Механика деформируемого кабеля: Монография

Глава 1 Континуальная модель спиральноанизотропного стержня и ее применение в статике кабелей 1.1. Обзор подходов к моделированию статики кабелей

В современных конструкциях наряду с материалами, обычно при расчетах принимаемыми за однородные и изотропные, используются анизотропные материалы, у которых наблюдается различие в упругих свойствах для разных направлений. В частности, анизотропией упругих свойств обладают кристаллы и некоторые горные породы [3]. Анизотропными являются композиционные и синтетические материалы, применяемые, например в самолетостроении [41]. В современных конструкциях используются элементы с так называемой конструктивной или искусственной анизотропией. К последним относятся пластинки и оболочки из изотропного материала, которым придана волнистость путем гофрирования или усиления часто поставленными ребрами, а также канаты и различные кабельные конструкции. Упругие постоянные кристаллических веществ - монокристаллов, минералов, горных пород определялись экспериментальным путем многими исследователями. В обзорной статье [3] приведены упругие постоянные более двухсот кристаллических веществ, указаны методы их определения. Актуальна задача определения упругих характеристик композиционных материалов, о чем свидетельствует большое число работ, посвященных этой теме [71, 31, 68, 23, 7, 11, 28]. Классические задачи теории упругости анизотропного тела ставились, в основном, для простейших типов прямолинейной анизотропии. В работах С.Г. Лехницкого [35,36], П.Н.Житкова [25], С.А.Амбарцумяна [4], А.А. Баблояна [8], Е.К.Ашкенази [6] и других ученых рассмотрены различные задачи теории упругости анизотропного тела такого типа. Для многих анизотропных материалов экспериментальные значения упругих характеристик пока не определены, и это сдерживает внедрение теоретических разработок в расчетную практику. В особенности это касается непрерывно8

неоднородных материалов, когда упругие коэффициенты в уравнениях обобщенного закона Гука являются непрерывными функциями координат. Такого рода анизотропия наблюдается в анизотропных материалах, прошедших термическую обработку или приобретших непрерывную неоднородность вследствие несовершенной технологии. Практика показывает, что изменение упругих модулей по координатам наблюдается во многих анизотропных материалах, обычно принимаемых за однородные [36]. Большой интерес с теоретической точки зрения и с точки зрения практических приложений имеет направление исследований напряженно-деформированного состояния криволинейно-анизотропных тел. Одним из важных, но мало изученных типов криволинейно-анизотропных тел является спирально-анизотропное тело САТ – далее для краткости будем использовать это сокращение. Впервые термин “спиральноанизотропный стержень” (a rod with helical anisotropy) употребляется в работе [73], датированной 1977 годом. В ней исследовалась задача о растяжении и кручении сильно закрученной пряжи, которая моделировалась упругим спирально-анизотропным цилиндром. Рассматривались пряжи с внешним углом закрутки порядка 55°. Ранее подобные задачи решались лишь для слабозакрученных пряж или пряж, состоящих из параллельных волокон. Следуя [74], автор работы использует систему координат, оси которой ориентированы в соответствии с направлением касательной к данному волокну в данной точке (helical coordinate system). Отметим терменологическую неточность. Ранее такая система координат использовалась лишь для локального исследования в данной точке. Глобальная система координат с координатными линиями, ориентированными вдоль волокон и перпендикулярно волокнам, а также по радиальным направлениям цилиндра не существует. Легко проверить, что названные три семейства линий не образуют систему координат, так как эти семейства невозможно параметризовать таким образом, чтобы при перемещении вдоль линии одного семейства две другие координаты не изменялись. Под “геликоидальной системой координат” здесь следует понимать локальную декартову систему координат, свою в каждой точке рассматриваемого тела. Далее термин “геликоидальная система коор9

динат” с указанными оговорками, мы будем использовать постоянно. В [41] отмечалось, что такие конструкции как пряжи, канаты, сердечники кабеля геометрически эквивалентны, если иметь ввиду их спиральную структуру. При всем различии механические свойства этих конструкций определяются геометрией расположения отдельных волокон и прежде всего, шагом скрутки, а также упругими свойствами материала составных элементов конструкций. Работа [43] развивает подход, предложенный для изучения механического поведения крученых пряж, на проволочные кабели. Решается задача об осевом растяжении и кручении при малых деформациях. Отмечается, что поперечным сжатием и поперечными силами можно пренебречь. Результаты дают удовлетворительное совпадение с экспериментами. В настоящее время наибольшее развитие в расчетах спирально-анизотропных структур (канатов, кабелей, крученых пряж) получили две расчетные модели - это стержневая (дискретная) модель и непрерывная модель. До начала 60-х годов прошлого века в силовом расчете каната использовалась, в основном, теория гибкой нити [56], то есть канат отождествлялся с некоторой эквивалентной по внешним свойствам нитью без структурных особенностей. Упругие модули этой идеализированной нити подбирались эмпирическим путем. При этом наблюдался значительный разброс в значениях упругих характеристик каната, предлагаемых различными авторами. Например, значение отношения обобщенного осевого модуля упругости каната Ek к модулю Юнга отдельной проволоки E колебалось от 4/9 до 7/8. Между тем, теория гибкой нити сыграла в силовом расчете канатов свою прогрессивную роль, особенно в задачах динамики шахтного подъема. А.Н. Динник [21] впервые связал внешние упругие характеристики каната с внутренней его геометрией. В результате многолетних исследований им была получена формула, связывающая отношение обобщенного осевого модуля растяжения каната E k к модулю Юнга отдельной проволоки E с углом крутки каната

α0 .

Под уг-

лом крутки каната подразумевается угол винта поверхностных спиральных проволок каната. Эта формула имеет вид: 10

Ek = cos 4 α 0 E Сравнивая результаты своих вычислений с многочисленными опытными данными А.Н. Динник показал, что в среднем эта формула дает ошибку 5%. Однако, при всех достоинствах теории гибкой нити, вытекающих из простоты и наглядности расчетной модели, эта теория оказалась малоэффективной при оценке прочности каната, т.к. не давала реальной картины распределения напряжений по сечению каната. Согласно этой теории напряжения в канате распределяются равномерно по поперечному сечению каната, а это противоречит многочисленным опытным данным по анализу разрушения каната при растяжении [51,52]. В работах М.Ф. Глушко [17] и его учеников [18,27,47] было развито перспективное направление в механике канатов, способное противопоставить теории гибкой нити точность расчета и максимальную его приближенность к конструкции реального каната. В основе этого направления лежит дискретная модель каната: канат представляется сложной статически неопределимой стержневой системой, в общем, поддающейся расчету методами строительной механики. Однако, дискретная модель не универсальна. Во-первых, потому, что размерность задач существенно зависит от числа проволок в пряди. Во-вторых, дискретная модель предусматривает точечное контактирование составляющих конструкции. Альтернативным является новое направление в механике канатов и кабелей, основанное на континуальном подходе, принципиально отличное и от дискретной модели и от теории гибкой нити. Непрерывная модель подразумевает представление каната и кабеля сплошным анизотропным цилиндром с анизотропией, соответствующей конструкции. При этом подходе точность расчетной модели (в отличие от дискретной) повышается с увеличением плотности упаковки проволок в пакете, а форма поперечного сечения отдельной проволоки не имеет значения. Как было отмечено, подобный подход к исследованию напряженного состояния конструкции имеет место в механике крученых пряж. 11

Определяющие принципы построения механики крученых пряж заложены в работах Херла [69, 70]. Уравнения равновесия в этих работах составляются для характерного элемента пряжи, находящегося под действием лишь нормальных к граням элемента сил контактного взаимодействия. Условия совместности деформаций строятся из геометрических соображений. Иными словами, во всех уравнениях основной системы фигурируют лишь осевые напряжения, действующие вдоль волокон и нормальные к осям волокон напряжения. Касательные напряжения не учитываются. Это, безусловно, обедняет возможности применения расчетной модели, а также ограничивает круг задач лишь задачами, связанными с растяжением пряжи. Таким образом, теория гибкой нити сыграла свою положительную роль в развитии статики канатов и кабелей, но в настоящее время не удовлетворяет современным требованиям к точности расчета, так как не отражает действительного распределения напряжений в канате. Дискретная модель канатов и кабелей более соответствует действительности. Уровень развития теории упругости анизотропного тела позволяет на основе разработанных к настоящему времени общих методов исследования провести анализ напряженнодеформированного состояния спирально-анизотропного тела, соответствующего непрерывной модели канатов и кабелей. В настоящее время решен ряд задач для упругого спирально-анизотропного тела САТ, имеющий приложение к механике деформируемого кабеля [38, 39, 41, 43] Разработаны методы экспериментального определения жесткостей и последующего расчета упругих характеристик кабельных конструкций. Исходные данные для определения упругих характеристик, получаются в результате измерений. Любому измерению, как непосредственному (прямому), так и косвенному, как бы тщательно оно ни было произведено, обязательно присущи ошибки. По своему характеру каждая из ошибок может быть отнесена к систематической или случайной. Систематическая ошибка вызывается действием факторов, которые не меняются на протяжении эксперимента и при повторении наблюдений [так называемых ”мешающих” факторов]. Случайные ошибки возникают под действием факторов, которые невозможно точно воспроизвести при повторной организации на12

блюдения. Четкую грань между случайными и систематическими ошибками провести невозможно. Иногда действие "мешающего" фактора удается изучить и соответствующую ошибку учесть. В этом случае систематическую ошибку можно исключить из рассмотрения. Иногда действием "мешающего" фактора пренебрегают и тогда ошибка, которая неизбежно возникает, считается случайной. В каждой конкретной задаче имеется свой механизм возникновения ошибок измерения, поэтому закон распределения ошибок в каждой задаче должен быть весьма индивидуален. На практике часто применяется гауссовская модель погрешности в задании ошибок измерения, которая считается наиболее адекватной для многих реальных физических шумов, сопутствующих измерениям [15, 16]. В пользу гауссовской модели погрешности можно привести соображения, использующие центральную предельную теорему теории вероятностей и некоторые представления теории информации. Эти соображения связаны с тем, что, во-первых, распределение суммы большего числа "малых" случайных величин согласно центральной предельной теореме стремится к нормальному закону [к гауссовскому распределению], а, во-вторых, нормальный закон имеет максимальную энтропию среди возможных законов распределения с одинаковыми первыми двумя моментами, т.е. при нормальном законе распределения ошибок измерения значение измеряемой величины в максимальной степени не определено. Ввиду того, что исходные данные задач содержат случайные погрешности, при реализации этих задач возможны как детерминированный, так и вероятностный [статистический] подходы. Разница между этими подходами заключается в различной интерпретации ошибок в задании исходных данных. Вместо точного значения исходных данных y из пространства измерений Υ нам обычно задается его приблиy = y + ξ , где элемент ξ представляет соженное значение ~ бой случайные погрешности в исходных данных. Причем зачастую элемент ξ не принадлежит исходному пространству измерений Υ , а принадлежит некоторому расширению про-

~

странства Υ .

13

Детерминированный подход Интерпретация ошибок при детерминированном подходе заключается в следующем. Предполагается, что для любого процесса измерения существует такое число δ >0, что исходные данные задачи удовлетворяют неравенству:

y−~ y ≤ δ.

Считается, что число δ не зависит от постановки задачи, а определяется только точностью проводимых измерений. Вероятностный подход Несмотря на то, что современная теория вероятности дает более адекватное описание погрешностей в задании исходных данных, вероятностный (или статистический) подход развит в значительной мере слабее детерминированного. Вероятностный подход требует задания некоторых статистических характеристик ошибок, возникающих при измерении исходных данных. Обоснованный выбор функции распределения случайной величины приводит к уточнению решения рассматриваемой задачи [53].

1.2 Упругое равновесие тела, обладающего спиральной анизотропией 1.2.1 Определение спирально-анизотропного тела Материальное упругое тело называют спиральноанизотропным, если с ним связана некоторая ось анизотропии z , а кривые с упруго-эквивалентными свойствами представляют собой семейство винтовых линий шага h с осью z [73]. Эквивалентность понимается в смысле тождественности упругих свойств в каждой точке кривой. Кривые с упругоэквивалентными свойствами в дальнейшем будем называть волокнами, хотя это не всегда будет означать, что тело имеет волокнистую структуру. Ось анизотропии не обязательно проходит внутри тела, она может лежать на поверхности или проходить вне его (например, в полости). Рассматривается модель, для которой через каждую точку тела проходит одно единственное волокно, представляющее собой винтовую линию (спираль) шага h . Все волокна, лежащие на некотором внутреннем цилиндрическом слое r = const ( r - расстояние 14

до оси анизотропии), имеют один и тот же угол винта α ( α - угол между осью анизотропии и касательной к волокну). А при переходе от слоя к слою угол α изменяется, причем α = 0 при r = 0 , α → π / 2 при r → ∞ . Предполагая линейную связь между напряжениями σ ij и

ε kl , закон σ ij = Cijkl ε kl

деформациями

Гука запишем в виде: (1.1)

Как отмечал Лехницкий С.Г. [36], в случае криволинейной анизотропии целесообразно закон Гука (1.1) записывать в системе криволинейных ортогональных координат, выбранной так, чтобы координатные направления ее в каждой точке совпадали с эквивалентными (в отношении упругих свойств). Можно, конечно, пользоваться записью обобщенного закона Гука в прямолинейной декартовой системе координат, но тогда в уравнениях обобщенного закона Гука коэффициенты C ijkl уже не будут постоянными и будут меняться от точки к точке. Рассматриваемый случай спиральной анизотропии позволяет связать с телом криволинейную ортогональную систему координат, обладающую отмеченным выше качеством, а именно - совпадением координатных линий с упругоэквивалентными направлениями. Выберем в пространстве x , y , z некоторую прямую Oz в качестве оси геликоидальной системы координат. Свяжем с осью Oz семейство круговых цилиндров. На каждом цилиндре r = const выберем семейство винтовых линий [спиралей] шага h . Через каждую точку пространства пройдет одна единственная спираль шага h . Причем угол винта всех спиралей, лежащих на одном и том же цилиндре будет одинаков, но будет различен для спиралей, принадлежащих разным цилиндрам, т.е. угол винта а есть функция расстояния от спирали до оси Oz . Для того, чтобы найти эту зависимость, воспользуемся разверткой цилиндра радиуса r и высоты h (рис.1.1). Линия развертывается в прямую, поэтому, как видно из рисунка 1.1: 15

tgα = kr

(1.2)

z

где k = 2π / h - показатель анизотропии среды.

z r h

∧

ez

z=const

∧

eθ

на развертке цилиндра радиуса

r=const

r.

0

Геликоидальной системой координат будем называть репер Френе, построенный на семействе соосных винтовых линий одинакового шага h . На рис.1.2 изображены координатные поверхности цилиндрических координат: r = const (цилиндр), z = const (плоскость, перпендикулярная Oz ), θ = const (плоскость, содержащая Oz ), и триэдр единичных векторов e€r , e€θ , e€z . Из ри-

сунка видно, что единичные векторы геликоидальной системы координат: e€r , e€ξ , e€η получены поворотом триэдра ( e€r , e€θ , e€z ) вокруг оси e€r против хода часовой стрелки на угол

( π / 2 − α ), где α - угол винта соответствующей спирали. Координатными линиями геликоидальной системы координат, таким образом, являются:

(r ) - радиальные прямые, перпендикулярные оси Oz ; (ξ ) - винтовые линии шага h ; (η ) - винтовые линии с круткой, противоположной лини-

ξ;

y

θ θ=const x Рис.1.2. Координатные векторы геликоидальной системы координат:

ρ er - вектор нормали к винтовой линии; ρ eξ - вектор касательной к винтовой линии; ρ eη - вектор бинормали к винтовой линии.

Координатные тройки цилиндрической ( e€r , e€θ , e€z ) и геликоидальной ( e€r , e€ξ , e€η ) систем координат связаны

зависимо-

стью

e€i = C ij e€j

(1.З)

i ⊂ {r , ξ ,η} , j ⊂ {r , θ , z} 16

→

er,er

2πr

ям

∧

e

α

h

e

→ η

h

Рис.1.1. Винтовая линия шага

→ ξ

17

где

0 ⎛1 ⎜ C ij = ⎜ 0 sin α ⎜ 0 − cos α ⎝

0 ⎞ ⎟ cos α ⎟ sin α ⎟⎠

(1.4)

среды, а шаг координатных геликоидов взять равным шагу винта упруго-эквивалентных спиралей. На рис. 1.3 показан материальный объем спиральноанизотропной среды. На гранях криволинейного параллелепипеда показаны компоненты тензора напряжений в геликоидальной системе координат. Нормальные компоненты σ r ,σ ξ ,σ η определяют упруго-эквивалентные направления в среде.

1.2.2 Напряжения и деформации в геликоидальной системе координат Компоненты тензора напряжений в двух системах координат связаны соотношением σ ij = Cip C jpσ pq , (1.5) что дает следующие зависимости:

σξ r

σr =σr

⎫ ⎪ σ ξ = σ θ sin α + 2τ θz sin α + σ z cos α ; ⎪ ⎪ 2 2 σ η = σ θ cos α − 2τ θz sin α + σ z sin α ; ⎪ ⎬ τ rξ = τ ξz = τ rθ sin α + τ rz cos α ; ⎪ ⎪ τ rη = τ ηr = −τ rθ cos α + τ rz sin α ; ⎪ 2 2 τ ξη = τ ηξ = (σ z − σ θ ) sin α cos α + τ θz (sin α − cos α )⎪⎭ 2

2

τξη

(1.6) α

τrξ ση

τrη

σr

В правые части равенств системы (1.6) входят компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат: σ r ,σ θ ,σ z ,τ θz ,τ rz ,τ rθ . В левых частях равенств системы (1.6) представлены компоненты тензора напряжений в геликоидальной системе координат: σ r ,σ ξ ,σ η ,τ ξη ,τ rη ,τ rξ . Сопоставления геликоидальной системы координат с теоретической моделью спирально-анизотропной среды убеждает нас в том, что всегда можно подобрать геликоидальную систему координат так, чтобы координатные линии совпадали с упруго-эквивалентными направлениями среды. Для этого нужно совместить оси координатной системы с осью анизотропии 18

Рис. 1.3. Элемент спирально-анизотропной среды

Легко получить обратные соотношения, выражающие компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат через компоненты тензора напряжений в геликоидальной системе координат: 19

σγ = σγ ;

⎫ ⎪ 2 2 σ θ = σ ξ sin α − 2τ ξη sin α cos α + σ η cos α ; ⎪ ⎪ σ z = σ ξ cos 2 α + 2τ ξη sin α cos α + σ η sin 2 α ; ⎪ ⎬ τ rθ = τ θr = τ rξ sin α − τ rη cos α ; ⎪ ⎪ τ rz = τ zr = τ rξ cos α − τ rη sin α ; ⎪ τ θz = τ zθ = (σ ξ − σ η ) sin α cos α + τ ξη (sin 2 α − cos 2 α )⎪⎭

εr (1.7)

В дальнейшем будут рассматриваться только малые деформации среды, поэтому введем в рассмотрение Эйлеров тензор бесконечно малых деформаций торого

в

декартовой ортогональной xl , l = {1,2,3} , выражаются в виде:

1 ⎛ ∂u

ε ij

, компоненты ко-

системе

∂u j ⎞

⎟, ε ij = ⎜⎜ i + 2 ⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠

координат

(1.8)

где u k , k = {1,2,3} - компоненты вектора перемещений. Ниже используются компоненты тензора деформаций в цилиндрической системе координат:

εr 1 γ rθ 2 1 γ rz 2

1 γ rθ 2

εθ 1 γ θz 2

1 γ rz 2 1 γ θz 2

(1.9)

εz

1 γ rξ 2 1 γ rη 2

1 γ rξ 2

εξ 1 γ ξη 2

1 γ rη 2 1 γ ξη 2

(1.10)

εη

Аналогичные (1.5) зависимости существуют между компонентами тензора деформаций в цилиндрической и геликоидальных системах координат:

εγ = εγ ;

⎫ ⎪ ε ξ = ε θ sin 2 α − γ θz sin α cos α + ε z cos 2 α ; ⎪ ⎪ 2 2 ε η = ε θ cos α + γ θz sin α cos α + ε z sin α ; ⎪ ⎬ γ rξ = γ ξr = γ rθ sin α − γ rz cos α ; ⎪ ⎪ γ rη = γ ηr = −γ rθ cos α − γ rz sin α ; ⎪ 2 2 γ ξη = γ ηξ = 2(ε z − ε θ ) sin α cos α + γ θz (sin α − cos α )⎪⎭

(1.11)

εr = εr;

⎫ ⎪ ε θ = ε ξ sin 2 α − γ ξη sin α cos α + ε η cos 2 α ; ⎪ ⎪ 2 2 ε z = ε ξ cos α + γ ξη sin α cos α + ε η sin α ; ⎪ ⎬ (1.12) γ γθ = γ θr = γ rξ sin α − γ rη cos α ; ⎪ ⎪ γ rz = γ zr = γ rξ cos α − γ rη sin α ; ⎪ γ θz = γ zθ = 2(ε ξ − ε η ) sin α cos α + γ ξη (sin 2 α − cos 2 α )⎪⎭ Известны [36] зависимости компонент тензора деформаций от компонент вектора перемещений в цилиндрической системе координат:

и в геликоидальной системе координат: 20

21

⎫ ⎪ uξ = uθ sin α − u z cos α ; ⎬ ⎪ uη = −uθ cos α − u z sin α ⎭

∂u r ⎫ ; ⎪ ∂r ⎪ 1 ∂uθ u r ⎪ + ; εθ = ⎪ r ∂θ r ⎪ ∂u z ⎪ εz = ; ⎪ ∂z ⎬ ∂uθ 1 ∂u z ⎪ + γ γθ = ; ⎪ ∂z r ∂θ ⎪ ∂u ∂u ⎪ γ rz = z + r ; ∂z ∂r ⎪ 1 ∂u r ∂uθ uθ ⎪ + − ⎪ γ θz = ∂r 2 ∂θ r ⎭

ur = ur ;

εr =

(1.13)

Подставляя теперь (1.16) и (1.13) в (1.11) и учитывая (1.2), получаем связь между компонентами тензора деформаций и вектора перемещений в геликоидальной системе координат:

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u ξ + εξ = cos α + ⎪ ∂θ r ∂z ⎪ ⎪ ur + sin 2 α ; ⎪ r ⎪ ∂uη cos α ⎪ 2 εη = − cos α + ⎪ ∂θ r ⎪ ∂uη ur ⎪ 2 + sin α + cos α ; ⎪ ∂z r ⎪ ∂u ξ ∂u r sin α ∂u r ⎪ + − γ rξ = cos α + ⎬ ∂θ r ∂z ∂r ⎪ 2 sin α 1 ⎛ ⎞⎪ − uξ + uη cos α ⎜ k cos α + sin α ⎟; ⎪ r r ⎝ ⎠⎪ ⎪ ∂ uη ∂u cos α ∂u r + − γ rη = r sin α + ⎪ ∂θ r ∂z ∂r ⎪ cos 2 α 1 ⎛ ⎞⎪ − uη + uξ cos α ⎜ k cos α − sin α ⎟;⎪ r r ⎝ ⎠⎪ ⎪ ∂u ∂u ∂u cos α + ⎪ γ ξη = ξ sin α + η cos α − ξ ∂z ∂z ∂θ r ⎪ ⎪ ∂uη sin α sin 2α + − uγ ⎪ r ∂θ r ⎭

εr =

Получим аналогичные соотношения в геликоидальной системе координат. Найдем проекции вектора перемещений на геликоидальные оси er , eξ , eη :

u = u r e€r + uθ e€θ + u z e€z = u r e€r + uξ e€ξ + uη e€η

(1.14)

С учетом (1.3) тождество (1.14) принимает вид:

u = u r e€r + uξ (e€θ sin α + e€z cos α ) + uη (−e€η cos α + e€z sin α ) (1.15) Сравнение (1.14) и (1.15) приводит к

⎫ ⎪ uθ = uξ sin α − uη cos α ;⎬ ⎪ u z = uξ cos α − uη sin α ⎭

ur = ur ;

(1.16)

элементарно получаются обратные зависимости: 22

(1.17)

∂u r , ∂r ∂uξ sin α

23

(1.18)

Используя в формулах (1.18) соотношения (1.17) между компонентами вектора перемещений в геликоидальной и цилиндрической системах координат, получим:

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ 1 ∂uθ u r ⎞ ⎪ εη = ⎜ + ⎟ cos 2 α − r ⎠ ⎪ ⎝ r ∂θ ⎪ ∂u 1 ∂u z ⎞ ⎛ ∂u 2 −⎜ θ + ⎟ sin α cos α + z sin α ;⎪ ⎪ ∂z ⎝ ∂z r ∂θ ⎠ ⎪ ⎛ 1 ∂u r ∂uθ uθ ⎞ ⎪ γ rξ = ⎜ + − ⎟ sin α + ⎬ ∂r r ⎠ ⎝ r ∂θ ⎪ ⎪ u u ∂ ∂ ⎛ ⎞ + ⎜ z + r ⎟ cos α ; ⎪ ∂z ⎠ ⎝ ∂r ⎪ ⎪ ⎛ 1 ∂u r ∂uθ uθ ⎞ ⎪ γ rη = − ⎜ + − ⎟ cos α + r ⎠ ∂r ⎪ ⎝ r ∂θ ⎪ ⎛ ∂u z ∂u r ⎞ ⎪ + +⎜ ⎟ sin α ; ⎪ ∂z ⎠ ⎝ ∂r ⎪ ⎛ ∂u z 1 ∂uθ u r ⎞ ⎪ − ⎟ sin α cos α + − γ ξη = 2⎜ ⎪ r ⎠ ⎝ ∂z r ∂θ ⎪ ⎛ ∂uθ 1 ∂u z ⎞ ⎪ 2 2 +⎜ + ⎟ sin α − cos α ⎪ ⎝ ∂z r ∂θ ⎠ ⎭

∂u r , ∂r ⎛ 1 ∂uθ u r ⎞ 2 εξ = ⎜ + ⎟ sin α + r ⎠ ⎝ r ∂θ ∂u 1 ∂u z ⎞ ⎛ ∂u 2 +⎜ θ + ⎟ sin α + z cos α ; θ ∂ z r z ∂ ∂ ⎝ ⎠

εr =

(

1.2.3 Уравнения равновесия в геликоидальной системе координат Запишем известные (41) уравнения равновесия в цилиндрической cистеме координат:

∂σ r σ r − σ θ 1 ∂τ rθ ∂τ rz ⎫ + + + + X γ = 0;⎪ ∂r ∂z r r ∂θ ⎪ 1 ∂σ θ ατ rθ 2τ rθ ∂τ θz ⎪ + + + + X θ = 0; ⎬ r ∂θ r ∂r ∂z ⎪ ∂σ z ∂τ rz τ rz 1 ∂τ θz ⎪ + + + + Xz =0 ⎪ r r ∂θ ∂z ∂r ⎭ Здесь X r , X θ , X z -компоненты объемных сил.

(1.20)

Дифференцируя выражение (1.7) с учетом (1.2) и подставляя полученные производные в (2.20), получим уравнения равновесия в геликоидальных координатах:

(1.19)

)

Для полного суждения о напряженно-деформированном состоянии тела, находящегося под действием внешних сил, необходимо знать девять функций: шесть составляющих напряжения и три проекции смещения. 24

Для определения этих девяти функций строится система уравнений, включая шесть физических уравнений, связывающих напряжения с деформациями, и три уравнения равновесия.

∂σ r 1 + (σ r − σ ξ sin 2 α + 2τ ξη sin α cos α − σ η cos 2 α ) + r ∂r ∂τ rη ⎞ ∂τ rξ 1 ⎛ ∂τ rξ + ⎜⎜ sin α − cos α ⎟⎟ + cos α + ∂θ r ⎝ ∂θ ⎠ ∂z +

∂τ rη ∂z

sin α + X r = 0;

∂τ rη ∂σ η 1 ⎛ ∂σ ξ ⎜⎜ sin 2 − 2 sin α cos α + cos 2 α + 2τ rξ sin α − r ⎝ ∂θ ∂θ ∂θ ∂τ rη ⎞ ∂τ rξ − 2τ rη cos α ⎟⎟ + sin α − cos α + τ rξ k cos 3 α + ∂r ⎠ ∂r 25

⎛ ∂σ ξ ∂σ η ⎞ ⎟ sin α cos α + + τ rη k sin α cos 2 α + ⎜⎜ − ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂z ∂τ ξη sin 2 α − cos 2 α + X ξ sin α − X η cos α = 0; + ∂z ∂σ ξ ∂τ ξη ∂σ η ∂τ rξ cos 2 α + 2 sin α cos α + sin 2 α + cos α + ∂z ∂z ∂z ∂r ∂τ rη sin α − τ rξ k sin α cos 2 α + τ rη k cos 3 α + + ∂r ∂τ 1 ⎛ ⎛ ∂σ ξ ∂σ η ⎞ ⎟⎟ sin α cos α + ξη sin 2 α − cos 2 α + + ⎜⎜ ⎜⎜ − ∂θ ⎠ r ⎝ ⎝ ∂θ ∂θ + τ rξ cos α + τ rη sin α ) + X ξ cos α + X η sin α = 0

(

Входящие в (1.22) упругие константы имеют следующий физический смысл: E r , Eξ , Eη − модули продольной упругости материала соот-

)

(

ветственно в направлении осей r , ξ ,η ;

Gξη , Grη , Grξ − модули сдвига материала в указанных плоскостях: ν ij , где i, j = {r , ξ ,η } - коэффициенты Пуассона, указывающие на величину относительного сужения материала в направлении оси i под действием растягивающей силы, сов-

)

падающей по направлению с осью j . Во многих реальных конструкциях типа канатов, кабелей, крученых пряж, направления r и η - упруго-эквивалентны, (1.21)

1.2.4 Физические уравнения САТ Построенная теоретическая модель спиральноанизотропного тела, предполагает наличие в каждой точке тела трех упруго-эквивалентных направлений, определяеρ ρ ρ мых векторами er , eξ , eη . Так как упруго-эквивалентные направления совпадают с координатными, физически управления (1.1) в геликоидальных координатах будут содержать лишь двенадцать не зависимых упругих констант. В технических обозначениях эти уравнения примут вид:

⎫ ν ν 1 1 σ r − ξr σ ξ − ηr σ η ;ν ξη = τ ξη ; ⎪ Er Eξ Eη Gξη ⎪ ⎪ ν rξ ν ηξ 1 1 ⎪ εξ = σr + σξ − σ η ;ν rη = τ rη ;⎬ Er Eξ Eη Grη ⎪ ⎪ ν ν 1 1 ε η = rη σ r − ξη σ ξ − σ η ;ν rξ = τ rξ . ⎪ Er Eξ Eη Grξ ⎪⎭

ν rξ = ν εξ = ν 1 ; E r = Eη = E 2 ;⎫ ν ηr = ν rη = ν 2 ; Eε = E1 ; Gξη = Grξ = G1 ; Grη = G2

⎪ ⎬ ⎪ ⎭

(1.22)

(1.23)

Задача при этом существенно упрощается- в определяющих уравнениях остается лишь шесть упругих констант материала и теперь уравнения имеют вид:

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ E 1 E 2 ε ξ = −ν 1σ r − 2 σ ξ − ν 1σ η ; γ rξ = τ rξ ;⎬ E1 G1 ⎪ ⎪ 1 E 2 ε η = −ν 2σ r − ν 1σ ξ + σ η ; γ rη = τ rη . ⎪ G2 ⎭ E 2 ε r = σ r − ν 1σ ξ − ν 2σ η ; γ ξη =

εr =

26

все радиальные направления в поперечном сечении тождественны в отношении упругих свойств. Этот факт накладывает на упругие константы следующие ограничения:

27

1 τ ξη ; G1

(1.24)

1.2.5 Уравнения равновесия спиральноанизотропного тела при осесимметричном нагружении

Уравнения равновесия (1.26) упрощаются и принимают вид:

Построим управления равновесия при осесимметричном нагружении, когда ось анизотропии Оz является силовой осью симметрии. Осесимметричность напряжений приводит к системе равенства:

∂σ r 1 ⎫ + σ r − σ ξ sin 2 α + 2τ ξη sin α cos α − σ η cos 2 α + X r = 0;⎪ ∂r r ⎪ ∂τ rξ ∂τ rη τ rξ ⎪ sin α − cos α + 2 sin α + kr cos 3 α − ⎪ ∂r ∂r r ⎪ τ rη ⎪ 2 − 2 cos α − kr sin α cos α + X ξ sin α − X η cos α = 0; ⎬ r ⎪ ∂τ rξ ∂τ rη τ rξ cos α ⎪ (1 − kr sin α cos α ) + cos α + sin α + ⎪ ∂r ∂r r ⎪ τ rη ⎪ + sin α + kr cos 3 α + X ξ cos α + X η sin α = 0. ⎪ r ⎭

∂σ r ∂σ ξ ∂σ η ∂τ ξη ∂τ rξ ∂τ rη = = = = = = 0. ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ

(1.25)

Система уравнений (1.21) при этом принимает вид::

∂σ r 1 + σ r − σ ξ sin 2 α + 2τ ξη sin α cos α − σ η cos 2 α + ∂r r ∂τ rξ ∂τ rη + cos α + sin α + X r = 0; ∂z ∂z ∂τ rξ ∂τ rη τ rξ sin α − cos α + 2 sin α + kr cos 3 α − ∂r ∂r r τ rη ⎛ ∂σ ξ ∂σ η ⎞ ⎟ sin α cos α + − − 2 cos α − kr sin α 2α + ⎜⎜ ∂z ⎟⎠ r ⎝ ∂z

(

)

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ∂τ ξη ⎪ 2 2 + sin α − cos α + X ξ sin α − X η cos α = 0; ⎪ ∂z ⎪ ∂σ ξ ∂τ ςη ∂σ η ∂τ rξ ⎪ 2 2 cos α + 2 sin α cos α + sin α + cos α + ⎪ ∂z ∂z ∂z ∂r ⎪ ∂ rη τ rξ cos α ⎪ (1 − kr sin α cos α ) + + sin α + ⎪ ∂r r ⎪ τ rη ⎪ 3 + sin α + kr cos α + X ξ cos α + X η sin α = 0. r ⎭⎪

(

(

)

(

(

)

)

)

(1.26) Примем, что напряжения не меняются вдоль оси симметрии, тогда

∂σ r ∂σ ξ ∂σ η ∂τ ξη ∂τ rξ ∂τ rη = = = = = = 0. ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z 28

(1.27)

(

)

(

(

)

)

(

)

(1.28) В работе [70] Херл и Конопасек, анализируя напряжения в крученой пряже при растяжении, доказывают, что касательные Напряжения τ rξ и τ rη пренебрежимо малы по сравнению с остальными компонентами тензора напряжений. Тогда в системе (1.28) в отсутствие массовых сил второе и третье уравнения удовлетворяются тождественно, а оставшееся уравнение принимает вид:

∂σ r 1 + σ r − σ ξ sin 2 α + 2τ ξη sin α − σ η cos 2 α = 0. r ∂r

(

)

(1.29)

1.2.6. Растяжение спирально-анизотропного цилиндрического стержня (САС) Рассмотрим круговой цилиндр радиуса R из спиральноанизотропного материала с показателем анизотропии к, находящийся в равновесии в условиях оссимметричного нагружения, когда ось цилиндра совпадает с силовой осью симметрии. Будем считать, что длина цилиндра достаточно велика для выполнения принципа Сен-Венана. Запишем граничные условия:

ur

r =0

=0

29

(1.30)

σr

r =R

=0

(1.31)

Условие (1.30) означает, что радиальные перемещения точек, лежащих на оси цилиндра, отсутствуют, т.е., что ось цилиндра при растяжении (сжатии) не изгибается. Условие (1.31) означает, что боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузок. Как уже отмечалось, касательные напряжения τ rξ и τ η при растяжении пренебрежимо малы по сравнению с оставшимися четырьмя компонентами тензора напряжений, то есть τ rξ = τ rη = 0. (1.32) Подставляя (1.32) в (1.24), получим, что y rξ = y rη = 0 и следовательно, в силу соотношений (1.12) будут отсутствовать и компоненты γ rz = γ rθ :

γ rz = γ rθ = 0.

(1.33)

Учет осимметричности дает значения:

∂uθ ∂ur ∂u z ∂u z ∂ur = = = = = 0. ∂θ ∂θ ∂θ ∂r ∂z

(1.34)

Тогда последнее из соотношений (1.13) сформирует равенство:

r

∂uθ − uθ = 0 ∂r ,

откуда после интегрирования получим: uθ = Cr .

(1.36)

В зависимости от того, каким принять коэффициент С, будем различать задачи: - стесненное растяжение при С=const и, следовательно, γθ z = 0; (1.37) 30

.

(1.38)

Поскольку условие (1.37) получается из условия (1.38) ∧

при θ = 0 тяжения.

рассмотрим более общий случай свободного рас-

Подставим в соотношения (1.36) равенство (1.38):

∂ur u ⎫ ; ε θ = r ; ε z = e;⎪ ∂r r ⎬ ˆ γrθ = γrz = 0; γθz = θr. ⎪⎭

εr =

(1.39)

Соответствующие компоненты в геликоидальной системе координат имеют вид:

∂ur ; γ rξ = 0; γ rη = 0; ∂r ∧ u ε ξ = e cos 2 α + r sin 2 α + θ sin 2 α ; r (1.40) ∧ ur 2 2 2 εη = e sin α + cos α − θ sin α ; r ∧ u ⎞ ⎛ γ ξη = 2⎜ e − r ⎟ sin α cosα + θ tgα sin 2 α − cos 2 α r ⎠ ⎝

εr =

)

(1.35)

εr = γ rθ

∧

γ θz = θ r

(

Тогда соотношения (1.13) примут вид:

u ∂u ∂u r ⎫ ; ε θ = r ; ε z = z = e;⎪ ⎪ r ∂z ∂r ⎬ ∂ (Cr ) ⎪ = γ rz = 0; γ θz = ⎪⎭ ∂z

∧

- свободное растяжение при C = θ z и, следовательно,

Как уже указывалось, в осесимметричной постановке задачи получено одно уравнение равновесия (1.29). При малых деформациях реальные конструкции типа кабелей практически не меняют своего объема [58], т.е. выполняется условие:

ε r + ε ξ + εη = 0 .

(1.41)

Физические уравнения, связывающие напряжения с деформациями, при этом условии принимают вид: 31

⎡⎛ 3 ⎤ ⎞ ⎞ secα 3 ⎛ 1 − ⎜⎜ − m ⎟⎟ cos 2 α − cos 2 α 0 ⎥ e + = ⎢⎜⎜ − 2 ⎟⎟ ln E1 ⎣⎝ 2 − v1 ⎠ ⎠ secα 0 2 ⎝ 2 − v1 ⎦

σr

2 E1ν 1ε r = σ r − ν 1σ ξ − (1 − ν 1 )ση ; 2 E1ν 1ε ξ = −σ r + 2σ ξ − σ η ; 2 E1ν 1εη = −(1 − ν 1 )σ r − ν 1σ ξ + ση ;

γ ξη

(1.42)

1 = τ ξη . G1

(

)⎤⎥θ€, ⎦

(1.46)

1 E2 = v1 = 1 − v2 . 2 E1

(1.43)

Рассматривая совместно (1.40) и (1.42), исключим из последних деформации. В результате получим три уравнения:

⎞ 1 − v1 1 − v1 € 2 ⎤ ⎫ sin 2 α ⎟⎟e + 2 θ sin α ⎥;⎪ 2 − v1 2 − v1 ⎠ ⎦⎪ ⎣⎝ ⎪⎪ v σ η − σ r = E1 1 3e − 2θ€ sin 2 α ; ⎬ 2 − v1 ⎪ 2 ⎪ € τ ξη = −G1 sin α − 3e + 1 − tg α θ . ⎪ ⎪⎭ ⎡⎛

σ ξ − σ r = E1 ⎢⎜⎜1 − 3

(

)

(1.44)

)]

(

(

)

(

)

⎡ ⎤∧ 2 2G + ⎢2 − 1 + cos 2 α + 1 2 cos 2 α − 1 ⎥ θ . 2 −ν1 E1 ⎣ ⎦

зических констант материала E1 , v1 и G1 , относительного угла закручивания вокруг оси z θ€ и геометрических параметров скрутки, определяемых углом наклона к оси анизотропии упруго-эквивалентных спиралей, образующих поверхностный слой стержня α 0 . Для того, чтобы получить зависимости внешних силовых факторов (P-осевая нагрузка и M- скручивающий момент) от угла наклона α 0 r воспользуемся известными формулами [59]:

(1.45)

M t = ∫ τ θz rdF .

(1.48) Эффект возникновения крутящего момента в спиральноанизотропных стержнях при растяжении называется моторным эффектом [41]. Переходя под интегралами (1.47), (1.48) к переменной α по формуле (1.2), получим: F

α0

P=

2π 1 σ tgα dα , 2 ∫ z k 0 cos2 α

Интегрируя это уравнение с учетом граничного условия (1.31), получим:

(1.49)

α0

Mt =

32

(1.47)

F

)

⎤ 6G ctgα dσ r ⎡ 3 =⎢ 1 + cos 2 α − 2 − 1 cos 2 α ⎥ e + E1 dα ⎣ 2 − ν 1 E1 ⎦

Уравнение (1.46) выражает зависимость радиального напряжения σ r от относительного удаления вдоль оси z e, фи-

P = ∫ σ z dF ,

Подставляя выражения (1.44) в уравнение равновесия (1.29), сведем задачу к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения относительно α :

(

⎡⎛ 1 − v1 ⎞ ⎞ secα ⎛ 1 + ⎜⎜ − m ⎟⎟ cos 2 α − cos 2 α 0 + ⎢⎜⎜ 2 − m ⎟⎟ ln ⎠ ⎠ sec α 0 ⎝ 2 − v1 ⎣⎝ 2 − v1

)

2G1 . где m = E1

Здесь в силу условия (1.41)

[

(

2π 1 τ tg 2α dα . 3 ∫ θz k 0 cos2 α

33

(1.50)

Подынтегральные выражения в (1.49), (1.50) находятся после подстановки (1.46) в соответствующие выражения системы (1.7), связывающей компоненты тензора напряжений в цилиндрической и геликоидальной системах координат. Осевая нагрузка P и скручивающий момент М при этом выразятся в виде: α0

P = πR ctg α 0 ∫ (σ ξ cos 2 α + σ η sin 2 α + 2

2

(1.51)

0

+ 2τ ξη sin α cos α )2tgα sec α dα 2

2

M t = πR ctg α 0 ∫ [(σ ξ − σ η ) sin α cos α + 3

0

]

(1.52)

Интегрирование этих выражений приводит к следующим зависимостям: ,

(1.53)

A11 = 1 − 3 f1 (α 0 ) − 9 f 2 (α 0 );

(

)

34

и далее i j=1,2,3 ), где

eij –компоненты тензора деформаций 2

3

в локальной декартовой системе координат x , x , x . Применим технику построения полинома W, используемую в [14] для тела с прямолинейной анизотропией. Свяжем с рассматриваемым типом упругой симметрии группу преобразований. Будем требовать, чтобы упругий потенциал W был инвариантен по отношению к этой группе преобразований. Из величин eij сконструируем набор полиномов P1 , ….., Pn , инвариантных относительно данной группы преобразований. Эти полиномы должны удовлетворять следующим двум свойствам (14). Ни один из Pk ( k=…, n ) нельзя получить из оставшихся

где

⎪ ⎪ ⎪ A12 = A21 = f1 (α 0 ) + 6 f 2 (α 0 ); ⎪ ⎪⎪ 1 A22 = m∗tg 2α 0 − 4 f 2 (α 0 ); ⎬ 4 ⎪ ⎪ ⎛ 3 ∗⎞ f1 (α 0 ) = ⎜1 − m ⎟ 1 − 2ctg 2α 0 ln secα 0 ; ⎪ ⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ ⎞⎪ − m∗ ⎟⎟⎜ sin 2 α 0 − 1 + 2ctg 2α 0 ln sec α 0 ⎟.⎪ f 2 (α 0 ) = ⎜⎜ ∗ ⎠ ⎭⎪ ⎝ 2 − v1 ⎠⎝ 2

1.2.7 Упругий потенциал САТ

1

+ τ ξη (sin 2 α − cos2 α ) ⋅ 2tg 2α sec2 αda P ⎫ = A11e + A12θ€; ⎪ 2 ∗ πR E1 ⎪ ⎬ Mt € = A21e + A22θ ,⎪ ⎪⎭ πR 3 E1∗

Система уравнений (1.53) является основой для разработки метода определения интегральных упругих постоянных спирально-анизотропного стержня.

Пусть рассматриваемое тело идеально-упругое и W- упругий потенциал, отнесенный к единице объема недеформированного тела. Предположим, что W есть полином от lij (здесь

α0

3

E1∗ , G1∗ и v1∗ -интегральные упругие постоянные спи2G1* * рально-анизотропного стержня; m = . E1* Здесь

(1.54)

при помощи их сложения ,перемножая их между собой и умножения на число. Любой другой полином, инвариантный относительно данной группы преобразований, можно получить при сложения, умножения на число перемножая между собой полиномов P1 ,......, Pn. . Будем говорить, что полиномы

P1 ,....., Pn образуют полиномиальный базис для W. Тогда W = W ( P1 ,....., Pn ) есть полином. Отметим, что упруго эквивалентные направления спирально-анизотропного тела не являются координатными линиями какой-либо ортогональной системы координат. Поэтому в рассматриваемом случае при помощи (1.4) в выражениях для P1 ,...., Pn необходимо перей35

ти от компонентов тензора деформаций картовой системе координат циям этого тензора

ε ij

eij в локальной де-

x 1 , x 2 , x 3 к физическим проек-

на оси цилиндрической системы коор-

динат r , θ , z. Для локально-ортотропного материала преобразование симметрии есть зеркальные отражения в плоскостях

x i = const (i = 1, 2, 3). Получим, что полиномиальный базис для W состоит из семи базисных полиномов:

P2 = ε 22 sin2 α + ε 33 cos2 α + 2 sin α cosαε 23,

[

P3 = (ε 22 − ε 33 ) sin α cosα + ε 23 (cos2 α − sin2 α )

]

2

+

+ (ε12 sin α + ε13 cosα )2 , P4 = (ε12 cosα − ε13 sin α )2 ,

( [(ε

)

P5 = ε11 ε 22 cos2 α + ε 33 sin2 α − 2 sin α cosαε 23 , P6 = ε11

P1 = ε 11 ,

(

22

(

− ε 33 ) sin α cosα + ε 23 cos2 α + sin2 α

)

)]

2

+

P2 = ε 22 cos 2 α − ε 33 sin 2 α − 2 sin α cos αε 23 ,

+ ε 22 cos2 α + ε 33 sin2 α − 2 sin α cosαε 23 (ε12 sin α + ε13 cosα )2 ,

P3 = ε 22 sin 2 α + ε 33 cos 2 α − 2 sin α cos αε 23 ,

P7 = (ε 22 − ε 33 ) sin α cosα + ε 33 (cos2 α − sin2 α )

P4 = (ε 12 cos α − ε 13 sin α ) 2 ,

(1.55)

[

P5 = (ε 22 − ε 33 ) sin α cos α − ε 23 (cos 2 α − sin 2 α )

]

2

P6 = (ε 12 sin α + ε 13 cos α ) , P7 = I 3 , где I 3 -третий инвариант тензора деформации. Для несжимаемого материала

I 3 = 1 . Поэтому число базисных по-

линомов (1.55) равно шести. Итак, для снижаемого материала (1.56) W=W (P1 ,....., P6 I 3 ) - есть полином. Для несжимаемого материала, соответственно W=W (P1 ,....., P6 )

(1.57)

Предположим, что в каждой точке рассматриваемого тела 1

2

направления x и x упруго эквивалентны. Тогда группу преобразований следует дополнить преобразованием, представляющим собой зеркальное отражение в плоскости, проходящей через ось

[

x 3 и делящей пополам угол между осями

Итак, для сжимаемого материала W=W(P1,….,P7,I3) Для несжимаемого материала, т. к.

(ε12 sin α + cosα )2 ,

(1.58) (1.59)

I3 = 1

W=W(P1,….,P7) (1.60) Предположим, что все направления, лежащие в плоско3

сти, перпендикулярной оси x , упругоэквивалентны. Тогда рассматриваемое тело трансверсально-изотропно по отношению к направлению винтовой линии. В этом случае группа 3

преобразований состоит из поворотов на любой угол оси x и зеркальных отражений в плоскости x3 = const . Тогда полиномиальный

базис

для

W

включает

пять

полиномов:

I1 , I 2 , I 3 , K1 = ε 22 sin 2 α + ε 33 cos 2 α + 2 sin α cos αε 23 ,

[

K 2 = (ε 12 sin α + ε 13 cos α ) + (ε 22 − ε 33 )sin α cos α + ε 2

+ ε 23 (cos α − sin 2 α )

x и x . В этом случае полиномиальный базис для W состоит

2

Здесь 36

2

P8 = I3

2

из восьми полиномов:

]

P7 = I3 ,

,

2

1

P1 = ε11 + ε 22 cos2 α + ε 33 sin2 α − 2 sin α cosαε 23,

]2

I 1 , I 2 , I 3 − инварианты тензора деформации. 37

(1.61)

Итак, для сжимаемого материала W=W (I1,I2,I3,K1,K2)

(1.62)

Для несжимаемого материала (1.63) W=W(I1,I2,K1,K2) Базисные полиномы (1.55), (1.58), (1.61) изменяются от точки к точке спирально-анизатропного тела, т.к. являются функциями угла α , следовательно, функциями r. Для однородного тела упругий потенциал W выражается в виде полинома от переменных базисных полиномов P1 ,...., Pn , коэффициенты которого есть абсолютные константы. Полученные соотношения [40] являются основой для постановки и решения задач о конечных деформациях спиральноанизотропных стержней из сжимаемого и несжимаемого материала соответственно.

любым измерениям обязательно присущи ошибки. Применим вероятностный подход к учету случайных ошибок в задании исходных данных при определении интегральных упругих постоянных САС. В решении поставленной задачи выделим два этапа: первый - получение аналитических выражений интегральных упругих постоянных спирально-анизотропного стержня в виде функций от некоторых экспериментально получаемых характеристик; второй - получение выражений для вычисления статистических оценок интегральных упругих постоянных при условии, что данные, полученные из экспериментов - случайные величины с заданным законом распределения. 1.3.1. Аналитические выражения для определения интегральных упругих постоянных спиральноанизотропного стержня

1.3. Определение интегральных упругих постоянных спирально-анизотропного стержня (САС) При практическом расчете любых конструкций необходимым является знание их упругих характеристик, которые, как известно, определяются экспериментально. Но не всегда возможно осуществить требуемый эксперимент. В частности, ∗

для определения интегральной упругой постоянной E1 предложенной модели спирально-анизотропного стержня требуется загрузить элемент вдоль оси ξ для реализации однородного напряженного состояния, что практически не осуществимо [42]. Следовательно, напрашивается вывод о возможном использовании для решения задачи комбинированного подхода. При этом некоторые вспомогательные характеристики получают экспериментально, а затем аналитически вычисляют упругие постоянные спиральноанизотропного элемента. Такой метод был предложен в работе [43] для определения упругих гибких интегральных постоянных кабелей на основе модели спиральноанизотропного стержня. Однако, получаемые из экспериментов характеристики сильно отличаются порядком (одна из них имеет порядок 109, две другие -106 и 105) и небольшое отклонение в зада38

нии исходных данных приводит к существенным отклонениям в значениях искомых упругих постоянных (особенно это касается величины v1 ) [42]. Кроме того, как уже отмечалось,

Рассмотрим систему уравнений (1.53), (1.54) как исходную для определения интегральных упругих постоянных спирально-анизотропного стержня. Перепишем уравнения системы (1.53) в виде:

P ⎫ = A11 E1* e + A12 E1*θ€;⎪ 2 ⎪ πR ⎬ M1 * * €⎪ = + A E e A E θ . 21 1 22 1 ⎪⎭ πR 3

(1.64)

Введем следующие обозначения:

A11 E1∗ = α11 , A12 E1∗ = α12 , A21 E1∗ = α 21 , A22 E1∗ = α 22

(1.65)

Тогда уравнения системы (1.54), с учетом новых обозначений, примут вид:

39

⎫ 1 ∗ ∗ ∗ ⎪ 9 3 ; + − α11 = G (9ϕ1 + 18ϕ 2 ) − ϕ E E ϕ E 2 1 1 1 1 2 − v1∗ ⎪ ⎪ 1 ∗ ∗ ⎪ 6 ; + α12 = α 21 = −G1∗ (3ϕ1 + 12ϕ 2 ) + ϕ E ϕ E 2 1 1 1 ⎬ 2 − v1∗ ⎪ 2 ⎪ ⎛ tg α 0 ⎞ 1 ∗ ⎪ + 9ϕ 2 ⎟⎟ − α 22 = G1∗ ⎜⎜ 4 ϕ E , 2 1 ∗ ⎪⎭ ⎝ 2 ⎠ 2 − v1

∗

Выражение для определения интегральной постоянной G1 соответственно запишется:

∗ 1

G1∗ = C 21α 11 + C 22α 12 + C 23α 22 , где (1.66)

где

C 21 =

(

8ϕ1

);

3 8ϕ1 − tg 2α 0 (2 − 3ϕ1 )

ϕ1 = 1 − 2ctg 2α 0 ln secα 0 ;⎫

C 22 =

1 ϕ 2 = sin 2 α 0 − ϕ1 . 2

24ϕ1 − 8 ; 3 8ϕ1 − tg 2α 0 (2 − 3ϕ1 )

C 23 =

6ϕ1 − 4 . 8ϕ1 − tg 1α 0 (2 − 3ϕ1 )

⎪ ⎬ ⎪ ⎭

(1.67) Для конкретных конструкций, моделируемых спиральноанизотропным стержнем, α ij получают в результате экспериментальных исследований. В частности, способ определения α 11 , α 12 , α 22 , для гибких кабелей будет рассмотрен в следующей главе. При условии задания α 11 , α 12 , α 21 , система уравнений (1.66) является нелинейной алгебраической системой уравнений относительно интегральных упругих посто∗

∗

∗

янных E1 , G1 , v1 . Решив эту систему уравнений, запишем выражение для определения интегральной упругой постоян∗

ной E1 в виде [57]:

E1∗ = C11α11 + C12α12 + C13α 22 , (1.68)

где

C11 =

8ϕ1 − 2tg 2α 0 ; 8ϕ1 − tg 2α 0 (2 − 3ϕ1 )

C123 = C13 =

(

)

∗

Интегральная упругая постоянная v1 при этом представляется в виде дробно-рациональной функции от

v1∗ =

C31α11 + C32α12 + C33α 22 , P31α11 + P32α12 P33α 22

где

C31 = tg 2α 0 (ϕ1 + 3ϕ 2 ) + 4ϕ1ϕ 2 ; 9 ⎞ ⎛ C32 = tg 2α 0 ⎜ 3ϕ1 − 1 + ϕ 2 ⎟ + 4ϕ 2 (3ϕ1 − 4); 2 ⎠ ⎝ C33 = 3(3ϕ1ϕ 2 − 8ϕ 2 − 2ϕ1 ); ⎛ tg 2α 0 ⎞ P31 = ϕ1 ⎜⎜ + 8ϕ 2 ⎟⎟; ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ tg α 0 ⎞ P32 = (3ϕ1 − 1)⎜⎜ + 8ϕ 2 ⎟⎟; ⎝ 2 ⎠ P33 = 3(6ϕ1ϕ 2 − 4ϕ 2 − ϕ1 ).

24ϕ1 − 3tg 2α 0 ; 8ϕ1 − tg 2α 0 (2 − 3ϕ1 )

18ϕ1 . 8ϕ1 − tg 2α 0 (2 − 3ϕ1 ) 40

(1.69)

41

α 11 , α 12 , α 22 :

(1.70)

Из выражений (1.68) – (1.70) видно, что интегральные

E1∗ , G1∗ , v1∗ спирально-анизатропного стержня зависят от α 11 , α 12 , α 22 . Значения ϕ1 и ϕ 2 опреде-

упругие

постоянные

ляются из равенств (1.67) и зависят только от угла

α0

на-

клона упруго-эквивалентных спиралей, образующих поверхностный слой исследуемого цилиндрического стержня, к оси анизотропии. Зависимости (1.68) - (1.70) представляют собой аналитические выражения интегральных упругих постоянных спирально-анизотропного цилиндрического стержня в виде функций от экспериментально получаемых характеристик α 11 , α 12 , α 22 исследуемой конкретной конструкции. 1.3.2. Вероятностное описание интегральных упругих постоянных спирально-анизотропного стержня

Выражения (1.68)-(1.70) показывают зависимость инте-

E1∗ , G1∗ , v1∗ спиральноанизотропного стержня от случайных величин α 11 , α 12 , α 22 . гральных

Следовательно,

Запишем плотности распределения случайных величин α 11 , α 12 , α 22 :

f α 12 (v ) = f α 22 (w ) =

2 π s 12 1 2 π s 22 1 2 π s 32

⎧ (u − m 1 )2 ⎫ exp ⎨ − ⎬; 2 s 12 ⎩ ⎭ ⎧ (v − m 2 )2 ⎫ exp ⎨ − ⎬; 2 s 22 ⎩ ⎭ ⎧⎪ exp ⎨ − ⎪⎩

⎛ w − m3 ⎜⎜ 2 ⎝ 2 s3

⎞ ⎟⎟ ⎠

42

2

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

(1.71)

постоянные

∗

})

1

упругие

∗

ления. Следовательно, случайные величины E1 и G1 распределены по нормальному закону и плотности их распределения имеют вид:

сиями si i = 1, 2, 3 соответственно.

f α 11 (u ) =

интегральные

Наиболее полную информацию о случайной величине дает ее функция распределения. Из теории вероятностей известно, что случайная величина, являющаяся линейной комбинацией независимых нормально распределенных случайных величин, также подчиняется нормальному закону распреде-

тате эксперимента. Используем вероятностный подход к решению задачи определения интегральных упругих постоянных спирально-анизотропного стержня. Гистограммы, построенные по результатам проведенных опытов [41,43], позволяют рассматривать α 11 , α 12 , α 22 как независимые непрерывные случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическими ожиданиями m1 и диспер-

( {

сами

постоянных

E1∗ , G1∗ , v1∗ также являются случайными величинами [15].

Итак, получены выражения для определения интегральных упругих постоянных спирально-анизотропного стержня через значения α 11 , α 12 , α 22 , которые определяются в резуль-

2

упругих

2 3 ⎧ ⎛ ⎞ ⎫ − x C m ⎪ ⎜ ∑ 1i i ⎟ ⎪ 1 ⎪ ⎝ i =1 ⎠ ⎪ f E1 ( x ) = exp⎨− ⎬ 3 3 2 2 ⎪ ⎪ 2 2 2∑ C1i s i 2π ∑ C1i s i ⎪ ⎪ i =1 i =1 ⎩ ⎭

(1.72)

2 3 ⎧ ⎛ ⎞ ⎫ ⎪ ⎜ x − ∑ G 2i mi ⎟ ⎪ 1 ⎪ i =1 ⎠ ⎪ f G1 (x ) = exp⎨− ⎝ ⎬ 3 3 2 2 ⎪ ⎪ 2 2 2∑ G 2 i s i 2π ∑ C 2i s i ⎪ ⎪ i =1 i =1 ⎩ ⎭

(1.73)

Запишем функцию распределения случайной величины ∗ 1

v , исходя из формулы (1.70) и учитывая независимость случайных величин α 11 , α 12 , α 22 43

{ }

поскольку exp − t при t → ∞ убывает быстрее, чем возрастает любая степень t. После ряда преобразований выражения (1.75) приходим к окончательному виду плотности распределения случайной 2

Fv1 (x ) =

⎧ C31 − P31 x C32 − P32 x ⎫ u+ v⎬ ⎨ P33 x − C33 ⎭ + ∞+ ∞⎩ P33 x − C33

∫ fα (u ) f α (v ) f α (w)dudvdw.

∫∫

11

− ∞− ∞

12

(1.74)

22

∗

−∞

Продифференцируем

выражение

(1.74),получим

величины v1 : плот-

* 1:

ность распределения случайной величины v

⎡ ⎛ C31 − P31 x C32 − P32 x ⎞ ∫−∞−∫∞⎢⎢ f α11 (u ) fα12 (v) fα22 ⎜⎜⎝ P33 x − C33 u + P33 x − C33 v ⎟⎟⎠ × ⎣ (C P − C31 P33 )u + (C33 P32 − P33C32 )⎤ × 31 31 ⎥ dudv = (P33 x − C33 )2 ⎥⎦ +∞+∞ ⎡ ⎛ C31 − P31 x = C33 P31 − C31 P33 ⎜ ( ) ( ) uf u f v f u+ ⎢ α α α 12 22 ⎜ P (P33 x − C33 )2 −∫∞−∫∞⎣ 11 ⎝ P33 x − C33 f v1 (x ) =

+∞+∞

C − P32 x ⎞⎤ + 32 v ⎟⎥ dudv + P33 x − C33 ⎟⎠⎦ +

C 33 P32 − P33 C 32

(P33 x − C33

+∞ +∞

⎡

⎢vf (u ) f α (v ) f α ) ∫ ∫⎣ α 2

11

12

− ∞− ∞

+

⎛ C 31 − P31 x ⎜ u+ 22 ⎜ ⎝ P33 x − C 33

C 32 − P32 x ⎞⎤ v ⎟⎥ dudv P33 x − C33 ⎟⎠⎦

При дальнейших расчетах воспользуемся тем, что +∞

C ∫− ∞t exp {− C 1t + 2 C 2 t }dt = C 12 2

где

⎧ C 22 ⎫ exp ⎨ ⎬, C1 ⎩ C1 ⎭

π

(1.75) (1.76)

C1 = сonst , C2 = сonst.

Помним также о том, что +x

∫ t exp{− t }dt = 0, 2

(1.77)

−x

44

f v1 (x ) =

⎧ ⎪ 1 ⎪ exp⎨− 3 ⎪ ⎡ 3 2⎤ 2π ⎢∑ s i2 (C 3i − P3i x ) ⎥ ⎪ ⎩ ⎣ i =1 ⎦

2 ⎡ 3 ⎤ ⎫ ( ) − m C P x 3i ⎥ ⎪ ⎢ ∑ i 3i ⎦ ⎪× ⎣ i =1 ⎬ 3 2 ⎪ 2 2∑ si (C 3i − P3i x ) ⎪ i =l ⎭

3 ⎡ 3 ⎤ × ∑ si2 (C 3i − P3i x )⎢ ∑ mk (C 3i P3k − C 3k P3i )⎥. i =l ⎣k =1,k ≠i ⎦

(1.78) Закон распределения представляет собой некоторую функцию; указание этой функции полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако, во многих вопросах практики нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, исчерпывающим образом. Зачастую достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения случайной величины: например, среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно средних и т.д. Пользуясь такими характеристиками, мы можем все существенные сведения относительно случайной величины, которыми мы располагаем, выразить наиболее компактно с помощью минимального количества числовых параметров. При этом весьма важную роль играет то обстоятельство, что когда в задаче фигурирует большое количество случайных величин каждая из которых оказывает известное влияние на численный результат опыта, то закон распределения этого результата в значительной мере можно считать независимым от законов распределения отдельных случайных величин (возникает нормальный закон распределения). В этих случаях по существу задачи для исчерпывающего суждения о ре45

зультирующем законе распределения не требуется знать законов распределения отдельных случайных величин, фигурирующих в задаче; достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики этих величин. Среди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывают некоторое среднее, ориентированное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Такой числовой характеристикой случайной величины является ее математическое ожидание, которое иногда называют просто средним значением случайной величины. Закон больших чисел констатирует факт устойчивости некоторых средних при большом числе опытов. Здесь речь идет об устойчивости среднего арифметического из ряда наблюдений одной и той же величины. При небольшом числе опытов среднее арифметическое их результатов случайно; при достаточном увеличении числа опытов оно становится "почти не случайным" и, стабилизируясь, приближается к постоянной величине - математическому ожиданию. ∗

∗

∗

чения интегральных упругих постоянных E1 и G1 вычисляются по формулам: 3

E1* = ∑ C1i mi * 1

G

(1.79)

i =1 3

= ∑ C 2i mi

(1.80)

i =1

где m1 , m2 , m3 − математические ожидания случайных величин

α 11 , α 12 , α 22

соответственно.

Для определения среднего значения случайной величины ∗ 1

v необходимо вычислить интеграл: 46

=

v

∫ xf (x )dx = v1

−∞

+∞

= ∫x −∞

ax + b

(

2π Ax + Bx + C 2

)

3/ 2

⎧ (a1 x + b1 )2 ⎫ exp⎨− ⎬dx, 2 + + 2 Ax Bx C ⎩ ⎭

(

(1.81)

)

где 3

3

i =l

k =1 k ≠i

a = −∑ S i2 P3i ∑ mk (C 3i P3k − C 3k P3i ); 3

3

i =1

k =1 k ≠i

b = ∑ S12 C 3i ∑ mk (C 3i P3k − C 3k P3i ); 3

3

3

i =l 3

i =l

A = ∑ S i2 P3i ; B = −2∑ S i2 P3i C 3i ; C = ∑ S i2 C 32i ; i =l

3

a1 = −∑ mi P3i ; b1 = ∑ m1C 3i .

∗

Зная законы распределения случайных величин E1 , G1 , v1 вычислим их средние значения. Воспользуемся свойством линейности математического ожидания [53]. Согласно этому свойству математическое ожидание линейной функции случайных величин равно той же самой функции от их математических ожиданий. Следовательно, согласно выражениям (1.72) и (1.73)средние зна∗

+∞

∗ 1

i =l

i =l

В процессе вычисления этот интеграл разбивается на два, один из которых равен нулю, поскольку подынтегральная

(

)

функция является нечетной функцией вида y ⋅ exp − y / 2 , второй интеграл после замены переменных 2

a l x + bl

y= +∞

∫

−∞

, запишется в виде: Ax 2 + Bx + C ⎧ y 2 ⎫⎡ a1b + b1a (b B + 2a1C )a ⎤ dy, 2 − 1 exp ⎨− ⎬⎢ 2 ⎥ π ⎩ 2 ⎭⎣ a1 (Ba1 + 2 Ab1 ) (Ba1 + 2b1 A) ⎦

(1.82)

Пользуясь известной формулой для вычисления интеграла Эйлера-Пуассона +∞

∫ exp{− t }dt = 2

π,

−∞

окончательно получаем формулу для вычисления среднего ∗

значения интегральной упругой постоянной v1 : 47

⎡

(b B + 2 a1C ) ⎤. a1b + b1a − 1 (Ba1 + 2b1 A )2 ⎥⎦ 1 + 2 Ab1 )

(1.83)

‹ v › =2 ⎢ a (Ba ⎣ ∗ 1

1

ξ

для реализации однородного напряженного состояния. Необходимость определения интегральных упругих постоян∗

Полученные формулы[39,57] (1.79), (1.80) и (1.83) представляют собой выражения для вычисления статистических оценок интегральных упругих постоянных спиральноанизатропного стержня.

∗

∗

ных E1 , G1 ,v1 обусловлена тем, что они полностью характеризуют свойства условного спирального элемента кабеля. При расчете конструкции конкретных кабелей в первую очередь интерес представляют характеристики кабеля как цельного конструктивного элемента. Поэтому наряду с инте∗

1.4. Определение характеристик упругих свойств кабелей на основе решения задачи определения интегральных упругих постоянных спиральноанизотропного стержня Кабель представляет собой сложную механическую конструкцию, состоящую из резиновой или полимерной оболочки и комплекта токопроводящих и нейтральных жил. Сочетание конструктивных и технологических особенностей создает конструкцию, обладающую анизотропией механических свойств не только в силу геометрии, но и в силу анизотропии свойств отдельных элементов (жилы в сердечнике). Кроме того, анизотропию вносит и введение усиливающих и спиралеобразующих элементов. В работах [41, 42, 43] была успешно применена модель гибкого кабеля как упругого спирально-анизотропного стержня. Большую часть всей кабельной продукции составляют гибкие кабели, предназначенные для работ в условиях, когда главную роль при оценке долговечности играет их механическая прочность [43]. При практическом расчете на прочность такого рода изделий возникают трудности в опре∗

делении интегральной упругой постоянной E1 , соответствующей модулю продольной упругости винтового элемента кабеля вдоль осевого направления ξ , интегральной упругой ∗

постоянной G1 , аналогичной модулю сдвига в плоскости

ξη

∗ 1

и интегральной упругой постоянной v , аналогичной коэффициенту Пуассона, указывающей на величину относительного сужения кабеля в направлении оси η под действием растягивающей силы, совпадающей по направлению с осью ξ . . Это связано с отсутствием стандартных методов их определения, с невозможностью загружения элемента вдоль оси 48

∗

∗

гральными упругими постоянными E1 , G1 , v1 для описания механических свойств кабеля важно знать его характеристики, аналогичные жесткостям цилиндрического изотропного стержня при растяжении EF, кручении GJ, изгибе EJ, сдвиге GF. Определение жесткостных характеристик путем простого умножения геометрических характеристик на соответствующие упругие постоянные для кабеля некорректно ввиду его конструктивных особенностей. Определение характеристик упругих свойств кабеля является сложной задачей, связанной с необходимостью учета анизотропии кабеля, разнородности свойств материалов, составляющих элементы кабеля, особенностей контакта этих элементов друг с другом. С помощью экспериментальных устройств получают реальные количественные оценки жесткостных характеристик различных типов кабеля. Эти оценки лежат в основе расчетов и проектирования испытательного и эксплуатационного оборудования. По величине жесткостных характеристик гибкие кабели оказываются в промежуточном положении между жесткими материалами типа металлов, композитных материалов, жестких пластмасс и гибкими материалами типа резин, полимерных материалов. Принципиальная основа эксперимента такова: для выбранной расчетной схемы установить коэффициент пропорциональности между внешним силовым воздействием и деформацией образца-интегральную. жесткость образца с точностью до некоторого конструктивного множителя. Разработаны и используются приборы и устройства, позволяющие оценить интегральные жесткости кабеля при растяжении, кручении и изгибе [45, 46]. С помощью этих же устройств при схемах нагружения, реализующих поперечный изгиб, можно оценить и интегральную жесткость при сдвиге. Однако, опыт показывает, что результаты получаются недостаточно надежными [46], требуют проведения большого числа 49

экспериментов, что связано с большими материальными затратами. Все вышесказанное дает основание применить вероятностный подход к задаче определения интегральных жесткостных характеристик гибкого кабеля.

P1 ⎫ = α 11e1 ;⎪ 2 ⎪ πR ⎬ M t1 = α 21e1 .⎪ ⎪⎭ πR 3

1.4.1. Определение статистических оценок интегральных упругих постоянных кабеля Основой для определения интегральных упругих постоян∗

∗

∗

E1 , G1 ,v1 кабеля, моделируемого спиральноных анизотропным стержнем, является система уравнений (1.64) с учетом обозначений (1.65) эта система имеет вид: P ⎫ = a11 e + a12θ€;⎪ 2 ⎪ πR ⎬ M1 €.⎪ = + a e a θ 21 22 ⎪⎭ πR 3 Здесь R - радиус кабеля,

где индекс 1 у P1 , M 1 , e1 соответствует номеру первой серии экспериментов по определению упругих постоянных и номеру диаграммы испытаний кабеля. Для слабой нелинейности, как это видно из рис. 1.4, примем:

dP ≈ tgα 1 de1

(1.84)

α0 -

угол наклона к оси анизо-

мация (по оси анизотропии), ϑ€ - относительный угол закручивания кабеля.

α 12 = α 21 ,

(1.86)

и сразу же определим

α 11 =

тропии упруго-эквивалентных спиралей, образующих поверхностный слой кабеля, e - относительная осевая дефор-

Для определения

(1.85)

α 11 , α 12 , α 21 , α 22

с учетом равенства

которое следует из (1.54) и (1.65), необходимо

проведение трех серий опытов на стесненное растяжение, стесненное кручение, свободное растяжение или свободное кручение. Стесненное растяжение Условия эксперимента таковы, что при приложении осевого усилия осевые направляющие не дают возможности кабелю вращаться вокруг оси, т.е. реализуется условие: θ€1 = 0. а система уравнений (1.84) преобразуется к виду:

50

где

∗ 1

tgα 1 P1∗ ≈ , πR 2 πR 2 e1∗

∗ 1 -предельные

P ,e

(1.87)

значения диаграммы 1.

Свободное растяжение Условия эксперимента в этом случае предусматривают возможность раскручивания кабеля при растяжении, т. е.

реализуются условия: e 2 ≠ 0; ϑ€2 ≠ 0; ( e 2 ~ ϑ€2 ; на рис. 1.4 диаграмма 2), система уравнений (1.84) записывается в виде:

P ⎫ = a11 e + a12θ€;⎪ 2 ⎪ πR ⎬ M1 € = a 21 e + a 22θ .⎪ 3 ⎪⎭ πR 51

(1.88)

0.8

dP2 P* ≈ tgα 2 = 2* ; de 2 e2 ϑ€ dϑ€2 ≈ tgα 3 = *2 , de 2 e2

Р,кН 1

0.6 ∗

∗

Разделим первое уравнение системы (1.88) на e2

0.4

θ€2 P2∗ = + α α 11 12 ∗ πR 2 e2∗ e2

0.2 0

Это равенство с учетом (1.87) перепишется в виде

1

2

3

4 -3 е⋅10 ,%

90

180

2

270 360

∗

эксперименты проводятся таким образом, чтобы P1 = P2 .

2

θ€2 P2∗ P1∗ = + α 12 e2 πR 2 e2∗ πR 2 e1∗ откуда

α 12 ∧ -2 θ⋅1.74⋅10 ,рад/м

Рис. 1.4 Совмещенные диаграммы зависимостей P − e и e − ϑ€ кабеля КГ; 1 - стесненное растяжение-разгрузка; 2 - свободное растяжениеразгрузка.

Из рис. 1.4 видно, что диаграммы P2 − e2 и e2 ~ ϑ€2 близки к линейным, а поэтому

52

(1.89)

P2∗ P1∗ − πR 2 e2∗ πR 2 e1∗ = , θ€∗ e

где

(1.90)

2 ∗ 2

P2∗ , e2∗ ,θ€2∗ - предельные значения диаграмм 2. Стесненное кручение

При осуществлении этого эксперимента реализуется условие: e1 = 0, а система уравнений (1.84) записывается в виде:

53

P3 ⎫ = α 12θ€3 ;⎪ 2 πR ⎪ ⎬ M t3 € = α 22θ 3 .⎪ ⎪⎭ πR3 Здесь индекс 3 у

(1.91)

P3 , M 13 , и θ€3 соответствует номеру

третьей серии экспериментов по определению упругих постоянных и номеру диаграммы испытаний кабеля. Конструкция испытательного устройства такова, что величина момента M 13 пропорциональна величине нагрузки P3 , а специаль-

рад

ные приборы позволяют замерить значения этих величин и

соответствующий угол поворота θ€3 концевых сечений образца [42]. Слабая нелинейность, как это видно из рис.3.2, позволяет

осуществлять линейную аппроксимацию зависимости M ~ θ€ . Тогда вычисляется:

α 22 =

M t∗3 , πR 3θ€∗

(1.92)

3

где M 13 , θ€3 - предельные значения диаграммы 3. ∗

∗

Свободное кручение полностью описывается той же системой уравнений, что и эксперимент на свободное растяжение. При этом рассчитывается значение α 21 . Расчеты и эксперименты показали, что с небольшой погрешностью α 21 = α 12 [43]. Это равенство является критерием правомерности использования для модели кабеля спиральноанизотропного цилиндрического стержня. Техника проведения опытов и сами опытные установки, защищенные авторскими свидетельствами, подробно описаны в работах [41, 42].

54

Рис.1.5. Диаграмма зависимости

M ~ θ€ кабеля КГ.

В итоге можно сформулировать алгоритм определения статистических оценок интегральных упругих постоянных гибкого кабеля: 1. Из трех серий экспериментов, описанных выше, получаются опытные данные для определения α 11 , α 12 , α 22 . 2. С использованием методов математической статистики, получают математические ожидания этих величин m1 , m2 , и m3 соответственно. 3. Полученные значения подставляют в выражения (1.79), (1.80) и (1.83)- таким образом, получают статистические оценки интегральных упругих постоянных

E1∗ , G1∗ , v1∗ гибкого кабеля. 1.4.2. Вероятностное описание интегральных жесткостных характеристик кабеля В механике гибких кабелей задача изгиба является чрезвычайно важной, потому что этот вид эксплуатационной деформации доминирует [58]. Одними из основных и трудноопределяемых характеристик механических свойств гибкого кабеля являются его интегральные жесткостные характери55

∗

∗

стики при изгибе A и сдвиге B Для экспериментального определения этих жесткостных характеристик разработаны и используются приборы [41, 42]. Рассмотрим две соответствующие схемы деформирования кабеля (рис. 1.6 а, б). Первая схема-это однопролетная двухопорная балка с равными сосредоточенными моментами в опорных сечениях. Вторая схема представляет собой однопролетную двухопорную балку с сосредоточенным моментом на одном конце. Для вычисления интегральных жесткостных характеристик кабеля воспользуемся известными формулами для определения углов поворота опорных сечений образца в плоскости действия изгибающих моментов, полученными с использованием интеграла Мора [63]. Для расчетной схемы, изображенной на рис. 1.6 а, угол ϕ равен

Mλ ϕ= ∗. 2A

(1.93) Для расчетной схемы, изображенной на рис. 1.6 б, угол γ равен

где

η

M ηM г=λ ∗ + ∗, 3 A λB

(1.94) - поправочный коэффициент, связанный с нерав-

номерностью распределения касательного напряжения по площади поперечного сечения. Нагрузочные моменты и соответствующие им угловые деформации концевых (опорных) сечений образцов определяются из эксперимента. Любой из приборов для определения механических характеристик имеет дело с образцами определенной длины, размеров и формы поперечного сечения, соотношение между которыми предварительно обосновывается [42]. Для гибкого кабеля, в силу особенности его конструкции, размеры и форма поперечного сечения, в основном, определены электротехническими требованиями. Минимальную длину образца определяет наибольший шаг свивки любого из элементов поперечного сечения. Максимальную длину образца определяет условие, чтобы взаимодействие элементов сечения как можно меньше отличалось от реальных условий работы достаточно длинного кабеля. В условиях эксперимента длина 56

образца принимается примерно равной шагу наружных токопроводящих жил. Поскольку в любых опытных данных, как уже отмечалось, неизбежно присутствуют случайные погрешности, то к задаче определения интегральных жесткостных характеристик гибких кабелей возможно применение вероятностного подхода и решать ее следует с использованием теории вероятностей и математической статистики. Получим выражения для определения статистических оценок жесткостных характеристик ражения (1.93) имеем:

A∗ и B ∗ кабеля Из вы-

M λ . ϕ 2

A∗ =

M

Величина

ϕ

(1.95) является случайной, т.к. определяется из ∗

эксперимента, следовательно, и величина A тоже случайная Как уже отмечалось, для описания ошибок измерения используется гауссовская модель, которая наиболее адекватна для многих реальных физических шумов, сопутствующих этим измерениям. Запишем плотность распределения нормальной случайной величины

fM ϕ

M

ϕ

в точке x:

~ )2 ⎫ ⎧ (x − m exp⎨− = ⎬ 2τ 2 ⎭ 2πτ 2 ⎩ 1

Пользуясь

законами

теории

(1.96)

вероятностей,

(1.96) получаем, что случайная величина ность распределения: 2 ⎧ ⎛ λ⎞ ⎫ ~ ⎪ ⎜x −m ⎟ ⎪ 1 2⎠ ⎪ ⎪ f A (x ) = exp⎨− ⎝ 2 ⎬. 2 λ 2 ⎪ λ 2 ⎪ τ π τ ⎪⎩ ⎪⎭ 2 2

57

A

∗

из

(1.95),

имеет плот-

(1.97)

а)

K 1 A*

B* = М

М

A − K2 *

(1.98)

M

ϕ

где

ϕ

K1 = l

M maxη l , K2 = . lϕ max 3

Запишем плотности распределения независимых нормальных случайных величин

M

ϕ

в точках x и y

⎧ ( x − a1 )2 ⎫ exp⎨− ⎬, 2δ 12 ⎭ 2πδ 12 ⎩ 1

f a (x ) =

б)

A∗ и

М γ

f M (y) = y

(1.99)

⎧ ( x − a 2 )2 ⎫ exp⎨− ⎬. 2δ 22 ⎭ 2πδ 22 ⎩ 1

(1.100) Определим функцию распределения случайной величины

B ∗ в точке z :

l

FB ( z ) = P(B ∗ < z ) =

ных величин

Перейдем теперь к вероятностному описанию интеграль-

величин

58

B ∗ . Из выражения (1.94)

x ( z − K1 ) K2 z

−∞

−∞

∫ ∫ f (x, y )dydx,

(1.101)

где f ( x, y ) - совместная плотность распределения случай-

Рис. 1.6. Варианты схем нагружения образцов кабеля: а -изгиб встречными моментами (прямой чистый изгиб); б -изгиб сосредоточенным моментом (прямой поперечный изгиб).

ной жесткостной характеристики имеем:

+∞

A∗ и M . Учитывая независимость случайных

ϕ

A∗ и M и законы их распределения, после ряда

ϕ

преобразований из (1.101), получаем плотность распределения случайной

B ∗ в точке z: 59

f B .( z ) =

(

)

z a1δ 22 K 2 + a 2δ 12 − a 2 K 1δ 12

K1 K 2 2πδ 12δ 22

(δ

2 2

z K2 + δ 2

2 1

(z − K1 )

)

3 2 2

∗

ной упругой постоянной G1 , вычисленное по формуле (1.80). Таким образом, выражения (1.103), (1.104) представляют собой формулы для вычисления оценок интеграль-

× (1.102)

⎧ (z (a1 − a 2 K 2 ) − a1 K 1 ) ⎫ . × exp⎨− 2 ⎬ 2 2 2 2 ⎩ 2 z δ 2 K 2 + δ 1 (z − K1 ) ⎭ 2

(

)

Теперь мы имеем представление о законах распределения

A∗ и B ∗ . В качестве статистической ∗ оценки интегральной жесткостной характеристики A при-

случайных величин

мем математическое ожидание этой случайной величины, равное

A* =

λ~ m, 2

(1.103)

где λ - длина кабеля, подвергаемого изгибу,

~ - среднее значение случайной величины M . m

ϕ

∗

Закон распределения случайной величины B имеет вид (1.102). Прямое вычисление математического ожидания этой величины затруднительно. Получим формулу для вычисления статистической оценки интегральной жесткостной харак-

B ∗ , используя полученные ранее оценки инте∗ ∗ гральных упругих постоянных E1 и G1 : теристики

3

B

∗

∗ 1

P∗ P∗ G = ∗ = e∗ e E1∗

∑C i =1 3

2i

∑C i =1

1i

mi . mi

(1.104)

P ∗ , e ∗ - предельные значения диаграммы зависимости P ~ e в опытах на стесненное растяжение, E1∗ - среднее где

∗

значение интегральной упругой постоянной E1 , вычисленное по формуле (1.79),

∗

1.5. Методика расчета статистических оценок упругих интегральных постоянных и жесткостных характеристик кабеля 1.5.1. Методика вычисления статистических оценок интегральных упругих постоянных кабеля Моделируя кабель упругим сплошным однородным спирально-анизотропным цилиндрическим стержнем, получаем уравнение (1.46), из которого видно, что напряженное состояние кабеля характеризуется тремя интегральными упру∗

∗

∗

гими постоянными E1 , G1 , v1 . Ввиду невозможности постановки эксперимента для прямого вычисления этих упругих постоянных, предлагается вероятностный подход к их определению. В результате проведения трех серий опытов на стесненное растяжение, стесненное кручение и свободное

растяжение получены диаграммы зависимостей P ~ e, M ~ θ€ и e ~ θ€. По этим диаграммам определяются значения α 11 , α 12 . и α 22 . Поскольку эти параметры определяются экспериментально, им обязательно присущи случайные ошибки измерений. Считая параметры α 11 , α 12 и α 22 случайными величинами, распределенными по нормальному закону, на основе упомянутых диаграмм, вычисляем средние значения этих параметров. Затем по формулам (1.79), (1.80) и (1.83) рассчитываются математические ожидания интегральных уп∗

∗

∗

ругих постоянных E1 , G1 и v1 соответственно. В таблице 1.1 приведены статистические оценки интегральных упругих постоянных для кабеля КГ, полученные описанным выше способом. Для сравнения в скобках приводятся численные значения интегральных упругих постоянных, полученные на основе детерминированного подхода.

G1∗ - среднее значение интеграль60

∗

ных жесткостных характеристики A и B гибкого кабеля.

61

Существенную роль в оценке упругих постоянных детерминированным методом играют отклонения ∆ 11 , ∆ 12 , ∆ 22 -

погрешности вычислений α 11 , α 12 , α 22 соответственно, найденные с учетом погрешностей эксперимента погрешностей обработки диаграмм (рис. 1.4, 1.5) [43]. Максимальные от∗

∗

∗

клонения составляли ± 20 % Поэтому расчеты E1 , G1 и v1 осуществлялись при переборе значений

λij ∆ ij

(По индексам

не суммировать), где 0 < λij ≤ 1 - величины дробления интервала. Для выбора конкретных из множества получаемых значений интегральных упругих постоянных были вычислены невязки

∑i =

(λ11∆11 )i2 + (λ12 ∆12 )i2 + (λ22 ∆ 22 )i2 3

с сортировкой по интервалам

∆Σ

(1.105) от 0до 0,2. Затем внутри ∗ 1

каждого интервала для данных значений v нимальное значение функционала

f = ∗

находилось ми-

(E ) + (G ) * 2 1

* 2 1

∗

(1.106) ∗

для значений E1 и G1 , которые вместе c v1 определяли тройку интегральных упругих постоянных, удовлетворяющих системе уравнений (1.66), (1.106) на соответствующем интервале ∆Σ . На интервалах ∆Σ от 0 до 0,1 не существует

E1∗ , G1∗ . В таблице 1.1 в скобках представлены значения интегральных упругих постоянных, найденные по требованию f = min на интервалах ∆Σ : 0,1+0,15 для первой строки таблицы и 0,15+0,20 для второй строки. Для вычисления статистических оценок интегральных упругих постоянных кабеля с доверительной вероятностью 0,95 при степени точности 10-2 необходимый объем выборки составляет 1415. Для вычисления значения интегральных упругих постоянных детерминированным методом проведено более 7000 испытаний. Из таблицы видно, что предложенный вероятностный метод определения интегральных упругих постоянных кабеля дает более устойчивые результаты 62

при широком разбросе исходных данных, особенно это каса∗

∗

ется упругих постоянных G1 и v1 . Так, различие между зна∗

чениями G1 , определенными детерминированным методом для двух интервалов погрешностей составляет 48,95%, а для определенных вероятностным методом - 10,6%. Для инте∗

гральной упругой постоянной v1 эти значения составляют соответственно 60, 9% и 1,3%. Таблица 1.1 Статистические оценки интегральных упругих постоянных для кабеля КГ 3 × 4+1 × 2 Разброс исходных данных, %

G1∗ , / Па/

E1∗ , / Па /

10÷15

2,38⋅109 (2,42⋅109)

1,66⋅109 (3,53⋅108)

15÷20

2,16⋅109 (2,21⋅109)

1,50⋅109 (2,37⋅108)

ν 1* 0,300 (0,266) 0,304 (0,428)

1.5.2. Методика вычисления статистических оценок интегральных жесткостных характеристик кабеля Для кабельных конструкций особый интерес представляют характеристики кабеля как цельного конструктивного элемента. Одними из основных характеристик механических свойств гибкого кабеля являются интегральные жесткостные ∗

∗

характеристики при изгибе A и сдвиге B . Для определения интегральной жесткостной характери∗

стики A проводится эксперимент по схеме нагружения кабеля, представленной на рис. 1.6 а (прямой чистый изгиб). Полученные в результате этого эксперимента данные рассматриваются как значения случайной величины. Считая ее распределенной по нормальному закону, с помощью методов математической статистики, можно определить среднее значение случайной величины

M

ϕ

После этого по формуле

(1.103) рассчитывается среднее значение интегральной же∗

сткостной характеристики A . 63

Среднее значение интегральной жесткостной характери∗ стики B при прямом поперечном изгибе предлагается рассчитывать по формуле (1.104) через полученные ранее ста∗ 1

тистические оценки интегральных упругих постоянных E

и

∗ 1 .

G

В табл. 1.2 приведены статистические оценки интеграль∗

∗

ных жесткостных характеристик A * и B для двух марок кабеля. Для сравнения в скобках приведены численные значения интегральных жесткостных характеристик, полученные детерминированным методом [42]. Для вычисления статистических оценок интегральных жесткостных характеристик кабеля с доверительной вероятно−2

стью 0,95 при степени точности 10 , необходимый объем выборки составляет 500, при этом для определения значения показателей, устанавливаемых в стандартах или технических условиях на кабели конкретных марок число циклов изгиба варьируется от 3000 до 35000. Таким образом, использование вероятностного метода позволяет сократить число экспериментов, что приводит к существенной экономии материалов и затрат. Вычисление интегральных жесткостных характеристик кабеля детерминированным методом связано с вычислением ряда вспомогательных характеристик и представляет собой достаточно трудоемкий процесс, особенно это касается жест∗

костной характеристики B [39-43]. Использование вероятностного подхода позволяет существенно упростить эти расчеты, а результаты, как это видно из табл. 1.2, отличаются незначительно [57]. Таблица 1.2 Статистические оценки интегральных жесткостных характеристик кабелей Марка кабеля

A* , / H ⋅ M 2 /

B* , / H ⋅ M 2 /

КГ 3×4+1×2,5

6,142⋅107 (6,260⋅107)

3,373⋅109 (3,378⋅109)

КГШЭ 3×50+1×10

3,426⋅107 (3,422⋅107)

1,910⋅109 (1,913⋅109)

64

Литература к главе 1 1. Абрамян Б.Л., Баблоян А.А. Кручение

анизотропного

цилиндра // ДАН Арм. ССР.-1958.- T. 27, № 5.-С. 269-275. 2. Абрамчук С.С., Булдаков В.П. Допустимые значения коэффициентов Пуассона анизотропных материалов // Механика композитн. материалов. - 1979. - № 2. - С. 235-243. 3. Александров К.С, Рыжова Т.В. Упругие свойства кристалловю Обзор // Кристаллография. - 1961. - Т. 6, вып. 2. С. 289-314. 4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. - М: Наука, 1974. - 324 с. 5. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М: Наука, 1982. - 320 с. 6. Ашкенази Е.К. Анизотропия машиностроительных материалов. - Л: Машиностроение, 1969. - 240 с. 7. Ашкенази Е.К., Морозов А.С. Методика экспериментального исследования упругих свойств композиционных материалов // Заводская лаборатория. - 1976. - № 6. - С. 731735 8. Баблоян А.А. Об одной задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра конечной длины из трансверсально-изотропного материала // ДАН Арм.ССР. - 1961. - т. 32, № 4. - С. 189-195. 9. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. - М: Мир, 1974. - 464 с. 10. Благонадежны В.Л., Варушкин Е.М., Протасов В.А. Эксперимен тальные исследования начального напряженнодеформированного состояния трехслойных цилиндрических оболочек // Механика композиты, материалов. - 1979. - № 4. - С. 634-640. 11. Болотин В.В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов // Расчеты на прочность. - вып. 12. - М: Машиностроение, 1979. - С. 3-31. 12. Бондаренко Л.Н. Аналитическое определения коэффициента жесткости канатов // Механиз. стр-ва. - 1994. - № 12. С. 12-13. 13. Веинский М.Н., Листратенков А.И., Тюрин А.В. О рациональном конструировании токопроводящих жил силовых кабелей // Кабельная техника. - 1976. - вып. 1. - С. 4-6. 65

14. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. – М: Наука, 1947, 480 с. 15. Вудворт Ф.М. Теория вероятностей и теория информации с применением к радиолокации. - М: Сов. радио, 1955. 228 с. 16. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь. М: Сов. Радио, 1974. – 719 с. 17. Глушко М.Ф. Стальные подъемные канаты. - Киев: Техника, 1966. - 323 с. 18. Глушко М.Ф., Малиновский В.А., Шигарина Л.И., Кононенко Л.А Нелинейные уравнения равновесия прямого каната // Прикл. механика. - 1979. - № 12. - С. 127-129. 19. Гренандер У. Случайные процессы и статистические выводы. М: ИЛ, 1961. - 167 с. 20. Деранже A.M., Кротов В.П., Повеличенко А.П., Рсянов Ю.А. Рас чет натяжения грузонесущих кабелей для геофизических иссле дований // Кабельная техника. - 1976. - вып. 5. - С. З-б. 21. Динник А.Н. Статьи по горному делу. - М: Углетехиздат СССР, 1957. - 202 с. 22. Долгих В.Н., Фильштинский Л.А. Модель анизотропной среды, армированной тонкими лентами // Прикл. механика. 1979. - № 4. - С. 24-31. 23. Дружинина Т.В., Любимцева Е.М., Митюшов Е.А. Упругие характеристики многофазных систем волокнистой структуры / Урал. гос. техн. ун-т. - Екатеринбург, 1995. - 16 с. Деп. В ВИНИТИ 05.10.95, № 2690-В95. 24. Ефремов И.Н., Мамаев Л.М., Раров А.Н., Фролов В.Г. Расчет механических напряжений в кабелях, покрытых упругими оболочками- // Электротехническая промышленность. Кабельная техника. - 1980. - вып. 7 (185). - С. 2-3. 25. Житков П.Н. Плоская задача теории упругости неоднородного ортотропного тела в полярных координатах // Тр. Воронежского госуниверситета. - 1954. - т. 27. - С. 20-29. 26. Ильин Л.А., Лобкова Н.А., Нехотящий В.А., Стариков Н.П. Схематизация многослойной рулонированной стенки сосуда анизотропным цилиндром // Прикл. механика. - 1979. № 10. - С 58-63. 27. Калиничееко П.М., Козовый СИ. Методика определения параметров вторичной деформации проволок при свивке 66

нераскручивающихся спиральных канатов // Стальные канаты. 1972. - Вып. 9. - С. 150-153. 28. Карпинос Д.М., Тучинский М.И., Вишняков Л.Р. Новые композиционные материалы. - Киев: Вища школа, 1911. 312 с. 29. Крегер А.Ф., Тетере Г.А. Применение методов усреднения для определения вязко-упругих свойств пространственно-армирован ных композитов // Механика композитн. материалов. - 1979. - № 4. - С. 617-624. 30. Кульбак С. Теория информации и статистика. - М: Наука, 1967. 408 с. 31. Кущ В.И. Напряженное состояние и эффективные упругие модули среды, армированной периодическирасположенными сфероидальными включениями // Прикладная механика. - 1995. - 31,№ 3. - С. 32-39. 32. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических изделий. М: Машиностроение, 1916. - 2 32 с. 33. Лапин А.А. Плоская деформация резинокордовой ткани // Расчеты на прочность в машиностроении. - М: Машгиз, 1955 - С. 46. 34. Леман Э. Проверка статистических гипотез. - М: Наука, 1964. - 489 с. 35. Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М: Наука, 1971. - 310 с. 36. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М: Наука, 1977. - 415 с. 37. Математическая статистика / Иванова В.М., Калинина В.Н., Нешумова Л.А. и др. - М.: Высш. школа, 1981.-371 с. 38. Мокряк С.Я. Исследование напряженнодеформированного состояния спирально-анизотропных стержней / Томск. инж.- строит. ин-т. - Томск, 1980.-120 с. Деп в ВИНИТИ 30.10.80, №4628-80Деп. 39. Мусалимов В.М. Механика деформируемого кабеля. 8 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 23-29 авг. 2001: Аннотации докладов, Екатеринбург: Изд-во УРО РАН; Пермь: Изд-во ин-та мех. сплошных сред УРО РАН, 2001, с.443. 40. Мусалимов В.М., Пестова И.А. Упругий потенциал спирально-анизотропных тел/ Томск. инж.- строит. ин-т. Томск, 1987.-8 с. - Деп в ВИНИТИ; №1547-1387. 67

41. Мусалимов В.М., Соханев Б.В., Мокряк С.Я. Элементы механики кабельных конструкций - Томск: Изд-во Томского ун-та, 1981. -120 с. 42. Мусалимов В.М., Соханев Б.В. Механические испытания гибких кабелей. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 1984.64 с. 43. Мусалимов В.М., Мокряк С.Я., Соханев Б.В., Шиянов В.Д. Определение упругих характеристик гибких кабелей на основе модели спирально-анизотропного тела // Механика композитных материалов.-1984.-№ 1.-С. 136-141. 44. Мусалимов В.М., Смолина И.Ю., Швецов М.А. Некорректные задачи определения упругих характеристик тел с криволинейной анизотропией // II Всесоюзная конференция по теории упругости. Тезисы докладов. Тбилиси, 1984.—С. 198. 45. Мусалимов В.М., Смолина И.Ю. Вероятностный метод решения некорректной задачи определения упругих характеристик спирально-анизотропного стержня / Томск, инж.строит, ин-т.—Томск, 1987.-10 с.-Деп. в ВИНИТИ 10.11.87, № 7874-В87. 46. Мусалимов В.М., Смолина И.Ю. Оценка механических характеристик гибких кабелей на основе решения некорректной задачи определения упругих характеристик спирально- анизотропного стержня / Томск, инж.-строит, инт. — Томск, 1988.-11 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.06.88, № 4370В88. 47. Назаров Ю.И. Изгибная жесткость закрытых несущих канатов // Подъемно-трансп. оборуд. - Киев. - № 10.-С. 4548. 48. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей.-М: Мир, 1969.-309 с. 49. Озерной М.И., Соболев В.Г. Шахтные гибки кабели. М: Недра, 1966.-288 с. 50. Павленко А.В. Плоская задача теории упругости для пластинок с криволинейной анизотропией // Изв. АН СССР, Мех. тверд, тела. - 1979. - № 3. - С. 70-82. 51. Понкратов С.А. Динамика машин для открытых горных и земляных работ (основы теори и расчета). - М: Машиностроение, 1967.- 447 с.

68

52. Понкратов С.А., Ряхин В.А. Основы расчета и проектирования металлических конструкций строительных и дорожных машин. М: Машиностроение, 1967.-27 6 с. 53. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. - М: Наука, 1979.-495 с. 54. Расчеты на прочность в машиностроении / Понаморев С.Д., Бидерман В.Л., Лихарев К.К. и др. - М.: Машиностроение, 1955- 1959, т. I-II. 55. Саркисян B.C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. - Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1976.-310 с. 56. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М: Машиностроение, 1978.-340 с. 57. Смолина И.Ю. Определение характеристик упругих свойств кабеля на основе вероятностного описания исходных данных. Автореф. дис. канд. техн. наук. – Томск: Том. политехн. универс., 1998, 19 с. 58. Сычев Л.И., Реут Л.З. Шахтные гибкие кабели. - М: Недра, 1971.-182 с. 59. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М: Наука, 1974.-575 с. 60. Турчин В.Ф., Козлов В.П., Малкевич М.С. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач // Успехи физ. наук. - 1970. - т. 102, № 3. - С. 345-386. 61. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. - Новосибирск: Наука, 1982.189 с. 62.Чернявский Ю.Е Расчет напряженно - деформированного состояния кабеля управления робототехническихъ систем / Укр. гос. хим,- технол. ун-т. - Днепропетровск, 1994.-9 с. — Деп. в ГНТБ Украины 08.09.94, № 1860-Ук94. 63. Шпиро Г.С., Дарков А.В. Сопротивление материалов. М: Высшая школа, 1965.-762 с. 64. Amamampong G., Burgoyne C.J. Probabilistic strength analysis of parallellay ropes // 33rd AIAA / ASME / ASCE / AMS /ASC Struct., Struct. Dyn. and Mater. Const., Dallas, Tex., Apr. 13-15., 1992. Collect. Techn. Pap. Pts. - Washington, 1992. P. 2864-2870 65. Amamampong G., Burgoyne C.J. Analysis of the tensive strength of parallellay ropes and bundies of parallel elements be 69

probability theory // Int. J. Solids and Struct. - 1995. 32, № 24. - P. 2864-2870 66. Baker C.R. Calculation of Shannon information // J. of Math. Anal, and Appl. - 1979. - Vol. 69, № 1. - P. 115-123. 67. Baker C.R. Absolute Continuity and Applications to Information Theory // Lecture Notes in Math. - Berlin: Springer Verlag, 1976. - Vol. 526. - P. 1-11. 68. Gibiansky L.V., Torquato S. Geometrical parameter bounds on the effective moduli of compossites // J. Mech. and Phys. Solids. - 1995. - 43, № 10. - P. 1587-1613. 69. Hearl J.W.S. // J. Textile Inst.-1958.-Vol. 389, № 49. P. 113-115. 70. Hearl J.W.S. and Konopasek M. On unified approaches to twisted yearn mechanics // Appl. Polym. Symp.-1975. - № 27. P. 255-273. 71. Chui S.T., Hsu W.Y., Tian D. Effective medium calculation of the anisotropic elastic moduli of composites with oriented elipsoidal inclusions // J. Appl. Phys. - 1995.-78, № 7. - P. 4715-4722. 72. Theocaris P.S. The limits of Poisson's ratio in polycrystalline bodies // J. Mater. Sci. - 1994. - Vol. 29, № 13. - P. 3527-3534. 73. Thwaits J.J. The elastic deformation of a rod with helical anisotropy // Int. J. Mech. - 1977. Vol. 19, № 3. P. 161-169. 74. Treloar L.R.G. // J. Textile Inst. - 1962. - Vol. 446, № 53. - P. 150-158.

70

probability theory // Int. J. Solids and Struct. - 1995. 32, № 24. - P. 2864-2870 66. Baker C.R. Calculation of Shannon information // J. of Math. Anal, and Appl. - 1979. - Vol. 69, № 1. - P. 115-123. 67. Baker C.R. Absolute Continuity and Applications to Information Theory // Lecture Notes in Math. - Berlin: Springer Verlag, 1976. - Vol. 526. - P. 1-11. 68. Gibiansky L.V., Torquato S. Geometrical parameter bounds on the effective moduli of compossites // J. Mech. and Phys. Solids. - 1995. - 43, № 10. - P. 1587-1613. 69. Hearl J.W.S. // J. Textile Inst.-1958.-Vol. 389, № 49. P. 113-115. 70. Hearl J.W.S. and Konopasek M. On unified approaches to twisted yearn mechanics // Appl. Polym. Symp.-1975. - № 27. - P. 255-273. 71. Chui S.T., Hsu W.Y., Tian D. Effective medium calculation of the anisotropic elastic moduli of composites with oriented elipsoidal inclusions // J. Appl. Phys. - 1995.-78, № 7. P. 4715-4722. 72. Theocaris P.S. The limits of Poisson's ratio in polycrystalline bodies // J. Mater. Sci. - 1994. - Vol. 29, № 13. - P. 3527-3534. 73. Thwaits J.J. The elastic deformation of a rod with helical anisotropy // Int. J. Mech. - 1977. Vol. 19, № 3. P. 161-169. 74. Treloar L.R.G. // J. Textile Inst. - 1962. - Vol. 446, № 53. - P. 150-158.

70

Глава 2 Геометрическая теория сдвигов элементов кабельных конструкций Подход к кабелю как к сплошной спирально – анизотропной среде, имеющий целью установление коллективных механических характеристик: агрегатных модулей при кручении, растяжении, изгибе ориентирован на необходимость эти характеристики, зависящие от параметров конструкции, каждый раз заново экспериментально определять для каждой конструкции. В основе этих теорий лежит закон плоских сечений, который в данном случае оправдан по отношению к тросам, так как при значительных растягивающих нагрузках за счет продольных усилий в проволоках и обжатия элементов друг с другом они не сдвигаются относительно соседних, а при изгибе такой конструкции значительные усилия трения так же делают эту гипотезу приемлемой. Так как кабель принципиально и значительно отличается от тросов наличием разнообразных прослоек между элементами, понижающих трение и способствующих относительному движению элементов и так же то, что основной определяющей нагрузкой для гибких кабелей является изгиб, вызывающий относительные сдвиги элементов, что подтверждается практикой и экспериментами, закон плоских сечений не выполняется, и теории, разработанные на его основе, требуют уточнения. Имеются работы [112] по учету этих особенностей для канатов, где с учетом геометрических параметров приведена формула сдвигов элементов, однако в дальнейшем анализе не используется и закон плоских сечений считается справедливым. Другая модель представляет отдельные проволоки токопроводящих жил, не взаимодействующих между собой по усилиям трения, на основе которой построена теория расчета угловых и линейных перемещений проволок, а так же междужильных и внутрижильных сдвигов при свободном кручении кабеля с чисто геометрической стороны, так как деформации здесь не связаны с усилиями [104]. Такая модель использовалась для исследования влияния параметров скрутки на циклическую прочность кабелей при цикли71

ческом кручении, которая связывалась с независимыми перемещениями элементов. Проведен ряд исследований упруго-фрикционного взаимодействия элементов кабеля [80, 81] на основе экспериментов по выдергиванию ТПЖ. Полученная диаграмма «сдвиг-усилие» оказалась аналогичной диаграмме извлечения волокна из матрицы композитного материала [131,151,152]. Однако, для выяснения реальной картины перераспределения усилий взаимодействия элементов по поверхностям контакта необходимо знать закономерности распределения сдвигов элементов и их фрикционные свойства по всем поверхностям контакта в кабеле, так как сдвиги реализуются на разных уровнях конструкции [114]. Анализ поверхностей контакта приведен в [52,113,115].

l - длина зоны деформации; r - радиальная координата оси канала; α - угол наклона к образующей касательной к винтовой оси канала, являющийся дополнительным к обычно определяемому в кабельной техники углу скрутки [7], так как

tgα =

ϕ jx − ϕ j 0 = ϕ j = ( x − x0 ) dж

Для качественного и количественного анализа сдвигов элементов конструкции кабеля рассмотрим модель изгиба на ролике R0 гибкого упругого стержня (цилиндра) – d k ,

жилы) , не взаимодействующие со стенками каналов за счет сил трения и сцепления (элементы свободно перемещаются в зоне деформации и вне ее), (рис. 2.1). Угол охвата β стержнем ролика и длина зоны деформации изгиба l связаны соотношением:

l = R⋅β

(2.1)

Геометрия конструкции гибкого кабеля с повивной системой скрутки представлена на рисунке 2.2, где x0 и x – координаты начального и текущего сечения зоны деформации изгиба на цилиндре; ϕ j 0 и ϕ j – угловые координаты оси канала j - той токопроводящей жилы в начальном и текущем сечении; 72

(2.2)

Угловая координата оси канала в текущем сечении связана с линейной координатой сечения зависимостью:

2.1. Сдвиги элементов при изгибе кабеля на ролике

регулярные с шагом H радиусом r винтовые (спиральные) каналы, в которых размещается продольно недеформируемые однородные гибкие элементы – d Ж (токопроводящие

2πr H

(2.3)

l=θ

R

θ ∆

2π H

R0

n

n 1

dк 1’

Рис. 2.1. Схема деформации изгиба цилиндрического стержня со спиральными каналами

Ι

и

Ι′

на ролике.

В описанных условиях материал упругого стержня нейтральной поверхностью n − n (рис. 2.1) делится на сжатую (у поверхности ролика) зону и растянутую на выпуклой стороне стержня. При изгибе такого цилиндра вследствие изменения длины винтовых каналов, попадающих в сжатую и растянутую зоны, и пространственной деформации спиральных элементов при постоянной их длине происходит относительное движение стенок канала и элемента. 73

а) dθ

1-1 z ϕj0 dж r y x0

2-2 z r x

r

H

dϕ

ϕjx ϕj y

2’ n

α

x

II

α

74

dS

I

3' II’

0 S

n n

(2.4)

R R0

где S - текущая координата в пределах деформируемой длины кабеля λ . Именно на угол dθ повернется концевое сечение элемента длины кабеля dS относительно прямой ( n − n) . Проведем через нейтральную ось n − n плоскость, параллельную первоначальной, получим двугранный угол той же величины dθ . Следы этого двугранного угла на поверхности деформированного образующего цилиндра винтовой линии представляется точками 2, 3, II , n и 2′ , 3′ , II ′ , n , тогда точка 2′ - новое положение точки 2, а длина ( 2 − 2′ ), равная rdθ , есть приращение линии (1-2) ( ϕ = 0 ); точка 3′ новое положение точки 3, определяемой в свою очередь углом ϕ , так что

(3 − 3′) = rdθ cos ϕ

3

r

Для установления связи этого сдвига с параметрами конструкции кабеля и параметрами деформации изгиба воспользуемся схемой деформации винтового канала (рис.2.3). В зоне деформации осуществим два последовательных сечения кабеля на расстояниях S и S + dS ; центральный угол между сечениями составит:

dS R

2

1

n

Рис. 2.2. Геометрия винтового канала в цилиндрическом стержне.

dθ =

ϕ +dϕ

ϕ

1

2

1

ϕ

dθ

б) I

α

θ

dα ∆ dL

αк

II

II'

Рис. 2.3. Схема деформация винтового канала (а-винтовой канал в кабеле, б- изменение конфигурации винтовой линии).

(2.5) 75

и соответственно конец винтового канала получает перемещение

(ΙΙ − ΙΙ ′) = rdθ cos(ϕ + dϕ )

длине dS вследствие ее спиральности. Таким образом при деформации кабеля с винтовой линией радиуса r на цилиндре радиуса R0 элемент винтовой

линии ( I − II ) занимает новое положение ( I − II ′) (прерывистая линия на рисунке 2.3.б.) Согласно закону плоских сечений получим, что линия ( I − 3′) перпендикулярна линии (3′ − II ′) . С учетом того, что

(3′ − ΙΙ ′) = rdϕ ,

(2.6)

= ( dS + rdθ cos ϕ ) 2 + ( rdϕ ) 2

ϕ с уче-

том соотношений:

H (1 + (1 / c) cosϕ ) 2 + tg 2α ⋅ dϕ 2π

(2.7) (2.8)

Здесь C = R / r - степень деформации кабеля. Так как начальная длина элемента винтовой линии равна: 76

( (1 + (1 / c) cos ϕ )

2

+ tg 2α − 1 + tg 2α

) Hd2πϕ (2.10)

Интегрирование этого приращения в пределах от

ϕ 0 + 2πλ / Η ,

где

ϕ0

до

λ - длина зоны деформации кабеля на ци-

линдре, дает

⎧⎪ϕ0 + 2πλ/ H ∆ = H / 2π ⎨ ∫ (1 + (1 / C ) cos ϕ ) 2 + tg 2α ⋅ dϕ − ⎪⎩ ϕ0 ϕ 0 + 2πλ / H

∫ ϕ

1 + tg 2α ⋅dϕ

}

(2.11)

Формула (2.11), содержащая эллиптические интегралы, не позволяет получить в явном виде простую аналитическую зависимость сдвигов элементов относительно стенок каналов от параметров конструкции и деформации изгиба цилиндра на ролике. Приближенное приращение длины элемента винтовой линии, получим, проектируя I − II на I − II ′ (рис.2.3 б):

= [( I − 3) + (3 − 3′)]2 + (3′ − II ′) 2 =

dLK =

(2.9)

0

( I − II ′) = dLK = ( I − 3′) 2 + (3′ + (3′ − II ′) 2 =

Hdϕ Hdϕ , dθ = 2π 2πR

∆dL = dLK − dL =

−

запишем новую длину винтовой линии (канала)

dS =

H 1+ tg 2α ⋅ dϕ, 2π

то приращение длины канала равно:

где dϕ - изменение угловой координаты оси канала на

так как ( I − 3) = dS Приведем это выражение к одной переменной

(I − II ) = dL = (I − 3)2 + (3 − II )2 = dS 2 + (rdϕ)2 =

∆dL ≅ ( II − II ′) cos α K = rdθ cos(ϕ + dϕ ) cos(α + dα ) Здесь dα - приращение угла скрутки канала. Без учета величин второго порядка малости

∆dL = rdθ cos ϕ cos α =

rΗ cos α cos ϕ ⋅ dϕ 2πr

(2.12)

Интегрируя в указанных пределах, получим приращение длины винтового канала, накопленного от начального сечения до рассматриваемого на длине зоны деформации λ : 77

∆=−

rH 2πλ cos α [sin(ϕ0 + ) − sin ϕ 0 ] 2πR H

(2.13)

или после преобразований:

∆=−

rH cos α πλ πλ sin ⋅ cos(ϕ0 + ) H H 2πR

(2.14)

Формула (2.14) может быть преобразована к переменным S , θ при использовании соотношений между ними (2.7). Введем обозначения:

так, что

rH cos α ; πR πλ πλ F (ϕ0 , λ) = sin ⋅ cos(ϕ0 + ), H H − 1 ≤ F (ϕ 0 , λ) ≤ 1,

(2.17)

откуда:

∆ = ∆ 0 ⋅ F (ϕ 0 , λ).

(2.18)

∆0 =

(2.15) (2.16)

Символу ∆ 0 можно приписать смысл амплитуды относительно сдвигов канала и стержня. Эта амплитуда определяется параметрами конструкции гибкого кабеля: углом скрутки α элемента на расстоянии r от оси кабеля и отношением шага скрутки элемента H к длине полуокружности деформирующего цилиндра πR . Безразмерный коэффициент F (ϕ 0 , λ) определяется положением оси элемента относительно плоскости деформации – центральным углом ϕ0 в начальном сечении зоны деформации (сечении скрепления элемента и канала) и соотношением шага скрутки элемента с длиной зоны деформации λ или части ее. С достаточной для дальнейшего анализа точностью, введенные упрощения (2.12) приводят к формуле сдвигов (2.14), функционально связывающей параметры конструкции принятой модели гибкого кабеля с параметрами изгиба на ролике. 78

При выводе формул (2.14) мы предполагали, что заполняющий канал продольно-недеформируемый стержень может перемещаться свободно и в зоне деформации на цилиндре и вне ее. Очевидно, что если мы скрепим стержень с каналом в некотором сечении кабеля, то формула (2.14) определит сдвиг канала относительно стержня. Величина и знак (направление сдвига) определяется положением скрепления относительно зоны деформации. Одиночное скрепление вне зоны деформации аналогично скреплению в самом начале зоны. Тогда формула определит сдвиг в конце зоны длиной λ , который распространится за вторую границу зоны деформации. Очевидно, также, что одиночное скрепление внутри зоны деформации (например, на расстоянии λ1 от левой границы, так что λ1 + λ 2 = λ ) формула (2.14) определит величины сдвигов на границах зоны, отвечающие λ1 и λ 2 и также выходящие за пределы зоны деформации. При наличии двух сечений скрепления стержня и кана* ла, расстояние между которыми λ , возможны случаи: 1) λ* = λ , закреплены сечения по концам зоны деформации. Изменение длины канала при недеформирующемся стержне приведет к силовому взаимодействию элементов конструкции кабеля на длине зоны деформации λ ; 2) λ > λ , одно из закреплений внутри зоны деформации, со свободной длины зоны также свободны сдвиги, определяемые соответствующей длиной λ1 . С другой сторо*

ны (со стороны второго закрепления) силовое взаимодействие, определяемое частью длины деформации λ − λ1 < λ будет развиваться на расстоянии между закреплениями λ* ; 3) Если оба закрепления вне зоны деформации, то сдвиги, определяемые λ вызывают силовое взаимодействие на *

длине λ , содержащей с двух сторон свободные от деформации изгиба участки. Рассмотренные случаи имеют место в условиях эксплуатации и эксперимента при наличии зажимов, закреплений, разъемов, резко ограничивающих возможность относитель*

79

ных сдвигов элементов конструкции кабеля. В реальных условиях имеет место и непрерывное взаимодействие между элементами по трению и сцеплению по поверхности контакта стержня и канала, так что, сдвиги оказываются возможными только после преодоления сил трения или сцепления. С точки зрения работоспособности гибкого кабеля при циклическом изгибе на цилиндре, эффект сдвига спиральных элементов относительно других элементов конструкции имеет принципиальное, определяющее значение. Часть практически несжимаемого элемента, оказавшегося длинней канала в сжатой зоне деформации, вызовет смещение другой своей части (относительно, например, оболочки) и за пределами зоны деформации (2.1). Если эта возможность ограничена, сравнительно гибкий элемент может потерять устойчивость своей формы. Часть элемента, оказавшегося короче канала в растянутой зоне деформации, также вызовет смещение своей части за пределами этой зоны. Далее, элемент при растяжении может получить значительное, вплоть до пластических деформаций, растяжение. Детальное рассмотрение этих эффектов будет осуществлено ниже. Кроме того, циклические сдвиги элементов конструкции гибкого кабеля в реальных условиях сопровождаются трением с выделением тепла и износом трущихся поверхностей.

откуда

ϕ0 +

πl H

=

π 2

3π или 2

;

⎧ π πλ ⎪⎪ 2 − H ; = ϕ0 ⎨ ⎪ 3π − πλ . ⎪⎩ 2 H

Элементы, определяемые этими углами, располагаются на диаметре нулевых сдвигов, повернутом против часовой стрелки от горизонтальной оси y на угол:

ϕ=

каналом в начале зоны деформации, сдвиг, равный нулю, в конечном сечении зоны будет иметь элемент с начальным центральным углом ϕ0 , удовлетворяющим условию:

cos(ϕ0 +

πλ H 80

)=0

(2.19)

πλ πβ = = κπ H β1

(2.21)

Экстремальные сдвиги реализуются у элементов, для которых:

cos(ϕ0 +

2.2. Анализ формулы сдвигов

2.2.1. Распределение сдвигов по повиву (слою) элементов Положение спирального элемента в зоне деформации относительно плоскости изгиба определяется его центральным углом в начальном сечении. Величина сдвига элемента является функцией этого центрального угла и длины зоны деформации F (ϕ 0 , λ) (2.16). При скреплении элемента с

(2.20)

откуда:

ϕ0 +

πλ H

πλ H

) =1

(2.22)

= 0; , а соответствующие центральные

углы:

⎧ πλ ⎪⎪− ; ϕ0 = ⎨ H ⎪π − πλ . ⎪⎩ H

(2.23)

определяют диаметр экстремальных сдвигов, перпендикулярный диаметру нулевых сдвигов, так как углы их поворо81

та против часовой стрелки от взаимно перпендикулярных осей одинаковы. Экстремальные сдвиги равны:

∆ max = ∆ 0 sin

πl H

∆ min = − ∆ 0 sin

ψ

H

z

∆max диаметр нулевых сдвигов

(2.24)

πl

2.2.2. Соотношение параметров конструкции и параметров деформации

диаметр экстремальных сдвигов

γ n n r

x

γ

Таким образом, распределение сдвигов элементов по повиву подчиняется закону плоских сечений с той особенностью, что диаметр экстремальных сдвигов поворачивается от плоскости деформации кабеля против направления скрутки элементов на угол, определяемый отношением расстояния от закрепленного (от сдвигов) сечения до рассматриваемого к шагу скрутки элементов в повиве.

В формулу сдвигов один из параметров - λ - длина зоны деформации входит в виде отношения ее к параметру конструкции - шагу скрутки элементов - H . Интерес представляют величины этого отношения, доставляющие величине сдвигов экстремальные значения. Для всех спиральных элементов сдвиги по концевым сечениям зоны деформации равны нулю, если первый сомножитель F (ϕ 0 , λ) равен нулю, то есть:

n

s

sin

y

ψ R

что дает:

∆min Рис. 2.4. Распределение сдвигов элементов по повиву.

H

Так как эпюра сдвигов элементов повива изображается косинусоидой, развернутой по длине окружности радиуса r (рис.2.4), то кривая сдвигов представляет собой плоскую замкнутую кривую (при изображении сдвигов перпендикулярно плоскости сечения), наклоненную к сечению под утлом γ и пересекающую сечение по диаметру нулевых сдвигов:

tgγ =

∆ 0 sin

πλ

H = ∆ max r r 82

πλ

(2.25)

или:

πλ H

=0

= 0; π ; 2π ; 3π ; Κ

(2.26)

(2.27)

λ = 0; 1; 2; Κ H

Последнее означает, что в случае кратности длины зоны деформации шагу скрутки элементов сдвиги в концевых сечениях зоны деформации отсутствуют. Именно по этой причине при исследовании механических характеристик гибких кабелей [81, 82] рабочая длина образцов кабеля была принята равной шагу скрутки элементов, так как наложение на образец захватов в этом случае не вносит помех в действительную работу элементов кабеля (по крайней мере в механизм сдвигов), а определяемые жесткостные характеристики являются реальными механическими характеристиками гибкого кабеля. 83

Как показывают исследования действительная картина взаимодействия элементов конструкции кабеля не ограничивается описанной, однако она обладает достаточной общностью для анализа сдвигов. Равенство нулю второго сомножителя функции F (ϕ 0 , λ) означает, как и раньше (2.19), отсутствие сдвигов элементов, центральные углы которых в начальном сечении:

ϕ0 = 1

π 2

−

πλ H

; ϕ0 2 =

3π πλ − 2 H

πλ 2πλ H

+

H

=

πλ H

,

(2.29)

отложенным по часовой стрелке от горизонтальной оси сечения. 2.2.2.1.

n = 1,2,3...

∆=−

∆=−

∆ min = −

ϕ λ = (2n − 1)4 − 0 , H 2π 84

(2.33)

Наибольшее значение максимума:

2.2.3. (2.30)

которое реализуется при условиях:

2πλ π = (2n − 1) , 2 H

(2.32)

∆0 [−1 − sin ϕ 0 ], при n - четном 2

(2.34)

В таблице 2.1 приведены рассчитанные согласно формулам (2.33), (2.34) значения экстремумов сдвигов для характерных положений спиральных элементов в начальном сечении; указаны реализующие их зоны деформации (или иначе, сечения, в которых проявляются эти сдвиги).

Условие экстремальности сдвигов имеет вид:

ϕ0 +

∆0 [(−1) n −1 − sin ϕ o ] 2

∆0 [1 − sin ϕ 0 ], при n - нечетных. 2

∆ max = −

2πλ ∆0 [sin ϕ0 + − sin ϕ0 ] 2 H

∆ 2π 2πλ d∆ =− 0 ⋅ cos(ϕ0 + ) = 0, 2 H dλ H

в на-

Наибольшее значение минимума:

Экстремальные сдвиги

Возвратимся к записи сдвигов в форме (2.13):

ϕ0

чальном (скрепленном) сечении существует своя длина зоны деформации, при которой он испытывает экстремальные сдвиги. Подставив λ / H в (2.13), получим значение сдвигов, которые могут быть реализованы на длине зоны деформации:

(2.28)

Положение диаметра нулевых сдвигов в концевом сечении зоны деформации определится углом:

ϕ=−

где

и означает, что для элемента с центральным углом

(2.31)

Сдвиги на участке зоны деформации

В предыдущих пунктах проведен анализ сдвигов по одному концевому сечению зоны деформации при закрепленном втором конце зоны деформации. Однако та же формула позволяет определить сдвиги в любом сечении зоны, так как физически в процессе деформирования (увеличения длины зоны при наложении кабеля на цилиндр) сдвиги, определенного сечения, проявившиеся в последнем сечении касания цилиндра, остаются неизменными (фиксированными) какой бы длины зона деформации не была дальше этого сечения. В развитии и фиксации сдвигов, согласно формулы, имеется периодичность. Поэтому достаточно рас85

смотреть распределение сдвигов только в пределах зоны деформации, равной длине периода шага скрутки элементов. Причем из таблицы 2.1 видно, что по концам такой зоны отсутствуют сдвиги всех элементов. Таблица 2.1 Сечения сдвигов

ϕ0

∆ min

l

H

∆ max l

H

−

0

π /2

∆0

0

−

2

1 ; 1+ 4 ∆0 2 3 ; 1+ 4

1

1; 1+1

4

∆0 3

4

1 ; 1+ 1 2 2

π

3/ 2 π

∆0

− ∆0

2 3 ; 1+ 3 4 4 ∆0 2 1 ; 1+ 1 4 4

1 ; 1+ 1 2 2 0 1; 1+1

Условно скрепляя спиральный элемент с каналом в любом сечении шаговой длины можно определить сдвиг этого элемента в любом другом сечении, отстоящим от первого на расстоянии S . Угловая координата элемента в последнем сечении по (2.7) равна: ϕ 0 + ϕ = ϕ 0 + ( S / H ) ⋅ 2π При исследовании сдвигов на шаговой длине удобно провести разбиение пределов интегрирования уравнения (2.12)

∆=

∆0 2

ϕ0 +ϕ

∫ cosϕdϕ ,

(2.35)

ϕ0

на участки, последовательно сменяющих друг друга растянутых и сжатых зон цилиндрического стержня - модели кабеля. Границами участков при этом будут точки начала и конца зоны деформации, а также точки перехода канала из одной зоны в другую. В зависимости от ориентации спирального канала относительно плоскости деформации таких точек перехода оказывается не более двух, а число участков интегрирования не более пяти. Например, для элемента с центральным углом - ϕ 0 : 86

∆=

∆0 2

π 3π / 2 ⎡π / 2 + + cos ϕ d ϕ cos ϕ d ϕ ⎢∫ ∫ ∫ cos ϕ dϕ ⎢⎣ ϕ0 π /2 π ϕ0 2π ⎤ + ∫ cos ϕ dϕ + ∫ cos ϕ dϕ ⎥ 3π / 2 2π ⎦⎥

(2.36)

Результаты подсчетов F (ϕ 0 , λ) на шаговой длине в зависимости от положения спирального элемента (токопроводящей жилы) в координатных четвертях начального сечения приведены в таблице 2.2. Значения интегралов представляют собой сдвиг элемента в правом сечении участка, накопленный на длине этого участка. Таблица 2.2 Значения интегралов F (ϕ 0 ) для различных пределов

ϕ0 I

интегрирования Пределы интегрирования. Границы участков. Значения интегралов F (ϕ 0 , λ) . I

ϕ0 ÷π 2

1 − sin ϕ 0

π

II

2 −1

÷π

ϕ0 ÷ π − sin ϕ 0

π ÷ 32π

III

ϕ0 ÷ 32 π − 1 − sin ϕ 0

3 π ÷ 2π 2 +1

IV

ϕ 0 ÷ 2π − sin ϕ 0

−1

+1

IV 3 π ÷ 2π 2 +1

−1

II

2π ÷ π

III π ÷ 32π

2

3 π ÷ 2π 2 +1

2π ÷ π 2 +1 π

2 −1

÷π

2π ÷ π

I`

2

+1

π

2 −1

Экспериментальные точки.

2π ÷ ϕ0 sin ϕ0 π ÷ ϕ0 2

sin ϕ − 1

÷π

π ÷ 32π −1

π ÷ ϕ0 sin ϕ 0 3 π ÷ϕ 0 2 sin ϕ0 + 1

В табл. 2.2 содержатся также рисунки, иллюстрирующие особенности относительных сдвигов спиральных элементов и каналов. На шаговой длине зоны деформации можно выделить особые точки. Первая группа точек - точки нулевых относительных сдвигов - точки 1 и 3. Эти точки находятся на концевых сечениях шаговой длины. Относящаяся к этой группе точка 2 определяется с любого конца зоны дефор87

мации как симметричная точкам 1 и 3 относительно нейтральной поверхности изогнутого стержня - модели кабеля. Вторая группа точек - точки экстремальных сдвигов точки А и Б, они располагаются на нейтральной поверхности изогнутого стержня, как точки перехода спирального стержня через нейтральную поверхность. Результаты исследования сдвигов по повиву и по длине зоны деформации (п.2.3.1 - п.2.3.3) можно объединить в одном рисунке 2.5, показывающем диаграмму распределения сдвигов по повиву и шаговой длине зоны деформации. На диаграмме осуществлена развертка повива на плоскость, на которой в характерных сечениях через одну восьмую шага или длины зоны деформации построены эпюры сдвигов элементов повива.Диаграмма обладает следующими особенностями: 1. На несущем повив цилиндре (деформированном) радиусом образуются две зоны сдвигов. В первой зоне токопроводящие жилы (спиральные элементы) движутся к левому концу зоны деформации. Во второй зоне ТПЖ движутся к правому концу зоны деформации. 2. Зоны ограничиваются двумя спиральными линиями (на развертке - прямые) нулевых сдвигов, наклоненными к шагу скрутки под углом θ

tgθ =

πr H

=

tgα 2

(2.37)

3. В зонах сдвига имеются спиральные линии экстремальных сдвигов (на развертках также прямые линии), наклоненные к оси кабеля под углом θ . 4. Величины экстремальных сдвигов достигают ∆ 0 для элементов с начальными центральными углами:

ϕ0 =

π

2

; ϕ0 =

3π . 2

5. Зоны сдвигов образуют ленты-полосы одинаковой длины, равной длине полуокружности повива, обертывающие деформированный изогнутый кабель с уменьшенным углом скрутки θ . 88

H 3/4H

tgα =2π r/H, L=H/ cos α tgθ =π r/H, ϕ =ϕ +2π S/H

H/2 ψ =0 n

H/4 n

n

ψ =π /4

αn

0

0

n ψ =π /2 π

n

1.0

n

1/2π ϕ

π

0

n n 3/2π

n

1.0

π /2

3/2π 5/4π

η

Оси ТПЖ

1.0

1.0 1.41

θ

линия нулевых сдвигов (- -)

2π

1.41

2.0 1.41

1.0 1.41

θ

ψ =3/4π 1.0

1.41

π /4

tgη =π r/L, ϕ =π S/H ψ =π

1.0 1.41

2π 0

1.0

3/2π 1.0

1.0

L/4

L/2

линия экстр. сдвигов (-·-)

π

1.41 2.0 1.41

3/4L

0 L

Рис. 2.5. Диаграмма распределения сдвигов по повиву и шагу скрутки (множитель к ординатам эпюр сдвигов -

∆ 0 ).

6. Сечение диаграммы линией параллельной развертке начальной окружности дает распределение сдвигов по повиву в соответствующем сечении. Например, в сечении с координатой

λ имеется две области с разным направлени4

ем сдвигов элементов повива, так что нейтральная линия повернута от горизонтальной оси сечения против часовой стрелки на угол

π

4

, что иллюстрировано соответствующим

рисунком. Наибольшие сдвиги, как видно имеют элементы повива (ТПЖ), расположенные в исследуемом сечении под углом

5π , а в начальном сечении эти элементы имеют цен4

тральные углы равные равны

∆=

∆0 2

π

4

. При этом экстремальные сдвиги

89

7. Сечение диаграммы линией параллельной длине спирального элемента (ТПЖ) - L дает распределение сдвигов по его длине. Например, элемент с начальным центральным углом

ϕ0 =

π

2

движется к левому концу зоны деформации.

Правильней будет сказать, что упругий канал движется относительно несжимаемого спирального элемента (ТПЖ) к левому концу зоны деформации. Причем весь указанный канал движется влево, но сдвиги разных точек его по дли-

H имеет сдвиг не оказываются различными: сечение при 4 H ∆0 , сечение при имеет сдвиг ∆ = ∆ 0 . Описанное сече2 2 ние определяет положение особых нулевых точек. Например, описанный элемент нулевой точки 2 не имеет. А элемент с начальным углом

0 < ϕ0 <

π

2

∆ ϕ = ϕ j +1 − ϕ j =

(2.38)

d 2π = , r cos α n

(2.39)

а относительный сдвиг соседних элементов:

πλ⎤ ⎡ ⎨cos ⎢ϕ 0 ( j +1) + ⎥ − H⎩ ⎣ H⎦ πλ⎤ ⎫ ⎡ (2.40) − cos ⎢ϕoj + ⎥ ⎬ H ⎦⎭ ⎣

δ j , j +1 = ∆ j +1 − ∆ j = ∆ 0 sin

0

H до 4

d , cos α

где n - число элементов в повиве; α - угол скрутки элементов повива; r - радиус окружности осей элементов. Тогда, на рис. 2.6 центральный угол между осями соседних элементов повива с номерами j и j + 1 :

такую точку нулевых

сдвигов внутри зоны деформации имеет в сечении от

πλ ⎧

используя соотношение (2.39) в виде:

8. Эпюры сдвигов по повиву (п.6) позволяют определить относительный сдвиг двух соседних (касающихся) элементов повива. Его величина определяется как разница сдвигов соседних элементов (по эпюре) в одном сечении. Например, соседние ТПЖ с начальными центральными угла-

3π H в сечении ми π и 2 4 ∆ = 1 − (−1) = 2∆ 0

2π r ≥ n

имеют относительный сдвиг:

9. Диаграмма построена для четырех элементов повива, что позволяет легко выделить эпюры сдвигов для повивов, состоящих из четного числа элементов в повиве. 2.2.4. Относительные сдвиги элементов в повиве При укладке в слой n - элементов без зазора должно выполняться условие:

90

ϕ 0 , j +1 = ϕ 0 , j + ∆ϕ = ϕ 0 , j + 2πn, формулу можно преобразовать к виду:

πλ

δ j , j +1 = −2∆ 0 sin

H

sin

π n

sin(ϕ oj +

π n

+

πλ H

(2.41)

),

дающему возможность получить сдвиг элемента с номером j + 1 относительно элемента с номером j . Из формулы видно, что относительный сдвиг по повиву следует закономерности: sin(ϕ 0 j +

π n

+

πλ

π

H

n

) с начальной фазой (

+

πλ H

) , ме-

няющейся по длине зоны деформации λ . Оценка относительных сдвигов по формуле (2.41) свободна от неточностей, возникающих от принятых допущений (2.12) при выводе формулы абсолютных сдвигов.

91

откуда:

dж/cosα ϕj

ϕ oj = π / 2 − π / n − πλ / H

∆ϕ j+1

ϕj+1

ri

ri ri

α

α

∆ϕ ∆j δj+1 ∆j+1

Рис. 2.6. К сдвигу соседних элементов в повиве.

По длине зоны деформации относительный сдвиг определяется выражением:

sin

πλ H

sin(ϕ 0 j +

π

n

+

πλ H

).

При прочих равных условиях наибольший сдвиг относительно соседнего элемента имеет элемент с центральным углом:

ϕ0 j +

πλ π H

+

n

92

=

π 2

;

(2.42)

Сравнение (2.42) и (2.20) позволяет сделать вывод, что такой элемент определяется углом π / n против часовой стрелки от нейтрального диаметра. Последнее интересно в том смысле, что в каждом последовательном сечении нейтральный диаметр занимает вполне определенное (2.21) положение, а элемент с наибольшим сдвигом относительно соседнего находится поворотом от нейтрального диаметра на угол, определяемый только числом элементов в повиве. При большом числе элементов в повиве они равномерно распределяются по сжатой и растянутой зонам поперечного сечения кабеля и относительный сдвиг соседних элементов не достигает больших величин (величина ступеньки δ на рис. 2.6). При двух, трех элементах в повиве относительные сдвиги значительны. Наглядное представление о распределении относительных сдвигов по шаговой длине зоны деформации можно получить непосредственно по формуле (2.41), построив диаграмму аналогичную рис.2.5. Той же цели можно достичь, использовав указанную диаграмму так, что ординаты эпюры относительных сдвигов двух соседних элементов δ j , j +1 (при различном известном числе элементов в повиве) будут представлены разностью ординат эпюр их абсолютных сдвигов и ∆j + 1 (2.40). В качестве иллюстрации, на рис.2.7 ∆j приведены эпюры соседних элементов четырехэлементного повива при начальных центральных углах элементов:

ϕ 01 =

π 4

; ϕ 02 =

3π 5π 7π ; ϕ 03 = ; ϕ 04 = . 4 4 4

3π 2 93

гов, определение элементов повивов, между которыми эти сдвиги реализуются, и локализация экстремальных взаимных сдвигов. В самом общем случае взаимный сдвиг элементов i + 1 го и i - го повивов определяется так:

z ϕ01 4

1

ϕ02

3 2

r i +1H i +1 cos α i +1 πλi +1 πλi +1 i +1 ϕ sin cos( + )− 0 2 πR H i +1 H i +1 πλi πλi r i H i cosα i i (2.43) − sin i cos(ϕ 0 + i ) πR H H

δ ij , i,+j1 = ∆i +j 1 − ∆i j = 2

1

1.0

1.0

1.0

1.0

Дi+1

Дi

1.0

1.41

1.0

1.0

1.41

1.0

2δ23

0.41

1.41

2.41

2.82

2.41

1.41

3/2π 0.41

ri+1>ri

0.41

1.41

2.41

2δ12 2.82

2.41

1.41 1.41

0.41

1.0

1

π/2

0

π

ц

2δ34 πl/H i

2δ41 πl/H i+1

8×H/8 Рис. 2.7. Распределение относительных сдвигов четырех элементов повива по шаговой длине зоны деформации. Множитель к ординатам эпюр -

Дi+1

∆0 .

На эпюрах знак минус означает движение вправо, знак плюс - движение вправо. 2.2.5. Относительные сдвиги элементов соседних повивов Величина взаимных сдвигов элементов соседних повивов зависит от направлений и величин углов скрутки, величин шагов и начальных центральных углов осей элементов в начальном скрепленном сечении. Наибольший интерес представляет вычисление наибольших величин этих сдви94

Дi 3/2π

π/2

0

π

ц

πl/H i πl/H i+1 Рис. 2.8. К определению относительных сдвигов соседних повивов.

Здесь же требуется определить сечения, в которых достигается максимум взаимных сдвигов, и номера элементов 95

повивов, однако чисто аналитический способ решения этой задачи не обладает необходимой простотой и наглядностью. Поэтому рекомендуется следующий способ. В нескольких поперечных сечениях шаговой длины повивов строятся эпюры сдвигов элементов каждого повива. Затем эти эпюры совмещаются на общей развертке окружностей повива в масштабе центральных углов. На рис. 2.8 представлен такой способ определения относительных сдвигов элементов соседних повивов при скрутке одного и разных направлений. Разница ординат эпюр и есть искомый взаимный сдвиг. Возможен и второй способ, заключающийся в построении диаграмм по рис. 2.5 для соседних повивов и дальнейшего наложения этих диаграмм друг на друга. По этому способу облегчается определение сечения экстремальных взаимных сдвигов и определение номеров элементов повива с экстремальными относительными сдвигами. Таким образом, выраженная формулой абсолютного сдвига спирального элемента относительно условного упругого канала при отсутствии трения, связь параметров конструкции и параметров деформации обеспечила возможность: выяснения с геометрической точки зрения действительной картины поведения отдельных элементов и всей конструкции в целом;точной количественной оценки величины абсолютных сдвигов любого элемента конструкции кабеля в любом сечении зоны деформации и вне ее, величин относительных (элемент относительно элемента) сдвигов и их распределение по повиву и по длине зоны деформации; выявления специфики картины распределения сдвигов, заключающейся в наличии линий (диаметров) нулевых и экстремальных сдвигов в сечениях и непрерывного поворота этих линий по длине зоны деформации. Специфичным для конструкции кабеля при изгибе является, также, наличие в каждом сечении плоскости сдвигов элементов, угол наклона которой к нормальному сечению кабеля является также функцией координаты сечения. Другой особенностью является наличие зон (спиральных полос) сдвигов элементов разного направления, разделенных линиями нулевых сдвигов; установления строгой периодичности характеристик сдвига, определяемой шагом скрутки элементов. 96

Методика вывода формулы абсолютных сдвигов и полученные аналитические закономерности справедливы для картины поведения отдельных проволок в жиле, при условии их правильной скрутки и изгибе отдельно этой жилы на ролике, а также для многоповивных конструкций гибких кабелей.

2.3. Фрикционное взаимодействие элементов конструкции гибкого кабеля В предыдущих разделах исследована связь геометрических параметров гибкого кабеля с параметрами изгибного воздействия, выраженная в сдвигах отдельных спиральных элементов без учета их силового взаимодействия по поверхности контакта. В качестве отдельного спирального элемента выбрана токопроводящая жила, которая состоит из некоторого числа токопроводящих металлических проволок, объединенных скруткой и покрытой слоем полимерной изоляции. Выделим некоторые из возможных вариантов соседства различных по назначению элементов конструкции и прослоек между ними, отличающихся широким разнообразием материалов и их фрикционных свойств по поверхностям контакта, зависящих так же от особенностей технологии изготовления кабеля [113]. В повиве отдельные токопроводящие жилы находятся в контакте с соседними в радиальном направлении: с ТПЖ соседних повивов, внутреннего и внешнего; с ТПЖ внутреннего повива и наружной оболочкой; с ТПЖ внешнего повива и внутренним сердечником; с внутренним сердечником и наружной полимерной оболочкой. Реальная конструкция гибкого кабеля такова, что поверхности контакта не занимают всю поверхность ТПЖ (за исключением случая размещения ТПЖ в канале упруго деформирующегося стержня, принятого нами в качестве модели кабеля при выводе формулы сдвигов ТПЖ, а представляют собой три или четыре спиральных ленты с шириной, определяемой степенью обжатия элементов при скрутке и наложении последующих повивов или наружной оболочки. На поперечных разрезах (рис. 2.9) показаны поверхности j того элемента, по которым происходит относи97

тельный сдвиг соседних элементов (обозначены жирными линиями). Будем обозначать поверхность контакта j - того элемента некоторого повива с последующим повивом или оболочкой - верхней поверхностью, поверхность контакта с предыдущим повивом или сердечником - нижней, боковые поверхности контакта о соседними моментам повива о предыдущим - (при направлении отсчета по часовой стрелке) левой поверхностью, с последующим элементом-правой поверхностью. В случае соседних повивов разного направления, или отличающегося угла скрутки, поверхность контакта представляется серией регулярно распределенных по длине элементов пятен контакта, образованных пересекающимися токопроводящими жилами; действительные размеры и конфигурация поверхностей контакта с достаточной степенью точности можно установить изучением поперечного сечения кабеля и его разборкой. Фрикционные свойства поверхностей могут быть определены только в эксперименте. а)

б)

P *j ϕ0j

в) x

y

∆ϕ ϕ0j+1

r

P*jj+1 R

Рис. 2.9. Сечение поверхностей контакта отдельной токопроводящей жилы (а- для 3-х жильного кабеля; б- для 4-х жильного кабеля; в- для многожильного кабеля).

На данном этапе для предварительного теоретического анализа силового взаимодействия элементов использована осредненная диаграмма сдвиг-усилие, полученная в [83, 135] на основе изучения фрикционных свойств усилий трения и касательных напряжений по поверхностям контакта в эксперименте по выдергиванию ТПЖ из конструкции кабе98

ля, которая характеризуется особенностями перехода от упругого сдвига к срыву сцепления и скольжению. На основе рассчитанных величин абсолютных и относительных сдвигов и экспериментальных значений касательных напряжений по поверхности контакта определяются параметры силового фрикционного взаимодействия элементов конструкции. 2.3.1. Связь относительных сдвигов элементов с усилиями трения установлена феноменологически в эксперименте по выдергиванию отдельных элементов или групп их из конструкции кабеля [81, 135]. Эксперимент проводился по следующей методике: 1. Рабочей длиной образца может быть любая длина его, в том числе и шаговая длина элементов повива. 2. Полная длина образца включала в себя концевые части, помещаемые в захваты разрывной испытательной машины с достаточно малой рабочей нагрузкой, несколько превышающей верхний предел усилий выдергивания. 3. В одном из захватов испытательной машины укреплялисьвсе элементы кроме выдергиваемого, который в свою очередь закреплялся в другом захвате. Во втором захвате можно при необходимости закрепить и целую группу элементов, тогда изучается фрикционное взаимодействие по соответствующим поверхностям контакта. 4. Изменение выдергивающего усилия P и величины сдвига выдергиваемого элемента регистрировалось автоматическим построением диаграммы p ~ δ 5. Результаты достаточно представительного числа испытаний обрабатывались с целью построения диаграмм:

τ ~ δ (τ ~ ε ) , где τ =

P F

, а F - площадь контакта выдер-

гиваемого элемента с остающимися;

ε=

δ

λ

а

λ - первоначальная длина зоны контакта, опреде-

ляемая с учетом угла скрутки элементов. Если в зоне удерживающего захвата оставить достаточную часть длины выдергиваемого элемента, то эксперимент можно провести с постоянной длиной зоны контакта (например, H ). Оче99

видно, что определяемая в таком эксперименте связь касательных усилий и сдвигов является осредненной по следующим причинам: усредняется возможное неравномерное распределение касательных усилий по поверхностям контакта, связанное с особенностями эксперимента и геометрией самих поверхностей, усредняется значение касательных усилий по нескольким поверхностям лентам - контакта, усредняется возможная, связанная с технологией, изменчивость коэффициентов трения материалов. Обобщенная картина силового взаимодействия выдергиваемого элемента по поверхностям контакта его с соседними элементами представлена на рис. 2.10.

τ=P/F τсц τск τпц

1

В С

Д

А I

II

III

IV Е

γ δпц/

δсц/

δск/

Рис. 2.10. Диаграмма сдвиг-усилие по поверхности контакта ТПЖ.

Диаграмма имеет следующие четыре участка: I участок ОА - участок упругого взаимодействия сдвигающихся элементов. Этот участок чаще всего прямолинеен и заканчивается точкой А. Ей соответствует: τ ПЦ - предел пропорциональности напряжений

δ ПЦ - предел пропорциональности относительных сдвигов. II участок - АВ - участок нелинейного взаимодействия сдвигающихся элементов. Объясняется ростом касательных напряжений до уровня адгезионного сцепления, трения покоя и преодоления механического зацепления. Кроме того нелинейность участка объясняется реологическими свойст100

вами контактирующих материалов, различными случайностями конфигурации поверхности контакта и другими обстоятельствами. Участок заканчивается: τ СЦ - условным предельным напряжением сцепления;

δ CЦ - предельным сдвигом при срыве сцепления. III участок - ВС - участок срыва сцепления в отдельных случайных зонах и распространения начавшегося движения на всю длину поверхностей контакта. Участок заканчивается точкой С , когда в движении находится вся поверхность сдвигаемого элемента. Иногда кривая ВС имеет сложный характер, так как процесс начала движения сопровождается приспособлением поверхностей к относительному движению с установившимися коэффициентами трения. IV участок – СД - участок движения выдергиваемого элемента при постоянной длине и площади контакта и при постоянном касательном напряжении скольжения τ СК . Уменьшающемуся коэффициенту трения и сокращающейся длине контакта (выдергивание короткого элемента) соответствует участок СЕ. Отметим, что аналогичные эксперименты характерны для исследования композитов [131]. 2.3.2. Особенности диаграммы фрикционного взаимодействия поясняются схемами деформации слоев изоляции двух соседних контактирующих элементов (например, токопроводящих жил) (рис. 2.11). Практика эксперимента и эксплуатации кабеля указывают на две возможные схемы перехода от упругого сдвига к скольжению, отличающиеся тем, что этот переход локализуется на различных поверхностях: на поверхности контакта слоев изоляции; на поверхности контакта слоя изоляции с поверхностью самой токопроподящей жилы, что объясняется различием в прочности сцепления и коэффициентах трения по указанным поверхностям. На рисунке схематично построены эпюры сдвигов в материале слоев изоляции, соответствующие различным участкам диаграмм. При изгибе каждый конструктивный элемент кабеля имеет свое распределение зон упругого скольжения, при этом образуется сложная картина силового упруго фрикционного взаимодействия, получаю101

а)

ось ТПЖ δ1

δ1

δ1 δ

слой изоляции поверхность сдвига

δ2

слой изоляции

δ2

I

δ2

II-III

IV

ось ТПЖ δ пц=δ 1+δ 2

δ сц ==δ 1+δ 2

δ1

δ

δ ск=δ 1+δ+δ 2

б) δ1

ось ТПЖ δ1

поверхность сдвига слой изоляции

δ2 I

II-III

δпц

δ2

δ2 δсц

IV

δск=δ1+δ+δ2

z

слой изоляции ось ТПЖ

Рис. 2.11. Схемы сдвигов соседних ТПЖ по различным поверхностям.

щая свое отражение на диаграмме зависимости изгибающий момент-угол поворота сечения кабеля, использованный в [81, 82] для определения жесткостных характеристик гибкого кабеля при изгибе. Анализ диаграммы выдергивания позволяет сделать вывод о принципиальной возможности управления уровнем силового взаимодействия сдвигающихся при изгибе элементов конструкции. Относительный сдвиг контактирующих элементов согласно диаграммы состоит из двух частей - упругого сдвига, когда два сцепленных слоя изоляции ведут себя как одна прослойка, подвергнутая сдвигу, и скольжения, когда элементы, сохраняя на поверхности контакта напряжения скольжения (трения), сдвигаются на любую 102

величину, определяемую или условиями изгиба или условиями эксперимента. Выделим два из возможных случаев взаимодействия контактирующих поверхностей. В первом случае весь диапазон сдвигов на поверхности контакта элементов является упругим. Этого можно добиться увеличением толщины слоев полимерной изоляции с малым модулем сдвига материала [69]. При этом прочность сцепления по поверхностям контакта должна превосходить величину максимальных касательных напряжений. Во втором крайнем случае при тонких и жестких к сдвигу слоях изоляции сразу же при начале деформирования развивается сдвиг по всем поверхностям контакта. В реальных конструкциях кабеля обычно имеется сочетание упругого и фрикционного сдвига. Очевидно, что выяснение соотношения характера сдвигов по всем поверхностям контакта элементов конструкции гибкого кабеля с работоспособностью его при циклической деформации изгиба является актуальной задачей. 2.3.3. Схемы силовых воздействий на спиральный токопроводящий элемент Имея диаграммы распределения относительных сдвигов (рис.2.5) по поверхностям контакта некоторого элемента со всеми соседними, а также диаграмму зависимости касательных усилий от величины этих сдвигов (рис. 2.10) можно увязать эти диаграммы с целью получения законов распределения касательных усилий по поверхностям контакта. На участках длины зоны деформации и вне ее с относительными сдвигами δ не превышающими упругих сдвигов δ УПР касательное напряжение пропорционально относительному сдвигу:

τ = tgγ ⋅ δ (кг/кв. см),

(2.44)

tgγ - коэффициент пропорциональности, или тангенс угла наклона линейного участка диаграммы τ ~ δ . где

К усилиям сдвига на единицу длины токопроводящей жилы можно перейти по формуле: 103

зано на рисунке.

ружному периметру токопроводящей жилы. Очевидно, что

рассуждений и может быть учтено, так как границы этих зон устанавливаются из условия: (2.47)

Предположение об упругом взаимодействии позволяет, умножив ординаты эпюр относительных сдвигов на tgγ ⋅ p , получить эпюры касательных усилий по тем же поверхностям. Например, для третьего элемента ( ϕ03

=

5π ) четырех4

жильного повива эпюры касательных усилий по боковым (левой и правой) ленточным поверхностям имеют вид, представленный на рис. 2.12 (спиральный элемент развернут в прямую). Эпюра распределения касательных усилий на шаговой длине элемента легко трансформируется на любую длину зоны деформации, меньшую шага скрутки (отсечением лишнего вертикальной линией на соответствующем расстоянии λ / cos α . При большей длине 104

H λ > к эпюре cosα cosα

+

l/4

π/4 1.0

1.41 1.41

t34 l/2

2.41

−

ϕ0=5/4π t32

t32

2.82 1.41

Таким образом в предположении только упругого взаимодействия элементов погонные распределенные касательные усилия t являются функцией относительных сдвигов, законы распределения которых по повиву и длине зоны деформации изучены в разделе I. Наличие зон скольжения (где касательные напряжения постоянны и не зависят от абсолютной величины сдвига сверх δ СЦ ) принципиально не меняют основу дальнейших

1.41

где d Ж - наружный диаметр жилы по слою изоляции.

δ ≥ δ СК ≥ δ СЦ

(l-H)/cosα 0.41

(2.46)

1.0

p ≤ πd Ж

l−H , как покаcos α

l/cosα

1.0

суммарная ширина поверхностей контакта по на-

следует достроить справа участок длиной

2.41

где p -

(2.45)

1.0

t = τρ = tgγ ⋅ δ ⋅ p (кг/см),

3/4L

L t34

Рис. 2.12. Эпюра распределения касательных усилий по боковым поверхностям 3-го элемента четырёхжильного повива (множитель к ординатам - tg ⋅ p ).

γ

Эпюра 2.12 не образует расчетной схемы спирального элемента, так как, во-первых, не указан способ и место закрепления элементов конструкции от сдвига, всегда сопровождающие испытываемый образец кабеля, а во-вторых, не указаны эпюры распределения касательных усилий по нижней и верхней поверхности рассматриваемого элемента. Обратимся к реальной схеме испытания изгибом на роликах. Конструктивно испытательная машина выполнена так, что концы образца кабеля жестко зажаты в захватах, отстоящих от зоны деформации на расстояниях примерно равных длине этой зоны [38,81]. Для этой схемы деформирования расчетной длиной образца будет примерно трехкратная длина шага скрутки. Эта эпюра несамоуравновешена, поэтому средняя часть будет стремиться двигаться влево, но встретит сопротивление сжатой (до заделки) и растянутой правой части (рис. 2.12). Влияние концевых частей λΛ и λΠ на срединную часть (зону деформации) может быть учтено реакциями условных упругих заделок по

105

зажим

l

lп≈l

y

tji+1

lл ≈l

упругая среда с разными податливостями в тангенциальном и радиальном направлениях

R

Mп

Rл

x

tj-1,ji

tji-1

Mл

R

ϕ0i

y

tj,j+1i tji+1

α

H

Рис. 2.13. Расчетная схема спирального элемента при изгибе на роликах (спиральный элемент условно выпрямлен).

концам зоны деформации (рис.2.13). В реальной же схеме свободного изгиба гибкого кабеля, когда заделки (сечения закрепления от сдвигов элементов) полностью отсутствуют, сопротивление хвостовых частей постепенно затухает и тоже может быть смоделировано постановкой упругих заделок по концам зоны деформации. Учитывая загруженность касательными усилиями верхней и нижней поверхности контакта, форму токопроводящей жилы в виде спирали известного шага, нормальное взаимодействие соседних элементов по поверхности контакта, моделируемое упругой средой с различными коэффициентами сопротивления по разным направлениям, влияние наличия и способа закрепления концевых сечений кабеля от сдвига, моделируемое упругими заделками по концам зоны деформации, приходим к расчетной схеме гибкого спирального элемента в упругой среде с распределенными по известному закону по контактным ленточным поверхностям касательными усилиями и упругими концевыми заделками. Рисунком 2.14 представлена эта схема с условным изображением упругой среды, заделок и законов распределения касательных усилий. Эта схема может являться расчетной при анализе прочности, устойчивости токопроводящей жилы при изгибе гиб106

tji-1=t0i-1sin(πl/H) cos(ϕ0i+πl/H);; tj,j+1i=t0i+1sin(πl/H) sin(ϕ0,j-1+π/n+πl/H)sin(π/n)

tji-1 tj,j+1i

l

z

Mл

z

Rл

tj-1,ji=t0isin(πl/H)sin(ϕ0,j-1+π/n+πl/H)sin(π/n); tji+1 =t0i+1sin(πl/H)cos(ϕ0i+πl/H);

Rп

107

Рис. 2.14. Расчетная схема спирального элемента (ТПЖ) шаговой длины в упругой среде с распределенными касательными усилиями по контактным ленточным спиральным площадкам и упругими закреплениями концов.

зажим

кого кабеля на цилиндрической оправке. Следует отметить, что полученная схема наиболее полно отвечает действительной работе элементов конструкции гибкого кабеля и в этом смысле представляет несомненный практический интерес. Порядок установления расчетной схемы любого элемента конструкции кабеля при изгибе его на цилиндрической оправке содержит следующие этапы: исследуемый элемент определяется начальным в зоне деформации центральным углом; устанавливается число и форма ленточных поверхностей контакта исследуемого элемента по геометрии конструкции кабеля; устанавливается экспериментальным путем связь сдвигов и касательных напряжений [6, 41, 65]; устанавливается закон изменения касательных усилий по поверхностям контакта; экспериментом или расчетом устанавливаются характеристики упругих концевых заделок зоны деформации и характеристик упругой среды; устанавливается элемент с наиболее неблагоприятными характеристиками воздействий, заделок и среды. 2.3.4. Приведение касательных усилий по поверхностям контакта к оси токопроводящей жилы Разберем детали формулы (2.45) для касательных усилий по боковым поверхностям (например, правой):

t

i ,Π j , j +1

= tgγp δ Π j

i j , j +1

= 2∆ sin i 0

+ где

π n

i

π ni

+

sin

πλ

i

H

i

πλi Hi

t ij,−Λ1, j = tgγp Λj ⋅ δ ij −1, j = 2 ∆i0 sin

π

sin

πλi

ni Hi π πλi + i + i )tgγp Λj n H

(2.49)

Аналогичные усилия по верхней поверхности по (2.43):

⎡ πλi +1 πλi +1 i +1 t Вj = tgγp Вj δ В = ⎢∆i0 sin i cos(ϕ 0 + i +1 ) − H H ⎣ πλi πλi ⎤ − ∆i0 sin i cos(ϕ 0i + i )⎥tgγp Βj H H ⎦

sin(ϕ 0 j +

)tgγp Πj ,

элемента с соседним j + 1 - м, а относительный сдвиг

(2.50)

по нижней поверхности:

⎡ πλi πλi t Hj = tgγp Hj δ H = ⎢∆i0 sin i cos(ϕ 0i + i ) − H H ⎣ πλi −1 πλi −1 ⎤ i −1 − ∆i0−1 sin i −1 cos(ϕ 0 + i −1 0⎥tgγp Hj H h ⎦

(2.51)

Таким образом имеем по ленточным поверхностям

j - го

элемента i - го повива эпюры распределения касательных (2.48)

δ j , j +1

определяется по (2.40).

n j = t Λj + t Πj + t вj + t Hj

Тогда по левой ленте (поверхности) касательные усилия:

i +1

i −1

усилий по длине зоны деформации λ = λ = λ = λ С учетом обжатия изоляции элемента при скрутке и наложении наружной изоляции имеем схему силовых воздействий на единицу длины токопроводящей жилы (рис. 2.15). Все погонные касательные усилия приведем к оси элемента, вследствие их параллельности простым суммированием: i

p Πj - ширина ленточной поверхности контакта j - го

108

sin(ϕ 0, j −1 +

Так как:

109

(2.52)

δ ij , j +1 = ∆i j +1 − ∆i j , δ ij −1, j = ∆i j − ∆i j −1 ;

(2.53)

δ ij +1 = ∆i +j 1 − ∆i j , δ ij −1 = ∆i j − ∆i −j 1 ,

и j + 1 - го и по радиусу кабеля элементов го повивов:

n j = tgγ ⋅ ρ Λ δ ij −1, j +1 + tgγ ⋅ ρ Βδ j

то:

+ tgγ p (∆

− ∆ j ) + tgγ ⋅ p (∆ j − ∆ )

i +1 j

Η

i

Приняв для упрощения соотношения получим:

i

i −1 j

(2.54)

pΛ = pΠ и pв = pΗ ,

n j = tgγ ⋅ p Λ (∆i j +1 − ∆i j −1 ) + tgγ ⋅ p в (∆i +j 1 − ∆i −j 1 )

(2.55)

Последняя формула показательна тем, что осевые усилия в j - том элементе i - того повива определяются относительным сдвигом окружающих элементов: по повиву j − 1 - того z

p

Л

t

pЛ

Нижние индексы относятся к элементу повива, верхние к повиву. Термин "условный контакт" отражает тот действительный факт, что силовые воздействия на некоторый элемент являются результатом сдвигов относительно его соседних элементов - рассматриваемый элемент является уловно неподвижным. Раскроем первое слагаемое (2.56) (сумму усилий по боковым поверхностям):

πλ ⎡

πλ πλ ⎤ ϕ ϕ + − + cos( ) cos( ) 0 , j + 1 0 , j − 1 Η ⎢⎣ Η Η ⎥⎦

ϕ 0, j +1 = ϕ 0, j −1 + 2

H

2π 2π 2π ; ϕ 0, j +1 = ϕ 0 j + ; ϕ 0, j −1 = ϕ 0, j − , n n n

(2.58)

pП x

(2.57)

Преобразуя разность косинусов и учитывая соотношения между центральными углами трех соседних элементов:

П

y t

t ij −1, j +1 - касательные погонные усилия по условному контакту элементов j − 1 - го и j + 1 - го i- го повива; t ij−1,i +1 - касательные погонные усилия по условному контакту j - х элементов i − 1 -го и i + 1 - го повива.

= tgγ ⋅ ρ ⋅ ∆i0 sin

B

nj

(2.56)

n Λj + Π = t ij +1, j −1 = tgγ ⋅ ρ ⋅ δ ij +1, j −1 = tgγ ⋅ ρ (∆i j +1 − ∆i j −1 ) =

tB

t

= t ij −1, j +1 + t ij−1,i +1

Индексы слагаемых следует читать:

n j = tg γ ⋅ p Λ ( ∆i j +1 − ∆i j ) + tg γ ⋅ p Π ( ∆i j − ∆i j −1 ) + в

i −1,i +1

i − 1 - го и i + 1 -

pH

а также вводя обозначение:

t 0i = tgγ ⋅ p ⋅ ∆i0 , Рис 2.15. Касательные усилия по поверхностям повива.

j

-го элемента

i -го

(2.59)

где t 0i - амплитудное значение касательного усилия по повиву с номером i , получим закон изменения первого сла-

110

111

j - м элементе i - го повива, по-

гаемого осевых усилий в лучим:

n Λj + Π = −2t 0i sin

πλ πλ 2π sin sin(ϕ 0 j + ) n H H

(2.60)

Рассмотрим также второе слагаемое (2.56) (часть продольных распределенных усилий от касательных усилий по верхней и нижней поверхностям):

t ij+1,i −1 = tgγ p(∆i +j 1 − ∆i −j 1 )

δ ij = ∆i +j 1 − ∆i −j 1 =

d * Η i cos α i πλ πλ sin i cos(ϕ 0 j + i ), πR Η Η

относительный сдвиг соседних с i -м повивом сердечника и оболочки, как абсолютный сдвиг элемента некоторого повива с радиусом равным диаметру токопроводящей жилы -

d *Ж

и соответственно условную формулу: i +1, i −1

tj

(2.61)

∆i +j 1 и ∆i −j 1 - абсолютные сдвиги элементов i + 1 го и i − 1 - го повивов относительно среднего с номером i . Здесь

Случай соседних повивов значительно осложняет анализ, так как требуется увязать разные углы скрутки и шаги, а также начальные углы соседствующих в зоне деформации элементов соседних повивов. Рассмотрим случай одного повива, находящегося в контакте; сверху - с наружной изоляционной оболочкой, а снизу- с сердечником. Тогда, при несвязанности сердечника и оболочки можно формально записать

πλ πλ r i +1 H i +1 cos α i +1 sin i +1 cos(ϕ 0 j + i +1 ), πR Η Η i −1 i −1 i −1 πλ πλ r Η cos α sin i −1 cos(ϕ 0 j + i −1 ), ∆i −j 1 = πR Η Η πλ πλ ∆i +j 1 − ∆i −j 1 = (∆i0+1 − ∆i0−1 ) sin i cos(ϕ 0 j + i ). Η Η

= tgγ p Β + Η δ ij

(2.64)

Предполагая существование по боковым поверхностям

j - го элемента разных законов распределения касательных усилий запишем их момент относительно оси элемента, проходящей одновременно и через ось кабеля (на рис. 2.15 эта ось вертикальна). Положение оси определяется как и для любого элемента центральным углом ϕ 0 j Записываемый момент будет для токопроводящей жилы изгибающим в цилиндрической поверхности повива:

m Λj + Π = t j +1, j

∆i +j 1 =

здесь (2.62)

(2.63)

d* 2

d* d* d* − t j −1, j = t j +1, j − t j +1, j ⋅ , 2 2 2

(2.65)

- плечо касательных усилий относительно ука-

занной оси, в предположении, что поперечный размер токопроводящей жилы одинаково деформирован до d * с обеих сторон элемента. Так как:

t j +1, j − t j −1, j = ( ∆ j +1 − ∆ j ) − ( ∆ j − ∆ j −1 ) =

Так как:

Η

i +1

=Η

i −1

= Η , cos α i

i +1

= cos

i −1

= cos α , i

= (∆ j +1 + ∆ j −1 ) − 2∆j ,

(2.66)

то подставляя в (2.65) выражение для абсолютных сдвигов по (2.14) получим:

то окончательно получим:

112

113

m Λj + Π = 2m0i cos(

πλ πλ 2π − 1) sin cos(ϕ 0, j + ), n Η Η

(2.67)

2.3.5. Работа усилий трения по поверхностям контакта токопроводяших жил одноповивного гибкого кабеля при изгибе на ролике

где введено обозначение: * d* i d m = tgγ p∆ 0 = t0 , 2 2 i 0

(2.68)

а m0i - есть амплитудное значение распределенных по оси элемента изгибающих моментов от касательных распределенных сил по боковым поверхностям контакта.

0.39

Эn.n3Л+П

1.41

0

1.41

2.82

2.41

2.82

1.41

а)

Эn.m3Л+П

H/cosα множитель:2ti0sin(π/2)

2.82

2.41

2.82

1.41

0

0.39

б)

H/cosα * множитель:2mi0cos(π/2-1) d Ж 2

Рис. 2.16. Распределённые осевые силы (а) и моменты (б) по шаговой длине зоны деформации.

Формулы (2.60) и (2.67) позволяют строить эпюры распределенных осевых сил и моментов по длине зоны деформации, при этом переменной является λ . На рис. 2.16 такие 114

эпюры построены для 3-го элемента четырехжильного повива.

Картина силового упруго-фрикционного взаимодействия конструктивных элементов по поверхностям контакта (спиральным лентам или пятнам), имеющим свое распределение зон упругих и фрикционных сдвигов, усложненных локализацией перехода от упругого сдвига к скольжению на различных поверхностях, находит свое отражение на диаграмме зависимости изгибающий момент-угол поворота сечения, использованной с [81, 82] для определения жесткостных характеристик гибкого кабеля. Кривые нагрузкаразгрузка гистерезисного типа. Часть площади петли гистерезиса представляет работу усилий трения за цикл на относительных сдвигах элементов по поверхностям контакта [117]. Объединяя эпюры распределения относительных сдвигов токопроводящих элементов (рис. 2.7) с условной диаграммой "сдвиг-усилие" (на рис. 2.10 прочерчена пунктиром - I) по поверхностям контакта элементов одноповивного гибкого кабеля (рис. 2.9) получим диаграмму распределения погонных касательных усилий взаимодействия элементов по этим поверхностям на длине зоны деформации равной шагу скрутки (рис. 2.17). На рис. 2.17 показан один из возможных вариантов кососимметричного распределения относительных сдвигов элементов j и j + 1 , и на рис. 2.17 б соответствующее распределение погонного касательного усилия t j , j +1 по шаговой длине зоны деформации

l , где t Cj ,Κj +1 и — t Cj ,Κj +1 - пре-

дельные величины погонного касательного усилия, соответствующие предельным относительным сдвигам при срыве сцепления между элементами: j и j + 1 . Участки I и 3 диаграммы (рис.2.17 б) соответствуют упругому взаимодействию элементов, участок I на рис. 2.10. Участок 2, где

t j , j +1 = t Cj ,Κj +1 = const , соответствует фрикцион115

t j , j +1 = τ j , j +1 ⋅ p j , j +1,

ному взаимодействию на длине зоны деформации кабеля

λ*j , j +1 = λ2j , j +1 − λ1j , j +1 . На этом участке элементы проскальзывают относительно друг друга в каждой точке участка на величину, равную ординате эпюры распределения относительных сдвигов (рис. 2.17 а), сохраняя постоянное усилие трения (скольжения)

t Cj ,Κj +1 на поверхности контакта. При

где

τ j , j +1 = tg γ j , j +1 ⋅ δ j , j +1

На участке 2: CK CK t CK j , j +1 = τ j , j +1 ⋅ Pj , j +1 = tgγ j , j +1δ j , j +1 Pj , j +1 ,

условии осреднения возможного неравномерного распределения касательных напряжений τ j , j +1 по ширине контакта

p j , j +1 , погонные касательные усилия на участках I и 3

maxδjj+1 l3jj+1

l4jj+1

l

jj+1

2

jj+1

p j , j +1 cos α

и p *j =

pj cos α

Элементарная работа элементарной силы трения dΤ , направленной по касательной к поверхности контакта на относительных сдвигах элементов δ (λ) по длине зоны деформации

λ: d ′Α = dΤ cos α ⋅ δ (λ),

б) tjj+1

(2.71)

⋅ p ⋅ dS - элементарная сила трения, направгде dΤ = τ ленная по касательной к спиральной поверхности контакта; dS - приращение длины спиральной ленточной поверхности контакта; τ CΚ - касательное напряжение скольжения в точке на поверхности контакта; dΤ cos α - проекция элементарной силы трения на ось кабеля (длину зоны деформации). CΚ

t=const

tckjj+1 I

II

III

IV

2.17.

j и j + 1 ; б-

IV V

-tckjj+1

тов

p*j , j +1 =

ном сечении кабеля:

l1jj+1

l

Рис.

- угол наклона участка I (рис.2.9);

На рис. 2.9 показана ширина лент контакта в попереч-

-δckjj+1 δ

j , j +1

p j , j +1 оси элементов (рис. 2.9).

δjj+1

ck

где γ

(2.70)

- ширина лент контакта, измеряемая перпендикулярно

(рис.2.17 б) пропорциональны сдвигам: а)

δckjj+1

(2.69)

а-

распределение

относительных

сдвигов

l

элемен-

соответствующее распределение погонного касательного

усилия по поверхности контакта этих элементов на длине зоны деформации, равной шагу скрутки.

116

p=t и Так как: τ зоны деформации, то: CΚ

CΚ

dS cos α = dλ - приращение длины

d ′Α = t CK δ (λ)dλ, 117

(2.72)

Работа усилий трения на участке: 2.16) равна: λ2

Α1 =

∫t

λ1* = λ2 − λ1 (рис.

δ( λ)dλ = t CK

λ1

∫ δ( λ)dλ.

(2.73)

λ1

Работа усилий трения на контакте двух элементов с номерами j и j + 1 λ4

∫

и

δ CK j , j +1

соответственно, значения которых

λ1j ; λ2j ; λ1j , j +1 ; λ2 j , j +1 . Так как максимальный относительный сдвиг (рис. 2.17 а) имеет обратную зависимость от параметра деформации изгиба R (2.15), то при недостаточно малом

δ CK j , j +1

⎡ ⎤ ⎢ δ ( λ)dλ + δ ( λ)dλ⎥. = t CK j , j +1 ⎢ j , j +1 j , j +1 ⎥ ⎢⎣ λ1 ⎥⎦ λ3 λ2

δ CK j

известны из эксперимента, и решить их относительно λ , то корнями этих уравнений будут значения границ участков:

λ2 CK

Если приравнять правые части уравнения (2.14) и (2.41) величинам

∫

R величина max δ j , j +1

, тогда длина участка 2

может оказаться меньше

λ*j , j +1

и работа усилий тре-

(2.74)

ния по этой поверхности равна 0. Работа усилий трения по всем ленточным поверхностям контакта при изгибе одноповивного гибкого кабеля

Работа усилий трения по поверхности контакта элемента с номером j и оболочкой:

Α = ∑ Α j + ∑ Α j , j +1 + ∑ Α Cj = ∑ ( Α j + Α j , j +1 + Α Cj )

Α j , j +1 = Α1j , j +1 + Α 2j , j +1

⎡ λ2 1 2 CK ⎢ Α j = Α j + Α j = t j ⎢ δ j ( λ)dλ + ⎢⎣ λ1

∫

Где

⎤ δ j ( λ)dλ⎥⎥. ⎥⎦ λ3

∫

N

N

j =1

j =1

j =1

j =1

Α Cj - работа усилий трения по поверхности контакта элемента j и сердечника, подсчитываемая по формуле, где

аналогичной (2.76). Каждая из работ:

∆0 ⎧Η ⎫ * (2.76) ⎨ sin K j sinϕ0, j cosM j + cosϕ0, j M j − λj sinϕ0, j ⎬ 2 ⎩π ⎭ ∆0 ⎧Η ⎫ * Α j , j +1 = −tg CK ⎨ sin K j , j +1 ( R1 cos M j , j +1 + R2 sin M j , j +1 ) − λ j , j +1 R1 ⎬ j , j +1 2 ⎩π ⎭ (2.77)

[

(2.78)

(2.75)

интегрирования (2.74) и (2.75) принимают вид: CK

N

λ4

δ j (λ) и δ j , j +1 (λ) по формулам (2.14) и (2.41) после

Α j = −t j

N

]

Α j ; Α j , j +1 ; Α Cj может состоять из од-

ного или двух слагаемых в зависимости от вида распределения относительных сдвигов по длине зоны деформации. Если максимальная величина δ из всех максимальных по модулю значений относительных сдвигов по всем поверхностям контакта не превышает минимальной величины из всех значений по этим же поверхностям, то работа (2.78) равна 0, то есть если: max δ < min δ , то: А = 0. Формула (2.78) дает работу за половину цикла деформации изгиба на цилиндре (или изгиба концевыми моментами) радиуса, который изменяется от ∞ до величины θ , где θ - угол деформации изгиба изменяется за половину цикла от 0 до величины θ Работа за цикл: изгиб и распрямление, равна: CK

где

Kj =

π

λ*j ; K j , j +1 =

π

λ*j , j +1; M j =

π

L j ; M j , j +1 =

π

Η Η Η Η R1 = sin ϕ0, j +1 − sin ϕ0, j ; R2 = cos ϕ0, j +1 − cos ϕ0, j ;

λ*j = λ2j + λ1j ; λ*j , j +1 = λ2j − λ1j ; L j , j +1 = L1j , j +1 + L2j , j +1. 118

L j , j +1 ;

119

Α Ц = 2Α

(2.79)

По формулам (2.76), (2.77), (2.78), (2.79) можно определить работу усилий трения по поверхностям контакта элементов при деформации изгиба одноповивного гибкого кабеля, состоящего из: любого числа элементов ТПЖ одинакового и разного диаметра, оболочки и сердечника, если предварительно известны (например, из эксперимента) значения:

нормальные к сечению:

в плоскости сечения, по касательной к окружности повива: nθτ = n sin α Продольное усилие в элементе

2.3.6. Дополнительные силовые эффекты при деформации изгиба гибкого кабеля Эксплуатация и эксперимент по изгибу кабеля совершенно отчетливо указывает на наличие дополнительных силовых и деформационных эффектов, выражающихся прежде всего в искажении формы плоского изгиба на роликах [44, 51, 52, 73, 83]. Рассмотрим некоторое сечение в зоне деформации изгиба на ролике (рис. 2.18). В элементах повива, выходящих к сечению под углом скрутки α к образующей цилиндра, действуют погонные продольные усилия n , распределенные непрерывно по повиву по закону косинуса центрального угла, так что диаметр нулевых сдвигов элементов ( n − n ) делит повив на две симметричные части с разным направлением усилий сдвига. Диаметр нулевых сдвигов, как известно, располагается под углом к оси y , перпендикулярной плоскости деформации кабеля. Продольные усилия в элементах, расположенных на некотором произвольном (под углом θ к нему) диаметре, разложим на две составляющие: 120

nθ (подсчитанное ранее,

как суммарное по периметру ТПЖ) распределим теперь лиz α

n θτ nθ

δ скj ; δ jcк, j +1 ; δ jcк,c ;τ cкj ,c ;τ cкj , j +1 ; Pj ; Pj , j +1 Полученные формулы для подсчета работы усилий трения по поверхностям контакта токопроводящих жил, позволяют количественно оценить потери энергии деформации на конструктивное трение по этим поверхностям и определить вклад этой потери в площадь петли гистерезиса [81].

nox = n cos α ,

ϕoj

n θx θj

ψ=πl/H

n

y n α

x n θx

r

n θτ nθ

Рис. 2.18. К дополнительным (моторным) силовым эффектам.

d Ж* так, что среднее усилие по нейно по диаметру ТПЖ cos α оси элемента (см.рис. 2.19) равно:

nθ =

n cos α , d *Ж

(2.80)

а соответствующие составляющие по нормали и касательной к сечению:

121

n cos 2 α nθx = nθ cos α = ; d *Ж

где (2.81)

n sin α cos α nθτ = nθ sin α = . d *Ж

поперечное сечение

nθτ

tοτ = tgγ∆ 0 sin α cos α = t 0 sin α cos α ,

α

α

M n−n = 2

nθx Рис. 2.19. Разложение продольного усилия на составляющие.

Ограничиваясь упругими сдвигами элементов в выбранном фиксированном сечении, имеем зависимость рассматриваемых усилий от положения сечения и положения (номера) элемента:

nθx = −2tgγp∆ 0

πλ πλ cos2 α 2π sin sin sin(ϕ0, j + ), * n Η Η dЖ

πλ πλ cosα sin α 2π ϕ sin sin sin( ), nθτ = −2tgγp∆ 0 + 0 , j n Η Η d *Ж

(2.82)

t 2π πλ nθτ = 2 οτ* sin sin | cos θ j |, n Η dЖ 122

πλ t 2π sin r 2 . = 4 ox* sin n Η dЖ

(2.86)

Интеграл (2.86) учетверен, так как усилия распределены симметрично относительно n − n и оси, перпендикулярной к ней. Очевидно, что этот момент нулю не равен. Тогда разложим его на составляющие по осям z и y :

πλ

; Η πλ 3. M y = M n − n cos ϕ = M n − n cos ; Η (2.83)

получим

t 2π πλ nθx = 2 ox* sin sin | cos θ j |, n Η dЖ

π /2 πλ 2π tox sin sin × 4 ∫ cos θjrd θjr sin θj = * 0 n Η dЖ

2. M z = M n − n sin ϕ = M n − n sin

или перейдя к новой переменной:

ϕ 0, j = 90 ο − (ϕ − θ j ),

(2.85)

а в связи с заменой переменных учитывается абсолютная величина cos θj . Имея распределенные по окружности повива нормальные и касательные усилия (2.84), вычисляем: 1. Момент усилий сдвига относительно диаметра нулевых сдвигов:

dж

nθ

t ox = tgγp∆ 0 cos 2 α ,

4. Проекцию усилий сдвига на диаметр нулевых сдвигов:

Qn − n = 2 (2.84)

tοτ 2π πλ π / 2 sin sin 4 ⋅ ∫ cos θjrdθj sin θj = * 0 n Η dЖ πλ t 2π = 4 θτ* sin sin r (2.87) Η n dЖ 123

которую можно разложить на составляющие по осям координат: 5. Q z = Qn − n sin ϕ ; 6. Q y = Q n − n cos ϕ ; 7. Проекцию всех сил на ось кабеля:

Νx = 2

t ox 2π πλ sin sin * n Η dЖ

2π

∫ cos θ jrd θ j = 0.

(2.88)

0

8. Момент усилий сдвига относительно продольной оси кабеля: 2π

Mx = 2

tοτ 2π πλ sin sin cos θjrd θjr = 0. * n Η ∫0 dЖ

(2.89)

Таким образом, усилия сдвигов по повиву приводятся к четырем внутренним усилиям в сечении (рис. 2.20): изгибающим моментам относительно взаимно перпендикулярных осей z , y и поперечным силам в направлении этих же осей. Крутящий момент и продольная сила отсутствуют. z Qn-n Qz ψ My y Qy Mz Mn-n

Рис. 2.20. Приведение усилий сдвига к оси кабеля.

2.3.6.1. Результат приведения усилий сдвига элементов повива к оси кабеля На шаговой длине кабеля при обороте токопроводящей жилы на угол 2π диаметр нулевых сдвигов совершает 124

только пол-оборота, так как

ϕ=

πλ H

= π . Следовательно,

пол-оборота совершает и плоскость деформации дополнительного изгиба. Заметим, что эти деформации являются вторичными, так как являются следствием основной деформации изгиба кабеля на цилиндре и накладываются на последние. При укладке кабеля на поверхность дополнительная поперечная сила и изгибающий момент вызывают перекатывание кабеля по образующей этой поверхности. Такое перекатывание, являющееся вторичным эффектом деформации изгиба на ролике влечет за собой и вторичный силовой эффект - закручивание кабеля. Таким образом, в зоне деформации изгиба на ролике кабель испытывает первичную деформацию изгиба, сопровождающуюся дополнительным изгибом относительно вращающегося диаметра нулевых сдвигов и перекатыванием по образующей цилиндра под действием дополнительной поперечной силы. Вне зоны деформации прямолинейная ось кабеля оказывается под воздействием дополнительного изгибающего момента от сдвигающих усилий в спиральных элементах, распространяющихся и за пределы зоны деформации. Плоскость действия этого момента продолжает вращаться, до момента затухания усилий сдвига. Так как изгиб свободного образца концевыми моментами также сопровождается изгибом вращающимся моментом, то деформация чистого изгиба для кабеля невозможна. 2.3.6.2. О компенсации вторичных силовых эффектов Радикальная компенсация вторичного изгибающего момента и поперечной силы возможна во многоповивных конструкциях гибкого кабеля, так как изменением направления скрутки и подбором ее параметров одного повива можно погасить вторичные силовые эффекты второго повива. Так как дополнительный момент M n − n и дополнительная поперечная сила

Qn − n для многоповивной конструкции

равна сумме указанных усилий каждого повива, то в компенсированном кабеле такая сумма: 125

m

1)

∑M

i n−n

Разделив 1) на 2), получим следующее соотношение, которое при прочих равных условиях дает критерий компенсации:

= 0;

1

m

2)

∑Q

= 0;

i n−n

(2.90)

1

где - 1, 2, 3, ... m , номер повива. Для двухповивного кабеля необходимо выполнение условии: 1) 4tgγ 1

2)

2π p1 πλ ∆ 01 cos2 α1 sin sin r12 = * n1 Η1 d Ж1 2π p πλ 2 sin r2 ; = 4tgγ 2 * 2 ∆ 02 cos 2 α 2 sin n2 Η2 dЖ2

2π πλ sin r1 = n1 Η1 p 2π πλ sin r2 . = 4tgγ 2 * 2 ∆ 02 sin α 2 cos α 2 sin n2 Η2 dЖ2

4tgγ 1

p1

d *Ж 2

∆ 01 sin α1 cos α1 sin

После раскрытия ∆ 01 и

∆ 02 и введения обозначения

K = p / d *Ж - параметр размера и формы токопроводящей жилы в конструкции кабеля, получим: 1) tgγ 1k1H1r13 cos α1 sin 2π sin πλ = tgγ 2 k 2 H 2 r2 3 cos α 2 sin 2π sin πλ n1 Η1 n2 H2

πλ πλ 2π 2π 2 2) tgγ 1 k1 H 1 r1 2 sin α 1 sin sin = tgγ 2 k 2 H 2 r2 sin sin n1 Η1 n2 H2

(2.91)

Таким образом, в любом сечении зоны деформации кабеля с координатой λ должны быть согласованы модули сдвига слоев изоляции ТПЖ tgγ , параметры формы ТПЖ k шаги H и радиусы r повивов, углы скрутки повивов число элементов n . 126

α,

r1ctgα 1 = r2 ctgα 2

(2.92)

Развитая геометрическая теория сдвигов элементов конструкции гибкого кабеля в сочетании с экспериментальным изучением фрикционных свойств материалов по поверхности контакта сдвигающихся элементов позволила выяснить их силовое фрикционное взаимодействие при принудительном изгибе гибкого кабеля на цилиндрической оправке. Выяснены законы распределения касательных усилий по поверхностям контакта. Приведение этих усилий к оси спирального элемента (ТПЖ) дает законы изменения распределенных по длине зоны деформации осевых сил и изгибающих моментов в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях. С учетом концевых силовых и моментных реакций спирального элемента могут быть построены эпюры продольных сил и изгибающих моментов. Расчетная схема может быть полезной при изучении вопросов: устойчивости токопроводящей жилы в целом в пределах зоны деформации и вне ее, вопросов устойчивости конструктивных элементов ТПЖ (отдельных проволок ее), вопросов износа материалов контактирующих элементов, что является совершенно необходимым при разработке критериев работоспособности гибкого кабеля при циклических деформациях. Силовое взаимодействие отдельных элементов, просуммированное по повивам, приводит к дополнительным силовым эффектам, (вторичным) выражающимся в изгибе кабеля дополнительным моментом с вращающейся плоскостью действия, как в пределах зоны деформации, так и за ее пределами. Сочетание этого момента с дополнительной поперечной силой определяет дополнительные деформации и перемещения, приводящие к искажению первичных деформаций изгиба на ролике или чистого изгиба. Подбором параметров скрутки отдельных повивов разного направления можно компенсировать эти дополнительные усилия и перемещения. Получены формулы для подсчета работы усилий трения по поверхностям контакта токопроводящих жил, позво127

ляющих количественно оценить потери энергии деформации на конструктивное трение для определения вклада этой потери в площадь петли гистерезиса при циклическом изгибе одноповивного гибкого кабеля. Литература к главе 2 1. Акерберг В.Т. Метод ускоренной оценки надежности проволочной брони грузонесущих кабелей.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1976, вып. 3 (133), C.9-II. 2. Акерберг В.Т., Аристов А.И., Голуб Б.Н. Ускоренная оценка долговечности кабелей с проволочной броней, работающих при перемотках. - Э.П., Сер. Кабельная техника, 1982, вып. 5 (207), С. 3-5. 3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропии оболочек.- М.: Наука, 1974. - 324 С. 4. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов.- М.: Машгиз, 1962, 455 С. 5. Анисимов А.А., Ларин Ю.Т., Муравьев В.И., Орлова Т.И. Ленточные кабели и материалы для их изготовления.Э.П., Сер. Кабельная техника, 1972, вып. 6 (88), С.18. 6. Айнбиндер СБ., Тюнина Э.А. Введение в теорию трения полимеров. - Рига, Зинатне, 1978, 224 С. 7. Багелис Д.С., Белорусов Н.И., Саакян А.Е. Электрические кабели, провода и шнуры. - М.: Энергия, 1971, 704 С. 8. Бекерский В.И. Применение канатов на судах и в портах.-М.: Транспорт, 1986, 152 С. 9. Белоус П.А. Сравнительная пригодность теорий течения и старения для оценки релаксации напряжений в стальных канатах.-Одесса, 1985, рукопись деп. ВИНИТИ, 730-УК-85 Деп., 36 С. 10. Берт И. Механические испытания композитов. В кн. Ком~ позитные материалы. Под ред. Браутмзн Л., Крок Р., т.8, ч.2. Анализ и проектирование конструкций. Ред. Чамис К.-"Мир", 1978, С.81-138. 11. Бидерман В.Л., Шитиков В.Н. Растяжение и кручение ленточных цилиндрических пружин при больших перемещениях. Изв. АН СССР, М.Т.Т., № I, I972, С.76. 12. Бикбаев Р.С. Расчет на прочность при растяжении элементов многопроволочных жил и многожильных кабелей.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1974, вып. 7 (ИЗ), С.5 . 128

13. Бирюкова И.А. О деформациях внутреннего проводника в кабелях с пластмассовой изоляцией под действием внутренних напряжений. - Э.П., Сер. Кабельная техника, 1969, вып.57, С.8. 14. Биргер И.А. Остаточные напряжения.- М., 1963, 232 С. 15. Благонадежин В,Л., Воронцов А.Н., Баранов А.В. Метод удаляемых элементов для экспериментального исследования остаточных напряжений в оболочках вращения из композитных материалов. Механика полимеров, 1978, №6, C.III2-III5. 16. Блехман И.И. Метод прямого разделения движений в задачах о действии вибраций на нелинейные механические системы.-Изв. АН СССР , Сер. Механика твердого тела, № 6, 1976, С.13-17. 17. Боев М.А., Брагинский Р.П. Методика определения долговечности и сохраняемости кабелей и проводов.- Э.П. Общеотраслевые вопросы, 1982, № 10 (521), С.10-12. 18. Болотин В.В., Гольденблат И.И., Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. Изд. лит. по стр-ву.- М., 1972, 192 С. 19. Болотин В.В., Воронцов А.Н., Мурзаханов Р.Х. Анализ технологических напряжений в намоточных изделиях из композитных материалов на протяжении всего процесса изготовления.- Механика композитных материалов, № 3, 1980, С.500-505. 20. Брагинский Р.П., Моисеев Ю.В. О роли физических процессов при старении полиэтилена,- ДАН СССР, 1984, т.271, № 5. 21. Брагинский Р.П., Дашевская С.С, Пешков И.Б. Прогнозирование долговечности проводов и кабелей.- Электротехника, 1982, № 2, С.53-56. 22. Ванюков В.И., Раров А.Н., Фролов В.Г., Якушин Ю.В. Исследование сил натяжения, возникающих в токопроводящих жилах кабелей управления.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1980, вып.6 (184), С.2-4. 23. Венкский М.Н., Стратенков Л.И., Тюрин А.В. О рациональном конструировании токопроводяших жил силовых кабелей,- Э.П., Сер.Кабельная техника, 1978, вып.1 (131), С.4-6. 129

24. Вильган В.Н., Коршунов В.Н., Ляхов Ю.В., Пекел Е.С., Механические характеристики гибких экранированных проводов.-Э.П., Сер. Кабельная техника, 1976, вып. 7, C.I. 25. By Э. Феноменологические критерии разрушения анизотропных тел.- В кн.: Композиционные материалы.Под ред. Браутман Л., Крок Р., Т.2. Механика композиционных материалов. Ред. Сендецки Дне.- М.: Мир, 1978, С.401-491. 26. Ганусевич Е.К. Оценка долговечности гибких кабелей.-- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1972, вып.З (83), С.22-23. 27. Ганусевич Е.К. Методика расчета интеграла разрушения проволочных конструкций.-Электротехника, М.:Энергоатомиздат, 1983, № 7, С.74-75. 28. Ганусевич Е.К., Медведский Э.М. Прибор для определения жесткости гибких кабелей. - Э.П., Сер. Кабельная техника, 1968, вып.52, С.13. 29. Ганусевич Е.К., Реут Л.В. Статические и усталостные свойства проволоки из цветных металлов.- Труды ТомНИНКП, T.I, М.: Энергия, 1969, 339 С. 30. Городецкий С.С., Лакерпик P.M. Испытания кабелей и проводов. - М.: Энергия, 1971, 272 С.1 31. Глушко М.Ф. Стальные подъемные канаты.- Киев, Техника, 1966, 136 С. 32. Глушко М.Ф., Чурюкин В,А. Статистическое моделирование упруго-пластического деформирования и разрушения канатов,- Челябинск, 1985, рук. депонирована в ВИНИТИ, № 7276-85 деп., 20 С. 33. Глушко М.Ф., Малиновский В.А. Дополнительные усилия в элементах стального каната при набегании на блок,Магнитогорск, 1984, 2796-1984, Деп. в ВИНИТИ, 31 С. 34. Глушко М.Ф., Малиновский В.А., Шигарина Л.И., Каноненко Л.А. Нелинейные уравнения равновесия прямого каната.- Прикл. механика, 1979, № 12, С.127-129. 35. Гончаров В.Н., Коваленко Б.И., Кучеров Л.М. и др. Устройство для передачи коммуникаций от неподвижного к перемещающемуся объекту. Авт. свид. № 242997, Бюлл, № 273, опубл. 5.06.6Э. 36. ГОСТ 13497-77. Кабели силовые гибкие на напряжение 660 В. Технические условия. 37. ГОСТ 10694-78. Кабели шахтные гибкие экранированные марки ГРШЭ. 130

38. ГОСТ I2I82.0-80-I2I482.8-80. Кабели, провода, шнуры. Методы проверки стойкости к механическим воздействиям. 39. ГОСТ 16962-71. Изделия электронной техники и электротехники. Механические и климатические воздействия. Требования и методы испытаний. 40. ГОСТ 27.002-83. Надежность в технике. Термины и определения. 41. ГОСТ 269-62. Определение прочности связи резины с металлом. 42. ГОСТ 12182.1-ГОСТ I2I82.8-7I. Методы проверки стойкости к механическим воздействиям кабеля и проволок для подвижных электроустановок. 43. Гузь А.Н. К теории композитных материалов с начальными напряжениями.- В сб. "Механика деформируемых тел и конструкций", М.: Машиностроение, 1975, С.140-148. 44. Деранже A.M., Кротов В.П., Повеличенко А.П. Определение степени неуравновешенности кабелей для геофизических исследований. Э.П., Сер. Кабельная техника, вып.5 (I7D, 1979, С.4-6. 45. Деранже A.M., Повеличенко А.П. Определение допустимого износа грузонесуших кабелей.- Электротехника, Энергоатомиздат, 1984, № 12, С.32-34. 46. Деранже A.M., Кротов В.П., Повеличенко А.П.,Рясцов Ю.А. Расчет натяжения грузонесуших кабелей для геофизических исследований.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1976, вып.5(135\С.З-6. 47. Деранже A.M., Повеличенко А.П. Условия работоспособности несущей части грузонесущих кабелей.- М.: Электротехника,1985, № I, С.47-50. 48. Динник А.Н. Новости по подъемным машинам. - В кн.: Статьи по горному делу. М.: Углетехиздат, 1957. 49. Ефремов И.Н., Мамаев Л.М., Раров В.Н., Фролов В.Г. Расчет механических напряжений в кабелях, покрытых упругими оболочками. - Э.П., Сер. Кабельная техника, I960, вып.7 (185), С.2-3. 50. Ефремов И.Н., Мамаев М.М., Ропай В.А., Фролов В.Г. Расчет конструкций растягивающихся кабелей.- Э.П.,Сер. Кабельная техника, 1979, вып. 8 (174), С.6-7. 51. Золотарев И.О. Исследование кручения канатов при растяжении.- Исследования по строительной механике и 131

строительным конструкциям. Челябинск, 1985, I07-III, РЖ, 16, Механика, № 8, 1986. 52. Исмаилов Г.М. Исследование циклического износа элементов кабельных конструкций. Автореф. дис. техн.наук.- Томск: Том. политехн. универ., 1993, 21 с. 53. Кабели для башенных кранов,- Э.П., Сер. 7, Кабельная техника, 1974, вып. 10 (116), С.21. 54. Кабели шахтные для бурильного инструмента,- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1974, вып. 20 (116), С.21. 55. Кабели для ручного электроинструмента.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1978, вып. I (155), С.6. 56. Калиниченко П.М., Козовый СИ. Методика определения параметров вторичной деформации проволок при свивке нераскручи-ваюшихся спиральных канатов.Стальные канаты, вып. 9, Техника, 1972, С.150-153. 57. Караваев Ю.А. Определение усилий, необходимых для изгиба и последующего выпрямления силового кабеля.Э.П., Сер, Кабельная техника, 1976, вып.3(133), С.1-5. 58. Качанов Л.М. Основы механики разрушения.-М.: Наука, 1974, 312 С. 59. Карпинос Д.М., Тучинский М.И., Вишняков Л.Р. Новые композиционные материалы.-Киев, Виша школа, 1977, 312 С. 60. Кевролева К.М., Иванишинов П., Олеар М.Г., Таразано-ва Т.П. Новые конструкции гибких кабелей управления. Труды ТомНИИКП, вып. I, M.: Энергия, I960, С.120-126. 61. Качаев В.П., Махутов Н.А., Гусенков А.П. Расчеты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность.Справочник. М.: Машиностроение, 1985, 224 С. 62. Ковешников М.П. Технический уровень отечественных кабельных изделий бытового назначения, пути и перспективы его повышения. Труды ТомНИИКП, вып. I, М.:Энергия, 1969, С.95-112. 63. Композиционные материалы. Разрушение и усталость.-М.: Мир, 1978, 483 С. 64. Коффин Л.Ф. Циклические деформации и усталость металлов.- Пер. с англ.- М.: Изд-во иностр.лит., 1963, С.257-272. 65. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Камбалов B.C. Основы расчетов на трение и износ- М.: Машиностроение, 1977, 257 С. 132

66. Кранихфельд Л.И., Рязанов И.Б. Теория, расчет и конструирование кабелей и проводов.- М.: Высшая школа, 1972, 384 С. 67. Кремнез А.С, Рязанов И.Б. Расчет механических напряжений и деформаций в оптических волокнах, вызванных внешними воздействиями.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1982, вып.2 (204), С.7-10. 68. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических изделий.М.: Машиностроение, 1976, 232 С. 69. Ларин Ю.Т., Лисицын СБ., Семенов Н.А., Сучков В.Ф. Деформация при изгибе осесимметричного оптического кабеля с закрепленными в демпфере световодами.-Сб. научн.тр. Исследование кабельных изделий и технология их производства. Новые материалы для изоляции проводов и кабелей.- М.: Энергоатомиздат, 1984, С.35-39. 70. Лепетов В.А., Юрьев Л.Н. Расчеты и конструирование резиновых изделий. - Л.: Химия, 1977, 408 С. 71. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.- М.: Наука, 1977, 4Г6 С. 72. Максак В.И. Предварительное смещение и жесткость механического контакта,- М.: Наука, 1975, 60 С. 73. Мамаев Л.М., Ропай В.А., Фролов В.Г., Яшенко В.П. Продольная жесткость растягивающихся кабелей. - Э.П., Кабельная техника, 1979, вып. 9 (175), С.1-2. 74. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет конструкций на прочность.- М.: Машиностроение, 1981, 272 С. 75. Месенжик Я.3. Проблемы увеличения срока службы и улучшения электрических параметров передачи грузонесущих геофизических кабелей,- Труды ВНИИКП, 198Г, вып. 23, С.99-ИЗ. 76. Махутов Н.А., Бурак М.И., Гаденин М.М. и др. Механика малоциклового разрушения. - М.: Наука, 1986, 88 С. 77. Мокряк С.Я. Анализ напряженного состояния спирально-анизотропных конструкций при растяжении.- В сб. Вопросы механики и прикладной математики. Томск, изд-во Томск, ун-та, I98I,C.I7-2C С.Я. Исследование напряженно78. Мокряк деформированного состояния спирально-анизотропных стержней. - Автореф. дис. канд. техн. наук. Рига, 1981, 19 С. 133

79. Москвитин Б.В. Циклические нагружения элементов конструкций.- М.: Наука, Главная редакция физикоматемат.лит-ры, 1981, 344 С. 80. Мусалимов В.М., Соханев Б.В., Дворников В.А. Некоторые вопросы механики кабельных конструкций,- В кн.: Исследования по строительным конструкциям и фундаментам. Изд. ТГУ, Томск, 1979, С.58-66. 81. Мусалимов В.М., Соханев Б.В., Мокряк С.Я. Элементы механики кабельных конструкций.-Томск:Изд-во Томск.унта, 1981,120 С 82. Мусалимов В.М., Соханев Б.В. Механические испытания гибких кабелей.-Томск:Изд-во Томск, ун-та, 1984, 63 С. 83. Шиянов В.Д., Соханев Б.В., Мусалимов М.М., Соханев М.Б. Методы и устройства оценки работоспособности гибких кабелей. Тезисы докладов. УП национальная научнотехническая конференция “Элизот-кабель'68'”: НРБ, Варна, 1988.- C.I04-I06. 84. Мусалимов В.М., Мокряк С.Я., Соханев Б.В., Шиянов В.Д. Определение упругих характеристик гибких кабелей на основе модели спирально-анизотропного тела.- Механика композиционных материалов. 1984, № I, C.I36-I4I. 85. Мусалимов В.М., Соханев Б.В., Шиянов В.Д. Устройство для испытания гибких образцов на усталость. - А.С. (СССР) № I27867I, опубл. в Ш., 1986, № 46. 86. Мусалимов В.М., Соханев Б.В. Исследование конструкционного демпфирования в кабелях.- Э.П., 1984,вып.4 (230), С.13-14. 87. Мусалимов В.М., Смолина И.Ю., Швецов М.А. Некорректные задачи определения упругих характеристик тел с криволинейной анизотропией. - 1984, Тбилиси, П Всесоюзн. конференция по теории упругости. Тезисы докладов, С.198-199. 88. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966, 708 С. 89. Надежность кабелей и проводов для радиоэлектронной аппаратуры. Под ред. Л.И.Кранихфельда и И.Б.Пешкова. - М.: Знергоиздат, 1982, 200 С. 90. Нехтман А.А. Расчет судовых кабелей. - Э.П., Сер. Кабельная техника, 1974, вып. 5 (III), C.3. 134

91. Нехтман А.А. Расчет числа проволок в пряже оплетки герметизированных кабелей,- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1976, вып. 2 (132), C.I. 92. Нехтман А.А. Определение допустимого радиуса изгиба герметизированного кабеля.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1978, вып. 3 (157), C.I. 93. Новожилов В.В., Рыбакина О.Г. О перспективах построения критерия прочности при сложном нагружении.Докл. на Ш совещании по механическим вопросам усталости.- М.: АН СССР, 1966. 94. Отчет о НИР. Исследование напряженного состояния многожильных кабелей в условиях эксплуатации. Днепродзержинск, Индустриальный институт, 1981, № гос. регистр. 750150030. 95. Пешков И.Б. Новые направления в разработке методов определения ресурса кабелей и проводов.- Электричество. Энерго-атомиздат, 1985, 24, С.8-Ю. 96. Пономарев С.Д. Расчет и конструкция витых пружин.-М.: ОНТИ, 1978, 350 С. 97. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. - II.: Машиностроение, 1980, 326 С. 98. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней.-М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат.лит., 1986, 296 С. 99. Попов Е.П. Методы проектирования витых пружин с криволинейной характеристикой. - В сб. Динамика и прочность пружин.-М.: Изд. АН СССР, 1950, С.129-187. 100. Прочность, устойчивость, колебания. Под общ.ред. А.И.Биргера и Я.Г.Пановко. Справочник в 3-х томах.- М.: Машиностроение, 1968. 101. Публикация МЭК № 540. 102. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. - М.: Наука, 1977, 180 С. 103. РД 16.009-83. Кабели силовые гибкие на напряжение 660 В. Методика прогнозирования срока службы по результатам ускоренных испытаний на изгиб. 104. Реут Л.З. Исследование циклической прочности жил при кручении сложных конструкций. - Труды ТомНИИКП, вып.1,-М.: Энергия, 1968, 317 С.

135

105. Реут Л.З. Некоторые вопросы теории скрутки гибких кабелей. Труды ТомНИИКП, вып. 2.-М.: Энергия, 1969, С.525. 106. Реут Л.З. Влияние шагов скрутки жил на их циклическую прочность при кручении кабеля. Труды ТомНИИКП,М.: Энергия,1979. 107. Ржаницын А.Р. Теория ползучести.- М.: Стройиздат, 1967, 418 С. 108. Ржаницын А.Р. Теория составных стержней строительных конструкций.-М.:Стройиздат, 1948, 192 С. 109. Ржаницын А.Р. Основы теории упруго-вязких моделей.-В сб. Строительная механика.- М.: Изд-во лит-ры по стр-ву, 1966, С.345-354. 110. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. -М.: Стройиздат, 1967, 418 С. 111. Рюдзи Канэкс. Срок службы кабелей высокого напряжения.-От Дэнка дзасси, 1979, 60, № 5, С.65-69. 112. Сергеев С.Г.Стальные канаты.-Техника,1974,328 С* 113.Соханев Б.В. Исследование процесса активного упругого спиралеобразного гибкого кабеля.- Дис.канд. техн.наук. Новосибирск, СО АН СССР, 1982, 171 С. 114. Соханев Б.В., Соханев М.Б., Мусалимов В.М. Упругофрикционное взаимодействие элементов конструкции гибкого кабеля. Том. инж.-строит, ин-т.- Томск,1986, 102 С. Деп. в ВИНИТИ 16.12Л № 8569-В. 115. Соханев М.Б Относительные сдвиги элементов конструкции гибких кабелей и методика ускоренной оценки из работоспособности на шаговых образцах. Автореф. дис. канд. техн. наук. –Томса: Том. политех. Институт, 1988, 19 с. 116. Соханев Б.В., Шиянов В.Д., Соханев М.Б. Об эквивалентности испытаний кабелей на изгиб относительно сдвигов.ТомНИЖП-Томск, 1986, 5 С. Деп. в Информэлектро, 30 октября 1986, № 560-ЭТ, 1987, № 2, 19 С. 117. Соханев М.Б. Работа усилий трения по поверхности контакта элементов одноповивного гибкого кабеля при деформациях изгиба. В сб. Исследования по строительной механике и строительным конструкциям, Томск, изд-во Томск, ун-та, 1989, С.120-132. 118. Соханев Б.В., Соханев М.Б., Мусалимов В.М., Шиянов В.Д. Устройство для испытаний гибких образцов на 136

циклический изгиб. Решение Госкомитета СМ СССР по делам изобретений и открытий от 28.09.88 по заявке № 4334636 о выдаче авторского свидетельства на изобретение. Приор. от 28.09.87. 119. Стандарт СЭВ 2126-80. Кабели, провода и шнуры. Методы проверки стойкости к многократному перегибу. 120. Степанов М.Н. Статистические методы обработки результатов механических испытаний: Справочник.- М.: Машиностроение, 1985, 232 С. 121. Сычев Л.И., Реут Л.З. Шахтные гибкие кабели. - М.: Недра, 1971, 192 С. 122. Сэцуя Иссико, Кандзу Кимура, Мицир Ивата. Расчет срока службы кабелей.- ОМ. Дэнка дзасси. 1973, 60, № 5, С.60-64. 123. Тернер С. Механические испытания пластмасс. М.: Машиностроение, 1975, 176 С. 124. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров.- М.: ИЛ, 1963, 107 С. 125. Филатов В.Г. Шахтные испытания автоматического укладчика АК-1.-"Уголь Украины", 1966, № 2, С.15. 126. Филин А.П. Алгоритм построения матрицы при расчете произвольных пространственных рамных с жесткими контурами систем методом сил. - В сб.: Строительная механика. М., изд-во лит. по строит., 1966, C.I8I-I87. 127. Филин А.П. Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость. - Сб. статей. Под общ.ред. А.П.Филина, Л., Стройиздат, Ленингр. отделение, 1973, ЛИИЖТ, 258 С. 128. Филин А.П. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем. Филин А.П., Танайко О.Д., Чернева И.М Шварц М.А. - Под ред. А.П.Филина.- Л.': Стройиздат, Ленингр. отдела ние, 1983, 232 С. 129. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композитных материалов. - Пер. с японск,- М.: 1982, 232 С. 130. Фукабори Е. Механика разрушения резин и других высокомолекулярных материалов. - Нехон Гому Кёкайси, 1977, Т.50, № 6, С.66-79. 131. Черепанов Г.П. Механика разрушения композитных материалов.- М.: Наука, 1983, 296 С. 137

132. Чернин И.В. Колебания и демпфирующие свойства гибких кабелей. Автореф. дис. канд. техн.наук.- Томск: Том.политехи, ин-т, 1987, С.18. 133. Шахназарян Э.А. Растяжение и кручение витых проволочных систем ВПС- Докл. АН СССР, Т.286, № 6, 1986, C.I337-I340. 134. Шахназарян Э.А., Мамаев Л.М. К вопросу о геометрических уравнениях деформации прямого кабеля каната.В сб. Стальные канаты, № 6, Киев, Техника, 1968, С.6-10. 135. Шиянов В.Д. Методика и устройства ускоренной оценки долговечности гибких кабелей. Автореф. дис.канд.техн.наук.-Томск: Том.политехи, ин-т, 1987, 16 С. 136. Шиянов В.Д,, Мусалимов В.М., Соханев Б.В. Непрерывный контроль жесткостных характеристик как фактор оптимизации технологического процесса изготовления гибких шланговых кабелей.- В кн.: Новое технологическое оборудование, современные средства автомат, каб. пр-ва, Бердянск, 1984, С.23-29. 137. Шиянов В.Д., Соханев Б.В., Бахмутова Л.А., Соханев М.Б., Мусалимов В.М. Устройство для испытаний на изгиб образцов кабельных изделий. - А.С. (СССР) № 1397796, опубл. в Б.И., 1988, № 19. 138. Эпштейн СМ. Конструкционная вязкость и устойчивость систем сопряженных стержней под действием переАвтореф дис.канд.техн.наук.Томск: менных сил. Том.политехи, ин-т, 1987, 19 С. 139. Bazzaro Enrico. Note Sulpoblema della determi. – nazione del modulo elastico di fune trefoli. H. Progtista industriale, 1985, №1, p.40-48. 140. Blanarik Miroslav. Uplur dlzky skrutuzilo kabli na zivotnost drotov jadier pri cyklicom ohybovom namahani kablov. – Elektroizol a kabl techn., 1985, 38, №1-2,105-114. 141. Drucker D.C., Tachau H.A. A new dezing criterion for wife rope. – Journal of Applied Mechanico, 1945, Mardi, p. a 34-a 38. 142. Franke L. Lebens daner vocaussage bei Betriebsbeanspruchungen mit Hilfe konstanter Ersatz – schwingbreitch. – Baningenieur, 1986, 61, №3, s141-143, a8 143. Gabriel K. On the fatigue strenght of wires in spiral ropes. – Trans. ASME: J. Energy Resour Technol., 1985,107, №1, p. 107-112. 138

144. Huang N. C. Finile Extension of an Elastic strand with a Central Core. – ASME Journal Applied Mechanics, vol.12, 1978, p.852-857. 145. Hearle J. W. S. and Konopasik M. on unified approaches to twisted yarn Mechanics. – Appl. Rolym. Sump., 1975, 27, 253-257-273. 146. Hearle J. W. S., Grosborg P. and Bocker. Struktural Mechanics of fibers. – Garns and Fabrics, v.1, chapter 4. Willy New York, 1969. 147. Heid, Klays – Ditel. Zur Bestimung der Krafte in Litzen – drahten. – Draht, 1982,33,5,p.398-401. 148. Hahn Gerald J., Nelson Wayne. Graphical analysis of incomplete accelerated life test data. – Insul. Circuits, 1971, 17, № 10, p.70-84. 149. Hueng N. E. Finite extension of an elastic with a central core. – Journal of Applied Mechanics, 1978,December, v.45, p.852-858. 150. Jones N. Elastic – plastio and viscoalastic behaoior of a continuos filament yarn. – Int. J. Mech. Sci.,1974, 16,9, p. 679-678. 151. Kelly A. The strengthening of metal by dispersed particles – Prac. Roy. Soc.,1964, ser. a, v. 282, p. 63. 152. Kelly A. Interface effects and the work of fracture of a fibrous composite. – Proc. Roy. Soc., 1970, ser. A., v.319, p. 95. 153. Kunch T., Lcech C. M. Curvature effect on contact position of wire strends.- Int. J.Mech. Sci.,1985. 154. Levy Robert. Mechanical analysis of pipe tipe cable under TMB. – JEEE Transaction on Power Apparatus and Systems, 1982, v. pas-101, № 7, p. 1349-1854. 155. Lyle R., Kirkland J. W. An accelerated life test for evalyating pover cable insulation. JEEE Trans. Power Appar. And Syst. Discuss., 1981, 100, № 8, p. 3764-3772, p. 37733774. 156. Leuches O. Wickelbestandigkeit von PVS – unhullten Adern und Leitungen in der Kalte. – GAK 4/1981, Jahrgang 34, p. 212-218. 157. Lanteigne J. Theoretical estimation of the response of helically armored cables to tension, torsion and bending. – Tran-s ASME: J. Appl. Mech., 1985, 52, № 2, p.423-432. 139

158. Thwaites J.J. The elastic deformation of a rod with helical anisotropy. – Int. J. Mech. Sci., 1977, 19, 3, p.161169. 159. Nenson Wayne. Analysis of accelerated life test data. Part 1. The Archenius model and graphical methods. JEEE Trans. Elec. Insulant., 1971, 6, № 4, p. 165-181. 160. Ross E. A. Resilient Foldable woven electrical cable and Mehod. – Jnt. Cl. H 01 b 7/06, U.S.Cl., p.174-69. 161. Shechert D. G. Rubber Age. 1954, v. 76, № 3, p. 416453.

140

158. Thwaites J.J. The elastic deformation of a rod with helical anisotropy. – Int. J. Mech. Sci., 1977, 19, 3, p.161169. 159. Nenson Wayne. Analysis of accelerated life test data. Part 1. The Archenius model and graphical methods. JEEE Trans. Elec. Insulant., 1971, 6, № 4, p. 165-181. 160. Ross E. A. Resilient Foldable woven electrical cable and Mehod. – Jnt. Cl. H 01 b 7/06, U.S.Cl., p.174-69. 161. Shechert D. G. Rubber Age. 1954, v. 76, № 3, p. 416453.

Глава 3 Экспериментальное и эксплуатационное деформирование гибкого кабеля 3.1. Режимы деформирования и соотношения между переменными в формуле сдвигов для стоячей, бегущей и вращающейся волны

Деформация изгиба является наиболее распространенной эксплуатационной деформацией гибкого кабеля. Наиболее часто она реализуется циклически в широком диапазоне частот, как в чистом виде, так и в сочетании с кручением или продольной деформацией. На рис. 3.1 приведены некоторые наиболее часто встречающиеся примеры деформаций в условиях эксплуатации или эксперимента. По схемам (а, б, в) деформируется кабель в грузоподъемных машинах и механизмах, снабженных барабаном, по схемам (г), (в) в подвижных механизмах при волочении кабеля по поверхностям, по схеме (и) при работе электроинструмента. Схемы (д), (к) реализуются в эксперименте с целью определения работоспособности. В описанных схемах, деформация изгиба в различной мере сопровождается другими видами деформации. Отвлекаясь от их влияния, обратим внимание только на деформацию изгиба, и при этом с точки зрения проявления сдвигов спиральных элементов в различных условиях осуществления циклической деформации изгиба. Анализ описанных схем позволяет выделить три основных режима осуществления деформации циклического изгиба, различающихся особенностями основных параметров внешнего изгибного воздействия (ориентацией плоскости изгиба относительно элементов конструкции, положением закрепленного сечения и изменением длины зоны деформации). 3.1.1. Режим циклического изгиба на роликах. Сечение первоначального касания кабелем ролика можно рассмотреть как закрепленное от сдвигов сечение (схемы д, к), иногда это сечение отодвинуто от точки касания роликов. В течение цикла длина зоны деформации циклически меняется от нуля до некоторого предельного значения,

140

141

а)

то есть она является функцией времени:

б)

R

R

в)

г) R

λ = λ(t )

Плоскость деформации в течение цикла остается неподвижной. По мере увеличения длины зоны деформации в концевом свободном от закрепления сечении реализуются сдвиги элементов, распространяющиеся в свободную часть кабеля. Величина этих сдвигов для каждого спирального элемента определяется формулой:

R

∆ = ∆ 0 F (ϕ 0 , λ) = ∆ 0 sin

д)

е) R

R

ж)

з)

и)

к)

R

Рис. 3.1. Схема деформирования кабеля в условиях эксплуатации и эксперимента.

142

(3.1)

πλ(t )

πλ(t ) ⎤ ⎡ cos ⎢ϕ 0 + H H ⎥⎦ ⎣

(3.2)

На рис. 3.2 приведена схема деформации, характеристики цикла и график изменения функции F (λ / H ) для любого из (например, 12) спиральных элементов повива. Вертикальные линии, проведенные на расстоянии λ / H , отсекают на кривых значения сдвигов соответствующих элементов в соответствующий момент времени. Знаки сдвигов при переходе образца кабеля с ролика на ролик меняются на противоположные, точки экстремальных сдвигов сохраняют свое положение, величины этих сдвигов циклически меняются не превосходя значений определенных начальным центральным углом каждого спирального элемента. Так, например, согласно доказанному ранее распределению сдвигов по длине зоны деформации элемент с центральным угимеет наибольший сдвиг, не превышающий лом ϕ 0 = 0

∆0 . Таким образом, при циклической деформации поперечного изгиба на роликах, каждый спиральный элемент имеет фиксированный закон распределения сдвигов по длине зоны деформации с фиксированными точками нулевых сдвигов и амплитудой экстремальных сдвигов, определяемой постоянной ориентацией начальных углов спиральных элементов относительно неподвижной плоскости деформации. С учетом последнего, режим целесообразно назвать режимом стоячей волны. 143

F( l/H) -l/H

β

б)

+l/H

+β

1.0

10

9

9

10

11

0 -β 0

8 8

11

2/8

1/2

t -k=-β /-β 0

6/8

сечении

1.0

λ = 3H / 4 F (ϕ0 = 1,41, ) (рис. 2.7).

1

6 1

z

6

5

4 1.0

а)

+l/H

-l/H -R

z

в)

2

2

3

3/8

+t

l/H=K

7 1/8

-t

-β

12

7 12

+k=+β /+β 0

+β 0

повива. Этот график таков, что каждый элемент, последовательно поворачиваясь относительно плоскости изгиба, проходит все схемы распределения сдвигов с движущимися нулевыми точками и амплитудами сдвигов, определяемыми экстремумами сдвигов в каждом сечении длины зоны деформации, например, в сечении λ = H / 4 F (ϕ 0 ) = 1,41 ; в

ϕ

12 1 2 11 3 10 4

5 3 4

9

8

5 7

03

y

6

1 2 12 3 11 4 10

1 12.2

+R -β

ϕ03 (t)

γ=cos[ϕ0(t)+πl/H]; F=sin(πl/H)γ ϕ0

+β

9

5 8

7

y

6

11.3

Рис. 3.2. Циклические сдвиги при изгибе на роликах.

ϕ0 3.1.2. Режим циклического изгиба в воронке (3.1и) чаще всего используется в эксперименте с некоторыми ограничениями, связанными с чистым изгибом, с наложенным кручением. Однако существуют схемы осуществления этого режима, свободные от кручения. Сечение внутри воронки или отодвинутом за воронку можно рассматривать как неподвижно закрепленное сечение. В течение цикла длина зоны деформации остается постоянной, ограниченной предельным углом охвата кабелем поверхности воронки. В концевом свободном и в промежуточных сечениях реализуются сдвиги, определяемые постоянной длиной зоны деформации. Однако, плоскость деформации изгиба оставаясь постоянно ориентированной в пространстве, оказывается циклически вращающейся относительно спиральных элементов, так что начальный центральный угол каждого спирального элемента оказывается циклической функцией времени. Тогда сдвиги:

∆ = ∆ 0 F (γ 0 , λ) = ∆ 0 sin

πλ

πλ⎤ ⎡ cos ⎢ϕ 0 (t ) + ⎥. H H⎦ ⎣

(3.3)

На рис. 3.3 изображена характеристика цикла и график изменения функции F (ϕ 0 ) для каждого из 12 элементов 144

10.4

0

2π

∆

для всех элементов

+∆0 0 -∆0

9.5 6 8 7

t

Рис. 3.3. Циклические сдвиги при изгибе в воронке.

С учетом вышесказанного режим изгиба на воронке можно назвать режимом вращающейся волны. 3.1.3. Режим пробега по ролику реализуется по схемам (3.1 е-з) по одностороннему или двустороннему циклу. Плоскость деформации сохраняет свою ориентацию в пространстве. С начальным неподвижным (закрепленным) сечением здесь имеется некоторая неопределенность. Спиральные элементы, входя на ролик, получают сдвиги, соответствующие расстоянию от начального сечения кабеля до сечения входа на ролик. Величина сдвигов, распространяющаяся в свободную часть кабеля (до входа на ролик), фиксиру145

ется в зоне деформации на ролике и пробегает всю зону, определяемую углом охвата кабелем ролика и высвобождаются при сходе с него. При дальнейшем пробеге на ролике оказывается уложенной некоторая часть длины кабеля, в концевых сечениях которой (сечениях входа и схода с ролика) существуют сдвиги, определяемые длиной зоны деформации, распространяющиеся в свободные части кабеля. На рис. 3.4 показано распределение сдвигов некоторого элемента повива (например, с номером 4 при 12 элементах повива) по длине зоны деформации на ролике в случае кратности (3.4 а) и некратности (3.4 б, в) длины зоны деформации шагу скрутки элементов повива.

в)

H H

H H

H H

∆ входа

H

б) H

а)

∆ схода Рис. 3.4. Сдвиги при пробеге по ролику.

Описанная схема распределения сдвигов элементов реализуется и при первоначальном наложении некоторой длины кабеля на ролик, так, что в концевых сечениях появляются соответствующие дине зоны деформации сдвиги, которые циклически меняются в сечениях входа и схода при осуществлении перемотки. Если режим изгиба на воронке называется режимом вращающейся волны, так как реализуется на одном отрезке кабеля равном длине зоны деформации, то режим пробега по ролику можно назвать режимом бегущей волны, так как в зону деформации входит все новая и новая длина кабеля, а каждый спиральный элемент входит в зону деформации с непрерывно меняющимся начальным центральным углом относительно плоскости деформации. 3.1.4. Режим циклического волочения по поверхности (3.1-г) или подъема петли (3.1-в) аналогичен 146

пробегу по ролику с той лишь разницей, что радиус кривизны оси кабеля определяется собственным погонным весом кабеля, величиной сил трения и механическими характеристиками кабеля - его жесткостью при изгибе. Режим циклического изгиба на системе роликов (3.1-к), используемый в эксперименте, идентичен режиму изгиба на роликах. Отличие заключается лишь в том, что для системы роликов сокращено время перехода кабеля с ролика на ролик. Можно рассматривать этот режим как режим бегущей волны, наложенной на ограниченную длину образца кабеля. Из анализа режимов циклического изгиба следует: каждый режим имеет свои особенности, определяющие достоинства и недостатки, в свою очередь, определяющие границы их использования; режим стоячей волны (изгиб на роликах) позволяет провести испытание элементов конструкции кабеля при различных схемах распределения сдвигов по длине зоны деформации и выявить таким образом наиболее жесткую схему, определяющую работоспособность элемента и кабеля в целом. После выявления жесткой схемы (для каждого типа кабеля) испытуемый элемент следует ориентировать относительно плоскости деформации - установить необходимый угол ϕ 0 элемента - с целью реализации именно этой схемы сдвигов. Замечание. В проводимых в настоящее время испытаниях[38,39] указанное обстоятельство не оговорено, в результате в наиболее жесткую схему сдвигов попадает случайный элемент или не попадает вовсе, что ведет к значительному дополнительному разбросу результатов определения работоспособности. Режим вращающейся волны позволяет выявить наиболее слабый элемент конструкции кабеля, попавший в зону деформации при режиме сдвигов, отличающимся от режима сдвигов при стоячей волне, тем что в каждом сечении зоны деформации реализуется наибольшая возможная амплитуда сдвигов при изгибе на ролике. Режим бегущей волны (пробег по ролику) позволяет в режиме сдвигов для наиболее напряженного элемента определить наиболее слабое на некоторой длине кабеля сечение, так как все сечения кабеля при перемотке проходят зону экстремальных сдвигов. 147

Имеющиеся недостатки режимов заставляют ставить вопрос о создании режимов и соответствующего технического оснащения, совмещающих достоинства описанных. Целью при этом является создание режима supremum - амплитуды сдвигов на всей исследуемой длине кабеля. Наиболее благоприятным здесь будет объединение режимов вращающейся и бегущей волн. Возможно также сочетание вращающейся и стоячей волн, когда сдвиги элементов конструкции гибкого кабеля, оказываются одновременной функцией переменного начального центрального угла и переменной длины зоны деформации:

πl (t ) ⎤ ⎡ cos⎢ϕ0 (t ) + , H H ⎥⎦ ⎣ При λ(t ) = λ 0 sin(ωt + p ); ϕ 0 (t ) = ϕ 00 sin( Ωt + q ) ∆ = ∆ 0 sin

где

λ0

и

ϕ 00

πl (t )

(3.4)

- амплитудное значение длины зоны де-

формации и начального центрального угла; ω и Ω - круговая частота изгиба на роликах и круговая частота вращения кабеля как жесткого тела; p и q - начальные фазы изгиба и вращения. Параметры циклов должны быть согласованы так, чтобы за время общего цикла каждый элемент зоны деформации испытал экстремальную деформацию изгиба.

3.2. Критерий работоспособности гибкого кабеля и типы отказов Под работоспособностью гибкого кабеля понимают [40, 65, 106] время работы или число циклов деформации до момента наступления отказа. В свою очередь, под отказом понимают момент, когда кабель перестает работать по своему функциональному назначению. Опыт эксплуатации гибких кабелей позволяет определить следующие типы отказов: 1. Сокращение поперечного сечения токопроводящих жил вследствие физического разрыва критического количества составляющих его проволочек, так как это ведет к значительной токовой перегрузке оставшихся и нарушению температурного режима. 2. Повреждение слоев междужильной изоляции вследствие ее износа при трении, или прокола разрушенными 148

проволоками токопроводящих жил, ведущее к междужильному замыканию. 3. Повреждение защитных экранов, наружной оболочки вследствие износа при трении, прокола разрушенными проволоками ТПЖ, так как это ведет к нарушению безопасности эксплуатации. Проблема обеспечения работоспособности конструкций в условиях циклического деформирования имеет в приложении к гибкому кабелю свои характерные принципиальные особенности.

3.3. Механизмы разрушения Под механизмом разрушения понимается определенный параметрами конструкции кабеля и режимом деформации процесс циклического силового взаимодействия элементов, который с течением времени приводит к отказу гибкого кабеля. Механизм разрушения может быть предсказан на стадии теоретического анализа и может быть установлен при разборке гибкого кабеля после отказа, или до его наступления по специальной методике, которая имеет задачей установление: положения всех ТПЖ в рабочей зоне образца кабеля, локализацию и степень износа слоев изоляции, координаты сечений излома отдельных проволок и их числа (на поверхности ТПЖ и внутри нее), наличие материалов износа слоев изоляции, экранов и проволок ТПЖ (возможный их перенос и скольжение), характер излома проволок (усталостно-изгибный или усталостно - сжаторастянутый), изменения цвета и блеска, наличие потертостей слоев и т.д. Рассматриваемые ниже описания механизмов разрушения содержат условия их реализации, характер их развития и физические результаты, а также параметры конструкции гибкого кабеля и режима деформации, которые в первую очередь должны присутствовать в критериях работоспособности - аналитических условиях связи числа циклов деформации до наступления отказа с характеристиками цикла, выраженными через эти параметры.

149

3.2.1. Механизм (1) циклического поперечного изгиба ТПЖ (или других элементов, например, оболочки) Исходными предпосылками для реализации такого механизма являются: отсутствие или незначительное касательное взаимодействие ТПЖ по поверхности контакта с соседними элементами, сдвиги ТПЖ (относительные) малы или беспрепятственно распространяются в любую сторону. При этих условиях ТПЖ при циклическом изгибе кабеля следует за деформацией изгиба условного винтового канала, в которой она находится, испытывая циклический изгиб с параметрами, определяемыми начальной и конечной его кривизной. Спирально уложенная в конструкции кабеля токопроводящая жила имеет начальную кривизну:

| K ЖН |=

r , r + ( H / 2π ) 2

(3.5)

2

При циклической деформации изгиба спирали ТПЖ на ролике происходит циклическое изменение кривизны оси кабеля с амплитудой равной двум кривизнам ролика – 2 Kp . При этом каждая из токопроводящих жил испытывает циклическое изменение кривизны, определяемое местом ТПЖ в сечении. Две ТПЖ, располагающиеся в плоскости деформации, испытывают цикл изгиба с изменением кривизны оси от:

K max = K ЖН + K pв до K min = K ЖН − K pc

(рис. 3.6).

Амплитуда изменения кривизны вертикально ориентированных жил в плоскости изгиба:

∆K Β =

K max − K min R = 2 . 2 R − r2

(3.6)

Амплитуда изменения кривизны горизонтально ориентированных жил:

где r - расстояние от оси кабеля до оси ТПЖ; H - шаг скрутки ТПЖ. Вектор начальной кривизны оси ТПЖ направлен к оси кабеля (рис.3.5).

∆K Г =

K Ж − K ЖН ( K 2 ЖН + 1 / R 2 )1 / 2 − K ЖН = . 2 2 (3.7)

след плоскости изгиба кабеля

r _ K pc

_ Kжн

R-r

_ В K _p Kжн ϕ _ _ _ Kϕ Kжн Kжн p ε _ _ Kж _ Kpc Kжн _ KpH

след плоскости деформации жилы

KB KЖН Kmax

ε 0

Kmin

Т

ДKB t

Рис. 3.6. Несимметричный цикл изменения кривизны горизонтально ориентированных жил при симметричном цикле изгиба кабеля.

R

R+r

Рис. 3.5. К вычислению параметров цикла деформации ТПЖ.

150

Рис. 3.6 иллюстрирует несимметричный цикл деформации изгиба спиральной токопроводящей жилы с ϕ = 0; π в рабочей зоне деформации изгиба кабеля. Можно убедить151

ся в том, что для всех остальных токопроводящих жил в расчетном сечении цикл изгибной деформации осуществляется с меньшей амплитудой, определяемой не алгебраической, а геометрической суммой кривизны токопроводящей жилы и оси кабеля. Отметим также, что для всех других токопроводящих жил в цикле происходит колебание суммарной кривизны около линий, перпендикулярных плоскости деформации изгиба. Причем наибольший угол поворота плоскости деформации токопроводящей жилы определяется:

⎡ K cp ⎤ r 2 + H / 2π 1 = arctg ε = arctg ⎢ , ⎥ = arctg R⋅r K ЖН ⋅ R ⎣⎢ K ЖН ⎦⎥

тикали вектора кривизны спиральной токопроводящей жилы. При постоянной вертикальной ориентации вектора кривизны кабеля, уложенного на ролик, суммарная кривизна токопроводящей жилы:

[

]

1/ 2

.

(3.9)

Здесь, кривизна жилы на ролике:

K ϕp = [R = r cos ϕ ] . −1

(3.10)

Тогда при подстановке (3.9) в (3.0) получим суммарную кривизну жилы, как функцию ее положения в сечении: (З.11) | K Ж |= K (ϕ ). Анализ подтверждает экстремальность цикла деформации изгиба, характеризуемого (3.6), для жилы, попавшей в плоскость деформации изгиба кабеля на ролике заданного диаметра. Согласно геометрии винтового канала, в рабочей зоне (деформируемой изгибом) образца кабеля сечений испытывающих несимметричной с максимальной амплитудой 152

H , 2n

(З.12)

где n - число токопроводящих жил в повиве.

H/n

H/n

H/n

H/n

(3.8)

и является амплитудой циклического поворота плоскости изгиба горизонтально ориентированных токопроводящих жил относительно горизонтальной плоскости начальной кривизны. Таким образом, при симметричном цикле изгиба образца кабеля на роликах с амплитудой 2 R , токопроводящая жила в расчетном сечении испытывает цикл изгиба, определяемый ее положением в сечении - текущим центральным углом ϕ . Согласно рис. 3.5, угол ϕ определяет наклон к вер-

2 | K Ж |= K ЖН + ( K ϕp ) 2 − 2 cosϕ ⋅ K ЖН ⋅ K ϕp

цикл изгиба окажется столько, сколько раз каждая из ТПЖ попадает в плоскость изгиба кабеля на ролике (рис. З.7). Расстояние между такими сечениями также легко определяется как

Рис. З.7. Схема сечений разрушенных ТПЖ по механизму циклического поперечного изгиба.

Результатом реализации механизма циклического поперечного изгиба ТПЖ является четко выраженная система сечений излома токопроводящих жил (с текущим центральным углом ϕ i = 0; π ), подтверждаемая экспериментом. На основании всего вышесказанного, оправданной является возможность экспериментального определения работоспособности отдельной ТПЖ (как стандартного элемента конструкции гибкого кабеля) при условии технической реализации несимметричного цикла с параметрами, определяемыми радиусом повива, углом скрутки и диаметром ролика (степенью деформации). Достоинством такого эксперимента является тот факт, что он определит работоспособность токопроводящей жилы, а вместе с тем и работоспособность кабельного изделия, в конструкцию которого эта жила входит, если механизм разрушения кабеля - циклический поперечный изгиб. Заключая рассмотрение этого механизма разрушения, укажем на возможность управления работоспособностью: изменением угла скрутки, также изменением диаметра 153

ТПЖ, изменением диаметра и предела прочности материала ее проволок. 3.3.2. Механизм (II) циклического износа слоев изоляции ТПЖ Механизм циклического износа слоев изоляции ТПЖ может быть реализован, если рассмотренный выше механизм циклического поперечного изгиба ТПЖ протекает с малой интенсивностью, а ТПЖ испытывают свободные циклические сдвиги, взаимодействуя между собой по поверхностям контакта усилиями трения скольжения, т.е. уровень относительных сдвигов ТПЖ превышает уровень упругих сдвигов. Так как закон распределения сдвигов по поверхностям контакта на длине зоны деформации имеет зону экстремальных сдвигов, то механизм циклического износа слоя изоляции локализуется именно в этой зоне (ее положение легко определяется согласно главе 2). Результатом циклического износа является отказ по типу междужильного замыкания вследствие полного износа двойного слоя изоляции соседних ТПЖ.. Определяющими работоспособность параметрами цикла являются амплитуда сдвигов и касательных напряжений по поверхности контакта, в свою очередь зависящая от фрикционных свойств материалов слоев изоляции и усилия нормального взаимодействия. Так как картина механизма достаточно ясна, то он может быть реализован и в отдельном эксперименте по циклическому износу слоев изоляции по поверхности контакта двух токопроводящих жил (рис. 3.8), а результаты (работоспособность) распространены на работу кабеля в целом по этому механизму.

3.3.3. Механизм (III) циклического продольного изгиба ТПЖ Механизм циклического продольного изгиба ТПЖ реализуется, например, при незначительном уровне касательных усилий по поверхности контакта соседних ТПЖ, но для относительных сдвигов обязательно наличие препятствия в виде зажимов испытательной установки или вводов в подвижный потребитель электроэнергии, так что образующееся превышение длины нерастяжимой и несжимаемой ТПЖ над длиной условного винтового канала приводит к потере устойчивости формы винтовой оси и выпучиванию в направлении наименьшей упругой податливости окружающих (рассматриваемую ТПЖ) элементов. Наиболее распространенными направлениями выпучивания являются радиальные для оболочки, заполняющей впадины между ТПЖ, и тангенциальное для промежуточных повивов и наружного повива с трубчатой оболочкой, так как в первом случае тангенциальный сдвиг ограничен зубчатыми ребрами, а податливость определяется радиальной податливостью оболочки (рис. 3.9 а), а во втором случае податливость определяется сопротивлением соседних ТПЖ в тангенциальном направлении (рис. 3.9 б). а)

б)

N

Рис. 3.9. Направление выпучивания ТПЖ.

N Рис. 3.8. Схема реализации механизма циклического износа изоляции ТПЖ.

154

Известно (глава 2), что на шаговой длине ТПЖ может существовать и вторая зона (где нерастяжимая ТПЖ короче длины канала), где ТПЖ испытывает деформацию растяжения, вызывающую давление ТПЖ на внутренние повивы и 155

сердечник. Так как при циклической деформации изгиба кабеля направление изгиба циклически меняется, то соответственно зоны выпучивания растяжения периодически сменяют друг друга на одной и той же длине ТПЖ в зоне деформации. Тогда механизм циклического продольного изгиба состоит из двух полуциклов с разным видом деформации в каждом. Реализация такого механизма разрушения возможна, пожалуй, только в натуральной конструкции кабеля. Описываемый механизм - это циклический изгиб сечений ТПЖ в опасных сечениях, образуемых формой потери устойчивости ТПЖ в упругой среде согласно (рис. 3.10).

Первый полупериод – потеря устойчивости 2 1

4 2

∆

3

1

4 3

∆

Второй полупериод – растяжение

Рис. 3.10. Схема механизма продольного изгиба с растяжениемсжатием (спиральный элемент условно выпрямлен).

Параметрами, определяющими работоспособность кабеля по этому механизму, являются: уровень абсолютного сдвига в отношении к длине зоны потери устойчивости и отношение изгибной жесткости ТПЖ к коэффициентам податливости окружающих элементов, так как именно они отвечают за форму изогнутой оси (кривизна оси ТПЖ и количество опасных сечений изгиба) и уровень растягивающих усилий. 156

3.3.4. Механизм (IV) продольного циклического изгиба проволок ТПЖ Механизм продольного циклического изгиба проволок ТПЖ реализуется, например, в случае передачи движения (с учетом трения) от оболочки – изоляции к токопроводящим жилам. В этом случае проволока наружного повива ТПЖ оказывается под воздействием касательных усилий сцепления или трения почти по полному периметру сечения, так что часть проволоки перед движущимся участком изоляции может потерять устойчивость и выпучиться в направлении наименьшей податливости слоя изоляции. За участком сдвигающейся вместе с проволокой изоляции проволока может испытывать значительные продольные усилия. Этот эффект локализуется на длине проволоки, определяемой соотношением собственных жесткостей и податливостей соседних элементов. Механизм (IV) подобен механизму (III) (рис. 3.10), только осуществляются они на разных конструктивных элементах: ТПЖ и проволоке ТПЖ. За своеобразие взаимодействия слоя изоляции с поверхностью ТПЖ этот механизм может быть назван "ластик"- эффектом по аналогии с картиной взаимодействия стирающей резинки с тонким листом бумаги. Своеобразие этого механизма состоит в том, что именно ему следует отдать предпочтение в причинах возникновения отказа по типу прокола изоляции ТПЖ и замыкания между ними, так как оборванная или обломанная проволока имеет нужную ориентацию и нужное направление сдвигающих усилий для прокола изоляции. Основным параметром, определяющим работоспособность кабеля по этому механизму, является диаметр проволоки ТПЖ и соотношение ее жесткости и податливости окружающих элементов. Рассмотренные выше механизмы разрушения не исчерпывают всех возможных их типов. Они условно могут считаться упрощенными. Сочетание одновременно протекающих механизмов может привести как к уменьшению, так и к увеличению скорости движения к отказу. Именно ее увеличение является важным. Прослеживая возможные сочетания механизмов, назовем лишь два: V - циклический поперечный изгиб элементов с влиянием циклической продольной силы, как суммарное влияние сил трения по поверхности элементов; 157

VI - циклический продольный изгиб при значительном влиянии циклического поперечного изгиба. Совершенно очевидно, что такие сочетания требуют совпадения каждого механизма по месту и времени и требуют дополнительного анализа, кроме того в процессе деформации один механизм может переходить в другой (например, при износе слоев изоляции могут меняться силы трения, конструкция кабеля, разуплотняется и меняются коэффициенты податливости элементов и т.д.). Приведенное описание связи механизмов разрушения с типом отказа требует достаточного обоснования. Единственной возможностью их идентификации должен быть спланированный эксперимент по независимой реализации механизмов и их сочетаний. Теоретическая возможность разделения механизмов существует, есть пути реализации некоторых упрощенных механизмов разрушения, которые требуют создания принципиально новых методов и установок.

3.4. Работоспособность при реализации различных механизмов разрушения и ее многокритериальное представление

Существующие конструкции гибких кабелей при испытаниях и работе в условиях эксплуатации демонстрируют большой разброс работоспособности в результате реализации различных механизмов разрушения. Понимаемое под работоспособностью число циклов деформации до отказа необходимо связывать с реализующимися отдельными механизмами или их сочетанием. Если установлена работоспособность кабеля по каждому механизму N i или их сочетанию N i + j , то минимальная работоспособность кабеля в условиях эксплуатации не будет превышать минимальной из них. С одной стороны, это открывает возможность сознательного управления параметрами конструкции гибкого кабеля, так как из всей совокупности этих параметров могут быть изменены только те, которые определяют реализацию механизма с минимальной работоспособностью. С другой, очевидно, что рациональными критериями проектирования являются такие, которые позволяют закладывать в конструкцию параметры, при которых кабель в заданных условиях эксплуатации по всем механизмам разрушения будет 158

равнопрочным. Оптимальное конструирование для целей повышения технического уровня вообще и с учетом конкретных условий эксплуатации заключается в том, чтобы регулировать только те параметры, которые определяют реализацию механизма разрушения с минимальной и максимальной работоспособностью для повышения, с одной стороны минимальной, а с другой, уменьшения максимальной для устранения лишнего резерва работоспособности по этому механизму. Однако, следует иметь ввиду, что такое вмешательство в один механизм может инициировать переход на отказ кабеля на другой механизм разрушения, что, как будет показано ниже, совершенно не учитывается в методике и устройствах для экспериментального определения работоспособности. Из вышеизложенного следует, что формулировка обобщенного критерия работоспособности для кабелей не имеет смысла и необходимо многокритериальное представление работоспособности. При разработке критериев работоспособности, представляющих аналитическую связь количества циклов до наступления отказа с параметрами циклической деформации [74,93], в них в первую очередь, необходимо вводить параметры реализуемых механизмов разрушения, выраженных через параметры конструкции и режима деформирования. В качестве примеров приведем возможные, строго ограниченные рамками понятия о механизме разрушения мероприятия по регулированию работоспособности гибкого кабеля. Например, для изменения (в известных пределах) работоспособности по циклическому поперечному изгибу ТПЖ следует изменить диаметр проволоки ТПЖ и систему скрутки ее, оставив неизменными все остальные параметры конструкции кабеля в целом. Далее, для повышения работоспособности кабеля по износу слоя изоляции ТПЖ следует изменить (уменьшить) коэффициент трения и сцепления материалов изоляции по поверхности их контакта, или с другой стороны заняться регулированием абсолютного и относительного сдвига ТПЖ в пределах разумного, с учетом, как и в первом случае, требований трудоемкости изготовления и материалоемкости.

159

Для изменения работоспособности по "ластик" - эффекту следует менять диаметр проволоки ТПЖ и характер и уровень сцепления слоя изоляции с поверхностью ТПЖ. Если невозможно исключить механизм разрушения до отказа в виде прокола слоя изоляции, то единственной мерой повышения работоспособности будет наложение на изоляцию (или под нее) стойкой к проколам прослойки. Детальное изучение механизмов разрушения позволяет ставить вопрос об оптимальном проектировании работоспособности гибкого кабеля для заданного режима деформации его в эксплуатационных условиях.

3.5. Требования к эксперименту и соотношение эксплуатационных и экспериментальных параметров режимов деформирования

Любые методы испытаний гибких кабелей для прогнозирования их срока службы в условиях эксплуатации должны основываться на предварительном всестороннем изучении условий и режимов деформирования в этих условиях. В эксперименте принципиально необходимо реализовать прежде всего такие условия, которые определяют реализацию механизмов разрушения приводящих в условиях эксплуатации к отказу гибкого кабеля работать по прямому назначению. К этим условиям относятся: 1)сохранение в эксперименте определенного соотношения шага скрутки исследуемого повива к длине зоны деформации и расстоянию между захватами; 2)условия обжатия в захватах; 3) закономерности изменения длины зоны деформации и соответствующего изменения рабочей длины образца в течении цикла; 4) определенной ориентировки токопроводящих жил в сечениях образца относительно плоскости деформации и изменение ее в течение цикла; 5) степень деформации, углы и радиусы изгиба должны соответствовать этим параметрам режима деформации в условиях эксплуатации.

3.5.1. Испытание, эквивалентное относительно сдвигов, требования к устройству и методикам испытаний Соотношение D / d , где: D - диаметр деформирующего ролика; d - наружный диаметр кабеля, согласно ГОСТ [38, 39] в стандартных методиках принимается за меру деформации кабеля, сохранение которой при испытаниях кабелей разного диаметра в принципе не обеспечивает идентичность условий сравнительных испытаний и сопоставимость результатов. Покажем это на следующих примерах. 1. Согласно теории относительных упруго-фрикционных сдвигов степенью деформации изгиба следует считать отношение: R/r = C (3.13) где r - радиус испытываемого повива ТПЖ, а не наружный диаметр кабеля; R - радиус изгиба по оси кабеля, равный: R = R0 + rK , где

R0 - радиус ролика по дну канавки:

- на-

ружный диаметр кабеля. При данном соотношении сравним сдвиги элементов повива с одним центральным углом - ϕ 0 , в одном и том же сечении кабеля двух размеров одного и того же типа. Если сечением сравнения взять: λ1 = H 1 / 2 ; λ2 = H 2 / 2, то в формуле сдвигов (2.14)

sin

πλ1 H1

= sin

πλ2 H2

= 1; cos(ϕ 0 +

πλ2 H2

) = − sin ϕ 0 ,

а соответствующие сдвиги

∆ 1 = r1 H 1 cos α 1 sin ϕ 0 / πR1 ;

∆ 2 = r2 H 2 cos α 2 sin ϕ 0 / πR2 ; Преобразуем эти формулы к виду:

∆1 r = 1 sin ϕ 0 ; H 1 cos α 1 πR1

∆2 r = 2 sin ϕ 0 , H 2 cos α 2 πR2

и запишем их отношение:

160

2rK = d K

161

(3.14)

∆ 2 cos α 1 H 1 r2 R1 = ∆1 cos α 2 H 2 R2 r1

(3.I5)

тогда в правой части образуется отношение степеней деформации двух разных кабелей. Так как c1 = c 2 , то

∆ 2 cos α 1 H 1 ∆2 L1 cos 2 α 1 = × =1 ∆ 1 cos α 2 H 2 L2 cos 2 α 2 ∆1

(3.16)

которое после преобразования:

∆2 ∆1 ∆2 ∆1 ; = = 2 2 cos α 2 H 2 cos α 1 H 1 L2 cos α 2 L1 cos α 1

(3.17)

Таким образом, с точки зрения оценки сдвигов, сохранение отношений диаметров ролика и кабеля эквивалентно сохранению отношения сдвига элемента к его шаговой длине, умноженной на косинус угла скрутки. 2. Указанное соотношение в настоящее время в стандартных методиках не соблюдается. Анализ показал, что в устройстве для циклического изгиба на ролике [12] режим деформирования кабеля при неузаконенном расположении ТПЖ в начальном сечении деформации (между роликами) ставит токопроводящие жилы в образцах в неравноценные условия по параметрам цикла механизма разрушения и приводит к дополнительному разбросу результатов испытаний. Вытекающее отсюда требование к эксперименту заключается в строгой идентичной ориентировке известной ТПЖ относительно плоскости изгиба на роликах. 3. При изменении степени деформации одного и того же кабеля (при изменении диаметра ролика) для получения сопоставимых результатов, следует сохранять соотношение: (3.18) λ/ H = k ,

β 2 = β1 ⋅ R1 / R2 .

что означает: при переходе на другой ролик должен быть изменен угол охвата. 4. Имеющееся в некоторых конструкциях устройств продергивание образца кабеля в зоне деформации должно быть исключено. 5. При изменении степени деформации должно быть изменено расстояние от конца зоны деформации до зажима на рычаге устройства. Это требование связано с необходимостью соотносить величину абсолютных сдвигов ТПЖ с расстоянием до сечения, где сдвиги невозможны с целью сохранения условия:

∆1 ∆ 2 = L1 L2

(3.20)

которое после преобразований имеет вид:

L1 C 2 = L2 C1

λ - длина зоны деформации кабеля на ролике; H - шаг скрутки повива. Если β - угол охвата ролика λ = Rβ , k = β / β H ,

где β H - угол охвата ролика шаговой длиной. Из условия (3.17) вытекает условие сохранения длины зоны деформации: 162

(3.21)

и носит название условия пропорциональности степени деформации и расстояния до зажима. Сформулированные в п.1-5 требования к устройству и методике являются условиями корректности испытаний и позволяют определять работоспособность в функции единственного параметра степени деформации изгиба независимо от всех других параметров конструкции и режима деформации - при сохранении механизма разрушения. Аналогичным образом может быть построена методика выявления влияния и некоторых других параметров на работоспособность известного кабеля. Кривые работоспособности, построенные для разных сечений одного и того же типа кабеля, в этом случае оказываются сопоставимыми.

где

кабелем, то

(3.19)

163

Глава 4 Ускоренное экспериментальное исследование работоспособности гибких кабелей на «шаговых» образцах

Решение проблемы скорейшего создания высоконадежных и безопасных при эксплуатации гибких кабелей и их оптимальное проектирование возможно лишь при прогнозировании сроков службы этих конструкций за более короткое время и при лабораторных испытаниях меньшего количества образцов. Существующие испытательные методы и средства не позволяют осуществлять корректные с точки зрения механики деформируемого гибкого кабеля экспериментальные исследования. Базой для разработки новых экспериментальных методов и устройств могут служить положения разработанной теории упругофрикционного взаимодействия элементов конструкции при деформациях изгиба гибкого кабеля и представления о механизмах его разрушения.

4.1. Анализ существующих методов и оборудования, норм на эксперимент Анализ существующих экспериментальных методов и средств определения работоспособности гибкого кабеля с позиции разработанной теории показал, что состояние вопроса определяется следующими моментами. Испытательное оборудование построено на двух принципах. Первый заключается в полном или почти полном моделировании условий эксплуатации кабельного изделия. Определенное таким образом количество циклов деформации до установленного нормами отказа считается работоспособностью кабеля. Трудности с технической стороны реализации в эксперименте всех эксплуатационных факторов при их моделировании в условиях испытаний приводят к множеству схем с разными параметрами и режимами деформирования, включающие все виды деформаций - изгиб, кручение, растяжение с разнообразным их сочетанием. Для обеспечения ГОСТ 12182-80 и сходных требований нормативных документов к методам оценки циклической прочности за рубежом [101, 119] необходимо до 10 испытательных стендов. 164

Второй принцип заключается в реализации при эксперименте определяющих видов деформации кабеля в эксплуатационных условиях (для гибких кабелей - циклический изгиб). Определенная в таком эксперименте работоспособность является условной и при переносе на реальные условия считается оценкой действительной работоспособности. Эксперимент в том и другом случае происходит почти в реальном масштабе времени, характеризуется длительностью вследствие малой производительности установок, осложняется перерывами в эксперименте, так как предельная частота циклов изгибной деформации, реализуемая в существующих испытательных стендах, не превышает 6-20 в 4 5 минуту. Для испытаний одного образца при ΙΟ − ΙΟ циклах деформации изгиба необходимо до месяца при двухсменной работе оборудования. Основная причина этого заключается в трудностях с технической стороны создания циклического режима воздействия на кабель с повышенными частотами при больших амплитудах его параметров, характерных для условий эксплуатации гибкого кабеля. В области эксплуатационных параметров деформации, моделируемых в условиях эксперимента (большие размеры образцов - 1,2 -2,5 м, значительные амплитуды циклических деформаций и связанных с ними больших перемещений исполнительных механизмов) существующие конструктивные решения, реализуемых схем деформирования в установках исчерпали все возможности повышения частоты циклов. Значительные инерционные силы в элементах привода, передачи и самом образце ведут к резкому утяжелению и росту габаритов установок, значительному расходу энергии преодоления этих сил и влиянию дополнительных динамических усилий на работу образца, искажению картины и потере вида деформации, а следствием этого является снижение точности испытаний. С другой стороны, причиной длительности экспериментального определения работоспособности является значительное полное время испытаний, вследствие низкой воспроизводимости, сходимости и сопоставимости результатов. Это связано с недостатками методов и схем деформирования, не позволяющих реализовать в эксперименте идентичные и эквивалентные условия испытаний образцов (гл. 3). 165

Существующие методики исследований, устанавливающие частную связь прочностных и механических характеристик отдельных элементов конструкций с одним или несколькими параметрами нагрузки, а так же методики экспериментального определения работоспособности, изучающие однофакторное и многофакторное влияние того или иного параметра конструкции или деформации, или однофакторного влияния воздействующих параметров на конечную ее работоспособность и ориентированы на долговременный эксперимент и связаны со значительными затратами, так как рассчитаны на существующее оборудование; они некорректны, так как воздействующие факторы не являются независимыми вследствие взаимодействия элементов конструкции и связи параметров конструкции и деформации, интегрально выраженной в механизмах разрушения, приводящих к отказам гибких кабелей; они, в принципе не позволяют изучать механизмы разрушения, исследовать их влияние на работоспособность при совместной и независимой их реализации и устанавливать связь типов отказа кабеля с тем или иным механизмом разрушения; они, не содержат требований к установкам и условиям идентичности и эквивалентности испытаний. К недостаткам экспериментальных средств относится так же то, что эти устройства являются не универсальными, так как испытывают образцы с узким диапазоном геометрических размеров -длиной, диаметром и в узком диапазоне параметров деформаций, не обеспечивая бесступенчатую их регулировку в требуемом диапазоне, а так же задание циклов изгиба образца с различными коэффициентами асимметрии циклов, имеющих место в условиях эксплуатации. Все перечисленные недостатки приводят к содержанию большого парка испытательных машин, к неравномерной их загрузке, длительным испытаниям, большим затратам энергии, времени и расходу кабеля, а так же к тому, что исследования на их основе оказываются некорректными.

4.2. Установка ЦИКЛ-2 Поиск подходящей схемы ускоренной реализации циклического изгиба для конструктивного воплощения в устройстве с учетом вышеперечисленных требований привел к 166

схеме изгиба короткого образца циклическим поворотом его концов в захватах в одной плоскости, реализованной в установке ЦЖЛ-2, устройство которой защищено авторским свидетельством [118]. Схема циклического деформирования поворотом концов образца достаточно известна и применяется для испытаний при циклическом изгибе металлов и композитов с большой частотой циклов при незначительных амплитудах углов поворота, при которых не предусмотрено смещение захватов в плоскости изгиба [59, 70, 80, 81, 123, 160]. Такие условия испытаний обусловлены характерными для этих материалов условиями эксплуатации и требованиями к уменьшению влияния концевых эффектов, связанных со смятием концевых частей образца

21

22

23

24 29

30

11

20 14

10 8 9

27 26

6 12

25 19 28 16 17

13

3 1

18 θ

7

20 L

15

16

θ

5

4

30 2

Рис. 4.1. Устройство для испытаний гибких кабелей на циклический изгиб - ЦИКЛ-2.

у захватов, вследствие значительной жесткости к изгибу этих материалов и приводят к тому, что при больших углах поворотов испытывается не сам образец между захватами, а его концевые части непосредственно у захватов. Кроме 167

того, указанный эффект связан обратно пропорциональной зависимостью с эксцентристом захватов осей их поворота. На рис. 4.1 показана кинематическая схема устройства в аксонометрии. Устройство содержит станину 30 с горизонтальной консолью 23,кривошипно-шатунный возбудитель циклических нагрузок, включающий кривошип постоянного радиуса 8, соединенный через шатун 7 с кривошипом с регулируемым радиусом 5, связанный с электродвигателем I через шкив 2 на его валу ременной передачей 3, механизм передачи из четырех сцепленных в горизонтальный ряд в вертикальной плоскости цилиндрических зубчатых колес, одного большего диаметра 8, объединенного с кривошипом 8, и трех малыходинакового диаметра 9, 10, II, образующих три пары качательного вращения, узел изгиба в виде двух горизонтальных параллельных друг другу подвижных валов изгиба 15 с захватами для крепления 17 образца 18. Валы изгиба связаны с механизмом передачи посредством карданных валов 13 со съемными зажимами 14, устанавливаемых на валах одной из пар колес: 9 и 10, II - 10 или 9 и II с возможностью установочного поворота относительно них. Валы изгиба снабжены подвеской в виде двух одинаковых параллелограммов 19 с регулируемым при установке расстоянием между их верхними сторонами за счет закрепления на горизонтальном стержне 20 с помощью зажимов 21. Стержень 20 закреплен на консоли 23 с помощью зажима 22 с возможностью установочного перемещения по ней. Установка работает следующим образом. Электродвигатель I через механизм привода и передачи приводит в качательное вращение валы 15 с возможностью бесступенчатого регулирования амплитуды их качательного вращения за счет плавного изменения при установке требуемого радиуса кривошипа 5. Валы 15 циклически поворачивают концы образца в захватах 17 на углы, отсчитываемые по лимбу 10, который может устанавливаться на одном из малых колес и неподвижной стрелке 12, закрепленной на станине 30. При повороте концов образца 18 на одинаковые углы в одну сторону (вверх или вниз) образец циклически изгибается и смещает валы 15 в подшипниковых обоймах 16, которые за счет связи с карданными валами 13 и конструкции параллелограммов 19 качаются только в двух взаимноперпендикулярных направлениях -вдоль своих осей за 168

счет преломления боковых сторон 25 и 26 параллелограммов 19 на валах 27, 28 и шарнирах 29, и перпендикулярно осям валов 15 за счет качания параллелограммов относительно верхних сторон в виде валов 24. При этом валы изгиба 15 остаются горизонтальными и параллельными друг другу. В результате образец 18 циклически изгибается по дуге окружности в вертикальной плоскости, радиус которой задается величиной углов поворота онцов образца, а захваты 17 циклически смещаются и поворачиваются только в плоскости изгиба с амплитудой, задаваемой амплитудой параметров изгиба самого образца 18. За один полный оборот шкива 4, объединенного с кривошипом 5, колеса 8, 9, 10, 11 совершают один цикл качательного вращения, а образец 18 один цикл изгиба выпуклостью вверх и вниз. Количество циклов изгиба фиксирует счетчик 6, связанный со шкивом 4, который автоматически отключает электродвигатель после задания требуемого количества циклов.

4.3. Анализ и обоснование схемы изгиба и перехода к "шаговому" образцу При изгибе кабельной конструкции, представляющей упругофрикционный составной стержень, поворотом концов в захватах, элементы которой взаимодействуют между собой за счет сил упругого сцепления и сил трения, при длине зоны деформации, равной шагу скрутки, закономерности распределения сдвигов элементов имеют следующие особенности. Сдвиги по концам зоны деформации отсутствуют, а в середине образца абсолютная сумма сдвигов всех элементов является максимальной. Так как жесткость сечения образца функционально зависит от величин сдвигов и силового взаимодействия элементов в этом сечении, а форма изогнутой оси образца зависит от его жесткости в каждом сечении по длине зоны деформации, то образец при его изгибе поворотом концов принимает форму несколько отличающуюся от круговой с наименьшим радиусом кривизны в середине зоны и максимальным у захватов. Таким образом образец представляет собой стержень с плавно уменьшающейся кривизной оси от середины к концам у захватов, вследст169

вие чего влияние указанного в 4.3 концевого эффекта является несущественным. Для выполнения требования эквивалентности испытаний, заключающегося в постоянстве ориентации плоскости изгиба относительно положения токопроводящих жил в сечениях образца, захваты в установке ЦИКЛ-2 смещаются и поворачиваются только в плоскости изгиба. В результате появления дополнительных вторичных силовых эффектов, приводящих к дополнительным деформациям, при таких жестких граничных условиях, ось образца в середине зоны деформации депланирует из плоскости изгиба. Для коротких образцов эффект выпучивания из плоскости изгиба незначителен и условие эквивалентности выполняется достаточно точно. Установка ЦИКЛ-2 осуществляет ускоренное регулярное нагружение образца с постоянной амплитудой углов поворота его концов, при циклическом изменении радиуса изгиба, постоянной ориентации плоскости изгиба и постоянной длине зоны деформации в течение цикла. Режим деформирования с точки зрения закономерностей распределения сдвигов токопроводящих жил назван режимом "пульсирующей волны". Сдвиги жил в каждом сечении образца изменяются в течение цикла изгиба от 0 до величины ∆ , зависящей от ориентации жил в каждом сечении и расположения этих сечений по длине зоны деформации:

∆(t ) = −

πλ πλ rH cos α sin cos(ϕ 0 + ), πR(t ) H H

где R (t ) - радиус изгиба изменяется в течение цикла от

∞ до конечного радиуса R . Как показано в гл. 2, упругофрикционное взаимодействие и закономерности распространения сдвигов токопроводящих жил при изгибе кабеля на ролике имеют период, равный шагу скрутки их повива. В гл. 3 показано, что все механизмы нагружения токопроводящих жил и механизмы разрушения конструкции кабеля, имеющие место в условиях эксплуатации могут быть смоделированы и реализованы при испытаниях коротких образцов при соответствующих внешних условиях деформирования. Для схемы изгиба поворотом концов, при расстоянии между захватами z , кратный шагу скрутки исследуемого 170

повива токопроводящих жил, сдвиги по концам зоны деформации отсутствуют в течение всего цикла изгиба. В этом случае условия обжатия в захватах не вносят помех в сдвиги токопроводящих жил и упруго-фрикционное взаимодействие, а условия их работы не отличаются от работы такого же отрезка внутри достаточно длинного кабеля при его изгибе. При этом независимо от обжатия концов образца в захватах, реализуется механизм циклического поперечного изгиба токопроводящих жил повива с шагом скрутки Н. При z = 0,5 Н;1,5 Н и при условии полного обжатия концов образца в обоих захватках, препятствующего сдвигам элементов в них, реализуется механизм циклического продольного изгиба токопроводящих жил с шагом скрутки Н. При z = 0,5 Н;1,5 Н при закреплении одного конца образца в захвате без обжатия токопроводящих жил, не препятствующего их сдвигам, реализуется циклический износ слоев изоляции токопроводящих жил, оболочки и проволок в жилах. Работоспособность гибкого кабеля в указанных условиях будет определяться соответствующими механизмами разрушения его конструкции, и будет являться оценкой действительной работоспособности в условиях эксплуатации. Проблема влияния на конечную работоспособность значительного увеличения частоты циклов изгиба, связанного с динамическими процессами взаимодействия элементов и приводящих к разогреву образца при таких условиях испытаний требует дополнительных исследований.

4.4. Технические характеристики и технологические возможности установки ЦИКЛ-2 Технические характеристики сведены в табл. 4.1. Установка ЦИКЛ-2 унифицирует испытания гибких кабелей при ускоренном циклическом изгибе, так как она позволяет: 1) привести все испытания гибких кабелей при изгибе к одной схеме циклического деформирования; 2) задавать параметры деформирования во всем требуемом диапазоне с бесступенчатой их регулировкой для мо171

делирования условий эксплуатации в условиях эксперимента; Таблица 4.1 Технические характеристики Наименование единиц измерения «Установка ЦИКЛ-2» 1. Максимальный диапазон бес5 от 0 до π ступенчатого регулирования угла 4 изгиба, рад. 2. Пределы ступенчатого регулиот 60 до 200 рования частоты циклов, цикл/мин. 3. Вид циклической деформации Симметричный, кососимметизгиба. ричный, ассиметричный с любым коэффициентом асимметрии 4. Длина образца между захватаот 0,04 до 0,4 ми (длина зоны деформации), м 5. Диаметр испытываемых образот 0,5 до 25 цов, мм

3) испытывать гибкие кабели с широким диапазоном параметров их конструкции, без ее переналадки; 4) реализовать корректные методики испытаний по определению работоспособности выбранной конструкции при заданных условиях циклического нагружения, сравнительные испытания нескольких готовых конструкций, исследовать влияние на работоспособность параметров нагружения (степени деформации, асимметрии циклов, условий окружающей среды, частоты циклов, ориентировки ТПЖ по отношению к плоскости изгиба), корректное исследование многофакторного влияния на работоспособность параметров конструкции и влияния соотношения длины зоны деформации, шага скрутки элементов конструкции и расстояния между захватами, в сочетании с различными условиями обжатия концов образца в захватах; 5) определять работоспособность одной жилы при ее циклическом изгибе поворотом ее концов в одной плоскости. Устройство ЦИКЛ-2 позволяет увеличить частоту циклов изгиба на порядок по сравнению с существующими установками, с одновременным повышением точности и сопоставимости результатов испытаний за счет возможности реализовать при испытаниях условия эквивалентности и корректности.

172

4.5. Методика испытаний Испытания гибких кабелей на работоспособность при циклических деформациях являются косвенными испытаниями, в которых критическое число циклов нагружения до наступления, заданной нормативной документацией, степени разрушения конструкции определяется на основе экспериментальной кривой работоспособности, построенной по представительному объему экспериментальных точек и представляющей зависимость степени разрушения конструкции от количества циклов нагружения серии образцов, испытанных в идентичных условиях с заданием различного числа циклов для каждого образца или их групп. Специфика испытаний связана: 1) со значительным разбросом результатов испытаний, вызванных большим числом факторов, не поддающихся устранению; 2) с отсутствием надежных методов слежения с достаточной точностью за степенью разрушения конструктивных элементов в процессе испытаний без разборки образца. В предыдущих главах установлено, что для реализации идентичных условий испытаний серии образцов одной конструкции гибкого кабеля для построения кривой работоспособности необходимо выполнение следующих требований. Все образцы данной серии должны быть испытаны: 1) с одинаковой степенью деформации ε ; 2) при одинаковой ориентировке токопроводящих жил в сечениях образца по отношению к плоскости изгиба; 3) при реализации одного и того же механизма нагружения токопроводящих жил. При выполнении этих требований, при прочих одинаковых условиях испытаний, дисперсия результатов минимальна и обусловлена только факторами, отражающими непостоянство параметров конструкции и свойств материалов, а так же факторами колебания параметров технологического процесса изготовления гибких кабелей. Методика испытаний, учитывающая эти требования, является корректной, так как учитывает механизмы разрушения конструкций. Многочисленные испытания гибких кабелей, проведенные на установке ЦИКЛ-2, при реализации в эксперименте механизма циклического поперечного изгиба токопроводящих жил, исследуемого повива при симметричном цикле изгиба образца и выполнении условий эквивалентности ис173

пытаний показали, что экспериментальная зависимость числа разрушенных проволок в максимально разрушенной жиле от числа циклов изгиба n имеет вид, представленный на рис. 4.2. Заштрихованная область показывает рассеяние экспериментальных точек вокруг осредненной кривой работоспособности - 1. При задании одного числа циклов нагружения для серии образцов, рассеяние случайной величины p , удовлетворительно описывается усеченным логарифмически нормальным законом, так как он учитывает ассимптотические свойства функции распределения характеристик работоспособности, например, наличие верхней и нижней границ рассеяния числа разрушенных проволок в одной жиле. Дисперсия случайной величины p зависит от особенностей конструкции кабеля, а так же от уровня разрушенных проволок в жилах. Кривая - I (рис. 4.2) из трех участков, каждый из ρ,%,шт 1

ρ*

которых обладает своими феноменологическими и физическими закономерностями развития механизмов разрушения и характеризуется разной интенсивностью накопления числа разрушенных проволок. Характеристиками кривой являются так же величины: N кр - число циклов изгиба до разрушения 30 % (0,3 p * ) проволок в максимально разрушенной жиле, от общего их * числа в этой жиле p . Эту величину принято называть работоспособностью кабеля при циклическом изгибе, а соответствующий процент разрушения является критерием работоспособности; n0 - число циклов изгиба до момента разрушения одной проволоки в кабеле; nmax число циклов изгиба до момента разрушения всех проволок в максимально разрушенной жиле. Обработка экспериментальных данных методами математической статистики [120] показала, что для описания закономерностей развития механизма разрушения на участках кривой II и III (рис. 4.2) наиболее приемлемой моделью является степенная функция вида:

n = cp t

I

II

(4.1) Кривая работоспособности на участке III удовлетворительно апроксимируется линейной функцией вида:

III

n = ap + b

(4.2) Выбор границ интервала варьирования числа циклов нагружения n при испытаниях должен обеспечивать попа-

n=c⋅ρt

0.3ρ*

дание экспериментальных точек на соответствующие моделям (4.1) и (4.2) участки кривой работоспособности, то есть определяется границами изменения величины p

0.1ρ* 0 1

Nкр

c

n,цикл×104

n=a1⋅ρ+b1

n0

Для модели (4.1) интервал варьирования должен задаваться таким образом, чтобы величина p попадала в интервал с границами

p ∈ [0,03 p * ; p * ] , для модели (2) -

p ∈ [0,2 p * ; p ] Определение значений n

Рис. 4.2. Область экспериментальных точек вокруг осреднённой кривой работоспособности - I.

174

, требуемых для

получения экспериментальных точек, соответствующих этим условиям, проводилось методом последовательных ориентированных оценок, который является наиболее при175

емлемым и надежным в условиях отсутствия простых и надежных методов неразрушающего контроля степени разрушения проволок в жилах в процессе испытаний без разборки образцов. Этот метод дает большой процент неудач, до 30-50 % при определении требуемого числа циклов для первого образца. Проблема "первого образца" может быть решена разработкой метода слежения за падением динамической жесткости в процессе испытаний с ростом числа циклов на основе осцилографирования концевых моментов по концам образца при постоянных углах их поворотов. Так как процесс разрушения проволок в жилах приводит к падению жесткости, то задача сводится к нахождению связи падения изгибающего момента в процентах к первоначальному с ростом числа разрушенных проволок в жилах. Исследования показали, что при определении значения N кр по уравнению эмпирической кривой регрессии модели (4.1) для того, чтобы относительная ошибка такой оценки работоспособности с вероятностью P = 0,95 не превышала 5-15 % достаточно испытать 15-20 образцов кабеля в идентичных условиях с равномерным варьированием числа циклов нагружения внутри соответствующих этой модели границ. При определении значения N кр по уравнению модели (4.2) для того, чтобы ошибка такой оценки с вероятностью Р = 0,95 не превышала 15-30 % достаточно испытать 5-8 образцов с заданием числа циклов нагружения внутри интервала варьирования, соответствующего этой модели. Для исследования закономерностей развития механизма разрушения кабеля и отыскания аналитической связи их с параметрами конструкции и параметрами деформации необходимо использовать модель (4.1), так как она позволяет с достаточной для этой цели точностью оценивать характеристики теоретической кривой работоспособности. При сравнительных испытаниях гибких кабелей по работоспособности достаточным является использование модели (4.2), что позволяет снизить полное время и стоимость испытаний примерно в 3 раза по сравнению с методикой, использующей модель (4.1).

176

4.5.1. Подготовка образцов По длине гибкого кабеля, прошедшего приемосдаточные испытания, вырезается требуемое количество образцов одинаковой длины: L = z + 2 a , где a - длина для закрепления одного конца образца в захвате, z - длина зоны деформации, равная расстоянию между захватами, выбирается равной Н, 0,5 Н, 1,5 Н, 2 Н в зависимости от выбранного для реализации в эксперименте механизма нагружения исследуемого повива токопроводяших жил с шагом скрутки Н. На оболочку каждого образца наносится разметка концов образца длиной a и линия вдоль оси образца, связанная с ориентировкой положения токопроводящих жил в сечениях образца. Образец вставляется в захваты и закрепляется в них с учетом требуемых условий обжатия для реализации выбранного механизма нагружения токопроводящих жил исследуемого повива. Расстояние между захватами должно быть равно z и линия ориентировки в зависимости от принятых условий испытаний должна находиться под определенным углом к плоскости изгиба образца или совпадать с ней.

4.5.2. Задание параметров циклического изгиба образца Для моделирования при испытаниях определенных условий эксплуатации или исходя из других требований к испытаниям выбирается степень деформации изгиба образца С и коэффициент асимметрии К. Степень деформации должна задаваться по формуле: c = r / R и выбираться в пределах: I/C = (1/10 – 1/40), под коэффициентом асимметрии понимается отношение максимального угла поворота конца образца от горизонтального положения к минимальному K = θ max / θ min , где углы θ считаются отрицательными при изгибе образца выпуклостью вниз и положительными при его изгибе выпуклостью вверх. По выбранной степени деформации вычисляется требуемый радиус изгиба R = r / C , угол изгиба 2θ = z / R и угол поворота концов образца

θ , (рад). 177

Требуемая при этом амплитуда углов поворота концов образца определяется по формуле: ∆θ = 1 / 2(θ max − θ min ) = 1 / 2(θ − кθ ) , а размах углов поворота равен 2 ∆θ . Требуемый размах углов поворота концов образца в течение цикла устанавливается подбором соответствующей длины регулируемого кривошипа при закрепленном в захваты образце для выборки люфтов в механизмах привода и передачи. Углы поворота отсчитываются по лимбу, закрепленному на подшипниковой обойме и стрелке, установленной на захвате по оси образца. Для задания симметричных циклов изгиба, при К= - 1, установочным поворотом захватов относительно валов изгиба устанавливаются одинаковые углы поворота концов образца вверх и вниз относительно горизонтальной линии, соединяющей оси поворотов захватов. Для задания циклического изгиба образца с заданным коэффициентом асимметрии К установочным поворотом захватов относительно валов изгиба устанавливается начальный угол изгиба образца:

θ H = ∆θ ( K + 1) /( K − 1) при этом:

θ max = θ H + ∆θ ,

(4.3)

θ min = θ H − ∆θ )

Расстояние между верхними сторонами параллелограммов 19 с помощью зажимов 21 устанавливаются таким образом, чтобы при изгибе образца заданной длины при заданной амплитуде углов поворотов, параллелограммы 19 отклонялись от вертикального положения в обе стороны на одинаковые углы в течение цикла. Заданием определенных эксцентриситетов вращения захватов относительно валов изгиба возможно обеспечить неподвижность валов изгиба или неподвижность середины образца в одной точке плоскости изгиба в течение цикла. После задания требуемого количества циклов изгиба образец вынимается из захватов и подвергается разборке.

178

4.5.3. Составление паспорта испытаний В местах разрушения конструкции кабеля вычерчивается поперечное сечение с указанием: параметров деформации и числа циклов, ориентировки токопроводящих жил относительно плоскости изгиба, положения рассматриваемого сечения по длине зоны деформации, количества изломанных проволок в каждой жиле, мест и координат других разрушений: потертостей, проколов изоляции, оболочки, количества изломанных проволок в максимально разрушенной жиле. 4.5.4. Обработка экспериментальных данных После испытаний образца при заданном числе циклов нагружения n , разборки, подсчета количества разрушенных проволок и заполнения паспорта испытаний определяется требуемое количество циклов для испытания следующего образца, таким образом, чтобы величина p попадала в требуемый для выбранной модели (4.1)или (4.2) интервал. Для исключения грубых ошибок использовался метод браковки подозрительной пары ( n, p ) по сравнению с другими парами в момент получения аномального наблюдения и последующим повторным испытанием другого образца с заданием того же числа циклов. Параметры постулируемых моделей (4.1) или (4.2) определялись с помощью метода наименьших квадратов. Для модели (4.1) параметры с и t эмпирической кривой определялись с использованием аппарата линейного регрессионного анализа, после логарифмирования уравнения (4.1) и замены переменных для приведения степенной функции к линейной. Для проверки пригодности моделей для описания кривой работоспособности, проверялась адекватность моделей по

F -критерию Фишера, проверка значимости параметров линий регрессии: с , t , и a , b проводилась по t критерию Стьюдента 120]. В качестве оценки для дисперсии результатов испытаний использовалась дисперсия вокруг эмпирической линии регрессии. 179

После определения коэффициентов уравнений эмпирических линий регрессии (4.1) или (4.2) подсчитывалось по i этим формулам значение N kp или определялось графиче-

30

ски по кривым работоспособности построенных в координатах ( n , p ) или ( lg n, lg p ) (рис. 4.2, 4.3).

25

ρ,шт • • •

20

• •

•

lgρ

15

• •

10

1.6

•12 •3 •17 •7 13 •19 • •11 16••14 6 •10 •9 •15 •

1.2 0.8

1•

5 • •20

•

•2

• • •

5

• • •

0

•8

110

120

130

•

•• •

Nкр=140 цикл×103 140

150

160

• 18

0.4

•4

Рис.

0 5.1

5.12

5.14

5.16

Рис.4.3. Эмпирическая линия регрессии,

5.18

lgn

lg n = 0 , 063 lg ρ + 5 , 087 , и

границы 95% доверительной области для 2-го варианта.

Для оценки точности определения характеристик работоспособности по эмпирическим линиям регрессии соответствующих моделям (4.1) или (4.2) рассчитывались границы 95 % доверительной области для теоретических линий регi рессии. Сравнивались значения N kp , рассчитанные по уравнениям этих моделей со значениями на границах соответствующих доверительных областей и определялись абсолютные и относительные ошибки значений в сравнении с возможными фактическими значениями соответствующих теоретическим линиям регрессии.

180

4.4.

n = 122180 ρ

Эмпирическая кривая , для 2-го варианта.

работоспособности

кабеля,

0 , 063

4.6. Результаты сравнительных испытаний гибких кабелей для роботизированных комплексов на установке ЦИКЛ-2 По разработанной методике на установке ЦИКЛ-2 проведены лабораторные сравнительные испытания 13 опытных вариантов гибких кабелей для роботизированных комплексов (табл. 4.2), изготовленных в ТомНИКИ. Все варианты кабелей одного типа КГ×1,5мм2 изоляция и оболочка ПВХ, с токопроводящими жилами одинаковой конструкции, содержащей 30 медных проволок в одной жиле с пучковой скруткой проволок в жилу с одинаковым шагом. Целью испытаний являлось исследование комплексного влияния конструктивных особенностей вариантов на их работоспособность при циклическом симметричном изгибе и определение наиболее работоспособной из них. 181

Все варианты кабелей испытывались в эквивалентных условиях: 1 - при одинаковых климатических условиях, нормальной влажности и температуре 18-20 °С; 2 - симметричном цикле изгиба; 3 - с частотой циклов: 180 цикл/мин.; 4 - в условиях реализации циклического поперечного изгиба токопроводящих жил. Расстояние между захватами: z i = H i ; где H i - шаг

Таблица 4.2 Параметры конструкции кабелей марки КГ4 х 1,5 мм2, изоляция и оболочка ПВХ, и параметры изгиба на установке ЦИКЛ-2 Конструктивные осоУгол РадиРадиус Шаг Диап/п № бенности изгиус повива скрутметр вар ба, β изгиr, мм ки кабеград. ба, R, жил, H ля, мм мм мм I 2

I Ia

10,2 10,2

75 75

2,0 2,0

51,2 51,2

42 42

скрутки жил варианта кабеля - i . Длина образца варианта кабеля: Li = H i + 2a , где a = 30 мм - длина одного захвата. Об-

3

2

11,6

67

2,5

64

30

жатие в захватах полное. 5 - степень деформации и

4

3

10,5

75

2,0

51,2

42

5

4

10,5

75

2,0

51,2

42

Минимальные радиусы изгиба образцов и амплитуда углов поворота концов образца β / 2 сведена в табл. 4.1;

6

5

12,5

75

2,0

51,2

42

6 - ориентировка токопроводящих жил в сечениях образцов всех вариантов по длине зоны деформации одинаковая: две жилы в сечении li = H i / 2 совпадают с верти-

7

6

10,5

75

2,0

51,2

42

8

7

10,6

75

1,6

41

52

9

8

11,6

75

1,6

41

52

10

8а

10,8

75

2,5

64

34

11

10

10,0

72

1,6

41

50

12

11

9,5

84

2,0

51

42

Без особенностей По общей скрутке смазка кремнеорганической жидкостью Комбинированная оплетка из медной проволоки и лавсана по изоляции жил По обшей скрутке оплетка из медной проволоки По обшей скрутке комбинированная оплетка из медной проволоки и лавсана Комбинированная оплетка из медной луженой проволоки и лавсана между двумя оболочками По обшей скрутке жил обмотка пленкой ПЭТ-Э По обшей скрутке обмотка металлизированной лентой, одна жила без изоляции По обшей скрутке обмотка пластификатором ПДФ с наполнителем шлифпорошком Двузслойная изоляция жил ПВХ-ПЭ Одна жила без изоляции Без особенностей

13

11а

9,5

75

2,0

51

47

Без особенностей

лась ς = 0,039(

I

ς

ς = ri / Ri = const и равня-

= 25.6) , что соответствует ς ' = D2 / d 2 ≈ 11

кальной плоскостью изгиба образца, две другие горизонтально ориентированы относительно ее. На каждый вариант кабеля испытывалось по 20 образцов в идентичных условиях с заданием разного числа циклов в пределах варьирования, соответствующих модели (4.1). После статистической обработки результатов испытаний построены эмпирические кривые работоспособности в координатах p , n , где p - количество разрушенных проволок в максимально разрушенной жиле, n - количество циклов изгиба образца. Определены значения для каждого варианта кабеля соответствующего 30 % разрушению проволок в максимально разрушенной жиле (рис. 4.3), (рис. 4.4).

182

183

Тип отказа всех вариантов: усталостный физический разрыв критического количества проволок в токопроводяших жилах в результате: I - циклического изменения кривизны токопроводяших жил; 2 - суммарного влияния усилий трения и сцепления по поверхности контакта элементов в результате их циклических сдвигов. Параметры механизма циклического нагружения токопроводяших жил в сечениях вычислены по (3.4), (3.5), (3.6), (3.7) и приведены в табл. 4.3. При сравнении вариантов кабелей с одинаковыми параметрами конструкции H i и ri , параметры механизма циклического нагружения токопроводящих жил во всех сечеi ниях образца совпадают, а критическое число циклов N kp - является функцией одного обобщенного параметра

ς -

условий на поверхности контакта жил между собой и оболочкой. Для этих вариантов исследовано влияние этого параметра на работоспособность кабеля при циклическом симметричном изгибе. При сравнении вариантов, отличающихся по параметрам i конструкции H i и ri , N kp - является функцией параметров N kp = F ( ∆, ∆K , ς , ε ) и исследовано комплексное влияние i

их на работоспособность конструкции. В процессе испытаний наблюдался разогрев образцов в середине зоны деформации до 35-40 °С. 4.6.1. Выводы и заключения по результатам испытаний В результате испытаний установлено следующее: 1) проволоки в жилах разрушаются преимущественно в середине образца, что связано с наличием в этом сечении максимальных сдвигов элементов и максимальной кривизны оси образца и следовательно максимальной амплитуды циклических нагрузок на проволоки; 2) горизонтально ориентированные, жилы, имеющие максимальный сдвиг в сечении по середине образца и амплитуду изменения кривизны их оси меньшую на порядок амплитуды изменения кривизны оси вертикально ориенти184

рованных жил, разрушаются более интенсивно, чем последние, не сдвигающиеся в этом сечении, что связано с влиянием на интенсивность разрушения усилий трения и сцепления по всем поверхностям контакта элементов; 3) установлено, что работоспособность вариантов полностью коррелирует с величиной сдвигов, амплитудой изменения кривизны осей токопроводящих жил (табл. 4.2), зависящих от параметров конструкции, и величиной усилий выдергивания элементов из образца, которая в свою очередь, зависит от особенностей конструкции вариантов: обжатия токопроводящих жил наружными слоями, площади контакта элементов, строения поверхности контакта, свойств контактирующих материалов и других факторов, определяющих величину усилий трения и сцепления на всех уровнях, где возможны сдвиги элементов. Чем меньше величины этих характеристик в совокупности, тем выше работоспособность варианта; 4) кривые работоспособности, построенные для всех ваti риантов имеют вид степенной функции ni = ci p и являются сопоставимыми, с коэффициентами подобия ci и ti , определенными в эксперименте (рис.4.4); 5) испытания подтвердили теоретический вывод о том, что в зависимости от величины усилий сцепления на разных поверхностях контакта сдвиги элементов конструкции могут реализовываться на разных уровнях: 1 на уровне контакта токопроводящей жилы с соседними элементами по изоляции жил; 2) на уровне контакта проволок с изоляцией токопроводящих жил. По следам потертостей элементов на этих уровнях наиболее отчетливо удалось проследить реализацию сдвигов: для варианта 5, 8 только на 2 м уровне; II(I), I - одновременно на двух уровнях; 2, 8 а, 7 - только на I м уровне; 6) испытания вариантов выявили влияние на работоспособность факторов, связанных с несовершенством технологического процесса изготовления вариантов, не позволяющие получить конструкции с требуемыми параметрами и характеристиками по поверхностям контакта элементов. Так, например, для варианта 8 а, для всех испытываемых образцов одна из токопроводящих жил не имела возможности свободно сдвигаться внутри трубки из полиэтилена. 185

Это нашло свое отражение в конечной работоспособности конструкции, оказавшейся в два раза меньше, чем у 2-ого варианта, каждая токопроводящая жила которого заключе-

№ вар.

Таблица 4.3 Параметры деформации токопроводяших жил в сечении l = Н/2 кабелей Количество Амплитуда измеНачальАмплитуда Отно циклов до нения кривизны ная криугла повосит. разрушения ТПЖ, мм визна рота плос30% провожил, кости деф. сдвиг горивертик. лок в максигоризонт жил, жил, зонт. K ЖН мм мально разжил, град. δ мм жил, ∆K В рушенной ε Г l / 2 ∆K жиле – работоспособность кабелей -

N i кр 1 1а 2 3 4 5 6 7 8 8а 10 11 11а

0,92 0,92 0,81 0,92 0,92 0,92 0,92 0,92 0,92 0,91 0,72 1,03 0,92

0,005 0,005 0,003 0,005 0,005 0,005 0,005 0,008 0,008 0,003 0,007 0,005 0,005

0,019 0,019 0,016 0,019 0,019 0,019 0,019 0,024 0,024 0,016 0,024 0,019 0,019

0,014 0,021 0,014 0,014 0,014 0,014 0,014 0,011 0,011 0,017 0,012 0,011 0,014

54,4 54,6 36,6 54,4 54,4 54,4 54,4 65,7 65,7 42,6 63,8 54,4 60,6

17000 35000 140000 40000 16000 17000 16000 75000 17000 70000 90000 32000 15000

на в индивидуальной комбинированный экран из медной проволоки и лавсана; 7) работоспособность конструкции определяется работоспособностью комплектующей токопроводящей жилы. Усилия взаимодействия ТПЖ по поверхностям контакта вследствие сдвигов только понижает их работоспособность, проявляющуюся в идентичных условиях их деформаций при условии полного отсутствия усилий сцепления и трения по поверхностям контакта с другими элементами. Так как полностью влияние усилий взаимодействия элементов в реальной конструкции не удастся устранить, для дальнейшего повышения работоспособности необходимо иметь токопроводящую жилу соответствующей работоспособности. 186

Для обеспечения этого, параметры конструкции токопроводящей жилы, необходимо изменить в следующих направлениях: 1) увеличить стойкость при изгибе проволок за счет их отжига и уменьшения диаметра; 2) упорядочить и облегчить работу проволок путем применения стренговой или правильной их скрутки при уменьшении и согласовании шага скрутки проволок и стренг в жилу с шагом скрутки токопроводящих жил таким образом, чтобы яти шаги были кратными; 8) при использовании токопроводящих жил определенной конструкции и стойкости к изгибу для повышения работоспособности конструкции кабеля в целом в данных условиях деформирования необходимыми направлениями регулирования параметров конструкции являются: - уменьшение величины абсолютных сдвигов элементов путем уменьшения шага скрутки токопроводящих жил в повив и уменьшения шага скрутки токопроводящих жил в повив и уменьшения радиуса повива, в результате последнего уменьшится и амплитуда изменения кривизны осей токопроводящих жил; - уменьшение величины относительных сдвигов токопроводящих жил между собой по поверхностям контакта, за счет увеличения числа токопроводящих жил в повиве, путем дробления каждой жилы на несколько жил; - оболочка или слои поверх повива должны обеспечивать постоянство геометрических параметров спиральной формы ТПЖ, для исключения дополнительных деформаций их осей; - для уменьшения влияния на напряженное состояние проволок в жилах усилий трения и сцепления по поверхностям контакта ТПЖ с соседними элементами, по всем поверхностям контакта каждой ТПЖ должна быть обеспечена максимальная их подвижность. Литература к главам 3,4 1. Акерберг В.Т. Метод ускоренной оценки надежности проволочной брони грузонесущих кабелей.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1976, вып. 3 (133), C.9-II. 2. Акерберг В.Т., Аристов А.И., Голуб Б.Н. Ускоренная оценка долговечности кабелей с проволочной броней, ра187

ботающих при перемотках. - Э.П., Сер. Кабельная техника, 1982, вып. 5 (207), С. 3-5. 3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропии оболочек.- М.: Наука, 1974. - 324 С. 4. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов.- М.: Машгиз, 1962, 455 С. 5. Анисимов А.А., Ларин Ю.Т., Муравьев В.И., Орлова Т.И. Ленточные кабели и материалы для их изготовления.Э.П., Сер. Кабельная техника, 1972, вып. 6 (88), С.18. 6. Айнбиндер СБ., Тюнина Э.А. Введение в теорию трения полимеров. - Рига, Зинатне, 1978, 224 С. 7. Багелис Д.С., Белорусов Н.И., Саакян А.Е. Электрические кабели, провода и шнуры. - М.: Энергия, 1971, 704 С. 8. Бекерский В.И. Применение канатов на судах и в портах.-М.: Транспорт, 1986, 152 С. 9. Белоус П.А. Сравнительная пригодность теорий течения и старения для оценки релаксации напряжений в стальных канатах.-Одесса, 1985, рукопись деп. ВИНИТИ, 730-УК-85 Деп., 36 С. 10. Берт И. Механические испытания композитов. В кн. Ком~ позитные материалы. Под ред. Браутмзн Л., Крок Р., т.8, ч.2. Анализ и проектирование конструкций. Ред. Чамис К.-"Мир", 1978, С.81-138. 11. Бидерман В.Л., Шитиков В.Н. Растяжение и кручение ленточных цилиндрических пружин при больших перемещениях. Изв. АН СССР, М.Т.Т., № I, I972, С.76. 12. Бикбаев Р.С. Расчет на прочность при растяжении элементов многопроволочных жил и многожильных кабелей.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1974, вып. 7 (ИЗ), С.5 . 13. Бирюкова И.А. О деформациях внутреннего проводника в кабелях с пластмассовой изоляцией под действием внутренних напряжений. - Э.П., Сер. Кабельная техника, 1969, вып.57, С.8. 14. Биргер И.А. Остаточные напряжения.- М., 1963, 232 С. 15. Благонадежин В,Л., Воронцов А.Н., Баранов А.В. Метод удаляемых элементов для экспериментального исследования остаточных напряжений в оболочках вращения из композитных материалов. Механика полимеров, 1978, №6, C.III2-III5. 188

16. Блехман И.И. Метод прямого разделения движений в задачах о действии вибраций на нелинейные механические системы.-Изв. АН СССР , Сер. Механика твердого тела, № 6, 1976, С.13-17. 17. Боев М.А., Брагинский Р.П. Методика определения долговечности и сохраняемости кабелей и проводов.- Э.П. Общеотраслевые вопросы, 1982, № 10 (521), С.10-12. 18. Болотин В.В., Гольденблат И.И., Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. Изд. лит. по стр-ву.- М., 1972, 192 С. 19. Болотин В.В., Воронцов А.Н., Мурзаханов Р.Х. Анализ технологических напряжений в намоточных изделиях из композитных материалов на протяжении всего процесса изготовления.- Механика композитных материалов, № 3, 1980, С.500-505. 20. Брагинский Р.П., Моисеев Ю.В. О роли физических процессов при старении полиэтилена,- ДАН СССР, 1984, т.271, № 5. 21. Брагинский Р.П., Дашевская С.С, Пешков И.Б. Прогнозирование долговечности проводов и кабелей.- Электротехника, 1982, № 2, С.53-56. 22. Ванюков В.И., Раров А.Н., Фролов В.Г., Якушин Ю.В. Исследование сил натяжения, возникающих в токопроводящих жилах кабелей управления.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1980, вып.6 (184), С.2-4. 23. Венкский М.Н., Стратенков Л.И., Тюрин А.В. О рациональном конструировании токопроводяших жил силовых кабелей,- Э.П., Сер.Кабельная техника, 1978, вып.1 (131), С.4-6. 24. Вильган В.Н., Коршунов В.Н., Ляхов Ю.В., Пекел Е.С., Механические характеристики гибких экранированных проводов.-Э.П., Сер. Кабельная техника, 1976, вып. 7, C.I. 25. By Э. Феноменологические критерии разрушения анизотропных тел.- В кн.: Композиционные материалы.Под ред. Браутман Л., Крок Р., Т.2. Механика композиционных материалов. Ред. Сендецки Дне.- М.: Мир, 1978, С.401-491. 26. Ганусевич Е.К. Оценка долговечности гибких кабелей.-- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1972, вып.З (83), С.22-23.

189

27. Ганусевич Е.К. Методика расчета интеграла разрушения проволочных конструкций.-Электротехника, М.:Энергоатомиздат, 1983, № 7, С.74-75. 28. Ганусевич Е.К., Медведский Э.М. Прибор для определения жесткости гибких кабелей. - Э.П., Сер. Кабельная техника, 1968, вып.52, С.13. 29. Ганусевич Е.К., Реут Л.В. Статические и усталостные свойства проволоки из цветных металлов.- Труды ТомНИНКП, T.I, М.: Энергия, 1969, 339 С. 30. Городецкий С.С., Лакерпик P.M. Испытания кабелей и проводов. - М.: Энергия, 1971, 272 С.1 31. Глушко М.Ф. Стальные подъемные канаты.- Киев, Техника, 1966, 136 С. 32. Глушко М.Ф., Чурюкин В,А. Статистическое моделирование упруго-пластического деформирования и разрушения канатов,- Челябинск, 1985, рук. депонирована в ВИНИТИ, № 7276-85 деп., 20 С. 33. Глушко М.Ф., Малиновский В.А. Дополнительные усилия в элементах стального каната при набегании на блок,Магнитогорск, 1984, 2796-1984, Деп. в ВИНИТИ, 31 С. 34. Глушко М.Ф., Малиновский В.А., Шигарина Л.И., Канонен-ко Л.А. Нелинейные уравнения равновесия прямого каната.- Прикл. механика, 1979, № 12, С.127-129. 35. Гончаров В.Н., Коваленко Б.И., Кучеров Л.М. и др. Устройство для передачи коммуникаций от неподвижного к перемещающемуся объекту. Авт. свид. № 242997, Бюлл, № 273, опубл. 5.06.6Э. 36. ГОСТ 13497-77. Кабели силовые гибкие на напряжение 660 В. Технические условия. 37. ГОСТ 10694-78. Кабели шахтные гибкие экранированные марки ГРШЭ. 38. ГОСТ I2I82.0-80-I2I482.8-80. Кабели, провода, шнуры. Методы проверки стойкости к механическим воздействиям. 39. ГОСТ 16962-71. Изделия электронной техники и электротехники. Механические и климатические воздействия. Требования и методы испытаний. 40. ГОСТ 27.002-83. Надежность в технике. Термины и определения. 41. ГОСТ 269-62. Определение прочности связи резины с металлом. 190

42. ГОСТ 12182.1-ГОСТ I2I82.8-7I. Методы проверки стойкости к механическим воздействиям кабеля и проволок для подвижных электроустановок. 43. Гузь А.Н. К теории композитных материалов с начальными напряжениями.- В сб. "Механика деформируемых тел и конструкций", М.: Машиностроение, 1975, С.140-148. 44. Деранже A.M., Кротов В.П., Повеличенко А.П. Определение степени неуравновешенности кабелей для геофизических исследований. Э.П., Сер. Кабельная техника, вып.5 (I7D, 1979, С.4-6. 45. Деранже A.M., Повеличенко А.П. Определение допустимого износа грузонесуших кабелей.- Электротехника, Энергоатомиздат, 1984, № 12, С.32-34. 46. Деранже A.M., Кротов В.П., Повеличенко А.П.,Рясцов Ю.А. Расчет натяжения грузонесуших кабелей для геофизических исследований.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1976, вып.5(135\С.З-6. 47. Деранже A.M., Повеличенко А.П. Условия работоспособности несущей части грузонесущих кабелей.- М.: Электротехника,1985, № I, С.47-50. 48. Динник А.Н. Новости по подъемным машинам. - В кн.: Статьи по горному делу. М.: Углетехиздат, 1957. 49. Ефремов И.Н., Мамаев Л.М., Раров В.Н., Фролов В.Г. Расчет механических напряжений в кабелях, покрытых упругими оболочками. - Э.П., Сер. Кабельная техника, I960, вып.7 (185), С.2-3. 50. Ефремов И.Н., Мамаев М.М., Ропай В.А., Фролов В.Г. Расчет конструкций растягивающихся кабелей.- Э.П.,Сер. Кабельная техника, 1979, вып. 8 (174), С.6-7. 51. Золотарев И.О. Исследование кручения канатов при растяжении.- Исследования по строительной механике и строительным конструкциям. Челябинск, 1985, I07-III, РЖ, 16, Механика, № 8, 1986. 52. Ивановский В.М., Мостовой О.Г.- К вопросу о кручении каната-кабеля. Инст-т геотехн. механики, АН СССР, Днепропетровск, 1985, 8 с. Деп. 29.05.85, № 3740-85. Деп. в ВИНИТИ. 53. Кабели для башенных кранов,- Э.П., Сер. 7, Кабельная техника, 1974, вып. 10 (116), С.21. 54. Кабели шахтные для бурильного инструмента,- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1974, вып. 20 (116), С.21. 191

55. Кабели для ручного электроинструмента.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1978, вып. I (155), С.6. 56. Калиниченко П.М., Козовый СИ. Методика определения параметров вторичной деформации проволок при свивке нераскручи-ваюшихся спиральных канатов.Стальные канаты, вып. 9, Техника, 1972, С.150-153. 57. Караваев Ю.А. Определение усилий, необходимых для изгиба и последующего выпрямления силового кабеля.Э.П., Сер, Кабельная техника, 1976, вып.3(133), С.1-5. 58. Качанов Л.М. Основы механики разрушения.-М.: Наука, 1974, 312 С. 59. Карпинос Д.М., Тучинский М.И., Вишняков Л.Р. Новые композиционные материалы.-Киев, Виша школа, 1977, 312 С. 60. Кевролева К.М., Иванишинов П., Олеар М.Г., Таразано-ва Т.П. Новые конструкции гибких кабелей управления. Труды ТомНИИКП, вып. I, M.: Энергия, I960, С.120-126. 61. Качаев В.П., Махутов Н.А., Гусенков А.П. Расчеты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность.Справочник. М.: Машиностроение, 1985, 224 С. 62. Ковешников М.П. Технический уровень отечественных кабельных изделий бытового назначения, пути и перспективы его повышения. Труды ТомНИИКП, вып. I, М.:Энергия, 1969, С.95-112. 63. Композиционные материалы. Разрушение и усталость.-М.: Мир, 1978, 483 С. 64. Коффин Л.Ф. Циклические деформации и усталость металлов.- Пер. с англ.- М.: Изд-во иностр.лит., 1963, С.257-272. 65. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Камбалов B.C. Основы расчетов на трение и износ- М.: Машиностроение, 1977, 257 С. 66. Кранихфельд Л.И., Рязанов И.Б. Теория, расчет и конструирование кабелей и проводов.- М.: Высшая школа, 1972, 384 С. 67. Кремнез А.С, Рязанов И.Б. Расчет механических напряжений и деформаций в оптических волокнах, вызванных внешними воздействиями.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1982, вып.2 (204), С.7-10. 68. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических изделий.М.: Машиностроение, 1976, 232 С. 192

69. Ларин Ю.Т., Лисицын СБ., Семенов Н.А., Сучков В.Ф. Деформация при изгибе осесимметричного оптического кабеля с закрепленными в демпфере световодами.-Сб. научн.тр. Исследование кабельных изделий и технология их производства. Новые материалы для изоляции проводов и кабелей.- М.: Энергоатомиздат, 1984, С.35-39. 70. Лепетов В.А., Юрьев Л.Н. Расчеты и конструирование резиновых изделий. - Л.: Химия, 1977, 408 С. 71. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.- М.: Наука, 1977, 4Г6 С. 72. Максак В.И. Предварительное смещение и жесткость механического контакта,- М.: Наука, 1975, 60 С. 73. Мамаев Л.М., Ропай В.А., Фролов В.Г., Яшенко В.П. Продольная жесткость растягивающихся кабелей. - Э.П., Кабельная техника, 1979, вып. 9 (175), С.1-2. 74. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет конструкций на прочность.- М.: Машиностроение, 1981, 272 С. 75. Месенжик Я,3. Проблемы увеличения срока службы и улучшения электрических параметров передачи грузонесущих геофизических кабелей,- Труды ВНИИКП, 198Г, вып. 23, С.99-ИЗ. 76. Махутов Н.А., Бурак М.И., Гаденин М.М. и др. Механика малоциклового разрушения. - М.: Наука, 1986, 88 С. 77. Мокряк С.Я. Анализ напряженного состояния спирально-анизотропных конструкций при растяжении.- В сб. Вопросы механики и прикладной математики. Томск, изд-во Томск, ун-та, I98I,C.I7-2C 78. Мокряк С.Я. Исследование напряженнодеформированного состояния спирально-анизотропных стержней. - Автореф. дис. канд. техн. наук. Рига, 1981, 19 С. 79. Москвитин Б.В. Циклические нагружения элементов конструкций.- М.: Наука, Главная редакция физикоматемат.лит-ры, 1981, 344 С. 80. Мусалимов В.М., Соханев Б.В., Дворников В.А. Некоторые вопросы механики кабельных конструкций,- В кн.: Исследования по строительным конструкциям и фундаментам. Изд. ТГУ, Томск, 1979, С.58-66.

193

81. Мусалимов В.М., Соханев Б.В., Мокряк С.Я. Элементы механики кабельных конструкций.-Томск:Изд-во Томск.унта, 1981,120 С 82. Мусалимов В.М., Соханев Б.В. Механические испытания гибких кабелей.-Томск:Изд-во Томск, ун-та, 1984, 63 С. 83. Шиянов В.Д., Соханев Б.В., Мусалимов М.М., Соханев М.Б. Методы и устройства оценки работоспособности гибких кабелей. Тезисы докладов. УП национальная научнотехническая конференция “Элизот-кабель'68'”: НРБ, Варна, 1988.- C.I04-I06. 84. Мусалимов В.М., Мокряк С.Я., Соханев Б.В., Шиянов В.Д. Определение упругих характеристик гибких кабелей на основе модели спирально-анизотропного тела.- Механика композиционных материалов. 1984, № I, C.I36-I4I. 85. Мусалимов В.М., Соханев Б.В., Шиянов В.Д. Устройство для испытания гибких образцов на усталость. - А.С. (СССР) № I27867I, опубл. в Ш., 1986, № 46. 86. Мусалимов В.М., Соханев Б.В. Исследование конструкционного демпфирования в кабелях.- Э.П., 1984,вып.4 (230), С.13-14. 87. Мусалимов В.М., Смолина И.Ю., Швецов М.А. Некорректные задачи определения упругих характеристик тел с криволинейной анизотропией. - 1984, Тбилиси, П Всесоюзн. конференция по теории упругости. Тезисы докладов, С.198-199. 88. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966, 708 С. 89. Надежность кабелей и проводов для радиоэлектрони ной аппаратуры. Под ред. Л.И.Кранихфельда И.Б.Пешкова. - М.: Знергоиздат, 1982, 200 С. 90. Нехтман А.А. Расчет судовых кабелей. - Э.П., Сер. Кабельная техника, 1974, вып. 5 (III), C.3. 91. Нехтман А.А. Расчет числа проволок в пряже оплетки герметизированных кабелей,- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1976, вып. 2 (132), C.I. 92. Нехтман А.А. Определение допустимого радиуса изгиба герметизированного кабеля.- Э.П., Сер. Кабельная техника, 1978, вып. 3 (157), C.I. 93. Новожилов В.В., Рыбакина О.Г. О перспективах построения критерия прочности при сложном нагружении.194

Докл. на Ш совещании по механическим вопросам усталости.- М.: АН СССР, 1966. 94. Отчет о НИР. Исследование напряженного состояния многожильных кабелей в условиях эксплуатации. Днепродзержинск, Индустриальный институт, 1981, № гос. регистр. 750150030. 95. Пешков И.Б. Новые направления в разработке методов определения ресурса кабелей и проводов.- Электричество. Энерго-атомиздат, 1985, 24, С.8-Ю. 96. Пономарев С.Д. Расчет и конструкция витых пружин.-М.: ОНТИ, 1978, 350 С. 97. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. - II.: Машиностроение, 1980, 326 С. 98. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней.-М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат.лит., 1986, 296 С. 99. Попов Е.П. Методы проектирования витых пружин с криволинейной характеристикой. - В сб. Динамика и прочность пружин.-М.: Изд. АН СССР, 1950, С.129-187. 100. Прочность, устойчивость, колебания. Под общ.ред. А.И.Биргера и Я.Г.Пановко. Справочник в 3-х томах.- М.: Машиностроение, 1968. 101. Публикация МЭК № 540. 102. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. - М.: Наука, 1977, 180 С. 103. РД 16.009-83. Кабели силовые гибкие на напряжение 660 В. Методика прогнозирования срока службы по результатам ускоренных испытаний на изгиб. 104. Реут Л.З. Исследование циклической прочности жил при кручении сложных конструкций. - Труды ТомНИИКП, вып.1,-М.: Энергия, 1968, 317 С. 105. Реут Л.З. Некоторые вопросы теории скрутки гибких кабелей. Труды ТомНИИКП, вып. 2.-М.: Энергия, 1969, С.525. 106. Реут Л.З. Влияние шагов скрутки жил на их циклическую прочность при кручении кабеля. Труды ТомНИИКП,М.: Энергия,1979. 107. Ржаницын А.Р. Теория ползучести.- М.: Стройиздат, 1967, 418 С. 108. Ржаницын А.Р. Теория составных стержней строительных конструкций.-М.:Стройиздат, 1948, 192 С. 195

109. Ржаницын А.Р. Основы теории упруго-вязких моделей.-В сб. Строительная механика.- М.: Изд-во лит-ры по стр-ву, 1966, С.345-354. 110. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. -М.: Стройиздат, 1967, 418 С. 111. Рюдзи Канэкс. Срок службы кабелей высокого напряжения.-От Дэнка дзасси, 1979, 60, № 5, С.65-69. 112. Сергеев С.Г. Стальные канаты.-Техника,1974,328 С. 113. Соханев Б.В. Исследование процесса активного упругого спиралеобразного гибкого кабеля.- Дис.канд. техн.наук. Новосибирск, СО АН СССР, 1982, 171 С. 114. Соханев Б.В., Соханев М.Б., Мусалимов В.М. Упругофрикционное взаимодействие элементов конструкции гибкого кабеля. Том. инж.-строит, ин-т.- Томск,1986, 102 С. Деп. в ВИНИТИ 16.12Л № 8569-В. 115. Соханев Б.В., Шиянов В.Д. Параметры скрутки и механизмы разрушения. - Э.П., Изделия, материалы, технология. Отечественный производственный опыт.Экспрессинформ.,М.,1987, вып.3(15) C.11-12. 116. Соханев Б.В., Шиянов В.Д., Соханев М.Б. Об эквивалентности испытаний кабелей на изгиб относительно сдвигов.ТомНИЖП-Томск, 1986, 5 С. Деп. в Информэлектро, 30 октября 1986, № 560-ЭТ, 1987, № 2, 19 С. 117. Соханев М.Б, Работа усилий трения по поверхности контакта элементов одноповивного гибкого кабеля при деформациях изгиба. В сб. Исследования по строительной механике и строительным конструкциям, Томск, изд-во Томск, ун-та, 1989, С.120-132. 118. Соханев Б.В., Соханев М.Б., Мусалимов В.М., Шиянов В.Д. Устройство для испытаний гибких образцов на циклический изгиб. Решение Госкомитета СМ СССР по делам изобретений и открытий от 28.09.88 по заявке № 4334636 о выдаче авторского свидетельства на изобретение. Приор, от 28.09.87. 119. Стандарт СЭВ 2126-80. Кабели, провода и шнуры. Методы проверки стойкости к многократному перегибу. 120. Степанов М.Н. Статистические методы обработки результатов механических испытаний: Справочник.- М.: Машиностроение, 1985, 232 С. 121. Сычев Л.И., Реут Л.З. Шахтные гибкие кабели. - М.: Недра, 1971, 192 С. 196

122. Сэцуя Иссико, Кандзу Кимура, Мицир Ивата. Расчет срока службы кабелей.- ОМ. Дэнка дзасси. 1973, 60, № 5, С.60-64. 123. Тернер С. Механические испытания пластмасс. М.: Машиностроение, 1975, 176 С. 124. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров.- М.: ИЛ, 1963, 107 С. 125. Филатов В.Г. Шахтные испытания автоматического укладчика АК-1.-"Уголь Украины", 1966, № 2, С.15. 126. Филин А.П. Алгоритм построения матрицы при расчете произвольных пространственных рамных с жесткими контурами систем методом сил. - В сб.: Строительная механика. М., изд-во лит. по строит., 1966, C.I8I-I87. 127. Филин А.П. Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость. - Сб. статей. Под общ.ред. А.П.Филина, Л., Стройиздат, Ленингр. отделение, 1973, ЛИИЖТ, 258 С. 128. Филин А.П. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем. Филин А.П., Танайко О.Д., Чернева И.М Шварц М.А. - Под ред. А.П.Филина.- Л.': Стройиздат, Ленингр. отдела ние, 1983, 232 С. 129. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композитных материалов. - Пер. с японск,- М.: 1982, 232 С. 130. Фукабори Е. Механика разрушения резин и других высокомолекулярных материалов. - Нехон Гому Кёкайси, 1977, Т.50, № 6, С.66-79. 131. Черепанов Г.П. Механика разрушения композитных материалов.- М.: Наука, 1983, 296 С. 132. Чернин И.В. Колебания и демпфирующие свойства гибких кабелей. Автореф. дис. канд. техн.наук.- Томск: Том.политехи, ин-т, 1987, С.18. 133. Шахназарян Э.А. Растяжение и кручение витых проволочных систем ВПС- Докл. АН СССР, Т.286, № 6, 1986, C.I337-I340. 134. Шахназарян Э.А., Мамаев Л.М. К вопросу о геометрических уравнениях деформации прямого кабеля каната.В сб. Стальные канаты, № 6, Киев, Техника, 1968, С.6-10. 135. Шиянов В.Д. Методика и устройства ускоренной оценки долговечности гибких кабелей. Автореф. дис.канд.техн.наук.-Томск: Том.политехи, ин-т, 1987, 16 С. 197

136. Шиянов В.Д,, Мусалимов В.М., Соханев Б.В. Непрерывный контроль жесткостных характеристик как фактор оптимизации технологического процесса изготовления гибких шланговых кабелей.- В кн.: Новое технологическое оборудование, современные средства автомат, каб. пр-ва, Бердянск, 1984, С.23-29. 137. Шиянов В.Д., Соханев Б.В., Бахмутова Л.А., Соханев М.Б., Мусалимов В.М. Устройство для испытаний на изгиб образцов кабельных изделий. - А.С. (СССР) № 1397796, опубл. в Б.И., 1988, № 19. 138. Эпштейн СМ. Конструкционная вязкость и устойчивость систем сопряженных стержней под действием переменных сил. Автореф дис.канд.техн.наук.Томск: Том.политехи, ин-т, 1987, 19 С. 139. Bazzaro Enrico. Note Sulpoblema della determi. – nazione del modulo elastico di fune trefoli. H. Progtista industriale, 1985, №1, p.40-48. 140. Blanarik Miroslav. Uplur dlzky skrutuzilo kabli na zivotnost drotov jadier pri cyklicom ohybovom namahani kablov. – Elektroizol a kabl techn., 1985, 38, №1-2,105-114. 141. Drucker D.C., Tachau H.A. A new dezing criterion for wife rope. – Journal of Applied Mechanico, 1945, Mardi, p. a 34-a 38. 142. Franke L. Lebens daner vocaussage bei Betriebsbeanspruchungen mit Hilfe konstanter Ersatz – schwingbreitch. – Baningenieur, 1986, 61, №3, s141-143, a8 143. Gabriel K. On the fatigue strenght of wires in spiral ropes. – Trans. ASME: J. Energy Resour Technol., 1985,107, №1, p. 107-112. 144. Huang N. C. Finile Extension of an Elastic strand with a Central Core. – ASME Journal Applied Mechanics, vol.12, 1978, p.852-857. 145. Hearle J. W. S. and Konopasik M. on unified approaches to twisted yarn Mechanics. – Appl. Rolym. Sump., 1975, 27, 253-257-273. 146. Hearle J. W. S., Grosborg P. and Bocker. Struktural Mechanics of fibers. – Garns and Fabrics, v.1, chapter 4. Willy New York, 1969. 147. Heid, Klays – Ditel. Zur Bestimung der Krafte in Litzen – drahten. – Draht, 1982,33,5,p.398-401. 198

148. Hahn Gerald J., Nelson Wayne. Graphical analysis of incomplete accelerated life test data. – Insul. Circuits, 1971, 17, № 10, p.70-84. 149. Hueng N. E. Finite extension of an elastic with a central core. – Journal of Applied Mechanics, 1978,December, v.45, p.852-858. 150. Jones N. Elastic – plastio and viscoalastic behaoior of a continuos filament yarn. – Int. J. Mech. Sci.,1974, 16,9, p. 679-678. 151. Kelly A. The strengthening of metal by dispersed particles – Prac. Roy. Soc.,1964, ser. a, v. 282, p. 63. 152. Kelly A. Interface effects and the work of fracture of a fibrous composite. – Proc. Roy. Soc., 1970, ser. A., v.319, p. 95. 153. Kunch T., Lcech C. M. Curvature effect on contact position of wire strends.- Int. J.Mech. Sci.,1985. 154. Levy Robert. Mechanical analysis of pipe tipe cable under TMB. – JEEE Transaction on Power Apparatus and Systems, 1982, v. pas-101, № 7, p. 1349-1854. 155. Lyle R., Kirkland J. W. An accelerated life test for evalyating pover cable insulation. JEEE Trans. Power Appar. And Syst. Discuss., 1981, 100, № 8, p. 3764-3772, p. 37733774. 156. Leuches O. Wickelbestandigkeit von PVS – unhullten Adern und Leitungen in der Kalte. – GAK 4/1981, Jahrgang 34, p. 212-218. 157. Lanteigne J. Theoretical estimation of the response of helically armored cables to tension, torsion and bending. – Tran-s ASME: J. Appl. Mech., 1985, 52, № 2, p.423-432. 158. Thwaites J.J. The elastic deformation of a rod with helical anisotropy. – Int. J. Mech. Sci., 1977, 19, 3, p.161169. 159. Nenson Wayne. Analysis of accelerated life test data. Part 1. The Archenius model and graphical methods. JEEE Trans. Elec. Insulant., 1971, 6, № 4, p. 165-181. 160. Ross E. A. Resilient Foldable woven electrical cable and Mehod. – Jnt. Cl. H 01 b 7/06, U.S.Cl., p.174-69. 161. Shechert D. G. Rubber Age. 1954, v. 76, № 3, p. 416453.

199

Настоящая монография отражает одно из направлений работ кафедры мехатроники, связанных с проектированием чувствительных упругих элементов приборов и оценкой их долговечности. Так, например, на основе теории спирально-анизотропных стержней были даны рекомендации по повышению чувствительности упругих подвесов магнитометров (2002-2003 г.г.). Был также определен ресурс упругих подвесов микромеханических гироскопов (2001 г.). Была развита экспериментальная база по механическим испытаниям гибких элементов конструкций, получены десятки авторских свидетельств. В 2005 г. был получен патент на установку, которую по праву можно назвать мехатронной, так как она создана на базе мехатронных технологий: она оснащена оптико-механическими датчиками, пакетом прикладных программ, позволяющим вводить в компьютер экспериментальные данные и в реальном режиме времени вести обработку этих данных. Более того, эта установка используется в учебных целях. Здесь речь идет об установке «Трибал», которая предназначена для исследования контактного фрикционного взаимодействия гибких упругих элементов конструкций. Эта установка построена силами студентов и аспирантов кафедры. Назову их имена: Бордиловский Сергей, Аникеенко Алексей, Ларичкин Михаил. Новейшее оснащение позволило уже получить нетривиальные результаты, - был, например, установлен бифуркационный характер фрикционного контактного взаимодействия гибких элементов конструкций. Эти результаты были представлены на Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Варшава, Польша, 2004 г.) и Международной конференции по нелинейной динамике (Абердин, Великобритания, 2005 г.). Обстоятельный доклад о результатах был сделан на кафедре мехатроники Технического университета Ильменау (Германия) в 2004 году. Ряд фрагментов работы был доложен в ИПМаш РАН и СПбГУ ИТМО. Темы дипломных работ, а также квалификационных работ бакалавров и магистров кафедры во многом определялись рамками направления темы монографии и направлением подготовки специалистов высшей квалификации по специальностям: динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры; механика деформируемого твердого тела. В том, что кафедра мехатроники ведет подготовку специалистов и по данному направлению, нет ничего противоестественного. Ведь история кафедры начиналась с механиков. Первое упоминание о прародительнице кафедры МТ содержится в приказе № 18 от 03.10.1930 г. по Учебному комбинату точной механики и оптики: доцент Замыцкий Н.Н. назначен с 1.10.1930г. зав. кафедрой «Детали машин» института точной механики и оптики. Сведения о зав. кафедрой деталей машин Замыцком Николае Николаевиче (1890-1953) весьма скудны. Он окончил Петроградский технологический институт имени Императора Николая I со званием инженера-технолога в 1917 г. Преподавал в Ленинградском индустриальном техникуме и Техникуме точной механики и оптики (1926-1930). В ЛИТМО Николай Николаевич заведует кафедрой деталей машин (1930-1943). Согласно приказу № 12 от 15.02.1931 г. по Учебному комбинату ТМиО в связи с реорганизацией института объявлен новый штат преподавателей: Н.Н. Замыцкий назначен и.о. профессора кафедры сопротивления материалов и деталей машин. Даты объединения кафедр установить не удалось, однако в 1932/1933 уч. году на кафедре

200

работали преподаватели Танский А.В. и Зильберман В.Л. Объединение кафедры деталей машин и кафедры сопротивления материалов было недолговечным. Согласно приказу № 96 от 01.07.1934 г. кафедра сопротивления материалов и деталей машин снова разделяется на две. При этом зав. кафедрой сопротивления материалов назначен проф. Ягн Ю.И. (18951977), а и.о. зав. кафедрой деталей машин проф. Замыцкий Н.Н. Эта информация представляется вдвойне важной. Во-первых, среди первых основателей оказывается крупный специалист в области сопротивления материалов и строительной механики Ю.И. Ягн, известный многочисленными научными трудами и многолетней плодотворной учебно-педагогической работой. Ю.И. Ягн был автором ряда изобретений, касающихся методов испытания материалов, связанных с изменением объема без изменения формы в процессе деформации. Во-вторых, что гораздо важнее, в процессе слияния и разделения кафедр, в 30-х годах уже была в нашем институте кафедра, занимавшаяся деталями и узлами машин в тесной связи с проблемами прочности, теориями и критериями разрушения, - именно эта исходная связь во многом привела нас к мехатронике. Итак, в начале 30-х годов мы видим первый всплеск интеграции учебных и научных дисциплин на одной кафедре. Нельзя не упомянуть о работе в ЛИТМО крупнейшего ученого в области механики Николая Иоасафовича Колчина (1894-1975). В 1944-1945 годах он был профессором кафедры технологии приборостроения, а в 1945-1947 годах – заведующим кафедрой деталей машин. Важнейшее обстоятельство, обусловившее сильнейшее влияние Н.И. Колчина на деятельность той кафедры, что ныне является кафедрой мехатроники, заключается в том, что три заведующих кафедрой в последующие годы – Ф.Л. Литвин (1964-1977), К.И. Гуляев (1978-1988) и Б.П. Тимофеев (с 1989 по настоящее время) были учениками или сотрудниками Н.И. Колчина на кафедре ТММ ЛПИ, причем Ф.Л. Литвин был профессором кафедры, а К.И. Гуляев – заместителем заведующего, т.е. Н.И. Колчина. Н.И. Колчин оказал большое влияние на развитие механики как своими трудами, так и через своих учеников и последователей. На роль основателя кафедры более всего подходит кандидатура Л.П. Рифтина (1902-1963). Чтобы обосновать дату, условия образования и смысл этой кафедры, ее особенности, сохраняемые и сегодня, проследим его научную и педагогическую деятельность, начиная с 30-х годов прошлого века. Научная деятельность Л.П. Рифтина начинается во Всесоюзном институте механизации и электрификации сельскохозяйственных машин (ВИМЭСХ). За время работы там (1930-1934) он опубликовал ряд работ по теории и экспериментальному исследованию сельскохозяйственных машин и механизмов. Одновременно там же начинается его педагогическая деятельность , а с 01.04.1932 он работает в ЛИТМО доцентом по кафедре теоретической и прикладной механики. В 30-х годах Л.П. Рифтин ведет курсы "Теория механизмов и машин», «Теоретическая механика». В 1934 году утвержден в ученом звании доцента по кафедре теоретической и прикладной механики, в 1940 году защитил диссертацию на соискание ученой степени к.т.н. на тему «Теория фотозатворов». Основная работа Л.П. Рифтина, начиная с 1932 года, протекает в ЛИТМО в качестве доцента – руководителя курса «Теория механизмов и машин», и.о. зав. кафедрой теоретической и прикладной механики, декана факультета точной

201

механики, и.о. зам. директора по научной и учебной работе (1941-1943), и.о. зав. кафедрой теории механизмов и машин (с 1949 г.). 06.03.1951 г. Л.П. Рифтин стал зав. кафедрой теории механизмов и машин и деталей машин. Именно от этой даты ранее было принято отсчитывать историю кафедры, ибо, казалось, именно в этот момент кафедра приобрела черты синтетической научной дисциплины, где выбор схем машины, прибора, устройства сопровождался не только геометрокинематическим, но и прочностным расчетом, т.е. обучение проектированию и конструированию происходило комплексно, хотя отдельные части – привод, механизмы, управление проектировались еще последовательно, а не параллельно, как это делается сегодня. В 1958 году ему была присуждена ученая степень доктора технических наук. Он защитил докторскую диссертацию “Аналитическая теория коноидов”, и в 1959 году Л.П. Рифтин утвержден ВАКом СССР в ученом звании профессора по кафедре теории механизмов и машин и деталей машин. Среди его трудов легко выделить три направления, соответствующие различным периодам деятельности. Первое – сельхозмашины, вязальный аппарат, льнотеребильная машина, машина для сортировки картофеля. Второе, уже сугубо ЛИТМОвское – механизмы фотозатворов. Третье связано со счетно-решающими приборами, особенно кулачковыми (в частности, коноидными) механизмами. Все это свидетельствует о широте круга научных интересов и эрудиции Л.П. Рифтина. Л.П. Рифтин умер в 1963 году, а с 01.01.1964 г. согласно приказу № 670 от 09.12.1963 г. Литвин Ф.Л. принят на должность зав. кафедрой теории механизмов и машин и деталей машин. Дадим слово официальному документу: «Ректорат и Совет ЛИТМО поручили проф. Ф.Л. Литвину провести реорганизацию кафедры теории механизмов и деталей машин в кафедру приборостроительного типа, закладывающую основы конструкторской подготовки специалистов, выпускаемых ЛИТМО. Проф. Ф.Л. Литвин и возглавляемый им коллектив кафедры теории механизмов и деталей приборов успешно решил поставленную задачу. Создана лабораторная база с оригинальными лабораторными установками, написаны многочисленные методические пособия, разработаны и изготовлены щиты, стенды, действующие модели, прозрачные модели, отвечающие современным требованиям учебного процесса в высшей школе. Программа по курсу «Теория механизмов и детали приборов» была признана Методическим советом Министерства типовой программой по аналогичным курсам». В сегодняшнем составе кафедры всего три человека, не прошедшие школу Ф.Л. Литвина. В.Д. Брицкий, М.А. Ноздрин, В.А. Мурашев, Б.П. Тимофеев, Е.В. Шалобаев – были аспирантами либо сотрудниками Ф.Л. Литвина (некоторые последовательно аспирантами, затем сотрудниками), а В.В. Симанков задолго до Ф.Л. Литвина работал на кафедре. У него, вообще, единственное место работы – ЛИТМО, как поступил в 1947 году учиться, так и работает до сих пор. В настоящее время это ведущий инженер , которому кафедра обязана работоспособностью лабораторных установок. Алла Михайловна Блинова пришла к Ф.Л. Литвину в качестве секретаря кафедры восемнадцатилетней девушкой, а ныне круг ее обязанностей столь широк, что далеко выходит за рамки официальной должности зав. лабораторией. С 01.04.1988 г. к заведыванию кафедрой теории механизмов и деталей приборов (ТМ и ДП) приступил профессор Тимофеев Б.П. При нем осуществилось преобразование общеинженерной кафедры в вы-

202

пускающую и завершилось в 1991 году преобразованием кафедры ТМ и ДП в кафедру мехатроники. Автор монографии вошел в этот коллектив в декабре 1989 года-я прошел по конкурсу на должность профессора после 10-летнего заведования кафедрой теоретической механики Томского инженерно-строительного института.Сначала я занимался вопросами синтеза точности механических систем и расчетами на прочность, а затем круг задач расширился до решения проблемных вопросов МЭМС-техники. Сейчас это одно из перспективных направлений кафедры мехатроники -МЭМС-приборостроение. Создан международный коллектив (СПбГУ ИТМО, СПбТУ, СПбФИЗМИРАН, ТУ Ильменау) в целях разработки МЭМС-магнитометров для идентификации аномалий магнитных полей. Опыт создания подобных систем отражен в статьях, дипломных работах студентов, темах диссертационных работ аспирантов В заключение следует сказать, что и в истории механики кабеля имеется много поучительного. Но это тема другой книги. И я еще напишу ее. А может быть ее напишет кто-нибудь из моих учеников или кто-нибудь из читателей. Ведь у автора «Механики деформируемого кабеля» всегда была поддержка тех, к кому он до сих пор испытывает теплое чувство благодарности: к С.Г. Лехницкому, И.А. Биргеру, Б.Д. Аннину, Э.Э. Лавенделу, Н.А. Махутову, Л.С. Ляховичу. Хочу отметить, что при изложении истории кафедры мехатроники я использовал материалы, подготовленные к 70-летнему юбилею ее сотрудниками и систематизированные заведующим кафедрой д.т.н. профессором Тимофеевым Б.П.

β

β

203