Домашняя работа по алгебре за 7 класс к задачнику «Алгебра. 7 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. — 3-е изд.,...
246 downloads
483 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Домашняя работа по алгебре за 7 класс к задачнику «Алгебра. 7 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. — 3-е изд., доработ.» А.Г. Мордкович и др. -М.: «Мнемозина», 2000 г. Часть I учебно-практическое пособие
СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВА 1. Математическая модель, математический язык................................................................4 § 1. Числовые и алгебраические выражения ....................................... 4 § 2. Что такое математический язык .................................................. 18 § 3. Что такое математическая модель ............................................... 20
ГЛАВА 2. Степень с натуральным показателем и ее свойства.........................29 § 4. Что такое степень с натуральным показателем.......................... 29 § 5. Таблица основных степеней......................................................... 33 § 6. Свойства степеней с натуральными показателями .................... 37 § 7. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями.............................................................. 43 § 8. Степень с нулевым показателем .................................................. 46
ГЛАВА 3. Одночлены. Операции над одночленами..........49 § 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена..................... 49 § 10. Сложение и вычитание одночленов .......................................... 52 § 11. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень ................................. 62 § 12. Деление одночлена на одночлен................................................ 68
ГЛАВА 4. Многочлены. Операции над многочленами 71 § 13. Основные понятия....................................................................... 71 § 14. Сложение и вычитание многочленов ........................................ 76 § 15. Умножение многочлена на одночлен........................................ 81 § 16. Умножение многочлена на многочлен...................................... 91 § 17. Формулы сокращенного умножения ......................................... 98 § 18. Деление многочлена на одночлен............................................ 111
ГЛАВА 5. Разложение многочленов на множители.........116 § 19. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно..................................................... 116 § 20. Вынесение общего множителя за скобки ............................... 119 § 21. Способ групировки ................................................................... 123 § 22. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения............................... 127 § 23. Разложение многочлена на множители с помощью комбинаций различных приемов.................................. 138 § 24. Сокращение алгебраических дробей....................................... 143
www.5balls.ru
§ 25. Тождества .................................................................................. 156
www.5balls.ru
ГЛАВА 1. Математическая модель, математический язык § 1. Числовые и алгебраические выражения №1 а) 3,5 +4,5=8; б) 3,5+(−4,5)= –1; в) −3,5 +4,5=1; г) –3,5+(−4,5)=−8. №2 а) 3,5–4,5=−1; б) 3,5−(−4,5)=8; в) −3,5−4,5=−8; г) –3,5−(−4,5)=1. №3 а) 15+7,5=22,5; б) 36,6−5Ошибка!=36Ошибка!−5Ошибка!=Ошибка!= Ошибка!; в) 13,7·3,5=Ошибка! г) 7Ошибка! №4 а) 1,5 · 3 = 4,5; в) 1,5 · (−3) = −4,5;
б) −1,5 · 3 = −4,5; г) −1,5 · (−3)=4,5.
№5 а) 1,5 : 3 = 0,5; в) 1,5 : (−3)= −0,5;
б) −1,5 : 3 = −0,5; г) −1,5 : (−3)=0,5.
№6 а) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; б) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; в) Ошибка!
www.5balls.ru
1) Ошибка!; 1 15 10 45 + 10 55 1 2) 15 + 3 = + = = = 18 ; 3 1 3 3 3 3 г) Ошибка! 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) 5 + 10 = 15.
№7 1 3
1 5
а) (4 + 3 ) : 113 =
1 ; 15
1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 1 3
1 5
б) 17 : (4 − 3 ) = 15 ; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; в) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!; г) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!. №8 а) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) 3 + 3 = 6 ; б) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; в) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!;
www.5balls.ru
г) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!. №9 а) (0,018 + 0,982) : (8 · 0,5 – 0,8) = 0,3125; 1) 0,018 + 0,982 = 1; 2) 8 · 0,5 − 0,8 = 4 − 0,8 = 3,2; 3) 1 : 3,2 = 0,3125; б) Ошибка! Ошибка!; в) (0,008 + 0,992) : (5 · 0,6 – 1,4) = 1 : (3 – 1,4) = 1: 1,6 = 0,625; г) Ошибка! = 135 · 3300 · 91 : 13 = 135 · 3300 · 7 = 3118500. № 10 а) Ошибка!; б) Ошибка!; 1) 2,5 · 16 = 40; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 2) 6 – 2,4 = 3,6; в) (24 +5,6) · (24 – 5,6) = 544,64; г) Ошибка!; 1) 24 + 5,6 = 29,6; 1) Ошибка!; 2) 24 – 5,6 = 18,4; 3) 29,6 · 18,4 = 544,64; 2) Ошибка!. № 11 а) Ошибка!; б) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) 3,25 – 1,25 = 2; в) (25 + 5,2) · (25 – 5,2) = 30,2 · 19,8 = 597,96; г) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!. № 12 а) Ошибка! б) Ошибка! в) Ошибка! г) Ошибка! № 13 а) 2 – 4,5 = –2,5;
www.5balls.ru
б) (2,3 + (–14,8)) : 5 = –12,5 : 5 = –2,5; в)Ошибка!; г) 6 + 2,4 – 10,9 = 8,4 – 10,9 = –2,5. № 14 а) Переместительный закон сложения. б) Переместительный закон умножения. в) Сочетательный закон сложения. г) Распределительный закон сложения относительно умножения. № 15 а) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка! 3) 4 + 2 = 6; б) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3)17 ·1 7 = 289. в) Ошибка!Ошибка! = Ошибка!; г) Ошибка! 4 9
1 5
= 18 − 8 =
166 41 830 − 369 461 11 − = = = 10 . 9 5 45 45 15
№ 16 а) 4,16 + 2,5 + 6,04 + 3,5 = 4,16 + 6,04 + 2,5 + 3,5 = 10,2 + 6 = 16,2; б) 7,3 + 1,6 – 0,3 – 0,6 = 7,3 – 0,3 + 1,6 – 0,6 = 7 + 1 = 8; в) –1,06 + 0,04 – 7,04 + 2,16 = – 1,06 + 2,16 –7 = 1,1 – 7 = –5,9; г) 18,9 – 6,8 – 5,2 – 4,1 = 12,1 – 4,1 – 5,2 = 8 – 5,2 = 2,8. № 17 а) 7,8 · 6,3 + 7,8 · 13,7 = 7,8 · ( 6,3 + 13,7 ) = 7,8 · 20 =15,6 б) 6,95 · 3,42 · 5,05 = 6,95 · 3,42 · ( 5 + 0,05 ) = 6,95 · ( 17,1 + 0,171 ) = = ( 7 – 0,05 ) · 17,271 = 120,897 – 0,86355 = 120,03345; в) 17,96 · 0,1 – 0,1 · 81,96 = 0,1 · ( 17,96 – 81,96 ) = 0,1 · (– 64 ) = – 6,4; г) 4,03 · 27,9 – 17,9 · 4,03 = 4,03 · ( 27,9 – 17,9 ) = 4,03 · 10 = 40,3. № 18 а) Ошибка! б) Ошибка!
www.5balls.ru
в) Ошибка! г) 6
1 1 · 4,8 + 6 · 5,2 = 6,2 · (4,8 + 5,2) = 6,2 · 10 = 62. 5 5
№ 19 а) а · 60 · 60 = а · 3600 – секунд в а часах; б) X · 24 · 60 = X · 1440 – минут в X сутках; в) X · 1000 : 60 = X · Ошибка! – Ошибка! г) u : 1000 · 3600 = u · 36 : 10 = u · 18 : 5 = 3,6 · u км/ч. № 20 а) x = –3,5; 3x = 3 · (–3,5) = –10,5; б) x = –1; 3x = 3 · (–1) = –3; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 21 а) y = –1; –5y = –5 · (–1) = 5; б) y = 0; –5y = –5 · 0 = 0; в) y = 1; –5y = –5 · 1 = –5; г) y = 3,4; –5y = –5 · 3,4 = –17. № 22 а) a = 3, d = 2; 48a + 12d = 48 · 3 + 12 · 2 = 144 + 24 = 168; б) u = 6, v = 1; u – 3uv = 6 – 3 · 6 · 1 = 6 – 18 = –12; в) z = –8, t = –2; 8z – 11t = 8 · (–8) – 11 · (–2) = –64 + 22 = –42; г) p = –3, q = 6; 5p – 4q = 5 · (–3) – 4 · 6 = –15 – 24 = –39. № 23 A B 2A–2B
1 1 0
2 3 –2
3 2 2
Ош Ош Ош
Оши Оши Оши
1) 2 · 1 – 2 · 1 = 2 – 2 = 0; 2) 2 · 2 – 2 · 3 = 4 – 6 = –2; 3) 2 · 3 – 2 · 2 = 6 – 4 = 2; 4) Ошибка!; 5) Ошибка!; 6) 2 · (–3) – 2 · (–2) = –6 + 4 = –2; 7) 2 · (–2) – 2 · (–3) = 6 – 4 = 2; 8) 2 · (–1) – 2 · (–1) = –2 + 2 = 0.
www.5balls.ru
–3 –2 –2
–2 –3 2
–1 –1 0
№ 24 A B 2AB–1
1 1 1
2 3 11
3 2 11
Оши Оши Оши
Оши Оши Оши
–3 –2 11
–2 –3 11
–1 –1 1
1) 2 ·1 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1; 2) 2 · 2 · 3 – 1 = 12 – 1 = 11; 3) 2 · 3 · 2 – 1 = 12 – 1 = 11; 4) Ошибка!; 5) Ошибка!; 6) 2 · (–3) · (–2) – 1 = 12 – 1 =11; 7) 2 · (–2) · (–3) – 1 = 12 – 1 =11; 8) 2 · (–1) · (–1) – 1 = 2 – 1 =1. № 25 a+b = 10, c = 7. а) a + b +2 · c = 10 + 2 · 7 = 10 + 14 = 24; б) (a + b) : 2 – c = 10 : 2 – 7 = 5 – 7 = –2; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 26 а) Если a – b = 12, то b – a = –1 · (a – b) = –1 · 12 = –12; б) Если c – d = 0, то d – c = 0. № 27 Ошибка! – ? а) a = 1, b = 2; Ошибка!; б) a = 3, b = 1; Ошибка!; в) a = 1,4, b = 1; Ошибка! a + b =1,4 + 1 = 2,4; г) a = –3, b = 1; Ошибка!a + b = –3 + 1 = –2. № 28 а) x=2, y=3; Ошибка!; б) x=1,5, y=Ошибка!; Ошибка!; в) x = –2, y = 0; Ошибка! г) x = 1,3, y = –0,5; Ошибка!. № 29 а) x = 7, y = 4; 5x – 3y = 5 · 7 – 3 · 4 = 35 – 12 = 23; б) x = 6,5, y = 2,1; 5x – 3y = 5 · 6,5 – 3 · 2,1 = 32,5 – 6,3 = 26,2; в) x = Ошибка!, y = Ошибка!; 5x – 3y = 5 · Ошибка! – 3 · Ошибка! = 62 – 29 = 33;
www.5balls.ru
г) x = 18, y = 7,4; 5x – 3y = 5 · 18 – 3 · 7,4 = 90 – 22,2 = 67,8. № 30 а) a = 20, b = 12; Ошибка!Ошибка!; б) a = 2,4, b = 0,8; Ошибка!Ошибка!; в) a = 10,8, b=6; Ошибка!Ошибка!; г) a = 12, b=5,6; Ошибка!Ошибка!. № 31 а) x = 8, y = 3; x2 + 2xy + y2 = 64 + 2 · 8 · 3 + 9 = 64 + 48 + 9 = 121; (x+y)2 = 112 = 121; б) x = 7,6, y = 1,4; x2 + 2xy + y2 = 57,76 + 2 · 7,6 · 1,4 + 1,96 = = 57,76 + 21,28 +1,96 = 81; (x+y)2 = 92 = 81; в) x = 10, y = 2,6; x2 + 2xy + y2 = 100 + 2 · 10 ·2,6 + 6,76 = = 100 + 52 + 6,76 = 158,76; (x+y)2 = 12,62 = 158,76; г) x = 1,5, y = 3; x2 + 2xy + y2 = 2,25 + 2 · 1,5 · 3 + 9 = = 2,25 + 9 + 9 = 20,25; (x+y)2 = 4,52 = 20,25. № 32 а) a = 13, b = 12; a – b = 13 – 12 = 1; Ошибка!; б) a = 2,4, b = 2,3; a – b = 2,4 – 2,3 = 0,1; Ошибка!; в) a = 3,5, b = 2,5; a – b = 3,5 – 2,5 = 1; Ошибка!; г) a = 7,4, b = 3,6; a – b = 7,4 – 3,6 = 3,8; Ошибка! № 33 а) x – любое число; б) а – не равно нулю; в) y – любое число; г) b – не равно нулю. № 34 а) x – не равно (–3); б) а – не равно (–2);
www.5balls.ru
в) d – не равно (–9); г) c – не равно (–13). № 35 а)z – не равно 3; б) t – не равно 2; в) m – не равно 9; г) n – не равно 6. № 36 а) 5x = 150; б) 6x = –54; 0,25; x = 150 : 5; x = –54 : 6; 0,5); x = 30; x = –9;
в) –0,7x = 343;
г) –0,5x = –
x = 343 : –0,7;
x = –0,25 : (–
x = –490;
x = 0,5.
№ 37 а) 7x + 9 = 100; б) 1,4x – 0,8 = 7; в) Ошибка!; г) 17,5x – 0,5 = 34,5; 7x = 100 – 9; 1,4x = 7 + 0,8; Ошибка!; 17,5x = 34,5 + 0,5; x = 91 : 7; x = 7,8 : 1,4; Ошибка!; x = 35 : 17,5; x = 13; x = Ошибка!; x = 1; x = 2. № 38 а) 13x + 9 = 35 + 26x; 13x – 26x = 35 – 9; x = 26 : (–13); x = 2; в) 0,81x – 71 = 1,11x +1; 0,81x – 1,11x = 1 + 71; –0,3x = 72; x = –240;
б) Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 6; г) Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; y = 60.
№ 39 а) u = –1,5, v = 2,4; (–1,5 + 2,4)2 = 0,92 = 0,81 ; –1,52 + 2,42 = 2,25 + 5,76 = 8,01 ; б) u = 3,1, v = –0,8; Ошибка!; в) u = 14, v = 1,4; (14 + 1,4)2 = 15,42 = 237,16 ; 142 + 1,42 = 196 + 1,96 = 197,96 ; г) u = –1,2, v = –2,8; (–1,2 + (–2,8))2 = –42 = 16 ; –1,22 + –2,82 = 1,44 + 7,84 = 9,28 .
www.5balls.ru
№ 40 а) 3x – 2 = 10; 3x = 12; x = 12 : 3; x = 4; № 41 а) 2 · 5k = 4k + 12; 10k – 4k = 12; 6k = 12; k = 2;
б) 4y –1 = 3y + 5; 4y – 3y = 5 + 1; y = 6.
б) p + 3 = 4 · (7p – 33); p + 3 = 28p – 132; p – 28p = –132 –3; –27p = –135; p = 5.
№ 42 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) (–10 + 15) : 6 = 5 : 6 =Ошибка!. № 43 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) (–17 + 1) : 5 = –16 : 5 = Ошибка!; г) Ошибка!. № 44 а) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!; 4) Ошибка!; б) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!; 4) 2,62 – 0,3 = 2,32; в) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!;
www.5balls.ru
4) Ошибка! г) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!; 4) 2,34 – 0,1 = 2,24. № 45 а) 18 · (182 – 122) = 18 · (324 – 144) 18 · 180 = 3240 ; б) Ошибка!; в) 18 + 18 : 12=18 + 1,5 = 19,5; г) 18 · 12 – 18 : 12 = 216 – 1,5 = 214,5. № 46 а) Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!; г) 7,2 · 6,4 – 7,2 : 6,4 = 46,08 – 1,125 = 44,955 . № 47 A B C A2 + 2 BC + 7 A2 + 3 B 2 + C ( A + B)( B + C ) ( A + B)2 B( A + B + C ) ABC ( A + 3B )CA2 A2 B 2 + 2C
–3 2 7
–2 4 –3
–1 6 5
0 3 –2
1 5 4
3 –2 1
6 0 8
Ош
Ош
Ош
Ош
Ош
Ош
Оши
–9
Ош
Ош
Ош
Ош
–1
Оши
–3
2
–5
–6
Ош
3
–42
Ош
Ош
Ош
Ош
Ош
Ош
Оши
№ 48 а) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) 1,05 – 1,8 = –0,75; 3) –0,75 · 0,4 = –0,3; 4) –0,3 + 0,3 = 0; б) Ошибка! – дробь не равна нулю; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!;
www.5balls.ru
3) Ошибка!; 4) 3 – 0,5 = 2,5; Числитель дроби не равен нулю, значит и сама дробь не равна нулю. № 49 а)
3,5 · 1,24 – дробь не имеет смысла; 3 10 + 1,6 : · 0,4 − 0,4 5
1) Ошибка!; 2) 0,24 – 0,4 = –0,16; 3) 1,6 : (–0,16) = 160 : (–16) = –10; 4) 10 + (–10) = 0; Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь не имеет смысла; б) Ошибка! – дробь смысла не имеет; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!; 4) Ошибка!; Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь смысла не имеет. № 50 а) 7 · 6 + 24 : 3 – 2 = 42 + 8 – 2 = 48 – наименьшее; б) 7 · (6 + 24 : (3 – 2)) = 7 · (6 + 24) = 7 · 30 = 210 – наибольшее. № 51 а) (1 + 23 – 4) · 5 = 20 · 5 = 100; б) 111 – 11 = 100; в) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 = 100; г) (1 + 23 – 4) · 5 – 6 + 7 + 8 – 9 = 100. № 52 1) 4 + 4 – 4 – 4 = 0;
2) 4 : 4 –4 + 4 = 1;
3) 4 : 4 + 4 : 4 =
2; 4) (4 + 4 + 4) : 4 = 3; 5) (4 – 4) · 4 + 4 = 4;
6) (4 · 4 + 4) : 4
7) (4 + 4) : 4 + 4 =6; 8) 44 : 4 – 4 = 7;
9) 4 · 4 – 4 – 4 =
=5; 8; 10) 4 + 4 + 4 : 4 = 9; 11) (44 – 4) : 4 = 10.
www.5balls.ru
§ 2. Что такое математический язык № 53 а) a + b; б) с – d; в) x · y; г) t : v. № 54 а) (z + x) : 2; б) (p – q) : 2; в) x2 ; г) y3 . № 55 а) x + a · b; б) y – a : b; в) a · (b + c); г) z : (x – y). № 56 а) (m + n ) : 3; б) (p – q) · 2; в) (x + y) · 2 · z; г) p : (a + b) : 2. № 57 а) (a + b)2 ; б) (x – y)3 ; в) t2 – w2 ; г) c3 + d3 . № 58 а) Ошибка!; б)Ошибка!; в)Ошибка!; г) Ошибка!. № 59 а) Сумма чисел x и 2; б) Разность чисел c и d;
в) Произведение чисел 8 и z; г) Частное от деления числа p на
q. № 60 а) Сумма квадратов чисел a и b; б) Разность квадратов чисел x и y; в) Сумма кубов чисел z и t; г) Разность кубов чисел m и n. № 61 а) Квадрат суммы чисел s и p; б) Квадрат разности чисел u и v; в) Куб суммы чисел p и q; г) Куб разности чисел f и q. № 62 а) Отношение суммы чисел x и y к числу 2; б) Отношение разности чисел a и b к числу 2; в) Отношение произведения чисел x и y к их удвоенной разности; г) Отношение суммы чисел x и y к их произведению.
www.5balls.ru
№ 63 а) a + b = b + a; б)ab = ba; в) a + (b + c) = (a + b) + c; г) a + (b – c) = (a + b) – c. № 64 а) Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а затем к полученной сумме второе слагаемое. б) Чтобы из числа вычесть сумму двух других чисел, можно сначала вычесть первое слагаемое, а затем из полученной разности вычесть другое слагаемое. в) При сложение любого числа а с нулюм, полусается тоже самое число а. г) При умножение любого числа а на еденицу, получается тоже самое число а. № 65 а) При умножении любого числа а на ноль получается ноль. б) Частное от деления нуля на любое число а не равное нулю, получается ноль. в) При делении любого числа а на еденицу, получается тоже самое число а. г) При умножении любого числа а не равного нулю на частное от деления единицы на это же самое число а, получается еденица. № 66 а) Произведение числа 3 и квадрата суммы чисел x и y. б) Произведение числа 2 и квадрата суммы чисел a и b. в) Произведение числа 2 и квадрата разности чисел p и q. г) Произведение числа 3 и квадрата разности чисел z и r. № 67 а) Отношение квадрата разности чисел m и n к числу 2. б) Отношение квадрата суммы чисел t и w к числу 2. в) Отношение куба суммы чисел a и b к числу 3. г) Отношение квадрата разности чисел p и q к числу 4. № 68 а) (a + b) · c = a · c + b · c;
б) x · (y – z) = x · y – x · z;
www.5balls.ru
в) a – (b +c) = (a – b) – c; № 69 а) Ошибка!; в) Ошибка!;
г) a – (b – c) = (a – b) + c б) Ошибка!; г) Ошибка!
№ 70 а) Ошибка!
б) Ошибка!
в) Если Ошибка!
г) Если
a c δ χ α β = , то = и = . b d β α χ δ
§ 3. Что такое математическая модель № 71 а) x · y = 9; б) a : b = 2; в) b = c; г) 2 · p = 3 · q. № 72 а) a – 18 = b; б) b + 39 = c; в) x : y = 6; г) a : b = Ошибка!. № 73 а) a + b = 43; б) m – n = 214; в) a + b + 6 = ab; г) p – q – 17 = p : q. № 74 а) a + b = d – c; б) a – d = b + c; в) a = b + c + d; г) a + b = 2 · (c – d). № 75 t – v = 3. № 76 3 · x = 2 · y. № 77 5 · b = 6 · a. № 78 x + 25 > 3 · x – 15. № 79 0,5 · a < 0,5 · a + b.
www.5balls.ru
№ 80 x – 5,8 = y + 14,2. № 81 x + 3,7 = 1,5 x – 5,36. № 82 Ошибка!. № 83 5a + 3b = m. № 84 (x + 7) · 3 – 4,7 = x. № 85 (x – 8) · 2 = y + 8. № 86 x + 4 · x + x + 50 = 470. № 87 c + 4,8 = 1,4 · c – 5,2. № 88 d + 15 = 4 · d + 3. № 89 Ошибка!. № 90 а) На чайных весах на одной чаше лежит яблоко весом x кг., а на другой чаше лежит апельсин весом y кг. Весы находятся в равновесии. б) Стоимость одного килограмма яблок – b рублей, а стоимость одного килограмма апельсинов – a рублей. Причем апельсины в два раза дороже яблок. в) Три килограмма огурцов стоят столько же, скольео два килограмма помидоров. При этом известно что 1 кг. Огурцов стоит с рублей, а один килограмм помидоров d рублей. г) В первом цехе работает 6 бригад по m человек в каждой, а во втором цече работает 11 бригад по n человек в каждой. При этом известно что число рабочих в обоих цехах одинаково.
www.5balls.ru
№ 91 а) Первое число равно а, второе число равно b. Если из первого числа вычесть единицу, а второе оставить без изменений то получатся два одинаковых числа. б) В одной корзине лежит а персиков, а в другой b персиков. Если в первую корзину положить два персика, то в корзинах персиков станет поровну в) В первом букете z гвоздик, во втором в два раза больше. Когда к первому букету добавили три гвоздики, число гвоздик в обоих букетах стало поровну. г) У Кости x марок, а у Васи y марок. Если Костя добавит в свою коллекцию 3 марки, то у него станет марок в коллекции в два раза меньше, чем у Васи в коллекции. № 92 а) В первой бригаде работает a человек, а во второй бригаде работает b человек. Если в первую бригаду придет 7 человек, то в обоих бригадах число человек станет равное. б) Первый спортсмен пробежал дистанцию за a секунд, а второй спортсмен пробежал дистанцию за b секунд. При этом первый спортсмен пробежал дистанцию на 3 секунды быстрее. в) Первое число равно а, второе число равно b. Если к первому числу прибавить 2, а ко второму 8 то получатся одинаковые результаты. г) В первой корзине лежало а кг. Мандаринов, а во второй b кг. Мандаринов. После того как из первой корзины взяли три кг. мандаринов, а во вторцю добавили 1 кг., то мандаринов в корзинах станет поровну. № 93 а) Первое число равно а, второе число равно b. При этом известно, что первое в 4 раза больше второго. б) Первое число равно x, второе число равно y. При этом Ошибка!второго числа равна первому числу. в) На стройке работало 5 бригад по d человек в каждой. После того, как на работу пришло еще двое человек, рабочих стало с. г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если второе число умножить на 3 и вычесть из него 4, то его Ошибка! часть будет равна первому числу.
www.5balls.ru
№ 94 а) В саду 7 участков. На каждом растет по x яблонь. После того как на каждом участке посадили по одной яблоне, деревьев в саду стало равно y. б) Первое число равно a, второе число равно b. Удвоенная сумма этих чисел равна 3. в) Расстояние от пункта А до пункта B – с км., а от пункта B до пункта С – d км. Из пункта А в пункт B выехало 3 велосипедиста, а из пункта B в С путь продолжили только два велосипедиста. В общей сложности велосипедисты проделали путь 8 км. г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если первое число умножить на три, а второе на семь, то их сумма будет равнятся 12. № 95 Пусть x км/ч – скорость велосипедиста. Тогда (x +18) – скорость мотоциклиста. 5 · x = (x + 18) · 2; 5 · x – 2 · x =2 · 18; 3 · x = 36; x = 12 км/ч – скорость велосипедиста. 18 + 12 = 30 км/ч – скорость мотоциклиста. 5 · 12 = 60 км – расстояние между городами. Ответ: 12, 30, 60. № 96 Пусть x квартир в первом доме. Тогда (x + 86) квартир во втором доме. x + x + 86 = 792; 2 · x = 706; x = 353 – квартир в первом доме. 353 + 86 = 439 – квартир во втором доме. Ответ: 353; 439. № 97 Пусть x трехкомнатных квартир в доме. Тогда (x + 10) – двухкомнатных квартир в доме, (x – 5) – однокомнатных квартир в доме. x + x +10 + x – 5 = 215; 3 · x = 210; x = 70 – трехкомнатных квартир. 70 + 10 = 80 – двухкомнатных квартир. 70 – 5 = 65 – однокомнатных квартир. Ответ: 65.
www.5balls.ru
№ 98 Пусть x мест в малом зале. Тогда 3 · x мест в большом зале. 3 · x + x = 460; 4 · x =460; x = 115 – мест в малом зале. 115 · 3 = 345 – мест в большом зале. Ответ: 345. № 99 Пусть x книг на второй полке. Тогда 2 · x книг на второй полке. 2 · x + x = 48; 3 · x = 48; x = 16 – книг на второй полке. 2 · 16 = 32 – книг на первой полке. Ответ: 32. № 100 Пусть x деталей изготовил ученик за один день. Тогда 3 · x деталей изготовил мастер за один день. (x + 3 · x) · 2 = 312; 4 · x = 156; x = 39 – деталей изготовляет ученик за один день. 3 · 39 = 117 – деталей изготовляет мастер за один день. Ответ: 117, 39. № 101 Пусть x деталей изготовили на первом станке. Тогда (x + 10) деталей изготовили на втором станке. x + x +10 = 346; 2 · x = 336; x = 168 – деталей изготовили на первом станке. 168 + 10 = 178 – деталей изготовили на втором станке. Ответ: 168; 178. № 102 Пусть x тонн зерна собрали с первого участка. Тогда 1,2 · x тонн зерна собрали со второго участка. 1,2 · x + x = 39,6; 2,2 · x = 39,6; x = 18 тонн зерна собрали с первого участка. 1,2 · 18 = 21,6 тонн зерна собрали со второго участка. Ответ: 18; 21,6.
www.5balls.ru
№ 103 Пусть x – это число. Тогда имеем : x + 23 = 7 · (x – 1); x + 23 = 7 · x – 7; –6 · x = –30; x = 5; Ответ: 5. № 104 Пусть x лет дочке. Тогда (x + 25) – лет маме, x +25 + x = 35; 2 · x = 10; x = 5 – лет дочке; 5 + 25 = 30 – лет маме; № 105 Пусть x яблонь на первом участке. Если с первого участка пересадить на второй одну яблоню, то (x – 1) – на первом останется, 3 · (x – 1) на втором. x – 1 + 3 · (x – 1) = 84; 4 · (x – 1) = 84; x – 1 = 21; x = 22 – на первом участке. 84 – 22 = 62 – на втором. Ответ: 22; 62. № 106 а) a + b = 7 · a · b; в) Ошибка!;
б) x = 3 · y + 1; г) a = 12 · b + 5.
№ 107 а) N = 10 · a + b; в) a · 1000 + b · 10;
б) M = 100 · a + 10 · b + c; г) 100 · r + 7.
№ 108 Пусть t часов был в пути первый теплоход. Тогда (t – 3) часов был в пути второй теплоход. 22 · t + 26 · (t – 3) = 306; 48 · t = 306 + 78;
www.5balls.ru
t = 384 : 48; t = 8 часов был в пути первый теплоход. 8 – 3 = 5 часов был в пути второй теплоход. Ответ: 8; 5. № 109 Пусть x книг на первой полке. Тогда 2 · x – книг на первой полке. 2 · x – 5 – книг на третей полке. x + 2 · x + 2 · x – 5 =75; 5 · x = 80; x = 16 – книг на второй полке. 2 · 16 = 32 – книг на первой полке. 32 – 5 = 27 – книг на третей полке. Ответ: 36; 18; 31. № 110 Пусть x – рабочих во втором цехе. Тогда 1,5 · x – рабочих в первом цехе. 1,5 · x + 110 – рабочих в третем цехе. x + 1,5 · x + 1,5 · x + 110 = 310; 4 · x = 200; x = 50 – рабочих во втором цехе. 1,5 · 50 = 75 – рабочих в первом цехе. 75 + 110 = 185 – рабочих в третем цехе. Ответ: 75; 50; 185. № 111 Пусть x см. – AB. Тогда 2 · x см. – BC. (x + 4) см. – AC. x + 2 · x + x + 4 = 44; 4 · x = 40; x = 10 см. – АB. 2 · 10 = 20 см. – BC. 10 + 4 = 14 см. – АС. Ответ: 10; 20; 14. № 112 Пусть x учеников учится в старших классах. Тогда 3 · x учеников учится в начальных классах. 6 · x учеников учится в средних классах.
www.5balls.ru
x + 3 · x + 6 · x = 900; 10 · x = 900; x = 90 – учеников учится в старших классах. 3 · 90 = 270 – учеников учится в начальных классах. 6 · 90 = 540 – учеников учится в средних классах. Ответ: 270; 540; 90. № 113 Пусть x учеников всего. Тогда Ошибка! – учеников изучает математику. Ошибка!. Ошибка!. Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 28 – учеников всего. Ответ: 28. № 114 Пусть x – дней отработали. Тогда (30 – x) – дней не работали. 48 · x = 12 · ( 30 – x); 48 · x + 12 · x = 12 · 30; 60 · x = 360; x = 6 дней отработали. Ответ: 6. № 115 Пусть x – учеников всего. Если придет Ошибка! учеников, то x + x + Ошибка!= 100; 2 · x + Ошибка!; Ошибка!; 11 · x = 396; x = 36 – учеников всего. Ответ: 36. № 116 Пусть x – мужчин; 4 алтына = 12 коп.; 120 гривен = 1200 коп. Тогда (120 – x) – женщин; 3 алтына = 9 коп. 12 · x + (120 – x) · 9 = 1200;
www.5balls.ru
12 · x + 1080 – 9 · x = 1200; 3 · x = 1200 – 1080; x = 40 – мужчин. 120 – 40 = 80 – женщин. Ответ: 40; 80.
www.5balls.ru
ГЛАВА 2. Степень с натуральным показателем и ее свойства § 4. Что такое степень с натуральным показателем
)5.
№ 117 а) 3 · 3 · 3 · 3 = 34; б) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 76;
в) 0,5 · 0,5 = ( 0,5 )2; г) 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 = ( 8,4
№ 118 а) x8; б) y5; в) z6; г) q3. № 119 2 3
4
7 8
2
а) (–4)5; б) − ; в) (–2,5)3; г) − 5 .
№ 120 а) (– c )4; б) (– d )3; в) (– r )5; г) (– s )6. № 121 а) ( ab )4; б) ( pq )3; в) ( mn )5; г) ( xy )6. № 122 а) ( c – d )3; б) ( z + t )2; в) ( p – q )4; г) ( x + y )6. № 123 1 2
2
1 9
3
а) 135 · 53; б) 0,72 · − ; в) (– 0,45 )2 · 73; г) · 0,12. № 124 3 5
2
1 3
3
а) 53 · 73; б) (– 0,3 )3 · ; в) ( 7,95 )2 · 133; г) − 2 · ( 17,8
2
). № 125 а) x · x · x · x · x · x · x · x; в) (– y )3 · (– y )3 · (– y )3 · (– y )3; б) (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ); г) ( 3b )2 · ( 3b )2 · ( 3b )2.
www.5balls.ru
№ 126 а) 4pq · 4pq; a b
2
a b
в) (z – x) · (z – x) · (z – x); 2
б) − · − ;
г) Ошибка! · Ошибка! ·
Ошибка! · Ошибка! · Ошибка!. № 127 а) 2; б) 4; в) 32; г) 16. № 128 а) 27; б) 0; в) –8; г) 1. № 129 а) 25; б) –5; в) –125; г) –3125. № 130 а) 1; б) 81; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 131 а) 35 = 405; 3 4
б) (– 0,5)4 = 0,0625;
3
1 7
в) = Ошибка!;
2
8 7
2
г) 1 = = Ошибка!.
№ 132 а) 9 см2; б) 49 см2; в) 2,25 см2; г) Ошибка! см2. № 133 а) 2197 м3; б) 64 м3; в) 0,216 м3; г) Ошибка! м3. № 134 1 2
3
1 5
4
а) (– 3)5 = – 405; б) Ошибка!; в) (–0,4)2 = 0,16; г) = Ошибка!. № 135 а) 171 = 17; б) 115 = 1; в) 321 = 32; г) 072 = 0. № 136 а) – 72 = – 49; в) (– 0,5)3 = – 0,125;
б) (– 1)4 = 1; г) – 82 = – 64.
www.5balls.ru
№ 137 1 4
3
2 3
2
3 = Ошибка!; 10
а) − = Ошибка!;
б) −
3
в) − − = Ошибка!;
г) – (– 0,1)4 = – 0,0001.
№ 138 в) 81 · 71 = 8 · 7 = 56; а) 3 · (– 4)2 = 3 · 16 = 48; 5 б) (– 2) · 3 = – 32 · 3 = – 96; г) (– 0,5)2 · (– 2)2 = 0,25 · 4 = 1. № 139 2 3
а) Ошибка!2 · Ошибка! = Ошибка!; б) 34 · −
3
= 81 ·
Ошибка! = 3 · (– 8) = – 24; 3 5
2
в) 1 : Ошибка!3 = 1 : Ошибка! = – 27; г) · Ошибка! № 140 а) Ошибка!; б) Ошибка!;
в) Ошибка!; г) Ошибка!.
№ 141 1 5
2
2
11 = Ошибка!; 5
а) 2 =
1 3
3
3
10 = Ошибка!; 3
б) − 3 = −
2 3
4
5 3
4
в) − 1 = − = Ошибка!;
1 4
2
2
21 = Ошибка!. 4
г) 5 =
№ 142 а) 29; б) 1845; в) (– 5)17; г) (– 9)12. № 143 а) x7; б) ( ab )45; в) ( z – y )105; г) ( r + s )31.
www.5balls.ru
№ 144 а) 6 m; б) (– 7) n; в) a r; г) b m. № 145 а) ( xy ) n; б) (– cd ) m; в) ( m – n ) r; г) ( t + v ) n. № 146 а) c r · d n; б) (– a) n · b r; в) ( a – b ) m · ( x – z ); г) ( p – q ) 2 · ( x – m y) . № 147 Пусть S – площадь одной стороны. Тогда 6 · S – полная поверхность. S = 7 · 7 = 49 см2; 6 · 49 = 294 см2 – полная поверхность. Ответ: 294 см2. № 148 Пусть S – площадь пола, P – площадь одной стены, S = 9 = 3 · 3. Так как пол квадратный, то сторона квадрата равна трем. P = 3 · 3 = 9 м2; 9 · 4 = 36 м2 – потребуется обоев. Ответ: 36 м2. № 149 Пусть S – площадь пола. S = 4 · 4 = 16 м2; 16 · 200 = 3200 г. = 3,2 кг. – потребуется краски. Ответ: 3,2 килограмма. № 150 Пусть S – площадь стороны куба, V – объем куба. S = 40 · 40 =1600 см2 = 0,16 м2; V = 1600 · 40 = 64000 см3 = 0,064 м3; Ответ: 0,064 м3. № 151 а) 3 · 24 + 2 · 34 = 3 · 16 + 2 · 81 = 48 + 162 = 210; б) 7 · 32 + 3 · 72 = 7 · 9 + 3 · 49 = 63 + 147 = 210; в) 5 · 33 + 3 · 52 = 5 · 27 + 3 · 25 = 135 + 75 = 210; г) 7 · 52 + 5 · 72 = 7 · 25 + 5 · 49 = 175 + 245 = 420.
www.5balls.ru
№ 152 а) 7 · 103 – 8 · 102 = 7 · 1000 – 8 · 100 = 7000 – 800 = 6200; б) 92 · 3 + 100 · (0,1)2 = 81 · 3 + 100 · 0,01 = 243 + 1 = 244. № 153 1 9
2
а) · 27+(0,1)4 · 5000 = Ошибка!; 1 8
2
б) 100 : 52 – · 128 = 100 : 25 – Ошибка!. № 154 2 3
3
2 3
3
8 3
3
5 3
3
а) 2 – 1 = – = Ошибка!;
1 4
4
2
1 = − 16
б) − 1 + 2
4
2
5 33 – = Ошибка!. 4 16
№ 155 а) 228 = 2 · 114 = 2 · 2 · 57 = 2 · 2 · 3 · 19 = 22 · 3 · 19; б) 432 = 2 · 216 = 2 · 2 · 108 = 2 · 2 · 2 · 54 = 24 · 27 = 24 · 33; в) 600 = 2 · 300 = 2 · 2 · 150 = 23 · 75 = 23 · 5 · 15 = 23 · 52 ·3; г) 752 = 2 · 376 = 2 · 2 · 188 = 2 · 2 · 2 · 94 = 24 · 47. № 156 а) 3969 = 3 · 1323 = 3 · 3 ·441 = 3 · 3 · 3 ·147 = 34 ·49 = 34 · 72; б) 64800 = 2 · 32400 = 2 · 2 · 16200 = 23 · 8100 = 23 · 90 · 90 = = 23 · 9 ·10 · 9 · 10 = 23 · 32 · 5 · 2 · 32 · 5 · 2 = 25 · 34 · 52; в) 21600 = 2 · 10800 = 2 · 2 · 5400 = 2 · 2 · 2 · 2700 = 2 3 · 27 · 100 = = 23 · 3 · 3 · 3 · 10 · 10 = 23 · 33 · 2 · 5 · 2 · 5 = 25 · 33 · 52; г) 17640 = 2 · 8820 = 2 · 2 · 4410 = 2 · 2 · 2 · 2205 = 23 · 5 · 441 = = 23 · 5 · 3 · 147 = 23 · 5 · 3 · 3 · 49 = 23 · 5 · 32 · 72. № 157 а) 22 · 23 и 22 + 3; 1) 22 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25; 2) 22 + 3 = 25. Ответ: числа равны. в) 71 · 72 и 71 + 2; 71 · 72 = 7 · 7 · 7 = 73; 71 + 2 = 73.
б) 32 · 31 и 32 + 1; 1) 32 · 31 = 3 · 3 · 3 = 33; 2) 32 + 1 = 33. Ответ: числа равны. г) 41 · 43 и 41 + 3; 1) 41 · 43 = 4 · 4 · 4 · 4 = 44; 2) 41 + 3 = 44.
www.5balls.ru
Ответ: числа равны.
Ответ: числа равны.
§ 5. Таблица основных степеней № 158 N 3n 5n 7n
1 3 5 7
2 9 25 49
3 27 125 343
4 81 625 2401
5 243 3125 16807
6 729 15625 11764 9
№ 159 а) 16 = 42; б)
2
4 2 25 5 2 = ; в) 0,81 = (0,9) ; г) = 49 7 64 8
2
2
.
№ 160 а) 125 = 53; б)
3
3
1 1 343 7 3 = ; в) – 0,216 = (– 0,6) ; г) = − . 64 4 512 8
№ 161 а) 1; б) 1; в) – 1; г) 1. № 162 а) 0; б) 0; в) – 1; г) 0. № 163 а) (– 1)10 + 012 + 145 = 1 + 0 + 1 = 2; б) (– 1)6 + (– 1)7 – 08 = 1 – 1 – 0 = 0; в) 012 + 141 + (– 1)11 = 0 + 1 – 1 = 0; г) 0502 – 114 + 113 + (– 1)2 = 0 – 1 + 1 + 1 = 1. № 164 а) (– 1)4 + (– 1)3 + (– 1)2 + (– 1) = 1 – 1 + 1 – 1 = 0; б) (– 1)7 + 18 + 015 + 119 + (– 1)4 = –1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 2; в) (– 1)2 – (– 1)3 – (– 1)4 – (– 1)5 = 1 – (– 1) – 1 – (– 1) = 2; г) (– 1)12 + 01 – 124 + 03 – (–1)5 = 1 + 0 – 1 + 0 + 1 = 1. № 165 а) 103 = 1000; б) 104 = 10000; в) 105 = 100000; г) 107 = 10000000. № 166 а) 1000000000 = 109; б) 10 = 101; в) 1000000 = 106; г) 10 n.
www.5balls.ru
№ 167 1 4
2
а) (– 2)5 = –32; б) (– 3)4 = 81; в) (– 0,5)3 = – 0,125; г) − = Ошибка!. № 168 а) (– 2,5)2 + 1,52 = 6,25 + 2,25 = 8,5; 2 3
4
2 9
2
б) − – = Ошибка!; в) (– 0,5)3 + (– 0,4)2 = –0,125 + 0,16 = 0,035; 1 6
2
1 3
3
г) − – − = Ошибка!. № 169 а) a2 ≥ 0; б) – a2 ≤ 0; в) (x + 5)2 ≥ 0; г) –3 · (x – 7)2 ≤ 0. № 170 а) x2 + y2 ≥ 0; в) 5 · (a2 + b2) ≥ 0;
б) (a + 51)2 + (b2 – 13)2 ≥ 0; г) –94 · (x + y)2 ≤ 0.
№ 171 а) 2 r = 512; r=9 Ответ: 9
в) 7 m = 343; m=3 Ответ: 3
б) 5 m = 625; m=4 Ответ: 4
г) 3 r = 729 r=6 Ответ: 6
№ 172 а) 3 · 104 + 4 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 4 = = 30000 + 40000 + 7000 +200 + 80 + 4 = 77284; б) 8 · 106 + 9 · 103 + 5 = 8000000 + 9000 + 5 = 8009005; в) 1 · 104 + 1 · 102 + 1 = 10000 + 100 + 1 = 10101; г) 3 · 105 + 5 · 103 + 4 · 102 + 8 = 300000 + 5000 + 400 + 8 = 305408. № 173 а) 17285 = 10000 + 7000 + 200 + 80 + 5 = = 1 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 5; б) 213149 = 200000 + 10000 + 3000 + 100 + 40 + 9 = = 2 · 105 + 1 · 104 + 3 · 103 + 1 · 102 + 4 · 10 + 9; в) 1495643 = 1000000 + 400000 + 90000 + 5000 + 600 + 40 + 3 =
www.5balls.ru
= 1 · 106 + 4 · 105 + 9 · 104 + 5 · 103 + 6 · 102 + 4 · 10 + 3; г) 75003400 = 70000000 + 5000000 + 3000 + 400 = = 7 · 107 + 5 · 106 + 3 · 103 + 4 · 102. № 174 а) При а = 1, а2 = 12 = 1, (– а)2 = (– 1)2 = 1, – а2 = – 12 = – 1. При а = – 1, а2 = (– 1)2 = 1, (– а)2 = 12 = 1, – а2 = – (– 1)2 = – 1. При а = 0, а2 = 02 = 0, (– а)2 = (– 0)2 = 0, – а2 = – 02 = 0. При а = 10, а2 = 102 = 100, (– а)2 = (– 10)2 = 100. – а2 = – 102 = – 100. б) При b = 1, b4 = 14 = 1, (– b)5 = (– 1)5 = – 1, – b5 = – 15 = – 1. При b = 0, b4 = 04 = 0, (– b)5 = (– 0)5 = 0, – b5 = – 05 = 0. При b = –1, b4 = (– 1)4 = 1, (– b)5 = 15 = 1, – b5 = – (– 1)5 = 1. При b = 10, b4 = 104 = 10000, (– b)5 = (– 10)5 = – 100000. – b5 = – 105 = – 100000. в) c2 + (– c)3 + c4. При c = 1, 12 + (– 1)3 + 14 = 1 – 1 + 1 = 1. При c = 0, 02 + (– 0)3 + 04 = 0 + 0 + 0 = 0. При c = 10, 102 + (– 10)3 + 104 = 100 – 1000 + 10000 = 9100. При c = –1, (– 1)2 + 13 + (– 1)4 = 1 + 1 + 1 = 3. г) d4 – d2 + d + 1. При d = –1, (– 1)4 – (– 1)2 + (– 1) + 1= 1 – 1 – 1 + 1 = 0. При d = 0, 04 – 02 + 0 + 1= 0 – 0 + 0 + 1 = 1. При d = 1, 14 – 12 + 1 + 1= 1 – 1 + 1 + 1 = 2. При d = 10, 104 – 102 + 10 + 1= 10000 – 100 + 10 + 1 = 9911. № 175 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 176 а) 322 > 0;
б) (– 54)2 > 0;
в) 32 и 23;
г) и ;
1) 32 = 9; 2) 23 = 8.
1) = Ошибка!; 2) =
1 3
3
1 3
3
Ошибка!.
www.5balls.ru
1 2
2
1 2
2
1 2
2
1 3
3
Ответ: 32 > 23.
Ответ: > .
№ 177 а) (– 17,2)2 > (– 17,2)3;
в) (– 0,3)3 < (– 0,3)2;
3 5
4
3 5
4
1 5
б) − = ;
2
1 5
4
г) − > .
№ 178 1 7
а) (– 7)3 < (– 0,4)3 < ( )3 < (– 1,5)2; 1 3 3 7 2 в) (− )3 < (0,8)3 < (– 1,1)2 < (– 1,5)2; 3 3 2 г) (− )3 < (0,3)2 < (− ) 2 2 < (– 1,2)2. 4 5
б) (−1 )3 < (− )3 < (– 1,8)2 < (– 2,1)2;
№ 179 а) 2 n = 1024; 3 r =81; n =10; n + r = 10 + 4 = 14. Ответ: 14. № 180 а) 22x = 128; 256; 2x = 7; x = 3,5. Ответ: 3,5.
б) 7 n = 49; 5 r = 625. r = 4; n = 2; r = 4; n + r = 2 + 4 = 6. Ответ: 6.
б) 3 x – 3 = 243;
в) 5 x : 2 = 125;
г) 2
2 – 3x
x – 3 = 5; x = 8. Ответ: 8.
x : 2 = 3; x = 6. Ответ: 6.
2 – 3x = 8; x = –2. Ответ: –2.
§ 6. Свойства степеней с натуральными показателями № 181 а) x2 · x3 = x5; б) y6 · y4 = y10; в) z5 · z12 = z17; г) t10 · t24 = t34. № 182 а) a5 · a = a6; б)b · b6 = b7; в)c7 · c = c8; г)d n · d = d n+1.
www.5balls.ru
=
n15.
r67;
№ 183 а) s3 · s5 · s8 = s3 + 5+ 8 = s16; б) r14 · r12 · r51 = r14 + 12 + 51 = r67. 13 8 13 + 8 + 1 22 =m ; г) n4 · n · n10 = n4 + 1 + 10 = в) m · m · m = m № 184 а) u15 · u23 · u · u7 = u15 + 23 + 1 + 7 = u46; б) r4 · r12 · r51 = r4 + 12 +51 =
в) v3 · v9 · v4 · v = v3 + 9 + 4 + 1 = v17; г) q13 · q8 · q7 · q21 = q13 + 8 + 7 + 21 =q . 49
№ 185 а) ( a – b )3 · ( a – b )2 = ( a – b )3 + 2 = ( a – b )5; б) ( c + d )7 · ( c + d )8 = ( c + d )7 + 8 = ( c + d )15; в) ( q + r )15 · ( q + r )8 = ( q + r )15 + 8 = ( q + r )23; г) ( m – n )5 · ( m – n )4 = ( m – n )5 + 4 = ( m – n )9. № 186 а) ( ax )5 · ( ax )7 · ( ax ) = ( ax )5 + 7 + 1 = ( ax )13; б) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17; в) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17; г) (– pq)13 · (– pq) · ( pq ) = (– pq)13 + 1 · ( pq ) = ( pq )15. № 187 а) x7 · x18; в) x24 · x;
б) x9 · x16; г) x · x24.
№ 188 б) ∗ · r14 = r10; а) r3 · ∗ = r11; r43; г) ∗ · r21 · r11 = r40; 11 – 3 = 8; 10 – 14 = –4; 43 – 13 – 18 = 12; r3 · r8 = r11; r –4 · r14 = r10; r13 · r12 · r18 = r43;
в) r13 · ∗ · r18 = 40 – 21 – 11 = 8; r8 · r21 · r11 = r40.
№ 189 а) r12 · ∗ · r3 · ∗ = r26; 26 – 12 – 3 = 11; 11 = 5 + 6; r12 · r5 · r3 · r6 = r26; б) r44 · ∗ · r · ∗ = r51; 51 – 44 – 1 = 6; 6 = 3 + 3; r44 · r3 · r · r3 = r51;
в) ∗ · r7 · ∗ · r9 · r13 = r48; 48 – 7 – 9 – 13 = 19; 19 = 9 + 10; r9 · r7 · r10 · r9 · r13 = r48; г) r · r14 · ∗ · r20 · ∗ = r72; 72 – 1 – 14 – 20 = 37; 37 = 17 + 20; r · r14 · r17 · r20 · r20 = r72.
www.5balls.ru
№ 190 а) 25 · 24 = 25 + 4 = 29 = 512; б) 33 · 32 = 33 + 2 = 35 = 243; в) 72 · 7 = 72 + 1 = 73 = 343; г) 9 · 92 = 91 + 2 = 93 = 729. № 191 б) 32 · 8 = 25 · 23 = 25 + 3 = 28; а) 4 · 2 = 22 · 2 = 22 + 1 = 23; 6 9 6+9 15 =2 ; г) 16 · 32 = 24 · 25 = 24 + 5 в) 64 · 512 = 2 · 2 = 2 9 =2 . № 192 а) 5 · 25 = 5 · 52 = 51 + 2 = 53; б) 53 · 625 = 53 · 54 = 53 + 4 = 57; в) 54 · 125 = 54 · 53 = 54 + 3 = 57;г) 59 · 3125 = 59 · 55 = 59 + 5 = 514. № 193 а) a = (– 13)9 · (– 13)8; 9 + 8 = 17 – нечетное. Ответ: отрицательное. в) а = (– 28)2 · (– 28)6; 2 + 6 = 8 – четное. Ответ: положительное. № 194 а) x · 73 = 75; x = 7 5 : 7 3; x = 72; x = 49. Ответ: 49.
б) 122 · x = 123; x = 123 : 122; x = 121; x =12. Ответ: 12.
№ 195 а) x7 : x4 = x7 – 4 = x3; в) z13 : z = z13 – 1 = z12;
б) a = (– 17)17 · (– 17)71; 17 + 71 = 88 – четное. Ответ: положительное. г) а = (– 43)41 · (– 43)14; 41 + 14 = 55 – нечетное. Ответ: отрицательное. в) 46 · x = 48; x = 48 : 46; x = 42; x =16. Ответ: 16.
г) x · 56 = 59; x = 59 : 56; x = 53; x = 125. Ответ: 125.
б) y16 : y12 = y16 – 12 = y4; г) m28 : m27 = m28 – 27 = m1 = m.
№ 196 б) b45 : b15 : b29 = b45 – 15 – а) a12 : a10 : a = a12 – 10 – 1 = a1 = a; 1 29 = b = b; в) c3 : c : c = c3 – 1 – 1 = c1 = c; г) d43 : d14 : d5 = d43 – 14 – 5 = d24. № 197 а) (a – b)3 : (a – b)2 = (a – b)3 –2 = (a – b)1 = (a – b); б) (z + r)13 : (z + r)8 : (z + r)3 = (z + r)13 – 8 – 3 = (z + r)2;
www.5balls.ru
в) (c + d)8 : (c + d)5 = (c + d)8 – 5 = (c + d)3; г) (m – n)42 : (m – n)12 : (m – n)29 = (m – n)42 – 12 – 29 = (m – n)1 = (m – n). № 198 а) 1013 : 108 = 1013 – 8 = 105 = 100000; б) 1217 : 1216 = 1217 – 16 = 12;
в) (– 324)3 : (– 324)2 = (– 324)3 – 2 = –324; г) 0,75127 : 0,75126 = 0,75127 – 26 = 0,751; № 199 а) Ошибка! = 73 = 343;
б) Ошибка! = 0,62 = 0,36;
в) Ошибка! = (– 0,2)4 = 0,0016;
г)
1 1 3
4
1 1 3
3
1
1 3
= 1
=
Ошибка!. № 200 18
1 3
а) 1
1 3
= 1
6
1 7
1 7
б) − 2
18−17
17
1 3
: 1
: − 2
4
=Ошибка!;
1 7
6− 4
= − 2
15 7
= −
2
= Ошибка! =
Ошибка!; 2 9
23
15
7 8
г) − 1
2 9
21
2 9
: 3
в) 3
14
7 8
: −1
№ 201 а) x5 : x2 = x3; в) x49 : x36 = x13;
23− 21
= 3
15−14
7 8
= −1
2
29 = Ошибка!; 9
=
1
7 8
= − 1 = Ошибка!.
б) x18 : x7 = x11; г) x104 : x5 = x99.
№ 202 а) x52 : x10 : x2 = x52 – 10 – 2 = x40; б) r44 · r20 · r : r14 = r44 + 20 + 1 – 14 = r51; в) x45 : x30 : x15 · x = x45 – 30 – 15 + 1 = x; г) x100 : x26 : x = x100 – 26 – 1 = x73.
www.5balls.ru
№ 203 а) 128 n : 12856 = 12842; n – 56 = 42; n = 98; Ответ: 98.
б) 2163 : 216 n = 216; 3 – n =1; n = 2; Ответ: 2.
в) 395 n : 395 = 3959; n – 1 = 9; n = 10; Ответ: 10.
г) 5484 : 548 n = 5483; 4 – n = 3; n = 1; Ответ: 1.
№ 204 а) x : 25 = 23; x = 2 3 · 2 5; x = 28; x = 256. Ответ: 256.
б) 36 : x = 34; x = 36 : 34; x = 32; x = 9. Ответ: 9.
в) 78 : x = 74; x = 7 8 : 74 x = 7 4; x = 2401. Ответ: 2401.
г) x : 52 = 5; x = 5 · 52; x = 53; x = 125. Ответ: 125.
№ 205 а) Ошибка! = 73 + 12 – 14 = 71 = 7; б) Ошибка! = 1015 + 7 – 19 = 103 = 1000; в) Ошибка! = 151 + 13 – 12 = 152 = 225; г) Ошибка!. № 206 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; 3
2
5
1 1 1 · 4 1 3 3 3 1 = = = . г) 1 1 3 81 3 3
№ 207 а) Ошибка!; в) Ошибка!;
б) Ошибка!; г) Ошибка!.
№ 208 а) ( x3 )2 = x3 · 2 = x6; в) ( x7 )12 = x7 · 12 = x84;
б) ( x5 )6 = x5 · 6 = x30; г) ( x10 )13 = x10 · 13 = x130.
www.5balls.ru
№ 209 а) ( 28 )5; б) ( 210 )4; в) ( 220 )2; г) ( 24 )10. № 210 а) ( m6 )3; б) ( m16 )3; в) ( a18 )3; г) ( b7 )3. № 211 а) ( 73 )2 = 73 · 2 = 76 = 117649; б) ( 33 )2 = 33 · 2 = 36 = 729; в) ( 42 )3 = 42 · 3 = 46 = 4096; г) ( 22 )5 = 22 · 5 = 210 = 1024. № 212 а) ( a6 )5 = a6 · 5 = a30; б) ( b2 )7 = b2 · 7 = b14; в) ( z4 )3 = z4 · 3 = z12; г) ( p12 )2 = p12 · 2 = p24. № 213 а) ( a3 )6 · a4 = a3 · 6 + 4 = a22; в) c6 · ( c2 )3 = c6 + 2 · 3 = c12;
б) b5 · ( b3 )4 = b5 + 3 · 4 = b17; г) ( d8 )4 · d23 = d8 · 4 + 23 = d55.
№ 214 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 215 а) y3; б) y6; в) y10; г) y20. № 216 а) ( x5 )4 · ( x6 )7 = x5 · 4 + 6 · 7 = x20 + 42 = x62; б) ( y8 )2 · ( y12 )3 = y8 · 2 + 12 · 3 = y16 + 36 = y52; в) ( z13 )3 · ( z5 )9 = z13 · 3 + 5 · 9 = y39 + 45 = y84; г) ( t25 )2 · ( t10 )4 = t25 · 2 + 10 · 4 = y50 + 40 = y90. № 217 а) ( z5 )6 : z7 = z5 · 6 – 7 = z30 – 7 = z23; б) ( p3 )4 : p10 = p3 · 4 – 10 = p12 – 10 2 =p ; в) ( u14 )3 : u20 = u14 · 3 – 20 = u42 – 20 = z22; г) ( q8 )6 : q70 = q8 · 6 – 70 = q48 – 70 = q– 22.
www.5balls.ru
№ 218 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 219 а) ( x3 )n = x 3n; б) ( yn )5 = y5n; в) (– a4 )2n = a8n; г) (– b3 )6n = b18n. № 220 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. § 7. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями
№ 221 а) (2a)4 = 24 · a4; в) ( 6n )3 = 63 · n3;
б) ( 3b )5 = 35 · b5; г) ( 8n )2 = 82 · n2.
№ 222 а) (– 2p)3 = (– 2)3 · p3; 2
2
б) (– 5q)4 = (– 5)4 · q4; г) (– 3d)5 = (– 3)5 · d5.
2
в) (– 7c) = (– 7) · c ;
№ 223 а) ( mn )6 = m6 · n6;
б) ( ab )4 = a4 · b4;
в) ( pq )3 = p3 · q3;
г) ( cd )10 = c10 · d10.
№ 224 а) (– ac )17 = (– a)17 · c17; в) (– rs )3 = (– r)3 · s3;
б) (– am )8 = (– a)8 · m8; г) (– xy )12 = (– x)12 · y12.
№ 225 а) ( xy3 )2 = x2 · y6; 3
6 18
54
б) ( a2bc3 )4 = a8 · b4 · c12; 18
108
в) ( p cd ) = p · c · d ;
г) ( u5v4t7 )8 = u40 · v32 · t56.
№ 226 а) ( 3p2r8 )5 = 35 · p10 · r40; в) ( 10a2b5 )4 = 104 · a8 · b20;
б) ( 6a5bx3 )3 = 63 · a15 · b3 · x9; г) ( 4r5q8p9 )2 = 42 · r10 · q16 · p18.
№ 227 а) 36a2 = (6a)2;
б) 49b2 = (7b)2;
www.5balls.ru
г) 64d2 = (8d)2.
в) 81c2 = (9c)2;
№ 228 а) a2 · b2 · c2 = (abc)2; в) m5 · n5 · s5 = (mns)5;
б) x3 · y3 · z3 = (xyz)3; г) p12 · q12 · r12 = (pqr)2.
№ 229 а) 16 · x4 · y4 · z4 = (2xyz)4;
б) 125 · c3 · d3 · z3 = (5cdz)3;
в) 81 · m2 · p2 · q2 = (9mpq)2;
г) 32 · r5 · s5 · q5 = (2rsq)5.
№ 230 а) a2 · b10 = (ab5)2; 2
4
24
б) x8 · y12 = (x4y6)2; г) p8 · q10 · z30 = ( p4q5z15 )2.
2 12 2
в) x · y · z = (xy z ) ;
№ 231 а) x4 · y6 = (x2y3)2; в) 81 · c8 · d16 · f28 = ( 9c4d8f14 )2;
б) 16 · q18 · r34 = (4q9r17 )2; г) 121 · m12 · n16 · r54 = ( 11m6n8r27 )2.
№ 232 а) 23 · 53 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = 103 = 1000; 7 7 7 7 2 2 3 2 3 7 7 б) · 1,5 = · = · = 1 = 1 ;
3
3
2
3 2
в) 0,66 · 56 = (0,6 · 5)6 = 36 = 729; 3
г)
3
3
3
3
3
35 · 6 · 2 35 · 12 1 35 6 2 1 = = = · · = 24 7 5 24 · 7 · 5 24 · 35 2 8
.
№ 233 12
а)
a b
=
a12 b12
17
; б)
c d
=
c17 d 17
4
; в)
a4 a − = 4 b b
;г)
5 c5 c − = − 5 . d d
№ 234 2
6
а)
26 · a 6 64a 6 2a = 6 6 = 3 ·b 729b6 3b
в)
c5 c5 c = 5 5 = 2 ·d 32d 5 2d
;
б)
7x 7 2 · x 2 49 x 2 = = 82 · y 2 64 y 2 8y
г)
33 · m3 27 m3 3m − =− 3 3 =− 5 ·n 125n3 5n
б)
10 25 = 2 = 1024 = 1 399 ; 52 625 625 54
5
;
3
;
№ 235 2
а)
10 35 = 3 = 59049 72 2401 74
2
;
www.5balls.ru
.
4
в)
8 8 − b2 =b = b 8 84 4096
2
;
г)
6 ( −3)3 = 3 = 729 (−7) 2 7 4 2401
№ 236 8
38
а)
3 = 8 5 5
в)
m3 m = 8 2
;
7 = 9 11 11
г)
c4 c = 16 2
3 ;
79
б)
9 ;
4 .
№ 237 а) b3x3=(bx)3; б) 25a4=(5a2)2; в) 32x10y5 = (2x2y)5; г) 16a8b12 = ( 2a2b3 )4.
№ 238 а) 85 · 0,1255 = (8 · 0,125)5 = 15 = 1; б) 46 · 0,256 = (4 · 0,25)6 = 16 = 1; в) 54 · 0,44 = (5 · 0,4)4 = 24 = 16; г) 1,257 · 87 = (1,25 · 8)7 = 107 = 10000000.
№ 239 3
3
3
3
а)
5 7 125 17 5 7 5 =4 − · − = − · − = = 7 3 3 27 27 7 3
б)
7 − 8
в)
5 12 5 12 · = · = 26 = 64 ; 6 5 6 5
г)
3 8 3 8 · = · = 24 = 16 . 4 3 4 3
10
10
8 · − 7
6
4
10
7 8 = − · − 8 7
6
4
№ 240 а) Ошибка!; в) Ошибка!; № 241 а) Ошибка!; в) Ошибка!;
= 110 = 1 ;
6
4
б) Ошибка!; г) Ошибка!.
б) Ошибка!; г) Ошибка!.
№ 242 а) Ошибка!; б) Ошибка!;
www.5balls.ru
;
.
в) Ошибка!; г) Ошибка!.
№ 243 а) Ошибка! = 5; Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!;
б) Ошибка! = 104;
Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!;
x = 5. Ответ: x = 5.
x = 104. Ответ: x = 104.
в) Ошибка!;
г) Ошибка!.
Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 1347.
Ошибка!; Ошибка!; Ошибка! ; x = 349.
Ответ: x = 1347.
Ответ: x = 349. § 8. Степень с нулевым показателем
№ 244 R
Найдите
2 3
а) R = 3;
2 3
2 3
R
б) R = 0;
2 3
R
в) R = 1;
2 3
R
г) R = 5;
.
R
3
=
2 3
=
2 =1; 3
=
2 3
=
2 3
= Ошибка!; 0
1 = Ошибка!;
5 = Ошибка!;.
№ 245 а) a = 1; a5 = 15 = 1 ; в) a = – 2; a5 = (– 2)5 = – 32 ;
б) a = 0; a5 = 05 = 0 ; г) a = 10; a5 = 105 = 100000 .
№ 246 2
а)
1 1 < 3 3
0 ;
Ошибка!;
www.5balls.ru
2
б)
1 1 − < 4 4
0 ;
Ошибка!; в) (– 2)3 < (– 2)0 ; – 8 < 1; г) 50 < 54 . 1 < 625.
№ 247 0
3 3 > − 4 4
а) - 23 < – 20 ;
б)
–8 < – 1;
Ошибка!;
2
2
;
в)
1 − < (−2)0 ; 2
г) – 55 < – 50 .
Ошибка!;
– 3125 < –
1.
№ 248 а) 35 + 44 + 80 = 243 + 256 + 1 = 500; 2 3 0 б)
4 1 32 + 9 41 2 1 7 = + · = + · 1 = 9 8 72 72 3 2 8
;
в) 30 · 25 – 152 = 1 · 32 – 225 = – 193; г) (1,5)3 + 44 + 150 =3,375 + 256 + 1 = 260,375.
№ 249 а) a12 · a5 : a17 = a12 + 5 – 17 = a0 = 1; б) c9 : (c5 · c4) = c9 – (5 + 4) = c0 = 1; в) b13 : b5 : b8 = b13 – 5 – 8 = b0 = 1; г) d15 · d4 : d19 = d15 + 4 – 19 = d0 = 1.
№ 250
а) (a – b)10 · (a – b) : (a – b)11 = (a – b)10 + 1 – 11 = (a – b)0 = 1; 5 3 8 5 + 3 −8 0 б)
p p p p · : = 2 2 2 2 4
3
2
p = = 1; 2 3
в) (r + l) : (r + l) · (r + l) : (r + l) = (r + г) (–pq)14 · (–pq)13 : (–pq)27 = (–pq)14 + 13 – 27 = (–pq)0 = 1.
l)4 – 3 + 2 – 3 = (r + l)0 =1;
№ 251 2 0 2 2 0 5 25 5 5 5 5 : − · = : − · 1 = − = −1 ; 2 4 2 2 2 2
а) б) 3
5
1 1 1 1 · − : = 3 9 3 3
3
3+ 2 − 5 0 1 2 1 5 1 1 · − : = − = − = 1 ; 3 3 3 3
в) 1,54 : (– 1,5)3 · (– 1,5)2 : 1,5 = 1,53 : (– 1,5) = – 1,52 = – 2,25;
www.5balls.ru
2
г)
0
3
2
2 8 2 16 2 2 : · = : ·1 = 27 3 81 3 3 3
.
№ 252 а) Ошибка! Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка! – (120)3 –
1 1 2
2 + 43 · 0,1 = Ошибка! – 13 –
3 2
2 + 64 · 0.1 =
= 0,75 – 1 – Ошибка!+ 6,4 =5,4 – 1,5 = 3,9; г) ((– 8)0)5 – 62 · Ошибка! – 52 · 0,2 = 15 – 36 : 6 – 25 · 0,2 = 1 – 6 – 5 = – 10.
www.5balls.ru
ГЛАВА 3. Одночлены. Операции над одночленами § 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
№ 253 а) 3xy – одночлен;
б) Ошибка!a2bc3 – одночлен;
3 – коэффициент; xy – буквенная часть; в) – 0,3c5d9 – одночлен; – 0,3 – коэффициент; c5d9 – буквенная часть;
Ошибка! – коэффициент; a2bc3 – буквенная часть; г) (– 2)3u nz nw n – одночлен; (– 2)3 – коэффициент; u nz nw n – буквенная часть.
№ 254 а) 0 – одночлен; 0 – коэффициент. в) – 0,6 – одночлен; – 0,6 – коэффициент.
б) y – одночлен; y – буквенная часть; г) z n – одночлен; z n – буквенная часть.
№ 255 а) x – y – не одночлен; б) Ошибка! – не одночлен; в) 2(c2 + d2) – не одночлен; г) Ошибка! – не одночлен.
№ 256 а) Ошибка! – не одночлен;
г) Ошибка! – не одночлен; в) Ошибка! – одночлен; Ошибка! – коэффициент;
б) – 12m3n2 – одночлен; – 12 – коэффициент; m3n2 – буквенная часть;
cd – буквенная часть.
№ 257 а) 6a2b3, 0,5ab8; б) a8b9, a3b4; в) 3ab, 3a10b; г) 6a2b, 10a2b.
№ 258 а) 4pq3, 20pq3, 0,1pq3; б) 3p2q, 3p8q4, 3pq10.
№ 259 а) при x = 0 7x3 = 7 · 03 =0; при x = 1 7x3 = 7 · 13 =7; при x = – 1 7x3 = 7 · (– 1)3 = – 7; б) при y = 2 9y2 = 9 · 22 = 36; при y = – 2 9y2 = 9 · (– 2)2 = 36; при y = 10 9y2 = 9 · 102 = 900; в) c = 15, d = – 2; 0,04cd2 = 0,04 · 15 · (– 2)2 = 0,6 · 4 = 2,4; г) p = 1, q = 2; Ошибка!pq3 = Ошибка! · 1 · 23 = Ошибка! · 8 = 3.
№ 260 а) 3m4 · m = 3m5; 3 – коэффициент; m5 – буквенная часть; б) 5x · 10y2 = 50xy2;
www.5balls.ru
4.
50 – коэффициент; xy2 – буквенная часть; в) 42y5 · y8 · y12 = 42y25; 42 – коэффициент; y25 – буквенная часть; г) – 7z3 · 4t8 = – 28z3t8; 28 – коэффициент; z3t8 – буквенная часть.
№ 261 а) 7a · 3b · 4c = 84abc; 84 – коэффициент; abc – буквенная часть;
б) 15q · 2p2 · 4r5 = 120qp2r5; 120 – коэффициент; qp2r5 – буквенная часть;
в) 8u4 · 4v3 · (– 2w5) = – 64u4v3w5; – 64 – коэффициент; u4v3w5 – буквенная часть;
г) Ошибка!c12 · 2d18 · s10 = – c12d18s10; – 1 – коэффициент; c12d18s10 – буквенная часть.
№ 262 а) a2b10cd2; a = 0,2, b = – 1, c = 15, d = – 2; a2b10cd2 = 0,22 · (– 1)10 · 15 · (– 2)2 = 0,04 · 1 · 15 · 4 = 2,4; б) Ошибка!s3t4r6; s = 1, t = 2, r = – 1;
Ошибка!s3t4r6 = Ошибка!· 13 · 24 · (– 1)6 = Ошибка! · 16 · 1 = Ошибка!. № 263
4.
а) 13a · 2b · 4b · 8a = 104a2 · 8b2 = 832a2b2; 832 – коэффициент, a2b2 – буквенная часть. б) 52 · pq2 · (– 4)2 · qpq = 25 · 16 · p2 q4 = 400 p2 q4; 400 – коэффициент, p2q4 – буквенная часть; в) 43c3d6 · (– 5)2cd2c4d = 64 · 25 · c8d9 = 1600c8d9; 1600 – коэффициент, c8d9 – буквенная часть; г) 24x9y8 · (– 2)2(– x)4(– y)3 = – 16 · 4 · x13y11 = – 64x13y11; 64 – коэффициент, x13y11 – буквенная часть.
№ 264 а) 0,45a2bc5 · Ошибка!a7b6c = Ошибка!a9b7c6 = 0,5a9b7c6; 0,5 – коэффициент, a5b7c6 – буквенная часть, б) 0,4b3x4y · Ошибка!bx3y7 = Ошибка!b4x7y8 = Ошибка!b4x7y8;
Ошибка! – коэффициент, b4x7y8 – буквенная часть; в) – 6p4n3Ошибка!= 2p6n5;
2 – коэффициент, p6n5 – буквенная часть;
г) – 3a2b4Ошибка!= Ошибка!a5b8;
Ошибка! – коэффициент, a5b8 – буквенная часть. № 265 а) 17x ny8z3 · 2xy5z4 = 34x n + 1y13z7; 34 – коэффициент, x n + 1y13z7 – буквенная часть; б) 12p3q2r10Ошибка!= p4q8r15; 1 – коэффициент, p4q8r15 – буквенная часть; в) – 2x3c5d3Ошибка!= – 2x4c11d4;
www.5balls.ru
4.
2 – коэффициент, x4c11d4 – буквенная часть; г) – 99a ms nt nОшибка!= 3am + ns n + r t n + m; 3 – коэффициент, am + n sn + r tn + m – буквенная часть.
№ 266 а) 1. 3ab · 4a2 = 12a3b; 2. 2,5b 2 · 5a3 = 12,5a3b2; 3. 1,2a2 · 5b = 6a2b; 4. 7a2b · 12ab = 84a3b. У 2-го и 4-го одинаковая буквенная часть. б) 1. 8pq · 3p2 = 24p3q; 2. 1,4p2 · 15pq = 21p3q; 3. 0,7 · 12p3 = 8,4p3; 4. 4,3p23q = 12,9p2q. У 1-го и 2-го одинаковая буквенная часть. в) 1. 0,125st2 · 8t2 = st4; 2. 0,25t4 · 4s = st4; 3. 2,5t · 8st5 = 20st6; 4. 0,2st · 14t3 = 2,8st4. У 1-го, 2-го и 4-го одинаковая буквенная часть. г) 1. 15mn3 · 2m2 = 30m3n3; 2. 4m3 · 3n2 = 12m3n2; 3. 7,8n3 · 5m2 = 39n3m2; 4. 2m2n · 6,4n2 = 12,8m2n3. У 3-го и 4-го одинаковая буквенная часть. § 10. Сложение и вычитание одночленов
№ 267 б) 19x2 и 35x2 подобные; г) mn и 5mn подобные.
а) 3a и 4a подобные; в) 3y3 и 3y3 подобные;
№ 268 а) 3a2b3c и 4a2b3c подобные; б) Ошибка!x3y4z и Ошибка!x3y4z подобные; в) –0,2m2n4p8 и –0,38m2n4p8 подобные; г) Ошибка!r3s2t5 и Ошибка!r3s2t5 подобные.
№ 269 а) 7a2 и 3a3 не подобные; б) 6x2 и 15x5 не подобные; в) 17,8c3d6 и 3,01c12d 4 не подобные; г) Ошибка!y2z и Ошибка!yz2 не подобные.
№ 270 а) 1,7x2y6 и 5,1x2y6;
б) 10,8a2b2c9 и 3,6a2b2c9;
в) c3d12z5 и 3c3d12z5;
г) Ошибка!m2n8p14 и m2n8p14.
№ 271 а) 3x2y; 7x2y; 0,25x2y подобные; б) 12a2b2; 5a2b2; 2,04a2b2 подобные; в) 9c5d12; 0,1c5d12; c5d12 подобные;
www.5balls.ru
г) Ошибка!m11n15; Ошибка!m11n15 подобные.
№ 272 а) m · m2 · m3 · 8 · m =8m7;
б)
Ошибка!m
· m3 · m5 =
Ошибка!m ; 9
г) Ошибка!m13 · m7 · 0,5 = m20.
в) 36m3 · m · 2 · m · 0,1 · m4 = 7,2m9; Одночлены под пунктами б) и в) подобны.
№ 273 а) 3x + 5x = 8x; б) 6y + 7y = 13y; в) 3p + 5p + p = 9p; г) 7q + 9q + 4q = 20q.
№ 274 а) 1,2c + 1,2c = 2,4 c;
в) 3,5d + 8,4d = 11,9d;
б) Ошибка!m;
г) Ошибка!.
№ 275 а) 13x2 + 20x2 = 33x2;
в) 2,1z3 + 3,05z3 = 5,15z3;
б) Ошибка!;
г) Ошибка!.
№ 276 а) 1,7d4 – 0,7d4 = d4; б) 7p8 – 3p8 – 2p8 = 2p8;
в) m4 – m4 = 0; г) 2x8 – x8 = x8.
№ 277 а) 20y – 12y – y – 2y = 5y;
в) 30x2 – 15x2 – 7x2 =8x2;
б) Ошибка!;
г)Ошибка!.
№ 278 а) 5x2y + 6x2y = 11x2y;
в) 3,5d + 8,4d = 11,9d;
б) Ошибка!c3d + Ошибка!c3d = c3d;
г)
Ошибка!m3n4
Ошибка!m n = Ошибка!m n . 3 4
3 4
№ 279 а) 5a2b3 + 8a2b3 = 13a2b3; б) – 12x3 – 12x3 = – 24x3;
в) 7,4pq – 3,4pq = 4pq; г) 1,2m2n + 0,5m2n = 1,7m2n.
№ 280 а) – 18a5b7 – (– 18a5b7) = 0; б) – 12x3yz – (– 36x3yz) = 24x3yz;
в) – 7,2st4 + 6st4 = – 1,2t4; г) 13xyz – (– 5,3xyz) = 18,3xyz.
№ 281 а) 1. 4cd2 + 2cd2 = 6cd2; 3. 10cd2 – 4cd2 = 6cd2; б) 1. 50x3y2 – x3y2 = 49x3y2; 3. 40 x3y2 + 9 x3y2 = 49 x3y2;
2. cd2 + 5cd2 = 6cd2; 4. –5cd2 + 11cd2 = 6cd2; 2. –11 x3y2 + 60 x3y2 = 49 x3y2; 4. 33 x3y2 + 16 x3y2 = 49 x3y2.
www.5balls.ru
+
№ 282 а) 5x · 2y + 3x · 6y + 2x · 7y = 10xy + 18xy + 14xy = 42xy; б) 3y2x + 6x · 3y · 2y + 2yxy = 3y2x + 36y2x + 2y2x = 41y2x; в) – 11ab + a · 8 · b + 5ab = 2ab; г) ab2 + 9abb + 3bab + abb = ab2 + 9ab2 + 3ab2 + ab2 = 14ab2.
№ 283 а) 3a2b + 7a · 9ba + 10b · 3a2 · (–1) = 3a2b + 63a2b – 30a2b = 36a2b; б) x2y2 · 7 + 19x · 2xyy – 9x · 3yxy = 7x2y2 + 38x2y2 – 27x2y2 = 18x2y2; в) az3 + 7az3 – 6z · 2az2 – 5az3 = 8az3 – 12az3 – 5az3 = – 9az3; г) m8n4 + 2m3 · 3m5n4 – 7m8n4 = – 6m8n4 + 6m8n4 = 0.
№ 284 а) 5x + 4x = 9; 9x = 9; x = 1. Ответ: x = 1. x
x
x
в) 19 – 3 + 4 = 80; 0
б) 11x – 4x = 14; 7x = 14; x = 2. Ответ: x = 2. г) 20x – 13x – 12x = 6;
20x = 8 ;
5x = 6;
x = 4.
x = Ошибка!.
Ответ: x = 4.
Ответ: x = Ошибка!.
№ 285 а) Ошибка!; Ошибка! Ошибка! x=–1 Ответ: x = – 1. б) Ошибка!;
Ошибка!; Ошибка!; x = 1. Ответ: x = 1. в) Ошибка!;
Ошибка!; Ошибка!. Ответ: x = 10. г) Ошибка!; Ошибка!; x = 24 . Ответ x = 24. № 286 а) 0,71x – 13 = 10 – 0,29x;
в) Ошибка!;
0,71x + 0,29x = 10 + 13;
Ошибка!; Ошибка!;
x = 23.
www.5balls.ru
Ответ: 23.
x = 1,68. Ответ: 1,68.
б) Ошибка!;
г) Ошибка!;
Ошибка!; Ошибка! ; x = 27.
Ошибка!; Ошибка!; x = 2,64.
Ответ: 27.
Ответ: 2,64.
№ 287 а) 1,2 + Ошибка! = Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 18. Ответ: x = 18. б) Ошибка!;
Ошибка!; Ошибка!; x = 27. Ответ: 27. в) Ошибка!;
Ошибка!; Ошибка!; x = 1,68. Ответ: 1,68. г) Ошибка!;
Ошибка!; Ошибка!; x = 2,64. Ответ: 2,64.
№ 288 Пусть x – страниц в книге;
Ошибка!x + 240 = x; Ошибка!; x = 400 – страниц в книге. Отвтет : 400.
№ 289 Пусть x м. – длина дистанции;
Ошибка! · x + 3125 = x; Ошибка!; x = 5000 м. – длина дистанции. Ответ: 5000 м.
№ 290 3,2 · Ошибка!; 3,2 – 2 = 1,2 – льняного шоита. Ответ: 1,2 т.
www.5balls.ru
№ 291 Пусть х т. – масса одного мотора. Тогда Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 14 т. – масса первого мотора;
Ошибка!. Ответ: 14; 38.
№ 292 Пусть x – первое число. Тогда Ошибка!
Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 120 – первое число;
Ошибка!; Ошибка!. Ответ: 120; 64; 312.
№ 293 Пусть х – неизвестное число;
Ошибка!; Ошибка!; х = 42. Ответ: 42.
№ 294 Пусть х – неизвестное число;
Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; х = 60 – это неизвестное число. Ответ: 60.
№ 295 Пусть х – второе число. Тогда 2,5 · х – первое число; 2,5 + 1,5 = х + 8,4; 1,5 · х = 6,9; х = 4,6 – второе число; 2,5 · 4,6 = 11,5 – первое число. Ответ: 4,6; 11,5.
№ 296 Пусть х – второе число.
www.5balls.ru
Тогда 1,5 · х – первое число; 2 · 1,5 · х = Ошибка!;
Ошибка!; Ошибка!; х = 9 – второе число; 1,5 · 9 = 13,5 – первое число. Ответ: 9; 13,5
№ 297 2 3 2
2 3 4
2 3 2
2 3 2 = 102b2c3d2 + 54 b2c3d2;
а) 42b c d + 54b c d + 48b c d + 12b c d 8m2c3d2
б) 1,
2 3 4
2 3 2
2 3 2 = 102b2c3d2 + 54 b2c3d2
+ 54b c d + 48b c d + 12b c d
.
№ 298 2 2 n + а) Ошибка!a b c Ошибка! a2b2cn + Ошибка!a2b2cn = Ошибка! 2 2 n+ 2 2 n+ 2 2 n= a b c Ошибка!a b c Ошибка! a b c = a2b2cn ; Ошибка! n n n+ n n n + 0,01 n n n + n n n = 3,1 n n n + б) 3,09x y z Ошибка! x y z x y z Ошибка! x y z x y z + 0,1 n n n + 0,05 n n n = 3,25 n n n.
x y z
x y z
x y z
№ 299 3
3
3
3
3
3
3
а) – 1,4a – (– 0,09a ) + (– 1,5a ) + 2a = – 1,31a + 0,5a = – 0,81a ; 4
4
4
4
4
4
б) 3,9x + (– 2,7x ) – (– 0,8x ) + (– 2x ) = 1,2x – 1,2x = 0.
№ 300 а) – Ошибка! + Ошибка!– Ошибка!– Ошибка! = – Ошибка! – Ошибка! + Ошибка! – Ошибка! = – Ошибка!c; б) – Ошибка!– Ошибка!– Ошибка!+ Ошибка!= – Ошибка!+ Ошибка!– Ошибка!– Ошибка!= Ошибка!. № 301 а) 3x · 2y + 5x · 2y + 6x · 2y = 6xy + 10xy + 12xy = 28xy; б)
2
2
1,2a b
+ 8,8a b =
8a2b
+
3,2aba
2
2
+
6,8aab
+
8,8baa
=
2
1,2a b
+
2
3,2a b
+
2
6,8a b
+
+ 12a b = 20a b;
Ошибка!xy2x + Ошибка!xyxy + Ошибка!xy2x = Ошибка!x2y2 + Ошибка!x2y2 + Ошибка!x2y2 = x2y2; 3 8 2 5 3 7 2 г) 1Ошибка!mn r + Ошибка!n r nr m + Ошибка!mr n nr = Ошибка! 3 8 3 8 mn r + Ошибка!mn r + 3 8 3 8.. + Ошибка!mn r = 2Ошибка!mn r в)
№ 302 2
2
2
2
2
а) 12a b – 3aba – 4baa = 12a b – 3a b – 4a b = 5a b; 3 2
2
3 2
3 2
3 2
3 2
б) 31c d – 12cdc d – 3cdccd = 31c d – 12c d – 3c d = 16c d ; 2 3
2 2
3 3
4 3
4 4
4 4
в) 21xyx y x – 8x y xyxy – 2xy x y – 3x y y = 21x y – 8x y –
www.5balls.ru
4 4
4 4
n n
n–1 n
4 4
– 2x y – 3x y = 8x y ; г) 5z q – 3z
q z–q
n–1
zqz
n–1
n n
n n
n n
n n
=5z q – 3z q – z q = z q .
№ 303 а) Ошибка!abca + Ошибка!b(– a)ca – Ошибка!acba + Ошибка!(– b)aca =
Ошибка!a2bc – Ошибка!a2bc – Ошибка!a2bc – Ошибка!a2bc = – Ошибка!a2bc; 2 б) 3nmr · 4n – Ошибка!nm · Ошибка!· nr + Ошибка!n m · Ошибка!r = =
2
2
2
2
= 12n mr – n mr – n mr = 10n mr.
№ 304 2 4
2 4
2 4
2 4
2 4
2 4
2 4
(16x y – 13x y ) + (23x y + 10x y ) = 3x y + 33x y = 36x y .
№ 305 3 4
3 2
3 2
3 2
(43a b + (– 27a b )) + (34a b – 20a b ) = 3 4
3 2
3 2
3 4
3 2
= 43a b – 27a b + 14a b = 43a b – 13a b .
№ 306 4
4
4
4
(2,38n p + (– 1,48n p)) + (4,72n p – (– 1,28n p)) = 4
4
4
= 0,9n p + 6n p = 6,9n p.
№ 307 3 4
3 4
3 4
3 4
(2,57r n – (– 1,43r n )) – ( – 8,39r n + 5,39r n ) = 3 4
3 4
3 4
= 4r n – (– 3r n ) = 7r n .
№ 308 2 4
2 4 + 5 2 4 + 7 2 4 + 10 2 4;
а) 25a b = 3a b 3 9
a b
3 9
3 9
б) 43x y = 50x y – 7x y ; 8 10
в) 79c d
8 10
= 85 c d
n n n
a b
8 10
– 10c d
n n n
a b
8 10
+ 4c d ;
n n n
n n n
n n n
г) 99p q z = 100p q z + 10p q z – 15p q z + 4p q z .
№ 309 Пусть x кг – апельсинов; 3x кг – бананов.
Ошибка!= Ошибка!x + 70; Ошибка!x – Ошибка!x = 70; Ошибка!x = 70; x = 84 кг – апельсинов; 3 ·84 = 256 – бананов. Ответ: 84; 256.
№ 310 Пусть x км – длина пути, тогда Ошибка!x км – в первый день,
Ошибка!(x – Ошибка!x) км – во второй день. Ошибка!x + Ошибка!(x – Ошибка!x) + 25 = x; Ошибка!x + Ошибка!(x – Ошибка!x) – x = – 25;
www.5balls.ru
Ошибка!x + Ошибка!x – Ошибка!x = – 25; – Ошибка!x = – 25; x = 55. Ответ: 55 км.
№ 311 Пусть x – количество кирпича в начале дня, тогда Ошибка!x – отправили на первую стройку, Ошибка!(x – Ошибка!x) – на вторую стройку. Пусть y – остаток кирпича на складе, тогда Ошибка!y =120, y = 160. Ошибка!x + Ошибка!(x – Ошибка!x) + 120 = x – 160; Ошибка!x + Ошибка!x + 280 = x; Ошибка!x – Ошибка!x – Ошибка!x = 280; Ошибка!x = 280; x = 600. Ответ: 600.
№ 312 Пусть x – некоторое число. (x – 0,15x) + 0,1(x – 0,15x) + 13 = x; 0,85x + 0,085x + 13 = x; x – 0,85x – 0,085x = 13; 0,065x = 13; x = 200. Ответ: 200.
№ 313 Пусть x – задуманное число. (x + 0,12) – 0,24(x + 0,12x) + 186 = x; 1,12x – 0,24 · 1,12x + 186 = x;
Ошибка!x – Ошибка!· Ошибка!x + 186 = x; Ошибка!x – Ошибка!x + 186 = x; Ошибка!x – Ошибка!x = 186; Ошибка!x = 186; x = 1250. Ответ: 1250.
№ 314 Пусть x – учеников 7-х классов; 0,3(Ошибка!x + Ошибка!x) = 21; 0,3 · Ошибка!x = 21; 0,25x = 21; x = 84. Ответ: 84. § 11. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень
№ 315 а) 2x · 3y = 6xy б) 7a · 5b = 35ab;
www.5balls.ru
в) 31c · 3d = 93cd; г) 15z · 3t = 45zt.
№ 316 а) 7a · 2b · 3c = 42abc; 2
2
2
2
3
2 2 3
б) 10x · 2y · 3z = 60x y z ; в) 10m · 5n · 2q = 100mnq; 3
2 2 3
г) 17p · 2q · 0,5s = 17p q s .
№ 317 2
2
3
7
а) 7x · 5x · 6x = 210x ; 2
3
4
2 3 4
б) Ошибка!a · Ошибка!b · Ошибка!c = Ошибка!a b c ; 2 3 8
3 4 9
в) 71x y z · 2xyz = 142x y z ; 2 23
3
3 54
г) 54c d f · cd f = 54c d f .
№ 318 а) – 5a2b · (– 6ab2) = 30a3b3; 2
3 2
б) 41c d · (–4cd) = 164c d ; 3
2 2
5 3
в) – 17x y · (– 2x y ) = 34x y ; 2 2 3
2
3n4p4.
г) – 13m n p · (– 2mn p) = 26m
№ 319 2
3 3
5 4
а) 0,2c d · 5,4c d = 1,08c d ; 2 3
3 4;
б) 2Ошибка!m p · 5Ошибка!mp = 12m p 3
2
5
в) – b · 0,5b = – 0,5b ; 2
2
г) 8x · (– Ошибка!y) = – Ошибка!x y.
№ 320 2 3
2
3 5 2
а) 0,6x y z · 0,8xy z = 0,48x y z ; 2
3
3 4
б) 6Ошибка!n q · 7Ошибка!nq = 46n q ; 3
4
7
в) 0,75d · (– d ) = – 0,75d ; 2
2
3 3
г) – Ошибка!x y · Ошибка!xy = – Ошибка!x y .
№ 321 3 4
8
4 12
а) 5,1p q · (– 2pq ) = – 10,2p q ; 3
4
7
б) – 27z · ( Ошибка!z ) = – 1,62z ; 3
2
2 3 4
в) – 7,81abc · 2ab c = – 15,62a b c ; 2
2 3
3 5
г) Ошибка!xy · (– 0,1x y ) = 0,075x y .
№ 322 2 2
4 2
а) (3a c) = 3a c ; 24
б) (– Ошибка!xy ) = Ошибка! 3 4
12 4;
x4y8
;
в) (– 0,2c d) = 0,0016c d 5
5 5 5
г) (– Ошибка!abc) = – Ошибка!a b c .
www.5balls.ru
№ 323 3 30
а) (– 6x y ) = 1; 24
4 8
б) (– Ошибка!xy ) = Ошибка!x y ; 2 45
10 20
в) (– 10x y ) = – 100000x y ; 3 24
4 12 8
г) – (– 2ax y ) = – 16a x y .
№ 324 2 3 8
2 7
а) 56x y z = 28xy z · 2xyz; 2 3 4
2
2 3
б) 102m n p = 51m np · 2n p ; 9 14 43
в) 0,21c d f
5 3 40
= 0,3c d f 7 9 12
г) Ошибка!r s t
4 11 3
· 0,7c d f ; 3 84
4 8
= Ошибка!r s t · 2r st .
№ 325 3 4
3 5
а) – 6x y · 4x y ; 4 5
3
б) 2xy · (– 3x y ) · 4xy ; 2
2 3
4
в) x y · (– x y ) · (2xy) · 12xy ; 3
3
2
2
г) 24xy · x y · (– y ) · xy · xy .
№ 326 а) 3b · 3b2 = 9b3; 2 4
3
5 5
б) 8a b · (– a b) = – 8a b ; 3 4
4 5
7 9
в) – 4a b · (– 4a b ) = 16a b ; 8 12
г) – 17a b
9 13
· (– 2ab) = 34a b .
№ 327 3 62
6 12
а) (6x y ) = 36x y ; 34
4 12
б) (– 2ab ) = 16a b ; 3 5
15 5
в) (– m n) = – m n ; 2
33
6 3 9
г) (– 3a bc ) = – 27a b c .
№ 328 4
22
а) 81a = (9a ) ; 6
32
б) 36b = (6b ) ; в) 144c
12 4
62
= (12c ) ; 22
г) 169d = (13d ) .
№ 329 6
23
9
33
а) 0,008b = (0,2b ) ; б) 0,027b = (0,3b ) ; в) 0,001y
24
83
= (0,1y ) ; 6
23
г) – Ошибка!a = (– Ошибка!a ) .
www.5balls.ru
№ 330 3
2
3
2
а) 20a · (5a) = 20a · 25a = 500a 5
34
2
6
5
12
6
12
б) – 0,4x · (2x ) = – 0,4x · 16x 6
5;
в) (– c3) · 12c = c · 12c = 12c ; 23
3
17
= – 6,4x ;
3 6
3
6 7
г) (4ac ) · (0,5a c) = 64a c · (0,5a c) = 32a c .
№ 331 6 34
2
24 12
а) (3x y ) · (– Ошибка!xy ) = 81x y 2 33
42
· (– Ошибка!xy 6 9
2)
25 14
=–x y ;
8
14 9
24 4
26 7.
б) ( Ошибка!x y ) · (– 9x ) = Ошибка!x y · 81x = 24x y ; 22
3
4
3
7
в) (3a ) · (– 6a ) = 9a · (– 6a ) = – 54a ; 2 3
6 4
2 3
г) ( Ошибка!x y ) · (2x y) = Ошибка!x y · 16x y = 2x y
№ 332 6
7
а) (0,2b ) · 5b = b ; 7
40
7
б) Ошибка!p · (– 1Ошибка!p ) = Ошибка!p ; 32
6
6
6
12
в) (– c ) · 12c = c · 12c = 12c ; 23
5
6
5
г) (3Ошибка!a ) · 81a = Ошибка!a · 81 · a =3000a
11
№ 333 2 2 2 3 2 4 4 6 а) Ошибка!a b c · 5ab c · Ошибка!ac = Ошибка!· 5 · Ошибка!a b c
4 4 6
=a b c ; б) Ошибка!x5y4z3 · (– 8xy3z) = – x6y7z4; в) 3,5xz3 · (– 3Ошибка!x2z) · (– 5xz) = – 3,5 · 3,5 · (– 5)x4z5 = 61,25x4z5; 3
2
2 2
4 7
4 7
г) 2cd · (– Ошибка!cd ) · (–2c d ) = 2 · Ошибка!· (–2)c d = 2c d .
№ 334 2
2
4 4
а) ab · (– a b) ·(– ab ) = a b ; 2
2 2
5 4
б) x y · xy · (– x y ) = – x y ; 2 5
8 4
11 10
в) mn · (– m n ) · (– m n ) = m n ; 3 4
2 2
6 7
г) (– p q ) · (– pq) · (– 2p q ) = – 2p q .
№ 335 3 2 4 3 а) 1Ошибка!cd · (– Ошибка!c d ) = – c d ; 2 3 7 7 8 б) – Ошибка!a b c · (– 1Ошибка!ab c ) 3 10 15 a3b10c15; a b c = Ошибка! 3
4
=
Ошибка!
·
Ошибка!
7
в) 0,75d · (–d ) = – 0,75d ; 2 3 6
3 4 7
3 4 7..
г) – 14xyz · (– 2Ошибка!x y z ) = 14 · Ошибка!x y z = 39Ошибка!x y z
№ 336 3 44
12 16
а) (0,2a b ) = 0,0016a b ; 2 5 83
б) (1Ошибка!x y z )
Ошибка!x
6 15 24;
= (
Ошибка!x2y5z8)3
y z
www.5balls.ru
=
Ошибка!x6y15z24
= 1
8 7 62
16 14 12
в) ( – 0,3b c d ) = 0,09b c d ; 3 3 30
г) (– Ошибка!a x y ) = 1.
№ 337 2 3 92
4 6 18
а) (– 0,5a b c ) = 0,25a b c ; 2 5 8
2 5 8
б) (1Ошибка!x y z ) = 1Ошибка!x y z ; 8 5 98
64 40 72
в) (– 2a b c ) = 256a b c ; г) (– Ошибка!
x2y3z8)3= –
Ошибка!x6y9z24.
№ 338 2 3 50
а) (–a b c ) = 1; 2 2 84
б) (– 1Ошибка!p q z )
Ошибка!p
= (–
8 8 32
q z ;
3 2 92
Ошибка!p2q2z8)4
Ошибка!p8q8z32
=
= 1
6 4 18;
в) (– 1,6m n p ) = 2,56m n p
9 15 12 2
г) (– 2Ошибка!r s t ) = (–
Ошибка!r
18 30 24
Ошибка!r9s15t12)2 = Ошибка!r18s30t24 = 6
s t .
№ 339 3 4 6
3 5 9
а) 9a b c ;
б) 12a b c ;
в) 5xy z ;
г)4xy z .
3 9
3 6
№ 340 3 49
3 5 9
а) 6c b f ;
2 10 100
в) 2p q r
б) 12a b c ;
9 54 324
;
г) 4a b c
.
№ 341 а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.
№ 342 а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.
№ 343 2 2
23
4 2
3 6
7 8
а) (10a y) · (3ay ) = 100a y · 27a y = 2700a y ; 33
52
3 9
б) (– Ошибка!xy ) · (4y ) = – Ошибка!x y · 16y 6 23
2 4
18 6
64
6 4
8 4
в) – (3x y ) · (– x y) = – 27x y · x y = – 27x y ; 4 24
г) (– 5ab ) · (0,3a b) = 25a b
10
26 10
24 4
3 19
= – 2x y ;
28 28
· 0.0081a b = 0,2025a b .
№ 344 3 42
7
6 8
7
6 15
а) (– 4a b ) · 0,25b = 16a b · 0,25b = 4a b ; 40
5
5
5
б) (– Ошибка!pq ) · (– 27pq ) = 1 · (– 27pq ) = – 27pq ; 2
2
3 4
4 2 2
3 4
5 5 6
в) (0,4a bc) · (– 1,5ab c ) = 0,16a b c · (– 1,5ab c ) = – 0,24a b c ; г) (
16 4..
4 3
Ошибка!m
4
n) · (–32m n) =
12 3
Ошибка!m
m n
www.5balls.ru
4
n · (– 32m n) = –
Ошибка!
№ 345 3 2 2
6 4 2
7 5 3
а) (– 4,5a b y) · (– 2aby) = 20,25a b y · (– 2aby) = – 40,5a b y ; 3 3
2
3 9 3
2
5 10 3
б) (– 3bc d) · (– Ошибка!b cx) = – 27b c d · (– Ошибка!b cx) = b c d x; 3 2 2
3 4
6 4 2
3 4
7 7 6;
в) (– 0,8p x z) · (– 2,5px z ) = 0,64p x z · (– 2,5px z ) = –1,6p x z 23
7
г) (– 3Ошибка!a ) · 81a = (– 13
Ошибка!a2)3 · 81a7 = – Ошибка!a6 · 81a7 =
– 3000a .
№ 346 3 22
а) (– 6a x ) · (–
12 10
Ошибка!a2x2)3 = 36a6x4 · (– Ошибка!a6x6) = – 1Ошибка!
a x ; 3 25
б) (– 4m n )
· (–
22 38;
Ошибка!mn4)7
15 10
= – 1024m n
· (–
Ошибка!m7n28)
=
Ошибка!m n 2 42 5 32 4 8 10 6 14 14 в) (– Ошибка!a c ) · (– 3a c ) = Ошибка!a c · 9a c = Ошибка!a c ; 7 42 6 0 14 8 г) (– Ошибка!a b ) · (– Ошибка!a b) = Ошибка!a b · 1 = 2 Ошибка!a14b8. № 347 2
3
3 2 5
а) (2bc) · (ac) = 4a b c ; 3
2 2
3 4 2
б) (– 3p) · (x y) = – 27p x y ; 4
3 3
4 13 3
422
13 5 4
в) (2cd) · (d n) = 16c d n ; 5
г) (bn) · (9b t ) = 81b n t . § 12. Деление одночлена на одночлен
№ 348 3
2
а) a : a = a; б) y
20
8
:y
18
3
2
=y ; 5
в) x : x = x ; г) z
54
:z
50
4
=z .
№ 349 а) Ошибка!x : 3 = Ошибка!x; = y; б) Ошибка!y : Ошибка! Ошибка! в) Ошибка!a : Ошибка!= – Ошибка!a; г) – Ошибка!b : Ошибка!= 1Ошибка!b. № 350 а) – 8x : (– 4x) = 2; б) 3c : c = 3; в) 7a : (– a) = – 7; г) – 9b : (– b) = 9.
www.5balls.ru
№ 351 3
2
а) 6x : x = 6x; 2
2
б) – 27y : (– 9y ) = 3; 8
8
в) – 15z : z = – 15; 4
3
г) – 90p : (– 5p) = 18p .
№ 352 а) – 19a : (– 19a) = 1; б) – 45b : (– 15b) = 3; в) – 100cd : 20cd = – 5; г) 18dy : 6dy = 3.
№ 353 а) 16abc : 8a = 2bc; б) 24pqr : ( – 4pq) = – 6r; в) – 42cdm : 12c = – 3,5dm; г) – 99xyz : (– 9x) = 11yz.
№ 354 а) 4,8axy : 1,6xy = 3a; б) (– 8,8abc) : 1,1b = – 8ac; в) – 0,81pqs : 0,009pq = – 90s; г) 6,4xz : (–1,3z) = – 4Ошибка!x.
№ 355 а) 18a
12
б) 24b
10
4
8
7 4
2 3
5
: 6a = 3a ;
в) 12a y : 6a y = 2a y;
: 6b
г) 6b x : 3b x = 2b x.
10
5 3
= 4;
№ 356 3 2 6
2
5
а) 44a b c : 11a bc = 4abc; 4 4 2
4 3
б) 198x y z : 2x y z = 99yz; 8 9 4
2 7
8 4 17
6 2 15
6 2 3;
в) 144m n r : 12m n r = 12m n r г) 258p q r
: 3p q r
2 2 2
= 86p q r .
№ 357 а) некорректно; б) корректно; в) некорректно; г) корректно.
№ 358 а) нет; б) да; в) да; г) нет.
№ 359 5 6 7
2 4
3 2 6
а) 30x y z : 6x y z = 5x y z ; 8 11 31
б) 75a b c
11 6 16
в) p m q
3 4 10
: 5a b c 3 2 7
5 7 21
= 15a b c ;
8 4 9
:p m q =p m q ;
www.5balls.ru
3 2
2
2 3 10
г) d n z
5
2 5
: dnz = dn z .
№ 360 2 23
2
6 6
2 2
4 4
а) (5a b ) : (5ab) = 125a b : 25a b = 5a b ; 3 34
4 32
10 14
0
12 12
б) (10x y ) : (2x y ) = 10000x y 10 14
в) ( 49z t ) : (7zt) = 49z t 2 3 4
8 12 4
8 6
4 6
: 4x y = 2500x y ; 10 14
: 1 = 49z t ; 7 11 3
г) (– x y z) : xyz = x y z : xyz = x y z .
№ 361 2 2
2
8 8
2 2
6 6
а) (2m n )4 : (4mn) = 16m n : 16m n = m n ; 3 4
0
3 4
3 4
б) 55p q : (5pq) = 55p q : 1 = 55p q ; 2 3 45
6
10 15 20
в) (– x y z ) : (– xyz) = x y z 3 3
2
3 9 3
6 6 6
4 9 14
:x y z =x y z ; 2 2
3 7
г) (– 5ac d) : (5cd) = – 125a c d : 25c d = – 5a c d.
№ 362 4 а) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!cy ; б) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 3ab; 9 5 в) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!x c ; 3 3.. г) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 6Ошибка!a b
www.5balls.ru
ГЛАВА 4. Многочлены. Операции над многочленами § 13. Основные понятия № 366 а) 3a + 4b – многочлен; б) 5x2 – 3y2 – многочлен; в) 5(5x2 – 12y2) – многочлен; г) (a +1)(b – 2) – многочлен. № 367 а) 5x2 – 6x2 + Ошибка! – не многочлен; б) Ошибка! – не многочлен; в) Ошибка!+ 12z2 – Ошибка! – многочлен; г) 0,3p2 + 13p – 1 – многочлен. № 368 а) 3x2 + 5y + Ошибка! – не многочлен; б)Ошибка!– Ошибка!+ Ошибка!+ Ошибка! – многочлен; в) 9x3 – 4y2 – 5 – многочлен; г) Ошибка!+ Ошибка!+ Ошибка!– Ошибка! – многочлен. № 369 а) 5a + 8a2 – 2,5ab; б) 5a – 4ab + 8a2 – 2,5ab; в) 5a – 4ab + 8a2; 12a – 2,5ab – a2; г) 5a – 4ab + Ошибка!. № 370 а) 0,5x2 + 12xy + 4xy2; б) 0,5x2y – xy2 – 3xy2; в) 0,5x2y – xy2 + 12xy; –3x2y – 0,2xy + 4xy2 г) 12xy – 3x2y + Ошибка! – 0,2xy. № 371 а) 5x2–3x2 – x3 = 2x2 – x3; в) 7y3 + y3 + 12y3 = 20y3; Ошибка!dn = Ошибка!dn.
б) 1,2c5 + 2,8c5 – 4c5; г) Ошибка!dn – Ошибка!dn +
№ 372 а) 5x2 – 3xy – 2xy = 5x2 – 5xy; б) 7a2b – 5a2b + ab2 + 2ab2 = 2a2b + 3ab2; в) 3t2 – 5t2 – 11t – 3t2 + 5t + 11 = –5t2 – 6t + 11; 71
www.5balls.ru
г) z3 + 2z2 + z3 – 4z – z2 = 2z3 + z2 – 4z. № 373 а) 4b2 + a2 + 6ab – 11b2 – 6ab = –7b2 + a2; б) 3a2x + 3ax2 5a3 – 3ax2 – 8a2x – 10a3 = –5a2x – 5a3; в) 9x3 – 8xy – 6y2 – 9x3 – xy = – 9xy – 6y2; г) m4 – 3m3n + n2m2 – m2n2 = m4 – 3m3n. № 374 а) m · m · m · m – n · n · n = m4 – n3; б) pq · pq – qp · qp = (pq)2 – (qp)2 = (qp)2 – (qp)2 = 0; в) 3s · 2r + 2rs + 4r · 8s = 6rs + 2rs + 32rs = 40rs; г) 12m · 2n – 3m · 4n – 7m · 8n = 24mn – 12mn – 56mn = –44mn. № 375 а) 4p3 · 2p + 3p2 · 4p + 2p2 · 2p2 – 2p3 · 4 = 8p4 + 12p3 + 4p4 – 8p3 = = 12p4 + 4p3; б) y · 2y – 3y – y2 – 5 + 2y · y – y · 5 + y · 7y2 = = 2y2 – 3y – y2 – 5 + 2y2 – 5y + 7y3 = 7y3 + 3y2 – 8y – 5; в) x · Ошибка!x + Ошибка!x + 0,8x – x · Ошибка!x – x = Ошибка!x2 + Ошибка!x + Ошибка!x – Ошибка!x2 – x = = Ошибка!x2+ Ошибка!x; г) 5/6a · a 1/3a – 0,6a · a + a · 0,1a = Ошибка!a2 + Ошибка!a 0,6a2 + 0,1a2 = = Ошибка!a + Ошибка!a2. № 376 а) 2x · 4y – 3x · 2y – 0,2x · 5y + y · 5x – 5xy + 8xy = = 8xy – 6xy – xy + 5xy – 5xy + 8xy = 9xy; б) x · p · x · x – p · 3px – p · 4x3 + 7p · x · p = = x3 · p – 3p2 · x – 4x3 · p + 7p2 · x = 4p2 · x – 3x3 · p; в) 7x · a · x + a · 2a · x + x · 9x · a – 8a · x · a = = 7x2 · a + 2a2x + 9x2a – 8a2x = 10x2a – 6a2x; г) 15r3s – s · r · s · r2 – 3s · r · r · r + 2r2 · s · r = 15r3s – 5r3s + 2r3s = 9r3s. № 377 а) 15p + 18p2 + 4 – 12p + 3p2 – p4 = –p4 + 21p2 + 3p + 4; б) 1,4x2 – 4,1x3 + x – 3,1 + x + 1,3x3 = –2,8x3 + 1,4x2 + 2x – 3,1; в) Ошибка!a + Ошибка!a2 – Ошибка!a2 + Ошибка! – Ошибка!a = – Ошибка!a2 – Ошибка!a + Ошибка!; г) 0,2y4 – 3,5y – 1,2y4 – 1 + 3,5y = – y4 – 1.
72
www.5balls.ru
№ 378 а) a3b + a2b – 3ab + 2a2b + 2ab2 = a3b + 3a2b + 2ab2 – 3ab; при а = – 1; b = 2; (– 1) 3 · 2 + 3 · (– 1) 2 · 2 + 2 · 1 · 22 – 3 · (– 1) · 2 = = – 2 + 6 + 8 + 6 = 18; б) Ошибка!x – Ошибка!y3 + 0,3x – x + Ошибка!y2 = – 0,2x + Ошибка!y2; при x = 5; y = Ошибка!; – 0,2 · 5 + Ошибка! · Ошибка! = – 1 + Ошибка! = – Ошибка!; в) m4 – 3m3n + m2n2 – m3n – 4m2n2 = m4 – 4m3n – 3m2n2; при m = – Ошибка!; y = Ошибка!; Ошибка! – 4 · Ошибка! · Ошибка! – 3 · Ошибка!· Ошибка!; г) 6p2q – 5pq2 + 5p3 + 2pq2 – 8p3 – 3p2q = 3p2q – 3pq2 – 3p3. № 379 а) x3 + 2x2 + 7x + 8x – x3 – x2 – x2 = 15x; 15x = 1; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. б) 0,5y3 + 2,7y2 + 3,5y + 6,5y – 0,5y3 – 2y2 – 0,7y2 = 10y; 10y = 1; y = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. в) 3z4 – z2 + 4z + z + z2 – 2z4 – z4 + 8 = 5z + 8; 5z + 8 = 1; 5z = – 7; z = – Ошибка!; z = –1Ошибка!. Ответ: – 1,4 г) 6p3 – p2 + 4p3 + p2 – 10p3 – 3p + 19 = – 3p + 19; –3p + 19 = 1; 3p = 18; p = 6. Ответ: 6. № 380 3a + 11; a = 5x + 4; 11 + 3(5x + 4) = 11 + 15x +12 = 15x + 23. № 381 14 – 8a; a = 3x2 – 4x + 2; 14 – 8(3x2 – 4x + 2) = 14 – 24x2 + 32x – 16 = – 24x2 + 32x – 2. № 382 а) c · Ошибка!c – 0,1c5 – c3 + c · c2 · 2c2 – c · Ошибка!c + c · c · c = = Ошибка!c2 – 0,1c5 – c3 + 2c5 – Ошибка!c2 + c3 = 2c5 – 0,1c5 + Ошибка!c2 – Ошибка!c2 = 73
www.5balls.ru
= 1,9c5 + Ошибка!c2; б) Ошибка!m · m – m · Ошибка!m · m + 0,5m + m · m · 1/8m – 1/3m2 + Ошибка!m = = Ошибка!m2 – Ошибка!m3 + 0,5m + Ошибка!m3 + Ошибка!m = = Ошибка!m3 – Ошибка!m3 – Ошибка!m3 + Ошибка!m3 + Ошибка!m2 + m = – Ошибка!m3 +
1 2 m + m; 9
в) aba + aa – a · 2ab + bab – 2ba · 2b – 6a · 2b2 – aa= = a2b + a2 – 2a2b + ab2 – 4b2a – 12ab2 – a2 = – a2b – 15ab2; г) y · 2yy – y · 5xy + x· 3xy – xy · 6y + x · 12xy – y3= = 2y3 – 5xy2 + 3x2y – 6xy2 + 12x2y – y3 = y3 – 11xy2 + 15x2y. № 383 а) 12m · 0,2 m3 + 3,5m · 2m – 27 + 4,5m2 · 0,2m – 15m = = 2,4m4 + 7m2 – 27 + 0,9m3 – 15m = 2,4m4 + 0,9m3 + 7m2 – 15m – 27; б) 3,6r · 5r2 – 0,4r2 · 7r + 1,4r3 – 10r2 · 2r + 15r · 0,5r2 = = 18r4 – 2,8r3 + 1,4r3 – 20r3 +7,5r3 = 18r4 – 13,r3; в) 9a3 · 0,3a – 12a · 0,4a2 + 7a · 0,2a3 + 1,7a2 · (– 3a) – 13a · 0,5a = = 2,7a4 – 4,8a3 + 1,4a4 – 5,1a3 – 6,5a2 = 1,3a4 – 9,9a3 – 6,5a2; г) 0,5b · 4b2 – 5b · 0,3b – 3b2 · (–0,2b) + 14b2 · 0,5 – 25b · 0,3b2 = 2b3 – – 1,5b2 + 0,6b3 + 7b2 – 7,5b3 = – 4,9b3 + 5,5b2. № 384 а) 5a – 13 + 8a – 7a + 25 + (– 6a) = 12; б) 7b – 15 + 10a – 2a + 13 – 8a = 7b – 2; в) 12a – 23 + 2a – 3a + b + (– 11a) = b – 23; г) 8a2 – 7a2 – 4 + (– a2) = – 4. № 385 а) a2 + 2a2 – b2 – 3c + (– 3a2) = – b2 – 3c; б) 3ax2 – 5x3 +4a2 + 8x2a2 – 5 + 11a2 + (– 15a2 = 3ax2 – 5x3 + 8x2a – 5; в) 2x2 + 3ax – 9a2 + 8x2 – 5ax + 8a2 + a2 = 10x2 – 2ax; г) 2y2 – 5ay + a2 + 7y2 + 3ay – 5a2 + 4a2 = 9y2 – 2ay. № 386 а) 7x + 4y – 11; y = 3x2 – 12x + 5; 7x + 4(3x2 – 12x + 5) – 11 = 7x + 12x2 – 48x + 20 – 11 = 12x2 – 41x + 9; б) 13a + 6b – 7; b = 4 – a2 + 3a; 13a + 6(4 – a2 + 3a) – 7 = 13a + 24 – 6a2 + 18a – 7 = – 6a2 + 31a + 17. № 387 Пусть x = 3a +12; y = 13 – a; z = 5 +4a; а) x + y + z = 3a + 12 +13 – a + 5 + 4a = 6a + 30; 74
www.5balls.ru
б) x – y + z = 3a + 12 – 13 + a + 5 + 4a = 8a + 4; в) y – x + z = 13 – a – 3a – 12 + 5 + 4a = 6; г) z – x – y = 5 +4a – 3a – 12 – 13 + a = 2a – 20. № 388 Пусть a = 3x2 + 4x + 8; b = 1,2 – 2x2 – 7x; c = 12,5x2 – 3,5x + 21,8; а) a + b + c = 3x2 + 4x + 8 + 1,2 – 2x2 – 7x + 12,5x2 – 3,5x + 21,8 = = 13,5x2 – 6,5x + 31; б) a – b + c = 3x2 + 4x + 8 – 1,2 + 2x2 + 7x + 12,5x2 – 3,5x + 21,8 = = 17,5x2 + 7,5x + 28,6; в) b – a – c = 1,2 – 2x2 – 7x – 3x2 – 4x – 8 – 12,5x2 + 3,5x – 21,8 = = – 17,5x2 – 7,5x – 28,6; г) c– b – a =12,x2 – 3,5x + 21,8 – 1,2 + 2x2 + 7x – 3x2 – 4x – 8 = = 11,5x2 – 0,5x + 12,6. № 389 Пусть R = 5a3 + 4a2b + 8ab2 – 24b3, L = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3, m = –12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3; а) R + L + m = 5a3 + 4a2b + 8ab2 – 24b3 + 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 + + (– 12a3) + 9a2b – 4ab2 + 15b3 = 8b3; б) L + R – m = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 + 5a3 + 4a2b +8ab2 – 24b3 + + 12a3 – 9a2b + 4ab2 – 15b3 = 24a3 – 18a2b + 8ab2 – 22b3; в) m – L – r = – 12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3 – 7a3 + + 13a2b + 4ab2 – 17b3 – 5a3 – 4a2b – 8ab2 + 24b3 = = – 24a3 + 18a2b – 8ab2 +22b3; г) L – R + m = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 – 5a3 – 4a2b – 8ab2 + 24b3 – – 12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3 = – 10a3 – 8a2b – 16ab2 + 56b3.
§ 14. Сложение и вычитание многочленов № 390 Найдите P(a) = P1(a) + P2(a), если а) P1(a) = 2a + 5; P2(a) = 3a – 7; P(a) = 2a + 5 + 3a – 7 = 5a – 2; б) P1(a) = 7 – 2a; P2(a) = – 1 – 5a; P(a) = 7 – 2a – 1 – 5a = – 7a + 6; в) P1(a) = 3a – 4; P2(a) = 11 – 3a; P(a) = 3a – 4 + 11 – 3a = 7; г) P1(a) = – 4 – 3a; P2(a) = 7 – 8a; P(a) = – 4 – 3a + 7 – 8a = 11a + 3. № 391 Найдите P(x) = P1(x) + P2(x), если : 75
www.5balls.ru
а) P1(x) = 2x3 + 5; P2(x) = 3x3 + 7; P(x) = 2x3 + 5 + 3x3 + 7 = 5x3 + 12; б) P1(x) = 6x2 – 4; P2(x) = 5x2 – 10; P(x) = 6x2 – 4 + 5x2 – 10 = 11x2 – 14; в) P1(x) = 4x5 +2x + 1; P2(x) = x5 + x – 2; P(x) = 4x5 +2x + 1 + x5 + x – 2 = 5x5 + 3x – 1; г) P1(x) = x11 + x6 – 3; P2(x) = 2x11 + 3x6 + 1; P(x) = x11 + x6 – 3 + 2x11 + 3x6 + 1 = 3x11 + 4x6 – 2. № 392 Найдите P(a,b) = P1(a,b) +P2(a,b) а) P1(a,b) = a + 3b; P2(a,b) = 3a – 3b; P(a,b) = a + 3b + 3a – 3b = 4a; б) P1(a,b) = a2 – 5ab – 3b2; P2(a,b) = a2 + b2; P(a,b) = a2 – 5ab – 3b2 + a2 + b2 = 2a2 – 5ab – 2b2; в) P1(a,b) = 8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3; P2(a,b) = 18a3 – 3a2b – 5ab2 + 2b3; P(a,b) = 8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3 + 18a3 – 3a2b – 5ab2 + 2b3 = = 26a3 – 10a2b +3b3; г) P1(a,b) = 10a4 – 7a3b – a2b2 + 6; P2(a,b) = = 17a4 – 10a3b + a2b2 + 3; P(a,b) =10a4 – 7a3b – a2b2 + 6 + 17a4 – 10a3b + a2b2 + 3 = 27a4 – – 17a3b + 9. № 393 Найдите P(y) = P1(y) – P2(y), если: а) P1(y) = 2y2 + 8y – 11; P2(y) = 3y3 – 6y + 3; P(y) = 2y2 + 8y – 11 – 3y3 + 6y – 3 = – 3y3 + 2y2 + 14y – 14; б) P1(y) = 4y4 + 4y2 – 13; P2(y) = 4y4 – 4y2 + 13; P(y) = 4y4 + 4y2 – 13 – 4y4 + 4y2 – 13 = 8y2 – 26; в) P1(y) = y3 – y + 7; P2(y) = y3 + 5y +11; P(y) = y3 – y + 7 – y3 – 5y – 11 = – 6y – 4; г) P1(y) = 15 – 7y2; P2(y) = y3 – y2 – 15; P(y) = 15 – 7y2 – y3 + y2 + 15 = – y3 – 6y2 + 30. № 394 Найдите P(c,d) = P1(c,d) – P2(c,d), если: а) P1(c,d) = 3c2 + d; P2(c,d) = 2c2 – 3d; P(c,d) = 3c2 + d – 2c2 + 3d = c2 + 4d; б) P1(c,d) = 5c4 + 3c2d – d3; P2(c,d) = 2c2 – 3c2d + d2; P(c,d) = 5c4 + 3c2d – d3 – 2c2 + 3c2d – d2 = 5c4 + 6c2d – d3 – d2 – 2c2; в) P1(c,d) = 12c2d – 3cd2 + 4; P2(c,d) = 6c2d – 5cd2 + 2c; P(c,d) = 12c2d – 3cd2 + 4 – 6c2d + 5cd2 – 2c = 6c2d + 2cd2 – 2c + 4; г) P1(c,d) = c2 + 2cd + d2; P2(c,d) = 5c2 – 6cd – 7d2; 76
www.5balls.ru
P(c,d) = c2 + 2cd + d2 – 5c2 + 6cd + 7d2 = – 4c2 + 8cd + 8d2. № 395 а) (5x – 3) + (7x – 4) = 8 – (15 – 11x); 5x – 3 + 7x – 4 = 8 – 15 + 11x; 12x – 11x = – 7 + 7; x = 0. Ответ: 0. б) (4x + 3) – (10x + 11) = 7 + (13 – 4x); 4x + 3 – 10x – 11 = 7 + 13 – 4x; 4x – 10x + 4x = 20 + 11 – 3; – 2x = 28; x = – 14. Ответ: –14. в) (7 –10x) – (8 – 8x) + (10x +6) = – 8; 7 – 10x – 8 + 8x + 10x + 6 = – 8; 8x = – 8 – 6 + 8 – 7; x = – Ошибка!; x = – 1Ошибка!. Ответ: – 1Ошибка!. г) (2x + 3) + ( 3x + 4) + (5x + 5 ) = 12 – 7x; 2x + 3 + 3x + 4 + 5x + 5 = 12 – 7x; 10x + 7x = 12 – 12; 17x = 0; x = 0. Ответ: 0. № 396 а) Ошибка!y – Ошибка!= 0,55; Ошибка!y – Ошибка!y + 1,25 = 0,55; – Ошибка!y = 0,55 – 1,25; – Ошибка!y = – 0,7; y = 8,4. Ответ: 8,4. б) Ошибка!x – Ошибка!= – 0,4; Ошибка!x – Ошибка!x + 2,4 = – 0,4; Ошибка!x = – 0,4 – 2,4; Ошибка!x = – 2,8; x = – 67,2. Ответ: – 67,2. в) Ошибка!x – (0,25x – 3) = 1,2; 0,75x – 0,25x + 3 = 1,2; 0,5x = – 1,8; 77
www.5balls.ru
x = – 3,6. Ответ: – 3,6. г) Ошибка!x – (2,5x – 3) = 1,8; 0,5x – 2,5x +3 = 1,8; – 2x = – 1,2; x = 0,6. Ответ: 0,6. № 397 а) x – 1; б) (x – 0,5) + (x – 1) + (x – 1,5) = 3x –3; в) x + x – 0,5 = 2x – 0,5; г) x + (x – 0,5) + (x – 1) + (x – 1,5) = 4x – 3. № 398 P1(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1; P2(a) = 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a; P3(a) = 2a5 + 3a4 – a3 + a2; а) P1(a) + P2(a) + P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 + 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a + + 2a5 + 3a4 – a3 + a2 = 7a3 + 2a2 + a + 1 + 7a4 + 2a5; б) P1(a) – P2(a) + P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 – 4a4 – 6a3 + 2a2 – 2a + + 2a5 + 3a4 – a3 + a2 = 2a5 – a4 – 5a3 + 6a2 – 3a + 1; в) P1(a) + P2(a) – P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 + 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a – – 2a5 – 3a4 + a3 – a2 = – 2a5 – 3a4 + a3 – a2; г) P1(a) – P2(a) – P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 – 4a4 – 6a3 + 2a2 – 2a – 2a5 – – 3a4 + a3 – a2 = – 2a5 – 7a4 – 3a3 + 4a2 – 3a + 1. № 399 P1(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3; P2(x,y) = 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3; P3(x,y) = 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2; а) P(x,y) = P1(x,y) + P2(x,y) + P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 + + 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3 + 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2 = = 67x3 – 30x2y + 8xy2 – 4y3 + y2; б) P(x,y) = P1(x,y) – P2(x,y) + P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 – – 20x3 + 15x2y – 4xy2 + 3y3 + 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2 = = 17x3 + 10x2y + 2y3 + y2; в) P(x,y) = P1(x,y) + P2(x,y) – P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 + + 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3 – 10x3 – 12x2y + 5xy2 – y2 = = 37x3 – 44x2y + 18xy2 – 4y3 – y2; г) P(x,y) = P1(x,y) – P2(x,y) – P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 – – 20x3 + 15x2y – 4xy2 + 3y3 – 10x3 – 12x2y + 5xy2 – y2 = = – 3x3 – 24x2y + 10xy2 + 2y3 – y2. № 400 а) 2x2 – (2x2 – 5x) – (4x – 2) = 5; 2x2 – 2x2 + 5x – 4x + 2 = 5; 78
www.5balls.ru
x = 5 – 2; x = 3. Ответ: 3. б) 3y3 – (3y3 – 6y) – (3y + 4) = 2; 3y3 – 3y3 + 6y – 3y – 4 = 2; 3y = 6; y =2. Ответ: 2. в) (x2 – 7x – 11) – (5x2 – 13x – 18) = 16 – 4x2; x2 – 7x – 11 – 5x2 + 13x + 18 = 16 – 4x2; x2 – 5x2 + 4x2 – 7x + 13x = 16 – 18 +11; 6x = 9; x = 1,5. Ответ: 1,5. г) (y2 – 5y – 19) – (5y2 – 6y – 9) = 26 – 4y – 4y2; y2 – 5y – 19 – 5y2 + 6y + 9 = 26 – 4y – 4y2; y2 – 5y2 + 4y2 – 5y + 6y + 4y = 26 – 9 + 19; 5y = 36; y =7,2. Ответ: 7,2. № 401 Второй столбец 4x + 1 0 – 4mn – 2c2d – 3cd2 + 8
а) 9x + 7 – 5x – 6 = 4x + 1; б) a3 + 2a2b + b3 – a3 – 2a2b – b3 = 0; в) m2 – 2mn + n2 – m2 – 2mn – n2 = – 4mn; г) 0 – 2c2d – 3cd2 + 8 = – 2c2d – 3cd2 + 8.
№ 402 а) 6a2 – (2 – (1,56a – (a2 + 0,36a)) + (5,5a2 + 1,2a – 1)) = = 6a2 – (2 – 1,56a + a2 + 0,36a + 5,5a2 + 1,2a – 1) = = 6a2 – a2 – 5,5a2 + 1,56a – 0,36a – 1,2a – 2 + 1 = 0,5a2 – 1; б) (a2 + 2x2) – (5a2 – 1,2ax + (2,8x2 – (1,5a2 – 0,5ax + 1,8x2))) = = a2 + 2x2 – (5a2 – 1,2ax + (2,8x2 – 1,5a2 + 0,5ax – 1,8x2)) = = a2 + 2x2 – (5a2 – 1,2ax + 2,8x2 – 1,5a2 + 0,5ax – 1,8x2) = = a2 + 2x2 – 5a2 + 1,2ax – 2,8x2 + 1,5a2 – 0,5ax + 1,8x2 = = a2 – 5a2 +1,5a2 + 2x2 – 2,8x2 + 1,8x2 + 1,2ax – 0,5ax = = – 2,5a2 + x2 + 0,7ax; в) 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 – ( – 10x2 + (5,5x2 – 6y2))) = = 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 – ( – 10x2 + 5,5x2 – 6y2)) = = 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 + 10x2 – 5,5x2 + 6y2) = = 12,5x2 + y2 – 8x2 + 5y2 – 10x2 + 5,5x2 – 6y2 = = 12,5x2 – 8x2 – 10x2 + 5,5x2 + y2 + 5y2 – 6y2 = 0; 79
www.5balls.ru
г) (y3 + 3z2) – (y3 – 6az + (2y3 – (3z2 + 4az – 1,2y3))) = = y3 + 3z2 – (y3 – 6az + (2y3 – 3z2 – 4az + 1,2y3)) = = y3 + 3z2 – (y3 – 6az + 2y3 – 3z2 – 4az + 1,2y3) = = y3 + 3z2 – y3 + 6az – 2y3 + 3z2 + 4az – 1,2y3 = = y3 – y3 – 2y3 – 1,2y3 +3z2 + 3z2 +6az + 4az = = – 3,2y3 + 6z2 + 10az.
§ 15. Умножение многочлена на одночлен № 403 а) 2x(x2 + 5x + 3) = 2x3 10x2 + 6x; б) – 2xy(x2 + 2xy – y2) = – 2x3y – 4x2y2 + 2xy3; в) 3y(y3 – 3y – 4) = 3y4 – 9y2 – 12y; г) – 5mn(m3 + 3m2n – n3) = – 5m4n – 15m3n2 + 5mn4. № 404 а) x2y2 (x + y) = x3y2 + x2y3; б) – c3d4 (c2 – d3) = – c5d4 + c3d7; в) – p5q8 (p3 + 3pq – q4) = – p8q8 – 3p6q9 + p5q12; г) r7s12 (r10 + 2rs – s5) = r17s12 + 2r8s13 – r7s17. № 405 а) 3x(x + y) – 3x2 = 3x2 + 3xy – 3x2 = 3xy; б) 7a(a – b) – 7a2 = 7a2 – 7ab – 7a2 = – 7ab; в) 5c(c2 – d2) – 5c3 = 5c3 – 5cd2 – 5c3 = – 5cd2; г) 10m( m5 + n6) – 10m6 + 10mn6 – 10m6 = 10mn6. № 406 а) 3x(x – 5) – 5x(x + 3) = 3x2 – 15x – 5x2 – 15x = – 2x2 – 30x; б) 2y(x – y) + y(3y – 2x) = 2xy – 2y2 + 3y2 – 2xy = y2; в) 2a(a –b) + 2b(a + b) = 2a2 – 2ab + 2ab +2b2 = 2a2 + 2b2; г) 3p(8c + 1) – 8c(3p – 5) = 24pc + 3p – 24pc + 40c = 3p + 40c. № 407 а) 5x(2x – 3) – 2,5x(4x – 2) = 10x2 – 15x – 10x2 + 5x = – 10x; При x = – 0,01; – 10x = – 10 · (– 0,01) = 0,1. Ответ: 0,1. б) 5a(a2 – 4a) – 4a(a3 – 5a) = 5a3 – 20a2 – 4a3 + 20a2 = a3; При a = – 3; a3 = (– 3) 3 = – 27. Ответ: – 27. в) 12(2 – p) + 29p – 9(p + 1) = 24 – 12p + 29p – 9p – 9 = 8p + 15; При p = Ошибка!; 8p + 15 = 8 · Ошибка!+ 15 = 17. Ответ: 17. 80
www.5balls.ru
г) 3(3d – 1) + 7(2d + 1) = 9d – 3 + 14d + 7 = 23d + 4; При d = 2Ошибка!; 23d + 4 = 23 · Ошибка! + 4 = 54. Ответ: 54. № 408 а) 3(x – 1) – 2(3 – 7x) = 2(x –2); 3x – 3 – 6 + 14x = 2x – 4; 17x – 2x = – 4 + 9; 15x = 5; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. б) 10(1 – 2x) = 5(2x – 3) – 3(11x – 5); 10 – 20x = 10x – 15 – 33x + 15; – 20 – 10x + 33x = – 10; 3x = – 10; x = – 3Ошибка!. Ответ: – 3Ошибка!. в) 2(x + 3) – 3(2 – 7x) = 2(x – 2); 2x + 6 – 6 +14x = 2x – 4; 16x – 2x = – 4; 14x = – 4; x = – Ошибка!. Ответ: – Ошибка! г) 5(3x – 2) = 3(x +1) – 2(x +2); 15x – 10 = 3x + 3 – 2x – 4; 15x – x = 3 –4 + 10; 14x = 9; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка! № 409 а) Ошибка!= 1; 2x + 1 = 1; 2x = 4; x = 2. Ответ: =2. б) Ошибка!= Ошибка!; 11 – 3x = 2; 3x = 9; x = 3. Ответ: 3. в) Ошибка!= Ошибка!; 81
www.5balls.ru
3x + 7 = 6x + 4; – 3x = – 3; x = 1. Ответ: 1. г) Ошибка! = 5x + Ошибка!; 7x – 3 = 30x + 3; 23x = – 6; x = – Ошибка!. Ответ: – Ошибка!. № 410 а) Ошибка! + Ошибка! = 2; 7(2x + 1) + 5(3x + 1) = 70; 14x + 7 + 15x + 5 = 70; 29x = 58; x = 2. Ответ: 2. б) Ошибка! – Ошибка! = 2; 10(8x – 3) – 7(3x + 1) = 140; 80x – 30 – 21x – 7 =140; 59x = 177; x = 3. Ответ: 3.
в) 2x – Ошибка! = Ошибка!; 2x · 3 = 2x + 3 + x – 6; 6x = 3x – 3; 3x = – 3; x = – 1. Ответ: – 1. г) Ошибка! – Ошибка! = 2. 7(x+14) – 5(6x + 1) =70; 7x + 98 – 30x – 5 =70; – 23x = – 23; x = 1. Ответ: 1.
№ 411 а) 2x2 – x(2x – 5) – 2(2x – 1) – 5 = 0; 2x2 – 2x2 + 5x – 4x + 4 – 5 = 0; x = 5 – 4; x = 1. Ответ: 1. б) 6x(x + 2) – 0,5(12x2 – 7x) – 31 = 0; 6x2 + 12x – 6x2 + 3,5x – 31 = 0; 15,5x = 31; x = 2. Ответ: 2. в) 12x(x – 8) – 4x(3x – 5) = 10 – 26x; 12x2 – 96x – 12x2 + 20x = 10 – 26x; –76x + 26x = 10 – 26x; –50x = 10; x = – Ошибка!. Ответ: – 1,2. г) 8(x2 – 5) – 5x(x + 8) = 3x2 – 11x + 18; 8x2 – 40 – 5x2 – 40x = 3x2 – 11x + 18; 82
www.5balls.ru
8x2 – 5x2 – 3x2 – 40x + 11x = 19 + 40; –29x = 58; x = –2. Ответ: – 2. № 412 Пусть t ч. – время затраченное первым велосипедистом. Тогда (t – 0,5) ч. – время затраченное вторым велосипедистом. 12t = 14(t – 0,5); 12t = 14t – 7; 2t = 7; t = 3,5 ч. Значит расстояние между пунктами А и В равно 3,5 · 12 = 42 км. Ответ: 42 км. № 413 Пусть V Ошибка! – скорость лодки. Тогда (V + 3) Ошибка! – скорость лодки по течению; (V – 3) Ошибка! – скорость лодки против течения; 6 · (v + 3) + 4(v – 3) = 126; 6v + 18 + 4v – 12 = 126; 10v + 6 = 126; 10v = 120; V = 12 Ошибка! – скорость лодки. Ответ: 12 Ошибка!. № 414 Пусть t ч. – время затраченное на обратный путь. Тогда (t + 1) ч. – затраченно на обратный путь. 10(t + 1) = 15t; 10t + 10 = 15t; 5t = 10; t = 2 ч. Значит расстояние равно 2 · 15 = 30 км. Ответ: 30 км. № 415 Пусть V Ошибка! – скорость катера. Тогда (V + 2) Ошибка! – скорость катера по течению; (V – 2) Ошибка! – скорость катера против течения; 4(V + 2) + 3(V – 2) = 93; 4v + 8 + 3v – 6 = 93; 7v + 2 = 93; 7v = 91; v = 13 Ошибка!. 83
www.5balls.ru
Ответ: 13 Ошибка! № 416 а) 14a · Ошибка! + 25a2 · Ошибка! = 2a · (a + 2) + 5a2 · (4 – 3a) = = 2a2 + 4a + 20a2 – 15a3 = – 15a3 + 22a2 + 4a; б) 24b3 · Ошибка! + 26b2 · Ошибка! = = 4b3 (b3 + b – 1) + 2b2 (b3 – 3b2 + 4) = = 4b6 + 4b4 – 4b3 + 2b5 – 6b4 + 8b2 = 4b6 + 2b5 – 2b4 – 4b3 + 8b2; в) 3r2 · Ошибка! + 5r · Ошибка! = 30r2 (5r2 – 4) + 10r(7r3 – 3r) = = 150r4 – 120r2 + 70r4 – 30r2 = 220r4 – 150r2; г) 8a · Ошибка! – 9a2 · Ошибка! = = 20a(13a3 – 12a2 + 5) – 30a2 (4a2 + 12a – 1) = 260a4 – 240a3 + 100a – – 120a4 – 360a3 + 30a2 = 140a4 – 600a3 + 30a2 + 100a. № 417 а) 18a2 · Ошибка! – 2a · Ошибка! + a4 – 3a3 + a2 = = 2a2 (a2 – 3a + 1) – 5a(a3 – 3a2 + a) + a4 – 3a3 + a2 = 2a4 – 6a3 + 2a2 – – 5a4 + 15a3 – 5a2 + a4 – 3a3 + a2 = – 2a4 + 6a3 – 2a2; б) 12x · Ошибка! – 27y · Ошибка! – y(y + 1) = 2x(x +y) – 3y(2x – y) – y2 – y = = 2x2 + 2xy – 6xy + 3y2 – y2 – y = 2x2 + 2y – 4xy – y; в) 33c3 · Ошибка! – 10c · Ошибка! + c4 – 3c = = 3c3 (c+1) – 2c(c3 – 5c2 + c) + c4 – 3c = = 3c4 + 3c3 – 2c4 + 10c3 – 2c2 + c4 – 3c = 2c4 + 13c3 – 3c; г) 28p2 · Ошибка! – 3p · Ошибка! + 2p4 + 10p3 – 2p2 = = 40p2 (p2 + 5p – 1) – 30p(p3 + 0,5p2 – p) + 2p4 + 10p3 – 2p2 = = 40p4 + 200p3 – 40p2 – 30p4 – 15p3 + 30p2 + 2p4 + 10p3 – 2p2 = = 12p4 + 195p3 – 12p2. № 418 a = 3x2 + 4x – 8, b = 2x2 – 7x + 12, c = 5x2 + 3x – 27; а) 2(3x2 + 4x – 8) + 3(5x2 + 3x – 27) + 4(2x2 – 7x + 12) = = 6x2 + 8x – 16 + 15x2 + 9x – 81 + 8x2 – 28x + 48 = 29x2 – 11x – 49; б) 7x(3x2 + 4x – 8) – 12x + 15x(5x2 + 3x – 27) – 13 = = 21x3 + 28x2 – 56x – 12x + 75x3 + 45x2 – 405x – 13 = = 96x3 + 73x2 – 473x – 13; в) 72x(3x2 + 4x – 8) – 4(2x2 – 7x + 12) + 3x(5x2 + 3x – 27) + 4 = = 216x3 + 288x2 – 576x – 8x2 + 28x – 48 +15x3 + 9x2 – 81x + 4 = = 31x3 + 289x2 – 629x – 44; г) 0,1x2 (3x2 + 4x – 8) + 0,5x(5x2 + 3x – 27) – 0,6x3 (2x2 – 7x + 12) – 17= = 0,3x4 + 0,4x3 – 0,8x2 + 2,5x3 + 1,5x2 – 13,5x – 1,2x5 + 4,2x4 – 7,2x3 – – 17 = – 1,2x5 + 4,5x4 – 4,3x3 + 0,7x2 – 13,5x – 17. 84
www.5balls.ru
№ 419 x = 3a2 + 4, y =12a – 13, z = a2 – a + 1, r = 5a3, L = 12a2, m = 4a а) 2(3a2 + 4) + 5a3 (12a – 13) – 12a2 (a2 – a + 1) = = 6a2 + 8 + 60a4 – 65a3 – 12a4 + 12a3 – 12a2 = 48a4 – 53a3 – 60a2 + 8; б) 12a2 (3a2 + 4) – 3 · 4a(12a – 13) = 36a4 + 48a2 – 144a2 + 156a = = 36a4 – 96a2 + 156a; в) 5a3 (3a2 + 4) + 12a2 (12a – 13) – 4a(a2 – a + 1) = 15a5 + 20a3 + + 144a3 – 156a2 – 4a3 + 4a2 – 4a = 15a5 + 160a3 – 152a2 – 4a; г) 4a(3a2 + 4) – 12a2 (a2 – a + 1) + 4 · 5a3 (3a2 + 4) – 14 = = 12a3 + 16a – 12a4 + 12a3 – 12a2 + 60a5 + 80a3 – 14 = = 60a5 – 12a4 + 104a3 + 16a – 14. № 420 x(3 + 2) – x2 (x + 3) + (x3 2x + 9) = 3x2 + 2x – x3 – 3x2 + x3 – 2x + 9 = 9. Тождественно равно 9. № 421 2 3
6x(x – 3) – 9( x 2 – 2x +4) = 6x2 – 18x – 6x2 + 18x – 36 = – 36. Тождественно равно – 36. № 422 а)Ошибка! + Ошибка! + Ошибка!= x – 1; 2(2x – 3) + 7x – 13 +3(5 – 2x) = 6(x –1); 4x – 6 + 7x – 13 + 15 – 6x = 6x – 6; 5x – 6x = – 6 + 4; x = – 2; x = 2. Ответ: 2. б) Ошибка! + Ошибка! + Ошибка! = 4 – x; 4(x – 2) + 5(2x – 5) + 4x – 1 = 20(4 – x); 4x – 8 + 10x – 25 + 4x – 1 = 80 – 20x; 20x + 4x + 10x + 4x = 80 + 8 + 25 + 1; 38x = 114; x = 3. Ответ: 3. в) Ошибка! + Ошибка! + Ошибка!= 3x – 2; 2(5x – 4) + 3x – 2 + 6x – 3 = 18x – 12; 10x + 3x + 6x – 18x = – 12 + 3 + 2 + 8; x = 1. Ответ: =1. г) x2 – 5x + 3 – Ошибка! = Ошибка!; 3(x2 – 5x + 3) – (3x2 – 5x – 7) = 1; 3x2 – 15x + 9 – 3x2 + 5x + 7 = 1; 85
www.5balls.ru
–10x = 1 – 7 – 9; –10x = – 15; x =1Ошибка!. Ответ: 1Ошибка! № 423 а) 2x + x(3 – (x + 1)) = x(2 – x) + 12; 2x + 3x – x2 – x = 2x – x2 + 12; 4x = 2x – x2 + 12; 2x = 12; x = 6. Ответ: 6. б) x(2x + 3) – 5(x2 – 3x) = 3x(7 – x); 2x2 + 3x – 5x2 + 15x = 21x – 3x2; 18x = 21x – 3x2 + 5x2 – 2x2; –3x = 0; x = 0. Ответ: 0. в) x(4x + 11) – 7(x2 – 5x) = – 3x(x + 3); 4x2 + 11x – 7x2 + 35x = – 3x2 – 9x; 4x2 – 7x2 + 3x2 + 11x + 35x + 9x = 0; 55x = 0; x = 0. Ответ: 0. г) x(12 – x) – 5 = 4x – x(10 – (3 – x)) ; 12x – x2 – 5 = 4x – 10x + 3x – x2; 12x – 4x + 10x – 3x = 5; 15x = 5; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. № 424 Пусть t ч. – время затраченное пешеходом. Тогда (t – 0,25) ч. – время затраченное велосипедистом. 4t + 12(t – 0,25) = 17; 4t + 12t – 3 = 17; 16t = 20; t = 1Ошибка! ч. 1Ошибка! · 4 = 5 км – прошел пешеход. (1Ошибка! – Ошибка!) · 12 = 12 км – проехал велосипедист. Ответ: 5; 12. № 425 Пусть х км – прошел в первый день. 86
www.5balls.ru
Тогда (х – 5) км – во второй день; Ошибка!(х + (х – 5)) – в третий день. Ошибка!(2x – 5) + x + x – 5 = 110; 2x – 5 + Ошибка!(2x – 5) = 110; Ошибка!(2x – 5) = 110; 2x – 5 = 77; 2x = 82; x = 41 км – в первый день; 41 – 5 = 36 км – во второй день; Ошибка!(2 · 41 – 5) = 33 км – в третий день. Ответ: 41; 36; 33. № 426 Пусть х Ошибка! – скорость первого самолета. Тогда 1,5х Ошибка! – скорость второго самолета. 0,5x + 0,5 · 1,5x = 2400 – 1400; 1,25x = 1000; x = 800 Ошибка! – скорость первого самолета. 1,5 · 800 = 1200 Ошибка! – скорость второго самолета. Ответ: 800 Ошибка!; 1200 Ошибка!. № 427 Пусть х Ошибка! – скорсть велосипедиста. Тогда 4х Ошибка! – скорость автомобиля. Ошибка!x + Ошибка! · 4x = 30 – 10; 2x = 20; x = 10 Ошибка! – скорость велосипедиста. 4 · 10 = 40 Ошибка! – скорость автомобиля. Ответ: 10 Ошибка!. № 428 Пусть х га – убрал за день первый фермер. Тогда (х – 2,5) га – убрал за день второй фермер. 8x = 10(x – 2,5) + 2; 8x = 10x – 25 + 2; 2x = 23; x = 11Ошибка! га – убрал первый фермер за день. 11Ошибка! – 2Ошибка! = 9 га – убрал за день второй фермер. Ответ: 11Ошибка! га; 9 га. № 429 Пусть х деталей изготовил ученик за 2 часа. Тогда (х + 8) деталей изготовил мастер. 6x + 8(x + 8) = 232; 6x + 8x + 64 = 232; 14x = 168; x = 12 – деталей изготовил ученик. 87
www.5balls.ru
Ответ: 12 деталей. № 430 Пусть х жителей в первом поселке. Тогда 2х жителей живет во втором поселке. (2х – 400) жителей живет в третем поселке. x + 2x + (2x – 400) = 6000; 5x = 6400; x = 1280 – жителей в первом поселке. 2 · 1280 = 2560 – жителей во втором поселке. 2560 – 400 = 2160 – жителей в третьем поселке. Ответ: 1280; 2560; 2160. № 431 Пусть х рабочих – во втором цехе. Тогда 1,5х рабочих в первом цехе. (х – 200) рабочих в третем цехе. 1,5x + x – 200 = 800; 2,5x = 1000; x = 400 – рабочих во вторм цехе. Ответ: 400 рабочих. № 432 Пусть х деталей изготовил третий цех. Тогда 3х деталей изготовил вторй цех. (3х + х) деталей изготовил первый цех. x + 3x + 3x + x =2648; 8x = 2648; x = 331 деталей изготовил третий цех. 3 · 331 = 993 детали изготовил второй цех. 4 · 331 = 1324 детали изготовил первый цех. Ответ: 1324; 993; 331. № 433 Пусть V = (Vв – Vп) Ошибка! – разность скорости велосипедиста и пешехода. Тогда Ошибка!V = 10 – 2; V = 10 Ошибка! – разность между скоростями. 2 · 10 = 20 км. – расстояние между ними. Ответ: 20 км. № 434 Пусть V = (Vв – Vп) Ошибка! – разность скорости велосипедиста и пешехода. 88
www.5balls.ru
Тогда Ошибка!V = 7 – 1; Ошибка!V = 6; V = 8 Ошибка! – разность скоростей. 1,5 · 8 = 12 км. Ответ: 12 км.
§ 16. Умножение многочлена на многочлен № 435 а) (x +1)(x + 2) = x(x + 1) + 2(x+1) = x2 + x + 2x + 1 = x2 + 3x + 1; б) (a – 3)(a + 8) = a(a + 8) – 3(a + 8) = a2 + 8a – 3a – 24 = a2 + 5a – 24; в) (b + 10)(b – 4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2 – 4b + 10b – 40 = = b2 + 6b – 40; г) (y – 5)(y – 9) = y(y – 5) – 9(y – 5) = y2 – 5y – 9y + 45 = y2 – 14y + 45. № 436 а) (x – 5)(9 – x) = 9(x – 5) – x(x – 5) = 9x – 45 – x2 + 5x = = –x2 + 14x – 45; б) (y – 10)(–y – 6) = –y(y – 10) – 6(y – 10) = –y2 + 10y – 6y + 60 = = – y2 + 4y – 60; в) (b + 10)(b – 4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2 – 4b + 10b – 40 = = b2 + 6b – 40; г) (–7 – b)(a – 4) = a( –7 – b) – 4( –7 – b) = –7a – ab + 28 + 4b. № 437 а) (2a + 4)(5a + 6) = 2a(5a + 6) + 4(5a + 6) = 10a2 +32a + 24; б) (7b – 3)(8b + 4) = 7b(8b + 4) – 3(8b + 4) = 56b2 + 4b – 12; в) (8c + 12)(3c – 1) = 8c(3c – 1) + 12(3c – 1) = 24c2 + 28c + 12; г) (15d + 27)(–5d – 9) = –75d2 – 135d – 135d – 243 = = –75d2 – 270d – 243. № 438 а) (m2 + n)(m + n) = m2 (m + n) + n(m + n) = m3 + m2n + mn + n; б) (2x2 – 1)(x + 3) = 2x2 (x + 3) – (x + 3) = 2x3 + 6x2 – x + 3; в) (3y2 + 5)(y – 6) = 3y2 (y – 6) + 5(y – 6) = 3y3 + 5y – 18y2 – 30; г) (7c2 – 1)(c – 3) = 7c2 (c – 3) – (c – 3) = 7c3 – 21c2 – c + 3. № 439 а) (3a + 5)(3a – 6) + 30 = 9a2 + 15a – 18a – 30 + 30 = 9a2 – 3a; б) (8 – y)(8 + y) – (y2 + 4) = 64 – y2 –y2 – 4 = 60 – 2y2; в) x(x – 3) + (x + 1)(x + 4) = x2 – 3x + x2 + 5x + 4 = 2x2 + 2x + 4; г) (c + 2)c – (c + 3)(c – 3) = c2 + 2c – c2 + 9 = 2c + 9. 89
www.5balls.ru
№ 440 а) 0,3a(4a2 – 3)(2a2 + 5 = 0,3a(8a4 – 6a2 + 20a2 – 15) = = 0,3(8a4 + 14a2 – 15) = 2,4a4 + 4,2a2 – 4,5; б) 1,5x(3x2 – 5)(2x2 + 3) = 1,5x(6x4 – x2 – 15 = 9x5 – 1,5x3 – 22,5x; в) 3p(2p + 4) · 2p(2p – 3) = 6p2 (4p2 + 2p – 12) = 24p4 + 12p3 – 72p2; г) –0,5y(4 – 2y2)(y2 + 3) = –0,5y(4y2 – 2y4 + 12 – 6y2) = y3 + y5 – 6y. № 441 а) (3m3 + 5)(3m2 – 10) = 3m3 (3m2 – 10) + 5(3m2 – 10) = =9m5 + 15m2 – 30m3 – 50; б) (4n5 – 1)(2n3 + 3) = 4n5 (2n3 + 3) – (2n3 + 3) = 8n8 – 2n3 + 12n5 – 3; в) (5k4 + 2)(6k2 – 1) = 5k4 (6k2 – 1) + 2(6k2 – 1) = 30k6 + 12k2 – 5k4 – 2; г) (6p8 – 4)(2p2 + 5) = 6p8(2p2 + 5) – 4(2p2 + 5) = 12p10 – 8p2 + 30p8 –20. № 442 а) (a + 2)(a2 – a – 3) = a3 + 2a2 – a2 – 2a – 3a – 6 = = a3 + a2 – 5a – 6; б) (5b – 1)(b2 – 5b + 1) 5b3 – b2 – 25b2 + 5b + 5b – 1 = = 5b3 – 26b2 + 10b – 1; в) (m – n + 1)(m + n) = m2 + mn – mn – n2 + m + n = = m2 – n2 + m + n; г) (c – 2d)(c + 2d – 1) = (c – 2d)(c + 2d) – c + 2d = = c2 – 4d2 – c + 2d. № 443 а) (x2 – xy + y2)(x + y) =x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2) = = x3 – x2y + y2x + yx2 – x2y + y3 = x3 + y3; б) (n2 + np + p2)(n – p) = n(n2 + np + p2) – p(n2 + np + p2) = = n3 + n2p + np2 – pn2 – np2 – p3 = n3 – p3; в) (a + x)(a2 + ax + x2) = a(a2 + ax + x2) + x(a2 + ax + x2) = = a3 + a2x + ax2 + xa2 + ax2 + x3 = a3 + x3 + 2ax2 + 2a2x; г) (c2 + cd + d2)(c – d) = c(c2 + cd + d2) – d(c2 + cd + d2) = = c3 + c2d + cd2 – dc2 – d2c – d3 = c3 – d3. № 444 а) (2a+ 3b)(4a2 – 6ab + 9b2) = 2a(4a2 – 6ab + 9b2) + + 3b(4a2 – 6ab + b2) = 8a3 – 12a2b + 18ab2 + 12a2b – 18ab2 + 27b2 = = 8a3 + 27b3; б) (5x + 2y)(25x2 + 10xy + 4y2) = = 5x(25x2 + 10xy + 4y2) + 2y(25x2 + 10xy + 4y2) = = 125x3 + 50x2y + 20xy2 + 50yx2 + 20xy2 + 8y3; 90
www.5balls.ru
в) (5 – 2a + a2)(4a2 – 3a – 1) = 20a2 – 8a3 + 4a4 – 15a + 6a2 – 3a3 – 5 + + 2a – a2 = 4a4 – 11a3 + 25a2 – 13a – 5; г) (m2 – m + 2)(3m2 + m – 2) = 3m4 – 3m3 + 6m2 + m3 – m2 + 2m – 2m2 + + 2m – 4 = 3m4 – 2m3 + 3m2 + 4m – 4. № 445 а) (a – 1)(a – 2) – (a – 5)(a + 3) = a2 – 3a + 2 – a2 + 2a + 15 = 17 – a = = 17 + 8 = 27; б) (a – 3)(a + 4) – (a + 2)(a + 5) = a2 + a – 12 – a2 – 7a – 10 = = –6a – 24 = 1 – 24 = – 23; в) (a – 7)(a + 4) – (a + 3)(a – 10) = a2 – 3a – 28 – a2 + 7a + 30 = = 4a + 2 = –0,6 + 2 = 1,4; г) (a + 2)(a + 5) – (a + 3)(a + 4) = a2 + 7a + 10 – a2 – 7a – 12 = = 10 – 12 = –2. № 446 а) 12x2 – (4x – 3)(3x + 1) = –2; 12x2 – 12x2 + 5x + 3 = –2; 5x + 5 = 0; x = – 1. Ответ: –1. б) (x + 1)(x + 2) – (x + 3)(x + 4) = 0; x2 + 3x + 2 – x2 – 7x – 12 = 0; –4x – 10 = 0; x = – 2,5. Ответ: – 2,5. в) 10x2 – (2x – 3)(5x – 1) = 31; 10x2 – 10x2 + 17x – 3 = 31; 17x = 34; x = 2. Ответ: 2. г) 16x2 – (4x – 1)(4x – 3) =13; 16x2 – 16x2 + 16x – 3 = 13; 16x = 16; x = 1. Ответ: 1. № 447 а) (3x + 5)(4x – 1) = (6x – 3)(2x + 7); 12x2 + 17x – 5 = 12x2 + 36x – 21; 19x = 16; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. 91
www.5balls.ru
б) (5x – 1)(2 – x) = (x – 3)(2 – 5x); 11x – 2 – 5x2 = 17x – 6 – 5x2; 6x =4; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. в) (5x + 1)(2x – 3) = (10x – 3)(x + 1); 10x2 – 13x – 3 = 10x2 + 7x – 3; 20x = 0; x = 0. Ответ: 0. г) (7x – 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3); 7x2 + 34x – 5 = 7x2 + 24x + 9; 10x = 14; x = 1Ошибка!. Ответ: 1Ошибка!. № 448 Пусть х м. – длина прямоугольника. Тогда (х – 20) м. – его ширина. (x – 10)(x – 20 + 6 = x(x – 20) + 12; x2 – 10x – 20x + 200 + 6x = x2 – 20x + 12; –4x + 200 = 12; 4x = 188; x = 47; 47 – 20 = 27 м. – ширина прямоугольника. Ответ: 47; 27. № 449 Пусть х – наименьшее натуральное число из этих чисел. Тогда (x + 1) – второе число. (х + 2) – третее число. (х + 3) – четвертое число. (x + 2)(x + 3) – x(x + 1) = 58; x2 + 5x + 6 – x2 – x = 58; 4x = 52; x = 13; 13 + 1 = 14 – второе число. 13 + 2 = 15 – третее число. 13 + 3 = 16 – третее число. Ответ: 13; 14; 15; 16. № 450 Пусть х см. – длина прямоугольника. Тогда Ошибка!см. – ширина прямоугольника. (x + 10)(30 – x – 6) = x(30 – x) – 32; (x + 10)(24 – x) = 30x – x2 – 32; 14x + 240 – x2 = 30x – x2 – 32; 92
www.5balls.ru
16x = 272; x = 17 см. – длина прямоугольника. Из того что площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину следует, что S = 17 · (30 – 17) = 17 · 13 = 221 см2. Ответ: 221 см2. № 451 Пусть х – меньшее число. Тогда (х + 1) – второе число. (х + 2) – третее число. x2 + 65 = (a + 1)(a +2); x2 + 65 = x2 + 3a + 2; 3x = 63; x = 21 – первое число. 21 + 1 = 22 – второе число. 21 + 2 = 23 – третее число. Ответ: 21; 22; 23. № 452 а) a(3a2 – 4)(3a2 + 4) = (3a3 – 4a)(3a2 + 4) = 9a5 – 12a3 + 12a3 – 16a = = 9a5 – 16a; б) (a – 5)(a + 5)(a2 + 25) = (a2 – 5a + 5a – 25)(a2 + 25) = = (a2 – 25)(a2 + 25) = a4 – 25a2 + 25a2 – 625 = a4 – 625; в) (a2 + 9)(a +3)(a – 3) = (a2 + 9)(a2 – 3a + 3a – 9) = (a2 + 9)(a2 – 9) = = a4 – 9a2 + 9a2 – 81 = a4 – 81; г) (a2 + 16)(a – 4)(a + 4) = (a2 + 16)(a2 – 4a + 4a – 16) = = (a2 + 16)(a2 – 16) = a4 – 16a2 + 16a2 – 256 = a4 – 256. № 453 а) (3,5p – 1,2k)(3,5p + 1,2k) = 12,25p2 – 4,2p + 4,2p – 1,44 = = 12,25p2 – 1,44; б) (1,7s + 0,3t2)(0,3t2 – 1,7s) = 0,09t4 – 0,51st2 + 0,51st2 – 2,89s2 = = 0,09t4 – 2,89s2; в) (2,4m2 – 0,8n2)(0,8n2 + 2,4m2) = = 5,76m4 – 1,92m2n2 + 1,92m2n2 – 0,64n4 = 5,76m4 – 0,64n4; г) (1,3x3 – 1,8y2)(1,8y2 + 1,3x3) = = 1,69x6 – 2,34y2x3 + 2,34y2x3 – 3,24y4 = 1,69x6 – 3,24y4. № 454 а) (a2 + a – 1)(a2 – a + 1) = a4 – a3 + a2 + a3 – a2 + a – a2 + a – 1 = = a4 – a2 + 2a – 1; б) (m2 + 2m – 1)(m2 – 2m + 1) = m4 + 2m3 – m2 – 2m3 – 4m2 + 2m + m2 + + 2m – 1 = m4 – 4m2 + 4m – 1; 93
www.5balls.ru
в) (2x2 + 3x + 2)(–2x2 + 3x – 2) = = – 4x4 – 6x3 – 4x2 + 6x3 + 9x2 + 6x – 4x2 – 6x – 4 = –4x4 + x2 – 4; г) (b3 + 5b + 3)(– b3 – 5b + 3) = –b6 – 5b4 –3b3 – 5b4 – 25b2 – 15b + + 3b3 + 15b + 9 = 9 – b6 – 10b4 – 25b2. № 455 а) (m – 1)(m3 + m2 + m +1) =m4 – m3 + m3 – m2 + m2 – m + m – 1=m4 – 1; б) (2 – s)(16 + 8s + 4s2 + 2s3 + s4) = = 32 – 16s + 16s – 8s2 + 8s2 – 4s3 + 4s3 – 2s4 + 2s4 – s5 = 32 – s5; в) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = = x4 + x3y – x3y – x2y2 +x2y2 + xy3 – xy3 – y4 = x4 – y4; г) (a + 3)(81 – 27a + 9a2 – 3a3 + a4) = 81a + 243 – 27a2 – 81a + 9a3 + + 21a2 – 3a4 – 9a3 + a5 + 3a4 = 243 – 6a2 + a5. № 456 Пусть х см. – длина первого прямоугольника. Тогда (61 – х) – ширина первого прямоугольника; (х – 5) см. – длина второго прямоугольника; (61 – (х – 5) см. – ширина второго прямоугольника; (x – 5)(66 – x) – 120 = x(61 – x); 66x – 330 + 5x – x2 – 120 = 61x – x2; 9x = 450; x = 50 см. Из того что площадь прямоугольника равна произведению его сторон следует: 50 · (61 – 50) = 50 · 11 = 550 см2 – площадь первого; 550 + 120 = 670 см2 – площадь второго прямоугольника. Ответ: 550 см2; 670 см2. № 457 Пусть х см. – длина прямоугольника. Тогда (120 – х) см. – ширина прямоугольника. (x – 14)(130 – x) – 4 = x(120 – x); 130x – 1820 + 14x – x2 – 4 = 120x – x2; 24x = 1824; x = 76 см. – длина прямоугольника; 120 – 76 = 44 см. – ширина прямоугольника. Ответ: 44 см.; 76 см. № 458 Пусть х – первое число. Тогда (х + 3) – второе число; (х + 6) – третее число. x(x + 6) + 54 = (x + 3)(x + 6); x2 + 6x + 54 = x2 + 9x + 18; 3x = 36; 94
www.5balls.ru
x = 12 – первое число; 12 + 3 = 15 – второе число; 12 + 6 = 18 – третее число. Ответ: 12; 15; 18. № 459 Пусть х – первое число. Тогда (х + 12) – второе число; (х + 24) – третее число. x(x + 12) + 432 = (x + 12)(x + 24); x2 + 12x + 432 = x2 + 36x + 288; 24x = 144; x = 6 – первое число; 6 + 12 = 18 – второе число; 6 + 24 = 18 – третее число. Ответ: 6; 12; 18. № 460 Пусть х – первое число. Тогда (х + 3) – второе число; (х + 8) – третее число; (х + х + 3) – четвертое число. x(x + 3) = (x + 8)2 – (2x + 3) – 74,2; x2 + 3x = x2 + 8x + 8x + 64 – 2x – 3 – 74,2; 8x + 8x – 2x – 3x = –64 + 3 + 74,2; 11x = 13,2; x = 1,2 – первое число; 1,2 + 3 = 4,2 – второе число; 1,2 + 8 = 9,2 – третее число; 2 · 1,2 + 3 = 5,4 – четвертое число. Ответ: 1,2; 4,1; 9,2; 5,4.
§ 17. Формулы сокращенного умножения № 461 а) (a + x) 2 = a2 + 2ax + x2; б) (b – y) 2 = b2 – 2by + y2; в) (c + d) 2 = c2 + 2cd + d2; г) (m – n) 2 = m2 – 2mn + n2. № 462 а) (x + 1) 2 = x2 + 2x + 1; б) (y – 2) 2 = y2 – 4y + 4; в) (a – 5) 2 = a2 – 10a + 25; 95
www.5balls.ru
г) (c + 8) 2 = c2 + 16c + 64. № 463 а) (7 – a) 2 = 49 – 14a + a2; б) (9 + b) 2 = 81 + 18b + b2; в) (4 + n) 2 = 16 + 8n + n2; г) (12 – p) 2 = 144 – 24p + p2. № 464 а) (–x + 1) 2 = 1 – 2x + x2; б) (–z – 3) 2 = z2 + 6z + 9; в) (–n + 8) 2 = 64 – 16n + n2; г) (–m – 10) 2 = m2 – 20m + 100. № 465 а) (2a + 1) 2 = 4a2 + 4a + 1; б) (3c – 2) 2 = 9c2 – 12c + 4; в) (6x – 3) 2 = 36x2 – 36x + 9; г) (7y + 6) 2 = 49y2 + 84y + 36. № 466 а) (8x + 3y) 2 = 64x2 + 48xy + 9y2; б) (6m – 4n) 2 = 36m2 – 48mn + 16n2; в) (9p – 2q) 2 = 81p2 – 36pq + 4q2; г) (10z + 3t) 2 = 100z2 + 60zt + 9t2. № 467 а) ( –3a + 5x)2 = 25x2 – 30ax + 9a2; б) (– 6y – 2z)2 = 36y2 + 24yz +4z2; в) (– 3m + 4n) 2 = 16n2 – 24mn + 9m2; г) (–12z – 3t)2 =9t2 + 72tz + 144z2. № 468 а) (0,2x – 0,5a) 2 = 0,04x – 0,2xa + 0,25a2; б) Ошибка! = 9n2 + Ошибка!mn + Ошибка!; в) Ошибка! = 36a2 – 2a + Ошибка!; г) (10c + 0,1) 2 = 100c + 2cy + 0,01y2. № 469 а) (x2 + 1) 2 = x4 + 2x2 + 1; б) (y2 – 6) 2 = y4 – 12y2 + 36; в) (p2 – 10) 2 = p4 – 20p2 + 100; г) (q2 + 8) 2 = q4 + 16q2 + 64. № 470 а) (a2 + 3x) 2 = a4 + 6a2x + 9x2; б) (b2 – 5y) 2 = b4 – 10b2y + 25y2; 96
www.5balls.ru
в) (m2 – 6n) 2 = m4 – 12m2n + 36n2; г) (r2 + 4s) 2 = r4 + 8r2s + 16s2. № 471 а) (c2 + d2) 2 = c4 + 2c2d2 + d4; б) (m2 – n3) 2 = m4 – 2m2n3 + n6; в) (p2 – q2) 2 = p4 – 2p2q2 + q4; г) (z2 + t3) 2 = z4 + 2z2t3 + t6. № 472 а) (a3 + 3b) 2 = a4 + 6a2b + 9b2; б) (4x2 – 3c) 2 = 16x4 – 24x2x + 9c2; в) (5m2 + 3n2) 2 = 25m4 + 30m2n2 + 9n4; г) (6p2 – 8q3) 2 = 36p4 – 96p2q3 + 64q6. № 473 а) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!a2 – 5ab + Ошибка!b2 = = 5Ошибка!a2 – 5ab 1Ошибка!; б) Ошибка!0,81x2 + 2Ошибка!xy + Ошибка!y2 = = 0,81x2 + 2Ошибка!xy + 2Ошибка!; в) Ошибка!1,44x2 + 10xy + Ошибка!y2 = = 1,44x + 10xy + 17Ошибка!; г) Ошибка!
625 2 b – 5ab + 5,29a2 = 529
= 1Ошибка!b2 – 5ab + 5,29a2.
№ 474 а) 792 = (80 – 1) 2 = 6400 – 160 + 1 = 6241; б) 392 = (40 – 1) 2 = 1600 – 80 + 1 = 1521; в) 592 = (60 – 1) 2 = 3600 – 120 + 1 = 3481; г) 692 = (70 – 1) 2 = 4900 – 140 + 1 = 4761. № 475 а) 212 = (20 + 1) 2 = 400 + 40 + 1 = 441; б) 312 = (30 + 1) 2 = 900 + 60 + 1 = 961; в) 612 = (60 + 1) 2 = 3600 + 120 + 1 = 3721; г) 912 = (90 + 1) 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281. № 476 а) 422 = (40 + 2) 2 = 1600 + 160 + 4 = 1764; б) 622 = (60 + 2) 2 = 3600 + 240 + 4 = 3844; в) 822 = (80 + 2) 2 = 6400 + 320 + 4 = 6724; г) 322 = (30 + 2) 2 = 900 + 120 + 4 = 1024. 97
www.5balls.ru
№ 477 а) 982 = (100 – 2) 2 = 10000 – 400 – 4 = 9596; б) 282 = (30 – 2) 2 = 900 – 120 – 4 = 776; в) 882 = (90 – 2) = 8100 – 360 + 4 = 7736; г) 582 = (60 – 2) 2 = 3600 – 240 – 4 = 3356. № 478 а) Ошибка! = 144 + 2 + Ошибка! = 146Ошибка!; б) Ошибка! = 49 + 4 + Ошибка! = 53Ошибка!; в) Ошибка! = 169 + 6 + Ошибка! = 175Ошибка!; г) Ошибка! = 49 + 3 + Ошибка! = 52Ошибка!. № 479 а) Ошибка! = 169 – 2 + Ошибка! = 167Ошибка!; б) Ошибка! = 225 – 4 + Ошибка! = 221Ошибка!; в) Ошибка! = 1600 – 2 + Ошибка! = 1598Ошибка!; г) Ошибка! = 256 – 6 + Ошибка! = 250Ошибка!. № 480 а) (a – b)(a + b) = a2 – b2; в) (m – n)(m + n) = m2 – n2;
б) (c – d)(c + d) = c2 – d2; г) (p – q)(p + q) = p2 – q2.
№ 481 а) (x – 1)(x + 1) = x2 – 1; б) (c – 2)(c + 2) = c2 – 4; 2 в) (10m – 4)(10m + 4) = 100m – 16; г) (8a – 1)(8a + 1) = 64a2 – 1. № 482 а) (3b – 1)(3b + 1) = 9b2 – 1; б) (6x – 2)(6x + 2) = 36x2 – 4; в) (10m – 4)(10m + 4) = 100m2 – 16; г) (8a – 1)(8a + 1) = 64a2 – 1. № 483 а) (4a – b)(4a + b) = 16a2 – b2; б) (x + 7)(7 – x) = 49 – x2; в) (4b + 1)(4b – 1) = 16b2 – 1; г) (5m + 2)(5m – 2) = 25m2 – 4. № 484 а) (3x – 5y)(3x + 5y) = 9x2 – 25y2; б) (7a – 8b)(7a + 8b) = 49a2 – 64b2 в) (13c – 11d)(13c + 11d) = 169c2 – 121d2; 98
www.5balls.ru
г) (8m – 9n)(8m + 9n) = 64m2 – 81n2. № 485 а) (5x – 2y2)(5x + 2y2) = 25x2 – 4y4; б) (2c – 3a2)(2c + 3a2 = 4c2 – 9a4; в) (10p3 – 7q)(10p3 + 7q) = 100p6 – 49q2; г) (8d + 6c3)(6c3 – 8d) = 36c6 – 64d2. № 486 а) (4x2 – 2y2)(4x2 + 2y2) = 16x4 – 4y4; б) (10a3 + 5b2)(10a3 – 5b2) = 100a6 – 25b4; в) (3n4 – m4)(3n4 + m4) = 9n8 – m8; г) (10m8 + 8n8)(10m8 – 8n8) = 100m16 – 64n16. № 487 а) 69 · 71 = (70 – 1)(70 + 1) = 4900 – 1 = 4899; б) 31 · 29 = (30 + 1)(30 – 1) = 900 – 1 = 8999; в) 89 · 91 = (90 – 1)(90 + 1) = 8100 – 1 = 8099; г) 99 · 101 = (100 – 1)(100 + 1) = 10000 – 1 = 9999. № 488 а) 58 · 62 = (60 – 2)(60 + 2) = 3600 – 4 = 3596; б) 82 · 78 = (80 + 2)(80 – 2) = 6400 – 4 = 6396; в) 42 · 38 = (40 + 2)(40 – 2) = 1600 – 4 = 1596; г) 18 · 22 = (20 – 2)(20 + 2) = 400 – 4 = 396. № 489 а) 0,49 · 0,51 = (0,5 – 0,01)(0,5 + 0,01) = 0,25 – 0,0001 = 0,2499; б) 0,78 · 0,82 = (0,8 – 0,02)(0,8 + 0,02) = 0,64 – 0,0004 = 0,6396; в) 0,67 · 0,73 = (0,7 – 0,03)(0,7 + 0,03) = 0,49 – 0,0009 = 0,4891; г) 1,21 · 1,19 = (1,2 + 0,01)(1,2 – 0,01) = 1,44 – 0,01 = 1,4399. № 490 а) 10Ошибка! · 9Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! – Ошибка! = = 100 – Ошибка! + Ошибка! – Ошибка! = 100 – Ошибка! – Ошибка! = 100 – Ошибка! = = 100 – 1Ошибка! = 98Ошибка! = 98Ошибка!; б) 10Ошибка! · 9Ошибка! = Ошибка! = 81 – Ошибка! = 80 Ошибка!; в) 99Ошибка! · 100Ошибка! = Ошибка! = 10000 – Ошибка! = 9999 Ошибка!; г) 7Ошибка! · 8,2 = 7Ошибка! · 8Ошибка! = Ошибка! = 64 – Ошибка! = 63Ошибка! = 63,96. 99
www.5balls.ru
№ 491 а) (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1; б) (x – 2)(x2 + 2x + 4) = x3 – 8; в) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = x3 – 27; г) (x + 4)(x2 – 4x + 16) = x3 – 64. № 492 а) (5m + 3n)(25m2 – 15mn + 9n2) = 125m3 + 27n3; б) (2a – 3x)(4a2 + 6ax + 9x2) = 8a3 – 27x3; в) (4x – 5y)(16x2 + 20xy + 25y2) = 64x3 – 125y3; г) (3x + 5y)(9x2 – 15xy + 25y2) = 27x3 + 125y3. № 493 а) 3(x – y) 2 = 3x2 – 6xy + 3y2; б) b(1 +2b) 2 = b(1 + 4b + 4b2 = b + 4b2 + 4b3; в) –6(5m – n) 2 = –6(25m2 – 10mn + n2) = – 150m2 + 60mn – 6n2; г) –c(3a + c) 2 = –c(9a2 + 6ac + c2) = –9a2c – 6ac2 – c3. № 494 а) a2 + (3a – b) 2 = a2 + 9a2 – 6ab + b2 = 10a2 – 6ab + b2; б) 9p2 – (q – 3p) 2 = 9p2 – q2 + 6qp – p2 = 8p2 + 6qp – q2; в) (5c + 7d) 2 – 70cd = 25c2 + 70cd + 49d2 – 70cd = 25c2 + 49d2; г) (8m – n) 2 – 64m2 = 64m2 – 16mn + n2 – 65m2 = n2 – 16mn. № 495 а) (a – 4) 2 + a(a + 8) = a2 – 8a + 16 + a2 + 8a = 2a2 + 16; б) (x – 7)x + (x +3) 2 = x2 – 7x + x2 + 6x + 9 = 2x2 – x + 9; в) (y – 5) 2 – (y – 2) = y2 – 10y + 25 – y + 2 = y2 – 11y + 27; г) b(b +4) – (b + 2) 2 = b2 + 4b – b2 – 4b – 4 = –4. № 496 а) (3a – b)(3a + b) + b2 = 9a2 – b2 + b2 = 9a2; б) 9x2 – (y +4x)(y – 4x) = 9x2 – y2 + 16x2 = 25x2 – y2; в) (5c – 6d)(5c + 6d) – 25c2 = 25c2 – 36d2 – 25c2 = – 36d2; г) (7m – 10n)(7m + 10n) – 100n2 = 49m2 – 100n2 – 100n2 = = 49m2 – 200n2. № 497 а) 2(a – 2)(a + 2) = 2(a2 – 4) = 2a2 – 8; б) x(x + 4)(x – 4) = x(x2 – 16) = x3 – 16x; в) 5c(c + 3)(c – 3) = 5c(c2 – 9) = 5c3 – 45c; г) 7d2 (d – 1)(d + 1) = 7d2 (d2 – 1) = 7d4 – 7d2. 100
www.5balls.ru
№ 498 а) (a – c)(a + c) – (a – 2c) 2 = a2 – c2 – a2 + 4ac – 4c2 = –5c2 + 4ac; б) (x – 4)(x + 4) – (x + 8)(x – 8) = x2 – 16 – x2 + 64 = 48; в) (3b – 1)(3b + 1) – (b – 5)(b + 5) = 9b2 – 1 – b2 + 25 = 8b2 + 24; г) (m + 3n) 2 + (m + 3n)(m – 3n) = m2 + 6mn + 9n2 + m2 – 9n2 = = 2m2 + 6mn. № 499 а) (b – 5)(b + 5)(b2 + 5) = (b2 – 25)(b2 + 25) = b4 – 625; б) (3 – y)(3 + y)(9 + y2) = (9 – y2)(9 + y2) = 81 – y4; в) (a – 2)(a + 2)(a2 – 4) = (a2 – 4)(a2 + 4) = a4 – 16; г) (c2 – 1)(c2 + 1)(c4 + 1) = (c4 – 1)(c4 + 1) = c8. № 500 (2a – b)(2a + b) + (b – c)(b + c) + (c – 2a)(c + 2a) = = 4a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – 4a2 = 0. № 501 а) (a + 3) 2 – (a – 2)(a + 2) = a2 + 6a + 9 – a2 + 4 = 6a + 13 = = –3,5 · 6 + 13 = –8; б) (x – 3) 2 – (x +3)(x – 3) = x2 – 6x + 9 – x2 + 9 = 18 – 6x = = 18 + 0,1 · 6 = 18,6; в) (m + 3) 2 – (m – 9)(m + 9) = m2 + 6m + 9 – m2 + 81 = 6m + 100 = = 100 – 3 = 97; г) (c + 2) 2 – (c +4)(c – 4) = c2 +4c + 4 – c2 + 16 = 4c + 20 = 1 +20 = 21. № 502 а) (5a – 10) 2 – (3a – 8) 2 + 132a = 25a2 – 100a + 100 – 9a2 + 48a – 64 + + 132a = 16a2 + 80a + 36 = 16a2 + 48a + 36 + 32a = (4a + 6) 2 + 32a = = 182 – 192 = 324 – 192 = 132; б) (3p – 8) 2 + (4p + 6) 2 + 100p = 9p2 – 48p + 64 + 16p2 + 48p + 36 + + 100p = 25p2 + 100p + 100 = (5p + 10) 2 = 0; в) (5b – 3) 2 + (12b – 4) 2 – 4b = 25b2 – 30b + 9 + 144b2 – 96b + 16 – – 4b = 169b2 – 130b + 25 = (13b – ) 2 = 182 = 324; г) (13 – 5m) 2 – (12 – 4m) 2 + 4m = 169 – 130m + 25m2 – 144 + 96m – – 16m2 + 4m = 9m2 – 30m + 25 = (3m – 5) 2 = 72 = 49. № 503 а) 8x(1 + 2x – (4x + 3)(4x – 3) = 2x; 8x + 16x2 – 16x2 + 9 = 2x; 6x = – 9; x = –Ошибка!. Ответ: – Ошибка!. 101
www.5balls.ru
б) x – 3x(1 – 12x) = 11 – (5 – 6x)(5 + 6x); x – 3x + 36x2 = 11 – 25 + 36x2; –2x = –14; x = 7. Ответ: 7. в) (6x – 1)(6x + 1) – 4x(9x + 2) = – 1; 36x2 – 1 – 36x2 – 8x = –1; –8x = 0; x = 0. Ответ: 0. г) (8 – 9x)x = –40 + (6 – 3x)(6 + 3x) ; 8x – 9x2 = – 40 + 36 – 9x2; 8x = –4; x = – Ошибка!. Ответ: – Ошибка!. № 504 а) (x – 6) 2 – x(x + 8) =2; x2 – 12x + 36 – x2 – 8x = 2; 20x = 34; x = 1Ошибка!. Ответ: 1,7. б) 9x(x + 6) – (3x + 1) 2 = 1; 9x2 + 54x – 9x2 – 6x – 1 = 1; 48x = 2; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. в) x(x – 1) – (x – 5) 2; x2 – x – x2 + 10x – 25 = 0; 9x = 25; x = Ошибка!. Ответ: 2Ошибка!. г) 16x(2 – x) + (4x – 5) 2 = 1; 32x – 16x2 + 16x2 – 40x + 25 = 1; –8x = –24; x = 3. Ответ: 3. № 505 а) 9x2 – 1 – (3x – 2) 2 = 0; 9x2 – 1 – 9x2 + 12x – 4 = 0; 12x = 5; 102
www.5balls.ru
x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. б) x + (5x +2) 2 = 25(1+ x2); x + 25x2 + 20x + 4 = 25 + 25x2; 21x = 21; x = 1. Ответ: 1. в) (2x – 3) 2 – 2x(4 + 2x) = 11; 4x2 – 12x + 9 – 8x – 4x2 = 11; –20x = 2; x = – Ошибка!. Ответ: –0,1. г) (4x – 3)(3 + 4x) – 2x(8x – 1) = 0; 16x2 – 9 – 16x2 = 2x = 0; 2x = 9; x = Ошибка!. Ответ: 4,5. № 506 а) (x – 1)(x +1) = 2(x – 3) 2 – x2; x2 – 1 = 2x2 – 24x + 18 – x2; 24x = 19 30x = –71; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. б) 3(x +5) 2 – 4x2 = (2 – x)(2 + x); 3x2 + 30x + 75 – 4x2 = 4 – x2; x = – Ошибка!. Ответ: – 2Ошибка!. в) (2x + 3) 2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49; 4x2 + 12x + 9 – 4x2 + 4 = 49; 12x = 26; x = Ошибка!. Ответ: 2Ошибка!. г) (3x + 1) 2 – (3x – 2)(2 + 3x) = 17; 9x2 + 6x + 1 – 9x2 + 4 = 17; 6x = 12; x = 2. Ответ: 2. № 507 а) (10x2 – 4xy3) 2 = 100x4 – 80x3y3 + 16x2y6; б) (8p3 + 5p2q) 2 = 64p6 + 80p5 + 25p4q2; 103
www.5balls.ru
в) (0,6b3 – 5b2c4) 2 = 0,36b6 – 6b5c4 + 25b4c8; г) (3z7 + 0,5z3t) 2 = 9z14 + 3z10t + 0,25z6t2. № 508 а) 20x3z + 0,03z2) 2 = 400x6z2 + 1,2x3z3 + 0,0009z4; б) Ошибка!= Ошибка!n6 + 3mn516m2n4; в) (0,15r4n3 – 10n4) 2 = 0,625r8n6 – 3r4n7 + 100n8; г) Ошибка!= 36a4 – 4a3b + Ошибка!a2b2. № 509 а) (xn – 23)(xn + 23) = x2n – 26; б) (a2n + bn)(a2n – bn) = a4n – b2n; в) (cn – d3n)(cn + d3n) = c2n – d6n); г) (an + 1 – bn – 1)(an + 1 + bn – 1) = a2n + 2 – b2n – 2. № 510 а) (3x2 – 2)(9x4 + 6x2 + 4) = 27x6 – 8; б) (5x2 + 3)(25x4 – 15x2 + 9) = 152x6 + 27; в) (8b2 + 3)(64b4 – 24b2 + 9) = 512b6 + 27; г) (7a2 – 1)(49a4 + 7a2 + 1) = 343a3 – 1. № 511 а) (x – 2) 2 (x + 2) 2 = (x2 – 4) 2 = x4 – 8x2 + 4; б) (y – 4) 2 (y + 4) = (y2 – 4) (y – 4) = y3 – 4y – 4y2 + 16; в) (m – 6) 2 (m + 6) 2 = (m2 – 36) = m4 – 72m2 + 1296; г) (n – 7) 2 (7 + n) = (n2 – 7)(n – 7) = n3 – 7n – 7n2 + 49. № 512 а) (x – y)(x + y)(x2 + y2) = (x2 – y2)(x2 + y2) = x4 – y4; б) (3a – b)(3a + b); б) (9a2 + b2) = (9a2 – b2)(9a2 + b2) = 81a4 – b4; в) (p3 + q)(p3 – q)(p6 + q2) = (p6 – q2)(p6 + q2) = p12 – q4; г) (s4 + r4)(s – r)(s + r)(s2 + r2) = (s4 – r4)(s4 + r4) = s8 – r8. № 513 а) (3x2 + 4) 2 + (3x2 – 4) 2 – 2(5 – 3x2)(5 + 3x2) = 9x4 + 24x2 + 16 + + 19x4 – 24x2 + 16 + 9x4 – 24x2 + 16 – 50 + 18x4 = 36x4 – 18; б) (4a3 + 5) 2 + (4a3 – 1) 2 – 2(4a3 + 5)(4a3 – 1) = = (4a3 + 5 – 4a3 + 1) 2 = 62 = 36; в) p(p – 2c)(p +2c) – (p – c)(p2 + pc + c2) = p3 – p · 4c2 – p3 + c3 = = c3 – 4pc2; г) m(2m – 1) 2 – 2(m + 1)(m2 –m + 1) = 4m3 – 4m2 + m – 2m3 – 2 = = 2m3 – 4m2 + m – 2. 104
www.5balls.ru
№ 514 а) (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8) = = (a8 – b8)(a8 + b8) = a16 – b16; б) x32 – (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 +1)(x8 + 1) (x16 + 1) = x32 – x32 + 1 = 1. № 515 а) (6a5 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 25x2; ∗12 = 25x2, значит ∗1 = 5x; ∗2 = (6a5) 2 = 36a10; ∗3 = 6a5 · ∗1 · 2 = 6a5 · 5x · 2 = 60a5x; б) (10m5 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 36m4n6; ∗12 = 36m4n6, значит ∗1 = 6m2n3; ∗2 = (10m5) 2 = 100m10; ∗3 = 2 · ∗1 · 10m5 = 2 · 6m2n3 · 10m5 = 120m7n3; в) (∗1 – 4x7) 2 = 25x4y2 – ∗2 + ∗3; (∗1) 2 = 25x4y2, значит ∗1 = 5x2y; ∗2 = 2 · ∗1 · 4x7 = 2 · 5x2y · 4x7 = 40x9y; ∗3 = (4x7) 2 = 16x14; г) (8a3 – ∗1) 2 = ∗2 – ∗3 + 49a8b6; ∗12 = 49a8b6, значит ∗1 = 7a4b3; ∗2 = (8a3) 2 = 64a6; ∗3 = 2 · 8a3 · ∗1 = 16a3 · 7a4b3 = 112a7b3. № 516 а) (∗1 + 4d4) 2 = ∗2 + 24c2d5 + ∗3; ∗3 = (4d4) 2 = 16d8; 2 · ∗1 · 4d4 = 24c2d5, значит ∗1 = 3c2d; ∗2 = (∗1) 2 = (3c2d) 2 = 9c4d2; б) (∗1 – 8a4) 2 = 81a6b2 – ∗2 + ∗3; (∗1) 2 = 81a6b2, значит ∗1 = 9a3b; ∗2 = 2 · ∗1 · 8a4 = 2 · 9a3b · 8a4 = 144a7b; ∗3 =(8a4) 2 = 64a8; в) (4p2q2 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 0,01q8; (∗1) 2 = 0,01q8, значит ∗1 = 0,1q4; ∗2 = (4p2q2) 2 = 16p4q4; ∗3 = 2 · ∗1 · 4p2q2 = 8p2q2 · 0,1q4 = 0,8 p2q6; г) (8q4t 3 – ∗1) 2 = ∗2 – ∗3 + 0,16t4; (∗1) 2 = 0,16t4, значит ∗1 = 0,4t2; ∗2 = (8q4t3) 2 = 64q8t6; ∗3 = 2 · 8q4t3 · ∗1 = 16q4t3 · 0,4t2 = 6,4q4t5. 105
www.5balls.ru
№ 517 а) (5b3 – 7c) 2 = 25b6 – 70b3c + 49c2; б) (9x – 10x2y3) 2 = 81x2 – 180x3y3 + 100x4y6; в) (7x3 +5y2) 2 = 49x6 + 70x3y2 + 25y4; г) (6c5 – 4d3) 2 = 36c10 – 48c5 + 16d6. № 518 а) (2c – 15a)(2c + 15a) = 4c2 – 225a2; б) (9a + 11c)(9a – 11c) = 81a2 – 121c2; в) Ошибка!Ошибка!= Ошибка!; г) (10m3 – 0,4n2)(10m3 + 0,4n2) =100m6 – 0,16n4. № 519 а) (0,7x3 – 10z2)(0,7x3 +10z2) = 0,49x6 – 100z4; б) Ошибка!Ошибка!= 49p12 – Ошибка!q4; в) Ошибка!Ошибка!= 3Ошибка!x14 – 64y4z10; г) (5a4 – 6x2) 2 25a8 – 60a4x2 + 36x4. № 520 а) 125 – (5 – 3x)(25 + 15x + 9x2) = 125 – 125 + 27x3 = = 27x3 = – 27 · Ошибка! = – 64; б) 25 – (2 – 3a)(4 + 6a + 9a2) = 25 – 8 + 27a3 =17 + 27a3 = = 17 – 1 = 16; в) 127 + (5c – 3)(25c2 + 15c + 9) = 127 + 125c – 27 = 125c + 100 = = 100 – 125 · 1,2 = – 50; г) 64 – (4 – 3a)(16 + 12a + 9a2) = 64 – 64 + 27a3 = – 8. № 521 а) (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 +1) – 216 = = 216 – 216 = 0; б) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 +1)(216 +1) – 232 = = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 +1)(216 +1) – 232 = 232 – 232 = 0. № 522 (32 + 22)(34 + 24)(38 +28)(316 + 216) = = Ошибка!= = Ошибка! = 0,2(332 – 232).
§ 18. Деление многочлена на одночлен № 523 а) (12 + 8) : 4 = 20 : 4 = 5; б) (54d + 36) : (– 18) = – 3d – 2; 106
www.5balls.ru
в) (44y + 22) : 11 = 4y + 2; г) (– 15y – 5y) : (– 5) = – 20y : (– 5) = 4y. № 524 а) (a – ab) : a = 1 – b; б) (x – xy) : (– x) = y – 1; в) (– m – mn) : m = – 1 – n; г) (– c + cd) : (– c) = 1 – d. № 525 а) (a2 + 3ab) : a = a + 3b; б) (m3 – m2n) : m2 = m – n; в) ( c2 – 2cd) : c = c – 2d; г) (p4 – p3q) : p3 = p – q. № 526 а) (4ab2 + 3ab) : ab = ab + 3; б) (1,2cd3 – 0,7cd) : cd = 1,2d2 – 0,7; в) (– 3,5m2n – 0,2mn) : mn = – 3,5m – 0,2; г)Ошибка!: mn = – Ошибка! + Ошибка!x2. № 527 а) (3x2y – 4xy2) : 5xy = Ошибка!x – Ошибка!y = 0,6x – 0,8y; б) (4x + 12y – 16) : (– 4) = – x – 3y + 4; в) (2ab + 6a2b2 – 4b2) : (– 2b) = – a – 3a2b + 2b; г) (– a5b3 + 3a6b2) : 4a2b2 = – 0,25a3b + 0,75a4. № 528 а) (18a4 – 27a3) : 9a2 – 10a3 : 5a = 2a2 – 3a – 2a2 = – 3a = 24; б) (36x2y – 4xy2) : 4y + yx = 9x2 – xy + xy = 9x2 = Ошибка!. № 529 а) x, x2, 1; б) x, 2x, 7x; в) ab, 5ab, a2b2; г) mn, m2n2, 5mn. № 530 а) нет; б) нет; в) (2x3y2 + 3x2y – 5x4y4) : xy = 2x2y + 3x – 5x3y3; г) (2x3y2 + 3x2y – 5x4y4) : (– x2y) = – 2xy – 3 + 5x2y3. 107
www.5balls.ru
№ 531 а) Ошибка!= 3a3b + 15ab3; б) Ошибка!= 3ax3 – 9a3x; в) Ошибка!= 6n2p – 2np2 + 5np3; г) Ошибка!= 3k3n – 4k2n2 – 5kn3. № 532 а) (7a2 + 10a3b) : a4 = Ошибка!= Ошибка! + 10Ошибка!; б) (4x2 – 3x) : (– x2) = – 4 + Ошибка!; в) (27a3 – 81b3) : 9a3b3 =Ошибка! – 9 · Ошибка!; г) (42x3y – 63xy3 + 14xy) : 7xy = 6x2 – 9y2 + 2. № 533 а) kL, kL; б) pq, p2q2; в) cd, c2d2; г) xy, x2y2. № 534 а) bc, b2c2, b2c, b2c3, b2c4; в) z, m, zm, z2m, z3m;
б) xy, x2y2, xy2, x2y, x; г) k, L, kL, kL2, kL3.
№ 535 а) xy; в) y2, 3, 142xyz, 15x;
б) xy2z, 5z, 6xyz, 20xy; г) 4xy2, y2z, 8, 7xyz, 2xy2z.
№ 536 а) Ошибка! = 3a2 – Ошибка! + Ошибка!b2; ∗ = 5a2 · 7ab = 35a3b2. Ответ: Ошибка! = 3a2 – 7ab + Ошибка!b2. б) Ошибка!= 3a2 – ∗2 + ∗3; ∗1 = 3a2 · 25ab3 = 75a3b3; ∗2 = Ошибка!= 4ab; ∗3 = Ошибка! = Ошибка!. Ответ:
75a 3b3 − 100a 2b 4 + 75ab 2 25ab
3
= 3а2 – 4ab +
в) Ошибка! = 7a2 – 8ax3; ∗2 = Ошибка! = 3a2x; ∗1 = ∗2 · 7a2 = 7a2 · 3a2x = 21a4x. Ответ: Ошибка! = 7a2 – 8ax3. г) Ошибка! = 3cd2 – ∗2; ∗1 = Ошибка! = 19c3d; ∗2 = Ошибка!= Ошибка! = 2d. Ответ: Ошибка! = 3cd2 – 2d. 108
www.5balls.ru
3 . b
№ 537 а) Ошибка! = ∗2 – ∗3 + 12a2x; ∗1 =Ошибка!= 6a2x; ∗2 = Ошибка!= Ошибка!x3; ∗3 = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!ax2; б) Ошибка! = 3k2 – ∗3 – 14p2; ∗2 =Ошибка! =10kp3; ∗1 = 14p2 · 10kp3 = 240kp5; ∗3 = Ошибка! = Ошибка! =17,5kp; в) Ошибка! =∗3 + 3,6cnd5 – 2c6d8; ∗2 =Ошибка!= 15c2d2; ∗1 = 2c6d8 · ∗2 = 2c6d8 · 15c2d2 = 30c8d10; ∗3 = Ошибка!= Ошибка!= 3c8d; г) Ошибка!= 2a5x3 – 3a6x2 + 4,5an – 3x; ∗3 = Ошибка!= 14a3x4; ∗1 = ∗3 · 2a5x3 = 14a3x4 · 2a5x3 = 28a8x7; ∗2 = ∗3 · 3a6x2 = 14a3x4 · 3a6x2 42a9x6. № 538 а) 3a3 – 1, 2ab – частное; 10b3 – делитель; 30a4b – 12ab2 – частное; b2 делитель; б) нет; в) нет; г) 15a4b3 – 6a2b4 – частное; 2 – делитель; 3a2 – 1,2b – частное; 10a2b3 – делитель. № 539 а) (6x4y3 + 8x3y) · 7xy = 42x5y4 + 56x4y2; б) (21x2y3 + 28xy) · 2x3y = 42x5y4 + 56 x4y2; в) (4,2x4y2 + 5,6x3) · 10xy2 = 42x5y2 + 56x4y2; г) (10,5x2y3 + 14xy) · 4x3y = 42x5y4 + 56x4y2.
109
www.5balls.ru
ГЛАВА 5. Разложение многочленов на множители § 19. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно № 540 а) x(x + 2) = 0; x = 0; x = – 2; б) y( y – 8) = 0; y = 0; y = 8; в) z(z + 1,6) = 0; z = 0; z = – 1,6; г) t Ошибка!= 0; t = 0; t = Ошибка!. № 541 а) (x + 1)(x + 4) = 0; x = – 1; x = – 4. Ответ: – 1; – 4. в) (y + 2)(y – 6) = 0; y = – 2; y = 6. Ответ: – 2; 6. б) (c – 12)(c + 25) = 0; c = 12; c = – 25. Ответ: 12; – 25. г) (d – 7)(d + 1,4) = 0. d = 7; d = – 1,4. Ответ: 7; – 1,4. № 542 а) (2x + 3)(3x – 6) = 0; 2x + 3 = 0; 3x – 6 = 0; 2x = – 3; 3x = 6; x = – 1,5; x = 2. Ответ: – 1,5; 2. в) (4a – 8)(6a – 12) = 0; 4a – 8 =0; 6a – 12 = 0; 4a = 8; 6a = 12; a = 2; a = 2. Ответ: 2.
б) (11b + 44)(13b + 26) = 0; 11b + 44 = 0; 13b + 26 = 0; 11b = – 44; 13b = – 26; b = – 4; b = – 2. Ответ: – 4; – 2. г) (25c – 125)(54c – 108) =0; 25c – 125 = 0; 54c – 108 = 0; 25c = 125; 54c = 108; c = 5; c = 2. Ответ: 5; 2.
110
www.5balls.ru
№ 543 а) m(m + 1)(m + 2) = 0; m = 0; m + 1 =0; m + 2 =0; m = – 1; m = – 2. Ответ: – 1; – 2. в) p(p + 13)(p – 17) = 0; p =0; p + 13 = 0; p – 17 = 0; p = – 13; p = 17. Ответ: – 13; 17.
б) n(n – 3)(n – 8) = 0; n = 0; n – 3 =0; n – 8 =0; n = 3; n = 8. Ответ: 3; 8. г) q(q – 21)(q – 105) = 0; q = 0; q – 21 = 0; q – 105 = 0; q = 21; q = 105. Ответ: 21; 105.
№ 544 а) (4x + 12)(15x + 30)(17x + 34) = 0; 4x + 12 = 0; 15x + 30 = 0; 17x + 34 = 0; 4x = – 12; 15x = – 30; 17x = – 34; x = – 3; x = – 2; x = – 2. Ответ: – 3; – 2. б) (9y + 18)(12y – 48)(36y – 72) = 0; 9y + 18 = 0; 12y – 48 =0; 36y – 72 = 0; y = – 2; y = 4; y =2. Ответ: – 2; 4; 2. в) (23z – 46)(45z + 90)(3z + 24) = 0; 23z – 46 = 0; 45z + 90 = 0; 3z + 24 = 0; z = 2; z = – 2; z = – 8. Ответ: 2; – 2; – 8. г) (4t – 1)(8t – 3)(12t – 17) = 0; 4t – 1 = 0; 8t – 3 = 0; 12t – 17 = 0; t = Ошибка!; t = Ошибка!; t = Ошибка!= 1Ошибка!. Ответ: Ошибка!; Ошибка!; 1Ошибка!. № 545 а) x2 – x = 0; x(x – 1) =0; x = 0; x = 1. Ответ: 0; 1. в) 3x2 – 7x = 0; x(3x – 7) = 0; x = 0; x = 2Ошибка!. Ответ: 0; 2Ошибка!. № 546 а) x2 – 16 = 0; (x – 4)(x + 4) = 0;
б) 2x2 + 4x = 0; 2x(x + 2) = 0; x = 0; x = – 2. Ответ: 0; – 2. г) x2 =4x; x(x – 4) = 0; x = 0; x= 4. Ответ: 0; 4. б) y2 – 25 = 0; y – 5)(y + 5) = 0; 111
www.5balls.ru
x = 4; x = – 4. Ответ: 4; – 4. в) z2 – 36 = 0; (z – 6)(z + 6) = 0; z = 6; z = – 6. Ответ: 6; – 6.
y = 5; y = – 5. Ответ: 5; – 5. г) t2 – 100 = 0; (t – 10)(t + 10) = 0; t = 10; t = – 10. Ответ: 10; – 10.
№ 547 а) 532 – 432 = (53 – 43)(53 + 43) = 10 · 96 = 960; б) 1082 – 982 = (108 – 98)(108 + 98) = 10 · 206 = 2060; в) Ошибка!– Ошибка!= Ошибка!Ошибка!= 1 · 11Ошибка! = 11 Ошибка!; г) Ошибка!– Ошибка!= Ошибка!Ошибка!= 4 · 11 = 44. № 548 а) 0,25a2 – 9 = 0; (0,5a – 3)(0,5 + 3) = 0; 0,5a – 3 = 0; 0,5a + 3 = 0; a = 6; a = – 6. Ответ: 6; – 6. в) 4x2 – 144 = 0; (2x – 12)(2x + 12) = 0; 2x – 12 = 0; 2x + 12 = 0; x = 6; x = – 6. Ответ: 6; – 6.
б) 0,04b2 – 4 = 0; (0,2b – 2)(0,2b + 2) = 0; 0,2b – 2 = 0; 0,2b + 2 = 0; b = 10; b = – 10. Ответ: 10, – 10. г) 0,25y2 – 25 = 0; (0,5y – 5)(0,5y + 5) = 0; 0,5y – 5 = 0; 0,5y + 5 =0; y = 10; y = – 10. Ответ: 10; – 10.
№ 549 а) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = 77; в) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = 72; г) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! =Ошибка! = 150. № 550 а)Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 1 Ошибка!; б) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 1Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка! № 551 а) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 0,78; б) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 6,6; 112
www.5balls.ru
в) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 1,6; г) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 4,5 · 52 = 234.
§ 20. Вынесение общего множителя за скобки № 552 а) 1, 2, 2m; б) x, 2x, 4x; в) a, b, ab; г) z, 2z, 7z. № 553 а) (3x + 3y) = 3(x + y); б) (5a – 5b) = 5(a – b); в) 7a + 7y = 7(a + y); г) 8x – 8a = 8(x – a). № 554 а) 3x + 6y = 3(x + 2y); б) 5a – 15b = 5(a – 3b); в) 7a + 14y = 7(a + 2y); г) 8x – 32a = 8(x – 4a). № 555 а) 8x + 28y = 4(x + 3y); б) 15a – 25 b = 5(3a – 5b); в) 21a + 28y = 7(3a + 4y); г) 24x – 32a = 8(3x – 4a). № 556 а) 2,4x + 7,2y = 2,4(x + 3y); б) 1,8a – 2,4b = 0,6(3a – 4b); в) 0,01a + 0,03y = 0,01(a + 3y); г) 1,25x – 1,75a =0,25(5x – 7a). № 557 а) Ошибка!x + Ошибка!y = Ошибка!(x + 4y); б) Ошибка!a – Ошибка!b = Ошибка!(a – Ошибка!b); в) Ошибка!a + Ошибка!y = Ошибка!Ошибка!; г) Ошибка!x – Ошибка!y = Ошибка!Ошибка!. № 558 а) 3Ошибка!x + 3Ошибка!y = Ошибка!x + Ошибка!y =Ошибка! (16x + 17y); б) 4Ошибка!a – 1Ошибка!b = Ошибка!a – Ошибка!b = Ошибка! (4a – b). 113
www.5balls.ru
№ 559 а) 3b2 – 3b = 3b(b – 1); б) a4 + 2a2 = a2(a2 + 2); в) 4c2 – 12c5 = 4c2(1 – 3c3); г) 8d4 – 32d2 = 8d2(d2 – 4). № 560 а) x3 – 3x2 – x = x(x2 – 3x – 1); в) 2m6 – 4m3 + 6m = 2m(m5 – 2m3 + 3); б) y5 – 2y4 + y2 = y2(y3 – 2y2 + 1); г) 9p4 – 18p2 – 27p = 9p(p3 – 2p – 3). № 561 а) ab – a2b = ab(1 – a); б) – p2q2 – pq = – pq(pq + 1); в) x2y – xy2 = xy(x – y); г) m3n2 – n3m2 = n2m2(m – n). № 562 а) 2z5q2 – 4z3q + 6z2q3 = 2z2q(z3q – 2z + 3q3); б) xy3 + 5x2y2 – 3x2y = xy(y2 + 5xy – 3x); в) 7a4b3 – 14a3b4 + 21a2b5 = 7a2b3(a2 – 2ab + 3b2); г) 8x3y2 + 88x2y3 – 16x3y4 = 8x2y2(x + 11y – 2xy2). № 563 а) 15x3y2 + 10x2y – 20x2y3 = 5x2y(3xy + 2 – 4y2); б) 12a2b4 – 36a2b + 44abc = 4ab(3ab3 – 9a + 11c); в) 195c6p5 – 91c5p6 + 221c3p10 = 13c3p5(15c3 – 7c2p + 17p5); г) 42a4b – 48a3b2 – 78a2b3 = 6a2b(7a2 – 8ab – 13b2). № 564 а) 3x(a + b) + y(a +b) = (a +b)(3x + y); б) m(x – y) – (x – y) = (x – y)(m – 1); в) (c + 2) – d(c + 2) = (c + 2)(1 – d); г) 5p(r – s) + 6q(r – s) = (r – s)(5p +6q). № 565 а) 15c(a + b) + 8(b + a) = (15c + 8)(a + b); б) n(2a + 1) + m(1 +2a) = (n +m)(2a + 1); в) 4a(x + y) – 9b(y + x) = (4a – 9b)(x +y); г) 11p(c +8d) – 9(8d + c) = (11p – 9)(8d + c). № 566 а) a(b – c) + 3(c – b) = (a – 3)(b – c); б) 6(m – n) + s(n – m) = (6 – s)(m – n); 114
www.5balls.ru
в) 4(p – q) – a(q – p) = (4 + a)(p – q); г) 7z(x – y) – 5(y – x) = (7z + 5)(x – y). № 567 а) (x – y)2 – a(x – y) = (x –y)(x – y –a); б) 5(a + 3)2 – (a +3) = (a +3)(5(a +3) – 1) = (a +3)(5a + 14); в) 8c(m + n)2 + 9d(m + n) = (m + n)(8c(m + n) + 9d) = = (m + n)(8mc + 8cn + 8); г) (p2 – 6) – q(p2 – 6) = (p2 – 6)(1 – q(p2 – 6)) = (p2 – 6)(1 – qp2 + 6q). № 568 а) x2 – 3x = 0; x(x – 3) = 0; x = 0; x = 3. Ответ: 0; 3. б) y2 – 5y = 0; y(y – 5) = 0; y = 0; y = 5. Ответ: 0; 5. в) a2 + 10a = 0; a(a + 10) = 0; a = 0; a = – 10. Ответ: 0; – 10. № 569 а) 0,45p2 + 18p = 0; Ошибка!p(p + 40) = 0; Ошибка!p = 0; p + 40 = 0; p =0; p = – 40. Ответ: 0; – 40. в) 4q2 + 3q = 0; q(4q + 3) = 0; q = 0; q = – Ошибка!. Ответ: 0; – Ошибка!.
г) b2 + 20b = 0; b(b + 20) = 0; b = 0; b = – 20. Ответ: 0; – 20. б) 9m2 + 0,27m = 0; 0,27mОшибка!= 0; 0,27m = 0; Ошибка!m + 1 = 0; m = 0; m = – 0,03. Ответ: 0; – 0,03. г) 7x2 + 2x = 0; x(7x + 2) = 0; x = 0; x = – Ошибка!. Ответ: 0; – Ошибка!.
№ 570 а) 1542 + 154 · 46 = 154(154 + 46) = 154 · 200 = 308 · 100 = 30800; б) 0,23 + 0,22 · 0,8 = 0,22(0,2 + 0,8) = 0,22 = 0,04; в) 1672 – 167 · 67 = 167(167 – 67) = 167 · 100 = 16700; г) 0,93 – 0,81 · 0,29 = 0,81 · 0,9 – 0,81 · 2,9 = 0,81(0,9 – 2,9) = = 0,81 · (– 2) = – 1,62. 115
www.5balls.ru
№ 571 а) a(2a – b)(a + b) – 3a(a + b)2 = a(a + b)(2a – b – 3a – 3b) = = – a(a + b)(a + 4b); б) 5x2(3x – 8) + 10x(3x – 8)2 = 5x(3x – 8)(x + 6x – 16) = = 5x(3x – 8)(7x – 16); в) 4c(4c – 1) – 3(4c – 1)2 = (4c – 1)(4c – 12c + 3) = = (4c – 1)(3 – 8c); г) 6d2(2d – 5)2 – 12d2(2d – 5)(d + 5) = =6d2(2d – 5)(2d – 5 – 2d – 10) = – 90d2(2d – 5). № 572 а) 0,7562 – 0,241 · 0,756 – 0,415 · 0,756 = = 0,756(0,756 – 0,241 – 0,415) = 0,756 · 0,1 = 0,0756; б) 2,49 · 1,63 – 2,12 · 1,63 + 1,632 = 1,63(2,49 – 2,12 + 1,63) = = 1,63 · 2 = 3,26; в) 0,252 · 2,4 + 0,25 · 2,42 – 0,25 · 2,4 · 0,65 = = 0,25 · 2,4(0,25 + 2,4 – 0,65) = 0,25 · 2,4 · 2 = 0,5 · 2,4 = 1,2; г) 0,16 · 6,41 · 1,25 – 0,16 · 1,252 – 0,162 · 1,25 = = 0,16 · 1,25(6,41 – 1,25 – 0,16) = 0,16 · 1,25 · 5 = 1. № 573 а) 176 + 175 = 175(17 + 1) = 175 · 18; кратно 18; б) 428 + 427 = 427(42 + 1) = 427 · 43; кратно 43; в) 317 + 315 = 315(32 +1) = 315 · 10 = 314 · 30; кратно 30; г) 223 + 220 = 220(23 + 1) = 220 · 9 = 217 · 8 · 9 = 217 · 72; кратно 72. № 574 а) 87 – 218 = 87 – 86 = 86(8 – 1) = 4 · 2 · 85 · 7; кратно 4; б) 106 – 57 = 56 · 26 – 57 = 56(64 – 5) = 56 · 59; кратно 59; в) 97 + 312 = 97 + 96 = 96(9 + 1) = 95 · 90; кратно 90; г) 810 – 227 = 810 – 89 = 89 (8 – 1) = 88 · 4 · 14. кратно 14.
§ 21. Способ групировки № 575 а) 2x – x2 = x(2 – x); – 3ax + 2x2 = x(2x – 3a); 2ax2 – 3a2x = ax(2x – 3a); 4xy – 2x2y = 2xy(2 – x). Ответ: 2x – x2, 4xy – 2x2y; 2x2 – 3ax, 2ax2 – 3a2x. б) ab – 3b2 = b(a – 3b); a2 – 3ab = a(a – 3b); 5 + 10x = 5(1 + 2x); a + 2ax = a(1 + 2x). Ответ: ab – 3b2, a2 – 3ab; 5 + 10x, a + 2ax. в) n2 – nm = n(n – m); 6a2 – 9ab = 3a(2a – 3b); 116
www.5balls.ru
mn – n2 = n(m – n); 2ab – 3b2 = b(2a – 3b). Ответ: 6a2 – 9ab, 2ab – 3b2. г) 4x – 8 = 4(x – 2); x2 – 2x = x(x – 2); –5 – 15m = – 5(m + 3); 21mn + 7n = 7n(3m + 1). Ответ: 4x – 8, x2 – 2x. № 576 а) 2by – bz = b(2y – z); 4ax – az = a(4x – z); 2ay – az = a(2y – z); 4bx – bz = b(4x – z). Ответ: 2by – bz, 2ay – az; 4ax – az, 4bx – bz. б) 6ax – 3x = 3x(2a – 1); – 2a – 1; 3by – 3y = 3y(b – 1); c – cb = c(1 – b). Ответ: таких двучленов нет. в) a3 – 2a2 = a2(a – 2); 4ab – 2a2b = 2ab(2 – a); 5ac2 – 10ac = 5ac(c – 2); 3a – 6 = 3(a –2). Ответ: a3 – 2a2, 3a – 6. г) 3mn2 – 6m2n = 3mn(n – 2m); abn – 2abm = ab(n – 2m); a2x3 – 9a2x = a2x(x2 – 9); 9x2 – x4 = x2(9 – x2). Ответ: 3mn2 – 6m2n, abn – 2abm. № 577 а) 3a + 3 – na – n = 3(a + 1) – n(a +1) = (a + 1)(3 – n); б) 6mx – 2m + 9x – 3 = 2m(3x – 1) + 3(3x – 1) = (2m + 3)(3x – 1); в) ax – 3x – 4a + 12 = x(a – 3) – 4(a – 3) =(x – 4)(a – 3); г) 2mx – 3m – 4x + 6 = m(2x – 3) – 2(2x – 3) = (m – 2)(2x – 3). № 578 а) 7kn – 6k +14n – 12 = k(7n – 6) + 2(7n – 6) = (k + 2)(7n – 6); б) 5a2 – 5ax – 7a + 7x = 5a(a – x) – 7(a – x) = (5a – 7)(a – x); в) 9m2 – 9mn – 5m + 5n = 9m(m – n) – 5(m – n) = (9m – n)(m – n); г) 6a2 – 2ab – 3ac + bc = 2a(3a – b) – c(3a – b) = (2a – c)(3a – b). № 579 а) 7c2 – c – c3 + 7 = c2(7 – c) + 7 – c = (c2 +1)(7 – c); б) x3 + 28 – 14x2 – 2x = x(x2 – 2) – 14(x2 – 2) = (x – 14)(x2 – 2); в) 2b3 – 6 – 4b2 + 3b = 2b2(b – 2) + 3(b – 2) = (2b3 + 3)(b – 2); г) x3 – 6 + 2x – 3x2 = x2(x – 3) + 2(x – 3) = (x2 + 2)(x – 3). № 580 а) 16ab2 + 5b2c + 10c3 + 32ac2 = 16a(b2 + 2c2) + 5c(b2 + 2c2) = = (16a + 5c)(b2 + 2c2); б) 18a2 + 27ab + 14ac + 21bc = 9a(2a + 3b) + 7c(2a + 3b) = = (9a + 7c)(2a + 3b); 117
www.5balls.ru
в) 20n2 – 35a – 14an + 50n = 10n(2n + 5) – 7a(2n + 5) = = (10n – 7a)(2n + 5); г) 2x2yz – 15yz – 3xz2 + 10xy2 = xz(2xy – 3z) + 5y(2xy – 3z) = = (xz + 5y)(2xy – 3z). № 581 ax – 2a – 3x + 6 = x(a – 3) – 2(a – 3) = (x – 2)(a – 3); а) 4; б) 0; в) – 2,25; г) 0. № 582 2a + b + 2a2 + ab = (2a + b) + a(2a + b) = (2a + b)(a + 1); а) (– 2 + 998)(– 1 + 1) = 0; б) (91 – 3)(45,5 + 1) = 46,5 · 88 = 4092; в) (2 · 7,4 + (– 2))(7,4 + 1) = 12,8 · 8,4 = 107,52; г) Ошибка!(– 0,5 + 1) = 7Ошибка! · 0,5 = Ошибка! · Ошибка! = 3 Ошибка!. № 583 5ab – 7b + 5a2 – 7a = b(5a – 7) + a(5a – 7) = (a + b)(5a – 7); а) (0,2 + 1)(1 – 7) = 1,2 · (– 6) = – 7,2; б) (2,5 – 0,5)(12,5 – 7) = 2 · 5,5 = 11; в) (3,7 – 3,7)(5 · 3,7 – 7) = 0; г) ((1,4 + 11)(7 – 7) = 0. № 584 а) 40a3b2c + 21bc – 56ac2 – 15a2b3 = 8ac(5a2b2 – 7c) + 3b(7c – 5a2b2) = = (8ac – 3b)(5a2b2 – 7c); б) 16xy2 – 5y2z – 10z3 + 32xz2 = 16x(y2 + 2z2) – 5z(y2 + 2z2) = = (16x – 5z)(y2 + 2z2); в) 30x2 + 10c – 25cx – 12x = 5x(6x – 5c) + 2(5c – 6x) = = (5x – 2)(6x – 5c); г) 18x2z – 10kxy + 20k2y – 36kxz = 18xz(x – 2k) – 10ky(x – 2k) = = (18xz – 10ky)(x – 2k) = 2(9xz – 5ky)(x – 2k). № 585 а) ax2 – ay – bx2 + cy + by – cx2 = a(x2 – y) – b(x2 – y) – c(x2 – y) = = (x2 – y)(a – b – c); б) xy2 – by2 – ax + ab + y2 – a = x(y2 – a) – b(y2 – a) + y2 – a = = (y2 – a)(x – b + 1); в) ax + bx + cx + ay + by + cy = (x + y)(a + b + c); г) ab – a2b2 + a3b3 – c + abc – ca2b2 = = ab(1 – ab +a2b2) – c(1 – ab + a2b2) = (ab – c)(1 – ab + a2b2). 118
www.5balls.ru
№ 586 21a2b – 4b – 12a + 7ab2 = 7ab(3a + b) – 4(b + 3a) = (3a + b)(7ab – 4); а) (– 1 + 2)Ошибка!= 1 · Ошибка!= – Ошибка! = – 8Ошибка!; б) Ошибка!(4 – 4) = 0; в) Ошибка!Ошибка!= Ошибка!· (4 – 4) = 0; г) (– 2 + 3) Ошибка!= 1 · (– 14 – 4) = – 18. № 587 а) 2,7 · 6,2 – 9,3 · 1,2 + 6,2 · 9,3 – 1,2 · 2,7 = = 2,7(6,1 – 1,2) – 9,3(1,2 – 6,2) = (6,2 – 1,2)(2,7 + 9,3) = 12 · 5 = 60; б) 125 · 48 – 31 · 82 – 31 · 43 – 125 · 83 = 125(48 – 83) – 31(82 + 53) = = 125(48 – 83 – 31) = 125 · (– 66) = – 8250; в) 14,9 · 1,25 + 0,75 · 1,1 + 14,9 · 0,75 + 1,1 · 25 = = 14,9(1,25 + 0,75) + 1,1(25 + 0,75) = 14,9 · 2 + 1,1 · 25,72 = = 29,8 + 28,325 = 58,125; г) 3Ошибка!· 4Ошибка!+ 4,2 · Ошибка!+ 3Ошибка!· 2Ошибка!+ 2,8 · Ошибка! = Ошибка!(2,8 + 4,2) + 3Ошибка!Ошибка!= = 3Ошибка!· 7 + 3Ошибка!· 7 = 7 · 4 = 28. № 588 а) 109 · 9,17 – 5,37 · 72 – 37 · 9,17 + 1,2 · 72 = = 9,17(109 – 37) – 72(5,37 – 1,2) = 9,17 · 72 – 72 · 4,17 = 72 · 5 = 360; б) 19,9 · 18 – 19,9 · 16 + 30,1 · 18 – 30,1 · 16 = = (19,9 + 30,1)(18 – 16) = 50 · 2 = 100; в) 15,5 · 20,8 + 51,5 · 9,2 – 3,5 · 20,8 – 3,5 · 9,2 = = 15,5(20,8 + 9,2) – 3,5(20,8 + 9,2) = 30 · 12 = 360; г) 77,3 · 13 + 8 · 37,3 – 77,3 · 8 – 13 · 37,3 = = 13(77,3 – 37,3) + 8(37,3 – 77,3) = 40 · 5 = 200. № 589 а) x2 + 6x + 8 = x2 + 2x + 4x + 8 = x(x + 2) + 4(x + 2) = (x + 4)(x + 2); б) x2 – 8x + 15 = x2 – 3x – 5x + 15 = x(x – 3) – 5(x – 3) = (x – 5)(x – 3); в) x2 + 3x + 2 = x2 + x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 2)(x + 1); г) x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x + 6 = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3). № 590 а) a2 – 7a + 6 = a2 – a – 6a + 6 = a(a – 1) – 6(a – 1) = (a – 6)(a – 1); б) b2 + 9b – 10 = b2 – b + 10b – 10 = b(b – 1) + 10(b – 1) = = (b – 1)(b + 10); в) y2 – 10y + 24 = y2 – 4y – 6y + 24 = y(y – 4) – 6(y – 4) = (y – 6)(y – 4); г) z2 – 18z – 40 = z2 + 2z – 20z – 40 = z(z + 2) – 20(z + 2) = = (z – 20)(z + 2). 119
www.5balls.ru
№ 591 а) a2 + 8ab – 9b2 = a2 + ab – 9ab – 9b2 = a(a + b) – 9b(a + b)= = (a – 9b)(a + b); б) a2 + 16ab + 55b2 = a2 + 5ab + 11ab + 55b2 = = a(a + 5b) + 11b(a + 5b) = (a +11b)(a + 5b); в) x2 + 4xy – 12y2 = x2 – 2xy + 6xy – 12y2 = = x(x – 2y) + 6y(x – 2y) = (x + 6y)(x – 6y); г) x2 + 16xy + 39y2 = x2 + 13xy + 3xy + 39xy2 = = x(x + 3y) + 13y(x + 3y) = (x + 13y)(x + 3y). № 592 а) x2 – 3x + 2 = 0; x2 – x – 2x + 2 =0; x(x – 2) – (x – 2) =0; (x – 1)(x – 2) =0; x = 1; x = 2. Ответ: 1; 2. в) x2 – 6x + 8 =0; x2 – 2x – 4x + 8 =0; (x – 2)(x – 4) = 0; x = 2; x = 4. Ответ: 2; 4.
б) x2 + 8x + 15 = 0; x2 + 3x + 5x + 15 = 0; x(x + 3) + 5(x + 3) = 0; (x + 3)(x + 5) = 0; x = – 3; x = – 5. Ответ: – 3; – 5. г) x2 – 3x – 4 = 0; x2 + x – 4x – 4 = 0; (x – 4)(x + 1) = 0; x = 4; x = – 1. Ответ: 4; – 1.
№ 593 а) 2x2 – 5x + 2 = 0; 2x2 – 4x – x + 2 = 0; 2x(x – 2) – (x – 2) = 0; (2x – 1)(x – 2) = 0; x = Ошибка!; x = 2. Ответ: Ошибка!; 2. в) 4x2 + 5x – 6 =0; 4x2 + 8x – 3x – 6 = 0; 4x(x + 2) – 3(x + 2) = 0; (4x – 3)(x + 2) = 0; x = Ошибка!; x = – 2. Ответ: Ошибка!; – 2.
б) 3x2 + 10x + 3 = 0; 3x2 + 9x + x + 3 = 0; 3x(x + 3) + (x + 3) = 0; (3x + 1)(x + 3) = 0; x = – Ошибка!; x = – 3. Ответ: – Ошибка!; – 3. г) 3x2 – x – 2 = 0; 3x2 – 3x + 2x – 2 = 0; 3x(x – 1) + 2(x – 1) = 0; (3x + 2)(x – 1) = 0; x = – Ошибка!; x = 1. Ответ: – Ошибка!; 1.
120
www.5balls.ru
§ 22. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения № 594 а) 4z2 = 2z · 2z = (2z)2; 9b4 = 3b2 · 3b2 = (3b2)2; 25m2 = 5m · 5m = (5m)2; 64p2 = 8p · 8p = (8p)2; б) 16a2b4 = (4ab2)2; 81x6y4 = (9x3y2)2; 49s2t8 = (7st4)2; 25k2t10 = (5kt5)2; в) Ошибка!p2s4t2 = Ошибка!; Ошибка!m4n12 = Ошибка!; Ошибка!a2b12 = Ошибка!; Ошибка!x4y8z16 = Ошибка!; г) 0,01a4b8 = (0,1a2b4)2; 0,04x6y6 = (0,2x3y3)2; 0,49k2L10 = (0,7k4L5)2; 1,21m6n4 = (1,1m3n2)2. № 595 а) 4 – 36a2 = 22 – (6a)2 = (2 – 6a)(2 + 6a); б) 100 – 49b2 = 102 – (7b)2 = (10 – 7b)(10 + 7b); в) 400 – 121c2 = 202 – (11c)2 = (20 – 11c)(20 + 11c); г) 225 – 144d2 = 152 – (12d)2 =(15 – 12d)(15 + 12d). № 596 а) a2 – 9b2 = (a – 3b)(a + 3b); б) c2 – 16d2 = (c – 4d)(c + 4d); в) m2 – 64n2 = (m – 8n)(m + 8n); г) p2 – 100q2 = (p – 10q)(p + 10q). № 597 а) 59x2 – 121a2 = (7x – 11a)(7x + 11a); б) 64p2 – 81q2 = (8p – 9q)(8p + 9q); в) 9m2 – 16n2 = (3m – 4n)(3m + 4n); г) 144y2 – 81r2 = (12y – 9r)(12y + 9r). № 598 а) x2y2 – 1 = (xy)2 – 12 = (xy – 1)(xy + 1); б) c2d2 – 4 = (cd)2 – 22 = (cd – 2)(cd + 2); в) m2n2 – 25 = (mn)2 – 52 = (mn – 5)(mn + 5); г) p2q2 – 100 = (pq)2 – 102 = (pq – 10)(pq + 10). № 599 а) 25 – 36p2c2 = 52 – (6pc)2 = (5 – 6pc)(5 + 6pc); б) 100m2n2 – 81 = (10mn)2 – 92 = (10mn – 9)(10mn + 9); в) 49x2y2 – 400 = (7xy)2 – 202 = (7xy – 20)(7xy + 20); г) 225 – 144c2d2 = 152 – (12cd)2 = (15 – 12cd)(15 + 12cd). 121
www.5balls.ru
№ 600 а) c2d2 – m2 = (cd)2 – m2 = (cd – m)(cd + m); б) a2x2 – 0,25p2q2 =(ax)2 – (0,5pq)2 = (ax – 0,5pq)(ax + 0,5pq); в) 16y2z2 – 4a2n2 = (4yz)2 – (2an)2 = (4yz – 2an)(4yz + 2an); г) x2y2 – 0,25p2q2 = (xy)2 – (0,5pq)2 = (xy – 0,5pq)(xy + 0,5pq). № 601 а) 144a4 – 625c2 = (12a2)2 – (25c)2 = (12a2 – 25c)(12a2 + 25c); б) 25p10 – Ошибка!q12 = (5p5)2 – Ошибка!= Ошибка!Ошибка!; в) 169x8 – 400y16 = (13x4 )2 – (20y8)2 = (13x4 – 20y8)(13x4 + 20y8); г) 4b16 – Ошибка!d4 = (2b8)2 – Ошибка!= Ошибка!Ошибка!. № 602 а) x2 – 49 = 0; (x – 7)(x + 7) = 0; x – 7 = 0; x + 7 = 0; x = 7; x = – 7. Ответ: 7; – 7. в) z2 – 625 = 0; (z – 25)(z + 25) = 0; z – 25 = 0; z + 25 = 0; z = 25; z = – 25. Ответ: 25; – 25.
б) y2 – 100 = 0; (y – 10)(y + 10) = 0; y – 10 = 0; y + 10 = 0; y = 10; y = – 10. Ответ: 10; – 10. г) t2 – 1 = 0; ( t – 1)(t + 1) = 0; t – 1 = 0; t + 1 = 0; t = 1; t = – 1. Ответ: 1; – 1.
№ 603 а) 4x2 – 1 = 0; (2x – 1)(2x + 1) = 0; 2x – 1 = 0; 2x + 1 = 0; x = Ошибка!; x = – Ошибка!. Ответ: Ошибка!; – Ошибка!. в) 26a2 – 25 = 0; (6a – 5)(6a + 5) = 0; 6a = 5; 6a = – 5; a = 1,2; a = – 1,2. Ответ: 1,2; – 1,2.
б) 25y2 – 49 = 0; (5y – 7)(5y + 7) = 0; 5y – 7 = 0; 5y + 7 = 0; y = Ошибка!; y = – Ошибка!. Ответ: Ошибка!; – Ошибка!. г) 144z2 – 1 = 0; (12z – 1)(12z + 1) = 0; 12z = 1; 12z = – 1; z = Ошибка!; z = – Ошибка!. Ответ: Ошибка!; – Ошибка!.
№ 604 а) a + b; a2 – ab + b2; б) m2 + 2n2; m4 – 2m2n2 + 4n4 в) 2c + 3d; 2c2 – 6cd + 9d2; г) 3p + 4q2; 9p2 – 12pq2 + 16q4. 122
www.5balls.ru
№ 605 а) k –L; k2 + kL + L2; б) 5a2 – b2; 25a4 + 5a2b2 + b4; в) 3p – 2m; 9p2 + 6pm + 4m2; г) 4s – 3t2; 16s2 + 125t2 + 9t4. № 606 а) a3b3 = (ab)3, x6y9 = (x2y3)3, 8m3n9 = (2mn3)3, 125k9t27 = (5k3t9)3; б) Ошибка!p9 = Ошибка!, Ошибка!s18 = Ошибка!; Ошибка!m12 = Ошибка!, Ошибка!a24 = Ошибка! в) 0,064a3b3 = (0,4ab)3, 0,216m3n18 = (0,6mn6)3, г) 125x3y6z9 =(5xy2z3)3, 8m6n3p12 = (2m2np4)3,
0,125x9y3 = (0,5x3y)3, 0,008p9q12 = (0,2p3q4)3; 216a12b36c24 = (6a4b12c8)3, 0,343k9L18p15 = (0,7k3L6p5)3.
№ 607 а) a3 + 8 = a3 + 23 = (a + 2)(a2 – 2a + 4); б) b3 – 27 = b3 – 33 = (b – 3)(b2 + 3b + 9); в) c3 – 64 = c3 – 43 = (c – 4)(c2 + 4c + 16); г) d3 + 125 = d3 + 53 = (d + 5)(d2 – 5d + 25). № 608 а) 216 – m3 = 63 – m3 = (6 – m)(36 + 6m + m2); б) 1000 + m3 = 103 + m3 = (10 + m)(100 – 10m + m2); в) 729 + p3 = 93 + p3 = (9 + p)(81 – 9p + p2); г) 343 – q3 = 73 – q3 = (7 – q)(49 + 7q + q2). № 609 а) 64a3 + 1 = (4a + 1)(16a2 – 4a + 1); б) 27d3 – 8=(3d – 2)(9d2 + 6d + 4); в) 512b3 – 125 = (8b – 5)(64b2 + 40b + 25); г) 216c3 + 1000 = (6c + 10)(36c2 – 60c + 100). № 610 а) a3b3 – 1 = (ab – 1)(a2b2 + ab + 1); б) 8 + c3d3 = (2 + cd)(4 – 2cd + c2d2); в) m3n3 – 27 = (mn – 3)(m2n2 + 3mn + 9); г) p3q3 + 64 = (pq + 64)(p2q2 – 4pq + 16). 123
www.5balls.ru
№ 611 а) a2 – 2ab + b2 = (a – b)2; б) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2; в) z2 + 2zt + t2 = (z + t)2; г) m2 – 2mn + n2 = (m – n)2. № 612 а) m2 + 4m + 4 = m2 + 2 · 2m + 22 = (m + 2)2; б) a2 – 12a + 36 = a2 – 2 · 6a + 62 = (a – 6)2; в) 1 – 2b + b2 = (1 – b)2; г) y2 + 18y + 81 = y + 2 · 9y + 92 = (y + 9)2. № 613 а) p2 + 10p + 25 = p2 + 2 · 5p + 52 = (p + 5)2; б) x2 – 14x + 49 = x2 – 2 · 7x + 72 = (x – 7)2; в) 225 – 30y + y2 = 152 – 2 · 15y + y2 = (15 – y)2; г) 64 + 16z + z2 = 82 + 2 · 8z + z2 = (z + 8)2. № 614 а) 4y2 – 12y + 9 = (2y)2 – 2 · 3 · 2y + 32 = (2y – 3)2; б) 9p2 + 48pq + 64q2 = (3p)2 + 2 · 3p · 8q + (8q)2 = (3p + 8q)2; в) 9m2 + 24m + 16 = (3m)2 + 2 · 4 · 3m + 42 = (3m + 4)2; г) 9a2 – 30a + 25 = (3a)2 – 2 · 5 · 3a + 52 = (3a – 5)2. № 615 а) 9x2 + 24xy + 26y2 = (3x)2 + 2 · 3x · 4y + (4y)2 = (3x + 4y)2; б) 36a2 – 84ab + 49b2 = (6a)2 – 2 · 6a · 7b + (7b)2 = (6a – 7b)2; в) 4m2 – 28mn + 49n2 = (2m)2 – 2 · 2m · 7n + (7n)2 = (2m – 7n)2; г) 0,25x2 + 3xy + 9y2 = (0,5x)2 + 2 · 0,5x · 3y + (3y)2. № 616 а) a2 – 10a + 25 = (a – 5)2 – неотрицательное; б) 49 + 14a + a2 = (a + 7)2 – неотрицательное; в) – a2 – 4a – 4 = – 1 · (a2 + 4a + 4) = – (a + 2)2 – неположительное; г) – a2 – 12a – 36 = – 1 · (a2 + 12a + 36) = – (a + 6)2 – неположительное. № 617 а) 342 + 2 · 34 · 36 + 362 = (34 + 36)2 = 702 = 4900; б) 272 – 2 · 27 · 13 + 132 = (27 – 13)2 = 142 = 196; в) 982 – 2 · 98 · 8 + 82 = (98 – 8)2 = 902 = 8100; г) 76,4 + 13,6 + 2 · 76,4 · 13,6 = (76,4 + 13,6)2 = 902 = 8100. 124
www.5balls.ru
№ 618 а) 2572 – 1432 = (257 – 143)(257 + 143) = 114 · 400 = 45600; б) 73,62 – 26,42 = (73,6 – 26,4)(73,6 + 26,4) = 37,2 · 100 = 3720; в) 1652 – 652 = (165 – 65)(165 + 65) = 100 · 230 = 23000; г) 72,52 – 47,52 = (72,5 – 47,5)(72,5 + 47,5) = 25 · 120 = 3000. № 619 а) (x + 1)2 – 25 = (x + 1 – 5)(x + 1 + 5) = (x – 4)(x + 6); б) (y – 2)2 – 4 = (y – 2 – 2)(y – 2 + 2) = y(y – 4); в) (z + 10)2 – 100 = (z + 10 – 10)(z + 10 + 10) = z(z + 20); г) (t – 7)2 – 100 = (t – 7 – 10)(t – 7 + 10)= (t – 17)(t + 3). № 620 а) 49 – (m – 3)2 = (7 – m + 3)(7 + m – 3) = (m + 4)(10 – m); б) 400 – (a + 9)2 = (20 – a – 9)(20 + a + 9) = (11 – a)(29 + a); в) 625 – (n + 12)2 = (25 – n – 12)(25 + n + 12) = (13 – n)(37 + n); г) 121 – (b – 13)2 = (11 – b + 13)(11 + b – 13) = (24 – b)(b – 2). № 621 а) (a + 4)2 – (b + 2)2 = (a + 4 – b – 2)(a + 4 + b + 2) = = (a – b + 2)(a + b + 6); б) (x – 5)2 – (y + 8)2 = (x – 5 – y – 8)(x – 5 + y + 8) = = (x – y – 13)(x + y +3); в) (m + 10)2 – (n – 12)2 = (m + 10 – n + 12)(m + 10 + n – 12) = = (m – n + 22)(m + n – 2); г) (c – 1)2 – (d – 23)2 = (c – 1 – d + 23)(c – 1+ d – 23) = =(c – d + 22)(c + d – 24). № 622 а) (3x + 1)2 – (4x + 3)2 = (3x + 1 – 4x – 3)(3x + 1 + 4x + 3) = = – (x + 2)(7x + 4); б) (6y – 7)2 – (9y + 4)2 = (6y – 7 – 9y – 4)(6y – 7 + 9y +4) = = (– 3y – 11)(15y – 3); в) (15z + 4)2 – (3z – 2)2 = (15z + 4 – 3z + 2)(15z + 4 + 3z – 2) = = (12z + 6)(18z + 2) = 12(2z + 1)(3z + 2); г) (3t – 9)2 – (8t – 7)2 = (13t – 9 – 8t + 7)(13t – 9 +8t – 7) = = (5t – 2)(21t – 16). № 623 б) Ошибка!b2 – Ошибка!= 0; а) Ошибка!a2 – Ошибка!= 0; Ошибка!Ошибка!= 0; Ошибка!Ошибка!= 0; Ошибка!a = Ошибка!; Ошибка!a = – Ошибка!; Ошибка!b = Ошибка!; Ошибка!b = – Ошибка!; 125
www.5balls.ru
a = Ошибка!; b = 1Ошибка!; a = – Ошибка!. b = – 1Ошибка!. Ответ: Ошибка!; – Ошибка!. Ответ: 1Ошибка!; – 1Ошибка!. в) Ошибка!c2 – Ошибка! = 0; г) Ошибка!d2 – Ошибка! = 0; Ошибка!Ошибка!= 0; Ошибка!Ошибка!= 0; Ошибка!c = Ошибка!; Ошибка!c = – Ошибка!; Ошибка!d = Ошибка!; Ошибка!d = – Ошибка!; c = 1Ошибка!; c = – 1Ошибка!. d = 2Ошибка!; d = – 2Ошибка!. Ответ: 1Ошибка!; – 1Ошибка!. Ответ: 2Ошибка!; – 2Ошибка!. № 624 б) (4 – 11y)2 – 1= 0; а) (2x – 5)2 – 36 =0; (2x – 41)(2x + 31) = 0; (3 – 11y)(5 – 11y) = 0; 2x = 41; 2x = – 31; 11y = 3; 11y = 5; x = 20Ошибка!; x = – 15Ошибка!. y = Ошибка!; y = Ошибка!. Ответ: 20Ошибка!; – 15Ошибка!. Ответ: Ошибка!; Ошибка!. г) (4t – 3)2 – 25t2 = 0; в) (5z – 3)2 – 9z2 = 0; (2z – 3)(14z – 3) = 0; (– t – 3)(9t – 3) = 0; 2z = 3; 14z = 3; – t = 3; 9t = 3; z = 1Ошибка!; z = Ошибка!. t = – 3; t = Ошибка!. Ответ: 1Ошибка!; Ошибка!. Ответ: – 3; Ошибка!. № 625 а) (a + 1)2 – (2a + 3)2 = 0; (– a – 2)(3a + 4) = 0; a = – 2; 3a = – 4; a = – 1Ошибка!. Ответ: – 2; – 1Ошибка!. в) (5c + 8)2 – (c – 10)2 = 0; (4c + 18)(6c – 2) = 0; 4c = – 18; 6c = 2; c = – 4Ошибка!; c = 3. Ответ: – 4Ошибка!; 3.
б) (3b – 2)2 – (b + 1)2 = 0; (2b – 3)(4b – 1) = 0; 2b = 3; 4b = 1; b = 1Ошибка!; b = Ошибка!. Ответ: 1Ошибка!; Ошибка!. г) (7d – 13)2 – (9d – 25)2 = 0; (– 2d + 12)(16d – 38) = 0; 2d = 12; 16d = 38; d = 6; d =2Ошибка!. Ответ: 6; 2Ошибка!.
№ 626 а) Ошибка!a3 – Ошибка!b3 = Ошибка!Ошибка!; б) Ошибка!c3 + Ошибка!d3 = Ошибка!Ошибка!; 126
www.5balls.ru
в) Ошибка!x3 – Ошибка!y3 = Ошибка!Ошибка!; г) Ошибка!m3 + Ошибка!n3 = Ошибка!Ошибка!. № 627 а) a6 – 8 = (a2)3 – 23 = (a2 – 2)(a4 + 2a2 + 4); б) 27 + b9 = 33 + (b3)3 = (3 + b3)(9 – 3b3 + b6); в) Ошибка! – x6 = Ошибка!– (x2)3 =Ошибка!Ошибка!; г) – Ошибка! – x6 = – Ошибка!= Ошибка!Ошибка!. № 628 а) x3y3 – c3 = (xy)3 – c3 = (xy – c)(x2y2 + xyc + c2); б) a3 + m3n9 = a3 + (mn3)3 = (a + mn3)(a2 – amn3 + m2n6); в) m6n3 – p12 = (m2n)3 – (p4)3 = (m2n – p4)(m4n2 + m2np4 + p8); г) q3 + c15d18 = q3 + (c5d6)3 = (q + c5d6)(q2 – qc5d6 + c10d12). № 629 а) Ошибка!a6 – b9 = Ошибка!– (b3)3 = Ошибка!Ошибка!; 2 3
3
б) Ошибка!a3 + x9 = a + (x3)3 = Ошибка!Ошибка!; в) Ошибка!x3 + y6 = Ошибка!+ (y2)3 = Ошибка!Ошибка!; г) Ошибка!m3 – Ошибка!n6 = Ошибка!– Ошибка!= = Ошибка!Ошибка!. № 630 а)(2с + 1)3 – 64 = (2c + 1)3 – 43 =(2c + 1 – 4)((2c + 1)2 + 4(2c + 1)+42) = = (2c – 3)(4c2 + 4c + 1 + 8c + 4 + 16) = (2c – 3)(4c2 + 12c + 21); б) (3p – 4)3 + 1 = (3p – 4 + 1)((3p – 4)2 – 3p + 4 + 1) = = (3p – 3)(9p2 – 24p + 16 – 3p + 4 + 1) = 3(p – 1)(9p2 – 27p + 21) = = 9(p – 1)(3p2 – 9p + 7); в) 8 – (3 – k)3 = (k – 1)(4 + 6 – 2k + 9 – 6k + k2) = = (k – 1)(k2 – 8k + 19); г) (5a + 4)3 – 27 = (5a + 1)(25a2 + 40a + 16 + + 15a + 12 + 9) = = (5a + 1)(25a2 + 55a + 37). № 631 а) (6b + 8)3 – 125 = (6b + 8 – 5)((6b + 8)2 + 5(6b + 8) + 25) = = 9(2b + 1)(12b2 + 42b + 43); б) 1000 + (3q + 12)3 = (3q + 12)(100 – 10(3q + 12) + (3q + 12)2) = = (3q + 12)(100 – 30q – 120 + 9q2 + 72q + 144) = = 3(q + 4)(9q2 + 42q + 124); в) 8x3 – (5x – 3)3 = (2x – 5x + 3)((2x)2 + 2x(5x – 3) + (5x – 3)2) = = – 3(x – 1)(4x2 + 10x2 – 6x + 25x2 – 30x + 9) = 127
www.5balls.ru
= – 9(x – 1)(13x2 – 12x + 3); г)(3x + 2y)3 + 729y3 = (3x + 2y + 9y)((3x + 2y)2 – 9y(3x + 2y) + 81y2) = = (3x + 11y)(9x2 + 12xy + 4y3 – 27xy – 18y2 + 81y2) = = (3x + 11y)(9x2 – 15xy + 67y2). № 632 а) Ошибка!a2 – 2ab + Ошибка!b2 = Ошибка!– 2ab + Ошибка!= Ошибка!; б) Ошибка!a6b2 + a4b4 + Ошибка!a2b6 = a2b2Ошибка!= = a2b2Ошибка!; в) b8 + a2b4 + Ошибка!a4 =(b4)2 + a2b4 + Ошибка!= Ошибка!; г) 0,01x4 + y2 – 0,2x2y = (0,1x2)2 – 0,2x2y + y2 = (0,1x2 – y)2. № 633 а) 513 – 263 = (51 – 26)(512 + 51 · 26 + 262) = = 25 · (512 + 51 · 26 + 262) 25 – это сомножитель, значит, выражение делится на 25; б) 433 + 173 = (43 + 17)(432 – 43 · 17 + 172) = = 60(432 – 43 · 17 + 172) 60 – это сомножитель, значит, выражение делится на 60; в) 543 – 143 = (54 – 14)(542 – 54 · 14 + 142) = = 40(542 – 54 · 14 + 142) 40 – это сомножитель, значит, выражение делится на 40; г) 383 + 373 = (38 + 37)(382 – 38 · 37 + 372) = = 75(382 – 38 · 37 + 372) 75 – это сомножитель, значит, выражение делится на 75. № 634 а) (532 + 222 – 472 – 162) : (652 – 2 · 65 · 59 + 592) = = (532 – 472 + 222 – 162) : (65 – 59)2 = = ((53 – 47)(53 + 47) + (22 – 16)(22 + 16)) : 62 = = (100 · 6 + 38 · 6) : 36 = 6 · (100 + 38) : 36 = 138 : 6 = 23; б) Ошибка!+ 59 · 41 = (59 – 41)(592 + 59 · 41 + 412) : 18 + 59 · 41 = 592 + 2 · 59 · 41 + 412 = (59 + 41)2 = 1002 = 10000; в) (1092 – 2 · 109 · 61 + 612) : (792 + 732 – 492 – 552) = = (109 – 61)2 : ((79 – 49)(79 + 49) + (73 – 55)(73 + 55)) = = 482 : (30 · 128 + 18 · 128) = 482 : (128· (30 + 18)) = 48 : 128 = Ошибка!; г) Ошибка! – 67 · 52 = (67 + 52)(672 – 67 · 52 + 522) : 119 – 67 · 52 = = 672 – 2 · 67 · 52 + 522 = (67 – 52)2 = 152 = 225.
128
www.5balls.ru
№ 635 а)Ошибка!: (152,52 – 27,52) = =Ошибка!: : ((152,5–27,5)(152,5+27,5)) = (972 +2 · 97 · 53 + 532) : (125 · 180) = = (97 + 53)2 : 22500 = 1502 : 22500 = 1; б) (36,52 – 27,52) : Ошибка!= = ((36,5–27,5)(36,5+27,5)) Ошибка!= = (9 · 64) : (572 – 2 · 57 · 33 + 332) = 576 : (57 – 33)2 = 1; в) Ошибка!: (133,52 – 58,52) = = Ошибка! · (133,5–58,5)(133,5+ 58,5) = (79 + 41)2 : (75 · 192) = 1202 : 14400 = 1; г) (94,52 – 30,52) : Ошибка!= (69 + 29)(692 − 69 · 29 + 292 ) 69 · 29 = = (94,5 – 30,5)(94,5 + 30,5)
98
= 64 · 125 : (69 – 29)2 = 8000 : 1600 = 5.
№ 636 а) a2 + ∗ + b2 = (a + b)2; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; ∗ = 2ab; б) b2 + 20ab + ∗ = (b + 10)2; (b + 10)2 = b2 + 20ab + 100; ∗ = 100; в) ∗ – 56a + 49 = (4a – 7)2; (4a – 7)2 = 16a2 – 56a + 49; ∗ = 16a; г) ∗1 – 12c + ∗2 = (3c – 2)2; (3c – 2)2 = 9c2 – 12c + 4; ∗1 = 9c2, ∗2 = 4. № 637 а) b2 – 20b + ∗1 = (∗2 – 10)2; (∗2 – 10)2 = ∗22 – 2 · ∗2 · 10 + 100; ∗1 = 100, ∗2 = b; б) ∗1 – 42pq + 49q2 = (3p – ∗2)2; (3p – ∗2)2 = 9p2 – 2 · ∗2 · 3p + ∗22; ∗1 = 9p2, ∗2 = 7q; в) 25a2 + ∗1 + Ошибка!b2 = (∗2 + Ошибка!b)2; (∗2 + Ошибка!b)2 = ∗22 + ∗2b + Ошибка!b2; ∗2 = 5a, ∗1 = ∗2 · b = 5ab; г) 0,01b2 + ∗1 + 100c2 = (0,1b + ∗2)2; (0,1b + ∗2)2 = 0,01b2 – 0,2b · ∗2 + ∗22; ∗2 = 10c, ∗1 = ∗2 · 0,2b = 10c · 0,2b = 2bc. № 638 а) ∗1 + 56ab + 49b2 = (4a + ∗2)2; (4a + ∗2)2 = 16a2 + 2 · ∗2 · 4a + ∗22; ∗1 = 16a2, ∗2 = 7b; б) 225x2 – ∗1 + 64y2 = (15x – ∗2)2; 129
www.5balls.ru
(15x – ∗2)2 = 225x2 – 2 · 15x · ∗2 + ∗22; ∗2 = 8y, ∗1 = 30x · ∗2 = 30x · 8y = 240xy; в) ∗1 + 96xy + 36y2 = (8x + ∗2)2; (8x + ∗2)2 = 64x2 + 16x · ∗2 + ∗22; ∗1 = 64x2, ∗2 = 6y; г) 100a2 + ∗1 + 49b2 = (10a + ∗2)2; (10a + ∗2)2 = 100a2 + 20a · ∗2 + ∗22; ∗2 = 7b, ∗1 = 140ab. № 639 а) m2 + 40m + ∗1 = (∗2 + 20)2; (∗2 + 20)2 = ∗22 + 2 · 20 · ∗2 + 400; ∗1 = 400, ∗2 = m; б) ∗1 – 70pq + ∗2 = (7p – ∗3)2; (7p – ∗3)2 = 49p2 – 2 · 7p · ∗3 + ∗32; ∗1 = 49p2, ∗3 = Ошибка! = 5q, ∗2 = 25q2; в) ∗1 + 42ac + 49c2 = (∗2 + ∗3)2; ∗3 = 7c, 2 · ∗2 · ∗3 = 42ac, ∗2 = Ошибка!= 3a, ∗1 = ∗22 = 9a2; г) 25z2 – ∗1 + ∗2 = (∗3 – 8t)2; ∗2 = (8t)2 = 64t2, ∗3 = 5z, ∗1 = 5z · 8t · 2 = 80zt.
§ 23. Разложение многочлена на множители с помощью комбинаций различных приемов № 640 а) 5x2 – 5 = 5(x2 – 1) = 5(x – 1)(x + 1); б) 10x2 – 10y2 = 10(x2 – y2) = 10(x – y)(x + y); в) 3a2 – 12 = 3(a2 – 4) = 3(a – 2)(a + 2); г) 9b3 – b = b(9b2 – 1) = b(3b – 1)(3b + 1). № 641 а) 9x2 – 81x = 9x(x – 9); б) y3 – 100y = y(y2 – 100) = y(y – 10)(y + 10); в) 64a – a3 = a(64 – a2) = a(8 – a)(8 + a); г) b3 – 144b = b(b2 – 122) = b(b – 12)(b + 12). № 642 а) c3 – 25c = c(c2 – 25) = c(c – 5)(c + 5); б) 50m – 2n2m = 2m(25 – n2) = 2m(5 – n)(5 + n); в) 0,04s – sa2 = s(0,04 – a2) = s(0,2 – a)(0,2 + a); г) Ошибка!p2q – q3 = qОшибка! = qОшибка!Ошибка!. № 643 а) 5a2 + 10ab + 5b2 = 5(a2 + 2ab + b2) = 5(a + b)2; 130
www.5balls.ru
б) 2x2 + 4xy + 2y2 = 2(x2 + 2xy + y2) = 2(x + y)2; в) 3m2 + 3n2 – 6mn = 3(m2 – 2mn + n2) = 3(m – n)2; г) 8n2 – 16n + 8 = 8(n2 – 2n + 1) = 8(n – 1)2. № 644 а) –3x2 + 12x – 12 = –3(x2 – 4x + 4) = –3(x – 2)2; б) –2a2 + 20ab – 50b2 = –2(a2 – 10ab + 25b2) = –2(a – 5b)2; в) –5p2 – 10pq – 5q2 = –5(p2 + 2pq + q2) = –5(p + q)2; г) –12z3 – 12z2 – 3z = –3z(4z2 + 4z + 1) = –3z(2z + 1)2. № 645 а) a4 – 16 = (a2)2 – 42 = (a2 – 4)(a2 + 4) = (a – 2)(a + 2)(a2 + 4); б) b4 – 81 = (b2 – 9)(b2 + 9) = (b – 3)(b + 3)(b2 + 81); в) y8 – 1 = (y4 – 1)(y4 + 1) = (y2 – 1)(y2 + 1)(y4 + 1) = = (y – 1)(y + 1)(y2 + 1)(y4 + 1); г) x4 – z4 = (x2 – z2)(x2 + z2) = (x – z)(x + z)(x2 + z2). № 646 а) 4m3 – 4n3 = 4(m3 – n3) = 4(m – n)(m2 + mn + n2); б) 13a3 + 13b3 = 13(a3 + b3) = 13(a + b)(a2 – ab + b2); в) 15c3 + 15d3 = 15(c3 + d3) = 15(c + d)(c2 – cd + d2); г) 21s3 – 21t3 = 21(s3 – t3) = 21(s – t)(s2 + st + t2). № 647 а) 6x5y – 24xy3 = 6xy(x4 – 4y2) = 6xy(x2 – 2y)(x2 + 2y); б) 3a4b2 + 24ab5 = 3ab2(a3 + 8b3) = 3ab(a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2; в) 0,3y2 – 2,7y6 = 0,3y2(1 – 9y4) = 0,3y2(1 – 3y2)(1 + 3y2); г) 0,1x4y – 2,7xy4 = 0,1xy(x3 – 27y3) = 0,1xy(x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2). № 648 а) (m + 3)3 – 8 = (m + 3 – 2)((m + 3)2 + 2(m + 3) + 4) = = (m + 1)(m2 + 6m + 9 + 2m + 6 + 4) = (m + 1)(m2 + 8m + 19); б) (c – 1)3 + 27 = (c – 1 + 3)(c2 – 2c + 1 – 3c + 3 + 9) = = (c + 2)(c2 – 5c + 12); в) (a – 12)3 – 125 = (a – 12 – 5)(a2 – 24a + 144 + 5a – 60 + 25) = = (a – 17)(a2 – 19a + 109); г) (b + 4)3 + 64 = (b + 4 + 4)(b2 + 8b + 16 + 4b + 16 + 16) = = (b + 8)(b2 + 12b + 48). № 649 а) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 + 1 – 2x)(x2 + 1 + 2x) = (x – 1)2(x + 1)2; б) (y2 + 2y)2 – 1 = (y2 + 2y – 1)(y2 + 2t + 1) = (y2 + 2y – 1)(y + 1)2; в) 81 – (c2 + 6c)2 = (9 – c2 – 6c)(9 + c2 + 6c) = (9 – c2 – 6c)(c + 3)2; 131
www.5balls.ru
г) 16m2 – (m – n)2 = (4m – m + n)(4m + m – n) = (3m + n)(5m – n). № 650 а) (a2 + 2ab + b2) – c2 = (a + b)2 – c2 = (a + b – c)(a + b +c); б) 16 – (x2 – 2xy + y2) = 16 – (x – y)2 = (4 – x + y)(4 + x – y); в) 1 – m2 – 2mn – n2 = 1 – (m + n)2 = (1 – m – n)( 1 + m + n); г) 4 – p2 – 2pq – q2 = 4 – (p + q)2 = (2 – p – q)(2 + p + q). № 651 а) x2 – 2xc + c2 – d2 = (x – c)2 – d2 = (x – c – d)(x – c + d); б) a2 + 2a – b2 + 1 = (a + 1)2 – b2 = (a + 1 – b)(a + 1 + b); в) c2 – d2 + 6c + 9 = (c + 3)2 – d2 = (c + 3 – d)(c + 3 + d); г) r2 – s2 – 10s – 25 = r2 – (s + 5)2 = (r – s – 5)(r + s + 5). № 652 а) x2 + 2xy – m2 + y2 = (x + y)2 – m2 = (x = y – m)(x = y + m); б) c2 – a2 + 2ab – b2 = c2 – (a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b); в) m2 – n2 – 8m + 16 = (m – 4)2 – n2 = = (m – 4 – n)(m – 4 + n); г) 9 – p2 + q2 – 6q = (q – 3)2 – p2 = (q – 3 – p)(q – 3 + p). № 653 а) x3 – x2y – xy2 + y3 = x3 + y3 – x2y – xy2 = = (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) = (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = = (x + y)(x2 – 2xy + y2) = (x + y)(x – y)2; б) a3 + a2b – ab2 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b) = = (a – b)(a2 + 2ab + b2) = (a – b)(a + b)2; в) c2 + 2c – d2 + 2d =c2 – d2 + 2 (c + d) = (c – d)(c + d) + 2 (c + d) = = (c+d)(c – d + 2); г) m2 – 2n – m – 4n2 = m2 – 4n2 – (2n + m) = = (m – 2n)(m + 2n) – (2n + m) = (2n + m)(m – 2n – 1). № 654 а) x2(x – 3) – 2x(x – 3) + (x – 3) = (x – 3)(x2 – 2x + 1) = (x – 3)(x – 1)2; б) (1 – a)2 – 4a(1 – a)2 + 4a(1 – a)2 = (1 – a)2(1 – 4a + 4a) = (1 – a)2. № 655 а) a3 + 8b3 + a2 – 2ab + 4b2 = (a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2) + a2 – 2ab + 4b2 = = (a + 2b + 1)(a2 – 2ab + 4b2); б) 8c3 – d3 + 4c2 + 2cd + d2 = (2c – d)(4c2 + 2cd + d2) + 4c2 + 2cd + d2 = = (2c – d + 1)(4c2 + 2cd + d2).
132
www.5balls.ru
№ 656 а) x3 + 8y3 + x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 ) + (x + 2y)2 = = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 + x + 2y); б) 8p3 – q3 + 4p2 – 4pq + q2 = (2p – q)(4p2 + 2pq + q2) + (2p – q)2 = = (2p – q)(q2 + 2pq + 4p2 + 2p – q). № 657 а) a3 – a2 – 2a + 8 = a3 + 8 – a(a + 2) = (a + 2)(a2 – 2a + 4) – a(a + 2) = = (a + 2)(a2 – 2a + 4 – a) = (a + 2)(a2 – 3a + 4); б) b3 – 6b2 – 6b + 1 = b3 + 1 – 6b(b + 1) = = (b + 1)(b2 – b + 1) – 6b(b + 1) = (b + 1)(b2 – b + 1 – 6b) = = (b + 1)(b2 – 7b + 1). № 658 а) x2 – 10x + 24 = x2 – 10x + 25 – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 6)(x – 4); б) y2 – 14y + 40 = y2 – 14y + 49 – 9 = (y – 7)2 – 9 = (y – 10)(y – 4); в) b4 + 4b2 – 5 = b4 + 4b2 + 4 – 9 = (b2 + 2)2 – 9 = = (b2 + 2 – 3)(b2 + 2 + 3) = (b2 – 1)(b2 + 5) = = (b – 1)(b + 1)(b2 + 5); г) a2 – 6a + 5 = a2 – 6a + 9 – 4 = (a – 3)2 – 4 = (a – 5)(a – 1). № 659 а) 4a2 – 12ab + 5b2 = 4a2 – 12ab + 9b2 – 4b2 = (2a – 3b)2 – 4b2 = = (2a – 5b)(2a – b); б) 9c2 – 24cd + 7d2 = 9c2 – 24cd + 16d2 – 9d2 = (3c – 4d)2 – 9d2 = = (3c – 7d)(3c – d); в) 25a2 – 20ab – 12b2 = 25a2 – 20ab + 4b2 – 16b2 = (5a + 2b)2 – 16b2 = = (5a – 2b)(5a + 6b); г) 9m2 – 30mk + 16k2 = 9m2 – 30mk + 25k2 – 9k2 = (3m – 5k2) – 9k2 = = (3m – 8k)(3m – 2k). № 660 а) a2 + 7a + 10 = a2 + 5a + 2a + 10 = a(a + 5) + 2(a + 5) = (a + 2)(a + 5); б) x4 + 7x2 + 12 = x4 + 3x2 + 4x2 + 12 = x2(x2 + 3) + 4(x2 + 3) = = (x2 + 4)(x2 + 3); в) b2 – 3b – 4 = b2 – 1 – 3b – 3 = (b – 1)(b + 1) – 3(b + 1) = (b – 4)(b + 1) г) y4 – 5y2 + 4 = y4 – 4y2 – y2 + 4 = y2(y2 – 4) – y2 – 4 = = (y2 – 1)(y2 – 4) = (y – 1)(y + 1)(y – 2)(y + 2). № 661 а) x2 + 5xy + 6y2 = x2 + 2xy + 3xy + 6y2 = x(x + 2y) + 3y(x + 2y) = = (x + 3y)(x + 2y); б) 4m2 – 5mn + n2 = 4m2 – 4mn – mn + n2 = 4m(m – n) + n(n – m) = 133
www.5balls.ru
= (m – n)(4m – n); в) p2 – pq – 2q2 = p2 + pq – 2q2 – 2pq = p(p + q) – 2q(p + q) = = (p + q)(p – 2q); г) a2 + 7ab + 6b2 = a2 + ab + 6ab + 6b2 = a(a + b) + 6b(a + b) = = (a + b)(a + 6b). № 662 а) x3 – x = 0; x(x2 – 1) = 0; x(x – 1)(x +1) = 0; x = 0, x = 1, x = –1. Ответ: 0; 1; –1. в) c3 + c2 = 0; c2(c + 1) = 0; c = 0, c = –1. Ответ: 0; –1.
б) 16y – y3 = 0; y(16 – y2) = 0; y(4 – y)(4 + y) = 0; y = 0, y = 4, y = –4. Ответ: 0; 4; –4. г) d3 + d = 0; d(d2 + 1) = 0; d = 0, d2 + 1 ≠ 0 не при каких d. Ответ: 0.
№ 663 а) x3 + x2 – 4x – 4 = 0; x2(x + 1) – 4(x + 1) = 0; (x2 – 4)(x + 1) = 0; (x – 2)(x + 2)(x + 1) = 0; x = 2, x = –2, x = –1. Ответ: 2; –2; –1. в) 9z + 9 – z3 – z2 = 0; 9(z + 1) – z2(z + 1) = 0; (9 – z2)(z + 1) = 0; (3 – z)(3 + z)(z + 1) = 0; z = 3, z = –3, z = –1. Ответ: 3; –3; –1.
б) y3 + 2y2 – 4y – 8 = 0; y2(y + 2) – 4(y + 2); (y2 – 4)(y + 2) = 0; (y – 2)(y + 2)2 = 0; y = 2, y = – 2. Ответ: 2; –2. г) p3 – p2 – 4p + 4 = 0; p2(p – 1) – 4(p – 1) = 0; (p2 – 4)(p – 1) = 0; (p – 2)(p + 2)(p – 1) = 0; p = 2, p = –2, p = 1. Ответ: 2; –2; 1.
№ 664 x1 + x2 = 7; x1 · x2 = 2; а) x1x22 + x12x2 = x1x2(x1 + x2) = 2 · 7 = 14; б) (x1 = x2)2 = 72 = 49; в) x12 + x22 = x12 + x22 + 2x1x2 – 2x1x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = = 49 – 4 = 45; г) (x13 + x23) = (x1 + x2)(x12 – x1x2 + x22) = = (x1 + x2)((x1 + x2)2 – 3x1x2) = 7(49 – 6) = 7 · 43 = 301. № 665 x1 + x2 = 5; x1 · x2 = –3 а) x14 + x24 = x14 + 2x12x22 + x14 – 2x12x22 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 = 134
www.5balls.ru
= ((x1 + x2)2 – 2x1x2)2 – 2x12x22 = (25 + 6)2 – 18 = 312 – 18 = = 961 – 18 = 943; б) (x1 – x2)2 = x12 – 2x1x2 + x22 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 25 + 12 = 37; в) x13x22 + x12x23 = x12x22(x1 + x2) = 9 · 5 = 45; г) x12x24 + x14x22 = x12x22(x12 + x22) = = x12x22(x12 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2) = x12x22((x1 + x2)2 – 2x1x2) = = 9 · (25 + 6) = 279.
§ 24. Сокращение алгебраических дробей № 666 а) 3a2b3, 12a3b2 : НОД = 3a2b2; в) 6x2y, 9y5 : НОД = 3y;
б) 15b12c2, 25b3c4 : НОД = 5b3c2; г) p5q2, 12p2q5 : НОД = p2q2.
№ 667 а) Ошибка! = y; б) Ошибка! = – Ошибка!; в) Ошибка! = – Ошибка!; г) Ошибка! = n15. № 668 а) Ошибка! =
z8 z1
·
t4 t3
· Ошибка! = z7· t · w19;
б) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! = – Ошибка!; в) Ошибка! = – Ошибка! · Ошибка!· Ошибка!= – Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!. № 669 а) Ошибка! = Ошибка! · b = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = – Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = – Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!. № 670 а) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!c; в) Ошибка! = Ошибка! · ab · Ошибка! = Ошибка! · ab = Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!.
135
www.5balls.ru
№ 671 а)
5( x − y ) 5 x− y 1 =− ⋅ =− ; 15( y − x) 15 x − y 3
б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 672 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 673 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 674 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 675 а) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка!; в)
3m − 6n 3(m − 2n) 3 m − 2n 1 1 = · ( −1) = − ; = = · 12n − 6m 6(n − 2m) 6 2n − m 2 2
г) Ошибка!. № 676 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 677 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. 136
www.5balls.ru
№ 678 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 679 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка! = 5y + 1; г)
4t 2 − 2t + 1 3
8t + 1
=
4t 2 − 2t + 1 2
(2t + 1)(4t − 2t + 1)
=
1 4t 2 − 2t + 1 1 . · 2 = 2t + 1 4t − 2t + 1 2t + 1
№ 680 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 681 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!;
г) Ошибка!. № 682 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 683 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 684 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. 137
www.5balls.ru
№ 685 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 686 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 687 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 688 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!. № 689 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка!. № 690 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = – Ошибка!; б)Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= x 3 – y3; г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!. № 691 а) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка!= Ошибка! = 36; б) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = 30; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = 8; г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= 0. 138
www.5balls.ru
№ 692 а) Ошибка!= Ошибка!= x + 6 = 108; б) Ошибка!= Ошибка!= y – 7 = – 11; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = 1Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!= – 9. № 693 а) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка! = – Ошибка! = – 1; б) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка!= –Ошибка!= 2; в) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = 1,25; г) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка! = – Ошибка! = – 1,875. № 694 а) Ошибка!= Ошибка!= a + 3 = 18; б) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= – Ошибка!; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!= 2Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = 1. № 695 а) Ошибка!= Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка!. № 696 а) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= – Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!. № 697 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!= Ошибка!. № 698
а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка!; 139
www.5balls.ru
б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка! = = Ошибка! = Ошибка!. № 699 а) Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!= Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка! = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка! = Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка! = Ошибка!. № 700 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка!; б) Ошибка! = = Ошибка! = = Ошибка! = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка! = Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка! = Ошибка!. № 701 а) Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка!= x – y; г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!. № 702 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка!; б) Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!; 140
www.5balls.ru
г) Ошибка!= Ошибка!= = Ошибка!= Ошибка!. № 703 а)Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка! = 10; г) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 94,5. № 704 а) Ошибка!= Ошибка!= = 47 + 33= 80; б) Ошибка!= Ошибка! = = 23 – 11=12; в) Ошибка!= Ошибка! = = 27 – 13=14; г) Ошибка!= Ошибка!= 87 + 43=130. № 705 а) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!; б) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= = Ошибка!= 1,5; в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 25; г) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= = 0,15. № 706 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= – 4; б) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!: Ошибка!= Ошибка! = 1,125; г) Ошибка!= Ошибка! =Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 2.
§ 25. Тождества № 707 а) да; б) да; в) да; г) да. 141
www.5balls.ru
№ 708 а) да; б) да; в) да; г) да. № 709 а) да; б) да; в) да; г) да. № 710 а) переместительный закон сложения; б) сочетательный закон сложения; в) переместительный закон умножения; г) распределительный закон сложения относительно умножения. № 711 а) переместительный и сочетательный законы умножения; б) если из числа а вычесть это же число то в результате получится 0; в) переместительные законы сложения и умножения; г) 1. сочетательный закон умножения, 2. распределительный закон сложения относительно умножения. № 712 а) x – y = – y + x = – (y – x); б) (m – n)2 = m2 – 2mn + n2 = n2 – 2mn + m2 = (n – m)2; в) 2a – 3b = – 3b + 2a = – (3b – 2a); г) (3c – 4d)2 = 9c2 – 24cd + 16d2 = 16d2 – 24cd + 9c2 = (4d – 3c)2. № 713 а) 10a – (– (5a + 20)) = 10a – (– 5(a + 4)) = 10a + 5(a + 4) = = 5(2a + a + 4) = 5(3a + 4); б) – (– 7x) – (6 + 5x) = 7x – 6 – 5x = 2x – 6 = 2(x – 3); в) 12y – (25 – (6y – 11)) = 12y – (25 – 6y + 11)= 12y – 36 + 6y = = 18y – 36 = 18(y – 2); г) 36 – (– (9c – 15)) = 36 – (– 9c + 15) = 36 + 9c – 15 = = 21 + 9c = 3(3c + 7). № 714 а) a2 + 7a + 10 = a2 + 5a + 2a + 10 = a(a + 5) + 2(a + 5) = = (a + 5)(a + 2) = (a + 2)(a + 5); б) x2 – 9x + 20 = x2 – 4x – 5x + 20 = x(x – 4) – 5(x – 4) = (x – 4)(x – 5); в) (b – 8)(b + 3) = b(b + 3) – 8(b + 3) = b2 + 3b – 8b + 24 = = b2 – 5b + 24; 142
www.5balls.ru
г) (c – 4)(c + 7) = c(c + 7) – 4(c + 7) = c2 + 7c – 4c – 28 = c2 + 3c – 28. № 715 а) (a – 4)(a + 2) + 4 = a2 – 4a + 2a – 8 + 4 = a2 – 2a – 4 = = a2 – 2a – 3 – 1= a2 + a – 3a – 3 – 1 = a(a + 1) – 3(a + 1) – 1 = = (a – 3)(a + 1) – 1; б) 16 – (x + 3)(x + 2) = 4 + 12 – x2 – 5x – 6 = 4 – x2 – 5x + 6 = = 4 – (x2 + 5x – 6) = 4 – (x2 – x + 6x – 6) = = 4 – (x(x – 1) + 6(x – 1)) = 4 – (x – 1)(x + 6) = 4 – (6 + x)(x – 1); в) (y – 3)(y + 7) – 13 = y2 – 3y + 7y – 21 – 11 – 2 = = (y2 + 4y – 32) – 2 = (y2 + 8y – 4y – 32) – 2 = = y(y + 8) – 4(y + 8) – 2 = (y + 8)(y – 4) – 2; г) (z – 11)(z + 10) + 10 = z2 – z – 110 + 10 = (z2 – z – 20) – 80 = = z2 – 5z + 4z – 20 – 80 = z(z – 5) + 4(z – 5) – 80 = = (z – 5)(z + 4) – 80. № 716 а) (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2(a2 + b2); б) (a + b)2 – (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab; в) a2 + b2 = a2 + b2 + 2ab – 2ab = (a + b)2 – 2ab; г) (a + b)2 – 2b(a + b) = a2 + 2ab + b2 – 2ba – 2b2 = a2 – b2. № 717 2x – 1 + 3x + 1 – 5x = 5x – 5x = 5x – 3x – 2x = 5x – 3x – 1 – 2x + 1 = = 5x – (3x + 1) – (2x – 1). № 718 а) Ошибка!= Ошибка! = x2 + 2x, видно, что равенство превращается в тождество при x2 – 2x не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2; б) Ошибка! = Ошибка!; Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!, видно, что равенство превращается в тождество при 6x5 – 12x4 не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = = Ошибка!= Ошибка!; Видно, что равенство превращается в тождество при 4a4– 36a2 не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, a ≠ 3. При a = –3 равенство будет тождеством так как при преобразование левой части мы числитель и знаменатель не сокрашали на (a + 3). г) Ошибка! = Ошибка!; Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!, Видно, что равенство равенство превращается в тождество при 143
www.5balls.ru
2a3b3 – 6a2b3 не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ 3. № 719 а) (x +y)(x – y) + (y + a)(y – a) = = x2 – y2 + y2 – a2 = x2 – a2; б) (a – b)(a + b) – (a – c)(a + c) – (c – b)(c + b) = = a2 – b2 – a2 + c2 – c2 + b2 = 0; в) (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab; г) (m – a)(m – b) = m2 – am – bm + ab = = m2 –x (a + b)m + ab. № 720 а) a + b = 9, доказать (a + 1)(b + 1) – (a – 1)(b – 1) = 18; (a + 1)(b + 1) – (a – 1)(b – 1) = ab + b + a + 1 – ab + b + a – 1 = = 2(a + b) = 18. № 721 (b + c – 2a)(c – b) + (c + a – 2b)(a – c) – (a + b – 2c)(a – b) = = (c + b)(c – b) – 2a(c – b) + (a + c)(a – c) – 2b(a – c) – (a + b)(a – b) + + 2c(a – b) = c2 – b2 – 2ac + 2ab + a2 – c2 – 2ab + 2bc – a2 + + b2 + 2ac – 2bc = – 2ac + 2ab – 2ab + 2bc + 2ac – 2bc = 0. № 722 а) (2a – b)(2a + b) + (b – c)(b + c) + (c – 2a)(c + 2a) = = 4a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – 4a2 = 0; б) (3x + y)2 – (3x – y)2 = (3x + y – 3x + y)(3x + y + 3x – y) = = 2y · 6x = 12xy = 9x2y2 + 6xy + 1 – 9x2y2 + 6xy – 1 = = (3xy + 1)2 – (3xy – 1)2; в) (x – 3y)(x + 3y) + (3y – c)(3y + c) + (c – x)(c + x) = = x2 – 9y2 + 9y2 – c2 + c2 – x2 = 0; г) (a – b)(a + b)((a – b)2 + (a + b)2) = (a2 – b2)(2a2 + 2b2) = 2(a4 – b4). № 723 а) (a – 1)3 – 4(a – 1) = (a – 1)((a – 1)2 – 4) = (a – 1)(a – 1 – 2) = = (a – 1)(a – 3)(a + 1); б) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 – 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = (x – 1)2(x + 1)2; в) (a + 1)2 – (a + 1) = (a + 1)(a + 1 – 1) = a(a + 1); г) 4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2 = (2bc – b2 – c2 + a2)(2bc + b2 + c2 – a2) = = (a2 – (b – c)2)((b + c)2 – a2)=(a – b + c)(a + b – c)(b + c – a)(a + b + c).
144
www.5balls.ru
Домашняя работа по алгебре за 7 класс к задачнику «Алгебра. 7 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. — 3-е изд., доработ.» А.Г. Мордкович и др. М.: «Мнемозина», 2000 г.
Часть II учебно-практическое пособие
2
www.5balls.ru
СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВА 6. Линейная функция..................................................4 § 26. Координатная прямая.................................................................... 4 § 27. Координатная плоскость............................................................. 14 § 28. Линейное уравнение с двумя переменными и его график...... 33 § 29. Линейная функция и ее график .................................................. 47 § 30. Прямая пропорциональность и ее график ................................. 73 § 31. Взаимное расположение графиков линейных функций............. 83
ГЛАВА 7. Функция y = x2 ........................................................86
§ 32. Функция y = x2 и ее график ......................................................... 86 § 33. Графическое решение уравнений .............................................. 96 § 34. Что означает в математике запись y = f(x)............................... 103
ГЛАВА 8. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными ...................117 § 35. Основные понятия ..................................................................... 117 § 36. Метод подстановки ................................................................... 128 § 37. Метод алгебраического сложения ........................................... 138 § 38. Системы двух линейных уравнений с двумя перемеными как математические модели реальных ситуаций ...... 149
3
www.5balls.ru
ГЛАВА 6. Линейная функция § 26. Координатная прямая № 724 а)
C
B
D
A
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
б)
N O -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 R
в)
E
3 4
1 2
1 2
L
6
3 4
5
6
7
2 3
X
5
6
7
X
Z 3 4
K 1
7
M
S
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
5
P
Q
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
г)
1 2
X
F 4
5
6
7 8
9
X
№ 725 а) 2; 4; 8,5; 2; б) 6,5; 5; 2,5; 7,5; в) 7; 1,5; 13; 6; г) 9,5; 3,5; 2,5; 1,5. № 726 а) 8; б) 4; в) 4; г) 1. № 727 a) C > D; б)
D
C
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
№ 728 а) X < Y; б)
1
2 3
4
X
5
6
7 8
9
X
6
7 8
9
X
Y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2 3
4
4
www.5balls.ru
5
№ 729 а) B < A < C; б)
B
A
C
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2 3
4
5
6
7 8
9
X
№ 730 а) 3
X
Открытый луч с началом в точке 3; х > 3; б) -5
X
Открытый луч с концом в точке –5; х < –5; в) -2
X
Открытый луч с началом в точке –2; х > –2; г) 0
X
Открытый луч с концом в точке 0; х < 0. № 731 а) 1
X
Луч с началом в точке 1; х > 1; б)
4
X
-2
X
Луч с концом в точке 4; х < 4; в) Луч с концом в точке –2; х < –2; г)
-1
X
Луч с началом в точке –14 х > –1. 5
www.5balls.ru
№ 732 а) 5
3
X
Интервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; 3 < х < 5; б)
-5
1
X
Отрезок с началом в точке –5 и концом в точке 1; –5 ≤ х ≤ 1; в) 6 4
X
Отрезок с началом в точке 4 и концом в точке 6; 4 ≤ Х ≤ 6; г) 0 1
X
Интервал с началом в точке 0 и концом в точке 1; 0 < Х < 1. № 733 а)
6
8
X
Полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 8. (Точка 8 не включается); 6 ≤ Х < 8; б) -2 4
X
Полунтервал с началом в точке –2 и концом в точке 4; –2 < Х ≤ 4; в) -3 –1
X
Полуинтервал с началом в точке –3 и концом в точке –1; (Точка –1 не включается) –3 ≤ Х < –1; г) 5 7
X
Полунтервал с началом в точке 5 и концом в точке 7; 5 < Х ≤ 7. 6
www.5balls.ru
№ 734 а) Открытый луч с началом в точке 5; (5, +∞), x > 5; б) Открытый луч с концом в точке –7; (–∞, –7), х < –7; в) Открытый луч с началом в точке –3; (–3, +∞), x > – 3; г) Открытый луч с концом в точке 4. (–∞, 4), x < 4. № 735 а) Луч с началом в точке 2; [2, +∞), а ≥ 2; б) Луч с концом в точке –1; (–∞, –1], а ≤ –1; в) Луч с началом в точке –8; [–8, +∞), а ≥ –8; г) Луч с концом в точке 4. (–∞, 4], а ≤ 4. № 736 а) Интервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (3, 5), 3 < y < 5; б) Отрезок с началом в точке 3 и концом в точке 5; [3, 5], 3 ≤ y ≤ 5; в) Интервал с началом в точке –1 и концом в точке 0; (–1, 0), –1 < y < 0; г) Отрезок с началом в точке 9 и концом в точке 10; [9, 10], 9 ≤ y ≤ 10. № 737 а) Полунтервал с началом в точке 0 и концом в точке 1; (точка 1 не включается) [0, 1), 0 < p ≤ 1; б) Полунтервал с началом в точке –7 и концом в точке 6; (–7, 6], –7 < p ≤ 6; в) Полунтервал с началом в точке –1 и концом в точке 1; (точка 1 не включается) [–1, 1), –1 < p ≤ 1; г) Полунтервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (3, 5], 3 < p ≤ 5. № 738 а) (5, +∞); 5
X
х > 5; б) [1, +∞); 1
X
х ≥ 1; 7
www.5balls.ru
в) (1, 3); 1
3
X
1 < Х < 3; г) [6, 10); 6
10
X
6 < Х ≤ 10. № 739 а) [–2, 0]; –2
0
X
7
X
–5 ≤ Х ≤ 1; б) (–∞, 7);
х < 7; в) [4, 9); 4
9
X
4 ≤ Х < 9; г) (–∞, 12]; 12
X
х ≤ 12. № 740 а) Открытый луч с началом в точке 3; (3, +∞); 3
X
б) Луч с началом в точке 3; [3, + ∞); 3
8
www.5balls.ru
X
в) Открытый луч с концом в точке 3; (–∞, 3); 3
X
г) Луч с концом в точке 3; ( –∞, 3]. 3
X
№ 741 а) Интервал с началом в точке 2 и концом в точке 4; (2, 4); 2
4
X
б) Полуинтервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (точка 5 не включается); [3, 5); 3
5
X
в) Отрезок с началом в точке 0 и концом в точке 7; [0, 7]; 0
7
X
г) Полуинтервал с началом в точке 5 и концом в точке 8; (5, 8]. 5
8
X
№ 742 а) Луч с началом в точке 2; [2, + ∞); 2
X
б) Интервал с началом в точке –2 и концом в точке –5; (–2, –5); –2
–5
X
9
www.5balls.ru
в) Открытый луч с концом в точке 0; (–∞, 0); 0
X
г) Полуинтервал с началом в точке 4 и концом в точке 8; (точка 5 не включается); [4, 8). 4
8
X
№ 743 а) Отрезок с началом в точке 1 и концом в точке 3; [1, 3]; 1
3
X
б) Полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 7; (6, 7]; 6
7
X
в) Луч с концом в точке 1; ( –∞, 1]; 1
X
г) Интервал с началом в точке –6 и концом в точке –2; (–6, –2). –6
–2
№ 744 а) да; б) нет; в) да; г) нет. № 745 а) нет; б) нет; в) да; г) да. № 746 а) да; б) да; в) нет; г) да. № 747 а) да; б) да; в) да; г) нет. 10
www.5balls.ru
X
№ 748 а) да; б) да; в) да; г) нет. № 749 а) нет; б) да; в) нет; г) нет. № 750 а) 4; 3,5; 3; б) –1; в) – 10; г) 4; 3,5; 3. № 751 а) 5. б) 5; 7; 9; 12. в) 0; 5; 7; –8; –2; 9; 12. г) 7; 9. № 752 а) –5,5; –4,5; –3,5; 1,5; 2,5; 3,5; б) –5,4; –4,4; –3,4; 1,4; 2,4; 3,4; в) –2,2; –2,1; –1,2; 1,1; 1,2; 1; 3; г) –9,1; –9,2; –9,3; 2,1; 2,2; 2,3. № 753 а) нет; б) нет; в) да; г) да. № 754 а) 3; б) 1; в) 6; г) 9. № 755 а) 1; б) 0; в) 0; г) 4. № 756 а) –11; б) нет; в) 7; г) 8,2. № 757 а) 5; б) 1; в) 10; г) 6. № 758 Да приналежит. Эти числа : 4,99; 4,999. № 759 а) Задание определено не корректно, потомучто нет наименьшего целого числа принадлежащего промежутку (–∞, 4]; б) Задание определено не корректно, потомучто нет целого числа принадлежащего промежутку (5, 6). № 760 а) r = Ошибка! = 2, a = 7 – r = 7 – 2 = 5; б) r = Ошибка! = 4, a = 4 – r = 4 – 4 = 0; в) r = Ошибка! = 4, a = 10 – r = 10 – 4 = 6; г) r = Ошибка! = Ошибка! = 3, a = –1 – r = –1 – 3 = –4. 11
www.5balls.ru
№ 761 а) r = Ошибка! = Ошибка! = 1,5, a = 5 – 1,5 = 3,5; б) r = Ошибка! = Ошибка! = 0,02, a = 2,02 – 0,02 = 2; в) r = Ошибка! = Ошибка! = –4,5, a = –11 + (4,5) = –6,5; г) r = Ошибка!: 2 = Ошибка! : 2 = Ошибка!, a = Ошибка! – Ошибка! = Ошибка! = 2. № 762 а) –А
–B
B
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1 2
3 4
A 5
6
7
X
7
X
7
X
7
X
б) А
B
-B
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1 2
3 4
-A 5
6
в) -А
B
-B
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1 2
3 4
A 5
6
г) B
A,-A
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
B 1 2
3 4
5
6
№ 763 Таких точек имееися две С и D. Их координаты можно вычислить как: С = – 4 + 7 = 3; D = – 4 – 7 = –11. № 764 Данную задачу можно разбить на два случая: Случай 1: Точки N и L находятся по разные стороны от точки M; a) N
M
L
б) 12
www.5balls.ru
L
M
N
LN = ML + MN = ML + 2ML = 3ML, значит, 3ML = 10,5; ML = 3,5; MN = 2 · 3,5 = 7; а) L = M + ML = 1,5 + 3,5 = 5; N = M – MN = 1,5 – 7 = –5,5; б) L = M – ML = 1,5 – 3,5 = –2; N = M + MN = 1,5 + 7 = 8,5. Случай 2. Точки N и L располагаются по одну сторону от точки M; a) M
L
N
N
L
M
б) LN = MN – ML = 2ML – ML = ML, значит ML = 10,5; MN = 2 · ML = 2 · 10,5 = 21; а) L = M + ML = 1,5 + 10,5 = 12, N = M + MN = 1,5 + 21 = 22,5; б) L = M – ML = 1,5 – 10,5 = – 9, N = M – MN = 1,5 – 21 = –19,5. Итого получается что задача имеет четыре решения. № 765 Данную задачу можно разбить на два случая: Случай 1: Точки P и M находятся по разные стороны от точки K; a) P
K
M
б) M
K
P
PM = MK + KP = MK + 3MK = 4MK, значит, 4MK = 8; MK = 2, значит KP = 3 · 2 = 6; а) M = K + MK = –1 + 2 = 1; P = K – PK = –1 – 6 = –7; б) M = K – MK = –1 – 2 = –3; P = K + KP = –1 + 6 = 5. Случай 2. Точки M и P располагаются по одну сторону от точки K; a) K
M
P
б) P
M
K
13
www.5balls.ru
PM = PK – KM = 3MK – MK = 2MK; 2MK = 8, значит MK = 4; PK = 3 · MK = 4 · 3 = 12; а) M = K + MK = –1 + 4 = 3; P = K + KP = –1 + 12 = 11; б) M = K – MK = –1 – 4 = –5; P = K – KP = –1 – 12 = –13. Итого получается что задача имеет четыре решения.
§ 27. Координатная плоскость № 766 а) x = 2, y = 4; б) x = – 3, y =6; в) x =12, y = – 4; г) x = – 3, y = – 0,5. № 767 а) M – в первом, P – в четвертом, N – во втором, Q – в третьем; б) X – в третьем, K – в первом, Y – во втором, L – в четвертом; в) A – во втором, C – в четвертом, B – в первом, D – в четвертом; г) R – в четвертом, E – во втором, S – в третьем, F – в первом. № 768 а) 6; б) – 2; в) – 8; г) – 9. № 769 а) 1; б) 4; в) 2; г) 3. № 770 а) 1; б) 4; в) 2; г) 3. № 771 а) 3; б) 2; в) 3; г) 2. № 772 а) A(1,1), B(– 2,4), C(6,6), D(– 2, – 2); б) M(2,5), N(4,– 2), Q(– 5,– 3), R(– 2,– 5); в) X(2,– 3), Y(– 5,6), E(2,1), F(– 5,1); г) S(7,2), K(– 5,– 1), P(– 2,– 2), S(7,2). № 773 а) A(2,0), S(0,2), K(– 1,0); в) P(– 5,0), Q(0,– 6), S(0,2);
б) D(0,– 2), N(0,4), B(3,0); г) R(7,0), M(0, –4), L( –3,0).
№ 774 а) A1(4, 5), A2(4, 2), A3(4, –1), A4(4, –4); б) B1(2, 5), B2(2, 1), B3(2, 0), B4(2, –3); 14
www.5balls.ru
в) C1(–2, 5), C2(–2, 3), C3(–2, 0), C4(–2, –3); г) D1(–4, 7), D2(–4, 4), D3(–4, –1), D4(–4, –4). № 775 а) N1(–3, 5), N2(0, 5), N3(3, 5), N4(7, 5); б) M1(–4, 2), M2(–4, 2), N3(2, 2), N4(6, 2); в) K1(–3, 0), K2(–1, 0), K3(3, 0), K4(5, 0); г) L1(–5, –4), L2(–2, –4), L3(2, –4), L4(6, –4). № 776 а) x = 3; Y
1 0
1
X
1
X
б) y = 3; Y
1 0
в) y = 1;
15
www.5balls.ru
Y
1 0
1
X
1
X
г) x = 8. Y
1 0
№ 777 а) x = –2; Y
1 0
1
б) x = – 4; 16
www.5balls.ru
X
Y
1 0
1
X
в) y = –5; Y
1 0
1
X
г) x = –1. Y
1 0
1
X
№ 778 17
www.5balls.ru
а) x = 0,5; Y
1 0
1
X
1
X
б) y = –1,5; Y
1 0
в) y = 3,5; Y
1 0
1
г) x = – 6,5. 18
www.5balls.ru
X
Y
1 0
1
X
№ 779 а) ордината; б) абцисcа. № 780 а) на прямой х = 5; в) на прямой х = 9;
б) на прямой х = – 7; г) на прямой х = – 1.
№ 781 а) на прямой y = – 3; б) на прямой y = – 12; в) на прямой y = 8; г) на прямой y = 4. № 782 D(б)
Y A(a)
2 0
1
С(в)
X
D(г)
№ 783 19
www.5balls.ru
Y
M
L 2 0
1
X S
R
№ 784 Y
1 P 0
1
E
X
F
№ 785 а) Y A B 2 0
1
б) 20
www.5balls.ru
X
Y
C 2 0
1
X B
в) Y
1 0
N 1
X
M
г) Y
1 0
1
Q
X
P
№ 786 21
www.5balls.ru
а) Y L
K 1 0
1
X
б) Y E 1 0
1
X M
в) Y
1 0
1
г) 22
www.5balls.ru
X
Y
X
2 0
1
X
1
X
Y
№ 787 а) Y C B 2 0
A
б) Y K
2 0
M 1
X
N
в) 23
www.5balls.ru
Y P 1 0
1
X
E
D
г) Y S 2 0
1 L
X
P
№ 788 а) Y F
E 1 0
G
1 H
б) 24
www.5balls.ru
X
Y E
F 1 0
1
H
X G
в) F
Y
G
1 E
0
1
X
H
г) Y
F
0 E
G
1 1
H
X
№ 789 25
www.5balls.ru
а) (– 1, 4); (–3, –4); (3, 4); (5, –4); б) (–2, 0); (4, 0); (0, 4); (0, –4);
в) (–1, 8); (–3, 0); (3, 8); (5, 0); г) (–4, 4); (–6, –4); (0, 4); (2, –4).
№ 790 Y B
C 2
3
1
A
0
1
D X 1
Координаты вершин третего квадрата: (–4, 0); (–2, 0); (–2, –2); (–4, –2) № 791 а) x2 = 4; x2 – 4 = 0; (x –2)(x + 2) = 0; x = 2 или x = –2, значит, графиком уравнения являются прямые x = 2 и х = – 2; б) y2 = 4; y2 – 4 = 0; (y –2)(y + 2) = 0 y = 2 или y = –2, значит графиком уравнения являются прямые y = 2 и y = – 2; в) x2 – 5x = 0; x(x – 5) = 0; x = 0 или x = 5, значит графиком уравнения x2 – являются прямые x = 0 и х = 5; г) y2 + 2y = 0; y(y + 2) = 0; y = 0 или y = –2, значит графиком уравнения y2 + являются прямые y = 0 и y = –2.
x2 = 4 y2 = 4 5x = 0 2y = 0
№ 792 а) (0, 0); (0, 6); (–2, 6); (0, 11); (2, 11); (2, 0); б) (0, 2); (–2, 2); (–2, 4); (–1, 5); (3, 5); (4, 4); (4, 1); (3, 0); (4, –1); (4, –4); (3, –5); (–1, –5); (–2, –4); (–2, –2); (0, –2); (0, –3); (2, –3); (2, –1); (1, 0); (2, 1); (2, 3); (0, 3); в) (–4, 0); (–4, 6); (2, 6); (2, 4); (–2, 4); (–2, 2); (1, 2); (2, 1); (2, –4); (1, –5); (–3, –5); (–4, –4); (–4, –2); (–2, –2); (–2, –3); (0, –3); (0, 0); г) (–1, 1); (–1, 3); (1, 3); (1, 1); (–1, –1); (1, –1); (1, –4); (–1, –4); (–2, 0); (–3, 1); (–3, 4); (–2, 5); (2, 5); (3, 4); (3, 1); (2, 0); (3, –1); (3, –5); (2, –6); (–2, –6); (–3, – 5); (–3, –1). № 793 26
www.5balls.ru
Y C
L
B
1 0
A
K 1
X
F
T E
L(–3, 0) K(3, 0) № 794 A(3, 1); B(3, –4), значит сторона квадрата a = 1 – (–4) = 5. Квадрат ABCD может располагаться следующим образом : 1) Вершины С и D справа от отрезка AB, тогда С(3 + 5, –4), следовательно, C(8, –4); D(3 + 5, 1), следовательно, D(8, 1). 2) Вершины С и D слева от отрезка AB, тогда С(3 – 5, –4), следовательно, C(–2, –4); D(3 – 5, 1), следовательно, D(–2, 1). Других случаев расположения вершин быть не может, потому что вершины квадрата нумеруются по часовой или против часовой стрелки. Задача имеет два решения. № 795 B(2, 2); D(–2, –2) или B(–2, –2); D(2, 2). Так как вершины А и С являются противоположными, другого расположения вершин B и D быть не может, следовательно задача имеет два решения. № 796 Из того что АВ паралельна оси оординат следует, что абцисса точки В равна абциссе точки А. Из того что начало координат лежит внутри квадрата следует, что начало координат лежит внутри квадрата и оордината и оордината точки А положительна следует, что B(–2, 3 – 6), т.е. В(–2, –3); С(–2 + 6, –3); С(4, –3); D(–2 + 6, 3); D(4, 3). 27
www.5balls.ru
№ 797 (4, 4); (4, –4); (–4, 4); (–4, –4). № 798 а)
б) Y Y
1 1 0
0 1
1
X
X
№ 799 а) Y
1 0
1
28
www.5balls.ru
X
б) Y
1 0
1
X
№ 800 а) Y
2 0
2
X
29
www.5balls.ru
б) Y
1 0
1
30
www.5balls.ru
X
№ 801 а) Y
1 0
1
X
1
X
б) Y
1 0
31
www.5balls.ru
№ 802 а) xy + 2 – 2y – x = 0; y(x – 2) + 2 – x = 0; (y – 2)(x – 2) = 0; y = 2 или x = 2; Y
1 0
1
X
1
X
1
X
б) xy2 = 4x; xy2 – 4x = 0; x(y2 – 4) = 0; x(y – 2)(y + 2) = 0; x = 0 или y = 2 или y = –2; Y
1 0
в) yx2 + 9y; y(x2 + 9); y = 0; Y
1 0
32
www.5balls.ru
г) 4 + xy + 2(x + y) = 0; 4 + x(y + 2) + 2y = 0; 2(y + 2) + x(y + 2) = 0; (x + 2)(y + 2) = 0; x = –2 или y = –2. Y
1 0
1
X
§ 28. Линейное уравнение с двумя переменными и его график № 803 а) да; б) да; в) да; г) да. № 804 а) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя переменными, потомучто задействована только одна переменная; б) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя переменными, потомучто задействована только одна переменная; в) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя переменными, потомучто в нем есть одночлен второй степени; г) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя переменными, потомучто в нем есть одночлен второй степени. № 805 а) нет; б) да; в) нет; г) нет. № 806 а) да; б) нет; в) нет; г) да. № 807 а) (6; 2); (0; 20); (4; 8); б) (2, 0); (2,5; 2,5). 33
www.5balls.ru
№ 808 а)Ошибка!; (3; –1); б) (8, –12); в) (2, –1); (5, 20); г) (–18, –4); (9, –1). № 809 а) В одной корзине х яблок, а в другой y яблок. Если их высыпать на стол и взять со стола 10 яблок, то на столе будет пусто. б) В магазине есть в продаже x курток. Если один покупатель купит y курток, а затем придет другой и купит еще 3 куртки, то в магазине курток не останется. в) В раздевалке находится х спортсменов. Если y спортсменов уйдут домой, а 8 спортсменов в душ, то раздевалка опустеет. г) На фирме x управляющих и y служащих. Если с фирмы уйдут 12 человек, то на фирме никого работать не останется. № 810 M: 5 + 14 – 7 = 0 – неверно, значит точка М не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; N: 0 + 7 – 7 = 0 – верно, значит точка N принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; K: 7 + 0 – 7 = 0 – верно, значит точка K не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; L: 2 + 6 – 7 = 0 – неверно, значит точка L не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0. № 811 2Ошибка! + 5Ошибка! – 8 = 8 – 8 = 0 – верно, значит, точка Ошибка! является решением уравнения x + y – 8 = 0; x + y – 8 = 0; y = 8 – x. Можно взять следующие решения : (1, 7); (2, 6); (3, 5). № 812 а) x + y – 5 = 0, y = 5 – x; б) x – y = 0, y = x; в) 2x + y – 7 = 0, y = 7 – 2x; г) x + 3y + 7 = 0, y = – Ошибка!. № 813 а) 3x + 2y – 6 = 0; 34
б) 5x – 7y – 14 = 0;
www.5balls.ru
2y – 6 = 0; y = 3. Ответ: 3. в) 15x – 25y – 75 = 0; 25y = –75; y = –3. Ответ: – 3.
7y = –14; y = –2. Ответ: –2. г) 81x – 15y – 225 = 0; 15y = –225; y = – 15. Ответ: – 15.
№ 814 а) 8x + 6y – 11 = 0; 8 + 6y – 11 = 0; 6y = 3; y = Ошибка!. Ответ: Ошибка! в) 19x – 11y – 24 = 0; 57 – 11y – 24 = 0; 11y = 33; y = 3. Ответ: 3.
б) 11x + 13y – 16 = 0; 55 + 13y – 16 = 0; 13y = –39. y = – 3. Ответ: –3 г) 3x + 2y + 30 = 0; –24 + 2y + 30 = 0; 2y = –6; y = – 3. Ответ: –3.
№ 815 а) 6x + 2y – 1 = 0; –0,6 + 2y – 1 = 0; 2y = 1,6; y = 0,8. Ответ: 0,8. в) 3x + 5y – 10 = 0; 1,5 + 5y – 10 = 0; 5y = 8,5; y = 1,7. Ответ: 1,7. № 816 а) 6x + 12y – 42 = 0; 6x – 42 = 0; x = 7. Ответ: 7. в) 8x – 35y = 96; 8x = 96; x = 12. Ответ: 12.
б) 7x – y – 4 = 0; –15 – y – 4 = 0; y = – 19. Ответ: – 19. г) 9x – 2y – 3 = 0; 74 – 2y – 3 = 0; 2y = 71; y = Ошибка!. Ответ: 30,5. б) 17x – 5y + 85 = 0; 17x + 85 = 0; x = –5. Ответ: –5. г) 16x + 54y = 64; 16x = 64; x = 4. Ответ: 4.
№ 817 35
www.5balls.ru
а) 4x + 7y – 12 = 0; 4x – 28 – 12 = 0 4x = 40 x = 10 Ответ: 10 в) 5x – 3y – 11 = 0; 5x – 9 – 11 = 0 5x = 20 x=4 Ответ: 4
б) 23x – 9y + 5 = 0; 23x + 18 + 5 = 0 23x = – 23 x = –1 Ответ: –1 г) 2x + 4y + 9 = 0. 2x + 13 = 0 2x = –13 x = –6,5 Ответ: –6,5
№ 818 а) 6x + 3y – 2 = 0; 6x + 10 – 2 = 0; 6x = – 8; x = – Ошибка!. Ответ: –1Ошибка!. в) 4x – 2y + 11 = 0; 4x + 3 + 11 = 0; 4x = – 14; x = – Ошибка!. Ответ: –3,5.
б) 3,5x – 5y – 1 = 0; 3,5x – 2,5 – 1 = 0; 3,5x = 3,5; x = 1. Ответ: 1. г) 8x + 5y – 3 = 0; 8x + 22 – 3 = 0; 8x = – 19; x = – Ошибка!. Ответ: –2Ошибка!.
№ 819 а) 21 – 3y – 12 = 0; 3y = 9; y = 3. Ответ: 3. б) 11x + 42 – 31 = 0; 11x = – 11; x = – 1. Ответ: – 1. № 820 а) x + y – 4 = 0; y = 4 – x; X Y
0 4
4 0
б) 2x – y + 5 = 0; y = 2x – 5; X Y
0 –5
36
www.5balls.ru
2 –1
5 4 3 2 1
y
8 4
x
-8
0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5
в) x + 2y – 3=0; y = Ошибка!;
г) –x – y + 6 = 0; y = 6 – x.
-8
0
-4
4
8
-4
X Y
1 1
3 0
X Y
3 3
x 1 2 3 4 5
6 0 6
y
3
y
2
y
3
1
x
x -3
-2
-1 0 -1
1
2
3
-6
-3
-3
X Y
0 5
3 0
3
6
-3
-2
№ 821 а) 5x + 3y – 15 = 0; y = Ошибка!;
0
-6
б) 7x – 4y + 28 = 0; y = Ошибка!; X Y
0 7
–4 0
37
www.5balls.ru
5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5
y
7
–3 0
1 2 3 4 5
-4
0
-2
2
4
-7 -14
г) 8x – 3y – 24 = 0; y = Ошибка!.
0 –6 6
x
x
в) 6x + 3y + 18 = 0; 2x + y + 6 = 0; y = –6 – 2x; X Y
y
14
X Y
3 0
0 –8
y
8
y
4
3
x
x -6
-3
0
3
6
-6
-3
0
-3
-4
-6
-8
№ 822 а) 7t + 9s + 63 = 0; s = Ошибка!; t –9 0 s 0 –7
б) 3t – 4s – 12 = 0; s = Ошибка!; t 4 0 s 0 –3
38
www.5balls.ru
3
6
14
s
6
s
3
7 t -18
-9
0
9
18
t -8
-4
0
-7
-3
-14
-6
в) 5t – 2s = 10; s = Ошибка!; t 2 0 s 0 5 10
4
г) 4t + 9s + 36 = 0; s =Ошибка!. t –9 0 s 0 –4 s
8
s
4
5
t
t -4
-2
0
8
2
4
-18
-9
0
-5
-4
-10
-8
9
18
№ 823 а) 30 – 22 = 8 и 60 + 14 = 74, т.е. прямые пересекаются; б) –12 + 14 = 2 и –4 + 10 = 6, т.е. прямые пересекаются. № 824 а) x – y = – 1 и 2x + y = 4; y = x + 1 и y = 4 – 2x. Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y. x + 1 = 4 – 2x; x = 1; y = x + 1 = 2. 39
www.5balls.ru
Ответ: (1; 2) б) 4x + 3y = 6 и 2x + y = 4; y = Ошибка! и y = 4 – 2x. Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y. Ошибка! = 4 – 2x; 6 – 4x = 12 – 6x; x = 3; y = 4 – 2 · 3 = – 2. Ответ: (3; –2). № 825 а) 3a + 8b = 24; 3a = 24 – 8b; a = Ошибка!; в) 12m – 3n = 48; 4m – n = 16; m =Ошибка!;
3a + 8b = 24; 8b = 24 – 3a; b = Ошибка!; 12m – 3n = 48; 4m – n = 16; n = 4m – 16;
№ 826 а) 3t – 2z + 6 = 0; 3t – 2z + 6 = 0; 3t = 2z – 6; 2z = 3t + 6; t =Ошибка!; z =Ошибка!; в) 11u + 2v + 22 = 0; 11u = – 22 – 2v; u = – Ошибка!; г) 25r – 4w – 100 = 0; 25r = 4w + 100; r =Ошибка!;
б) 6с + 5d = 30; 6c = 30 – 5d; c =Ошибка!; г) 7x – 8y = 56; 7x = 56 + 8y; x =Ошибка!;
6с + 5d = 30; 5d = 30 – 6c; d = Ошибка!; 7x – 8y = 56; 8y = 7x – 56; y = Ошибка!.
б) 7s + 9t – 63 = 0; 7s + 9t – 63 = 0; 7s = 63 – 9t; 9t = 63 – 7s; s =Ошибка!; t = Ошибка!; 11u + 2v + 22 = 0; 2v = – 22 – 11u; v = – Ошибка!; 25r – 4w – 100 = 0; 4w = 25r – 100; w = Ошибка!.
№ 827 а) x + 3y – 20 = 0; x = 20 – 3y. Для того чтобы пара чисел состояла из двух одинаковых чисел, нужно чтобы x = y: x = 20 – 3x; x = 5; y = x = 5. Ответ: (5; 5). б) Пусть х = 2y, тогда уравнение примет вид 2y + 3y – 20 = 0; 5y = 20; y = 4; x = 2y = 2 · 4 = 8. Ответ: (8; 4). № 828 ax+5y–40=0. а) (3;2) Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 – 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 3a=30; a=3. Ответ: а = 3. 40
www.5balls.ru
б) (9;–1) Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ 9 + 5 ⋅ (–1) – 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 9a=45; a=5. Ответ: a = 5. в) Ошибка! Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ Ошибка!+ 5 ⋅ 0 · 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: Ошибка! = 40; a=120. Ответ: a = 120. г) (–2; 2,4) Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ (–2) + 5 ⋅ 2,4 – 40=0. Получаем ур-е, относительно a: –2a = 28; a = –14. Ответ: a = –14. № 829 а) b – 35 = 0; b = 35; в) 2 + 11b – 35; 11b = 33; b = 3;
б) 18 + 8,5y – 35 = 0; 8,5b = 17; b = 2; г) – 30 – 13b – 35 = 0; 13b = – 65; b = –5.
№ 830 а) 16 – 3 – c = 0; c = 13; б) 25 – 13 – c = 0; c = 12; в) 1 – 2 – c = 0; c = –1; г) –c = 0. c = 0. № 831 а) 12 – 2m = 0; m = 6; в) 12m – 12m = 0; 0 = 0; При любом m
б) 2m + 2 – 12m = 0; – 10m = – 2; m = Ошибка!; г) –m + 13 – 12m = 0; 13m = 13; m = 1.
№ 832 Пусть х – первое число. Тогда (5 – х) – второе число. x – (5 – x) = 1; x – 5 + x = 1; x = 3 – первое число; 5 – 3 = 2 – второе число. Ответ: 3; 2. 41
www.5balls.ru
№ 833 Пусть х – первое число. Тогда (7 – х) – второе число. 2x + 7 – x = 8; x = 1 – первое число; 7 – 1 = 6 – второе число. Ответ: 1; 6. № 834 Пусть х – первое число. Тогда (х – 1) – второе число. x + 3(x – 1) = 9; 4x = 12; x = 3 – первое число; 3 – 1 = 2 – второе число. Ответ: 3; 2. № 835 Пусть х – вычитаемое. Тогда 4х – уменьшаемое. 4x – x = 3; x = 1 – вычитаемое; 4 · 1 = 4 – уменьшаемое. Ответ: 1; 4. № 836 Пусть х – девочек учавствовало в турнире. Тогда 1,5х – мальчиков учавствовало в турнире. 1,5x + x = 10; x = 4 – девочек учавствовало в турнире; 1,5 · 4 = 6 – мальчиков учавствовало в турнире. Ответ: 4; 6. № 837 Пусть х – лет сестре. Тогда (х + 2) – лет брату. х + х + 2 = 14; 2x = 12; x = 6 – лет сестре; 6 + 2 = 8 – лет брату. Ответ: 6; 8. № 838 Пусть х – синиц сидело на ветке. Тогда 2х – воробьев сидело на ветке. х + 2х = 9; 42
www.5balls.ru
x = 3 – синиц сидело на ветке; 2 · 3 = 6 – воробьев сидело на ветке. Ответ: 3; 6. № 839 Пусть х – мальчиков учится в седьмых классах. Тогда 1,3х – девочек учится в седьмых классах. 1,3x – x = 12; 0,3x = 12; x = 40 – мальчиков учится в седьмых классах. Найдем сколько учеников учится в седьмых классах: 1,3х + х = 2,3х = 2,3 · 40 = 92 – ученика учится в седьмых классах. Ответ: 92. № 840 Пусть х – человек занимается в историческом кружке. Тогда (х + 7) – человек занимается в математическом кружке. x + x + 7 = 35; 2x = 28; x = 14 – человек занимается в историческом кружке; 14 + 7 = 21 – человек занимается в математическом кружке. Ответ: 14; 21. № 841 Пусть х – первое число. Тогда 4х – второе число. x + 4x = 52,5; 5x = 52,5; x = 10,5 – первое число; 4 · 10,5 = 42 – второе число. Ответ: 10,5; 42. № 842 Пусть х – первое число. Тогда Ошибка! – второе число. Ошибка!x – x = 3,9; Ошибка!x = 3,9; x = 0,3 · 87; x = 26,1 – первое число; 26,1 · Ошибка! = 30 – второе число. Ответ: 26,1; 30. № 843 Пусть х – первое число. Тогда Ошибка!х – второе число. x + Ошибка!x = 112; Ошибка!x = 112; x = 62 – первое число; 62 · Ошибка!= 50 – второе число. 43
www.5balls.ru
Ответ: 50; 62. № 844 а) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p p2 – 6p + 8 = 0 p2 – 2p – 4p + 8 = 0 (p – 4)(p – 2) = 0 p = 4 или p = 2 Ответ: при p = 2 или при p = 4 б) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p –p2 + 2p + 8 = 0 –p2 – 2p + 4p + 8 = 0 (4 – p)(p + 2) = 0 p = 4 или p = – 2 Ответ: при p = –2 или при p = 4 № 845 а) x2 – y2 = 0. (x – y)(x + y) = 0; x = y или x = –y; 8
б) x2 = 4y2; (x – 2y)(x + 2y) = 0; y = Ошибка!или y = – Ошибка!;
y
8
y
4
4
x
x -8
-4
0
4
8
-8
-4
2;
-8
4
8
-4
-4
2
0
-8 2
2
в) y = 9x (y – 3x)(y + 3x) = 0; г) 16x – 25y =0; (4x – 5y)(5y + 4x)=0; y = 3x или y = – 3x; y = Ошибка!x или y = – Ошибка!x.
44
www.5balls.ru
6
y
y
8 4
3
x
x -6
0
-3
3
6
-10
0
-5
-3
-4
-6
-8
№ 846 а) x2 – 6xy + 8y2 = 0; x2 – 6xy + 9y2 – y2; (x – 3y)2 – y2; (x – 4y)(x – 2y) = 0; y = Ошибка!x или y = – Ошибка!x;
5
10
y
4 2
x -16
0
-8
8
16
-2
б) 2x2 + 5xy + 2y2 = 0; x2 + 2,5xy + y2 = 0; x2 + 2,5xy + 1,5625y2 – 0,5625y2 = 0; (x + 1,25y)2 – (0,75y)2 = 0; (x + 0,5y)(x + 2y) = 0; y = – 2x; y = – Ошибка!x;
-4 4
y
– 2 x -4
-2
0
2
4
-2 -4 2
4
2
в) x + xy – 2y ; x2 + xy + 0,25y2 – 2,25y2; (x + 0,5y)2 – (1,5y)2; (x – y)(x + 2y) = 0; y = x; или y = – Ошибка!;
y
2 x -4
-2
0 -2 -4
www.5balls.ru
2
4
45
г) 3x2 – 10xy + 3y2; 4x2 – 8xy + 4y2 – x2 – y2 – 2xy = = 0; (2x – 2y)2 – (x + y)2 = 0; (x – 3y)(3x – y) = 0; y = Ошибка!x; или y = 3x.
3
y
2 1 x -3
-2
-1 0 -1 -2 -3
46
www.5balls.ru
1
2
3
§ 29. Линейная функция и ее график № 847 а) k = 2, m = 3; б) k = 1, m = −6; в) k = 19, m = −15; г) k = −1, m = 11. № 848 а) k = 0,7, m = 9,1; в) k = −0,7, m = 9,1;
б) k = −5,7, m = −3,5; г) k = 1,4, m = −2,5.
№ 849 а) k = Ошибка!, m = Ошибка!; б) k = − Ошибка!, m = − Ошибка!; в) k = Ошибка!, m = − Ошибка!;г) k = −1, m = Ошибка!. № 850 а) k = Ошибка!, m = − Ошибка!;б) k = 2, m = Ошибка!; в) k = Ошибка!, m = − Ошибка!;г) k = Ошибка!, m = Ошибка!. № 851 а) k = − Ошибка!, m = Ошибка!;б) k = Ошибка!, m = 2; в) k = Ошибка!, m = Ошибка!; г) k = −2, m = 2. № 852 а) y = − Ошибка!x + 3; k = − Ошибка!, m = 3; в) y = − Ошибка!x + 3; k = − Ошибка!, m = 3;
б) y = Ошибка!x − 5; k = Ошибка!, m = − 5; г) y = − Ошибка!x + 7; k = − Ошибка!, m = 7.
№ 853 а) y = − 12x + 17; k = −12, m = 17; в) y = − 36x + 40; k = −36, m = 40;
б) y = − 19x + 5; k = −19, m = 5; г) y = − 15x + 53; k = − 15, m = 53.
№ 854 а) y = x − 9; k = 1, m = −9; б) y = 7x + 11; k = 7, m = 11; в) y = x + 15; k = 1, m = 15; г) y = 35x − 8. k = 35, m = −8. № 855 а) y = − Ошибка!x; k = − Ошибка!, m = 0; б) y = Ошибка!x − Ошибка!; k = Ошибка!, m = − Ошибка!; в) y = Ошибка!x; k = Ошибка!, m = 0; г) y = − Ошибка!x + 19. k = − Ошибка!, m = 19. 47
www.5balls.ru
№ 856 а) y = 5 · 1 + 6 = 11; в) y = 12 · 3 + 1 = 37;
б) y = 7 · 0 − 8 = − 8; г) y = 9 · 2 − 7 = 11.
№ 857 а) y = 2 · 3 + 1 = 7; в) y = 2 · (−2) + 1 = −3;
б) y = 2 · 4,5 + 1 = 10; г) y = 2 · (−3,8) + 1 = −6,6.
№ 858 а) y = 0,5 · 6 − 4 = −1; б) y = 0,5 · 3,2 − 4 = 2,4; в) y = 0,5 · (−7) − 4 = −7,5; г) y = 0,5 · (−8,9) − 4 = −8,45. № 859 а) 5x − 3,5 = 13,5; 5x = 17; x = 3,4; б) 5x − 3,5 = 0; 5x = 3,5; x = 0,7; в) 5x − 3,5 = −3,5; 5x = 0; x = 0; г) 5x − 3,5 = − 6,5. 5x = − 3; x = − Ошибка!. № 860 а) 4,3x + 2,8 = 24,3; 4,3x = 21,5; x = 5; б) 4,3x + 2,8 = 13,55; 4,3x = 10,75; x = 2,5; в) 4,3x + 2,8 = 4,52; 4,3x = 1,72; x = 0,4; г) 4,3x + 2,8 = − 1,07. 4,3x = − 3,87; x = −0,9. № 861 а) y = 5x + 6; x y
0 6
б) y = 2x − 1; −2 −4
x y
48
www.5balls.ru
0 −1
4 7
Y
8
8
6
6
4
4
2 -8 -6
-4
2
4
6
8
-4 -6
-8
-8
−2 2
x y
0 −4
Y
8
6
6
4
4
2
4
6
8
-2 0 -2
2
4
6
8
2 2 Y
2
X
-8 -6
-4
X
-2 0 -2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
№ 862 а) y = x + 2; x y
2
г) y = 3x − 4;
0 6
-4
-4
-6
8
-8 -6
-8 -6
X
-2 0 -2
-4
в) y = 2x + 6; x y
2
X
-2 0 -2
Y
2
4
6
8
б) y = x − 3; 0 2
2 4
x y
0 −3
3 0
49
www.5balls.ru
8
Y
8
6
6
4
4
2 -8 -6
-4
-2 0 -2
4
6
8
-8 -6
-4
-6
-6
-8
-8
2
4
6
8
2
4
6
8
г) y = x − 1. 0 5
−2 3
8
X y
2 1
8
6
6
4
4
-2 0 -2
-4
0 −1
Y
2 -8 -6
-4
X
-2 0 -2
-4
в) y = x + 5; x y
2
X 2
Y
2
X 2
4
6
8
Y
-8 -6
-4
-2 0 -2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
X
№ 863 а) y = 4x − 6; X y
1 −2
б) y = 5x + 7; 3 6
X y
50
www.5balls.ru
0 7
−2 3
8
Y
21
6
Y
14
4 7
2 -8 -6
-4
X
X
-2 0 -2
2
4
6
8
-8 -6
-2 0
-4
2
4
6
8
-7
-4 -14
-6 -8
-21
в) y = 3x − 3; X y
г) y = 2x + 1.
0 −3
9
2 3
X Y
0 1
Y
−2 −3
4
Y
6 2 3 X -9
-6
0
-3
3
6
9
X -4
0
-2
2
4
-3 -2 -6 -9
-4
№ 864 а) y = −x + 2; X Y
0 2
б) y = −x − 3; 2 0
X Y
0 −3
2 −5
51
www.5balls.ru
4
Y
9
Y
6 2 3 X
X -4
0
-2
2
4
-9
-6
0
-3
3
6
9
-3 -2 -6 -4
-9
в) y = −x + 1; X 0 Y 1
г) y = −x − 8. X 0 Y 1
−2 3
4
Y
16
−2 −3 Y
12 8
2
4
X -4
0
-2
2
4
-16 -12 -8
-4 0 -4
X 4
-8
-2
-12 -16
-4
№ 865 а) y = −3x + 2; X Y
0 2
б) y = −4x + 1; 2 −4
X Y
52
www.5balls.ru
0 1
−1 5
8
12 16
Y
8 6
6
4
4
2 -8 -6
-4
2
4
6
8
-8 -6
-4
X
-2 0 -2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
в) y = −7x + 3; X Y
2
X
-2 0 -2
Y
8
2
4
6
8
г) y = −5x + 2.
0 3
1 −4
8
X Y
0 2
2 −8
Y
12
6
Y
8
4
4
2 -8 -6
-4
-2 0 -2
X
X 2
4
6
8
-12
-8
-4
0
4
8
12
-4
-4
-8
-6 -8
-12
№ 866 а) y = 0,4x + 2; X Y
0 2
б) y = 3,5x − 1; 5 4
X Y
0 −1
2 6 53
www.5balls.ru
5 4
Y
4
3 2
2
1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1
X
1 2 3
4 5
X
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-2 -3
-4
-4 -5
-6
в) y = 0,2x − 4; X Y
Y
6
г) y = 2,5x + 5.
0 −4
10 −2
6
X Y
0 5
−2 0
Y
Y
15
4
10
2
5 X
-15
-10
-5
0
5
0 −3
15
-6
-4
-2
-2
-5
-4
-10
-6
-15
№ 867 а) y = −2,5x − 3; X Y
10
X
0
2
б) y = −0,5x + 1; −2 2
X Y
54
www.5balls.ru
0 1
−4 3
4
6
Y
3
Y
3
2
2
1
1 X
-6
-4
0
-2
2
4
X
6
-6
-2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
в) y = −1,5x + 8; X Y
-4
0
2
4
6
г) y = −3,5x − 2.
2 5
4 2 6
X Y
0 −2
−2 5
Y 6
4
Y
4
2
2 X
-6
-4
-2
0
2
4
6
X
-6
-4
-2
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
№ 868 а) S = 1,5t + 0,5; T 1
3
2
4
6
б) S = −3,5t + 4,5; T 1 3
55
www.5balls.ru
S
2
6
6
S
1
s
−6
6
s
4
4
2
2
t
t
-6
-4
-2
0
2
4
-6
6
-4
0
-2
-2
-2
-4
-4
-6
-6
в) S = −4,5t − 2,5; T −1 1 S 2 −7 8
2
4
6
г) S = 2,5t − 3,5. T 1 3 S −1 4
s
6
6
s
4
4
2
2
t
t
-3
-2
-1
0 -2
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
-2
-4
-4
-6 -8
№ 869 а) S = Ошибка!t − 1; T 0 3
-6
б) S = − Ошибка!t + 1; T 0 6
56
www.5balls.ru
3
S
−1
1
S
1
s
3
−2 s
3 2
2
1
1
t
t
-3
-2
0
-1
1
2
-6
3
-4
0
-2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
в) S = Ошибка!t − 2; T 0 4 S −2 0 3
2
4
6
г) S = − Ошибка!t + 1. T 0 3 S 1 −1
s
3
2
s
2
1
1 t
-6
-4
-2
0
2
4
6
3 1
-4
-2
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
№ 870 а) u = Ошибка!z + Ошибка!; Z u
t
-6
−1 0
2
4
6
б) y = Ошибка!x − Ошибка!; X Y
1 0
4 1 57
www.5balls.ru
3
u
4
Y
3
2
2 1
1
X
z
-6
-4
0
-2
2
4
6
-4 -3
-2
-1
-1 0 -1
1
2
3
4
-2 -2
-3
-3
-4
в) b = Ошибка!a + Ошибка!; A 1 −2 B 2 −3
4
b
4
3
3
2
2
1 -4 -3
-2
г) S = Ошибка!t + Ошибка!. T 2 7 S 1 2,5
-1 0 -1
1
a 1
2
3
4
s
-8 -6
-4
-2 0 -1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
t 2
4
6
8
№ 871 Для того чтобы найти точку пересечения графика функций аналитически, приравняем ординаты функций а) x + 4 = 2x; б) −x = 3x − 4; x = 4; y = 4 + 4 = 8. x = 1; y = 3 − 4 = −1. Ответ: (4; 8). Ответ: (1; −1). в) −2x + 3 = 2x − 5; г) 3x + 2 = −0,5x − 5; 58
www.5balls.ru
4x = 8; x = 2; y = 4 − 5 = −1. Ответ: (2; −1).
3,5x = 7; x = 2; y = 3 · 2 + 2 = 8. Ответ: (2; 8).
№ 872 y 8 y = x +4; а) С осью ОX : 6 х + 4 = 0, х = − 4; (−4; 0). 4 С осью ОY : 2 y = 4 + 0 = 4, y = 4; (0; 4). x б) При x = −2, y = −2 + 4 = 2. 0 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 При x = −1, y = −1 + 4 = 3. -2 При x = 0, y = 0 + 4 = 4. -4 При x = 1, y = 1 + 4 = 5. в) x + 4 = 4; x + 4 = 1; -6 x = − 3; x = 0; -8 x + 4 = −2; x + 4 = 7; x = − 6; x = 3. г) Функция возрастает, т.к. коэффициент при переменной х больше нуля. № 873 y = −4x + 8; а)С осью ОY: y = 8 + 0 = 8; (0; 8). С осью ОХ: −4х + 8 = 0, х = 2; (2; 0). б) При x = 0, y = 0 + 8 = 8. При x = 1, y = −4 + 8 = 4. -8 -6 При x = 2, y = −8 + 8 = 0. При x = 3, y = −12 + 8 = −4. в) −4x + 8 = 0; x = 2; −4x + 8 = 4; x = 1; −4x + 8 = 8; x = 0. г) Функция убывает, т.к. коэффициент при переменной х меньше нуля.
y
8 6 4 2 -4
x
-2 0 -2
2
4
6
8
-4 -6 -8
№ 874 y = 2x − 1;
8
y
6
а) 2x − 1 = 0; y = 0 · 2 − 1; x = Ошибка!; y = − 1; (0,5; 0); (0; − 1).
4 2 -8 -6
-4
-2 0 -2 -4 -6 -8
www.5balls.ru
x 2
4
6
8
59
б) При x = −3, y = 2 · (−3) − 1 = = −7. При x = −1, y = 2 · (−1) − 1 = = −3. При x = 2, y = 2 · 2 − 1 = 3. При x = Ошибка!, y = 2 · Ошибка! − 1 = 0. в) 2x − 1 = 5; 2x − 1 = −1; 2x − 1 = 7; x = 3; x = 0; x = 4. г) Функция возрастает, т.к. коэффициент при переменной х больше нуля. № 875 y = − 0,5x + 2; а) −0,5x + 2 = 0; y = −0,5 · 0 + 2 = 2; x = 4; (4, 0); (0, 2). б) При x = −2, y = −0,5 · (−2) + 2 = 3. При x = 4, y = −0,5 · 4 + 2 = 0. При x = −6, y = −0,5 · (−6) + 2 = 5. в) −0,5x + 2 = 1; x = 2; −0,5x + 2 = 0; x = 4; −0,5x + 2 = 2; x = 0. г) Функция убывает, т.к. коэффициент при переменной х меньше нуля. 8
y
6 4 2 -8 -6
-4
-2 0 -2
x 2
4
6
8
-4 -6 -8
№ 876 y = −3x + 6; а) x < 2 ( x = 0, x = −2, x = 1); y > 0; б) x = 2; в) x < 2; г) x > 2.
8
y
6 4 2 -8 -6
-4
60
-2 0 -2 -4 -6 -8
www.5balls.ru
x 2
4
6
8
№ 877 y = 2x − 6; а) x < 3 ( x = 2, x = 1, x = 0); y < 0; б) x = 3; в) x > 3; г) x < 3.
8
y
6 4 2 -8 -6
-4
x
-2 0 -2
2
4
6
8
-4 -6 -8
№ 878 y = 3x − 6; а) x > 2; б) x ≤ 2; в) x < 2; г) x ≥ 2.
8
y
6 4 2 -8 -6
-4
-2 0 -2
x 2
4
6
8
-4 -6 -8
№ 879 y = 4x + 4; а) x > −1; б) x ≤ −1; в) x < −1; г) x ≥ −1.
4
y
3 2 1 -4 -3
-2
-1 0 -1 -2 -3 -4
www.5balls.ru
x 1
2
3
4
61
№ 880 y = −x − 2; а) x < −2; б) x ≥ −2; в) x > −2; г) x ≤ −2.
4
y
3 2 1 -4 -3
-2
x
-1 0 -1
1
2
3
4
-2 -3 -4
№ 881 y = −2x + 4; а) x < 2; б) x ≥ 2; в) x > 2; г) x ≤ 2.
4 3 2 1 -4 -3
-2
-1 0 -1 -2 -3
№ 882 y = 2x + 3; а) [0, 1];
y
-4
б) [−2, 2];
62
www.5balls.ru
x 1
2
3
4
8
y
8
6
6
4
4
2 -8 -6
-4
-2 0 -2
4
6
-8 -6
8
-4
-4
-6
-6
-8
-8
г) [−1, 1]. 16
y
8
12
6
8
4
4 4
8
12 16
2
4
6
8
y
2
x
-4 0 -4
x
-2 0 -2
-4
в) [1, 3];
-16 -12 -8
2
x 2
y
-8 -6
x
-2 0 -2
-4
-8
-4
-12
-6
-16
-8
2
4
6
8
№ 883 б) (−2, ∞);
y = 2x + 3; а) (−∞, 1); 8
y
8
6
6
4
4
2 -8 -6
-4
-2 0 -2
2
x 2
4
6
8
-8 -6
-4
-2 0 -2
-4
-4
-6
-6
-8
в) (−∞, −2);
y
x 2
4
6
8
-8
г) (0, ∞). 63
www.5balls.ru
y
8 6
6
4
4
2 -8 -6
-4
2
x
-2 0 -2
y
8
2
4
6
8
-8 -6
-4
-4
-4
-6
-6
-8
-8
№ 884 y = 2x + 3; а) (−∞, 1];
x
-2 0 -2
2
4
6
8
б) [−2, ∞); 10
Y
4
Y
2
5
X
X -10
-5
0
5
10
-4
0
-2
-5
-2
-10
-4
г) [0, ∞).
в) (−∞, −2]; 4
Y
4
2
4
Y
2
2
X
X -4
-2
0
2
4
-4
-2
0
-2
-2
-4
-4
64
www.5balls.ru
2
4
№ 885 y = 2x + 3; а) (−2, 0);
б) (−2, −1); 4
Y
4
2
Y
2 X
-4
-2
0
2
4
X -4
-2
-2
г) (−1, 3). 6
Y
8
4
2
2
X -2 0 -2
2
4
6
-8 -6
-4
4
6
8
-8
№ 886 y = −3x + 1; а) [1, 2);
б) (−2, 1];
Y
8
Y
6
4
4
2
2
X -4
x 2
-6
-6
-2 0 -2
-2 0 -2 -4
-4
6
y
6
4
-6
4
-4
в) (−1, 1);
-4
2
-2
-4
-6
0
2
4
6
-8 -6 -4 -2 0 -2
-4
-4
-6
-6 -8
X 2
4
6 8
65
www.5balls.ru
в) [0, 1);
г) (−1, 0]. 4
Y
6
3
4
2
2
1 -4 -3 -2 -1 0 -1
X
X 1 2
-6
3 4
-4
-2 0 -2
-2
4
6
-6
-4
№ 887 y = −3x + 1; а) (−∞, 0];
б) (2, ∞); 6
Y
6
4
4
2
2
-2 0 -2
2
4
Y
X
X -4
2
-4
-3
-6
Y
-6
6
-4
-2 0 -2
2
4
6
-4
-4
-6
-6
в) (−∞, 0);
г) [1, +∞). 6
Y
6
4
Y
4
2
2
X -6
-4
-2 0 -2
2
4
6
X -6
-4
-2 0 -2
-4
-4
-6
-6
66
www.5balls.ru
2
4
6
№ 888 y = −3x + 1; а) [0, 2]; 6
б) (1, 3);
Y
8 6
4
4
2
2
X -6
-4
-2 0 -2
2
4
6
2
4
6 8
-4 -6 -8
-6
в) [−1, 1);
.г) (−2, 1]. 6
8
Y
4
2
2
X -2 0 -2
Y
6
4
-4
X
-8 -6 -4 -2 0 -2
-4
-6
Y
2
4
6
-8 -6 -4 -2 0 -2
X 2
4
6 8
-4
-4
-6
-6
-8
№ 889 Линейная функция монотонна, значит, для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка. а) −2 + 3 = 1, −1 + 3 = 2. Ответ: 1 − наименьшее; 2 − наибольшее. б) −(−1) + 5 = 6, −4 + 5 = 1. Ответ: 1 − наименьшее; 6 − наибольшее. в) −3 + 3 = 0, −1 + 3 = 2. Ответ: 0 − наименьшее; 2 − наибольшее. г) −2 + 5 = 3, −5 + 5 = 0. Ответ: 0 − наименьшее; 3 − наибольшее. 67
www.5balls.ru
№ 890 Линейная функция монотонна, значит для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка. а) 4 · (−1) − 1 = −5, 4 · 2 − 1 = 7. Ответ: −5 − наименьшее; 7 − наибольшее. б) −2 · 0 + 5 = 5, −2 · 4 + 5 = −3. Ответ: −3 − наименьшее; 5 − наибольшее. в) 3 · (−1) − 2 = −5, 3 · 1 − 2 = 1. Ответ: −5 − наименьшее; 1 − наибольшее. г) −5 · 0 + 7 = 7, −5 · 2 + 7 = −3. Ответ: −3 − наименьшее; 7 − наибольшее. № 891 y = 3x − 9; а) (3; 0), (0; −9); б) x < 3; в) x > 3; г) −6; −3.
12
Y
9 6 3 -12 -9 -6 -3 0 -3
X 3
6
9 12
-6 -9 -12 № 892 y = −2x + 6; а) (3; 0), (0; 6); б) [4, 5]; в) x < 3; г) −2; 8.
12
Y
9 6 3 -12 -9 -6 -3 0 -3 -6 -9 -12
68
www.5balls.ru
X 3
6
9 12
№ 893 y = x + 5; а) (−5; 0), (0; 5); б) x < −5; в) [0, 1]; г) 1; 6.
15
Y
10 5 X -15 -10 -5 0 -5
5
10 15
-10 -15
№ 894 y = −3x + 6; а) (2; 0), (0; 6); б) [3, 8]; в) x < 2; г) 0; 3.
6
Y
4 2 X -6
-4
-2 0 -2
2
4
6
-4 -6 № 895 а) y = 7,5x + 45; б) y = 2,6x − 7,8; 7,5x + 45 = 0; y = 7,5 · 0 + 45; 2,6x − 7,8 = 0; y = 2,6 · 0 − 7,8; x = −6; y = 45; x = 3; y = −7,8. Ответ: (−6; 0), (0; 45). Ответ: (3, 0), (0; −7,8). в) y = 3,4x − 27,2; г) y = 18,1x + 36,2; 3,4x − 27,2 = 0; y =3,4 · 0 − 27,2; 18,1x + 36,2 = 0; y = 18,1 · 0 +36,2; x = 8; y = −27,2; x = 3; y = 36,2. Ответ: (8; 0), (0; −27,2). Ответ: (3, 0), (0; 36,2).
69
www.5balls.ru
№ 896 Для того, чтобы выяснить проходит ли график функции через данную точку, нужно подставить значения абциссы и ординаты точки в уравнение и посмотреть обращается ли уравнение в верное равенство. y = 3,2x − 5; а) 3,2 · 3 − 5 = 4,6 − верно, значит, проходит; б) 3,2 · 1,2 − 5 = 0 − неверно, значит, не проходит; в) 3,2 · 7,5 − 5 = 4 − неверно, значит, не проходит; г) 3,2 · 2,2 − 5= 2,04 − верно, значит, проходит. № 896 а) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. б) Функция убывает, значит наибольшее значение в начале промежутка, а наименьшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, следовательно наименьего значения не существует. Наибольшее = −0,5 · (−2) + 1 = 2. в) Функция возрастает, значит наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Наибольшее = 2,5 · 1 − 4 = −1,5, 2,5 · 2 − 4 = 1. г) Функция возрастает, значит наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, следовательно наименьего значения не существует. Наибольшее = 2,5 · 0 − 4 = − 4. № 898 а) Функция возрастает, значит наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Наибольшее = Ошибка! · (−4) + 2 = 1, Ошибка! · 4 + 2 = 3. б) Функция возрастает, значит наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, следовательно наибольшего значения не существует. Наименьшее = Ошибка! · 0 + 2 = 2. в) Функция убывает, значит, наибольшее значение в начале промежутка, а наименьшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, следовательно наимболшего значения не существует. Наименьшее = −1/3 · 6 − 1 = −3. г) Заданный промежуток является интервалом, следовательно наибольшего и наименьшего значений не существует.
70
www.5balls.ru
№ 899 а) x = 3x − 12; 2x = 12; x = 6. Ответ: (6; 6). б) x = 5x + 4; 4x = −4; x = − 1. Ответ: (−1; −1). № 900 а) −x = 2x + 9; 3x = −9; x = −3. Ответ: (−3; 3). б) −x = −3x + 8; 2x = 8; x = 4. Ответ: (4; −4). № 901 а) 2x = x + 15; x = 15; y = 2 · 15 = 30. Ответ: (15; 30). б) y = 6y − 35; y = 7; x = 3 · 7 = 21. Ответ: (21; 7). № 902 y = −5x + m; а) −5 · 1 + m = 2; m = 7; б) −5 · 0,5 + m = 4; m = 6,5; в) −5 · (−7) + m = 8; m = −27; г) −5 · 1,2 + m = −3. m = 3. № 903 y = kx + 4; а) 3k + 4 = 5; k = Ошибка!; б) Ошибка!k + 4 = 1; k = −6; в) −6k + 4 = −8; k = 2; г) Ошибка!k + 4 = −8. k = −36. № 904 Так как функция y = 2x − 3 возрастает, А = 2 · 2 − 3 = 1. Так как функция y = 0,5x − 4 возрастает, B = 2 · 0,5 − 4 = −3. Следовательно, A > B.
6
Y
4 2 -6
-4
-2 0 -2
A 2
X 4
6
B
-4 -6
№ 905 Из того что функция y = x − 4 возрастает следует, что С = 0 − 4 = −4. 71
www.5balls.ru
Из того что функция y = 4 − x убывает следует, что D = 4 − 1 = 3. Следовательно, D > C. 6 4
Y D
2 X -6
-4
-2 0 -2
2
4
6
-4 C -6
№ 906 y = kx + m. а) Из того что линейная функция проходит через первый и третий координатные углы следует, что она возрастает, т. е. k > 0. Но еще извстно что функция проходит через втоорой координатный угол. Откуда следует, что m > 0. б) Из того что линейная функция проходит через второй и четвертый координатные углы следует, что она убывает, т. е. k < 0. Но еще извстно что функция проходит через первый координатный угол. Откуда следует, что m > 0. в) Из того что линейная функция проходит через первый и третий координатные углы следует, что она возрастает, т. е. k > 0 . Но еще извстно что функция проходит через четвертый координатный угол. Откуда следует, что m < 0. г) Из того что линейная функция проходит через второй и четвертый координатные углы следует, что она убывает, т. е. k < 0. Но еще извстно что функция проходит через третий координатный угол. Откуда следует, что m < 0. № 907 y = kx + m. 72
www.5balls.ru
а) Видно, что если мы подставим любое x > 0, то получим, что y > 0, следовательно, график функции проходит через первый координатный угол. Если же мы подставим любое x < 0, то получим, что y < 0, следовательно, график проходит через третий координатный угол. График не проходит через второй и четвертый координатные углы, (не учитывая точку (0; 0) ) потомучто m = 0. Ответ: график функции проходит через 1 и 3 координатные углы. б) Видно, что если мы подставим любое x > 0, то получим, что y < 0, следовательно, график функции проходит через первый координатный угол. Если же мы подставим любое x < 0, то получим, что y > 0, следовательно график проходит через третий координатный угол. График не проходит через второй и четвертый координатные углы (не учитывая точку (0; 0) ) потому, что m = 0. Ответ: график функции проходит через 2 и 4 координатные углы. № 908 y = p2 − 2px; а) p2 − 2p = 3; p2 − 2p − 3 = 0; p2 + p − 3p − 3 = 0; p(p + 1) − 3(p + 1) = 0; p = 3 или p = −1; в) p2 = −4; Но квадрат числа не может равнятся отрицательному числу, значит не при каких p.
б) p2 = 9; p2 − 9 = 0; (p − 3)(p + 3) = 0; p = 3 или p = −3; г) p2 + 4p = 5; p2 + 4p − 5 = 0; p2 + p − 5p = 0; p(p + 1) − 5(p + 1) = 0; p = 5 или p = −1.
§ 30. Прямая пропорциональность и ее график № 909 а) да; б) да; в) да; г) да. № 910 а) да; б) да; в) да; г) нет, потомучто прямая пропорциональность задается уравнением вида y = kx, где k − произвольное число. № 911 а) 1; б) −8; в) 15; г) −1. № 912 а) 0,1; б) −7,5; в) −6,06; г) 5,4. 73
www.5balls.ru
№ 913 а) Ошибка!; б) − Ошибка!; в) − Ошибка!; г) Ошибка!. № 914 а) y = 5x; x y
0 0
1 5 6
Y
4 2 X -6
-4
-2 0 -2
2
4
6
-4 -6
б) y = −4x; x y
0 0
2 −8 6
Y
4 2 X -6
-4
-2 0 -2
2
-4 -6
в) y = −2x; x 0 y 0
3 −6
74
www.5balls.ru
4
6
6
Y
4 2 X -6
-4
-2 0 -2
2
4
6
-4 -6
г) y = 6x. x y
0 0
−1 −6 6
Y
4 2 X -6
-4
-2 0 -2
2
4
6
-4 -6
№ 915 а) y = 2x; 6
Y
4 2 X -6
-4
-2 0 -2
2
4
6
-4 -6
б) y = −3x;
75
www.5balls.ru
6
Y
4 2 X -6
-4
-2 0 -2
2
4
6
-4 -6
в) y = −6x; 6
Y
4 2 X -6
-4
-2 0 -2
2
4
6
-4 -6
г) y = x. 6
Y
4 2 X -6
-4
-2 0 -2
2
-4 -6
76
www.5balls.ru
4
6
№ 916 а) S = 0,5t;
б) S = −1,2t; s
6
s
6
4
4
2
2 t
-6
-4
-2 0 -2
2
4
t
6
-6
-4
-2 0 -2
-4
-4
-6
-6
в) S = Ошибка!t;
6
2
4
6
г) S = −Ошибка!. 6
s
s
4
4
2
2
t
t -6
-4
-2 0 -2
2
4
6
-6
-4
-2 0 -2
-4
-4
-6
-6
2
4
6
№ 917 а) 3k = 12; k = 4, функция возрастает; б) 5k = 25; k = 5, функция возрастает; в) −9k = 45; k = −5, функция убывает; г) −11k = −99; k = 9, функция возрастает. 77
www.5balls.ru
№ 918 а) y = kx; 2k = 8; k = 4; y = 4x; 6
б) y = kx; −16k = 32; k = −2; y = −2x; Y
6
y
4
4
2
2
x
X -6
-4
-2 0 -2
2
4
-6
6
-4
-2 0 -2
-4
-4
-6
-6
в) y = kx; 3k = −18; k = −6; y = −6x; 6
2
4
6
г) y = kx; 6k = 9; k = Ошибка!; y = Ошибка!x.
y
6
y
4
4
2
2
x
x -6
-4
-2 0 -2
2
4
6
-6
-4
-2 0 -2
-4
-4
-6
-6
№ 919 B(1; 4). а) y = 2x; 4 ≠ 2 · 1, значит, не проходит; б) y = −2x; 4 ≠ −2 · 1, значит, не проходит; в) y = 4x; 4 = 4 · 1, значит, проходит; г) y = −4x; 4 ≠ −4 · 1, значит, не проходит. № 920 S = kt. а) 5k = 7; k = Ошибка! = 1,4; S = 1,4t; б) 2k = 8; k = 4; s = 4t; в) 3k = −9; k = −3; s = −3t; 78
www.5balls.ru
2
4
6
г) −4k = 12. k = −3; s = −3t. № 921 A(0; 0) y = −2x; 0 = −2 · 0, значит принадлежит; B(2; −4) y = −2x; −4 = −2 · 2, значит принадлежит; C(5; 3) y = −2x; 3 ≠ −2 · 5, значит не принадлежит; D(−4; 8) y = −2x; 8 = −2 · (−4), значит принадлежит. № 922 а) y = 4,5x. Внутри первого и третьего. 9
б) y = Ошибка!x. Внутри первого и третьего.
y
8 6
6
4
3 x -9
-6
-3 0 -3
3
6
9
2 2
4
6 8
-4 -6
-9
-8
в) y = −2,5x. Внутри второго и четвертого.
0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5
x
-8 -6 -4 -2 0 -2
-6
5 4 3 2 1
y
г) y = − Ошибка!x. Внутри второго и четвертого. 12
y
y
6 x
x 1 2 3 4 5
-12
-6
0
6
12
-6 -12
79
www.5balls.ru
№ 923 y = 0,4x; а) 0; 2; 4; −2; б) 0; 5; 10; −5; в) y > 0; г) y < 0.
5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5
№ 924 y = −2,5x; а) 0; −5; 5; б) 0; 2; −2; в) y ≥ 0; г) y ≤ 0.
5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5
y
x 1 2 3 4 5
y
x 1 2 3 4 5
№ 925 а) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: 0; 3. б) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит наибольшего значения не существует. Ответ: 3 − наименьшее. в) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит наименьшего значения не существует. Ответ: −3 − наибольшее. г) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: −3; 3. 80
www.5balls.ru
№ 926 а) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полуинтервалом (конец промежутка в промежуток не включается), следовательно, наименьшего значения не существует. Ответ: 4 − наибольшее. б) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 0 − наибольшее. в) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: −2 − наименьшее. г) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полуинтервалом (начало промежутка в промежуток не включается), следовательно, наибольшего значения не существует. Ответ: 0 − наименьшее. № 927 а) y = 2x; б) y = −x; в) y = Ошибка!x; г) y = −3x. № 928 Из того, что функция возрастает, следует что знак углового коэфициента линейной функции − «+». А из того что функция убывает, следует, что знак углового коэфициента линейной функции − «−»; а) положителен; б) положителен; в) отрицателен; г) отрицателен. № 929 а) k > 0, m > 0; б) k > 0, m < 0; в) k < 0, m > 0; г) k < 0, m < 0. № 930 а) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: 0; 2. б) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: −2 − наименьшее. 81
www.5balls.ru
в) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 0 − наибольшее. г) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. № 931 а) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Ответ: −3; 3. б) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. в) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит наименьшего значения не существует. Ответ: 3 − наибольшее. г) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полуинтервалом (начало промежутка в промежуток не включается), следовательно, наибольшего значения не существует. Ответ: −3 − наименьшее. № 932 12
y y=x+3
6 x -12
-6
0
6
-6
12 y = -3x
y = 3x -12
№ 933 а) Задание не корректно, так как прямые паралельны и значит не пересекаются; б) 3x = 2x − 1; x = −1, y = 3 · (−1) = −3. Ответ: (−1; −3). в) Задание не корректно, так как прямые паралельны и значит не пересекаются; г) x + 3 = 4; x = 1, y = 4. Ответ: (1; 4). 82
www.5balls.ru
№ 934 а) y = x + 3; б) y = 2x − 1; в) y = 2 − x; г) y = −Ошибка!x − 2. № 935 а) y = Ошибка!x + 2; б) y = −2x − 4; в) Ошибка!x − 4; г) 1,5x + 2.
§ 31. Взаимное расположение графиков линейных функций № 936 Если угловые коэфициенты прямых совпадают, то прямые паралельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются; а) паралельны; б) пересекаются; в) совпадают; г) пересекаются. № 937 Если угловые коэфициенты прямых совпадают, то прямые паралельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются; а) совпадают; б) пересекаются; в) паралельны; г) пересекаются. № 938 Если угловые коэфициенты прямых совпадают, то прямые паралельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются; а) паралельны; б) паралельны; в) совпадают; г) паралельны. № 939 а) y = 8x + 12 и y = 8x − 3; в) y = −7x + 6 и y = 12 − 7x;
б) y = 6x + 5 и y = 6x + 7; г) y = 4x − 1 и y = 4x + 11.
№ 940 а) y = 3x + 5 и y = 3x + 7; в) y = 45x − 9 и y = 45x + 7;
б) y = −6x − 3 и y = −6x + 1; г) y = 1,3x + 21 и y = 1,3x − 11.
83
www.5balls.ru
№ 941 а) y = 6x + 1 и y = 5x − 3; в) y = 7x + 8 и y = 3x − 4;
б) y = −6x + 5 и y = 9x − 1; г) y = 2x − 15 и y = 3x + 2.
№ 942 а) y = 2x + 5 и y = 2x −(−5); в) y = 2x − 6 и y = 3x − 7;
б) y = 2x − 1 и y = 3x + 3; г) y = 2x + 17 и y = 3x + 9.
№ 943 а) Задание определено не корректно, потомучто какой бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. б) y = 5x + 8 и y = 5x + 8. в) y = 6x − 3 и y = 6x − 3. г) Задание определено не корректно, потомучто какой бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. № 944 а) Задание определено не корректно, потомучто какой бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. б) y = 4,5x − 2 и y = 4,5x − 2; в) y = 0,35x − 3 и y = 0,35x − 3; г) y = 2x + 5 и y = 2x + 5. № 945 а) 2x + 3 = 3x + 2; x = 1, y = 2 · 1 + 3 = 5. Ответ: (1; 5). б) Задание не корректно, потому что прямые паралельны. в) 7x + 4 = −x + 4; x = 0, y = 7 · 0 + 4 = 4. Ответ: (0; 4). г) Задание не корректно, потому что прямые паралельны. № 946 а) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; 17); б) −3x + 4 = 2x − 1; 5x = 5; x = 1, y = 2 · 1 − 1 = 1. Ответ: (1; 1). в) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; −8); г) −5x + 3 = x − 3; 6x = 6; x = 1, = 1 − 3 = −2. Ответ: (1; −2). 84
www.5balls.ru
№ 947 а) Задание не корректно, потомучто прямые паралельны. б) Прямые совпадают, следовательно точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; 4). в) Задание не корректно, потомучто прямые паралельны. г) 79x = 75x; x = 0, y = 79 · 0 = 0. Ответ: (0; 0). № 948 k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0. № 949 k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0. № 950 a1 = 2; a2 = 3; b1 = 5; b2 = 5; 2x + 5 = 3x + 5; x = 0, y = 5; (0; 5) − точка пересечения. № 951 Из того что прямая y = ax + b проходит через начало координат следует, что b = 0. Значит, уравнение прямой имеет вид : y = ax. Прямая y = ax проходит через третий координатный угол (она там пересекается с прямой y = kx + m). Из этого следует, что a > 0. Прямая y = kx + m проходит через третий координатный угол значит либо (k > 0) либо (k < 0 и m < 0). Но второй случай не подходит, потому что во втором случае прямая y = kx + m проходит через второй координатный угол. Итак k > 0. Если m ≥ 0 то прямая проходит через второй координатный угол (если учитывать, что точка (0; 0) принадлежит второму координатному углу). Значит, m < 0. Ответ: a > 0; b = 0; k > 0; m < 0 № 952 Прямая y = kx + m не проходит через третий координатный угол значит k < 0 и m > 0 (считается что точка (0; 0) не принадлежит не одному из координатных углов). Рассмотрим прямую y = ax + b. 1.Случай a ≤ 0, тогда для того чтобы эта прямая проходила через первый координатный угол, необходимо чтобы b было больше 0. 2.Случай a > 0. Прямая всегда проходит через первый координатный угол. Но она также должна проходить через третий координатный угол, что выполнимо только при b > 0. Ответ: k < 0; m > 0; a − может иметь любое значение; b > 0. 85
www.5balls.ru
ГЛАВА 7. Функция y = x2 § 32. Функция y = x
2 и ее график
№ 953 а) y =x2 = 12 = 1; б) y = 32 = 9; в) y = 22 = 4; г) y = 02 = 0.
№ 954 а) y = (− 2) 2 = 4; б) y = (− 1,5) 2; в) y = (− 3) 2; г) y = (− 0,5) 2 = 0,25.
№ 955
2
2
2
а)
49 4 1 7 y = 2 = = =5 ; 9 9 3 3
в)
1 169 9 13 y = − 3 = − = = 10 4 16 16 4
2
1 4 7 y = − 2 = − = 5 3 9 3
г)
9 1 13 y = 3 = = 10 16 4 3
2
2
;
2
б)
№ 956 а) x2 = 4;
б) x2 = 9;
x2 − 4 = 0;
x2 − 9 = 0;
(x − 2)(x + 2) = 0;
(x − 3)(x + 3) = 0;
x = 2; x = − 2;
x = 3; x = − 3;
в) x2 = 1;
г) x2 = 16;
x2 − 1 = 0;
x2 − 16 = 0;
(x − 1)(x + 1) = 0;
(x − 4)(x + 4)= 0;
x = 1; x = − 1;
x = 4; x =− 4.
№ 957 а) x2 = 0,25;
б) x2 = 6,25;
x2 − 0,25 = 0;
x2 − 6,25 = 0;
(x − 0,5)(x + 0,5) = 0;
(x − 2,5)(x + 2,5) = 0;
x = 0,5; x = − 0,5;
x = 2,5; x = − 2,5;
в) x2 = 2,25;
г) x2 = 0;
x2 − 2,25 = 0;
x = 0.
(x − 1,5)(x + 1,5) = 0; x = 1,5; x = − 1,5;
№ 958 а) 2; − 2;б) 1; − 1;в) 0; 3;г)4; 5.
№ 959 а) 2; 1;б) − 1; 0;в) 0,2; − 0,2; г) таких значений нет, потому что квадрат числа всегда ≥ 0.
86
www.5balls.ru
2
.
;
№ 960 а) 22 = 4, значит, принадлежит; б) 32 = 9, значит не принадлежит; в) 42 = 8, значит, не принадлежит; г) (− 3) 2 = 9 значит принадлежит.
№ 961 а) (0,5) 2 = 0,25, значит, принадлежит; б) (1,2) 2 = 1,44, значит, не принадлежит; в) (1,5) 2 = 2,25 значит, не принадлежит; г) (− 2,5) 2 = 6,25 значит, принадлежит.
№ 962 Точка принадлежит графику функции, если ее координаты x и y удовлетворяют уравнению функции. Тогда непосредственной проверкой легко убедиться, что: а) да; б) да; в) да; г) нет.
№ 963
6
y = x2; y
0
1
−1
2
−2
x
0
1
1
4
4
Y
5 4 3
а) при x = 0;
2
б) при −∞<x<0 и при 0<x<+∞;
1
в) ни при каких x.
-3
-2
-1 0 -1
X 1
2
3
-2
№ 964 а) наибольшее 1;
б) наибольшее 9;
наименьшее 0;
наименьшее 0;
[− 1;1];
[− 3;2];
в) наибольшее не существует;
г) наибольшее 9;
наименьшее 0;
наименьшее 0;
(− 2;1];
[− 1;3].
№ 965 а) наибольшее не существует;
б) наибольшее 9
наименьшее 0;
наименьшее 0;
[− 2;3);
[− 3;0];
в) наибольшее 9;
г) наибольшее не существует;
наименьшее 0;
наименьшее 0;
[− 2;3];
(− 3;2).
87
www.5balls.ru
№ 966 а) наибольшее 4;
б) наибольшее 9;
наименьшее 0;
наименьшее (− 1);
(− 2;2];
[− 3;− 1];
в) наибольшее не существует;
г) наибольшее не существует;
наименьшее 0;
наименьшее 0;
(− 2;3);
(− 1;3).
№ 967 а) наибольшее 9;
б) наибольшее 9;
наименьшее не существует;
наименьшее не существует;
[− 3;−2);
( 2;3];
в) наибольшее 9;
г) наибольшее 9;
наименьшее не существует;
наименьшее не существует;
(0;3);
[− 3;− 1).
№ 968 Во всех пунктах, на отрезках функция возврастает, значит наибольшее значение и наименьшее получаем на концах отрезка; а) наибольшее 4;
б) наибольшее 22 = 4;
наименьшее 1;
наименьшее 02 = 0;
в) наибольшее 12 = 1;
г) наибольшее 32 = 9;
наименьшее 02 = 0;
наименьшее 22 = 4.
№ 969 а) наибольшее (− 1) 2 = 1;
б) наибольшее (− 2) 2 = 4;
наименьшее 02= 0;
наименьшее (− 1) 2 = 1;
в) наибольшее (− 2) 2 = 4;
г) наибольшее (− 3) 2 = 9;
наименьшее 02 = 0;
наименьшее (− 1) 2 = 1.
№ 970 В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как известно все зачения функции y = x2 больше либо равны нулю, причем в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов наименьшим значением будет число 0. Установим только наибольшие значения. а) 12 = 1; б) 32 = 9; в) (− 3) 2 = 9; г) 32 = 9.
№ 971 В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как известно все зачения функции y = x2 больше либо равны нулю, причем в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов наименьшим значением будет число 0.
№ 972 а) 0;
б)12 = 1;
88
www.5balls.ru
в) 22 = 4;
г) 32 = 9.
№ 973 а) 0;
б) 0;
в) 0;
г) 0.
№ 974 а) x2 = 1;
б) x2 = 0;
в) x2 = 4;
г) x2 = − 3;
x2 − 1 = 0;
x = 0;
x2 − 4 = 0;
решений нет;
x = 1; x = − 1; (1;1), (− 1;1);
x = 2; x = − 2; (0;0);
точек пересечения
(2;4), (− 2;4);
нет.
№ 975 а) x2 = 2x;
б) x2 = − 3x;
в) x2 = x;
г) x2 = − x;
x2 − 2x = 0;
x2 + 3x = 0;
x2 − x = 0;
x2 + x = 0;
x(x − 2) = 0;
x(x + 3) = 0;
x(x − 1) = 0;
x(x + 1) = 0;
x = 0; x = 2;
x = 0; x = − 3;
x = 0; x = 1;
x = 0; x = − 1.
№ 976 а) x2 = x + 2;
б) x2 = x − 3;
x2 − x − 2 = 0;
x2 − x + 3;
1 3 +2 =0; 4 4
x2 + x − 2x − 2 = 0;
x2 − x +
x(x + 1) − 2(x + 1) = 0;
1 3 x − = −2 2 4
(x + 1)(x − 2) =0;
решений нет, значит, нет точек
x = 2; x = − 1;
пересечения;
2
;
(2;4), (− 1;1); в) x2 = − x + 2;
г) x2 = x − 5;
x2 + x − 2 = 0;
x2 − x + 5 = 0;
1 3 +4 =0; 4 4
x2 − x + 2x − 2 = 0;
x2 − x +
x(x − 1) + 2(x − 1) = 0;
1 3 x − = −4 2 4
(x − 1)(x + 2) =0;
решений нет, значит, нет точек
x = − 2; x = 1;
пересечения.
2
;
(− 2;4), (1;1);
№ 977 а) x2 = 2x + 3;
б) x2 = −
Ошибка!− 5; 89
www.5balls.ru
5 x+5 = 0 ; 3 5 25 9 x2 + x + +4 = 0; 3 36 36 x2 +
x2 − 2x − 3 = 0;
x2 + x − 3x − 3 = 0;
2
(x + 1)(x − 3) = 0;
5 9 x + = −4 ; 6 36
x = 3; x = − 1;
решений нет, значит, нет точек
(3;9), (− 1;1);
пересечения;
в) x2 = 3 − 2x;
г)
x2 =
5 x −5; 3
5 x2 − x + 5 = 0 ; 3 5 25 9 2 x − x+ = −4 3 36 36
x2 + 2x − 3 = 0;
x2 − x + 3x − 3 = 0;
;
2
x(x − 1) + 3(x − 1) = 0;
5 9 x − = −4 ; 6 36
(x − 1)(x + 3) =0;
решений нет, значит, нет точек
x = − 3; x = 1;
пересечения.
(1;1), (− 3;9);
№ 978 а) (1;3);
б) (− 2;2);
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X -4
-2
0
2
4
X -4
90
www.5balls.ru
-2
0
2
4
в) (0;2);
г) (− 2;− 1).
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X -4
-2
0
2
X -4
4
-2
0
2
4
№ 979 а) (0;+ ∞);
б) (− 1;+ ∞);
Y
Y 8
8
6
6
4
4 2
2
X
X -4
-2
0
2
-4
4
в) (− ∞;− 0,5);
0
-2
2
4
г) (− ∞;0).
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X -4
-2
0
2
4
X -4
-2
0
2
4
91
www.5balls.ru
№ 980 а) (− ∞;1];
б) (− ∞;− 2];
Y
Y 8
8
6
6
4
4 2
2
X -4
0
-2
2
X -4
4
в) [2;+ ∞);
-2
0
2
4
г) [1;+ ∞).
Y
Y 8
8
6
6
4
4
2
2
X
X -4
-2
0
2
-4
4
0
-2
2
4
№ 981 а) [0,1);
б) [0;2);
Y
Y
8
8
6
6
4
4 2
2
X
X -4
-2
0
2
4
-4
92
www.5balls.ru
-2
0
2
4
в) (0;3];
г) (0;2,5].
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X -4
-2
0
2
4
X -4
0
-2
2
4
2
4
№ 982 а) (− 1;3];
б) (− 1;1];
Y
Y
8
8
6
6
4
4 2
2
X -4
-2
0
2
X -4
4
в) [− 1;0);
0
-2
г) [− 1;2).
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X -4
-2
0
2
4
X -4
-2
0
2
4
93
www.5balls.ru
№ 983 а) наибольшее 22 = 4;
б) наибольшее не существует;
наименьшее 0;
наименьшее 0;
в) наибольшее (− 2,5) 2 = 6,25;
г) наибольшее не существует;
наименьшее 0;
наименьшее 0.
№ 984 а) наибольшее не существует;
б) наибольшее не существует;
наименьшее 0,52 = 0,25;
наименьшее 0;
в) наибольшее не существует;
г) наибольшее не существует;
наименьшее 0;
наименьшее 0.
№ 985 Везде в этих пунктах в промежутках есть − ∞, значит наибольшего значения не существует. Найдем наименьшее значение: 1 5
2
а) 0; б) 0; в) 0; г) − =
1 . 25
Y
№ 986 A = 0; B = (− 3) 2 = 9, значит, B > A.
B
8 6 4 2
X -4
№ 987 C = 22 = 4, D = − 2 + 3 = 1, следовательно, C > D.
0
-2
A
2
4
Y y = x2
8 6 4
C
2
D -4
y = 2x + 3
94
www.5balls.ru
-2
X 0
2
4
№ 988 M = 32 = 9, N = − 1, значит M > N. y = x2
Y M
8 6 4
y=x
2
X -4
0
-2
2
4
N
№ 989 y = x2; L = (− 1)2 = 1, N =12 = 1, следовательно L = N. Y
8 6 4
L -4
-2
2
N
0
X
2
4
2
4
№ 990 y = x2, P = 0, Q = 0; значит P = Q. Y 8 6 4 2
-4
-2
0
Q @ P
X
95
www.5balls.ru
№ 991 y = x2;
Y y = x2
y = x + 2;
8
A = 22 = 4,
6
B = 3 + 2 = 5.
B
4
A
2
y=x+2
X
-4
0
-2
2
4
№ 992 A = (− 3) 2 = 9, B = − 1 · 3 = − 3; значит, A > B. № 993 y = x2. Среди особых промежутков есть значение 0. 02 = 0. Оно и будет наименьшим, значит R = S.
№ 994 а) x2 = 2x − 1; x2 − 2x + 1 = 0; (x − 1) 2 = 0; x = 1; y = 1. Ответ: (1;1).
б) x2 = 4x − 4; x2 − 4x + 4 = 0; (x − 2) 2 = 0; x = 2; y = 4. Ответ: (2;4).
в) x2 = − 2x − 1; x2 + 2x + 1 = 0; (x + 1) 2 = 0; x = − 1; y = 1. Ответ: (− 1;1).
г) x2 = − 4x − 4; x2 + 4x + 4 = 0; (x + 2) 2 = 0; x = − 2; y = 4. Ответ: (− 2;4).
§ 33. Графическое решение уравнений № 995 а)
в) Y
Y y = –x
4
y=x+3
4
2
y = 3x – 4
2
X -4
-2
0
2
4
X -4
-2
0
-2
-2
-4
-4
y = 2x + 1
Ответ: (2;5).
Ответ: (1;− 1)
96
www.5balls.ru
2
4
б)
г) y=9
Y
Y
10
8
8
6
6
y = –x
4
4
2 -9
-6
X
0
-3
2
X
3
-2
-4
-2
0
2
Ответ: (− 9;9).
Ответ: (− 2;4); (0;0).
№ 996 а) x2 = 1.
б) x2 = 4.
Y 8
y = x2
y=x
Y
2
8
6
6
y=4
4
4
2
y=1
4
2
X -4
-2
0
2
4
-4
Ответ: x = 1, x = − 1. в) x2 = 0.
-2
2
4
Ответ: x = 2, x = − 2. г) x2 = − 1.
Y
y = x2
X 0
Y
y = x2
8
8
6
6
4
4
y=0
2
2
X -4
-2
0
2
4
X -4
-2
0
2
4
y = –1
Ответ: x = 0.
Ответ: решений нет. 97
www.5balls.ru
№ 997 а) x2 = 2x.
б) x2 = − 3x.
Y
y = x2
Y
8
8
6
6
y = 2x
4
y = x2
4
2
2
X -4
-2
0
2
4
X -4
0
-2
2
4
y = –3x
Ответ: x = 0, x = 2. в) x2 = − 3x.
Ответ: x = 0, x = 3. г) x2 = 3x.
Y
8
Y
y = x2
y = x2
8
6
6
4
4
2
2
X -4
-2
0
2
y = –3x
4
X -4
0
-2
2
y = 3x
Ответ: x = 0, x = 2.
Ответ: x = 0, x = − 3.
№ 998 а) x2 = x + 6.
б) x2 = − x + 2.
y = x2
Y 8
y=x+6
8
y = –x + 2
6
6
4
4
4
Y y = x2
2
2
X
X -4
-2
0
Ответ: x = − 2, x = 3.
2
4
-4
-2
0
Ответ: x = − 2, x = 1
98
www.5balls.ru
2 .
4
в) x2 = x + 2. y=x
г) x2 = 3x.
Y
2
Y
y = x2 8
8
y=x+2 6
6
4
4
2
y = 3x
2
X -4
0
-2
2
X
4
-4
0
-2
2
Ответ: x = − 1, x = 2.
Ответ: x = 0, x = 3.
№ 999 а) x2 = 2x + 3.
б) x2 = − 3x − 2.
y=x
Y
2
8
8
6
6
y = –3x– 2
4
Y y = x2
4 2
2
y = 2x + 3 -4
4
X
X 0
-2
2
Ответ: x = − 1, x = 3. в) x2 = − 2x + 3. Y
-4
4
0
-2
4
Ответ: x = − 2, x = − 1. г) x2 = 3x − 2. Y
y = x2 y=x
8
2
8
6
6
4
4
2
2
y = 3x – 2
2
y = –2x+ 3
X
X -4
-2
0
Ответ: x = − 3, x = 1.
2
4
-4
-2
0
2
4
Ответ: x = 1, x = 2. 99
www.5balls.ru
№ 1000 а) x = − x + 4; 2x = 4; x = 2; y = − 2 + 4 = 2. Ответ: (2;2).
б) x = x2; x2 − x = 0; x = 0, y = 0; x = 1 y = 1. Ответ: (0;0),(1;1).
№ 1001 а) 3x = 2x − 4; x = − 4; y = 3 · (− 4) = − 12. Ответ: (− 4;− 12).
б) − x = x2; x2 + x = 0; x = 0, y = 0; x = − 1, y = 1. Ответ: (− 1;1).
№ 1002 а) x2 + 2x − 3; x2 = − 2x + 3.
б) x2 − 4x = − 3; x2 = 4x − 3.
Y y=x
8
Y
y = x2 2
8
6
6
4
4
y = –2x + 3
2
2
X -4
0
-2
2
4
X -4
-2
0
2
4
y = 4x – 3
Ответ: x = − 3, x = 1. 2
Ответ: x = 1, x = 3.
2
г) x2 − x = 6; x2 = x + 6.
в) x + 4x + 3; x = − 4x − 3. y = –4x – 3 Y
Y
y = x2
8
8
y = x2
6
6
y=x+6
4
4
2
2
X
X -4
-2
0
Ответ: x = − 3, x = − 1.
2
4
-4
-2
0
2
Ответ: x = − 2, x = 3.
100
www.5balls.ru
4
№ 1003 а) x2 + x + 2 = 0; x2 = − x − 2. 4 3 2 1 -3
-2
y=x
2
y = x2
X
-1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
1
2
-3
-2
3
y = –x – 2
2
1
2
3
Y
4 3 2 1
X 1
X
Ответ: решений нет. г) x2 + x+ 8 = 0; x2 = − x − 8.
Y
-1 -10
Y
4 3 2 1
-3 -2 -1 -10 -2 -3 y = x – 4 -4 -5 -6 -7 -8
Ответ: решений нет. в) x2 − x + 6 = 0; x2 = x − 6. 4 3 2 1
б) x2 − x + 4 = 0; x2 = x − 4.
Y
3
-3
-2
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
X
-1 -10
1
2
3
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
Ответ: решений нет.
Ответ: решений нет.
№ 1004 а) x2 − 2x + 1 = 0; x2 = 2x − 1.
в) x2 + 2x + 1 = 0; x2 = − 2x − 1.
8
8
6
6
4
4
Y
y=x
Y
y = x2
2
y = 2x – 1
2
y = –2x – 1
2
X
X -4
-2
Ответ: x = 1.
0
2
4
-4
-2
0
2
4
Ответ: x = − 1. 101
www.5balls.ru
б) x2 + 4x + 4 = 0; x2 = − 4x − 4. 4 3 2 1 -3
-2
г) x2 − 4x + 4 = 0; x2 = 4x − 4.
Y
4 3 2 1
X
-1 -10
1
2
3
-3
-2
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
Ответ: x = − 2. № 1005 а) x2 = 1,5x − 6.
-2
-3
-2
2
3
б) x2 = Ошибка!x − 5.
Y y = x2
4 3 2 1 -1-10
4 3 2 1
y = x2
X
-1 -10
1
2
-3
3
-2
4 3 2 1
X
-2 -3 -4 y = –1,5x – 6 -5 -6 -7 -8
Ответ: решений нет.
X 1
y=
2
3
5 x–5 3
Ответ: решений нет. г) x2 = − Ошибка!x − 5.
Y
1
Y
-1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
y = –1,5x – 6
Ответ: решений нет. в) x2 = − 1,5x − 6. y=x
1
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2
X
-1 -10
Ответ: x = 2.
4 3 2 1 -3
Y
2
3
-3
y=–
-2
5 3
-1-10
Y
y = x2 X 1
2
-2 -3 -4 x – 5-5 -6 -7 -8
Ответ: решений нет.
102
www.5balls.ru
3
§ 34. Что означает в математике запись y = f(x) № 1006 а) 0; б) − 16; в) 8; г) 4. № 1007 а) 8a; б) − 8a; в) 16a; г) − 32a. № 1008 а) 8(b + 2) = 8b + 16; в) 8(b − 8) = 8b − 64;
б) 8(b − 1) = 8b − 8; г) 8(b + 7) = 8b + 56.
№ 1009 а) 5 · Ошибка!+ 6 = 5,25 + 6 = 11,25; б) 5 · (− 3) + 6 = − 9; в) 5 · 0,5 + 6 = 2,5 + 6 = 8,5; г) 5 · 6Ошибка!+ 6 = 5 · 6,4 + 6 = 32 + 6=38. № 1010 а) 5a + 6; б) 15a + 6; в) − 35a + 6; г) − 25a + 6. № 1011 а) 5(a + 1) + 6 = 5a + 11; в) 5(a − 1) + 6 = 5a + 1;
б) 5(a − 3) + 6 + 1 = 5a − 8; г) 5(a + 4) + 6 − 2 = 5a + 24.
№ 1012 а) 2; б) − 3a + 2; в) − 3 + 2 = − 1; г) − 3 · 2a + 2 + 4 = − 6a + 6. № 1013 а) − 3 · 8 + 2 + 8 = − 14; в) − 3x + 2 − 2 = − 3x;
б) (− 3x + 2) 2 = 9x2 − 12x + 4; г) (− 3x + 2 − 2) 2 = 9x2.
№ 1014 а) −3 · (− x) + 2 = 3x + 2; в) − 3 · (− 8x) + 2 = 24x + 2;
б) − 3 · 2x + 2 = − 6x + 2; г) − 3 · 4x + 2 = − 12x + 2.
№ 1015 а) 1,6(x + 2) + 3,5 = 1,6x + 3,2 + 3,5 = 1,6x + 6,7; б) 1,6(x − 5) + 3,5 = 1,6x − 8 + 3,5 = 1,6x − 4,5; в) 1,6(x + 9) + 3,5 = 1,6x + 14,4 + 3,5 = 1,6x + 17,9; г) 1,6(x − 6) + 3,5 = 1,6x − 9,6 + 3,5 = 1,6x − 6,1. № 1016 а) 3,7x − 5,2; б) 3,7x2 − 5,2;
в) − 3,7 · 2x3 − 5,2 = − 7,4x3 − 5,2; г) 3,7x − 5,2 + 5,2 = 3,7x. 103
www.5balls.ru
№ 1017 а) 4; б) 9a2; в) 9; г) Ошибка!a2. № 1018 а) x2; в) (5 − x) 2 = x2 − 10x + 25;
б) (x + 2) 2 = x2 + 4x + 4; г) (2x + 3) 2 − 9 = 4x2 + 12x.
№ 1019 а) (x2) 2 = x4; в) (x3) 2 = x6;
б) (x2 − 2) 2 = x4 − 4x2 + 4; г) (x3 + x) 2 = x6 + 2x4 + x2.
№ 1020 а) (x6) 2 = x12; б) (− x6) 2 = x12; в) (3x5) 2 = 9x10; г) (− 3x5) 2 = 9x10. № 1021 а) − 2+ 5=3; б) − 2· (− 3) + 5=11; в) 3 · (− 4) − 2= − 14; г) − 2 · 0 + 5= 5. № 1022 а) − 5 + 5,7 = 0,7; б) − 20 + 5,7 = − 14,3; в) − 5; г) − 5. № 1023 x2 f(x)= − 4x + 7
x < −4 ,5 ; x ≥ 4 ,5
а) f(− 5) = (− 5) 2 = 25; в) f(3) = − 4 · 3 + 7 = − 5;
б) f(− 4) = − 4 · (− 4) + 7 = 23; г) f(− 4,5) = − 4 · (− 4,5) + 7 = 25.
№ 1024 −4 ≤ x ≤ 0 −2 ; 4 7 0 < x <1 x − +
а) y =
8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -10 -2 y = –2 -3
-4
x2
б) y =
9
Y
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y = –4х + 7
X 2
−2≤ x ≤3 . 3< x≤5
4
-4
104
www.5balls.ru
-2 -10
Y
y=9
y = х2
X 2
4
№ 1025 x2
x 2 x
−3 ≤ x ≤ 0 ; 0<x≤4
а) y =
x
б) y =
Y y = х2
9 8 7 6 5 4 3 2 1
8 6 4
y=х 2
X 0
-2
2
4
−2 ≤ x ≤ 0 . x>0 Y
y = х2
X
-4 -2 -10 -2 y=х
2
4
№ 1026 − 4 ≤ x ≤ −1 1 ; 2 + 3 −1 < x ≤ 1 x
− 5 ≤ x ≤ −2 0 . + 2 −2< x ≤ 2 x
а) y =
6
Y
6
y = 2х + 3
5
5
4
4
3
3
1 -2
Y
y=х+2
2
2
y=1
-4
б) y =
X
0 -1
2
-4
4
1
y=0 -2
X
0 -1
2
4
№ 1027 x + 3 − 2 ≤ x ≤ −1 ; 2 −1 < x ≤ 2 x 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4
-2 -10
x2
− 3 ≤ x ≤ −2
2 x + 8
−2 < x ≤ 0
б) y =
а) y =
Y
.
Y 8 6 4 2
X
X 2
4
-4
-2
0
2
4
105
www.5balls.ru
№ 1028 а) − 3 ≤ x ≤ 4 (из условия); б) y = 9 − наибольшее значение (из графика); y = 0 − наименьшее значение (из графика); в) − 3 ≤ x ≤ 0 промежуток убывания (из графика); 0 < x ≤ 4 промежуток возврастания (из графика); г) точек разрыва нет. № 1029 а) − 2 ≤ x ≤ 2 (из условия); б) y = 4 − наибольшее значение (из графика); y = 0 − наименьшее значение (из графика); в) − 1 ≤ x ≤ 0 промежуток убывания (из графика); − 2 < x ≤ − 1, 0 ≤ x ≤2 промежутки возврастания (из графика); г) x = − 1 точка разрыва (из графика). № 1030 x2 − 4 ≤ x ≤ 1 ; f(x)= 2 x 1 < x ≤ 5
а) f(− 4) = (− 4)2 = 16; б) f(1) = 12 = 1; в) f(− 4,5) не корректно; т.к. x = − 4,5; не пренадлежит области определения; г) f(4,9) = 2 · 4,9 = 9,8. № 1031 а) нет т.к. 12 ≠ 2 · 1; б) нет т.к. при − 1 ≤ x < 0 y = f(x) задана неоднозначно. № 1032 а) f(− 3) = − (− 3) + 3,4 = 3 + 3,4 = 6,4; б) f(− 2) = − 2 · (− 2) + 5 = 4 + 5 = 9; в) f(3) = − 2 · 3 + 5 = − 6 + 5 = − 1; г) f(4) = 42 = 16. № 1033 а) f(− 5,4) = 1,5 · (− 5,4) + 2,9 = − 8,1 + 2,9 = − 5,2; б) f(− 3,5) = (− 3,5)2 = 12,25; в) f(3,5) = 3,52 = 12,25; г) f(5,5) = − 7,4 + 3,2 · 5,5 = − 7,4 + 17,6 = 10,2. 106
www.5balls.ru
№ 1034 5 x<0 ; − 2 x ≥ 0
а) y =
5
5
y
4
4
3
3
2
2 1 -5 -4
-3 -2
-1 0 -1
y
1
x 1
2
3
4
-5 -4
5
-3 -2
x
-1 0 -1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
1
2
3
4
5
1 x > 0 . 4 x ≤ 0
б) y =
3 − 7
в) y =
x≤0 x>0 3
; y
6 5
2 1 -5 -4
-3 -2
-1 0 -1
4
x 1
2
3
4
3
5
2 1
-2 -3 -4
y
-5 -4
-3 -2
-1 0 -1
-5
-2
-6
-3
-7
-4
x 1
2
3
4
5
6 x≥0 . − 1 x < 0
г) y =
107
www.5balls.ru
№ 1035 x2 а) y = x x2
− 2 ≤ x ≤ −1 −1 < x ≤ 1
− 1 − 4 ≤ x ≤ −1 −1 < x ≤ 1 x2 1< x ≤ 3
б) y = 2 x
;
1< x ≤ 2 Y
.
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
X -4
-2
0
2
4
X -4
0
-2
2
4
№ 1036 x + 2 − 4 ≤ x ≤ −1 а) y = 0 −1 < x ≤ 1 x2 1< x ≤ 3
x − 6 ≤ x ≤ −2 2 2 −2 < x ≤1 б) y = x 3 − 2 x 1< x ≤ 5 y 4
;
Y 8
2
x
6 -6
X -2
-2
0
2
-4
2
-4
-4
-2
4
0
.
2
4
-6 -8
№ 1037 а) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при x > 0; убывает при x < 0; 108
www.5balls.ru
4
6
б) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее y = 2; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x > 0; значение функции меньше нуля при x < 0; возврастает при − ∞ < x < 1; в) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее y = 2; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x < 0; значение функции меньше нуля при x > 0; убывает при − 2 < x < ∞; г) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 2; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю не существует; значение функции больше нуля на всей числовой оси; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 2 < x < ∞. № 1038 а) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x < 0; значение функции меньше нуля при x > 0; убывает на всей числовой оси; б) область определения − 1 < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 1 < x < 0 и 0 < x < + ∞; значение функции меньше нуля отсутствует; возврастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0; в) область определения − 5 ≤ x ≤ 2; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x ≤ 2 и − 5 ≤ x < 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0; 109
www.5balls.ru
г) область определения − 2 < x < 5; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x < 5 и − 2 < x < 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 5; убывает при − 2 < x < 0. № 1039 а) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x ≤ 2; убывает при − ∞ < x < 0; б) область определения − 4 ≤ x ≤ 2; наименьшее y = − 2; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x ≤ 2; значение функции меньше нуля при − 4 ≤ x < 0; возврастает при − 2 < x < 2; в) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 1; убывает при − ∞ < x < 0; г) область определения − 5 < x < 2; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0. № 1040 а) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при x > 0; убывает при x < 0; 110
www.5balls.ru
б) область определения − 4 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция не является непрерывной, точка разрыва x = 1; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 4 < x < 0 и 0 < x < ∞; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < ∞; убывает при − 4 < x < 0; в) область определения − ∞ < x < 1 и 1 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − ∞ < x < 1 и 1 < x < ∞; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 1 и 1 < x < ∞; убывает при x < 0; г) область определения − ∞ < x < − 1, − 1 < x < 2 и 2 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при на всей области определения кроме точки x = 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 2 и 2 < x < ∞; убывает при − ∞ < x < − 1 и − 1 < x < 0. № 1041 x>0 ; x<0
б) y =
2 − ∞ < x < −2 ; − x − 2 ≤ x < ∞
г) y =
x − x
а) y =
2 x − ∞ < x < 2 ; 2≤x<∞ 2
2 − ∞ < x < 2 . x 2 ≤ x < ∞
в) y =
№ 1042 x2
x2
−∞ < x < 0 ; − x 0 ≤ x < ∞
а) y =
1 2 x
в) y =
− 5 ≤ x < −1 −1 ≤ x ≤ 2
б) y =
4
x2
г) y =
;
x
−1 < x < 2 ; 2≤x<∞ −2 < x <1 . 1≤ x < 5
№ 1043 x2 а) y = x 2
−∞ < x < 0 0≤ x<2 2≤ x<∞
;
−2
− 4 ≤ x < −2 −2 ≤ x <1 3 x − 2 1≤ x ≤ 2
б) y = x
;
111
www.5balls.ru
− x − ∞ < x < 0 0 ≤ x <1 3 1≤ x < ∞
в) y = 3x
− 5 < x < −1 −1 ≤ x < 0
3
г) y = − 3 x
;
x2
.
0≤x<2
№ 1044 x2
а) y =
x
− x − 4 < x < −1 −1 ≤ x < 1 2x 1≤ x < ∞
−∞ < x <1 ; 1≤ x < ∞
б) y = x 2
− 2 x − ∞ < x < 0 0 ≤ x <1 в) y = 3 x 3x 1< x < ∞
x2 г) y = x 2 x2
;
− ∞ < x < −1 −1 < x < 2 2<x<∞
№ 1045 x2 f(x)= 0
−2≤ x ≤ 0 0< x≤3
;
а) f(− 2) = (−2)2 = 4, f(0) = 02 = 0, f(2) = 0, f(− 1) = (− 1)2 = 1, f(3) = 0; б) 6
Y
5 4 3 2 1 -3
-2
-1 0 -1
X 1
2
3
-2
в) область определения − 4 < x < 3; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при 0 < x ≤ 3; значение функции больше нуля при − 2 ≤ x < 0; значение функции меньше нуля не существует; убывает при − 2 < x < 0. 112
www.5balls.ru
;
.
№ 1046 x2 − 2 ≤ x ≤ 0 f ( x ) = 4 x 0 < x ≤ 1 4 1< x < 3
;
а) f(− 1)=(− 1)2 = 1, f(2) = 4, f(1) = 4 · 1 = 4, f(1,5) = 4, f(− 2) = (−2)2 =4; б) 6
Y
5 4 3 2 1 -3
X
-1 0 -1
-2
1
2
3
-2
в) область определения − 2 ≤ x < 3; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 2 < x < 3; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 1; убывает при − 2 < x < 0. № 1047 − 1 − 3 ≤ x ≤ −1 f ( x ) = x2 − 1 < x ≤ 1 x 1< x ≤ 6
;
а) f(− 2) = − 1, f(4) = 4, f(− 1) = − 1, f(1) = 12 = 1, f(5) = 5; б) y 6 4 2
x -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
113
www.5balls.ru
в) область определения − 3 ≤ x ≤ 6; наименьшее y = 0; наибольшее y = 6; функция не является непрерывной, точка разрыва x = − 1; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 1 < x < 0, 0 < x ≤ 6; значение функции меньше нуля при − 3 ≤ x ≤ − 1; возврастает при 0 < x < 1; убывает при − 2 < x < 0. № 1048 − 3 ≤ x ≤ −1 1 f ( x ) = x2 −1 < x ≤ 2 2 x + 2 2<x<4
;
а) f(− 3) = 1, f(2) = 22 = 4, f(0) = 02 = 0, f(− 1) = 1,
2
1 1 1 f = = ; 2 2 4
б) 10 9 8 7 6
y
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0
x 1 2
3 4 5
в) область определения − 3 ≤ x < 4; наименьшее y = 0; наибольшее y = 10; функция не является непрерывной; точка разрыва x = 2; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 3 ≤ x < 0, 0 < x < 4; значение функции меньше нуля при отсутствует; возврастает при 0 < x < 2, 2 < x < 4; убывает при − 1 < x < 0. 114
www.5balls.ru
№ 1049 а) y =
2x2 = 2x ; x
y
y
4
4
2
2
x -5 -4 -3 -2 -1 0
1
x -5 -4 -3 -2 -1 0
2 3 4 5
-2
-2
-4
-4
б) y = −
1
2 3 4 5
x2 = −x . x
№ 1050 а) y =
x2 − 9 = x+3 ; x−3
y
y
4
4
2
2
x -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2 3 4 5
x -5 -4 -3 -2 -1 0
-2
-2
-4
-4
б) y =
1 2 3
4 5
x2 − 4 = x−2. x+2
115
www.5balls.ru
№ 1051 а) y =
x3 + 3x 2 = x2 ; x+3
б) y =
x3 − x 2 = x2 . x −1
Y
6
8
5 4
6
3
4
2 1
2
X -4
-2
Y
0
2
-3
-2
4
-1
X
0 -1
1
2
3
-2
№ 1052 а) y =
x4 − x2 = x2 ; (x − 1)(x + 1) 6
б) y =
Y
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1 -3
-2
x4 − 4 x2 = x2 . (x − 2)(x + 2)
-1 0 -1
1
X 1
2
3
Y
-3
-2
-2
-1 0 -1 -2
116
www.5balls.ru
X 1
2
3
ГЛАВА 8. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными § 35. Основные понятия № 1053 (1;1) а) 7x + 3y = 10; 7 · 1 + 3 · 1 = 10; является; б) 6x – 2y = 4; 6 · 1 – 2 · 1 = 4; является; в) 6x + 8y = 1; 6 · 1+ 8 · 1 = 14; не является; г) 15x – 2y = 3. 15 · 1 · 2 · 1 =3. является. № 1054 3x – 2y = 5; (1;– 1), (3;2), (5;5). № 1055 а) 2x + y = 9; б) x + 3y = 0; в) 2x – 6y = – 2; г) 3x + 4y = 8. № 1056 x + y =15; (1;14), (2;13), (3;12), (4;11), (5;10), (6;9), (7;8), (8;7), (9;6), (10;5), (11;4), (12;3), (13;2), (14;1). № 1057 4 x − 7 y = 30 4 ⋅ 60 − 7 ⋅ 30 = 30 . 4 x − 5 y = 90 4 ⋅ 60 − 5 ⋅ 30 = 90
а)
Данная пара чисел (60;30) является решением системы. 3 x + 5 y = 330 3 ⋅ 60 + 5 ⋅ 30 = 330 . 6 x − 8 y = 110 6 ⋅ 60 − 8 ⋅ 30 ≠ 110
б)
Данная пара чисел (60;30) не является решением системы. № 1058 2 x + 11 y = 15 ; 10 x − 11y = 9 2 ⋅ 20 + 11 ⋅ 18 ≠ 15 10 ⋅ 20 − 11 ⋅ 18 ≠ 9
а) (20;18);
;
не является решением системы; 2 ⋅ 2 + 11 ⋅ 1 = 15 ; 10 ⋅ 2 − 11 ⋅ 1 = 9
б) (2;1);
является решением системы; 117
www.5balls.ru
2 ⋅ 1 + 11 ⋅ 2 ≠ 15 ; 10 ⋅ 1 − 11 ⋅ 2 ≠ 9
в) (1;2);
не является решением системы; 2 ⋅ 3 + 11 ⋅ ( −1 ) ≠ 15 ; 10 ⋅ 3 − 11 ⋅ ( −1 ) ≠ 9
г) (3;– 1);
не является решением системы. № 1059 4 x − 3 y = 7 ; 5 x + 2 y = 26 4 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ≠ 7 ; 5 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ≠ 26
а) (1;2);
не является решением системы; 4 ⋅ 4 − 3 ⋅ 3 = 7 ; 5 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 = 26
б) (4;3);
является решением системы; в)(– 2;– 5); 4 ⋅ ( −2 ) − 3 ⋅ ( −5 ) = 7 ; 5 ⋅ ( −2 ) + 2 ⋅ ( −5 ) ≠ 26
не является решением системы; г) (0;1); 4 ⋅ 0 − 3 ⋅ 1 ≠ 7 ; 5 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 ≠ 26
не является решением системы. № 1060 (12;15); x + y = 27 12 + 15 = 27 27 = 27 ; 2 x − 4 y = −36 2 ⋅ 12 − 4 ⋅ 15 = −36 − 36 = −36 2 x − y = 9 2 ⋅ 12 − 15 = 9 9 = 9 б) . 4 y = 5 x 4 ⋅ 15 = 5 ⋅ 12 60 = 60
а)
№ 1061 x – y = 2; x + y =8; а) (10;8); б) (6;2); в) (5;3); г) (100;100). 118
www.5balls.ru
№ 1062 x = y y = x . 3 x − y = 4 y = 3x − 4
−3x + y = 0 y = 3 x . 4 x − y = 3 y = 4 x − 3
а)
в)
Y
12
Y
5 4 3 2 1 -4
9 6 3
X
X
-2 -10 -2 -3 -4 -5
2
-6
4
-4
-2
0
4
6
-6
Ответ: (2;2).
Ответ: (3;9).
y = 5x ; 3x + y = 0
x − 4 y = 0 ; x + y = 5
г)
б)
x y = . 4 y = 5 − x
y = 5x . y = −3x
6
Y
4 3
4
2
2 -4 -3 -2 -1 0 -2
Y
5
6
1
X 1
2
3
4
-3 -2 -1 0 -1
X 1
2 3 4
5
6
-2
-4
-3
-6
Ответ: (0;0).
2
-3
Ответ: (4;1). 119
www.5balls.ru
№ 1063 x − y = 1 ; x + 3 y = 9
а)
y = x −1 x. y = 3 − 3
Y
6 5 4 3 2 1
X
0 -1 -2 -3 -4
-3
3
6
Ответ: (3;2). 3 x − 2 y = 12 в) x + 2 y = −4
3 y = 2 x − 6 . y = − x − 2 2
4
Y
2 -6
-4
-2
0
X 2
-2 -4 -6 -8
Ответ: (2;– 3). 120
www.5balls.ru
4
6
2 x + y = 1 ; 2 x + y = 3
в)
y = 1 − 2x . y = 3 − 2x 4
Y
3 2 1 -4
-3
-2 -1 0 -1
X 1
2
3
4
-2 -3 -4
Ответ: решений нет, т.к. прямые не пересекаются. x − 3y = 2 г) 2 x − 6 y = 4
x 2 y = 3 − 3 . y = x − 2 3 3
4
Y
3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1
X 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
Ответ: решений бесконечно много, т. к. прямые совпадают. 121
www.5balls.ru
№ 1064 x + y = −5 ; 3x − y = −7
x − 2 y = 1 ; y − x = 1
б)
а)
x 1 y = − 2 2. y = x +1
y = −5 − x . y = 3x + 7 Y
4
8
3
6
2
4
1
2 -6
-4
-2
Y
X
0 -2
-4
2
X
0 -2 -1
2
4
-2
-4
-3
-6
-4
Ответ: (– 3;– 2).
Ответ: (– 3;2).
№ 1065 x − 2 y = 7 ; 3 x + 2 y = 5
x + y = −2 ; 2 x − y = −4
б)
а)
x − 2 y = 7 . 3x + 2 y = 5
4
y = −2 − x . y = 2x + 4
Y
5
3
4
2
3
1 -2
0 -1 -2
2
X 2
4
6
1
8 -4
-2
0 -1
-3
-2
-4
-3
Ответ: (– 3;2).
Y
Ответ: (– 2;0).
122
www.5balls.ru
X 2
№ 1066 x 8 y = 3 − 3 . y = 2 x − 10 3 3
x − 3y = 8 а) 2 x − 3 y = 10 Y
X 1 2 3
4 5
6 7
X
-2 -10 -2 -3 -4 -5
-3
-6
Ответ: (2;– 2). № 1067 а) (0;6);
Y
5 4 3 2 1
3
-3 -2 -1 0
y = 3x − 4 2 10 . y = − 3 x + 3
3 x − y = 4 2 x + 3 y = 10
б)
2
4
6
Ответ: (2;2). б) (– 3;– 4);
в) (– 1;2);
г) (5;– 7).
5 x − 3 y = −18 2 x − 4 y = 10 3 x + 4 y = 5 2 x + y = 3 . 7 x + 2 y = 12 x + 5 y = −23 6 x − y = −8 10 x + 5 y = 15
№ 1068 5 x − 2 y = 6 а) 7 x + 2 y = 12
5 4 3 2 1 -4
-2 -10 -2 -3 -4 -5
5 y = 2 x − 3 . y = − 7 x + 3 2 Y
6 5 4 3 2 1
X 2
Ответ: (1;– Ошибка!).
4
7 1 y = 3 x + 3 . y = 4 x + 17 5 5
7 x − 3 y = −1 б) 4 x − 5 y = −17
6 -4
-2 -10 -2 -3 -4
Y
X 2
4
Ответ: (2;5). 123
www.5balls.ru
№ 1069 x + y = 8 ; x − y = 4
2 x + y = 1 ; 2 x − y = 7
а)
б)
y = 8 − x . y = x − 4
y = 1 − 2x . y = 2x − 7 Y
8
Y 4
2
X
X -4
0
4
-6
8
-4
0
-2
2
4
6
-2
-4
-4 -6 -8
Ответ: (6;2).
Ответ: (2,– 3). x − y = 15 ; 3x + y = 5
4 x + 3 y = 6 ; 2 x + y = 4
в)
г)
4 y = 2 − x 3 . y = 4 − 2x
y = x − 15 . y = −3x + 5 6
Y
4
10
2
Y
5
X
X -4
-2
0
2
4
6
-10
-5
0 -5
-2
-10 -4
-15 -20
Ответ: (3;– 2). 124
Ответ: (5;– 10).
www.5balls.ru
5
10
15
20
№ 1070 6 4 y = 5 x − 5 . y = 6 x − 1 5 2
6 x − 5 y = 4 а) 12 x − 10 y = 5
1
y = x −1 x − y = 1 2. − = 3 x 3 y 2 y = x − 3
б)
Y
Y
1.5 1 0.5
X 0
-1
1
-1.5
X
-0.5 0 -0.5
-1
0.5
1
1.5
-1 -1
-1.5
Ответ: решений нет, т.к. прямые паралельны.
8 x + 7 y = 2 в) 16 x + 14 y = 3
0.4
Ответ: решений нет, т.к. прямые паралельны.
8 2 y = − 7 x + 7 . y = − 8 + 3 7 16
2 x + 3 y = 12 г) 4 x + 6 y = 0
6
Y
2 y = − 3 x + 4 . y = − 2 x 3 Y
4 2 0.2
X -2
X 0
0.2
Ответ: решений нет, т.к. прямые паралельны.
0
2
4
6
-2
0.4
-4
Ответ: решений нет, т.к. прямые паралельны. 125
www.5balls.ru
№ 1071 x + y = 0 y = −x ; 5 x + 5 y = 0 y = −x
а)
уравнения равны следовательно система имеет бесконечно много решений; 1 y = x − 2 ; y = x − 1 2
8 x − 8 y = 4 б) 2 x − 2 y = 1
уравнения равны следовательно система имеет бесконечно много решений; 12 x + 12 y = 24 y = 2 − x ; x + y = 2 y = 2 − x
в)
уравнения равны следовательно система имеет бесконечно много решений; 3 x − y = 5 y = 3x − 5 ; 12 x − 4 y = 20 y = 3x − 5
г)
уравнения равны следовательно система имеет бесконечно много решений. № 1072 3 y = x − 4 ; 2 y = x − 4
а) 3x – 2y = 8
5 1 y = x + 4 4; y = x
б) – 5x + 4y = 1
3 2 y = − x − 7 7; y = 2x + 1
в) – 3x – 7y = 2
5 3 y = − x + 6 2. y = x + 6
г) 5x + 6y = 9 № 1073
16 x + 2 y = 10 3 x − 2 y = 1 7 x + 8 y = 4 x − y = 3 ; б) ; в) ; г) . 8 x + y = 5 6 x − 4 y = 2 14 x + 16 y = 8 5 x − 5 y = 15
а)
126
www.5balls.ru
№ 1074 7 x − 5 y = 3 6 x + 11y = 8 ; б) ; 7 x − 5 y = 1 12 x + 22 y = 8
а)
45 x − 31 y = 13 54 x − 23 y = 40 ; г) . 45 x − 31 y = 2 54 x − 23 y = 19
в)
№ 1075 ax + 8y = 20; а) (2;1) 2a + 8 · 1 = 20; 2a = 12; a = 6;
б) (– 3;– 2) – 3a + 8 · (– 2) = 20; – 3a = 36; a = – 12.
№ 1076 x + ay = 35 5 + 6a = 35 6a = 30 a = 5 ; bx + 2 y = 27 5b + 6 ⋅ 2 = 27 5b = 15 b = 3
а)
ax − 3 y = 7 10a − 3 ⋅ 5 = 7 10a = 22 a = 2 ,2 . 5 x + by = 26 5 ⋅ 10 − 3 b = 26 − 3 b = − 24 b = 8
б)
№ 1077 4 11 y = − 3 x + 3 . y = − 5 x + 6 2
ax + 3 y = 11 5a + 3 ⋅ (− 3) = 11 4 x + 3 y = 11 5 x + 2 y = 12 5a = 20; a = 4 5 x + 2 y = 12
6
Y
4 2
X -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
-2
Ответ: (2;1). 127
www.5balls.ru
§ 36. Метод подстановки № 1078 а) 2x + 4y = 4, y = 1 – Ошибка!; б) x + 6y = 9, y = Ошибка!– Ошибка!; в) 3a + b = 12, b = 12 – 3a; г) c + 8d = 15, c = 15 – 8d. № 1079 а) 6x + y = 18, y = 18 – 6x; б) 4a + 5b = 20, a = 5 – Ошибка!b; в) 18m – 12n = 3, m = Ошибка!n + Ошибка!; г) 45p – 9q = 4, q = 5p – Ошибка!. № 1080 а) 3s – 2t = 8, t = Ошибка!s – 4; б) 7z + 4q = 11, z = Ошибка!– Ошибка!q; в) 9r – 13s = 17, r = Ошибка!s + Ошибка!; г) 5u + 7v = 21, v = 3 – Ошибка!u. № 1081 y = 3x − 1 ; 2 x + 3 y = 8
y = 1 − 7x ; 4 x − y = 4
а)
б)
2x + 3 · (3x – 1) = 8; 2x + 9x – 3 = 8; 11x = 11; x = 1; y = 3 · 1 – 1 = 2. Ответ: (1;2).
4x – (1 – 7x) = 4; 4x – 1 + 7x = 4; 11x = 5; x = Ошибка!; y = 1 – 7 · Ошибка! = – 2Ошибка!. Ответ: (Ошибка!; – 2Ошибка!).
y = 3 − x ; x + 2 y = 3
y = x −1 ; 5 x + 2 y = 16
в)
г)
x + 2 · (3 – x) = 3; x + 6 – 2x = 3; –x = – 3; x = 3; y = 3 – 3 = 0. Ответ: (3;0).
5x + 2 · (x – 1) = 16; 5x + 2x – 2 = 16; 7x = 18; x = Ошибка!= 2Ошибка!; y = 2Ошибка!– 1 = 1Ошибка!. Ответ: (2Ошибка!; 1Ошибка!).
№ 1082 x = y + 2 ; 3 x − 2 y = 9
x = 2 y − 8 ; x − 3 y = −8
а)
б)
3 · (y + 2) – 2y = 9; 3y + 6 – 2y = 9; y = 3;
2y – 8 – 3y = – 8; – y = 0; y = 0;
128
www.5balls.ru
x = 3 + 2 = 5. Ответ: (5;3).
x = 2 · 0 – 8 = – 8. Ответ: (– 8;0).
x = 2 y − 3 ; 3 x + 2 y = 7
x = y + 8 ; x − 3y = 4
в)
г)
3 · (2y – 3) + 2y = 7; 6y – 9 + 2y = 7; y = 2; x = 2 · 2 – 3 = 1. Ответ: (1;2).
y + 8 – 3y = 4; – 2y = – 4; y = 2; x = 2 + 8 = 10. Ответ: (10;2).
№ 1083 x = 4 y ; x + 5 y = 99
y = 6x y = −4 x ; в) ; 4 x + y = 150 x − y = 10
а)
б)
4y + 5y = 99; 9y = 99; y = 11; x = 44. Ответ: (44;11).
4x + 6x = 150; 10x = 150; x = 15; y = 90. Ответ: (15;90).
x – (– 4x) = 10; 5x = 10; x = 2; y = – 8. Ответ: (2;– 8).
x = −5 y ; x − 4 y = −18
г)
– 5y – 4y = – 18; – 9y = – 18; y = 2; x = – 10. Ответ: (– 10;2).
№ 1084 x = 10 y ; 2 x + 3 y = 46
y = 1,5 x ; 2 y + 5 x = 64
а)
б)
2 · 10y + 3y = 46; 20y + 3y = 46; 23y = 46; y = 2; x = 20. Ответ: (20;2).
2 · 1,5x + 5x = 64; 3x + 5x = 64; 8x = 64; x = 8; y = 12. Ответ: (8;12).
y = −2,5 x ; 5 x + 4 y = 75
x = −0 ,5 y ; − 6 x − 2 y = 9
в)
г)
5x + 4 · (– 2,5x) = 75; 5x – 10x = 75 x = – 15; y = 37,5; Ответ: (– 15;37,5).
– 6 · (– 0,5y) – 2y = 9; 3y – 2y = 9; y = 9; x = – 4,5. Ответ: (– 4,5;9).
№ 1085 5 x − 3 y = 14 ; 2 x + y = 10
x − 2 y = 5 ; 2 x + y = 9
а)
б)
y = 10 – 2x; 5x – 3 · (10 – 2x) = 14; 5x – 30 + 6x = 14;
x = 5 + 2y; 2 · (5 + 2y) + y = 9; 10 + 4y + y = 9; 129
www.5balls.ru
11x = 44; x = 4; y = 10 – 2 · 4 = 2. Ответ: (4;2). x + 5 y = 35 ; 3 x + 2 y = 27
5y = – 1; y = – 0,2; x = 5 + 2 · (– 0,2) = 4,6. Ответ: (4,6;– 0,2). x + 3 y = 2 ; 2 x + 3 y = 7
в)
г)
x = 35 – 5y; 3 · (35 – 5y) + 2y = 27; 105 – 15y + 2y = 27; 13y = 78; y = 6; x = 35 – 5 · 6 = 5. Ответ: (5;6).
x = 2 – 3y; 2 · (2 – 3y) + 3y = 7; 4 – 6y + 3y = 7; 3y = – 3; y = – 1; x = 2 – 3 · (– 1) = 5. Ответ: (5;– 1).
№ 1086 2 x − y = 2 ; а) 3 x − 2 y = 3
y = 2x – 2; 3x – 2 · (2x – 2) = 3; 3x – 4x + 4 = 3; –x = – 1; x = 1; y = 2 · 1 – 2 = 0. Ответ: (1;0). 5 y − x = 6 ; 3 x − 4 y = 4
3 x + 4 y = 55 ; 7 x − y = 56
б)
y = 7x – 56; 3x + 4 · (7x – 56) = 55; 3x + 28x – 224 = 55; 31x = 279; x = 9; y = 7 – 9 – 56 = 7. Ответ: (9;7). 4 y − x = 11 ; 6 y − 2 x = 13
в)
г)
x = 5y – 6; 3 · (5y – 6) – 4y = 4; 15y – 18 – 4y = 4; 11y = 22; y = 2; x = 5 · 2 – 6 = 4. Ответ: (4;2).
x = 4y – 11; 6y – 2 · (4y – 11) = 13; 6y – 8y + 22 = 13; – 2y = – 9; y = – 4,5; x = 4 · 4,5 – 11 = 7. Ответ: (7;– 4,5).
№ 1087 4 x − 3 y = 12 ; 3 x + 4 y = −24
5 x + 2 y = 20 ; 2 x − 5 y = 10
а)
б)
x = 3 + 0,75y; 3 · (3 + 0,75y) + 4y = – 24; 9 + 2,25y + 4y = – 24;
x = 5 + 2,5y; 5 · (5 + 2,5y) + 2y = 20; 25 + 12,5y + 2y = 20;
130
www.5balls.ru
6,25y = – 33; y = – 5,28; x = 3 + 0,75 · (– 5,28) = – 0,96. Ответ: (– 0,96;– 5,28). 2 x − 3 y = 12 ; 3 x + 2 y = 6
в)
14,5y = – 5; y = – Ошибка!; x = 5 + 2,5 · Ошибка!= 4Ошибка!. Ответ: Ошибка!. 5 x − 3 y = 5 ; 2 x + 7 y = 4
г)
x = 6 + 1,5y; x = 1 + 0,6y; 3 · (6 + 1,5y) + 2y = 6; 2 · (1 + 0,6y) + 7y = 4; 18 + 4,5y + 2y = 6; 2 + 1,2y + 7y = 4; 6,5y = – 12; 8,2y = 2; y = – 1Ошибка!; y = Ошибка!; x = 6 + 1,5 · Ошибка! = 3Ошибка!. x = 1 + Ошибка!· Ошибка!= 1Ошибка!. Ответ: Ошибка!. Ответ: Ошибка!. № 1088 4 x − 5 y = 1 ; 2 x − 3 y = 2
4 x − 3 y = 7 ; 5 x + 2 y = 26
а)
в)
x = 1 + 1,5y; 4 · (1 + 1,5y) – 5y = 1; 4 + 6y – 5y = 1; y = – 3; x = 1 + 1,5 · (– 3) = – 3,5. Ответ: (– 3,5;– 3).
y = 13 – 2,5x; 4x – 3 · (13 – 2,5x) = 7; 4x – 39 + 7,5x = 7; x = 4; y = 13 – 2,5 · 4 = 3. Ответ: (4;3).
3 x + 4 y = 0 2 x + 3 y = 1
3 x − 5 y = 0 8 y − 3x = −13
б)
г)
y = – 0,75x; 2x + 3 · (– 0,75x) = 1; 2x – 2,25x = 1; 0,25x = – 1; x = – 4; y = – 0,75 · (– 4) = 3. Ошибка!. Ответ: (– 4;3).
y = 0,6x; 8 · 0,6x – 3x = – 13; 4,8x – 3x = – 13; 1,8x = – 13; x = – 7Ошибка!; y = – Ошибка!· Ошибка!= – 4 Ответ: Ошибка!.
131
www.5balls.ru
№ 1089 4 x − 7 y = 33 ; 2 x + 5 y = 25
5 y − 6 x = 2 ; 8 x − 3 y = 1
а)
в)
y = 5 – 0,4x; 4x – 7 · (5 – 0,4x) = 33; 4x – 35 + 2,8x = 33; 6,8x = 68; x = 10; y = 5 – 0,4 · 10 = 1. Ошибка!. Ответ: (10;1).
x = – Ошибка!+ Ошибка!y; 8 · Ошибка!– 3y = 1; Ошибка!y – Ошибка!– 3y = 1; Ошибка!y = Ошибка!; y = 1; x = – Ошибка!+ Ошибка!=
5 x − 2 y = 48 ; 2 x + 3 y = 23
Ответ: (0,5;1). 4 x − 3 y = −1 ; 10 x − 4 y = 1
б)
г)
y = 2,5x – 24; 2x + 3 · (2,5x – 24) = 23; 2x + 7,5x – 72 = 23; 9,5x = 95; x = 10; y = 2,5 · 10 – 24 = 1. Ответ: (10;1).
x = 0,75y – 0,25; 10 · (0,75y – 0,25) – 4y = 1; 7,5y – 2,5 – 4y = 1; 3,5y = 3,5; y = 1; x = 0,75 · 1 – 0,25 = 0,5. Ответ: (0,5;1).
№ 1090 6 x + 5 y = 1 ; 2 x − 3 y = 33
5 x + 6 y = 4 ; 3 x + 5 y = 1
а)
б)
y = Ошибка!x – 11; 6x + 5 · Ошибка!= 1; 6x + Ошибка!x – 55 = 1; Ошибка!x = 56; x = 6; y = Ошибка!· 6 – 11 = – 7. Ответ: (6;– 7).
y = Ошибка!– Ошибка!x; 3x + 5 · Ошибка!= 1; 3x + Ошибка!– Ошибка!x = 1; – Ошибка!x = – Ошибка!; x = 2; y = Ошибка!– Ошибка!· 2 = – 1. Ответ: (2;– 1).
4 x − 5 y = −2 ; 3 x + 3 y = −13
3 x − 7 y = 1 ; 2 x + 3 y = 16
в)
г)
y = 0,8x + 0,4; 3x + 2 · (0,8x + 0,4) = – 13; 3x + 1,6x + 0,8 = – 13; 4,6x = – 13,8;
x = – 1,5y + 8; 3 · (8 – 1,5y) – 7y = 1; 24 – 4,5y – 7y = 1; – 11,5 = – 23;
132
www.5balls.ru
x = – 3; y = 0,8 · (– 3) + 0,4 = – 2. Ответ: (– 3;– 2). № 1091
4(x − y ) = −2 ; а) 3 x + 2 y = 5 − 2(x + y ) 4(x − y ) = −2 3 x + 2 y = 5 − 2 x − 2 y 4(x − y ) = −2 5 x = 4 y = 5
y = 2; x = – 1,5 · 2 + 8 = 5. Ответ: (5;2). 2(x + y ) = 8 14 − 3(x − y ) = 5 y − x
б)
x + y = 4 14 − 3 x + 3 y = 5 y − x x = 4 − y 2 y + 2 x = 14
x = 1 – 0,8y; x = 4 – y; 2(1 – 0,8y – y) = – 1; y + 4 – y = 7; –1,8y = – 1,5; 4 ≠7. y = Ошибка!; x = 1 – 0,8 · Ошибка!= Ошибка!. 1 5 3 6
Ответ: ( ; ) . 3(x + y ) = 6 ; 6 − 5(x − y ) = 8 x − 2 y
Ответ: система решений не имеет. 5(x − y ) = 10 ; 3 x − 7 y = 20 − (x + y )
в)
г)
x + y = 6 6 − 5 x + 5 y = 8 x − 2 y x = 6 − y 13 x − 7 y = 6
x − y = 2 3 x − 7 y = 20 − x − y x = y + 2 4 x − 6 y = 20
13 · (2 – y) – 7y = 6; 26 – 13y – 7y = 6; 20y = – 20; y = – 1; x = 2 – (– 1) = 3. Ответ: (3;– 1).
2(y + 2) – 3y = 10; 2y + 4 – 3y = 10; – y = 6; y = – 6; x = – 6 + 2 = 4. Ответ: (4;– 6).
№ 1092
2 − 3x = 2(1 − y ) ; а) 4(x + y ) = x − 1,5 2 − 3 x = 2 − 2 y 4 x + 4 y − x = −1,5 y = 1,5 x 3x + 4 y = −1,5
3x + 4 · 1,5x = – 1,5; 3x + 6x = – 1,5; 9x = – 1,5; 133
www.5balls.ru
x = – Ошибка!; y = – 1,5 · Ошибка!= – Ошибка!. Ответ: Ошибка!. 6 x + 3 = 8 x − 3(2 y − 4) ; 2(2 x − 3 y ) − 4 x = 2 y − 8
б)
6 x + 3 = 8 x − 6 y + 12 4 x − 6 y − 4 x = 2 y − 8 6 y − 2 x = 9 8 y = 8
y = 1; 6 · 1 – 2x = 9; 2x = – 3; x = – 1,5. Ответ: (– 1,5;1).
2 x − 3(2 y + 1) = 15 ; 3(x + y ) + 3 y = 2 y − 2
4 y + 20 = 2(3x − 4 y ) − 4 ; 16 − (5 x + 2 y ) = 3 x − 2 y
в)
г)
2 x − 6 y − 3 = 15 3 x + 3 y + 3 y − 2 y = −2 2 x − 6 y = 18 3 x + 4 y = −2
4 y + 20 = 6 x − 8 y − 4 16 − 5 x − 2 y = 3 x − 2 y 12 y − 6 x = −24 8 x = 16
x = 3y + 9; 3(3y + 9) + 4y = – 2; 9y + 27 + 4y = – 2; 13y = – 29; y = – 2Ошибка!; x = – 3 · Ошибка!+ 9 = 2Ошибка!. Ответ: Ошибка!. № 1093
x = 2; 12y – 6 · 2 = – 24; 12y = – 12; y = – 1.
Ответ: (2; – 1).
x y + =3 а) 2x 3y 8 + = 3 2 3
б) 3 + 2 = 5
3 x + 2 y = 18 2 x + 3 y = 16
2 x + 3 y = 30 5 x − 11y = 1
x= 6 – Ошибка!y; 2 · Ошибка!+ 3y = 16; 12 – Ошибка!y + 3y = 16; Ошибка!y = 4; 134
x = 15 – 1,5y; 5(15 – 1,5y) – 11y = 1; 75 – 7,5y – 11y = 1; –18,5y = – 74;
x
y
5 x − 11y = 1
www.5balls.ru
y = 2,4; y = 4; x = 6 – Ошибка!· Ошибка!=4,4. x = 15 – 1,5 · 4 = 9. Ответ: (4,4; 2,4). Ответ: (9, 4). x y − = −4 в) 3 2 ; x + y = −2 2 4
г) x
2 x − 3 y = −24 ; 2 x + y = −8
4 x + 7 y = 1 ; 6 x + 5 y = −15
y = – 8 – 2x;
y = – 3 – Ошибка!x;
2x – 3(– 8 – 2x) = – 24;
4x + 7 − 3 − x = 1;
2x + 24 + 6x = – 24; 8x = – 48; x = – 6; y = – 8 – 2 · (– 6) = 4. Ответ: (– 6; 4).
4x – 21 – 8,4x = 1; – 4,4x = 22; x = – 5; y = – 3 – 1,2 · (– 5) = 3. Ответ: (– 5; 3).
4 x + 7 y = 1 y 1 ; 5 + 6 = − 2
6 5
№ 1094 6 y − 5 x = 1 а) x − 1 y + 1 3 + 2 = 10
б)
x + 2 y 3x − y + =5 5 3 2 x − 3 y = −1
6 y − 5 x = 1 ; 2 x − 2 + 3 y + 3 = 60
3 x + 6 y + 15 x − 5 y = 75 ; 2 x − 3 y = −1
6 y − 5 x = 1 ; 2 x + 3 y = 59
18 x + y = 75 ; 2 x − 3 y = −1
y = Ошибка!+ Ошибка!x; y = 75 – 18x; 2x + 3Ошибка!= 59; 2x – 3(75 – 18x) = – 1; 2x + 0,5 + 2,5x = 59; 2x – 225 + 54x = – 1; 4,5x = 58,5; 56x = 224; x = 13; x = 4; y =Ошибка!+ Ошибка!· 13 = 11.y = 75 – 18 · 4 = 3. Ответ: (13; 11). Ответ: (4; 3).
135
www.5balls.ru
3x + 2 y x − 3 y + =3 ; 5 6 2 x + 7 y + 43 = 0
7 x − 10 y = 5 3 − 4
в)
г) 4 x + 1 5 x − 3 y
18 x + 12 y + 5 x − 15 y = 90 2 x + 7 y + 43 = 0 23 x − 3 y = 90 2 x + 7 y + 43 = 0
7 x − 10 y = 5 16 x + 4 − 15 x + 9 y = 36 7 x − 10 y = 5 x + 9 y = 32
y = Ошибка!x – 30;
x = 32 – 9y;
23 2x + 7 x − 30 + 43 = 0; 3
7(32 – 9y) – 10y = 5;
2x + Ошибка!x – 210 + 43 = 0; Ошибка!x = 167; x = 3; y = Ошибка!· 3 – 30 = – 7. Ответ: (3; – 7).
224 – 63y – 10y = 5; – 73y = – 219; y = 3; x = 32 – 9 · 3 = 5. Ответ: (5; 3).
=3
;
№ 1095 5x + 9 y 2x + 3 y = 3 2 а) x − 3 y 2 x − 3 y = 2 3
2x − y 2x + y + =3 6 9 б) x + y x − y − =4 3 4
10 x + 18 y = 6 x + 9 y 3 x − 9 y = 4 x − 6 y 4 x + 9 y = 0 x + 3 y = 0
6 x − 3 y + 4 x + 2 y = 54 4 x + 4 y − 3x + 3 y = 48 10 x − y = 54 x + 7 y = 48
x = – 3y; 4 · (– 3y) + 9y = 0; –3y = 0; y = 0; x = 0. Ответ: (0; 0).
x = 48 – 7y; 10 · (48 – 7y) – y = 54; 480 – 70y – y = 54; – 71y = – 426; y = 6; x = 48 – 7 · 6 = 6. Ответ: (6; 6).
x+ y x− y + =5 6 в) 8 x + y + x − y = 10 4 3
x + 3 − 5 y 3x − 4 y + 3 = 2 3 г) 6 3 x y 12 x y + − − = 3 4
136
www.5balls.ru
3 x + 9 − 15 y = 6 x − 8 y + 6 24 + 12 x − 4 y = 36 x − 3 y 3 x + 7 y = 3 24 x + y = 24
3 x + 3 y + 4 x − 4 y = 120 3 x + 3 y + 4 x − 4 y = 120 7 x − y = 120 7 x − y = 120
уравнения равны.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.
y = 24 – 24x; 3x + 7(24 – 24x) = 3; 3x + 168 – 168x = 3; –165x = – 165x; x = 1; y = 0. Ответ: (1; 0).
§ 37. Метод алгебраического сложения № 1096 а) x + y = 5
б) x + y = 9
2x = 12; x = 6; 6 + y = 5; y = – 1. Ответ: (6; – 1). в) 2 x + y = 11
2x = 12; x = 6; 6 + y = 9; y = 3. Ответ: (6; 3). г) 3 x − y = 4
5x = 20; x = 4; 2 · 4 + y = 11; y = 3. Ответ: (4; 3).
6x = 12; x = 2; 3 · 2 – y = 4; y = 2. Ответ: (2; 2).
№ 1097 а) 2 x + 11y = 15
в) x − 6 y = 17
12x = 24; x = 2; 2 · 2 + 11y = 15; 11y = 11; y = 1. Ответ: (2; 1).
6x = 30; x = 5; 5 – 6y = 17; – 6y = 12; y = – 2. Ответ: (5; – 2).
x − y = 7
3 x − y = 8
10 x − 11y = 9
9 x + 13 y = 9 ; 29 x − 13 y = 3
x − y = 3
3 x + y = 8
5 x + 6 y = 13
6 x − y = 19 42 x − 7 y = 133 ; 5 x + 7 y = 25 5 x + 7 y = 25
б)
г)
38x = 12; x =Ошибка!; 9 · Ошибка!+ 13y = 9;
47x = 158; x = 3Ошибка!; 6 · Ошибка!– y = 19;
137
www.5balls.ru
13y = Ошибка!; y = Ошибка!. . Ответ: Ошибка!.
y = 6 · Ошибка!– 19; y = 1Ошибка! Ответ: Ошибка!.
№ 1098 а) 4 x − 7 y = 30 4 x − 5 y = 90
в) −5 x + 7 y = 6
2y = 60; y = 30; 4x – 5 · 30 = 90; 4x = 240; x = 60. Ответ: (60; 30).
7x = 70; x = 10; 2 · 10 + 7y = 76; 7y = 56; y = 8. Ответ: (10; 8).
2 x + 7 y = 76
7 x − 6 y = 32 7 x + 5 y = 230
−2 x + 4 y = −11 4 x + 4 y = 1
б)
г)
11y = 198; y = 18 7x – 6 · 18 = 32 7x = 140; x = 20 Ответ: (20; 18).
6x = 12; x = 2; – 2 · 2 + 4y = – 11; 4y = – 7; y = – 1Ошибка!. Ответ: Ошибка!.
№ 1099 а) x − 3 y = 5
3 x − 9 y = 15 3 x + 2 y = 4 3 x + 2 y = 4
11y = – 11; y = – 1; 3x + 9 = 15; 3x = 6; x = 2. Ответ: (2; – 1).
3 x − 5 y = 14 3 x − 5 y = 14 ; x + 2 y = 1 3 x + 6 y = 3
б)
11y = – 11; y = – 1; 3x + 5 = 14; 3x = 9; x = 3. Ответ: (3; – 1). в) 3x + y = 1
9 x + 3 y = 3 2 x − 3 y = − 14 2 x − 3 y = −14
11x = – 11; x = – 1; – 2 – 3y = – 14; 3y = 12; y = 4. Ответ: (– 1; 4).
5 x + y = 24 15 x + 3 y = 72 ; 7 x + 3 y = 24 7 x + 3 y = 24
г)
8x = 48; x = 6; 42 + 3y = 24; 3y = 18; y = 6. Ответ: (6; 6). 138
www.5balls.ru
№ 1100 а) 40 x + 3 y = −10 40 x + 3 y = −10 20 x − 7 y = −4 40 x − 14 y = −8
17y = – 2; y = – Ошибка!; 20x + Ошибка!= – 4; x = – Ошибка!. Ответ: Ошибка!. 5 x + 2 y = 1 15 x + 6 y = 3 ; 15 x + 3 y = 3 15 x + 3 y = 3
б)
3y = 0; y = 0; 5x = 1; x = 0,2. Ответ: (0,2; 0).
в) 3x + 8 y = 13 15 x + 40 y = 65 5 x − 18 y = 5 15 x − 54 y = 15
94y = 50; y = Ошибка!; 5x – 18 · Ошибка!= 5; x = 3Ошибка!. Ответ: Ошибка!. 6 x + 5 y = 1 6 x + 5 y = 1 6 x − 9 y = 33 6 x − 9 y = 99
г)
14y = − 98; y = − 7; 2x − 3 · (− 7) = 33; 2x = 12; x = 6. Ответ: (6; –7). № 1101 а) 4 x − 5 y = −2 8 x − 10 y = −4 3 x + 2 y = −13 15 x + 10 y = −65 23x = − 69; x = − 3; −12 − 15y = − 2; 5y = − 10; y = −2. Ответ: (− 3; − 2). 9 x + 8 y = −50 45 x + 40 y = −250 ; 5 x = 36 y = −12 45 x + 324 y = −108
б)
284y = 142; y = 0,5; 9x + 8 · 0,5 = − 50; x = − 6. Ответ: (− 6; 0,5).
139
www.5balls.ru
в) 3x − 7 y = −32 2 x − 3 y = −3 6 x − 14 y = −64 6 x − 9 y = −9
5y = 55; y = 11; 2x − 3 · 11 = − 3; 2x = 30; x = 15. Ответ: (15; 11). 3 y − 4 x = −6 5 x − 9 y = −10
г)
9 y − 12 x = −18 ; 5 x − 9 y = −10
− 7x = − 28; x = 4; 3y = 10; 1 3
y= 3 . 1 3
Ответ: (4; 3 ). № 1102 а) 4 x + 5 y = 1 20 x + 25 y = 5
5 x + 7 y = 5 20 x + 28 y = 20
3y = 15; y = 5; 4x + 5 · 5 = 1; 4x = − 24; x = − 6. Ответ: (− 6; 5). 3x − 5 y = 25 ; 4 x + 3 y = 43
б)
9 x − 15 y = 75 ; 20 x + 15 y = 215
29x = 290; x = 10; 3 · 10 − 5y = 25; 140
www.5balls.ru
5y = 5; y = 1. Ответ: (10; 1). в) 7 x − 5 y = 5
5 x + 3 y = 43 21x − 15 y = 15 25 x + 15 y = 215
46x = 230; x = 5; 7 · 5 − 5y = 5; 5y = 30; y = 6. Ответ: (5; 6).
4 x − 3 y = 12 16 x − 12 y = 48 3 x + 4 y = − 66 9 x + 12 y = −198
г)
25x = − 150; x = − 6; 4 · ( − 6) − 3y = 12; 3y = − 36; y = − 12. Ответ: (− 6; − 12). № 1103
а) −3x + 7 y = 46 −12 x + 28 y = 184 4 x − 3 y = 12 12 x − 9 y = 36 19y = 220; y = 11
11 ; 19
4x − 3 · 11 x= 9
11 = 12; 19
7 . 38
7 11 ; 11 ). 38 19 −3x + 4 y = 24 б) 5 x + 3 y = −15
Ответ: ( 9
141
www.5balls.ru
−15 x + 20 y = 120 ; 15 x + 9 y = −45
29y = 75; y=
75 ; 29
300 = 24; 29 396 3x = − ; 29 132 x=− . 29 132 75 Ответ: (− ; ). 29 29 5 x + 2 y = 20 25 x + 10 y = 100 2 x − 5 y = 10 4 x − 10 y = 20
−3x + 4 ·
в)
29x = 120; x = 4
4 29
4 + 2y = 20 29 10 y=− 29 4 10 Ответ: x = 4 ; y = − . 29 29 5 x − 3 y = 15 г) 2 x + 7 y = 47 10 x − 6 y = 30 10 x + 35 y = 235
5· 4
41y = 205; y = 5; 5x − 3 · 5 = 15; 5x = 30; x = 6. Ответ: (6; 5).
142
www.5balls.ru
№ 1104 1 1 x − y = 1 6 x − 4 y = 12 2 3 а) 6 x − 5 y = 3 6 x − 5 y = 3
y = 9; 6x − 5 · 9 = 3; 6x = 48; x = 8.
1 1 x− y = 4 4 3 в) 4 x − 3 y = 7 5
9 x − 3 y = 36 4 4 x − 3y = 7 5
Ошибка!x − Ошибка!x = 29; Ошибка!x =20; x = 20; Ошибка!· 20 − Ошибка!y = 4; Ошибка!y = 1; y = 3. Ответ: (20; 3).
Ответ: (8; 9).
1 1 1 1 x + y = 5,1 x + y = −1 4 x + 5 y = −20 5 г) 3 б) 5 4 2 x − 3 y = −54 4 x + 6 y = −108 3 x − 2y = 8 5
11y = 88; y = 8; 2x − 3 · 8 = − 54; 2x = − 30; x = − 15. Ответ: (− 15; 8).
10 x + 2 y = 51 3 3 x − 2y = 8 5
Ошибка!x + Ошибка!x = 59; x = 15; Ошибка!· 15 + Ошибка!y = 5,1; Ошибка!y = 0,1; y = 0,5. Ответ: (15; 0,5).
№ 1105 1 y +1 3 x − 4 = 2 2( y + 1 ) = 3x − 4 а) 5 x + y = 1 5 x + y = 3 x + 11 3 x + 11 2 y − 3x = −6 2 y − 3 x = −6 2 + = 11 x y 4 x + 2 y = 22
7x = 28; x = 4; 2y − 3 · 4 = − 6; 2y = 6; y = 3. Ответ: (4; 3).
143
www.5balls.ru
3x + 10 1 y + 1 = 12 36 x + 120 = y + 1 б) 25 x + 5 y = 36 x + 8 y 5x + y = 4 9 x + 2 y 5 36 x − y = −119 108 x − 3 y = −357 11x + 3 y = 0 11x + 3 y = 0
119x = − 357; x = − 3; 11 · (−3) + 3y =0; 3y = 33; y = 11. Ответ: (− 3; 11). № 1106 а) A(2;3), B(− 1;4); y = ax + b; 3 = 2a + b 3 = 2a + b ; 4 = − a + b 8 = −2a + 2b
3b = 11; b = Ошибка!; 2a + Ошибка!= 3; a = − Ошибка!; 1 11 y = − x+ ; 3 3
б) C(− 6;7), D(4;3); y = ax + b; 7 = −6a + b ; 3 = 4a + b
10a = − 4; a = − Ошибка!; 2 5
4 · − + b = 3; b = 4Ошибка!; y = − 0,4x + 4,6; в) M(− 3;− 1), N(2;5); y = ax + b;
г) P(6;2), Q(− 1;−3); y = ax + b;
−1 = −3a + b ; 5 = 2a + b
2 = 6a + b ; − 1 = −3a + b
5a = 6; a = 1Ошибка!; Ошибка!+ b = 5;
9a = 3; a = Ошибка!; − 3 · Ошибка!+ b = − 1;
144
www.5balls.ru
b = 2Ошибка!; y = 1,2x + 2,6;
b = 0; y = Ошибка!x.
№ 1107 а) A(5;0); B(0;2); y = ax + b;
б) C(− 6;0) ; D(0;4) ; y = ax + b;
0 = 5a + b ; 2 = b
0 = −6a + b ; 4 = b
b = 2; 5a = − 2; a = − 0,4; y = − 0,4x + 2; в) E(7;0), F(0;− 1) ; y = ax + b;
b = − 1; 6a = 4; a = Ошибка!; y = Ошибка!x + 4; г) L(− 2;0), K(0;− 4) ; y = ax + b;
0 = 7 a + b ; − 1 = b
0 = −2a + b ; − 4 = b
b = − 1; 7a = 1; a = Ошибка!; y = Ошибка!x − 1;
b = − 4; 2a = − 4; a = − 2; y = − 2x − 4.
№ 1108 а) A(0;5), B(− 3;0) ; y = ax + b;
б) A(0;4), B(2;0) ; y = ax + b;
b = 5 ; − 3a + b = 0
b = 4 ; 2a + b = 0
3a = 5; a = Ошибка!; y = Ошибка!x + 5; в) A(0;3), B(4;0) ; y = ax + b;
2a = − 4; a = − 2; y = − 2x + 4; г)A(0;− 3), B(1;0) ; y = ax + b;
b = 3 ; 4a + b = 0
b = −3 ; a + b = 0
4a = − 3; a = − Ошибка!; y = − Ошибка!x + 3;
a = 3; y = 3x − 3.
№ 1109 а) A1(0;4), B1( −1;0) ; y = ax + b;
A2(0;− 4), B1( −1;0) ; y = ax + b; 145
www.5balls.ru
b = 4 ; − a + b = 0
a = 4; y = 4x + 4;
y = 4x + 4 . y = −4 x − 4
b = −4 ; − a + b = 0
a = − 4; y = − 4x − 4.
Ответ:
б) A1(0;7), B1( 2;3); y = ax + b;
A2(0;2), B1( 2;3) ; y = ax + b;
b = 7 ; 2a + b = 3
b = 2 ; 2a + b = 3
2a = − 4; a = − 2; y = − 2x + 7; y = −2 x + 7 . y = 0 ,5 x + 2
2a = 1; a = 0,5; y = 0,5x + 2.
Ответ:
в) A1(0;1), B1(− 2;4) ; y = ax + b;
A2(0;4), B1(− 2;4) ; y = ax + b;
b = 1 ; − 2 a + b = 4
b = 4 ; − 2 a + b = 4
−2a = 3; a = − 1,5; y = − 1,5x + 1;
− 2a = 0; a = 0; y = 4.
y = −1,5 x + 1 . y = 4
Ответ:
г) A1(0;3), B1(− 3;− 2) ; y = ax + b; b = 3 ; − 3a + b = −2
−3a = − 5; a = Ошибка!; y = Ошибка!x + 3; A2(0;− 1), B2( 3;0) ; y = ax + b; b = −1 ; 3a + b = 0
3a = 1; a = Ошибка!; y = Ошибка!x − 1.
146
www.5balls.ru
5 y = 3 x + 3 Ответ: y = 1 x −1 3
§ 38. Системы двух линейных уравнений с двумя перемеными как математические модели реальных ситуаций № 1110
v км/ч – скорость лодки; u км/ч – скорость течения; (v – u) км/ч – скорость лодки против течения; (v + u) км/ч – скорость лодки по течения; (v − u )⋅ 4 = 80 v + u = 20 ; 2v = 36; v = 18 км/ч. (v + u )⋅ 5 = 80 v − u = 16 Ответ: 18 км/ч. № 1111
v км/ч – скорость лоезда на первом перегоне; u км/ч – скорость лоезда на втором перегоне; 2v + 3u = 330 2v + 3u = 330 ; 5u = 350; u − v = 10 2u − 2v = 20
u = 70 км/ч – скорость лоезда на втором перегоне; 70 – 10 = 60 км/ч – скорость лоезда на первом перегоне. Ответ: 60 км/ч; 70км/ч. № 1112
v км/ч – скорость первого пешехода; u км/ч – скорость второго пешехода; 4(v + u ) = 38 − 2 u + v = 9 7v − 7u = 7
; 2v = 10; v − u = 1
v = 5 км/ч – скорость первого пешехода; u = 4 км/ч – скорость второго пешехода. Ответ: 5 км/ч; 4 км/ч. № 1113
v км/ч – скорость первого пешехода; u км/ч – скорость второго пешехода; 147
www.5balls.ru
1 5u + 5v = 45 3 (v + u ) = 30 u + v = 9 ; 4v = 15; 3 5 9 60 u + v = 5u + 9v = 60 4,5v + 2 ,5u = 30
v = 3,75 км/ч – скорость первого пешехода; u = 9 – 3,75 = 5,25 км/ч – скорость второго пешехода. Ответ: 3,75 км/ч; 5,25 км/ч. № 1114
v км/ч – скорость течения реки; t ч – время прохождения; (15 + v )t = 34 15t + vt = 34 ; (15 − v )t = 26 15t − vt = 26
30t = 60; t = 2 ч – время прохождения; (15 + v) = 34; 2v = 4; v = 2 км/ч – скорость течения реки. Ответ: 2 км/ч. № 1115
v км/ч – скорость автобуса; u км/ч – скорость автомобиля; 120 180 = u v u − v = 20
2u = 3v 2u − 3v = 0 ; 20 u − v = 2u − 2v = 40
v = 40 км/ч – скорость автобуса. Ответ: 40 км/ч. № 1116 x – одно число; y – другое число; x + y = 77 x + y = 77 10 x + 10 y = 770 ; 22y = 770; 4 2 3 x = 5 y 10 x − 12 y = 0 10 x − 12 y = 0
y = 35; x = 77 – 35 = 42. Ответ: 35; 42. № 1117 x – одно число; y – другое число; 148
www.5balls.ru
3(x − y ) = x + y + 6 2 x − 4 y = 6 2 x − 4 y = 6 ; – 2y = 12; 2(x − y ) = x + y + 9 x − 3 y = 9 2 x − 6 y = 18
y = – 6; x = 9 + 3 · ( – 3) = – 9. Ответ: – 9; – 6. № 1118
a – искомая дробь; b 2a b − 2 = 2 2a = 2b − 4 b − a = 2 ; a − 4 = 1 12a − 48 = 4b 3a − b = 12 4b 12
2a = 14; a = 7; b = a + 2; b = 9. Ответ:
7 . 9
№ 1119 a – искомая дробь; b a +1 1 b + 1 = 2 2a + 2 = b + 1 b − 2a = 1 ; a = 3; a − 1 = 1 3a − 3 = b − 1 3a − b = 2 b − 1 3
b = 2a + 1; b = 2 · 3 + 1 = 7. Ответ:
3 . 7
№ 1120 x – одно число; y – другое число; x − y = 140 6 x − 6 y = 840 ; y = 200; 0 ,6 x − 0,7 y = 64 6 x − 7 y = 640
x = y + 140; x = 200 + 140 = 340. Ответ: 340; 200.
149
www.5balls.ru
№ 1121 0 ,3a − 0 ,25b = 20 6a − 5b = 400 ; 4b = 640; b = 40; 0 ,3b − 0,2a = 8 9b − 6a = 240
6a = 5 · 160 + 400; 6a = 1200; a = 200. Ответ: 200; 160.
№ 1122 x – одно число; y – другое число; x + y = 32 ,5 x + y = 65 25 x + 25 y = 1625 ; 2 0 ,3 x − 0 ,25 y = 0 ,25 30 x − 25 y = 25 30 x − 25 y = 25
55x = 1650; x = 30; y = 65 – x; y = 35. Ответ: 30; 35. № 1123 x – одно число; y – другое число; x − y = 14 ,9 x − y = 29 ,8 ; 0,76x = 30,4; x = 40; 2 0 ,24 x − y = −0,6 0,24 x − y = −0 ,6
y = x – 29,8; y = 10,2. Ответ: 40; 10,2. № 1124
v км/ч – скорость автомобиля; u км/ч – скорость теплохода; 3v − 5u = 60 3v − 5u = 60 ; v =60 км/ч – скорость автомобиля; u = 0 ,4v 5u − 2v = 0
u =0,4v = 24 км/ч – скорость теплохода. Ответ: 24 км/ч; 60 км/ч. № 1125
v км/ч – скорость теплохода; u км/ч – скорость туристов; 2v км – проплыли по реке; 5u км – прошли пешком; 2v = 3 ⋅ 5u 2v − 15u = 0 2v − 15u = 0 ; 13u = 52; u = 4 км/ч; v − u = 26 v − u = 26 2v − 2u = 52
150
www.5balls.ru
v = 26 + u; v = 30 км/ч; S км – весь путь; S = 2v + 5u = 2 · 30 + 5 · 4 = 80 км; T – время которое потребовалось бы на весь путь пешком; T=
S 80 = = 20 ч. u 4
Ответ: 30 км/ч; 4 км/ч; 20 ч. № 1126
v км/ч – скорость лодки; u км/ч – скорость течения; (v – u) км/ч – скорость лодки против течения; (v + u) км/ч – скорость лодки по течения; 1 3 (v + u ) = 30 v + u = 9 ; 3 v − u = 7 4(v − u ) = 28
2v = 16; v = 8 км/ч – скорость лодки; S км – расстояние которое пройдет лодка по озеру за 1,5 часа; S = 1,5 · v = 1,5 · 8 = 12 км. Ответ: 12 км. № 1127
v км/ч – скорость велосипедиста по шоссе; u км/ч – скорость велосипедиста по грунтовой дороге; 0,5u км – проехал велосипедист по грунтовой дороге; 2 v км – проехал велосипедист по шоссе; 3 2 0 ,5u + v = 12 1,5u + 2v = 36 ; 3 1,5v − 1,5u = 6 v − u = 4
3,5v = 42; v = 12 км/ч. Ответ: 12 км/ч. № 1128 v см/c – скорость первой точки; u см/c – скорость второй точки; 4(v + u) = 100 – при движении в противоположном направлении; 20(v – u) = 100 – при движении в одном направлении; 151
www.5balls.ru
4(v + u ) = 100 v + u = 25 ; 20(v − u ) = 100 v − u = 5
2v = 30; v = 15 см/с; u = 25 – v = 25 – 15 = 10 см/с. Ответ: 15 см/с; 10 см/с. № 1129 x – га вспахивает за день первый тракторист; y – га вспахивает за день второй тракторист; 8x + 11y = 678 – га вспахали вместе; 3x + 22 = 4y – из условия; 8 x + 11y = 678 3 x + 22 = 4 y 3 11 3 11 x+ y = ⋅ 38 + 4 2 4 2 11 3 57 11 8 x + 11 x + = 678 y = + 2 4 2 2 33 121 y 34 = = 678 x+ 8x + 4 2 65 x 1235 = 4 2 x = 38 y=
Ответ: 38 га; 34 га.
№ 1130 x – центнеров картофеля собирала первая бригада за 1 час; y – центнеров картофеля собирала вторая бригада за 1 час; 2x + 3y = 23 – за первый день двумя бригадами; 2 x + 3 y = 23 4 x + 6 y = 46 ; 13x = 52; x = 4; 3 x − 2 y = 2 9 x − 6 y = 6
3x – 2y = 2 – из условия; 3 x −1 2 3 y = ⋅ 4 −1 = 5 2 y=
Ответ: 4 центнера; 5 центеров. № 1131 x – тонн зерна перевозит первая машина за 1 рейс; y – тонн зерна перевозит вторая машина за 1 рейс; 152
www.5balls.ru
4x + 3y = 27 − в первый день; 4y − 3x = 11 − из условия; 4 x + 3 y = 27 12 x + 9 y = 81 ; 25y = 125; y = 5 т; 4 y − 3 x = 11 16 y − 12 x = 44 4 x = y − 11 3 ; 4 11 x = ⋅5 − 3 3
x = 3 т. Ответ: 3 т; 5т. № 1132 x − деталей делает первый рабочий за день; y − деталей делает второй рабочий за день; 8x + 15y = 162 − сделали вместе; 5x − 7y = 3 − из условия; 8 x + 15 y = 162 40 x + 75 y = 810 ; 131y = 786; y = 6 − деталей за день; 5 x − 7 y = 3 40 x − 56 y = 24 7 3 x= y+ 5 5 7 3 x = ⋅6 + 5 5
x = 9 − деталей изготовил первый рабочий за день; 8 · 9 = 72 − детали изготовил первый рабочий; 6 · 15 = 90 − деталей изготовил второй рабочий. Ответ: 72; 90. № 1133 x − учебников по математике; y − учебников по физике; 0,5x + 0,2y = 390 − учебников продали; x − 0,5x = 0,5x − учебников по математике осталось; y − 0,2y = 0,8y − учебников по физиике осталось; 0,5x = 3 · 0,8y − из условия; 0 ,5 x + 0 ,2 y = 390 0 ,5 x − 2 ,4 y = 0
2,6y = 390; y = 150; x = 4,8y; x = 4,8 · 150; x = 720. Ответ: 720; 150 учебников. № 1134 x − книг на первой полке; у − книг на второй полке; 153
www.5balls.ru
x+
y 2
− на первой полке после перестановки;
y − на второй полке после перестановки; 2 x + y = 110 x + y = 110 ; 2,5y = 110; y = 44; y y x + 2 = 4 ⋅ 2 x − 1,5 y = 0
x = 110 − y; x = 110 − 44 = 66. Ответ: 66 и 44 книги. № 1135 x − футбольных мячей закупили в первый год; y − волейбольных мячей закупили в первый год; y = 5x − из условия; 6x − футбольных мячей после закупки; 4y − волейбольных мячей после закупки; 6 x + 4 y = 52 6 x + 4 y = 52 ; 26x = 52; x =2; y = 5x 20 x − 4 y = 0
y = 5x; y = 10; y + x = 10 + 2 = 12 − мячей закупили в первый год. Ответ: 12 мячей. № 1136 x – одно число; y – другое число; x + y 2 = 185 x + y = 370 ; 3y = 330; y = 110; x = 2 + 40 x = 2 y + 40 y y
x = 370 − y; x = 370 − 110 = 260. Ответ: 260; 110.
№ 1137 a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть a · 10 + b − искомое число; a + b = 14 9a + 9b = 126 ; 18b = 108; b= 108; 10 b + a + 18 = 10 a + b 9b − 9a = −18
a = 14 − b; a = 14 − 6 = 8; то есть 10a + b = 8 · 10 + 6 = 86. Ответ: 86. № 1138 a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть 154
www.5balls.ru
a · 10 + b − искомое число; a + b = 11 2 10a + b a − b = 24 + a − b
a + b = 11 10a + b = 24a − 14b + 2
a + b = 11 14a + 14b = 154 14a − 25b = −2 14a − 25b = −2
39b = 156; b = 4; a = 11 − b; a = 11 − 4 = 7; 10a + b = 10 · 7 + 4 = 74. Ответ: 74.
№ 1139 a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть a · 10 + b − искомое число; 3 10a + b a + b = 6 + a + b 5 10a + b = 5 + a+b+2 a + b + 2
10a + b = 6a + 6b + 3 10a + b = 5a + 5b + 10 + 5
4a − 5b = 3 16a − 20b = 12 5a − 4b = 15 25a − 20b = 75
9a = 63; a = 7; 4 · 7 − 5b = 3; 5b = 25; b = 5; 10a + b = 10 · 7 + 5 = 75. Ответ: 75. № 1140 x − деталей производительность первого фрезеровщика за день; y − деталей производительность второго фрезеровщика за день; (x + 0,625x) − деталей производительность первого фрезеровщика после смены фрезы; (y + 0,5y) − деталей производительность второго фрезеровщика после смены фрезы; 5 x + 8 y = 280 5 x + 8 y = 280 15 x + 24 y = 840 ; ( ) 4 x + 0 , 625 x + y + 0 , 5 y = 276 6 , 5 x + 6 y = 276 26 x + 24 y = 1104 5 5 11x = 264; x = 24 деталей; y = 35 − x; y = 35 − · 24; y = 20 деталей 8 8
P − количество деталей если бы в первый раз работали с новой фрезой; P = 5 · 1,625x + 8 · 1,5y = 8,125 · 24 + 12 · 20 = 195 + 240 = 435. Ответ: 435 деталей. № 1141 x − тонн масса первой отливки; 155
www.5balls.ru
y − тонн масса второй отливки; 0,05x − тонн масса никеля в первой отливке; 0,1y − тонн масса никеля во второй отливке; 0,08(x + y) − тонн масса никеля в сплаве первой и второй отливке; 0 ,05 x + 01 y = 0 ,08(x + y ) 0 ,02 y − 0 ,03 x = 0 2 y − 3 x = 0 ; 0 ,1 y − 0,05 x = 4 0 ,1 y − 0,05 x = 4 2 y − x = 80
2x = 80; x = 40; y=
3 3 x; y = · 40 = 60. 2 2
Ответ: 40 тонн; 60 тонн. № 1142 x − тонн стали первого сорта для необходимого сплава; y − тонн стали второго сорта для необходимого сплава; 0,05x − количество никеля в стали первого сорта; 0,1y − количество никеля в стали второго сорта; 0,3(x + y) − количество никеля в новом сплаве; x + y = 140 x + y = 140 x + y = 140 ; ( ) 0 , 05 x + 0 , 4 y = 0 , 3 x + y 0 , 1 y − 0 , 25 x = 0 y − 2 ,5 x = 0
3,5x = 140; x = 40; y = 140 − 40 = 100. Ответ: 40 тонн; 100 тонн.
№ 1143 x − кг яблок; 30x − руб. заплатили за яблоки; y − кг груш; 38y − руб. заплатили за груши; x + y − натуральные числа; 30x + 38y = 400 (*); т.к. число (30 · x) всегда заканчивается нулем, то и число (38 · y) тоже должно закнчиваться нулем; y равное 10 и более не подходит в уравнение (*) следовательно единствееный вариант y = 5; 30x + 38 · 5 = 400; 30x = 210; x = 7; x + y = 7 + 5 = 12. Ответ: 12.
156
www.5balls.ru
№ 1144 x − км/ч скорость первого поезда; y − км/ч скорость второго поезда; 4x + 3y = 580; x и y кратны 10 и больше 50; x не может быть больше 100 т.к. в этом случае y должно быть меньше 50, поэтому перебираем число x от 50 до 100 кратное 10. Не трудно проверить что удовлетворяют уравнению две пары 70; 100 и 100; 60. Ответ: 70 км/ч и 100 км/ч; 100 км/ч и 60 км/ч. № 1145 10a + b − двузначное число; 6(10a + b) = 100a + b − из условия; 60a + 6b = 100a + b; 40a = 5b; 8a = b; т.к. b − от 0 до 9 то a может равняться только 1; ноль не подходит т.к. в этом случае не получится двузначное число a = 1; b = 8. Ответ: 18.
157
www.5balls.ru
