Сборник описаний задач специального лабораторного практикума ''Компьютерный эксперимент'' темы 3, 4, 5

М и ни сте р ство о б щ е го о б р азо вани я Р о сси йско й ф е д и р аци и Во р о не ж ски й го су д ар стве нный у ни ве р си те т Фи зи че ски й ф аку льте т Каф е д р а и нф о р маци о нных си сте м

Сб о р ни к о пи сани й зад ач спе ци ально го лаб о р ато р но го пр акти ку ма. "ко мпьюте р ный экспе р и ме нт". Те мы 3,4,5.

д ля сту д е нто в 4-го ку р са д /о Фи зи че ско го ф аку льте та каф е д р ы и нф о р маци о нных си сте м

Со стави те ль: Бу д ко В.Н .

Во р о не ж 2000

Вве д е ни е . В со вр е ме нно й нау ке и те х ни ке все б о льш у ю р о ль пр и о б р е тае т чи сле нный экспе р и ме нт мо д е ли р о вани е на ЭВМ ф и зи че ски х пр о це ссо в.ЭВМ о снащ е ны ср е д ствами ви зу али заци и р е зу льтато в, д ают во змо ж но сть пр о е д стави ть р е ш е ни е зад ачи на гр аф и че ско м д и спле е в нагляд но й д и нами че ско й ф о р ме , наб люд ать зави си мо сть р е ш е ни я о т пар аме тр о в.Все это по зво ляе т пр и б ли зи ть чи сле нный экспе р и ме нт к нату р но му .М о д е ли р о вани е ф и зи че ско го экспе р и ме нта у чи т "чу вство вать" х ар акте р /ф и зи чно сть/ р е ш е ни я у р авне ни й, о пи сывающ и х и ссле д у е мый о б ъе кт, р азви вае т и нту и ци ю.Су щ е стве нно , что чи сле нный экспе р и ме нт зачасту ю по зво ляе т пр е д сказать р ане е не наб люд авш и е ся эф ф е кты и и ссле д о вать си сте мы, не д о сту пные д ля нату р но го экспе р и ме нта. Лаб о р ато р ные р аб о ты на д анну ю те мупо свящ е ны и зу че ни ю ме то д и к мо д е ли р о вани я на ЭВМ сво йств ф и зи че ско го о б ъе кта и пр о це ссо в в не м пр о те кающ и х ,как пр и р азо во м о ткло не ни и о т р авно ве сно го со сто яни я ,так и пр и не пр е р ывно м пр о и зво льно м вне ш не м во зд е йстви и . О сно вные этапы чи сле нно го экспе р и ме нта. П о д го то ви те льный этап: --П о стано вка зад ачи :ф о р му ли р о вани е си сте мы у р авне ни й с гр ани чными и начальными у сло ви ями ,пе р е х о д к б е зр азме р ным пе р е ме нным и ф у нкци ям,выд е ле ни е вар ьи р у е мых пар аме тр о в,выб о р х ар акте р ных масш таб о в /т.к. чи сла,с ко то р ыми о пе р и р у е т ЭВМ заключе ны в ко не чно м и нте р вале /. --Выб о р ме то д а р е ш е ни я и по стр о е ни е р асче тно го алго р и тма. --Со ставле ни е и о тлад ка пр о гр аммы. --О сно вно й этап-со б стве нно чи сле нный экспе р и ме нт. --Фи кси р у ются все пар аме тр ы зад ачи ,кр о ме о д но го ,ко то р ый и по д ве р гае тся и зме не ни ю /вар ьи р о вани ю/ в р азу мно м и нте р вале . --Р ассчи тывае тся не о б х о д и мо е чи сло вар и анто в. --П р о и зво д и тся те о р и че ски й анали з по лу че нно й и нф о р маци и . --Ко р р е кти р у ются и пр о во д ятся, е сли не о б х о д и мо по вто р ные экспе р и ме нты, т.е . мо д е ль у то чняе тся. --Н а б азе по лу че нных д анных о су щ е ствляе тся по и ск и ско мых зако но ме р но сте й, о пи сывающ и х о б ъе кт. --Р е зу льтаты чи сле нно го экспе р и ме нта со по ставляются с нату р ными д анными . У че б ная це ль р аб о т : и зу че ни е пр и ци по в ко мпьюте р но го экспе р и ме нта и о б ласте й е го пр и ме не ни я, и зу че ни е о б щ е й ме то д и ки по д х о д а к по стр о е ни ю и мми таци о нно й мо д е ли сло ж но й си сте мы пр о и зво льно го ф и зи че ско го о б ъе кта. П р акти че ско е пр о ве д е ни е маш и нно го экспе р и ме нта д ля пр о стых ф и зи че ски х о б ъе кто в. Н ау чная це ль р аб о т : со ставле ни е ко мпле кса мо д у ле й /по д пр о гр амм/ д ля пр о гр амно го мо д е ли р о вани я. •

3.Стах асти че ско е мо д е ли р о вани е .

Стах асти че ская мо д е ль р е ально го ,как д е те р ме ни р о ванно го так и ве р о ятно стно го о б ъе ата – это такая мо д е ль, р е зу льтаты мспытани й ко то р о й и ме ют стати сти че ски й х ар акте р , т.е . мо гу т б ыть пр е д ставле нны в ви д е ве р о ятно сти и зу чае мо го со б ыти я и ли ср е д ни ми значе ни ями е го х ар акте р и сти к. Тако е мо д е ли р о вани е о сно вано на пр и ме не ни и ме то д а стати сти че ски х и спытани й, являющ е го ся чи сле нным спо со б о м р е ш е ни я зад ачи пр и по мо щ и и спо льзо вани я слу чайных ве ли чи н. Это т ме то д называют е щ е ме то д о м М о нте -Кар ло [12] по и ме ни го р о д а и зве стно го сво и ми и го р ными д о мами . Н азвани е ме то д а напо ми нае т о то м, что пр о сте йш и м пр и б о р о м д ля по лу че ни я слу чайно й ве ли чи ны являе тся р у ле тка. О б щ ая и д е я зад ач ме то д о м М о нте -Кар ло заключае тся в сле д у ющ е м : 1.Выб и р аются по ж р е б и ю /д атчи куслу чайных чи се л/ значе ни я пар аме тр о в и ссле д у е мо й си сте мы и пар аме тр о в вх о д ных во зд е йстви й на не е /назо ве м и х вх о д ными пар аме тр ами мо д е ли си сте мы/. 2.Во спр о и зво д и тся пр о це сс ф у нкци о ни р о вани я это й си сте мы пр и выб р анно м значе ни и вх о д ных пар аме тр о в е е мо д е ли и о пр е д е ляются р е акци и си сте мы, т.е . вых о д ные пар аме тр ы е е мо д е ли . П р и это м, как вх о д ные , так и вых о д ные пар аме тр ы мо д е ли р ассматр и ваются как

д е те р ми ни р о авнные .Тако е о д но кр атно е во спр о и зве д е ни е ф у нкци о ни р о вани я о б ъе кта и называют стати сти че ски м и спытани е м. 3.П о сле мно го кр атно го по вто р е ни я стати сти че ски х и спытани й по лу че нные р е зу льтаты по д ве р гаются стати сти че ско й о б р аб о тке с це лью пр е д ставле ни я и х в ви д е стати сти че ски х х ар акте р и сти к : ве р о ятно сти по явле ни я и зу чае мо го со б ыти я, ср е д ни х значе ни й пар аме тр о в, во змо ж ных о ткло не ни й пар аме тр о в о т ср е д ни х значе ни й и д р . Д о сто и нства ме то д а стати сти че ски х и сытани й. - пр о стая стр у кту р а вычи сли те льно го алго р и тма ; - нагляд ная ве р о ятно стная тр акто вка мо д е ли ; - мало чу встви те льно сть к о тд е льным о ш и б кам вычи сле ни й ; - пр о сто та о це нки то чно сти по лу че нных р е зу льтато в ; Н е д о статки : - не о б х о д и мо сть знани я зако на р аспр е д е ле ни я слу чайных значе ни й пар аме тр о в о б ъе кта и по стр о е ни е в стати сти че ско й мо д е ли ад е кватно го д атчи ка слу чайных чи се л ; не о б х о д и мо сть б о льш о го ко ли че ства стати сти че ски х и спытани й д ля по лу че ни я пр и е мли мо й то чно сти р е зу льтата. О ш и б ка ко не чно го р е зу льтата, как пр ави ло , пр о по р ци о нальна

D / N

Гд е : D – ко нстанта, зави сящ ая о т алго р и тма р е ш е ни я зад ачи , N – чи сло и спытани й. Сле д о вате льно , что б ы у ме ньш и ть о ш и б кув 10 р аз над о у ве ли чи ть о б ъе м и спытани й в 100 р аз. М е то д М о нте -Кар ло по зво ляе т мо д е ли р о вать люб ые пр о це ссы, на пр о те кани е ко то р ых вли яют слу чайные ф акто р ы. Н о д ля мно ги х зад ач, не связанных с каки ми ли б о слу чайно стями , мо ж но и ску сстве нно пр и д у мать ве р о ятно стну ю мо д е ль /и д аж е не о д ну /, по зво ляющ у ю р е ш ать эти зад ачи . П о это мумо ж но го во р и ть о ме то д е М о нте -Кар ло как о б у ни ве р сально м ме то д е р е ш е ни я как мате мати че ски х зад ач, так и зад ач мо д е ли р о вани я ф и зи че ски х о б ъе кто в. О д нако , пр акти че ская эф ф е кти вная р е али заци я ме то д а М о нте -Кар ло во змо ж на то лько на ЭВМ . О б щ ая сх е ма ме то д а М о нте -Кар ло . П у сть тр е б у е тся вычи сли ть не ко то р у ю ве ли чи ну«А ». П р и д у мае м таку ю слу чайну ю ве ли чи ну

что б ы мато ж и д ани е е е р авняло сь б ы «А ». Н апр и ме р , тр е б у е тся о пр е д е ли ть пло щ ад ь пр о и зво льно зад анно й гр аф и че ски и ли анали ти че ски пло ско й ф и гу р ы «А », р и с.1. И зме ни м масш таб так, что б ы эта ф и гу р а по пала вну тр ь е д и ни чно го квад р ата. Выб е р е м в квад р ате N слу чайных то че к /по д атчи куслу чайных чи се л, р авно ме р но р аспе д е ле нных на о тр е зке [0,1]. П о д счи тае м и з ни х чи сло то че к N*, по павш и х вну тр ь о б ласти «А ». То гд а ге о ме тр и че ски о че ви д но , что и ско мая пло щ ад ь пр и б ли зи те льно р авна о тно ш е ни ю N*/N. П р и это м че м б о льш е б у д е т N, те м то чне е р е зу льтат. Y 1 А

А

Р и с.1.

0 1

X

П р и ме р ы стати сти че ски х мо д е ле й. 3.1Р асче т каче ства и зд е ли я. Н апр и ме р , во зьме м эле ктр о нно е у стр о йство . П у сть каче ство это го и зд е ли я о пр е д е ляе тся вх о д ным пар аме тр о м «К», ко то р о е мо ж но вычи сли ть как ф у нкци ю о т ве ли чи н е го эле ме нто в, напр и ме р , R, L, C : k=f(R1,R2,… ,C1,C2,… ,L1,L2,… ) (1) Зад ача – о це ни ть как по вли яют о ткло не ни я ве ли чи н все х эле ме нто в о т нами нальных значе ни й на ве ли чи ну«К». М о ж но о це ни ть пр е д е лы и зме не ни я «К», выб и р ая д ля все х эле ме нто в «х у д ш и е » значе ни я. Н о пр и сло ж но й ф у нкци и (1) тр у д но по нять како й наб о р значе ни й эле ме нто в б у д е т наи х у д ш и м. Кр о ме то го , ко гд а эле ме нто в мно го о це нка о каж е тся су щ е стве нно завыш е нно й, и б о мало ве р о ятно , что б ы на само м д е ле все эле ме нты б ыли х у д ш и ми . П о это му

счи тае м пар аме тр ы все х эле ме нто в и самуве ли чи ну«К» слу чайными и найд е м стати сти че ски е х ар акте р и сти ки «К». О пр е д е ли ть анали ти че ски р аспр е д е ле ни е «К» д ля вычи сле ни я мато ж и д ани я, д и спе р си и и д р у ги х стат.х ар акте р и сти к «К» д ля мало -мальски сло ж но й ф у нкци и (1) не во змо ж но . П р и ме ни м ме то д М о нте -Кар ло . ---- зад ае м ф у нкци и р аспр е д е ле ни я д ля ве ли чи н все х эле ме нто в и на и х б азе мо д е ли р у ем д атчи ки слу чайных значе ни й д ля каж д о го эле ме нта. ---- д ля каж д о го эле ме нта р азыгр ывае тся значе ни е е го пар аме тр а. ---- по ф о р му ле (1) вычи сляе тся значе ни е «К». ---- по вто р и в это т вычи сли те льный о пыт N р аз по лу чи м вар и аци о нный р яд значе ни й : К1, К2, К3,… ,КN ---- и з это го р яд а мо ж но о пр е д е ли ть : - ф у нкци ю р аспр е д е ле ни я (ги сто гр амму ) д ля «К» , - д о ве р и те льные и нте р валы д ля «К» , - мато ж и д ани е и д и спе р си ю «К» , и д ру ги е х ар акте р и сти ки . 3.2 И ми таци о нные мо д е ли массо во го о б слу ж и вани я. Таки е зад ачи как и ссле д о вани е р аб о ты си сте м связи , р аб о ты, напр и ме р , це х а как о б ъе кта у пр авле ни я, и ссле д о вани е пр о це сса пе р е д ачи д анных в и нф о р маци о нно -вычи сли те льных се тях , и ссле д о вани е х ар акте р и сти к си сте мы ко мпле ксно го и спытани я и зд е ли й в пр о и зво д стве , и ссле д о вани е х ар акте р и сти к д о сту па к мо но каналуло кально й се ти ЭВМ и д р [13] о тно сятся к классуи ми таци о нных мо д е ле й массо во го о б слу ж и вани я, ко то р ые о б ъе д и няются о б щ и м по д х о д о м к ме то д и ке и х р е ш е ни я. В о б щ е м слу чае такая си сте ма со сто и т и з I и сто чни ко в заяво к : i= I(i) 1,2,3,… I N нако пи те ле й заяво к N(n), n = 1,2,3… N и К канало в и ли пу нкто в О б слу ж и вани я

K(L)

L = 1,2,… K

Эти эле ме нты о б ъе д и няются в си сте мустр у кту р но й сх е мо й ф у нкци о ни р о вани я, называе мо й – Q-сх е мо й. М о д е ли р о авни е по це сса ф у нкци о ни р о вани я си сте мы пр о и зво д и тся в д и скр е тно м вр е ме ни . Ш аг д и скр е ти заци и вр е ме ни в мо д е ли о пр е д е ляе тся и з начальных у сло ви й по стано вки зад ачи (ко нкр е тно й). Заявки в си сте мупо сту пают в слу чайные мо ме нты вр е ме ни . П о то к заяво к о б ычно б е р е тся мате мати че ски пр о сте йш и м, т.е .зад ае тся ли б о ве р о ятно сть по сту пле ни я заяво к за ш аг д и скр е ти заци и вр е ме ни , ли б о р азыгр ывае тся слу чайная ве ли чи на по ме ж у тка вр е ме ни ме ж д у д ву мя по сле д о вате льно стями заявками и з зако на П у ассо на (экспе р и ме нтально го зако на р аспр е д е ле ни я) : Гд е t – и нте р вал вр е ме ни ме ж д усо се д ни ми заявками во вр е ме ни

ω (t ) = λ ⋅ l λ

Каж д ая по сту пающ ая заявка ли б о о б слу ж и вае тся не ме д ле нно , е сли е сть сво б о д ный канал о б слу ж и вани я, ли б о стано ви тся на о че р е д ь в нако пи те ль, ли б о д е лае тся о тказ,е сли нако пи те ль пе р е по лне н. Вр е мя о б слу ж и вани я заявки в канале б е р е тся ли б о ф и кси р о ванным, ли б о слу чайным с зад анным зако но м р аспр е д е ле ни я. Стат.мо д е ль си сте мы массо во го о б слу ж и вани я стр о и тся, напр и ме р , д ля сле д у ющ и х р асче то в : n вр е ме ни о ж и д ани я в о че р е д и ср е д не го вр е ме ни и ли р аспр е д е ле ни я, n ве р о ятно сти о б слу ж и вани я заявки пр и зад анно м вр е ме ни о ж и д ани я,

n

ко эф ф и ци е нта пр о сто я канало в, ско лько в ср е д не м заяво к о б слу ж и т си сте ма за зад анно е вр е мя и д ля р асче то в д р у ги х х ар акте р и сти к.

3.3 Р асче т над е ж но сти и зд е ли я. О б щ и й по д х о д к р е ш е ни ю зад ач это го класса смо тр и в [12].

4.Д е те р ми ни р о ванные мо д е ли и зме не ни я во вр е ме ни со сто яни я пар аме тр о в ф и зи че ско го о б ъе кта. 1. П ар аме тр ы и пе р е ме нные о б ъе кта связаны ме ж д усо б о й си сте мо й о б ыкно ве нных д и ф ф е р е нци альных у р авне ни й. Р ассмо тр и м д и ф ф е р е нци ально е у р авне ни е 1-го по р яд ка, ти па : dy (1 ) f ( x , y ) = dx К си сте ме таки х у р авне ни й, как и зве стно , не тр у д но све сти и д и ф .у р авне ни я высш и х по р яд ко в. Ч и сле нно е р е ш е ни е у р авне ни я (1) пр и и зве стных начальных у сло ви ях x0,y0 заключае тся в

h =x k+1-xk вычи сле ни и пр е д ш е ству ющ е муyk. по ш аго во м че р е з

но во го значе ни я

yk+1 по и зве стно му

ТЕ М А 4.1 Р е зо нанс в ко ле б ате льно м ко нту р е с не ли не йно й е мко стью [1].

С = С 0 ∗ϕ(q)

i

R

U ( t ) = U 0 ∗ cos( ω ⋅ t )

L

U(t)

q

U=iR+Ldi/dt+Uc П е р е х о д я о т то ка к зар яд у

i=dq/dt , Uc=q/c

по лу чи м :

d 2q R dq q U (t ) + ∗ + = 2 L qt L ⋅ C 0 ⋅ϕ (q ) L dt Р ассмо тр и м не ли не йный чле н :

q q = ω02 ⋅ = ω 0 2 ⋅ f (q ) L ⋅ C 0 ⋅ ϕ ( q) ϕ (q)

1 ω0 2 =ˆ L⋅ C0

q f (q) =ˆ ϕ ( q)

Так как пр и о тсу тстви и не ли не йно сти д о лж но б ыть :

ϕ (q ) = 1 а f(q)=q , то пр е д ставле ни е f(q) сте пе нным по ли но мо м д о лж но и ме ть ви д :

f ( q ) = q + b 2 ⋅ q 2 + b 3 ⋅ q 3 + ... В [1] д ля у пр о щ е ни я анали за р ассматр и вае тся апр о кси маци я ку со чным по ли но мо м :

f (q) = q + b3 ⋅ q3 И так и ссле д у е мый о б ъе кт о пи сывае тся д и ф .у р авне ни е м 2-го по р яд ка : ..

.

q + 2 ⋅α ⋅ q + ω 0 2 + b3 ⋅ q 3 =

U0 ⋅ cos( ω ⋅ t ) L

(2)

Д и ф .у р авне ни е 2-го по р яд ка мо ж но заме ни ть си сте мо й и з д ву х д и ф .у р авне ни й 1-го по р яд ка [10],[2] :

dq =i dt

di U 0 = ⋅ cos( ω ⋅ t ) − ω 0 2 ( q + b 3 q 3 ) − 2 ⋅ i dt L

(3)

Ч и сле нно е р е ш е ни е у р авне ни й (2), (3) мо ж но о су щ е стви ть как по ф о р му лам Эйле р а, так и по ф о р му лам Р у нге -Ку тта [5],[2],[3]. ТЕ М А 4.2М о д е ль д ви ж е ни я зар яж е нно й части цы в по ле пр ямо ли не йно го то ка. y

У р авне ни я д ви ж е ни я :

dx = Vx dt

i

( X0,y0)

V0 Vx0

dy = Vy dt

, ,

Vy0

x

B0 =2⋅i

dVx q = Vy ⋅ B ( x ) dt m ⋅c

, ,

dVy q =− Vx ⋅ B (x ) dt m⋅c

x0 (1) x Д ля о д но р о д но го по все й пло ско сти xy по ля р авно го B0 части ца б у д е т д ви гаться по о кр у ж но сти с р ад и у со м : B = 2⋅l

r0 =

c⋅ x

,

,

m ⋅ c ⋅V 0 q ⋅ B0

cx0

,

,

B = B0

(2)

и вр е ме не м о б р ащ е ни я :

τ 0 = 2 ⋅π ⋅ r0

V

0

(3)

П р е аб р азу е му р авне ни я :

dVx q ⋅ B 0x0 = Vy dt m ⋅c ⋅ x

,

dVy q ⋅ B 0x0 = − Vx dt mcx

вве д я в ни х масш таб вр е ме ни р авный

τ0

q ⋅ B0 V 0 2 ⋅π = = mc r0 τ0

И так :

dVx 2 ⋅π ⋅ x0 = Vy dt τ0⋅x

dVy 2 ⋅π ⋅ x0 = − Vx dt τ0⋅x

,

Вр е мя о б р ащ е ни я

τ0 =

2 ⋅ π ⋅ mcV 0 2 ⋅ π ⋅ mc = V 0 ⋅ qB 0 qB 0

не зави си т о т начально й ско р о сти V0, по это муявляе тся у д о б ным масш таб о м вр е ме ни – не зави си мым и сх о д ным д анным мо д е ли р о вани я. В каче стве д р у го го и сх о д но го д анно го -масш таб а р ассто яни я б е р ём r0 .П о зад анным r0 и

τ0

нах о д и м (см.(3) :

V 0 = 2 ⋅π ⋅ r0 τ 0 Те пе р ь, так как V0 о казало сь ко све нно зад ано че р е з r0 и не льзя пр о и зво льно зад авать пар уначальных значе ни й пр о е кци й ско р о сти Vx и Vy , т.к. о ни связаны с V0 со о тно ш е ни е м

V 0 = Vx2 + Vy 2 П о это мув каче стве тр е тье го не зави си мо го начально го у сло ви я б е р ём у го л напр авле ни я ве кто р а V0. И так , и сх о д ные д анные мо д е ли :

Вы бор

x 0, y 0,τ 0, r 0, угол в е кт ор аV 0 в м е ст о нор м ир ов ки

(4)

зад ания в е л ичин τ 0 , r 0 означае т

, чт о т е м сам ы м

мы б е р ём вр е ме нно й ш аг мо д е ли

∆t = 1 П о зад анным ве ли чи нам (4) вычи сляе м :

V 0 = 2 ⋅ π ⋅ r 0 τ 0 , Vx 0 = V 0 ⋅ cos( угол ),

Vy 0 = V 0 sin( угол )

И так по лу чи м си сте муу р авне ни й :

dx = Vx dt

,

dy = Vy , dt

dVx 2 ⋅ π ⋅ x0 = Vy , dt τ0 ⋅ x

dVy dt

= −

q ⋅ B 0x0 Vx mcx

(5)

Си сте ма (5) – не ли не йная . О д нако , пр и д о стато чно мало м ш аге и нте гр и р о вани я этуне ли не йну ю си сте мумо ж но све сти к ли не йно й сле д у ющ и м пр и ёмо м. Н а каж д о м ш аге вычи сле ни й не ли не йну юф у нкци ю (в д анно м слу чае C=X0/X ) вычи сляе м по и сх о д ным д анным это го ш ага и счи тае м д ля это го ш ага ко нстанто й Сi=X0/Xi .Д ля сле д у ющ е го ш ага вычи сляе м но во е значе ни е ко нстанты и т.д . Так зд е сь д ля пе р во го ш ага X=X0.П о лу чае м ли не йну ю си сте муд и ф .у р авне ни й и по зад анным значе ни ям X0,y0,Vx0,Vy0 нах о д и м : X1,y1,Vx1,Vy1 .Те пе р ь б е р ём C1=X0/X1 и на вто р о м ш аге по зад анным ве ли чи нам X1,y1,Vx1,Vy1 нах о д и м X2,y2,Vx2,Vy2 и т.д . Д ля чи сле нно го р е ш е ни я си сте мы (5) и спо льзу е м ф о р му лы ме то д а Эйле р а-Ко ш и , по гр е ш но сть ко то р о го и ме е т по р яд о к

h3 . Есл и

dz = f (t , z ) dt

,т о :

zi + 1

(0)

=

zi + h ⋅ f (ti, zi) , zi + 1 = zi + h2 [ f (ti, z) + f (ti + 1, zi + 1(0) )]

О тсюд а д ля си сте мы (5) , у чи тывая, что h=1 по лу чае м :

x i + 1 = x i + 12 [Vx i + Vx i + Vx i ]

x i + 1 = x i + 32 Vx i

(6)

y i + 1 = y i + 32 Vy i Си сте ма (6) (по ве зло ) у ж е яляе тся р е ш е ни е м зад ачи .

Vxi + 1 = Vxi + 12 [αVy е α = 2 ⋅π ⋅ с 2⋅α +i α+ α (Vyi + α ⋅Vyi)] ,−гд Vxi + 1 = Vxi + Vyi , Vyi + 1 = Vyi 2 ⋅α + α Vxi 2

2

τ0 (6)

, c = x0 x

А лго р и тм мо д е ли : Вво д t0,r0

пе чать то чки Z1,Z2 на экр ане

V 0 := 2 * π * r 0 / t 0

Вво д x0,y0 X:=x0 y:=y0 пе чать то чки x,y на гр аф и ке экр ана Вво д «у го л» Vx=V0*cos(у го л) Vy=V0*sin(у го л) <ци кл>

X:=Z1 y:=Z2 Vx:=Z3 Vy:=Z4 и д ти «ци кл» y

t0=1000 r0=10 X0=60 y0=170

C:=X0/X

q := 2 * π * C / t 0

угол = − π

qq:=0.5*q*q Z1:=X+1.5*Vx Z2:=y+1.5*Vy Z3:=Vx+(q+qq)*Vy Z4:=Vy+(q-qq)*Vx

2

x

10 INPUT “t0=”; t0 : INPUT “r0=” ;r0 20 LET V0=2*пi*r0/t0 30 INPUT “x0=” ; x0 :INPUT “y0=” ;y0:LET x=x0 : LET y=y0 : PLOT x,y 40 INPUT “у го л=” ;у го л 50 LET Vx=V0*cos(у го л) : LET Vy=V0*cos(у го л) 60 LET C:=X0/X : LET q=2*пi*c/t0 : LET qq=0.5*q*q 70 LET Z1=x+1.5*Vx :LET Z2=y+1.5*Vy 80 LET Z3=Vx+(q+qq)*Vy 90 LET Z4=Vy+(q-qq)*Vx 100 PLOT Z1,Z2 110 LET x=Z1 : LET y=Z2 : LET Vx=Z3 : LET Vy=Z4 130 GOTO 60

R

+ -

ТЕ М А 4.3Н е ли не йная авто ко ле б ате льная си сте ма на ту нне льно м д и о д е . I L i I(U) U0/R U

U0 C

A

P

Im I2

B U U1

U0 U2 U3

Е сли выб р ать р аб о чу ю то чку«р » на пад ающ е м у частке х ар акте р и сти ки (у часто к AB во льтампе р но й х ар акте р и сти ки с о тр и цате льным со пр о ти вле ни е м ), то в сх е ме во зни кну т авто ко ле б ани я и е ёр аб о та б у д е т о пи сываться д и ф .у р авне ни ями :

di U 0−i⋅R −U = dt L

,

dU i − I (U ) = dt C

(4)

Во льт-ампе р ну ю х ар акте р и сти куту нне льно го д и о д а мо ж но апр о кси ми р о вать ли б о экспо не ци ально й зави си мо стью [2] : 1 I (еu ): A= =A e⋅ uI m/⋅ exp( −α=⋅ 1u/) u+ ,DD⋅ (exp( ( 5 )µ B , m ≈ 2 гд u ,α = I ,ββ⋅ u=) − 1) , ϕ ≈ 26

В ф о р му ле (5) пе р вый чле н о то б р аж ае т ту нне льный эф ф е кт p-n пе р е х о д а, I Im

U1 U А вто р о й чле н – е сть во льт-ампе р ная х ар акте р и сти ка о б ычно го д и о д а (б е з у чёта пад е ни я напр яж е ни я на со пр о ти вле ни и е го б азы) с о б р атным то ко м I0 , по пр аво чным ко эф ф и ци е нто м “m” и

пот е нциал ом

ϕ T.

те пло вым

I

U I0 Ти по вые пар аме тр ы ту нне льно го д и о д а :

Im = 10 µA = 0.01 A

U 1 = 0.1K0.2 B

I 0 = 1 ⋅ 10 − 8 K 1 ⋅ 10 − 9 A

Рабочий д иапазон 0 < U < 1 В .

П р и тако й апр о кси маци и то чки (U2,I2) и (U3,Im) не зад аются, а по лу чаются как сле д стви е зад авае мых ве ли чи н (Im,U1) и I0 .Вар и р у я не ско лько I0 мо ж но пр и б ли зи те льно о б е спе чи ть и апр о кси маци ю ж е лае мо й (и зве стно й и з паспо р та д и о д а ) то чки (U2,I2). Ли б о ж е во льт-ампе р ну ю х ар акте р и сти кумо ж но апр о кси ми р о вать по ли но мо м 5-й сте пе ни , пр е д ставле нным по сх е ме Го р не р а [3] : I(U)=(((( a5U+a4)U+a3)U+a2)U+a1)U+a0 (6) гд е : a0… a5 нах о д ятся по пяти то чкам гр аф и че ски зад анно й во льт-ампе р но й х ар акте р и сти ко й ту нне льно го д и о д а. Н апр и ме р , д ля гр аф и ка зави си мо сти I(U), по стр о е нно го по то чкам; р е ш ая си сте муи з пяти у р авне ни й U,B 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 I,A 0 0.052 0.023 0.002 0.004 0.013 по лу чи м : a0=0, a1=746.333, a2= -3420.833, a3=5734,375, a4= -4168.667, a5=1119.792 И спо льзу я пр гр аммучи сле нно го р е ш е ни я си сте мы и з д ву х у р авне ни й (4), с у чёто м (5), мо ж но вычи сли ть зави си мо сть U(t) и I(t) . Смо тр и [В.П .Д ьяко но в.Спр аво чни к по алго р и тмам и пр о гр аммам на языке б е йси к д ля пе р со нальных ЭВМ .М .Н ау ка.1987, стр .212]. ТЕ М А 4.4Тр и гге р на ту нне льно м д и о д е . [4]

R1

R2

I + Uп -

C – пар ази тная ёмко сть ТД и мо нтаж а. Uз – си гнал о пр о ки д ывани я тр и гге р а. Uп– и сто чни к пи тани я.

U C

Uз

Вр е ме нные х ар акте р и сти ки о то б р аж аются у р авне ни ями : U п − U R1

ил и

dU dt

= i(u ) + C ⋅

:

dU dt

+

U − U з R 2

1 Uп − U U − Uз ⋅ − i −  C  R1 R 2 

=

i

Im (6) I2 U1

U2

U3

U

Во льт-ампе р ну ю х ар акте р и сти куТД апр о кси ми р у е м экспо не нтами :

I (U ) = A 1 ⋅ U ⋅ exp( − α ⋅ U ) + A 2 ⋅ (exp( α 2 ⋅ U ) − 1)

(7 )

Зад авая тр и то чки (U1,Im), (U2,I2), (U3,Im) и д о б авляя 4-о е у сло ви е , не о б х о д и мо е д ля ф о р ми р о вани я по лно й си сте мы у р авне ни й с че тыр ьмя не и зве стными :

A1, A2 , α 1 , α 2

dI ( u ) = A 1 ⋅ (1 − α 1 ⋅ u ) ⋅ exp( −α 1 ⋅ u ) + α 2 ⋅ A 2 ⋅ exp( α 2 ⋅ u ) = 0 du пр и U=U1. Д ля у пр о щ е ни я вычи сле ни й пр и ме м д о пу щ е ни я :

A 2 ⋅ (exp( α 2 ⋅ u 1) − 1) = 0 A 1 ⋅ u 3 ⋅ exp( −α 1 ⋅ u 3 ) = 0 exp(α 2 ⋅ u 3) = 0 П о лу чи м си сте муу р авне ни й :

A 1 ⋅ (1 − α 1 ⋅ u ) ⋅ exp( − α 1 ⋅ u ) = 0

A 1 ⋅ u 1 ⋅ exp( − α 1 ⋅ u 1 ) = Im A1 ⋅ u 2 ⋅ exp(−α 1 ⋅ u 2 ) + A2 ⋅ exp(α 2 ⋅ u 2) = I 2 A2 ⋅ exp(α 2 ⋅ u 3) = Im Р е ш е ни е это й си сте мы у р авне ни й :

A1=Im*e/U1

α1 = 1

U1 α 2 = [ln(I 2 / Im− (U 2 / U 1) ⋅ exp((U 1 − U 2) / U 1)] /(U 2 − U 3)

(8)

A2 = exp(−α 2 ⋅ u 3) ⋅ Im e=2.718281828 Д ля чи сле нно го р е ш е ни я д и ф .у р авне ни я (6) с у чёто м (7) , (8) мо ж но пр и ме ни ть люб ые и з р азно стных ф о р му л Эйле р а и ли Р у нге -Ку тта. 5.М о д е ли р о вани е о б ъе кто в, р азно стные у р авне ни я ко то р ых выво д ятся не по ср е д стве нно из анали за ф и зи ки пр о це ссо в в эти х о б ъе ктах . П р и ме р ы.

Р ассмо тр и м д и нами куи зме не нни я чи се нно сти по пу ляци и (на е д и ни це пло щ ад и ) в пр о це ссе р о ж д е ни я и ги б е ли и нд и ви д о в по пу ляци и пр и взаи мо д е йстви и с о кр у ж ающ е й ср е д о й. О б о значи м чи сле нно сть (и ли пло тно сть) по пу ляци и в мо ме нт t : x(t). О тно си те льный пр и р о ст

δ ( x) за от р е зок вр е м е ни ∆t буд е т : x(t + ∆t ) − x(t ) δ ( x) =ˆ ∆t

М альту с пр е д ло ж и л пр о сту ю ги по те зуо пр о по р ци о нально сти о тно си те льно го пр и р о ста ве ли чи не по пу ляци и :

δ ( x) = k ⋅ x(t ) k ≥ 0 − коэф . пр ир ост а. x(t + ∆t ) − x(t ) = k ⋅ x(t ) ∆t

П ол агая от р е зок ∆t д искр е т изации вр е м е ни р авны м усл овной е д е нице ∆t = 1 / сут ки , час,ми ну та, и т.п./по лу чи м д и скр е тну ю мо д е ль по пу ляци и по М альту су: x i+1=(k+1)x i. Фе р х люст и П и р л пр е д ло ж и ли у то чни ть мо д е ль : о пр е д е лять ко эф .пр и р о ста как р азни цу ко эф .р о ж д ае мо сти p>=0 и сме р тно сти c<=1 :k=p-c и счи тать, что ко эф .сме р тно сти ли не йно зави си т о т ве ли чи ны по пу ляци и :

c =α +b⋅x Тогд а ; k = p − α − b ⋅ x =ˆa − b ⋅ x , a =ˆp − α

С л е д оват е л ьно; x(t + ∆t ) − x(t ) = (a − b) ⋅ x , xi + 1 = xi + axi − bxi 2 xi + 1 = (a + 1) ⋅ xi − bxi 2 с с

α

α x

xпо р

x

α , x < xпор c= α + ( x − xпор ) ⋅ b, x > xпор

Фу нкци я c(x) д ля это й мо д е ли по казана на р и су нке . П р е д ставляе т и нте р е с мо д е ль, в ко то р о й ко эф .сме р тно сти начи нае т у ве ли чи ваться ли ш ь по сле то го как пло тно сть по пу ляци и стане т б о льш е не ко то р о го по р о га. П р о гр амма мо д е ли р о вани я : это мо ж е т б ыть, напр и ме р : --- по и ск стаци о нар но го со сто яни я по пу ляци и , --- по и ск мо ме нта, ко гд а по пу ляци я выр о ж д ае тся, выми р ае т, --- о пр е д е ле ни е значе ни й “a” и ”b” пр и ко то р ых насту пают пе р и о д и че ски е ко ле б ани я чи сле нно сти по пу ляци и , --- и д р у ги е зад ачи , см.[11]. 5.2.М о д е ль х и щ ни к-ж е р тва. И ме ются по пу ляци и д ву х ви д о в, о д и н и з ко то р ых пи тае тся д р у ги м. П о ве д е ни е это й си сте мы о пи сывае тся со о тно ш е ни ями :

xi + 1 = xi + a1xi − b1xi 2 − q1xiyi , x 0 = c1, y 0 = c 2 yi + 1 = yi + a 2 yi + b 2 yi 2 − q 2 xiyi гд е : xi –чи сле нно сть (пло тно сть) ж е р тв, yi – х и щ ни ко в, a1, b1 (a2,b2) ко эф .р о ж д ае мо сти и сме р тно сти ж е р тв (х и щ ни ко в),

q1- ко эф .защ и ты ж е р тв, q2 – ко эф .пр о ж о р ли во сти х и щ ни ко в. П р о гр амма мо д е ли р о вани я : --- и ссле д о вать гр аф и ки д и нами ки каж д о го ви д а. --- выясни ть х ар акте р зави си мо сти пе р и о д и че ски х ко ле б ани й чи сле нно сти ж е р тв и х и щ ни ко в о т a,b,c,q. --- и д р у ги е зад ачи , см.[11].

5.3.Д и нами ка насе ле ни я р е ги о на с у чёто м р аспр е д е ле ни я по во зр астным гр у ппам. П каж е м как стр о и тся такая и и м по д о б ные мо д е ли . О б о значи м пло тно сть (по пло щ ад и ) и ли чи сло ж и те ле й р е ги о на x(t) .О б о значи м ср е д нюю пр о д о лж и те льно сть ж и зни че ло ве ка T ле т (це ло е чи сло ). Н апр и ме р , T=80 ле т. Р азо б ьём всё насе ле ни е на “T” во зр астных гр у ппс и нте р вало м в 1 го д ж и зни . То гд а ко ли че ство ж и те ле й , во зр аст ко то р ых в мо ме нт анали за р аве н t, t=1,2,3,… ,T со стави т масси в N(t).Выд е ли м и з не го тр и по д мно ж е ства. П о д мно ж е ство д е те й :

Ng=N(i) ,i=1,2,3,… ,I I макси мальный во зр аст это й гр упы (напр и ме р , I=17 ле т).П о д мно ж е ство р о д и те ле й : Np=N(j), j=I+1,I+2,… ,J гд е J – макси мальный во зр аст в гр у ппе р о д и те ле й (напр и ме р ,J=40 ле т). П о д мно ж е ство по ж и лых :Nп=N(k) , k=J+!,J+2,… ,T. П о ни мае м , что во зр астная гр у ппа N(T) вся у ми р ае т че р е з го д е сте стве нно й б и о ло ги че ско й гд е

сме р тью. Д ля по д мно ж е ства р о д и те ле й вво д и м х ар акте р и сти ку: каж д ая се мья за и нте р вал ле т о т I+1 д о J и ме е т D д е те й.Сле д о вате льно д ля мате мати чско й мо д е ли мо ж но счи тать, что в ср е д не м каж д ый р о д и те ль за и нте р вал ле т сво е й ж и зни о т I+1 д о J б у д е т и ме ть D/2 д е те й. Д але е , д ля каж д о го по д мно ж е ства вво д и м сво и ко эф ф и ци е нты сме р тно сти (о т б о ле зне й, катастр о ф и д р у ги х пр и чи н) :Cg,Cp,Cп<1. А лго р и тм мо д е ли . 1.Вве сти и сх о д ные д анные д али мо д е ли :T,I,J,D,Cg,Cp,Cп . 2.Вве сти масси в и сх о д но го р аспр е д е ле ни я насе ле ни я по во зр астам N(T).Н апр и ме р , р авно ме р но е р аспр е д е ле ни е : N(T)=N0. Ко нстантуN0 у д о б но взять N0=1, по ни мая по д это й у сло вно й е д и ни це й,скаж е м, 1000 и ли 100000 ж и те ле й . 3.Выве сти на экр ан гр аф и к и сх о д но го р аспр е д е ле ни я чи сла ж и те ле й по во зр астам д ля начально го

м ое нт а вр е м е ни τ = 0 и начал ьного кол иче ст ва ж ит е л е й под м нож е ст в и обще е чи сло ж и те ле й.(М g,М р ,М п,М =М g+М р +М п).

М =М g+М р +М п

N

τ =0 I

М g = ∑ N (t ) t =1

Мр =

J

∑ N (t )

Мп =

T

∑ N (t )

t = J +1

t = I +1

1 2

… .I I+1… . J J+1… .T

t

А нали з д и нами ки и зме не ни я насе ле ни я по во зр астам пр о во д и м в те ку щ е м д и скр е тно м вр е ме ни

τ

с и нте р вало м в 1 го д . За каж д ый те ку щ е й го д пр о и сх о д ят сле д у ющ и е со б ыти я. 1/ Так как каж д ый р о д и те ль (в ср е д не м) за и нте р вал ж и зни в [J – (I+1)] ле т б у д е т и ме ть D/2 д е те й,то , о пять ж е в ср е д не м , д ля д и нами ки мате мати че ско й мо д е ли мо ж но счи тать, что за 1 го д в каж д о й во зр астно й гр у ппе по д мно ж е ства р о д и те ле й по яви ло сь д е те й :

D/2 ⋅ N (t ) , t = I + 1 , I + 2 , ... , J J − ( I + 1) Су ммуд е те й по яви вш и х ся за это т го д увсе х р о д и те ле й зате м сле д у е т пр и сво и ть пе р е ме нно й N(1). 2/ Ко ли че ство ж и те ле й каж д о й во зр астно й гр у ппы у ме ньш и ло сь на чи сло у ме р ш и х в это й во зр астно й гр у ппе . П о это мунад о все м пе р е ме нным N(t), t=1,2,… ,(T-1) пр и сво и ть но вые значе ни я : N(t):=N(t) – CN(t) со сво и ми Cg,Cp,Cпд ля каж д о го по д мно ж е ства во зр асто в . 3/ За это т ж е го д анали за все во зр астные гр у ппы по стар е ли на 1 го д . П о это мунад о все пе р е ме нные N(t) “сд ви ну ть на 1 го д ” , т.е . пр о и зве сти пе р е пр и сваи вани е : N(k):=N(k – 1) , k=T,T-1,T-2,… ,4,3,2

N (1) :=

J

D/2

∑ J − ( I + 1) ⋅ N (t )

t = I +1

П р и это м стар ш ая во зр астная гр у ппа N(t) по сле пе р е пр и сваи вани я авто мати че ски у д аляе тся и з но во го р яд а N(t) – е сте стве нная б и о ло ги че ская сме р ть. 4/ И так, сле д у ющ и ми пу нктами алго р и тма д о лж ны б ыть ци клы, р е али зу ющ и е пр о и сх о д ящ и е каж д ый го д со б ыти я. 5/ Выво д на экр ан но во го р аспр е д е ле ни я чи сла ж и те ле й по во зр астам и выво д те ку щ и х значе ни й

ве л ичин τ и м .

6/ П ау за 2-5 се ку нд д ля наб люд е ни я гр аф и ка. П р о гр амма д о лж на пр е д у сматр и вать во змо ж но сть во спр и яти я с клави ату р ы во вр е мя пау зы ко манд ы о стано ва анали за и пр и ёма но вых и сх о д ных д анных д ля пр о д о лж е ни я анали за д и нами ки насе ле ни я в и зме няющ и х ся у сло ви ях . 7/ Во звр ат к пу нкту----3. В о пи санно й мо д е ли не у чи тываются зави си мо сти ко эф ф и ци е нто в смкр тно сти о т пло тно сти насе ле ни я и о т д р у ги х ф акто р о в, а так ж е не у чи тываются во змо ж ные и р е ально и нте р е сные зави си мо сти , ко то р ые , о д нако , не сло ж но вве сти в пр и ве д ённу ю пр и ме р ну ю сх е муалго р и тма.

Ли те р ату ра 1.Го но р о вски й И .С.Р ад и о те х ни че ски е це пи и си гналы. у че б ни к д ля ву зо в –4-е и зд .-М :Р ад и о и связь,1986. 2.Д ьяко но в В.П .Спр аво чни к по р асчётам на ми кр о кальку лятар ах . -3-е и зд . –М : Н ау ка,1989. 3. Д ьяко но в В.П .Спр аво чни к по алго р и тмам и пр о гр аммам на языке БЕ Й СИ К д ля пе р со нальных ЭВМ : спр аво чни к –М :нау ка,1987. 4.Тр о х и ме нко Я .К., Люб и ч Ф.Д .Р ад и о те х ни че ски е р асчёты на пр о гр амми р у е мых ми кр о кальку лято р ах : спр аво чни к . –2-е и зд . –М :Р ад и о и связь, 1988. 5.Спр аво чни к по спе ци альным ф у нкци ям /по д р е д акци е й М .А б р о мо ви ца и И .Сти ган. пе р е в. с англ. –М :нау ка ,1979 /стр 692/. 6.Ш е ле ст А .Е . М и кр о кальку лято р ы в ф и зи ке . –М :нау ка,1988 /гл. 6/. 7.И нж е не р ные р асчёты на ЭВМ :спр аво чно е по со б и е /по д р е д .В.С.Тр о и цко го –Л:М аш -е ,1979. /пар аг.5.8/ 8.Д ьяко но в В.П .Спр аво чни к по р асчётам на ми кр о кальку лятар ах . -3-е и зд . –М : Н ау ка,1989. /пар аг.5.11/. 9.И льи н В.Н .О сно вы авто мати зи р о ванно го сх е мо те х ни че ско го пр о е кти р о вани я -М :Эне р ги я,1979. 10.Кали тки н Н .Н .Ч и сле нные ме то д ы. –М :нау ка,1978. /гл. 8/ 11.И нф о р мати ка и о б р азо вани е № 5,1990. 12.Со б о ль И .М .М е то д М о нте -Кар ло . –М :нау ка ,1972 и зд . 2-е . 13.Со ве то в Б.Я ..,Я ко вле в С.А . М о д е ли р о вани е си сте м. Лаб о р ато р ный пр акти ку м –М :ВШ .,1989.

14.Стр е ляно в А .И .П р о и зво д ство вычи сле ни й на пр о гр амми р у е мых ми кр о кальку лято р ах /М К-52, М К-54, М К-61/ -Л: М аш и но стр о е ни е ,1990. 15.ЭВМ в ку р се о б щ е й ф и зи ки /П .Е .Бу лки н и д р . по д р е д .А .Н .М атве е ва –М : и зд -во М ГУ ,1982.

П Р И ЛО Ж Е Н И Е 1 Р азно стные ф о р му лы чи сле нно го р е ш е ни я д и ф .у р авне ни й.

− − − Разност ая апр оксим ация пр оизвод ны хdy / dt , d 2 y / dt 2 : ∆y (tk ) yk + 1 − yk − 1 , h = tk − tk − 1 , yk = y (tk ) = 2h ∆t ∆2 yk yk + 1 − 2 yk + yk − 1 = ∆t 2 h2 − − − П р ост е йш ая р азност ная ф ор м ул а числ е нного р е ш е ния д иф . ур авне ния1 − гопор яд ка : dy dy = f (t , y ) ил и = f ( x(t ), y ) dt dt yk + 1 = yk + hf (tk , yk ) + O(h 2 ) , h = tk + 1 − tk − ф ор м ул а Э йл е р а 1 − гопор яд ка . - -- - У сто йчи во сть р азно стно го ме то д а. Е сли о ш и б ка о т ш ага к ш агуу ве ли чи вае тся – это пр и во д и т к не ве р ным р е зу льтатам. В это м слу чае го во р ят, что д анная зад ача не у сто йчи ва.О б о значи м по гр е ш но сть вычи сле ни й на к-м ш аге

ε k . Тогд а ε к + 1 = gεк . g − назы вают м нож ит е л е м пе р е ход а .

Ч то б ы чи сле нный ме то д б ыл у сто йчи в не о б х о д и мо , выпо лне ни я у сло ви я :

ε k . < ε к + 1 ил и g ≤ 1 Д ля у р авне ни я dy/dt=f(t,y) , р е ш ае мо го по ф о р му ле Эйле р а пе р во го по р яд ка, мно ж и те ль пе р е х о д а р аве н [6] :

дf дf ⋅ h =ˆ1 + α , α =ˆ ⋅ h дy дy М е т од уст ойчив е сл и : − 1 ≤ 1 + α ≤ 1 от куд а л е гкоопр е д е л ит ь м аксим ал ьнод опуст им ую ве л ичину ш ага h ит е р аций: 2 h≤− дf /дy g = 1+

Д ля си сте мы д и ф .у р -и й :

dy dz = f 1(t , y, z ) , = f 2(t , y, z ) dt dt Р азно стная сх е ма Эйле р а д аёт : yk+1=yk+hf1(tk,yk,zk) zk+1=zk+hf2(tk,yk,zk)

1 0  Уст ойчивост ь опр е д е л яе т ся м ат р ице й пе р е ход а G = I + A гд е : I =   − е д иничная  0 1 дf1  дf1 ⋅h ⋅h   дy дz   м ат р ица , A =  дf 2 дf 2  ⋅h ⋅ h  дz   дy П оэт ом у : дf1   дf1 ⋅h ⋅h  1 + дy дz   G = дf 2 дf 2  ⋅ h 1+ ⋅ h  дz   дy Д ля то го ,что б ы сх е ма р асчёто в б ыла у сто йчи ва не о б х о д и мо , что б ы со б стве нные значе ни я матр и цы

G не вы ход ил и за пр е д е л ы инт е р вал а [−1,1] . С обст ве нны м и значе ниям и м ат р ицы назы вают кор ни λ хар акт е р ист иче скогом ногочл е на : det( A − λ I ) = amλm + am − 1λm −1 + ... + a1λ + a 0 = 0 О бозначив : A =ˆ1 +

дf1 дf 2 ⋅ h , B =ˆ1 + ⋅ h пол учим усл овие уст ойчивост и р е ш е ния ( П 1) : дy дz

A + B ± A 2 + B 2 − 2 AB + 4h 2 ( A − 1)( B − 1) ≤ 1 Спр авка не ко то р ых р азно стных ф о р му л У р авне ни е 1-го по р яд ка dy/dt=f(t,y) 1.М е то д Эйле р а 1-го по р яд ка :yk+1=yk+hf(tk,yk)

ε = О ( h) , g = 1 + α , α =

дf ⋅h дy

2.М е то д Эйе р а 2-го по р яд ка (д ву х ш аго вые ме то д ы).

yk+0.5=yk+(h/2)f(tk,yk) yk+1=yk+hf(tk+(h/2),yk+0.5)

и ли : (у со ве р ш е нство ванный ме то д Эйле р а-Ко ш и ) :

y*k+1=yk+hf(tk,yk) yk+1=yk+(h/2)f((tk,yk)+f(tk+1,y*k+1)) и ли : y*k+1=yk+2hf(tk,yk) yk+1=yk+(h/2)[f(tk,yk)+f(tk,y*k+1)] α2 2 ε = O(h 2 ) , g = 1 + α + ,h≤− 2 дf /дy 3.Н е явный ме то д Эйле р а.

yk+1=yk+(h/2)[f(tk,yk)+f(tk,yk+1)] , ε = O(h 2 ) М е то д аб со лютно у сто йчи в, но ф о р му ла не все гд а р азр е ш и ма в явно м ви д е . 3.А .О б щ ая ф о р му ла со че тани я явно го и не явно го ме то д о в.

yk+1=yk+h[А f(tk,yk)+(1-А )f(tk,yk+1)] , А – чи сле нный ко эф ф и ци е нт. П р и А =1 по лу чае м явный ме то д Эйле р а. П р и А =0 не явный.П р и 0<А <1 – ко мб и ни р о ванный [9]. П р и это м не у сто йчи во сть о тсу тству е т, е сли 0<А <0.5 .

П р и А ≈ 0.5 погр е ш ност ь ε = О (h 2 ) . П р и ме р ы, ко гд а ф о р му ла р азр е ш и ма в явно м ви д е . П р и ме р П 1.

dU U =− τ dt

Uk + 1 = Uk +

от куд а : Uk + 1 =

2τ − h Uk 2τ + h

h Uk Uk + 1 (− − ) τ 2 τ

R

U(t)

C

Uc(t )

П р и ме р П 2.Во зе йстви е си гнала пр о и зво льно й ф о р мы на и нте гр и р у ющ у ю це пь.

dUc U (t ) − Uc(t ) = dt RC обозначив : y =ˆUc(t ) пол учим : yk+1=yk+(h/RC)[(Uk-yk)A+(1-A)(Uk-yk+1)]

yk + 1 =

yk +

h [ A(Uk − yk ) + (1 − A)Uk RC h 1+ (1 − A) RC

4.М е то д ы Р у нге -Ку тта. М е то д ы Р у нге -Ку тта и ме ют то чно сть заме тно выш е пр е д и д у щ их. Д ля д и ф .у р -и я 1-го по р яд ка : dy/dt=f(t,y) Фо р му ла Р у нге -Ку тта 2-го по р яд ка :

yk + 1 = yk + h[(1 − α ) f (tk , yk ) + α ⋅ f (tk +

h h , yk + fk )] , fk = f (tk , yk ) 2 ⋅α 2 ⋅α

обы чнобе р ут α = 1 л ибоα = 0.5 . Д л яα = 1 : h h yk + 1 = yk + h ⋅ f (tk + , yk + fk ) , fk = f (tk , yk ) 2 2 Д л яα = 0.5 :

h yk + 1 = yk + [ f (tk , yk ) + f (tk + h, yk + hfk )] , fk = (tk , yk ) 2 Фо р му ла Р у нге -Ку тта 4-го по р яд ка,и спо льзу е мая в б о льш и нстве станд ар тных пр о гр амм ЭВМ .

yk+1=yk+h/6(k1+2k2+2k3+k4) K1=f(tk,yk) , k2=f(tk+h/2,yk+(h/2)K1 ) , k3=f(tk+h/2,yk+(h/2)K2 ) , k4=f(tk+h/2,yk+(h/2)K3 ) Д ля си сте мы д ву х у р авне ни й : dy/dt=f1(t,y,z) , dz/dt=f2(t,y,z) ф о р му ла Р у нге -Ку тта 4-го по р яд ка и ме е т ви д :

yk+1=yk+h/6(k1+2k2+2k3+k4) zk+1=zk+h/6(Q1+2Q2+2Q3+Q4) K1=f1(tk,yk,zk) k2=f1(tk+h/2,yk+(h/2)K1,zk+(h/2)Q1 ) k3=f1(tk+h/2,yk+(h/2)K2,zk+(h/2)Q2 ) k4=f1(tk+h,yk+hK3,zk+hQ3 ) Фо р му ла Р у нге -Ку тта д ля д и ф .у р -и я 2го по р яд ка

Q 1=f2(tk,yk,zk) Q 2=f2(tk+h/2,yk+(h/2)K1,zk+(h/2)Q1 ) Q 3=f2(tk+h/2,yk+(h/2)K2,zk+(h/2)Q2 ) Q 4=f2(tk+h,yk+hK3,zk+hQ3 ) 5:

y ′′ = f ( x, y, y ′) 1 yn + 1 = yn + h[ y ′n + (k 1 + k 2 + k 3)] + O(h 5 ) 6 1 y ′n + 1 = y ′n + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4) 6 k 1 = h ⋅ f ( xn, yn, y ′n) h h h k1 k 2 = h ⋅ f ( xn + , yn + y ′n + k 1, y ′n + ) 2 2 8 2 h h h k2 k 3 = h ⋅ f ( xn + , yn + y ′n + k 2, y ′n + ) 2 2 8 2 h k 4 = h ⋅ f ( xn + h, yn + hy ′n + k 3, y ′n + k 3) 2 Фо р му ла Р у нге -Ку тта д ля д и ф .у р -и я 2-го по р яд ка

5:

y ′′ = f ( x, y )

1 yn + 1 = yn + h[ y ′n + (k 1 + 2k 2)] + O(h 4 ) 6 Заме ти м, что и ме нно ф о р му ла 4-го по р яд ка то чно сти , запи санная д я си сте мы пр о и зво льно го 1 чи сла о р4ядk 2ка, ′n й+ 1-го(k 1п+ y ′nд+и1ф =.уyр -и + ле k 3)ж и т в о сно ве б о льш и нства станд ар тных пр о гр амм д ля ЭВМ .

6

k 1 = h ⋅ f ( xn, yn ) h h h k 2 = h ⋅ f ( xn + , yn + y ′n + k 1) 2 2 8 h k 3 = h ⋅ f ( xn + h, yn + hy ′n + k 2)

Д о сто и нства сх е м Р у нге -Ку тта : 1.Фо р му лы 2-,3- и 4-го по р яд ка то чно сти и ме ют х о р о ш у ю то чно сть. Каки ми и з ф о р му л Ру нге -Ку тта це ле со о б р азно по льзо ваться ? Е сли пр авая часть д и ф .у р авне ни я не пр е р ывна и о гр ани че на вме сте со сво и ми пр о и зво д ными че твёр тыми (и о ни не сли ш ко м ве ли ки ), то х о р о ш и е р е зу льтаты д аёт сх е ма 4-го по р яд ка. Е сли ж е пр авая часть не и ме е т у казанных пр и зво д ных , напр и ме р , д ля д ву кр атно не пр е р ывно д и ф ф е р е нци р у е мых пр авых часте й, то гд а не х у д ш и е р е зу льтаты д ают пр о стые сх е мы ме ньш е го по р яд ка то чно сти . 2.Фо р му лы Р у нге -Ку тта являются явными ,т.е . значе ни е вычи сляе тся по р ане е найд е нным значе ни ям. 3.Все ф о р му лы д о пу скают р асчёт пе р е ме нным ш аго м. Н е тр у д но у ме ньш и ть ш аг там, гд е ф у нкци я б ыстр о ме няе тся и у ве ли чи ть е го в о б р атно м слу чае . Ш аг сле д у е т выб и р ать насто лько малым, что б ы о б е спе чи ть тр е б у е му ю то чно сть р асчёта, д р у ги х о гр ани чи вающ и х ш аг у сло ви й в ме то д е Ру нге -Ку тта не т. Так как о це нка то чно сти сх е м Р у нге -Ку тта о че нь гр о мо зд ка, то у д о б нне у ме ньш и ть ш аг в д во е д ать апо сто р и о р ну ю о це нкуто чно сти [10,пар .8]. 4.Д ля начала р асчёта д о стато чно выб р ать ш аг h и зад ать t0 и y0 . Знани е пр е д ыд у щ и х значе ни й ф у нкци и не тр е б у е тся,т.е . все ф о -лы Р у нге -Ку тта само стар ту ющ и е . Встр е чаются зад ачи , в ко то р ых ф у нкци и являются д о стато чно глад ки ми , но насто лько б ыстр о ме няющ и ми ся, что сх е мы Р у нге -Ку тта, как 2,3 и 4-го по р яд ко в то чно сти тр е б у ют не пр и е мли мо мало го ш ага д ля по лу че ни я у д о вле тво р и те льно го р е зу льтата. Таки е зад ачи тр е б у ют спе ци альных ме то д о в р е ш е ни я [10,пар .8].

Со стави те ль: Бу д ко В.Н . Р е д акто р :