Векторная алгебра. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Методические указания и контрольные задания по высшей математике для всех специальностей

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Методические указания и контрольные задания по высшей математике для всех специальностей

Составители : Постникова Л.С. Субанова Э.В.

г. Улан-Удэ, 1998 г.

Данные методические указания содержат индивидуальные задания, состоящие из 30 вариантов. Студент выполняет одну задачу из каждого задания с номером, соответствующим его варианту. По своему усмотрению преподаватель может использовать задания для проведения контрольных работ, самостоятельных работ, для домашних заданий. Теоретические вопросы могут быть использованы студентами для подготовки к экзамену. Рецензент: Мижидон А.Д., доктор техн. наук.

Содержание

3

1) Краткие теоретические сведения для выполнения каждого задания. 2) Теоретические вопросы для защиты типового расчета. 3) Литература. 4) Индивидуальные задания.

1. Векторы.

4

1.1 Выражение вида

α1a1 + α 2a2 +...+α nan = a называется линейной ком-

бинацией векторов. 1.2 Если a = 0,αi = 0,(i = 1,2,..., n) , то векторы ai - линейно -независимы. 1.3 Если a = 0 , то хотя бы один из

αi ≠ 0 , то векторы ai - линейно -

зависимы. 1.4 Линейно - независимые векторы образуют базис. Число базисных век-

торов определяет размерность векторного пространства R1: e1 - базис. R2: e1, e2 - базис; R3: e1, e2 , e3 - базис и т.д. 1.5 Разложить вектор X по базису e1 , e2 , e3 - значит, представить вектор

X

в

виде

:

X = α1e1 + α 2e2 + α 3e3;

где

e1 = ( x1, y1, z1), e2 = ( x2 , y2 , z2 ),

e3 = ( x3 , y3 , z3 ),

x = ( x, y, z) 1.6 Скалярное произведение векторов a и b определяется по формулам:

а) (a , b ) = a ⋅ b cosϕ б) (a , b ) = a npa − b = b npb − a в) (a , b ) = x1x2 + y1 y2 + z1z2 , если a = x1i + y1 j + z1k ; b = x2i + y2 j + z2 k ; 1.7 a =

(a , a ) =

1.8 cosϕ =

a 2 или a = x12 + y12 + z12

(a , b ) = a ⋅b

x1x2 + y1 y2 + z1z2 x12 + y12 + z12 ⋅ x22 + y22 + z22

1.9 Если a ⊥b , то ( a , b ) = 0 1.10 Векторным произведением 2-х векторов a и b называется третий век-

тор c , удовлетворяющий 3-м следующим условиям: а) вектор c перпендикулярен плоскости векторов a и b б) вектор c образует правую тройку векторов с векторами a и b в) длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .

5

1.11 С помощью векторного произведения можно вычислить площадь па-

[ ]

раллелограмма, построенного на a и b ; S = a , b

; площадь Δ =

1 a ,b и 2

[ ]

площадь любого многоугольника. 1.12 Смешанным произведением трех векторов называется их векторно-

скалярное

произведение,

([ ] )

(a ,b , c ) = a , b , c .

т.е.

Если

a = x1i + y1 j + z1k ; b = x2i + y2 j + z2 k ; c = x3i + y3 j + z3k то смешанное произве-

x1

y1

z1

дение вычисляется по формуле (a , b , c ) = x2

y2

z2 .

x3

y3

z3

1.13 С помощью смешанного произведения можно вычислить V паралле-

лепипеда , и тетраэдра, построенных на векторах , не лежащих в одной плоскости. x1 Vпа р− да = x2 x3

y1 y2

z1 z2

y3

z3

Vтетр. =

1 (a , b , c ) 6

2. Аналитическая геометрия на плоскости 2.1 Прямая линия на плоскости. Вид уравнения прямой определяется теми

данными, которые задают ее положение на плоскости. а) y = kx + b , где k = tgϕ , ϕ - угол наклона прямой к оси ОХ; в - отрезок, отсекаемый прямой на оси ОУ. б) y − y0 = k ( x − x0 ) , где к - угловой коэффициент прямой, ( x0 , y0 ) - данная точка. в)

y − y1 x − x1 , где ( x1, y1);( x2 , y2 ) - две данные точки. = y2 − y1 x2 − x1

г)

x y + = 1 , где а и в - отрезки, отсекаемые прямой соответственно на a b

осях ОХ и ОУ.

6

д) x cosα + y sin α − p = 0 , где р - расстояние от О(0,0) до прямой, α - угол наклона нормали, проведенной из начала координат, к оси ОХ. е) Ах+Ву+С=0 - общее уравнение прямой, где А и В - координаты нормального вектора. 1.2 Кривые второго порядка.

а) Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 - общее уравнение. Если А=В, то уравнение (1) определяет окружность. Если АВ>0, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Если АВ<0, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Если АВ=0, то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. б) Канонические уравнения кривых второго порядка ( x − α ) 2 + ( y − β ) 2 = R 2 уравнение окружности радиуса R с центром (α, β).

x2 a2

y2

+ 2 = 1 - уравнение эллипса, с полуосями а и в. b

x2

y2 y2 x2 − = 1 или − 2 = 1 уравнение гиперболы с полуосями а и в, 2 2 2 a b b a y 2 = 2 px или x 2 = 2 py уравнение параболы, где р - расстояние от фокуса до директрисы. 3. Аналитическая геометрия в пространстве. 3.1 Плоскость в пространстве.

а) A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0 - где n = ( A, B , C ) - нормальный вектор плоскости; ( x0 , y0 , z0 ) - данная точка.

x − x1 б) x2 − x1 x3 − x1

y − y1 z − z1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 y3 − y1 z3 − z1

данные точки.

где A1( x1, y1, z1), A2 ( x2 , y2 , z2 ), A3 ( x3 , y3 , z3 ) -три

7

в) x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0 , где α , β ,γ - углы наклона плоскости к осям координат; р - расстояние от начала координат до плоскости. г) Ax + By + Cz + D = 0 - общее уравнение плоскости, где n = ( A, B , C ) - нормальный вектор плоскости. д)

x y z + + = 1- где а,в,с - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. a b c 3.2 Расстояние от данной точки до плоскости определяется по формуле

d=

Ax0 + By0 + Cz0 + D 2

2

A + B +C

2

,

где

( x0 , y0 , z0 )

-

координаты

данной

точки,

Ax + By + Cz + D = 0 - общее уравнение плоскости. 3.3 Прямая в пространстве.

а)

x − x0 y − y0 z − z0 , где (m,n,p) - координаты направляющего вектора = = m n p

прямой, а ( x0 , y0 , z0 ) - координаты данной точки. ⎧ x = x0 + mt ⎪ б) ⎨ y = y0 + nt - параметрические уравнения прямой. ⎪ z = z + pt 0 ⎩ ⎧ A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 - общие уравнения прямой. в) ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

г)

x − x1 y − y1 z − z1 - где ( x1, y1, z1) и ( x2 , y2 , z2 ) - координаты данных = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

точек.

Теоретические вопросы 1) Длина и направление вектора. 2) Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Разложение

вектора по базису. Ортонормированный базис.

8

3) Скалярное произведение векторов. Формулы для вычисления скаляр-

ного произведения. 4) Угол между векторами. Условия параллельности и перпендикулярно-

сти векторов. 5) Векторное произведение векторов. Формулы для вычисления вектор-

ного произведения. 6) Вычисление площадей плоских фигур с помощью векторного произве-

дения. 7) Смешанное произведение трех векторов, формула для вычисления

смешанного произведения. 8) Вычисление объемов тел с помощью смешанного произведения. 9) Условие компланарности трех векторов. 10) Способы задания прямой линии на плоскости. Уравнения прямой на

плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Угол между прямыми. 11) Способы задания прямой линии в пространстве и ее уравнения. 12) Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническим. 13) Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространст-

ве. Угол между прямыми. 14) Способы задания плоскости в пространстве и уравнения плоскости. 15) Построение плоскости по ее общему уравнению. 16) Частные случаи общего уравнения плоскости, расположение плоско-

сти в пространстве. 17) Расстояние от данной точки до данной плоскости. 18) Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикуляр-

ности плоскостей. 19) Нахождение точки пересечения прямой с плоскостью. 20) Угол прямой с плоскостью. Условия параллельности и перпендику-

лярности прямой и плоскости.

9

21) Общее уравнение кривой 2-го порядка. Классификация кривых 2-го

порядка. 22) Канонические уравнения кривых 2-го порядка, построение кривых по

каноническим уравнениям. 23) Полярная система координат на плоскости. Связь между полярными и

декартовыми координатами. 24) Геометрическое место точек. Составление уравнения линии.

Литература 1. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Элементы линейной алгебры и анали-

тической геометрии. 2. З.И. Боревич. Определители и матрицы. 3. О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев. Курс высшей математики. 4. Ефимов. Аналитическая геометрия. 5. П.Е. Данко, А.Г. Попов. Высшая математика в упражнениях и задачах,

ч.1. 6. И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре.

Задание 1

Написать разложение вектора x по векторам p , q , r . №

x

p

q

r

№

x

p

q

r

1

-2;4;7

0;1;2

1;0;1

-1;2;4

16

8;0;5

2;0;1

1;1;0

4;1;2

2

6;12;-1

1;3;0

2;-1;1

0;-1;2

17

3;1;8

0;1;3

1;2;-1

2;0;-1

3

1;-4;4

2;1;-1

0;3;2

1;-1;1

18

8;1;12

1;2;-1 3;0;2

-1;1;1

10

4

-9;5;5

4;1;1

2;0;-3

-1;2;1

19

-9;-8;-3

1;4;1

-3;2;0

5

-5;-5;5

-2;0;1

1;3;-1

0;4;1

20

-5;9;-13

0;1;-2 3;-1;1

4;1;0

6

12;2;7

5;1;0

2;-1;3

1;0;-1

21

-15;5;6

0;5;1

3;2;-1

-1;1;0

7

-19;-1;7 0;1;1

-2;0;1

3;1;0

22

8;9;4

1;0;1

0;-2;1

1;3;0

8

3;-3;4

1;0;2

0;1;1

2;-1;4

23

23;-14;-30 2;1;0

1;-1;0

-3;2;5

9

3;3;-1

3;1;0

-1;2;1

-1;0;2

24

3;1;3

2;1;0

1;0;1

4;2;1

10

-1;7;-1

-1;2;1

2;0;3

1;1;-1

25

-1;7;0

0;3;1

1;-1;2

2;-1;0

11

6;5;-14

1;1;4

0;-3;2

2;1;-1

26

11;-1;4

1;-1;2 3;2;0

-1;1;1

12

6;-1;7

1;-2;0

-1;1;3

1;0;4

27

-13;2;18

1;1;4

1;2;-1

13

5;15;0

1;0;5

-1;3;2

0;-1;1

28

0;-8;9

0;-2;1 3;1;-1

4;0;1

14

2;-1;11

1;1;0

0;1;-2

1;0;3

29

8;-7;-13

0;1;5

3;-1;2

-1;0;1

15

11;5;-3

1;0;2

-1;0;1

2;5;-3

30

2;7;5

1;0;1

1;-2;0

0;3;1

-3;0;2

1;-1;2

Задание 2

Коллинеарны ли векторы c1 и c2 , построенные по векторам a и b ? №

a

b

c1

c2

№

a

b

c1

c2

1

1;-2;3

3;0;-1

2 a +4 b

3b − a

16 7;9;-2

5;4;3

4 a -b

4b - a

2

1;0;1

-2;3;5

a +2 b

3a − b

17 5;0;-2

6;4;3

5 a -3 b

6 b -10 a

3

-2;4;1

1;-2;7

5 a +3 b

2a − b

18 8;3;-1

4;1;3

2 a -b

2 b -4 a

4

1;2;-3

2;-1;-1 4 a +3 b

8 a -b

19 3;-1;6

5;7;10 4 a -2 b

b -2 a

5

3;5;4

5;9;7

-2 a +b

3 a -2b

20 1;-2;4

7;3;5

6 a -3b

b -2 a

6

1;4;-2

1;1;-1

a +b

4 a +2b

21 3;7;0

4;6;-1

3 a +2b

5 a -7b

7

1;-2;5

3;-1;0

4 a -2b

b -2 a

22 2;-1;4

3;-7;-6 2 a -3b

3 a -2b

8

3;4;-1

2;-1;1

6 a -3b

b -2 a

23 5;-1;-

6;0;7

3 a -2b

4b -6 a

2 9

-2;-3;-2 1;0;5

10 -1;4;2

3;-2;6

3 a +9 b

- a -3 b

24 -9;5;3

7;1;-2

2 a -b

3 a +5 b

2 a -b

3 b -6 a

25 4;2;9

0;-1;3

4 b -3 a

4 a -3 b

11

11 5;0;-1

7;2;3

2 a -b

3 b -6 a

26 2;-1;6

-1;3;8

5 a -2 b

2 a -5 b

12 0;3;-1

1;-2;1

5 a -2 b

3 a +5 b

27 5;0;8

-3;1;7

3 a -4 b

12 b -9 a

13 -2;7;-1

-3;5;2

2 a +3 b

3 a +2 b

28 -1;3;4

2;-1;0

6 a -2 b

b -3 a

14 3;7;0

1;-3;4

4 a -2 b

b -2 a

29 4;2;-7

5;0;-3

a -3 b

6 b -2 a

15 -1;2;-1

2;-7;1

6 a -2b

b -3 a

30 2;0;-5

1;-3;4

2 a -5b

5 a -2b

Задание 3

а) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b ; б) Найти длину вектора b .

b

π 6

16

2 p − 3q

3p + q

4

1

π 6

1

π 4

17

5p + q

p − 3q

1

2

π 3

1

π 2

18

7 p − 2q

p + 3q

1/

2

π 2

b

1

p + 2q

3p − q

1

2

2

3p + q

p − 2q

4

3

p − 3q

p + 2q

1/

q

( p, q )

5 4

3 p − 2q

p + 5q

4

∧

a

a

p

∧

№

№

p

q

( p, q )

2 1/

5π 6 19

6p − q

p+q

3

4

π 4

2 5

p − 2q

2p + q

2

3

3π 4 20

10 p + q

3 p − 2q

4

1

π 6

6

p + 3q

p − 2q

2

3

π 3

6p − q

p + 2q

8

1/

π 3

21

2 7

2p − q

p + 3q

3

2

π 2

22

3 p + 4q

q−p

2,5 2

π 2

8

4p + q

p−q

7

2

π 4

23

7p + q

p − 3q

3

1

3π 4

9

p − 4q

3p + q

1

2

π 6

24

p + 3q

3p − q

3

5

2π 3

10

p + 4q

2p − q

7

2

π 3

25

5p − q

p+q

5

3

5π 6

11

3 p + 2q

p−q

10

1

π 2

26

3 p − 4q

p + 3q

2

3

π 4

12

4p − q

p + 2q

5

4

π 4

27

6p − q

p + 5q

1/

4

5π 6

2

12

13

2 p + 3q

p − 2q

6

7

π 3

28

2 p + 3q

p − 2q

2

1

π 3

14

3p − q

p + 2q

3

4

π 3

29

2 p − 3q

5p + q

2

3

π 2

15

2 p + 3q

p − 2q

2

3

π 4

30

3 p + 2q

2p − q

4

3

3π 4

Задание 4

Даны точки А,В,С,Д, являющиеся вершинами пирамиды. Найти: а) ∠АВС; б) SΔАВС; в) Vпирамиды; г) длину высоты пирамиды, проведенной из точки А; д) уравнение этой высоты; ж) записать уравнение прямой, проходящей через точку Д параллельно прямой АС; з) составить уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно прямой ВД. №

А

В

С

Д

1

1,0,1

2,10

3,2,1

1,2,3

2

1,1,0

1,2,0

0,1,2

3

1,2,0

2,1,0

4

2,3,0

5

№

А

В

С

Д

16

1,0,-2

2,1,-1

1,2,-1

1,-1,-3

0,0,1

17

2,2,2

1,3,3

1,3,2

0,2,3

2,1,1

1,1,1

18

1,2,-1

0,1,3

1,2,1

2,-1,-1

1,2,0

1,1,1

0,5,0

19

2,1,-3

2,1,-2

3,2,1

2,2,-3

1,0,1

0,1,1

1,1,0

2,1,2

20

1,2,1

2,3,2

1,0,1

0,3,2

6

2,1,1

1,0,2

2,2,1

3,2,1

21

1,2,-2

-1,1,-2 1,1,-1

2,3,0

7

1,0,0

0,1,0

0,0,1

1,1,0

22

1,2,-2

2,1,-3

3,0,-2

3,2,1

8

1,1,1

2,2,2

3,0,3

1,1,0

23

1,2,1

3,-1,1

2,1,1

2,1,3

9

1,0,1

2,1,0

1,2,0

1,3,1

24

2,-1,2

2,1,-1

2,2,-1

0,1,2

10

1,1,1

2,1,1

1,3,1

1,1,4

25

3,2,0

4,1,2

3,0,2

4,3,2

11

2,1,1

3,0,1

2,1,3

0,2,0

26

1,3,2

1,2,3

3,2,1

2,1,4

13

12

1,1,-2

2,0,-1

1,1,0

2,3,0

27

2,-3,1

1,-3,1

2,-1,3

2,-1,4

13

2,1,2

3,0,3

1,1,2

1,2,3

28

1,2,-2

2,2,-3

2,0,-4

1,3,-2

14

0,1,-2

1,3,-1

3,3,0

1,2,-2

29

1,-1,2

2,0,4

3,1,4

1,2,4

15

0,0,1

2,2,1

0,2,3

1,1,2

30

2,1,-1

3,1,0

0,1,3

2,-1,1

Задание 5

Написать канонические уравнения прямой 1

2x+y+z-2=0, 2x-y-3z+6=0

16

x+5y-z-5=0, 2x-5y+2z+5=0

2

x-3y+2z-2=0, x+3y+z+14=0

17

2x-3y+z+6=0, x-3y-2z+3=0

3

x-2y+z-4=0, 2x+2y-z-8=0

18

5x+y+2z+4=0, x-y-3z+2=0

4

x+y+z-2=0, x-y-2z+2=0

19

4x+y+z+2=0, 2x-y-3z-8=0

5

2x+3y+z+6=0, x-3y-2z+3=0

20

2x+y-3z-2=0, 2x-y+z+6=0

6

3x+y-z-6=0, 3x-y+2z=0

21

x+y-2z-2=0, x-y+z+2=0

7

x+5y+2x+11=0, x-y-z-1=0

22

x+5y-z+11=0, x-y+2z-1=0

8

3x+4y-2z+1=0, 2x-4y+3z+4=0

23

x-y+z-2=0, x-2y-z+4=0

9

5x+y-3z+4=0, x-y+2z+2=0

24

6x-7y-z-2=0, x+7y-4z-5=0

10

x-y-z-2=0, x-2y+z+4=0

25

x+5y+2z-5=0, 2x-5y-z+5=0

11

4x+y-3z+2=0, 2x-y+z-8=0

26

x-3y+z+2=0, x+3y+2z+14=0

12

3x+3y-2z-1=0, 2x-3y+z+6=0

27

2x+3y-2z+6=0, x-3y+z+3=0

13

6x-7y-4z-2=0, x+7y-z-5=0

28

3x+4y+3z+1=0, 2x-4y-2z+4=0

14

8x-y-3z-1=0, x+y+z+10=0

29

3x+3y+z-1=0, 2x-3y-2z+6=0

15

6x-5y-4z+8=0, 6x+5y+3z+4=0

30

6x-5y+3z+8=0, 6x+5y-4z+4=0

Задание 6

Линия задана в полярной системе координат. а) записать ее уравнение в декартовых координатах. б) построить эту линию. 1

r(3 cosϕ − 2 sin ϕ ) = 6 2

4(1 + r 2 sin2 ϕ ) = r cosϕ

3

r = 2sin ϕ

14

4

r 2 = cos 2ϕ

5

r 2 cos 2ϕ = 4

6

r = cosϕ + sin ϕ

7

r 2 (9 cos2 ϕ + 4 sin2 ϕ ) = 36

8

r = 4 cosϕ

9

r = 2(1 − cosϕ )

10

r(2 sin ϕ + cosϕ ) = 4 11

2(r 2 cos2 ϕ − 1) = r sin ϕ

12

13 16 19 22 25 28

r=

9 4 − 5sin ϕ

14

r=

1 2 − 3 cosϕ

17

r = 4 sin ϕ

r=

3 1 − cosϕ

15

r=

1 2 − 2 cosϕ

18

20

r = 6cosϕ

r(5sin ϕ − cosϕ ) = 10 24

r=

1 2 − 3sin ϕ

23

r=

1 2 − 5 cosϕ

26

r = 3(1 + cosϕ )

29

21

r=

1 2 − 5 sin ϕ

27

r=

9 4 − 5cosϕ

30

r=

9 5 − 4 cosϕ

r 2 = 4 cos 2ϕ r=

1 2 − 2 sin ϕ

r=

3 1 − 1sin ϕ

r=

1 2 − 3 sin ϕ

r = 2(cosϕ + sin ϕ )

r=

9 5 − 4sin ϕ

Задание 7

Дано общее уравнение кривой второго порядка: а) преобразовать уравнение к каноническому виду; б) построить кривую.

1

2 x 2 + 3 y 2 + 4 x − 12 y + 2 = 0

2

x 2 − y 2 − 14 x − 14 y − 4 = 0

3

4 x 2 − 9 y 2 − 40 x − 18 y + 55 = 0

4

x 2 + 8 x − 27 y + 70 = 0

5

4 x 2 + 4 y 2 − 16 x + 32 y + 71 = 0

6

3x 2 + 3 y 2 + 30 x + 59 = 0

7

4 x 2 + 25 y 2 − 16 x − 150 y + 141 = 0

8

9 x 2 + 4 y 2 + 108 x + 16 y + 304 = 0

15

9

2 x 2 + 2 y 2 + 4 x − 36 y + 139 = 0

11

25x 2 − 49 y 2 − 50 x + 98 y − 1249 = 0 12

5x 2 + 5 y 2 + 20 x − 20 y + 36 = 0

13

2 x 2 + y 2 − 12 x + 4 y + 12 = 0

14

36 x 2 + y 2 + 72 x − 14 y + 49 = 0

15

4 x2 − 8x + y + 5 = 0

16

8 x 2 − 9 y 2 − 16 x + 54 y − 145 = 0

17

− 9 x 2 + 4 y 2 − 36 x + 40 y + 28 = 0

18

5x 2 + 6 y 2 + 50 x − 36 y + 149 = 0

19

3x 2 + 3 y 2 + 24 x − 6 y + 2 = 0

20

28 x 2 − 112 x + 3 y + 106 = 0

21

− 25x 2 + 4 y 2 + 350 x − 16 y − 1309 = 0 22

23

y 2 + 18 x 2 + 4 y − 144 x + 256 = 0

24

4 x 2 − y 2 − 32 x + 48 = 0

25

y 2 − 2 x 2 + 2 y − 4 x − 17 = 0

26

5x 2 − 40 x − 2 y + 92 = 0

27

25x 2 + 4 y 2 + 150 x − 24 y + 161 = 0 28

29

2 x 2 + 2 y 2 − 40 x − 4 y + 177 = 0

10

30

3 y 2 + 14 x + 6 y − 67 = 0

4 x 2 + 4 y 2 + 8 x − 48 y + 123 = 0

9 x 2 − 25 y 2 + 50 y − 250 = 0 2 x 2 + 5 y 2 + 8 x − 20 y + 8 = 0

Задание 8

Решить указанную задачу. 1) Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных

точек А(2,1) и В(-1,4). 2) Найти геометрическое место точек, которые отстоят от точек А(1,0)

вдвое ближе, чем от точки В(4,0). 3) Найти траекторию точки, которая при своем движении остается в 1,5

раза дальше от точки F(0,6) , чем от прямой у=8. 4) Составить уравнение геометрического места точек разность квадратов

расстояний которых до точек А(-а,0) и В(а,0) равна С.

16

5) Составить уравнение геометрического места точек, для которых отно-

шение расстояния до данной точки F(-5,0) к расстоянию до прямой 5х+16=0 равно 5/4. 6) Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удален-

ных от точки F(0,2) и от прямой у-4=0. 7) Составить уравнение множества точек, расстояния которых от точки

А(0,1) в два раза меньше расстояния до прямой у-4=0. 8) Составить уравнение геометрического места точек,

находящихся от

точки А(3,0) вдвое ближе, чем от прямой х=12. 9) Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отноше-

ние расстояния до данной точки F(4,0) к расстоянию до прямой 4х+25=0 равно 4/5. 10) Определить траекторию точки М(х,у), которая при своем движении

остается вдвое ближе к прямой х=1, чем к точке F(4,0). 11) Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от на-

чала координат и от точки В(3,0) относятся как 2:1. 12) Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных

точек А(2,3) и В(-3,5). 13) Определить траекторию точки М(х,у), которая движется так, что оста-

ется вдвое дальше от точки F(-8,0), чем от прямой х=-2. 14) Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от на-

чала координат и от точки А(5,0) относятся как 2:1. 15) Определить траекторию точки М(х,у), которая при своем движении

вдвое ближе к прямой х-2=0, чем к точке F(8,0). 16) Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных

от точки В(2,4) и от прямой у+3=0. 17) Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точ-

ки А(-1,0) вдвое меньше расстояния ее от прямой х=-4.

17

18) Найти геометрическое место точек, которые отстоят от точки А(2,0)

вдвое ближе, чем от точки В(6,0). 19) Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удален-

ных от точки F(0,3) и от прямой у-6=0. 20) Найти геометрическое место точек, находящихся от точки В(2,0)

вдвое ближе, чем от прямой х-8=0. 21) Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от на-

чала координат и от точки В(7,5 ;0) относятся, как 1:2. 22) Найти уравнение линии, состоящей из всех точек плоскости, произве-

дение расстояний которых до двух данных точек F1(a,0) и F2(-a,0) есть постоянная величина а2. 23) Написать уравнение геометрического места точек, разность расстоя-

ний которых от точек F1(-1,-1) и F2(1,1) равна 2. 24) Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных

от точки F(3,1) и от прямой у=-2. 25) Определить траекторию точки М(х,у), которая при своем движении

остается вдвое ближе к точке F(-1,0), чем к прямой х+4=0. 26) Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точ-

1 1 ки F(0, ) равно расстоянию этой же точки от прямой y + = 0. 4 4 27) Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных

от точки А(2,1) и от прямой у=-1. 28) Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точ-

ки В(-2,0) вдвое меньше расстояния ее от прямой х=-4. 29) Определить траекторию точки М(х,у), которая при своем движении

остается втрое ближе к точке А(1,0), чем к прямой х-9=0. 30) Написать уравнение геометрического места точек, разность расстоя-

ний каждой из которых от точек F1(-2,-2), F2(2,2) равна 4.

18

Задание 9 1) Найти точку, симметричную точке М(6,10,-7) относительно плоскости

2 x + 5y − 4z + 2 = 0 . ⎧ x + y + az = 1 параллельна плоско2 − + 3 = 3 x y z ⎩

2) Определить при каком "а" прямая ⎨

сти x + y − 2 z = 8 . 3) Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

прямую

x − 2 y −5 z −1 = = и через точку А(3,3,3). 3 4 1 4) Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(4,7,-8) пер-

пендикулярно плоскости 2 x − 5 y + z − 13 = 0 . 5) Даны две смежные вершины параллелограмма А(1,2,3) и В(3,1,5) и его

центр О(4,0,-1). Составить уравнения его сторон. 6) Найти проекцию точки М(2,1,0) на плоскость x + 3 y − z = 27 . 7) Две

грани

куба

лежат

на

плоскостях

3x + 3 y + 6 z − 1 = 0

и

2 x + 2 y + 4 z − 1 = 0 . Вычислить объем куба. ⎧x + 2 y = 1 ⎩ y + 3z = 3

8) Составить уравнение плоскости, перпендикулярной прямой ⎨

и проходящей через точку М(0,2,2). 9) Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

векторы

a1 = (3,1,0); a2 = ( −1,−4,1) и точку А(0,1,-2). ⎧2 x − y + z − 3 = 0 перпендикуляр⎩ x + 4 y + 3z − 2 = 0

10) Определить при каком "к" прямая ⎨

на прямой

x −1 y + 4 z −1 . = = 3 k −1 ⎧ x + y − 3z + 4 = 0 с плоскостью, 2 + 3 + 4 − 5 = 0 x y z ⎩

11) Найти точку пересечения прямой ⎨

которая проходит через точку Р(0,1,-1) перпендикулярно вектору a = (1,7,3) .

19

12) Найти расстояние от точки Р(2,-2,3) до плоскости, которая от коорди-

натных осей отсекает отрезки равные 3,4,5. 13) Будет ли плоскость 4х-3у+8=0 параллельна плоскости, проходящей

через точки М1(2,0,0), М2(-1,0,3), М3(0,4,-5) ? 14) Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

прямую

⎧x + y − z − 1 = 0 и точку k(2,1,2). ⎨ x + 2 y + 3 z − 4 = 0 ⎩ 15) Вычислить

расстояние между плоскостями

2 x − y + 2z + 9 = 0

и

4 x − 2 y + 4 z − 21 = 0 . 16) Через точки А1(-6,6,-5) и А2(12,-6,1) проведена прямая. Определить

точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями. 17) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3,4,-5)

параллельно двум векторам a1 = (3,1,−1); a2 = (1,−2,1) . 18) Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало коор-

динат перпендикулярно плоскостям 2 x − y + 3z − 1 = 0 и x + 2 y + z = 0. 19) Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(5,-2,1) и пе-

ресекающей ось ОУ под прямым углом. 20) Найти точку, симметричную точке М1(2,4,-6) относительно плоскости

x − 3 y + 5z = 0. 21) Дан параллелограмм с центром в точке К(5,2,-2). Две его смежные

вершины находятся в точках А(1,3,-1) и В(0,4,-5). Составить уравнения всех сторон параллелограмма. 22) Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2,3,-3) и

перпендикулярной векторам a1 = 2i + 3 j + k ; a2 = i − j + 4 k . 23) При

каком "β" плоскость β x + 4 y + 3z = 5 параллельна прямой

⎧2 x − y − z = 1 ? ⎨ x + 4 y + 3 z = 3 ⎩

20

24) При каком "t" плоскость 2 x + ty − 10z − 7 = 0 будет перпендикулярна

другой плоскости, которая отсекает от координатных осей соответственно отрезки a = 4; b = −1; c = 5 ? 25) Найти расстояние от точки Р(1,-2,-3) до плоскости, проходящей через

точки Р1(0,4,-1), Р2(1,3,2) и вектор a = (3,7,−2) . 26) Записать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и

параллельной другой плоскости, которая проходит через точку М(4,1,0) и прямую

x +1 y − 2 z +5 . = = 2 3 4 27) Прямая проходит через точки Р1(2,7,-5) и Р2(0,3,-1). Найти точку, в ко-

торой эта прямая пересекает плоскость, проходящую через точку Р(2,3,0) перпендикулярно вектору a = (111 , , ). 28) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1,1,-1)

⎧2 x + z − 4 = 0 . перпендикулярно прямой ⎨ ⎩x − y + 2z + 2 = 0 29) Записать уравнение плоскости, на которой лежат точки А1(2,1,-2),

А2(5,6,-3), А3(1,1,4). Будет ли эта плоскость перпендикулярна прямой x + 4 2( y − 2) 2( z − 1) ? = = 15 − 17 5 30) Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки М(2,4,1), на

плоскости 2 x + 3 y − 4 z + 5 = 0 .