ɎȿȾȿɊȺɅɖɇɈȿ ȺȽȿɇɌɋɌȼɈ ɉɈ ɈȻɊȺɁɈȼȺɇɂɘ ȽɈɋɍȾȺɊɋɌȼȿɇɇɈȿ ɈȻɊȺɁɈȼȺɌȿɅɖɇɈȿ ɍɑɊȿɀȾȿɇɂȿ ȼɕɋɒȿȽɈ ɉɊɈɎȿɋɋɂɈɇȺɅɖɇɈȽɈ ɈȻɊȺɁɈȼȺɇɂə «ȼɈɊɈɇȿɀɋɄɂɃ ȽɈɋɍȾȺɊɋɌȼȿɇɇɕɃ ɍɇɂȼȿɊɋɂɌȿɌ»
ɂɋɋɅȿȾɈȼȺɇɂȿ ɈɉȿɊȺɐɂɃ ɍɱɟɛɧɨ-ɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɨɟ ɩɨɫɨɛɢɟ ɞɥɹ ɜɭɡɨɜ ɋɨɫɬɚɜɢɬɟɥɢ: ɂ. ȼ. Ɇɢɯɚɣɥɨɜɚ, Ʌ. ɇ. Ȼɚɪɤɨɜɚ
ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɤɨ-ɩɨɥɢɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɣ ɰɟɧɬɪ ȼɨɪɨɧɟɠɫɤɨɝɨ ɝɨɫɭɞɚɪɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬɚ 2007
ɍɬɜɟɪɠɞɟɧɨ ɧɚɭɱɧɨ-ɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɢɦ ɫɨɜɟɬɨɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɮɚɤɭɥɶɬɟɬɚ 28 ɮɟɜɪɚɥɹ 2007 ɝ., ɩɪɨɬɨɤɨɥ ʋ 6
Ɋɟɰɟɧɡɟɧɬ ɒɚɛɭɧɢɧɚ Ɂ. Ⱥ.
ɍɱɟɛɧɨ-ɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɨɟ ɩɨɫɨɛɢɟ ɩɨɞɝɨɬɨɜɥɟɧɨ ɧɚ ɤɚɮɟɞɪɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɢ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɮɚɤɭɥɶɬɟɬɚ ȼɨɪɨɧɟɠɫɤɨɝɨ ɝɨɫɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬɚ. Ɋɟɤɨɦɟɧɞɭɟɬɫɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ 4 ɤɭɪɫɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɮɚɤɭɥɶɬɟɬɚ ɨɱɧɨɣ ɮɨɪɦɵ ɨɛɭɱɟɧɢɹ.
Ⱦɥɹ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɨɫɬɢ: 010101 (010100) – Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ 010200 (510200) – Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ, ɩɪɢɤɥɚɞɧɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 2
Ⱦɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɟ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɟ – ɦɟɬɨɞ ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ, ɩɪɢɫɩɨɫɨɛɥɟɧɧɵɣ ɤ ɨɩɟɪɚɰɢɹɦ, ɜ ɤɨɬɨɪɵɯ ɩɪɨɰɟɫɫ ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɪɟɲɟɧɢɣ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɚɡɛɢɬ ɧɚ ɨɬɞɟɥɶɧɵɟ ɷɬɚɩɵ (ɲɚɝɢ). Ɍɚɤɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɦɧɨɝɨɲɚɝɨɜɵɦɢ. ȼ ɨɫɧɨɜɟ ɦɟɬɨɞɚ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɥɟɠɢɬ ɩɪɢɧɰɢɩ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɫɬɢ, ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɧɧɵɣ Ȼɟɥɥɦɚɧɨɦ. ɗɬɨɬ ɩɪɢɧɰɢɩ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɪɟɤɭɪɪɟɧɬɧɵɦ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹɦ – ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɵɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦ – ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɰɟɥɟɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ. Ɋɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ ɭɩɪɚɜɥɹɟɦɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ, )) ɤɨɬɨɪɚɹ ɩɨɞ ɜɥɢɹɧɢɟɦ & ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɩɟɪɟɯɨɞɢɬ ɢɡ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ [0 ɜ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ ))& [n . ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɦɨɠɧɨ ɪɚɡɛɢɬɶ ɧɚ )& ))&ɱɬɨ ɩɪɨɰɟɫɫ )& ) n ɲɚɝɨɜ. ɉɭɫɬɶ [1 , [2 , ... , [n – ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɩɨɫɥɟ ɩɟɪɜɨɝɨ, ɜɬɨɪɨɝɨ, … , n -ɝɨ ɲɚɝɚ. ɋɯɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢ ɷɬɨ ɜɵɝɥɹɞɢɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ
&
[0
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Ɋɢɫ. 1
ɋɨɫɬɨɹɧɢɟ
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[k
ɫɢɫɬɟɦɵ
k -ɝɨ
ɩɨɫɥɟ (1) k
(2) k
ɲɚɝɚ
k
1, 2,..., n
(s) k
,... , [ , ɤɨɬɨɪɵɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ & ɮɚɡɨɜɵɦɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ. Ɍɨ ɟɫɬɶ, ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ [ k ɦɨɠɧɨ ɢɡɨɛɪɚɡɢɬɶ ɬɨɱɤɨɣ s -ɦɟɪɧɨɝɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɚɡɨɜɵɦ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɦ. ɉɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɟ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ & & & ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɞɟɣɫɬɜɢɣ (ɦɟɪɨɩɪɢɹɬɢɣ) u1 , u 2 , ..., u n , ɤɨɬɨɪɵɟ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ & & & & ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɨɣ U u1 , u 2 , ..., u n , ɝɞɟ u k – ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɧɚ k -ɨɦ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
[
,[
ɲɚɝɟ ɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ ɜɵɛɨɪɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɭɩɪɚɜɥɹɸɳɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ uk(1) , uk(2) ,... , uk( s ) . Ȼɭɞɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ & ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɤɨɧɰɟ& k -ɝɨ ɲɚɝɚ ɡɚɜɢɫɢɬ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɝɨ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ [ k 1 ɢ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ u k ɧɚ ɞɚɧɧɨɦ ɲɚɝɟ. ɗɬɨ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɟɦ ɩɨɫɥɟɞɫɬɜɢɹ. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɷɬɭ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ & & & [ k Fk [ k 1 , u k . (1)
3
Ɋɚɜɟɧɫɬɜɨ (1) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɫɨɫɬɨɹɧɢɣ. & & Ɏɭɧɤɰɢɢ Fk [ k 1 , u k ɩɨɥɚɝɚɟɦ ɡɚɞɚɧɧɵɦɢ.
Ɇɟɧɹɹ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ U , ɩɨɥɭɱɢɦ ɪɚɡɥɢɱɧɭɸ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɶ ɩɪɨɰɟɫɫɚ, ɤɨɬɨɪɭɸ ɛɭɞɟɦ ɨɰɟɧɢɜɚɬɶ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɨ ɰɟɥɟɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ & Z Ɏ [ 0 ,U . (2)
ɉɨɤɚɡɚɬɟɥɶ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɢ k -ɝɨ ɲɚɝɚ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ, ɤɨɬɨɪɵɣ & & ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ [ k 1 ɜ ɧɚɱɚɥɟ ɷɬɨɝɨ ɲɚɝɚ ɢ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ u k , & & ɜɵɛɪɚɧɧɨɝɨ ɧɚ ɷɬɨɦ ɲɚɝɟ, ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɟɪɟɡ f k [ k 1 , u k .
ȼ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɣ ɡɚɞɚɱɟ ɩɨɲɚɝɨɜɨɣ ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ ɮɭɧɤɰɢɹ (2) ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɚɞɞɢɬɢɜɧɨɣ, ɬ. ɟ. n & & Z ¦ f k [ k 1 , u k . (3) k 1 & Ɉɛɵɱɧɨ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɧɚ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɲɚɝɟ u k ɧɚɤɥɚɞɵɜɚɸɬɫɹ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɹ. ɍɩɪɚɜɥɟɧɢɹ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɷɬɢɦ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɹɦ, ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɞɨɩɭɫɬɢɦɵɦɢ. Ɂɚɞɚɱɭ ɩɨɲɚɝɨɜɨɣ ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ ɦɨɠɧɨ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɬɚɤ: & & & ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɞɨɩɭɫɬɢɦɵɯ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɣ u1 , u 2 , ..., u n , & ɩɟɪɟɜɨɞɹɳɢɯ ɫɢɫɬɟɦɭ ɢɡ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ [ 0 ɜ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ & [n ɢ ɦɚɤɫɢɦɢɡɢɪɭɸɳɢɯ ɢɥɢ ɦɢɧɢɦɢɡɢɪɭɸɳɢɯ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɢ (3). & & ɇɚɱɚɥɶɧɨɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ [ 0 ɢ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ [ n ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɡɚɞɚɧɵ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɢɥɢ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɭɤɚɡɚɧɵ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ : 0 ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɫɨɫɬɨɹɧɢɣ & & ɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ : n ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɫɨɫɬɨɹɧɢɣ ɬɚɤ, ɱɬɨ [ 0 : 0 ; [ n : n . ɍɩɪɚɜɥɟɧɢɟ, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬɫɹ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɰɟɥɟɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ (3), ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɦ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟɦ ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ &* &* &* U * u1 , u 2 ,..., u n .
Ɇɟɬɨɞ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɫɬɪɨɢɬɫɹ ɩɨɫɬɟɩɟɧɧɨ ɲɚɝ ɡɚ ɲɚɝɨɦ. ɇɚ ɤɚɠɞɨɦ ɲɚɝɟ ɨɩɬɢɦɢɡɢɪɭɟɬɫɹ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɬɨɥɶɤɨ ɷɬɨɝɨ ɲɚɝɚ. ȼɦɟɫɬɟ ɫ ɬɟɦ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɲɚɝɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɩɨɫɥɟɞɫɬɜɢɣ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɬɨɥɶɤɨ ɧɚ ɞɚɧɧɨɦ ɲɚɝɟ ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɜɟɫɬɢ ɤ ɧɟɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɦɭ ɷɮɮɟɤɬɭ ɜɫɟɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ. ɍɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɲɚɝɟ ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɦ ɫ ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɜ ɰɟɥɨɦ. Ɉɫɧɨɜɧɨɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɧɨ Ɋ. Ȼɟɥɥɦɚɧɨɦ ɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɢɧɰɢɩɨɦ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɫɬɢ. Ɉɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɬɚɤɢɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ, ɱɬɨ ɤɚɤɨɜɨ ɛɵ ɧɢ ɛɵɥɨ ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ ɧɚ ɥɸɛɨɦ ɲɚɝɟ ɢ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ, ɜɵɛɪɚɧɧɨɟ ɧɚ 4
ɷɬɨɦ ɲɚɝɟ, ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɞɨɥɠɧɵ ɜɵɛɢɪɚɬɶɫɹ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɦɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ, ɤ ɤɨɬɨɪɨɦɭ ɩɪɢɞɟɬ ɫɢɫɬɟɦɚ ɜ ɤɨɧɰɟ ɞɚɧɧɨɝɨ ɲɚɝɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ ɷɬɨɝɨ ɩɪɢɧɰɢɩɚ ɝɚɪɚɧɬɢɪɭɟɬ, ɱɬɨ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ, ɜɵɛɪɚɧɧɨɟ ɧɚ ɥɸɛɨɦ ɲɚɝɟ, ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟ ɥɨɤɚɥɶɧɨ ɥɭɱɲɢɦ, ɚ ɥɭɱɲɢɦ ɫ ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɜ ɰɟɥɨɦ. & Ɍɚɤ, ɟɫɥɢ ɜ ɧɚɱɚɥɟ k -ɝɨ ɲɚɝɚ ɫɢɫɬɟɦɚ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɜ ɫɨɫɬɨɹɧɢɢ [ k 1 ɢ & ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ u k , ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɩɪɢɞɟɬ ɜ ɧɨɜɨɟ & & & & & ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ [ k Fk [ k 1 , u k ɢ ɞɚɥɶɧɟɣɲɢɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ u k 1 ,..., u n ɞɨɥɠɧɵ & ɜɵɛɢɪɚɬɶɫɹ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɦɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ [ k . ɗɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɷɬɢɯ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹɯ ɦɚɤɫɢɦɢɡɢɪɭɟɬɫɹ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɢ ɧɚ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɞɨ ɤɨɧɰɚ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɲɚɝɨɜ k 1,... , n , ɬ. ɟ. ɜɟɥɢɱɢɧɚ n & & ¦ fi [ i1 , ui . ɉɨɤɚɡɚɬɟɥɶ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɢɣ ɫɭɦɦɚɪɧɭɸ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɶ
i k 1
ɨɬ ɞɚɧɧɨɝɨ k -ɝɨ ɞɨ ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ n -ɝɨ ɲɚɝɚ, ɛɭɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ Z k , ɬ. ɟ. n & & Z k ¦ fi [ i 1 , u i . Ɂɚɞɚɱɚ ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ ɩɪɨɰɟɫɫɚ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ k -ɝɨ ɲɚɝɚ ɞɨ i k & ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ n -ɝɨ ɲɚɝɚ, ɩɨɯɨɠɚ ɧɚ ɢɫɯɨɞɧɭɸ ɩɪɢ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦ ɫɨɫɬɨɹɧɢɢ [ k 1 , & & & ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɢ U k u k ,..., u n ɢ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɢ Z k Ɏ [ k 1 ,U k ,
* k
ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨ (2). ȼɵɛɢɪɚɹ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ U ɧɚ ɨɫɬɚɜɲɢɯɫɹ n k 1 ɲɚɝɚɯ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɜɟɥɢɱɢɧɭ Z k* max Z k , ɤɨɬɨɪɚɹ ɡɚɜɢɫɢɬ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ & [ k 1 , ɬ. ɟ. & & Z k* [ k 1 max Ɏ [ k 1 ,U k* . (4) Uk & ȼɟɥɢɱɢɧɚ Z k* [ k 1 ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɫɥɨɜɧɵɦ ɦɚɤɫɢɦɭɦɨɦ. ȿɫɥɢ ɬɟɩɟɪɶ & ɧɚ k -ɨɦ ɲɚɝɟ ɛɪɚɬɶ ɩɪ ɜɵ ɨɢɡɜɨɥɶɧɨɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ u k , ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɩɟɪɟɣɞɟɬ ɜ & & ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ [ k . ɂ, ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɩɪɢɧɰɢɩɭ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɫɬɢ, ɤɚɤɨɟ ɛɵ u k ɦɵ ɧɢ & & ɜɵɛɪɚɥɢ, ɧɚ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɲɚɝɚɯ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ u k ,..., u n ɞɨɥɠɧɨ
ɜɵɛɢɪɚɬɶɫɹ
ɬɚɤ,
ɱɬɨɛɵ
ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶ
ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɪɚɜɧɨɝɨ Z
* k 1
ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɢ Z k 1 ɞɨɫɬɢɝɚɥ & & [ k . ɍɩɪɚɜɥɟɧɢɟ u k ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ
ɜɵɛɢɪɚɬɶ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɨɧɨ ɜ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɫ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɦ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟɦ ɧɚ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɲɚɝɚɯ (ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ k 1 -ɝɨ) ɩɪɢɜɨɞɢɥɨ ɛɵ ɤ ɨɛɳɟɦɭ ɦɚɤɫɢɦɭɦɭ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɢ ɧɚ n k 1 ɲɚɝɚɯ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ k -ɝɨ ɞɨ ɤɨɧɰɚ. ɗɬɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɜ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɨɪɦɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɫɥɟɞɭɸɳɟɝɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ: 5
& Z k* [ k 1
& & & max f k [ k 1 , u k Z k*1 [ k &
uk
.
(5)
ɗɬɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɫɧɨɜɧɵɦ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɵɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɹ, ɢɥɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ Ȼɟɥɥɦɚɧɚ. & ɂɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (5) ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɨɥɭɱɟɧɚ ɮɭɧɤɰɢɹ Z n*1 [ n2 , ɟɫɥɢ & ɢɡɜɟɫɬɧɚ ɮɭɧɤɰɢɹ Z n* [ n1 ; ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ & & Z n*2 [ n3 , ɟɫɥɢ ɧɚɣɞɟɧɨ Z n*1 [ n2 ɢ ɬɚɤ ɞɚɥɟɟ, ɩɨɤɚ ɧɟ ɛɭɞɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ & ɜɟɥɢɱɢɧɚ Z1* [ 0 , ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɳɚɹ ɩɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ
ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɢ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɜ ɰɟɥɨɦ & & Z1* [ 0 max Ɏ [ 0 ,U .
U
ɋɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ (5) ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɮɭɧɤɰɢɣ & Z [ k 1 ɱɟɪɟɡ Z k*1 [ k k n , n 1,...,1 ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɪɟɤɭɪɪɟɧɬɧɵɦɢ * k
&
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ Ȼɟɥɥɦɚɧɚ. ɉɪɢɦɟɪ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɦɨɞɟɥɢ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɹ
ɉɥɚɧɢɪɭɟɬɫɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɫɭɦɦɵ ɫɪɟɞɫɬɜ [0 ɦɟɠɞɭ n ɉ1 , ɉ2 , ..., ɉ n . ɉɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɜɵɞɟɥɟɧɧɵɟ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹɦɢ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ ɉ k ɜ ɧɚɱɚɥɟ ɩɥɚɧɨɜɨɝɨ ɩɟɪɢɨɞɚ ɫɪɟɞɫɬɜɚ xk ɩɪɢɧɨɫɹɬ ɞɨɯɨɞ f k xk k 1, 2 , ..., n . Ȼɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ: 1) ɞɨɯɨɞ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɨɬ ɜɥɨɠɟɧɢɹ ɫɪɟɞɫɬɜ ɜ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɟ ɉ k , ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɥɨɠɟɧɢɹ ɫɪɟɞɫɬɜ ɜ ɞɪɭɝɢɟ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹ; 2) ɞɨɯɨɞ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɨɬ ɪɚɡɧɵɯ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɣ, ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ ɜ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɯ ɟɞɢɧɢɰɚɯ; 3) ɨɛɳɢɣ ɞɨɯɨɞ ɪɚɜɟɧ ɫɭɦɦɟ ɞɨɯɨɞɨɜ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɨɬ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɫɟɯ ɫɪɟɞɫɬɜ ɩɨ ɜɫɟɦ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹɦ. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ, ɤɚɤɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɫɪɟɞɫɬɜ ɧɭɠɧɨ ɜɵɞɟɥɢɬɶ ɤɚɠɞɨɦɭ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ, ɱɬɨɛɵ ɫɭɦɦɚɪɧɵɣ ɞɨɯɨɞ ɛɵɥ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɵɦ. Ɂɚɩɢɲɟɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɦɨɞɟɥɶ ɡɚɞɚɱɢ. Ɉɛɳɢɣ ɞɨɯɨɞ ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ ɰɟɥɟɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ n
Z
¦ f x . k 1
k
k
(6)
ɉɟɪɟɦɟɧɧɵɟ xk ɞɨɥɠɧɵ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɭɫɥɨɜɢɹɦ x1 x2 ... xn [0 ; xk t 0 k 1,..., n . (7) Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ x1 ,..., xn , ɤɨɬɨɪɵɟ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɹɦ (7) ɢ ɨɛɪɚɳɚɸɬ ɜ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɰɟɥɟɜɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ (6). 6
Ⱦɚɧɧɵɣ ɩɪɨɰɟɫɫ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ n -ɲɚɝɨɜɵɣ ɩɪɨɰɟɫɫ. Ɂɚ ɧɨɦɟɪ k -ɝɨ ɲɚɝɚ ɩɪɢɦɟɦ ɧɨɦɟɪ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹ, ɤɨɬɨɪɨɦɭ ɜɵɞɟɥɹɸɬɫɹ ɫɪɟɞɫɬɜɚ xk . ɇɚ ɩɟɪɜɨɦ ɲɚɝɟ ɜɵɞɟɥɹɟɦ ɩɟɪɜɨɦɭ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ ɫɪɟɞɫɬɜɚ x1 , ɧɚ ɜɬɨɪɨɦ ɲɚɝɟ – ɜɬɨɪɨɦɭ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ ɜɵɞɟɥɹɟɦ ɫɪɟɞɫɬɜɚ x2 ɢɡ ɨɫɬɚɜɲɢɯɫɹ ɢ ɬ. ɞ. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ xk k 1,..., n ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɭɩɪɚɜɥɹɸɳɢɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ. ɇɚɱɚɥɶɧɨɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ [0 ɫɪɟɞɫɬɜ, ɩɨɞɥɟɠɚɳɢɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ. ɉɨɫɥɟ ɜɵɞɟɥɟɧɢɹ x1 ɨɫɬɚɟɬɫɹ [1 [0 x1 ɫɪɟɞɫɬɜ ɢ ɬ. ɞ. ȼɟɥɢɱɢɧɵ [0 , [1 ,..., [n , ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɢɟ ɨɫɬɚɬɨɤ ɫɪɟɞɫɬɜ ɩɨɫɥɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚ ɩɪɟɞɲɟɫɬɜɭɸɳɢɯ ɲɚɝɚɯ, ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ. ɍɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɫɥɭɠɚɬ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ [k [k 1 xk k 1,..., n . ɋɭɦɦɚɪɧɵɣ ɞɨɯɨɞ ɡɚ n ɲɚɝɨɜ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ Z
Ɏ [ 0 ,U
n
¦ f x k 1
k
k
ɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɢ ɩɪɨɰɟɫɫɚ, ɢɦɟɸɳɢɣ, ɤɚɤ ɜɢɞɧɨ ɢɡ ɷɬɨɝɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ, ɚɞɞɢɬɢɜɧɭɸ ɮɨɪɦɭ. ȿɫɥɢ ɤ ɧɚɱɚɥɭ k -ɝɨ ɲɚɝɚ ɨɫɬɚɬɨɤ ɫɪɟɞɫɬɜ ɪɚɜɟɧ [k 1 , ɬɨ ɞɨɯɨɞ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɧɚ ɨɫɬɚɜɲɢɯɫɹ n k 1 ɲɚɝɚɯ (ɬ. ɟ. ɨɬ ɜɵɞɟɥɟɧɢɹ ɫɪɟɞɫɬɜ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹɦ ɉ k , ɉ k 1 , ..., ɉ n ), ɫɨɫɬɚɜɢɬ Z k
n
¦ f x . i
i
i k
Ɇɚɤɫɢɦɚɥɶɧɵɣ ɞɨɯɨɞ ɡɚ ɷɬɢ n k 1 ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɬɨɝɨ, ɫɤɨɥɶɤɨ ɫɪɟɞɫɬɜ ɨɫɬɚɥɨɫɶ ɨɬ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɯ k 1 ɲɚɝɨɜ, ɬ. ɟ. ɜɟɥɢɱɢɧɵ [k 1 . ɉɨɷɬɨɦɭ ɛɭɞɟɦ ɟɝɨ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ ɱɟɪɟɡ Z k* [k 1 . Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ Z1* [0
Z max , ɬ. ɟ.
* 1
Z [0 ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɫɭɦɦɚɪɧɵɣ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɵɣ ɞɨɯɨɞ ɡɚ n ɲɚɝɨɜ (ɞɨɯɨɞ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɩɪɢ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɫɪɟɞɫɬɜ [0 ɦɟɠɞɭ n ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹɦɢ). Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɥɸɛɨɣ k -ɵɣ ɲɚɝ. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ xk ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɢɪɚɬɶ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ 0 d xk d [k 1 . Ɂɧɚɱɟɧɢɟ xk , ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɟ ɷɬɨɦɭ ɞɜɨɣɧɨɦɭ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɭ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɨɩɭɫɬɢɦɵɦ. ɉɪɢɧɰɢɩ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɫɬɢ ɜ ɷɬɨɦ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ, ɜɵɞɟɥɢɜ ɜɟɥɢɱɢɧɭ xk ɢ ɩɨɥɭɱɢɜ ɨɬ k -ɝɨ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹ ɞɨɯɨɞ f k xk , ɦɵ ɞɨɥɠɧɵ ɪɚɫɩɨɪɹɞɢɬɶɫɹ ɨɫɬɚɜɲɢɦɢɫɹ ɫɪɟɞɫɬɜɚɦɢ [k [k 1 xk ɧɚɢɜɵɝɨɞɧɟɣɲɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɢ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɨɬ
ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɣ ɉ k 1 , ..., ɉ n ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɵɣ ɞɨɯɨɞ Z k*1 [k . əɫɧɨ, ɱɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɭ xk ɫɥɟɞɭɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɹɬɶ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ ɦɚɤɫɢɦɢɡɚɰɢɢ ɫɭɦɦɵ f k xk Z k*1 [k . Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ Z k* [k 1
max
0d xk d[k 1
^ f x Z [ ` , k
7
k
* k 1
k
(8)
ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ Ȼɟɥɥɦɚɧɚ. ɉɟɪɟɣɞɟɦ ɤ ɫɯɟɦɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ. ɇɚɫ ɢɧɬɟɪɟɫɭɟɬ Z1* [0 , ɧɨ ɟɫɥɢ ɧɚɱɚɬɶ ɫ ɩɟɪɜɨɝɨ ɲɚɝɚ, ɬ. ɟ. ɫ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ Z1* [0 max ^ f1 x1 Z 2* [1 ` , 0d xi d[0
ɬɨ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɧɚɬɶ Z 2* [1 . ȼ ɫɜɨɸ ɨɱɟɪɟɞɶ, ɩɪɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ Z 2* [1 ɧɭɠɧɨ ɡɧɚɬɶ Z3* [2 ɢ ɬ. ɞ. Ɉɞɧɚɤɨ ɢɦɟɟɬɫɹ ɲɚɝ, ɡɚ ɤɨɬɨɪɵɦ ɧɟɬ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɯ. Ɍɚɤɢɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ n -ɣ ɲɚɝ, ɧɚ ɤɨɬɨɪɨɦ ɜɵɞɟɥɹɸɬɫɹ ɫɪɟɞɫɬɜɚ ɩɨɫɥɟɞɧɟɦɭ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ ɉ n . Ⱦɥɹ ɧɟɝɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ (8) ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ Z n*1 [n1
max
0d xn d[n 1
^ f x ` . n
(9)
n
Ȼɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ ɞɨɯɨɞɚ f n xn ɦɨɧɨɬɨɧɧɨ ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɷɬɨɣ ɡɚɞɚɱɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɭɫɥɨɜɧɨɟ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ xn* [n1 , ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬɫɹ ɭɫɥɨɜɧɵɣ ɦɚɤɫɢɦɭɦ Z n* [n1 f n xn* . ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ ɉ n ɜɵɞɟɥɹɸɬɫɹ ɜɫɟ ɨɫɬɚɜɲɢɟɫɹ ɫɪɟɞɫɬɜɚ [n1 , ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɢɧɨɫɹɬ ɞɨɯɨɞ f n [n1 . ȼɟɪɧɟɦɫɹ ɤ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦɭ, n 1 ɦɭ ɲɚɝɭ, ɜ ɧɚɱɚɥɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɢɦɟɟɬɫɹ ɨɫɬɚɬɨɤ ɫɪɟɞɫɬɜ [n2 . ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ (8) ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ Z n*1 [n2 max ^ f n1 xn1 Z n* [n1 ` . 0d xn 2 d[n 2
Ɂɞɟɫɶ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɣ ɜɵɛɨɪ xn1 ɧɟ ɫɬɨɥɶ ɨɱɟɜɢɞɟɧ, ɤɚɤ ɩɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɣ ɡɚɞɚɱɢ (9). ɉɪɟɠɞɟ ɜɫɟɝɨ, ɜɵɪɚɡɢɜ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ [n1 ɱɟɪɟɡ [n2 xn1 , ɩɨɥɭɱɢɦ Z n*1 [n2
max
0d xn 1 d[n 2
^ f x Z [ n 1
n 1
* n
n 2
xn1 ` .
( 10 )
Ɉɛɚ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ ɜ ɮɢɝɭɪɧɵɯ ɫɤɨɛɤɚɯ – ɢɡɜɟɫɬɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɡɚɜɢɫɹɳɢɟ ɨɬ ɭɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ xn1 . ɉɚɪɚɦɟɬɪ [n2 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟɦ ɞɥɹ ɞɚɧɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ. ȼɵɩɨɥɧɢɜ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɧɚ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɮɭɧɤɰɢɢ Z n1 xn1 , [n2 f n1 xn1 Z n* [n2 xn1 ɨɬ ɨɞɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ xn1 ,
ɩɨɥɭɱɢɦ
ɭɫɥɨɜɧɨɟ
ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ
ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ
xn*1 [n2
ɢ
* n 1
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ ɭɫɥɨɜɧɵɣ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɫɭɦɦɚɪɧɨɝɨ ɞɨɯɨɞɚ Z [n2 . ɇɚ ɹɡɵɤɟ ɞɚɧɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ ɷɬɨ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɩɟɪɟɞ ɜɵɞɟɥɟɧɢɟɦ ɫɪɟɞɫɬɜ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ ɉ n1 ɜ ɧɚɲɟɦ ɪɚɫɩɨɪɹɠɟɧɢɢ ɢɦɟɟɬɫɹ ɨɫɬɚɬɨɤ [n2 , ɬɨ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ ɉ n1 ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɵɞɟɥɢɬɶ xn*1 [n2 ɫɪɟɞɫɬɜ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɫɭɦɦɚ ɞɨɯɨɞɨɜ ɨɬ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɣ ɉ n1 ɢ ɉ n ɞɨɫɬɢɝɚɟɬ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ. Ɂɚɤɨɧɱɢɜ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (10), ɩɟɪɟɣɞɟɦ ɤ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦɭ ɫ ɤɨɧɰɚ n 2 -ɦɭ ɲɚɝɭ, ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɭɫɥɨɜɧɨɟ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ 8
xn*2 [n3
ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ
ɢ
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ
ɨɫɬɚɬɤɭ
[ n 3
ɭɫɥɨɜɧɵɣ
* n 2
ɦɚɤɫɢɦɭɦ Z [n3 ɢ ɬ. ɞ. ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ, ɩɪɨɯɨɞɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɜɫɟ ɲɚɝɢ ɫ ɤɨɧɰɚ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɤ ɟɝɨ ɧɚɱɚɥɭ (ɬ. ɟ. ɤ ɩɟɪɜɨɦɭ ɲɚɝɭ), ɩɨɥɭɱɢɦ ɞɜɟ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɮɭɧɤɰɢɣ: Z n* [n1 , Z n*1 [n2 ,..., Z 2* [1 , Z1* [0 (ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɵɟ ɞɨɯɨɞɵ) ɢ xn* [n1 , xn*1 [n2 ,..., x2* [1 , x1* [0 (ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ). ɗɬɢɦ ɡɚɜɟɪɲɚɟɬɫɹ ɩɟɪɜɵɣ ɢ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɷɬɚɩ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ, ɩɨɥɭɱɢɜɲɢɣ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɭɫɥɨɜɧɨɣ ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ. Ɍɟɩɟɪɶ ɩɪɢɫɬɭɩɚɟɦ ɤɨ ɜɬɨɪɨɦɭ ɷɬɚɩɭ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɨɣ ɫɯɟɦɵ – ɛɟɡɭɫɥɨɜɧɨɣ ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ. ɇɚ ɷɬɨɦ ɷɬɚɩɟ, ɩɪɟɠɞɟ ɜɫɟɝɨ, ɡɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɸ Z1* [0 , ɩɨ ɡɚɞɚɧɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ [0* ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ * (* Ɂɜɟɡɞɨɱɤɢ, ɩɨɦɟɳɟɧɧɵɟ ɧɚɞ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ, ɭɤɚɡɵɜɚɸɬ ɧɚ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɷɬɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ, ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɵɟ ɧɚ ɷɬɚɩɟ ɛɟɡɭɫɥɨɜɧɨɣ ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ) Z max Zi* [0* . Ⱦɚɥɟɟ, ɨɛɪɚɳɚɟɦɫɹ ɤ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ
xk * [k 1 , ɤɨɬɨɪɭɸ ɩɪɨɯɨɞɢɦ ɨɬ ɧɚɱɚɥɚ ɤ ɤɨɧɰɭ ɩɪɨɰɟɫɫɚ. ȼɵɞɟɥɹɟɦ
x1*
x1* [0*
[1
[0 x1 . ɉɨ ɷɬɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ
*
*
*
x2* [1* , ɜɵɞɟɥɹɟɦɵɯ ɜɬɨɪɨɦɭ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ. ɋɧɨɜɚ ɧɚɯɨɞɢɦ
ɫɪɟɞɫɬɜ x2*
[2
*
ɩɟɪɜɨɦɭ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ; ɬɨɝɞɚ ɞɥɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɫɬɚɟɬɫɹ
[1 x2 , ɩɨɫɥɟ ɱɟɝɨ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ x3 , ɢ ɬ. ɞ., ɩɨɤɚ ɧɟ ɛɭɞɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɨ *
*
*
ɢɫɤɨɦɨɟ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ x , x ,..., xn* . * 1
* 2
ɑɢɫɥɨɜɨɣ ɩɪɢɦɟɪ
1. Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɣ ɫɩɨɫɨɛ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɦɟɸɳɢɯɫɹ ɫɪɟɞɫɬɜ. Ȼɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɩɪɨɰɟɫɫ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɪɟɞɫɬɜ ɤɚɤ n -ɲɚɝɨɜɵɣ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɧɨɦɟɪ ɲɚɝɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɨɦɟɪɭ ɝɨɞɚ. ɍɩɪɚɜɥɹɟɦɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ – ɞɜɚ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹ ɫ ɜɥɨɠɟɧɧɵɦɢ ɜ ɧɢɯ ɫɪɟɞɫɬɜɚɦɢ. ɋɢɫɬɟɦɚ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɨɞɧɢɦ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ [k 1 k 1,..., n – ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨɦ ɫɪɟɞɫɬɜ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɟɪɟɪɚɫɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɜ ɧɚɱɚɥɟ k -ɝɨ ɝɨɞɚ. ɉɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɲɚɝɟ ɞɜɟ: xk1 ɢ xk2 – ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɫɪɟɞɫɬɜ, ɜɵɞɟɥɟɧɧɵɯ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ I ɢ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ II. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɫɪɟɞɫɬɜɚ ɟɠɟɝɨɞɧɨ ɩɟɪɟɪɚɫɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ, ɬɨ xk2 [k 1 xk1 9
1,..., n . Ⱦɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɲɚɝɚ ɡɚɞɚɱɚ ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɣ. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ xk1 ɱɟɪɟɡ xk , ɬɨɝɞɚ xk2 [k 1 xk .
k
ɉɨɤɚɡɚɬɟɥɶ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɢ k -ɝɨ ɲɚɝɚ ɪɚɜɟɧ f1 xk f 2 [k 1 xk . ɗɬɨ ɞɨɯɨɞ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɨɬ ɞɜɭɯ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɣ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ k -ɝɨ ɝɨɞɚ. ɉɨɤɚɡɚɬɟɥɶ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɢ ɡɚɞɚɱɢ – ɞɨɯɨɞ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɨɬ ɞɜɭɯ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɣ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ n ɥɟɬ, ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ n
Z
¦ ¬ª f x f [ k 1
1
2
k
k 1
xk ¼º .
( 11 )
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɜɵɪɚɠɚɟɬ ɨɫɬɚɬɨɤ ɫɪɟɞɫɬɜ [k ɩɨɫɥɟ k -ɝɨ ɲɚɝɚ ɢ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ [k M1 xk M 2 [k 1 xk . ( 12 ) ɉɭɫɬɶ Z k* [k 1 – ɭɫɥɨɜɧɵɣ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɣ ɞɨɯɨɞ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɨɬ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɪɟɞɫɬɜ [k 1 ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹɦɢ ɡɚ n k 1 ɥɟɬ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ k -ɝɨ ɝɨɞɚ ɞɨ ɤɨɧɰɚ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɝɨ ɩɟɪɢɨɞɚ. Ɂɚɩɢɲɟɦ ɪɟɤɭɪɪɟɧɬɧɵɟ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɞɥɹ ɷɬɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ: Z n* [n1 max ^ f1 xn f 2 [n1 xn `; 0d xn d[n 1 ( 13 ) * Z k [k 1 max ^ f1 xk f 2 [k 1 xk Z k*1 [k ` , 0d xk d[k 1
ɝɞɟ [k – ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ (12). Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ ɩɪɢ ɤɨɧɤɪɟɬɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ. ɉɭɫɬɶ [0 10000; n 4; f1 ( x ) 0, 4 x ; f 2 ( x ) 0,3 x ; M1 ( x ) 0,5 x ; M 2 ( x ) 0,8 x . ȿɫɥɢ xk ɢ [k 1 xk – ɫɪɟɞɫɬɜɚ, ɜɵɞɟɥɟɧɧɵɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹɦ I ɢ II ɜ k -ɨɦ ɝɨɞɭ, ɬɨ ɫɭɦɦɚɪɧɵɣ ɞɨɯɨɞ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɜ ɷɬɨɦ ɝɨɞɭ ɨɬ ɨɛɨɢɯ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɣ, ɪɚɜɟɧ Z k 0, 4 xk 0,3[k 1 0,3 xk 0,1xk 0,3[k 1 , ɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ (12) ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ [k 0,5xk 0,8 [k 1 xk 0.8[k 1 0,3 xk . Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (13) ɡɚɩɢɲɭɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ Z 4* [3 max ^0,1x4 0,3[3 ` ; 0d x4 d[3
* k
Z [k 1
max ^0,1xk 0,3[k 1 Z k*1 0,8[k 1 0,3 xk ` k
0d xk d[k 1
ɉɪɨɜɟɞɟɦ ɷɬɚɩ ɭɫɥɨɜɧɨɣ ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ. ɑɟɬɜɟɪɬɵɣ ɲɚɝ: ɍɫɥɨɜɧɵɣ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɣ ɞɨɯɨɞ ɪɚɜɟɧ Z 4* [3 max ^0,1x4 0,3[3 ` 0, 4[3 , 0d x4 d[3
10
1, 2, 3 .
ɬɚɤ ɤɚɤ ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ x4 ɮɭɧɤɰɢɹ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ ɜ ɤɨɧɰɟ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ, ɬ. ɟ. ɩɪɢ x4* [3 [3 .
Ɍɪɟɬɢɣ ɲɚɝ: Z3* [2
max ^0,1x3 0,3[2 0, 4 0,8[2 0,3 x3 `
0d x3 d[2
max ^0,02 x3 0,63[2 ` .
0d x3 d[2
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɢ x3 ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɟɧ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɷɬɨɣ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ x3 ɮɭɧɤɰɢɢ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬɫɹ ɜ ɧɚɱɚɥɟ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ, ɬ. ɟ. x3* [2 0 ; Z3* [2 0,62[2 . ȼɬɨɪɨɣ ɲɚɝ: Z 2* [1 max ^0,086 x2 0.796[1` , 0d x2 d s1
* 2
* 2
ɨɬɤɭɞɚ x [1 0; Z [1 0,796[1 . ɉɟɪɜɵɣ ɲɚɝ: Z1* [0 max ^0,1388 x1 0,9368[0 ` 0,9368[0 ɩɪɢ x1* [0 0 . Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬ ɭɫɥɨɜɧɨɣ ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ: Z1* [0 0,9368[0 ; x1* [0 0 ; Z 2* [1 0,796[1 ; x2* [1 0 ; Z3* [2 0,62[2 ; x3* [2 0 ; Z 4* [3
0, 4[3 ; x4* [3
0.
ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ. ɉɨɥɚɝɚɟɦ [0* 10000 , ɬɨɝɞɚ Z max 9368, x1* 0 . Ɂɧɚɹ x1* , ɧɚɯɨɞɢɦ [1* 0,8 10000 0,3 0 8000 ; ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ [1* , ɩɨɥɭɱɚɟɦ x2* 0 ɢ [2* 0,8 80000 6400 . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɉɟɪɟɣɞɟɦ
ɤ
ɛɟɡɭɫɥɨɜɧɨɣ
x3* 0 ; [3* 5120 . ɇɚɤɨɧɟɰ, x4* ɧɭɠɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɬɚɤ: ɉɪɟɞɩɪɢɹɬɢɟ I II
1 0 10 000
5120 . ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɫɪɟɞɫɬɜɚ ɩɨ ɝɨɞɚɦ
2 0 8000
Ƚɨɞ
3 0 6400
4 5120 0
ɉɪɢ ɬɚɤɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɫɪɟɞɫɬɜ (10 000 ɪɭɛ.) ɡɚ ɱɟɬɵɪɟ ɝɨɞɚ ɛɭɞɟɬ ɩɨɥɭɱɟɧ ɞɨɯɨɞ, ɪɚɜɧɵɣ Z max 9368 . ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɦɨɞɟɥɢ, ɩɪɢɦɟɪɨɦ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɥɭɠɢɬ ɷɬɚ ɡɚɞɚɱɚ, ɧɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɬɢɩɢɱɧɵɦɢ ɜ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɪɟɫɭɪɫɨɜ. ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɛɨɥɶɲɢɧɫɬɜɨ ɡɚɞɚɱ ɛɭɞɟɬ ɧɨɫɢɬɶ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ. 11
2. ɋɬɭɞɟɧɬ Ʉ. ɡɚɤɚɧɱɢɜɚɟɬ ɢɧɫɬɢɬɭɬ. ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɞɢɩɥɨɦ, ɨɧ ɯɨɱɟɬ ɞɨɛɢɬɶɫɹ ɧɚɢɥɭɱɲɢɯ ɨɰɟɧɨɤ ɧɚ ɜɵɩɭɫɤɧɵɯ ɷɤɡɚɦɟɧɚɯ. Ɉɧ ɞɟɥɢɬ ɢɦɟɸɳɢɟɫɹ ɭ ɧɟɝɨ ɜ ɤɨɧɰɟ ɧɟɞɟɥɢ ɭɱɟɛɧɨɟ ɜɪɟɦɹ ɧɚ 10 ɨɬɪɟɡɤɨɜ ɪɚɜɧɨɣ ɞɥɢɧɵ. ȿɦɭ ɧɚɞɨ ɫɞɚɬɶ ɷɤɡɚɦɟɧɵ ɩɨ ɱɟɬɵɪɟɦ ɩɪɟɞɦɟɬɚɦ, ɞɜɚ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɨɧ ɫɱɢɬɚɟɬ ɥɟɝɤɢɦɢ, ɞɜɚ ɬɪɭɞɧɵɦɢ. ɉɨ ɨɰɟɧɤɟ ɫɬɭɞɟɧɬɚ, ɨɧ ɧɟ ɩɨɥɭɱɢɬ ɧɢ ɨɞɧɨɝɨ ɜɵɩɭɫɤɧɨɝɨ ɛɚɥɥɚ, ɟɫɥɢ ɫɨɜɫɟɦ ɧɟ ɛɭɞɟɬ ɡɚɧɢɦɚɬɶɫɹ ɥɟɝɤɢɦɢ ɩɪɟɞɦɟɬɚɦɢ, ɞɜɚ ɛɚɥɥɚ, ɟɫɥɢ ɨɬɜɟɞɟɬ ɧɚ ɬɚɤɨɣ ɩɪɟɞɦɟɬ ɨɞɢɧ ɢɥɢ ɞɜɚ ɨɬɪɟɡɤɚ, ɬɪɢ ɛɚɥɥɚ, ɟɫɥɢ ɩɨɫɜɹɬɢɬ ɢɦ ɬɪɢ ɨɬɪɟɡɤɚ, ɢ ɱɟɬɵɪɟ ɛɚɥɥɚ, ɟɫɥɢ ɛɭɞɟɬ ɡɚɧɢɦɚɬɶɫɹ ɥɟɝɤɢɦ ɩɪɟɞɦɟɬɨɦ ɱɟɬɵɪɟ ɨɬɪɟɡɤɚ. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ ɞɥɹ ɬɪɭɞɧɵɯ ɩɪɟɞɦɟɬɨɜ ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ, ɨɞɧɨɦɭ, ɞɜɭɦ ɢ ɬɪɟɦ ɛɚɥɥɚɦ. Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, ɩɪɢ ɢɡɭɱɟɧɢɢ ɬɪɭɞɧɨɝɨ ɩɪɟɞɦɟɬɚ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɩɹɬɢ ɨɬɪɟɡɤɨɜ ɨɧ ɫɱɢɬɚɟɬ, ɱɬɨ ɩɨɥɭɱɢɬ ɱɟɬɵɪɟ ɛɚɥɥɚ. ɇɟ ɜɞɚɜɚɹɫɶ ɜ ɜɨɩɪɨɫ ɨ ɬɨɦ, ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɥɢ ɷɬɢ ɨɰɟɧɤɢ ɢɡɥɢɲɧɟ ɨɩɬɢɦɢɫɬɢɱɟɫɤɢɦɢ, ɤɚɤ ɛɵ ɜɵ ɩɨɫɨɜɟɬɨɜɚɥɢ ɫɬɭɞɟɧɬɭ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɟɝɨ ɜɪɟɦɹ, ɱɬɨɛɵ ɦɚɤɫɢɦɢɡɢɪɨɜɚɬɶ ɱɢɫɥɨ ɛɚɥɥɨɜ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɨɧ ɦɨɠɟɬ ɧɚɛɪɚɬɶ ɧɚ ɷɤɡɚɦɟɧɚɯ? ɉɨɫɬɪɨɣɬɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɭɸ ɦɨɞɟɥɶ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɢ ɧɚɣɞɢɬɟ ɟɟ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ. Ʉɚɤɨɜɚ ɨɰɟɧɤɚ ɜ ɛɚɥɥɚɯ ɨɞɧɨɝɨ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ ɜɪɟɦɟɧɢ ɞɥɹ ɩɨɞɝɨɬɨɜɤɢ? Ʉɚɤɨɜɵ ɩɨɬɟɪɢ ɜ ɛɚɥɥɚɯ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɫɬɭɞɟɧɬ ɧɟ ɛɭɞɟɬ ɝɨɬɨɜɢɬɶɫɹ ɤ ɷɤɡɚɦɟɧɚɦ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɨɞɧɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ? Ɋɟɲɟɧɢɟ: 1) ɉɨɞ ɷɬɚɩɨɦ ɛɭɞɟɦ ɩɨɧɢɦɚɬɶ ɩɨɞɝɨɬɨɜɤɭ ɩɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦɭ ɩɪɟɞɦɟɬɭ. Ɉɬɫɸɞɚ N 4 . ɉɭɫɬɶ ɫɬɭɞɟɧɬ ɫɧɚɱɚɥɚ ɡɚɧɢɦɚɟɬɫɹ ɥɟɝɤɢɦɢ ɩɪɟɞɦɟɬɚɦɢ, ɚ ɡɚɬɟɦ ɬɪɭɞɧɵɦɢ: Ʌ 4
Ʌ 3
Ɍ 2
Ɍ 1
2) [n1 – ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɨɫɬɚɜɲɢɯɫɹ ɞɧɟɣ ɩɟɪɟɞ ɧɚɱɚɥɨɦ ɡɚɧɹɬɢɹ n -ɵɦ ɩɪɟɞɦɟɬɨɦ n 4 ,3, 2 ,1 , [4 10 . 3) un – ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɞɧɟɣ ɧɚ n -ɵɣ ɩɪɟɞɦɟɬ. 4) [n [n1 un – ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɨɰɟɫɫɚ. 5) un t 0 ,
¦u
n
d 10 .
6) Z n [n1 , un – ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɛɚɥɥɨɜ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɩɪɢ ɫɞɚɱɟ ɩɪɟɞɦɟɬɚ n n 4 , 3, 2 ,1 ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɧɚ ɩɨɞɝɨɬɨɜɤɭ ɷɬɨɝɨ ɩɪɟɞɦɟɬɚ ɡɚɬɪɚɱɟɧɨ un ɞɧɟɣ ɢɡ [n1 W 10 , u4 , u3 , u2 , u1
4
¦ W [ n 1
n
n 1
, un .
7) Z n ( x ) – ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɛɚɥɥɨɜ ɡɚ n ɩɪɟɞɦɟɬɨɜ, ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɫɞɚɱɢ ɷɬɢɯ ɩɪɟɞɦɟɬɨɜ ɛɵɥɨ ɨɬɜɟɞɟɧɨ x ɞɧɟɣ.
12
max ^Z n un Wn1 x un ` ,
Zn ( x)
0dun d x
n 1, 2 ,3, 4 ; Z0 ( x ) 0 . 8) Ɋɟɲɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɪɨɢɥɥɸɫɬɪɢɪɨɜɚɧɨ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ. ɂɡ ɬɚɛɥɢɰɵ ɹɫɧɨ, ɱɬɨ Z 4 (10) 10 ɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɯ ɫɬɪɚɬɟɝɢɣ. ȼɨɬ ɞɜɟ ɢɡ ɧɢɯ: 1) u4 0 , u3 5, u2 1, u1 4 ; 2) u4 1 , u3 1, u2 4 , u1 4. Ɍɚɛɥɢɰɚ ɪɟɲɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ x
n 1
u1 ( x )
Z1 u1
u2 ( x )
0 0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4
0 0,2 0,2,2 0,2,2,3 0,2,2,3,4
0 0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 1,2,3,4 2,3,4 3,4 4
n
2
u3 ( x )
Z 2 u2
n
Z1 x u2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2,2 2,4,2 3,4,4,3 4,5,4,5,4 6,5,5,6 6,6,6 7,7 8
3
u4 ( x )
Z 3 u3
4
n
Z 4 u4
Z3 x u4
Z 2 x u3
0 0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5 1,2,3,4,5 2,3,4,5
0 2,1 4,3,1 4,5,3,2 5,5,5,4,3 6,6,5,6,5,4 6,7,6,6,7,6 7,7,7,7,7,8 8,8,7,8,8,8 9,8,8,9,9 9,9,9,10
0 0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5
0 2,1 4,3,1 5,5,3,2 5,6,5,4,3 6,6,6,6,5,4 7,7,6,7,7,6 8,8,7,7,8,8 8,9,8,8,8,9 9,9,9,9,9,9 10,10,9,10, 10,10
Ɂɚɞɚɱɢ ɞɥɹ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ
1. ɇɚɣɬɢ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɞɟɜɹɬɢ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɜ ɦɟɠɞɭ ɬɪɟɦɹ ɜɢɞɚɦɢ ɡɟɦɥɹɧɵɯ ɪɚɛɨɬ, ɟɫɥɢ ɫɭɦɦɚɪɧɚɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ (ɜ ɬɵɫ. ɦ3) ɡɚɞɚɧɚ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ: ɑɢɫɥɨ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɜ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5 7 6
9 9 10
12 11 13
14 13 15
15 16 16
18 19 18
20 21 21
24 22 22
27 25 25
ȼɢɞɵ ɪɚɛɨɬ
I II III
2. Ɋɟɲɢɬɶ ɬɭ ɠɟ ɡɚɞɚɱɭ ɩɪɢ ɧɚɥɢɱɢɢ ɞɜɟɧɚɞɰɚɬɢ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɜ ɢ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ ɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ: ɑɢɫɥɨ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɜ
10 13
11
12
ȼɢɞɵ ɪɚɛɨɬ
I II III
30 28 26
34 35 29
38 40 33
3. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɢɦɟɸɳɢɟɫɹ ɪɟɫɭɪɫɵ ɜ ɪɚɡɦɟɪɟ 250 ɬɵɫ. ɪɭɛ. ɦɟɠɞɭ ɱɟɬɵɪɶɦɹ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹɦɢ, ɟɫɥɢ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟ ɜɵɩɭɫɤɚ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɩɪɟɞɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɯ ɫɪɟɞɫɬɜ x ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɬɚɛɥɢɰɟɣ. I
II
III
IV
17 38 50 55 60
25 40 48 56 62
20 35 52 60 68
30 45 50 55 68
ɉɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹ ȼɥɨɠɟɧɧɵɟ ɫɪɟɞɫɬɜɚ
50 100 150 200 250
4. Ɋɟɲɢɬɶ ɩɪɟɞɵɞɭɳɭɸ ɡɚɞɚɱɭ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɢɫɯɨɞɧɵɟ ɪɟɫɭɪɫɵ ɜ ɪɚɡɦɟɪɟ 200 ɬɵɫ. ɪɭɛ. ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɦɟɠɞɭ ɩɹɬɶɸ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹɦɢ, ɜ ɤɚɠɞɨɟ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɧɟɥɶɡɹ ɜɤɥɚɞɵɜɚɬɶ ɛɨɥɟɟ 140 ɬɵɫ. ɪɭɛ., ɢ ɩɪɢɛɵɥɶ, ɩɪɢɧɨɫɢɦɚɹ ɤɚɠɞɵɦ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɟɦ, ɡɚɞɚɧɚ ɬɚɛɥɢɰɟɣ. ɉɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹ ȼɥɨɠɟɧɧɵɟ ɫɪɟɞɫɬɜɚ
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
I
II
III
IV
V
10 20 40 100 160 180 190 200 210 215 220 225 230 235
18 25 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
20 40 60 80 95 101 102 103 104 105 106 107 108 109
5 10 15 25 37 69 140 225 280 300 302 303 304 305
30 68 95 140 160 170 175 176 177 178 179 180 181 182
14
5. ɂɫɯɨɞɧɚɹ ɫɭɦɦɚ ɜ 300 ɬɵɫ. ɪɭɛ. ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɬɪɟɦɹ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹɦɢ ɩɪɢ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ: ɫɪɟɞɫɬɜɚ, ɜɵɞɟɥɹɟɦɵɟ ɤɚɠɞɨɦɭ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɸ xk k 1, 2 ,3 , ɧɟ ɦɨɝɭɬ ɩɪɟɜɵɲɚɬɶ ɜɟɥɢɱɢɧɵ d k ɬɵɫ. ɪɭɛ., ɤɨɬɨɪɭɸ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɟ ɦɨɠɟɬ ɨɫɜɨɢɬɶ, ɢ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɧɚ ɫɭɦɦɭ f k xk ɬɵɫ. ɪɭɛ. Ɂɧɚɱɟɧɢɹ d k ɢ f k xk ɞɚɧɵ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ I II III k 100 75 150 dk 100x2 120 x3 f k xk 0, 4 x12 ɇɚɣɬɢ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɣ ɩɥɚɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɪɟɞɫɬɜ. 6. ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɣ ɩɥɚɧ ɮɢɧɚɧɫɢɪɨɜɚɧɢɹ ɨɞɧɨɝɨ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹ ɧɚ ɬɪɟɯɥɟɬɧɢɣ ɩɟɪɢɨɞ ɢɫɯɨɞɹ ɢɡ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɫɭɦɦɵ [0 300 ɬɵɫ. ɪɭɛ., ɩɨɥɭɱɚɟɦɨɣ ɩɪɢɛɵɥɢ f ( x ) , ɜɨɡɜɪɚɬɚ ɤ ɤɨɧɰɭ ɝɨɞɚ ɫɪɟɞɫɬɜ M ( x ) ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɟɠɟɝɨɞɧɨ (ɤɪɨɦɟ ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ ɝɨɞɚ) ɜɤɥɚɞɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɨ ɱɚɫɬɶ ɢɦɟɸɳɢɯɫɹ ɫɪɟɞɫɬɜ. Ɇɚɤɫɢɦɢɡɢɪɨɜɚɬɶ ɫɭɦɦɚɪɧɭɸ ɩɪɢɛɵɥɶ ɩɪɢ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ: 2 ɚ) f ( x ) 10 0,001 x 100 ; M x 0,6 x ; ɛ) ɪɟɲɢɬɶ ɡɚɞɚɱɭ ɩ. ɚ) ɩɪɢ M x 0 ; ɜ) ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɩ. ɛ) ɩɪɢɧɹɬɶ, ɱɬɨ ɜ ɩɟɪɜɵɟ ɞɜɚ ɝɨɞɚ ɩɪɢɛɵɥɶ ɡɚɞɚɟɬɫɹ 2 ɮɭɧɤɰɢɟɣ f1 x 24 0,0004 x 200 ; ɝ) ɜ ɩ. ɚ) ɩɪɢɧɹɬɶ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɪɢɛɵɥɢ ɡɚɞɚɧɵ ɬɚɛɥɢɰɟɣ 50 100 150 200 250 300 k x fk x 1 7 10 15 20 18 16 f1 x 2
f2 x
8
12
16
21
20
20
3
f3 x
6
12
15
18
20
24
7. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɢɦɟɸɳɢɟɫɹ ɫɪɟɞɫɬɜɚ [0 ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹɦɢ ɩɪɢ ɡɚɞɚɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɹɯ f 2 x 0,0012 x 2 ; f 3 x ɫɭɦɦɚɪɧɨɣ ɩɪɢɛɵɥɢ.
50 ɬɵɫ. ɪɭɛ. ɦɟɠɞɭ ɬɪɟɦɹ ɩɪɢɛɵɥɢ f1 x 0,12 x ;
0,0024 x 2 0,36 x ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ ɦɚɤɫɢɦɢɡɚɰɢɢ
8. Ⱦɥɹ ɨɛɟɫɩɟɱɟɧɢɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ɬɪɟɯ ɜɢɞɨɜ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɢɦɟɸɬɫɹ ɪɟɫɭɪɫɵ ɞɜɭɯ ɜɢɞɨɜ ɫɵɪɶɹ ɜ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟ 10 ɢ 12 ɟɞ. ȼ ɬɚɛɥɢɰɚɯ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɞɚɧɧɵɟ ɨ ɪɚɫɯɨɞɟ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɜɢɞɨɜ ɫɵɪɶɹ ɧɚ ɢɡɝɨɬɨɜɥɟɧɢɟ ɟɞɢɧɢɰɵ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɢ ɩɪɢɛɵɥɶ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɨɛɴɟɦɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ:
15
ɉɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹ ɋɵɪɶɟ
Ɂɚɬɪɚɬɵ ɧɚ 1 ɲɬ. 1
I II
Ɉɛɴɟɦ ɩɪɨɢɡ-ɜɚ ɉɪɟɞɩɪɢɹɬɢɹ 1 2 3
2 4
2
3
4 2
1 3
1
ɉɪɢɛɵɥɶ 2
3
4
5
6
8 7 10
15 14 18
21 20 24
26 26 26
30 31 28
32 34 30
9. Ȼɥɚɝɨɬɜɨɪɢɬɟɥɶɧɨɟ ɨɛɳɟɫɬɜɨ «Ɉɛɴɟɞɢɧɟɧɧɵɣ ɮɨɧɞ» ɞɨɥɠɧɨ ɜɵɞɟɥɢɬɶ 10 ɫɜɨɢɯ ɱɥɟɧɨɜ ɞɥɹ ɫɛɨɪɚ ɩɨɠɟɪɬɜɨɜɚɧɢɣ ɧɚ ɬɪɟɯ ɮɢɪɦɚɯ, ɤɨɧɬɨɪɵ ɤɨɬɨɪɵɯ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɜ ɬɪɟɯ ɤɪɭɩɧɵɯ ɚɞɦɢɧɢɫɬɪɚɬɢɜɧɵɯ ɡɞɚɧɢɹɯ. ɉɨ ɨɰɟɧɤɟ ɞɢɪɟɤɬɨɪɚ, ɜɵɞɟɥɢɜ y j ɱɟɥɨɜɟɤ ɧɚ ɡɞɚɧɢɟ j , ɦɨɠɧɨ ɞɨɛɢɬɶɫɹ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɫɬɜ ɧɚ ɜɡɧɨɫɵ ɜ ɮɨɧɞ ɨɛɳɟɫɬɜɚ ɨɛɳɟɣ ɫɭɦɦɨɣ R j y j ɫɨɬɟɧ ɞɨɥɥ., ɝɞɟ R j (0) 0 ɢ
R1 (1) 5 R1 (2) 10 R1 (3) 15 R1 (4) 25 R1 (5) 35 R1 (6) 50 R2 (1) 3 R2 (2) 6 R2 (3) 12 R2 (4) 18 R2 (5) 30 R2 (6) 55 R3 (1) 20 R3 (2) 35 R3 (3) 45 R3 (4) 55 R3 (5) 60 R3 (6) 65 (ɧɢɤɚɤɢɯ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɯ ɩɨɠɟɪɬɜɨɜɚɧɢɣ ɧɟ ɭɞɚɟɬɫɹ ɩɨɥɭɱɢɬɶ, ɟɫɥɢ ɧɚɩɪɚɜɢɬɶ ɜ ɡɞɚɧɢɟ 3 – ɛɨɥɟɟ ɲɟɫɬɢ ɱɟɥɨɜɟɤ). ɋɤɨɥɶɤɨ ɱɥɟɧɨɜ ɨɛɳɟɫɬɜɚ ɧɭɠɧɨ ɧɚɩɪɚɜɢɬɶ ɜ ɤɚɠɞɨɟ ɡɞɚɧɢɟ? ɉɨɫɬɪɨɣɬɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɭɸ ɦɨɞɟɥɶ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɢ ɧɚɣɞɢɬɟ ɟɟ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ. ɉɨɤɚɠɢɬɟ, ɤɚɤ ɢɡɦɟɧɢɬɫɹ ɪɟɲɟɧɢɟ, ɟɫɥɢ ɜɫɟɝɨ ɞɥɹ ɫɛɨɪɚ ɜɡɧɨɫɨɜ ɧɚɩɪɚɜɥɹɟɬɫɹ 9, 11 ɢɥɢ 12 ɱɥɟɧɨɜ ɨɛɳɟɫɬɜɚ. 10. ɂɦɟɟɬɫɹ ɨɞɧɨ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɟ ɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɡɚɩɚɫ ɫɪɟɞɫɬɜ [ , ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɠɧɨ ɜɤɥɚɞɵɜɚɬɶ ɜ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɟ ɧɟ ɰɟɥɢɤɨɦ, ɚ ɱɚɫɬɢɱɧɨ ɪɟɡɟɪɜɢɪɨɜɚɬɶ. ɋɪɟɞɫɬɜɚ x , ɜɥɨɠɟɧɧɵɟ ɧɚ k -ɨɦ ɲɚɝɟ, ɞɚɸɬ ɩɪɢɛɵɥɶ f k ( x ) ɢ ɭɦɟɧɶɲɚɸɬɫɹ ɞɨ M k ( x ) . Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɢɥɭɱɲɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɢɦɟɸɳɢɟɫɹ ɢ ɨɫɬɚɜɲɢɟɫɹ ɫɪɟɞɫɬɜɚ ɧɚ n ɥɟɬ, ɱɬɨɛɵ ɫɭɦɦɚɪɧɚɹ ɩɪɢɛɵɥɶ ɛɵɥɚ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɣ. ɇɚɦɟɬɢɬɶ ɫɯɟɦɭ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ ɦɟɬɨɞɨɦ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɹ, ɧɚɩɢɫɚɬɶ ɜɫɟ ɧɭɠɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ, ɨɩɢɫɚɬɶ ɪɚɫɱɟɬɧɭɸ ɩɪɨɰɟɞɭɪɭ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ: ɚ) ɜɥɨɠɟɧɧɵɟ ɫɪɟɞɫɬɜɚ ɪɚɫɯɨɞɭɸɬɫɹ ɧɟɩɨɥɧɨɫɬɶɸ; ɛ) ɜɥɨɠɟɧɧɵɟ ɫɪɟɞɫɬɜɚ ɪɚɫɯɨɞɭɸɬɫɹ ɰɟɥɢɤɨɦ, M k ( x ) 0 ; 16
ɜ) ɜɫɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɪɢɛɵɥɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵ: f k ( x ) f ( x ) , ɚ ɜɫɟ ɜɥɨɠɟɧɧɵɟ ɫɪɟɞɫɬɜɚ ɪɚɫɯɨɞɭɸɬɫɹ ɰɟɥɢɤɨɦ: M k ( x ) 0 . 11. Ɋɟɲɢɬɶ ɡɚɞɚɱɭ 10 ɩɪɢ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ: ɚ) [0 300 ; n 4 ; f1 ( x ) 0,6 x ; M1 ( x ) 0, 4 ; f 2 ( x ) 0,3 x ; M 2 ( x ) 0,7 x ; ɛ) [0 300 ; n 3 ; f1 ( x ) 0,001x 2 ; M1 ( x ) 0,7 x ; f 2 ( x ) 0, 2 x ; M 2 ( x ) 0,3 x ; ɜ) ɩɪɢɧɹɬɶ ɜɫɟ ɢɫɯɨɞɧɵɟ ɞɚɧɧɵɟ ɩ. ɛ) ɡɚ ɢɫɤɥɸɱɟɧɢɟɦ ɮɭɧɤɰɢɣ f1 ( x ) ɢ , ɤɨɬɨɪɵɟ ɡɚɞɚɧɵ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɬɚɛɥɢɰɟ: 50 100 150 200 250 300 x ɉɪɢɛɵɥɶ 6 10 16 24 28 30 f1 ( x ) 5 12 20 25 27 30 f2 ( x) ɝ) ɩɪɢɧɹɬɶ ɢɫɯɨɞɧɵɟ ɞɚɧɧɵɟ ɩ. ɚ) ɫ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɟɦ, ɱɬɨ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɤɚɩɢɬɚɥɨɜɥɨɠɟɧɢɹ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɬɚɤɠɟ ɩɨɥɭɱɟɧɧɚɹ ɩɪɢɛɵɥɶ; ɞ) ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɩ. ɚ) ɩɪɢɧɹɬɶ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ, ɱɬɨ ɮɢɧɚɧɫɢɪɨɜɚɧɢɟ ɜɟɞɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɡɚ ɫɱɟɬ ɩɪɢɛɵɥɢ ɢ ɜɥɨɠɟɧɧɵɟ ɫɪɟɞɫɬɜɚ ɧɟ ɜɨɡɜɪɚɳɚɸɬɫɹ; ɟ) ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɩ. ɚ) ɩɪɢɧɹɬɶ, ɱɬɨ ɩɪɢɛɵɥɶ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɜɤɥɚɞɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɨ, ɧɨ ɦɚɤɫɢɦɢɡɢɪɭɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɩɪɢɛɵɥɶ, ɩɨɥɭɱɚɟɦɚɹ ɩɨɫɥɟ ɱɟɬɜɟɪɬɨɝɨ ɝɨɞɚ; ɠ) ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɩ. ɚ) ɩɪɢɧɹɬɶ, ɱɬɨ ɟɠɟɝɨɞɧɨ ɜɤɥɚɞɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɥɨɜɢɧɚ ɩɪɢɛɵɥɢ ɢ ɦɚɤɫɢɦɢɡɢɪɭɟɬɫɹ ɨɛɳɚɹ ɫɭɦɦɚ ɨɫɬɚɸɳɟɣɫɹ ɩɨɫɥɟ ɤɚɠɞɨɝɨ ɝɨɞɚ ɩɪɢɛɵɥɢ; ɡ) ɪɟɲɢɬɶ ɡɚɞɚɱɭ, ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɭɸ ɚ), ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɫɪɟɞɫɬɜɚ ɪɚɜɧɵ 1, , ɚ ɮɭɧɤɰɢɢ f1 ( x ) , f 2 ( x ) , M1 x ɢ M 2 x ɡɚɞɚɧɵ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɬɚɛɥɢɰɟ:
x
f1 ( x )
f2 ( x)
M1 x
M2 x
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,36 0,68 0,92 0,05 1,10
0,40 0,75 0,96 1,05 1,15
0,18 0,35 0,50 0,70 0,90
0,16 0,30 0,45 0,65 0,80
12. Ɋɟɲɢɬɶ ɡɚɞɚɱɭ ʋ 5 ɞɥɹ ɱɟɬɵɪɟɯ ɩɪɟɞɩɪɢɹɬɢɣ, ɟɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ d k ɢ f k xk ɡɚɞɚɧɵ ɬɚɛɥɢɰɟɣ
17
f k xk
x k
50 15 12 10 15
I II III IV
100 20 24 20 30
dk 150 20 36 30 30
200 20 56 30 30
100 150 150 100
13. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɡɚɞɚɱ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɜɹɡɚɧɧɵɯ ɫ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟɦ ɡɚɩɚɫɚɦɢ ɩɪɢ ɡɚɞɚɧɧɨɦ ɪɚɫɯɨɞɟ. ɉɭɫɬɶ ɩɥɚɧɢɪɭɟɦɵɣ ɩɟɪɢɨɞ ɪɚɡɞɟɥɟɧ ɧɚ n ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɨɜ ɜɪɟɦɟɧɢ (ɞɧɢ, ɦɟɫɹɰɵ, ɤɜɚɪɬɚɥɵ ɢ ɬ. ɞ.), ɜ ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɚɞɚɧ ɪɚɫɯɨɞ d k k 1, 2 ,..., n , ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɦɵɣ ɜ ɤɨɧɰɟ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɨɜ. ɂɡɜɟɫɬɧɵ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɭɪɨɜɟɧɶ ɡɚɩɚɫɨɜ ɢ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɫɭɦɦɚɪɧɵɯ ɡɚɬɪɚɬ ɧɚ ɯɪɚɧɟɧɢɟ ɢ ɩɨɩɨɥɧɟɧɢɟ ɡɚɩɚɫɨɜ ɜ ɞɚɧɧɨɦ ɩɟɪɢɨɞɟ ɨɬ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɭɪɨɜɧɹ ɯɪɚɧɢɦɵɯ ɡɚɩɚɫɨɜ ɢ ɢɯ ɩɨɩɨɥɧɟɧɢɹ. Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɪɚɡɦɟɪɵ ɩɨɩɨɥɧɟɧɢɹ ɡɚɩɚɫɨɜ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ ɜɪɟɦɟɧɢ ɞɥɹ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɟɧɢɹ ɡɚɞɚɧɧɨɝɨ ɪɚɫɯɨɞɚ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ ɦɢɧɢɦɢɡɚɰɢɢ ɫɭɦɦɚɪɧɵɯ ɡɚɬɪɚɬ ɡɚ ɜɟɫɶ ɩɥɚɧɢɪɭɟɦɵɣ ɩɟɪɢɨɞ ɜɪɟɦɟɧɢ. ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɦɨɞɟɥɶ ɡɚɞɚɱɢ ɢ ɪɟɲɢɬɶ ɟɟ ɩɪɢ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ: ɚ)
M [ k 0, 4[ k , d1
6 , d2
5, d 3
15, d 4
20 .
ȿɠɟɦɟɫɹɱɧɨɟ ɩɨɩɨɥɧɟɧɢɟ ɡɚɩɚɫɨɜ ɧɟ ɩɪɟɜɵɲɚɟɬ 15 ɟɞ. ɛ) ɜ ɭɩɪ. ɚ) ɩɨɥɨɠɢɬɶ [0 0 , [4 5 . ɜ) ɜ ɭɩɪ. ɚ) ɩɪɢɧɹɬɶ ɩɪɢ 0 d xk d 5, 4x \ k xk ® k 3 x 5 ɩɪɢ 5 d xk d 15. ¯ k ɝ) ɜ ɭɩɪ. ɚ) ɩɨɥɨɠɢɬɶ n 3, [0 10 , [3 0 , d1
15, d 2
5,
10 , M [ k ɢ \ xk ɡɚɞɚɧɵ ɬɚɛɥɢɱɧɨ:
d3
t
M t \ t
0 0
1 1
2 3
3 5
4 9
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 20 28 40 42 47 55 65 70 90 100
0
-
-
-
-
20
-
-
-
-
30
-
-
-
-
35
14. ɉɪɟɞɩɪɢɹɬɢɟ ɜɵɩɭɫɤɚɟɬ ɬɟɥɟɜɢɡɨɪɵ ɢ ɤɢɧɟɫɤɨɩɵ. Ɏɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɟ ɡɚɬɪɚɬɵ ɧɚ ɜɵɩɭɫɤ ɩɚɪɬɢɢ ɤɢɧɟɫɤɨɩɨɜ ɪɚɜɧɵ 2500 ɪɭɛ., ɡɚɬɪɚɬɵ ɧɚ ɜɵɩɭɫɤ ɨɞɧɨɝɨ ɤɢɧɟɫɤɨɩɚ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ 8,5 ɪɭɛ. Ƚɪɚɮɢɤ ɜɵɩɭɫɤɚ ɬɟɥɟɜɢɡɨɪɨɜ ɬɪɟɛɭɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɟɝɨ ɜɵɩɭɫɤɚ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɤɢɧɟɫɤɨɩɨɜ ɜ ɬɟɤɭɳɟɦ ɝɨɞɭ ɩɨ ɦɟɫɹɰɚɦ: 18
1 2 150 250
3 200
4 150
5 110
6 60
7 50
8 110
9 130
10 240
11 300
12 80
ȼɪɟɦɟɧɟɦ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɦ ɞɥɹ ɜɵɩɭɫɤɚ ɤɢɧɟɫɤɨɩɨɜ, ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɧɟɛɪɟɱɶ. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɨ ɜɵɩɭɫɤɟ ɤɢɧɟɫɤɨɩɨɜ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ ɨɞɢɧ ɪɚɡ ɜ ɦɟɫɹɰ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɥɭɱɲɟɟ ɜɪɟɦɹ ɞɥɹ ɜɵɩɭɫɤɚ ɩɚɪɬɢɣ ɤɢɧɟɫɤɨɩɨɜ ɢ ɪɚɡɦɟɪ ɷɬɢɯ ɩɚɪɬɢɣ, ɟɫɥɢ ɜ ɧɚɫɬɨɹɳɢɣ ɦɨɦɟɧɬ ɢɯ ɢɦɟɟɬɫɹ 10, ɚ ɜ ɤɨɧɰɟ ɝɨɞɚ ɠɟɥɚɬɟɥɶɧɨ ɢɦɟɬɶ 50. Ʌɢɬɟɪɚɬɭɪɚ
1. ȼɨɥɤɨɜ ɂ.Ʉ. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɣ / ɂ.Ʉ. ȼɨɥɤɨɜ, ȿ.Ⱥ. Ɂɚɤɨɪɭɣɤɨ. – Ɇ. : ɂɡɞ-ɜɨ ɆȽɌɍ, 2002. – 435 ɫ. 2. Ʉɚɥɢɯɦɚɧ ɂ.Ʌ. Ⱦɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɟ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɜ ɩɪɢɦɟɪɚɯ ɢ ɡɚɞɚɱɚɯ / ɂ.Ʌ. Ʉɚɥɢɯɦɚɧ, Ɇ.Ⱥ. ȼɨɣɬɟɧɤɨ. – Ɇ. : ȼɵɫɲ. ɲɤ., 1979. – 126 ɫ.
ɍɱɟɛɧɨɟ ɢɡɞɚɧɢɟ
ɂɋɋɅȿȾɈȼȺɇɂȿ ɈɉȿɊȺɐɂɃ ɍɱɟɛɧɨ-ɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɨɟ ɩɨɫɨɛɢɟ ɞɥɹ ɜɭɡɨɜ
ɋɨɫɬɚɜɢɬɟɥɢ: Ɇɢɯɚɣɥɨɜɚ ɂɪɢɧɚ ȼɢɬɚɥɶɟɜɧɚ, Ȼɚɪɤɨɜɚ Ʌɚɪɢɫɚ ɇɢɤɨɥɚɟɜɧɚ Ɋɟɞɚɤɬɨɪ Ɍ.Ⱦ. Ȼɭɧɢɧɚ ɉɨɞɩɢɫɚɧɨ ɜ ɩɟɱɚɬɶ 15.05.07. Ɏɨɪɦɚɬ 60×84/16. ɍɫɥ. ɩɟɱ. ɥ. 1,16. Ɍɢɪɚɠ 50 ɷɤɡ. Ɂɚɤɚɡ 955. ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɤɨ-ɩɨɥɢɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɣ ɰɟɧɬɪ ȼɨɪɨɧɟɠɫɤɨɝɨ ɝɨɫɭɞɚɪɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬɚ. 394000, ɝ. ȼɨɪɨɧɟɠ, ɩɥ. ɢɦ. Ʌɟɧɢɧɚ, 10. Ɍɟɥ. 208-298, 598-026 (ɮɚɤɫ) http://www.ppc.vsu.ru; e-mail:
[email protected] Ɉɬɩɟɱɚɬɚɧɨ ɜ ɬɢɩɨɝɪɚɮɢɢ ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɤɨ-ɩɨɥɢɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɝɨ ɰɟɧɬɪɚ ȼɨɪɨɧɟɠɫɤɨɝɨ ɝɨɫɭɞɚɪɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬɚ. 394000, ɝ. ȼɨɪɨɧɟɠ, ɭɥ. ɉɭɲɤɢɧɫɤɚɹ, 3. Ɍɟɥ. 204-133.
19
