!"#
$"%&#'( $)*( +'&,-./0/ 1$ 2( 3445
...
5 downloads
139 Views
868KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
!"#
$"%&#'( $)*( +'&,-./0/ 1$ 2( 3445
! " # $ % & $ ' ' & ' # $ ( & # ) # * ' # # # & $
' $ % ( ) # # &
$ $ % ) #) # ' % $ $ & $ # $ ' & ) $ $ $ $ ' $ ) ' ) # $ ' $ % $ # # #
%& & $ # # # # # # # # # %& & # ' # & % $ $ & # #
& ' # $ ' ' ' $ & $ $ ' $ % ) $ $ $ ' $ $ % & # ' % $ % $ & $ % # & # ' # # $ $ $ $ $ # ' %
# %& $ $ $ ' ) $ $ & ) $ * $ ' )
$ ' $ # $ ( % ' % $ $ # & # ' %& ) $ $ # # $ # ) & ) & # ' % & # ' # & % # $ $ ' # #
# # ' $ #
$ ' ' ! # '
$ $ % # ' # & ' # # ! $ $ & & $ ' $ #
& $ ' $ & # %% ' #
$ ' # # # # % & $ % ' ' ' & % '
' $ # # $ $ $ ' $ % & # $ (
) # # $ & # $ # ) $ $ % $
$ # $ %% # # % $ $ & ' $ '
' % % $ $ ' * $ ' ) & ' & ' ) $ $ $ $ # $ ) ' &
$ % & ) ' ) # ' # # $ & ' ( # # # ' # $ $ ' $ %% # # $ # $ $) % $ ' ' ' $) $ % $ # % ' ' $ # $ &
$
' $ #
# $ $ # ' $ '
# & % & ' % # &
# ' $ % &
$ ' # # & ' ) # $ ( $ $ # $ $
# ! # $ %
' $ & % ' $ & $ $ $ # & $ $ #
) ) % ' $ )
$ % & # $ $ % & $ Ψ $ % & ' $ % # $ &
$ %
# $ ) ' $ ' ' '
# $ % & ' ) & ' '
# &
$ $ $ # % # $ ' $ % $ ' $ % & ' & ' ' $ & $ % & Ψ(x, t) x t % x ' ' & ' # # # # ' $ ' ) '
# % & #' & $ # [0, 1] x = 0 # $ x = 0 $ % & |0i |1i & x = 0 % & Ψ(x) ' x = 1 % λ |0i + λ |1i ' 0 1 |0i, |1i '
$ % & & ' % λ λ ' 0 1 $ ) # ) #
$ $ $ ' # ) & $
% & *
$ |0i |1i ' $ |λ |2 |λ |2 * 0 2 % $ ! "# $ "% $ & %! ''#" ' ()' % ! ") ! * !+$")' , # %#$( )!# '# #+#, ( # - # !+$")' %!") ''#) ' ()') ' & # Ψ '$ # $ # |ji % j = 0, 1
' |λ |2 $ & j $ ' $ # ' '
|λ |2 + |λ |2 = 1 0
1
'
% ' & *
$ & # '
# $ # # & $ % $ ' # & # ) ' &
# # &
$ $ $ $ % ( % ' $ $ #
# # ' # ' ' '
% $ %
' & $ ' # $
$
$ )
' &
# % & ' & & [0, 1] $ $ # ) & ' $ $ & & ) $ $ % &
# |00i |01i |10i |11i ' ) & ' # # # # '
% & $ Ψ = λ |00i + λ |01i + λ |10i + λ |11i. 0
1
2
3
$ |00i |01i |10i |11i '
$ |λ |2 |λ |2 |λ |2 |λ |2 0 1 2 3 |λ |2 + |λ |2 + |λ |2 + |λ |2 = 1. 0
1
2
3
' |00i |01i |10i |11i # % &
$ $ # & ' # $ # ' & ' '$ & ' ) |00i |01i |10i |11i & # # # $ $ $ $ # % & ) & * '$ & & ' & n n # $ 2n n ' ) # # # # # # % & $ # ' $ % $ * # %
) # ' ' $ & # & $ & $ # & ' & $ # $ # H H $ # e , e , . . . , e h , e , . . . , h 1 2 1 2 k 1 2 s # % e N e i = 1, 2, . . . , k j = 1, 2, . . . , s i j |e e i i j H N H $ & # # 1 2 ' ! # $ # ' ! H N H ' 1 2 $ & $ * # $ Ψ ∈ H Ψ ∈ H # & 1 1 2 2 & N $ ) '
' ' (λ |0i + λ |1i) N(µ |0i + µ |1i) = λ µ |00i + λ µ |01i + λ µ |10i + λ µ |11i 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 $ # $ & $ # %& # %& ' ' $ # # $ # # $ ' ' |00i + |11i
# $ ' #
#
) " $ # # & # # # ' ' & $ # * % $ ! H $ |e i, |e i, . . . 1 2 ' $ & $ # |e i ' j $ ' # * ' & # # #
# # # $ $ ) $
X |ξi = λj |ej i, j
λ
j
' # # # ' $ $ |e i ' $ |λ |2 j j a ¯ ∈ H ! $ |¯ &
ai {e } $ h¯ a| j |¯ ' ' ai a
¯ ¯ b P ¯ a a
h¯ a| · |¯bi = λ λ λ a ¯ ¯b #
j
j
j
j
' h¯ a|¯bi a ¯ h¯ a|¯ ai
' ' & a ¯ |¯ aih¯ a| = ρa & × N H & & $ α # % $
$
& ) # $ $ & ρ2 = |¯ aih¯ a|¯ aih¯ a| = ρ a ¯ $ h¯ a|¯ ah= 1 & $ $ *
' $ ' $ # % {|e i} $ j ) $ & # & ! $ ' $ # % $ {|e0j i} ' $ ' $ & $ ) # & # ' ' % $ '
# # # ' ' ! $ ' %
# ' % ! # ) ' ' & Ψ ) {|e0 i} ) ' j |e0 i ' |he0 |Ψi|2 ' j j ) ' # | Ψi =
X j
λj |ej i, | Ψi =
X j
λ0j |e0j i,
' $ ) λ = he | Ψi j j ' # ' $ he | j * & % $ $ & ! #
# '
%
' % ! $ # $
$ # $ Ψ ) $ 0 U $ & $ Ψ $ ' t1 1 $ t
' 1 ) ! $ ' $ & )
& & #' % & $ % ' $
$ ' $ $ % ) & |Ψ i ' pol ' |Ψ i = λ |e i+λ |e i |e i |e i pol ver ver hor hor ver hor $ $ $ & $ $ & % & & ' #' #' % & % ' #' ' # ' % #'
' % $ |hΨ | e i|2 pol gor ' & % $ & λ λ ' & gor ver % &
! # $ & U |Ψi t t $ U |Ψi U |kP sii t t $ |Ψi t ' # hej | Ut Ψi & # Ψ $ U &
t # # # $ $ U t * $ & $
#
# # # $ ' ' ' # #
$ $ H 0 0 Ut = e−iH (t) # δt
0 0 Ut ≈ (Uδt )t/δt = (e−iH (δt) )t/δt = e−iH (δt)t/δt = e−iHt H ' $ h ! ) )
& $ & ) ! H * ' # t t |Ψ i = e−iHt |Ψ i ' % $ 0 t t0 ) %% &
∂|Ψi = H|Ψi ∂t # ) ! # $
'
)
' ' & % # $ & % & % $ $ % & ' H λ I I & ' $ & $ $ ) # $ $ δx x j #' ) $ & '$ # & $ % & Ψ # #
& $ $
$ # # $ i
∂Ψ(xj ) = AΨ(xj ) + BΨ(xj+1 ) + CΨ(xj−1 ) ∂t # %% & A, B, C
' B = C ' & λI ) ' ) i
∂Ψ(xj ) = a(2Ψ(xj ) − Ψ(xj+1 ) − Ψ(xj−1 )) ∂t # δx −→ 0 $ ' $ $ $ % &
i
∂Ψ(x, t) ∂ 2 Ψ(x, t) =a . ∂t ∂x2 %% & a −h2 /2m h m & " ' $ $ & # $ $ #' i
%% & i ) $
# ' # ' $ ) & $ )
& V (x) $ $ " $ $ %% & ' p = h ∂ & ' i ∂x & ' $ & ' & p $ # p & ' $ $ & $ & ' '
$ $ ' & ' & $
& # " & & V (x) ih
∂|Ψi P2 = (− + V )|Ψi ∂t 2m
P 2 = −h2 ( ∂ 2 + ∂ 2 + ∂ 2 ) $ P = h ( ∂ + ∂ + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 i ∂x ∂y ∂ ) ∂z & ' $ n $ # ' $ & ih
n X Pj2 ∂|Ψi =( + Vj + Vj,k )|Ψi ∂t 2mj
j,k=1
V & ) #' j & V & $ j j,k j $ k $ &
" & A = (A , A , A , iA ) # 1 2 3 0 $ p¯ −→ p¯ − e A, E −→ E − eA p¯ = (p , p , p ) 0 1 2 3 c " ∂Ψ 1 e¯ =( (¯ p − A) + V )Ψ. ∂t 2m c
& $ & ' ) ' E = pM 2 c4 + c2 p2 # $ $ % & '
ih
$ |h ∂Ψ |, |eA Ψ| |M c2 Ψ| " ∂t
0
∂Ψ = HΨ ∂t H ' % # kα kβ H = (hα,β ), hα,β = k(δαβ − 2 ), k k¯ = (k , k , k ) % k = |k| ¯ ) f¯ 1 2 3 k kf ¯ ¯ = 0 % k i
¯ = ∂E , div H ¯ = div E ¯ = 0, ¯ = − ∂H , rot H rot E ∂t ∂t
E = − ∂ A¯ − grad A , H = rot A¯ ' ) 0 ∂t R ¯r 3 ¯ E = R E aik¯ d k, H = Hk aik¯r d3 k k E¯ d E & f¯ + f ∗ f¯ − f ∗ ' ¯ ¯ k k k dt k k −k $ # % $ # ' $ # ) & $ % " $ * # & # $ * $
% ' $ # # $ ' $ $ #
)
) # $ ! H = H %% & 0 )
Ψ(t) = exp(−iHt)Ψ(t0 )
$ ! H H ' )
%% &
Ψ(t) = exp(−i
Zt
t0
H(t)dt)Ψ(t0 ).
' % ! $ # $ & #
# # H Ψ
%% & % &
0
Ψ = −i exp(−i
Zt
H(t)dt)H(t)Ψ(t0 ).
t0
' H(t)Ψ(t0 ) H(t) # # t # % # !
' $ ) ' ! #$ ' H ˜ = H0 + H1 (t) ! H t H 0 1 ' & # # ) Ψ(t + t ) = 0 exp(−iH0 t)Φ(t) Φ(t) % & Φ(0) = Ψ0 = Ψ(t0 )
H = eiH0 t H1 (t)e−iH0 t
$ % & Φ () ∂ Φ = HΦ, Φ(0) = Ψ0 , ∂t $ $ $ % & ' % '
& $ $ $ % & & $ S & & ) Φ(t) = S(t, t )Φ(t ). i
0
0
t = +∞, t = −∞ & 0 & # $ # & ) $ ' * () S & t = 0 0
i
∂ S(t) = H(t)S(t), ∂t
§(0) = I,
& $ & S(t) ' & I ' n − 1 ' S n−1 $ n ' %
Sn = −i
Zt 0
H(t)Sn−1 (t)dt
$ '
S=
∞ X
n
(−i)
n=0
Zt
H(t1 )dt1
0
Zt1
H(t2 )dt2 . . .
0
Ztn
H(tn )dtn
0
$ '
Z
(−i)n
H(t1 )H(t2 ) . . . H(tn )dt1 dt2 . . . dtn ,
t≥t1 ≥t2 ≥...≥tn ≥0
(−i)n T{ n!
Zt Zt 0
...
0
Zt 0
H(t1 )H(t2 ) . . . H(tn )dt1 dt2 . . . dtn },
% $ $ $ % & ' # T { H(t1 )H(t1 ) . . . H(tn )} = H(ti1 )H(ti2 ) . . . H(tin ), t ≥ t1 ≥ t2 ≥ . . . ≥ tn ≥ 0.
$ % % ' # n ' H(t ), i = 1, 2, . . . , n i # # n! % S &
Zt Zt Zt ∞ X (−i)n S= T{ . . . H(t1 )H(t2 ) . . . H(tn )dt1 dt2 . . . dtn }, n! n=0 0
0
0
' % $ ! # '
% ' # # ' ) % $ # ! $ $
# ' $ ' $ & ' ' # % '
' (−1)P P $ # ' ! ! # ' #
# # $
& ' )
# % # # $ # & # # # # ) ) % # $
% %
' ' $ $ & $ %
) $ ) #) ' $ $
# ) % # $ & # # $ $ ) # $ $ ' ) $ $ $ ' $ $ $ ' '
$ & $ ' # $ $ #
' % ω = {a , a , . . . , a }, ω = {q , q , . . . , q }
$ 0 0 1 m 1 0 1 k '$ $ ω # $# 0 a
$ ω
0 1 )
'
% ω ' $ 0
& $ # q 0 )
$ # $ # q $ $ ) # k # q ' k ) %$ & $ " a , q −→ a i j k(i,j) , ql(i,j) , (R, L) # i = 0, 1, . . . , m; j = 0, 1, . . . , k ('
$ ' a # q # i j $ a ' #
k(i,j) , ql(i,j)
$ ) $ k l % & $ ) # x % ω 0 ⊂ ω '
) 0 % ω 0 y $ % & $ x ) ) & $
) $ ' )
# % & * ' $ % & $ # % & $ (' ) '
% % # '
$ &
( ) T [T ] # ) ) ' ) T !x ' A [T ], x # T !x ' ) ) ' A 0 # # n ∃T : [T ] = n &T !n ) T n T !n ∃T : n = [T ] &T 6!n 0 0 ) ) A $
0 ' A & ) 0 T0 ' T0 ![T0 ] T0 6![T0 ] ' A A ) $ ) $ 0 ' $
) n $ $ ) ' ' ) T # x # ) ) n % f (n) ' T # T # $ n & f $ ' $ ) T T '
% & F $ ' $ ' F ) $
)
% $ ' ' $ & $ a $ ) ) 1
a )
1 % & F ' % & F & $
' # $ $ $ ' ' ) $ ' # ) ) ' ) ) )
% & '$ * ) ( % & $ % & # # % & # ' % & $ $ # % & $ $ # # % & #
% & $ # # % & $ $ ' $ % & $ # % & $ # ' $ ' % & $ % & % & $ % & $ $ $ $ % & ' ' % #' ) &("# $')! '# ') # & #! #!"
$ ' ' # % & $ ' % & # # ' P # ' # % & # ' % & # % & B
' ' P $ % & x y B(x, y) 0 1 % ' $ p ' A x # y $ # $ p x $ B(x, y) = 1 ' A ' N P % ' A N P ' x ' A ' y $ # $
! " #$ % %&' $ ( &# )
x ' # B(x, y) & $ B
$ $ x B y ' ' P ' N P
# & # & $ & & $ $ # & ' )$ "# ) & ' $ ' ' # -# %!' %) ! ( ' ' () #" #"% )!) # ' %)!) ''# #(* '# ' $ ' $ # ) % & # * $ ' # # $
' # ' # $ # $ & $ ' ) $ # ) # $ ) $ $ ) $ ) #
$ # $ # # & $
% & ' # ) ' ' ' ' '
) ' ) '
& $ ' $ # $ # $
$ # ' $ ( ' # # # ' ' 0101 . . . 01 $ N 01 log N
$ $ # ) ' $ $ ' $ & $ ) # % $ % $ ) # #
# $ $ # $ & $ # # '
# # $ # #
# # '
$
# %& ' # # # ' # $ # %% & ' & ( # # & ' # $ & '
2107 ) # & $ ' & & # ) ( ) $ $ $ '
# $ # $
& ' # # # %%
'
# # # & # # # # & $ # %& * & #
$ ) %% $ $ & & * % ) & # # $ $ ' # $ $ ' %% ' # $ % $
" ! $ $)
$ # # $ # ) & # # $ %% # '
%% # $
' ) # ' # # % $ # ' # # # # # # ' #
* ' $ p ' ' ' ) &
$ ' $ # $ ) ' ' # ! $ $ H & ψ t 0 # ψ(t) = e−iHt ψ $ 0 ' e , e , . . . , e 0 1 N −1 N −1 ψ(t) = P λ (t)|e i & % & # λ (t) j
j
j
j=0 ) ) p $ $
|e i ) #) ' $ p $ ) $ ' $ $ |λ |2 % $
$ % & p
$ t ' quant
$ p tquant < tclass tclass ' p ) ' $ ' t quant p ) ) ' $ # ' # # & )$ $ # $ $ $ $ % & ) # ' ( # #'
& $ $ % & F #' F (F (. . . F (x ) . . .))
# $
0 ) # ' # % # ' # ' $ % ) # ' # ( # # & $ '
! & %! ( $ ) ! ' && %$ & %$
p $ ) # # ' ' ' $ ( ( ' $ $ ! & $ ' $ '
) $ ' # & # ) )
$ & ' $ $ $ '
' $ # $ # '
# $ $ $) $ ) ' $ $ $ $ $ $
' # $
$ ' ) ' $ & $ # # ' # $ ) $ $ ' $
# ( ' n ' ' # # ψ=
N −1 X j=0
λj |ej i,
|e0 i = |00 . . . 00i |e1 i = |00 . . . 01i |e2 i = |00 . . . 10i |e3 i = |00 . . . 11i ... ... |eN −1 i = |11 . . . 11i, ' $ N = 2n ' n N # $ $ $ # ' $ # $
#
$ ' ' & $ % $ & $ & $ $ & % # # $ U ¯ = {U1 , U2 , . . . , Us , . . .} & # # # # $) # $ ' $ #
$ & $
# # & $ U , U , . . . , U $ i1 i2 ik & ' $ $ & ' ) U N U N . . . N U $ $
ik i1 i2 # & $ ' '$ $ &
$ $ $ & #
$ # $ )$ $ ) ) $ ' $ $ $ & $ ' $ $ ( ) $ '
$ ) $ $ $ ' ' # $ # $ $ $ $ $ # % & $ $ % &
) )
'
$ $ ) ' $$
' ' ) $ ) # &
N × N $ $ & ) n % )
$ $ $ ) $ ' ' $
$ $ # ' ) $ $ & # #
' )
$ $) # & $ #
' $ ' # $ ' ) $
& $ $ '
$ & $ # & $
& $ ) f (x) = 1 $ % & f : {0, 1}n −→ {0, 1} ' ) % &
x = 0 ) & & x 1 x 0 x & ' $ f (x) ( ' $ $ $ ) f (x) = 1 ' $ ' %& % & f % & f $ n > 1 ) % & f M Quf |¯ a, bi = |¯ a, b f (¯ a)i,
a ¯ ∈ {0, 1}n b ∈ {0, 1} $ & ' ' # $ # & $ # # # % & f & & b $ & ' f (¯ a) $ $ % & f ' $ % $ # % & # $ % & f ' # % & # % & Qu $ f ' $ ' $
# * Qu = N $ ' $ Quf I a ¯, b $ ' $ & $
ψ0 −→ . . . −→ ψh1 −→ ψh1 +1 −→ . . . −→ ψh2 −→ ψh2 +1 −→ . . . . . . −→ ψhr −→ ψhr +1 −→ . . . −→ ψR
& ' r
%
% $ $ $ $ % & # $ # ' % $ $ % & )
' # (
# & # $ $ U # $ # # ' ∞ # % # $ # $ F = S F # n
n=1
$ # # $ % & f : {0, 1}∗−→{0, 1}∗ F n $ 22n ! ' {0, 1}2n M ¯bi, a Fn |¯ a, ¯bi = |¯ a, f (¯ a) ¯, ¯b ∈ {0, 1}n, L ' $ (' $ $ ' {z + z | z , z ∈ , |z |2 + |z |2 = 1} 0 1 1 2 0 1 2 $ ' & $ $ v , v , · · · , v 1 2 τ v , v , · · · , v $ ' τ = τ (n) # τ +1 τ +2 τ +2n n ' Q = {v , v , · · · , v $ % & 1 2 τ +2n }
' |e(v ), e(v ), · · · , e(v e : Q−→{0, 1} 1 2 τ +2n )i ' % {0, 1} K = 2τ +2n e , e , · · · , e
0 1 K−1 % H K ! e , e , · · · , e ' 0 1 K−1 H
N N N H1 H2 · · · Hτ +2n # Hi ' ' vi , i = 1, 2, · · · , τ + 2n $ $ x ∈ H kxk = 1 & $ $ # $
G, U G ⊂ {1, 2, · · · , τ + 2n} U ∈ U 2card(G) ! H
% E N U 0 U 0 $ U N H W
G,U
i
E $ ' $ N H i
i∈G /
τN +2n N 0 0 $ Quf H
% E Fn Fn Fn Hi
τ E $ ' N H i
i∈G
i=τ +1
i=1
K−1 $ # χ = P λ e , i i i=0
$ e |λ |2 i i () ( ( ' # $ $ $ # # # # & # (' $ # ' % & $ $ ) $ ω M # # ' # $ {qb , qw , qq , qo , · · ·} h(C) C $ D ' # $ $ ' $ $
R : D−→2{1,2,···,τ +2n}× U ∀C ∈ D R(C) = hG, U i U $ 2card(G) ! U h(C) G
$ ' # & a ∈ ω 0 S = hQ(S), C(S)i Q(S) C(S) $ $ $ $ S −→S −→ · · · −→S ,
0
1
τ
i = 0, 1, · · · , τ − 1 C(S )−→C(S ) # $ ) $ i i+1 $
h(C(S )) = q Q(S ) = W i w i+1 R(C(Si )) (Q(Si ))
h(C(S )) = q Q(S ) = Qu (Q(S i q i+1 i )) f
h(C(S )) = q i = 0 Q(S ) = e , C(S ) % i b 0 0 0
# a ∈ {0, 1}n
h(C(S )) = q i = τ i o # # # Q(S ) = Q(S ) i+1 i ' $ % & F (a) p ≥ 2/3 # a Sτ $
% $ $ & $ F (a) p p < 1 ' ) p > p 0 ' # $ # # $ $ p $ ) p = 1 $ ' τ # $ & ) & $
' # $ $ $ ' $
% $ $ #' ) f (x) = 1 $ ! # ) #' ) ' O(√N ) $ f
& # ' $ # # $ $ $ ' $ $ P $ $ $ $ $ ' ) # # ' ' ' % $ $
' $ P ' % $ % & f $ ) f (x) = 1
P ' f # % & # # # % & # $ $ f ' #
' # # # $
) ! W =
√1 2 √1 2
√1 2 − √12
.
N n $ $ W ' W n * #
& # # # # # ' % w = (−1)(i·j) i,j # $ i j n−1 n−1 n−1
i j P i 2s P j 2s i · j = P i j s s s s s=0 s=0 s=0 (W n )−1 = W n ' W n n # N −1 1 X φ0 = √ |ei i. N i=0
!
$ % $ ' eiφ
% ' ' $
a b, a b, Ia |bi = −a, a = b.
% $ # & $ & $ ' $ a ( &
$ a ' a = 0 # # $ ) a & ) # ) $ a = 0 $ $ ) & ' # a ' % # & $ $ & $ $ $ res $ & a ( ' $ # 0 # a $ $ ) ' # # # & # & $
$ #
# ' # # # %& * ' ) # & % & V $ &
$ ) # ' # & & & V ' ' $ & $ $ $ ) $ V ' $
0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 1 1
−→ −→ −→ −→
0 1 0 1
0 0 0 1
0 1 1 1
# # # $ $ & $ & $ # $ Vn Vn−1 . . . V1 Sign V1−1 V2−1 . . . Vn−1 ,
V & V ) j Sign
|0i, |1i & j −1 0 . 0 1 # ψ N ¯0 ψ 0 N ¯0 $ ' |e i 0 φ 0 * ) Iφ0 = W n I¯0 W n ' '
' |¯ ai |¯bi ) |¯ ai = U |¯bi # ) I = U I¯U −1 ' ) # a ¯ b ' $ U ) $ $ # ) ) $ $ ' ) $ ( $ $ # ' ) f (x) = 1 ' f ) $ #) $ ) f (x) = 1 )
tar ) $
$ $ I $ tar $ f $ b & $
$
' b ' ' ' %%
' $ & ' & ' & $ * & $ b ψ = √1 (|0i + |1i) 0 2 & Qu & 1 f a &
& $ * $ % ' $ $
' G = −I I φ0 tar h √ i φ t0 = π 4N )
0 tar G $ $ $ ' # G ' |tari φ ' 0 $ # &
# G # %% & G $ # G $ $ α $ φ ˜0 |tari
α ≈ sin α = |htar|φi| = 1/√N 1/N 3/2 G t 0 1/N tar
' $
# ) ) f (x) = 1 ) $ # ' ) $ # ' # $ x # ) $ ) ' * ) $ ' # x √ O( N ) % ' #
' % # ) $ $ I ' $ L tar f
% $ %& %$ ") G
' ) f (x) = 1 I ' tar ) ' L $ ' ) f ' $ & ) $ $ ) $
( ' ) φ 0 φ˜0 ' $ & φ˜ L tar & 0 f $ & $ &
tar φ˜ # ' ! ) 0 ' φ φ˜ 0 0 t ' 0 h i $ ' π ˜ 4|htar|φ0 i|
$ # ! ' φ ' $ $ 0 |htar|φ˜ i| 1/√N 0 ( tar φ˜ 0 ' ) tar * ' $ $
φ˜ ' # 0 ' 1/N *
$ 1/√N '
' 1/√N ' N ' ! # $ ' $
$ $
' $
' |htar|φ˜ i| * ' ' ' & $ ' $ 0 $ # l # ) $ ' pl/N
) $ # # !
tar '
* ) $ ) & ! $ ) $ C √N C )
$ ' ' ) ) $ tar −tar
# $ $& %$ ! %") %" $ %! "&
) ) π/4 & ' & O(√N ) ) $ ' $ ) $ l = O(√N ) O(N 1/4 ) C √N $ ) $ ) ' ) $
) $ O(pN/L) ) ' # # # $ ' ) $
) * $ % ' # ' & % $ # % & # $ '
' & #
tar φ $ & & $ 0 * $ % # ' $ # ' # &
$ $)
%#
!$ $!'&
' %& ) f (x) = 1 ) ' $ %& ) $ $ g $ $ $ ' ) $ f (x) = 1 g(x) = 1 ' ) h √ i GSA = (W I0 W Itar )t t = π 4N N # # $ ' ' ' 1 P x ¯ |sqrtN x ¯ ' $ GSA W ¯0 M ' # # $ I # $ M tar
GSA GSA)M ' W $ & $ % & $ g $ $ $ ) $ # $ % & f (x, y) $ $ (x , y ) 0 0 % & g(x) x ) $ 0 g(x) = 1 $ & ' !
$
% ' # $ S = {0, 1, . . . , L − 1} × {0, 1, . . . , L − 1} x y ' {0, 1, . . . , L − 1} |x, yi F (x, y) G(x)
% & F (x, y) = 1
) x , y G(x) = 1 0 0
M ) $ x , x , . . . , x x # ' # ) $ 1 2 M 0 M L M 1 M 2 L #' x0 , y0 ( O(LM ) ) x # x G(x) = 1 ' y $ $ M $ W ' $ ¯0 √1 P x ' ' j x M j=1 $ Wx = GSAq M q O( M ) ' O( L ) ' L M $ W $ ' x $ $ V $ |xi, if x 6= x0 , V |xi = −x0 i, if x = x0 . y A ) $ y = 0 ' x $ ) $ S I $ $ |x, yi tar
V1 = (W I0 W Itar )τ W A, h √ i τ '$)
π L 4 V1 |xi =
|x0 , y0 i, |x, ¯0i
if x = x0 ,
$ V −1 = A−1 W (W I W I )τ ' ' 0 tar ' ¯0 6= y 0 x , y $ ) $ $ V ' 0 0 V = V1−1 Itar V. $ * W V ' ) $ $ x |x i 0
0
(Wx V Wx I0 )τ Wx
h √ i τ 0 = π M GSA x0 4 $ |x i $ $ $ q √0 √ √ L O(( L + M ) M ) ) O( LM )
$ ' # W W x x $ ) (1/√M ) q ) GSA ) √M O( M ) = o(1) x0 L ) M 2 L '
$
%#
)! #''&
& # $ $ $ (' $
% ' $ $
# $ ' $ ' % & $ ' $ $ % & & $ & & $
S , S , . . . , S # # 1 2 k S #' ) x0 f (x ) = 1 i i i i % & f x0 , j < i. i j |x| x x0 k ≥ 2 |xi | = n, N = 2n ,
k N k 0 0 x1 , x2 , . . . , x0k √ kπ N ) k/N ' f , 4 i = 1, 2, . . . , k f # x , j < i ' i i j f ' ' f
% f (x , x , . . . , x ) ' i i i 1 2 i f (x , . . . , x ) = 1
) x0 , x0 , . . . , x0 , i = 1, 2, . . . , k. i 1 i 1 2 i f % $ i ' ) ' # # % & ' ( ' ) x0 i i ) ) # # l ) $ 2l+1 # 0 √ xi 6= xi N x0 ' i i + 1 %% ' ) & √ O( kπ√ N ) √2
k # $ 4 2 # $ %% $ % & $ & $ ' % k = 2 $ $ $ ) f i
% & ' & % & ' ) $ $ f (x) = 1 f (x, y) = 1 √2 1 2 $ $ #' ) x , y f (x, y) = 1 0 0
% & g $ {x | g(x) = 1} M ' x 0 $ $ $ M = 1 $ 1 M N ! ) $ ' O(√M N ) ' ) $ $ $ M = 1
' ' ) √2 $ $ & # $ ) $ # $ % & # $ * % & $
u, x, y # # $ H = CN a = a N a ∈ 0 1 2 C4 a1 = a2 = √12 (|0i − |1i) f1 (x), f2 (x, y) # e , e x, y 1 2
) $ f = 1, f = 1 $ 1 2 ' ' H = H N H N H N C4 0 0 0 L F1 |u, x, y, ai = |u, x, y, a1 fL 1 (u), a2 i, F2 |u, x, y, ai = |u,L x, y, a1 , a2 f2 (x, y)i, P |u, x, y, ai = |u x, x, y, ai.
F1 |u, x, y, ai =
|u, x, y, ai, −|u, x, y, ai,
u 6= e , u=e ; 1
|x, yi =6 |e , e i, |x, yi = |e , e i; 1
|u, x, y, ai, 1 2 −|u, x, y, ai, 1 2
H R = I N R N R N I; W = 0 0x 0y N N N N I Wx Wy I; F = P (F1 |u,a1 F2 |x,y,a2 )P, ' $ x, y ) & $ % 0 I ( F2 |u, x, y, ai =
χ0 = |¯0i
Z = WR0 WF.
Z
−1 −1 O 1 NX O 1 NX O √ √ |ei i |ei i a N i=0 N i=0
h
√ i π √N 2 2
t = h π√√N i 2 2 O( √1 ) N )#!)"
Z {t} (χ0 )
x = e1 , y = e2
* Z F F % & $ f , f 1 1 2 h 2√ i π √N # #' 2 2 f 1 h √ i f π N ) #' $ ' 2 2 √ π N ' 4 ) ' ' $ $ % $ & % $ $ $ ) f f ' # 1 2 √2
' ' $ ' & {0, 1}n N/2 ' f '$ 1 $ e f ' 1 2
'
& ' ' $ % * ' $ f f 1 2 √2 ' ' f , f , i = 1, 2, . . . , k − 1. i i+1 ) O(k/√N )
# $ ' $ ' ) ' $
) % # ' $ W , R W , R , P, F P F y 0y x 0x 1 2 ' Z
Z = −[(I
O
Wx R0x Wx
O
I)P F1 P ][−(I
O O (Wy R0y Wy ) I)F2 ],
Z = {−Wx R0x Wx F1 }{−Wy R0y Wy F2 },
|u, x, y, ai x 6= e1 , F1 |u, x, y, ai = −|u, x, y, ai x = e1 . $ $ F , F 2 1 ' % # # $ Z & χ −→ χ −→ . . . −→ χ χ = Z(χ ), i = 0, 1, . . . , t − 1
0
1
t
i+1
i
χi = bi |e1 e2 i + ai |e1 N2 i + αi |N1 N2 i + βi |N1 e2 i, e e , e ) f (x) = 1 f (x, y) = 1 1 1 2 1 2 N P P N = e,N = e 1
i
2
i=2
i
i6=2
χ −→ Z(χ ) # ) i i 1
2
χi −→ Z1 (χi ) = χ0i −→ Z2 (χ0i ) = χi+1 ,
Z = −W R W F , Z = −W R W F . # 1 y 0y y 2 2 x 0x x 1
Z Z % x y 1 2 + # $ χ0 ) i #
χ0i = b0i |e1 e2 i + a0i |e1 N2 i + α0i |N1 N2 i + βi0 |N1 e2 i. # # $ % & x x = e x+e , j 6= 1 j $ 1 ' # * %% W R W $ λ 0 av x=e
λav =
1 (N −1)ai −bi , N
b0i = 2λav + bi a0i = 2λav − ai b0i = a0i =
x = e , j 6= 1 j
λav =
(N −1)αi +βi , N
2(N −1)ai −2bi N 2(N −1)ai −2bi N
+ bi − ai
= bi (1 − N2 ) + 2ai (1 − = −bi N2 ) + ai (1 − N2 ).
1 N ),
α0i = 2λav − αi βi0 = 2λav − βi i +2bi α0i = 2(N −1)α − ai N 2(N −1)α i +2βi 0 βi = − βi N
= αi (1 − = αi (1 −
2 N) 1 N)
+ 2βi N2 ), − βi (1 − N2 ).
2 + χ0 −→ Z1 (χ0i ) = χi+1 . i # % & y : y = e y = e , j 6= 2 2 j y=e 2
λav =
y = e , j 6= 2 j
(N − 1)βi0 − b0i bi+1 , βi+1 N
= 2λav + b0i = b0i (1 − N2 ) + 2βi0 (1 − = 2λav − βi0 = βi0 (1 − N2 ) − b0i N2 .
1 N ),
(N − 1)α0i − a0i ai+1 = 2λav + a0i = a0i (1 − N2 ) + 2α0i (1 − N1 ), , αi+1 = 2λav − α0i = α0i (1 − N2 ) − a0i N2 . N % # ) λav =
bi+1 = bi (1 − N2 )2 + 2ai (1 − N1 )(1 − N2 ) + 4αi (1 − N1 )2 − 2βi (1 − N2 )(1 − ai+1 = ai (1 − N2 )2 − bi N2 (1 − N2 ) + 2αi (1 − N2 )(1 − N1 ) + 2βi N2 (1 − N1 ); αi+1 = αi (1 − N2 )2 + βi N2 (1 − N2 ) − ai (1 − N2 ) N2 + bi N42 ; βi+1 = 2αi (1 − N1 )(1 − N2 ) − βi (1 − N2 )2 − bi (1 − N2 ) N2 − 2ai (1 − N1 ) N2 . & )
1 −2 N Z = 42 N − N2
2 1 − N2 4 N
4 2 1 2
−2 4 N 2 N
−1
1 N );
.
# $ ' %% & # $ bi+1 − bi ai+1 − ai αi+1 − αi βi+1 − βi
= 2ai + 4αi − 2βi + bi O1 ( N1 ) + ai O2 ( N1 ) + αi O3 ( N1 ) + βi O4 ( N1 ); = − N2 bi + 2αi + ai O5 ( N1 ) + bi O6 ( N12 ) + αi O7 ( N1 ) + βi O8 ( N1 ); = − N2 ai + βi O13 ( N1 ) + ai O14 ( N12 ) + bi O15 ( N12 ) + αi O16 ( N1 ); = − N2 bi + 2αi − 2βi + ai O9 ( N1 ) + αi O10 ( N1 ) + βi O11 ( N1 ) + bi O12 ( N12 ).
{¯ ci } Ck : c¯i = (c1i , c2i , . . . , cki ), cji ∈ C $ %% & # $ c¯i+1 − c¯i = A¯ ci ,
A & k × k m % & C(t) : R −→ Ck ) %% & # $ ˙ C(t) = mAC(t)
C(0) = c¯0 . ) () C(t) = R(t)¯ c0 , & $ $ R(t) = $ %% & # $ ' C(t) exp(mAt) $ c¯ ' C(i/m), i = 0, 1, . . . . i ' ' $ % $ C( i+1 ) = C( i ) + 1 C( ˙ i ) + 1 2 C(t ¨ 1 ), i < m m m m 2m m )
i+1 ) 1 ¨ 1 2 t1 < m 1 2m2 C(t1 ) = 2 A C(t1 ) ) ) 1 A2 exp(mAθ )¯ )
1 2 c1 + 1 c0 2 2 A exp(mAθ2 )¯ 1 1 2 1 2 1 2 exp(mA m ) 2 A exp(mAθ1 )¯ c0 = 12 A2 exp(mAθ )(¯ c +A¯ c + A exp(mAθ )¯ c )+exp(A) A exp(mAθ c0 2 0 0 1 0 1 )¯ 2 ) i ) ≤ 3 P i exp(Aα )A2 c¯ 2 0 < α < 1 k¯ c0 k ≤ h i j 0 j 2
j=1
) ) i = O(ih) # $ kc k = O( 1 ) #)
i 0 N ' ' $ i = o(N ) ' ) () √ ) $ $ ) # i = O( N ) N
% & B(τ ) B(tm) = C(t) # B () d B(τ ) = AB(τ ), B(0) = c0 . dτ ) c¯ = |b , a , α , β i c¯ = | 1 , 1 , 1 , 1 i ' i i i i i 0 N N N N B = |b, a, α, βi # % & $ b, a, β, α % & B t '
b˙ a˙ β˙ α˙
= 2a + 4α − 2β + bO1 ( N1 ) + 1 + aO0 ( N1 ); = − N2 b + 2α + 2 + O2 ( N1 )a; = − N2 b + 2α − 2β + 4 + O4 ( N1 )a; = − N2 a + 3 ,
= aO ( 1 ) + bO ( 1 ) + βO ( 1 ) + αO ( 1 ), i = 1, 2, 3, 4, i 0i N 2 1i N 2 2i N 3i N b(0) = a(0) = β(0) = α(0) =
1 . N
√ t = O(√N ), i = [t] ) δ¯ = B(t) ¯ − c¯i = O(1/ N ), N −→ ∞ $ ' b(i) ≈ b b |e , e i
i
i
1
2
$ $ $ # %% & # $ ) & ) 0 ≤ t ≤ O(√N ). ' B˙ = M B & M = Z − 1 = A˜ + E + H 1 & 0 &
0 −2 N A˜0 = 0 0
2 0 − N2 0
4 2 0 0
0 0 0 0 ,E = 0 0 − N2 0
0 0 0 0
0 0 d1 d2 0 0 ,H = d2 0 0 2 −2 d2
d1 d1 d2 d1
d1 d1 d1 d1
−2 + d1 d1 , d1 d1
d ' O(N −l ), l = 1, 2. l ' A˜ ) $ E H ' $ 0 () )
R(t) %% & & R˙ = M R R(0) = 1
C(t) = RC(0) & R
exp(M t) ) & A˜ , E, H
0 ' $ $ $ ) () E H & M ' ' $ & C(t) ˙ = AC(t) C(0) = c0 $ & $ & A 0 A λ3 + 8 λ− 16 = 0 ) 0 N N2
√ + √ O( N1 ) λ1,2 =− 2 2i/ N ' ) b
=
a
=
α =
1 2
−
1 2
√
cos 2√N2t ,
√ √ 1 sin 2√ 2t + 1 N 2N √ N 2√ 2t 1 1 cos + 2N 2N N
√
cos 2√N2t , √
|O( √1 ), O( 1 ), O( √ b(t ) = 1 1 )i b
t1 = π2√N 1 N 2 N N N O( √1 ) E H ) N h √ i |e , e i 1 − O(1/√N ) π √N ) 1 2 2 √ ) 2 2 E = |e e i E = √1 |e N i E = 1 |N N i 1 1 2 2 3 1 2 N N 1 2 E = √1 |N e i & Z 4
N
1 2
1
√2 N
4 N √2 N
− √2N
4 − √2 1 N A1 = 4 N . 2 2 √ − √N 1 N N 2 4 2 √ √ − N −1 N N ' # $ χ
−→ χ2k+1 −→ χ2k+2 √ π √N B & B = A2 kB [ 4 2 ] |0, 0, 1, 0i − 0 1 0 |1, 0, 0, 0ik = O( √1N ) A1 ) O( √1N ) () c¯ ¯i
c¯˙ = (B0 − 1)¯ c, c¯ = c¯0
i+1 = B0 c R = exp Bt B = B − 1
0 0 1 0 0 4 −1 0 1 0 B≈ √ N 0 −1 0 0 0 0 0 0 O( 1 ) N * ' & c¯ H ' E , E , E 1 1 2 3
D & 0 − √i2 0 √i 0 − √i2 2 . i √ 0 0 2 2k
B H
4√ 2i D D2k+1 = D D2k = D2 k = 1 N √
|0, 0, 1i O( √1 ) ' k = 4√ 2 1, 2, . . . N N O( √1 )
|b, a, αi ≈ C|0, 0, 1i
√
N
C
= exp(kiDt) = cos(kDt) + i sin(kDt) 4 3 + (kDt) − . . . + i(kDt − (kDt) + . . .) 4! 3! = 1 − D2 (1 − cos kt) + iD sin kt =1−
(kDt)2 2
$ $ k & k χ = ai |N , N , . . . , N i + ai |e , N , . . . , N i + i 1 2 k 2 k 0 1 1 . . . + aik |e1 , e2 , . . . , ek i + Ri Ri ' | . . . , N , . . . , e , . . .i p
q
(k)
Zk = (−1)k W (k) R0 W (k) F (k) , W (k) = W N W N . . . N W N I ' $ W $ x i = 1, 2, . . . , k k i i N 1 N 2 N ' (k) & % $ R $ x i = 1, 2, . . . , k F (k) = R0N= RN . . . R I 01 0k 0i i N ' $ F1 . . . Fk I Fi $ xi ei I $ & & A & χi = Aχi−1 A 2kn & A Ar $ k + 1 ' |N1 , N2 , . . . , Nk i, |e1 , N2 , . . . , Nk i, . . . , |e1 , e2 , . . . , ek i Ar Ar = A0 + B A0
0 2 0 ... 0 −2 0 2 ... 0 N . ... ... ... ... 0 . . . − N2 0 2 2 0 ... 0 −N 0 &
# $ − 2 $
N (k+1)×(k+1) %% & A A B ' k > 2 r
% ' & ' & ' ) ()
a ¯˙ = A¯ a, a(0) = |N −k/2 , . . . , N −k/2 i, √ a k N ¯(i) ≈ |ai1 , . . . , aik i i
' & $ ( $ ' & ' # $
!#)! #+() #!"$
# % ∀x1 ∃y1 ∀x2 ∃y2 . . . ∃yk p(x1 , y2 , . . . , xk , yk ) % % N = 2n ' x y . . . x y ' {0, 1}n
1 1
)#!)"
k k
√ O( N )
(Cn)k
C
% ' √N (log N )k−1 #
) ) %& P ∀x∃y ' & $ $ # # ( & $ & O(p|y ||x ||y | . . . |x |) ) √N k 1 1 k ( & ' %
$ $ $ ' # $ # & $ ( $ ' & P λ e # $ e ' '
i
i i
i # & ' ' e i $ $ $ $ ' ' &
% # # # ) $ χ #' ()') ξ
kχ − ξk <
%!) ))')
x ∈ {0, 1}n
f : {0, 1}n −→ {0, 1}
perr
ξ0 −→ ξ1 −→ . . . −→ ξT , N x ξ0 = |x, 0i, ξT = (ξ˜ |f (x)i) , < perr /2, * ξ f (x) ) $ 1−p T err $ ' P λ |x , 0i
i
i
i √ N # # $ P λ ξ˜ N f (x )i + ¯, ¯ = P λ ¯ k¯ e k < p N /2 i i i i xi i Ti &
) $ '$) $ $ O(√N ) 1 $ #' x p(x) p, N = 2|x|
!) #)') |0, 0,. . . , 0i 1
|0, 0, . . . , 0, γi
p
γ=1
∃x p(x)
0
√ N1 Mn M = log(1/)
p
M (n + 2) + 2
# ) m $ $ χ $ {1, 2, . . . , m} W F W F χ P e /√N
0
j
p
j
* ) $ & m = √N x 1 1/2 ) ' # )""
m = 1, 2, . . .
1 X |χi, |0 . . . 0i −→ . . . −→ √ m
χ≤m
χ
$ '$ ' ' $ ' M # 2n ' $ ' # |0 . . . 0i N |x x . . . x i 1 2 M '
xi =
X j
λj ej ,
X
p(ej )
|λj |2 ≈ 1/2,
e p #
j |0 . . . 0i
OX O O OX O ( (λj |ej i |p(ej )i)) ... ( (λj |ej i |p(ej )i)), j
j
p(e ) ∈ {0, 1} # p j ' |a, bi |a, b + p(a) i
)"" |σ1 σ2 . . . σM 0M+2 i −→ |σ1 σ2 . . . σM 0M+1 σi σ=1
∃i ∈ {1, . . . , M } : σi = 1
∀i = 1, 2, . . . , M σ, σi ∈ {0, 1}
f
| i
f
| 0 0 0 i −→ | 0 0 0 i f
| 0 0 1 i −→ | 1 0 1 i f
| 1 0 1 i −→ | 1 1 1 i f
| 1 0 0 i −→ | 1 0 0 i
' ) ) i i $ $ σ i = 1, 2, . . . , M,
i |δ1 δ2 . . . δM δM+1 . . . δ2M σ0i |δ1 δ2 . . . δ2M σσi |σ0i −→ |σσi, & |σ σ . . . σ 0M+1 σi 1 2 M $ σ , σ , . . . , σ
1
(|0 . . . |0i
2
M
OX O O OX O O ( λj |ej i |p(ej )i)) ... ( (λj |ej i |p(ej )i)) γ) . j
j
M # n ' $ ) $ # # # $ x $ $ 1 − 1
$ 2M ) M = log 1 & γ $ (|0 . . . 0γi) ' p #' ()')
$ p ' p
%
% z , z , . . . , z 1
2
q
∀x1 ∃x2 ∀x3 . . . Qk−1 xk−1 Qk xk p(z1 , z2 , . . . , zq , x1 , . . . , xk ).
Q , Q ∈ {∃, ∀} 1 2
!) #)') | z1 . . . zq 0 . . . 0i −→ . . . −→ | z1 . . . zq 0 . . . 0γi
1 2
2
k P
i=1
|xk |
(M n)k z1 , . . . zq γ=
0, (5) , 1, (5) .
* & k k = 0 " ' ' k ) ' k * k−1 P 1 |xi | 2 $ $ ' 2 i=1 $
(M n)k−1 # p (M n)k−1 $ % & z1 , . . . zq , xk −→ T1 ∈ {0, 1} T1 = 1 ∀x1 ∃x2 . . . Qk−1 xk−1 p(z1 , . . . , zq , x1 , . . . , xk−1 , xk )
) & $ % & k−1
z1 , . . . , zq −→ T ∈ {0, 1} T =1 ∀x1 ∃x2 . . . Qk−1 xk−1 Qk xk p(z1 , . . . , zq , x1 , . . . , xk ) # $( ' Qk ∃ $ k−1 1 2 2 |xk | ) M n ' $ # k−1 k−1 P 1 |xi | ' ' 2 2 i=1 ) (M n)k−1 k P 1 |x1 | p
$ $ 2 2 i=1 ) (M n)k p # (M n)k $( Qk ∀ k−1 & 0 −→ 1, 1 −→ 0 ' $ ' ' '
% $ m $ ' N # $ 1 ' N & # $ π ) 2 f (x) = 1 m − 2 # # $ N , N , . . . , N 3 4 m m − 2 # d , d , . . . , d 1 2 m−2 ' N N = {xj ; j = 1, 2, . . . , l } s = 1, 2, . . . , m s s s s m & x1 , x2 , . . . , xl2 # # P l = N s 2 2 2
s=1 ! H $ H ¯ N
) ' # ' % ' U I tar U H xs s = 1, 2, . . . , m, j = j 1, 2, . . . , ls # x2j −1 # x1j 1 # xsj s ≥ 3 ei(dk −π) , dk ∈ [0, 2π) vk = eidk q
k $ d d = d γ = l2 k k N ' γ −→ 0 (n −→ ∞) ' )
P ej = √1 |xi e2 & $ # & # $
lj
x∈N
j ˜0 √1 P |xi ) N ¯ x∈N ' e & H 0 j m * ) $ ˜0 ' $ $ I H tar 0 I H e2 0 ) $
)#!)"
l /N 1
q √ l2 −→ 1 (N − l1 − l2 )/d N l2 −→ 0 N = o(d) ˜0 t
I˜0 U
t =
q π 4
l2 N
n −→ ∞
e2
H I U # ˜ 0 0 *
& G = −I U # ˜ 0 & I˜ Itar ' H ' e 0˜ ' 0 G 0 2 $ & $ G ' * & ' ) ' $ & $ ' e e
1
2
!)''#) &()')
) % q & e , e , . . . , e H h˜0|e i = l2 = X 1 2 m 0 2 N q lj %
˜ h0|ej i = N = Yj−2 j = 3, 4, . . . , n xj = 2Xj m P l /N # j j=2 %
q √ ' P l /N =
˜0 = (√1 − , X, Y , . . . , Y l1 T 1− = 1 − j 1 m−2 ) N = j≥2
2
+
o() ˜ 0 ≈ ˜0app = (1, X, Y1 , . . . , Ym−2 )T O() ' & ! H 0 $ H 0 U I m H & U ˜ 0 0 $ 1 0 0 ... 0 0 −1 0 ... 0 . 0 −v1 . . . 0 U = 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 −vm−2 $ & I I ≈ ˜ ˜ 0 0 I˜0app = V −1 Ie1 V & V V ˜0app = e1 # V −1 Ie1 V ˜0app = −V −1 e1 = −0˜app & V
1 X Y1 Y2 . . . Ym−2 −X 1 0 0 ... 0 , V = −Y 0 1 0 . . . 0 1 ... ... ... ... ... ... −Ym−2 0 0 0 ... 1 1 −X −Y1 −Y2 . . . −Ym−2 X 1 0 0 ... 0 . Y 0 1 0 . . . 0 V −1 = 1 ... ... ... ... ... ... Ym−2 0 0 0 ... 1
−1 0 0 1 Ie1 = 0 0 ... ... * ' &
I˜0app = V −1 Ie1 V =
G = −I˜0app U =
1 x y1 ...
ym−2
−1 −x −y1 ... −ym−2
... 0 ... 0 ... 0 ... ...
−x −y1 1 0 0 1 ... ... 0 0
−x −y1 v1 1 0 0 v1 ... ... 0 0
−y2 0 0 ... 0
−y2 v2 0 0 ... 0
. . . −ym−2 ... 0 ... 0 ... ... ... 1
,
. . . −ym−2 vm−2 ... 0 ... 0 ... ... ... vm−2
.
#('# %! )'
' & $ ' ) $ $ $ $ kAk = max kA¯ xk. k¯ xk=1
) ' G = −I $ & −I U ˜ ˜ 0app U 0 G
kG − G ˜ k = kU kkI − I k = kI − I k = k 0 − ˜0app k = O() ˜ ˜ ˜ ˜ exact exact 0 0app 0 0app
'
'
G = G
G Gexact exact P+ ∆ lj q j≥2
& $ & ν = t∆ = √ k∆k = O() t = N l2 N l2 P ' l2 = O( ) l2 ν = o(1) j≥3 q P = o(l ) ν l2 o(1) # # ν = o(1) 2 N j≥3 t−1
Gt = (G t t t exact + ∆) = Gexact + O(t∆Gexact ) = Gexact + o(1) Gt ' G G ) exact exact
$ G # $ p I & )
m−2 (λ) = |G − λI| $
p (λ) = 0 m−2
1 − λ −x x 1−λ pm−2 (λ) = y1 0 ... . .. ym−2 0
x y1 (−1)m+1 ym−2 vm−2 y2 ... ym−2
−y1 v1 −y2 v2 0 0 v1 − λ 0 ... ... 0 0
1−λ 0 0 v1 − λ 0 0 ... ... 0 0
. . . −ym−2 vm−2 ... 0 ... 0 ... ... ... vm−2 − λ
... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 0
=
+ (vm−2 − λ)pm−3 (λ) =
2 ym−2 vm−2 (1 − λ)(v1 − λ) . . . (vm−3 − λ) + (vm−2 − λ)pm−3 (λ).
)
2 pm−2 (λ) = (vm−2 − λ)pm−3 (λ) + ym−2 vm−2 (1 − λ)(v1 − λ) . . . (vm−3 − λ).
*
−p1 (λ) = (λ − 1 + ix)(λ − 1 − ix)(v1 − λ) + v1 y12 (1 − λ) '
# $ % # pm−2 (λ) = (λ − 1 + ix)(λ − 1 − ix)(v1 − λ)(v2 − λ) . . . (vm−2 − λ)+ v1 y12 (1 − λ)(v2 − λ) . . . (vm−2 − λ)+ v2 y22 (1 − λ)(v1 − λ)(v3 − λ) . . . (vm−2 − λ)+ 2 . . . + vm−2 ym−2 (1 − λ)(v1 − λ) . . . (vm−3 − λ).
p (λ) = (λ − 1 + ix)(λ − 1 − ix)(v − λ)(v − λ) . . . (v 0 1 2 m−2 − λ) p
0 m−2 (λ) = p + δ
p
δ = v1 y12 (1 − λ)(v2 − λ) . . . (vm−2 − λ)+ v2 y22 (1 − λ)(v1 − λ)(v3 − λ) . . . (vm−2 − λ)+ 2 . . . + vm−2 ym−2 (1 − λ)(v1 − λ) . . . (vm−3 − λ).
p (λ) δ ( p (λ) λ = 1 − ix, λ = 0 0 1 2 ˜1 , λ ˜2 , . . . , λ ˜m 1 + ix, λ3 = v1 , . . . , λm = vm−2 pm−2 λ ' & ' λ λ ˜ j & δ # j $ λ 1,2 |λ − λ | = o(|v − λ |) $ |λ − λ | δ 2 ) p ' 1 2 j 1 1 2 q ) %% & A = λ−v = Ω(d) λ1 λ2 |λ1 − λ2 | q $ ˜ | + |λ − λ ˜ | q = γ(v − λ) · · · (v − λ) & ' σ = |λ − λ 1
m−2
n−2 m−2 P vj yj2 (1−λ) γ(vj −λ) j=1
1
1
2
2
* v − λ = O(d ) 1 − λ = O(γ) σ = O(δ/q ) = j j P lj o(γ) P l = o(d√N l ) σ = O( d1 j 2 N) 0
j≥3
j≥3
˜ 1,2 = 1 + −ix + o(γ) λ ˜3 = v + o(γ) λ
$ # # $ λ ˜ 1,2 = 1 + −ix + o(γ) λ = 1 − ix + o(γ) $ & a ¯ = (a, b, w1 , . . . , wm−2 )T $ # $ a
% ¯ (G − λE)¯ a = ¯0 '
ix x y1 ... ym−2
−x −y1 v1 ix 0 0 v1 − 1 + ix ... ... 0 0
. . . −ym−2 vm−2 ... 0 ... 0 ... ... . . . vm−2 − 1 + ix
$ # $ #
ixa xa y1 a ... ym−2 a
a b w1 ... wm−2
=
−xb +ixb
−y1 v1 w1
−...
−ym−2 vm−2 wm−2
...
+(v1 − 1 + ix)w1 ...
...
... +(vm−2 − 1 + ix)wm−2
o(γ) o(γ) o(γ) ... o(γ)
.
= o(γ) = o(γ) = o(γ) ... = o(γ)
' $
q ) # w = yj a l2 j vj −1+ix N = o(d) w = o(1) o(1) a = i, b = −1 j λ = 1 + ix + o(γ)
a = i, b = 1 o(1) wj = o(1) # # # $
a = 0, b = 0 o(γ) ' ' e , e 1 2 *
&
n −→ ∞ ' ' e , e 1 2 o(γ) # # $
o(1) # # t & $ 1/γ & ' G o(1)
) % & $ # & $ % & % & f : {0, 1}n −→ {0, 1}n # $ % & # & % & $
$ $ % $ & ' $ $ %% & ) $ N = 2n $ $
) # # ' $ ' % & f # f (x ) ≤ f (x ) ≤ . . . ≤ f (x ' 0 1
N −1 )
#
j xj # # x k # f (x ) < f (x ) x 0 , j 0 > j
j jk j j k # $
x j k+1 $ ' # x N −1 √
N '
(' $ & & $ $ $ $ ' ' & & %
# % $
) & 2iπ wx e ω $ ' ω ∈ [0, 1) $ '
' # ' % & & # $ $ % ' ) & $ % &
R −iλx √1 F f = φ(λ) = e f (x) dx, 2π D R F −1 φ = f (x) = √12π eiλx φ(λ) dλ. D
# ) e2iπ wx
$ $ D = R ' # % & $ ' D )$ $ −B, B B ) Z 1 F f = φ(λ) = √ ei(2πω−λ)x f (x) dx. 2π D
' $ % & λ 2πω % & & )$ % % % & )$ λ = 2πω
# 2πω # $ ω ' )
$ $ $ # # * ' % & $ f φ
N −1 N −1 1 X − 2πi ab 1 X 2πi ab e N |bi, e N |bi. QFT : |ai −→ √ QFT−1 : |ai −→ √ N b=0 N b=0 ' $
' ' % $ ' '
' * ' ) ' # $ $ U ' $ # % & # #
$ $ $ $ # $ U ' ) %
Ucond |x, αi −→
|U x, αi, |x, αi
α = 1, α = 0.
' &
U # # % & # ' # ' U cond ' $ # $ # ' $ U & n α # $
$ ' $ $ # ' $ # $
) U $ |ξ, ¯0i
P ξ = xk ψk ψk ) U k wk
# $ ' " $ # $
QFT2 Ucond QF T2 .
$ & ) $ N −1 = √1 P P x |ψ , αi k k N k α=0
U ψ U U k cond |ψk , αi = |U α ψk , αiP=P e2iπwk α |ψk , αi √1 e2iπwk α |ψk , αi &
N k
α
N −1 1 X X X 2iπα(wk − c ) N |ψ , ci. e k N c α=0
k
c # w k α # & N ) %% & c x * $
k # x # # c k N −1 ' P e2iπαβ = 0 β 6= 0 $ α=0 $ $ $ * ) $ &
X k
|ψk , wk i,
w k
# U ' $ $ # ξ
' $ # ' $ $ $ $ % % $ # % & #
# $ # # ' $ $ $ $ % & ' $ # $ $ # % ) & a = a + a 2 + . . . + a 2l−1 0 0 l−1 |a0 a1 . . . al−1 i aj # ' ) # b b = b +b 2+. . .+b 2l−1 # j 0 0 l−1
a0
r
a1
r
a2
r
a3
r
a4
i r
i
r
i
r
r
r
r
r
r
r
i
r
r
r
r
r
r
r
i
b4
b3
b2
b1
b0
( # QFT−1
' W 1 # & 1 0 0 0 0 1 0 0 , k > j. Uk,j = 0 0 1 0 iπ/2k−j 0 0 0 e
# a b $ & $ $
# # ' 1/2l/2 % φ $ eiφ % $ ) # # % # b0 = b l−1−j , j = 0, 1, . . . , l − 1 j ' $ $ ' # a b ' ) $ # # a b # ) & # &
% & πa b0 j j j # ) # # # # # # $ & j < k πa b0 /2k−j j k a b #' $ # & ) j $
a k $ j ' b0 % &
k π '
π
P
l>k>j≥0
2π
P
aj b0k 2k−j
+π
aj bk 2j+k 2l
P
l>j≥0
aj b0j =
=
l>j+k≥0 P aj bk 2j+k 2π = 2l l>j,k≥0 P P 2π aj 2 j bk 2j 2l l>j≥0 l>k≥0
=
2π 2l .
) % & # $ # % # # & $ ) # ' l2 % & #
' #
& # ) $ π/2k−j # ' $ & $ # ' #
$ C l C $ $ &
N × N
# ' ' $ & ' $ ' # ' $ & $ )$ ' # # # $ $ %
$ #' # $ $ ' " % & & # & ' & ' $) $ $ $ *
) ea n1/3 ) ) # ' $ ) % & $ " ) $ $ ' % & & # % $ $ # ' $ $ & $ % % & ) $ ' # % $ ) $ $ ' % ' # ( $
!!& $ $ ) & $ %
" ) ' ' # $ ' $ ' & # * $ $ % & $ ' q = q q q ' ' 1 2 ) r & y q y r ≡ 1 (mod q) ( #' r y $ # r $ '
y r −1 = (y r/2 −1)(y r/2 +1) ≡ 1 (mod q) ' $ r q $ % & q # r # q y ' #' U & ' y n 2n−1 ≤ q < 2n $ n $ U U |xi −→ |yx (mod q)i yx ' $ # ) # # # # ) # q # # q, q + 1, . . . , 2n − 1 $ ' $ *
) $ ' y q $
(y, q) = 1 y $ $ '
' ) # r−1 U √1 P exp(−2πikj/r)|y j (mod q)i r j=0
exp(2πij/r) & # $ j/r $ ' $
' $ # $ ' $ $ $ ' j ξ & $ % & j r ' $ r " $ $ ' #) $ q %
& & ' y # U α ' y α q $ U cond $
& $ # U
% & % ' log2 q ' y α y α y y, y 2 , y 4 , . . .
' ) q ' '$) $ y $ 2l1 q/2l1 ' y % q ) q ' ) log 2 q $ $ & U O(log3 q) ' "
$ & # & #
' #
% # $ $ ' ' # % # #
' ) ' l n $ 2n $ $ ' $ ' $ $ n $$
%& " % %! % %& ! & % &#
O(1/N )
" $&#)
& # $ $ ' ( ) $ $ # ' % ) $
% $ # % # ' $ # % &
%% & $ $ # $ # & # # ) "
$ ) $ & %% & & ' %% & $ % & $ %% & # $ ! $ % & ' $ $ %% &
#) % ) )
$ & $ %% & ) %% & ' # $ % & ) $ & ) $ $ t ' # $ $ & e−iHt % & ψ
0 p2 ∂ & H = Hp + Hq Hp = 2m Hq = V (q) p = 1i ∂q V (q)
% & t & $
Hq & eiHq ) % # $ ' ! ! H p ' $ )
#) $ ∆t ' ) & $ e−iH ≈ (e−iHq ∆t e−iHp ∆t )1/∆t .
' e $ H
$ QFT : f −→ q R +∞ −ipq √1 e f (q) dq $ %% & ∂/∂ q ' ip 2π
−∞
' $ $ e−iHp = FT−1 e−ip2 ∆t/2m FT
$
$ % −p2 /2m & ' $ ) " & # $ & $ )
' # % & $ % ) '
$ & t ' t2 ' & $ q ' # ' # % $ # # $ ' %% # * # # ' $ $
* '
t )
t0 < t ' ! $ $ ) # # $
' $ & $ & V (t, X) t X
P ! $ & H = P 2 + V (t, X) 2 P = 1 ∂ ( ' % & i ∂X ' ) $ " # $
i
∂Ψ P2 = + V (t, X), ∂t 2
Ψ(0) = Ψ0 .
t ) % $ Ψ(t, X) = exp(−i R H(t, X)dt)Ψ & 0 0 ' $ e−iHt $ % & ψ H = H + H 0 p q p2
% &
1 ∂ & Hp = 2m Hq = V (q) p = i ∂q V (q) ' t = 1 ' ' $ # ! $ ' ∆t ) & ' e−iH ≈ (e−iHq ∆t e−iHp ∆t )1/∆t .
' $
$ H q FT : f −→ √1 R +∞ e−ipq f (q) dq $ ∂/∂ q 2π −∞ ' ip ' $ ! −1 −ip2 ∆t/2m
$ ' −iHp e = FT e FT % $ −p2 /2m # ' % & ψ(q)
(−A, A)
FT ψ (−B, B) 2A/∆q ∆q ∆p '
P ψ(q )δ δ (q) a a a a=0
(q , q + ∆q) # q ' a a 2B/∆p $ $ $ δ √1 ∆q P e−ipb qa σ (p) σ (p) a b b 2π
% & δ b=0 % & a d (q) = δ (q −A) s (p) = σ (p−B) )
a a b b
2B/∆p X 1 da −→ √ ∆q e−i ba∆q ∆p sb 2π b=0 #' ' % ∆q ∆p & ' # # q a ' p & ' q a = 0, 1, . . . , N = 2l b a |ai l $ $ & √ p √ ∆q = ∆p = 2π/ N A = B = πN/2 N −1 1 X − 2πi ab e N |bi, QFT : |ai −→ √ N b=0
% $ −p2 ∆t/2m % −πb2 ∆t/mN
) $ & s $ ' 1 s $ $ & & 1 $ $ $ $ ' $ & !
Jy2 Jx2 J2 + + z 2Ix 2Iy 2Iz & ' $ µ, ν, η ' $ '$ I & # $ J¯ = [¯ r × p¯] r p r % " ' # $ # &
&
U = exp −iHδt H = H 0 + H 1 1 H 1 = Hkin + V (µ, ν, η),
1 Hkin (µ, ν, η) =
j
j
j
H 0 = Pj2 + V (s , X ) ' X 0 H 1 j j j j j 2mj j & Xj
) ' $ & & # x p [0, 1) % P = p2π/N p p X = 2π/Nx & V 0 (X)
# X ' $ H
x −→
p
X
e
1 X −2πi |pi −→ √ e N N p
−2πi xp N
p
xp
eiP
2
δtπ/N
|pi
θ (κ) = a ' P P + A # p ' A = p2π/Na
1 X λy |yi, N y
λy =
X
2
eip
δtπ/N −2πi xa/N
e
e
ip(−2πX+2πAδt+2πY ) N
p
|yi
' ' % $ % $
λ = 0 # y ' y & Y = X − Aδt P
$ $ X 0 = ∂H/∂P # $ $ H = V (X) x |pi QFT H QFT−1 $ # x
1 X 2πixp 1 X 2πixp iv(x) 1 X |pi −→ √ e N |xi −→ √ e N e |xi −→ λp1 |p1 i, N p N x N x 1
λp1 =
λ
X
p
e2πix( N +
p1 v(x)δt 2πx − N
.
x
p1
6= 0
V (X) , X ) ' &
$ ∂H P0 = . ∂x P1 = P + δt
# # $ & $ ) ) $ )$ ' ) $ ' % $ # $ % & % & # $ ' $ # # % $ # # % & $ $ $ $ % &
'$ $ '
$ # $ # $ U w ∈ [0, 1) $ $ U # # # $ # $ $ # $ % % & $ # $ * U U $ # cond ' $ & # ) $ # $
$ Rev ' $ P x |ψ i ' ψ $ $
k k k k ω w Rev k w = ω ' k Rev−1 $ $ w ' # Rev $ $ $ $ w w ' ' ' # $ & ' ) $ $ ' # & $ # # # # ) $ $ & $
& $ # $ $ # # #) # $ ' $ $ & $ $ % ' U & ) & $$ ' ) & $ # ' # # $ $ $ & $ # # # # ) & $ # # # #
U cond ' ' U # $ & $$ ' '
" "% #$ $ & )
% % '
$ '
# & $ # $ !
( $ & $ % $ #) % & $ ) ' $) ' $ & # & # $ # ' ' # # # $ ' % # # $ % # ! $ $ # ' $ $ & # #) # # # % % & ' & ' ' & & ( ' &
# ) ' # ) #
# $ ) $ $ $ ( ' # $ % & & $ $ $ # & ) ' $ ' '
# %% & α, β, γ δa+ a+ + δ ∗ a a . k j k j $ ) & $
' # $ ! $ $ # # ' % & ' ! ) $ & # '
$ ' $ # $
$ & # $ # ' # & # # ' & # $ # # % & $ $ '
& ' ) # % & $ & $ % $ & # $ # ) '
' $ # $ & ' # # # # $ $ & $ ' $ $ ' # $ * $ # ) % ' $ $
$ # # $
' ' # # ' # $ ) $ $ $ & $ $ # $ # ' # # $ $ ' & ' # $ # & ' $ # '
# $ ) ' & ! # $
% ' ' $ & $ & $ '
) # $ $
' # $ $ & $ # ) # & &
) ' ##+# %!)#! # ' $! ) ' # '# $ ##" $%! )'
( ) # $) # # % & #
" $ $ % & ' & a = a + a 2 + . . . + a 2l−1 0 0 l−1 |a0 a1 . . . al−1 i = |ai % $ # # $ $ # % & # # # ' )
# # $ # b b = b +b 2+. . .+b 2l−1 j 0 0 l−1 ' # QF T −1 O(l2 ) ) & N = l2 $ # # ' # ) $ ' ' $
A) H =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 , ρ > 0, 0 0 0 ρ
B) H =
ρ1 0 0 0
0 ρ2 0 0
0 0 ρ3 0
0 0 , 0 ρ4
ρ = ρ e−br b = const r ' & ρ + ρ 6= ρ + ρ 0 r 1 4 2 3 ' l $ $ ' j k
! H ! j,k * & ) $ '
# & # & ' b = 1 $ $ $
) #('#
#
##+# +
N −1 1 X − 2πi ab QF T : |ai −→ √ e N |bi, N b=0
N −1 1 X 2πi ab QF T −1 : |ai −→ √ e N |bi. N b=0
' $ #
a0
i
a1
i
a2
i
a3
b4
b3
b2
b1
i
a4
b0
i
$ ' &
P U = e−iH˜ H ˜ = ˜ j,k H l>j>k≥0 ' H ˜ j,k
ρ0 = π r = j − k & ' ρ π & r = j − k 0 U & ! # & $ ' & $ $ ' % # ' $ $ # # $ # # # ! # $ QF T −1 ' $ " #
|ai
# # $$ & $ # $ |bi # 1/√L # % a0 = a & ) $ # l−1−j , j = 0, 1, . . . , l − 1 j j k ≤ j # $ $ $ a0 $ a0 $ & $ a0 a0 j > k $ a0 jb j > kk k j j k $ b b j > k # $ $ k j − k l − 1 − j j k # $ $ % %
π
X
l>j>k≥0
a0j ak k +π 2j−k (j − k)
X
l>j>k≥0
X a0j bk (j − k) +π a0j bj + π j−k 2 (j − k) l>j≥0
X
l>j>k≥0
bj bk (l − j − 1) . 2j−k (j − k)
A B *# $ # ! |ai |bi $ $ $ j l − 1 − j π
P
l−1>k+j≥0
aj bk 2j+k 2l−1
P
+π
al−1−j bk
l−1≥j≥0
= 2π
P
l>k+j≥0
aj bk 2j+k 2l
= 2πS + 2π
2πS + 2π ab 2l
P
l>k,j≥0
aj bk 2j+k 2l
=
& S % A B
#!!) +
&
# # A B % A A = c a0 a0 c j,k j,k j k j,k j k a j $ k $ # &
$ $ ' # p, q, q > p *# $ ∆t d ∆t a0 a0 %
d p,q p,q p q $ a0 , a0 p q d = e−|q−p| /|q − p| # # ' p,q $ q & 1 − a0 $ q ∆t $ d ∆t a0 (1 − a0 ) % & p,q p q ' q $ % $ # # $ # d ∆t a0 ' p p,q p ' % $ p, q ' p$ $ ' # $ & q $ % $ p % & # & ' % # $ $ & & # & $ # # $ #
) # $( '& %!# )# ' p $ & A p $ 0 < tp < tp < . . . < tp < 1 $ % $ mp 1 2 ' λ 1 A & p p
tp p m p m $ & ' $ # % $ ' $ $ & $ $ ' % $ $ % # # # $ $ # )$ λ & A p$ p # a0 ) 1 − a0 $ p p ' j 1 d a0 a0 + 1 d (1 − a0 )a0 1 d a0 p j 2 p,j p j 2 p,j 2 p,j j q 6= p ) & $ )$ ' p q λ $ a0 , a0 a0 , 1 − a0 1 − a0 , a0 1 − a0 , 1 − a0 p q p q p q p q $ 1 d [a0 a0 + a0 (1 − a0 ) + (1 − a0 )a0 + (1 − a0 )(1 − a0 )] = 1 d p q p q p q 4 p,q p q 4 p,q
$ % $ # $ # # $ # p ∈ / {j, k} X 1 1 X dp,j a0j + dp,k a0k ] + [ 2 4 p∈{j,k} /
p∈{j,k} /
X
dp,q .
p,q∈{j,k} /
' # $ # # $ & % $ d a0 a0 $ ' ∆t & j,k j k $ & % $ ∆t d a0 a0 # j,k j k −∆t d a0 a0 ' j j,k j k & & 0 $ & $ j −∆t dj,k ak * ' $ % c · a0 a0
c k # & # # % $j X
cj,k a0j a0k
j,k
c
& QF T −1 & j,k A B % # QF T −1 ) $ # # '$ # & # ) & $ ' $ # # & $ λ ) & $ # # $ # $ d & )$ j,k $ & $ # # # % & # # % & $ & # δt & ' kδt & k p = 1/λ λ & T M = T /δt ) % $ $ & δt D D $ # #
p 1 − p O(√M ) ) √
T = O(log N ) T / M ' ' $ M = O( log2 N ) $ * $ # &
$ # # ' ' $ # $ ' $ ' # ' % $ ' j k # ! # $
A) Hj,k
=
E1j,k 0 0 0
0 E2j,k 0 0
0 0 E3j,k 0
0 0 0 E4j,k
,
B) Hj,k =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 , Ej,k > 0. 0 Ej,k
$ ' # # # ! 0 & # H j,k
α 0 0 0 0 β 0 0 . 0 0 α 0 0 0 0 β ! ' & $ ' # # $ $ $ ' # & & & ! U = exp(−iH ) j,k j,k $ ' & j k #
*
$ ' # & $ $ $
)
$ $ # $ $ ' & ' & $ U $ j,k $ $ & )$ $ % # ' % & ) ) # %)!# () # a 0 0 0
0 a 0 0
0 0 0 0 , b 0 0 b
) ' j # jkδt & # k δt $ $ ' ' & ) ' # % # ' δt ' n2 ' $ # % & # # $ U ' ) # j,k & $ $ j, k % ∆E = E − E − E + E ∆E ∈ ∆E
1 2 3 4 π / Q π & % ) $ % & ' & ' & ' & 1 0 0 0 0 1 0 0 CN OT = 0 0 0 1 0 0 1 0 $ $ ' # % # & E
exp (iE1 ) 0 0 exp (iE 2) E= 0 0 0 0
0 0 0 0 exp (iE3 ) 0 0 exp (iE4 )
& $ % A=
B=
& E U
1 0
0 exp (i (E1 − E3 ))
exp (−iE1 ) 0
0 exp (−iE2 )
,
,
1 0 0 0 O 0 0 1 0 U = E (A B) = . 0 0 1 0 0 0 0 exp (i∆E) * & ∆E ' π
∀ε > 0∃m ∈ N ∃n ∈ N : |∆En − π(2m + 1)| < ε,
$ $ ε n = n(ε) $ U n '
Π 1 0 0 0 0 1 0 0 Π= 0 0 1 0 0 0 0 −1
$ * )
O O (I H)Π(I H) = CN OT,
I ' & H &
1 0
1 H=√ 2
I=
$ %
0 1
,
1 1 1 −1
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 −1 0 0 0 1 0 0 1 1 −1 0 0 0 √ √ = 0 0 1 0 0 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 1 −1 0 0 0 −1 0 0 1 −1 0 O O n O (I H) E (A B) (I H)
# & $ &
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
n # & %
' ' # ' $ ' ! ψ(r , r , . . . , r ) = ψ (r )ψ (r ) . . . ψ (r ) {ψ } 1 2 n j1 1 j2 2 jn n j $ $ $ & j ' % ' s 1, 2, . . . , J r j ' $ # $
$ # & ' ' ψ (r )ψ (r )) . . . ψ (r ) j1 1 j2 2 jn n %% & %&
# & % % & ' & % & & ' % & % ' $ # # & # n % ψj1 (r1 ) ψj1 (r2 ) . . . ψj1 (rn ) 1 Ψ= √ , n! ψj (r1 ) ψj (r2 ) . . . ψj (rn )
% !$ " " %$ # ! "# $
) %$ % $ $)
& " & % $ %& "!" n
n
n
& ' & $ ψ s = 1, 2, . . . , n & js ) $ ψ k ∈ {1, 2, . . . , J} j ψ k s $ ! # # # # ψ $ k $ $ $ & ' |¯ nΨ i = |n1 , n2 , . . . , nJ i nk & k $ $ % # n ¯ P % ) $ λn¯ |¯ ni λ n ¯ $ ' $ #
' # % ' 1/2
ψj1 (r1 )α1 ψj1 (r2 )α1 . . . ψj1 (r2n )α1 ψj1 (r1 )β1 ψj1 (r2 )β1 . . . ψj1 (r2n )β1 1 Ψ= p , (2n)! ψj (r1 )βn ψj (r2 )βn . . . ψj (rn )βn n n n α β j &
j j 1/2 j &
−1/2 jk ' ' # % # $ % & ' # Ψ % & ' $ R hΨ| H |Ψid¯ r
' α∗ α = β ∗ β = 1, [α α ] = [β β ] = [α , β ] = 0 j k j k j k j j j j j 6= k αj αj = βj βj = 0 # j ' & #
' a & j ' $ a+ j j a |n , . . . , n i = δ σ = σj j 1 J 1,nj (−1) |n1 , . . . , nj−1 , nj − 1, nj+1 , . . . , nJ i j + n1 + . . . + nj & ) a+ j ak + ak aj = δj,k + + + + aj ak + ak aj = aj ak + ak aj = 0 ' $
# & $ ' ' # # $ $ H = Hone + Htwo & V1 (r) (' $ #' ' '
V2 (r, r0 ) P P H +
Hone = Hk,l a+ Hk,l,m,n a+ two = k al l ak am an
k,l
k,l,m,n
R Hk,l = hψk | Hone |ψl i = ψk∗ (r)V1 (r)ψ R l (r)dr, Hk,l,m,n = hψl , ψk |Htwo | ψm ψn i = ψk∗ (r)ψl∗ (r0 )V2 (r, r0 )ψm (r)ψn (r0 )drdr0 . & # $ $ ψ ' i & $ # # ' '
%& "% " " % $ $ %" % % ") ' %!$
P i,j i,j ! H = P H i ! i ext.f. + i,j (Hdiag. + Htun. ) ) # $ $ # ' ' i Hext.f. i,j Hdiag. i,j Htun.
= αi a+ αi ∈ R, i ai , + = βi,j a+ a a a βi,j ∈ R, i i j j, + ∗ + = γi,j ai aj + γi,j aj ai .
! $ ' & & $ ) ' %% $ $ %
'
' & #
$ $ # % ' # ) ' ! ) % # # $ ' ' k $ k F # j $ & j $ F # $ & ) # j 0 $ j ' $ j # F ' F = N N N F1 F2 . . . Fk ' $ Fj j $ # # $ F F ' $ j j j 0 $ j $ $ ' j $ j 0 $ # |1i |0i j j N N N F = F1 F2 . . . Fk F % & θ ' ) ! H F $ # # θ(|ξ , ξ . . . ξ i) = |ξ i N |ξ i N . . . N |ξ i ξ & θ 1 2 n 1 1 2 2 n n j ' !
! # ' ' ) ) & * # $ ! # $ # H ! $ H
H + H
0 1 d1 0 0 d H0 = , H1 = . 0 d2 d¯ 0
ξ∈H
|0i2
|1i2
|010i
30 20
e e
u
10 θ(ξ)
u e
0
F
1 2 3
u u
e
e u
' !
H ¯ +0 ak ˜ 0 = d1 a+ ak +d2 a+0 ak0 H ˜ 1 = da+ ak0 + da k k k k ) H * ˜ i θ = θHi i = 0, 1 $ θ # (H
˜0 + H ˜ 1 )θ = θH U !
% e−iH ! H # & $ $ θ θ−1 H s θ = (θ−1 Hθ)s # s # U ' %% $ $ ! ' $ )
$ $
$ # ! & # # $ F N F k j ' %% $ $ $ ! $ $
( &
F˜ 6
- F˜
6
θ
H
θ
- F˜
6
θ
-H
H
F˜ 6
F˜
H
θ
H
-H
N ! # ˜ F = Fj Fk . F
-
6
H
-
F
-
6
-
H
6
-
- H
$ ! #
! $ % $ ' '
$ ! '
! ' $ $ & ' $
$ ' $ ' $ & ' (−1)σj $ a+ a a+ a ) ' j j k k $ a+ a 0 F ' (−1)σ0 j j 0 jP −1 σ 0 = ns = j 0 − j $ |¯ ni ∈ F
s+j
$ ' j j 0 % ' # $ $ $ # $ )
# $ ) $ # # ' $ ) $ # & # # $ $ ) " $ )
# % # ' %% # ) # $ $ ) # # # # # # & % % & ) '
√1 |000 . . . 0i + √1 |111 . . . 1i ) 2 2 ' % |0i −→ |1i, |1i −→ |0i |0i −→ |0i, |1i −→ |0i ) % ξ 0 = √12 |100 . . . 0i + √12 |011 . . . 1i ξ 0 = √12 |000 . . . 0i + √12 |011 . . . 1i % ) ' ) $ # ) ' ' # λ|0, 0, 0i + µ|1, 1, 1i $ |0, 0, 0i |1, 1, 1i %&
! ' " & $ %& " " " $ # ( %& ) ' %&" % !!& " "%& % # # " %# $)
# # # # ' ' ) # #
% & ' )
' $ ) # $ ) ) ' ' ' ' & # ) # # $ # # $ # * $ # $ $ ) $
# ) & ) ' % ' ) $ ) $ ' ' $ ) & ) $ & # ) # & & # ) & m # ' # ) ' ' m−1 # ' # 2
# # ) ' & # $ # ' ' ' '
' ) % & % $ $ $ #) % & $ # ' % $ & W $
# ' $
% & W : H N H −→ H N H $ W (|Ψ, 0i = λ|Ψ, Ψi |Ψi C Ψ % &
' $ W ' $ W λ|Ψ, Ψi + µ|Ψ , Ψ i = 1 1 W |Ψ, 0i + W |Ψ1 , 0i = W |Ψ + Ψ1 , 0i = ν|Ψ + Ψ1 , Ψ + Ψ1 i = ν(|Ψ, Ψi + |Ψ1 , Ψ1 i + |Ψ, Ψ1 i + |Ψ1 , Ψi) $ $
* # $ ' '
& CN OT (λ|0i + µ|1i) N 0i = λ|0, 0i + µ|1, 1i
# (λ|0i + µ|1i) N(λ|0i + µ|1i) ) # $ ' #
' & λ|0, 0, 0i + µ|1, 1, 1i & $ $ # )
) ' # $
' ' ) & $
' $ $ )
$) $ & # ) # ' ) ) % |0i −→ |0i, |1i −→ −|1i ' ' ) '
'
$ ' ' U : α N ξ −→ χ α ' U $ α $ ) $ $ )
$ ' & $ )
# & # ) ) & & & ) ) # # $
' # ) $ $ # $ # %& ) ) # # ) # $ $ ' ) #
& ' & & $ ∆ ' $
$ ∆ ' ' ) ( & & ' ) ξ # ' ' $ ) & & ) & & #
# # $ # $ * & ξ = α|0i + β|1i # $ ) & # ( $$ & $ # $ |0i |1i *#
˜0 = 1˜ =
1 √ (|000i + |100i + |010i + |001i + |110i + |101i + |011i + |111i) 2 2 1 √ (|000i − |100i − |010i − |001i + |110i + |101i + |011i − |111i). 2 2
ξ # ξ˜ = α˜0+β ˜1 $ # ˜0 ˜1 # 0 1 # ) # # # $
) # #
) # $ ˜ij , i = 0, 1, j = ∅, 1, 2, 3, k = ∅, 0, 1 k j ˜i k $ j = k = ∅ ˜ij = ˜i # # # ) k
˜010 ˜011 ˜020 ˜021 ˜030 ˜031 ˜110 ˜111 ˜120 ˜121 ˜130 ˜131
= 12 (|000i + |010i + |001i + |011i, = 12 (|100i + |110i + |101i + |111i, = 12 (|000i + |100i + |001i + |101i, = 12 (|010i + |110i + |011i + |111i, = 12 (|000i + |010i + |100i + |110i, = 12 (|001i + |011i + |001i + |101i, = 12 (|000i − |010i − |001i + |011i, = 12 (−|100i + |110i + |101i − |111i, = 12 (|000i − |100i − |001i + |101i, = 12 (−|010i + |110i + |011i − |111i, = 12 (|000i − |010i − |100i + |110i, = 12 (−|001i + |011i − |001i + |101i
$ # # Urest : ˜ijk
O
¯0 −→ ˜i
O
˜0j . k
$ $ # ' ijk ' ˜0jk ˜1jk O I
0⊥ ˜ 1˜ O⊥I π h˜110 |˜120 i = h˜110 |˜121 i = 1 3 2 '
O # U ' ' ) rest N 8 $ $ ' $ $ 8 C C ) $ & ' ' U & rest # $ ' &
# & A $ & & % rest α˜0 + β ˜1
O j Arest Urest ˜0 −→ α˜0 + β ˜1, −→ α˜0jk + β ˜1jk −→ (α˜0 + β ˜1) k
& )
) ) )
& #
& ' δ $ rest ∆ ) & & ' ) $ )
) # # ∆ '
& '
' δ ( ) δ ' res rest ' & & )$ ' ) # # $ & & ' )
& & # ) # & #
$ $ & ( ' & $ # ' ) # # $ ' & ' ' U ' % & & $ & A rest & ' ' '
& a b a N b b a a $ b ' 1 2 N N U ai b = a bi # $ bi # & & a1 a b b ' 2 1 2 U & k $ $ N N b1 , b2 , . . . bk & U ai bj = a bji # $ bji & ' bj bj ' $ 1 2 bj , bj0 ' i = 1, 2; j, j 0 = 1, 2, . . . k, j 6= j 0 i i U 2k # # bji k * & # ) ' # $ & ' & ' ' # ' & # &
# & # ) ( & # ) $ $ & & $ %% $ ) # $ & ) # # ' $ ) ' '
& & $ ' & ) # $ $ # (
% $ " " " "%$ " % ' " $ $ #$ " ! ! $ # "% % " % % $ $
%" ( # %&" ' ) )
' ) )$ # & ' & # ) ' & $ )
(
) ' & $ $ ' & $ ) % $ * # # # ' $ $ ) ' # # ' ) '
$ ' '
' ) $ ' # $
) # $ ' ' ) ' & # $ # # $ ' ' %% # # ) ) ' # $ # ' $ $ ) # # # $ ' & $ ' ) # & ' # & # # # # '
(' n $ χ = P λ e , kχk = 1 2n j j
j
{e } λ j j
χ −→ χ −→ . . . −→ χ $ # χ −→ χ
0 1 t i i+1
' # & ' # # $ $ # # $ % $ e $ e = | . . . , a, b, . . .i | . . . , a, φ(a) + b, . . .i a b + '
Qu a q(e) φ χ ) # # q(e) ' K = {0, 1, . . . , K − 1} χ = P λ e j j
a ∈ {0, 1}n χ X δa (χ) = |λj |2 .
j∈K
j: q(ej )=a
χ a
P
δa (χ) =
a∈{0,1}n
1
(' χ & ' # % & $ f, g {0, 1}n −→ {0, 1}n '
δχ (f, g) =
X
1/2
δa (χ)
.
a: f (a)6=g(a)
)""
Quf , Qug
# ) #
f, g χ
kQuf (χ) − Qug (χ)k ≤ 2δχ (f, g).
' L = {j ∈ K | f (q(e )) 6= g(q(e ))} *
kQu (χ) − Qu (χ)k ≤ 2( P (|λ |)2 )1/2 ≤ j j j f g j∈L 2δχ (f, g). (
χ0 −→ χ1 −→ . . . −→ χt ,
' $ ) χ −→ χ
& # # i i+1 Quf Ui $ U # i χ −→ χ0i −→ χi+1 Ui (Quf (χ)) i i V (χ) χ t # i,f i+1 = Vi,f (χi ), i = 0, 1, . . . , t − 1 $ ' t ' δ (χ) = pδ (χ) a
a
)""
χ0 −→ χ1 −→ . . . −→ χt a ∈ {0, 1}n g
f
f
g
χ0 −→ χ01 −→ . . . −→ χ0t
kχt − χ0t k ≤ 2
t−1 X
δa (χi ).
i=0
$ * & t " V t−1,g
kχt − χ0t k = kVt−1,f (χt−1 ) − Vt−1,g (χ0t−1 )k ≤ kVt−1,f (χt−1 ) − Vt−1,g (χt−1 )k + kVt−1,g (χt−1 ) − Vt−1,g (χ0t−1 )k ≤ t−2 t−1 P P 2δa (χt−1 ) + kχt−1 − χ0t−1 k = 2δa (χt−1 ) + 2 δa (χi ) = 2 δa (χi ). i=0
i=0
$) % $ ) p B ' & # $ err P |λ |2 # χ = P λ e j
t
j∈B
) 1 − p
err
j j
j
$ $ $ % & % & φ : {0, 1}n −→ {0, 1} ) S ' $ & $ $ '
) $ # % & $ φ $ & $ ' G ⊆ S % ) > 0 $ φ ∈ G card(G)/card(S) '
)
p p : 0 < p ≤ 1 S ' # # % & $ ) ' ' & O(1) ) $ $ $ φ(0), φ(1), . . . , φ(k) $ % & $ p = 1 − 2−k S = S ' # # % & $ b x φ(x) = b
n, t(n), b(n) t = o(pN/b), n −→ ∞, N = 2n 1 $ $ ' t(n)
' φ $ ) % & $ φ t(n) = o(pN/b(n)), n −→ ∞ )#!)" φ φ(x) = 1 0 < < 1 p(n) t(n)
φ
p(n) −→ 0 (n −→ ∞)
Sb
% & ' n φ0 (x) = 0 X0 −→ X1 −→ . . . −→ Xt & a = δ (X ), i = 1, 2, . . . , t; j = 1, 2, . . . , N,
ij j i P P a ≤ t ∀i N = 2n
a ≤ 1 ij
ij
ij
j
T ' # & # τ # P a j
i
iτ
≤ (j + 1)t/N T0 = ∅
ˆbj ' Lj = Tj \ Tj−1 P ˆbj (j+1)t ≤ t N j b # & # 1, 2, . . . , N ' D b # & # # ' ' L b j j j $$ $ ' Eb = bˆb /N j j φ0 D % & φ1 X00 = X0 −→ X10 −→ . . . −→ Xt0 φ1 ' ξ = kXt − Xt0 k
$ $$ $ &
'
)""
ε > 0 P (ξ > ε) −→ 0 n −→ ∞
$ $$ Eη 2 ≥ E η i 1, 2, . . . , N j
r P rP √ Pr P t b Eξ = 2E aiτ ≤ 2E t bj (j + 1)t/N = √ 2E bj (j + 1)/b ≤ N i j j τ ∈D r P r P bˆ bj (j+1) o(1) E bj (j + 1)/b ≤ o(1) 1b = o(1) (n −→ ∞). N 2
j
j
) P (ξ ≥ ε) ≤ Eξ/ε ε % P (ξ ≥ ε) ' n ' ) $ # % & # G ) p ' err # perr = 0.0016, N > 1000 % & f ∈ G b P ) f
X = λ e t
B = {j | f (e ) = 1}, ε = j 0
P
j ∈B /
|λj |2 .
j j
j
ε0 ≤ perr , X ' e , j ∈ B ) p t j P err ' f cj = j/N, j = 0, 1, . . . ; Lj = {j ∈ B | cj ≤ |λj |2 < cj+1 } ζ0 = ˆlj cj j
ˆl = card(L )
j j
|1 − ζ0 | ≤ ε0 +
b < 2perr (N −→ ∞). N
% & f 0 ∈ S $ B 0 = {j | f 0 (e ) = 1} b j $ l f 0 j lj = card {j | j ∈ Lj ∩ B 0 }.
El = bˆl /N f 0 j j P Sb & ζ = lj cj ' $$ $ $ f 0
j ' Eζ =
X
cj Elj =
j
X cj bˆlj j
N
= O(1)b/N = o(1) (N −→ ∞)
) P (ζ ≥ 0.9) ≤
10 9 Eζ
P (ζ ≥ 0.9) −→ 0 (N −→ ∞).
' card(G)/card(S ) = = const b 0 X 0 = P λ0 e $ % & f 0 j t j j
f 0 ∈ G
0 X 0≤ |λ0j |2 ≤ perr .
P
j ∈B / 0
ξ 2 −→ 0 (N −→ ∞).
'
j∈B 0 \B 0
|λ0j |2 = r .
|λ0j |2 = q 0 ,
j∈B∩B 0
0 j ∈B∪B /
P
P P ξ 2 = kXt − Xt0 k2 = |λj − λ0j |2 + |λj − λ0j |2 + 0 0 j∈B\B j∈B \B P P |λj − λ0j |2 + |λj − λ0j |2 . P
0 j ∈B∪B /
|λ0j |2 = z 0
P
j∈B 0 \B
|λj |2 = q,
P
0 j ∈B∪B /
|λj |2 = z,
P
j∈B∩B 0
|λj |2 = r,
q ≤ ε ≤ p z ≤ perr ka − bk ≥ 0 err # * |kak − kbk| a, b $ ) δ = |√q 0 − √q|2 $ ) √ √ | z 0 − z|2 N )$ j∈B∩B 0
ξ 2 < perr .
$ N
q 0 < 4p $ q 0 ≥ err √ √ 4perr perr > δ ≥ ( q 0 − perr )2 ≥ perr P 0 2 0 z < 4p N −→ ∞ |λ | = q 0 + z 0 < err
j ∈B /
j
P 0 2 8perr $ |λj | > 1 − 8perr j∈B 0 r0 > 1 − 9perr . * L
j
1 . N $ |r−r0 | = |√r − √r0 |(√r + √r0 ) < 2√s ≤ 2√p s err |ζ − r0 | < 1 + 2√p ζ > 1 − 9p − 2√p − 1 > 0.903 err err err N N
|ζ − r| <
0
# $ ' $ ω ∗ # ' # % ω # $ % & f : {0, 1}∗ −→ {0, 1}∗ x ∈ {0, 1}n k # $ f $ & $ f {0} (x) = x, f {k+1} (x) = f (f {k} (x))
x −→ f (x) −→ f (f (x)) −→ . . . −→ f (. . . f (x) . . .) = f {T } (x) | {z } T
' $
T = O(2n/7 ) ' $ % & $
!' % !)
* & $ # x n x # ' $ ' ) '
# % & f ' T $ # # T # # #
L % & Par (g) = g(x) & g : {0, 1}n −→ {0, 1} x 2n−1 $ g ) % & $ F : {g} −→ {0, 1} {g}
' % & $ g : {0, 1}n −→ {0, 1} T =
%$ " & % % # ($ % " ! &$ %& %($) & ' % % %$ % ! % "
o(2n ), n −→ ∞ # % & $ ' T g $ ' $ ' $ & ' $ & % & $ Par (g) ' & % g ' # & % # #
# ' # # ' )$ $ $ # & ' T ) ' # T
)#!)"
n
T = O(2 7+ε ), ε > 0
f
T
T
f
& n ' $ $ % & f # & $
$
x & f {T } (x) f $ $ #
T ' ) $ $ &
& ' $ $ & $ ' ) # & # T & $
' & $ $
)#!)"
f
T
f
√ Ω( T )
f
# ' $ ' N ' ' § ⊆ 2N ' σ N ∅, N ∈ § § & $ A \ B # ∞ ∞ # $ $ S A , T A § i i i=0 i=0 §
% & # P : § −→ [0, 1] P (∅) = # $ 0, P (N ) = 1, {Ai } ! ∞ ∞ [ X P Ai = P (Ai ). i=0
i=0
σ ' S ⊆ 2N §(S) S ' ) $ §(S)
$ ' $ P M ' # ' $ g : {0, 1}n −→ {0, 1}n card(M ) = v . n n n
v = 2n2n F ' # F # $ n % & $ f : {0, 1}∗ −→ {0, 1}∗ ' g , g , . . . % & $ 1 2 gi ∈ Mi '
# % g ∈ M i = 1, 2, . . . , n ' A(g , g , . . . , g ) = i i 1 2 n {f | f = (g1 , g2 , . . . , gn , . . .)} P (A(g1 , . . . , gn )) = (v1 v2 . . . vn )−1 ) P S ' A(g , . . . , g ) 1 n # n g , g , . . . , g $ §(S). 1 2 n # P σ § = §(S)
!")! n x, y ∈ {0, 1} . f (x) = y n
P (Bxy ) Bxy = {f | f (x) = y}. 2−n $ A, B ∈ §, P (B) 6= 0 P (A | B) = P (A ∩ B)/P (B) $ A ' F1 , F2 , . . . , Fm $ m m F ∩ F = ∅ i 6= j A ∈ S F P (A) = P P (A | F )P (F ) i j i i i i=1 i=1 % $
n t(n), T (n) & % & T = O(2 7+ε ), ε > 0 C $ S(C, n, t, T ) ' # % & $ f ∈ M C f {T } (¯0) n ) t $ f ¯0
$
)""
C > 0 n P (S(C, n, T −
1, T )) <
' # # ' $ ' α = 5+ ε 2 n $ ζ = hξ , f , T , x i ξ H |ξ | = 1 f ∈ M i i i i i i 1 i i n x ∈ T ⊆ {0, 1}n $ & i i
i
%!) ))') i = 0 ξ0 = χ0 f0 ∈ Mn $ x0 = ¯0 T0 = {0, 1}n " ' ξi+1 = Vi,fi (ξi ), Ti+1 = Ti ∩ Ri , Ri = {a | δa (ξi+1 ) < T1α },
x $ T ' i+1 i+1 fi (x), x 6= xi , fi+1 = xi+1 , x = xi .
ζ ' # # ζ i i Di , i = 1, 2, . . . Ni ' # % & $ fi ∈ Mn ξi , Ti , xi
hξ , f , T , x i ∈ D
!) #)') i ≤ T n −→ ∞ i
i
i
i
i
P (Ni ) = 1 − O
T α+1 i 2n
.
* & i ζ " $ ζ = 0 i hξi , fi , Ti , xi i # ζi+1 $ $ xi+1 ' 2n −T α+1 card(T ) > 2n −T αi ≥ 2n −T α+1 i 2n ' 1 − O T α+1 i T α+1 1 − 2n 2n α+1 T (i+1) $ $ '
= 1−O 2n
$) t = T − 1 ζ i V = V , V ∗ = V $ V i i i,ft i,fi i $ & $ V 0 (x) = V (x), V i (x) = V (V i−1 (x)) $ V˜ 0 i i V˜ = V ∗ , V˜ (x) = V ∗ (V˜ (x)) ξ ˜ 0 i i−1 i+1 = Vi (ξ0 ) 0 i ξ 0 = ξ , ξ 0 = V i (ξ ), ∂ = |ξ − ξ 0 |, ∆ = |V ∗ (ξ ) − V (ξ )| * 0 0 i i i i i i 0 i i f i+1 )
'
fi Xi = {xi , xi+1 , . . . , xt−1 } ∀a ∈ Xi δa (ξi ) < T1α t ∆i ≤
!) #)')
∂i ≤
P
2t1/2 . T α/2
∆k .
k
* & i $ " ∂i+1 = |V˜i (ξ0 ) − V i (ξ0 )| = |Vi∗ (V˜i−1 (ξ0 )) − Vi (V i−1 (ξ0 ))| ≤ ≤ |Vi∗ (ξi ) − Vi (ξi )| + |Vi (ξi ) − Vi (ξi0 )| = ∆i + ∂i .
' ) ' ∀i = 1, . . . , t ∂i ≤
2it1/2 . T α/2
* % & $ f ∀i ≤ t δ (ξ ) < i xt i x = x
1 Tα .
t
ξi0 )
2it1/2 , T α/2
δx (ξi − ≤ δx (ξi ) <
1 T α/2
, δx (ξi0 ) ≤ δx (ξi − ξi0 ) + δx (ξi ).
3t3/2 . T α/2 ξ −→ ξ 00 −→ . . . −→ ξ 00
$ f t+1 = fT 0 1 t {T } ¯ ) ft+1 (0) ft+1 δx (ξi0 ) ≤
|ξt0 − ξt00 | < 2
X i≤t
δx (ξi0 ) ≤
6t5/2 < γ(n) T α/2
α = 5 + ε γ(n) ' # # n 2 $ ξt0 ξt00 ) f {T } (¯0) = a # $ ξ 0 ' & t t+1
a P ( | f ) f f {T } (¯0) 6= f {T } (¯0) t T T T −1 ft ft ) f {T } (¯0)
P ( | f ) = 2n −T α+1 −→ 1 (n −→ ∞) t T 2n
2n − T α+1 # # x
p˜ f t t+1
f $ ) f {T } (¯0) T T % $ '
α+2 X 2n − T α+1 T p˜ = P( | ft )p(ft ) = 1−O −→ 1 (n −→ ∞). 2n 2n ft
& p f f {T } (¯0) ) not p ≥ p˜ p −→ 1 (n −→ ∞) not not
C , C , . . . 1 2 % R(C, n, t, T ) ' # % & $ g ∈ M # C g {T } (¯0)
t $ n n n gn > 0 $ i = 1, 2, . . . $ ni P (R(Ci , ni , T − 1, T )) > 1 − 2−i
N ' T ∞
T R(C , n , T −1, T ) ⊆ N i i i=1
∞ S ' N ¯ ⊆ S(Ci , ni , T − 1, T ) P (N¯ ) ≤ ∞ P
i=1
P (S(Ci , ni , T − 1, T )) =
∞ P
i=1
2
−i
=
i=1
( %
)""
n
C > 0 P (S(C, n, t, T )) <
t(n), T (n) : t2 = o(T ) (n −→ ∞)
) # # $ f n ' f k = f {k} (¯0) k = 0, 1, . . . , T & (aij ) aij = δf j (χi ), i = 0, 1, . . . , t; j = 0, 1, . . . , T. T t T T t
i = 0, . . . , t P a ≤ 1 t ≥ P P a = P P a ij
j=0
ij
i=0 j=0
ij
j=0 i=0
% q > 0 $ $ T (1 − 1/q) # τ ∈ {0, 1, . . . , T } t P # τ aiτ ≤ qt T i=0 * f f τ % & g g {T } (¯0) 6= f {T } (¯0) p −→ 1 (n −→ ∞) χ −→ χ0 −→ . . . −→ χ0 n 0 t 1 g g p n |χt − χ0t | ≥ 1/4 f ∈ S(C, n, t, T ) t √ p P P √ $ |χt − χ0t | ≤ 2 aiτ ≤ 2 t aiτ ≤ 2t q/T 1/2 < γ(n) −→ i=0 0 (n −→ ∞) q ' ) p˜ −→ 1 (n −→ ∞) g {T } (¯0) n '
* ' & # & & ' $ # $ ' # )$ & * ' # ' # & $ ' $ & ' & # # * # ' # & ' # $ ) ) $ $ $ # # ) $ # $ $ $ % $ $ $ )$ $ $ $ )
%
$ %$#$ & " " #$ % & " ' " % &( !) " #& " " &( & %%$ & & % % %$ %$ ! $ % " & ' $ % # # $ $&$ !$)
) $ ' & $ ' & ' $ # $
# $ $ & & ' % $ % ) ' $ # % # $ #
$ % # $ # ' # # $ # $ ' * #
%% $ ( $ # $ $ $
$ $
$ # %
# ' # $ ' ) $
# & $ $ # ) # $ ' ) & # ' $ # % $ # % $ % $ $ '
' # # $ $ ) # &
* $ # # $ ) $ $ % ) ' # $ ' $ % $ % % ( !
" %! )) % ) & %&# % $ "
%& %" %& " ) )
* # & $ (
$
& % &
( #
' # % & $ %% " (
