Метод Харди Литтлвуда

Р.Вон МЕТОД ХАРДИ — ЛИТТЛВУДА М.: Мир, 1985. —184 с.

Книга известного английского математика, излагающая один из основных методов теории чисел — метод Харди — Литтлвуда. На примерах решения ряда конкретных проблем автор демонстрирует возможности этого метода, приводит изящные и краткие доказательства известных теорем. Приведены задачи разной степени трудности, поставлены новые проблемы. Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов, специализирующихся по теории чисел. Оглавление Предисловие редактора перевода 5 Предисловие 7 Обозначения 8 1 Введение и исторические сведения 9 1.1 Проблема Варинга 9 1.2 Метод Харди — Литтлвуда 10 1.3 Проблемы Гольдбаха 13 1.4 Другие проблемы 14 1.5 Упражнения 14 2 Простейшая верхняя оценка G(k) 16 2.1 Определение больших и малых дуг 16 2.2 Вспомогательные леммы 16 2.3 Оценка на малых дугах 21 2.4 Большие дуги 22 2.5 Особый интеграл 26 2.6 Особый ряд 27 2.7 Заключение 31 2.8 Упражнения 32 3 Проблемы Гольдбаха 34 3.1 Тернарная проблема Гольдбаха 34 3.2 Бинарная проблема Гольдбаха 39 3.3 Упражнения 43 4 Большие дуги в проблеме Варинга 44 4.1 Обобщенная функция 44 4.2 Экспоненциальная сумма S(q, a) 51 4.3 Особый ряд 53 4.4 Вклад больших дуг 55 4.5 Согласование условий 58 4.6 Упражнения 60 5 Методы Виноградова 61 5.1 Теорема Виноградова о среднем 61 5.2 Переход от среднего 66 5.3 Малые дуги в проблеме Варинга 73

5.4 Верхняя граница G(k) 5.5 Упражнения 6 Методы Дэвенпорта 6.1 Множества сумм k-х степеней 6.2 G(4)-16 6.3 Оценки Дэвенпорта G(5) и G(6) 6.4 Упражнения 7 Верхняя оценка G(k) И. М. Виноградова 7.1 Некоторые замечания к теореме Виноградова о среднем 7.2 Предварительные оценки 7.3 Асимптотическая формула для J s ( X ) 7.4 Верхняя оценка G(k) И. М. Виноградова 7.5 Упражнения 8 Тернарная аддитивная проблема 8.1 Общие предположения 8.2 Формулировка теоремы 8.3 Определение больших и малых дуг 8.4 Рассмотрение n 8.5 Большие дуги N(q, a) 8.6 Особый ряд 8.7 Завершение доказательства теоремы 8.1 8.8 Упражнения 9 Однородные уравнения и теорема Бёрча 9.1 Введение 9.2 Аддитивные однородные уравнения 9.3 Теорема Бёрча 9.4 Упражнения 10 Теорема Рота 10.1 Введение 10.2 Теорема Рота 10.3 Теорема Фюрстенбурга и Шаркоци 10.4 Определение больших и малых дуг 10.5 Вклад малых дуг 10.6. Вклад больших дуг 10.7 Завершение доказательства теоремы 10.2 10.8 Упражнения 11 Диофантовы неравенства 11.1 Теорема Дэвенпорта и Хельбронна 11.2 Определение больших и малых дуг 11.3 Оценка на малых дугах 11.4 Большая дуга 11.5 Упражнения Библиография

74 78 79 79 89 92 92 94 94 95 101 104 108 109 109 110 110 112 117 117 125 126 128 128 128 131 135 136 136 137 141 143 144 146 146 147 148 148 150 161 168 186 166

Список работ на русском языке Именной указатель Предметный указатель

173 177 179

Именной указатель 16, 31, 32, 74, 75, 77, 123 Апостол (Apostol) 29 Льюис (Lewis) 7, 128, 131 Баласубраманян (Balasubra-manian) Малер (Mahler) 10 10 Мих (Miech) 113 Баше (Bachet) 9 Монтгомери (Montgomery) 14 Бёрч (Birch) 128, 131 Морделл (Mordell) 44, 96 Бирстедт (Bierstedt) 131 Нортон (Norton) 131 Бомбьери (Bombieri) 62, 64 Пиллаи (Filial) 9 Полна (Polya) 123 Боувей (Bovey) 131 Радемахер (Rademacher) 7 Райт Брауэр (Brauer) 128 (Wright) 7, 9, 28, 39 Бэйкер (Baker) 155 Рамануджан (Ramanujan) 11, 15 Варден ван дер (Waerden, van der) Ригер (Rieger) 9 Рот (Roth) 107, 136, 136, 137 137, 138, 155 Варинг (Waring) 9 Семереди (Szemeridi) 136 Ватсон (Watson) 13 Стеммлер (Stemmler) 10 Вейль (Weyl) 12, 18, 19 Титавайнен (Tietavainen) 131 Вейль (Weil) 44 Томас (Thomas) 10 Вильсон (Wilson) 67 Туран (Turan) 136, 137 Виноградов И. М. 12, 14, 29, 34, 59, Ферма (Fermat) 9 75, 94, 104 Фюрстенберг (Furstenberg) 136, 137 Вон (Vaughan) 14, 60, 93, 107, 131, Хаксли (Huxley) 67 155 Харди (Hardy) 7, 9, 10, 11, 12, 28, 31, Гильберт (Hilbert) 9 32, 39, 75, 77, 123 Гольдбах (Goldbach) 13, 34 Xacce (Hasse) 122 Диксон (Dickson) 9 Хельбронн (Heilbronn) 44, 107, 118, Диофант (Diophantus) 9 148 Дирихле (Dirichlet) 11, 17, 21 Хуа (Hua, L. — К.) 14, 16, 44, 94, 95, Додсон (Dodson) 131 104 Дэвенпорт (Davenport) 7, 13, 30, 44, Човла (Chowla) 30, 131 79, 80, 82, 84, 87, 88, 92, 93, 107, Шаркоци (Sarkozy) 137, 141, 147 118, 122, 128, 131, 148, 155 Шефилд (Scourfield) 78 Зигель (Siegel) 7 Шимура (Shimura) 131 Карацуба А. А. 62 Шмидт (Schmidt) 7, 44 Лагранж (Lagrange) 9 Эйлер (Euler) 9, 13, 29 Ландау (Landau) 7 Эллисон (Ellison) 9 Лежандр (Legendre) 107 Эрдёш (Erdos) 80, 136, 137 Линник Ю. В. 13, 62 Эстерманн (Estermann) 7 Литтлвуд (Littlewood) 7, 9, 10, 11, 12, Предметный указатель Аддитивное однородное уравнение 128, 129, 131, 132, 148

Алгоритм Евклида 27 Асимптотическая плотность 136 Биквадрат 9, 10, 84, 89 Большие дуги 12, 16, 22, 34, 36, 44, 55, 95, 98, 101, 107, 110, 117, 143, 144, 145, 150, 153 Большое решето 67, 76, 122 Виноградова символ 8 — теорема о среднем 61, 62, 65, 94 Гипотеза Римана расширенная 14 Диафантово неравенство 148 — приближение 11, 17 Кубическая форма 7, 128 Кубы 9, 13 Лемма Хуа 20, 21, 75, 95, 116, 150 Малые дуги 12, 16, 22, 34, 73, 95, 101, 107, 110, 112, 143, 144, 145 Метод Харди — Литтлвуда 7, 10, 12, 14, 95, 128, 136, 148, 150 Мультипликативная теория чисел 14, 65 Неравенство Вейля 12, 19, 21, 24, 34, 60, 90, 92, 95, 112, 152 Однородное уравнение 128, 129, 131, 148 Однородная форма 128, 131 Особый интеграл 12, 26 — ряд 12, 27, 40, 53, 91, 110, 117 Первообразный корень 51 Полиномиальное сравнение 95 — — Варинга 9, 12, 44, 73 — — для биквадратов 89

— тернарная аддитивная 103 Проблема Гольдбаха бинарная 13, 14, 29 — — тернарная 13, 14, 34 Произведение Эйлера конечное 117 Разностный оператор 18, 32, 86 Римана дзета-функция 61 Сумма Гаусса 122 — делителей 14 — Рамануджана 15, 39 — степеней 9, 79, 91, 108 — трех квадратов 109 Теорема Коми — Дэвенпорта — Човлы 30 — о четырех квадратах 9 — Семереди 137 Тривиальная область 150 Формула Ньютона 62 — суммирования Пуассона 47 — — Эйлера — Маклорена 47 Функция вспомогательная 22, 89, 95 — Мангольдта 35 — Мёбиуса 35 — обобщенная 22, 44, 89, 95 — разбиения 11 — Эйлера 29 Характеры 52 Четыре положительных куба 93 Эргодическая теория 136, 137 Эрдёша — Турана предположение 136