Algebra 009

Algebra Peter Mu ¨ller 2. Februar 2007

Inhaltsverzeichnis 1 Einfu ¨ hrung

3

2 Gruppen 2.1 Definitionen, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Untergruppen und zyklische Gruppen . . . . . . . 2.3 Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Normalteiler und Faktorgruppen . . . . . . . . . . 2.5 Symmetrische und alternierende Gruppen . . . . . 2.6 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Endliche abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . 2.10 Der Satz von Jordan-H¨older . . . . . . . . . . . . 2.11 Die S¨atze von Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Gruppen kleiner Ordnung . . . . . . . . . . . . . 2.12.1 Automorphismen zyklischer Gruppen. . . . 2.12.2 |G| = pq, p < q Primzahlen. . . . . . . . . 2.12.3 |G| = 1001 = 7 · 11 · 13. . . . . . . . . . . . 2.12.4 |G| = pqr, p < q < r Primzahlen. . . . . . 2.12.5 |G| = pa q b , p < q Primzahlen, 0 ≤ a, b ≤ 2. 2.12.6 |G| = 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.7 Aufl¨osbarkeit von G f¨ ur |G| < 60. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 5 8 10 11 15 18 23 26 29 32 36 37 37 38 38 39 39 40

3 Ringe 3.1 Definitionen, Beispiele . . . . . . . . . 3.2 Homomorphismen und Ideale . . . . . 3.3 Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . 3.4 Anwendungen der Kongruenzrechnung

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

41 41 43 45 47

1

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13

Maximale Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . Primideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einheitengruppe von Z/nZ . . . . . . . . . . Quotientenk¨orper . . . . . . . . . . . . . . . Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inhalt von Polynomen, Lemma von Gauß . . Das Irreduzibilit¨atskriterium von Eisenstein Kryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

4 Ko ¨rper 4.1 K¨orpererweiterungen, K¨orpergrade und Homomorphismen . 4.2 Algebraische und transzendente Elemente . . . . . . . . . . . 4.3 Konstruktion mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 W¨ urfelverdoppelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Winkeldreiteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Regul¨are n-Ecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Algebraische K¨orpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Algebraischer Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Fortsetzung von Homomorphismen . . . . . . . . . . 4.4.3 Zerf¨allungsk¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Separabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5 Der Satz vom primitiven Element . . . . . . . . . . . 4.4.6 Normale K¨orpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . 4.5 Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Der Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . 4.5.2 C ist algebraisch abgeschlossen . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Spuren und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Lineare Unabh¨angigkeit von Charakteren . . . . . . . 4.5.5 Zyklische Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.6 Einheitswurzeln und Kreisteilungspolynome . . . . . 4.5.7 Aufl¨osbarkeit durch Radikale . . . . . . . . . . . . . 4.5.8 Zirkel- und Linealkonstruktion regul¨arer n-Ecke . . . 4.5.9 Endliche K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.10 Primzahlen in mN+1 und abelsche Galoisgruppen u ¨ber Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Quadratische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Symmetrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Diskriminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Elementare Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Holomorphe und meromorphe Funktionen . . . . . . 2

. . . . . . . . .

48 49 49 53 55 55 58 61 62

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 65 66 68 72 72 73 73 75 76 77 78 81 82 83 83 87 88 89 89 91 92 95 96

. . . . . .

98 99 104 106 108 109

4.9.2 4.9.3

1

Differentialk¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Die S¨atze von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Einfu ¨ hrung

Die Algebra hat ihre Wurzeln in der Geometrie und Zahlentheorie. Klassische Beispiele • Kann man mit Zirkel und Lineal beliebige Winkel dritteln, oder W¨ urfel verdoppeln? • Kann man die Nullstellen von Polynomen stets durch Wurzeln und die vier Grundrechenarten ausdr¨ ucken? 2

ur Funktionen wie e−x explizite Stammfunktionen ange• Kann man f¨ ben? • Wie findet man rationale oder ganzzahlige L¨osungen von Systemen von Polynomen in mehreren Ver¨anderlichen, z.B. (f¨ ur festes n ∈ N) n n n X + Y = Z mit X, Y, Z ∈ Z (Fermat-Problem)? Moderne Beispiele ¨ • Wie u Fehler auf¨bertr¨agt man digitale Daten, bei deren Ubertragung treten k¨onnen, durch Einbau von m¨oglichst wenig Redundanz, aber mit m¨oglichst guter Fehlererkennungs- und -korrekturm¨oglichkeit? Dies f¨ uhrt zur Kodierungstheorie. usselte Daten ¨offentlich, so dass nur der vor• Wie u ¨bertr¨agt man verschl¨ gesehene Empf¨anger sie entschl¨ usseln kann? Das geht sogar, ohne dass Sender und Empf¨anger vorher geheime Schl¨ ussel austauschen m¨ ussen, selbst die d¨ urfen ¨offentlich mitgeteilt werden (public key cryptography)! Dies f¨ uhrt zur Kryptographie. In der Algebra haben sich wichtige Begriffe herauskristallisiert, n¨amlich Gruppen, Ringe und K¨orper. Diesen Begriffen ist die Vorlesung Algebra I gewidmet. Die K¨orpertheorie wird in der Algebra II fortgesetzt. Ein Schwerpunkt wird die Galoistheorie sein, eine reizvolle Kombination aus Gruppen- und K¨orpertheorie. 3

2

Gruppen

Vorbemerkung: Es gibt keine einheitliche Auffassung dar¨ uber, ob 0 eine nat¨ urliche Zahl ist. Im gesamten Skript wird 0 nicht als nat¨ urliche Zahl betrachtet. Entsprechend ist N = {1, 2, 3, . . . }. Man beachte aber, dass z.B. in der franz¨osischen Literatur (oder auch nach der DIN-Norm 5473) 0 eine nat¨ urliche Zahl ist. F¨ ur die Menge {0, 1, 2, . . . } = N ∪ {0} schreiben wir N0 .

2.1

Definitionen, Beispiele

Definition 2.1. Eine Menge G mit einer zweistelligen Verkn¨ upfung G×G → G, (x, y) 7→ x · y, heißt Halbgruppe, wenn das Assoziativgesetz gilt, d.h. (x · y) · z = x · (y · z) f¨ ur alle x, y, z ∈ G. H¨aufig schreibt man xy statt x · y. Beispiele von Halbgruppen • (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·). • Abb(X, X) = Menge der Abbildungen von X auf sich. Das Produkt f ·g f¨ ur f, g ∈ Abb(X, X) ist als die Komposition definiert, also (f · g)(x) = f (g(x)) f¨ ur x ∈ X. In der Gruppentheorie werden wir h¨aufig xf statt f (x) schreiben. • Sei G die Potenzmenge einer Menge. Dann sind (G, ∩) und (G, ∪) Halbgruppen. Definition 2.2. Eine Halbgruppe heißt abelsch oder kommutativ , wenn xy = yx f¨ ur alle x, y ∈ G gilt. Definition 2.3. Die Halbgruppe G ist ein Monoid , wenn es ein Einselement e (oder auch neutrales Element genannt) gibt, d.h. es gilt ex = xe = x f¨ ur alle x ∈ G. Man schreibt dann x0 = e. Beispiel. Die Halbgruppe (N, +) ist kein Monoid, (N, ·) oder (N0 , +) aber schon. Bemerkung. Ein Monoid hat nur ein Einselement. Sei etwa e0 ein weiteres Einselement. Dann gilt e = e0 e = e0 . Wir kommen nun zum zentralen Begriff dieses Kapitels. Definition 2.4. Ein Monoid G heißt Gruppe, wenn es f¨ ur alle x ∈ G ein y ∈ G gibt mit xy = yx = e. 4

Bemerkung. In der Definition ist y eindeutig. Denn aus y 0 x = xy 0 = e folgt y 0 = y 0 e = y 0 (xy) = (y 0 x)y = ey = y. Man schreibt x−1 f¨ ur y, und x−n := (x−1 )n f¨ ur n ∈ N. Mit diesen Festm n m+n m n setzungen gilt dann x x = x und (x ) = xmn f¨ ur alle m, n ∈ Z. Einfache Folgerungen fu ¨ r eine Gruppe G • Seien a, b ∈ G. Dann sind die Gleichungen ax = b und ya = b eindeutig durch x = a−1 b und y = ba−1 l¨osbar. Im allgemeinen gilt x 6= y, so dass eine Bruchschreibweise ab nur f¨ ur abelsche Gruppen sinnvoll ist. • Es gelten K¨ urzungsregeln: Aus ax = ay (oder xa = ya) folgt x = y. • (ab)−1 = b−1 a−1 . Beispiele von Gruppen • (V, +) mit Vektorraum V . • (K \ {0}, ·) mit K¨orper K. • SX = Teilmenge der Bijektionen aus Abb(X, X), wieder mit Komposition als Verkn¨ upfung. F¨ ur X = {1, 2, . . . , n} schreibt man Sn statt SX . Man nennt Sn die symmetrische Gruppe vom Grad n. Statt SX werden wir zwecks besserer Lesbarkeit gelegentlich Sym(X) schreiben. • GLn (K) = {A ∈ Mn (K)| det A 6= 0}, K K¨orper. • SLn (Z) = {A ∈ Mn (Z)| det A = 1}. Bemerkung. H¨aufig schreibt man 1 f¨ ur das neutrale Element e. Ist die Gruppe abelsch, so verwendet man oft eine additive Notation, also a + b und −a statt a · b und a−1 . Nat¨ urlich verwendet man dennoch z.B. f¨ ur multiplikative Gruppen von K¨orpern die multiplikative Notation.

2.2

Untergruppen und zyklische Gruppen

Definition 2.5. Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G heißt Untergruppe von G, wenn aus a, b ∈ U schon a · b ∈ U und a−1 ∈ U folgt. (In diesem Fall ist (U, ·) eine Gruppe.) Man schreibt U ≤ G. Es folgt sehr einfach, dass Untergruppen von Untergruppen wieder Untergruppen sind. Auch Schnitte von Untergruppen sind wieder Untergruppen. (Was ist mit Vereinigungen?) 5

Beispiele • G = Z, U = 2Z = {2m| m ∈ Z} • G = S5 , U = {g ∈ G| g(5) = 5} = S4 • G = GLn (K), U = SLn (K) Definition 2.6. Sei M ⊆ G eine Teilmenge der Gruppe G. Die von M erzeugte Untergruppe <M > ist die kleinste M enthaltende Untergruppe von G. Wichtige Beispiele von (Unter)gruppen sind solche, die von einem Element erzeugt werden. Definition 2.7. Eine zyklische Gruppe ist eine von einem Element erzeugte Gruppe. Beispiele zyklischer Gruppen • G = Z = <1> • G = {e

2πik n

| k = 0, 1, . . . , n − 1} = <e

2πi n

> f¨ ur n ∈ N

• G = Z/nZ = <1 + nZ> f¨ ur n ∈ N Definition 2.8. Ist G eine Gruppe, dann heißt |G| ∈ N ∪ {∞} die Ordnung von G. F¨ ur a ∈ G heißt ord(a) = || ∈ N ∪ {∞} die Ordnung von a. Lemma 2.9. Ist ord(a) = n ∈ N, dann ist n die kleinste nat¨ urliche Zahl m mit am = e. Ferner gilt = {e = a0 , a1 , . . . , an−1 }, und ai = aj ist ¨aquivalent zu i ≡ j (mod n). Beweis. Zun¨achst m¨ ussen wir sehen, dass es u urliche Zahl ¨berhaupt eine nat¨ m m gibt mit a = e. Das folgende Argument unter Verwendung des Schubfachprinzips wird uns in vielen Varianten noch ¨ofters begegnen: Unter den n+1 Elementen {a0 , a1 , . . . , an } muss es zwei gleiche geben, da die Menge eine Teilmenge einer n-elementigen Menge ist. Sei etwa ai = aj mit 0 ≤ i < j ≤ n. Dann gilt j − i ∈ N und aj−i = e. Sei nun m ∈ N minimal mit am = e. Dann gilt = {a0 , a1 , . . . , am−1 }. Ferner gilt ai 6= aj f¨ ur 0 ≤ i < j ≤ m − 1, denn andernfalls folgte aj−i = e, im Widerspruch zur Minimalit¨at von m. Es folgt m = n und der Rest der Behauptung. 6

Definition 2.10. Ein Element der Ordnung 2 nennt man Involution. Wir werden sp¨ater sehen, dass die Struktur der Untergruppen selbst in end¨ lichen Gruppen sehr kompliziert sein kann. Ubersichtlich ist das hingegen in zyklischen Gruppen. Satz 2.11. Die Gruppe G sei zyklisch. Dann ist jede Untergruppe von G zyklisch. Hat G endliche Ordnung n, dann hat G f¨ ur jeden Teiler r von n genau eine Untergruppe der Ordnung r. (Ferner ist die Ordnung jeder Untergruppe ein Teiler von n.) Beweis. Sei U eine Untergruppe von G = . W¨ahle s ∈ N minimal mit as ∈ U . Wir behaupten U = . Dazu sei m ∈ Z mit am ∈ U . Schreibe m = us + v mit 0 ≤ v ≤ s − 1 (Division mit Rest). Wegen (as )u av = am ∈ U und as ∈ U folgt av ∈ U , also v = 0 wegen der Minimalit¨at von s. Aber am = aus ∈ . Hieraus folgt der erste Teil der Behauptung. Sei nun n ∈ N die Ordnung von a. Wegen an = e ∈ U folgt wie eben, dass s ein Teiler von n ist, also n = rs mit r ∈ N. Offenbar gilt = {a0 , as , a2s , . . . , a(r−1)s }, also |U | = ord(as ) = r. Umgekehrt ist f¨ ur jeden Teiler r von n die Menge = {a0 , as , a2s , . . . , a(r−1)s } mit s = n/r eine Untergruppe der Ordnung r. Eine bemerkenswerte Folgerung dieses Satzes ist Satz 2.12. Sei d der gr¨oßte gemeinsame Teiler der nat¨ urlichen Zahlen m und n. Dann gibt es u, v ∈ Z mit um + vn = d. Beweis. Offenbar ist mZ + nZ eine Untergruppe von Z. Nach dem vorigen Satz ist diese Gruppe erzeugt von einem Element t ∈ Z, also mZ + nZ = tZ. Wegen tZ = (−t)Z d¨ urfen wir t ∈ N annehmen. Aus t ∈ mZ + nZ erh¨alt man eine Darstellung t = um + vn mit u, v ∈ Z. Hieraus folgt, dass d ein Teiler von t ist. Wegen m ∈ tZ gilt m = tt0 f¨ ur ein t0 ∈ N, t ist also ein Teiler von m. Genauso folgt, dass t ein Teiler von n ist. Daher gilt t ≤ d. Da aber t von d geteilt wird, folgt t = d. H¨aufig ben¨otigt man die Ordnung von Potenzen von Elementen einer Gruppe. Der folgende Satz gibt dar¨ uber Auskunft. Satz 2.13. Sei a ein Element der Ordnung n ∈ N in einer Gruppe. F¨ ur m ∈ Z sei d ∈ N der gr¨oßte gemeinsame Teiler von n und m. Dann hat am die Ordnung nd . 7

Beweis. F¨ ur m = 0 gilt d = n, und die Behauptung stimmt offensichtlich. In einer Gruppe haben b und b−1 die gleiche Ordnung. Daher d¨ urfen wir n m zum Beweis m ∈ N annehmen. Sei k die Ordnung von a . Wegen (am ) d = m m (an ) d = e d = e gilt nd ≥ k. Wegen e = (am )k = amk ist n ein Teiler von mk. Nat¨ urlich teilt n auch nk. Sei d = um + vn mit u, v ∈ Z gem¨aß Satz 2.12. Wegen dk = umk + vnk ist n ein Teiler von dk, also nd ≤ k. Oben sahen wir die umgekehrte Ungleichung, die Behauptung folgt. Eine andere h¨aufig ben¨otigte Aussage ist Satz 2.14. Seien a, b Elemente einer Gruppe mit teilerfremden endlichen Ordnungen. Ferner gelte ab = ba. Dann gilt ord(ab) = ord(a) ord(b). Beweis. Sei r = ord(a), s = ord(b) und m = ord(ab). Es gilt (ab)rs = (ar )s (bs )r = e, also m ≤ rs. Aus (ab)m = e folgt am = (b−1 )m , also ams = (bs )−m = e. Somit ist r ein Teiler von ms. Analog folgt, dass s ein Teiler von mr ist. Sei ur + vs = 1 f¨ ur u, v ∈ Z. Aus urm + vsm = m folgt, dass m durch r und s teilbar ist. Sei m = rr0 . Aus r0 = urr0 + vsr0 = um + vsr0 folgt, dass r0 durch s teilbar ist, also r0 = sr00 . Es folgt m = rsr00 , also rs ≤ m, und daher m = rs wegen obiger umgekehrter Ungleichung. Definition 2.15. F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n bezeichne ϕ(n) die Anzahl der nat¨ urlichen Zahlen 1 ≤ m ≤ n, die zu n teilerfremd sind. Man nennt ϕ auch die Eulersche ϕ-Funktion. Eine Anwendung des vorigen Satzes ist Korollar 2.16. Sei a der Erzeuger einer zyklischen Gruppe der Ordnung n. Dann ist am genau dann ein Erzeuger dieser Gruppe, wenn m und n teilerfremd ist. Insbesondere besitzt eine zyklische Gruppe der Ordnung n genau ϕ(n) Erzeuger.

2.3

Nebenklassen

Sei U eine Untergruppe der Gruppe G. F¨ ur g ∈ G nennt man die Menge U g := {ug| u ∈ U } eine Rechtsnebenklasse. Analog ist gU eine Linksnebenklasse. Die Menge der Rechts- bzw. Linksnebenklassen bezeichnen wir mit U \G bzw. G/U . In diesem Abschnitt verstehen wir unter Nebenklassen, wenn nichts anderes gesagt wird, Rechtsnebenklassen. Mit entsprechenden Modifikationen gelten die folgenden Aussagen auch f¨ ur Linksnebenklassen. 8

Lemma 2.17. F¨ ur zwei Nebenklassen U g und U h gilt entweder U g = U h, oder U g ∩ U h = ∅. Beweis. Sei x ∈ U g ∩U h, also x = u1 g = u2 h f¨ ur u1 , u2 ∈ U . Es folgt g = u3 h −1 mit u3 = u1 u2 ∈ U , also U g = U u3 h = U h. Da die Inversenabbildung g 7→ g −1 eine Bijektion von G ist, ist auch die Abbildung U g 7→ (U g)−1 = g −1 U −1 = g −1 U eine Bijektion zwischen U \G und G/U . Insbesondere gilt |G/U | = |U \G|. Man nennt [G : U ] := |U \G| den Index von U in G. Definition 2.18. Aus obigem Lemma gewinnt man eine disjunkte Zerlegung U G = i U gi f¨ ur geeignete gi ∈ G, die Nebenklassenzerlegung. Die Menge der gi nennt man Rechtstransversale oder Vertretersystem von U \G. Bemerkung. Eine Rechtstransversale ist im allgemeinen keine Linkstransversale. Dennoch kann man z.B. f¨ ur endliche Gruppen G zeigen, dass es zu jeder Untergruppe U eine simultane Rechts- und Linkstransversale gibt. F¨ ur alle g ∈ G gilt |U g| = |U |; zusammen mit der Nebenklassenzerlegung folgt der fundamentale Satz von Lagrange: Satz 2.19 (Lagrange). Sei U eine Untergruppe der Gruppe G. Dann gilt |G| = [G : U ]|U |. Insbesondere ist (falls |G| < ∞) |U | ein Teiler von |G|. Bemerkung. Die Umkehrung des Satzes von Lagrange gilt im allgemeinen nicht, es muss nicht f¨ ur jeden Teiler r von |G| eine Untergruppe der Ordnung r existieren. Ist hingegen r eine Primpotenz, so werden wir sp¨ater sehen, dass es stets Untergruppen der Ordnung r gibt. Der Satz von Lagrange hat einige bemerkenswerte Folgen: Korollar 2.20. Sei G eine endliche Gruppe. F¨ ur alle g ∈ G ist ord(g) ein Teiler von |G|. Beweis. Klar, da eine Untergruppe der Ordnung ord(g) ist. Korollar 2.21 (Kleiner Satz von Fermat). a ∈ Z sei nicht durch die Primzahl p teilbar. Dann ist ap−1 − 1 durch p teilbar. Beweis. Die Gruppe der invertierbaren Elemente im Monoid (Z/pZ, ·) hat Ordnung p − 1. Korollar 2.22. Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch. Beweis. Sei e 6= g ∈ G. Dann ist ord(g) > 1 ein Teiler der Primzahl |G|, also ord(g) = |G| und daher G = . 9

2.4

Normalteiler und Faktorgruppen

Sind A und B Teilmengen einer Halbgruppe G, dann schreiben wir AB := {ab| a ∈ A, b ∈ B}. Auf den Begriff des Normalteilers st¨oßt man, wenn man versucht, auf dem Quotientenraum U \G auf sinnvolle Weise ein Produkt ◦ einzuf¨ uhren. Es sollte (U g) ◦ (U h) = U gh f¨ ur alle g, h ∈ G gelten. Sei u ∈ U und h = 1. Wegen U = U u gilt U g = (U g) ◦ U = (U g) ◦ (U u) = U gu, also gu = u0 g f¨ ur 0 ein u ∈ U . Es folgt gu ∈ U g. Da dies f¨ ur alle u gilt, erh¨alt man gU ⊆ U g f¨ ur alle g ∈ G. Hieraus folgt schnell gU = U g f¨ ur alle g. Diese spezielle Eigenschaft von Untergruppen kennzeichnet Normalteiler. Definition 2.23. Eine Untergruppe N ≤ G heißt Normalteiler von G, wenn N g = gN f¨ ur alle g ∈ G gilt. Man sagt auch, N ist normal in G, und schreibt N E G. ¨ Zur Uberpr¨ ufung der Normalteilereigenschaft ist folgende Aussage oft n¨ utzlich. Lemma 2.24. Die Untergruppe N von G ist genau dann ein Normalteiler, wenn g −1 N g ⊆ N gilt f¨ ur alle g ∈ G. Beweis. Aus g −1 N g ⊆ N folgt N g ⊆ gN . Mit g −1 statt g gilt N g −1 ⊆ g −1 N , also gN = (N g −1 )−1 ⊆ (g −1 N )−1 = N g, und die eine Richtung der Behauptung folgt. Die andere Richtung ist sowieso klar. Beispiele • Untergruppen abelscher Gruppen sind normal. • Sei U ≤ G mit [G : U ] = 2. F¨ ur g ∈ G gilt entweder g ∈ U , und daher U g = U = gU , oder g ∈ / U , und dann ist U g = gU , da G die disjunkte Vereinigung von U und U g bzw. von U und gU ist. Daher sind Untergruppen vom Index 2 stets Normalteiler. • Es gilt SLn (K) E GLn (K). Dazu seien A ∈ SLn (K) und B ∈ GLn (K) beliebig. Wegen det(B −1 AB) = det(B −1 ) det(AB) = det(AB) det(B −1 ) = det(ABB −1 ) = det(A) = 1 gilt B −1 AB ∈ SLn (K), und die Behauptung folgt aus Lemma 2.24. • Die Untergruppe U der oberen Dreiecksmatrizen in GLn (K) ist f¨ ur n ≥ 2 nicht normal in GLn (K). Dazu sei D die Antidiagonalmatrix mit Eintr¨agen 1. Dann besteht D−1 U D aus den unteren Dreiecksmatrizen. 10

Der folgende Satz bildet aus einer Gruppe G und einem Normalteiler N eine kleinere Gruppe G/N . Dieses Prinzip ist wichtig, um u ¨ber eine eventuell komplizierte Gruppe G Informationen aus den kleineren Gruppen N und G/N gewinnen zu k¨onnen. Da N ein Normalteiler ist, brauchen wir zwischen Rechts- und Linksnebenklassen nicht zu unterscheiden. Satz 2.25. Sei N E G. Dann gilt (N g)(N h) = N gh f¨ ur alle g, h ∈ G. Mit diesem Produkt wird G/N zu einer Gruppe, der Faktorgruppe von G modulo N. Beweis. Durch Verwendung von N x = xN und der Assoziativit¨at folgt N gN h = N N gh = N gh. Wir m¨ ussen zeigen, dass wir ein wohldefiniertes Produkt auf G/N bekommen. Dazu sei N g = N g 0 und N h = N h0 . Dies liefert g 0 = ug und h0 = vh mit u, v ∈ N . Wegen gvg −1 = w ∈ N und uw ∈ N gilt g 0 h0 = ugvh = u(gvg −1 )gh = uwgh und daher N g 0 h0 = N gh. Assoziativit¨at des Produkt auf G/N ist klar, das neutrale Element ist N , und das inverse Element von N g ist N g −1 . Definition 2.26. Eine Gruppe G > {e} heißt einfach, wenn sie außer G und {e} keine Normalteiler hat. Einfache Gruppen spielen eine ¨ahnliche Rolle wie die Primzahlen f¨ ur die nat¨ urlichen Zahlen. Nach dem Satz von Lagrange ist z.B. eine Gruppe von Primzahlordnung einfach. Weniger triviale Beispiele werden uns in den folgenden Abschnitten begegnen.

2.5

Symmetrische und alternierende Gruppen

Sei n ∈ N und Sn die Gruppe der Permutationen von {1, 2, . . . , n}. Wir verwenden die Exponentialnotation aφ f¨ ur das Bild von a unter φ§n . Das hat den Vorteil der bequemen Notation wie z.B. aφψ = (aφ )ψ  f¨ ur φ, ψ ∈ Sn . Man  1 2 ··· n kann Permutationen φ ∈ Sn durch eine Wertetabelle φ = 1φ 2φ · · · nφ angeben. Transparenter, und f¨ ur praktische wie auch theoretische Zwecke geeigneter, ist die Zykelnotation. Dabei heißt ψ ∈ Sn ein m-Zykel , wenn es eine Folge a1 , a2 , . . . , am verschiedener Zahlen aus {1, 2, . . . , n} gibt mit aφi = ai+1 f¨ ur 1 ≤ i ≤ m−1, aφm = a1 und aφ = a f¨ ur alle a ∈ / {a1 , a2 , . . . , am }. Die Zykelnotation f¨ ur ψ ist ψ = (a1 , a2 , . . . , am ), wobei man auch h¨aufig ψ = (a1 a2 . . . am ) schreibt. F¨ ur φ ∈ Sn nennt man die Menge der von φ bewegten Elemente den Tr¨ager von φ; er besteht also aus den a mit aφ 6= a. Jedes Element φ aus Sn ist ein Produkt von Zykeln ψi mit disjunkten Tr¨agern. Diese Zykel kommutieren paarweise, also ψi ψj = ψj ψi f¨ ur alle 11

i, j. Das Produkt dieser Zykel in Zykelnotation ist die Zykelnotation f¨ ur φ. Kommt in φ ein trivialer Zykel (a) vor, so l¨asst man den Faktor (a) h¨aufig weg. Beispiele 

 1 2 3 • n = 3, φ = = (13)(2) = (13). 3 2 1   1 2 3 4 5 • n = 5, φ = = (13)(254), φ−1 = (13)(245), φ2 = 3 5 1 2 4 (1)(3)(245) = (245). • n = 5, φ = (1234), ψ = (23)(45), φψ = (1354). Ein wichtiger Begriff der Gruppentheorie ist die Konjugiertheit, den wir hier am Beispiel der symmetrischen Gruppe n¨aher kennenlernen wollen. Die Kon¨ jugiertheit ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der Ahnlichkeit f¨ ur die Gruppe der invertierbaren Matrizen GLn (K). Definition 2.27. Sei G eine Gruppe. Die Elemente a, b ∈ G heißen konjugiert, wenn es ein g ∈ G gibt mit b = g −1 ag. Statt g −1 ag schreibt man auch ag , was die eing¨angigen Beziehungen agh = (ag )h und (ab)g = ag bg liefert. Die Konjugiertheit schreibt sich in Zykelnotation sehr u ¨bersichtlich: Satz 2.28. Sei φ = (a1 a2 . . . )(b1 b2 . . . ) · · · ∈ Sn und ψ ∈ Sn . Dann gilt φψ = (aψ1 aψ2 . . . )(bψ1 bψ2 . . . ) . . . . Beweis. Wir m¨ ussen sehen, wohin z.B. das Element aψi von φψ abgebildet wird. Wir rechnen ψ

(aψi )φ = (aψi )ψ = aψψ i

−1 φψ

−1 φψ

= aφψ i = (aφi )ψ = aψi+1 und die Behauptung folgt. Die Zykell¨angen von α sind die L¨angen der in der Zykelschreibweise von α auftretenden Zykel. Obiger Satz zeigt, dass sich die Zykell¨angen unter Konjugation nicht ¨andern. Es gilt auch die Umkehrung: 12

Satz 2.29. Seien α, β ∈ Sn Permutationen mit den gleichen Zykell¨angen. Dann sind α und β in Sn konjugiert. Beweis. Seien m1 , m2 , . . . die Zykell¨angen. Schreibe α = (a1,1 a1,2 . . . a1,m1 )(a2,1 a2,2 . . . a2,m2 ) . . . β = (b1,1 b1,2 . . . b1,m1 )(b2,1 b2,2 . . . b2,m2 ) . . . , wobei wir auch die Zykel der L¨angen 1 mit aufschreiben. Jedes Element aus {1, 2, . . . , n} kommt daher genau einmal sowohl unter den ai,j , als auch unter den bi,j , vor. Sei ψ ∈ Sn definiert durch bi,j = aψi,j . Aus der folgenden Rechnung ergibt sich β = αψ : bβi,j = bi,j+1 = aψi,j+1 = aαψ i,j = aψψ i,j

−1 αψ

−1 αψ

= bψi,j

Eine wichtige Klasse von Permutationen sind die 2-Zykel. Man nennt sie auch Transpositionen. Die folgende Aussage zeigt, dass die symmetrischen Gruppen von Transpositionen erzeugt werden. Satz 2.30. Jede Permutation φ ∈ Sn ist ein Produkt von Transpositionen, und jeder Zykel der L¨ange m ist ein Produkt von m − 1 Transpositionen. Beweis. Da jede Permutation ein Produkt von Zykeln ist, gen¨ ugt es, die Aussage f¨ ur einen Zykel zu beweisen. Die Behauptung folgt induktiv wegen (a1 a2 . . . am ) = (a2 a3 . . . am )(a1 a2 ). Sind m1 , m P2 , . . . , mr die Zykell¨angen eines Elements φ ∈ Sn , so nennt man `(φ) := ri=1 (mi − 1) die L¨ange von φ. Obiger Satz zeigt, dass sich φ als Produkt von `(φ) Transpositionen schreiben l¨asst. Satz 2.31. F¨ ur φ, ψ ∈ Sn gilt `(φψ) ≡ `(φ) + `(ψ) (mod 2). Beweis. Da jede Permutation ein Produkt von Transpositionen ist, und `(τ ) = 1 f¨ ur eine Transposition τ gilt, gen¨ ugt es `(ατ ) ≡ `(α)+1 (mod 2) f¨ ur α ∈ Sn und Transpositionen τ zu beweisen. Wir schreiben τ = (u v), und unterscheiden zwei F¨alle: 13

(i) u und v sind in einem Zykel β = (a1 a2 · · · ar ) von α enthalten. Wir d¨ urfen a1 = u annehmen. Dann gilt v = ai f¨ ur ein i > 1. Zur Bestimmung der Zykeldarstellung von ατ muss man lediglich βτ bestimmen. Man erh¨alt βτ = (a1 a2 · · · ar )(a1 ai ) = (a1 a2 . . . ai−1 )(ai ai+1 . . . ar ), also `(βτ ) = (i−2)+(r−i) = r−2 = `(β)−1, und daher `(ατ ) = `(α)−1 (ii) u und v liegen in verschiedenen Zykeln (a1 . . . ar ) und (b1 . . . bs ) von α, wobei wir a1 = u und b1 = v annehmen d¨ urfen. Aus (a1 . . . ar )(b1 . . . bs )(a1 b1 ) = (a1 a2 . . . ar b1 b2 . . . bs ) folgt `(ατ ) = `(α) + 1.

Definition 2.32. Permutationen φ mit `(φ) ≡ 0 (mod 2) heißen gerade, und solche mit `(φ) ≡ 1 (mod 2) heißen ungerade. Satz 2.33. Sei 1 < n ∈ N. Die Menge der geraden Permutationen aus Sn bildet eine Gruppe An mit [Sn : An ] = 2. Man nennt An die alternierende Gruppe vom Grad n. Beweis. Aus obigem Satz folgt die multiplikative Abgeschlossenheit von An , somit ist An eine Untergruppe von Sn . Sei τ ∈ Sn eine Transposition, und φ ∈ Sn , aber φ ∈ / An . Da τ und φ ungerade Permutationen sind, ist nach dem obigen Satz φτ gerade, also φτ ∈ An , und daher φ ∈ An τ . Somit ist Sn = An ∪ An τ eine Nebenklassenzerlegung, und die Behauptung folgt. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass die alternierenden Gruppen An f¨ ur n ≥ 5 einfach sind. Hierf¨ ur ben¨otigen wir noch einige Vorbereitungen: Satz 2.34. Jede gerade Permutation ist ein Produkt von 3-Zykeln. Insbesondere wird An von den 3-Zykeln aus Sn erzeugt. Beweis. Da jede gerade Permutation das Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen ist, gen¨ ugt es zu zeigen, dass das Produkt von zwei Transpositionen σ = (a b) und τ = (c d) ein Produkt von 3-Zykeln ist. Wir unterscheiden zwei F¨alle: (i) σ und τ bewegen einen gemeinsamen Punkt. Sei also etwa a = c (und b 6= d, da es sonst nichts zu beweisen gibt). Dann gilt στ = (a b)(a d) = (a b d). (ii) σ und τ bewegen keinen gemeinsamen Punkt. In diesem Fall gilt στ = (a b)(c d) = (a b)(b c)(b c)(c d) = (a c b)(b d c). Lemma 2.35. Sei n ≥ 5. Dann sind alle 3-Zykel aus An konjugiert. Beweis. Seien α und β zwei 3-Zykel. Nach Satz 2.29 gibt es γ ∈ Sn mit β = αγ . Liegt γ in An , dann sind wir fertig. Das sei also nicht der Fall. Wegen n ≥ 5 gibt es eine Transposition τ , die zwei Fixpunkte von β vertauscht. Somit gilt β = αγ = αγτ , und die Behauptung folgt wegen γτ ∈ An . 14

Satz 2.36. F¨ ur n ≥ 5 ist die Gruppe An einfach. Beweis. Sei N > 1 ein Normalteiler von An . Unser Ziel ist es zu zeigen, dass N einen 3-Zykel ρ enth¨alt. F¨ ur alle γ ∈ An folgt dann n¨amlich ργ ∈ N γ = N , und wegen obigem Lemma enth¨alt N dann alle 3-Zykel aus An . Diese aber erzeugen nach Satz 2.34 die Gruppe An , und somit gilt N = An . Es bleibt die Existenz eines 3-Zykels ρ ∈ N zu zeigen. Dazu starten wir mit einem beliebigen Element 1 6= φ ∈ N . Ist σ ein 3-Zykel, dann liegt das Produkt ρ = σ −1 φ−1 σφ = σ −1 σ φ der 3-Zykel σ −1 und φ−1 σφ in N , da σ −1 φ−1 σ und φ in N liegen. Unser Ziel ist es, σ geschickt zu w¨ahlen, so dass ρ ein 3-Zykel wird. Das gelingt nicht immer in einem Schritt, aber da das Produkt von zwei 3-Zykeln h¨ochstens 6 Elemente bewegt, hat ρ schon mal mindestens n − 6 Fixpunkte. Ist φ ein 3-Zykel, dann sind wir sowieso fertig. Da φ gerade ist, kann φ keine Transposition sein. Somit bleibt der Fall zu betrachten, dass φ mindestens 4 Punkte bewegt. Hierzu unterscheiden wir drei F¨alle: (i) φ hat eine Zykell¨ange ≥ 4. Dann k¨onnen wir φ := (a b c d . . . ) . . . schreiben. Wir setzen σ := (a b c). Wegen φ−1 σφ = (aφ bφ cφ ) = (b c d) gilt ρ = σ −1 φ−1 σφ = (a c b)(b c d) = (a d b). Damit ist ρ ∈ N ein 3-Zykel. (ii) φ enth¨alt einen 3-Zykel (a b c). Da φ kein 3-Zykel ist, wird mindestens ein weiteres Element d bewegt, also φ = (a b c)(d e . . . ) . . . . Wir setzen σ = (a b d). Es folgt φ−1 σφ = (a b d)φ = (b c e) und ρ = (a d b)(b c e) = (a d c e b). Somit sind wir im Fall (i), und k¨onnen so wie dort einen 3-Zykel konstruieren. (iii) φ hat nur Zykell¨angen ≤ 2. Dann gilt φ = (a b)(c d) . . . , und wir setzen σ = (a c e), wobei e von a, b, c, d verschieden ist. (Hier kommt nochmals die Voraussetzung n ≥ 5 ins Spiel!) Es gilt φ−1 σφ = (a c e)φ = (b d f ) mit f = eφ . Ist e = f , dann gilt ρ = (a e c)(b d e) = (a b d e c), und wir fahren fort wie im Fall (i). Ist hingegen e 6= f , dann ist ρ = (a e c)(b d f ) das Produkt zweier disjunkter 3-Zykel, und wir fahren fort wie im Fall (ii). Wie wir sehen, gelangen wir stets nach endlich vielen Schritten zu einem 3-Zykel aus N . Die Behauptung folgt.

2.6

Homomorphismen

Strukturerhaltende Abbildungen spielen in der gesamten Mathematik eine wichtige Rolle. In der Algebra heißen sie meist Homomorphismen. Eine Abbildung Φ : X → Y zwischen zwei Mengen schreiben wir entweder in der gew¨ohnlichen oder der Exponentialnotation, d.h. das Bild von x unter Φ ist Φ(x) oder xΦ . 15

Definition 2.37. Eine Abbildung Φ : G → H von der Gruppe G in die Gruppe H heißt ein Homomorphismus, wenn (xy)Φ = xΦ y Φ gilt f¨ ur alle x, y ∈ G. Einfache Folgerungen Die folgenden Aussagen f¨ ur einen Homomorphismus Φ : G → H erh¨alt man direkt aus den Definitionen • Ein Homomorphismus bildet das neutrale Element auf das neutrale Element ab, das folgt aus der K¨ urzungsregel und eΦ = (ee)Φ = eΦ eΦ . • Es gilt (x−1 )Φ = (xΦ )−1 , man schreibt daf¨ ur auch manchmal x−Φ . • Die Komposition von Homomorphismen ist ein Homomorphismus. • Das Bild U Φ = {uΦ | u ∈ U } einer Untergruppe U ≤ G ist eine Untergruppe von H. −1

• Das Urbild V Φ einer Untergruppe V ≤ H ist eine Untergruppe von −1 G. Ist dabei V normal in H, dann ist V Φ normal in G. (Sind auch Bilder von Normalteilern normal?) • Sind x, y in G konjugiert, so sind xΦ , y Φ in H konjugiert. • Φ ist bereits durch seine Werte auf einem Erzeugendensystem von G festgelegt. Homomorphismen Φ : G → H mit speziellen Eigenschaften haben noch weitere Bezeichnungen: Monomorphismus: Φ ist injektiv Epimorphismus: Φ ist surjektiv Isomorphismus: Φ ist bijektiv Endomorphismus: G = H Automorphismus: G = H und Φ ist bijektiv Die Umkehrabbildung eines Isomorphismus Φ bezeichnet man mit Φ−1 . −1 −1 −1 −1 Aus xy = (xΦ )Φ (y Φ )Φ = (xΦ y Φ )Φ , folgt, nach Anwenden von Φ−1 , dass auch Φ−1 ein Homomorphismus und damit ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist die Menge der Automorphismen einer Gruppe G selber eine Gruppe, man bezeichnet sie mit Aut(G). Besteht zwischen den Gruppen G und H ein Isomophismus, dann nennt man G und H isomorph, und schreibt G∼ = H. 16

Beispiele von Homomorphismen • G = (C, +), H = (C \ {0}, ·), xΦ := ex . • G = GLn (K), H = (K \ {0}, ·), xΦ := det(x). • G = Sn , H = ({−1, 1}, ·), xΦ := (−1)l(x) . • G = H abelsch, n ∈ Z, xΦ := xn . • N E G, H = G/N , xΦ := N x. Definition 2.38. Der Kern eines Homomorphismus Φ : G → H ist die Menge der g ∈ G mit g Φ = e, man schreibt auch Kern(Φ) f¨ ur diese Menge. Als Urbild des Normalteilers {e} von H ist Kern(Φ) ein Normalteiler von G. Mit Bild(Φ) bezeichnen wir das Bild GΦ von G unter Φ. Bemerkung. Man rechnet sofort nach, dass ein Homomorphismus Φ genau dann injektiv ist, wenn Kern(Φ) = {e} gilt. Analog zu einem Satz der linearen Algebra erhalten wir den folgenden wichtigen Homomorphiesatz: Satz 2.39. Sei Φ : G → H ein Homomorphismus. Dann ist die Abbildung Ψ : G/Kern(Φ) → Bild(Φ), Kern(Φ)x 7→ xΦ wohldefiniert, und liefert einen Isomorphismus G/Kern(Φ) ∼ = Bild(Φ). Beweis. Die Wohldefiniertheit und Surjektivit¨at folgen direkt aus der Definition. Setze N := Kern(Φ). Wegen N xN y = N xy gilt (N xN y)Ψ = (N xy)Ψ = (xy)Φ = xΦ y Φ = (N x)Ψ (N y)Ψ . Somit ist Ψ ein Homomorphismus. Ferner ist Ψ injektiv, denn aus eH = (N x)Ψ = xΦ folgt x ∈ N . (eG und eH bezeichnen die neutralen Elemente von G bzw. H.) Es war wohl schon fr¨ uher klar, dass es “im Prinzip” nur die zyklischen Z und Z/nZ gibt. Mit den jetzigen Begriffen k¨onnen wir das pr¨azise formulieren und beweisen: Korollar 2.40. Bis auf Isomorphie gibt es nur die folgenden zyklischen Gruppen: (Z, +) und (Z/nZ, +) f¨ ur ein n ∈ N. Beweis. Sei g ein Erzeuger einer zyklischen Gruppe. Die Abbildung Z → G, m 7→ g m ist ein Epimorphismus. Sei N der Kern. Dann gilt nach obigem Satz G∼ urlich Z/N ∼ = Z/N . Ist N = {0}, dann gilt nat¨ = Z. Sei nun N 6= {0}, und n die kleinste nat¨ urliche Zahl in N . Dann gilt N = nZ, und die Behauptung folgt. 17

Eine weitere wichtige Erkenntnis ist der Satz, dass jede Gruppe isomorph ist zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe. Satz 2.41 (Cayley). Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sym(G). Beweis. F¨ ur g ∈ G sei g Φ die Permutation der Elemente von G, welche Φ Φ Φ Φ Φ x ∈ G auf xg abbildet. Aus x(gh) = xgh = (xg )h = xg h folgt, dass Φ : G → Sym(G) ein Homomorphismus ist. Der Kern von Φ besteht offenbar nur aus dem neutralen Element, somit ist G isomorph zu GΦ . Wie in der Linearen Algebra folgen aus dem Homomorphiesatz einige Isomorphies¨atze. Beachte, dass wenn N ein Normalteiler und U eine Untergruppe einer Gruppe G sind, dann ist U N eine Untergruppe von G. Satz 2.42. (a) Sei G eine Gruppe mit Untergruppe U und Normalteiler N . Dann gilt U/U ∩ N ∼ = U N/N . (b) Sei G eine Gruppe mit Normalteilern N ⊆ M . Dann gilt (G/N )/(M/N ) ∼ = G/M . Beweis. (a) Sei Φ der nat¨ urliche Homomophismus G → G/N . Das Bild von U besteht aus den Nebenklassen uN f¨ ur u ∈ U , ist also U N/N . Der Kern der Einschr¨ankung von Φ auf U ist U ∩ N , die Behauptung folgt nun aus dem Homomorphiesatz. (b) Die Abbildung G/N → G/M , gN 7→ gM ist ein wohldefinierter Epimorphismus mit Kern M/N , die Behauptung folgt wiederum aus dem Homomorphiesatz.

2.7

Gruppenoperationen

In diesem Abschnitt wollen wir Operationen von Gruppen auf Mengen betrachten. Einige grundlegende Aussagen werden sp¨ater als Hilfsmittel zum Beweis interner Aussagen u ¨ber endliche Gruppen dienen, die nichts mit Gruppenoperationen zu tun haben. Definition 2.43. Eine Operation einer Gruppe G auf einer Menge M ist eine Abbildung M × G → M , (m, g) 7→ mg , f¨ ur die me = m und (mg )h = mgh gilt f¨ ur alle m ∈ M , g, h ∈ G. Bemerkung. G operiere auf M wie oben. Sei Φ : G → Sym(M ) die Abbildung, die g ∈ G auf die Permutation M → M , m 7→ mg abbildet. Dann ist Φ ein Homomorphismus. Umgekehrt liefert jeder Homomorphismus G → Sym(M ) eine Operation von G auf M . 18

Die Operation von G auf M heißt treu, wenn es f¨ ur alle 1 ∈ / G ein m ∈ M gibt mit mg 6= m. Das ist gleichbedeutend damit, dass der zugeh¨orige Homomorphismus G → Sym(M ) injektiv ist. Operiert die Gruppe G auf der Menge M , so erh¨alt man auf nat¨ urliche ¨ Weise eine Aquivalenzrelation auf M : Zwei Elemente m1 , m2 ∈ M sind ¨aquivalent genau dann, wenn es ein Element g ∈ G gibt mit m2 = mg1 . (Man verifiziere die drei Eigenschaften Reflexivit¨at, Symmetrie und Transitivit¨at.) ¨ Die Aquivalenzklassen nennt man Bahnen. Die Bahn durch m besteht offenbar aus den Elementen mg , g ∈ G, und wird daher mit mG bezeichnet. Eine Operation von G auf M heißt transitiv , wenn M nur aus einer Bahn besteht. In diesem Fall wird M gelegentlich auch homogener Raum genannt. Beispiele • Sei U eine Untergruppe der Gruppe G. Dann operiert G auf dem Nebenklassenraum U \G: Hierbei schickt g die Nebenklasse U x auf die Nebenklasse U xg. Diese Operation ist offensichtlich transitiv. Gleich werden wir sehen, dass jede transitive Operation auf einer Menge M , bis auf Umbenennung der Elemente von M , eine solche Operation auf einem Nebenklassenraum ist. Diese Operation liefert einen Homomorphismus G → Sym(U \G). Es ist nat¨ urlich interessant, den Kern N zu bestimmen. Dabei besteht N aus genau den Elementen g ∈ G, die jede Nebenklasse U x festlassen, also U xg = U x f¨ ur alle x ∈ G erf¨ ullen. Aber U xg = U x ist ¨aquivalent −1 zu xgx ∈ U , und das ist ¨aquivalent zu g ∈ U x . Daher besteht N aus dem Schnitt der Konjugierten von U . Gilt [G : U ] = n < ∞, dann ist nach dem Homomorphiesatz G/N isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf n Elementen, insbesondere ist [G : N ] endlich und ein Teiler von n!. • Die Gruppe G operiert auf sich selbst durch Konjugation. Dabei schickt g das Element x auf g −1 xg = xg . F¨ ur |G| > 1 ist diese Operation nicht transitiv, da {e} eine Bahn ist. • Die lineare Gruppe GLn (K) operiert auf dem Vektorraum K n , aber sie operiert zum Beispiel auch auf der Menge der 1-dimensionalen Unterr¨aume von K n . • Sei G die Gruppe der gleichsinnigen Symmetrien eines W¨ urfels. Diese Gruppe hat Ordnung 24, denn eine Seitenfl¨ache l¨asst sich auf 6 m¨ogliche Fl¨achen abbilden, und danach hat man noch 4 m¨ogliche Drehungen dieser Fl¨ache. Diese Gruppe hat verschiedene transitive Operationen 19

auf Objekten, die zum W¨ urfel geh¨oren: G operiert transitiv auf den 8 Ecken, transitiv auf den 6 Fl¨achen, transitiv auf den 12 Kanten, aber auch transitiv auf den 4 Raumdiagonalen. Operiert G auf M , so nennt man Gm := {g ∈ G| mg = m} den Stabilisator von m ∈ M . Andere gebr¨auchliche Bezeichnungen sind Punktstabilisator , Standgruppe oder Isotropiegruppe. Man rechnet sofort nach, dass Gm eine Untergruppe von G ist. Definition 2.44. Die Gruppe G operiere auf den Mengen M und N . Eine Abbildung φ : M → N nennen wir G-¨aquivariant, wenn (mg )φ = (mφ )g gilt f¨ ur alle m ∈ M , g ∈ G. Satz 2.45. Die Gruppe G operiere transitiv auf der Menge M . Sei U der Stabilisator eines Elements m ∈ M . Dann wird durch φ : U \G → M , U x 7→ mx eine G-¨aquivariante Bijektion definiert. Beweis. Zun¨achst m¨ ussen wir sehen, dass φ wohldefiniert ist. Dazu sei etwa U x = U y. Dann gilt y = ux mit u ∈ U , und wegen mu = m folgt mx = mux = my . φ ist offenbar surjektiv. Ferner ist φ injektiv, denn aus mx = my folgt −1 myx = m, also yx−1 ∈ U und dann U x = U y. ¨ Die G-Aquivarianz folgt aus ((U x)φ )g = (mx )g = mxg = (U xg)φ . Eine wichtige Konsequenz ist Korollar 2.46. Die Gruppe G operiere auf M . Die L¨ange der Bahn durch m berechnet sich durch |mG | = [G : Gm ]. Beweis. G operiert transitiv auf der Bahn mG . Nach obigem Satz besteht eine Bijektion zwischen mG und Gm \G. Folgende einfache Aussage wird h¨aufig ohne Kommentar verwendet: Lemma 2.47. G operiere auf M . Die Elemente u, v ∈ M seien in einer gemeinsamen Bahn. Dann sind die Stabilisatoren Gu und Gv in G konjugiert. Genauer: Ist v = ug , dann gilt Gv = g −1 Gu g = Ggu . Beweis. Sei v = ug . Dann ist h ∈ Gv ⇐⇒ v h = v ⇐⇒ ugh = ug ⇐⇒ −1 ughg = u ⇐⇒ ghg −1 ∈ Gu ⇐⇒ h ∈ g −1 Gu g. An einigen Beispielen wollen wir die Anwendbarkeit der neuen Resultate und Konzepte verdeutlichen. Vorher ben¨otigen wir noch einige Begriffe. 20

Definition 2.48. Die Gruppe G operiere durch Konjugation auf sich selbst. Den Stabilisator eines Elements x unter dieser Operation nennt man den Zentralisator von x in G, und schreibt daf¨ ur CG (x). Die Menge CG (x) besteht also aus allen g ∈ G mit gx = xg. Die Bahn xG = {g −1 xg| g ∈ G} nennt man Konjugationsklasse von x in G. Ist X eine Teilmenge von G, so nennt man CG (X) := {g ∈ G| xg = x f¨ ur alle x ∈ X} den Zentralisator von X in G. Offenbar ist CG (X) der Schnitt der Zentralisatoren CG (x) f¨ ur alle x ∈ X. Ist speziell X = G, so nennt man Z(G) := CG (G) das Zentrum von G. G operiert auch durch Konjugation auf der Menge der Teilmengen von G. Ist X eine Teilmenge, dann nennt man den Stabilisator von X den Normalisator von X in G, und schreibt daf¨ ur NG (X). Es gilt also NG (X) = {g ∈ g G| X = X}. Da Stabilisatoren Untergruppen sind, folgt sofort, dass NG (X), CG (x), CG (X) und Z(G) Untergruppen von G sind, was man aber auch direkt nachrechnen kann. F¨ ur x ∈ X folgt aus der Definition sofort Z(G) ≤ CG (X) ≤ CG (x) und CG (X) ≤ NG (X). Satz 2.49 (Bahnengleichung). Die Gruppe G operiere auf der endlichen Menge M . Seien m1 , m2 , . . . , mr Repr¨asentanten der Bahnen. Dann gilt |M | =

r X

[G : Gmi ].

i=1

Beweis. M ist die disjunkte Vereinigung der Bahnen durch die mi , die Behauptung folgt dann aus Korollar 2.46. Satz 2.50 (Klassengleichung). Sind x1 , x2 , . . . , xr die Repr¨asentanten der Konjugationsklassen der endlichen Gruppe G, dann gilt |G| =

r X

[G : CG (xi )].

i=1

Beweis. Dies ist obiger Satz, angewandt auf die Operation von G auf sich durch Konjugation. Korollar 2.51. Sei p eine Primzahl, n ∈ N, und G eine Gruppe der Ordnung pn . Dann gilt |Z(G)| > 1. Beweis. Seien e = x1 , xP asentanten der Konjugationsklassen 2 , . . . , xr die Repr¨ r n von G. Dann gilt p = i=1 [G : CG (xi )]. Nach dem Satz von Lagrange sind die Indizes [G : CG (xi )] Potenzen von p. Die linke Seite der Klassengleichung 21

ist durch p teilbar, aber [G : CG (x1 )] = 1 ist es nicht. Daher muss es einen Index i > 1 geben, so dass auch [G : CG (xi )] nicht durch p teilbar ist. Als Potenz von p muss dann [G : CG (xi )] = 1 gelten, also G = CG (xi ) und somit e 6= xi ∈ Z(G). Die folgende Formel wird manchmal die Burnsidesche Bahnenformel genannt, obwohl sie schon fr¨ uher bei Cauchy und Frobenius auftaucht. Satz 2.52 (Cauchy-Frobenius Bahnenformel). Die endliche Gruppe G operiere auf der endlichen Menge M . F¨ ur g ∈ G sei χ(g) die Anzahl der Fixg punkte m ∈ M mit m = m. Dann ist 1 X χ(g) |G| g∈G die Anzahl der Bahnen von G auf M . ugt die Aussage f¨ ur transitive Operationen zu beweisen, da die Beweis. Es gen¨ Anzahl der Fixpunkte von g die Summe der Anzahlen der Fixpunkte auf den einzelnen Bahnen ist. Sei S die Menge der Paare (m, g) ∈ M ×G mit mg = m. Wir z¨ahlen S einmal u ¨ber die Elemente ¨ber die Elemente m P g, und einmal u ab. Die erste P Abz¨ahlung liefert |S| = g∈G χ(m), und die zweite Abz¨ahlung ur ergibt |S| = m∈M |Gm |. Wegen der Transitivit¨at gilt |M | = [G : Gm ] f¨ alle m ∈ M , also |Gm | = |G|/|M |, und die Behauptung folgt. Wir notieren zwei Folgerungen. Korollar 2.53. Die Gruppe G operiere transitiv auf der endlichen Menge M . Es gelte |M | > 1. Dann enth¨alt G ein fixpunktfreies Element. Beweis. Wir d¨ urfen G ersetzen mit seinem homomorphen Bild in Sym(M ), insbesondere ist dann G endlich. Nach obigem Satz haben die Elemente von G durchschnittlich einen Fixpunkt. Aber e hat |M | > 1 Fixpunkte, daher muss es zum Ausgleich ein Element mit weniger als einem Fixpunkt geben. Korollar 2.54. Die echte Untergruppe U von G habe endlichen Index. Dann ist G nicht die Vereinigung der Konjugierten von U . Beweis. Betrachte die Operation von G auf U \G. Nach obigem Korollar hat G ein fixpunktfreies Element g. Das heißt U xg 6= U x f¨ ur alle x ∈ G, und x somit g ∈ / U f¨ ur alle x ∈ G. 22

Bemerkung. Diese Aussage wird falsch, wenn man die Voraussetzung des endlichen Index wegl¨asst. In der Theorie der sogenannten algebraischen Gruppen spielen gerade gewisse Untergruppen (die Borelgruppen) eine wichtige Rolle, deren Konjugierte im zusammenh¨angenden Fall die Gruppe ausf¨ ullen. Ein Spezialfall davon ist z.B. die bekannte Aussage aus der Linearen Algebra, dass sich jede Matrix aus GLn (C) auf obere Dreiecksgestalt transformieren l¨asst.

2.8

Produkte

Sei I eine Indexmenge, und f¨ ur alle i ∈ I sei Gi eine Gruppe. Die Menge der Tupel (gi )i∈I mit gi ∈ Gi wird mit der komponentenweise Multiplikation (gi )i∈I (hi )i∈I := (gi hi )i∈I zu einer Gruppe. Man Q nennt diese Gruppe das direkte Produkt der Gruppen Gi , und schreibt daf¨ ur i∈I Gi . Ist I die endliche Menge {1, 2, . . . , n}, dann schreibt man daf¨ ur auch G1 × G2 × · · · × Gn , und stellt die Elemente durch n-Tupel (g1 , g2 , . . . , gn ) dar. Die direkte Summe ist der Normalteiler bestehend aus all den Tupeln (gi )i∈I mit gi ∈ Gi , in denen f¨ ur alle bis auf endlich viele Indizes i das Element gi das neutrale Element ist. Man nennt das manchmalLauch eingeschr¨ `anktes direktes Produkt. Gebr¨auchliche Schreibweisen sind i∈I Gi und i∈I Gi . Ist die Indexmenge I endlich, dann stimmen nat¨ urlich direkte Summe und direktes Produkt u ¨berein. Lemma 2.55. Seien A und B Normalteiler der Gruppe G mit A ∩ B = {e} und G = AB. Dann gilt G ∼ = A × B. Beweis. Sei a ∈ A, b ∈ B. Wegen a−1 b−1 a ∈ B und b ∈ B gilt a−1 b−1 ab ∈ B. Wegen a−1 ∈ A und b−1 ab ∈ A gilt aber auch a−1 b−1 ab ∈ A, also a−1 b−1 ab ∈ A ∩ B = {e} und somit ab = ba. Folglich ist die Abbildung A × B → G, (a, b) 7→ ab ein Homomorphismus. Gem¨aß Voraussetzung ist dieser Homomorphismus surjektiv. Er ist aber auch injektiv, denn aus ab = e folgt a, b ∈ A ∩ B, also a = b = e. Bemerkung. Das Produkt AB im Lemma nennt man auch das interne direkte Produkt der Normalteiler A und B. Im Gegensatz dazu bezeichnet man A × B manchmal als das externe direkte Produkt von A und B. Eine Verallgemeinerung des obigen Lemmas auf mehrere Faktoren ist Satz 2.56. Sei I eine Indexmenge mit einer Totalordnung <, und Gi , i ∈ I seien Untergruppen einer Gruppe G. Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent. ˆ i = {e}, wo G ˆ i das (a) Gi E G f¨ ur alle i, die Gi erzeugen G, und Gi ∩ G Erzeugnis der Gruppen Gj mit j ∈ I \ {i} ist. 23

(b) Gi E G f¨ ur alle i, und f¨ ur jedes g ∈ G gibt es, bis auf Faktoren e, genau eine Darstellung g = gi1 gi2 . . . gin mit gik ∈ Gik und i1 < i2 < · · · < in . (c) F¨ ur alle i 6= j, i, j ∈ I gilt gi gj = gj gi f¨ ur gi ∈ Gi , gj ∈ Gj , und f¨ ur jedes g ∈ G gibt es, bis auf Faktoren e, genau eine Darstellung g = gi1 gi2 . . . gin mit gik ∈ Gik und i1 < i2 < · · · < in . Gilt eine der Aussagen, dann ist G ist isomorph zur direkten Summe der Gi . Beweis. Aus Gi , Gj E G folgt, wie im Beweis des obigen Lemmas, dass a−1 b−1 ab ∈ Gi ∩ Gj liegt f¨ ur a ∈ Gi , b ∈ Gj . ˆ i , also Gi ∩ Gj = {e}. Daher ur i 6= j gilt Gj ≤ G “(a) =⇒ (b)”: F¨ vertauschen die Elemente aus Gi mit denen aus Gj . Da die Gi ganz G erzeugen, hat jedes Element g ∈ G eine Darstellung g = gi1 gi2 . . . gin mit gi ∈ Gi und i1 < i2 < · · · < in . Sei eine weitere solche Darstellung f¨ ur g gegeben. Durch Erg¨anzung der Indexmengen durch Einf¨ ugen der Faktoren e d¨ urfen wir g = hi1 hi2 . . . hin mit hi ∈ Gi annehmen. Es folgt h−1 i1 gi1 = −1 −1 −1 ˆ i1 und daraus gi1 = hi1 . Fortsetzen des hi2 hi3 . . . hin gin . . . gi3 gi2 ∈ Gi1 ∩ G Verfahrens liefert nacheinander gi2 = hi2 , . . . , gin = hin . Die Eindeutigkeitsaussage folgt. “(b) =⇒ (c)”: Dies folgt aus dem Beginn des Beweises. “(c) =⇒ (a)”: Aus der Vertauschbarkeitsvoraussetzung folgt Gi E G f¨ ur ˆ alle i. Wegen der eindeutigen Elementdarstellung aus den Gi folgt Gi ∩ Gi = {e}. L Es gelte nun urliche Abbildung i∈I Gi → Q (a), (b) und (c). Dann ist die nat¨ G, (gi )i∈I 7→ i∈I gi ein Epimorphismus. Sei (gi1 , gi2 , . . . , gin ) im Kern, also gi1 gi2 . . . gin = e. Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit von e folgt gi1 = gi2 = · · · = gin = e, und die Abbildung ist somit auch injektiv. Die Behauptung folgt. Beispiele von Produkten • Seien m und n teilerfremde nat¨ urliche Zahlen, und G eine zyklische Gruppe der Ordnung mn. Dann hat G Untergruppen A der Ordnung m und B der Ordnung n. Nach dem Satz von Lagrange gilt A∩B = {e}. Nach obigem Satz gilt AB ∼ = A × B. Die rechte Seite hat Ordnung mn, daher auch die linke Seite und es folgt G = AB ∼ = A × B. • Sei C× die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen, und S 1 die Untergruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1. Sei P die Gruppe der positiven reellen Zahlen. Dann gilt C× ∼ = S1 × P . 24

• Sei V ein Vektorraum u ¨ber einem K¨orper K, und {ei |i ∈ I} eine (eventuell unendliche) Basis. Dann ist (V, +) die interne direkte Summe L der Unterr¨aume Kei , und isomorph zur externen direkten Summe i∈I Kei . In obigem Beispiel hatten wir ein etwas indirektes Argument zur Bestimmung der Ordnung von AB. Die Gr¨oße von Produkten AB l¨asst sich ganz allgemein bestimmen. Man beachte, dass AB im allgemeinen keine Gruppe sein muss. Satz 2.57. Seien A und B Untergruppen der endlichen Gruppe G. Dann gilt |A||B| |AB| = |A∩B| . Beweis. 1. Beweis: Sei {b1 , b2 , . . . , bn } ein Vertretersystem der Rechtsnebenklassen (A ∩ B)\B. Dann sind die Nebenklassen Abi disjunkt, denn aus Abi = Abj folgt bi b−1 ∈ A ∩ B, also (A ∩ B)bi = (A ∩ B)bj . Ferner hat j jedes Element aus AB die Form abi mit a ∈ A: Dazu sei a0 ∈ A, b ∈ B. Schreibe b = a00 bi f¨ ur geeignetes a00 ∈ A ∩ B. Dann gilt a0 b = a0 a00 bi , und die Behauptung folgt mit a = a0 a00 . 2. Beweis: Betrachte die Operation von G auf A\G. Die Bahn der Untergruppe B durch A besteht aus den Nebenklassen Ab, b ∈ B. Die Vereinigung dieser Nebenklassen ist AB, und jede Nebenklasse besteht aus |A| Elementen. Daher hat die Bahn die L¨ange |AB|/|A|. Der Stabilisator in B von A ist A ∩ B. Nach Korollar 2.46 wird die Bahnl¨ange durch [B : A ∩ B] gegeben, und die Behauptung folgt. Wir kommen nun zum wichtigen Begriff des semidirekten Produkts, einer Verallgemeinerung des direkten Produkts zweier Faktoren. Hierzu sei U eine Untergruppe der Gruppe G, und N ein Normalteiler von G, so dass U ∩ N = {e} und G = U N gelten. In dieser Situation sagt man, G sei das semidirekte Produkt des Normalteilers N mit der Untergruppe U . Ferner nennt man U ein Komplement von N in G. Im folgenden konstruieren wir aus dieser Situation eine Verallgemeinerung des externen direkten Produkts. Dazu beobachten wir, dass jedes Element aus G eine eindeutige Darstellung der Form un mit u ∈ U , n ∈ N hat. Das Ziel ist es, das Produkt zweier solcher Elemente u1 n1 und u2 n2 wieder in dieser Form darzustellen. Wir rechnen u2 u1 n1 u2 n2 = u1 u2 u−1 2 n 1 u2 n 2 = u1 u2 n 1 n 2 .

Man beachte, dass u1 u2 ∈ U und nu1 2 n2 ∈ N gilt. Um also solche Produkte zu berechnen, muss man Produkte innerhalb U und N berechnen, und die Konjugationswirkung von U auf N kennen. Das f¨ uhrt direkt auf den Begriff des (externen) semidirekten Produkts. 25

Satz 2.58. Seien N und U Gruppen, und φ : U → Aut(N ) ein Homomorphismus. Auf der Menge G der Paare (u, n), u ∈ U , n ∈ N definiere φ(u ) man ein Produkt durch (u1 , n1 )(u2 , n2 ) = (u1 u2 , n1 2 n2 ). Mit diesem Produkt ist G eine Gruppe. G hat die zu U und N isomorphen Untergruppen ˜ = {(e, n)|n ∈ N }. G ist ein semidirektes Produkt U˜ = {(u, e)|u ∈ U } und N ˜ des Normalteilers N mit U˜ . Es gilt (e, n)(u,e) = (e, nφ(u) ). Beweis. Die Aussagen ergeben sich alle durch direktes Nachrechnen. Bemerkung. Der erste Teil des Satzes liefert eine wichtige Konstruktionsmethode f¨ ur Gruppen. Gelegentlich schreibt man f¨ ur G auch U nφ N . Ist φ der triviale Homomorphismus, dann ist U nφ N einfach das direkte Produkt U × N. Beispiele semidirekter Gruppen • Sei Sn die symmetrische Gruppe auf n ≥ 2 Punkten, An die alternierende Gruppe, und C die von einer Transposition erzeugte Untergruppe von Sn . Dann gilt Sn = C n An , aber nicht Sn = C × An . • Sei Cn eine zyklische Gruppe der Ordnung n, C = eine Gruppe der Ordnung 2, und φ : C → Aut(Cn ) definiert durch g φ(c) := g −1 . Die Gruppe G := C nφ Cn ist die Diedergruppe Dn der Ordnung 2n. F¨ ur n ≥ 3 kann man sich diese Gruppe geometrisch veranschaulichen, sie besteht aus den Kongruenzabbildungen eines regul¨aren n-Ecks. Die Gruppe Cn besteht dabei aus den gleichsinnigen Kongruenzen, und c ist eine Spiegelung. • Es gilt GLn (K) = U n SLn (K), wo U die Untergruppe der Diagonalmatrizen ist, die außer links oben nur 1er enthalten.

2.9

Endliche abelsche Gruppen

Das Ziel dieses Abschnitts ist die Bestimmung der endlichen abelschen Gruppen. Die Beweismethode behandelt sogar die gr¨oßere Klasse der endlich erzeugten abelschen Gruppen mit. Grundlegend ist der folgende Satz 2.59. Eine von n Elementen erzeugte abelsche Gruppe ist eine direkte Summe von h¨ochstens n zyklischen Untergruppen. Beweis. Sei G von n Elementen erzeugt. Wir beweisen die Aussage durch vollst¨andige Induktion u ur n = 1 ist nichts zu beweisen, da G zyklisch ¨ber n. F¨ ist. Sei also n ≥ 2. 26

Sei g1 , g2 , . . . , gn ein Erzeugendensystem von G. Setze U = . Gilt g1m ∈ / U f¨ ur alle m ∈ N, dann folgt ∩ U = {e}. Nat¨ urlich gilt G = U . Daher ist in diesem Fall G eine direkte Summe der zyklischen Untergruppe und der von n − 1 Elementen erzeugten Gruppe U , und die Behauptung folgt durch Induktion. Es bleibt der Fall, dass es f¨ ur alle Erzeugendensysteme g1 , g2 , . . . , gn ein m ∈ N gibt mit g1m ∈ . Wir w¨ahlen ein solches Erzeugendensystem, so dass m minimal wird. Wegen g1m ∈ gibt es m2 , m3 , . . . , mn ∈ Z mit g1m g2m2 . . . gnmn = e. Wir schreiben mi = q1 m + ri mit 0 ≤ ri ≤ m − 1 (Division durch m mit Rest). Setze h = g1 g2q2 . . . gnqn . Wir sehen, dass h, g2 , . . . , gn ein Erzeugendensystem von G ist. Ferner gilt hm g2r2 . . . gnrn = g1m g2mq2 +r2 . . . gnmqn +rn = g1m g2m2 . . . gnmn = e. Daran sieht man: Gilt ri > 0 f¨ ur ein i, dann liegt giri in der von h und den gj mit j 6= i erzeugten Untergruppe. Wegen ri < m steht das im Widerspruch zur Wahl von m. Daher gilt ri = 0 f¨ ur alle i, also hm = e. Da keine kleinere echte Potenz von h in U = liegt, ist G die direkte Summe von und der von n − 1 Elementen erzeugten Untergruppe U , und die Behauptung folgt wiederum durch vollst¨andige Induktion. Sei G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, und T die Menge der Elemente aus G von endlicher Ordnung. Dann ist T eine Untergruppe von G. Aus dem obigen Satz erh¨alt man eine direkte Summe G = T Z ∼ = T ⊕ Z, mit Z ∼ ur ein r ∈ N0 . In dieser Darstellung ist Z im allgemeinen nicht = Zr f¨ eindeutig, aber man u ¨berlegt sich schnell, dass r eindeutig ist. Im folgenden wollen wir noch die Eindeutigkeit der Zerlegungen endlicher abelscher Gruppen in zyklische Gruppen kl¨aren. In einem fr¨ uheren Beispiel sahen wir schon, dass jede endliche zyklische Gruppe eine direkte Summe zyklischer Gruppen von Primpotenzordnung ist. An obigem Satz sehen wir schon, dass es zu jedem Teiler m der Ordnung einer endlichen abelschen Gruppe auch eine Untergruppe der Ordnung m gibt. Diese Untergruppe muss nicht eindeutig sein, aber es gilt Lemma 2.60. Sei p eine Primzahl, und pm die h¨ochste Potenz von p, die die Ordnung einer endlichen abelschen Gruppe teilt. Dann gibt es genau eine Untergruppe der Ordnung pm . Beweis. Seien A und B Untergruppen der Ordnung pm . Wegen |AB| = |A|[B : A ∩ B] ist auch die Ordnung der Untergruppe AB eine Potenz von p, die aber pm teilen muss. Daher gilt B = A ∩ B, also B ≤ A und aus Symmetriegr¨ unden A = B. Hieraus folgt 27

Q ei Lemma 2.61. Sei n = pi die Primfaktorzerlegung der Ordnung einer endlichen abelschen Gruppe G, und Gpi die Untergruppe der Ordnung pei i . L Dann ist G ∼ Gpi eine direkte Summe der Gpi . = Um eine bis auf Isomorphie eindeutige Darstellung einer abelschen Gruppe zu bekommen m¨ ussen wir nur noch abelsche Gruppen von Primpotenzordnung betrachten. Wir wissen schon, dass solche Gruppen direkte Summen zyklischer Gruppen sind. Im folgenden erhalten wir auch eine Eindeutigkeitsaussage. Lemma 2.62. Sei G eine abelsche Gruppe von Primpotenzordnung, und G = G1 G2 . . . Gn ∼ = G1 ⊕G2 ⊕· · ·⊕Gn eine direkte Summe zyklischer Untergruppen Gi der Ordnung > 1. Dann sind bis auf Reihenfolge die Ordnungen |G1 |, |G2 |, . . . , |Gn | eindeutig. Beweis. Sei |G| eine Potenz von p. Wir zeigen die Aussage durch vollst¨andige Induktion u ¨ber die Gruppenordnung. Sei N = {g ∈ G| g p = 1}. Man sieht sofort, dass N eine Untergruppe ist. Ferner besteht N aus genau den Elementen g1 g2 . . . gn mit gi ∈ Gi , f¨ ur die gip = 1 gilt. Insbesondere ist N die direkte Summe der Gruppen Ni := Gi ∩ N , und da die Gruppen Gi zyklisch sind, gilt |Ni | = p f¨ ur alle i. L Der nat¨ urliche Epimorphismus G → LGi /Ni , der (g1 , . . . , gn ) auf (N1 g1 , . . . , Nn gn ) abbildet, hat Kern N . Daher gilt G/N ∼ Gi /Ni . Nach Induktionsannahme = sind die Ordnungen |Gi /Ni | eindeutig gegeben, und wegen |Gi | = p|Gi /Ni | gilt das dann auch f¨ ur die Ordnungen |Gi |. Wir fassen die Ergebnisse zusammen Satz 2.63. Eine endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einer direkten Summe zyklischer Gruppen von Primpotenzordnung, und die Ordnungen dieser zyklischen Gruppen sind bis auf Reihenfolge eindeutig. Beispiele • Um (bis auf Isomorphie) die abelschen Gruppen der Ordnung 8 zu Lr bestimmen, m¨ ussen wir alle Darstellungen C i=1 mi betrachten, wo Cmi eine zyklische Gruppe der Ordnung mi ist und m1 m2 . . . mr = 8 gilt. Da es auf die Reihenfolge nicht ankommt, k¨onnen wir ferner m1 ≤ m2 ≤ · · · ≤ mr annehmen. Wir sehen, dass es f¨ ur diese Tupel (m1 , m2 , . . . , mr ) genau die M¨oglichkeiten (2, 2, 2), (2, 4), und (8) gibt. Bis auf Isomorphie gibt es also genau 3 abelsche Gruppen der Ordnung 8. 28

• Ist n quadratfrei, dann ist die zyklische Gruppe der Ordnung n die einzige abelsche Gruppe dieser Ordnung. (Das ist auch schon ohne obigen Hauptsatz klar.) Bemerkung. Der Beweis des Struktursatzes f¨ ur abelsche Gruppen (oder auch obiger Satz) liefert eine andere Form der Darstellung abelscher Gruppen: Jede endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einer direkten Summe zyklischer Gruppen der Ordnungen n1 , n2 , . . . , nk mit ni > 1, so dass ni ein Teiler von ni+1 ist f¨ ur alle ni . Diese ni sind durch die Gruppe eindeutig gegeben.

2.10

Der Satz von Jordan-H¨ older

Ist N ein Normalteiler der Gruppe G, so entsprechen die Normalteiler von G/N bijektiv den Normalteilern M von G mit M ≥ N . Wir nennen N einen maximalen Normalteiler von G, wenn N < G normal in G ist, und es keinen Normalteiler von G gibt, der echt zwischen N und G liegt. Somit ist N genau dann ein maximaler Normalteiler von G, wenn G/N einfach ist. In endlichen Gruppen G existieren stets maximale Normalteiler. Ist N ein maximaler Normalteiler von G, dann kann man in N wieder einen maximalen Normalteiler von N w¨ahlen, und das Verfahren fortsetzen. Dies f¨ uhrt auf den folgenden Begriff. Definition 2.64. Sei G eine Gruppe, und G = G0 > G1 > G2 > · · · > Gn = {e} eine Kette von Untergruppen, so dass Gi+1 ein maximaler Normalteiler von Gi ist. Eine solche Kette heißt Kompositionsreihe, und die einfachen Gruppen Gi /Gi+1 heißen Kompositionsfaktoren. Bemerkung. Ist G endlich, dann existiert trivialerweise eine Kompositionsreihe. F¨ ur unendliche Gruppen muss es das aber nicht geben. Man u ¨berlege sich, dass z.B. (Z, +) keine Kompositionsreihe besitzt. Das Beispiel C6 > C3 > {e} und C6 > C2 > {e} zeigt schon, dass Kompositionsreihen und die Reihenfolge der Kompositionsfaktoren nicht eindeutig sein m¨ ussen. Die symmetrische Gruppe S3 hat die Kompositionsreihe S3 > A3 > {e}, also die gleichen Kompositionsfaktoren wie C6 . Hieran sehen wir, dass die Kompositionsfaktoren den Isomorphietyp einer Gruppe nicht festlegen, und nicht einmal erkennen lassen, ob eine Gruppe abelsch ist. Sie liefern aber dennoch wertvolle Informationen. Wenigstens h¨angen aber die Kompositionsfaktoren einer Gruppe nicht wesentlich von der gew¨ahlten Kompositionsreihe ab, wie der folgende Satz zeigt. 29

Satz 2.65 (Jordan-H¨older). Sei G eine endliche Gruppe. Dann haben alle Kompositionsreihen von G die gleiche L¨ange, und die Kompositionsfaktoren stimmen bis auf Reihenfolge und Isomorphie u ¨berein. Beweis. Wir zeigen die Behauptung durch vollst¨andige Induktion u ¨ber die Ordnung von G. Seien G = G0 > G1 > G2 > · · · > Gm = {e} und G = H0 > H1 > H2 > · · · > Hn = {e} Kompositionsreihen. Ist G1 = H1 , so folgt die Behauptung durch Induktion. Sei also von nun an G1 6= H1 . Dann ist G1 H1 ein Normalteiler von G, der die maximalen und verschiedenen Normalteiler G1 und H1 enth¨alt. Es folgt G = G1 H1 . F¨ ur U = G1 ∩ H1 sei U > U1 > U2 > · · · > Uk = {e} eine Kompositionsreihe von U . Wegen G1 /U = G1 /G1 ∩ H1 ∼ = G1 H1 /H1 = G/H1 ist U ein maximaler Normalteiler von G1 , insbesondere ist G1 > U > U1 > U2 > · · · > Uk = {e} eine Kompositionsreihe von G1 . Aber G1 besitzt auch die Kompositionsreihe G1 > G2 > · · · > Gm = {e}. Nach Induktionsannahme stimmen L¨ange und Kompositionsfaktoren dieser beiden Kompositionsreihen u ¨berein. Analog gilt die Behauptung auch f¨ ur die Kompositionsreihen H1 > U > U1 > U2 > · · · > Uk = {e} und H1 > H2 > · · · > Hn = {e}. Es folgt zun¨achst m = n. Oben sahen wir bereits G/H1 ∼ = G1 /U , und analog G/G1 ∼ = H1 /U , und daraus folgt schließlich die Behauptung, wobei zur besseren Orientierung folgendes Diagramm dient:

G

o ooo ooo OOO OOO O

ooo ooo

G2

G3

...

Gm = {e}

o ooo ooo

U

U1

...

Uk = {e}

H2

H3

...

Hm = {e}

G1 OO OOO OO H1 OO OOO O

Beispiele von Kompositionsfaktoren Q • Ist G eine abelsche Gruppe der Ordnung pei i , dann bestehen die Kompositionsfaktoren aus den zyklischen Gruppen der Ordnung pi , wobei die Gruppe der Ordnung pi genau ei Male auftritt. 30

• F¨ ur eine Primzahl p sei G eine Gruppe der Ordnung pm > 1. Wir behaupten, dass alle Kompositionsfaktoren Ordnung p haben (und damit zyklisch sind). Dazu muss man lediglich sehen, dass eine einfache Gruppe mit p-Potenzordnung > 1 zyklisch der Ordnung p ist. Wegen Korollar 2.51 hat eine solche Gruppe ein nichtriviales Zentrum. Eine Untergruppe der Ordnung p des Zentrums ist aber ein Normalteiler der Gruppe, und die Behauptung folgt. • Ist die Gruppe G ein direktes Produkt einfacher Gruppen G1 , G2 , . . . , Gn , dann sind diese einfachen Gruppen gerade die Kompositionsfaktoren von G. (Man beweise diese Aussage!) In der Theorie der L¨osbarkeit von Polynomen spielt eine wichtige Eigenschaft gewisser Gruppen eine große Rolle. Definition 2.66. Sei G eine Gruppe. Elemente der Form a−1 b−1 ab f¨ ur a, b ∈ G heißen Kommutatoren. Die von den Kommutatoren erzeugte Gruppe G0 heißt die Kommutatorgruppe von G. Die h¨oheren Kommutatorgruppen G(i) werden rekursiv durch G(0) = G, G(i+1) = (G(i) )0 definiert. Die Gruppe G heißt aufl¨osbar , wenn es ein n ∈ N gibt mit G(n) = {e}. Seien Ni , i ∈ I, Normalteiler von G, so dass G/Ni abelsch ist f¨ ur alle i ∈ I. Sei N der Schnitt aller Ni . Dann ist auch G/N abelsch, da G/N isomorph zu einer Untergruppe des direkten Produkt der G/Ai , i ∈ I, ist. Daher gibt es einen kleinsten Normalteiler N von G, so dass G/N abelsch ist, und ein solcher kleinster Normalteiler ist eindeutig. Die Kommutatorgruppe G0 ist nicht nur normal in G, sondern hat eine st¨arkere Eigenschaft: Es gilt (G0 )σ = G0 f¨ ur jeden Automorphismus von G. Das liegt daran, dass ein Automorphismus die Menge der Kommutatoren permutiert, also das Erzeugnis der Kommutatoren nicht ¨andert. Induktiv folgt, dass auch die h¨oheren Kommutatorgruppen unter Automorphismen σ invariant, also insbesondere auch normal in G sind. Die wichtigste Eigenschaft der Kommutatorgruppe ist Satz 2.67. Sei G eine Gruppe. Dann ist G0 der kleinste Normalteiler N von G, f¨ ur den G/N abelsch ist. Beweis. Sei N der kleinste Normalteiler mit G/N abelsch. Sei φ : G → G/N der nat¨ urliche Epimorphismus. Wegen (a−1 b−1 ab)φ = a−φ b−φ aφ bφ = e ist 0 φ (G ) die triviale Gruppe, also G0 ≤ N . Umgekehrt liegt jedes Element a−1 b−1 ab in G0 , d.h. modulo G0 ist G abelsch, und somit N ≤ G0 . Die Behauptung folgt. 31

Lemma 2.68. Sei N ein Normalteiler von G. Dann ist G genau dann aufl¨osbar, wenn N und G/N aufl¨osbar sind. Beweis. Ist φ : G → H ein Epimorphismus, dann bestehen die Kommutatoren von H gerade aus den Bildern der Kommutatoren von G, und somit gilt (G0 )φ = H 0 . Per Induktion folgt daraus (G(n) )φ = H (n) f¨ ur alle n ∈ N. Speziell (n) f¨ ur den Epimorphismus G → G/N folgt daraus G N/N = (G/N )(n) . Ist nun G aufl¨osbar, so sieht man, dass auch G/N aufl¨osbar ist. Wegen N (n) ≤ G(n) ist dann auch N aufl¨osbar. Seien nun G/N und N aufl¨osbar. Wegen der Aufl¨osbarkeit von G/N folgt zun¨achst die Existenz von n mit G(n) ≤ N . Daraus folgt dann induktiv G(n+k) ≤ N (k) f¨ ur k ≥ 0. Aus der Aufl¨osbarkeit von N ergibt sich dann die Behauptung. Bei endlichen Gruppen l¨asst sich die Aufl¨osbarkeit an den Kompositionsfaktoren ablesen. Satz 2.69. Sei G eine endliche Gruppe. Dann ist G genau dann aufl¨osbar, wenn alle Kompositionsfaktoren von G zyklisch (von Primzahlordnung) sind. Beweis. Ist G aufl¨osbar, so sind die Quotienten aufeinanderfolgender Terme in der Kommutatorreihe abelsch. Insbesondere l¨asst sich die Kommutatorreihe durch Einf¨ ugen weiterer Untergruppen zu einer Kompositionsreihe mit zyklischen Quotienten verfeinern. Die Umkehrung folgt unmittelbar per Induktion aus Lemma 2.68. Beispiele aufl¨ osbarer Gruppen • Abelsche Gruppen sind aufl¨osbar. • Gruppen von Primpotenzordnung sind aufl¨osbar. • Homomorphe Bilder und direkte Produkte (mit endlich vielen Faktoren) aufl¨osbarer Gruppen sind aufl¨osbar. Bemerkung. F¨ ur n ≥ 5 sind die Gruppen An und Sn wegen der Einfachheit von An nicht aufl¨osbar. Man u ur alle n ∈ N stets Sn0 = An ¨berlege sich, dass f¨ gilt.

2.11

Die S¨ atze von Sylow

Sei p eine Primzahl. Eine endliche Gruppe heißt p-Gruppe, wenn die Ordnung der Gruppe eine Potenz von p ist (evtl. auch 1). Wir kommen nun zu einer wichtigen Klasse von Untergruppen. 32

Definition 2.70. Sei G eine endliche Gruppe, und p eine Primzahl. Eine Untergruppe H von G heißt p-Sylowgruppe von G, wenn U eine p-Gruppe ist, und [G : U ] nicht durch p teilbar ist. Ist also pr die h¨ochste Potenz von p, die |G| teilt, dann sind die pSylowgruppen gerade die Untergruppen der Ordnung pr . F¨ ur abelsche Gruppen haben wir gesehen, dass es f¨ ur jedes p genau eine p-Sylowgruppe gibt. Der wichtigste Satz in diesem Zusammenhang liefert die Existenz von Sylowgruppen auch f¨ ur nicht abelsche Gruppen. Satz 2.71 (Sylow). Sei G eine endliche Gruppe, und p eine Primzahl. Dann besitzt G eine p-Sylowgruppe. F¨ ur diesen wichtigen Satz geben wir drei Beweise. 1. Beweis. Sei Z das Zentrum von G, und g1 , g2 , . . . , gh Repr¨asentanten der Konjugationsklassen. Die Klassengleichung liefert |G| =

h X

[G : CG (gi )] = |Z| +

i=1

X

[G : CG (gi )].

gi ∈Z /

Man beachte, dass in der zweiten Summe die Gruppen CG (gi ) echte Untergruppen von G sind. Nach Induktion besitzen diese Gruppen p-Sylowgruppen. Ist einer der Indizes [G : CG (gi )] teilerfremd zu p, dann ist eine p-Sylowgruppe von CG (gi ) auch eine von G. Wir sind also fertig, außer wenn alle Indizes durch p teilbar sind. In diesem Fall aber ist |Z| durch p teilbar. Z besitzt also eine Untergruppe N der Ordnung p, diese ist normal in G. Nach Induktion besitzt G/N eine p-Sylowgruppe P/N , aber dann ist P eine p-Sylowgruppe von G. ur den zweiten Beweis ben¨otigen wir ein kleines F¨ Lemma 2.72. Sei n ∈ N, und pr die h¨ochste Potenz der Primzahl p, die n
teilt. Dann ist der Binomialkoeffizient pnr nicht durch p teilbar.
r
Beweis. Schreibe n = pr m. Somit ist m nicht durch p teilbar. pnr = pprm r ist das Produkt der rationalen Zahlen pprm−k f¨ ur k = 0, 1, . . . , pr − 1. Wir −k zeigen, dass in der gek¨ urzten Darstellung Z¨ahler und Nenner nicht durch p teilbar sind. Das ist klar f¨ ur k = 0. Sei daher 0 < k = pl e mit e nicht durch p teilbar. Wegen k < pr gilt l < r, daher ist pr−l durch p teilbar und die r r−l Behauptung folgt aus pprm−k = ppr−lm−e . −k −e 33

2. Beweis von Satz 2.71. Sei pr wieder die h¨ochste p-Potenz, die |G| teilt. Sei M die
Menge der pr -elementigen Teilmengen von G. Die M¨achtigkeit |M | = |G| ist nach obigem Lemma nicht durch p teilbar. Wir lassen nun G pr durch Rechtsmultiplikation auf M operieren, g ∈ G schickt also die Teilmenge S ∈ M nach Sg. Da |M | nicht durch p teilbar ist, muss eine Bahn dabei sein, deren L¨ange nicht durch p teilbar ist. Sei S ∈ M in dieser Bahn, und P der Stabilisator von S. Die Bahn durch S hat L¨ange [G : P ], und da das nicht durch p teilbar ist, ist |P | durch pr teilbar. Sei s ∈ S. Die Abbildung P → S, x 7→ sx ist injektiv, daher gilt |P | ≤ |S| = pr , und somit |P | = pr , und die Behauptung folgt. ¨ 3. Beweis von Satz 2.71. Diesen Beweis zerlegen wir in eine Serie von Ubungsaufgaben. (a) Sei S eine endliche Gruppe mit p-Sylowgruppe P , und G eine Untergruppe von S. Dann gibt es ein s ∈ S, so dass G∩P s eine p-Sylowgruppe von G ist. Hierzu betrachte man die Operation von G auf dem Nebenklassenraum P \ S. Um den Satz zu beweisen, gen¨ ugt es also, zu unserer gegebeben Gruppe G eine Gruppe S zu finden, die eine zu G isomorphe Untergruppe enth¨alt, und f¨ ur die es eine p-Sylowgruppe P gibt. Das wird in den folgenden Schritten erreicht. (b) Die Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn . Sei Fp = Z/pZ der K¨orper mit p Elementen. In GLn (Fp ) betrachte man die Menge U der Matrizen, die in jeder Zeile und jeder Spalte genau eine 1, und sonst nur 0er besitzen. Zeige, dass U eine zu Sn isomorphe Untergruppe von GLn (Fp ) ist. Somit hat GLn (Fp ) eine zu G isomorphe Untergruppe. (c) Zeige, dass die Gruppe der echten oberen Dreiecksmatrizen von GLn (Fp ) eine p-Sylowgruppe ist durch direkte Berechnung der Ordnung dieser Gruppe und der h¨ochsten p-Potenz, die die Ordnung von GLn (Fp ) teilt.

Bevor wir zu weiteren Aussagen von Sylow kommen, wollen wir eine einfache Eigenschaft von p-Gruppen beweisen. Lemma 2.73. Sei U eine echte Untergruppe der p-Gruppe G. Dann gilt NG (U ) > U . Ferner hat G f¨ ur jeden Teiler m der Gruppenordnung eine Untergruppe der Ordnung m, und Untergruppen vom Index p sind normal. 34

Beweis. U operiere auf dem Nebenklassenraum U \ G. Da U eine p-Gruppe ist, hat jede Bahn eine L¨ange, die eine Potenz von p ist. Ferner ist die Summe |U \ G| der Bahnl¨angen durch p teilbar. Da die Bahn durch U L¨ange 1 hat, muss es eine weitere Bahn U x 6= U der L¨ange 1 geben. Es gilt also U xu = U x f¨ ur alle u ∈ U , und daraus folgt U x = U , d.h. x liegt nicht in U , normalisiert aber U . Die letzte Aussage ist aus Ordnungsgr¨ unden klar, und die Existenz der Untergruppen der Ordnung m folgt induktiv aus der ersten Aussage, oder alternativ aus der bereits gesehenen Tatsache, dass die Kompositionsfaktoren von G alle Ordnung p haben. Das Hauptergebnis von Sylow, das wir im folgenden Abschnitt st¨andig verwenden werden, ist Satz 2.74 (Sylow). Sei G eine endliche Gruppe, und p eine Primzahl. Dann gilt: (a) Jede p-Untergruppe von G liegt in einer p-Sylowgruppe von G. (b) Die p-Sylowgruppen von G sind konjugiert. (c) Die Anzahl der p-Sylowgruppen ist von der Form 1 + kp mit k ∈ N0 , und gleich [G : NG (P )], wobei P eine p-Sylowgruppe von G ist. Beweis. Sei P eine p-Sylowgruppe von G, und S die Menge der zu P konjugierten Untergruppen von G. Nat¨ urlich ist jede Gruppe aus S wieder eine pSylowgruppe. G operiert auf S durch Konjugation. Wegen |S| = [G : NG (P )] ist die Ordnung |S| nicht durch p teilbar. Sei U ≤ G eine p-Gruppe. Auch U operiert durch Konjugation auf S. Da jede Bahnl¨ange von U eine p-Potenz ist, und |S| nicht durch p teilbar ist, muss U eine Bahn {Q} der L¨ange 1 haben. Dann gilt uQ = Qu f¨ ur alle u ∈ U , insbesondere ist QU eine Gruppe mit Normalteiler Q. Wegen QU/Q ∼ = U/Q ∩ U ist QU eine p-Gruppe der Ordnung |Q|[U : Q ∩ U ]. Aber Q ist schon eine p-Untergruppe von G gr¨oßtm¨oglicher Ordnung, daher gilt U = Q ∩ U , also U ≤ Q. Hieraus folgt (a), und damit auch (b). Um (c) zu zeigen, verwenden wir obiges Argument mit U = P . Ein Fixpunkt von P ist P selber. Weitere Fixpunkte Q kann es nicht geben, denn wie oben folgt P ≤ Q, also P = Q aus Ordnungsgr¨ unden. Alle anderen Bahnen r von P haben also eine L¨ange der Form p mit r ≥ 1, insbesondere sind diese L¨angen durch p teilbar. Daher hat |S| die Form 1 + kp. Der Stabilisator von P in G ist NG (P ), daher gilt |S| = [G : NG (P )], und alles ist gezeigt. 35

2.12

Gruppen kleiner Ordnung

In diesem Abschnitt sollen examplarisch einige Anwendungen der SylowS¨atze und der Techniken der Gruppenoperationen vorgestellt werden, die dem Studium von Gruppen dienen, die klein sind oder deren Ordnungen nur wenige Teiler besitzen. Ist p eine Primzahl, dann sind die Gruppen der Ordnung p nat¨ urlich 2 zyklisch. Eine Gruppe der Ordnung der Ordnung p hat ein nicht triviales Zentrum, wird also vom Zentrum und einem weiteren Element erzeugt, und ist somit abelsch. Daher ist jede Gruppe der Ordnung p2 isomorph zu Cp2 oder Cp × Cp . Wenn man in einer Gruppe G mit wenigen Teilern von |G| nach Normalteilern sucht, dann ist h¨aufig folgendes Vorgehen erfolgreich: Man nimmt den gr¨oßten Primteiler p von |G|, oder die Primzahl p mit der gr¨oßten p-Sylowgruppe P . Nun versucht man mittels der Teilbarkeitseigenschaften aus den S¨atzen von Sylow zu zeigen, dass P normal in G ist. Gelingt das nicht, sollte man andere Primzahlen probieren. Funktioniert auch das nicht, so kann man versuchen, die Nichtnormalit¨at einer p-Sylowgruppe P dadurch zu einem Widerspruch zu f¨ uhren, dass P zu viele Konjuguierte hat. Ist n¨amlich P nicht normal, dann hat P mindestens 1 + p Konjugierte. Hat beispielsweise P die Ordnung p, dann schneiden sich die Konjugierten trivial, man erh¨alt also mindestens (p − 1)(p + 1) Elemente der Ordnung p. Wenn man das auch noch f¨ ur andere Sylowgruppen macht, kann es beispielsweise passieren, dass man durch solche Z¨ahlungen mehr Elemente bekommt als die Gruppe Elemente hat. Hilft auch das nicht weiter, kann man probieren, kleine Permutationsoperationen zu finden. Ist z.B. P nicht normal, dann erh¨alt man einen nicht trivialen Homomorphismus G → Sym(P \ G). Oft muss aus Anzahl- oder Teilbarkeitsgr¨ unden ein nicht-trivialer Kern vorhanden sein. Manchmal weiß man schon, dass NG (P ) > P gilt, dann bekommt man meist bessere Aussagen, wenn man G → Sym(NG (P ) \ G) betrachtet. Nat¨ urlich muss man sich oft auch, abh¨angig von der Situation, andere Tricks einfallen lassen. Beispielsweise kann man aus der Klassengleichung oft n¨ utzliche Informationen gewinnen. Die folgenden Beispiele sollen einige dieser Prinzipien verdeutlichen. In diesem Zusammenhang ist die Kenntnis der Automorphismen zyklischer Gruppen wichtig, die wir vorab behandeln. 36

2.12.1

Automorphismen zyklischer Gruppen.

Ist R ein Ring, dann bezeichnet R× die Menge der Elemente aus R, die multiplikativ invertierbar sind, d.h. R× = {r ∈ R|rs = sr = 1 f¨ ur ein s ∈ R}. Offenbar ist R× eine Gruppe. Man nennt R× die Einheitengruppe von R. Satz 2.75. F¨ ur n ∈ N gilt (Z/nZ)× = {k + nZ|1 ≤ k ≤ n, ggT(k, n) = 1}. Insbesondere gilt |(Z/nZ)× | = ϕ(n). Beweis. Sei k + nZ eine Einheit in Z/nZ. Dann gibt es s, ` ∈ Z mit ks = 1 + `n. Ein gemeinsamer Teiler von k und n teilt also 1, d.h. ggT(k, n) = 1. Sei nun umgekehrt ggT(k, n) = 1. Dann gibt es nach Satz 2.12 s, ` ∈ Z mit ks − `n = 1. Daher hat k + nZ die Inverse s + nZ. Hieraus erhalten wir Korollar 2.76. Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Dann gilt Aut(G) ∼ = (Z/nZ)× . Beweis. Sei g ein Erzeuger von G, und φ ∈ Aut(G). Wegen G = φ(G) = <φ(g)> muss φ(g) ein Erzeuger von G sein, also φ(g) = g k f¨ ur k ∈ Z mit ggT(k, n) = 1 (siehe Korollar 2.16). Wegen ord(g) = n ist k modulo n eindeutig bestimmt. Wir erhalten einen Monomorphismus Aut(G) → (Z/nZ)× , φ 7→ k + nZ. Dieser Monomorphismus ist surjektiv, da G → G, x 7→ xk f¨ ur alle k ∈ Z mit ggT(k, n) = 1 ein Automorphismus von G ist. Im folgenden bezeichent Cn eine zyklische Gruppe der Ordnung n. 2.12.2

|G| = pq, p < q Primzahlen.

Sei P und Q eine p-Sylow- bzw. q-Sylowgruppe von G, und nq die Anzahl der q-Sylowgruppen von G. Ist Q nicht normal in G, dann gilt NG (Q) = Q, es folgt nq = [G : NG (Q)] = [G : Q] = pqq = p. Anderseits ist q ein Teiler von nq − 1 = p − 1, also insbesondere q < p, im Widerspruch zu p < q. Daher ist Q ein Normalteiler, und G ein semidirektes Produkt von Q mit P . Wenn p kein Teiler von q −1 ist, dann ist dieses semidirekte Produkt sogar direkt. Das sieht man folgendermaßen. Es gilt n¨amlich G/CG (Q) ≤ Aut(Q). Wegen G/Q ∼ = P und Q ≤ CG (Q) gilt entweder G = CG (Q), oder Q = CG (Q). Im ersten Fall zentralisiert P den Normalteiler Q, also G = P × Q ∼ = ∼ ∼ ∼ Cp × Cq = Cpq . Im zweiten Fall bettet Cp = P = G/CG (Q) ein in Aut(Q). Nach Korollar 2.76 gilt |Aut(Q)| = q − 1. Dieser Fall kann also nur auftreten, wenn p ein Teiler von q − 1 ist. Als n¨achstes wollen wir den Fall von 3 verschiedenen Primfaktoren studieren. Zur Einstimmung erst mal ein einfaches Beispiel. 37

2.12.3

|G| = 1001 = 7 · 11 · 13.

Seien n7 , n11 und n13 die Anzahlen der 7-, 11- und 13-Sylowgruppen. Nun ist n13 ein Teiler von 7 · 11, also gleich 1, 7, 11 oder 77. Aber außer 1 hat keine dieser Zahlen die Form 1 + 13k, es folgt n13 = 1. Analog ist n7 gleich 1, 11, 13 oder 11 · 13 = 143 und von der Form 1 + 7k, also n7 = 1, und genauso folgt n11 = 1. Damit sind alle Sylowgruppen normal, und G ist somit ein direktes Produkt dieser zyklischen Normalteiler mit teilerfremden Ordnungen. Daher ist G zyklisch. 2.12.4

|G| = pqr, p < q < r Primzahlen.

Seien nun P , Q und R Untergruppen der Ordnungen p, q, und r. Nat¨ urlich sind P , Q und R Sylowgruppen. F¨ ur eine Primzahl s sei ns wieder die Anzahl der s-Sylowgruppen. Zun¨achst wollen wir sehen, dass eine der Gruppen P , Q oder R normal in G ist. Dazu nehmen wir an, das sei nicht der Fall. Wegen R ≤ NG (R) < G gilt nr = p, q oder pq. Die ersten beiden F¨alle treten aber nicht auf, da r ein Teiler von nr − 1 ist, aber r > p − 1 und r > q − 1 nach Voraussetzung. Daher gilt nr = pq. Ferner ist 1 < np ein Teiler von qr, also np ≥ q, und analog nq ≥ p. Die Konjugierten der Gruppen P , Q und R schneiden sich paarweise trivial. Daher gibt es nr (r − 1) Elemente der Ordnung r, np (p − 1) Elemente der Ordnung p und nq (q − 1) Elemente der Ordnung q. Es folgt pqr − 1 ≥ nr (r − 1) + np (p − 1) + nq (q − 1) ≥ pq(r − 1) + q(p − 1) + p(q − 1), also (p − 1)(q − 1) ≤ 0, was Unsinn ist. Damit ist eine der Gruppen P , Q oder R normal in G. Wir wollen sehen, dass R normal in G ist. Wenn das nicht der Fall ist, dann ist nach obigem P oder Q normal in G. Sei z.B. P normal in G. Nach Beispiel 2.12.2 ist dann P R/P normal in G/P , also P R normal in G. Aber wiederum nach Beispiel 2.12.2 ist R normal in P R. Somit ist R die einzige r-Sylowgruppe in P R, und daher muss R in G normal sein. Damit ist R als Normalteiler erkannt. Nach Beispiel 2.12.2 ist QR/R normal in G/R, und somit ist QR normal in G. Es folgt G∼ = P n (Q n R). F¨ uhrt man diese etwas technischen Betrachtungen noch weiter, so sieht man, dass stets G ∼ = Cp n Cqr oder G ∼ = Cpq n Cr gilt. 38

2.12.5

|G| = pa q b , p < q Primzahlen, 0 ≤ a, b ≤ 2.

Sei wieder P und Q eine p- und q-Sylowgruppe. Ist Q normal in G, dann ist G ein semidirektes Produkt von Q mit P . Wir wollen den Fall analysieren, dass Q nicht normal ist. Mit den gewohnten Bezeichnungen folgt, dass 1 < nq ein Teiler von p2 ist, und q ein Teiler von nq −1 ist. Wegen q > p kann nicht nq = p gelten, daher gilt nq = p2 , und q ist ein Teiler von p2 − 1 = (p − 1)(p + 1). Daher ist p − 1 oder p + 1 durch q teilbar. Wegen q > p folgt q = p + 1, also p = 2, q = 3. Somit gilt n3 = 4 und |G| = 12 oder |G| = 36. Wegen n3 = 22 gilt NG (Q) = Q. Betrachte die Operation durch Konjugation auf den vier 3Sylowgruppen. Wir erhalten G → S4 , und der Kern ist der Schnitt der 3Sylowgruppen. Im Fall |G| = 12 ist dieser Schnitt trivial, es folgt G ≤ S4 . Aber A4 ist die einzige Untergruppe der Ordnung 12 in S4 , und es folgt G∼ = A4 . Insbesondere ist P normal in G. Im zweiten Fall ist der Kern von G → S4 eine Gruppe Z der Ordnung 3, wie eben folgt G/Z ∼ = A4 . Somit ist P Z/Z normal in G/Z, also P Z normal in G der Ordnung 12. Es folgt schnell, dass P normal in G ist. Bemerkung. F¨ ur beliebige nat¨ urliche Zahlen a, b gilt der Satz von Burnside, dass eine Gruppe der Ordnung pa q b aufl¨osbar ist. Auch bis heute ist der einfachste Beweis mittels Darstellungstheorie. Hierbei untersucht man die m¨oglichen Homomorphismen G → GLn (C). 2.12.6

|G| = 8.

Hier wollen wir bis auf Isomorphie die Gruppen der Ordnung 8 bestimmen. Nat¨ urlich gibt es die drei abelschen Gruppen C8 , C2 × C4 und C2 × C2 × C2 . Ferner kennen wir die Diedergruppe D4 = C4 o C2 . Wir wollen sehen, dass es dar¨ uber hinaus nur noch eine weitere Gruppe gibt, die sogenannte Quaternionengruppe Q8 der Ordnung 8. In Anlehnung an ihre u ¨bliche Beschreibung mittels den Quaternionen, einer reellen, nicht kommutativen Divisionsalgebra, bezeichen wir die Elemente von Q8 mit ±1, ±i, ±j und ±k. Mit −x ist das Produkt (−1)x gemeint. Die Multiplikation wird gegeben durch ij = −ji = k, i2 = j 2 = −1 und der Vorschrift, dass −1 im Zentrum der Gruppe liegt. (Man u ¨berlege sich, dass das die Multiplikationstafel festlegt, und tats¨achlich eine Gruppe der Ordnung 8 beschreibt.) Im folgenden wollen wir sehen, dass es keine weiteren Gruppen der Ordnung 8 gibt. Sei also G eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 8. Gilt g 2 = 1 f¨ ur alle g ∈ G, dann ist G abelsch. Daher enth¨alt G Elemente der Ordnung 4. 39

Wir betrachten erst den Fall, dass G eine nicht normale Untergruppe U der Ordnung 2 besitzt. Dann ist die Operation von G durch Rechtsmultiplikation auf den 4 Rechtsnebenklassen U \ G treu, wir erhalten also (bis auf Isomorphie) G ≤ S4 , wobei G transitiv ist und U einen Punkt fixiert. Oben sahen wir, dass G ein Element g der Ordnung 4 enth¨alt. Dann ist g ein 4-Zykel. Sei C = . Offenbar gilt C ∩ U = {e}, und C / G wegen [G : C] = 2. Es folgt G = C o U ∼ = C4 o C2 = D4 . Daher sind alle Untergruppen der Ordnung 2 normal. Es gibt h¨ochstens eine solche Untergruppe, denn g¨abe es zwei solche Gruppen A und B, dann w¨are G abelsch, da G/A und G/B abelsch sind, und G in G/A × G/B einbettet. Nach den bisherigen Betrachtungen enth¨alt G genau eine Involution z. Da z g auch eine Involution ist, gilt z g = z f¨ ur alle g ∈ G, also z ∈ Z(G). Sei i ein Element der Ordnung 4. Dann gilt ord(i2 ) = 2, also i2 = z. Da G keine Elemente der Ordnung 8 enth¨alt, hat jedes Element außerhalb die Ordnung 4. Daher gibt es ein Element j der Ordnung 4, welches eine von verschiedene Untergruppe erzeugt. Ferner gilt j 2 = z, und G wird von i und j erzeugt. Da G nicht abelsch ist, gilt ij 6= i. Aber j normalisiert , daher gilt ij = i3 = i2 i = zi. Aus zi = ij = j −1 ij folgt ij = zji. Bezeichnet man nun die zentrale Involution z mit −1 und setzt k = ij, dann erh¨alt man gerade die obige Beschreibung von Q8 . Dass Q8 nicht isomorph zu D4 ist folgt z.B. daraus, dass D4 mehr als eine Involution enth¨alt.

2.12.7

Auflo ¨sbarkeit von G fu ¨ r |G| < 60.

Wir haben bereits die Gruppe A5 der Ordnung 60 kennengelernt, die einfach aber nicht abelsch ist. Hier wollen wir sehen, dass es keine kleinere einfache und nicht abelsche Gruppen gibt. Insbesondere sind dann alle Gruppen der Ordnung < 60 aufl¨osbar. Sei G einfach und nicht abelsch mit |G| < 60. Wegen der bisherigen F¨alle bleiben nur noch die Gruppenordnungen 2 · 33 , 23 · 3, 23 · 5, 23 · 7 und 24 · 3 zu untersuchen. G kann keine echte Untergruppe U vom Index ≤ 4 besitzen, denn dann bettet G ein in Sym(U \ G) ≤ S4 , aber S4 ist aufl¨osbar. Damit bleiben nur noch die Ordnungen 23 · 5 und 23 · 7. Im ersten Fall folgt aus den Sylows¨atzen sofort, dass die 5-Sylowgruppe normal ist, ein Widerspruch. Bleibt |G| = 8 · 7. Es folgt n7 = 8, daher hat G genau 8(7 − 1) = 48 Elemente der Ordnung 7. Die Menge der restlichen 8 Elemente ist unter Konjugation invariant. Aber auch die 2-Sylowgruppe von G hat Ordnung 8, und stimmt daher mit dieser Menge u ¨berein. Sie ist also normal. 40

3

Ringe

3.1

Definitionen, Beispiele

Ein Ring ist eine Menge R mit zwei zweistelligen Verkn¨ upfungen + und · und Elementen 0, 1 ∈ R, so dass die folgenden Ringaxiome gelten: • (R, +) ist eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe mit neutralem Element 0. • (R, ·) ist ein Monoid mit neutralem Element 1. • Es gelten die beiden Distributivgesetze x · (y + z) = x · y + x · z und (y + z) · x = y · x + z · x f¨ ur alle x, y, z ∈ R. Um Klammern zu sparen gelten die u ¨blichen Konventionen, dass Potenzbildung vor Multiplikation, und diese vor Addition geht. Bei Produkten schreibt man oft xy statt x · y. Zur Gew¨ohnung an die Axiome beginnen wir mit einigen einfachen Aussagen: Lemma 3.1. In einem Ring R gelten die folgenden Aussagen: (a) 0a = a0 = 0. (b) (−a)b = −(ab) = a(−b). (c) a(b − c) = ab − ac, (a − b)c = ac − bc. (d) Gilt 0 = 1, so folgt R = {0}. (e) Gilt ab = ba, so folgt (a + b)n =

Pn

k=0

n k




ak bn−k f¨ ur n ∈ N.

Beweis. Aus 0 = 0 + 0 folgt a0 = a(0 + 0) = a0 + a0, also a0 = 0, und analog ¨ 0a = 0. Ahnlich einfach folgen die Aussagen (b) und (c). Aussage (d) folgt aus (a) und a = a · 1 = a · 0 = 0. Der Beweis von (e) ist wie in der Analysis mittels vollst¨andiger Induktion, bei der Rechnung bemerkt man, dass man neben den Ringaxiomen noch die multiplikative Vertauschbarkeit von a und b ben¨otigt. Soweit im folgenden nichts anderes gesagt wird, sei stillschweigend 0 6= 1 vorausgesetzt. 41

Beispiele von Ringen • Die ganzen Zahlen Z bilden einen Ring. • Ist n ∈ N, so bildet die Menge der Restklassen Z/nZ mit den Festsetzungen (a + nZ) + (b + nZ) = (a + b) + nZ und (a + nZ) · (b + nZ) = (ab) + nZ einen Ring mit n Elementen. • Ist K ein K¨orper, so bildet die Menge der Matrizen Mn (K) einen Ring. • F¨ ur eine abelsche Gruppe A ist die Menge der Endomophismen von A ein Ring, wobei f + g durch af +g := af + ag und af ·g := af g = (af )g erkl¨art werden. (Was passiert, wenn A nicht abelsch ist?) • Ist M eine Menge, und R ein Ring, so bildet die Menge der Abbildungen von M nach R unter elementweiser Addition und Multiplikation ein Ring. Nach diesen Beispielen wollen wie einige nachfolgend h¨aufig benutzte Begriffe definieren. Definition 3.2. Ein Element a ∈ R heißt invertierbar oder Einheit, wenn es b, c ∈ R gibt mit ab = ca = 1. (Dann folgt automatisch c = c1 = cab = 1b = b.) Die Menge R× der Einheiten bildet eine Gruppe, die Einheitengruppe von R. Ein Element 0 6= a ∈ R heißt Nullteiler , wenn es ein b 6= 0 gibt mit ab = 0 oder ba = 0. Ein Element a ∈ R heißt nilpotent, wenn es ein n ∈ N gibt mit an = 0. Ein Ring R heißt kommutativ , wenn ab = ba gilt f¨ ur alle a, b ∈ R. Der Ring R (mit 0 6= 1) heißt Integrit¨atsbereich oder Integrit¨atsring, wenn R nullteilerfrei und kommutativ ist. Sind alle Elemente 6= 0 eines Ringes (6= {0}) Einheiten, so heißt der Ring ein Schiefk¨orper . Kommutative Schiefk¨orper heißen K¨orper . Typische Integrit¨atsbereiche sind etwa die ganzen Zahlen Z. Die Einheitengruppe von Z besteht allerdings nur aus ±1. Nat¨ urlich ist auch jeder K¨orper ein Integrit¨atsbereich. Als einfache Anwendung der Begriffe zeigen wir Lemma 3.3. Ein endlicher Ring ohne Nullteiler ist ein Schiefk¨orper. 42

Beweis. Sei R ein endlicher Ring ohne Nullteiler, und 0 6= a ∈ R. Wir m¨ ussen zeigen, dass a invertierbar ist. Dazu betrachten wir die Abbildung R → R, x 7→ ax. Diese Abbildung ist injektiv, denn aus ax = ay folgt a(x − y) = 0, also x − y = 0, da R nullteilerfrei ist. Da aber R endlich ist, folgt aus der Injektivit¨at dieser Abbildung schon die Surjektivit¨at. Insbesondere gibt es ein x ∈ R mit ax = 1. Analog folgt die Existenz von y mit ya = 1. Eine wichtige Folgerung ist Korollar 3.4. Sei n ∈ N. Dann ist Z/nZ genau dann ein K¨orper, wenn n eine Primzahl ist. Beweis. Sei R = Z/nZ. Im Falle n = 1 gilt R = {0}. Sei nun n = ab mit a, b ∈ N und a, b > 1. Dann gilt (a + nZ)(b + nZ) = nZ = 0R , aber a + nZ, b + nZ 6= 0R . Damit ist R kein K¨orper. Nun sei n eine Primzahl. Nach obigem Lemma bleibt zu zeigen, dass R ein Integrit¨atsbereich ist, d.h, dass R keine Nullteiler außer 0R hat. Seien a + nZ, b + nZ 6= 0R mit (a + nZ)(b + nZ) = ab + nZ = 0R . Damit ist n ein Teiler von ab, und da n prim ist, gilt z.B., dass n ein Teiler von a ist. Aber dann gilt a + nZ = 0R , ein Widerspruch. Ein Teilring eines Ringes R ist eine Teilmenge S von R mit 0, 1 ∈ S, so dass S mit den von R auf S eingeschr¨ankten Operationen wieder einen Ring bildet. Hierzu gen¨ ugt es zu zeigen, dass mit s, t ∈ S auch s − t und st wieder in S liegen. Ist M eine Teilmenge von R, und R0 ein Teilring von R, dann bezeichnet R0 [M ] den von R0 und M erzeugten Teilring von R. Das ist der kleinste Teilring von R, der R0 und M enth¨alt.

3.2

Homomorphismen und Ideale

Definition 3.5. Eine Abbildung φ : R → S zwischen Ringen R und S heißt Ringhomomorphismus, wenn 1φR = 1S gilt, und (x + y)φ = xφ + y φ und (xy)φ = xφ y φ gelten f¨ ur alle x, y ∈ R. ¨ Ahnlich einfach wie bei Gruppen rechnet man nach, dass Rφ ein Teilring von S ist, und dass Urbilder von Teilringen von S wieder Teilringe von R sind. Die Kerne von Gruppenhomomorphismen waren gerade die Normalteiler von Gruppen. Der Kern eines Ringhomomorphismus R → S ist nat¨ urlich eine Untergruppe von (R, +), aber es gilt eine weitere Eigenschaft. Definition 3.6. Eine Untergruppe I von (R, +) heißt Ideal von R, wenn f¨ ur alle r ∈ R, i ∈ I gilt: ri, ir ∈ I. Man schreibt dann auch I E R. 43

Sei I der Kern eines Ringhomomorphismus φ : R → S. Wie schon bemerkt, ist I eine Untergruppe von (R, +). Sei r ∈ R, i ∈ I. Wegen (ri)φ = rφ iφ = rφ 0 = 0 gilt ri ∈ I, und analog ir ∈ I. Damit ist I ein Ideal. In K¨ urze werden wir sehen, dass umgekehrt jedes Ideal der Kern eines geeigneten Homomorphismus ist. Man beachte, dass Ideale im allgemeinen keine Teilringe sind. Gilt n¨amlich 1 ∈ I, so folgt bereits I = R. P Ist M eine Teilmenge von R, so bildet die Menge der endlichen Summen ri mi si mit ri , si ∈ R, mi ∈ M offenbar das kleinste Ideal von R, welches M enth¨alt. Man nennt das auch das von M erzeugte Ideal. Ein Hauptideal ist ein von einem einzigen Element erzeugtes Ideal. Ist R kommutativ, dann hat das von m erzeugte Hauptideal die Form mR. Man schreibt daf¨ ur auch h¨aufig (m). Ist jedes Ideal eines Ringes ein Haupideal, dann nennt man den Ring Hauptidealring. Wir wissen bereits, dass die Untergruppen von (Z, +) alle die Form nZ mit n ∈ N0 haben. Insbesondere haben alle Ideale von Z diese Form, somit ist Z ein Hauptidealring. Sei nun I ein Ideal des Rings R. Da (I, +) eine normale Untergruppe von (R, +) ist, erhalten wir eine nat¨ urliche Abbildung φ : R → R/I via x 7→ x+I. Wir wollen sehen, dass durch (x + I)(y + I) := xy + I ein wohldefiniertes Produkt auf R/I gegeben wird. Dazu sei x = x0 + i, y = y 0 + j mit i, j ∈ I. Wir m¨ ussen sehen, dass xy + I = x0 y 0 + I gilt. Das gilt aber wegen xy − x0 y 0 = (x0 + i)(y 0 + j) − x0 y 0 = x0 j + iy 0 + ij ∈ I. Damit ist R/I offenbar ein Ring mit Nullelement I und Einselement 1 + I, da sich die Ringaxiome direkt von R auf R/I u ¨bertragen. Wir erhalten Satz 3.7. Sei I ein Ideal des Rings R. Dann ist R → R/I, x 7→ x + I ein Epimorphismus von Ringen mit Kern I. Das zeigt, dass jedes Ideal der Kern eines Ringhomomorphismus ist. Fast w¨ortlich genauso wie in der Gruppentheorie (oder linearen Algebra) beweist man nun Satz 3.8 (Homomorphiesatz). Sei φ : R → S ein Homomorphismus von Ringen mit Kern I. Dann gilt R/I ∼ = Bild(φ). Auch die Isomorphies¨atze der Gruppentheorie haben ein Analogon in der Ringtheorie. Hierzu beachte man: Ist S ein Teilring und I ein Ideal des Rings R, dann ist S ∩ I ein Ideal von S und S + I ein Teilring von R. Satz 3.9 (Isomorphies¨atze). (a) Sei R ein Ring mit Teilring S und Ideal I. Dann gilt S/(S ∩ I) ∼ = (S + I)/I. 44

(b) Seien I und J Ideale des Rings R mit J ⊆ I. Dann ist I/J ein Ideal von R/J, und es gilt R/I ∼ = (R/J)/(I/J).

3.3

Chinesischer Restsatz

Es seien I und J Ideale eines Rings R. Offenbar sind auch I + J und I ∩ J Ideale von R. Die multiplikative Struktur von R erlaubt es uns, aus I und J ein weiteres Ideal zu konstruieren. Mit IJ bezeichnen wir die Menge der endlichen Summen mit Summanden der Form ij mit i ∈ I, j ∈ J. Offenbar ist IJ ein Ideal von R. Man beachte, dass nicht jedes Element aus IJ die Form ij haben muss. Es gilt IJ ⊆ I ∩ J. Um die n¨achsten Begriffe zu motivieren, betrachten wir zun¨achst den Fall der ganzen Zahlen. Wir wissen bereits, dass m, n ∈ Z genau dann teilerfremd sind, wenn 1 eine ganzzahlige Linearkombination von m und n ist. Das wiederum ist a¨quivalent zu mZ + nZ = Z. Das motiviert (hoffentlich) die folgende Definition 3.10. Die Ideale I und J des Rings R heißen teilerfremd , wenn R = I + J gilt. Sind R1 , R2 , . . . , Rn Ringe, dann ist das direkte Produkt R1 × R2 × · · · × Rn mit den komponentenweisen Operationen wieder ein Ring. Im folgenden wollen wir in gewissen Situationen komplizierte Ringe als direkte Produkte einfacherer Ringe schreiben. Zuvor ben¨otigen wir noch ein Lemma 3.11. Es sei I ein Ideal des Rings R, das teilerfremd ist zu den Idealen J und K. Dann gilt (a) IJ + JI = I ∩ J. (b) I ist teilerfremd zu JK und J ∩ K. Beweis. Wegen IJ, JI ⊆ I ∩ J folgt IJ + JI ⊆ I ∩ J. Sei nun umgekehrt x ∈ I ∩ J. Wegen I + J = R gibt es i ∈ I, j ∈ J mit 1 = i + j. Es folgt x = (i + j)x = ix + jx ∈ IJ + JI, und damit (a). Sei nun weiter 1 = i0 + k mit i0 ∈ I, k ∈ K. Wir erhalten 1 = (i + j)(i0 + k) = ii0 + ik + ji0 + jk ∈ I + jk ⊆ I + JK, und die Behauptung folgt. 45

Induktiv folgt aus (b) Lemma 3.12. Das Ideal I1 des Rings R sei teilerfremd zu den Idealen I2 , . . . , In . Dann ist I1 teilerfremd zu I2 ∩ · · · ∩ In . Das Hauptergebnis dieses Abschnitts ist Satz 3.13 (Chinesischer Restsatz). Seien I1 , I2 , . . . , In paarweise teilerfremde Ideale eines Rings R. Sei I der Schnitt der Ideale Ii . Dann ist die Abbildung R → R/I1 × R/I2 × · · · × R/In r 7→ (r + I1 , r + I2 , . . . , r + In ) ein Epimorphismus von Ringen mit Kern I. Insbesondere ist R/I isomorph zu R/I1 × R/I2 × · · · × R/In . Beweis. Offenbar ist I der Kern der Abbildung R → R/I1 × R/I2 × · · · × R/In , r 7→ (r + I1 , r + I2 , . . . , r + In ), die Behauptung folgt also aus dem Homomorphiesatz, sobald wir die Surjektivit¨at der Abbildung nachgewiesen haben. F¨ ur n = 1 ist nichts zu zeigen. Sei nun n = 2. Wegen R = I1 + I2 gibt es i1 ∈ I1 , i2 ∈ I2 mit 1 = i1 + i2 . Seien x, y ∈ R beliebig, und setze r = xi2 + yi1 . Es gilt r = x(1 − i1 ) + yi1 = x + (y − x)i1 ∈ x + I1 und r = xi2 + y(1 − i2 ) ∈ y + I2 . Das Element r wird also auf (x + I1 , y + I2 ) abgebildet. Da x und y beliebig waren, folgt die Behauptung f¨ ur n = 2. F¨ ur n ≥ 3 benutzen wir vollst¨andige Induktion, wobei wir f¨ ur den Induktionsschritt von n − 1 auf n auch den Fall n = 2 benutzen: Nach Lemma 3.12 ist I1 teilerfremd zum Schnitt I10 der Ii mit 2 ≤ i ≤ n. Wegen des Falls n = 2 ist R → R/I1 × R/I10 surjektiv, und R/I10 → R/I2 × · · · × R/In ist surjektiv nach der Induktionsannahme f¨ ur n − 1. Sei xi ∈ R f¨ ur 1 ≤ i ≤ n. Es existiert also ein s ∈ R mit s ∈ xi + Ii f¨ ur 2 ≤ i ≤ n. W¨ahle nun r ∈ R mit r ∈ x1 + I1 0 0 und r ∈ s + I1 . Wegen I1 ⊆ Ii f¨ ur i ≥ 2 folgt r ∈ s + I10 ⊆ s + Ii = xi + Ii f¨ ur i ≥ 2, also r ∈ xi + Ii f¨ ur alle 1 ≤ i ≤ n, und die Behauptung folgt. Die h¨aufigste Anwendung des chinesischen Restsatzes ist f¨ ur kommutative Ringe R. In diesem Fall l¨asst sich der Schnitt paarweiser teilerfremder Ideale noch anders ausdr¨ ucken: Lemma 3.14. Seien I1 , I2 , . . . , In paarweise teilerfremde Ideale eines kommutativen Rings. Dann gilt I1 I2 . . . In = I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ In . Beweis. F¨ ur n = 2 folgt das aus Lemma 3.11(a), und allgemein per Induktion und Lemma 3.11. 46

Eine wichtiger Spezialfall des chinesischen Restsatz ist Q ei Satz 3.15. Sei n = pi die nat¨ urliche Primfaktorzerlegung von n ∈ N. Dann ist der Ring Z/nZ isomorph zum direkten Produkt der Ringe Z/pei i Z.

3.4

Anwendungen der Kongruenzrechnung

Ein klassisches und wichtiges Gebiet der Mathematik ist die Frage der ganzzahligen L¨osbarkeit z.B. polynomialer Gleichungen oder Gleichungssysteme. Hier sind Restklassenbetrachtungen h¨aufig von großem Nutzen. Wir betrachten exemplarisch einige Beispiele. (Hierbei werden Teilbarkeits– und Primzahleigenschaften von N vorweggenommen, die erst sp¨ater bewiesen werden.) • 4x − 1 = y 2 + z 2 hat keine ganzzahligen L¨osungen. Dazu sei Z → Z/4Z der nat¨ urliche Homomorphismus, und a ¯ sei das Bild von a ∈ Z. Ist x, y, z eine L¨osung der gegebenen Gleichung, dann gilt auch ¯3 = −¯1 = 4x − 1 = y¯2 + z¯2 . F¨ ur a ∈ Z gilt aber a ¯2 = ¯0 oder ¯1, also ¯3 = u + v mit u, v ∈ {¯0, ¯1}, ein Widerspruch. urliche Zahl n enthalte in der Dezimaldarstellung nur die Ziffern • Die nat¨ 6 und 0. Kann n eine Quadratzahl sein? Wir nehmen an, n ist eine Quadratzahl. Dann endet n auf eine gerade Anzahl von 0ern. Streicht man diese, dann erh¨alt man eine Quadratzahl, die mit 6 endet, also modulo 4 den Rest 2 hat, was aber nicht geht, da die Reste der Quadrate modulo 4 nur 0 und 1 sind. • 15x2 − 7y 2 = 9 ist in Z nicht l¨osbar: Sei x, y, z eine L¨osung. Man sieht, dass 7y 2 durch 3 teilbar ist. Dann ist y durch 3 teilbar, also 7y 2 durch 9 teilbar. Somit ist 15x2 durch 9 teilbar, also x durch 3 teilbar. Wir setzen also x = 3a, y = 3b mit a, b ∈ Z. Es folgt 15a2 − 7b2 = 1. Eine Betrachtung modulo 4 bringt hier keinen Widerspruch, sie liefert ¯b2 − a ¯2 = ¯1 in Z/4Z, aber das ist nat¨ urlich l¨osbar. In Z/3Z hingegen erhalten wir −¯b2 = ¯1, aber ¯b2 ∈ {¯0, ¯1}, ein Widerspruch. • F¨ ur welche nat¨ urlichen Zahlen n ist a = 2n + 65 eine Quadratzahl? Ist n = 2m + 1 ungerade, dann ist 2n = 2 · 4m stets kongruent ±2 modulo 5, ferner ist a ungerade, also endet a auf 3 oder 7. Aber ungerade Quadratzahlen enden auf 1, 5 oder 9, ein Widerspruch. Daher ist n = 2m gerade, und 2n eine Quadratzahl. Wegen a > 2n = (2m )2 ist a mindestens so groß wie die n¨achste Quadratzahl nach 2n , also 22m +65 = 2n + 65 = a ≥ (2m + 1)2 , und somit 65 ≥ 2m+1 + 1, also 2m ≤ 32 und daher m ≤ 5. Durchprobieren liefert die einzigen L¨osungen 24 +65 = 92 und 210 + 65 = 332 . 47

• Die Kongruenzmethode f¨ uhrt nicht immer zum Ziel: Man kann zeigen, dass 3x3 + 4y 3 + 5z 3 = 0 modulo jedem n ∈ Z nicht trivial l¨osbar ist, und dennoch hat diese Gleichung keine ganzzahlige L¨osung außer x = y = z = 0. Beide Aussagen sind aber nicht einfach zu beweisen, und liegen jenseits dieser Vorlesung.

3.5

Maximale Ideale

Sei R ein Ring. Ein maximales Ideal ist ein Ideal I von R mit I 6= R, so dass kein Ideal J von R existiert mit I ( J ( R. Die wichtige Aussage in diesem Zusammenhang ist. Satz 3.16. Sei I ein Ideal eines kommutativen Ringes R. Dann ist I genau dann maximal, wenn R/I ein K¨orper ist. Beweis. Sei I maximal, und a + I 6= 0 in R/I. Damit ist a ∈ / I. Da Ra + I ein Ideal ist, welches I echt enth¨alt, muss Ra + I = R gelten. Daher gibt es r ∈ R mit 1 ∈ ra + I, also 1 + I = (a + I)(r + I), und a + I ist daher multiplikativ invertierbar in R/I. Somit ist R/I ein K¨orper. Sei nun I nicht maximal, und J ein Ideal echt zwischen I und R. F¨ ur a ∈ J und r ∈ R gilt dann (a + I)(r + I) = ar + I ⊆ J, also 1 6= ar + I, und somit ist a + I nicht invertierbar. Bemerkung. Ist I ein maximales Ideal des nicht notwendig kommutativen Riengs R, so muss R/I kein Schiefk¨orper sein. Sei etwa R = Mn (K) der Ring der n × n–Matrizen u ¨ber einem K¨orper K. Dann ist {0} das einzige ¨ (und damit maximale) Ideal von R (Beweis als Ubung!), aber R ist f¨ ur n ≥ 2 kein Schiefk¨orper. Beispiele maximaler Ideale • Die Ideale I von Z haben die Form nZ mit n = 0, 1, . . . . Ein solches Ideal ist genau dann maximal, wenn n eine Primzahl ist. • Sei R die Menge der reellwertigen Abbildungen M → R f¨ ur eine Menge M . Offenbar ist R ein Ring. F¨ ur m ∈ M ist die Abbildung R → R, f 7→ f (m) ein Epimorphismus von Ringen. Der Kern I ist das Ideal der reellwertigen Abbildungen f mit f (m) = 0. Wegen R/I ∼ = R ist R/I ein K¨orper, und I damit ein maximales Ideal. F¨ ur ein Ideal I eines Ringes R gilt I 6= R genau dann, wenn 1 ∈ / I. Das, zusammen mit dem Zornschen Lemma, ergibt Satz 3.17 (Krull). Sei I ( R ein Ideal eines Rings R. Dann ist I in einem maximalen Ideal von R enthalten. 48

3.6

Primideale

Sei R ein kommutativer Ring. Ein Ideal I von R heißt Primideal , wenn R/I ein Integrit¨atsring ist. Ist also ab ∈ I, dann ist (a + I)(b + I) ⊆ ab + I = 0 in R/I, und wegen der Nullteilerfreiheit gilt a ∈ I oder b ∈ I. Umgekehrt ist ein Ideal I / R ein Primideal, wenn aus ab ∈ I schon a ∈ I oder b ∈ I folgt. Da K¨orper Integrit¨atsringe sind, sind maximale Ideale automatisch Primideale. Das einzige nichtmaximale Primideal von Z ist {0}. Induktiv sieht man sofort, dass nilpotente Elemente in allen Primidealen liegen. Wir wollen die Umkehrung beweisen. Lemma 3.18. Sei R ein kommutativer Ring (mit 0 6= 1) und S eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von R mit {0} 6= S. Dann hat R ein Primideal I mit S ∩ I = ∅. Beweis. Sei M die Menge der Ideale von R, welche disjunkt sind zu S. Wegen {0} ∈ M ist M nicht leer. Die Vereinigung von Ketten aus M liegt wieder in M , nach dem Zornschen Lemma hat M daher ein maximales Element I. Wir wollen sehen, dass I ein Primideal ist. Dazu seien x, y ∈ R \ I. Wir m¨ ussen sehen, dass auch xy ∈ R \ I gilt. Da die Ideale Rx + I und Ry + I echt gr¨oßer als I sind, enthalten sie Elemente sx und sy aus S. Es bestehen also Gleichungen sx = rx x + ix , sy = ry y + iy mit rx , ry ∈ R, ix , iy ∈ I. Es gilt sx sy + I = (sx + I)(sy + I) = (rx x + I)(ry y + I) = rx ry xy + I. Da S multiplikativ abgeschlossen ist gibt es i ∈ I mit rx ry xy + i ∈ S. W¨are xy ∈ I, dann g¨alte auch rx ry xy + i ∈ I, im Widerspruch zu I ∩ S = ∅. Die Behauptung folgt. Satz 3.19. Sei R ein kommutativer Ring (mit 0 6= 1). Die Menge der nilpotenten Elemente besteht aus dem Durchschnitt der Primideale. Beweis. Sei x ∈ R nicht nilpotent. Wir m¨ ussen sehen, dass es ein Primideal I gibt, das x nicht enth¨alt. Da x nicht nilpotent ist, ist S = {xn |n ∈ N} eine multiplikativ abgeschlossene Menge mit 0 ∈ / S. Die Behauptung folgt aus dem vorigen Lemma.

3.7

Polynome

In diesem Abschnitt sei R stets ein kommutativer Ring. Sei X ein Symbol. Ein Polynom in der Variablen X ist eine formale Summe r0 + r1 X + r2 X 2 + · · · + rn X n f¨ ur ein n ∈ N0 und Koeffizienten ri ∈ R. Hierbei trifft man die Festsetzung X 0 = 1. Die Menge der Polynome bildet einen Ring unter koeffizientenweiser Addition, und den Festsetzungen rX = Xr und X m X n = X m+n . Man schreibt R[X] f¨ ur diesen Ring. Man fasst R als Teilring von R[X] 49

auf, indem man r ∈ R mit dem Polynom r = rX 0 identifiziert. Sei f 6= 0, und n ∈ N0 maximal mit rn 6= 0. Dann heißt n der Grad von f , und rn der Leitkoeffizient. Man schreibt n = grad f . Man nennt f normiert, wenn rn = 1 gilt. Der Koeffizient r0 wird konstanter Term oder Absolutglied genannt. F¨ ur f = 0 setzt man grad f = −∞. Aus den Definitionen folgt unmittelbar Lemma 3.20. Seien f, g ∈ R[X] Polynome. Dann gilt grad(f +g) ≤ max(grad f, grad g) und grad(f · g) ≤ grad f + grad g. Ist R ein Integrit¨atsbereich, dann gilt grad(f · g) = grad f + grad g An der letzten Aussage sieht man, dass wenn R ein Integrit¨atsbereich ist, dann gilt das auch f¨ ur R[X]. ur Polynome u Wie bei ganzen Zahlen hat man auch f¨ ¨ber K¨orpern eine Division mit Rest. Genauer gilt: Satz 3.21. Sei g ∈ R[X] ein Polynom mit invertierbarem Leitkoeffizienten, und f ∈ R[X] beliebig. Dann gibt es eindeutige Polynome q, r ∈ R[X] mit f = q · g + r und grad r < grad g. Beweis. Wir wollen zun¨achst die Eindeutigkeit beweisen. Dazu sei f = q 0 ·g + r0 eine weitere Darstellung der gegebenen Form. Dann folgt (q − q 0 )g = r0 − r. Da der Leitkoeffizient von g kein Nullteiler ist, gilt grad(r0 − r) = grad(q − q 0 ) + grad g. Wegen grad(r0 − r) < grad g folgt q = q 0 und r0 = r. Es bleibt die Existenz zu zeigen. Sei a die Inverse des Leitkoeffizienten von g, und g 0 = ag. Ist f = q 0 g 0 + r eine Division durch g 0 mit Rest der verlangten Art, dann gilt das auch f¨ ur f = qg + r mit q = aq 0 . Wir d¨ urfen also annehmen, dass g normiert ist. Ist grad f < grad g, dann gibt es nichts zu zeigen, da wir q = 0 und r = f setzen k¨onnen. Wir verwenden nun vollst¨andige Induktion u ¨ber grad f . Sei n = grad f ≥ grad g, und a der Leitkoeffizient von f . Setze f 0 = f − aX grad f −grad g g. Dann gilt grad f 0 < grad f . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also eine Darstellung f 0 = q 0 g+r mit grad r < grad g. Die Behauptung folgt nun aus f = f 0 + aX grad f −grad g g = q 0 g + r0 + aX grad f −grad g g = (q 0 + aX grad f −grad g )g + r. Eine wichtige Folgerung ist Satz 3.22. Sei K ein K¨orper, und I 6= {0} ein Ideal von K[X]. Sei g 6= 0 ein Polynom kleinsten Grades aus I. Dann ist g bis auf einen Faktor 0 6= r ∈ K eindeutig, und es gilt I = (g). Insbesondere ist K[X] ein Hauptidealring. 50

Beweis. Ist 0 6= r ∈ K und g ∈ K[X], dann gilt g ∈ I genau dann wenn rg ∈ I. Die Differenz zweier normierter Polynome von gleichem Grad n hat Grad < n, daraus folgt die Eindeutigkeitsaussage. Sei nun 0 6= g ∈ I von kleinstem Grad, und f ∈ I beliebig. Sei f = qg + r eine Division mit Rest. Aus r ∈ I und grad r < grad g folgt r = 0, also I ⊆ (g). Die umgekehrte Inklusion ist sowieso klar. Bemerkung. Obige Aussage wird im allgemeinen falsch, wenn K kein K¨orper mehr ist. Sogar ein Integrit¨atsbereich zu sein ist zu schwach, selbst wenn er ein Hauptidealring ist, wie das von 2 und X in Z[X] erzeugte Ideal zeigt. P Ist a ∈ R ri X i ∈ R[X] ein Polynom, dann bedeutet f (a) P undi f = die Summe ri a , mit der Konvention a0 = 1 auch dann, wenn a = 0 gilt. Offenbar ist R[X] → R, f 7→ f (a) ein Ringhomomorphismus. Man nennt a eine Nullstelle von f , wenn f (a) = 0 gilt. Satz 3.23. Ist a eine Nullstelle des Polynoms f , dann gibt es ein eindeutiges Polynom g ∈ R[X] mit f = (X − a)g. Beweis. Schreibe f = (X − a)g + r mit grad r < grad(X − a) = 1. Daher gilt r ∈ R. Einsetzen von a f¨ ur X liefert 0 = f (0) = (a − a)g(a) + r = r, und die Behauptung folgt. Eine wichtige Folgerung ist Satz 3.24. Sei R ein Integrit¨atsring, und 0 6= f ∈ R[X]. Dann hat f h¨ochstens grad f verschiedene Nullstellen. Beweis. F¨ ur grad f ≤ 1 ist die Aussage klar. Wir beweisen sie allgemein durch vollst¨andige Induktion. Seien a1 , . . . , ar verschiedene Nullstellen von f . Wir schreiben f = (X − a1 )g. Wegen 0 = f (ai ) = (ai − a1 )g(ai ) und der Nullteilerfreiheit von R ist ai eine Nullstelle von g f¨ ur i ≥ 2. Daher gilt r − 1 ≤ grad g = grad f − 1, und die Behauptung folgt. Bemerkung. Man u ¨berlege sich ein Gegenbeispiel zum Satz, wenn R ein geeigneter Ring mit Nullteilern ist. Eine u ¨berraschende Folgerung obigen Satzes ist Satz 3.25. Jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines K¨orpers ist zyklisch. Beweis. Sei n die Ordnung einer Untergruppe G der multipliaktiven Gruppe eines K¨orpers. Ist die abelsche Gruppe G nicht zyklisch, dann gibt es nach dem Struktursatz f¨ ur endliche abelsche Gruppen eine Primzahl p und eine zu 51

Cp × Cp isomorphe Untergruppe H von G. Aber f¨ ur alle Elemente h ∈ H gilt hp = 1. Daher sind die p2 Elemente aus H Nullstellen des Polynoms X p − 1, im Widerspruch zu vorigem Satz. Korollar 3.26. Sei p eine Primzahl. Dann ist die multiplikative Gruppe des K¨orpers Z/pZ zyklisch. Bemerkung. Das Korollar ist eine reine Existenzaussage in dem Sinne, dass man weiß dass (Z/pZ)× zyklisch ist, aber keinen Erzeuger explizit geliefert bekommt. In der Tat ist keine explizite Formel oder guter Algorithmus zum Auffinden solcher Erzeuger bekannt. Ist R ein kommutativer Ring, und a eine Nullstelle eines Polynoms 0 6= f ∈ R[X]. Sei e ∈ N mit f = (X − a)e g f¨ ur ein e ∈ N. Wegen e + grad g = grad f gilt e ≤ grad f . Insbesondere gibt es ein maximales e mit obiger Darstellung. Man nennt e die Vielfachheit der Nullstelle a. Ist die Vielfachheit 1, dann nennt man die Nullstelle einfach. Man u ¨berlegt sich sofort, dass Satz 3.24 auch dann noch gilt, wenn man die Nullstellen mit Vielfachheit z¨ahlt: Dazu seien e1 , e2 , . . . , ek die Vielfachheiten der verschiedenen Nullstellen a1 , a2 , . . . , ak von f . Sei 0 ≤ di ≤ ei . Durch vollst¨andige Induktion u ¨ber d1 + d2 + · · · + dk sieht man, dass es eine Darstellung f = (X−a1 )d1 (X−a2 )d2 . . . (X−ak )dk g gibt, und die Behauptung folgt f¨ ur di = ei . Die Ableitung ist ein einfaches Hilfsmittel, um Polynome auf vielfache Nullstellen zu testen. Definition 3.27. Auf dem Polynomring R[X] definiert man durch r0 := 0, (rX i )0 := riX i−1 (r ∈ R, i ≥ 1) eine additive Abbildung R[X] → R[X], f 7→ f 0 . Man nennt diese Abbildung eine Ableitung oder Differentiation. Man rechnet sofort nach, dass die aus der Analysis gewohnte Produktregel (f g)0 = f 0 g + f g 0 gilt. Allerdings ist Vorsicht angebracht: Gilt f 0 = 0, dann muss f kein konstantes Polynom sein. Ist beispielsweise R = Z/pZ, dann gilt (X p )0 = pX p−1 = 0X p−1 = 0. Satz 3.28. Sei R ein Integrit¨atsbereich, und a eine Nullstelle des Polynoms f ∈ R[X]. Dann ist a eine einfache Nullstelle genau dann, wenn f 0 (a) 6= 0 gilt. Beweis. Sei f = (X−a)g. Ableiten liefert f 0 = (X−a)g 0 +g, also f 0 (a) = g(a). Die Behauptung folgt. 52

3.8

Einheitengruppe von Z/nZ

Als Anwendung des Korollars 3.26 wir allgemein die Einheitengruppe Qwollen ei von Z/nZ bestimmen. Sei n = pi die Primfaktorzerlegung von n ∈ N. Nach dem Chinesischen Restsatz ist Z/nZ isomorph zum direkten Produkt der Ringe Z/pei i Z, und damit ist die Einheitengruppe (Z/nZ)× isomorph zum direkten Produkt der Einheitengruppen (Z/pei i Z)× . Der folgende Satz kl¨art die Struktur dieser Gruppen. Satz 3.29. (a) Sei p eine ungerade Primzahl und l ∈ N. Dann ist (Z/pl Z)× zyklisch. Sei w ∈ Z, so dass w+pZ ein Erzeuger von (Z/pZ)× ist. Dann l−1 ist wp (1 + p) + pl Z ein Erzeuger von (Z/pl Z)× . (b) F¨ ur l ≥ 2 ist (Z/2l Z)× isomorph zu einem direkten Produkt zweier zyklischer Gruppen der Ordnungen 2 und 2l−2 , mit Erzeugern −1 + 2l Z und 5 + 2l Z. Dem Beweis schicken wir einige Lemmata voraus.
Lemma 3.30. Sei p eine Primzahl, und 1 ≤ k ≤ p − 1. Dann ist kp durch p teilbar.
Beweis. Wegen kp = p(p−1)...(p−k+1) ist der Z¨ahler durch p teilbar, der Nenner 1·2...k aber nicht. Lemma 3.31. Sei p eine Primzahl, l ∈ N, und f¨ ur a, b ∈ Z sei a − b durch l p p l+1 p teilbar. Dann ist a − b durch p teilbar. Beweis. Schreibe a = b + cpl . Dann gilt ap − bp = (b + cpl )p − bp p   X p p−k l k = b (cp ) k k=1 p   X p p−k l k p−1 l+1 = b cp + b (cp ) . k k=2 Aber f¨ ur k ≥ 2 gilt kl ≥ 2l ≥ l + 1, und die Behauptung folgt. l−2

Lemma 3.32. Sei l ≥ 2, und p 6= 2 eine Primzahl. Dann ist (1 + p)p (1 + pl−1 ) durch pl teilbar.

−

Beweis. Wir benutzen vollst¨andige Induktion u ur ¨ber l. Die Aussage ist klar f¨ l = 2. 53

l−1

Sie gelte nun f¨ ur l. Nach obigem Lemma ist (1 + p)p l+1 p teilbar. Wegen (1 + p

l−1 p

l

) = (1 + p ) +

p   X p k=2

k

− (1 + pl−1 )p durch

(pl−1 )k

ist zu zeigen, dass die Summe durch pl+1 teilbar ist. Wegen Lemma 3.30 und (l − 1)k + 1 ≥ l + 1 ist das klar f¨ ur jeden Summanden außer dem f¨ ur k = p. Hierf¨ ur ben¨otigen wir (l − 1)p ≥ l + 1. Das gilt aber wegen p ≥ 3 und l ≥ 2. Bemerkung. Man sieht, dass der letzte Schritt im Beweis f¨ ur p = 2 nicht funktioniert. In der Tat ist die entsprechende Aussage falsch. Dies f¨ uhrt dazu, daß die Primzahl 2 hier und in der Zahlen- und Gruppentheorie oft eine (unangenehme) Sonderrolle spielt. Lemma 3.33. F¨ ur l ≥ 3 ist 52

l−3

− (1 + 2l−1 ) durch 2l teilbar.

Beweis. Die Behauptung ist klar f¨ ur l = 3. Sie gelte f¨ ur l. Nach Lemma 3.31 l−2 ist dann 52 −(1+2l−1 )2 durch 2l+1 teilbar. Wegen (1+2l−1 )2 = 1+2l +22l−2 und 2l − 2 ≥ l + 1 folgt die Behauptung. Beweis von Satz 3.29. Die Gruppe (Z/pl Z)× besteht aus den Restklassen i+ pl Z, mit 0 ≤ i ≤ pl − 1 und i teilerfremd zu p. Daher hat (Z/pl Z)× die Ordnung pl−1 (p − 1). (a) Wir zeigen zun¨achst, dass (1 + p) + pl Z die Ordnung pl−1 hat. Nach l−1 Lemma 3.32 (mit l + 1 statt l) ist (1 + p)p − (1 + pl ) durch pl+1 teilbar, l−1 insbsondere ist (1 + p)p − 1 durch pl teilbar. Daher ist die Ordnung von (1 + p) + pl Z ein Teiler von pl−1 . Wir nehmen an, dass die Orndung ein echter Teiler von pl−1 ist. Dann ist diese Ordnung ein Vielfaches von pl−2 , und somit l−2 ist (1 + p)p − 1 durch pl teilbar. Nach Lemma 3.32 w¨are dann pl−1 durch pl teilbar, was nat¨ urlich Unsinn ist. Da w modulo p die Ordnung p − 1 hat, ist die Ordnung von w modulo l p ein Vielfaches von p − 1. Diese Ordnung teilt pl−1 (p − 1), daher hat nach l−1 Satz 2.13 wp + pl Z die Ordnung p − 1, und nach obigem und Satz 2.14 hat l−1 wp (1 + p) + pl Z die Ordnung (p − 1)pl−1 , die Behauptung folgt. (b) Die Ordnung von (Z/2l Z)× ist 2l−1 . Lemma 3.33 zeigt, dass die Ordnung von 5 + 2l Z gerade 2l−2 ist (wie in Teil (a)). Zum Beweis der Aussage ist also zu zeigen, dass −1 + 2l Z nicht in der von 5 + 2l Z erzeugten zyklischen Gruppe liegt. Wir nehmen das Gegenteil an. Dann gibt es m ∈ N, so dass 2l ein Teiler von 5m − (−1) = 5m + 1 ist. Insbesondere ist 4 ein Teiler von 5m + 1, ein Widerspruch. 54

3.9

Quotientenk¨ orper

Es sei R ein Integrit¨atsbereich. Analog wie man den K¨orper Q aus Z konstruiert, werden wir zu R einen kleinsten K¨orper K konstruieren, in dem R enthalten ist. Auf der Menge der Paare (r, s) mit r, s ∈ R, s 6= 0 f¨ uhren wir ¨ eine Aquivalenzrelation ein. Dabei sind zwei solche Paare (r, s) und (r0 , s0 ) genau dann ¨aquivalent, wenn rs0 = r0 s gilt. Man rechnet sofort nach, dass man ¨ ¨ tats¨achlich eine Aquivalenzrelation erh¨alt. Die Aquivalenzklasse von (r, s) r ¨ bezeichnet man mit s . Sei K die Menge der Aquivalenzklassen. Man rechnet ebenso schnell nach, dass man durch r r0 rs0 + r0 s + 0 = s s ss0 und

r r0 rr0 · 0 = 0 s s ss eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf K bekommt. Ferner verifiziert man, dass K ein Ring ist, der via r 7→ 1r den Ring R als Teilring enth¨alt. Die wichtigste Eigenschaft von K ist, dass K ein K¨orper ist: Sei rs 6= 0. Dann gilt r 6= 0, also rs ∈ K. Wegen rs rs = 1 ist rs multiplikativ invertierbar. Man nennt daher K den Quotientenk¨orper von R.

3.10

Teilbarkeit

Im folgenden sei R wieder ein Integrit¨atsbereich. Wir wollen einige von Z bekannte Eigenschaften u ¨ber Teilbarkeit auf R u ¨bertragen, aber auch sehen, dass man mit Verallgemeinerungen vorsichtig sein muss. Sind r, s ∈ R, dann sagt man, r teilt s (oder r ist ein Teiler von s), wenn es x ∈ R gibt mit s = xr. Insbesondere ist 1 ein Teiler von allen s ∈ R, und 0 wird von allen r ∈ R geteilt. Ist K ⊇ R der Quotientenk¨orper von R, und s 6= 0, dann ist r ein Teiler von s genau dann, wenn rs ∈ R gilt. Ist r ein Teiler von s, dann schreibt man r | s, und wenn das nicht der Fall ist, so schreibt man r - s. Ist 0 6= s ∈ R, so besitzt s gewisse triviale Teiler. So ist z.B. jede Einheit u ein Teiler von s, denn ist uu0 = 1, so gilt s = u(u0 s). Ferner ist wegen s = (su)u0 auch su ein Teiler von s. Ist s keine Einheit, und hat s außer diesen trivialen Teilern keine weiteren Teiler, dann heißt s unzerlegbar oder irreduzibel . Ist r nicht irreduzibel, dann ist r reduzibel . Die irreduziblen Elemente aus Z sind die Zahlen ±p, wobei p eine Primzahl ist. Man hat sich daran gew¨ohnt, dass man in Z eine (bis auf Vorzeichen) 55

eindeutige Primfaktorzerlegung hat. Erst Gauß hat erkannt, dass diese Aussage nicht trivial ist und einen Beweis ben¨otigt, den er auch gegeben hat. Beispiel fu ¨ r Versagen √ der eindeutigen √ Zerlegung in irreduzible Faktoren Sei R = Z[ −5] = {a + b −5|a, b ∈ Z}. Man rechnet sofort nach,√dass R ein Ring ist. Wir betrachten die Abbildung N : R → N0 , a + b −5 7→ a2 + 5b2 . Dabei ist also N (x) das Quadrat des Betrags der komplexen Zahl x. Man weiß, oder rechnet sofort nach, dass N (xy) = N (x)N (y) gilt f¨ ur alle x, y ∈ R. Ist r eine Einheit, dann gibt es r0 mit rr0 = 1. Hieraus folgt 1 = N √ (1) = N (rr0 ) = N (r)N (r0 ), also N (r) = 1. Ist umgekehrt 1 = N (a + b −5) = a2 + 5b2 , dann gilt b = 0 und a = ±1. Somit ist r genau dann eine Einheit, wenn N (r) = 1 gilt. Ist 0 6= r keine Einheit und reduzibel, dann gibt es x, y ∈ R mit r = xy, so dass x und y keine Einheiten sind. Es folgt N (r) = N (x)N (y). Da es in R keine Nichteinheiten s 6= 0 mit N (s) = 2√oder N (s) = 3 gibt, folgt N (r) ≥ 16. Wegen √ N (2) = 4, N (3) = 9, und N (1 ± −5) = 6 sind die Elemente √ 2, 3 und 1± −5 √ daher irreduzibel, und 2 unterscheidet sich weder von 1+ −5,√noch √ von 1 − −5 um eine Einheit. Daher sind 6 = 2 · 3 = (1 + −5)(1 − −5) zwei grunds¨atzlich verschiedene Zerlegungen in irreduzible Faktoren. Ein mit der Irreduzibilit¨at verwandter Begriff ist der eines primen Elements. Dabei heißt eine Nichteinheit 0 6= r ∈ R prim, wenn aus r | ab stets r | a oder r | b folgt. Die letzte Bedingung ist a¨quivalent dazu, dass das Hauptideal (p) ein Primideal von R ist. Eine erste einfache Beobachtung ist Satz 3.34. Jedes Primelement eines Integrit¨atsrings ist irreduzibel. Beweis. Sei r prim, aber nicht irreduzibel. Dann gibt es Nichteinheiten x, y ∈ R mit r = xy. Da r prim ist, teilt r einen der Faktoren x und y. Wir nehmen r | x an. Es gibt also x0 ∈ R mit x = rx0 . Es folgt r = rx0 y, also r(1 − x0 y) = 0. Wegen der Nullteilerfreiheit gilt x0 y = 1, daher ist y eine Einheit, ein Widerspruch. Obiges Beispiel zeigt, nicht gilt. Die √ dass die Umkehrung im allgemeinen √ Elemente 2, 3 und 1± −5 sind alle irreduzibel in Z[ −5], aber keines davon ist prim. Unter Zusatzvoraussetzungen allerdings stimmt die Umkehrung: Satz 3.35. Jedes irreduzible Element eines Hauptidealrings ist ein Primelement. Beweis. Sei p ein irreduzibles Element, welches das Produkt ab teilt, aber nicht a teilt. Das von a und p erzeugte Ideal ist ein Hauptideal (d), es gibt 56

also r, s ∈ R mit ra + sp = d. Wegen (p) ⊆ (d) gilt d | p. Da p irreduzibel ist gibt es daher eine Einheit u mit d = u oder d = up. Wegen (a) ⊆ (d) gilt d | a. Falls d = up dann folgt p | a, und wir sind fertig. Sei also d = u. Multiplikation von ra + sp = d = u mit b liefert rab + rbp = ub. Damit gilt p | ub, also p | b. Eine einfache Folgerung daraus ist Korollar 3.36. In einem Hauptideal ist jedes Primideal 6= 0 ein maximales Ideal. Beweis. Sei (a) ein Primideal des Hauptidealrings R, und (b) ein maximales Ideal, welches (a) enth¨alt. Es folgt a = br f¨ ur ein r ∈ R. Da 0 6= a ein Primelement ist, ist a irreduzibel nach obigem Satz. Daher ist r oder b eine Einheit. Aber b ist wegen (b) 6= R keine Einheit, daher ist r eine Einheit und somit (a) = (b). Wir kommen nun zum wichtigen Begriff des faktoriellen Rings. Definition 3.37. Ein Integrit¨atsbereich R heißt faktoriell , wenn jedes Element 6= 0 entweder eine Einheit ist, oder ein Produkt endlich vieler Primelemente ist. Nat¨ urlich ist in einem faktoriellen Ring jedes irreduzible Element ein Primelement. Die wichtigste Eigenschaft eines faktoriellen Rings ist die eindeutige Primfaktorzerlegung. Satz 3.38. Sei R ein faktorieller Ring, 0 6= a ∈ R keine Einheit, und a = p1 p2 . . . pr = q1 q2 . . . qs zwei Zerlegungen in Primelemente pi , qi . Dann gilt r = s, und die pi bzw. qi stimmen bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten u ¨berein. (D.h., es gibt eine Permutation σ von {1, 2, . . . , r} und Einheiten u1 , . . . , ur mit pi = ui qiσ f¨ ur alle i.) Beweis. Ohne Einschr¨ankung gilt r ≥ s. Wir beweisen die Aussage durch vollst¨andige Induktion u ur r = 1 gibt es nichts zu beweisen. Wir ¨ber r. F¨ schließen nun von r − 1 auf r. Da pr das Produkt q1 q2 . . . qs teilt, folgt durch mehrfache Anwendung der Primeigenschaft von pr , dass pr einen der Faktoren q1 , q2 , . . . , qs teilt. Durch Umbenennung der qi d¨ urfen wir annehmen, dass pr | qs , also qs = upr . Als Primelement ist qs irreduzibel, daher ist u eine Einheit. Die Behauptung folgt nun aus der Richtigkeit f¨ ur r − 1, angewandt auf p1 p2 . . . pr−1 = q1 q2 . . . qs−2 (uqs−1 ). 57

Nat¨ urlich hat jede ganze Zahl eine Zerlegung in irreduzible Zahlen. Da Z ein Hauptidealring ist, stimmen irreduzible und Primelemente u ¨berein, und obiger Satz liefert die eindeutige Primfaktorzerlegung in Z. Die Primeigenschaft der Primzahlen hatten wir schon fr¨ uher verwendet (Korollar 3.4). Ferner machten wir mehrfach von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in Z Gebrauch. Man mache sich klar, dass der gerade nachgetragene Beweis nicht auf einem Zirkelschluss beruht! Wir wissen auch, dass Polynomringe u ¨ber einem K¨orper Hauptidealringe sind. Ferner beweist man mittels der Gradfunktion, dass jedes Polynom ein Produkt irreduzibler Elemente ist. Das liefert das wichtige Korollar 3.39. Sei R = Z, oder R der Polynomring K[X] f¨ ur einen K¨orper K. Dann stimmen in R irreduzible Elemente und prime Elemente u ¨berein. Insbesondere ist R faktoriell.

3.11

Inhalt von Polynomen, Lemma von Gauß

Im folgenden sei R ein faktorieller Integrit¨atsbereich, und K der Quotientenk¨orper von R. Es mag das Verst¨andnis erleichtern, wenn man stets das Beispiel R = Z, K = Q im Auge beh¨alt. Sei 0 6= a ∈ K, und p ∈ R ein Primelement von R. Aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt schnell, dass man eine Darstellung a = pm uv mit m ∈ Z, u ∈ R, 0 6= v ∈ R finden kann, so dass p weder u noch v teilt. Dabei ist m unabh¨angig von der Wahl des Paares u, v. Wir schreiben vp (a) := m, und setzen vp (0) := ∞. Es gilt vp (ab) = vp (a)vp (b). Ist 0 6= f = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X], dann setzen wir vp (f ) := mini vp (ai ). Sei P eine Menge von Primelementen von R, so dass jedes Primelement aus R sich von genau einem Element aus P nur um eine Einheit unterscheidet. Ist 0 6= f ∈ K[X], dann nennt man Y pvp (f ) I(f ) := p∈P

den Inhalt von f . Ist beispielsweise R = Z, und P ⊂ N die Menge der Primzahlen, dann ist f¨ ur f ∈ Z[X] der Inhalt I(f ) gerade der gr¨oßte gemeinsame Teiler der Koeffizienten von f . Der Inhalt I(f ) h¨angt von der Wahl von P ab, und ist nur bis auf Einheiten eindeutig bestimmt. Man beachte ferner, dass sich a und I(a) nur um eine Einheit unterscheiden, und I(I(a)) = I(a) gilt. Ist 0 6= a ∈ K und 0 6= f ∈ K[X], dann gilt I(af ) = I(a)I(f ). Hieraus folgt I( I(f1 ) f ) = I(f1 ) I(f ) = 1. Es gibt also γ ∈ K mit f = γg, so dass I(g) = 1 gilt. Polynome, deren Inhalt eine Einheit ist, nennt man primitiv . 58

Man beachte dass f ∈ R[X] genau dann, wenn I(f ) ∈ R gilt. Insbesondere hat ein primitives Polynom Koeffizienten aus R. Satz 3.40 (Gauß Lemma). Seien 0 6= f, g ∈ K[X]. Dann gilt I(f g) = I(f )I(g). Beweis. Schreibe f = αf1 , g = βg1 mit α, β ∈ K und I(f1 ) = I(g1 ) = 1. Wegen I(αβ) = I(α)I(β) bleibt zu zeigen, dass auch f1 g1 primitiv ist. Wegen f1 g1 ∈ R[X] ist das gleichbedeutend damit, das f1 g1 f¨ ur jedes Primelement ¯ = p ∈ R einen nicht durch p teilbaren Koeffizienten hat. Der Faktorring R R/(p) ist ein Integrit¨atsbereich. Der nat¨ urliche Homomorphismus ¯ : R → ¯ R/(p) setzt sich fort zu einem Homomorphismus¯: R[X] → R[X]. W¨aren alle ¯ Koeffizienten von f1 g1 durch p teilbar, dann folgte f1 g1 = 0, also f1 g¯1 = 0. Da ¯ ein Integrit¨atsbereich ist, folgt ohne Einschr¨ankung f¯1 = 0. Das bedeutet R aber, dass alle Koeffizienten von f1 durch p teilbar sind, im Widerspruch zu I(f1 ) = 1. Die wichtigste Anwendung des Gauß–Lemma ist das Faktorisieren von Polynomen u ¨ber K¨orpern, die Quotientenk¨orper von faktoriellen Ringen sind. Hierzu definieren wir die Irreduzibilit¨at von Polynomen. Definition. Sei f ∈ R[X] ein Polynom u ¨ber einem Integrit¨atsring R. Dann heißt f reduzibel u ¨ber R, falls f = gh mit g, h ∈ R[X] mit grad g < grad f , grad h < grad f . Gibt es keine solche Zerlegung, dann heißt f irreduzibel u ¨ber R. Bemerkung. Der Begriff eines u ¨ber R irreduziblen Polynom ist sorgf¨altig von dem eines irreduziblen Elements in R[X] zu unterscheiden. So ist z.B. f = 2X ∈ Z[X] irreduzibel u ¨ber Z, aber ein reduzibles Element in Z[X]. Ist hingegen K ein K¨orper, dann ist ein Polynom aus K[X] genau dann reduzibel u ¨ber K, wenn es ein reduzibles Element im Ring K[X] ist. Das liegt an (K[X])× = K{0} = {f ∈ K[X]| grad f = 0}. Da es hier keine Zweideutigkeit gibt nennt man in diesem Fall ein Polynom einfach reduzibel oder irreduzibel. Das Gauß–Lemma hat eine Reihe von Konsequenzen. Wenn zum Beispiel ein Polynom f ∈ R[X] (R faktoriell) in Faktoren aus K[X] (K = Quot(R)) zerf¨allt, dann bekommt man im wesentlichen eine gleiche Faktorisierung u ¨ber R. Genauer gilt. Korollar 3.41. Sei K der Quotientenk¨orper des faktoriellen Rings R. Sei f = gh mit f ∈ R[X] und g, h ∈ K[X]. Setze γg = I(g), γh = I(h), also g = γg g1 , h = γh h1 mit g1 , h1 primitiv. Dann gilt f = (γg γh )g1 h1 mit γg γh ∈ R und g1 , h1 / ∈ R[X]. Insbesondere ist ein u ¨ber R irreduzibles Polynom auch u ¨ber K irreduzibel. 59

Die h¨aufigste Anwendung dieses Korollars wird bei der Faktorisierung von Polynomen f ∈ Q[X] u ¨ber Q sein. Nach Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koeffizienten erh¨alt man ein Polynom aus Z[X], und eine irreduzible Faktorisierung davon u ¨ber Q findet man schon u ¨ber Z. Beispiel 3.42. Sei u ∈ Z ungerade, und f = X 3 + 2007X + u. Dann ist f irreduzibel u ¨ber Q: W¨are f reduzibel u ¨ber Q, dann w¨are f auch reduzibel u ¨ber Z. Sei f = gh eine nicht triviale Faktorisierung u ¨ber Z. Sei¯: Z[X] 7→ F2 [X] der Ringhomomorphismus, der durch Reduktion der Koeffizienten modulo 2 entsteht. Nat¨ urlich gilt grad f = 3 = grad f¯ und damit grad g = grad g¯, ¯ Wegen f¯ = g¯h ¯ und f¯ = X 3 + X + 1 w¨are f¯ reduzigrad h = grad h. bel u unden h¨atte f¯ dann eine Nullstelle in F2 . Aber ¨ber F2 . Aus Gradgr¨ ¯ ¯ f (0) = f (1) = 1 6= 0. Eine wichtige Folgerung ist Korollar 3.43. Sei R ein faktorieller Ring. Dann ist R[X] faktoriell. Die Primelemente von R[X] bestehen aus den Primelementen von R, zusammen mit den primitiven Polynomen aus R[X] welche irreduzibel u ¨ber R sind. ¯ der nat¨ Beweis. Sei a ∈ R ein Primelement, und ¯ : R → R/aR = R urliche Homomorphismus. Dieser setzt sich fort zu einem Epimorphismus ¯ : ¯ R[X] → R[X] von Polynomringen via X 7→ X. Da aR ein Primideal von R ¯ ist, ist R ein Integrit¨atsbereich. Sei I der Kern des Homomorphismus. Wegen ¯ R[X]/I ∼ ist I ein Primideal. Aber I = aR[X], und somit ist a ein = R[X] Primelement in R[X]. Sei nun f ∈ R[X] primitiv und irreduzibel u ¨ber R. Nach dem vorigen Korollar ist f auch irreduzibel u ¨ber K. Da K[X] ein Hauptidealring ist, ist f ein Primelement in K[X], und K[X]/(f ) somit ein Integrit¨atsbereich. Sei I der Kern des nat¨ urlichen Homomorphismus R[X] → K[X]/(f ). Da R[X]/I isomorph zu einem Teilring des Integrit¨atsbereichs K[X]/(f ) ist, ist I ein Primideal. Offenbar gilt f R[X] ⊆ I. Sei g ∈ I, dann gilt g = f h f¨ ur ein h ∈ K[X]. Aus I(g) = I(f h) = I(f )I(h), zusammen mit I(g) ∈ R, I(f ) ∈ R× folgt I(h) ∈ R, also h ∈ R[X]. Das zeigt I = f R[X], und damit ist f ein Primelement in R[X]. Wir wollen sehen, dass umgekehrt jedes Primelement f ∈ R[X] von der gegebenen Form ist. Wegen Satz 3.34 ist f ein irreduzibles Element. Schreibe f = γg mit γ = I(f ) ∈ R, also I(g) = 1. Da f irreduzibel ist, gibt es zwei M¨oglichkeiten: g ist ein irreduzibles Element (und damit auch ein irreduzibles Polynom) und γ eine Einheit, d.h. f ist ein irreduzibles und primitives Polynom. Im anderen Fall ist g eine Einheit, also γ genauso wie f ein Primelement in R[X]. Insbesondere ist dann f ∈ R ein Primelement. 60

Um zu sehen, dass R[X] faktoriell ist, zeigen wir, dass f ein Produkt von Primelementen ist. Nach dem vorigen Korollar gibt es eine Zerlegung f = γf1 f2 . . . fm mit γ ∈ R und primitiven Polynomen fi ∈ R[X], die in K[X] irreduzibel sind, also noch dem bereits gezeigten Primelemente aus R[X] sind. Auch γ ist ein Produkt von Primelementen aus R, die nach dem gerade gezeigten auch Primelemente von R[X] sind, die Behauptung folgt. Durch K[X1 , X2 , . . . , Xn ] := K[X1 , X2 , . . . , Xn−1 ][Xn ] definiert man iterativ einen Polynomring in n Variablen. Ein Folge des obigen Korollars ist Korollar 3.44. Sei K ein K¨orper. Dann ist der Polynomring K[X1 , X2 , . . . , Xn ] in n Variablen faktoriell. Bemerkung. Der Polynomring K[X1 , X2 , . . . , Xn ] ist f¨ ur n ≥ 2 kein Hauptidealring, z.B. weil das von X1 , . . . , Xn erzeugte Ideal kein Hauptideal ist.

3.12

Das Irreduzibilit¨ atskriterium von Eisenstein

Im allgemeinen ist es von Polynomen hohen Grades oft schwierig, die Irreduzibilit¨at zu beweisen. Es gibt allerdings ein einfaches Kriterium, das vor allem in theoretischem Kontext manchmal funktioniert. Satz 3.45 (Eisenstein). Sei R ein Integrit¨atsbereich mit Quotientenk¨orper K, p ∈ R ein Primelement und f (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ein Polynom mit folgenden Eigenschaften. (i) F¨ ur 0 ≤ i ≤ n − 1 ist ai durch p teilbar. (ii) an ist nicht durch p teilbar. (iii) a0 ist nicht durch p2 teilbar. Dann ist f ein irreduzibles Polynom in R[X]. Ist R faktoriell, dann ist f auch irreduzibel in K[X]. Beweis. Sei f reduzibel in R[X], also f = uv mit nicht-konstanten Polyno¯ fort zu men u, v ∈ R[X]. Setze die Restklassenabbildung R → R/(p) = R ¯ einem Ringhomomorphismus¯: R[X] → R[X] via X 7→ X. Aus f = uv folgt ¨ f¯ = u¯v¯. Die Voraussetzungen (i) und (ii) liefern f¯ = an X n mit an 6= 0. Uber ¯ dem Integrit¨atsbereich R kann das nur so faktorisieren, dass u¯ und v¯ die Form u¯ = br X r und v¯ = cs X s haben. Insbesondere sind die Absolutterme von u und v durch p teilbar, und damit ist a0 durch p2 teilbar, im Widerspruch zu (iii). Der zweite Teil folgt aus dem Gauß Lemma, denn wenn R faktoriell ist, dann sind in R[X] irreduzible Polynome auch in K[X] noch irreduzibel. 61

Man nennt ein Polynom mit den Eigenschaften (i)–(iii) auch ein EisensteinPolynom. Eine wichige Anwendung ist Satz 3.46. Sei p eine Primzahl. Dann ist das Polynom 1+X+X 2 +· · ·+X p−1 u ¨ber Q irreduzibel. p

−1 . Nat¨ urlich ist f (X) Beweis. Sei f (X) = 1 + X + X 2 + · · · + X p−1 = XX−1 genau dann irreduzibel, wenn f (X + 1) irreduzibel ist. Es gilt p   (X + 1)p − 1 X p f (X + 1) = = X k−1 . X k k=1


Die Binomialkoeffizienten kp sind f¨ ur k = 1, 2, . . . , p −
1 durch p teilbar, ferner ist der konstante Koeffizient von f (X + 1) gleich p1 = p. Alle Voraussetzungen des Eisensteinkriteriums sind also erf¨ ullt. Beispiele • Meistens verwendet man das Eisensteinkriterium f¨ ur R = Z. So sind n 100 etwa die Polynome X − 7 (p = 7), X − 18X + 21 (p = 3) und X 4 + 16X 2 + 2 (p = 2) irreduzibel. • Eine andere wichtige Anwendung findet das Kriterium, wenn R = K[Y ] ein Polynomring ist. So ist zum Beispiel das Polynom f (X, Y ) = X 7 + Y3 − 1 u ¨ber C irreduzibel: Sei R = C[Y ]. Das in R prime Element Y − 1 teilt Y 3 − 1, aber Y 3 − 1 ist nicht durch (Y − 1)2 teilbar. Damit ist f , aufgefasst als Polynom in X u ¨ber dem Koeffizientenring R, ein Eisensteinpolynom bez¨ uglich Y − 1. Daher ist f u ¨ber R irreduzibel. Da der Inhalt von f gleich 1 ist, ist f auch irreduzibel u ¨ber C.

3.13

Kryptographie

¨ Eine wichtige moderne Anwendung der Algebra ist die vertrauliche Ubertragung von Nachrichten. W¨ahrend das fr¨ uher fast nur milit¨arisch verwendet wurde, w¨are unser heutiger Alltag ohne kryptographische Methoden nicht denkbar. Das Bezahlen mit Geld- oder Kreditkarten, Mobilfunktelefonie, Kauf und Verkauf u ¨ber das Internet, elektronische Steuererkl¨arung und vieles mehr basiert auf kryptographischen Methoden. Dabei geht es stets darum, dass zwei Partner S und E Nachrichten austauschen, und diese vorher so verschl¨ usseln, dass nur der Partner sie entschl¨ usseln kann. Bei den modernen Anwendungen kommt noch eine weitere wichtige Forderung hinzu: S und E sollten sich ¨ offentlich auf eine Methode einigen k¨onnen, also ohne 62

erst mal u ¨ber einen sicheren Kanal einen Code festzulegen. Es sieht auf den ersten Blick sicher so aus, dass so etwas unm¨oglich ist, und bis in die 70er Jahre glaubte man das auch. Dennoch ver¨offentlichten 1976 Diffee und Hellman eine raffinierte Idee, die diese beiden W¨ unsche erf¨ ullt. Eine Variante gaben 1977 Rivest, Shamir und Adleman an, das heute so genannte RSAVerfahren. Mittlerweile weiß man, dass beide diese Durchbr¨ uche schon wenige Jahre vorher gefunden wurden, aber ihre Bedeutung nicht erkannt wurde, und zus¨atzlich noch zur Verschlusssache erkl¨art wurden. Das RSA-Verfahren z.B. entdeckte bereits 1973 der britische Mathematiker Clifford Cocks. Da beim RSA-Verfahren der Empf¨anger die Parameter zur Verschl¨ usselung ¨offentlich macht, nennt man die Methode auch ein public key cryptosystem. Im folgenden bedeutet a ≡ b (mod m) stets, dass a − b durch m teilbar ist. F¨ ∈ N sei ϕ(n) die Ordnung der Einheitengruppe von Z/nZ. Ist Qur en Q ei −1 i n = pi , so wissen wir bereits, dass ϕ(n) = (pi − 1)pi . Zur Vorbereitung beweisen wir ein kleines Lemma 3.47. Sei n ∈ N quadratfrei, und k ∈ N. F¨ ur alle a ∈ Z/nZ gilt kϕ(n)+1 dann a = a. Beweis. Sei A ∈ Z ein Repr¨asentant von a. Sei p | n. Falls p | A, dann gilt nat¨ urlich Akϕ(n)+1 ≡ A (mod p). Im Fall p - A gilt Ap−1 ≡ 1 (mod p), also kϕ(n) A ≡ 1 (mod p), da p − 1 ein Teiler von ϕ(n) ist. Es folgt Akϕ(n)+1 ≡ A (mod p). Daher ist Akϕ(n)+1 − A durch alle Primteiler von n teilbar, und die Behauptung folgt aus der Quadratfreiheit von n. Das RSA-Verfahren. Im folgenden beschreiben wir das RSA-Verfahren. Ein Sender S m¨ochte einem Empf¨anger E eine Nachricht schicken. Dazu w¨ahlt E zwei große verschiedene Primzahlen p und q, und setzt n = pq. Ferner w¨ahlt E eine nat¨ urliche Zahl s ≤ ϕ(n), die teilerfremd zu ϕ(n) ist. Da s teilerfremd ist zu ϕ(n), ist s in Z/ϕ(n)Z invertierbar, es gibt also t ∈ Z mit st ≡ 1 (mod ϕ(n)). Das Paar (n, s) macht E ¨offentlich (zum Beispiel auf seiner privaten Homepage), die Primfaktoren p und q von n sowie t h¨alt E geheim. Aus Sicherheitsgr¨ unden kann E sogar p und q nach der Berechnung von t l¨oschen. S verwendet zum Versenden seiner Nachricht als “W¨orter” die Elemente aus dem Restklassenring Z/nZ, sowohl f¨ ur den Klartext, als auch f¨ ur die Verschl¨ usselung. Das Klartextwort a ∈ Z/nZ verschl¨ usselt S hierbei zu as , der Empf¨anger E (und jeder, der die Nachricht eventuell mitliest) erh¨alt also b = as . Der Empf¨anger E berechnet nun bt in Z/nZ. Wegen des Lemmas gilt in Z/nZ also bt = ast = a, 63

E erh¨alt also den Klartext a zur¨ uck. Warum nun h¨alt man das Verfahren bei geeigneter Wahl der Parameter f¨ ur sicher? Ein Zuh¨oher, der das Wort b = as abf¨angt, und auch n und s kennt, m¨ usste t kennen um a aus b zu rekonstruieren. Wegen st ≡ 1 (mod ϕ(n)) kann man t bestimmen, wenn man ϕ(n) kennt. Umgekehrt vermutet man, konnte das aber noch nicht beweisen, dass es keine bessere Methode gibt t zu bestimmen als vorher erst mal ϕ(n) zu ermitteln. Wegen ϕ(n) = ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1) = n − p − q + 1 ist die Bestimmung von ϕ(n) ¨aquivalent zur Bestimmung von p und q, also der Faktorisierung von n. Man kennt bis heute keine Methode, allgemein Zahlen mit u ¨ber 150 Ziffern (Dezimaldarstellung) zu faktorisieren, auch dann nicht, wenn man schon a priori wie in unserem Fall weiß, dass genau zwei Primfaktoren auftreten. Andererseits kann man heutzutage von Zahlen mit einigen tausend Stellen schnell entscheiden, ob sie Primzahlen sind. Diese Methoden beruhen nicht darauf, dass man versucht, die gegebene Zahl zu faktorisieren, sondern benutzen z.B. die Tatsache, dass n ∈ N genau dann prim ist, wenn die Einheitengruppe von Z/nZ die Ordnung n − 1 hat. Beim RSA-Verfahren sind Potenzen as und bt mit eventuell sehr großen Exponenten zu berechnen. Allgemein kann man in einem Monoid eine Potenz rn mit deutlich weniger als n − 1 Multiplikationen P ei berechnen: Dazu schreibt man n in der Bin¨arentwicklung, also n = 2 mit verschiedenen e ei ei ∈ N0 . Dabei ist 2 ≤ n, also ei ≤ log n/ log 2. DieQ Potenz r2 l¨asst sich e durch e-faches Quadrieren berechnen, und wegen rn = r2 i l¨asst sich rn im wesentlichen mit h¨ochstens 2 log n/ log 2 Multiplikationen bestimmen. Diese einfache Beobachtung liefert im u ¨brigen auch einen schnellen Test, mit dem man in den meisten F¨allen schnell feststellen kann, wenn eine Zahl nicht prim ist: F¨ ur Primzahlen p gilt ja ap−1 ≡ 1 (mod p), wenn a nicht durch p teilbar ist. M¨ochte man eine Zahl n auf Primeigenschaft testen, dann u uft man, ob an−1 ≡ 1 (mod n) gilt z.B. f¨ ur a = 2. Ist das nicht ¨berpr¨ der Fall, dann kann n keine Primzahl sein. Ist es jedoch der Fall, dann kann man weitere Werte f¨ ur a ausprobieren. Leider gibt es Nicht-Primzahlen n, die an−1 ≡ 1 (mod n) f¨ ur alle zu n teilerfremde a ∈ Z erf¨ ullen, das kleinste Beispiel ist 561 = 3 · 11 · 17.

4

K¨ orper

Dieser Abschnitt ist den K¨orpern gewidmet. Wichtige Beispiele sind die K¨orper Q, R und C der rationalen, reellen und komplexen Zahlen. F¨ ur jede Primzahl p haben wir schon einen bis auf Isomorphie eindeutigen endlichen K¨orper Fp = Z/pZ mit p Elementen kennen gelernt. Ist K ein K¨orper, 64

dann hat der Polynomring K[X] keine Nullteiler, und somit ist der Quotientenk¨orper K(X) selber wieder ein K¨orper. Auch in der Analysis spielen gewisse Funktionenk¨orper eine wichtige Rolle. So beweist man etwa in der Funktionentheorie, dass die auf einem Gebiet meromorphen Funktionen einen K¨orper bilden.

4.1

Ko orpergrade und Homomor¨rpererweiterungen, K¨ phismen

Seien K und L K¨orper mit K ⊆ L. Man nennt dann K einen Teilk¨orper von L, und L einen Oberk¨orper von K. Das Paar L, K beschreibt eine K¨orpererweiterung, und man schreibt daf¨ ur meist L|K (und spricht von “L u ¨ber K”). In dieser Situation ist L ein Vektorraum u ¨ber dem K¨orper K, das Produkt des “Skalars” α ∈ K mit dem “Vektor” v ∈ L ist einfach das in L gebildete Produkt αv. Die Dimension des Vektorraums L u ¨ber K heißt der K¨orpergrad von L|K. F¨ ur den K¨orpergrad dimK L schreibt man [L : K]. Man nennt die Erweiterung L|K endlich, falls [L : K] < ∞. Beispiele • Jede komplexe Zahl ist eine eindeutige reelle Linearkombination von 1 √ und i = −1, daher gilt [C : R] = 2. • Die rationalen Zahlen sind abz¨ahlbar, die reellen Zahlen sind es nicht. H¨atte R eine endliche Q-Basis, dann w¨are mit einem einfachen Argument auch R abz¨ahlbar, was nicht der Fall ist. Daher gilt [R : Q] = ∞. • Die Monome X 0 , X 1 , X 2 , . . . des Polynomrings K[X] sind u ¨ber K linear unabh¨angig, insbesondere gilt [K(X) : K] = ∞. Eine fundamentale Eigenschaft des K¨orpergrades ist Lemma 4.1. Seien M |L und L|K K¨orpererweiterungen, und {mi |i ∈ I} sowie {lj |j ∈ J} Basen von M u ¨ber L bzw. L u ¨ber K. Dann ist {mi lj |i ∈ I, j ∈ J} eine Basis von M u ¨ber K. Insbesondere gilt [M : K] = [M : L][L : K]. Beweis. Jedes Element aus M ist eine L-Linearkombination der mi , und jeder der Koeffizienten aus dieser Linearkombination wiederum ist eine KLinearkombination der li . Daher bilden die mi lj ein Erzeugendensystem von M als K-Vektorraum. 65

Es bleibt die lineare Unabh¨angigkeit der mi lj u ¨ber K zu zeigen. Dazu sei X αij mi lj = 0 mit αij ∈ K. i,j

Setze βi :=

P

j

αij lj . Dann gilt X

βi mi = 0 mit βi ∈ L.

i

Wegen der linearen Unabh¨angigkeit der mi u ur alle i. ¨ber L folgt βi = 0 f¨ Dies ergibt αij = 0 wegen der linearen Unabh¨angigkeit der lj u ¨ber K. In der Gruppen- und Ringtheorie spielten Kerne von Homomorphismen eine wichtige Rolle. Bei K¨orpern gibt es so etwas nicht: Lemma 4.2. Jeder Homomorphismus zwischen K¨orpern ist injektiv. Beweis. Sei φ : K → L ein Homomorphismus zwischen K und L. Ist 0 6= a ∈ K, dann gilt 1 = a a1 , also 1 = φ(1) = φ(a a1 ) = φ(a)φ( a1 ), also φ(a) 6= 0. Somit besteht der Kern von φ nur aus der 0. Wir werden h¨aufig die Situation haben, dass L und M K¨orpererweiterungen von K sind. Ein Homomorphismus φ : M → L heißt dann KHomomorphismus, wenn die Einschr¨ankung von φ auf K die Identit¨at ist. Wegen der Injektivit¨at von φ spricht man auch oft von einer K-Einbettung. Ist φ sogar bijektiv, dann heißt φ ein K-Isomorphismus.

4.2

Algebraische und transzendente Elemente

Sei L|K eine K¨orpererweiterung. F¨ ur a ∈ L bezeichnet man mit K(a) den kleinsten Zwischenk¨orper von L|K, der a enth¨alt. Man spricht auch von dem von K und a erzeugten K¨orper. Allgemeiner sei a1 , a2 , · · · ∈ L. Dann ist K(a1 , a2 , . . . ) der kleinste Zwischenk¨orper von L|K, der alle ai enth¨alt. Ein Element a ∈ L heißt algebraisch u ¨ber K, wenn es ein nicht-triviales Polynom f (X) ∈ K[X] gibt mit f (a) = 0. Im folgenden sei das vorausgesetzt. Die Menge der Polynome g ∈ K[X] mit g(a) = 0 bildet ein Ideal von K[X]. Da K[X] ein Hauptidealring ist, gibt es ein normiertes Polynom f kleinsten Grades mit f (a) = 0. Man nennt dieses f das Minimalpolynom von a u ¨ber K. Wegen der Nullteilerfreiheit von K[X] ist f irreduzibel. Insbesondere ist das Ideal (f ) maximal, also K[X]/(f ) ein K¨orper. Sei K[a] der von K und a erzeugte Ring. Die Abbildung K[X] → K[a], g 7→ g(a) ist ein Ringepimomorphismus mit Kern (f ). Da (f ) ein maximales Ideal ist, ist K[a] isomorph 66

zum K¨orper K[X]/(f ). Insbesondere ist K[a] ein K¨orper. Hieraus folgt, dass K[a] der kleinste Zwischenk¨orper von L|K ist, der a enth¨alt. Da K[a] ein K¨orper ist, liegen auch Elemente wie a1 in K[a]. Wie dr¨ uckt 2 man solche Elemente durch 1, a, a , . . . aus? Dazu verwendet man das Minimalpolynom f (X) = α0 + α1 X + · · · + αn X n von f . Ersetzt man X durch a und dividiert durch α0 6= 0, so erh¨alt man a1 = − α10 (α1 + α2 a + · · · + αn an−1 ). 1 Sei h(X) ∈ K[X] mit h(a) 6= 0. M¨ochte man nun h(a) bestimmen, so geht man folgendermaßen vor: Wegen h(a) 6= 0 und der Irreduzibilit¨at von f sind h und f teilerfremd. Daher findet man Polynome u, v ∈ K[X] mit uh + vf = 1. 1 Es folgt 1 = u(a)h(a) + v(a)f (a) = u(a)h(a), also h(a) = u(a). Die Polynome ¨ u und v findet man z.B. mit dem Euklidischen Algorithmus. (Diese Uberlegungen h¨atte man auch alternativ zu den obigen verwenden k¨onnen, um zu zeigen, dass K[a] ein K¨orper ist.) Hat das Minimalpolynom f von a den Grad n, dann bilden die Elemente i a , i = 0, 1, . . . , n − 1 offenbar eine Basis des K-Vektorraums K[a]. Wegen ¨ K[a] = K(a) gilt dann also [K(a) : K] = n. Wir fassen die Uberlegungen zusammen: Lemma 4.3. Sei L|K eine K¨orpererweiterung, und a ∈ L algebraisch mit Minimalpolymom f ∈ K[X]. Dann ist der K¨orper K(a) = K[a] K-isomorph zu K[X]/(f ), und der Grad von K(a)|K ist der Grad von f . Man nennt eine Erweiterung L|K algebraisch, wenn jedes Element aus L algebraisch u ¨ber K ist. H¨aufig ben¨otigt man die folgende einfache Beobachtung. Lemma 4.4. Endliche K¨orpererweiterung sind algebraisch. Beweis. Sei L|K eine K¨orpererweiterung mit [L : K] < ∞, und a ∈ L. Dann sind die n + 1 Elemente 1, a, a2 , . . . , an linear abh¨angig u ¨ber K, was zu einem Polynom g 6= 0 f¨ uhrt mit g(a) = 0. Sei nun L|K wieder eine K¨orpererweiterung, aber a ∈ L sei nun nicht algebraisch u ¨ber K. In diesem Fall nennt man a transzendent u ¨ber K. Der Ringhomorphismus K[X] → K[a] ist in diesem Fall bijektiv, und setzt sich daher zu einem K-Isomorphismus zwischen den K¨orpern K(X) und K(a) fort. Eine transzendente Zahl ist ein transzendentes Element der Erweiterung C|Q. In der Analysis zeigt man (vielleicht auch sp¨ater in dieser Vorlesung), dass die Eulersche Konstante e und die Kreiszahl π transzendent sind. Beispiele von K¨ orpererweiterungen 67

• Wir sahen schon die Erweiterung C|R vom Grad 2. Wegen i2 = −1 ist f (X) = X 2 + 1 das Minimalpolynom von i u ¨ber R. √ √ √ 2, 3)|Q studieren. Sei L = Q( 2) = • Wir wollen die Erweiterung Q( √ √ √ 2 Q[ 2]. Wegen 2 ∈ / Q gilt [L : Q] ≥ 2, und wegen√ ( √2) = 2 ∈ Q 2, 3) : L] ≤√2. gilt [L : Q] √ ≤√2, also [L : Q] = 2. Analog folgt [Q( √ W¨are Q( 2, 3) = √L,√dann g¨ a be es α, β ∈ Q mit 3 = α + β 2. √ √ 2 2 2 Wegen 3 + β 2 − 2β 2 3 =√( 3 − β 2) = α und der Irrationalit¨at √ √ von √2 3 folgt β = 0, also 3 = α, im Widerspruch √ √ √zur Irrationalit¨at von√ 3.√ Damit ¨ber L, und √ √ ist {1, 3} eine Basis √ von √ Q( 2, 3) u ur Q( 2, 3) u {1, 3, 2, 2 3} eine Basis f¨ ¨ber Q. √ √ • Wir behaupten, dass sich die Erweiterung Q( 2, 3)|Q schon von ei√ √ nem Element, z.B. a = 2 + 3 erzeugen l¨ a sst. Offenbar gilt √ Q(a) ⊆ √ √ 2 Q( 2, √3). Die umgekehrte Inklusion folgt √ so: Aus 3 = (a − 2) = √ √ √ 2 −1 2 +1 a a 2 a − 2a 2 + 2 folgt 2 = 2a , und analog 3 = 2a , also 2, 3 ∈ Q(a). ¨ • Die Uberlegung aus dem vorigen Beispiel √ liefert auch ein Minimalpolynom von a u ¨ber Q: Quadrieren von 2a 2 = a2 − 1 liefert 8a2 = 4 2 a − 2a + 1, also a4 − 10a2 + 1 = 0. Da wir schon wissen, dass Q(a)|Q Grad 4 hat, ist X 4 − 10X 2 + 1 das Minimalpolynom von a u ¨ber Q.

4.3

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

In diesem Abschnitt wollen wir pr¨azisieren, was es heißt, mit Zirkel und Lineal etwas zu konstruieren, und in welchem Sinne die Unl¨osbarkeit einiger klassischer Konstruktionsaufgaben gezeigt werden kann. Wir befinden uns in der reellen Ebene, in der eine Menge M von Punkten gegeben ist. Mit unserem (unendlich langen) Lineal d¨ urfen wir eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte ziehen, und mit dem Zirkel d¨ urfen wir Kreise zeichnen, mit Mittelpunkt ein gegebener Punkt, und Radius der Abstand zweier Punkte. Durch Schnitte der dabei enstehenden Geraden und Kreise erhalten wir weitere Punkte, die wir zur Menge M hinzunehem, und selbst wieder f¨ ur diese Konstruktionen verwenden. Sei c(M ) die Menge der Punkte, die man aus M in endlich vielen solchen Schritten gewinnen kann. Da man im ersten Schritt zwei Punkte braucht, setzt man nat¨ urlich |M | > 1 voraus. Der f¨ ur uns wichtige Fall ist |M | = 2. Ist g eine Gerade, und P ein Punkt, so kann man mit Zirkel und Lineal m¨ uhelos ein Lot auf g konstruieren, das durch P geht: Man zeichnet einen 68

Kreis um P mit einem Radius, der so groß ist, dass der Kreis die Gerade g in A und B schneidet. Die Kreise um A und B durch P schneiden sich in Q 6= P , die Gerade durch P und Q ist das gesuchte Lot. Eine offensichtliche Modifikation behandelt den Fall, dass P auf g liegt.

Eine Kleinigkeit m¨ ussen wir dabei beachten: Wir d¨ urfen nicht mit einem “beliebigen” hinreichend großen Kreis um P starten, da unsere Kreise ja durch bereits konstruierte Punkte gehen m¨ ussen. Den Mangel behebt man folgendermaßen: Die Menge M enth¨alt ja mindestens 2 Punkte U und V . Durch U und V legen wir eine Gerade, und tragen die Stecke [U V ] mehrmals hintereinander auf der Geraden ab. Wir erhalten also Punkte mit Abst¨anden, die Vielfache der L¨ange U V sind. Ein hinreichend großes Vielfaches nehmen wir als Radius f¨ ur den Kreis um P . Um nun zu einer algebraischen Beschreibung von M zu gelangen, f¨ uhren wir kartesische Koordinaten ein. Dazu nehmen wir zwei verschiedene Punkte O und E aus M . Wir konstruieren F , so dass OF senkrecht auf OE steht, und OE = OF gilt. Diese drei Punkte bestimmen nun ein kartesisches Koordinatensystem mit O = (0, 0), E = (1, 0), F = (0, 1). Nat¨ urlich h¨angt das Koordinatensystem von der Wahl der zwei Punkte O und E (und der zwei M¨oglichkeiten f¨ ur F ) ab, aber wir sehen in K¨ urze, dass das f¨ ur unsere Fragen keine Rolle spielt. Da wir Lote konstruieren k¨onnen, liegt ein Punkt (a, b) genau dann in c(M ), wenn (a, 0) und (b, 0) in c(M ) liegen. Wir setzen K(M ) = {a| es gibt ein b mit (a, b) ∈ c(M )}. Somit besteht c(M ) genau aus den Punkten (a, b) mit a, b ∈ K(M ). Lemma 4.5. K(M ) ist ein Teilk¨orper von R. Beweis. Es ist klar, dass K(M ) eine Untergruppe von (R, +) ist. Ferner ist K(M ) multiplikativ abgeschlossen: Sei a, b ∈ K(M ), und ohne Einschr¨ankung gelte a, b > 0. In unserem Koordinatensystem konstruieren wir 69

die Punkte A = (a, 0) und B = (0, b). Die Parallele zu AF durch B schneide die Gerade OA in C. Nach dem Strahlensatz gilt C = (ab, 0), d.h. wir haben ab konstruiert.

Um a−1 zu konstruieren, konstruiert man wieder A = (a, 0). Dann schneidet man die Parallele zu AF , die durch E geht, mit der Geraden OF , und enth¨alt den Schnittpunkt B = (0, a1 ). Bemerkung. Nat¨ urlich liegen auch alle Abst¨ande von Punkten aus c(M ) in K(M ). Da auch die Quotienten dieser Abst¨ande in K(M ) liegen, h¨angt K(M ) tats¨achlich nur von M ab, ist also unabh¨angig von der Wahl der Punkte aus M , die wir zur Festlegung der Koordinaten benutzt hatten. √ Lemma 4.6. Gilt 0 < a ∈ K(M ), so ist a ∈ K(M ). Beweis. Wir zeichnen auf einer Geraden die Punkte A, B und C (mit B zwischen A und C), so dass |AB| = a und |BC| = 1 gilt. Ein Lot auf AC durch B schneiden wir mit dem Thaleskreis u ¨ber der Strecke AC, und ¨ erhalten D. Aus der Ahnlichkeit der Dreiecke ABD und DBC folgt |BD| = √ a.

70

Wir ben¨otigen ein einfaches Lemma u ¨ber quadratische K¨orpererweiterungen. Lemma 4.7. Sei L|K eine K¨orpererweiterung mit [L : K] = 2 und 1+1 6= 0. √ Dann gibt es ein a ∈ K mit L = K[ a]. Beweis. Sei α ∈ L \ K. Wegen [K(α) : K] > 1 gilt L = K[α]. Sei f (X) = X 2 + pX + q das Minimalpolynom von α u urlich ¨ber K. Setze β = α + p2 . Nat¨ gilt L = K[α] = K[β]. Die Behauptung folgt aus p p p2 0 = α2 + pα + q = (β − )2 + p(β − ) + q = β 2 − ( − q). 2 2 4

Das wichtigste vorbereitende Ergebnis ist nun Satz 4.8. Sei a ∈ R. Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent. (i) a ∈ K(M ). (ii) Sei E der von den Koordinaten der Punkte aus M erzeugte K¨orper. Dann gibt es eine Kette von K¨orpern E = E0 ⊂ E1 ⊂ E2 ⊂ · · · ⊂ Er ⊆ R mit [Ei+1 : Ei ] = 2 und a ∈ Er . Beweis. Die Richtung (ii) nach (i) folgt unmittelbar aus den obigen Betrachtungen. Um zu sehen, dass (ii) aus (i) folgt, m¨ ussen wir sehen, dass wir bei unserer Konstruktion von Schnittpunkten schlimmstenfalls quadratische Gleichungen l¨osen m¨ ussen. Das ist offensichtlich außer f¨ ur den Fall, wo wir zwei Kreise schneiden. Sei (x, y) ein Schnittpunkt des Kreises mit Radius r um (a, b) mit dem Kreis um (c, d) mit Radius s. Dabei m¨ogen a, b, c, d, r und s im K¨orper Er liegen. Wir m¨ ussen also zeigen, dass es einen K¨orper r Er+1 ⊇ E gibt mit [Er+1 : Er ] = 2 und x, y ∈ Er+1 . Es gilt also das Gleichungssystem (x − a)2 + (y − b)2 = r2 (x − c)2 + (y − d)2 = s2 zu l¨osen. Auf den ersten Blick sieht es so aus, dass die Elimination z.B. von y auf eine Gleichung vom Grad 4 f¨ ur x f¨ uhrt. Das ist jedoch nicht der Fall: Subtrahieren wir die beiden Gleichungen, dann erhalten wir eine lineare Gleichung in x und y. Diese, zusammen mit einer der Ausgangsgleichungen, zeigt aber, dass wir zur Berechnung von x und y schlimmstenfalls eine quadratische K¨orpererweiterung ben¨otigen. 71

Als Anwendung des Satzes notieren wir zwei Folgerungen. Die erste ist ein Spezialfall des Satzes. Korollar 4.9. In der reellen Ebene seien zwei Punkte mit Abstand 1 gegeben. Ferner sei 0 < a ∈ R. Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent. (i) Ausgehend von diesen zwei Punkten k¨onnen wir mit Zirkel und Lineal zwei Punkte mit Abstand a konstruieren. (ii) Es gibt eine Kette von K¨orpern Q = E0 ⊂ E1 ⊂ E2 ⊂ · · · ⊂ Er mit [Ei+1 : Ei ] = 2 und a ∈ Er . Korollar 4.10. In der reellen Ebene seien zwei Punkte mit Abstand 1 gegeben. Ausgehend von diesen zwei Punkten sei a der Abstand zweier Punkte, die wir mit Zirkel und Lineal konstruieren k¨onnen. Dann ist [Q(a) : Q] eine 2-Potenz. Beweis. Mit den Bezeichnungen des vorigen Korollars gilt [Er : Q] = 2r . Da Q(a) ein Zwischenk¨orper von Er |Q ist, folgt die Behauptung aus 2r = [Er : Q] = [Er : Q(a)][Q(a) : Q]. Bemerkung. Im letzten Korollar gilt die Umkehrung nicht. Wir werden sp¨ater sehen, dass es algebraische a ∈ R gibt mit [Q(a) : Q] = 4, so dass Q(a)|Q keinen echten Zwischenk¨orper hat. 4.3.1

Wu ¨ rfelverdoppelung

Verdoppelt man das Volumen eines√W¨ urfels mit Kantenl¨ange 1, so hat der 3 neue W¨ urfel die Kantenl¨ange x = 2. Da das Polynom X 3 − 2 keine ganze und damit (Gauß Lemma) keine rationale Nullstelle hat, ist es irreduzibel. Daher gilt [Q(x) : Q] = 3, und x ist nach Korollar 4.9 nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar. 4.3.2

Winkeldreiteilung

Um zu zeigen, dass man nicht alle Winkel mit Zirkel und Lineal dritteln kann, zeigen wir das speziell f¨ ur den 60◦ -Winkel. Wir nehmen an, wir k¨onnten ◦ einen 20 -Winkel konstruieren. Das ist ¨aquivalent zur Konstruktion von x = cos 20◦ . Das Additionstheorem cos 3φ = 4 cos3 φ − 3 cos φ (man gewinnt das z.B. als Realteil von cos 3φ + i sin 3φ = e3iφ = (eiφ )3 = (cos φ + i sin φ)3 ) liefert, zusammen mit cos 60◦ = 12 , die Beziehung 8x3 − 6x − 1 = 0. 72

Ist f (X) = 8X 3 −6X −1 u ¨ber Q irreduzibel ist, dann gilt [Q(x) : Q] = 3, und x ist nach Korollar 4.9 nicht konstruierbar. Bleibt zu zeigen, dass f irreduzibel ist. Dazu zeigen wir, dass g(X) = f (X/2) = X 3 − 3X − 1 irreduzibel ist. W¨are g reduzibel, dann h¨atte g eine ganzzahlige Nullstelle, die zudem ein Teiler von 1 ist. Aber weder −1 noch 1 ist eine Nullstelle von g(X). 4.3.3

Regul¨ are n-Ecke

Da wir nach der vorigen Betrachtung keine 20◦ -Winkel konstruieren k¨onnen, ist es auch nicht m¨oglich, einen 40◦ -Winkel zu konstruieren. Daher kann man auch kein regul¨ares 9-Eck konstruieren. Man u ¨berlegt sich schnell, dass man regul¨are n-Ecke f¨ ur n = 2, 3, 4, 5, 6 konstruieren kann. Das regul¨are 7-Eck kann man hingegen nicht konstruieren. Dazu zeigen wir zun¨achst 2πi

Lemma 4.11. Sei 1 < n ∈ N. Die komplexe Zahl ζ = e n ist wegen ζ n = 1 algebraisch u ¨ber Q. Falls man ein regul¨ares n-Eck mit Zirkel und Lineal kosntruieren kann, dann ist der Grad von ζ u ¨ber Q eine Potenz von 2. Beweis. Das n-Eck sei konstruierbar. Sei ζ = α + iβ mit α, β ∈ R. Dann ist [Q(α) : Q] eine Potenz von 2. Wegen 1 = |ζ| = α2 + β 2 = α2 − (iβ)2 = α2 −(ζ−α)2 liegt ζ entweder in Q(α), oder in einer quadratischen Erweiterung von Q(α). Die Behauptung folgt. Ist zum Beispiel n = p eine Primzahl, dann ist nach Satz 3.46 das Polynom p −1 irreduzibel u f (X) = XX−1 ¨ber Q. Wegen f (ζ) = 0 ist f das Minimalpolynom von ζ. Daher hat ζ den Grad p − 1. Ist also das regul¨are p-Eck konstruierbar, dann ist p − 1 eine Potenz von 2. Daher ist z.B. das regul¨are 7-Eck nicht konstruierbar. Gauß produzierte als Jugendlicher eine kleine Sensation, als er zeigte, dass man ein regul¨ares 17-Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Auf diese Konstruktionsaufgaben kommen wir zur¨ uck, wenn wir die K¨orpertheorie schon weiter entwickelt haben.

4.4

Algebraische K¨ orpererweiterungen

In diesem Abschnitt wollen wir algebraische Erweiterungen genauer untersuchen. Wir haben gesehen, dass endliche Erweiterungen algebraisch sind. Die Umkehrung muss nicht stimmen (man nehme z.B. die Vereinigung der K¨orper n Q(21/2 ), n = 0, 1, 2, . . . , u ¨ber Q.) In einem wichtigen Fall gilt allerdings die Umkehrung. Lemma 4.12. Sei L|K eine Erweiterung, und α1 , α2 , . . . , αn ∈ L alle algebraisch u ¨ber K. Dann ist K(α1 , α2 , . . . , αn ) = K[α1 , α2 , . . . , αn ] eine endliche Erweiterung von K. 73

Beweis. Ist α ∈ L algebraisch u ¨ber K, dann ist α erst recht algebraisch u ¨ber jedem Zwischenk¨orper von L|K. Die Behauptung folgt dann per Induktion und der bereits bewiesenen Version f¨ ur n = 1. Sind α, β ∈ L algebraisch u ¨ber K, dann liegen die Elemente α + β, α − β, αβ, α/β (falls β 6= 0) alle in K(α, β), sind also algebraisch u ¨ber K. Eine wichtige Transitivit¨atseigenschaft algebraischer Erweiterungen ist Satz 4.13. Die Erweiterungen F |E und E|K seien algebraisch. Dann ist auch F |K algebraisch. Beweis. Sei α ∈ F , und f (X) = an X n + · · · + a1 X + a0 ∈ E[X] das Minimalpolynom von α u ¨ber E. Setze L = K(an , . . . , a1 , a0 ). Nach dem obigen Lemma ist [L : K] < ∞. Ferner gilt [L(α) : L] ≤ n, also auch [L(α) : K] < ∞, und damit ist α algebraisch u ¨ber K. Wie wir oben schon gesehen haben k¨onnen wir die komplexen Zahlen ¯ das Bild von auffassen als den Restklassenring R[X]/(X 2 + 1). Bezeichnet X 2 ¯ = X 2 + 1 − 1 = X 2 + 1 − 1 = −1. X in diesem Restklassenring, dann gilt X ¯ entspricht also der imagin¨aren Das rein algebraisch konstruierte Element X Einheit i ∈ C. Kronecker hat diese Idee verallgemeinert. Satz 4.14. Sei f ∈ K[X] ein irreduzibles Polynom vom Grad n, und L = K[X]/(f ) der Restklassenring. Identifiziert man a ∈ K mit a + (f ) in L, so kann man L als Oberk¨orper von K auffassen. Setze α := X + (f ) ∈ L. Dann gilt f (α) = 0, L = K[α] = K(α) und [L : K] = n. Beweis. Es gilt f (α) = f (X) + (f ) = (f ), da f (X) ∈ (f ). Da (f ) irreduzibel ist, ist L = K[X]/(f ) ein K¨orper, der offensichtlich von α erzeugt wird. Ferner ist f , wieder wegen der Irreduzibilit¨at von f , das Minimalpolynom von α. Die Behauptungen folgen. Man nennt L einen Wurzelk¨orper von f . Ein wichtiger Satz ist Satz 4.15. Seien E und F Erweiterungen eines K¨orpers K, und f (X) ∈ K[X] irreduzibel. Seien α ∈ E und β ∈ F mit f (α) = f (β) = 0. Dann gibt es einen K-Isomorphismus K(α) → K(β) mit φ(α) = β. Beweis. Die K-Epimorphismen K[X] → K(α), X 7→ α und X[X] → K(α), X 7→ β haben beide den Kern (f ). Die Behauptung folgt aus dem Homomorphiesatz. Ein K¨orper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht konstante Polynom f (X) ∈ K[X] u ¨ber K in Linearfaktoren zerf¨allt. Wegen der M¨oglichkeit Linearfaktoren abzudividieren ist das nat¨ urlich ¨aquivalent dazu, dass jedes nicht konstante Polynom f (X) ∈ K[X] eine Nullstelle in K hat. 74

4.4.1

Algebraischer Abschluss

Ist K ein K¨orper, dann ist ein algebraischer Abschluss von K eine algebrai˜ die algebraisch abgeschlossen ist. So ist z.B. C ein algesche Erweiterung K, braischer Abschluss von R, aber nicht von Q. Im folgenden wollen wir sehen, ˜ hat. Wir ben¨otigen dass jeder K¨orper K einen algebraischen Abschluss K zwei vorbereitende Lemmata. Lemma 4.16. Sei K ein K¨orper. Dann gibt es eine Erweiterung E von K, so dass jedes nicht konstante Polynom f (X) ∈ K[X] eine Nullstelle in E hat. Beweis. F¨ ur jedes nicht konstante Polynom f ∈ K[X] sei Xf eine Variable u ber K. Sei S die Menge Xf , und K[S] der Polynomring u ¨ ¨ber K in den Variablen S. Sei I das von allen f (Xf ) erzeugte Ideal von K[S]. Wir behaupten I 6= K[S], und nehmen dazu an, dass Gleichheit gilt. Dann gibt es g1 , g2 , . . . , gn ∈ K[S] mit g1 f1 (Xf1 ) + g2 f2 (Xf2 ) + · · · + gn fn (Xfn ) = 1. Sei nun K(α1 ) ein Wurzelk¨orper von f1 , also f1 (α1 ) = 0. Nun sei K(α1 , α2 ) ein Wurzelk¨orper von f2 u ¨ber K(α1 ). Setzt man das induktiv fort, so erh¨alt man eine Erweiterung L von K mit αi ∈ L und fi (αi ) = 0. Ersetzt man nun in obiger Gleichung Xfi durch αi , so folgt der Widerspruch 0 = 1. Daher ist I < K[S], und es gibt daher ein maximales Ideal M von K[S], welches I enth¨alt. Betrachte den K-Homomorphismus φ : K[S] → K[S]/M , und beachte, dass E := K[S]/M eine K¨orpererweiterung von K ist. Wegen f (Xf ) ∈ I ⊆ M gilt 0 = φ(f (Xf )) = f (φ(Xf )), d.h., f hat eine Nullstelle in E. Lemma 4.17. Sei K ein K¨orper. Dann gibt es einen algebraisch abgeschlossenen K¨orper L ⊇ K. Beweis. Mit Hilfe des obigen Lemmas konstruieren wir eine Kette K = E0 ⊆ E1 ⊆ E2 ⊆ . . . von K¨orpern, so dass jedes Polynom aus Ei [X] eine Nullstelle in Ei+1 hat. Sei L die Vereinigung der Ei . Offenbar ist L ein K¨orper, u ¨ber dem jedes Polynom eine Nullstelle hat. Durch abdividieren von Linearfaktoren folgt daraus, dass jedes Polynom aus L[X] sogar in Linearfaktoren zerf¨allt. Satz 4.18. Jeder K¨orper hat einen algebraischen Abschluss. Beweis. Sei K ein beliebiger K¨orper, und L ⊇ K algebraisch abgeschlossen. ˜ die Menge der Elemente aus L, die algebraisch sind u Sei K ¨ber K. Wir wissen 75

˜ ein K¨orper ist. Es bleibt zu zeigen, dass auch K ˜ algebraisch schon, dass K ˜ abgeschlossen ist. Sei f ∈ K[X] ein nicht-konstantes Polynom, und α ∈ L ˜ und damit auch algebraisch mit f (α) = 0. Damit ist α algebraisch u ¨ber K, ˜ Die Behauptung folgt. u ¨ber K wegen Satz 4.13, also α ∈ K. Bemerkung. Da die irreduziblen Polynome u ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨orper den Grad 1 haben, besitzen algebraisch abgeschlossene K¨orper keine echten algebraische Erweiterungen. 4.4.2

Fortsetzung von Homomorphismen

In unserer weiteren Entwicklung spielen Automorphismen von K¨orpern eine wichtige Rolle. Wir beginnen mit der Frage der Fortsetzbarkeit von Homomorphismen. Ist σ : K → L ein Homomorphismus und f ∈ K[X], dann bezeichnet f σ das Polynom, das durch Anwenden von σ auf die Koeffizienten von f entsteht. Lemma 4.19. Sei E|K eine algebraische Erweiterung, und σ : E → E ein K-Homomorphismus. Dann ist σ ein Automorphismus von E. Beweis. Es ist nur die Surjektivit¨at von σ zu zeigen. Sei α ∈ E, und f das Minimalpolynom von f u ¨ber K. Sei β ∈ E eine Nullstelle von f . Da σ die Identit¨at auf K ist, folgt 0 = f (β)σ = f (β σ ). Damit ist β σ ∈ E ebenfalls eine Nullstelle von f . Da f nur endlich viele Nullstellen in E hat, werden diese von σ permutiert. Insbesondere wird eine dieser Nullstellen von σ auf α abgebildet. Lemma 4.20. Sei σ : K → L ein K¨orperhomomorphismus. Sei α in einem Oberk¨orper von K, und algebraisch u ¨ber K. Sei f (X) ∈ K[X] das Minimalpolynom von α u ¨ber K. Dann ist die Anzahl der Fortsetzungen von σ zu einem Homomorphismus τ : K(α) → L gleich der Anzahl der verschiedenen Nullstellen, die f σ in L hat. Beweis. Sei τ : K(α) → L eine Fortsetzung von σ. Wegen 0 = f (α)τ = f σ (ατ ) ist ατ eine Nullstelle von f σ (X). Da τ durch ατ eindeutig gegeben ist, folgt, dass es f¨ ur τ h¨ochstens so viele M¨oglichkeiten gibt wie f σ verschiedene Nullstellen in L hat. 76

Sei nun umgekehrt β ∈ L eine Nullstelle von f σ . Jedes Element aus K(α) hat die Form g(α) f¨ ur ein Polynom g ∈ K[X]. Wir definieren nun τ durch τ σ g(α) := g (β). Zun¨achst m¨ ussen wir sehen, dass diese Definition wohldefiniert ist. Dazu sei h ∈ K[X] ein weiteres Polynom mit g(α) = h(α). Aber dann ist α eine Nullstelle von g − h, und somit f ein Teiler von g − h. Es folgt g(X) − h(X) = f (X)q(X) f¨ ur ein Polynom q, also g σ (X) − hσ (X) = σ σ f (X)q (X). Ersetze X durch β. Es folgt g σ (β) = hσ (β), was die Wohldefiniertheit zeigt. Offenbar ist τ additiv und multiplikativ, die Behauptung folgt. Satz 4.21. Sei E|K eine algebraische K¨orpererweiterung, und σ : K → L ein Homomorphismus in einen algebraisch abgeschlossenen K¨orper L. Dann l¨asst sich σ fortsetzen zu einem Homomorphismus E → L. Beweis. Der Beweis benutzt das Zornsche Lemma. Sei M die Menge der Paare (F, τ ), wo F ein Zwischenk¨orper von E|K ist, und τ : F → L eine Fortsetzung von σ ist. Die Menge M ist partiell geordnet, mit (F, τ ) ≤ (F 0 , τ 0 ) genau dann, wenn F ⊆ F 0 und τ die Einschr¨ankung von τ 0 auf F ist. Die Ordnung ist induktiv, da die Vereinigung einer total geordneten Teilmenge von M wieder zu M geh¨ort. Wegen des Lemmas von Zorn besitzt M daher ein maximales Element (F, τ ). W¨are F ( E, dann g¨abe es ein α ∈ E \F , und nach dem vorigen Lemma eine Fortsetzung des Homomorphismus τ : F → L zu F (τ ) → L, im Widerspruch zur Maximalit¨at von (F, τ ). Wegen des folgenden Korollars spricht man oft (etwas unpr¨azise) von “dem algebraischen Abschluss” eines K¨orpers. Korollar 4.22. Seien E und F zwei algebraische Abschl¨ usse eines K¨orpers K. Dann gibt es eine K-Isomorphie zwischen E und F . Beweis. Sei σ : K → F die Inklusionsabbildung. Wegen des obigen Satzes besitzt σ eine Fortsetzung τ : E → F . Aber F ist algebraisch u ¨ber K, und damit erst recht algebraisch u ¨ber E τ . Aber E und damit E τ sind algebraisch abgeschlossen, also E τ = F . Die Behauptung folgt. 4.4.3

Zerf¨ allungsk¨ orper

Sei f ∈ K[X] ein nicht konstantes Polynom, und f (X) = c(X − α1 ) . . . (X − αn ) mit c ∈ K und αi Elemente eines Oberk¨orpers von K. Der von den Nullstellen von f u ¨ber K erzeugte K¨orper K(α1 , α2 , . . . , αn ) heißt der Zerf¨allungsk¨orper von f u ¨ber K. Da die Polynomfaktorisierung u ¨ber K¨orpern eindeutig ist, gibt ˜ es im algebraischen Abschluss K von K genau einen Zerf¨allungsk¨orper von f. 77

Wir sahen schon, dass Wurzelk¨orper irreduzibler Polynome isomorph sind, und auch dass algebraische Abschl¨ usse eines K¨orpers isomorph sind. Das gleiche gilt auch f¨ ur Zerf¨allungsk¨orper. Genauer gilt: Satz 4.23. Seien E und F Zerf¨allungsk¨orper von f ∈ K[X]. Dann gibt es einen K-Isomorphismus zwischen E und F . Liegt E im algebraischen Ab˜ von K, dann ist jeder K-Homomorphismus F → K ˜ eine Isomorschluss K phie zwischen E und F . Beweis. Der erste Teil des Satzes folgt aus dem zweiten Teil. Daher nehmen ˜ an. wir E ⊆ K ˜ Sei Nach Satz 4.21 gibt es einen K-Isomorphismus σ : F → K. f (X) = c(X − β1 )(X − β2 ) . . . (X − βn ) mit c ∈ K, βi ∈ F . Es folgt f (X) = f σ (X) = c(X − β1σ )(X − β2σ ) . . . (X − βnσ ). ˜ liegenden Zerf¨allungsk¨orper von f , also Die Elemente βiσ erzeugen den in K σ σ σ E = K(β1 , β2 , . . . βn ) = K(β1 , β2 , . . . βn )σ = K, und die Behauptung folgt.

4.4.4

Separabilit¨ at

˜ ein algebraischer Abschluss von K. Sei φ der einIn diesem Abschnitt sei K deutige Ringhomomorphismus Z → K mit Kern pZ. Da Z/pZ ein Integrit¨atsbereich ist, ist p eine Primzahl oder p = 0. Man nennt p die Charakteristik von K. Sei p > 0. Dann gelten in K die Identit¨aten (a + b)p = ap + bp und a + a + · · · + a = 0 (p Summanden). Diese Beziehungen haben merkw¨ urdige Konsequenzen. Sei z.B. K = Fp (t) der rationale Funktionenk¨orper u ¨ber Fp , und f (X) = X p − t. Nach dem Eisensteinkriterium ist f irreduzibel u ¨ber p p ˜ Fp (t). Seien α, β ∈ K zwei Nullstellen von f . Dann gilt 0 = α −β = (α−β)p , ˜ genau eine Nullstelle, und diese mit der Vielalso α = β. Damit hat f in K fachheit p. Man nennt ein nicht konstantes Polynom separabel , wenn es keine mehrfachen Nullstellen hat. Das obige Beispiel X p − t u ¨ber Fp (t) ist also nicht separabel. Wir werden gleich sehen, dass die Existenz inseparabler Polynome eine sehr spezielle Eigenschaft ist. Satz 4.24. Sei f (X) ∈ K[X] ein irreduzibles Polynom, das nicht separabel ist. Dann ist die Charakteristik p von K positiv. Ferner gibt es e ∈ N mit e f (X) = g(X p ), wobei g(X) ∈ K[X] separabel und irreduzibel ist. 78

Beweis. Sei p die Charakteristik von K. Falls p = 0 ist, dann setzen wir g := f , und im Fall p > 0 w¨ahlen wir e ≥ 0 maximal, so dass es ein g(X) ∈ K[X] e gibt mit f (X) = g(X p ). Nat¨ urlich ist g(X) irreduzibel. Wir nehmen an, dass g(X) nicht separabel ist. Dann haben g(X) und die Ableitung g 0 (X) eine ˜ Insbesondere haben g und g 0 einen gemeinsamen gemeinsame Nullstelle in K. Teiler in K[X] von positivem Grad. Wegen der Irreduzibilit¨at von g geht das nur, wenn g ein Teiler von g 0 ist. Wegen grad g 0 < grad g folgt g 0 = 0. Die Ableitung des Monoms X m ist mX m−1 . Diese verschwindet nur, wenn p > 0 ein Teiler von m ist. Aus g 0 = 0 folgt also p > 0, und dass alle Exponenten von g 0 durch p teilbar sind. Daher hat g(X) die Form h(X p ), e+1 also f (X) = h(X p ), im Widerspruch zur Wahl von e.

˜ In der Situation des Satzes sei g(X) = c(X − α1 ) . . . (X − αn ) mit αi ∈ K paarweise verschieden. Die Nullstellen von f sind daher gerade die Nullstele len der Faktoren X p − αi . Wie im obigen Beispiel sieht man, dass jeder e ˜ hat. Daher hat f genau der Faktoren X p − αi genau eine Nullstelle in K e n = grad g = grad f /p verschiedene Nullstellen. Man nennt n auch den Separabilit¨atsgrad von f . Sei β eine Nullstelle von f . Wir haben schon gesehen ˜ (Lemma 4.20), dass n gleich der Anzahl der K-Homomorphismen K(β) → K ist. Das motiviert die folgende Definition 4.25. Sei [E : K] eine algebraische Erweiterung. Der Separabi˜ lit¨atsgrad [E : K]sep ist die Anzahl der K-Homomorphismen E → K. Das folgende Lemma zeigt unter anderem, dass [E : K]sep nicht von der ˜ abh¨angt. Wahl von K Lemma 4.26. Sei E|K eine algebraische Erweiterung, L ein algebraisch abgeschlossener K¨orper, und σ : K → L ein Homomorphismus. Dann hat σ genau [E : K]sep Fortsetzungen τ : E → L. Beweis. Wir wissen schon (Satz 4.21), dass sich σ : K → L fortsetzt zu einem ˜ → L. Wir konstruieren eine Bijektion zwischen Homomorphismus ρ : K den Fortsetzungen τ : E → L von σ, und den K-Homomorphismen τ 0 : ˜ Sei also τ : E → L eine Fortsetzung von σ. Offenbar ist E τ ⊆ L E → K. ˜ ρ algebraisch eine algebraische Erweiterung von K τ = K σ = K ρ . Da aber K τ ρ 0 −1 ˜ . Damit ist τ = τ ρ ein K-Homomorphismus abgeschlossen ist, gilt E ⊆ K ˜ ˜ eine E → K. Umgekehrt liefert jeder K-Homomorphismus τ 0 : E → K 79

Fortsetzung τ = τ 0 ρ : E → L von σ. ˜ K O _?? ? 



/





 

K

?     ⊆  

˜ρ ⊆ L K

?      

?? τ 0 ?? ??



 ⊆ 

ρ

τ

E

/

σ

O







 ⊆    

Kσ

Auch f¨ ur den Separabilit¨atsgrad gilt eine Multiplikationsformel: Satz 4.27. Seien E|F und F |K algebraische Erweiterungen. Dann gilt [E : K]sep = [E : F ]sep [F : K]sep . Falls F |K endlich ist, dann ist [F : K]sep ein Teiler von [F : K]. Ist der Quotient > 1, dann hat K eine positive Charakteristik p, und der Quotient ist eine Potenz von p. ˜ eiBeweis. Nach dem vorigen Lemma ist jeder K-Homomorphismus E → K ne der [E : F ]sep Fortsetzungen der [F : K]sep m¨oglichen K-Homomorphismen ˜ Daraus folgt der erste Teil der Behauptung. F → K. Nun sei F |K endlich. Dann gibt es Elemente α1 , . . . , αn ∈ F und eine Kette K = K0 ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Kn = F mit Ki = Ki−1 (αi ). Sei ni bzw. si der Grad bzw. der Separabilit¨atsgrad des Minimalpolynoms von αi u ¨ber Ki−1 . Dann gilt ni = [Ki : Ki−1 ], und es gilt entweder ni = si f¨ ur alle i, oder K hat Charakteristik p > 0 und ni /si ist eine p-Potenz nach Satz 4.24. Die Behauptung folgt nun aus dem ersten Teil. Man nennt eine endliche Erweiterung F |K separabel , wenn [F : K] = [F : K]sep gilt. Ein u ¨ber K algebraisches Element α heißt separabel , wenn K(α)|K separabel ist. Ist α separabel u ¨ber K, dann ist α auch separabel u ¨ber jedem Oberk¨orper E von K, da das Minimalpolynom von α u ¨ber E ein Teiler des Minimalpolynoms u ¨ber K ist. Hieraus und aus obigem Satz folgt schnell, dass eine endliche Erweiterung F |K genau dann separabel ist, wenn alle α ∈ F separabel u ¨ber K sind, und das wiederum ist ¨aquivalent dazu, dass F von K und endlich vielen ¨ separablen Elementen erzeugt wird (Ubung!). 80

Sind E und F Teilk¨orper von L, dann nennt man den von E und F erzeugten Teilk¨orper von L das Kompositum von E und F . Man schreibt daf¨ ur EF . Offenbar ist EF der kleinste Teilk¨orper von L, der E und F enth¨alt. Die Separabilit¨at hat gute Vererbungseigenschaften: Satz 4.28. Seien E und F Zwischenk¨orper von L|K. Dann gilt: (a) Seien E|K und L|E endlich. Dann ist E|K genau dann separabel, wenn E|K und L|E separabel sind. (b) E|K sei endlich und separabel. Dann ist auch EF |F separabel. (c) E|K und F |K seien endlich und separabel. Dann ist auch EF |K endlich und separabel. Beweis. (a) folgt aus der Multiplikativit¨at des Grads bzw. des Separabilit¨atsgrads. Sei E|K endlich und separabel. Dann ist E|K von endlich vielen separablen Elementen erzeugt. Diese Elemente sind separabel u ¨ber F , und erzeugen mit F gerade EF . Hieraus folgt (b). In (c) sind E|K und F |K jeweils von endlich vielen separablen Elementen erzeugt. Daher ist EF u ¨ber K ebenfalls von endlich vielen separablen Elementen erzeugt, und die Behauptung folgt. 4.4.5

Der Satz vom primitiven Element

Eine f¨ ur die weitere Entwicklung unentbehrliche Aussage, die auf Abel zur¨ uckgeht, ist der Satz vom primitiven Element. Satz 4.29. Sei E|K eine endliche separable Erweiterung. Dann gibt es α ∈ E mit E = K(α). Man nennt α ein primitives Element der Erweiterung E|K. Beweis. Ist K ein endlicher K¨orper, dann ist auch E ein endlicher K¨orper, und hat daher eine zyklische multiplikative Gruppe. Ein Erzeuger dieser Gruppe ist nat¨ urlich auch ein Erzeuger von E|K. Daher sei im folgenden |K| = ∞. Per Induktion k¨onnen wir annehmen, dass E = K(α, β) gilt. Sei n = [E : K] = [E : K]sep , und sei S die Menge der n verschiedenen K-Homomorphismen ˜ Wir betrachten das Polynom E → K. Y Y F (X) := ((β σ − β τ )X + (ασ − ατ )). σ∈S τ ∈S\{σ}

81

Man beachte, dass F (X) nicht das 0-Polynom ist. Denn dann w¨aren σ und τ die gleiche Abbildung auf K(α, β). Da K ein unendlicher K¨orper ist, gibt es ein c ∈ K mit F (c) 6= 0, also (α + cβ)σ 6= (α + cβ)τ . Daher hat K(α + cβ) mindestens n verschiedene K-Homomorphismen nach ˜ also K, [K(α, β) : K] = n ≤ [K(α + cβ) : K]sep ≤ [K(α, β) : K], also K(α + cβ) = K(α, β). 4.4.6

Normale K¨ orpererweiterungen

Zum Studium der Automorphismen von K¨orpern und Zwischenk¨orpern von K¨orpererweiterungen ist der Begriff einer normalen Erweiterung zentral. Hierzu verallgemeinern wir den Begriff eines Zerf¨allungsk¨orpers etwas: Sei fi , i ∈ I eine Familie von Polynomen fi (X) ∈ K[X]. Dann ist die Erweiterung E|K ein Zerf¨allungsk¨orper der fi , wenn jedes Polynom fi u ¨ber E in Linearfaktoren zerf¨allt, und E von K und den Nullstellen der fi erzeugt wird. ˜ ein algebraischer Abschluss von K, und F ein Zwischenk¨orper Satz 4.30. Sei K ˜ von K|K. Dann sind ¨aquivalent: ˜ ist ein Automorphismus von F . (i) Jeder K-Homomorphismus F → K (ii) Jedes irreduzible Polynom aus K[X] mit einer Nullstelle in F zerf¨allt u ¨ber F in Linearfaktoren. (iii) F ist der Zerf¨allungsk¨orper einer Familie von Polynomen u ¨ber K. Beweis. Es gelte (i). Sei f (x) ∈ K[X] irreduzibel und α ∈ F mit f (α) = 0. ˜ eine beliebige Nullstelle von f . Dann gibt es einen K-Homomorphismus Sei β ∈ K K(α) → K(β) mit α 7→ β. Diesen erweitern wir zu einem Homomorphismus ˜ Nach Voraussetzung ist σ ein Automorphismus von F , also σ : F → K. β ∈ F . Damit zerf¨allt f u ¨ber F in Linearfaktoren. Wir erhalten (ii). Nun gelte (ii). Dann ist F der Zerf¨allungsk¨orper aller Minimalpolynome der Elemente aus F , und damit gilt (iii). Schließlich gelte (iii). Sei F der Zerf¨allungsk¨orper der fi ∈ K[X]. Sei α ∈ F die Nullstelle eines der Polynome fi . F¨ ur jeden K-Homomorphismus σ ˜ σ : F → K ist α eine Nullstelle von fi . Da aber fi u ¨ber F in Linearfaktoren σ zerf¨allt, gilt α ∈ F . Daher bildet σ alle Nullstellen der fi auf Elemente aus F ab, also F σ ⊆ F . Die Behauptung folgt nun aus Lemma 4.19. 82

Eine Erweiterung F |K heißt normal , wenn eine der Bedingungen (i), (ii) oder (iii) erf¨ ullt ist. Bei dem Begriff der Normalit¨at ist Vorsicht angebracht, denn aus E|F √ und F |K normal folgt nicht, dass E|K normal ist. So sind √ √ √ 4 4 z.B. Q( √ 2)|Q( 2) und Q( 2)|Q normal, aber Q( 2)|Q ist nicht normal, da Q( 4 2) ⊂ R, aber die Nullstellen von X 4 − 2 sind nicht alle reell. Allerdings gilt eine andere wichtige Eigenschaft normaler Erweiterungen. Satz 4.31. Seien F und E Erweiterungen von K, und enthalten in einem gemeinsamen K¨orper. Dann gilt (a) Ist F |K normal, dann ist auch F E|E normal. (b) Sind E|K und F |K normal, dann sind auch EF |K und E ∩ F |K normal. Beweis. Zu (a): F sei der Zerf¨allungsk¨orper der Polynome fi u ¨ber K. Dann ist F E der Zerf¨allungsk¨orper der selben Polynome u ¨ber E. Zu (b): Seien E und F die Zerf¨allungsk¨orper der Polynome fi bzw. gi . Dann ist EF der Zerf¨allungsk¨orper von {fi } ∪ {gi }, und der erste Teil folgt. Sei f (X) ∈ K[X] irreduzibel, und mit einer Nullstelle in E ∩F . Dann zerf¨allt f (X) sowohl u ¨ber E, alsauch u ¨ber F in Linearfaktoren. Wegen der eindeutigen Faktorisierung liegen die Nullstellen also in E ∩ F , und die Behauptung folgt.

4.5 4.5.1

Galoistheorie Der Hauptsatz der Galoistheorie

In diesem Abschnitt erreichen wir das wichtigste Ziel der K¨orpertheorie, die Galoistheorie. Sie verbindet die Gruppentheorie mit der K¨orpertheorie. Eine algebraische Erweiterung E|K heißt galoissch, wenn sie separabel und normal ist. In diesem Fall nennt man die K-Automorphismen von E die Galoisgruppe von E|K, und schreibt daf¨ ur Gal(E|K). Ist F ein Zwischenk¨orper von E|K, dann ist auch E|F normal und separabel, also auch galoissch. Offenbar ist Gal(E|F ) eine Untergruppe von Gal(E|K). Ist U eine Untergruppe von Gal(E|F ), dann bezeichnet Fix(U ) die Menge der von U fixierten Elemente aus E. Offenbar ist Fix(U ) ein Zwischenk¨orper von E|K. Der Hauptsatz der Galoistheorie besagt nun, dass im Falle einer endlichen Galoiserweiterung E|K die Abbildung U 7→ Fix(U ) eine Bijektion der Menge der Untergruppen mit der Menge der Zwischenk¨orper liefert, und dass F 7→ Gal(E|F ) die Umkehrabbildung dazu ist. Diesen Satz, und einige weitere Aussagen, werden wir nun in einer Folge von Hilfss¨atzen beweisen. 83

˜ stets einen algebraischen Abschluss In diesem Abschnitt bezeichnet K von K. Lemma 4.32. Sei E|K eine Galoiserweiterung mit G = Gal(E|K). Dann gilt K = Fix(G). Die Abbildung F 7→ Gal(E|F ) bildet verschiedene Zwischenk¨orper von E|K auf verschiedene Untergruppen von G ab. ˜ Sei α ∈ Fix(G). Man setze einen Beweis. Ohne Einschr¨ankung gelte E ⊆ K. ˜ fort zu einem Homomorphismus σ : E → K-Homomorphismus K(α) → K ˜ K. Wegen der Normalit¨at von E|K ist σ ein K-Automorphismus von E, also σ ∈ G. Gem¨aß Voraussetzung wird α von σ festgehalten. Daher gilt [K(α) : K]sep = 1. Aber α ist separabel u ¨ber K, und es folgt [K(α) : K] = 1, also α ∈ K. Dies zeigt den ersten Teil der Behauptung. Sei nun F ein Zwischenk¨orper von E|K, und U = Gal(E|F ). Da E|F galoissch ist, folgt aus dem ersten Teil der Behauptung F = Fix(U ), und die Behauptung folgt. Lemma 4.33. Seien F und F 0 Zwischenk¨orper der Galoiserweiterung E|K. Dann gilt (a) Gal(E|F ) ∩ Gal(E|F 0 ) = Gal(E|F F 0 ). (b) Fix() = F ∩ F 0 . (c) Es gilt F ⊆ F 0 genau dann, wenn Gal(E|F 0 ) ≤ Gal(E|F ). Beweis. Die Aussagen folgen direkt aus den Definitionen und obigem Lemma. Ist E|K eine endliche separable Erweiterung, dann gibt es nach dem Satz von primitiven Element ein α ∈ E mit E = K(α). Sei L ⊇ E ein Zerf¨allungsk¨orper des Minimalpolynoms von α. Dann ist L|K eine endliche Galoiserweiterung, und offensichtlich eine kleinste Galoiserweiterung von K die E enth¨alt. Man nennt L auch eine Galoish¨ ulle von E|K. Da Gal(L|K) nur endlich viele Untergruppen hat, hat die Erweiterung E|K nur endlich viele Zwischenk¨orper. Lemma 4.34. Sei E|K eine algebraische separable Erweiterung, so dass jedes Element aus E den Grad ≤ n u ¨ber K hat. Dann gilt [E : K] ≤ n. Beweis. Das Element α ∈ E habe maximalen Grad m ≤ n. F¨ ur β ∈ E ist K(α, β)|K endlich und separabel, also K(α, β) = K(γ) f¨ ur ein geeignetes Element γ ∈ E. Es folgt m = [K(α) : K] ≤ [K(α, β) : K] = [K(γ) : K] ≤ m, ur alle β ∈ E und daher E = K(α). also β ∈ K(α) f¨ 84

Wir haben schon gesehen, dass verschiedene Zwischenk¨orper einer Galoiserweiterung E|K zu verschiedenen Untergruppen von G = Gal(E|K) f¨ uhren. Im allgemeinen ist nicht jede Untergruppe von G von der Form Gal(E|F ) f¨ ur einen Zwischenk¨orper F . Der folgende Satz jedoch zeigt, dass dies wenigstens f¨ ur endliche Galoiserweiterungen gilt. Satz 4.35 (E. Artin). Sei E ein K¨orper, und G eine endliche Gruppe von Automorphismen von E. Sei K der Fixk¨orper von G. Dann ist E|K eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe G, und es gilt [E : K] = |G|. Beweis. Sei α ∈ E und 1 ∈ {σ1 , σ2 , . . . , σm } ⊆ G eine maximale Menge von Elementen mit σ1 = 1, so dass die Elemente ασi paarweise verschieden sind. Das hat zur Folge, dass f¨ ur τ ∈ G die Menge der ασi τ eine Permutation der ασi ist. Wir bilden das Polynom Y f (X) = (X − ασi ). i

Offenbar ist α eine Nullstelle von f , und es gilt f = f τ . Damit liegen alle Koeffizienten von f im Fixk¨orper von G, also in K. Ferner ist f separabel vom Grad ≤ |G|. Da dies f¨ ur alle α ∈ E gilt, folgt aus dem obigen Lemma [E : K] ≤ |G|. Jedes dieser Polynome f zerf¨allt u ¨ber E in Linearfaktoren, daher ist E|K nicht nur separabel, sondern auch normal, also galoissch. Die Galoisgruppe H von E|K hat Ordnung ≤ [E : K] ≤ |G|, also |H| ≤ |G|. Aber andererseits gilt G ⊆ H, und somit gilt Gleichheit u ¨berall. Es sei F ein Zwischenk¨orper der Galoiserweiterung E|K, und σ ∈ Gal(E|K). Dann besteht Gal(E|F σ ) aus all denen τ ∈ Gal(E|K), f¨ ur die aστ = aσ f¨ ur στ σ −1 alle a ∈ F gilt. Das ist ¨aquivalent zu a = a f¨ ur alle a, also ¨aquivalent zu στ σ −1 ∈ Gal(E|F ). Daher gilt Gal(E|F σ ) = σ −1 Gal(E|F )σ = Gal(E|F )σ . Diese einfache Beobachtung werden wir im folgenden mehrfach ohne Kommentar anwenden. Wenn F ein Zwischenk¨orper der Galoiserweiterung E|K ist, dann muss F |K nicht automatisch galoissch sein. Wir geben nun ein gruppentheoretisches Kriterium daf¨ ur an, wann das der Fall ist. Lemma 4.36. Sei F ein Zwischenk¨orper der Galoiserweiterung E|K. Dann ist F |K genau dann galoissch, wenn N = Gal(E|F ) ein Normalteiler von G = Gal(E|K) ist. Ist das der Fall, dann liefert die Einschr¨ankung G → Gal(F |K), σ 7→ σ|F einen Epimorphismus mit Kern N , also Gal(F |K) ∼ = G/N . 85

Beweis. Sei F |K nicht galoissch. Da F |K separabel ist, ist F |K nicht normal. Daher gibt es ein α ∈ F , dessen Minimalpolynom f (X) u ¨ber F nicht in Linearfaktoren zerf¨allt. Wegen der Normalit¨at von E|K zerf¨allt aber f u ¨ber E in Linearfaktoren. Sei β ∈ E eine Nullstelle von f mit β ∈ / F . Dann gibt es σ ∈ G mit ασ = β, also F σ 6= F . Damit gilt N 6= Gal(E|F σ ) = N σ , d.h., N ist nicht normal in G. Sei nun F |K galoissch, mit H = Gal(F |K). Jedes Element von H l¨asst sich zu einem Element aus G fortsetzen. Daher ist die Einschr¨ankung G → H, σ → σ|F surjektiv. Der Kern dieser Abbildung ist N = Gal(E|F ), und die Behauptung folgt aus dem Homomorphiesatz. Zusammenfassend k¨onnen wir nun unser Hauptergebnis formulieren. Satz 4.37 (Hauptsatz der Galoistheorie). Sei E|K eine endliche Galoiserweiterung. Dann gilt: (a) Die Abbildung F 7→ Gal(E|F ) liefert eine Bijektion zwischen der Menge der Zwischenk¨orper von E|K und den Untergruppen von Gal(E|K). Die Umkehrabbildung dieser Bijektion ist U 7→ Fix(U ). (b) F¨ ur den Zwischenk¨orper F gilt [E : F ] = |Gal(E|F )|, und daher [F : K] = [Gal(E|K) : Gal(E|F )]. (c) Der Zwischenk¨orper F ist genau dann normal u ¨ber K, wenn Gal(E|F ) ein Normalteiler von Gal(E|K) ist. In diesem Fall gilt Gal(F |K) ∼ = Gal(E|K)/ Gal(E|F ). ˜ ⊇ E ein algebraiBemerkung. Sei E|K eine galoissche Erweiterung, und K scher Abschluss von K. Da E|K normal ist, ist jeder K-Homomorphismus ˜ ein Automorphismus von E. Daher ist die von uns schon mehrfach E→K ˜ in diesem Fall nichts betrachtete Menge der K-Homomorphismen E → K anderes als die Galoisgruppe Gal(E|K). Sei f (X) ∈ K[X] ein irreduzibles Polynom, das u ¨ber E in Linearfaktoren zerf¨allt. Dann wissen wir bereits, dass es f¨ ur je zwei Nullstellen α, β ∈ E einen ˜ K-Homomomorphismus E → K gibt mit α 7→ β. Daher operiert Gal(E|K) transitiv auf der Menge der Nullstellen von f . Diese einfache aber wichtige Beobachtung werden wir im folgenden mehrfach ben¨otigen. Unter der Galoisgruppe eines separablen (aber nicht notwendig irreduziblen) Polynoms f (X) ∈ K[X] verstehen wir die Galoisgruppe G = Gal(L|K), wobei L ein Zerf¨allungsk¨orper von f u ¨ber K ist. Da L von den Wurzeln von f erzeugt wird, operiert G treu auf den Wurzeln von f . H¨aufig werden wir daher G ohne Kommentar als Permutationsgruppe auf den Wurzeln von f auffassen. Man schreibt dann meist Gal(f |K) f¨ ur diese Gruppe. 86

4.5.2

C ist algebraisch abgeschlossen

Als erste einfache Anwendung der Galoistheorie wollen wir zeigen, dass der K¨orper C der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist. Der funktionentheoretische Beweis dieser Aussage (z.B. als Korollar des Satzes von Liouville) ist zwar einfacher und nat¨ urlicher und erfordert weniger Vorbereitungen, aber dennoch ist es im folgenden interessant zu sehen, wie die Galoistheorie aus zwei einfachen Aussagen u ¨ber R und C ohne weitere analytische Hilfsmittel diese nicht triviale Aussage liefert. Lemma 4.38. des.

(a) R besitzt keine echten Erweiterungen ungeraden Gra-

(b) C besitzt keine Erweiterungen vom Grad 2. Beweis. (a) Sei E eine Erweiterung von R von ungeradem Grad n, und α ∈ E ein primitives Element, also E = R(α). Das Minimalpolynom f von α hat nach dem Zwischenwertsatz wegen limx→∞ f (x) = ∞, limx→−∞ f (x) = −∞ eine reelle Nullstelle. Da f u ¨ber R irreduzibel ist, folgt n = 1. (b) Hierf¨ ur ist zu zeigen, dass jedes Element aus C ein Quadrat in C ist. Sei a + ib ∈ C mit a, b ∈ R, i2 = −1. Der Ansatz z 2 = (x + iy)2 = a + ib mit x, y ∈ R liefert x2 − y 2 = a und 2xy = b. Wegen (zi)2 = −z 2 d¨ urfen wir a ≥ 0 annehmen. Der Fall b = 0 ist klar, also sei b 6= 0. Aufl¨osen der zweiten Gleichung nach y und Einsetzen in die erste liefert h(x) = x2 −

b2 = a. 4x2

Wegen b 6= 0 gilt limx→0 h(x) = −∞ und limx→∞ h(x) = ∞. Nach dem b Zwischenwertsatz gibt es also 0 6= x ∈ R mit h(x) = a. Setze y = 2x , und es 2 folgt (x + iy) = a + ib. Nach diesen Vorbereitungen folgt nun der Satz 4.39 (Fundamentalsatz der Algebra). Der K¨orper C der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen. Beweis. Sei E eine endliche Erweiterung von C. Dann ist E auch eine endliche separable Erweiterung von R. Sei L eine Galoish¨ ulle von E|R, und G = Gal(L|R). Sei P eine 2-Sylowgruppe von G. Dann ist [G : P ] = [Fix(P ) : R] ungerade. Teil (a) des Lemmas liefert [G : P ] = 1, d.h., G ist eine 2-Gruppe. Damit ist auch H = Gal(L|C) eine 2-Gruppe. Falls H = 1, dann gilt L = C, also E = C, und wir sind fertig. Sei also |H| ≥ 2. Nach Lemma 2.73 hat H eine Untergruppe N vom Index 2. Dann gilt [Fix(N ) : C] = 2, im Widerspruch zu (b). 87

4.5.3

Spuren und Normen

˜ ein algebraischer AbSei E|K eine endliche separable Erweiterung, und K ˜ Wir schluss von K. Sei S die Menge der K-Homomorphismen E → K. E definieren die Norm NK (α) von α ∈ E durch Y NKE (α) = ασ . σ∈S

Indem wir das Produkt durch eine Summe ersetzen, definieren wir die Spur TKE (α) durch X TKE (α) = ασ . σ∈S

Satz 4.40. Sei E|K eine endliche separable Erweiterung. Dann gilt (a) NKE ist ein multiplikativer Homomorphismus E × → K × . (b) TKE ist ein additiver Homomorphismus E → K. (c) Ist F |E eine endliche separable Erweiterung, dann gilt NKF = NKE ◦ NEF und TKF = TKE ◦ TEF . (d) Ist f (X) = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 das Minimalpolynom von K(α) K(α) α ∈ E, dann gilt NK (α) = (−1)n a0 und TK (α) = −an−1 . Beweis. Sei L eine Galoish¨ ulle von E|K, und α ∈ E. Jedes σ ∈ S setzt sich fort zu einem Element aus Gal(L|K). Sei τ ∈ Gal(L|K) und σ ∈ S. Wegen E σ ⊆ L ist στ definiert, und ein Element aus S. Daher ist S → S, σ 7→ στ eine Bijektion. Somit permutiert τ die Elemente ασ , σ ∈ S untereinander, ur alle τ ∈ Gal(L|K). und es gilt NKE (α)τ = NKE (α) und TKE (α)τ = TKE (α) f¨ E E Daher liegen NK (α) und TK (α) im Fixk¨orper von Gal(L|K), also in K. Hieraus folgen (a) und (b), da die Homomorphieeigenschaften sowieso klar sind. ˜ gilt. F¨ Um (c) zu zeigen, nehmen wir an, dass F ⊆ K ur jedes σ ∈ ˜ ˜ S w¨ahlen wir eine Fortsetzung σ ˆ : K → K. Sei T die Menge der E˜ ˜ gibt es Homomorphismen F → K. Zu jedem K-Homomorphismus ρ : F → K −1 genau ein σ ∈ S, so dass ρ|E = σ gilt. Daher ist ρˆ σ ein E-Homomorphismus −1 ˜ ¨ F → K, also ρˆ σ = τ f¨ ur ein τ ∈ T . Diese Uberlegung zeigt, dass die Menge ˜ der τ σ ˆ , σ ∈ S, τ ∈ T genau die Menge der K-Homomorphismen F → K durchl¨auft. Daraus folgt dann die Behauptung aus einer einfachen Rechnung und den Teilen (a) und (b). ˜ Die αi sind gerade die Sei f (X) = (X − α1 ) . . . (X − αn ) mit α ∈ K. ˜ Die verschiedenen Bilder von α unter den K-Homomorphismen K(α) → K. n−1 Behauptung folgt durch Betrachtung der Koeffizienten von X und X 0 . 88

4.5.4

Lineare Unabh¨ angigkeit von Charakteren

Sei (G, ·) ein Monoid, und K ein K¨orper. Ein Charakter ist eine Abbildung φ : G → K × mit φ(ab) = φ(a)φ(b) und φ(1G ) = 1. Sei φi , i ∈ I eine Menge von Charakteren. Man sagt, dass die φi linear unabh¨angig sind, wenn P folgendes gilt: Sei i ai φi = 0 mit ai ∈ K und ai = 0 f¨ ur alle bis auf endlich viele i. Dann folgt schon ai = 0 f¨ ur alle i. Satz 4.41 (E. Artin). Die Charaktere G → K × sind linear unabh¨angig. Beweis. Sei a1 φ1 + · · · + an φn = 0 eine lineare Abh¨angigkeitsrelation mit n minimal und alle ai 6= 0. Nat¨ urlich gilt n ≥ 2. Da φ1 und φ2 verschieden sind, gibt es g ∈ G mit φ1 (g) 6= φ2 (g). F¨ ur alle x ∈ G gilt 0 = a1 φ1 (gx) + · · · + an φn (gx) = a1 φ1 (g)φ1 (x) + · · · + an φn (g)φn (x) und 0 = φ1 (g)(a1 φ1 (x) + · · · + an φn (x)). Subtraktion liefert b2 φ1 + · · · + bn φn = 0 mit bi = (φi (g) − φ1 (g))ai . Wegen b2 6= 0 haben wir eine k¨ urzere lineare Abh¨angigkeitsrelation, ein Widerspruch. 4.5.5

Zyklische Erweiterungen

Sei n ∈ N. Unter einer primitiven n-ten Einheitswurzel verstehen wir ein Element α ∈ K, das die multiplikative Ordnung n hat. Die von α erzeugte Gruppe hat Ordnung n, und besteht daher genau aus den Nullstellen von X n − 1. Enth¨alt also K eine primitive n-te Einheitswurzel, dann zerf¨allt X n − 1 in Linearfaktoren, und K enth¨alt alle primitiven Einheitswurzeln aus ˜ K. Eine K¨orpererweiterung E|K heißt zyklisch, abelsch oder aufl¨osbar, wenn die Erweiterung E|K galoissch ist, und Gal(E|K) zyklisch, abelsch oder aufl¨osbar ist. Der folgende Satz hatte in einer fundamentalen Arbeit von Hilbert die Nummer 90. 89

Satz 4.42 (Hilberts Satz 90). Sei E|K eine zyklische Erweiterung der Ordnung n mit Galoisgruppe G = <σ>. Sei β ∈ E. Dann gilt NKE (β) = 1 genau dann, wenn es 0 6= α ∈ E gibt mit β = αασ . Q Beweis. Setze N = NKE . Sei α 6= 0. Es gilt N (α) = τ ∈G ατ , insbesondere folgt N (ασ ) = N (α)σ = N (α) 6= 0, und daher N ( αασ ) = 1. Damit folgt die eine Richtung. i Sei nun N (β) = 1. F¨ ur 0 ≤ i ≤ n − 1 sind die Abbildungen x 7→ xσ verschiedene Charaktere der additiven Gruppe von E. Daher ist nach Satz 4.41 die Abbildung 2

x 7→ φ(x) = x + βxσ + ββ σ xσ + · · · + ββ σ . . . β σ

n−2

xσ

n−1

nicht die 0-Abbildung von E nach E. Sei also γ ∈ E mit φ(γ) = α 6= 0. Wir rechnen, unter Verwendung von N (β) = 1 und σ n = 1, α − βασ = γ − ββ σ . . . β σ

n−1

n

γ σ = 1 − N (β)γ = 0,

und die Behauptung folgt.

Wir hatten schon gesehen, dass eine quadratische Erweiterung E|K f¨ ur 2 K¨orper der Charakteristik 6= 0 immer von der Form E = K(α) mit α ∈ K ist. Der folgende Satz verallgemeinert das. Satz 4.43. Sei E|K eine zyklische Galoiserweiterung der Ordnung n. Der K¨orper K enthalte eine primitive n-te Einheitswurzel. Dann gibt es ein α ∈ E mit E = K(α) und αn ∈ K. Beweis. Sei ζ ∈ K eine primitive n-te Einheitswurzel, und σ ein Erzeuger von Gal(E|K). Es gilt N (ζ) = ζ n = 1, also auch N (ζ −1 ) = 1. Nach Satz 4.42 i gibt es 0 6= α ∈ E mit ασ = αζ. Iterierte Anwendung von σ liefert ασ = ζ i α. Da ζ die multiplikative Ordnung n hat, hat das Minimalpolynom von α u ¨ber i K mindestens die n verschiedenen Nullstellen ζ α f¨ ur i = 1, 2, . . . , n, also [K(α) : K] ≥ n, und daher E = K(α) wegen [E : K] = n. Ferner ist (αn )σ = (ασ )n = (ζα)n = αn , also αn ∈ Fix(Gal(E|K)) und daher αn ∈ K. 90

4.5.6

Einheitswurzeln und Kreisteilungspolynome

Im folgenden sei n ∈ N, und K ein K¨orper entweder der Charakteristik 0, ˜ ein algebraischer oder teilerfremd zu n. Dann ist X n − 1 separabel. Sei K n ˜ bilden eine multiplikative Abschluss von K. Die Nullstellen von X − 1 in K Gruppe der Ordnung n. Da endliche Untergruppen multiplikativer Gruppen zyklisch sind, ist die Gruppe zyklisch. Die Erzeuger dieser Gruppe sind gerade die primitiven n-ten Einheitswurzeln. Das n-te Kreisteilungspolynom Φn (X) ist das Minimalpolynom einer primitiven n-ten Einheitswurzel u ¨ber Q. Der folgende Satz zeigt unter anderem, dass Φn (X) unabh¨angig von der gew¨ahlten primitiven Einheitswurzel ist. Satz 4.44. Die Nullstellen von Φn (X) sind gerade die primitiven n-ten Einheitswurzeln aus C. Ferner gilt Φn (X) ∈ Z[X]. Beweis. Offenbar ist Φn (X) ein Teiler von X n − 1. Nach dem Lemma von Gauß hat jeder normierte Teiler von X n −1 ganzzahlige Koeffizienten, daraus folgt der zweite Teil der Behauptung. Sei nun X n − 1 = Φn (X)g(X) mit g(X) ∈ Z[X]. Da jede primitive n-te Einheitswurzel die Potenz (mit zu n teilerfremdem Exponenten) einer fest gew¨ahlten primitiven n-ten Einheitswurzel ist, gen¨ ugt es, das folgende zu zeigen: Sei p eine Primzahl die n nicht teilt, und ζ ∈ C mit Φn (ζ) = 0. Dann gilt auch Φn (ζ p ) = 0. Wir nehmen also an, dass Φn (ζ p ) 6= 0 gilt. Dann folgt g(ζ p ) = 0. Daher ist ζ eine Nullstelle von g(X p ). Da aber Φn (X) das Minimalpolynom von ζ ist, muss Φn (X) ein Teiler von g(X p ) sein, also g(X p ) = Φn (X)h(X), ur u(X) ∈ Z[X] sei u¯(X) das nat¨ urliche Bild von u(X) in mit h(X) ∈ Z[X]. F¨ p p p Fp [X]. Wegen der Identit¨at (U +V ) = U +V in Fp [X] gilt g¯(X p ) = (¯ g (X))p , also ¯ ¯ n (X)h(X). g¯(X)p = Φ ¯ n (X) und g¯(X) nicht teilerfremd. Wegen Daher sind die Polynome Φ ¯ n (X)¯ Xn − 1 = Φ g (X) folgt daraus aber, dass X n − 1 u ¨ber Fp nicht separabel ist. Aber das ist im Widerspruch dazu, dass p kein Teiler von n ist. Korollar 4.45. Sei ζ ∈ C eine primitive n-te Einheitswurzel. Dann ist Q(ζ)|Q galoissch, mit Gruppe isomorph zu (Z/nZ)× . 91

Beweis. Jede primitive n-te Einheitswurzel ist von der Form ζ k mit k ∈ Z und k teilerfremd zu n. Ferner ist ζ k = ζ l genau dann, wenn k − l ∈ nZ. Daher ist f¨ ur a ∈ (Z/nZ)× die primitive Einheitswurzel ζ a wohldefiniert. Die Galoisbilder von ζ sind wieder primitive n-te Einheitswurzeln, daher gibt es f¨ ur alle σ ∈ Gal(Q(ζ)|Q) ein aσ ∈ (Z/nZ)× mit ζ σ = ζ aσ . Wegen ζ aστ = ζ στ = (ζ σ )τ = (ζ aσ )τ = (ζ τ )aσ = ζ aτ aσ gilt aστ = aσ aτ , d.h., G → (Z/nZ)× , σ 7→ aσ ist ein Gruppenhomomorphismus. Da ζ den K¨orper Q(ζ) erzeugt, wird ζ nur von 1 ∈ G fixiert. Der Homomorphismus ist also injektiv. Wegen obigen Satzes kann ζ durch ein geeignetes σ ∈ G auf eine beliebige primitive n-te Einheitswurzel abgebildet werden, daher ist der Homomorphismus aus surjektiv. ¨ Ahnlich zeigt man Lemma 4.46. Sei n ∈ N, K ein K¨orper und ζ eine primitive n-te Einheitswurzel in einem Erweiterungsk¨orper von K. Dann ist K(ζ)|K galoissch, mit einer Gruppe isomorph zu einer Untergruppe von (Z/nZ)× . Insbesondere ist K(ζ)|K eine abelsche K¨orpererweiterung. 4.5.7

Aufl¨ osbarkeit durch Radikale

Eine klassische und wichtige Frage ist die nach der Aufl¨osbarkeit von Polynomen. Darunter versteht man die Berechnung der Nullstellen durch die vier Grundrechenarten und das Ziehen von Wurzeln. Dies l¨asst sich k¨orpertheoretisch pr¨azisieren. Der Einfachheit halber beschr¨anken wir uns in diesem Kapitel auf K¨orper der Charakteristik 0. Definition. Sei K ein K¨orper der Charakteristik 0, und F eine Erweiterung von K. Dann heißt F aufl¨osbar durch Radikale, wenn es eine Kette K = E0 ⊆ E1 ⊆ · · · ⊆ Er ⊇ F von K¨orpern gibt, so dass f¨ ur jedes i = 0, 1, . . . r − 1 die Erweiterung Ei+1 |Ei durch Adjunktion einer Wurzel entsteht, also Ei+1 = Ei (αi ) mit αimi ∈ Ei f¨ ur ein mi ∈ N. Ist also α eine Nullstelle von f (X) ∈ K[X], dann l¨asst sich α durch die vier Grundrechenarten und Wurzelziehen genau dann ausdr¨ ucken, wenn K(α)|K aufl¨osbar durch Radikale ist. Das wichtigste Ergebnis in diesem Zusammenhang ist. 92

Satz 4.47. Sei F |K eine endliche Erweiterung von K¨orpern der Charakteristik 0, und L eine Galoish¨ ulle von F |K. Dann ist F |K genau dann durch Radikale aufl¨osbar, wenn die Galoisgruppe Gal(L|K) aufl¨osbar ist. Beweis. Sei G = Gal(L|K) aufl¨osbar, und 1 = Nr / Nr−1 / · · · / N0 = G eine Kompositionsreihe. Wegen der Aufl¨osbarkeit von G ist Ni /Ni+1 zyklisch von Primzahlordnung. Sei Ei der Fixk¨orper von Ni . Dann ist Ei+1 |Ei galoissch mit Galoisgruppe Ni /Ni+1 , also zyklisch. Sei n = [L : K] und ζ eine primitive n-te Einheitswurzel in einem Erweiterungsk¨orper von L. Die Galoisgruppe von Ei+1 (ζ)|Ei (ζ) ist (via Einschr¨ankung auf Ei+1 isomorph zu einer Untergruppe der Galoisgruppe von Ei+1 |Ei . Sei mi = [Ei+1 (ζ) : Ei (ζ)]. Da mi ein Teiler von [Ei+1 : Ei ] ist, ist mi ein Teiler von n. Daher enth¨alt Ei (ζ) die primitiven mi -ten Einheitswurzeln. Wegen Satz 4.43 folgt, dass F |K aufl¨osbar durch Radikale ist. Sei nun umgekehrt F |K aufl¨osbar durch Radikale, und die K¨orper Ei wie in der Definition. Sei n das Produkt der mi in der Bedeutung von oben, und ζ eine primitive n-te Einheitswurzel in einer Erweiterung von Er . Wir betrachten die K¨orperkette F0 ⊆ F1 ⊆ · · · ⊆ Fr+1 mit F0 = K, und Fi = Ei−1 (ζ) f¨ ur i ≥ 1. Sei E eine Galoish¨ ulle von Fr+1 |K. Setze A = Gal(E|K), und sei Ui die Fixgruppe von Fi . Wegen Lemma 4.46 ist F1 |F0 = K(ζ)|K galoissch mit abelscher Galoisgruppe. Nun studieren wir die Erweiterung Fi+1 |Fi . Sei α ∈ Ei und m ∈ N mit αm ∈ Ei−1 und Ei = Ei−1 (α). Dann gilt Fi+1 = Fi (α) mit αm ∈ Fi . Da m ein Teiler von n ist enth¨alt Fi die m-ten Einheitswurzeln, und daher ist Fi+1 der Zerf¨allungsk¨orper von X m −αm u ¨ber Fi . Die Galoisgruppe dieser Erweiterung fixiert die m-ten Einheitwurzeln, und bildet α auf ρα ab, wobei ρ eine m-te Einheitswurzel ist. So sieht man, dass diese Galoiserweiterung abelsch ist. Es ist also Ui /Ui+1 abelsch f¨ ur alle i = 0, 1, . . . , r. Da E die Galoish¨ ulle von Fr+1 |K ist, enth¨alt Ur+1 keinen Normalteiler > 1 von A. Der Schnitt der Konjugierten von Ur+1 in A ist also trivial. Die Behauptung folgt nun aus dem folgenden rein gruppentheoretischen Lemma. Lemma 4.48. Sei G eine endliche Gruppe mit einer Kette von Untergruppen G = U0 ≥ U1 ≥ · · · ≥ Un mit folgender Eigenschaft: (a) F¨ ur i = 0, 1, . . . , n − 1 ist Ui+1 normal in Ui , und Ui /Ui+1 ist aufl¨osbar. (b) Der Schnitt der Konugierten Ung , g ∈ G, ist trivial. Dann ist G aufl¨osbar. 93

Beweis. Wir beweisen die Aussage durch vollst¨andige Induktion u ur ¨ber n. F¨ T g n = 0 ist nichts zu zeigen. Sei N := g∈G Un−1 . Dann erf¨ ullt die um 1 k¨ urzere Kette G/N > U1 /N > . . . Un−1 /N die Voraussetzungen, und daher ist nach Induktionsannahme G/N aufl¨osbar. Wir m¨ ussen also noch zeigen, dass N aufl¨osbar ist. Da Un−1 /Un aufl¨osbar ist, gibt es ein k, so dass f¨ ur die k-te (k) g Kommutatorgruppe Un−1 ≤ Un gilt. Wegen N ≤ Un−1 f¨ ur alle g ∈ G folgt (k) g (k) g g N ≤ (Un ) ≤ Un f¨ ur alle g. Da die Un sich aber trivial schneiden, folgt (k) N = {1}, und N ist aufl¨osbar. L¨osungsformeln f¨ ur Polynome vom Grad ≤ 4 waren schon im sp¨aten Mittelalter bekannt. Erst Abel konnte zeigen, dass es f¨ ur Polynome vom Grad 5 im Allgemeinen keine L¨osungsformel geben kann. Vorher ben¨otigen wir zwei einfache Aussagen. Lemma 4.49. Sei p eine Primzahl, und G ≤ Sp eine transitive Permutationsgruppe, die eine Transposition enth¨alt. Dann ist G = Sp . Beweis. Wir nennen zwei Elemente a, b ∈ {1, 2, . . . , p} ¨aquivalent, wenn entweder a = b gilt, oder die Transposition (a, b) in G liegt. Dies definiert eine ¨ Aquivalanzrelation auf {1, 2, . . . , p}: Symmetrie und Reflexivit¨at sind klar. Bleibt die Transitivit¨at zu zeigen: Seien (a, b), (b, c) ∈ G mit a 6= c. Die Behauptung folgt wegen (a, b)(b, c)(a, b) = (a, c). Wegen (a, b)g = (ag , bg ) sind a und b genau dann ¨aquivalent, wenn ag und bg ¨aquivalent sind. Die Grup¨ pe G permutiert also die Aquivalenzklassen. Da G transitiv operiert, haben ¨ alle Aquivalenzklassen die gleiche Gr¨oße. Da G eine Transposition enth¨alt, ¨ hat eine Aquivalenzklasse mindestens 2 Elemente. Andereseits ist die Gr¨oße ¨ einer Aquivalenzklasse ein Teiler von p, also gleich p. Das heißt, G enth¨alt alle Transpositionen, und daraus folgt G = Sp . Lemma 4.50. Das irreduzible Polynom f (X) ∈ Q[X] vom Primzahlgrad p habe genau p − 2 reelle Nullstellen. Sei L ein Zerf¨allungsk¨orper von f (X) u ¨ber Q. Dann gilt Gal(L|Q) = Sp . Beweis. Die Galoisgruppe operiert transitiv auf den Nullstellen. Ohne Einschr¨ankung gelte L ⊂ C. Dann ist Gal(LR|R) isomorph zu einer Untergruppe von Gal(L|R). Da f genau p−2 reelle Nullstellen hat, fixiert Gal(LR|R) genau p−2 Nullstellen, und vertauscht die beiden komplex konjugierten Nullstellen. Somit ist Gal(LR|R) eine von einer Transposition erzeugte Gruppe, und die Behauptung folgt aus obigem Lemma. Sei nun etwa f (X) = X 5 − 80X − 2. Dann ist f nach dem EisensteinKriterium u ¨ber Q irreduzibel. Eine einfache Kurvendiskussion zeigt, dass f genau 3 reelle Nullstellen hat. Daher hat der Zerf¨allungsk¨orper L von f die 94

Galoisgruppe S5 . Sei α ∈ L eine Nullstelle von f . Dann ist L die Galoish¨ ulle von Q(α)|Q. Da S5 nicht aufl¨osbar ist, l¨asst sich α nicht durch Radikale ausdr¨ ucken. 4.5.8

Zirkel- und Linealkonstruktion regul¨ arer n-Ecke

uher gesehen, dass man z.B. das regul¨are 7-Eck mit Zirkel Wir hatten schon fr¨ und Lineal nicht konstruieren kann. Mit Hilfe der Galoistheorie k¨onnen wir nun ein Kriterium angeben, f¨ ur welche regul¨are n-Ecke konstruierbar sind. Lemma 4.51. Sei 2 ≤ n ∈ N, und ζ ∈ C eine primitive n-te Einheitswurzel. Dann ist das regul¨are n-Eck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn [Q(ζ) : Q] eine 2-er Potenz ist. Beweis. Die eine Beweisrichtung folgt aus Lemma 4.11. Sei nun also [Q(ζ) : Q] eine 2-er Potenz. Setze α = ζ + ζ1 = 2<(ζ). Die Galoisgruppe von Q(ζ)|Q ist abelsch, daher hat wegen α ∈ Q(ζ) die Erweiterung Q(α)|Q eine abelsche 2-Gruppe G als Galoisgruppe. Daher gibt es eine Kette von Gruppen 1 = G0 < G1 < · · · < Gr = G mit [Gi+1 : Gi ] = 2. Die zugeh¨orige Kette der Fixk¨orper besteht aus einer Folge quadratischer K¨orpererweiterungen von Q bis Q(α). Daher ist α mit Zirkel und Lineal konstruierbar, und damit auch ζ und schließlich das regul¨are n-Eck. EsQist sehr einfach festzustellen, wann [Q(ζ) : Q] eine 2-er Potenz ist. Sei n = piai die Primfaktorzerlegung von n. Nach Korollar 4.45 gilt [Q(ζ) : Q] = |(Z/nZ)× |. Der chinesische Restsatz liefert |(Z/nZ)× | =

Y Y (pi − 1)pai i −1 . |(Z/pai i Z)× | =

Diese Zahl ist offenbar genau dann eine Potenz von 2, wenn f¨ ur jeden ungeraden Primteiler p von n gilt, dass p2 kein Teiler von n ist, und p − 1 eine ¨ Potenz von 2 ist. Es ist nicht schwer zu sehen (Ubung!), dass wenn p − 1 m 2 eine Potenz von 2 ist, dass dann p = 2 + 1 f¨ ur ein m ∈ N0 gilt. Es ist allerdings nicht bekannt, ob es unendlich viele Primzahlen dieser Form gibt. Wir erhalten also Satz 4.52. Das regul¨are n-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn das folgende gilt: Sei n = 2a u mit u ungerade. Dann ist u m das Produkt verschiedener Primzahlen der Form 22 + 1. 95

4.5.9

Endliche K¨ orper

In diesem Abschnitt wollen wir endliche K¨orper untersuchen. Diese spielen heutzutage auch in Anwendungen der Algebra, etwa der Codierungstheorie und der Kryptographie, eine wesentliche Rolle. Die Galoistheorie der endlichen K¨orper ist sehr u ¨bersichtlich. Lemma 4.53. Sei K ein endlicher K¨orper. Dann ist die Charakteristik von K eine Primzahl p und die M¨achtigkeit von K ist eine p-Potenz. Beweis. Der Ringhomomorphismus Z → K ist nicht injektiv, daher ist die Charakteristik p > 0. Das Bild von Z in K ist ein K¨orper Fp mit p Elementen. Wegen der Endlichkeit von K hat insbesondere K endliche Dimension n u ¨ber Fp , und besteht daher aus pn Elementen. Lemma 4.54. Sei E|K eine Erweiterung endlicher K¨orper vom Grad n und n q = |K|. Dann ist E ein Zerf¨allungsk¨orper von X q − X u ¨ber K, und E|K ist separabel. Beweis. Wegen |E| = q n hat die multiplikative Gruppe E × die Ordnung n n q n − 1, daher gilt xq −1 = 1 f¨ ur alle 0 6= x ∈ E, also xq − x = 0 f¨ ur alle n x ∈ E. Daher sind die Elemente von E genau die Nullstellen von X q − X, und der erste Teil der Behauptung folgt. n Die Ableitung von X q − X ist q n X − 1 = −1, hat also keine Nullstellen. n Insbesondere ist X q − X separabel, und das gilt dann erst recht f¨ ur jedes Minimalpolynom eines Elements aus E. ˜ ein algebraischer AbLemma 4.55. Sei K ein endlicher K¨orper, und K ˜ schluss von K. F¨ ur alle n ∈ N enth¨alt K|K genau einen Zwischenk¨orper E vom Grad n u ¨ber K. Beweis. Nach dem vorigen Lemma gibt es h¨ochstens einen solchen Zwischenk¨orper. Es bleibt zu zeigen, dass es auch wenigstens einen solchen ˜ die Menge der q n Nullstellen K¨orper gibt. Dazu sei q = |K| und F ⊆ K n n qn qn von X − X. Wegen (a + b) − (a + b) = aq − a + bq − b ist F additiv n n n abgeschlossen, und wegen (ab)q = aq bq ist F × multiplikativ abgeschlossen. Wegen der Endlichkeit von F sind (F, +) und (F × , ·) Gruppen, und F ist ˜ Der Beweis des vorigen Lemmas liefert K ⊆ F . Die ein Teilk¨orper von K. Behauptung folgt. ur jede Primpotenz q gibt es bis auf Isomorphie genau einen Korollar 4.56. F¨ K¨orper Fq mit q Elementen. 96

Beweis. Sei q = pn f¨ ur eine Primzahl p. Dann ist nach obigem Lemma und wegen der Eindeutigkeit von Zerf¨allungsk¨orpern bis auf Isomorphie jeder K¨orper mit q Elementen isomorph zum Zerf¨allungsk¨orper von X q − X u ¨ber Fp = Z/pZ. Dieser Satz hat eine u ¨berraschende Konsequenz, die sich mit gr¨oßerem Aufwand auch mittels der eindeutigen Primfaktorzerlegung im Polynomring K[X] beweisen l¨asst. Korollar 4.57. Sei K ein endlicher K¨orper, und n ∈ N. Dann gibt es ein irreduzibles Polynom in K[X] vom Grad n. Beweis. Sei E|K eine Erweiterung vom Grad n. Wegen der Separabilit¨at gilt E = K(α) f¨ ur ein α ∈ E. Das Minimalpolynom von α u ¨ber K hat Grad n. Die Galoistheorie endlicher K¨orper bereitet keine Schwierigkeiten: Satz 4.58. Sei E|K eine Erweiterung endlicher K¨orper mit q = |K|. Dann ist E|K galoissch mit zyklischer Galoisgruppe. Ein Erzeuger der Galoisgruppe ist x 7→ xq . Beweis. Sei n = [E : K]. Wir sahen, dass E|K normal und separabel ist. Wie oben folgt xq = x f¨ ur alle x ∈ K. Es bleibt zu zeigen, dass der angegebene Automorphismus von E die Ordnung n hat. Die Ordnung sei m. Dann gilt m xq = x f¨ ur alle x ∈ E, also q n = |E| ≤ q m , also m ≥ n. Andererseits gilt m ≤ n, also m = n. In Anwendungen (und Staatsexamensklausuren) st¨oßt man oft auf die Frage, wie sich Kreisteilungspolynome u ¨ber endlichen K¨orpern zerlegen. Ist Φn ∈ Z[X] das n-te Kreisteilungspolynom, dann k¨onnen wir die Koeffizienten modulo p reduzieren und Φn (X) auch als Polynom u ¨ber einem K¨orper der Charakteristik p betrachten. Satz 4.59. Die Charakteristik p des endlichen K¨orpers K teile nicht n ∈ N. Dann ist jede Nullstelle von Φn (X) in einem Erweiterungsk¨orper von K eine primitive n-te Einheitswurzel. Sei r ∈ N minimal, so dass n ein Teiler von |K|r − 1 ist. Dann zerf¨allt Φn u ¨ber K in irreduzible Faktoren vom Grad r. Beweis. Da jede n-te Einheitswurzel aus C eine primitive d-te Einheitswurzel f¨ ur einen Teiler d von n ist, gilt Y Φd (X). Xn − 1 = d|n

97

Sei nun Φn (α) = 0 f¨ ur α algebraisch u ¨ber K, und d < n die multiplikative Ordnung von α. Wegen Y Xd − 1 = Φt (X) t|d

gibt es einen Teiler t < n mit Φt (α) = 0. Wegen Φt (α) = 0 = Φn (α) ist dann α eine mehrfache Nullstelle von X n − 1, also eine Nullstelle der Ableitung nX n−1 . Da geht aber nur, wenn p ein Teiler von n ist. Sei nun f ein irreduzibler Faktor von Φn (X) u ¨ber K, und q = |K|. Sei r der Grad von f , und α eine Nullstelle von f . Dann ist K(α) ein K¨orper der Ordnung q r , und somit ist n ein Teiler von q r − 1. Sei nun n ein Teiler von q s − 1, und E|K eine Erweiterung von K vom Grad s. Da die multiplikative Gruppe von E zyklisch der Ordnung q s − 1 ist, enth¨alt sie eine und daher alle primitiven n-ten Einheitswurzeln. Somit zerf¨allt f u ¨ber E in Linearfaktoren, und es gilt K(α) ⊆ E, also r ≤ s. Die Behauptung folgt. 4.5.10

Primzahlen in mN + 1 und abelsche Galoisgruppen u ¨ ber Q

Sind m und r teilerfremde nat¨ urliche Zahlen, dann besagt der Dirichletsche Primzahlsatz, dass die arithmetische Folge km + r, k ∈ N, unendlich viele Primzahlen enth¨alt. Der Beweis dieser Aussage ist sehr schwierig. Allerdings liefert unser Satz u ¨ber die Zerlegung der Kreisteilungsk¨orper modulo Primzahlen einen einfachen Beweis f¨ ur den Spezialfall r = 1, der f¨ ur viele Anwendungen ausreicht. Wir beginnen mit einem einfachen Lemma 4.60. Sei f (X) ∈ Z[X] ein Polynom positiven Grades. Dann ist die Menge der Primzahlen, die ein Teiler von f (a) f¨ ur ein a ∈ Z sind, unendlich. Beweis. Der Beweis ¨ahnelt Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlmenge. Wir nehmen, dass es nur endlich viele Primteiler von Zahlen der Form f (a) gibt. Sei P das Produkt dieser Primzahlen. Wenn wir eventuell f (X) durch f (X − c) mit c ∈ Z ersetzen, d¨ urfen wir f (0) = a 6= 0 anneh1 men. F¨ ur m ∈ N ist a f (amP ) offensichtlich ganzzahlig. W¨ahle m ∈ N so, 1 dass a f (amP ) ∈ / {−1, 0, 1} gilt. Dann hat a1 f (amP ) einen Primteiler p, der 1 wegen a f (amP ) ≡ 1 (mod P ) kein Teiler von P ist, ein Widerspruch. Satz 4.61. Sei m ∈ N. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ 1 (mod m). Beweis. Sei a ∈ Z und p ein Primteiler von Φm (a), der m nicht teilt. X − a ist ein Teiler von Φm (X) − Φm (a), daher ist Φm (X) modulo p durch X − a teilbar. Nach obigem Satz zerf¨allt Φm (X) modulo p in Linearfaktoren, und m ist ein Teiler von p − 1. Es gilt also p ≡ 1 (mod m), und die Behauptung folgt aus dem vorherigen Lemma. 98

Eine u ¨berraschende Anwendung des Satzes ist die Tatsache, dass jede endliche abelsche Gruppe als Galoisgruppe u ¨ber Q vorkommt. Satz 4.62. Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann gibt es eine Galoiserweiterung E|Q mit Gal(E|Q) = G. Hierbei kann sogar E ⊆ Q(ζ) f¨ ur eine Einheitswurzel ζ gew¨ahlt werden. Q Beweis. Sei m die Ordnung von G, und G = ri=1 Cmi f¨ ur zyklische Gruppen Cmi der Ordnung miQ . Seien p1 , p2 , . . . , pr verschiedene Primzahlen mit pi ≡ 1 (mod m), und n = ri=1 pi . Sei ζ eine primitive n-te Einheitswurzel. Dann ist r Y × ∼ ∼ Gal(Q(ζ)|Q) = (Z/nZ) = Cp −1 . i

i=1

Da mi ein Teiler von pi − 1 ist, gibt es Gruppenepimorphismen Cpi −1 → Cmi . Daher hat Gal(Q(ζ)|Q) einen Normalteiler N mit Gal(Q(ζ)|Q)/N ∼ = G. Der Fixk¨orper von N in Q(ζ) hat also die Galoisgruppe G u ¨ber Q.

4.6

Quadratische Reste

Bei theoretischen und praktischen Anwendungen st¨oßt man oft auf die Situation, dass man entscheiden muss, wann eine ganze Zahl m ein Quadrat modulo einer nat¨ urlichen Zahl n ist, das heißt, ob es eine ganze Zahl k gibt 2 mit n|m − k . Mit Hilfe des chinesischen Restsatzes kann man das leicht reduzieren auf den Fall, dass n eine Primpotenz ist. Ist n = q r eine ungerade Primpotenz, dann kann man durch Induktion beweisen, dass m genau dann ein Quadrat modulo q r ist, wenn m ein Quadrat modulo q ist. Der Fall n = 2r ist nur geringf¨ ugig aufw¨andiger. Man kann die Frage also im wesentlichen darauf reduzieren, dass n eine Primzahl ist. Das motiviert die folgende Definition. Definition. Sei p 6= 2 eine Primzahl, und a ∈ Z nicht durch p teilbar. Man sagt, dass a ein quadratischer Rest modulo p ist, wenn die Gleichung X 2 = a in Fp l¨osbar ist. Im anderen Fall ist a ein quadratischer Nichtrest modulo p. Eine kompakte Notation f¨ ur diesen Begriff bildet das Legendre-Symbol . F¨ ur 2 6= p ∈ P und a ∈ Z setzt man     a ist quadratischer Rest modulo p 1, a = −1, a ist quadratischer Nichtrest modulo p  p  0, p teilt a 99

  ur a ∈ Fp Nat¨ urlich h¨angt ap nur von der Restklasse von a modulo p ab. F¨   hat daher ap die offensichtliche Bedeutung. Der Kern des Homomorphismus p−1 × 2 alt F× F× p → Fp , x 7→ x ist {−1, 1}. Daher enth¨ p genau 2 quadratische Reste, und diese Elemente bilden eine Untergruppe vom Index 2.

Satz 4.63 (Euler-Kriterium). Sei 2 6= p ∈ P und a ∈ Z. Dann gilt   p−1 a ≡a 2 (mod p). p Beweis. Die Aussage ist klar f¨ ur p|a. Sei also p kein Teiler von a. Sei

  a p

= 1,

2

und a ¯ das Bild von a in Fp . Daher ist a ¯ ein Quadrat b in Fp . Es folgt a ¯

p−1 2

= bp−1 = 1. p−1

2 Daher sind genau die p−1 Quadrate in F× − 1. p die Nullstellen von X 2 Die Nichtquadrate sind also keine Nullstellen dieses Polynoms. Sei a ∈ F× p p−1 p−1 ein Nichtquadrat. Wegen 1 = ap−1 = (a 2 )2 ist daher a 2 = ±1, also p−1 a 2 = −1, und die Behauptung folgt.

Ein einfaches Korollar ist die Multiplikativit¨at des Legendre-Symbols. Lemma 4.64. Sei 2 6= p ∈ P, a, b ∈ Z. Dann gilt      a b ab = . p p p   Daher sind vor allem die Werte pq f¨ ur Primzahlen p und q interessant. Diese wurden schon zu Eulers Zeiten f¨ ur große Werte f¨ ur p und q berechnet.   Dabei stellte er schon 1740 eine merkw¨ urdige Beziehung zwischen pq und   q fest. Sind zum Beispiel p und q beide kongruent 1 modulo 4, dann fand p     er in allen berechneten Beispielen pq = pq . Eigentlich sollte man denken, dass die Frage, ob p ein Quadrat modulo q ist, nichts damit zu tun hat, ob q ein Quadrat modulo p ist. Euler konnte seine empirischen Beobachtungen allerdings nicht beweisen. Auch Legendre bemerkte 1785 diese merkw¨ urdigen Beziehungen, er lieferte einen Beweisansatz, der allerdings auf dem damals noch unbewiesenen Dirichletschen Primzahlsatz beruhte. Erst Gauß gab ab 1801 acht verschiedene Beweise. Bis heute sind weit u ¨ber 100 Beweise bekannt. Die Vielzahl der Beweise r¨ uhrt daher, dass man (im wesentlichen vergeblich) nach einem nat¨ urlichen Beweis suchte. Die von Euler, Legendre und Gauß gefundene Beobachtung l¨asst sich so zusammenfassen. 100

Satz 4.65 (Quadratisches Reziprozit¨atsgesetz). Seien p, q ungerade und verschiedene Primzahlen. Dann gilt    p−1 q−1 q = (−1) 2 2 (a) pq p 

(b)



(c)

 

−1 p 2 p

= (−1)

= (−1)

p−1 2

p2 −1 8

Der Beweis dieses Satzes erfordert einige Vorbereitungen. Lemma 4.66. Sei ζ eine primitive q-te Einheitswurzel in einem K¨orper, und j ∈ Z. Dann gilt ( q−1 X q, falls q|j ζ ja = 0, sonst a=0 Beweis. Falls q|j, dann gilt ζ j = 1, und die Behauptung ist klar. Sei also q kein Teiler von j. P Dann gilt ζ j 6= 1. Multiplikation mit ζ j permutiert die ja j Summanden in S = q−1 a=0 ζ , daher gilt ζ S = S, und somit S = 0. Sei q eine Primzahl, und ζ eine primitive q-te Einheitswurzel in einem K¨orper. Dann h¨angt ζ a nur von der Restklasse von a modulo q ab. Daher ist ζ a f¨ ur a ∈ Fq wohldefiniert, und es gelten die u ¨blichen Potenzregeln. Der Beweis des quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes beruht auf der Berechnung des Quadrats von Gauß-Summen: Satz 4.67. Sei q 6= 2 eine Primzahl und ζ eine primitive q-te Einheitswurzel in einem K¨orper. Setze X a τ= ζ a. q × a∈Fq

Dann gilt τ 2 = (−1)

q−1 2

q.

Beweis. Es gilt   X b X a ζ a  ζ b τ2 =  q q b∈F× a∈F× q q     X a b = ζ a+b q q a,b∈F× q X  ab  = ζ a+b q × 

a,b∈Fq

101

F¨ ur festes a durchl¨auft mit b auch ab alle Elemente aus F× andert q . Daher ¨ sich die Summe nicht, wenn wir b durch ab ersetzen. Wir erhalten also X  a2 b  ζ a+ab . τ = q × 2

a,b∈Fq

Wegen 

a2 b q



 2     a b b = = q q q

folgt weiter X b τ = ζ a(1+b) q a,b∈F× q X b X = ζ a(1+b) q b∈F× a∈F× q q   X X b (−1 + ζ a(1+b) ) = q × a∈F 2

b∈Fq

q

Nach dem obigen Lemma verschwindet die Summe u ur b 6= −1, und ¨ber a f¨ hat den Wert q f¨ ur b = −1. Wir erhalten also X  b   −1  2 τ =− + q. q q × b∈Fq

Da es genauso viele quadratische Reste wie Nichtreste in F× q gibt, verschwindet die Summe u ber die b, und die Behauptung folgt, da nach dem Euler¨   q−1 −1 Kriterium q = (−1) 2 gilt. Zum Beweis von Satz 4.65 seien nun p und q verschiedene ungerade Primzahlen. In einer Erweiterung des K¨orpers Fp w¨ahlen wir eine primitive q-te Einheitswurzel ζ. Es sei wieder X a τ= ζ a. q × a∈Fq

Da p ungerade ist gilt

 p a q

=

  a q

. Wir berechnen nun τ p−1 auf zwei ver102

schiedene Weisen. Da wir in einem K¨orper der Charakteristik p rechnen, gilt X a ζ a )p τ =( q a∈F× q X a = ζ ap q a∈F× q X  ap2  ζ ap = q a∈F× q  X  p ap = ζ ap q q × p

a∈Fq

Wegen p 6= q ist p eine Einheit in Fq , mit a durchl¨auft auch ap die Elemente aus Fq . Es folgt also  X  p a τ = ζa q q a∈F× q   p τ, = q p

also τ

p−1

  p = . q

Andererseits gilt, nach dem vorigen Lemma und dem Euler-Kriterium, τ p−1 = (τ 2 )

p−1 2

= ((−1) = (−1)

q−1 2

q)

p−1 q−1 2 2

p−1 2 p−1

q 2   p−1 q−1 q 2 2 = (−1) p und Teil (a) des Reziprozit¨atsgesetzes folgt. Teil (b) ist das Euler-Kriterium f¨ ur den Fall a = −1. Es bleibt (c) zu zeigen. Dazu sei ω eine primitive 8-te Einheitswurzel in einer Erweiterung von Fp . Wegen 0 = ω 8 − 1 = (ω 4 − 103

1)(ω 4 + 1) gilt ω 4 = −1, also (ω + ω1 )2 = 2. Das Euler-Kriterium liefert   p−1 2 =2 2 p 1 p−1 = ((ω + )2 ) 2 ω 1 p−1 = (ω + ) ω (ω + ω1 )p = ω + ω1 =

ωp + ω+

1 ωp 1 ω

.

F¨ ur p ≡ ±1 (mod 8) gilt {ω, ω1 } = {ω p , ω1p }, also   2 = 1. p

ω p + ω1p 1 ω+ ω

= 1, und daher

Im Fall p ≡ ±3 (mod 8) gilt {ω 3 , ω13 } = {ω p , ω1p }, also ωp + ω+

1 ωp 1 ω

ω 3 + ω13 1 2 = 1 = ω − 1 + 2 = −1, ω ω+ω

  2 p

= −1.   Daher gilt p2 = 1 genau dann, wenn p ≡ ±1 (mod 8) gilt. Schreibe

also

p = 8k ± r mit r ∈ {1, 3}. Dann gilt p2 − 1 ≡ r2 − 1 (mod 16), somit ist genau f¨ ur p ≡ ±1 (mod 8) gerade, und die Behauptung folgt.

p2 −1 8

Ein Beispiel Wenn man wissen will, ob etwa 13 ein Quadrat modulo 3001 ist, dann muss man nicht die 1500 quadratischen Reste in F3001 bestimmen und u ufen, ob 13 dabei ist. Das Reziprozit¨atsgesetz liefert sofort ¨berpr¨           13 3001 11 13 2 = = = = = −1. 3001 13 13 11 11

4.7

Symmetrische Polynome

Sei R[X1 , . . . , Xn ] der Polynomring in den Variablen X1 , X2 , . . . , Xn u ¨ber einem kommutativen Ring R. Ist Z eine weitere Variable, dann definiert man f¨ ur 1 ≤ i ≤ n das i-te elementarsymmetrische Polynom Si als den Koeffizienten von Z n−i von (Z + X1 )(Z + X2 ) . . . (Z + Xn ), also z.B. S1 = X1 + X2 + · · · + Xn und Sn = X1 X2 . . . Xn . Ein symmetrisches Polynom ist 104

ein Element aus R[X1 , . . . , Xn ], das sich bei beliebiger Vertauschung seiner Variablen nicht ¨andert. Die Menge der symmetrischen Polynome bildet einen Teilring von R[X1 , . . . , Xn ]. Um die Invarianz dieser Elemente unter Operation der symmetrischen Gruppe auf den n Variablen anzudeuten schreibt man R[X1 , . . . , Xn ]Symn . Offensichtlich gilt R[S1 , . . . , Sn ] ⊆ R[X1 , . . . , Xn ]Symn . Der folgende Satz besagt, dass tats¨achlich Gleichheit gilt. Z.B. gilt X12 + · · · + Xn2 ∈ R[X1 , . . . , Xn ]Symn , und wegen X12 + · · · + Xn2 = S12 − 2S2 gilt X12 + · · · + Xn2 ∈ R[S1 , . . . , Sn ]. Satz 4.68. Es gilt R[S1 , . . . , Sn ] = R[X1 , . . . , Xn ]Symn . Beweis. F¨ ur α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn0 schreibe X α f¨ ur X1α1 . . . Xnαn . Wir nennen α den Multigrad des Monoms X α . Wir ordnen die Multigrade lexikographisch: Seien α und β verschiedene Multigrade. Sei i minimal mit αi 6= βi . Dann gilt α < β (bzw. α > β), falls αi < βi (bzw. αi > βi ). F¨ ur α 6= β gilt also stets α > β oder α < β, und absteigende Ketten von Multigraden brechen ab. F¨ ur c 6= 0 sei α der Multigrad des Monoms cX α . Den Multigrad eines Polynoms f ∈ R[X1 , . . . , Xn ] definieren wir als das Maximum der Multigrade der Monome von f , die einen Koeffizienten 6= 0 haben. Um den Satz zu beweisen gen¨ ugt es zu zeigen, dass jedes symmetrische Polynom in R[S1 , . . . , Sn ] liegt. Dazu gehen wir indirekt vor, und w¨ahlen unter allen symmetrischen Polynomen, welche nicht in R[S1 , . . . , Sn ] liegen, ein solches aus mit minimalem Multigrad α = (α1 , . . . , αn ). Da f symmetrisch ist, kommt f¨ ur jede Permutation α0 = (α10 , . . . , αn0 ) der αi auch α0 als Multigrad eines nicht verschwindenden Monoms in f vor. Da aber α der gr¨oßte in f vorkommende Multigrad ist, gilt α1 ≥ α2 ≥ · · · ≥ αn . Wir setzten nun α

n−1 g = S1α1 −α2 S2α2 −α3 . . . Sn−1

−αn

Snαn .

Das Monom von h¨ochstem Multigrad in g ist X1α1 −α1 (X1 X2 )α2 −α3 . . . (X1 X2 . . . Xn−1 )αn−1 −αn (X1 X2 . . . Xn )αn = X1α1 . . . Xnαn = X α . Sei cX α das Monom in f mit h¨ochstem Multigrad. Dann hat f − cg einen kleineren Multigrad als f , und liegt daher in R[S1 , . . . , Sn ]. Aber auch cg liegt in diesem Ring, und somit auch f = (f − cg) + cg, ein Widerspruch. Bemerkung. Der angegebene Widerspruchsbeweis liefert einen Algorithmus, um ein symmetrisches Polynom als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen zu schreiben. Ist L|K eine K¨orpererweiterung, und T ⊆ L eine Teilmenge von L, dann nennt man T algebraisch unabh¨angig u ¨ber K, wenn das folgende gilt: Ist 105

0 6= f ∈ K[X1 , . . . , Xn ] ein Polynom, dann gibt es keine Elemente ti ∈ T , i = 1, . . . , n, mit f (t1 , t2 , . . . , tn ) = 0. Das ist offensichtlich ¨aquivalent dazu, dass die Menge der Monome ta11 ta22 . . . tar r , r ∈ N0 , ai ∈ N, ti ∈ T u ¨ber K linear unabh¨angig ist. Eine weitere wichtige Eigenschaft der elementarsymmetrischen Polynome ist Satz 4.69. Sei K ein K¨orper. Dann sind die elementarsymmetrischen Polynome S1 , S2 , . . . , Sn in den Variablen X1 , X2 , . . . , Xn algebraisch unabh¨angig u ¨ber K. Beweis. Der Multigrad des Monoms S1β1 S2β2 . . . Snβn ist (β1 + · · · + βn , β1 + · · · + βn , . . . , βn ). Daher haben verschiedene Monome in den Si verschiedene Multigrade, und daher kann nur eine triviale K-Linearkombination solcher Monome verschwinden. Bemerkung. Wegen des letzten Satzes ist der Ring K[X1 , . . . , Xn ]Symn = K[S1 , S2 , . . . , Sn ] isomorph zu einem Polynomring in n Variablen. Ist G eine Untergruppe von Sn , dann kann man G wieder auffasen als Gruppe von Permutationen der Variablen Xi , und dann via Fortsetzung wieder als Untergruppe der Automorphismengruppe von K[X1 , . . . , Xn ]. Der Fixring K[X1 , . . . , Xn ]G ist allerdings im allgemeinen nicht mehr isomorph zu einem Polynomring.

4.8

Diskriminanten

In der Literatur gibt es verschiedene Definitionen der Diskriminante eines Polynoms, die allerdings meist (aber nicht immer!) f¨ ur normierte Polynome das Gleiche ergeben. Die Diskriminante hat in erster Linie zwei Funktionen: 1. Mit ihrer Hilfe kann man erkennen ob ein Polynom separabel ist. 2. Hat der K¨orper eine Charakteristik 6= 2, dann kann man erkennen, ob die Galoisgruppe eines separablen Polynoms ungerade Permutationen enth¨alt. Seien X, t1 , t2 , . . . , tn Variablen u ¨ber einem K¨orper K. Wir fassen F (X) = (X − t1 )(X − t2 ) . . . (X − tn ) als Polynom in der Variablen X auf. Die Koeffizienten von F (X) sind, bis auf Vorzeichen, die elementarsymmetrischen Polynome s1 = t1 + · · · + tn , . . . , sn = t1 . . . tn in den ti . Das Element Y D= (tj − ti )2 1≤i<j≤n

ist offensichtlich ein symmetrisches Polynom in den ti , und l¨asst sich daher als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen si schreiben. Ersetzt man die ti durch die Nullstellen eines Grad n Polynoms f , so erhalten wir 106

Satz 4.70. Sei n ∈ N und K ein K¨orper. Dann gibt es ein Polynom D(Y1 , Y2 , . . . , Yn ) ∈ K[Y1 , . . . , Yn ] mit der folgenden Eigenschaft: Sei f (X) = X n +a1 X n−1 +· · ·+ an−1 X + an ∈ K[X]. Dann gilt Y D(f ) := D(a1 , a2 , . . . , an ) = (αj − αi )2 , 1≤i<j≤n

wobei die αi die Nullstellen von f in einem Zerf¨allungsk¨orper von f sind. Das Polynom D h¨angt nicht echt von K ab, sondern es gibt ein univer˜ 1 , . . . , Yn ] ∈ Z[Y1 , . . . , Yn ] das nur von n abh¨angt, dessen selles Polynom D[Y Bild in K[Y1 , . . . , Yn ] gerade D ist. Man nennt D ein Diskriminanten-Polynom, und D(f ) = D(a1 , a2 , . . . , an ) die Diskriminante von f . Offensichtlich gilt D(f ) 6= 0 genau dann, wenn f separabel ist. Beispiele (a) Sei n = 2, also etwa f (X) = X 2 + pX + q. Sind α und β die Nullstellen von f , so gilt α + β = −p, αβ = q, und man erh¨alt die aus der Schule vertraute Formel D(f ) = (α − β)2 = (α + β)2 − 4αβ = p2 − 4q. (b) Sei n = 3. Um ein Polynom vom Grad 3 auf Separabilit¨at, Irreduzibilit¨at, Galoisgruppe etc. zu untersuchen, k¨onnen wir durch eine geeignete Substitution von X durch X +c annehmen, dass es die Form f (X) = X 3 +pX +q hat. Seien α, β, γ die Nullstellen von f . Wegen α + β + γ = 0 berechnet man schnell p = −α2 − β 2 − αβ q = (α + β)αβ D(f ) = (α − β)2 (2α2 + 2β 2 + 5αβ)2 . Setze u := α + β, v := αβ. Dann gilt p = −u2 + v q = uv D(f ) = (u2 − 4v)(2u2 + v)2 . Eine einfache Umformung liefert nun D(f ) = (u2 − 4v)(2u2 + v)2 = −4(v − u2 )3 − 27u2 v 2 = −4p3 − 27q 2 . 107

Das Polynom X 3 +pX +q ist also genau dann separabel, wenn 4p3 +27q 2 6= 0 gilt. Eine weitere wichtige Anwendung der Diskriminante ist Satz 4.71. Sei f ∈ K[X] ein separables Polynom u ¨ber einem K¨orper der Charakteristik 6= 2. Dann enth¨alt Gal(f |K) genau dann eine ungerade Permutation, wenn D(f ) kein Quadrat in K ist. Beweis. Seien α1 , . . . , αn die Nullstellen von f . Wir setzen Y ∆ := (αj − αi ). 1≤i<j≤n

Es gilt ∆2 = D(f ). Somit ist D(f ) genau dann ein Quadrat in K, wenn ∆ ∈ K gilt. Wir werden gleich zeigen, dass eine Transposition der αi das Vorzeichen von ∆ wechselt. Da die geraden Permutationen gerade diejenigen sind, die ein Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen sind, gilt f¨ ur σ ∈ Gal(f |K) genau dann ∆σ = ∆, wenn σ gerade ist. Somit liegt ∆ genau dann in K, wenn alle σ gerade sind. Bleibt zu zeigen, dass eine Transposition das Vorzeichen von ∆ wechselt. Die Transposition τ vertausche αk mit αl . Es gelte k < l. Dann gilt Y ∆τ = (αjτ − αiτ ). 1≤i<j≤n

Die Faktoren in ∆τ stimmen bis auf Vorzeichen mit denen in ∆ u ¨berein. Man z¨ahlt schnell ab, dass genau 2(l − k + 1) + 1 der Faktoren das Vorzeichen wechseln. Die Behauptung folgt, da 2(l − k + 1) + 1 ungerade ist.

4.9

Elementare Integrierbarkeit

Schon in der Schule lernt man eine beliebige explizit angegebene Funktion zu differenzieren. Auch f¨ ur beliebig kompliziert gebaute und verschachtelte Funktionen gibt es keine prinzipiellen Schwierigkeiten, mit der Additivit¨at der Ableitung und der Produkt–, Quotienten– und Kettenregel gelingt das Differenzieren stets. Bei der umgekehrten Aufgabe, n¨amlich der unbestimmten Integration, sieht das schon anders aus. Man lernt zwar gewisse Regeln, wie partielle Integration (Produktregel) und Substitutionsregel (Kettenregel), aber dennoch gelingt h¨aufig eine explizite Integration nicht unter Verwendung der u ¨blichen Funktionen. Es sieht so aus, als ob man gezwungen w¨are, den Funktionenvorrat zu vergr¨oßern. Da man z.B. erfolg2 los versucht, eine explizite Stammfunktion etwa f¨ ur e−x anzugeben, definiert man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach die “neue” Funktion 108

Rx 2 E(x) = −∞ e−t dt. Dass dies wirklich n¨otig ist konnte bereits Liouville zeigen, mit Techniken, die ziemlich analog zu denen sind, die wir bei der Zirkel– und Linealkonstruktion verwendet haben. Um die folgenden Betrachtungen auf eine wenigstens halbwegs pr¨azise Form zu bringen, ben¨otigen wir einige einfache Tatsachen aus der Funktionentheorie. Aber auch ohne Funktionentheorie sollte das folgende verst¨andlich sein.

4.9.1

Holomorphe und meromorphe Funktionen

Ist G eine offene Teilmenge von C, so nennt man eine Funktion f : G → C (z0 ) holomorph, wenn f¨ ur alle z0 ∈ G der Grenzwert limz→z0 f (z)−f existiert. In z−z0 diesem Fall nennt man den Grenzwert die Ableitung von f in z0 . So sind etwa Polynome oder die Exponentialfunktion ez auf ganz C holomorph. Ist i die imagin¨are Einheit, also i2 = −1, so erkennt man anhand der Potenzreihenentwicklung von eiz die wichtige Beziehung eiz = cos z+i sin z. Jede komplexe Zahl z 6= 0 hat eine eindeutige Darstellung der Form r(cos φ + i sin φ) = reiφ mit r > 0 und −π ≤ φ < π. Mittels log reiφ = log r + iφ l¨asst sich der reelle Logarithmus nach C \ {0} fortsetzen, und wenn man die negativen reellen Zahlen herausnimmt, dann ist log z dort auch holomorph. Wegen Formeln iz −iz wie e +e = cos z k¨onnen wir die trigonometrischen Funktionen durch die 2 Exponentialfunktion ausdr¨ ucken, und daher die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen durch die Logarithmusfunktion. Eine reell differenzierbare Funktion braucht keine differenzierbare Ableitung zu haben. Die Holomorphie ist eine wesentlich st¨arkere Eigenschaft. Insbesondere gilt der wichtige Satz, dass holomorphe Funktionen holomorphe Ableitungen haben. Die formalen Regeln wie Produktregel und Kettenregel gelten auch f¨ ur holomorphe Funktionen. Insbesondere bildet die Menge der holomorphen Funktionen auf G einen Ring. Um richtig arbeiten zu k¨onnen wollen wir nat¨ urlich auch dividieren. Dies f¨ uhrt zum Begriff der meromorphen Funktion. Eine Funktion f : G → C ∪ {∞} auf einer offenen Menge G heißt meromorph, wenn das folgende gilt: Die Menge B der Elemente a ∈ G mit f (a) = 0 ist diskret in G, und f¨ ur alle b ∈ B gilt limz→b f (z) = ∞. Ist das der Fall, dann besitzt jeder Punkt aus G eine Umgebung U , so dass die Funktion ein Quotient f = uv zweier auf U holomorpher Funktionen u, v ist mit v 6= 0. Die Menge der auf G meromorphen Funktionen bildet einen K¨orper. 109

4.9.2

Differentialk¨ orper

Ein Differentialk¨orper ist ein K¨orper K mit einer Abbildung 0 : K → K, a 7→ a0 , die additiv ist und die Produktregel (ab)0 = a0 b + ab0 erf¨ ullt. Die Quotientenregel folgt aus a0 = ( ab b)0 = ( ab )0 b + ( ab )b0 . Per Induktion beweist man Formeln wie (an )0 = na0 an−1 . Ferner gilt 10 = (12 )0 = 2 · 10 · 1 = 2 · 10 , also 10 = 0. Die Elemente a ∈ K mit a0 = 0 nennt man Konstanten, man rechnet schnell nach, dass sie einen Teilk¨orper von K bilden. In positiver Charakteristik erh¨alt man schnell Pathologien, weshalb wir im folgenden stets voraussetzen, dass die K¨orper die Charakteristik 0 haben. In unserem algebraischen Kontext k¨onnen wir nat¨ urlich die analytischen Beschreibungen von Exponential– und Logarithmusfunktionen nicht verwenden. Wie wollen wir algebraisch erkennen, dass etwa die Funktion b(x) gleich ea(x) ist? Differenzieren von b = ea liefert b0 = a0 ea = a0 b. Wir sagen, dass b 0 ein Exponential von a ist, wenn a0 = bb gilt, und sagen in diesem Fall auch, dass a ein Logarithmus von b ist. H¨aufig ben¨otigen wir die durch vollst¨andige Induktion leicht zu beweisende Identit¨at der sogenannten logarithmischen Ableitung: a0 a0 a0 (a1 a2 . . . an )0 = 1 + 2 + ··· + n. a1 a2 . . . an a1 a2 an ur unendliche algebraische ErweiteDie folgende wichtige Aussage gilt auch f¨ rungen. Wir beschr¨anken uns aber auf endliche Erweiterungen. Satz 4.72. Sei E|K eine endliche K¨orpererweiterung und 0 eine Ableitung auf K. Dann l¨asst sich 0 auf genau eine Weise zu einer Ableitung auf E fortsetzen. Beweis. Sei 0 eine Fortsetzung der Ableitung auf E. Sei α ∈ E, und f (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X] das Minimalpolynom von α. Wegen f (α) = 0 gilt n X 0 = (f (α))0 = (a0j αj + jaj α0 αj−1 ). j=1

P Diese Gleichung bestimmt α0 eindeutig, da nj=1 jaj αj−1 6= 0. Zum Beweis der Existenz einer Fortsetzung der Ableitung auf E definieren wir DP und δ vom Polynomring ur Pm K[X] iin sich. F¨ P zwei Funktionen m i 0 i g(X) = m b X setze δf := b X und Df := b iX . Man rechi=0 i i=0 i i=0 i net sofort nach, dass δ und D additiv sind und die Produktregel einer Ableitung erf¨ ullen. Sei nun E = K(α). Obige Ableitung der Gleichung f (α) = 0 schreibt sich als (δf )(α) + α0 (Df )(α). Wir setzen daher α0 := −

(δf )(α) ∈ E. (Df )(α) 110

Jedes Element β ist von der Form h(α) f¨ ur ein h ∈ K[X]. Daher definieren wir β 0 = h(α)0 := (δh)(α) + α0 (Dh)(α). Wir m¨ ussen zeigen, dass diese Definition wohldefiniert ist, d.h. wenn h(α) = ¯h(α) gilt, dann sollte auch h(α)0 = h(α) ¯ 0 gelten. Sei also h(α) = h(α). ¯ Dann ¯ gibt es ein Polynom q mit h − h = qf . Wegen der Additivit¨at der rechten Seite in obiger Definition m¨ ussen wir also zeigen, dass (δ(qf ))(α) + α0 (D(qf ))(α) = 0 gilt. Unter Verwendung der Produktregel f¨ ur δ, D sowie f (α) = 0 und der Definition von α0 folgt (δ(qf ))(α) + α0 (D(qf ))(α) = ((δq)(α)f (α) + q(α)(δf )(α) + α0 ((Dq)(α)f (α) + q(α)(Df )(α)) = q(α)(δf )(α) + α0 (q(α)(Df )(α)) = 0. Damit ist unsere Definition von 0 auf E wohldefiniert. Mittels der Additivit¨at und der Produktregel f¨ ur δ und D rechnet man sofort nach, dass 0 eine Ableitung auf E ist. Ferner stimmt die Einschr¨ankung von 0 auf K mit der urspr¨ unglichen Ableitung u ¨berein. Wir ben¨otigen das folgende Korollar 4.73. Sei E|K eine endliche Erweiterung von Differentialk¨orpern, und σ ein K-Automorphismus von E. Dann kommutiert σ mit der Ableitung, d.h. f¨ ur alle a ∈ E gilt a0 σ = aσ0 . −1

Beweis. Die Abbildung a 7→ ((aσ )0 )σ ist eine Ableitung von E, die die Ableitung 0 von K fortsetzt. Wegen des Satzes muss diese Ableitung mit der gegebenen Ableitung von E u ¨bereinstimmen, und die Behauptung folgt. Das folgende Lemma ist f¨ ur die weitere Entwicklung essentiell. Lemma 4.74. Sei K(t)|K eine transzendente Erweiterung von Differentialk¨orper mit Ableitung 0 . Wir nehmen an, dass K und K(t) die gleichen Konstanten haben. Dann gilt (a) Sei t0 ∈ K, und f (t) ∈ K[t] ein Polynom vom Grad n > 0. Dann ist f (t)0 ein Polynom in K[t]. Der Grad von f (t)0 ist n, wenn der h¨ochste Koeffizient von f keine Konstante ist, und andernfalls n − 1. 111

(b) Sei

t0 t

∈ K. Dann gilt f¨ ur alle 0 6= a ∈ K und 0 6= n ∈ Z (atn )0 ∈ K \ {0}. tn

Ferner ist f¨ ur jedes Polynom f (t) ∈ K[t] positiven Grades die Ablei0 tung f (t) ein Polynom in K[t] vom gleichen Grad. Dabei ist f (t)0 ein Vielfaches von f (t) genau dann, wenn f (t) ein Monom ist. Beweis. (a) Sei t0 = b ∈ K und f (t) = a0 + a1 t + · · · + an tn . Dann gilt f (t)0 = a0n tn + (a0n−1 + nan b)tn−1 + . . . . Ist an keine Konstante, also a0n 6= 0, dann ist f (t)0 offensichtlich ein Polynom vom Grad n. Sei nun an eine Konstante. Dann hat f (t)0 den Grad h¨ochstens n − 1. Wir nehmen mal an, dass der Grad echt kleiner ist. Dann gilt a0n−1 + nan b = 0. Wegen a0n = 0 folgt (an−1 + nan t)0 = a0n−1 + nan b = 0. Daher ist an−1 +nan t eine Konstante, also nach Voraussetzung in K enthalten. Es folgt t ∈ K im Widerspruch zur Transzendenz von t u ¨ber K. t0 (b) Nun sei b = t ∈ K, sowie a und n wie im Lemma. Es gilt (atn )0 = a0 tn + nat0 tn−1 = (a0 + nab)tn . n 0

Daher gilt (attn ) ∈ K. Falls dieser Term verschwindet, dann gilt (atn )0 = 0, daher ist atn eine Konstante, also atn ∈ K. Das widerspricht wiederum der Transzendenz von t. Sei nun f (t) ∈ K[t] ein Polynom positiven Grades. Obige Betrachtung zeigt, dass f (t)0 ein Polynom vom gleichen Grad ist. Seien nun ar tr und as ts zwei verschiedene Monome von f , und f (t)0 = cf (t) mit 0 6= c ∈ K. Dann folgt (a0r + rar b)tr = car ts , (a0s + sas b)ts = cas ts . Dies ergibt a0 a0r + rb − s − sb = 0. ar as Wegen b =

t0 t

und der Identit¨at der logarithmischen Ableitung folgt r−s 0 (ar a−1 ) s t = 0. −1 r−s ar as t

r−s Daher ist ar a−1 eine Konstante, also in K. Wegen r − s 6= 0 ist das ein s t Widerspruch zur Transzendenz von t.

112

Zur Formulierung des Problems der expliziten Integrierbarkeit definieren wir sogenannte elementare Funktionen. Das sind solche Funktionen, die sich aus rationalen Funktionen, Exponential– und Logarithmusfunktionen bilden lassen. Ferner lassen wir endliche algebraische Erweiterungen zu. So √ ist z.B. die Funktion a(x) = log(17 + e x ) elementar, sowie auch eine Funktion b(x), die auf einer geeigneten offenen Teilmenge von C eine L¨osung von b(x)23 − log(x)b(x)7 + a(x) ist, da b(x) algebraisch u ¨ber C(x, log(x), a(x)) ist. Solche elementare Funktionen sind stets meromorph auf geeigneten offenen Teilmengen von C. Eine elementare Funktion f nennen wir elementar integrierbar , wenn es eine elementare Funktion F gibt mit f = F 0 . Die folgende Definition abstrahiert, pr¨azisiert und verallgemeinert das Konzept elementarer Funktionen. Definition. Eine Erweiterung E|K von Differentialk¨orpern heißt elementar , wenn es eine Kette K = E0 ⊆ E1 ⊆ · · · ⊆ Er = E von Differentialzwischenk¨orpern gibt mit Ei = Ei−1 (ti ), so dass ti algebraisch u ¨ber Ei−1 ist, oder ein Exponential oder Logarithmus eines Elements aus Ei−1 ist. 4.9.3

Die S¨ atze von Liouville

Die Ergebnisse dieses Abschnitts gehen im wesentlichen auf Liouville zur¨ uck. Er verwendete noch weitgehend analytische Methoden, im speziellen Kontext meromorpher Funktionen. Wir folgen hier einem modernen, auf Rosenlicht zur¨ uckgehenden algebraischen Zugang. Das Hauptergebnis dieses Abschnitts ist Satz 4.75 (Liouville). Sei K ein Differentialk¨orper und α ∈ K. Falls es in einer elementaren Differentialk¨orpererweiterung E ein Element β mit β 0 = α gibt, und die Konstantenk¨orper von E und K u ¨bereinstimmen, dann gibt es P u0 Konstanten ci ∈ K und Elemente ui , v ∈ K mit α = ni=1 ci uii + v 0 . Bemerkung. Man kann umgekehrt zeigen, dass ein α der angegebenen Form eine Stammfunktion in einer elementaren Erweiterung von K hat. Im Kontext meromomorpher Funktionen ist das sowieso klar, da n X

ci log(ui ) + v

i=1

eine Stammfunktion von α auf einem geeigneten Bereich in C ist. Beweis des Satzes. Sei K = E0 ⊆ E1 ⊆ · · · ⊆ Er = E eine Kette wie in der Definition elementarer Erweiterungen, mit β ∈ Er . Wir beweisen die Aussage durch vollst¨andige Induktion u ¨ber r. Der Fall r = 0, d.h. E = K ist 113

trivial. Sei also r ≥ 1, und die Aussage korrekt f¨ ur Ketten der L¨ange r − 1. Sei E1 = K(t), wo t algebraisch, ein Exponential oder ein Logarithmus eines Elements aus K ist. Die Aussage f¨ ur r − 1, angewandt auf die Erweiterung E(t)|K, liefert Ui , V ∈ K(t) und Konstanten ci ∈ K mit n X U0 α= ci i + V 0 . Ui i=1

Am einfachsten ist der Fall, dass t algebraisch u ¨ber K ist. Dann gibt es Polynome Pi , Q ∈ K[t] mit Ui = Pi (t) und V = Q(t). Es seien t = t1 , t2 , . . . , tm die Konjugierten von t u ¨ber K, d.h. die ti sind die Nullstellen des Minimalpolynoms von t u ¨ber K. Sei L der von K und den ti erzeugte K¨orper, und 0 eine Fortsetzung der Ableitung auf L. Da die Ableitung 0 mit Gal(L|K) kommutiert, und Gal(L|K) die tj transitiv permutiert, folgt n X Pi (tj )0 + Q(tj )0 ci α= Pi (tj ) i=1

f¨ ur alle j. Sei s die Anzahl der tj . Summation u ¨ber die j und Verwendung der Identit¨at der logaritmischen Ableitung liefert α=

n X ci (Pi (t1 )Pi (t1 ) . . . Pi (ts ))0 i=1

s Pi (t1 )Pi (t1 ) . . . Pi (ts )

+(

Q(t1 ) + Q(t2 ) + · · · + Q(ts ) 0 ). s

Jedes der Elemente Pi (t1 )Pi (t1 ) . . . Pi (ts ) und Q(t1 ) + Q(t2 ) + · · · + Q(ts ) wird von Gal(L|K) fixiert, und liegt damit in K. Somit haben wir eine Darstellung der verlangten Art gefunden. Etwas aufw¨andiger ist der Fall, dass t transzendent u ¨ber K ist. Hier gibt es nun rationale Funktionen Pi , Q ∈ K(t) mit Ui = Pi (t) und V = Q(t), also α=

n X Pi (t)0 ci + Q(t)0 . Pi (t) i=1

(1)

Da faktoriell ist, gibt es f¨ ur P = P1 eine Darstellung der Form P (t) = QK[t] k ei a i=1 Ri (t) , mit 0 6= a ∈ F , 0 6= ei ∈ Z, und Ri (t) ist ein irreduzibles, normiertes Polynom in K[t]. Die Identit¨at der logarithmischen Ableitung liefert k a0 X Ri (t)0 P (t)0 = + ei . P (t) a Ri (t) i=1 ur alle Pi . Daher d¨ urfen wir in der Darstellung Das machen wir entsprechend f¨ (1) von α annehmen, dass alle Pi in K liegen oder normierte und irreduzible 114

Polynome in K[t] sind. Ferner seien alle ci 6= 0 und die Pi paarweise verschieden. Wir wollen zun¨achst sehen, dass alle Pi in K liegen. Dazu nehmen wir an, das sei f¨ ur ein Element P = Pi nicht der Fall. Dann ist P (t) ∈ K[t] ein irreduzibles, normiertes Polynom. Wir behaupten, dass P (t)0 ein zu P (t) teilerfremdes Polynom aus K[t] ist. Dazu sei P (t) = tn +an−1 tn−1 +· · ·+a1 t+a0 . Dann ist n−1 X P (t)0 = nt0 tn−1 + (a0k tk + ak kt0 tk−1 ). k=0

Ist t ein Logarithmus eines Elements aus K, dann gilt t0 ∈ K, und P (t)0 ∈ K[t] hat einen um 1 kleineren Grad als P (t). Wegen der Irreduzibilit¨at von P (t) folgt die Teilerfremdheit mit P (t)0 . Ist hingegen t ein Exponential, also t0 ur ein a ∈ K, dann ist P (t) nach dem Lemma ein Monom. Da = a0 f¨ t 0 0 aber P (t) normiert und irreduzibel ist, folgt P (t) = t, also PP(t) = tt = (t) 0

a0 . Daher kann der Summand ci PP(t) weggelassen werden, und stattdessen (t) 0 0 Q(t) durch (Q(t) + ci a) ersetzt werden. Ist also P (t) = Pi (t) ein Polynom, so ist es teilerfremd zu P (t)0 . Wegen der Teilerfremdheit der Pi ist P ein P 0 Teiler des Nenners von α − ni=1 ci PPii(t) , also auch des Nenners von Q(t)0 . (t) Sei nun Q(t) = R(t) eine gek¨ urzte Darstellung mit R(t), S(t) ∈ K[t] und S(t) S(t) normiert. Beachte, dass α ein Element aus K ist, und die Ableitung F (t)0 0 eines Polynoms aus K[t] wegen t0 ∈ K oder tt ∈ K wieder ein Polynom ist. 0 0 Wegen Q0 = SR S−RS folgt, dass P ein Teiler von S 2 ist. Da P irreduzibel 2 ist, ist auch S durch P teilbar. Sei r die h¨ochste Potenz von P , die S teilt. Dann gilt S = P r M mit P und M teilerfremd. Als Teiler von S ist P auch teilerfremd zu R. Wegen der Teilerfremdheit von P und P 0 ist schließlich P teilerfremd zu RP 0 M . Wegen Q0 =

P M R0 − R(rP 0 M + P M 0 ) P r+1 M

ist der Nenner von Q0 in der gek¨ urzten Darstellung durch P r+1 , also insbesondere durch P 2 teilbar. Das aber widerspricht Gleichung (1), da der P Hauptnenner von α − nicht durch P 2 teilbar ist. 0 0 ¨ Somit sind alle Pi Elemente aus K. Daher ist Q0 = SR S−RS ∈ K. Ahnlich 2 wie eben sieht man: Ist F (t) ∈ K[t] ein irreduzibler und normierter Teiler von S, dann ist F 2 ein Teiler des Nenners von Q0 in gek¨ urzter Darstellung, 0 im Widerspruch zu Q ∈ K. Daher gilt S = 1, also Q ∈ K[t]. 0 Wir ben¨otigen wieder eine Fallunterscheidung. Ist t0 = aa mit a ∈ K, so folgt aus dem Lemma Q(t) = ct + d mit d ∈ K und c ∈ K eine Konstante. 0 Setzen wir Q0 = ct0 +d0 = c aa +d0 in (1) ein, dann erhalten wir eine Darstellung der gew¨ unschten Form. 115

0

ur ein a ∈ K, dann ergibt Q0 ∈ K zusammen mit Ist hingegen tt = a0 f¨ dem Lemma, dass bereits Q ∈ K gilt, und wir sind fertig. Um den Satz nun anzuwenden, ben¨otigen wir ein Lemma 4.76. Sei g(z) ∈ C(z) eine nicht konstante rationale Funktion. Dann ist eg(z) transzendent u ¨ber C(z). Beweis. Sei f (X) = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 mit ai ∈ C(z) das Minimalpolynom von eg(z) u ¨ber C(z). Differenzieren von 0 = f eg(z) liefert 0 ng

ng e

+

n−1 X

(a0k ekg + ak kg 0 ekg ).

k=0

Wegen der Eindeutigkeit des Minimalpolynoms folgt ng 0 ak = (a0k + ak kg 0 ) f¨ ur alle k = 0, 1, . . . , n − 1. Wegen a = a0 6= 0 folgt speziell ng 0 =

a0 . a

Mittels der Identit¨at der logarithmischen Ableitung erkennt man, dass der 0 ¨ wie oben Nenner von aa nur einfache Nullstellen hat. Mit einer Uberlegung folgt aber, dass jede Nullstelle des Nenners von g mindestens doppelt vor0 kommt. Daher muss g und somit auch g 0 ein Polynom sein. Aber aa kann nat¨ urlich kein Polynom sein. Eine erste Anwendung ist Satz 4.77. Seien f, g ∈ C(z) rationale Funktionen mit f 6= 0 und g 0 6= 0. Dann ist f (z)eg(z) genau dann elementar integrierbar, wenn es eine rationale Funktion a(z) ∈ C(z) gibt mit f = a0 + ag 0 . Beweis. Hat f die angegebene Form, dann ist aeg wegen (aeg )0 = a0 eg + ag 0 eg = f eg eine elementare Stammfunktion von f eg . Mit unserem Hauptsatz beweisen wir nun die Umkehrung. Wir setzen t = eg(z) . Wegen des obigen Lemmas ist t transzendent u ¨ber C(z). Wir betrachten den Differentialk¨orper K = C(t, z). Setze α = f (z)eg(z) = f t. Falls α elementar integrierbar ist, dann hat nach dem Hauptsatz α die Form P u0 α = ni=1 ci uii + v 0 mit ci ∈ C, ui , v ∈ K. Wir fassen die Elemente ui , v als rationale Funktionen in t mit Koeffizientenk¨orper C(z) auf. Es folgt n X ui (t)0 ft = ci + v(t)0 . u (t) i i=1

116

Wie beim Beweis des Hauptsatzes folgt, dass wir voraussetzen d¨ urfen, dass die ui (t) schon alle in C(z) liegen und v(t) ein Polynom in t ist. Wegen t0 = g 0 t und g 0 ∈ C(z) hat v(t)0 den gleichen Grad wie v(t), und dieser Grad ist gleich dem Grad von f t, also 1. Es folgt v(t) = b + at mit a, b ∈ C(z), also v(t)0 = b0 + a0 t + at0 = b0 + a0 t + ag 0 t, und somit f = a0 + ag 0 , und die Behauptung folgt. 2

Korollar 4.78 (Liouville). Die Funktionen e−x , nicht elementar integrierbar.

1 ex , log(x) x

und

sin(x) x

sind

Beweis. Der erste Fall f¨ uhrt auf die Gleichung 1 = a0 − 2xa f¨ ur a ∈ C(x). Wir m¨ ussen sehen, dass es eine solche rationale Funktion a nicht gibt. Hat a einen Pol α 6= 0 der Ordnung r > 0, dann ist α ein Pol von a0 der Ordnung r + 1, ein Widerspruch. Mit einem ¨ahnlichen Argument ist 0 kein Pol von a. Somit ist a ein Polynom, ein Widerspruch aus Gradgr¨ unden. x Die Funktion ex f¨ uhrt auf die Gleichung 1 = a0 + a. x Wie eben folgt durch Betrachtung der Pole, dass diese Gleichung keine L¨osung 1 hat. Die Substitution x = log(y) zeigt, dass auch log(y) nicht elementar integrierbar ist. ¨ Der letzte Fall sei als Ubung u ¨berlassen. Mit der Substitution x = iz z −z zur¨ uck, und argumentiert so f¨ uhrt man das auf die Integration von e −e z ¨ahnlich wie im Beweis des obigen Satzes.

117

Index K-Einbettung, 65 K-Homomorphismus, 65 K-Isomorphismus, 65 Sym(X), 5 m-Zykel, 11 p-Gruppe, 32 p-Sylowgruppe, 33 ¨aquivariant, 20 abelsch, 4 Ableitung, 52, 108 Absolutglied, 50 algebraisch, 65 algebraisch abgeschlossen, 74 algebraisch unabh¨angig, 104 algebraischer Abschluss, 74 alternierende Gruppe, 14 Assoziativgesetz, 4 aufl¨osbar, 31 aufl¨osbar durch Radikale, 91 Automorphismus:, 16 Bahnen, 19 Charakter, 88 Charakteristik, 77

elementar, 112 elementar integrierbar, 112 elementare Funktionen, 112 elementarsymmetrische Polynom, 103 Endomorphismus:, 16 Epimorphismus:, 16 erzeugte Untergruppe, 6 Eulersche ϕ-Funktion, 8 externes direktes Produkt, 23 Faktorgruppe, 11 faktoriell, 57 Galoisgruppe, 82 Galoish¨ ulle, 83 galoissch, 82 Grad, 50 Gruppe, 4 h¨oheren Kommutatorgruppen, 31 Halbgruppe, 4 Hauptideal, 44 Hauptidealring, 44 holomorph, 108 homogener Raum, 19 Homomorphismus, 16

Ideal, 43 Index, 9 Inhalt, 58 Integrit¨atsbereich, 42 Integrit¨atsring, 42 internes direktes Produkt, 23 einfach, 11, 52 invertierbar, 42 eingeschr¨anktes direktes Produkt, 23 Involution, 7 Einheit, 42 irreduzibel, 55 Einheitengruppe, 37, 42 irreduzibles Polynom, 59 Einselement, 4 isomorph, 16 Isomorphismus:, 16 Eisenstein-Polynom, 61 Diedergruppe, 26 Differentiation, 52 direkte Summe, 23 direktes Produkt, 23 Diskriminanten-Polynom, 106

118

Isotropiegruppe, 20 K¨orper, 42 K¨orpererweiterung, 64 K¨orpergrad, 64 Kern, 17 Koeffizient, 49 kommutativ, 4, 42 Kommutatoren, 31 Kommutatorgruppe, 31 Komplement, 25 Kompositionsfaktoren, 29 Kompositionsreihe, 29 Kompositum, 80 Konjugationsklasse, 21 konjugiert, 12 Konjugiertheit, 12 Konstanten, 109 konstanter Term, 50 Kreisteilungspolynom, 90 L¨ange, 13 Legendre-Symbol, 98 Leitkoeffizient, 50 linear unabh¨angig, 88 Linksnebenklasse, 8

Nullstelle, 51 Nullteiler, 42 Oberk¨orper, 64 Operation, 18 Ordnung, 6 Permutation, ungerade, 14 Permutation, gerade, 14 Polynom, 49 Polynom, irreduzibel, 59 Polynom, reduzibel, 59 prim, 56 Primideal, 49 primitiv, 58 primitiven n-ten Einheitswurzel, 89 primitives Element, 80 public key cryptosystem, 62 Punktstabilisator, 20 quadratischer Nichtrest, 98 quadratischer Rest, 98 Quaternionengruppe, 39 Quotientenk¨orper, 55

maximales Ideal, 48 meromorph, 108 Minimalpolynom, 65 Monoid, 4 Monomorphismus:, 16

Rechtsnebenklasse, 8 Rechtstransversale, 9 reduzibel, 55 reduzibles Polynom, 59 Ring, 41 Ringhomomorphismus, 43 RSA-Verfahren, 62

Nebenklassen, 8 Nebenklassenzerlegung, 9 neutrales Element, 4 nilpotent, 42 Norm, 87 normal, 10, 82 Normalisator, 21 Normalteiler, 10 normiert, 50

Satz vom primitiven Element, 80 Schiefk¨orper, 42 semidirektes Produkt, 25 separabel, 78, 79 Separabilit¨atsgrad, 78 Spur, 87 Stabilisator, 20 Standgruppe, 20 symmetrische Gruppe, 5 119

symmetrisches Polynom, 103 Teiler, 55 teilerfremd, 45 Teilk¨orper, 64 Teilring, 43 teilt, 55 transitiv, 19 Transpositionen, 13 transzendent, 66 transzendente Zahl, 66 treu, 19 Untergruppe, 5 unzerlegbar, 55 Variablen, 49 Vertretersystem, 9 Vielfachheit, 52 Wurzelk¨orper, 73 Zentralisator, 21 Zentrum, 21 Zerf¨allungsk¨orper, 77 Zykelnotation, 11, 12 zyklische Gruppe, 6

120