Алгебраическая квантовая теория. Современные методы теории поля

Г.А.Сарданашвили АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ (Современные методы теории поля. Т. 3) В этом томе излагаются основные методы и имеющиеся модели алгебраической формулировки квантовой теории. Эта формулировка основана на так называемой конструкции Гельфанда— Наймарка—Сигала, когда квантовая система характеризуется некоторой алгеброй наблюдаемых, а физически достоверными считаются значения той или иной положительной формы на этой алгебре. В книге приводятся необходимые математические сведения по топологическим векторным пространствам, инволютивным алг-ебрам и мерам. Книга призвана помочь читателю ориентироваться в современной литературе по алгебраической квантовой теории. Содержание Введение 3 Глава 1. Пространства 5 §1. Топологические векторные пространства 5 § 2. Сопряженные пространства 8 §3. Пространства линейных отображений 11 §4. Гильбертовы пространства 12 § 5. Операторы в гильбертовых пространствах 16 §6. Счетно-гильбертовы и ядерные пространства 18 §7. Дополнение. Кэлеровы многообразия 20 Глава 2. Алгебры и их представления 26 §1. Инволютивные алгебры 26 § 2. Представления инволютивных алгебр 29 §3. Гильбертовы интегралы представлений 32 §4. Конструкция ГНС 35 §5. Следы 40 §6. Гильбертовы интегралы состояний 45 § 7. Дополнение. Функциональное представление C*-алгебр 47 Глава 3. Симметрии квантовых систем 51 § 1. Морфизмы и йордановы морфизмы 51 §2. Дифференцирования 54 § 3. Модулярная группа 59 §4. Инвариантные состояния 62 §5. Группы и C*-алгебры 65 § 6. Дополнение. Группоиды и C*-алгебры 72 Глава 4. Квантовомеханические системы 84 §1. Универсальные обертывающие алгебры 84 §2. Конечно порожденные C* -алгебры 87 § 3. Когерентные состояния 91 §4. Квантование по Березину 97 §5. Геометрическое квантование 102 § 6. Канонические коммутационные соотношения 110

§ 7. Протяженные системы § 8. Канонические антикоммутационные соотношения § 9. Квантовые группы § 10. Деформационное квантование Глава 5. Алгебраическая квантовая теория поля §1. Алгебры неограниченных операторов § 2. Алгебры свободных полей § 3. Производящие функционалы Глава 6. Дополнения § 1 Квантовая теория при конечной температуре § 2. Системы со многими вакуумами Приложение А. Меры Приложение Б. Преобразования Лапласа Библиография Список обозначений Предметный указатель

124 129 131 139 149 149 152 156 161 161 170 178 194 203 206 207

Предметный указатель А — — σ-конечная, 59 абстрактная теорема об ядре, 19 — C*-функций, 124 алгебра Борхерса, 153 C*-алгебра, 26 — Вейля, 142 — группоида, 82 — Гейзенберга—Вейля, 111 — квазилокальная, 126 — КАС, 129 — конечно порожденная, 88 — Пуассона, 98 — локальная, 126 — Хопфа, 132 — локально компактной группы, 66 — — инволютивная, 132 — порожденная присоединенными — — квазитриангулярная, 133 элементами, 90 — — классическая, 135 — элементарная, 34 — — кокоммутативная, 132 CCR-алгебра, 35 — банахова, 26 GCR-алгебра, 35 — инволютивная, 26 Oр*-алгебра, 149 — — нормированная, 26 алгебраически сопряженное, 8 — — типа I, 32 аналитический вектор, 60 — конечно порожденная, 88 анти голоморфное касательное — простая, 35 пространство, 22 — с присоединенной единицей, 27 антиморфизм, 51 — свободная, 87 антиобратное отображение, 132 — фон Неймана, 29 аппроксимативная единица, 27 — — конечная, 41 Б — — полуконечная, 41 базис, 6 — — порожденная, 29 — меры, 184 — — типа I, 29 — ортонормальный, 14 — - типа III, 170 барицентр, 193

бикоммутант, 29 бинваринтное подпространство, 70 борелевская алгебра, 191 — мера, 191 — — внутренне регулярная, 191 — — локально ограниченная, 191 борелевское множество, 191 — пространство, 191 — — подчиненное топологии, 191 — — стандартное, 191 бэровская мера, 192 бэровское множество, 192 В вакуум, 170 вакуумное среднее, 170 вектор бесконечно дифференцируемый, 85 — допустимый, 91 — ортонормальный, 13 векторная форма, 36 векторное поле комплексное, 22 вероятностное пространство, 158 верхний интеграл, 180, 183 виковский поворот, 201 воспроизводящая система, 99 — тройка, 99 воспроизводящее ядро, 92 второе сопряжение, 10 выпуклая оболочка, 5 Г гамильтониан, 58 гауссова мера с ненулевым средним, 120 — промера, 189 — промера каноническая, 189 гиббсовское состояние, 161 гильбертов интеграл, 33 гильбертова алгебра, 42 — — группы, 70 — — полная, 42 — — совершенная, 42 — размерность, 14 — сумма, 15 — — представлений, 30

гильбертово пространство дуальное, 15 — — сепарабельное, 14 гиперподпространство, 5 голоморфное касательное пространство, 22 — многообразие, 22 граф-топология, 150 группа Гейзенберга—Вейля, 111 — изотропная, 73 — когомологий группоида, 77 — модулярных автоморфизмов, 60 — равномерно непрерывная, 53 — сильно непрерывная, 54 — слабо непрерывная, 54 групповая алгебра, 66 групповое расслоение, 74 группоид, 72 — главный, 73 — топологический, 78 — транзитивный, 73 — тривиальный, 74 — l-дискретный, 79 Д дези нтегрирование представления, 34 действие группы раздельно непрерывное, 53 — слабо непрерывное, 54 деформационное квантование строгое, 147 деформация Ли, 140 — ассоциативная, 140 — билинейной формы, 139 C*-динамическая система, 162 W*-динамическая система, 162 дискретная серия представлений, 70 дифференцирование внутреннее, 55 — внутренние аппроксимативно, 55 — допустимое, 57 — симметрическое, 54 допустимая пара, 72 дуальная пара, 9 Е

евклидизация пространства Минковского, 199 единица левая, 73 — правая, 73 естественный положительный конус, 61 З замыкание оператора, 56 — представления, 150 И идеал, 27 — двусторонний, 27 — — максимальный, 27 — примитивный, 31 — собственный, 27 — существенный, 88 измельчение меры, 184 измеримое отображение, 183 — подмножество, 183 изометрия, 51 изоморфизм пространственный, 29 изотонности условие, 126 инволюция, 26 интеграл, 178 — верхний, 179 — со значениями в векторном пространстве, 190 Й йорданов автоморфизм, 51 — изоморфизм, 51 — морфизм, 51 К калибровочная функция множества, 7 квазиспектр, 32 квантование по Березину, 99 квантовая алгебра Ли, 137 — группа, 135 — решетка, 127 квантовое гильбертово пространство, 106 — распределение, 127 — тождество Якоби, 138 — удвоение, 136 — число, 137

квантовые коммутационные соотношения, 138 — структурные константы, 138 квантовый детерминант, 136 — факториал, 137 коалгебра, 132 когерентное состояние, 92 — состояние ковариантное, 95 — состояние обобщенное, 94 — состояние обобщенное допустимое, 94 когомологии Хосшильда, 140 — Шевалье—Эленберга, 141 коединица, 132 коммутант, 29 — сильно ограниченный, 150 — слабо ограниченный, 150 комплексная форма, 22 комплексное гамильтоново векторное поле, 24 — касательное пространство, 22 — касательное расслоение, 22 — кокасательное пространство, 22 — кокасательное расслоение, 22 комплексный касательный вектор, 22 конструкция ГНС, 3 — Федосова, 142 копроизведение, 132 коэффициент представления, 69 кэлерова метрика, 23 кэлерово многообразие, 23 КАС, 129 ККС C*-алгебра, 124 ККС алгебра, 111 ККС в форме Вейля, 111 ККС в форме Гейзенберга, 111 ККС группа, 111 Л лемма Шура, 86 линейное расслоение, 103 локально интегрируемая функция, 184 локальной коммутативности условие, 127

М матрица плотности, 59 мера, 178 — Баргмана, 122 — Дирака, 178 — Лиувилля, 98 — Хаара, 186 — — левая, 186 — борелевская стандартная, 191 — вероятностная, 191 — внешняя открытого множества, 179 — — произвольного множества, 180 — инвариантная, 186 — — на пространстве единиц, 80 — индуцированная, 183 — — на группоиде, 80 — квазиинвариантная, 186 — — на пространстве единиц, 80 — максимальная, 193 — множества, 178 — обратная, 185 — ограниченная, 179 — ортогональная, 46 — положительная, 179 — псевдососредоточенная, 192 — сосредоточенная, 183 — точечная, 178 меры эквивалентные, 184 метрическая связность, 23 множество локально пренебрежимое, 182 — орбит группоида, 74 — пренебрежимое, 180 множитель подалгебры, 88 модуль группы, 186 — элемента, 40, 49 модулярная группа, 60 — инволюция, 60 — функция, 80 модулярное условие, 60 модулярный оператор, 60 мультипликатор меры, 186 Н

норма, 6 — Гильберта—Шмидта, 17 — операторная, 16 — следовая, 18 носитель меры, 178, 183 — обобщенной функции, 197 О обертывающая алгебра фон Неймана, 172 — C*-алгебра, 38 область, 196 — определения оператора, 56 обобщенная функция, 194 обобщенное граничное значение, 197 обобщенный собственный вектор, 20 оболочка выпуклая замкнутая, 5 образ меры, 184 — промеры, 188 образующие элементы, 87 огибающая, 179 оператор Гильберта—Шмидта, 17 — Казимира, 86 — Лиувилля, 167 — замкнутый, 56 — замыкаемый, 56 — компактный, 17 — комплексной структуры, 21 — неограниченный, 56 — нормальный, 16 — ограниченный, 16 — полного числа частиц, 116 — положительно определенный, 17, 190 — присоединенный, 58, 89 — разложимый, 33 — рождения, 115 — самосопряженный, 56 — симметрический, 56 — сопряженный, 16, 56 — — максимальный, 56 — сплетающий, 31 — суперотбора, 172 — существенно самосопряженный, 56

— унитарный, 16 — уничтожения, 115 — эрмитов, 16 — ядерный, 18 операторное поле измеримое, 33 определенное почти всюду отображение, 181 основные функции, 194 отделяющее подмножество, 59 относительно инвариантная мера, 187 отношение эквивалентности единиц, 73 отображение антилинейное, 15 — аффинное, 52 — вполне непрерывное, 17 — вырожденное, 17 — положительное, 51 — скалярно непрерывное, 190 — слабо непрерывное, 12 — сопряженное, 12 — ядерное, 19 — µ-собственное, 184 П параметр деформации, 139 плотность меры, 184 подалгебра максимальная, 97 подмножество абсолютно выпуклое, 5 — ограниченное, 10 — относительно компактное, 180 — поглощающее, 6 — слабо ограниченное, 10 — уравновешенное, 5 подобные гомоморфизмы, 75 — группоиды, 75 подпространство самосопряженное, 151 поле гильбертовых пространств измеримое, 32 — — — с интегрируемым квадратом, 33 — представлений, 34 — C*-алгебр, 124 полная масса меры, 180

— система обобщенных собственных векторов, 20 полунорма, 6 полуплотность, 106 польское пространство, 191 поляризация, 105 полярное разложение, 41 пополнение, 7 преддвойственное пространство, 53 предквантование, 105 предквантовое расслоение, 105 предмера, 182 — локально ограниченная, 182 — ограниченная, 182 преднорма, 6 представление Шредингера, 121 — вполне приводимое, 71 — группоида, 81 — замкнутое, 150 — квадратично интегрируемое, 91 — невырожденное, 30 — неприводимое, 151 — — алгебраически, 31 — — топологически, 30 — ограниченное, 81 — полное, 133 — регулярное левое, 68 — — правое, 69 — с интегрируемым квадратом, 70 — самосопряженное, 150 — со следом, 43 — сопряженное, 150 — — второе, 150 — существенно самосопряженное, 150 — точное, 30 — фоковское, 118 — циклическое, 30 — чисел заполнения, 122 — эрмитово, 149 представления дизъюнктные, 31 — квазиэквивалентные, 31 — со следом квазиэквивалентные, 43 — — эквивалентные, 43

преобразование Гельфанда, 48, 50 — Лапласа, 198 — Фурье обобщенной функции,196 — — промеры, 188 — — функции, 195 — — функции обратное, 195 — Фурье—Лапласа, 196 преобразования Боголюбова неоднородные, 121 — — однородные, 119 принцип соответствия, 97 — — слабый, 99 присоединенное действие алгебры Хопфа, 137 проективное гильбертово пространство, 24 проектор, 16 проекторы ортогональные, 43 проекционный оператор, 16 произведение Вейля, 143 — Мойла, 141 — косое, 76 — мер, 185 — подкрученное, 148 — полупрямое, 76 производная Радона—Никодима, 184 производящая функция, 112 промера, 188 пространства µ-эквивалентные, 180 пространство Гординга, 85 — Фреше, 7 — Шварца, 194 — банахово, 7 — выпуклое, 5 — гильбертово, 14 — единиц, 73 — локально выпуклое, 6 — оснащенное гильбертово, 20 — предгильбертово, 13 — пробных функций, 194 — рефлексивное, 10 — случайных величин, 158 — счетно-гильбертово, 18 — ядерное, 19

протяженная система, 124 прямая сумма гильбертовых пространств, 15 прямой интеграл представлений, 34 Р равномерно непрерывное действие, 53 разложение единицы, 96 — эргодическое, 64 распределение Шварца, 195 — умеренного роста, 194 расслоение группоидов, 77 — линейное универсальное, 109 — модулей, 77 — — постоянное, 77 — на C*-алгебры, 125 — подгрупп, 79 расширение представления, 150 расширенная числовая прямая, 180 решетка, 193 ряд Лорана, 148 С свертка мер, 185 — меры и функции, 187 — функций, 187 связность абелева, 146 — допустимая, 105 — симплектическая, 145 семейство полное, 14 — топологически свободное, 13 — тотальное, 14 сепарабельное пространство, 7 сеть, 27 сильно непрерывное действие, 54 символ оператора, 100 — — контравариантный, 100 симплекс, 193 система Хаара, 78 — — правая, 79 скалярное произведение, 13 след, 41 — конечный, 41 — нормальный, 41 — полуконечный, 41

— точный, 41 случайный процесс, 158 — — гауссовский, 158 собственное подпространство, 20 сопряженные показатели, 183 состояние, 36 — КМШ, 162 — инвариантное, 63 — когерентное, 96 — на ненормированной алгебре, 152 — основное, 63 — сепарабельное, 169 — точное, 59 — эргодическое, 64 спектр, 31 — оператора, 16 — элемента, 27 спектральное разложение, 20 спиновая решетка, 131 стационарная подгруппа, 93 субпредставление, 151 сужение группоида, 75 сумма мер, 183 суммируемое семейство мер, 184 существенный верхний интеграл, 181, 182 Т тензор кривизны симплектической связности, 146 тензорная алгебра, 85 тензорное произведение гильбертовых пространств, 16 — — — — неполное, 128 — — C*-алгебр, 127 теорема Алаоглу—Бурбаки, 11 — Борхерса—Арвесона, 58 — Бохнера, 188 — Вика, 155 — Колмогорова, 10 — Макки—Аренса, 11 — Пуанкаре—Биркгофа— Витте, 85 — Рисса, 193 — Сакаи, 29 — Томита—Такесаки, 60

— Хана—Банаха, 9 — Шура, 72 — фон Неймана, 122 термополевая динамика, 166 топологически сопряженное, 9 топологическое векторное пространство, 5 топология Джекобсона, 31 — Макки, 11 — Фелла, 79 — индуктивного предела, 8 — компактной сходимости, 8 — — — по всем производным, 8 — определяемая семейством преднорм, 7 — ослабленная, 198 — поточечной сходимости, 7, 158 — прямой суммы, 86 — равномерная, 7 — равномерной сходимости, 8 — — — на семействе множеств, 10, 12 — сильная, 10 — — операторная, 28 — слабая, 9 — — операторная, 28 — — определяемая пространством, 9 — слабая*, 10 — сходимости в среднем, 181 — — — порядка р, 181 — ультрасильная, 28 — ультраслабая, 28 — широкая, 179 — согласующаяся с двойственностью, 9 тотализирующий вектор, 30 — — сильно, 150 точка крайняя, 11 трансляционная квазиинвариантность, 114 трубчатое множество, 197 У универсальная обертывающая алгебра, 85

— R-матрица, 133 универсальное представление, 38 унимодулярная группа, 187 уравнение Янга—Бакстера, 134 — Янга—Бакстера квантовое, 133 условие Бора—Зоммерфельда, 106 — Дирака, 98 — КМШ, 162 — КМШ для мер, 80 — сильной аналитичности, 60 — слабой аналитичности, 60 — справедливое почти всюду, 180 — целочисленности симплектической формы, 105 Ф фактор, 29 фактор-представление, 31 фильтрующееся семейство, 182 фоковское представление, 122 — представление КАС, 131 форма Киллинга, 87 — ковариации, 189 — мажорирующая, 36 — ортогональная, 46 — положительная, 35 — нормальная, 53 — центральная, 45 — чистая, 39 — эрмитова, 13 — — невырожденная, 13 — — положительная, 13 формальная размерность, 70 формула Костанта—Сурьо, 105 формы связанные с представлением, 36 фундаментальная форма эрмитовой метрики, 23 функции быстро убывающие на бесконечности, 194 — интегрируемые, 181

— интегрируемые в p-степени, 181 функция Грина, 167 — Уайтмана, 199 — Швингера, 199 — антиголоморфная, 21 — аффинная, 192 — вогнутая, 192 — выпуклая, 192 — голоморфная, 21 — интегрируемая, 181 — модерантная, 183 — положительного типа, 68, 188 — — — чистая, 68 — пренебрежимая, 180 — существенно ограниченная, 33 X характер, 44 — группы, 71 — коммутативной алгебры, 47 характеристическая функция множества, 178 Ц целые аналитические элементы, 61 центр универсальной обертывающей алгебры, 86 центральный носитель, 71 циклический вектор, 30 Э эквивалентные представления, 30 экстремальное разложение, 47 элемент Гильберта—Шмидта, 42 — Казимира, 87 — положительный, 40 — — строго, 89 — со следом, 42 эрмитова метрика, 22 эрмитово многообразие, 23 Я ядерная группа, 112 ядро положительного типа, 159

Алгебраический подход в квантовой теории основывается на предположении, что квантовая система характеризуется некоторой топологической инволютивной алгеброй А, но физически достоверными могут быть только значения той или

иной непрерывной положительной линейной формы на А, которые интерпретируются как средние значения наблюдаемых квантовой системы. При этом действие алгебры А на себя левыми умножениями выглядит под знаком формы f как ее представление в некотором гильбертовом пространстве. Это составляет содержание так называемой конструкции Гельфанда—Наймарка— Сигала (конструкции ГНС). В рамках алгебраического подхода были получены глубокие результаты, но провести, как надеялись, аксиоматическое построение квантовой теории в целом не удалось. Одна из причин неудачи заложена в исходном постулате алгебраического подхода. Вышеупомянутая форма f на алгебре наблюдаемых с точностью до постоянного множителя определяется своим ядром f-1(0). Таким образом, задание средних значений — это задание аннулятора на алгебре квантовой системы. Следовательно сама эта алгебра по средним значениям реконструируется не полностью и остается, вообще говоря, неизвестной. Поэтому в данной книге мы не обсуждаем аксиоматику алгебр наблюдаемых квантовых систем (см., например, [25]), а следуем конструктивному подходу, когда квантовые наблюдаемые отождествляются с эрмитовыми элементами топологических инволютивных алгебр. В квантовой механике это, как правило, нормированные алгебры, выполняемые ограниченными операторами в гильбертовых пространствах. В алгебраической квантовой теории поля алгебры квантовых полей не нормированы [24]. По алгебраической квантовой теории существует обширнейшая литература. Эта теория имеет много аспектов, которые ни по методам, ни по кругу решаемых задач не выстраиваются в какую-либо единую логическую схему. Суммировать их все в рамках одной монографии невозможно. Поэтому в данной книге затронуты в основном те стороны алгебраической квантовой теории, которые так или иначе имеют выход в квантовую теорию поля. При этом, как и в предыдущих томах, мы уделяем основное внимание не моделям, а методам и идеям, на которых эти методы основаны. Чтобы сделать изложение компактным, мы опускаем, как правило, доказательства приводимых утверждений и теорем, отсылая читателя за деталями к цитируемой литературе. В отношении алгебраической квантовой теории поля мы решаем тоже ограниченную, но более близкую к реалистическим моделям задачу, сводя описание квантовых полей к заданию производящих функционалов их хронологических вакуумных средних. Под знаком такой формы квантовые поля (будем говорить для определенности о скалярном поле) коммутируют, и их алгебру можно заменить соответствующей коммутативной тензорной алгеброй, которая, в свою очередь, представляет собой обертывающую алгебру коммутативной алгебры Ли трансляций в бесконечномерном ядерном пространстве Q. Состояние на такой алгебре задается функцией Z положительного типа на Q и имеет смысл производящего функционала. Она является преобразованием Фурье некоторой положительной меры на сопряженном к Q пространстве обобщенных функций, т.е. записывается в виде функционального интеграла. Это важно, поскольку широко применяемые сейчас в

квантовой теории поля функциональные интегралы строятся обычно как формальный предел мер в конечномерных пространствах и на них иногда необоснованно экстраполируются свойства этих мер, например, трансляционная инвариантность меры Лебега.