BASIC DIFFERENTIAL GEOMETRY AS A SEQUENCE OF INTERESTING PROBLEMS
arXiv:0801.1568v1 [math.DG] 10 Jan 2008
A. Skopenkov...
5 downloads
234 Views
382KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
BASIC DIFFERENTIAL GEOMETRY AS A SEQUENCE OF INTERESTING PROBLEMS
arXiv:0801.1568v1 [math.DG] 10 Jan 2008
A. Skopenkov Abstra t. This paper is purely expositional. It is shown how in the ourse of solution of interesting geometri problems ( lose to appli ations) naturally appear dierent notions of urvature, whi h distinguish given geometry from the 'ordinary' one. Dire t elementary de nitions of these notions are presented (a sample English translation of two de nitions is given). The paper is a
essible for students familiar with analysis of several variables, and ould be an interesting easy reading for mature mathemati ians. The material is presented as a sequen e of problems, whi h is pe uliar not only to Zen monasteries but also to elite mathemati al edu ation (at least in Russia).
The modern world is full of theories whi h are proliferating at a wrong level of generality, we're so
good
at theorizing,
and one theory spawns another, there's a whole industry of abstra t a tivity whi h people mistake for thinking. I. Murdo h, The Good Apprenti e.
A simple geometri de nition of the s alar and the Ri
i urvatures.
Let Π ⊂ Rm be an n-dimensional surfa e in Rm (a reader not familiar with surfa es an
onsider surfa es of revolution, whi h ase is interesting enough). If n = 2, for P ∈ Π denote by LΠ,P (R) the length of the ir le in Π of radius R entered at P ∈ Π. The s alar urvature of Π at P is the number
2πR − LΠ,P (R) . R→0 πR3
τ = τΠ,P := 6 lim
One an prove that this limit indeed exists. A (non-parametrized) urve Γ ⊂ Π is alled a geodesi on Π, if Γ is lo ally shortest, i.e., if ea h point x ∈ Γ has a neighborhood U ⊂ Π su h that the distan e (along Π) between any two points y1 , y2 ∈ U ∩ Γ is equal to the length of a segment of Γ from y1 to y2 . For P ∈ Π denote by TP the plane tangent to Π at the point P . De ne a (geodesi )
exponential map
exp = exp P : TP → Π by
exp(u) := γP,u (1),
′ where γP,u : [−1, 1] → Π is the geodesi for whi h γP,u (0) = P and γP,u (0) = u. The Ri
i urvarure of Π at P ∈ Π is a bilinear form ρ = ρP : TP × TP → R su h that for ea h unit n-dimensional ube A ⊂ TP with vertex at P we have Z hn+2 n V (exp P (hA)) = h − ρ(u, u)du + O(hn+3 ) when h → 0. 6 A
One an prove that • su h a quadrati form indeed exists and is unique. • analogous formula with hn repla ed by hn V (A) (hn+2 and hn+3 do not hange) holds for ea h measurable subset A ⊂ TP . • τ = tr ρe, where P linear operator ρe : TP → TP is well-de ned by ρe(u) · v = ρ(u, v). • 2ρ(u, u) = i τi , where |u| = 1, e1 , . . . , en−1 is an orthonormal base in the orthogonal
omplement to u in TP and τi is the s alar urvature at P of the 2-dimensional surfa e expP hu, eii. 1
ÎÑÍÎÂÛ ÄÈÔÔÅ ÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÅÎÌÅÒ ÈÈ Â ÈÍÒÅ ÅÑÍÛÕ ÇÀÄÀ×ÀÕ 1 À. Á. Ñêîïåíêîâ
2 3
Àííîòàöèÿ. Ïîêàçàíî, êàê ïðè ðåøåíèè èíòåðåñíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðîáëåì, áëèçêèõ ê ïðèëîæåíèÿì, åñòåñòâåííî âîçíèêàþò ðàçëè÷íûå ïîíÿòèÿ êðèâèçíû, îòëè÷àþùåé èçó÷àåìóþ ãåîìåòðèþ îò 'îáû÷íîé'. Ïðèâåäåíû ïðÿìûå ýëåìåíòàðíûå îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ïîíÿòèé. Áðîøþðà ïðåäíàçíà÷åíà ñòóäåíòàì, àñïèðàíòàì, ðàáîòíèêàì íàóêè è îáðàçîâàíèÿ, èçó÷àþùèì è ïðèìåíÿþùèì äè åðåíöèàëüíóþ ãåîìåòðèþ. Äëÿ åå èçó÷åíèÿ äîñòàòî÷íî âëàäåíèÿ îñíîâàìè àíàëèçà óíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ (à âî ìíîãèõ ìåñòàõ íå íóæíî äàæå ýòîãî). Ìàòåðèàë ïðåïîäíåñåí â âèäå öèêëîâ çàäà÷.
The modern world is full of theories whi h are proliferating at a wrong level of generality, we're so
good
at theorizing,
and one theory spawns another, there's a whole industry of abstra t a tivity whi h people mistake for thinking. I. Murdo h, The Good Apprenti e.
Ñîäåðæàíèå. Çà÷åì. Ñîâåòû è ñîãëàøåíèÿ. Ëèòåðàòóðà. Êðèâèçíû êðèâûõ. Êðèâûå. Êðèâèçíà êðèâûõ. Êðó÷åíèå ïðîñòðàíñòâåííûõ êðèâûõ. ×èñëîâûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòåé. Ïîâåðõíîñòè. Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ. Ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà. Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè. Ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà (îáîáùåíèå). ëàâíûå êðèâèçíû. Ïîëíàÿ ñðåäíÿÿ êðèâèçíà. Ñðåäíÿÿ êðèâèçíà â òî÷êå. Ïîëíàÿ ãàóññîâà êðèâèçíà. àóññîâà êðèâèçíà â òî÷êå. åîäåçè÷åñêèå. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ. Ñåêöèîííàÿ êðèâèçíà. Ïîëèëèíåéíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòåé. Äëèíû êðèâûõ íà ïîâåðõíîñòÿõ. èìàíîâà ìåòðèêà. Ïðèìåíåíèå ê èçîìåòðèÿì. Îïåðàòîð êðèâèçíû Âåéíãàðòåíà (âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ îðìà). Áèëèíåéíàÿ îðìà êðèâèçíû è÷÷è. Òåíçîð êðèâèçíû èìàíà. Êîâàðèàíòíîå äè åðåíöèðîâàíèå. Ïðèìåðû òåíçîðíûõ ïîëåé. Êîâàðèàíòíîå äè åðåíöèðîâàíèå óíêöèé. Êîììóòàòîð âåêòîðíûõ ïîëåé. Êîâàðèàíòíîå äè åðåíöèðîâàíèå âåêòîðíûõ ïîëåé. Êîâàðèàíòíîå äè åðåíöèðîâàíèå òåíçîðíûõ ïîëåé. Îáîáùåíèå. Ýëåìåíòû ãèïåðáîëè÷åñêîé ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî. åîìåòðèÿ íà ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ.
1 Èçä-âî
ÌÖÍÌÎ, Ìîñêâà, â ïå÷àòè. Âûëîæåíî íà www.arxiv.org ñ ðàçðåøåíèÿ èçäàòåëüñòâà.
2 http://dfgm.math.msu.su/people/skopenkov/papers .ps
3 ×àñòè÷íî
ïîääåðæàí îññèéñêèì Ôîíäîì Ôóíäàìåíòàëüíûõ Èññëåäîâàíèé, ðàíòû íîìåð 05-0100993, 07-01-00648a è 06-01-72551-NCNILa, ðàíòàìè Ïðåçèäåíòà Ô ÍØ-4578.2006.1, ÌÄ-3938.2005.1 è ÌÄ-4729.2007.1, à òàêæå ñòèïåíäèåé Ï. Äåëèíÿ, îñíîâàííîé íà åãî Ïðåìèè Áàëüçàíà 2004 ãîäà.
2
Çà÷åì.
Ïðèâîäèìûå çàäà÷è ïîäîáðàíû òàê, ÷òî â ïðîöåññå èõ ðåøåíèÿ (è îáñóæäåíèÿ) ÷èòàòåëü óâèäèò, êàê ïðè ðåøåíèè èíòåðåñíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðîáëåì, áëèçêèõ ê ïðèëîæåíèÿì, åñòåñòâåííî âîçíèêàþò ðàçëè÷íûå ïîíÿòèÿ êðèâèçíû, îòëè÷àþùåé èçó÷àåìóþ ãåîìåòðèþ îò 'îáû÷íîé'. 4 Äàëüíåéøèå çíàíèÿ ÷èòàòåëü ñìîæåò ïî÷åðïíóòü â êíèãàõ èç ñïèñêà ëèòåðàòóðû. Îñîáåííîñòü ýòîãî òåêñòà âîçìîæíîñòü ïîçíàêîìèòüñÿ ñ íåêîòîðûìè ìîòèâèðîâêàìè è èäåÿìè äè åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè ïðè ñâåäåíèè ê íåîáõîäèìîìó ìèíèìóìó åå ÿçûêà. ß ñòàðàëñÿ äàâàòü îïðåäåëåíèÿ òàê, ÷òîáû ñðàçó áûëî ÿñíî, ÷òî îïðåäåëÿåìûé îáúåêò èíòåðåñåí. À ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ óæå èíòåðåñíûõ (ïî ñàìîìó èõ îïðåäåëåíèþ) îáúåêòîâ îðìóëèðîâàòü â âèäå òåîðåì. (×àñòî èçó÷åíèå ìàòåðèàëà çàòðóäíÿåòñÿ òåì, ÷òî âû÷èñëèòåëüíûå îðìóëû ïðåïîäíîñÿòñÿ â âèäå îïðåäåëåíèé, êîòîðûå ñòàíîâÿòñÿ íåìîòèâèðîâàííûìè.) Âìåñòî àáñòðàêòíûõ îáùèõ ïîíÿòèé (íàïðèìåð, òåíçîðà è êîâàðèàíòíîãî äè åðåíöèðîâàíèÿ) ðàññìàòðèâàþòñÿ èõ êîíêðåíòíûå èñïîëüçóåìûå â êóðñå ÷àñòíûå ñëó÷àè, à îáîáùåíèå îñòàåòñÿ â âèäå çàäà÷, êîòîðûå åñòåñòâåííû è ëåãêè äëÿ ÷èòàòåëÿ, ðàçîáðàâøåãîñÿ ñ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè. (Èçó÷åíèå 'îò îáùåãî ê ÷àñòíîìó' ÷àñòî ïðèâîäèò ê àáñóðäíîìó ý åêòó: ñäàþùèå êóðñ âîñïðîèçâîäÿò ãðîìîçäêîå îïðåäåëåíèå, íî íå ìîãóò ïî ýòîìó îïðåäåëåíèþ ïðèâåñòè íè îäíîãî ñîäåðæàòåëüíîãî ïðèìåðà îïðåäåëÿåìîãî îáúåêòà.) Ïðîñòåéøèå êðèâèçíû ÷èñëîâûå ïîëÿ, áîëåå ñëîæíûå ïîëÿ êâàäðàòè÷íûõ îðì, à òåíçîð êðèâèçíû èìàíà ('ýòî ìàëåíüêîå ÷óäîâèùå ïîëèëèíåéíîé àëãåáðû' ïî ñëîâàì Ì. ðîìîâà) ïîëå ÷åòûðåõëèíåéíûõ îðì.  ýòîì êóðñå äàþòñÿ ïðÿìûå ãåîìåòðè÷åñêèå îïðåäåëåíèÿ ñíà÷àëà ïåðâûõ, çàòåì âòîðûõ è ïîòîì òðåòüåãî. Êîíå÷íî, ïðîñòåéøèå êðèâèçíû âûðàæàþòñÿ ÷åðåç áîëåå ñëîæíûå (è òàêèå âûðàæåíèÿ ÷àñòî óäîáíû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîñòåéøèõ êðèâèçí), íî îïðåäåëåíèå ïðîñòûõ ïîíÿòèé ÷åðåç áîëåå ñëîæíûå çàòðóäíÿåò èçó÷åíèå ìàòåðèàëà. Ââèäó ïðîçðà÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ìîòèâèðîâàííîñòè èçó÷àåìûõ ïîíÿòèé èçëîæåíèå â îñíîâíîì ñèíòåòè÷íî è áåñêîîðäèíàòíî. Íåñìîòðÿ íà ñòðåìëåíèå ê ÿñíîñòè è îðèåíòèðîâàííîñòü íà ïðèëîæåíèÿ (à òî÷íåå, êàê ðàç â ñèëó òàêîãî ñòðåìëåíèÿ), ÿ ñòàðàëñÿ ïîääåðæàòü äîñòàòî÷íî âûñîêèé óðîâåíü ñòðîãîñòè. Íàïðèìåð, ÷åòêî ðàçëè÷àþòñÿ ïàðàìåòðèçîâàííûå è íåïàðàìåòðèçîâàííûå êðèâûå è ïîâåðõíîñòè (îòñóòñòâèå èõ ÷åòêîãî ðàçëè÷åíèÿ ìåøàåò íà÷èíàþùèì, õîòÿ äîïóñòèìî è óäîáíî äëÿ ñïåöèàëèñòîâ). Ïðèíÿòûé ñòèëü èçëîæåíèÿ îòâå÷àåò äóõó Ê. Ô. àóññà (è äðóãèõ ïåðâîîòêðûâàòåëåé), ìíîãî çàíèìàâøåãîñÿ ïðèëîæåíèÿìè è ïðåâðàòèâøåãî îäèí èç ðàçäåëîâ ãåîãðà èè â äàííûé ðàçäåë ìàòåìàòèêè. Èçëîæåíèå 'îò ïðîñòîãî ê ñëîæíîìó' è â îðìå, áëèçêîé ê îðìå ðîæäåíèÿ ìàòåðèàëà, ïðîäîëæàåò óñòíóþ òðàäèöèþ, âîñõîäÿùóþ ê Ëàî Öçû è Ïëàòîíó, ïîëîæåííóþ åãåëåì â îñíîâó èçëîæåíèÿ èëîñî èè, à â ñîâðåìåííîì ïðåïîäàâàíèè ìàòåìàòèêè ïðåäñòàâëåííóþ, íàïðèìåð, êíèãàìè Ïîéà è æóðíàëîì 'Êâàíò'. Ìíå êàæåòñÿ, ïðèíÿòûé ñòèëü èçëîæåíèÿ íå òîëüêî ñäåëàåò ìàòåðèàë áîëåå äîñòóïíûì, íî ïîçâîëèò ñèëüíûì ñòóäåíòàì (äëÿ êîòîðûõ äîñòóïíî äàæå àáñòðàêòíîå èçëîæåíèå) ïðèîáðåñòè ìàòåìàòè÷åñêèé âêóñ è ñòèëü ñ òåì, ÷òîáû ðàçóìíî âûáèðàòü ïðîáëåìû äëÿ èññëåäîâàíèÿ, à òàêæå ÿñíî èçëàãàòü ñîáñòâåííûå îòêðûòèÿ, íå ñêðûâàÿ îøèáêè (èëè èçâåñòíîñòè ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà) çà ÷ðåçìåðíûì îðìàëèçìîì. Ê ñîæàëåíèþ, òàêîå (áåññîçíàòåëüíîå) ñîêðûòèå îøèáêè ÷àñòî ïðîèñõîäèò ñ ìîëîäûìè ìàòåìàòèêàìè, âîñïè4 Òåì
ñàìûì îí îñâîèò îñíîâû äè åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè (â ÷àñòíîñòè, á îëüøóþ ÷àñòü êóðñà, èçó÷àåìîãî íà ìåõìàòå Ìîñêîâñêîãî îñóäàðñòâåííîãî Óíèâåðñèòåòà èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà êðîìå èíòåãðèðîâàíèÿ äè åðåíöèàëüíûõ îðì è îñíîâ òîïîëîãèè).
3
òàííûå íà ÷ðåçìåðíî îðìàëüíûõ êóðñàõ (ïðîèñõîäèëî è ñ àâòîðîì ýòèõ ñòðîê; ê ñ÷àñòüþ, ïî÷òè âñå ìîè îøèáêè èñïðàâëÿëèñü ïåðåä ïóáëèêàöèÿìè). ×òåíèå ýòîãî òåêñòà è ðåøåíèå çàäà÷ ïîòðåáóþò îò áîëüøèíñòâà ÷èòàòåëåé óñèëèé (âïðî÷åì, íåêîòîðûå ÷èòàòåëè äàííîãî òåêñòà æàëîâàëèñü, ÷òî â íåì íåò ñåðüåçíûõ çàäà÷, à åñòü ëèøü òðèâèàëüíûå óïðàæíåíèÿ). Îäíàêî ýòè óñèëèÿ áóäóò ñïîëíà îïðàâäàíû òåì, ÷òî âñëåä çà âåëèêèìè ìàòåìàòèêàìè â ïðîöåññå èçó÷åíèÿ èíòåðåñíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðîáëåì ÷èòàòåëü îòêðîåò íåêîòîðûå îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû äè åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè. Íàäåþñü, ýòî ïîìîæåò ÷èòàòåëþ ñîâåðøèòü ñîáñòâåííûå íàñòîëüêî æå ïîëåçíûå îòêðûòèÿ (íå îáÿçàòåëüíî â ìàòåìàòèêå)! Äàííûé òåêñò îñíîâàí íà ëåêöèÿõ è ñåìèíàðàõ, êîòîðûå àâòîð âåë íà ìåõìàòå Ì Ó â 2004-2007 ãîäàõ è â ëåòíåé øêîëå 'Ñîâðåìåííàÿ Ìàòåìàòèêà' â 2007 ãîäó. Íåêîòîðûå åãî ðàãìåíòû áûëè ïðåäñòàâëåíû íà ñåìèíàðå êà åäðû äè åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèé ìåõìàòà Ì Ó (ðóê. àêàä. ÀÍ À. Ò. Ôîìåíêî) è íà ñåìèíàðå ïî ãåîìåòðèè â ÌÖÍÌÎ (ðóê. ä. .ì.í. Â. Þ. Ïðîòàñîâ). Áëàãîäàðþ À. Èâàíîâà, Ñ. Ìàðêåëîâà, À. Îøåìêîâà, À. Ïëÿøå÷íèêà, Â. Ïðàñîëîâà, À. Òîë÷åííèêîâà, . ×åëíîêîâà è âñåõ ñëóøàòåëåé (òî÷íåå, ðåøàòåëåé) êóðñîâ çà ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ è îáñóæäåíèÿ, à Â. Ïðàñîëîâà çà ïðåäîñòàâëåíèå ðèñóíêà ê [Pr℄.
Ñîâåòû è ñîãëàøåíèÿ.
Ïðèâîäèìûå îïðåäåëåíèÿ êðèâèçí íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà. Ïîýòîìó ïîñëå èçó÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé ìîæíî ñðàçó èçó÷àòü ëþáóþ èç ââîäèìûõ çäåñü êðèâèçí (äëÿ ñêàëÿðíîé, ñðåäíåé è ãàóññîâîé êðèâèçí íåîáõîäèìî åùå ïîíÿòèå ïëîùàäè, à äëÿ ñåêöèîííîé è ðèìàíîâîé ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà, à äëÿ ðè÷÷èåâîé ãåîäåçè÷åñêèõ è ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ). Ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, çàäà÷è î ñâÿçè èçó÷àåìîé êðèâèçíû ñ åùå íå èçó÷åííûìè ïðèäåòñÿ îòëîæèòü íà ïîòîì. Äëÿ ïîíèìàíèÿ óñëîâèé è äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ äîñòàòî÷íî óâåðåííîãî âëàäåíèÿ îñíîâàìè àíàëèçà óíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ (è, ÷åì äàëüøå, òåì áîëüøå, ëèíåéíîé àëãåáðû). Âñå íåîáõîäèìûå íîâûå îïðåäåëåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ çäåñü. Êîå-ãäå òðåáóåòñÿ òàêæå òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äè åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Âàæíûå àêòû (âõîäÿùèå â ïðîãðàììó ýêçàìåíà) âûäåëåíû ñëîâîì 'òåîðåìà' èëè 'ñëåäñòâèå'. Èíîãäà ïîäñêàçêàìè ÿâëÿþòñÿ ñîñåäíèå çàäà÷è; óêàçàíèÿ äàþòñÿ â êîíöå òåìû. Ôàêòû, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà êîòîðûõ ÷èòàòåëþ ìîæåò ïîíàäîáèòüñÿ ëèòåðàòóðà (èëè êîíñóëüòàöèÿ ñïåöèàëèñòà), ïðèâîäÿòñÿ ñî ññûëêàìè. Åñëè óñëîâèå çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ îðìóëèðîâêîé óòâåðæäåíèÿ, òî ýòî óòâåðæäåíèå è íàäî äîêàçàòü. àññìàòðèâàåìûå ïîíÿòèÿ è àêòû èíòåðåñíû, ïîëåçíû è íåòðèâèàëüíû äàæå äëÿ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ è ãðà èêîâ óíêöèé (â îñíîâíîì â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå), à òàêæå äëÿ ïîâåðõíîñòåé ìíîãîãðàííèêîâ. Íàïðèìåð, èíâàðèàíò Äåíà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî áûëà ðåøåíà 3-ÿ ïðîáëåìà èëüáåðòà, òåñíî ñâÿçàí ñî ñðåäíåé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà. Ïîýòîìó íå ïðèâîäèòñÿ ïðèìåðîâ áîëåå ñëîæíûõ ïîâåðõíîñòåé (êðîìå ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî â ñàìîì êîíöå). Îäíàêî äëÿ õîðîøåãî ïîíèìàíèÿ ìàòåðèàëà ÷èòàòåëþ áóäåò ïîëåçíî èçó÷èòü òàêèå ïðèìåðû [Ra03, MF04℄. Çàäàííûå â óñëîâèÿõ óíêöèè ïðåäïîëàãàþòñÿ áåñêîíå÷íî äè åðåíöèðóåìûìè, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå. Îïðåäåëåíèÿ äàþòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî èñïîëüçóåìûå â íèõ ïðåäåëû (â ÷àñòíîñòè, ïðîèçâîäíûå) ñóùåñòâóþò. ×åðåç ·, × è ∧ îáîçíà÷àþòñÿ ñêàëÿðíîå, âåêòîðíîå è ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî.
4
Ëèòåðàòóðà. [BBB06℄ L. Bessieres, G. Besson, M. Boileau, La preuve de la onje ture de Poin are d'apres G.Perelman, Images des Mathematiques, 2006. http://www.math. nrs.fr/imagesdesmaths/IdM2006.htm [Ca28℄ E. Cartan, Geometrie des espa es de Riemann, Paris, 1928. óñ. ïåðåâîä: Ý. Êàðòàí, åîìåòðèÿ ðèìàíîâûõ ïðîñòðàíñòâ, Ëåíèíãðàä, 1936. [Gr90℄ A. Gray, Tubes. Addison-Wesley, 1990. óñ. ïåðåâîä: À. ðåé, Òðóáêè, Íàóêà, Ìîñêâà, 1997 [Gr94℄ M. Gromov, Sign and geometri meaning of urvature, Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 61 (1991), 9-123 (1994). óñ. ïåðåâîä: Ì. ðîìîâ, Çíàê è ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë êðèâèçíû, ÍÈÖ ' åãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà', Èæåâñê, 2000. [MSF04℄ À. Ñ. Ìèùåíêî, Þ. Ï. Ñîëîâüåâ è À. Ò. Ôîìåíêî, Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äè åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè, Ìîñêâà, Ôèçìàòëèò, 2004. [MF04℄ À. Ñ. Ìèùåíêî è À. Ò. Ôîìåíêî, Êðàòêèé êóðñ äè åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè, Ìîñêâà, Ôèçìàòëèò, 2004. [Pr℄ Â. Â. Ïðàñîëîâ, Êóðñ äè åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, ãîòîâèòñÿ ê ïóáëèêàöèè. [Ra03℄ Ï. Ê. àøåâñêèé, Êóðñ äè åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, Ìîñêâà, Ó ÑÑ, 2003. [Ra04℄ Ï. Ê. àøåâñêèé, èìàíîâà ãåîìåòðèÿ è òåíçîðíûé àíàëèç, Ìîñêâà, Ó ÑÑ, 2004. [Ta89℄ Ñ. Ë. Òàáà÷íèêîâ, Î êðèâèçíå, Êâàíò, 1989, N5; Äè åðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ âîêðóã íàñ, Êâàíò, 1989, N11. http://kvant.mirror0.m
me.ru/ [To82℄ Äæ. Òîðï, Íà÷àëüíûå ãëàâû äè åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, Ìîñêâà, Ìèð, 1982. [Vi92℄ Í. ß. Âèëåíêèí, Î êðèâèçíå, Êâàíò, 1992, N4. http://kvant.mirror0.m
me.ru/
5
Ê ÈÂÈÇÍÛ Ê ÈÂÛÕ Êðèâûå. Áóäåì îáîçíà÷àòü òî÷êîé ïðîèçâîäíóþ ïî t, à øòðèõîì ïðîèçâîäíóþ ïî íàòóðàëüíîìó ïàðàìåòðó (êîãäà ýòî ïîíÿòèå ïîÿâèòñÿ). 1. Íàðèñóéòå ñëåäóþùèå êðèâûå íà ïëîñêîñòè (â ïðîñòðàíñòâå) è íàéäèòå èõ ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ γ(t) = (x(t), y(t)) èëè γ(t) = (r(t), ϕ(t)) â äåêàðòîâûõ èëè ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ íà ïëîñêîñòè (γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) èëè γ(t) = (r(t), ϕ(t), z(t)) èëè γ(t) = (r(t), ϕ(t), θ(t)) â äåêàðòîâûõ, öèëèíäðè÷åñêèõ èëè ñ åðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ â ïðîñòðàíñòâå). (a) Ëó÷ OA ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ âîêðóã ñâîåãî íåïîäâèæíîãî íà÷àëà O ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Òî÷êà M ðàâíîìåðíî äâèæåòñÿ ïî ëó÷ó OA, íà÷èíàÿ èç òî÷êè O , ñî ñêîðîñòüþ v . Îïèñûâàåìàÿ òî÷êîé M êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ñïèðàëüþ Àðõèìåäà. (b) Âèíòîâàÿ ëèíèÿ òðàåêòîðèÿ êîíöà ñòåðæíÿ äëèíû 2r , ðàâíîìåðíî ñî ñêîðîñòüþ v ïàäàþùåãî íà çåìëþ, îñòàþùåãîñÿ ïàðàëëåëüíûì ïîâåðõíîñòè çåìëè è îäíîâðåìåííî âðàùàþùåãîñÿ â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè âîêðóã ñâîåé ñåðåäèíû ðàâíîìåðíî ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . ( ) Êîëåñî ðàäèóñà R êàòèòñÿ ðàâíîìåðíî áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ïî ïðÿìîé. Îïèñûâàåìàÿ òî÷êîé íà îáîäå êîëåñà êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ öèêëîèäîé. (d) Ýëëèïñ ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðûõ äî äâóõ äàííûõ òî÷åê ( îêóñîâ) ðàâíà èêñèðîâàííîé âåëè÷èíå d, áîëüøåé ðàññòîÿíèÿ f ìåæäó îêóñàìè. (e) Ïî êàêîé êðèâîé äâèæåòñÿ ýëåêòðîí â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå, åñëè íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîíà íå ïàðàëëåëüíà è íå ïåðïåíäèêóëÿðíà íàïðÿæåííîñòè H , ãäå H ïîñòîÿííûé âåêòîð? (Çàêîí Áèî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà γ¨ = γ˙ × H .) (f)* Ëîêñîäðîìèÿ òðàåêòîðèÿ ïóòåøåñòâåííèêà, äâèæóùåãîñÿ ïî ïîâåðõíîñòè Çåìëè (êîòîðàÿ ñ÷èòàåòñÿ ñ åðîé) èç òî÷êè íà ïåðåñå÷åíèè ýêâàòîðà ñ ðèíâè÷ñêèì ìåðèäèàíîì âñå âðåìÿ íà ñåâåðî-âîñòîê. (Øèðîòà ïóòåøåñòâåííèêà âîçðàñòàåò ðàâíîìåðíî.) (g)* Öåïíàÿ ëèíèÿ ýòî êðèâàÿ, îðìó êîòîðîé ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ïðèíèìàåò íåðàñòÿæèìàÿ íèòü ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè. (h) Êðèâàÿ Âèâèàíè ïåðåñå÷åíèå ñ åðû ðàäèóñà R è êðóãîâîãî öèëèíäðà äèàìåòðà R, îäíà èç îáðàçóþùèõ êîòîðîãî ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ñ åðû. (i)* Àñòðîèäà êðèâàÿ, äëÿ êîòîðîé äëèíà îòðåçêà êàñàòåëüíîé â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó îñÿìè êîîðäèíàò, ïîñòîÿííà è ðàâíà a. (j) Øàéáà ðàäèóñà R êàòèòñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ïî äèñêó òîãî æå ðàäèóñà R. Îïèñûâàåìàÿ òî÷êîé íà îáîäå øàéáû êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ êàðäèîèäîé. Ïàðàìåòðèçîâàííîé ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé êðèâîé íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ãëàäêîå (ò.å. áåñêîíå÷íî äè åðåíöèðóåìîå) îòîáðàæåíèå γ : [a, b] → R2 , äëÿ êîòîðîãî ñêî˙ 6= 0 ïðè ëþáîì t. ðîñòü γ(t) Íåïàðàìåòðèçîâàííîé ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé êðèâîé íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî ïëîñêîñòè, ÿâëÿþùååñÿ îáðàçîì íåêîòîðîé ïàðàìåòðèçîâàííîé ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé êðèâîé. Äàëåå ïðèëàãàòåëüíûå 'ãëàäêàÿ ðåãóëÿðíàÿ' îïóñêàþòñÿ. (Ôîðìàëüíî â äàííîì òåêñòå îíè íå èìåþò îòäåëüíîãî îò ñëîâîñî÷åòàíèÿ 'ãëàäêàÿ ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ' ñìûñëà). 2 Ïàðàìåòðèçàöèåé íåïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé Γ ⊂ R íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ ïàðàìåò2 ðèçîâàííàÿ êðèâàÿ γ : [a, b] → R , äëÿ êîòîðîé Γ = γ[a, b]. ×àñòî ïàðàìåòðèçîâàííóþ êðèâóþ íàçûâàþò ïàðàìåòðèçàöèåé, à íåïàðàìåòðèçîâàííóþ êðèâóþ íàçûâàþò êðèâîé. 6
2. (a) Ïðèâåäèòå ïðèìåð íå âçàèìíî îäíîçíà÷íîé ïàðàìåòðèçàöèè γ
îêðóæíîñòè Γ. (b) Ïðèâåäèòå ïðèìåð äâóõ ðàçíûõ âçàèìíî îäíîçíà÷íûõ ïàðàìåòðèçàöèé γ1 è γ2 îäíîé íåïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé Γ. ( ) Íàïèøèòå îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé, íåïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé è åå ïàðàìåòðèçàöèè â ïðîñòðàíñòâå. (d)* Ïîñòðîéòå áåñêîíå÷íî äè åðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå γ = (x, y) : [−1, 1] → R2 , îáðàçîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé óãîë. Äëèíîé ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé γ = (x, y) : [a, b] → R2 íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
L(γ) := sup{|A0 A1 | + |A1 A2 | + · · · + |An−1 An | | a = a0 ≤ a1 ≤ · · · ≤ an = b, Ai := γ(ai )}. R p
3. (a) Äëèíà ÷àñòè ãðà èêà äâàæäû äè åðåíöèðóåìîé óíêöèè ðàâíà ab 1 + y ′(x)2 dx. (b) Òåîðåìà. Äëèíà ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé γ = (x, y) : [a, b] → R2 ðàâíà L(γ) =
Z bp
x(t) ˙ 2
+
y(t) ˙ 2 dt
a
=
Z
a
b
|γ(t)|dt. ˙
4. Âû÷èñëèòå äëèíû ïàðàìåòðèçîâàííûõ êðèâûõ îò γ(0) äî γ(t) äëÿ
(a) âèíòîâîé ëèíèè; (b) ïàðàáîëû; ( ) ñïèðàëè Àðõèìåäà; (d) öèêëîèäû. 5. Âû÷èñëèòå äëèíû ïàðàìåòðèçîâàííûõ êðèâûõ îò γ(0) äî γ(t) â (a) ïîëÿðíûõ; (b) ñ åðè÷åñêèõ; ( ) öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ. Äëèíîé íåïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé Γ, èìåþùåé âçàèìíî îäíîçíà÷íóþ ïàðàìåòðèçàöèþ γ = (x, y) : [a, b] → R2 , íàçûâàåòñÿ äëèíà ïàðàìåòðèçàöèè γ . 6. Òåîðåìà. Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò.å. åñëè γ1 è γ2 äâå âçàèìíî îäíîçíà÷íûå ïàðàìåòðèçàöèè îäíîé íåïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé Γ, òî L(γ1 ) = L(γ2 ). Ïðåäîñòåðåæåíèå: åñëè ïðè äîêàçàòåëüñòâå Âû èñïîëüçóåòå îðìóëó äëÿ äëèíû äóãè, òî íå çàáóäüòå äîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå γ1 γ2−1 : [a, b] → [a, b] èìååò â êàæäîé òî÷êå ïîëîæèòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ. Âïðî÷åì, äîêàçûâàòü ïî îïðåäåëåíèþ äëèíû äóãè ïðîùå.
Êðèâèçíà êðèâûõ.
0. Åñëè âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ ïî êðèâîëèíåéíîé äîðîãå ñ ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ ñêî-
ðîñòüþ, òî â ëþáîé òî÷êå åãî óñêîðåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî ñêîðîñòè. 1. (a) Ìîòîöèêëèñò õî÷åò ïðîåõàòü ïî âèíòîâîé ëèíèè ïàðàìåòðàìè d = 20ì, v = 100ì/ñ è ω = 2πc−1 , îñü êîòîðîé ïàðàëëåëüíà ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Ñ êàêîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ îí äîëæåí åõàòü, ÷òîáû íå óïàñòü? Ïðåäîñòåðåæåíèå. Óðàâíåíèå âèíòîâîé ëèíèè íå îáÿçàòåëüíî áóäåò óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ ìîòîöèêëèñòà. (b) Àìåðèêàíñêàÿ ãîðêà èìååò îðìó öèêëîèäû, íàõîäÿùåéñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Âàãîí÷èê äâèæåòñÿ ïî íåé ñî ñêîðîñòüþ 1 ì/ñ. Ïðè êàêîé âûñîòå öèêëîèäû â åå âåðõíåé òî÷êå êëèåíò áóäåò ÷óâñòâîâàòü íåâåñîìîñòü? Ïî÷åìó íåðåàëèñòè÷åí ïîëó÷åííûé Âàìè îòâåò? ( ) Àâòîìîáèëü åäåò ïî îòðåçêó ñïèðàëè Àðõèìåäà r = ϕ · 1ì ñî ñêîðîñòüþ 1 ì/ñ, íå çàäåâàÿ áåðåãà ðåêè ïðÿìîé ϕ = 0. Ñ êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ âðàùàåòñÿ áåðåã ðåêè â ñèñòåìå îòñ÷åòà àâòîìîáèëÿ, êîãäà òîò íàõîäèòñÿ â òî÷êå ñ ϕ = π/2? (d) Äàí ýëëèïñ ñ ïàðàìåòðàìè d = 2 è f = 1. Íàéäèòå ðàäèóñ ñîïðèêàñàþùåéñÿ îêðóæíîñòè â òî÷êå ýëëèïñà, ðàâíîóäàëåííîé îò îêóñîâ. 7
Îêðóæíîñòü óðàâíåíèåì y = g(x) íàçûâàåòñÿ ñîïðèêàñàþùåéñÿ ñ êðèâîé y = f (x) â òî÷êå A, åñëè îíà ëó÷øå âñåõ îêðóæíîñòåé ïðèáëèæàåò ýòó êðèâóþ, ò.å. åñëè ýòà îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A, èìååò îáùóþ êàñàòåëüíóþ ñ êðèâîé â òî÷êå A è îáùóþ ñ êðèâîé ïðîåêöèþ óñêîðåíèÿ íà íîðìàëü â òî÷êå A. 2 Ñêîðîñòüþ (èëè ïðîèçâîäíîé) ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé γ = (x, y) : [a, b] → R â òî÷êå t ∈ [a, b] íàçûâàåòñÿ âåêòîð γ(t) ˙ = (x(t), ˙ y(t)) ˙ . Ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ íàòóðàëüíîé, åñëè ìîäóëü åå ñêîðîñòè ðàâåí 1 â ëþáîé òî÷êå èëè, ýêâèâàëåíòíî, åñëè åå äëèíà îò 0 äî s ðàâíà s äëÿ ëþáîãî s. 2. (a) Äëÿ íàòóðàëüíîé êðèâîé óñêîðåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî ñêîðîñòè â ëþáîé òî÷êå. (b) Íàéäèòå íàòóðàëüíóþ ïàðàìåòðèçàöèþ âèíòîâîé ëèíèè â âèäå σ(s) = (x(s), y(s), z(s)). ( ) Òî æå äëÿ öèêëîèäû. (d) Ëþáàÿ íåïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ, èìåþùàÿ ïàðàìåòðèçàöèþ áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé, èìååò åäèíñòâåííóþ íàòóðàëüíóþ ïàðàìåòðèçàöèþ. (e) Ïðèâåäèòå ïðèìåð íåïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé ñ îäíîé òî÷êîé ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, èìåþùåé áîëåå îäíîé íàòóðàëüíîé ïàðàìåòðèçàöèè. èñóíîê 0: êðèâèçíà êðèâîé
ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé γ : [a, b] → R2 â òî÷êå t ∈ [a, b] íàçûâàåòñÿ âåêòîð γ¨ (t) = (¨ x(t), y¨(t)). Êðèâèçíîé â òî÷êå s0 ïëîñêîé íàòóðàëüíîé ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé σ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî k(s0 ), ðàâíîå ïî ìîäóëþ ÷èñëó |σ ′′ (s0 )| è ñîâïàäàþùåå ñ íèì (èëè ïðîòèâîïîëîæíîå åìó) ïî çíàêó, åñëè âåêòîðû σ ′ (s0 ) è σ ′′ (s0 ) îáðàçóþò ïîëîæèòåëüíûé (îòðèöàòåëüíûé) áàçèñ. Èíûìè ñëîâàìè, k(s0 ) := σ ′ (s0 ) ∧ σ ′′ (s0 ). Êðèâèçíîé â òî÷êå A = σ(s0 ) íåïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé Γ ñ íàòóðàëüíîé ïàðàìåòðèçàöèåé σ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî k(A) := k(s0 ). 3. (a) Êðèâèçíà íàòóðàëüíî ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé ðàâíà óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè. (b) Òåîðåìà. Êðèâèçíà íåïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé ñ ïðîèçâîëüíîé ïàðàìåòðèçàöèåé γ â òî÷êå γ(t) ðàâíà ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ γ¨ (t) íà ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ñêîðîñòè γ(t) ˙ , äåëåííîé íà êâàäðàò ìîäóëÿ ñêîðîñòè: Óñêîðåíèåì (èëè âòîðîé ïðîèçâîäíîé)
k(γ(t)) =
x¨y˙ − x¨ ˙y γ˙ ∧ γ¨ = 2 , 3 2 |γ| ˙ |x˙ + y˙ |3/2
ãäå àðãóìåíò t óíêöèé â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ïðîïóùåí. Äâà ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà Rn íàçûâàþòñÿ îáúåìëåìî èçîìåòðè÷íûìè, åñëè ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò îáúåìëåìàÿ èçîìåòðèÿ, ò.å. ñîõðàíÿþùåå ðàññòîÿíèÿ (â Rn !) îòîáðàæåíèå Rn → Rn , ïåðåâîäÿùåå ïåðâîå ïîäìíîæåñòâî âî âòîðîå. 4. (a) Òåîðåìà. Äëÿ ëþáîé óíêöèè k : R → R ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà (ñ òî÷íîñòüþ äî îáúåìëåìîé èçîìåòðèè) ïëîñêàÿ íàòóðàëüíî ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ σ : R → R2 , äëÿ êîòîðîé k(σ(s)) = k(s). (b) Ñëåäñòâèå. Äâå îðèåíòèðîâàííûå ïëîñêèå íåñàìîïåðåñåêàþùèåñÿ íåïàðàìåòðèçîâàííûå êðèâûå îáúåìëåìî èçîìåòðè÷íû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà óíêöèè êðèâèçíû èõ íàòóðàëüíûõ ïàðàìåòðèçàöèé îòëè÷àþòñÿ ñäâèãîì è, âîçìîæíî, çíàêîì, ò.å. êîãäà ñóùåñòâóåò ÷èñëî a, äëÿ êîòîðîãî ëèáî σ2 (s) = σ1 (s+a) ïðè ëþáîì s, ëèáî σ2 (s) = σ1 (−s+a) ïðè ëþáîì s. Äëèíà íåïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé, ñêîðîñòü ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé è íàòóðàëüíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ îïðåäåëÿþòñÿ äëÿ ïðîñòðàíñòâà àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ïëîñêîñòè. 8
Êðèâèçíîé â òî÷êå s0 ïðîñòðàíñòâåííîé íàòóðàëüíîé ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé σ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî k(s0 ) := |σ ′′ (s0 )|. Êðèâèçíà ïðîñòðàíñòâåííîé íåïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé îïðåäåëÿåòñÿ äîñëîâíî òàê æå, êàê ïëîñêîé. Çàìåòèì, ÷òî êðèâèçíû ïëîñêîé êðèâîé êàê ïëîñêîé è êàê ïðîñòðàíñòâåííîé ìîãóò îòëè÷àòüñÿ çíàêîì. 5. k(γ(t)) = |γ˙ × γ¨|/|γ| ˙ 3 äëÿ ïðîñòðàíñòâåííîé ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé γ = (x, y, z). Óêàçàíèå ê 1b. Ïóñòü óðàâíåíèå öèêëîèäû γ(t), à óðàâíåíèå äâèæåíèÿ âàãîí÷èêà ïî íåé σ(s), ïðè÷åì σ(0) = γ(0). Äàëåå ñì. óêàçàíèå ê 3b. Óêàçàíèå ê 3b. Ïðîèçâîäíûå âåêòîð- óíêöèè γ áåðóòñÿ ïî ïàðàìåòðó t â òî÷êå t, à Rt ïðîèçâîäíûå âåêòîð- óíêöèè σ áåðóòñÿ ïî ïàðàìåòðó s â òî÷êå l(t) := 0 |γ(t)|dt . ˙ ′ ′ ˙ . (Ïîýòîìó σ(l(t)) = γ(t).) Èç ýòîãî è l˙ = |γ| ˙ âûòåêàåò Òàê êàê |σ | = 1, òî γ˙ = σ |γ| ′′ 2 ′ ′ ′′ ′′ 2 3 γ¨ = σ |γ| ˙ + σ |γ| ˙ t . Èç ýòîãî è σ ⊥ γ˙ âûòåêàåò γ¨ ∧ γ˙ = σ |γ| ˙ ∧ γ˙ = −k|γ| ˙ . Óêàçàíèå ê 4a. Ïóñòü σ = (x, y) èñêîìàÿ êðèâàÿ. Âîçüìåì ñèñòåìó êîîðäèíàò Oxy , äëÿ êîòîðîé σ(0) = (0, 0) è îñü Ox ñîíàïðàâëåíà ñ σ ′ (0). Îáîçíà÷èì α(s) := ∠(σ ′ (s), Ox). Òîãäà σ ′ (s) = (cos α(s), sin α(s)). Ïî 3a (ñð. ñ 1ñ) α′ (s) = k(σ(s)). Ïîýòîìó äëÿ ïîñòðîåíèÿ èñêîìîé êðèâîé σ = (x, y) íóæíî âçÿòü Z s Z s Z s α(s) = k(s)ds, x(s) = sin α(s)ds. cos α(s)ds è y(s) =
0
0
0
Êðó÷åíèå ïðîñòðàíñòâåííûõ êðèâûõ.
1.  íåâåñîìîñòè ìîòîöèêëèñò åäåò ñî ñêîðîñòüþ 1 ïî âèíòîâîé ëèíèè ïàðàìåòðàìè r , v è ω . Íàéäèòå óãëîâóþ ñêîðîñòü Ω(t) âðàùåíèÿ ïëîñêîñòè êîëåñà (ñîäåðæàùåé âåêòîðû ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ) â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè. ˙ è γ¨ (t) ëèÏàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ γ íàçûâàåòñÿ áèðåãóëÿðíîé, åñëè âåêòîðû γ(t) íåéíî íåçàâèñèìû äëÿ ëþáîãî t. Íåïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ γ íàçûâàåòñÿ áèðåãóëÿðíîé, åñëè îíà èìååò áèðåãóëÿðíóþ ïàðàìåòðèçàöèþ. 2. (a) Ïðèâåäèòå ïðèìåð (ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé) íåïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé, íå ÿâëÿþùåéñÿ áèðåãóëÿðíîé. (b) Äâå ïàðàìåòðèçîâàííûå êðèâûå ñ îäèíàêîâûì îáðàçîì áèðåãóëÿðíû èëè íåò îäíîâðåìåííî. 3. (a) Ïðè êàêèõ a îáðàç ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé γ(t) = (et , 2e−t, eat ) ëåæèò â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè? (b) Îáðàç ïàðàìåòðèçîâàííîé áèðåãóëÿðíîé êðèâîé γ ëåæèò â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè ... òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà γ(t) ˙ ∧ γ¨ (t) ∧ γ (t) = 0 äëÿ ëþáîãî t. Êðó÷åíèåì â òî÷êå s0 ïðîñòðàíñòâåííîé áèðåãóëÿðíîé íàòóðàëüíîé ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé σ íàçûâàåòñÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü κ(s0 ) âðàùåíèÿ ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè (ò.å. ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé âåêòîðû ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ). Ýòà ñêîðîñòü áåðåòñÿ ñî çíàêîì ïëþñ (ìèíóñ), åñëè âåêòîðû ñêîðîñòè, óñêîðåíèÿ è ïðîèçâîäíîé îò óñêîðåíèÿ îáðàçóþò ïîëîæèòåëüíûé (îòðèöàòåëüíûé) áàçèñ. 4. Íàïèøèòå îïðåäåëåíèå êðó÷åíèÿ íåïàðàìåòðèçîâàííîé áèðåãóëÿðíîé êðèâîé. 5. Ïóñòü σ áèðåãóëÿðíàÿ íàòóðàëüíàÿ ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ.  ýòîé çàäà÷å ïðîèçâîäíûå áåðóòñÿ ïî åå ïàðàìåòðó s. Îáîçíà÷èì v := σ ′ è n := σ ′′ /|σ ′′ | (îíè íàçûâàþòñÿ âåêòîðàìè ñêîðîñòè è íîðìàëè è âìåñòå ñ v × n îáðàçóþò ðåïåð Ôðåíå). 9
(a) σ ′′ 6= 0 (ò.å. îïðåäåëåíèå âåêòîðà íîðìàëè êîððåêòíî). (b) Ôîðìóëà Ôðåíå. n′ = −kv äëÿ ïëîñêîãî ñëó÷àÿ. ( ) κ ðàâíî ïðîåêöèè âåêòîðà n′ íà íàïðàâëåííóþ îñü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ âåêòîðàì ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ: κ = n′ · (v × n) = v ∧ n ∧ n′ . (d) Ôîðìóëà Ôðåíå. n′ = −kv + κ(v × n). κ (e) Ôîðìóëà Ôðåíå. b′ = − σ ′′ , ãäå b := σ ′ × σ ′′ /|σ ′′ |. k ′ ′′ ′′′ σ ∧σ ∧σ 6. (a) κ = äëÿ íàòóðàëüíîé ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé σ . k 2 ... γ˙ ∧ γ¨ ∧ γ äëÿ áèðåãóëÿðíîé ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé γ (íå îáÿçàòåëüíî (b) κ(γ(t)) = |γ˙ × γ¨ |2 íàòóðàëüíîé; àðãóìåíò t óíêöèé â ïðàâîé ÷àñòè ïðîïóùåí). ( )* Òåîðåìà. Äëÿ ëþáûõ äâóõ óíêöèé k : R → (0, +∞) è κ : R → R ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà ïðîñòðàíñòâåííàÿ áèðåãóëÿðíàÿ íàòóðàëüíî ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ σ : R → R3 , äëÿ êîòîðîé k(σ(s)) = k(s) è κ(σ(s)) = κ(s). Óêàçàíèå: ïàðà âåêòîðîâ (v, n) îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíà ââèäó îðìóë Ôðåíå v ′ = kn è ′ n = −kv + κ(v × n). (d) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîã ñëåäñòâèÿ 4b èç ïðåäûäóùåé òåìû äëÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ êðèâûõ. Óêàçàíèå ê 1. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ïëîñêîñòè ðàâíà óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ âåêòîðà, íîðìàëüíîãî ê ýòîé ïëîñêîñòè. Åñëè ïëîñêîñòü ñîäåðæèò âåêòîðû ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ, òî ýòîò íîðìàëüíûé âåêòîð ðàâåí âåêòîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðîâ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ. Óðàâíåíèå âèíòîâîé ëèíèè γ(t) = (r cos ωt, r sin ωt, vt). Îáî√ 2 2 2 çíà÷èì ω := ω/|γ(t)| ˙ = ω/ r ω + v . Òîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìîòîöèêëà σ(s) = (r cos ωs, r sin ωs, vsω/ω). Íàõîäèì
σ ′ (s) = (rω sin ωs, rω cos ωs, vsω/ω), σ ′′ (s) = (−rω 2 cos ωs, rω2 sin ωs, 0). √ Îòñþäà ïîëó÷àåì îòâåò Ω(t) = vω/ v 2 + r 2 ω 2. Óêàçàíèå ê 2a. Ïðÿìàÿ. Óêàçàíèå ê 2b. Çàìåíà ïàðàìåòðà ìåíÿåò òîëüêî êàñàòåëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ âåêòîðà ñêîðîñòè. Óêàçàíèå ê 5b. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âåêòîðà n ðàâíà óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ âåêòîðà v , ïîñêîëüêó ýòè âåêòîðû ïåðïåíäèêóëÿðíû. Óêàçàíèå ê 6b. Ïðîèçâîäíûå âåêòîð- óíêöèè γ áåðóòñÿ ïî ïàðàìåòðó t â òî÷êå t, à Rt ïðîèçâîäíûå âåêòîð- óíêöèé σ è b áåðóòñÿ ïî ïàðàìåòðó s â òî÷êå l(t) := 0 |γ(t)|dt . ˙ Êðó÷åíèå ðàâíî óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ (ïî ïàðàìåòðó s) âåêòîðà b(s) := σ ′ × σ ′′ /|σ ′′ |. Òàê |b(s)| = 1, òî κ(γ(t)) = |b′ |. Òàê êàê ïëîñêîñòè, îáðàçîâàííûå ïàðàìè âåêòîðîâ (σ ′ , σ...′′ ) è (γ, ˙ γ¨ ), ñîâïàäàþò, òî γ˙ × γ¨ = νb, ãäå ν := |γ˙ × γ¨ |. Äè åðåíöèðóÿ ïî t, ïîëó÷àåì ˙ + νt′ b. Óìíîæàÿ ñêàëÿðíî íà γ¨ , ïîëó÷àåì γ˙ × γ = νb′ |γ| ... ˙ ′ · γ¨ = ν|γ|κν/| ˙ γ| ˙ = ν 2 κ. γ˙ ∧ γ¨ ∧ γ = ν|γ|b Çäåñü ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûïîëíåíî, ïîñêîëüêó b′ ⊥ γ˙ è b′ ⊥ b, îòêóäà b′ k σ ′′ .
10
×ÈÑËÎÂÛÅ Ê ÈÂÈÇÍÛ ÏÎÂÅ ÕÍÎÑÒÅÉ Ïîâåðõíîñòè. Ïîä (íåïàðàìåòðèçîâàííîé) ïîâåðõíîñòüþ äàëåå ìîæíî ïîíèìàòü ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ (ãðà èêà áåñêîíå÷íî äè åðåíöèðóåìîé ïîëîæèòåëüíîé óíêöèè). Ïðèâåäåì áîëåå îáùåå îïðåäåëåíèå. Ïóñòü D çàìêíóòûé êðóã èëè ïðÿìîóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè. Êîìïàêòíîé ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé ïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòüþ íàçûâàåòñÿ òàêîå áåñêîíå÷íî äè åðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå r : D → R3 (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, óïîðÿäî÷åííàÿ òðîéêà îòîáðàæåíèé x, y, z : D → R), ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîãî (ò.å. ïàðà âåêòîðîâ (ru , rv )) ëèíåéíî íåçàâèñèìà ïðè ëþáûõ (u, v) ∈ D . Âñå âñòðå÷àþùèåñÿ ïàðàìåòðèçîâàííûå ïîâåðõíîñòè ñ÷èòàþòñÿ êîìïàêòíûìè ãëàäêèìè ðåãóëÿðíûìè, è ýòè ïðèëàãàòåëüíûå îïóñêàþòñÿ (ñìûñë êàæäîãî èç ýòèõ ïðèëàãàòåëüíûõ ïî îòäåëüíîñòè â êóðñå íå èñïîëüçóåòñÿ è ïîòîìó íå îïðåäåëÿåòñÿ). Ýëåìåíòàðíîé ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé íåïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòüþ íàçûâàåòñÿ îáðàç r(D) âçàìíî-îäíîçíà÷íîé ïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè r . Ýòó ïàðàìåòðèçîâàííóþ ïîâåðõíîñòü íàçûâàþò ïàðàìåòðèçàöèåé îáðàçà r(D), èëè ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì îáðàçà r(D), èëè ñèñòåìîé êîîðäèíàò íà r(D). Êîìïàêòíîé ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé íåïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòüþ íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîå ïîäìíîæåñòâî Π ⊂ R3 , äëÿ ëþáîé òî÷êè P ∈ Π êîòîðîãî ñóùåñòâóåò òàêàÿ åå îêðåñòíîñòü OP â R3 , ÷òî Π ∩ OP ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé íåïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòüþ. Äàëåå êîìïàêòíàÿ ãëàäêàÿ ðåãóëÿðíàÿ íåïàðàìåòðèçîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ñîêðàùåííî ïîâåðõíîñòüþ. Ïîâåðõíîñòè ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî. Äàëåå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ðàññìàòðèâàþòñÿ äâóìåðíûå ïîâåðõíîñòè â R3 . 1. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêèå èëè êèíåìàòè÷åñêèå îïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèõ ïîäìíîæåñòâ â 3 R è äîêàæèòå, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ (íåïàðàìåòðèçîâàííûìè) ïîâåðõíîñòÿìè. (a) êâàäðàò ñî ñòîðîíîé a íà ïëîñêîñòè; (b) áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü (ïðÿìîãî êðóãîâîãî) öèëèíäðà ðàäèóñà R è âûñîòû h; ( ) áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü (ïðÿìîãî êðóãîâîãî) êîíóñà ðàäèóñà îñíîâàíèÿ R è âûñîòû h; (d) ñ åðà ðàäèóñà R; (e) òîð ñ ðàäèóñàìè R è r ; (f) ëèñò Ìåáèóñà; (g) ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ; (h) ïîâåðõíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà.
Îáúåìëåìàÿ è âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèè. Ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà. Íàïîìíèì, ÷òî äâà ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà Rn íàçûâàþòñÿ îáúåìëåìî èçîìåòðè÷íûìè, åñëè ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò îáúåìëåìàÿ èçîìåòðèÿ, ò.å. ñîõðàíÿþùåå ðàññòîÿíèÿ (â Rn !) îòîáðàæåíèå Rn → Rn , ïåðåâîäÿùåå ïåðâîå âî âòîðîå. Äâå (íåïàðàìåòðèçîâàííûå) ïîâåðõíîñòè íàçûâàþòñÿ âíóòðåííå èçîìåòðè÷íûìè, åñëè ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ, ò.å. îòîáðàæåíèå îäíîé â äðóãóþ, ñîõðàíÿþùåå äëèíû âñåõ êðèâûõ. Áîëüøàÿ ÷àñòü äàëüíåéøåãî ìàòåðèàëà ìîòèâèðîâàíà ñëåäóþùèìè äâóìÿ ïðîáëåìàìè: îïðåäåëèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè äàííûå (íåïàðàìåòðèçîâàííûå) ïîâåðõíîñòè âíóòðåííå èçîìåòðè÷íûìè? 11
îáúåìëåìî èçîìåòðè÷íûìè? 2. (a) Ïðÿìîóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè âíóòðåííå èçîìåòðè÷åí íåêîòîðîé ÷àñòè ëþáîãî òàêîãî öèëèíäðà, ó êîòîðîãî äèàìåòð áîëüøå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà. (b) Åäèíè÷íûé êâàäðàò íà ïëîñêîñòè âíóòðåííå èçîìåòðè÷åí íåêîòîðîé ÷àñòè òîðà, çàäàâàåìîãî â R4 óðàâíåíèÿìè x21 + x22 + x23 + x24 = 1, x21 + x22 = x23 + x24 . ( ) Ïðÿìîóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè íå ÿâëÿåòñÿ îáúåìëåìî èçîìåòðè÷íûì íèêàêîé ÷àñòè íèêàêîãî öèëèíäðà. 3. (a) Ñ åðà è ïëîñêîñòü íå ÿâëÿþòñÿ âíóòðåííå èçîìåòðè÷íûìè. (b) Íèêàêîé êðóã íà ïëîñêîñòè íå èçîìåòðè÷åí íèêàêîé ÷àñòè ñ åðû. ( ) Íèêàêîé êðóã íà ñ åðå îäíîãî ðàäèóñà íå èçîìåòðè÷åí íèêàêîé ÷àñòè ñ åðû äðóãîãî ðàäèóñà. àññòîÿíèåì ïî ïîâåðõíîñòè Π ìåæäó òî÷êàì P, X ∈ Π íàçûâàåòñÿ èí èìóì |P, X| äëèí êðèâûõ íà ýòîé ïîâåðõíîñòè, ñîåäèíÿþùèõ P è X . ßñíî, ÷òî âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ ïî ïîâåðõíîñòè. Îáðàòíîå áóäåò äîêàçàíî íèæå ñ èñïîëüçîâàíèåì ðèìàíîâîé ìåòðèêè. Êðóã è îêðóæíîñòü íà ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ïëîñêîñòè (÷åðåç ðàññòîÿíèå ïî ïîâåðõíîñòè). Äëÿ ïîâåðõíîñòè Π è òî÷êè P ∈ Π îáîçíà÷èì ÷åðåç LΠ,P (R) äëèíó îêðóæíîñòè íà Π ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â òî÷êå P ∈ Π. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 3 Âû ïðèäóìàëè ñëåäóþùåå âàæíîå ïîíÿòèå. Ñêàëÿðíîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå P íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
τ = τΠ,P := 6 lim
R→0
2πR − LΠ,P (R) . πR3
Ýòî è ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèÿ äàþòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïðåäåëû â ïðàâîé ÷àñòè ñóùåñòâóþò; äàëåå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îíè äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóþò. Äàëåå äëÿ ñêàëÿðíîé è äðóãèõ êðèâèçí P è Π ïðîïóñêàþòñÿ èç îáîçíà÷åíèé, ïîñêîëüêó ÿñíû èç êîíòåêñòà. èñóíîê 1: ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè.
4.* (a) Òàêîé ïðåäåë ñóùåñòâóåò.
πτ R3 + O(R5) [Gr90, BBB06℄. (b) LΠ,P (R) = 2πR − 6 Óêàçàíèå: åñëè íå ïîëó÷àåòñÿ, òî âåðíèòåñü ê çàäà÷å ïîñëå èçó÷åíèÿ òåìû 'ðèìàíîâà ìåòðèêà è ïðèìåíåíèå ê èçîìåòðèÿì'. 5. (ab d) Âû÷èñëèòå ñêàëÿðíóþ êðèâèçíó òî÷åê èç çàäà÷è 1ab d òåìû 'ïîâåðõíîñòè'. (e)* Ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà â òî÷êå (0, 0, 0) îòðèöàòåëüíà äëÿ ñåäëîîáðàçíîé ïîâåðõíîñòè z = x2 − y 2 , x2 + y 2 ≤ 1. 6. (a) Êàê èçìåíÿåòñÿ ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà ïðè ãîìîòåòèè ïðîñòðàíñòâà? (b) Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíóþ êðèâèçíó. ( )* Ñóùåñòâóåò ëè îòîáðàæåíèå ïîâåðõíîñòåé, ñîõðàíÿþùåå ñêàëÿðíóþ êðèâèçíó, íî íå ÿâëÿþùååñÿ âíóòðåííåé èçîìåòðèåé? (d)* Òåîðåìà. Ýëåìåíòàðíàÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü âíóòðåííå èçîìåòðè÷íà íåêîòîðîé ÷àñòè ïëîñêîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå ñêàëÿðíàÿ (èëè ñåêöèîííàÿ, èëè ãàóññîâà, ñì. äàëåå) êðèâèçíà òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ [MF04, Ra04℄. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîé ïðîñòî îðìóëèðóåìîé òåîðåìû (êàê è äëÿ ïîëó÷åíèÿ îðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêàëÿðíîé êðèâèçíû) íóæíî èçó÷èòü ïî÷òè âåñü íàñòîÿùèé êóðñ! 12
Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè. åøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîé òåìû îñîáåííî ïîëåçíî ïðîâåðèòü ñ ïðåïîäàâàòåëåì. Ïëîùàäüþ íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå S èç ñåìåéñòâà âñåõ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé â ëó÷ [0, +∞), äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ. (àääèòèâíîñòü) Åñëè Π, Π′ è Π ∪ Π′ ïîâåðõíîñòè, ïðè÷åì Π ∩ Π′ ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîãî ñåìåéñòâà êðèâûõ, òî S(Π ∪ Π′ ) = S(Π) + S(Π′ ). (ìîíîòîííîñòü) Åñëè f : Π → f (Π) íå óâåëè÷èâàþùåå äëèíû êðèâûõ îòîáðàæåíèå ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè, òî S(f (Π)) ≤ S(Π). (íîðìèðîâêà) Ïëîùàäü åäèíè÷íîãî êâàäðàòà íà ïëîñêîñòè ðàâíà 1.
Òåîðåìà î ïëîùàäè. Òàêîå îòîáðàæåíèå ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
 ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ (êðîìå 4bd) ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ñóùåñòâîâàíèåì èç òåîðåìû î ïëîùàäè (à òàêæå àíàëîãè÷íîé òåîðåìîé è âñåìè äðóãèìè ðåçóëüòàòàìè äëÿ ïëîùàäåé ïëîñêèõ èãóð).  ïðåäïîëîæåíèè ñóùåñòâîâàíèÿ ìîæíî íàéòè ïëîùàäü ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè è ýòèì äîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü. Íå èñïîëüçóÿ ïðåäïîëîæåíèå î ñóùåñòâîâàíèè, ìîæíî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå ñâîéñòâ ïëîùàäè äëÿ íàéäåííîãî îòîáðàæåíèÿ S è ýòèì äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå. 1. Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò ïëîùàäè. 2. (a) Ïëîùàäü ñ åðè÷åñêîãî äâóóãîëüíèêà ñ óãëîì α è äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûìè âåðøèíàìè ðàâíà 2α. (b) Òåîðåìà. Ïëîùàäü ñ åðè÷åñêîãî òðåóãîëüíèêà ñ óãëàìè α, β è γ ðàâíà α+β+γ−π . ( ) Òåîðåìà. Ïëîùàäü ñ åðè÷åñêîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñ óãëàìè α1 , . . . αn ðàâíà α1 + · · · + αn − (n − 2)π . 3. (a) Ïëîùàäü êðóãà ðàäèóñà R íà ñ åðå ðàâíà 2π(1 − cos R). (b) Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé âðàùåíèåì ãðà èêà óíêöèè f : [a, b] → p Rb [0, +∞) âîêðóã îñè Ox, ðàâíà 2π a f (x) 1 + f ′ (x)2 dx. 4. (a)* Òåîðåìà. Ïëîùàäü ýëåìåíòàðíîé íåïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè r(D) ðàâRR |r × rv |dudv [Ra03℄. íà S(r(D)) = D u (b) Äîêàæèòå áåç èñïîëüçîâàíèÿ òåîðåìû î ïëîùàäè, ÷òî ïðåäûäóùåå âûðàæåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè r . ( ) Äîêàæèòå åäèíñòâåííîñòü â òåîðåìå î ïëîùàäè (ïðåäïîëàãàÿ ñóùåñòâîâàíèå). (d)* Äîêàæèòå ñóùåñòâîâàíèå â òåîðåìå î ïëîùàäè (íå ïðåäïîëàãàÿ åäèíñòâåííîñòè!). Äëÿ ïðîâåðêè ìîíîòîííîñòè ïîëåçíî ïîíÿòèå ðèìàíîâîé ìåòðèêè, îïðåäåëåííîå íèæå, ñì. [Gr94℄. 5. Îáîçíà÷èì ÷åðåç SΠ,P (R) ïëîùàäü êðóãà íà Π ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â òî÷êå P ∈ Π. ′ (a) LΠ,P (R) = SΠ,P (R). 2 πR − SΠ,P (R) . (b) τ = 24 lim R→0 πR4 πτ 4 R + O(R6) [Gr90℄. ( )* SΠ,P (R) = πR2 − 24
Ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà (îáîáùåíèå). Äëÿ òðåõìåðíîé ïîâåðõíîñòè Π ⊂ Rm è òî÷êè P ∈ Π îáîçíà÷èì ÷åðåç SΠ,P (R) ïëîùàäü ñ åðû íà Π ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â òî÷êå P ∈ Π. Ñêàëÿðíîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå P íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
4πR2 − SΠ,P (R) . R→0 (4/3)πR4
τ = τΠ,P := 6 lim
13
1. Âû÷èñëèòå ñêàëÿðíóþ êðèâèçíó òî÷åê ñëåäóþùèõ òðåõìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé â R4 :
(a) ãèïåðïëîñêîñòè R3 ; (b) öèëèíäðà S 2 × R; ( ) öèëèíäðà S 1 × R2 ; (d) êîíóñà t2 = x2 + y 2 + z 2 ; (e) ñ åðû S 3 ; (f)* òîðà S 2 × S 1 . n-ìåðíûé îáúåì n-ìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ïëîùàäè äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé. Àíàëîãè÷íî äâóìåðíîìó ñëó÷àþ äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè n-ìåðíîãî îáúåìà, à òàêæå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: n-ìåðíûé îáúåì ýëåìåíòàðíîé íåïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè r : Rn → Rm ðàâåí Z Z V (r(D)) = . . . |r1 ∧ · · · ∧ rn |du1 . . . dun . D
Çäåñü |r1 ∧ · · · ∧ rn | n-ìåðíûé îáúåì n-ìåðíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, íàòÿíóòîãî íà âåêòîðû r1 , . . . , rn . Ïóñòü Π n-ìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü â ìíîãîìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rm . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Vn è Sn = nVn îáúåì è ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðà ðàäèóñà 1 â Rn , à ÷åðåç VΠ,P (R) è SΠ,P (R) îáúåì è ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðà íà Π ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â òî÷êå P ∈ P . Ñêàëÿðíîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå P íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
Sn Rn−1 − SΠ,P (R) . R→0 Vn Rn+1
τ = τΠ,P := 6 lim
2. (a) Òàêîé ïðåäåë ñóùåñòâóåò.
′ (b) SΠ,P (R) = VΠ,P (R). ( ) Sn = nVn . Vn Rn − VΠ,P (R) (d) τ = 6(n + 2) lim . R→0 Vn Rn+2 τ (e)* VP (R) = Vn Rn − Vn Rn+2 + O(Rn+4) [Gr90℄. 6(n + 2) 3. Òåîðåìà. Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíóþ êðèâèçíó. (Äîêàæèòå ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû îá n-ìåðíîì îáúåìå.)
1.
ëàâíûå êðèâèçíû.
l ñèñòåìû òî÷åê A1 , . . . , As ñ ìàññàìè m1 , . . . , ms íàçûâàåòñÿ ÷èñëî I(l) = m1 |A1 l| + · · · + ms |As l|2 , ãäå |Ai l| ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ai äî ïðÿìîé l. (a) Ïóñòü I+ è I− íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç èêñèðîâàííóþ òî÷êó O (âîçìîæíî, I+ = I− ). Âîçüìåì îäíó èç ïðÿìûõ l+ , äëÿ êîòîðîé I(l+ ) = I+ . Òîãäà I(l) = I+ cos2 ϕ + I− sin2 ϕ, ãäå ϕ = ∠(ll+ ). (b)*  ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóþò òðè òàêèå ïðÿìûå l1 , l2 , l3 , ïðîõîäÿùèå ÷åðåç O , ÷òî äëÿ ëþáîé ïðÿìîé l, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç O , âûïîëíåíî I(l) = I(l1 ) cos2 (ll1 ) + I(l2) cos2 (ll2 ) + I(l3 ) cos2 (ll3 ). Êîîðèåíòàöèåé ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ïîëå åäèíè÷íûõ íîðìàëüíûõ (ò.å. ïåðïåíäèêóëÿðíûõ) ê ïîâåðõíîñòè âåêòîðîâ n(P ), íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò òî÷êè P ∈ Π. Êðèâèçíîé (íåïàðàìåòðèçîâàííîé) êðèâîé íà êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ íà íîðìàëü ïðè äâèæåíèè ïî ýòîé êðèâîé ñ åäèíè÷íîé ñêîðîñòüþ. (Êðèâèçíà â óêàçàííîì ñìûñëå ñîâïàäàåò ïî ìîäóëþ, íî íå îáÿçàòåëüíî ïî çíàêó, ñ êðèâèçíîé ñîîòâåòñòâóþùåé íåïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé.) Ìîìåíòîì èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé
2
14
èñóíîê 2: íîðìàëüíîå è 'êîñîå' ñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè.
Ïðîñòåéøèå èíâàðèàíòû îáúåìëåìîé èçîìåòðèè ïîÿâèëèñü åùå â 18 âåêå ïðè ðåøåíèè ñëåäóþùåé ïðîáëåìû (ðèñ. 2). Âûáåðåì êîîðèåíòèðîâàííóþ ïîâåðõíîñòü Π è òî÷êó P íà íåé. Êàê çàâèñèò îò ïëîñêîñòè α, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó P , êðèâèçíà â òî÷êå P (íåïàðàìåòðèçîâàííîé) êðèâîé α ∩ Π? ëàâíûìè êðèâèçíàìè λ+ è λ− êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå P ∈ Π íàçûâàþòñÿ íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ êðèâèçí â òî÷êå P (íåïàðàìåòðèçîâàííûõ) êðèâûõ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ñ ïëîñêîñòÿìè, ïðîâåäåííûìè ÷åðåç íîðìàëü â òî÷êå P . ëàâíûì íàïðàâëåíèåì êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå P ∈ Π, îòâå÷àþùèì äàííîé ãëàâíîé êðèâèçíå λ± , íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåíèå òîé ïðÿìîé (â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê Π â òî÷êå P ), äëÿ êîòîðîé êðèâèçíà ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ñ ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ýòó ïðÿìóþ è íîðìàëü, ðàâíà λ± . 2. Çàäàâ êîîðèåíòàöèþ, íàéäèòå ãëàâíûå êðèâèçíû è ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ â òî÷êàõ ïîâåðõíîñòåé èç çàäà÷è 1ab de*f èç òåìû 'Ïîâåðõíîñòè'. 3. Êàê èçìåíÿþòñÿ ãëàâíûå êðèâèçíû ïðè (a) èçìåíåíèè êîîðèåíòàöèè íà ïðîòèâîïîëîæíóþ? (b) ãîìîòåòèè ïðîñòðàíñòâà? 4. (a) Îáúåìëåìàÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò ãëàâíûå êðèâèçíû. (b) Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ìîæåò íå ñîõðàíÿòü ãëàâíûå êðèâèçíû. 5. Òåîðåìà. (a) Åñëè â òî÷êå P ïîâåðõíîñòè Π ãëàâíûå êðèâèçíû îäíîãî çíàêà, òî äëÿ íåêîòîðîãî ε > 0 ïåðåñå÷åíèå Π è øàðà B(P, ε) â R3 ñ öåíòðîì â P è ðàäèóñà ε ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê Π â òî÷êå P . (b) Åñëè â òî÷êå P ïîâåðõíîñòè Π ãëàâíûå êðèâèçíû ðàçíîãî çíàêà, òî íè äëÿ êàêîãî ε > 0 ïåðåñå÷åíèå Π ∩ B(P, ε) íå ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê Π â òî÷êå P . 6. (a) Íàéäèòå êðèâèçíó k(ϕ) â íà÷àëå êîîðäèíàò êðèâîé ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè z = ax2 + 2bxy + cy 2 ñ ïëîñêîñòüþ, ïðîâåäåííîé ÷åðåç îñü Oz ïîä óãëîì ϕ ê îñè Ox. (b) Äëÿ ïîâåðõíîñòè z = f (x,y) ïðåäïîëîæèì, ÷òî f (0, 0) = fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0 è fxx fxy îáîçíà÷èì ÷åðåç h = ãåññèàí. Òîãäà ãëàâíûå êðèâèçíû ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè fxy fyy 2 óðàâíåíèÿ (λ−fxx )(λ−fyy ) = fxy , ò.å. det(h−λE) = 0, à ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò îáñòâåííûìè âåêòîðàì îïåðàòîðà R2 → R2 , ìàòðèöà êîòîðîãî â ñòàíäàðòíîì áàçèñå ÿâëÿåòñÿ ãåññèàíîì (èíâàðèàíòíîå îïðåäåëåíèå è ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî îïåðàòîðà ïðèâåäåíû â ïóíêòå 'Îïåðàòîð êðèâèçíû Âåéíãàðòåíà'). ( ) Ôîðìóëà Ýéëåðà. Ïóñòü Π ⊂ R3 êîîðèåíòèðîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü è P ∈ Π. Ïóñòü k(ϕ) êðèâèçíà â òî÷êå P êðèâîé ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ñ ïëîñêîñòüþ, ïðîâåäåííîé ÷åðåç íîðìàëü â òî÷êå P ïîä óãëîì ϕ ê òîìó ëó÷ó, äëÿ êîòîðîãî ýòà êðèâèçíà ìàêñèìàëüíà (ò.å. ê ãëàâíîìó íàïðàâëåíèþ, îòâå÷àþùåìó λ+ ). Òîãäà 2 2 k(ϕ) = λ+ cos ϕ + λ− sin ϕ. (d) Åñëè ãëàâíûå êðèâèçíû ðàçëè÷íû, òî ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ îðòîãîíàëüíû. (e)* Êàê âû÷èñëÿòü ãëàâíûå êðèâèçíû äëÿ ïîâåðõíîñòåé, çàäàííûõ â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå? 7. (a) Êàê îòëè÷àþòñÿ (äëÿ ïîâåðõíîñòåé, ðàññìîòðåííûõ â çàäà÷å 2) êðèâèçíû êðèâûõ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ñ äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè (α è αn íà ðèñ. 2), ñîäåðæàùèìè òî÷êó P è ïåðåñåêàþùèìè êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè ïî îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, îäíà èç êîòîðûõ ïðîõîäèò ÷åðåç íîðìàëü, à äðóãàÿ ïîä óãëîì θ ê íîðìàëè? 15
Óêàçàíèå: åñëè íå ïîëó÷àåòñÿ, òî ñì. äàëåå. (b) Ïðîåêöèÿ íà íîðìàëü â òî÷êå P = γ(0) óñêîðåíèÿ ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé γ íà ïîâåðõíîñòè Π çàâèñèò òîëüêî îò ñêîðîñòè γ ′ (0) ýòîé êðèâîé â òî÷êå P . ( ) Òåîðåìà Ìåíüå. (1785) Îáîçíà÷èì ÷åðåç k è kn êðèâèçíû êðèâûõ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ñ äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè (α è αn íà ðèñóíêå), ñîäåðæàùèìè òî÷êó P è ïåðåñåêàþùèìè êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè ïî îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, îäíà èç êîòîðûõ ïðîõîäèò ÷åðåç íîðìàëü, à äðóãàÿ ïîä óãëîì θ ê íîðìàëè. Òîãäà k cos θ = kn . (d) Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå d(ε) : Π → R3 îðìóëîé d(ε)(P ) = P + εn. Òîãäà ïðîåêöèÿ [d(ε)′P (a)]2 − a2 èç (b) ðàâíà lim , ãäå a = γ ′ (0). ε→0 2ε ëàâíûå êðèâèçíû ìíîãîìåðíûõ êîîðèåíòèðîâàííûõ ïîâåðõíîñòåé îïðåäåëÿþòñÿ áîëåå ñëîæíî (ñì. ïóíêò 'âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ îðìà'). Óêàçàíèå ê 1a è 6 . Óòâåðæäåíèÿ âûòåêàþò èç òîãî, ÷òî ìîìåíò èíåðöèè è êðèâèçíà åñòü óíêöèè âèäà f (ϕ) = A cos2 ϕ + 2B cos ϕ sin ϕ + C sin2 ϕ. Óêàçàíèå ê 1b. Ýòè ïðÿìûå ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû. Óêàçàíèå ê 2f. Íåëüçÿ! Óêàçàíèå ê 6b. Ïðîâåðÿåòñÿ âû÷èñëåíèÿìè. Íåâû÷èñëèòåëüíîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ðåçóëüòàòà (à òàêæå îðìóë äëÿ H è K äàëåå) ïîëó÷àåòñÿ, åñëè èíòåðïðåòèðîâàòü ãåññèàí êàê ìàòðèöó âòîðîãî äè åðåíöèàëà óíêöèè f , èëè âòîðîé êâàäðàòè÷íîé îðìû çàäàâàåìîé åé ïîâåðõíîñòè. Óêàçàíèå ê 6 . Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü äëÿ ïîâåðõíîñòè z = f (x, y), êàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè Oxy â íà÷àëå êîîðäèíàò O . Óêàçàíèå ê 6d. Ñëåäóåò èç 6 . Óêàçàíèå ê 6e. Íàïèøèòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè äëÿ ïîâåðõíîñòè r(u, v) è èñïîëüçóéòå 6b. Óêàçàíèå ê 7b. Îáîçíà÷èì n = n(γ(t)). Òîãäà
n · γ′ = 0
⇒
n′ · γ ′ + n · γ ′′ = 0
⇒
n · γ ′′ = −γ ′ · ∂n/∂γ ′ .
Ñëåäóåò èç 7b. Äðóãîå óêàçàíèå ê 7b. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîâåðõíîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì z = f (x, y), f (0, 0) = fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0, à óðàâíåíèå ïëîñêîñòè z = x ctg θ. Íà êðèâîé ïåðåñå÷åíèÿ ðàññìîòðèì ïàðàìåòð y . Äè åðåíöèðóÿ, ïîëó÷àåì zy = fx xy + fy è zy = xy ctg θ. Ïîýòîìó â òî÷êå (0, 0, 0) èìååì yy = 1, zy = 0 è xy = 0, ò.å. ñêîðîñòü êðèâîé ïåðåñå÷åíèÿ åäèíè÷íàÿ. Ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ êðèâîé ïåðåñå÷åíèÿ íà îñü Oz ðàâíà zyy = (fxy + fxx xy )xy + fx xyy + fyx xy + fyy .  òî÷êå (0, 0, 0) èìååì zyy = fyy , ÷òî íå çàâèñèò îò θ. Ïîýòîìó ïðîåêöèÿ íà îñü Oz óñêîðåíèÿ êðèâîé ïåðåñå÷åíèÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò íå çàâèñèò îò θ. À ïîñêîëüêó ýòî óñêîðåíèå ëåæèò â ïðîâåäåííîé ïëîñêîñòè, îíî ðàâíî k(ϕ, θ) = k(ϕ, 0)/ cos θ. Óêàçàíèå ê 7a .
Ïîëíàÿ ñðåäíÿÿ êðèâèçíà. ε-îêðåñòíîñòüþ èãóðû M (íà ïëîñêîñòè èëè â ïðîñòðàíñòâå) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Mε òî÷åê, óäàëåííûõ îò íåêîòîðîé òî÷êè èãóðû M íå áîëåå, ÷åì íà ε: Mε := {x : |x, y| < ε äëÿ íåêîòîðîé y ∈ M}.
1. Íàðèñóéòå ε-îêðåñòíîñòü â ïëîñêîñòè è íàéäèòå åå ïåðèìåòð è ïëîùàäü äëÿ 16
(a) êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1; (b) âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà ïëîùàäè S è ïåðèìåòðà P . 2. Íàðèñóéòå ε-îêðåñòíîñòü â ïðîñòðàíñòâå è íàéäèòå åå îáúåì è ïëîùàäü åå ïîâåðõíîñòè äëÿ (a) êóáà ñ ðåáðîì 1; (b) ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìû ñ äëèíàìè ðåáåð 1; (ñ) ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà ñ ðåáðîì 1; (d) ïðîèçâîëüíîãî âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà (ðåøèòå ñàìè, êàêèå íóæíî çàäàâàòü äàííûå; àêêóðàòíî äîêàæèòå, ÷åìó ðàâåí êîý èöèåíò ïðè ε2 ). 3. (ab d) Íàðèñóéòå ε-îêðåñòíîñòü â ïðîñòðàíñòâå è íàéäèòå åå îáúåì V (Mε ) äëÿ òåõ æå ñëó÷àåâ, ÷òî â çàäà÷å 2. (e) Êîðîáêè èìåþò îðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Ìîæíî ëè â îäíîé êîðîáêå ïðîíåñòè äðóãóþ êîðîáêó ñ áîëüøåé ñóììîé èçìåðåíèé ïî äëèíå, øèðèíå è âûñîòå? (f) Åñëè âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê P M ñ äëèíàìè ðåáåð li è äâóãðàííûìè óãëàìè αi ñîäåðæèòñÿ â øàðå ðàäèóñà R, òî li (π − αi ) ≤ 8πR. Ïîâåðõíîñòü (ãðàíèöà) èãóðû F îáîçíà÷àåòñÿ ∂F . Ïîëíîé ñðåäíåé êðèâèçíîé âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà M íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
S(∂Mε ) − S(∂M) X = li (π − αi ). ε→0 ε
H(∂M) := lim
Òåïåðü ðàññìîòðèì êîîðèåíòèðîâàííóþ ïîâåðõíîñòü Π ⊂ R3 . Îáîçíà÷èì Πε := {P + εn(P )}P ∈Π (ðèñ. 3). Ýòî ïîâåðõíîñòü, îáðàçîâàííàÿ êîíöàìè âåêòîðîâ εn(P ), îòëîæåííûõ îò òî÷åê P ïîâåðõíîñòè Π. èñóíîê 3: ñäâèã ïîâåðõíîñòè âäîëü ñåìåéñòâà íîðìàëåé
Ïîëíîé ñðåäíåé êðèâèçíîé êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ÷èñëî H(Π) := lim
ε→0
S(Πε ) − S(Π) . ε
Íà çàíÿòèè ïðèâåäåíî ýâðèñòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ñðåäíÿÿ êðèâèçíà ìûëüíîé ïëåíêè (ò. å. ïîâåðõíîñòè ìèíèìàëüíîé ïëîùàäè ñ äàííîé ãðàíèöåé) ðàâíà 0. 4. Çàäàâ êîîðèåíòàöèþ, íàéäèòå ïîëíóþ ñðåäíþþ êðèâèçíó ïîâåðõíîñòåé èç çàäà÷è 1ab de èç òåìû 'Ïîâåðõíîñòè'. 5. Êàê èçìåíÿåòñÿ ïîëíàÿ ñðåäíÿÿ êðèâèçíà ïðè (a) èçìåíåíèè êîîðèåíòàöèè íà ïðîòèâîïîëîæíóþ? (b) ãîìîòåòèè ïðîñòðàíñòâà? 6. (a) Ïîëíàÿ ñðåäíÿÿ êðèâèçíà àääèòèâíà, ò.å. H(Π1 ⊔ Π2 ) = H(Π1 ) + H(Π2 ) (åñëè ∂Π1 è ∂Π2 çàìêíóòûå êðèâûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ ïî îòðåçêó). (b) Îáúåìëåìàÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò ïîëíóþ ñðåäíþþ êðèâèçíó. ( ) Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ìîæåò íå ñîõðàíÿòü ïîëíóþ ñðåäíþþ êðèâèçíó. 7. Ïóñòü r(D) ýëåìåíòàðíàÿ íåïàðàìåòðèçîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü ñ êîîðèåíòàöèåé n = ru × rv /|ru × rv |. Áóäåì ïðîïóñêàòü â îðìóëàõ àðãóìåíò (u, v) óíêöèé ru è rv , à òàêæå àðãóìåíò r(u, v) óíêöèè n. RR r ∧ rv ∧ n dudv . (a) S(r(D)) = D u (b) r(D)ε = rε (D), ãäå rε (u, v) := r(u, v) + εn. 17
RR (ñ) H(r(D)) = (r ∧ nv ∧ n + nu ∧ rv ∧ n)dudv .  ÷àñòíîñòè, ïðåäåë, îïðåäåëÿþùèé D u ïîëíóþ ñðåäíþþ êðèâèçíó, äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò. 8.* Äëÿ âûïóêëîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà M ⊂ R3 è åãî ε-îêðåñòíîñòè Mε (a)
4π 3 1 ε. V (Mε ) = V (M) + S(∂M)ε + H(∂M)ε2 + 2 3 S(∂Mε ) = S(∂M) + H(∂M)ε + 4πε2 .
(b)
V (MR ) − 4πR3 /3 V (Mε ) − V (M) − S(∂M)ε = lim . ε→0 R→∞ ε2 R2 Óêàçàíèå ê 2d. Ïåðåíåñåì ïàðàëëåëüíî êàæäûé ñ åðè÷åñêèé ñåêòîð (ÿâëÿþùèéñÿ ÷àñòüþ ε-îêðåñòíîñòè) òàê, ÷òîáû âåðøèíà ïåðåøëà â íà÷àëî êîîðäèíàò. Äîêàæèòå, ÷òî ïî÷òè âñå ëó÷è, âûõîäÿùèå èç íà÷àëà êîîðäèíàò, ïåðåñåêàþò ðîâíî îäèí èç ïåðåíåñåííûõ ñ åðè÷åñêèõ ñåêòîðîâ. Äðóãîå ðåøåíèå ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ïîñòðîèòü íà ñ åðå òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå (íîðìàëÿì ê) ãðàíÿì ìíîãîãðàííèêà è äóãè, ñîîòâåòñòâóþùèå (íîðìàëÿì ê) ðåáðàì ìíîãîãðàííèêà. Óêàçàíèå ê 7a. ru ∧ rv ∧ n = (ru × rv ) · n. (c)
H(∂M) = 2 lim
Ñðåäíÿÿ êðèâèçíà â òî÷êå.
Âîçüìåì ðàñïðåäåëåíèå ìàññ íà êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè, ïðè êîòîðîì ìàññà êàæäîãî åå êóñêà ðàâíà ïîëíîé ñðåäíåé êðèâèçíå ýòîãî êóñêà (òàêèì îáðàçîì, ìàññà êóñêà ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîé). Òîãäà ñðåäíåé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè â òî÷êå íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòü â ýòîé òî÷êå. Ôîðìàëüíî, ñðåäíåé êðèâèçíîé êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå P íàçûâàåòñÿ ÷èñëî H(ΠP ) , H = HΠ,P := lim diam(ΠP )→0 S(ΠP ) ãäå ΠP èçìåðèìûå ÷àñòè ïîâåðõíîñòè Π, ñîäåðæàùèå òî÷êó P . Ýòî ïëîòíîñòü ïîëíîé ñðåäíåé êðèâèçíû îòíîñèòåëüíî ïëîùàäè. 1. Çàäàâ êîîðèåíòàöèþ, íàéäèòå ñðåäíþþ êðèâèçíó â òî÷êàõ ïîâåðõíîñòåé èç çàäà÷è 1ab de* èç òåìû 'Ïîâåðõíîñòè'. 2. Çàäàâ êîîðèåíòàöèþ, íàéäèòå çíàê ñðåäíåé êðèâèçíû òî÷åê (a) òîðà; (b) ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ óíêöèè f . 3. Êàê èçìåíÿåòñÿ ñðåäíÿÿ êðèâèçíà ïðè ãîìîòåòèè ïðîñòðàíñòâà? P) 4. (a) Íàïèøèòå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà lim H(Π 'íà ÿçûêå ε-δ '. S(ΠP ) diam(ΠP )→0
(b) Íàïèøèòå îïðåäåëåíèÿ ïîëíîé ñðåäíåé êðèâèçíû ïëîñêîé êðèâîé è ñðåäíåé êðèâèçíû ïëîñêîé êðèâîé â òî÷êå. ( )* Ïîñëåäíÿÿ ðàâíà îáû÷íîé êðèâèçíå. 5. (ab ) Òåîðåìà.
HP =
(r 2 ruu + ru2 rvv − 2(ru · rv )ruv ) ∧ ru ∧ rv ru ∧ nv ∧ n + nu ∧ rv ∧ n = −fxx − fyy = v , |ru × rv | |ru × rv |3
ãäå ïåðâàÿ è òðåòüÿ îðìóëû âûïîëíåíû äëÿ êîîðèåíòàöèè n = ru × rv /|ru × rv |, à âòîðàÿ îðìóëà âûïîëíåíà â òî÷êå O äëÿ ïîâåðõíîñòè z = f (x, y), êàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè Oxy â íà÷àëå êîîðäèíàò è òîé êîîðèåíòàöèè, äëÿ êîòîðîé nO = (0, 0, 1). 18
 ÷àñòíîñòè, ïðåäåë, îïðåäåëÿþùèé ñðåäíþþ êðèâèçíó â òî÷êå, äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò. (d) Âû÷èñëèòå ñðåäíþþ êðèâèçíó â êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, åñëè íîðìàëè íàïðàâëåíû ê îñè âðàùåíèÿ. 6. Òåîðåìà. Ìèíóñ ïîëîâèíà ñðåäíåé êðèâèçíû ðàâíà ïîëóñóììå ãëàâíûõ êðèâèçí è ðàâíà ñðåäíåìó çíà÷åíèþ êðèâèçíû ñå÷åíèÿ: Z λ+ + λ− 1 π H = k(ϕ)dϕ. − = 2 2 π 0 Ïðèìåíèòå òåîðåìó î ñðåäíåì. Óêàçàíèå ê 5 . Èñïîëüçóéòå n = ru × rv /|ru × rv |. Èëè ñíà÷àëà íàïèøèòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè äëÿ ïîâåðõíîñòè r(u, v). Óêàçàíèå ê 5a.
Ïîëíàÿ ãàóññîâà êðèâèçíà. Êîîðèåíòèðîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü Π ⊂ R3 íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè ëó÷è, îïðåäåëåííûå (çàêðåïëåííûìè) íîðìàëÿìè â ðàçíûõ òî÷êàõ, íå ïåðåñåêàþòñÿ. (Ýòî îïðåäåëåíèå íå ñîãëàñóåòñÿ ñ îïðåäåëåíèåì âûïóêëîñòè ìíîæåñòâà, íî ýòî íå äîëæíî ïðèâåñòè ê ïóòàíèöå.) Ñëåäóþùèé ìàòåðèàë èíòåðåñåí äàæå äëÿ âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé. Ïîëíîé ãàóññîâîé êðèâèçíîé âûïóêëîé êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ÷èñëî S(ΠR ) . K(Π) = lim R→∞ R2 1. Çàäàâ êîîðèåíòàöèþ, íàéäèòå ïîëíóþ ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòåé èç çàäà÷è 1ab de* èç òåìû 'Ïîâåðõíîñòè'. (f) òî æå äëÿ ïðîèçâîëüíîé çàìêíóòîé âûïóêëîé (ò.å. îãðàíè÷èâàþùåé âûïóêëîå òåëî) ïîâåðõíîñòè. Ïîëíîé ãàóññîâîé êðèâèçíîé êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ÷èñëî K(Π), äëÿ êîòîðîãî S(Πε ) = S(Π) + H(Π)ε + K(Π)ε2 ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε (ïðè êîòîðûõ ïîâåðõíîñòü Πε íåñàìîïåðåñåêàþùàÿñÿ). 2. (a) Ýòî îïðåäåëåíèå ñîâïàäàåò ñ ïðåäûäóùèì äëÿ âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé. (b) Íàéäèòå ïîëíóþ ãàóññîâó êðèâèçíó òîðà. 3. Êàê èçìåíÿåòñÿ ïîëíàÿ ãàóññîâà êðèâèçíà ïðè (a) èçìåíåíèè êîîðèåíòàöèè íà ïðîòèâîïîëîæíóþ? (b) ãîìîòåòèè ïðîñòðàíñòâà? 4. (a) Ïîëíàÿ ãàóññîâà êðèâèçíà àääèòèâíà, ò.å. K(Π1 ∪ Π2 ) = K(Π1 ) + K(Π2 ) (åñëè ∂Π1 è ∂Π2 çàìêíóòûå êðèâûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ ïî îòðåçêó). (b) Îáúåìëåìàÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò ïîëíóþ ãàóññîâó êðèâèçíó. Äàëåå (ñ èñïîëüçîâàíèåì ðèìàíîâîé ìåòðèêè è òåîðåìû Egregium àóññà) áóäåò äîêàçàíî, ÷òî âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò ïîëíóþ ãàóññîâó êðèâèçíó. Åñëè îòëîæèòü íîðìàëè ê êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè Π îò íà÷àëà êîîðäèíàò, òî èõ êîíöû áóäóò ëåæàòü íà åäèíè÷íîé ñ åðå. Ïîñòðîåííàÿ ïîâåðõíîñòü G(Π) ⊂ S 2 ⊂ R3 íàçûâàåòñÿ ñ åðè÷åñêèì èëè ãàóññîâûì îáðàçîì êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè Π. èñóíîê 4: ñ åðè÷åñêèé îáðàç ïîâåðõíîñòè
19
5. Ïëîùàäü ñ åðè÷åñêîãî îáðàçà âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ðàâíà åå ïîëíîé ãàóññîâîé êðèâèçíå. Ïóñòü íîðìàëè ê ðàçëè÷íûì òî÷êàì êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè íå ñîíàïðàâëåíû. Îïðåäåëèì ïëîùàäü ñî çíàêîì ñ åðè÷åñêîãî îáðàçà êàê åãî ïëîùàäü ñî çíàêîì ïëþñ (èëè ìèíóñ), åñëè ïðè îáõîäå ãðàíèöû ïîâåðõíîñòè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (îòíîñèòåëüíî íîðìàëåé) ãðàíèöà ñ åðè÷åñêîãî îáðàçà îáõîäèòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (èëè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè). 6. Ïëîùàäü ñ åðè÷åñêîãî îáðàçà ñî çíàêîì îòðèöàòåëüíà äëÿ ñåäëîîáðàçíîé ïîâåðõíîñòè z = x2 − y 2, x2 + y 2 ≤ 1. Åñëè êîîðèåíòèðîâàííóþ ïîâåðõíîñòü Π ìîæíî ðàçáèòü íà êîíå÷íîå ÷èñëî ÷àñòåé, íà êàæäîé èç êîòîðûõ íîðìàëè ê ðàçëè÷íûì òî÷êàì íå ñîíàïðàâëåíû, òî ïëîùàäüþ ñî çíàêîì åå ñ åðè÷åñêîãî îáðàçà íàçûâàåòñÿ ñóììà ïëîùàäåé ñî çíàêîì ýòèõ ÷àñòåé. 7. (a) Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò.å. íå çàâèñèò îò ðàçáèåíèÿ ïîâåðõíîñòè. (b) Òåîðåìà. Ïëîùàäü ñî çíàêîì ñ åðè÷åñêîãî îáðàçà ïîâåðõíîñòè ðàâíà åå ïîëíîé ãàóññîâîé êðèâèçíå. Äàëåå r : D → R3 êîîðèåíòèðîâàííàÿ ïàðàìåòðèçîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü. Åå ïëîùàäüþ ñî çíàêîì íàçûâàåòñÿ ÷èñëî Z Z Sn (r(D)) := ru ∧ rv ∧ n dudv. D
RR
8. K(r(D)) = D nu ∧ nv ∧ n dudv äëÿ êîîðèåíòàöèè n = ru × rv /|ru × rv |.  ÷àñòíîñòè, îïðåäåëåíèå ãàóññîâîé êðèâèçíû îñìûñëåííî, ò.å. S(Πε ) äåéñòâèòåëüíî âûðàæàåòñÿ òàêîé îðìóëîé ñ íåêîòîðûìè (íå çàâèñÿùèìè îò ε) H(Π) è K(Π). Åñëè îòëîæèòü âåêòîð n(r(u, v)) îò íà÷àëà êîîðäèíàò, òî åãî êîíåö áóäåò ëåæàòü íà åäèíè÷íîé ñ åðå. Ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå n ◦ r : D → S 2 ⊂ R3 íàçûâàåòñÿ ñ åðè÷åñêèì èëè ãàóññîâûì. 9. (a) Âåêòîð n(r(u, v)) ïåðïåíäèêóëÿðåí ïîâåðõíîñòè n ◦ r(D) â åå òî÷êå n ◦ r(u, v), ò.å. ïîëå íîðìàëåé m(n ◦ r(u, v)) := n(r(u, v)) çàäàåò êîîðèåíòàöèþ ïîâåðõíîñòè n ◦ r(D). (b) Ïëîùàäü ñî çíàêîì îáðàçà ñ åðè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ ïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè ðàâíà ïîëíîé ãàóññîâîé êðèâèçíå îáðàçà ýòîé ïîâåðõíîñòè. àóññîâà êðèâèçíà â òî÷êå. Âîçüìåì ðàñïðåäåëåíèå ìàññ íà êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè, ïðè êîòîðîì ìàññà êàæäîãî åå êóñêà ðàâíà ïîëíîé ãàóññîâîé êðèâèçíå ýòîãî êóñêà (òàêèì îáðàçîì, ìàññà êóñêà ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîé). Òîãäà ãàóññîâîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè â òî÷êå íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòü â ýòîé òî÷êå. Ôîðìàëüíî, ãàóññîâîé êðèâèçíîé êîîðèåíòèðîâàííîé íåïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå P íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
K = KΠ,P :=
K(ΠP ) diam(ΠP )→0 S(ΠP ) lim
ãäå ΠP èçìåðèìûå ÷àñòè ïîâåðõíîñòè Π, ñîäåðæàùèå òî÷êó P . Ýòî ïëîòíîñòü ïîëíîé ãàóññîâîé êðèâèçíû îòíîñèòåëüíî ïëîùàäè. 1. Íàéäèòå ãàóññîâó êðèâèçíó â òî÷êàõ ïîâåðõíîñòåé èç çàäà÷è 1ab de* èç òåìû 'Ïîâåðõíîñòè'. 2. Íàéäèòå çíàê ãàóññîâîé êðèâèçíû òî÷åê (a) òîðà; (b) ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. 20
3. (a) Íàïèøèòå îïðåäåëåíèÿ 'îêðóæíîñòíîãî îáðàçà' ïëîñêîé êðèâîé, ïîëíîé ãàóññîâîé êðèâèçíû ïëîñêîé êðèâîé è ãàóññîâîé êðèâèçíû ïëîñêîé êðèâîé â òî÷êå. (b) Ïîñëåäíÿÿ ðàâíà îáû÷íîé êðèâèçíå. 4. Êàê èçìåíÿåòñÿ ãàóññîâà êðèâèçíà â òî÷êå ïðè ãîìîòåòèè ïðîñòðàíñòâà? 5. (ab ) Òåîðåìà. KP =
(ruu ∧ ru ∧ rv )(rvv ∧ ru ∧ rv ) − (ruv ∧ ru ∧ rv )2 nu ∧ nv ∧ n 2 = fxx fyy − fxy = , |ru × rv | |ru × rv |4
ãäå ïåðâàÿ îðìóëà âûïîëíåíà äëÿ êîîðèåíòàöèè n = ru × rv /|ru × rv |, à âòîðàÿ îðìóëà âûïîëíåíà â òî÷êå O äëÿ ïîâåðõíîñòè z = f (x, y), êàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè Oxy â íà÷àëå êîîðäèíàò.  ÷àñòíîñòè, ïðåäåë, îïðåäåëÿþùèé ãàóññîâó êðèâèçíó â òî÷êå, äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò. (d) Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó â êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. 6. (a) Ñëåäñòâèå. ëàâíûå êðèâèçíû ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ λ2 + Hλ + K = 0. (b) Ñëåäñòâèå. àóññîâà êðèâèçíà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ãëàâíûõ êðèâèçí: K = λ+ λ− . ( )  òåîðåìå 5ab èç òåìû 'ãëàâíûå êðèâèçíû' ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèå îäèíàêîâîñòè (ðàçëè÷íîñòè) çíàêà ãëàâíûõ êðèâèçí íà K > 0 (K < 0). (d) Åñëè ãàóññîâà è ñðåäíÿÿ êðèâèçíû òî÷åê ïîâåðõíîñòè ðàâíû íóëþ, òî ýòà ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ïëîñêîñòè. 7.* Òåîðåìà. Äëÿ äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè â R3 èìååì τ = 2K (ãäå τ ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà) [Gr90, MF04, Ra04℄. èñóíîê 5: ãàóññîâà êðèâèçíà òî÷åê òîðà
ñì. ðèñ. 5. Óêàçàíèå ê 5a. Ïðèìåíèòå òåîðåìó î ñðåäíåì. Óêàçàíèå ê 5 . Èñïîëüçóéòå n = ru × rv /|ru × rv |. Èëè ñíà÷àëà íàïèøèòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè äëÿ ïîâåðõíîñòè r(u, v). Îòâåò ê 2:
åîäåçè÷åñêèå.
Íåïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ Γ ⊂ Π íàçûâàåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé íà ïîâåðõíîñòè Π, åñëè îíà ëîêàëüíî êðàò÷àéøàÿ, ò. å. åñëè ëþáàÿ òî÷êà x ∈ Γ èìååò òàêóþ îêðåñòíîñòü U â ïîâåðõíîñòè, ÷òî ðàññòîÿíèå ïî ïîâåðõíîñòè ìåæäó ëþáûìè òî÷êàìè y1 , y2 ∈ U ∩ Γ ðàâíî äëèíå îòðåçêà êðèâîé Γ îò y1 äî y2 . 1. (a) Íàðèñóéòå íà êóáå ãåîäåçè÷åñêóþ, ñîåäèíÿþùóþ åãî ïðîòèâîïîëîæíûå âåðøèíû. (b) Íàðèñóéòå ãåîäåçè÷åñêóþ íà ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå a × b × c, ñîåäèíÿþùóþ ñåðåäèíû ïàðàëëåëüíûõ ðåáåð, íå ëåæàùèõ â îäíîé ãðàíè. ( ) Ñóììà ïëîñêèõ óãëîâ âûïóêëîãî ìíîãîãðàííîãî óãëà íå ïðåâîñõîäèò 2π . (d) åîäåçè÷åñêàÿ íà ïîâåðõíîñòè âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà íå ïðîõîäèò ÷åðåç åãî âåðøèíû (ò.å. ìîæåò â íèõ òîëüêî íà÷èíàòüñÿ èëè çàêàí÷èâàòüñÿ) è ïðîõîäèò ÷åðåç ðåáðà ïî çàêîíó 'óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ'. 2. (a) Êðàò÷àéøàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé. (b) åîäåçè÷åñêàÿ íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé. ( )* Ëþáûå äâå òî÷êè ìîæíî ñîåäèíèòü êðàò÷àéøåé êðèâîé (íàïîìíèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîâåðõíîñòü êîìïàêòíà). 21
3. (a) Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ïåðåâîäèò ãåîäåçè÷åñêèå â ãåîäåçè÷åñêèå. (b)* Òåîðåìà. Îáðàç ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé γ : [a, b] → Π ñ ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ
ñêîðîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé íà ïîâåðõíîñòè Π òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîð óñêîðåíèÿ γ ′′ (t) ïåðïåíäèêóëÿðåí (ïëîñêîñòè, êàñàòåëüíîé ê) ïîâåðõíîñòè â òî÷êå γ(t) äëÿ ëþáîãî t. Óêàçàíèå ê ïðîñòîìó äîêàçàòåëüñòâó ÷àñòè 'òîãäà'. Åñëè â òî÷êå t ýòî íå òàê, òî ïðîåêöèÿ êðèâîé γ íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü â òî÷êå γ(t) èìååò íåíóëåâóþ êðèâèçíó. Çíà÷èò, ýòó ïðîåêöèþ ìîæíî 'ñïðÿìèòü'. Òîãäà è èñõîäóþ êðèâóþ ìîæíî 'ñïðÿìèòü'. Ñëîæíîå äîêàçàòåëüñòâî ÷àñòè 'òîãäà' ïîëó÷àåòñÿ èç óðàâíåíèÿ Ýéëåðà-Ëàãðàíæà äëÿ óíêöèîíàëà äëèíû [Ra03℄. ( )* Ïðè äâèæåíèè ïî ãåîäåçè÷åñêîé ïðàâîå è ëåâîå êîëåñà óçêîãî àâòîìîáèëÿ ïðîäåëàþò îäèíàêîâûé ïóòü ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëûõ ïîðÿäêà êâàäðàòà øèðèíû àâòîìîáèëÿ. (Ýòî ñëåäóåò èç ìèíèìàëüíîñòè ãåîäåçè÷åñêèõ.) (d)* Íàðèñóåì íà ÿéöå (ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè, ëåæàùåé ïî îäíó ñòîðîíó îò ëþáîé êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è ïåðåñåêàþùåé ýòó ïëîñêîñòü ðîâíî â îäíîé òî÷êå; íàïðèìåð, ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ãðà èêà âûïóêëîé óíêöèè) ïðîèçâîëüíóþ êðèâóþ. Ïðîêàòèì ÿéöî ïî ïëîñêîñòè (áåç âðàùåíèÿ) âäîëü ýòîé êðèâîé. Êðèâàÿ íà ÿéöå ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùàÿ êðèâàÿ íà ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé. (Ýòî ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà.) Ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ γ : [a, b] → Π íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðèçîâàííîé ãåîäåçè÷å′′ ñêîé íà ïîâåðõíîñòè Π, åñëè âåêòîð óñêîðåíèÿ γ (t) ïåðïåíäèêóëÿðåí ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå γ(t) äëÿ ëþáîãî t. Òåîðåìà 3b îçíà÷àåò, ÷òî íåïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ Γ íà ïîâåðõíîñòè Π ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà èìååò ïàðàìåòðèçàöèþ, ÿâëÿþùóþñÿ ïàðàìåòðèçîâàííîé ãåîäåçè÷åñêîé.
ßñíî, ÷òî ïàðàìåòðèçîâàííàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ èìååò ïîñòîÿííóþ ïî ìîäóëþ ñêîðîñòü (îò âåëè÷èíû ïîñòîÿííîãî ìîäóëÿ ñêîðîñòè ñâîéñòâî ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé áûòü ïàðàìåòðèçîâàííîé ãåîäåçè÷åñêîé íå çàâèñèò).  äàëüíåéøåì èìåþòñÿ â âèäó ïàðàìåòðèçîâàííûå ãåîäåçè÷åñêèå è ýòî ïðèëàãàòåëüíîå îïóñêàåòñÿ. Íà íåïàðàìåòðèçîâàííûõ êðèâûõ ðàññìàòðèâàþòñÿ ïàðàìåòðèçàöèè ñ ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ ñêîðîñòüþ. 4. (a) Ïðÿìàÿ íà ïîâåðõíîñòè ãåîäåçè÷åñêàÿ. (b) Ìåðèäèàí ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ. ( ) Ïàðàëëåëü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàñàòåëüíàÿ ê ìåðèäèàíó â åå òî÷êàõ ïàðàëëåëüíà îñè âðàùåíèÿ. (d)* Êðèâàÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ñâÿçíîé êîìïîíåíòîé ìíîæåñòâà íåïîäâèæíûõ òî÷åê íåêîòîðîé èçîìåòðèè ïîâåðõíîñòè, ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé. 5. Íàéäèòå âñå ãåîäåçè÷åñêèå íà (a) ïëîñêîñòè; (b) öèëèíäðå; ( ) ñ åðå (èñïîëüçóéòå 7f); (d) êîíóñå (èñïîëüçóéòå èíâàðèàíòíîñòü ïðè èçîìåòðèè). 6. Òåîðåìà Êëåðî.  òî÷êàõ ãåîäåçè÷åñêîé γ íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ âåëè÷èíà r sin ∠(γ ′ , m) îäèíàêîâà. Çäåñü r ðàññòîÿíèå äî îñè âðàùåíèÿ è m ìåðèäèàí. 7. Ïóñòü x1 , x2 : R → R, à γ = r(x1 , x2 ) ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ íà ïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè r : D → R3 . Áóäåì äàëåå ïðîïóñêàòü àðãóìåíò (x1 (t), x2 (t)) ó óíêöèè r è åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è îáîçíà÷àòü øòðèõîì äè åðåíöèðîâàíèå ïî t, à èíäåêñàìè ó r (íî íå ó Γ è g ) ÷àñòíîå äè åðåíöèðîâàíèå ïî ñîîòâåòñòâóþùåé ïåðåìåííîé (ðåøàòåëþ áóäåò ïîëåçíî ïåðâîå âðåìÿ êðîìå èíäåêñîâ ïèñàòü åùå øòðèõè).
22
(a) Êðèâàÿ γ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà γ ′′ · r1 = γ ′′ · r2 = 0 äëÿ ëþáîãî t. (b) γ ′ = r1 x′1 + r2 x′2 âåêòîð ñêîðîñòè êðèâîé γ â òî÷êå r(x1 (t), x2 (t)). ( ) γ ′′ = x′′1 r1 + x′1 r1′ + x′′2 r2 + x′2 r2′ . (d) r1′ = r11 x′1 + r12 x′2 . (e) Òåîðåìà. Óðàâíåíèå ãåîäåçè÷åñêîé (íà óíêöèè x1 è x2 ÷åðåç äàííóþ óíêöèþ r ) ( X −x′′1 = Γ111 (x′1 )2 + (Γ121 + Γ112 )x′1 x′2 + Γ122 (x′2 )2 ′′ èëè x + Γkij x′i x′j = 0, ãäå k −x′′2 = Γ211 (x′1 )2 + (Γ221 + Γ212 )x′1 x′2 + Γ222 (x′2 )2 i,j
gij = ri · rj
è
Γkij :=
g3−k,3−k rk · rij − gk,3−k r3−k · rij det g
− .
(f) Òåîðåìà. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó â êàæäîì íàïðàâëåíèè íà ïîâåðõíîñòè ïðîõîäèò ðîâíî îäíà ãåîäåçè÷åñêàÿ. (g) Âû÷èñëèòå ñèìâîëû Êðèñòî åëÿ äëÿ ñ åðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ñ åðå. Óêàçàíèå ê 1 . Ïðîâåäèòå ÷åðåç âåðøèíó óãëà ëó÷, ëåæàùèé âíóòðè óãëà, è ÷åðåç òî÷êó íà ýòîì ëó÷å (îòëè÷íóþ îò âåðøèíû óãëà) ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ëó÷ó. ′ Óêàçàíèå ê 6. Óòâåðæäåíèå ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî e ∧ γ ∧ γ = const, ãäå γ ãåîäåçè÷åñêàÿ è e åäèíè÷íûé âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé îñè âðàùåíèÿ. Ïîñëåäíåå óñëîâèå äîêàçûâàòñÿ äè åðåíöèðîâàíèåì ïî ïðàâèëó Ëåéáíèöà, ò.ê. e ∧ γ ∧ γ ′′ = 0.
Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ. àññìîòðèì äâå ñîñåäíèå ãðàíè äàííîãî ìíîãîãðàííèêà. Åñëè ïîâåðíóòü ïëîñêîñòü îäíîé èç íèõ âîêðóã èõ îáùåãî ðåáðà, òî îíà ñîâìåñòèòñÿ ñ ïëîñêîñòüþ äðóãîé ãðàíè. Åñëè íà ïåðâîé ãðàíè íàðèñîâàòü âåêòîð, òî ïîñëå ïîâîðîòà îí îòïå÷àòàåòñÿ íà ïëîñêîñòè âòîðîé ãðàíè. Òàêîé ïåðåíîñ âåêòîðà ñ îäíîé ãðàíè íà äðóãóþ íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì âåêòîðà ÷åðåç ðåáðî. 1. (a) Åñëè çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ íà ìíîãîãðàííèêå íå ñîäåðæèò âåðøèí è îãðàíè÷èâàåò îáëàñòü ñ âåðøèíàìè A1 , . . . , An , ñóììû ïëîñêèõ óãëîâ â êîòîðûõ ðàâíû α1 , . . . , αn , òî ïîñëå ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âäîëü ýòîé ëîìàíîé âåêòîð ïîâåðíåòñÿ íà óãîë −(α1 + · · · + αn ). (b)* Ýòîò óãîë ïîâîðîòà ðàâåí (ñ òî÷íîñòüþ äî 2πn) ñóììå âåëè÷èí òåëåñíûõ óãëîâ, äâîéñòâåííûõ ê ìíîãîãðàííûì óãëàì A1 , . . . , An . ßñíî, ÷òî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÷åðåç ðåáðî ìíîãîãðàííèêà ìîæíî îïðåäåëèòü ïðè ïîìîùè ïåðåêàòûâàíèÿ ýòîãî ìíîãîãðàííèêà ñ îäíîé ãðàíè íà äðóãóþ. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ (âåêòîðîâ) êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè âäîëü íåêîòîðîé êðèâîé íà ýòîé ïîâåðõíîñòè ìîæíî îïðåäåëèòü ÷åðåç êà÷åíèå ïîâåðõíîñòè ïî ïëîñêîñòè âäîëü äàííîé êðèâîé (áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ). Ñîîòâåòñòâóþùåå äâèæåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïî íåïîäâèæíîé ïîâåðõíîñòè ìîæíî ñòðîãî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì óñëîâèåì: ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíà äàííîé êðèâîé.
Ôîðìàëüíî, ïóñòü äàíà ïîâåðõíîñòü Π ⊂ R3 è ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ γ : [a, b] → Π. Êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå v(t) ∈ Tγ(t) íà êðèâîé γ[a, b] íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âäîëü äàííîé êðèâîé (â ñìûñëå Ëåâè-×èâèòà), åñëè âåêòîð vt′ (t) ïåðïåíäèêóëÿðåí (ïëîñêîñòè, êàñàòåëüíîé ê) ïîâåðõíîñòè â òî÷êå γ(t). 23
Âåêòîð v(γ(b)) íàçûâàåòñÿ
v(γ(a)) ïàðàëëåëüíûì . 2. (a) Êàêèå êàñàòåëüíûå âåêòîðû ê ïëîñêîñòè, ëåæàùåé â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì? (b) Ïîëå âåêòîðîâ ñêîðîñòè ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âäîëü ýòîé êðèâîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòà êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðèçîâàííîé ãåîäåçè÷åñêîé. ( ) Ïàðàëëåëüíîñòü âäîëü êðèâîé íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè ýòîé êðèâîé. (d) åçóëüòàò ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âäîëü êðèâîé ñ äàííûìè êîíöàìè çàâèñèò îò âûáîðà êðèâîé. 3. (a) Íåïðåðûâíîå ñåìåéñòâî âåêòîðîâ îäèíàêîâîé äëèíû íà ìåðèäèàíå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, êàñàþùèõñÿ ïàðàëëåëè, ïàðàëëåëüíî âäîëü ìåðèäèàíà. (b) Äàíà ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ãëàäêîé ïîëîæèòåëüíîé óíêöèè f . Íà êàêîé óãîë â 3 R ïîâåðíåòñÿ âåêòîð, êàñàòåëüíûé ê ìåðèäèàíó, ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå èç òî÷êè (a, f (a), 0) â òî÷êó (b, f (b), 0) âäîëü ìåðèäèàíà? 4. Åñëè íà äàííîé ïîâåðõíîñòè ñåìåéñòâà âåêòîðîâ u è v ïàðàëëåëüíû âäîëü äàííîé êðèâîé, òî (a) |v(x)| = |v(y)|. (b) u(x) · v(x) = u(y) · v(y). ( ) ∠(u(x), v(x)) = ∠(u(y), v(y)). (d) Ñåìåéñòâà u + v è 3u ïàðàëëåëüíû âäîëü òîé æå êðèâîé. 5. (a) Òåîðåìà. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íà äàííîé ïîâåðõíîñòè âäîëü äàííîé êðèâîé îïðåäåëÿåò îðòîãîíàëüíîå îòîáðàæåíèå êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâ. (b) Ñåìåéñòâî âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìîäóëü âåêòîðà ñåìåéñòâà è óãîë ìåæäó âåêòîðîì ñåìåéñòâà è âåêòîðîì ñêîðîñòè ãåîäåçè÷åñêîé ïîñòîÿííû âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé. 6. Ïóñòü v(t) = a1 (t)r1 (x1 (t), x2 (t)) + a2 (t)r2 (x1 (t), x2 (t)) êàñàòåëüíûé ê ïîâåðõíîñòè âåêòîð â òî÷êå r(x1 (t), x2 (t)). Áóäåì äàëåå îáîçíà÷àòü øòðèõîì ïðîèçâîäíóþ ïî t è ïðîïóñêàòü àðãóìåíòû óíêöèé. (a) v ′ = a′1 r1 + a1 r1′ + a′2 r2 + a2 r2′ . (b) Ñåìåéñòâî v ïàðàëëåëüíî âäîëü êðèâîé γ = r(x1 , x2 ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ′ v · r1 = v ′ · r2 = 0 . ( ) Òåîðåìà. Óðàâíåíèå ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà (íà óíêöèè a1 è a2 ÷åðåç äàííûå óíêöèè r, x1 , x2 ) ( X −a′1 = (Γ111 x′1 + Γ121 x′2 )a1 + (Γ112 x′1 + Γ122 x′2 )a2 ′ èëè a + Γkij x′i aj = 0. k −a′2 = (Γ211 x′1 + Γ221 x′2 )a1 + (Γ212 x′1 + Γ222 x′2 )a2 i,j âåêòîðîì, ïîëó÷åííûì èç âåêòîðà
ïåðåíîñîì âäîëü äàííîé êðèâîé
(d) Ëþáîé âåêòîð ìîæíî ïàðàëëåëüíî ïåðåíåñòè âäîëü ëþáîé êðèâîé. Äàëåå (ñ èñïîëüçîâàíèåì ðèìàíîâîé ìåòðèêè) áóäåò äîêàçàíî, ÷òî
ïðè âíóòðåííåé
èçîìåòðèè ïîâåðõíîñòåé ñåìåéñòâî âåêòîðîâ, ïàðàëëåëüíîå âäîëü íåêîòîðîé êðèâîé, ïåðåõîäèò â ñåìåéñòâî âåêòîðîâ, ïàðàëëåëüíîå âäîëü îáðàçà ýòîé êðèâîé.
Ñåêöèîííàÿ êðèâèçíà. Îáúÿñíåíèå åíîìåíà ìàÿòíèêà Ôóêî ñ èñïîëüçîâàíèåì ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà ïðèâîäèòñÿ â [Ta89℄. 1. Íà êàêîé óãîë ïîâåðíåòñÿ êàñàòåëüíûé âåêòîð ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå âäîëü (a) ïàðàëëåëè íà öèëèíäðå? 24
(b) êîíòóðà òðåóãîëüíèêà ñ óãëàìè α, β, γ íà ñ åðå? ( ) ïàðàëëåëè z = 1 íà êîíóñå z 2 = x2 + y 2 ? (d) ïàðàëëåëè θ = θ0 íà ñ åðå? (e) äàííîé ïàðàëëåëè äàííîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ? Óêàçàíèå ê 1 è 3b. Èñïîëüçóéòå (äîêàçàííóþ íèæå) èíâàðèàíòíîñòü ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà ïðè âíóòðåííåé èçîìåòðèè. èñóíîê 6: ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ âåêòîðà ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó
2. Ïóñòü N, N ′
ïîâåðõíîñòè, êàñàþùèåñÿ âäîëü êðèâîé γ . Äîêàæèòå, ÷òî ðåçóëüòàò ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âäîëü êðèâîé γ îäèíàêîâ äëÿ N è N ′ . Ïîëíîé ñåêöèîííîé êðèâèçíîé σ(Π) äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè Π ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé íàçûâàåòñÿ óãîë ïîâîðîòà êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ïðè îáõîäå ïî åå ãðàíèöå. 3. (a) Îáúåìëåìàÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò ïîëíóþ ñåêöèîííóþ êðèâèçíó. (b) Òåîðåìà. Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò ïîëíóþ ñåêöèîííóþ êðèâèçíó. ( ) Ïîëíàÿ ñåêöèîííàÿ êðèâèçíà àääèòèâíà, ò.å. σ(Π1 ∪ Π2 ) = σ(Π1 ) + σ(Π2 ) (åñëè ∂Π1 è ∂Π2 çàìêíóòûå êðèâûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ ïî îòðåçêó). 4. Îïðåäåëåíèå ñ åðè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ G : Π → S 2 äàíî â ïóíêòå 'ãàóññîâà êðèâèçíà'. Ïî ñ åðè÷åñêîìó îòîáðàæåíèþ ìîæíî ïîñòðîèòü ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé dGP : TP → TG(P ) íà êàñàòåëüíûõ ê ïîâåðõíîñòè âåêòîðàõ: äëÿ P ∈ Π îáðàçîì (çàêðåïëåííîãî) êàñàòåëüíîãî âåêòîðà P X íàçîâåì âåêòîð G(P )dGP (X), ðàâíûé âåêòîðó P X êàê ñâîáîäíûé âåêòîð. Ïîñòðîåííîé îòîáðàæåíèå dGP íàçûâàåòñÿ ñ åðè÷åñêèì îòîáðàæåíèåì êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâ. (a) Ýòî îòîáðàæåíèå êîððåêòíî îïðåäåëåíî, ò.å. G(P )dGP (X) äåéñòâèòåëüíî êàñàåòñÿ ãàóññîâà îáðàçà G(Π). (b) Ýòî îòîáðàæåíèå ñîâïàäàåò ñ äè åðåíöèàëîì ñ åðè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ. ( ) Ïðè ñ åðè÷åñêîì îòîáðàæåíèè êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâ ñåìåéñòâî âåêòîðîâ, ïàðàëëåëüíîå âäîëü íåêîòîðîé êðèâîé, ïåðåõîäèò â ñåìåéñòâî âåêòîðîâ, ïàðàëëåëüíîå âäîëü åå îáðàçà (ïðè ñ åðè÷åñêîì îòîáðàæåíèè). (d) Óãîë ïîâîðîòà âåêòîðà ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà ðàâåí óãëó ïîâîðîòà âåêòîðà ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå âäîëü ñ åðè÷åñêîãî îáðàçà ýòîãî êîíòóðà: σ(Π) = σ(G(Π)). (e) Òåîðåìà Egregium àóññà. Óãîë ïîâîðîòà êàñàòåëüíîãî ê äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè â R3 âåêòîðà ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå âäîëü ãðàíèöû ïîâåðõíîñòè ðàâåí ïëîùàäè î çíàêîì ñ åðè÷åñêîãî îáðàçà ýòîé ïîâåðõíîñòè: σ(Π) = K(Π). Âîçüìåì ðàñïðåäåëåíèå ìàññ íà êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè, ïðè êîòîðîì ìàññà êàæäîãî åå êóñêà ðàâíà ïîëíîé ñåêöèîííîé êðèâèçíå ýòîãî êóñêà (òàêèì îáðàçîì, ìàññà êóñêà ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîé). Òîãäà ñåêöèîííîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè â òî÷êå íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòü â ýòîé òî÷êå. Ôîðìàëüíî, ñåêöèîííîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå P íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
σ(P ) :=
σ(ΠP ) , diam(ΠP )→0 S(ΠP ) lim
ãäå ΠP ÷àñòè ïîâåðõíîñòè Π, ñîäåðæàùèå òî÷êó P . Ýòî ïëîòíîñòü ïîëíîé ñåêöèîííîé êðèâèçíû îòíîñèòåëüíî ïëîùàäè. 5. Êàê èçìåíÿåòñÿ ñåêöèîííàÿ êðèâèçíà ïðè ãîìîòåòèè ïðîñòðàíñòâà?
25
Èòàê, äëÿ äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè â R3 ñêàëÿðíàÿ, ñåêöèîííàÿ è ãàóññîâà êðèâèçíû ñîâïàäàþò (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ 2). Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ñêàëÿðíàÿ è ñåêöèîííàÿ êðèâèçíû îïðåäåëåíû äëÿ äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè â Rm ïðè m > 3, à ãàóññîâà íåò. 6.* τ = 2σ äëÿ äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè â Rm. Óêàçàíèå ê çàäà÷àì 1de. Èñïîëüçóéòå 1 è 2. Óêàçàíèå ê çàäà÷å 4d. Ââèäó ïðåäûäóùåãî ïóíêòà äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ýòó òåîðåìó äëÿ ñ åðû. Ýòî äåëàåòñÿ ïðè ïîìîùè àïïðîêñèìàöèè ñ åðè÷åñêîé îáëàñòè ñ åðè÷åñêèìè ìíîãîóãîëüíèêàìè. Äðóãîå óêàçàíèå ê çàäà÷å 4d. Ïóñòü vP ñåìåéñòâî åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ íà ∂Π, ïàðàëëåëüíîå âäîëü ∂Π, è aP è bP ïðîèçâîëüíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ïàðà âåêòîðíûõ ïîëåé íà Π. Èìååì (îïóñêàÿ àðãóìåíò P )
− sin ∠(v, a)d∠(v, a) = d(cos ∠(v, a)) = d(v · a) = v · da + dv · a = v · da = sin ∠(v, a)b · da. Òîãäà èñêîìûé óãîë ðàâåí Z Z Z d∠(v, a) = − b · da = − ∂Π
∂Π
=
Z Z
D
∂D
b · au du + b · av dv =
(bu · av − bv · au )dudv =
Z Z
D
Z Z D
∂(b · av ) ∂(b · au ) dudv = − ∂u ∂v
nu ∧ nv ∧ n dudv = S(G(r(D))).
Çäåñü ïðåäïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî, ïîñêîëüêó a 0 ω1 ω2 a a 0 ω1′ ω2′ a ′ ′ b = −ω1 0 ω3 b b −ω1 0 ω3 b , è = ′ ′ n u −ω2 −ω3 0 n n v −ω2 −ω3 0 n îòêóäà bu · av − bv · au = ω2 ω3′ − ω2′ ω3 = nu ∧ nv ∧ n. Óêàçàíèå ê çàäà÷å 6. Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 5e òåìû 'áèëèíåéíàÿ îðìà è÷÷è'.
26
ÏÎËÈËÈÍÅÉÍÛÅ Ê ÈÂÈÇÍÛ ÏÎÂÅ ÕÍÎÑÒÅÉ Äëèíû êðèâûõ íà ïîâåðõíîñòÿõ. Îáîçíà÷èì S 2 := {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 = 1}. àññòîÿíèåì ïî ñ åðå ìåæäó òî÷êàìè ñ åðû íàçûâàåòñÿ äëèíà íàèìåíüøåé äóãè áîëüøîãî êðóãà, ñîåäèíÿþùåé ýòè òî÷êè. Êðóã è îêðóæíîñòü íà ñ åðå îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ïëîñêîñòè (÷åðåç ðàññòîÿíèå ïî ñ åðå). 1. (a) Äëèíà îêðóæíîñòè ðàäèóñà R íà ñ åðå ðàâíà 2π sin R. (b) Íàéäèòå îðìóëó äëÿ äëèíû ïàðàìåòðèçîâàííîé ñ åðè÷åñêîé êðèâîé γ = (ϕ, θ) : [a, b] → S 2 â ñ åðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ϕ, θ. ( ) Òî æå â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ γ = (x, y). (d) Òî æå â ñòåðåîãðà è÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ: ïàðå ÷èñåë (p, q) ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà ñ åðû, êîòîðàÿ ïåðåõîäèò â òî÷êó (p, q, 0) ïðè öåíòðàëüíîé ïðîåêöèè èç òî÷êè (0, 0, 1). (e)* Òî æå â ìåðêàòîðîâñêèõ êîîðäèíàòàõ, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ òàê. Íà êàðòå ââîäÿòñÿ ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû (u, v) òàêèå, ÷òî ëþáàÿ ïðÿìàÿ íà êàðòå ñîîòâåòñòâóåò ëèíèè ïîñòîÿííîãî àçèìóòà ( èêñèðîâàííîãî ïîëîæåíèÿ ñòðåëêè êîìïàñà) íà ïîâåðõíîñòè çåìíîãî øàðà (ò.å. ëîêñîäðîìèè). Óêàçàíèå: ñíà÷àëà âûðàçèòå ñ åðè÷åñêèå êîîðäèíàòû (ϕ, θ) ÷åðåç ìåðêàòîðîâñêèå êîîðäèíàòû (u, v). 2. Âûðàçèòå äëèíó êóñêà êðèâîé r ◦ (u, v) : [a, b] → R2 → R3 ÷åðåç óíêöèè u è v (â îðìóëå ìîæíî èñïîëüçîâàòü íå òîëüêî àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ, íî ïðîèçâîäíûå è èíòåãðàëû) äëÿ r(u, v) = (a) = (cos u, sin u, v) (öèëèíäð ñ öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò). (b) = (v cos u, v sin u, v) (êîíóñ ñ êîíè÷åñêîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò). (ñ) = ((2 + cos v) cos u, (2 + cos v) sin u, sin v) (òîð ñ òîðè÷åñêîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò). (d) = (f (v) cos u, f (v) sin u, h(v)) (ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ). 3. Òåîðåìà. Äëèíà êðèâîé r ◦ (u, v) : [a, b] → R2 → R3 ðàâíà
Z bp ru2 (u′t )2 + 2ru · rv u′t vt′ + rv2 (vt′ )2 dt. a
 ýòîé îðìóëå ïðîïóùåíû àðãóìåíòû t óíêöèé u, v, u′t, vt′ , ru = ru (u(t), v(t)) è àíàëîãè÷íî äëÿ rv . Óãëîì ìåæäó ïåðåñåêàþùèìèñÿ ïàðàìåòðèçîâàííûìè êðèâûìè â èõ îáùåé òî÷êå A íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó èõ êàñàòåëüíûìè â ýòîé òî÷êå. 4. (a) Óãîë ìåæäó ïàðàìåòðèçîâàííûìè êðèâûìè íå çàâèñèò îò èõ ïàðàìåòðèçàöèè. (b) Íàéäèòå óãîë ìåæäó r -îáðàçàìè êðèâûõ v = u + 1 è v = 3 − u äëÿ r(u, v) = (v cos u, v sin u, v 2) (íà ïàðàáîëîèäå z = x2 + y 2).
èìàíîâà ìåòðèêà. Ïðèìåíåíèå ê âíóòðåííèì èçîìåòðèÿì.
1. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé îòîáðàæåíèÿ r : R2 → R3 .
Äëÿ ïîâåðõíîñòè Π è òî÷êè P ∈ Π îáîçíà÷èì ÷åðåç TP = TP,Π êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü ê Π â òî÷êå P . èìàíîâîé ìåòðèêîé (èëè ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé îðìîé) íà Π íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî áèëèíåéíûõ îðì
gP : TP × TP → R (P ∈ Π),
îïðåäåëåííûõ îðìóëîé gP (a, b) = a · b. 27
Íà íåïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè, íå ÿâëÿþùåéñÿ ýëåìåíòàðíîé (íàïðèìåð, íà ñ åðå èëè ëèñòå Ìåáèóñà) ðèìàíîâó ìåòðèêó íåëüçÿ çàäàòü (íàïðèìåð, â êîìïüþòåðå) ñåìåéñòâîì ìàòðèö 2 × 2. èìàíîâà ìåòðèêà íà íåïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè çàäàåòñÿ ñîïîñòàâëåíèåì êàæäîé ïàðàìåòðèçàöèè r : D → R3 íåêîòîðîãî êóñêà ýòîé ïîâåðõíîñòè ñåìåéñòâà ìàòðèö gij (â ñòàíäàðòíîì áàçèñå (0, 1), (1, 0)) áèëèíåéíûõ îðì, ÿâëÿþùèõñÿ îáðàòíûìè r -îáðàçàìè ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà r(D), ò.å. áèëèíåéíûõ îðì îïðåäåëåííûõ îðìóëîé r ′ (X)∗ g(a, b) = r ′ (X)a·r ′(X)b.
r ′ (X)∗ g : R2 ×R2 → R (X ∈ D),
(Ýòè ìàòðèöû äîëæíû áûòü ñâÿçàíû íà ïåðåñå÷åíèÿõ êóñêîâ, êàê â 2f íèæå.) Äàëåå ÷åðåç det g îáîçíà÷àåòñÿ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû gij (íî íå áèëèíåéíîé îðìû g èëè r ′ (X)∗ g ). 2. (a) Òåîðåìà. Ìàòðèöà gij â òî÷êå (u, v) â ñòàíäàðòíîì áàçèñå åñòü ìàòðèöà ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé (ò.å. ìàòðèöà ðàìà) áàçèñà (ru , rv ). (b) Ñëåäñòâèå. Äëèíà îáðàçà êðèâîé γ = (u1 , u2) : [a, b] → D íà ïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè r : D → R3 ðàâíà Z b sX Z bq Z bq ′∗ ′ ′ ′ ′ gij ui uj dt = r gr(γ) (γ , γ ) dt = gr(γ) (r ′ ∗ γ ′ , r ′∗ γ ′ ) dt. a
i,j
a
a
 ýòîé îðìóëå ïðîïóùåíû àðãóìåíòû t óíêöèé γ, u1 , u2 è àðãóìåíò (u1 (t), u2 (t)) óíê′ öèé r ∗ , gij . ( ) Âû÷èñëèòå ìàòðèöó gij â òî÷êå â ñòàíäàðòíîì áàçèñå äëÿ ïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè r(u, v) = (u, v, f (u, v)) (÷åðåç óíêöèþ f è åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå). (d) Òî æå äëÿ ïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (÷åðåç óíêöèè x, y, z è èõ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå). 2 (e) det g = g11 g22 − g12 > 0 â ëþáîé òî÷êå. (f) Òåîðåìà. Äëÿ ðàçíûõ ïàðàìåòðèçàöèé r, re îäíîé íåïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè è ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö g, e g âûïîëíåíî ge = J T gJ , ãäå J = (r −1 ◦ re)′ . 3. (a) Òåîðåìà. Îòîáðàæåíèå ïîâåðõíîñòåé ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé èçîìåòðèåé (ò.å. ñîõðàíÿåò äëèíû êðèâûõ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ïåðåâîäèò ðèìàíîâó ìåòðèêó íà ïåðâîé â ðèìàíîâó ìåòðèêó íà âòîðîé. (b) Äëÿ ïîâåðõíîñòè Π è òî÷êè P ∈ Π îïðåäåëèì óíêöèþ f = fΠ,P : Π → R îðìóëîé f (X) = |P, X|2, ãäå |P, X| ðàññòîÿíèå ïî ïîâåðõíîñòè. Òîãäà f ′ (P ) = 0 è âòîðîé äè åðåíöèàë óíêöèè f ñîâïàäàåò ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé. ( ) Òåîðåìà. Îòîáðàæåíèå ïîâåðõíîñòåé ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé èçîìåòðèåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ. 4. (a) Ïóñòü γ, β : [−1, 1] → D ïàðàìåòðèçîâàííûå êðèâûå, ïðè÷åì γ(0) = β(0) = X . Îáîçíà÷èì (a1 , a2 ) := γ ′ (0) è (b1 , b2 ) := β ′ (0). Òîãäà êîñèíóñ óãëà ìåæäó êðèâûìè r ◦ γ è r ◦ β (íà ïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè r : D → R3 ) â òî÷êå r(X) ðàâåí P ′ gr (r ′ γ ′ , r ′β ′ ) r ∗ g(γ ′, β ′ ) i,j gij ai bj qP p p . = = P r ′ ∗ g(γ ′, γ ′ )r ′ ∗ g(β ′, β ′) gr (r ′ γ ′ , r ′γ ′ )gr (r ′ β ′ , r ′ β ′ ) ( i,j gij ai aj )( i,j gij bi bj ) Çäåñü γ ′ è β ′ áåðóòñÿ â òî÷êå 0, à r, r ′, gij â òî÷êå X . (b) Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò óãëû ìåæäó êðèâûìè. 5. (a) |ru × rv |2 = det g . 28
(b) Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè r(D) ðàâíà
RRp
det(r ∗ g)(u,v) dudv , ãäå (r ∗ g)(u,v) ìàòðèöà
D
îðìû (r ∗ g)(u,v) â áàçèñå (0, 1), (1, 0). 6. (a) Âûðàçèòå rk · rij ÷åðåç gij . (b) Âûðàçèòå ñèìâîëû Êðèñòî åëÿ ÷åðåç ðèìàíîâó ìåòðèêó. ( ) Òåîðåìà. Ïðè èçîìåòðèè ïîâåðõíîñòåé ïàðàìåòðèçîâàííûå ãåîäåçè÷åñêèå ïåðåõîäÿò â ïàðàìåòðèçîâàííûå ãåîäåçè÷åñêèå. (Äîêàæèòå áåç èñïîëüçîâàíèÿ 3b èç ïóíêòà 'ãåîäåçè÷åñêèå'.) (d) Òåîðåìà. Ïðè âíóòðåííåé èçîìåòðèè ïîâåðõíîñòåé ñåìåéñòâî âåêòîðîâ, ïàðàëëåëüíîå âäîëü íåêîòîðîé êðèâîé, ïåðåõîäèò â ñåìåéñòâî âåêòîðîâ, ïàðàëëåëüíîå âäîëü åå îáðàçà. (e) Ñëåäñòâèå. Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò ãàóññîâó êðèâèçíó. Óêàçàíèå ê 3a. Ñíà÷àëà äîêàæèòå äëÿ ýëåìåíòàðíûõ íåïàðàìåòðèçîâàííûõ ïîâåðõíîñòåé. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà â íåòðèâèàëüíóþ ñòîðîíó ïðîäè åðåíöèðóéòå èíòåãðàë, âûðàæàþùèé äëèíó êðèâîé, ïî âåðõíåìó ïðåäåëó, è èñïîëüçóéòå òîæäåñòâî ïîëÿðèçàöèè. Îòâåò ê 6a. Çíàê ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïóñêàåòñÿ.
2ririi = (gii )′i ,
2ri rij = (gii )′j ,
2ri rjj = 2(gij )′j − (gjj )′i ,
ãäå
i 6= j.
Äðóãîé ñïîñîá: gij = ri rj , çíà÷èò 2rk rij = (gki )′j + (gkj )′i − (gij )′k .
Îïåðàòîð êðèâèçíû Âåéíãàðòåíà (âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ îðìà). Îïåðàòîðîì Âåéíãàðòåíà (èëè îïåðàòîðîì îðìû) êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíî-
ñòè Π ⊂ R3 íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ
qeP : TP → TP
(P ∈ Π),
îïðåäåëåííûõ îðìóëîé qeP (u) := −∂n/∂u = −(nγu (t) )′t |t=0 .
Çäåñü γu (t) òàêàÿ êðèâàÿ, ÷òî γu (0) = P è γu′ (0) = u. Ýòà 1 2 Âåéíãàðòåíà çàïèñûâàåòñÿ òàêæå â âèäå ni = −qi r1 − qi r2 .
äåðèâàöèîííàÿ îðìóëà
èñóíîê 7: îïåðàòîð Âåéíãàðòåíà
1. (a) Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò.å. ∂n/∂a ëåæèò â TP è íå çàâèñèò îò âûáîðà êðèâîé γu . (b) Íàéäèòå îïåðàòîð Âåéíãàðòåíà ñ åðû è öèëèíäðà. ( ) Íàéäèòå ìàòðèöó îïåðàòîðà Âåéíãàðòåíà â áàçèñå ru , rv . Âòîðîé êâàäðàòè÷íîé îðìîé êîîðèåíòèðîâàííîé íåïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè Π ⊂ R3 íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî áèëèíåéíûõ îðì qP : TP × TP → R (P ∈ Π),
îïðåäåëåííûõ îðìóëîé qP (a, b) := qeP (a) · b = −b · ∂n/∂a.
(Ôîðìàëüíî, ýòî ñåìåéñòâî ëó÷øå áûëî áû íàçûâàòü âòîðîé áèëèíåéíîé îðìîé). 2. (a) Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ îðìà åäèíè÷íîé ñ åðû ðàâíà ðèìàíîâîé ìåòðèêå. (b) Íàéäèòå âòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ îðìó öèëèíäðà. ( ) Òåîðåìà. Ìàòðèöà âòîðîé êâàäðàòè÷íîé îðìû ïîâåðõíîñòè z = f (x, y), êàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè Oxy â íà÷àëå êîîðäèíàò O = P , â ñòàíäàðòíîì áàçèñå ÿâëÿåòñÿ ãåññèàíîì óíêöèè f . (d) Íàéäèòå ìàòðèöó âòîðîé êâàäðàòè÷íîé îðìû â áàçèñå ru , rv . 3. àññìîòðèì êîîðèåíòèðîâàííóþ ïîâåðõíîñòü Π ⊂ R3 . 29
(a) Ïðîåêöèÿ íà íîðìàëü â òî÷êå P = γ(0) óñêîðåíèÿ ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé γ íà ïîâåðõíîñòè ðàâíà âòîðîé êâàäðàòè÷íîé îðìå îò âåêòîðà ñêîðîñòè ýòîé êðèâîé â òî÷êå P : n · γ ′′ (0) = qP (γ ′ (0), γ ′ (0)). (b) Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå d(ε) : Π → R3 îðìóëîé d(ε)(P ) = P + εn(P ). Òîãäà
d(ε)′P (a) · d(ε)′P (b) − a · b . ε→0 ε
2qP (a, b) = lim
Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ îðìà íà êîîðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè çàäàåòñÿ ñîïîñòàâëåíèåì êàæäîé ïàðàìåòðèçàöèè r : D → R3 êóñêà ýòîé ïîâåðõíîñòè ñåìåéñòâà ìàòðèö qij (â ñòàíäàðòíîì áàçèñå (0, 1), (1, 0)) áèëèíåéíûõ îðì, ÿâëÿþùèõñÿ îáðàòíûìè r -îáðàçàìè âòîðîé êâàäðàòè÷íîé îðìû íà r(D), ò.å. áèëèíåéíûõ îðì ′
r ∗ q : R2 × R2 → R (X ∈ D),
îïðåäåëåííûõ îðìóëîé r ∗ q(a, b) = qr(X) (r ′ a, r ′b), ′
ãäå r ′ áåðåòñÿ â òî÷êå X . (Ìàòðèöû äîëæíû áûòü ñîãëàñîâàíû íà ïåðåñå÷åíèÿõ êóñêîâ.) 4. Âû÷èñëèòå ìàòðèöó qij â ñòàíäàðòíîì áàçèñå äëÿ r(u, v) = (a) (cos u cos v, cos u sin v, sin u); (b) (a cos u cos v, a cos u sin v, c sin u); ( ) ((2 + cos u) cos v, (2 + cos u) sin v, sin u); (d) (f (u) cos v, f (u) sin v, sin u). 5. Òåîðåìà. ëàâíûå êðèâèçíû è íàïðàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè è íàïðàâëåíèÿìè îïåðàòîðà Âåéíãàðòåíà (èëè ïàðû ïåðâîé è âòîðîé êâàäðàòè÷íûõ îðì g è q , ò.å. êîðíÿìè óðàâíåíèÿ det(g − λq) = 0). ëàâíûìè êðèâèçíàìè è ãëàâíûìè íàïðàâëåíèÿìè ìíîãîìåðíîé ïîâåðõíîñòè íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû åå îïåðàòîðà Âåéíãàðòåíà (êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî). 6. Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè èçâåñòíûõ Âàì òåîðåì î ãëàâíûõ êðèâèçíàõ è íàïðàâëåíèÿõ äëÿ òðåõìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé â R4 . 7.* Ïóñòü qij ìàòðèöà âòîðîé êâàäðàòè÷íîé îðìû â ñòàíäàðòíîì áàçèñå. (a) Äåðèâàöèîííûå îðìóëû àóññà. rij = Γ1ij r1 + Γ2ij r2 + qij n [Ra03 (528)℄. (b) Òåîðåìà Áîííå. Äâå ýëåìåíòàðíûå íåïàðàìåòðèçîâàííûå ïîâåðõíîñòè â R3 îáúåìëåìî èçîìåòðè÷íû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè èìåþò ïàðàìåòðèçàöèè, èíäóöèðóþùèå îäèíàêîâûå ïåðâûå è âòîðûå êâàäðàòè÷íûå îðìû (èëè îäèíàêîâûå ðèìàíîâû ìåòðèêè è îïåðàòîðû Âåéíãàðòåíà) [Ra03, 81℄. Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòå òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííûõ èç äåðèâàöèîííûõ îðìóë àóññà è Âåéíãàðòåíà. Çàìåòèì, ÷òî ðåàëèçóþòñÿ íå âñå ïàðû îðì, à òîëüêî óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì àóññà è Ïåòåðñîíà-Êîäàööè [Ra03, 82,83℄. Óêàçàíèå ê 3a. Äîêàçàíî â òåìå 'ãëàâíûå êðèâèçíû'.
Áèëèíåéíàÿ îðìà êðèâèçíû è÷÷è.  ýòîì ïóíêòå Π ⊂ Rm ïîâåðõíîñòü ðàçìåðíîñòè n. Äëÿ P ∈ Π îïðåäåëèì (ãåîäåçè÷åñêîå) ýêñïîíåíöèàëüíîå
exp = exp P : X → Π îðìóëîé 30
îòîáðàæåíèå
exp(u) := γP,u (1),
′ ãäå γP,u : [−1, 1] → Π òà ãåîäåçè÷åñêàÿ, äëÿ êîòîðîé γP,u (0) = P è γP,u (0) = u. Çäåñü X ⊂ TP ìíîæåñòâî òåõ âåêòîðîâ u, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåíî γP,u (1). èñóíîê 8: ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå è êâàäðàòè÷íàÿ îðìà è÷÷è
1. (a) Äëÿ åäèíè÷íîé
ñ åðû S 2 ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèè T(1,0,0) → S 2 ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ïåðåõîäÿò â ñ åðè÷åñêèå: exp(1, ρ, ϕ) = (cos ρ, sin ρ cos ϕ, sin ρ sin ϕ). (b) Îáîáùèòå ýòîò ðåçóëüòàò äëÿ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ. 2. (a) Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç P , ïåðåõîäèò ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèè expP â ãåîäåçè÷åñêóþ. (b) Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîâåðõíîñòè è òî÷êè íà íåé îáðàç ëþáîé ïðÿìîé ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèè ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé? ( ) Îáðàçîì øàðà (â TP ) ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â P ïðè ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèè expP ÿâëÿåòñÿ øàð (íà ïîâåðõíîñòè) ðàäèóñà R. (d) Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîâåðõíîñòè è òî÷êè íà íåé îáðàç ëþáîãî øàðà ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèè ÿâëÿåòñÿ øàðîì? 3. (a) Ñèñòåìà êîîðäèíàò ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ exp ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâîé â òî÷êå P , ò.å. gij (P ) = δij è gij′ (P ) = 0. (b) Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå: åñëè f : Π → Π1 âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ, òî expf (P ) (f ′ (P )u) = f (expP u). 4. Íàïîìíèì, ÷òî ñêàëÿðíîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå P íàçûâàåòñÿ ÷èñëî Vn Rn − VΠ,P (R) τ = τΠ,P := 6(n + 2) lim , ãäå VΠ,P (R) îáúåì øàðà íà Π ðàäèóñà R ñ R→0 Vn Rn+2 öåíòðîì â òî÷êå P ∈ P . (a) Äîêàæèòå, ÷òî òàêîé ïðåäåë ñóùåñòâóåò. (b) Âûðàçèòå ñêàëÿðíóþ êðèâèçíó ÷åðåç gij,kl (ãäå íèæíèå èíäåêñû k è l îçíà÷àþò äè åðåíöèðîâàíèå ïî k è l). Áèëèíåéíàÿ îðìà è÷÷è îïèñûâàåò èñêàæåíèå îáúåìà ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèè. Áèëèíåéíîé îðìîé (òåíçîðîì) è÷÷è n-ìåðíîé ïîâåðõíîñòè Π ⊂ Rm â òî÷êå P ∈ Π íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ñèììåòðè÷íàÿ áèëèíåéíàÿ îðìà ρ = ρP : TP × TP → R, ÷òî Z 1 ρ(u, u)du + O(hn+3 ) ïðè h = diam(A ∪ P ) → 0 V (exp(A)) = V (A) − 6 A ïî èçìåðèìûì ìíîæåñòâàì A ⊂ TP . Èëè, ýêâèâàëåíòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî åäèíè÷íîãî n-ìåðíîãî êóáà A ⊂ TP ñ âåðøèíîé â P âûïîëíåíî Z hn+2 n ρ(u, u)du + O(hn+3 ) ïðè h → 0. V (exp(hA)) = h − 6 A Àíàëîãè÷íàÿ îðìóëà ñïðàâåäëèâà ñ çàìåíîé êóáà A íà ëþáîå èçìåðèìîå ìíîæåñòâî A ⊂ TP è hn íà hn V (A) (hn+2 è hn+2 íå ìåíÿþòñÿ). 5. (a) Òàêàÿ ñèììåòðè÷íàÿ áèëèíåéíàÿ îðìà ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà. (b) Âûðàçèòå áèëèíåéíóþ îðìó è÷÷è ÷åðåç gij,kl. ( ) Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò áèëèíåéíóþ îðìó è÷÷è. Ïóñòü B n åäèíè÷íûé øàð â Rn è Vn åãî n-ìåðíûé îáúåì. 6. Äëÿ ñèììåòðè÷íîé áèëèíåéíîé îðìû ω : Rn × Rn → R (a) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåíåí îïåðàòîð ω e : Rn → Rn , äëÿ êîòîðîãî ω e (u) · v = ω(u, v). 31
R P (b) R(n + 2) Bn ω(u, u)du = VnP tr ω e = Vn i ω(ei , ei ). ( ) A ω(u, u)du = 31 tr ω e + 14 i<j ω(ei, ej ), åñëè êóá A íàòÿíóò íà îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ e1 , . . . , en . 7. (a) Òåîðåìà.P τ = tr ρe. (b) 2ρP (u, u) = i τexpP hu,ei i,P , ãäå |u| = 1 è e1 , . . . , en−1 îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â îðòîãîíàëüíîì äîïîëíåíèè ê u â TP [BBB06℄ è hu, ei i äâóìåðíàÿ ïëîñêîñòü â TP , íàòÿíóòàÿ íà âåêòîðû u è ei . P ( ) Åñëè e1 , . . . , en îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â TP , òî τΠ,P = i<j τexpP hei ,ej i,P . (d)* Òåîðåìà. Äëÿ äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè â Rm èìååì Z τ S(exp(A)) = S(A) − u2 du + o(h4 ) ïðè h = diam(A ∪ P ) → 0 12 A
ïî èçìåðèìûì ìíîæåñòâàì A ⊂ TP . Èíûìè ñëîâàìè, áèëèíåéíàÿ îðìà è÷÷è ïðîïîðöèîíàëüíà ðèìàíîâîé ìåòðèêå ñ êîý èöèåíòîì τ /2: 2ρ(u, v) = τ u · v [Gr90, MF04, Ra04℄. Âû÷èñëèòåëüíûå îðìóëû äëÿ áèëèíåéíîé îðìû è÷÷è ïîÿâÿòñÿ äàëåå. Óêàçàíèå ê çàäà÷å 3a. Âîçüìåì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ v1 , . . . , vn â TP . Îáîçíà÷èì e := expP . Òîãäà gij = ei · ej . Çäåñü è äàëåå øòðèõîì îáîçíà÷àåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî u, à íèæíèì èíäåêñîì àðãóìåíò. Òàê êàê ei = vi â òî÷êå P (ò.å. e′P = E ), òî gij (P ) = δij . Òàê êàê γ(t) := e(at, bt, 0, . . . , 0) ãåîäåçè÷åñêàÿ äëÿ ëþáûõ a è b, òî (a2 e11 + 2abe12 + b2 e22 ) · ek = 0 äëÿ ëþáîãî k . Îòñþäà e11 · ek = e12 · ek = e22 · ek = 0. Àíàëîãè÷íî eij · ek = 0 äëÿ ëþáûõ i, j, k . Òîãäà â ýòîì áàçèñå (gij )′k = (ei · ej )′k = eik · ej + ejk · ei = 0. Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâà gij′ = 0. Òàê êàê γu (t) := e(ut) ãåîäåçè÷åñêàÿ, òî e′′P (u, u) = γu′′ (0) ⊥ TP äëÿ ëþáîãî u ∈ TP . Òîãäà e′′P (u, v) ⊥ TP äëÿ ëþáûõ u, v ∈ TP . Çíà÷èò,
(g(u, v))w = (e′P u · e′P v)′w = e′′P (u, w) · e′P v + e′P u · e′′P (v, w) = 0. àâåíñòâî gij′ (P ) = 0 ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî â ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè P ñ òî÷íîñòüþ äî o(ε) ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ êîììóòèðóåò ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì îòîáðàæåíèåì èëè e′u îðòîãîíàëåí. Óêàçàíèå ê çàäà÷å 4. (a) Âîçüìåì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ v1 , . . . , vn â TP . Ïîñêîëüêó ãåîäåçè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò åâêëèäîâà (3a), òî gij (u) = δij + o(|u|). Ïîýòîìó det gij (u) = 1 + o(|u|). Çíà÷èò, Z q VΠ,P (R) = det gij (u)du = Vn Rn + o(Rn+1 ). Çàìå÷àíèå.
B(R)
Ââèäó áåñêîíå÷íîé äè åðåíöèðóåìîñòè óíêöèè VΠ,P P(R) ïîëó÷àåì íóæíîå. (b) Àíàëîãè÷íî, íà÷èíàÿ ñ ðàâåíñòâà gij (u) = δij + k,l gij,kl uk ul + o(|u|2). Óêàçàíèå ê çàäà÷àì 5ab. Âîçüìåì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ v1 , . . . , vn â TP . (a) Ïîñêîëüêó ãåîäåçè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò åâêëèäîâà (3a), òî gij (u)p p p R = δij + o(|u|). Ïîýòîìó det gij (u) = 1 + o1 (|u|) = 1 + o2 (|u|). Òàê êàê V (exp(A)) = A det gij (u)du, òî ââèäó áåñêîíå÷íîé äè åðåíöèðóåìîñòè óíêöèè V (exp(hA)) ïîëó÷àåì íóæíîå. (b) Ïîñêîëüêó ãåîäåçè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò åâêëèäîâà P (3a), òî gij (u) = δij +Rij (u, u)+ 2 o(|u| ), ãäå Rij êâàäðàòè÷íàÿ îðìà ïî u (Rij (u, u) = k,l gij,kl uk ul ). Ïîýòîìó
det gij (u) = 1 +
X
Rii (u, u) + o(|u|2 ) = 1 +
i
32
1X Rii (u, u) + o(|u|2). 2 i
R p Òàê êàê V (exp(A)) = A det Pgij (u)du, òî îðìóëà èç îïðåäåëåíèÿ áèëèíåéíîé îðìû è÷÷è âåðíà äëÿ ρ(u, v) := 12 i Rii (u, u). Çàìå÷àíèå ê çàäà÷å 5a. Èñïîëüçóåì óêàçàíèå ê çàäà÷å 3a. Ïîñêîëüêó ãåîäåçè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò åâêëèäîâà, òî ïî îðìóëå Òåéëîðà e′u vi = vi +
e′′′ P uu vi + o(|u|2), 2
′′′ 2Rij (u, u) = vj · e′′′ P uu vi + vi · eP uu vj
è 2ρ(u, u) =
X i
vi · e′′′ P uu vi .
Îáúÿñíèì ñìûñë îðìóëû Òåéëîðà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç [L, L′ ] âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ èç âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà L â âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî L′ (âñå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà ðàññìàòðèâàþòñÿ íàä R). Òîãäà e′ : TP → [TP , TP ] (e′ íå îáÿçàòåëüíî ëèíåéíî). Çíà÷èò, e′′u : TP → [TP , TP ] ëèíåéíûé îïåðàòîð, èëè îòîáðàæåíèå e′′u : TP × TP → TP , ëèíåéíîå ïî âòîðîìó àðãóìåíòó. Òîãäà e′′ : TP → [TP , [TP , TP ]] (e′′ íå îáÿçàòåëüíî ëèíåéíî). Ïîýòîìó e′′′ u : TP → [TP , [TP , TP ]] ëèíåéíûé îïåðàòîð, èëè 3 : (T ) → T îòîáðàæåíèå e′′′ , ëèíåéíîå ïî âòîðîìó è òðåòüåìó àðãóìåíòàì. P P u Óêàçàíèå ê çàäà÷å 7. (a) Ñëåäóåò èç 6b. ( ) Ñëåäóþò èç 7ab. (d) Èç çàäà÷ 1a è 6d ñëåäóþùåé òåìû âûòåêàåò ρ = σg , ò.å. ρe = σE . Îòñþäà è èç τ = tr ρe (7a) ïîëó÷àåì τ = 2σ è 2ρ = τ g . Áûëî áû èíòåðåñíî íàéòè ïðÿìîå äîêàçàòåëüñòâî (ñð. ñ 5a).
Òåíçîð êðèâèçíû èìàíà.
 ýòîì ïóíêòå Π ⊂ R ïîâåðõíîñòü ðàçìåðíîñòè n. Ïóñòü A ⊂ TP îáëàñòü ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé, ñîäåðæàùåé òî÷êó P . Îáîçíà÷èì ÷åðåç σ(A) : TP → TP ëèíåéíûé îïåðàòîð, ñîïîñòàâëÿþùèé âåêòîðó x ∈ TP âåêòîð, ïîëó÷åííûé èç x ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì âäîëü îðèåíòèðîâàííîé êðèâîé expP (∂A). Îïåðàòîðîì ñåêöèîííîé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå P ∈ Π, îòâå÷àþùèì ïàðå u, v ∈ TP ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ, íàçûâàåòñÿ òàêîé ëèíåéíûé îïåðàòîð R(u, v) = R(u, v)P : TP → TP , ÷òî äëÿ ïàðàëëåëîãðàììà Au,v , íàòÿíóòîãî íà u, v , èìååì σ(hAu,v ) = E + h2 R(u, v) + o(h2 ) ïðè h → 0. m
Çäåñü îðèåíòèðîâàííàÿ êðèâàÿ ∂Au,v âûõîäèò èç P â íàïðàâëåíèè âåêòîðà u. Åñëè u è v ëèíåéíî çàâèñèìû, òî ïîëîæèì R(u, v) = 0. èñóíîê 9: îïåðàòîð ñåêöèîííîé êðèâèçíû
Îáîçíà÷èì ÷åðåç RPα : TP → TP ïîâîðîò íà α îòíîñèòåëüíî òî÷êè P .  çàäà÷àõ 1 è 2 íàäî, â ÷àñòíîñòè, äîêàçàòü, ÷òî R(u, v) ñóùåñòâóåò.
1. (a) Äëÿ n = 2 èìååì σ(hAu,v ) = RPS(exp(hAu,v )) . π/2
(b) Äëÿ n = 2 èìååì R(u, v)P = (σP u ∧ v)RP . ( ) Ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå âäîëü êðèâîé, ëåæàùåé íà äâóìåðíîé ïîäïîâåðõíîñòè â íàøåé ïîâåðõíîñòè, ïàðàëëåëüíîñòü ê ïîäïîâåðõíîñòè êàñàòåëüíîãî ê ïîâåðõíîñòè âåêòîðà íå îáÿçàòåëüíî ñîõðàíÿåòñÿ. (d)* u · R(u, v)v = σ(exp hu, vi)u ∧ v . (×èñëî σ(exp hu, vi) íàçûâàåòñÿ ñåêöèîííîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå P , îòâå÷àþùåé ïàðå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ u, v .)
2. (a) Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ n = 3 âûïîëíåíî R(u, v) = σ(exp hu, vi)u ∧ vRPπ/2 ◦ prhu,vi, ãäå
pr : TP → hu, vi îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ?
33
(b) Äëÿ ñòàíäàðòíîé ñ åðû S n = {x20 + · · · + x2n = 1} â òî÷êå (0, . . . , 0, 1) âûïîëíåíî R(u, v)w = u(v · w) − v(u · w), ãäå u, v, w êàñàòåëüíûå âåêòîðû ê S n . 3. (a)* Îïåðàòîð R(u, v) ñåêöèîííîé êðèâèçíû ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåíåí. (b) Îí ëèíåéíî çàâèñèò îò u, v . ( ) Òåîðåìà. σ(A) = E +S(A)R(u, v)+o(S(A)) ïðè diam A → 0 ïî îáëàñòÿì A ⊂ TP ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé, ñîäåðæàùåé òî÷êó P . (d) Âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ñîõðàíÿåò îïåðàòîð ñåêöèîííîé êðèâèçíû.
4. Òåîðåìà î ñèììåòðèÿõ òåíçîðà èìàíà.
(a) R(u, v) êîñîñèììåòðè÷åí, ò.å. [R(u, v)x] · y = −[R(u, v)y] · x. (b) R(u, v) êîñîñèììåòðè÷åí ïî u, v : R(u, v) = −R(v, u). ( ) Òîæäåñòâî Áüÿíêè (àëãåáðàè÷åñêîå). R(u, v)x + R(v, x)u + R(x, u)v = 0. (d) [R(u, v)x] · y = [R(x, y)u] · v . 5. Òåîðåìà. (a) Ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî òàêîå 4-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå R = RP : (TP )4 → R, ÷òî exp ′ (u)x · exp ′ (u)y = x · y + 31 R(u, x, u, y) + o(|u|2) ïðè ëþáûõ ïîñòîÿííûõ x, y ∈ TP . Çäåñü exp′ (u) : TP → Texp(u) . eP : (TP )3 → TP , ÷òî (b) Ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî òàêîå òðèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå R eP (u, x, v) · y = RP (u, x, v, y). R ( )* RP (u, x)v · y = RP (u, x, v, y). (Ýòî äàåò ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà ñåêöèîííîé êðèâèçíû è, çíà÷èò, òåíçîðà êðèâèçíû èìàíà, ñì. íèæå. Èìåííî òàê åãî îïðåäåëÿë èìàí [Ca28, 9.1, ñòð. 204℄.) (d)  ñèñòåìå êîîðäèíàò ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ Rijkl = gij,kl . (e) Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkl äëÿ ïîâåðõíîñòè r : D → Π â áàçèñå (rx , ry ). 6.* (a) [MF04, Ra04℄ Òåîðåìà. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íà ýëåìåíòàðíóþ n-ìåðíóþ ïîâåðõíîñòü ðàâíîñèëüíû: (1) îíà èçîìåòðè÷íà íåêîòîðîé ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà Rn ; (2) ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó ïåðåâîäèò êàæäûé âåêòîð â ñåáÿ; (3) âñå åå îïåðàòîðû ñåêöèîííîé êðèâèçíû â ëþáîé òî÷êå íóëåâûå (èëè îäèí òåíçîð êðèâèçíû èìàíà íóëåâîé, ñì. íèæå). (b) Åñëè íà îäíîñâÿçíîé ïîâåðõíîñòè âûïîëíåíî (3), òî ïîâåðõíîñòü ïàðàëëåëèçóåìà. Òåíçîðîì êðèâèçíû èìàíà â òî÷êå P íåïàðàìåòðèçîâàííîé (ìíîãîìåðíîé) ïîâåðõíîñòè Π ⊂ Rm íàçûâàåòñÿ òðèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå
R : (TP )3 → TP ,
îïðåäåëåííîå îðìóëîé R(u, v, x) := R(u, v)x.
i 7. (a) Âû÷èñëèòå êîìïîíåíòû Rjkl íà äâóìåðíîé ñ åðå â ñ åðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ. (b) Òåîðåìà. Äëÿ äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè â Rm òåíçîð èìàíà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç π/2
ðèìàíîâó ìåòðèêó è ñåêöèîííóþ êðèâèçíó: R(u, v, x) = σu ∧ vRP (x). (Èëè, â ñèñòåìå êîîðäèíàò ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ, R1212 = σ det(gij ); îñòàëüíûå êîìïîíåíòû íóëåâûå èëè ðàâíû ±R1212 ââèäó ñèììåòðèé òåíçîðà èìàíà.) ( ) Òåîðåìà. Äëÿ òðåõìåðíîé ïîâåðõíîñòè â Rm òåíçîð èìàíà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ðèìàíîâó ìåòðèêó è áèëèíåéíóþ îðìó è÷÷è:
τ R(u, v)x = ρ(u, x)v − ρ(v, x)u + (u · x)e ρ(v) − (v · x)e ρ(u) + [(v · x)u − (u · x)v]. 2 P (d)* Òåîðåìà. Áèëèíåéíàÿ îðìà è÷÷è ðàâíà ñâåðòêå òåíçîðà èìàíà: ρ(u, v) = i R(ei , u)v· ei . 34
 îïðåäåëåíèè îïåðàòîðà ñåêöèîííîé êðèâèçíû (è íåêîòîðûõ çàäà÷àõ ýòîãî, íî íå ïðåäûäóùåãî, ïóíêòà) ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå ìîæíî çàìåíèòü íà ïðîèçâîëüíîå îòîáðàæåíèå f : A → Π (A ⊂ TP ), äëÿ êîòîðîãî f (tv)′t |t=0 = v ïðè ëþáîì v ∈ A (ââèäó ãëàäêîñòè äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ äëÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ). Íàïðèìåð, íà îòîáðàæåíèå, ëîêàëüíî îáðàòíîå ïðîåêöèè íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü. Óêàçàíèå ê çàäà÷å 1. (a) Ïî òåîðåìå Egregium àóññà. (b) Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïóíêòó S(exp(hAu,v )) = h2 u ∨ v + o(h2 ). ( ) àññìîòðèòå ñ åðó â R3 (èëè îêðóæíîñòü â R2 ). Óêàçàíèÿ ê çàäà÷å 3a. Âîçüìåì 'åñòåñòâåííóþ' êðèâóþ γ : [0, 4h] → D , äëÿ êîòîðîé P γ(0) = γ(4h) = P è γ[0, 4h] = expP (h∂Au,v ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç w(t) = i ai (t)ri (γ(t)) ðåçóëüòàò ïåðåíîñà âåêòîðà w(0) âäîëü îòðåçêà γ[0, t]. Äàëåå ïðîïóñêàåì àðãóìåíò t óíêöèé w(t), a(t), γ(t) è èõ ïðîèçâîäíûõ, à òàêæå àðãóìåíò γ(t) îòîáðàæåíèé ri è dri = ri′ . Äàëåå øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî t. Íàïîìíèì, ÷òî ri′ (γ(t)) : Rn → Tγ(t) ëèíåéíûé îïåðàòîð. Äëÿ ëþáîãî j èìååì
0 = w ′ · rj =
X i
[a′i ri · rj + ai (ri′ γ ′ ) · rj ].
Äëÿ èêñèðîâàííîé ïàðàìåòðèçàöèè r ýòî óðàâíåíèå ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå a′ = Fγ (γ ′ )a, ãäå FP (x) : Rn → Rn ëèíåéíûé îïåðàòîð. Òîãäà w(1) = R 4h exp[− 0 Fγ (γ ′ )dt]w(0). Èìååì
Z4h 0
Fγ (γ ′ )dt =
Zh 0
Fvh−vt (v)dt +
Zh
Fuh+vh−ut (u)dt −
0
Zh 0
Fuh+vt (v)dt −
Zh
Fut (u)dt.
0
Òåïåðü íóæíîå óòâåðæäåíèå ïîëó÷àòñÿ ïóòåì âçÿòèÿ íà÷àëüíûõ ÷ëåíîâ ðÿäà Òåéëîðà ýêñïîíåíòû îïåðàòîðà è îïåðàòîðà FP (x). Óêàçàíèå ê çàäà÷å 3d. Èñïîëüçóéòå èíâàðèàíòíîñòü ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. Óêàçàíèå ê çàäà÷å 4. (a) Îïåðàòîð σ(A) îðòîãîíàëåí. (b) Èìååì σ(Av,u )σ(Au,v ) = E . àçëàãàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî o(h2 ) ïîëó÷àåì òðåáóåìîå. (e) Ñëåäóåò èç 4ab . Óêàçàíèå ê çàäà÷å 5. (a) Ñëåäóåò èç åâêëèäîâîñòè ìåòðèêè. (b) Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü äëÿ (u, v, x, y) = (hek , hel , ei , ej ). Èñïîëüçóéòå 1b è 2a. Óêàçàíèå ê çàäà÷å 7. (a) Èñïîëüçóéòå 7b. (b) Âûòåêàåò èç 1a. ( ) Âûòåêàåò èç 2a è 7d. (d) Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü äëÿ (u, v) = (ek , el ). Èñïîëüçóéòå 1b, 2a, τ = 2σ è âûðàæåíèå êâàäðàòè÷íîé îðìû è÷÷è ÷åðåç ñêàëÿðíûå êðèâèçíû. Äðóãîå óêàçàíèå. Ïîñêîëüêó ãåîäåçè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò åâêëèäîâà, òî gij (u) = δP + Rij (u, u) + o(|u|2). Èç ðåøåíèÿ çàäà÷è 3a ïðåäûäóùåãî ïóíêòà ïîëó÷àåì 2ρ(u, u) := ij i Rii (u, u). Ïîýòîìó íóæíîå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç 5b.
35
ÊÎÂÀ ÈÀÍÒÍÎÅ ÄÈÔÔÅ ÅÍÖÈ ÎÂÀÍÈÅ Ïðèìåðû òåíçîðíûõ ïîëåé. Ñîáèðàþòñÿ, ñòÿãèâàþòñÿ ñ ðàçíûõ ìåñò âûçûâàåìûå ïðåäìåòû, ïðè÷åì èíûì ïðèõîäèòñÿ ïðåîäîëåâàòü íå òîëüêî äàëü, íî è äàâíîñòü... Â. Íàáîêîâ, Êîðîëåê.
íà ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ vP ∈ TP (P ∈ Π), íåïðåðûâíîå ïî P . 1. Íà ñ åðå áåç ñåâåðíîãî è þæíîãî ïîëþñîâ çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå. Ïðè ñòåðåîãðà è÷åñêîé ïðîåêöèè èç ñåâåðíîãî ïîëþñà (òî÷íåå, ïðè îòîáðàæåíèè, èíäóöèðîâàííîì ýòîé ïðîåêöèåé) ýòî ïîëå ïåðåõîäèò â ïîñòîÿííîå âåêòîðíîå ïîëå íà ïëîñêîñòè. Îáÿçàòåëüíî ëè ýòî ïîëå ïåðåõîäèò â ïîñòîÿííîå âåêòîðíîå ïîëå íà ïëîñêîñòè ïðè ñòåðåîãðà è÷åñêîé ïðîåêöèè èç þæíîãî ïîëþñà? (Êàñàòåëüíûì) îïåðàòîðíûì ïîëåì íà ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ AP : TP → TP (P ∈ Π), íåïðåðûâíîå ïî P . (Êàñàòåëüíûì) êîâåêòîðíûì ïîëåì íà ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî êîâåêòîðîâ (=ëèíåéíûõ óíêöèîíàëîâ) ϕP : TP → R (P ∈ Π), íåïðåðûâíîå ïî P . Ïîëåì áèëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé (= îðì) íà ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî áèëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé ωP : TP × TP → R (P ∈ Π), íåïðåðûâíîå ïî P . Ïîëåì k -ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé (= îðì) íà ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî k ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé ωP : (TP )k → R (P ∈ Π), íåïðåðûâíîå ïî P . 2. Ñóùåñòâóåò ëè íà òîðå ïîëå (a) íåíóëåâûõ âåêòîðîâ? (b) íåíóëåâûõ êîâåêòîðîâ? (ñ) íåâûðîæäåííûõ îïåðàòîðîâ? (d) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ ñèììåòðè÷íûõ áèëèíåéíûõ îðì (áèëèíåéíàÿ îðìà B : V × V → R íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, åñëè B(a, a) > 0 äëÿ ëþáîãî a ∈ V − {0})? (e) íåâûðîæäåííûõ êîñîñèììåòðè÷íûõ áèëèíåéíûõ îðì (áèëèíåéíàÿ îðìà B : V × V → R íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé, åñëè äëÿ ëþáîãî a ∈ V − {0} íàéäåòñÿ òàêîé x ∈ V , ÷òî B(a, x) 6= 0)? (f)* îïåðàòîðîâ IP : TP → TP , äëÿ êîòîðûõ IP2 = −E ? 3. (ab def) Òî æå äëÿ ëèñòà Ìåáèóñà. 4. (a)* Òåîðåìà î åæå. Íà ñ åðå íå ñóùåñòâóåò êàñàòåëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ èç (Êàñàòåëüíûì) âåêòîðíûì ïîëåì
íåíóëåâûõ âåêòîðîâ.
(b) Âûâåäèòå èç (a), ÷òî íà ñ åðå íå ñóùåñòâóåò êàñàòåëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ èç íåíóëåâûõ âåêòîðîâ. (def) Òî æå, ÷òî â 2def, äëÿ ñ åðû S 2 . 5. (abef) Òî æå äëÿ ñ åðû S 3 = {(x, y, z, w) ∈ R4 | x2 + y 2 + z2 + w2 = 1}, ïëþñ (g) íåâûðîæäåííûõ òðèëèíåéíûõ îðì; (h) íåâûðîæäåííûõ âåêòîðíûõ ïðîèçâåäåíèé. Îòâåò ê çàäà÷àì 2a, 3a è 5a. Äà. Óêàçàíèå ê ïóíêòàì (b) âñåõ çàäà÷. Åñëè {vP } âåêòîðíîå ïîëå, òî êîâåêòîðíîå ïîëå ìîæíî îïðåäåëèòü îðìóëîé ϕP (u) := u · vP . Óêàçàíèå ê ïóíêòàì ( ) âñåõ çàäà÷. Äà, AP (v) := v . 36
Äà, BP (u, v) := u · v . Óêàçàíèå ê çàäà÷àì 2e è 4e. Äà. Âîçüìèòå îðèåíòèðîâàííóþ ïëîùàäü. Óêàçàíèå ê çàäà÷àì 2f è 4f. Äà. Âîçüìèòå ïîâîðîò êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè íà π/2 îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé îðèåíòàöèè òîðà èëè ñ åðû. Îòâåò ê çàäà÷àì 3ef è 5e. Íåò. Óêàçàíèå ê çàäà÷àì 2 è 5. Ïîñòðîéòå äâà èëè òðè âåêòîðíûõ ïîëÿ, ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ â êàæäîé òî÷êå. Òîãäà íóæíûå îáúåêòû äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü â îäíîé òî÷êå. Óêàçàíèå ê ïóíêòàì (d) âñåõ çàäà÷.
Êîâàðèàíòíîå äè åðåíöèðîâàíèå óíêöèé.
0. Äëÿ óíêöèè f : R2 → R íàïèøèòå îïðåäåëåíèÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé, ïðîèçâîäíîé
â íàïðàâëåíèè âåêòîðà (a, b), ãðàäèåíòà è ïðîèçâîäíîé âñå â òî÷êå (x0 , y0 ). Èìåþò ëè ýòè îïðåäåëåíèÿ ñìûñë äëÿ óíêöèè f : S 2 → R? Çäåñü è äàëåå Π ⊂ Rm ïîâåðõíîñòü è f : Π → R óíêöèÿ. Äëÿ P ∈ Π è u ∈ TP ÷åðåç γu = γu,P : [−1, 1] → Π îáîçíà÷àåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ êðèâàÿ, äëÿ êîòîðîé γu (0) = P è γu′ (0) = u. Ïðîèçâîäíîé óíêöèè f : Π → R â òî÷êå P ∈ Π ïî íàïðàâëåíèþ êàñàòåëüíîãî âåêòîðà u ∈ TP (òî÷íåå, ïî êàñàòåëüíîìó âåêòîðó u ∈ TP ) íàçûâàåòñÿ ÷èñëî (∇u f )P := [f (γu (t))]′t |t=0 . 1. (a) Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé êîððåêòíî, ò.å. íå çàâèñèò îò âûáîðà êðèâîé γu . ( åêîìåíäóåòñÿ ñíà÷àëà ðåøèòü ñëåäóþùèå ïóíêòû â ïðåäïîëîæåíèè êîððåêòíîñòè.) (b) Çàäàäèì óíêöèþ f : S 2 → R îðìóëîé f (P ) = sin ∠P OZ , ãäå Z = √ (0, 0, 1) è O = (0, 0, 0). Íàéäèòå ïðîèçâîäíóþ ýòîé óíêöèè â òî÷êå (x, y, z) = (1/2, 0, 3/2) ïî íàïðàâëåíèþ êàñàòåëüíîãî âåêòîðà (0, 1, 0). ( ) ∇u (f1 + f2 ) = ∇u f1 + ∇u f2 . (d) ∇u (f g) = (∇u f )g + f ∇u g . (e) Ïóñòü r : D → Π ïàðàìåòðèçàöèÿ ïîâåðõíîñòè. Âûðàçèòå (∇u f )P ÷åðåç êîîðäèíàòû (a, b) âåêòîðà u â áàçèñå (rx , ry ). Ïðîèçâîäíîé (=äè åðåíöèàëîì) óíêöèè f : Π → R íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî (=ïîëå) ∇f êîâåêòîðîâ (=ëèíåéíûõ óíêöèîíàëîâ)
{(∇f )P }P ∈Π ,
çàäàííûõ îðìóëîé (∇f )P (u) := (∇u f )P .
2. (a) Îòîáðàæåíèå (∇f )P : TP → R äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì óíêöèîíàëîì, ò.å. (∇f )P (λa + µb) = λ(∇f )P (a) + µ(∇f )P (b). (b) Íàéäèòå êîîðäèíàòû ïðîèçâîäíîé óíêöèè èç çàäà÷è 1b â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå P ñ åðû è íåêîòîðîì áàçèñå â TP∗ (âûáåðèòå è óêàæèòå áàçèñ ñàìè). ( ) ∇(f1 + f2 ) = ∇f1 + ∇f2 . (d) ∇(f g) = (∇f )g + f ∇g . (e) Ïóñòü r : D → Π ïàðàìåòðèçàöèÿ ïîâåðõíîñòè. Íàéäèòå êîîðäèíàòû ëèíåéíîãî óíêöèîíàëà (∇f )P â áàçèñå (rx , ry )P . (f) Ïóñòü ϕ : D → D çàìåíà êîîðäèíàò. Âûðàçèòå áàçèñ (ϕ ◦ r)x , (ϕ ◦ r)y ÷åðåç ïðîèçâîäíóþ îòîáðàæåíèÿ ϕ è áàçèñ rx , ry . (g) Êàê ïðåîáðàçóþòñÿ êîîðäèíàòû ïðîèçâîäíîé ïðè çàìåíå êîîðäèíàò ϕ : D → D ? 3. (a) Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé êàñàòåëüíûé âåêòîð ãðàäèåíòà (grad f )P â òî÷êå P , äëÿ êîòîðîãî (∇u f )P = u · (grad f )P ïðè ëþáîì u. 37
(b) Çàïèøèòå ãðàäèåíò óíêöèè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ â R2 , â ñ åðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ íà ñ åðå S 2 è â ñ åðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ â R3 (ïîñëåäíåå äëÿ óíêöèè f : R3 → R). ( ) Íàïðàâëåíèå íàèáîëüøåãî ðîñòà óíêöèè â íåêîòîðîé òî÷êå çàäàåòñÿ âåêòîðîì åå ãðàäèåíòà â ýòîé òî÷êå. (d) Ëèíèåé óðîâíÿ óíêöèè f : Π → R íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî f −1 (c), ãäå c ∈ R. ðàäèåíò ïåðïåíäèêóëÿðåí ëèíèè óðîâíÿ. (e) Êàê ïðåîáðàçóþòñÿ êîîðäèíàòû ãðàäèåíòà ïðè çàìåíå êîîðäèíàò? (f) Çàïèøèòå â ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îðìóëó äëÿ ïðîèçâîäíîé óíêöèè f â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ãðàäèåíòà óíêöèè g . ′ ′ Óêàçàíèÿ ê 1. γu (t) = r(a(t), b(t)), a = a (0), b = b (0). (b) (∇u f )P = [f (r(a(t), b(t)))]′t |t=0 . (e) Îòâåò: åñëè
u = arx + bry ,
òî
(∇u f )P = a(f ◦ r)x |r−1 (P ) + b(f ◦ r)y |r−1 (P ) .
(∇f )P = ((f ◦ r)x |r−1 (P ) , (f ◦ r)y |r−1 (P ) ). Óêàçàíèå ê 2g. Îò ïðîèçâîäíîé òðåáóåòñÿ òîëüêî òî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ êîâåêòîðîì. Èñïîëüçóéòå ïðåäûäóùèé ïóíêò. Îòâåò ê 2e.
Êîììóòàòîð âåêòîðíûõ ïîëåé. Ïóñòü u è v âåêòîðíûå ïîëÿ íà ïëîñêîñòè (èëè â Rn , èëè íà n-ìåðíîé ïîâåðõíîñòè â Rm ). Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ñóùåñòâóåò ñèñòåìà êîîðäèíàò r : R2 → R2 (èëè r : R2 → Π), äëÿ êîòîðîé ýòè ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòíûìè (ò.å. u = r ′ (1, 0) è v = r ′ (0, 1))? åøåíèå ýòîé ïðîñòî îðìóëèðóåìîé, íî âàæíîé çàäà÷è ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ïîíÿòèþ. Êîììóòàòîðîì âåêòîðíûõ ïîëåé u è v íà ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ òàêîå âåêòîðíîå ïîëå [u, v], ÷òî
∇u ∇v f − ∇v ∇u f = ∇[u,v] f
äëÿ ëþáîé óíêöèè
f : Π → R.
1. (a) Òàêîå ïîëå [u, v] ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. (b)
[u, v] = −[v, u],
[λu, v] = λ[u, v] è [u1 + u2 , v] = [u1 , v] + [u2 , v].
( ) Âåêòîðíîå ïîëå v â Rn ñ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè (x1 , . . . , xn ) íàçûâàåòñÿ ëèíåéi 1 n i k íûì, åñëè v (x , . . . , x ) = Ak x , ãäå A íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà. Äîêàæèòå, ÷òî êîììóòàòîð ëèíåéíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé åñòü ñíîâà ëèíåéíîå âåêòîðíîå ïîëå, è âûðàçèòå åãî ìàòðèöó ÷åðåç ìàòðèöû èñõîäíûõ ïîëåé. (d) Íàéäèòå âûðàæåíèå äëÿ êîììóòàòîðà â ïðîèçâîëüíûõ êîîðäèíàòàõ. 2. Ïóñòü u1 è u2 âåêòîðíûå ïîëÿ íà Rn . (a) Îáîçíà÷èì ÷åðåç a1 (t) èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ ïîëÿ u1 , äëÿ êîòîðîé a1 (0) = P , b2s (t) èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ ïîëÿ u2 , äëÿ êîòîðîé b2s (0) = a1 (s), a2 (t) èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ ïîëÿ u2 , äëÿ êîòîðîé a2 (0) = P , b1s (t) èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ ïîëÿ u1 , äëÿ êîòîðîé b1s (0) = a2 (s). Äîêàæèòå, ÷òî [u1 , u2] = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà b1s (t) = b2t (s) äëÿ ëþáûõ P ∈ Rn è äîñòàòî÷íî ìàëûõ t, s ∈ R. 38
(b) Ñèñòåìà êîîðäèíàò r : Rn → Rn , äëÿ êîòîðîé u1 = r ′ (1, 0, 0, 0, . . . , 0), u2 = r ′ (0, 1, 0, 0 . . . , 0) è ò.ä. ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå ýòè âåêòîðíûå ïîëÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìû â êàæäîé òî÷êå è âñå èõ ïîïàðíûå êîììóòàòîðû íóëåâûå. 3. (a) Ïóñòü u, v âåêòîðíûå ïîëÿ íà Rm, êàñàþùèåñÿ ïîâåðõíîñòè Π ⊂ Rm . Òîãäà âåêòîðíîå ïîëå [u, v] òîæå êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòè Π è åãî îãðàíè÷åíèå [u, v]|Π íà Π ñîâïàäàåò ñ ïîëåì [u|Π , v|Π ], ãäå u|Π è v|Π îãðàíè÷åíèÿ íà Π ïîëåé u è v . (b) Íà åäèíè÷íîé ñ åðå
S 3 = {(x, y, z, w) ∈ R4 | x2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1} ðàññìîòðèì âåêòîðíûå ïîëÿ
u = (−y, x, −w, z),
v1 = (−w, −z, y, x) è v2 = (−w, z, −y, x).
Âû÷èñëèòå êîììóòàòîðû [u, v1 ] è [u, v2 ]. 4. (a) Ëþáîå ëè íåíóëåâîå âåêòîðíîå ïîëå íà Rm ìîæíî 'âûïðÿìèòü', ò. å. íàéòè ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé êîìïîíåíòû ýòîãî ïîëÿ áóäóò ïîñòîÿííû? (b) À êîâåêòîðíîå? (ñ)* Ïóñòü A îïåðàòîðíîå ïîëå íà Rn . Êàæäîé ïàðå âåêòîðíûõ ïîëåé u, v íà Rn ñîïîñòàâèì âåêòîðíîå ïîëå
N(u, v) = A2 [u, v] − A[Au, v] − A[u, Av] + [Au, Av]. ßñíî, ÷òî îòîáðàæåíèå N : TP × TP → TP ÿâëÿåòñÿ áèëèíåéíûì. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé ìàòðèöû îïåðàòîðîâ ñåìåéñòâà A îäèíàêîâû, òî N = 0. 5. (a) Ïðèâåäèòå ïðèìåð äâóõ êîììóòèðóþùèõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà S 3 , ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âî âñåõ òî÷êàõ. (b)* Ëþáûå òðè ïîïàðíî êîììóòèðóþùèå âåêòîðíûå ïîëÿ íà òðåõìåðíîé ñ åðå S 3 ëèíåéíî çàâèñèìû â íåêîòîðîé òî÷êå ñ åðû S 3 . 3 Óêàçàíèå ê 5b. Èíà÷å S ∼ = S 1 × S 1 × S 1.
Êîâàðèàíòíîå äè åðåíöèðîâàíèå âåêòîðíûõ ïîëåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç prTP îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü TP . Êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîãî ïîëÿ v íà ïîâåðõíîñòè Π â P ∈ Π ïî íàïðàâëåíèþ êàñàòåëüíîãî âåêòîðà u ∈ TP íàçûâàåòñÿ âåêòîð
òî÷êå
(∇u v)P := pr TP [vγu (t) ]′t |t=0 .
1. (b) Íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ âåêòîðíîãî ïîëÿ v(r, ϕ) = (cos ϕ, −(sin ϕ)/r)
íà ïëîñêîñòè â òî÷êå (0, 2) â íàïðàâëåíèè âåêòîðà (1, 1). (a d1d2e1e2) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè çàäà÷ 1a de èç ïóíêòà 'êîâàðèàíòíîå äè åðåíöèðîâàíèå óíêöèé' äëÿ âåêòîðíûõ ïîëåé. Ó çàäà÷è 1d äâà àíàëîãà:
∇u (f v) = (∇u f )v + f ∇u v
è
∇u (v1 · v2 ) = (∇u v1 ) · v2 + v1 · ∇u v2 .
Ôîðìóëó, àíàëîãè÷íóþ 1e, íàéäèòå (e1) ïðè óñëîâèè gij = δij â äàííîé òî÷êå. 39
(e2) äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ. (f) Äàíû ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðà u, v è x â R3 . Âûðàçèòå ÷åðåç èõ ïîïàðíûå ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ êîý èöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó u, v îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè âåêòîðà x íà ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùóþ âåêòîðà u è v . (g) Êàê ïðåîáðàçóþòñÿ êîîðäèíàòû êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîãî ïîëÿ ïðè çàìåíå êîîðäèíàò ϕ : D → D ? 2. (a) Êðèâàÿ íà ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíà íóëþ êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðà åå ñêîðîñòè âäîëü íåå. (b) Ñåìåéñòâî âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âäîëü êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ýòîãî ñåìåéñòâà âäîëü ýòîé êðèâîé ðàâíà íóëþ. ( ) [u, v] = ∇u v − ∇v u. 3. (a) Åñëè ðèìàíîâà ìåòðèêà ëîêàëüíî åâêëèäîâà, òî ∇u ∇v w − ∇v ∇u w = ∇[u,v]w. (b)* R(u, v)w = ∇v ∇u w − ∇u ∇v w + ∇[u,v] w . (ñ) Äëÿ ïîâåðõíîñòè r : D → Π â áàçèñå (rx , ry ) íàéäèòå (èñïîëüçóÿ (b)) êîìïîíåíòû i Rjkl . Êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîãî ïîëÿ v íà ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ
(∇v)P : TP → TP ,
çàäàííûõ îðìóëîé
(∇v)P (u) := ∇u v.
4. (b) Íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ âåêòîðíîãî ïîëÿ v(r, ϕ) = (cos ϕ, −(sin ϕ)/r) íà ïëîñêîñòè. (a d1d2e1e2g) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè çàäà÷ 2a deg èç ïóíêòà 'êîâàðèàíòíîå äè åðåíöèðîâàíèå óíêöèé' äëÿ âåêòîðíûõ ïîëåé. Óêàçàíèå ê çàäà÷å 1. (e1) Ïóñòü vr(x,y) = p(x, y)rx (x, y) + q(x, y)ry (x, y) âåêòîðíîå ïîëå íà ïîâåðõíîñòè r(x, y) è γu (t) = r(a(t), b(t)). Òîãäà u = rx a′ (0) + ry b′ (0) è ∇u v = rx [vr(a(t),b(t)) ]′t |t=0 · rx + ry [vr(a(t),b(t)) ]′t |t=0 · ry .
(e2) Àíàëîãè÷íî (e1) èñïîëüçóÿ (f). Èëè èñïîëüçóéòå (e1) è (g). (g) Îò ïðîèçâîäíîé òðåáóåòñÿ òîëüêî òî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì. Èñïîëüçóéòå çàêîí èçìåíåíèÿ áàçèñà â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå ïðè çàìåíå ïåðåìåííûõ íà ïîâåðõíîñòè (ò.å. çàäà÷ó 2f èç òåìû 'êîâàðèàíòíîå äè åðåíöèðîâàíèå óíêöèé').
Êîâàðèàíòíîå äè åðåíöèðîâàíèå òåíçîðîâ. Ïóñòü äàíà ïîâåðõíîñòü Π ⊂ R3 è ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ γ : [a, b] → Π. Êàñàòåëüíîå îïåðàòîðíîå ïîëå A(t) : Tγ(t) → Tγ(t) íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âäîëü äàííîé êðèâîé (â ñìûñëå Ëåâè-×èâèòà), åñëè äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ v(t) ∈ Tγ(t) âåêòîðíîå ïîëå A(v(t)) ïàðàëëåëüíî âäîëü êðèâîé γ . 0. (a) Ïðèäóìàéòå ïðèìåð êàñàòåëüíîãî îïåðàòîðíîãî ïîëÿ, ïàðàëëåëüíîãî âäîëü ëþáîé êðèâîé. (b) Äëÿ ëþáûõ òî÷êè P îðèåíòèðîâàííîé åäèíè÷íîé ñ åðû â R3 è êàñàòåëüíîãî âåêπ/2 òîðà v â ýòîé òî÷êå îáîçíà÷èì ÷åðåç RP (v) âåêòîð, ïîëó÷åííûé èç v ïîâîðîòîì â êàñàπ/2 òåëüíîé ïëîñêîñòè íà π/2 â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè. Òîãäà îïåðàòîðíîå ïîëå RP ïàðàëëåüíî âäîëü ëþáîé êðèâîé íà ñ åðå. 40
(ñ) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè òåîðåì èç òåìû 'ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ' äëÿ îïåðàòîðíûõ ïîëåé. Ïóñòü u, v ∈ TP êàñàòåëüíûå âåêòîðû. Çäåñü è äàëåå vu (t) ∈ Tγu (t) êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå, ïàðàëëåëüíîå âäîëü êðèâîé γu , äëÿ êîòîðîãî vu (0) = v . Êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé îïåðàòîðíîãî ïîëÿ A íà ïîâåðõíîñòè Π â òî÷êå P ∈ Π ïî íàïðàâëåíèþ u ∈ TP íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð, ñîïîñòàâëÿþùèé âåêòîðó v
(∇u A)P (v) := pr TP [Aγu (t) (vu (t))]′t |t=0 .
Êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé îïåðàòîðíîãî ïîëÿ A íà ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî áèëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé
(∇A)P : TP × TP → TP ,
çàäàííûõ îðìóëîé (∇A)P (u, v) := (∇u A)(v).
1. (b) Äëÿ ëþáûõ òî÷êè P = (x, y, z) îðèåíòèðîâàííîé åäèíè÷íîé ñ åðû â R3
è êàñàòåëüíîãî âåêòîðà v â ýòîé òî÷êå îáîçíà÷èì ÷åðåç AP (v) âåêòîð, ïîëó÷åííûé èç xv ïîâîðîòîì â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè íà π/2 â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè. Íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ îïåðàòîðíîãî ïîëÿ A íà ñ åðå â òî÷êå (1, 0, 0) ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà (0, 1, 0). (a, ,d1,d2,e1,e2) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè çàäà÷è 1a, ,d1,d2,e1,e2 èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà äëÿ îïåðàòîðíûõ ïîëåé. (f) Åñëè v(t) ∈ Tγu (t) ïðîèçâîëüíîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå (íå îáÿçàòåëüíî ïàðàëëåëüíîå âäîëü êðèâîé γu ), äëÿ êîòîðîãî v(0) = v , òî
(∇u A)(v) = [Aγu (t) (v(t))]′t |t=0 − AP (pr TP [v ′ (0)]).
2. (a,b, ,d1,d2,e1,e2,g) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè çàäà÷ 4a,b, ,d1,d2,e1,e2,g èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà äëÿ îïåðàòîðíûõ ïîëåé. Â e1,e2 îáÿçàòåëüíî óêàæèòå áàçèñ! 3. (a) Äàéòå îïðåäåëåíèå ïàðàëëåëüíîñòè êîâåêòîðíîãî ïîëÿ âäîëü êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè. (b) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè òåîðåì èç òåìû 'ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ' äëÿ êîâåêòîðíûõ ïîëåé. Êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé êîâåêòîðíîãî ïîëÿ ϕ íà ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ïîëå (∇ϕ)P : TP × TP → R (P ∈ Π) áèëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé, çàäàííûõ îðìóëîé (∇ϕ)P (u, v) = (∇u ϕ)P (v) := [ϕγu (t) (vu (t))]′t |t=0 .
4. (b) Íàéäèòå ìàòðèöó (ñ óêàçàíèåì áàçèñà) êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé êîâåêòîðíîãî ïîëÿ, ÿâëÿþùåãîñÿ ïðîèçâîäíîé óíêöèè f (x, y, z) = x íà ñ åðå x2 + y 2 + z 2 = 1 â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ñ åðû. (a, ,d1,d2,e1,e2,g) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè çàäà÷ 2a, ,d1,d2,e1,e2,g äëÿ êîâåêòîðíûõ ïîëåé. 5. Åñëè v(t) ∈ Tγu (t) ïðîèçâîëüíîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå (íå îáÿçàòåëüíî ïàðàëëåëüíîå âäîëü êðèâîé γu ), äëÿ êîòîðîãî v(0) = v , òî (∇u ϕ)(v) = [ϕγu (t) (v(t))]′t |t=0 − ϕP (pr TP [v ′ (0)]).
6.
(a) Äàéòå îïðåäåëåíèå ïàðàëëåëüíîñòè ïîëÿ áèëèíåéíûõ îðì âäîëü êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè. 41
(b) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè òåîðåì èç òåìû 'ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ' äëÿ ïîëåé áèëèíåéíûõ îðì. Êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëÿ ω áèëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé íà ïîâåðõíîñòè Π íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî òðèëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé (∇ω)P : TP × TP × TP → R (P ∈ Π), çàäàííûõ îðìóëîé
(∇ω)P (u, v, w) = (∇u ω)(v, w) := [ϕγu (t) (vu (t), wu (t))]′t |t=0 .
7. (b) Íàéäèòå êàêîé-íèáóäü ðÿä (èç òðåõ ýëåìåíòîâ) òðåõìåðíîé ìàòðèöû (ñ óêàçàíèåì
áàçèñà) êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé áèëèíåéíîé îðìû x1 x2 dx3 ∧ dx4 íà ñ åðå x21 + x22 + x23 + x24 = 1 â òî÷êå (0, 0, 0, 1) ñ åðû. Ïî îïðåäåëåíèþ, ýòà áèëèíåéíàÿ îðìà ñîïîñòàâëÿåò ïàðå êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ (a, b) â òî÷êå (x1 , x2 , x3 , x4 ) ñ åðû ÷èñëî x1 x2 (a3 b4 − a4 b3 ). (a, ,d1,d2,e1,e2,g) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè çàäà÷è 2a, ,d1,d2,e1,e2,g äëÿ ïîëåé áèëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé. (h) Íàéäèòå çíà÷åíèå îðìû ϕdϕ ∧ dθ íà ïàðå êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ (a, b, c) è (a′ , b′ , c′ ) â òî÷êå (0, √12 , √12 ) åäèíè÷íîé ñ åðû â R3 . 8. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïàðàëëåëüíîñòè âäîëü êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè è êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëÿ (a) k -ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé. (b) ïîëèëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé (TP )k → (TP )l , ò.å. òåíçîðîâ òèïà (k, l). i i i ( )* ∇m Rjkl + ∇k Rjlm + ∇l Rjmk = 0. 9. (a, ,d1,d2,e1,e2,g) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè çàäà÷ 2a, ,d1,d2,e1,e2,g äëÿ òåíçîðîâ òèïà (k, l). Ñèììåòðèçàöèåé ïîëÿ ψP : TP ×TP → R áèëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé íàçûâàåòñÿ ïîëå áèëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé (Alt ψ)P : TP ×TP → R, îïðåäåëåííûõ îðìóëîé 2(Alt ψ)P (u, v) := ψP (u, v) − ψP (v, u). 10. (a) Ñèñòåìà äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ∂f /∂xi = ϕi (x1 , . . . , xn ) íà ïëîñêîñòè ðàçðåøèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Alt(∇ϕ) = 0 (ãäå ϕ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê êîâåêòîðíîå ïîëå). (b) Âûâåäèòå îðìóëó äëÿ Alt(∇ϕ) â ïðîèçâîëüíûõ êîîðäèíàòàõ. ( ) Alt(∇ϕ) = ∇u (ϕ(v)) − ∇v (ϕ(u)) − ϕ([u, v]). Äè åðåíöèàëîì ïîëÿ ω äè åðåíöèàëüíûõ k - îðì (=êîñîñèììåòðè÷íûõ k -ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé) íàçûâàåòñÿ ïîëå dω äè åðåíöèàëüíûõ (k + 1)- îðì, îïðåäåëåííûõ îðìóëîé (dω)P (u0 , . . . , uk ) := Σσ∈Sk+1 (−1)sgnσ (∇ω)P (uσ(0) , . . . , uσ(k) ).
11. (a) dϕ = Alt(∇ϕ) äëÿ êîâåêòîðíîãî ïîëÿ ϕ.
(b) Âûâåäèòå îðìóëó äëÿ dω â ïðîèçâîëüíûõ êîîðäèíàòàõ. Îáùåå óêàçàíèå. Àíàëîãè÷íî ðåçóëüòàòàì î êîâàðèàíòíîì äè åðåíöèðîâàíèè óíêöèé è âåêòîðíûõ ïîëåé. Óêàçàíèå ê çàäà÷å 4e1,4e2,7e1,7e2. Èñïîëüçóéòå óðàâíåíèå ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âåêòîðíûõ ïîëåé.
42
ÎÁÎÁÙÅÍÈÅ Ýëåìåíòû ãèïåðáîëè÷åñêîé ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî. Íàçîâåì ïëîñêîñòüþ Ëîáà÷åâñêîãî ïîëîâèíêó z ≥ 0 äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà z 2 = x2 + y 2 + 1. Íàçîâåì ïðÿìûìè Ëîáà÷åâñêîãî ñå÷åíèÿ ýòîé ïîëîâèíêè ïëîñêîñòÿìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. 1. (a) ×åðåç òî÷êó ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî, íå ëåæàùóþ íà äàííîé ïðÿìîé Ëîáà÷åâñêîãî, ïðîõîäèò áîëåå îäíîé ïðÿìîé Ëîáà÷åâñêîãî, íå ïåðåñåêàþùåé äàííîé ïðÿìîé Ëîáà÷åâñêîãî. (b) ×åðåç ëþáûå äâå òî÷êè ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ïðîõîäèò ðîâíî îäíà ïðÿìàÿ Ëîáà÷åâñêîãî. ( ) Äëÿ ëþáîé êðèâîé (x(t), y(t), z(t)) íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî xt (t)2 +yt (t)2 −zt (t)2 > 0. Äëèíîé Ëîáà÷åâñêîãî êðèâîé (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî íàRbp çûâàåòñÿ ÷èñëî a xt (t)2 + yt (t)2 − zt (t)2 dt. (Èëè, âûðàæàÿñü íàó÷íî, íàçîâåì ðèìàíîâîé 2 2 2 2 ìåòðèêîé Ëîáà÷åâñêîãî ñóæåíèå ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêè ds = dx + dy − dz íà ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî.) Äàëåå ðèìàíîâà ìåòðèêà gij çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ds2 = gij dxi dxj . 2. (a) Ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî èçîìåòðè÷íà âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ñ ðèìàíîâîé ìåòdwdw ¯ ðèêîé Ëîáà÷åâñêîãî ds2 = −4 (ìîäåëü Ïóàíêàðå â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè). Äàëåå (w − w) ¯ 2 ïëîñêîñòüþ Ëîáà÷åâñêîãî íàçûâàåòñÿ âåðõíÿÿ ïîëóïëîñêîñòü ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé Ëîáà÷åâñêîãî. (b) Âåðõíÿÿ ïîëóïëîñêîñòü ñ ìåòðèêîé Ëîáà÷åâñêîãî èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé p(w) = w + a è q(w) = −1/w . |z1 − z2 |2 . ( ) ch |z1 , z2 | = 1 + 2Imz1 Imz2 Óêàçàíèå: òî÷êè z1 è z2 ïåðåâîäÿòñÿ èçîìåòðèåé â òî÷êè ñ îäèíàêîâûìè àáñöèññàìè. ( ) Âûâåäèòå òåîðåìó Ïè àãîðà äëÿ ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî: ch c = ch a ch b Óêàçàíèå: ìîæíî ñ÷èòàòü C = i, A = ki è B = cos ϕ + i sin ϕ. (d) Îêðóæíîñòü Ëîáà÷åâñêîãî ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâîé îêðóæíîñòüþ. (e)* Íàéäèòå äëèíó îêðóæíîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ðàäèóñà R. Óêàçàíèå: äâèæåíèåì ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî öåíòð îêðóæíîñòè ìîæíî ïåðåâåñòè â öåíòð ìîäåëè Ïóàíêàðå â êðóãå, çàòåì íàéòè ñâÿçü åâêëèäîâà ðàäèóñà è ðàäèóñà Ëîáà÷åâñêîãî... (f)* Ñ åðà, ïëîñêîñòü è ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî ïîïàðíî ëîêàëüíî íå èçîìåòðè÷íû. (g)* Ëþáàÿ âíóòðåííÿÿ èçîìåòðèÿ ìåòðèêè Ëîáà÷åâñêîãî, ñîõðàíÿþùàÿ îðèåíòàöèþ, az + b ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì f (z) = ñ îïðåäåëèòåëåì ad − bc = 1 (è cz + d âåùåñòâåííûìè a, b, c, d).
åîìåòðèÿ íà ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ. èìàíîâûì ìíîãîîáðàçèåì (ëîêàëüíûì) íàçûâàåòñÿ ïàðà (M, g) èç îòêðûòîãî ìíî-
æåñòâà â Rn è ðèìàíîâîé ìåòðèêè g íà íåì. Èçîìåòðè÷åñêîãî âëîæåíèÿ M ⊂ Rm íå çàäàíî! Äëèíû êðèâûõ è ïëîùàäè îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ðèìàíîâó ìåòðèêó îðìóëàìè, ïîëó÷åííûìè ðàíåå. 43
Êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì
TP
â òî÷êå
P ∈ M íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî Rn .
Ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà, ãåîäåçè÷åñêèå, ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå, òåíçîð è÷÷è, êîâàðèàíòíîå äè åðåíöèðîâàíèå óíêöèé, êàñàòåëüíûå âåêòîðíûå è òåíçîðíûå ïîëÿ
íà (M, g) îïðåäåëÿþòñÿ äîñëîâíî òàê æå, êàê äëÿ ïîâåðõíîñòåé â Rm . 1. Âû÷èñëèòå ñêàëÿðíóþ êðèâèçíó â òî÷êàõ (a) ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî, ò.å. âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé ds2 = dwdw ¯ −4 . (w − w) ¯ 2 (b) ïëîñêîñòè ðèìàíîâîé ñ ìåòðèêîé ds2 = λ(x, y)(dx2 + dy 2 ). dx21 + · · · + dx2n ( )* ïðîñòðàíñòâà Rn ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé ds2 = . (1 + x21 + · · · + x2n )2 (d)* ïðîèçâîëüíîãî ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ. 2. (a)* Óðàâíåíèå ãåîäåçè÷åñêîé X X x′′k + Γkij x′i x′j = 0, ãäå 2Γkij = g kl([glj ]xi + [gli ]xj − [gij ]xl ). i,j
l
(b) ×åðåç êàæäóþ òî÷êó â êàæäîì íàïðàâëåíèè íà ïîâåðõíîñòè ïðîõîäèò ðîâíî îäíà ãåîäåçè÷åñêàÿ. 3. Íàéäèòå ãåîäåçè÷åñêèå íà âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé dwdw ¯ dx2 + dy 2 2 ; ( ) ds = . (a) ds2 = y(dx2 + dy 2); (b) ds2 = −4 (w − w) ¯ 2 x2 + y 2 4.* Íàéäèòå âñå óíêöèè λ(x, y, z), äëÿ êîòîðûõ âñå êðèâûå {y = c1 , z = c2 } ÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè ðèìàíîâîé ìåòðèêè eλ(x,y,z) (dx2 + dy 2 + dz 2 ) íà R3 . 5. Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè âñåõ îïðåäåëåíèé è òåîðåì èç òåìû 'òåíçîð êðèâèçíû è÷÷è'. Êàñàòåëüíîå ê M âåêòîðíîå ïîëå v íà êðèâîé expP ◦γ : [0, 1] → Rn → M íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âäîëü êðèâîé expP ◦γ , åñëè åãî ïðîîáðàç [exp′P (γ(t))]−1 vexpP (γ(t)) ïðè ïðîèçâîäíîé ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ ïàðàëëåëåí. 6. (a) Ýòî îïðåäåëåíèå ñîâïàäàåò ñ ïðåæíèì äëÿ ïîâåðõíîñòåé â Rm. (b) Âûïèøèòå ÿâíî è ðåøèòå óðàâíåíèå ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âäîëü ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé äëÿ ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî. ( ) Òî æå âäîëü äàííîé îêðóæíîñòè. Îïðåäåëåíèå ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà, ñåêöèîííîé êðèâèçíû, òåíçîðà èìàíà è êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëÿ k -ëèíåéíûõ îðì íà (M, g) ïîâòîðÿåò ïðèâåäåííîå âûøå. 7.* (a) Äëÿ äâóìåðíîãî ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ τ = 2σ, ò.å. óãîë ïîâîðîòà êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå âäîëü çàìêíóòîé êðèâîé (îðèåíòèðîâàííîé ñîãëàñîR 1 âàííî ñ îðèåíòàöèåé ìíîãîîáðàçèÿ) è îãðàíè÷èâàþùåé îáëàñòü A ðàâåí 2 A τ dS . (b) Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè âñåõ îïðåäåëåíèé è òåîðåì èç òåì 'îïåðàòîð ñåêöèîííîé êðèâèçíû è òåíçîð êðèâèçíû èìàíà'. Êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîãî ïîëÿ v íà M â òî÷êå P ∈ M ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà u íàçûâàåòñÿ âåêòîð ∇u v := [(exp′P (ut))−1 vexpP (ut) ]′t |t=0 , ò.å. ïðîèçâîäíàÿ (â òî÷êå 0 ∈ Rn ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà u) ïðîîáðàçà âåêòîðíîãî ïîëÿ v ïðè ïðîèçâîäíîé ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ. 8.* (a) Ýòî îïðåäåëåíèå ñîâïàäàåò ñ ïðåæíèì äëÿ ïîâåðõíîñòåé â Rm. 44
(b) Íàïèøèòå îïðåäåëåíèå êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîãî ïîëÿ íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè. ( ) Ìàòðèöà êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîãî ïîëÿ v â òî÷êå P â ñèñòåìå êîîð∂vi äèíàò ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ åñòü ( ∂x j ). (d) Íàéäèòå ýòó ìàòðèöó (ñ óêàçàíèåì áàçèñà) äëÿ ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî. (e) Íàéäèòå ýòó ìàòðèöó â ïðîèçâîëüíûõ êîîðäèíàòàõ. (f) Äîêàæèòå ýêâèâàëåíòíîñòü ïðèâåäåííîãî îïðåäåëåíèÿ îïðåäåëåíèþ êîâàðèàíòíîãî äè åðåíöèðîâàíèÿ âåêòîðîâ èç [Gr90, 2.2℄. ˜ kij ñèìâîëîâ Êðèñòî åëÿ äâóõ ðèìàíîâûõ ìåòðèê gij è g˜ij íà îäíîì (g) àçíîñòè Γkij − Γ è òîì æå M îáðàçóþò òåíçîð òèïà (1, 2). (h) Ëþáîé òåíçîð òèïà (1, 2) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàêèì îáðàçîì. 9.* Ñ îðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè âñåõ îïðåäåëåíèé è òåîðåì èç òåì 'êîâàðèàíòíîå äè åðåíöèðîâàíèå'. 10.* Îïðåäåëåíèÿ à èííîé ñâÿçíîñòè è çàäàííîãî åé êîâàðèàíòíîãî äè åðåíöèðîâàíèÿ ñì. â [Ra04, MF04℄. (a) Íà ïëîñêîñòè ñ êîîðäèíàòàìè u, v íàéäèòå à èííóþ ñâÿçíîñòü, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé âåêòîðíûå ïîëÿ ξ = (eu , 1) è η = (0, ev ) êîâàðèàíòíî ïîñòîÿííû (ò.å. èõ êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ). (b) Íàéäèòå (òåíçîð êðó÷åíèÿ) Γkij − Γkji äëÿ ýòîé ñâÿçíîñòè. ( ) Ñóùåñòâóåò ëè ðèìàíîâà ìåòðèêà, ïîðîæäàþùàÿ ýòó à èííóþ ñâÿçíîñòü? Óêàçàíèå ê 2a. Äîêàçûâàåòñÿ ïðè ïîìîùè âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. P ∂vi Îòâåò ê 8e. ( + k Γikj v k ). Çäåñü ñèìâîëû Êðèñòî åëÿ îïðåäåëÿþòñÿ ïî ìåòðèêå ∂xj òåìè æå îðìóëàìè, ÷òî è äëÿ ïîâåðõíîñòåé â Rm .
45
