О метабелевых произведениях групп

Алгебра и логика, 43, N 3 (2004), 341—352

УДК 512.5

О МЕТАБЕЛЕВЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ГРУПП∗) В. Н. РЕМЕСЛЕННИКОВ, Н. С. РОМАНОВСКИЙ Введение Эта работа выполнена в рамках проекта по созданию алгебраической геометрии для метабелевых групп. Основы алгебраической геометрии над группами изложены в [1, 2]. В частности, там для любой фиксированной группы G введена категория G-групп, понятие свободной G-группы в многообразии и квазимногообразии групп, понятие делителей нуля и области, а также объясняется необходимость этих понятий при создании алгебраической геометрии над группой G. Например, на языке этих понятий формулируется критерий неприводимости алгебраических множеств для случая, когда G — гиперболическая группа без кручения. К сожалению, некоторые из этих понятий, например, понятие области, не применимы к метабелевым группам, т. к. в нетривиальной метабелевой группе всегда есть нетривиальные делители нуля (см. § 5). В работе предпринимается попытка учесть специфику метабелевых групп и получить ряд результатов, предусмотрев их приложения к проблемам создания алгебраической геометрии над метабелевыми группами. Прежде всего, для любых двух метабелевых групп устанавливается структура их метабелевого произведения (теор. 1—3); в частности, из доказанных теорем следует описание структуры свободных G-групп. Отметим, что в [3] дано описание структуры координатных групп алгебраических множеств для свободной метабелевой группы F ранга не меньше ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 02-01-00293, и научной программы ”Университеты России“, проект N 04.01.053.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

342

В. Н. Ремесленников, Н. С. Романовский

2, в частности, введено понятие u-группы, как группы, универсально эквивалентной F . В теореме 4 сформулирован критерий, когда свойство ”быть uгруппой“ сохраняется при метабелевом произведении, что можно использовать при явном вычислении (напр., с помощью соотношений) координатной группы Gn = G × . . . × G, n > 1. В § 5 определяются понятия полуобласти и строгой полуобласти для метабелевых групп, как аналоги понятия области в общей ситуации, и определяются условия, при которых метабелево произведение двух метабелевых групп является строгой полуобластью.

§ 1. Вспомогательные утверждения 1.1. Пусть G — группа, a, b ∈ G. Тогда ab = b−1 ab, [a, b] = a−1 b−1 ab. Коммутант группы G обозначаем через [G, G]. Через Fit(G) обозначается радикал Фиттинга группы G, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп. Через G1 ∗ G2 обозначается метабелево произведение метабелевых групп G1 и G2 . Пусть для данной группы A задан правый ZA-модуль T . Обозначим через M (A, T ) группу, которая является расширением аддитивной группы модуля T с помощью A.   Ее удобно отождествить с мультипликативной A 0 . группой матриц  T 1 1.2. Пусть группа A представима в виде фактор-группы F/R, где F — свободная группа с базой {xi | i ∈ I}. Обозначим через ai канонический образ элемента xi в A. Рассмотрим правый свободный ZA-модуль T с базой {ti | i ∈ I} и гомоморфизм ϕ : F → M (A, T ), который  Магнуса  ai 0 . Напомним известные факты. определяется отображением xi →  ti 1 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 [4]. Ядро гомоморфизма ϕ равно [R, R]. Таким образом, ϕ определяет вложение группы F/[R, R] в группу M (A, T ), его называют вложением Магнуса.

343

О метабелевых произведениях групп 

a

0



 лежит в F ϕ тоПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 [4]. Матрица P ti u i 1 P гда и только тогда, когда a − 1 = (ai − 1)ui . В частности, Rϕ отож-

дествляется с аддитивной группой подмодуля модуля T , состоящего из P P элементов ti ui , для которых (ai − 1)ui = 0.  a 0  — произвольный элемент из M (A, T ). Выдеt 1   a 0 , u(h) = лим его диагональную и унитреугольную части: d(h) =  0 1   1 0 . = t 1 Пусть h = 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 [5]. Пусть H — произвольное подмножество ¯ — нормальное замыкание в M (A, T ) всех элементов d(h) и из F ϕ, а H ¯ ∩ F ϕ = H F ϕ. u(h), когда h ∈ H. Тогда H

§ 2. Строение коммутанта метабелева произведения метабелевых групп Пусть G1 , G2 — метабелевы группы, рассмотрим их метабелево произведение G1 ∗ G2 . Представим каждую группу Gj (j = 1, 2) в виде фактор-группы Fj /Rj . где Fj — свободная метабелева группа с базой Xj = {xi | i ∈ Ij }. Тогда G является фактор-группой F/R, где F — свободная метабелева группа с базой X = X1 ∪ X2 = {xi | i ∈ I = I1 ∪ I2 }, R — нормальное замыкание в F множества R1 ∪R2 . Пусть F¯j = Fj /[Fj , Fj ], F¯ = F/[F, F ], x ¯i — канонический образ элемента xi в F¯ (где i ∈ I), Tj — свободный Z F¯j -модуль с базой {ti | i ∈ Ij }, T — свободный Z F¯ -модуль с ¯ базой {ti | i ∈ I}. Рассмотрим вложение Магнуса группы F в M (F , T ),  x ¯i 0 , при этом Fj вкладывается в оно определяется формулой xi =  ti 1 M (F¯j , Tj ). Из предложения 3 следует, что группа G вкладывается в факторгруппу M (F¯ , T ) по нормальному замыканию элементов d(r), u(r), где

344

В. Н. Ремесленников, Н. С. Романовский

r ∈ R1 ∪ R2 . Профакторизуем M (F¯ , T ) по нормальному замыканию диагональных элементов d(r). Это приведет к тому, что в наших конструкциях свободные модули T1 , T2 , T над целочисленными групповыми кольцами групп F¯1 , F¯2 , F¯ , соответственно, заменятся на свободные модули (оставим для них те же обозначения T1 , T2 , T ) над групповыми кольцами групп A = G1 /[G1 , G1 ], B = G2 /[G2 , G2 ], C = A × B = G/[G, G]. Отметим, что T , как Z-модуль, раскладывается в прямую сумму ⊕ X

T1 · b ⊕

⊕ X

T2 · a.

a∈A

b∈B

Пусть ai — канонический образ элемента xi ∈ X1 в A (где i ∈ I1 ), bi — канонический образ элемента xi ∈ X2 в B (где i ∈ I2 ). Положим   X X  L1 = ti ui ∈ T1 (ai − 1)ui = 0 ,   i∈I1 i∈I1   X X  L2 = ti ui ∈ T2 (bi − 1)ui = 0 .   i∈I2

i∈I2

Образы элементов из Rj (j = 1, 2) в M (C, T ) изображаются унитре¯ j модуля угольными матрицами и их можно отождествить с подмодулем R

¯ j 6 Lj . Нормальное замыкание мноTj , при этом, по предложению 2, R ¯1 ∪ R ¯ 2 в M (C, T ) отождествляется с подмодулем R ¯ модуля T , жества R который, как Z-модуль, раскладывается в прямую сумму ⊕ X

¯1 · b ⊕ R

⊕ X

¯ 2 · a. R

a∈A

b∈B

¯ 1 , S = T2 /R ¯ 2 , Q = T /R. ¯ ОчеРассмотрим фактор-модули P = T1 /R видно, что Q, как Z-модуль, раскладывается в прямую сумму ⊕ X

P ·b⊕

b∈B

⊕ X

S · a.

a∈A

В силу высказанных ранее соображений, группа G каноническим образом вкладывается в M (C, Q), при этом G1 вкладывается в M (A, P ), G2 вкладывается в M (B, S). Так как G1 /[G1 , G1 ] ∼ = A, G2 /[G2 , G2 ] ∼ = B, G/[G, G] ∼ = C,

345

О метабелевых произведениях групп то

  0 1  = G1 ∩  [G1 , G1 ] = G1 ∩  Q 1 P 

1

 0  1

¯ 1 модуля P , [G2 , G2 ] отождествотождествляется с подмодулем P0 = L1 /R ¯ 2 модуля S, а [G, G] отождествляется с ляется с подмодулем S0 = L2 /R некоторым подмодулем Q0 модуля Q. Отметим, что Q0 содержит в качестве подмодуля L0 =

⊕ X

P0 · b ⊕

b∈B

⊕ X

S0 · a.

a∈A

Очевидно, фактор-модуль Q0 /L0 изоморфен коммутанту метабелева произведения абелевых групп A и B, рассматриваемому как ZC-модуль. Тем самым доказана следующая ТЕОРЕМА 1. Пусть G = G1 ∗ G2 — метабелево произведение метабелевых групп, A = G1 /[G1 , G1 ], B = G2 /[G2 , G2 ], C = A × B = G/[G, G]. Тогда коммутант [G, G] группы G, как ZC-модуль, содержит подмодуль H, который раскладывается в прямую сумму Z-модулей ⊕ X

b∈B

[G1 , G1 ] · b ⊕

⊕ X

[G2 , G2 ] · a,

a∈A

и фактор-модуль [G, G]/H изоморфен коммутанту метабелева произведения A ∗ B. ТЕОРЕМА 2. Пусть A, B — абелевы группы, C = A × B, G = = A ∗ B. Тогда коммутант [G, G] группы G, как ZC-модуль, изоморфен (A − 1)(B − 1) · ZC. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть T — правый свободный модуль с базой {t1 , t2 }. Рассмотрим вложение Шмелькина (см. [6, 7]) группы G в M (C, T ), которое задается отображением     a 0 b 0 , b →   , a ∈ A, b ∈ B. a→ t1 (a − 1) 1 t2 (b − 1) 1

346

В. Н. Ремесленников, Н. С. Романовский 

 0  и отождествляется Тогда коммутант [G, G] группы G равен G ∩  T 1 с подмодулем L модуля T , состоящим из элементов t1 u1 + t2 u2 с условием 1

u1 ∈ (A − 1) · ZC, u2 ∈ (B − 1) · ZC, u1 + u2 = 0. Очевидно, что проектирование L в t1 · ZC является вложением. Легко видеть также, что образ L при этом вложении равен t1 (A − 1)(B − 1) · ZC. Теорема доказана.

§ 3. Радикал Фиттинга метабелева произведения метабелевых групп Очевидно: если G — метабелева группа, то (используем аддитивную запись) Fit(G) = [G, G] ∪ {g ∈ G \ [G, G] | (∃n = n(g) ∈ N ) [G, G](g − 1)n = 0}. Положим также Fitω (G) = [G, G] ∪ {g ∈ G \ [G, G] | (∀x ∈ [G, G]) (∃n = n(g, x) ∈ N ) x(g − 1)n = 0}. Из определения вытекает, что Fitω (G) содержит Fit(G) и является максимальной локально нильпотентной подгруппой группы G, содержащей коммутант. Назовем метабелеву группу G специальной, если она является периодической 2-группой, а фактор-группа G/[G, G] = hai — циклической группой порядка 2. Для такой группы имеем [G, G] = [G, G](a − 1) и (поскольку (a − 1)2 = −2(a − 1)) [G, G] = 2[G, G]. Поэтому коммутант специальной группы является полной 2-группой и раскладывается в прямую сумму квазициклических 2-групп. Если [G, G] 6= 0, то [G, G](a − 1)n+1 = = [G, G](2n (a − 1)) = [G, G] 6= 0 и в этом случае G не является нильпотентной. Очевидно, что специальная группа ограниченного периода имеет порядок 2. Нетривиальным примером специальной группы является расширение квазициклической 2-группы при помощи автоморфизма, переводящего каждый элемент в обратный.

О метабелевых произведениях групп

347

ТЕОРЕМА 3. Пусть G = G1 ∗ G2 — метабелево произведение нетривиальных метабелевых групп G1 , G2 . 1) Fitω (G) строго больше [G, G] в том и только том случае, если оба множителя — специальные группы. 2) Fit(G) строго больше [G, G] в том и только том случае, если оба множителя — циклические группы порядка 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Полагаем A = G1 /[G1 , G1 ], B = G2 /[G2 , G2 ], C = A × B = G/[G, G]. Предположим, напр., что группа G1 не является специальной, и докажем, что Fitω (G) = [G, G]. Рассмотрим элемент g ∈ ∈ G \ [G, G]. Пусть его проекция на C равна c = ab, где a ∈ A, b ∈ B. Исследуем сначала случай, когда выполняется одно из условий: (1) один из элементов a или b равен 1; (2) a 6= 1, b 6= 1, а одна из групп A, B не является циклической порядка 2. Рассмотрим группу A ∗ B, по теореме 2 ее коммутант, как ZC-модуль, изоморфен (A − 1)(B − 1) · ZC. Пусть выполняется условие (1) и, напр., a = 1, c = b 6= 1. Если 1 6= a′ ∈ A, то при любом натуральном n справедливо (a′ − 1)(b − 1)(c − 1)n = (a′ − −1)(b − 1)n+1 6= 0. Тогда g ∈ / Fitω (G). Пусть выполняется условие (2) и, напр., |A| > 2. Если |c| = ∞, то (a − 1)(b − 1)(c − 1)n 6= 0 при любом натуральном n, а потому g ∈ / Fitω (G). Пусть порядок элемента c конечен, без ограничения общности можно предполагать, что он равен простому числу p. Тогда |a| = |b| = p. Если p = 2, то выберем элемент a′ ∈ A, отличный от a и 1. Имеем ha′ , b, ci = ha′ i×hbi×hci, откуда (a′ − 1)(b − 1)(c − 1)n 6= 0 при любом натуральном n. Пусть p > 2, тогда hb, ci = hbi × hci и (a − 1)(b − 1)(c − 1)n = (cb−1 − 1)(b − 1)(c − 1)n = = (c + 1 − b − cb−1 )(c − 1)n 6= 0, так как 1, b, b−1 свободно порождают свободный Zhci-модуль. Снова заключаем, что g ∈ / Fitω (G). Рассмотрим последний случай: a 6= 1, b 6= 1, |A| = 2, |B| = 2. По сделанному ранее предположению группа G1 не является специальной, и в [G1 , G1 ] найдется элемент x, порядок которого отличен от степени числа 2. Тогда при любом натуральном n имеем x(c − 1)n = x(−2)n−1 (c − −1) = x(−2)n−1 c − x(−2)n−1 6= 0, так как x(−2)n−1 c = x(−2)n−1 ab ∈ ∈ [G1 , G1 ]b, −x(−2)n−1 ∈ [G1 , G1 ], а сумма Z-модулей [G1 , G1 ]b и [G1 , G1 ]

348

В. Н. Ремесленников, Н. С. Романовский

является прямой в силу теоремы 1. Поэтому g ∈ / Fitω (G). Предположим далее, что обе группы G1 , G2 — специальные, а G1 не является циклической группой порядка 2. Докажем, что Fit(G) = [G, G]. Пусть A = hai, B = hbi, g ∈ Fit(G), c — канонический образ g в C. Если проекция c на A равна a, то hg, [G, G]i ≡ G1 modGG 2 . Группа G1 , а следовательно, и hg, [G, G]i не является нильпотентной, получаем противоречие. Предположим, что c = b. По теореме 1 имеем [G1 , G1 ](b − 1) ∼ = [G1 , G1 ], откуда [G1 , G1 ](b−1)n+1 = [G1 , G1 ](2n (b−1)) 6= 0 при любом n ∈ N . Приходим к противоречию с тем, что hg, [G, G]i — нильпотентная группа. Таким образом, g ∈ [G, G]. Пусть обе группы G1 , G2 — специальные, A = hai, B = hbi, докажем, что Fitω (G) > [G, G]. Выберем в G элемент g такой, что его проекция c на C равна ab. Очевидно, g ∈ / [G, G], покажем, что g ∈ Fitω (G). Последнее включение эквивалентно тому, что (рассматриваем [G, G] как ZC-модуль) для любого x ∈ [G, G] найдется натуральное n, при котором x(c − 1)n = 0. Заметим, что (в обозначениях теоремы 1) [G, G](c−1) 6 H. Это следует из того, что, по теореме 2, ZC-модуль [G, G]/H изоморфен (a − 1)(b − 1) · ZC и (a − 1)(b − 1)(c − 1) = 0. Поэтому можно предполагать, что x ∈ H. По теореме 1, H является 2-группой. Пусть |x| = 2n . Имеем x(c − 1)n+1 = = x(−2)n (c − 1) = 0. Таким образом, Fitω (G) > [G, G]. Аналогично предыдущему можно показать: если G1 = A = hai, G2 = = B = hbi — циклические группы порядка 2, то ab ∈ Fit(G)\[G, G]. Теорема доказана. § 4. Метабелево произведение u-групп Напомним, что универсальные теории свободных метабелевых групп рангов, не меньших 2, совпадают [3, 8]. Группу, универсально эквивалентную свободной метабелевой группе ранга, не меньше 2, назовем u-группой. Имеется следующая абстрактная характеризация u-групп. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Метабелева группа G является u-группой тогда и только тогда, когда Fit(G) является изолированной абелевой

О метабелевых произведениях групп

349

подгруппой, отличной от G, которая, как Z[G/Fit(G)]-модуль, не имеет кручения. В [9] был приведен пример, когда метабелево произведение двух uгрупп не является u-группой. Докажем, что справедливо следующая ТЕОРЕМА 4. Пусть G1 , G2 — две u-группы. Их метабелево произведение G = G1 ∗ G2 снова является u-группой в том и только том случае, если Fit(G1 ) = [G1 , G1 ] и Fit(G2 ) = [G2 , G2 ]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Fit(G1 ) > [G1 , G1 ], g ∈ Fit(G1 ) \ [G1 , G1 ]. Так как [G, G] ∩ G1 = [G1 , G1 ], то g ∈ / [G, G]. По теореме 3, Fit(G) = = [G, G]. Элемент g − 1 действует тривиально на [G1 , G1 ], и по предложению 4 группа G не может быть u-группой. Пусть Fit(G1 ) = [G1 , G1 ] и Fit(G2 ) = [G2 , G2 ]. Докажем, что G является u-группой. В силу предложения 4 абелевы группы A = G1 /[G1 , G1 ] и B = G2 /[G2 , G2 ] не имеют кручения. Положим C = A × B. Необходимо доказать, что [G, G], как ZC-модуль, не имеет кручения. Пусть 0 6= x ∈ [G, G], 0 6= α ∈ ZC. Воспользуемся обозначениями и утверждением теоремы 1. Если x не принадлежит H, то в фактор-модуле [G, G]/H он представляет нетривиальный элемент. По теореме 2 указанный фактормодуль изоморфен (A − 1)(B − 1) · ZC. Остается заметить, что последний модуль не имеет кручения, так как группы A и B — без кручения. Предположим, что x ∈ H, x = u1 + u2 , где u1 ∈

⊕ X

b∈B

[G1 , G1 ] · b, u2 ∈

⊕ X

[G2 , G2 ] · a.

a∈A

Пусть для определенности u1 6= 0. Упорядочим группу B. Пусть u1 = v1 b1 + . . . + vm bm , α = α1 b′1 + . . . + αn b′n , где vi ∈ [G1 , G1 ], vm 6= 0, αj ∈ ZA, αn 6= 0, bi , b′j ∈ B, b1 < . . . < bm , b′1 < . . . < b′n . Поскольку модуль [G1 , G1 ] не имеет ZA-кручения, то старший член элемента u1 α, который равен vm αn bm b′n , отличен от нуля. Отсюда xα 6= 0. Теорема доказана.

350

В. Н. Ремесленников, Н. С. Романовский § 5. Метабелево произведение строгих полуобластей Напомним некоторые определения из [1]. Нетривиальные элементы

x, y группы G называются делителями нуля, если [xG , y G ] = 1. Группу без делителей нуля называют областью. Очевидно, если в группе есть нетривиальная нормальная абелева подгруппа, то такая группа не является областью. Можно также утверждать, что нетривиальные элементы из Fit(G) являются делителями нуля в группе G. Метабелеву группу G назовем полуобластью, если множество делителей нуля совпадает с Fit(G)\{1}. Если, кроме того, Fit(G) = [G, G], то группу назовем строгой полуобластью. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Метабелева неабелева группа G является строгой полуобластью тогда и только тогда, когда из 1 6= x ∈ [G, G] и y ∈ G \ [G, G] следует [x, y] 6= 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть [x, y] = 1 для некоторых нетривиальных элементов x ∈ [G, G], y ∈ G \ [G, G]. Тогда [x, y g ] = [x, y[y, g]] = = [x, y][x, [y, g]] = 1 для любого g ∈ G. Отсюда [x, y G ] = 1 и, следовательно, элемент y является делителем нуля в G, поэтому G не будет строгой полуобластью. Пусть теперь из 1 6= x ∈ [G, G] и y ∈ G\[G, G] следует [x, y] 6= 1. Пусть 1 6= a, b ∈ G и [aG , bG ] = 1. Требуется доказать, что a, b ∈ [G, G]. Если один из элементов a или b лежит в [G, G], то в силу сформулированного условия и другой элемент содержится в [G, G]. Предположим, что a, b ∈ / ∈ / [G, G]. Пусть 1 6= x ∈ [G, G], тогда [a, x] 6= 1 и [a, x, b] 6= 1, откуда [ax , b] = = [a[a, x], b] = [a, b][a, x, b] 6= 1. Получаем противоречие с тем, что [aG , bG ] = = 1. Предложение доказано. ПРИМЕР. Легко видеть, что группа подстановок третьей степени S3 является строгой полуобластью. Рассмотрим метабелево произведение G = G1 ∗ G2 групп G1 и G2 , каждая из которых изоморфна S3 . Зафиксируем элементы второго порядка a ∈ G1 , b ∈ G2 . Пусть A = hai, B = hbi. Отметим, что группа S3 раскладывается в полупрямое произведение циклической подгруппы порядка 2 и коммутанта. Тогда группа G раскладывается в полупрямое произведение A ∗ B и нормального замыкания комму-

О метабелевых произведениях групп

351

тантов групп G1 , G2 . В частности, G содержит в качестве подгруппы A∗B. На основании теоремы 3 можно утверждать, что в A ∗ B имеются делители нуля, не лежащие в коммутанте, а именно, элемент ab перестановочен с любым элементом из коммутанта группы A ∗ B. Элемент ab является делителем нуля и в G, при этом он не содержится в Fit(G), так как, по теореме 3, Fit(G) = [G, G]. Таким образом, метабелево произведение строгих полуобластей не обязательно является даже полуобластью. ТЕОРЕМА 5. 1) Пусть метабелево произведение G = G1 ∗ G2 двух метабелевых групп G1 , G2 является строгой полуобластью. Тогда каждый сомножитель будет либо абелевой группой, либо строгой полуобластью. 2) Пусть каждая из групп G1 , G2 является либо нетривиальной абелевой группой без кручения, либо строгой полуобластью такой, что фактор-группа по ее коммутанту не имеет кручения. Тогда метабелево произведение G = G1 ∗ G2 будет строгой полуобластью. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Пусть [G1 , G1 ] 6= 1. Воспользовавшись предложением 5, докажем, что G1 — строгая полуобласть. Пусть 1 6= x ∈ ∈ [G1 , G1 ], y ∈ G1 \[G1 , G1 ]. Так как x ∈ [G, G], y ∈ G\[G, G], а G — строгая полуобласть, то [x, y] 6= 1. Значит, G1 — строгая полуобласть. 2) Положим A = G1 /[G1 , G1 ], B = G2 /[G2 , G2 ], C = A × B. Пусть 1 6= x ∈ [G, G], y ∈ G \ [G, G]. Необходимо показать, что [x, y] 6= 1. На аддитивном языке это означает x(c − 1) 6= 0, где c — канонический образ элемента y в C. Воспользуемся обозначениями теоремы 1. Если x ∈ / H, то задача сводится к случаю, когда G1 = A и G2 = B, а по теореме 2 неравенство x(c − 1) 6= 0 выполняется, так как групповое кольцо ZC не имеет делителей нуля. Пусть x ∈ H. Как при доказательстве теоремы 4, раскладываем x в сумму u1 + u2 , где u1 ∈

⊕ X

[G1 , G1 ] · b, u2 ∈

b∈B

Можно предположить, напр., что

⊕ X

a∈A

[G2 , G2 ] · a.

352

В. Н. Ремесленников, Н. С. Романовский

u1 = v1 b1 + . . . + vm bm 6= 0, vi ∈ [G1 , G1 ], vm 6= 0, bi ∈ B, b1 < . . . < bm . Если c ∈ A, то vm (c − 1) 6= 0 (так как G1 — строгая полуобласть), и тогда x(c − 1) 6= 0. Если c = ab, где a ∈ A, b ∈ B, b > 1, то 0 6= vm abm b — старший член в разложении элемента u1 (c − 1), откуда x(c − 1) 6= 0. Если 1 > b, то −vm bm — старший член в разложении элемента u1 (c − 1), откуда снова x(c − 1) 6= 0. Теорема доказана. ЛИТЕРАТУРА 1. G. Baumslag, A. Myasnikov, V. Remeslennikov, Algebraic geometry over groups. I. Algebraic sets and ideal theory, J. Algebra, 219, N 1 (1999), 16—79. 2. A. Myasnikov, V. Remeslennikov, Algebraic geometry over groups. II. Logical foundations, J. Algebra, 234, N 1 (2000), 225—276. 3. V. Remeslennikov, R. Stohr, On the quasivariety generated by a non-cyclic free metabelian group, preprint N 2001/20, Manchester, Manchester Centre Pure Math., 2001. 4. В. Н. Ремесленников, В. Г. Соколов, Некоторые свойства вложения Магнуса, Алгебра и логика, 9, N 5 (1970), 566—578. 5. Н. С. Романовский, О некоторых алгоритмических проблемах для разрешимых групп, Алгебра и логика, 13, N 1 (1974), 26—34. 6. А. Л. Шмелькин, О свободных произведениях групп, Матем. сб., 79(121), N 4(8) (1969), 616—620. 7. Н. С. Романовский, О вложениях Шмелькина для абстрактных и проконечных групп, Алгебра и логика, 38, N 5 (1999), 598—612. 8. O. Chapuis, ∀-free metabelian groups, J. Symb. Log., 62, N 1 (1997), 159—174. 9. Е. И. Тимошенко, Об универсальных теориях метабелевых групп и вложении Шмелькина, Сиб. матем. ж., 42, N 5 (2001), 1168—1175.

Поступило 3 марта 2003 г. Адреса авторов: РЕМЕСЛЕННИКОВ Владимир Никанорович, ул. Орджоникидзе, д. 13, кв. 202, г. Омск, 644099, РОССИЯ. e-mail: [email protected] РОМАНОВСКИЙ Николай Семенович, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. e-mail: [email protected]