Теория групп и ее применение к физическим проблемам

М.Хамермеш ТЕОРИЯ ГРУПП и ее применение к физическим проблемам Книга, как видно из ее названия, посвящена физическим приложениям теории групп. В основе книги лежат лекции, прочитанные автором, американским физиком Мортоном Хамермешем, для сотрудников одного из крупных научных центров США—Аргоннской национальной лаборатории. Автор последовательно и ясно изложил основы теории групп и ее важнейший для приложений раздел—теорию представлений. Подробно рассмотрены применения теории групп к многочисленным физическим задачам (симметрия кристаллов и молекул, магнитная симметрия, атомные спектры, физика ядра и элементарных частиц и др.). Вводимые понятия и представления и получаемые результаты иллюстрируются многочисленными примерами, даются интересные задачи и упражнения. Книга рассчитана прежде всего на студентов и аспирантов, специализирующихся в различных областях теоретической физики; она будет полезной также для научных работников — физиков и химиков, желающих овладеть теорией групп. Наконец, книга привлечет внимание и математиков, интересующихся физическими приложениями теории групп. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому изданию 5 Предисловие автора 7 Введение 9 Глава 1. Элементы теории групп 13 § 1. Соответствия и преобразования 13 § 2. Группы. Определения и примеры 19 § 3. Подгруппы. Теорема Кэли 28 § 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа 35 § 5. Классы сопряженных элементов 38 § 6. Инвариантные подгруппы. Фактор-группа. Гомоморфизм 44 § 7. Прямые произведения 47 Глава 2. Группы симметрии 49 § 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры 49 § 2. Эквивалентные оси и плоскости. Двусторонние оси 56 § 3. Группы, элементами которых служат чистые повороты: группы 60 поворотов вокруг оси, группы диэдров § 4. Закон рациональных индексов 65 § 5. Группы, элементами которых служат чистые повороты. Правильные 68 многогранники § 6. Группы симметрии, содержащие зеркальные повороты. Присоединение 72 отражений к группе Сn § 7. Присоединение отражений к группам Dn 77

§ 8. Полные группы симметрии правильных многогранников § 9. Обзор точечных групп. Другие системы обозначений § 10. Группы магнитной симметрии (цветные группы) Глава 3. Представления групп § 1. Линейные векторные пространства § 2. Линейная зависимость; размерность § 3. Базисные векторы (оси координат); координаты § 4. Отображения; линейные операторы; матричные представления; эквивалентность § 5. Представления групп § 6. Эквивалентные представления; характеры § 7. Построение представлений. Сложение представлений § 8. Инвариантность функций и операторов. Классификация собственных функций § 9. Унитарные пространства; скалярное произведение; унитарные матрицы; эрмитовы матрицы § 10. Операторы: сопряженный, самосопряженный, унитарный § 11. Унитарные представления § 12. Гильбертово пространство § 13. Разложение представлений; приводимость; неприводимые представления § 14. Леммы Шура § 15. Соотношения ортогональности § 16. Критерии неприводимости. Разложение представлений § 17. Общие теоремы; групповая алгебра § 18. Разложение функций по базисным функциям неприводимых представлений § 19. Представления прямых произведений Глава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии § 1. Абелевы группы § 2. Неабелевы группы § 3. Таблицы характеров для кристаллографических точечных групп Глава 5. Различные операции с представлениями групп § 1. Произведение представлений (кронекеровское произведение) § 2. Симметризованные и антисимметризованные произведения § 3. Сопряженное представление. Комплексно сопряженное § 4. Условия существования инвариантов § 5. Вещественные представления § 6. Разложение кронекеровского произведения. Ряд Клебша—Гордана § 7. Коэффициенты Клебша — Гордана § 8. Просто приводимые группы § 9. 3j символы

81 83 86 91 91 93 95 98 101 102 104 110 113 116 117 118 119 124 127 130 133 138 141 142 142 147 154 157 157 161 163 165 167 176 178 180 186

Глава 6. Физические приложения § 1. Классификация уровней энергии § 2. Теория возмущений § 3. Правила отбора § 4 Связанные системы Глава 7. Симметрическая группа § 1. Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы § 2. Формула Фробениуса для характеров симметрической группы § 3. Графические методы. Решеточные перестановки. Схемы Юнга. Таблицы Юнга § 4. Графический метод нахождения характеров § 5. Рекуррентные формулы для характеров. Правила ветвления § 6. Вычисление характеров по формуле Фробениуса § 7. Матрицы неприводимых представлений группы Sn Символы Яманучи § 8. Метод Хунда § 9. Групповая алгебра § 10. Операторы Юнга § 11. Построение произведения волновых функций с заданной симметрией. Условия циклической симметрии Фока § 12. Внешние произведения представлений симметрической группы § 13. Внутренние произведения. Ряд Клебша—Гордана для симметрической группы § 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы. Свойства симметрии. Рекуррентные формулы Глава 8. Непрерывные группы § 1. Краткий обзор результатов, полученных для конечных групп § 2. Бесконечные дискретные группы § 3. Непрерывные группы. Группы Ли § 4. Примеры групп Ли § 5. Изоморфизм. Подгруппы. Смешанные непрерывные группы § 6. Однопараметрические группы. Инфинитезимальные преобразования § 7. Структурные константы § 8. Алгебры Ли § 9. Структура алгебр Ли § 10. Структура компактных полупростых групп Ли и их алгебр § 11. Линейные представления групп Ли § 12. Инвариантное интегрирование § 13. Неприводимые представления групп Ли и алгебр Ли. Оператор Казимира § 14. Многозначные представления. Универсальная накрывающая группа Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия § 1. Группа вращений в двумерном пространстве

191 191 193 197 212 217 217 225 236 240 249 253 257 274 283 288 293 297 303 308 327 327 329 332 337 341 344 350 352 356 362 365 867 371 373 377 377

§ 2. Трехмерная группа вращений § 3. Непрерывные однозначные представления трехмерной группы вращений § 4. Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов (однозначные представления) § 5. Построение собственных функций для кристаллов с различной симметрией § 6. Двузначные представления группы вращений. Двумерная унитарная унимодулярная группа § 7. Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов. Двузначные представления кристаллографических точечных групп § 8. Связанные системы. Сложение моментов количества движения. Коэффициенты Клебша — Гордана Глава 10. Линейные группы в n-мерном пространстве; неприводимые тензоры § 1. Тензоры, преобразующиеся по группе GL(n) § 2. Конструирование неприводимых тензоров, преобразующихся по группе GL (п) § 3. Размерность неприводимых представлений группы GL(n) § 4. Неприводимые представления подгрупп группы GL(n): SL(n), U(n), SU(n) § 5. Ортогональная группа в n-измерениях. Свертка. Тензоры с нулевым следом § 6. Неприводимые представления группы O(n) § 7. Разложение неприводимых представлений группы U(n) на представления группы O+(n) § 8. Симплектическая группа Sp(n). Свертка. Тензоры с нулевым следом § 9. Неприводимые представления группы Sp (n). Разложение неприводимых представлений группы U (n) на представления ее симплектической подгруппы Глава 11. Применение теории групп к задачам атомной и ядерной физики § 1. Классификация состояний систем тождественных частиц по группе SU (n) § 2. Разложение момента количества движения. Разложение представлений группы SU (n) на представления группы O+ (3) § 3. Принцип Паули. Атомные спектры в схеме связи Рассела—Саундерса § 4. Старшинство в атомных спектрах § 5. Атомные спектры в схеме jj-связи § 6. Структура ядра. Изотопический спин § 7. Ядерные спектры в схеме L — S-связи. Супермультиплеты § 8. Модель оболочек в схеме L — S-связи. Старшинство § 9. Модель оболочек в схеме jj-связи. Старшинство в схеме jj-связи

381 390 395 402 410 420 433 443 443 445 451 456 461 464 470 475 481 485 485 486 495 498 505 509 512 520 525

Глава 12. Проективные представления. Малые группы § 1. Проективные представления конечных групп § 2. Примеры проективных представлений конечных групп § 3. Проективные представления групп Ли § 4. Проективные представления псевдоортогональных групп § 5. Проективные представления галилеевой группы § 6. Неприводимые представления группы параллельных переносов § 7. Малые группы Литература

537 537 543 549 559 566 569 571 579