Теория функций действительного переменного: Рабочая учебная программа дисциплины

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Факультет математический Кафедра математического анализа

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине

«Теория функций действительного переменного» для специальности «050201 – Математика» по циклу ДПП.Ф.03 – Дисциплины предметной подготовки (федеральный компонент)

Очная форма Курс - 3

обучения

Заочная Курс – 4

форма

обучения

Семестр – 6

Семестр – 7, 8

Объем в часах всего – 162

Объем в часах всего – 162

в т.ч.: лекции – 40

в т.ч.: лекции – 10

практические занятия – 40

практические занятия – 8

самостоятельная работа – 82

самостоятельная работа - 144

Экзамен – 6 семестр

Экзамен – 8 семестр Контрольная работа – 8 семестр

Екатеринбург 2007

Рабочая учебная программа по дисциплине «Теория функций действительного переменного» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2007. – 9 с.

Составители: Филиппова Т.Ф., д. ф.-м. н., проф., заведующий кафедрой математического анализа УрГПУ Фомина Н.Г., ст. преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ Яхин Р.А., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры математического анализа УрГПУ Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа УрГПУ Протокол от 14.11.2005 № 3 И. о. зав. кафедрой

В.П. Першиков

Отделом нормативного обеспечения образовательного процесса УрГПУ присвоен рег. № 227 от 04.04.2007. Начальник отдела Р.Ю. Шебалов

2

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Программа курса «Теория функций действительного переменного» основывается на государственном стандарте подготовки специалистов по специальности «050201 – Математика». Цель преподавания курса «Теория функций действительного переменного» заключается в систематическом введении в классические разделы современной теории функций и функционального анализа. Курс базируется на материале математического анализа, алгебры и теории множеств. Основу содержания дисциплины составляют следующие темы: элементы теории мощности множеств, измеримость множеств и мера Лебега, интеграл Лебега, сравнение интегралов Римана и Лебега. В рамках курса рассматриваются также основы теории метрических, нормированных и гильбертовых пространств. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью индивидуальных домашних заданий, затрагивающих все наиболее важные вопросы программы.

2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения № п/п

1. 2. 3. 4. 5.

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

Мощность множества. Счетные и несчетные множества Строение открытых и замкнутых множеств на числовой прямой Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу Интеграл Лебега, его свойства Метрические пространства. Полные метрические пространства. Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве Итого:

3

18 16 64 32

Аудиторные занятия Всего ЛекПракции тические

8 8 32 16 16

32 162

80

Самостоятельная работа

4

4

10

4

4

8

16

16

32

8

8

16

8

8

16

40

40

82

2.2. Учебно-тематический план заочной формы обучения № п/п

1. 2. 3. 4. 5.

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

Мощность множества. Счетные и несчетные множества Строение открытых и замкнутых множеств на числовой прямой Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу Интеграл Лебега, его свойства Метрические пространства. Полные метрические пространства. Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве Итого:

Аудиторные занятия Всего ЛекПракции тические

Самостоятельная работа

23

3

2

1

20

28

4

2

2

24

56

6

3

3

50

22

2

1

1

20

33

3

2

1

30

162

18

10

8

144

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1. Мощность множества. Счетные и несчетные множества Счетные множества. Объединение конечного и счетного семейства счетных множеств. Декартово произведение счетных множеств. Мощность множества. Сравнение мощностей. Множества мощности континуум. Теорема КантораБернштейна. 2. Строение открытых и замкнутых множеств на числовой прямой Структура открытых и замкнутых множеств. Совершенные множества. Канторово совершенное множество. 3. Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу Элементарные множества на декартовой плоскости и на числовой прямой. Внешняя мера Лебега и ее свойства. Внутренняя мера Лебега. Измеримые по Лебегу множества. Понятие меры Лебега. Свойства меры Лебега. Измеримость объединения и пресечения счетного числа измеримых множеств. Измеримость открытых и замкнутых множеств. Измеримость по Лебегу множества, измеримого по Жордану. Понятие измеримой по Лебегу функции. Эквивалентность измеримых функций. Измеримость суммы, разности, произведения и частного двух измеримых функций. Сходимость почти всюду и по мере. Теоремы Егорова, Лузина, Фреше. 4. Интеграл Лебега, его свойства Определение интеграла Лебега, его свойства. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Предельный переход под знаком интеграла. Теоремы Леви, Фату, Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега. 5. Метрические пространства. Полные метрические пространства. Ряды Фурье 4

в произвольном гильбертовом пространстве Аксиомы метрики, определения, примеры метрических пространств. Скалярное произведение и норма. Понятие евклидова пространства. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. Эквивалентные метрики и нормы. Предел последовательности в метрических пространствах. Полные метрические пространства. Фундаментальные последовательности в метрических пространствах. Свойство Больцано - Вейерштрасса. Полнота пространств Rn , C[a,b], примеры неполных пространств. Теорема о неподвижной точке и принцип сжимающих отображений. Лебеговы пространства Lp [E], их полнота. Сравнение различных типов сходимости (по норме, почти всюду и по мере). Понятие гильбертова пространства. Ортонормированные системы элементов. Разложение элементов гильбертова пространства по ортонормированной системе. Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве. 4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 1. 2. 3. 4. 5. 6.

4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение Сравнение меры Лебега и меры Жордана. Регулярность меры. Измеримость композиции функций. Теоремы о пределах последовательностей измеримых функций. Сходимость в метрических пространствах. Сходимость в лебеговых пространствах. Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве.

4.2. Темы контрольных работ 1. Счетные множества. Мощность множества. 2. Измеримые множества и функции. Интеграл Лебега. 4.3. Примерные темы курсовых работ 1. Теоремы отделимости и опорные функции множеств. 2. Функция Минковского звездных множеств. 3. Свойства линейных операторов в линейных нормированных пространствах. 4. Принцип сжатых отображений и его применение в математическом анализе и алгебре. 5. Свойства непрерывных отображений метрических пространств. 6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических. 7. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах. 8. Аддитивные функции промежутка и теория интегрирования. 9. Свойства функций ограниченной вариации. 4.4. Вопросы для экзамена 1. Операции над множествами, свойства операций. Формулы двойственности. 2. Счетные множества. Объединение конечного и счетного семейства счетных множеств. 3. Декартово произведение счетных множеств. 5

4. Теоремы о подмножествах бесконечных множеств и следствия из них. 5. Мощность множества. Сравнение мощностей. Мощность множества всех подмножеств заданного множества. 6. Теорема Кантора-Бернштейна. 7. Множества мощности континуум. Теорема Кантора. 8. Структура открытых и замкнутых множеств на прямой. 9. Лемма Гейне-Бореля. Компактные множества на прямой. 10. Совершенные множества. Канторово совершенное множество. 11. Полукольца, кольца и алгебры множеств. Элементарные множества на числовой прямой. 12. Внешняя мера Лебега и ее свойства. 13. Внутренняя мера Лебега и ее свойства. 14. Измеримые по Лебегу множества. Понятие меры Лебега. Критерий измеримости. 15. Измеримость объединения и пересечения конечного и счетного числа измеримых множеств. 16. Измеримость открытых и замкнутых множеств. Измеримость по Лебегу множества, измеримого по Жордану. 17. Пример неизмеримого множества. 18. Измеримые функции, их основные свойства. Эквивалентность измеримых функций. 19. Измеримость суммы, разности, произведения и частного двух измеримых функций. 20. Сходимость почти всюду и по мере, соотношение между различными типами сходимости. 21. Определение интеграла Лебега, свойства сумм Лебега. 22. Свойства интеграла Лебега. Теорема о полной аддитивности интеграла Лебега. 23. Теоремы об интеграле от суммы функций, об интеграле от произведения функции на постоянную, о сравнении интегралов, о модуле интеграла. 24. Предельный переход под знаком интеграла. Теорема Лебега. 25. Колебание функции. Теорема о множестве точек разрыва функции, интегрируемой по Риману. 26. Сравнение интегралов Римана и Лебега. 27. Метрические пространства (аксиомы метрики, примеры метрических пространств). Скалярное произведение и норма. Понятие евклидова пространства. 28. Предел последовательности в метрических пространствах. Фундаментальные последовательности в метрических пространствах. Полные метрические пространства. Полнота пространств Rn , C[a,b], Lp [E]. 29. Теорема о неподвижной точке (принцип сжимающих отображений). 30. Применение принципа сжимающих отображений.

6

5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Студент, изучивший дисциплину, должен знать основные определения и теоремы курса, предусмотренные программой. Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:  применять элементы теории счетных и эквивалентных множеств при решении типичных задач курса;  вычислять простейшие интегралы Лебега;  находить пределы последовательностей в метрическом пространстве Rn и C[a,b], а также пределы простейших последовательностей в пространствах Лебега Lp [a,b];  применять принцип сжатых отображений при решении некоторых прикладных задач анализа (нахождении корней уравнений, решении линейных систем, решении простейших интегральных уравнений).

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ . Рекомендуемая литература Основная 1. Белугин, В.И. Основы теории функций действительного переменного [Текст]: учебное пособие/В.И. Белугин, Т.Ф. Филиппова, Н.Г. Фомина. – Екатеринбург: УрГПУ, 2003. – 58 с. 2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа [Текст]: учеб. пособие/ Г.Н. Берман. – СПб.: Лань, 2000. – 448 с. 3. Виленкин, Н.Я. Математический анализ (мощность, метрика, интеграл) [Текст] / Н.Я. Виленкин, М.Б. Балк, В.А. Петров. – М.: Просвещение, 1980. – 143 с. 4. Индивидуальные задания по дисциплине «Теория функций действительного переменного» [Текст]: методическая разработка/ Урал. гос. пед. унт; О.Г. Вздорнова, И.А. Сушинцева, Н.В. Ткаленко. – Екатеринбург: УрГПУ, 2005. – 21 с. 5. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа [Текст]: учеб. пособие/ Л.Д. Кудрявцев. – М.: Наука, 1989. – 734 с. Дополнительная 1. Александров, П.Ф. Введение в теорию множеств и общую топологию [Текст]: учеб. пособие/ П.Ф. Александров. – М.: Наука, 1977. – 367 с.

7

2. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]: учеб. пособие/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1972. – 496 с. 3. Люстерник, П.В. Краткий курс функционального анализа [Текст] / П.В. Люстерник, С.Л. Соболев. – М.: Высш. школа, 1982. – 236 с. 4. Люстерник, П.В. Элементы функционального анализа [Текст] / П.В. Люстерник, С.Л. Соболев. – М.: Высш. школа, 1982. – 243 с. 5. Метрические пространства [Текст]: метод. разработка/ Свердловский гос. пед. ин-т; сост. С.П. Охезин. – Свердловск: СГПИ, 1985. – 46 с. 7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ Филиппова Татьяна Федоровна доктор физико-математических наук профессор заведующий кафедрой математического анализа УрГПУ Фомина Нина Гервасиевна старший преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ Яхин Радик Ансафович кандидат физико-математических наук доцент доцент кафедры математического анализа УрГПУ Раб. телефон 371-12-61

8

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «Теория функций действительного переменного» для специальности «050201 – Математика» по циклу ДПП.Ф.03 – дисциплины предметной подготовки (федеральный компонент)

Подписано в печать Формат 60х84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. Тираж экз. Заказ . Уральский государственный педагогический университет. 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26

9