Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2007. Том 48, № 5
УДК 517.957
ОТСУТСТВИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА С ДИНАМИЧЕСКИМ КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ ДРОБНОГО ТИПА М. Киране, Н. Татар
Аннотация: Рассмотрено уравнение Лапласа в Rd−1 × R+ × (0, +∞) с динамическим нелинейным краевым условием порядка между 1 и 2. Краевое условие представляет собой дифференциальное неравенство дробного порядка, включающее производные нецелого порядка и нелинейный источник. Установлены результаты об отсутствии решения и необходимые условия существования локального и глобального решений. В частности, доказано, что критический показатель зависит только от дробных производных наименьшего порядка. Ключевые слова: критический показатель, динамическое краевое условие, дробная производная, уравнение Лапласа.
1. Введение В [1] рассмотрено уравнение Пуассона с динамическими краевыми условиями второго порядка: u(x , xd , t) = 0,
t > 0, x = (x , xd ) ∈ Rd−1 × (0, +∞),
B(x , 0, t)utt + A(x , 0, t)ut − uxd ≥ D(x , 0, t)|u|q , u(x , 0, 0) = u0 (x , 0),
ut (x , 0, 0) = u1 (x , 0),
x ∈ Rd−1 , t > 0, x ∈ Rd−1 ,
где d > 1, q > 1 и A, B, D — заданные функции. При некоторых условиях на эти функции и на d и q в [1] доказано отсутствие решений и определен критический показатель, который разделяет глобальное существование и разрушение решения. В частности, если B ≡ 0, A = D ≡ 1, то критический показатель, найденный в [1], равен критическому показателю в смысле Фуджиты, а именно 1 qc = 1 + d−1 . Аналогичные задачи изучались, например, в [1–3]. Эллиптические и параболические уравнения и системы с динамическими краевыми условиями естественно возникают в математических моделях переноса тепла в твердом теле при контакте с движущейся жидкостью и явлений диффузии, задачах динамики текучих сред, диффузии в пористых средах, моделях полупроводников и химической инженерии. В этой работе мы рассмотрим уравнение Пуассона с динамическими краевыми условиями, содержащими дробные производные по c 2007 Киране М., Татар Н.
Отсутствие решений уравнения Лапласа
1057
времени порядка между 1 и 2, а также между 0 и 1. Последний член можно рассматривать как дробную диссипацию. А именно, мы рассматриваем задачу u(x , xd , t) = 0,
x = (x , xd ) ∈ Rd−1 × (0, +∞), t > 0,
D1+α u(x , 0, t) + Dβ u(x , 0, t) − uxd ≥ |u|p ,
u(x , 0, 0) = u0 (x ) ≥ 0,
x ∈ Rd−1 , t > 0,
ut (x , 0, 0) = u1 (x ) ≥ 0,
x ∈R
d−1
(1)
,
где p > 1, d > 1, α, β ∈ (0, 1) и функции u0 , u1 заданы. Мы докажем теоремы типа Фуджиты для задачи (1). Мы явно определим ряд значений p, для которых наблюдается отсутствие решений. Если есть локальное существование решения, то наши теоремы можно рассматривать как результат о разрушении решения за конечное время. Мы не обращаемся к вопросу о локальном существовании решения. Для этого можно было бы скомбинировать рассуждения о локальном существовании для уравнений Лапласа с динамическими краевыми условиями и рассуждения из [4] для преодоления трудностей, вносимых нелинейным источником. Система двух уравнений Пуассона с краевыми условиями, в которых участвует только одна производная дробного порядка между 0 и 1, рассмотрены в [5]. Другие задачи, связанные с производными дробных порядков, изучаются в [5–10], и некоторые из них исследуются методом пробных функций [11] (см. также [12–14]). Статья организована следующим образом. В разд. 2 будут даны определения дробной производной в смысле Римана — Лиувилля и в смысле Капуто, а также связи между этими двумя понятиями. Мы уточним, что будем понимать под решением задачи (1). Разд. 3 посвящен нашему основному результату об отсутствии решений. В разд. 4 будут установлены некоторые необходимые условия существования. 2. Предварительные сведения Производные дробного порядка понимаются в смысле Капуто (см. [15]): 1 D f (t) := (1 − γ)
t
γ
(t − τ )−γ f (τ ) dτ
для 0 < γ < 1,
0
и в общем случае: 1 D f (t) := (n − γ)
t (t − τ )n−γ−1 f
γ
(n)
(τ ) dτ,
n = [γ] + 1, γ > 0.
(2)
0
Связь между производными по Капуто (2) и (левосторонними) производными по Риману — Лиувиллю (см. [15, 16]): γ 0 Dt f (t)
1 := (n − γ)
d dt
n t
(t − τ )n−γ−1 f (τ ) dτ,
n = [γ] + 1, γ > 0,
0
дается формулой (см. [16, теорема 2.2, с. 39]) γ 0 Dt f (t) =
n−1 k=0
(k)
1 f (0)tk−γ + (1 + k − γ) (n − γ)
t (t − τ )n−γ−1 f 0
(n)
(τ ) dτ.
(3)
1058
М. Киране, Н. Татар
С помощью (3) задачу (1) можно переписать в виде u(x , xd , t) = 0, 1+α (u(x , 0, t) 0 Dt
x = (x , xd ) ∈ Rd−1 × (0, +∞), t > 0,
− u(x , 0, 0) − ut (x , 0, 0)t) + 0 Dtβ (u(x , 0, t) − u(x , 0, 0)) x ∈ Rd−1 , t > 0,
− uxd ≥ |u|p , u(x , 0, 0) = u0 (x ) ≥ 0,
ut (x , 0, 0) = u1 (x ) ≥ 0,
(4)
x ∈ Rd−1 .
Для применения формулы «интегрирования по частям» (см. [16, с. 56]) T
T f (t) 0 Dt g(t)dt
g(t) t DT f (t) dt
=
0
(5)
0
нам потребуется «правосторонняя» дробная производная по Риману — Лиувиллю для T > 0: γ t DT f (t)
(−1)n := (n − γ)
d dt
n T
(τ − t)n−γ−1 f (τ ) dτ,
n = [γ] + 1, γ > 0.
t
Для слабой постановки мы кроме формулы «интегрирования по частям» будем использовать соотношения (см. [16, (2.30), (2.31), с. 37]) 1+α f 0 Dt
= D.0 Dtα f
и
1+α f t DT
= −D. t DTα f,
(6)
а также формулу (см. лемму 2.2 в [16]) ⎤ ⎡ T f (T ) 1 γ ⎣ − (τ − t)−γ f (t) dt⎦ . t DT f (t) = (1 − γ) (T − t)γ
(7)
t
Пусть QT := R × (0, +∞) × (0, T ) и T := Rd−1 × {0} × (0, T ). Определение. Под (слабым) решением задачи (1) неот
понимать будем p 1 d−1 1 d−1 рицательную функцию u ∈ C [0, T ]; L [0, T ]; L (R × (0, ∞)) ∩ C (R × loc loc {0}) такую, что uϕ dxdt + (u(x , 0, t) − u0 (x ) − u1 (x )t). t DTα+1 ϕ dx dt d−1
QT
T
+
(u(x , 0, t) − u0 (x
)). t DTβ ϕ dx dt
T
для любой ϕ ∈
−
uϕxd dx dt ≥ T
C02 (QT ),
ϕup dx dt
(8)
T
ϕ ≥ 0, и ϕ(x , 0, T ) = t DTα ϕ(x , 0, T ) = 0.
Отметим, что на самом деле нам не нужна такая регулярность для u. От u потребуется лишь, чтобы оно входило в L1loc (QT ) так, что up ∈ L1loc (T ) и след функции u(x , 0, t) непрерывен. Для удобства обозначений там, где не может возникнуть недоразумения, будем опускать нули, обозначающие dxdt и dx dt. На границу, а также меры пример, u(x , t) := u(x , 0, t), f := f dxdt и f := f dx dt. QT
QT
T
T
Отсутствие решений уравнения Лапласа
1059
3. Результат об отсутствии решения β Теорема 1. Пусть 1 − 1p < β < 1, 1 < p ≤ 1 + 1+β(d−2) . Тогда задача (1) не имеет нетривиального неотрицательного решения, глобального по времени. Доказательство. Допустим, что решение есть для всего временного промежутка t > 0. Рассмотрим решение u на (0, T∗ ), и пусть T и R — положительные постоянные такие, что 0 < T R < T∗ . Возьмем пробную функцию 2β t + |x |2 ϕ(x , t) := ϕ0 R2β
такую, что ϕ(x , T R) = t DTα R ϕ(x , T R) = 0. Функция ϕ0 ∈ C02 (R+ ) взята неотрицательной, неубывающей и такой, что
1, если 0 ≤ ξ ≤ 1, ϕ0 (ξ) := 0, если ξ ≥ 2. Допустим также, что ϕ0 удовлетворяет соотношению T R p 1+α p −p /p β + tD dtdx < ∞, ϕ0 (9) t DT R ϕ TR ϕ Rd−1 0
где p — сопряженный к p показатель. Эти условия необременительны, и можно считать их всегда выполненными. В самом деле, этого можно добиться взятием ϕ = ϕλ0 с надлежаще большим λ. Далее, рассмотрим новую функцию = (x , xd , t) такую, что
= 0, (x , 0, t) = ϕ(x , t). Явное решение задачи (10) дается формулой 2xd ϕ(y, t) dy, (x , xd , t) = σd |y − x |2 + x2d
(10)
Rd−1
где σd /d — объем единичного шара. Отметим, что, поскольку ϕ определена на основе ϕ0 , нет необходимости налагать обычное условие стремления к нулю при x, стремящемся к бесконечности. Легко видеть, что xd > 0. Поэтому u xd ≥ 0. (11) Rd−1
По второй формуле Грина имеем (u xd − uxd ϕ) = 0 Rd−1
(это объясняет наличие члена
Rd−1
uϕxd в слабой формулировке (8)). Используя
эту пробную функцию в (8) и принимая во внимание (10) и (11), получаем
T R p ϕu +
Rd−1 0
T R α+1 u0 (x ). t DT R ϕ +
Rd−1 0
T R
u0 (x
+ Rd−1 0
Rd−1 0
). t DTβ R ϕ
T R tu1 (x ) t DTα+1 R ϕ
T R
≤
u(x Rd−1 0
, t) t DTα+1 R ϕ
+
T R u(x , t) t DTβ R ϕ,
Rd−1 0
1060
М. Киране, Н. Татар
или
T R p ϕu +
Rd−1
0
u0 (x )
T R
+
T R
≤
0
Rd−1
T R u1 (x ) t t DTα+1 R ϕ
0
Rd−1
β t DT R ϕ
u0 (x )
1+α t DT R ϕ
0
Rd−1
+
T R
u(x
, t)t DTα+1 R ϕ
+
Rd−1 0
T R u(x , t) t DTβ R ϕ.
(12)
Rd−1 0
Покажем, что
u0 (x )
T R
1+α t DT R ϕ +
0
Rd−1
u1 (x )
T R t t DT1+α ϕ + R 0
Rd−1
u0 (x )
T R β t DT R ϕ
≥ 0. (13)
0
Rd−1
Каждый член в (13) неотрицателен. В самом деле, во-первых, из (7) имеем T R β t DT R ϕ
T R T R =− (τ − t)−β ϕ (τ ) dτ dt ≥ 0.
0
0
t
Во-вторых, с помощью (6) можно записать T R
1+α t DT R ϕ = −
0
и
T R T R D. t DTα R ϕ = − t DTα R ϕ 0 = t DTα R ϕ(0) ≥ 0
(14)
0
T R T R T R α α t t DT1+α ϕ = − tD D ϕ = t TR t DT R ϕ ≥ 0. R 0
0
0
Поэтому из (12) вытекает, что ϕup ≤ u(x , t) t DTα+1 ϕ + u(x , t) t DTβ R ϕ. R T R
T R
(15)
T R
Используя ε-неравенство Юнга, получим p 1 γ γ − p1 p p u t DT R ϕ = uϕ ϕ t DT R ϕ ≤ ε u ϕ+C(ε) ϕ−p /p t DTγ R ϕ (16) T R
T R
T R
T R
с γ = 1 + α, β. Из (15) и (16) выводим, что p p . ϕup ≤ 2ε ϕup + C(ε) ϕ−p /p t DTβ R ϕ + t DT1+α R ϕ T R
T R
T R
Взяв 0 < ε < 1/2, получим p p . ϕup ≤ C ϕ−p /p t DTβ R ϕ + t DT1+α R ϕ T R
T R
Здесь и далее C означает общую положительную постоянную.
(17)
Отсутствие решений уравнения Лапласа
1061
Введем нормированные переменные τ := R−1 t и y := R−β x . Тогда dx dt = dy dτ и из определения правосторонней дробной производной по РиR ману — Лиувиллю (в случае γ = 1 + α надо также использовать (6)) вытекает, что γ γ −γ γ = 1 + α, β. τ DT ϕ, t DT R ϕ = R 1+(d−1)β
Использование этих новых переменных в (17) приводит к соотношению p p ϕup ≤ C ϕ−p /p R−βp τ DTβ ϕ + R−(1+α)p τ DT1+α ϕ R1+(d−1)β dτ dy T R
T
≤ C(R1+(d−1)β−βp + R1+(d−1)β−(1+α)p ).
(18)
В предыдущем неравенстве использовано предположение (9). Отметим, что оба показателя 1 + (d − 1)β − βp и 1 + (d − 1)β − (1 + α)p неположительны, если d ≤ 1 + βpβ−1 (отметим также, что ввиду предположения 1 − p1 < β < 1 правая часть 1 +
βp −1 β
больше единицы).
Пусть d < 1 +
βp −1 β .
Тогда из (18) получаем, что lim ϕup = 0. R→+∞ T R
Следовательно, u = 0 п. в.; противоречие. В случае d = 1 + βpβ−1 видим, что ϕup ≤ C, и, переходя к пределу при T R
R → ∞, находим, что
∞ up ≤ C.
Rd−1 0
Из оценки 1/p p 1/p ϕup ≤ ϕup ϕ−p /p t DTβ ϕ T R
T R
−p /p
+
ϕ
1+α p ϕ t DT
1/p ,
T R
где = {(t, x) : 0 ≤ t2β + |x |2 ≤ 2R2β }, и того факта, что γ t DT R 1
получаем
=
(T R − t)−γ , (1 − γ)
lim
R→+∞ T R
γ = α, β,
ϕu ≤ C lim p
R→+∞ CR
ϕup = 0,
где CR = {(t, x) : R2β ≤ t2β + |x |2 ≤ 2R2β }. Вновь пришли к противоречию. Замечание 1. Мы получили тот же показатель, что и для уравнения Лапласа с Dtβ (u(x , 0, t) − u(x , 0, 0)) − uxd ≥ |u|p ,
x ∈ Rd−1 , t > 0,
1062
М. Киране, Н. Татар
на границе. Это означает, что критический показатель зависит только от дробной производной наименьшего порядка. Подобное явление наблюдалось в [17] и [8], но с аналогичными производными в самом уравнении, а не на границе. А именно, там показано, что критический показатель для гиперболической задачи (со слабой диссипацией) равен критическому показателю для параболической части задачи с производной наименьшего порядка соответственно. Далее, если 1 , уже полученный в β → 1, то мы находим критический показатель pc = 1 + d−1 [2]. 4. Необходимые условия существования В следующем утверждении будем использовать пробную функцию l x t2 ϕ(t, x ) := 1− 2 , R T где l — целое положительное число такое, что 1 < l ≤ p − 1, ∈ C0∞ (Rd−1 ), ≥ 0 и supp ⊂ {x ∈ Rd−1 : 1 < |x| < 2}. Теорема 2. Пусть p ≥ 3 и u — решение задачи (1) на (0, T ). Тогда существует положительная постоянная C такая, что
u0 (x ) + T βp −α inf u1 (x ) ≤ C T β(p −1) inf |x |>R
|x |>R
для любого R > 0. Доказательство. Из неравенства (12) ясно, что
T
ϕu + Rd−1 0
T
u0 (x )
p
Rd−1
Dα+1 ϕ t T
0
+
β t DT ϕ
+
T
u1 (x ) 0
Rd−1
T
Rd−1
0
≤
u(x , t) .t DTα+1 ϕ +
t. t DTα+1 ϕ
T
Rd−1
0
u(x , t). t DTβ ϕ.
Простые вычисления (с использованием подстановки Эйлера y =
s−t T −t )
(19)
дают
l l −T −2l l−k l t2 2 Ck Mlk tl−k−1 (T −t)l+k−γ [(l−k)T −(2l+1−γ)t], 1− 2 = T (1 − γ) k=0 (20) k l(l−1)(l−2)...(l−k+1)
(n−β+1) Cnk (l−β+n+2) и Ckl := , где Mlk := (l + 1) l!
γ t DT
n=0
l l T −2l l−k l t2 α+1 2 Ck Mlk tl−k−2 (T − t)l+k−α−1 1− 2 = t DT T (1 − α) k=0
× [(l − k)(l − k − 1)T 2 − 2tT (l − k)(2l − α) + (2l − α)(2l − α + 1)t2 ], T 0
l l T 1−α t2 t. t DTα+1 1 − 2 dt = Lαk Ckl , T (1 − α) k=0
(21)
Отсутствие решений уравнения Лапласа T β t DT
l l T 1−β t2 dt = Lβk Ckl , 1− 2 T (1 − β) k=0
0
(l+1) (k+1−γ)
(l−γ+k+2) .
T α+1 t DT 0
1063
l t2 dt ≥ 0 1− 2 T
(см. также (14)), где Lγk := Используя неравенство Г¨ельдера, вытекающее из ε-неравенства Юнга, как в (16), (17), из (19) выводим, что T 1−β u0 (x ) dx + T 1−α u1 (x ) dx Rd−1
Rd−1
T
≤C
p p ϕ−p /p t DTβ ϕ + t DT1+α ϕ dtdx . (22)
Rd−1 0
Из (20) и (21) вытекает, что l l T −β l−k t2 β ≤ D 2 (3l + 1 − β − k)Ckl Mlk 1 − t T T 2 (1 − β) k=0 и l t2 α+1 1− 2 t DT T
(23)
T −1−α l−k l ≤ 2 Ck Mlk [(l − k)(l − k − 1) + (2l − α)(4l − 2k − α + 1)] . (24) (1 − α) l
k=0
Применяя оценки (23) и (24) в (22), получаем T 1−β u0 (x ) dx + T 1−α u1 (x ) dx ≤ C(T 1−βp + T 1−(1+α)p ) Rd−1
Rd−1
Rd−1
Отсюда (предполагая, что T > 1)
dx . (25)
T β(p −1) inf u0 (x ) + T βp −α inf u1 (x ) ≤ C. |x |>R
|x |>R
Следствие 1. Пусть p ≥ 3. Если существует глобальное по времени решение и (a) α ≤ β или α , (b) α > β и p < α−β то u0 (x ) = inf u1 (x ) = 0 inf |x |>R
|x |>R
для любого R > 0. Доказательство. Результат следствия вытекает непосредственно из последней теоремы, так как условия обеспечивают отрицательность обоих показателей β(p − 1) и βp − α. Замечание 2. Если решение u существует только локально с T < 1, то из (25) вытекает, что
T (1+α)p −β inf u0 (x ) + T (1+α)p −α inf u1 (x ) ≤ C |x |>R
|x |>R
и следствие 1 будет выполнено при других условиях на различные параметры. Следствие 1 можно рассматривать как источник необходимых условий существования решений.
1064
М. Киране, Н. Татар ЛИТЕРАТУРА
1. Kirane M., Nabana, Pokhozhaev S. Nonexistence of global solutions to an elliptic equation with a dynamical boundary condition // Bol. Soc. Paranaense Mat. (To appear). 2. Amann H., Fila M. A Fujita-type theorem for the Laplace equation with a dynamical boundary condition // Acta Math. Univ. Comenianae. 1997. V. 66. P. 321–328. 3. Киране М., Набана Э., Похожаев С. И. Построение самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на пучке плоскостей. I // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 7. С. 768–774. 4. Georgiev V., Todorova G. Existence of a solution of the wave equation with nonlinear damping and source terms // J. Differential Equations. 1994. V. 109. P. 295–308. 5. Киране М., Татар Н. Отсутствие локальных и глобальных решений эллиптических систем с дробными по времени динамическими краевыми условиями // Сиб. мат. журн.. 2007. Т. 48, № 3. С. 593–605. 6. Kirane M., Laskri Y., Tatar N.-e. Critical exponents of Fujita type for certain evolution equations and systems with spatio-temporal fractional derivatives // J. Math. Anal. Appl.. 2005. V. 312, N 2. P. 488–501. 7. Kirane M., Tatar N.-e. Exponential growth for fractionally damped wave equation // Zeitschrift Anal. Anwendungen. 2003. Bd 22, N 1. S. 167–178. 8. Kirane M., Tatar N.-e. Nonexistence of solutions to a hyperbolic equation with a time fractional damping // Zeitschrift Analysis Anwendungen (J. Anal. Appl.). 2006. Bd 25. S. 131– 142. 9. Tatar N.-e. A blow-up result for a fractionally damped wave equation // Nonlinear Differential Equations Appl.. 2005. V. 12, N 2. P. 215–226. 10. Tatar N.-e. A wave equation with fractional damping // Zeitschrift Anal. Anwendungen (J. Anal. Appl.) 2003. Bd 22, N 3. S. 609–617. 11. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие слабых решений для некоторых вырожден// Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. ных и сингулярных гиперболических задач в Rn+1 + 2001. Т. 232. С. 248–267. 12. Гидда М., Киране М. Критичность для некоторых эволюционных уравнений // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 4. С. 511–520. 13. Kirane M., Qafsaoui M. Global nonexistence for the Cauchy problem of some nonlinear кeaction-вiffusion systems // J. Math. Anal. Appl.. 2002. V. 268, N 1. P. 217–243. 14. Kirane M., Qafsaoui M. Fujita’s exponent for a semilinear wave equation with linear damping // Adv. Nonlinear Stud.. 2002. V. 2, N 1. P. 41–50. 15. Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego: Acad. Press, 1999. (Math. Sci. Eng.; V. 198). 16. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. М. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 17. Todorova G., Yordanov B. Critical exponent for nonlinear wave equations with damping // J. Differential Equations. 2001. V. 174. P. 464–489. Статья поступила 16 марта 2006 г. Mokhtar Kirane Laboratoire de Mathematiques et Applications, Pˆ ole Sciences et Technologie, Universit´ e de La Rochelle, Avenue M. Crepeau, 17000 La Rochelle, France
[email protected] Nasser-eddine Tatar Kind Fahd University of Petroleum and Minerals, Department of Mathematical Sciences P.O. Box 1446, Dhahran, 31261, Saudi Arabia
[email protected]
