Динамический подход к ''простым'' алгебраическим кривым

Äèíàìè÷åñêèé ïîäõîä ê «ïðîñòûì» àëãåáðàè÷åñêèì êðèâûì Ãåéíö Øóìàí

ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÏÎÄÕÎÄ Ê «ÏÐÎÑÒÛÌ» ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÌ ÊÐÈÂÛÌ Ñòàòüÿ ïå÷àòàåòñÿ ñ ñîêðàùåíèÿìè. Ïåðåâîä è ðåäàêöèÿ – Ì.Ý. Þäîâèíà.

Àëãåáðàè÷åñêîé êðèâîé ïîðÿäêà n íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê (x; y), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ

∑

a ij x i y i = 0

0 ≤i + j ≤ n

ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðè÷åì ïðè

i + j = n õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ a ij ≠ 0 .

 ñòàòüå ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ êðèâûõ â êà÷åñòâå ïîäõîäÿùåãî îáúåêòà, ïðè èçó÷åíèè êîòîðîãî ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà óäàåòñÿ ñâÿçàòü àëãåáðàè÷åñêèé è ãåîìåòðè÷åñêèé ïîäõîäû â ïðåïîäàâàíèè. Äðóãèå äîâîäû â ïîëüçó àëãåáðàè÷åñêèõ êðèâûõ ñëåäóþùèå: – âîçìîæíîñòü îáîáùåíèé; – ðàçëè÷íûå ïðèëîæåíèÿ è óäîáñòâî ìîäåëèðîâàíèÿ; – ïîääåðæêà ôóíêöèîíàëüíîãî ìûøëåíèÿ; – ðîëü â èñòîðèè ìàòåìàòèêè; – ýñòåòè÷åñêàÿ öåííîñòü. Áëàãîäàðÿ êîìïüþòåðó àëãåáðàè÷åñêèå êðèâûå ñòàíîâÿòñÿ äîñòóïíûìè äëÿ ïðåïîäàâàíèÿ.  ñòàòüå äåìîíñòðèðóåòñÿ íà íåñêîëüêèõ ïðèìåðàõ, êàê ìîæíî èñïîëüçîâàòü íåêîòîðûå èç ñóùåñòâóþùèõ ïðîãðàìì äëÿ èçó÷åíèÿ ýòèõ êðèâûõ. Ïî ñëîâàì àâòîðà, èçó÷åíèå àëãåáðàè÷åñêèõ êðèâûõ ñ äâóõ òî÷åê çðåíèÿ – àëãåáðàè÷åñêîé è ãåîìåòðè÷åñêîé – ðåàëèçîâàíî â íàñòîÿùåå âðåìÿ òîëüêî â ïðîãðàìÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ

ìå Cabri Géomètre II+ (www.cabri.com).  íåé èñïîëüçóåòñÿ ÷èñëåííûé àëãîðèòì, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ïî äàííîé êðèâîé ïîäáèðàåòñÿ óðàâíåíèå ñòåïåíè n (n ≤ 6). Âèçóàëüíóþ ïðîâåðêó òî÷íîñòè ðåçóëüòàòà ìîæíî îñóùåñòâèòü, ïîñòðîèâ çàòåì êðèâóþ, çàäàííóþ ïîëó÷åííûì óðàâíåíèåì. Äëÿ ýòîãî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ëþáîé ïðîãðàììîé, óìåþùåé ñòðîèòü ãðàôèê, íàïðèìåð, DERIVE. Ïðîñòûìè àëãåáðàè÷åñêèìè êðèâûìè àâòîð íàçûâàåò êðèâûå, óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùåìó óñëîâèþ: öåëî÷èñëåííûìè ÿâëÿþòñÿ êàê èõ ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû, òàê è êîýôôèöèåíòû ñîîòâåòñòâóþùåãî àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ïðåäëàãàåòñÿ ñëåäóþùèé ïëàí ðàáîòû ñ òàêèìè êðèâûìè. 1. Ïîñòðîåíèå êðèâîé ñîãëàñíî íåêîòîðîìó ñöåíàðèþ ñ ïîìîùüþ Cabri Géomètre II+ è åå ãåîìåòðè÷åñêîå îïèñàíèå. 2. Âàðèàöèÿ êîíñòðóêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõ ïîëîæåíèå è ôîðìó êðèâîé. Ïîñòðîåíèå àíèìàöèîííîé ãðàôèêè, ïîçâîëÿþùåé ñëåäèòü çà èçìåíåíèåì êðèâîé ïðè âàðèàöèè ïàðàìåòðîâ. 3. Àâòîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, çàäàþùåãî ýòó êðèâóþ â âûáðàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. 4. Ñâÿçûâàíèå ñ öåëî÷èñëåííîé ðåøåòêîé. 5. Ýêñïåðèìåíòàëüíî-èíäóêòèâíîå îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ. 6. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïðîâåðêà óðàâíåíèÿ. Ðåàëèçàöèÿ ýòîãî ïëàíà ïðîäåìîíñòðèðîâàíà íà íåñêîëüêèõ ïðèìåðàõ. Ïðèâåäåì îäèí èç íèõ.

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Ãåéíö Øóìàí

Ðèñóíîê 1. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÊÈÑÑÎÈÄÛ

Êèññîèäà – íàçâàíèå öåëîãî êëàññà àëãåáðàè÷åñêèõ êðèâûõ.  ÷àñòíîñòè, ýòè êðèâûå èñïîëüçóþòñÿ â ãåîìåòðè÷åñêîì ðåøåíèè Äåëèéñêîé çàäà÷è. 1. Ñöåíàðèé: – ñòðîèì îêðóæíîñòü äèàìåòðà ÎÀ (êîíñòðóêòèâíûé ïàðàìåòð); – ñòðîèì â òî÷êå À ïåðïåíäèêóëÿð ê äèàìåòðó; – îòìå÷àåì íà îêðóæíîñòè ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ê; – ñòðîèì ëó÷ ÎÊ, ïåðåñåêàþùèé ïåðïåíäèêóëÿð â òî÷êå G;

Ðèñóíîê 3.

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Ðèñóíîê 2.

– îòêëàäûâàåì íà ëó÷å îòðåçîê OP, ðàâíûé KG. Êàêóþ êðèâóþ îïèøåò òî÷êà P, åñëè ïåðåìåùàòü òî÷êó K âäîëü îêðóæíîñòè? 2. Ïîëó÷àåì (â ñèñòåìå Cabri Géomètre II+) êèññîèäó, ñèììåòðè÷íóþ îòíîñèòåëüíî ÎÀ, èìåþùóþ çàîñòðåíèå â òî÷êå Î è ïåðïåíäèêóëÿð ê ÎÀ â êà÷åñòâå àñèìïòîòû (ðèñóíîê 1). 3. Ââîäèì ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû ñ íà÷àëîì â òî÷êå Î è îñüþ àáñöèññ, íàïðàâëåííîé âäîëü ÎÀ. Ïîëó÷àåì ñ ïîìîùüþ òîé æå ïðîãðàììû Cabri Géomètre II+ àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå 3-é ñòåïåíè (ðèñóíîê 2). Äëÿ ïðîâåðêè ýòîãî óðàâíåíèÿ âûáèðàåì íà êðèâîé ïðîèçâîëüíóþ ïðîáíóþ òî÷êó Ð (ðèñóíîê 3). 4. Åñëè òî÷êó À ïåðåìåùàòü ïî óçëàì öåëî÷èñëåííîé êîîðäèíàòíîé ñåòêè, òî ìîæíî çàìåòèòü ñâÿçü ìåæäó êîíñòðóêòèâíûì ïàðàìåòðîì ÎÀ è êîýôôèöèåíòàìè óðàâíåíèÿ. Îêàçûâàåòñÿ, òîëüêî êîýôôèöèåíò à ïðè y2 çàâèñèò îò À è îí ðàâåí ÎÀ (ðèñóíîê 4). Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå x3 + xy2 – ay2 = 0 (1)

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 6, 2004 ã.

Äèíàìè÷åñêèé ïîäõîä ê «ïðîñòûì» àëãåáðàè÷åñêèì êðèâûì

Ðèñóíîê 4.

Ðèñóíîê 5.

5. Èç ðèñóíêà 5 ìîæíî âûâåñòè óðàâíåíèå êèññîèäû àíàëèòèêî-ãåîìåòðè÷åñêèì ìåòîäîì. Äåéñòâèòåëüíî, óãëîâîé êîýôôèöèåíò

a  a 2  x −  + y =   , ïîëó÷àåì ïîñëå 2  2

ëó÷à OG ðàâåí ðàâíû (a; a

y , è êîîðäèíàòû òî÷êè G x

y ). Êîîðäèíàòû òî÷åê P è K x

ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî, (a – xk; a – yk) è (a – x; a

y – y). Ïîäñòàâëÿÿ êîîðäèíàòû x

òî÷êè

K

â

óðàâíåíèå

Ðèñóíîê 6.

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ

îêðóæíîñòè

2

2

îáû÷íûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèå (1). Äîïîëíåíèå. Îáîáùåíèåì êèññîèäû ÿâëÿåòñÿ ãèïîêèññîèäà, êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ ïî àíàëîãè÷íîìó ñöåíàðèþ, íî ïðè ýòîì ïðÿìàÿ AG ñìåùåíà âäîëü îñè ÎÕ (ðèñóíêè 6, 7). Àíàëîãè÷íî âûâîäèòñÿ óðàâíåíèå ãèïîêèññîèäû x3 + xy2 +(d – a)x2 – ay2 = 0, ñîäåðæàùåå äâà ïàðàìåòðà a è d.

Ðèñóíîê 7.

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Ãåéíö Øóìàí

Ðèñóíîê 8.

Íà ðèñóíêå 8 èçîáðàæåíî ñåìåéñòâî ãèïîêèññîèä, ïîëó÷àåìîå ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà à îò çíà÷åíèé, ìåíüøèõ d, äî çíà÷åíèé, áîëüøèõ d. Ïðè ýòîì êèññîèäà (à = d) îòäåëÿåò êðèâûå, äëÿ êîòîðûõ à < d, îò êðèâûõ, äëÿ êîòîðûõ à > d.  çàêëþ÷åíèå ñòàòüè àâòîð äåëàåò íåñêîëüêî çàìå÷àíèé. 1. Äëÿ êðèâûõ, çàäàâàåìûõ óðàâíåíèåì âûøå 6-é ñòåïåíè, ÷èñëåííûé àëãîðèòì, èñïîëüçîâàííûé â Cabri Géomètre II+, ñòàíîâèòñÿ íåýôôåêòèâíûì. Òàêæå ìåòîä íå ðàáîòàåò, åñëè çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ îò êîíñòðóêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ êðèâîé èððàöèîíàëüíà. 2. Ðàññìîòðèì êðèâûå, êîòîðûå ìîæíî ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëè-

íåéêè èëè äàæå ñ ïîìîùüþ êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé. Êàê îõàðàêòåðèçîâàòü òå èç íèõ, ó êîòîðûõ êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ – ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè êîíñòðóêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ? 3. Ñðåäè êëàññè÷åñêèõ àëãåáðàè÷åñêèõ êðèâûõ íåò íè îäíîé 5-é èëè 7-é ñòåïåíè. Íå ñâÿçàíî ëè ýòî ñ òåì, ÷òî ìíîãî÷ëåíû, ñòåïåíü êîòîðûõ – ïðîñòîå ÷èñëî, áîëüøåå 3, íåïðèâîäèìû? Íå ïîýòîìó ëè òàêèå êðèâûå íåëüçÿ ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé? 4. Î äàëüíåéøåì ðàçâèòèè êîìïüþòåðíûõ èíñòðóìåíòîâ.  Oliver Labs (2002) ñîçäàíà ïðîãðàììà «SPICY» ïîä Linux äëÿ ðàáîòû ñ àëãåáðàè÷åñêèìè êðèâûìè è ïîâåðõíîñòÿìè. Reinhard Oldenburg (2003) ñîçäàíà ïðîãðàììà «Feli-X» (ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ âåðñèÿ), ñîäåðæàùàÿ êîìïîíåíòû äèíàìè÷åñêîé ãåîìåòðèè, êîòîðûå ðàáîòàþò ñîâìåñòíî ñ êîìïîíåíòàìè êîìïüþòåðíîé àëãåáðû ñèñòåìû MATEMATICA. Ñ ïîìîùüþ «Feli-X» ìîæíî äëÿ êîíñòðóèðóåìîé àëãåáðàè÷åñêîé êðèâîé âû÷èñëèòü òî÷íî åå óðàâíåíèå. Îáðàòíàÿ çàäà÷à – ïî çàäàííîìó óðàâíåíèþ ïîñòðîèòü êðèâóþ êàê îáúåêò äèíàìè÷åñêîé ãåîìåòðèè (à íå ïðîñòî êàðòèíêó íà ýêðàíå) – ñâÿçàíà ñ ïðèíöèïèàëüíîé ïðîáëåìîé äâóñòîðîííåé ñâÿçè ìåæäó ñèñòåìàìè äèíàìè÷åñêîé ãåîìåòðèè è êîìïüþòåðíîé àëãåáðû. Eugenio RoanesLozano è äð. (2003) ñîçäàëè àíàëîãè÷íóþ ïðîãðàììó, áàçèðóþùóþñÿ íà Maple è Derive.

Ëèòåðàòóðà 1. Gawlick, Th. (2001): Exploration reell algebraischer Kurven mit DGS und CAS. In: Elschenbroich, H.-J. et al.: Zeichnung – Figur – Zugfigur. Mathematische und didaktische Aspekte dynamischer Geometrie. Hildesheim: Franzbecker, S. 69–76. 2. Gawlick, Th. (2003): Über die Mächtigkeit dynamischer Konstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen. Bielefeld: IDM, Occasional Paper 185 / www.uni-bielefeld.de/idm/publikationen/occpap.html 3. Labs, O. (2002): SPICY – Mehr als dynamische Geometrie mit Hilfe von Computeralgebra. Vortrag auf der Fachtagung «Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung III», 2–5. April 2002, Kloster Schöntal / www.oliverlabs.net/spicy 4. Oldenburg, R. (2003): Feli-X: Ein Prototyp zur Integration von CAS und DGS. Erscheint in: Bender, P. et al.: Lehr- und Lernprogramme für den Mathematikunter-richt. Berichte über die 20. Arbeitstagung des Arbeitskreises «Mathematikunterricht und Informatik» in der GDM vom 27. bis zum 29. September 2002 in Soest. 5. Roanes-Lozano, E. and Roanes-Maæias, E., Villar-Mena, M. (2003): A Bridge Between Dynamic Geometry and Computer Algebra. In: Mathematical and Computer Modelling 37/9–10, p. 1005–1088.

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© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 6, 2004 ã.

Äèíàìè÷åñêèé ïîäõîä ê «ïðîñòûì» àëãåáðàè÷åñêèì êðèâûì 6. Schumann, H. (1991): Schulgeometrisches Konstruieren mit dem Computer. Stuttgart: Metzler und Teubner (auch im Archiv von www.math-schumann.de). 7. Schumann, H. (2001): Die Behandlung von Funktionen einer reellen Variablen mit Methoden der dynamischen Geometrie. In: Elschenbroich, H.-J. et al.: Zeichnung – Figur – Zugfigur. Mathematische und didaktische Aspekte Dynamischer Geometrie. Hildesheim: Franzbecker, S. 173–182. 8. Schupp, H. / Dabrock, H. (1995): Höhere Kurven – Situative, mathematische, historische und didaktische Aspekte. Mannheim: BI Wissenschaftsverlag. 9. Weth, Th. (1993): Zum Verständnis des Kurvenbegriffs im Mathematikunterricht. Hildesheim: Franzbecker.

Heinz Schumann, Prof. Dr. habil, Fakultat III, Mathematik/Informatik, Institur fur Bildungsinformatik University of Education (PH), Weingarten, Germany. Þäîâèí Ìàðê Ýëüÿâè÷, äîöåíò êàôåäð âûñøåé ìàòåìàòèêè ÑÏáÃÝÒÓ è ÑÏáÃÓ ðàñòèòåëüíûõ ïîëèìåðîâ. ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ

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