euro.

16)

23642,10 Euro.

17)

~

18)

A = 13965,07 Euro.

= -1 _-200000· - -1 -0,06 --

c) 262140;

n

d) a

z

q-

= 4191,49 Euro.

= 10,95 Jahre.

24000·1,6

7,5 Jahre.

Zinsen Restschuld am J ahresanfang 1 100000,00 9000,00 2 95034,93 8553,14 89623,00 8066,07 3 7535,16 83724,00 4 77294,09 6956,47 5 70285,49 6325,69 6 62646,11 5638,15 7 54319,19 4888,73 8 45242,85 4071,86 9 35349,64 3181,47 10 2210,94 11 24566,04 12811,99 1153,08 12 Gesamtzahlung: 167580,84 Euro. Jahr

19)

A = 8000 ( 1 +

Tilgung

Annuitat

4965,07 5411,93 5899,00 6429,91 7008,60 7639,38 8326,92 9076,34 9893,21 10783,60 11 754, 13 12811,99

13965,07 13965,07 13965,07 13965,07 13965,07 13965,07 13965,07 13965,07 13965,07 13965,07 13965,07 13965,07

8,5 8 5 ) 108 100 . 12 100" 12 -(---8-,5-)-:-:10:-::-8-- = 1062,35 Euro. 1 + 100.12

- 1

9.3. AUFGABEN ZU KAPITEL 3

Monat 1 2 3 4

20)

1 2 3 4 5 6

A

Restschuld am J ahresanfang 240000,00 204000,00 164400,00 120840,00 72924,00 20216,40

= 2262,50 Euro/Monat, Monat 1 2 3 4 5

22)

Zinsen

Tilgung

Annuitat

566,67 563,16 559,62 556,06

495,68 499,19 502,73 506,29

1062,35 1062,35 1062,35 1062,35

n = 5,36 Jahre. Jahr

21)

Restschuld am Monatsanfang 80000,00 79504,32 79005,13 78502,40

429

Restschuld 150000,00 148800,00 147591,50 146374,44 145148,76

Zinsen

Tilgung

Annuitat

24000,00 20400,00 16440,00 12084,00 7292,40 2021,64

36000,00 39600,00 43560,00 47916,00 52707,60 20216,40

60000,00 60000,00 60000,00 60000,00 60000,00 22238,04

N

= 89,84 Monate ::::: 7!

Zinsen 1062,50 1054,00 1045,44 1036,82 1028,14

Tilgung 1200 1200 1200 1200 1200

Jahre.

Zinsersparnis -

8,50 17,06 25,68 34,36

Annuitat 2262,50 2262,50 2262,50 2262,50 2262,50

Wegen n < 10 ist der hOchste zulassige Prozentsatz p = 20%. FUr das Jahr des opti100malen Uberganges gilt: l ~ 9 - 20 = 4. Der Ubergang erfolgt im 4. Jahr. Jahr 1 2 3 4 5 6 7 8

Wert am Jahresanfang 380000 304000 243200 194560 155648 116736 77824 38912

Abschreibungsrate 76000 60800 48640 38912 38912 38912 38912 38912

Wert am Jahresende 304000 243200 194560 155648 116736 77824 38912 0

430

KAPITEL 9. LOSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN

9.4

Aufgaben zu Kapitel 4 a) D: alle reellen Zahlen. j(-2) = 2, j(O) = 6, j(xo + 5) = 2xo + 16. b) D: alle reellen Zahlen. j( -2) = -5, j(O) = 1, j(xo + 5) = -x5 - 9xo - 19. c) D: alle reellen Zahlen mit Ausnahme von x = 1.

1)

1

j(-2)=-i, j(O)=-l, j(xo+5)=xo+4· d) D: alle reellen Zahlen mit Ausnahme von x = 4 und x = 3.

j( -2) = lOto, j(O) =

812,

j(xo

e) D: alle reellen Zahlen. j( -2)

= -4,

j(O)

= -2,

1

2 3 2 Xo + Xo +

+ 21 fUr Xo < -7,xo > -3} Xo + 3 fUr -7:S Xo :S -3 ' (denn Ixo + 51 :S 2 bedeutet -2 :S Xo + 5 :S 2, also -7 :S Xo :S -3; entsprechend fUr Ixo + 51> 2). j(xo

+ 5)

+ 5) = -Xo + 3 +

= {Jx5 + lOxo

b) (O,i), (-2,i), (-l,i).

a) (1,1), (-2,-35);

2)

3) y

x

j(x) ist stetig.

4)

.,

bl

..

CI

..

9.4. AUFGABEN ZU KAPITEL 4

431

e)

OJ

I) lOOO

.2000

-1000

1000

2000

3000

X

·1000

2

5)

a) y

= 4x -

6)

a) y

= -3 x + 3;

d) y

2 v

4

= --(x u

c) y = ux - ua + b.

b) y = -x -1; 3

6;

b) y

6

2

c)

(i, If);

= '5 x + '5;

d-b

c) y = --(x - a) c-a

+b

u) - v.

£).

7)

a) (~,3);

8)

Die Geraden mussen den gleichen Anstieg haben, aber verschiedene Ordinatenabschnitte, z.B. y = 2x + 1 und y = 2x - 4.

9)

Man sucht 2 Geraden mit verschiedenem Anstieg durch (-1,3), dabei verwendet man . . y-3 y-3 die Punktnchtungsform (4.1); z.B. ( ) = 1, ( ) = 2, also y = x + 4, x - -1 x - -1 Y = 2x+5.

10)

b) (~, ¥);

d) (~,

x+90, 0<X<200} {0,8X+170, 0<X<300} 0,75x+90,200<x:S400 , KB(x)= 0,7x+170, 300<x:S500 . { 0, 6x + 90, x > 400 0, 5x + 170, x > 500 Aus der Skizze entnimmt man, daB erst im Bereich x > 500, KB(x) < KA(x) werden kann. Also hat man zur Berechnung 0, 5x + 170 < 0,6x + 90: Fur x > 800 wird B gunstiger. KA(X)=

500 400 300 200 100 200

400

600

800

x

432

11)

KAPITEL 9. LOSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN

-2

6

-1

1

-0,8

5,04

5,048

° 6,0576

1 8,26912

-2

6

-2

1

-6

-2

7,6

-8,08

7,464

-11,9712

-0,8

b)

12)

1 1,2

a)

a) aile x mit Ausnahme von x = 2; c) aile x mit Ausnahme von x = -1;

b) aIle x; d) Ixl ~ 4;

e) x

< 6;

f) aile x.

13)

a) 2,2233302;

14)

a) x = 5,2684463;

15)

f (g(x»

16)

a) 2~ + 5;

17)

a)f(x)=u(x)v(x) mit u(x)=e x , v(x)=r(s(x», s(x)=x+7, r(s)=s4. b) f(x) = u(x) v(x) mit u(x) = x, v(x) = r(s(x», s(x) = 2x 2 + 5, r(s) = fIS. c) f(x) = h(x) - h(x), h(x) = UI(X) VI(X) mit UI(X) = 2x, VI(X) =..;x; U2(X) . h(x) = - (-) mIt U2(X) = 1, V2(X) = ~. V2 X d) f(x) = r(s(t(x))) mit t(x) = x 2 + 2, s(t) = -t, r(s) = eS. u(x) e) f(x) = v(x)' u(x) = 7x - 5, v(x) = r(s(x» mit s(x) = x - 3, r(s) = S2.

b) 0,5135914;

c) 1;

b) x = 1,7448582;

= _e 2x + 2e x + 5; b) 2e

t2

g(f(x» -

1

;

d) 1,0860331;

e) -1,7369656.

c) x = 0,1386469.

= e- x2 +2x +5.

c) In((4t - I?

+ 1).

f) f(x) = r(s(t(x») mit t(x) = 3x -7, s(t) ="ft, r(s) = Ins. g) f(x) = r(s(x» mit s(x) =~, r(s) = S2 - 2s + 5. 18)

a) Xo

=

7

2';

b)

Xl

= -5, X2 = -4;

c) Xl

= 3,8860009, X2 = -0,3860009;

d) Xo = 1 kann man durch Probieren finden. Es ist (x 3 -2x 2-x+2) : (x-I) = x 2 -x-2 mit den zwei weiteren Nullstellen Xl = 2, X2 = -1. e) Xl = -1, X2 = 3,8, X3 = -2,8; f) Xl = 4, X2 = 1, X3 = -1; g) Xl = 2, X2 = -1, X3 = 4,3722813, X4 = -1,3722813; h) Xo = 1; i) Xl = -2, X2 = -3; j) Xo = 7; k) Xl = V3, X2 = -V3; 1 I) Xo = 4 In 2 = 0,1732868; m) f(x)

=

°fiihrt auf In(x - 2) = In(x + 1)-1;

. Nur dIe Wurzel

19) 20)

a) PI b) PI X

Xl

1

2 = -x+ l'

x2

vTI = 2,3027756 kommt .III Frage. = 2'1 + -2-

= (6,13), P2 = (-2, -3); = (0,8471271,3,5647514),

= 36,637659.

X -

P2

= (-1,1804604,2,2130264).

-

X -

3 = 0.

9.4. AUFGABEN ZU KAPITEL 4

21)

1

3

1

5

a) x(y) =

7Y + 7;

d) u(t) =

2t + 2;

22)

b) x(y)

= Jv'Y-1,

e) o.(fJ)

= 2 1nfJ + 2'

b) y

23)

a) -3;

24)

a) +00; . c) I1m

x-->4-0

d)

433

1

x2

c)P(x)=-4+ 6 ;

y>O;

1

= ../x3 + 1,

c)y=-Inx;

x> -1;

d) y = 4 X

2

c) lim x + 4x - 12 = lim (x + 6)(x - 2) = ~ = -8; x-->2 x 2 - 5x + 6 x-->2 (x - 3)(x - 2) -1

b)

x x2

5x + 4

-

lim f(x)

x-->2+0

= 2,

+ = +00,

---.!..-1

lim

x-->-l+O X

= -00,

, I1m

x-->4+0

lim f(x)

x-->2-0

, I1m

1 - - =-00;

x-->-l-O X

+1

x x2

-

5x + 4

= +00;

= -1.

25)

a) -3;

26)

a) stetig;

27)

a) K(x) = 0, 9x + 14; Kv(x) = 0,9x, Kf(x) = 14, 14 14 k(x) = 0,9 + -, kf(x) = - , kv(x) = 0,9. x x b) K(x) = 0, 8x 3 - 10x 2 + 60x + 120; K f = 120, Kv(x) = 0,8x 3 120 120 k(x) = 0, 8x 2 - lOx + 60 + - , kf(x) = - , kv(x) = 0, 8x 2 x x

28)

c) 0;

b) stetig;

E(x) = lOx - 0, 3x 2 ;

Gewinnschwellen: Xl 29)

lim L(x)

x-->oo

+ 3.

= 2,5. + 2.

30)

Y = -2x 2

31)

25 -08 a)r2= 36rl "

35

b) r2 = 38, 44rl '

1,63 ME,

+ 9, Ix -

X2 ~

g) 5;

h) 2.

d) unstetig an x = -1 und x = 1.

c) unstetig an x = 1;

G(x) = -0,3x 2 ~

f) -00;

e) +00;

d) 0;

14;

28,71 ME,

-

lOx 2 + 60x,

-

10 + 60,

D(x) = -0,3x 2

+ 9, Ix;

KAPITEL 9. LOSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN

434

Graphik zu a)

Graphik zu b)

32)

X2

=

2 5

--Xl

34

+-. 5

Xl

33)

9.5

54

X2=--= 84

{/Xf

0,1525879 XI~

,

= 12,359619 , XI~

X2

39,0625

X2=-·--·

XI~

Aufgaben zu Kapitel 5

1)

2)

a) j'(x)

= -15x4 + 6x 2 -

c) h'es)

= - ~; + (s: 2)2 j

f) u'(s)

9 = 4~3s-=(('

2x + 1;

b) j'(x)

d) g'(t)

g) f'ex)

= -18x- 4 -

= 3~;

4x- 2

e) j'(x)

= 14xe- 2x + I (1- x)',

+ 6;

= 1/l~; I

h) C (Y)

=

9000

(Y

8150 + 900)2'.

9.5. AUFGABEN ZU KAPITEL 5

2

i) f'(x) _ 6x - 50x + 1 . - (-x 2 + X - 4)2 ,

435

. J) y'(t)

2 3Z k) h'(z) = e (6z - 3z - 1). (2z - 1)2

3)

1 2 = ---;;.In(t 2yt

4t + 1)

2t - 4 4 ; t +1

+ Vi t 2 -

a) f'(x) = 24x 3 + 9x 2 - 2x + 1, f"(x) = 72x 2 + 18x - 2, f'''(x) = 144x + 18, f(IV)(X) = 144; f"(x) = ~ =~, f"'(x) = _~ = _~, f(IV)(X) = 24 = 4! j x x3 x3 x4 x4 x5 x5 c) f'(t) = e- t (l-t), f"(t) = e- t (t-2), f"'(t) = e- t (3-t), f(iV)(t) = e- t (t-4); 1 1 2 d) f'(u) = In u + 1, f"(u) = -, f"'(u) = -2' f(IV)(U) = 3· u u u

b) f'(x) =

_-..!:..-, 2

4)

a) 1'(-2,6) = -49,36; d) h'(-3) ~ -1,959.

5)

a) 1'(2) = m = -2, y + 5 = -2(x - 2), b) y = 16, 31316x - 23,948632; c) C d) h = -0,00006768 + 0,0002949.

6)

a) steigend fUr x <

1

3'

b) 1'(1)

~

-0,052;

fallend fUr x >

c) u'(5)

~

20,363;

y = -2x - 1;

= -7,885 809t+ 2,0986425; 1

3;

1 1 b) steigend fUr t > -, fallend fUr t < - j e e c) f'(x) = e-(x+3)(_x 2 + 2x - 4), der erste Faktor ist stets > 0, der zweite stets < 0, also: f(x) Uberall fallend; d) fallend fUr 8 < 1 -)6 und 8 > 1 + )6, steigend fUr 1 - )6 < 8 < 1 + )6.

7)

a) konkav fUr x < 2, konvex fUr x > 2; b) f"(t) = (t! 1)3'

f konvex fUr t > 1, konkav fUr t < 1.

c)g"(u)=2Inu+3, fUru<e-~;

2Inu+3>0 ergibt u>e-~; gkonvexfUru>e-~,gkonkav

d) h"(z) = e- z (z2 - 4z + 2). Das Vorzeichen richtet sich wegen e- z > 0 nach dem 2. Faktor. h konvex fUr z < 2-V2 und z > 2+V2, h konkav fUr 2-V2 < z < 2+V2; e) f konvex fUr x < -2 und x> 1, f konkav fUr -2 < x < 1.

8)

df

= 4,

9)

du

= u'( -1)( -0,1) = 0,0606531;

exakter Wert der Funktionsanderung

exakter Wert der Funktionsanderung 10)

= 4,026.

= u( -1,1) -

u( -1)

= 0,0542194.

a) Xo = 3 ist Stelle eines relativen Minimums; fmin = f(3) = 5, d.h. Po(3, 5) ist Punkt des relativen Minimums. b) reI. Minimum: (-3, -36); reI. Maximum: (-5, -32). c) reI. Minimum: (1,5, -0,6875); d) reI. Maximum: (0,5,0,4288819); 1 1 e) reI. Minimum: (e- ,-2e- ); f) reI. Minimum: (0,9597356,1,9796263).

436

11)

KAPITEL 9. LOSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN

= (100 - x)(80 - y) --+ Max. Es ist x + Y = 30, y = 30 - x, = (100 - x)(50 + x), F'(x) = 50 - 2x, F"(x) = -2 < O. Xo = 25, Yo = 5. F

F(x)

100

80

80-y

F

.........................~ 11-1 100-x

~

L.-

:

--

:y

30

-~!( ~ --

30

Die maximale Flache erhalt man, wenn P so gewahlt wird, daB ein Quadrat entsteht. F max = 75 . 75 = 5625 cm 2. 12)

v = 7lT2 . h,

o,(r) ro

0

= 7rr2 + 27rrh;

2V = 27rr - -2'

ro

r

=

h

(;V -,

sW em. M·mlmum . = V-; VOL

Berechnung des zugehorigen h:

=.; u

O"(r)

7r

h

=

=

7rr2 + 2V,

wird in 0 eingesetzt: O(r) V 3"

= 271" + r > 0

,ifCf;)'

V

V

=

sW V-;

,.~

fUr r

=

r

> 0, also liegt fUr

sW.

V~·

malen GefaB ist die Hohe gleich dem Radius. Numerische Werte:

.

Be> d,m opt,·

ro __

{j1O~00 "" ,,'_

14, 71cm. h o = 14, 71cm. 13)

a) W c) WI

d) 14)

= (2, -31); b) WI = (2, -164), W2 = (-5, -1697); = (-0,6457513, 76,0771), W 2 = (4,6457513, - 326,0771)

WI

= (-

Js,D,

W2

= (Js'~);

e) WI

=

(-1, Je),

W2

=

(1, Je).

a) Definitionsbereich: aile reellen x; Nullstellen: XI = 1, X2 = -2, X3 = -6; f(x) ist liberall stetig; Extrema: Maximum: (-4,3609208, 20,745349), Minimum: (-0,3057458, -12,597201); Wendepunkt: (-i,4f7); f(x) wachsend fUr x < -4,3609208 und x > -0,3057458; f(x) fallend in -4,3609208 < x < -0,3057458; f(x) konkav flir x < konvex flir x > i; lim f(x) = -00, lim f(x) = +00;

-i,

x~-oo

X~+OO

437

9.5. AUFGABEN ZU KAPITEL 5

graphische Darstellung:

x

b) Definitionsbereich: aile reellen t auBer t = -1; Nullstellen: t 1 = 1, t2 = 2; Unstetigkeitsstelle: t = -1; Maximum: (-1 - v'6,-2v'6 - 5)j Minimum: (v'6Ij 2v'6 - 5); keine Wendepunktej wachsend fUr t < -1 -.J6 und fur t > v'6 - 1; fallend fur -1- v'6 < t < -1 und -1 < t < v'6 -1; konkav fUr t < -1, konvex fUr t> -1; lim x(t) = -00, lim x(t) = +00; t-+-oo

t-++oo

graphische Darstellung: x

-5

·10

5

,-

.',

c) Definitionsbereich: aile reellen X; Nullstelle: XQ = 0; keine Unstetigkeitsstellen; Minimum: (0,0); Maximum: (2, ~); Wendepunkte: (0,5857864, 0,1910182) und (3,4142136, 0,383537); fallend fur x < 0 und x > 2, wachsend fur 0 < x < 2; konvex fUr x < 0,5857864 und x > 3,4142136, konkav fur 0,5857864 < x < 3,4142136; lim f(x) = 0; lim f(x) = +00, x~-oo

X~+OO

graphische Darstellung:

-3

·2

2

-1 -1

3

4

5

6

KAPITEL 9. LOSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN

438

15)

16)

Es ist 5'(E) = \~5~~g6 E + 0, 1728 fUr 12740 :S E :S 52151. 5'(22 700) ~ 0,293 Euro/Euro. Bei einem Jahreseinkommen von 22700 Euro verursacht ein zusatzlich verdienter Euro 29,3 Cent Steuern. a) K'(x) = ~X2

-

31Ox+ 52000;

b) k'(x)

46000 c) X s = 310 ME; x f) Die Stuckkosten sinken urn 42,06

= ~x -155 -

--2-;

d) 5750 Euro/ME; e) 3950 Euro/ME; Euro/ME; g) Die exakten Werte bei d), e), f) sind in dieser Reihenfolge: 5720,17; 3950,17; -41,90. 17)

a) E'(p) = -4p + 500; b) E'(x) = -x + 250; c) E'(110) = 140 GE/ME, E(111) - E(110) = 139,5 GE.

18)

a) 46,0613

< x < 578,9387;

= -0, 012x + 3, 75; e) D'(x) = -0, 012x + 3, 75; c) G'(x)

b)

XMax

d) g'(x)

= 312,5 ME,

G Max = 425,9375 GE; 160

= -0,006 + -X2 ;

f) d'(x) = -0,006; g) E'(P) = -333~p + 666~; h) G' (280) = 0,39 GE/ME; i) der Stuckgewinn steigt urn 0,004 44GE/ME; j) der Deckungsbeitrag sinkt urn 0,75 GE. 19)

20)

21)

22)

x'(80) :::;: 1170: Wird bei einem Einsatz von 80 ME der Einsatz urn 1 ME erhoht, so steigt die produzierte Menge urn 1170 ME.

I

d T2 2 6 10 10 - i dT2 -d =-- ( -38 ) T 1 ; -d ·0,1~-0,229: Tl 3, Tl r,=5 Der Einsatz von T2 muB urn 0,229 ME sinken.

C'(4000) ~ 0,52 Euro/Euro. Die marginale Konsumquote betragt bei einem Einkommen von X = 4000 Euro ca. 0,52 Euro/Euro; die marginale Sparquote betragt ca. 0,48 Euro/Euro. a) Die Schwelle des Ertragsgesetzes liegt bei X s = 100 ME; b) Das Betriebsminimum liegt bei X m = 150 ME. Die kurzfristige Preisuntergrenze betragt 2250 GE/ME. x 52000 . . c) k'(x) = :3 - 50 - ~ = O. Das fUhrt auf die Glelchung 3. Grades:

x 3 - 150x2 - 156000 = O. Die positive Losung, d.h. die Stelle des Betriebsoptimums, ist Xo = 156,379 ME. Die langfristige Preisuntergrenze betragt k(156, 379) ~ 2589,31 GE/ME. 23)

a) K'(x) = p liefert: Xl,2 ~ 100 ± 64,81. Da xa im konvexen Bereich von K(x), d.h. im Bereich x > 100, liegen muB, kommt nur xa = 164,81 ME in Frage. Die gewinnmaximale Angebotsmenge betragt 164,81 ME; G Max = G(164, 81) = 82063,71 GE. b) Der Stuckgewinn wird am Betriebsoptimum maximiert; dies liegt fur die angegebene Kostenfunktion bei Xo = 156, 379 ME. 2

c) Die gewinnmaximale Angebotsfunktion ist p = ~ - 100x + 6000, d.h.

439

9.5. AUFGABEN ZU KAPITEL 5

x 2 - 200x + (6000 - p). 2 = 0, x(p) = 100 + J10000 - 2· (6000 - p), sie gilt fUr p 2: 2589,31 GE/ME. Fur die Kapazitatsgrenze x = 180 ME ergiht sich p = 4200 GE/ME, d.h. die Funktion x(P) gilt fUr 2589,31 :S p :S 4200.

24)

a) G(x) = lOx - 400. Die Gewinnschwelle liegt hei x = 40 ME. h) Das Gewinnmaximum liegt an der Kapazitatsgrenze x = 110 ME, G Max = G(110) = 700 GE. 400 c) g(x) = 10 - - j das Maximum dieser Funktion wird an der Kapazitatsgrenze x 400 angenommen. gMax = 10 - 110 ~ 6,36 GE/ME. kMin = k(110) ~ 8,64 GE/ME.

25)

a) Cournotpunkt C = (138,92, 261,08)j h) C = (175, 225), G Max = 28625 GE.

26)

h)

a)€f,x=nj

€f,x

G Max

4x 2 - 3x = 2x 2 -3x+4;

c)

= 26003,23 GE.

€g,t

= 1 - 3tj

d)

€x,r

= ~;

3u 3

e) 27)

€f,u

=

2In(u3-1)+~

In(u3 _ 1)

-0,3r 2 + 12r + 155 = -0, lr2 + 6r + 155'

€x,r

€x,rllO

~ 1,2,

€x,r150

~ 0,02.

Steigt der Faktoreinsatz hei r = 10 urn 1%, so steigt der Output urn 1, 2%, der Output verhalt sich hei r = 10 hzgl. des Faktoreinsatzes elastisch. Steigt der Faktoreinsatz hei r = 50 urn 1%, so steigt der Output urn 0,02%; hei r = 50 verhalt sich der Output annahernd starr. 28)

a) starr fur p = OJ unelastisch fUr 0 < p < 7,5j ausgeglichen elastisch fUr p = 7,5; elastisch fUr 7,5 < p < 15j vollkommen elastisch fUr p = 15. h) starr fUr p = OJ unelastisch fUr 0 < p < 2; ausgeglichen fur p = 2; elastisch fUr p > 2.

29)

€s,x

(X2

+ 15 OOOX -

= (X + 7500)(X2 _

870000)X 900X _ 5880000)'

€S,X15000

~ 2,71.

Steigt hei einem Einkommen von 5000 Euro das Einkommen urn 1%, so erhoht sich der Sparanteil urn 2,71%. 30)

8/

a) -8 Xl

= - 2X I + 4X2 -

8/ -8

3X3,

X2

8/ = (y - Z)4 + 6z(x - 2y)5,

8z = -4x(y - Z)3

8u

1

c) 8s = t+l

+ (x -

X3

= -3x 32 -

2XI + X2;

2y)6 j

8u

t

+ 2(t-s)Js(t-s)' 8t

- 0, 2r -0,6 r 0,5 r 0,6 , d) ~ 2 3 l 8 rl e)

8/ -8

8/ 8y = 4x(y - z)3 - 12z(x - 2y)5;

h) 8x

8/

= 4X2 + 4XI + X3,

.!!.L = -2xke- L;;=. x'f, 8Xk

s-1 ,jS. -(t+l)2 - 2(t-s)v!t=S'

88x -_ 0 , 25 r l0,4 r 2-0,5 r 0,6 3 , r2

k

= 1,2 ... , n;

8x -_ 0 , 3r 0,4 r 0,5 r -0,4., -8 l 2 3

r3

440

KAPITEL 9. LOSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN

of

f ) ",--- = 3kx k , UXk 2

k = 1,2, ... ,n;

OQ _ n 2 g) a-2L(C+bxi+aXi -Yi), c i=l

~

OQ

,,--- = 2 ~ (c + bXi ua i=l

)2 + aX 2 i - Yi Xi'

Das Normalgleichungssystem fUr die quadratische Regression lautet: c·n

b 2:: Xi

+

2:: Xi + c 2:: x~ + h) :;

= 2re- 2(r-s) (1 -

. of = 2(x-y) [In(x 2 -

1) AX

31)

b 2::

xr

a 2:: a

2:: Yi

xr

2:: x iYi

2:: xt

2::X~Yi'

:~ = 2r 2e- 2(r-s) .

r), 2y)

- y)] of [ 2 + x(x x 2 _ 2y , oY = -2(x-y) In(x

of = 4X1 + 4X2 + X3,,,,--of I ",--X U 2

a 2:: x~

+ + +

b 2:: x~

C

UX2 (2,4,-1)

. (-0,01)

-

2y)

+ x2X _-

Y ]

2y .

= -0,23.

Die Funktion nimmt urn 0,23 Einheiten abo 32)

33)

df =

eg,r

Ofl ax

(1,-2,3)

= 2(1 + r);

·0,001 +

eg,s

aOfly

= -28,

(1,-2,3)

.(-0,02) + Ofl OZ

eg,rl(l, 2)

= 4,

. (-0,02) = 1994,375. (1,-2,3)

eg,sl(1, 2)

= -4.

Wachst r bei Po(l, 2) urn 1% bei unverandertem 8 so nimmt die Funktion urn 4% zU. Wachst 8 bei Po = (1, 2) urn 1% bei unverandertem r, so nimmt die Funktion urn 4% abo 12

34)

Q(a, b) = L(b + aVi - 8i)2. Das Normalgleichungssystem lautet: i=l

12b b 2:: Vi

+ a 2:: Vi + a 2:: V;

675a + 45485a +

a :::::: 0,2396,

b :::::: 0,6308.

2:: 8i

12b =

169,3

=

11 324,2

675b

441

9.6. AUFGABEN ZU KAPITEL 6

9.6 1)

Aufgaben zu Kapitel 6 a) _-Sl x 6 + 25X5 - -41 x 4 + X S + 2x 2 - X + C; c) ~u.yu - 2uy'U + fru~ + C;

x x g) 41nx - 16 + C

h) durch zweimalige partielle Integration:

3)

a) f(x) b) f(x)

+ C·'

e) -In 1- y + 21;

(durch partielle Integration); e X (x 2 - 2x + 2);

e) 11,633697;

> 0 in [-5, 5], also F =

b) -1518k;

f) 0,1606028;

15

c) 16,105475; g) [-~ln(t6+1)]~1 =0.

(x 4 + x 2 + 1) dx = 1343k Flacheneinheiten;

-5 5

< 0 in [-5, 5], also F = l i 5 _e- x dxl = 148,40642 FE;

i:

c) f(x) hat die Nullstellen -3, 0, 3; es gilt F =

0,8

In Ius + 41;

a) [-:tx4+~xS_~X2+4x]~2=23:t; d) 20,985963;

...LtO,8

d) ~ In Ixl - 6e + C; 4

i) Substitution: uS + 4 = t :

-

X

4

f) _~e-2s+l + C;

2)

l ,4 b) ...Lt 1,4

li~S (x s -

9x) dxl +

s (x - 9x) dx +

11

S s (x - 9x) dxl +

1 5

S (X - 9x) dx

denn f(x) ist negativ in [-5, -3]' [0,3], positiv in [-3,0] und [3,5]. F = 168,5 FE.

4)

a = 0,0601539.

rIO 250000 e- nt dt = 1878649,10 Euro;

a) K o = io

b) e n .7 ,5 '1878649, 1 = 2949711,50 Euro;

c) en . lO ·1878649, 1 = 3428394,90 Euro.

r

12

5)

a) p ::::: 5,127%;

b) K o = is (200000+ 18000t) e-o,0 5t dt = 2051937 Euro.

c) 3738873 Euro.

56,57 GE;

7)

KR :::::

PR

8)

a) K(9) = 1900 + 50

:::::

113,14 GE.

1 9

b) 50

19

eO,0

5t

eO,05t dt = 2468,3122 Mrd. Euro;

dt = 149,24464 Mrd. Euro.

KAPITEL 9. LOSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN

442

9.7 1)

Aufgaben zu Kapitel 7 a) 2A - 4D

=(

b) x-y=

O}

c) AD

-2

T

B A =

~);

DA

7 1

=

(-~

AC =

Dy=(=D;

a)x1=2, xz=-I;

=

(-0;

(~~ -~ ~~);

d)AX=(~i} d) x

12

2x+3y=

= (-: -; 14

2)

~ -~ =~);

-4

8

(

-i

-~);

4-6

-16 4 38

-3 -4 0 -8 6-4

7) 14 . 7

T

BZ=(=t}

x y=3.

b) a =3,9778963, b=5,9598125;

C\-_3~~}

e) x

=(

c)un16sbar;

=t~iHHi ). 1,1862069

3)

a) Rang(B)=2;

Rang(C) = 3;

4)

A besitzt keine Inverse;

5)

Produktionsmatrix A =

B- 1 =

Rang(A) = 2;

( -8 -4 3) -3 9

(}~o -!Q... Z8~0) .&Q...

soo

zoo

-1 1 4-3

Rang(B) = 2. ;

= ( 0,03333 0,2

C- 1 = (

0,4 -0,2

0,3) 0,1 .

0,4 ) 0,05'

R = ( 0,13333

0,1); E _ A = ( 0,96667 -0,4 ). 0,1 0,3 ,-0,2 0,95 x bestimmt man aus dem Gleichungssystem: 0, 96667x1 -0, 2X 1 + 435,3877) ( 88,2704) x = ( 302, 1869 ; r = Rx = 134, 1948 .

6)

A =

0, 4x z 0, 95xz

~~~ =:~); 420

10 50 70) ( 410 0 0 ) ( 400 30 20 40 ,L = 0 450 0 ,(L-A)T = -50 ( 80 40 10 0 0 430 -70 -40

400P1 -50P1 -70P1

300 200.

+

30pz 430P2 40pz

+

80ps 40ps 420ps

1577 1235; 734

P=

(4 80) 3: 70 GE/LE. 2,90

443

9.7. AUFGABEN ZU KAPITEL 7

7)

Xl : Produktion von PI (in t), Xz: Produktion von pz (in t).

+ 300xz -+ Max

Z = 200XI Xl Xl 1,5xI Xl

+ + + ~

2xz:S 22 xz:S 13 0,5xz :S 16,5 0,

Xz

~

O.

(0,11 )

(11,0) Xl

z=o optimale Lasung: x

YI

yz

Y3 Z

Xz yz

Y3 Z

Xl

Xz

Y3 Z

= (~)t, Xl 1 1 1,5 -200

ZMax

Xz

~

1 0,5 -300

= 3500 Euro.

YI 1 0 0 0

yz

Y3

Z

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

yz

Y3

Z

0 1

0 0

0 0

b 22 13 16,5 0

k-

b 11 2

k-

11

8,8

Xl 0,5

Xz

~

0

YI 0,5 -0,5

1,25 -50

0 0

-0,25 150

0 0

1 0

0 1

Xl 0 1 0 0

Xz

YI 1 -1 1 100

yz

Y3

Z

b

-1 2 -2,5 100

0 0 1 0

0 0 0 1

9 4 6 3500

1

1 0 0 0

Nichtbasisvariable: YI = 0, yz = O.

X=

G),

ZMax

3300

= 3500.

a,?

11 13 33

a'

22 4

444

KAPITEL 9. LOSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN

8)

15 (0,14)

(17,0)

x

9)

9.8 1)

=

G).

a) x opt

ZM;n

= G~),

= 14. ZMax

= 59;

b)

Xopt

=

(8),

ZMax

= 8.

Aufgaben zu Kapitel 8 Es ist A

= 125 000· 0, 04 + 125 000· 0, 06 = 12500 Euro. 59 = 125 000·1, 06 9 - 12500 1, ~6~; 1 = 67543,42 Euro.

,

2)

Es ist A = 40 000· 1, 062

15

0, 062 1 062 15 _ 1 = 4172,50 Euro. ,

5 10 = 40 000· 1, 062 10 - 4172,50 1, 0~2;:2- 1 = 17480,86 Euro.

,

Gesamtleistung = Annuitat mal Laufzeit = 4172,50· 15 = 62587,50 Euro. 3)

In Formel (8.2) miissen wir fUr 50 nun die errechnete Restschuld von 17480,86 Euro einsetzen; q = 1, 09: n-

log (

4172,50 ) 4172,50-17480,86·0,09 ~ J h logl,09 ~ 5,5 are.

Die Tilgungszeit erhOht sich urn

t Jahr.

4) 5 10

= 300 000· 1, 05 10 -

18 000 1, 0~1~5- 1

,

= 262266,32 Euro.

445

9.8. AUFGABEN ZU KAPITEL 8

Die Zinsen im 11. Jahr sind 262266,32 . 0,085 = 22292,64 Euro. Sie iibersteigen die bisherige Annuitat betrachtlich; mit der bisherigen Annuitat ware eine weitere Tilgung nicht moglich. 5)

12~ Jahre ·12 = 150 Monate.

8 150 = 100000 ( 1 +

lOd.5512 )150 - 700 (1+2L)150_1 10~ = 48031,15 Euro. 100·12

Urn die Laufzeit zu berechnen, benutzen wir (8.2), setzen fUr q den Wert 1 + und erhalten die Zeit in Monaten:

Gesamtkosten Euro. 6)

700 700-100000.= (5,5 ) log 1 + 1200

= Monatsannuitat

Nach (8.4) ist A

8 20

~ 19 4 Jah -- 232 , 57 Monate ~, reo

mal Anzahl der Monate

= 700 . 232,57 = 162799

11 p) = 900 ( 12 + "2 . 100 = 11 047, 50 Euro.

= 150000.1,0520 n

7)

$.$)

log (

N --

=

log (

1 05 20 - 1 11 047, 50 ' 0 05

,

= 32698,53 Euro.

11 047,5 ) 11047,5150000·0,05 2 3J h log 1, 05 ::::; 3, are.

Wir berechnen zunachst die Annuitat fUr das Jahr: A

. Nach (8.4) 1st a = 1178,41 Euro.

= 200000· 1,0630 1, 0~3~6_ 1 = 14529,78 Euro. 2

1

14529,78 . . 0 = 1178,41 Euro. DIe monathche Belastung betragt + 5,5· ,06

8) qeff = '\/1,04 3 .1,045 4 .1,05 6 ::::; 1,0461.

9)

1O~,.512

Es ist j

= 3, n = 3,

qnom

= 1,02,

qreal

= 1,035.

1 02 Kreal = 20000.1,02 3 ( -'01, 35

)3

= 20314,68 Euro.

Zu diesem Preis wird die Forderung abgetreten. Es ist 1 02 C = ( 1,'035

Peff = 4,61

)3

. 100 = 95,71.

%.

446

10)

KAPITEL 9. LOSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN

Aus (8.11) ergibt sich C

1 = Kreal = 1,03 3

3

[1,03 - 1 ] 4 0,03 + 101

= 103,74.

Man muB 800 ·103, 74 = 82992 Euro investieren. 11)

Aus (8.13) ergibt sich die Funktion, von der wir eine Nullstelle suchen, zu

f(x) = 97, 5x 9

-

103, 5x 8

-

102x + 108.

Durch Probieren findet man f(l, 06) = -0,3591, f(I,07) = 0,2775; die Gerade durch P I (I,06;-0,3591) und P2 (1,07;0,2775) hat die Gleichung y

= 0,2775 + 0,3591 ( _ 1 06) _ 0 3591

1, 07 - 1, 06

x,

,

=

67,8387 63 , 66

also y = 63,66x - 67,8387;

Xo

,

= 1,0656.

f(xo) = -0,03286. Wir wahlen jetzt als PI den Punkt PI (1, 0656; -0,03286), P2 behalten wir beL Das ergibt die Gerade y = 70, 5364x - 75, 1964;

Xo = 1,0661.

Wir probieren nun noch etwas: Es ist f(I,066) = -0,0067; f(I,0661) = -0,0000378; f(I,0662) = +0,0066. Der Wert, den unser zweiter Schritt geliefert hatte, ist bereits der richtige; qreal = 1,0661; die Rendite betragt also 6,61 %. 12)

13)

Aus(8.14) ergibt sich

Es ist C

= 102,5,

6 (1,06)6 1,05 -1 0,06 1,066 -1 . 0,05 1,05

C

= 100

a

= 100 1,054 ·0,054 = 54 0855 I 1, 0542 _ 1 ' , a so

= 103,22.

2

f(x)

= 102, 5x 3 -

156, 5855x 2 + 54,0855

f(I,04) = 0,02118, f(I,03) = -0,03154. Die Gerade durch PI (1, 03; -0,03154) und P2 (1, 04; 0, 02118) hat die Gleichung y = 5, 272x - 5,4617;

Xo = 1,036.

f(I,036) = -0,00378. Die Gerade durch PI (1, 036; -0,00378) und P2 (1, 04; 0, 02118) lautet y = 6, 24x - 6,46842; Xo = 1,0366. f(I,0366) = -0,000375. Wir probieren x = 1,0367: f(I,0367) = +0,000206. Dieser Wert ist noch naher an der tatsachlichen Nullstelle. Da die Funktion monoton wachst, £alit f(I,0368) groBer aus. Also qreal = 1,0367; die Rendite betragt 3,67 %.

Adelmeyer, M.; Warmuth, E.: Wiesbaden: Vieweg Verlag 2005.

Finanzmathematik für Einsteiger.

Biermann, K.; Grötschel, M.; Lutz-Westphal, B.: Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag 2010.

Besser als Mathe.

Bosch, K.: Brückenkurs Mathematik. 14. Auflage. München: Oldenbourg Verlag 2010. Bosch, K.:

Finanzmathematik. 7. Auflage. München: Oldenbourg Verlag 2007.

Bosch, K.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 14. Auflage. München: Oldenbourg Verlag 2003. Grundmann, W.; Luderer, B.: Formelsammlung Finanzmathematik, Versicherungsmathematik, Wertpapieranalyse. 3. Auflage. Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag 2009. Huang, D. S.; Schulz, W.: Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. München: Oldenbourg Verlag 2002. Kurz, S.; Rambau, J.: Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. Stuttgart: Kohlhammer Verlag 2009. Luderer, B.: Klausurtraining Mathematik und Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 2. Auflage. Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag 2008. Luderer, B.: Starthilfe Finanzmathematik. 2. Auflage. Stuttgart-Leipzig-Wiesbaden: Teubner Verlag 2003. Luderer, B.; Nollau, V.; Vetters, K.: Mathematische Formeln für Wirtschaftswissenschaftler. 6. Auflage. Wiesbaden: Teubner Verlag 2008. Jensen, U.: Wozu Mathe in den Wirtschaftswissenschaften? Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag 2011. Kemnitz, A.: Mathematik zum Studienbeginn. 9. Auflage. Wiesbaden: Vieweg+ Teubner Verlag 2010. Matthäus, H.; Matthäus, W.-G.: Mathematik für BWL-Bachelor. 2. Auflage. Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag 2010.

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Poguntke, W.:

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Rommelfanger, H.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I, II. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, Bd. I, 6. Aufl. 2004; Bd. II, 5. Aufl. 2002 Schäfer, W.; Georgi, K.; Trippler, G.: Wiesbaden: Teubner Verlag 2006.

Mathematik-Vorkurs. 6. Aufl.

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Index Ableitung 237, 239 Ableitungen, hahere 253 -, partielle 292 105, 129 Abschreibung 129 -, geometrisch-degressive -, lineare 105 Abschreibungsplan 106 Abschreibungsrate 105 141 Abszissenachse 25 Addition von Briichen - Funktionen 171 - Matrizen 347 - Vektoren 347 AfA-Tabellen 105 Anfangskapital 39,75 Angebotsfunktionen 213, 285,334 416 Anleihe 420 Annuitatenschuld 125,407 Annuitatentilgung Anstieg einer Geraden 153 Argument 138 103 arithmetische Folgen - Reihen 103 14 Assoziativgesetz der Addition - Multiplikation 14 41,75 Aufzinsungsfaktor 17,66 Ausklammern Ausmultiplizieren 16 Barwert - eines Zahlungsstromes Basis Basislasung Basisperiode Basisvariable Berichtsperiode Beschranktheit Betrag einer Zahl Betriebsminimum

77 330 63 396 46 365,395 47 180 56 279

Betriebsoptimum Bilanzgeraden Binomialkoeffizienten binomische Formeln binomischer Lehrsatz Briiche, gleichnamige -, ungleichnamige Bruchrechnung Buchwert ceteris-paribus-Bedingung Cournot-Menge - Preis - Punkt

280 227 71 19 73 25 26 21 105 223, 292ff 287 287 287

Darlehen mit Laufzeitzinssatz 111 Deckungsbeitrag 217 - pro Stiick 217 Definitionsbereich 138, 268 Diagonalmatrizen 345 Differential 240ff - , totales Differentialquotient 240,248 Differentialrechnung 233ff Differentiationsregeln 242, 246 Differenzieren 240, 243ff Distributivgesetz 15 Division von Briichen 22 - von Funktionen 171 - von Potenzen 67 Doppelwurzeln 91 Dreiecksmatrizen 346 Dreiecksungleichung 57 Durchschnitt 44 Durchschnittsfunktinen 277ff Ecken effektiver Jahreszins Effektivverzinsung

W. Purkert, Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, DOI 10.1007/978-3-8348-9936-1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

389 111 412

450

Einheitsvektoren 345 Einkommenssteuerfunktion 150 291 elastisches Verhalten 289ff Elastizitat Endkapital 40,75 EngpaBbedingung 399 Entscheidungsvariable 395 214 Erlosfunktionen 411 Ersatzannuitat Ersatzrate 120 Ersatzrente 120 23 Erweitern Exponent 63 Exponentialfunktionen 166, 170,245 - gleichungen 95 Extrema 258ff,268 - , globale 264 - ,lokale 258 - ohne Nebenbedingungen 296 Finanzmathematik, Grundprinzip der 77 Fixkostendegression 209 Flachenberechnungen 324 Funktion, aussere 173 - , degressiv wachsende 187 - , innere 173 - , monoton fallende 183, 255 - , monoton wachsende 182, 255 - , nach oben beschrankte 180 - , nach unten beschrankte 180 - , okonomische 207ff - , progressiv wachsende 187, 257 - , streng monoton fallende 183 - , streng monoton wachsende 182 - , iiberlinear fallende 257 - , unterlinear fallende 257 - , von unten konkave 184, 256 - , von unten konvexe 184, 256 Funktionen 137ff - , elementare 150ff, 170, 309 - , ganze rationale 159ff - , gebrochen-rationale 163ff -, konstante 151,159,170,243 - , lineare 151ff, 220, 264, 387 - , logistische 218 - , mehrerer Variabler 219ff, 292ff - , quadratische 160

INDEX

Funktionswert

138

Gau13scher Algorithmus 359ff geometrische Folgen 113 - Reihen 114 Gerade 152 Gesamtkosten 207 - , degressiv wachsende 210 - , ertragsgesetzliche 211, 279ff, 285 - , lineare 209, 283 - , progressiv wachsende 210 207 Gesamtkostenfunktionen Gewinnfunktionen 215 Gewinnlinse 216 Gewinnmaximierung 282ff Gewinnschwellen 215 Gewinnzone 215 Gleichungen 30 - , lineare 31 - , quadratische 90 -, Umformung von 30, 87 Gleichungssysteme - , kanonische 365,395 - , lineare 339, 357ff Grad eines Polynoms 159 Graph einer Funktion 141,142,222 graphische Darstellung von Funktionen 141, 142, 222, 268 275 Grenzdeckungsbeitrag 272 Grenzerlos 296 Grenzerlose, partielle 276 Grenzertrag 271ff Grenzfunktionen - , partielle 295 Grenzgewinn 274 296 Grenzgewinne, partielle 277 Grenzhang zum Konsum - zum Sparen 277 272 Grenzkosten - , partielle 295 273 - , variable 276 Grenzproduktivitat 296 Grenzproduktivitaten, partielle 276 Grenzrate der Substitution 272 Grenzsteuer 102, 191ff Grenzwert 193 - , uneigentlicher 194 Grenzwerte, einseitige

451

INDEX

Grenzwertsatze Grundintegrale Grundrechenarten Grundwert Hauptnenner Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung Hornerschema Indexzahlen Indifferenzkurven Input, exogener - , interner Input-Output-Analyse Integralrechnung Integral, bestimmtes - , unbestimmtes Integrand Integration durch Substitution - , partielle Integrationsgrenzen Intervalle Investitionsfunktionen Investitionsrate Isohohenlinien Isokostenlinien Isoquanten

197 309 13 36 26, 67 321ff 162 46 227 381 379 378ff 307ff 316ff 307ff 318 313 312 318 182 218 336 225 227 225

Kapitalaufbau 123 Kapitalstock 336 Kapitalverzehr 123 - , vollstandiger 124 251 Kettenregel 159 Koeffizenten eines Polynoms 339, 357ff Koeffizientenmatrix - , erweiterte 371 Kommutativgesetz der Addition 13 - der Multiplikation 14 213 Konkurrenz, vollkommene 213 Konkurrenzpreis 332 Konsumentenrente 277 Konsumquote, marginale 208 Kosten, durchschnittliche - , fixe 207 - , primare 383 - , sekundare 384 - , variable 207

- , unstetige Kostenfunktionen - , ertragsgesetzliche Krummungsverhalten Kupon Kurs Kurvendiskussion Kurzen

212 207ff 211,279ff 184ff, 256ff, 268 416 415 267ff 23

Laspeyres-Index 51 Laufzeitzinssatz 111 Leistungsverrechnung, innerbetriebliche 383 Leontjef-Inverse 380 Lineare Algebra 339ff Linearkombinationen 349 Lineare Optimierung 387ff Logarithmen 84 - , naturliche 85 Logarithmengesetze 86 Logarithmengleichungen 95 168, 170,245 Logarithmusfunktionen LO-Probleme 387 Losungsformel der 91 quadratischen Gleichung Lucken 206 Marginalanalyse Marginalfunktionen Maxima Mengenindex nach Laspeyres - nach Paasche Methode der kleinsten Quadrate Matrix, inverse Matrizen - , quadratische - , regulare - , symmetrische - , verkettete Matrizenmultiplikation Minima Mittel, arithmetisches - , gewogenes monopolistischer Anbieter monoton fallend - wachsend Monotonie Multiplikation von Bruchen

272 271ff 258 50, 352 50, 352 296 356, 375ff 341ff 343 356 344 353 353 258 44 45 282, 287 102, 255 102,255 182 21

INDEX

452

- von Funktionen - von Matrizen - von Potenzen

171 352 66

N achfragefunktionen 213, 273, Nichtbasisvariable 365, Nichtnegativitatsbedingungen Nominalkapital Nominalzinssatz Normalform der quadratischen Gleichung n-Thpel Nullmatrix Nullstellen 174, - gebrochen-rationaler Funktionen - linearer Funktionen - quadratischer Funktionen - von Polynomen Nullvektor

332 395 387 415 415 90 220 345 268 178 174 175 177 345

Optimalitatskriterium Ordinatenabschnitt Ordinatenachse

399 152 141

Paasche-Index 51 Parabeln 160 Pivotelement 372, 399 Pivotisierung 372fr Pivotschritt 372, 397 Pivotspalte 372, 399 Pivotzeile 372, 399 Polynome 159 polypolistischer Anbieter 282 Potenzen 63 81 - mit gebrochenen Exponenten - mit negativen Exponenten 69 Potenzfunktionen 163, 170, 243, 309 Potenzgesetze 66fr 82, 83 - fUr gebrochene Exponenten Potenzieren einer Potenz 68 Preis-Absatz-Funktionen 214, 273 Preisindex nach Laspeyres 49, 352 - nach Paasche 50, 352 Preisuntergrenze, kurzfristige 280 281 - , langfristige Problemvariable 395 Produktionsfaktoren 226 Produktionsfunktionen 226

Produktionsmatrix Produktionskoeffizienten Produktlebenszyklen Produktregel Produzentenrente Proportionen Prozentrechnung Prozentsatz Prozentwert Punktrichtungsform der Geradengleichung Quadratwurzel Quote, marginale Quotientenregel Radikand Rang einer Matrix Ratentilgung Realkapital Realzinssatz Regressionsfunktionen Regressionsgeraden Rendite Renten -, nachschiissige -, vorschiissige Rentenbarwert Rentenendwert Rentenrechnung Restriktionen Restwert Rohstofrverbrauchskoeffizienten

378 342,378 217 248 334 35 36 36 36 157 79 271 250 79 370 107 415 415 298 298 412,417 116 116 116 121 116 116fr 388 105 342

Schlupfvariable 394 Schnittpunktbestimmung von Kurven 179 Schrottwert 106 Schwelle des Ertragsgesetzes 279 Simplexalgorithmus 393fr Skalare 346 Skalarprodukt 351fr Sparkassenformeln 123 Sparquote, marginale 277 202 Spriinge 308 Stammfunktion 236 Steigung der Tangente 235 - der Sekante - eines Funktionsgraphen 234, 255

453

INDEX

153, 235 - einer Geraden 255 Steigungsverhalten 327,413 stetige Verzinsung 201 Stetigkeit 217 Stiickgewinnfunktion 285 Stiickgewinnmaximierung 208 Stiickkosten 42 Summationsgrenzen 42 Summationsindex 104 Summe einer arithmetischen Reihe 114 - einer geometrischen Reihe 247,311 Summenregel 42 Summenzeichen Tageszinsen Tangente Technologiematrix Terme Tilgung Tilgungsplan Tilgungsrate

39 237 378 29 107,125,407 108, 126 108

Umformungen, aquivalente 30, 87 Umkehrfunktionen 187ff 214 Umsatzfunktionen 47, 352 Umsatzindex 291 unelastisches Verhalten 164,202 Unendlichkeitsstellen 52 Ungleichungen -, lineare 387 202,268 Unstetigkeitsstellen -, hebbare 206 76,119,413 unterjahrige Verzinsung Variable -, abhangige -, unabhangige Vektoren Verfiechtungstabelle Verhalten im Unendlichen Verhaltnis, umgekehrtes Verkettung von Funktionen Verrechnungspreise Verzinsung, einfache -, nachschiissige -, stetige -, unterjahrige Vorzeichenregeln

29 138, 187 138, 187 341ff 341, 378 195, 268 35 172,251 384 38 38 327, 413 76, 119,413 17,25

Wendepunkte 186, 266, 268 Wertebereich 138 Wertetabelle 141 wirtschaftliche Nutzungsdauer 105 Wurzeln 79 Wurzelexponent 79 166, 170, 244 Wurzelfunktionen 82ff Wurzelgesetze Wurzelgleichungen 93 Wurzelwert 79 Zahl, entgegengesetzte 17 Zahlen, allgemeine 13 -, ganze 12 -, natiirliche 12 -, rationale 12 -, reelle 12 101ff Zahlenfolgen Zahlengerade 12 ZahlungsfiuB 329 328 Zahlungsstrome, kontinuierliche Zehnerlogarithmen 85 Zielfunktion 387 Zinsbindung 407 Zinsen 38 75,114 Zinseszinsformel 74ff Zinseszinsrechnung ZinsfuB 39 Zinsjahr 39 Zinsperiode 38, 76 Zinssatz 39 -, unterjahriger 76 Zinstage 39 Zinszuschlagtermine 38 zulassige Losung 388 zulassiger Bereich 389 138 Zuordnungsvorschrift Zweipunktform der Geradengleichung 158