Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет
КАЧЕСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ И КОНТРПРИМЕРЫ НА ТЕМУ «ПРЕДЕЛЫ» Методические указания
Составители: А.Р. Сибирёва, Н.В. Савинов
Ульяновск 2001
УДК 517(076) ББК 22.161я К 30
Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики УГПУ А.Н. Верник. Одобрено секцией методических пособий научно-методического Совета университета К 30
Качественные задачи и контрпримеры на тему «Пределы». Методические указания/ Сост.: А.Р. Сибирёва, Н.В. Савинов.Ульяновск, 2001, – 30 с. Методические указания составлены в соответствии с учебной программой по курсу математического анализа специальности «Прикладная математика». Указания предназначены для самостоятельной и индивидуальной работы студента над теоретическим материалом. Сборник содержит качественные задачи по теме «Пределы», даны образцы решения задач. Методические указания способствуют успешному усвоению темы и совершенствованию математического аппарата студента. Работа подготовлена на кафедре «Высшая математика» УДК 517(076) ББК 22.161я
© Ульяновский государственный технический университет
3
СОДЕРЖАНИЕ § 1. Предел числовой последовательности.......................................................... 4 1. Определение предела числовой последовательности. 2. Свойства пределов. 3. Сходимость и ограниченность последовательности. 4. Предельные точки последовательности (частичные пределы). 5. Нижний и верхний пределы последовательности. 6. Критерий Коши сходимости последовательности. § 2. Предел функции..............................................................................................12 1. Определение предела функции по Гейне и Коши. 2. Предел функции по базе. Односторонние пределы, частичные пределы. 3. Свойства пределов функций. § 3. Непрерывность функции...............................................................................17 1. Непрерывность и точки разрыва функции 2. Свойства непрерывных функций. 3. Равномерная непрерывность. § 4. Сходимость в метрических и нормированных пространствах. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, функции комплексной переменной....................................................................21 1. Сходимость в метрических и нормированных пространствах. Сходимость последовательностей функций. Сходимость в n. 2. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. 3. Предел комплекснозначной функции комплексной переменной. ЛИТЕРАТУРА....................................................................................................30
4
§ 1. Предел числовой последовательности.
1.1. 1.2.
П.1. Определение предела числовой последовательности. Сформулировать определение lim x n = b n→∞
а) на «ε-N» языке, б) в терминах окрестностей. Сформулировать определение расходящейся последовательности, отрицая определение предела последовательности. Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если lim x n = 0 , n →∞
и бесконечно большой, если lim x n = ∞ . Если при этом, начиная с некоторого n →∞
номера xn>0, то пишут lim x n = +∞ , если xn<0, то пишут lim x n = −∞ . n→∞
1.3.
n →∞
Сформулировать а) на «ε-N» языке определение бесконечно малой последовательности. Записать, с помощью неравенств, следующие определения в) lim x n = +∞ , г) lim x n = −∞ . б) lim x n = ∞ , n →∞
n→∞
n →∞
1.5.
Сформулировать отрицание каждого утверждения, приведенного в задаче 1.3. Если lim x n = 1 , то может ли последовательность содержать
1.6.
а) члены, больше 1000, б) отрицательные члены, в) только отрицательные члены, г) члены, равные 1? Ответ обосновать. Привести примеры. Доказать, исходя из определения предела последовательности, что
1.4.
n→∞
число 1 является пределом последовательности x n = Доказательство. Рассмотрим модуль разности xn − 1 =
n (n=1,2,...). n +1
n 1 −1 = . n +1 n +1
Возьмем произвольное число ε>0. Неравенство |xn-1|<ε будет выполне1 1 < ε , т.е. при n > − 1 . В качестве N возьмем какое-нибудь натуn +1 ε 1 1 ральное число, удовлетворяющее условию N > − 1 . Пусть N = [ − 1] , то есть
но, если
ε
N- целая часть числа
1
ε
−1.
ε
Тогда для всех n≥N выполнены неравенства
n 1 }, < ε . Это и означает, что 1 есть предел последовательности { n +1 n +1 n = 1. т.е. lim n→∞ n + 1 xn − 1 =
1.7.
Доказать, исходя из определения, что
5
n 2n + 3 2n + 1 1 = 2 , в) lim = 0 , г) lim n = 1 . = 1 , б) lim n →∞ 3 n→∞ n + 5 n →∞ n + 1 n →∞ 2 3n − 5 Дана последовательность с общим членом x n = . Известно, что 9n + 4 1 lim x n = . Найти число точек xn, лежащих вне окрестности n →∞ 3 1 1 1 1 1 ) точки . ( − ; + 3 100 3 100 3 n
а) lim
1.8.
1.9.
На основе определения расходящейся последовательности доказать, 1 n
что последовательность {(−1) n + } расходится. Доказательство. Нужно доказать, что никакое число не является пределом данной последовательности. Отметим на числовой прямой несколько членов последовательности, например, x1=0,x2=3/2,x3=-2/3,x4=5/4,x5= - 4/5, x6=7/6,..., x12=13/12, x13= -12/13. x5 x1 x6 ° ° ° ° ° ° ° ° -1 x13 x3 0 1 x12 x4 x2 2 Этот рисунок показывает, что расстояние между двумя соседними членами последовательности больше 1. Докажем, что это действительно так для любых двух соседних членов. Из этих членов один имеет четный номер n=2k и 1 > 1 . Соседний член имеет нечетный номер 2k+1 (или 2k-1) и 2k 1 1 = −1 + < 0 (или x 2 k −1 = −1 + ≤ 0 ). 2k + 1 2k − 1
x2k = 1 + x 2 k +1
Отсюда следует, что |xn-xn+1|>1. Для произвольного числа a возьмем окрестность единичной длины – 1 2
1 2
интервал (a − ; a + ) . Любые соседние члены xn и xn+1 оба вместе не могут находиться в этой окрестности, так как расстояние между ними больше 1. По крайней мере один из этих членов будет лежать вне окрестности. Таким образом, для любого числа а существует ε=1/2 такое, что для любого натурального N найдется n, равное либо N, либо N+1, такое, что |xna|>1/2=ε. Это и означает, что данная последовательность расходится. 1.10. На основе определения расходящейся последовательности доказать, что последовательность расходится а) (−1) n
4n + 3 π ; б) sin( n) . n 2
1.11. Доказать, что а) lim n = +∞ , lim n 2 = +∞ ; n→∞ n→∞ г) lim 2 n→∞
n
= +∞ ;
б) lim(5 − 0.5n) = −∞ ; n→∞
д) lim ln ln n = +∞ n→∞
в) lim(−1) n n = ∞ ; n→∞
6
1.12. Доказать, что если {xn}- бесконечно большая последовательность 1 xn
(xn≠0), то { y n } = { } бесконечно малая последовательность. Обратно, если {yn}- бесконечно малая последовательность (yn≠0), то {x n } = {
1 } бесконечно большая последовательность. yn
1.13. Доказать, что последовательность {an} является 1) бесконечно большой при |a|>1, 2) бесконечно малой при |a|<1. П.2. Свойства пределов. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями. 1) Если существует lim x n , то для любого a существует lim(аx n ) = а lim x n . n →∞
n→∞
n →∞
2) Если существуют lim x n и lim y n , то n →∞
n→∞
а) существует lim( x n + y n ) = lim x n + lim y n ; n→∞
n →∞
n→∞
б) существует lim( x n ⋅ y n ) = lim x n ⋅ lim y n ; n→∞
n →∞
n →∞
в) если yn≠0 и lim y n ≠ 0 ,то существует lim n→∞ n→∞
xn x n lim = n →∞ . y n lim y n n →∞
2.1.
Если существует lim( x n + y n ) , то существуют ли lim x n , lim y n ? n→∞
n →∞
n→∞
Если ответ положительный – доказать, если отрицательный – привести примеры. 2.2. Если существует lim( x n ⋅ y n ) , то существуют ли lim x n , lim y n ? n→∞
2.3. 2.4.
2.5.
n→∞
n→∞
Если {xn} и {yn} расходятся, то могут ли сходится {xn+yn}, {xn⋅yn}? Доказать, что если последовательность{xn} – бесконечно мала, а последовательность {yn} – ограниченная, то {xn⋅yn} – бесконечно малая последовательность. Если последовательность (xn) бесконечно малая, а yn – произвольная, то можно ли утверждать, что lim( x n ⋅ y n ) = 0 ? n→∞
2.6.
Пусть lim xn = +∞ и yn≥c для всех n∈N. n→∞
а) Доказать, что lim( x n + y n ) = +∞ , n→∞
б) Доказать, что при с>0 lim( x n ⋅ y n ) = +∞ n→∞
2.7.
Будет ли верно утверждение 2.6, если {yn} – произвольная последовательность?
Свойства пределов, связанные с неравенствами. 1) Если lim x n = lim z n = a и для всех n, начиная с некоторого, xn≤yn≤zn, то n →∞
n →∞
lim y n = а (теорема о трех последовательностях). n →∞
7
2) Если lim x n = a и для всех n, начиная с некоторого, xn≥b (или xn≤c), то a≥b n →∞
(или a≤c). 3) Если lim x n > a (или lim x n < b ), то для всех n, начиная с некоторого, xn>a n→∞
n→∞
(или xn
Доказать, что lim
2.8.
Доказательство. Для всех n≥15 верно неравенство
5 1 ≤ , поэтому n 3
5 1 0 < ( ) n ≤ ( ) n при n≥15. Здесь слева и справа стоят члены последовательности, n 3
имеющие пределом нуль. Значит, по теореме о трех последовательностях, 5 lim( ) n = 0 . n→∞ n
Доказать, используя теорему о трех последовательностях, что
2.9.
3 n
а) lim( ) n = 0 , n →∞
log a n = 0 , a>0 (использовать log a x < x ). n→∞ n2
б) lim
2n 2.10. Доказать, что lim = 0 . n → ∞ n!
Доказательство.
Если
k≥4,
2/k≤1/2,
поэтому
n
при
n≥4
n
2 8 2...2 4 1 n −3 32 1 n 32 1 2 = ⋅ ≤ ( ) = ( ) . Так как lim ( ) n = 0 , то и lim =0. n→∞ 3 n → ∞ n! n! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 4...n 3 2 3 2 2 an 2.11. Доказать, что для любого a>0 lim = 0 . n → ∞ n! 0<
Для достаточно большого n, что больше 100n или n! ? П.3. Сходимость и ограниченность последовательности. 3.1. Сформулируйте определение ограниченной последовательности, отрицание этого определения. 3.2. Верно ли утверждение: а) если последовательность ограничена, то любая ее подпоследовательность ограничена; б) если последовательность неограничена, то любая подпоследовательность неограничена; в) если последовательность неограничена, то хотя бы одна подпоследовательность неограничена; г) если последовательность неограничена, то существуют ограниченные и неограниченные подпоследовательности; д) если последовательность возрастает, то любая её подпоследовательность возрастает; е) если подпоследовательность возрастает, то у неё могут быть убывающие подпоследовательности? 3.3. Верны ли утверждения: а) всякая бесконечно большая последовательность неограничена (сравните соответствующие определения),
8
б) всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой? 3.4. Доказать, что {xn} неограниченная, но не стремится к ∞, если а) x n = n 2 cos(
πn 2
),
б) x n = n ( −1) . Теорема. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Ограниченность последовательности – необходимое условие её сходимости. 3.5. Всякая ли ограниченная последовательность сходится. Верно ли утверждение, обратное сформулированной выше теореме? Является ли ограниченность достаточным условием сходимости? 3.6. Может ли иметь конечный предел неограниченная последовательность? n
Ограниченность последовательности – необходимое условие её сходимости. То есть, если последовательность неограниченная, то она расходится. 3.7.
n2 − 5 Доказать, что последовательность { } расходится. n
Доказательство. Докажем, что данная последовательность неограни5 n
ченная. Имеем x n = n − ≥ n − 5 . Пусть С- произвольное положительное число. Возьмем какое-нибудь натуральное число n0>C+5, тогда x n ≥ n0 − 5 > C . Это означает, что последовательность неограниченная, а поэтому расходится. 3.8. Доказать ссылаясь на необходимое условие сходимости последовательности, что последовательность расходится 0
а) xn=n,
2
б) xn=n ,
n 3 + 2n + 3 в) x n = . n
Теорема. В классе монотонных последовательностей необходимым и достаточным условием сходимости является ограниченность. 3.9. Может ли иметь предел немонотонная последовательность? 3.10. Доказать, что n } монотонно убывает, 4n − 3 1 в) {1 + n } монотонно убывает, 2
а) {
n −1 } монотонно возрастает, n n2 + 1 г) { } монотонно возрастает. n
б) {
Будут ли эти последовательности ограниченными? Будут ли они сходится? n2 2
3.11. Начиная с какого номера последовательность { n } будет убывать? Будет ли она ограниченной снизу? Сходится ли данная последовательность? 3.12. Доказать, что последовательность {un} имеет предел
9
1 2
а) u n = +
1 1 + ... + . 2⋅3 n!
1 2
б) u n = +
1 1 1 + 2 + ... + 2 . 2 2 3 n
П.4. Предельные точки последовательности (частичные пределы). Определение 1. Точка а называется предельной точкой последовательности {xn}, если в любой окрестности точки х0 содержится бесконечно много точек последовательности {xn}. Определение 2. Точка а называется предельной точкой последовательности {xn}, если в любой её окрестности содержится хотя бы одна точка последовательности {xn}, отличная от а. Определение 3. Точка а называется предельной точкой последовательности {xn}, если существует подпоследовательность x p1 , x p 2 ,..., x p n ,... (1≤p1
n
4.1. Докажите эквивалентность определений 1,2,3. 4.2. Для каждой из следующих последовательностей укажите все предельные точки а) x n = 4.3. 4.4.
4.5.
4.6. 4.7.
4.8.
4.9.
n +1 , n
б) x n = (−1) n ,
в) x n = n ( −1) , n
г) xn=n, д)
1 1 2 1 2 3 ; ; ; ; ; ;... 2 3 3 4 4 4
Докажите, что предел последовательности (если он существует) является предельной точкой. Если в любой окрестности точки а содержится бесконечно много членов последовательности, то можно ли утверждать, что а является пределом этой последовательности? Всякая ли предельная точка есть предел последовательности? Придумайте последовательность, у которой а) все предельные точки ей принадлежат, б) существует предельная точка, ей не принадлежащая, в) существует предельная точка, принадлежащая последовательности и предельная точка, ей не принадлежащая. Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов (предельных точек) a1,a2,a3,.. am. Построить пример последовательности, а) не имеющей конечных частичных пределов, б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся, в) имеющей бесконечно много частичных пределов, г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число. Последовательность {an} сходится. Докажите, что {bn}, получающаяся из {an} с помощью изменения номеров членов, сходится к тому же пределу. Доказать, что добавление или отбрасывание конечного числа членов последовательности не изменит её поведения (в смысле сходимости или расходимости).
10
4.10. Докажите, что всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку (принцип Больцано - Вейерштрасса). 4.11. Доказать, что ограниченная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она имеет только одну предельную точку. 4.12. Рассмотрим следующие пять свойств последовательностей: 1) тожественно равняться а, 2)иметь число а пределом, 3)иметь число а предельной точкой, 4)быть ограниченной, 5)стремиться к бесконечности. Каждую последовательность можно охарактеризовать набором из пяти знаков + или -. Например, набор - + + + - означает, что последовательность обладает свойствами 2,3,4 и не обладает свойствами 1,5. Некоторые наборы не имеют смысла, например + + + + +. а) укажите все наборы, имеющие смысл. Для каждого из них постройте последовательность, характеризуемую этим набором. б) докажите, что остальные наборы не имеют смысла. П.5. Нижний и верхний пределы последовательности. Наименьший частичный предел (конечный или бесконечный) последовательности xn lim x n называется нижним пределом, а наибольший частичный _____
n→∞ ____
предел её lim x n называется верхним пределом. n→∞
5.1.
Найти наименьший член следующих последовательностей
а) xn=n2-5n+1; 5.2.
б) x n = n +
100 ; n
в) x n = n + 5 sin
πn 2
.
Найти наибольший член следующих последовательностей
а) x n =
n2 n ; б) x n = . n 2 100 + n 2
5.3. Придумайте ограниченную последовательность, которая а) имеет наибольший и наименьший член, б) имеет наибольший член, но не имеет наименьшего члена, в) не имеет ни наименьшего, ни наибольшего члена. 5.4. Для каждой из следующих последовательностей {xn} найти inf{xn}, ____
sup{xn}, lim x n , lim x n _____
n→∞
n→∞
1 n +1 πn б) x n = cos 2 ; в) x n = (−1) n (2n + 1) ; n n 4 2 + (−1) n 1 n+2 πn − . г) x n = sin ; д) x n = n −1 3 2 n
а) x n = 1+ ;
5.5. 5.6.
Для каких последовательностей пределом является верхняя (нижняя) грань множества их значений? Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает либо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой. Построить примеры.
11 ____
Теорема. Равенство lim x n = lim x n является необходимым и достаточным _____
n→∞
n→∞
условием существования предела (конечного или бесконечного) последовательности xn. 5.7. Доказать, что последовательность {xn} расходится, если 3n + π ; в) x n = sin n . 2n + 1 4 Доказать, что если lim а n = а , то lim а n = а . Вытекает ли из существова-
а) x n = (−1) n n ; 5.8.
б) x n = (−1) n n →∞
n →∞
ния lim а n существование lim а n ? n →∞ n →∞ 5.9.
Для того чтобы lim х n = 0 необходимо и достаточно, чтобы lim х n = 0 . n→∞ n→∞ Докажите это.
П.6. Критерий Коши сходимости последовательности. Критерий Коши. Для существования предела последовательности {xn} необходимо и достаточно, чтобы (∀ε>0)(∃N(ε)∈ )(∀n>N,p>0) |xn-xn+p|<ε. 6.1. а) Сформулировать отрицание критерия Коши. б) Заменить утверждение «последовательность xn расходится» эквивалентным утверждением, не пользуясь ни в каком виде терминами «сходится» или «расходится». Последовательность, удовлетворяющая критерию Коши, называется фундаментальной. 6.2. Доказать, что последовательность {xn} фундаментальна 1 n
в) xn=a+aq+...+aqn, |q|<1, n∈ ; 6.3.
Пользуясь отрицанием условия Коши, доказать, что последовательность расходится
а) xn=5n+7; 6.4. 6.5.
n +1 ; 3n − 2 1 1 1 1 г) 1;−1; ;− ; ;− ... . 2 2 3 3
б) x n =
а) x n = , n∈ ;
б) 0,2 ( −1) n ; n
в)
n cos πn − 1 . 2n
Доказать, что фундаментальная последовательность ограничена. Доказать, что у фундаментальной последовательности любая подпоследовательность фундаментальна.
Множество, всякая фундаментальная последовательность которого, сходится к элементу этого множества, называется полным. 6.6. Будут ли полными 1 n
а) множество рациональных чисел (рассмотреть пример: x n = (1 + ) n , xn∈ ), б) [0;1],
в) (0,1);
г) [0;1),
д) множество действительных чисел.
12
§ 2. Предел функции.
1.1.
1.2. 1.3. 1.4.
П.1. Определение предела функции по Гейне и Коши. Сформулируйте определение предела функции в точке (lim f ( x) = b) x→a
а) по Гейне, б) по Коши на «ε-δ» - языке, в) по Коши в терминах окрестностей. Докажите эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши. Сформулируйте отрицание определений 1.1. Определите, при каких положительных значениях δ из неравенства 0<|x-x0|<δ следует неравенство |f(x)-b|<ε, если а) f(x)=x2, x0=2, b=4, ε=0,001;
1.5.
б) f(x)=sin x, x 0 =
π
2
, b=1, ε=0,01;
в) f(x)=sign x, x0=0, b=1, ε=1,5. f(x)=3x-2. Пользуясь «ε-δ» -определением предела функции, доказать, что lim f ( x) = 4 . Каково должно быть δ, чтобы при 0<|x-2|<δ имело меx→2
сто неравенство |f(x)-4|<0,001? Решение. Нам надо доказать, что для всякого ε>0 существует такое δ>0, что из неравенства 0<|x-2|<δ следует, что |f(x)-4|<ε. Зададим ε>0 и составим выражение |f(x)-4|=|3x-2-4|=3| x-2|<ε. Отсюда ε
| x-2|<ε/3, возьмем δ < . Для всех значений х, удовлетворяющих условию 3
ε
|x-2|<δ, будет f ( x) − 4 = 3 x − 2 < 3δ < 3 ⋅ = ε . Следовательно, lim(3x − 1) = 4 . Чисx→2
3
ε
ло δ определяется из неравенства δ < . В частности, если ε=0,001, то можно 3
взять δ = 1.6.
0,001 . 3
Пользуясь определением предела функции, доказать, что 1 2
а) lim(2 x + 1) = 7 . По заданным значениям ε 1 = 1, ε 2 = , ε 3 = x →3
1 подобрать 100
соответствующие δ1,δ2,δ3. б) lim ln x = 0 . При каких положительных значениях δ из неравенства |xx →1
1|<δ следует неравенство |ln x|<1, |ln x|<0,1, |ln x|<0,01. 3x 2 − 4 x + 1 =2, x →1 x −1
в) lim
3x 3 − 3x 2 = 3. x →3 x−3
г) lim
1.7. Сформулируйте на логическом языке следующие определения а) lim f ( x) = ∞ , б) lim f ( x) = +∞ , в) lim f ( x) = −∞ , г) lim f ( x) = b , x →а
д) lim f ( x) = b , x → +∞
x→а
е) lim f ( x) = b , x → −∞
x→а
ж) lim f ( x) = ∞ , x →∞
x →∞
з)
lim
x → −∞ ( +∞ )
f ( x) = −∞(+∞) .
1.8. Сформулируйте отрицание определений 1.7. 1.9. Приведите пример функций, задав её графически, для которой а) lim f ( x) = 1 , lim f ( x) = −1 , |f(x)|≤1; б) lim f ( x) = 2 , f(x) –монотонно убывает; x → +∞
x → −∞
x → −∞
13
в) lim f ( x) = −1 и |f(x)|≥1;
г) lim f ( x) = +∞ , lim f ( x) = +∞ .
x → −∞
x → −∞
x → +∞
1.10. Понятие предела появилось в XVII в. в работах английского математика Валлиса. Встречались разные взгляды. Ньютон (1642-1727) говорил о пределе функции, как о последнем значении переменной y. Д’Аламбер (1717-1763) считал, что переменная величина у не может принимать значение, равное пределу, к которому стремиться. Чем эти взгляды отличаются от определения предела по Коши? x +1 1 . Доказать, что lim f ( x) = . x → ∞ 2x + 1 2 1 Решение. Равенство lim f ( x) = на языке неравенств означает, что для x →∞ 2
1.11. f ( x) =
всякого ε>0 существует числу M>0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство f ( x) −
1 1 x +1 1 − = <ε . = 2 2x + 1 2 2x + 1
1
Отсюда 2 x + 1 > . Так как |2x+1|>|2x|-1, то достаточно решить неравенство ε
2x − 1 > M=
1
ε
1 2
1
. Решая это неравенство, получим x > (1 + ) . Положим теперь ε
ε +1 . Из наших рассуждений следует, что при |x|>M выполняется нера2ε
x +1 1 1 = . < ε . Следовательно, lim x →∞ 2 x + 1 2 2 2x 2x → 2 при х→-∞, → 2 при х→+∞. 1.12. Доказать, что а) б) 1+ x 1+ x
венство f (x) −
Определением по Гейне удобно пользоваться тогда, когда доказывается, что функция f(x) не имеет предела. Для этого достаточно показать, что существуют две последовательности {x n, } и {x n,, } такие, что lim x n, = lim x n,, = a , но n→∞
n→∞
соответствующие последовательности {f ( x )} и {f ( x )} не имеют одинаковых пределов. , n
,, n
π
1.13. Доказать, что функция f ( x) = sin( ) не имеет предела в точке х=0. x
Доказательство. Возьмем две последовательности x n =
1 n
и xn, =
2 , 4n + 1
сходящиеся к точке х=0. Рассмотрим соответствующие последовательности { f ( x n )} и {f ( x , )} значений функции. Так как последовательность f ( x n ) = sin nπ сходится к нулю, а последовательность f ( x , ) = sin(π (4n + 1) / 2) к единице, то предел функции f ( x) = sin(π / x) в точке х=0 не существует. 1.14. Используя отрицание определения предела функции по Гейне, доказать, что соответствующие пределы не существуют n
n
а) lim sin x →1
1 ; x −1
1
б) lim 2 x ; x →0
1 x →0 x
1 x
в) lim sin x ; г) lim cos . x →∞
14
П.2. Предел функции по базе. Односторонние пределы, частичные пределы. Определение. Совокупность ß подмножеств В⊂Х множества Х будем называть базой в множестве Х, если выполнены два условия 1) (∀В∈ß) (В≠∅) 2) (∀В1∈ß, ∀В2∈ß) (∃В∈ß) (В⊂В1∩В2) Определение. Пусть f:X→ , ß – база в Х. Число А∈ называют пределом функции f по базе ß, если для любой окрестности V(A) точки А найдется элемент В∈ß, образ которого f(B) содержится в окрестности V(A). f ( x) = A) ⇔(∀ V(A))(∃B∈ ß)(f(B)⊂V(A)). Это можно записать так: (lim β f ( x) = A) ⇔(∀ε>0) (∃B∈ ß) (∀x∈ В) |f(x)-A|<ε. Или так: (lim β
2.1. Часто используемые базы. Обозначение базы Из каких множеств В ß ={B} состоит база ß B=? o B – проколотые x→a B = U δ (a ) = {x∈ : |x-a|<δ, δ-окрестности точки а x≠a} Множества В есть ок- В=Uм(∞)={x∈ : |x|>M, x→∞ рестности точки ∞ M∈ +} Множества B есть пере- B = Uo (a) I Е x→a, x∈E δ сечения проколотых δ-окрестностей точки а с множеством Е Продолжите заполнение таблицы. Какова база в случаях б) lim f ( x) , в) lim f ( x) , г) lim f ( x) , а) lim f ( x) (Е-?), x→a −
x→a +
x → −∞
x → +∞
д) при нахождении частичного предела функции по последовательности {xn} lim f ( x) . (Число b называется частичным пределом функции f(x) при х→а, x →a т
если существует последовательность {xn}, xn≠a, такая, что хn→а и lim f ( x) = b .) x →a т
2.2.
Найти односторонние пределы функции 1
а) f ( x) =
2−2
1 x
x +1 при 0 ≤ х <1 3х + 2 при 1< x < 3
при х→0;
б) f ( x) = 1
Решение. а) При х→0+
1 1 → −∞, 2 − ∞ = ( ) + ∞ = 0, x 2
При х→0б)
1 2−2
1 x
x →1−
lim f ( x) = lim (3x + 2) = 5 .
x →1+
x →1+
1 2−2
1 x
→ 0 −.
1 → . 2
х→1х<1, то есть f(x)=x+1. lim f ( x) = lim ( x + 1) = 2 При х→1+ х>1, т.е. f(x)=3x+2.
x →1−
При
1
1 → +∞, 2 x → +∞, 2 − 2 x → −∞, x
при х → 1 .
Следовательно, Следовательно,
15
Найти односторонние пределы функций
2.3.
− 2 x + 3, если х ≤1 3 х − 5, если x >1
а) f ( x) = б) f ( x) =
x2 −1 x −1
г) f ( x) =
1 1+ 7
при х → 1 ,
в) f ( x) = sgn( x − 5) при х → 5 ,
при х → 1 ,
д) f ( x) =
при х → 1 ,
1 1− x
1 − cos 2 x x
е) f(x)={x} при х→1 ({x}-дробная часть числа х), 2.4. Доказать, что а) 2х→1-0 при х→0-, 2х→1+0 при х→0+;
при х → 0 ,
ж) f(x)=5/(x-2) при х→2. π
1 x
1 x
π
б) lim arctg = , lim arctg = − . x →0 +
2
x →0 −
2
2.5. Приведите пример, задав графически функцию, для которой а) lim f ( x) = 2, lim f ( x) = −2, f (2) = 2; x→a −
x→a +
б) lim f ( x) = +∞, lim f ( x) = −∞, lim f ( x) = +∞, lim f ( x) = −∞. x→a − x→a + x → −∞ x → +∞ 2.6. Найдите все частичные пределы функции а) y=sin x при х→+∞, б) y=tg x при х→+∞, 1
1
1
в) y = e x при х→0 ( lim e x = lim e t ; lim e x = lim e t ) . x →0 −
t → −∞
x →0 +
t → +∞
Наименьший и наибольший частичные пределы функции f(x) при х→а называют нижним и верхним пределом функции и обозначают ____
lim f ( x) , lim f ( x) . _____ x→ a
x→ a
Теорема. Для существования предела (конечного или бесконечного) ____
функции f(x) в точке a необходимо и достаточно, чтобы lim f ( x) = lim f ( x) . x→a
_____
x →a
Найти верхний и нижний пределы функций из задачи 2.6. Существуют
2.7.
1
ли lim sin x, lim tgx, lim e x ? x → +∞
x → +∞
x →0
Будет ли функция Дирихле
2.8.
1, если х рационально D( x) = 0, если х иррационально
иметь предел хотя бы в одной точке вещественной прямой? П.3. Свойства пределов функций. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке х0, то функции f(x)±g(x), f(x)g(x) и
f ( x) ( lim g ( x) ≠ 0) также имеют пределы в точке х0, причем g ( x ) x → x0
( f ( x) ± g ( x)) = lim f ( x) ± lim g ( x) , 1) xlim →x x→ x x→ x
2) xlim ( f ( x) g ( x)) = ( lim f ( x))( lim g ( x)) , →x x→ x x→ x
(Cf ( x)) = C lim f ( x) , C=const, 3) xlim →x x→ x
4) lim
0
0
0
0
0
0
x → x0
0
lim f ( x) f ( x ) x → x0 = . g ( x) lim g ( x) x → x0
0
16
5)Пусть существует xlim f ( x) = a (f(x)≠a при x≠x0) и lim g ( y ) ; тогда в точке х0 →x y→ a 0
существует предел композиции g°f=g(f(x)), причем xlim g ( f ( x)) = lim g ( y ) . →x y →a 0
3.1.
Следует ли из существования предела произведения xlim ( f ( x) ⋅ g ( x)) →x 0
(предела суммы xlim ( f ( x) + g ( x)) ) существование lim f ( x), lim g ( x) ? →x x→ x x→ x 0
3.2. 3.3.
0
0
Пусть функции f(x) и g(x) не имеют предела в точке х0. Следует ли отсюда, что f(x)+g(x) и f(x)⋅g(x) также не имеют предела в этой точке? Пусть функция f(x) имеет предел в точке х0, а функция g(x) не имеет [ f ( x) + g ( x)] , lim ( f ( x) ⋅ g ( x)) ? предела. Будут ли существовать пределы xlim →x x→ x 0
3.4.
а) Пусть
lim f ( x) ≠ 0 ,
x → x0
а
lim g ( x)
x→ x0
0
не существует. Доказать, что
lim ( f ( x) ⋅ g ( x)) не существует. ( Допустить противное и использовать
x → x0
теорему о пределе частного.) f ( x) ≠ 0 , а функция g(x) бесконечно большая при x→x0. б) Пусть xlim →x 0
Доказать, что произведение f(x)⋅g(x) является бесконечно большой функцией при x→x0.
x −1 . С одной стороны x 1 1 x −1 x −1 lim = lim(1 − ) = 1 ,с другой стороны lim = lim( x − 1) ⋅ lim = lim( x − 1) ⋅ 0 = 0 . x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ x x →∞ x x x
3.5.
Софизм. Рассмотрим функцию f ( x) =
Итак, 1=0. Почему? 3.6.
3.7.
a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a 0 , an≠0, bm≠0. bm x m + bm −1 x m −1 + ... + b1 x + b0 a Доказать, что lim R( x) равен ∞, если n>m; n , если n=m; 0, если n<m. x →∞ bm P ( x) , где P(x) и Q(x) – многочлены от х и P(а) = Q(а)=0. Пусть R( x) = Q( x) P ( x) . Какие возможные значения имеет выражение lim x → a Q ( x)
Пусть R( x) =
1 + P( x) − 1
a1 . 2
3.8.
Пусть P( x) = a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n . Доказать, что lim
3.9.
Приведите примеры (отдельно – для каждого вида неопределенности
x →0
x
=
∞ 0 , , 0⋅∞, ∞-∞, 1∞, ∞0, 00), когда в результате нахождения предела по∞ 0
лучено а) некоторое число, отличное от 0 и ∞,
б) 0,
в) ∞.
3.10. Доказать, что если функция f(x) удовлетворяет неравенству f(x)≥C, lim f ( x) , то справедливо x∈(α;β), x≠x0∈(α;β), C=const, и существует x→ x 0
неравенство xlim f ( x) ≥ C . →x 0
17
3.11. Доказать, что если функция f(x) в точке х0 имеет конечный положительный предел, равный числу а, то существует такой интервал (α;β), a 2
содержащий точку х0, что f ( x) > , x∈(α;β),х≠х0. (Воспользуйтесь опa 2
ределением предела функции по Коши, положите ε 0 = .) 3.12. Доказать, что если на интервале (α;β), содержащем точку х0, справедg 1 ( x) = lim g 2 ( x) = a , то ливы неравенства g1(x)≤f(x)≤g2(x), x≠x0, xlim →x x→ x 0
0
lim f ( x) = a .
x → x0
(Воспользуйтесь определением предела функции по Гейне и аналогичным свойством (см. п. 1.2.) предела последовательности). § 3. Непрерывность функции. П. 1. Непрерывность и точки разрыва функции 1.1. Сформулируйте определение непрерывной в точке функции в терминах lim f ( x) , б) на “ε-δ” языке, в) в терминах окрестностей, а) x→ x 0
г) в терминах приращений аргумента и функции, д) используя определение предела функции по Гейне. 1.2. Доказать, что функция y=x2 непрерывна в каждой точке x0∈ . Решение. Воспользуемся определением 1.1. г). Для любой точки x0∈ и ∆х имеем ∆y=(x0+∆x)2-x02= x02+ 2x0⋅∆x+(∆x)2- x02=2x0⋅∆x+(∆x)2. 2 lim ∆y = lim (2 x 0 ∆x + (∆x) 2 ) = 0 , следовательно, функция y=x непрерывна в каж∆x → 0
∆x → 0
дой точке x0∈ . 1.3. Докажите, пользуясь определением 1.1. б) (или 1.1. г)), что функции непрерывны в каждой точке х0 области определения а) y=2x-1,
б) y=x3,
1 x
в) y = ,
г) y=|x|,
д) y=2x.
Докажите, пользуясь неравенством |sin x|≤|x|, непрерывность функции y в каждой точке области определения, если а) y=sin x, б) y= cos x. 1.5. Сформулировать на языке “ε-δ” утверждение: “функция f(x), определенная в окрестности точки х0, не является непрерывной в этой точке”. 1.6. Сформулировать на языке “ε-δ” определение непрерывной слева (справа) в точке х0 функции. Приведите примеры функции непрерывной слева в точке х0, для f ( x) = const ≠ f ( x 0 ) , б) lim f ( x) = +∞(−∞) . Функцию задайте гракоторой а) xlim →x + x→ x +
1.4.
0
0
фически. 1.7. Приведите классификацию точек разрыва. Определения проиллюстрируйте примерами, соответствующие функции задайте графически. 1.8. Исследовать функции на непрерывность, непрерывность слева и справа, установить вид точек разрыва
18
а) y=[x] ([x] – целая часть числа х), в) y =
x x
1 x
(y=sgn x), г) y=sgn(sin x), д) y = x + ,
з) y = e ,
е) y =
1 1 , ж) y = 2 , 2 x −1 x
1 при x < 0, 1x при 0 ≤ х <1, к) y = x при 1≤ х ≤ 2, 3 при 2 < x ≤ 3.
x 2 при − ∞ < x <1, и) y = 2 x −1 при 1≤ x < ∞.
1 x
1.9.
б) y={x} ({x} – дробная часть числа х),
Определить функцию y(x) в точке х=0, чтобы она стала в этой точке непрерывной а) y =
sin x , x
б) y =
5 x 2 − 3x , 2x
в) y =
1+ x −1 , x
1.10. Возможно ли доопределить функции π
а) ϕ ( x) = x sin , x
1 x
б) ψ ( x) = arctg ,
в) χ ( x) = tg
г) y =
sin 2 x . 1 − cos x
π 2−x
в точке х=0 так, чтобы они стали непрерывными в этой точке. 1.11. Доказать, что функция 1, если х ∈ Q
а) f ( x) = 0, если х ∈ J разрывна в каждой точке, x, если х ∈ Q 0, если х ∈ J
б) g ( x) =
непрерывна в точке х=0 и разрывна в остальных точках. 0, если х ∈ J , 1.12. Рассмотрим функцию Римана f ( x) = p 1 , при х = , p ∈ Z , q ∈ N q q p где - несократимая дробь. Доказать, что q
а) f(х) непрерывна в каждой иррациональной точке, б) каждая рациональная точка является для данной функции точкой разрыва 1 рода. П. 2. Свойства непрерывных функций. 2.1. Доказать, что если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. 2.2. а) Функция f непрерывна в точке х0, g – разрывна в х0. Доказать, что функция f+g разрывна в точке х0. Привести пример разрывных в точке х0 функции f и g сумма которых б) разрывна в точке х0, в) непрерывна в точке х0. 2.3. Привести пример непрерывной в точке х0 функции f и разрывной в точке х0 функции g, произведение которых а) разрывно в точке х0, б) непрерывно в точке х0. (То же задание, но f и g разрывны в точке х0.)
19
2.4.
2.5. 2.6. 2.7. 2.8.
2.9.
Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть функция разрывная. Если да – докажите, в противном случае – приведите пример. Докажите, что если f(x) непрерывная функция, то | f(x)| есть также непрерывная функция. Верно ли обратное утверждение? Докажите, что если функция y=f(x) непрерывна в точке х0 и f(x0)>0, то существует окрестность точки х0, в которой f(x)>0. Если функция не имеет нулей, то можно ли утверждать, что она знакопостоянна? Функция f непрерывна в точке х0, и в любой окрестности этой точки имеются как значения х, в которых функция положительна, так и значения х, в которых функция отрицательна. Найти f(x0). Используя свойства непрерывных функций, доказать, что уравнение x5-3x-1=0 имеет по крайней мере один действительный корень, заключенный между 1 и 2.
2.10. Привести пример функции, непрерывной на каждом из промежутков Х1 и Х2, но не являющейся непрерывной на множестве Х1∪Х2. 2.11. Привести пример непрерывной на интервале функции а) неограниченной на этом интервале, б) ограниченной на этом интервале, но не достигающей ни своей верхней, ни своей нижней грани. 2.12. Доказать, что если функция определена и непрерывна на отрезке, то множество её значений – отрезок. 2.13. В каком случае все значения непрерывной на [a;b] функции рациональны (иррациональны)? 2.14. Доказать, что все точки разрыва ограниченной монотонной функции являются точками разрыва 1 рода. 2.15. Доказать, что если f(x) 1) определена и монотонна на [a;b], 2) в качестве своих значений принимает все числа между f(a) и f(b), то f(x) непрерывна на [0;a]. sin x, при х ≠ 0 принимает на[a;b] все про − 1, при х = 0
2.16. Показать, что функция f ( x) =
межуточные значения между f(0) и f(а), но не является непрерывной на [0;a]. 2.17. Привести пример функции f, непрерывной в точке х0, имеющей обратную функцию, разрывную в точке y0=f(x0). 2.18. Означает ли следующее свойство непрерывность функции y=f(x) в точке х0: для любого δ>0 существует такое ε>0, что из неравенства | f(x)- f(x0)|<ε следует | x- x0|<δ? 2.19. Может ли разрывная функция иметь обратную?
20
П.3. Равномерная непрерывность. 3.1. Сформулируйте определение функции равномерно непрерывной на промежутке G. а) В чем сходство определений непрерывности функции на промежутке G и равномерной непрерывности на промежутке G? Перефразируйте определение непрерывности в точке, используя критерий Коши существования предела. б) В чем отличие этих определений? Можно ли говорить о функции равномерно непрерывной в точке? В определении непрерывной функции δ(ε;х). Зависит ли δ от x в определении равномерно непрерывной функции? в) Сравнивая соответствующие определения, покажите, что из равномерной непрерывности следует непрерывность функции в области G. 3.2. Доказать, что функция y=sin x равномерно непрерывна на . Доказательство. Пусть x’,x’’ – произвольные числа; оценим модуль разности sin x'− sin x' ' = 2 sin
x'− x' ' x'+ x' ' ⋅ cos ≤ x'− x' ' , 2 2
так как sin
x'− x' ' x'− x' ' ≤ , 2 2
cos
x'+ x' ' ≤ 1. 2
Пусть ε - произвольное положительное число. Возьмем δ=ε, тогда для любых x’∈ , x’’∈ из неравенства |x’-x’’|<δ следует неравенство |sin x’-sin x’’|<δ=ε. Таким образом, функция y=sin x равномерно непрерывна на . 3.3. Доказать, что функция f равномерно непрерывна на множестве Х, если а) f(x)=2x-1, Х= , б) f(x)=x2, Х=(-1;1). 3.4. Запишите отрицание определения равномерной непрерывности функции на промежутке G. 3.5. Исследовать на равномерную непрерывность функцию f(x)=ln x на промежутке (0;1). Решение. Эта функция не является равномерной непрерывной на про1 1 1 и x 2 = , где n – натураль2 n 2n 1 1 1 1 1 x1 − x 2 = − = → 0 и f ( x1 ) − f ( x 2 ) = ln − ln = ln 2 . 2n n 2n 2n n
межутке (0;1). Зададим ε = ln 2 . Возьмем x1 = ное число. Тогда
Какое бы δ>0 мы ни выбирали, n можно выбрать настолько большим, что будет x1 − x 2 =
1 1 < δ , а f ( x1 ) − f ( x 2 ) = ln 2 > ε = ln 2 . Из этого и следует, что 2n 2
функция f(x)=ln x не является равномерно непрерывной на промежутке (0;1). 3.6. Доказать, что следующие функции непрерывны на множестве Х, но не являются равномерно непрерывными на Х а) y=sin x2, X= , б) y=x2, X= . 3.7. Докажите следующие достаточные условия равномерной непрерывности:
21
а) Функция непрерывная на замкнутом ограниченном множестве (в частности, на отрезке) равномерно непрерывна на нем (теорема Кантора). б) Если функция определена и непрерывна на луче 0≤x<+∞ и lim f ( x) существует и конечен, то функция равномерно непрерывна на этом x → +∞
луче. в) Непрерывная ограниченная монотонная функция f(x) на конечном или бесконечном промежутке (a;b) равномерно непрерывна на (a;b). Приведите примеры функций, о которых, на основе доказанных предложений, можно утверждать, что они равномерно непрерывны на заданных множествах. 3.8. Доказать, что если функция неограничена на ограниченном интервале, то она не является равномерно непрерывной на этом интервале. Привести пример функции, удовлетворяющей условиям приведенного предложения, следовательно, не являющейся равномерно непрерывной на заданном интервале. 3.9. Пусть функция f(x) непрерывна на множестве Х. При этом нарушено одно из условий утверждений 3.6. а) – замкнутость (или ограниченность) множества Х, 3.6. в) – ограниченность (или монотонность) f(x) на (a;b). Что можно сказать при этом о равномерной непрерывности функции f(x) на заданном множестве? (Если функция может быть либо равномерно непрерывной, либо нет – приведите примеры. См. задачу 3.8.) § 4. Сходимость в метрических и нормированных пространствах. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, функции комплексной переменной. П.1. Сходимость в метрических и нормированных пространствах. Сходимость последовательностей функций. Сходимость в n. Определение. Последовательность {xn} точек метрического пространства Х называется сходящейся по метрике к х∈Х, если lim ρ ( x n , x) = 0 . n→∞
Определение. Последовательность {xn} точек линейного нормированного пространства Х называется сходящейся по норме к х∈Х, если lim x n − x = 0 . n →∞
Свойства сходящихся последовательностей. 1) Никакая последовательность точек метрического пространства не может иметь более одного предела. 2) Если последовательность точек метрического пространства имеет предел, то и любая её подпоследовательность имеет тот же предел. 3) Всякая сходящаяся последовательность точек {xn} метрического пространства Х ограничена.
22
4) Если последовательности {xn} и {yn} из метрического пространства сходятся, то lim ρ ( x n , y n ) = ρ ( lim x n , lim y n ) . n →∞
n →∞
n →∞
5) Ели в линейном нормированном пространстве последовательности {xn} и {yn} сходятся, то и последовательность {xn+yn} сходится, причем lim( x n + y n ) = lim x n + lim y n . n→∞
n→∞
n →∞
6) Если числовая последовательность {λn} сходится к числу λ, а последовательность {xn} из линейного нормированного пространства L сходится к а∈L, то последовательность {λn xn} сходится в L к элементу λa. 1.1. Докажите свойства 1-6. 1.2. Почему не имеет смысла говорить о справедливости свойства 5 в произвольном метрическом пространстве? 1.3. Докажите, что из сходимости по норме следует сходимость по метрике, порожденной этой нормой. Всякое ли метрическое пространство является нормированным? Всегда ли из сходимости по метрике следует сходимость по норме? 1.4.
Проверьте, сходится ли последовательность функций f n ( x) = к функции f(x) ≡0 в пространстве: а) C[0,1]; б) C1[0,1]. Решение. а) В пространстве C[0,1] ρ ( f n , f ) = max f n ( x) .
nx 1 + n2 x2
0 ≤ x ≤1
1 n
1 2
С помощью производной находим, что ρ ( f n , f ) = max f n ( x) = f n ( ) = . 0 ≤ x ≤1
Так как ρ(fn,f) не стремится к нулю при n→∞, то ответ на вопрос задачи отрицательный. б) В пространстве C1[0,1] имеем: 1
ρ( fn , f ) = ∫ 0
nxdx 1 d (1 + n 2 x 2 ) ln(1 + n 2 ) . = = f n ( x) − f ( x) d = ∫ 2 2 2n ∫0 1 + n 2 x 2 2n 0 1+ n x 1
1
ln(1 + n 2 ) ln(1 + t 2 ) 1 = lim = lim = 0 , а это n →∞ t →∞ t →∞ 1 + t 2 2n 2t
По правилу Лопиталя lim ρ ( f n , f ) = lim n→∞
означает, что fn→f по метрике пространства C1[0,1]. 1.5. Проверьте, сходится ли данная последовательность функций к функции f(x)≡0 по метрикам указанных пространств x , C[0;1], C1[0;1]; 1 + n2 x2 sin nx в) f n ( x) = , C[-π;π], C1[-π;π]. n
а) f n ( x) =
б) f n ( x) = xe − nx , C[0;1], C1[0;1];
Покажите, что а) последовательность функций fn(x)=xn сходится к f(x)≡0 по метрике пространства C1[0;1]. б) Сходится ли fn(a) к f(а) в каждой точке отрезка [0;1]? (Сделайте рисунок при n=1,2,3,...) в) Сходится ли fn(х) к f(х)≡0 по метрике пространства C[0;1]? Ответ: б) нет, fn(а)→0 при а∈[0;1), fn(1)→1; в) нет. 1.6.
23
1.7. 1.8.
Докажите, что сходимость последовательности функций по метрике пространства C[a;b] равносильна равномерной сходимости. Показать, что из равномерной сходимости (сходимости в метрике C[a;b]) следует поточечная сходимость. Верно ли обратное?
Пусть на одном и том же линейном пространстве Х заданы две нормы. Если любая последовательность из Х, сходящаяся по первой норме, сходится (к тому же пределу) по второй норме, то говорят, что первая норма не слабее (сильнее) второй. 1.9. Докажите, что норма ⋅ 1 пространства C1[a;b] слабее нормы ⋅ пространства C[a;b]. b
Доказательство. Так как f 1 = ∫ f ( x) dx ≤ (b − a ) max f ( x) = (b − a) f , то из a ≤ x ≤b
a
сходимости по норме C[a;b] следует сходимость по норме C1[a;b]. Для завершения доказательства достаточно построить пример, показывающий, что обратное утверждение неверно. Положим a=0, b=1 и рассмотрим последовательность функций из задачи 1.6. а), в) сходится к f(x)≡0 в C1[0;1], но не сходится к этой функции в C[0;1]. 1.10. Докажите, что а) норма пространства C2[a;b] слабее нормы пространства C[a;b], б) норма пространства C1[a;b] слабее нормы пространства C2[a;b]. 1.11. Какой из видов сходимости сильнее: равномерная сходимость (по метрике C[a;b]), поточечная сходимость, сходимость по метрике C1[a;b], сходимость по метрике C1[a;b]. Расположите от слабой сходимости к более сильной. Обоснуйте ответ. В пространствах R2n , R1n , R∞n наряду со сходимостью последовательности точек по соответствующей норме рассматривают ещё покоординатную сходимость. Говорят, что последовательность точек ( x ( k ) = ( x1( k ) ,..., x n( k ) )) сходится к точке x=(x1,...,xn) покоординатно, если lim x m( k ) = x m (m=1,...,n). k →∞
n − 1 2n 1.12. К какой точке сходится последовательность точек M n = ; по-
n
n + 1
координатно? Сходится ли эта последовательность к указанной точке в пространствах R22 , R12 , R∞2 ? Если каждая из двух норм на Х не слабее другой, то такие нормы называются эквивалентными. 1.13. Докажите, что а) сходимость по метрике пространства R2n эквивалентна покоординатной сходимости; б) сходимость по метрике пространства R1n эквивалентна покоординатной сходимости;
24
в) сходимость по метрике пространства R∞n эквивалентна покоординатной сходимости. Докажите, что нормы пространств R2n , R1n , R∞n эквивалентны. 1.14. Докажите, что а) если а – граничная точка для множества Е, то из Е можно извлечь подпоследовательность точек, сходящуюся к а, б) если Е всюду плотно в G, то для любой точки а∈G найдется последовательность {xn} точек из Е, сходящаяся к а, в) предел а сходящейся последовательности точек {xn} из множества Е является для Е граничной или внутренней точкой. (В случае затруднений см., например, [11], ст. 50-51) 1.15. Заполните таблицу ( z = ( x; y ) ∈ R22 ) Открыто Совершенно Ограничено Подмножества R22 Замкнуто z ∈ R22 ; z < 1
-
+
-
+
… для следующих подмножеств множества R22 а) z ∈ R22 ; z ≤ 1 , б) конечного множества точек, 1 г) ( ;0) , где n∈ ,
n
е) ∅,
д) R2,
в) {(x;0)}, где х∈ ,
ж) {(x;0)}, где x∈(a;b),
з) (a;b) как подмножество R.
2.1.
П.2. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Сформулировать определение предела функции нескольких переменf ( x1 ,..., x n ) = b по Коши ных ( x ,..., x lim ) → ( a ,..., a ) 1
n
1
n
а) на “ε-δ”- языке, в терминах сходимости по метрике в пространстве R2n , б) на “ε-δ”- языке, в терминах поточечной сходимости (x1,…,xn)→(a1,…,an), в) в терминах окрестностей, г) по Гейне. 2.2. Найти следующие пределы функций а) lim ( x + y ) sin y →o x →0
1 ; xy
б) lim y →2 x →0
sin xy ; x
y x
в) lim (1 + ) x . y→R x →∞
k
Ответ: а) 0; б) 2; в) е . 2.3.
Вычислить предел lim x →0 y →0
x2 y . x2 + y2
Решение. Полагаем x=r cosϕ, y=r sinϕ. Тогда как функция cos2ϕ sinϕ ограничена, то lim x →0 y →0
2.4.
x2 y = r cos 2 ϕ sin ϕ . Так 2 2 x +y
x2 y = lim r cos 2 ϕ sin ϕ = 0 . 2 2 r →0 x +y
Найти следующие пределы функций, переходя к полярным координатам:
25
x+ y а) lim ; 2 2 x →∞ y →∞ x + y
б) lim x →0
1+ x2 y2 −1 x2 + y2
y →0
1
2 2 sin( x 4 y 2 ) ; в) lim ; г) lim (1 + x 2 + y 2 ) x + y . 2 2 2 x →0 x →0 y →0 y →0 ( x + y )
Ответ: а) 0; б) 0; в) 0; г) е. 2.5. Показать, что следующие пределы не существуют а) lim x →0 y →0
x ; x+ y
б) lim x →0 y →0
x2 − y2 . x2 + y2
(Рассмотреть изменение x и y вдоль прямых y=kx и показать, что данное выражение может стремиться к различным пределам в зависимости от выбранного k). 2.6. Показать, что функция 2 xy при x 2 + y 2 ≠ 0 2 2 x y + z= при x = y = 0 0
непрерывна по каждой из переменных x и y в отдельности, но не является непрерывной в точке (0;0) по совокупности переменных. Решение. Положив y=y1=const, получим функцию ϕ 1 ( x) =
2 xy1 неx + y 12 2
прерывную всюду, так как при y1≠0 знаменатель x2+y2≠0, а при y1=0, ϕ1(x)≡0. Аналогично при х=х1=const функция ϕ 2 ( x) =
2 x1 y непрерывна всюду. x1 + y 2 2
По совокупности переменных x,y функция z имеет разрыв в точке (0;0). Действительно, lim z не существует. Перейдя к полярным координатам x →0 y →0
(x=r cosϕ, y=r sinϕ), получим z=sin 2ϕ, откуда видно, что если х→0 и y→0 так, что ϕ=const (0≤ϕ≤2π), то z→sin 2ϕ. Так как эти предельные значения функции z зависят от ϕ, то z не имеет предела при х→0 и y→0. Из того, lim f ( x; y ) = c , когда точка М(x;y) приближается к точке A(a;b) двигаясь по любой прямой, еще не вытекает, что с – предел функции f(x;y) при x→a, y→b. 2.7. Существует ли предел функции x2 y , если ( x; y ) ≠ (0;0), 4 x + y2 f ( x; y ) = 0, если ( x; y ) ≠ (0;0),
когда x→0, y→0?
Решение. Если положить x=at, y=bt, то при любых а и b≠0 имеем lim f (at ; bt ) = lim t →0
t →0
a 2 bt =0. a 4t 2 + b 2
Если же b=0, то y=0 и f(x;y)=0. Поэтому предел функции f(x;y), когда M(x;y) стремиться к точке О(0;0) по любой прямой, равен нулю. В то же время мы имеем при любом t>0
26
f ( t ; t) =
1 t2 = . 2 2 2 t +t
Таким образом, в сколь угодно малой окрестности точки О(0;0) есть точки, 1 2
где f ( x; y ) = , и потому нуль не может быть пределом функции f(x;y) при (x;y)→(0;0).
2.8.
x3 + y3 при ( x; y ) ≠ (0;0) x 4 + y 2 не имеет предеДоказать, что функция f ( x; y ) = при ( x; y ) = (0;0) 0
ла в точке (0;0). 2.9.
1, если 0 < y < x 2 Доказать, что функция f ( x; y ) = не имеет предела 0 в остальных точках
в точке O(0;0), и что её предел, когда M(x;y) стремится к O(0;0) по любой прямой равен 0. 2.10. Доказать, что функция f ( x; y ) =
x4 + y2 не имеет предела, когда x→∞, x2 + y4
y→∞. Решение. Положим сначала x=t, y=t4. Тогда при t→∞ имеем x→∞, y→∞ и t4 + t8 lim f (t ; t ) = lim 2 =0. t →∞ t → ∞ t + t 16 4
С другой стороны, имеем t8 + t 2 = ∞. t →∞ t 4 + t 4
lim f (t 2 ; t ) = lim t →∞
Поскольку мы получили различные ответы, предела lim
x →∞ y →∞
x4 + y2 x2 + y4
не существует. 2.11. Существуют ли следующие пределы x y
x y
( x − y ) , б ) lim xy , в) lim , г) lim , д) lim x y , е) lim x y , ж) lim x y . а) xlim x→0 x →1 x →0 x →∞ → +∞ x →0 x →∞ y →∞
y → +∞
y →0
y →∞
y →∞
y →0
y →0
2.12. Сформулировать определение функции нескольких переменных непрерывной в точке a=(a1,...,an) б) в терминах приращений. а) в терминах lim f ( x) , x→ a
Доказать эквивалентность определений. ex −y непрерывна при всех 2.13. Доказать, что функция ω = 1 + sin 4 ( x 2 + 3xy + y 2 ) 2
значениях x и y.
2
27
Решение. Функция x2-y2 и x2+3xy+y2 непрерывны при всех значениях x и y как многочлены от x и y. По теореме о непрерывности композиции непрерывных функций вытекает, что e x − y и 1 + sin 4 ( x 2 + 3xy + y 2 ) также непрерывны. При этом 1 + sin 4 ( x 2 + 3xy + y 2 ) ≠ 0 , а потому и функция непрерывна при всех значениях x и y. 2
2.14. Найти точки разрыва функции z =
2
xy + 1 . x2 − y
Решение. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль. Но x -y=0 или y=x2 – уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу y=x2. 2.15. Найти точки, линии, поверхности разрыва следующих функций 2
а) z = ln x 2 + y 2 ; б) z = д) z = з) u =
x− y ; x + y2 2
е) z = 1
8 − x 2 − 2 y 2 − 4z 2
,
1 ; ( x − y) 2
в) z =
x +y ; x2 − y2
ж) z =
2
2
и) u =
1 1− x − y 2
; г) z = cos
1 ; xy
1 , sin πx + sin 2 ny 2
1 , x + y2 − z2 2
2
к) u =
1 . x + y − z2 +1 2
2
2.16. Построить функцию, имеющую разрывы на линиях x2+y2=1 и x2-y2=1. 2.17. Доопределить функцию z =
x2 y2 в точке, где она не определена, так, x2 + y2
чтобы она оказалась непрерывной в этой точке. (Найти предел в точке (0;0), переходя к полярным координатам, положить z(0;0) равным значению найденного предела.) 2.18. Сформулируйте определение функции равномерно непрерывной в области G. а) В чем сходство определений непрерывности функции в области G и равномерной непрерывности в области G? Перефразируйте определение непрерывности в точке, используя критерий Коши существования предела. б) В чем отличие этих определений? Можно ли говорить о функции равномерно непрерывной в точке? В определении непрерывной функции δ(ε;х). Зависит ли δ от x в определении равномерно непрерывной функции? в) Сравнивая соответствующие определения, покажите, что из равномерной непрерывности следует непрерывность функции в области G. 2.19. Используя определение равномерной непрерывности, показать, что следующие функции равномерно непрерывны а) u=2x-3y+5 в 2, б) u = x 2 + y 2 в 2. (В б) перейти к полярным координатам.) Теорема. Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, равномерно непрерывна в этой области. 2.20. Является ли функция f равномерно непрерывной в области определения f ( x; y ) = 4 − x 2 − y 2 .
28
2.21. а) Рассуждение “функция непрерывна в G, но G не является ограниченной (замкнутой) областью, следовательно f не является равномерно непрерывной в G” – неверно. Подтвердите это примерами (см.2.19). б) Покажите, что ограниченность и замкнутость области G достаточны для того, чтобы непрерывная в G функция была равномерно непрерывной, но не необходимы. 2.22. а) Сформулируйте отрицание определения равномерной непрерывности. б) Пользуясь 2.22. а) покажите, что функция f ( x; y ) = sin
π
1 − x2 − y2
не
является равномерно непрерывной в области x2+y2<1. П.3. Предел комплекснозначной функции комплексной переменной. 3.1. а) Сформулировать определение zlim f ( z ) = ω 0 по Коши, по Гейне. →z 0
б) Показать, что xlim (u ( x; y ) + iϑ ( x; y )) = u 0 + iϑ 0 тогда и только тогда, когда →x 0
y → y0
lim u ( x; y ) = u 0 , lim ϑ ( x; y ) = ϑ 0 .
x → x0 y → y0
x → x0 y → y0
Если для функции w=f(z) и точки z0 возможно найти две такие последовательности {zn} и {z n' } сходящиеся к z0, что {f(zn)} и { f ( z n' )} имеют различные пределы, то функция f(z) в точке z0 предела не имеет. 3.2.
Имеет ли функция f ( z ) =
(Re z ) 2 Im z
предел в точке z=0? i n
Решение. Рассмотрим сначала последовательность точек z n = → 0 . Так как Re zn=0, то f(zn)=0 и соответствующая последовательность значений функции {f(zn)} сходится к 0. Возьмем теперь последовательность точек 1 1 i 1 + 2 , также сходящуюся к 0, Re z n' = и Im z n' = 2 , поэтому f ( z n' ) = 1 , и n n n n ' последовательность { f ( z n )} сходится уже к 1. Так как для двух последоваz n' =
тельностей { f ( z n' )} , сходящихся к 0, соответствующие последовательности значений функции {f(zn)} и { f ( z n' )} имеют различные пределы, то заключаем, что f(z) в точке z=0 предела не имеет. 3.3. Установить, имеют ли данные функции предел в указанных точках, если предел существует, найти его _
Re z а) w = , z=0; z
б) w =
z z
, z=0;
в) w =
z z
2
, z=0;
г) w =
z , z=∞. z −i
Ответ: а) нет; б) нет; в) ∞; г) 1. 3.4. Доказать, что а) если z→∞ так, что х→+∞, то exp z→∞; если z→∞ так, что х→-∞, то exp z→0. (Найдите |exp z|.)
29
б) функции sin z, cos z могут принимать значения сколь угодно большие по модулю. Существуют ли пределы этих функций при y→∞, x –фиксированном? При x→∞, y –фиксированном? (Выделите действительную и мнимую части соответствующих функций.) 3.5. а) Сформулируйте определение функции f(z) непрерывной в точке z0. б) Докажите, что функция f(z)=u(x;y)+iϑ(x;y) непрерывна в точке z0=x0+iy0 тогда и только тогда, когда в точке (x0,y0) непрерывны её действительная и мнимая часть u(x;y) и мнимая часть ϑ(x;y). __ 2
Доказать, что функция w = f ( z ) = z непрерывна в каждой конечной точке плоскости. Решение. Так как z=x+iy, то f(z)=(x-yi)2=x2-y2-2xyi. Действительная часть (u(x,y)) и мнимая (ϑ(x,y)) части функции f(z) равны соответственно u(x,y)= x2-y2, и ϑ(x,y)= -2xy. В силу того, что функции u(x,y) и ϑ(x,y) непрерывны как функции двух действительных переменных в любой точке (x,y), то приходим к выводу о 3.6.
_ 2
непрерывности функции w = z в каждой точке z-плоскости. 3.7. Показать, что функция w=|z|2z непрерывна в каждой точке комплексной плоскости. 3.8. Исследовать на непрерывность функций _
1 1 +i 2 б) f ( z ) = , y−x x + y2
а) f(z)=sin(xy)+icos(xy),
z⋅z в) f ( z ) = 2 . z +1
Доказать, что если функция w=f(z) непрерывна в какой-либо точке z, то и функции |f(z)| и Re f ( z ) непрерывны в этой же точке. 3.10. а) В каких точках комплексной плоскости не существует предела функции arg z (главное значение аргумента z)? б) Исследовать на непрерывность функции arg z, (Ln z)k (к - ветвь функции Ln z). Ответ: а) во всех точках неположительной части вещественной оси. 3.11. Какая связь существует между понятиями аналитичность, непрерывность и дифференцируемость? 3.12. Исходя из определений функций exp z, sin z, cos z с помощью рядов и используя непрерывность суммы степенного ряда внутри круга его сходимости, доказать, что 3.9.
exp z − 1 sin(αz 2 ) 1 − cos z 1 = ; в) lim = 1 ; г) =α . lim z →0 z →0 z →0 2 z z2 z2
sin z = 1; z →0 z
а) lim
б) lim
3.13. Определить тип особой точки z=0 для данной функции, находя соответствующий предел а)
e9z − 1 sin z − z +
1
z3 6
;
б) z e ; 3
z2
г)
sin z 2 − z 2 . z2 cos z − 1 + 2
30
3.14. Обоснуйте, исходя из вида главной части (в а), б)) соответствующего ряда Лорана, что предел следующих функций в заданных точках не существует 1
а) e z − 2 , z=2,
1 z
б) z 5 ⋅ sin , z=0,
в) cos z, z=∞ (z=1/t; t=0).
ЛИТЕРАТУРА 1. Зорич В.А. Математический анализ. - Ч. 1,2. – М.: Наука, 1981. 2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – Т. 1, 2, 3. –М.: Высшая школа, 1981. 3. Никольский С.М. Курс математического анализа. – Т.1, 2. –М.: Наука, 1973. 4. Балк М.Б., Петров В.А., Полухин А.А. Задачник-практикум по теории аналитических функций. –М.: Просвещение, 1976. – 126 с. 5. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., ... Задачник по курсу математического анализа. – Ч. 1,2. – М.: Просвещение, 1971,-350 с., -336 с. 6. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. –М.: Просвещение, 1973.- 198 с. 7. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. –М.: Наука, 1990. –624 с. 8. Кириллов А.А. Пределы. –М.: Наука, 1968. – 88 с. 9. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., ... Сборник задач по математическому анализу. Предел, непрерывность, дифференцируемость. –М.: Наука, 1984. – 592 с. 10.Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. –М.: Наука, 1970. – 400 с. 11.Петров В.А., Виленкин Н.Я., Граев М.И. Элементы функционального анализа в задачах. – М.: Просвещение, 1978. –128 с. Качественные задачи и контрпримеры на тему «Пределы» Методические указания Составители: СИБИРЁВА Анна Рудольфовна САВИНОВ Николай Васильевич
