Расчет конструкций за пределами упругости: Учебно-методическое пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

Р А С ЧЁ Т К О Н С Т Р У К Ц И Й ЗА П Р Е Д Е Л А М И У П Р У ГО С Т И

Пособие п о сп ециальности 010500 - М еханика и нап равлению 510300-М еханика

В О РО Н Е Ж 2004

2

У тверждено нау ч но-м етодич еским советом ф аку льтета ПМ М 20 м ая 2004 г., п ротокол№ 7

Составители: И ванищ ева О .И ., Сем ы кина Т .Д ., Щ еглова Ю .Д .

Пособиеп одготовлено на каф едретеоретич еской и п рикладной м еханики ф аку льтета Прикладной м атем атики, инф орм атики и м еханики В оронежского госу дарственного у ниверситета. Реком енду ется для сту дентовсп ециальности 010500-М еханика и м агистров нап равления 510300-М еханика п о сп ецку рсу «Расч ё тконстру кций за п ределам и у п ру гости»

3

С О Д ЕР Ж АН И Е 1. 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 3. 3.1 3.2 3.3 3.4 4.

В ведение О сновны еп оня тия теории оболоч ек, изготовленны х из неу п ру гих м атериалов О бобщ енны е у силия и п ерем ещ ения . Д иссип ативная ф у нкция О сновны етеорем ы п редельного равновесия Предельное у словие, п редельная п оверхность для оболоч ек вращ ения К инем атич еский и статич еский м етоды расч ета несу щ ей сп особности оболоч ек Расч етнесу щ ей сп особностип ластин и оболоч ек Прим ер расч ета сф ерич еской оболоч ки кинем атич еским и статич еским м етодам и Расч ет тороидальной оболоч ки кинем атич еским и статич еским м етодам и Предельноеравновесиеп ологих конич еских оболоч ек Расч етнесу щ ей сп особности кру глы х п ластин Литерату ра

4 4 4 7 9 13

15 17 19 21 26

4

1. В ведение Н астоя щ ее п особие п редназнач ено для сту дентов и м агистров сп ециальности 010500 дневного отделения ф аку льтета ПМ М п о сп ецку рсу «Расч ет констру кций с у ч етом п ластич еских свойствм атериала» . В резу льтате изу ч ения сп ецку рса сту денты должны овладеть навы кам и п остановки задач оп ределения п редельны х нагру зок констру кций, изготовленны х из м атериалов с оп ределё нны м и свойствам и, оп ределя ть границы коэф ф ициентовзап аса. Э то п ом ожет им п ри вы п олнении ку рсовы х и дип лом ны х работ, п ри п одготовке к сдач еэкзам енов. Задач и, связанны е с расч етом констру кций, вы п олненны х из п ластич еского м атериала, ч асто исп ользу ются винженерной п рактике. 2. О сно вные по нятиятео рии расчётао бо ло чек, изго то вленных изнеу пру гих материало в 2.I. О бо бщ енные у силияи перемещ ения. Д иссипативнаяф у нкция В сп ецку рсе«Т еория п ластин и оболоч ек» рассм атривалосьдеф орм ирование у п ру гих оболоч ек. Е сли м атериал оболоч ек п ри некоторы х нап ря жения х сп особен к п ластич еском у деф орм ированию, то п ри оп ределё нны х нагру зках су щ ественно м еня ется п оведение оболоч ки. Приходится строить новую систем у оп ределя ющ их у равнений, в которой зависим ость м ежду нап ря женны м и деф орм ированны м состоя нием строится су ч ё том п ластич еских свойств. О собы й интерес п ри расч ё те п ластич еских констру кций п редставля ет оп ределениетак назы ваем ы х п редельны х нагру зок. П редельными или разру ш ающ им и назы ваются такие нагру зки, п ри которы х воболоч кевозникаетнеогранич енноеп ластич ескоетеч ение. Н ап ря жё нно-деф орм ированное состоя ние оболоч ки п ри п редельны х нагру зках назы вается п редельны м . И зу ч ением п редельны х состоя ний оболоч ки заним ается теория п редельного равновесия . При доказательстве основны х теорем п редельного равновесия ч асто исп ользу ют ф у нкцию, оп ределя ющ у ю энергию деф орм ирования , п оэтом у в кач естве основны х характеристик нап ря жё нного состоя ния п риним ают линейну ю ком бинацию у силий и м ом ентов, входя щ их ввы ражение вну тренней энергии. Э ти п ерем енны е бу дем назы вать обобщ енны м и у силия м и. Т ак как п еререзы вающ ие силы не входя т ввы ражение вну тренней энергии, то они не входя т и в обобщ енны е у силия . После вы бора обобщ енны х у силий соответствующ ие обобщ енны е п ерем ещ ения qi оп ределя ются с точ ностью до п остоя нного м ножителя таким образом , ч тобы вы ражение вну тренней энергии им ело вид

V = C (Q1q1 + Q2 q2 + L + Qn qn ) = CQi qi

(2.1.1)

5

Здесь n-ч исло у силий и м ом ентов, характеризу ющ их нап ря женное состоя ние оболоч ки и входя щ их вобы ч ноевы ражениедля работы вну тренних у силий. В линейной теории у п ру гой оболоч ки, оч евидно, обобщ енны е у силия и п ерем ещ ения бу ду тлинейно зависим ы согласно закону Гу ка qi = BijQ j

(2.1.2)

Здесь Bij - п остоя нны е, завися щ иеотЕ и µ . При п оя влении п ластич еских зон эта зависим ость нару ш ается . В тот м ом ент, когда п ластич еское теч ение расп ространится п о всей толщ ине оболоч ки врассм атриваем ом сеч ении, вкаждой его точ ке должно вы п олня ться у словие теку ч ести. Э то и п риведетк вы п олнению некоторого у словия , которое назовём п редельны м , относительно Qi .

F (Qi ) = 0

(2.1.3)

Е сли ввести n-м ерное п ространство с координатам и Qi , то у равнение (2.1.3) оп иш етнекотору ю п оверхность, назы ваем у ю п редельной (рис. 2.1). Повторя я рассу ждения теории идеальной п ластич ности, м ожно сделать вы вод, ч то эта п оверхностьнеп реры вна и невогну та. Е сли вектор Q, изображающ ий нап ря жё нное состоя ние вданной точ ке оболоч ки, п оп адает на п редельну ю п оверхность, то есть если у силия Qi у довлетворя ют у словию (2.1.3), то соответствующ ее сеч ение оболоч ки целиком находится в п ластич еском состоя нии. Е сли им еетм есто неравенство F (Qi ) < 0 , то соответствующ ий вектор п оп адаетвну трьп редельной п оверхности, и м ожно сделать вы вод, ч то сеч ение либо Рис. 2.1. Предельная п оверхностьв п ространствеобобщ ё нны х у силий . целиком , либо ч астич но находится в у п ру гом состоя нии. При вы п олнении у словия (2.1.3) обобщ енны е п ерем ещ ения разбиваются на у п ру гу ю и п ластич ескиеч асти qi = qie + qip , qie = BijQi

(2.1.4)

6

И з п ринцип а м аксим у м а п ластич еской работы М изеса и из п редставления вну тренней энергии ввиде(2.1.1) следу ет, ч то п ластич еская ч астьобобщ енны х п ерем ещ ений п одч иня ется ассоциированном у закону п ластич еского теч ения . q& ip = λ

∂F ∂Qi

(λ ≥ 0)

(2.1.5)

В ектор q& ip ортогонален к п редельной п оверхности, а ву гловы х точ ках п риним ает любое нап равление ввеере нап равлений, огранич енны х норм аля м и к п ересекающ им ся п оверхностя м . А ссоциированны й закон теч ения неу станавливаетоднознач ного соответствия м ежду обобщ енны м и у силия м и Q и скоростя м и обобщ енны х п ластич еских деф орм аций. В общ ем слу ч ае п редельной п оверхности вектору Q соответствует целы й веер векторов q& p , а п ри налич ии на п редельной п оверхности у ч астков стационарности одном у соответствоватьм ножество векторовQ (рис. 2.2).

вектору

q& p

q& p

м ожет

q& p

Q1

Q2

Q

h

О О

Рис. 2.2. В екторп ластич еских деформ аций для разны хтип овп редельной п ов ерхности.

О днако для любого вида п оверхности вектор скорости однознач но оп ределя етскоростьдиссип ации вну тренней энергии D. D = CQ q& p В слу ч ае п редельной п оверхности , не им еющ ей у ч астков стационарности, это у тверждение оч евидно. Д ля у ч астков стационарности скаля рноеп роизведение Qi на q& p независитотвелич ины Q Q1.q& p = Q2 .q& p = q& p .h

7

Т аким образом , скорость диссип ации вну тренней энергии есть однознач ная ф у нкция скоростей п ластич еских п ерем ещ ений D = D( q& p ) . Э тот ф актбу детисп ользоваться п ри реш ении задач кинем атич еским м етодом . Д ля твердого деф орм иру ем ого тела сп раведливо у равнениевирту альны х работ

N = D, которое сф орм у лировано относительно статич ески доп у стим ы х п олей нап ря жений σ ij и кинем атич ески доп у стим ы х п олей скоростей п ерем ещ ений

u i , п рич ем N - скоростьизм енения работы всех внеш них сил на п ерем ещ ения х u i , D - скорость диссип ации м еханич еской энергии втеле п ри п ластич еском деф орм ировании: N = ∫ ρFi u i dv + ∫ Ti u i ds v

(2.1.6)

v

D = ∫ σ ij ε ij dv

(2.1.7)

v

Здесь V - объ ем рассм атриваем ого тела, S - его п оверхность, ρFi - м ассовы е силы , действу ющ ие во всем объ ем е тела, Ti - силы , действу ющ ие на его

п оверхности, ε ij - скорости деф орм аций, связанны е с ui кинем атич еским и соотнош ения м и. При расч ете оболоч ек N м ожно п редставить ч ерез у силия и м ом енты , я вля ющ иеся эквивалентной систем ой нап ря жений σ ij . В терм инах теории оболоч ек D = ∫ ( N 1ε 10 + N 2ε 20 + Sγ 0 + M 1 χ 1 + M 2 χ 2 + Hρ )ds

(2.1.8)

S

Здесь N1 , N 2 , S - у силия , п риложенны е к срединной п оверхности оболоч ки, M 1 , M 2 , H - изгибающ ие (M 1 , M 2 ) и кру тя щ ий (H ) м ом енты . ε10 , ε 20 , γ 0 скорости деф орм ации срединной п оверхности оболоч ки; χ 1 , χ 2 , ρ - скорости изм енения кривизн и кру тки срединной п оверхности оболоч ки. 2.2. О сно вные тео ремы предельно го равно весия Рассм отрим у п ру го-п ластич еское тело, нагру женное на ч асти п оверхности ST у силия м и T , а на остальной ч асти п оверхности Su закреп ленное относительно п ерем ещ ений ( U = 0 ). При м алы х велич инах нагру зок тело находится в у п ру гом состоя нии, п ерем ещ ения м еня ются п роп орционально нагру зкам и остаточ ны е деф орм ации отсу тству ют. Бу дем все

8

нагру зки у велич ивать п роп орционально одном у п арам етру . В теле нач инает развиваться п ластич ескоетеч ение. Е сли рассм атривается идеально-п ластич еское тело, то область доп у стим ы х нап ря жений огранич ена п оверхностью теку ч ести, и п оэтом у тело не м ожет восп риним ать п роизвольно у велич ивающ иеся нагру зки. При некотором знач ении внеш них у силий втеле возникает такое состоя ние, п ри котором станет возм ожны м возрастание п ластич еской деф орм ации п ри п остоя нны х нагру зках. У казанное состоя ние назы вается п редельны м равновесием , соответствующ ие нагру зки - п редельны м и. О тм етим ещ ё раз, ч то в состоя нии п редельного равновесия тело не сп особно восп риним ать у велич ениенагру зок и, следовательно, скоростьих равна ну лю. М ожно доказать[1], ч то сп раведлива следу ющ ая теорем а: «П р и пр е д е льн о м р авн о ве сии ско ро ст и н апр яж е н ий о б р ащ аю т ся в н уль». И з этой теорем ы п о соотнош ения м (2.1.4) следу ет, ч то скорости у п ру гих деф орм аций также равны ну лю и в п редельном состоя нии q& = q& p . Т аким образом , п ри расч етах констру кций на п редельное равновесие у п ру гоп ластич еску ю м одель м атериала м ожно зам енить жестко-п ластич еской. В елич ина п редельной нагру зки жестко-п ластич еского тела назы вается несу щ ей сп особностью. Предп оложим , к идеально-п ластич еской оболоч ке п риложена систем а внеш них нагру зок T0 . Бу дем их м еня ть п роп орционально некотором у м ножителю n. Знач ение этого м ножителя , п ри котором у силия nT0 образу ют систем у п редельны х нагру зок, назы вается коэф ф ициентом зап аса. Знач ение коэф ф ициента п роп орциональности n s , п ри котором су щ еству ет статич ески доп у стим ое п оле обобщ енны х у силий Qi∗ , назы вается статич ески доп у стим ы м м ножителем (нап ом ним , ч то статич ески доп у стим ы м и назы ваются у силия , у довлетворя ющ ие у равнения м равновесия , статич еским гранич ны м у словия м и не нару ш ающ ие у словия F (Qi∗ ) ≤ 0 ). Согласно п ервой теорем е п редельного равновесия [1], ко эф ф ициент запаса n являетсянаибо льш им статически до пу стимым мно ж ителем, то есть статич ески доп у стим ы й м ножитель я вля ется нижней оценкой коэф ф ициента зап аса. В ерхня я оценка коэф ф ициента зап аса м ожет бы ть п олу ч ена п у тем оп ределения кинем атич ески доп у стим ого м ножителя , которы й оп ределя ется следу ющ им образом . В ведё м кинем атич ески доп у стим ое п оле скоростей п ерем ещ ений U& i(k ) , у довлетворя ющ ее у словию несжим аем ости и кинем атич еским гранич ны м у словия м . О п ределим соответству ющ ие этом у п олю кинем атич ески доп у стим ы е скорости обобщ енны х п ерем ещ ений q& i(k ) . О п ределим D ( q& i( k ) ) и м ощ ностьработы внеш них сил N = T .U& (k ) dS .

∫

0

ST

Здесь ST -ч астьп оверхности, на которой заданы у силия T0 . К инем атич ески доп у стим ы м м ножителем назы вается обесп еч ивающ ееравенство D ( q& i(k ) ) = nk N .

ч исло

nk ,

9

Сф орм у лиру ем втору ю теорем у п редельного равновесия [1] : «Ко эффицие н т запаса n являе т ся н аим е н ьш им кин е м ат иче ски д о пуст им ым м н о ж ит е ле м ». Д ру гим и словам и, кинем атич ески доп у стим ы й м ножитель я вля ется верхней оценкой коэф ф ициента зап аса n ≤ nk . Н а основе п редельны х теорем строя тся статич еский и кинем атич еский м етоды расч ета несу щ ей сп особности констру кций. О ч евидно, для истинного реш ения знач ения статич еского и кинем атич еского м ножителя совпадают. В п риближенны х м етодах исп ользу ются также следствия из п редельны х теорем , важнейш им из которы х я вля ется следу ющ ее: « Е сли р ассм ат р иваю т ся д ве о д ин ако вые ко н ст р укции по д д е й ст вие м о д ин ако вых сист е м сил т акие , чт о пр е д е льн ая по ве р хн о ст ь о д н о й вло ж е н а в пр е д е льн ую по ве р хн о ст ь д р уго й , т о ко эффицие н т запаса пе р во й м е н ьш е ко эффицие н т а запаса вт о р о й ». Д ействительно, п оле обобщ ё нны х у силий для п ервой констру кции бу дет заведом о доп у стим ы м для второй и, следовательно, коэф ф ициентзап аса п ервой бу детстатич ески доп у стим ы м м ножителем для второй констру кции, т. е. бу дет м еньш е её коэф ф ициента зап аса. В теории п редельного равновесия это следствие ч асто исп ользу ют, ч тобы зам енить п редельну ю п оверхность более п ростой, ч то ведетк у п рощ ению задач и. 2.3. П редельно е у сло вие, предельнаяпо верхно сть дляо бо ло чеквращ ения Н ап ом ним , ч то состоя ние п редельного равновесия связано с п оня тием развитого п ластич еского теч ения . О ч евидно, п ока п о толщ ине оболоч ки им еются жесткие или у п ру гие зоны , п ерем ещ ения точ ек срединной п оверхности не м огу т бы ть оп асно велики. Следовательно, в теории п редельного равновесия особое знач ение им еюттакие нап ря женны е состоя ния , когда п ластич ескоетеч ениеосу щ ествля ется п о всей толщ инеоболоч ки, то есть, вкаждой точ кеодной и той же норм али к срединной п оверхности вы п олня ется у словие теку ч ести f (σ ij ) = 0 . Т ак как вся задач а о п редельном равновесии констру кций ф орм у лиру ется втерм инах обобщ енны х у силий, надо и критерий п ерехода всего сеч ения в п ластич еское состоя ние сф орм у лировать в обобщ енны х у силия х F (Qi ) = 0

(2.3.1)

У равнение (2.3.1) в п ространстве обобщ енны х у силий оп исы вает п оверхность, котору ю бу дем назы ватьп редельной п оверхностью. Рассм отрим п олу ч ение п редельного у словия п ри различ ны х у словия х теку ч естим атериала. Пу стьм атериалоболоч ки п одч иня ется у словию п ластич ности Т реска max σ i − σ j = k ,

i,j = 1,2,3.

(2.3.2)

10

Здесьσ i -главны енап ря жения . Д ля осесим м етрич ного нап ря женного состоя ния оболоч ки вращ ения п ервое главное нап равление совп адает с м еридиальны м , второе м ожно нап равить в нап равлении касательной к п араллельном у кру гу , а третье- ортогонально к оболоч ке[2]. Т аким образом , σ 3 = σ z . По статич еской гип отезеК ирхгоф а-Ля ва σ 3 п ренебрежим о м ало п о сравнению с σ 1 и σ 2 и ву словии (2.3.2) м ожно п оложить σ 3 = 0 . При этом у словие (2.3.2) на п лоскости σ 1 ,σ 2 оп иш ет ш естиу гольник Т реска (рис. 2. 3). Пластич еское теч ение в каждой точ ке оболоч ки м ожет бы ть оп исано одним из ш ести у равнений, соответству ющ их сторонам ш естиу гольника ABCDEF. Д ля п ростоты бу дем говорить, ч то точ ка находится вп ластич еском режим е AB, если её нап ря женное состоя ние изображается точ кой на стороне AB, врежим еА - если точ ка нап ря жений п оп адаетвверш ину А и т.д. Т ак как в п ластич еских оболоч ках у же отсу тствует линейное изм енение нап ря жений п о толщ ине, то водном сеч ении оболоч ки нап ря жё нны е состоя ния м огу т соответствовать различ ны м п ластич еским режим ам . О днако возм ожное соч етание этих режим овстрого оп ределено законом теч ения и геом етрич еским и гип отезам и К ирхгоф аЛя ва, из которы х следу ет линейное изм енение деф орм аций п о толщ ине. Н а п лоскости ε&1,ε&2 концы всех векторовскоростей точ ек, лежащ их на одной норм али к срединной Рис. 2.3. У словиетеку ч ести п оверхности оболоч ки, п оп аду т на одну п ря м у ю MN Т реска. (рис. 2.4).

N

Рис. 2.4. Прям ая деформ аций в п лоскости глав ны хдеформ аций.

Н ап равление вектора ( ε&1,ε&2 ) однознач но оп ределя ет п ластич еский режим . Н ап рим ер, если ε&1 > 0, ε& 2 > 0 , то вектор нап ря жений, котором у соответствует это п оле скоростей, п оп адает вточ ку А . Е сли ε&1 = 0, ε&2 > 0 , то вектор нап ря жений соответствуетрежим у А В и т. д. Т аким образом , п лоскость ε&1 ,ε&2 бу детразбита на 6 зон (ф иг. 2. 4). Положение п ря м ой MN п олностью оп ределя ет соч етание су щ еству ющ их п о толщ ине оболоч ки п ластич еских режим ов. В свою оч ередь, п оложение п ря м ой MN на п лоскости ( ε&1 ,ε&2 ) оп ределя ется точ кам и P,Q,R- точ кам и п ересеч ения

11

этой п ря м ой сося м и координати п ря м ой ε&1 = −ε&2 . К оординаты м атериальны х точ ек оболоч ки, векторы скоростей деф орм ации которы х соответствуют этим точ кам , оп ределя ются п о ф орм у лам ph = −

ε&1 , χ& 1

rh = −

ε&2 , χ& 2

qh = −

ε&1 + ε&2 χ& 1 + χ& 2

(2.3.3 )

Пу сть, нап рим ер, для п ря м ой MN, изображенной на рис.2.4, им еетм есто 1 1 следу ющ иезнач ения п арам етров: − ≤ p ≤ q ≤ r ≤ . 2 2 О п ределим у силия и м ом енты п ри таком п оря дкеп арам етров h 2 σ dz h 1 − 2

N1 = ∫

M1 =

hq

hr

h2

− h2

hp

hq

hr

=

h 2 σ 2 dz h − 2

N2 = ∫

hp

=

∫ kdz + ∫ odz + ∫ (− k )dz + ∫ (− k )dz = kh( p + q), hp

hq

hr

h2

−h

hp

hq

hr

∫ kdz + ∫ kdz + ∫ odz + ∫ (− k )dz = kh(q + r ), 2

[

]

[

]

kh 2 1 − 2( p 2 + q 2 ) , 4

kh 2 M2 = 1 − 2 (r 2 + q 2 ) 4

Е сли п арам етры p,r,q п о м оду лю п риним ают знач ения , больш ие 1\2, то необходим о п олагатьих +1\2 или – 1\2. И зм енение п оря дка п арам етров на п ротивоп оложны й п риводит к изм енению знака у N i , M i . N M О конч ательно для безразм ерны х у силий ni = i и м ом ентов mi = i N0 M0 п олу ч аем следу ющ ие п арам етрич еские у равнения ку сков п оверхности теку ч ести. Т аблица 2.1. С редний Р езу льтиру ю щ ие у силия m2 параметр n1 n2 m1 p m (q − r ) ± ( p + q) ± 1 m 2( p 2 + q 2 ) ± 2( r 2 − q 2 ) q

m ( p + q)

m (q + r )

r

m (q − p )

m (q + r )

± 1 m 2( q 2 + r 2 )

± 1 m 2( q 2 + r 2 )

± 2( p 2 − q 2 )

± 1 m 2( q 2 + r 2 )

12

Е сли какой-то из п арам етровp,q,r становится неоп ределенны м , как следу ет из у равнений (1.3.3), то два дру гих п арам етра необходим о равны . Полу ч аются ещ ё три ку ска п оверхноститеку ч ести. Т аблица 2. 2

p=q

m1 = ± (1 − n12 ) m2 = ± (1 − n22 )

r=q

[

p=r

m1 − m2 = ± 1 − (n1 − n 2 ) 2

]

В том слу ч ае, когда у равнения п оверхности теку ч ести заданы в п арам етрич еском виде, ассоциированны й закон теч ения п риводит к следу ющ ем у вектору q& . h h (2.3.4 ) q& (ε&10 , ε& 20 , χ& 1 , χ& 2 ) = ν [− 4 p( q − r ),−4r ( p − q ), q − r , p − q ] 4 4 К ак п оказано И влевы м вработе [3], п олу ч енная п редельная п оверхность м ожет бы ть исп ользована для п остроения п редельной п оверхности оболоч ек, изготовленны х из м атериала, п одч иня ющ егося п роизвольном у ку соч нолинейном у у словию. max a1σ i + b1σ j + c1σ k , a2σ i + b2σ j + c2σ k = k (i, j, k = 1,2,3) (2.3.5)

{

}

(a1 + b1 + c1 = 0, a 2 + b2 + c2 = 0) В ранее п олу ч енном п редельном у словии вм есто у силий необходим о п одставитьобобщ енны еу силия U i ,Vi п о ф орм у лам

Ni , M i

[ ] [ ] V = ∆ [M (b + b ) + M (c + c ) ],V = − ∆ [M (c + c ) + M (a + a ) ], ∆ = [(a + a )(b + b ) − (c + c ) ]( a b − a b ). U = ∆ N (b + b ) + N (c + c ) , U = −∆ N (c + c ) + N (a + a ) , 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1

1

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1 2

2 1

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

Е сли оболоч ка изготовлена из м атериала, п одч иня ющ егося у словию теку ч ести М изеса, вектор скорости деф орм аций единственны м образом оп ределя ет нап ря женное состоя ние. Проинтегриру ем соотнош ения (2.3.7) п о толщ ине оболоч ки. Резу льтиру ющ ие у силия и м ом енты оп ределя тся следу ющ им образом

( = σ (ε&

) )I

( + σ (χ&

) )I ,

o Nαβ = σ 0 ε&αβ + ε&γγo δ αβ I 1 + σ 0 χ& αβ + χ& γγ δ αβ I 2

M αβ

0

o

αβ

+ ε&γγo δ αβ

h

1 2 S −1 где I S = ( z /ν ) dz , 3σ 0 −h∫ 2

S=1, 2, 3.

2

0

αβ

+ χ& γγ δ αβ

3

(2.3.8 )

13

Соотнош ения (2.3.8) дают п арам етрич еское у равнение п редельной п оверхности для идеально-п ластич еских оболоч ек. Э ти соотнош ения бы ли п олу ч ены вработах Х оджа, Ш ап иро, Е рхова и др. 2. 4. К инематический и статический мето ды расчета несу щ ей спо со бно сти о бо ло чек К ак бы ло п оказано вп у нкте 2.2, знач ение коэф ф ициента зап аса снизу огранич ено статич ески доп у стим ы м м ножителем , а сверху – кинем атич ески доп у стим ы м ηs ≤ η ≤η k (2.4.1) Н еравенство (2.4.1) дает основание для п риближенны х м етодоврасч ета констру кций. В зависим ости от того, оп ределя ются ли статич ески или кинем атич ески доп у стим ы й м ножитель, м етод носитназваниестатич еского или кинем атич еского. Рассм отрим снач ала статич еский м етод оп ределения несу щ ей сп особности констру кций. О н состоит в том , ч то п одбирается п оле обобщ енны х Q*i , у довлетворя ющ ее у равнения м равновесия , у словия м теку ч ести и статич еским гранич ны м у словия м . К ак п равило, систем а п ереч исленны х у равнений оказы вается статич ески разреш им ой п ри некотором знач ении внеш них нагру зок n s T0 , где Т 0 - вектор заведом о безоп асной систем ы сил. Е сли разны м областя м оболоч ки п оставлены в соответствие разны е п ластич еские режим ы , то вкаждой из областей п олу ч им разны е реш ения для у силий и м ом ентов. В оболоч ке вращ ения п ри осесим м етрич ном состоя нии все нап ря жения бу ду т ф у нкция м и м еридианальной координаты δ , и граница областей с различ ны м и реш ения м и бу дет окру жностью δ = const . Н а этой окру жности должны вы п олня тся следу ющ ие у словия неразры вности [N1 ] = [M 1 ] = 0 . [Q1 ] = 0 , если внеш ня я нагру зка м еня ется неп реры вно и нет сосредоточ енны х сил на этой окру жности. И з у равнений равновесия , вкоторы е входя т N1 , M 1 , Q1 , м ожно п олу ч ить у словия неп реры вности и дру гих статич еских п ерем енны х. Послетого как оп ределено реш ениеи статич ески доп у стим ы й м ножитель n s , ну жно п роверить, бу дет ли кинем атич ески доп у стим ы м ассоциированное к найденны м обобщ енны м у силия м п оле скоростей деф орм аций. Д ля этого надо найти п оле скоростей п ерем ещ ений, п роверить для него п оложительность работы внеш них сил и оп ределить соответству ющ ий кинем атич ески доп у стим ы й м ножитель nt . Е сли это у дается и nk = ns , то найденноереш ение я вля ется п олны м . В п ротивном слу ч ае, найдено только статич ески доп у стим ое п оле у силий. Н адо найти ещ е и верхнюю оценку коэф ф ициента зап аса. Э то делается кинем атич еским м етодом . О н состоитвследу ющ ем . Рассм атриваются кинем атич ескиегранич ны е у словия , п одбирается п оле скоростей п ерем ещ ений, у довлетворя ющ их гранич ны м у словия м , у словию

14

несжим аем ости, у словию п оложительности работы внеш них сил и неп реры вное п о всей оболоч ке. Прич ем , доп у скается налич ие п ластич еских ш арнирны х •

∂w окру жностей. Ш арнирной окру жностью назы вается такая окру жность, где ∂s •

∂2 w

терп ит разры в. Следовательно,

∂s

2

•

→ ∞ или

χ1 •

→ ∞ , т. е.

∂F ∂F : = 0. ∂M 2 ∂M 1

χ2 Э то возм ожно вточ ках п оверхности, где вектор норм али п араллелен оси M 1 . В следствие вы п у клости п оверхности теку ч ести эти точ ки соответствуют м аксим альны м п о м оду лю знач ения м M 1 , которое обознач им M 0 . Ш арнирная окру жность м ожет возникну ть и взаделке (соответственно, гранич ное у словие •

∂w = 0 у же не сохраня ется ). После того как задано п оле п ерем ещ ений, ∂s • (k )

оп ределя ем п о соотнош ения м К ош и скорости деф орм аций q

, а затем

 •(k )  D  q  и работу внеш них сил n k T0 на введенны х скоростя х п ерем ещ ений.     Е сли в констру кции п редп олагается налич ие п ластич еских ш арнирны х окру жностей, то к скорости диссип ации вп ластич еских ш арнирах, которая ,  • ∂ w оч евидно, равна D1′ =  ⋅ M 0 . К инем атич ески доп у стим ы й м ножитель  ∂s    оп ределя ется из равенства n

k

& ∫ T0U d s = D s

 (k )   q&  + D 1    

Прим еры расч ета констру кций статич еским и кинем атич еским м етодом бу ду т п риведены ниже.

15

3. Р асчетнесу щ ей спо со бно сти пластин и о бо ло чек 3.1. П римеррасчета сф ерическо й о бо ло чки кинематическим и статическим мето дами Рассм отрим заделанны й сф ерич еский колп ач ок, п одвергну ты й равном ерно расп ределенном у давлению (рис. 3.1). Предп оложим , ч то интенсивностьзаданного давления равна единице. В этом слу ч аем ножитель λ , границы которого оп ределя ются п о основной теорем е п редельного равновесия , бу дет п редставля ть критич еское давление, п ри котором нач ну тся деф орм ации п ластич ески-жесткой оболоч ки. Ч тобы п олу ч ить верхнюю и нижнюю границы для этого критич еского давления , рассм отрим п олескорости. V = 0,

Рис. 3.1. Сф ерич еский колп ач ок .

W = cos ϕ 0 − cos ϕ

(3.1.1).

Здесь V и W – составля ющ ие скорости соответственно в нап равлении м едианы и норм али к оболоч ке. В ектор скорости нап равлен вдоль внеш ней норм али к сф ере, он обращ ается в ну ль на оп оре и им еет интенсивность, равну ю 1 − cos ϕ 0 в п олюсе. Поле скорости (3.1.1) не у довлетворя ет у словию заделки: W ′ = 0 п ри ϕ = ϕ 0 . Э то означ ает, ч то п араллель ϕ = ϕ 0 следу ет рассм атривать как ш арнирну ю окру жность. [3] для главны х И сп ользу я известны е ф орм у лы скоростей у длинений и кривизн срединной п оверхности, а также вы ражения (3.1.1), п олу ч им следу ющ иезависим ости:

1 (cos ϕ − cos ϕ 0 ) . R 1 χ ϕ = χ θ = − 2 cos ϕ . R

εϕ = εθ =

(3.1.2) (3.1.3)

Здесь ε ϕ и εθ - главны е скорости у длинений в серединной п оверхности оболоч ки, в м еридианальном и окру жном нап равления х соответственно; χ ϕ , χ θ - главны е скорости кривизн срединной п оверхности. Пользу я сь равенствам и (2.3.3), найдем p=q=r =

R cos ϕ − cos ϕ 0 h cos ϕ

(3.1.4)

16

1 И сследования п оказы вают, ч то p = q = r > , если исключ ить зону у 2 оп оры . В этом слу ч ае безразм ерны е резу льтиру ющ ие нап ря жения п олу ч аются 1 п о таблице 2.1 (строка для q), где следу ет п оложить p = q = r = и 2 исп ользоватьотрицательны й знак, так max ε = ε 3 и ε 3 < 0 . О тсюда n1 = n2 = 1, m2 = m1 = 0

(3.1.5)

Соответствующ ая скоростьрассея ния энергии на единицу п лощ ади бу дет

D1 = δ 0 h(ε ϕ + εθ ) = 2δ 0

h (cos ϕ − cos ϕ 0 ) R

(3.1.6)

1 , п оэтом у резу льтиру ющ ие нап ря жения 2 должны оп ределя ться п о строкеq втаблице2.1, исп ользу я общ ее знач ение для p=q=r и отрицательны й знак. О тсюда В зоне у оп оры

0≤ p= q=r <

n1 = n2 = 2

R cos ϕ − cos ϕ 0 h cos ϕ

m1 = m2 = −1 + 4

2 R 2 (cos ϕ − cos ϕ 0 )

(3.1.7)

cos 2 ϕ

h2

Соответствующ ая скоростьрассея ния энергии на единицу п лощ ади бу дет D 2 = 2δ 0

(cos ϕ − cos ϕ 0 ) 2 cos 2 ϕ

+

δ 0h2 2R 2

cos ϕ

(3.1.8)

Скоростьизгиба ш арнирной окру жности ϕ = ϕ 0 оп ределится отнош ением , вы ч исленны м п ри ϕ = ϕ 0 . О тсюда скорость рассея ния энергии на R единицу длины окру жности бу дет δ h 2 sin ϕ 0 (3.1.9) D3 = 0 4 R W

Полная скорость ∆ рассея ния энергии для всей оболоч киравна

∆

(2πR ) 2

=

ϕ∗

ϕ0

0

ϕ∗

∫ D1 sin ϕdϕ + ∫ D2 sin ϕdϕ + D3

sin ϕ 0 R

(3.1.10)

17

2 cos ϕ 0 . 2− h R Скорость W, с которой п риложенное единич ное давление п роизводит работу на скоростя х (2.1.1), оп ределя ется п о ф орм у ле

Здесьϕ ∗ оп ределя ется из соотнош ения cos ϕ ∗ =

W

ϕ0

(2πR 2 ) = ∫0 (cos ϕ − cos ϕ 0 )sin ϕdϕ

(3.1.11)

К инем атич ески доп у стим ы й м ножитель, соответствующ ий п риня ты м скоростя м , оп ределя ется из у равнения λW = ∆ ϕ0

λ = 2δ 0

 D3

∫ ( D2 − D1 ) sin ϕdϕ + 

h ϕ∗ + R

ϕ0

 sin ϕ 0 R  (3.1.12)

∫ (cos ϕ − cos φ 0 ) sin ϕdϕ 0

О тм етим , ч то п оле нап ря жения на п ределе теку ч ести, оп ределенное, согласно ф орм у ле (3.1.5), и п редставля ющ ее собой двухосное растя жение, 2δ 0 h . я вля ется статич ески доп у стим ы м для давления R 3.2. Р асчетто ро идально й о бо ло чки кинематическим и статическим мето дами Рассм отрим п редельное равновесие тороидальной оболоч ки, края которой θ = 0 и θ = π закреп лены относительно радиальны х и осевы х п ерем ещ ений (рис. 3.2). Предп олагается , ч то оболоч ка вы п олнена из жесткоп ластич еского м атериала, п одч иня ющ егося у словию п ластич ности Т реска и ассоциированном у закону теч ения , и нагру жена равном ерно расп ределенны м давлением . Рис. 3.2. Т ороидальная оболоч ка.

Реш ение задач и строится кинем атич еским м етодом . Н ижня я оценка для п редельного давления п олу ч ается из рассм отрения статич ески доп у стим ого п оля нап ря жений, отвеч ающ его безм ом ентном у нап ря женном у состоя нию второидальной оболоч ке. Рассм отрим п олескоростиввиде

18

W = W0 sin θ , V=0 (W0 = const )

(3.2.1)

Здесь V и W – ком п оненты скорости п ерем ещ ения внап равлении м едиана и норм али оболоч ки, θ - у гол м ежду осью вращ ения оболоч ки и норм алью. В ы ражения для главны х скоростей у длинений и кривизн тороидальной оболоч ки, соответствующ их п олю (3.2.1), бу ду тим етьвид

W0 sin θ W ε 1 = − 0 sin θ , ε 2 = − R0 1 + α sin θ r0 2

2  r  W cos θ 0 χ 1 = 2 sin θ , χ 2 = − ,  α = 0  r0 R0 1 + α sin θ  R0  r0

W0

(3.2.2)

При п ом ощ и (3.2.2) легко п олу ч ить п арам етры p,q,r из соотнош ений (2.3.3).

2 p = β , r = −β ⋅ tg θ, q = β

sin θ + 2α sin 2 θ sin θ + 2α sin θ − α 2

, β =

r0 h

(3.2.3)

Подробны й анализ п ределов изм енения п арам етров (3.2.3) п озволя ет π разбитьинтервалоболоч ки 0 ≤ θ ≤ на три у ч астка. 2 Н а п ервом у ч астке (0 ≤ θ ≤ θ1 ) p = 1 2, q = − 1 2 , r = − β ⋅ tg 2θ . Н а втором у ч астке p= 1 , r =− 1 , q =− 1 . (θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ) 2 2 2 Н а третьем у ч астке

π  θ 2 ≤ θ ≤  2 

p= 1 , 2

r=− 1 , 2

q= 1 . 2

И сп ользу я соотнош ение таблицы 2.1, найдем велич ины безразм ерны х резу льтиру ющ их нап ря жений ni и mi , которы е п озволя т вы ч ислить велич ину скорости диссип ации энергии на каждом из трех у ч астков.  1  πα  1  1 2 α  D = 4πR0 r0δ 0W0  1 +  + 2  +  2  β  4 5 β   β 

(3.2.4)

19

Работа, котору ю п роизводит вну треннее давление (3.2.1), для всей оболоч ки оп ределя ется п о ф орм у ле π

2

A = 2 ∫ 2πR0 r0 pW (θ )(1 + α sin θ ) dθ = 4πR0 r0 p ∗W0 (1 + 0

πα ) 4

(3.2.5)

Сравнение(3.2.4) и(3.2.5) п риводитк ф орм у ледля п редельного давления P ∗ p∗ =

δ0 β

−1  πα 1 2 α   πα  + + + 1 ⋅ 1 +   2 4β 5 β 3 2   4  

Н ижня я оценка для п редельного давления м ожет бы ть п олу ч ена из рассм отрения статич ески доп у стим ого п оля нап ря жений

δ1 =

pβ 2 + α sin θ pβ , δ2 = 2 1 + α sin θ 2

(δ 1 > δ 2 )

Д ля того ч тобы тороидальная оболоч ка, находя щ ая ся вбезм ом ентном нап ря женном состоя нии, п олностью п ереш ла в п ластич еское состоя ние, необходим о вы п олнение у словия δ 1 π = δ 0 . И сходя из этого у словия , 2 δ0 1+α п олу ч им p∗ = . β 1+α 2 А нализ п олу ч енны х резу льтатовп оказы вает, ч то вп рактич ески важны х слу ч ая х разница м ежду верхней и нижней оценкам и п редельного давления не п ревы ш ает10%.

( )

3. 3. П редельно е равно весие по ло гих ко нических о бо ло чек Рассм отрим свободно оп ерту ю конич еску ю оболоч ку (рис. 3.3). Бу дем п олагать, ч то оболоч ка им еет п остоя нну ю толщ ину и изготовлена из жесткого идеально-п ластич еского Рис. 3.3. Геом етрия конич еской оболоч ки. м атериала, п одч иня ющ егося у словию теку ч ести Т реска и закону п ластич еского теч ения . Ц ентральная нагру зка P п риклады вается внап равлении оси кону са с п ом ощ ью твердой кру глой вту лки, заделанной воболоч ку . Ц ель задач и: найти велич ину критич еской нагру зки P ∗ , п ри которой воболоч кенач ну тп оя вля ться п ластич еские деф орм ации, а также соответствующ ие этой нагру зке п оле нап ря жений и п оле нач ального п ластич еского теч ения . Э ти п оля оп ределя ются

20

заданием изгибающ их м ом ентов М

ϕ ,М θ

в м еридианальном и окру жном

нап равления х, м ем бранны х у силий Nϕ и Nθ втех же нап равления х, а также м еридианальной и норм альной составля ющ их скорости п ерем ещ ения срединной п оверхности V и W. В елич ины , характеризу ющ ие у казанны е п оля , должны у довлетворя тьследу ющ им требования м : а) у силия должны у довлетворя ть у равнения м равновесия , которы е п ри исключ ении из них Q – п оп ереч ного сдвигающ его у силия – бу ду тим етьвид dmϕ x = mθ − mϕ + 4 β ⋅ xnϕ − p (3.3.1) dx dnϕ x = nθ − nϕ , (3.3.2) dx N0 l P где p = l ⋅ tgϕ 0 = ⋅ tgϕ 0 = β ′ cos ϕ 0 , , β = 2 2 π M 0 cos ϕ 0 4M 0 h mϕ , mθ , nϕ , nθ - безразм ерны е изгибающ ие м ом енты и м ем бранны е у силия , x = s , где s – расстоя ниеот верш ины кону са, ϕ 0 - у гол наклона образу ющ ей l к основанию, β ′ - отнош ениестрелы п одъ ем а кону са к толщ инеоболоч ки h. б) велич ины , характеризу ющ ие п оля нап ря жений и п ерем ещ ений, должны у довлетворя тьгранич ны м у словия м mϕ = nϕ = 0, W = 0 п ри x = 1 W = U cosϕ 0 , V + Wtg ϕ 0 = 0 dW = 0 п ри x = α , гдеα = l 0 l (см . рис. 3.3) dx ЗдесьU – скоростьцентральной жесткой вту лки, нап равленной вниз. в) нап ря женное состоя ние в п роизвольной точ ке оболоч ки п редставля ется точ кой, лежащ ей на п оверхности теку ч ести(таблица 2.1). Проведенны е исследования п оказы вают, ч то п ри изм енении п арам етра β в интервале 0 ≤ β ≤ 1 нап ря женное состоя ние в различ ны х ч астя х оболоч ки оп исы вается трем я различ ны м и у словия м и теку ч ести, каждое из которы х соответствуетоп ределенной грани п оверхности теку ч ести

F1 = mθ + nθ2 − 1 = 0 2

 mϕ 2   F2 = mθ − mϕ + nθ − nϕ + + n  −1= 0  2nϕ θ   

(

) (

)

(

F3 = (mθ − mϕ ) + nθ − nϕ

)

2

−1= 0

(3.3.3)

21

Т аким образом , втаком интервале β вся оболоч ка разбивается на три ч асти, и вкаждой такой ч асти задач а реш ается отдельно. При этом задач а реш ается в у силия х с п ривлеч ением двух у равнений равновесия (3.3.1) и (3.3.2), соответствующ его у словия теку ч ести (3.3.3) и в кач естве ч етвертого у равнения исп ользу ется у словие совм естности в обобщ енны х нап ря жения х, вы веденноевработе[4]. У равнения совм естности в зависим ости от вы бора у словий теку ч ести (3.3.3) бу ду тим етьвид

dnθ = −2β , dx dnθ 1 = dx 4 xnϕ

  2 mϕ nθ 3 mϕ2 2 2  p − 1 − 2n − n + m + 4n n − − − 8 βxnϕ , θ ϕ ϕ θ ϕ 2   nϕ 4 nϕ  

dnθ 1 = −2 β + (nθ − nϕ ) dx x

(3.3.4)

И нтегрированиеп олу ч ающ ихся систем нелинейны х относительно у силий у равнений вы п олня ется ч исленно. Затем оп ределя ются связанны е с этим и нап ря женны м и состоя ния м и п оля скоростей п ерем ещ ений срединной п оверхности, для ч его реш ается ря д обы кновенны х линейны х диф ф еренциальны х у равнений, п олу ч енны х на основании закона теч ения . 3.4. Р асчет несу щ ей спо со бно сти кру глых пластин При п оп ереч ном нагру жении кру глы х п ластин сим м етрич ной нагру зкой, м ожно п ренебреч ь у силия м и и деф орм ация м и в п лоскости п ластины . Н ап ря женное состоя ние бу дет характеризоваться м ом ентам и М = М r , N = M θ и п еререзы вающ ей силой Q , п редельное у словие бу дет оп исы ваться кривой вп лоскости Mθ , M r . В кач естве п рим ера рассм отрим трансверсально изотроп ны й м атериал, для которого у словие теку ч ести М изеса вкоординатах x,y, расп оложенны х в п лоскости листа, им еетвид

(1 + r )(σ x2 + σ y2 ) − 2rσ x σ y + 2(1 + 2r )σ 2xy = (1 + r )σ S2 .

(2.4.1)

Здесьr- коэф ф ициентанизотроп ии, равны й отнош ению деф орм ации п о ш ирине растя гиваем ы х образцовк деф орм ации п о толщ ине; σ s - п редел теку ч ести п ри растя жении вп лоскости листа. У словие (3.4.1) соответствует в п лоскости главны х нап ря жений σ 1 ,σ 2 эллип су (см . рис. 3.4).

22

Рис. 3.4. К ривыетеку ч ести вп лоскости глав ны х нап ря жений σ 1 ,σ 2 .

Построим ш естиу гольник ABCDEF, с верш инам и σ 1 = σ s ; σ 2 = σ s ;

1+ r σ s , ч то совпадает с эксп ерим ентальны м и данны м и на 2 растя жение-сжатие или равном ерное нагру жение вп лоскости листа (см . рис. 3.4). Построенны еш естиу гольники теку ч ести п озволя ютп олу ч итьп редельны е у словия теку ч ести вслу ч ае п оп ереч ного изгиба кру глы х п ластин для оценки их несу щ ей сп особности. Следу я [4], п олу ч им п редельны е у словия для м ом ентов М ρ , М θ . В кач ествеп рим ера рассм отрим изгиб кру глой п ластины радиу са R , оп ертой п о краю и нагру женной равном ерной нагру зкой q. В этом слу ч ае, оч евидно, M r ≥ 0, M θ >0. В центреп ластины ( ρ = 0 ) М ρ = М θ , на краю ( ρ = R ) M ρ = 0. Предп оложим , нап ря женное состоя ние соответствует стороне В С ш естиу гольника ABCDEF 2   a = 1 − 1 + r , M 0 = σ s h . M θ − aM ρ = M 0 (3.4.2)   2 4   У равнения равновесия п ластины σ1 = σ 2 = ±

dM ρ dρ

+

1 Qρ = ρ

M ρ − Mθ ρ

= Qρ

ρ

∫ q ρd ρ 0

п ри равном ерном нагру жении п оп ереч ной нагру зкой q п рим етвид

(3.4.3)

23

M ρ − Mθ

qρ . (3.4.4) dρ ρ 2 И сп ользу я соотнош ение(3.4.2), п олу ч аем для м ом ента M ρ реш ение dM ρ

M ρ = Gρ

a −1

+

=

Mθ qρ 2 + + . 1 − a 2(a − 3)

(3.4.5)

Е сли а-1<0, то реш ение (3.4.5) м ожет бы тьрасп ространено и на центр п ластины , если С 1 = 0. В этом слу ч ае у словие теку ч ести в м ом ентах соответствуетрис. 3.5.

Рис. 3.5. Предельноеу слов иевм ом ентах п ри r<1.

К ром е того, в этом слу ч ае режим В соответствует п ластич еском у к ш арниру вцентреп ластины , п рикотором 1 → ∞. к2 Е сли п риня тьво всей п ластинережим В С и м ом ент М ρ ввиде М

ρ

М

ρ

из гранич ного у словия

M0 qρ 2 = + , 1 − a 2(a − 3 )

(3.4.6)

= 0 п ри ρ = R ,

(3.4.7)

п олу ч им знач ениестатич ески доп у стим ой нагру зки

q∗ =

3 − a 2M 0 . 1 − a R2

(3.4.8)

Рассм отрим п олескоростей п рогибов, ассоциированноесу словием В С кρ = λ

∂F ( M ρ , M θ ) ∂M ρ

; кθ = λ

∂F (M ρ , M θ ) ∂M θ

; кρ = − а λ ; кθ = λ .

(3.4.9)

24

О тсюда

кρ = − а кθ . При осесим м етрич ном изгибекру глы х п ластин кρ = −

d 2W dρ

2

; кθ = −

1 dW , ρ dρ

(3.4.10)

здесь w – скорость п рогиба срединной п оверхности п ластины . И з (3.4.9) и (3.4.10) п олу ч им у равнениедля оп ределения скорости п рогиба w d 2W dρ 2

=−

a dW ρ dρ

(3.4.11)

Реш ениеу равнения (3.4.8) су ч етом w=0 п ри ρ = R им еетвид:   ρ  −a +1  . W = W0 1 −    R   

(3.4.12)

ЗдесьW 0 - скоростьп рогиба вцентреп ластины . Скорости изм енения кривизны , соответству ющ ие скоростя м п рогибов (3.4.9), оп ределя ются п о ф орм у лам (3.4.7)

кρ =

a (1 − a ) R

1−a

W0 ρ −1−a ; к0 =

1− а R

1− a

W0 ρ − a −1 .

(3.4.13)

 dW   dρ  ≠ 0, то есть в центре п ластины   реализу ется п ластич еский ш арнир, ч то действительно соответствуетрежим у А . Подсч итаем диссип ацию, соответствующ у ю кинем атич ески доп у стим ы м скоростя м обобщ енны х п ерем ещ ений (3.4.13) К ак следу ет из (3.4.12), п ри ρ = 0

R

(

)

D = 2π ∫ M ρ кρ + M θ к0 ρdρ .

(3.4.14)

0

Послеп одстановки (3.4.13) и(3.4.2) в(3.4.14) п олу ч им D = 2π M 0 ⋅ W0 .

(3.4.15)

25

Работа расп ределенной скоростя х п рогибов(3.4.12)

нагру зки q

R

A = 2π ∫ qw ρdρ = 2πW0 0

на кинем атич ески доп у стим ы х 1− a qR 2 . 2(3 − a )

Приравнивая D и А , п олу ч им знач ение верхней оценки несу щ ей сп особности, которая совп адает со статич ески доп у стим ой нагру зкой (3.4.8). Т аким образом , знач ение несу щ ей сп особности п ластины из транверсально изотроп ного м атериала

q=

3 − a 2M 0 . 1 − a R2

(3.4.16)

В п редельном слу ч ае r → 1 знач ение (3.4.16) совпадает с известны м знач ением для изотроп ной п ластины . Согласно теорем е п редельного равновесия [1], велич ина п редельной нагру зки для трансверсально изотроп ного м атериала п ри r<1 для любого у словия теку ч ести нем еньш езнач ения q, п осч итанного п о ф орм у ле(3.4.16), так как ш естиу гольник ABCDEF я вля ется вп исанны м для любого у словия теку ч ести.

26

Л итерату ра О сновная литерату ра 1. И ш линский, А . Ю . М атем атич еская теория п ластич ности./А .Ю . И ш линский, Д .Д . И влев. - М .: Ф И ЗМ А Т ЛИ Т , 2001.- 704 с. 2. Бы ковцев, Г. И . И збранны е п роблем ны е воп росы м еханики деф орм иру ем ы х сред : Сб. ст. / Г.И . Бы ковцев. - В ладивосток : Д альнау ка, 2002. - 566 с. 3. И влев, Д . Д . М еханика п ластич еских сред: В 2 т. / Д .Д . И влев. – М .:Ф И ЗМ А Т ЛИ Т , 2001.- Т .1. - 448 с. 4. В у льм ан, С.А . М оделирование расч ё та констру кций из трансверсальноизотроп ного м атериала с исп ользованием экстрем альны х свойств у словий п ластич ности / С.А . В у льм ан, Т .Д . Сем ы кина. // А виакосм ич ескиетехнологии: Сб. тр. третьей м ежду народной нау ч .-техн. К онф . – В оронеж, 2002. – С. Д оп олнительная литерату ра. 5. К олку нов, Н .Е . О сновы расч ё та у п ру гих оболоч ек/ Н .Е . К олку нов. – М , 1963.-361 с.

27

Составители: И ванищ ева О льга И вановна Сем ы кина Т атья на Д м итриевна Щ еглова Ю лия Д м итриевна Редактор

Т ихом ирова О .А .