Алгебра и логика, 39, N 6 (2000), 720-740
УДК 510.64
ОПИСАНИЕ БАЗИСА В П О Л У Р Е Д У Ц И Р О В А Н Н О Й ФОРМЕ Д Л Я ПРАВИЛ В Ы В О Д А ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ЛОГИКИ*) В, В. РЫБАКОВ, М. ТЕРЗИЛЕР, В. В. РИМАЦКИЙ В ведение
В настоящей работе исследуются допустимые правила вывода логи ки IPC — интуиционистской логики. Их изучение имеет множество раз личных аспектов. Основанная П. Лоренценом, эта область развивалась в направлениях, имеющих важные пересечения с общей проблематикой уни версальной алгебры. Особое внимание вначале уделялось конкретным ло гическим системам: например, проблема существования алгоритма рас познавания допустимых правил вывода интуиционистского пропозицио нального исчисления IPC была поставлена в [1] и решена впоследствии положительно (см. [2]). Естественно возникает вопрос об описании базиса для допустимых правил вывода IPC, так как все применимые правила могут быть выведе ны из него. В частности, вопрос о существовании конечного базиса - хоро шо известная проблема А. В. Кузнецова. Было показано, что для многих важных, основных нестандартных логик не существует базиса для допу стимых правил вывода даже от конечного числа переменных (см. IPC — [3, 4], S4 — [3], GL — [5], модальная логика доказуемости Соловея 5 — [5], *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 99-01-248, и Госкомитета РФ по образованию, программа "Университеты России" в 1997/98 г.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
Описание базиса в полуредуцированной
форме
721
Grz — [4]). Но некоторые подклассы допустимых логик обладают конеч ными базисами, например, в [6] найден конечный базис для всех квази характеристических допустимых в IPC правил. Для многих модальных логик существуют алгоритмы распознавания допустимости правил вывода (см. IPC — [2, 7, 8], 54 — [2], Grz — [7], GL — [5], 54.2,54.1 — [9]). Иногда эти алгоритмы заданы в виде проверки спе циальных условий структуры посылок редуцированных форм правил вы вода. Например, алгоритмы такого вида построены для модальных систем /<"4, 54, Grz, GL (см. [10]). Поскольку любое модальное правило вывода имеет эквивалентное правило в редуцированной форме, то условия данно го алгоритма задают базис для допустимых правил вывода, состоящий из специальных правил в редуцированной форме. Что касается суперинтуиционистских логик и интуиционистской ло гики IPC, то данный подход не применим, так как интуиционистские пра вила вывода не могут иметь эквивалентной редуцированной формы. Дей ствительно, невозможно разложить посылки вида, скажем, х = (#i->E2) в дизъюнктивную нормальную форму, поскольку интуиционистские связки взаимно независимы и не выражаются через друг друга. Поэтому относи тельно допустимого базиса для IPC известно только то, что IPC не имеет базиса от конечного числа переменных, а это явно не является точным описанием базиса. Цель работы — заполнить обозначенный пробел и точно указать ба зис для допустимых правил в IPC. Поскольку анализ структуры прави ла вывода в редуцированной форме в данном случае неприменим, будем использовать правила в полуредуцированной форме. Как только мы не сможем разложить посылку вида, скажем, х = (a?i—>а?2) в более простую форму, сохраняем такие формулы в посылке и получаем правило в полуре дуцированной форме. В теореме 2.1 покажем, что множество всех правил в полуредуцированной форме, посылки которых удовлетворяют набору спе циальных условий, образуют базис всех допустимых в IPC правил. Данные условия достаточно естественны, и многие из них выглядят как свойства максимальных теорий из канонической модели Крипке для IPC, Мы также
722
В. В, Рыбаков, М. Терзилер, В, В. Римацкий
находим похожий базис для правил, допустимых в суперинтуиционистской логике КС — логике закона слабого исключенного третьего.
§ 1. Определения, предварительные результаты Предполагается, что читатель знаком с алгебраической семантикой и семантикой Крипке для суперинтуиционистских логик, а также с некото рыми начальными сведениями о правилах вывода и их допустимости (хотя мы кратко напоминаем все необходимые факты). Можем порекомендовать читателю работы [11], которая содержит общую информацию по неклас сическим логикам, и [10], где дается более развитая техника исследова ния суперинтуиционистских логик и правил вывода. Далее под логикой понимаем множество всех теорем, доказуемых в данной аксиоматической системе. В частности, суперинтуиционистская логика Л — это множество формул, которое включает все теоремы интуиционистского пропозицио нального исчисления IPC и замкнуто относительно modus ponens и под становки. Так как далее рассматриваются только суперинтуиционистские логи ки, фрейм Крипке, или просто фрейм, — это частично упорядоченное мно жество 'J := (Э\ <) (или, кратко, чум). Интуиционистская модель Крип ке — это фрейм 'J с некоторым означиванием V множества пропозици ональных переменных Р, где V стабильно вверх: Vp £ Р Vor,y € 3(х Е Е V(p)&,(x < у)=>у £ V(p)). Для любой пропозициональной формулы а от переменных из Dom(F) и любого a 6 'J выражение a \\-y а обозначает, что а истинна на а в модели М := (F) <, V) при означивании V. Если нужно выделить, в какой именно модели а истинна, пишем (М,а) 1Ьу а. Извест но, что интуиционистская истинность формул стабильна вверх (Va, Ь Е J , если a \\ту а и а < 6, то b Ibv <*) в модели Крипке. Определение открытого подфрейма и открытой подмодели можно найти, например, в [10] или [11]. Если Mi и Ж? являются фреймами или моделями, то выражение Mi С Мз обозначает, что Mi является открытым подфреймом (или соответствен но подмоделью) для ЗУСг- Если Mi — открытая подмодель модели М2, и
Описание базиса в полуредуцированной
форме
723
a Е Mi, то (Mi, а)• Ihy а ^ ( М 2 , а ) Ihv <*> т.е. истинность на подмодели совпадает с истинностью на самой модели. Для любого подмножества X фрейма If, Х- :— {а | 36 Е Х(6 < а)}, т.е. Х- — это верхний конус, порожденный X, и Х-"ь := {а | 36 Е Х(6 < < a)&Vc Е X(~i(a < с))}. Для любой антицепи У элементов из У элемент с из 3" называется ко-накрытием для У, если и только если с - + = (J (cj-). Фрейм If называется корневым или конусом, если За Е If такой, что V6 Е If (а < 6); и будем говорить, что а — корень для If, обозначив его root(If). Через $ m (If) обозначается множество всех элементов из If глубины не более т , а через 5l m (If) — множество всех элементов из If глубины га, т.е. тслой фрейма If. Все необходимые сведения о правилах вывода и их допустимости содержатся в [10], напомним несколько из них. Пусть a i , ...,а п ,/3 — неко торые формулы. Правило г, где о? ь ..,,а п является (структурным) правилом вывода, по которому осуществляется вывод s{p) из s(ai), ...,s(a n ) для любой подстановки s. Будем говорить, что г выводимо в логике Л, если существует вывод /3 в Л из множества посылок (предположений) {ai, . . M a n } . Правило г называется допустимым в А, если для любой подстановки 5 выполняется s(/3) Е А, когда s(ai) E Е A, ...,s(a„) Е А. Алгебраическое описание допустимых правил вывода появилось в Польской логической школе, Правило г является допустимым в А, если и только если квазитождество q(r) := ai — T&...&a n = Т => /3 = Т истинно на свободной алгебре счетного ранга Уд (и?) из многообразия Var(A) всех алгебр, на которых истинны все теоремы А (см. [10] или [12]). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Правило г := а ь ..., ап/Р является следствием набора правил F в А (обозначается F Ьд г), если существует вывод /3 из a i , . . . , a n как предположений в аксиоматической системе А, расширенной добавлением правил из F.
724
В. В. Рыбаков, М. Терзилер, В, В. Римацкий ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Множество правил вывода S, допустимых в
пропозициональной логике А, является базисом для всех допустимых в А правил, если для любого допустимого правила г справедливо S \-\ г, т. е. г является следствием 5 в А. Допустимость правил вывода в IPC можно выразить через их истин ность в некоторых специальных п-характеристических
моделях Крипке.
Описание этих моделей Cuipc(ft) и критерий для распознавания допу стимости в IPC с помощью этих моделей приводятся, например, в [10]. Поскольку данная техника будет необходима, напомним конструкцию Chipc{n) и семантический критерий распознавания допустимости. Дано множество Рп := {рь...,Рп} пропозициональных переменных; строим первый слой Si(C7iipc(rc)) следующим образом. Он состоит из на бора всех элементов со всевозможными означиваниями V переменных из Р п , не имеющих дублей — элементов с одинаковым означиванием. Напо мним, что для любого элемента а модели Крипке Ж с означиванием У, V(a) — это множество всех пропозициональных переменных, истинных при V на а. Предположим, что 5 m (Cftipc(ra)) Slm+i(Ch\(m))
уже построен, и определим
следующим образом. Возьмем произвольную антицепь У
элементов из 5m(C7&ipc(wi)), содержащую хотя бы один элемент глубины ??г, и поместим элементы из Si(Chjpc(n))
в Slm+i(Ch?pc(n))
как новые эле
менты с, полагая, что все с являются ко-покрытиями для У при условии, если (i) V(c) С П V(a); (ii) V(c)C ^(а),когдаУ : = { * } . Продолжая эту процедуру, в результате получаем модель Chjpc(n). Напо мним, что модель Ж является n-характеристической для логики А, если для любой формулы а, построенной на переменных из Рп, а 6 А тогда и только тогда, когда JVC ih а. Нам потребуется Т Е О Р Е М А 1.3 (см. [10, теор. 3.3.11]). Модель ChWc(n) п-характеристической
для логики IPC.
является
Описание базиса в полу редуцированной форме
725
Для заданного фрейма 3\ заданного означивания V и данного прави ла вывода г := oil,..., а п //3 говорят, что г истинно на У при У, и обозначают 'J \\~у г, если при Уж £ 3* Уг (ж Ihv о?,-) имеем Уж € 'J(x \\-у /3). Правило г истинно на интуиционистском фрейме iF, если г истинно на IF при любом интуиционистском означивании, и тогда пишем ЗЧН г. Т Е О Р Е М А 1.4 [10, теор. 3.5.8 и лемма 3.4.2)]. Правило вывода г является допустимым в IPC в том и только в том случае, если г ис тинно на фрейме Chipc{n) щш любом интуиционистском
означивании
для любого п. Опишем построение эквивалентных полуредуцированных форм для произвольных интуиционистских правил вывода. Пусть дано правило г :~ := с*17..., cxn/f3. Чтобы трансформировать г в полуредуцированную форму, потребуются следующие шаги. Вначале возьмем правило г\ := ах Л ... ... Л ап//3, а затем правило ах Л ... Л ап Л (/3 = ж0) Жо
где XQ — новая переменная, не встречающаяся в г\. Очевидно, что все пра вила вывода г, Г! и г2 эквивалентны относительно допустимости в любой суперинтуиционистской логике и относительно истинности в любой псев добулевой алгебре, а также относительно истинности на любом фрейме, т. е. они эквивалентны в любом семантическом смысле. Правило г2 имеет форму а/жо, теперь следует разложить посылку Г2, вводя новые переменные с целью максимально упростить формулы посылки. Рассмотрим правило Гз
—
ж, ж ~ а . ? ж0
где ж - новая переменная, не встречающаяся в гг; очевидно, что гз экви валентно V2 в любом из рассмотренных выше смыслов. Назовем переменную ж из посылки гз главной переменной посылки и обозначим ее ти(гз). Предположим, мы уже имеем правило г±, эквива лентное г, в форме _ Ж, ЖХ = 7 b - ^ f c
^lk
726
В. В. Рыбаков, М. Терзилер, В. В. Римацкий
где ни одна из переменных Х{ не входит в формулу 7iВозьмем первую формулу л из посылки, которая не является тер мом, т.е. либо (i) 7» = <Ji о 62) где о £ {V,Л,-*}, а 8\ или 82 не являются переменными, либо (ii) 7i — - ^ где 5 не является переменной. В случае (i) полагаем ._ ж, {XJ ЕЕ 7j? 1 1 ^ j < г, г < J ^ k}, yx=Suy2
= $2,х% = У\ °№
'5 *
1 XQ
где у\ и у2 — новые переменные, не входящие в г 4 . Для случая (ii) полагаем x,xi i~ 7 b » . j ^ - i =7«-i»«i+i =7i+b-M^fc = 7*1!/ = S,xi = -\у Г5 : =
}
где у является новой переменной, не входящей в г 4 . Продолжая описанную процедуру до тех пор, пока все формулы 7* не станут простыми термами — применениями одной логической связки к переменным, получаем правило sr(r). Назовем его полуредуцировапной формой правила г. Напомним, что mv(sr(r)),
главная переменная правила sr(r), ~ это переменная х, входя
щая в посылку sr(r) как формулы х. Л Е М М А 1.5. Правила sr(r) и г равносильны относительно допу стимости в любой суперинтуиционистской
логике и относительно ис
тинности на псевдобулевых алгебрах и моделях Крипке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно проверить эквивалентность пра вил на любом: шаге разложения посылок. Если эта проверка доставляет сложности читателю, он может обратиться к схеме доказательств леммы 3.1.3 и следствия 3.1.10 из [10]. • Л Е М М А 1.6. Любое правило г является следствием правила sr(r) в любой суперинтуиционистской
логике А, т. е. sr{r) Ьд г.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выбирая посылки в г как предположения (ги потезы), выведем заключение г в IPC. Можно применить правило sr(r), подставляя вместо переменных ж,-, находящихся в левой части формул эк вивалентности в посылке sr(r), формулы из правой части соответствую щих эквивалентностей, перемещаясь последовательно от переменных хг, обозначающих простейшие подформулы, до главной переменной правила
Описание базиса, в полуредуцированной
форме
727
sr(r). Как результат такого применения правила sr(r) выводим, используя посылку правила г, заключение г. •
§ 2. Базисы в полуредуцированной форме Пусть Var(sr(r))
— множество всех переменных правила sr(r) в
полуредуцированной форме. Ниже через Pr(sr(r))
обозначается множе
ство всех посылок правила sr(r), и через Con(sr(r))
— заключение этого
правила. Введем множество Ъ, состоящее из всех правил вывода в полуре дуцированной форме, для которых опровергается хотя бы одно из условий (i)—(vi), определенных ниже для произвольных переменных x,xi,x2
из
Var sr r
sr{r) и для произвольного подмножества У из 2
( ( ^:
(i) VS G У [х £ S&x = хх Л х 2 G Pr{sr(r)) =» (хх G S) Л (х 2 £ S)]; VS G У [х = хх Л х 2 £ Pr{sr(r))k{x!
G Skx2
£ S) => (ж G 5)];
(ii) V5 G У [ж £ Skx ~xiW x2 £ Pr{sr{r)) =4> ( ц G 5) V (x2 G 5)]; VS G У [x = xi V x 2 G Pr(.sr(r))&x, G S(* = 1 V t = 2) =>• (x G 5)]; (Hi) VS G У [x G S&x = (xi -»• x 2 ) G Pr(sr(r)) =>• V5i G У(5 С 5i => (xi G 5i => x 2 G 5i))l; VS G У [x = (xx -4 x2) £ Pr(sr(r)) => [(V5i G У(5 С Sx => (xi £ 5i =» x 2 G Si))) =» x G S]]; (iv) VS G У [x G S&(x = -nxj) G Fr(sr(r)) => [VSX G y(S С Sj =» xx $ Si)]]; VS G У [x = -ixi G Pr(sr{r)) => [VSi G y(S С Si => xi $? 5i) =» (x G S)]]; (v) Vfc > 1 VSj,..., Sfc G У 3S G У [5 С Si П ... П Skk (a) [x = -.Xi G Pr(sr(r))& (x G S t П ... П Sk)] =» (x G 5)& (b) [x = (xi -+ x 2 ) G Pr(sr(r)) k{x G Si П ... П Sfc)] => (x G S) V (x! G S&x 2 £ S)]; (vi) VS G \j(mt;(sr(r)) G S) &3S G У(х0 £ S).
728
В. В. Рыбаков, М. Терзилер, В. В. Римацкий Читатель может заметить, что условия (i)—(iv) выглядят как свой
ства максимальных непротиворечивых теорий в канонической модели Крипке для IPC, а условия (v) и (vi) более специальные и необходимы для того, чтобы выявить эффекты, связанные с истинностью правила вывода sr(r). Т Е О Р Е М А 2.1. Множество Ъ является базисом всех правил вы вода, допустимых в IPC. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала необходимо проверить, что все пра вила из Ъ являются допустимыми в IPC. Л Е М М А 2.2. Для любого sr(r) Е Ъ, sr(r) допустимо в IPC. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Тогда, по теоре ме 1.4, правило sr(r) опровергается на фрейме некоторой модели Chipc(n) (для подходящего п) означиванием W, т. е. Va Е Pr(sr(r))[Chjpc(n)
\\~w <*], Chipc{n)\fwXQ.
(1)
Для любого a Е Chipc(n) через W(a) обозначается множество {х{ \ Xi Е Var(sr(r)),a
\\~w £*}• Пусть У := {W(a) | а 6 С7&ют(гс)}. Утверждаем,
что все условия (i)—(vi) из определения Ъ выполняются для выбранного У, а это приведет к противоречию с определением Ъ. Для проверки (i) предположим, что 5 Е У, х Е S и х = х\ Л х2 Е Е Pr(sr(r)).
Тогда, по определению У, существует а Е Cftipc(tt), Для ко
торого W(a) = 5. Поэтому а \\-\y
х и
(1) влекут a Ibw (х ~ х\ Л ж2),
следовательно, а \\-цг х\ Л х2, а \\-\y х\ к а \\-цг %2, отсюда х\ Е S и х2 Е 5 . Допустим, 5 Е У, ^ = xi Ля 2 € Pr(sr(r)), a^i Е 5 и аг2 Е 5 . Тогда S = ТУ(а) для некоторого а, поэтому а Ihw #i, а Ihyj/ я 2 , а также a \\~w {% = #i Л ж2) по (1), следовательно, a Ibw x, x G S. Таким образом, (i) выполняется. Условие (ii) легко проверить аналогичным образом. Если 5 Е У, х Е S и х ~ х\\/ х2 € Pr(sr(r)),
то, по определению У, существует а Е Cuipc(rc)
такой, что W(a) = 5 . Следовательно, a Ibjy ж и (1) влекут a \\~w (ж = = х\ V я 2 ). Отсюда а Ib^ #i V £ 2 , причем а Ibjy #i или а Ibjy ^2, поэтому #i E S или х2 Е 5. Теперь предположим, что х = Ж] V ж2 Е P r ( s r ( r ) ) ,
Описание базиса в полуредуцированной
форме
729
a xi Е S или Х2 Е S. Как и ранее, имеем S = W(a) для некоторого а, следовательно, a \\~w х\ или a \\~w #2> и, кроме того, a \\~w (x = #i V #2) по (1), поэтому а Ibw a? и ж € 5 . Следовательно, (ii) также выполняется. Переходя к (Ш), предположим, что S Е У, х Е S и ж = (#i—>#2) Е Е P r ( s r ( r ) ) . Опять, по определению У, существует а Е Chipc(n)
такой,
что W(a) = 5 . Поскольку а 1Ьур ж, в силу (1) получаем a \\~w x = (^i—>^2)^ и a \t-\y х влечет a \\~w x\-±X2- Пусть S\ E У и 5 С Si, тогда ж Е Si. Опять S] = W(ai) для некоторого a\ E C/iipc(w). Тогда «i \\-\v ж, и следователь но, по (1), ci\ \\~w Х1-ЧЖ2. Отсюда а\ \\~w #1 и а\ Ww £i-»£2> если a?i E Si, поэтому ai Ihvr Х2 и ^2 Е Si» Для доказательства второй части (iii) предположим, что задано неко торое S Е У и х = (^i—)-^2) E jPr(5r(r)) и, кроме того, для любого Si E У, где S С Si, выполняется ж2 Е Si, если £i E Si. Напомним, что S = ТУ (а) для некоторого а. Пусть а <. а\ и ах Ibw #i- Поскольку W — интуи ционистское означивание, т.е. стабильно вверх, имеем W(a) С W(ai), и Si := W(ai) Е У* Еще х\ Е W(ai), и тогда, соответственно нашему пред положению, X2 E W(ai)1 поэтому а\ \\-цг Х2- Значит, a \Vyy х\-±Х2, и по (1) выполняется а \\-\y х = ($i->£2)> тогда а \\-\y х, х Е W(a) = S. Рассмотрим условие (iv). Пусть S Е У и х Е S. Предположим, что х ™ -ix 1 Е Pr(sr(r)).
Как и прежде, по определению У, существует
a E Chipc(n), для которого W(a) — S. Следовательно, а Ibjy ж, и но (1) получаем a \\~w ж = -1X1. Поэтому a Ibjy -1Ж1. Пусть Si E У и S С Si, тогда х Е Si. Как и раньше, Si = W{a\) для некоторого а\ Е CTiipc(ft), следовательно, а\ \\~w х, и по (1), а\ \\~w ""^ъ тогда ail/tyXi, т - е * ж1 ^ ^ ь Переходя ко второй части (iv), предположим: задан S Е У, х = -uri E Е Pr(sr(r)) и xi ^ Si для любого Si E У такого, что S С Si. Как всегда, S ~~ W(a) для некоторого а. Пусть а < ai,W
— интуиционистское означи
вание (т.е. стабильно вверх), поэтому W(a) С W(ai), и Si := W{a\) Е УПрименяя наше предположение к Si, получаем х\ $ W(ai),
тогда
axiy-^yXi* Поскольку последнее выполняется для любого а\ с рассмотрен ными свойствами, получаем a \\~w ~"»£ь и по (1), a \\~w x = -ixi, значит, a Ihvv ^ и ж Е W(a) = S.
730
В. В. Рыбаков, М. Терзилер, В. В. Римацкий Теперь рассмотрим (v). Предположим, задан некоторый набор мно
жеств Si, ...,Sfc из У, где к > 1. По выбору множества У существуют эле менты а ь ...,а& Е Chipc(n) такие, что Si :- W(ai), ...,Sfc := И 7 " ^ ) . Если имеется <-наименьший элемент щ среди ai,...,afc, положим Ь := а,-. Иначе по построению модели Chipc(n)
(см. выше) существует
элемент b Е C / I I N T ( ^ ) ~ ко-накрытие антицепи минимальных элементов среди ai, ...,a*;. Другими словами,
^+ = U 4Фиксируем некоторый Ь. Пусть S := W(6). Тогда S Е У, и остает ся проверить требуемые свойства. Поскольку b < щ для любого % и W представляет собой интуиционистское означивание (стабильно вверх), по лучаем S С S] П ... П Sfc. Для проверки (а) предположим, что (х = -a*i) Е Pr(sr(r))
и жЕ
Е Si П ... П Sfc. Тогда ai Ibw я> •••> Gfc I(~VK Ж. ПО (1) имеем
Поэтому a i l h ^ - 1 ^ ! , ... ,a^ i h w - i ^ i .
Так как Ь является ко-накрытием для минимальных элементов из а ь ..., а^, или наименьшим элементом среди а\1...,а^, получаем b \\-\y ix\.
Применяя
(1), выводим b \\~w (x = ""^l)? следовательно, Ь ll~w х и х £ W(b) = S. Чтобы проверить (Ь), предположим ж — (х\-*Х2) Е Pr(sr(r)) и ж Е Е Si П ...П Sfc. Тогда ai Ibvv ж, ...,afc Ihvj/ х, и по (1) ai Ww {x = (ж1->а?2))» — >a* l^w (я = (#1-»ж2))Следовательно, ах \VW (xi~>x2), ...,ajk I b y (а?1->ж2).
(2)
Пусть х £ S -- W(b). Значит, blj^z и, по (1), ЫН (я = (ж1~>ж2)), поэтому Wj^wiCi-^a^- В силу (2) и поскольку Ь — ко-накрытие для минимальных
Описание базиса в полуредуцированной форме
731
элементов из а1,...,а& (он уже не может быть (как прежде) наименьшим элементом среди ai,...,a& по нашему предположению), имеем b \У-\у Х\ и b\fwX2, т.е. х\ G S и Х2 0 5, что и требовалось доказать. Итак, (v) спра ведливо. Что касается (vi), по (1) существует a 6 C/IIPC(W), для которого ®^wxo- Положим S :~- W(a), тогда 5 € У и хо $• 5. Относительно первой части (vi): по (1), mv(sr(r)) является истинной на всех элементах Chipc{n)i и следовательно, rau(sr(r)) входит во все множества из У. • Л Е М М А 2.3. Каждое правило г, допустимое в IPC, является след ствием Ъ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что правило г допустимо в IPC, но не является следствием 33. Тогда по лемме 1.6 полуредуцированпая форма sr(r) правила г также не является следствием Ъ. В частности, отсюда следует, что sr(r) не принадлежит 23. В соответствии с определе нием 23, это означает, что существует множество У из 2Уаг(5Г(г)) такое, что все условия (i)—(vi) из определения 23 выполняются. Определим интуици онистскую модель Крипке М(У) на У следующим образом: M(¥):=flJ,C,V>, где С — обычное теоретике»-множественное включение и Уж 6
Var(sr(r))
VSey(Slh v a**a;eS). Легко заметить, что V является интуиционистским означиванием. Л Е М М А 2,4* Правило sr(r) опровергается на М(У) при означива нии V. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, по (vi) из определения 23 суще ствует S G У такой, что Siy-yXo. По (vi) это влечет, что mv(sr(r))
истинна
при означивании V на любом элементе из ЗУС(У). Пусть S Е У. Следует показать, что любая формула — эквивалентность из Pr(sr(r))
— является
истинной на 5 при означивании V. Проверка данного факта — это доволь но рутинный вывод из свойств (i)—(v) нашего определения 23, тем не менее мы проделаем его ниже. Предположим, что х = х\ Л£2 Е Pr(sr(r)).
Пусть
732
В. В. Рыбаков, М. Терзилер, В. В. Рим&цкий
S Ihv х. Применяя (i) из определения В, получаем х\ G 5 и Х2 G 5, т.е. 5 Ihv #i, 5 Ihv X2 и 5 Ihv xi Л х2. Следовательно, если 5 Ihv х\ Л Ж25 то 5 Ihv х\ и 5 Ihv £2, значит, #х G 5 и х2 G 5. Используя (i), получаем x G 5 и S Ihv ж. Рассмотрим случай, когда (х = х\ V я 2 ) € Рг(«г(г)). Предположим, что S Wy х. Тогда х G 5, и по (ii) из определения *В имеем жх G S или ^2 £ 5 . Следовательно, 5 Ihv #x или S \\-у х2, поэтому S \\~у х\ У х2. Предположим теперь, что S Ihv х\ V х2; тогда 5 Ihv a?x или 5 Ihv #2> поэтому х\ G 5 или #2 £ 5; применяя (ii), получаем ж G 5, значит, 5 Ihv ж. Пусть х = (#х—^2) 6 Pr(sr(r)),
S Ihv ж, 5 С 5х и 5х Ihv х\. Тогда
#i G 5 ъ и используя (ш), из определения 3 получаем Х2 G 5х и 5х Ihv х2. Следовательно, 5 Ihv (a?i—>х2). Предположим теперь, что S Ihv
х\-+х2.
Рассмотрим произвольное S\ G У, для которого S С 5х- Пусть #х G 5i, тогда 5х Ihv xi\ поскольку S С S\, то S\ Ihv £2 и х2 G 5х- Применяя (iii), получаем х G 5 и 5 Ihv ж. Рассмотрим теперь оставшийся случай, когда (ж = -пжх) G JPr(sr(r)). Пусть 5 Ihv £ и 5 С Sx- Применяя (iv) из определения 23, заключаем, что ^1 ^ 5х и SilfyXi.
Следовательно, 5 Ihv - ^ I . Пусть теперь S Ihv -»#i. Для
того, чтобы применить (iv), рассмотрим произвольное S\ G V, для которого S С Si. Тогда S Ihv -*х\ влечет S\\)f-yXi и Х\ 0 5х- По (iv) получаем ж Е 5 И S Ihv Ж. Таким образом, для любой формулы х = хх о аг2 из P r ( s r ( r ) ) , где о является произвольной связкой, доказано, что 5 Ihv x<=>5 Ihv x\ о х2 для любого 5 G У- В силу произвола при выборе 5 имеем 5 Ihv (х = #х о ж2) для каждого S G У- Аналогично для (ж = -ia?x) G Pr(sr(7^)) докажем, что 5 Ihv £<^S Ihv ~4£i для любого 5 G У. А поскольку 5 произвольно, имеем 5 Ihv {х = ~ixx) для любого 5 G У- Таким образом, посылка правила sr(r) является истинной на М(У) при V, а заключение нет. • Продолжим доказательство леммы 2.3. Заметим, что фрейм моде ли 3Vt(y) является открытым подфреймом фрейма модели Chjpc(n)
п-характеристической
при некотором п (достаточно взять п ^ ||М(У)||, так
как все, что нам потребуется, представлено уже там). Например, имеем
Описание базиса в полуредуцировалной
733
форме
М(У) С Chipc(n), и наша цель — распространить означивание V из М(У) на C^ipc(rc) так, чтобы все формулы из Pr(sr(r)) остались истинными на всех элементах из
Ch\pc(n).
Определим расширение означивания V на всей модели Ск\рс{п) по слойно, сверху вниз. Вначале определим V на первом слое Рассмотрим множество Xi := [Sh(Chipc(n))
S\(Chipc{n)).
- JVC(V)] и фиксированный
элемент a £ S\(M()A)). Определим V(b) := V(a) для любого b £ Х\. По скольку оба а и b - элементы глубины 1, истинность всех формул на a и Ь совпадает, а так как выполняется a Ihy а для любого a £ Pr(sr(r)), получаем b Ihy а для любого a £ Pr(sr(r)), что и требовалось доказать. Итак, имеем Va € Pr(sr{r))W£
Sh(ChiPc(n))UM(4)[b\\-v
<*],
т.е. все посылки правила зг(г) истинны на всех элементах из множества 5/1(С7г1Р С (п))1Ш(У). Предположим, что мы уже расширили область определения означи вания V на Sm(Ch\pc{n))
U М(У) так, что V совпадает с означиванием
модели JVC (У) на ней самой, и Vb G 5то(СЛп>с(п)) U MO0, Va E Pr(er(r))[b Ihy a],
(3)
V6 б [5то(СЛп>с(п)) - М(У)],Зи 6 3VC(«)(V(IA) - V{b)).
(4)
Рассмотрим произвольный элемент с £ Slm+i(Chipc{n))
— JVC (У). Ес
ли (с- ~ {с}) = 6~ для некоторого 6, то b — элемент глубины га и V уже определено на Ь. В данном случае полагаем V(c) := V(6). Поскольку с является непосредственным ^-предшественником b и дублем, истинность всех формул на с и 6 при означивании V совпадает, а, используя (3), по лучаем с \\~у а для любого a £ Pr(sr(r)),
что и требовалось доказать.
Предположим теперь (с- - {с}) = bf U ... U b | , где (г > 1 и все Ь« являются <-несравнимыми. Итак, все элементы 6,- имеют глубину не бо лее га, V уже определено на них и по крайней мере один имеет глубину га, В соответствии с (4) для любого 6, существует Si £ М(У), для кото рого V(bi) = "^(5,-), и, по определению JVt(V), V(Si) := S^, следовательно, V(b4) = S;, l ^ i O ,
734
В. В, Рыбаков^ М, Терзилер, В, В, Римацкий Применяя (v) из определения Ъ к выбранным Si,...,Sfc, получаем,
что существует S Е У с требуемыми в (v) свойствами. Зафиксируем неко торый такой S и определим V(c) := V(S) = S. Теперь следует показать, что все посылки sr(r) истинны на любом с из [Slm+i(ChiNT(n))
— 3VC(V)]
при выбранном означивании V. Для этого потребуется Л Е М М А 2.5. Выполняется Va Е Pr(sr(r))[(M(y),S).lby a=>c Ihv a)].
(5)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала заметим, что для любой переменной х из
Var(sr(r)) {M(y)}S)U-vx&c\\-vx)
выполняется непосредственно по определению V на с. Если a = х = xiAx 2 или а = а: == xi V ^2? то истинность этих формул на с и 5 зависит только от истинности входящих в них переменных на данных элементах, которая, как мы уже заметили, одинакова. Следовательно, (3VC(V),S) Ihv х = (#i о £2)<=>с Ihv ж = (xi о х*2) выполняется для о := V,A и (х = (#i о х 2 )) Е Pr(sr(r)). Предположим, что а = [ж = (xi->x 2 )] и 5 Ihv а. Пусть с < d. Если с < d, то существует 6t такой, что 6; < d. По (3), 6, lh а, и поскольку ис тинность формул на интуиционистской модели стабильна вверх, получаем d ihv &, что и требовалось доказать. Пусть теперь с = d. Если с Ihv x, то ж G V(c) = 5 . Если с < и, то У (с) = 5 С V(w) и У(гг) = 5i для некоторого 5i Е Е М(У) либо по выбору означивания V на элементах глубины т + 1, либо по (4), т. е. 5 С S\. Поэтому в силу (iii) и из определения Ъ получаем х\ Е Е 5i=>^2 Е Si, или, иными словами, [u Ihv a?i]=»[x2 ihv #2]- Следовательно, выполняется с Ihv х\-+Х2Обратно, предположим, что с Ihv £i~*#2- Тогда, в частности, &1 Ihv Xi~^X2l
..., bfc Ihv Я1—ИС2
Описание базиса в полу редуцированной форме
735
и, применяя (3), получаем Ъ\ Ihy ж, ..., bk Ihy х. Поэтому ж Е 5 i , ..., х 6 5fc. Используя (v) из определения В, получаем, что справедливо одно из следующих условий: (1)
xeS,
(2) xi G S и х2 $ S. Случай (1) — это в точности то, что требуется: х G S и с Ihy х. Случай (2) невозможен, так как тогда выполнялись бы с Ihy #i и dfyx
Х2. Итак, с Ihy ж. Значит, с Ihy a. Рассмотрим оставшийся случай, когда a = [ж = —ia?i] и 5 Ihy a. Пусть с < d. Как и прежде, если с < d, то существует 6; такой, что Ь{ < d. Применяя (3), получаем Ь{ 1Ь а, и в силу стабильности интуиционистских формул вверх выполняется d Ihy а. Рассмотрим теперь случай, когда d = = с. Пусть с Ihy х, т. е. х 6 V(c) = 5 . Для любого и из с < и вытекает У (с) = 5 С V(ti). По (4) или по выбору означивания V на элементах глубины ra-fl имеем V(u) = 5i для некоторого Si G ЭУС(У), таким образом, S С 5i- Поэтому, используя (iv) из определения 23, выводим х\ $ Si, значит, ttl/yzi. Следовательно, с Ihy -1X1. Допустим теперь, что с Ihy -\Х\. Тогда, как и ранее для случая —», bx Ihy -~.хь ..., Ък Ihy - i x b и используя (3), непосредственно выводим 6'1 Ihy х, ..., 6^ Ihy x.
Поэтому х G 5i,...,x G S b Применяя (а) из пункта (v) определения мно жества В, заключаем, что х G S, а это влечет с Ihy x. Итак, исчерпав все возможные случаи, получаем, что с Ihy a всегда выполняется, и отношение (5) доказано. П Прежде чем продолжить доказательство леммы 2.3, заметим, что по лемме 2.4 все посылки правила sr(r) истинны в модели М(У) на любом ее
736
В, В, Рыбаков, М. Тврзилер, В, В, РямацкиЙ
элементе при означивании V\ Следовательно, применяя лемму 2.5, полу чаем ¥Ь е Sm+1(ChjpC(n)
U М(У), Va € Рг(sr(r)),blhy a f
т, е, аналог (3) выполняется для тп + 1, Что касается аналога (4) для ш + 1, он выполняется просто по выбору означивания V на элементах глубины т + 1. Итак5 указанным способом продолжаем (расширяем) означивание V на все элементы из Cftipc(rc). Заключение правила аг(г) ложно уже на модели ЩУ) при означивании V, и Ж(У) С (Cfeipo(w), V), т.е. заключе ние правила sr(r) ложно и на модели (Chjpc(n),V).
По (3) все формулы
из посылки правила вг(г) истинны на Cftipc(rc) при V. Таким образом, V опровергает правило вывода зг(г) на Chipc(n). Используя теорему 1.4, получаем, что правило sr(r) не является допустимым в IPC и само г (лем ма 1.5) не будет допустимым в IPC. Получили противоречие с нашим пред положением, и лемма 2.3 доказана. D Теорема 2.1 непосредственно следует из лемм 2.2 и 2.3, • Выведем алгебраический аналог нашей теоремы» Известно, что пра вило вывода г := « i , --? ап/0 допустимо в IPC в том и только в том случае, если квазитождество q(r) := <*i = Т Л ... Л ап - Т=>/3 = Т истинно в свободной псевдобулевой алгебре счетного ранга Зтрс(^) (см« [3] или [10]). И наоборот, квазитождество q :=
ai
= ft Л .... Л а п = / З п ^ ^ = /3
истинно в 3ipc(w) в том и только в том случае, если правило r{q)
ai =/3i,....,g w = ftw а = /3
допустимо в IPC. Более того, если 9 — это набор правил вывода, кото рый является базисом для всех допустимых в IPC правил, то множество квазитождеств q(S) := {q(r) | г Е 3} будет базисом для квазитождеств, истинных в &JPC(U) ( см - [10, теор. 1.4.15]). Следовательно, непосредственно из теоремы 2.1 вытекает
Описание базиса в полуредуцированной
форме
737
С Л Е Д С Т В И Е 2.6, Множество д(!В) := {q(r) | г € Ъ}, где Ъ явля ется базисом для допустимых правил в IPC, который состоит из правил в полуредуцированной форме (указан в теореме 2.1), будет базисом для квазитождеств свободной псевдобулевой алгебры
f
J\pc{u)-
Разработанный выше подход для описания базиса допустимых пра вил вывода в полуредуцированной форме также можно применить и для других суперинтуиционистских логик. Например, рассмотрим логику за кона слабого исключенного третьего: КС := IPC ®-ip V -i-ip. Она являет ся финитно аппроксимируемой и порождена всеми корневыми конечны ми частично упорядоченными множествами с наибольшим элементом. Ее п-характеристическая модель выглядит следующим образом: С^кс(^) ~~ прямое объединение [_\У$х всех моделей WX} каждая из которых являетх ся подмоделью CTfcipc(w), состоящей из всех элементов C / I I P C ( ^ ) , меньших (<~меньших) в точности одного фиксированного элемента х глубины 1 из CTbiPc(ra). Другими словами,
СЛкс(п) :=
[J
Wx,
xeSh(ChlPC(n)) \WX\ := {6 | b e CTIIPC(B), b < xkh^ П Si(Chwc{n))
= {x}} .
To, что это действительно n-характеристическая модель для КС, следует, например, из [10, теор. 3.3.11], Пусть S(KC) — множество всех правил вывода в полуредуцирован ной форме, удовлетворяющих условиям (i)—(vi) из определения базиса Ъ для IPC (см. выше) и дополнительному условию: (vii)3So£y(V5ey[5C50]), т. е. У имеет наибольший элемент. Т Е О Р Е М А 2.7. Множество В (КС) является базисом для всех до пустимых в КС правил вывода. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО данного факта представляет собой простую модификацию нашего доказательства для теоремы 2.1. Действительно, Л Е М М А 2*8. Любое sr(r) Е В (КС) является допустимым в КС.
738
В. В. Рыбаков, М. Терзилер, В. В. Римацкий ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что это не так. Тогда суще
ствует означивание W, которое опровергает sr(r) на фрейме C / I K C ( ^ ) ДОЯ некоторого п (по теор. 3.5.8 и лемме 3.4.2 из [10]). При этом заключение sr(r) опровергается на некоторой компоненте Wx модели Ch^c(n).
Теперь
определяем У точно так же, как и в доказательстве леммы 2.2, но предпо лагаем, что элементы а выбираются из множества W^. Тогда У будет удо влетворять (vii) из определения В (КС), поскольку Wx имеет наибольший элемент. Дальнейшее доказательство точно такое же, как в лемме 2.2. D Л Е М М А 2.9. Если правило г допустимо в КС, то г будет след ствием В (КС). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть г является допустимым в КС, но не является следствием В(КС) в КС. По лемме 1.6, sr(r) также не является следствием В (В) в КС, поэтому sr(r) не входит в В (КС). Значит, суще ствует подмножество У из 2Уог(*г(г)), для которого выполняются условия (i)—(vi) и (vii) из определения В(КС). Определяем модель М(У) точно так же, как в доказательстве леммы 2.3, и продолжаем по аналогии доказа тельство. Аналог леммы 2.4 имеет такое же доказательство. Теперь заме тим, что М(У) будет открытой подмоделью компоненты Wx из СНкс(п) для некоторого п. Чтобы распространить означивание V из М(У) на всю СНкс(п), определим сначала V на всех элементах компонент W y , отличных от Wx, как совпадающее с означиванием V на фиксированном максималь ном элементе М(У). А затем доопределим V на всех элементах W x , как и в доказательстве леммы 2.3, что завершит доказательство. D Теорема 2.7 непосредственно следует из лемм 2.8 и 2.9. • Так же как и для случая интуиционистской логики IPC, можно, ис пользуя данную теорему, задать базис квазитождеств свободной псевдобу левой алгебры З к с ( ^ ) из многообразия F a r (КС). Интересно, возможно ли эффективно получить описание базиса для допустимых правил других важных суперинтуиционистских логик, ис пользуя разработанную технику аппарата правил вывода в полуредуци рованной форме. Значительный интерес представляет вопрос: существует ли незави-
Описание
базиса в полуредуцированной
форме
739
симый базис д л я допустимых правил интуиционистской логики IPC? Се годня в универсальной алгебре существует много результатов, связанных с независимой аксиоматизируемостью многообразий и квазимногообразий. В нестандартных логиках также рассмотрены различные аспекты незави симой аксиоматизируемости (см., например, [13] или [14]). Известно, что иногда д а ж е табличные суперинтуиционистские логики не имеют незави симого базиса допустимых правил вывода (см. [12, теор. 4.5.3]), но д л я I P C вопрос остается открытым.
ЛИТЕРАТУРА 1. H.Friedman, One hundred and two problems in mathematical logic, J. Symb. Log., 40, N 3 (1975), 113-130. 2. В, В. Рыбаков, Критерий допустимости правил в модальной системе S4 и интуиционистской логике, Алгебра и логика, 23, N 5 (1984), 546—572. 3. В. В, Рыбаков, Базисы допустимых правил логик S4 и Int, Алгебра и логика, 24, N 1 (1985), 87-108. 4. В, В. Рыбаков, Базисы допустимых правил модальной логики Grz и интуи ционистской логики, Матем. сборник, 128 (170), N 3 (11) (1985), 321-338. 5. V. V. Rybakov, Logical equations and admissible rules of inference with parameters in modal provability logics, Stud. Log., 49, N 2 (1990), 215—239. 6. А. И.Циткпн,
О допустимых правилах интуиционистской логики выска
зываний, Матем. сборник, 102 (144), N 2 (1977), 314-323. 7. V. V. Rybakov, Problems of substitution and admissibility in the modal system Grz and intuitionistic calculus, Annals Pure Appl. Logic, 50, N 1 (1990), 71— 106. 8. V. V. Rybakov, Rules of inference with parameters for intuitionistic logic, J. Symb. Log., 57, N 3 (1992), 912-923. 9. V. V. Rybakov, Criteria for admissibility of inference rules. Modal and intermediate logics with the branching property, Stud. Log., 53, N 2 (1994), 203-225. 10. V. V. Rybakov, Admissibility of logical inference rules (Studies Log. Found. Math., 136), Amsterdam, New York, Elsevier Science Publ. B. V., 1997.
740
В. В, Рыбаков, М. Терзилер, В. В. Рим&цкий
11. A.ChagroVj M.Zakharyaschev, Modal logics (Oxford Logic Guides, 35), Oxford, Clarendon Press, 1997. 12. R. Wojcicki, Theory of Logical Calculi, Dordrecht, Kluwer Press, 1988. 13. F. Chagrov, M. Zakharyaschev, On the independent axiomatizability of modal and superintuitionistic logics, J. Log. Comput., 5, N 3 (1995), 287—302. 14. P. Wojtylak, Independent axiomatizability of Sets of Sentences, Annals Pure Appl. Logic, 44, N 3 (1989), 259-299.
Адреса авторов:
Поступило 9 июня 1998 г.
РЫБАКОВ Владимир Владимирович,
TERZILER Mehmet,
РОССИЯ,
Department of Mathematics,
660049, г. Красноярск,
Science Faculty,
пр. Свободный 79,
Ege University,
Красноярсеий гос. университет,
35 100 Bornova-Izmir,
математический факультет.
TURKEY,
e-mail: [email protected]
e-mail: [email protected]
Istanbul University
РИМАЦКИЙ Виталий Валентинович,
Istanbul TURKEY.
РОССИЯ,
e-mail: [email protected]
660049, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, КГУ, математический факультет.