Математические модели страхования: модели страхования жизни

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ ИННОВАЦИОННЫЙ ПРОЕКТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ Программа «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах»

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Программа дисциплины

Математические модели страхования: модели страхования жизни

Нижний Новгород 2003

Программа дисциплины «Математические модели страхования: модели страхования жизни» составлена в соответствии с требованиями (федеральный компонент) к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста (бакалавра, магистра) по циклу «Общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины» государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования второго поколения, а также требованиями, предъявляемыми НФПК к новым и модернизированным программам учебных курсов, разработанным в рамках программы «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах» Инновационного проекта развития образования. Программа подготовлена при содействии НФПК – Национального Фонда подготовки кадров в рамках программы «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах» Инновационного проекта развития образования.

Автор (составитель) Буреева Наталья Николаевна, кандидат физикоматематических наук, доцент, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Петрова Ольга Викторовна, ассистент, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Рецензенты: __________________________________________________________________ (ФИО, ученая степень, ученое звание, вуз)

3

I.

Организационно-методический раздел

1. Цель курса Основная цель курса - изучение основных задач математической поддержки страховой деятельности. Предлагаемый курс лекций будет представлять комбинацию теории страхования и практики страхового дела как при рассмотрении вопросов страхования жизни. 2. Задача курса В результате изучения курса студент должен: • знать основные принципы страхования, базовые понятия страхования как экономической категории, классификацию страхования, этапы построения математической модели страхования, общую модель страхования, общие принципы расчета премий; • уметь вычислять страховые премии, как в случае страхования жизни, так и в случае страхования не жизни; анализировать страховые схемы, определять вероятность разорения страховой компании; • обладать навыками разработки страховых и пенсионных продуктов, навыками решения задачи об оптимальном построении портфеля страховой компании или пенсионного фонда, умением анализировать полученные результаты и делать практические выводы. 3. Методическая новизна курса В курсе широко используются интерактивные методы преподавания, раздаточный материал, самостоятельная работа, которая включает в себя анализ деятельности какой-нибудь страховой компании Н. Новгорода или сравнительный анализ деятельности нескольких действующих страховых компаний.

• • • • • •

4. Место курса в системе социогуманитарного образования и требования к уровню освоения содержания курса Курс рассчитан для студентов 3-4 курса, обучающихся по специальности «Математические методы в экономике». К началу курса студенты должны изучить следующие дисциплины: Теория вероятностей (понятие вероятности, случайные события, случайные величины и их распределения, числовые характеристики, функции, Марковские процессы, мартингалы); Математическая статистика (выборка, способы обработки выборки, оценка параметров, метод наименьших квадратов, проверка статистических гипотез); Математический анализ (понятие функции, производная, интегралы, ряды); Дифференциальные уравнения (линейные и нелинейные системы дифференциальных уравнений, стохастические дифференциальные уравнения); Алгебра (матрицы, квадратичные формы, векторы); Экономическая теория (теория полезности).

II Содержание курса

4

1. Новизна курса В курсе рассматриваются наиболее типичные точки взаимодействия экономических и математических сторон страхования, проводится сравнительный анализ развития страхового дела в России и других стран, студенты знакомятся с основными принципами расчета (назначения) страховых тарифных ставок (премий), с основами теории разорения и ее применения для расчета тарифных ставок. Особый акцент делается на обучение студентов принципам математического моделирования разнообразных видов страховой деятельности и знакомство с конкретными моделями страховой деятельности. В курсе рассматривается анализ пенсионных схем, что особенно актуально с введением нового пенсионного законодательства. 2. Разделы курса Модуль 1. Общие вопросы страхования Гл.I. Страхование как экономическая категория Основные понятия и термины в страховании, функции страхования, актуарные вычисления, элементы построения математических моделей в страховании. Гл.II. Общая модель страхования Модель страхования, основные понятия. Гл.III. Основные принципы расчета премий Классификация принципов, общие прагматические и теоретические принципы расчета премий. Модуль 2. Основы страхование жизни Гл.IV. Основные понятия страхование жизни Основные вероятностные характеристики продолжительности жизни, таблицы продолжительности жизни, принципы расчета страховых тарифов. Гл.V. Модели страхования жизни Модели краткосрочного страхования. Модели долгосрочного страхования. Гл.VI. Теория негосударственных пенсионных фондов Основные понятия. Таблицы службы. Основные виды пенсионных схем. 3. Темы и краткое содержание Модуль 1. Общие вопросы страхования Гл.I. Страхование как экономическая категория Основные понятия и термины в страховании, функции страхования. Классификация страхования. Страховые премии (нетто-ставка, надбавка, брутто-ставка). Актуарные расчеты, элементы теории риска, этапы построения математических моделей страхования. Гл.II. Общая модель страхования Построение общей модели страхования, основные элементы модели, базовые вероятностные распределения случайных дискретных и непрерывных величин. Гл.III. Основные принципы расчета премий Элементы теории полезности (функция полезности, ее экономический смысл). Классификация принципов, прагматические и теоретические принципы расчета премий. Примеры.

5

Модуль 2. Основы страхование жизни Гл.IV. Основные понятия страхование жизни Время жизни как случайная величина. Основные вероятностные характеристики продолжительности жизни: функция выживания, кривая смертности, интенсивность смертности, среднее время жизни, ключевые соотношения между величинами. Аналитические законы смертности. Остаточное время жизни: вероятность смерти, вероятность дожития, среднее остаточное время жизни. Округленное остаточное время жизни. Приближения для дробных возрастов. Таблицы продолжительности жизни. Принципы построения таблиц. Таблицы с отбором риска. Таблицы с отбором "ограниченного действия". Коммутационные числа. Принципы расчета страховых тарифов для базовых видов страхования: пожизненного страхования жизни, страхования на дожитие, смешанного страхования жизни. Гл.V. Модели страхования жизни Модель краткосрочного страхования: общая модель, расчет размеров тарифных ставок. Модели долгосрочного страхования: варианты моделей, расчет премий для различных страховых продуктов. Гл.VI. Теория негосударственных пенсионных фондов Основные понятия теории пенсионных фондов. Построение таблиц службы. Основные виды пенсионных схем. Базовые способы вычисления пенсионных взносов и пенсионных выплат. Примеры. 4. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы Вопросы для самоконтроля Общие вопросы страхования 1. Какова экономическая природа страхования 2. Приведите классификацию страхования 3. Что такое страхователь, страховщик, страховой интерес, страховой взнос 4. Какие виды страховых взносов существуют 5. Дайте определение франшизы. Какие виды франшизы Вы можете назвать 6. Приведите основные функции страхования 7. Приведите исторические аспекты актуарной математики 8. Каковы основные задачи актуарных расчетов 9. Приведите классификацию актуарных расчетов 10. Какие принципы расчета премий Вы можете привести Моделирование рисков в страховании 1. Что понимается под риском в страховании 2. Приведите классификацию рисков в страховании 3. Модель индивидуального риска. Виды моделей индивидуального риска 4. Однородный портфель. Основные предположения модели 5. Приведите примеры формализации модели индивидуального риска

6

6. Сформулируйте модель коллективного риска 7. Приведите пример модели коллективного риска 8. Как сравнить рисковые ситуации Модель страхования 1. Приведите общую модель страхования 2. Каковы принципы построения модели краткосрочного страхования 3. Каковы принципы построения модели долгосрочного страхования 4. Какова модель распределения числа выплат по портфелю 5. Какие вероятностные распределения используются в страховании 6. Распределение потерь. Основные распределения, используемые для описания распределения потерь 7. Приведите пример использования равномерного распределения для описания убытков по одному договору и одному страховому случаю 8. Приведите пример использования экспоненциального распределения для описания убытков по одному договору и одному страховому случаю 9. Приведите пример использования распределения Парето для описания убытков по одному договору и одному страховому случаю 10. Приведите пример использования гамма - распределения для описания убытков по одному договору и одному страховому случаю 11. Приведите пример использования бета - распределения для описания убытков по одному договору и одному страховому случаю 12. Приведите пример использования нормального распределения для описания убытков по одному договору и одному страховому случаю 13. По какому закону распределяются выплаты Основы страхования жизни 1. Каковы основные вероятностные характеристики продолжительности жизни 2. Принципы построения и использования таблиц продолжительности жизни 3. Какие существуют виды таблиц продолжительности жизни 4. Какие аналитические законы смертности Вы знаете 5. Что понимается под остаточным временем жизни 6. Что означает округленное остаточное время жизни 7. В чем смысл коммутационных чисел 8. Каковы принципы расчета страховых тарифов для базовых видов страхования Тестовые задачи 1. Какова вероятность для двадцатилетнего мужчины умереть, не дожив до 50 лет? Сколько в среднем из 1000 двадцатилетних людей доживут до 50 лет? 2. Пользуясь таблицей, найти: a) вероятность для новорожденного дожить до 5 лет; b) вероятность для новорожденного умереть между 1 и 3 годами жизни. 3. Выразить через функцию lx следующие вероятности: a) вероятность для 18-летнего дожить до 65 лет; b) вероятность того, что 30-летний умрет в возрасте между 40 и 45 годами; c) вероятность для 40-летнего умереть, не достигнув 60 лет. 4. Пусть есть два человека: один в возрасте 40 лет, другой - возрасте 50 лет. Чему равна вероятность того, что: a) оба лица проживут не менее 10 лет; b) первое лицо достигнет 50-летнего возраста, а второе умрет до 55 лет. 5. Пусть функция дожития a)

вероятность

28

s( x) = 100 − x

p36

,0 ≤ x ≤ 100 . Найти

7 b)

силу смертности для возраста 20 лет.

6. Пусть сила смертности имеет следующий вид

s( x) .

μ x = 1 − cos

π 200

x . Найти выражение для

7. Пусть рассматривается группа из 500 человек, в которой 200 человек имеют возраст 20 лет, а остальные 300 человек имеют возраст 40 лет. Какова ожидаемая численность группы через 5 лет? 8. Пусть штат большой компании представляет собой стационарную совокупность. при этом ежегодно компания принимает на работу 500 лиц в точном возрасте 20 лет. Считая, что пенсионный возраст равен 60 годам, найти: • численность штата компании; • число ежегодно выходящих на пенсию; • число пенсионеров. 9. Пусть штат большой компании представляет собой стационарную совокупность. при этом ежегодно компания принимает на работу 500 лиц в точном возрасте 20 лет. Двадцать процентов из них покидают компанию спустя 10 лет, десять процентов оставшихся покидают ее спустя 20 лет, и, наконец, все остальные уходят на пенсию в возрасте 65 лет. Выразить через функцию l x следующие величины: • • • •

число сотрудников компании, покидающих ее ежегодно в возрасте 40 лет; численность штата компании; число пенсионеров; число ежегодно умирающих сотрудников компании. −x

10. Пусть функция дожития имеет вид: l x = A ⋅ e . Требуется найти для этой функции точное и округленное значение остаточной продолжительности жизни в возрасте a , где • a = 0; a = 40 . • 11. Найти вероятность того, что 30-летний мужчина проживет еще три месяца после своего дня рождения при предположении: a) равномерного распределения смертей; b) Балдуччи. 12. Пусть каждое из N лиц в возрасте 30 лет застраховало свою жизнь на 5 лет на сумму $1000. По условию эта сумма выплачивается наследникам лица, умершего в возрасте до 35 лет. Дожившим ничего не выплачивается, и премия не возвращается. Какова теоретическая (чистая) единовременная премия по каждому из этих контрактов? 13. Найти стоимость 10-летней ренты для $20000 для 50-летней женщины, если первая выплата приходится на возраст a) 50 лет; b) 51 год; c) 62 года. 14. Какова стоимость 5-летней страховой ренты в 10000$ для 18-летнего человека, если первую выплату он желает получить при достижении 28 лет? 15. Пусть каждое из N лиц в возрасте 30 лет застраховало свою жизнь на 5 лет на сумму $1000. По условию эта сумма выплачивается наследникам лица, умершего в возрасте до 35 лет. Дожившим ничего не выплачивается, и премия не возвращается. Какую ежегодную премию должен вносить каждый из застрахованных в начале каждого страхового года?

5. Примерная тематика рефератов, курсовых работ

1. 2. 3. 4. 5.

Инвестиционные стратегии страховых компаний Методы финансирования пенсионных схем Актуарное оценивание пенсионного фонда Сравнительный анализ систем пенсионного обеспечения Принципы построения профессиональных пенсионных схем

8

6. Методы оценивания вероятности разорения страховой компании 7. Анализ моделей страховой деятельности 8. Определение вероятности выполнения компанией своих обязательств по портфелю договоров имущественного страхования 9. Определение вероятности неразорения в любой из моментов предъявления требований о выплате страхового возмещения на анализе деятельности конкретной страховой компании 10. Перестрахование как инструмент управления вероятностью разорения 11. Пример построения модели индивидуального риска 6. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу

Общие вопросы страхования 1. Страхование как экономическая категория Классификация страхования. 2. Актуарные расчеты. Этапы построения математических моделей страхования. 3. Общая модель страхования 4. Теория полезности и ее использование при построении математических моделей страхования. 5. Классификация принципов расчета премий. 6. Прагматические и теоретические принципы расчета премий. Примеры. Основы страхование жизни 1. Время жизни как случайная величина. Основные вероятностные характеристики продолжительности жизни: функция выживания, кривая смертности, интенсивность смертности, среднее время жизни, ключевые соотношения между величинами. 2. Аналитические законы смертности. Примеры использования. 3. Остаточное время жизни: вероятность смерти, вероятность дожития, среднее остаточное время жизни. Округленное остаточное время жизни. Приближения для дробных возрастов. 4. Таблицы продолжительности жизни. Принципы построения таблиц. Таблицы с отбором риска. Таблицы с отбором "ограниченного действия". 5. Принципы расчета страховых тарифов для базовых видов страхования: пожизненного страхования жизни, страхования на дожитие, смешанного страхования жизни. 6. Модели краткосрочного страхования жизни 7. Модели долгосрочного страхования: варианты моделей, расчет премий для различных страховых продуктов. 8. Основные понятия теории пенсионных фондов. Построение таблиц службы. 9. Основные виды пенсионных схем. Базовые способы вычисления пенсионных взносов и пенсионных выплат. Примеры. III. Распределение часов курса по темам и видам работ №

Наименование тем

Аудиторные часы

Контр.

Самост.

9

Лекции 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8.

Введение в предмет Страхование как экономич. категория Общая модель страхования Основные принципы расчета премий Основные понятия и базовые вероятностные характеристики страхования жизни Модели страхования жизни Теория негосударственных пенсионных фондов Конкретные модели страховой деятельности Перестрахование ИТОГО:

Всег о

2 4

Сем., практ. занятия 2

и/ или курсов.

2 6

2 6

4 12

2

4

6

6

12

4

4

8

8

16

6

8

14

14

28

4

6

10

10

20

6

4

10

Деловая игра

10

20

4

4

8

Контр. работа

8

16

32

32

64

64

128

Контр. работа

работа

IV. Форма итогового контроля

Контроль знаний студентов включает: • текущий контроль по активности работы на практических занятиях; • итоговый контроль по практическим занятиям: тесты на компьютере, итоговый 2-х часовой письменный экзамен; • итоговая оценка: оценка за устный экзамен с учетом оценки за итоговый письменный экзамен. V. Учебно-методическое обеспечение курса 1.

Рекомендуемая литература (основная)

1. Г.И.Фалин, А.И.Фалин. Введение в актуарную математику (математические модели в страховании). М: Изд-во Моск. ун-та, 1994. 2. Г.И. Фалин. Математический анализ рисков в страховании. М.: Российский юридический издательский дом, 1994. 3. Г.И.Фалин. Математические основы теории страховании жизни и пенсионных схем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1996. 4. Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.A., and Nesbitt, C.J.: Actuarial Mathematics. 2nd ed., Society of Actuaries. Schaumburg, Illinois, 1997. 5. Gerber, H.U.: Life insurance mathematics (with exercises contributed by Samuel H. Cox). 2nd ed. Springer, 1995. 6. Pension reform in six countries -What can we learn from each other? SpringerVerlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. KG, Berlin, 2001 , 174 s.

10

7. Regulating private pension schemes -trends and challenges, Private pensions series, nr.4, OECD, Paris, 2002 , 331 s. 8. Barr, Nicholas, The pension puzzle -prerequisites and policy choices in pension design, Economic issues, nr.29, Washington, D.C., 2002 , 19 s. 9. Vaughan, Fundamentals of risk and insurance, 9. ed. John Wiley and Sons Ltd, New York, 2002 , 704 p. 10. Crews, Tena B., Fundamentals of Insurance, Thomson Learning, New York, 2002, 278 s. 2. Рекомендуемая литература (дополнительная)

Beard, R.E., Pentikäinen, T., and Pesonen, E.: Risk Theory. 3rd ed. New York: Chapman&Hall, 1984. 2. Blake, D.: Issues in Pension Funding. Routledge, London, 1992. 3. Blake, D.: Modelling Pension Fund Investment Behaviour. Routledge, London, 1992. 4. Borch, K.: The Mathematical theory of Insurance. Lexington, Mass: Lexington Books, 1974. 5. Bühlmann, H.: Mathematical Methods in Risk Theory. Springer - Verlag, 1970. 6. Gerber, H.U.: An Introduction to Mathematical Risk Theory. Huebner, 1980. 7. Goovaerts, M., Kaas, R., van Heerwaarden, A.E., and T. Bauwelinckx: Effective Actuarial Methods. Elsevier Science Publishers, 1990. 8. Grandell, J.: Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag, 1991. 9. Elandt-Johnson; R.C.: and Johnson, N.L.: Survival Models and Data Analysis. New York: John Wiley and Sons, 1980. 1.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Fabozzi, F.J., Modigliani, F., and Ferri, M.G.: Foundations of Financial markets and Institutions. 2nd ed., Prentige-Hall International, 1998. Ippolito, R.A.: The Economics of pension insurance. Homewood; IL: Irwin, 1989. Logue D.E.: Managing Pension Plans: a comprehensive guide to improving plan performance. Harvard Business School Press, 1998. London, D.: Survival Models and Their Estimation. Winsted, Conn.: ACTEX Publications, 1988. Madura, J.: Financial Markets and Institutions. 3rd ed., West Publishing Company, 1995. Moore, P.: The business of risk. Cambridge, 1983. Prodano, S.: Pension Funds: Investment and Performance. Gower, 1987.

Vittas, D.: The simple(r) algebra of pension plans. World Bank, PRE Working Papers, 1993. 18. Vittas, D., and Michelitsch, R.: Pension Funds in Central Europe and Russia. World Bank, PRE Working Papers, 1995.

17.