Пособие по математике для поступающих на вечернее и заочное отделения ЮФУ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Мермельштейн Г.Г., Пасечный Л.Г.

ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих на вечернее и заочное отделения ЮФУ

Ростов-на-Дону 2007 3

Методические указания разработаны старшим преподавателем кафедры прикладной математики и программирования Л.Г. Пасечным

Ответственный редактор

канд. физ.-мат. наук Г.Г.

Мермельштейн

Компьютерный набор и верстка

ст. лаборанта Евдокимовой И.В.

Печатается в соответствии с решением приемной комиссией ЮФУ, протокол №

от

2007 г.

4

СОДЕРЖАНИЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, МЕХАНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Собеседование для медалистов и работающих по профилю специальности

«прикладная

математика

и

информатика»,

«информационные системы и технологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Экзамен по математике (практическая часть) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Экзамен по математике (теоретическая часть) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Тест по математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ГЕОЛОГО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Тест по математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5

Уважаемые абитуриенты! Экзамены по математике на вечернее и заочное отделения проводятся в соответствии с Программой вступительных экзаменов по математике для поступающих

на

соответствующие

факультеты

Южного

федерального

университета. Данное пособие содержит варианты письменных экзаменов, образцы заданий для собеседования и тестирования, предлагавшихся в 2007 г. Главной целью пособия является знакомство абитуриентов с уровнем трудности предлагаемых заданий. Следует отметить, что требования, предъявляемые во время вступительных испытаний, не выходят за рамки школьной программы. Однако, от поступающего требуется глубокое понимание школьного курса математики и свободное владение материалом. В конце данного пособия приведен список литературы, которая, по мнению авторов, поможет абитуриенту лучше подготовиться к экзаменам. Для подготовки к практическому экзамену можно воспользоваться книгами [1]-[11]. Ответы на теоретические вопросы изложены в школьных учебниках, а также в [9]. Следует обратить внимание на решение тригонометрических, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств; уравнений и неравенств, содержащих модули, что, как правило, вызывает трудности у абитуриентов. На факультете математики, механики и компьютерных наук вступительные испытания по математике проводятся в форме двух экзаменов: практического и теоретического. Оба экзамена проходили в письменной форме. Практический экзамен содержал четыре задания, на выполнение которых давалось 4 астрономических часа (240 мин). В теоретическом экзамене абитуриентам предлагалось ответить на два теоретических вопроса и решить две задачи. Теоретические вопросы содержатся в разделе «Основные формулы и теоремы» Программы по математике. Необходимые факты, формулы нужно уметь четко формулировать и

6

доказывать. Продолжительность теоретического экзамена 4 астрономических часа (240 мин). Для работающих по профилю специальности не менее года, выпускников профильных техникумов, колледжей и ПТУ, а также для награжденных золотой или серебряной медалями выпускников школ и приравненных к ним лиц вступительные испытания по математике проводятся в форме письменного собеседования. С 2004 года на факультете математики, механики и компьютерных наук, наряду

с

подготовкой

информатика»

с

по

специальности

присвоением

«Прикладная

квалификации

математика

«Математик.

и

Системный

программист», начата подготовка по новой специальности «Информационные системы

и

технологии»

со

специализацией

«программное

обеспечение

информационных систем и сетей» с присвоением квалификации «Инженер». На эту специальность, кроме бюджетного набора, осуществляется прием студентов из числа выпускников колледжей, обучавшихся по родственным специальностям на ускоренное (4 года) получение высшего образования. Обучение платное. Отбор

студентов

осуществляется

по

собеседованию.

Образцы

заданий

собеседования также приведены в пособии. На экономический факультет вступительные испытания по математике проводилось в форме тестирования. Тесты содержали 15 заданий, на которые отводились 3 академических часа (135 мин). Вступительные испытания по математике на геолого-географическом факультете проводились в форме тестирования. Тесты содержали 15 заданий, на которые отводились 3 академических часа. (135 мин).

7

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ На экзамене по математике поступающий должен показать: а)

четкое

знание

математических

определений

и

теорем,

предусмотренных программой, умение доказывать эти теоремы; б) умение точно и сжато выражать математическую мысль в письменном и устном изложении, использовать соответствующую символику; в) уверенное владение математическими знаниями и навыками, предусмотренными программой, умение применять их при решении задач.

Программа для поступающих в ЮФУ состоит из трех разделов. Первый из них представляет собой перечень основных математических понятий и фактов, которыми должен владеть поступающий (уметь правильно их использовать при решении задач, ссылаться при доказательстве теорем). Во втором разделе указаны теоремы, которые надо уметь доказывать, и формулы, которые нужно уметь выводить. Содержание теоретической части экзаменов определяется этим разделом. В третьем разделе перечислены основные умения и навыки, которыми должен владеть экзаменующийся.

8

I Основные математически понятия и факты Арифметика, алгебра и начала анализа 1. Натуральные числа ( N ). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное. 2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. 3. Целые числа ( Z ). Рациональные числа ( Q ), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел. 4. Действительные числа ( R ), их представление в виде десятичных дробей. 5. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл. 6.

Числовые

выражения.

Выражения

с

переменными.

Формулы

сокращенного умножения. 7. Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень. 8. Логарифмы и их свойства. 9. Одночлен и многочлен. 10. Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена. 11. Понятие функции. Способы задания функции. Область определения, множество значений функции. 12. График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность; четность, нечетность. 13. Достаточные условия возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке. 9

14.

Определение

и

свойства

функций:

линейной,

квадратичной

y = ax 2 + bx + c , степенной y = ax n (n ∈ N ) , y = k x , показательной y = a x , a > 0 , логарифмической, тригонометрических функций ( y = sin x, y = cos x, y = tg x,

y = ctg x) , арифметического корня y = x . 15. Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях. 16.

Неравенства.

Решения

неравенства.

Понятие

о

равносильных

неравенствах. 17. Системы уравнений и неравенств. Решения системы. 18. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессии. 19. Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы). 20. Преобразование в произведение сумм sin α ± sin β , cos α ± cos β . 21. Определение производной. Ее физический и геометрический смысл. 22. Производные функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = x n (n ∈ Z); y = a x . Геометрия 23. Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные прямые. 24. Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразование подобия и его свойства. 25. Векторы. Операции над векторами. 26. Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали. 27. Треугольник. Его медианы, биссектрисы, высоты. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 28. Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. 10

29. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к окружности. Дуга, окружность, сектор. 30. Центральные и вписанные углы. 31.

Формулы

площади:

треугольника,

прямоугольника,

квадрата,

параллелограмма, ромба, трапеции. 32. Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора. 33. Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур. 34. Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости. 35. Параллельность прямой и плоскости. 36. Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости. 37.

Двугранные

углы.

Линейный

угол

двугранного

угла.

Перпендикулярность двух плоскостей. 38. Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая и наклонная призма, пирамида. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды. 39. Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость касательная к сфере. 40. Формула объема параллелепипеда. 41. Формулы площади поверхности и объема призмы. 42. Формулы площади поверхности и объема пирамиды. 43. Формулы площади поверхности и объема цилиндра. 44. Формулы площади поверхности и объема конуса. 45. Формула объема шара. 46. Формула площади сферы.

11

II Основные формулы и теоремы

Алгебра и начала анализа 1. Свойства функции y = ax + b и ее график. 2. Свойства функции y = ax 2 + bx + c и ее график. 3. Свойства функции y = k x и ее график. 4. Формулы корней квадратного уравнения. 5. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. 6. Теорема Виета и обратная к ней теорема. 7. Свойства числовых неравенств. 8. Свойства функции y = a x , a > 0 и ее график.

9. Свойства функции y = log a x, a > 0 и ее график.

10. Логарифм произведения, степени, частного. 11. Определение и свойства функций y = sin x, y = cos x и их графики. 12. Определение и свойства функции y = tg x и ее график. 13. Решение уравнений виды sin x = a, cos x = a, tg x = a . 14. Формулы sin (α ± β ), cos(α ± β ) . 15. Формулы приведения. 16.Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 17. Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов 18. Формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии. 19. Формулы n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии. 12

Геометрия 20. Признаки равенства треугольников. 21. Свойства равнобедренного треугольника. 22. Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка. 23. Признаки параллельности прямых на плоскости. 24. Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. 25. Признаки параллелограмма. 26. Окружность, описанная около треугольника 27. Окружность, вписанная в треугольник. 28. Касательная к окружности и ее свойства. 29. Измерение угла, вписанного в окружность. 30. Признаки подобия треугольников. 31. Теорема Пифагора. 32. Формулы площадей треугольника, параллелограмма и трапеции. 33. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнения окружности. 34. Теорема синусов. 35. Теорема косинусов. 36. Признак параллельности прямой и плоскости. 37. Признак параллельности плоскостей. 38. Теорема о трех перпендикулярах и обратная к ней теорема. 39. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 40 Признак перпендикулярности двух плоскостей.

13

III Основные умения и навыки

Экзаменующийся должен уметь: 1. Производить арифметические действия над числами, заданными в виде десятичных и обыкновенных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты вычислений; пользоваться калькулятором или таблицами для производства вычислений. 2. Производить тождественные преобразования многочленов, дробей, содержащих переменные, выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. 3. Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических функций. 4. Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и неравенства, приводящиеся к ним. Сюда, в частности, относятся простейшие уравнения

и

неравенства,

содержащие

степенные,

показательные,

логарифмические, тригонометрические функции. 5. Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений. 6. Изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие построения на плоскости. 7.

Использовать

геометрические

представления

при

решении

алгебраических задач и методы алгебры и тригонометрии – при решении геометрических задач. 8. Производить операции над векторами (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и пользоваться свойствами этих операций. 9. Пользоваться понятием производной при исследовании функций на возрастание (убывание), на экстремумы и при построении графиков. Обращаем особое внимание абитуриентов на п. 4 раздела III. 14

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, МЕХАНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК Собеседование для медалистов и работающих по профилю специальности «прикладная математика и информатика», «информационные системы и технологии Вариант №1

1. Найти область определения функции y = log 1 ( x + 4 ) + 2

1 . 8− x

Ответ: x ∈ (− 4; 8) . 2. Решить уравнение:

5 − 4x = 2x −1.

Ответ: x = 1 . 3π ⎞ ⎛ 3. Решить уравнение: cos 2 x + 10 sin ⎜ x − ⎟ = 0 . 2 ⎠ ⎝ Ответ: x =

π 2

+ πk , k ∈ Z

4. Построить график функции: y = sin 2 x . 5. В равнобедренном треугольнике основание равно a , боковая сторона равна b . Найти длину окружности, вписанной в треугольник. Ответ: C =

πa 4b 2 − a 2 2b + a

. Вариант №2

1. Найти область определения функции y = log 1 ( x − 2 ) + 7

Ответ: x ∈ (2; 9 ) . 2. Решить уравнение:

37 − 36 x = 6 x − 5 .

Ответ: x = 1 .

15

1 . 9− x

π⎞ ⎛ 3. Решить уравнение: sin 2 x + 8 cos⎜ x + ⎟ = 0 . 2⎠ ⎝ Ответ: x = πn, n ∈ Z . 4. Построить график функции: y = lg x . 5. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен α , боковая сторона равна b . Найти длину окружности, вписанной в треугольник. Ответ: l =

πb sin α . α 1 + sin 2 Авторское решение заданий варианта №1

1. Найти область определения функции y = log 1 ( x + 4 ) + 2

1 . 8− x

Решение. Область определения функции состоит их тех и только тех значений x , которые удовлетворяют решению системы неравенств: ⎧x + 4 > 0 ⎧ x > −4 ⇔ ⎨ ⎨ ⎩8 − x > 0 ⎩x < 8

-4

Следовательно, x ∈ (− 4; 8) .

8

Ответ: x ∈ (− 4; 8) . 2. Решить уравнение:

5 − 4x = 2x −1.

Решение. Пусть 2 x = a , a > 0 , тогда

5 − a 2 = a − 1.

Данное иррациональное уравнение равносильно системе ⎧a − 1 ≥ 0 ⎧a ≥ 1 ⎧a ≥ 1 . ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎨ 2 2 2 a a = = − 2 , 1 a a − − = 2 0 ( ) a a − = − 5 1 ⎩ 1 2 ⎩ ⎩ Следовательно, a = 2 – решение системы. Окончательно получаем 2 x = 2 ⇔ x = 1 . Ответ: x = 1 . 16

X

3π ⎞ ⎛ 3. Решить уравнение: cos 2 x + 10 sin⎜ x − ⎟ = 0 . 2 ⎠ ⎝

Решение. Применяя формулы приведения, получим cos 2 x + 10 cos x = 0 cos x (cos x + 10 ) = 0 1) cos x = 0 x=

Ответ: x =

π 2

π 2

+ πk , k ∈ Z ;

или 2) cos x = −10 x ∈ Ø.

+ πk , k ∈ Z .

4. Построить график функции y = sin 2 x . Решение. Изобразим промежуточные графики y = sin x и y = sin 2 x

17

6. В равнобедренном треугольнике основание равно a , боковая сторона равна b . Найти длину окружности, вписанной в треугольник. Решение.

Радиус r вписанной в треугольник окружности вычисляется по формуле:

r=

S 2b + a , где S – площадь треугольника, p – его полупериметр p = . 2 p Обозначим h – высоту треугольника ABC , опущенную из вершины A на

BC .

a2 4b 2 − a 2 h= b − = 4 2 2

1 a 4b 2 − a 2 S = ah = 2 4 r=

S a 4b 2 − a 2 ⋅ 2 a 4b 2 − a 2 = = . 4(2b + a ) 2(2b + a ) p

Длина окружности C = 2πr = Ответ: C =

πa 4b 2 − a 2 2b + a

πa 4b 2 − a 2 2b + a

. 18

.

Экзамен по математике (практическая часть) Вариант №1

1. Решить уравнение:

x −3 + 2 = x +5.

Ответ: x = 4 . 2. Решить уравнение: cos 2 x + 4 cos( x − π ) − 5 = 0 . Ответ: x = π + 2 π n, n ∈ Z . 3. Решить неравенство: log 6 ( x − 2 ) + log 6 ( x − 3) ≤ 1. Ответ: x ∈ (3; 5]. 4. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно l , радиус вписанной в основание окружности равен R . Найти площадь боковой поверхности пирамиды. Ответ: 3 3R l 2 − 3R 2 . Вариант №2

1. Решить уравнение:

x + 4 + 1 = 3x + 1 .

Ответ: x = 5 .

π⎞ ⎛ 2. Решить уравнение: cos 2 x − 2 sin ⎜ x − ⎟ − 3 = 0 . 2⎠ ⎝ Ответ: x = 2πn, n ∈ Z . 3. Решить неравенство: log 4 ( x − 1) + log 4 ( x − 4) ≥ 1 . Ответ: x ∈ [5; + ∞ ). 4. В правильной треугольной пирамиде апофема равна l , радиус описанной около

основания

окружности

равен

поверхности пирамиды. Ответ: S = 2 3 Rl . 19

R . Найти площадь боковой

Вариант №3

1. Решить уравнение:

x + 5 + 1 = 2x − 4 .

Ответ: x = 2 . 3 ⎞ ⎛ 2. Решить уравнение: cos 2 x − 4 cos⎜ x + π ⎟ + 5 = 0 . 2 ⎠ ⎝ Ответ: x =

π 2

+ 2πn, n ∈ Z .

3. Решить неравенство: log 8 ( x − 2 ) + log 8 ( x − 4 ) ≥ 1 . Ответ: x ∈ [6; + ∞ ) . 4. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно l , радиус вписанной в основание окружности равен R . Найти площадь боковой поверхности пирамиды. Ответ: S = 4 R R 2 − l 2 . Вариант №4

1. Решить уравнение:

x −3 + 2 = x +5.

Ответ: x1 = 2; x2 = 10 . 2. Решить уравнение: cos 2 x + 4 cos( x − π ) − 5 = 0 . Ответ: x = −

π 2

+ 2πn, n ∈ Z .

3. Решить неравенство: log 6 ( x − 2 ) + log 6 ( x − 3) ≤ 1. Ответ: x ∈ (2; 3] . 4. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно l , радиус вписанной в основание окружности равен R . Найти площадь боковой поверхности пирамиды. Ответ: S = 2 2 Rl .

20

Авторское решение заданий варианта №1

x−3 + 2 = x+5.

1. Решить уравнений Решение.

x − 3 = a, a ≥ 0 , тогда x = a 2 + 3 .

Обозначим

Полученное уравнение a + 2 = a 2 + 3 равносильно системе ⎧a ≥ 0 ⎧a ≥ 0 , a =1 ⇔ x = 4. ⇔ ⎨ ⎨ 2 2 4 4 a = ( ) 2 8 a + = a + ⎩ ⎩ Ответ: x = 4 . 2. Решить уравнение: cos 2 x + 4 cos( x − π ) − 5 = 0 . Решение. Применяя формулы приведения и двойного аргумента, получим

(2 cos

2

)

x − 1 + 4(− cos x ) − 5 = 0

cos 2 x − 2 cos x − 3 = 0 cos x = 0

или

x ∈Ø

cos x = −1 x = π + 2 π n, n ∈ Z .

Ответ: x = π + 2 π n, n ∈ Z . 3. Решить неравенство: log 6 ( x − 2 ) + log 6 ( x − 3) ≤ 1. Решение. Найдем ОДЗ: ⎧x > 2 ⎧x − 2 > 0 ⇔ x ∈ (3; + ∞ ) . ⇔ ⎨ ⎨ > x − 3 ≥ 0 x 3 ⎩ ⎩ Перейдем от суммы логарифмов к логарифму произведения: log 6 ( x − 2 )( x − 3) ≤ 1

(= log 6 6 ) .

Учитывая, что логарифмическая функция с основанием 6 монотонна возрастает, получаем

(x − 2 )(x − 3) ≤ 6 21

⇔ x2 − 5 ≤ 0

Применим к полученному неравенству метод интервалов: +

+ –

0

5

Получаем, x ∈ [0; 5]. Учтем ОДЗ исходного неравенства:

0

3

5

Ответ: x ∈ (3; 5]. 4. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно l , радиус вписанной в основание окружности равен

R . Найти площадь боковой

поверхности пирамиды. Решение: Обозначим: a – сторона основания, h – апофема пирамиды. Площадь

боковой

поверхности

пирамиды вычисляется по формуле S=

22

1 P ⋅ h , где P = 3a . 2

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности R и сторона треугольника a связаны формулой R =

a 3 . Отсюда a = 2 3R . 6

Из прямоугольного треугольника SCH найдем апофему h : a2 h= l − = l 2 − 3R 2 . 4 2

Подставляя a и h в формулу площади боковой поверхности пирамиды, получим: S=

1 ⋅ 6 3R l 2 − 3 R 2 = 3 3R l 2 − 3 R 2 . 2

Ответ: 3 3R l 2 − 3R 2 .

23

Экзамен по математике (теоретическая часть) Вариант №1

1. Решение уравнения cos x = a . 2. Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка. 3. Решить уравнение: 15 ⋅ 2 x +1 + 15 ⋅ 22 − x = 135 . 4. Найти область определения функции: y = log 1 2

x−3 + log 3 x − 2 . x+3

Вариант №2

1. Формула корней квадратного уравнения. 2. Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. 3. Решить уравнение: 3 + 2 ⋅ log x +1 3 = 2 ⋅ log3 ( x + 1) . 4. Построить график функции y = x 2 − 2 x − 8 . Вариант №3

1. Определение и свойства функции y = sin x и ее график. 2. Свойства равнобедренного треугольника. 3. Решить уравнение: sin 3 x + sin x = sin 2 x . 4. Найти область определения функции: y =

x+6 + x−2

Вариант №4

1. Теорема Виета и обратная к ней. 2. Касательная к окружности и ее свойства. 3. Решить уравнение: 2 x + 5 = x + 2 . 4. Построить график функции y = x 2 − 4 x − 12 .

24

1 . x+4

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Тест по математике Вариант № 1 №

1 2

3

4

5

Задание ⎛1 2⎞ ⎛1 1⎞ Вычислить: ⎜ + ⎟ : ⎜ + 1 ⎟ . ⎝5 3⎠ ⎝3 5⎠

Варианты ответа 13 14 15 16 а) ; б) ; в) ; г) . 23 23 23 23

а) 617,1; б) 617,2 ;

Число 630 уменьшить на 2% .

в) 617,4 ; г) 617,5 .

a a2 Упростить выражение: : . 3a + 3b a 2 − b 2 Вычислить сумму корней уравнения:

4x − 3 = x . Вычислить произведение корней уравнения:

x−5 =7.

а)

3a a−b ; ; б) a+b 3a

в)

a+b 3a ; г) . 3a a−b

а) 4; б) 3; в) 2; г) 1.

а) − 24 ; б) 24; в) 12; г) -12.

Указать наименьший корень уравнения: 6

7

а) 0,6 ; б) 2 ; в) − 2 ; г) − 0,6 .

6 6 + = 5. x x +1

Решить неравенство:

а) (2;11) ; б) [2;11) ;

x − 2 < 3.

в) (2;11]; г) [2;11] .

Найти область определения функции: 8

9

y=

x−3 . 2− x

Решить уравнение: 49

а) (2; 3) ; б) [2; 3) ; в) [2; 3]; г) (2; 3].

2 x −5

а) 2,2 ;

7 = x. 7

б) 2,6 ;

в) − 2,2 ; г) − 2,6 . 25

⎛1⎞ 10 Решить неравенство: ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

а) x < 4 ; б) x > 4 ;

x+2

> 9.

в) x > −4 ; г) x < −4 .

11 Решить уравнение: log 3 ( x + 5) = 2 .

а) 3 ; б) 4 ; в) 5 ; г) 6 .

12 Вычислить: log 4 2 + log 4 8 .

а) 2 ; б) − 2 ; в) 1 ; г) − 1 . а) (6;10 ) ; б) (− 6;10) ;

13 Решить неравенство: log 2 ( x + 6 ) < 4 .

в) [6;10]; г) [− 6;10] . а)

3 2 ; б) ; 2 4

в)

2 3 ; г) . 4 2

а)

3 1 2 ; в) ; г) 1. ; б) 2 2 2

14 Вычислить: sin 60 0 ⋅ cos 450 ⋅ tg 30 0 .

15 Вычислить: cos 2 150 − sin 2 150 .

Ответы: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

А

В

Б

А

А

Г

Б

Г

А

Г

Б

А

Б

В

Б

26

Вариант № 2 №

1

Задание

Варианты ответа

1⎞ ⎛ 2 3⎞ ⎛ 1 Вычислить: ⎜ + ⎟ : ⎜ + 2 ⎟ . 5⎠ ⎝ 5 4⎠ ⎝ 2

а)

21 23 23 22 ; в) ; б) ; г) . 54 55 55 54

а) 756,4 ; б) 756,6 ; 2

3

4

5

Число 780 уменьшить на 3% .

в) 756,2 ; г) 756,2 .

5a − 5b a 2 − b 2 : Упростить выражение: . b b2

Вычислить сумму корней уравнения: 3x − 2 = x . Вычислить произведение корней уравнения: x − 2 = 9.

a−b 5b ; ; б) a+b 5b

в)

a+b 5b ; г) . 5b a−b

а) 2; б) 3 ; в) 4; г) 5. а) -27; б) 27; в) 77; г) − 77 .

Указать наименьший корень уравнения: 6

а)

3 3 + = 4. x x+2

а) 0,5 ; б) 1; в) − 1,5 ; г) − 1 . а) (− 1; 3) ; б) (− 1; 3];

7

Решить неравенство:

x +1 < 2 .

в) [− 1; 3) ; г) [− 1; 3].

Найти область определения функции: 8

y=

x +1 . 6−x

а) (− 1; 6) ; б) [− 1; 6) ; в) [− 1; 6]; г) (− 1; 6] .

27

Решить уравнение: 9

9

2 x+ 4

а) − 1,4 ; б) 1,8 ;

3 = x. 3

в) − 1,8 ; г) 1,4 .

6−x

а) x < −8 ; б) x > −8 ;

⎛1⎞ 10 Решить неравенство: ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

< 25 .

в) x > 8 ; г) x < 8 .

11 Решить уравнение: log 4 ( x + 7 ) = 2 .

а) 7 ; б) 9 ; в) 11; г) 13 .

12 Вычислить: log 4 8 − log 4 2 .

а) − 1 ; б) 1; в) 2 ; г) − 2 . а) [1; 8] ; б) (− 1; 8) ;

13 Решить неравенство: log 3 ( x + 1) < 2 .

в) (1; 8); г) [− 1; 8]. а)

14 Вычислить: sin 450 ⋅ cos 30 0 ⋅ tg 60 0 .

15 Вычислить: 2 sin 150 ⋅ cos150 .

3 2 3 3 ; б) ; 4 4

в)

2 3 ; г) . 2 2

а)

3 2 1 ; б) 1 ; в) ; г) . 2 2 2

Ответы: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Г

Б

А

Б

Г

В

В

Б

А

Г

Б

Б

Б

А

Г

28

Вариант № 3 №

1

Задание

Варианты ответа

1⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎛ 2 Вычислить: ⎜ + 1 ⎟ : ⎜ + 3 ⎟ . 5⎠ ⎝ 5 3⎠ ⎝ 3

а)

1 1 2 2 ; б) ; в) ; г) . 2 3 5 3

а) 278,2 ; б) 756,6 ; 2

3

4

5

Число 290 уменьшить на 4% .

в) 278,4 ; г) 756,2 .

b b2 . : Упростить выражение: 2 a − ab a 2 − b 2

Вычислить сумму корней уравнения: 5x − 4 = x .

Вычислить произведение корней уравнения: x − 7 = 2.

ab ab ; б) ; a+b a−b

в)

a−b a+b ; г) . ab ab

а) 5 ; б) 4; в) 3; г) 2. а) − 15 ; б) 15; в) 45 ; г) − 45 .

Указать наименьший корень уравнения: 6

а)

1 2 + = 1. x x+2

а) 2 ; б) 1; в) − 2 ; г) − 1 . а) [1;17 ) ; б) [1;17] ;

7

Решить неравенство:

x −1 < 4 .

в) (1;17] ; г) (1;17 ) .

Найти область определения функции: 8

y=

x−2 . 8− x

а) (2; 8) ; б) [2; 8]; в) [2; 8) ; г) (2; 8] .

29

Решить уравнение: 25

9

⎛1⎞ 10 Решить неравенство: ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

а) 2,4 ; б) − 2,4 ;

5 = x. 5

2 x −3

в) − 1,4 ; г) 1,4 . а) x > 6 ; б) x < 6 ;

x +3

> 8.

в) x < −6 ; г) x > −6 .

11 Решить уравнение: log 5 ( x + 9) = 2 .

а) 15 ; б) 16 ; в) 17 ; г) 18 .

12 Вычислить: log 9 3 + log 9 27 .

а) 2 ; б) 3 ; в) − 2 ; г) − 3 . а) (− 2;18) ; б) (2;18) ;

13 Решить неравенство: log 4 ( x − 2) < 2 .

в) [− 2;18] ; г) [2;18] . а)

2 3 ; б) ; 2 2

в)

2 3 ; г) . 8 8

а)

3 3 ; б) ; 2 4

в)

2 2 ; г) . 2 4

14 Вычислить: sin 450 ⋅ cos 00 ⋅ tg 450 .

15 Вычислить: cos 2 22,50 − sin 2 22,50 .

Ответы: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Б

В

Г

А

В

Г

А

В

Г

В

Б

А

Б

А

В

30

Вариант № 4 №

1

Задание

Варианты ответа

1⎞ 1⎞ ⎛3 ⎛4 Вычислить: ⎜ + 1 ⎟ : ⎜ + 1 ⎟ . 5⎠ 4⎠ ⎝ 4 ⎝5

а)

42 44 41 43 ; б) ; в) ; г) . 39 39 39 39

а) 494,1; б) 494,3 ; 2

3

4

5

Число 510 уменьшить на 3% .

в) 494,5 ; г) 494,7 .

a2 a2 : . Упростить выражение: 2 a − 25 25 + 5a

Вычислить сумму корней уравнения: 6x − 5 = x .

Вычислить произведение корней уравнения: x − 3 = 8.

а)

5 a+5 ; ; б) 5 a+5

в)

5 a−5 ; г) . a−5 5

а) 3; б) 4; в) 5; г) 6 .

а) − 55 ; б) 55; в) 25; г) − 25 .

Указать наименьший корень уравнения: 6

а) 6 ; б) 2 ; в) − 6 ; г) − 2 .

3 3 − =1. x x+4

а) [1;17 ) ; б) [− 2; 23) ; 7

Решить неравенство:

x + 2 < 5.

в) [− 2; 23] ; г) (− 2; 23] .

Найти область определения функции: 8

y=

x+5 . 3− x

а) [− 5; 3] ; б) (− 5; 3) ; в) (− 5; 3] ; г) [− 5; 3) .

31

Решить уравнение: 16 2 x−7 =

9

⎛1⎞ 10 Решить неравенство: ⎜ ⎟ ⎝7⎠

а) 1; б) − 1;

4 . 4x

в) − 3 ; г) 3 . а) x > 4 ; б) x > −4 ;

2−x

< 49 .

в) x < 4 ; г) x < −4 .

11 Решить уравнение: log 2 ( x + 9) = 4 .

а) 6 ; б) 7 ; в) 8 ; г) 9 .

12 Вычислить: log 9 27 − log 9 3 .

а) 1; б) 2 ; в) − 1; г) − 2 . а) (2; 23) ; б) (− 2; 23) ;

13 Решить неравенство: log 5 ( x + 2 ) < 2 .

в) [2; 23] ; г) [− 2; 23]. а)

14 Вычислить: sin 450 ⋅ cos 450 ⋅ tg 60 0 .

1 1 ; б) ; 4 2

в)

3 3 ; г) . 4 2

а)

2 2 ; б) ; 4 2

15 Вычислить: 2 sin 22,50 ⋅ cos 22,50 . в)

1 1 ; г) . 4 2

Ответы: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

А

Г

В

Г

А

В

Б

Г

Г

В

Б

А

Б

Г

Б

32

ГЕОЛОГО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Тест по математике Вариант №1 №

Задание

1

Вычислить 22% от числа 650 .

2

Число 850 увеличить на 2% .

3

4

5

Варианты ответа

а) 140 ; б) 141 ; в) 142 ; г) 143 . а) 865 ; б) 867 ; в) 869 ; г) 971.

a 2 + b2 a − b . − Упростить выражение: 2 a − b2 a + b

Вычислить произведение корней уравнения: 4x − 3 = x . Указать наименьший корень уравнения: 2

x − 2x − 8 = 0 .

а)

ab 2ab ; б) ; a −b a −b

в)

2ab ab ; г) 2 . 2 a −b a − b2 2

а) 1 ; б) 2 ; в) 3 ; г) 4 .

а) − 2 ; б) 2 ; в) 1 ; г) − 1.

Указать наибольший корень уравнения: 6

7

а) 6 ; б) 7 ; в) 8 ; г) 9 .

x 4 = . 2x − 3 x

Решить неравенство:

⎛ 2 ⎞ а) ⎜ − ; 0 ⎟ ; б) (0; ∞ ) ; ⎝ 3 ⎠

2 > 3. x

⎛2 ⎞ ⎛ 2⎞ в) ⎜ ; ∞ ⎟ ; г) ⎜ 0; ⎟ . ⎝3 ⎠ ⎝ 3⎠

33

8

9

Найти область определения функции:

а) [− 6; 0]; б) (− 6; 0 ) ;

y = 6x − x2 .

в) [0; 6] ; г) (0; 6) .

Решить уравнение: 2 x − 3 = 2 .

а) 3 ; б) 3,5 ; в) − 3 ; г) − 3,5 .

10 Решить уравнение: log5 ( x + 16) = 2 .

а) − 6 ; б) 9 ; в) 6 ; г) − 9 . а) x < 3 ; б) x > 3 ;

11 Решить неравенство: 6 x : 36 > 6 .

в) x ≤ 3 ; г) x ≥ 3 . а)

12 Вычислить: log9 3 .

1 ; б) 2 ; 2

1 в) − ; г) − 2 . 2

а) x < 6 ; б) x > 6 ;

13 Решить неравенство: log3 ( x − 6 ) > 1 .

в) x < 9 ; г) x > 9 .

14 Вычислить: sin 450 ⋅ cos 300 .

а)

(

)

1 0 15 Вычислить sin 2α , если sin α = , α ∈ 0; 90 . 3

6 6 3 3 ; б) ; г) . ; в) 4 2 4 2

а)

4 2 2 2 ; б) ; 9 9

в)

4 2 2 2 ; г) . 3 3

Ответы: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Г

Б

В

В

А

А

Г

В

Б

Б

Б

А

Г

В

А

34

Вариант №2

№

Задание

1

Вычислить 14% от числа 350 .

2

Число 450 увеличить на 4% .

3

4

5

Варианты ответа

а) 48; б) 49 ; в) 50 ; г) 51. а) 464 ; б) 466 ; в) 468; г) 470 .

a2 + 9 a . Упростить выражение: 2 − a −9 a+3

Вычислить произведение корней уравнения: 7x − 6 = x . Указать наименьший корень уравнения:

x 2 + 2 x − 15 = 0 .

а)

3 1 ; б) ; a −3 a −3

в)

a 1 ; г) . a −3 a+3

а) 5 ; б) 6 ; в) 7 ; г) 8 .

а) 3 ; б) − 3 ; в) 5 ; г) − 5 .

Указать наибольший корень уравнения: 6

7

8

а) 4 ; б) 5 ;

x 2 = 2x + 6 x

в) 6 ; г) 7 .

а) (0; − 1,5) ; б) (2; 3) ;

3 Решить неравенство: > 2 . x

в) (0;1,5) ;

г) (− 2; 3) .

Найти область определения функции:

а) [0; 2] ; б) (0; 2 ) ;

y = 2x − x2 .

в) [− 2; 0]; г) (− 2; 0) .

35

9

Решить уравнение: 5

x +7

а) − 6,5 ; б) − 7 ; = 5.

в) 6,5 ; г) 7 .

10 Решить уравнение: log 6 ( x + 28) = 2 .

а) − 8 ; б) 4 ; в) 8 ; г) − 4 . а) x ≤ 4 ; б) x ≥ 4 ;

11 Решить неравенство: 2 x : 8 < 2 .

в) x < 4 ; г) x > 4 . а) 1; б) 2 ;

12 Вычислить: log 4 16 .

в) − 1; г) − 2 . а) x > 5 ; б) x > 1 ;

13 Решить неравенство: log 4 ( x − 1) > 1 .

в) x < 5 ; г) x < 1 . а)

2 2 ; б) ; 2 4

в)

3 3 ; г) . 4 2

14 Вычислить: tg 60 0 ⋅ sin 30 0 .

Вычислить cos 2α , если 15

sin α =

(

)

1 , α ∈ 0; 90 0 . 4

а)

1 3 ; б) ; 8 8

в)

7 5 ; г) . 8 8

Ответы: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Б

В

А

Б

Г

В

В

А

А

В

В

Б

А

Г

Г

36

Вариант №3 №

Задание

1

Вычислить 12 % от числа 450 .

2

Число 350 увеличить на 6% .

3

4

5

Варианты ответа

а) 54 ; б) 55 ; в) 56 ; г) 57 . а) 369 ; б) 370 ; в) 371; г) 372

a 2 + b2 a + b − . Упростить выражение: 2 a − b2 a − b

Вычислить произведение корней уравнения: 5x − 4 = x . Указать наименьший корень уравнения:

x 2 − 3x − 18 = 0 .

а)

ab ab ; б) ; a 2 − b2 b2 − a 2

в)

2ab 2ab ; г) 2 . 2 a −b b − a2 2

а) 4 ; б) 5 ; в) 6 ; г) 7 .

а) 1 ; б) − 3 ; в) − 1 ; г) 3 .

Указать наибольший корень уравнения: 6

7

8

9

а) 2 ; б) − 3 ; в) − 2 ; г) 3 .

x 1 = . 2x + 3 x

а) (0; 4 ) ; б) (0;1) ;

4 Решить неравенство: > 1 . x

в) (− 4; 0) ; г) (− 1; 0) .

Найти область определения функции:

а) (0; 8) ; б) [0; 8];

y = 8x − x 2 .

в) (− 8; 0 ) ; г) [− 8; 0] .

Решить уравнение: 3 x −1 = 3 .

а) − 1,5 ; б) 1,5 ; в) 2 ; г) − 2 .

37

10 Решить уравнение: log 7 ( x + 22) = 2 .

а) 27 ; б) 7 ; в) − 27 ; г) − 7 . а) x < 5 ; б) x > 5 ;

x

11 Решить неравенство: 3 : 9 < 27 .

в) x ≤ 5 ; г) x ≥ 5 . 1 1 а) 1 ; б) − ; в) − 1 ; г) . 2 2

12 Вычислить: log 4 2 .

а) x > 2 ; б) x > 7 ;

13 Решить неравенство: log 5 ( x − 2 ) > 1.

в) x < 2 ; г) x < 7 . а)

6 6 ; б) ; 4 2

в)

3 3 ; г) . 4 2

а)

5 5 ; б) ; 8 16

в)

15 15 ; г) . 8 16

14 Вычислить: cos 450 ⋅ ctg 300 .

Вычислить sin 2α , если 15

(

)

1 cos α = , α ∈ 0; 900 . 4

Ответы: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

А

В

Г

А

Б

Г

А

Б

Б

А

А

Г

Б

Б

В

38

Вариант №4 №

Задание

1

Вычислить 18% от числа 550 .

2

Число 250 увеличить на 8% .

3

4

5

Варианты ответа

а) 95 ; б) 97 ; в) 99 ; г) 101. а) 258; б) 260 ; в) 268; г) 270 .

b2 + 4 b − . Упростить выражение: 2 b −4 b+2

Вычислить произведение корней уравнения: 9x − 8 = x .

Указать наименьший корень уравнения: 2

x + 3x + 2 = 0 .

а)

b 2 ; б) ; b−2 b−2

в)

2 b ; г) 2 . b −4 b −4 2

а) 8 ; б) − 8 ; в) 2 ; г) − 2 .

а) − 1 ; б) 2 ; в) 1; г) − 2 .

Указать наибольший корень уравнения: 6

7

8

а) 2 ; б) 4 ; в) 6 ; г) 8 .

x 1 = . 20 − x x

Решить неравенство:

⎛ 1⎞ а) ⎜ 0; ⎟ ; б) (0; 4) ; ⎝ 4⎠

1 > 4. x

⎛1 ⎞ в) (1; 4) ; г) ⎜ ;1⎟ . ⎝4 ⎠

Найти область определения функции:

а) [− 5; 0] ; б) (− 5; 0 ) ;

y = 5x − x2 .

в) [0; 5]; г) (0; 5) . 39

9

Решить уравнение: 7

x+5

а) − 4 ; б) 4 ;

= 7.

− 4,5 .

10 Решить уравнение: log8 ( x + 24 ) = 2 .

а) x ≥ 4 ; б) x ≤ 4 ; в) x > 4 ; г) x < 4 . а)

12 Вычислить: log 27 3 .

1 ; б) 3 ; 3

1 в) − ; г) − 3 . 3 а) x > 2 ; б) x < 2 ;

13 Решить неравенство: log 6 ( x − 2 ) > 1 .

в) x > 8 ; г) x < 8 . а)

14 Вычислить: sin 60 0 ⋅ tg 450 . в)

Вычислить cos 2α , если

(

б) − 8 ; в) 40 ; г) − 4 .

а) 8 ;

11 Решить неравенство: 5 x : 25 < 25 .

15

в) 4,5 ; г)

)

4 cos α = , α ∈ 0; 900 . 5

3 1 ; ; б) 2 2 3 6 ; г) . 4 4

а)

3 5 ; б) ; 25 25

в)

7 9 ; г) . 25 25

Ответы: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

В

Г

Б

А

Г

Б

А

В

Г

В

Г

А

В

Б

В

40

ЛИТЕРАТУРА 1 Авдейчик А.Г., Дыбин В.Б., Ерусалимский Я.М., Задорожный А.И., Мермельштейн Г.Г., Спинко Л.И., Чернявская И.А. Практикум по элементарной математике. – М.: Вузовская книга, 2000. 2 Александров Б.И., Максимов В.М., Лурье М.В., Колесниченко А.В. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Изд-во МГУ, 1972. 3 Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1974. 4 Егерев В.К. и др. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под редакцией М.И. Сканави. – М.: Высшая школа, 2002. 5 Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. М.: МП Азбука, 1994. 6 Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ элементарных функций. – М.: Наука, 1980. 7 Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – М.: Наука, 1986. 8 Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. М.: Наука, 1988. 9 Якушева Е.В., Попов А.В., Якушев А.Г. Математика. Ответы на вопросы. Теория и примеры решения задач. – М.: 1-ая Федеративная Книготорговая Компания, 1997. 10 Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под редакцией Прилепко А.И. – М.: Высшая школа, 1983. 11. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под редакцией М.И. Сканави. – М.: «ОНИКС 21 век» «Мир и образование», 2004. 41