Математический кружок. 7 класс

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Œ «»© ¬¥µ ­¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ´ ª³«¼²¥² Œ…’Ž„ˆ—…‘Š€Ÿ €‡€Ž’Š€ ‚…—……ƒŽ Ž’„…‹…ˆŸ ŒŒŒ”

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Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ª°³¦®ª 7 ª« ±±

Œ®±ª¢  2001

“„Š 51(023) ‘72 Š 22.1 ‘72

€«¥ª± ­¤° ‚ ±¨«¼¥¢¨· ‘¯¨¢ ª

Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ª°³¦®ª. 7 ª« ±±. Œ¥²®¤¨·¥±ª ¿ ° §° ¡®²ª  ¢¥·¥°­¥£® ®²¤¥«¥­¨¿ ŒŒŒ”. | Œ.: ˆ§¤-¢® ¬¥µ ­¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ´ ª³«¼²¥²  ¨ ¶¥­²°  ¯°¨ª« ¤­»µ ¨±±«¥¤®¢ ­¨©, 2001, | 72 ±. °®¸¾°  ­ ¯¨± ­  ¯® ¬ ²¥°¨ « ¬ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ª°³¦ª  ¤«¿ 6{7 ª« ±±®¢, ° ¡®² ¢¸¥£® ¢ 1999{2000 ³·¥¡­®¬ £®¤³ ¢  ³¤¨²®°¨¨ 14{08 £« ¢­®£® §¤ ­¨¿ Œƒ“.

c €. ‚. ‘¯¨¢ ª, 2001

c Œ¥µ ­¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ´ ª³«¼²¥² Œƒ“, 2001

”®°¬ ² 60



90 1/16. Ž¡º ¥¬ 4,5 ¯¥·. «. ’¨° ¦ 500 ½ª§. ‡ ª § 26. ®¤¯¨± ­® ª ¯¥· ²¨ 17 ´¥¢° «¿ 2001 £. Ž°¨£¨­ «-¬ ª¥² ¨§£®²®¢«¥­  ¢²®°®¬.

ˆ§¤ ²¥«¼±²¢® –ˆ ¯°¨ ¬¥µ ­¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬ ´ ª³«¼²¥²¥ Œƒ“, £. Œ®±ª¢ , ‚®°®¡¼ ¥¢» £®°» ‹¨¶¥­§¨¿ ­  ¨§¤ ²¥«¼±ª³¾ ¤¥¿²¥«¼­®±²¼ ‹ Â040746 ®² 12.03.1996 £. Ž²¯¥· ² ­® ± ®°¨£¨­ «-¬ ª¥²  ­  ²¨¯®£° ´±ª®¬ ®¡®°³¤®¢ ­¨¨ ¬¥µ ­¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ´ ª³«¼²¥²  ¨ ´° ­ª®-°³±±ª®£® ¶¥­²°  ¨¬. €. Œ. ‹¿¯³­®¢ 

°¥¤¨±«®¢¨¥ –¥«¼ ­ ¸¥© ¦¨§­¨ ±²®«¼ ¡¥±±¯®°­ , ·²® §°¿ ­¥ ¬³· ©±¿, ¯°¨¿²¥«¼: ¬» ±¥¥¬ ¡³¤³¹¥£® § ¥°­ ,   ·²® ¢§®©¤ ¥² | °¥¸¨² ‘®§¤ ²¥«¼.

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¥°¢³¾ ±³¡¡®²³ ®ª²¿¡°¿ ª ¦¤»© £®¤ ¢ ¢»±®²­®¬ §¤ ­¨¨ Œƒ“ ¢ 16 · ±®¢ «¨´²» ¯¥°¥¯®«­¥­» | Œ «»© ¬¥µ¬ ² ­ ·¨­ ¥² ±¢®¾ ° ¡®²³. ²® §­ ·¨², ·²® ±®²­¨ ¸ª®«¼­¨ª®¢ ®¯¿²¼ ¯°¨¸«¨ ¢ ³­¨¢¥°±¨²¥² § ­¨¬ ²¼±¿ ¬ ²¥¬ ²¨ª®©. ¥°¢®¥ ±¢®¥ § ­¿²¨¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ª°³¦ª  ¿ ¯°®¢¥« ¢ 1984 £®¤³, ¡³¤³·¨ ±²³¤¥­²®¬ ²°¥²¼¥£® ª³°± . Œ­®£¨¥ ¡»¢¸¨¥ ¬®¨ ª°³¦ª®¢¶» ¯®±²³¯¨«¨ ¢ Œƒ“ ¨ ¤°³£¨¥ ¢³§», ­¥ª®²®°»¥ ³±¯¥«¨ § ª®­·¨²¼ ³·¥¡³, ³ ª®£®-²® ¤ ¦¥ ª®­·¨« ±¼  ±¯¨° ­²³° . ‚°¥¬¿ ¡»±²°®²¥·­®: ±²° ­ , ¢ ª®²®°®© ° ¡®² ¥² ŒŒŒ”, ³±¯¥«  ¨§¬¥­¨²¼ ¯«®¹ ¤¼, ­ §¢ ­¨¥ ¨ ¤°³£¨¥  ²°¨¡³²» (­¥ª®²®°»¥ | ¡®«¥¥ ®¤­®£® ° § ).   Œ «®¬ ¬¥µ¬ ²¥ ­¥² ³¦¥ ­¨ª®£® ¨§ ²¥µ, ± ª¥¬ ¿ ª®£¤ -²® ­ ·¨­ «. •®²¿ ³°®¢¥­¼ ¯°¨­®±¨¬»µ ¨§ ¸ª®«» §­ ­¨© ­  £« § µ ¯ ¤ ¥², ¢±¥ ¥¹¥ ¥±²¼ £« ¢­®¥ | ¦ ¤­»¥ ¤® §­ ­¨© ¸ª®«¼­¨ª¨, ­¥ª®²®°»¥ ¨§ ª®²®°»µ ¥§¤¿² ­  § ­¿²¨¿ ­¥ ­   ¢²®¡³±¥ ¨ ¤ ¦¥ ­¥ ­  ¬¥²°®,   ­  ½«¥ª²°¨·ª¥. ¥ ¨±²°¥¡«¥­ ¨±ª°¥­­¨© ¨­²¥°¥± ª ­ ³ª¥. ˆ µ®²¿ ¢ ­¥±ª®«¼ª¨µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ª« ±± µ Œ®±ª¢» ³¤ ¥²±¿ ¨§³· ²¼ ¬ ²¥¬ ²¨ª³ ­  ¡®«¥¥ ¢»±®ª®¬ ³°®¢­¥, ·¥¬ ­  ª°³¦ª µ ŒŒŒ” (¢¯°®·¥¬, ª ±®¦ «¥­¨¾, ² ª¨µ ¸ª®« ®·¥­¼ ¬ «®), ½­²³§¨ §¬ Œ «®£® ¬¥µ¬ ²  ¤®°®£®£® ±²®¨². ²  ¡°®¸¾°  | ª®­±¯¥ª² § ­¿²¨© ¬®¥£® ª°³¦ª . ’³² ¢ ¦­® ±«®¢® À¬®¥£®Á: ±¢®¡®¤  ¢»¡®°  ²¥¬ ¨ ¬¥²®¤¨ª¨ § ­¿²¨© ­  ŒŒŒ” ¤®¢®«¼­® ¢¥«¨ª , ¤°³£¨¥ ª°³¦ª¨ § ­¨¬ «¨±¼ ±®¢±¥¬ ¯®-¤°³£®¬³. Ž¤­® ¨§ £« ¢­»µ ®²«¨·¨© | ¡®«¼¸ ¿ · ±²¼ ¢°¥¬¥­¨ ­  ¬®¥¬ ª°³¦ª¥ ³µ®¤¨² ­¥ ­  ¯®¯»²ª¨ ¸ª®«¼­¨ª®¢ °¥¸ ²¼ § ¤ ·¨,   ­  ®¡±³¦¤¥­¨¥ °¥¸¥­¨© ¨ ° ±±ª § ® ±¢¿§ ­­»µ ± ²¥¬®© § ­¿²¨¿ ²¥®°¥¬ µ ¨ ¯®­¿²¨¿µ. Š ª ²®«¼ª® ª²®-²® °¥¸¨« ª ª³¾-²® ¨§ ¯°¥¤«®¦¥­­»µ § ¤ ·, ®­ ¢»µ®¤¨² ª ¤®±ª¥. 3

ˆ­®£¤  °¥¸¥­¨¥ ®ª §»¢ ¥²±¿ ®¸¨¡®·­»¬, ²®£¤  ª ¤®±ª¥ ¨¤¥² ¤°³£®© ³· ±²­¨ª ª°³¦ª , ¨ ² ª ¤ «¥¥. (€ ¥±«¨ ¢ ²¥·¥­¨¥ ¤®«£®£® ¢°¥¬¥­¨ ­¨·¥£® ­¥ ¯®«³· ¥²±¿, ²® ¿, ®²· ¿¢¸¨±¼ ¤®¦¤ ²¼±¿, ° ±±ª §»¢ ¾ °¥¸¥­¨¥ ± ¬.) „¢  · ±  ¢ ­¥¤¥«¾ | ½²® ®·¥­¼ ¬ «®, ®±®¡¥­­® ¥±«¨ ³·¥±²¼, ·²® ¢® ¢°¥¬¿ ±²³¤¥­·¥±ª®© ±¥±±¨¨ Œ «»© ¬¥µ¬ ² ­¥ ° ¡®² ¥². ®½²®¬³ ®±­®¢­ ¿ § ¤ ·  ª°³¦ª  | ­¥ ­ ³·¨²¼,   § ¨­²¥°¥±®¢ ²¼.  ±±ª § ® ¦³°­ «¥ ÀŠ¢ ­²Á, ®¡ ¨­²¥°¥±­»µ ª­¨£ µ, ®«¨¬¯¨ ¤ µ | ¢ ¦­ ¿ · ±²¼ ° ¡®²» ŒŒŒ”. ¥ ¬¥­¥¥ ¢ ¦­  ¤®¬ ¸­¿¿ ° ¡®²  | ¡¥§ ­¥¥ § ­¿²¨¿ ¬ «® ·¥¬ ®²«¨· «¨±¼ ¡» ®² ¯®µ®¤®¢ ¢ ¶¨°ª ¨«¨ §®®¯ °ª. ˆ µ®²¿ ¯®±¬®²°¥²¼ ­  ¦¨¢®£® ¬ ²¥¬ ²¨ª , ®ª § ²¼±¿ ±°¥¤¨ ³¬­»µ ±¢¥°±²­¨ª®¢ ¨ ¯®¤»¸ ²¼ ³­¨¢¥°±¨²¥²±ª¨¬ ¢®§¤³µ®¬ ± ¬® ¯® ±¥¡¥ ¯®«¥§­®, «³·¸¥ ± ¬®¬³ ­ ³·¨²¼±¿ °¥¸ ²¼ § ¤ ·¨. —²®¡» ¯®¬®·¼ ¢ ½²®¬ ±¢®¥¬³ °¥¡¥­ª³, ­¥ª®²®°»¥ °®¤¨²¥«¨ ¤ ¦¥ ±¨¤¿² ­  § ¤­¨µ °¿¤ µ  ³¤¨²®°¨¨ 14{08 ¨ § ²¥¬ ¤®¬  ®¡±³¦¤ ¾² ±®¤¥°¦ ­¨¥ § ­¿²¨¿, ¯»² ¾²±¿ ¤®°¥¸ ²¼ ²¥ § ¤ ·¨, ª®²®°»¥ ¬» ­¥ ³±¯¥«¨ ° §®¡° ²¼. (Œ¥¦¤³ ¯°®·¨¬, ª®£¤  ®¤¨­ § ¬¥· ²¥«¼­»© ¬ ²¥¬ ²¨ª, ®ª § ¢¸¨©±¿ §  ¯°¥¤¥« ¬¨ ‘‘‘, ¯®¯»² «±¿ ³±²°®¨²¼ ·²®-²® ¢°®¤¥ ª°³¦ª  ŒŒŒ” ¢ ®¤­®© ¨§ § ¯ ¤­»µ ±²®«¨¶, ²® ¯®±«¥ ¯¥°¢»µ ¤¢³µ § ­¿²¨© ³ ­¥£® ±¯°®±¨«¨, ª®£¤  | ·¥°¥§ ®¤­®, ¤¢  ¨«¨ ²°¨ § ­¿²¨¿ | ³¢ ¦ ¥¬»© ¯°®´¥±±®° ¯« ­¨°³¥² § ª®­·¨²¼ ±¢®© ª³°± ¨ ·¥¬³ ®­ ³¦¥ ³±¯¥« ­ ³·¨²¼ ¸ª®«¼­¨ª®¢. Š ±· ±²¼¾, ¯®ª  °®±±¨©±ª¨¥ °®¤¨²¥«¨ ­¥ ¦¤³² § ¬¥²­®£® °¥§³«¼² ²  ®² ¤¢³µ-²°¥µ ° § ¨ ±®£« ±­» ­  ²°³¤­³¾ ¨ ¤®«£³¾ ¬­®£®«¥²­¾¾ ° ¡®²³!) ‚ ²¥·¥­¨¥ ¢±¥£® ³·¥¡­®£® £®¤  ¯°®µ®¤¨«  ¤®¬ ¸­¿¿ ®«¨¬¯¨ ¤ : ¸ª®«¼­¨ª¨ ­  ®·¥°¥¤­®¬ § ­¿²¨¨ ±¤ ¢ «¨ ¯¨±¼¬¥­­»¥ ° ¡®²» ¨ ¯®«³· «¨ ®·¥°¥¤­³¾ ¯®°¶¨¾ § ¤ ·. Œ®¦­® ¡»«® ±¤ ¢ ²¼ § ¤ ·¨ ­¥ ²®«¼ª® ¯°¥¤»¤³¹¥£® § ­¿²¨¿, ­® ¨ «¾¡®£® ¡®«¥¥ ° ­­¥£® | ½²® ¤ ¢ «® ³· ±²­¨ª ¬ ®«¨¬¯¨ ¤» ¢®§¬®¦­®±²¼ ¨±¯° ¢«¿²¼ ±¢®¨ ®¸¨¡ª¨. ®¬¥°  § ¤ ·, ª ª®²®°»¬ ¢ ª®­¶¥ ¡°®¸¾°» ¥±²¼ ®²¢¥², ³ª § ­¨¥ ¨«¨ °¥¸¥­¨¥, ¢»¤¥«¥­» ¦¨°­»¬ ª³°±¨¢®¬. 4

‡­ ª®¬±²¢® ’®², ª²® ­¥ §­ ¥² ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ­¥ ¬®¦¥² ³§­ ²¼ ­¨ª ª®© ¤°³£®© ­ ³ª¨ ¨ ¤ ¦¥ ­¥ ¬®¦¥² ®¡­ °³¦¨²¼ ±¢®¥£® ­¥¢¥¦¥±²¢ ,   ¯®²®¬³ ­¥ ¨¹¥² ®² ­¥£® «¥ª °±²¢ .

®¤¦¥° ½ª®­, 1267 £.

.  §°¥¦¼²¥ ª ¦¤³¾ ¨§ ´¨£³° ­  ¤¢¥ ®¤¨­ ª®¢»¥ ¨ ¯® ¯«®¹ ¤¨, ¨ ¯® ´®°¬¥ · ±²¨.

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®·¥¬³ ¢®¤®¯°®¢®¤­»¥ ¨ ª ­ «¨§ ¶¨®­­»¥ «¾ª¨ ª°³£«»¥,   ­¥ ª¢ ¤° ²­»¥? 3. Œ®¦­® «¨ ¯°®°¥§ ²¼ ¢ ²¥²° ¤­®¬ «¨±²¥ ¡³¬ £¨ ¤»°³, ¢ ª®²®°³¾ ¯°®«¥§¥² ¢§°®±«»© ·¥«®¢¥ª? 4.  ) ®«®¦¨²¥ ­  ±²®« 3 ±¯¨·ª¨, ·²®¡» £®«®¢ª¨ ­¥ ª ± «¨±¼ ±²®« . ¡)  §°¥¦¼²¥ ²°¥³£®«¼­¨ª ­  4 ²°¥³£®«¼­¨ª , ª ¦¤»© ¨§ ª®²®°»µ ¨¬¥¥² ®¡¹¨© ®²°¥§®ª £° ­¨¶» ± ª ¦¤»¬ ¨§ ²°¥µ ¤°³£¨µ. ¢)  §°¥¦¼²¥ ª¢ ¤° ² ­  5 ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢, ­¨ª ª¨¥ ¤¢  ¨§ ª®²®°»µ ­¥ ¨¬¥¾² ®¡¹¥© ±²®°®­».y )

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. ®±«¥ 7 ±²¨°®ª ¤«¨­ , ¸¨°¨­  ¨ ¢»±®²  ª³±ª  ¬»«  ³¬¥­¼¸¨«¨±¼ ¢¤¢®¥.   ±ª®«¼ª® ±²¨°®ª µ¢ ²¨² ®±² ¢¸¥£®±¿ ª³±ª ? 6. °¥¤«®¦¨« · ¥°² «®¤»°¾: \‚±¿ª¨© ° §, ª ª ¯¥°¥©¤¥¸¼ ½²®² ¢®«¸¥¡­»© ¬®±², ²¢®¨ ¤¥­¼£¨ ³¤¢®¿²±¿. ‡  ½²® ²», ¯¥°¥©¤¿ ¬®±², ¤®«¦¥­ ¡³¤¥¸¼ ®²¤ ²¼ ¬­¥ 24 ª®¯¥©ª¨." ’°¨¦¤» ¯¥°¥¸¥« «®¤»°¼ ¬®±² | ¨ ®±² «±¿ ±®¢±¥¬ ¡¥§ ¤¥­¥£. (’® ¥±²¼ ®²¤ « ¢ ²°¥²¨© ° § ·¥°²³ ²®·­® ²¥ 24 ª®¯¥©ª¨, ·²® ®ª § «¨±¼ ³ ­¥£® ª ½²®¬³ ¬®¬¥­²³.) ‘ª®«¼ª® ¤¥­¥£ ¡»«® ³ ­¥£® ¯¥°¢®­ · «¼­®? 7.  ¤ ®§ ¥° ¬¨ «¥²¥«¨ £³±¨.   ª ¦¤®¬ ± ¤¨« ±¼ ¯®«®¢¨­  £³±¥© ¨ ¥¹¥ ¯®«£³±¿, ®±² «¼­»¥ «¥²¥«¨ ¤ «¼¸¥. ‚±¥ ±¥«¨ ­  7 ®§¥° µ. ‘ª®«¼ª® ¡»«® £³±¥©? 8. Œ®¦­® «¨ ®²¬¥°¨²¼ 8 «¨²°®¢ ¢®¤», ­ µ®¤¿±¼ ³ °³·¼¿ ¨ ¨¬¥¿ ¤¢  ¢¥¤°  ¢¬¥±²¨¬®±²¼¾ 15 «¨²°®¢ ¨ 16 «¨²°®¢ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®? 9. Š³¯¥¶ ­  540 °³¡«¥© ª³¯¨« 138  °¸¨­ ±³ª­  (· ¥°­®£® ¨ ±¨­¥£®). ‘ª®«¼ª® ª³¯¨« ®­ ·¥°­®£® ±³ª­  ¨ ±ª®«¼ª® ±¨­¥£®, ¥±«¨ ±¨­¥¥ ±²®¨«® 5 °³¡«¥© §   °¸¨­,   ·¥°­®¥ | 3 °³¡«¿ §   °¸¨­? 10. ‡ ¤¥°¦ ­­»© ¯°¨§­ «±¿, ·²® ³ ­¥£® ²°¨ ±»­ , ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¨µ ¢®§° ±²®¢ ° ¢­® 36,   ±³¬¬  ° ¢­  ·¨±«³ ®ª®­ ¤®¬ , ®ª®«® ª®²®°®£® ¯°®¨§®¸«® § ¤¥°¦ ­¨¥. Œ¨«¨¶¨®­¥° ±ª § «, ·²® ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢®§° ±²  ¤¥²¥© ½²®£® ­¥¤®±² ²®·­®. Š®£¤  § ¤¥°¦ ­­»© ¤®¡ ¢¨«, ·²® ¥£® ±² °¸¨© ±»­ °»¦¨©, ¬¨«¨¶¨®­¥° ®¯°¥¤¥«¨« ¢®§° ±²» ¤¥²¥©. ‘ª®«¼ª® ¨¬ ¡»«® «¥²? 11. ‚ ª°³¦ª¥, £¤¥ § ­¨¬ ¥²±¿ Œ¨¸ , ¡®«¥¥ 93% ³· ±²­¨ª®¢ | ¤¥¢®·ª¨. —¥¬³ ° ¢­® ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¢®§¬®¦­®¥ ·¨±«® ³· ±²­¨ª®¢? 12. “ ˆ¢ ­  ¡»«® 3 «¥¯ ¥¸ª¨,   ³ ¥²°  | 4. °®µ®¦¨© ¯°¨±®¥¤¨­¨«±¿ ª ¨µ ²° ¯¥§¥, § ¯« ²¨¢ 7 ª®¯¥¥ª. ‚±¥ ¥«¨ ¯®°®¢­³. Š ª ±«¥¤³¥² ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ ¤¥­¼£¨ ¬¥¦¤³ ¥²°®¬ ¨ ˆ¢ ­®¬? 13. ‚®² ±¥¬¼ ¢¥­£¥°±ª¨µ ±³¹¥±²¢¨²¥«¼­»µ: nyrfa, korte, alma, almak, kortefa, nyrfak, almafa. € ¢®² ¨µ ¯¥°¥¢®¤» ­  °³±±ª¨© ¿§»ª: ¡¥°¥§ , £°³¸ , ¿¡«®­¿, ¿¡«®ª®, ¡¥°¥§», ¿¡«®ª¨. (‡ ¬¥²¼²¥: ½²¨¬¨ ¸¥±²¼¾ °³±±ª¨¬¨ ±«®¢ ¬¨ ¯¥°¥¢¥¤¥­» ¢±¥ ±¥¬¼ ¢¥­£¥°±ª¨µ!) “±² ­®¢¨²¥, ª ª®¥ ¢¥­£¥°±ª®¥ ±«®¢® ª ª®¬³ °³±±ª®¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¥². 5

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¥°¥ª« ¤»¢ ­¨¿ ±¯¨·¥ª „¥« ¿ ·²®-­¨¡³¤¼ ¡¥±¯®«¥§­®¥, ®£° ­¨·¨¢ ©²¥±¼ «¨¸¼ ± ¬»¬ ­¥®¡µ®¤¨¬»¬.

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. “¡¥°¨²¥ ³ª § ­­®¥ ±«¥¢  ®² ª ¦¤®£® ¨§ °¨±³­ª®¢ ·¨±«® ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ®±² «®±¼ ³ª § ­­®¥ ±¯° ¢  ·¨±«® ª¢ ¤° ²®¢ ±® ±²®°®­®© ¢ ®¤­³ ±¯¨·ª³.

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) ¨ª ª¨µ ¡®«² ¾¹¨µ±¿ ¡¥§ ¤¥«  ±¯¨·¥ª ­¥ ¤®«¦­® ¡»²¼!

7

˜³²ª¨ ¥ «¾¡® | ­¥ ±«³¸ ©,   ¢° ²¼ ­¥ ¬¥¸ ©.

. ‚ ª®°§¨­¥ «¥¦ ² 5 ¿¡«®ª.  §¤¥«¨²¥ ¨µ ¬¥¦¤³ ¯¿²¼¾ «¨¶ ¬¨, ·²®¡» ª ¦¤»© ¯®«³·¨« ¯® ¿¡«®ª³, ¨ ¯°¨ ½²®¬ ®¤­® ¿¡«®ª® ®±² «®±¼ ¡» ¢ ª®°§¨­¥. 20. ‚ ±¥¬¼¥ 5 ¡° ²¼¥¢. “ ª ¦¤®£® ¨§ ­¨µ ¥±²¼ ®¤­  ±¥±²° . ‘ª®«¼ª® ¢±¥£® ¤¥²¥© ¢ ±¥¬¼¥? 21. „¢  ®²¶  ¨ ¤¢  ±»­  ±º¥«¨ §  § ¢²° ª®¬ ²°¨ ¿©¶ , ¯°¨·¥¬ ª ¦¤®¬³ ¤®±² «®±¼ ¶¥«®¥ ¿©¶®. Œ®£«® «¨ ² ª ±«³·¨²¼±¿? 22. ‚ ¤¢³µ ª®¸¥«¼ª µ «¥¦ ² ¤¢¥ ¬®­¥²», ¯°¨·¥¬ ¢ ®¤­®¬ ª®¸¥«¼ª¥ ¬®­¥² ¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¢ ¤°³£®¬. Œ®¦¥² «¨ ² ª ¡»²¼? 23. Ÿ¡«®ª® ±²®¨«® 5 ª®¯¥¥ª,   £°³¸  | 10. ‚®¢  ª³¯¨« ¿¡«®ª®,   ¯®²®¬ ¯®¤³¬ «: \Ÿ ³¦¥ § ¯« ²¨« 5 ª®¯¥¥ª, ¨ ³ ¬¥­¿ ¥±²¼ ¿¡«®ª®, ª®²®°®¥ ±²®¨² 5 ª®¯¥¥ª. …±«¨ ¿ ¤ ¬ ¥£® ¯°®¤ ¢¶³, ²® ®­ ¯®«³·¨² ®² ¬¥­¿ ¢ ±³¬¬¥ 10 ª®¯¥¥ª. ‡­ ·¨², ¿ ±¬®£³ ¢§¿²¼ £°³¸³. ²® ±« ¢­®!" ° ¢ «¨ ®­? 24. ®¤°¿¤ ±²®¿² ¸¥±²¼ ±² ª ­®¢: ²°¨ ± ¢®¤®© ¨ ²°¨ ¯³±²»µ. „®²°®­³¢¸¨±¼ °³ª®© «¨¸¼ ¤® ®¤­®£® ±² ª ­ , ¤®¡¥©²¥±¼, ·²®¡» ¯³±²»¥ ¨ ¯®«­»¥ ±² ª ­» ·¥°¥¤®¢ «¨±¼. 25. ®·¥¬³ ¢ ¯®¥§¤ µ ¢±¥ ±²®¯-ª° ­» ¢±¥£¤  ª° ±­»¥,   ¢ ± ¬®« ¥² µ ¢±¥ ±²®¯-ª° ­» £®«³¡»¥? 26. Ž¤¨­ £®±¯®¤¨­ ­ ¯¨± « ® ±¥¡¥: À : : : ¯ «¼¶¥¢ ³ ¬¥­¿ ¤¢ ¤¶ ²¼ ¯¿²¼ ­  ®¤­®© °³ª¥, ±²®«¼ª® ¦¥ ­  ¤°³£®©, ¤  ­  ­®£ µ ¤¥±¿²¼ : : : Á —²® ®­ § ¡»«? 27. °¥¤±² ¢¼²¥ ±¥¡¥ ª®° ¡«¼ ±® ±¯³¹¥­­®© ­  ¢®¤³ ¢¥°¥¢®·­®© «¥±²­¨¶¥© ¢¤®«¼ ¡®°² . “ «¥±²­¨¶» 10 ±²³¯¥­¥ª.  ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ±²³¯¥­¼ª ¬¨ 30 ±¬. ‘ ¬ ¿ ­¨¦­¿¿ ±²³¯¥­¼ª  ª ± ¥²±¿ ¢®¤».  ·¨­ ¥²±¿ ¯°¨«¨¢, ª®²®°»© ¯®¤­¨¬ ¥² ¢®¤³ ª ¦¤»© · ± ­  20 ±¬. —¥°¥§ ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ¯®ª°®¥²±¿ ¢®¤®© ²°¥²¼¿ ±­¨§³ ±²³¯¥­¼ª  «¥±²­¨¶»? 19

8

28.

®«¼¸®©, §¥«¥­»©, ¦¨¢¥² ¯®¤ §¥¬«¥© ¨ ¯¨² ¥²±¿ ª ¬­¿¬¨. Š²® ½²®? 29. Ž±² ¯ ¥­¤¥° °¥¸¨« ¤ ²¼ ±¥ ­± ®¤­®¢°¥¬¥­­®© ¨£°» Š °¯®¢³ ¨ Š ±¯ °®¢³. Ž¤¨­ ¨§ ­¨µ ¤®«¦¥­ ¨£° ²¼ ¡¥«»¬¨,   ¤°³£®© | ·¥°­»¬¨. Ž±² ¯ ³¢¥°¥­, ·²® ®­ ¨«¨ ±¢¥¤¥² ¢­¨·¼¾ ®¡¥ ¯ °²¨¨, ¨«¨ ®¤­³ ¢»¨£° ¥². Š ª ®­ ±®¡¨° ¥²±¿ ¨£° ²¼? 30. “£ ¤ ©²¥ § ª®­®¬¥°­®±²¼ ´®°¬ ´¨£³°®ª °¨±³­ª . Š ª³¾ ´¨£³°ª³ ­ ¤® ¯®±² ¢¨²¼ ±«¥¤³¾¹¥©? € ¯®±«¥ ­¥¥?

€ ¢± ¥, ®¤­ ª® ¦¥, ª ª ¯®° §¬»±«¨¸¼, ¢® ¢± ¥¬ ½²®¬, ¯° ¢®, ¥±²¼ ª®¥-·²®. —²® ­¨ £®¢®°¨,   ¯®¤®¡­»¥ ¯°®¨±¸¥±²¢¨¿ ¡»¢ ¾² ­  ±¢¥²¥; °¥¤ª®, ­® ¡»¢ ¾².

. ‚. ƒ®£®«¼

31.

Š®°®«¼ ¯®¦¥« « ±¬¥±²¨²¼ ±¢®¥£® ¬¨­¨±²° , ­¥ ±«¨¸ª®¬ ®¡¨¤¥¢ ¥£®. Ž­ ¯®¤®§¢ « ¬¨­¨±²°  ª ±¥¡¥ ¨ ¯°¥¤«®¦¨« ¢»¡° ²¼ ®¤¨­ ¨§ ¤¢³µ «¨±²®·ª®¢, ¯®¿±­¨¢, ·²® ­  ®¤­®¬ ­ ¯¨± ­® ÀŽ±² ­¼²¥±¼Á,   ­  ¤°³£®¬ | À“µ®¤¨²¥Á. ‹¨±²®ª, ª®²®°»© ¢»² ¹¨² ¬¨­¨±²°, °¥¸¨² ¥£® ±³¤¼¡³. Œ¨­¨±²° ¤®£ ¤ «±¿, ·²® ­  ®¡®¨µ «¨±²ª µ ­ ¯¨± ­® À“µ®¤¨²¥Á. ®¬®£¨²¥ ¬¨­¨±²°³ ±®µ° ­¨²¼ ¥£® ¬¥±²®! 32. ˆ§ Œ®±ª¢» ¢ ¥²¥°¡³°£ ¯®¬· « ­  ÀVolvoÁ ¯°¥¤¯°¨­¨¬ ²¥«¼ ‚ ±¿.  ¢±²°¥·³ ¢ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ­  ¢¥«®±¨¯¥¤¥ ¢»¥µ « ¤®¶¥­² ˆ¢ ­ ¥²°®¢¨·. Š²® ¨§ ­¨µ ¢ ¬®¬¥­² ¢±²°¥·¨ ¡»« ¡«¨¦¥ ª Œ®±ª¢¥? 33. Š ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ±²®°®­ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ¬­®£®³£®«¼­¨ª, ¿¢«¿¾¹¨©±¿ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥¬ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª  ¨ ²°¥³£®«¼­¨ª ?  34. ‘»­ ®²¶  ¯°®´¥±±®°  ° §£®¢ °¨¢ ¥² ± ®²¶®¬ ±»­  ¯°®´¥±±®° ,   ¯°®´¥±±®° ¢ ° §£®¢®°¥ ­¥ ³· ±²¢³¥². Œ®¦¥² «¨ ² ª ¡»²¼?  ® ¤ ± ª   § ª  . ‘»­ ®²¶  | ½²® ¡° ². € ¢®² ª²® ®²¥¶ ±»­ ?..

9

 §°¥§ ­¨¿ ’ ª®© ³¦¥ ²» ¤°¿µ«»© ¨ ¡®«¼­®©, ²°¿± ¥¸¼±¿, ª ª ° §¡¨² ¿ ²¥«¥£ , |   ·²® ²» ª®¯¨¸¼ ¤¥­¼£¨, ±² °»© ®©? |   £«³¯®±²¨.   ¤®±ª¨ ¤«¿ ª®¢·¥£ .

ˆ. ƒ³¡¥°¬ ­

.  §°¥¦¼²¥ ª ¦¤³¾ ¨§ ´¨£³° ­  ²°¨ ° ¢­»¥ · ±²¨. (¥§ ²¼ ¬®¦­® ²®«¼ª® ¯® ±²®°®­ ¬ ª«¥²®·¥ª. — ±²¨ ¤®«¦­» ¡»²¼ ° ¢­» ­¥ ²®«¼ª® ¯® ¯«®¹ ¤¨, ­® ¨ ¯® ´®°¬¥.)

35

.  §¤¥«¨²¥ ª ¦¤³¾ ¨§ ´¨£³° ¯® «¨­¨¿¬ ±¥²ª¨ ­  ·¥²»°¥ ®¤¨­ ª®¢»¥ · ±²¨, ·²®¡» ¢ ª ¦¤®© · ±²¨ ¡»« °®¢­® ®¤¨­ ª°³¦®ª. 37.  §°¥¦¼²¥ ª ¦¤³¾ ¨§ ´¨£³° ­  ·¥²»°¥ ° ¢­»¥ · ±²¨. (¥§ ²¼ ¬®¦­® ²®«¼ª® ¯® ±²®°®­ ¬ ¨ ¤¨ £®­ «¿¬ ª«¥²®·¥ª.) 36

t

t

t

t

.  §°¥¦¼²¥ ª¢ ¤° ² ­  ¤¢  ° ¢­»µ ²¨³£®«¼­¨ª ; ¢) ±¥¬¨³£®«¼­¨ª .

38

10

 )

t

t

t

¯¿²¨³£®«¼­¨ª ;

t

¡)

¸¥±-

.  §°¥¦¼²¥ ª¢ ¤° ² ­  ²°¨ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ° ¢­»µ) ¸¥±²¨³£®«¼­¨ª . 40.  §°¥¦¼²¥ ª ¦¤³¾ ¨§ ´¨£³° ¯®¯®« ¬. 39

.  §°¥¦¼²¥ ª ¦¤³¾ ¨§ ´¨£³° ­  ·¥²»°¥ ° ¢­»¥ (¨ ¯® ¯«®¹ ¤¨, ¨ ¯® ´®°¬¥) · ±²¨.

41

 )

42.

¡)

¢)

 §°¥¦¼²¥ ª¢ ¤° ² 7  7 ­  ¯¿²¼ · ±²¥© ¨ ¯¥°¥«®¦¨²¥ ¨µ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«¨±¼ ²°¨ ª¢ ¤° ² : 2  2, 3  3 ¨ 6  6. ®±² ° ©²¥±¼ ±¤¥« ²¼ ½²® ­¥±ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨. 11

‚®§° ±²» ¥ª ¿ ¤ ¬  ­  ¢®¯°®±, ±ª®«¼ª® ¥© «¥², ®²¢¥²¨« : \Š®£¤  ¿ ¢»µ®¤¨«  § ¬³¦, ¬³¦³ ¡»«® 40,   ¬­¥ 20. ‘¥©· ± ¥¬³ 60. ‡­ ·¨², ¬­¥ 30."

. ‘¥°¥¦¥ 11 «¥², ‚®¢¥ 1 £®¤. ‘ª®«¼ª® «¥² ¡³¤¥² ‘¥°¥¦¥, ª®£¤  ®­ ±² ­¥² ¢²°®¥ ±² °¸¥ ‚®¢»? 44. …±«¨ ª ¯®«®¢¨­¥ ¬®¨µ «¥² ¯°¨¡ ¢¨²¥ 7, ²® ¯®«³·¨²¥ ¬®© ¢®§° ±² 13 «¥² ²®¬³ ­ § ¤. ‘ª®«¼ª® ¬­¥ «¥²? 45.  ) Š®£¤  ®²¶³ ¡»«® 27 «¥², ±»­³ ¡»«® 3 £®¤ . ‘¥©· ± ±»­³ ¢ ²°¨ ° §  ¬¥­¼¸¥ «¥², ·¥¬ ®²¶³. ‘ª®«¼ª® «¥² ª ¦¤®¬³ ¨§ ­¨µ? ¡) ¥¸¨²¥ ³° ¢­¥­¨¥ 27 + x = 3(x + 3). 46. €¡¤³««  ¢·¥²¢¥°® ±² °¸¥ Œ µ¬³¤ . ‘³¬¬  ¨µ ¢®§° ±²®¢ | 50 «¥². —¥°¥§ ±ª®«¼ª® «¥² €¡¤³««  ¡³¤¥² ¢²°®¥ ±² °¸¥ Œ µ¬³¤ ? 47. Ž²¥¶ ±² °¸¥ ±»­  ¢ 4 ° § . —¥°¥§ 20 «¥² ®­ ¡³¤¥² ±² °¸¥ ±»­  ¢ 2 ° § . ‘ª®«¼ª® ±¥©· ± «¥² ®²¶³? 48. ¥ª²® ±ª § «: \Š®£¤  ¿ ¯°®¦¨¢³ ¥¹ ¥ ¯®«®¢¨­³, ¤  ²°¥²¼, ¤  ·¥²¢¥°²¼ ¬®¨µ «¥², ¬­¥ ±² ­¥² 100 «¥²." ‘ª®«¼ª® ¥¬³ «¥²? 49. Œ®±ª¢  ±² °¸¥ ¥²¥°¡³°£  ­  556 «¥². ‚ 1981 £®¤³ Œ®±ª¢  ¡»«  ¢²°®¥ ±² °¸¥ ¥²¥°¡³°£ .  ) ‚ ª ª®¬ £®¤³ ®±­®¢ ­  Œ®±ª¢  ¨ ¢ ª ª®¬ £®¤³ ®±­®¢ ­ ¥²¥°¡³°£? ¡) Š®£¤  Œ®±ª¢  ±² ­¥² °®¢­® ¢¤¢®¥ ±² °¸¥ ¥²¥°¡³°£ ? 50. Ž²¶³ 32 £®¤ , ±»­³ 5 «¥². —¥°¥§ ±ª®«¼ª® «¥² ®²¥¶ ¡³¤¥² ¢ 10 ° § ±² °¸¥ ±»­ ? 43

 ¥ ¸ ¥ ­ ¨ ¥.

Ž¡®§­ ·¨¬ ¨±ª®¬»© ±°®ª ·¥°¥§

®²¶³ ¡³¤¥² 32 + x «¥²,   ±»­³ | (5 + x) .

x.

‘¯³±²¿

x

«¥²

®±ª®«¼ª³ ®²¥¶ ¤®«¦¥­

¡»²¼ ¢ 10 ° § ±² °¸¥ ±»­ , ²® 32 + x = 10(5 + x) . ¥¸ ¿ ½²® ³° ¢­¥­¨¥, ¯®«³· ¥¬ ®²¢¥²:

x =

,

2.

À—¥°¥§ ¬¨­³± 2

£®¤ Á ®§­ · ¥² À¤¢  £®¤  ­ § ¤Á. ‘®±² ¢«¿¿ ³° ¢­¥­¨¥, ¬» ­¥ ¤³¬ «¨ ® ²®¬, ·²® ¢®§° ±² ®²¶  ­¨ª®£¤  ¢ ¡³¤³¹¥¬ ­¥ ®ª ¦¥²±¿ ¢ 10 ° § ¡®«¼¸¥ ¢®§° ±²  ±»­ .

“° ¢­¥­¨¥ ®ª § «®±¼ ¢¤³¬·¨¢¥¥ ­ ± ¨ ¯®§ -

¡®²¨«®±¼ ®¡® ¢± ¥¬ ± ¬®.

12

. Ž²¶³ ±²®«¼ª® «¥², ±ª®«¼ª® ±»­³ ¨ ¤®·¥°¨ ¢¬¥±²¥; ±»­ ¢¤¢®¥ ±² °¸¥ ±¥±²°» ¨ ­  20 «¥² ¬®«®¦¥ ®²¶ . ‘ª®«¼ª® «¥² ¤®·¥°¨? 52. «¼¤ °³ ·¥°¥§ 2 £®¤  ¡³¤¥² ¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¥¬³ ¡»«® 2 £®¤  ­ § ¤,   «¨­  ·¥°¥§ 3 £®¤  ¡³¤¥² ¢²°®¥ ±² °¸¥, ·¥¬ ¡»«  3 £®¤  ­ § ¤. Š²® ¨§ ­¨µ ±² °¸¥? 53. Œ­¥ ¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¡»«® ‚ ¬ ²®£¤ , ª®£¤  ¬­¥ ¡»«® ±²®«¼ª® «¥², ±ª®«¼ª® ‚ ¬ ±¥©· ±. ‘ª®«¼ª® ¬­¥ «¥², ¥±«¨ ­ ¬ ¢¬¥±²¥ 70 «¥²? 51

) :

 ¥ ¸ ¥ ­ ¨ ¥. ‘®±² ¢¨¬ ² ¡«¨¶³

Œ®© ¢®§° ±²

‚ ¸ ¢®§° ±²

‘¥©· ±

x

y

’®£¤ 

y

x=2

®±·¨² ¢ ¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨ ¢°¥¬¿, ®²¤¥«¿¾¹¥¥ À±¥©· ±Á ®² À²®£¤ Á, ±®±² ¢¨¬ ³° ¢­¥­¨¥: x

®²ª³¤ 

3 x = 2y . 2

®·¥¢¨¤¥­:

‡­ ·¨²,

,

y = y

,

3x = 4y .

x 2

;

®±ª®«¼ª³ x + y = 70 , ®²¢¥²

x = 40 , y = 30 . Œ­¥ ±¥©· ± 40 «¥².

. ‡³«¼´¨¥ ¨ Œ¨­¨±¥ ¢¬¥±²¥ 35 «¥². ‘¥©· ± ‡³«¼´¨¥ ¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¡»«® Œ¨­¨±¥ ²®£¤ , ª®£¤  ‡³«¼´¨¥ ¡»«® ±²®«¼ª® «¥², ±ª®«¼ª® Œ¨­¨±¥ ±¥©· ±. ‘ª®«¼ª® «¥² ‡³«¼´¨¥? 55. €«¼´¨°¥ ¢²°®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¡»«® «¼¤ °³, ª®£¤  ®­  ¡»«  ¢ ¥£® ­»­¥¸­¥¬ ¢®§° ±²¥. Š®£¤  ®­ ¡³¤¥² ¢ ¥¥ ­»­¥¸­¥¬ ¢®§° ±²¥, ¨¬ ¢¬¥±²¥ ¡³¤¥² 28 «¥². ‘ª®«¼ª® ±¥©· ± «¥² €«¼´¨°¥ ¨ ±ª®«¼ª® | «¼¤ °³? 56. ˆ£­ ²³ ±¥©· ± ¢·¥²¢¥°® ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¡»«® ¥£® ±¥±²°¥ ¢ ²®² ¬®¬¥­², ª®£¤  ®­  ¡»«  ¢¤¢®¥ ¬®«®¦¥ ¥£®. ‘ª®«¼ª® «¥² ±¥©· ± ˆ£­ ²³, ¥±«¨ ·¥°¥§ 15 «¥² ¥¬³ ¨ ±¥±²°¥ ¢¬¥±²¥ ¡³¤¥² 100 «¥²? 57. ž°¥ ¨ ž«¥ ±¥©· ± ¢¬¥±²¥ 26 «¥², ¯°¨· ¥¬ ž«¥ ¢ ²°¨ ° §  ¬¥­¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¡³¤¥² ž°¥ ²®£¤ , ª®£¤  ¨¬ ¢¬¥±²¥ ¡³¤¥² ¢ ¯¿²¼ ° § ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ž°¥ ±¥©· ±. ‘ª®«¼ª® «¥² ž°¥? 54

) À’®£¤ Á ®²­®±¨²±¿ ª® ¢°¥¬¥­¨, ª®£¤  ¬­¥ ¡»«® ±²®«¼ª® «¥², ±ª®«¼ª®

‚ ¬ ±¥©· ±.

13

‘ª®«¼ª® ­ ¤® ¢§¿²¼? …±«¨ ¨§ ª­¨£¨ ¢»²¥ª ¥² ª ª®©-­¨¡³¤¼ ¯®³·¨²¥«¼­»© ¢»¢®¤, ½²® ¤®«¦­® ¯®«³· ²¼±¿ ¯®¬¨¬® ¢®«¨  ¢²®° , ¢ ±¨«³ ± ¬¨µ ¨§®¡° ¦ ¥­­»µ ´ ª²®¢.

ƒ¨ ¤¥ Œ®¯ ±± ­

. ‚ ª®°®¡ª¥ «¥¦ ² 10 ª° ±­»µ ¨ 10 ±¨­¨µ ¢®§¤³¸­»µ ¸ °¨ª®¢. °®¤ ¢¥¶, ­¥ £«¿¤¿, ¤®±² ¥² ¯® ®¤­®¬³ ¸ °¨ª³. ‘ª®«¼ª® ¸ °¨ª®¢ ­ ¤® ¢»² ¹¨²¼, ·²®¡» ±°¥¤¨ ¢»­³²»µ ¨§ ª®°®¡ª¨ ¸ °¨ª®¢ ®¡¿§ ²¥«¼­® ­ ¸«¨±¼ ¤¢  ¸ °¨ª  ®¤­®£® ¶¢¥² ? 59. ‘ª®«¼ª® ª ° ­¤ ¸¥© ­ ¤® ¢§¿²¼ ¢ ²¥¬­®²¥ ¨§ ª®°®¡ª¨ ± 7 ª° ±­»¬¨ ¨ 5 ±¨­¨¬¨ ª ° ­¤ ¸ ¬¨, ·²®¡» ¡»«® ¢§¿²® ­¥ ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ ª° ±­»µ ¨ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ²°¥µ ±¨­¨µ? 60. ‚ ¯ ª¥²¥ ¯¥°¥¬¥¸ «¨ ª®­´¥²» ²° ¥µ ±®°²®¢, ­¥° §«¨·¨¬»µ ­  ®¹³¯¼. Š ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«® ª®­´¥² ­ ¤® ¢§¿²¼ ­ ³£ ¤ ¨§ ¯ ª¥² , ·²®¡» ±°¥¤¨ ¢§¿²»µ ª®­´¥² ®¡¿§ ²¥«¼­® ¡»«¨ µ®²¿ ¡»  ) ¤¢¥; ¡) ²°¨ ®¤­®£® ±®°² ? 61. ‘ª®«¼ª® ª ° ­¤ ¸¥© ¬®¦­® ¢§¿²¼ ¢ ²¥¬­®²¥ ¨§ ª®°®¡ª¨, ¢ ª®²®°®© 10 ª° ±­»µ, 8 ±¨­¨µ, 8 §¥«¥­»µ ¨ 4 ¦¥«²»µ ª ° ­¤ ¸¥©, ·²®¡» ¢ ª®°®¡ª¥ § ¢¥¤®¬® ®±² «®±¼  ) ­¥ ¬¥­¼¸¥ 6 ±¨­¨µ ª ° ­¤ ¸¥©? ¡) µ®²¿ ¡» ¯® ®¤­®¬³ ª ° ­¤ ¸³ ª ¦¤®£® ¶¢¥² ? ¢) ­¥ ¡®«¼¸¥ 6 ±¨­¨µ ª ° ­¤ ¸¥©? 62. ‚ ¿¹¨ª¥ 28 ª° ±­»µ, 20 §¥« ¥­»µ, 12 ¦¥«²»µ, 20 ±¨­¨µ, 10 ¡¥«»µ ¨ 10 ·¥°­»µ ¸ °¨ª®¢. ‘ª®«¼ª® ¸ °¨ª®¢ ­ ¤® ¢»² ¹¨²¼, ­¥ § £«¿¤»¢ ¿ ¢ ¿¹¨ª, ·²®¡» ±°¥¤¨ ¢»² ¹¥­­»µ ¸ °¨ª®¢ ®¡¿§ ²¥«¼­® ®ª § «®±¼ ­¥ ¬¥­¥¥ 15 ¸ °¨ª®¢ ®¤­®£® ¶¢¥² ? 58

   ¢ ® ¤ ¿ ¹ ¨ © ¢ ® ¯ ° ® ±.

‘ª®«¼ª® ¸ °¨ª®¢ ¬®¦¥² ¢»¡°®±¨²¼ ¨§

¿¹¨ª  § ¡° ¢¸¨©±¿ ¢ ­¥£® ­¥¤®¡°®¦¥« ²¥«¼, ·²®¡» ±°¥¤¨ ¢»¡°®¸¥­­»µ ­¥ ¡»«® 15 ®¤­®¶¢¥²­»µ ¸ °¨ª®¢?

. ‚ ²¥¬­®© ª« ¤®¢®© ¢ ¡¥±¯®°¿¤ª¥ «¥¦ ² ¡®²¨­ª¨: 10 ¯ ° ·¥°­»µ ¨ 10 ¯ ° ª®°¨·­¥¢»µ. ‘ª®«¼ª® ¡®²¨­®ª ­ ¤® ¢§¿²¼, ·²®-

63

14

¡» ±°¥¤¨ ­¨µ ®ª § « ±¼ µ®²¿ ¡» ®¤­  ¯ °  («¥¢»© ¨ ¯° ¢»© ¡®²¨­®ª) ®¤­®£® ¶¢¥² ? (‚ ²¥¬­®²¥ ­¥«¼§¿ ®²«¨·¨²¼ ­¥ ²®«¼ª® ¶¢¥² ¡®²¨­ª , ­® ¨ «¥¢»© ®² ¯° ¢®£®.) “ ª   §   ­ ¨ ¥. …±«¨ ¢®§¼¬ ¥¬ 20 ¡®²¨­®ª, ²® ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿, ·²® ¢±¥ ®­¨ ­  «¥¢³¾ ­®£³:

10 «¥¢»µ ª®°¨·­¥¢»µ ¨ 10 «¥¢»µ · ¥°­»µ.

‡­ ·¨², ­ ¤® ¢§¿²¼ 21 ¡®²¨­®ª. Ž±² «®±¼ ¯®­¿²¼, ¯®·¥¬³ ¯°¨ «¾¡®¬ ±¯®±®¡¥ ¢»¡®°  21 ¡®²¨­ª  ¨§ 40 ¨¬¥¾¹¨µ±¿ ­ ©¤ ¥²±¿ µ®²¿ ¡» ®¤­  ¯ ° . ²® ª ¦¥²±¿ ®·¥¢¨¤­»¬. ® ª ª ³¡¥¤¨²¥«¼­® ¨ ­¥¬­®£®±«®¢­® ®¡®±­®¢ ²¼ ½²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥?

. ‚ £®±²¨ ¯°¨¸«® 6 ·¥«®¢¥ª ¢ £ «®¸ µ ° §­®£® ° §¬¥° .  ±µ®¤¨«¨±¼ ¯® ®¤­®¬³, ¨ ­¥ª®²®°»¥ ­ ¤¥¢ «¨ £ «®¸¨ ¡®«¼¸¥£® ° §¬¥° . ‘ª®«¼ª® ¬®£«® ®±² ²¼±¿ £®±²¥©, ­¥ ±³¬¥¢¸¨µ ­ ¤¥²¼ £ «®¸¨? € ¥±«¨ £®±²¥© ­¥ 6,   17? 65. ‚¨­­¨-³µ, ¿² ·®ª, Š°®«¨ª ¨ ®±«¨ª ˆ -ˆ  ¢¬¥±²¥ ±º¥«¨ 70 ¡ ­ ­®¢, ¯°¨·¥¬ ª ¦¤®¬³ ±ª®«¼ª®-²® ¤®±² «®±¼. ‚¨­­¨-³µ ±º¥« ¡®«¼¸¥ ª ¦¤®£® ¨§ ®±² «¼­»µ,   Š°®«¨ª ¨ ¿² ·®ª ¢¬¥±²¥ ±º¥«¨ 45 ¡ ­ ­®¢. ‘ª®«¼ª® ¡ ­ ­®¢ ¤®±² «®±¼ ®±«¨ª³? 64

„ ¦¥ ¥±«¨ ®¡º¿±­¥­¨¥ ­ ±²®«¼ª® ¿±­®, ·²® ¨±ª«¾· ¥² ¢±¿ª®¥ «®¦­®¥ ²®«ª®¢ ­¨¥, ¢± ¥ ° ¢­® ­ ©¤ ¥²±¿ ·¥«®¢¥ª, ª®²®°»© ¢± ¥ ¯¥°¥¯³² ¥².

66 

. ‚ ¯®£°¥¡¥ 8 ¡ ­®ª ª«³¡­¨·­®£® ¢ °¥­¼¿, 7 ¬ «¨­®¢®£® ¨ 5 ¢¨¸­¥¢®£®. ‘ª®«¼ª® ¡ ­®ª ¬®¦­® ¢ ²¥¬­®²¥ ¢»­¥±²¨ ¨§ ¯®£°¥¡  ± ³¢¥°¥­­®±²¼¾, ·²® ² ¬ ®±² ­³²±¿ ¥¹¥ µ®²¿ ¡» 4 ¡ ­ª¨ ®¤­®£® ±®°²  ¢ °¥­¼¿ ¨ 3 ¡ ­ª¨ ¤°³£®£®? 67. Š ª®¥ ¬¨­¨¬ «¼­®¥ ·¨±«® ´¨¸¥ª ­ ¤® ¢§¿²¼, ·²®¡» ¯°¨ «¾¡®© ¨µ ° ±±² ­®¢ª¥ ­  ª«¥²ª µ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ®¡¿§ ²¥«¼­® ¢±²°¥²¨«¨±¼ ¡» 4 ´¨¸ª¨, ±²®¿¹¨¥ ¤°³£ §  ¤°³£®¬ ¯® £®°¨§®­² «¨? 68. Š ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ª«¥²®ª ¬®¦­® ®²¬¥²¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥, ·²®¡» ±°¥¤¨ ®²¬¥·¥­­»µ ª«¥²®ª ­¥ ¡»«® ±®±¥¤­¨µ (­¨ ¯® ±²®°®­¥, ­¨ ¯® ¢¥°¸¨­¥) ¨ ·²®¡» ¤®¡ ¢«¥­¨¥ ª ½²¨¬ ª«¥²ª ¬ «¾¡®© ¤°³£®© ª«¥²ª¨ ­ °³¸ «® ¡» ½²® ³±«®¢¨¥? 15

ƒ®­ª¨ Š®° ¡«¼ ­  ¬¥«¨ | ¬®°¿ª³ ¬ ¿ª.

(ƒ®«« ­¤±ª ¿ ¯®±«®¢¨¶ )

. Œ ¸¨­  ¥¤¥² ±® ±ª®°®±²¼¾ 60 ª¬/·.   ±ª®«¼ª® ±«¥¤³¥² ³¢¥«¨·¨²¼ ±ª®°®±²¼, ·²®¡» ¢»¨£° ²¼ ­  ª ¦¤®¬ ª¨«®¬¥²°¥ ¯® ®¤­®© ¬¨­³²¥? 70. Œ¥¦¤³ «¨±®© ¨ § ©¶¥¬ 10 ¬. Š®£¤  «¨±  ¯®©¬ ¥² § ©¶ , ¥±«¨ ®­  ¡¥¦¨² ±® ±ª®°®±²¼¾ 8 ¬/±,   ®­ | ±® ±ª®°®±²¼¾ 7 ¬/±? 71. ®±« ­ ·¥«®¢¥ª ¨§ Œ®±ª¢» ¢ ‚®«®£¤³, ¨ ¯°®µ®¤¨² ®­ ª ¦¤»© ¤¥­¼ 40 ¢¥°±².   ±«¥¤³¾¹¨© ¤¥­¼ ¢±«¥¤ ¯®±« ­ ¤°³£®© ·¥«®¢¥ª, ¯°®µ®¤¿¹¨© 45 ¢¥°±² ¢ ¤¥­¼. Š®£¤  ¢²®°®© ¤®£®­¨² ¯¥°¢®£®? 72. ‚ ¤­¥¢­¨ª¥ ³ ‚®¢®·ª¨ ³¦¥ § ¯¨± ­® 200 § ¬¥· ­¨©,   ³ Œ ¸¥­¼ª¨ | 112. —¥°¥§ ±ª®«¼ª® ­¥¤¥«¼ ®­¨ ±° ¢­¿¾²±¿, ¥±«¨ Œ ¸¥­¼ª  ¯®«³· ¥² ­  22 § ¬¥· ­¨¿ ¢ ­¥¤¥«¾ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ‚®¢®·ª ? 73. Ÿ ¨¤³ ®² ¤®¬  ¤® ¸ª®«» 30 ¬¨­³²,   ¬®© ¡° ² | 40 ¬¨­³². —¥°¥§ ±ª®«¼ª® ¬¨­³² ¿ ¤®£®­¾ ¡° ² , ¥±«¨ ®­ ¢»¸¥« ¨§ ¤®¬  ­  5 ¬¨­³² ° ­¼¸¥ ¬¥­¿? 74.  ±± ¦¨°, ¯°®¥§¦ ¿ ¢ ²° ¬¢ ¥, § ¬¥²¨« §­ ª®¬®£®, ª®²®°»© ¸¥« ¢¤®«¼ «¨­¨¨ ²° ¬¢ ¿ ¢ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­³¾ ±²®°®­³. —¥°¥§ 10 ±¥ª³­¤ ¯ ±± ¦¨° ¢»¸¥« ¨§ ²° ¬¢ ¿ ¨ ¯®¸¥« ¤®£®­¿²¼ ±¢®¥£® §­ ª®¬®£®. —¥°¥§ ±ª®«¼ª® ±¥ª³­¤ ®­ ¤®£®­¨² §­ ª®¬®£®, ¤¢¨£ ¿±¼ ¢ ¤¢  ° §  ¡»±²°¥¥ §­ ª®¬®£® ¨ ¢ ¯¿²¼ ° § ¬¥¤«¥­­¥¥ ²° ¬¢ ¿? 75. ƒ°³§®¢¨ª ¯°®¥§¦ ¥² ­¥ª®²®°®¥ ° ±±²®¿­¨¥ §  10 · ±®¢. …±«¨ ¡» ®­ ¯°®¥§¦ « ¢ · ± ­  10 ª¬ ¡®«¼¸¥, ²® ²®² ¦¥ ¯³²¼ § ­¿« ¡» 8 · ±®¢. Š ª®¢  ±ª®°®±²¼ £°³§®¢¨ª ? 76. „¢   ¢²®¬®¡¨«¿ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢»¥µ «¨ ¨§ ¯³­ª²®¢ € ¨ ‚ ­ ¢±²°¥·³ ¤°³£ ¤°³£³. —¥°¥§ 7 · ±®¢ ¥§¤» ®­¨ ­ µ®¤¨«¨±¼ ­  ° ±±²®¿­¨¨ 136 ª¬ ®¤¨­ ®² ¤°³£®£®.  ©¤¨²¥ ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ € ¨ ‚ , ¥±«¨ ¢±¥ ° ±±²®¿­¨¥ ®¤¨­  ¢²®¬®¡¨«¼ ¬®¦¥² ¯°®¥µ ²¼ §  10 · ±®¢,   ¤°³£®© | §  12. 69

16

. ‡  5 · ±®¢ ¬®²®¶¨ª«¨±² ¯°®¥§¦ ¥² ­  77.0 ¥¸¨²¥ ±¨±²¥¬³ 259 ª¬ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² §  ³° ¢­¥­¨©: 4 · ± . ‡  10 · ±®¢ ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² ¯°®( 5m = 4v + 259; ¥§¦ ¥² ­  56ª¬ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¬®²®¶¨ª«¨±² §  2 · ± . Ž¯°¥¤¥«¨²¥ ±ª®°®±²¼ 10v = 56 + 2m: ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² . 78. ˆ§ £®°®¤®¢ A ¨ B ­ ¢±²°¥·³ ¤°³£ ¤°³£³ ¢»¥µ «¨ ¤¢   ¢²®¬®¡¨«¿ ¨ ¢±²°¥²¨«¨±¼ ·¥°¥§ 8 · ±®¢. …±«¨ ¡» ±ª®°®±²¼  ¢²®¬®¡¨«¿, ¢»¥µ ¢¸¥£® ¨§ A , ¡»«  ¡®«¼¸¥ ­  14%,   ±ª®°®±²¼  ¢²®¬®¡¨«¿, ¢»¥µ ¢¸¥£® ¨§ B , ¡»«  ¡®«¼¸¥ ­  15%, ²® ¢±²°¥·  ¯°®¨§®¸«  ¡» ·¥°¥§ 7 · ±®¢. ‘ª®°®±²¼ ª ª®£®  ¢²®¬®¡¨«¿ ¡®«¼¸¥ ¨ ¢® ±ª®«¼ª® ° §? 77

“ ª   §   ­ ¨ ¥. ‘®±² ¢¼²¥ ³° ¢­¥­¨¥ 8(x + y) = 7(1;14x + 1;15y) .

. °®©¤¿ 3=8 ¤«¨­» ¬®±² , ®±«¨ª ˆ -ˆ  § ¬¥²¨«  ¢²®¬®¡¨«¼, ¯°¨¡«¨¦ ¾¹¨©±¿ ±® ±ª®°®±²¼¾ 60 ª¬/·. …±«¨ ®±«¨ª ¯®¡¥¦¨² ­ § ¤, ²® ¢±²°¥²¨²±¿ ±  ¢²®¬®¡¨«¥¬ ¢ ­ · «¥ ¬®±² ; ¥±«¨ ¢¯¥°¥¤,  ¢²®¬®¡¨«¼ ­ £®­¨² ¥£® ¢ ª®­¶¥ ¬®±² . ‘ ª ª®© ±ª®°®±²¼¾ ¡¥£ ¥² ˆ -ˆ ? 80. „®°®£  ®² ¤®¬  ¤® ¸ª®«» § ­¨¬ ¥² ³ ‚®¢» 20 ¬¨­³². Ž¤­ ¦¤» ®­ ¯® ¤®°®£¥ ¢ ¸ª®«³ ¢±¯®¬­¨«, ·²® § ¡»« ¤®¬  °³·ª³. ‚®¢  §­ «, ·²® ¥±«¨ ®­ ¯°®¤®«¦¨² ¯³²¼ ¢ ¸ª®«³ ± ²®© ¦¥ ±ª®°®±²¼¾, ²® ¯°¨¤¥² ²³¤  §  8 ¬¨­³² ¤® §¢®­ª ,   ¥±«¨ ¢¥°­¥²±¿ ¤®¬®© §  °³·ª®©, ²®, ¤¢¨£ ¿±¼ ± ²®© ¦¥ ±ª®°®±²¼¾, ®¯®§¤ ¥² ª ­ · «³ ³°®ª  ­  10 ¬¨­³². Š ª³¾ · ±²¼ ¯³²¨ ®­ ¯°®¸¥«? 81. ®¥§¤ ¯°®µ®¤¨² ¬®±² ¤«¨­®© 450 ¬¥²°®¢ §  ¬¨­³²³ ¨ ¯®«¬¨­³²» ¨¤¥² ¬¨¬® ²¥«¥£° ´­®£® ±²®«¡ .  ©¤¨²¥ ¤«¨­³ ¨ ±ª®°®±²¼ ¯®¥§¤ . 82.   ¤®±ª¥ ¡»«¨ ­ ¯¨± ­» 10 ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«. Š®£¤  ±²¥°«¨ ®¤­® ¨§ ­¨µ, ²® ±³¬¬  ¤¥¢¿²¨ ®±² ¢¸¨µ±¿ ®ª § « ±¼ ° ¢­  2002. Š ª¨¥ ·¨±«  ®±² «¨±¼ ­  ¤®±ª¥? 79

)

) ‘·¨² ¿ ± ¬®¬¥­² , ª®£¤  ¯®¥§¤ ­ · « ¢º¥§¦ ²¼ ­  ¬®±², ¤® ¬®¬¥­² ,

ª®£¤  ®­ ¶¥«¨ª®¬ ±º¥µ « ± ­¥£®.

17

— ¥²­®±²¼ Ÿ ¤¥« ¾ ¨§ ¬³µ¨ ±«®­ , ­® ¬³µ  ¤®«¦­  ¡»²¼ ­ ±²®¿¹¥©.

” §¨«¼ ˆ±ª ­¤¥°

. °¥¤±² ¢¼²¥ ª ¦¤®¥ ¨§ ·¨±¥« 1101 ¨ ,1101 ¢ ¢¨¤¥  ) 2n + 1; ¡) 2n , 1; ¢) 2n + 333. 84. °®¨§¢¥¤¥­¨¥ «¾¡»µ ¤¢³µ ­¥· ¥²­»µ ·¨±¥« ­¥·¥²­®,   ±³¬¬  ¤¢³µ ­¥·¥²­»µ ·¨±¥« | ·¥²­ . „®ª ¦¨²¥ ½²®. 85. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ±³¬¬  ¤¢³µ ¶¥«»µ ·¨±¥« ­¥· ¥²­ , ²® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ½²¨µ ·¨±¥« ·¥²­®. 86.  §­®±²¼ ¤¢³µ ¶¥«»µ ·¨±¥« ³¬­®¦¨«¨ ­  ¨µ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥. Œ®£«® «¨ ¯®«³·¨²¼±¿ ·¨±«® 45 210 181 543? 87. „¢ ¤¶ ²¼ «¥² ²®¬³ ­ § ¤ ¢ µ®¤³ ¡»«¨ ª³¯¾°» ¤®±²®¨­±²¢®¬ 1, 3, 5, 10 ¨ 25 °³¡«¥©. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ 25 °³¡«¥© ° §¬¥­¿«¨ ¤¥±¿²¼¾ ² ª¨¬¨ ª³¯¾° ¬¨, ²® µ®²¿ ¡» ®¤­  ¨§ ½²¨µ ¤¥±¿²¨ ª³¯¾° | ¤¥±¿²ª . 88. — ¥²®¢ ¯¨¸¥² ­  ¤®±ª³ ®¤­® ¶¥«®¥ ·¨±«®,   ¥·¥²®¢ | ¤°³£®¥. …±«¨ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ·¥²­®, ¯®¡¥¤¨²¥«¥¬ ®¡º¿¢«¿¥²±¿ —¥²®¢, ¥±«¨ ­¥·¥²­®, ²® ¥·¥²®¢. Œ®¦¥² «¨ ®¤¨­ ¨§ ­¨µ ¨£° ²¼ ² ª, ·²®¡» ­¥¯°¥¬¥­­® ¢»¨£° ²¼? 89. ® ª°³£³ § ¶¥¯«¥­» 9 ¸¥±²¥° ¥­®ª: ¯¥°¢ ¿ ±® ¢²®°®©, ¢²®° ¿ ± ²°¥²¼¥©, : : : , ¤¥¢¿² ¿ ± ¯¥°¢®©. Œ®£³² «¨ ®­¨ ¢° ¹ ²¼±¿? 90.   °¨±³­ª¥ ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¥±¥ª ¥² ¢±¥ ±²®°®­» ¸¥±²¨³£®«¼­¨ª . Œ®¦¥² «¨ ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¥±¥ª ²¼ ¢±¥ ±²®°®­» 11-³£®«¼­¨ª , ­¥ ¯°®µ®¤¿ ­¨ ·¥°¥§ ®¤­³ ¥£® ¢¥°¸¨­³? 91. 100 ´¨¸¥ª ¯®±² ¢«¥­» ¢ °¿¤.  §°¥¸¥­® ¬¥­¿²¼ ¬¥±² ¬¨ «¾¡»¥ ¤¢¥ ´¨¸ª¨, ±²®¿¹¨¥ ·¥°¥§ ®¤­³. Œ®¦­® «¨ ¯®±² ¢¨²¼ ´¨¸ª¨ ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥? 83

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. ‚ °®²¥ 100 ·¥«®¢¥ª. Š ¦¤³¾ ­®·¼ ¤¥¦³°¿² ²°®¥. Œ®¦­® «¨ ² ª ®°£ ­¨§®¢ ²¼ ¤¥¦³°±²¢®, ·²®¡» ·¥°¥§ ­¥ª®¥ ¢°¥¬¿ ª ¦¤»© ¥¤¨­®¦¤» ¯®¤¥¦³°¨« ± ª ¦¤»¬? 93. ¨ª®« © ± ±»­®¬ ¨ ¥²° ± ±»­®¬ ¡»«¨ ­  °»¡ «ª¥. ¨ª®« © ¯®©¬ « ±²®«¼ª® ¦¥ °»¡, ±ª®«¼ª® ¥£® ±»­,   ¥²° | ¢²°®¥ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¥£® ±»­. ‚±¥£® ¯®©¬ «¨ 25 °»¡. ‘ª®«¼ª® °»¡ ¯®©¬ « ¨ª®« ©? 94. ‚ °¿¤ ¢»¯¨± ­» ·¨±«  ®² 1 ¤® 10. Œ®¦­® «¨ ° ±±² ¢¨²¼ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨ §­ ª¨ À+Á ¨ À , Á ² ª, ·²®¡» §­ ·¥­¨¥ ¯®«³·¥­­®£® ¢»° ¦¥­¨¿ ¡»«® ° ¢­® ­³«¾? 95. Œ®¦­® «¨ ±²¥°¥²¼ ®¤­® ¨§ ¤ ­­»µ  ) 1992; ¡) 1993 ¶¥«»µ ·¨±¥« ² ª, ·²®¡» ±³¬¬  ®±² ¢¸¨µ±¿ ·¨±¥« ¡»«  ·¥²­ ? 96. Œ®¦­® «¨ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  1, 2, : : : , 21 ° §¡¨²¼ ­  ­¥±ª®«¼ª® £°³¯¯, ¢ ª ¦¤®© ¨§ ª®²®°»µ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ° ¢­® ±³¬¬¥ ¢±¥µ ®±² «¼­»µ ·¨±¥« ½²®© £°³¯¯»? 97. „ ­» ¸¥±²¼ ·¨±¥«: 1, 2, 3, 4, 5, 6.  §°¥¸ ¥²±¿ ª «¾¡»¬ ¤¢³¬ ·¨±« ¬ ¯°¨¡ ¢¨²¼ ¯® ¥¤¨­¨¶¥. Œ®¦­® «¨ ±¤¥« ²¼ ¢±¥ ·¨±«  ° ¢­»¬¨? 98.   99 ª °²®·ª µ ¯¨¸³² ·¨±«  1, 2, : : : , 99, ¯¥°¥¬¥¸¨¢ ¾² ¨µ, ° ±ª« ¤»¢ ¾² ·¨±²»¬¨ ±²®°®­ ¬¨ ¢¢¥°µ ¨ ±­®¢  ¯¨¸³² ·¨±«  1, 2, : : : , 99. „«¿ ª ¦¤®© ª °²®·ª¨ ±ª« ¤»¢ ¾² ¤¢  ¥¥ ·¨±«  ¨ 99 ¯®«³·¥­­»µ ±³¬¬ ¯¥°¥¬­®¦ ¾². „®ª ¦¨²¥, ·²® °¥§³«¼² ² ·¥²¥­. 99.   ª³¡¥ ®²¬¥·¥­» ¢¥°¸¨­» ¨ ¶¥­²°» £° ­¥©,   ² ª¦¥ ¯°®¢¥¤¥­» ¤¨ £®­ «¨ ¢±¥µ £° ­¥©. Œ®¦­® «¨ ¯® ®²°¥§ª ¬ ¤¨ £®­ «¥© ®¡®©²¨ ¢±¥ ®²¬¥·¥­­»¥ ²®·ª¨, ¯®¡»¢ ¢ ¢ ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ °®¢­® ¯® ®¤­®¬³ ° §³? 100.   ­¥ª®²®°®¬ ¯®«¥ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ±²®¨² ª®°®«¼. „¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ¯¥°¥¤¢¨£ ¾² ¥£® ¯® ¤®±ª¥. ‡ ¯°¥¹¥­® ¢®§¢° ¹ ²¼ ª®°®«¿ ­  ¯®«¥, £¤¥ ®­ ²®«¼ª® ·²® ¡»«. ‚»¨£°»¢ ¥² ²®² ¨£°®ª, ª²® ¯®±² ¢¨² ª®°®«¿ ­  ¯®«¥, £¤¥ ®­ ª®£¤ -²® ³¦¥ ¯®¡»¢ «. Š²® ¨§ ¨£°®ª®¢ ¬®¦¥² ®¡¥±¯¥·¨²¼ ±¥¡¥ ¯®¡¥¤³ ¯°¨ «¾¡®© ¨£°¥ ¯°®²¨¢­¨ª ? 92

19

‹®£¨ª  € ·²® ³ ¬³µ ¢±¥£¤  ¢¨¤ ¯ ±¬³°­»© ¡»¢ ¥², ˆ · ±²® £®«®¢  ­®£®¾ ¯®¤¯¥°² , ˆ ¡°®¢¼ ­ ±³¯«¥­ , ²®¬³ ¯°¨·¨­  ² , —²® ¬³µ¨ ¬­®£® ° §³¬¥¾² ˆ ¢ £«³¡¨­³ ¢¥¹¥© ±² ° ¾²±¿ ¢µ®¤¨²¼, € ­¥ ®¤­¨ ¢¥°¸ª¨ ³· ¥­®±²¨ ±µ¢ ²¨²¼.

ˆ¢ ­ •¥¬­¨¶¥°

. ‚±²°¥²¨«¨±¼ ²°¨ ¤°³£ : ¥«®¢, —¥°­®¢ ¨ »¦®¢. \‚®«®±» ®¤­®£® ¨§ ­ ± ¡¥«»¥, ¤°³£®£® | ·¥°­»¥, ²°¥²¼¥£® | °»¦¨¥, ­® ­¨ ³ ª®£® ¶¢¥² ¢®«®± ­¥ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ´ ¬¨«¨¨", | § ¬¥²¨« ·¥°­®¢®«®±»©. \’» ¯° ¢", | ¯®¤²¢¥°¤¨« ¥«®¢. Š ª¨¥ ³ ª®£® ¢®«®±»? 102. ‡  ±³²ª¨ ¤® ¤®¦¤¿ ¥²¨­ ª®² ¢±¥£¤  ·¨µ ¥². ‘¥£®¤­¿ ª®² ·¨µ­³«. \‡ ¢²°  ¡³¤¥² ¤®¦¤¼",| ¯®¤³¬ « ¥²¿. ° ¢ «¨ ®­? 103. ¿¤®¬ ±¨¤¿² ¬ «¼·¨ª ¨ ¤¥¢®·ª . | Ÿ ¬ «¼·¨ª,| £®¢®°¨² ·¥°­®¢®«®±»© °¥¡¥­®ª. | Ÿ ¤¥¢®·ª ,| £®¢®°¨² °»¦¨© °¥¡¥­®ª. …±«¨ µ®²¿ ¡» ª²®-²® ¨§ ­¨µ ¢°¥², ª²® ¬ «¼·¨ª,   ª²® ¤¥¢®·ª ? 104. ‚ ²¥²° ¤¨ ­ ¯¨± ­® 100 ³²¢¥°¦¤¥­¨©: 101

‚ ½²®© ²¥²° ¤¨ °®¢­® ®¤­® «®¦­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. ‚ ½²®© ²¥²° ¤¨ °®¢­® ¤¢  «®¦­»µ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿. .

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‚ ½²®© ²¥²° ¤¨ °®¢­® ±²® «®¦­»µ ³²¢¥°¦¤¥­¨©.

Š ª®¥ ¨§ ½²¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨© ¢¥°­®? 105.  ) ‚ ª®°®¡ª¥ ª ° ­¤ ¸¨ ­¥ ¢±¥ ®¤­®© ¤«¨­» ¨ ­¥ ¢±¥ ®¤­®£® ¶¢¥² . „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±²¼ ¤¢  ª ° ­¤ ¸ , ®²«¨· ¾¹¨¥±¿ ¨ ¯® ¶¢¥²³, ¨ ¯® ¤«¨­¥. ¡) ‚ ¬ £ §¨­ ¯°¨¢¥§«¨ ¯« ²¼¿ ²° ¥µ ¶¢¥²®¢ ¨ ²°¥µ ´ ±®­®¢. Œ®¦­® «¨ ¢»¡° ²¼ ¤«¿ ¢¨²°¨­» 3 ¯« ²¼¿, ·²®¡» ¡»«¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­» ¢±¥ ¶¢¥²  ¨ ´ ±®­»? 20

106.

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110

.

| “ ‚®¢» ¡®«¼¸¥ ²»±¿·¨ ª­¨£, | ±ª § « ‚ ­¿. | ¥², ª­¨£ ³ ­¥£® ¬¥­¼¸¥ ²»±¿·¨,| ¢®§° §¨«  €­¿. | Ž¤­ -²® ª­¨£  ³ ­¥£® ­ ¢¥°­¿ª  ¥±²¼,| ±ª § «  Œ ­¿. …±«¨ ¨±²¨­­® ²®«¼ª® ®¤­® ¨§ ½²¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨©, ±ª®«¼ª® ª­¨£ ³ ‚®¢»? Ž¤¨­ ¨§ ¯®¯³£ ¥¢ A , B , C ¢±¥£¤  £®¢®°¨² ¯° ¢¤³, ¤°³£®© ¢±¥£¤  ¢°¥²,   ²°¥²¨© µ¨²°¥¶ | ¨­®£¤  £®¢®°¨² ¯° ¢¤³, ¨­®£¤  ¢°¥².   ¢®¯°®± ÀŠ²® B ?Á ®­¨ ®²¢¥²¨«¨: A : | ‹¦¥¶. B : | Ÿ µ¨²°¥¶! C : | €¡±®«¾²­® ·¥±²­»© ¯®¯³£ ©. Š²® ¨§ ¯®¯³£ ¥¢ «¦¥¶,   ª²® µ¨²°¥¶? „® ¶ °¿ ¤®¸«  ¢¥±²¼, ·²® ª²®-²® ¨§ ²°¥µ ¡®£ ²»°¥© ³¡¨« ‡¬¥¿ ƒ®°»­»· . °¨ª § « ¶ °¼ ¨¬ ¿¢¨²¼±¿ ª® ¤¢®°³. Œ®«¢¨«¨ ¡®£ ²»°¨: ˆ«¼¿ Œ³°®¬¥¶: | ‡¬¥¿ ³¡¨« „®¡°»­¿ ¨ª¨²¨·. „®¡°»­¿ ¨ª¨²¨·: | ‡¬¥¿ ³¡¨« €«¥¸  ®¯®¢¨·. €«¥¸  ®¯®¢¨·: | Ÿ ³¡¨« §¬¥¿. ˆ§¢¥±²­®, ·²® ²®«¼ª® ®¤¨­ ¡®£ ²»°¼ ±ª § « ¯° ¢¤³,   ¤¢®¥ ±«³ª ¢¨«¨. Š²® ³¡¨« §¬¥¿? ‚ ª®­´¥°¥­¶¨¨ ³· ±²¢®¢ «® 100 ·¥«®¢¥ª | µ¨¬¨ª¨ ¨  «µ¨¬¨ª¨. Š ¦¤®¬³ ¡»« § ¤ ­ ¢®¯°®±: À…±«¨ ­¥ ±·¨² ²¼ ‚ ±, ²® ª®£® ¡®«¼¸¥ ±°¥¤¨ ®±² «¼­»µ ³· ±²­¨ª®¢ | µ¨¬¨ª®¢ ¨«¨  «µ¨¬¨ª®¢?Á Š®£¤  ®¯°®±¨«¨ 51 ³· ±²­¨ª , ¨ ¢±¥ ®²¢¥²¨«¨, ·²®  «µ¨¬¨ª®¢ ¡®«¼¸¥, ®¯°®± ¯°¥°¢ «±¿. €«µ¨¬¨ª¨ ¢±¥£¤  «£³²,   µ¨¬¨ª¨ ¢±¥£¤  £®¢®°¿² ¯° ¢¤³. ‘ª®«¼ª® µ¨¬¨ª®¢ ±°¥¤¨ ³· ±²­¨ª®¢? €«¥¸ , ®°¿, ‚ ­¿ ¨ ƒ°¨¸  ±®°¥¢­®¢ «¨±¼ ¢ ¡¥£¥.   ¢®¯°®±, ª²® ª ª®¥ ¬¥±²® § ­¿«, ®­¨ ®²¢¥²¨«¨: €«¥¸ : | Ÿ ­¥ ¡»« ­¨ ¯¥°¢»¬, ­¨ ¯®±«¥¤­¨¬. ®°¿: | Ÿ ­¥ ¡»« ¯®±«¥¤­¨¬. ‚ ­¿: | Ÿ ¡»« ¯¥°¢»¬. ƒ°¨¸ : | Ÿ ¡»« ¯®±«¥¤­¨¬. ˆ§¢¥±²­®, ·²® ²°¨ ¨§ ½²¨µ ®²¢¥²®¢ ¯° ¢¨«¼­»¥,   ®¤¨­ | ­¥¢¥°­»©. Š²® ±ª § « ­¥¯° ¢¤³? 21

°®¶¥­²» –¥­² | ®¤­  ±®² ¿ · ±²¼ ³±«®¢­®© ¥¤¨­¨¶».

. “·¥­¨ª ¯°®·¨² « 138 ±²° ­¨¶, ·²® ±®±² ¢«¿¥² 23% ·¨±«  ¢±¥µ ±²° ­¨¶ ¢ ª­¨£¥. ‘ª®«¼ª® ±²° ­¨¶ ¢ ª­¨£¥? 112.  §«®¦¨²¥ 80 ²¥²° ¤¥© ­  ¤¢¥ ±²®¯ª¨ ² ª, ·²®¡» ·¨±«® ²¥²° ¤¥© ®¤­®© ¨§ ­¨µ ±®±² ¢¨«® 60% ·¨±«  ²¥²° ¤¥© ¤°³£®© ±²®¯ª¨. 113. Š®£¤  ¨§ ¯¥°¢®£® ¡¨¤®­  ¯¥°¥«¨«¨ ¢® ¢²®°®© 12,5% ­ µ®¤¨¢¸¥£®±¿ ¢ ¯¥°¢®¬ ¡¨¤®­¥ ¬®«®ª , ²® ¬®«®ª  ¢ ¡¨¤®­ µ ±² «® ¯®°®¢­³, ¯® 35 «¨²°®¢. ‘ª®«¼ª® ¬®«®ª  ¡»«® ¢® ¢²®°®¬ ¡¨¤®­¥? 114. Œ­®¦¨¬®¥ ³¢¥«¨·¨«¨ ­  50%,   ¬­®¦¨²¥«¼ ³¬¥­¼¸¨«¨ ­  50%. Š ª ¨§¬¥­¨«®±¼ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥? 115. —²® ¡®«¼¸¥: 15;43% ®² 5 ¨«¨ 5% ®² 15;43? 116. Š ª ¨§¬¥­¨²±¿ ¶¥­  ²®¢ ° , ¥±«¨ ±­ · «  ¥ ¥ ³¢¥«¨·¨²¼ ­  100%,   § ²¥¬ ³¬¥­¼¸¨²¼ ­  50%? 117. –¥­  ª °²®´¥«¿ ¯®¢»±¨« ±¼ ­  20%. —¥°¥§ ­¥ª®²®°®¥ ¢°¥¬¿ ¶¥­  ¯®­¨§¨« ±¼ ­  20%. Š®£¤  ª °²®´¥«¼ ±²®¨« ¤¥¸¥¢«¥: ¤® ¯®¢»¸¥­¨¿ ¨«¨ ¯®±«¥ ±­¨¦¥­¨¿? 118. A , B ¨ C ±®±²¿§ «¨±¼ ¢ ¡¥118.0 ‚ ®¤­®¬ ¬ £ §¨­¥ ¶¥­» £¥ ­  100 ¬. Š®£¤  A ´¨­¨- ³¬¥­¼¸¨«¨ ­  10%,   ¯®²®¬ ¸¨°®¢ «, B ®²±² ¢ « ®² ­¥£® ¥¹¥ ­  10% (®² ­®¢®£® ³°®¢­  10 ¬. Š®£¤  B ´¨­¨¸¨°®- ­¿). € ¢ ¤°³£®¬ ¶¥­» ¯°®±²® ¢ «, C ®²±² ¢ « ­  10 ¬. ±° §³ ±­¨§¨«¨ ­  20%. —²®   ±ª®«¼ª® ®²±² ¢ « C ®² A , ¢»£®¤­¥¥ ¤«¿ ¯®ª³¯ ²¥«¿? ª®£¤  A § ª®­·¨« ¡¥£? 119. ‡  ¢¥±­³ Ž¡«®¬®¢ ±¡ ¢¨« ¢ ¢¥±¥ 25%, §  «¥²® ¯°¨¡ ¢¨« 20%, §  ®±¥­¼ ¯®µ³¤¥« ­  10%,   §  §¨¬³ ¯°¨¡ ¢¨« 20%. ®µ³¤¥« ®­ ¨«¨ ¯®¯° ¢¨«±¿ §  £®¤? 120. ‚®¤  ’¨µ®£® Žª¥ ­  ±®¤¥°¦¨² 3,5% ±®«¨ (¯® ¢¥±³). ‘ª®«¼ª® ¯°¥±­®© ¢®¤» ­ ¤® ¯°¨¡ ¢¨²¼ ª 40 ª£ ² ª®© ¢®¤», ·²®¡» ±®¤¥°¦ ­¨¥ ±®«¨ ¢ ±¬¥±¨ ±®±² ¢¨«® 0,5%? 111

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. ˆ§ 22 ª£ ±¢¥¦¨µ £°¨¡®¢ ¯®«³· ¥²±¿ 2,5 ª£ ±³µ¨µ £°¨¡®¢, ±®¤¥°¦ ¹¨µ 12% ¢®¤». Š ª®¢ ¯°®¶¥­² ¢®¤» ¢ ±¢¥¦¨µ £°¨¡ µ? 122. Š ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«® 122.0 „«¿ ª ª®£® ­ ¨¬¥­¼³· ±²­¨ª®¢ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¸¥£® ­ ²³° «¼­®£® ·¨±«  n ¢ ª°³¦ª¥ «¥¢¨² ¶¨¨, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¤°®¡¼ ±® §­ ¬¥­ ¬ «¼·¨ª®¢ ¢ ­¥¬ ¬¥­¼- ²¥«¥¬ n , ­ µ®¤¿¹ ¿±¿ ¬¥¦¤³ ¸¥ 50%, ­® ¡®«¼¸¥ 40%? ·¨±« ¬¨ 0,4 ¨ 0,5? 123. €«¨ª, ®°¿ ¨ ‚ ±¿ ±®¡¨° «¨ £°¨¡». ®°¿ ±®¡° « £°¨¡®¢ ­  20% ¡®«¼¸¥, ·¥¬ €«¨ª, ­® ­  20% ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ‚ ±¿.   ±ª®«¼ª® ¯°®¶¥­²®¢ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ €«¨ª, ±®¡° « £°¨¡®¢ ‚ ±¿? 124. °¥¤¯°¨¿²¨¥ ¯®«³·¨«® § ¤ ­¨¥ §  ¤¢  £®¤  ±­¨§¨²¼ ­  51% ®¡º¥¬ ¢»¯³±ª ¥¬®© ¯°®¤³ª¶¨¨. Š ¦¤»© £®¤ ²°¥¡³¾² ±­¨¦ ²¼ ­  ®¤­® ¨ ²® ¦¥ ·¨±«® ¯°®¶¥­²®¢.   ±ª®«¼ª®? 125. ‚ ±®±³¤¥ ¡»«® 20 «¨²°®¢ ±¯¨°² . — ±²¼ ¥£® ®²«¨«¨ ¨ ¤®«¨«¨ ±²®«¼ª® ¦¥ ¢®¤». ‡ ²¥¬, ¯¥°¥¬¥¸ ¢, ®²«¨«¨ ² ª³¾ ¦¥ · ±²¼ ¨ ±®±³¤ ®¯¿²¼ ¤®«¨«¨ ¢®¤®©. ‚ ±®±³¤¥ ±¯¨°²  ®ª § «®±¼ ¢²°®¥ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ¢®¤». Š ª³¾ · ±²¼ ®²«¨¢ «¨? 126. —¨±«® 51,2 ²°¨¦¤» ³¢¥«¨·¨¢ «¨ ­  ®¤­® ¨ ²® ¦¥ ·¨±«® ¯°®¶¥­²®¢,   § ²¥¬ ²°¨¦¤» ³¬¥­¼¸ «¨ ­  ²® ¦¥ ± ¬®¥ ·¨±«® ¯°®¶¥­²®¢. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨«®±¼ ·¨±«® 21,6.   ±ª®«¼ª® ¯°®¶¥­²®¢ ³¢¥«¨·¨¢ «¨,   § ²¥¬ ³¬¥­¼¸ «¨ ½²® ·¨±«®? 127. Œ. ‚. ‹®¬®­®±®¢ ²° ²¨« ®¤­³ ¤¥­¥¦ª³ ­  µ«¥¡ ¨ ª¢ ±. Š®£¤  ¶¥­» ¢»°®±«¨ ­  20%, ­  ²³ ¦¥ ¤¥­¥¦ª³ ®­ ¯°¨®¡°¥² « ¯®«µ«¥¡  ¨ ª¢ ±. •¢ ²¨² «¨ ²®© ¦¥ ¤¥­¥¦ª¨ µ®²¿ ¡» ­  ª¢ ±, ¥±«¨ ¶¥­» ¥¹¥ ° § ¢»° ±²³² ­  20%? 128. °®©¤¿ ¯®«®¢¨­³ ¯³²¨, ª ²¥° ³¢¥«¨·¨« ±ª®°®±²¼ ­  25% ¨ ¯®½²®¬³ ¯°¨¡»« ­  ¯®«· ±  ° ­¼¸¥. ‘ª®«¼ª® ¢°¥¬¥­¨ ®­ ¤¢¨£ «±¿? 129. ‚ ±¥­²¿¡°¥ ¯°®¥§¤­®© ¡¨«¥² ­  ¬¥²°® ±²®¨« 800 °³¡«¥©. ‚ ®ª²¿¡°¥ ±²®¨¬®±²¼ ¡¨«¥²  ³¢¥«¨·¨«¨, ¢ °¥§³«¼² ²¥ ·¥£® ·¨±«® ¯°®¤ ­­»µ ¡¨«¥²®¢ ³¬¥­¼¸¨«®±¼ ­  25%,   ¢»°³·ª  ®² ¨µ ¯°®¤ ¦¨ ³¬¥­¼¸¨« ±¼ ­  6,25%. ‘ª®«¼ª® ±² « ±²®¨²¼ ¯°®¥§¤­®© ¡¨«¥² ¢ ®ª²¿¡°¥? 121

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‚®±¥¬¼ § ¤ · ¨ª ¨±²¨­» ¢»±®ª ­¥¨¬®¢¥°­®; °¨¤ ¥²±¿ ¯®ª°³¦¨²¼ ¯® ±ª«®­³, ·²®¡ „®±²¨·¼ ¢¥°¸¨­» | ­¥² ¤®°®£¨ ¢ «®¡! ‘¯¥¸¨, ¤®ª®«¥ ¤¥­¼,   ²¼¬  ±£³±²¨²±¿ | ’®£¤  ³¦ ¡³¤¥² ¯®§¤­® ²®°®¯¨²¼±¿.

„¦®­ „®­­ (1572{1631)

.   °¨±³­ª¥ 6 ®²°¥§ª®¢ ° ±¯®«®¦¥­» ² ª, ·²® ª ¦¤»© ¯¥°¥±¥ª ¥² ²°¨ ¤°³£¨µ ®²°¥§ª .  ±¯®«®¦¨²¥ 8 ®²°¥§ª®¢, ·²®¡» ª ¦¤»© ¯¥°¥±¥ª « ²°¨ ¤°³£¨µ ®²°¥§ª . 131. ’° ¥¬ µ¨°³°£ ¬ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ¯°®®¯¥°¨°®¢ ²¼ ¢ ¯®«¥¢»µ ³±«®¢¨¿µ ¡®«¼­®£®, ±²° ¤ ¾¹¥£® § ° §­»¬ § ¡®«¥¢ ­¨¥¬. ‘ ¬¨ µ¨°³°£¨ ²®¦¥ ¡®«¼­», ¯°¨·¥¬ ¢±¥ | ° §­»¬¨ ¡®«¥§­¿¬¨. ‚ ° ±¯®°¿¦¥­¨¨ µ¨°³°£®¢ ¥±²¼ «¨¸¼ ¤¢¥ ¯ °» ±²¥°¨«¼­»µ ¯¥°· ²®ª. ®¤±ª ¦¨²¥ ¯« ­ ®¯¥° ¶¨¨, ¯®±«¥ ª®²®°®© ­¨ µ¨°³°£¨, ­¨ ¡®«¼­®© ­¥ § ° §¿²±¿ ¤°³£ ®² ¤°³£ . (®¬®£ ²¼ ¤°³£ ¤°³£³ ¢® ¢°¥¬¿ ®¯¥° ¶¨© µ¨°³°£¨ ­¥ ¤®«¦­». Ž¯¥°¨°®¢ ²¼ ®¤­®© °³ª®© ­¥«¼§¿.) 132. ‚®±±² ­®¢¨²¥ ¯® ±®µ° ­¨¢¸¨¬17 11 ±¿ ­®¬¥° ¬ ¯³²¼ ª®­¿, ¯®¡»¢ ¢¸¥£® ¯® ®¤­®¬³ ° §³ ­  ¢±¥µ 2 25 ª«¥²ª µ ¤®±ª¨ ° §¬¥°®¬ 6  6. (’® ¥±²¼ ° ±±² ¢¼²¥ ·¨±«  ®² 1 23 16 1 ¤® 36 ² ª, ·²®¡» ®²«¨· ¾¹¨¥±¿ 30 19 ­  1 ¡»«¨ ±¢¿§ ­» µ®¤®¬ ª®­¿.) 133. ®ª°®©²¥ ±¥¬¼¾ ±¨­¨¬¨ ª¢ ¤15 13 ° ²­»¬¨ ª®¢°¨ª ¬¨ ª° ±­»© 8 35 ª¢ ¤° ²­»© ª®¢°¨ª ² ª®£® ¦¥ ° §¬¥°  ² ª, ·²®¡» ±¨­¨¥ ª®¢°¨ª¨ ­¥ ­ «¥£ «¨ ¤°³£ ­  ¤°³£ , ­® ª ¦¤»© ±¨­¨© ¯®ª°»¢ « ª ª³¾-²® · ±²¼ ª° ±­®£®. 130

24

. „ ¬  ±¤ ¢ «  ¢ ¡ £ ¦ ¤¨¢ ­, ·¥¬®¤ ­, ± ª¢®¿¦, ª °²¨­³, ª®°§¨­³, ª °²®­ª³ ¨ ¬ «¥­¼ª³¾ ±®¡ ·®­ª³. „¨¢ ­ ¢¥±¨« ±²®«¼ª® ¦¥, ±ª®«¼ª® ·¥¬®¤ ­ ¨ ± ª¢®¿¦, ¢¬¥±²¥ ¢§¿²»¥, ¨ ±²®«¼ª® ¦¥, ±ª®«¼ª® ª °²¨­ , ª®°§¨­  ¨ ª °²®­ª  ¢¬¥±²¥. Š °²¨­ , ª®°§¨­  ¨ ª °²®­ª  ¢¥±¨«¨ ¯®°®¢­³; ª ¦¤ ¿ ¨§ ­¨µ ¢¥±¨«  ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ±®¡ ·®­ª . Š®£¤  ¢»£°³¦ «¨ ¡ £ ¦, ¤ ¬  § ¿¢¨« , ·²® ±®¡ ª  ­¥ ²®© ¯®°®¤». °¨ ¯°®¢¥°ª¥ ®ª § «®±¼, ·²® ±®¡ ª  ¯¥°¥¢¥¸¨¢ ¥² ¤¨¢ ­, ¥±«¨ ª ­¥© ­  ¢¥±» ¤®¡ ¢¨²¼ ± ª¢®¿¦ ¨«¨ ·¥¬®¤ ­. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¯°¥²¥­§¨¿ ¤ ¬» ¡»«  ±¯° ¢¥¤«¨¢ . 135. ’°¨ ·¥«®¢¥ª  | ª° ±­»© ®° ­¦¥¢»© ¦¥«²»© §¥«¥­»© A, B ¨ C | A 2 5 7 9 2 4 9 8 ¯¥°¥±·¨² «¨ ª³- B C 4 2 8 9 ·³ ¸ °¨ª®¢ ·¥²»°¥µ ¶¢¥²®¢. Š ¦¤»© ¨§ ­¨µ ¯° ¢¨«¼­® ° §«¨· « ¤¢  ¶¢¥² ,   ¤¢  ¤°³£¨µ ­¥ ° §«¨· «: ª²®-²® ®¤¨­ ¨§ ­¨µ ­¥ ° §«¨· « ª° ±­»© ¨ ®° ­¦¥¢»©, ¤°³£®© ­¥ ° §«¨· « ®° ­¦¥¢»© ¨ ¦¥«²»©,   ¥¹¥ ®¤¨­ ­¥ ° §«¨· « ¦¥«²»© ¨ §¥«¥­»©. ƒ«¿¤¿ ­  ² ¡«¨¶³, ³§­ ©²¥, ±ª®«¼ª® ª ª¨µ ¸ °¨ª®¢ ¡»«®. 136. ¥°¢ ¿ ±«¥¢  ¶¨´°  ¤¥±¿²¨§­ ·­®£® ·¨±«  ° ¢­  ·¨±«³ ¥¤¨­¨¶ ¢ § ¯¨±¨ ½²®£® ·¨±« , ¢²®° ¿ | ·¨±«³ ¤¢®¥ª, ²°¥²¼¿ | ·¨±«³ ²°®¥ª, ·¥²¢¥°² ¿ | ·¨±«³ ·¥²¢¥°®ª, : : : , ¤¥¢¿² ¿ | ·¨±«³ ¤¥¢¿²®ª, ¤¥±¿² ¿ | ·¨±«³ ­³«¥©. °¨¤³¬ ©²¥ ² ª®¥ ·¨±«®. 137.   °¨±³­ª µ ¯®ª § ­» ° §­»¥ ±¯®±®¡» ° ±±² ¢¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥ 24 ª®­¿, ª ¦¤»© ¨§ ª®²®°»µ ¡¼¥² ¤¢³µ ¤°³£¨µ.  ±±² ¢¼²¥ ­  ¤®±ª¥ 32 ª®­¿, ·²®¡» ª ¦¤»© ¨§ ­¨µ ¡¨« °®¢­® ¤¢³µ ¤°³£¨µ. 134

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‘³¬¬  ¨ ±°¥¤­¥¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥ | Š ª ¿ ±¥£®¤­¿ ±°¥¤­¿¿ ²¥¬¯¥° ²³°  ¯® ¡®«¼­¨¶¥? | ±¯°®±¨« °¥¢¨§®° £« ¢¢° · .

. „¢  ·¥«®¢¥ª  ®²¯° ¢¨«¨±¼ ­  °»­®ª ¯°®¤ ¢ ²¼ ¿¡«®ª¨. “ ­¨µ ¡»«® ¯® 30 ¿¡«®ª. Ž¤¨­ ±®¡¨° «±¿ ¯°®¤ ¢ ²¼ ¯® 2 ¿¡«®ª  §  1 °³¡«¼,   ¤°³£®© | ¯® 3 ¿¡«®ª  §  1 °³¡«¼. ¥°¥¤ ­ · «®¬ ²®°£®¢«¨ ¯¥°¢®£® ¯°®¤ ¢¶  ¢»§¢ «¨ ¤®¬®©, ¨ ®­ ¯®¯°®±¨« ¢²®°®£® ¯°®¤ ¢¶  ¯°®¤ ²¼ ¥£® ¿¡«®ª¨. ’®² ±² « ¯°®¤ ¢ ²¼ ¯® 5 ¿¡«®ª §  2 °³¡«¿. …±«¨ ¡» ®­¨ ²®°£®¢ «¨ ¯®°®§­¼, ²® ¢»°³·¨«¨ ¡» 10 °³¡«¥© ¨ 15 °³¡«¥©,   ¯°®¤ ¢ ¿ ¯® 5 ¿¡«®ª §  2 °³¡«¿, ®­¨ ¯®«³·¨«¨ 24 °³¡«¿. Š³¤  ¨±·¥§ °³¡«¼? 139.  §¡¥©²¥ f1, 2, 9, 25, 49, 64g ­  ¤¢  ¯®¤¬­®¦¥±²¢ , ·²®¡» ±³¬¬  ·¨±¥« ®¤­®£® ¨§ ­¨µ ¡»«  ° ¢­  ±³¬¬¥ ·¨±¥« ¤°³£®£®. 140.  §¤¥«¨²¥ ¯®«®±ª³ ­  1 9 16 7 12 5 4 3 4 ®¤¨­ ª®¢»¥ · ±²¨, 8 15 10 2 13 6 11 14 ·²®¡» ¢±¥ · ±²¨ ¨¬¥«¨ ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ±³¬¬³ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ ­¨µ ·¨±¥«. 141. €­¿ ¨ ’ ­¿ ¢¬¥±²¥ ¢¥±¿² 40 ª£, ’ ­¿ ¨ Œ ­¿ | 50 ª£, Œ ­¿ ¨ ‚ ­¿ | 90 ª£, ‚ ­¿ ¨ „ ­¿ | 100 ª£, „ ­¿ ¨ €­¿ | 60 ª£. ‘ª®«¼ª® ¢¥±¨² €­¿? 142. —¥²¢¥°® ª³¯¶®¢ § ¬¥²¨142.0 ¥¸¨²¥ ±¨±²¥¬³ ³° ¢­¥­¨©: «¨, ·²® ¥±«¨ ®­¨ ±«®¦ ²±¿ 8 > y + z + t = 90; ¡¥§ ¯¥°¢®£®, ²® ±®¡¥°³² > < x + z + t = 85; 90 °³¡«¥©, ¡¥§ ¢²®°®£® | 85, ¡¥§ ²°¥²¼¥£® | 80, ¡¥§ > x + y + t = 80; > ·¥²¢¥°²®£® | 75 °³¡«¥©. : x + y + z = 75: ‘ª®«¼ª® ³ ª®£® ¤¥­¥£? 138

143

. ‘°¥¤­¨© ¢®§° ±² 11 ¨£°®ª®¢ ´³²¡®«¼­®© ª®¬ ­¤» | 22 £®¤ . ‚® ¢°¥¬¿ ¬ ²·  ®¤¨­ ¨£°®ª ¯®«³·¨« ²° ¢¬³ ¨ ³¸¥« ± ¯®«¿. ‘°¥¤­¨© ¢®§° ±² ®±² ¢¸¨µ±¿ ¨£°®ª®¢ | 21 £®¤. ‘ª®«¼ª® «¥² ¯®«³·¨¢¸¥¬³ ²° ¢¬³? 26

. Š®£¤  Œ¨¸  ¯®±²³¯ « ¢ Œƒ“, ³·¨²»¢ «±¿ ±°¥¤­¨© ¡ ««  ²²¥±² ²  ® ±°¥¤­¥¬ ®¡° §®¢ ­¨¨ ¯® ¤¢¥­ ¤¶ ²¨ ¯°¥¤¬¥² ¬. “ Œ¨¸¨ ±°¥¤­¨© ¡ «« ¡»« ° ¢¥­ 3,5. ® ±ª®«¼ª¨¬ ¯°¥¤¬¥² ¬ ¥¬³ ­³¦­® ¡»«® ¯®¢»±¨²¼ ®¶¥­ª³ ­  ®¤¨­ ¡ ««, ·²®¡» ±°¥¤­¨© ¡ «« ®ª § «±¿ ° ¢¥­ 4? 145. “·¨²¥«¼ ¯°®¢®¤¨² ³°®ª ¢ ª« ±±¥. ‚®§° ±² ³·¨²¥«¿ ­  24 £®¤  ¡®«¼¸¥ ±°¥¤­¥£® ¢®§° ±²  ³·¥­¨ª®¢ ¨ ­  22 £®¤  ¡®«¼¸¥ ±°¥¤­¥£® ¢®§° ±²  ¢±¥µ ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨µ ¢ ª« ±±¥. ‘ª®«¼ª® ¢ ª« ±±¥ ³·¥­¨ª®¢? 146. °¿¬®³£®«¼­¨ª 20 ? ° §¡¨² ¯°¿¬»¬¨ ­  25 ¯°¿¬®³£®«¼14 10 ­¨ª®¢. «®¹ ¤¨ 32 28 ­¥ª®²®°»µ ¨§ ­¨µ ³ª § ­» ­  °¨±³­ª¥.  ©¤¨²¥ 35 40 ¯«®¹ ¤¼ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª , ®²¬¥9 21 ·¥­­®£® ¢®¯°®±¨²¥«¼­»¬ §­ ª®¬. 147. Š ²¿, ‹¥­ , Œ ¸ , ¨­  ³· ±²¢®¢ «¨ ¢ ª®­¶¥°²¥. Š ¦¤³¾ ¯¥±­¾ ¯¥«¨ 3 ¤¥¢®·ª¨. Š ²¿ ¯¥«  8 ¯¥±¥­ | ¡®«¼¸¥ ¢±¥µ; ¨­  ¬¥­¼¸¥ ¢±¥µ | 5 ¯¥±¥­. ‘ª®«¼ª® ¯¥±¥­ ¡»«® ±¯¥²®? 148. Œ®¦­® «¨ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  ®² 1 ¤® 30 § ¯¨± ²¼ ¢ ² ¡«¨¶³ ¨§ 5 ±²°®ª ¨ 6 ±²®«¡¶®¢, ·²®¡» ¢±¥ ¸¥±²¼ ±³¬¬ ·¨±¥«, ±²®¿¹¨µ ¢ ±²®«¡¶ µ, ¡»«¨ ° ¢­»? 149. Œ®¦­® «¨ § ¯®«­¨²¼ ·¨±« ¬¨ 149.0 Œ®¦­® «¨ ° ±±² ² ¡«¨¶³  ) 5  5; ¡) 6  6 ¢¨²¼ ·¨±«  ¢ ² ¡«¨¶¥ ² ª, ·²®¡» ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢±¥µ 19  66 ² ª, ·²®¡» ¢ ·¨±¥« «¾¡®© ±²°®ª¨ ¡»«® ®²- ª ¦¤®© ±²°®ª¥ ±³¬¬  ·¨°¨¶ ²¥«¼­®,   ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ±¥« ¡»«  ¯®«®¦¨²¥«¼­ , ¢±¥µ ·¨±¥« «¾¡®£® ±²®«¡¶  |   ¢ ª ¦¤®¬ ±²®«¡¶¥ | ¯®«®¦¨²¥«¼­®? ®²°¨¶ ²¥«¼­ ? 144

27

‘®±² ¢«¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨© Œ ²¥¬ ²¨ª¨ ¯®µ®¦¨ ­  ´° ­¶³§®¢: ·²® ¡» ¢» ­¨ ±ª § «¨, ®­¨ ¢± ¥ ¯¥°¥¢¥¤³² ­  ±¢®© ±®¡±²¢¥­­»© ¿§»ª. ®«³·¨²±¿ ­¥·²® ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®¥.

ˆ. ‚. ƒ ¥²¥

. ƒ®«®¢  °»¡» ¢¥±¨² ±²®«¼ª®, ±ª®«¼ª® µ¢®±² ¨ ¯®«®¢¨­  ²³«®¢¨¹ , ²³«®¢¨¹¥ | ±²®«¼ª®, ±ª®«¼ª® £®«®¢  ¨ µ¢®±² ¢¬¥±²¥. •¢®±² ¥¥ ¢¥±¨² 1 ª£. ‘ª®«¼ª® ¢¥±¨² °»¡ ? 151. “·¥­¨ª ¤®«¦¥­ ¡»« ° §¤¥«¨²¼ ·¨±«® ­  2 ¨ ª °¥§³«¼² ²³ ¯°¨¡ ¢¨²¼ 3,   ®­, ¯® ®¸¨¡ª¥, ³¬­®¦¨« ·¨±«® ­  2 ¨ ®² ¯®«³·¥­­®£® · ±²­®£® ®²­¿« 3. Ž²¢¥² ¢±¥ ° ¢­® ¯®«³·¨«±¿ ¯° ¢¨«¼­»©. Š ª®©? 152. Ž¤¨­ ± ¯´¨° ¨ ¤¢  ²®¯ §  ¶¥­­¥©, ·¥¬ ¨§³¬°³¤, ¢ ²°¨ ° § . € ±¥¬¼ ± ¯´¨°®¢ ¨ ²®¯ § ¥£® ¶¥­­¥¥ ¢ ¢®±¥¬¼ ° §. Ž¯°¥¤¥«¨²¼ ¯°®¸³ ¿ ¢ ±, ± ¯´¨° ¶¥­­¥¥ ¨«¼ ²®¯ §? 153. —¥²¢¥°® ²®¢ °¨¹¥© ¯®ª³¯ ¾² «®¤ª³. ¥°¢»© ¢­®±¨² ¯®«®¢¨­³ ±³¬¬», ¢­®±¨¬®© ®±² «¼­»¬¨; ¢²®°®© | ²°¥²¼ ±³¬¬», ¢­®±¨¬®© ®±² «¼­»¬¨; ²°¥²¨© | ·¥²¢¥°²¼ ±³¬¬», ¢­®±¨¬®© ®±² «¼­»¬¨; ·¥²¢¥°²»© | 130 °³¡«¥©. ‘ª®«¼ª® ±²®¨² «®¤ª ? 154. Ž´¥­¿ ª³¯¨« ­  ®¯²®¢®¬ °»­ª¥ ¯ °²¨¾ °³·¥ª ¨ ¯°¥¤« £ ¥² ¯®ª³¯ ²¥«¿¬ «¨¡® ®¤­³ °³·ª³ §  5 °³¡«¥©, «¨¡® ²°¨ °³·ª¨ §  10 °³¡«¥©. Ž² ª ¦¤®£® ¯®ª³¯ ²¥«¿ ®´¥­¿ ¯®«³· ¥² ®¤¨­ ª®¢³¾ ¯°¨¡»«¼. Š ª®¢  ®¯²®¢ ¿ ¶¥­  °³·ª¨? 155. °¥¤±² ¢¼²¥ ·¨±«® 45 ¢ ¢¨¤¥ ±³¬¬» ·¥²»° ¥µ ·¨±¥« ² ª, ·²® ¯®±«¥ ¯°¨¡ ¢«¥­¨¿ 2 ª ¯¥°¢®¬³ ·¨±«³, ¢»·¨² ­¨¿ 2 ®² ¢²®°®£® ·¨±« , ³¬­®¦¥­¨¿ ²°¥²¼¥£® ·¨±«  ­  2 ¨ ¤¥«¥­¨¿ ·¥²¢¥°²®£® ·¨±«  ­  2 ½²¨ ·¨±«  ±² ­®¢¿²±¿ ° ¢­»¬¨. 156. ’³°¨±² ¯®¤­¿«±¿ ¢ «®¤ª¥ ¢¢¥°µ ¯® °¥ª¥ ­  20 ª¬ ¨ ±¯³±²¨«±¿ ®¡° ²­®, § ²° ²¨¢ ­  ¢±¥ 10 · ±®¢. ³²¼ ¯°®²¨¢ ²¥·¥­¨¿ § ­¿« ¢ ¯®«²®°  ° §  ¡®«¼¸¥ ¢°¥¬¥­¨, ·¥¬ ®¡° ²­»© ¯³²¼.  ©¤¨²¥ ±ª®°®±²¼ ²¥·¥­¨¿ °¥ª¨. 150

)

) °®¤ ¢¥¶ ¢ ° §­®±, ª®°®¡¥©­¨ª.

28

. €°²¥«¨ ª®±¶®¢ ¯°¥¤±²®¿«® ±ª®±¨²¼ ¤¢  «³£ , ¨§ ª®²®°»µ ®¤¨­ ¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥ ¤°³£®£®. ®«¤­¿  °²¥«¼ ª®±¨«  ¡®«¼¸®© «³£,   ­  ¢²®°³¾ ¯®«®¢¨­³ ¤­¿ ° §¤¥«¨« ±¼ ¯®¯®« ¬. Ž¤­  ¯®«®¢¨­  ®±² « ±¼ ¤®ª ¸¨¢ ²¼ ¡®«¼¸®© «³£,   ¤°³£ ¿ ¯°¨­¿« ±¼ §  ¬ «»©. Š ¢¥·¥°³ ¡®«¼¸®© «³£ ±ª®±¨«¨,   ®² ¬ «®£® ®±² «±¿ ³· ±²®ª, ª®²®°»© ¡»« ±ª®¸¥­ §  ¤°³£®© ¤¥­¼ ®¤­¨¬ ª®±¶®¬. ‘ª®«¼ª® ª®±¶®¢ ¢  °²¥«¨? 158. „¢  ¢¥«®±¨¯¥¤¨±²  ¢»¥µ «¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¨§ ®¤­®£® ¯³­ª²  ¢ ®¤­®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨. ¥°¢»© ¨§ ­¨µ ¥¤¥² ±® ±ª®°®±²¼¾ 15 ª¬/·, ¢²®°®© | ±® ±ª®°®±²¼¾ 12 ª¬/·. ‘¯³±²¿ ¯®«· ±  ¨§ ²®£® ¦¥ ¯³­ª²  ¢»¥µ « ²°¥²¨© ¢¥«®±¨¯¥¤¨±², ª®²®°»© ·¥°¥§ ­¥ª®²®°®¥ ¢°¥¬¿ ¤®£­ « ¢²®°®£®,   ¥¹¥ ·¥°¥§ ¯®«²®°  · ±  ¤®£­ « ¨ ¯¥°¢®£®.  ©¤¨²¥ ±ª®°®±²¼ ²°¥²¼¥£® ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² . 159. ˆ§ £®°¿·¥£® ª° ­  ¢ ­­  § ¯®«­¿¥²±¿ §  23 ¬¨­³²», ¨§ µ®«®¤­®£® | §  17 ¬¨­³². ¼¥° ®²ª°»« ±­ · «  £®°¿·¨© ª° ­. —¥°¥§ ±ª®«¼ª® ¬¨­³² ®­ ¤®«¦¥­ ®²ª°»²¼ µ®«®¤­»©, ·²®¡» ª ¬®¬¥­²³ ­ ¯®«­¥­¨¿ ¢ ­­» £®°¿·¥© ¢®¤» ­ «¨«®±¼ ¢ 1,5 ° §  ¡®«¼¸¥, ·¥¬ µ®«®¤­®©? 160. ’³°¨±², ¨¤³¹¨© ¨§ ¤¥°¥¢­¨ ­  ¦¥«¥§­®¤®°®¦­³¾ ±² ­¶¨¾, ¯°®©¤¿ §  ¯¥°¢»© · ± 3 ª¬, ° ±±·¨² «, ·²® ®¯®§¤ ¥² ª ¯®¥§¤³ ­  40 ¬¨­³². ®½²®¬³ ®±² «¼­®© ¯³²¼ ®­ ¸¥« ±® ±ª®°®±²¼¾ 4 ª¬/· ¨ ¯°¨¸¥« ­  ±² ­¶¨¾ §  45 ¬¨­³² ¤® ®²¯° ¢«¥­¨¿ ¯®¥§¤ . Š ª®¢® ° ±±²®¿­¨¥ ®² ¤¥°¥¢­¨ ¤® ±² ­¶¨¨? 161. ˆ±²° ²¨¢ ¯®«®¢¨­³ ¤¥­¥£, ¿ § ¬¥²¨«, ·²® ®±² «®±¼ ¢¤¢®¥ ¬¥­¼¸¥ °³¡«¥©, ·¥¬ ¡»«® ¯¥°¢®­ · «¼­® ª®¯¥¥ª, ¨ ±²®«¼ª® ¦¥ ª®¯¥¥ª, ±ª®«¼ª® ¡»«® ¯¥°¢®­ · «¼­® °³¡«¥©. ‘ª®«¼ª® ¤¥­¥£ ¿ ¨±²° ²¨«? (®¤° §³¬¥¢ ¥²±¿, ·²® ·¨±«® ª®¯¥¥ª ¬¥­¼¸¥ 100.) 162. “¯° ¢¤®¬ Ž±² ¯ ¥­¤¥° ±®¡¨° « ± ¦¨«¼¶®¢ ¤¥­¼£¨ ­  ³±² ­®¢ª³ ­®¢»µ ª¢ °²¨°­»µ ­®¬¥°®¢. €¤ ¬ Š®§«¥¢¨· ¨§ 105-© ª¢ °²¨°» ¯®¨­²¥°¥±®¢ «±¿, ¯®·¥¬³ ³ ­¨µ ¢® ¢²®°®¬ ¯®¤º¥§¤¥ ­ ¤® ±®¡° ²¼ ¤¥­¥£ ­  40% ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¢ ¯¥°¢®¬, µ®²¿ ª¢ °²¨° ² ¬ ¨ ²³² ¯®°®¢­³. ¥ ° ±²¥°¿¢¸¨±¼, Ž±² ¯ ®¡º¿±­¨«, ·²® ¤¢³§­ ·­»¥ ­®¬¥°  ±²®¿² ¢¤¢®¥,   ²°¥µ§­ ·­»¥ | ¢²°®¥ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ®¤­®§­ ·­»¥. ‘ª®«¼ª® ª¢ °²¨° ¢ ¯®¤º¥§¤¥? 157

29

°¨­¶¨¯ „¨°¨µ«¥ Œ­®£¨¥ ¢¥¹¨ ­ ¬ ­¥¯®­¿²­» ­¥ ¯®²®¬³, ·²® ­ ¸¨ ¯®­¿²¨¿ ±« ¡»; ­® ¯®²®¬³, ·²® ±¨¨ ¢¥¹¨ ­¥ ¢µ®¤¿² ¢ ª°³£ ­ ¸¨µ ¯®­¿²¨©.

Š®§¼¬  °³²ª®¢

)

‚ ­¥±¥°¼ ¥§­®© ´®°¬¥ ¯°¨­¶¨¯ „¨°¨µ«¥

£« ±¨²:

\¥«¼§¿

¯®± ¤¨²¼ 7 ª°®«¨ª®¢ ¢ 3 ª«¥²ª¨, ·²®¡» ¢ ª ¦¤®© ¡»«® ­¥ ¡®«¼¸¥ 2 ª°®«¨ª®¢."

\…±«¨ z § ©¶¥¢ ±¨¤¿² ¢ k ª«¥²ª µ, ²® ­ ©¤¥²±¿ ª«¥²ª , ¢ ª®²®°®© ­¥ ¬¥­¥¥ z=k § ©¶¥¢." ®«¥¥ ®¡¹ ¿ ´®°¬³«¨°®¢ª :

¥

­ ¤® ¡®¿²¼±¿ ¤°®¡­®£® ·¨±«® § ©¶¥¢ | ¥±«¨ ¯®«³· ¥²±¿, ·²® ¢ ¿¹¨ª¥ ­¥ ¬¥­¼¸¥ 7/3 § ©¶¥¢, §­ ·¨², ¨µ ¡®«¼¸¥ ¤¢³µ. Ž¤¨­ ¬ ²¥¬ ²¨ª ±ª § «, ·²® „¨°¨µ«¥ ¯® · ±²®²¥ ³¯®¬¨­ ­¨© ¸ª®«¼­¨ª ¬¨ ­ ¢±¥£¤  ®¡¥±¯¥·¥­® ®¤­® ¨§ ± ¬»µ ¢»±¸¨µ ¬¥±².

ˆ ¤®¡ ¢¨«:

\®¦ «³©, ¥±²¼ ±¯®±®¡ «¨¸¨²¼ ¥£® «¨¤¥°-

±²¢  | ­ §¢ ²¼ ·¼¨¬-­¨¡³¤¼ ¨¬¥­¥¬ ¯°¨­¶¨¯ À­¨ª ª®¥ · ¥²­®¥ ·¨±«® ­¥ ° ¢­® ­¨ª ª®¬³ ­¥· ¥²­®¬³Á." „®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°¨­¶¨¯  „¨°¨µ«¥ ®·¥­¼ ¯°®±²®¥, ­® § ±«³¦¨¢ ¥² ¢­¨¬ ­¨¿, ¯®±ª®«¼ª³ ¯®µ®¦¨¥ ° ±±³¦¤¥­¨¿ À®² ¯°®²¨¢­®£®Á · ±²® ¢±²°¥· ¾²±¿. „®¯³±²¨¬, ·²® ¢ ª ¦¤®© ª«¥²ª¥ ·¨±«® § ©¶¥¢ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬

z=k

. ’®£¤  ¢

k

ª«¥²ª µ § ©¶¥¢ ¬¥­¼¸¥,

k
(z=k) = z 163. ‚ ¸ª®«¥ 400 ³·¥­¨ª®¢. „®ª ¦¨²¥, ·²® µ®²¿ ¡» ¤¢®¥ ¨§ ­¨µ °®¤¨«¨±¼ ¢ ®¤¨­ ¤¥­¼ £®¤ . 164. ‚ ª« ±±¥ 40 ³·¥­¨ª®¢.  ©¤ ¥²±¿ «¨ ² ª®© ¬¥±¿¶ ¢ £®¤³, ¢ ª®²®°®¬ ®²¬¥· ¾² ±¢®© ¤¥­¼ °®¦¤¥­¨¿ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ·¥¬ 4 ³·¥­¨ª  ½²®£® ª« ±± ? ·¥¬

. °®²¨¢®°¥·¨¥!

) ¥²¥° ƒ³±² ¢ ‹¥¦¥­ „¨°¨µ«¥ (1805{1859), ¢¥«¨ª¨© ­¥¬¥¶ª¨© ¬ ²¥¬ -

²¨ª, ¨§³· «  °¨´¬¥²¨ª³ (²¥®°¥¬  „¨°¨µ«¥ ® ¯°®±²»µ ·¨±« µ ¢  °¨´¬¥²¨·¥±ª®© ¯°®£°¥±±¨¨), ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨©  ­ «¨§ (¯°¨§­ ª ±µ®¤¨¬®±²¨ „¨°¨µ«¥, °¿¤» „¨°¨µ«¥), ¬¥µ ­¨ª³ ¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª³¾ ´¨§¨ª³ (¯°¨­¶¨¯ „¨°¨µ«¥ ¢ ²¥®°¨¨ £ °¬®­¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨©). Ž­, ° §³¬¥¥²±¿, ¨ ­¥ ¯®¤®§°¥¢ «, ·²® ¥£® ¨¬¥­¥¬ ­ §®¢³² ±²®«¼ ¯°®±²®© ¨ ¢ ¦­»© ¯°¨­¶¨¯.

30

. ‚ ª« ±±¥ 30 ³·¥­¨ª®¢. ‚ ¤¨ª² ­²¥ ‚®¢  ±¤¥« « 13 ®¸¨¡®ª, ®±² «¼­»¥ ¬¥­¼¸¥. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ²°¨ ³·¥­¨ª  ±¤¥« «¨ ®¸¨¡®ª ¯®°®¢­³. 166. ˆ§ «¾¡»µ ²° ¥µ ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢ , ±³¬¬  ª®²®°»µ ·¥²­ . „®ª ¦¨²¥ ½²®. 165

 ¥ ¸ ¥ ­ ¨ ¥. ‚±¥ ·¨±«  ¬®¦­® ° §¡¨²¼ ­  ¤¢  ª« ±± : · ¥²­»¥ ¨ ­¥· ¥²­»¥.

¥¢®§¬®¦­® ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ ²°¨ ·¨±«  ¯® ¤¢³¬ ª« ±± ¬ ² ª,

·²®¡» ­¨ ¢ ª ª®© ª« ±± ­¥ ¯®¯ «® ¡®«¥¥ ®¤­®£® ·¨±« . ‡­ ·¨², ±°¥¤¨ «¾¡»µ ²° ¥µ ¶¥«»µ ·¨±¥« ­ ©¤³²±¿ ¤¢  ·¨±«  ®¤¨­ ª®¢®© · ¥²­®±²¨. ˆµ ±³¬¬  · ¥²­ .

. ‘°¥¤¨ «¾¡»µ ¸¥±²¨ ¶¥«»µ ·¨±¥« ­ ©¤³²±¿ ¤¢  ·¨±« , ° §­®±²¼ ª®²®°»µ ª° ²­  5. „®ª ¦¨²¥ ½²®. 168. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¨§ «¾¡»µ n +1 ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢  ·¨±« , ° §­®±²¼ ª®²®°»µ ­ ¶¥«® ¤¥«¨²±¿ ­  n . 169. „ ­» 12 ° §«¨·­»µ ¤¢³§­ ·­»µ ·¨±¥«. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¨§ ­¨µ ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢  ·¨±« , ° §­®±²¼ ª®²®°»µ | ¤¢³§­ ·­®¥ ·¨±«®, § ¯¨±»¢ ¥¬®¥ ¤¢³¬¿ ®¤¨­ ª®¢»¬¨ ¶¨´° ¬¨. 170. ˆ§ «¾¡»µ «¨ ±²  ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢  ·¨±« , ±³¬¬  ª®²®°»µ ª° ²­  7? 171. ‘³¹¥±²¢³¾² «¨  ) ¯¿²¼¤¥±¿²; ¡) ¡®«¥¥ ¯¿²¨¤¥±¿²¨ ° §«¨·­»µ ¤¢³§­ ·­»µ ·¨±¥«, ±³¬¬  ­¨ª ª¨µ ¤¢³µ ¨§ ª®²®°»µ ­¥ ° ¢­  100? 172. ˆ§ «¾¡»µ «¨  ) 51; ¡) 52 ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢  ·¨±« , ±³¬¬  ¨«¨ ° §­®±²¼ ª®²®°»µ ª° ²­  100? 173.   ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥ ±²®¿² 44 ´¥°§¿. „®ª ¦¨²¥, ·²® ª ¦¤»© ¨§ ­¨µ ¡¼¥² ª ª®£®-­¨¡³¤¼ ¤°³£®£® ´¥°§¿. 174. Š ¦¤»© ¨§ 10 ³· ±²­¨ª®¢ ¯¥°¥£®¢®°®¢ ¯®±« « ¯® ¨µ ®ª®­· ­¨¨ ¯®§¤° ¢¨²¥«¼­»¥ ®²ª°»²ª¨ ¯¿²¥°»¬ ¤°³£¨¬ ³· ±²­¨ª ¬. „®ª ¦¨²¥, ·²® ª ª¨¥-²® ¤¢®¥ ¯®±« «¨ ®²ª°»²ª¨ ¤°³£ ¤°³£³. 175. ‚ £°³¯¯¥ 30 ·¥«®¢¥ª. Š ¦¤®¬³ ­° ¢¿²±¿ °®¢­® k «¾¤¥© ¨§ ½²®© £°³¯¯». °¨ ª ª®¬ ­ ¨¬¥­¼¸¥¬ k ®¡¿§ ²¥«¼­® ­ ©¤³²±¿ ¤¢  ·¥«®¢¥ª  ¨§ ½²®© £°³¯¯», ª®²®°»¥ ­° ¢¿²±¿ ¤°³£ ¤°³£³? 167

31

.   ¯«®±ª®±²¨ ­ °¨±®¢ «¨ 5 ¯°¿¬»µ. „®ª ¦¨²¥, ·²® ³£®« ¬¥¦¤³ ª ª¨¬¨-²® ¤¢³¬¿ ¨§ ­¨µ ­¥ ¡®«¼¸¥ 36 . (…±«¨ ª ª¨¥­¨¡³¤¼ ¯°¿¬»¥ ¯ ° ««¥«¼­», ±·¨² ©²¥, ·²® ³£®« ¬¥¦¤³ ­¨¬¨ ° ¢¥­ 0 .) 177. Š ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ª«¥²®ª ¤®±ª¨ 6  6 ¬®¦­® ¯®ª° ±¨²¼, ·²®¡» ­¨ª ª¨¥ ¤¢¥ ¯®ª° ¸¥­­»¥ ª«¥²ª¨ ­¥ ±®¯°¨ª ± «¨±¼ (¤ ¦¥ ¢ ®¤­®© ²®·ª¥)? 176

 ¥ ¸ ¥ ­ ¨ ¥. Ž²¢¥² ®·¥¢¨¤¥­ ¨§ °¨±³­ª , ­  ª®²®°®¬ ­¨ª ª¨¥ ¤¢¥ ¨§ ¤¥¢¿²¨ § ª° ¸¥­­»µ ª«¥²®ª ­¥ ±®¯°¨ª ± ¾²±¿,   ¤¥±¿²³¾ ª«¥²ª³ ± ±®¡«¾¤¥­¨¥¬ ³±«®¢¨¿ ­¥ ¯®ª° ±¨¸¼.

® ª ª ¤®ª § ²¼, ·²®

­¨ª ª¨¬ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬ ­¥«¼§¿ ° ±¯®«®¦¨²¼ ­  ¤®±ª¥ ¤¥±¿²¼ ­¥±®¯°¨ª ± ¾¹¨µ±¿ ª«¥²®ª?

¥°¥¡®°®¬?

·¥¬ ª ¦¥²±¿ ­  ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤. ¬¥²®¤®¬ ¯¥°¥¡®° , ¥±«¨ ¤®±ª³ 6 ° §¬¥°®¬ 2000



‚ °¨ ­²®¢ £®° §¤® ¡®«¼¸¥,

ˆ ³¦ ±®¢±¥¬ ­¥¢®§¬®¦­® °¥¸¥­¨¥



6 § ¬¥­¨²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ­  ¤®±ª³

2000 . Žª §»¢ ¥²±¿, ¬®¦­® ° §¡¨²¼ ¤®±ª³ ­  ª¢ ¤-

° ²¨ª¨ ° §¬¥°®¬ 2



2 . ®«¼¸¥ ®¤­®© ®ª° ¸¥­­®© ª«¥²ª¨ ¢ ² ª®¬

ª¢ ¤° ²¨ª¥ ¡»²¼ ­¥ ¬®¦¥²!

.   ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥ ­¥«¼§¿ ° §¬¥±²¨²¼ ¡®«¥¥ 32 ­¥ ¡¼¾¹¨µ ¤°³£ ¤°³£  ª®­¥©. „®ª ¦¨²¥ ½²®. ‚
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32

Ž¡µ®¤» Š®£¤  ±³¤¼¡ , ¤®©¤¿ ¤® ¯¥°¥ª° ¥±²ª , ª®«¥¡«¥²±¿, ª³¤  ¥© ¯®¢¥°­³²¼, ­¥ ¡®©±¿ ­¥­ §®©«¨¢®, ­® ¦ ¥±²ª® ±«¥£ª  ¥ ¥ ª®«¥­®¬ ¯®¤²®«ª­³²¼.

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. ‚ ª ¡¨­¥ «¨´²  20-½² ¦­®£® ¤®¬  ¥±²¼ ¤¢¥ ª­®¯ª¨. °¨ ­ ¦ ²¨¨ ­  ®¤­³ ¨§ ­¨µ «¨´² ¯®¤­¨¬ ¥²±¿ ­  13 ½² ¦¥©,   ¯°¨ ­ ¦ ²¨¨ ­  ¤°³£³¾ | ®¯³±ª ¥²±¿ ­  8 ½² ¦¥©. Š ª ¯®¯ ±²¼ ± 13-£® ½² ¦  ­  8-©? 183. Ž¡®©¤¨²¥ ª®­ ¥¬ ¤®±ª³  ) 4  5; ¡) 4  6; ¢) 4  7, ¯®¡»¢ ¢ ­  ª ¦¤®¬ ¯®«¥ ¯® ®¤­®¬³ ° §³. (‚®§¢° ¹ ²¼±¿ ­  ¨±µ®¤­®¥ ¯®«¥ ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­®.) 184. ˆ§ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¢»¯¨«¥­® ³£«®¢®¥ ¯®«¥. Œ®¦¥² «¨ ª®­¼ ®¡®©²¨ ¢±¥ ®±² ¢¸¨¥±¿ ¯®«¿ ¯® ®¤­®¬³ ° §³ ¨ ¢¥°­³²¼±¿ ­  ¨±µ®¤­®¥ ¯®«¥? 185. Š³§­¥·¨ª ¯°»£ ¥² ­  1 ±¬, ¯®²®¬ ¯°»£ ¥² ­  3 ±¬ ¢ ²®¬ ¦¥ ¨«¨ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨, § ²¥¬ ¢ ²®¬ ¦¥ ¨«¨ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ ­  5 ±¬, ¨ ² ª ¤ «¥¥. Œ®¦¥² «¨ ®­ ¯®±«¥ 25-£® ¯°»¦ª  ®ª § ²¼±¿ ¢ ¨±µ®¤­®© ²®·ª¥? 186. ˆ§ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¢»°¥§ ­» ª«¥²ª¨ f 3 ¨ c6. Œ®¦­® «¨ ®¡®©²¨ ®±² ¢¸¨¥±¿ ª«¥²ª¨, ­  ª ¦¤®© ¯®¡»¢ ¢ °®¢­® ®¤¨­ ° § ¨ ª ¦¤»¬ µ®¤®¬ ¯¥°¥µ®¤¿ ­  ª«¥²ª³, ³ ª®²®°®© ®¡¹ ¿ ±²®°®­  ± ¯°¥¤»¤³¹¥©? 187. Œ³° ¢¥© ¯®«§ ¥² ¯® ¯°®¢®«®·­®¬³ ª °ª ±³ ª³¡ , ­¨ª®£¤  ­¥ ¯®¢®° ·¨¢ ¿ ­ § ¤. Œ®¦¥² «¨ ®ª § ²¼±¿, ·²® ¢ ®¤­®© ¢¥°¸¨­¥ ®­ ³¦¥ ¯®¡»¢ « 25 ° §,   ¢ ª ¦¤®© ¨§ ®±² «¼­»µ | ¯® 20 ° §? 188.   °¨±³­ª¥ ¨§®¡° ¦ ¥­ ¬ °¸°³² ª®°®«¿, ®¡®¸¥¤¸¥£® ¤®±ª³ ° §¬¥°®¬ 2  2, ·¥°¥¤³¿ ¤¨ £®­ «¼­»¥ ¨ ­¥¤¨ £®­ «¼­»¥ µ®¤» ¨ ¯®¡»¢ ¢ ­  ª ¦¤®© ª«¥²ª¥ ¯® ®¤­®¬³ ° §³.  °¨±³©²¥ ² ª®© ¬ °¸°³² ¤«¿ ¤®±ª¨ 8  8. 182

33

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‘®¢¬¥±²­ ¿ ²° ¯¥§ , ±®¢¬¥±²­ ¿ ° ¡®²  †¨¢ ¥² ¦¥ ª®² ‚ ±¨«¨© ­  ±¢¥²¥ ¡¥§ ³±¨«¨©.

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. ‹®¸ ¤¼ ±º¥¤ ¥² ª®¯­³ ±¥­  §  2 ±³²®ª, ª®°®¢  | §  3, ®¢¶  | §  6 ±³²®ª. ‡  ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ±º¥¤¿² ª®¯­³ ±¥­  «®¸ ¤¼, ª®°®¢  ¨ ®¢¶  ¢¬¥±²¥? 190.   ¬¥«¼­¨¶¥ ¨¬¥¾²±¿ ²°¨ ¦¥°­®¢ .   ¯¥°¢®¬ §  ±³²ª¨ ¬®¦­® ±¬®«®²¼ 60 ·¥²¢¥°²¥© §¥°­ , ­  ¢²®°®¬ | 54,   ­  ²°¥²¼¥¬ | 48. ¥ª²® µ®·¥² ±¬®«®²¼ 81 ·¥²¢¥°²¼ §¥°­ . ‡  ª ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¢°¥¬¿ ®­ ±¬®¦¥² ±¬®«®²¼ §¥°­®? 191. ‚ ª®¬­ ²¥ ®ª § «®±¼ 300 ¢ ¥¤¥° ¢®¤». „¢  ­ ±®±  ±² «¨ ¢»ª ·¨¢ ²¼ ¢®¤³. Ž¤¨­ ­ ±®± §  2 · ±  ¢»ª ·¨¢ ¥² 48 ¢¥¤¥°, ¤°³£®© §  6 · ±®¢ | 129 ¢¥¤¥°. —¥°¥§ ±ª®«¼ª® · ±®¢ ¢»ª · ¾² ¢±¾ ¢®¤³, ¥±«¨ ¥¦¥· ±­® ± ¯®²®«ª  ¯®±²³¯ ¥² 8 ¢¥¤¥° ¢®¤»? 192. ‚ ¡ ª ¢¬¥¹ ¥²±¿ 60 «¨²°®¢ ¢®¤». Š ­¥¬³ ¯°®¢¥¤¥­» ¤¢¥ ²°³¡». —¥°¥§ ¯¥°¢³¾ ²°³¡³ §  10 ¬¨­³² ¬®¦­® ­ ¯®«­¨²¼ ¯³±²®© ¡ ª. —¥°¥§ ¢²®°³¾ ²°³¡³ §  15 ¬¨­³² ¬®¦­® ®¯®°®¦­¨²¼ ¯®«­»© ¡ ª. ‘ª®«¼ª® ¢®¤» ®ª ¦¥²±¿ ¢ ¡ ª¥ ·¥°¥§ 5 ¬¨­³², ¥±«¨ ®²ª°»²¼ ®¡¥ ²°³¡»? 193. —¥°¥§ ª° ­ ¢®¤  § ¯®«­¿¥² ¡ ª §  3 · ± ,   ·¥°¥§ ±«¨¢­®¥ ®²¢¥°±²¨¥ ¢±¿ ¢®¤  ¨§ ¡ ª  ¢»«¨¢ ¥²±¿ §  5 · ±®¢. ‡  ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ¢®¤  § ¯®«­¨² ¡ ª ¯°¨ ®²ª°»²»µ ª° ­¥ ¨ ®²¢¥°±²¨¨? 194. ˜¥°«®ª •®«¬± ¨ ¤®ª²®° ‚ ²±®­, ° ¡®² ¿ ¢¬¥±²¥, ¬®£³² ¢»°»²¼ ª ­ ¢³ §  6 · ±®¢. …±«¨ ¡» •®«¬± °»« 4 · ± ,   § ²¥¬ ‚ ²±®­ | 6 · ±®¢, ²® ª ­ ¢  ¡»«  ¡» ¢»°»²  ­  80%. ‡  ±ª®«¼ª® · ±®¢ •®«¬±, ° ¡®² ¿ ¢ ®¤¨­®·ª³, ¢»°»« ¡» ½²³ ª ­ ¢³? 195. Ž¤­  ±­¥£®³¡®°®·­ ¿ ¬ ¸¨­  ¬®£«  ¡» ³¡° ²¼ ¢±¾ ³«¨¶³ §  1 · ±,   ¤°³£ ¿ | §  45 ¬¨­³².  · ¢ ° ¡®²³ ®¤­®¢°¥¬¥­­®, ¬ 189

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) ‘·¨² ©²¥, ·²® ±ª®°®±²¼ ¢»²¥ª ­¨¿ ¢®¤» ¨§ ¡ ª  ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¥£®

­ ¯®«­¥­­®±²¨.

34

¸¨­» ¯°®° ¡®² «¨ ¢¬¥±²¥ 20 ¬¨­³², ¯®±«¥ ·¥£® ¯¥°¢ ¿ ±«®¬ « ±¼. —¥°¥§ ±ª®«¼ª® ¬¨­³² ¢²®° ¿ ¬ ¸¨­  § ª®­·¨«  ° ¡®²³? 196. ‡  3 · ±  ° ¡®²» ¯¥°¢»© ¸² ¬¯®¢®·­»© ¯°¥±± ¬®¦¥² ¨§£®²®¢¨²¼ 42% ¢±¥µ § ª § ­­»µ ¤¥² «¥©. ‚²®°®© ¯°¥±± §  9 · ±®¢ ° ¡®²» ¬®¦¥² ¨§£®²®¢¨²¼ 60% ¢±¥µ ¤¥² «¥©. ‘ª®°®±²¼ ° ¡®²» ²°¥²¼¥£® ¯°¥±±  ­  20% ¡®«¼¸¥ ±ª®°®±²¨ ¢²®°®£® ¯°¥±± . ‡  ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ¡³¤¥² ¢»¯®«­¥­ ¢¥±¼ § ª § ¯°¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­®© ° ¡®²¥ ¢±¥µ ²°¥µ ¯°¥±±®¢? 197. ’°¨ ²° ª²®°­»¥ ¡°¨£ ¤» ¢¬¥±²¥ ¢±¯ µ «¨ ¯®«¥ §  4 ¤­¿. ²® ¦¥ ¯®«¥ ¯¥°¢ ¿ ¨ ¢²®° ¿ ¡°¨£ ¤» ¢¬¥±²¥ ¢±¯ µ «¨ ¡» §  6 ¤­¥©,   ¯¥°¢ ¿ ¨ ²°¥²¼¿ ¢¬¥±²¥ | §  8 ¤­¥©. ‚® ±ª®«¼ª® ° § ¡®«¼¸¥ ¯«®¹ ¤¼, ¢±¯ µ¨¢ ¥¬ ¿ §  ²°¨ ¤­¿ ¢²®°®© ¡°¨£ ¤®©, ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± ¯«®¹ ¤¼¾, ¢±¯ µ¨¢ ¥¬®© §  ¤¢  ¤­¿ ²°¥²¼¥© ¡°¨£ ¤®©? 198. ˆ¢ ­,  ¥²° ¨ Š¨°¨«« ª®±¨«¨ ²° ¢³. ¥²° ¨ Š¨°¨«« ±ª®±¨«¨ ¡» ¢±¾ ²° ¢³ ¢¤¢®¥ ¡»±²°¥¥, ·¥¬ ˆ¢ ­. ˆ¢ ­ ¨ Š¨°¨«« ±ª®±¨«¨ ¡» ¢±¾ ²° ¢³ ¢²°®¥ ¡»±²°¥¥, ·¥¬ ¥²°. ‚® ±ª®«¼ª® ° § ¡»±²°¥¥, ·¥¬ Š¨°¨««, ±ª®±¨«¨ ¡» ¢±¾ ²° ¢³ ˆ¢ ­ ¨ ¥²°? 199. —¥²»°¥ · ¥°­¥­¼ª¨µ ·³¬ §¥­¼ª¨µ ·¥°²¥­ª  ·¥°²¨«¨ ·¥°­»¬¨ ·¥°­¨« ¬¨ ·¥°²¥¦ ·¥²»°¥ · ± . …±«¨ ¡» ¯¥°¢»© ·¥°²¥­®ª ·¥°²¨« ¢¤¢®¥ ¡»±²°¥¥,   ¢²®°®© | ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥­­¥¥, ²® ¨¬ ¯®²°¥¡®¢ «®±¼ ¡» ±²®«¼ª® ¦¥ ¢°¥¬¥­¨; ¥±«¨ ¡», ­ ®¡®°®², ¯¥°¢»© ·¥°²¨« ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥­­¥¥,   ¢²®°®© | ¢¤¢®¥ ¡»±²°¥¥, ²® ®­¨ ³¯° ¢¨«¨±¼ ¡» §  ¤¢  · ±  ±®°®ª ¬¨­³². ‡  ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ­ ·¥°²¨«¨ ¡» ·¥°²¥¦ ¯¥°¢»¥ ²°¨ ·¥°²¥­ª  ¡¥§ ¯®¬®¹¨ ·¥²¢¥°²®£®?  200. ’°¨ ª ­ «® °¬¥©¶  ª®¯ «¨ ª ­ ¢³. ‘­ · «  ¯¥°¢»© ª ­ «® °¬¥¥¶ ¯°®° ¡®² « ¯®«®¢¨­³ ¢°¥¬¥­¨, ­¥®¡µ®¤¨¬®£® ¤¢³¬ ¤°³£¨¬, ·²®¡» ¢»°»²¼ ¢±¾ ª ­ ¢³, § ²¥¬ ¢²®°®© ¯°®° ¡®² « ¯®«®¢¨­³ ¢°¥¬¥­¨, ­¥®¡µ®¤¨¬®£® ¤¢³¬ ¤°³£¨¬, ·²®¡» ¢»°»²¼ ¢±¾ ª ­ ¢³, ­ ª®­¥¶, ²°¥²¨© ¯°®° ¡®² « ¯®«®¢¨­³ ¢°¥¬¥­¨, ­¥®¡µ®¤¨¬®£® ¤¢³¬ ¤°³£¨¬, ·²®¡» ¢»°»²¼ ¢±¾ ª ­ ¢³. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ª ­ ¢  ¡»«  ¢»°»² . ‚® ±ª®«¼ª® ° § ¡»±²°¥¥ ¡»«  ¡» ¢»°»²  ª ­ ¢ , ¥±«¨ ¡» ± ± ¬®£® ­ · «  ° ¡®² «¨ ¢±¥ ²°®¥ ¢¬¥±²¥? 1 2

35

„¥«¨¬®±²¼ –¥«®¥ ·¨±«® a ¤¥«¨²±¿ ­  ¶¥«®¥ ·¨±«® b , ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® k , ·²® a = kb .

. Š ·¨±«³ 15 ¯°¨¯¨¸¨²¥ ±«¥¢  201.0 Š ·¨±«³ 10 ¯°¨¯¨¸¨²¥ ¨ ±¯° ¢  ¯® ®¤­®© ¶¨´°¥ ² ª, ±«¥¢  ¨ ±¯° ¢  ¯® ®¤­®© ¶¨´·²®¡» ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ¤¥- °¥ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«®±¼ «¨«®±¼ ­  15. ·¨±«®, ª° ²­®¥ 72. 202. ¥ª®²®°®¥ ·¨±«® ¤¥«¨²±¿ ­  4 ¨ ­  6. Ž¡¿§ ²¥«¼­® «¨ ®­® ¤¥«¨²±¿ ­  24? 203.  ©¤¨²¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«®, ¤¥«¿¹¥¥±¿ ­  36, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°®£® ³· ±²¢³¾² ¢±¥ 10 ¶¨´° ¯® ®¤­®¬³ ° §³. 204.   ¤®±ª¥ ­ ¯¨± ­®: 6457235. ‡ ¬¥­¨²¥ §¢ ¥§¤®·ª³ ¶¨´°®© ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ¤¥«¨«®±¼ ­  3. 205. ‡ ¬¥­¨²¥ §¢ ¥§¤®·ª¨ ¢ § ¯¨±¨ ·¨±«  723 ¶¨´° ¬¨ ² ª, ·²®¡» ·¨±«® ¤¥«¨«®±¼ ¡¥§ ®±² ²ª  ­  45. 206. ‚ ±²° ­¥ €­·³°¨¨ ¢ ®¡° ¹¥­¨¨ ¨¬¥¾²±¿ ª³¯¾°» ±«¥¤³¾¹¨µ ¤®±²®¨­±²¢: 1  ­·³°, 10  ­·³°®¢, 100  ­·³°®¢, 1000  ­·³°®¢. Œ®¦­® «¨ ®²±·¨² ²¼ ¬¨««¨®­  ­·³°®¢ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«®±¼ °®¢­® ¯®«¬¨««¨®­  ª³¯¾°? 207.  ©¤¨²¥ ¤¢³§­ ·­®¥ ·¨±«®, ¯¥°¢ ¿ ¶¨´°  ª®²®°®£® € ° ¢­  ° §­®±²¨ ¬¥¦¤³ ½²¨¬ ·¨±«®¬ ¨ ·¨±«®¬, § ¯¨- ,€ ± ­­»¬ ²¥¬¨ ¦¥ ¶¨´° ¬¨, ­® ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥. € 208. ‚¥°­® «¨, ·²® ¥±«¨ § ¯¨± ²¼ ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥ ¶¨´°» «¾¡®£® ¶¥«®£® ·¨±« , ²® ° §­®±²¼ ¨±µ®¤­®£® ¨ ­®¢®£® ·¨±¥« ¡³¤¥² ¤¥«¨²¼±¿ ­  9? 209.  ©¤¨²¥ ¢±¥ ¤¢³§­ ·­»¥ ·¨±« , ±³¬¬  ¶¨´° ª®²®°»µ ­¥ ¬¥­¿¥²±¿ ¯®±«¥ ³¬­®¦¥­¨¿ ­¨ ­  2, ­¨ ­  3, : : : , ­¨ ­  8, ­¨ ­  9. 210. ‘³¹¥±²¢³¥² «¨ ¶¥«®¥ ·¨±«®, ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¶¨´° ª®²®°®£® ° ¢­® 528? 201

36

. ‘ª®«¼ª® ¶¨´° ¢ ·¨±«¥ 11 : : : 11, ¥±«¨ ®­® ¤¥«¨²±¿ ¡¥§ ®±² ²ª  ­  999 999 999? 212. ‚ ·¨±«¥ ¯¥°¥±² ¢¨«¨ ¶¨´°» ¨ ¯®«³·¨«¨ ·¨±«®, ¢ 3 ° §  ¬¥­¼¸¥¥ ¨±µ®¤­®£®. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¨±µ®¤­®¥ ·¨±«® ¤¥«¨²±¿ ­  27. 213. Š ·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨«¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°. Š ¯®«³·¥­­®¬³ ·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨«¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°, ¨ ² ª ¤ «¥¥. Š®£¤  ¢ ±¥¤¼¬®© ° § ª ·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨«¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°, ¯®«³·¨«¨ 1000. ‘ ª ª®£® ·¨±«  ­ · «¨? 214. ¥§­ ©ª  ¯¥°¥¬­®¦¨« ¢±¥ ·¨±«  ®² 1 ¤® 100. ®±·¨² « ±³¬¬³ ¶¨´° ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿. “ ¯®«³·¥­­®£® ·¨±«  ®­ ±­®¢  ¯®±·¨² « ±³¬¬³ ¶¨´°, ¨ ² ª ¤ «¥¥. ‚ ª®­¶¥ ª®­¶®¢ ¥§­ ©ª  ¯®«³·¨« ®¤­®§­ ·­®¥ ·¨±«®. Š ª®¥? 211

‡   ¬ ¥ ·   ­ ¨ ¥.   ª®¬¯¼¾²¥°¥ «¥£ª® ¯®±·¨² ²¼, ·²® ·¨±«® 100! | ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¯¥°¢»µ 100 ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« | ° ¢­® 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000 , ¢±¥£® 158 ¶¨´°.

‡­ ¿ ½²®, ­¥²°³¤­® ¢»-

·¨±«¨²¼, ·²® ±³¬¬  ¶¨´° ·¨±«  100! ° ¢­  648, ² ª ·²® ±³¬¬  ¶¨´° ±³¬¬» ¶¨´° ° ¢­  18,   ±³¬¬  ¶¨´° ±³¬¬» ¶¨´° ±³¬¬» ¶¨´° ·¨±«  100! ° ¢­  9. ® ­¥«¼§¿ «¨ °¥¸¨²¼ § ¤ ·³ ¡¥§ ² ª¨µ ¢»·¨±«¥­¨©?

. “ ª ¦¤®£® ¨§ ·¨±¥« ®² 1 ¤® 1 000 000 000 ¯®¤±·¨² «¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°, ³ ª ¦¤®£® ¨§ ¯®«³·¨¢¸¥£®±¿ ¬¨««¨ °¤  ·¨±¥« ±­®¢  ¯®¤±·¨² «¨ ±³¬¬³ ¶¨´°, ¨ ² ª ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª  ­¥ ¯®«³·¨«¨ ¬¨««¨ °¤ ®¤­®§­ ·­»µ ·¨±¥«. Š ª¨µ ·¨±¥« ¯®«³·¨«¨ ¡®«¼¸¥ ¢±¥£®? 216. ¥²¿ § ¬¥­¨« ¢ ¯°¨¬¥°¥ ­  ³¬­®¦¥­¨¥ €
‚ƒ = „„…… ®¤¨­ ª®¢»¥ ¶¨´°» ®¤¨­ ª®¢»¬¨ ¡³ª¢ ¬¨,   ° §­»¥ | ° §­»¬¨. „®ª ¦¨²¥, ·²® ®­ ®¸¨¡±¿. 217.  ) „®ª ¦¨²¥, ·²® ·¨±«  ¢¨¤  aa , abcabc , abcdeabcde ¤¥«¿²±¿ ­  11. ¡) …±«¨ ª ¯°®¨§¢®«¼­®¬³ ·¨±«³ ¯°¨¯¨± ²¼ ·¨±«®, § ¯¨± ­­®¥ ²¥¬¨ ¦¥ ¶¨´° ¬¨ ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥, ²® ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ¡¥§ ®±² ²ª  ° §¤¥«¨²±¿ ­  11: ­ ¯°¨¬¥°, ·¨±«  ¢¨¤  aa , abba , abccba ª° ²­» 11. „®ª ¦¨²¥ ½²®. 215

37

‘¥¬¼ § ¤ · 218

. „®±ª³ ° §¬¥°®¬ 8  8 ° §°¥§ «¨ ­  ·¥²»°¥ · ±²¨ ¨ ±«®¦¨«¨ ¨§ ­¨µ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª ° §¬¥°®¬ 513. Ž²ª³¤  ¯®¿¢¨« ±¼ «¨¸­¿¿ ª«¥²ª ?

. ˆ§ 40 ±¯¨·¥ª ®¡° §®¢ ­  ª¢ ¤° ²­ ¿ °¥¸¥²ª  (ª ¦¤ ¿ ±²®°®­  ¬ «¥­¼ª®£® ª¢ ¤° ²¨ª  | ®¤­  ±¯¨·ª ). ‘­¨¬¨²¥ 9 ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ¯®«­®±²¼¾ ­¥ ±®µ° ­¨«®±¼ ª®­²³°  ­¨ ®¤­®£® ª¢ ¤° ²  (±®±²®¿¹¥£® ¨§ ®¤­®£® ¨«¨ ¡®«¼¸¥£® ª®«¨·¥±²¢  ¬ «¥­¼ª¨µ ª¢ ¤° ²¨ª®¢). „®±² ²®·­® ³ª § ²¼ ®¤¨­ ±¯®±®¡, ª ª ½²® ±¤¥« ²¼. 220. ˆ§ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  ° §¬¥°®¬ 10  7 ¢»°¥§ «¨ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª 1  6, ª ª ¯®ª § ­® ­  °¨±³­ª¥.  §°¥¦¼²¥ ¯®«³·¥­­³¾ ´¨£³°³ ­  ¤¢¥ ° ¢­»¥ · ±²¨, ¨§ ª®²®°»µ ¬®¦­® ±«®¦¨²¼ ª¢ ¤° ².

219

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. ˆ§¢¥±²­®, ·²® a ¨ b | ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±« ,   ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ·¥²»°¥µ ³²¢¥°¦¤¥­¨© | 1) a + 1 ¤¥«¨²±¿ ­  b , 2) a = 2b + 5, 3) a + b ¤¥«¨²±¿ ­  3, 4) a + 7b | ¯°®±²®¥ ·¨±«® | ²°¨ ¢¥°­»µ,   ®¤­® ­¥¢¥°­®¥.  ©¤¨²¥ ¢±¥ ¢®§¬®¦­»¥ ¯ °» ·¨±¥« a , b . 223. ˆ«¼¥ Œ³°®¬¶³, „®¡°»­¥ ¨ª¨²¨·³ ¨ €«¥¸¥ ®¯®¢¨·³ §  ¢¥°­³¾ ±«³¦¡³ ¤ «¨ 6 ¬®­¥²: 3 §®«®²»¥ ¨ 3 ±¥°¥¡°¿­»¥. Š ¦¤®¬³ ¤®±² «®±¼ ¯® ¤¢¥ ¬®­¥²». ˆ«¼¿ Œ³°®¬¥¶ ­¥ §­ ¥², ª ª¨¥ ¬®­¥²» ¤®±² «¨±¼ „®¡°»­¥,   ª ª¨¥ €«¥¸¥, ­® §­ ¥², ª ª¨¥ ¬®­¥²» ¤®±² «¨±¼ ¥¬³ ± ¬®¬³. °¨¤³¬ ©²¥ ¢®¯°®±, ­  ª®²®°»© ˆ«¼¿ Œ³°®¬¥¶ ®²¢¥²¨² À¤ Á, À­¥²Á ¨«¨ À­¥ §­ ¾Á ¨ ¯® ®²¢¥²³ ­  ª®²®°»© ¢» ±¬®¦¥²¥ ¯®­¿²¼, ª ª¨¥ ¬®­¥²» ¥¬³ ¤®±² «¨±¼. 224.  °¨±³©²¥ ­  ª«¥²· ²®© ¡³¬ £¥ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª ¸¨°¨­®© 33 ¨ ¢»±®²®© 32 ª«¥²ª¨ ¨ ° §°¥¦¼²¥ ¥£® ­  ª¢ ¤° ²», ª ª ¯®ª § ­® ­  °¨±³­ª¥. (¥§ ²¼ ¬®¦­® ²®«¼ª® ¢¤®«¼ «¨­¨© ±¥²ª¨!) 222

 §¡¨¥­¨¥ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  ­  ° §­»¥ ª¢ ¤° ²»

39

ˆ­¤³ª¶¨¿ : : : ¢»¯°®±¨«±¿ ®±² ²¼±¿ ®¤­³ ­®·ª³; ®² ®¤­®© ­®·ª¨

¤¢¥ ­®·ª¨, ®² ¤¢³µ ­®·¥ª ¤¢¥ ­¥¤¥«¨, ®² ¤¢³µ ¬¥±¿¶¥¢ ¤¢  £®¤ ,   ®² ¤¢³µ £®¤®¢ ¦¨« ²°¨¤¶ ²¼ «¥².

225

. °¨¤³¬ ©²¥ 10 ° §«¨·­»µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«, ±³¬¬  ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ ­  ª ¦¤®¥ ¨§ ­¨µ. “ ª   §   ­ ¨ ¥. ‘­ · «  ¯°¨¤³¬ ©²¥ ²°¨ ·¨±« , ±³¬¬  ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ ­  ª ¦¤®¥ ¨§ ­¨µ.

®²®¬ ¯®¤³¬ ©²¥, ­¥«¼§¿ «¨ ¯®«³·¨²¼ ·¥-

²»°¥ ² ª¨µ ·¨±« , : : :

226

. „¥«¨²±¿ «¨ ·¨±«® 11 : : : 11 (¢®±¥¬¼¤¥±¿² ®¤­  ¥¤¨­¨¶ ) ­  81?  ¥ ¸ ¥ ­ ¨ ¥.

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111 111 111




¤¥«¨²±¿

­ 

9,

111 111 111 111 111 111 111 111 111 = 111 111 111 1 000 000 001 000 000 001 ¤¥«¨²±¿ ­  9




3 = 27 .

„ «¥¥, ¯°¥¤±² ¢«¿¿ § ¯¨± ­­®¥ 81 ¥¤¨­¨¶¥©

·¨±«® ¢ ¢¨¤¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ·¨±« , § ¯¨± ­­®£® 27 ¥¤¨­¨¶ ¬¨, ¨ ·¨±« , ²°¨ ¶¨´°» ª®²®°®£® | ¥¤¨­¨¶»,   ®±² «¼­»¥ | ­³«¨, ®²¢¥²¼²¥ ­  ¢®¯°®± § ¤ ·¨. ‚²®°®© · ±²­®¥

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± ¯ ® ± ® ¡: ¤¥«¥­¨¿

111 111 111

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11 : : : 11

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12345679 .

¥¤¨­¨¶ )

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‡­ ·¨², 9

° ¢­®

1234567901234567901234567901234567901234567901234579012345679012345679012345679 . Ž±² «®±¼ ¢±¯®¬­¨²¼ ¯°¨§­ ª ¤¥«¨¬®±²¨ ­  9.

.  §°¥¦¼²¥ ª¢ ¤° ² ­   ) 6; ¡) 7 ª¢ ¤° ²®¢. ¢) “ª ¦¨²¥ ¢±¥ §­ ·¥­¨¿ n , ¤«¿ ª®²®°»µ ª¢ ¤° ² ­¥«¼§¿ ° §°¥§ ²¼ ­  n ¬¥­¼¸¨µ ª¢ ¤° ²®¢. £) °¨ ª ª¨µ n ° ¢­®±²®°®­­¨© ²°¥³£®«¼­¨ª ­¥«¼§¿ ° §°¥§ ²¼ ­  n ¬¥­¼¸¨µ ° ¢­®±²®°®­­¨µ ²°¥³£®«¼­¨ª®¢? 228. ‚ ¯®±¥«ª¥ 100 ¤®¬®¢. ‘ª®«¼ª® § ¡®°®¢, ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ ¤°³£ ¤°³£ , ¬®¦­® ¯®±²°®¨²¼, ·²®¡» ª ¦¤»© § ¡®° ®£®° ¦¨¢ « µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¤®¬ ¨ ­¨ª ª¨¥ ¤¢  § ¡®°  ­¥ ®£®° ¦¨¢ «¨ ¡» ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ±®¢®ª³¯­®±²¼ ¤®¬®¢? 227

“ ª   §   ­ ¨ ¥.

¥¸¨²¥ § ¤ ·³ ±­ · «  ­¥ ¤«¿ 100,   ¤«¿ ¬¥­¼¸¨µ

·¨±¥«: 1, 2, 3, : : :

40

ˆ£°» …±²¼ ¢¥¹¨, ª®²®°»¥ ±¯®ª®©­® ¬®¦­® ®¡º¿±­¨²¼ ¤¢ ¦¤» ¨ ²°¨¦¤», ­¥ ®¯ ± ¿±¼, ·²® ²¥¡¿ ¯®©¬³².

°¥¬³¤° ¿ ‘®¢ 

. „¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±² ¢¿² ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³ « ¤¼¨ (§  ®¤¨­ µ®¤ | ®¤­³ « ¤¼¾), ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨ ¤°³£ ¤°³£ . (Š²® ª ª³¾ « ¤¼¾ ¯®±² ¢¨«, ­¥ ³·¨²»¢ ¥²±¿. ¥«¼§¿ ±² ¢¨²¼ « ¤¼¾ ¤ ¦¥ ¯®¤ ¡®© ±¢®¥© « ¤¼¨.) Š²® ­¥ ¬®¦¥² ¯®±² ¢¨²¼ « ¤¼¾, ¯°®¨£°»¢ ¥². Š²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥ | ¯¥°¢»© ¨«¨ ¢²®°®©? 230. €­¿ ¨ ’ ­¿ ¢»¯¨±»¢ ¾² 8-§­ ·­®¥ ·¨±«®, ±² ¢¿ ¶¨´°» ¯® ®·¥°¥¤¨, ­ ·¨­ ¿ ±® ±² °¸¥£® ° §°¿¤ .  ·¨­ ¥² €­¿. Œ®¦¥² «¨ ’ ­¿ ¤®¡¨²¼±¿, ·²®¡» ·¨±«® ¤¥«¨«®±¼ ­  9? 231. ‹ ¤¼¿ ±²®¨² ­  ¯®«¥ a1. ‡  µ®¤ ° §°¥¸ ¥²±¿ ±¤¢¨­³²¼ ¥ ¥ ­  «¾¡®¥ ·¨±«® ª®«¨·¥±²¢® ª«¥²®ª ¢¯° ¢® ¨«¨ ­  «¾¡®¥ ·¨±«® ª«¥²®ª ¢¢¥°µ. ‚»¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ¯®±² ¢¨² « ¤¼¾ ­  ¯®«¥ h8. “ ª®£® ¥±²¼ ¢»¨£°»¸­ ¿ ±²° ²¥£¨¿? 232. ˆ¬¥¾²±¿  ) 2; ¡) 3 ®¤¨­ ª®¢»¥ ª³·¨ ª ¬­¥©. „¢®¥ ¨£° ¾¹¨µ ¡¥°³² ¯® ®·¥°¥¤¨ «¾¡®¥ ·¨±«® ª ¬­¥© ¨§ «¾¡®© ª³·¨, ­® ²®«¼ª® ¨§ ®¤­®©. ‚»¨£°»¢ ¥² ¢§¿¢¸¨© ¯®±«¥¤­¨¥ ª ¬­¨. Š²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? 233. „¢®¥ ¨£° ¾², ¯¥°¥¤¢¨£ ¿ ª®°®233.0 ˆ¬¥¾²±¿ ¤¢¥ ª³·¨ «¿ ¯® ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥. „®¯³±- ª ¬­¥©. „¢®¥ ¨£° ¾¹¨µ ª ¾²±¿ µ®¤» ­  ®¤­® ¯®«¥ ¢«¥- ¡¥°³² ¯® ®·¥°¥¤¨ ª ¬­¨. ¢®, ¢­¨§ ¨«¨ ¯® ¤¨ £®­ «¨ ¢«¥¢®-  §°¥¸ ¥²±¿ ¢§¿²¼ ®¤¨­ ¢­¨§. ‚»¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ±² - ª ¬¥­¼ ¨§ «¾¡®© ª³·¨ ¢¨² ª®°®«¿ ­  ¯®«¥ a1. °¨ ª - ¨«¨ ¯® ®¤­®¬³ ª ¬­¾ ¨§ ª¨µ ­ · «¼­»µ ¯®«®¦¥­¨¿µ ª®- ®¡¥¨µ ª³·. ‚»¨£°»¢ ¥² °®«¿ ¢»¨£°»¢ ¥² ­ ·¨­ ¾¹¨©,   ¢§¿¢¸¨© ¯®±«¥¤­¨¥ ª ¬¯°¨ ª ª¨µ | ¥£® ¯ °²­¥°? ­¨. ˆ±±«¥¤³©²¥ ½²³ ¨£°³. 229

41

. „¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ¡¥°³² ¨§ ª³·¨ ª ¬­¥© 1, 2 ¨«¨ 4 ª ¬­¿. ‚»¨£° ¢¸¨¬ ±·¨² ¥²±¿ ¢§¿¢¸¨© ¯®±«¥¤­¨¥ ª ¬­¨. °¨ ª ª®¬ ·¨±«¥ ª ¬­¥© ¢ ª³·¥ ­ ·¨­ ¾¹¨© ¬®¦¥² ¯®¡¥¤¨²¼, ª ª ¡» ­¨ ¨£° « ¥£® ¯ °²­¥°? 235. ‚ °¿¤ ° ±¯®«®¦¥­» 12 ª«¥²®ª.   ± ¬®© ¯° ¢®© ª«¥²ª¥ ±²®¨² ¡¥« ¿ ´¨¸ª , ­  ± ¬®© «¥¢®© | ·¥°­ ¿. „¢  ¨£°®ª  ¯® ®·¥°¥¤¨ ¯¥°¥¤¢¨£ ¾² ±¢®¾ ´¨¸ª³ ­  ®¤­® ¯®«¥ | ¢¯¥°¥¤ ¨«¨ ­ § ¤. (°®¯³±²¨²¼ µ®¤ ­¥«¼§¿.) °®¨£° ¢¸¨¬ ±·¨² ¾² ²®£®, ³ ª®£® ­¥² µ®¤ . Š²® ¢»¨£°»¢ ¥²: ­ ·¨­ ¾¹¨© ¨«¨ ¥£® ¯ °²­¥°? 236.   ¤®±ª¥ ±­ · «  ­ ¯¨± ­® ·¨±«® 1. Š ¦¤»¬ µ®¤®¬ ª ·¨±«³ ¬®¦­® ¯°¨¡ ¢¨²¼ 3, 5 ¨«¨ 7. —³­¿ ¨ °®­¿ µ®¤¿² ¯® ®·¥°¥¤¨ ² ª, ·²® ¯®±«¥ «¾¡®£® µ®¤  —³­¨ ¯®«³· ¾²±¿ ·¥²­»¥ ·¨±« ,   ¯®±«¥ «¾¡®£® µ®¤  °®­¨ | ­¥·¥²­»¥. ’°¥¡³¥²±¿, ·²®¡» ¢±¥ ½²¨ ­¥·¥²­»¥ ·¨±«  ¡»«¨ ¯°®±²»¬¨. –¥«¼ °®­¨ | ­ §¢ ²¼ ·¨±«®, ¡®«¼¸¥¥ ±² . –¥«¼ —³­¨ | ¯®¬¥¸ ²¼ °®­¥. (…±«¨ ¯¥°¢»¬ ­ §®¢¥² ·¨±«®, ¡®«¼¸¥¥ 100, —³­¿, ¢»¨£° ¢¸¨¬ ¢±¥ ° ¢­® ±·¨² ¥²±¿ °®­¿.) Š²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? 237. „¢®¥ ¨£° ¾¹¨µ ¯® ®·¥°¥¤¨ ¯¥°¥¢®¤¿² · ±®¢³¾ ±²°¥«ª³ ­  2 ¨«¨ 3 · ±  ¢¯¥°¥¤. …±«¨ ¢ ­ · «¥ · ±®¢ ¿ ±²°¥«ª  ³ª §»¢ ¥² 12,   ¯®¡¥¤¨²¥«¥¬ ®¡º¿¢«¿¥²±¿ ²®², ¯®±«¥ ·¼¥£® µ®¤  ®­  ³ª § «  ­  6, ³§­ ©²¥, ª²® ¯®¡¥¤¨² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥.y 238. ˆ£° ¾² ¤¢®¥. ¥°¢»© ­ §»¢ ¥² ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® ®² 2 ¤® 9. ‚²®°®© ³¬­®¦ ¥² ½²® ·¨±«® ­  ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® ®² 2 ¤® 9. ‡ ²¥¬ ¯¥°¢»© ³¬­®¦ ¥² °¥§³«¼² ² ­  «¾¡®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® ®² 2 ¤® 9, ¨ ². ¤. ‚»¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ¯¥°¢»¬ ¯®«³·¨² ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡®«¼¸¥ 1 000. Š²® ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥ ¢»¨£°»¢ ¥² | ­ ·¨­ ¾¹¨© ¨«¨ ¥£® ¯ °²­¥°? 234

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° §«¨·­»µ ¤¥«¨²¥«¿: 1 ¨ p . ¥°¢»¥ ¯°®±²»¥ ·¨±«  ² ª®¢»: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 : : : . y)‘²°¥«ª  ¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ ­¥±ª®«¼ª® ®¡®°®²®¢, ¯°¥¦¤¥ ·¥¬ ®±² ­®¢¨²±¿ ­  ¶¨´°¥ 6.

42

. „¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±² ¢¿² ¯® ®¤­®¬³ ª®­¾ ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³. ¥«¼§¿ ±² ¢¨²¼ ´¨£³°³ ¯®¤ ¡®© ° ­¥¥ (­¥ ¢ ¦­®, ± ¬¨¬ ¨£°®ª®¬ ¨«¨ ¥£® ¯°®²¨¢­¨ª®¬) ¯®±² ¢«¥­­®© ´¨£³°». Š²® ­¥ ¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ µ®¤, ¯°®¨£°»¢ ¥². Š²® ¯®¡¥¤¨² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? 240. ‚ ±²°®·ª³ ­ ¯¨± ­® ­¥±ª®«¼ª® ¬¨­³±®¢. „¢  ¨£°®ª  ¯® ®·¥°¥¤¨ ¯¥°¥¯° ¢«¿¾² ®¤¨­ ¨«¨ ¤¢  ±®±¥¤­¨µ ¬¨­³±  ­  ¯«¾±. ‚»¨£°»¢ ¥² ¯¥°¥¯° ¢¨¢¸¨© ¯®±«¥¤­¨© ¬¨­³±. Š²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥: ­ ·¨­ ¾¹¨© ¨«¨ ¥£® ¯ °²­¥°? 241. „¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ®¡°»¢ ¾² «¥¯¥±²ª¨ ³ °®¬ ¸ª¨, ¯°¨· ¥¬ §  ®¤¨­ ° § ¬®¦­® ®¡®°¢ ²¼ 1 ¨«¨ 2 ±®±¥¤­¨µ (°¿¤®¬ ° ±²³¹¨µ) «¥¯¥±²ª . ‚»¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ±¤¥« ¥² ¯®±«¥¤­¨© µ®¤. Š²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? 242.   ¤®±ª¥ ° §¬¥°®¬ 7  7 ¤¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ § ª° ¸¨¢ ¾² ª«¥²ª¨ ² ª, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¨¬¥«¨ ®¡¹¨µ  ) ±²®°®­; ¡) ²®·¥ª. °®¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ­¥ ¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ µ®¤. Š²® ¢»¨£°»¢ ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? 243.   ®ª°³¦­®±²¨ ¤ ­» 20 ²®·¥ª. ˆ£° ¾² ¤¢®¥. Š ¦¤»¬ µ®¤®¬ ¨£°®ª ¯°®¢®¤¨² µ®°¤³ ± ª®­¶ ¬¨ ¢ ¤ ­­»µ ²®·ª µ ² ª, ·²®¡» µ®°¤» ­¥ ¯¥°¥±¥ª «¨±¼ ¢­³²°¨ ª°³£ . (ˆ¬¥²¼ ®¡¹¨¥ ª®­¶» µ®°¤» ¬®£³².) °®¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ­¥ ¬®¦¥² ¯°®¢¥±²¨ µ®°¤³. Š²® ¯®¡¥¤¨² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? 244. ‘®²» ¨¬¥¾² ´®°¬³ ª¢ ¤° ²  9  9. ‚±¥ ª¢ ¤° ²¨ª¨, ª°®¬¥ C ¶¥­²° «¼­®£®, § ¯®«­¥­» ¬¥¤®¬. ‚ ¶¥­²°¥ | ¤¥£®²¼. ‡  ®¤¨­ µ®¤ ° §°¥¸ ¥²±¿ ° §«®¬¨²¼ ±®²» ¢¤®«¼ «¾¡®© ¢¥°²¨ª «¼­®© B ¨«¨ £®°¨§®­² «¼­®© «¨­¨¨ ¨ ±º¥±²¼ ²³ · ±²¼, £¤¥ ­¥² ¤¥£²¿. °®¨£°»¢ ¥² ²®², ª®¬³ ®±² «±¿ ²®«¼ª® ¤¥£®²¼.  ) Š²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? € ¥±«¨ ¤¥£®²¼ ­ µ®¤¨²±¿ ­¥ ¢ ¶¥­²°¥,   ¢ ª«¥²ª¥ ¡) B ; ¢) C ? 239

43

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250.

‚¤®«¼ £° ­¨¶ ª«¥²®ª ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¯®«®¦¨«¨ ±¯¨·ª¨. ‘ª®«¼ª® ±¯¨·¥ª ­¥®¡µ®¤¨¬® ³¡° ²¼, ·²®¡» « ¤¼¿ ¬®£«  ¤®¡° ²¼±¿ ± «¾¡®£® ¯®«¿ ­  «¾¡®¥, ­¥ ¯¥°¥¯°»£¨¢ ¿ ·¥°¥§ ±¯¨·ª¨? 251. ‚ §¥¬«¾ ¢¡¨«¨ 19 ª®«»¸ª®¢. „¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±¢¿§»¢ ¾² ¯ °» ª®«»¸ª®¢ ¡¥·¥¢®©: ª ¦¤»¬ µ®¤®¬ | ®¤­³ ¯ °³. ‚»¨£° ¢¸¨¬ ±·¨² ¥²±¿ ¨£°®ª, ¯°¨ µ®¤¥ ª®²®°®£® ®¡° §®¢ « ±¼ § ¬ª­³² ¿ «®¬ ­ ¿, ±®±² ¢«¥­­ ¿ ¨§ ¡¥·¥¢®ª (¢¥°¸¨­ ¬¨ «®¬ ­®© ¤®«¦­» ¡»²¼ ª®«»¸ª¨). ¥ ° §°¥¸ ¥²±¿ ±¢¿§»¢ ²¼ ¤¢  ³¦¥ ° ­¥¥ ±®¥¤¨­¥­­»µ ª®«»¸ª . Š²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? 252. Š ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ¢¥°¥¢®·¥ª, ±®¥¤¨­¿¾¹¨µ ±®±¥¤­¨¥ ³§«» ±¥²ª¨ ° §¬¥°  4  6, ¬®¦­® ° §°¥§ ²¼, ·²®¡» ±¥²ª  ­¥ ° ±¯ « ±¼ ­  ®²¤¥«¼­»¥ ª³±ª¨? 253. ‚± ¥ ­ · «®±¼ ± ®¤­®© ª³°¨¶», ª®²®° ¿ ±­¥±«  ¤¢  ¿©¶ . ˆ§ ­¨µ ¢»¢¥«¨±¼ ¶»¯«¿² : ¯¥²³µ ¨ ª³°¨¶ . Š®£¤  ®­¨ ¯®¤°®±«¨, ¯¥²³µ  ±º¥«¨ ±° §³,   ª³°¨¶³ | ¯®±«¥ ²®£®, ª ª ®­  ±­¥±«  ¤¢  ¿©¶ . ’ ª ¤¥« «¨ ¨ ¤ «¼¸¥: ¨§ ¿¨¶ ¢»¢®¤¨«¨ ¶»¯«¿², ¥«¨ ª³° ¨ ¯¥²³µ®¢, : : : ‚±¥ ¯°¥ª° ²¨«®±¼, ª®£¤  ¨§ ¿¨¶ ¢»«³¯¨«¨±¼ ®¤­¨ ²®«¼ª® ¯¥²³µ¨. ‡­ ¿, ·²® ¡»«¨ ±º¥¤¥­» 1994 ¯¥²³µ , ¢»¿±­¨²¥, ±ª®«¼ª® ±º¥«¨ ª³°. s

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45

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‹¨­£¢¨±²¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨ …±«¨ ­ ¤® | ¿§»ª ±³ µ¨«¨, ±«®¦­»© §¢³ª®¬ ¨ ±«®¢®¬ ®¡¨«¼­»©, ·¨±²® ¢»³· ² ¢­³ª¨  µ¨«¨ ¨ ´®«¼ª«®° ±®·¨­¿² ±³ µ¨«¼­»©.

ˆ. ƒ³¡¥°¬ ­

254

. „ ­» ´° ­¶³§±ª¨¥ ±«®¢  tour, face, coucher, attacher,

passage, orange, variete, chance, torche, rager, image, courage, reverence ¨ ¨µ ¯¥°¥¢®¤» ¢ ¯¥°¥¯³² ­­®¬ ¯®°¿¤ª¥: ´ ª¥«, ±¬¥«®±²¼, ¯°®µ®¤, «¨¶®, ¯®·²¥­¨¥, ¯°¨¢¿§»¢ ²¼, ¯®¥§¤ª , ®¡° §, ° §­®®¡° §¨¥, «¥¦ ²¼, ³¤®¡­»© ±«³· ©,  ¯¥«¼±¨­, ­¥¨±²®¢±²¢®¢ ²¼. “±² ­®¢¨²¥, ª ª®¥ ´° ­¶³§-

±ª®¥ ±«®¢® ª ª®¬³ °³±±ª®¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¥². 255. ‚®² ®¡®§­ ·¥­¨¿ ­¥ª®²®°»µ ¤ ² ­  ¿§»ª¥ ±³ µ¨«¨: tarehe tatu

Disemba jumamosi; tarehe pili Aprili jumanne; tarehe nne Aprili jumanne; tarehe tano Octoba jumapili; tarehe tano Octoba jumatatu; tarehe tano Octoba jumatano. € ¢®² ¨µ ¯¥°¥¢®¤» ­  °³±±ª¨© ¿§»ª (¢ ¯¥°¥¯³² ­­®¬ ¯®°¿¤ª¥): 5 ®ª²¿¡°¿, ¯®­¥¤¥«¼­¨ª; 2  ¯°¥«¿, ¢²®°­¨ª; 5 ®ª²¿¡°¿, ±°¥¤ ; 5 ®ª²¿¡°¿, ¢®±ª°¥±¥­¼¥; 3 ¤¥ª ¡°¿, ±³¡¡®² ; 4  ¯°¥«¿, ¢²®°­¨ª.

Š ª ­ ¯¨± ²¼ ­  ¿§»ª¥ ±³ µ¨«¨ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¤ ²»:  ) 3  ¯°¥«¿, ±°¥¤ ; ¡) 2 ¤¥ª ¡°¿, ¢®±ª°¥±¥­¼¥; ¢) 1 ­®¿¡°¿, ¯®­¥¤¥«¼­¨ª? 256. ‚®² ­¥±ª®«¼ª®  ©­±ª¨µ ·¨±«¨²¥«¼­»µ (¢ « ²¨­±ª®© ²° ­±ª°¨¯¶¨¨):

3 | re; 11 | shine ikashma wan; 22 | tu ikashma hotne; 37 | arwan ikashma wan e tu hotne; 47 | arwan ikashma tu hotne; 93 | re ikashma wan e ashikne hotne; 135 | ashikne ikashma wan e arwan hotne. Ž¯°¥¤¥«¨²¥, ª ª®¥ ·¨±«® § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¯®- ©­±ª¨ ª ª wan e re hotne. ‡ ¯¨¸¨²¥ ¯®- ©­±ª¨ ·¨±« : 1, 5, 12, 53, 100, 200. 46

¥°¨®¤¨·­®±²¼ Ÿ ¯®¢²®°¿¾ ¯³²¼ §¥¬­®© ¡»«»µ «¾¤±ª¨µ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨©; ­¨·²® ­¥ ­®¢® ¯®¤ «³­®©, ª°®¬¥ ¬®¨µ ¯¥°¥¦¨¢ ­¨©.

ˆ. ƒ³¡¥°¬ ­

257.

 ·­¥¬ ±·¨² ²¼ ¯ «¼¶» ­  °³ª¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¯³±²¼ 1-¬ ¡³¤¥² ¡®«¼¸®©, 2-¬ | ³ª § ²¥«¼­»©, 3-¬ | ±°¥¤­¨©, 4-¬ | ¡¥§»¬¿­­»©, 5-¬ | ¬¨§¨­¥¶, 6-¬ | ±­®¢  ¡¥§»¬¿­­»©, 7-¬ | ±°¥¤­¨©, 8-¬ | ³ª § ²¥«¼­»©, 9-¬ | ¡®«¼¸®©, 10-¬ | ³ª § ²¥«¼­»©, ¨ ² ª ¤ «¥¥. Š ª®© ¯ «¥¶ ¡³¤¥² 2017-¬? 258. “¡¥¤¨²¥±¼, ·²®  ) 1=3 = 0;(3); ¡) 1=6 = 0;1(6); ¢) 7=30 = 0;2(3); £) 7=11 = 0;(63). 259.  ©¤¨²¥ ±®²³¾ ¶¨´°³ ¯®±«¥ § ¯¿²®© ¢ ¤¥±¿²¨·­®© § ¯¨±¨ ·¨±«  1=7. 260.  §¤¥«¨²¥ À³£®«ª®¬Á ·¨±«® 1 ­   ) 9; ¡) 99; ¢) 9 999. £) „®ª ¦¨²¥ ®¡¹¥¥ ¯° ¢¨«®: 1= 99 : : : 9 = 0;(0 : : : 0 1). | {z } | {z } n

. 262.

261

263

.

264

.

n,1

—¨±²® ¯¥°¨®¤¨·¥±ª ¿ ¯° ¢¨«¼­ ¿ ¤°®¡¼ ° ¢­  ² ª®© ®¡»ª­®¢¥­­®© ¤°®¡¨, ¢ ·¨±«¨²¥«¥ ª®²®°®© | ¯¥°¨®¤,   ¢ §­ ¬¥­ ²¥«¥ | ·¨±«® 10r , 1 = 9| :{z: : 9} , £¤¥ r | ¤«¨­  ¯¥°¨®¤ . „®ª r ¦¨²¥ ½²®. Ž¡° ²¨²¥ ¢ ¤¥±¿²¨·­»¥ ¤°®¡¨ ·¨±« :  ) 23=99; ¡) 1234=999999. ‘ª®«¼ª® ·¨±¥«, ª° ²­»µ 13, ¨¬¥¥²±¿ ±°¥¤¨ ¯¥°¢»µ ±²  ·¨±¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ 1, 11, 111, 1111, : : : ? …±«¨ ·¨±«® ¢¨¤  11 : : : 11 ª° ²­® 7, ²® ®­® ª° ²­® ¨ 11, ¨ 13, ¨ 15873. „®ª ¦¨²¥ ½²®. ¥°¢³¾ ¶¨´°³ k -§­ ·­®£® ·¨±« , ª° ²­®£® 13, ±²¥°«¨ ¨ § ¯¨± «¨ ¯®§ ¤¨ ¯®±«¥¤­¥© ¶¨´°» ½²®£® ·¨±« . °¨ ª ª¨µ k ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ª° ²­® 13? ( ¯°¨¬¥°, ¨§ ª° ²­»µ 13 ·¨±¥« 503906 ¨ 7969 ² ª¨¬ ®¡° §®¬ ¯®«³· ¥¬ ·¨±«  39065 ¨ 9697, ¯¥°¢®¥ ¨§ ª®²®°»µ ª° ²­® 13,   ¢²®°®¥ | ­¥².) ¤)

47

¥¸¨²¥ °¥¡³± ‹ŽŒ€
5 = €‹ŽŒ .  ©¤¨²¥ ¸¥±²¨§­ ·­®¥ ·¨±«®, ³¬¥­¼¸ ¾¹¥¥±¿ ¢ 5 ° § ¯°¨ ¯¥°¥­®±¥ ¯¥°¢®© ¶¨´°» ¢ ª®­¥¶ ·¨±« . ¢) ¥¸¨²¥ °¥¡³±: ˆŠ…‹œ
6 = …‹œˆŠ . (“ª § ­¨¥. ‚ ±«®¢ µ °¥¡³±  ¨±¯®«¼§®¢ ­» ¤¢  ±«®£ : ˆŠ ¨ …‹œ . Ž¡®§­ ·¼²¥ ˆŠ = = x ¨ …‹œ = y .) £) ‘³¹¥±²¢³¥² «¨ ¸¥±²¨§­ ·­®¥ ·¨±«®, ª®²®°®¥ ¯°¨ ³¬­®¦¥­¨¨ ­  2, 3, 4, 5 ¨ 6 ¤ ¥² ·¨±« , § ¯¨± ­­»¥ ²¥¬¨ ¦¥ ¶¨´° ¬¨, ·²® ¨ ± ¬® ·¨±«®, ­® ¢ ¤°³£®¬ ¯®°¿¤ª¥? ¤)  ©¤¨²¥ ¢±¥ ¸¥±²¨§­ ·­»¥ ·¨±« , ª®²®°»¥ ³¢¥«¨·¨¢ ¾²±¿ ¢ ¶¥«®¥ ·¨±«® ° § ¯°¨ ¯¥°¥­®±¥ ¯®±«¥¤­¥© ¶¨´°» ¨§ ª®­¶  ¢ ­ · «®. 266. —¨±«® ®ª ­·¨¢ ¥²±¿ ­  2. …±«¨ ½²³ ¶¨´°³ ¯¥°¥­¥±²¨ ¢ ­ · «® ·¨±« , ®­® ³¤¢®¨²±¿.  ©¤¨²¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ² ª®¥ ·¨±«®. 267. Š ª®© ¶¨´°®© ®ª ­·¨¢ ¥²±¿ ·¨±«® 33 + 77 ? 268.  ©¤¨²¥ ¤¢¥ ¯®±«¥¤­¨¥ ¶¨´°» ·¨±«  2 . 269. Š ª®¢  ¯®±«¥¤­¿¿ ¶¨´°  ·¨±«  9999 ? 270. ¿²¨§­ ·­®¥ ·¨±«® ¤¥«¨²±¿ ­  41. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ¥£® ¶¨´°» ¶¨ª«¨·¥±ª¨ ¯¥°¥±² ¢¨²¼, ²® ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ²®¦¥ ¡³¤¥² ¤¥«¨²¼±¿ ­  41. ( ¯°¨¬¥°, §­ ¿, ·²® 93 767 ¤¥«¨²±¿ ­  41, ¬®¦­® ³²¢¥°¦¤ ²¼, ·²® 37 679 ²®¦¥ ¤¥«¨²±¿ ­  41.) 271.  )  ±±¬®²°¨¬ ·¨±« : 1, 11, 111, 1111, : : : „®ª ¦¨²¥, ·²® ±°¥¤¨ ­¨µ ­ ©¤³²±¿ ¤¢  ·¨±« , ° §­®±²¼ ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ ­  196 673. ¡) „®ª ¦¨²¥, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ·¨±«®, § ¯¨±»¢ ¥¬®¥ ®¤­¨¬¨ ²®«¼ª® ¥¤¨­¨¶ ¬¨ ¨ ª° ²­®¥ ·¨±«³ 196 673. ¢) „«¿ «¾¡®£® ­ ²³° «¼­®£® ·¨±«  a , ­¥ ¤¥«¿¹¥£®±¿ ­¨ ­  2, ­¨ ­  5, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® b , ·²® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ab § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¤¥±¿²¨·­®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥­¨¿ ®¤­¨¬¨ ²®«¼ª® ¥¤¨­¨¶ ¬¨. „®ª ¦¨²¥ ½²®. 272. …±«¨ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  a ¨ m ¢§ ¨¬­® ¯°®±²», ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ­ ²³° «¼­®¥ n , ·²® an , 1 ¤¥«¨²±¿ ­  m . „®ª ¦¨²¥ ½²®. 265

.

 )

¡)

77

33

2000 9

99999

48

Š®¬¡¨­ ²®°¨ª  Ž²¥¶ ¤  ¥² ¤¢³µ«¥²­¥© ¤®·¥°¨ «®¦ª³ ¨ ±¯° ¸¨¢ ¥²: | ‘ª®«¼ª® ³ ²¥¡¿ «®¦¥ª? | Ž¤­ . „  ¥² ¤°³£³¾: | ’¥¯¥°¼ ±ª®«¼ª®? | „¢¥. „  ¥² ²°¥²¼¾. | ’¥¯¥°¼ ±ª®«¼ª®? | Œ­®£®. | ¥², ²» ±ª ¦¨. „¥¢®·ª  ± ¯°¥³¢¥«¨·¥­­»¬ ¢»° ¦¥­¨¥¬ ¡°¥§£«¨¢®±²¨ ®²®¤¢¨£ ¥² ®² ±¥¡¿ ²°¥²¼¾ «®¦ª³: | ‚®§¼¬¨, ®­  £°¿§­ ¿!

Š. —³ª®¢±ª¨©, ÀŽ² ¤¢³µ ¤® ¯¿²¨Á Š®¬¡¨­ ²®°¨ª  | ½²® ° §¤¥« ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ¢ ª®²®°®¬ ¨§³· ¾², ±ª®«¼ª® ª®¬¡¨­ ¶¨©, ¯®¤·¨­ ¥­­»µ ²¥¬ ¨«¨ ¨­»¬ ³±«®¢¨¿¬, ¬®¦­® ±®±² ¢¨²¼ ¨§ ¤ ­­»µ ®¡º¥ª²®¢.

°¥¦¤¥ ·¥¬ ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ª ®¡¹¨¬

¯°¨­¶¨¯ ¬, ° ±±¬®²°¨¬ ­¥±ª®«¼ª® ¯°¨¬¥°®¢.

1) ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ²° ¥µ§­ ·­»µ ·¨±¥«?

‘ ¬®¥ ¡®«¼¸®¥ ²°¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«® | ½²® 999. ‘ ¬®¥ ¡®«¼¸®¥ ¤¢³§­ ·­®¥ | 99. ®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¥² 999 , 99 = 900 ²°¥µ§­ ·­»µ ·¨±¥«. ’®² ¦¥ ®²¢¥² ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¨ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬. ‚®®¡° §¨²¥, ·²® ¬» ¯¨¸¥¬, ¶¨´°  §  ¶¨´°®©, ²°¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«®. ‘­ · «  ­ ¯¨¸¥¬ «¾¡³¾ ¨§ ¤¥¢¿²¨ ¶¨´° 1, 2, : : : , 9 ¢ ° §°¿¤ ±®²¥­. ‡ ²¥¬ «¾¡³¾ ¨§ ¤¥±¿²¨ ¶¨´° | ¢ ° §°¿¤ ¤¥±¿²ª®¢; ­ ª®­¥¶, ª ª³¾-­¨¡³¤¼ («¾¡³¾) ¶¨´°³ | ¢ ° §°¿¤ ¥¤¨­¨¶. Ž²¢¥²: 9
10
10 = 900 . 2)

‘ª®«¼ª®

¥µ ²¼ ¨§

¢

A

±¯®±®¡®¢

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C , ¥±«¨ ±¨±²¥¬  ¤®°®£

² ª®¢ , ª ª ¯®ª § ­® ­  °¨±³­ª¥?



A

°¥¦¤¥ ·¥¬ ¯®¯ ±²¼ ¨§ A ¢ C , ­ ¤® «¾¡»¬ ¨§ ²°¥µ ¢®§¬®¦­»µ ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¨§ A ¢ B ,   § ²¥¬ | «¾¡»¬ ¨§ ¯¿²¨ ±¯®±®¡®¢ ¨§ B ¢ C . Ž¡¹¥¥ ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ° ¢­® 3
5 = 15 .



B



C

3) ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ° ±¯®«®¦¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥ ¡¥«³¾ ¨ · ¥°­³¾ « ¤¼¨, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨ ®¤­  ¤°³£³¾?

49

‘­ · «  ¯®±² ¢¨¬ ­  «¾¡³¾ ¨§ 64 ª«¥²®ª ¤®±ª¨ ¡¥«³¾ « ¤¼¾. „«¿ ·¥°­®© « ¤¼¨ ®±² ­¥²±¿ 49 ¯®«¥©. Ž²¢¥²: 64
49 = 3136 . ‡ ¬¥²¼²¥: ¬» ¯¥°¥¬­®¦ ¥¬ ·¨±«  64 ¨ 49,   ­¥ ±ª« ¤»¢ ¥¬ ¨µ. Ž¤­  ¨§ ±² ­¤ °²­»µ ®¸¨¡®ª, ª®²®°³¾ ¤¥« ¥² ­ ·¨­ ¾¹¨¥, ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ®­¨ ¯³² ¾², ª®£¤  ­ ¤® ±ª« ¤»¢ ²¼,   ª®£¤  ³¬­®¦ ²¼. Œ¥¦¤³ ²¥¬ ¢±¥ ¯°®±²®: ±³¬¬  m + n ¥±²¼ ª®«¨·¥±²¢® ½«¥¬¥­²®¢ ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ ¤¢³µ ­¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¬­®¦¥±²¢, ®¤­® ¨§ ª®²®°»µ ±®±²®¨² ¨§ m ,   ¤°³£®¥ ¨§ n ½«¥¬¥­²®¢. € ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ mn | ½²® ª®«¨·¥±²¢® ¯ ° ¢¨¤  (x; y) , £¤¥ x ¬®¦¥² ¡»²¼ «¾¡»¬ ¨§ m ½«¥¬¥­²®¢ ­¥ª®²®°®£® ¬­®¦¥±²¢  (­ ¯°¨¬¥°, ½²® ¬®¦¥² ¡»²¼ ¬­®¦¥±²¢® 64 ¢®§¬®¦­»µ ¯®«¥© ¤«¿ ¡¥«®© « ¤¼¨),   y , ¯°¨ ª ¦¤®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ x , ¬®¦¥² ¡»²¼ «¾¡»¬ ¨§ ­¥ª®²®°»µ n ½«¥¬¥­²®¢ (­ ¯°¨¬¥°, y | ®¤­® ¨§ 49 ¢®§¬®¦­»µ ¯®«¥© ¤«¿ ·¥°­®© « ¤¼¨). ˆ­®£¤  ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¨ ±³¬¬³, ¨ N M   ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥: ­ ¯°¨¬¥°, ª®«¨·¥±²¢® ¯³²¥©, ¢¥¤³¹¨µ ­  °¨±³­ª¥ ¨§ ²®·ª¨ K ¢ ²®·ª³ M , ° ¢­® 2
2 + 3
3 = 13 . 4) ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¢»«®¦¨²¼ ¢ °¿¤ ª° ±­»©, ¦ ¥«²»© ¨ §¥« ¥­»© ¸ °¨ª¨?

‚®² ¢±¥ 6 ±¯®±®¡®¢:

ª¦§ ª§¦

¦ª§ ¦§ª

§ª¦ §¦ª



K



L

5) ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¯°®©²¨ ¨§ «¥¢®© ­¨¦­¥© ª«¥²ª¨ ¨§®¡° ¦ ¥­­®£® ­  °¨±³­ª¥ ª¢ ¤° ² 

99

¢ ¯° ¢³¾

¢¥°µ­¾¾, ­¨ ° §³ ­¥ ¯®¡»¢ ¢ ­¨ ­  ®¤­®© § ª° ¸¥­­®© ª«¥²ª¥ ¨ ¤¢¨£ ¿±¼ ²®«¼ª® ¢¢¥°µ ¨«¨ ¢¯° ¢®?

1 1 1 2 7 1 1 5 17 1 4 12 1 2 4 8 12 17 D 1 1 2 4 4 5 7 A C 1 2 1 2 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ¥² ­¨ ±¨«, ­¨ ¦¥« ­¨¿ °¨±®¢ ²¼ ¢±¥ ¢ °¨ ­²»: ½²® ¯°¨¬¥° ­¥ ² ª ¯°®±², ª ª ¯°¥¤»¤³¹¨©! —²® ¦¥ ¤¥« ²¼? „ ¢ ©²¥ ¯®±² ¢¨¬ ¯¥°¥¤ ±®¡®©

50

¡®«¥¥ ±ª°®¬­³¾ ¶¥«¼: ­ ©¤¥¬ ª®«¨·¥±²¢® ¯³²¥© ¨§ «¥¢®© ­¨¦­¥© ª«¥²ª¨ ­¥ ¢ ¯° ¢³¾ ¢¥°µ­¾¾,  , ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ª«¥²ª³ A . Ž·¥¢¨¤­®, ² ª¨µ ¯³²¥© ¤¢ . ‘²®«¼ª® ¦¥ ¯³²¥© ¢¥¤³² ¢ ²®·ª³ B . ’¥¯¥°¼ «¥£ª® ¯®­¿²¼, ·²® ¢ ª«¥²ª³ C ¬®¦­® ¯°®©²¨ ·¥²»°¼¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨ (¤¢  ¨§ ­¨µ ¢¥¤³² ·¥°¥§ A ,   ¤¢  | ·¥°¥§ B ). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ª«¥²ª³ §  ª«¥²ª®©, ¬» ¬®¦¥¬ § ¯®«­¿²¼ ¤®±ª³, ¨±¯®«¼§³¿ ¯° ¢¨«® ±³¬¬»: ¥±«¨ ¢ ­¥ª®²®°³¾ ª«¥²ª³ Z ¬®¦­® ¯®¯ ±²¼ ±¯° ¢  ¨§ ª«¥²ª¨ X ¨ ±­¨§³ | ¨§ Y , ²® ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¢ ª«¥²ª³ Z ¥±²¼ ±³¬¬  ª®«¨·¥±²¢ ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¢ X ¨ Y .  ¯°¨¬¥°, ¢ ª«¥²ª³ D ¬®¦­® ¯®¯ ±²¼ 17 + 7 = 24 ±¯®±®¡ ¬¨. ’ ª ¯®²¨µ®­¥·ª³ ¨ § ¯®«­¨¬ ¢±¾ ¤®±ª³. Ž²¢¥²: 678. 6) ‘ª®«¼ª® ±«®¢ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ®±¬»±«¥­­»µ) ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼, ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¡³ª¢» ±«®¢ 

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| ¢±¥£® 6 ±¯®±®¡®¢.

7) ‘ª®«¼ª® ±°¥¤¨ ¯¥°¢»µ 1000 ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ² ª¨µ, ª®²®°»¥ ­¥ ª° ²­» ­¨ 2, ­¨ 5?

Š ª ¨§¢¥±²­®, ·¨±«® ­¥ ª° ²­® ­¨ 2, ­¨ 5, ¥±«¨ ¥£® ¯®±«¥¤­¿¿ ¶¨´°  | ½²® ®¤­  ¨§ ·¥²»°¥µ ¶¨´° 1, 3, 7, 9. ‡­ ·¨², ¢ ª ¦¤®¬ ¤¥±¿²ª¥ °®¢­® ·¥²»°¥ ¨­²¥°¥±³¾¹¨µ ­ ± ·¨±« ,   ¢±¥£® ² ª¨µ ·¨±¥« 400. …±²¼ ¨ ¤°³£®© ±¯®±®¡.  ±±¬®²°¨¬ ¬­®¦¥±²¢® U = f1; 2; 3; : : : ; 1000g ¨ ¤¢  ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢ : A = f2; 4; 6; : : : ; 1000g ¨ B = f5; 10; 15; : : : ; 1000g .  ± ¨­²¥°¥±³¥² ·¨±«® ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢  U , ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨µ ­¨ A , ­¨ B . ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ®²¢¥² jU j , jAj , jB j (£¤¥ jU j , jAj ¨ jB j | ª®«¨·¥±²¢  ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢ U , A ¨ B ±®®²¢¥²±²¢¥­­®) ­¥¯° ¢¨«¼­»©. „¥«® ¢ ²®¬, ·²® ½«¥¬¥­²», ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ®¡  ¬­®¦¥±²¢  A ¨ B (²® ¥±²¼ ·¨±« , ®ª ­·¨¢ ¾¹¨¥±¿ ¶¨´°®© 0), ¡»«¨ ¢»¡°®¸¥­» ¤¢ ¦¤», µ®²¿ ±«¥¤®¢ «® ¨µ ¢»¡°®±¨²¼ ²®«¼ª® ®¤¨­ ° §. € ¢®² ¯° ¢¨«¼­»© ®²¢¥²: jU j , jAj , jB j + jA \ B j; £¤¥ A \ B | ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢ A ¨ B . „ ¢ ©²¥ ¯°®¢¥°¨¬ ½²³ ´®°¬³«³: 1000 , 500 , 200 + 100 = 400: 8) ‘ª®«¼ª® ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥© ¢ ¢»¯³ª«®¬ ¯¿²­ ¤¶ ²¨³£®«¼­¨ª¥?

Œ®¦­®, ª®­¥·­®, ­ °¨±®¢ ²¼ 15-³£®«¼­¨ª ­  ¡®«¼¸®¬ «¨±²¥ ¡³¬ £¨, ¯®±·¨² ²¼ ¤¨ £®­ «¨ ¨ ¯°¨¡ ¢¨²¼ ª ®²¢¥²³ 15 | ·¨±«® ±²®°®­. ® «³·¸¥ ­ ©²¨ ®¡¹³¾ ´®°¬³«³ ¤«¿ ·¨±«  ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥© n -³£®«¼­¨ª . Ž·¥¢¨¤­®, ¢ ²°¥³£®«¼­¨ª¥ 3 ±²®°®­» ¨ ­¨ ®¤­®© ¤¨ £®­ «¨; ¢ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª¥ 4 ±²®°®­» ¨ 2 ¤¨ £®­ «¨; ¢ ¯¿²¨³£®«¼­¨ª¥ 5 ±²®°®­ ¨ 5 ¤¨ £®­ «¥©. —³²¼ ±«®¦­¥¥ ³¢¨¤¥²¼, ·²® ³ ¸¥±²¨³£®«¼­¨ª  6 ±²®°®­ ¨ 9 ¤¨ £®­ «¥©.

51

‚®®¡¹¥, ¨§ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­» n -³£®«¼­¨ª  ¢»µ®¤¿² n , 1 ®²°¥§ª®¢ (¤¢¥ ±²®°®­» ¨ n , 3 ¤¨ £®­ «¨). “¬­®¦¨¢ n ­  (n , 1) ¨ ­¥ § ¡»¢ ° §¤¥«¨²¼ ­  2 (¨¡® ³ ª ¦¤®£® ®²°¥§ª  ¤¢  ª®­¶ ), ¯®«³·¨¬ ®²¢¥²: ·¨±«® ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥© n -³£®«¼­¨ª  ° ¢­® n(n , 1)=2: () ‚ · ±²­®±²¨, ³ 15-³£®«¼­¨ª  ¢±¥£® 15
14=2 = 105 ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥©. ‹¾¡¨²¥«¼ ¨­¤³ª¶¨¨ ¬®¦¥² ¤®ª § ²¼ ´®°¬³«³ () ¨ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬. °¨ n = 3 ´®°¬³«  () ¢¥°­ . Ž·¥¢¨¤­®, (n + 1) -³£®«¼­¨ª ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¨§ n -³£®«¼­¨ª  ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ®¤­®© ­®¢®© ¢¥°¸¨­». ˆ§ ½²®© ¢¥°¸¨­» ¢»µ®¤¿² ®²°¥§ª¨ | ±²®°®­» ¨ ¤¨ £®­ «¨ | ¢® ¢±¥ ®±² «¼­»¥ n ¢¥°¸¨­. ‡­ ·¨², (n + 1) -³£®«¼­¨ª ¨¬¥¥² °®¢­® ­  n ¡®«¼¸¥ ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥©, ·¥¬ n -³£®«¼­¨ª. ®±ª®«¼ª³ n(n , 1) + n = n2 , n + 2n = (n + 1)n ; 2 2 2 ¬» ¢¨¤¨¬, ª ª ¯°¥®¡° §³¥²±¿ ´®°¬³«  ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ®² n ª n +1 . ’®·­¥¥ £®¢®°¿, ¥±«¨ ´®°¬³«  () ¤ ¢ «  ¢¥°­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¤«¿ n -³£®«¼­¨ª , ²® ¨ ¤«¿ (n + 1) -³£®«¼­¨ª  ¢±¥ ¡³¤¥² ¯° ¢¨«¼­®. Œ» ¯®¬­¨¬, ·²® ¯°¨ n = 3 ´®°¬³«  ¢¥°­ . ‡­ ·¨², ¯® ¨­¤³ª¶¨¨, ®­  ¢¥°­  ¯°¨ «¾¡®¬ n . Œ» ° §®¡° «¨ ³¦¥ ¢®±¥¬¼ ° §­»µ ª®¬¡¨­ ²®°­»µ § ¤ ·. ®°  ¯¥°¥©²¨ ª ¡®«¥¥ ®¡¹¨¬ ¯®­¿²¨¿¬.

¥°¥±² ­®¢ª¨. ” ª²®°¨ «

„¢  ½«¥¬¥­²  a ¨ b ¬®£³² ¡»²¼ ¢»¯¨± ­» ¢ ±²°®·ª³ ¢±¥£® ¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨: ab ¨ ba . „«¿ ²°¥µ ½«¥¬¥­²®¢, ª ª ¬» §­ ¥¬ ¨§ ·¥²¢¥°²®£® ¯°¨¬¥° , ±³¹¥±²¢³¥² 6 ¢ °¨ ­²®¢. ¥²°³¤­® ¯®±·¨² ²¼ ¨ ·¨±«® ¯¥°¥±² ­®¢®ª ¬­®¦¥±²¢  ¨§ 4 ½«¥¬¥­²®¢:

1234 1243 1324 1342 1423 1432

3124 3142 3214 3241 3412 3421

2134 2143 2314 2341 2413 2431

4123 4132 4213 4231 4312 4321

‚±¥£® 24 ¯¥°¥±² ­®¢ª¨, ° ±¯®«®¦¥­­»¥ ¢ 4 ±²®«¡¶  ¯® 6 ¯¥°¥±² ­®¢®ª ¢ ª ¦¤®¬. Ž·¥¢¨¤­®, ¯¥°¥±² ­®¢ª¨ ­  5 ½«¥¬¥­² µ ¬®¦­® ° ±¯®«®¦¨²¼ ¢ 5 ±²®«¡¶®¢, ¯® 24 ¢ ª ¦¤®¬. ‡­ ·¨², ¢±¥£® ±³¹¥±²¢³¥² 5
24 = 120 ² ª¨µ ¯¥°¥±² ­®¢®ª. „«¿ ·¨±«  ¯¥°¥±² ­®¢®ª n ½«¥¬¥­²®¢ ¥±²¼ ®¡®§­ ·¥­¨¥: n! (·¨² ¥¬: À½­ ´ ª²®°¨ «Á). ” ª²®°¨ « ° ¢¥­ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾ ¢±¥µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«

52

®² 1 ¤® n .  ¯°¨¬¥°, 4! = 1
2
3
4 . ”³­ª¶¨¿ n! ¢®§° ±² ¥² ®·¥­¼ ¡»±²°®. ’ ª, 1! = 1 , 2! = 2 , 3! = 6 , : : : , 10! = 3 628 800 . ” ª²®°¨ «» ¢®§­¨ª ¾² ¢ ª®¬¡¨­ ²®°¨ª¥ ®·¥­¼ · ±²®. ®½²®¬³ ¯°¨­¿²® ±·¨² ²¼, ·²® ¥±«¨ ®²¢¥² ¢»° ¦¥­ ·¥°¥§ ´ ª²®°¨ «», ²® ¢±¥ ±¤¥« ­®. (²®¬³ ¢ ­¥¬ «®© ±²¥¯¥­¨ ±¯®±®¡±²¢³¥² ®²ª°»² ¿ ¢ 1730 £®¤³  ­£«¨©±ª¨¬ ¬ ²¥¬ ²¨ª®¬ „¦. ‘²¨°«¨­£®¬ ´®°¬³«  ¤«¿ ¯°¨¡«¨¦¥­­®£® ¢»·¨±«¥­¨¿: p n!  2n nn =en : Ž²­®±¨²¥«¼­ ¿ ®¸¨¡ª  ¯°¨ ¯®«¼§®¢ ­¨¨ ½²®© ´®°¬³«®© ®·¥­¼ ­¥¢¥«¨ª  ¨ ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾ ¯°¨ ³¢¥«¨·¥­¨¨ ·¨±«  n . —²® ² ª®¥ e ¨ ¯®·¥¬³ ¢¥°­  ´®°¬³«  ‘²¨°«¨­£ , ±¥¬¨ª« ±±­¨ª³ ®¡º¿±­¨²¼ ±®¢¥°¸¥­­® ­¥¢®§¬®¦­®.) ƒ« ¢­®¥ ±¢®©±²¢® ´ ª²®°¨ «  ®·¥¢¨¤­® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿: (n + 1)! = (n + 1)
n!: ®¤±² ¢¨¬ ¢ ½²³ ´®°¬³«³ n = 0 . ®«³·¨¬: 1! = 1
0!; ®²ª³¤  0! = 1 . ˆ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢® ¬­®£¨µ ´®°¬³« µ ¤«¿ ¥¤¨­®®¡° §­®© § ¯¨±¨ ®·¥­¼ ³¤®¡­® ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ®¡®§­ ·¥­¨¥¬ 0! = 1 . € ¢®² ®¯°¥¤¥«¨²¼ (,1)! ­¨ª ª ­¥«¼§¿: ° ¢¥­±²¢® 0! = 0
(,1)! ­¥¢®§¬®¦­® ­¨ ¯°¨ ª ª®¬ §­ ·¥­¨¨ (,1)! .  §¬¥¹¥­¨¿

‘«¥¤³¾¹¥¥ ¢ ¦­®¥ ¯®­¿²¨¥ ª®¬¡¨­ ²®°¨ª¨ | ° §¬¥¹¥­¨¥. „ ¢ ©²¥ ° ±±¬®²°¨¬ ² ª³¾ ±¨²³ ¶¨¾: ¢ ª« ±±¥, ¢ ª®²®°®¬ 25 ³·¥­¨ª®¢, ­³¦­® ¢»¡° ²¼ ±² °®±²³, ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ¨ ¯®¬®¹­¨ª  § ¬¥±²¨²¥«¿. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ½²® ¬®¦­® ±¤¥« ²¼? Ž·¥¢¨¤­®, ±­ · «  25 ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ «¾¡®£® ³·¥­¨ª  ¢ ±² °®±²». ‡ ²¥¬ ¨§ 24 ®±² ¢¸¨µ±¿ | § ¬¥±²¨²¥«¿ ±² °®±²»,   ¯®±«¥ ½²®£® «¾¡®© ¨§ 23 ®±² ¢¸¨µ±¿ ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¯®¬®¹­¨ª®¬ § ¬¥±²¨²¥«¿. ® ¯° ¢¨«³ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿, ¢±¥£® ¨¬¥¥¬ A325 = 25
24
23 ¢ °¨ ­²®¢. ‚®®¡¹¥, ·¥°¥§ Akn (·¨² ¥¬: À  ¨§ ½­ ¯® ª Á) ®¡®§­ · ¾² ·¨±«® ±¯®±®¡®¢ ¢»¡° ²¼ ¨§ ¤ ­­»µ n ½«¥¬¥­²®¢ ±­ · «  ¯¥°¢»© ½«¥¬¥­², ¯®²®¬ ¢²®°®©, ²°¥²¨©, : : : , k -©. ‚»·¨±«¿¾² ¥£® ¯® ´®°¬³«¥ Akn = n(n , 1)


(n , k + 1): ‡ ¬¥²¼²¥: ¢ ¯° ¢®© · ±²¨ °®¢­® k ¬­®¦¨²¥«¥©, ¨ ¯®±«¥¤­¨© ¨§ ­¨µ ° ¢¥­ n,k +1 ,   ¢®¢±¥ ­¥ n,k , ª ª ¬®£«® ¯®ª § ²¼±¿ ­  ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤. ”®°¬³«³ ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¨ ·¥°¥§ ´ ª²®°¨ «»: Akn = n!=(n , k)!:

53

—¨±«  ±®·¥² ­¨©

°¥¤±² ¢¼²¥ ±¥¡¥, ·²® ¢ ª« ±±¥ ¨§ 25 ·¥«®¢¥ª ­³¦­® ¢»¡° ²¼ ­¥ ±² °®±²³, ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ¨ ¯®¬®¹­¨ª  ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿,   ²°®©ª³ ­ · «¼­¨ª®¢, ª®²®°»¥, ®¡« ¤ ¿ ° ¢­»¬¨ ¯° ¢ ¬¨, ¡³¤³² ³¯° ¢«¿²¼ ¨ ±³¤¨²¼ ª« ±±, ­¥ ¢»¿±­¿¿, ª²® ¨§ ²°®¨µ £« ¢­»©, ª²® ¬¥­¥¥ £« ¢­»©,   ª²® ² ª ±¥¡¥. ’®£¤  ±¯®±®¡®¢ ¡³¤¥² ­¥ A325 ,   ¢ 6 ° § ¬¥­¼¸¥. (®¤³¬ ©²¥ ®¡ ½²®¬ µ®°®¸¥­¼ª®! ‡¤¥±¼ 6 = 3! | ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ° ­¦¨°®¢ ²¼ ²°¥µ ­ · «¼­¨ª®¢, ²® ¥±²¼ ª®«¨·¥±²¢® ¢±¥µ ¯¥°¥±² ­®¢®ª ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¨§ 3 ½«¥¬¥­²®¢.) ‚®®¡¹¥, ®·¥­¼ ¢ ¦­»¥ ¤«¿ ª®¬¡¨­ ²®°¨ª¨ ¨ ²¥®°¨¨ ¢¥°®¿²­®±²¥© ·¨±«  ±®·¥² ­¨© Cnk (·¨² ¥¬: À·¨±«® ±®·¥² ­¨© ¨§ ½­ ¯® ª Á ¨«¨ À¶¥ ¨§ ½­ ¯® ª Á) ¬®¦­® ¢»·¨±«¨²¼ ¯® ´®°¬³«¥ Cnk = Akn =k! = k!(nn,! k)! : Š ±®¦ «¥­¨¾, ­¨ ¤«¿ ²®·­®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ­¨ ¤«¿ ±¢®©±²¢ ·¨±¥« ±®·¥² ­¨© ¢ ½²®© ¡°®¸¾°¥ ¬¥±²  ­¥ ­ ¸«®±¼. ® ¤«¿ ¯¥°¢®£® §­ ª®¬±²¢  ± ª®¬¡¨­ ²®°¨ª®© ±ª § ­­®£® ¨ ² ª ¯°¥¤®±² ²®·­®. ‚¥°­ ¥¬±¿ «³·¸¥ ª ­ ¸¨¬ ®¡»·­»¬ § ¤ · ¬, ®±² ¢¨¢ ²¥®°¨¾ ­  ¡³¤³¹¥¥.

. ‚ ª¨®±ª¥ ¯°®¤ ¾² 5 ¢¨¤®¢ ª®­¢¥°²®¢ ¨ 4 ¢¨¤  ¬ °®ª. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ª³¯¨²¼ ª®­¢¥°² ¨ ¬ °ª³? 274. ‚ ´³²¡®«¼­®© ª®¬ ­¤¥ (11 ·¥«®¢¥ª) ­³¦­® ¢»¡° ²¼ ª ¯¨² ­  ¨ ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ½²® ¬®¦­® ±¤¥« ²¼? 273

 ¥ ¸ ¥ ­ ¨ ¥.

Š ¯¨² ­®¬ ¬®¦¥² ±² ²¼ «¾¡®© ¨§ 11 ´³²¡®«¨±²®¢.

®±«¥ ¢»¡®°  ª ¯¨² ­  ­  °®«¼ ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ¬®£³² ¯°¥²¥­¤®¢ ²¼ 10 ®±² ¢¸¨µ±¿ ·¥«®¢¥ª.

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¥±²¼ 11




10 = 110 ° §­»µ

¢ °¨ ­²®¢ ¢»¡®° . ²  § ¤ ·  ®²«¨· ¥²±¿ ®² ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥¬, ·²® ¢»¡®° ª ¯¨² ­  ®£° ­¨·¨¢ ¥² ª°³£ ¯°¥²¥­¤¥­²®¢ ­  °®«¼ § ¬¥±²¨²¥«¿:

ª ¯¨² ­ ­¥

¬®¦¥² ¡»²¼ ±¢®¨¬ § ¬¥±²¨²¥«¥¬. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢»¡®°» ª ¯¨² ­  ¨ ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ­¥§ ¢¨±¨¬»¬¨ | ² ª¨¬¨, ª ª ¢»¡®°» ª®­¢¥°²  ¨ ¬ °ª¨.

275.

‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ £« ±­³¾ ¨ ±®£« ±­³¾ ¡³ª¢» ¨§ ±«®¢  ª®­¢¥°²?  ® ¿ ± ­ ¥ ­ ¨ ¥. ¨«¨

¥),

ƒ« ±­³¾

¬®¦­®

¢»¡° ²¼

  ±®£« ±­³¾ | ¯¿²¼¾ ±¯®±®¡ ¬¨ (ª,

54

¤¢³¬¿

­, ¢, °

¨«¨

±¯®±®¡ ¬¨

²).

(®

276.

‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³ ¡¥«³¾ ¨ ·¥°­³¾ « ¤¼¨ ² ª, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨ ¤°³£ ¤°³£ ? 277. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³ ¡¥«®£® ¨ ·¥°­®£® ª®°®«¿, ·²®¡» ¯®«³·¨« ±¼ ¤®¯³±²¨¬ ¿ ¯° ¢¨« ¬¨ ¨£°» ¯®§¨¶¨¿? 278.  ­­¨¬ ³²°®¬ ­  °»¡ «ª³ ³«»¡ ¾¹¨©±¿ ˆ£®°¼ ¬· «±¿ ¡®±¨ª®¬. ‘ª®«¼ª® ®±¬»±«¥­­»µ ¯°¥¤«®¦¥­¨© ¬®¦­® ±®±² ¢¨²¼, ¢»·¥°ª¨¢ ¿ ­¥ª®²®°»¥ ±«®¢  ½²®£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿? (‚® ¢±¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ ®¡¿§ ²¥«¼­® ¤®«¦­» ¢µ®¤¨²¼ ¯®¤«¥¦ ¹¥¥ ˆ£®°¼ ¨ ±ª §³¥¬®¥ ¬· «±¿.) 279.  · «¼­¨ª ²° ­±¯®°²­®£® ¶¥µ  ¯°¨£« ±¨« ­¥±ª®«¼ª® ·¥«®¢¥ª ­  ±®¢¥¹ ­¨¥. Š ¦¤»© ³· ±²­¨ª ±®¢¥¹ ­¨¿, ¢µ®¤¿ ¢ ª ¡¨­¥², ¯®¦¨¬ « °³ª¨ ¢±¥¬ ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨¬. ‘ª®«¼ª® ·¥«®¢¥ª ³· ±²¢®¢ «¨ ¢ ±®¢¥¹ ­¨¨, ¥±«¨ ¡»«® ¢±¥£® 78 °³ª®¯®¦ ²¨©? 280. Š°»±  ¡¥¦¨² ¯® « ¡¨°¨­²³, ª®²®°»© ³±²°®¥­ ² ª, ·²® ±­ · «  ®­  ¤®«¦­  ¢»¡° ²¼ ®¤­³ ¨§ ¤¢³µ ¤¢¥°¥©, § ²¥¬ ®¤­³ ¨§ ²°¥µ ¤¢¥°¥©,   §  ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ ¥¥ ®¦¨¤ ¾² ·¥²»°¥ ¤¢¥°¨. °®©¤¿ ¤¢¥°¼, ª°»±  ­¥ ¬®¦¥² ¢¥°­³²¼±¿ ·¥°¥§ ­¥¥ ®¡° ²­®. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ° §«¨·­»¬¨ ¯³²¿¬¨ ª°»±  ¬®¦¥² ¯°®©²¨ « ¡¨°¨­² ®² ­ · «  ¤® ª®­¶ ?

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. ‚ ¯®µ®¤ µ®¤¨«¨ 80% ³·¥­¨ª®¢ ª« ±± ,   ­  ½ª±ª³°±¨¨ ¡»«® 60% ª« ±± , ¯°¨·¥¬ ª ¦¤»© ¡»« ¢ ¯®µ®¤¥ ¨«¨ ­  ½ª±ª³°±¨¨. ‘ª®«¼ª® ¯°®¶¥­²®¢ ª« ±±  ¡»«¨ ¨ ² ¬, ¨ ² ¬? 282. ‚ ª« ±±¥ 35 ³·¥­¨ª®¢. 20 ¨§ ­¨µ § ­¨¬ ¾²±¿ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬ ª°³¦ª¥, 11 | ¢ ¡¨®«®£¨·¥±ª®¬,   10 ­¨·¥¬ ­¥ § ­¨¬ ¾²±¿. ‘ª®«¼ª® °¥¡¿² § ­¨¬ ¾²±¿ ¨ ¬ ²¥¬ ²¨ª®©, ¨ ¡¨®«®£¨¥©? 283.   ¤¨±ª®²¥ª¥ 80% ¢°¥¬¥­¨ ¡»« ¢»ª«¾·¥­ ±¢¥², 90% ¢°¥¬¥­¨ ¨£° «  ¬³§»ª  ¨ 50% ¢°¥¬¥­¨ ¸¥« ¤®¦¤¼. 281

55

Š ª³¾ ­ ¨¬¥­¼¸³¾ ¤®«¾ ¢°¥¬¥­¨ ¢±¥ ½²® ®¡¿§ ­® ¡»«® ¯°®¨±µ®¤¨²¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­®? 284. ˆ§ 100 ·¥«®¢¥ª 85 §­ ¾²  ­£«¨©±ª¨© ¿§»ª, 80 | ¨±¯ ­±ª¨©, 75 | ­¥¬¥¶ª¨©. ‘ª®«¼ª® ·¥«®¢¥ª § ¢¥¤®¬® §­ ¾² ¢±¥ ²°¨ ¿§»ª ?  ¢®¤¿¹¨©

¢ ® ¯ ° ® ±.

‘ª®«¼ª® ·¥«®¢¥ª ­¥ §­ ¾²  ­£«¨©±ª¨©

¿§»ª? ¨±¯ ­±ª¨©? ­¥¬¥¶ª¨©?

285.

Š ª¨µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ®² 1 ¤® 1993 ¡®«¼¸¥: ²¥µ, ª®²®°»¥ ª° ²­» 8, ­® ­¥ ª° ²­» 9, ¨«¨ ²¥µ, ª®²®°»¥ ª° ²­» 9, ­® ­¥ ª° ²­» 8? 286. ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«, ¬¥­¼¸¨µ 1 000, ª®²®°»¥ ­¥ ª° ²­» ­¨ 2, ­¨ 5? € ­¥ ª° ²­»µ ­¨ 2, ­¨ 3, ­¨ 5? 287. ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¥±²¼ µ®²¿ ¡» ®¤­  ·¥²­ ¿ ¶¨´° ?  ® ¤ ± ª   § ª  .

‚¬¥±²® ²®£®,

·²®¡» ¯®¤±·¨²»¢ ²¼ ª®«¨·¥±²¢®

²°¥¡³¥¬»µ ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ®¯°¥¤¥«¨²¥ ª®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ³ ª®²®°»µ ¢±¥ ¶¨´°» ­¥· ¥²­».

. Š ª¨µ ·¨±¥« ¡®«¼¸¥ ±°¥¤¨ ¯¥°¢®£® ¬¨««¨®­ : ²¥µ, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¥±²¼ ¶¨´°  7, ¨«¨ ²¥µ, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¥¥ ­¥²? 289. ‘ª®«¼ª® ±¥¬¨§­ ·­»µ ·¨±¥« ­¥ ±®¤¥°¦ ² ¶¨´°» 2? 290. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ 8 ·¥«®¢¥ª ¬®£³² ¢±² ²¼ ¢ ®·¥°¥¤¼ ª ²¥ ²° «¼­®© ª ±±¥? 291. ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² 9-§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¶¨´°» ª®²®°»µ ° ±¯®«®¦¥­» ¢ ¯®°¿¤ª¥ ³¡»¢ ­¨¿ (²® ¥±²¼ ª ¦¤ ¿ ±«¥¤³¾¹ ¿ ¬¥­¼¸¥ ¯°¥¤»¤³¹¥©)? 292. ‘ª®«¼ª® ° §­»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼, ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¶¨´°» ·¨±¥«:  ) 133; ¡) 9 854; ¢) 3 213; £) 98 561; ¤) 32 123? 293. ‘ª®«¼ª® ° §«¨·­»µ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ®±¬»±«¥­­»µ) ±«®¢ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼, ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¡³ª¢» ±«®¢:  ) ª°®²; ¡) ¬ ²¥¬ ²¨ª ; ¢) ­ ¯®«¥®­®­¥­ ¢¨±²­¨·¥±²¢®? 294. ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ²° ¥µ§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¼ ª®²®°»µ ¢µ®¤¨² °®¢­® ®¤­  ¶¨´°  5? 288

56

ˆ§¡° ­­»¥ § ¤ ·¨ ¤®¬ ¸­¨µ ®«¨¬¯¨ ¤ 295

.

‡ ¬¥­¨²¥ ¡³ª¢» ¢ ±«®¢¥

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° §­»¬¨ ¶¨´° ¬¨, ®¤¨­ ª®¢»¥ | ®¤¨­ ª®¢»¬¨) ² ª, ·²®¡» ¢»¯®«­¿«¨±¼ ­¥° ¢¥­±²¢ 

296 297

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¯®¤±·¨² «, ·²® ª®¸¥ª ¡»«® 64 ¸²³ª¨. ®±«¥ ±¯¥ª² ª«¿ ®¡   °²¨±²  | ª®°®«¼ ¨ £¥°¶®£ | ¡»«¨ ± ­®£ ¤® £®«®¢» § ª¨¤ ­» ¯°¨¯ ± ¬¨, ¯°¨· ¥¬ ­  ¤®«¾ ª ¦¤®£® ¤®±² «®±¼ ¯®°®¢­³ ¯°¥¤¬¥²®¢ (  ¯°®¬ µ®¢ ¦¨²¥«¨ €°ª ­§ ±  ­¥ ¤¥« ¾²). ° ¢¤ , ª®°®«¼ ¯°¨­¿« ­  ±¥¡¿ «¨¸¼ ¯¿²³¾ · ±²¼ ¢±¥µ ¿¨¶ ¨ ±¥¤¼¬³¾ · ±²¼ ª ¯³±²», ­® ¢±¥ ¤®µ«»¥ ª®¸ª¨

298

.

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4 «¥¦¨² ±«¨¢ . “¡¥°¨²¥ 6 ±«¨¢ ² ª, ·²®¡»

¢ ª ¦¤®¬ £®°¨§®­² «¼­®¬ ¨ ¢ ª ¦¤®¬ ¢¥°²¨ª «¼­®¬ °¿¤³ ®±² «®±¼ · ¥²­®¥ ·¨±«® ±«¨¢.

. 300. 299

¥¸¨²¥ °¥¡³±.

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  ¤®±ª¥ ° §¬¥°®¬ 6



6 ° ±±² ¢¼²¥ 8 ´¥°§¥© ² ª,

·²®¡» ª ¦¤»© ¨§ ­¨µ ¡¨« °®¢­® ®¤­®£® ´¥°§¿.

301

.

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‚ ²° ¬¢ ¥ ¥µ «¨ 60 ·¥«®¢¥ª:

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ª®­²°®« ¥°», ª®­¤³ª²®°», «¦¥ª®­¤³ª-

²®°» (£° ¦¤ ­¥, ¢»¤ ¢ ¢¸¨¥ ±¥¡¿ §  ª®­¤³ª²®°®¢), «¦¥ª®­²°®« ¥°» (£° ¦¤ ­¥, ¢»¤ ¢ ¢¸¨¥ ±¥¡¿ §  ª®­²°®«¥°®¢), ¨, ¢®§¬®¦­®, ®¡»·­»¥ ¯ ±± ¦¨°». Ž¡¹¥¥ ª®«¨·¥±²¢® «¦¥ª®­²°®« ¥°®¢ ¨ «¦¥ª®­¤³ª²®°®¢ ¢ 4 ° §  ¬¥­¼¸¥ ·¨±«  ­ ±²®¿¹¨µ ª®­¤³ª²®°®¢ ¨ ª®­²°®« ¥°®¢. Ž¡¹¥¥ ·¨±«® ª®­²°®« ¥°®¢ ¨ «¦¥ª®­²°®« ¥°®¢ ¢ 7 ° § ¡®«¼¸¥ ®¡¹¥£® ·¨±«  ª®­¤³ª²®°®¢ ¨ «¦¥ª®­¤³ª²®°®¢. ‘ª®«¼ª® ¢ ²° ¬¢ ¥ ®¡»·­»µ ¯ ±± ¦¨°®¢?

57

302

.

 ±±² ¢¼²¥

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ª°³¦®·ª µ

·¨±«  1, 2, 3, : : : , 8, ·²®¡» ­¨ ¢ ª ª¨µ ¤¢³µ ±®¥¤¨­ ¥­­»µ ®²°¥§ª®¬ ª°³¦®·ª µ ­¥ ®ª § «¨±¼ ¡» ±®±¥¤­¨¥ (²® ¥±²¼ ®²«¨· ¾¹¨¥±¿ ­  1) ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±-

303.

« . „«¿ ¯®±²°®©ª¨ ²¨¯®¢®£® ¤®¬  ­¥ µ¢ ² «® ¬¥±² .

€°µ¨²¥ª²®° ¨§¬¥-

­¨« ¯°®¥ª²: ³¡° « 2 ¯®¤º¥§¤  ¨ ¤®¡ ¢¨« 3 ½² ¦ . Š®«¨·¥±²¢® ª¢ °²¨° ³¢¥«¨·¨«®±¼.

Ž­ ®¡° ¤®¢ «±¿ ¨ °¥¸¨« ³¡° ²¼ ¥¹¥ 2 ¯®¤º¥§¤ 

¨ ¤®¡ ¢¨²¼ ¥¹ ¥ 3

½² ¦ .

Œ®£«® «¨ ¯°¨ ½²®¬ ª¢ °²¨° ±² ²¼ ¤ ¦¥

¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ¢ ²¨¯®¢®¬ ¯°®¥ª²¥?

(‚ ª ¦¤®¬ ¯®¤º¥§¤¥ ®¤¨­ ª®¢®¥

·¨±«® ½² ¦¥©, ­  ¢±¥µ ½² ¦ µ ¢® ¢±¥µ ¯®¤º¥§¤ µ ®¤¨­ ª®¢®¥ ·¨±«®

.

304

ª¢ °²¨°.) ‚ ®§¥°¥ ¯« ¢ ¥² ¿¡«®ª®: 2/3 ¥£® ¯®¤ ¢®¤®© ¨ 1/3 ­ ¤ ¢®¤®©. Š ­¥¬³ ¯®¤¯«»¢ ¥² °»¡ª  ¨ ¯®¤«¥² ¥² ¯²¨·ª , ª®²®°»¥ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ­ ·¨­ ¾² ª³¸ ²¼, ¯°¨· ¥¬ ¯²¨·ª  ¢ ¤¢  ° §  ¡»±²°¥¥, ·¥¬ °»¡ª .

305

.

Š ª³¾ · ±²¼ ¿¡«®ª  ±ª³¸ ¥² ¯²¨·ª  ¨ ª ª³¾ | °»¡ª ? ¿²¼ ¡° ²¼¥¢ ¤¥«¨«¨ ­ ±«¥¤±²¢® ®²¶  ¯®°®¢­³.

‚ ­ ±«¥¤±²¢¥ ¡»«®

²°¨ ¤®¬ . ®±ª®«¼ª³ ¤®¬  ¯¨«¨²¼ ­¥«¼§¿, ¨µ ¢§¿«¨ ²°¨ ±² °¸¨µ ¡° ² ,   ¬¥­¼¸¨¬ ¢»¤¥«¨«¨ ¤¥­¼£¨: ª ¦¤»© ¨§ ²° ¥µ ±² °¸¨µ ¡° ²¼¥¢ § ¯« ²¨« ¯® 800 °³¡«¥©,   ¬¥­¼¸¨¥ ¡° ²¼¿ ° §¤¥«¨«¨ ½²¨ ¤¥­¼£¨ ¬¥¦¤³ ±®¡®©. ‘ª®«¼ª® ±²®¨« ®¤¨­ ¤®¬?

306

.

”¨£³°  ­  °¨±³­ª¥ ±®±² ¢«¥­  ¨§ ª¢ ¤° ²®¢.

 ©¤¨²¥ ±²®°®­³ «¥¢®£® ­¨¦­¥-

£®, ¥±«¨ ±²®°®­  ± ¬®£® ¬ «¥­¼ª®£® ° ¢-

307

.

­  1. •®§¿¨­

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9 °³¡«¥© ¨ ª ´² ­.

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30

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—¥°¥§ ²°¨ ¤­¿ ° -

¡®²­¨ª ³¢®«¨«±¿ ¨ ¯®«³·¨« ª ´² ­.

308

.

309

.

‘ª®«¼ª® ±²®¨« ª ´² ­?

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2 1 +1 3 3 2 0;815 ( ) 3 4

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4;17

2

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2

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4;385) + 0;815

+3


,, 1 6

(

1 4




0;41)

4;385)




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,

2 3


.

  ¬¥«¼­¨¶¥ ¥±²¼ ²°¨ ¦¥°­®¢ .   ¯¥°¢®¬ §  ±³²ª¨ ¬®¦­® ±¬®«®²¼ 60 ·¥²¢¥°²¥© §¥°­ , ­  ¢²®°®¬ | 54,   ­  ²°¥²¼¥¬ | 48. ¥ª²® µ®·¥²

58

±¬®«®²¼ 81 ·¥²¢¥°²¼ §¥°­ .

310

.

‡  ª ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¢°¥¬¿ ®­ ±¬®¦¥²

±¬®«®²¼ §¥°­®? ‚ 336-¢¥¤ ¥°­³¾  ¥¬ª®±²¼ ¢±¿ª¨© · ± ®¤­®¾ ²°³¡®¾ ¢²¥ª ¥² 70 ¢ ¥¤¥° ¢®¤»,   ¤°³£®¾ ²°³¡®¾ ¢»²¥ª ¥² 42 ¢¥¤° . ‡  ª ª®¥ ¢°¥¬¿  ¥¬ª®±²¼

311

.

­ ¯®«­¨²±¿?

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Š®­¼ ¢»¸¥« ± ­¥ª®²®°®£® ¯®«¿ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¨ ·¥°¥§ ­¥±ª®«¼ª®

µ®¤®¢ ¢¥°­³«±¿ ­  ­¥£®. „®ª ¦¨²¥, ·²® ®­ ±¤¥« « · ¥²­®¥ ·¨±«® µ®¤®¢.

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ˆ§ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¢»¯¨«¥­® ³£«®¢®¥ ¯®«¥. Œ®¦¥² «¨ ª®­¼ ®¡®©-

²¨ ¢±¥ ®±² ¢¸¨¥±¿ ¯®«¿ ¯® ®¤­®¬³ ° §³ ¨ ¢¥°­³²¼±¿ ­  ¨±µ®¤­®¥ ¯®«¥?

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.

312

Œ®¦¥² «¨ ª®­¼ ¯°®©²¨ ¨§ «¥¢®£® ­¨¦­¥£® ³£«  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨

¢ ¯° ¢»© ¢¥°µ­¨©, ¯®¡»¢ ¢ ­  ª ¦¤®¬ ¯®«¥ °®¢­® ®¤¨­ ° §? Š°¥±² ±®±² ¢«¥­ ¨§ ¯¿²¨ ° ¢­»µ ª¢ ¤° ²®¢.  §°¥¦¼²¥

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¬®¦­® (¡¥§ ¤»° ¨ ¯¥°¥ª°»²¨©) ±®±² ¢¨²¼ ª¢ ¤-

313

.

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­¿²¼ 2, ²® °¥§³«¼² ² ° §¤¥«¨²±¿ ­ ¶¥«® ­  3,   ¥±«¨ ®²­¿²¼ ­¥ 2,   3, ²® ° §¤¥«¨²±¿ ­¥ ­  3,   ­  2. …±«¨ ª ½²®¬³ ·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨²¼ 4, ²® °¥§³«¼² ² ° §¤¥«¨²±¿ ­ ¶¥«® ­  5,   ¥±«¨ ®² ­¥£® ®²­¿²¼ 5, ²® ° §¤¥«¨²±¿ ­  4. ®«¥¥ ²®£®, ¥±«¨ ®² ½²®£® ·¨±«  ®²­¿²¼ 5, ²® ° §¤¥«¨²±¿ ­ ¶¥«® ­  6,   ¥±«¨ ¦¥ ®² ­ ¸¥£® ·¨±«  ®²­¿²¼ 6, ²® ° §¤¥«¨²±¿ ­  5. ˆ ½²® ¥¹ ¥ ­¥ ¢± ¥: ¥±«¨ ª ½²®¬³ § ¬¥· ²¥«¼­®¬³ ·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨²¼ 7, ²® °¥§³«¼² ² ° §¤¥«¨²±¿

314 315

. .

­  8,   ¥±«¨ ¯°¨¡ ¢¨²¼ 8, ²® ° §¤¥«¨²±¿ ­  7. —²® ¦¥ ½²® §  ·¨±«®? °¨¤³¬ ©²¥ 10 ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«, ³ ª®²®°»µ ¨ ±³¬¬ , ¨ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ° ¢­» 20.

 )

Š®£¤  ª®¬¨±±¨¿ ¯°¨¥µ «  ¢ ¡®«¼­¨¶³, ² ¬ ­ µ®¤¨«¨±¼ 3 ¢° ·  ¨

1996 ¯ ¶¨¥­²®¢. Š®¬¨±±¨¿ ¯®¯°®±¨«  ª ¦¤®£® ³ª § ²¼ ¤¢³µ ¢° ·¥©. Š ¦¤»© ¢° · ­ §¢ « ¤¢³µ ¤°³£¨µ ¢° ·¥©,   ¯ ¶¨¥­²» ­ §»¢ «¨ ª®£® ³£®¤­®.

„®ª ¦¨²¥, ·²® ª®¬¨±±¨¿ ±¬®£«  ¢»¿¢¨²¼ µ®²¿ ¡» ®¤­®£®

¯ ¶¨¥­² .

¡)

‚ Š®­²®°¥ ° ¡®² ¾² 200 ¯±¨µ¨·¥±ª¨ §¤®°®¢»µ ¨ 1999 ±³¬ ±¸¥¤-

¸¨µ ±®²°³¤­¨ª®¢. Ž¤­ ¦¤» ª ¦¤»© ±®²°³¤­¨ª ­ ¯¨± « ¤®ª« ¤­³¾ § ¯¨±ª³, ¢ ª®²®°®© ¯¥°¥·¨±«¨« 1999 ±¢®¨µ ª®««¥£, ¯® ¥£® ¬­¥­¨¾, ±³¬ ±¸¥¤¸¨µ. Š ¦¤»© ¯±¨µ¨·¥±ª¨ §¤®°®¢»© ±®²°³¤­¨ª ¢¥°­® ³ª § « ¢±¥µ ±³¬ ±¸¥¤¸¨µ,   ª ¦¤»© ±³¬ ±¸¥¤¸¨© ¬®£ ³ª § ²¼ ­  ª®£® ³£®¤­®, ª°®¬¥ ±¥¡¿. „®ª ¦¨²¥, ·²® ­  ®±­®¢ ­¨¨ ½²¨µ ¤ ­­»µ ¬®¦­® ¢»¿¢¨²¼ ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ 199 ±³¬ ±¸¥¤¸¨µ.

59

316

.

® ª®«¼¶¥¢®© «¨­¨¨ ¬¥²°® ª³°±¨°³¾² 24 ¯®¥§¤ . Ž­¨ ¨¤³² ¢ ®¤­®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ ± ®¤¨­ ª®¢»¬¨ ±ª®°®±²¿¬¨ ¨ ° ¢­»¬¨ ¨­²¥°¢ « ¬¨. ‘ª®«¼ª® ¯®¥§¤®¢ ­ ¤® ¤®¡ ¢¨²¼, ·²®¡» ¯°¨ ²®© ¦¥ ±ª®°®±²¨ ³¬¥­¼-

317

.

¸¨²¼ ¨­²¥°¢ «» ­  1/5? ‚ ®¤­®© ¨§ ²° ¥µ ª®¬­ ² ±¨¤¨² ¯°¨­¶¥±± , ¢ ¤°³£®© | ²¨£°,   ¢ ²°¥²¼¥© ­¥² ­¨ª®£®.   ¤¢¥°¨ «¥¢®© ª®¬­ ²» ­ ¯¨± ­®: \’¨£° ¢ ¯° ¢®© ª®¬­ ²¥", ­  ¤¢¥°¨ ±°¥¤­¥©: \‹¥¢ ¿ ª®¬­ ²  ¯³±² ", ­  ¤¢¥°¨ ¯° ¢®©: \°¨­¶¥±±  ¢ ±°¥¤­¥© ª®¬­ ²¥". ˆ§¢¥±²­®, ·²® ­ ¤¯¨±¼ ­  ¤¢¥°¨ ª®¬­ ²», £¤¥ ±¨¤¨² ¯°¨­¶¥±± , ¨±²¨­­ , ­ ¤¯¨±¼ ­  ¤¢¥°¨ ª®¬­ ²», £¤¥ ±¨¤¨² ²¨£° | «®¦­ ,   ­ ¤¯¨±¼ ­  ¤¢¥°¨ ¯³±²®© ª®¬­ ²» ¬®¦¥² ¡»²¼ ª ª ¨±²¨­­®©, ² ª ¨ «®¦­®©. ƒ¤¥ ±¨¤¨² ¯°¨­¶¥±± ,   £¤¥ | ²¨£°?

318

.

 §°¥¦¼²¥ ¨§®¡° ¦ ¥­­³¾ ­  °¨±³­ª¥ ´¨£³°³ ­ 

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¡)

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· ±²¥©. (Œ®¦­® °¥§ ²¼ ­¥ ²®«¼ª® ¯® ±²®-

319.

°®­ ¬ ¨ ¤¨ £®­ «¿¬ ª«¥²®ª.) °¥¤±² ¢¼²¥ ·¨±«® 203 ¢ ¢¨¤¥ ±³¬¬» ­¥±ª®«¼ª¨µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«, ¯°®¨§¢¥¤¥-

320

.

­¨¥ ª®²®°»µ ²®¦¥ ° ¢­® 203. Š ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ª®«¨·¥±²¢® ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¨§ ­ ¡®°  1, 2, : : : , 1963, ·²®¡» ±³¬¬  «¾¡»µ ¤¢³µ ¢»-

321 322

. .

¡° ­­»µ ·¨±¥« ¤¥«¨« ±¼ ­  26? “ ’ ­¨ ¨ „¨¬» ¤¥­¥£ ¯®°®¢­³.

Š ª³¾ · ±²¼ ±¢®¨µ ¤¥­¥£ ¤®«¦­ 

’ ­¿ ®²¤ ²¼ „¨¬¥, ·²®¡» ³ ­¥ ¥ ±² «® ¢ ¤¢  ° §  ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ³ ­¥£®? ¥±ª®«¼ª® ³· ¹¨µ±¿ ³¸«¨ ¨§ «¨¶¥¿ ¨ ­¥±ª®«¼ª® ¯°¨¸«¨.

‚ °¥§³«¼-

² ²¥ ·¨±«® ³· ¹¨µ±¿ ³¬¥­¼¸¨«®±¼ ­  10%,   ¤®«¿ ¬ «¼·¨ª®¢ ¢ «¨¶¥¥ ³¢¥«¨·¨« ±¼ ± 50% ¤® 55%.

323

.

“¢¥«¨·¨«®±¼ ¨«¨ ³¬¥­¼¸¨«®±¼ ·¨±«® ¬ «¼·¨ª®¢? ‘³¬¬  ¤¢³µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ° ¢­  474. Ž¤­® ¨§ ­¨µ ®ª ­·¨¢ ¥²±¿ ¶¨´°®© 1. …±«¨ ½²³ ¶¨´°³ § ·¥°ª­³²¼, ²® ¯®«³·¨²±¿ ¢²®°®¥ ·¨±«®.

324

.

 ©¤¨²¥ ½²¨ ·¨±« .

 )

‡ ª° ±¼²¥ ­¥±ª®«¼ª® ª«¥²®ª ª¢ ¤° ² 

4



4

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§ ª° ¸¥­­ ¿ ª«¥²ª  ¨¬¥«  ®¡¹³¾ ±²®°®­³ °®¢­® ± ²°¥¬¿ ­¥§ ª° ¸¥­­»¬¨,   «¾¡ ¿ ­¥§ ª° ¸¥­­ ¿ | °®¢­® ± ®¤­®© § ª° ¸¥­­®©.

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 ±±² ¢¼²¥ ¢ ª«¥²ª µ ª¢ ¤° ²  4



4 §­ ª¨ À + Á ¨ À

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Á ² ª, ·²®¡»

¤«¿ «¾¡®© ª«¥²ª¨ °®¢­® ¢ ®¤­®© ª«¥²ª¥, ±®±¥¤­¥© ± ­¥© ¯® ±²®°®­¥, ¡»« ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»© §­ ª.

60

325

.

‚ ¯®«¤¥­¼ ± ¬®« ¥² ¢»«¥²¥« ¨§ ±²®«¨¶» ¢ £®°®¤ ­±ª ¨ ¯°¨§¥¬«¨«±¿ ² ¬ ¢ 14 · ±®¢ ¬¥±²­®£® ¢°¥¬¥­¨.

‚ ¯®«­®·¼ ¯® ¬¥±²­®¬³ ¢°¥¬¥­¨

®­ ¢»«¥²¥« ®¡° ²­® ¨ ®ª § «±¿ ¢ ±²®«¨¶¥ ¢ 6 · ±®¢ ³²° .

326

.

327.

‘ª®«¼ª® ¢°¥¬¥­¨ ¤«¨²±¿ ¯®« ¥²?  ©¤¨²¥ ¢¥«¨·¨­³ ³£«  ¬¥¦¤³ ¬¨­³²­®© ¨ · ±®¢®© ±²°¥«ª ¬¨ · ±®¢ ¢ 9 · ±®¢ 20 ¬¨­³². ‡  11 ²³£°¨ª®¢ ¤ ¾² 14 ¤¨­ °®¢, §  22 °³¯¨¨ | 21 ¤¨­ °, §  5 ª°®­ | 2 ² «¥° ,   §  10 °³¯¨© | 3 ² «¥° . ‘ª®«¼ª® ²³£°¨ª®¢ ¬®¦­® ¢»°³·¨²¼ §  13 ª°®­?

328

.

®ª° ±¼²¥ ª«¥²ª¨ ¤®±ª¨ 5



5 ¢ ¯¿²¼ ¶¢¥²®¢

² ª, ·²®¡» ¢ ª ¦¤®¬ £®°¨§®­² «¼­®¬ °¿¤³, ¢ ª ¦¤®¬ ¢¥°²¨ª «¼­®¬ °¿¤³ ¨ ¢ ª ¦¤®¬ ¢»¤¥«¥­­®¬ ¡«®ª¥ ¢±¥ ¶¢¥²  ¢±²°¥· «¨±¼ ¡» ¯®

329 330

. .

®¤­®¬³ ° §³. Š ª®¥ ·¥²»° ¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«® ¢ 83 ° §  ¡®«¼¸¥ ±¢®¥© ±³¬¬» ¶¨´°? —¨±«  2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 ¨ 512 ° ±±² ¢¼²¥ ¢ ª«¥²ª µ ² ¡«¨¶» 3

331

.



3 ² ª, ·²®¡» ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¯® ¢±¥¬

¢¥°²¨ª «¿¬, £®°¨§®­² «¿¬ ¨ ®¡¥¨¬ £« ¢­»¬ ¤¨ £®­ «¿¬ ¡»«¨ ° ¢­». ‚ ®¤­®© ª³·¥ 18 ª®­´¥², ¢ ¤°³£®© | 23.

„¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±º¥¤ ¾²

®¤­³ ¨§ ª³·,   ¤°³£³¾ ¤¥«¿² ­  ¤¢¥ ª³·¨.

Š²® ­¥ ¬®¦¥² ¯®¤¥«¨²¼

(¥±«¨ ¢ ª³·¥ ®¤­  ª®­´¥² ), ¯°®¨£°»¢ ¥².

332.

…±²¼ «¨ ³ ­ ·¨­ ¾¹¥£® ¢»¨£°»¸­ ¿ ±²° ²¥£¨¿? ®«¿ ª«¥²· ²®© ¤®±ª¨ ° §¬¥°®¬ 8



8 ¡³¤¥¬ ¯® ®·¥°¥¤¨ § ª° ¸¨¢ ²¼

¢ ª° ±­»© ¶¢¥² ² ª, ·²®¡» ¯®±«¥ ®ª° ±ª¨ ª ¦¤®© ®·¥°¥¤­®© ª«¥²ª¨ ´¨£³° , ±®±²®¿¹ ¿ ¨§ § ª° ¸¥­­»µ ª«¥²®ª, ¨¬¥«  ®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨. ®ª ¦¨²¥, ª ª ¬®¦­® § ª° ±¨²¼ 28 ª«¥²®ª, ±®¡«¾¤ ¿ ½²® ³±«®¢¨¥. (‚ ª ·¥±²¢¥ ®²¢¥²  ° ±±² ¢¼²¥ ­  ²¥µ ª«¥²ª µ, ª®²®°»¥ ¤®«¦­» ¡»²¼ § ª° ¸¥­», ·¨±«  ®² 1 ¤® 28 ¢ ²®¬ ¯®°¿¤ª¥, ¢ ª®²®°®¬ ¯°®¢®¤¨«®±¼

333

.

§ ª° ¸¨¢ ­¨¥.) Œ»¸ª  £°»§ ¥² ª³¡ ±»°  ± °¥¡°®¬ 3, ° §¡¨²»© ­  27 ¥¤¨­¨·­»µ ª³¡¨ª®¢. Š®£¤  ¬»¸ª  ±º¥¤ ¥² ª ª®©-«¨¡® ª³¡¨ª, ®­  ¯¥°¥µ®¤¨² ª ª³¡¨ª³, ¨¬¥¾¹¥¬³ ®¡¹³¾ £° ­¼ ± ¯°¥¤»¤³¹¨¬. Œ®¦¥² «¨ ¬»¸ª  ±º¥±²¼ ¢¥±¼ ª³¡ ª°®¬¥ ¶¥­²° «¼­®£® ª³¡¨ª  € ¥±«¨ ¡» ª³¡ ¨¬¥« ° §¬¥°» 333



333



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333 ?

) ˆ¬¥­­® ² ¬, ¢ ¶¥­²° «¼­®¬ ª³¡¨ª¥, ±¯°¿² ­ ª°¾·®ª ¬»¸¥«®¢ª¨.

61



€€„ŽŠ‘› ¨ ‘Ž”ˆ‡Œ›

)

¥´«¥ª±¨¿ ‘®§­ ­¨¥ | ½²® § ¦¦ ¥­­»¥ ´ °» ¢¯¥°¥¤¨ ¨¤³¹¥£® ¯ °®¢®§ . Ž¡° ²¨²¥ ¨µ ±¢¥²®¬ ¢­³²°¼, ¨ ±«³·¨²±¿ ª ² ±²°®´ .

.  ±²¥°­ ª

‚±¥ ±«»¸ «¨ ­¥±ª®­· ¥¬³¾ ¨±²®°¨¾ ® ±¢¿¹¥­­¨ª¥ ¨ ±®¡ ª¥. ²® ±²¨µ®²¢®°¥­¨¥ ¨­²¥°¥±­® ²¥¬, ·²® ®­® ±­®¢  ¨ ±­®¢  ¢®§¢° ¹ ¥²±¿ ª ± ¬®¬³ ±¥¡¥, ¯®¤®¡­® §¬¥¥, § £« ²»¢ ¾¹¥© ±®¡±²¢¥­­»© µ¢®±². ‘«¥¤³¾¹ ¿ ´° §  | ²¨¯¨·­»© ¯°¨¬¥° ¯°¥¤«®¦¥­¨¿, £®¢®°¿¹¥£® ® ±¥¡¥ ± ¬®¬. ¥°¥±·¨² ©²¥ ¡³ª¢», ¨ ‚» ³¡¥¤¨²¥±¼, ·²® ½²® | ·¨±² ¿ ¯° ¢¤ :

“ ¯®¯  ¡»«  ±®¡ ª , Ž­ ¥¥ «¾¡¨«, Ž­  ±º¥«  ª³±®ª ¬¿± , Ž­ ¥¥ ³¡¨«. ‚ §¥¬«¾ § ª®¯ «,     ¬®£¨«¥ ­ ¯¨± «: \“ ¯®¯  ¡»«  ±®¡ ª , : : : "

 ‚ ½²®© ´° §¥ ¤¢ ¤¶ ²¼ ¢®±¥¬¼ ¡³ª¢. ‚®² ¤°³£¨¥ ¯°¨¬¥°»:

 ‚» ²®«¼ª® ·²® ­ · «¨ ·¨² ²¼ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ·²¥­¨¥ ª®²®°®£® ‚»

³¦¥ § ª ­·¨¢ ¥²¥.  ‚ ½²®© ´° §¥ ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¢Á, ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À½²®©Á, ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À´° §¥Á, ·¥²»°­ ¤¶ ²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¢±²°¥· ¥²±¿Á, ·¥²»°­ ¤¶ ²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À±«®¢®Á, ¸¥±²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À° §Á, ¤¥¢¿²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À° § Á, ±¥¬¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¤¢ Á, ²°¨ ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À·¥²»°­ ¤¶ ²¼Á, ²°¨ ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À²°¨Á, ¤¢ 

) À‘®´¨§¬Á ¨ À¯ ° ¤®ª±Á | ±«®¢  £°¥·¥±ª¨¥. À‘®´¨§¬Á ( o' ) ®§­ · ¥² ° ±±³¦¤¥­¨¥, ´®°¬ «¼­® ª ¦³¹¥¥±¿ ±®¢¥°¸¥­­® ¡¥§³¯°¥·­»¬, ­® ±®¤¥°¦ ¹¥¥ ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ®¸¨¡ª³, ¢ °¥§³«¼² ²¥ ·¥£® ª®­¥·­»© ¢»¢®¤ ®ª §»¢ ¥²±¿  ¡±³°¤­»¬. Ž¤­¨¬ ¨§ ­ ¨¡®«¥¥ ¨§¢¥±²­»µ ±®´¨§¬®¢ ¿¢«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨©: À’®, ·²® ²» ­¥ ²¥°¿«, ²» ¨¬¥¥¸¼; ²» ­¥ ²¥°¿« °®£®¢, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ²» ¨µ ¨¬¥¥¸¼.Á ‚ ¯ ° ¤®ª±¥ ( oo ), ­ ®¡®°®², ³¬®§ ª«¾·¥­¨¥, ª ¦³¹¥¥±¿ ­¥¢¥°­»¬, ¯°®²¨¢®°¥· ¹¨¬ À§¤° ¢®¬³ ±¬»±«³Á, ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ±¯° ¢¥¤«¨¢®.

62





          

° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¤¥¢¿²¼Á, ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À±¥¬¼Á, ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¸¥±²¼Á. Only the fool would take trouble to verify that his sentence was composed of ten a's, three b's, four d's, forty-six e's, sixteen f's, four g's, thirteen h's, fteen i's, two k's, nine l's, four m's, twenty- ve n's, twentyfour o's, ve p's, sixteen r's, forty-one s's, thirty-seven t's, ten u's, eight v's, eight w's, four x's, eleven y's, twenty-seven commas, twenty-three apostrophes, seven hyphens, and, last but not least, a single ! In this sentence, the word and occurs twice, the word eight occurs twice, the word four occurs twice, the word fourteen occurs four times, the word in occurs twice, the word occurs occurs fourteen times, the word sentence occurs twice, the word seven occurs twice, the word the occurs fourteen times, the word this occurs twice, the word times occurs seven times, the word twice occurs eight times and the word word occurs fourteen times. ²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ±®¤¥°¦¨² ¤¢¥­ ¤¶ ²¼ ±«®¢, ¤¢ ¤¶ ²¼ ¸¥±²¼ ±«®£®¢ ¨ ±¥¬¼¤¥±¿² ²°¨ ¡³ª¢». Š®£¤  §  ½²¨¬ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥¬ ­¥ ­ ¡«¾¤ ¾², ®­® ­ ¯¨± ­® ¯®­¥¬¥¶ª¨. .¨ª±¡ ° -®¯ ²¾ ²¨·, ®¢¥« ­  ¢ °¯±, ª ² ®­­¥¬ˆ „¥¢¿²¼ ±«®¢ ­ § ¤ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ¥¹¥ ­¥ ­ · «®±¼. ²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ±®±²®¿«® ¡» ¨§ ¤¥±¿²¨ ±«®¢, ¥±«¨ ¡» ®­® ¡»«® ­  ¯¿²¼ ±«®¢ ª®°®·¥. …±«¨ ¡» ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ­¥ ±³¹¥±²¢®¢ «®, ª²®-­¨¡³¤¼ ¯°¨¤³¬ « ¡» ¥£®. …±«¨ ¡» ¿ ¤®¯¨± « ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, „³¸¥¢­®¡®«¼­»¬ ­ §»¢ ¥²±¿ ¤³¸¥¢­®¡®«¼­®©, ¢±²³¯¨¢¸¨© ¢ ª®­´«¨ª² ± ®¡¹¥±²¢®¬. (ˆ§ ³·¥¡­¨ª  ¯±¨µ¨ ²°¨¨.) Š ª ¢»£«¿¤¥«® ¡» ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ¥±«¨ ¡»  ° ¢­¿«®±¼ 3?) ƒ¤¥ ¡» ‚» ­¨ ¢±²°¥²¨«¨ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ³­¨·²®¦¼²¥ ¥£®. ²®² ¯°¨­¶¨¯ ­ ±²®«¼ª® ¢±¥®¡º¥¬«¾¹, ·²® ­¨ª ª®¥ · ±²­®¥ ¥£® ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ­¥¢®§¬®¦­®. Ž ¯ ° ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥.

) ‡ ¬¥²¼²¥, ¢ ¬¨°¥, £¤¥  ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ° ¢­® 3, ‚» ±ª § «¨ ¡» ­¥ À¥±«¨ ¡»  = 3 Á,   À¥±«¨ ¡»  = 2 Á ¨«¨ À¥±«¨ ¡»  6= 3 Á. ‚¯°®·¥¬, ¨§¬¥­¨²¼  | §­ ·¨² £«³¡®· ©¸¨¬ ®¡° §®¬ ¨§¬¥­¨²¼ ¨ ¢±¾ ¬ ²¥¬ ²¨ª³, ¨ ¢¥±¼ ¬¨°. ®¦ «³©, ­¨ ¯®­¿²¨¥ À¯°¥¤«®¦¥­¨¥Á, ­¨ À3Á ­¥ ¢»¤¥°¦ «¨ ¡» ² ª®£® ¯®²°¿±¥­¨¿.

63

 ’®, ·²® ¿ ‚ ¬ ±¥©· ± ¯°¥¤±ª §»¢ ¾, ±¡³¤¥²±¿.  ‚» ¬¥­¿ ¯®¬­¨²¥? Ÿ | ²®² ± ¬»© ·¥«®¢¥ª, ª®²®°»© ­¥ ¯°®¨§¢¥«

­  ‚ ± ­¨ª ª®£® ¢¯¥· ²«¥­¨¿.  ®·¥¬³ ¢±¥ ­¥¯°¨¿²­®±²¨ ¯°®¨±µ®¤¿² ¢ ± ¬®¥ ­¥¯®¤µ®¤¿¹¥¥ ¢°¥¬¿?  ¥ ­ ¯®¬¨­ ¥² «¨ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ® ³¸ª¨­¥?  °¥¤±² ¢¼²¥, ·²® ­  ¯®±«¥¤­¥©, 500-© ±²° ­¨¶¥ ª­¨£¨ ­ ¯¥· ² ­®:

Ž¯¥· ²ª¨ ±. 500: ‚¬¥±²® ÀŽ¯¥· ²ª¨Á ±«¥¤³¥² ·¨² ²¼ ÀŽ¯¥· ²ª Á.

 (‘«³· © ­  ½ª§ ¬¥­¥.) ¨«¥² ¢ª«¾· « ¢ ±¥¡¿ ±«¥¤³¾¹¥¥: \ ¯¨¸¨²¥

¢®¯°®±, ¯®¤µ®¤¿¹¨© ¤«¿ ¢»¯³±ª­®£® ½ª§ ¬¥­  ¯® ½²®¬³ ª³°±³,   § ²¥¬ ®²¢¥²¼²¥ ­  ­¥£®."

„«¿ ®²¢¥²  ¤®±² ²®·­® ¤¢ ¦¤» ¯¥°¥¯¨± ²¼ ½²®² ¢®¯°®±!  Š ¯¥°¥¢®¤³ ±¢®¥© ±² ²¼¨ ‹¨²«¢³¤ ­ ¯¨± « ¯°¨¬¥· ­¨¿: Ÿ ¢¥±¼¬  ¡« £®¤ °¥­ ¯°®´¥±±®°³ ¨±±³ §  ¯¥°¥¢®¤ ½²®© ±² ²¼¨. Ÿ ² ª¦¥ ¡« £®¤ °¾ ¯°®´¥±±®°  ¨±±  §  ¯¥°¥¢®¤ ¯®±«¥¤­¥£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿. Ÿ ² ª¦¥ ¡« £®¤ °¾ ¯°®´¥±±®°  ¨±±  §  ¯¥°¥¢®¤ ¯®±«¥¤­¥£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿. ®·¥¬³ ½²®² °¿¤ ¡« £®¤ °­®±²¥© ­¥ ­³¦­® ¯°®¤®«¦ ²¼? ‘ ¬®®²°¨¶ ­¨¥

«¾° «¨§¬ ­³¦¥­ ­ ¸¥© ±²° ­¥ ª ª ¢®§¤³µ, ¨ ¤¢³µ ¬­¥­¨© ®¡ ½²®¬ ¡»²¼ ­¥ ¬®¦¥².

Œ. ‘. ƒ®°¡ · ¥¢)

 ‹®§³­£ Š®°®·¥! ± ¬ ±«¥¤³¥² ²®¬³, ª ·¥¬³ ¯°¨§»¢ ¥². € ¢®² ¯°¨ª §    

¥ ±¬¥²¼ ª®¬ ­¤®¢ ²¼! ¯°®²¨¢®°¥·¨² ± ¬ ±¥¡¥. ‘ ¬®§¢ ­¶¥¢ ­ ¬ ­¥ ­ ¤®: ª®¬ ­¤¨°®¬ ¡³¤³ ¿. ‚®®¡° §¨²¥ ¬ ©ª³ ± ­ ¤¯¨±¼¾   ½²®© ¬ ©ª¥ ­¨·¥£® ­¥ ­ ¯¨± ­®.?! ¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨² «¨ ± ¬® ±¥¡¥ ¯° ¢¨«® ¥² ¯° ¢¨« ¡¥§ ¨±ª«¾·¥­¨¿.? ¥ ±«³¸ ©±¿ ¬¥­¿!

) ƒ¥­¥° «¼­»© ±¥ª°¥² ²¼ –Š Š‘‘, ¯®·²¨ ±³¬¥¢¸¨© ³­¨·²®¦¨²¼

ª®¬¬³­¨§¬.

64

 ‡¤¥± °°®¢­® ²°¨y ®¸¨¡ª¨.  Š ª ¯¥°¥¢¥±²¨ ­  °³±±ª¨© ¿§»ª ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ \It's dicult to translate )

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ˆ. ƒ³¡¥°¬ ­

 …¹¥ ¢ „°¥¢­¥© ƒ°¥¶¨¨ §­ «¨ À¯ ° ¤®ª± «¦¥¶ Á. °¥¤±² ¢¼²¥ ±¥¡¥,    

·²® ­¥ª²® £®¢®°¨²: ÀŸ «£³.Á ˆ«¨ ¯°¥¤±² ¢¼²¥, ·²® ‚» ·¨² ¥²¥ ¢ ª­¨£¥: ’®, ·²® §¤¥±¼ ­ ¯¨± ­®, | ­¥¯° ¢¤ .) ‚ ®¤­®¬ ¯®«ª³ ¡° ¤®¡°¥¾ ¯°¨ª § «¨ ¡°¨²¼ ¢±¥µ ²¥µ, ª²® ­¥ ¡°¥¥²±¿ ± ¬. „®«¦¥­ «¨ ¡° ¤®¡°¥© ¡°¨²¼ ± ¬ ±¥¡¿? Œ®¦¥² «¨ ‚±¥¬®£³¹¨© ®£ ±®§¤ ²¼ ª ¬¥­¼, ª®²®°»© ®­ ± ¬ ¯®¤­¿²¼ ­¥ ±¬®¦¥²? —²® ¯°®¨§®©¤¥², ¥±«¨ ¢±¥±®ª°³¸ ¾¹¥¥ ¯³¸¥·­®¥ ¿¤°® ¯®¯ ¤¥² ¢ ­¥±®ª°³¸¨¬³¾ ¡°®­¾? Š ¦¤®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® ¬®¦­® ­ §¢ ²¼, ¯°®¨§­¥±¿ ­¥±ª®«¼ª® ±«®¢.  ¯°¨¬¥°, ·¨±«® 2 § ¤ ¥²±¿ ®¤­¨¬ ±«®¢®¬,   ·¨±«® 22 | ¤¢³¬¿. „ ¢ ©²¥ ° ±±¬®²°¨¬ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«®, ª®²®°®¥ ­¥«¼§¿ § ¤ ²¼ ¬¥­¼¸¥ ·¥¬ ¤¥±¿²¼¾ ±«®¢ ¬¨. …£® ®¯¨± ­¨¥ ±®±²®¨² ¢±¥£® ¨§ 9 ±«®¢, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¥£® ®±­®¢­®¬³ ±¢®©±²¢³.

y)‘«®¢® À²°¨Á | ®¸¨¡ª  ¨«¨ ­¥²? z)„®±«®¢­»© ¯¥°¥¢®¤: \’°³¤­® ¯¥°¥¢¥±²¨ ½²®  ­£«¨©±ª®¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥

­  °³±±ª¨© ¿§»ª." ) ’ ª ·²® ¦¥ ²³² ­ ¯¨± ­®? …±«¨ ¯° ¢¤ , ²® ²®£¤  | ½²® ­¥¯° ¢¤ ;   ¥±«¨ ­¥¯° ¢¤  | ²® ½²® ¯° ¢¤ !

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‘®´¨§¬»

 …±«¨ ° ¢­» ¯®«®¢¨­», ²® ° ¢­» ¨ ¶¥«»¥. ®«³¯³±²®© ±² ª ­ ° ¢¥­ ¯®«³-

¯®«­®¬³; ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯³±²®© ±² ª ­ ° ¢¥­ ¯®«­®¬³.   ±±¬®²°¨¬ ° ¢¥­±²¢® 1 = 3 ,2 1 . …±«¨ ¥¤¨­¨¶³ ¢ §­ ¬¥­ ²¥«¥ § ¬¥­¨¬ ­  3 ,2 1 , ²® ¯®«³·¨¬: 2 : 1= 3 , 3 ,2 1 ®¢²®°¨¢ ½²³ ®¯¥° ¶¨¾ ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ­®¢®© ¥¤¨­¨¶¥, ±²®¿¹¥© ¢ §­ ¬¥­ ²¥«¥, ¨ ¯®±²³¯ ¿ ¤ «¥¥ ¯®¤®¡­»¬ ®¡° §®¬, ¬» ¯®±²°®¨¬ ¡¥±ª®­¥·­³¾ ¶¥¯­³¾ ¤°®¡¼: 2 1= : 2 3, 2 3, 3 , 3 ,2: : : ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», 2 = 3,2 2 , ² ª ·²® 2 2 = : 2 = 3 ,2 2 = 2 2 3, 3,2 3, 2 3, 3 , 3 ,2: : : ®±²°®¥­­»¥ ¤°®¡¨ ° ¢­»! ‡­ ·¨², ° ¢­» ¨ ·¨±« , ¨§ ª®²®°»µ ®­¨ ¯®«³·¥­», ²® ¥±²¼ 1 = 2 . ‘¨«¼­»© ¨ ®·¥­¼ ¢ ¦­»© °¥§³«¼² ², ª®²®°»© ¬­®£¨¥ ³·¨²¥«¿ ±ª°»¢ ¾² ®² ±¢®¨µ ³·¥­¨ª®¢!  Ž¡®§­ ·¨¬ 1 + 1 + 1 +::: S = 1 + 12 + 31 + 14 + 51 + 16 + 71 + 81 + 19 + 10 11 12 Ž·¥¢¨¤­®, S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ::: () 2 2 4 6 8 10 12 ‚»·¨² ¿ ½²® ° ¢¥­±²¢® ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£®, ¯®«³· ¥¬: 1 + ::: () S , S2 = 1 + 13 + 51 + 71 + 19 + 11 ®±ª®«¼ª³ 12 < 1 , 41 < 13 , 16 < 51 , 18 < 91 , ¨ ¢®®¡¹¥, 21n < 2n1,1 , ²® ª ¦¤®¥ ±« £ ¥¬®¥ ¯° ¢®© · ±²¨ ´®°¬³«» () ¬¥­¼¸¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ±« £ ¥¬®£® ´®°¬³«» () . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, S < S , S; 2 2 ·²® ³¤¨¢¨²¥«¼­®.

66

®²¥¸­»¥ ¨±²®°¨¨ Ÿ ±¯®°¾ ¨±ª°¥­­¥ ¨ ·¥±²­®, ¿ ·¨±²®© ¨±²¨­» ¯®±°¥¤­¨ª, ¨ ¬­¥ ±®¢±¥¬ ­¥ ¨­²¥°¥±­®, ·²® £®¢®°¨² ¬®© ±®¡¥±¥¤­¨ª.

ˆ. ƒ³¡¥°¬ ­

 Š°¥±²¼¿­¨­ ¸¥« ¯® ¤®°®£¥ ±® ±¢®¨¬ ±»­®¬. ‘»­ ° ±±ª §»¢ « ·²®-²® ®²¶³

¨ ±ª § « ¥¬³ ­¥¯° ¢¤³. Š°¥±²¼¿­¨­ ¤®£ ¤ «±¿, ·²® ±»­ ®¡¬ ­»¢ ¥² ¥£®. ’®£¤  ®­ ±ª § «: \‘¥©· ±, ±»­®ª, ¬» ¯®¤µ®¤¨¬ ª ¬®±²³. ²®² ¬®±² ­¥ ¯°®±²®©,   ¢®«¸¥¡­»© | ®­ ¯°®¢ «¨¢ ¥²±¿ ¯®¤ ²¥¬¨, ª²® £®¢®°¨² ­¥¯° ¢¤³." Š®£¤  ±»­ ³±«»¸ « ½²®, ®­ ¨±¯³£ «±¿ ¨ ¯°¨§­ «±¿ ®²¶³, ·²® ®¡¬ ­³« ¥£®. •®²¨²¥ ³§­ ²¼, ·²® ¡»«® ¤ «¼¸¥? € ¤ «¼¸¥ ª°¥±²¼¿­¨­ ±® ±¢®¨¬ ±»­®¬ ¢±²³¯¨«¨ ­  ¬®±², ¨ ¬®±² ¯°®¢ «¨«±¿ ¯®¤ ª°¥±²¼¿­¨­®¬ | ¢¥¤¼ ­¨ª ª¨µ ¢®«¸¥¡­»µ ¬®±²®¢ ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ­¥ ¡»¢ ¥².  (ž°¨¤¨·¥±ª¨© ª §³±.) ‚±²°¥²¨«¨±¼ ¢ ¯³±²»­¥ ²°¨ ¯³²­¨ª . „¢®¥, ­¥ ±£®¢ °¨¢ ¿±¼, °¥¸¨«¨ ³¡¨²¼ ²°¥²¼¥£®. ®·¼¾ ®¤¨­ ¨§ ­¨µ ®²° ¢¨« ¥£® ¢®¤³,   ¤°³£®© (­¥ §­ ¿ ® ²®¬!), ¯°®ª®«®« ¡³°¤¾ª ± ¢®¤®© ² ª, ·²® ¢®¤  ¢±ª®°®±²¨ ¢»²¥ª«  ¨ ¡¥¤­¿£  ¯®£¨¡ ®² ¦ ¦¤». Š²® ³¡¨©¶ ? ‚ ±³¤¥ ¢²®°®© ³²¢¥°¦¤ «, ·²® ¡« £®¤ °¿ ­¥¬³ ²°¥²¨© ¯°®¦¨« ¤ ¦¥ ¤®«¼¸¥, ·¥¬ ¥±«¨ ¡» ®­ ¢»¯¨« ®²° ¢³. € ®²° ¢¨²¥«¼ ®¯° ¢¤»¢ «±¿ ²¥¬, ·²® ¢¥±¼ ¿¤ ¢»²¥ª ¨ ­¨ª ª ­¥ ¯®¢°¥¤¨« ¦¥°²¢¥.  °¨ ±²°®¨²¥«¼±²¢¥ ¬®±²  ·¥°¥§ ¥¢³ ­¥±ª®«¼ª® ²»±¿· ·¥«®¢¥ª ¡»«¨ § ­¿²» ¡®©ª®¾ ±¢ ©, ·²®, ­¥ £®¢®°¿ ³¦¥ ® ° ±µ®¤ µ, ·°¥§¢»· ©­® § ¬¥¤«¿«® ° ¡®²». ˆ±ª³±­»© ±²°®¨²¥«¼ £¥­¥° « Š®°¡¥¶ ¢»¤³¬ « ¬ ¸¨­³, §­ ·¨²¥«¼­® ®¡«¥£·¨¢¸³¾ ¨ ³±ª®°¨¢¸³¾ ½²®² ²°³¤. ‘¤¥« ¢ ®¯»²», ®¯¨± ­¨¥ ¬ ¸¨­» ®­ ¯°¥¤±² ¢¨« ƒ« ¢­®³¯° ¢«¿¾¹¥¬³ ¯³²¥© ±®®¡¹¥­¨¿ ¨ ¯®«³·¨« ­  ¡³¬ £¥ ®´¨¶¨ «¼­»© ¨ ±²°®¦ ©¸¨© ¢»£®¢®°: § ·¥¬ ®­ ½²®© ¬ ¸¨­» ¯°¥¦¤¥ ­¥ ¨§®¡°¥« ¨ ²¥¬ ¢¢¥« ª §­³ ¢ ®£°®¬­»¥ ¨ ­ ¯° ±­»¥ ° ±µ®¤».   · «¼­¨ª §»°¿­±ª®£® ³§«  ±¢¿§¨ ‹¿¯³­®¢ ¯®¦ «®¢ «±¿ ¢ ¬¨«¨¶¨¾: \„¦¥¬¨«¥¢ ­ °³¸ ¥² ¯° ¢¨«  ¢¥¤¥­¨¿ ¬¥¦¤³£®°®¤­»µ ° §£®¢®°®¢ : : : Ž­ ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ¬» ¯®¤±«³¸¨¢ ¥¬ ¥£® ¯¥°¥£®¢®°». °®¸³ ° §º¿±­¨²¼ „¦¥¬¨«¥¢³, ·²® ¥£® ¤¥©±²¢¨¿ ­®±¿² ®±ª®°¡¨²¥«¼­»© µ ° ª²¥°,   ¯®¤®¡­»¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¿¢«¿¾²±¿ ª«¥¢¥²®©." ‚ ®¡®±­®¢ ­¨¥ ±¢®¥© ¦ «®¡» ‹¿¯³­®¢ ¯°¨« £ ¥² ¤®ª« ¤­³¾ ²¥«¥´®­¨±²ª¨ ¥­¿£¨­®© ± ¨§«®¦¥­¨¥¬ ±®¤¥°¦ ­¨¿ ° §£®¢®°  „¦¥¬¨«¥¢ . (À•°®­¨ª  ²¥ª³¹¨µ ±®¡»²¨©Á, 1980 £.)

67

Ž²¢¥²», ³ª § ­¨¿, °¥¸¥­¨¿ ‹¥£ª® ­¥§ ¬¥²­® ³ª° ±²¼ ª °¬ ­­»¥ · ±».  ±²®«¼­»¥ | ±«®¦­¥¥. € ´®°²¥¯¨ ­® ­¥§ ¬¥²­® ³ª° ±²¼ ¬­¥ ­¥ ³¤ «®±¼.

(ˆ§ ¢®±¯®¬¨­ ­¨© ª °¬ ­­¨ª )

Š°»¸ª  ª¢ ¤° ²­®£® «¾ª  ¬®£«  ¡» ¯°®¢ «¨²¼±¿ ¢ ­¥£®. 14 ¤¥¢®·¥ª ¨ Œ¨¸ . 13. ƒ°³¸  (¯«®¤, ª®²®°»© ¢¨±¨² ­  ¤¥°¥¢¥) ¨ £°³¸  (¤¥°¥¢®, ­  ª®²®°®¬ ° ±²³² ¯®µ®¦¨¥ ­  ½«¥ª²°¨·¥±ª³¾ « ¬¯®·ª³ ¯«®¤», ª®²®°»¥ ¬®¦­® ±ª³¸ ²¼) ®¤¨­ ª®¢® §¢³· ² ¯®-°³±±ª¨, ­® ­¥ ¯®-¢¥­£¥°±ª¨. Žª®­· ­¨¥ k ®§­ · ¥² ¬­®¦¥±²¢¥­­®¥ ·¨±«®,   ¤®¡ ¢«¥­¨¥ ¡³ª¢ fa ¯°¥¢° ¹ ¥² ¿¡«®ª® ¢ ¿¡«®­¾, ¡¥°¥§®¢³¾ ±¥°¥¦ª³ | ¢ ¡¥°¥§³, ¨ ¢®®¡¹¥, ¯«®¤ | ¢ ¤¥°¥¢®, ­  ª®²®°®¬ ½²®² ¯«®¤ ° ±²¥². 21. ‡ ¢²° ª «¨ ¤¥¤, ¥£® ±»­ ¨ ¢­³ª. 22. Ž¤¨­ ª®¸¥« ¥ª ¢­³²°¨ ¤°³£®£®. 24. ¥°¥«¥©²¥ ¢®¤³ ¨§ ¢²®°®£® ±² ª ­  ¢ ¯¿²»©. 26. „¢®¥²®·¨¥ ¯®±«¥ ±«®¢  À¤¢ ¤¶ ²¼Á. 27. ‹¥±²­¨¶  ¯®¤­¨¬ ¥²±¿ ¢¬¥±²¥ ± ª®° ¡« ¥¬. 28. ®«¼¸®© §¥« ¥­»© ¯®¤§¥¬­»© ª ¬­¥¥¤. 30.  §¤¥«¨²¥ ¯® ¢¥°²¨ª «¨ ´¨£³°ª¨ ¯®¯®« ¬ ¨ ¢±¯®¬­¨²¥, ª ª ¯¨¸³² ¨­¤¥ª± ­  ¯®·²®¢®¬ ª®­¢¥°²¥. 31. Œ¨­¨±²° ¬®¦¥² ¢»² ¹¨²¼ «¨±²®ª ¡³¬ £¨ ¨, ­¥ £«¿¤¿, ±¦¥·¼ ¥£®. ®±ª®«¼ª³ ­  ®±² ¢¸¥¬±¿ «¨±²ª¥ ­ ¯¨± ­® À“µ®¤¨²¥Á, ª®°®«¾ ¯°¨¤¥²±¿ ¯°¨§­ ²¼, ·²® ­  ³­¨·²®¦¥­­®¬ «¨±²ª¥ ¡»«® ±«®¢® ÀŽ±² ­¼²¥±¼Á. 33. 8 (±¬. °¨±.). 34. Œ®¦¥². Ž²¥¶ ±»­  | ½²® ¬³¦; ¯°®´¥±±®° | ¦¥­¹¨­ . 2.

11.

42.

¨ª®« © ¥²°®¢¨· ¯®©¬ « 5 °»¡.  ·¨­ ¾¹¨© ¬®¦¥² ¯®¡¥¤¨²¼ ¯°¨ «¾¡®¬ ­ · «¼­®¬ ¯®«®¦¥­¨¨ ª®°®«¿. ‘³²¼ ±²° ²¥£¨¨ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. ®¤±·¨² ¥¬ ·¨±«® ¢¥°²¨ª «¼­»µ µ®¤®¢, ª®²®°»¬¨ ª®°®«¼ ¬®¦¥² ± ¨±µ®¤­®£® ¯®«¿ ¤®©²¨ ¤® ­¨¦­¥© (¯¥°¢®©) £®°¨§®­² «¨,   ² ª¦¥ ª®«¨·¥±²¢® À¯°¿¬»µÁ µ®¤®¢, ª®²®°»¬¨ ª®°®«¼ ¬®¦¥² ¤®©²¨ ¤® ¢¥°µ­¥© (¢®±¼¬®©) £®°¨§®­² «¨. ®±ª®«¼ª³ ±³¬¬  ½²¨µ ·¨±¥« ° ¢­  8 , 1 = 7 , ²® ®¤­® ¨§ ­¨µ ­¥·¥²­®. 93.

100.

68

³±²¼, ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨, ­ ¤® ±¤¥« ²¼ ­¥·¥²­®¥ ·¨±«® µ®¤®¢, ·²®¡» ¤®©²¨ ¤® ­¨¦­¥© £®°¨§®­² «¨. ’®£¤  ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¬®¦¥² ¯®©²¨ ¯°¿¬® ¢­¨§; ­®¬¥° £®°¨§®­² «¨ ³¬¥­¼¸¨²±¿ ­  1 ¨ ¨§ ·¥²­®£® ±² ­¥² ­¥·¥²­»¬. —²® ¤¥« ²¼ ¢²®°®¬³? …±«¨ ®­ ±¤¥« ¥² £®°¨§®­² «¼­»© µ®¤ ¨«¨ ¢¥°­¥²±¿ ¤¨ £®­ «¼­»¬ µ®¤®¬ ­  ¨±µ®¤­³¾ £®°¨§®­² «¼, ²® ¯¥°¢»© ¨£°®ª ±° §³ ±¬®¦¥² ¢»¨£° ²¼. ®½²®¬³ ¢²®°®© ¨£°®ª ¡³¤¥² ¢»­³¦¤¥­ ±¤¥« ²¼ ¢¥°²¨ª «¼­»© ¨«¨ ¤¨ £®­ «¼­»© µ®¤, ±¯³±²¨¢¸¨±¼ ¥¹¥ ­¨¦¥. ‚ ®²¢¥² ¯¥°¢»© ¨£°®ª ®¯¿²¼ ¬®¦¥² ¯®©²¨ ¢¥°²¨ª «¼­® ¢­¨§. ‚²®°®¬³, ·²®¡» ­¥ ¯°®¨£° ²¼, ®¯¿²¼ ¯°¨¤¥²±¿ ®¯³±²¨²¼ ª®°®«¿ ¥¹¥ ­¨¦¥, ¨ ² ª ¡³¤¥² ¯°®¤®«¦ ²¼±¿ ¤® ²®£®, ª ª ¯®±«¥ ®·¥°¥¤­®£® µ®¤  ¯¥°¢®£® ¨£°®ª  ª®°®«¼ ¯®¯ ¤¥² ­  ­¨¦­¾¾ £®°¨§®­² «¼. ’®£¤  ¢²®°®¬³ ¨£°®ª³ ¯°¨¤¥²±¿ ±¤¥« ²¼ £®°¨§®­² «¼­»© µ®¤ ¨«¨ ¯®¤­¿²¼ ª®°®«¿ ¯® ¤¨ £®­ «¨ ¢¢¥°µ, ¯®±«¥ ·¥£® ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¯®¡¥¦¤ ¥², ±² ¢¿ ª®°®«¿ ­  ° ­¥¥ ¯°®©¤¥­­®¥ ¯®«¥. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ¡» ° §¬¥°» ¤®±ª¨ ¡»«¨ ¨­»¬¨ (­ ¯°¨¬¥°, 9  9 ), ²® ­¥ ª ¦¤®¥ ¨±µ®¤­®¥ ¯®«®¦¥­¨¥ ª®°®«¿ ¯°¨­®±¨«® ¡» ¢»¨£°»¸ ²®¬³, ª²® ¤¥« ¥² ¯¥°¢»© µ®¤: 16 ¯®«¥© (¯®¤³¬ ©²¥, ª ª¨¥ ¨¬¥­­®) ¡»«¨ ¡» ¢»¨£°»¸­»¬¨ ¤«¿ ¢²®°®£® ¨£°®ª . 106. 0 ¨«¨ 1000. 137.  §°¥¦¼²¥ ¤®±ª³ ­  4 ¤®±ª¨ 4  4 ¨ ­  ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ ¢ ³£«³ ° §¬¥±²¨²¥ 8 ª®­¥© ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤° ²  3  3 . 181.  §®¡¼ ¥¬ ¤®±ª³ ­  16 ª¢ ¤° ²¨ª®¢ 2  2 ¨ ¯®ª° ±¨¬ ¨µ ¢ ° §­»¥ ¶¢¥² . „®ª ¦¥¬, ·²® ¡®«¼¸¥ 16 ¶¢¥²®¢ ¯®«³·¨²¼ ­¥«¼§¿.  ±±¬®²°¨¬ ª«¥²ª³ «¾¡®£® ¶¢¥² . ¿¤®¬ ± ­¥© ¥±²¼ ¥¹¥ ¤¢¥ ª«¥²ª¨ ²®£® ¦¥ ¶¢¥² . ²¨ ¤¢¥ ª«¥²ª¨ ¨¬¥¾² ²®«¼ª® ®¤­³ ±®±¥¤­¾¾ ª«¥²ª³ ²®£® ¦¥ ¶¢¥²  (±°¥¤¨ ° ±±¬®²°¥­­»µ), ¯®½²®¬³ ¥±²¼ ¥¹¥ ®¤­  ª«¥²ª  ² ª®£® ¦¥ ¶¢¥² . ˆ² ª, ª ¦¤®£® ¶¢¥²  ­¥ ¬¥­¼¸¥ ·¥²»°¥µ ª«¥²®ª,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¶¢¥²®¢ ­¥ ¡®«¼¸¥ 16. 194. ‡  10 · ±®¢. 196. 3 · ±  45 ¬¨­³². 200. ‚ 2,5 ° § . …±«¨ ¡» ¢±¥ ¢°¥¬¿ ª®¯ «¨ ¢±¥ ²°®¥, ²® ®­¨ ¢»ª®¯ «¨ ¡» 1+3
0; 5 = 2; 5 ª ­ ¢». 214. ‚±¯®¬­¨²¥ ¯°¨§­ ª ¤¥«¨¬®±²¨ ­  9 ¨ § ¬¥²¼²¥, ·²® 100! ¤¥«¨²±¿ ­  9. 223. ‚®¯°®± ¬®¦¥² §¢³· ²¼ ² ª: À‚¥°­® «¨, ·²® ¨ €« ¥¸¥ ®¯®¢¨·³, ¨ „®¡°»­¥ ¨ª¨²¨·³ ¤®±² «®±¼ µ®²¿ ¡» ¯® ®¤­®© ±¥°¥¡°¿­®© ¬®­¥²¥?Á …±«¨ ®²¢¥² ³²¢¥°¤¨²¥«¼­»©, ²® ®¡¥ ¬®­¥²» ˆ«¼¨ Œ³°®¬¶  | §®«®²»¥. …±«¨ ®²°¨¶ ²¥«¼­»©, ²® ˆ«¼¥ ¤®±² «¨±¼ ¤¢¥ ±¥°¥¡°¿­»¥ ¬®­¥²». € ¥±«¨ ˆ«¼¿ ­¥ ±¬®¦¥² ®²¢¥²¨²¼ ­¨ À¤ Á, ­¨ À­¥²Á, ²® ®­ ¯®«³·¨« §  ±«³¦¡³ §®«®²³¾ ¨ ±¥°¥¡°¿­³¾ ¬®­¥²». Œ®¦­® ¡»«® § ¤ ²¼ ¨ ¤°³£¨¥ ¢®¯°®±», ­ ¯°¨¬¥°: | ‚¥°­® «¨, ·²® µ®²¿ ¡» ®¤­®¬³ ¨§ ¤¢³µ ¤°³£¨µ ¡®£ ²»°¥© ¤®±² «¨±¼ ¤¢¥ ±¥°¥¡°¿­»¥ ¬®­¥²»? | “ ²¥¡¿ ¡®«¼¸¥ §®«®²»µ ¬®­¥², ·¥¬ ³ €«¥¸¨ ®¯®¢¨· ? | …±«¨ ¿ § ¡¥°³ ®¤­³ ¨§ ²¢®¨µ ¬®­¥² ¨ ¤ ¬ ¢¬¥±²® ­¥¥ §®«®²³¾, ²® ±² ­¥² «¨ ³ ²¥¡¿ ¡®«¼¸¥ §®«®²»µ? (‡ ¬¥²¼²¥, ·²® ¢ ½²®¬ ¢®¯°®±¥ ­¥ ³¯®¬¿­³²» ¬®­¥²», ¤®±² ¢¸¨¥±¿ ¤¢³¬ ¤°³£¨¬ ¡®£ ²»°¿¬!)

69

228. Ž²¢¥² ¤«¿ n ¤®¬®¢: ¬®¦­® ¯®±²°®¨²¼ 2n , 1 § ¡®°®¢. ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¥±«¨ ¤®¬ ®¤¨­, ²® ¬®¦­® ¯®±²°®¨²¼ ²®«¼ª® ®¤¨­ § ¡®°, ·²® ±®®²¢¥²±²¢³¥² ´®°¬³«¥ 2
1 , 1 = 1 . „ «¼¸¥ ¯°¨¬¥­¨¬ ¨­¤³ª¶¨¾. …±«¨ ¤«¿ k = 1 , 2, : : : , n , 1 ¤®¬®¢ ´®°¬³«  2k , 1 ³¦¥ ¯°®¢¥°¥­ , ²® ° ±±¬®²°¨¬ n ¤®¬®¢, ¢®ª°³£ ª®²®°»µ ¯®±²°®¥­® ¬ ª±¨¬ «¼­® ¢®§¬®¦­®¥ ª®«¨·¥±²¢® § ¡®°®¢. Š ª®©-²® ®¤¨­ § ¡®° ®£®° ¦¨¢ ¥² ¢±¥ ¤®¬ . …±«¨ ½²®² ¢­¥¸­¨© § ¡®° ±­¥±²¨, ²® ± ¬»¬¨ ¢­¥¸­¨¬¨ ±² ­³² ­¥ª®²®°»¥ ¤¢  § ¡®° . ³±²¼ ¢­³²°¨ ®¤­®£® ¨§ ­¨µ ¡³¤¥² k ¤®¬®¢,   ¢­³²°¨ ¤°³£®£® | ®±² «¼­»¥ n , , k ¤®¬®¢. ‚ ±¨«³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ¨­¤³ª¶¨¨ ¢®ª°³£ k ¤®¬®¢ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®±²°®¥­® ­¥ ¡®«¼¸¥ 2k , 1 § ¡®°®¢,   ¢®ª°³£ ®±² «¼­»µ n , k ¤®¬®¢ | ­¥ ¡®«¼¸¥, 2(n , k) , 1 § ¡®°®¢. ‡­ ·¨², ¢±¥£® § ¡®°®¢ ­¥ ¡®«¥¥ (2k , 1) + + (2(n , k) , 1) + 1 = 2n , 1 , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 248.  §®¢ ¥¬ ®¤­³ ¨§ ²®·¥ª ª®°­¥¬. ‘®¯®±² ¢¨¬ ª ¦¤®© ¨§ ®±² «¼­»µ ¢¥°¸¨­ ¯®±«¥¤­¨© ®²°¥§®ª (¥¤¨­±²¢¥­­®£® ¯® ³±«®¢¨¾) ¯³²¨, ¢¥¤³¹¥£® ¢ ½²³ ²®·ª³ ¨§ ª®°­¿. ²® ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ N , 1 ¢¥°¸¨­ ¬¨ ¨ ®²°¥§ª ¬¨ ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­®¥. —²®¡» ±¤¥« ²¼ ½²® ®·¥¢¨¤­»¬, ³¤®¡­® ° ±±² ¢¨²¼ ­  ®²°¥§ª µ ±²°¥«ª¨, ¢¥¤³¹¨¥ ®² ª®°­¿: ¢ ª ¦¤³¾ ²®·ª³, ª°®¬¥ ¢¥°¸¨­», ¢¥¤¥² ®¤­  ±²°¥«ª . ‡ ¤ ·³ ¬®¦­® °¥¸¨²¼ ² ª¦¥ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨: ³¤ «¿¿ «¾¡®© «¨±²) ¤¥°¥¢ y) , ¬» ®¤­®¢°¥¬¥­­® ³¤ «¿¥¬ ®¤­® °¥¡°®. (‘²°®£® £®¢®°¿, ­ ¤® ¥¹¥ ¤®ª § ²¼, ·²® ¤¥°¥¢¼¥¢ ¡¥§ «¨±²¼¥¢ ­¥ ¡»¢ ¥². „«¿ ½²®£® ° ±±¬®²°¨¬ £° ´, ¢ ª®²®°®¬ ¨§ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­» ¨±µ®¤¨² ­¥ ¬¥­¥¥ 2 °¥¡¥°. ˆ§ ¥£® ¢¥°¸¨­» A1 ¯°®©¤¥¬ ¯® °¥¡°³ ¢ A2 . ˆ§ A2 ¢»µ®¤¨² ¡®«¥¥ ®¤­®£® °¥¡° , ¯®½²®¬³ ¬®¦­® ¯°®©²¨ ¢ ¢¥°¸¨­³ A3 6= A1 , ¨§ ­¥¥ | ¢ A4 , : : : ®±ª®«¼ª³ ·¨±«® ¢¥°¸¨­ £° ´  ª®­¥·­®, ° ­® ¨«¨ ¯®§¤­® ®¡° §³¥²±¿ ¶¨ª«.) 250. 63 ±¯¨·ª¨. 257.  «¼¶» ¡³¤³² ¯®¢²®°¿²¼±¿ ± ¯¥°¨®¤®¬ 8, ¯®½²®¬³ ¤®±² ²®·­® ° ±±¬®²°¥²¼ ®±² ²®ª ®² ¤¥«¥­¨¿ 2001 ­  8. ¥°¢»¬ ¨¤¥² ³ª § ²¥«¼­»© ¯ «¥¶. 2 m 272.  ±±¬®²°¨²¥ ·¨±«  1, a , a , : : : , a . ®±ª®«¼ª³ ®±² ²ª®¢ ®² ¤¥«¥­¨¿ ­  m ¢±¥£® «¨¸¼ m , ²® ª ª¨¥-²® ¤¢  ¨§ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»µ ·¨±¥« ¤ ¾² ®¤¨­ ª®¢»¥ ®±² ²ª¨ ¯°¨ ¤¥«¥­¨¨ ­  m .  §­®±²¼ ½²¨µ ·¨±¥« ¤¥«¨²±¿ ­  m . 275. 2
5 = 10 . 276. ¥«³¾ « ¤¼¾ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ­  «¾¡³¾ ¨§ 64 ª«¥²®ª. ¥§ ¢¨±¨¬® ®² ±¢®¥£® ° ±¯®«®¦¥­¨¿ ®­  ¡¼¥² 15 ¯®«¥© (¢ª«¾· ¿ ¯®«¥, ­  ª®²®°®¬ ®­  ±²®¨²). ®½²®¬³ ®±² ¥²±¿ 49 ¯®«¥©, ­  ª®²®°»¥ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ·¥°­³¾ « ¤¼¾. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥£® ¥±²¼ 64
49 = 3136 ° §­»µ ±¯®±®¡®¢. 277. ¥«®£® ª®°®«¿ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ­  «¾¡®¥ ¨§ 64 ¯®«¥©. Ž¤­ ª®

) ‹¨±² | ½²® ¢¥°¸¨­ , ¨§ ª®²®°®© ¨±µ®¤¨² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ °¥¡°®. y)„¥°¥¢® | ½²® ±¢¿§­»© £° ´ ¡¥§ ¶¨ª«®¢, ²® ¥±²¼ £° ´, ¢ ª®²®°®¬ ®² «¾-

¡®© ¢¥°¸¨­» ¬®¦­® ¤®©²¨, ¤¢¨£ ¿±¼ ¯® °¥¡° ¬, ¤® «¾¡®© ¤°³£®© ¢¥°¸¨­», ¯°¨·¥¬ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ±¯®±®¡®¬, ¥±«¨ ­¨ ° §³ ­¥ ¢®§¢° ¹ ²¼±¿ ­ § ¤.

70

ª®«¨·¥±²¢® ¯®«¥©, ª®²®°»¥ ®­ ¯°¨ ½²®¬ ¡³¤¥² ¡¨²¼, § ¢¨±¨² ®² ¥£® ° ±¯®«®¦¥­¨¿. ®½²®¬³ ° §¡¥°¥¬ ²°¨ ±«³· ¿:  ¥±«¨ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ¢ ³£«³ (³£«®¢ ¢±¥£® 4), ²® ®­ ¡¼¥² 4 ¯®«¿ (¢ª«¾· ¿ ²®, ­  ª®²®°®¬ ±²®¨²) ¨ ®±² ¥²±¿ 60 ¯®«¥©, ­  ª®²®°»¥ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ·¥°­®£® ª®°®«¿;  ¥±«¨ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ­  ª° ¾ ¤®±ª¨, ­® ­¥ ¢ ³£«³ (² ª¨µ ¯®«¥© | 24), ²® ®­ ¡¼¥² 6 ¯®«¥©, ¨ ¤«¿ ·¥°­®£® ª®°®«¿ ®±² ¥²±¿ 58 ¢®§¬®¦­»µ ¯®«¥©;  ¥±«¨ ¦¥ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ­¥ ­  ª° ¾ ¤®±ª¨ (² ª¨µ ¯®«¥© | 36), ²® ®­ ¡¼¥² 9 ¯®«¥©, ¨ ¤«¿ ·¥°­®£® ª®°®«¿ ®±² ¥²±¿ 55 ¢®§¬®¦­»µ ¯®«¥©. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥£® ¥±²¼ 4
60 + 24
58 + 36
55 = 3612 ±¯®±®¡®¢. 283. ¥°¥©¤ ¥¬ ª ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¬ ±®¡»²¨¿¬: ±¢¥² ¡»« ¢ª«¾·¥­ 20% ¢°¥¬¥­¨, ¬³§»ª  ¬®«· «  10%,   ¤®¦¤¼ ­¥ ¸¥« 50% ¢°¥¬¥­¨, ² ª ·²® ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¥ ±®¡»²¨¿ ­¥ ¬®£«¨ § ­¿²¼ ¡®«¥¥ 20 + 10 + 50 = 80 % ¢°¥¬¥­¨. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¬³§»ª  ¯®¤ ¤®¦¤¥¬ ¢ ²¥¬­®²¥ §¢³· «  ­¥ ¬¥­¼¸¥ 100 , , 80 = 20 % ¢°¥¬¥­¨. 285. „®¡ ¢¼²¥ ª ²¥¬ ¨ ¤°³£¨¬ ·¨±« , ª° ²­»¥ ¨ 8, ¨ 9. Ž±² ­¥², 
±¿ ±° ¢­¨²¼ ª®«¨·¥±²¢® ·¨±¥«,
ª° ²­»µ 8 1993 = 249 , ± ª®«¨·¥±²¢®¬ 8 , 1993  ·¨±¥«, ª° ²­»µ 9 9 = 221 . 287. Š®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§­ ·­»µ 1 20 13 ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¢±²°¥· ¾²±¿ 6 ²®«¼ª® ­¥·¥²­»¥ ¶¨´°», ° ¢­® 5 = 2 21 12 = 15 625 . ‚±¥£® ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨3 22 11 ±¥« 900 000. ®½²®¬³ ª®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ 14 15 16 4 17 18 19 27 ¥±²¼ µ®²¿ ¡» ®¤­  ·¥²­ ¿ ¶¨´° , ° ¢­® 10 23 5 900 000 , 15 625 = 884 375 . 9 24 6 291. 10. ‚»¯¨¸¥¬ ¢±¥ ¶¨´°» ¢ ¯®°¿¤ª¥ ³¡»¢ ­¨¿: 9876543210. —²®¡» 8 25 7 ¯®«³·¨²¼ ¤¥¢¿²¨§­ ·­®¥ ·¨±«®, ­³¦­® 26 28 ³¡° ²¼ ®¤­³ ¶¨´°³. ²® ¬®¦­® ±¤¥« ²¼ 10 ±¯®±®¡ ¬¨. 303. „ , ¬®£«®.  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ ¢ ¨±µ®¤­®¬ ¯°®¥ª²¥ ¡»«® 5 ¯®¤º¥§¤®¢, 4 ½² ¦ ,   ­  ª ¦¤®¬ ½² ¦¥ | ¯® ®¤­®© ª¢ °²¨°¥: 5
4 = 20 , 3
7 = 21 , 1
10 = 10 . 319. 203 = 7
29
1
: : :
1 (¢±¥£® 203 , 7 , 29 = 167 ¥¤¨­¨¶). 327. Ž²­®¸¥­¨¥ ±²®¨¬®±²¨ ²³£°¨ª  ª ±²®¨¬®±²¨ ¤¨­ °  14 : 11 , ¤¨­ °  ª °³¯¨¨ 22 : 21 , °³¯¨¨ ª ² «¥°³ 3 : 10 , ² «¥°  ª ª°®­¥ 5 : 2 . ¥°¥¬­®¦¼²¥ ½²¨ ¤°®¡¨. 332. ®±¬®²°¨²¥ ­  °¨±³­®ª.

71

‘®¤¥°¦ ­¨¥

°¥¤¨±«®¢¨¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 ‡­ ª®¬±²¢® : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 ¥°¥ª« ¤»¢ ­¨¿ ±¯¨·¥ª :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 ˜³²ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8  §°¥§ ­¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 ‚®§° ±²» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 ‘ª®«¼ª® ­ ¤® ¢§¿²¼? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 ƒ®­ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 —¥²­®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 ‹®£¨ª  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 °®¶¥­²» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 ‚®±¥¬¼ § ¤ · : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 ‘³¬¬  ¨ ±°¥¤­¥¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥ : : : : : : : : : : : : : : : : 26 ‘®±² ¢«¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨© : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 °¨­¶¨¯ „¨°¨µ«¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 Ž¡µ®¤» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 ‘®¢¬¥±²­ ¿ ²° ¯¥§ , ±®¢¬¥±²­ ¿ ° ¡®²  : : : : : : : : : 34 „¥«¨¬®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 ‘¥¬¼ § ¤ · : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 ˆ­¤³ª¶¨¿ :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40 ˆ£°» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 „¥°¥¢¼¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44 ‹¨­£¢¨±²¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 ¥°¨®¤¨·­®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 Š®¬¡¨­ ²®°¨ª  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49 ˆ§¡° ­­»¥ § ¤ ·¨ ¤®¬ ¸­¨µ ®«¨¬¯¨ ¤ : : : : : : : : : : 57  ° ¤®ª±» ¨ ±®´¨§¬» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 Ž²¢¥²», ³ª § ­¨¿, °¥¸¥­¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68