Об одной форме закона Кулона

Ôèçè÷åñêîå â âóçàõ. Ò. 9, ¹ 4, 2003 Об одной îáðàçîâàíèå форме закона Кулона

73

Об одной форме закона Кулона М.А. Нечаев В статье рассматривается применение одной формулы для нахождения полей равномерно заряженных фигур: отрезка, полосы и прямоугольника. Геометрически доказано свойство равномерно поляризованного тела произвольной формы. Рассматривается применение этого свойства для нахождения некоторых полей равномерно поляризованных тел: прямой призмы, правильной призмы, кругового прямого цилиндра и прямоугольного параллелепипеда.

Ââåäåíèå Нормальная составляющая поля равномерно заряженной плоской фигуры Ån = kΩσn,

(1)

где: k = 1/(4πε0); Ω – телесный угол, под которым видна фигура из выбранной точки, к которой относится значение Еn; σ – поверхностная плотность зарядов; n – единичный вектор внешней нормали к плоскости фигуры. Похожая формула получена в книге [1 (c. 23)]. Поле плоской фигуры Å = Ån e , en

(2)

где e – вектор, коллинеарный вектору Е. Потенциал плоской фигуры ∞

j= ∫ Еn dh′, h

(3)

где h′ – расстояние между точкой перпендикуляра к плоскости фигуры и плоскостью, h – расстояние h′ для точки, к которой относится значение ϕ. Телесный угол, под которым виден треугольник, ограничен трехгранным углом. Как известно из сферической геометрии, телесный угол трехгранного угла Ω = А + В + Г − π,

(4)

где А, В и Г – двугранные углы трехгранного угла. Следовательно, телесный угол, под которым виден m8угольник (m ≥ 2, при m=2 m8угольник – полоса),

Ω = А1 + А2 + … + Аm – (m–2)π,

(5)

где А1, А2, … и Аm – двугранные углы между соседними гранями m8гранного угла,

74

М.А. Нечаев

ограничивающего телесный угол Ω. Рассмотрим несколько применений формулы (1).

1. Ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûå ôèãóðû 1.1. Отрезок Заменим равномерно заряженный отрезок равномерно заряженным прямоугольником. При этом одна сторона прямоугольника совпадет с отрезком, а другая сторона h бесконечно мала. Вектор n прямоугольника направим перпендикулярно отрезку из соответствующей точки прямой отрезка в выбранную точку. Телесный угол, под которым виден бесконечно малый прямоугольный со стороной h элемент прямоугольника из выбранной точки, h dΩ= - | r | d θ,

где r – радиус8вектор элемента относительно выбранной точки, и – угол между векторами r и r2–r1, где r2 и r1 – радиус8векторы концов отрезка относительно выбранной точки (рисунок 1). Поверхностная плотность зарядов прямоугольника

σ = t / h, где τ 8 линейная плотность зарядов отрезка. Подставим выражения dΩ и s в формулу (1). Полученную формулу запишем в виде: τ dÅn = k | rn | d cos q,

(6)

где |rn| – расстояние между выбранной точкой и прямой отрезка. Отсюда: τ

r

dÅ = k | rn | dq | r | . Отсюда следует, что вектор поля равномерно заряженного отрезка лежит на биссектрисе угла, под которым виден отрезок из выбранной точки, к которой относится значение поля. Поэтому e = r1 / | r1| + r2 / | r2|.

(7)

Поле отрезка теперь найдем по формуле (2), где значение Еn найдем из формулы (6). Подставим выражение Е n из формулы (6) в формулу (3). В результате потенциал равномерно заряженного отрезка:

Об одной форме закона Кулона

75

Рисунок 1

tg ½ θ1

ϕ = kt ln tg ½ θ2 .

Отсюда: f j = 2ktArth a ,

где значение ϕ относится к точке вытянутого эллипсоида вращения с фокусами в концах отрезка, f – полудлина отрезка, а – большая полуось эллипсоида. Эта формула выражает известное свойство проводящего вытянутого эллипсоида вращения. Отсюда также следует равенство (7) (рисунок 1). 1.2. Полоса Тангенциальная составляющая поля равномерно заряженной полосы Åx = – ∂ j, ∂x где x – координата по оси, пересекающей границы полосы под прямым углом. Подставим сюда формулы (3) и (1). В результате Åx = ksln

r12 , r22

где r1 и r2 – расстояния между выбранной точкой и границами полосы.

76

М.А. Нечаев

1.3. Прямоугольник Введем декартову прямоугольную систему координат с осями абсцисс и ординат, параллельными соответствующим сторонам прямоугольника. Применив формулу (6), запишем дифференциал тангенциальной составляющей по оси абсцисс поля равномерно заряженного прямоугольника в начале координат: dx x2 + z 2

dÅx = – kó

y x + y 2 + z2 2

y2 y1

x , x2 + z2

где x, y и z – соответственно абсцисса, ордината и аппликата точки прямоугольника. Отсюда: Åx = ksArsh

y x + z2 2

y2

x2

y1

x1

.

Аналогично найдем тангенциальную составляющую Е y . Нормальную составляющую Еn найдем по формуле (1), где значение Ω найдем по формуле (5).

2. Ðàâíîìåðíî ïîëÿðèçîâàííûå òåëà 2.1. Тело произвольной формы Заменим поверхность выпуклого равномерно поляризованного тела

Ðèñóíîê 2. Ê äîêàçàòåëüñòâó ñâîéñòâà (9).

Об одной форме закона Кулона

77

поверхностью, описывающей тело и состоящей из бесконечно малых прямоугольников, перпендикулярных соответствующим осям декартовой прямоугольной системы координат Оxyz. Поверхностная плотность зарядов тела s = Pn,

(8)

где P – поляризованность. Подставив эту формулу в формулу (1), получим проекцию внутреннего поля на ось Оz при поляризованности, параллельной оси Оz, Åz(i) = -

∑ j

Wzj kP,

где Ωzj – телесный угол, под которым виден j8й прямоугольник, перпендикулярный оси Оz, из точки, к которой относится значение Еz(i). По этой формуле Åx(i) + Åy(i) + Åz(i) = – (ΣΩx + ΣΩy + ΣΩz) kP, где Еx(i), Еy(i) и Еz(i) – относящиеся к одной внутренней точке проекции поля на координатные оси Оx, Oy и Oz соответственно при поляризованностях, равных по модулю и параллельных этим осям. Ïî ðèñóíêó 2 ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ â ýòîì ðàâåíñòâå ñóììà ΣΩx +ΣΩy+ΣΩz есть телесный угол, заполнивший все пространство. Поэтому Åx(i) + Åy(i) + Åz(i) = – 4pkP.

(9)

Аналогично докажем, что для внешней точки Åx(e) + Åy(e) + Åz(e) = 0.

(10)

Следовательно, этим свойством обладает произвольная система точечных диполей, а свойством (9) обладает равномерно поляризованное тело произвольной формы. Как известно, внутреннее поле равномерно поляризованного тела, ограниченного эллипсоидом, однородно. Из этого свойства и свойства (9) следует, что след тензора деполяризации эллипсоида равен единице. Почти столь же удобно предложенное Пуассоном доказательство этого следствия [2]. Другое доказательство [3] сложнее. 2.2. Прямая призма Поле равномерно поляризованной прямой призмы при поляризованности, перпендикулярной ее основаниям, в ее главной плоскости симметрии найдем по формуле (1), где значение Ω найдем по формуле (5), а значение σ – по формуле (8).

78

М.А. Нечаев

2.3. Правильная призма Поле Е || равномерно поляризованной правильной призмы при поляризованности, параллельной ее главной оси, на оси найдем по п. 2.2. Ввиду симметрии призмы по свойству (9) при поляризованности, перпендикулярной оси, в той же точке внутри призмы поле (i)

Å⊥(i) = – 2pkP – Å|| /2. Аналогично по свойству (10) для внешней точки оси получим: (e)

(e)

Å⊥ = – Å|| /2. Следовательно, найдем поле на оси при произвольном направлении поляризованности. 2.4. Круговой прямой цилиндр Поле равномерно поляризованного кругового прямого цилиндра на его оси найдем по п. 2.3. При этом телесный угол, под которым виден круг, из точки оси круга: W = 2p (1 – 1 / 1 + r 2/ h 2 ), где h – расстояние между точкой и кругом, r – радиус круга. 2.5. Прямоугольный параллелепипед Равномерно поляризованный прямоугольный параллелепипед состоит из равномерно заряженных прямоугольников. Их поверхностные плотности зарядов найдем по формуле (8), а поля – по п. 1.3. Следовательно, найдем поле равномерно поляризованного прямоугольного параллелепипеда в произвольной точке.

Çàêëþ÷åíèå При помощи формулы (1) также можно найти коэффициенты деполяризации эллипсоидов вращения и эллиптического цилиндра, поле и потенциал равномерно поляризованного произвольного многогранника. Последнее включает нахождение потенциала равномерно заряженного треугольника [4]. Другое решение [5] сложнее. Представленный учебный материал рекомендован для добавления в раздел «Электростатика» курсов электричества Сибирского государственного технологического университета и Красноярского госуниверситета.

Литература 1. Сивухин Д.В. Электричество: Сер. «Общий курс физики». М.: Наука, 1977, т. III.

Об одной форме закона Кулона

79

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред: Сер. «Теоретическая физика». М.: Наука, 1982, т. VIII. 3. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме: Пер. с англ. в 2 т. М.: Наука, 1989, т. II. 4. Нечаев М.А. Равномерно заряженные многоугольники. Красноярск, 2002, 6 с. Деп. в ВИНИТИ 15.01.03, № 978В2003. 5. Иоссель Ю.Я. Расчет емкости элементов электротехнических аппаратов и устройств. М.: Информэлектро, 1985.