ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îá...
47 downloads
178 Views
283KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ "ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ" Êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà
Ä.À. Àáàíèíà, Ò.È. Êîðøèêîâà ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß ê ñïåöèàëüíîìó êóðñó ëåêöèé äëÿ ñòóäåíòîâ è ñëóøàòåëåé ÔÏÊ ôàêóëüòåòà ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê ÂÛÏÓÊËÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ
Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2008
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ðàçðàáîòàíû äîöåíòîì êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Ò.È. Êîðøèêîâîé è ñòàðøèì ïðåïîäàâàòåëåì, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Ä.À. Àáàíèíîé. Îòâåòñòâåííûé ðåäàêòîð Êîìïüþòåðíûé íàáîð è âåðñòêà
êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Ë.È. Êàëèíè÷åíêî Ä.À. Àáàíèíà
Ïå÷àòàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ôàêóëüòåòà ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê ÞÔÓ, ïðîòîêîë îò
Ââåäåíèå
Âûïóêëûé àíàëèç äîñòàòî÷íî âàæíûé è ñàìîñòîÿòåëüíûé ðàçäåë ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííûé îäíîâðåìåííî è ñ êëàññè÷åñêèì àíàëèçîì, è ñ ãåîìåòðèåé. Åãî ìåòîäû øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â òåîðèè ôóíêöèé è êîìïëåêñíîì àíàëèçå, òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âàðèàöèîííîì èñ÷èñëåíèè è òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Áîëüøóþ ðîëü âûïóêëîñòü èãðàåò òàêæå ïðè ðåøåíèè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêå. Íàñòîÿùèå ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïîñâÿùåíû ââåäåíèþ â âûïóêëûé àíàëèç. Îíè âêëþ÷àþò â ñåáÿ ïîíÿòèÿ è îñíîâíûå ñâîéñòâà âûïóêëûõ ìíîæåñòâ è âûïóêëûõ ôóíêöèé â RN . Íàèáîëåå ïîäðîáíî èçó÷àþòñÿ âûïóêëûå ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ñîñòîÿò èç ïÿòè ïàðàãðàôîâ ñ òåîðåòè÷åñêèì ìàòåðèàëîì è ïðèìåðàìè ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ è òåîðåòè÷åñêèõ çàäà÷.  êîíöå ïðèâåäåíû çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ, ñðåäè êîòîðûõ "*"îòìå÷åíû çàäà÷è ïîâûøåííîé ñëîæíîñòè. 1. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà Îïðåäåëåíèå 1.1. Ìíîæåñòâî Q ⊂ RN ∀x, y ∈ Q , ∀λ ∈ [0, 1]
íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè
λx + (1 − λ)y ∈ Q .
Ïóñòîå ìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿ âûïóêëûì ïî îïðåäåëåíèþ. Óñëîâèå âûïóêëîñòè ìîæíî çàïèñàòü åùå â âèäå λ1 x1 + λ2 x2 ∈ Q , ∀x1 , x2 ∈ Q , ∀λ1 , λ2 ≥ 0 , λ1 + λ2 = 1 .
Ãåîìåòðè÷åñêè âûïóêëîñòü ìíîæåñòâà Q îçíà÷àåò, ÷òî âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ ñâîèìè òî÷êàìè Q ñîäåðæèò ïðÿìîëèíåéíûé îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ýòè òî÷êè. Ïîíÿòíî, ÷òî âûïóêëûå ìíîæåñòâà â R ýòî âñå ïðîìåæóòêè, è òîëüêî îíè.
Ìíîæåñòâî Q ⊂ RN âûïóêëî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî n ∈ N ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå Òåîðåìà 1.2.
λ 1 x 1 + . . . + λn x n ∈ Q , ∀x1 , . . . , xn ∈ Q , ∀λ1 , . . . , λn ≥ 0 , λ1 + . . . + λn = 1 .
Äîêàçàòåëüñòâî.
î÷åâèäíà (ïîëîæèòå n = 2). áóäåì äîêàçûâàòü èíäóêöèåé ïî n. Ïóñòü Q âûïóêëî â RN . Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè n = 1, 2 ðàññìàòðèâàåìîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíî âåðíî ïðè íåêîòîðîì n ∈ N, è ïîêàæåì, ÷òî òîãäà îíî âåðíî Äîñòàòî÷íîñòü
Íåîáõîäèìîñòü
3
è äëÿ n + 1. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûå òî÷êè x1, . . . , xn, xn+1 ∈ Q è ÷èñëà n+1 P λ1 , . . . , λn , λn+1 ≥ 0 òàêèå, ÷òî λk = 1 . Îáîçíà÷èì x := λ1 x1 + . . . + λn+1 xn+1 k=1 è λ := λ1 + . . . + λn. Åñëè λ = 0, òî λ1 = . . . = λn = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, λn+1 = 1 è x = xn+1 ∈ Q. Åñëè λ > 0, òî
λn x1 + . . . + xn + λn+1 xn+1 . x=λ λ λ n λ P Òàê êàê λk = 1, òî ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè λλ1 x1 + . . . + λλn xn ∈ Q. k=1 Äàëåå, ïîñêîëüêó λ + λn+1 = 1 è Q âûïóêëî, ïîëó÷àåì, ÷òî x ∈ Q. λ
1
Ãåîìåòðè÷åñêè ðàññìàòðèâàåìîå óòâåðæäåíèå ïðè n = 3, íàïðèìåð, îçíà÷àåò, ÷òî âìåñòå ñ ëþáûìè òðåìÿ ñâîèìè òî÷êàìè ìíîæåñòâî Q ñîäåðæèò è ñîîòâåòñòâóþùèé òðåóãîëüíèê.  çàêëþ÷åíèå ïàðàãðàôà ïðèâåäåì ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âûïóêëûõ ìíîæåñòâ. 10 . Ïóñòü {Qα }α∈A ïðîèçâîëüíîå ñåìåéñòâî âûïóêëûõ ìíîæåñòâ â RN . T Òîãäà èõ ïåðåñå÷åíèå Q := òàêæå âûïóêëî. α∈A Äîêàçàòåëüñòâî òðèâèàëüíî. 20 . Ïóñòü {Qn }∞ n=1 ðàñøèðÿþùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûïóêëûõ ìíî∞ æåñòâ â RN (Q1 ⊂ Q2 ⊂ . . .). Òîãäà èõ îáúåäèíåíèå Q := S Qn òàêæå âûïóêëî. n=1 Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî. Ïîêàæèòå òàêæå, ÷òî äàííîå óòâåðæäåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, ïåðåñòàåò áûòü âåðíûì, åñëè íåò óïîðÿäî÷åííîñòè ïî âëîæåíèþ. 30 . Âíóòðåííîñòü int Q è çàìûêàíèå Q ïðîèçâîëüíîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà âûïóêëû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Q âûïóêëî â RN . Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü âûïóêëîñòü ìíîæåñòâà int Q, âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå òî÷êè x, y ∈ int Q, ÷èñëî λ ∈ [0, 1] è ïîêàæåì, ÷òî òî÷êà z := λx + (1 − λ)y ïðèíàäëåæèò int Q. Òàê êàê x, y ∈ int Q, òî íàéäåòñÿ ε > 0 òàêîå, ÷òî x + B0(ε) ⊂ Q è y0 + B0(ε) ⊂ Q. Çäåñü B0(ε) := {t ∈ RN : ktk < ε} îòêðûòûé øàð ñ öåíòðîì â 0 ðàäèóñà ε. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå t ∈ B0(ε). Òîãäà x + t ∈ Q è y + t ∈ Q. Ïîñêîëüêó z + t = λx + (1 − λ)y + λt + (1 − λ)t = λ(x + t) + (1 − λ)(y + t),
à Q âûïóêëî, òî z + t ∈ Q. Òàêèì îáðàçîì, z + B0(ε) ⊂ Q, òî åñòü z ∈ int Q. Âûïóêëîñòü ìíîæåñòâà Q äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî. 4
2. Îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âûïóêëûõ ôóíêöèé
Ïóñòü Q âûïóêëîå ìíîæåñòâî â f : Q → R íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè Îïðåäåëåíèå 2.1.
∀x, y ∈ Q , ∀λ ∈ [0, 1]
RN
. Ôóíêöèÿ
f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) .
Ýòî óñëîâèå ìîæíî çàïèñàòü òàêæå â âèäå f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) , ∀x1 , x2 ∈ Q , ∀λ1 , λ2 ≥ 0 , λ1 + λ2 = 1 .
Ïðèìåð 2.2.
Äîêàçàòü ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = x2 âûïóêëà
íà R. Ðåøåíèå. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ x, y ∈ R è λ ∈ [0, 1] èìååì
f λx + (1 − λ)y − λf (x) − (1 − λ)f (y) = 2 = λx + (1 − λ)y − λx2 − (1 − λ)y 2 = = λ2 x2 + 2λ(1 − λ)xy + (1 − λ)2 y 2 − λx2 − (1 − λ)y 2 = = −λ(1 − λ)(x2 − 2xy + y 2 ) = −λ(1 − λ)(x − y)2 ≤ 0 ,
òî åñòü ôóíêöèÿ x2 âûïóêëà íà R. Ãåîìåòðè÷åñêè âûïóêëîñòü ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (α, β) â R îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ x1, x2 ∈ (α, β), x1 < x2, ó÷àñòîê ãðàôèêà ôóíêöèè {(x, f (x)) : x ∈ [x1 , x2 ]} ëåæèò íå âûøå õîðäû, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè (x1 , f (x1 )) è (x2 , f (x2 )). y6 y = f (x) f (x2 )
λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) f (x1 ) f λx1 + (1 − λ)x2
0
x1
λx1 + (1 − λ)x2
x2
x
Ðèñ. 1
Èíà÷å ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç â ñìûñëå êëàññè÷åñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, åñëè ïîíÿòèå âûïóêëîñòè âíèç ââîäèòü ÷åðåç ñåêóùèå.  4 5
áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî åñëè f äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β), òî âûïóêëîñòü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2.1 ñîâïàäàåò òàêæå ñ ïîíÿòèåì âûïóêëîñòè âíèç, ââîäèìûì ÷åðåç êàñàòåëüíûå. Îòìåòèì åùå, ÷òî ïîíÿòèå âûïóêëîé ôóíêöèè ìîæíî áûëî îïðåäåëèòü ÷åðåç íàäãðàôèê. Èìåííî, ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Q ⊂ RN òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå íàäãðàôèê Epi f := {(x, y) ∈ RN +1 : x ∈ Q, y ≥ f (x)} ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì â RN +1.  ñëó÷àå N = 1 ýòî ëåãêî óâèäåòü íà ïðåäûäóùåì ðèñóíêå. Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü êðèòåðèé âûïóêëîñòè Èåíñåíà.
Ïóñòü Q âûïóêëîå ìíîæåñòâî â RN . Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f : Q → R áûëà âûïóêëà íà Q, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî n ∈ N, ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê x1, . . . , xn ∈ Q è ÷èñåë λ1, . . . , λn ≥ 0 òàêèõ, ÷òî λ1 + . . . + λn = 1, âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî Èåíñåíà Òåîðåìà 2.3.
f (λ1 x1 + . . . + λn xn ) ≤ λ1 f (x1 ) + . . . + λn f (xn ) .
Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1.2.
Åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Q ⊂ RN , òî äëÿ ëþáîãî íàáîðà òî÷åê x1, . . . , xn ∈ Q (n ∈ N) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Ñëåäñòâèå.
f
 ÷àñòíîñòè,
x + . . . + x 1 1 n ≤ f (x1 ) + . . . + f (xn ) . n n x + x f (x ) + f (x ) 1 2 1 2 f ≤ . 2 2
Îòìåòèì, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî ïîñëåäíåå óñëîâèå âûñòóïàëî â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ âûïóêëîé ôóíêöèè, êîòîðîå áûëî ââåäåíî Èåíñåíîì. Âçàèìîñâÿçü ìåæäó âûïóêëîñòüþ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2.1 è âûïóêëîñòüþ ïî Èåíñåíó èçó÷àåòñÿ â 5. Åñëè âûïèñàòü íåðàâåíñòâî Èåíñåíà äëÿ êîíêðåòíûõ âûïóêëûõ ôóíêöèé, ìîæíî ïîëó÷èòü ìíîãèå èçâåñòíûå íåðàâåíñòâà àíàëèçà (â ÷àñòíîñòè, íåðàâåíñòâà üëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî). Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðå íåðàâåíñòâà ìåæäó ñðåäíèìè àðèôìåòè÷åñêèìè è ñðåäíèìè ãåîìåòðè÷åñêèìè. Ïðèìåð 2.4. Ïîêàçàòü,
òî
÷òî åñëè aj > 0, λj > 0, j = 1, . . . , n, è n Y
λ aj j
n X
≤
j=1
λ j aj . j=1
6
n P
j=1
,
λj = 1
Ðåøåíèå. Äëÿ âûïóêëîé ôóíêöèè ex (ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî âûïóêëîñòè ex
ïðîâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðèâåäåííîãî â 4 êðèòåðèÿ âûïóêëîñòè äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè) íåðàâåíñòâî Èåíñåíà èìååò âèä n X
n X
λj x j ≤
exp j=1
λj exp xj . j=1
Ïîëîæèâ çäåñü xj := ln aj , ïîëó÷èì íóæíîå. Íàêîíåö, ñôîðìóëèðóåì åùå èíòåãðàëüíîå íåðàâåíñòâî Èåíñåíà.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) âûïóêëà íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Q â RN , λ(t) íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà èçìåðèìîì ìíîæåR m ñòâå D â R , ñî çíà÷åíèÿìè â Q òàêàÿ, ÷òî λ(t)dt = 1. Òîãäà äëÿ ëþáîé D íåïðåðûâíîé ôóíêöèè x(t) : D → Q ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Òåîðåìà 2.5.
Z
f
Z λ(t)x(t)dt ≤ λ(t)f x(t) dt.
D
D
Ïóñòü Q âûïóêëîå ìíîæåñòâî â f : Q → R íàçûâàåòñÿ âîãíóòîé íà Q, åñëè Îïðåäåëåíèå 2.6.
∀x, y ∈ Q , ∀λ ∈ [0, 1]
RN
. Ôóíêöèÿ
f λx + (1 − λ)y ≥ λf (x) + (1 − λ)f (y) .
Ïðèâåäåì ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âûïóêëûõ è âîãíóòûõ ôóíêöèé.
Ïóñòü Q âûïóêëîå ìíîæåñòâî â RN . Ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà Q òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà −f âîãíóòà íà Q. 10 .
Äîêàçàòåëüñòâî òðèâèàëüíî.
Ôóíêöèÿ f îäíîâðåìåííî âûïóêëà è âîãíóòà íà ïðîìåæóòêå I ⊂ R òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f àôôèííàÿ ôóíêöèÿ, òî åñòü f (x) = ax + b. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè f (x) = ax + b, òî äëÿ âñåõ x, y ∈ I è 20 .
Äîñòàòî÷íîñòü.
λ ∈ [0, 1]
f λx + (1 − λ)y = a λx + (1 − λ)y + b = = λ(ax + b) + (1 − λ)(ay + b) = λf (x) + (1 − λ)f (y) .
Ïóñòü f âûïóêëà è âîãíóòà íà I . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê [α, β] ⊂ I . Çàôèêñèðóåì x ∈ [α, β]. Òîãäà x = λα + (1 − λ)β , ãäå λ = αx −− ββ . Íåîáõîäèìîñòü.
7
Òàê êàê f âûïóêëà è âîãíóòà íà I , òî ãäå
f (x) = f λα + (1 − λ)β = λf (α) + (1 − λ)f (β) = x−β f (α) − f (β) + f (β) = ax + b , = λ f (α) − f (β) + f (β) = α−β
f (α) − f (β) β , b = f (β) − f (α) − f (β) . α−β α−β Òàêèì îáðàçîì, íà [α, β] f ñîâïàäàåò ñ àôôèííîé ôóíêöèåé. Âçÿâ èçâîëüíîå èñ÷åðïàíèå ïðîìåæóòêà I îòðåçêàìè [αn, βn], n ∈ N: ∞ [ I= [αn , βn ] , [αn , βn ] ⊂ [αn+1 , βn+1 ] , n ∈ N , a=
òåïåðü ïðî-
n=1
ïîëó÷èì, ÷òî f ñîâïàäàåò ñ àôôèííîé ôóíêöèåé íà âñåì ïðîìåæóòêå I .
Ïóñòü Q âûïóêëîå ìíîæåñòâî â RN , ôóíêöèè f è ϕ âûïóêëû íà Q. Òîãäà ôóíêöèè f + ϕ è λf , ãäå λ > 0, âûïóêëû íà Q, à ôóíêöèÿ λf , ãäå λ < 0, âîãíóòà íà Q. 30 .
Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëàãàåì ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî. Çàìå÷àíèå. Ïðî ðàçíîñòü äâóõ âûïóêëûõ ôóíêöèé íè÷åãî îïðåäåëåííîãî ñêàçàòü íåëüçÿ. Íàïðèìåð, ôóíêöèè f (x) = x2, ϕ(x) = 2x2 âûïóêëû íà R, ϕ(x) − f (x) = x2 âûïóêëà íà R, à f (x) − ϕ(x) = −x2 âîãíóòà íà R.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò (ñîîòâåòñòâåííî, óáûâàåò) íà (α, β) è îòîáðàæàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íî (α, β) íà (α1, β1). Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f âûïóêëà íà (α, β), òî îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f −1 âîãíóòà (ñîîòâåòñòâåííî, âûïóêëà) íà (α1, β1). 40 .
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.
Ïóñòü ϕ : (α, β) → (α1, β1), f : (α1, β1) → R, ϕ âûïóêëà íà (α, β), f âûïóêëà è íå óáûâàåò íà (α1, β1). Äîêàçàòü, ÷òî f ◦ ϕ âûïóêëà íà (α, β). 50 .
Ðåêîìåíäóåì äîêàçàòü ýòîò ðåçóëüòàò ñàìîñòîÿòåëüíî.
Ïóñòü A íåïóñòîå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ, ôóíêöèè fα, α ∈ A, âûïóêëû íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Q â RN . Òîãäà ìíîæåñòâî Q0 := {x ∈ Q : sup fα (x) < +∞} âûïóêëî è âåðõíÿÿ îãèáàþùàÿ f (x) := sup fα (x) âûïóêëà íà α∈A α∈A Q0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x, y ∈ Q0, λ ∈ [0, 1]. Òîãäà sup fα(x) < +∞ è sup fα(y) < 60 .
+∞.
Òàê êàê ôóíêöèè fα âûïóêëû íà Q, òî
α∈A
fα λx + (1 − λ)y ≤ λfα (x) + (1 − λ)fα (y) . 8
α∈A
Ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ê ñóïðåìóìó ïî α ∈ A è èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ñóïðåìóìîâ, ïîëó÷àåì, ÷òî sup fα λx + (1 − λ)y ≤ sup λfα (x) + (1 − λ)fα (y) ≤ α∈A
α∈A
≤ sup λfα (x) + sup(1 − λ)fα (y) = λ sup fα (x) + (1 − λ) sup fα (y) < +∞ . α∈A
α∈A
α∈A
α∈A
Çíà÷èò, λx + (1 − λ)y ∈ Q0 è f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). Òàêèì îáðàçîì, f âûïóêëà íà Q0. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî, ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà âåðõíèõ ïðåäåëîâ, ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùåå ñâîéñòâî.
Ïóñòü ôóíêöèè fk , k ∈ N, âûïóêëû íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Q â RN è ïðè âñåõ x ∈ Q. Òîãäà ôóíêöèÿ f (x) := k→+∞ lim fk (x) âûïóêëà íà k→+∞ Q. Ñëåäñòâèå. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fk (x)}∞ k=1 âûïóêëûõ íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Q â RN ôóíêöèé ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî íà Q ê ôóíêöèè f , òî f âûïóêëà íà Q. 70 . lim fk (x) ∈ R
Çàìåòèì, ÷òî ñâîéñòâà 60 è 70 ïåðåñòàþò áûòü âåðíûìè, åñëè ñóïðåìóì çàìåíèòü èíôèìóìîì, à âåðõíèé ïðåäåë íèæíèì (çàäà÷è 5 è 6). Ïîñëå èçó÷åíèÿ äàííîãî ïàðàãðàôà ðåêîìåíäóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷è 1-6. 3. Äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà âûïóêëîé ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé
Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà âûïóêëà íà ïðîìåæóòêå I ⊂ R, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîé òî÷êè a ∈ I íàêëîí f (x) − f (a) P (Ma Mx ) := áûë íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé ïî x íà I\{a}. x−a Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà I . ÇàôèêñèðóÒåîðåìà 3.1.
Íåîáõîäèìîñòü.
åì a ∈ I è x1, x2 ∈ I\{a}, x1 < x2. Âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ. 1) a < x1 < x2. Òîãäà x1 = λa + (1 − λ)x2, ãäå λ = xx2 −−xa1 . Èç âûïóêëîñòè 2 ôóíêöèè f ñëåäóåò, ÷òî f (x1 ) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (x2 ) ⇔ f (x1 ) − f (a) ≤ (1 − λ) f (x2 ) − f (a) ⇔ f (x1 ) − f (a) 1−λ ≤ f (x2 ) − f (a) . x1 − a x1 − a 9
a . Çíà÷èò, Íî 1 − λ = 1 − xx2 −−xa1 = xx1 − −a 2
2
f (x1 ) − f (a) f (x2 ) − f (a) ≤ . x1 − a x2 − a −a . Àíàëîãè÷íî 2) x1 < x2 < a.  ýòîì ñëó÷àå x2 = λx1 +(1−λ)a, ãäå λ = xx2 − a 1 ïðåäûäóùåìó èìååì f (x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (a) ⇔ f (x2 ) − f (a) ≤ λ f (x1 ) − f (a) ⇔ f (x1 ) − f (a) f (x2 ) − f (a) λ ≥ f (x1 ) − f (a) = . x2 − a x2 − a x1 − a
3) x1 < a < x2. Çäåñü a = λx1 + (1 − λ)x2. Ïðè ýòîì λ=
a − x2 x1 − a , 1−λ= . x1 − x2 x1 − x2
Èñïîëüçóÿ âûïóêëîñòü ôóíêöèè f , ïîëó÷àåì
f (a) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) ⇔ λ f (x1 ) − f (a) ≥ (1 − λ) f (a) − f (x2 ) ⇔ f (x2 ) − f (a) f (x1 ) − f (a) 1 − λ 1 ≤ f (a) − f (x2 ) = . x1 − a λ x1 − a x2 − a
Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ P (MaMx ) ≤ P (MaMx ). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå x1, x2 ∈ I , x1 < x2, è λ ∈ [0, 1]. Ïîëîæèì a = λx1 + (1 − λ)x2. Òîãäà 1
2
Äîñòàòî÷íîñòü.
λ=
Òàê êàê ïî óñëîâèþ òî Îòñþäà
a − x1 x2 − a , 1−λ= . x2 − x1 x2 − x1
f (x1 ) − f (a) f (x2 ) − f (a) ≤ , x1 − a x2 − a
f (a) − f (x1 ) (x2 − a) ≤ f (x2 ) − f (a) (a − x1 ) . (x2 − x1 )f (a) ≤ (x2 − a)f (x1 ) + (a − x1 )f (x2 ) .
Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà x2 − x1, ïîëó÷èì
f (a) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) , 10
òî åñòü
f λx1 + (1 − λ)x2 ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) .
Çíà÷èò, f âûïóêëà íà I . Çàìå÷àíèå. Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû âûòåêàåò, ÷òî äëÿ âûïóêëîñòè ôóíêöèè f íà ïðîèçâîëüíîì ïðîìåæóòêå íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû f (x1 ) − f (a) f (x2 ) − f (a) ≤ , ∀x1 < a < x2 . x1 − a x2 − a
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ òåîðåìû î íàêëîíå è çàìå÷àíèÿ ê íåé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå I â R, x1 , a, x2 ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ýòîãî ïðîìåæóòêà òàêèå, ÷òî x1 < a < x2 . Ïóñòü, äàëåå, M1(x1, f (x1)), M (a, f (a)) è M2(x2, f (x2)) ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè Γf . Åñëè ϕ1, ϕ, ϕ2 óãëû íàêëîíà õîðä M1M , M1M2 è M M2 ê ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè Ox, òî äëÿ âûïóêëîñòè f íà I íåîáõîäèìî, ÷òîáû ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2, è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ϕ1 ≤ ϕ2. y6 y = f (x) M2
M1
ϕ ϕ1
ϕ2 M -
0
x1
a
x2
x
Ðèñ. 2
Îòìåòèì, ÷òî äîêàçàííàÿ òåîðåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îñíîâîïîëàãàþùåå ñâîéñòâî âûïóêëûõ ôóíêöèé. Ïðèâåäåì ïðèìåð åãî èñïîëüçîâàíèÿ.
Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà è îãðàíè÷åíà ñâåðõó íà [α, +∞), òî f íå âîçðàñòàåò íà [α, +∞). Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò x1, x2 ∈ [α, +∞) òàêèå, ÷òî x1 < x2 è Çàäà÷à 3.2.
11
f (x1 ) < f (x2 ).
îòêóäà
Òàê êàê íàêëîí â òî÷êå x2 ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé, òî f (x1 ) − f (x2 ) f (x) − f (x2 ) ≤ , ∀x ∈ (x2 , +∞) , x1 − x2 x − x2 f (x2 ) − f (x1 ) + f (x2 ) . x2 − x1 ñòðåìèòñÿ ê +∞ ïðè x → +∞,
f (x) ≥ (x − x2 )
Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà òàê êàê f (x2 ) − f (x1 ) > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, f (x) → +∞ ïðè x → +∞, à ýòî ïðîòèx2 − x1 âîðå÷èò òîìó, ÷òî f îãðàíè÷åíà ñâåðõó íà [α, +∞). Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïåðåéäåì òåïåðü ê äèôôåðåíöèàëüíûì ñâîéñòâàì âûïóêëûõ íà èíòåðâàëå ôóíêöèé. Òåîðåìà 3.3. Ïóñòü
ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà èíòåðâàëå (α, β). Òîãäà 1) f èìååò êîíå÷íûå ëåâóþ è ïðàâóþ ïðîèçâîäíûå â êàæäîé òî÷êå a ∈ (α, β), ïðè÷åì f−0 (a) ≤ f+0 (a) ; 2) äëÿ ëþáûõ a, b ∈ (α, β), a < b, âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
f (b) − f (a) ≤ f−0 (b) . b−a 1) Çàôèêñèðóåì a ∈ (α, β) è âûáåðåì δ > 0 òàê, ÷òîáû f (x) − f (a) a ± δ ∈ (α, β). Ïî òåîðåìå 3.1 ôóíêöèÿ ϕ(x) := íå óáûâàåò íà x−a [a − δ, a + δ]\{a}. Òîãäà â ñèëó òåîðåìû îá îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëàõ ìîíîòîííîé ôóíêöèè ñóùåñòâóþò lim ϕ(x), ïðè÷åì f+0 (a) ≤
Äîêàçàòåëüñòâî.
x→a±0
ϕ(a − δ) ≤ lim ϕ(x) ≤ lim ϕ(x) ≤ ϕ(a + δ) . x→a−0
x→a+0
Ñëåäîâàòåëüíî, f±0 (a) ñóùåñòâóþò, êîíå÷íû è f−0 (a) ≤ f+0 (a). 2) Ïóñòü a, b ∈ (α, β), a < b. Ó÷èòûâàÿ íåóáûâàíèå íàêëîíîâ â òî÷êàõ a è b, äëÿ âñåõ x ∈ (a, b) èìååì äâà íåðàâåíñòâà f (x) − f (a) f (b) − f (a) ≤ , x−a b−a f (a) − f (b) f (x) − f (b) ≤ . a−b x−b Ïåðåõîäÿ â ïåðâîì èç íèõ ê ïðåäåëó ïðè x → a + 0, à âî âòîðîì ïðè x → b − 0,
ïîëó÷èì, ÷òî
f+0 (a) ≤
f (b) − f (a) ≤ f−0 (b) . b−a 12
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè
ôóíêöèÿ âûïóêëà íà èíòåðâàëå, òî îíà íåïðåðûâíà íà
íåì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f âûïóêëà íà (α, β). Çàôèêñèðóåì a ∈ (α, β) è δ0 > 0 òàêîå, ÷òî a ± δ0 ∈ (α, β). Ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå
f (x) − f (a) = f+0 (a) ∈ R . x→a+0 x−a
∃ lim
Ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåòñÿ δ ∈ (0, δ0) òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ (a, a + δ) f (x) − f (a) ≤ |f+0 (a)| + 1 =: A . x−a
Ïîýòîìó |f (x) − f (a)| ≤ A|x − a| äëÿ ëþáîãî x ∈ (a, a + δ). Çíà÷èò, f (x) ñòðåìèòñÿ ê f (a) ïðè x → a + 0, ÷òî îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå a ñïðàâà. Àíàëîãè÷íî, èç ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîé ëåâîé ïðîèçâîäíîé âûòåêàåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå a ñëåâà. Çàìå÷àíèå. Åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà ïîëóñåãìåíòå èëè ñåãìåíòå, òî íà êîíöàõ îíà ìîæåò èìåòü ðàçðûâû. Ïðèìåðîì ñëóæèò ôóíêöèÿ ( 0 , åñëè x ∈ (0, 1) , f (x) = 1 , åñëè x = 0 èëè x = 1 . Ñëåäñòâèå 2.
Åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà (α, β), òî f+0 è f−0 íå óáûâàþò
íà (α, β). Äîêàçàòåëüñòâî. Îáúåäèíÿÿ ïåðâóþ è âòîðóþ ÷àñòè òåîðåìû 3.3, ïîëó÷àåì ïðè âñåõ a < b
f−0 (a) ≤ f+0 (a) ≤
f (b) − f (a) ≤ f−0 (b) ≤ f+0 (b) , b−a
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî f−0 (a) ≤ f−0 (b) è f+0 (a) ≤ f+0 (b).
Ïóñòü ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà (α, β), [α1, β1] ⊂ (α, β). Òîãäà íàéäåòñÿ M > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x1, x2 ∈ [α1, β1] Ñëåäñòâèå 3.
|f (x2 ) − f (x1 )| ≤ M |x2 − x1 | ,
òî åñòü ôóíêöèÿ f óäîâëåòâîðÿåò íà [α1, β1] óñëîâèþ Ëèïøèöà. 13
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.
Åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà (α, β), òî îíà äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β), êðîìå, âîçìîæíî, íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà.  òî÷êàõ äèôôåðåíöèðóåìîñòè f+0 è f−0 íåïðåðûâíû è ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè f−0 íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 ∈ (α, β), òî f+0 Òåîðåìà 3.4.
íåïðåðûâíà â òî÷êå x0, è íàîáîðîò. Ïóñòü ε > 0 òàêîâî, ÷òî x0 ± 2ε ∈ (α, β). Ïî òåîðåìå 3.2
f−0 (x0 −ε) ≤ f+0 (x0 −ε) ≤ f−0 (x0 ) ≤ f+0 (x0 ) ≤ f−0 (x0 +ε) ≤ f+0 (x0 +ε) ≤ f−0 (x0 +2ε) .
Òàê êàê f−0 íåïðåðûâíà â òî÷êå x0, òî f−0 (x0 −ε) → f−0 (x0) è f−0 (x0 +2ε) → f−0 (x0) ïðè ε → +0. Òîãäà ïî òåîðåìå î òðåõ ôóíêöèÿõ ∃ lim f+0 (x0 − ε) = lim f+0 (x0 + ε) = f+0 (x0 ) = f−0 (x0 ) . ε→+0
ε→+0
Òàêèì îáðàçîì, f+0 íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 è f+0 (x0) = f−0 (x0). Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè f+0 íåïðåðûâíà â òî÷êå x0, òî f−0 íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 è f+0 (x0) = f−0 (x0). Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè f±0 ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà f−0 (è f+0 ) íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî. Ýòî ñëåäóåò èç íåóáûâàíèÿ f−0 , ïîñêîëüêó, êàê èçâåñòíî, ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ëþáîé ìîíîòîííîé íà ïðîìåæóòêå ôóíêöèè íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî. Ñëåäñòâèå. Åñëè f
âûïóêëà íà (α, β) è äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β) \ E , ãäå E íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî, òî f 0 íå óáûâàåò íà (α, β) \ E .
 çàêëþ÷åíèå íà îñíîâàíèè óñòàíîâëåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ñâîéñòâ âûïóêëûõ ôóíêöèé äîêàæåì åùå óòâåðæäåíèå î ìîíîòîííîñòè âûïóêëîé íà èíòåðâàëå ôóíêöèè. Äëÿ ýòîãî íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, êîòîðûé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå òåîðåìû Ëàãðàíæà î êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ. Ëåììà 3.5. (ñì. [1; Ãë. I, 2, ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 1]) Ïóñòü f : [a, b] → R,
íåïðåðûâíà íà [a, b] è èìååò êîíå÷íóþ ïðàâóþ ïðîèçâîäíóþ f+0 íà ìíîæåñòâå (a, b) \ E , ãäå E íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî. Ïóñòü, äàëåå, m := inf{f+0 (x) : x ∈ (a, b) \ E}, M := sup{f+0 (x) : x ∈ (a, b) \ E}. Åñëè f íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé, òî f
m<
f (b) − f (a) <M; b−a
14
åñëè æå f ëèíåéíà, òî áóäóò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâà. Ïðåäëîæåíèå 3.6. Ïóñòü I ïðîèçâîëüíûé ïðîìåæóòîê â R, ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà I è èìååò êîíå÷íóþ ïðàâóþ ïðîèçâîäíóþ íà I \ E , ãäå E íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî. Åñëè f+0 (x) ≥ 0 (f+0 (x) > 0) íà I \ E , òî f íå óáûâàåò (âîçðàñòàåò) íà I . Ñîîòâåòñòâåííî, åñëè f+0 (x) ≤ 0 (f+0 (x) < 0) ïðè âñåõ x ∈ I \ E , òî f íå âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà I . Åñëè æå f+0 (x) = 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ I \ E , òî f ≡ const íà I . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f+0 (x) ≥ 0 ïðè âñåõ x ∈ I \E . Òîãäà äëÿ ëþáûõ a, b ∈ I ,
a < b,
èìååì
f (b) − f (a) ≥ inf{f+0 (x) : x ∈ (a, b) \ E} ≥ inf{f+0 (x) : x ∈ I \ E} ≥ 0 , b−a
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî f (b) ≥ f (a). Òàêèì îáðàçîì, f íå óáûâàåò íà I . Ïóñòü òåïåðü f+0 (x) > 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ I \ E . Ôèêñèðóåì a, b ∈ I , a < b. Åñëè f ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ ôóíêöèþ íà [a, b], òî èç ïîëîæèòåëüíîñòè ïðîèçâîäíîé âûòåêàåò, ÷òî ýòà ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà [a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî, f (b) > f (a). Åñëè f îòëè÷íà îò ëèíåéíîé ôóíêöèè íà [a, b], òî f (b) − f (a) > inf{f+0 (x) : x ∈ (a, b) \ E} ≥ 0 . b−a
Ïîýòîìó f (b) > f (a) è â ýòîì ñëó÷àå.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè a, b ∈ I , çàêëþ÷àåì, ÷òî f âîçðàñòàåò íà I . Ñëó÷àè f+0 (x) ≤ 0 è f+0 (x) < 0, x ∈ I \ E , ðàññìàòðèâàþòñÿ àíàëîãè÷íî. Åñëè f+0 (x) = 0 íà I \ E , òî â ëåììå 3.5 m = M = 0. Ýòî àâòîìàòè÷åñêè âëå÷åò, ÷òî f ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ è, áîëåå òîãî, òîæäåñòâåííàÿ êîíñòàíòà.
Åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà èíòåðâàëå (α, β) è îòëè÷íà îò òîæäåñòâåííîé ïîñòîÿííîé, òî âîçìîæíû ëèøü òðè ñëó÷àÿ: 1) f âîçðàñòàåò íà (α, β) ; 2) f óáûâàåò íà (α, β) ; 3) ∃γ1, γ2 : α ≤ γ1 ≤ γ2 ≤ β òàêèå, ÷òî f (x) ≡ const íà (γ1 , γ2 ) (ïðè γ1 < γ2 ), f óáûâàåò íà (α, γ1 ) (ïðè α < γ1 ), f âîçðàñòàåò íà (γ2 , β) (ïðè γ2 < β ). Òåîðåìà 3.7.
15
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê f âûïóêëà íà (α, β), òî âñþäó íà (α, β) f èìååò êî-
íå÷íóþ ïðàâóþ ïðîèçâîäíóþ f+0 , ïðè÷åì f+0 íå óáûâàåò íà (α, β). Ïîñêîëüêó f 6≡ const, òî f+0 6≡ 0 íà (α, β). Åñëè f+0 (x) > 0 ïðè âñåõ x ∈ (α, β), òî ïî ïðåäûäóùåìó ïðåäëîæåíèþ f âîçðàñòàåò íà (α, β). Àíàëîãè÷íî, åñëè f+0 (x) < 0 íà (α, β), òî f óáûâàåò íà (α, β).  îáùåì ñëó÷àå, êîãäà f+0 íå ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíîé èëè ñòðîãî îòðèöàòåëüíîé íà âñåì èíòåðâàëå (α, β), ââåäåì â ðàññìîòðåíèå òðè ìíîæåñòâà: B1 := {x ∈ (α, β) : f+0 (x) < 0} , B2 := {x ∈ (α, β) : f+0 (x) = 0} , B3 := {x ∈ (α, β) : f+0 (x) > 0} .
Ïîíÿòíî, ÷òî õîòÿ áû äâà èç íèõ íåïóñòû. Ïîëîæèì ( ( sup x , åñëè B1 6= ∅ , sup x , åñëè B2 6= ∅ , x∈B x∈B γ1 := γ2 := α , åñëè B1 = ∅ , γ1 , åñëè B2 = ∅ . Òîãäà α ≤ γ1 ≤ γ2 ≤ β , ïðè÷åì õîòÿ áû äâà èç íåðàâåíñòâ ñòðîãèå. Åñëè γ1 < γ2, òî f+0 (x) = 0 íà (γ1, γ2). Çíà÷èò, f ≡ const íà (γ1, γ2). Åñëè α < γ1, òî f+0 (x) < 0 äëÿ âñåõ x ∈ (α, γ1), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî f óáûâàåò íà (α, γ1). Àíàëîãè÷íî, åñëè γ2 < β , òî f+0 (x) > 0 ïðè x ∈ (γ2 , β), è f âîçðàñòàåò íà (γ2 , β). Ïîñòðîéòå ïðèìåðû ê êàæäîìó èç ñëó÷àåâ 1)-3). 1
2
Ñëåäñòâèå. Åñëè f
âûïóêëà íà (α, β), òî ñóùåñòâóþò (êîíå÷íûå èëè áåñêîíå÷íûå) îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû f (α + 0) è f (β − 0). Ïîñëå èçó÷åíèÿ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà ïîëåçíî ðåøèòü çàäà÷è 7-12.
4. Êðèòåðèè âûïóêëîñòè ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé
 äàííîì ïàðàãðàôå ïðèâîäÿòñÿ òðè ðàçëè÷íûõ êðèòåðèÿ âûïóêëîñòè ôóíêöèè íà èíòåðâàëå. Çàìåòèì, ÷òî ïðèñîåäèíåíèå êîíöîâ ê èòåðâàëó âûïóêëîñòè ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî íà îñíîâàíèè óòâåðæäåíèÿ, ñôîðìóëèðîâàííîãî â çàäà÷å 9.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà âûïóêëà íà èíòåðâàëå (α, β), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü òðè óñëîâèÿ: 1) f íåïðåðûâíà íà (α, β); 2) f äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β) \ E , ãäå E íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî; 3) f 0 íå óáûâàåò íà (α, β) \ E . Òåîðåìà 4.1.
16
Äîêàçàòåëüñòâî.
Íåîáõîäèìîñòü
óæå äîêàçàíà (ñëåäñòâèå 1 èç òåîðåìû 3.3,
òåîðåìà 3.4 è åå ñëåäñòâèå). Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1)-3). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé íà (α, β). Òîãäà â ñèëó çàìå÷àíèÿ ê òåîðåìå î íàêëîíå, íàéäóòñÿ a, b, c ∈ (α, β), a < c < b, òàêèå, ÷òî Äîñòàòî÷íîñòü.
Ïðèìåíÿÿ ëåììó 3.5 ê
f (a) − f (c) f (b) − f (c) > . a−c b−c ôóíêöèè f íà èíòåðâàëàõ (a, c)
è (c, b), èìååì
f (a) − f (c) , a−c f (b) − f (c) . inf{f 0 (x) : x ∈ (c, b) \ E} ≤ b−c
sup{f 0 (x) : x ∈ (a, c) \ E} ≥
Îáúåäèíèâ òðè ïîñëåäíèå íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì, ÷òî
sup{f 0 (x) : x ∈ (a, c) \ E} > inf{f 0 (x) : x ∈ (c, b) \ E} ,
÷òî, ïîíÿòíî, ïðîòèâîðå÷èò íåóáûâàíèþ f 0 íà (α, β) \ E . Ñëåäñòâèå 1 (êðèòåðèé âûïóêëîñòè äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè). Äëÿ òî-
ãî ÷òîáû äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà èíòåðâàëå (α, β) ôóíêöèÿ f áûëÿ âûïóêëà íà íåì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû f 0 íå óáûâàëà íà (α, β).
Èç ñëåäñòâèÿ 1 è êðèòåðèÿ ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè íà ïðîìåæóòêå âûòåêàåò Ñëåäñòâèå 2 (êðèòåðèé âûïóêëîñòè äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè).
Äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà èíòåðâàëå (α, β) ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà íåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f 00 (x) ≥ 0 , ∀x ∈ (α, β) .
Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = xp âûïóêëà íà [0, +∞), åñëè p > 1, è âîãíóòà, åñëè 0 < p < 1. Ðåøåíèå. Ïðè âñåõ x > 0 èìååì, ÷òî f 00(x) = p(p − 1)xp−2. Åñëè p > 1, òî Ïðèìåð 4.2.
íà (0, +∞). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â òî÷êå x = 0 ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà, çàêëþ÷àåì, ÷òî f âûïóêëà íà [0, +∞). Ñëó÷àé 0 < p < 1 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Òåîðåìà 4.3 (êðèòåðèé âûïóêëîñòè ÷åðåç ëèíåéíûå ìèíîðàíòû). Ôóíêöèÿ f 00 (x) > 0
âûïóêëà íà èíòåðâàëå (α, β) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ êàæäîé òî÷êè x0 ∈ (α, β) ñóùåñòâóåò àôôèííàÿ ôóíêöèÿ g(x) = ax + b òàêàÿ, ÷òî g(x0 ) = f (x0 ) è g(x) ≤ f (x), ∀x ∈ (α, β). f
17
Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàôèêñèðóåì x0 ∈ (α, β). Òàê êàê f âûïóêëà íà (α, β), òî ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå f±0 (x0), ïðè÷åì f−0 (x0) ≤ f+0 (x0). Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå k ∈ [f−0 (x0), f+0 (x0)] è ïîëîæèì g(x) := k(x − x0) + f (x0). Çàìåòèì ñðàçó, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0, k = f 0(x0) è y = g(x) óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ãðàôèêó Γf := {(x, f (x)) : x ∈ (α, β)} â òî÷êå (x0 , f (x0 )). Ïîêàæåì, ÷òî g(x) ≤ f (x) ïðè âñåõ x ∈ (α, β). Åñëè x ∈ (x0, β), òî â ñèëó âòîðîé ÷àñòè òåîðåìû 3.3 Íåîáõîäèìîñòü.
f (x) − f (x0 ) , x − x0 îòêóäà f (x) ≥ k(x − x0) + f (x0) = k(x − x0) + g(x0) = g(x). Åñëè x ∈ (α, x0), òî f (x0 ) − f (x) , k ≥ f−0 (x0 ) ≥ x0 − x èç ÷åãî îïÿòü æå ñëåäóåò, ÷òî f (x) ≥ g(x). Äîñòàòî÷íîñòü. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûå x1 , x2 ∈ (α, β) è λ ∈ [0, 1] . Ïîëîæèì x0 := λx1 + (1 − λ)x2. Ïî óñëîâèþ ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ g(x) = ax + b òàêàÿ, ÷òî g(x0) = f (x0) è g(x) ≤ f (x) ïðè âñåõ x ∈ (α, β). Òîãäà f (x0 ) = g(x0 ) = ax0 + b = a λx1 + (1 − λ)x2 + b = = λ(ax1 + b) + (1 − λ)(ax2 + b) = λg(x1 ) + (1 − λ)g(x2 ) ≤ ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) . k ≤ f+0 (x0 ) ≤
Çíà÷èò, f âûïóêëà íà (α, β). Ñëåäñòâèå. Ïóñòü f
äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β). Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ
ýêâèâàëåíòíû: (i) f âûïóêëà íà (α, β) ; (ii) êàñàòåëüíàÿ, ïðîâåäåííàÿ ê ãðàôèêó Γf â åãî ïðîèçâîëüíîé òî÷êå, ëåæèò íå âûøå ñàìîãî ãðàôèêà. Äîêàçàòåëüñòâî. (i) ⇒ (ii) : Åñëè f âûïóêëà è äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β),
x0 ∈ (α, β), òî ôóíêöèÿ g(x) èç äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìîé ÷àñòè ïðåäûäóùåé òåîðåìû ñîâïàäàåò ñ f 0(x0)(x − x0) + f (x0). Êàê áûëî ïîêàçàíî, g(x) ≤ f (x) ïðè âñåõ x ∈ (α, β). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Γf ëåæèò íå íèæå êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê íåìó â òî÷êå (x0, f (x0)).  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè x0 ïîëó÷àåì íóæíîå. (ii) ⇒ (i) : Ïóñòü âñå êàñàòåëüíûå ëåæàò íå âûøå Γf . Ïîëàãàÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè x0 ∈ (α, β) g(x) = f 0(x0)(x − x0) + f (x0), ïîëó÷èì, ÷òî g(x0) = f (x0) è g(x) ≤ f (x), ∀x ∈ (α, β). Ïî òåîðåìå 4.3 f âûïóêëà íà (α, β). 18
Ïðèâåäåì íàêîíåö åùå îäèí êðèòåðèé âûïóêëîñòè ôóíêöèè íà èíòåðâàëå.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà âûïóêëà íà èíòåðâàëå (α, β), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî µ ∈ R è ïðîèçâîëüíûõ a, b ∈ (α, β), a < b, ôóíêöèÿ gµ (x) := f (x) + µx äîñòèãàëà ñâîåé âåðõíåé íà [a, b] ãðàíè õîòÿ áû â îäíîé èç òî÷åê a è b. Äîêàçàòåëüñòâî. Ôèêñèðóåì µ ∈ R. Ôóíêöèÿ gµ âûïóêëà íà Òåîðåìà 4.4.
Íåîáõîäèìîñòü.
(α, β) êàê ñóììà âûïóêëîé ôóíêöèè f è ëèíåéíîé (à çíà÷èò, âûïóêëîé) ôóíêöèè µx. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå a, b ∈ (α, β), a < b. Åñëè gµ(x) ≡ const, òî gµ(a) = gµ(b) = sup{gµ(x) : x ∈ [a, b]}. Ïóñòü òåïåðü gµ îòëè÷íà îò òîæäåñòâåííîé ïîñòîÿííîé. Òàê êàê gµ âûïóêëà íà (α, β), òî îíà íåïðåðûâíà íà (α, β), à, ñëåäîâàòåëüíî, è íà [a, b].  ñèëó óòâåðæäåíèÿ, ñôîðìóëèðîâàííîãî íèæå â çàäà÷å 2, sup{gµ(x) : x ∈ (a, b)} íå äîñòèãàåòñÿ íà (a, b). Íî èç íåïðåðûâíîñòè gµ íà [a, b] ñëåäóåò ðàâåíñòâî sup{gµ (x) : x ∈ [a, b]} = sup{gµ (x) : x ∈ (a, b)} .
Ïîýòîìó âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ íà êîíöàõ îòðåçêà. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîêàçàòü âûïóêëîñòü f íà (α, β), âîñïîëüçóåìñÿ çàìå÷àíèåì ê òåîðåìå î íàêëîíå. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå a, b ∈ (α, β), f (b) − f (a) a < b, è ïîëîæèì µ := − . Äëÿ ôóíêöèè gµ (x) = f (x) + µx èìååì b−a Äîñòàòî÷íîñòü.
gµ (a) = f (a) − a
f (b) − f (a) bf (a) − af (b) = , b−a b−a
f (b) − f (a) bf (a) − af (b) = . b−a b−a Òàêèì îáðàçîì, gµ(a) = gµ(b) = sup{gµ(x) : x ∈ [a, b]}. Çíà÷èò, gµ(x) ≤ gµ(a) ïðè âñåõ x ∈ (a, b), òî åñòü gµ (b) = f (b) − b
f (x) − x
îòêóäà
f (b) − f (a) f (b) − f (a) ≤ f (a) − a , b−a b−a
f (x) − f (a) f (b) − f (a) ≤ . x−a b−a Ïîñêîëüêó ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî ïðè âñåõ a < x < b, âûïóêëà íà (α, β).
ïîëó÷àåì, ÷òî f
Ïîñëå èçó÷åíèÿ äàííîãî ïàðàãðàôà ðåêîìåíäóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷è 13-18. 19
5. Âûïóêëûå ïî Èåíñåíó ôóíêöèè
Ôóíêöèþ f : (α, β) → R áóäåì íàçûâàòü âûïóêëîé ïî Èåíñåíó íà (α, β), åñëè ïðè âñåõ x, y ∈ (α, β) Îïðåäåëåíèå 5.1.
f
x + y 2
≤
f (x) + f (y) . 2
Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñåðåäèíà ëþáîé õîðäû, ñîåäèíÿþùåé äâå òî÷êè ãðàôèêà ôóíêöèè f , ëåæèò ëèáî íàä ãðàôèêîì, ëèáî íà íåì. Ïîíÿòíî, ÷òî âñÿêàÿ âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ áóäåò âûïóêëà è ïî Èåíñåíó. Îñíîâíàÿ öåëü ýòîãî ïàðàãðàôà äîêàçàòü, ÷òî äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ïîíÿòèÿ âûïóêëîñòè è âûïóêëîñòè ïî Èåíñåíó ñîâïàäàþò. Îäíàêî, èçâåñòíî [4, ñ.119], ÷òî ïðè ïðåäïîëîæåíèè î ñïðàâåäëèâîñòè àêñèîìû Öåðìåëî íà îñíîâå áàçèñà Ãàìåëÿ ìîæíî ïîñòðîèòü ðàçðûâíóþ âûïóêëóþ ïî Èåíñåíó ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîíÿòèÿ âûïóêëîñòè è âûïóêëîñòè ïî Èåíñåíó íå ýêâèâàëåíòíû. Òåîðåìà 5.2. Åñëè ôóíêöèÿ f
âûïóêëà ïî Èåíñåíó íà (α, β), òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N è ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê x1 , . . . , xn ∈ (α, β) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f
x + . . . + x f (x ) + . . . + f (x ) 1 n 1 n ≤ . n n
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ñíà÷àëà ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïîêàæåì, ÷òî
1 1 m f m (x1 + . . . + x2 ) ≤ m f (x1 ) + . . . + f (x2m ) , ∀m ∈ N . 2 2 Ïðè m = 1 óòâåðæäåíèå âåðíî ïî îïðåäåëåíèþ âûïóêëîé ïî Èåíñåíó ôóíêöèè. Ïðè m = 2 èìååì: ! ! x1 +x2 x3 +x4 x + x + x + x + 2 1 x1 + x2 x3 + x4 1 2 3 4 2 f =f ≤ f +f ≤ 4 2 2 2 2 ! 1 1 1 f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + f (x4 ) ≤ . f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + f (x4 ) = 2 2 2 4
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå âåðíî ïðè íåêîòîðîì m ∈ N, è ïîêàæåì, ÷òî òîãäà îíî âåðíî è ïðè m + 1. Îáîçíà÷èì äëÿ óäîáñòâà x1 + . . . + x2 =: x, x2 +1 + . . . + x2 =: y . Òîãäà m
m
m+1
!
f
x1 + . . . + x2m+1 2m+1
!
=f
x+y 2m+1
1 x y =f + 2 2m 2m 20
!
! 1 x y ≤ f m +f m . 2 2 2
Ïîñêîëüêó x è y ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóììû 2m ñëàãàåìûõ, òî, ïðèìåíÿÿ ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè, ïîëó÷àåì, ÷òî
x y 1 1 f m + f m ≤ m f (x1 ) + . . . + f (x2m ) + m f (x2m +1 ) + . . . + f (x2m+1 ) . 2 2 2 2
Îáúåäèíÿÿ äâå ïîñëåäíèå îöåíêè, çàêëþ÷àåì, ÷òî !
x1 + . . . + x2m+1 f 2m+1
≤
1 2m+1
f (x1 ) + . . . + f (x2m+1 ) .
2) Åñëè òåïåðü n 6= 2m, òî âîçüìåì m ∈ N òàê, ÷òîáû 2m−1 Îáîçíà÷èì x := x1 + .n. . + xn . Òîãäà x1 + . . . + xn = nx è
< n < 2m .
x1 + . . . + xn + (2m − n)x nx + (2m − n)x = = x, 2m 2m ïðè÷åì ÷èñëèòåëü x1 +. . .+xn +(2m −n)x ðàññìàòðèâàåìîé äðîáè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó 2m ñëàãàåìûõ (x1, . . . , xn è (2m − n) ñëàãàåìûõ, ðàâíûõ x). Ïî
ïóíêòó 1)
x1 + . . . + xn + (2m − n)x f (x) = f 2m
Ñëåäîâàòåëüíî,
!
1 m ≤ m f (x1 )+. . .+f (xn )+(2 −n)f (x) . 2
nf (x) ≤ f (x1 ) + . . . + f (xn ) ,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà (α, β). Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû: (i) f âûïóêëà íà (α, β); (ii) f âûïóêëà ïî Èåíñåíó íà (α, β). Äîêàçàòåëüñòâî. Â äîêàçàòåëüñòâå íóæäàåòñÿ ëèøü èìïëèêàöèÿ (ii) ⇒ (i). Òåîðåìà 5.3.
Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûå x, y ∈ (α, β) è λ ∈ [0, 1]. Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ. m 1) λ ∈ Q. Òîãäà λ = n , ãäå m ∈ N0, n ∈ N, m ≤ n, è
mx + (n − m)y n−m f λx + (1 − λ)y = f x+ y =f . n n n ×èñëèòåëü äðîáè mx + (nn − m)y ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû n ñëàãàåìûõ (m ñëàãàåìûõ, ðàâíûõ x, è (n − m) ñëàãàåìûõ, ðàâíûõ y). Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ
m
21
òåîðåìó 5.2, èìååì f
mx + (n − m)y n
1 ≤ mf (x) + (n − m)f (y) = λf (x) + (1 − λ)f (y) . n
2) λ ∈/ Q. Ïî ñâîéñòâó ïëîòíîñòè ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë âî ìíîæåñòâå T äåé∞ ñòâèòåëüíûõ, íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {λn}n=1 òàêàÿ, ÷òî λn ∈ Q [0, 1] è λn → λ ïðè n → ∞. Ïî ïóíêòó 1) f λn x + (1 − λn )y ≤ λn f (x) + (1 − λn )f (y) , ∀n ∈ N .
Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè n → +∞, ó÷èòûâàÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f , ïîëó÷àåì, ÷òî f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) .
Èç ïóíêòîâ 1) è 2) âûòåêàåò, ÷òî f âûïóêëà íà (α, β). Çàìåòèì åùå, ÷òî, êàê èçâåñòíî ([1, Ãë.I, 4, óïð.10] è [4, ñ.119]), äëÿ íåïðåðûâíîñòè âûïóêëîé ïî Èåíñåíó íà (α, β) ôóíêöèè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû f áûëà èçìåðèìà íà (α, β) èëè ÷òîáû f áûëà îãðàíè÷åíà ñâåðõó õîòÿ áû íà îäíîì èíòåðâàëå, ñîäåðæàùåìñÿ â (α, β). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êëàññîâ èçìåðèìûõ íà èíòåðâàëå ôóíêöèé, à òàêæå ôóíêöèé, îãðàíè÷åííûõ ñâåðõó â îêðåñòíîñòè õîòÿ áû îäíîé òî÷êè, ïîíÿòèÿ âûïóêëîñòè è âûïóêëîñòè ïî Èåíñåíó ñîâïàäàþò. Ïðèâåäåì ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ òåîðåìû 5.3. Çàäà÷à 5.4. Ïîêàçàòü, ÷òî
åñëè ôóíêöèÿ f íå óáûâàåò íà [a, b), òî ôóíêf (t) dt âûïóêëà íà [a, b).
öèÿ F (x) := a Ðåøåíèå. Çàìåòèì ñðàçó, ÷òî ïî ñâîéñòâàì èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì Rx
ïðåäåëîì ôóíêöèÿ F íåïðåðûâíà íà [a, b). Ïîêàæåì, ÷òî F âûïóêëà ïî Èåíñåíó íà [a, b). Çàôèêñèðóåì x, y ∈ (a, b), x < y. Îáîçíà÷èì c := x +2 y . Èìååì A := F (x) + F (y) − 2F (c) = Z x Z y Z c Z = f (t) dt + f (t) dt − 2 f (t) dt = a
a
Òàê êàê f íå óáûâàåò íà [a, b), òî Z
a
f (t) dt −
c
y
y−x , 2
f (t) dt ≤ f (c)(c − x) = f (c)
y−x . 2
c
x 22
c
f (t) dt. x
f (t) dt ≥ f (c)(y − c) = f (c) c
Z
Z
y
Çíà÷èò, A ≥ 0, òî åñòü F (c) ≤ F (x) +2 F (y) . Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 5.3, çàêëþ÷àåì, ÷òî F âûïóêëà íà (a, b). À ïîñêîëüêó F íåïðåðûâíà â òî÷êå a, òî F âûïóêëà íà [a, b). 6. Âûïóêëûå ôóíêöèè è îïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
Äëÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ îò âûïóêëûõ ôóíêöèé èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, à òàêæå íà îñíîâàíèè ñâîéñòâ âûïóêëûõ ôóíêöèé ìîæíî ïîëó÷èòü ðÿä ïðîñòûõ îöåíîê. Òåîðåìà 6.1. Åñëè f
ôóíêöèÿ f âûïóêëà è íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], òî
a + b 2
Z
b
f (x) dx ≤
(b − a) ≤ a
f (a) + f (b) (b − a), 2
ïðè÷åì ðàâåíñòâà èìåþò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f àôôèííàÿ ôóíêöèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðàâîå íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó f (a) +2 f (b) (b−a)
ýòî ïëîùàäü òðàïåöèè ABCD. y6 f (b)
C
y = f (x) f (a)
D
C1
D1 A
B -
0
a
a+b 2
b
x
Ðèñ. 3
Äîêàæåì ëåâîå íåðàâåíñòâî. Òàê êàê f âûïóêëà íà [a, b], òî ïî êðèòåðèþ âûïóêëîñòè ÷åðåç ëèíåéíûå ìèíîðàíòû (òåîðåìà 4.3) ñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ ôóíê23
a + b
a + b
öèÿ g(x) = λx+µ òàêàÿ, ÷òî g 2 = f 2 è g(x) ≤ f (x) íà [a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî, îòðåçîê C1D1 ïðÿìîé y = λx+µ ïîëíîñòüþ ëåæèò íå âûøå Γf , òàê ÷òî a + b Rb ïëîùàäü òðàïåöèè ABC1D1 íå áîëüøå f (x)dx. Íî SABC D = f 2 (b − a). a Òàêèì îáðàçîì, ëåâîå íåðàâåíñòâî äîêàçàíî. Ãåîìåòðè÷åñêè ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî ðàâåíñòâà áóäóò âûïîëíÿòüñÿ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà f àôôèííàÿ ôóíêöèÿ. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî, ðàçáèâ îòðåçîê [a, b] íà n ðàâíûõ èëè íå ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè a = x0 < x1 < . . . < xn = b, ìîæíî ïîëó÷èòü ðÿä áîëåå îáùèõ íåðàâåíñòâ. 1
1
y6 y = f (x)
0
a = x0
x1
x2
xn−1 b = xn
x
Ðèñ. 4
Ïóñòü ôóíêöèÿ f âûïóêëà è íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Òîãäà Òåîðåìà 6.2.
Z b n−1 n−1 X X f (xk ) + f (xk+1 ) xk + xk+1 (xk+1 − xk ) ≤ f (x) dx ≤ (xk+1 − xk ) f 2 2 a k=0
k=0
è, â ÷àñòíîñòè, åñëè xk = a + k · b −n a , k = 0, 1, . . . , n, òî b−aX 2k + 1 b − a f a+ · ≤ n 2 n n−1
k=0
Z
b
f (x) dx ≤ a
n−1 b − a b − a f (a) + f (b) X ≤ + f a+k· . n 2 n k=1
24
Ïðè ýòîì ðàâåíñòâà âûïîëíÿþòñÿ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà f àôôèííàÿ ôóíêöèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî. Íà ðèñóíêå 4 ïðîèëëþñòðèðîâàíà ïðàâàÿ îöåíêà. Ðàññìàòðèâàåìàÿ ñóììà ýòî ñóììà ïëîùàäåé ïîëó÷åííûõ "ïîãëîùàþùèõ"òðàïåöèé. Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ èñïîëüçîâàíèÿ òåîðåì 6.1 è 6.2. Ïðèìåð 6.3. Äîêàçàòü
íåðàâåíñòâà:
a à) ln ab > 2 bb − , 0 < a < b; +a
á) 1 + 2cos x < sinx x , 0 < x < π2 .
Ðåøåíèå. à) Ïðèìåíèâ òåîðåìó 6.1 ê âûïóêëîé íà (0, +∞) ôóíêöèè f (x) = x1 , ïîëó÷èì, ÷òî
2 (b − a) < a+b
Z a
b
dx b = ln , x a
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. á) Òàê êàê ôóíêöèÿ f (x) = − cos x âûïóêëà íà 0, π2 , òî â ñèëó äîêàçàííîãî â òåîðåìå 6.1 ïðàâîãî íåðàâåíñòâà äëÿ ëþáîãî x ∈ 0, π2 èìååì Z
−
òî åñòü
x
cos t dt < − 0
− sin x < −
îòêóäà ñëåäóåò íóæíîå.
Ïðèìåð 6.4. Äîêàçàòü,
cos 0 + cos x x, 2
1 + cos x x, 2
÷òî ïðè âñåõ n√≥ 2 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
√ 4 n3 + 3 n − 1 1 + 2 + ... + n < . 6 Ðàññìîòðèì âîãíóòóþ ôóíêöèþ f (x) = √x íà îòðåçêå [1, n]. Ðàçîáüåì ýòîò îòðåçîê íà n − 1 ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè 1, 2, . . . , n. Âûïèøåì àíàëîã √
√
√
Ðåøåíèå.
ïðàâîãî íåðàâåíñòâà, óñòàíîâëåííîãî â òåîðåìå 6.2, äëÿ âîãíóòûõ ôóíêöèé Z
1
n√
Ñëåäîâàòåëüíî,
√ √ √ √ √ 1+ 2 2+ 3 n−1+ n x dx > + + ... + . 2 2 2
√ √ √ √ 2 √ 3 1 n ( n − 1) > ( 1 + 2 + . . . + n) − − , 3 2 2 25
√
1+
√
2 + ... +
√
√ √ 4 n3 + 3 n − 4 + 3 n< . 6
Ïîñëå èçó÷åíèÿ äàííîãî ïàðàãðàôà ðåêîìåíäóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷è 20-21. Çàäà÷è
1. Äîêàçàòü ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî
à) ôóíêöèÿ f (x) = |x| âûïóêëà íà R; á) ôóíêöèÿ f (x) = x1 âûïóêëà íà (0, +∞). 2. Äîêàçàòü, ÷òî âûïóêëàÿ íà èíòåðâàëå (α, β) ôóíêöèÿ f , îòëè÷íàÿ îò òîæäåñòâåííîé ïîñòîÿííîé, íå ìîæåò äîñòèãàòü íà ýòîì èíòåðâàëå ñâîåãî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ. 3. Ïóñòü ϕ : (α, β) → (α1 , β1 ), f : (α1 , β1 ) → R. Äîêàçàòü, ÷òî f ◦ϕ âûïóêëà íà (α, β) äëÿ ëþáîé âûïóêëîé íà (α1 , β1 ) ôóíêöèè f òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ϕ àôôèííàÿ ôóíêöèÿ, òî åñòü êîãäà ϕ(t) = at + b. Êàê ñëåäñòâèå, åñëè f âûïóêëà íà R, òî f (ax + b) âûïóêëà íà R ïðè âñåõ a, b ∈ R. 4*. Ïóñòü ϕ : (α, β) → (α1 , β1 ), f : (α1 , β1 ) → R, (α, β) è (α1 , β1 ) êîíå÷íûå èíòåðâàëû â R. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f ◦ ϕ âûïóêëà íà (α, β) äëÿ ëþáîé âûïóêëîé íà (α, β) ôóíêöèè ϕ, òî f âûïóêëà è íå óáûâàåò íà (α1, β1). Óêàçàíèå: äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåóáûâàíèÿ ôóíêöèè f â ñëó÷àå, êîãäà (α, β) ⊃ [−1, 1], èñïîëüçîâàòü ôóíêöèþ ϕ(t) = x1 + (x2 − x1 )|t|, t ∈ (α, β). 5. Ïðèâåñòè ïðèìåð âûïóêëûõ íà (α, β) ôóíêöèé f1 è f2 òàêèõ, ÷òî f (x) = min{f1 (x), f2 (x)} íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé íà (α, β). 6. Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fk (x)}, ñîñòîÿùåé èç âûïóêëûõ íà (α, β) ôóíêöèé, è òàêîé, ÷òî lim fk (x) ∈ R ïðè âñåõ x ∈ (α, β), k→+∞ íî ïðè ýòîì f (x) = lim fk (x) íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé íà (α, β). k→+∞ 7. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà R è îòëè÷íà îò òîæäåñòâåííîé ïîñòîÿííîé, òî õîòÿ áû îäèí èç ïðåäåëîâ x→±∞ lim f (x) ðàâåí +∞. Ïðèâåñòè ïðèìåðû, êîãäà îáà îíè ðàâíû +∞ è êîãäà òîëüêî îäèí èç íèõ ðàâåí +∞. 8. 1) Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå (α, β), òî îíà îãðàíè÷åíà ñíèçó íà íåì. 2) Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî f îãðàíè÷åíà ñâåðõó íà (α, β)? 3) Ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå êîíå÷íîñòè èíòåðâàëà ñóùåñòâåííî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè ðåçóëüòàòà. 9. Ïóñòü f : [α, β] → R. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíò26
íû: (i) f âûïóêëà íà [α, β]; (ii) f âûïóêëà íà (α, β) è f (α + 0) ≤ f (α), f (β − 0) ≤ f (β). 10. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f âûïóêëà íà (α, +∞), òî f (x) = lim f±0 (x) =: k ; 1) ∃ x→+∞ lim x→+∞ x 2) åñëè x→+∞ lim f (x) = +∞, òî k > 0. 11. Ïóñòü f âûïóêëà íà (α, β), α ≥ 0. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) − xf+0 (x) ("îòíåñåííàÿ ê íà÷àëó"ïðàâàÿ ïîëóêàñàòåëüíàÿ) íå âîçðàñòàåò íà (α, β). 12*. Ïóñòü f âûïóêëà íà (α, +∞), α ≥ 0, è lim f (x) − xf+0 (x) = b ∈ R. x→+∞ Äîêàçàòü, ÷òî f (x) 1) x→+∞ lim = k ∈ R; x 2) ïðÿìàÿ y = kx + b ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòîé Γf ïðè x → +∞ è ëåæèò íå âûøå Γf íà (α, +∞). 13. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ x arctg x âûïóêëà íà R, è äîêàçàòü íåðàâåíñòâî: (x + y) arctg
x+y ≤ x arctg x + y arctg y , ∀x, y ∈ R . 2
14. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâà:
x n + y n x + y n ≥ , ∀x, y > 0 , ∀n ∈ N ; 2 2 x+y ex + ey ≥ 2e 2 , ∀x, y ∈ R .
à) á) 15. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà è ïîëîæèòåëüíà íà (α, β), òî f1 âûïóêëà íà (α, β) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f f 00 −2(f 0)2 ≤ 0 íà (α, β). 16. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ âûïóêëà íà (α, β) è (β, γ) è íåïðåðûâíà â òî÷êå β , òî f âûïóêëà íà (α, γ)? 17. Ïðè ïðåäïîëîæåíèÿõ çàäà÷è 16 óñòàíîâèòü íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî f âûïóêëà íà (α, γ). 18. Ïóñòü ôóíêöèè f è g ïîëîæèòåëüíû è âûïóêëû íà (α, γ) è ïóñòü ñóùåñòâóåò β ∈ (α, γ) òàêîå, ÷òî íà (α, β) è (β, γ) ôóíêöèè f è g èçìåíÿþòñÿ â îäèíàêîâûõ íàïðàâëåíèÿõ (òî åñòü íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ (α, β) è (β, γ) f è g îäíîâðåìåííî íå óáûâàþò èëè íå âîçðàñòàþò). Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå 27
âûïóêëî íà (α, γ). 19*. Ïóñòü f âûïóêëà è îãðàíè÷åíà íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå (α, β). Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fk (x)} òàêàÿ, ÷òî ôóíêöèè fk âûïóêëû è äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû íà (α, β) ;
f ·g
fk+1 (x) ≤ fk (x) , ∀x ∈ (α, β) ; {fk (x)} ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà (α, β)
ê f (x). Óêàçàíèå: ñíà÷àëà ïîñòðîèòü íóæíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ f (x) = |x| íà (−1, 1), çàòåì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ f ïðèáëèçèòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ôóíêöèé âèäà |x − a| (êîýôôèöèåíòû ïðè íèõ íåîòðèöàòåëüíû) è íåêîòîðîé ëèíåéíîé ôóíêöèè. 20. Äîêàçàòü, ÷òî a b b a 21. Äîêàçàòü, ÷òî
e +e e −e > , 0 < a < b. 2 b−a ln n! < n + 12 ln n − n + 1 ïðè âñåõ n ≥ 2.
28
Ëèòåðàòóðà
1. Áóðáàêè, Í. Ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî [Òåêñò]: ìîíîãðàôèÿ. Ì.: Íàóêà, 1965. - 424ñ. 2. Ëåéõòâåéñ, Ê. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà [Òåêñò]: ìîíîãðàôèÿ. - Ì.: Íàóêà, 1985. - 335ñ. 3. Òèõîìèðîâ, Â.Ì. Âûïóêëûé àíàëèç. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ [Òåêñò]: ìîíîãðàôèÿ. - Ì.: ÂÈÍÈÒÈ, 1987. Ñ.5-101. 4. Õàðäè, Ã.Ã. Íåðàâåíñòâà [Òåêñò]: ìîíîãðàôèÿ / Ã.Ã. Õàðäè, Äæ.Å. Ëèòòëüâóä è Ã.Ì. Ïîëèà. - Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò-ðû, 1948. - 455ñ. 5. Õåéìàí, Ó. Ñóáãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè [Òåêñò]: ìîíîãðàôèÿ / Ó. Õåéìàí, Ï. Êåííåäè. - Ì.: Ìèð, 1980. - 304ñ. 6. H¨ormander, L. Notions of convexity [Òåêñò]: ìîíîãðàôèÿ. - Boston: Birkh¨auser, 1994. - 416p. Ñîäåðæàíèå
Ââåäåíèå ............................................................................................................ 3 1. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà ................................................................................... 3 2. Îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âûïóêëûõ ôóíêöèé ......................... 5 3. Äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà âûïóêëîé ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé .................................................................................................... 9 4. Êðèòåðèè âûïóêëîñòè ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé .................. 16 5. Âûïóêëûå ïî Èåíñåíó ôóíêöèè ................................................................. 20 6. Âûïóêëûå ôóíêöèè è îïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ................................................................................................... 23 Çàäà÷è .............................................................................................................. 26 Ëèòåðàòóðà ...................................................................................................... 29
29
