Курс математики для нематематических специальностей технических университетов: В 2 т. Т.2

I. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ È ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß. ÇÀÄÀ×À ÊÎØÈ

3

Ãëàâà 1. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß 1.1. Äâå ñîäåðæàòåëüíûå çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ðàçíîñòíûì óðàâíåíèÿì Çàäà÷à 1. Êîíäåíñàòîð åìêîñòè C ñ íà÷àëüíûì íàïðÿæåíèåì íà íåì U çàðÿæàåòñÿ ÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå R îò èñòî÷íèêà ïîñòîÿííîé ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû E (E > U ) (ðèñ.1.1). Òðåáóåòñÿ íàéòè çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå âî âðåìåíè u = ϕ(t).

C

r

Er

r r¡ ¡

R Ðèñ.1.1

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êëþ÷ çàìûêàåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, à íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå äîñòóïíî äëÿ íàáëþäåíèÿ (èçìåðåíèÿ) òîëüêî â óçëàõ âðåìåííîé ñåòêè

tk = k · ∆t;

k = 0, 1, . . . ,

ãäå ∆t > 0  çàäàííîå ÷èñëî (øàã ñåòêè). Áóäåì îáîçíà÷àòü uk = ϕ(tk ). Òîê â ìîìåíò tk ðàâåí, êàê èçâåñòíî,

ik =

E − uk . R

(1.1.1)

Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ïðèðàùåíèå çàðÿäà êîíäåíñàòîðà q íà îòðåçêå âðåìåíè [tk , tk+1 ] ðàâíî

qk+1 − qk = C · (uk+1 − uk ) = eik · ∆t, ãäå eik  ñðåäíåå çíà÷åíèå òîêà íà èíòåðâàëå ]tk , tk+1 [. Åñëè ïîëîæèòü â (1.1.1) eik = ik , òî ïîëó÷èì

ik = C · èëè

uk+1

uk+1 − uk E − uk = , ∆t R

³ ∆t ∆t ´ · uk + E = 1− τ τ

(çäåñü τ = RC ). 4

(1.1.2)

Åñëè æå ïîëîæèòü â (1.1.1) eik = ik+1 , òî ïîëó÷èì

ik+1 = C ·

uk+1 − uk E − uk+1 = , ∆t R

èëè

∆t 1 τ E. uk+1 = · uk + (1.1.3) ∆t ∆t 1+ 1+ τ τ Ïðè èçâåñòíîì íà÷àëüíîì íàïðÿæåíèè íà êîíäåíñàòîðå u0 = U êàæäîå èç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå â ëþáîì óçëå âðåìåííîé ñåòêè. Íà ðèñ.1.2 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ðåøåíèé óðàâíåíèé (1.1.2) (òî÷êè) è (1.1.3) (çâåçäî÷êè) ïðè E = 1, U = 0, ∆t τ = 0.4. Çàìåòèì, ÷òî ýòè óðàâíåíèÿ ïîëó÷åíû ïðè ðàçëè÷íûõ äîïóùåíèÿõ, è èõ ðåøåíèÿ ðàçëè÷íû. Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïðè óìåíüøåíèè øàãà ñåòêè (∆t) ðàçëè÷èå áóäåò óìåíüøàòüñÿ. 1 r r r

?

?

r

r

?

r

?

?

?r

5 6 Ðèñ.1.2

7

8

9

10

r

r

?

?

r

?

?

0 ?r 0

1

2

3

4

Çàäà÷à 2. Òåëî ìàññû m ìîæåò ñêîëüçèòü ïî âåðòèêàëüíîìó ñòåðæíþ (ðèñ.1.3). Îíî çàêðåïëåíî â òàêîì ïîëîæåíèè, ÷òî â ïðóæèíå, ñîåäèíÿþùåé åãî ñ "ïîòîëêîì îòñóòñòâóåò íàïðÿæåíèå.  ìîìåíò âðåìåíè t = 0 òåëî îñâîáîæäàåòñÿ è ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ. Òðåáóåòñÿ íàéòè çàêîí èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ ýòîãî òåëà âî âðåìåíè x(t). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîîðäèíàòà öåíòðà ìàññ èçìåðÿåòñÿ òîëüêî â óçëàõ âðåìåííîé ñåòêè

tk = k · ∆t;

k = 0, 1, . . . ,

ãäå ∆t > 0  çàäàííîå ÷èñëî (øàã ñåòêè). Áóäåì îáîçíà÷àòü xk = x(tk ). Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, ïðîèçâåäåíèå ìàññû òåëà íà åãî óñêîðåíèå w ðàâíî ñóììå ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëî. 5

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ H H H H H H © © © © © © © © © H H H H H H © © © © © © © © ©

Ðèñ.1.3  íàøåé çàäà÷å ê ýòèì ñèëàì îòíîñÿòñÿ: 1) ñèëà òÿæåñòè

fòÿæ = m · g

(g  óñêîðåíèå çåìíîãî òÿãîòåíèÿ); 2) ñèëà òðåíèÿ, êîòîðóþ ìû áóäåì ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè v (÷òî äîïóñòèìî â íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ)

fòð = −a · v (çíàê ìèíóñ ïîêàçûâàåò, ÷òî íàïðàâëåíèÿ ñèëû òðåíèÿ è ñêîðîñòè ïðîòèâîïîëîæíû); 3) óïðóãàÿ ñèëà ïðóæèíû, êîòîðóþ ìû áóäåì ñ÷èòàòü (ïî çàêîíó Ãóêà) ïðîïîðöèîíàëüíîé êîîðäèíàòå

fóïð = −b · x (ýòà ñèëà íàïðàâëåíà ïðîòèâîïîëîæíî ñìåùåíèþ òåëà). Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â k -ì óçëå âðåìåííîé ñåòêè

m · w k = m · g − a · vk − b · xk .

(1.1.4)

Çàìåòèì, ÷òî

xk+1 − xk = vek , (1.1.5) ∆t vk+1 − vk =w ek , (1.1.6) ∆t ãäå vek è w ek  ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ íà èíòåðâàëå ]tk , tk+1 [. Ïîëîæèì â (1.1.5) vek = vk , à â (1.1.6) w ek = wk (äðóãèå âàðèàíòû çàìåí â ýòîé çàäà÷å ìû ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì, ïðåäîñòàâèâ ÷èòàòåëþ ñäåëàòü ýòî â âèäå óïðàæíåíèÿ). 6

Ó÷èòûâàÿ (1.1.4), ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé:

(

xk+1 = xk + ∆t · vk ¡ a∆t − 1¢ · v + ∆t · g. vk+1 = − b∆t · x − k k m m

(1.1.7)

Ñèñòåìà (1.1.7) ïîçâîëÿåò ïðè èçâåñòíûõ x0 = 0 è v0 = 0 íàéòè çíà÷åíèÿ +∞ +∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (xk )k=0 è (vk )k=0 â ëþáîì óçëå âðåìåííîé ñåòêè. Ìîæíî ïîñòóïèòü è èíà÷å. Âûðàçèì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (1.1.7) vk ÷åðåç xk+1 è xk (è, ñëåäîâàòåëüíî, vk+1 ÷åðåç xk+2 è xk+1 ) è ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ âî âòîðîå óðàâíåíèå. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì (ïðîâåðüòå ýòî!)

a · ∆t ´ xk+2 = 2 − · xk+1 + m ³ a · ∆t b · (∆t)2 ´ + − − 1 · xk + (∆t)2 · g. (1.1.8) m m Óñëîâèå x0 = 0 ïî-ïðåæíåìó âûïîëíåíî, à óñëîâèå v0 = 0 äàåò x1 = 0. Óðàâíåíèå (1.1.8) ïîçâîëÿåò ïðè èçâåñòíûõ x0 = 0 è x1 = 0 íàéòè +∞ çíà÷åíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk )k=0 â ëþáîì óçëå âðåìåííîé ñåòêè. ³

Çàìå÷àíèÿ. 1. Ïîñòðîåííûå íàìè óðàâíåíèÿ ïðèíÿòî íàçûâàòü äèñêðåòíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè ðàññìîòðåííûõ ñîäåðæàòåëüíûõ çàäà÷. 2. Ìû ðåêîìåíäóåì íå çàáûâàòü, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè íåèçáåæíû ðàçíîãî ðîäà äîïóùåíèÿ. Ïîýòîìó îäíà è òà æå ñîäåðæàòåëüíàÿ çàäà÷à ìîæåò ïðèâåñòè ê ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì. Ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè íåàëãîðèòìèçèðóåì. Ïîñòàíîâùèê çàäà÷è äîëæåí ñòðåìèòüñÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, ñîõðàíèòü â ìîäåëè îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ñîäåðæàòåëüíîé çàäà÷è, à ñ äðóãîé  ïîñòðîèòü íå ñëèøêîì ñëîæíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü, ò.å. ìîäåëü, êîòîðàÿ äîïóñêàåò àíàëèç ñ ïîìîùüþ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ïðèìèðåíèå ýòèõ ïðîòèâîðå÷èâûõ òðåáîâàíèé ÷àñòî òðåáóåò íåçàóðÿäíîãî èñêóññòâà.

1.2. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Îáà óðàâíåíèÿ, ïîëó÷åííûå ïðè ôîðìàëèçàöèè çàäà÷è 1 ïðåäûäóùåãî ïóíêòà, ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè óðàâíåíèÿ

xk+1 = a · xk + fk , 7

(1.2.1)

êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì êîýôôèöèåíòîì. +∞ Çäåñü a  çàäàííîå ÷èñëî (êîýôôèöèåíò óðàâíåíèÿ), à (fk )k=0  çàäàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ñâîáîäíûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ). Êîãäà-òî óðàâíåíèÿ âèäà (1.2.1) çàïèñûâàëè èíà÷å, âûíîñÿ â ëåâóþ ÷àñòü íå xk+1 , à ∆xk = xk+1 − xk  òàê íàçûâàåìûå ïåðâûå ðàçíîñòè èñêîìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîýòîìó óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòíûì. Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà, òàê êàê î÷åðåäíîå çíà÷åíèå èñêîìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îäíî ïðåäûäóùåå. Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, èáî îíî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

Lx = f, ãäå L  ëèíåéíûé îïåðàòîð, ñòàâÿùèé â ñîîòâåòñòâèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk ) íîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïî ïðàâèëó (Lx)k = xk+1 − a · xk (âñïîìíèòå îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà). È, íàêîíåö, ýòî óðàâíåíèå íàçûâàþò óðàâíåíèåì c ïîñòîÿííûì êîýôôèöèåíòîì, èáî êîýôôèöèåíò a íå çàâèñèò îò k. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.1.7), ïîëó÷åííàÿ ïðè ôîðìàëèçàöèè çàäà÷è 2 ï.1.1, ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñèñòåìû äâóõ ëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè

½

x1,k+1 = a11 x1,k + a12 x2,k + f1,k . x2,k+1 = a21 x1,k + a22 x2,k + f2,k

Çäåñü a11 , a12 , a21 , a22  çàäàííûå ÷èñëà (êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû), à (f1,k ) è (f2,k )  çàäàííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ñâîáîäíûå ÷ëåíû ñèñòåìû). Íåñëîæíî íàïèñàòü ñèñòåìó èç òðåõ, ÷åòûðåõ è ò. ä. óðàâíåíèé. Îäíàêî öåëåñîîáðàçíåå ñðàçó ïåðåéòè ê ìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèñè

xk+1 = A · xk + fk .

(1.2.2) +∞

Çäåñü A  êâàäðàòíàÿ ÷èñëîâàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, (fk )k=0  çàäàííàÿ +∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñëîâûõ âåêòîðîâ, (xk )k=0  èñêîìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñëîâûõ ñòîëáöîâ âûñîòû n. Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1.2.2):

Ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñëîâûõ âåêòîðîâ (xk )+∞ k=0 , óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (1.2.2) ïðè çàäàííîì íà÷àëüíîì âåêòîðå x0 . 8

Çàìå÷àíèÿ. 1. Êàçàëîñü áû, ôîðìóëà (1.2.2) äàåò âîçìîæíîñòü âû÷èñëÿòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè: ïî çàäàííîìó íà÷àëüíîìó âåêòîðó x0 íàõîäèòñÿ x1 = A · x0 + f0 , çàòåì x2 = A · x1 + f1 è ò. ä. Îäíàêî äàëåå ìû ïîêàæåì, ÷òî çòîò ïðîñòîé àëãîðèòì ìîæåò îêàçàòüñÿ ÷èñëåííî íåóñòîé÷èâûì.  òî æå âðåìÿ èç (1.2.2) ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. 2. Íåòðóäíî çàïèñàòü îáùèé âèä ëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè:

xk+1 = Ak · xk + fk . +∞

Çäåñü (Ak )k=0  çàäàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñëîâûõ ìàòðèö. Ìîæíî òàêæå ðàññìîòðåòü íåëèíåéíûå ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ

xk+1 = ϕ(xk ), ãäå ϕ  íåêîòîðûé ôóíêöèîíàë íà Rn . Îäíàêî äëÿ òàêèõ óðàâíåíèé íåò îáùèõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ, êðîìå ÷èñëåííûõ; ÷èñëåííûå æå ìåòîäû, êàê óæå óêàçûâàëîñü, ìîãóò îêàçàòüñÿ íåóñòîé÷èâûìè. Ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ èçó÷åíèåì ëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.  çàäà÷å 2 ï.1.1 áûëà ðàññìîòðåíà åùå îäíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü. Îíà ìîæåò áûòü îáîáùåíà òàê:

xk+2 = a1 · xk+1 + a0 · xk + fk .

(1.2.3)

Åñòåñòâåííî íàçâàòü ýòî óðàâíåíèå ëèíåéíûì ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè (a0 è a1 ). Âîîáùå ëèíåéíûì ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì ïîðÿäêà m ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè íàçûâàþò óðàâíåíèå

xk+m = am−1 · xk+m−1 + . . . a0 · xk + fk .

(1.2.4)

Çàäà÷à Êîøè äëÿ íåãî ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: +∞ Íàéòè ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk )k=0 , óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (1.2.4) ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ x0 , . . . , xm−1 . Çàìå÷àíèå. Âñÿêîå ëèíåéíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ïîðÿäêà m ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî â ýêâèâàëåíòíóþ ñèñòåìó èç m ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü äàíî óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà

xk+2 = a1 · xk+1 + a0 · xk + fk . 9

Ââåäåì íîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yk = xk+1 − xk . Òîãäà

xk+2 = xk+1 + yk+1 = xk + yk + yk+1 = a1 · (xk + yk ) + a0 · xk + fk . Îòñþäà ïîëó÷àåì ñèñòåìó

½

xk+1 = xk + yk yk+1 = (a1 + a0 − 1) · xk + (a1 − 1) · yk + fk .

Î÷åâèäíî, ÷òî ïîäîáíóþ îïåðàöèþ ìîæíî ïðîäåëàòü ñ ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì ëþáîãî ïîðÿäêà.

1.3. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè  ýòîì ïóíêòå áóäåò ðàññìîòðåí ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, ïîçâîëÿþùèé ðåøàòü çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü çàäàíà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ak ) . Åñëè ñòåïåííîé ðÿä

+∞ P

k=0

ak z k ñõîäèòñÿ íå òîëüêî â íóëå, òî åãî ñóììó A(z)

íàçûâàþò ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ak ). Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü ak = 0 ïðè k > N . Òîãäà A(z) = ïîëèíîì. 2. Ïóñòü ak = αk . Òîãäà A(z) = ñòè ýòîãî ðÿäà ðàâåí 1 .

N P k=0

ak z k 

+∞ P

αk z k = 1 −1 αz . Ðàäèóñ ñõîäèìîk=0

|α| Óñëîâèìñÿ îáîçíà÷àòü áóêâîé L îïåðàòîð, êîòîðûé ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åå ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ. Òîãäà ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â ïðèìåðå 2, ïðèìåò âèä ³ 1 ´ ¡ ¢ ¡ k¢ 1 −1 L α = ; L = αk . 1 − αz 1 − αz 3. Äèôôåðåíöèðóÿ òîæäåñòâî ïîëó÷èì

+∞ X

+∞ P

αk z k = 1 −1 αz è ñîêðàùàÿ íà α, k=0

(k + 1)αk z k =

k=0

10

1 (1 − αz)2 .

Òàêèì îáðàçîì,

¡ ¢ L (k + 1) αk =

1 ; (1 − αz)2

−1

L

³

´ ¡ ¢ 1 k = (k + 1)α . (1 − αz)2

4. Ïîâòîðíî äèôôåðåíöèðóÿ, ïîëó÷èì (m ≥ 1)

³ (k + 1) . . . (k + m − 1) ´ 1 L αk = ; (m − 1)! (1 − αz)m ´ ³ (k + 1) . . . (k + m − 1) ´ ³ 1 −1 αk . L m = (1 − αz) (m − 1)!

(1.3.1)

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé. 1. Åñëè ck = αak + βbk , k = 0, 1, . . . , òî

L (ck ) = αL (ak ) + βL (bk ) . Ýòî î÷åâèäíî ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ñòåïåííûõ ðÿäîâ.

L  ëèíåéíûé îïåðàòîð. 2. Ïóñòü L (ak ) = A(z), ò.å. A(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n + . . . . Òîãäà z m · A(z) = a0 z m + a1 z m+1 + · · · + an z n+m + . . . , ò.å.

L−1 (z m · A(z)) = (bk ) , ãäå b0 = · · · = bm−1 = 0; bk = ak−m ïðè k ≥ m. Óìíîæåíèå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè íà z m (m ∈ N) âûçûâàåò "çàïàçäûâàíèå" ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà m øàãîâ. 3. Ïåðåìíîæàÿ ñòåïåííûå ðÿäû

A(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n + . . . , B(z) = b0 + b1 z + · · · + bn z n + . . . è çàìå÷àÿ, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè z k â ïðîèçâåäåíèè ðàâåí

a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 =

k X j=0

11

aj bk−j ,

ïîëó÷èì −1

L

(A(z) · B(z)) =

k ³X

´ aj bk−j .

j=0

Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

³P k j=0

aj bk−j

´+∞ k=0

íàçûâàþò ñâåðò-

êîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (ak ) è (bk ) è îáîçíà÷àþò ((a ∗ b)k ). Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñâåðòêè äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåêòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåêòîð, êîìïîíåíòû êîòîðîãî  ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé-êîìïîíåíò. Äëÿ âåêòîðíûõ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé ñïðàâåäëèâû âñå ïåðå÷èñëåííûå ñâîéñòâà.

1.4. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà Çàäà÷à Êîøè (â ìàòðè÷íîé ôîðìå) èìååò âèä

xk+1 = A · xk + fk ;

x0  çàäàííûé íà÷àëüíûé âåêòîð.

(1.4.1)

Óìíîæèì óðàâíåíèå íà z k+1 è ïðîñóììèðóåì ïî k . Åñëè îáîçíà÷èòü X (z) = L(xk ), F(z) = L(fk ), òî ïîëó÷èì

X (z) − x0 = z · (A · X (z) + F(z)) . Îòñþäà

(I − zA) · X (z) = x0 + z · F(z)

X (z) = (I − zA)−1 · (x0 + z · F(z)) .

=⇒

Çàìåòèì, ÷òî âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû I − zA  ïîëèíîìû âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî z . Ïîýòîìó åå îïðåäåëèòåëü è âñå àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ  ïîëèíîìû îòíîñèòåëüíî z . Âñïîìèíàÿ, ÷òî ýëåìåíòû îáðàòíîé ìàòðèöû ñóòü îòíîøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé ê îïðåäåëèòåëþ, âèäèì, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè. Åñëè êîìïîíåíòû âåêòîðà F(z)  ðàöèîíàëüíûå äðîáè, òî è êîìïîíåíòû âåêòîðà X (z) áóäóò ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè. Åñëè ðàöèîíàëüíàÿ 12

äðîáü íåïðàâèëüíàÿ, òî âûäåëèì åå öåëóþ ÷àñòü  ïîëèíîì, à îñòàâøóþñÿ ïðàâèëüíóþ äðîáü ðàçëîæèì íà ïðîñòåéøèå. Íàéäÿ äëÿ êàæäîé ïðîñòåéøåé äðîáè ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïî ôîðìóëå (1.3.1), ñëîæèì ýòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è äîáàâèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîëèíîìó. Ðåçóëüòàò è áóäåò ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè. Åñëè êîìïîíåíòû F(z) íå ÿâëÿþòñÿ ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè, òî ñëåäóåò íàéòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

¡ ¢ L−1 (I − zA)−1 · x0

¡ ¢ L−1 z · (I − zA)−1 F(z) ,

è

à çàòåì èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâî 3 ï.1.3:

¡ ¢ L−1 (I − zA)−1 · x0 + z · (I − zA)−1 · F (z) = ´ ¡ ¢ ³ −1 ¡ ¢ −1 −1 −1 =L (I − zA) · x0 + L z · (I − zA) ∗f . Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè (1.4.1) ïðè n = 2 ñ

·

A=

1 1 49.5 99.5

¸

·

,

x0 =

2 3 1 −3

¸

.

Âûïîëíèì îïèñàííûå âûøå îïåðàöèè:

·

¸ 1−z −z I − zA = ; −49.5z 1 − 99.5z · ¸ 1 1 − 99.5z z · ; (I − zA)−1 = 49.5z 1−z 1 − 100.5z + 50z 2 −1

(I − zA)

1 · x0 = · 3(1 − 0.5z)

·

2 −1

¸ ;

1 ³ 1 ´k · xk = · 3 2

·

2 −1

¸ . (1.4.2)

Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ñðàâíèì ïåðâóþ êîìïîíåíòó ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííóþ ïî ôîðìóëå (1.4.2) (âòîðîé ñòîëáåö òàáëèöû) è âû÷èñëåííóþ "â ëîá ò.å. ïî ôîðìóëå xk+1 = A · xk (òðåòèé ñòîëáåö òàáëèöû). Ýôôåêò, íàáëþäàåìûé â òðåòüåì ñòîëáöå, îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ñåìåéñòâî âñåõ ðåøåíèé íàøåãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä k

xk = 100 · A1 x0 + ãäå

1 · A1 = 199

·

1 2 99 198

¸ ;

³ 1 ´k 2

· A 2 x0 ,

1 A2 = · 199 13

·

198 −2 −99 1

¸ .

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6.666667E-01 3.333333E-01 1.666667E-01 8.333334E-02 4.166667E-02 2.083333E-02 1.041667E-02 5.208333E-03 2.604167E-03 1.302083E-03

6.666667E-01 3.333334E-01 1.666697E-01 8.363286E-02 7.161875E-02 3.016042E+00 2.995313E+02 2.995209E+04 2.995208E+06 2.995208E+08

Òàêèì îáðàçîì, êðîìå óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì 1/2 ðåøåíèå ìîæåò ñîäåðæàòü áûñòðî ðàñòóùóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ñî çíàìåíàòåëåì 100.  íàøåì ïðèìåðå ýòà áûñòðî ðàñòóùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäàâëÿëàñü çà ñ÷åò ñïåöèàëüíîãî ïîäáîðà íà÷àëüíûõ óñëîâèé (A1 x0 = θ). Ïðè ñ÷åòå "â ëîá" îíà âîçíèêàåò èç-çà ïîãðåøíîñòåé ìàøèííîé àðèôìåòèêè è áûñòðî ñòàíîâèòñÿ äîìèíèðóþùåé (ïîñìîòðèòå íà ÷åòûðå ïîñëåäíèõ ñòðîêè â òàáëèöå). Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî ðåøàòü ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ "â ëîá" áåç ïðåäâàðèòåëüíîãî òùàòåëüíîãî èõ àíàëèçà íåäîïóñòèìî.

1.5. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèé âûñøèõ ïîðÿäêîâ Âûøå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî çàäà÷à Êîøè äëÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ, ïîðÿäîê êîòîðîãî âûøå åäèíèöû, ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà â ýêâèâàëåíòíóþ çàäà÷ó Êîøè äëÿ âåêòîðíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Îäíàêî èíîãäà öåëåñîîáðàçíî ðåøàòü çàäà÷ó â åå èñõîäíîì âèäå. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ïîðÿäêà n:

x0 , . . . , xn−1 çàäàíû.

xk+n = pn−1 · xk+n−1 + · · · + p0 · xk + fk (p0 6= 0);

Óìíîæèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà z k+n è ïðîñóììèðîâàâ ïî k , ïîëó÷èì +∞ X k=0

xk+n z

k+n

= pn−1 z ·

+∞ X

xk+n−1 z k+n−1 + . . .

k=0 n

· · · + p0 z ·

+∞ X k=0

14

k

n

xk z + z ·

+∞ X k=0

fk z k . (1.5.1)

Îáîçíà÷èì L (fk ) = F(z), L (xk ) = X (z). Òîãäà (1.5.1) ïðèìåò âèä

X (z) − x0 − · · · − xn−1 z n−1 = ¡ ¢ = pn−1 z · X (z) − x0 − · · · − xn−2 z n−2 + · · · + p0 z n · X (z) + z n · F (z). Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî X (z), ïîëó÷èì

X (z) =

Q(z) 1 n · F (z). n +z · 1 − pn−1 z − . . . p0 z 1 − pn−1 z − . . . p0 z n

Çäåñü Q(z)  ïîëèíîì ïîðÿäêà n (åãî êîýôôèöèåíòû îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè). Åñëè F(z)  ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü, òî X (z) òàêæå áóäåò ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ. Åñëè ýòà äðîáü íåïðàâèëüíàÿ, òî âûäåëÿåì öåëóþ ÷àñòü  ïîëèíîì. Îñòàâøóþñÿ ïðàâèëüíóþ äðîáü ñëåäóåò ðàçëîæèòü íà ïðîñòåéøèå, à çàòåì äëÿ êàæäîé ïðîñòåéøåé äðîáè íàéòè ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïî ôîðìóëå (1.3.1). Èñêîìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) áóäåò ñóììîé ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé ïîëèíîìó. Åñëè F(z) íå ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ, òî ñëåäóåò íàéòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

(uk ) = L

−1

³

´ Q(z) , 1 − pn−1 z − . . . p0 z n

−1

(vk ) = L

³

´ zn , 1 − pn−1 z − . . . p0 z n

ïîñëå ÷åãî ðåøåíèå íàéäåòñÿ ïî ôîðìóëå

xk = uk + (v ∗ f )k . Çàìå÷àíèå. Ïðåäóïðåæäàåì, ÷òî ðåàëèçîâàòü ïîñëåäíèé àëãîðèòì óäàåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ðåäêî!

15

Ãëàâà 2. ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß 2.1. Ñîäåðæàòåëüíûå çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì  ï.1.1 ìû ïîñòðîèëè äèñêðåòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äâóõ ñîäåðæàòåëüíûõ çàäà÷. Òåïåðü ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñîñòîÿíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå â çàäà÷å 1, êîîðäèíàòà è ñêîðîñòü òåëà â çàäà÷å 2) ìîæíî íàáëþäàòü (èçìåðÿòü) â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, à íå òîëüêî â óçëàõ âðåìåííîé ñåòêè. Ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïðèíÿòî íàçûâàòü íåïðåðûâíûìè (â ëèòåðàòóðå èñïîëüçóåòñÿ òàêæå òåðìèí êîíòèíóàëüíûå1 ). Ïðåäïîëàãàÿ íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå â çàäà÷å 1 íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèåé, ïåðåéäåì â ðàâåíñòâå

eik = C · uk+1 − uk = C · u(tk + ∆t) − u(tk ) ∆t ∆t ê ïðåäåëó (∆t = 0). Ïîëó÷èì i = C · u0 . Ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò â (1.1.1), íàéäåì

1 1 u0 = − · u + · E τ τ

(2.1.1)

Çäåñü, êàê è ðàíüøå, τ = RC . Àíàëîãè÷íî, ñ÷èòàÿ êîîðäèíàòó è ñêîðîñòü òåëà â çàäà÷å 2 íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè, ïåðåéäåì â ðàâåíñòâàõ (1.1.5) è (1.1.6) ê ïðåäåëó (∆t = 0). Ïîëó÷èì v = x0 , w = v 0 . Ïîäñòàâëÿÿ w = v 0 âî âòîðîé çàêîí Íüþòîíà

m·w =m·g−a·v−b·x (ñì. (1.1.4)), ïðèäåì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé

(

x0 = v b · x − a · v + g. v0 = − m m

(2.1.2)

Åñëè ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ïåðâîå èç óðàâíåíèé ñèñòåìû (2.1.2) è èñêëþ÷èòü èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñêîðîñòü, òî ïîëó÷èì âìåñòî 1 continuum

(ëàò.)  íåïðåðûâíîå. 16

ñèñòåìû îäíî óðàâíåíèå, íî ñîäåðæàùåå â îòëè÷èå îò ñèñòåìû âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ èñêîìîé ôóíêöèè:

x00 = −

a b · x0 − · x + g. m m

(2.1.3)

2.2. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Ïîëó÷åííàÿ â ï.2.1 êîíòèíóàëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è î çàðÿäå êîíäåíñàòîðà (2.1.1) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà, ëèíåéíîãî, ñ ïîñòîÿííûì êîýôôèöèåíòîì

x0 = a · x + f.

(2.2.1)

Çäåñü a  çàäàííîå ÷èñëî (êîýôôèöèåíò óðàâíåíèÿ), f  çàäàííàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ (ñâîáîäíûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ), x  èñêîìàÿ ôóíêöèÿ. Çàìå÷àíèå. Ôóíêöèè, âõîäÿùèå â (2.2.1), âñåãäà ñ÷èòàþòñÿ îïðåäåëåííûìè íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå.  äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòîò ïðîìåæóòîê  ñåãìåíò [α, β]. Óðàâíåíèå (2.2.1) íàçûâàåòñÿ

äèôôåðåíöèàëüíûì, òàê êàê ñîäåðæèò îïåðàöèþ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè; îáûêíîâåííûì  òàê ïðèíÿòî íàçûâàòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé (â îòëè÷èå îò óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ); ïåðâîãî ïîðÿäêà, èáî ñòàðøàÿ èç âõîäÿùèõ â íåãî ïðîèçâîäíûõ  ïåðâàÿ; ëèíåéíûì  òàê êàê îíî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå L(x) = f , ãäå L(x) = x0 − a · x  ëèíåéíûé (óáåäèòåñü â ýòîì!) îïåðàòîð. Íàêîíåö, ýòî óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûì êîýôôèöèåíòîì  â îòëè÷èå îò ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûì êîýôôèöèåíòîì, â êîòîðîì a íå ÷èñëî, à çàäàííàÿ íà [α, β] íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó â ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ìû áóäåì îïóñêàòü ñëîâî "îáûêíîâåííîå" è ãîâîðèòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, à èíîãäà è ïðîñòî óðàâíåíèå. Ñèñòåìà (2.1.2) åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ñèñòåìû n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè 17

 0  x1 = a11 x1 + · · · + a1n xn + f1 ... ,  0 xn = an1 x1 + · · · + ann xn + fn êîòîðàÿ â ìàòðè÷íîé ôîðìå èìååò âèä x0 = A · x + f.

(2.2.2)

Çäåñü A  êâàäðàòíàÿ ÷èñëîâàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, f = [f1 , . . . , fn ]T  çàäàííûé âåêòîð-ñòîëáåö âûñîòû n èç ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà [α, β], x = [x1 , . . . , xn ]T  èñêîìûé âåêòîð-ñòîëáåö èç ôóíêöèé. Åñëè ýëåìåíòû ìàòðèöû A  íå ÷èñëà, à ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå íà [α, β], ïîëó÷àåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Çàïèøåì, íàêîíåö, ñèñòåìó íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà

 0  x1 = ϕ1 (t; x1 , . . . , xn ) ... ,  0 xn = ϕn (t; x1 , . . . , xn )

(2.2.3)

ãäå ϕ1 , . . . , ϕn  ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå íà [α, β] × Ω, à Ω  âñå ïðîñòðàíñòâî Rn èëè åãî ÷àñòü.  ýòîé ãëàâå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (2.2.1) è äëÿ ñèñòåì (2.2.2), (2.2.3): Íàéòè íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ íà [α, β] ôóíêöèþ (ñîîòâåòñòâåííî, âåêòîð-ôóíêöèþ) x(t), êîòîðàÿ â êàæäîé òî÷êå ñåãìåíòà îáðàùàåò óðàâíåíèå (2.2.1) (ñîîòâåòñòâåííî, (2.2.2) èëè (2.2.3)) â òîæäåñòâî è, êðîìå òîãî, óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíûì óñëîâèÿì, çàäàííûì â òî÷êå t0 ∈ [α, β]: x(t0 ) = x0 . Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. Çàäà÷ó Êîøè íàçûâàþò òàêæå íà÷àëüíîé çàäà÷åé, èëè çàäà÷åé ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (initial value problem). Ïðèìåíèòåëüíî ê òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì  ýòî çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ çàêîíà äâèæåíèÿ ñèñòåìû ïðè çàäàííîì íà÷àëüíîì åå ïîëîæåíèè. Îáîáùàÿ óðàâíåíèå (2.1.3), çàïèøåì ëèíåéíîå óðàâíåíèå n-ãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè (çäåñü a0 , . . . , an−1  ÷èñëà)

x(n) = an−1 x(n−1) + · · · + a0 x + f.

(2.2.4)

Åñëè êîýôôèöèåíòû â (2.2.4)  ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå íà [α, β], ïîëó÷àåì ëèíåéíîå óðàâíåíèå n-ãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. 18

Íàêîíåö, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íåëèíåéíîå óðàâíåíèå ïîðÿäêà n

¡ ¢ x(n) = ϕ t; x, x0 , . . . , x(n−1) ,

(2.2.5)

ãäå ϕ  ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà [α, β] × Ω, à Ω  âñå ïðîñòðàíñòâî Rn èëè åãî ÷àñòü. Çàìå÷àíèå. Òàê æå, êàê â ñëó÷àå ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé, äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïîðÿäêà n ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî â ðàâíîñèëüíóþ ñèñòåìó èç n óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Äåéñòâèòåëüíî, ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ

y1 = x,

y2 = x0 = y10 ,

... ,

0 yn = x(n−1) = yn−1 ,

ïîëó÷èì èç óðàâíåíèÿ (2.2.5) ñèñòåìó

 y10 = y2    0 y2 = y3 .  ...   0 yn = ϕ(t; y1 , . . . , yn )

Îäíàêî îáðàòíûé ïåðåõîä íå âñåãäà âîçìîæåí. Ïîêàæåì ýòî íà ïðîñòåéøåì ïðèìåðå. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè

½

x01 = a11 x1 + a12 x2 + f1 , x02 = a21 x1 + a22 x2 + f2

ãäå f1 è f2  íåïðåðûâíûå íà [α, β] ôóíêöèè. Ïîïûòêà èñêëþ÷èòü èç ýòîé ñèñòåìû èñêîìóþ ôóíêöèþ x2 ïðèâåäåò ê íåîáõîäèìîñòè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îäíîãî èç óðàâíåíèé. Íî ñâîáîäíûé ÷ëåí ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî óñëîâèþ ëèøü íåïðåðûâåí è ìîæåò îêàçàòüñÿ íåäèôôåðåíöèðóåìûì! Ìû îáðàùàåì íà ýòî îáñòîÿòåëüñòâî âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ, òàê êàê â êóðñàõ ïî òåîðèè ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè ÷àñòî ñâîäÿò ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ê óðàâíåíèþ âûñîêîãî ïîðÿäêà, äèôôåðåíöèðóÿ ïðè ýòîì íåäèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè. Ïðè ýòîì âîçíèêàþò òàê íàçûâàåìûå îáîáùåííûå ôóíêöèè, òðåáóþùèå äëÿ êâàëèôèöèðîâàííîãî èñïîëüçîâàíèÿ óðîâíÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè, íåäîñòèæèìîãî â òåõíè÷åñêèõ óíèâåðñèòåòàõ. Áîëåå òîãî, ìàòðè÷íàÿ òåõíèêà äåëàåò ïðîöåññ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé íå áîëåå ñëîæíûì, ÷åì ðåøåíèå îäíîãî óðàâíåíèÿ. Ïîýòîìó ñâåäåíèå ñèñòåìû ê îäíîìó óðàâíåíèþ íåöåëåñîîáðàçíî äàæå â ñëó÷àå, êîãäà âîçìîæíî. 19

2.3. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì êîýôôèöèåíòîì Ìû èùåì íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ x : [α, β] → R, êîòîðàÿ: 1) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.2.1), ò.å.

x0 (t) ≡ a · x(t) + f (t),

t ∈ [α, β];

2) óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ, ò.å. x(t0 ) = x0 , ãäå t0  çàäàííàÿ òî÷êà èç [α, β], x0  çàäàííîå ÷èñëî. Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àÿ, êîãäà f (t) ≡ 0 (îäíîðîäíîå óðàâíåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèþ (2.2.1)). Âî èçáåæàíèå ïóòàíèöû îáîçíà÷èì òåïåðü èñêîìóþ ôóíêöèþ äðóãîé áóêâîé. Èòàê, ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè

z 0 = a · z;

z(t0 ) = z0 .

(2.3.1)

Òåîðåìà. Çàäà÷à Êîøè (2.3.1) (a, t0 , z0  ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà) èìååò íà ëþáîì ïðîìåæóòêå, ñîäåðæàùåì òî÷êó t0 (â òîì ÷èñëå íà R) åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

z(t) = exp (a(t − t0 )) · z0

(2.3.2)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâëÿÿ (2.3.2) â (2.3.1), óáåæäàåìñÿ, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî íàéäåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè åäèíñòâåííî. Ïóñòü z(t)  ðåøåíèå (2.3.2), à w(t)  êàêîå-íèáóäü ðåøåíèå òîé æå çàäà÷è Êîøè (2.3.1), ò.å.

w0 (t) ≡ a · w(t);

w(t0 ) = z0 .

(2.3.3)

Ââåäåì ôóíêöèþ u(t) = exp (−a(t − t0 )) · w(t). Òîãäà, î÷åâèäíî, w(t) = exp (a(t − t0 )) · u(t). Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â (2.3.3):

exp (a(t − t0 )) · u0 (t) + a · exp (a(t − t0 )) · u(t) ≡ ≡ a · exp (a(t − t0 )) · u(t);

u(t0 ) = z0 .

Îòñþäà exp (a(t − t0 ))·u0 (t) ≡ 0, à òàê êàê ýêñïîíåíòà â íóëü íå îáðàùàåòñÿ, ïîëó÷àåì u0 (t) ≡ 0. Òîãäà u(t) = const, è ñ ó÷åòîì u(t0 ) = z0 èìååì u(t) ≡ z0 . Ñëåäîâàòåëüíî, w(t) ≡ z(t). ¥ Ñëåäñòâèå. Ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ z = a · z íà ïðîìåæóòêå, ëèáî íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íè â îäíîé òî÷êå ýòîãî ïðîìåæóòêà, ëèáî ðàâíà íà íåì íóëþ òîæäåñòâåííî. 0

20

Ïåðåéäåì òåïåðü ê çàäà÷å Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ:

x0 = a · x + f ;

x(t0 ) = x0

(2.3.4)

Åå ðåøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäå

x(t) = exp (a(t − t0 )) · v(t),

(2.3.5)

ãäå v  íîâàÿ èñêîìàÿ ôóíêöèÿ (ñðàâíèòå (2.3.5) ñ (2.3.2): êîíñòàíòà z0 çàìåíåíà íà ôóíêöèþ v , ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì âàðèàöèè ïîñòîÿííîé). Ïîäñòàâëÿÿ (2.3.5) â (2.3.4), ïîëó÷àåì

exp (a(t − t0 )) · v 0 (t) + a · exp (a(t − t0 )) · v(t) = = a · exp (a(t − t0 )) · v(t) + f (t);

v(t0 ) = x0 .

Îòñþäà v 0 (t) = exp (−a(t − t0 )) · f (t). Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî, ïîëó÷àåì

Zt

v(t) − v(t0 ) =

exp (−a(γ − t0 )) · f (γ)dγ. t0

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî v(t0 ) = x0 , è ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò â (2.3.5), ïîëó÷èì ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé

Zt x(t) = exp (a(t − t0 )) · x0 +

exp (a(t − γ)) · f (γ)dγ.

(2.3.6)

t0

Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ýòî åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè. Ïóñòü x  ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé (2.3.6), à w  êàêîå-íèáóäü ðåøåíèå òîé æå çàäà÷è Êîøè, ò.å.

w0 = a · w + f ;

w(t0 ) = x0 .

Òîãäà ðàçíîñòü äâóõ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè z = x − w óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (2.3.1) (ïðîâåðüòå ýòî!), è â îäíîé òî÷êå ýòà ðàçíîñòü îáðàùàåòñÿ â íóëü: z(t0 ) = 0. Ïî ñëåäñòâèþ èç äîêàçàííîé âûøå òåîðåìû ýòà ðàçíîñòü ðàâíà íóëþ òîæäåñòâåííî. ¥ Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà Òåîðåìà. Çàäà÷à Êîøè (2.3.4) (f  íåïðåðûâíàÿ íà [α, β] ôóíêöèÿ, t0 ∈ [α, β], x0  ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå çàäàåòñÿ íà [α, β] ôîðìóëîé (2.3.6). 21

Ïðèìåð.  ï.2.1 áûëî âûâåäåíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (2.1.1), îïèñûâàþùåå çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïðè çàðÿäêå ïîñëåäíåãî îò èñòî÷íèêà ïîñòîÿííîé ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû. Äîáàâèâ íà÷àëüíîå óñëîâèå u(0) = U , ïîëó÷èì çàäà÷ó Êîøè:

1 1 u0 = − · u + · E; τ τ

u(0) = U

(U < E).

Åå ðåøåíèå äàåòñÿ ôîðìóëîé (2.3.6) ïðè a = − τ1 ,

f (t) = E τ:

Zt ³ t´ ³ t − γ´ E · U + · exp − dγ = u(t) = exp − τ τ τ 0 ³ t´ ³ ³ t ´´ = exp − · U + 1 − exp − · E. τ τ Çàìå÷àíèÿ. 1. Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííîé íàçûâàþò òàêæå ìåòîäîì Ëàãðàíæà. 2. Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (2.3.6), ðåøåíèå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ åñòü ñóììà äâóõ ñëàãàåìûõ: exp (a(t − t0 ))·x0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû çà ñ÷åò íà÷àëüíîãî çàïàñà ýíåðãèè â ýòîé ñèñòåìå (íåíóëåâîå íà÷àëüíîå óñëîâèå);

Rt

t0

exp (a(t − γ)) · f (γ)dγ åñòü èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíîé äèíàìè-

÷åñêîé ñèñòåìû çà ñ÷åò âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ íà ýòó ñèñòåìó (ñâîáîäíîãî ÷ëåíà óðàâíåíèÿ). 3.  ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ çàäà÷è âèäà (2.3.4), â êîòîðûõ f  íå íåïðåðûâíàÿ, à ëèøü êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå íå ìîæåò, êîíå÷íî, âûïîëíÿòüñÿ â òî÷êàõ ðàçðûâà ôóíêöèè f . Âñïîìíèì îïðåäåëåíèå ïåðâîîáðàçíîé äëÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f : ýòî êóñî÷íî ãëàäêàÿ, íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ f â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè f . Ïî àíàëîãèè, ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.3.4) ñ êóñî÷íî íåïðåðûâíûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì f íàçîâåì êóñî÷íî ãëàäêóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ ýòîìó óðàâíåíèþ âî âñåõ òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè f . Èíà÷å ãîâîðÿ, ðåøåíèå äîëæíî áûòü ïåðâîîáðàçíîé îò ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.3.4). Çàäà÷ó (2.3.4) ñ êóñî÷íî íåïðåðûâíûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì ìîæíî ðåøàòü "ïî êóñêàì". Ïîÿñíèì ýòî íà ïðèìåðå. 22

Ïóñòü t0 = α, è ôóíêöèÿ f íà [α, β] èìååò åäèíñòâåííóþ òî÷êó ðàçðûâà λ. Òîãäà îïðåäåëèì ðåøåíèå íà [α, λ] ïî ôîðìóëå (2.3.6), à çàòåì ðåøèì íîâóþ çàäà÷ó Êîøè íà [λ, β], ñ÷èòàÿ ïîëó÷åííîå íà ïåðâîì øàãå çíà÷åíèå x(λ) íîâûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì. Åñëè òî÷åê ðàçðûâà áîëüøå îäíîé, ýòó îïåðàöèþ íóæíî ïðèìåíèòü íåñêîëüêî ðàç. Îäíàêî íåñëîæíî âèäåòü (ïðîâåðüòå ýòî!), ÷òî ïðè ýòîì âî âñåõ òî÷êàõ ïðîìåæóòêà [α, β] ðåøåíèå x(t) áóäåò çàäàâàòüñÿ ôîðìóëîé (2.3.6). Ïîýòîìó äîêàçàííàÿ òåîðåìà ñïðàâåäëèâà è äëÿ óðàâíåíèÿ ñ êóñî÷íî íåïðåðûâíûì íà [α, β] ñâîáîäíûì ÷ëåíîì. 4. Ôîðìóëà (2.3.6) ñîäåðæèò èíòåãðàë. Òàêèì îáðàçîì, îíà ÿâëÿåòñÿ êàê áû "ïîëóôàáðèêàòîì" ðåøåíèÿ: ìû ñâåëè ïðîáëåìó îòûñêàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ê ïðîáëåìå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà.

2.4. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííîé ìàòðèöåé Ïóñòü çàäàíû n íåïðåðûâíûõ íà [α, β] ôóíêöèé f1 . . . , fn , ÷èñëîâàÿ (0) n × n-ìàòðèöà A, ÷èñëîâîé ñòîëáåö x(0) = [x1 . . . x0n ]T è òî÷êà t0 ∈ [α, β]. Çàïèøåì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííîé ìàòðèöåé

x0 = A · x + f ;

x(t0 ) = x(0) .

(2.4.1)

Çäåñü f = [f1 . . . fn ]T ; x = [x1 . . . xn ]T  èñêîìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ. Êàê è â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû

z 0 = A · z;

z(t0 ) = z (0) .

(2.4.2)

Òåîðåìà. Çàäà÷à Êîøè (2.4.2) èìååò íà ëþáîì ïðîìåæóòêå, ñîäåðæàùåì òî÷êó t0 , åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

z(t) = exp (A(t − t0 )) · z (0) .

(2.4.3)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëàãàÿ t = t0 , óáåæäàåìñÿ, ÷òî z óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ. Äàëåå, äèôôåðåíöèðóÿ ðÿä, çàäàþùèé ìàòðè÷íóþ ýêñïîíåíòó, ïîëó÷àåì +∞ µ k k ¶0 +∞ X ¡ ¢0 X A t kAk tk−1 exp(At) = = = k! k! k=0

k=1

= A·

+∞ X k=1

+∞ X Ak−1 tk−1 Aj tj = A· = A · exp(At), (k − 1)! j! j=0

23

îòêóäà

³ ´0 z (t) = exp (A(t − t0 )) · z (0) = A · exp (A(t − t0 )) · z (0) = A · z(t). 0

Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî íàéäåííîå ðåøåíèå åäèíñòâåííî. Ïóñòü z(t)  ðåøåíèå (2.4.3), à w(t)  êàêîå-íèáóäü ðåøåíèå òîé æå çàäà÷è Êîøè, ò.å.

w0 ≡ A · w;

w(t0 ) = z (0) .

(2.4.4)

Ââåäåì âåêòîð-ôóíêöèþ u(t) = exp (−A(t − t0 ))·w(t). Òîãäà ïî ñâîéñòâó ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû w(t) = exp (A(t − t0 )) · u(t). Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â (2.4.4):

exp (A(t − t0 )) · u0 (t) + A · exp (A(t − t0 )) · u(t) ≡ ≡ A · exp (A(t − t0 )) · u(t);

u(t0 ) = z (0) .

Îòñþäà exp (A(t − t0 )) · u0 (t) ≡ θn , à òàê êàê ýêñïîíåíòà  îáðàòèìàÿ ìàòðèöà, ïîëó÷àåì, ÷òî u0 (t) ≡ θn . Ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ èìååì u(t) ≡ z (0) . Ñëåäîâàòåëüíî, w(t) ≡ z(t). ¥ Çàìå÷àíèÿ. 1. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ýòè ðàññóæäåíèÿ ïî÷òè äîñëîâíî ïîâòîðÿþò äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íûõ óòâåðæäåíèé èç ï.2.3. 2. Èç ôîðìóëû (2.4.3) âèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííîé ìàòðèöåé åñòü n-ìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïåðåéäåì òåïåðü ê çàäà÷å Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (2.4.1). Òåîðåìà. Çàäà÷à Êîøè (2.4.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå

¡ ¢ x(t) = exp A(t − t0 ) · x(0) +

Zt

¡ ¢ exp A(t − γ) · f (γ)dγ.

(2.4.5)

t0

Ìû íå ïðèâîäèì äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû, òàê êàê îíî ñîñòîèò â ïî÷òè äîñëîâíîì ïîâòîðåíèè äîêàçàòåëüñòâà àíàëîãè÷íîé òåîðåìû èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà (ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû). Çàìå÷àíèÿ. 1. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôîðìóëà (2.3.6) åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ôîðìóëû (2.4.5). 2. Îñòàåòñÿ â ñèëå çàìå÷àíèå 2 èç ï.2.3: ðåøåíèå ëèíåéíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû) åñòü ñóììà äâóõ ñëàãàåìûõ. Ïåðâîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû çà ñ÷åò íà÷àëüíîãî çàïàñà ýíåðãèè. Âòîðîå ÿâëÿåòñÿ ðåàêöèåé íà âíåøíåå âîçäåéñòâèå. 24

3. Àíàëîãè÷íî çàìå÷àíèþ 3 èç ï.2.3 îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèå çàäà÷è (2.4.1) â ñëó÷àå, êîãäà f  âåêòîð-ôóíêöèÿ ñ êóñî÷íî íåïðåðûâíûìè íà [α, β] êîìïîíåíòàìè. Ôîðìóëà (2.4.5), òàê æå êàê è òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ, îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è â ýòîé ñèòóàöèè. 4. Ê óæå îòìå÷åííîé â çàìå÷àíèè 4 èç ï.2.3 ïðîáëåìå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà äîáàâëÿåòñÿ òåïåðü íå ìåíåå ñëîæíàÿ ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû.

2.5. Ðåøåíèå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà  ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà íà÷àëüíîå óñëîâèå çàäàþò â òî÷êå t0 = 0, ñâîáîäíûé ÷ëåí ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëîì, à ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè

x0 = A · x + f ;

x(0) = x(0)

(2.5.1)

èùóò íà ïðîìåæóòêå [0, +∞[.  ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (2.4.5) ïðè t ≥ 0. Åñëè ïîëîæèòü x(t) = f (t) = 0 ïðè t < 0, òî ìîæíî çàïèñàòü

Zt

³ x(t) = exp(At) · x

(0)

+

´ ¡ ¢ exp A(t − γ) · f (γ)dγ · δ1 (t).

(2.5.2)

0

Çäåñü δ1  ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà. Çàìåòèì, ÷òî èíòåãðàë â (2.5.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâåðòêó ìàòðèöû-ôóíêöèè exp(At) · δ1 (t) ñî ñâîáîäíûì ÷ëåíîì ñèñòåìû (2.5.1). Èç ñâîéñòâ ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû ñëåäóåò ýêñïîíåíöèàëüíàÿ îãðàíè÷åííîñòü ýëåìåíòîâ ìàòðèöû exp(At). Ïîýòîìó exp(At) · δ1 (t)  îðèãèíàë. Äàëåå, ñâåðòêà îðèãèíàëîâ è ñóììà îðèãèíàëîâ  îðèãèíàëû. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ x, çàäàííàÿ ôîðìóëîé (2.5.2), ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëîì. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ x0 = A · x + f òàêæå îðèãèíàë. Ïðèìåíèâ ê îáåèì ÷àñòÿì ñèñòåìû (2.5.1) ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà (ïîêîìïîíåíòíî), èìååì

s·x e(s) − x(0) = A · x e(s) + fe(s).

(2.5.3)

Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïîëó÷èì èçîáðàæåíèå ðåøåíèÿ −1

x e(s) = (sI − A)

25

³ ´ (0) e · f (s) + x .

(2.5.4)

Èç ôîðìóë Êðàìåðà ñëåäóåò, ÷òî ýëåìåíòû ìàòðèöû (sI −A)−1  ýòî ðàöèîíàëüíûå äðîáè, ÷èñëèòåëè êîòîðûõ  àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû (sI − A), ò.å. ïîëèíîìû ïîðÿäêà n, à îáùèé çíàìåíàòåëü  îïðåäåëèòåëü ýòîé ìàòðèöû, ò.å. ïîëèíîì ñòåïåíè n. Ïîýòîìó âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû (sI − A)−1  ïðàâèëüíûå ðàöèîíàëüíûå äðîáè, ïîëþñû êîòîðûõ  ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A.  ÷àñòî âñòðå÷àþùåìñÿ ñëó÷àå, êîãäà èçîáðàæåíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ  òàêæå ïðàâèëüíûå ðàöèîíàëüíûå äðîáè, ýëåìåíòû âåêòîðà x e(s) îêàçûâàþòñÿ ïðàâèëüíûìè ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè, îðèãèíàëû êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ èçâåñòíûì ñïîñîáîì. Ïðèìåð. Ðåøèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ñèñòåìû (2.1.2):

(

x0 = v b ·x− a ·v+g v0 = − m m

ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x(0) = x0 , v(0) = v0 (çàäàíû íà÷àëüíàÿ êîîðäèíàòà è íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ãðóçà). Âûïîëíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà:

(

s·x e − x0 = ve b ·x a · ve + g , s · ve − v0 = − m e− m s # · ¸ · " ¸ s −1 x0 x e b s + a · ve = v0 + g . s m m

ò.å.

Ðåøèâ ýòó ñèñòåìó, íàéäåì èçîáðàæåíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà-ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè:

³ ax

´

bx0 m . ve = a b s2 + · s + m m a · s + b ðàçëè÷íû, òî, Åñëè êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà s2 + m m îáîçíà÷èâ èõ s1 è s2 , ïîëó÷èì ³³¡ g 1 a¢ g´ x(t) = + · s1 + x0 + v0 + · exp(s1 t)− s1 s2 s1 − s2 m s 1 ³¡ ´ a¢ g´ − s2 + x0 + v0 + · exp(s2 t) ; m s2 2

0

x0 · s + + v0 · s + g m x e= ; ³ a b´ 2 s· s + ·s+ m m

26

v0 · s + g −

³³ bx ´ 1 0 v(t) = · − s1 v0 − g · exp(s1 t)− s2 − s1 m ³ bx ´ ´ 0 − − s2 v0 − g · exp(s2 t) . m a , òî Åñëè êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ñîâïàäàþò: s1 = s2 = − 2m 4m2 x(t) = 2 · g+ a ³³ ³ a ´ 4m2 g ´ ³ ax0 2mg ´ ´ + x0 − 2 + v0 + − · t · exp − t ; 2m a 2m a ³ ³ ³ a ´ av0 a2 x0 ´ ´ v(t) = v0 + g − − · t · exp − t . 2m 4m2 2m Çàìå÷àíèÿ. 1. Ìû ñîçíàòåëüíî îïóñòèëè ìíîæèòåëü δ1 (t), èáî ïîëó÷åííûå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (2.1.2) ïðè âñåõ t ∈ R. 2. Îïèñàííûé àëãîðèòì ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû êàê ðåøåíèÿ ìàòðè÷íîé çàäà÷è Êîøè

X 0 = A · X;

X(0) = In ,

ãäå In  åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. 3. Åñëè êîìïîíåíòû èçîáðàæåíèÿ ñâîáîäíîãî ÷ëåíà íå ÿâëÿþòñÿ ïðàâèëüíûìè ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè, òî ìîæíî ïîïûòàòüñÿ âîññòàíîâèòü ðåøåíèå ïî ïîëó÷åííîìó èçîáðàæåíèþ ñ ïîìîùüþ äîñòàòî÷íî áîãàòûõ òàáëèö, ñîäåðæàùèõñÿ â ñïðàâî÷íèêàõ (íàïðèìåð, Ã. Äå÷. Ðóêîâîäñòâî ê ïðàêòè÷åñêîìó ïðèìåíåíèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.  Ì.: Ôèçìàòãèç, 1960). Åñëè ýòà ïîïûòêà íå ïðèâåäåò ê óñïåõó, òî öåëåñîîáðàçíî îáðàòèòüñÿ ê ÷èñëåííûì ìåòîäàì ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè.

2.6. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âûñøèõ ïîðÿäêîâ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè Ïóñòü f0  íåïðåðûâíàÿ íà [α, β] ôóíêöèÿ; a0 , . . . , an−1  çàäàííûå ÷èñëà. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå

x(n) = an−1 x(n−1) + · · · + a1 x0 + a0 x + f0 .

(2.6.1)

Çäåñü x  èñêîìàÿ n ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà [α, β] ôóíêöèÿ. 27

Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

y1 = x;

0 y2 = y10 = x0 ; . . . yn = yn−1 = x(n−1) .

Òîãäà óðàâíåíèå (2.6.1) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà 0

y = A · y + f,

(2.6.2)

ãäå

y = [y1 , y2 , . . . , yn ]T = [x, x0 , . . . , x(n−1) ]T , f = [0, 0, ..., f0 ]T ,   0 1 0 ... 0 0  0 0 1 ... 0 0    . A= . . .    0 0 0 ... 0 1  a0 a1 a2 . . . an−2 an−1 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè y  ðåøåíèå ñèñòåìû (2.6.2), òî êîìïîíåíòà yn íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà [α, β]. Èç ïðåäïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû âèäíî, ÷òî yn−1 äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà [α, β], è ò. ä. Íàêîíåö, êîìïîíåíòà y1 n ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.6.1). Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà (2.6.2) ðàâíîñèëüíà óðàâíåíèþ (2.6.1).  çàäà÷å Êîøè äëÿ ñèñòåìû (2.6.2) òðåáóåòñÿ çàäàíèå íà÷àëüíîãî âåêòîðà â íåêîòîðîé òî÷êå t0 ∈ [α, β]: (0)

(0)

(n−1) T

y(t0 ) = y (0) = [y1 , y2 , . . . , yn(0) ]T = [x0 , x00 , . . . , x0

] .

Òåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè: íàéòè n ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ íà [α, β] ôóíêöèþ x, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.6.1), ò.å.

x(n) (t) ≡ an−1 x(n−1) (t) + · · · + a0 x(t) + f (t),

t ∈ [α, β],

è óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíûì óñëîâèÿì, ò.å. (n−1)

x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x00 , . . . , x(n−1) (t0 ) = x0 (n−1)

,

ãäå x0 , x00 , . . . , x0  çàäàííûå ÷èñëà. Ïîñêîëüêó ýòà çàäà÷à Êîøè ðàâíîñèëüíà çàäà÷å Êîøè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, åå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. 28

Íà ïðàêòèêå óðàâíåíèÿ âûñøèõ ïîðÿäêîâ èíîãäà íå ñâîäÿò ê ñèñòåìå, à ðåøàþò íåïîñðåäñòâåííî. Äëÿ èëëþñòðàöèè ðàññìîòðèì Ïðèìåð. Ðåøèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (2.1.3):

x00 = −

a b · x0 − · x + g m m

ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x(0) = x0 è x0 (0) = v0 (çàäàíû íà÷àëüíàÿ êîîðäèíàòà è íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ãðóçà). Ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà. Ïîñêîëüêó

L(x0 ) = s · x e − x0 ;

L(x00 ) = s2 · x e − s · x0 − v0 , g

a ·(s· x b ·x èìååì s2 · x e −s·x0 −v0 = − m e −x0 )− m e + s . Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå, íàéäåì ´ ³ a · x0 + v0 · s + g x0 · s 2 + m . x e= ³ a b´ 2 s· s + ·s+ m m Îðèãèíàë ýòîãî èçîáðàæåíèÿ áûë ïîëó÷åí â ïðèìåðå ï.2.5.

Çàìå÷àíèå. Åñëè f0  êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ íà [α, β] ôóíêöèÿ, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.6.1) ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê ôóíêöèþ, ó êîòîðîé (n − 1)-ÿ ïðîèçâîäíàÿ ñîâïàäàåò ñ îäíîé èç ïåðâîîáðàçíûõ ïðàâîé ÷àñòè (2.6.1). Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå â ýòîì ñëó÷àå n − 1 ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìî íà [α, β], à åãî (n−1)-ÿ ïðîèçâîäíàÿ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî ãëàäêîé, è óðàâíåíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî÷òè âñþäó íà [α, β].

2.7. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì êîýôôèöèåíòîì Ïóñòü çàäàíû íåïðåðûâíûå ôóíêöèè a, f : [α, β] → R. Óðàâíåíèå

x0 = a(t) · x + f (t)

(2.7.1)

íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì êîýôôèöèåíòîì a(t). Çàäà÷à Êîøè äëÿ íåãî ñòàâèòñÿ òàê: íàéòè íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ íà [α, β] ôóíêöèþ x, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.7.1), ò.å.

x0 (t) ≡ a(t) · x(t) + f (t),

t ∈ [α, β],

à òàêæå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ x(t0 ) = x0 (t0 ∈ [α, β]  çàäàííàÿ òî÷êà). 29

Òåîðåìà. Çàäà÷à Êîøè, ñôîðìóëèðîâàííàÿ âûøå, èìååò ðåøåíèå, è ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííî. Äîêàçàòåëüñòâî. Âíà÷àëå ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ

z 0 = a(t) · z;

z(t0 ) = z0 .

Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è áóäåì èñêàòü â âèäå

z(t) = exp (w(t)) · z0 ,

(2.7.2)

ãäå w  íîâàÿ èñêîìàÿ ôóíêöèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ (2.7.2) â óðàâíåíèå, ïîëó÷èì exp (w(t))·w0 (t) = a(t)·exp (w(t)). Ñîêðàùàÿ íà exp (w(t)) 6= 0, ïîëó÷àåì w0 (t) = a(t). Èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ z(t0 ) = exp (w(t0 )) · z0 = z0 íàéäåì

w(t0 ) = 0. Ïîýòîìó w(t) =

Rt

t0

a(γ)dγ . Èòàê,

µ Zt ¶ z(t) = exp a(γ)dγ · z0 . t0

Äàëåå ïðèìåíÿåì óæå èçâåñòíûé ìåòîä Ëàãðàíæà: èùåì ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ â âèäå

µ Zt x(t) = exp

¶ a(γ)dγ

· u(t).

(2.7.3)

t0

Ïîäñòàâëÿÿ (2.7.3) â óðàâíåíèå (2.7.1), ïîëó÷èì

µ Zt exp

¶ a(γ)dγ

µ Zt ¶ · a(t) · u(t) + exp a(γ)dγ · u0 (t) =

t0

t0

µ Zt = a(t) · exp

¶ a(γ)dγ

· u(t) + f (t).

t0

³ Rt ´ Îòñþäà u (t) = exp − a(γ)dγ · f (t). Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì 0

t0

Zt u(t) − x0 = t0

µ Zω ¶ exp − a(γ)dγ · f (ω)dω. t0

30

Ïîäñòàíîâêà ðåçóëüòàòà â (2.7.3) äàåò

µ Zt ¶ µ Zt ¶ Zt x(t) = exp a(γ)dγ · x0 + exp a(γ)dγ · f (ω)dω. t0

(2.7.4)

ω

t0

Åäèíñòâåííîñòü ýòîãî ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü äîêàçàíà ìåòîäîì, àíàëîãè÷íûì èñïîëüçîâàííîìó â ï.2.3. ¥ Çàìå÷àíèÿ. 1. Èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (2.7.4) äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé óäàåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ðåäêî, òàê êàê âõîäÿùèå â íåå äâà èíòåãðàëà îáû÷íî ÷åðåç òàáóëèðîâàííûå ôóíêöèè íå âûðàæàþòñÿ. 2. Èç (2.7.4) âèäíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2.7.1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó äâóõ ñëàãàåìûõ: èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû çà ñ÷åò íà÷àëüíîãî çàïàñà ýíåðãèè â íåé (íåíóëåâîå íà÷àëüíîå óñëîâèå) è ðåàêöèè íà âíåøíåå âîçäåéñòâèå (ñâîáîäíûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ). 3. Ôîðìóëà (2.7.4) âåðíà è â ñëó÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíò a è ñâîáîäíûé ÷ëåí f  êóñî÷íî íåïðåðûâíûå íà [α, β] ôóíêöèè. 4. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè a = const, òî (2.7.4) ñâîäèòñÿ ê (2.3.6).

2.8. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííîé ìàòðèöåé Ïóñòü A  êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, ýëåìåíòû êîòîðîé  (0) (0) íåïðåðûâíûå íà [α, β] ôóíêöèè; x(0) = [x1 , . . . , xn ]T  çàäàííûé ÷èñëîâîé ñòîëáåö; f = [f1 , . . . , fn ]T  âåêòîð-ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà [α, β]. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè:

x0 = A(t) · x + f (t);

x(t0 ) = x(0) .

(2.8.1)

Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è Êîøè ñëåäóåò èç òåîðåìû, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé ìû îïóñêàåì: Òåîðåìà. Äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé íà [α, β] ìàòðèöû-ôóíêöèè A(t) è ëþáîãî t0 ∈ [α, β] ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà [α, β] ìàòðèöà-ôóíêöèÿ W (t, t0 ) ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. Dt W (t, t0 ) = A(t) · W (t, t0 ); 2. W (t0 , t0 ) = I . Áîëåå òîãî, ìàòðèöà W îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 3. det (W (t, t0 )) 6= 0 ïðè âñåõ t ∈ [α, β]; 31

4. äëÿ ëþáûõ òðåõ òî÷åê t1 , t2 , t3 íà [α, β]

W (t1 , t3 ) = W (t1 , t2 ) · W (t2 , t3 ). Ìàòðèöó W íàçûâàþò ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû z 0 = A(t) · z . Çàìå÷àíèå. Åñëè A  ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà, òî íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî W (t, t0 ) = exp (A(t − t0 )). Ê ñîæàëåíèþ, â îáùåì ñëó÷àå íå ñóùåñòâóåò íå ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû

z 0 = A(t) · z;

z(t0 ) = z (0)

èìååò âèä z(t) = W (t, t0 ) · z (0) (óáåäèòüñÿ â ýòîì ìîæíî, ïîäñòàâèâ z(t) â ñèñòåìó ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ W ). Îòñþäà, êàê è â ñëó÷àå ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííîé ìàòðèöåé, ìîæíî âèäåòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû åñòü n-ìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ìîæíî íàéòè óæå èçâåñòíûì ìåòîäîì Ëàãðàíæà. Îíî èìååò âèä

Zt

x(t) = W (t, t0 ) · x(0) +

W (t, γ) · f (γ)dγ.

(2.8.2)

t0

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî (2.4.5)  ÷àñòíûé ñëó÷àé (2.8.2). Îòìåòèì åùå ðàç, ÷òî ðåøåíèÿ çàäà÷ Êîøè äëÿ âñåõ ðàññìîòðåííûõ òèïîâ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ: èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû çà ñ÷åò íà÷àëüíîãî çàïàñà ýíåðãèè â íåé (íåíóëåâîå íà÷àëüíîå óñëîâèå) è ðåàêöèè íà âíåøíåå âîçäåéñòâèå (ñâîáîäíûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ).

2.9. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âûñøèõ ïîðÿäêîâ ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè Èíîãäà ôîðìàëèçàöèÿ ïðèêëàäíîé çàäà÷è åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðèâîäèò ê çàäà÷å Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïîðÿäêà n > 1:

x(n) = an−1 (t)x(n−1) + · · · + a1 (t)x0 + a0 (t)x + f (t); x(t0 ) = x0 ,

(n−1)

x0 (t0 ) = x00 , . . . , x(n−1) (t0 ) = x0

.

Òàê æå, êàê â ï.2.6, äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòà çàäà÷à Êîøè ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å Êîøè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåå ñïðàâåäëèâà ñôîðìóëèðîâàííàÿ òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ. 32

Êàêèå-ëèáî îáùèå ôîðìàëüíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è îòñóòñòâóþò. Ïîýòîìó ìû ðàññìîòðèì ëèøü ìåòîä ñòåïåííûõ ðÿäîâ, ïðèãîäíûé äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êîýôôèöèåíòû è ñâîáîäíûé ÷ëåí êîòîðûõ àíàëèòè÷íû â îêðåñòíîñòè íà÷àëüíîé òî÷êè (íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äîñòàòî÷íî ëèøü íåïðåðûâíîñòè êîýôôèöèåíòîâ è ñâîáîäíîãî ÷ëåíà). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâà Òåîðåìà. Åñëè êîýôôèöèåíòû è ñâîáîäíûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ àíàëèòè÷íû ïðè |t − t0 | < R, òî è ðåøåíèå àíàëèòè÷íî íà ýòîì èíòåðâàëå. Èçëîæåíèå ìåòîäà ïðîâåäåì íà ïðèìåðå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà

x00 = p(t) · x0 + q(t) · x + f (t);

x(t0 ) = α; x0 (t0 ) = β.

Ïóñòü

p(t) = p0 + p1 (t − t0 ) + · · · + pn (t − t0 )n + . . . ; q(t) = q0 + q1 (t − t0 ) + · · · + qn (t − t0 )n + . . . ; f (t) = f0 + f1 (t − t0 ) + · · · + fn (t − t0 )n + . . . , è âñå ýòè ðÿäû ñõîäÿòñÿ ïðè |t − t0 | < R. Îáîçíà÷èì τ = t − t0 è áóäåì èñêàòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè â âèäå ðÿäà x(t) = x0 + x1 τ + · · · + xn τ n + . . . (ò.å. áóäåì èñêàòü ÷èñëà x0 , x1 , . . . , xn , . . .  êîýôôèöèåíòû ýòîãî ðÿäà). Äèôôåðåíöèðóÿ äâàæäû ðÿä-ðåøåíèå è ïîäñòàâëÿÿ âñå ðÿäû â óðàâíåíèå, ïîëó÷èì òîæäåñòâî:

1 · 2 · x2 + 2 · 3 · x3 τ + · · · + (n − 1) · n · xn τ n−2 + · · · ≡ ≡ (p0 + p1 τ + · · · + pn τ n + . . . ) · (x1 + 2 · x2 τ + · · · + n · xn τ n−1 + . . . )+ +(q0 + q1 τ + · · · + qn τ n + . . . ) · (x0 + x1 τ + · · · + xn τ n + . . . )+ +f0 + f1 τ + · · · + fn τ n + . . . Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ τ â îáåèõ ÷àñòÿõ ýòîãî òîæäåñòâà, ïîëó÷èì áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà-ðåøåíèÿ:

1 · 2 · x2 = p0 x1 + q0 x0 + f0 ; 2 · 3 · x3 = 2p0 x2 + p1 x1 + q0 x1 + q1 x0 + f1 ; ... (n − 1) · n · xn = (n − 1)p0 xn−1 + · · · + pn−2 x1 + +q0 xn−2 + · · · + qn−2 x0 + fn−2 ; ... 33

Èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé íàõîäèì

x1 = x0 (t0 ) = β.

x0 = x(t0 ) = α;

Ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû äàåò âîçìîæíîñòü îïðåäåëèòü x2 , âòîðîå  x3 , è ò. ä. (îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî óðàâíåíèå äëÿ xn ñîäåðæèò â ïðàâîé ÷àñòè òîëüêî óæå èçâåñòíûå ÷èñëà x0 , x1 , . . . , xn−1 ).

2.10. Íåëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ  ïðåäûäóùèõ ïóíêòàõ áûëà ðàññìîòðåíà çàäà÷à Êîøè äëÿ íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ â ïðèëîæåíèÿõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè è ñèñòåì òàêèõ óðàâíåíèé. Áûëè òàêæå ïðèâåäåíû îñíîâíûå ñâåäåíèÿ î çàäà÷å Êîøè äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñåé÷àñ ìû ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà îáùåãî âèäà

x0 = f (t, x);

x(t0 ) = x0 .

Çäåñü f  íåïðåðûâíàÿ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ, çàäàííàÿ íà ïðÿìîóãîëüíèêå [α, β]×]c, d[, t0 ∈ [α, β], x0 ∈]c, d[. Îòìåòèì ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ òàêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ: îíî ñâÿçûâàåò êîîðäèíàòû òî÷êè íà ïëîñêîñòè (t, x) ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé â ýòîé òî÷êå ê ãðàôèêó ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ. Ýòîò ãðàôèê îáû÷íî íàçûâàþò èíòåãðàëüíîé êðèâîé óðàâíåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå çàäàåò ïîëå íàïðàâëåíèé ñâîèõ èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ. Ïîëüçóÿñü ââåäåííîé òåðìèíîëîãèåé, çàäà÷ó Êîøè ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: íàéòè èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ óðàâíåíèÿ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó ïëîñêîñòè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî Òåîðåìà. 1. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó ïðÿìîóãîëüíèêà, íà êîòîðîì íåïðåðûâíà ôóíêöèÿ f , ïðîõîäèò õîòÿ áû îäíà èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ óðàâíåíèÿ x0 = f (t, x). 2. Åñëè íà ýòîì ïðÿìîóãîëüíèêå íåïðåðûâíà è ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ Dx f , òî ÷åðåç êàæäóþ åãî òî÷êó ïðîõîäèò ðîâíî îäíà èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïðè ðàçðûâíîé ïðîèçâîäíîé Dx f çàäà÷à Êîøè ìîæåò èìåòü áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ. Òàê, íàïðèìåð, çàäà÷à Êîøè

√ x0 = 2 x,

x(0) = 0, 34

èìååò äâà ðåøåíèÿ íà [0, +∞[: x1 (t) ≡ 0 è x2 (t) = t2 (÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïðîõîäÿò äâå èíòåãðàëüíûå êðèâûå). Êàê ñêàçàë êëàññèê ðóññêîé ëèòåðàòóðû, âñå ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ëèíåéíû îäèíàêîâî, íî âñÿêîå íåëèíåéíîå óðàâíåíèå íåëèíåéíî ïîñâîåìó. Ïîýòîìó íå ñóùåñòâóåò êàêèõ-ëèáî îáùèõ ôîðìàëüíûõ ("ôîðìóëüíûõ") ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè. Ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì îäíîãî ÷àñòî âñòðå÷àþùåãîñÿ ñëó÷àÿ  òàê íàçûâàåìîãî óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëåííûìè ïåðåìåííûìè:

x0 = R(t) · Q(x). Ïðåäïîëàãàÿ, ± ÷òî Q íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ]c, d[, ïðåîáðàçóåì óðàâ0 íåíèå ê âèäó x Q(x) = R(t). Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî ïî ïðîìåæóòêó [t0 , t], ïîëó÷èì

Zt

t0

x0 (τ )dτ = Q (x(τ ))

Zt

R(τ )dτ. t0

Ñäåëàâ â ëåâîì èíòåãðàëå ïîäñòàíîâêó x(τ ) = y , ïîëó÷èì

Zx(t) x(t0 )

dy = Q(y)

Zt R(τ )dτ. t0

Ïóñòü W  ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ R, à S  ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ 1/Q. Òîãäà

S (x(t)) − S(x0 ) = W (t) − W (t0 ).

(2.10.1)

Èòàê, äëÿ "àíàëèòè÷åñêîãî" (ôîðìàëüíîãî) ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè íåîáõîäèìî: 1) íàéòè ïåðâîîáðàçíûå äëÿ ôóíêöèé R è 1/Q; 2) ðàçðåøèòü óðàâíåíèå (2.10.1) îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé x. Î÷åâèäíî, ÷òî óñïåõ äîñòèãàåòñÿ ëèøü â èñêëþ÷èòåëüíûõ ñëó÷àÿõ.

2.11. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè Äî êîíöà XIX âåêà óñèëèÿ ðàçðàáîò÷èêîâ òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé áûëè íàïðàâëåíû â îñíîâíîì íà ïîèñê ðåøåíèé îòäåëüíûõ òèïîâ óðàâíåíèé â êëàññå òàê íàçûâàåìûõ êâàäðàòóð, ò.å. "ýëåìåíòàðíûõ" ("øêîëüíûõ") ôóíêöèé, èõ ïåðâîîáðàçíûõ è êîìïîçèöèé. Íåðåäêî ââîäèëèñü íîâûå, òàê íàçûâàåìûå "ñïåöèàëüíûå" 35

ôóíêöèè, ê êîòîðûì îòíîñÿò íåêîòîðûå ïåðâîîáðàçíûå îò "ýëåìåíòàðíûõ" ôóíêöèé (ñ ïðèìåðàìè èõ âû ïîçíàêîìèëèñü â êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà), à òàêæå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âàæíûõ äëÿ ïðèëîæåíèé (íàïðèìåð, ôóíêöèè Áåññåëÿ  ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ). Ñâîéñòâà ýòèõ ôóíêöèé õîðîøî èçó÷åíû, áûëè ïîñòðîåíû ïîäðîáíûå òàáëèöû èõ çíà÷åíèé. Ýòîò ïóòü áûë, ïî-âèäèìîìó, åäèíñòâåííûì âîçìîæíûì äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé â îòñóòñòâèå ýôôåêòèâíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ñðåäñòâ. Ñ ïîÿâëåíèåì ÝÂÌ ïîñòåïåííî óòðàòèëè ñâîå çíà÷åíèå òàáëèöû  èõ çàìåíèëè êîìïüþòåðíûå ïðîãðàììû (êîíå÷íî, íå ñëåäóåò çàáûâàòü, ÷òî ñîçäàíèå ýòèõ ïðîãðàìì ñòàëî âîçìîæíûì òîëüêî áëàãîäàðÿ èíôîðìàöèè î ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèÿõ, íàêîïëåííîé â äîêîìïüþòåðíóþ ýïîõó!). Çàòåì áûëè ðàçðàáîòàíû ýôôåêòèâíûå ïðîãðàììû, ðåàëèçóþùèå ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ øèðîêîãî êëàññà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Åñëè äîáàâèòü ê ýòîìó èìåþùèåñÿ íûíå âîçìîæíîñòè ãðàôè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïîëó÷åííûõ ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè ðåøåíèé, òî ñòàíåò ÿñíîé áåññìûñëåííîñòü ïîïûòîê çàñòàâèòü áóäóùåãî ïîëüçîâàòåëÿ âûó÷èòü "ìåòîäû" ðåøåíèÿ áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ÷àñòíûõ âèäîâ çàäà÷è Êîøè. Äîñòàòî÷íî àäðåñîâàòü åãî ê ñïðàâî÷íèêàì (íàïðèìåð, Ý. Êàìêå. Ñïðàâî÷íèê ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì2 .  Ì.: Íàóêà, 1971) èëè ê îäíîé èç ñðåä êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ (íàïðèìåð, MATHEMATICA èëè MAPLE), êîòîðûå óìåþò ðåøàòü âñå òèïû óðàâíåíèé, äî ñèõ ïîð çàïîëíÿþùèå ó÷åáíèêè ìàòåìàòèêè äëÿ ÂÒÓÇîâ. Çàìåòèì åùå, ÷òî äàæå â ñëó÷àå, êîãäà óðàâíåíèå ñîäåðæèòñÿ â ñïðàâî÷íèêå, îò ïîëó÷åííîãî ôîðìàëüíîãî ðåøåíèÿ òîëêó ìîæåò îêàçàòüñÿ íåìíîãî. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå ñ ðàçäåëåííûìè ïåðåìåííûìè äîïóñêàåò ôîðìàëüíîå ðåøåíèå, íî çàäà÷à Êîøè ïðè ýòîì ôàêòè÷åñêè "ïåðåäàåòñÿ â äðóãîé öåõ"  ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å ïîñòðîåíèÿ äâóõ ïåðâîîáðàçíûõ, â îáùåì ñëó÷àå íåàëãîðèòìèçèðóåìîé.  ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ïåðåä ïðèìåíåíèåì ëþáîãî ÷èñëåííîãî ìåòîäà íåîáõîäèìî îòâåòèòü íà äâà âîïðîñà: 1. Ñóùåñòâóåò ëè ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è Êîøè? 2. Åñëè ñóùåñòâóåò, òî åäèíñòâåííî ëè îíî? 2 Ýòà

ðàáîòà ñîäåðæèò ðåøåíèÿ îêîëî 1650 óðàâíåíèé. 36

Èìååòñÿ öåëûé ðÿä òåîðåì, êîòîðûå îòâå÷àþò íà ýòè âîïðîñû. Îäíà èç íèõ ïðèâåäåíà â ïðåäûäóùåì ïóíêòå. Çàìåòèì, ÷òî ýòà òåîðåìà ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè íå íà çàäàííîì ïðîìåæóòêå, à ëèøü â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íà÷àëüíîé òî÷êè. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè x0 = 1 + x2 , x(0) = 0. Ôóíêöèÿ f (t, x) ≡ 1 + x2 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè íà âñåé ïëîñêîñòè, ò.å. ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïëîñêîñòè ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïðîõîäèò ãðàôèê ðåøåíèÿ x = tg(t), êîòîðîå îïðåäåëåíî òîëüêî íà ] − π/2, π/2[ è íå ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî íà áîëüøèé ïðîìåæóòîê. Âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ íà çàäàííîì ïðîìåæóòêå íåïðîñò. Íå èìåÿ âîçìîæíîñòè îñòàíîâèòüñÿ íà íåì ïîäðîáíî, îòìåòèì ëèøü, ÷òî äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì ýòà ïðîáëåìà íå âîçíèêàåò  èõ ðåøåíèå âñåãäà îïðåäåëåíî íà òîì æå ïðîìåæóòêå, íà êîòîðîì îïðåäåëåíû êîýôôèöèåíòû è ñâîáîäíûé ÷ëåí. Ïîñòðîåíèå ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè íà÷èíàåòñÿ ñ òîãî, ÷òî íà ñåãìåíòå [t0 , tn = T ] çàäàåòñÿ ñåòêà {t0 , t1 , . . . , tn }. Äàëåå âû÷èñëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ íà ýòîé ñåòêå x1 , x2 , . . . , xn . Îïðåäåëåíèå. Ïîãðåøíîñòüþ ìåòîäà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî

max (|xk − x(tk )|).

1≤k≤n

Ìû ðàññìîòðèì äâà íàèáîëåå ïðîñòûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè: ìåòîä Ýéëåðà è ìåòîä "ïðîãíîç-êîððåêöèÿ".

Ìåòîä Ýéëåðà Ðåøàåòñÿ çàäà÷à Êîøè

x0 = f (t, x);

x(t0 ) = x0 .

 òî÷êå (t0 , x0 ) (ðèñ.2.1), ëåæàùåé íà èíòåðåñóþùåé íàñ èíòåãðàëüíîé êðèâîé, èçâåñòíà êàñàòåëüíàÿ ê ýòîé êðèâîé, òàê êàê åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò ðàâåí f (t0 , x0 ). Èäåÿ ìåòîäà Ýéëåðà ñîñòîèò â çàìåíå äâèæåíèÿ ïî íåèçâåñòíîé èíòåãðàëüíîé êðèâîé (1 íà ðèñ.2.1) äâèæåíèåì ïî èçâåñòíîé êàñàòåëüíîé ê ýòîé êðèâîé. Ñäåëàâ îäèí øàã, ìû ïåðåéäåì â òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (t1 , x1 ), ãäå t1 çàäàíî, à x1 = x0 + f (t0 , x0 ) · (t1 − t0 ). 37

3 1 2 2 t0

t1 t2 t3 Ðèñ.2.1. (1)  èñêîìàÿ èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ, (2)  "ïîáî÷íûå" èíòåãðàëüíûå êðèâûå, (3)  ëîìàíàÿ Ýéëåðà

Âòîðîé øàã ìåòîäà Ýéëåðà îòëè÷àåòñÿ îò ïåðâîãî òåì, ÷òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî êàñàòåëüíîé ê èíòåãðàëüíîé êðèâîé (2 íà ðèñ.2.1), ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (t1 , x1 ) (ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ýòî óæå äðóãàÿ èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ!). Ïîñëåäóþùèå øàãè àíàëîãè÷íû âòîðîìó. Òàêèì îáðàçîì èñêîìàÿ èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ çàìåíÿåòñÿ ëîìàíîé (3 íà ðèñ.2.1)  îíà íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé Ýéëåðà. Îöåíèì ïîãðåøíîñòü ìåòîäà Ýéëåðà äëÿ ñëó÷àÿ ðàâíîìåðíîé ñåòêè. Îáîçíà÷èì íà÷àëüíóþ àáñöèññó t0 , êîíå÷íóþ tn = T , à øàã ñåòêè  t0 h=T− n . Òåîðåìà. Åñëè êàê ãðàôèê ðåøåíèÿ x(t), òàê è ïîñòðîåííûå ïî ìåòîäó Ýéëåðà òî÷êè (t1 , x1 ), . . . , (tn , xn ) íå âûõîäÿò èç ïðÿìîóãîëüíèêà ∆, íà êîòîðîì îãðàíè÷åíû ïåðâûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè f , òî äëÿ ïîãðåøíîñòè ìåòîäà èìååò ìåñòî îöåíêà

max (|xk − x(tk )|) ≤

1≤k≤n

C , n

ãäå C  íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå x0 = f (t, x) ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (â ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè êîòîðîãî ìû ïðåäâàðèòåëüíî óáåäèëèñü) è ïðîèíòåãðèðóåì òîæäåñòâî x0 (t) ≡ f (t, x(t)) ïî ñåãìåíòó [tk , tk+1 ]. Ïîëó÷èì

Ztk+1 x(tk+1 ) = x(tk ) + f (τ, x(τ )) dτ. tk

 òî æå âðåìÿ ïî ìåòîäó Ýéëåðà 38

(2.11.1)

xk+1

Ztk+1 f (tk , xk )dτ. = xk + f (tk , xk ) · h = xk +

(2.11.2)

tk

Âû÷èòàÿ (2.11.2) èç (2.11.1) è îáîçíà÷àÿ ek = x(tk ) − xk , ïîëó÷èì

ek+1

Ztk+1 = ek + (f (τ, x(τ )) − f (tk , xk )) dτ.

(2.11.3)

tk

Ïðåäñòàâèì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ â (2.11.3) â âèäå ñóììû

f (τ, x(τ )) − f (tk , xk ) = ¡ ¢ ¡ ¢ = f (τ, x(τ )) − f (tk , x(tk )) + f (tk , x(tk )) − f (tk , xk ) . Ïðèìåíèì ôîðìóëó êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé ê ïåðâîìó ñëàãàåìîìó:

f (τ, x(τ )) − f (tk , x(tk )) = (Dτ f + Dx f · f ) (e τ , x(e τ )) · (τ − tk ) (τe  íåêîòîðàÿ òî÷êà íà èíòåðâàëå ]tk , τ [). Îáîçíà÷èâ A = sup (|Dτ f + Dx f · f |), ïîëó÷èì

∆ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯f (τ, x(τ )) − f (tk , x(tk ))¯ ≤ A · (τ − tk ).

(2.11.4)

Ïðèìåíèì ôîðìóëó êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé êî âòîðîìó ñëàãàåìîìó:

f (tk , x(tk )) − f (tk , xk ) = Dx f (tk , x e) · (x(tk ) − xk ) = Dx f (tk , x e) · ek (x e  íåêîòîðàÿ òî÷êà ìåæäó xk è x(tk )). Îáîçíà÷èâ B = sup (|Dx f |), ïîëó÷èì

¯ ∆ ¯ ¯ ¯ ¯f (tk , x(tk )) − f (tk , xk )¯ ≤ B · |ek |.

(2.11.5)

Èç (2.11.3), (2.11.4) è (2.11.5) ñëåäóåò

Ztk+1¯ ¢¯¯ ¯¡ |ek+1 − ek | ≤ ¯ f (τ, x(τ )) − f (tk , xk ) ¯dτ ≤ tk

Ztk+1

Ztk+1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯f (τ, x(τ )) − f (tk , x(tk ))¯dτ + ¯f (tk , x(tk )) − f (tk , xk )¯dτ ≤

≤ tk

tk

Ztk+1 Ztk+1 h2 + B · |ek | · h. ≤A· (τ − tk )dτ + B · |ek | · dτ = A · 2 tk

tk

39

Ïîýòîìó

h2 |ek+1 | ≤ |ek+1 − ek | + |ek | ≤ (1 + B · h) · |ek | + A · . 2 Âûïèñûâàÿ ýòî íåðàâåíñòâî äëÿ k = 0, 1, . . . , n − 1, ïîëó÷èì

h2 |e1 | ≤ A · ; 2 2 2 h h h2 |e2 | ≤ (1 + B · h) · A · +A· = (1 + (1 + B · h)) · A · ; 2 2 2 ................. ................. ¡ ¢ h2 |en | ≤ 1 + (1 + B · h) + · · · + (1 + B · h)n−1 · A · = 2 ³³ ´ A · (T − t ) (1 + B · h)n − 1 B · (T − t0 ) ´n 0 = ·A·h= 1+ . −1 · 2B n 2Bn Èç ôîðìóëû Òåéëîðà 1 2 ln(1 + x) = x − 2x 2(1 + ξ) (ξ  íåêîòîðàÿ òî÷êà ìåæäó 0 è x) âèäíî, ÷òî ln(1 + x) ≤ x ïðè âñåõ x > −1. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî n ∈ N

³ B · (T − t0 ) ´ n · ln 1 + ≤ B · (T − t0 ). n Ïîäñòàâëÿÿ ýòî íåðàâåíñòâî â îöåíêó äëÿ en , ïîëó÷èì ³ ´ A · (T − t ) 1 C 0 |en | ≤ exp (B · (T − t0 )) − 1 · · = . ¥ 2B n n Èç ïîëó÷åííîé îöåíêè ñëåäóåò, ÷òî ïîãðåøíîñòü ìåòîäà Ýéëåðà ìîæíî ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî ìàëîé, óâåëè÷èâàÿ êîëè÷åñòâî óçëîâ ñåòêè.

Çàìå÷àíèå.  ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèÿõ îáû÷íî èñïîëüçóþò òîò æå ìåòîä äðîáëåíèÿ øàãà, ÷òî è â ÷èñëåííîì èíòåãðèðîâàíèè: óäâàèâàþò êîëè÷åñòâî óçëîâ ñåòêè äî òåõ ïîð, ïîêà ó äâóõ ñîñåäíèõ ïðèáëèæåíèé íå ñîâïàäåò çàäàííîå êîëè÷åñòâî çíà÷àùèõ öèôð. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî òàêèå êîñâåííûå ìåòîäû êîíòðîëÿ òî÷íîñòè, áóäó÷è äîñòàòî÷íî ïðîñòûìè, íå äàþò ïîëíîé ãàðàíòèè äîñòîâåðíîñòè ðåçóëüòàòà.

Ìåòîä "ïðîãíîç-êîððåêöèÿ" Åñëè áû ìû ìîãëè âû÷èñëèòü èíòåãðàë â ôîðìóëå (2.11.1), òî ïîëó÷èëè áû çíà÷åíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè â î÷åðåäíîì óçëå ñåòêè. Ìåòîä 40

Ýéëåðà ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê çàìåíó ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â (2.11.1) ñïëàéíîì ïåðâîãî ïîðÿäêà (êîíñòàíòîé), ÷òî ïðèâîäèò ê êâàäðàòóðíîé ôîðìóëå ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü, ÷òî ïîãðåøíîñòü ìåòîäà óìåíüøèòñÿ, åñëè èñïîëüçîâàòü ñïëàéí âòîðîãî ïîðÿäêà, ò.å. êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó òðàïåöèé

xk+1

Ztk+1 f (tk , xk ) + f (tk+1 , xk+1 ) f (τ, x(τ )) dτ ∼ · h. = xk + = xk + 2 tk

Îäíàêî ýòó ôîðìóëó ïðèìåíèòü íåëüçÿ, òàê êàê â åå ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò íåèçâåñòíîå ïîêà ÷èñëî f (tk+1 , xk+1 ). Ïîýòîìó êàæäûé øàã ìåòîäà ïðîãíîç-êîððåêöèÿ ðàçáèâàåòñÿ íà äâà ïîäøàãà: ïðåäâàðèòåëüíûé (ïðîãíîç) âûïîëíÿåòñÿ ïî ìåòîäó Ýéëåðà

x ek+1 = xk + f (tk , xk ) · h, à çàêëþ÷èòåëüíûé (êîððåêöèÿ)  ïî ôîðìóëå òðàïåöèé, ïðè÷åì âìåñòî íåèçâåñòíîãî xk+1 áåðåòñÿ ðåçóëüòàò ïðîãíîçà x ek+1 :

f (tk , xk ) + f (tk+1 , x ek+1 ) · h. 2 Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ðàâíîìåðíîé ñåòêè ñïðàâåäëèâà xk+1 = xk +

Òåîðåìà. Åñëè êàê ãðàôèê ðåøåíèÿ x(t), òàê è ïîñòðîåííûå ïî ìåòîäó "ïðîãíîç-êîððåêöèÿ" òî÷êè (tk , xk ), k = 1, . . . , n, íå âûõîäÿò èç ïðÿìîóãîëüíèêà ∆, ãäå îãðàíè÷åíû âòîðûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè f , òî èìååò ìåñòî îöåíêà

C , 1≤k≤n n2 ãäå C  íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà. max (|x(tk ) − xk |) ≤

Çàìå÷àíèÿ. 1. Ñóùåñòâóþò ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè, èñïîëüçóþùèå â ôîðìóëå (2.11.1) ñïëàéí-àïïðîêñèìàöèè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ. Äîêàçàíî, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ñïëàéíà ïîðÿäêà m (è ïðè îãðàíè÷åííîñòè m ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè f ) èìååò ìåñòî íåðà± -õ m âåíñòâî |x(tk ) − xk | ≤ C n , k = 1, . . . , n. 2. ×èñëåííûå ìåòîäû åñòåñòâåííûì îáðàçîì ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà çàäà÷ó Êîøè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. 3. Ñîâðåìåííàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàòåìàòèêà ðàñïîëàãàåò áîëüøèì íàáîðîì ìàøèííûõ ïðîãðàìì äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè. Òàê, íàïðèìåð, áèáëèîòåêà NAG ñîäåðæèò íåñêîëüêî äåñÿòêîâ òàêèõ 41

ïðîãðàìì. Ñðåäû êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ (MAPLE, MATHEMATICA, MATLAB) òàêæå îáåñïå÷èâàþò ÷èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè. 4. Ñ÷èòàåì íåîáõîäèìûì åùå ðàç ïîä÷åðêíóòü, ÷òî (êàê è äëÿ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë) ïðèâåäåííûå îöåíêè ïîãðåøíîñòè ïîëó÷åíû â ïðåäïîëîæåíèè äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè ôóíêöèè f , ò.å. ïðè íàëè÷èè ó íåå îãðàíè÷åííûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ äîñòàòî÷íî âûñîêîãî ïîðÿäêà.

2.12. Ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè  ïðèëîæåíèÿõ òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âàæíóþ ðîëü èãðàåò âîïðîñ î âëèÿíèè íà ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ïîãðåøíîñòè â íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî Òåîðåìà. Ïóñòü x  ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè

x0 = f (t, x);

x(t0 ) = x(0)

(2.12.1)

 îïðåäåëåíî íà ñåãìåíòå [t0 , T ]. Ïóñòü ôóíêöèÿ f è åå ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ Dx f íåïðåðûâíû ïðè t ∈ [t0 , T ], x ∈ R. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ε íàéäåòñÿ òàêîå ïîëîæèòåëüíîå δ, ÷òî åñëè |e x(0) − x(0) | < δ, òî x e  ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè

x0 = f (t, x);

x(t0 ) = x e(0)

(2.12.2)

 òàêæå îïðåäåëåíî íà ñåãìåíòå [t0 , T ], ïðè÷åì âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |e x(t) − x(t)| < ε, t ∈ [t0 , T ]. Èíà÷å ãîâîðÿ, ìàëîå èçìåíåíèå íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ ïðèâîäèò ê ìàëîìó èçìåíåíèþ ðåøåíèÿ íà ñåãìåíòå. Ãîâîðÿò, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè íåïðåðûâíî çàâèñèò îò íà÷àëüíûõ äàííûõ. Çàìå÷àíèå. Òåîðåìà î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ îò íà÷àëüíûõ äàííûõ âåðíà è äëÿ ñèñòåì óðàâíåíèé.  ýòîì ñëó÷àå â çàäà÷àõ (2.12.1)(2.12.2) f : [t0 , T ] × Rn −→ Rn  âåêòîð-ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî êîìïîíåíòàì âåêòîðà x, à âñå ìîäóëè ñëåäóåò çàìåíèòü íà íîðìû. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè äëèíû ïðîìåæóòêà, íà êîòîðîì ðàññìàòðèâàåòñÿ ðåøåíèå çàäà÷è (2.12.1), äëÿ äîñòèæåíèÿ òîé æå äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ ε ïðèäåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, òðåáîâàòü âñå áîëüøåé òî÷íîñòè íà÷àëüíûõ äàííûõ δ . Ïîýòîìó âûäåëÿþò âåñüìà âàæíûé êëàññ ðåøåíèé, äëÿ êîòîðûõ îöåíêà ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ íå çàâèñèò îò ïðîìåæóòêà. 42

Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü âåêòîð-ôóíêöèÿ f è ìàòðèöà åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ Dx f íåïðåðûâíû ïðè t ≥ t0 , x ∈ Rn . Ðåøåíèå x çàäà÷è Êîøè (2.12.1) íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó3 , åñëè âûïîëíåíû òðè óñëîâèÿ: 1) ðåøåíèå x îïðåäåëåíî ïðè âñåõ t ≥ t0 ; 2) ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî ρ > 0, ÷òî åñëè ke x(0) − x(0) k < ρ, òî ðåøåíèå x e çàäà÷è Êîøè (2.12.2) òàêæå îïðåäåëåíî ïðè âñåõ t ≥ t0 ; 3) äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ε íàéäåòñÿ òàêîå ïîëîæèòåëüíîå δ ≤ ρ, ÷òî åñëè ke x(0) − x(0) k < δ, òî

ke x(t) − x(t)k < ε,

t ≥ t0 .

Òàêèì îáðàçîì, óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ ïî Ëÿïóíîâó îçíà÷àåò, ÷òî ìàëîå èçìåíåíèå íà÷àëüíûõ äàííûõ ïðèâîäèò ê ìàëîìó èçìåíåíèþ ðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷íîì ïðîìåæóòêå [t0 , +∞[. Åñëè ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îïèñûâàåò ïîâåäåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, à x(t)  òðåáóåìûé ðåæèì ðàáîòû ýòîé ñèñòåìû, òî óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó îçíà÷àåò, ÷òî ìàëûå îòêëîíåíèÿ îò ýòîãî ðåæèìà â ìîìåíò t0 íå ïðèâåäóò ê "ðàçâàëó" ñèñòåìû  ñèñòåìà áóäåò âñåãäà íàõîäèòüñÿ âáëèçè òðåáóåìîãî ðåæèìà. Âàæíóþ ðîëü â ïðèëîæåíèÿõ èãðàåò åùå îäíî ïîíÿòèå. Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèå x íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, åñëè îíî óñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó, è ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ρ1 ≤ ρ, ÷òî åñëè ke x(0) − x(0) k < ρ1 , òî

ke x(t) − x(t)k → 0 ïðè t → +∞.  ïðèìåíåíèè ê äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ìàëîì îòêëîíåíèè îò òðåáóåìîãî ðåæèìà ñèñòåìà ñòðåìèòñÿ ïðèáëèçèòüñÿ ê íåìó. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Íà÷íåì ñ çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè

x0 = Ax + f ;

x(t0 ) = x(0) .

3 Àëåêñàíäð

(2.12.3)

Ìèõàéëîâè÷ ËßÏÓÍΠ(1857-1918)  ðóññêèé ìàòåìàòèê è ìåõàíèê, àêàäåìèê Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ, ÷ëåí ìíîãèõ àêàäåìèé è íàó÷íûõ îáùåñòâ. Ñîçäàòåëü òåîðèè óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ, àâòîð ôóíäàìåíòàëüíûõ ðàáîò ïî òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. 43

Òåîðåìà. Ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû: 1) ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2.12.3) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî; 2) âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x  ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2.12.3), à x e  ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ òîé æå ñèñòåìû ñ äðóãèì âåêòîðîì íà÷àëüíûõ äàííûõ x e(0) . Îáîçíà÷èì z = x e − x, z0 = x e(0) − x(0) . Òîãäà ïî ôîðìóëå (2.4.3) ïîëó÷àåì

¡ ¢ z(t) = exp A(t − t0 ) · z0 = exp(−At0 ) · exp(At) · z0 .

(2.12.4)

Ïóñòü ìàòðèöà A èìååò ñîáñòâåííîå ÷èñëî λ ñ íåîòðèöàòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ. Òîãäà, åñëè z0  ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð, òî z(t) = exp(λ(t − t0 )) · z0 , è kz(t)k ≥ kz0 k ïðè t ≥ t0 . Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñêîëü óãîäíî ìàëîì ïî íîðìå âåêòîðå z0 (îòêëîíåíèè íà÷àëüíûõ äàííûõ) îòêëîíåíèå ðåøåíèÿ z íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ò.å. ðåøåíèå x íå ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì. Ïóñòü òåïåðü âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà λj ìàòðèöû A èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè. Èç (2.12.4) âèäíî, ÷òî

kz(t)k ≤ kexp(−At0 )k · kexp(At)k · kz0 k.

(2.12.5)

Èç ï.2.5 èçâåñòíî, ÷òî èçîáðàæåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû  ïðàâèëüíûå ðàöèîíàëüíûå äðîáè, ïîëþñû êîòîðûõ  ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A. Ðàçëàãàÿ èõ íà ïðîñòåéøèå è âñïîìèíàÿ ôîðìóëó

L−1

³

´ 1 tk−1 = · exp(λt) · δ1 (t), (s − λ)k (k − 1)!

ïîëó÷àåì, ÷òî âñå ýëåìåíòû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû  ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ôóíêöèé âèäà tk · exp(λj t), ãäå λj  ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A, à k ∈ N ∪ {0}. Ïîñêîëüêó Re(λj ) < 0, âñå ôóíêöèè òàêîãî âèäà îãðàíè÷åíû íà [0, +∞[ è îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè t = +∞. Ïîýòîìó

kexp(At)k ≤ C

ïðè

t ∈ [0, +∞[;

lim kexp(At)k = 0.

t=+∞

Òàêèì îáðàçîì, èç (2.12.5) âèäíî, ÷òî ïðè kz0 k < δ

kz(t)k ≤ kexp(−At0 )k · C · δ ïðè t ∈ [t0 , +∞[;

lim kz(t)k = 0.

t=+∞

Èç ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ x ïî Ëÿïóíîâó; âòîðîå îçíà÷àåò àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü. ¥ 44

Ïåðåõîäÿ ê ðàññìîòðåíèþ íåëèíåéíûõ ñèñòåì, ìû îãðàíè÷èìñÿ ëèøü îäíîé ñèòóàöèåé. Ïóñòü F : Rn → Rn  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå âåêòîðíîå ïîëå, è F (x(0) ) = θn . Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé

x0 = F (x)

(2.12.6)

(0)

èìååò ðåøåíèå x(t) ≡ x . Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. Ñèñòåìà óðàâíåíèé âèäà (2.12.6) (ó êîòîðîé ïðàâàÿ ÷àñòü íå çàâèñèò îò t) íàçûâàåòñÿ àâòîíîìíîé. Òî÷êè, â êîòîðûõ ïîëå F îáðàùàåòñÿ â íóëü, èìåíóþòñÿ òî÷êàìè ïîêîÿ ñèñòåìû. Ïóñòü x e  ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû (2.12.6) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x(0) = x e(0) . Îáîçíà÷èì z = x e−x(0) óêëîíåíèå ðåøåíèÿ îò òî÷êè ïîêîÿ è ïåðåïèøåì (2.12.6), èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ ïîëÿ F :

z 0 = DF (x(0) ) · z + α(z)

(2.12.7)

(α  îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà). Ïîñêîëüêó ïðè z , ìàëûõ ïî íîðìå, îñòàòî÷íûé ÷ëåí ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì ñëàãàåìûì â ïðàâîé ÷àñòè (2.12.7), ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2.12.6) â ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ïîêîÿ x(0) âåäóò ñåáÿ òàê æå, êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû. Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî Òåîðåìà Ëÿïóíîâà. Åñëè âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû DF (x(0) ) èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè, òî ðåøåíèå x(t) ≡ x(0) ñèñòåìû (2.12.6) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî. Åñëè õîòÿ áû îäíî ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû DF (x(0) ) èìååò ïîëîæèòåëüíóþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòü, òî ðåøåíèå x(t) ≡ x(0) íå áóäåò óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó (è òåì áîëåå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì). Çàìå÷àíèå. Ýòà òåîðåìà íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé îá óñòîé÷èâîñòè ïî ëèíåéíîìó ïðèáëèæåíèþ. Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû DF (x(0) ) Re(λj ) = 0, à äëÿ îñòàëüíûõ Re(λj ) < 0, òî ýòà òåîðåìà íå äàåò îòâåòà íà âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè òî÷êè ïîêîÿ. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ìàÿòíèêà ñ òðåíèåì â ïîäøèïíèêå (ðèñ.2.2). Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà:

mRϕ00 = fòð + fòÿæ · sin(ϕ) = −κϕ0 − mg · sin(ϕ). (2.12.8) Ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ x1 = ϕ, x2 = ϕ0 , ñâåäåì (2.12.8) ê ±àâòîíîìíîé ñèñòåìå ± óðàâíåíèé âèäà (2.12.6) (çäåñü ε = κ (mR), ω 2 = g R) ¸ · 0¸ · x2 x1 . (2.12.9) = −ω 2 sin(x1 ) − εx2 x02 45

¡ µ e¡ fòð @ @ @

ϕ

@

@ @

@

@ @

@z

¡ ¡ ª f òÿæ @ @?

Ðèñ.2.2 Òî÷êè ïîêîÿ ñèñòåìû (2.12.9) îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèÿìè sin(x1 ) = 0, x2 = 0, è ñîîòâåòñòâóþò íåïîäâèæíîìó ìàÿòíèêó â íèæíåé (x1 = 2kπ , k öåëîå) èëè â âåðõíåé (x1 = (2k + 1)π , k öåëîå) òî÷êå îêðóæíîñòè.

·

¸ 0 1 Åñëè x(0) = [(2k + 1)π, 0]T , òî A = DF (x(0) ) = ,è ω 2 −ε q q ± ± ε ε 2 2 λ1 (A) = − + ω + ε 4, λ2 (A) = − − ω 2 + ε2 4. 2 2

Î÷åâèäíî, ÷òî Re(λ1 ) > 0. Òàêèì îáðàçîì, íèêàêîå òðåíèå íå ìîæåò ñäåëàòü âåðõíåå ïîëîæåíèå ìàÿòíèêà óñòîé÷èâûì.

·

¸ 0 1 Åñëè x(0) = [2kπ, 0]T , òî A = DF (x(0) ) = ,è −ω 2 −ε q q ± ± ε ε 2 2 λ1 (A) = − + i ω − ε 4, λ2 (A) = − − i ω 2 − ε2 4 2 2

(ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî òðåíèå ìàëî, è ε < 2ω ). Î÷åâèäíî, îáà ñîáñòâåííûõ ÷èñëà èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè. Òàêèì îáðàçîì, ñêîëü óãîäíî ìàëîå òðåíèå äåëàåò íèæíåå ïîëîæåíèå ìàÿòíèêà àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì. Åñëè òðåíèÿ íåò (ε = 0), òî â íèæíåé òî÷êå ñîáñòâåííûå ÷èñëà èìåþò íóëåâûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè (λ1,2 = ±iω ), è òåîðåìà Ëÿïóíîâà íå äàåò îòâåòà íà âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå íèæíåå ïîëîæåíèå ìàÿòíèêà óñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó, íî íå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.

46

II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÔÈÇÈÊÀ

47

Ãëàâà 1. ÒÅÎÐÈß ÂÅÊÒÎÐÍÎÃÎ ÏÎËß 1.1. Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë Ðàññìîòðèì äëÿ íà÷àëà òèïè÷íóþ çàäà÷ó. Çàäà÷à. Äàíî: 1) íåïðåðûâíîå âåêòîðíîå ïîëå (ñèëà) f : R3 → R3 , íå çàâèñÿùåå îò âðåìåíè

    x fx (x, y, z) f y  −→ fy (x, y, z) ; z fz (x, y, z)

2) ãëàäêèé ïóòü (ñì. ï.11.2 ðàçäåëà "Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç") òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû r : [t1 , t2 ] → R3



 x = ϕ(t) r t −→ y = ψ(t) . z = ω(t)

Íàéòè ðàáîòó ñèëû f çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè [t1 , t2 ]. Èç êóðñà ôèçèêè èçâåñòíî, ÷òî ìîùíîñòü ñèëû ðàâíà ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ ýòîé ñèëû íà ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ åå òî÷êè ïðèëîæåíèÿ, ò.å. P = hf , vi; ðàáîòà ñèëû ðàâíà èíòåãðàëó A = 1. Íàõîäèì ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè

Rt2

t1

P (t) dt.

£ ¤T v(t) = r0 (t) = ϕ0 (t) ψ 0 (t) ω 0 (t) .

2. Íàõîäèì çàâèñèìîñòü ñèëû îò âðåìåíè

  fx (ϕ(t), ψ(t), ω(t)) (f ◦ r) (t) = fy (ϕ(t), ψ(t), ω(t)) . fz (ϕ(t), ψ(t), ω(t))

3. Íàõîäèì çàâèñèìîñòü ìîùíîñòè îò âðåìåíè (ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñèëû è ñêîðîñòè) P (t) = hf ◦ r, r0 i(t). 4. Èíòåãðèðóÿ ìîùíîñòü ïî çàäàííîìó ïðîìåæóòêó âðåìåíè, âû÷èñëÿåì èñêîìóþ ðàáîòó

Zt2 A=

Zt2 hf ◦ r, r0 i(t) dt =

P (t) dt = t1

t1

Zt2 (fx · ϕ0 + fy · ψ 0 + fz · ω 0 ) (t) dt. (1.1.1)

= t1

48

Èíòåãðàë Ðèìàíà ñ òàêîé, êàê â (1.1.1), ñòðóêòóðîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ. Åãî ïðèíÿòî íàçûâàòü êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëîì îò âåêòîðíîãî ïîëÿ f âäîëü ïóòè ` îò òî÷êè A äî òî÷êè B. Ïèøóò

Z(B) (`) hf , dri. (A)

Ðàñøèôðîâûâàåòñÿ ýòîò ñèìâîë òàê: 1. çàäàíî êóñî÷íî íåïðåðûâíîå âåêòîðíîå ïîëå f; 2. çàäàí êóñî÷íî ãëàäêèé ïóòü ` ñ íà÷àëîì â òî÷êå A è êîíöîì â òî÷êå B , ò.å. îòîáðàæåíèå r : [α, β] → R3 , r(α) = A, r(β) = B . 3. Ïî îïðåäåëåíèþ

Z(B) Zβ (`) hf , dri = hf ◦ r, r0 i. α

(A)

Ïðèìåð. Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë îò âåêòîðíîãî ïîëÿ

fx (x, y, z) = y 2 ,

fz (x, y, z) = x2 p âäîëü ïóòè, îáðàçîâàííîãî ïåðåñå÷åíèåì ïîëóñôåðû z = a2 − x2 − y 2 è öèëèíäðà x2 + y 2 = ax (a > 0). Äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü èç òî÷êè (a, 0, 0). Ýòîò ïðèìåð âçÿò íàìè èç çàäà÷íèêà. Îáðàùàåì âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ íà òî, ÷òî ïî òðàäèöèè âìåñòî óðàâíåíèé ïóòè äàíî åãî ñëîâåñíîå îïèñàíèå. Ïîñêîëüêó ïîëó÷åíèå óðàâíåíèé íå èìååò îòíîøåíèÿ ê ðàññìàòðèâàåìîé òåìå, âûïèøåì èõ áåç êîììåíòàðèåâ. Íå çàáóäüòå ëèøü ïðîâåðèòü íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ! r : [−π/2, π/2] → R3 ;

fy (x, y, z) = z 2 ,

x = a·cos2 (t), y = a·sin(t)·cos(t), z = a·|sin(t)|.

1. Ñòðîèì êîìïîçèöèþ f ◦ r: [−π/2, π/2] → R3 :

£ ¤T (f ◦ r)(t) = a2 · sin2 (t) · cos2 (t), sin2 (t), cos4 (t) .

2. Âû÷èñëÿåì ïðîèçâîäíóþ îò ïóòè (ñêîðîñòü):

£ ¤T r0 (t) = a · −2cos(t) · sin(t), cos2 (t) − sin2 (t), sign(t) · cos(t) . 3. Âû÷èñëÿåì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ (ìîùíîñòü):

¡ P (t) = hf ◦ r, r0 i(t) = a3 −2sin3 · cos3 (t)+ ¡ ¢ ¢ + sin2 (t) · cos2 (t) − sin2 (t) + cos5 (t) · sign(t) . 49

4. Âû÷èñëÿåì èíòåãðàë Ðèìàíà (ðàáîòó):

Zπ/2 a3

¡ ¡ ¢ −2sin3 (t)cos3 (t) + sin2 (t) · cos2 (t) − sin2 (t) +

−π/2

¢ + cos5 (t) · sign(t) dt = −πa3 /4.

Çàìå÷àíèÿ. 1. Åñëè `  çàìêíóòûé ïóòü, òî êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ïî íåìó íàçûâàþò öèðêóëÿöèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ âäîëü ` è ïèøóò

I

hf , dri. `

2.  òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íàïðÿæåíèåì ìåæäó òî÷êàìè A è B âäîëü ïóòè ` íàçûâàþò êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë

UAB

Z(B) = (`) hE, dri, (A)

ãäå E  íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé â êîíòóðå (çàìêíóòîì ïðîâîäíèêå) ` íàçûâàþò êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë

I

e=

hE, dri. `

1.2. Ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ ÷åðåç ïîâåðõíîñòü Íà ðèñ.1.1 èçîáðàæåíà ïëîùàäêà Π, èìåþùàÿ ôîðìó ïàðàëëåëî→ → ãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà íàïðàâëåííûõ îòðåçêàõ − p è− q . Åñëè æèäêîñòü òå÷åò ÷åðåç ïëîùàäêó ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v, òî êîëè÷åñòâî æèäêîñòè Q, ïðîòåêàþùåå ÷åðåç ïëîùàäêó Π â åäèíèöó âðåìåíè, ðàâíî îáúåìó → → → ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà íàïðàâëåííûõ îòðåçêàõ − p,− q,− v. ×èñëî Q â ãèäðîäèíàìèêå íàçûâàþò ïîòîêîì æèäêîñòè ÷åðåç ïëîùàäêó Π. ×òîáû óêàçàòü, â êàêîì íàïðàâëåíèè âû÷èñëÿåòñÿ ïîòîê, âûáèðàþò îäíî èç äâóõ íàïðàâëåíèé íîðìàëè ê ïëîùàäêå (íàïðàâëåííûé → îòðåçîê − n íà ðèñ.1.1) è ãîâîðÿò "ïîòîê æèäêîñòè ÷åðåç ïëîùàäêó Π â → íàïðàâëåíèè − n ïðè÷åì ïîòîê ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè ïîëîæèòåëüíà ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè íà íàïðàâëåíèå íîðìàëè, è îòðèöàòåëüíûì, åñëè ýòà ïðîåêöèÿ îòðèöàòåëüíà. 50

³ ³³ ³³ £ ³³ ££ ³ £ ³³ → − £ £ ³³ v ³³³ £ £ £± £ £ £ £ £ − → £ £ £ £ n £ £ £ £ 6 − → £ £ £ £ q£ £ £ 1 ³£ ³³ £ ³ £ ³³ ³ ³ Π£ ³ £ ³³³ ³³ ³ -£³³ £ ³ ³ ³³

− → p

Ðèñ.1.1 Èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, − → → ïîñòðîåííîãî íà íàïðàâëåííûõ îòðåçêàõ → p,− q,− v , ðàâåí |det ([v, p, q])|. −−−→ − → − → Îòðåçîê p × q ïåðïåíäèêóëÿðåí è p è q è, ñëåäîâàòåëüíî, êîëëèíåàðåí íîðìàëè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî det ([v, p, q]) = hv, p × qi, ïîëó÷àåì, ÷òî ïîòîê −−−→ → → â íàïðàâëåíèè − n ðàâåí det ([v, p, q]), åñëè − n ñîíàïðàâëåí p × q, è ðàâåí −−−→ → −det ([v, p, q]), åñëè − n ïðîòèâîíàïðàâëåí p × q. Ðàñïðîñòðàíèì òåïåðü ïîíÿòèå ïîòîêà íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî êóñî÷íî íåïðåðûâíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ f : R3 → R3

    x fx (x, y, z) f y  −→ fy (x, y, z) z fz (x, y, z) è êóñî÷íî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè (ñì. ï.11.3 ðàçäåëà "Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç"), çàäàííîé îòîáðàæåíèåì r : G ⊂ R2 → R3

  · ¸ x = ϕ(u, v) u r  −→ y = ψ(u, v) . v z = ω(u, v) Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó (u0 , v0 ) ∈ G. Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíèê Ω ñ âåðøèíàìè (u0 , v0 ), (u0 + ∆u, v0 ), (u0 , v0 + ∆v), (u0 + ∆u, v0 + ∆v), è îáðàç ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà  "ëîñêóò" ïîâåðõíîñòè (ðèñ.1.2), à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèé êóñîê êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè  ïàðàëëåëîãðàìì Π, ïî→ → ñòðîåííûé íà íàïðàâëåííûõ îòðåçêàõ − p è− q , ãäå



 D1 ϕ(u0 , v0 ) p = D1 r·∆u = D1 ψ(u0 , v0 ) ·∆u, D1 ω(u0 , v0 )



 D2 ϕ(u0 , v0 ) q = D2 r·∆v = D2 ψ(u0 , v0 ) ·∆v. D2 ω(u0 , v0 ) 51

½ ½¢ ½ ¢ ½ ¢ ½ ¢ → − − → q ¢¸½ Π ¢ f AK ¢ ¢ A ¢ ¢ A ¢ ¢ − A → p ¢ ¾ "ëîñêóò" ¢ A ½ > ¢ ½ A ½ ¢ ½ A A ¢½ r(u0 , v0 )Au¢½ R3

Ω

R2

u

Ðèñ.1.2

(u0 , v0 )

Âû÷èñëèì âåêòîðíîå ïîëå â òîé æå òî÷êå

  fx (ϕ(u0 , v0 ), ψ(u0 , v0 ), ω(u0 , v0 )) (f ◦ r)(u0 , v0 ) = fy (ϕ(u0 , v0 ), ψ(u0 , v0 ), ω(u0 , v0 )) . fz (ϕ(u0 , v0 ), ψ(u0 , v0 ), ω(u0 , v0 ))

Îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà íàïðàâëåííûõ îòðåçêàõ → − − → − → p , q , f , ïðè ìàëûõ ðàçìåðàõ ïëîùàäêè Π äîëæåí, ïî-âèäèìîìó, ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò êîëè÷åñòâà "æèäêîñòè ïðîòåêàþùåé ÷åðåç ëîñêóò ïîâåðõíîñòè â åäèíèöó âðåìåíè. Ýòî (íå èìåþùåå äîêàçàòåëüíîé ñèëû) ñîîáðàæåíèå äàåò îñíîâàíèå ââåñòè Îïðåäåëåíèå. Ïîòîêîì âåêòîðíîãî ïîëÿ f : R3 → R3 ÷åðåç ïîâåðõíîñòü, çàäàííóþ îòîáðàæåíèåì r : G ⊂ R2 → R3 , â íàïðàâëåíèè, îïðåäåëÿåìîì âåêòîðîì D1 r × D2 r, íàçûâàåòñÿ äâîéíîé èíòåãðàë

ZZ

det ([f ◦ r, D1 r, D2 r]) G

èëè, â áîëåå ïîäðîáíîé çàïèñè,

ZZ G



 fx (ϕ(u, v), ϕ(u, v), ω(u, v)) D1 ϕ(u, v) D2 ϕ(u, v) det fy (ϕ(u, v), ψ(u, v), ω(u, v)) D1 ψ(u, v) D2 ψ(u, v) dudv. fz (ϕ(u, v), ψ(u, v), ω(u, v)) D1 ω(u, v) D2 ω(u, v)

Çàìå÷àíèÿ. 1. Íåîáõîäèìî, ÷òîáû íàïðàâëåíèå, çàäàâàåìîå âåêòîðîì D1 r × D2 r, âî âñåõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿëî "îäíó è òó æå ñòîðîíó" ýòîé ïîâåðõíîñòè. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî äëÿ òàê íàçûâàåìûõ "äâóñòîðîííèõ" ïîâåðõíîñòåé. 52

Íå èìåÿ âîçìîæíîñòè â ðàìêàõ íàøåãî êóðñà óòî÷íèòü ïîíÿòèÿ îäíîñòîðîííåé è äâóñòîðîííåé ïîâåðõíîñòåé, îãðàíè÷èìñÿ öèòàòîé èç ó÷åáíèêà À.Ä. Àëåêñàíäðîâà è Í.Þ. Íåöâåòàåâà4 (Ãåîìåòðèÿ.  Ì.: Íàóêà, 1990): "Èíòåðåñíûì ïðèìåðîì [. . . ] ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìûé "ëèñò Ìåáè5 óñà ". Îí âûãëÿäèò êàê ðåçóëüòàò ñêëåèâàíèÿ êîíöîâ ñêðó÷åííîé ïîëîñêè áóìàãè. Ëèñò Ìåáèóñà  ïðîñòåéøàÿ îäíîñòîðîííÿÿ ïîâåðõíîñòü. ×òî ýòî çíà÷èò? Îáû÷íî ó ïîâåðõíîñòè äâå ñòîðîíû. Âû ìîæåòå ïîêðàñèòü îäíó ñòîðîíó, ñêàæåì, â ñèíèé öâåò, à äðóãóþ  â êðàñíûé, òàê ÷òî öâåòà íèãäå íå áóäóò ãðàíè÷èòü äðóã ñ äðóãîì. Íà÷àâ æå êðàñèòü ñ ëþáîãî ìåñòà ëèñò Ìåáèóñà, Âû íåïðåìåííî çàêðàñèòå åãî öåëèêîì  "ñî âñåõ ñòîðîí"! Äâå ñòîðîíû èñõîäíîé ïîëîñêè áóìàãè îòîæäåñòâèëèñü ïðè ñêëåèâàíèè". Îòìåòèì åùå, ÷òî â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå âñå çàìêíóòûå ïîâåðõíîñòè áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé  ñôåðà, òîð (ïîâåðõíîñòü "áóáëèêà") è ò. ï.  ÿâëÿþòñÿ äâóñòîðîííèìè, ïîýòîìó ìîæíî îïðåäåëÿòü ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ "âíóòðü" èëè "íàðóæó". 2. Ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ f ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S ÷àñòî íàçûâàþò RR ïîâåðõíîñòíûì èíòåãðàëîì è îáîçíà÷àþò hf , dSi. S

Ïðèìåð. Âû÷èñëèòü ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ

fx (x, y, z) = x2 , fy (x, y, z) = y 2 , fz (x, y, z) = z 2 ÷åðåç âíåøíþþ ïîâåðõíîñòü ðàñïîëîæåííîé â ïåðâîì îêòàíòå ÷àñòè ñôåðû x2 + y 2 + z 2 = 1. Òàê æå, êàê â ñëó÷àå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà, ïðèâåäåííàÿ ôîðìóëèðîâêà (ñòàíäàðòíàÿ äëÿ ñòàðûõ çàäà÷íèêîâ) ñîäåðæèò íå îòíîñÿùóþñÿ ê òåìå ÷àñòü çàäà÷è: íåîáõîäèìî íàïèñàòü ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòè, çàäàííîé ñëîâåñíûì îïèñàíèåì. Ïðèâîäèì îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ çàïèñè ýòèõ óðàâíåíèé:

x = sin(θ) · cos(ϕ), 0 ≤ θ ≤ π/2,

y = sin(θ) · sin(ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ π/2.

4 Àëåêñàíäð

z = cos(θ);

Äàíèëîâè÷ ÀËÅÊÑÀÍÄÐΠ(1912-1999)  äåéñòâèòåëüíûé ÷ëåí ÀÍ ÑÑÑÐ, ëàóðåàò Ìåæäóíàðîäíîé ïðåìèè èìåíè Ëîáà÷åâñêîãî, îñíîâàòåëü ñîâåòñêîé øêîëû "ãåîìåòðèè â öåëîì â 1952-1964 ã.ã.  ðåêòîð Ëåíèíãðàäñêîãî óíèâåðñèòåòà, ìàñòåð ñïîðòà ïî àëüïèíèçìó. Íèêèòà Þðüåâè÷ ÍÅÖÂÅÒÀÅ (ðîä. 1959)  ðîññèéñêèé ãåîìåòð, ïðîôåññîð Ïåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà. 5 Àâãóñò Ôåðäèíàíä ÌÅÁÈÓÑ (A.F. M obius, 1790-1868)  íåìåöêèé ãåîìåòð. 53

1. Ñòðîèì êîìïîçèöèþ

£ ¤T (f ◦ r)(θ, ϕ) = sin2 (θ) · cos2 (ϕ), sin2 (θ) · sin2 (ϕ), cos2 (θ) .

2. Âû÷èñëÿåì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå

Dθ r(θ, ϕ) = [cos(θ) · cos(ϕ), cos(θ) · sin(ϕ), −sin(θ)]T ; Dϕ r(θ, ϕ) = [−sin(θ) · sin(ϕ), sin(θ) · cos(ϕ), 0]T . Óáåäèòåñü ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî âåêòîð Dθ r × Dϕ r â êàæäîé òî÷êå ñôåðû íàïðàâëåí â åå "âíåøíþþ" ñòîðîíó. 3. Âû÷èñëÿåì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ ("ýëåìåíòàðíûé ïîòîê")

det ([f ◦ r, Dθ r, Dϕ r]) =



 sin2 (θ) · cos2 (ϕ) cos(θ) · cos(ϕ) −sin(θ) · sin(ϕ) = det  sin2 (θ) · sin2 (ϕ) cos(θ) · sin(ϕ) sin(θ) · cos(ϕ)  = cos2 (θ) −sin(θ) 0 ¡ 3 ¡ ¢¢ = sin(θ) · cos (θ) + sin3 (θ) · cos3 (ϕ) + sin3 (ϕ) . 4. Âû÷èñëÿåì äâîéíîé èíòåãðàë Ðèìàíà

Zπ/2³ Zπ/2 ¡ 3 ¢´ 3 3 3 sin(θ)dθ cos (θ) + sin (θ) · cos (ϕ) + sin (ϕ) dϕ = 3π/8. 0

0

Çàìå÷àíèå. Åñëè áû âåêòîð Dθ r×Dϕ r "ñìîòðåë â äðóãóþ ñòîðîíó òî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñëåäîâàëî áû óìíîæèòü íà (−1).

1.3. Äèâåðãåíöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ. Òåîðåìà ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî Ïóñòü f : R3 → R3  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå âåêòîðíîå ïîëå: f

[x, y, z]T −→ [fx , fy , fz ]T . Âû÷èñëèì ïîòîê ýòîãî ïîëÿ ÷åðåç êóñî÷íî ãëàäêóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S , îãðàíè÷èâàþùóþ îáëàñòü V , â íàïðàâëåíèè "íàðóæó". Çàìå÷àíèÿ. 1. Åñëè îáîçíà÷èòü

f1 = [fx , 0, 0]T ,

f2 = [0, fy , 0]T ,

òî f = f1 + f2 + f3 è, ñëåäîâàòåëüíî,

ZZ

ZZ

hf , dSi = S

f3 = [0, 0, fz ]T ,

ZZ

hf1 , dSi + S

hf2 , dSi + S

54

ZZ hf3 , dSi. S

Ìû îãðàíè÷èìñÿ âû÷èñëåíèåì îäíîãî èç òðåõ ïîëó÷åííûõ îäíîòèïíûõ èíòåãðàëîâ (íàïðèìåð, òðåòüåãî).

S1

S2 V1

Σ

V2

Ðèñ.1.3 2. Åñëè îáëàñòü V ðàçäåëèòü íà äâå ÷àñòè V1 è V2 êóñî÷íî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ Σ (ðèñ.1.3), òî ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ f ÷åðåç ãðàíèöó îáëàñòè V1 (÷åðåç ïîâåðõíîñòü S1 è ÷åðåç ïîâåðõíîñòü Σ) ðàâåí

ZZ

ZZ

hf , dSi + S1

hf , dSi, Σ

à ïîòîê ÷åðåç ãðàíèöó îáëàñòè V2 (÷åðåç ïîâåðõíîñòü S2 è ÷åðåç ïîâåðõíîñòü Σ) ðàâåí ZZ ZZ

hf , dSi + S2

hf , dSi. Σ

Çàìåòèì, ÷òî ïîòîêè âû÷èñëÿþòñÿ â íàïðàâëåíèè âíåøíèõ (ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè) íîðìàëåé. Ïîòîêè ÷åðåç "ïåðåìû÷êó" Σ â ïåðâîé è âî âòîðîé ñóììå ðàâíû ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó. Ñóììà èõ , î÷åâèäíî, ðàâíà íóëþ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîê ÷åðåç ãðàíèöó îáëàñòè V ðàâåí ñóììå ïîòîêîâ ÷åðåç ãðàíèöû îáëàñòåé V1 è V2 :

ZZ

ZZ

hf , dSi = ∂V

ZZ

hf , dSi + ∂ V1

hf , dSi ∂ V2

(ñèìâîëîì ∂V ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ãðàíèöó îáëàñòè V ). Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî êàæäàÿ ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ êîîðäèíàòíîé îñè Oz è ïåðåñåêàþùàÿ íàøó îáëàñòü, ïåðåñåêàåò åå ïî îòðåçêó (ýòîìó óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò, íàïðèìåð, âñå âûïóêëûå òåëà). Äëÿ òàêîé îáëàñòè îãðàíè÷èâàþùàÿ åå ïîâåðõíîñòü S ïðåäñòàâèòñÿ êàê îáúåäèíåíèå òðåõ ÷àñòåé (ðèñ.1.4)  SB (âåðõíåé), Sáîê (áîêîâîé) è SH (íèæíåé). Íà ïîâåðõíîñòè Sáîê ïîëå f3 îðòîãîíàëüíî íîðìàëè, ò.å. hf3 , ni = 0, è ïîòîìó ïîòîê ÷åðåç ýòó ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, 55

¾

¾

¾

SB : z = ωB (x, y) Sáîê SH : z = ωH (x, y)

∆ Ðèñ.1.4

ZZ

ZZ hf3 , dSi =

S

ZZ hf3 , dSi +

SB

hf3 , dSi.

(1.3.1)

SH

Ïîâåðõíîñòè SB è SH ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ãðàôèêàìè ôóíêöèé ωB è ωH , êîòîðûå îïðåäåëåíû íà íåêîòîðîé ïëîñêîé îáëàñòè ∆ (ïðîåêöèè V íà ïëîñêîñòü xOy ), âêëþ÷àÿ åå ãðàíèöó. Âû÷èñëèì ïåðâûé èç èíòåãðàëîâ â ïðàâîé ÷àñòè (1.3.1). Ïîâåðõíîñòü SB çàäàåòñÿ îòîáðàæåíèåì r1 : ∆ → R3

 · ¸ x r1  −→ y

 x . y ωB (x, y)     1 0 Ïîýòîìó D1 r1 =  0 , D2 r1 =  1 , è D1 ωB D2 ωB   ZZ ZZ 0 1 0 hf3 , dSi = det  0 0 1  dxdy = fz D1 ωB D2 ωB SB ∆ ZZ = fz (x, y, ωB (x, y)) dxdy. ∆

Çíàê ïëþñ áåðåòñÿ, ïîñêîëüêó âåêòîð



 −D1 ωB D1 r1 × D2 r1 = −D2 ωB  , 1

î÷åâèäíî, çàäàåò íà SB íàïðàâëåíèå "ââåðõ ò.å. íàðóæó V (òðåòüÿ êîîðäèíàòà ýòîãî âåêòîðà ïîëîæèòåëüíà). 56

Äëÿ ïîâåðõíîñòè SH , çàäàâàåìîé îòîáðàæåíèåì r2 : ∆ → R3

  · ¸ x x r2  , −→ y y ωH (x, y)

àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì

ZZ

ZZ

hf3 , dSi = − SH

fz (x, y, ωH (x, y)) dxdy. ∆

Çíàê ìèíóñ áåðåòñÿ, ïîñêîëüêó âåêòîð

  −D1 ωH D1 r2 × D2 r2 = −D2 ωH  , 1

çàäàåò íà SH íàïðàâëåíèå òîæå "ââåðõ ò.å. âíóòðü V . Ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàòû â (1.3.1), èìååì

ZZ

ZZ ³ ´ hf3 , dSi = fz (x, y, ωB (x, y)) − fz (x, y, ωH (x, y)) dxdy.

S

∆

Ïî ôîðìóëå Íüþòîíà  Ëåéáíèöà

ωB Z(x,y)

fz (x, y, ωB (x, y)) − fz (x, y, ωH (x, y)) =

D3 fz (x, y, z) dz. ωH (x,y)

Ñëåäîâàòåëüíî,

Z Z ÃZ

ZZ

hf3 , dSi = S

ZZ

!

ωB (x,y)

D3 fz dz

D3 fz dxdydz. V

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü

ZZZ

S

dxdy =

ωH (x,y)

∆

hf1 , dSi =

ZZZ

ZZ

D1 fx dxdydz;

ZZZ hf2 , dSi =

V

S

D2 fy dxdydz. V

Ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷èì (ñì. çàìå÷àíèå 1)

ZZ

ZZZ

hf , dSi = S

(D1 fx + D2 fy + D3 fz ) dxdydz. V

Ôóíêöèÿ, ñòîÿùàÿ ïîä çíàêîì òðîéíîãî èíòåãðàëà (ñëåä ìàòðèöû ßêîáè ïîëÿ f ) èìåíóåòñÿ äèâåðãåíöèåé ýòîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ. Ïèøóò 57

div(f ) = Sp (Df ) = D1 fx + D2 fy + D3 fz . Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü äîêàçàííóþ âûøå òåîðåìó. Òåîðåìà ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî6 . Ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü â íàïðàâëåíèè íàðóæó ðàâåí èíòåãðàëó îò äèâåðãåíöèè ýòîãî ïîëÿ ïî îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ýòîé ïîâåðõíîñòüþ. Çàìå÷àíèÿ. 1. Ïîâåðõíîñòü ïðåäïîëàãàåòñÿ êóñî÷íî ãëàäêîé, à ïîëå  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûì. 2. Ìû äîêàçàëè òåîðåìó äëÿ îáëàñòåé ñïåöèàëüíîãî âèäà. Îäíàêî ëþáóþ îáëàñòü, êîòîðàÿ ìîæåò âñòðåòèòüñÿ íà ïðàêòèêå, ìîæíî ðàçäåëèòü íà êîíå÷íîå ÷èñëî êóñêîâ òàêîãî âèäà.  ñèëó çàìå÷àíèÿ 2 íà ñ.414 ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ ÷åðåç ïîëíóþ ïîâåðõíîñòü îáëàñòè ðàâåí ñóììå ïîòîêîâ ÷åðåç ïîëíûå ïîâåðõíîñòè åå êóñêîâ. Êàæäûé èç ýòèõ ïîòîêîâ ïðåîáðàçóåòñÿ ïî äîêàçàííîé òåîðåìå â èíòåãðàë îò äèâåðãåíöèè ïîëÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùåìó êóñêó, à ñóììà ýòèõ èíòåãðàëîâ äàåò èíòåãðàë îò äèâåðãåíöèè ïîëÿ ïî âñåé îáëàñòè. Ýòî ðàññóæäåíèå äîêàçûâàåò òåîðåìó äëÿ âñåõ "íå î÷åíü ïëîõèõ" îáëàñòåé. Äîêàçàòåëüñòâî â îáùåì ñëó÷àå ìû ïðîâîäèòü íå áóäåì. 3. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó çàìå÷àíèþ, ðàçäåëÿÿ îáëàñòü íà ÷àñòè, ìîæíî äîêàçàòü òåîðåìó ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî äëÿ êóñî÷íî ãëàäêîãî, íåïðåðûâíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ f. 4. Åñëè v  ñòàöèîíàðíîå RR (íå çàâèñÿùåå îò âðåìåíè) ïîëå ñêîðîñòåé äâèæåíèÿ æèäêîñòè, òî hv, dSi  ýòî êîëè÷åñòâî æèäêîñòè, âûòåêàS

þùåé èç îáëàñòè â åäèíèöó âðåìåíè. Î÷åâèäíî, îíî ðàâíî ðàçíîñòè ìåæäó êîëè÷åñòâîì æèäêîñòè, "îáðàçóþùåéñÿ" âíóòðè ýòîé îáëàñòè â åäèíèöó âðåìåíè, è êîëè÷åñòâîì æèäêîñòè, "èñ÷åçàþùåé" òàì æå è òîãäà æå, ò.å. ðàçíîñòè ìåæäó ñóììàðíîé ìîùíîñòüþ "èñòî÷íèêîâ" è ñóììàðíîé ìîùíîñòüþ "ñòîêîâ íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè V . Ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü ìîùíîñòè èñòî÷íèêîâ (ñòîêè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê "îòðèöàòåëüíûå èñòî÷íèêè") ðàâíà

1 îáúåì V

ZZZ div(v) dxdydz = div(v)cp . V

6 Ìèõàèë

Âàñèëüåâè÷ ÎÑÒÐÎÃÐÀÄÑÊÈÉ (1801-1862)  ðóññêèé ìàòåìàòèê, îäèí èç îñíîâàòåëåé ïåòåðáóðãñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëû, ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ è ðÿäà èíîñòðàííûõ àêàäåìèé. 58

Íà ýòîì îñíîâàíèè â ãèäðàâëèêå äèâåðãåíöèþ ïîëÿ ñêîðîñòåé íàçûâàþò ïëîòíîñòüþ ìîùíîñòè èñòî÷íèêîâ. 5. Ïîëå, äèâåðãåíöèÿ êîòîðîãî ðàâíà íóëþ, íàçûâàåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì, èëè ïîëåì áåç èñòî÷íèêîâ. Ïî òåîðåìå ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî ïîòîê òàêîãî ïîëÿ ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ êóñî÷íî ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ.

1.4. Ðîòîð âåêòîðíîãî ïîëÿ. Òåîðåìà Ñòîêñà Òåîðåìà ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó çíà÷åíèÿìè ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîëÿ â îáëàñòè V è çíà÷åíèÿìè ïîëÿ íà ãðàíèöå ýòîé îáëàñòè  ïîâåðõíîñòè ∂V :

ZZZ

ZZ

(D1 fx + D2 fy + D3 fz ) dxdydz = V

hf , dSi. ∂V

Íàïîìíèì, ÷òî òåîðåìà Íüþòîíà  Ëåéáíèöà ñâÿçûâàåò çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â èíòåðâàëå ]a, b[ è çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè íà ãðàíèöå èíòåðâàëà  â òî÷êàõ a è b:

Zb f 0 = f (b) − f (a). a

Ñôîðìóëèðóåì áåç äîêàçàòåëüñòâà òðåòüþ òåîðåìó òîãî æå òèïà  òåîðåìó Ñòîêñà7 , êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò çíà÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîëÿ â îáëàñòè (íà ïîâåðõíîñòè S ) è çíà÷åíèÿ ýòîãî ïîëÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè  êðèâîé ∂S . Ïðåäâàðèòåëüíî ââåäåì íîâîå ïîíÿòèå. Îïðåäåëåíèå. Ðîòîðîì íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ f : R3 → R3 íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïîëå rot(f ) : R3 → R3 , çàäàâàåìîå ôîðìóëîé  

D2 fz − D3 fy rot(f ) = D3 fx − D1 fz  . D1 fy − D2 fx

Çàìå÷àíèÿ. 1. Èíîãäà ðîòîð íàçûâàþò âèõðåì âåêòîðíîãî ïîëÿ è îáîçíà÷àþò curl(f). 7 Äæîðäæ

Ãàáðèåëü ÑÒÎÊÑ (G.G. Stokes, 1819-1903)  àíãëèéñêèé ôèçèê è ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà, èçâåñòåí ðàáîòàìè ïî îïòèêå, ãèäðîäèíàìèêå è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. 59

2. Åñëè F : R2 → R2  ïëîñêîå âåêòîðíîå ïîëå

· ¸ · ¸ x F Fx (x, y) −→ , y Fy (x, y)

òî åìó ìîæíî ñîïîñòàâèòü âåêòîðíîå ïîëå f : R3 → R3

    x Fx (x, y) f y  −→ Fy (x, y) . z 0

Ðîòîð òàêîãî ïîëÿ ðàâåí



 0  = (D1 Fy − D2 Fx ) · e(3) . rot(f ) =  0 D1 Fy − D2 Fx

Èíîãäà â ñëó÷àå ïëîñêîãî ïîëÿ ïèøóò

rot(F) = D1 Fy − D2 Fx . 3. Åñëè f : R3 → R3  äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìîå âåêòîðíîå ïîëå, òî rot(f )  ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå. Äåéñòâèòåëüíî,

div(rot(f )) = D1 (rot(f ))1 + D2 (rot(f ))2 + D3 (rot(f ))3 = = D1 (D2 fz − D3 fy ) + D2 (D3 fx − D1 fz ) + D3 (D1 fy − D2 fx ) ≡ 0. Òåîðåìà Ñòîêñà. Åñëè f : R3 → R3  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå âåêòîðíîå ïîëå, à S  äâóñòîðîííÿÿ êóñî÷íî ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü â R3 , òî ïîòîê ðîòîðà ïîëÿ f ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S ðàâåí öèðêóëÿöèè ýòîãî ïîëÿ âäîëü êðèâîé ∂S , îãðàíè÷èâàþùåé ýòó ïîâåðõíîñòü:

ZZ

I

hrot(f ), dSi = S

hf , dri. ∂S

Ïðè ýòîì íàïðàâëåíèå, â êîòîðîì âû÷èñëÿåòñÿ ïîòîê, è íàïðàâëåíèå îáõîäà çàìêíóòîé êðèâîé ∂S ñâÿçàíû ïðàâèëîì ïðàâîãî âèíòà. Çàìå÷àíèÿ. 1. Òàê æå, êàê è òåîðåìà ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî, ýòà òåîðåìà âåðíà è äëÿ êóñî÷íî ãëàäêîãî, íåïðåðûâíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ f . 2. Åñëè âåêòîðíîå ïîëå f ÿâëÿåòñÿ ãðàäèåíòîì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ (ôóíêöèîíàëà) q, ò.å.

f = ∇q, 60

(1.4.1)

òî

    D2 (∇q)3 − D3 (∇q)2 D2 D3 q − D3 D2 q rot(f ) = rot(∇q) = D3 (∇q)1 − D1 (∇q)3  = D3 D1 q − D1 D3 q  ≡ θ. D1 (∇q)2 − D2 (∇q)1 D1 D2 q − D2 D1 q

Ïî òåîðåìå Ñòîêñà öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà f âäîëü ëþáîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà, îãðàíè÷èâàþùåãî êóñî÷íî ãëàäêóþ äâóñòîðîííþþ ïîâåðõíîñòü, ðàâíà íóëþ:

I

ZZ

hf , dri = ∂S

hrot(f ), dSi = 0.

(1.4.2)

S

Ôóíêöèîíàë q îïðåäåëåí ðàâåíñòâîì (1.4.1) ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé êîíñòàíòû. Åãî íàçûâàþò ñêàëÿðíûì ïîòåíöèàëîì âåêòîðíîãî ïîëÿ f , à ñàìî âåêòîðíîå ïîëå f  ïîòåíöèàëüíûì. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïîòåíöèàë äîëæåí áûòü îïðåäåëåí â îáëàñòè, ñîäåðæàùåé íå òîëüêî êîíòóð, íî è âñþ ïîâåðõíîñòü S, îãðàíè÷åííóþ ýòèì êîíòóðîì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñîîòíîøåíèå (1.4.2) ìîæåò íå èìåòü ìåñòà. Ïðèâåäåì ïðîñòîé ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïëîñêîå âåêòîðíîå ïîëå

  x · ¸ 2 2 x x + y  → y  y x2 + y 2 è ñîîòâåòñòâóþùåå åìó òðåõìåðíîå ïîëå f :   x   2 2 x x + y   y  →   2 y 2 . x + y  z 0

Ëåãêî ïðîâåðèòü (ïðîäåëàéòå ýòî!), ÷òî f = ∇ϕ, ãäå ϕ  ïîëÿðíûé óãîë òî÷êè (x, y). Ïîýòîìó

(ϕ ◦ r)0 = hf ◦ r, r0 i ,

è, ñëåäîâàòåëüíî,

Z(B) Zβ Zβ (`) hf , dri = hf ◦ r, r0 i(t) dt = (ϕ ◦ r)0 (t) dt = (A)

α

α

¯β ¯ = (ϕ ◦ r)(t)¯ = ϕ(B) − ϕ(A). (1.4.3) α

61

Ïóñòü òåïåðü êîíòóð `  ÷àñòü îêðóæíîñòè (ðèñ.1.5), çàäàâàåìàÿ îòîáðàæåíèåì r : [0, T ] → R3 ; x = a · cos(t), y = a · sin(t), z = 0.

z6

y ´ 3 ´

´

O´r´

r´ ´

t=T

x

r

t=0

´

´

-

´

´

´

Ðèñ.1.5 Òîãäà èç (1.4.3) âèäíî, ÷òî

Z(B) (`) hf , dri = T, (A)

è ïðè T = 2π ïîëó÷àåì

I hf , dri = 2π. `

Êàæóùååñÿ ïðîòèâîðå÷èå ñ ôîðìóëîé (1.4.2) îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ëþáàÿ ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííàÿ êîíòóðîì `, ïåðåñåêàåò îñü Oz, íà êîòîðîé ïîòåíöèàë ϕ íå îïðåäåëåí.

1.5. Ôîðìóëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì Ñ ïîìîùüþ òåîðåì ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî è Ñòîêñà ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ ìíîãîìåðíûõ èíòåãðàëîâ, àíàëîãè÷íûå èçâåñòíîé ôîðìóëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Ïóñòü V  îáëàñòü â R3 , îãðàíè÷åííàÿ êóñî÷íî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ, u è v  êóñî÷íî ãëàäêèå, íåïðåðûâíûå ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì âåêòîðíîå ïîëå

f = uv · e(k) ,

k = 1, 2, 3.

Çàìåòèì, ÷òî

div(f ) = Dk (uv) = Dk u · v + u · Dk v. Òåîðåìà ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî äàåò

ZZZ

ZZZ

Dk u · v = − V

ZZ huv · e(k) , dSi.

u · Dk v + V

∂V

62

 ñëó÷àå, êîãäà îäíà èç ôóíêöèé u, v îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ∂V, ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ïðèíèìàåò ñîâñåì ïðîñòîé âèä:

ZZZ

ZZZ

Dk u · v = −

u · Dk v.

V

(1.5.1)

V

Àíàëîãè÷íî, åñëè S  îáëàñòü â R2 , îãðàíè÷åííàÿ êóñî÷íî ãëàäêîé êðèâîé, u è v  êóñî÷íî ãëàäêèå, íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, îäíà èç êîòîðûõ ðàâíà íóëþ íà ∂S, òåîðåìà Ñòîêñà, ïðèìåíåííàÿ ê âåêòîðíîìó ïîëþ

f = uv · e(k) , äàåò ôîðìóëó, àíàëîãè÷íóþ (1.5.1):

ZZ

k = 1, 2, ZZ

Dk u · v = − S

u · Dk v. S

1.6. Èíòåãðàë îò ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé Èçâåñòíî, ÷òî â äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò òî÷êà íà ïëîñêîñòè ìîæåò áûòü çàäàíà îäíèì êîìïëåêñíûì ÷èñëîì z = x + i y. Ïóñòü ïëîñêàÿ êðèâàÿ ` çàäàíà îòîáðàæåíèåì r : [α, β] → R2

·

¸ x = ϕ(t) t −→ . y = ψ(t) r

Åå, î÷åâèäíî, ìîæíî òàêæå çàäàòü îäíîé êîìïëåêñíîçíà÷íîé ôóíêöèåé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé w : [α, β] → C; w(t) = ϕ(t) + i · ψ(t). Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü G ⊂ C ; f : G → C  êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé. Èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f ïî êóñî÷íî ãëàäêîé êðèâîé ` íàçûâàåòñÿ èíòåãðàë Ðèìàíà

Z

Zβ f (w(t)) w0 (t) dt.

f (z)dz = α

(`)

Ðàçäåëÿÿ âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè, ïîëó÷èì (çäåñü f = F1 + i · F2 )

Z

Zβ ³ f (z) dz =

(`)

´ F1 (w(t)) · ϕ (t) − F2 (w(t)) · ψ (t) dt+ 0

0

α

Zβ ³ +i ·

´ F1 (w(t)) · ψ (t) + F2 (w(t)) · ϕ (t) dt. 0

α

63

0

Ìû âèäèì, ÷òî âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé f = F1 + i · F2 ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ äâóõ êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ îò ïëîñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé [F1 , −F2 ]T è [F2 , F1 ]T . Åñëè f  àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, òî, êàê èçâåñòíî, êîìïîíåíòû ïîëÿ F1 è F2 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Êîøè  Ðèìàíà

D1 F1 = D2 F2 ,

D1 F2 = −D2 F1 .

Ïîýòîìó

³ · F ¸´ 1 rot = (−D1 F2 − D2 F1 ) · e(3) ≡ θ; −F2 ³·F ¸´ 2 rot = (D1 F1 − D2 F2 ) · e(3) ≡ θ. F1 Èç òåîðåìû Ñòîêñà ñëåäóåò òåïåðü Òåîðåìà Êîøè. Èíòåãðàë îò àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè ïî êóñî÷íî ãëàäêîé çàìêíóòîé êðèâîé ðàâåí íóëþ.

1.7. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå  ýòî óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà âåêòîðíûõ ïîëåé E : R4 → R3 ; H : R4 → R3 , ãäå

E = [Ex (x, y, z, t), Ey (x, y, z, t), Ez (x, y, z, t)]T  íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ;

H = [Hx (x, y, z, t), Hy (x, y, z, t), Hz (x, y, z, t)]T  íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Íàðÿäó ñ âåêòîðíûìè ïîëÿìè E è H â òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ åùå äâà âåêòîðíûõ ïîëÿ: ïîëå ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ D = εE, ãäå ε  (3 × 3)-ìàòðèöà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè, è ïîëå ìàãíèòíîé èíäóêöèè B = µH, ãäå µ  (3 × 3)-ìàòðèöà ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè.  ñëó÷àå îäíîðîäíîé è èçîòðîïíîé ñðåäû ìàòðèöû äèýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè ïðèíèìàþò âèä ε · I3 è µ · I3 (çäåñü ε è µ  óæå ÷èñëà, à I3  åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà). Òåîðèÿ Ìàêñâåëëà8 ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ, ñîçäàâàåìûå çàäàííûìè ýëåêòðè÷åñêèìè çàðÿäàìè è òîêàìè. 8 Äæåéìñ

Êëåðê ÌÀÊÑÂÅËË (J.C. Maxwell, 1831-1879)  øîòëàíäñêèé ôèçèê, ÷ëåí Ëîíäîíñêîãî êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà. Ïåðâûé ñäåëàë ïîïûòêó ñîçäàòü îáùóþ òåîðèþ ýëåêòðîìàãíåòèçìà, ñïîñîáñòâîâàë ôîðìèðîâàíèþ òåîðèè âåêòîðíîãî ïîëÿ â âèäå îòäåëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé äèñöèïëèíû. 64

Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà åñòåñòâåííûì îáðàçîì ôîðìóëèðóþòñÿ ñ ïîìîùüþ ââåäåííûõ íàìè îïåðàöèé rot è div :

rot(E) = −

∂B ; ∂t

rot(H) = j +

div(D) = ρ;

∂D ; ∂t

div(B) ≡ 0.

Çäåñü ρ  ïëîòíîñòü îáúåìíûõ çàðÿäîâ, à j  âåêòîð ïëîòíîñòè òîêîâ ïðîâîäèìîñòè.  çàäà÷àõ ýëåêòðîñòàòèêè j = B = H ≡ θ. Ïîýòîìó èç ÷åòûðåõ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà îñòàþòñÿ äâà:

rot(E) = θ;

div(D) = ρ.

(1.7.1)

Åñëè èñêàòü âåêòîð-ôóíêöèþ E â âèäå

E = −∇ϕ, (ôóíêöèÿ ϕ íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïîòåíöèàëîì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ), òî ïåðâîå óðàâíåíèå (1.7.1) âûïîëíÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè (ñì. çàìå÷àíèå 2 íà ñ.68), à âòîðîå äàåò

−div(ε · ∇ϕ) = ρ.  ñëó÷àå îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäû ýòî óðàâíåíèå ïåðåïèøåòñÿ òàê:

ρ −div(∇ϕ) = . ε Çàìå÷àíèå. Äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð

(1.7.2)

div(∇ϕ) = D1 D1 ϕ + D2 D2 ϕ + D3 D3 ϕ, ñòîÿùèé â ëåâîé ÷àñòè (1.7.2), íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì Ëàïëàñà è îáîçíà÷àåòñÿ 4ϕ. Óðàâíåíèå

− 4 ϕ = f, èìåíóåìîå óðàâíåíèåì Ïóàññîíà, âîçíèêàåò íå òîëüêî â çàäà÷àõ ýëåêòðîñòàòèêè, íî è âî ìíîãèõ äðóãèõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ. Ïðèìåð.  çàêëþ÷åíèå ãëàâû ðàññìîòðèì ýëåìåíòàðíóþ òåîðèþ èäåàëüíîãî òðàíñôîðìàòîðà9 . íàäååìñÿ, ÷òî ñòóäåíò òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà êîãäà-íèáóäü âèäåë òðàíñôîðìàòîð. 9 Ìû

65

Ïðîòåêàþùèé ïî ïåðâè÷íîé îáìîòêå òðàíñôîðìàòîðà ïåðåìåííûé òîê ñîçäàåò â ôåððîìàãíèòíîì ñåðäå÷íèêå ïåðåìåííîå ìàãíèòíîå ïîëå. Ìû íàçâàëè òðàíñôîðìàòîð èäåàëüíûì, èìåÿ â âèäó, ÷òî ìàãíèòíûé ïîòîê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òîëüêî â ñåðäå÷íèêå (ïîòîêè ðàññåÿíèÿ â âîçäóõå îòñóòñòâóþò). Íà ðèñ.1.6 èçîáðàæåíû ñåðäå÷íèê è îáìîòêà òðàíñôîðìàòîðà â ðàçðåçå. Ïåðâè÷íàÿ îáìîòêà e e

`2 ' $ ¡ @ ¡ $ R @ ' $ ' ' $ ¡ ª ' $ ' $ ' $ `1

S1

-

S2

& % & % & % & % & % & % & %

Ðèñ.1.6. S1 , S2  ñå÷åíèÿ ñåðäå÷íèêà Åñëè ïðîâîäíèê (çàìêíóòûé êîíòóð `1 íà ðèñ.1.6) îõâàòûâàåò ñå÷åíèå ñåðäå÷íèêà S2 , òî âîçíèêàþùàÿ â ýòîì ïðîâîäíèêå ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà ðàâíà I

e=

hE, dri.

(1.7.3)

`1

Ïðèìåíèì òåîðåìó Ñòîêñà ê (1.7.3).  ñèëó ïåðâîãî èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà rot(E) = − ∂B , è ìû ïîëó÷èì

∂t

ZZ e=

h−

∂B , dSi ∂t

S2

(èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî S2 , ïîñêîëüêó â îáëàñòè ìåæäó S2 è êîíòóðîì ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ B ðàâíà íóëþ (òðàíñôîðìàòîð èäåàëüíûé!)). Åñëè ïðîâîäíèê (`2 íà ðèñ.1.6) îáõîäèò âîêðóã S2 äâàæäû, ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà óâåëè÷èâàåòñÿ â äâà ðàçà (èíòåãðàë ïî âñåìó ïóòè ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ ïî åãî ÷àñòÿì). Îòñþäà ñëåäóåò èçâåñòíûé çàêîí: íàïðÿæåíèå íà âòîðè÷íîé îáìîòêå òðàíñôîðìàòîðà ïðîïîðöèîíàëüíî ÷èñëó âèòêîâ ýòîé îáìîòêè.

66

Ãëàâà 2. ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÉ 2.1. Ðàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå Êàê èçâåñòíî, êîìïüþòåð "óìååò" âûïîëíÿòü ÷åòûðå àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèÿ. Ñ èõ ïîìîùüþ ìîæíî âû÷èñëÿòü çíà÷åíèÿ ïîëèíîìîâ è ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Êàê æå âû÷èñëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ äðóãèõ ñòàíäàðòíûõ ôóíêöèé? Ðàññìîòðèì ýòîò âîïðîñ íà ïðèìåðå ôóíêöèè sin.  ñèëó èçâåñòíûõ ñâîéñòâ ñèíóñà åãî âû÷èñëåíèå ïðè ëþáîì çíà÷åíèè îïåðàíäà ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê âû÷èñëåíèþ íà ñåãìåíòå [0, π 2 ]. Ýòó çàäà÷ó ìû è áóäåì ðåøàòü. Íàïîìíèì, ÷òî ñèíóñ áûë îïðåäåëåí êàê ñóììà ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà +∞ X x2k+1 sin(x) = (−1)k . (2k + 1)! k=0

Ïîýòîìó êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì âû÷èñëÿòü åãî çíà÷åíèÿ ñ ïîìîùüþ îòðåçêà ýòîãî ðÿäà, ò.å. ïîëèíîìà Òåéëîðà, âûáðàâ ïîðÿäîê ýòîãî ïîëèíîìà n íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî

¡ ¢ ∆n = max |sin(x) − Tsin (n, x)| ≤ ε x∈[0, π ] 2

(ε  äîïóñòèìàÿ ïîãðåøíîñòü). Îäíàêî ïîëèíîì Tsin , êàê è âñÿêèé ïîëèíîì Òåéëîðà, õîðîøî (ëó÷øå âñåõ ïîëèíîìîâ òîãî æå ïîðÿäêà) èìèòèðóåò ïîâåäåíèå ôóíêöèè â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (â äàííîì ñëó÷àå  íóëÿ). Íè èç ÷åãî íå ñëåäóåò, ÷òî îí áóäåò îáëàäàòü ýòèì ñâîéñòâîì íà ñåãìåíòå [0, π 2 ]. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî ìîæíî, íå óâåëè÷èâàÿ ïîðÿäîê ïîëèíîìà, óìåíüøèòü ïîãðåøíîñòü ∆n . Ñîâñåì î÷åâèäíî ýòî äëÿ ïîëèíîìà ïåðâîãî ïîðÿäêà (ôóíêöèèêîíñòàíòû). Ïîëèíîì Òåéëîðà â ýòîì ñëó÷àå  òîæäåñòâåííûé íóëü, è ∆1 = 1.  òî æå âðåìÿ, åñëè âçÿòü ïîëèíîì S1 (x) ≡ 0.5, òî ∆1 = 0.5. Îòìåòèì, ÷òî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèå |S1 (x) − sin(x)| äîñòèãàåò íà êîíöàõ ñåãìåíòà. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîëèíîìû âòîðîãî ïîðÿäêà. Íà ðèñ.2.1 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ñèíóñà è åãî ïîëèíîìà Òåéëîðà Tsin (2, x) = x. Âèäíî, ÷òî îòêëîíåíèå ðàñòåò íà ñåãìåíòå è åãî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ π ïðè x = π 2 : ∆2 = 2 − 1 ≈ 0.5708. Åñëè æå ïîñòðîèòü õîðäó, ñîåäèíÿþùóþ êîíöû äóãè, è êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ñèíóñà, ïàðàëëåëüíóþ ýòîé 67

õîðäå, òî ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ òî÷íî ïîñðåäèíå ìåæäó õîðäîé è êàñàòåëüíîé (ðèñ.2.2)  ýòî ãðàôèê ïîëèíîìà S2 (x) = a + b · x, ãäå

³ 2 ´´ 1 ³2´ 1 ³ a = sin arccos − arccos , 2 π π π

b=

2 . π

π 2

0

π 2

0

Ðèñ.2.1. Ãðàôèêè sin(x) (æèðíàÿ ëèíèÿ) è Tsin (2, x)

1

0

π 2

0 Ðèñ.2.2. Ãðàôèê S2 (x) (æèðíàÿ ëèíèÿ)

a π 2

0

−a Ðèñ.2.3. Ãðàôèê ôóíêöèè sin(x) − S2 (x) Èç ðèñ.2.3 âèäíî, ÷òî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèå äîñòèãàåò â òðåõ òî÷êàõ: x0 = 0, x1 = arccos(b) è x2 = π/2. Ïðè ýòîì ∆2 = a ≈ 0.1053, ÷òî ñóùåñòâåííî ìåíüøå, ÷åì ïðè çàìåíå ñèíóñà åãî ïîëèíîìîì Òåéëîðà. 68

Ïîëèíîìû S1 è S2  ýòî ïðîñòåéøèå ïîëèíîìû íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè sin íà ñåãìåíòå [0, π 2 ]. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî Òåîðåìà. 1. Äëÿ âñÿêîé íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå [α, β] ôóíêöèè f è âñÿêîãî n ∈ N ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ïîëèíîì Sn ïîðÿäêà n, äëÿ ¡ ¢ êîòîðîãî ∆n = max |Sn (x) − f (x)| ìåíüøå, ÷åì äëÿ ëþáîãî äðóãîãî [α,β]

ïîëèíîìà òîãî æå ïîðÿäêà. Ýòîò ïîëèíîì íàçûâàþò ïîëèíîìîì íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ïîðÿäêà n äëÿ ôóíêöèè f íà [α, β]. 2. Äëÿ ïîëèíîìà íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ∆n → 0 ïðè n → +∞. Ïîýòîìó íåïðåðûâíóþ íà ñåãìåíòå ôóíêöèþ ìîæíî ðàâíîìåðíî ïðèáëèçèòü ïîëèíîìîì ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ, åñëè âçÿòü ïîðÿäîê ïîëèíîìà äîñòàòî÷íî áîëüøèì (ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Âåéåðøòðàññà). 3. Ïîëèíîì íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: íà ñåãìåíòå [α, β] ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå n + 1 òàêàÿ òî÷êà x0 , x1 , . . . , xn , ÷òî |Sn (xk ) − f (xk )| = ∆n , ïðè÷åì çíàêè ðàçíîñòè Sn (xk ) − f (xk ) â ýòèõ òî÷êàõ ÷åðåäóþòñÿ. Òî÷êè x0 , x1 , . . . , xn íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè ÷åáûøåâñêîãî10 àëüòåðíàíñà. Íà ðèñ.2.4 ïîêàçàí ãðàôèê ðàçíîñòè ìåæäó ñèíóñîì è åãî ïîëèíîìîì íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ äåñÿòîãî ïîðÿäêà íà [0, π 2 ]. Íà ãðàôèêå õîðîøî âèäíû 11 òî÷åê àëüòåðíàíñà. Çäåñü ∆10 ≈ 3.3 × 10−11 . Çàìåòèì, ÷òî ó ïîëèíîìà Òåéëîðà òîãî æå ïîðÿäêà ∆10 ≈ 3.6 × 10−6 (!).

π 2

0 Ðèñ.2.4. Ãðàôèê ôóíêöèè sin(x) − S10 (x) 10 Ïàôíóòèé

Ëüâîâè÷ ×ÅÁÛØÅ (1821-1894)  ðóññêèé ìàòåìàòèê è ìåõàíèê, îñíîâàòåëü Ïåòåðáóðãñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëû, ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé, Áåðëèíñêîé, Áîëîíñêîé, Ïàðèæñêîé, Øâåäñêîé ÀÍ, ÷ëåí Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà, ïî÷åòíûé ÷ëåí ìíîãèõ ðóññêèõ è èíîñòðàííûõ íàó÷íûõ îáùåñòâ è óíèâåðñèòåòîâ. 69

Çàìå÷àíèÿ. 1. Ïîëèíîìû íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ñòàíäàðòíûõ ôóíêöèé â êîìïüþòåðàõ (êîíå÷íî, ýòî íå åäèíñòâåííûé ñïîñîá). 2. "Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé" ñîñòîèò, ïî ñóùåñòâó, â çàìåíå îäíîé ôóíêöèè ("íåóäîáíîé" â êàêîì-òî ñìûñëå) íà äðóãóþ ("óäîáíóþ" â òîì æå ñìûñëå). Âîçíèêàþùàÿ ïðè çàìåíå ïîãðåøíîñòü äîëæíà, êîíå÷íî, ëåæàòü â äîïóñòèìûõ ïðåäåëàõ. Ñ ïðèáëèæåíèåì ôóíêöèé ìû âñòðå÷àëèñü ðàíåå â çàäà÷å ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïðè ýòîì ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ çàìåíÿëàñü ïîëèíîìèàëüíûì èíòåðïîëÿöèîííûì ñïëàéíîì.  ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðåëè ïðèìåíåíèå ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ýòèõ ôóíêöèé. Çäåñü áûëî åñòåñòâåííî ïðèíÿòü â êà÷åñòâå ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ íàèáîëüøåå çíà÷åíèå îòêëîíåíèÿ ïðèáëèæàþùåé ôóíêöèè îò ïðèáëèæàåìîé. Çàìåòèì, ÷òî ââåäÿ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà ñåãìåíòå [α, β], íîðìó ïî ïðàâèëó

¡ ¢ kf kC = max |f (x)| x∈[α,β]

(óáåäèòåñü, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî íîðìà!), ìû ïðåäñòàâèì ââåäåííóþ íàìè ïîãðåøíîñòü â âèäå íîðìû ðàçíîñòè ìåæäó ïðèáëèæàåìîé è ïðèáëèæàþùåé ôóíêöèÿìè:

∆n = kf − Sn kC .  äðóãèõ ïðèìåíåíèÿõ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé åñòåñòâåííûì îêàçûâàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå äðóãèõ íîðì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèÿ "ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ".  êóðñå ëèíåéíîé àëãåáðû èçó÷àëàñü çàäà÷à î ñãëàæèâàíèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïîëèíîìàìè, îðòîãîíàëüíûìè íà ñåòêå. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è êàê çàäà÷ó ïðèáëèæåíèÿ çàäàííîãî âåêòîðà ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ èç íåêîòîðîãî ñåìåéñòâà. Íàïîìíèì, ÷òî ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ïðè ýòîì îïðåäåëÿëàñü êàê íîðìà ðàçíîñòè, ïîðîæäåííàÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Âûáîð òàêîãî îïðåäåëåíèÿ îáúÿñíÿëñÿ äâóìÿ ïðè÷èíàìè: 1) îíî íå ïðîòèâîðå÷èò çäðàâîìó ñìûñëó; 2) èìååò ïðîñòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ; 3) çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.  ñëåäóþùèõ ïóíêòàõ áóäåò ðàññìîòðåíà àíàëîãè÷íàÿ íîðìà â ïðîñòðàíñòâå êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé è çàäà÷à ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ïî ýòîé íîðìå. 70

2.2. Îðòîãîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ íà ñåãìåíòå [α, β] êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé. Ââåäåì â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïî ïðàâèëó

Zβ hϕ, ψi =

ϕ · ψ.

(2.2.1)

α

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî òàêîå îïðåäåëåíèå óäîâëåòâîðÿåò âñåì àêñèîìàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, êðîìå îäíîé. Åñëè (÷òî åñòåñòâåííî) ñ÷èòàòü íóëåì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèþ, ðàâíóþ íóëþ òîæäåñòâåííî, òî èç ðàâåíñòâà íóëþ ñêàëÿðíîãî êâàäðàòà ôóíêöèè íå ñëåäóåò, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ  íóëåâàÿ (âñïîìíèòå, ÷òî èíòåãðàë îò ôóíêöèè, îòëè÷íîé îò íóëÿ â îäíîé òî÷êå ñåãìåíòà, ðàâåí íóëþ). ×òîáû óñòðàíèòü ïðîòèâîðå÷èå, äîãîâàðèâàþòñÿ íå ðàçëè÷àòü äâå ôóíêöèè, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ ðàçëè÷íû â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê ñåãìåíòà. Ïðè òàêîé äîãîâîðåííîñòè íóëåì ââåäåííîãî ïðîñòðàíñòâà áóäåò âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, ïî÷òè âñþäó ðàâíàÿ íóëþ (îòëè÷íàÿ îò íóëÿ ëèøü â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê ñåãìåíòà). Òåïåðü ôîðìóëà (2.2.1) äåéñòâèòåëüíî çàäàåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Ââåäåì òàêæå íîðìó, ïîðîæäàåìóþ ýòèì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì:

kϕk =

p

hϕ, ϕi.

(2.2.2)

Óáåäèòåñü, ÷òî âñå àêñèîìû íîðìû âûïîëíåíû. Çàìå÷àíèå. Ìîæíî îáîáùèòü ïîíÿòèå "ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ââåäÿ òàê íàçûâàåìîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñ âåñîì:

Zβ rφψ.

hφ, ψir =

(2.2.3)

α

Çäåñü r  ïî÷òè âñþäó ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, èìåíóåìàÿ âåñîì. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (2.2.1)  ýòî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñ âåñîì r(x) ≡ 1. Äëÿ äàëüíåéøåãî íàì ïîòðåáóþòñÿ îðòîãîíàëüíûå (â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (2.2.3)) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé. Ïðèâåäåì ÷åòûðå ïðèìåðà òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. 71

Ïðèìåðû. 1. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü11 .

h i T T Ïóñòü T > 0. Ðàññìîòðèì íà ñåãìåíòå − 2 , 2 ôóíêöèè ³ 2πk ´ ϕk (x) = exp i x ; k ∈ Z. T Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî (íàïîìíèì, ÷òî δkm  ñèìâîë Êðîíåêåðà)

ZT /2 hϕk , ϕm i =

³ 2π(k − m) ´ exp i x dx = T · δkm . T

−T /2

Ñâîèì íàçâàíèåì ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáÿçàíà òîìó, ÷òî äîëãîå ¡ ¢ âðåìÿ âìåñòî áîëåå óäîáíûõ ôóíêöèé exp i 2πk x èñïîëüçîâàëèñü ôóíê-

T ¡ 2πk ¢ ¡ 2πk ¢ öèè sin T x è cos T x . 2. Ôóíêöèè Ðàäåìàõåðà12 . Ýòè êóñî÷íî ïîñòîÿííûå ôóíêöèè çàäàíû íà [0, 1] ïðàâèëîì ¡ ¢ r0 (x) ≡ 1; rk (x) = sign sin(2k πx) , k ∈ N (ðèñ.2.5). r0 (x) x r1 (x) x

r2 (x) x

Ðèñ.2.5. Ãðàôèêè òðåõ ïåðâûõ ôóíêöèé Ðàäåìàõåðà 11 Ïî

åñòåñòâåííûì ïðè÷èíàì óäîáíåå çàäàâàòü ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N, à íà ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë Z. 12 Ãàíñ Àäîëüô ÐÀÄÅÌÀÕÅÐ (H.A. Rademacher, 1892-1969)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, ñ 1936 ãîäà ðàáîòàë â ÑØÀ. 72

Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî

Z1 hrk , rm i =

rk (x)rm (x)dx = δkm . 0

3. Ïîëèíîìû Ëåæàíäðà13 . Ýòè ïîëèíîìû çàäàíû íà [−1, 1] ïðàâèëîì

P0 (x) ≡ 1;

Pk (x) =

¡ 2 ¢ 1 k (k) · (x − 1) , 2k · k!

k ∈ N.

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî Pk  ïîëèíîì ñòåïåíè k . Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå äàåò

Z1

hPk , Pm i =

Pk (x)Pm (x)dx = −1

2 · δkm . 2k + 1

4. Ïîëèíîìû ×åáûøåâà. Ýòè ïîëèíîìû çàäàíû íà [−1, 1] ïðàâèëîì

¡ ¢ Tk (x) = cos k · arccos(x) ,

k = 0, 1, . . .

(ïðîâåðüòå, âû÷èñëèâ Tk äëÿ íåñêîëüêèõ çíà÷åíèé k , ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî ïîëèíîìû). Ïîêàæåì, ÷òî ïîëèíîìû ×åáûøåâà îðòîãîíàëüíû ñ âåñîì

1

r(x) = p

1 − x2

.

Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàíîâêà t = arccos(x) äàåò

Z1 p

1

hTk , Tm ir = −1

Zπ = 0

1 − x2

Zπ Tk (x)Tm (x)dx =

cos(kt)cos(mt)dt = 0

¢ 1¡ cos((k − m)t) + cos((k + m)t) dt. 2

Ïîñëåäíèé èíòåãðàë, î÷åâèäíî, ðàâåí íóëþ, åñëè k 6= m. 13 Àäðèåí

Ìàðè ËÅÆÀÍÄÐ (A.M. Legendre, 1752-1833) - ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïàðèæñêîé ÀÍ. 73

2.3. Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå. Ðÿäû Ôóðüå Ïóñòü f  êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ, êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ íà [α, β] ôóíêöèÿ, à (ϕk )  îðòîãîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, òàêæå êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ íà [α, β]. Íàéäåì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ïåðâûõ n ôóíêöèé èç ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ðàññòîÿíèå îò êîòîðîé äî ôóíêöèè f (ðàññòîÿíèå ïîíèìàåòñÿ êàê îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (2.2.2) íîðìà ðàçíîñòè!) áóäåò ìèíèìàëüíûì, ò.å. íàéäåì òàêèå n ÷èñåë a1 , . . . , an , ÷òî n n ° ° ° ° X X ° ° ° ° ak ϕk ° ≤ °f − bk ϕ k ° °f − k=1

k=1

ïðè ëþáûõ ÷èñëàõ b1 , . . . , bn . Êàê èçâåñòíî èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû, åñëè íîðìà ïîðîæäåíà ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì, âñåãäà óäîáíåå ðàáîòàòü íå ñ íîðìîé, à ñ åå êâàäðàòîì. n n n ° °2 D E X X X ° ° bk ϕ k ° = f − bk ϕ k , f − bk ϕ k = °f − k=1

k=1

k=1

n n n n D X E DX E DX E X = hf, f i − f, bk ϕ k − b k ϕk , f + bk ϕ k , bk ϕ k . k=1

k=1

k=1

k=1

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî hϕk , ϕm i = 0 ïðè m 6= k , èìååì n n n n ° °2 X X X X ° ° 2 bk ϕk ° = kf k − bk hf, ϕk i − bk hϕk , f i + bk bk kϕk k2 . °f − k=1

k=1

k=1

k=1

hf, ϕk i Îáîçíà÷èâ fbk = 2 , ïîëó÷èì kϕk k

n n ° °2 X X ¢ ¡ ° ° 2 bk ϕk ° = kf k + −bk fbk − bk fbk + bk bk kϕk k2 = °f − k=1

k=1 2

= kf k −

n X k=1

|fbk | kϕk k + 2

2

m X

|fbk − bk |2 kϕk k2 .

k=1

 ýòîì ðàâåíñòâå ïåðåìåííûìè ÿâëÿþòñÿ b1 , . . . , bn .  ñèëó íåîòðèöàòåëüíîñòè ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî èñêîìûé ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè bk = fbk , k = 1, . . . , n. Ïðè ýòîì 74

n n ° °2 X X ° ° 2 b fk ϕk ° = kf k − |fbk |2 kϕk k2 . °f − k=1

(2.3.1)

k=1

hf, ϕk i íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Ôókϕk k2 ðüå ôóíêöèè f ïî îðòîãîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ϕk ). n P Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóìì |fbk |2 kϕk k2 , î÷åâèäíî, íå óáûâàåò. ÄàÎïðåäåëåíèå. ×èñëà fbk =

ëåå, èç (2.3.1) âèäíî, ÷òî

k=1

n X

|fbk |2 kϕk k2 ≤ kf k2 ,

(2.3.2)

k=1

ò.å. ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà ñâåðõó. Ïîýòîìó ÷èñëîâîé ðÿä P+∞ b 2 2 k=1 |fk | kϕk k ñõîäèòñÿ. Ïåðåõîäÿ â ñîîòíîøåíèè (2.3.2) ê ïðåäåëó (n = +∞), ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ14 +∞ X

|fbk |2 kϕk k2 ≤ kf k2 .

k=1

Åñëè äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè f íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî +∞

X

|fbk |2 kϕk k2 = kf k2

k=1

(îíî íàçûâàåòñÿ ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ15 ), òî (2.3.1) ïîêàçûâàåò, ÷òî n °2 ° X ° ° b lim °f − fk ϕk ° = 0.

n=+∞

k=1

Åñòåñòâåííî ïåðåïèñàòü ýòî ñîîòíîøåíèå òàê: +∞ X

fbk ϕk = f

k=1

è ñêàçàòü, ÷òî ðÿä

+∞ X hf, ϕk i k=1

kϕk k2

14 Ôðèäðèõ

· ϕk ,

(2.3.3)

Âèëüãåëüì ÁÅÑÑÅËÜ (F.W. Bessel, 1784-1846)  íåìåöêèé àñòðîíîì, ÷ëåí Áåðëèíñêîé ÀÍ, ñîçäàòåëü Êåíèãñáåðãñêîé îáñåðâàòîðèè. 15 Ìàðê-Àíòóàí ÏÀÐÑÅÂÀËÜ (M.A. Parseval, 1755-1836)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê. 75

èìåíóåìûé ðÿäîì Ôóðüå ôóíêöèè f ïî îðòîãîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ϕk ), ñõîäèòñÿ ê f â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì (èëè ïî íîðìå (2.2.2)). Îáðàòíî, åñëè ðÿä (2.3.3) ñõîäèòñÿ ê f â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì, òî èç ôîðìóëû (2.3.1) íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè f âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ. Çàìå÷àíèå. Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ  àíàëîã èçâåñòíîé èç øêîëüíîé ãåîìåòðèè òåîðåìû Ïèôàãîðà. Âîçíèêàåò âîïðîñ: äëÿ âñÿêîé ëè ôóíêöèè f , êóñî÷íî íåïðåðûâíîé íà [α, β], ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ çàâèñèò îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ϕk ). Íàïðèìåð, åñëè "èçúÿòü" èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäèí ýëåìåíò ϕm , òî äëÿ ôóíêöèè f = ϕm âñå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå áóäóò ðàâíû íóëþ, è ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ íå áóäåò èìåòü ìåñòà. Êàê èçâåñòíî, îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â n-ìåðíîì óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå îáëàäàåò äâóìÿ ñâîéñòâàìè: 1. Òîëüêî íóëåâîé âåêòîð îðòîãîíàëåí âñåì ýëåìåíòàì áàçèñà. 2. Ëþáîé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà ïðåäñòàâèì â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ áàçèñà. Àíàëîãè÷íî ââåäåì ïîíÿòèå îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (â íàøåì ñëó÷àå  â ïðîñòðàíñòâå êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé). Îïðåäåëåíèå. Îðòîãîíàëüíàÿ íà [α, β] ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ϕk ) íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì áàçèñîì (èëè ïðîñòî áàçèñîì) â ïðîñòðàíñòâå êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, åñëè äëÿ ëþáîé êóñî÷íî íåïðåðûâíîé íà [α, β] ôóíêöèè èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ (ò.å. ðÿä Ôóðüå ëþáîé êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f ïî ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäèòñÿ ê f â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì). Åñëè îðòîãîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ϕk ) ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì, òî åäèíñòâåííàÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, îðòîãîíàëüíàÿ âñåì ϕk  ýòî íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà (ò.å. ôóíêöèÿ, îòëè÷íàÿ îò íóëÿ ëèøü â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè hf, ϕk i = 0, k ∈ N, òî âñå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ôóíêöèè f ðàâíû íóëþ. Ïîýòîìó â ñèëó ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ kf k = 0. Ïðèìåð. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è ïîëèíîìû Ëåæàíäðà  áàçèñû â ïðîñòðàíñòâå êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, à ôóíêöèè Ðàäåìàõåðà  íåò (ïðîâåðüòå, ÷òî ôóíêöèÿ cos(2πx) îðòîãîíàëüíà íà [0, 1] âñåì ôóíêöèÿì Ðàäåìàõåðà). 76

Çàìå÷àíèå. Âñå ââåäåííûå â ýòîì ïóíêòå îïðåäåëåíèÿ ïåðåíîñÿòñÿ íà ñëó÷àé ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñ âåñîì (2.2.3). Íàïðèìåð, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëèíîìîâ ×åáûøåâà  áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà [−1, 1] ñ âåñîì p 1 .

1 − x2

Åñòåñòâåííî çàäàòü âîïðîñ: ñõîäèòñÿ ëè ê ôóíêöèè f âî âñåõ òî÷êàõ ñåãìåíòà ñõîäÿùèéñÿ ê íåé â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì åå ðÿä Ôóðüå?  îáùåì ñëó÷àå îòâåò áóäåò îòðèöàòåëüíûì. Ñóùåñòâóþò, i h íàïðèT T ìåð, "ïàòîëîãè÷åñêèå" ôóíêöèè (íåïðåðûâíûå íà ñåãìåíòå − 2 , 2 !), ðÿä Ôóðüå êîòîðûõ ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå ðàñõîäèòñÿ íà áåñêîíå÷íîì ìíîæåñòâå òî÷åê ñåãìåíòà! Äëÿ ïîëîæèòåëüíîãî îòâåòà íà âîïðîñ ñëåäóåò ïðåäúÿâèòü ê ôóíêöèè f äîïîëíèòåëüíûå òðåáîâàíèÿ. Ïðèìåð òàêèõ òðåáîâàíèé äàåò òåîðåìà Äèðèõëå, ñôîðìóëèðîâàííàÿ â ñëåäóþùåì ïóíêòå.

2.4. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå è èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå Òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ðÿäàìè Ôóðüå íàçûâàþò ðÿäû Ôóðüå ïî òðè¡ ¢ ãîíîìåòðè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé exp i 2πk t , k ∈ Z:

T

+∞ X k=−∞

n ³ 2πk ´ ³ 2πk ´ X b b fk exp i t = lim fk exp i t , n=+∞ T T k=−n

ãäå, ñîãëàñíî (2.3.3),

1 fbk = T

ZT /2

³ 2πk ´ f (t)exp −i t dt. T

(2.4.1)

−T /2

Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà ñåãìåíòå, òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå íå âûäåëÿþòñÿ èç ðÿäîâ Ôóðüå ïî äðóãèì îðòîãîíàëüíûì áàçèñàì (íàïðèìåð, ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà). Èõ îñîáàÿ ðîëü âûÿâëÿåòñÿ ïðè ïðåäñòàâëåíèè ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé, ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ â ïðèëîæåíèÿõ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ Ôóðüå âåðíà Òåîðåìà Äèðèõëå. 1. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå êóñî÷íî íåïðå-

i h T T ðûâíîé è êóñî÷íî ìîíîòîííîé íà ñåãìåíòå − 2 , 2 ôóíêöèè f ñõîäèòñÿ âî âñåõ òî÷êàõ ýòîãî ñåãìåíòà. 77

2. Åñëè îáîçíà÷èòü åãî ñóììó S , òî

³ T ´ ³T ´ ³ T´ ³T ´ f − + 0 + f −0 2 2 S − ; =S = 2 2 2 f (t − 0) + f (t + 0) T T S(t) = ïðè − < t < . 2 2 2 Ñóììà òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå êóñî÷íî íåïðåðûâíîé è êóñî÷íî ìîíîòîííîé ôóíêöèè f ñîâïàäàåò ñ ýòîé ôóíêöèåé â òî÷êàõ åå íåïðåðûâíîñòè è ðàâíà ïîëóñóììå ëåâîãî è ïðàâîãî ïðåäåëîâ f â òî÷êàõ åå ðàçðûâà. Çàìå÷àíèå. Äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîé ôóíêöèè f ïîä êóñî÷íîé ìîíîòîííîñòüþ çäåñü è äàëåå ïîíèìàåòñÿ êóñî÷íàÿ ìîíîòîííîñòü ôóíêöèé Re(f ) è Im(f ). Ðàññìîòðèì êóñî÷íî íåïðåðûâíóþ è êóñî÷íî ìîíîòîííóþ ïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ f : R → C ñ ïåðèîäîì T. Îáîçíà÷èì fT åå ñóæåíèå íà i h − T2 , T2 . Ðàçëîæèì fT â ðÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.  ñèëó òåîðåìû Äèðèõëå ïðè |t| ≤ T2 èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî +∞ ³ 2πk ´ X f (t − 0) + f (t + 0) b fk · exp i = t , 2 T

(2.4.2)

k=−∞

ãäå êîýôôèöèåíòû fbk çàäàíû ôîðìóëîé (2.4.1). Ïîñêîëüêó è ëåâàÿ, è ïðàâàÿ ÷àñòè (2.4.2)  T -ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè, ýòî ðàâåíñòâî âåðíî ïðè âñåõ t ∈ R. Çàìå÷àíèå.  òåîðèè ñèãíàëîâ ôóíêöèÿ f îïèñûâàåò ñèãíàë, ñîñòîÿùèé èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäèíàêîâûõ èìïóëüñîâ fT . Ñóììà ðÿäà Ôóðüå ñ êîýôôèöèåíòàìè (2.4.2) îïðåäåëåíà íà âñåé îñè è äàåò "àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå" ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ. Ñèãíàë ïðè ýòîì ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå áåñêîíå÷íîé ñóììû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè ωk = 2πk (k ∈ Z), îáðàçóþùèìè

T 2π ðàâíîìåðíóþ ñåòêó ñ øàãîì ∆ω = T . ¡ ¢+∞ Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå fbk k=−∞ íàçûâàþò êîìïëåêñíûì Ôóðüå-ñïåêòðîì ñèãíàëà f è ãîâîðÿò, ÷òî ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà äèñêðåòåí. 78

Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ

ZT /2 2

2

|fT (t)| dt = kfT k =

+∞ X

|fbk |2 · T

k=−∞

−T /2

ïîêàçûâàåò, êàê ýíåðãèÿ èìïóëüñà E = kfT k2 ðàñïðåäåëåíà ìåæäó ýòèìè ÷àñòîòàìè. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïåðèîäè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òðåóãîëüíûõ èìïóëüñîâ, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ.2.6, îäèí èìïóëüñ êîòîðîé çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (¯ ¯ ¯1 − 2t ¯ ïðè |t| ≤ τ ; τ 2

fT (t) =

0

ïðè τ2 < |t| ≤ T2 .

τ τ − T2 − 2 0 2 Ðèñ.2.6

T 2

Íàéäåì êîìïëåêñíûé ñïåêòð ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:

Zτ /2 ¯ ³ 2πk ´ ³ 2πk ´ 1 2t ¯¯ ¯ fT (t) · exp −i t dt = t dt = ¯1 − ¯ · exp −i T T τ T −T /2 −τ /2 ³ω τ ´ k ³ 1 − cos τ 2πk ´ 2 = · ωk = . ³ ω τ ´2 T T k 2 Ñóùåñòâóþò ýëåêòðîòåõíè÷åñêèå óñòðîéñòâà, èìåíóåìûå ÷àñòîòíûìè ôèëüòðàìè, ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîâîäèìîñòü êîòîðûõ çàâèñèò îò ÷àñòîòû ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ. Íàïðèìåð, â èäåàëüíîì ôèëüòðå íèæíèõ ÷àñòîò ïðîâîäèìîñòü íà ÷àñòîòàõ, êîòîðûå íå âûøå êðèòè÷åñêîé, ðàâíà åäèíèöå, à íà âñåõ îñòàëüíûõ ÷àñòîòàõ  íóëþ. Åñëè íàïðÿæåíèå U íà âõîäå òàêîãî ôèëüòðà ïðåäñòàâèòü â ôîðìå åãî ðÿäà Ôóðüå 1 fbk = T

ZT /2

+∞ ³ 2πk ´ X U (t − 0) + U (t + 0) b = fk · exp i t , 2 T k=−∞

79

òî íàïðÿæåíèå V íà âûõîäå áóäåò èìåòü ôîðìó, îïðåäåëÿåìóþ îòðåçêîì ýòîãî ðÿäà (N  íîìåð êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòû)

V (t) =

+N X k=−N

³ 2πk ´ b fk · exp i t . T

Ïðèìåð. Ïóñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òðåóãîëüíûõ èìïóëüñîâ (τ /T = 0.25) ïîäàåòñÿ íà âõîä èäåàëüíîãî ôèëüòðà íèæíèõ ÷àñòîò (N = 5). Íà ðèñ.2.7 èçîáðàæåí îäèí ïåðèîä âõîäíîé è âûõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.

-1

-0.75 -0.5 -0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

-1

-0.75 -0.5 -0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

Ðèñ.2.7 Ïóñòü òåïåðü f : R → C  íåïåðèîäè÷åñêàÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ è êóñî÷íî ìîíîòîííàÿ íà R ôóíêöèÿ. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüh i T T íîå ÷èñëî T è ðàññìîòðèì fT  ñóæåíèå ôóíêöèè f íà ñåãìåíò − 2 , 2 . Çàïèøåì èçâåñòíîå ðàâåíñòâî +∞ ³ 2πk ´ X fT (t − 0) + fT (t + 0) b = fk · exp i t ; 2 T k=−∞

|t| <

T 2

(êîýôôèöèåíòû fbk çàäàíû ôîðìóëîé (2.4.1)). Ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè fT ñõîäèòñÿ íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè è, ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëÿåò íîâóþ ôóíêöèþ

F (t) =

+∞ X k=−∞

³ 2πk ´ b fk · exp i t ; T 80

t∈R.

Ýòà ôóíêöèÿ ïî òåîðåìå Äèðèõëå ñîâïàäàåò ñ f ïî÷òè âñþäó ïðè |t| < T /2, à âíå ýòîãî èíòåðâàëà ÿâëÿåòñÿ åå ïåðèîäè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì (ðèñ.2.8).

− 3T 2

− T2

0

T 2

3T 2

Ðèñ.2.8. Ôóíêöèÿ fT (æèðíàÿ ëèíèÿ) è åå ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî óâåëè÷èâàÿ T , ìû óâåëè÷èì äëèíó èíòåðâàëà, íà êîòîðîì F ïî÷òè âñþäó ñîâïàäàåò ñ f . Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: íåëüçÿ ëè ïåðåéòè ê ïðåäåëó (T = +∞)? Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì îäèíî÷íûé òðåóãîëüíûé èìïóëüñ åäèíè÷íîé âûñîòû è øèðèíû τ :

(¯ ¯ ¯1 − 2t ¯ ïðè |t| ≤ τ f (t) = 0 ïðè |t| >

τ; 2 τ. 2

Ôóíêöèÿ F (ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå òàêîãî èìïóëüñà), î÷åâèäíî, ñîâïàäàåò ñ óæå ðàññìîòðåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ òðåóãîëüíûõ èìïóëüñîâ (ðèñ.2.6). Åñëè, ñîõðàíÿÿ äëèíó èìïóëüñîâ τ â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, óâåëè÷èâàòü ïåðèîä èõ ïîâòîðåíèÿ T , òî øàã ÷àñòîòíîé ñåòêè ∆ω = 2π T áóäåò óìåíüøàòüñÿ è îäíîâðåìåííî áóäóò óìåíüøàòüñÿ ïîðöèè ýíåðãèè Ek = |fbk |2 , ïåðåíîñèìûå íà äèñêðåòíûõ ÷àñòîòàõ ωk . Ââåäåì ïîíÿòèå ñðåäíåé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè - îòíîøåíèÿ êîýôôèöèåíòà Ôóðüå ê øàãó ÷àñòîòíîé ñåòêè

³ω τ ´ k 1 − cos b fk τ fe(ωk ) = = · ³ ω τ ´22 . ∆ω 2π k 2 Òîãäà ôîðìóëà (2.4.2) ïåðåïèøåòñÿ òàê:

+∞ X f (t − 0) + f (t + 0) = fe(ωk ) · exp (i ωk t) · ∆ω. 2 k=−∞

81

(2.4.3)

Î÷åâèäíî, ðÿä, ñòîÿùèé ñïðàâà, ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ äëÿ èíòåãðàëà

Z+∞ fe(ω) · exp (iωt) dω,

(2.4.4)

−∞

ãäå

³ ωτ ´

Z+∞ 1 − cos τ 1 f (t) · exp(−i ωt) dt. · fe(ω) = ³ ωτ ´22 = 2π 2π −∞ 2 Ïîýòîìó ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ê ïðåäåëó (T = +∞) ðÿä (2.4.3) ïðåâðàòèòñÿ â èíòåãðàë (2.4.4). Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî Òåîðåìà. Åñëè f : R → C  êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ è êóñî÷íî ìîíîòîííàÿ íà R ôóíêöèÿ, ïðè÷åì

+∞ R

−∞

|f | < +∞, òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî16

f (t − 0) + f (t + 0) = V.P. 2

Z+∞ fe(ω) · exp (i ωt) dω,

(2.4.5)

−∞

ãäå

1 fe(ω) = 2π

Z+∞ f (t) · exp (−i ωt) dt.

(2.4.6)

−∞

Ôîðìóëó (2.4.6) íàçûâàþò ïðÿìûì, à ôîðìóëó (2.4.5)  îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå. Çàìå÷àíèå.  òåîðèè ñèãíàëîâ ôóíêöèþ fe íàçûâàþò ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ñèãíàëà f è ãîâîðÿò, ÷òî ñïåêòð òàêîãî ñèãíàëà íåïðåðûâåí. Íà ðèñ.2.9 èçîáðàæåíà (ïóíêòèðîì) ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü îäèíî÷íîãî òðåóãîëüíîãî èìïóëüñà, à òàêæå ñðåäíÿÿ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òðåóãîëüíûõ èìïóëüñîâ ïðè ðàçëè÷íûõ îòíîøåíèÿõ τ /T . Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå.  ëèòåðàòóðå âñòðå÷àåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå øåñòü ðàçíûõ ñïîñîáîâ çàïèñè èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå. 16 Íàïîìèíàåì,

÷òî V.P.  ãëàâíîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà. 82

− 4π τ

4π τ

0

ω

ω

4π 0 − 4π τ τ Ðèñ.2.9. Âåðõíèé ðèñóíîê: τ /T = 0.25; íèæíèé: τ /T = 0.125 1 ïåðåíîñÿò èç ôîðìóëû (2.4.6) â ôîðìóëó (2.4.5): Èíîãäà ìíîæèòåëü 2π Z+∞ fe(ω) = ...;

1 f (t − 0) + f (t + 0) = · V.P. 2 2π

Z+∞ ...

−∞

−∞

èíîãäà åãî "ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëÿþò" ìåæäó äâóìÿ ôîðìóëàìè:

1 fe(ω) = √ 2π

Z+∞ ...; −∞

f (t − 0) + f (t + 0) 1 = √ · V.P. 2 2π

Z+∞ ...

−∞

 íåêîòîðûõ êíèãàõ ïèøóò â ýêñïîíåíòå çíàê "+" â ïðÿìîì ïðåîáðàçîâàíèè, à çíàê "−" â îáðàòíîì, íàïðèìåð:

Z+∞ fe(ω) = f (t) · exp (i ωt) dt; −∞

Z+∞ 1 f (t − 0) + f (t + 0) = · V.P. fe(ω) · exp (−i ωt) dω. 2 2π −∞

Íåêîòîðûå (íî íå âñå) ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå ñïðàâåäëèâû äëÿ ëþáîé ôîðìû çàïèñè. Ïîýòîìó ìû íàñòîÿòåëüíî ðåêîìåíäóåì, óñëûøàâ ñëîâà "ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ñïðîñèòü: "À êàê ýòî ïèøåòñÿ?" 83

Çàìå÷àíèå. Ïóñòü f  îðèãèíàë, è

+∞ R 0

|f | < +∞. Òîãäà ïðåîáðàçî-

âàíèå Ëàïëàñà ôóíêöèè f, êàê èçâåñòíî, îïðåäåëåíî ïðè Re(s) ≥ 0, è ïðè Re(s) = 0, î÷åâèäíî, ñîâïàäàåò ñ îäíîé èç ôîðì åå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:

¡ ¢ ¯ Lf (s)¯s=i ω =

Z+∞ f (t) · exp (−i ωt) dt.

−∞

Âîîáùå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå è Ëàïëàñà âåñüìà ñõîæè.  ÷àñòíîñòè, åñëè ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îïðåäåëåíî îäíîé èç ôîðìóë

Z+∞ f (t) · exp (±iωt) dt, fe(ω) = −∞

òî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îáðàç Ôóðüå ñâåðòêè äâóõ ôóíêöèé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ èõ îáðàçîâ Ôóðüå:

e e (f^ 1 ⊗ f2 ) = f1 · f2 .

84

Ãëàâà 3. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß 3.1. Ñîäåðæàòåëüíàÿ çàäà÷à, ïðèâîäÿùàÿ ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ Ðàññìîòðèì òðóáêó äëèíîé `, çàïîëíåííóþ âåùåñòâîì, ïîãëîùàþùèì è ðàññåèâàþùèì ñâåò. Ïîìåñòèì â ëåâîì åå êîíöå ñòàöèîíàðíûé èñòî÷íèê, èçëó÷àþùèé ñâåòîâîé ïîòîê ñ ïëîòíîñòüþ I0 , íàïðàâëåííûé âïðàâî (ðèñ.3.1).

I0 0

-

yk−1 Jk yk

z Ðèñ.3.1

`

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â êàæäîé òî÷êå òðóáêè ðàññåÿíèå ñâåòîâîãî ïîòîêà ïðîèñõîäèò ëèøü â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ  âïðàâî è âëåâî. Òîãäà ïëîòíîñòü ïîòîêà ïîñòîÿííà â êàæäîì ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè òðóáêè è ìåíÿåòñÿ òîëüêî âäîëü åå îñè. Ââåäåì ôóíêöèþ ϕ : [0, `] → R  ëèíåéíóþ ïëîòíîñòü ñâåòîâîãî ïîòîêà, èçëó÷àåìîãî â çàäàííîì ñå÷åíèè. Î÷åâèäíî, âåñü ñâåòîâîé ïîòîê â ñå÷åíèè ñ àáñöèññîé z ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ÷àñòè: ïîòîê îò èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ (ñ ó÷åòîì ïîãëîùåíèÿ è ðàññåÿíèÿ â ñðåäå) è âòîðè÷íûé ïîòîê, ñîçäàííûé ðàññåèâàþùåé ñðåäîé. Ðàññìîòðèì ýòè ñëàãàåìûå ïî îòäåëüíîñòè. 1. Ïëîòíîñòü ïåðâè÷íîãî ïîòîêà, ñîãëàñíî çàêîíó Áóãåðà17 , ðàâíà

Φ1 (z) = I0 · exp(−µz) (µ  ïîêàçàòåëü îñëàáëåíèÿ ñâåòà â ñðåäå). 2. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîòíîñòè âòîðè÷íîãî (îáðàçîâàííîãî ðàññåèâàþùåé ñðåäîé) ïîòîêà Φ2 (z) ïîñòðîèì íåêîòîðîå ðàçáèåíèå P ñåãìåíòà [0, `] è âûäåëèì ýëåìåíòàðíûé îáúåì, îãðàíè÷åííûé ñå÷åíèÿìè ñ àáñöèññàìè yk−1 è yk (ðèñ.3.1). Îáîçíà÷èì Jk = [yk−1 , yk ] è ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó y ∈ Jk . Åñëè áû ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü ïîòîêà íà Jk áûëà ïîñòîÿííîé è ðàâíÿëàñü ϕ(y), ïîëíîå âòîðè÷íîå èçëó÷åíèå ýòîãî ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà 17 Ïüåð

ÁÓÃÅÐ (P. Bouguer, 1698-1758)  ôðàíöóçñêèé ôèçèê, îäèí èç îñíîâàòåëåé ôîòîìåòðèè; ÷ëåí Ïàðèæñêîé ÀÍ è Ëîíäîíñêîãî êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà. 85

áûëî áû ðàâíî ϕ(y) · (yk − yk−1 ). Äàëåå, åñëè áû âñå ýòî èçëó÷åíèå èñõîäèëî èç ñå÷åíèÿ ñ àáñöèññîé y , òî åãî âêëàä â ðàññåÿííûé ñâåòîâîé ïîòîê, ïîëó÷àåìûé â ñå÷åíèè ñ àáñöèññîé z, áûë áû ðàâåí

ρ · exp(−µ|z − y|) · ϕ(y) · (yk − yk−1 ) 2 (çäåñü ρ  ïîêàçàòåëü ðàññåÿíèÿ ñðåäû; ìíîæèòåëü 12 îïðåäåëÿåòñÿ èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ïîëîâèíà ðàññåÿííîãî ïîòîêà èçëó÷àåòñÿ âïðàâî è ïîëîâèíà  âëåâî). Î÷åâèäíî íåðàâåíñòâî mk ≤ exp(−µ|z − y|) · ϕ(y) ≤ Mk , ãäå © ª © ª mk = inf exp(−µ|z − y|) · ϕ(y) , Mk = sup exp(−µ|z − y|) · ϕ(y) . y∈Jk

y∈Jk

Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîòíîñòü âòîðè÷íîãî ïîòîêà, ïîëó÷àåìîãî â ñå÷åíèè ñ àáñöèññîé z, óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó

ρ X ρ X · mk · (yk − yk−1 ) ≤ Φ2 (z) ≤ · Mk · (yk − yk−1 ). 2 2 k

(3.1.1)

k

Ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè íåðàâåíñòâà (3.1.1) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîîòâåòñòâåííî íèæíþþ è âåðõíþþ ñóììû Äàðáó ïðè ðàçáèåíèè P äëÿ ôóíêöèè ρ/2 · exp(−µ|z − y|) · ϕ(y). Ïîýòîìó

Φ2 (z) =

ρ · 2

Z` exp(−µ|z − y|) · ϕ(y) dy. 0

Òåïåðü óðàâíåíèå áàëàíñà ϕ(z) = Φ1 (z) + Φ2 (z) ïðèíèìàåò âèä

ρ ϕ(z) = I0 · exp(−µz) + · 2

Z` exp(−µ|z − y|) · ϕ(y) dy,

z ∈ [0, `].

0

3.2. Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà Ïîëó÷åííîå â ï.3.1 èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå  ïðèìåð óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà18 âòîðîãî ðîäà

Zβ x(t) =

K(t, τ )x(τ ) dτ + f (t).

(3.2.1)

α 18 Ýðèê

Èâàð ÔÐÅÄÃÎËÜÌ (E.I. Fredholm, 1866-1927)  øâåäñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ñòîêãîëüìñêîé ÀÍ. Èçâåñòåí ñâîèìè ðàáîòàìè ïî äèôôåðåíöèàëüíûì è èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì. 86

 óðàâíåíèè (3.2.1) x  èñêîìàÿ ôóíêöèÿ [α, β] → R; f  ñâîáîäíûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ  âåùåñòâåííàÿ, íåïðåðûâíàÿ íà [α, β] ôóíêöèÿ. Åñëè f (t) ≡ 0, óðàâíåíèå (3.2.1) íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì; K(t, τ )  âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà êâàäðàòå [α, β] × [α, β]. Îíà ëèáî íåïðåðûâíà, ëèáî èìååò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà íà äèàãîíàëè êâàäðàòà t = τ (ò.å. íåïðåðûâíà íà êàæäîì èç äâóõ òðåóãîëüíèêîâ, íà êîòîðûå ýòà äèàãîíàëü äåëèò êâàäðàò  ðèñ.3.2). Ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò ÿäðîì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ.

τ β

¡ ¡ ¡

¡

¡ ¡

¡

α

¡

¡

α

Ðèñ.3.2

β

t

Çàìå÷àíèå. Óðàâíåíèåì Ôðåäãîëüìà ïåðâîãî ðîäà íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå

Zβ

K(t, τ )x(τ ) dτ + f (t) = 0. α

Ýòîò òèï óðàâíåíèé ìû â íàøåì ïîñîáèè íå ðàññìàòðèâàåì. Óðàâíåíèå (3.2.1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

x = Ax + f,

(3.2.2)

ãäå A  ëèíåéíûé îïåðàòîð, ïðåîáðàçóþùèé íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ x : [α, β] → R ïî ôîðìóëå

Zβ (Ax) (t) =

K(t, τ )x(τ ) dτ. α

Óðàâíåíèå (3.2.2) âíåøíå ñõîæå ñ îäíîé èç ôîðì çàïèñè ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ýòà àíàëîãèÿ íà ñàìîì äåëå ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ãëóáîêîé. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâà àíàëîãè÷íàÿ èçâåñòíîé òåîðåìå ëèíåéíîé àëãåáðû 87

Òåîðåìà Ôðåäãîëüìà. Åñëè îäíîðîäíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå:

f (t) ≡ 0

=⇒

x(t) ≡ 0,

òî ñîîòâåòñòâóþùåå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè ëþáîì ñâîáîäíîì ÷ëåíå. Åñëè æå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå, òî ñîîòâåòñòâóþùåå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå ëèáî íåðàçðåøèìî, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Ïðèìåð. Åñëè

Rβ α

|K(t, τ )| dτ ≤ q < 1 ïðè âñåõ t ∈ [α, β], òî îäíî-

ðîäíîå óðàâíåíèå èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå è, ñëåäîâàòåëüíî, íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè ëþáîì ñâîáîäíîì ÷ëåíå. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âûïèøåì î÷åâèäíóþ îöåíêó:

¯Zβ ¯ ¯ ¯ |(Ax) (t)| = ¯ K(t, τ )x(τ ) dτ ¯ ≤ α

¡ ¢ ≤ max |x(τ )| ·

Zβ

τ ∈[α,β]

¡ ¢ |K(t, τ )| dτ ≤ q · max |x(τ )| . τ ∈[α,β]

α

Îòñþäà

¡ ¢ ¡ ¢ max |(Ax) (t)| ≤ q · max |x(t)| .

t∈[α,β]

t∈[α,β]

(3.2.3)

Åñëè z  ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, òî

z = Az =⇒

¡ ¢ ¡ ¢ max |z(t)| ≤ q · max |z(t)| =⇒ z(t) ≡ 0.

t∈[α,β]

t∈[α,β]

Çàìå÷àíèÿ. 1. Åñëè â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ¡ ¢ ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà [α, β], ââåñòè íîðìó kxkC = max |x(t)| , òî îöåíêà (3.2.3) ïîêàt∈[α,β]

çûâàåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè x èç ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî kAxkC ≤ q · kxkC . Îòñþäà âèäíî, ÷òî íàøå óòâåðæäåíèå  àíàëîã òåîðåìû î ìåòîäå ïðîñòîé èòåðàöèè äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. 2. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà î÷åíü ðåäêî óäàåòñÿ ïîëó÷èòü â ÿâíîé ("çàìêíóòîé") ôîðìå. Îäèí ïðîñòîé ñëó÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ â ñëåäóþùåì ïóíêòå. 88

3.3. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà ñ âûðîæäåííûì ÿäðîì ßäðî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííûì, åñëè îíî èìååò âèä m

K(t, τ ) =

X

ϕk (t)ψk (τ ),

k=1

ãäå ϕk , ψk ; k = 1, . . . , m  çàäàííûå âåùåñòâåííûå ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå íà [α, β]. Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. Íå ñëåäóåò ïóòàòü âûðîæäåííîñòü ÿäðà óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà ñ èçâåñòíûì ïîíÿòèåì âûðîæäåííîñòè êâàäðàòíîé ìàòðèöû.  ñëó÷àå âûðîæäåííîãî ÿäðà óðàâíåíèå (3.2.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

m X

x(t) =

Zβ ϕk (t)

k=1

èëè â âèäå

x=

x(τ )ψk (τ ) dτ + f (t) α

m X

ϕk · hx, ψk i + f,

(3.3.1)

k=1

ãäå hx, ψk i =

Rβ α

x(τ )ψk (τ ) dτ  ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé.

Óìíîæèâ îáå ÷àñòè (3.3.1) ñêàëÿðíî íà ψi , ïîëó÷èì m X hx, ψi i = hϕk , ψi ihx, ψk i + hf, ψi i, i = 1, . . . , m k=1

èëè

ci =

m X

aik ck + bi ,

i = 1, . . . , m,

(3.3.2)

k=1

ãäå aik = hϕk , ψi i,

bi = hf, ψi i,

ci = hx, ψi i.

Èòàê, åñëè x  ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.3.1), òî âåêòîð c ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.3.1). Îáðàòíî, åñëè c  ðåøåíèå ñèñòåìû (3.3.2), òî ôóíêöèÿ

x(t) =

m X

ck ϕk (t) + f (t)

k=1

áóäåò ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.3.1) (ïðîâåðüòå ýòî!). 89

(3.3.3)

Ïåðåïèøåì (3.3.2) â âèäå c = Ac + b èëè (Im − A) c = b. Åñëè îäíîðîäíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå, òî è îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà (Im − A) c = θ òàêæå èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå, ò.å. ìàòðèöà Im − A íåâûðîæäåííàÿ. Ïîýòîìó ñèñòåìà (3.3.2) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà ïðè ëþáîì ñâîáîäíîì ÷ëåíå, è ìîæíî ïîñòðîèòü ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïî ôîðìóëå (3.3.3). Ïðèìåð. Ðåøèì óðàâíåíèå

Z1 ³ ´ x(t) = exp(−t)exp(τ ) + exp(−2t)exp(2τ ) x(τ ) dτ + 1. 0

Çäåñü ϕk (t) = exp(−kt), ψk (t) = exp(kt); k = 1, 2. Âû÷èñëèâ èíòåãðàëû (ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ), çàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé (3.3.2):

(

0 · c1

+ (1/e − 1) · c2 = e − 1 2 . + 0 · c2 = e 2− 1

(1 − e) · c1

1 Îòñþäà c1 = − e + 2 , c2 = −e, ò.å. x(t) = 1 −

e+1 exp(−t) − e · exp(−2t). 2

3.4. Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Âîëüòåððà Åñëè K(t, τ ) = 0 ïðè τ > t, òî óðàâíåíèå (3.2.1) ïðèíèìàåò âèä

Zt x(t) =

K(t, τ )x(τ ) dτ + f (t).

(3.4.1)

α

Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàþò óðàâíåíèåì Âîëüòåððà19 . Çàìå÷àíèå. Çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

x0 = a(t) · x + g(t),

x(t0 ) = x0

ìîæíî ñâåñòè ê óðàâíåíèþ Âîëüòåððà. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîèíòåãðèðîâàâ òîæäåñòâî x0 (τ ) ≡ a(τ )x(τ ) + g(τ ) ïî ïðîìåæóòêó [t0 , t], ïîëó÷èì 19 Âèòî

ÂÎËÜÒÅÐÐÀ (V. Volterra, 1860-1940)  èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí íàöèîíàëüíîé àêàäåìèè äåè Ëèí÷åè â Ðèìå. Íàèáîëåå èçâåñòíû åãî ðàáîòû â îáëàñòè äèôôåðåíöèàëüíûõ è èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, òåîðèè óïðóãîñòè. 90

Zt x(t) =

Zt ³ ´ a(τ )x(τ ) dτ + x0 + g(τ ) dτ ,

t0

t0

êîòîðîå, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ (3.4.1). Ïîêàæåì, ÷òî îäíîðîäíîå óðàâíåíèå Âîëüòåððà

Zt z(t) =

K(t, τ )z(τ ) dτ

(3.4.2)

α

èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì M = max íèì ôóíêöèþ z  ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ. Èç (3.4.2) âûâîäèì

Zt |z(t)| ≤

α≤τ ≤t≤β

¡ ¢ |K(t, τ )| è îöå-

Zt |K(t, τ )| · |z(τ )| dτ ≤

α

M · kzkC dτ = M · kzkC · (t − α). α

Îòñþäà

Zt |z(t)| ≤

|K(t, τ )| · |z(τ )| dτ ≤ α

Zt

(t − α)2 . M · M · kzkC · (τ − α) dτ = M · kzkC · 2! 2

≤ α

Äàëåå òî÷íî òàê æå ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî k

(t − α)k |z(t)| ≤ M · kzkC · . k! k

(β − α)k < 21 . Ïîýòîìó k! |z(t)| ≤ 12 · kzkC ïðè âñåõ t ∈ [α, β], îòêóäà kzkC ≤ 21 · kzkC , ò.å. z(t) ≡ 0. Ïî òåîðåìå Ôðåäãîëüìà îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå Âîëüòåððà âñåãäà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì k èìååì M k ·

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Âîëüòåððà òàêæå î÷åíü ðåäêî óäàåòñÿ ïîëó÷èòü â ÿâíîé ("çàìêíóòîé") ôîðìå.  ñëåäóþùåì ïóíêòå ðàññìàòðèâàåòñÿ âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé  óðàâíåíèå Âîëüòåððà ñ ðàçíîñòíûì ÿäðîì, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðîãî ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà. 91

3.5. Óðàâíåíèå Âîëüòåððà ñ ðàçíîñòíûì ÿäðîì Ðàçíîñòíûì íàçûâàþò ÿäðî âèäà K(t, τ ) = g(t − τ ). Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü α = 0. Òîãäà óðàâíåíèå Âîëüòåððà ïðèìåò âèä

Zt x(t) =

g(t − τ )x(τ ) dτ + f (t),

0 ≤ t ≤ β.

(3.5.1)

0

Åñëè äîîïðåäåëèòü ôóíêöèè g è f , ïîëîæèâ èõ ðàâíûìè íóëþ ïðè t < 0 è ïðè t > β , òî îíè, î÷åâèäíî, îêàæóòñÿ îðèãèíàëàìè. Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå òàêæå ñðåäè ôóíêöèé-îðèãèíàëîâ. Òîãäà óðàâíåíèå (3.5.1) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå

x=g⊗x+f

(⊗  çíàê ñâåðòêè ôóíêöèé).

Ïðåîáðàçóÿ ýòî óðàâíåíèå ïî Ëàïëàñó, ïîëó÷èì x e = ge · x e + fe, îòêóäà

fe . 1 − ge

x e=

(3.5.2)

Çàìå÷àíèÿ. 1. Ýòîò ìåòîä ïðèìåíèì è â ñëó÷àå, êîãäà β = +∞, åñëè, êîíå÷íî, ôóíêöèè g è f ýêñïîíåíöèàëüíî îãðàíè÷åíû. 2. Íå ñëåäóåò çàáûâàòü, ÷òî íà ñàìîì äåëå ìû íå ðåøèëè óðàâíåíèå, à ïðîñòî "ïåðåäàëè ðàáîòó â äðóãîé öåõ": òðåáóåòñÿ íàéòè èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèé g è f è, åñëè ýòî óäàñòñÿ ñäåëàòü, âîññòàíîâèòü îðèãèíàë äëÿ íàéäåííîãî èçîáðàæåíèÿ ðåøåíèÿ (3.5.2)! Ïðèìåð. Ðåøèì óðàâíåíèå

Zt x(t) =

exp(−(t − τ ))x(τ ) dτ + 1;

0 ≤ t < +∞.

0

Çäåñü

g(t) = exp(−t) · δ1 (t)

=⇒

ge(s) =

1 ; s+1

1 fe(s) = . s Ïðåîáðàçóÿ óðàâíåíèå ïî Ëàïëàñó, íàéäåì x e(s) =

f (t) = δ1 (t)

=⇒

s+1 1 1 = + s s2 s2

=⇒ 92

x(t) = (1 + t) · δ1 (t).

3.6. ×èñëåííîå ðåøåíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà è Âîëüòåððà Ðàíåå ïîä÷åðêèâàëîñü, ÷òî ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ î÷åíü ðåäêî óäàåòñÿ ïîëó÷èòü â ÿâíîé ("çàìêíóòîé") ôîðìå.  ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ÷èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ. Çàäàäèì íàòóðàëüíîå ÷èñëî N è ïîñòðîèì íà ñåãìåíòå [α, β] ðàâ-

β−α

íîìåðíóþ ñåòêó tk = α + k · h; k = 0, . . . , N ; h = N . ×èñëåííîå ðåøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäå ñïëàéíà ïåðâîãî ïîðÿäêà (êóñî÷íî ïîñòîÿííîé ôóíêöèè)

Sh (t) = sk

ïðè

tk ≤ t < tk+1 .

(3.6.1)

Çàìåíÿÿ â óðàâíåíèè (3.2.1) èíòåãðàë êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé

sk = h

N −1 X

K(tk , tm )sm + f (tk );

k = 0, . . . , N − 1.

(3.6.2)

m=0

Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìó, îáîñíîâûâàþùóþ ïðèìåíåíèå ýòîãî ÷èñëåííîãî ìåòîäà. Òåîðåìà. Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1. ÿäðî óðàâíåíèÿ (3.2.1) èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî îáîèì àðãóìåíòàì â êàæäîì èç òðåóãîëüíèêîâ, îòìå÷åííûõ íà ðèñ.3.2; 2. ôóíêöèÿ f èìååò êóñî÷íî íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ íà [α, β]; 3. ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî h0 , ÷òî ïðè âñåõ h < h0 ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.6.2) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå

s = [s0 , . . . , sN −1 ]T . Äàëåå, ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî C, ÷òî ïðè h < h0 |x(tk ) − sk | ≤ C · h,

k = 0, . . . , N − 1,

ãäå x  ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.2.1). Áîëåå òîãî, äëÿ âñåõ t ∈ [α, β] âûïîëíåíà îöåíêà |x(t)−Sh (t)| ≤ C ·h, ãäå Sh  ñïëàéí, îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé (3.6.1).

93

Ãëàâà 4. ÊÐÀÅÂÛÅ ÇÀÄÀ×È ÄËß ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ Ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ëèíåéíîãî îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ôóíêöèé. Äëÿ ôèêñàöèè êîíêðåòíîãî ðåøåíèÿ èç ýòîãî ñåìåéñòâà çàäàþò çíà÷åíèå ýòîãî ðåøåíèÿ â íåêîòîðîé òî÷êå (íà÷àëüíîå óñëîâèå). Ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ ðàññìîòðåííàÿ ðàíåå çàäà÷à Êîøè. Ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû èç äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî âåêòîð-ôóíêöèé, è ôèêñèðîâàòü êîíêðåòíîå ðåøåíèå ìîæíî äâóìÿ ñïîñîáàìè: ëèáî çàäàòü îáà äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿ â îäíîé òî÷êå, ïîëó÷èâ óæå èçâåñòíóþ çàäà÷ó Êîøè, ëèáî çàäàòü èõ â äâóõ ðàçíûõ òî÷êàõ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå çàäà÷à íàçûâàåòñÿ êðàåâîé èëè ãðàíè÷íîé. Àíàëîãè÷íî, äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ìîæíî ïîñòàâèòü çàäà÷ó Êîøè, çàäàâ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ è åãî ïåðâîé ïðîèçâîäíîé) â îäíîé òî÷êå, èëè ïîñòàâèòü êðàåâóþ çàäà÷ó, çàäàâ äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ â äâóõ òî÷êàõ. Ìû íàìåðåíû îãðàíè÷èòüñÿ â ýòîé ãëàâå ëèøü ïîñòàíîâêîé ïðîñòåéøèõ êðàåâûõ çàäà÷ è ðàññìîòðåíèåì àëãîðèòìîâ èõ ðåøåíèÿ áåç òåõíîëîãè÷åñêèõ ïîäðîáíîñòåé.

4.1. Îäíà ñîäåðæàòåëüíàÿ çàäà÷à Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ñòàöèîíàðíîì òåïëîâîì ðåæèìå â òîíêîì ïðîâîäíèêå äëèíîé `, íàãðåâàåìîì ïðîõîäÿùèì ïî íåìó òîêîì. Áóäåì íàçûâàòü ïðîâîäíèê òîíêèì, åñëè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âî âñåõ òî÷êàõ åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òåìïåðàòóðà îäèíàêîâà. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðîâîäíèêà ïîêðûòà èäåàëüíîé òåïëîèçîëÿöèåé. Íà êîíöàõ èñêóññòâåííî ïîääåðæèâàåòñÿ çàäàííàÿ òåìïåðàòóðà (ðèñ.4.1).

T0

@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

T`

@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡@ ¡ ¡ @ ¡ @ ¡ @ ¡ @ ¡ @ ¡ @ ¡ @ ¡ @ ¡ @ ¡ @ ¡ @ ¡ @ ¡ @ ¡ @

Ðèñ.4.1. Òîíêèé ïðîâîäíèê, íàãðåâàåìûé òîêîì Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîâîäíèê ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ îäèíàêîâîé äëèíû (ðèñ.4.2), è òåìïåðàòóðà ïîñòîÿííà â ïðåäåëàõ êàæäîãî èç ýëåìåíòîâ. 94

u

u

x − ∆x

x

u

x + ∆x

Ðèñ.4.2. Ê âûâîäó óðàâíåíèÿ òåïëîâîãî áàëàíñà Íàéäåì ïðèðàùåíèå êîëè÷åñòâà òåïëà ∆Q â ýëåìåíòå ïðîâîäíèêà äëèíîé ∆x ñ öåíòðîì â òî÷êå x çà âðåìÿ ∆t. Ïîñêîëüêó áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðîâîäíèêà òåïëîèçîëèðîâàíà, ∆Q åñòü ñóììà òðåõ ñëàãàåìûõ: 1. Òåïëî, âûäåëåííîå òîêîì. Åñëè òîê ïîñòîÿííûé, ýòî òåïëî ïðîïîðöèîíàëüíî âðåìåíè è îáúåìó êóñêà ïðîâîäíèêà:

∆Q1 = γ · ∆t · ∆x · S. Çäåñü S  ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ïðîâîäíèêà, γ  êîíñòàíòà. 2. Òåïëî, ïîñòóïèâøåå èç ïðàâîãî ñîñåäíåãî ýëåìåíòà. Îíî ïðîïîðöèîíàëüíî âðåìåíè, ïëîùàäè ñå÷åíèÿ ïðîâîäíèêà, ðàçíîñòè òåìïåðàòóð â òî÷êàõ x + ∆x è x è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè:

T (x + ∆x) − T (x) . (4.1.1) ∆x Çäåñü λ  êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ìàòåðèàëà ïðîâîäíèêà. 3. Òåïëî, ïîñòóïèâøåå èç ëåâîãî ñîñåäíåãî ýëåìåíòà: ∆Q2 = λ · ∆t · S ·

T (x − ∆x) − T (x) . ∆x  ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå êîëè÷åñòâî òåïëà â ýëåìåíòå íå ìåíÿåòñÿ: ∆Q3 = λ · ∆t · S ·

∆Q1 + ∆Q2 + ∆Q3 = 0,

(4.1.2)

èëè

T (x + ∆x) − T (x) T (x) − T (x − ∆x) −λ·∆t·S· +γ·∆t·∆x·S = 0. ∆x ∆x Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà ∆t · ∆x · S , ïîëó÷èì

λ·∆t·S·

T (x + ∆x) − T (x) T (x) − T (x − ∆x) −λ ∆x ∆x − = γ. ∆x Ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó (∆x = 0), ïîëó÷èì êîíòèíóàëüíóþ ìîäåëü çàäà÷è  îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñ äâóìÿ êðàåâûìè (ãðàíè÷íûìè) óñëîâèÿìè: λ

0

− (λ · T 0 ) = γ;

T (0) = T0 , 95

T (`) = T` .

Çàìå÷àíèå. Ìû ñîçíàòåëüíî íå âûíåñëè çà çíàê ïðîèçâîäíîé êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè, òàê êàê, âîîáùå ãîâîðÿ, îí ìîæåò çàâèñåòü îò x. Êàê âèäíî èç (4.1.1), ôóíêöèÿ λ · T 0 èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë òåïëîâîãî ïîòîêà ÷åðåç åäèíèöó ïëîùàäè äàííîãî ñå÷åíèÿ ïðîâîäíèêà â íàïðàâëåíèè "íàëåâî".

4.2. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, ÷àñòíûì ñëó÷àåì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à èç ï.4.1, ôîðìóëèðóåòñÿ òàê:

Íàéòè äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ íà ñåãìåíòå [α, β] ôóíêöèþ y , êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ 0

− (p · y 0 ) + q · y = f,

(4.2.1)

à íà êîíöàõ ñåãìåíòà  êðàåâûì óñëîâèÿì.  óðàâíåíèè (4.2.1) p  ïîëîæèòåëüíàÿ, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà [α, β] ôóíêöèÿ; q, f  âåùåñòâåííûå, íåïðåðûâíûå íà [α, β] ôóíêöèè (â çàäà÷å èç ï.4.1 p = λ > 0, q = 0, f = γ ). Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíûì ÷ëåíîì êðàåâîé çàäà÷è. Åñëè f = 0, òî êðàåâàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé. Çàìå÷àíèå. Ê âèäó (4.2.1) ìîæíî ïðèâåñòè ëþáîå ëèíåéíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà

y 00 = r · y 0 + s · y + g,

(4.2.2)

ãäå r, s, g  íåïðåðûâíûå íà [α, β] ôóíêöèè. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (4.2.1):

p0 0 q f y =− ·y + ·y− . p p p 00

è ñðàâíèì åãî ñ (4.2.2). Âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ p åñòü îäíî èç ðåøåíèé

³ Rx ´ p0 óðàâíåíèÿ − p = r. Íàïðèìåð, ìîæíî ïîëîæèòü p(x) = exp − r . α Äàëåå, q = s · p è, íàêîíåö, f = −g · p. ×àùå âñåãî íà êîíöàõ ñåãìåíòà ðàññìàòðèâàþò êðàåâûå óñëîâèÿ îäíîãî èç òðåõ òèïîâ: 1. y(α) = 0 (êðàåâîå óñëîâèå ïåðâîãî ðîäà; â çàäà÷å î òåïëîâîì ðåæèìå ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êå α èñêóññòâåííî ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà); 96

2. y 0 (α) = 0 (êðàåâîå óñëîâèå âòîðîãî ðîäà; â çàäà÷å î òåïëîâîì ðåæèìå îíî îçíà÷àåò, ÷òî ëåâûé êîíåö ïðîâîäíèêà òåïëîèçîëèðîâàí); 3. y 0 (α) − µα · y(α) = 0, µα > 0 (êðàåâîå óñëîâèå òðåòüåãî ðîäà; â çàäà÷å î òåïëîâîì ðåæèìå ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî íà ëåâîì êîíöå ïðîâîäíèêà âûõîäÿùèé òåïëîâîé ïîòîê ïðîïîðöèîíàëåí òåìïåðàòóðå). Àíàëîãè÷íî çàäàåòñÿ êðàåâîå óñëîâèå â òî÷êå β . Íî â óñëîâèè òðåòüåãî ðîäà òàêæå ðàññìàòðèâàåòñÿ âûõîäÿùèé ïîòîê òåïëà, ïîýòîìó çíàê ïðè êîýôôèöèåíòå µ ìåíÿåòñÿ: y 0 (β) + µβ · y(β) = 0, µβ > 0. Çàìå÷àíèå. Åñëè êðàåâûå óñëîâèÿ íå îäíîðîäíûå (â ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò íå íóëü), òî ïîäñòàíîâêà y = Y + P2 , ãäå P2  ïîëèíîì âòîðîé ñòåïåíè ñ íåîïðåäåëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü çà ñ÷åò âûáîðà ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ îäíîðîäíûå êðàåâûå óñëîâèÿ (ïðîâåðüòå ýòî!). Ïîýòîìó ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî çàäà÷ó ñ îäíîðîäíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå.  îòëè÷èå îò çàäà÷è Êîøè, êðàåâàÿ çàäà÷à ìîæåò íå èìåòü ðåøåíèÿ èëè èìåòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé äàæå â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó

−y 00 = f,

y 0 (−1) = y 0 (1) = 0.

Åñëè f (x) ≡ 1, òî y 0 (x) = −x + c, c = const. Èç ïåðâîãî êðàåâîãî óñëîâèÿ ïîëó÷àåì c = −1, à èç âòîðîãî c = 1, ÷òî íåâîçìîæíî. Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòîò ðåçóëüòàò î÷åâèäåí: åñëè â çàäà÷å èç ï.4.1 ïðîâîäíèê òåïëîèçîëèðîâàí, òî ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû íåâîçìîæíî  ïîä äåéñòâèåì òîêà îí áóäåò íàãðåâàòüñÿ íåîãðàíè÷åííî! Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè f (x) = x, òî y 0 (x) = −x2 /2 + c. Èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïîëó÷àåì c = 1/2. Ïîýòîìó y(x) = −x3 /6 + x/2 + c1 (c1  ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà), ò.å. çàäà÷à èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Îáîçíà÷èì DL ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà [α, β] è óäîâëåòâîðÿþùèõ ïîñòàâëåííûì êðàåâûì óñëîâèÿì. Çàäàäèì íà DL ëèíåéíûé (ïðîâåðüòå ýòî!) îïåðàòîð 0

Lφ ≡ − (p · φ0 ) + q · φ.

(4.2.3)

Òîãäà èñõîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à çàïèøåòñÿ â âèäå

Ly = f ;

y ∈ DL . 97

(4.2.4)

Çàìå÷àíèå. Íàïîìíèì, ÷òî â îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà âõîäèò íå òîëüêî "ôîðìóëà ïî êîòîðîé îí äåéñòâóåò, íî è åãî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ DL . Ïîýòîìó îïåðàòîðû ñ îäíèì è òåì æå "äèôôåðåíöèàëüíûì âûðàæåíèåì" (4.2.3) è ñ ðàçíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè  ðàçíûå îïåðàòîðû!

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî çàäà÷à (4.2.4) "óñòðîåíà" òàê æå, êàê óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà. Èìåííî, ñïðàâåäëèâà òåîðåìà, â òî÷íîñòè ïîâòîðÿþùàÿ òåîðåìó Ôðåäãîëüìà. Òåîðåìà. Åñëè îäíîðîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ (4.2.1) èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå (y(x) ≡ 0), òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåîäíîðîäíàÿ çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè ëþáîì ñâîáîäíîì ÷ëåíå. Åñëè æå îäíîðîäíàÿ çàäà÷à èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåîäíîðîäíàÿ çàäà÷à ëèáî íåðàçðåøèìà, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Çàìå÷àíèÿ. 1.  ïðèâåäåííîì âûøå ïðèìåðå îäíîðîäíàÿ çàäà÷à −y = 0, y 0 (−1) = y 0 (1) = 0, î÷åâèäíî, èìååò ðåøåíèå y(x) = const. 2.Òàê æå, êàê â çàäà÷å Êîøè, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèÿ âèäà (4.2.1) ñ êóñî÷íî íåïðåðûâíûìè êîýôôèöèåíòàìè è ïðàâîé ÷àñòüþ. Òàêèå óðàâíåíèÿ åñòåñòâåííî âîçíèêàþò â ðàçëè÷íûõ ïðèëîæåíèÿõ. Íàïðèìåð, åñëè â çàäà÷å èç ï.4.1 ïðîâîäíèê ñîñòàâëåí èç íåñêîëüêèõ ìàòåðèàëîâ ñ ðàçíûìè òåïëîïðîâîäíîñòÿìè, òî êîýôôèöèåíò λ áóäåò êóñî÷íî íåïðåðûâíûì. Ïîñêîëüêó λ · T 0 äîëæíà áûòü ïåðâîîáðàçíîé îò (−γ), ò.å. íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé, ðåøåíèå T äîëæíî èìåòü êóñî÷íî íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ, ðàçðûâû êîòîðîé ñîãëàñîâàíû ñ ðàçðûâàìè λ. Àíàëîãè÷íî ïîíèìàåòñÿ ðåøåíèå è â îáùåì ñëó÷àå. Ñôîðìóëèðîâàííàÿ òåîðåìà ïðè ýòîì îñòàåòñÿ âåðíîé. 00

4.3. Çàäà÷à ØòóðìàËèóâèëëÿ Ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó

Lϕ = ν · ϕ;

ϕ ∈ DL ,

(4.3.1)

ãäå ν  êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà çàäà÷à âñåãäà èìååò ðåøåíèå ϕ(x) ≡ 0. Îïðåäåëåíèå. Åñëè çàäà÷à (4.3.1) èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå ϕ ∈ DL , òî ÷èñëî ν íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì ÷èñëîì, à ôóíêöèÿ ϕ  ñîîòâåòñòâóþùåé (ýòîìó ÷èñëó) ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé ("ñîáñòâåííûì âåêòîðîì") îïåðàòîðà L. 98

Çàäà÷à îá îòûñêàíèè ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà L íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé ØòóðìàËèóâèëëÿ20 . Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé y, z ∈ DL ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

hLy, zi = hy, Lzi,

(4.3.2)

ãäå h·, ·i  îáû÷íîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà [α, β], îïðåäåëåííîå ðàâåíñòâîì (2.2.1). Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà îáîèõ êîíöàõ ñåãìåíòà [α, β] çàäàíî êðàåâîå óñëîâèå ïåðâîãî ðîäà. Ðàñïèøåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ëåâîé ÷àñòè (4.3.2):

Zβ

Zβ hLy, zi =

Ly · z =

¡

¢ 0 − (p · y 0 ) + q · y · z.

α

α

Èíòåãðèðóÿ ïåðâîå ñëàãàåìîå ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì

hLy, zi = −p(β) · y 0 (β) · z(β) + p(α) · y 0 (α) · z(α)+ Zβ ¢ ¡ + p · y0 · z0 + q · y · z . α

Ïîñêîëüêó z óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, âíåèíòåãðàëüíûå ÷ëåíû îáðàùàþòñÿ â íóëü. Îêîí÷àòåëüíî èìååì

Zβ hLy, zi =

¡

¢ p · y0 · z0 + q · y · z .

(4.3.3)

α

Ïðîäåëàâ òàêèå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïðàâîé ÷àñòüþ (4.3.2) è âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî y òàêæå óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, ìû âíîâü ïðèäåì ê (4.3.3). Óáåäèòåñü â òîì, ÷òî ðàâåíñòâî (4.3.2) âåðíî è äëÿ êðàåâûõ óñëîâèé âòîðîãî è òðåòüåãî ðîäà. 20 Æàê

Øàðëü Ôðàíñóà ØÒÓÐÌ (J.C.F. Sturm, 1803-1855)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïàðèæñêîé ÀÍ, èíîñòðàííûé ïî÷åòíûé ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ. Åãî îñíîâíûå ðàáîòû ïîñâÿùåíû êðàåâûì çàäà÷àì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Æîçåô ËÈÓÂÈËËÜ (J. Liouville, 1809-1882)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïàðèæñêîé ÀÍ, èíîñòðàííûé ïî÷åòíûé ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ. Ðàáîòû ïî îáùåé òåîðèè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé, òåîðèè ÷èñåë, ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå. Ïîñòðîèë òåîðèþ ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé. 99

Ñâîéñòâî (4.3.2) îïåðàòîðà L àíàëîãè÷íî ñàìîñîïðÿæåííîñòè êâàäðàòíîé ìàòðèöû. Êàê èçâåñòíî èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû, âñÿêàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà èìååò îðòîãîíàëüíûé ñîáñòâåííûé áàçèñ, à âñå åå ñîáñòâåííûå ÷èñëà âåùåñòâåííû. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ çàäà÷è (4.3.1) ñïðàâåäëèâà Òåîðåìà. 1. Âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà L âåùåñòâåííû. Îíè

¡ ¢+∞

îáðàçóþò íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü νk k=1 . Êàæäîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò ðîâíî îäíà (ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ) ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ϕk . Áîëåå òîãî, âñå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ìîãóò áûòü âûáðàíû âåùåñòâåííûìè. 2. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà L ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû íà [α, β], ò.å. ïðè k 6= m

Zβ

ϕk · ϕm = 0. α

¡ ¢+∞ 3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕk k=1 îáðàçóåò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ íà [α, β] ôóíêöèé ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (2.2.1). Çàìå÷àíèå. Âìåñòî (4.3.1) ìîæíî ðàññìîòðåòü áîëåå îáùóþ çàäà÷ó

Lϕ = ν · r · ϕ;

ϕ ∈ DL ,

(4.3.4)

ãäå r  ïîëîæèòåëüíàÿ, íåïðåðûâíàÿ íà [α, β] ôóíêöèÿ, èìåíóåìàÿ âåñîì. Íåíóëåâûå ðåøåíèÿ çàäà÷è (4.3.4) íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà L ñ âåñîì r. Äëÿ çàäà÷è (4.3.4) îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Âî âòîðîì è òðåòüåì óòâåðæäåíèÿõ ñëåäóåò çàìåíèòü îáû÷íîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (2.2.1) íà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñ âåñîì (2.2.3). Òåîðåìà. Åñëè q(x) ≥ 0, x ∈ [α, β] (â ñëó÷àå, åñëè íà îáîèõ êîíöàõ ñåãìåíòà [α, β] çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ âòîðîãî ðîäà, ñëåäóåò äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ q íå áûëà íóëåâîé), òî âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà L ïîëîæèòåëüíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî íà îáîèõ êîíöàõ ñåãìåíòà çàäàíû óñëîâèÿ ïåðâîãî ðîäà. Óìíîæèâ óðàâíåíèå (4.3.1) ñêàëÿðíî íà ϕ, ïîëó÷èì

hLϕ, ϕi = ν · kϕk2 . Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü ñ ó÷åòîì (4.3.3): 100

Zβ

¡

¢ p · |ϕ0 |2 + q · |ϕ|2 = ν · kϕk2 .

α

Ïîñêîëüêó p(x) > 0 è q(x) ≥ 0, îáà ñëàãàåìûõ ïîä èíòåãðàëîì íåîòðèöàòåëüíû. Áîëåå òîãî, åñëè p(x) · |ϕ0 (x)|2 ≡ 0, òî ϕ0 (x) ≡ 0, îòêóäà â ñèëó ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (ϕ(α) = ϕ(β) = 0) ïîëó÷àåì ϕ(x) ≡ 0, ÷òî íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó âåñü èíòåãðàë ïîëîæèòåëåí, è ν > 0. ¥ Ïîïðîáóéòå äîêàçàòü òåîðåìó äëÿ äðóãèõ êðàåâûõ óñëîâèé. Çàìå÷àíèÿ. 1.  óñëîâèÿõ ïîñëåäíåé òåîðåìû îäíîðîäíàÿ çàäà÷à (4.2.4) èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå. Ñîãëàñíî òåîðåìå èç ï.4.2, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êðàåâàÿ çàäà÷à (4.2.4) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà ïðè ëþáîì ñâîáîäíîì ÷ëåíå. 2. Òåîðåìà áåç èçìåíåíèé äîêàçûâàåòñÿ äëÿ çàäà÷è ñ âåñîì (4.3.4).

4.4. Ïðîåêöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è. I. Ìåòîä Ôóðüå Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è â ôîðìå ðÿäà Ôóðüå ïî áàçèñó, ñîñòîÿùåìó èç âåùåñòâåííûõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé çàäà÷è Øòóðìà Ëèóâèëëÿ (4.3.1):

y=

+∞ X

ybk · ϕk .

(4.4.1)

k=1

Ïîäñòàâèâ (4.4.1) â (4.2.4), ïîëó÷èì òîæäåñòâî

L

+∞ ³X

´ ybk · ϕk = f.

k=1

Óìíîæàÿ ýòî òîæäåñòâî ñêàëÿðíî íà âñå áàçèñíûå ôóíêöèè ϕm , ïîëó÷èì áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé +∞ E ´ D ³X L ybk · ϕk , ϕm = hf, ϕm i,

m ∈ N.

k=1

Ïðèìåíèì òîæäåñòâî (4.3.2) è ó÷òåì, ÷òî Lϕm = νm · ϕm . Ïîëó÷èì +∞ X

hb yk · ϕk , νm · ϕm i = hf, ϕm i.

k=1

101

 ñèëó ïîïàðíîé îðòîãîíàëüíîñòè ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé â ëåâîé ÷àñòè îñòàåòñÿ òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå  áåñêîíå÷íàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé îêàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíîé:

νm ybm · kϕm k2 = hf, ϕm i,

m ∈ N.

Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âñå νk îòëè÷íû îò íóëÿ (âñïîìíèòå òåîðåìó èç ï.4.2!), òî ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è èìååò âèä

y=

+∞ b X fk k=1

ãäå

hf, ϕk i fbk = = kϕk k2

νk

· ϕk ,

(4.4.2)

´Á³ Zβ

³ Zβ f · ϕk α

´ |ϕk | . 2

(4.4.3)

α

Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè èçâåñòíû ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà L ñ âåñîì r, òî êîýôôèöèåíòû fbk â (4.4.2) âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå

fbk =

´Á³ Zβ

³ Zβ f · ϕk α

´ r · |ϕk | . 2

α

Ïðèìåðû. 1. y 00 + y = −exp(2x), y(1) = y(2) = 0. Ïðèâåäåì óðàâíåíèå ê âèäó (4.2.1):

−y 00 − y = exp(2x). Çäåñü α = 1, β = 2, p(x) ≡ 1, q(x) ≡ −1, f (x) = exp(2x). Çàäà÷à ØòóðìàËèóâèëëÿ, îïðåäåëÿþùàÿ ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà, èìååò âèä

−ϕ00 − ϕ = ν · ϕ,

ϕ(1) = ϕ(2) = 0.

Ïåðåïèøåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèè òàê:

−ϕ00 = µ · ϕ,

µ = ν + 1.

Èç òåîðåìû, äîêàçàííîé â êîíöå ïðåäûäóùåãî ïóíêòà, ñëåäóåò, ÷òî µ > 0. Óáåäèòåñü (íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà), ÷òî äâóìåðíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä

ϕ(x) = Acos(γx) + B

sin(γx) , γ

102

γ=

√

µ.

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî â êðàåâûå óñëîâèÿ, ïîëó÷èì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ A è B :

  cos(γ) · A +

sin(γ) γ ·B = 0 (4.4.4)  cos(2γ) · A + sin(2γ) · B = 0. γ Íåíóëåâîå ðåøåíèå ýòà ñèñòåìà èìååò, åñëè åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ. sin(γ) Ñëåäîâàòåëüíî, γ äîëæíî áûòü êîðíåì óðàâíåíèÿ γ = 0, ò.å. ¡ ¢ γk = kπ νk = k 2 π 2 − 1 , k ∈ N. Ïîäñòàâèâ íàéäåííûå γk â (4.4.4), âûáåðåì êàêîå-íèáóäü íåíóëåâîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû, íàïðèìåð,

Ak = −sin(γk ) = 0,

Bk = γk cos(γk ) = (−1)k · kπ.

Òîãäà

Z2 kϕk k2 = hϕk , ϕk i =

ϕk (x) = sin(kπ(x − 1));

1

1 sin2 (kπ(x − 1)) dx = . 2

Âû÷èñëèâ êîýôôèöèåíòû â (4.4.3):

hf, ϕk i fbk = =2· kϕk k2

Z2 1

(−1)k e2 (e2 − 1) exp(2x) · sin(kπ(x − 1)) dx = 2 , k2π2 + 4

íàéäåì ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è ïî ôîðìóëå (4.4.2): 2

2

y(x) = 2e (e − 1)

+∞ X k=1

(−1)k · sin(kπ(x − 1)). (k 2 π 2 − 1)(k 2 π 2 + 4)

Ãðàôèê ðåøåíèÿ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ.4.3. 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

1

1.25

1.5 Ðèñ.4.3 103

1.75

2

1 · y 0 + y = 1, y(1) = y(2) = 0. 2. y 00 + x Ïðèâåäåì óðàâíåíèå ê âèäó (4.2.1): −(x · y 0 )0 − x · y = −x. Çäåñü α = 1, β = 2, p(x) = x, q(x) = −x, f (x) = −x. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ØòóðìàËèóâèëëÿ î ñîáñòâåííûõ ôóíêöèÿõ îïåðàòîðà Ly ≡ −(x · y 0 )0 − x · y ñ âåñîì x:

−(x · ϕ0 )0 − x · ϕ = ν · x · ϕ,

ϕ(1) = ϕ(2) = 0.

Ïåðåïèøåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèè òàê:

−(x · ϕ0 )0 = (ν + 1) · x · ϕ. Èçâåñòíî (Ñì., íàïðèìåð, Ñïðàâî÷íèê ïî ñïåöèàëüíûì ôóíêöèÿì. Ïîä ðåä. Ì. Àáðàìîâèöà è È. Ñòèãàí.  Ì.: Íàóêà, 1979), ÷òî äâóìåðíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä

ϕ(x) = AJ0 (γx) + BY0 (γx),

γ=

√

ν + 1,

ãäå J0 , Y0  ôóíêöèè Áåññåëÿ (öèëèíäðè÷åñêèå ôóíêöèè) íóëåâîãî ïîðÿäêà, ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ñîîòâåòñòâåííî. Êðàåâûå óñëîâèÿ ïîçâîëÿþò íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà: îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

½

ϕ(1) = J0 (γ) · A + Y0 (γ) · B = 0 ϕ(2) = J0 (2γ) · A + Y0 (2γ) · B = 0 èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå òîëüêî ïðè ðàâåíñòâå íóëþ îïðåäåëèòåëÿ åå ìàòðèöû. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîáñòâåííûå ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ J0 (γ) · Y0 (2γ) − J0 (2γ) · Y0 (γ) = 0. Íà ðèñ.4.4 ïðåäñòàâëåí ôðàãìåíò ãðàôèêà ëåâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ, à â òàáëèöå  çíà÷åíèÿ ïåðâûõ øåñòè åãî êîðíåé.

0

γ1

γ2

γ3 Ðèñ.4.4 104

γ4

γ5

γ6

k 1 2 3 4 5 6

γk 3.123030920E+00 6.273435714E+00 9.418207542E+00 1.256142319E+01 1.570399789E+01 1.884624804E+01

Îòìåòèì, ÷òî àëãîðèòì ðåøåíèÿ óðàâíåíèé òàêîãî òèïà ðåàëèçîâàí â âèäå Ôîðòðàí-ïðîãðàììû, âîçâðàùàþùåé çàäàííîå êîëè÷åñòâî êîðíåé.  êà÷åñòâå êîýôôèöèåíòîâ Ak è Bk ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð, ÷èñëà Ak = Y0 (γk ), Bk = −J0 (γk ). Èòàê,

ϕk (x) = Y0 (γk ) · J0 (γk x) − J0 (γk ) · Y0 (γk x). Âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå

Z2 fbk =

¡ ¢ Y0 (γk ) · J0 (γk x) − J0 (γk ) · Y0 (γk x) · (−x) dx

1

Z2

¡

¢2 Y0 (γk ) · J0 (γk x) − J0 (γk ) · Y0 (γk x) · x dx

1

ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ äâóõ èíòåãðàëîâ. Ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ñðåäû êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ MAPLE: èíòåãðàë â çíàìåíàòåëå ðàâåí

¢2 x2 ³¡ Y0 (γk ) · J0 (γk x) − J0 (γk ) · Y0 (γk x) + 2 ¡ ¢2 ´¯¯2 + Y0 (γk ) · J1 (γk x) − J0 (γk ) · Y1 (γk x) ¯ , 1

èíòåãðàë â ÷èñëèòåëå 

¯2 1 ¯ (J0 (γk ) · Y1 (γk x) − Y0 (γk ) · J1 (γk x)) ¯ . 1 γk Çäåñü J1 , Y1  ôóíêöèè Áåññåëÿ (öèëèíäðè÷åñêèå ôóíêöèè) ïåðâîãî ïîðÿäêà, ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ñîîòâåòñòâåííî. Ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è èìååò âèä y(x) =

+∞ X k=1

¡ ¢ fbk · Y (γ ) · J (γ x) − J (γ ) · Y (γ x) . 0 k 0 k 0 k 0 k γk2 − 1

Åãî ãðàôèê ïðåäñòàâëåí íà ðèñ.4.5. 105

0 -0.05 -0.1 1

1.25

1.5

1.75

2

Ðèñ.4.5 Çàìå÷àíèå. Êàê ÷àñòî áûâàåò, ïðîñòîé íà ïåðâûé âçãëÿä àëãîðèòì ïðèâîäèò ïðè ïîïûòêå èì âîñïîëüçîâàòüñÿ ê âåñüìà ñëîæíîé àíàëèòè÷åñêîé çàäà÷å  íóæíî ïîñòðîèòü áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.  ïåðâîì íàøåì ïðèìåðå ýòî áûëî íåñëîæíî ñäåëàòü, òàê êàê çàäà÷à ñâåëàñü ê ðåøåíèþ ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè è ê ðåøåíèþ "øêîëüíîãî" òðàíñöåí-

sin(γ)

äåíòíîãî óðàâíåíèÿ γ = 0. Îäíàêî óæå âî âòîðîì ïðèìåðå ïðèøëîñü îáðàòèòüñÿ ê ñïðàâî÷íèêó, ê ñðåäå êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ è ê Ôîðòðàí-ïðîãðàììå! Âåäü ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïîòîìó è íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè, ÷òî îïðåäåëÿþòñÿ îïåðàòîðîì. Ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî âíîâü âñòðåòèâøåãîñÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü íîâóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ ýëåìåíòîâ, ò.å. íàéòè ðåøåíèÿ íîâîé çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ. Ìàòåìàòèêè äîêîìïüþòåðíîé ýïîõè ïðîäåëàëè ãèãàíòñêóþ ðàáîòó: ïîñòðîåíû, èçó÷åíû è òàáóëèðîâàíû ìíîãî÷èñëåííûå ôóíêöèè, íîñÿùèå ãîðäîå íàçâàíèå "ñïåöèàëüíûõ". Òàêîâû ôóíêöèè Áåññåëÿ (öèëèíäðè÷åñêèå), ôóíêöèè Ëåæàíäðà (øàðîâûå), ôóíêöèè ßêîáè (ýëëèïòè÷åñêèå)... Ñì., íàïðèìåð, "Ñïðàâî÷íèê ïî ñïåöèàëüíûì ôóíêöèÿì".  íàøå âðåìÿ íåò íåîáõîäèìîñòè îáðàùàòüñÿ ê òàáëèöàì (à ÷àñòî äàæå è ê ñïðàâî÷íèêàì), òàê êàê áèáëèîòåêè Ôîðòðàíà ðàñïîëàãàþò ñòàíäàðòíûìè ïðîãðàììàìè âû÷èñëåíèÿ âñåõ ðàñïðîñòðàíåííûõ ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèé, à òàêèå ñðåäû êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ, êàê MAPLE è MATHEMATICA, íå òîëüêî âû÷èñëÿþò çíà÷åíèÿ ýòèõ ôóíêöèé ñ ïðîèçâîëüíî çàäàííûì êîëè÷åñòâîì çíà÷àùèõ öèôð, íî è âûïîëíÿþò íàä íèìè àíàëèòè÷åñêèå îïåðàöèè. Ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è âñåãäà ñòîèò íà÷àòü ñ èçó÷åíèÿ ñïðàâî÷íèêîâ, è åñëè Âàøà çàäà÷à  âàðèàíò óæå ðåøåííîé, òî óñïåõ îáåñïå÷åí. 106

À âîò åñëè íàøè âåëèêèå ïðåäøåñòâåííèêè íå ñóìåëè ïîñòðîèòü ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èíòåðåñóþùåãî íàñ îïåðàòîðà, òî ýòî è Âàì âðÿä ëè óäàñòñÿ. Ïîýòîìó â ñëåäóþùåì ïóíêòå áóäóò êîíñïåêòèâíî èçëîæåíû îñíîâû ñîâðåìåííîé òåõíîëîãèè ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷.

4.5. Ïðîåêöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è. II. Ñîâðåìåííûå òåõíîëîãèè Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà îáîèõ êîíöàõ ñåãìåíòà [α, β] çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ òðåòüåãî ðîäà. Óìíîæèâ ñêàëÿðíî óðàâíåíèå (4.2.1) íà ïðîèçâîëüíóþ êóñî÷íî ãëàäêóþ, íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ φ, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî

Zβ

¡ ¢ −(p · y 0 )0 + q · y · φ =

α

Zβ f · φ.

(4.5.1)

α

Ïðåîáðàçóåì (4.5.1), ïðèìåíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì (ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé):

Zβ

¡

¯β −(p · y 0 )0 + q · y · φ = −(py 0 )φ¯α + ¢

α

Zβ

¡ ¢ p · y 0 · φ0 + q · y · φ =

α

Zβ = p(α)µα y(α)φ(α)+p(β)µβ y(β)φ(β)+ α

¡

¢ p·y 0 ·φ0 +q·y·φ =

Zβ f ·φ. (4.5.2) α

Îáùàÿ èäåÿ ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è èùóò â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî íàáîðà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé {φk }, k = 1, . . . , N , ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íàõîäÿò èç ñèñòåìû óðàâíåíèé, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâêîé â (4.5.2) φ = φn , n = 1, . . . , N . Åñëè â êà÷åñòâå {φk } âçÿòü ïåðâûå N ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé çàäà÷è (4.3.1), òî, àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïóíêòó, ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî êàæäîå èç óðàâíåíèé (4.5.2) áóäåò ñîäåðæàòü òîëüêî îäèí íåèçâåñòíûé êîýôôèöèåíò èñêîìîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè; ïîëó÷åííûå êîýôôèöèåíòû ñîâïàäàþò ñ ïåðâûìè N êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå ôóíêöèè y , ò.å. ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå â ýòîì ñëó÷àå  ïðîñòî ÷àñòíàÿ ñóììà ðÿäà Ôóðüå òî÷íîãî ðåøåíèÿ. Îäíàêî, êàê óæå óêàçûâàëîñü, ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èçâåñòíû ëèøü äëÿ ñ÷èòàííîãî ÷èñëà çàäà÷. 107

Ïîýòîìó çàìàí÷èâîé âûãëÿäèò èäåÿ èñïîëüçîâàòü âî âñåõ êðàåâûõ çàäà÷àõ êàêèå-íèáóäü íåñëîæíûå ñòàíäàðòíûå íàáîðû. Íàïðèìåð, âçÿòü â êà÷åñòâå òàêîãî íàáîðà ïåðâûå N ýëåìåíòîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé

φk (x) = Ak cos(γk x) + Bk

sin(γk x) , k ∈ N. γk

Òåîðåòè÷åñêè ýòî âîçìîæíî: çà ñ÷åò âûáîðà ïàðàìåòðà γk è êîýôôèöèåíòîâ Ak è Bk ìîæíî àíàëîãè÷íî ïðèìåðó 1 ï.4.4 óäîâëåòâîðèòü êðàåâûì óñëîâèÿì è çàòåì ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé (4.5.2). Ê ñîæàëåíèþ, ïîëó÷àþùàÿñÿ ñèñòåìà áóäåò â îáùåì ñëó÷àå èìåòü çàïîëíåííóþ ìàòðèöó, ò.å. êàæäîå óðàâíåíèå ñîäåðæèò âñå èñêîìûå êîýôôèöèåíòû.  äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî α = 0, β = 1. Çàäàäèì íàòóðàëüíîå ÷èñëî N è ïîñòðîèì íà [0, 1] ðàâíîìåðíóþ ñåòêó

xn = nh;

n = 0, . . . N + 1;

h=

1 . N +1

(4.5.3)

Ïîñòðîèì ôóíêöèè (èõ èìåíóþò "ïàëàòêàìè ñì. ðèñ.4.6)

½

Π0 (x) =

1 − x ïðè 0 ≤ x ≤ h h 0 ïðè x > h;

  0 ïðè x < (n − 1) · h    x − (n − 1) ïðè (n − 1) · h ≤ x ≤ n · h h Πn (x) = x ïðè n · h ≤ x ≤ (n + 1) · h , n = 1, . . . , N ; (n + 1) −   h   0 ïðè x > (n + 1) · h ½ 0 ïðè x < N · h ΠN +1 (x) = x − N ïðè N · h ≤ x ≤ (N + 1) · h. h A

¢A ¢ A

A

A

¢

b

A Ab

0

h

¢ b¢

(n − 1)h

¢

A

¢

A

A

b

nh

¢

A Ab

(n + 1)h

¢b

¢ ¢

¢

b

N h (N + 1)h = 1

Ðèñ.4.6. Ãðàôèêè ôóíêöèé-"ïàëàòîê" Áóäåì èñêàòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå íàøåé êðàåâîé çàäà÷è â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýòèõ "ïàëàòîê ò.å. â âèäå íåïðåðûâíîãî ñïëàéíà âòîðîãî ïîðÿäêà íà ñåòêå (4.5.3): 108

ye(x) =

N +1 X

ck · Πk (x).

(4.5.4)

k=0

Çàìåòèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ "ïàëàòîê" Πk (xn ) = δnk , è ïîòîìó ck = ye(xk ). Ïîäñòàâëÿÿ (4.5.4) â (4.5.2) è ïîëàãàÿ φ = Πn , ïîëó÷èì N +1 X

ank · ck = bn ,

n = 0, . . . , N + 1,

(4.5.5)

k=0

ãäå

Z1 ank =

¡ ¢ p · Π0n · Π0k + q · Πn · Πk ,

n, k = 1, . . . , N ;

(4.5.6)

¢ ¡ p · Π00 · Π0k + q · Π0 · Πk ;

(4.5.7)

0

Z1 a0k = ak0 = p(0)µ0 · δ0k + 0

Z1 aN +1,k = ak,N +1 = p(1)µ1 · δN +1,k +

¢ ¡ p · Π0N +1 · Π0k + q · ΠN +1 · Πk ; (4.5.8)

0

Z1 bn =

f · Πn ,

n = 0, . . . , N + 1.

(4.5.9)

0

Î÷åâèäíî, (N + 2) × (N + 2)-ìàòðèöà A ýðìèòîâà. Äàëåå, ïî ïîñòðîåíèþ N +1 X

ank ck cn = hLe y , yei.

(4.5.10)

k,n=0

Åñëè q  íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, òî àíàëîãè÷íî òåîðåìå â êîíöå ï.4.3 äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (4.5.10) ïîëîæèòåëüíà, åñëè òîëüêî c 6= θ. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå A  ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Ïîýòîìó ñèñòåìà (4.5.5) ïðè êàæäîì N èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Îäíàêî ýòî ñïðàâåäëèâî è äëÿ äðóãèõ íàáîðîâ {φk }. Îñíîâíîå äîñòîèíñòâî "ïàëàòîê" ñîñòîèò â äðóãîì: ïðè |n − k| > 1 ïðîìåæóòêè, íà êîòîðûõ îíè îòëè÷íû îò íóëÿ, íå ïåðåñåêàþòñÿ, è èç (4.5.6)  (4.5.8) 109

î÷åâèäíî, ÷òî ank = 0. Ìàòðèöà A ñèñòåìû (4.5.5) îêàçûâàåòñÿ òðåõäèàãîíàëüíîé! Ñî÷åòàíèå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè è òðåõäèàãîíàëüíîñòè îáåñïå÷èëî âîçìîæíîñòü ñîçäàíèÿ áûñòðûõ è ýôôåêòèâíûõ ñòàíäàðòíûõ ïðîãðàìì äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâà Òåîðåìà. Ïóñòü p  êóñî÷íî ãëàäêàÿ, íåïðåðûâíàÿ íà [0, 1] ôóíêöèÿ, q, f êóñî÷íî íåïðåðûâíû íà [0, 1], ïðè÷åì q ≥ 0. Åñëè y  òî÷íîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è, à ye  ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå, çàäàâàåìîå ôîðìóëîé (4.5.4), òî äëÿ âñåõ x ∈ [0, 1] âûïîëíåíà îöåíêà

|e y (x) − y(x)| ≤ C · h,

(4.5.11)

ãäå C  íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà.  ÷àñòíîñòè, ïðè k = 0, 1, . . . , N + 1 |ck − y(xk )| ≤ C · h. Çàìå÷àíèÿ. 1. Îäèí èç âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ â ôîðìóëàõ (4.5.6)  (4.5.9) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ôóíêöèè p, q, f àïïðîêñèìèðóþòñÿ íåïðåðûâíûìè ñïëàéíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà íà ñåòêå (4.5.3), ïîñëå ÷åãî èíòåãðàëû ëåãêî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ëèíåéíûå êîìáèíàöèè çíà÷åíèé ýòèõ ôóíêöèé â óçëàõ ñåòêè. Ñóùåñòâåííî, ÷òî êîýôôèöèåíòû ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ñòàíäàðòíû è ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû çàðàíåå. 2.  ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèÿõ êîíñòàíòà C â îöåíêå (4.5.11) îáû÷íî íåèçâåñòíà. Ïîýòîìó ñòàíäàðòíûå ïðîãðàììû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå êîñâåííûå ìåòîäû êîíòðîëÿ òî÷íîñòè. Ïðîñòåéøèé ñïîñîá, êàê è ïðè ðåøåíèè çàäà÷è Êîøè, ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì äðîáëåíèè øàãà h: âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ íå ñòàíåò ìåíüøå íàïåðåä çàäàííîãî ε. Ïîâòîðèì, ÷òî êîñâåííûå ìåòîäû, óäîáíûå â ñèëó ñâîåé ïðîñòîòû, íå äàþò ïîëíîé ãàðàíòèè äîñòîâåðíîñòè ðåçóëüòàòà. 3. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî íè îäíî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå íå èìååò âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ. Îäíàêî òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî çíà÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ íà ñåòêå ïðè èçìåëü÷åíèè øàãà ñõîäÿòñÿ ê çíà÷åíèÿì òî÷íîãî ðåøåíèÿ íà òîé æå ñåòêå, à áîëüøå íè÷åãî íà ïðàêòèêå è íå òðåáóåòñÿ! Òàêèì îáðàçîì, çàìåíà óðàâíåíèÿ (4.2.1) íà "èíòåãðàëüíîå òîæäåñòâî" (4.5.2) äàåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü ïðè ïîñòðîåíèè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ íåäîñòàòî÷íî ãëàäêèå, çàòî ïðîñòûå è óäîáíûå ôóíêöèè Πk . 110

4. Åñëè â èñõîäíîé çàäà÷å íà êîíöàõ ïðîìåæóòêà áûëè çàäàíû óñëîâèÿ âòîðîãî ðîäà, âñå ïîëó÷åííûå ôîðìóëû ñîõðàíÿþòñÿ, ñëåäóåò ëèøü ïîëîæèòü µ0 = µ1 = 0 è ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ q íå áûëà íóëåâîé (ñì. òåîðåìó â êîíöå ï.4.3). Åñëè æå íà êîíöàõ ïðîìåæóòêà çàäàíû óñëîâèÿ ïåðâîãî ðîäà, òî â (4.5.1) ñëåäóåò áðàòü φ òàêæå ðàâíûìè íóëþ íà êîíöàõ ïðîìåæóòêà. Òàêèì îáðàçîì, ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå èùåòñÿ â âèäå

ye(x) =

N X

ck · Πk (x).

(4.5.40 )

k=1

Ïîðÿäîê ñèñòåìû (4.5.5) îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì íå N +2, à N ; êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè (4.5.6). Òåîðåìà îñòàåòñÿ âåðíîé è â ýòîì ñëó÷àå.

111

Ãëàâà 5. ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÛÅ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÅ ÊÐÀÅÂÛÅ ÇÀÄÀ×È 5.1. Îäíà ñîäåðæàòåëüíàÿ çàäà÷à Ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíûé òåïëîâîé ðåæèì â òîëñòîì ïðîâîäíèêå ïîñòîÿííîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, áåñêîíå÷íîì âäîëü îñè Oz . Äîïóñòèì, ÷òî òåïëî âûäåëÿåòñÿ òîêîì ðàâíîìåðíî ïî äëèíå ïðîâîäíèêà. Òîãäà ïåðåäà÷è òåïëà âäîëü îñè Oz íå áóäåò, è òåìïåðàòóðà áóäåò çàâèñåòü îò äâóõ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò. Âûäåëèì ñëîé ïðîâîäíèêà òîëùèíû ∆z , çàêëþ÷åííûé ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè îñè Oz , è ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíûé ýëåìåíò ýòîãî ñëîÿ ñ öåíòðîì â òî÷êå (x, y), à òàêæå ÷åòûðå "ñîñåäíèõ" ñ íèì ýëåìåíòà (ðèñ.5.1). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òåìïåðàòóðà ïîñòîÿííà â ïðåäåëàõ êàæäîãî èç ýëåìåíòîâ. u u

u

u

∆y

u

∆x Ðèñ.5.1. Ê âûâîäó óðàâíåíèÿ òåïëîâîãî áàëàíñà Ïðèðàùåíèå êîëè÷åñòâà òåïëà â âûäåëåííîì íà ðèñ.5.1 ýëåìåíòå ïðîâîäíèêà çà âðåìÿ ∆t åñòü ñóììà ïÿòè ñëàãàåìûõ: 1. Òåïëî, âûäåëåííîå òîêîì, êîòîðîå ïðè ïîñòîÿííîì òîêå ïðîïîðöèîíàëüíî âðåìåíè è îáúåìó ýëåìåíòà:

∆Q1 = γ · ∆t · ∆x · ∆y · ∆z. 2. Òåïëî, ïîñòóïèâøåå èç ïðàâîãî ñîñåäíåãî ýëåìåíòà, êîòîðîå ïðîïîðöèîíàëüíî âðåìåíè, ïëîùàäè ãðàíèöû ìåæäó ýëåìåíòàìè, ðàçíîñòè òåìïåðàòóð â öåíòðàõ ýëåìåíòîâ è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó ýòèìè öåíòðàìè (λ  êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ìàòåðèàëà ïðîâîäíèêà):

T (x + ∆x, y) − T (x, y) . ∆x 3. Òåïëî, ïîñòóïèâøåå èç ëåâîãî ñîñåäíåãî ýëåìåíòà: ∆Q2 = λ · ∆t · ∆y · ∆z ·

∆Q3 = λ · ∆t · ∆y · ∆z ·

T (x − ∆x, y) − T (x, y) . ∆x

112

4. Òåïëî, ïîñòóïèâøåå èç âåðõíåãî ñîñåäíåãî ýëåìåíòà:

∆Q4 = λ · ∆t · ∆x · ∆z ·

T (x, y + ∆y) − T (x, y) . ∆y

5. Òåïëî, ïîñòóïèâøåå èç íèæíåãî ñîñåäíåãî ýëåìåíòà:

∆Q5 = λ · ∆t · ∆x · ∆z ·

T (x, y − ∆y) − T (x, y) . ∆y

Çàïèøåì óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà: 5 X

∆Qj = 0.

j=0

Ìû íå áóäåì âûïèñûâàòü ïîëó÷àþùèåñÿ ãðîìîçäêèå âûðàæåíèÿ. Îòìåòèì ëèøü, ÷òî, àíàëîãè÷íî çàäà÷å èç ï.4.1, ñîêðàùàÿ ýòè óðàâíåíèÿ íà ∆t∆x∆y∆z è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó (∆ x = ∆ y = 0), ïîëó÷èì (â ïðåäïîëîæåíèè äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè ôóíêöèè T ) äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ

Dx (λ · Dx T ) + Dy (λ · Dy T ) + γ = 0.

(5.1.1)

Äîáàâëÿÿ ê óðàâíåíèþ (5.1.1) ãðàíè÷íîå óñëîâèå (çàäàâàÿ íà ãðàíèöå ïðîâîäíèêà ëèáî òåìïåðàòóðó, ëèáî òåïëîâîé ïîòîê, ëèáî, íàêîíåö, èõ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ), ïîëó÷èì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ.

5.2. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Óðàâíåíèå (5.1.1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóìåðíûé âàðèàíò óðàâíåíèÿ

Lu ≡ −div(λ · ∇u) = f,

(5.2.1)

âîçíèêàþùåãî ïðè îïèñàíèè ìíîãèõ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷ (íàïîìíèì, ÷òî ýòî óðàâíåíèå óæå âñòðå÷àëîñü â ï.1.7). Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèå (5.2.1) â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω ⊂ Rn ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé (â ïðèëîæåíèÿõ îáû÷íî n = 2 èëè n = 3).  (5.2.1) λ  çàäàííàÿ ôóíêöèÿ â Ω, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ âïëîòü äî ãðàíèöû è óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâó

λ(x) ≥ λ0 > 0, f  êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ â Ω ôóíêöèÿ. 113

x ∈ Ω;

Çàìå÷àíèå. Åñëè λ = const, óðàâíåíèå (5.2.1) ïðèíèìàåò âèä

± −4u=f λ

è, êàê óæå óêàçûâàëîñü, èìåíóåòñÿ óðàâíåíèåì Ïóàññîíà. Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå Ïóàññîíà íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëàïëàñà. Íà ãðàíèöå îáëàñòè Ω, àíàëîãè÷íî êðàåâîé çàäà÷å äëÿ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, îáû÷íî çàäàåòñÿ êðàåâîå óñëîâèå îäíîãî èç òðåõ òèïîâ: 1) ïåðâîãî ðîäà (óñëîâèå Äèðèõëå)

¯ ¯ u¯ = φ1 ∂Ω

(ôèêñèðóþòñÿ çíà÷åíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè íà ãðàíèöå îáëàñòè); 2) âòîðîãî ðîäà (óñëîâèå Íåéìàíà21 )

¯ ¯ λ · Dn u¯ = φ2 ∂Ω

(ôèêñèðóþòñÿ çíà÷åíèÿ íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé èñêîìîé ôóíêöèè íà ãðàíèöå îáëàñòè); 3) èëè òðåòüåãî ðîäà

¯ ¯ (λ · Dn u + α · u) ¯ = φ3 ∂Ω

(ôèçè÷åñêèé ñìûñë âñåõ ýòèõ óñëîâèé äëÿ çàäà÷è î òåïëîâîì ðåæèìå îïèñàí â ï.4.2). Âîçìîæíà òàêæå ñèòóàöèÿ, êîãäà íà ÷àñòè ãðàíèöû Ω çàäàåòñÿ, ê ïðèìåðó, óñëîâèå ïåðâîãî ðîäà, à íà îñòàëüíîé ÷àñòè ∂Ω  óñëîâèå òðåòüåãî ðîäà, è ò. ï. Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íî ï.4.2, ìîæíî ñ ïîìîùüþ çàìåíû íåèçâåñòíîé ôóíêöèè äîáèòüñÿ, ÷òîáû êðàåâûå óñëîâèÿ áûëè îäíîðîäíûìè.

5.3. Ìåòîä Ôóðüå ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è Ïóñòü Ω ⊂ Rn , n = 2, 3  îáëàñòü ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé ∂Ω. Îáîçíà÷èì DL ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ çàäàííûõ íà Ω ôóíêöèé, èìåþùèõ êóñî÷íî íåïðåðûâíûå âòîðûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå è óäîâëåòâîðÿþùèõ íà ∂Ω çàäàííûì îäíîðîäíûì êðàåâûì óñëîâèÿì. Òîãäà êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ (5.2.1) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå

Lu = f, 21 Êàðë

ìàòèê.

u ∈ DL .

(5.3.1)

Ãîòôðèä ÍÅÉÌÀÍ (K.G. Neumann, 1832-1925)  íåìåöêèé ôèçèê è ìàòå114

Ðåøåíèå çàäà÷è (5.3.1) ìåòîäîì Ôóðüå, òàê æå, êàê â îäíîìåðíîì ñëó÷àå (ï.4.4), âîçìîæíî, åñëè èçâåñòíû âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà L  íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è

Lϕ = ν · ϕ,

ϕ ∈ DL .

(5.3.2)

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî îáùèõ óñëîâèÿõ ñóùåñòâóþò ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è (5.3.2), îáðàçóþùèå îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ íà Ω ôóíêöèé ñî ñêàëÿðíûì ïðîZ èçâåäåíèåì hϕ, ψi = ϕ · ψ. Ω

Îäíàêî ñëó÷àè, êîãäà ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ìîæíî âûïèñàòü "â ÿâíîì âèäå î÷åíü ðåäêè. Ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà.  îáîèõ λ ≡ 1, ò.å. óðàâíåíèå äëÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé èìååò âèä

− 4 ϕ = ν · ϕ.

(5.3.3)

Ïðèìåðû. 1. Ω =]0, a1 [×]0, a2 [×]0, a3 [⊂ R3  ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Åñëè íà ∂Ω çàäàíî óñëîâèå Äèðèõëå, òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèä

ϕjkm = sin

³ jπx ´ 1

a1

· sin

³ kπx ´ 2

a2

· sin

³ mπx ´ 3

a3

,

j, k, m ∈ N .

Ïðîâåðüòå, ÷òî ϕjkm äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé çàäà÷è (5.3.2), ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñîáñòâåííîìó ÷èñëó 2

νjkm = π ·

³ j2

k 2 m2 ´ + + 2 . a21 a22 a3

(5.3.4)

Àíàëîãè÷íî, â ñëó÷àå êðàåâîãî óñëîâèÿ Íåéìàíà ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèä

ϕjkm = cos

³ jπx ´ 1

a1

· cos

³ kπx ´ 2

a2

³ mπx ´ 3 · cos , a3

j, k, m ∈ N ∪ {0},

à ñîáñòâåííûå ÷èñëà òàêæå çàäàþòñÿ ôîðìóëîé (5.3.4).

¯ 2. Ω = {x ∈ R ¯ x21 + x22 < R2 }  êðóã. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â åñòåñòâåííîé äëÿ ýòîé çàäà÷è ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ρ, ϑ) óðàâíåíèå (5.3.3) çàïèñûâàåòñÿ òàê: 2¯

115

1 2 · Dϑϑ ϕ = ν · ρ · ϕ. ρ ¯ Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è ñ óñëîâèåì Äèðèõëå ϕ¯ρ=R = 0 èìåþò âèä ³ ´ (k) ρ ϕkm = J|k| µm · exp(i kϑ), k ∈ Z, m ∈ N . R Çäåñü J|k|  ôóíêöèÿ Áåññåëÿ (öèëèíäðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ) ïåðâîãî ðîäà (k) ïîðÿäêà |k|, µm  åå m-é ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü22 . Ôóíêöèÿ ϕkm ñîîò¡ (k) ¢2 âåòñòâóåò ñîáñòâåííîìó ÷èñëó νkm = µm /R . −Dρ (ρ · Dρ ϕ) −

Äîñëîâíûì ïîâòîðåíèåì âûêëàäîê ï.4.4 äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè èçâåñòíû ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è (5.3.2), òî ðåøåíèå çàäà÷è (5.3.1) èìååò âèä (âñå ôîðìóëû äàíû äëÿ n = 3)

u=

X fjkm · ϕjkm , νjkm

(5.3.5)

j,k,m

ãäå

fjkm

hf, ϕjkm i ³ = = kϕjkm k2

´Á³Z

Z f · ϕjkm Ω

´ |ϕjkm | . 2

Ω

Ñóììèðîâàíèå â (5.3.5) âåäåòñÿ ïî âñåì çíà÷åíèÿì èíäåêñîâ. Àíàëîãè÷íî îäíîìåðíîìó ñëó÷àþ, ÷àñòíàÿ ñóììà ðÿäà (5.3.5) äàåò íàèëó÷øåå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (5.3.1) ñðåäè âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé çàäàííîãî íàáîðà ôóíêöèé ϕjkm . Çàìå÷àíèå. Âíîâü íàïîìíèì, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è (5.3.2) ìîæíî âûïèñàòü ëèøü â èñêëþ÷èòåëüíûõ ñëó÷àÿõ. Áîëåå òîãî, äàæå â ýòèõ ñëó÷àÿõ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé ÷àñòî ïðîùå èñïîëüçîâàòü ìåòîä, ðàññìîòðåííûé â ñëåäóþùåì ïóíêòå.

5.4. Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ  ýòîì ïóíêòå ìû êðàòêî ðàññìîòðèì êîíñòðóêöèþ ïðîåêöèîííîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (5.2.1). Ìû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà íà âñåé ãðàíèöå îáëàñòè Ω çàäàíî îäíîðîäíîå óñëîâèå Äèðèõëå. Óìíîæèâ ñêàëÿðíî óðàâíåíèå (5.2.1) íà ïðîèçâîëüíóþ âåùåñòâåííóþ êóñî÷íî ãëàäêóþ, íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ φ, ðàâíóþ íóëþ íà ∂Ω, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî 22 Êàê

óæå óêàçûâàëîñü â ïðåäûäóùåé ãëàâå, ñóùåñòâóþò ïðîãðàììû âû÷èñëåíèÿ ýòèõ êîðíåé; ñì., íàïðèìåð, ñòàòüþ A.Nowak, R.Bialecki, K.Kurpisz: Int. Journ. for Numer. Meth. in Engin., V.24 (1987), 419-445. 116

Z

Z −div(λ · ∇u) · φ =

Ω

f · φ.

(5.4.1)

Ω

Ïðåîáðàçóåì (5.4.1) ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì (ï.1.5):

Z −div(λ · ∇u) · φ = − Ω

=

n Z X

Dk (λ · Dk u) · φ =

k=1 Ω

n Z X

Z

λ · Dk u · Dk φ =

k=1 Ω

Z f · φ. (5.4.2)

λh∇u, ∇φi = Ω

Ω

Àíàëîãè÷íî ï.4.5, áóäåì èñêàòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè êîíå÷íîãî íàáîðà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé {φk }, k = 1, . . . , N, ðàâíûõ íóëþ íà ∂Ω. Êîýôôèöèåíòû ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íàõîäÿò èç ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâêîé â (5.4.2) φ = φm , m = 1, . . . , N . Ýëåìåíòû ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ýòîé ñèñòåìû çàäàþòñÿ ôîðìóëîé

Z

amk =

λh∇φm , ∇φk i,

m, k = 1, . . . , N,

(5.4.3)

Ω

à ñâîáîäíûå ÷ëåíû  ôîðìóëîé

Z

bm =

f · φm ,

m = 1, . . . , N.

(5.4.4)

Ω

Òàê æå, êàê â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ A  ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ (è ïîòîìó ñèñòåìà ðàçðåøèìà ïðè ëþáîì N ). Áàçèñíûå ôóíêöèè åñòåñòâåííî âûáèðàòü òàê, ÷òîáû áîëüøèíñòâî ýëåìåíòîâ ýòîé ìàòðèöû ðàâíÿëèñü íóëþ. Äëÿ ýòîãî îáû÷íî îáëàñòü Ω ðàçáèâàþò íà ÷àñòè ïðîñòîé ôîðìû (èõ íàçûâàþò "êîíå÷íûìè ýëåìåíòàìè"), à â êà÷åñòâå áàçèñíûõ ôóíêöèé èñïîëüçóþò ñïëàéíû, êàæäûé èç êîòîðûõ îòëè÷åí îò íóëÿ òîëüêî íà íåñêîëüêèõ "êîíå÷íûõ ýëåìåíòàõ". Òàêàÿ ðàçíîâèäíîñòü ïðîåêöèîííîãî ìåòîäà íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå.  ëèòåðàòóðå êîíå÷íûìè ýëåìåíòàìè íàçûâàþò íå òîëüêî ÷àñòè, íà êîòîðûå ðàçáèâàåòñÿ îáëàñòü ("òðåóãîëüíûå ýëåìåíòû "ïðÿìîóãîëüíûå ýëåìåíòû" è ò. ï.), íî è ïîðöèè 117

ñïëàéíîâ, ïðèìåíÿåìûå â ìåòîäå ("ëèíåéíûå ýëåìåíòû "êâàäðàòè÷íûå ýëåìåíòû" è ò. ï.). Çàìå÷àíèå. Èäåÿ ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ áûëà âïåðâûå ïðåäëîæåíà Ð.Êóðàíòîì23 .  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà Ω  ïðÿìîóãîëüíèê ]0, a[×]0, b[, åñòåñòâåííî ñòðîèòü áàçèñíûå ôóíêöèè â âèäå ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé îäíîìåðíûõ "ïàëàòîê" (ï.4.5)

Πij (x, y) = Πi (x) · Πj (y) (ïåðåä ïîäñòàíîâêîé â (5.4.2) Πij ñëåäóåò ïåðåíóìåðîâàòü äëÿ ïðåâðàùåíèÿ äâóìåðíîãî ìàññèâà â îäíîìåðíûé). Òàêàÿ ôóíêöèÿ îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî íà ïðÿìîóãîëüíèêå ]xi−1 , xi+1 [×]yj−1 , yj+1 [ (ðèñ.5.2). Ïîýòîìó ïðè ôèêñèðîâàííûõ i è j îòëè÷íû îò íóëÿ áóäóò òîëüêî äåâÿòü èíòåãðàëîâ

Z

λh∇Πij , ∇Πκµ i;

κ = i − 1, i, i + 1; µ = j − 1, j, j + 1,

Ω

äëÿ êîòîðûõ ïåðåñåêàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïðÿìîóãîëüíèêè. Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû A áóäåò èìåòü íå áîëåå äåâÿòè íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ.

yj+1

e

e

e

yj

e

x

e

yj−1

e

e

e

xi−1

xi

xi+1

Ðèñ.5.2 Íåñêîëüêî áîëåå ýêîíîìè÷íîé, à òàêæå ïðèìåíèìîé ê ñëó÷àþ ïëîñêîé îáëàñòè Ω äîñòàòî÷íî îáùåãî âèäà îêàçûâàåòñÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ñõåìà, â êîòîðîé êîíå÷íûå ýëåìåíòû  òðåóãîëüíèêè24 (òàêîå ðàçáèåíèå 23 Ðèõàðä

ÊÓÐÀÍÒ (R. Courant, 1888-1972)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, èíîñòðàííûé ÷ëåí ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñ 1933 ãîäà ðàáîòàë â ÑØÀ. Åãî èìåíåì íàçâàí Èíñòèòóò ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê â Íüþ-Éîðêñêîì óíèâåðñèòåòå. Íà ðóññêèé ÿçûê ïåðåâåäåíû ìíîãèå åãî êíèãè, â ò.÷. äâóõòîìíûé òðóä "Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè". 24 Åñòåñòâåííî, ãðàíèöó Ω äëÿ ýòîãî ñëåäóåò àïïðîêñèìèðîâàòü ìíîãîóãîëüíèêîì. 118

íàçûâàåòñÿ òðèàíãóëÿöèåé), à êàæäàÿ áàçèñíàÿ ôóíêöèÿ ("äâóìåðíàÿ e ij  íåïðåðûâíûé ñïëàéí âòîðîãî ïîðÿäêà èç øåñòè ïîðöèé, ïàëàòêà") Π îòëè÷íûé îò íóëÿ òîëüêî íà ôèãóðå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.5.3. Ïðè ýòîì çíà÷åíèå "ïàëàòêè" â öåíòðàëüíîì óçëå ðàâíî åäèíèöå, â îñòàëüíûõ  íóëþ, à åå ãðàôèê íà êàæäîì èç ñîñòàâëÿþùèõ ôèãóðó òðåóãîëüíèêîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êóñîê ïëîñêîñòè. Òàêèì îáðàçîì, êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ïàëàòîê  âñåâîçìîæíûå íåïðåðûâíûå ñïëàéíû âòîðîãî ïîðÿäêà (òîëüêî òåïåðü óæå îò äâóõ ïåðåìåííûõ), ïîðîæäàåìûå äàííîé òðèàíãóëÿöèåé.  ýòîé (íàèáîëåå ÷àñòî ïðèìåíÿåìîé) ñõåìå îòëè÷íûìè îò íóëÿ îêàçûâàþòñÿ óæå íå áîëåå ñåìè ýëåìåíòîâ ñòðîêè ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (5.4.3).

yj + h

e @

e @

@

yj

@x @ @

e

e @

yj − h xi − h

e

@ @e

xi

xi + h

Ðèñ.5.3 Ñî÷åòàíèå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè è ðàçðåæåííîñòè ìàòðèö ïîçâîëèëî ñîçäàòü áûñòðûå è ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ ñèñòåì. Àíàëîãè÷íî ï.4.5, êîìïîíåíòû âåêòîðà-ðåøåíèÿ ñèñòåìû äàþò çíà÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è â ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëàõ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâà Òåîðåìà. Ïóñòü Ω ⊂ R2  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé; λ  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ â Ω âïëîòü äî ãðàíèöû ôóíêöèÿ, f êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà Ω. Åñëè u  òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ (5.2.1), à

u b(x, y) =

X

e ij (x, y) cij · Π

i,j

 ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå, òî ïðè âñåõ i, j

|b u(xi , yj ) − u(xi , yj )| ≤ C · h, ãäå h  øàã ñåòêè (ñì. ðèñ.5.3), C  íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà. 119

Çàìå÷àíèÿ. 1. Äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ â ôîðìóëàõ (5.4.3)  (5.4.4) îáû÷íî ïðèìåíÿþòñÿ êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû, ïîëó÷àþùèåñÿ àïïðîêñèìàöèåé ôóíêöèé λ è f íåïðåðûâíûìè ñïëàéíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà íà ñåòêå (ñì. çàìå÷àíèå 1 â êîíöå ï.4.5). Îñòàåòñÿ â ñèëå òàêæå çàìå÷àíèå 2 èç ï.4.5. 2. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî, êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, íè îäíî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå íå èìååò âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ. Íî ýòî è íå íóæíî (ñì. çàìå÷àíèå 3 èç ï.4.5)! 3. Èäåè, èçëîæåííûå â ýòîì ïóíêòå, ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû è â ñëó÷àå n > 2. Ôîðìóëû (5.4.3) è (5.4.4), åñòåñòâåííî, îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèé, íî ïîñòðîåíèå òðèàíãóëÿöèè îáëàñòè è âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû òåõíè÷åñêè áîëåå ñëîæíî.

120

Ãëàâà 6. ÍÅÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÅ ÇÀÄÀ×È 6.1. Äâå ñîäåðæàòåëüíûå çàäà÷è Çàäà÷à 1.  ï.4.1 èçó÷àëàñü çàäà÷à î ñòàöèîíàðíîì òåïëîâîì ðåæèìå â òîíêîì ïðîâîäíèêå, íàãðåâàåìîì òîêîì. Îñíîâîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðè ýòîì ñëóæèëî óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà (4.1.2).  íåñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå êîëè÷åñòâî òåïëà â ýëåìåíòå ïðîâîäíèêà çà âðåìÿ ∆t èçìåíèòñÿ, ÷òî ïðèâåäåò ê èçìåíåíèþ òåìïåðàòóðû ýëåìåíòà. Ïîýòîìó âìåñòî (4.1.2) ñëåäóåò íàïèñàòü íîâîå óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà

∆Q1 + ∆Q2 + ∆Q3 = c · ∆x · S · (T (t + ∆t, x) − T (t, x))

(6.1.1)

(c  îáúåìíàÿ òåïëîåìêîñòü ìàòåðèàëà ïðîâîäíèêà). Ïîäñòàâèì â (6.1.1) âûðàæåíèÿ äëÿ ∆Q1 , ∆Q2 è ∆Q3 , ïîëó÷åííûå â ï.4.1:

c · ∆x · S · (T (t + ∆t, x) − T (t, x)) = λ · ∆t · S ·

T (τ, x + ∆x) − T (τ, x) − ∆x

T (τ, x) − T (τ, x − ∆x) + γ · ∆t · ∆x · S. ∆x Çäåñü τ íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè èç èíòåðâàëà ]t, t + ∆t[. −λ · ∆t · S ·

(6.1.2)

Èç óðàâíåíèÿ (6.1.2) ìîæíî ïîëó÷èòü äâà ðàçëè÷íûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè, çàìåíÿÿ τ íà t ëèáî íà t + ∆t. Ýòè óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äèñêðåòíûå ìîäåëè èñõîäíîé çàäà÷è. Ìû íå áóäåì âûïèñûâàòü ïîëó÷àþùèåñÿ ãðîìîçäêèå âûðàæåíèÿ. Îòìåòèì ëèøü, ÷òî ñîêðàùàÿ (6.1.2) íà ∆t · ∆x · S è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó (∆t = ∆x = 0), ïîëó÷èì (â ïðåäïîëîæåíèè äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè ôóíêöèè T ) êîíòèíóàëüíóþ ìîäåëü çàäà÷è  äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ

c · Dt T = Dx (λ · Dx T ) + γ

(6.1.3)

(çäåñü ó÷òåíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû λ è c íå çàâèñÿò îò t, íî, âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñÿò îò x). Óðàâíåíèå (6.1.3) â ïàìÿòü î ïîðîäèâøåé åãî ñîäåðæàòåëüíîé çàäà÷å íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè. Çàäà÷à 2. Ðàññìîòðèì (â óïðîùåííîì, åñòåñòâåííî, âèäå) çàäà÷ó î ïåðåäà÷å ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ïî äëèííîé ëèíèè. 121

 øêîëüíîì êóðñå ôèçèêè îáû÷íî ñ÷èòàþò, ÷òî íàïðÿæåíèå è òîê  ôóíêöèè âðåìåíè, íå çàâèñÿùèå îò òî÷êè ïðîâîäíèêà. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà  îêîëî 3·108 ì/ñ. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, äëÿ ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà ñòàíäàðòíîé ÷àñòîòû (50 Ãö) çà âðåìÿ èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ îò ìèíèìàëüíîãî äî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ (0.01 ñ) òî÷êà ìèíèìóìà íàïðÿæåíèÿ óñïååò "ïðîáåæàòü" ïî ëèíèè îêîëî 3000 êì. Åñëè äëèíà ëèíèè ñîñòàâëÿåò íåñêîëüêî ìåòðîâ, òî, åñòåñòâåííî, èçìåíåíèåì òîêà è íàïðÿæåíèÿ âäîëü ëèíèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Îäíàêî ïðè ïåðåäà÷å ýíåðãèè íà áîëüøèå  ñîòíè êèëîìåòðîâ  ðàññòîÿíèÿ ýòè èçìåíåíèÿ äîëæíû ó÷èòûâàòüñÿ. Êîíå÷íî, òîò æå ýôôåêò ìîæåò âîçíèêíóòü è â ëèíèè äëèíîé â íåñêîëüêî ñàíòèìåòðîâ, åñëè ÷àñòîòà òîêà î÷åíü âåëèêà (íàïðèìåð, â ñîâðåìåííîì êîìïüþòåðå).  òàêèõ ñëó÷àÿõ ëèíèþ íàçûâàþò äëèííîé. Èòàê, âîçüìåì ó÷àñòîê ëèíèè äëèíîé ∆x (ðèñ. 6.1) è ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t.

∩∩∩∩

b

b

x

x + ∆x Ðèñ.6.1

Ïðåíåáðåãàÿ ïîòåðÿìè â àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè ïðîâîäíèêà è óòå÷êîé òîêà èç-çà íåñîâåðøåíñòâà èçîëÿöèè, áóäåì õàðàêòåðèçîâàòü ýòîò ó÷àñòîê óäåëüíîé èíäóêòèâíîñòüþ L è óäåëüíîé åìêîñòüþ C . Òîãäà ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà ó÷àñòêå ðàâíî (ïî çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè)

i(t + ∆t, ξ1 ) − i(t, ξ1 ) . ∆t Èçìåíåíèå âåëè÷èíû òîêà (÷àñòü åãî óõîäèò íà çàðÿä åìêîñòè) ðàâíî u(x + ∆x, τ1 ) − u(x, τ1 ) = −L · ∆x

u(t + ∆t, ξ2 ) − u(t, ξ2 ) . ∆t  ýòèõ ðàâåíñòâàõ τk è ξk (k = 1, 2)  íåêîòîðûå òî÷êè èç èíòåðâàëîâ ]t, t + ∆t[ è ]x, x + ∆x[ ñîîòâåòñòâåííî. Çàìåíÿÿ ξk íà x èëè x + ∆x, à τk  íà t èëè t + ∆t, ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå äèñêðåòíûå ìîäåëè çàäà÷è  ñèñòåìû ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé. i(x + ∆x, τ2 ) − i(x, τ2 ) = −C · ∆x

122

Åñëè ðàçäåëèòü îáà óðàâíåíèÿ íà ∆x è, ïðåäïîëàãàÿ íåïðåðûâíóþ äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèé u è i, ïåðåéòè ê ïðåäåëó (∆t = ∆x = 0), òî ïîëó÷èì êîíòèíóàëüíóþ ìîäåëü çàäà÷è  ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ:

(

1 L · Dx u; Dx i = −C · Dt u.

−Dt i =

Åñëè ïîâûñèòü òðåáîâàíèÿ ê ãëàäêîñòè ôóíêöèé, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèÿ ýòîé ñèñòåìû, òî, èñêëþ÷àÿ, íàïðèìåð, i (ò.å. äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå óðàâíåíèå ïî x, à âòîðîå  ïî t), ïîëó÷èì

C·

Dtt2 u

= Dx

³1 L

´ · Dx u

(6.1.4)

(àíàëîãè÷íî (6.1.3), êîýôôèöèåíòû L è C íå çàâèñÿò îò t, íî, âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñÿò îò x). Åñëè L è C  êîíñòàíòû, òî (6.1.4) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: 2 Dtt2 u = v 2 · Dxx u

(6.1.5)

(çäåñü v = √ 1

). LC Óáåäèòåñü, ÷òî ôóíêöèÿ

u(x, t) = ϕ(x + vt) + ψ(x − vt), ãäå ϕ è ψ  ïðîèçâîëüíûå äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè, áóäåò ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (6.1.5). ¡@ @ ¡

¡

t = 2t0

-x

@

¡@ @ ¡

¡

t = t0

-x

@

¡@ ¡ @

¡

t=0 @

-x

Ðèñ.6.2. Ïîëîæåíèå âîëíû â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè 123

Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ(x + vt) èìååò î÷åâèäíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: îíà îïèñûâàåò âîëíó, áåãóùóþ ïî ëèíèè ñî ñêîðîñòüþ v â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè àáñöèññ (ðèñ.6.2). Àíàëîãè÷íî, ôóíêöèÿ ψ(x − vt) îïèñûâàåò âîëíó, áåãóùóþ ñî ñêîðîñòüþ v â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè àáñöèññ. Ïîýòîìó óðàâíåíèå (6.1.5), êàê è áîëåå îáùåå óðàâíåíèå (6.1.4), íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì óðàâíåíèåì.

6.2. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Óðàâíåíèå (6.1.3) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòðàíñòâåííî îäíîìåðíûé âàðèàíò óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè

r · Dt u = div(λ · ∇u) + f,

(6.2.1)

âîçíèêàþùåãî ïðè îïèñàíèè ïðîöåññîâ òåïëîïåðåäà÷è, äèôôóçèè è íåêîòîðûõ äðóãèõ. Çäåñü êîýôôèöèåíòû λ è r  çàäàííûå ïîëîæèòåëüíûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè êîîðäèíàò (λ èìååò òàêæå íåïðåðûâíûå ïåðâûå ïðîèçâîäíûå), à ñâîáîäíûé ÷ëåí f  çàäàííàÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè è êîîðäèíàò (â (6.1.3) f = γ ). Óðàâíåíèå (6.2.1) ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðè t ∈ ]0, T0 ], x ∈ Ω, ãäå Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé â Rn (â ïðèëîæåíèÿõ n ìîæåò ðàâíÿòüñÿ 1, 2 èëè 3). Çàìå÷àíèå. Åñëè λ è r  êîíñòàíòû, óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè r ïðèíèìàåò âèä

¡ f λ¢ a= . r r Ïðè ïîñòàíîâêå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è ê óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè äîáàâëÿþò íà÷àëüíîå óñëîâèå ¯ u(x, 0)¯x∈Ω = u0 (x) (6.2.2) Dt u = a2 4 u +

(ò.å. çàäàþò íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â îáëàñòè), à òàêæå êðàåâîå óñëîâèå ïåðâîãî, âòîðîãî èëè òðåòüåãî ðîäà, îïèñàííîå â ï.5.2. Óðàâíåíèå (6.1.4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòðàíñòâåííî îäíîìåðíûé âàðèàíò âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ

r · Dtt2 u = div(λ · ∇u) + f,

(6.2.3)

êîòîðîå îïèñûâàåò êîëåáàòåëüíûå ïðîöåññû ðàçíîîáðàçíîé ïðèðîäû è âîçíèêàåò â çàäà÷àõ ìåõàíèêè ñïëîøíîé ñðåäû, àêóñòèêè, ýëåêòðîäèíàìèêè è äðóãèõ. 124

Çäåñü λ, r è f  ôóíêöèè ñ òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è â (6.2.1). Åñëè λ è r  êîíñòàíòû, âîëíîâîå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä

Dtt2 u = v 2 · 4u +

f r

¡ v=

r

λ¢ . r

Óðàâíåíèå (6.2.3) ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðè t ∈ [0, T0 ], x ∈ Ω, ãäå Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé â Rn (î÷åâèäíî, â ïðèëîæåíèÿõ n = 1, 2 èëè 3). Äîáàâëÿÿ ê óðàâíåíèþ (6.2.3) äâà íà÷àëüíûõ óñëîâèÿ

¯ u(x, 0)¯x∈Ω = u0 (x),

¯ Dt u(x, 0)¯x∈Ω = u1 (x),

à òàêæå êðàåâîå óñëîâèå îäíîãî èç òèïîâ, ðàññìîòðåííûõ â ï.5.2, ïîëó÷èì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ. Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íî ãëàâàì 4 è 5 êðàåâûå óñëîâèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîðîäíûìè.

6.3. Ïðîåêöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷  ýòîì ïóíêòå êðàòêî èçëîæåíà èäåÿ ïðèìåíåíèÿ ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ çàäà÷. Ìû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà íà âñåé ãðàíèöå îáëàñòè Ω çàäàíî îäíîðîäíîå óñëîâèå Äèðèõëå. Áóäåì ñ÷èòàòü òàêæå, ÷òî r ≡ 1. Íà÷íåì ñ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Çàôèêñèðóåì t ∈ ]0, T0 ] è óìíîæèì ñêàëÿðíî óðàâíåíèå

Dt u = div(λ · ∇u) + f

(6.3.1)

íà ïðîèçâîëüíóþ âåùåñòâåííóþ êóñî÷íî ãëàäêóþ, íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ φ, ðàâíóþ íóëþ íà ∂Ω:

Z

Z Dt u · φ =

Ω

(div(λ · ∇u) + f ) · φ. Ω

Àíàëîãè÷íî ï.5.4, ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà, ïðèìåíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Ïîëó÷èì

Z

Z Dt u · φ = −

Ω

Z λh∇u, ∇φi +

Ω

f · φ. Ω

125

(6.3.2)

"Èíòåãðàëüíîå òîæäåñòâî" (6.3.2) äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ïðè âñåõ t ∈ ]0, T0 ].  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè (ïðè t = 0), î÷åâèäíî, âûïîëíåíî òîæäåñòâî, ñëåäóþùåå èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (6.2.2):

Z

¯ u¯

Z

t=0

·φ=

Ω

u0 · φ.

(6.3.3)

Ω

Ðàññìîòðèì êîíå÷íûé íàáîð ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ {φk }, k = 1, . . . , N, ðàâíûõ íóëþ íà ∂Ω. Áóäåì èñêàòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (6.3.1) â âèäå "ëèíåéíîé êîìáèíàöèè" ôóíêöèé {φk }, êîýôôèöèåíòû êîòîðîé  ôóíêöèè âðåìåíè:

u b(x, t) =

N X

ck (t) · φk (x).

(6.3.4)

k=1

Ïîäñòàâëÿÿ â (6.3.2) è (6.3.3) φ = φm , m = 1, . . . , N, ïîëó÷àåì, ÷òî âåêòîð êîýôôèöèåíòîâ ck åñòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííîé ìàòðèöåé:

c0 (t) = −A · c(t) + b(t);

c(0) = c(0) .

(6.3.5)

Ýëåìåíòû ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ýòîé ñèñòåìû çàäàþòñÿ ôîðìóëîé (5.4.3), ñâîáîäíûå ÷ëåíû  ôîðìóëîé (5.4.4), à íà÷àëüíûå äàííûå îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå

Z

c(0) m

=

u0 · φm ,

m = 1, . . . , N.

Ω

Çàäà÷à Êîøè (6.3.5), êàê èçâåñòíî, èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå

¡ ¢ c(t) = exp −At · c(0) +

Zt

¡ ¢ exp −A(t − τ ) · b(τ )dτ,

(6.3.6)

0

è, òàêèì îáðàçîì, ïðè ëþáîì N îïðåäåëåíî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå u b. Åñëè â êà÷åñòâå {φk } âçÿòü ïåðâûå N ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ñòàöèîíàðíîé êðàåâîé çàäà÷è

−div(λ · ∇ϕ) = ν · ϕ,

¯ ¯ ϕ¯ = 0, ∂Ω

òî ìàòðèöà A îêàæåòñÿ äèàãîíàëüíîé:

A = diag[ν1 , . . . , νN ] 126

(6.3.7)

(νk  ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå ÷èñëà).  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à Êîøè (6.3.5) ðåøàåòñÿ îñîáåííî ïðîñòî (êàæäîå óðàâíåíèå ìîæíî ðåøàòü íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå (6.3.4) ïðè êàæäîì t áóäåò ïðîñòî ÷àñòíîé ñóììîé ðÿäà Ôóðüå òî÷íîãî ðåøåíèÿ ïî ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé {φk }. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ (6.1.3) ïðè c = λ ≡ 1 : 2 Dt u = Dxx u + γ, x ∈ ]0, 1[, t > 0;

u(0, x) = 0;

u(t, 0) = u(t, 1) = 0.

Áóäåì èñêàòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è â âèäå "ëèíåéíîé êîìáèíàöèè" ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ëèíåéíîãî îïåðàòîðà Lϕ ≡ −ϕ00 ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè ϕ(0) = ϕ(1) = 0. Òàê æå, êàê â ïðèìåðå 1 ï.4.4, ïîëó÷àåì

νk = k 2 π 2 ,

ϕk (x) = sin(kπx),

k ∈ N.

Çàäà÷à Êîøè (6.3.5) ïðèíèìàåò âèä

c0k = −νk ck + bk , ãäå

´Á³Z1

³Z1 γ · ϕk

bk = 0

ck (0) = 0;

|ϕk |

2

"

´

0

=

k ∈ N,

4γ , k íå÷åòíîå; kπ 0, k ÷åòíîå

(ïîñêîëüêó f çäåñü íå çàâèñèò îò t, bk òàêæå íå çàâèñÿò îò t). Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è Êîøè ïðè íå÷åòíûõ k äàåòñÿ ôîðìóëîé

Zt ck (t) = bk · 0

¡ ¢ 4γ exp −νk · (t − τ ) dτ = 3 3 (1 − exp(−k 2 π 2 t)) k π

(ïðè ÷åòíûõ k, î÷åâèäíî, ck (t) ≡ 0). Îòñþäà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è:

u b(t, x) =

N X

4γ 2 2 3 3 (1 − exp(−(2m − 1) π t)) · sin((2m − 1)πx). (2m − 1) π m=1

Ïðè N → ∞ ïîëó÷àåì òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è â ôîðìå ðÿäà Ôóðüå:

u(t, x) =

+∞ X

4γ 2 2 3 3 (1 − exp(−(2m − 1) π t)) · sin((2m − 1)πx). (2m − 1) π m=1 127

Çàìå÷àíèÿ. 1.  ñëó÷àå, êîãäà â óðàâíåíèè (6.2.1) r 6≡ 1, âìåñòî ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé êðàåâîé çàäà÷è (6.3.7) ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ñ âåñîì r :

−div(λ · ∇ϕ) = ν · r · ϕ,

¯ ¯ ϕ¯ = 0. ∂Ω

2. Âíîâü íàïîìíèì, ÷òî âñå ñëó÷àè, êîãäà ñîáñòâåííûå ôóíêöèè êðàåâîé çàäà÷è ìîæíî âûïèñàòü "â ÿâíîì âèäå èìåþòñÿ â ñïðàâî÷íèêàõ.  îáùåì ñëó÷àå â êà÷åñòâå íàáîðà {φk } îáû÷íî âûáèðàþò "êîíå÷íûå ýëåìåíòû îïèñàííûå â ï.ï. 4.5 è 5.4. Çàäà÷à Êîøè (6.3.5) ðåøàåòñÿ êàêèìíèáóäü èç ñòàíäàðòíûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ

Dtt2 u = div(λ · ∇u) + f àíàëîãè÷íîé ïðîöåäóðîé ïðèâîäèòñÿ ê çàäà÷å Êîøè äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííîé ìàòðèöåé:

c00 (t) = −A · c(t) + b(t);

c(0) = c(0) , c0 (0) = c(1) ,

ãäå ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ è ñâîáîäíûå ÷ëåíû îïðåäåëÿþòñÿ òåìè æå ôîðìóëàìè, ÷òî è ðàíüøå, à íà÷àëüíûå äàííûå  ôîðìóëàìè

Z c(0) m =

Z u0 · φm ,

Ω

c(1) m =

u1 · φm ,

m = 1, . . . , N.

Ω

Ïîñêîëüêó ýòà ñèñòåìà ëåãêî ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, ïðèíöèïèàëüíûõ îòëè÷èé îò ðàññìîòðåííîé âûøå ñõåìû çäåñü íåò. Îáñóæäåíèå æå òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîáëåì âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà.

128

III. ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ

129

Ãëàâà 1. ÑËÓ×ÀÉÍÛÅ ÑÎÁÛÒÈß È ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ìû ðàçãðàíè÷èâàåì ñîäåðæàòåëüíóþ çàäà÷ó, ðåøèòü êîòîðóþ íåîáõîäèìî ñïåöèàëèñòó-íåìàòåìàòèêó, è ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü, êîòîðóþ èññëåäóåò ìàòåìàòèê. Âîïðîñ îá àäåêâàòíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè è ïîðîäèâøåé åå ñîäåðæàòåëüíîé çàäà÷è íå òîëüêî âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà, íî âîîáùå íå ìîæåò áûòü îòíåñåí ê ïðåäìåòó ìàòåìàòèêè.

1.1. Äèñêðåòíîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåêîòîðûé ýêñïåðèìåíò, êîòîðûé ìîæåò îêîí÷èòüñÿ îäíèì èç âçàèìîèñêëþ÷àþùèõ èñõîäîâ. Ýòè èñõîäû ýêñïåðèìåíòà ìû áóäåì íàçûâàòü ýëåìåíòàðíûìè ñîáûòèÿìè. Áóäåì ïîêà ÷òî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî25 . Íàçîâåì ýòî ìíîæåñòâî äèñêðåòíûì ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Îáû÷íî åãî îáîçíà÷àþò Ω, à ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ  ω ∈ Ω. Ïðèìåðû. 1. Áðîñàåòñÿ ïðàâèëüíàÿ ìîíåòà. Îáû÷íî ñ÷èòàþò, ÷òî âîçìîæíû äâà èñõîäà ýòîãî ýêñïåðèìåíòà, è íàçûâàþò èõ ãåðá (Ã) è ðåøåòêà (Ð). Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ñîñòîèò èç äâóõ ýëåìåíòîâ Ω = {Ã, Ð}. Çàìå÷àíèå. Åñëè â ðåàëüíîì ýêñïåðèìåíòå ìîíåòà âñòàíåò íà ðåáðî, ìû äîëæíû ëèáî ñ÷èòàòü ýòîò ýêñïåðèìåíò íåñîñòîÿâøèìñÿ (òàê êàê ïîäîáíûé èñõîä íå âêëþ÷åí íàìè â ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé), ëèáî èçìåíèòü ïåðâîíà÷àëüíóþ ìîäåëü è ðàññìàòðèâàòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé èç òðåõ ýëåìåíòîâ Ω = {Ã, Ð, Í} (Í îçíà÷àåò "íà ðåáðî"). Ýòîò ïðîñòîé ïðèìåð åùå ðàç ïîêàçûâàåò, ÷òî îäíà è òà æå ñîäåðæàòåëüíàÿ çàäà÷à ìîæåò ïðèâåñòè ê ðàçëè÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì. Èìåííî ïîýòîìó ìû è áóäåì èçó÷àòü ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, íå çàäóìûâàÿñü îá èõ ïðîèñõîæäåíèè. 2. Ýêñïåðèìåíò ñîñòîèò â áðîñàíèè ïðàâèëüíîé ìîíåòû äî ïåðâîãî ïîÿâëåíèÿ ãåðáà. Íèæå âûïèñàíû íåñêîëüêî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé: íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì, åñëè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó åãî ýëåìåíòàìè è íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè. Ìîæíî ïîêàçàòü, íàïðèìåð, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñ÷åòíî, à ìíîæåñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë  íåñ÷åòíî. 25 Ìíîæåñòâî

130

à Ð, à Ð, Ð, Ã

... Ð, Ð, . . . , Ð, à ... Õîòÿ íå î÷åíü âåðèòñÿ, ÷òî äåñÿòü òûñÿ÷ ðàç ïîäðÿä áóäåò âûïàäàòü ðåøåòêà, è ëèøü íà äåñÿòü òûñÿ÷ ïåðâûé ðàç âûïàäåò ãåðá, íî èñêëþ÷èòü òàêîé èñõîä íèêòî íå îòâàæèòñÿ. Ïîýòîìó ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé â ýòîì ïðèìåðå ïîëàãàþò ñ÷åòíûì.

1.2. Âåðîÿòíîñòü Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûé èñõîä. Êàæäûé ðåàëüíûé ýêñïåðèìåíò ìîæåò çàêîí÷èòüñÿ ëèáî ýòèì èñõîäîì, ëèáî êàêèì-íèáóäü äðóãèì. Åñëè â íåèçìåííûõ óñëîâèÿõ ýêñïåðèìåíò ïîâòîðèëè n ðàç, è â m ñëó÷àÿõ îí çàêîí÷èëñÿ îòìå÷åííûì èñõîäîì, òî ãîâîðÿò, ÷òî íàáëþäàëàñü îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà m n ýòîãî èñõîäà. Î÷åâèäíî, ÷òî ñóììà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò âñåõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ ðàâíà åäèíèöå. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ïðèãîäíà äëÿ îïèñàíèÿ òåõ ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, â êîòîðûõ íàáëþäàåòñÿ óñòîé÷èâîñòü îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò: äëèííûå ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ ïðèâîäÿò, êàê ïðàâèëî, ê áëèçêèì çíà÷åíèÿì îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò. Ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ ðåàëüíîãî ýêñïåðèìåíòà ñëóæèò äèñêðåòíîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Ìàòåìàòè÷åñêèì àíàëîãîì îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû èñõîäà ýêñïåðèìåíòà ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòü ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ω  âåùåñòâåííîå ÷èñëî P(ω), óäîâëåòâîðÿþùåå äâóì óñëîâèÿì: X

0 ≤ P(ω) ≤ 1;

P(ω) = 1

(1.2.1)

ω∈Ω

(âî âòîðîì óñëîâèè ôèãóðèðóåò ñóììà  äëÿ êîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé è ñóììà ðÿäà  äëÿ ñ÷åòíîãî). Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ P : Ω → R, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì (1.2.1), ìîæåò áûòü çàäàíà ìíîãèìè ñïîñîáàìè. Âîïðîñ î åå âûáîðå îòíîñèòñÿ íå ê ìàòåìàòèêå, à ê âûáîðó ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè. Ýòîò âûáîð äåëàåòñÿ èç ñîäåðæàòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé îá óñëîâèÿõ ýêñïåðèìåíòà. 131

Ïðèìåðû. 1. Åñëè áðîñàåòñÿ ïðàâèëüíàÿ ìîíåòà, òî åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â äëèííûõ ñåðèÿõ ýêñïåðèìåíòîâ îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû âûïàäåíèÿ ãåðáà è ðåøåòêè äîëæíû áûòü ïðèìåðíî ðàâíû. Ïîýòîìó ðàçóìíî ïðèïèñàòü ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèÿì Ð è à îäèíàêîâûå âåðîÿòíîñòè P(Ã) = P(Ð). Åñëè Ω = {Ã, Ð}, òî P(Ã) + P(Ð) = 1. Îòñþäà P(Ã) = P(Ð) = 1/2. 2. Ïðàâèëüíàÿ ìîíåòà áðîñàåòñÿ äî ïåðâîãî âûïàäåíèÿ ãåðáà. Îáîçíà÷èì ωn ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå, ñîîòâåòñòâóþùåå âûïàäåíèþ ãåðáà ïðè n-ì áðîñàíèè ìîíåòû. Ïîëîæèì P(ωn ) = 2−n (îáñóæäåíèå ïðè÷èí òàêîãî âûáîðà ìû îòëîæèì äî ï.1.4). Âû÷èñëèâ +∞ X n=1

P(ωn ) =

+∞ X

2−n = 1,

n=1

óáåäèìñÿ â äîïóñòèìîñòè òàêîãî çàäàíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðèìåíåíèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ îïèñàíèÿ ýêñïåðèìåíòà âîçìîæíî ëèøü ïðè íàëè÷èè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû èñõîäîâ. Èìååòñÿ â âèäó, ÷òî ïðè ìíîãîêðàòíîì ïîâòîðåíèè äëèííûõ ñåðèé ýêñïåðèìåíòîâ â íåèçìåííûõ óñëîâèÿõ îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû, êàê ïðàâèëî, ìåíÿþòñÿ ìàëî. Ñëîâà "ìíîãîêðàòíî "äëèííûå "íåèçìåííûå "êàê ïðàâèëî" íå ìîãóò áûòü óòî÷íåíû. Îíè îòíîñÿòñÿ ê íåàëãîðèòìèçèðóåìîé ïðîöåäóðå ïåðåõîäà îò ðåàëüíîãî ýêñïåðèìåíòà ê åãî ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, è îòâåòñòâåííîñòü çà ñïðàâåäëèâîñòü ýòèõ ñëîâ íåñåò òîò ñïåöèàëèñò-íåìàòåìàòèê, êîòîðûé ðåøàåòñÿ ïðèìåíèòü òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé ê îïèñàíèþ ñâîåé çàäà÷è. Îòìåòèì åùå, ÷òî ñîâåðøåííî áåññìûñëåííî óïîòðåáëÿòü ñëîâî "âåðîÿòíîñòü ïîêà íå îïèñàíî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé.

1.3. Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ â äèñêðåòíîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ñëó÷àéíûì ñîáûòèåì (ñîáûòèåì) íàçûâàþò âñÿêîå ïîäìíîæåñòâî äèñêðåòíîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Ãîâîðÿò, ÷òî â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà ñîáûòèå ïðîèçîøëî, åñëè ýêñïåðèìåíò çàêîí÷èëñÿ îäíèì èç âçàèìîèñêëþ÷àþùèõ èñõîäîâ, ñîñòàâëÿþùèõ ýòî ñîáûòèå. Âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà ïî îïðåäåëåíèþ ñóììå âåðîÿòíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ñîñòàâëÿþùèõ ýòî ñîáûòèå: X A ⊂ Ω =⇒ P(A) = P(ω). ω∈A

132

Îïðàâäàíèå òàêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ  åå ÷àñòîòíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ: îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ õîòÿ áû îäíîãî èç âçàèìîèñêëþ÷àþùèõ èñõîäîâ ðàâíà, î÷åâèäíî, ñóììå îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò ýòèõ èñõîäîâ. Ïðèìåð. Ýêñïåðèìåíò ñîñòîèò â áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè  ïðàâèëüíîãî êóáà, ãðàíè êîòîðîãî ïîìå÷åíû öèôðàìè îò 1 äî 6. Çäåñü Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, è, âñëåäñòâèå ïðàâèëüíîñòè êóáà, ðàçóìíî ñ÷èòàòü ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ ðàâíîâåðîÿòíûìè:

P(n) = 1/6;

n = 1, ..., 6.

Åñëè A = {1, 3, 5} (â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà âûïàëà íå÷åòíàÿ öèôðà), òî P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 3 · 1/6 = 1/2. Çàìå÷àíèÿ. 1. Î÷åâèäíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ {ω}, ñîñòîÿùåãî èç îäíîãî ýëåìåíòà ω , ñîâïàäàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ω . Ïîýòîìó ìû áóäåì îòîæäåñòâëÿòü ω è {ω}, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ýòî îáúåêòû ðàçíîé ïðèðîäû. 2. Èíîãäà â çàäà÷àõ íåîáõîäèìî ñóììèðîâàòü âåðîÿòíîñòè áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ñîñòàâëÿþùèõ äàííîå ñîáûòèå. Ïðè ýòîì ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü ñïåöèàëüíûå ìåòîäû êîìáèíàòîðèêè. Ìû æå îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ ïðèìåðîâ, â êîòîðûõ âû÷èñëèòåëüíûå ñëîæíîñòè íå âîçíèêàþò. Ïðèìåð. Ýêñïåðèìåíò ñîñòîèò â áðîñàíèè ïðàâèëüíîé ìîíåòû äî ïåðâîãî âûïàäåíèÿ ãåðáà. Áóäåì, êàê è â ï.1.2, ñ÷èòàòü, ÷òî ωn  ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå "â ïåðâûé ðàç ãåðá ïîÿâèëñÿ ïðè n-ì áðîñàíèè" è P(ωn ) = 2−n . Íàéäåì âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé A (èãðà çàêîí÷èòñÿ íà íå÷åòíîì áðîñàíèè ìîíåòû) è B (èãðà çàêîí÷èòñÿ íà ÷åòíîì áðîñàíèè ìîíåòû):

P(A) =

+∞ X

2−(2n−1) =

n=1

P(B) =

+∞ X

2−2n =

n=1

1/2 = 2/3; 1 − 1/4

1/4 = 1/3. 1 − 1/4

Ñîäåðæàòåëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ýòîãî ðåçóëüòàòà  âàæíûé äëÿ èãðîêîâ ôàêò: åñëè äâà èãðîêà áðîñàþò ìîíåòó ïî î÷åðåäè, òî ïðè ìíîãîêðàòíîì ïîâòîðåíèè èãðû áðîñàþùèé ïåðâûì áóäåò âûèãðûâàòü ïðèìåðíî âäâîå ÷àùå ïàðòíåðà. 133

Çàìå÷àíèå. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé îáÿçàíà ñâîèì ïîÿâëåíèåì ïîòðåáíîñòè ó÷àñòíèêîâ àçàðòíûõ èãð â âûðàáîòêå "âûèãðûøíîé ñòðàòåãèè". Ðàçäåëîì ìàòåìàòèêè òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ñòàëà ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî. Ïîýòîìó â íåé ñîõðàíèëàñü "äîìàòåìàòè÷åñêàÿ" òåðìèíîëîãèÿ. Ïðèíÿòî íàçûâàòü ñëó÷àéíîå ñîáûòèå Ω (Ω ⊂ Ω) äîñòîâåðíûì ñîáûòèåì, à ñëó÷àéíîå ñîáûòèå ∅ (∅ ⊂ Ω) íåâîçìîæíûì ñîáûòèåì. Îòìåòèì, ÷òî P(Ω) = 1, P(∅) = 0. Ïóñòü A, B ⊂ Ω. Åñëè A∩B = ∅, òî A è B íàçûâàþò íåñîâìåñòíûìè ñîáûòèÿìè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå èõ íàçûâàþò ñîâìåñòíûìè ñîáûòèÿìè. Ïåðåâåäèòå íà ÿçûê "èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà" ïîíÿòèÿ "äîñòîâåðíîå ñîáûòèå "íåâîçìîæíîå ñîáûòèå "íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ".

Ω A

B

Ðèñ.1.1 Ïóñòü òåïåðü A, B ⊂ Ω (ðèñ.1.1). Âûäåëèì ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ (ìíîæåñòâà): A\B, B\A, A ∩ B (íàïîìíèì, ÷òî A\B ñîñòîèò èç âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, êîòîðûå âõîäÿò â A è íå âõîäÿò â B ; B\A  èç âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, êîòîðûå âõîäÿò â B è íå âõîäÿò â A; A ∩ B  èç âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, êîòîðûå âõîäÿò è â A, è â B ). Ëþáûå äâà èç òðåõ îïèñàííûõ ìíîæåñòâ íå ïåðåñåêàþòñÿ (ñîáûòèÿ A\B , B\A, A ∩ B ïîïàðíî íåñîâìåñòíû). Î÷åâèäíî, ÷òî

A = (A\B) ∪ (B ∩ A);

B = (B\A) ∩ (A ∩ B);

A ∪ B = (A\B) ∪ (B\A) ∪ (A ∩ B). Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ îïðåäåëåíà êàê ñóììà âåðîÿòíîñòåé ñîñòàâëÿþùèõ åãî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, èç ýòèõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî

P(A) =

X

ω∈A\B

X

P(ω) +

P(ω);

P(B) =

ω∈A∩B

P(A ∪ B) =

X ω∈A\B

X

P(ω) +

ω∈B\A

X

P(ω) +

ω∈B\A

134

P(ω) +

X ω∈A∩B

X

ω∈A∩B

P(ω).

P(ω);

Îòñþäà ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå, èçâåñòíîå êàê òåîðåìà ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (åñëè ïðîñòî ñëîæèòü âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé A è B , òî âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ñîäåðæàùèõñÿ â A ∩ B , âîéäóò â ñóììó äâàæäû).  ÷àñòíîñòè, åñëè ñîáûòèÿ A è B íåñîâìåñòíû (A ∩ B = ∅), òî

P(A ∩ B) = 0 è P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

C

Ω

A

B

Ðèñ.1.2 Äëÿ òðåõ ñîáûòèé A, B è C ðàññìîòðåíèå äèàãðàììû Âåííà (ðèñ.1.2) ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ðàâåíñòâî

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)− − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).  ÷àñòíîñòè, åñëè ñîáûòèÿ A, B, C ïîïàðíî íåñîâìåñòíû, òî

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C). Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ëåãêî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñëó÷àé ëþáîãî êîíå÷íîãî è äàæå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé: åñëè ïðè i 6= j Ai ∩ Aj = ∅, òî

³[ ´ X P(Ai ). P Ai = i

i

Ôîðìóëà äëÿ âåðîÿòíîñòè îáúåäèíåíèÿ ëþáîãî ÷èñëà ñîâìåñòíûõ ñîáûòèé áîëåå ñëîæíà, è ìû åå íå ïðèâîäèì. 135

1.4. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü ñîáûòèé. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè Ïóñòü A, B ⊂ Ω. Áóäåì íàçûâàòü ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ A è B ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûìè (îáû÷íî ãîâîðÿò êîðî÷å  íåçàâèñèìûìè), åñëè

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

(1.4.1)

Åñëè P(A ∩ B) 6= P(A) · P(B), òî ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþò (ñòàòèñòè÷åñêè) çàâèñèìûìè. Íåñëîæíî ïîêàçàòü (ïðîâåðüòå ýòî!), ÷òî åñëè ñîáûòèÿ A è B íåçàâèñèìû, òî ñîáûòèÿ Ω \ A è B òàêæå íåçàâèñèìû. Ïðèìåð. Ýêñïåðèìåíò ñîñòîèò â áðîñàíèè ïðàâèëüíîé èãðàëüíîé êîñòè. Èñõîäû  âûïàäåíèå ãðàíåé, ïîìå÷åííûõ öèôðàìè îò 1 äî 6. Çäåñü Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, è P(ω) = 1/6 äëÿ ω = 1, ..., 6. Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ: A  "ðåçóëüòàò ÷åòíûé B  "ðåçóëüòàò áîëüøå äâóõ C  "ðåçóëüòàò ìåíüøå ÷åòûðåõ".

A = {2, 4, 6}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {1, 2, 3}, A ∩ B = {4, 6}, A ∩ C = {2},

P(A) = 3 · 1/6 = 1/2; P(B) = 4 · 1/6 = 2/3; P(C) = 3 · 1/6 = 1/2; P(A ∩ B) = 2 · 1/6 = 1/3; P(A ∩ C) = 1/6.

Ñîáûòèÿ A è B íåçàâèñèìû, òàê êàê

P(A) · P(B) = 1/2 · 2/3 = 1/3 = P(A ∩ B). Ñîáûòèÿ A è C çàâèñèìû, òàê êàê

P(A) · P(C) = 1/2 · 1/2 = 1/4 6= 1/6 = P(A ∩ C). Çàìå÷àíèå. Íåçàâèñèìîñòü (ñòàòèñòè÷åñêàÿ) ñîáûòèé A è B îïðåäåëåíà ðàâåíñòâîì (1.4.1), è íå ñëåäóåò èñòîëêîâûâàòü åå êàêèì-ëèáî äðóãèì ñïîñîáîì (íàïðèìåð, äåëàÿ èç íåå âûâîäû î ïðè÷èííîé, íàöèîíàëüíîé, ôèíàíñîâîé è ò. ï. íåçàâèñèìîñòè). Ýòî îòíîñèòñÿ è ê ñòàòèñòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè.

P(B ∩ A) íàçûP(A) âàåòñÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ B ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå A ïðîèçîøëî. Äëÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè ïðèíÿòî îáîçíà÷åíèå Ïóñòü òåïåðü A, B ⊂ Ω, è P(A) 6= 0. Òîãäà ÷èñëî

P(B|A) =

P(B ∩ A) . P(A)

136

(1.4.2)

 îòëè÷èå îò óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè P(B|A) ñîáûòèÿ B âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ P(B) èíîãäà íàçûâàþò áåçóñëîâíîé. Ðàâåíñòâî (1.4.2) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå

P(B ∩ A) = P(A) · P(B|A). Ýòî óòâåðæäåíèå íîñèò íàçâàíèå òåîðåìû óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ïîêàæåì, ÷òî ïåðåõîä ê óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ ðàâíîñèëåí èçìåíåíèþ ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Ïóñòü A, B ⊂ Ω, è P(A) 6= 0 (ðèñ.1.1). Ñëîâà "ñîáûòèå A ïðîèçîøëî" îçíà÷àþò, ÷òî ýêñïåðèìåíò çàêîí÷èëñÿ îäíèì èç èñõîäîâ (íåèçâåñòíî êàêèì), ñîñòàâëÿþùèõ ñîáûòèå A. Ïîýòîìó ìîæíî èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ âñå ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ, íå âõîäÿùèå â A, ò.å. ñ÷èòàòü A íîâûì ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω0 = A (ðèñ.1.3).

Ω0 = A

B0

Ðèñ.1.3 Åñëè (÷òî åñòåñòâåííî) ñîõðàíèòü ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âåðîÿòíîñòÿìè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ò.å. èçìåíèòü ýòè âåðîÿòíîñòè ïðîïîðöèîíàëüíî (P0 (ω) = k · P(ω)), òî ñóììà âåðîÿòíîñòåé âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ñîñòàâëÿþùèõ íîâîå ïðîñòðàíñòâî, äîëæíà ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå. Îòñþäà

X ω∈A

P0 (ω) = k ·

X

P(ω) = k · P(A) = 1,

ω∈A

ò.å. k =

1 . P(A)

Ìû ïîñòðîèëè íîâîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω0 = A ñ âåðîÿòíîñòÿìè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé

P(ω) . P(A) Â íîâîì ïðîñòðàíñòâå Ω0 ñîáûòèþ B èñõîäíîãî ïðîñòðàíñòâà ñîîòâåòñòâóåò ñîáûòèå B 0 = B ∩ A (ðèñ.1.3), è X X P(ω) = P0 (B 0 ) = P0 (ω) = P(A) ω∈B 0 ω∈B 0 X 1 P(B ∩ A) = · P(ω) = = P(B|A). P(A) P(A) P0 (ω) = k · P(ω) =

ω∈B∩A

137

Ïðèìåð. Áðîñàåòñÿ ïðàâèëüíàÿ èãðàëüíàÿ êîñòü. Íàéäåì óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ "ðåçóëüòàò áîëüøå åäèíèöû" ïðè óñëîâèè, ÷òî âûïàëà íå÷åòíàÿ öèôðà. Ïîñòðîèì ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè P(ω) ≡ 1/6. Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 4, 5, 6} è A ∩ B = {3, 5}. Èõ âåðîÿòíîñòè

P(A) = 3 · 1/6 = 1/2,

P(B) = 5 · 1/6 = 5/6,

P(A ∩ B) = 2 · 1/6 = 1/3.

P(A ∩ B) = 2/3. P(A) Ýòó æå çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü, ðàññìîòðåâ ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω0 = {1, 3, 5}. Â ýòîì ïðîñòðàíñòâå êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó ñîáûòèþ ñëåäóåò ïðèïèñàòü âåðîÿòíîñòü P0 (ω) = P(ω)/P(A) ≡ 1/3. Òîãäà B 0 = {3, 5}, è P0 (B 0 ) = 2 · 1/3 = 2/3. Îòñþäà P(B|A) =

Åñëè ñîáûòèÿ A è B íåçàâèñèìû, òî èç (1.4.1) è (1.4.2) ñëåäóåò, ÷òî P(B|A) = P(B). Ïîñêîëüêó ñîáûòèÿ Ω \ A è B òàêæå íåçàâèñèìû, ïîëó÷àåì P(B|A) = P(B|(Ω \ A)), ò.å. óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ B ïðè óñëîâèÿõ, ÷òî ñîáûòèå A ïðîèçîøëî è íå ïðîèçîøëî, ðàâíû. Ýòîò ôàêò îáû÷íî èíòåðïðåòèðóåòñÿ òàê: îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñîáûòèÿ B íå çàâèñèò îò òîãî, ðàññìàòðèâàåì ëè ìû âñå ïðîâåäåííûå ýêñïåðèìåíòû, èëè âûáèðàåì òîëüêî òå, â êîòîðûõ ïðîèçîøëî (íå ïðîèçîøëî) ñîáûòèå A. Òåðìèí "íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ" âîçíèê èìåííî èç ýòîé èíòåðïðåòàöèè.  ïðèëîæåíèÿõ ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåçàâèñèìîñòü îáû÷íî ïîñòóëèðóåòñÿ ïîñòàíîâùèêîì çàäà÷è ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè èç ñîäåðæàòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé. Òàêîé ïîñòóëàò äàåò âîçìîæíîñòü ëåãêî íàõîäèòü âåðîÿòíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ ñîáûòèé. Îäíàêî çà àäåêâàòíîñòü ýòîãî ïîñòóëàòà ðåàëüíîñòè îòâå÷àåò ïîñòàíîâùèê çàäà÷è, à íå òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ïðèìåð. Ýêñïåðèìåíò ñîñòîèò â äâóõ áðîñàíèÿõ ïðàâèëüíîé ìîíåòû. Çäåñü Ω = {ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ, ÐÐ}. Ïîñêîëüêó ïåðâûé è âòîðîé áðîñêè íå âëèÿþò äðóã íà äðóãà, ðàçóìíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñîáûòèÿ A "ïðè ïåðâîì áðîñêå âûïàëà ðåøåòêà" è B "ïðè âòîðîì áðîñêå âûïàë ãåðá" íåçàâèñèìû. Òîãäà èç P(A) = P(B) = 1/2 èìååì P(ÐÃ) = P(A) · P(B) = 1/4 (êîíå÷íî, âåðîÿòíîñòè îñòàëüíûõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé òîæå ðàâíû 1/4). Àíàëîãè÷íî, ïðè n áðîñàíèÿõ ïðàâèëüíîé ìîíåòû èç òåõ æå ñîîáðàæåíèé ïîëó÷àåì P(Ð . . . ÐÃ) = 2−n . Èìåííî ïîýòîìó â ïðèìåðå 2 ï.1.2 ðàçóìíî ïîëîæèòü P(ωn ) = 2−n . 138

1.5. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ïðåäñòàâëåíî â âèäå îáúåäèíåíèÿ ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé Ai , i = 1, . . . , n:

Ai ∩ Aj = ∅ ïðè i 6= j.

Ω = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ,

Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ B

B = (B ∩ A1 ) ∪ (B ∩ A2 ) ∪ · · · ∪ (B ∩ An ), ïðè÷åì ñîáûòèÿ (B ∩ Ai ) ïîïàðíî íåñîâìåñòíû. Èç òåîðåì ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé èìååì

P(B) =

n X

P(B ∩ Ai ) =

i=1

n X

P(Ai ) · P(B|Ai ).

(1.5.1)

i=1

Ýòà ôîðìóëà èìåíóåòñÿ ôîðìóëîé ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Îíà ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èç ñîäåðæàòåëüíûõ ñîîáðàæåíèé ëåã÷å çàäàòü óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè, ÷åì áåçóñëîâíûå. Ñîáûòèÿ Ai ÷àñòî íàçûâàþò ãèïîòåçàìè. Ïðèìåð. Èìåþòñÿ òðè êîñòè, èç íèõ äâå ïðàâèëüíûõ, à òðåòüÿ íàëèòà ñâèíöîì, òàê ÷òî øåñòåðêà íà íåé âûïàäàåò âäâîå ÷àùå, ÷åì íà ïðàâèëüíîé. Íà îùóïü êîñòè íåðàçëè÷èìû. Ýêñïåðèìåíò çàêëþ÷àåòñÿ â áðîñàíèè îäíîé íàóãàä âûáðàííîé êîñòè. Îïðåäåëèì ñîáûòèÿ: A1  "âûáðàíà ïðàâèëüíàÿ êîñòü A2  "âûáðàíà íåïðàâèëüíàÿ êîñòü B  "âûáðîøåíà øåñòåðêà". Òîãäà èç äàííûõ çàäà÷è ëåãêî îïðåäåëèòü óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè: P(B|A1 ) = 1/6, P(B|A2 ) = 1/3. Äàëåå, èç óñëîâèÿ ðàçóìíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðè ìíîãîêðàòíîì âûáîðå êîñòè ïðàâèëüíàÿ áóäåò ïîïàäàòüñÿ ïðèìåðíî â äâà ðàçà ÷àùå, ÷åì íåïðàâèëüíàÿ. Ïîýòîìó P(A1 ) = 2/3, P(A2 ) = 1/3. Ïî ôîðìóëå (1.5.1) ïîëó÷àåì P(B) = 2/3 · 1/6 + 1/3 · 1/3 = 2/9.

1.6. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ñ íåñ÷åòíûì ìíîæåñòâîì èñõîäîâ Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá èçìåðåíèè íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû ñ ïîìîùüþ ñòðåëî÷íîãî ïðèáîðà. Åñëè ñ÷èòàòü ñòðåëêó ïðèáîðà íå èìåþùåé òîëùèíû, òî ðåçóëüòàòîì èçìåðåíèÿ (ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì) ìîæåò áûòü ëþáàÿ òî÷êà íà øêàëå, è ìíîæåñòâî âñåõ èñõîäîâ Ω íå ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå íåâîçìîæíî ïðèïèñàòü êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó ñîáûòèþ íåíóëåâóþ âåðîÿòíîñòü è îáåñïå÷èòü ïðè ýòîì êîíå÷íîñòü P(Ω). 139

 òàêîé ñèòóàöèè îòêàçûâàþòñÿ îò ïðèïèñûâàíèÿ âåðîÿòíîñòè êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó ñîáûòèþ. Âåðîÿòíîñòü ïðèïèñûâàåòñÿ òåïåðü òîëüêî ñîáûòèÿì, ê êîòîðûì îòíîñÿò íå ëþáûå ÷àñòè Ω. Òî÷íåå: ïóñòü çàäàíî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ñ íåñ÷åòíûì ÷èñëîì èñõîäîâ. Ñòðîèòñÿ ñåìåéñòâî S ÷àñòåé Ω, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1. Ω ∈ S; 2. åñëè A ∈ S, òî Ω\A ∈ S (â ÷àñòíîñòè, ∅ = Ω\Ω ∈ S); 3. åñëè Ak ∈ S (íàáîð ýòèõ ìíîæåñòâ ìîæåò áûòü êîíå÷íûì èëè ñ÷åòíûì), òî \ [ Ak ∈ S è Ak ∈ S k

k

(â ÷àñòíîñòè, åñëè A, B ∈ S, òî A\B = A ∩ (Ω\B) ∈ S). Ñëó÷àéíûìè ñîáûòèÿìè òåïåðü íàçûâàþòñÿ íå ëþáûå ÷àñòè Ω, à òîëüêî âõîäÿùèå â S, è òîëüêî èì ïðèïèñûâàþòñÿ âåðîÿòíîñòè  íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì: 4. P(Ω) = 1; 5. åñëè Ak ∈ S (íàáîð ñîáûòèé ìîæåò áûòü êîíå÷íûì èëè ñ÷åòíûì), è ýòè ñîáûòèÿ ïîïàðíî íåñîâìåñòíû (íå ïåðåñåêàþòñÿ), òî

³[ ´ X P Ak = P(Ak ). k

k

Çàìå÷àíèå. Èç ñâîéñòâ 4 è 5 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ A ∈ S

P(Ω\A) = 1 − P(A).  ÷àñòíîñòè, P(∅) = 0. Íåñëîæíî òàêæå ïîêàçàòü (ïðîâåðüòå ýòî!), ÷òî äëÿ A, B ∈ S âûïîëíåíû òåîðåìû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè òàêæå ñïðàâåäëèâà, åñëè âñå âõîäÿùèå â íåå ìíîæåñòâà ïðèíàäëåæàò ñåìåéñòâó S. Áîëåå òîãî, ôîðìóëà (1.5.1) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñ÷åòíûé íàáîð ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé Ai ∈ S. Ïåðå÷èñëåííûå âûøå ïÿòü ñâîéñòâ ñåìåéñòâà S è ôóíêöèè P íàçûâàþòñÿ àêñèîìàìè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ñïåöèàëèñò-íåìàòåìàòèê ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëè ýêñïåðèìåíòà, èñïîëüçóþùåé òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé, âîîáùå ãîâîðÿ, îãðàíè÷åí òîëüêî ýòèìè àêñèîìàìè. Îäíàêî ïðè èçìåðåíèè ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî ñåìåéñòâî S ñîäåðæèò ëþáûå ïðîìåæóòêè (ñåãìåíòû, èíòåðâàëû, ïîëóèíòåðâàëû), 140

öåëèêîì ëåæàùèå â ìíîæåñòâå âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ýòîé âåëè÷èíû. Òîãäà, ñîãëàñíî àêñèîìå 3, ýòî ñåìåéñòâî äîëæíî ñîäåðæàòü òàêæå êàæäîå ìíîæåñòâî, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ïðîìåæóòêîâ ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî ÷èñëà îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ. Ïîíÿòíî, ÷òî âñå ìíîæåñòâà, ïðåäñòàâëÿþùèå õîòü êàêîé-íèáóäü ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ, ïîïàäóò â òàêîå ñåìåéñòâî. Êàê è â ñëó÷àå äèñêðåòíîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, âûáîð ôóíêöèè P : S → R, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì 4 è 5, äåëàåòñÿ èç ñîäåðæàòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé îá óñëîâèÿõ ýêñïåðèìåíòà. Ïðèìåð.  ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè èçìåðÿåòñÿ ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ

u = Umax · sin(ωt). Êàêîâà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ "èçìåðåííîå çíà÷åíèå ïî ìîäóëþ ìåíüøå ïîëîâèíû àìïëèòóäû"? Âñëåäñòâèå ïåðèîäè÷íîñòè ñèíóñîèäû áóäåì ñ÷èòàòü ïðîñòðàíπ , π ] (ðèñ.1.4). Ñëó÷àéñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ïðîìåæóòîê ] − ω ω íîñòü ìîìåíòà âðåìåíè â ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè îáû÷íî èíòåðïðåòèðóþò òàê: ïðè ìíîãîêðàòíîì ïîâòîðåíèè ýêñïåðèìåíòà îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû ïîïàäàíèÿ â ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè îäèíàêîâû. Ïîýòîìó π , π ], ïðèïèøåì âåðîÿòêàæäîìó ïðîìåæóòêó, ñîäåðæàùåìóñÿ â ] − ω ω íîñòü, ïðîïîðöèîíàëüíóþ äëèíå ýòîãî ïðîìåæóòêà. Òîãäà âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ïðîìåæóòîê äëèíû a áóäåò ðàâíà aω 2π (íåçàâèñèìî îò òîãî, âõîäÿò ãðàíè÷íûå òî÷êè â ïðîìåæóòîê èëè íåò). Åñëè ñîáûòèå ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïðîìåæóòêîâ, òî, ñîãëàñíî àêñèîìå 3, âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ ðàâíà ñóììå äëèí ýòèõ ïðîìåæóòêîâ, óìíîω. æåííîé íà 2π 6

Umax Umax /2

-

−Umax /2 −Umax

5π − 6ω

π − 6ω

π 6ω Ðèñ.1.4 141

5π 6ω

Íà ðèñ.1.4 âûäåëåíû ïðîìåæóòêè îñè àáñöèññ, íà êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå |u| < Umax /2. Âèäíî, ÷òî ñóììàðíàÿ äëèíà ýòèõ ïðîìåπ = 2π . Ïîýòîìó æóòêîâ 4 × 6ω 3ω

³ Umax ´ 2π ω P |u| < · = 1/3. = 2 3ω 2π Çàìå÷àíèå. Ìû îòîæäåñòâèëè "ñîáûòèå" èç ñîäåðæàòåëüíîé çàäà÷è (|u| < Umax /2) è ñëó÷àéíîå ñîáûòèå  ýëåìåíò ñåìåéñòâà S :

i π 5π h i π πh i 5π π h − ,− ∪ − , ∪ , . ω 6ω 6ω 6ω 6ω ω Òàê ïîñòóïàþò ÷àñòî, ÷òîáû ñýêîíîìèòü íà çàïèñè.

142

Ãëàâà 2. ÑËÓ×ÀÉÍÛÅ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÅ 2.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Ðàññìîòðèì ýêñïåðèìåíò, ñîñòîÿùèé â n áðîñàíèÿõ ïðàâèëüíîé ìîíåòû. Ïîñòðîèì ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ïðè n = 3:

Ω = {ÐÐÐ, ÐÐÃ, ÐÃÐ, ÐÃÃ, ÃÐÐ, ÃÐÃ, ÃÃÐ, ÃÃÃ}. Ýòî ïðîñòðàíñòâî ñîäåðæèò 8 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Ïðàâèëüíîñòü ìîíåòû äàåò îñíîâàíèå ñ÷èòàòü ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ ðàâíîâåðîÿòíûìè (ñì. ïðèìåð â êîíöå ï.1.4).  òàáëèöå 2.1 ïðåäñòàâëåíû ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ, èõ âåðîÿòíîñòè è ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ñîáûòèÿì êîëè÷åñòâà âûïàäåíèé ãåðáà (X ). Òàáëèöà 2.1

ω ÐÐÐ ÐÐà ÐÃÐ ÐÃà ÃÐÐ ÃÐà ÃÃÐ ÃÃà P(ω) 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 X 0 1 1 2 1 2 2 3 Âèäíî, ÷òî X ìîæåò ïðèíèìàòü 4 ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ: 0, 1, 2, 3. Ïîýòîìó ìîæíî ðàññìîòðåòü ñîáûòèÿ (X = 0), (X = 1), (X = 2), (X = 3) è âû÷èñëèòü èõ âåðîÿòíîñòè. Ðåçóëüòàòû ñâåäåíû â òàáëèöó 2.2. Òàáëèöà 2.2

x 0 1 2 3 P(X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8 Åñëè öåëüþ ýêñïåðèìåíòà áûëî îïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâà âûïàäåíèé ãåðáà, òî åñòåñòâåííî ðàññìîòðåòü íîâîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé  ìíîæåñòâî çíà÷åíèé X : Ω0 = {0, 1, 2, 3}  è çàäàííûå íà íåì òàáëèöåé 2.2 âåðîÿòíîñòè. Ñèòóàöèÿ, êîãäà èñõîäîì ýêñïåðèìåíòà ìîæíî ñ÷èòàòü ÷èñëî, ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ. Îïðåäåëåíèå. Äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî (ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé) ñ çàäàííûìè íà íåì âåðîÿòíîñòÿìè. Çàìå÷àíèå. Ââåäåííîå îïðåäåëåíèå íå èñêëþ÷àåò âûðîæäåííîé ñèòóàöèè, êîãäà ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå. Òàêàÿ ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ óæå áóäåò "íå ñëó÷àéíîé è ìû èñêëþ÷èì åå èç ðàññìîòðåíèÿ. 143

Âñïîìíèì ïîíÿòèå ïåðåìåííàÿ: ïåðåìåííàÿ  ýòî áóêâà è ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî ìîæíî ïîäñòàâëÿòü âìåñòî ýòîé áóêâû. Ïåðåìåííóþ ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ìåøîê, ñîäåðæàùèé âñå âîçìîæíûå åå çíà÷åíèÿ. Êàæäûé èìååò ïðàâî âûáðàòü â ýòîì ìåøêå ïîíðàâèâøååñÿ åìó çíà÷åíèå ïåðåìåííîé. Àíàëîãè÷íî, ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé íàçîâåì áóêâó è (÷èñëîâîå) ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé, êîòîðîå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Äèñêðåòíóþ ñëó÷àéíóþ ïåðåìåííóþ òàêæå ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ìåøîê, ñîäåðæàùèé âñå âîçìîæíûå åå çíà÷åíèÿ. Îäíàêî âûáèðàòü ýòè çíà÷åíèÿ íåëüçÿ. Ìîæíî çàïóñòèòü â ýòîò ìåøîê ðóêó è âûíóòü èç íåãî òî çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé, êîòîðîå ñëó÷àéíî ïîïàäåòñÿ. Åñëè ïîâòîðÿòü ýòîò ýêñïåðèìåíò ìíîãîêðàòíî, òî îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû ïîÿâëåíèÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé áóäóò, êàê ïðàâèëî, ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò èõ âåðîÿòíîñòåé. Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå.  êíèãàõ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ÷àñòî âìåñòî ñëîâ "ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ" èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí "ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà". B äàëüíåéøåì ìû âìåñòî "ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ" áóäåì ïèñàòü ñ.ï.; ñëó÷àéíûå ïåðåìåííûå îáîçíà÷àþòñÿ ëàòèíñêèìè çàãëàâíûìè áóêâàìè, à èõ çíà÷åíèÿ  ÷èñëà  ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòðî÷íûìè áóêâàìè. Èòàê, äèñêðåòíàÿ ñ.ï. X çàäàåòñÿ ìíîæåñòâîì ñâîèõ çíà÷åíèé è âåðîÿòíîñòÿìè ýòèõ çíà÷åíèé, ò.å. òàáëèöåé, êîòîðóþ íàçûâàþò çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé:

x x1 x2 . . . P(X = x) p1 p2 . . .

pk > 0;

P k

pk = 1.

Ïîëåçíà ñëåäóþùàÿ ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ äèñêðåòíîé ñ.ï.: çíà÷åíèÿ ñ.ï. ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê àáñöèññû òî÷åê íà îñè, à ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè  êàê ìàññû, ñîñðåäîòî÷åííûå â ýòèõ òî÷êàõ. Òàêèì îáðàçîì, ñ.ï. èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ñèñòåìà òî÷å÷íûõ ìàññ íà îñè. Ñóùåñòâåííî, ÷òî ìàññà âñåé ñèñòåìû âñåãäà ðàâíà åäèíèöå. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè åñòü åäèíè÷íàÿ "âåðîÿòíîñòíàÿ ìàññà è ìû äîëæíû "ðàñïðåäåëèòü" åå ìåæäó çàäàííûìè òî÷êàìè îñè  çàäàòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ýòà ôèçè÷åñêàÿ àíàëîãèÿ ïîìîãàåò íàéòè ñïîñîá îïèñàíèÿ ñ.ï. ñ íåñ÷åòíûì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé. Èçâåñòíî, ÷òî ôèçèêà îïåðèðóåò â òàêîì ñëó÷àå ïîíÿòèåì ïëîòíîñòè ìàññû, ñ÷èòàÿ, ÷òî ìàññà â êàæäîé 144

òî÷êå ðàâíà íóëþ, íî ìàññà îòðåçêà ðàâíà èíòåãðàëó îò ïëîòíîñòè ïî ýòîìó îòðåçêó. Ïî àíàëîãèè ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàê íàçûâàåìóþ àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ ñ.ï. X , ìíîæåñòâî çíà÷åíèé êîòîðîé Ω = R. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çàäàíà êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ (ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.ï. X ) fX : R → R, îáëàäàþùàÿ äâóìÿ ñâîéñòâàìè:

Z+∞ 2) fX = 1.

1) fX ≥ 0;

(2.1.1)

−∞

 ýòîé ìîäåëè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñ.ï. â ïðîìåæóòîê [a, b] áóäåò âû÷èñëÿòüñÿ ïî ôîðìóëå Zb

fX .

P(X ∈ [a, b]) = a

Çàìå÷àíèÿ. 1. Ìû çàïèñàëè X ∈ [a, b], ñ÷èòàÿ ïðîìåæóòîê ñåãìåíòîì. Íî åñëè âñïîìíèòü, ÷òî çíà÷åíèå èíòåãðàëà íå çàâèñèò îò çíà÷åíèé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê, òî áóäåò ÿñíî, ÷òî òèï ïðîìåæóòêà (èíòåðâàë, ïîëóèíòåðâàë, ñåãìåíò) íå èãðàåò ðîëè. 2. Î÷åâèäíî, P(X = a) =

Ra a

fX = 0, ò.å. âåðîÿòíîñòü êàæäîãî îò-

äåëüíîãî çíà÷åíèÿ äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñ.ï. ðàâíà íóëþ. 3.  ïðèëîæåíèÿõ âñòðå÷àþòñÿ òàê íàçûâàåìûå äèñêðåòíî-íåïðåðûâíûå ñ.ï., íî èõ ðàññìîòðåíèå âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà. Îäíó èç ïåðâîîáðàçíûõ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.ï., à èìåííî,

Zx FX (x) =

fX = P(X < x),

(2.1.2)

−∞

íàçûâàþò ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.ï. X . Èç ñâîéñòâ ïåðâîîáðàçíîé ñëåäóåò, ÷òî FX  íåïðåðûâíàÿ, íåóáûâàþùàÿ íà R ôóíêöèÿ, FX (−∞) = 0, FX (+∞) = 1.  òî÷êàõ, ãäå íåïðåðûâíà ïëîòíîñòü fX , ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ïðîèçâîäíóþ, ïðè÷åì FX0 = fX .

2.2. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ  ìåõàíèêå äëÿ êîìïàêòíîãî îïèñàíèÿ òî÷å÷íîé ñèñòåìû ìàññ èñïîëüçóþòñÿ òàê íàçûâàåìûå ìîìåíòû. Ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò ñèñòåìû P ìàññ îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò ðàâåí, êàê èçâåñòíî, k xk · mk . Çäåñü xk  àáñöèññà òî÷êè, à mk  ìàññà, ñîñðåäîòî÷åííàÿ â ýòîé òî÷êå. 145

Ïî àíàëîãèè, ïåðâûì íà÷àëüíûì ìîìåíòîì, èëè ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì äèñêðåòíîé ñ.ï. X íàçûâàþò ÷èñëî

X

M (X) =

xk · p k ,

k

ãäå xk  çíà÷åíèå ñ.ï. X , à pk  âåðîÿòíîñòü ýòîãî çíà÷åíèÿ. Äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñ.ï. X ñ ïëîòíîñòüþ fX ïîíÿòèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ââîäèòñÿ òàê:

Z+∞ x · fX (x) dx. M (X) = −∞

Çàìå÷àíèÿ. 1. Åñëè ìíîæåñòâî çíà÷åíèé äèñêðåòíîé ñ.ï. ñ÷åòíî, òî ïåðâûé ìîìåíò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ðÿäà.  ýòîì ñëó÷àå âûäâèãàåòñÿ òðåáîâàíèå àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà, òàê êàê åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ íå àáñîëþòíî, òî åãî ñóììà çàâèñèò îò ïîðÿäêà ñëàãàåìûõ, à ýòî íåâîçìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü â ñîäåðæàòåëüíûõ çàäà÷àõ. Äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñ.ï. òðåáóåòñÿ àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà, îïðåäåëÿþùåãî ïåðâûé ìîìåíò. Åñëè ðÿä (èíòåãðàë) íå ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, ãîâîðÿò, ÷òî ñ.ï. íå èìååò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. P 2. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî k pk = 1, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äèñêðåòíîé ñ.ï. ìîæíî çàïèñàòü òàê: Á

M (X) =

³X

´

xk · p k

³X

k

´

pk .

k

Àíàëîãè÷íî, äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñ.ï.

³ Z+∞ ´Á³ Z+∞ ´ x · fX (x) dx fX (x) dx M (X) = −∞

−∞

(ñðàâíèòå ñ ôèçè÷åñêèì ïîíÿòèåì öåíòðà ìàññ). 3.  ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå âìåñòî M (X) ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå E(X) (îò ñëîâà "expectation").  ôèçèêå ðàçáðîñ ìàññû ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî åå öåíòðà ìàññ õàðàêòåðèçóåòñÿ ìîìåíòîì èíåðöèè. Ïî àíàëîãèè ââîäèòñÿ ïîíÿòèå âòîðîãî öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà, èëè äèñïåðñèè ñ.ï. X : äëÿ äèñêðåòíîé ñ.ï. X

µ2 (X) = D(X) =

X k

146

(xk − M (X))2 · pk ,

(2.2.1)

äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé 

Z+∞ D(X) = (x − M (X))2 · fX (x) dx.

(2.2.10 )

−∞

Î÷åâèäíî, åñòü ñìûñë ãîâîðèòü î äèñïåðñèè ñ.ï. òîëüêî ïðè íàëè÷èè ó íåå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Íî äàæå â ýòîì ñëó÷àå äèñïåðñèÿ íå îáÿçàíà ñóùåñòâîâàòü (ðÿä èëè èíòåãðàë ìîæåò ðàñõîäèòüñÿ). Òåîðåìà. Äèñïåðñèÿ ñ.ï. ïîëîæèòåëüíà (åñëè îíà ñóùåñòâóåò). Äîêàçàòåëüñòâî. Èíòåãðàë â ôîðìóëå (2.2.10 ), î÷åâèäíî, íåîòðèöàòåëåí. Áîëåå òîãî, åñëè îí ðàâåí íóëþ, òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ ïî÷òè âñþäó, ÷åãî íå ìîæåò áûòü ââèäó óñëîâèÿ (2.1.1). Àíàëîãè÷íî, ñóììà â (2.2.1) ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñ.ï. X ïðèíèìàåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå M (X) ñ âåðîÿòíîñòüþ 1. Íî òàêóþ âûðîæäåííóþ ñèòóàöèþ ìû, êàê óæå ãîâîðèëîñü, íå ðàññìàòðèâàåì. ¥ Åñëè ó ñ.ï. åñòü äèñïåðñèÿ, òî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì óêëîíåíèåì (èíîãäà ãîâîðÿò îòêëîíåíèåì) ýòîé ñ.ï. íàçûâàþò ÷èñëî

σ(X) =

p

D(X).

Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå óêëîíåíèå åñòü ìåðà ðàçáðîñà çíà÷åíèé ñ.ï. îòíîñèòåëüíî åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Äîêàæåì òåïåðü âàæíîå íåðàâåíñòâî. Ïóñòü X  ñ.ï., èìåþùàÿ äèñïåðñèþ. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0

D(X) ε2 (ïðè ìàëûõ ε (ε ≤ σ(X)) ýòî íåðàâåíñòâî ñòàíîâèòñÿ òðèâèàëüíûì). Ìû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñ.ï. Íåðàâåíñòâî P (|X − M (X)| ≥ ε) ≤

Z+∞ D(X) = (x − M (X))2 · fX (x) dx ≥ −∞ MZ (X)−ε

Z+∞

(x − M (X))2 · fX (x) dx +

≥ −∞

(x − M (X))2 · fX (x) dx M (X)+ε

ñëåäóåò èç íåîòðèöàòåëüíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ïîäûíòåãðàëüíûõ âûðàæåíèÿõ |x − M (X)| ≥ ε, ìîæíî çàïèñàòü 147

à MZ(X)−ε D(X) ≥ ε2 ·

fX (x) dx + −∞

!

Z+∞

=

M (X)+ε

Z

= ε2 ·

fX (x) dx

fX (x) dx = ε2 · P (|X − M (X)| ≥ ε) .

|x−M (X)|≥ε

Äîêàçàííîå íåðàâåíñòâî èìåíóåòñÿ íåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà. Åãî ÷àñòî èíòåðïðåòèðóþò òàê: áîëüøèå óêëîíåíèÿ ñ.ï. îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìàëîâåðîÿòíû. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ â êàêîé-òî ìåðå õàðàêòåðèçóþò çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.ï. Îäíàêî ñëåäóåò ïîíèìàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ñêîëüêî óãîäíî çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ äàííûìè ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è äèñïåðñèåé.  òî æå âðåìÿ åñòü çàäà÷è, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ äîñòàòî÷íî çíàòü òîëüêî ýòè ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè. Óêàæåì åùå îäíó ÷àñòî âñòðå÷àþùóþñÿ ÷èñëîâóþ õàðàêòåðèñòèêó. Ìîäîé ðàñïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñ.ï. íàçûâàþò àáñöèññó ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà åå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè ðàñïðåäåëåíèå èìååò íå îäíó ìîäó, òî åãî íàçûâàþò ìíîãîìîäàëüíûì.

2.3. Íåêîòîðûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ, âñòðå÷àþùèåñÿ â ïðèëîæåíèÿõ 1. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè26 . Òàê íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè n ∈ N è p ∈ ]0, 1[:

Ω = {0, 1, . . . , n} ; ³n´

P (X = m) =

³n´ m

·pm ·(1−p)n−m ;

m = 0, 1, . . . n.

n!  ÷èñëî ñî÷åòàíèé27 èç n ýëåìåíòîâ ïî m. m! · (n − m)! m Ñîäåðæàòåëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: ýêñïåðèìåíò ìîæåò çàêàí÷èâàòüñÿ îäíèì èç äâóõ èñõîäîâ: óñïåõ èëè íåóäà÷à. Âåðîÿòíîñòü óñïåõà ðàâíà p. Ýêñïåðèìåíò ïîâòîðÿþò n ðàç. Ñ.ï.  êîëè÷åñòâî óñïåõîâ. Çäåñü

=

26 ÁÅÐÍÓËËÈ

(Bernoulli)  ñåìüÿ øâåéöàðñêèõ ó÷åíûõ. Ðàñïðåäåëåíèå íîñèò èìÿ ßêîáà I ÁÅÐÍÓËËÈ (1654-1705), áëàãîäàðÿ ðàáîòàì êîòîðîãî òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ñòàëà èãðàòü âàæíóþ ðîëü â ïðèëîæåíèÿõ. ¡ ¢ 27  îòå÷åñòâåííîé ëèòåðàòóðå âìåñòî n ÷àñòî ïèøóò C m (îáðàòèòå âíèìàíèå íà n m ðàñïîëîæåíèå áóêâ n è m â ýòèõ ñèìâîëàõ!). 148

Íàçâàíèå "áèíîìèàëüíîå" îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ñîâïàäàþò ñ ÷ëåíàìè áèíîìà Íüþòîíà (a + b)n ïðè a = p, b = 1 − p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî n ³ ´ X n

m

m=0

· pm · (1 − p)n−m = 1.

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íóæíà íåêîòîðàÿ òåõíèêà ñóììèðîâàíèÿ, êîòîðàÿ íå èìååò îòíîøåíèÿ ê òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïîýòîìó çäåñü, êàê è â äàëüíåéøåì, ìû ëèøü ïðèâîäèì ðåçóëüòàòû:

M (X) =

n X

m·

m=0

D(X) =

n X

(m − n · p)2 ·

m=0

³n´ m ³n´ m

· pm · (1 − p)n−m = n · p, · pm · (1 − p)n−m = n · p · (1 − p).

Ìû âåðíåìñÿ ê ýòîìó ïðèìåðó â ï.2.6. Îòìåòèì î÷åâèäíîå íåðàâåíñòâî p · (1 − p) = 0.25 − (p − 0.5)2 ≤ 0.25, èç êîòîðîãî ñëåäóåò D(X) ≤ 0.25 · n. 2. Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå  îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ ïàðàìåòðîì p ∈ ]0, 1[:

P (X = n) = p · (1 − p)n−1 .

Ω=N;

Ñîäåðæàòåëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: âåðîÿòíîñòü óñïåõà â îäíîì ýêñïåðèìåíòå ðàâíà p; ýêñïåðèìåíò ïîâòîðÿþò äî ïåðâîãî óñïåõà. Ñ.ï.  êîëè÷åñòâî ïîâòîðåíèé ýêñïåðèìåíòà28 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî +∞ X

p · (1 − p)n−1 =

n=1

p = 1. 1 − (1 − p)

Äàëåå, âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî

M (X) = D(X) =

+∞ X

+∞ X

1 n · p · (1 − p)n−1 = , p n=1

(n − 1/p)2 · p · (1 − p)n−1 =

n=1 28 Ïðè

p = 1/2 ýòî ðàñïðåäåëåíèå óæå âñòðå÷àëîñü â ãëàâå 1. 149

1−p . p2

3. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà  îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ ïàðàìåòðîì λ > 0:

Ω = N ∪ {0};

P (X = n) = exp(−λ) ·

λn . n!

Î÷åâèäíî, ÷òî +∞ X

λn exp(−λ) · = exp(−λ) · exp(λ) = 1. n! n=0

Äàëåå, âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî +∞ X

λn M (X) = = λ; n · exp(−λ) · n! n=0 +∞ X λn 2 D(X) = (n − λ) · exp(−λ) · = λ. n! n=0

4. Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå  äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ ïàðàìåòðàìè x0 ∈ R è ∆ > 0:

½

fX (x) =

const, åñëè |x − x0 | ≤ ∆, 0, åñëè |x − x0 | > ∆.

Òàêèì îáðàçîì, "âåðîÿòíîñòíàÿ ìàññà" (ðàâíàÿ 1) ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà ïî ïðîìåæóòêó äëèíîé 2∆ (ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 ). Ïîýòîìó çíà÷åíèå êîíñòàíòû ðàâíî 1 . 2∆ Îäíà èç âîçìîæíûõ èíòåðïðåòàöèé: ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ñ÷èòàþò (ïî-âèäèìîìó, íå áåç îñíîâàíèÿ) ïîãðåøíîñòü îêðóãëåíèÿ â öèôðîâûõ èçìåðèòåëüíî-âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâàõ. Î÷åâèäíî, xZ 0 +∆

xZ 0 +∆

1 x· dx = x0 ; 2∆

M (X) =

1 ∆2 (x − x0 ) · dx = . 2∆ 3 2

D(X) =

x0 −∆

x0 −∆

5. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå  äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ ïàðàìåòðàìè m ∈ R è σ > 0 (ðèñ.2.1): ³ 2´

fX (x) = √ Óáåäèòåñü â òîì, ÷òî

1

2π · σ

+∞ R −∞

· exp −

(x − m) 2σ 2

.

fX = 1, èñïîëüçóÿ èçâåñòíûé èç êóðñà ìà-

òåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èíòåãðàë Ïóàññîíà 150

+∞ R −∞

exp(−y 2 ) dy =

√

π.

√1 2πσ

0

m

Ðèñ.2.1. Ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè m è σ

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

µ ¶ Z+∞ (x − m)2 M (X) = √ · x · exp − dx = m; 2σ 2 2π · σ 1

−∞

µ Z+∞ 2¶ (x − m) dx = σ 2 . D(X) = √ · (x − m)2 · exp − 2 2σ 2π · σ 1

−∞

6. Ðàñïðåäåëåíèå Êîøè  äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ ïàðàìåòðàìè x0 ∈ R è a > 0 (ðèñ.2.2):

fX (x) =

a 1 · 2 . π a + (x − x0 )2

1 aπ

x0 Ðèñ.2.2. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Êîøè ñ ïàðàìåòðàìè x0 è a Ëåãêî âèäåòü, ÷òî

Z+∞ ³ x − x ´¯x=+∞ 1 0 ¯ fX = · arctg = 1. ¯ x=−∞ π a

−∞

Ñðàâíèâàÿ ðèñ.2.1 è ðèñ.2.2, ìîæíî ïîäóìàòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå Êîøè î÷åíü ïîõîæå íà íîðìàëüíîå. Îäíàêî èíòåãðàë 151

Z+∞ a 1 x· · 2 dx π a + (x − x0 )2

−∞

ðàñõîäèòñÿ, è ñëåäîâàòåëüíî, ó ðàñïðåäåëåíèÿ Êîøè íåò íè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, íè äèñïåðñèè.  òî æå âðåìÿ ðàñïðåäåëåíèå Êîøè èìååò åäèíñòâåííóþ ìîäó (x0 ).

2.4. Ñëó÷àéíûé âåêòîð Ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ýêñïåðèìåíòà, â êîòîðîì èçìåðÿåòñÿ çíà÷åíèå ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû. Äëÿ îïèñàíèÿ ýêñïåðèìåíòà, â êîòîðîì îäíîâðåìåííî ôèêñèðóþòñÿ çíà÷åíèÿ íåñêîëüêèõ âåëè÷èí, ñëóæèò ïîíÿòèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà29 . Äèñêðåòíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð çàäàåòñÿ òàáëèöåé, â êîòîðîé ïåðå÷èñëåíû âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ âåêòîðà, è êàæäîìó çíà÷åíèþ ïðèïèñàíà âåðîÿòíîñòü. Àáñîëþòíî íåïðåðûâíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð X çàäàåòñÿ ïëîòíîñòüþ åãî ðàñïðåäåëåíèÿ  íåîòðèöàòåëüíîé êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé fX : Rn → R, òàêîé, ÷òî

Z

fX = 1.

(2.4.1)

Rn

Ïðè ýòîì êàæäîé îáëàñòè G ⊂ Rn ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé ñîîòâåòñòâóåò âåðîÿòíîñòü

Z

P(X ∈ G) =

fX . G

Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî çàäàíèå íåñêîëüêèõ ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåäîñòàòî÷íî äëÿ çàäàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. Ïðèìåðû. 1. Áðîñàåòñÿ ïðàâèëüíàÿ êîñòü. Ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ X1 ðàâíà åäèíèöå, åñëè ðåçóëüòàò ÷åòíûé, è íóëþ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî P(X1 = 0) = P(X1 = 1) = 1/2. Îïðåäåëèì åùå ñ.ï. X2 , ðàâíóþ åäèíèöå, åñëè íà êîñòè âûïàëî ÷èñëî, áîëüøåå òðåõ, è íóëþ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî P(X2 = 0) = P(X2 = 1) = 1/2. 29 â

äàëüíåéøåì ìû áóäåì èíîãäà èñïîëüçîâàòü ñîêðàùåíèå "ñ.â." 152

Åñëè ïðîâåñòè äâå ðàçëè÷íûå ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ, â îäíîé èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ ñ.ï. X1 , à â äðóãîé  X2 , òî ìîæíî îæèäàòü, ÷òî äëÿ êàæäîé èç íèõ îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû åäèíèö è íóëåé áóäóò áëèçêè ê 1/2. Íî îòëè÷èòü èõ äðóã îò äðóãà èëè óâèäåòü ñâÿçü ìåæäó íèìè ïî ðåçóëüòàòàì ýòèõ ýêñïåðèìåíòîâ íåâîçìîæíî. Åñëè æå â êàæäîì ýêñïåðèìåíòå îïðåäåëÿòü è X1 , è X2 , òî (ïðîâåðüòå ýòî!) ìû ïîëó÷èì äâóìåðíûé äèñêðåòíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð X , çàäàííûé òàáëèöåé:

x2 \x1 0 1

0 1 1/3 1/6 1/6 1/3

Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ýòîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé) ñîñòàâëÿþò ÷åòûðå ÷èñëîâûõ âåêòîðà:

·

0 0

¸ · ¸ · ¸ · ¸ 0 1 1 , , , . 1 0 1

Èõ âåðîÿòíîñòè çàïèñàíû â ñîîòâåòñòâóþùèõ êëåòêàõ òàáëèöû. Ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ, ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ íà ïðàêòèêå. Ïðèìåðû. 2. Äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûé â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè G ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé, çàäàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ:

½

fX : R2 → R;

fX (x) =

const, åñëè x ∈ G, 0, åñëè x ∈ / G.

Òàêèì îáðàçîì, åäèíè÷íàÿ "âåðîÿòíîñòíàÿ ìàññà" ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà ïî îáëàñòè G. Ïîýòîìó çíà÷åíèå êîíñòàíòû ðàâíî 1 .

S(G) Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ n-ìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûé â n-ìåðíîé îáëàñòè.

3. n-ìåðíûé íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûé ñëó÷àéíûé âåêòîð çàäàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ

³ 1D E´ 1 −1 p fX (x) = · exp − B (x − m), (x − m) . 2 (2π)n/2 det(B)

Çäåñü m = [m1 , . . . , mn ]T ∈ Rn , äåëåííàÿ (n × n)-ìàòðèöà.

(2.4.2)

B  ñèììåòðè÷íàÿ, ïîëîæèòåëüíî îïðå153

Ïðîâåðèì, ÷òî

R

fX = 1. Â êóðñå ëèíåéíîé àëãåáðû áûëî ïîêàçàíî,

Rn

÷òî ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå Õîëåöêîãî:

B = H ∗ H,

ãäå H  âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà. Ñäåëàåì â èíòåãðàëå "ïîäñòàíîâêó" x = m + H ∗ y . Ïîëó÷èì

Z Rn

E´ ³ 1D 1 −1 p · exp − B (x − m), (x − m) = 2 (2π)n/2 det(B) Z ³ 1D E´ |det(H ∗ )| −1 ∗ ∗ p = · exp − B H y, H y . n/2 2 (2π) det(B) n R

Çàìå÷àÿ, ÷òî |det(H ∗ )| = |det(H)| =

p

det(B), è

­ −1 ∗ ® ­ ® B H y, H ∗ y = H(H ∗ H)−1 H ∗ y, y = hy, yi,

èìååì

Z Rn

1 · fX = (2π)n/2

Z

³ y2 + · · · + y2 ´ n exp − 1 dy1 . . . dyn = 2

Rn

Z+∞ ³ 2 ´ n ³ ´ Y 1 yk √ = dyk = 1 exp − 2 2π k=1 −∞

(âñå îäíîìåðíûå èíòåãðàëû ðàâíû 1, êàê ñëåäóåò èç ïðèìåðà 5 ï.2.3). Åñëè çàäàí ñëó÷àéíûé âåêòîð X ñî çíà÷åíèÿìè â Rn , òî ìîæíî ïîñòðîèòü ñëó÷àéíûå ïåðåìåííûå X1 , . . . , Xn  êîîðäèíàòû X . Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé êàæäîé òàêîé ñ.ï. èçâåñòíî. Òðåáóåòñÿ ëèøü óêàçàòü ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íà íåì. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé äèñêðåòíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ïðèìåð 1). Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñ.ï. X1  ýòî Ω = {0, 1}. Ñîáûòèå X1 = 0 åñòü îáúåäèíåíèå äâóõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé: (X1 = 0, X2 = 0) è (X1 = 0, X2 = 1). Ïîýòîìó P(X1 = 0) = 1/3 + 1/6 = 1/2. Àíàëîãè÷íî, P(X1 = 1) = 1/6 + 1/3 = 1/2. Ìû íàøëè ðàñïðåäåëåíèå ñ.ï. X1  ïåðâîé êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X . Åñòåñòâåííî, îíî ñîâïàäàåò ñ ðàñïðåäåëåíèåì, êîòîðîå ìû ïîëó÷èëè, ðàññìàòðèâàÿ ñ.ï. X1 îòäåëüíî îò X2 . 154

Îáîáùàÿ ýòîò ðåçóëüòàò, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàòû äèñêðåòíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, åñëè èçâåñòåí âåñü ñ.â.:

P(Xk = xk ) =

X

···

x1

XX

X

···

xk−1 xk+1

P(X = x).

xn

Äëÿ êàæäîãî âîçìîæíîãî çíà÷åíèÿ êîîðäèíàòû ñóììèðóþòñÿ âåðîÿòíîñòè âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, íà êîòîðûõ ýòî çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ.  ñëó÷àå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ñóììèðîâàíèå çàìåíÿåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì:

Z+∞ fXk (xk ) =

Z+∞ dx1 . . .

−∞

Z+∞ dxk−1

−∞

Z+∞ dxk+1 . . . fX (x) dxn .

−∞

−∞

Ïðèìåðû. 4. Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð Y ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí íà ïðÿìîóãîëüíèêå |y1 | ≤ a, |y2 | ≤ b (a > 0, b > 0). Òîãäà

½

fY : R2 → R ;

fY (y) =

1 4ab ,

åñëè |y1 | ≤ a è |y2 | ≤ b, åñëè |y1 | > a èëè |y2 | > b;

0,

½ Z+∞ fY1 (y1 ) = fY (y1 , y2 ) dy2 = −∞ Z+∞

fY2 (y2 ) =

1 2a ,

½

åñëè |y1 | ≤ a, 0, åñëè |y1 | > a;

1 2b ,

åñëè |y2 | ≤ b, 0, åñëè |y2 | > b.

fY (y1 , y2 ) dy1 = −∞

Êîîðäèíàòû ýòîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ðàñïðåäåëåíû ðàâíîìåðíî íà ñåãìåíòàõ |y1 | ≤ a è |y2 | ≤ b ñîîòâåòñòâåííî. 5. Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð Z ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí íà êðóãå kzk ≤ r. Òîãäà

½

f Z : R2 → R ;

fZ (z) =

1 πr2 ,

åñëè kzk ≤ r, åñëè kzk > r;

0, ½ 2 p Z+∞ r2 − z12 , åñëè |z1 | ≤ r, fZ1 (z1 ) = fZ (z1 , z2 )dz2 = πr2 0, åñëè |z1 | > r; −∞ Z+∞

fZ2 (z2 ) =

fZ (z1 , z2 )dz1 =

½

2 πr2

−∞

155

p

r2 − z22 , åñëè |z2 | ≤ r, 0, åñëè |z2 | > r.

Êîîðäèíàòû ýòîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ðàñïðåäåëåíû îäèíàêîâî (íî íåðàâíîìåðíî!). Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî çíàíèå ðàñïðåäåëåíèé êîîðäèíàò íå äàåò, âîîáùå ãîâîðÿ, âîçìîæíîñòè ïîñòðîèòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò ñëó÷àé, äëÿ îïèñàíèÿ êîòîðîãî ìû ââåäåì âàæíîå íîâîå ïîíÿòèå. Êîîðäèíàòû äèñêðåòíîãî ñ.â. íàçûâàþòñÿ (ñòàòèñòè÷åñêè) íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè

P(X1 = x1 , . . . Xn = xn ) =

n Y

P(Xk = xk )

k=1

äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé x = (x1 , . . . , xn ) ýòîãî âåêòîðà. Âîçâðàùàÿñü ê ïðèìåðó 1, âèäèì, ÷òî êîîðäèíàòû âåêòîðà X ñòàòèñòè÷åñêè çàâèñèìû, òàê êàê, íàïðèìåð, P(X1 = 0, X2 = 1) = 1/6, íî P(X1 = 0) · P(X2 = 1) = 1/4. Êîîðäèíàòû àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ñ.â. íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè

fX (x) = fX1 (x1 ) · fX2 (x2 ) . . . fXn (xn ), ò.å. åñëè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ åãî êîîðäèíàò. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ïðèìåðå 4 ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, ò.å. êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû. À âîò â ïðèìåðå 5 êîîðäèíàòû îêàçûâàþòñÿ çàâèñèìûìè. Î÷åâèäíî, åñëè êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, òî ðàñïðåäåëåíèå ñ.â. ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè åãî êîîðäèíàò.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî èçó÷àòü ñ.ï. X1 , . . . , Xn ïî îòäåëüíîñòè.  ïðèëîæåíèÿõ ýêñïåðèìåíò ÷àñòî ñòàðàþòñÿ ïëàíèðîâàòü òàê, ÷òîáû "èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé" êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ýêñïåðèìåíòà) ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè. Òàêîå ïðåäïîëîæåíèå ñóùåñòâåííî óïðîùàåò çàäà÷ó è óäåøåâëÿåò åå ðåøåíèå. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî îòâåòñòâåííîñòü çà ïðàâèëüíîñòü ýòèõ "ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé" íåñåò ýêñïåðèìåíòàòîð. 156

2.5. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Îïðåäåëåíèå. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì n-ìåðíîãî ñ.â. X íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâîé âåêòîð m ∈ Rn , âû÷èñëÿåìûé ïî ïðàâèëó: â äèñêðåòíîì ñëó÷àå

m = M (X) =

X

x · P(X = x)

x

(ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì çíà÷åíèÿì ñëó÷àéíîãî âåêòîðà); â àáñîëþòíî íåïðåðûâíîì ñëó÷àå

Z

m = M (X) =

x · fX (x) Rn

(íàïîìíèì, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå âåêòîðà âûïîëíÿåòñÿ ïîêîîðäèíàòíî). Âû÷èñëèì ïåðâóþ êîîðäèíàòó âåêòîðà M (X) äëÿ äèñêðåòíîãî ñ.â.:

m1 =

X x1

x1 ·

X

P(X = x) =

x2 ,...,xn

X

x1 · P(X1 = x1 ) = M (X1 )

x1

(ñóììèðîâàíèå ïî x2 , . . . xn äàåò ðàñïðåäåëåíèå X1 ).  ñëó÷àå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ñ.â.

Z+∞ Z Z+∞ m1 = fX (x) dx2 . . . dxn = x1 dx1 x1 · fX1 (x1 ) dx1 = M (X1 ) −∞

−∞

Rn−1

(èíòåãðèðîâàíèå ïî x2 , . . . , xn äàåò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ X1 ). Àíàëîãè÷íî, mk = M (Xk ), k = 1, . . . , n. Èòàê, êîîðäèíàòû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ðàâíû ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèÿì ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò ýòîãî âåêòîðà. Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, ïðåäïîëàãàåòñÿ àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü âñåõ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ èëè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. Îïðåäåëåíèå. Êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé n-ìåðíîãî ñ.â. X íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâàÿ ìàòðèöà, âû÷èñëÿåìàÿ ïî ïðàâèëó:

B(X) = cov(X) =

X

(x − M (X)) · (x − M (X))T · P(X = x)

x

â äèñêðåòíîì ñëó÷àå (ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì çíà÷åíèÿì ñ.â.);

Z

(x − M (X)) · (x − M (X))T · fX (x)

B(X) = cov(X) = Rn

â àáñîëþòíî íåïðåðûâíîì ñëó÷àå (ìàòðèöà èíòåãðèðóåòñÿ ïîýëåìåíòíî). 157

Ïîñêîëüêó (x − M (X)) · (x − M (X))T  ìàòðèöà ïîðÿäêà n, òî è B(X)  ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Âû÷èñëèì åå ïåðâûé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò äëÿ äèñêðåòíîãî ñ.â.:

b11 =

X X (x1 − m1 )2 · P(X = x) = x1

x2 ,...,xn

=

X

(x1 − m1 )2 · P(X1 = x1 ) = D(X1 ).

x1

 ñëó÷àå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ñ.â.

b11

Z+∞ Z = (x1 − m1 )2 dx1 fX (x) dx2 . . . dxn = −∞

Rn−1

Z+∞ = (x1 − m1 )2 · fX1 (x1 ) dx1 = D(X1 ). −∞

Àíàëîãè÷íî, bkk = D(Xk ), k = 1, . . . , n. Òàêèì îáðàçîì, äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû ðàâíû äèñïåðñèÿì ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. Ðàññìîòðèì òåïåðü âíåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû B(X):

bkj = bjk =

X

(xk − mk )(xj − mj ) · P(X = x)

x

â äèñêðåòíîì ñëó÷àå;

Z

bkj = bjk =

(xk − mk )(xj − mj ) · fX (x) Rn

â àáñîëþòíî íåïðåðûâíîì ñëó÷àå. ×èñëî bkj íàçûâàåòñÿ êîâàðèàöèåé êîîðäèíàò Xk è Xj , èëè èõ âòîðûì ñìåøàííûì öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì (÷èòàòåëþ, çíàêîìîìó ñ ìåõàíèêîé, ðåêîìåíäóåì âñïîìíèòü öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè). Íàïîìèíàåì, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòðèöû êîâàðèàöèé òðåáóåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå âåêòîðà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü âñåõ îïðåäåëÿþùèõ åå ýëåìåíòû ðÿäîâ (èíòåãðàëîâ). Âàæíîå ñâîéñòâî ìàòðèöû êîâàðèàöèé äîêàçûâàåò Òåîðåìà. Ìàòðèöà B(X) íåîòðèöàòåëüíà îïðåäåëåíà, ò.å.

­

® B(X) α, α ≥ 0 äëÿ ëþáîãî α ∈ Rn . 158

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü α ∈ Rn . Äëÿ äèñêðåòíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X èìååì

­

X ® B(X) α, α = αT B(X) α = αT (x − m) · (x − m)T α · P(X = x) = =

X

x

|h(x − m), αi|2 · P(X = x);

(2.5.1)

x

àíàëîãè÷íî, äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà

Z

­ ® B(X) α, α =

|h(x − m), αi|2 · fX (x).

(2.5.10 )

Rn

Èíòåãðàë â (2.5.10 ), î÷åâèäíî, íåîòðèöàòåëåí. Áîëåå òîãî, åñëè α 6= θn , òî îí íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ, èáî â ñèëó (2.4.1) è êóñî÷íîé íåïðåðûâíîñòè fX íàéäåòñÿ îáëàñòü, â êîòîðîé îáà ñîìíîæèòåëÿ ïîëîæèòåëüíû. Àíàëîãè÷íî, åñëè α 6= θn , òî ñóììà â (2.5.1) ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà âñå òî÷êè x, äëÿ êîòîðûõ P(X = x) > 0, ðàñïîëîæåíû â ïëîñêîñòè h(x − m), αi = 0. À ýòî ðàâåíñòâî, êàê èçâåñòíî èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû, îçíà÷àåò, ÷òî îäíà èç êîîðäèíàò âåêòîðà x − m åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îñòàëüíûõ:

1 X αj · (xj − mj ). xk = m k − αk

(2.5.2)

j6=k

Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà êîâàðèàöèè ÿâëÿåòñÿ äàæå ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, çà èñêëþ÷åíèåì âûðîæäåííîãî ñëó÷àÿ, êîãäà îäíà èç êîîðäèíàò ñ.â.  ïîëèíîì ïåðâîé ñòåïåíè îò îñòàëüíûõ êîîðäèíàò. ¥ Ïðèìåðû. Íàéäåì ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ, ðàññìîòðåííûõ â ïðåäûäóùåì ïóíêòå. 1. Äèñêðåòíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð èç ïðèìåðà 1.

x2 \x1 0 1

0 1 1/3 1/6 1/6 1/3

m1 = M (X1 ) = 0 · (1/3 + 1/6) + 1 · (1/6 + 1/3) = 1/2. Àíàëîãè÷íûå ïîäñ÷åòû äàþò

·

M (X) =

1 2 1 2

¸

;

· cov(X) = 159

1 4 1 12

1 12 1 4

¸ .

2. Àáñîëþòíî íåïðåðûâíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð èç ïðèìåðà 4:

½

fY : R2 → R ;

1 4ab ,

fY (y) =

åñëè |y1 | ≤ a è |y2 | ≤ b, åñëè |y1 | > a èëè |y2 | > b.

0,

Z+∞ Za 1 m1 = M (Y1 ) = y1 · fY1 (y1 ) dy1 = · y1 dy1 = 0 2a −∞

−a

(èíòåãðàë îò íå÷åòíîé ôóíêöèè ïî ñèììåòðè÷íîìó îòíîñèòåëüíî íóëÿ ïðîìåæóòêó ðàâåí íóëþ). Àíàëîãè÷íî, m2 = 0, ò.å. M (Y ) = [0, 0]T .

b11

Za Z+∞ 1 · (y1 − 0)2 dy1 = a2 /3. = D(Y1 ) = (y1 − m1 )2 · fY1 (y1 ) dy1 = 2a −∞

−a

Àíàëîãè÷íî, b22 = D(Y2 ) = b2 /3. Äàëåå, âû÷èñëèì b12 = b21 :

Z

1 (y1 − m1 )(y2 − m2 ) · fY (y1 , y2 ) dy1 dy2 = · 4ab

R2

Za

Zb y1 dy1

−a

y2 dy2 = 0 −b

(èíòåãðàë îò íå÷åòíîé ôóíêöèè ïî ñèììåòðè÷íîìó îòíîñèòåëüíî íóëÿ ïðîìåæóòêó ðàâåí íóëþ). Èòàê,

"

#

a2 3

cov(Y ) =

0

.

b2 3

0

3. Äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà èç ïðèìåðà 5

½

2

fZ : R → R ;

fZ (z) =

àíàëîãè÷íûå âûêëàäêè äàþò

·

M (Z) =

0 0

1 πr2 ,

åñëè kzk ≤ r, åñëè kzk > r

0,

"

¸T ;

cov(Z) =

r2 4

0

# 0 r2 4

.

4. Äëÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ñ ïàðàìåòðàìè m è B (ïðèìåð 3), íå ïðèâîäÿ äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêèõ âûêëàäîê, óêàæåì, ÷òî M (X) = m, cov(X) = B . Èíîãäà âìåñòî êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû èñïîëüçóþò êîððåëÿöèîííóþ ìàòðèöó, ýëåìåíòû êîòîðîé îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé

rjk = p

bjk bjj · bkk

160

.

Î÷åâèäíî, ÷òî rii = 1. Ïîêàæåì, ÷òî |rik | ≤ 1. Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíèâ äîêàçàííóþ âûøå òåîðåìó ê âåêòîðó

α = λe(j) − e(k) (çäåñü λ ∈ R , à e(j) è e(k)  âåêòîðû ñòàíäàðòíîãî áàçèñà), ïîëó÷èì

b2jj λ2 − 2bjk λ + b2kk ≥ 0. Èçâåñòíî, ÷òî êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí âñþäó íåîòðèöàòåëåí, òîëüêî åñëè åãî äèñêðèìèíàíò íåïîëîæèòåëåí. Ïîýòîìó b2jk − (bjj bkk )2 ≤ 0, èëè 2 rjk ≤ 1, ò.å. |rjk | ≤ 1. Çàìå÷àíèå. Ðàâåíñòâî |rjk | = 1 îçíà÷àåò, ÷òî êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Xj − M (Xj ) è Xk − M (Xk ) ëèíåéíî çàâèñèìû30 (ñì. (2.5.2)). ×èñëî rjk íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè ìåæäó ñëó÷àéíûìè ïåðåìåííûìè Xj è Xk . Åñëè rjk = 0, òî ñ.ï. Xj è Xk íàçûâàþòñÿ íåêîððåëèðîâàííûìè. Ïîêàæåì, ÷òî íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå ïåðåìåííûå íåêîððåëèðîâàíû. Ïóñòü fX (x1 , x2 ) = fX1 (x1 ) · fX2 (x2 ). Òîãäà

Z b12 =

(x1 − m1 )(x2 − m2 )fX1 (x1 )fX2 (x2 ) dx1 dx2 = R2

³ Z+∞ ´ ³ Z+∞ ´ = (x1 − m1 )fX1 (x1 ) dx1 × (x2 − m2 )fX2 (x2 ) dx2 . −∞

−∞

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êàæäûé èç ïîëó÷åííûõ èíòåãðàëîâ ðàâåí íóëþ. Ïîýòîìó b12 = 0. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå.  ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðàõ (ñëó÷àéíûå âåêòîðû, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå íà ïðÿìîóãîëüíèêå è íà êðóãå) êîîðäèíàòû ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ îêàçàëèñü íåêîððåëèðîâàííûìè.  òî æå âðåìÿ â ïðåäûäóùåì ïóíêòå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî êîîðäèíàòû ïåðâîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà íåçàâèñèìû, à âòîðîãî  çàâèñèìû. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâî íóëþ êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ìåæäó äâóìÿ ñ.ï. íå íåñåò íèêàêîé èíôîðìàöèè î íàëè÷èè ñòàòèñòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ìåæäó íèìè. Ê ñîæàëåíèþ, ñëîâî "êîððåëÿöèÿ" èíîãäà óïîòðåáëÿåòñÿ â ñìûñëå "ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü". Èñòîðè÷åñêèå ïðè÷èíû ýòîé ïóòàíèöû áóäóò èçëîæåíû íèæå. 30 Íå

ïóòàéòå ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ñî ñòàòèñòè÷åñêîé! 161

Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êîîðäèíàòû íîðìàëüíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà  íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñ.ï.:

³ (x − m )2 ´ p k k (σ = fXk (xk ) = √ bkk ). · exp − k 2σk2 2π · σk Åñëè êîîðäèíàòû íîðìàëüíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ïîïàðíî íåêîððåëèðîâàíû, òî B = diag [σ12 , . . . , σn2 ] è 1

1 fX (x1 , . . . , xn ) = √ n × ( 2π) σ1 . . . σn ³ (x − m )2 (xn − mn )2 ´ 1 1 × exp − − ··· − = fX1 (x1 ) · fX2 (x2 ) . . . fXn (xn ). 2σ12 2σn2 Òàêèì îáðàçîì (â èñêëþ÷åíèå èç îáùåãî ïðàâèëà), íåêîððåëèðîâàííîñòü êîîðäèíàò íîðìàëüíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ðàâíîñèëüíà èõ íåçàâèñèìîñòè â ñîâîêóïíîñòè.

2.6. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ Ïóñòü çàäàí ñëó÷àéíûé âåêòîð X , ò.å. çàäàíî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ΩX ⊂ Rn , è íà íåì çàäàíû ëèáî âåðîÿòíîñòè (äëÿ äèñêðåòíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà), ëèáî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé (äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà). Çàäàäèì òåïåðü ôóíêöèþ φ : ΩX → Rm è îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé ΩY . Òîãäà íà ΩY åñòåñòâåííûì îáðàçîì çàäàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, ïîðîæäàåìîå ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé íà ΩX : âåðîÿòíîñòü êàæäîãî ñîáûòèÿ A ⊂ ΩY ðàâíà âåðîÿòíîñòè åãî ïîëíîãî ïðîîáðàçà, ò.å. ìíîæåñòâà âñåõ òî÷åê èç ΩX , êîòîðûå ïåðåâîäÿòñÿ â A ôóíêöèåé φ. Òàêèì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ íîâûé ñëó÷àéíûé âåêòîð, îáîçíà÷àåìûé Y = φ(X). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé îáðàçà äèñêðåòíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Y = φ(X) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

P(Y = y) =

X

P(X = x).

{x|φ(x)=y}

Ïðèìåð. Ïóñòü ΩX = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}, è âñå çíà÷åíèÿ ðàâíîâåðîÿòíû. Çàäàäèì ôóíêöèþ g : ΩX → R ôîðìóëîé g(x) = x2 . Âèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñ.ï. Y = X 2 ΩY = {0, 1, 4, 9}. Ïðè ýòîì ó çíà÷åíèÿ 0 îäèí ïðîîáðàç, à ó îñòàëüíûõ çíà÷åíèé  ïî äâà. Òåïåðü ëåãêî ñîñ÷èòàòü âåðîÿòíîñòè âñåõ çíà÷åíèé. Ñ.ï. Y çàäàíà òàáëèöåé: 162

y 0 1 4 9 P(y) 1/7 2/7 2/7 2/7 Âîïðîñ î ïðåîáðàçîâàíèè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ëåãêî ðåøàåòñÿ, åñëè φ  ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàþùàÿ ΩX ⊂ Rn íà ΩY ⊂ Rn , ïðè÷åì det(φ0 ) 6= 0.  ýòîé ñèòóàöèè X ∈ G ⇐⇒ Y ∈ φ(G). Ïîýòîìó P(X ∈ G) = P(Y ∈ φ(G)), è ïî òåîðåìå î ïðåîáðàçîâàíèè èíòåãðàëà

Z

Z

Z

G

(fY ◦ φ) · |det(φ0 )|.

fY =

fX = φ(G)

(2.6.1)

G

Ïîñêîëüêó ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî äëÿ ëþáîé îáëàñòè G ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé, ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè ñëåâà è ñïðàâà â (2.6.1) ñîâïàäàþò, îòêóäà

fY (φ(x)) =

fX (x) . |det(φ0 (x))|

Åñëè îòîáðàæåíèå φ íå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì, òî âîïðîñ î ðàñïðåäåëåíèè Y = φ(X) áîëåå ñëîæåí. Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà ñëó÷àå, êîãäà φ : ΩX → R  ôóíêöèîíàë. Âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì (2.1.2) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:

Z

FY (y) = P(φ(X) < y) =

fX .

(2.6.2)

{x|φ(x)
Åñëè óäàåòñÿ âû÷èñëèòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ïëîòíîñòü fY íàõîäèòñÿ èç íåå äèôôåðåíöèðîâàíèåì. Ïðèìåðû. 1. Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå u = Umax · sin(ϕ). Èçìåðåíèå ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäèòñÿ â ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè, ò.å. ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñ.ï. Φ (ôàçà) ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî íà ] − π, π]:

½

fΦ (ϕ) =

1 2π ,

åñëè −π < ϕ ≤ π, 0, åñëè ϕ ≤ −π èëè ϕ > π.

Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ îïðåäåëåíà ñ.ï. U , çíà÷åíèÿ êîòîðîé çàïîëíÿþò ñåãìåíò ΩU = [−Umax , Umax ]. Íàéäåì ïëîòíîñòü åå ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëîæèâ äëÿ óïðîùåíèÿ, ÷òî Umax = 1. Íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ FU (u) = P(U < u). Î÷åâèäíî, ÷òî FU (u) = 0 ïðè u ≤ 1 è FU (u) = 1 ïðè u > 1. 163

6

−π

ϕ1

ϕ2

π

-

u 6

u −π

ϕ1

ϕ2

π

-

Ðèñ.2.3 Íà ðèñ.2.3 âûäåëåí ó÷àñòîê îñè àáñöèññ, íà êîòîðîì U < u: ââåðõó äëÿ u ∈ ] − 1, 0[ , à âíèçó  äëÿ u ∈ [0, 1]. Âèäíî, ÷òî ïðè −1 < u < 0

FU (u) = P(U < u) =

ϕ2 − ϕ1 π + 2arcsin(u) = , 2π 2π

à ïðè 0 ≤ u ≤ 1

FU (u) = P(U < u) = Èòàê,

ϕ1 + 2π − ϕ2 π + 2arcsin(u) = . 2π 2π

   

0 ïðè u ≤ −1, π + 2arcsin(u) FU (u) = ïðè −1 ≤ u ≤ 1, 2π    1 ïðè u ≥ 1.

Äèôôåðåíöèðóÿ, íàéäåì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ

fU (u) =

FU0 (u)

 

p1 ïðè |u| < 1, π 1 − u2 =  0 ïðè |u| > 1

(ïðè u = ±1 ïëîòíîñòü íå îïðåäåëåíà). Ìû ïîëó÷èëè òàê íàçûâàåìûé çàêîí àðêñèíóñà. 164

2. Çàäàí äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð X ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ fX . Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå ñ.ï. Y = X1 + X2 . Ôîðìóëà (2.6.2) äàåò

Z

FY (y) = Êàê èçâåñòíî, ìíîæåñòâî

fX (x1 , x2 ) dx1 dx2 .

{x|x1 +x2
< y}  ïîëóïëîñêîñòü (ðèñ.2.4).

6x2 @

@

@

@

@y @

x-1

@

@

@ @ @

Ðèñ.2.4 Ïðåîáðàçóåì äâîéíîé èíòåãðàë â ïîâòîðíûé:

Z+∞ FY (y) =

y−x Z 1

dx1 −∞

Zy

Z+∞

fX (x1 , x2 ) dx2 = −∞

dx1 −∞

fX (x1 , z − x1 ) dz

−∞

(âî âíóòðåííåì èíòåãðàëå ìû ñäåëàëè ïîäñòàíîâêó x2 = z − x1 ). Òåïåðü ïðåîáðàçóåì ïîâòîðíûé èíòåãðàë îáðàòíî â äâîéíîé, à çàòåì  â ïîâòîðíûé â äðóãîì ïîðÿäêå ("ïîìåíÿåì ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ"):

Zy FY (y) =

Z+∞ dz fX (x1 , z − x1 ) dx1 .

−∞

−∞

Äèôôåðåíöèðóÿ ïî y , ïîëó÷èì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ:

Z+∞ fY (y) = fX (x1 , y − x1 ) dx1 .

(2.6.3)

−∞

Çàìå÷àíèå. Åñëè êîîðäèíàòû x1 è x2 íåçàâèñèìû, òî ôîðìóëà (2.6.3) ïåðåïèøåòñÿ òàê:

Z+∞ fY (y) = fX1 (x1 ) · fX2 (y − x1 ) dx1 = (fX1 ∗ fX2 )(y). −∞

165

(2.6.4)

Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñ.ï. ðàâíà ñâåðòêå ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëàãàåìûõ. Ïðèìåðû. 3. Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå ñóììû êîîðäèíàò äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (2.4.2)

·

m=

m1 m2

¸

·

;

B=

σ12 rσ1 σ2 rσ1 σ2 σ22

¸

(r  êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè), èìååì

fX (x1 , x2 ) =

1 √

× 2πσ1 σ2 1 − r2 µ ¡ x1 −m1 ¢2 − 2r · × exp − σ1

x1 −m1 σ1

2(1 −

x2 −m2 σ2 2 r )

·

+

¡ x2 −m2 ¢2 ¶ σ2

.

Åñëè ïîäñòàâèòü fX â (2.6.3) è âû÷èñëèòü èíòåãðàë, òî ïîëó÷èì

µ ¶ (y − m)2 · exp − , fY (y) = √ 2σ 2 2πσ 1

ãäå m = m1 + m2 ; σ 2 = σ12 + σ22 + 2r · σ1 · σ2 . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî è â n-ìåðíîì ñëó÷àå ñóììà êîîðäèíàò íîðìàëüíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. 4. Åñëè äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð X ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí íà êâàäðàòå [−1, 1] × [−1, 1], òî, êàê áûëî ïîêàçàíî â ï.2.4, åãî êîîðäèíàòû íåçàâèñèìû è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû íà ñåãìåíòå [−1, 1] :

½

fX1 (t) = fX2 (t) =

1 2

ïðè |t| ≤ 1, 0 ïðè |t| > 1.

Ïî ôîðìóëå (2.6.4)

Z+∞ fX1 +X2 (y) = fX1 (t) · fX2 (y − t) dt. −∞

Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ çäåñü îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî ïðè âûïîëíåíèè îäíîâðåìåííî äâóõ íåðàâåíñòâ: −1 ≤ t ≤ 1 è −1 ≤ y − t ≤ 1 (â ýòîì ñëó÷àå îíà ðàâíà 1/4). Ïîýòîìó fX1 +X2 (y) = 1/4 · ∆, ãäå ∆  äëèíà îáùåé ÷àñòè ïðîìåæóòêîâ [−1, 1] è [y − 1, y + 1]. 166

y−1

y+1 −1

+1 Ðèñ.2.5

Èç ðèñ.2.5 âèäíî, ÷òî ïðè y ∈ [−2, 0] ∆ = (y + 1) − (−1) = y + 2. Àíàëîãè÷íî, ïðè y ∈ ]0, 2] ∆ = 2 − y . Íàêîíåö, î÷åâèäíî, ÷òî ∆ = 0 ïðè |y| ≥ 2. Ãðàôèê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ X1 + X2 (òàê íàçûâàåìîå òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå) èçîáðàæåí íà ðèñ.2.6.

0.5

»XXX »» X

»» »»

»» »»»

XXX

−2

XXX

Ðèñ.2.6

X X

2

Âû÷èñëèì òåïåðü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó îáðàçà ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. Ïóñòü X  n-ìåðíûé äèñêðåòíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð, φ : Rn → Rm , Y = φ(X). Òîãäà èç îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî

M (Y ) =

X

φ(x) · P(X = x).

(2.6.5)

x

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî è äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X ñïðàâåäëèâà àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà Z (2.6.50 ) M (Y ) = φ(x) · fX (x) Rn

(êàê âñåãäà, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðÿä èëè èíòåãðàë àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ). Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëû (2.2.1), (2.2.10 ) ìîæíî òåïåðü ïåðåïèñàòü òàê:

³ ´ 2 D(X) = M (X − M (X)) .

(2.6.6)

Äèñïåðñèÿ ñ.ï.  ýòî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà óêëîíåíèÿ ñ.ï. îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëó (2.6.6) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê:

¡ ¢ D(X) = M X 2 − 2M (X) · X + (M (X))2 = M (X 2 )−(M (X))2 . (2.6.60 ) 167

Àíàëîãè÷íî ôîðìóëå (2.6.5), èç îïðåäåëåíèÿ êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû äëÿ äèñêðåòíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà âèäíî, ÷òî

X B(Y ) = (φ(x) − M (Y )) · (φ(x) − M (Y ))T · P(X = x),

(2.6.7)

x

è ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà

Z

(φ(x) − M (Y )) · (φ(x) − M (Y ))T · fX (x).

B(Y ) =

(2.6.70 )

Rn

Ïðèìåð.  ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ âû÷èñëÿòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ. Ïóñòü X  n-ìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð, Y = α1 X1 + . . . + αn Xn .  ýòîì ñëó÷àå φ(x) = hx, αi, ãäå α = [α1 , . . . , αn ]T . Ïîýòîìó, âûíîñÿ â ôîðìóëàõ (2.6.5), (2.6.50 ) ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü α çà çíàê ñóììû (èíòåãðàëà), ïîëó÷àåì

­ ® M (Y ) = M (X), α

(2.6.8)

(â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî M (X) ñóùåñòâóåò). ­ ® Àíàëîãè÷íî, ïîäñòàâèâ φ(x) = hx, αi è M (Y ) = M (X), α â ôîðìóëû (2.6.7), (2.6.70 ), ìîæíî âûíåñòè ïîñòîÿííûå ìíîæèòåëè çà çíàê ñóììû (èíòåãðàëà) è ïîëó÷èòü

­ ® D(Y ) = B(X) α, α

(åñëè ñóùåñòâóåò B(X)).  âàæíîì ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà Y = Ïîýòîìó

M (Y ) =

n X

M (Xk );

n P k=1

(2.6.9)

Xk , èìååì α = [1, . . . , 1]T .

D(Y ) =

n X n X

bjk .

j=1 k=1

k=1

Åñëè êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà èìåþò ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû êîîðäèíàò ðàâíî ñóììå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ñëàãàåìûõ. Åñëè êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà èìåþò äèñïåðñèè, òî äèñïåðñèÿ ñóììû êîîðäèíàò ðàâíà ñóììå âñåõ ýëåìåíòîâ êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû. 168

Îòìåòèì î÷åíü âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî: äèñïåðñèÿ ñóììû êîîðäèíàò, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ðàâíà ñóììå äèñïåðñèé ýòèõ êîîðäèíàò. Îíà ìîæåò áûòü è áîëüøå, è ìåíüøå. Åñëè ñ÷èòàòü äèñïåðñèþ ñ.ï. ìåðîé "íåóïîðÿäî÷åííîñòè" ýòîé ñ.ï., òî ïðè ñóììèðîâàíèè ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ ýòà "íåóïîðÿäî÷åííîñòü" ìîæåò êàê óâåëè÷èâàòüñÿ, òàê è óìåíüøàòüñÿ. Åñëè æå êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ïîïàðíî íåêîððåëèðîâàíû, òî äèñïåðñèÿ ñóììû êîîðäèíàò ðàâíà ñóììå äèñïåðñèé ñëàãàåìûõ. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (ïðèìåð 1 ï.2.3). Åñëè îáîçíà÷èòü Xj ÷èñëî óñïåõîâ â j -ì èñïûòàíèè, òî, î÷åâèäíî, M (Xj ) = 1 · p + 0 · (1 − p) = p. Äàëåå, Xj2 = Xj (ïîñêîëüêó çíà÷åíèå Xj âñåãäà ðàâíî íóëþ èëè åäèíèöå). Ïîýòîìó ôîðìóëà (2.6.60 ) äàåò

D(Xj ) = M (Xj2 ) − (M (Xj ))2 = p − p2 = p(1 − p). Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî ïî ñìûñëó çàäà÷è ñ.ï. Xj , j = 1, . . . , n, íåçàâèñèìû Pn â ñîâîêóïíîñòè, è X = j=1 Xj . Ïîýòîìó

M (X) =

n X

M (Xj ) = n · p;

D(X) =

j=1

n X

D(Xj ) = n · p · (1 − p),

j=1

÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðåçóëüòàòîì, îáúÿâëåííûì â ï.2.3.

2.7. Äàò÷èê ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë Çàäà÷à î ïðåîáðàçîâàíèè ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ (íàïðèìåð, çàäà÷à î ïðåîáðàçîâàíèè "ñëó÷àéíîé ïîìåõè" ïðè åå ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ïðèåìíî-óñèëèòåëüíîå óñòðîéñòâî).  ñèëó ñëîæíîñòè ñòðóêòóðû ôèçè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàòåëåé "àíàëèòè÷åñêèå" ìåòîäû (íåêîòîðûå èç íèõ ðàññìàòðèâàëèñü â ïðåäûäóùåì ïóíêòå) íåðåäêî îêàçûâàþòñÿ íåïðèìåíèìûìè. Õîðîøèå ðåçóëüòàòû äàåò â ýòîì ñëó÷àå ìàøèííîå ìîäåëèðîâàíèå: àëãîðèòì ïðåîáðàçîâàíèÿ, îñóùåñòâëÿåìîãî ôèçè÷åñêèì óñòðîéñòâîì, ðåàëèçóåòñÿ â âèäå ìàøèííîé ïðîãðàììû, íà âõîä êîòîðîé ïîäàåòñÿ äîñòàòî÷íî äëèííûé íàáîð ÷èñåë, èìèòèðóþùèõ çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé ("ïîìåõè"). Âîïðîñ î êà÷åñòâå èìèòàöèè áóäåò ðàññìîòðåí â ãëàâå 3. ×èñëà ýòè èìåíóþòñÿ ïñåâäîñëó÷àéíûìè.  áèáëèîòåêàõ ñòàíäàðòíûõ ïîäïðîãðàìì è â ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ èìåþòñÿ ïðîãðàììíûå äàò÷èêè (ãåíåðàòîðû) ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë.  èõ îñíîâå ëåæàò àëãîðèòìû, âûðàáàòûâàþùèå ïñåâäîñëó÷àéíûå ÷èñëà, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå íà [0, 1]. Óñòðîéñòâî òàêèõ 169

àëãîðèòìîâ âåñüìà ñëîæíî è íå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â íàøåì êóðñå. Âçÿâ äîñòàòî÷íî áîëüøóþ âûáîðêó, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû ïîïàäàíèÿ ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë â ÷àñòè èíòåðâàëà [0, 1] ïðèìåðíî ïðîïîðöèîíàëüíû äëèíàì ýòèõ ÷àñòåé. Èìåÿ ðàâíîìåðíûé äàò÷èê, ìîæíî êîíñòðóèðîâàòü äàò÷èêè ñ çàäàííûìè çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîêàæåì, êàê ýòî äåëàåòñÿ, íà ïðèìåðå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñ.ï. Ïóñòü X  ñ.ï., ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ íà [0, 1], è Ψ  çàäàííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (ψ  ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ). Ðàññìîòðèì îáúåäèíåíèå ïðîìåæóòêîâ, íà êîòîðûõ ψ > 0. Íà ýòîì ìíîæåñòâå (îáîçíà÷èì åãî Q) ôóíêöèÿ Ψ âîçðàñòàåò è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò îáðàòíóþ. Ïîñêîëüêó 0 ≤ Ψ ≤ 1, òî Ψ−1 îïðåäåëåíà ïî÷òè âñþäó íà [0, 1], ò.å. íà ìíîæåñòâå çíà÷åíèé ñ.ï. X . Äîêàæåì, ÷òî ñ.ï. Y = Ψ−1 (X) èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Ψ. Äåéñòâèòåëüíî, èç âîçðàñòàíèÿ Ψ ñëåäóåò âîçðàñòàíèå Ψ−1 , è

Ψ−1 (X) < y ⇐⇒ X < Ψ(y). Îòñþäà

FY (y) = P(Y < y) = P(Ψ−1 (X) < y) = P(X < Ψ(y)) = Ψ(y) Z

=

Ψ(y) Z

1 · dx = Ψ(y).

fX (x) dx = −∞

0

Ïðèìåð. Ïîñòðîèì äàò÷èê ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì α > 0:

½

FY (y) =

1 − exp(−α · y) ïðè y > 0, 0 ïðè y ≤ 0.

Çäåñü Q =]0, +∞[,

ln(1 − x) ïðè 0 < x < 1. α Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåîáðàçóÿ ÷èñëà xk , ïîëó÷åííûå îò ðàâíîìåðíîãî 1 · ln(1 − x ), ìû ïîñòðîèì íàáîð çíà÷åíèé äàò÷èêà, ïî ôîðìóëå yk = − α k ýêñïîíåíöèàëüíîé ñ.ï. FY−1 (x) = −

Îòìåòèì, ÷òî ó îïèñàííîãî ìåòîäà åñòü òðóäíîñòü: íåîáõîäèìî óìåòü âû÷èñëÿòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè, îáðàòíîé ê FY . 170

2.8. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ðàññìîòðèì n-ìåðíûé àáñîëþòíî íåïðåðûâíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð X = [X1 , . . . , Xn ]T ñ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè è íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè êîîðäèíàòàìè. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êîîðäèíàòû ñ.â. èìåþò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå m, äèñïåðñèþ σ 2 è àáñîëþòíûé òðåòèé öåíòðàëüíûé ìîìåíò, îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîì

¡ ¢ µ3 (Xk ) = M |Xk − M (Xk )|3 .

− m . Èç ôîðìóë, Ââåäåì íîâûå ñëó÷àéíûå ïåðåìåííûå Yk = Xk √ σ n

ïîëó÷åííûõ â ï.2.6, âèäíî, ÷òî

M (Yk ) = 0,

D(Yk ) =

1 , n

µ3 (Yk ) =

µ3 (Xk ) √ . σ3n n

(2.8.1)

Îáîçíà÷èì fY îáùóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.ï. Yk è ðàññìîòðèì åå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå:

Z+∞ feY (ω) = exp(−iωy) · fY (y) dy.

(2.8.2)

−∞

Ôîðìóëà Òåéëîðà òðåòüåãî ïîðÿäêà äàåò

(ωy)3 (ωy)2 +i · g(ωy), exp(−i ωy) = 1 − i ωy − 2 6 ãäå g(ωy) = cos(γ1 )−i ·sin(γ2 ), γ1 è γ2  íåêîòîðûå òî÷êè ìåæäó 0 è ωy . Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â (2.8.2): Z+∞ Z+∞ feY (ω) = fY (y) dy − i ω yfY (y) dy− −∞

−∞

ω2 − 2

Z+∞ −∞

ω3 2 y fY (y) dy + i 6

Z+∞ g(ωy)y 3 fY (y) dy. (2.8.3) −∞

Î÷åâèäíî, ÷òî ïåðâûé èíòåãðàë â ýòîé ñóììå ðàâåí åäèíèöå. Äàëåå, 1. â ñèëó (2.8.1) âòîðîé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ, à òðåòèé  n Îöåíèì ìîäóëü ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî â (2.8.3):

¯ ω 3 Z+∞ ¯ ¯ ω 3 Z+∞ ¯ ¯¯ µ (Y )ω 3 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 k ¯. g(ωy)y 3 fY (y) dy ¯ ≤ ¯ |y|3 fY (y) dy ¯ = ¯¯ ¯i ¯ 6 3 3 −∞

−∞

171

Ïîýòîìó (2.8.3) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:

ω 2 ω 3 h(ω) e fY (ω) = 1 − + √ , 2n n n ãäå |h(ω)| ≤

µ3 (Xk ) . 3σ 3

Ïóñòü òåïåðü Zn =

n P k=1

(2.8.4)

Yk . Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé ïå-

ðåìåííîé Zn  ñóììû (íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè) ñ.ï. Yk  åñòü, êàê ïîêàçàíî â ï.2.6, ñâåðòêà èõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ, à îáðàç Ôóðüå ñâåðòêè, êàê óêàçàíî â ï.2.4 ÷àñòè "Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà åñòü ïðîèçâåäåíèå îáðàçîâ Ôóðüå ýòèõ ïëîòíîñòåé, ò.å.

¡ ¢n feZn (ω) = feY (ω)

(2.8.5)

(îáðàçû Ôóðüå âñåõ ñ.ï. Yk îäèíàêîâû). Ïîäñòàâèì (2.8.4) â (2.8.5):

³ ω 2 ω 3 h(ω) ´n e fZn (ω) = 1 − + √ . 2n n n Âûÿñíèì òåïåðü, ÷òî ïðîèçîéäåò ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè n. Ëîãàðèôìèðóÿ feZn è âñïîìèíàÿ ñòåïåííîé ðÿä äëÿ ëîãàðèôìà, ïîëó÷èì

³ ´ ³ ω2 ´ ¡ ¢ ω2 ω2 e ln fZn = n · ln 1 − + . . . = n · − + . . . −−−−→ − n=+∞ 2n 2n 2 (ìíîãîòî÷èå îáîçíà÷àåò ñîâîêóïíîñòü ñëàãàåìûõ, ñîäåðæàùèõ ñòåïåíè 1/n âûøå ïåðâîé). Îòñþäà íàõîäèì ïðåäåë îáðàçîâ Ôóðüå ñ.ï. Zn :

³ ω2 ´ ¢ e lim fZn = exp − . n=+∞ 2 ¡

Òàêèì îáðàçîì, ïðåäåë feZn íå çàâèñèò îò ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò èñõîäíîãî âåêòîðà X . Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó n ¢ 1 X¡ Zn = √ Xk − m , σ n k=1

M (Zn ) = 0,

D(Zn ) = 1,

ñëó÷àéíóþ ïåðåìåííóþ Zn íàçûâàþò öåíòðèðîâàííîé è íîðìèðîâàííîé ñóììîé êîîðäèíàò ñ.â. X . 172

³ 2´ ω Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî exp − 2  ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïëîòíîñòè ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé. Èòàê, åñëè êîîðäèíàòû àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ñ.â.  îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû,  íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè,  èìåþò äèñïåðñèþ è àáñîëþòíûé òðåòèé öåíòðàëüíûé ìîìåíò, òî ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ðàçìåðíîñòè âåêòîðà îáðàç Ôóðüå ïëîòíîñòè öåíòðèðîâàííîé è íîðìèðîâàííîé ñóììû êîîðäèíàò (ïðè ëþáîì, íî îäèíàêîâîì èõ ðàñïðåäåëåíèè) ñòðåìèòñÿ ê îáðàçó Ôóðüå ïëîòíîñòè ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòîò ôàêò íå ñëó÷àåí. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà. Ïóñòü (Xn )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ.ï., èìåþùèõ äèñïåðñèè è àáñîëþòíûå òðåòüè öåíòðàëüíûå ìîìåíòû. Ïóñòü ïðè ëþáîì n êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà [X1 , . . . , Xn ]T íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè. Îáîçíà÷èì

Dn =

n X

D(Xk ),

Mn =

k=1

è ïðåäïîëîæèì, ÷òî

n X

µ3 (Xk )

k=1

¡ ¢3/2 lim Mn / Dn = 0.

(2.8.6)

n=+∞

Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè öåíòðèðîâàííûõ è íîðìèðîâàííûõ ñóìì

n ³ 1 X ¡ ¢´+∞ p Xk − M (Xk ) n=1 Dn k=1 ñõîäèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Ñëîâî "ñõîäèòñÿ" çäåñü îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñåãìåíòà [a, b]

Zb n ´ ³ 1 X ³ t2 ´ ¡ ¢ 1 p √ Xk − M (Xk ) ∈ [a, b] −−−−→ P exp − dt. n=+∞ 2 2π Dn k=1 a

Ýòà òåîðåìà áûëà äîêàçàíà À.Ì. Ëÿïóíîâûì. Çàìå÷àíèå.  ðàññìîòðåííîì íàìè ñëó÷àå, êîãäà âñå Xk èìåþò îäèíàêîâûå ðàñïðåäåëåíèÿ, èìååì Dn = nD(Xk ), Mn = nµ3 (Xk ), è óñëîâèå (2.8.6) âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè. 173

Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç, ÷òî â öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå ñëó÷àéíûå ïåðåìåííûå Xk ìîãóò áûòü ëþáûìè (íå îáÿçàòåëüíî àáñîëþòíî íåïðåðûâíûìè); áîëåå òîãî, èõ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè, ëèøü áû íàáîðû X1 , . . . , Xn ïðè âñåõ n áûëè íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè è âûïîëíÿëîñü óñëîâèå (2.8.6). Èç öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî åñëè áû âñåãäà ìîæíî áûëî èìåòü äåëî ñ ñóììîé áîëüøîãî ÷èñëà òàêèõ ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ, òî åäèíñòâåííûì íóæíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñòàëî áû íîðìàëüíîå. Èìåííî ïîýòîìó íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èãðàåò èñêëþ÷èòåëüíóþ ðîëü â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿõ. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Âîçìîæíî, ïîä âëèÿíèåì öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû âîçíèêëî ðàñïðîñòðàíåííîå ñóåâåðèå, ñóòü êîòîðîãî ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ âñå ñëó÷àéíûå ïåðåìåííûå îáÿçàíû èìåòü íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.  ÷àñòíîñòè, áûòóåò ìíåíèå, ÷òî ñëó÷àéíûå ïîãðåøíîñòè èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ âñåãäà èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ýòà òî÷êà çðåíèÿ îïðîâåðãàåòñÿ ýêñïåðèìåíòàìè Ï.Â. Íîâèöêîãî31 , îáðàáîòàâøåãî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïðîòîêîëîâ ïîâåðêè ïðèáîðîâ è íå îáíàðóæèâøåãî îæèäàâøåéñÿ íîðìàëüíîñòè ïîãðåøíîñòåé. Óïîìèíàâøàÿñÿ âûøå îøèáêà  îòîæäåñòâëåíèå íåçàâèñèìîñòè è íåêîððåëèðîâàííîñòè  òàêæå ïðîèñòåêàåò, ïî-âèäèìîìó, èç óáåæäåíèÿ, ÷òî âñå ñëó÷àéíûå ïåðåìåííûå  íîðìàëüíûå.

31 Ïåòð

Âàñèëüåâè÷ ÍÎÂÈÖÊÈÉ (1922-2000)  ïðîôåññîð Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà, îñíîâàòåëü è ðàçðàáîò÷èê èíôîðìàöèîííûõ êðèòåðèåâ êà÷åñòâà èçìåðèòåëüíûõ óñòðîéñòâ. 174

Ãëàâà 3. ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÅ ÏÀÐÀÌÅÒÐΠÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà èçó÷àåò ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé, íå ïðîòèâîðå÷àùèõ ðåçóëüòàòàì ýêñïåðèìåíòà. Ïðè ýòîì àïðèîðè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòè ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü îïèñàíû â âåðîÿòíîñòíûõ òåðìèíàõ32 . Ìû îãðàíè÷èìñÿ â ýòîì êóðñå ðàññìîòðåíèåì äâóõ çàäà÷: 1) îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé; 2) ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç.

3.1. Îäíà ñîäåðæàòåëüíàÿ çàäà÷à Ñ ïîìîùüþ èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà ïðîäåëàíû n èçìåðåíèé íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çà âðåìÿ èçìåðåíèé çíà÷åíèå ýòîé âåëè÷èíû íå èçìåíÿåòñÿ.  òî æå âðåìÿ ïîëó÷åííûå ÷èñëà x1 , . . . , xn áóäóò, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íû. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòî ðàçëè÷èå îáúÿñíÿåòñÿ íàëè÷èåì ó èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà àääèòèâíîé ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè, ò.å.

ξ = a + η, ãäå a  íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû; η  ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáîðà; ξ  íàáëþäàåìàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà. Çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíèâàíèè çíà÷åíèÿ a íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ äàííûõ x1 , . . . , xn .  ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàì ξ è η ñîîòâåòñòâóþò ñëó÷àéíûå ïåðåìåííûå, êîòîðûå ìû òàêæå îáîçíà÷èì ξ è η . Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî èìååòñÿ íå n îòñ÷åòîâ, ñíÿòûõ ñ îäíîãî ïðèáîðà, à n îäíîòèïíûõ ïðèáîðîâ, ñ êàæäîãî èç êîòîðûõ ñíèìàåòñÿ îäèí îòñ÷åò. Ïðè ýòîì ÷èñëîâîé âåêòîð x = [x1 , . . . , xn ]T îêàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X = [X1 , . . . , Xn ]T , êîîðäèíàòû êîòîðîãî íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè (ýòî åùå îäíî ïðåäïîëîæåíèå!) è èìåþò îäèíàêîâîå ðàñïðåäåëåíèå, ñîâïàäàþùåå ñ ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé ξ . Ïðåäïîëîæèì åùå, ÷òî ó ïðèáîðà îòñóòñòâóåò ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü, ò.å. M (η) = 0. Òîãäà a = M (ξ). Ïðåäïîëîæèì, íàêîíåö, êàê äåëàþò äîâîëüíî ÷àñòî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü èìååò íîðìàëüíîå 32 Åùå

ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî îòâåòñòâåííîñòü çà ïðèìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè (çà âåðîÿòíîñòíóþ òðàêòîâêó ñîäåðæàòåëüíîé çàäà÷è) íåñåò ïîñòàíîâùèê çàäà÷è! 175

ðàñïðåäåëåíèå ñ èçâåñòíûì (èç ïàñïîðòà èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà) ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì óêëîíåíèåì σ . Ñäåëàííûå ïðåäïîëîæåíèÿ ïîçâîëÿþò ñêàçàòü, ÷òî ξ ïðèíàäëåæèò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó ñ.ï. ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ

³ (t − a)2 ´ , fξ (t, a) = √ · exp − 2σ 2 2πσ ïàðàìåòð êîòîðîãî a ïîäëåæèò îöåíèâàíèþ. Îöåíêîé ïàðàìåòðà a ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.ï. ξ ìû áóäåì, êàê îáû÷íî, íàçûâàòü èíòåðâàë ]b a − ∆, b a + ∆[, ãäå ∆  ÷èñëî, çàäàâàåìîå ïîñòàíîâùèêîì çàäà÷è, b a  ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå ïî ïîëó÷åííûì ðåçóëüòàòàì èç33 ìåðåíèé (b a = ϕ(x)). 1

Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ðàíåå, â êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, êîãäà ðå÷ü øëà îá îöåíèâàíèè (êîðíÿ óðàâíåíèÿ, ñóììû ðÿäà, èíòåãðàëà è ò. ä.), èíòåðâàë-îöåíêà íàêðûâàë îöåíèâàåìîå ÷èñëî ãàðàíòèðîâàííî.  ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå èíòåðâàë ]b a −∆, b a +∆[ â åäèíè÷íîì ýêñïåðèìåíòå ìîæåò ñîäåðæàòü îöåíèâàåìûé ïàðàìåòð a, à ìîæåò íå ñîäåðæàòü. Îäíàêî åñëè ýêñïåðèìåíò â íåèçìåííûõ (åùå îäíî ïðåäïîëîæåíèå!) óñëîâèÿõ ïîâòîðÿòü ìíîãîêðàòíî, òî ìîæíî ãîâîðèòü îá îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòå íàêðûòèÿ èíòåðâàëîì ]b a − ∆, b a + ∆[ îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà, è, ñëåäîâàòåëüíî, î âåðîÿòíîñòè íàêðûòèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ñêàçàâ, ÷òî ìîäåëüþ ýêñïåðèìåíòà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ, ìû òåì ñàìûì ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ýêñïåðèìåíò áóäåò ìíîãîêðàòíî ïîâòîðÿòüñÿ. Áåç ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé áåññìûñëåííà. Ïðè îöåíèâàíèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â êà÷åñòâå öåíòðà èíòåðâàëà îáû÷íî áåðóò ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé n

1X b a=x= xk . n k=1

n P

1 Xk , ñîãëàñíî ðåÑîîòâåòñòâóþùàÿ ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ X = n k=1 çóëüòàòàì ï.2.6, èìååò ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Åãî ïàðàìåòðû âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (2.6.8), (2.6.9): n

1X M (X) = a = a; n k=1

n

1 X 2 σ2 D(X) = 2 σ = , n n k=1

ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå îöåíêó èìåíóþò èíòåðâàëüíîé îöåíêîé, à åå öåíòð b a  òî÷å÷íîé îöåíêîé ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ. 33 Â

176

√ ³ (t − a)2 n ´ n · exp − fX (t) = √ . 2σ 2 2πσ Èòàê, M (X) = a, ò.å. ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî ñîâïàäàåò ñ îöåíèâàåìûì ïàðàìåòðîì.  ñèëó íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà ñëó÷àéíûå çíà÷åíèÿ ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî, ïîëó÷åííûå â ðàçëè÷íûõ ñåðèÿõ èçìåðåíèé, áóäóò ãðóïïèðîâàòüñÿ îêîëî åãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ò.å. îêîëî îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà. Ðàçáðîñ ñëó÷àéíûõ çíà÷åíèé ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî îòíîñèòåëüíî M (X) = a õàðàêòå2 ðèçóåòñÿ äèñïåðñèåé D(X) = σn , êîòîðóþ ìîæíî ñäåëàòü êàê óãîäíî ìàëîé çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ äëèíû îáðàáàòûâàåìîé ñåðèè èçìåðåíèé. ò.å.

Ïðè çàäàííîì ÷èñëå ∆ ìîæíî âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü β íàêðûòèÿ îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà a èíòåðâàëîì ]b a − ∆, b a + ∆[:

√ Z∆ ³ nx2 ´ ³√ ∆ ´ n exp − 2 dx = erf β = P(|X − a| < ∆) = √ n √ , (3.1.1) 2σ 2πσ σ 2 −∆

ãäå erf (t) = √2

Rt

exp(−x2 ) dx  óæå óïîìèíàâøàÿñÿ â êóðñå ìàòåìàòè-

π0 ÷åñêîãî àíàëèçà "ôóíêöèÿ îøèáîê èìåþùàÿñÿ âî âñåõ ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ è áèáëèîòåêàõ Ôîðòðàíà. √  òàáëèöå 3.1 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé n ∆ σ äëÿ íåêîòîðûõ ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòè β . Òàáëèöà 3.1

β √ ∆ nσ

0.9

0.95 0.99 0.995 0.999

1.64 1.96 2.58

2.81

3.29

Ïðîàíàëèçèðóåì ôîðìóëó (3.1.1). Îíà ñâÿçûâàåò òðè ÷èñëà: n  êîëè÷åñòâî îáðàáàòûâàåìûõ èçìåðåíèé ("ñòîèìîñòü" ýêñïåðèìåíòà), ∆  ïîëóøèðèíà èíòåðâàëà-îöåíêè ("êà÷åñòâî" îöåíêè) è β  âåðîÿòíîñòü íàêðûòèÿ îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà34 ("íàäåæíîñòü" îöåíêè). Âèäíî, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîé ñòîèìîñòè ýêñïåðèìåíòà (n) ïîâûøåíèå êà÷åñòâà îöåíêè (óìåíüøåíèå ∆) ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ åå íàäåæíîñòè (β): èíòåãðàë îò ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè óáûâàåò ïðè óìåíüøåíèè äëèíû ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ. Óâåëè÷èòü íàäåæíîñòü îöåíêè ïðè ñîõðàíåíèè åå êà÷åñòâà ìîæíî ëèøü çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ çàòðàò è ò. ä. ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå β èìåíóåòñÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, à èíòåðâàë-îöåíêà ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ∆  äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì. 34 Â

177

3.2. Îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé Îáîáùèì çàäà÷ó, ðàññìîòðåííóþ â ïðåäûäóùåì ïóíêòå. Åäèíñòâåííûå îáúåêòèâíûå äàííûå, èìåþùèåñÿ â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè  ýòî ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííûå n ÷èñåë w1 , . . . , wn . ×èñëîâîé âåêòîð w = [w1 , . . . , wn ]T íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé, à ÷èñëî n  îáúåìîì âûáîðêè. Âîçìîæíîñòü ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè âûáîðêè îáåñïå÷èâàåòñÿ ñëåäóþùèìè ïðåäïîëîæåíèÿìè: 1) w ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X = [X1 . . . Xn ]T ; 2) êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè; 3) êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X ÿâëÿþòñÿ êîïèÿìè íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé ξ ; 4) íàáëþäàåìàÿ ñ.ï. ξ ïðèíàäëåæèò èçâåñòíîìó ñåìåéñòâó ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ ñ k ïàðàìåòðàìè ϑ1 , . . . , ϑk . Îòâåòñòâåííîñòü çà ñïðàâåäëèâîñòü ýòèõ ïðåäïîëîæåíèé íåñåò ïîñòàíîâùèê çàäà÷è (ýêñïåðèìåíòàòîð). Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâåëàñü ê îöåíèâàíèþ ïî èìåþùåéñÿ âûáîðêå w = [w1 . . . wn ]T ïàðàìåòðà (âåêòîðíîãî) ϑ = [ϑ1 . . . ϑk ]T . Îöåíêîé ïàðàìåòðà ϑ ìû áóäåì íàçûâàòü k -ìåðíûé ïàðàëëåëåïèïåä J ñ öåíòðîì b = [ϑb1 . . . ϑbk ]T è "ðåáðàìè" â òî÷êå ϑ

]ϑb1 − ∆1 , ϑb1 + ∆1 [ , . . . , ]ϑbk − ∆k , ϑbk + ∆k [. Öåíòð ïàðàëëåëåïèïåäà-îöåíêè íàõîäèòñÿ ïî èìåþùåéñÿ âûáîðêå w:

ϑb = ϕ(w), ãäå ϕ : Rn → Rk  çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, èìåíóåìàÿ ñòàòèñòèêîé. Òàê êàê ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðîöåäóðà îöåíèâàíèÿ áóäåò ïîâòîðÿòüñÿ ìíîãîêðàòíî, ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ ïåðåìåííóþ T = ϕ(X), êîòîðóþ òàêæå íàçûâàþò ñòàòèñòèêîé. Ïðåäïîëîæèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ ξ àáñîëþòíî íåïðåðûâíà. Ïîñêîëüêó åå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fξ (x; ϑ) èçâåñòíà ñ òî÷íîñòüþ äî îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà, ìîæíî ïîñòðîèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X :

fX (x; ϑ) = fξ (x1 ; ϑ) · fξ (x2 ; ϑ) . . . fξ (xn ; ϑ). Îòñþäà ñëåäóåò ïðèíöèïèàëüíàÿ âîçìîæíîñòü íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fT (t, ϑ) ñòàòèñòèêè T . 178

Ïîñêîëüêó áîëüøèå óêëîíåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà îò åãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìàëîâåðîÿòíû, ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèêè T = ϕ(X) áóäóò êîíöåíòðèðîâàòüñÿ îêîëî åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Îòñþäà âûòåêàåò åñòåñòâåííîå òðåáîâàíèå: ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñòàòèñòèêè äîëæíî ñîâïàäàòü ñ îöåíèâàåìûì ïàðàìåòðîì (M (T ) = ϑ) èëè õîòÿ áû ïðèáëèæàòüñÿ ê íåìó ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè ( lim M (T ) = ϑ). n=+∞

Ñòàòèñòèêà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ M (T ) = ϑ, íàçûâàåòñÿ íåñìåùåííîé; èñïîëüçîâàíèå òàêîé ñòàòèñòèêè ïðè îáðàáîòêå ýêñïåðèìåíòà íå äàåò äîïîëíèòåëüíîé ñèñòåìàòè÷åñêîé îøèáêè. Ñòàòèñòèêà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ lim M (T ) = ϑ, íàçûâàåòn=+∞

ñÿ àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííîé. Ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå àñèìïòîòè÷åñêîé íåñìåùåííîñòè ñîñòîèò â âîçìîæíîñòè ïîëó÷åíèÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé äîïîëíèòåëüíîé ñèñòåìàòè÷åñêîé îøèáêè çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ îáúåìà âûáîðêè. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ìû èçíà÷àëüíî ïðåäïîëàãàåì îòñóòñòâèå ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè íàáëþäåíèÿ. Åñëè òàêàÿ ïîãðåøíîñòü èìååòñÿ, òî åå íåâîçìîæíî óñòðàíèòü íèêàêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îáðàáîòêîé! Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñòàòèñòèêà ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé. Òîãäà äëÿ âñåõ êîìïîíåíò M (Tj ) = ϑj , è ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü ñëó÷àéíîå ñîáûòèå "îöåíèâàåìûé ïàðàìåòð ϑ íàêðûâàåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì J " òàê:

(ϑ ∈ J) =

k \

Aj ,

j=1

¡ ¢ ãäå Aj  ñëó÷àéíîå ñîáûòèå |Tj − M (Tj )| < ∆j . Îöåíèì âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ ϑ ∈ J â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âñå ñ.ï. Tj èìåþò äèñïåðñèè.  ñèëó íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà P (|Tj − M (Tj )| < ∆j ) ≥ 1 −

D(Tj ) , ∆2j

j = 1, . . . , k.

(3.2.1)

Åñëè k = 2, òî ïî òåîðåìå ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé

P(ϑ ∈ J) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ∪ A2 ) ≥ P(A1 ) + P(A2 ) − 1, îòêóäà ñ ó÷åòîì (3.2.1) ïîëó÷àåì

P(ϑ ∈ J) ≥ 1 −

D(T1 ) D(T2 ) − . ∆21 ∆22

179

Àíàëîãè÷íî ïðè ëþáîì k èìååì

β = P(ϑ ∈ J) ≥ 1 −

k X D(Tj ) j=1

∆2j

.

(3.2.2)

Ïðåäïîëîæèì âäîáàâîê, ÷òî äèñïåðñèè âñåõ êîìïîíåíò ñòàòèñòèêè T ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì ðîñòå îáúåìà âûáîðêè. Òîãäà íåðàâåíñòâî (3.2.2) ïîêàçûâàåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü íàêðûòèÿ îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà ïàðàëëåëåïèïåäîì-îöåíêîé ñ çàäàííûìè äëèíàìè ðåáåð ìîæåò áûòü ñäåëàíà ñêîëü óãîäíî áëèçêîé ê åäèíèöå çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ îáúåìà âûáîðêè35 . Òàêàÿ ñòàòèñòèêà íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé. Î÷åâèäíî, "õîðîøàÿ" ñòàòèñòèêà äîëæíà áûòü íåñìåùåííîé (õîòÿ áû àñèìïòîòè÷åñêè) è ñîñòîÿòåëüíîé.  ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì îäèí èç ïðèåìîâ ïîñòðîåíèÿ òàêèõ "õîðîøèõ" ñòàòèñòèê. Åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, êàê è â ï.3.1, ÷òî ðàçìåðû äîâåðèòåëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà J õàðàêòåðèçóþò êà÷åñòâî îöåíêè: ÷åì ýòè ðàçìåðû ìåíüøå, òåì îöåíêà òî÷íåå. Òî÷íî òàê æå äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü β (âåðîÿòíîñòü íàêðûòèÿ îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà ϑ äîâåðèòåëüíûì ïàðàëëåëåïèïåäîì) õàðàêòåðèçóåò íàäåæíîñòü îöåíêè: ÷åì áîëüøå β , òåì ðåæå äîâåðèòåëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä íå áóäåò íàêðûâàòü îöåíèâàåìûé ïàðàìåòð. Àíàëîãè÷íî ï.3.1, óìåíüøåíèå ðàçìåðîâ ïàðàëëåëåïèïåäà J ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè β . È, íàêîíåö, îáúåì âûáîðêè n (êîëè÷åñòâî ýêñïåðèìåíòîâ) õàðàêòåðèçóåò ñòîèìîñòü ïîëó÷åíèÿ îöåíêè. Ïîíÿòíî, ÷òî ëîçóíã "ëó÷øå, áîëüøå, äåøåâëå!" íå ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí. Åñëè ôèêñèðîâàòü çàòðàòû (n), òî óâåëè÷åíèå òî÷íîñòè îöåíêè íåèçáåæíî ïðèâåäåò ê óìåíüøåíèþ åå íàäåæíîñòè. Æåëàÿ óâåëè÷èòü íàäåæíîñòü, ìû áóäåì âûíóæäåíû ëèáî ïîæåðòâîâàòü òî÷íîñòüþ, ëèáî çàïëàòèòü áîëüøóþ öåíó è ò. ä.

3.3. Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ Âîîáùå ãîâîðÿ, ñòàòèñòèêè èçîáðåòàþòñÿ (è ïîýòîìó îáû÷íî íîñÿò èìåíà èõ àâòîðîâ). Ìåòîä, èçîáðåòåííûé Ð.À. Ôèøåðîì36 , ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ðåãóëÿðíûõ ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ "õîðîøèõ" ñòàòèñòèê. 35 Ìîæíî

ïîêàçàòü, ÷òî òî æå ñàìîå ñïðàâåäëèâî, åñëè çàìåíèòü íåñìåùåííîñòü ñòàòèñòèêè åå àñèìïòîòè÷åñêîé íåñìåùåííîñòüþ. 36 Ðîíàëüä Àéëìåð ÔÈØÅÐ (R.A. Fisher, 1890-1962)  àíãëèéñêèé áèîëîã, ìàòåìàòèê è ñòàòèñòèê. Ñ åãî èìåíåì ñâÿçàíû ìíîãèå ïîíÿòèÿ è óòâåðæäåíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. 180

Åñëè fX (x; ϑ)  ñåìåéñòâî ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñ âåêòîðíûì ïàðàìåòðîì ϑ, òî, ïîäñòàâèâ âìåñòî ïåðåìåííîãî âåêòîðà x ïîëó÷åííóþ â ýêñïåðèìåíòå âûáîðêó w, ïîëó÷èì íîâóþ ôóíêöèþ, çàäàííóþ íà ìíîæåñòâå äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà ϑ. Ýòà ôóíêöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ lik è íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïðàâäîïîäîáèÿ37 âûáîðêè:

lik(ϑ) = fX (x; ϑ)|x=w . Ïîñêîëüêó êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè è èìåþò îäèíàêîâûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, òî

lik(ϑ) =

n Y

fξ (wj ; ϑ).

j=1

Àíàëîãè÷íî, â äèñêðåòíîì ñëó÷àå èìååì

lik(ϑ) =

n Y

P(ξ = wj ; ϑ).

j=1

Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïðåäëàãàåò ïðèíÿòü â êà÷åñòâå öåíòðà äîâåðèòåëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà òî÷êó ãëîáàëüíîãî ìàêñèìóìà ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðèìåðû. 1. Ïðè îöåíèâàíèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íîðìàëüíîé íàáëþäàåìîé ñ.ï. ξ ñ èçâåñòíîé äèñïåðñèåé σ 2 ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèíàäëåæèò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó

³ (t − a)2 ´ · exp − . fξ (t; a) = √ 2σ 2 2π · σ Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ðàâíà n ´ ³ 1 ´n ³ 1 X 2 (wj − a) . lik(a) = fX (w; a) = √ · exp − 2 2σ j=1 2π · σ 1

 ñèëó âîçðàñòàíèÿ ëîãàðèôìà òî÷êà ìàêñèìóìà ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé ìàêñèìóìà åå ëîãàðèôìà n ¡√ ¢ 1 X l(a) = ln (lik(a)) = −n · ln 2π · σ − 2 (wj − a)2 . 2σ j=1 37 likelihood

(àíãë.)  ïðàâäîïîäîáèå. Ìû íàñòîÿòåëüíî ðåêîìåíäóåì ñ÷èòàòü íàçâàíèå "ôóíêöèÿïðàâäîïîäîáèÿ" îäíèì ñëîâîì, ÷òîáû èçáåæàòü ñîáëàçíà íàéòè ñâÿçü ñ èíòóèòèâíûì ïðåäñòàâëåíèåì î ïðàâäîïîäîáèè. 181

Ðåøèâ óðàâíåíèå

n

1 X l (a) ≡ 2 (wj − a) = 0, σ j=1 0

íàéäåì åäèíñòâåííóþ ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ n

1X w=b a= wj . n j=1 Ïîñêîëüêó l00 (a) ≡ − n2 < 0, òî b a = w  òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìó-

σ ìà, êîòîðûé, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ è ãëîáàëüíûì.

2. Åñëè ñåìåéñòâî íîðìàëüíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñîäåðæèò äâà îöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðà (a è D = σ 2 ), òî

³ (t − a)2 ´ · exp − ; fξ (t; a, D) = √ 2D 2πD n ³ 1 ´n ³ 1 X ´ 2 lik(a, D) = fX (w; a, D) = √ · exp − (wj − a) ; 2D j=1 2πD 1

n

n 1 X l(a, D) = ln (lik(a, D)) = − · ln (2πD) − (wj − a)2 . 2 2D j=1 Ðåøàÿ óðàâíåíèå ∇l = θ, ò.å. ñèñòåìó

    

n 1 P (w − a) = 0 D j=1 j

, n P  n 1 2    − 2D + 2D2 (wj − a) = 0 j=1 íàéäåì åäèíñòâåííóþ ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó: n

1X w=b a= wj ; n j=1

n

1X b s =D= (wj − w)2 . n j=1 2

Âû÷èñëèâ â ýòîé òî÷êå ìàòðèöó Ãåññå:

"

# −n 0 b b = D l00 (b a, D) , 0 − n b 2D óáåäèìñÿ â åå îòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà  òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà, êîòîðûé, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ è ãëîáàëüíûì. 182

3. Íàáëþäàåìàÿ ñ.ï. ξ ïðèíàäëåæèò ñåìåéñòâó ðàâíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè a è b (b > a):

(

fξ (t; a, b) =

1 ïðè t ∈ [a, b]; b−a 0 ïðè t ∈ / [a, b].

Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ âûáîðêè

 

1 ïðè a ≤ min(wj ) è max(wj ) ≤ b; (b − a)n j j lik(a, b) =  0 ïðè a > min(wj ) èëè max(wj ) > b. j

j

Î÷åâèäíî, äðîáü 1 áóäåò ìàêñèìàëüíà ïðè ìèíèìàëüíîì çíàb−a ÷åíèè åå çíàìåíàòåëÿ. Íî a íåëüçÿ ñäåëàòü áîëüøå, ÷åì min(wj ), à b  j

ìåíüøå, ÷åì max(wj ). Èòàê, j

b a = min(wj ), j

bb = max(wj ). j

4. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ ξ ïðèíàäëåæèò ñåìåéñòâó ðàñïðåäåëåíèé ñ îäíèì ïàðàìåòðîì p (0 < p < 1) :

½

P(ξ = t; p) =

p, 1 − p,

t = 1; t = 0.

Îáîçíà÷èâ êîëè÷åñòâî ýêñïåðèìåíòîâ n, à êîëè÷åñòâî åäèíèö ("óñïåõîâ") â ýòèõ ýêñïåðèìåíòàõ m, ïîëó÷èì

lik(p) = P(X = w; p) =

n Y

P(Xj = wj ; p) = pm · (1 − p)n−m

j=1

(ñðåäè n ñîìíîæèòåëåé m ðàâíû p, à îñòàëüíûå ðàâíû 1 − p). Ïîýòîìó

l(p) = ln (lik(p)) = m · ln(p) + (n − m) · ln(1 − p). n−m Ïðîèçâîäíàÿ l0 (p) = m p − 1 − p îáðàùàåòñÿ â íóëü òîëüêî â îäíîé òî÷êå, è ýòà åäèíñòâåííàÿ ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà pb = m n äàåò, î÷åâèäíî, ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì ôóêíöèè ïðàâäîïîäîáèÿ. Òàêèì îáðàçîì, îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà óñïåõà ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòèêîé ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòè â ñëó÷àå äâóõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà. Íàéäåì ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñòàòèñòèê ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, ïîëó÷åííûõ â ýòèõ ïðèìåðàõ. 183

n P 1 Ïðèìåð 1. Ñòàòèñòèêà X = n Xj . j=1

Êàê ïîêàçàíî â ï.3.1,

σ2 D(X) = . n

M (X) = a, Ïðèìåð 2. Ñòàòèñòèêè n

1X X= Xj , n j=1

´2 1 X³ Xj − X . S = n j=1 n

2

Àíàëîãè÷íî ïðèìåðó 1 ïîëó÷àåì

M (X) = a,

D(X) =

D . n

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

n−1 M (S ) = D; n 2

(n − 1)2 (n − 1)(n − 3) D(S ) = · µ (ξ) − · D2 4 3 3 n n 2

(çäåñü µ4 (ξ) = M ((ξ − a)4 )  ÷åòâåðòûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò ñ.ï. ξ ). Ïðèìåð 3. Ñòàòèñòèêè

Xmax = max(Xj );

Xmin = min(Xj ).

j

j

Ïîñòðîèì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ

FXmax (t) = P(Xmax < t). Íåðàâåíñòâî Xmax < t îçíà÷àåò, ÷òî âñå êîîðäèíàòû âåêòîðà X ìåíüøå, ÷åì t. Ïîñêîëüêó âñå Xj íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, èìååì

P(Xmax

 0 ¢ ïðè t < a; ¡ ¢n  ¡ t−a n ïðè a ≤ t ≤ b; < t) = P(Xj < t) = Fξ (t) =  b−a j=1 1 ïðè t > b. n Y

Íåñëîæíûå âû÷èñëåíèÿ äàþò

nb + a M (Xmax ) = ; n+1

n(b − a)2 D(Xmax ) = . (n + 1)(n + 2)

Àíàëîãè÷íî, äëÿ ñòàòèñòèêè Xmin ïîëó÷àåì

na + b M (Xmin ) = ; n+1

n(b − a)2 D(Xmin ) = . (n + 1)(n + 2) 184

Ïðèìåð 4. Ñòàòèñòèêà "îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà óñïåõà". Îáîçíà÷èì ñ.ï. "êîëè÷åñòâî óñïåõîâ" ν . Òîãäà, î÷åâèäíî, îòíîñèν. òåëüíàÿ ÷àñòîòà óñïåõà ðàâíà n Êàê èçâåñòíî èç ï.2.3, ñ.ï. ν èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ïðè÷åì M (ν) = n · p, D(ν) = n · p · (1 − p). Îòñþäà

M

³ν ´ n

= p,

D

³ν ´ n

=

p(1 − p) . n

Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ñòàòèñòèêè X â ïðèìåðàõ 1 è 2 ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñîâïàäàåò ñ îöåíèâàåìûì ïàðàìåòðîì, ò.å. X  íåñìåùåííàÿ ñòàòèñòèêà. Òî æå ìîæíî ñêàçàòü è îá îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòå â ïðèìåðå 4.  òî æå âðåìÿ â ïðèìåðàõ 2 è 3

M (S 2 ) =

n−1 D 6= D, n

nb + a na + b 6= b, M (Xmin ) = 6= a, n+1 n+1 ò.å. ýòè òðè ñòàòèñòèêè  ñìåùåííûå. Îäíàêî îíè ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííûìè, òàê êàê M (Xmax ) =

lim M (S 2 ) = D,

n=+∞

lim M (Xmax ) = b,

lim M (Xmin ) = a.

n=+∞

n=+∞

Îòìåòèì òàêæå, ÷òî äèñïåðñèè âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñòàòèñòèê ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞.  ñèëó íåðàâåíñòâà (3.2.2) âñå ýòè ñòàòèñòèêè ñîñòîÿòåëüíû. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî îáùèõ äîïóùåíèÿõ ñòàòèñòèêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿòåëüíûìè è àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííûìè.

185

Ãëàâà 4. ÏÐÎÂÅÐÊÀ ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÃÈÏÎÒÅÇ Â ïðåäûäóùåé ãëàâå ðàññìàòðèâàëàñü ñèòóàöèÿ, êîãäà çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé èçâåñòåí ñ òî÷íîñòüþ äî íåñêîëüêèõ ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ. Ñåé÷àñ ìû ðàññìîòðèì äðóãóþ çàäà÷ó: ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà, ïîðîæäåííàÿ ñ.ï., çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé íåèçâåñòåí. Ôîðìóëèðóåòñÿ íåêîòîðàÿ ãèïîòåçà îá ýòîì çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ, è ñòàâèòñÿ âîïðîñ: ñîãëàñóåòñÿ ëè ïîëó÷åííàÿ âûáîðêà ñ ýòîé ãèïîòåçîé? Òî÷íåå: äàåò ëè ýòà âûáîðêà îñíîâàíèå îòâåðãíóòü ãèïîòåçó? Íàèáîëåå ïðîñòàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò, åñëè ïîÿâëåíèå âûáîðêè íåâîçìîæíî ïðè ñïðàâåäëèâîñòè ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçû. Òàê, ãèïîòåçà î ðàâíîìåðíîì íà [0, 1] ðàñïðåäåëåíèè íàáëþäàåìîé ñ.ï. î÷åâèäíî îòâåðãàåòñÿ ïðè íàëè÷èè â âûáîðêå, íàïðèìåð, ÷èñëà 2 èëè ÷èñëà −1. Ïîäîáíûå òðèâèàëüíûå ñëó÷àè â äàëüíåéøåì íå ðàññìàòðèâàþòñÿ. Åñëè âûáîðêà íå ïðîòèâîðå÷èò ãèïîòåçå, òî ýòà ãèïîòåçà íå ìîæåò áûòü îòâåðãíóòà áåçîãîâîðî÷íî. Ðå÷ü ìîæåò èäòè ëèøü î ïðèçíàíèè ïîëó÷åííîé âûáîðêè ìàëîâåðîÿòíîé ïðè ñïðàâåäëèâîñòè äàííîé ãèïîòåçû. Åñëè óñòàíîâëåíî, ÷òî ïîëó÷åííàÿ âûáîðêà ïëîõî ñîãëàñóåòñÿ ñ ãèïîòåçîé, òî ãèïîòåçó ñëåäóåò îòêëîíèòü.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ãèïîòåçà ñîõðàíÿåòñÿ (äëÿ äàëüíåéøåé ïðîâåðêè). Ïðè ýòîì ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ ìû ìîæåì îøèáèòüñÿ: îòêëîíèòü âåðíóþ ãèïîòåçó (òàê íàçûâàåìàÿ îøèáêà ïåðâîãî ðîäà) èëè ñîõðàíèòü íåâåðíóþ ãèïîòåçó (îøèáêà âòîðîãî ðîäà).  ïðåäïîëîæåíèè ñïðàâåäëèâîñòè ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçû ìîæíî îöåíèòü âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ íàáëþäåííîé âûáîðêè, à, ñëåäîâàòåëüíî, è âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà.  òî æå âðåìÿ îöåíèòü âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà íåâîçìîæíî, òàê êàê äëÿ åå îöåíêè ïîòðåáîâàëîñü áû èññëåäîâàòü âñå àëüòåðíàòèâíûå ãèïîòåçû. Ïîýòîìó îáû÷íî óïîòðåáëÿþò âûðàæåíèå "ãèïîòåçà ñîõðàíÿåòñÿ à íå "ãèïîòåçà ïðèíèìàåòñÿ". Âåðîÿòíîñòü ñîõðàíåíèÿ âåðíîé ãèïîòåçû (äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü) ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü β . Ïîñòàíîâùèê çàäà÷è îáû÷íî íàçíà÷àåò äîïóñòèìóþ (ñ åãî òî÷êè çðåíèÿ) âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà (1 − β). Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Äîâåðÿòü äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè â çàäà÷å ïðîâåðêè ãèïîòåçû, êàê è â çàäà÷å îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ, ìîæíî òîëüêî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì êîëè÷åñòâå ïðîâåðîê. Ïðè îäíîêðàòíîé ïðîâåðêå ìû ëèáî ïðèìåì ïðàâèëüíîå ðåøåíèå, ëèáî îøèáåìñÿ. È íè î êàêèõ âåðîÿòíîñòÿõ â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðèòü íåëüçÿ! 186

4.1. Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î ñîãëàñèè ñ çàäàííûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ Ïðîñòåéøàÿ âîçìîæíàÿ ãèïîòåçà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî èìåþùàÿñÿ âûáîðêà ïîðîæäåíà ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé (ñëó÷àéíûì âåêòîðîì) ñ çàäàííûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ. Àëãîðèòìû ïðîâåðêè ýòîé ãèïîòåçû îáû÷íî íàçûâàþòñÿ êðèòåðèÿìè ñîãëàñèÿ. Ìû îïèøåì äâà òàêèõ êðèòåðèÿ  êðèòåðèé õè-êâàäðàò, èçîáðåòåííûé Ê. Ïèðñîíîì38 , è êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà39 .

Êðèòåðèé õè-êâàäðàò Ýòîò àëãîðèòì ïðîâåðêè ãèïîòåçû ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: 1) ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ò.å. ãèïîòåòè÷åñêîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé (ñëó÷àéíîãî âåêòîðà), ðàçáèâàþò íà m íåïåðåñåêàþùèõñÿ ÷àñòåé (ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé) J1 , . . . , Jm ; 2) â ïðåäïîëîæåíèè ñïðàâåäëèâîñòè ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçû íàõîäÿò âåðîÿòíîñòè ýòèõ ñîáûòèé p1 , . . . , pm (p1 + · · · + pm = 1) è "îæèäàåìûå ÷àñòîòû" ν1 = p1 n, . . . , νm = pm n (çäåñü n  îáúåì âûáîðêè), ò.å. êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ âûáîðêè, êîòîðûå äîëæíû ïîïàñòü â ýòè ÷àñòè; 3) íàõîäÿò "íàáëþäåííûå ÷àñòîòû" n1 , . . . , nm (n1 + · · · + nm = n), ò.å. êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ôàêòè÷åñêè ïîïàâøèõ â ýòè ÷àñòè. 4) Åñëè ãèïîòåçà âåðíà, íàáëþäåííûå ÷àñòîòû äîëæíû ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò îæèäàåìûõ. Ðàññòîÿíèå ìåæäó âåêòîðàìè íàáëþäåííûõ è îæèäàåìûõ ÷àñòîò îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

χb2 =

m X (nk − νk )2

νk

k=1

.

×èñëî χb2 ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê çíà÷åíèå ñ.ï. (ñòàòèñòèêè) χ2 . Ê. Ïèðñîí äîêàçàë, ÷òî äëÿ áîëüøèõ îáúåìîâ âûáîðîê ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîé ñ.ï. (íåçàâèñèìî îò ðàñïðåäåëåíèÿ ïîðîäèâøåãî âûáîðêó ñëó÷àéíîãî âåêòîðà) õîðîøî àïïðîêñèìèðóåòñÿ ôóíêöèåé 38 Êàðë

ÏÈÐÑÎÍ (C. Pearson, 1857-1936)  àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê è áèîëîã, ïðîôåññîð Ëîíäîíñêîãî óíèâåðñèòåòà, îñíîâàòåëü æóðíàëà "Áèîìåòðèêà". 39 Àíäðåé Íèêîëàåâè÷ ÊÎËÌÎÃÎÐΠ(1903-1987)  îäèí èç êðóïíåéøèõ ìàòåìàòèêîâ XX âåêà. Äåéñòâèòåëüíûé ÷ëåí ÀÍ ÑÑÑÐ, ÷ëåí ïðàêòè÷åñêè âñåõ íàèáîëåå àâòîðèòåòíûõ íàó÷íûõ ñîîáùåñòâ ìèðà. Ñîçäàòåëü îäíîé èç êðóïíåéøèõ â ñòðàíå íàó÷íûõ øêîë. Àâòîð îñíîâîïîëàãàþùèõ ðàáîò ïî òåîðèè ôóíêöèé, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, òåîðèè èíôîðìàöèè, òåîðèè àëãîðèòìîâ... 187

fχ2 (t, κ) =

tκ/2−1

· exp (−t/2) · δ1 (t), (4.1.1) 2κ/2 Γ(κ/2) ãäå δ1  ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà, κ = m − 1. Ôóíêöèÿ fχ2 (t, κ) èìåíóåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ õèêâàäðàò ñ κ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Åå ãðàôèê ïðè κ = 4 èçîáðàæåí íà ðèñ.4.1.

r

Π Ðèñ.4.1 5) Íàçíà÷èâ äîïóñòèìóþ âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà (1 − β), ìîæíî îïðåäåëèòü ïîðîãîâîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè χ2 (òî÷êà Π íà ðèñ.4.1) êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

ZΠ P(χ2 < Π) =

fχ2 (t, κ) dt = β, −∞

ò.å. êàê çíà÷åíèå â òî÷êå β ôóíêöèè, îáðàòíîé ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.ï. χ2 . Çàìå÷àíèå. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò è îáðàòíàÿ åé ôóíêöèÿ òàáóëèðîâàíû. Èõ çíà÷åíèÿ "óìåþò" âû÷èñëÿòü ñðåäû êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ è áèáëèîòåêè Ôîðòðàíà. 6) Ïðîâåðÿåìàÿ ãèïîòåçà îòêëîíÿåòñÿ, åñëè âû÷èñëåííîå ïî âûáîðêå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè áîëüøå ïîðîãîâîãî (χb2 > Π), è ñîõðàíÿåòñÿ  â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïðè ìíîãîêðàòíîì ïîâòîðåíèè ïðîöåäóðû ïðîâåðêè ãèïîòåçû ïî êðèòåðèþ õè-êâàäðàò ìîæíî îæèäàòü, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà îøèáêè ïåðâîãî ðîäà áóäåò áëèçêà ê çàäàííîé âåðîÿòíîñòè (1 − β ). Êàê âèäíî èç ðèñ.4.1, ñòàòèñòèêà õè-êâàäðàò ìîæåò ïðèíèìàòü íà âûáîðêàõ êàê óãîäíî áîëüøèå çíà÷åíèÿ, íî ÷åì áîëüøå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè, òåì ðåæå îíî áóäåò âñòðå÷àòüñÿ. Ïëîùàäü çàøòðèõîâàííîé ÷àñòè ôèãóðû íà ðèñ.4.1 ðàâíà äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè β . Ïëîùàäü íåçàøòðèõîâàííîé ÷àñòè (1 − β )  ýòî âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà. 188

Çàìå÷àíèÿ. 1. Êàêîâî áû íè áûëî ãèïîòåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ.ï. X , ïðèìåíåíèå êðèòåðèÿ õè-êâàäðàò íà÷èíàåòñÿ ñ çàìåíû ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ âåðîÿòíîñòÿìè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé pk = P(X ∈ Jk ), k = 1, . . . , m. Åñëè m ìàëî, òî áóäóò ïîòåðÿíû õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè ãèïîòåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, è ñäåëàííûå âûâîäû áóäóò íåíàäåæíûìè. Åñëè æå m ñëèøêîì âåëèêî, òî íàáëþäåííûå ÷àñòîòû ìîãóò îêàçàòüñÿ î÷åíü ìàëûìè, ÷òî òîæå ñíèæàåò äîñòîâåðíîñòü âûâîäîâ. Îáñóæäåíèå îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ m âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà. Îäíàêî î÷åâèäíî, ÷òî îáúåì âûáîðêè äîëæåí áûòü äîñòàòî÷íî âåëèê, ÷òîáû îáåñïå÷èòü è äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî m, è äîñòàòî÷íî n. áîëüøóþ ñðåäíþþ íàáëþäåííóþ ÷àñòîòó m 2. Åñëè m  êîëè÷åñòâî ÷àñòåé, íà êîòîðûå ðàçáèâàåòñÿ ãèïîòåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé,  çàäàíî, òî âîçíèêàåò âîïðîñ: à êàê âûáèðàòü ýòè ÷àñòè? Ïî-âèäèìîìó, íå áóäåò õóæå, åñëè áðàòü èõ ðàâíîâåðîÿòíûìè:

1 ; k = 1, . . . , m. m 3.  ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà ãèïîòåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå íå çàäàíî ïîëíîñòüþ, à ñîäåðæèò íåñêîëüêî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ñíà÷àëà îöåíèòü ýòè ïàðàìåòðû ïî âûáîðêå ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, îïèñàííûì â ï.3.3, à çàòåì ïðèìåíèòü êðèòåðèé õè-êâàäðàò, çàìåíèâ íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû íà èõ îöåíêè. Ð. Ôèøåð ïîêàçàë, ÷òî àëãîðèòì ïðèìåíåíèÿ êðèòåðèÿ õè-êâàäðàò â ýòîì ñëó÷àå ñîõðàíÿåòñÿ, íî ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû óìåíüøàåòñÿ íà ÷èñëî îöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ, ò.å. â ôîðìóëå (4.1.1) ñëåäóåò ïîëîæèòü κ = m − 1 − r, ãäå r  êîëè÷åñòâî îöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ. pk = P(X ∈ Jk ) ≡

Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà Ïóñòü Fξ  ãèïîòåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäàåìîé àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñ.ï., à x = [x1 , . . . , xn ]  âàðèàöèîííûé ðÿä, ò.å. óïîðÿäî÷åííàÿ ïî âîçðàñòàíèþ âûáîðêà. Òîãäà ãèïîòåòè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ (ξ < t) ðàâíà Fξ (t), à íàáëþäåííàÿ îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ýòîãî ñîáûòèÿ ðàâíà êîëè÷åñòâó ýëåìåíòîâ âàðèàöèîííîãî ðÿäà, ëåæàùèõ ëåâåå òî÷êè t. Ïóñòü ∆  íàèáîëüøåå îòêëîíåíèå ãèïîòåòè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè îò íàáëþäåííîé îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî

© ª k−1 k ∆ = max Fξ (xk ) − , − Fξ (xk ) . 1≤k≤n n n 189

À.Í. Êîëìîãîðîâ ïîêàçàë, ÷òî ïðè áîëüøîì îáúåìå âûáîðêè n ôóíê√ öèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè Λ = n · ∆ õîðîøî àïïðîêñèìèðóåòñÿ ôóíêöèåé

h K(λ) = 1 − 2

+∞ X

m−1

(−1)

i exp (−2m λ ) · δ1 (λ). 2 2

m=1

Ýòà ôóíêöèÿ íå çàâèñèò îò ãèïîòåòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ . Åå íàçûâàþò ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Êîëìîãîðîâà. Ôóíêöèÿ K(λ) è îáðàòíàÿ åé ôóíêöèÿ òàáóëèðîâàíû, èõ "óìåþò" âû÷èñëÿòü ñðåäû êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ è áèáëèîòåêè Ôîðòðàíà. Ñôîðìóëèðóåì àëãîðèòì êðèòåðèÿ Êîëìîãîðîâà. 1) Âûáîðêà óïîðÿäî÷èâàåòñÿ ïî âîçðàñòàíèþ. b  çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè Λ íà âûáîðêå. 2) Âû÷èñëÿåòñÿ λ 3) Íàçíà÷àåòñÿ äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü β (èëè, ÷òî ðàâíîñèëüíî, äîïóñòèìàÿ âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà (1 − β)). 4) Âû÷èñëÿåòñÿ ïîðîãîâîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè Êîëìîãîðîâà Π, ò.å. ðåøåíèå óðàâíåíèÿ K(Π) = β . 5) Ïðîâåðÿåìàÿ ãèïîòåçà îòêëîíÿåòñÿ, åñëè âû÷èñëåííîå ïî âûáîðb > Π), è ñîõðàíÿåòñÿ  â êå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè áîëüøå ïîðîãîâîãî (λ ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

4.2. Ïðèìåð: ïðîâåðêà äàò÷èêà ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë Ïî óòâåðæäåíèþ ðàçðàáîò÷èêà ïðîãðàììíîãî äàò÷èêà ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë (ï.2.7), ýòîò äàò÷èê ãåíåðèðóåò ñëó÷àéíóþ ïåðåìåííóþ ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì (M (X) = 0, σ(X) = 1). Èìååòñÿ âûáîðêà èç n = 100 ÷èñåë, ïîëó÷åííûõ îò ýòîãî äàò÷èêà: −0.64 −0.83 −0.15 −0.43 0.29 −0.84 1.68 −0.14 −0.35 −0.89

1.78 −0.15 −1.99 −0.34 0.41 1.84 −1.80 −0.04 0.29 2.10

0.24 −0.43 0.97 1.04 1.08 −1.71 0.45 1.22 −2.15 0.76

1.07 0.79 1.32 0.67 1.82 0.56 0.82 0.01 −1.21 −0.25

−1.74 −1.60 0.85 −0.72 0.81 0.90 −1.09 0.20 −1.20 −0.93

0.18 −0.69 −0.49 −0.76 0.59 −1.69 1.73 −0.58 −0.98 0.06

190

0.09 0.17 1.00 1.23 0.28 0.93 −0.08 −1.72 −1.25 −0.38

1.57 0.86 0.44 −0.10 −0.21 −0.32 −0.25 2.25 −1.25 −0.34

0.08 1.60 0.81 −0.85 −0.35 0.07 0.06 1.93 0.93 −2.39

−1.76 −0.80 −0.35 −0.84 0.15 −1.39 0.15 −1.82 −1.48 0.27

Ïðîâåðèì, ñîãëàñóåòñÿ ëè ïîëó÷åííàÿ âûáîðêà ñ äåêëàðèðîâàííûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ, ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ õè-êâàäðàò è êðèòåðèÿ Êîëìîãîðîâà. 1. Êðèòåðèé õè-êâàäðàò. Ñîãëàñíî àëãîðèòìó, èçëîæåííîìó â ï.4.1, ðàçäåëèì ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñ.ï. (R) íà m = 10 ðàâíîâåðîÿòíûõ (äëÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ) ïðîìåæóòêîâ. Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ

1 √ · 2π

Zxk

−∞

³ t2 ´ ³ x ´´ k 1 ³ k = ; exp − dt = · 1 + erf √ 2 2 10 2

k = 1, . . . , 9,

íàéäåì ãðàíèöû ýòèõ ïðîìåæóòêîâ:

k xk

1 2 3 4 5 6 7 8 9 −1.28 −0.84 −0.52 −0.25 0.00 0.25 0.52 0.84 1.28

Î÷åâèäíî, îæèäàåìîå êîëè÷åñòâî ÷èñåë â êàæäîì èç ðàâíîâåðîÿòíûõ ïðîìåæóòêîâ ]−∞, x1 [, [x1 , x2 [, . . . , [x9 , +∞[, ðàâíî 10. Êîëè÷åñòâà ôàêòè÷åñêè íàáëþäåííûõ ÷èñåë â ïðîìåæóòêàõ ïðèâåäåíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå:

k nk

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 10 9 11 8 12 7 8 12 11

Âû÷èñëèì çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè õè-êâàäðàò íà âûáîðêå:

χb2 = 0.1

10 X

(nk − 10)2 = 3.2

k=1

×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû κ = 9.  òàáëèöå 4.1 ïðèâåäåíû ïîðîãîâûå çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèêè õè-êâàäðàò ñ 9 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû äëÿ íåêîòîðûõ ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ çíà÷åíèé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè β : Òàáëèöà 4.1

β 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999 Π 14.7 16.9 21.7 23.6 27.9 Âûáðàâ β = 0.95, ò.å. äîïóñêàÿ îøèáî÷íîå îòêëîíåíèå ãèïîòåçû â ïÿòè ñëó÷àÿõ èç ñòà, íàõîäèì Π = 16.9. Ïîñêîëüêó χb2 = 3.2 < 16.9, ìû íå èìååì îñíîâàíèÿ ïðåäúÿâèòü ïðåòåíçèè ðàçðàáîò÷èêó äàò÷èêà. 191

2. Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà. Óïîðÿäî÷èâ âûáîðêó ïî âîçðàñòàíèþ, b = 10∆ = 0.572. íàéäåì λ  òàáëèöå 4.2 ïðèâåäåíû ïîðîãîâûå çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèêè Êîëìîãîðîâà äëÿ íåêîòîðûõ ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ çíà÷åíèé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè β . Òàáëèöà 4.2

β 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999 Π 1.22 1.36 1.63 1.73 2.23 Çàäàäèì (êàê è äëÿ êðèòåðèÿ õè-êâàäðàò) β = 0.95. Ýòîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè ñîîòâåòñòâóåò ïîðîãîâîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè Êîëb < Π, êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà òàêæå íå ìîãîðîâà Π = 1.36. Ïîñêîëüêó λ äàåò îñíîâàíèé çàáðàêîâàòü äàò÷èê ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Çàìå÷àíèå. Ïîâòîðèì åùå ðàç: ìû íå ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî ãèïîòåçà î íîðìàëüíîñòè âåðíà. Èìåþùàÿñÿ âûáîðêà ëèøü íå äàåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü åå. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ìû ïðèìåíèëè äâà ñòàòèñòè÷åñêèõ êðèòåðèÿ äëÿ ïðîâåðêè êà÷åñòâà ïðîãðàììíîãî äàò÷èêà ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Èíîãäà ýòè êðèòåðèè ïðèìåíÿþòñÿ â äðóãîé ñèòóàöèè. Ïóñòü òðåáóåòñÿ îöåíèòü âåðîÿòíîñòü íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ. Ñëåäîâàëî áû ýòî îöåíèâàíèå ïðîâåñòè òàê: ïðîäåëàòü ñåðèþ ýêñïåðèìåíòîâ è íàéòè îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ. Îäíàêî åñëè ñîáûòèå ðåäêîå, òî ïîòðåáóåòñÿ î÷åíü áîëüøîé îáúåì âûáîðêè (íå âñòðåòèâ ñîáûòèå íè ðàçó ïðè òðåõ èñïûòàíèÿõ, íå ñòîèò ãîâîðèòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü åãî ïîÿâëåíèÿ ðàâíà íóëþ!). Ýêñïåðèìåíòàòîð, æåëàÿ ñýêîíîìèòü íà ýêñïåðèìåíòå, äåëèò ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñ.ï. íà íåáîëüøîå ÷èñëî ÷àñòåé m, âûäâèãàåò íåêîòîðóþ ãèïîòåçó î çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ, à çàòåì, ïîëó÷èâ óäîâëåòâîðèòåëüíîå (çà ñ÷åò ìàëîñòè m) ñîãëàñèå âûáîðêè ñ ãèïîòåçîé, ïðèìåíÿåò ãèïîòåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ îöåíêè âåðîÿòíîñòè ðåäêîãî ñîáûòèÿ. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî òàêèì "ìåòîäîì" ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáîå çàäàííîå íàïåðåä çíà÷åíèå èñêîìîé âåðîÿòíîñòè.

4.3. Íåêîòîðûå äðóãèå ïðèìåíåíèÿ êðèòåðèÿ õè-êâàäðàò  ýòîì ïóíêòå ìû êðàòêî ðàññìîòðèì åùå äâå ÷àñòî âîçíèêàþùèå çàäà÷è ïðîâåðêè ãèïîòåç.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ìû îãðàíè÷èìñÿ àëãîðèòìîì ïðèìåíåíèÿ êðèòåðèÿ õè-êâàäðàò. 192

Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î íåçàâèñèìîñòè â ñîâîêóïíîñòè êîîðäèíàò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Ðàññìîòðèì äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð ñ êîîðäèíàòàìè X è Y . Èìåÿ âûáîðêó îáúåìà N , ðàçäåëèì êîîðäèíàòíóþ îñü OX íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïðîìåæóòêè Jx1 , . . . , JxK , à êîîðäèíàòíóþ îñü OY  íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïðîìåæóòêè Jy1 , . . . , JyR . Åñëè âåðíà ãèïîòåçà î íåçàâèñèìîñòè êîîðäèíàò, òî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ (X ∈ Jxk ) ∩ (Y ∈ Jyr ) ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé ñîáûòèé X ∈ Jxk è Y ∈ Jyr . Ïîñòðîèì òàê íàçûâàåìóþ òàáëèöó ñîïðÿæåííîñòè ïðèçíàêîâ, ò.å. (K×R)-ìàòðèöó T , ýëåìåíò tkr êîòîðîé  êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ïîïàâøèõ â ïðÿìîóãîëüíèê Jxk × Jyr . Âû÷èñëèì ÷àñòîòû ïîïàäàíèÿ ñ.ï. X â ïðîìåæóòêè Jxk :

nxk =

R X

tkr ,

k = 1, . . . , K

r=1

è ÷àñòîòû ïîïàäàíèÿ ñ.ï. Y â ïðîìåæóòêè Jyr :

nyr =

K X

tkr ,

r = 1, . . . , R.

k=1

Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé X ∈ Jxk è Y ∈ Jyr íåèçâåñòíû, çàìåíèì èõ òî÷å÷íûìè îöåíêàìè  îòíîñèòåëüíûìè ÷àñòîòàìè ýòèõ ñîáûòèé. Ïîëó÷èì, ÷òî ïðè íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàòàõ îæèäàåìàÿ ÷àñòîòà ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà â ïðÿìîóãîëüíèê Jxk × Jyr ðàâíà

nxk · nyr . N Âû÷èñëèì çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè õè-êâàäðàò: K X R K X R ³X ´ X (tkr − νkr )2 t2kr b 2 χ = =N· −1 . ν n · n kr xk yr r=1 r=1 νkr =

k=1

k=1

Îïðåäåëèì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ãèïîòåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ìû ðàçáèëè íà K · R ÷àñòåé. Ïðè ýòîì ìû îöåíèâàëè ïî âûáîðêå ïàðàìåòðû äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ  âåðîÿòíîñòè

pxk = P(X ∈ Jxk ),

k = 1, . . . , K;

pyr = P(Y ∈ Jyr ),

r = 1, . . . , R.

Íî èç ýòèõ K + R ïàðàìåòðîâ ëèøü K + R − 2 ñâîáîäíûõ, òàê êàê P PR K p = 1 è xk k=1 r=1 pyr = 1. Ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 3 èç ï.4.1, 193

κ = K · R − 1 − (K + R − 2) = (K − 1) · (R − 1).

(4.2.1)

Ïðèìåð. Èìåÿ âûáîðêó îáúåìà N = 20, X Y X Y

62 73 57 80

72 99 30 53

88 23 49 95

3 35 74 55

51 59 89 62

84 41 84 15

84 26 21 71

41 53 13 9

46 28 27 0

17 15 41 2

ðàçäåëèì êîîðäèíàòíûå îñè íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ÷àñòè (ìû âçÿëè íà êàæäîé îñè ïî ÷åòûðå ðàâíî÷àñòîòíûõ ïðîìåæóòêà):

Jx1 = ] − ∞, 28[, Jx2 = [28, 50[, Jx3 = [50, 80[, Jx4 = [80, +∞[; Jy1 = ] − ∞, 20[, Jy2 = [20, 50[, Jy3 = [50, 70[, Jy4 = [70, +∞[. Ïîñòðîèì òàáëèöó ñîïðÿæåííîñòè ïðèçíàêîâ  (4 × 4)-ìàòðèöó T : Jx1 Jx2 Jx3 Jx4

nxk

Jy1 3 1 0 1

Jy2 1 1 0 3

Jy3 0 2 2 1

Jy4 1 1 3 0

Òàê êàê ïðîìåæóòêè íà îáåèõ îñÿõ âçÿòû ðàâíî÷àñòîòíûå, èìååì = nyr ≡ 5. Íàõîäèì çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè õè-êâàäðàò íà èìåþùåéñÿ âûáîðêå:

χb2 = 20 ·

4 X 4 ³X ´ t2kr − 1 = 13.6. 5 · 5 r=1 k=1

×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû, ñîãëàñíî ôîðìóëå (4.2.1), ðàâíî 9. Íàçíà÷èâ β = 0.9, ò.å. äîïóñêàÿ îøèáî÷íîå îòêëîíåíèå ãèïîòåçû â îäíîì ñëó÷àå èç äåñÿòè, èç òàáëèöû 4.1 íàõîäèì Π = 14.7. Ïîñêîëüêó χb2 < Π, ãèïîòåçà î íåçàâèñèìîñòè ñîõðàíÿåòñÿ. Çàìå÷àíèÿ. 1. Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð íîñèò ìåòîäè÷åñêèé õàðàêòåð: èìåÿ âûáîðêó ñòîëü ìàëîãî îáúåìà, êîíå÷íî, íå ñëåäóåò ñòðîèòü òàáëèöó ñîïðÿæåííîñòè ïðèçíàêîâ èç 16 êëåòîê. 2. Íåòðóäíî ðàñïðîñòðàíèòü îïèñàííûé àëãîðèòì íà ñëó÷àé ïðîâåðêè ãèïîòåçû î íåçàâèñèìîñòè â ñîâîêóïíîñòè êîîðäèíàò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî áîëüøå äâóõ. 194

Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î òîì, ÷òî âûáîðêè ïîðîæäåíû îäíîé è òîé æå ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé Èìåþòñÿ s âûáîðîê: (j)

x(1) , . . . , x(s) ,

(j)

ãäå x(j) = {x1 , . . . , xnj }. Ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà îá îäíîðîäíîñòè: âñå âûáîðêè ïðåäñòàâëÿþò îäíó è òó æå ñëó÷àéíóþ ïåðåìåííóþ. Îïèøåì àëãîðèòì ïðèìåíåíèÿ êðèòåðèÿ õè-êâàäðàò â ýòîé çàäà÷å. 1) Âûáîðêè îáúåäèíÿþòñÿ, îáðàçóÿ íîâóþ âûáîðêó z îáúåìà

s P

j=1

nj .

2) Âûáîðêà z óïîðÿäî÷èâàåòñÿ ïî âîçðàñòàíèþ. 3) Íàçíà÷àåòñÿ ÷èñëî m, è ÷èñëîâàÿ îñü äåëèòñÿ íà m íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïðîìåæóòêîâ J1 , . . . , Jm , â êàæäûé èç êîòîðûõ ïîïàäàåò îäèíàêîâîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè z . Ãðàíèöû ýòèõ ïðîìåæóòêîâ ñëóæàò òî÷å÷íûìè îöåíêàìè ãðàíèö ðàâíîâåðîÿòíûõ ïðîìåæóòêîâ, âåðîÿòíîñòü 1. ïîïàäàíèÿ ñ.ï. â êàæäûé èç êîòîðûõ ðàâíà m  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ãèïîòåçà îá îäíîðîäíîñòè âåðíà, îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîïàäàíèÿ ñ.ï. â ëþáîé èç ýòèõ ïðîìåæóòêîâ äîëæíà áûòü 1 äëÿ êàæäîé âûáîðêè x(j) , j = 1, . . . , s. Ïîýòîìó îæèäàåìîå áëèçêà ê m

n

êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ýòîé âûáîðêè â ëþáîì ïðîìåæóòêå ðàâíî mj . 4) Íàõîäÿòñÿ tjk  íàáëþäåííûå êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ âûáîðêè x(j) â ïðîìåæóòêå Jk . 5) Âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè õè-êâàäðàò:

³ χb2 =

s X m X j=1 k=1

nj ´2 tjk − m . nj m

6) Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû â ýòîé çàäà÷å κ = (s − 1) · (m − 1) (ïî m − 1 ñòåïåíè ñâîáîäû íà êàæäóþ èç s âûáîðîê, ïðè÷åì ïî âûáîðêå îöåíèâàåòñÿ m − 1 ïàðàìåòðîâ ãèïîòåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ  ãðàíèöû ðàâíîâåðîÿòíûõ ïðîìåæóòêîâ). 7) Çàäàåòñÿ äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü β è íàõîäèòñÿ Π  ñîîòâåòñòâóþùåå ïîðîãîâîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè õè-êâàäðàò. 8) Åñëè χb2 > Π, ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ.

195

ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Íàïîìíèì åùå ðàç, ÷òî ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè âîçìîæíî òîëüêî ïðè îïèñàíèè ìàññîâûõ ÿâëåíèé ïðè óñëîâèè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò. Ýòî óñëîâèå ÷àñòî ïîñòóëèðóåòñÿ áåç äîñòàòî÷íûõ íà òî îñíîâàíèé. Ïðèâåäåì â ñâÿçè ñ ýòèì öèòàòó èç ó÷åáíèêà Â.Í. Òóòóáàëèíà40 (Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé.  Ì.: ÌÃÓ, 1972; âòîðîå èçäàíèå  Ì.: ÌÃÓ, 1993): "×ðåçâû÷àéíî âàæíî èñêîðåíèòü çàáëóæäåíèå, âñòðå÷àþùååñÿ èíîãäà ó íåäîñòàòî÷íî çíàêîìûõ ñ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé èíæåíåðîâ è åñòåñòâîèñïûòàòåëåé, ÷òî ðåçóëüòàò ëþáîãî ýêñïåðèìåíòà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó.  îñîáî òÿæåëûõ ñëó÷àÿõ ê ýòîìó ïðèñîåäèíÿåòñÿ âåðà â íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ". Èç-çà ýòîãî çàáëóæäåíèÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé î÷åíü ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ îáúåêòîì âóëüãàðèçàöèé è íåêîððåêòíîãî ïðèìåíåíèÿ; âñòðå÷àþòñÿ è îòêðîâåííûå ñïåêóëÿöèè (äîñòàòî÷íî óïîìÿíóòü ïñåâäîèñòîðè÷åñêèå òðóäû àêàäåìèêà À.Ò. Ôîìåíêî). Ìû ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëþ òðè áðîøþðû Â.Í. Òóòóáàëèíà (Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé â åñòåñòâîçíàíèè.  Ì.: Çíàíèå, 1972; Ñòàòèñòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà ðÿäîâ íàáëþäåíèé.  Ì.: Çíàíèå, 1973; Ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè.  Ì.: Çíàíèå, 1977), â êîòîðûõ îáñóæäàþòñÿ "èäåîëîãè÷åñêèå" ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ ïðèìåíåíèåì âåðîÿòíîñòíî-ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ. Òåì, êîìó íåîáõîäèìî áîëåå îñíîâàòåëüíîå çíàêîìñòâî ñ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêîé, ìû ðåêîìåíäóåì öèòèðîâàííûé âûøå ó÷åáíèê, îñîáåííî âòîðóþ åãî ÷àñòü  "Íàó÷íûå è ìåòîäè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ". Äåëî â òîì, ÷òî ó÷åáíèêè ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ãðóïïû: ïåðâàÿ  ó÷åáíèêè äëÿ ìàòåìàòèêîâ, íåäîñòóïíûå ïðèêëàäíèêó, è âòîðàÿ  "ó÷åáíèêè ãäå ïðåäëàãàþòñÿ îïðåäåëåíèÿ òèïà "ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ ñëó÷àéíûå çíà÷åíèÿ". Êóðñ Â.Í. Òóòóáàëèíà  åäèíñòâåííîå èçâåñòíîå íàì èñêëþ÷åíèå.

40 Âàëåðèé

Íèêîëàåâè÷ ÒÓÒÓÁÀËÈÍ (ðîä. 1936)  ðîññèéñêèé ìàòåìàòèê, ïðîôåññîð Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà. 196

ÏÎÑËÅÑËÎÂÈÅ "Ïîä çàíàâåñ" ìû õîòèì âåðíóòüñÿ ê ïðîáëåìàì, îáñóæäàâøèìñÿ â Ïðåäèñëîâèè. Íàø îïûò ïðåïîäàâàíèÿ ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî ïîâûøåíèå óðîâíÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè íåìàòåìàòèêîâ íåâîçìîæíî áåç ïðèíöèïèàëüíîé ïåðåñòðîéêè êóðñà ìàòåìàòèêè. Ðåôîðìà ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ â âûñøåé òåõíè÷åñêîé øêîëå íåîäíîêðàòíî îáñóæäàëàñü íà ñàìûõ ðàçíûõ óðîâíÿõ. Ðàçíîèìåííûå îðãàíû óïðàâëåíèÿ îáðàçîâàíèåì èçäàëè ìíîæåñòâî ïðèêàçîâ, íåèçìåííî òðåáîâàâøèõ "ïîâûøåíèÿ óðîâíÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè". Ïî÷åìó-òî ýòè ïðèêàçû, êàê ïðàâèëî, ñîïðîâîæäàëèñü óìåíüøåíèåì è áåç òîãî ñêóäíîãî îáúåìà ó÷åáíûõ ÷àñîâ, îòâîäèìûõ íà ýòó ñàìóþ ïîäãîòîâêó. Âñå ïîíèìàþò, ÷òî çà ñòàíäàðòíûå 300-350 ÷àñîâ íåâîçìîæíî (äà è íå íóæíî!) ïðî÷åñòü âñþ "ìàòìåõîâñêóþ" ìàòåìàòèêó. Âñå ñîãëàñíû, ÷òî ñëåäóåò èçëîæèòü "îñíîâû", ïðåíåáðåãàÿ "íåñóùåñòâåííûìè ïîäðîáíîñòÿìè". Ðàçíîãëàñèÿ âîçíèêàþò ïðè ïîïûòêå äîãîâîðèòüñÿ, ÷òî îòíîñèòü ê "îñíîâàì" è ÷åì ïðåíåáðåãàòü. Ïî ýòîìó ïîâîäó Æ. Äüåäîííå41  îäèí èç âäîõíîâèòåëåé è àêòèâíûõ ÷ëåíîâ ãðóïïû Í. Áóðáàêè42  ïèøåò (Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ýëåìåíòàðíàÿ ãåîìåòðèÿ.  Ì.: Íàóêà, 1972): "... ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò ðàçâèòèÿ äðóãèõ íàóê: íîâûå îòêðûòèÿ è èõ îáñóæäåíèÿ ïðèâîäÿò ê íåîáõîäèìîñòè ïåðåîñìûñëèâàíèÿ ñòàðûõ òåîðåì... Ñ âåëè÷åñòâåííîãî ïüåäåñòàëà "îñíîâíûõ òåîðåì" îíè çà÷àñòóþ ñïóñêàþòñÿ â ïîä÷èíåííîå ïîëîæåíèå ñëåäñòâèé, âñå ìåíåå è ìåíåå çíà÷èòåëüíûõ, ÷òîáû çàêîí÷èòü ñâîå ñóùåñòâîâàíèå â êëàäîâêå "óïðàæíåíèé", îñòàâëÿåìûõ äëÿ òðåíèðîâêè ó÷àùåãîñÿ". Ïðåïîäàâàòåëè îáû÷íî ëåãêî ñîãëàøàþòñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ ââåäåíèÿ â êóðñ íîâûõ, íàñóùíî íåîáõîäèìûõ äëÿ ïðàêòèêè, ðàçäåëîâ (ïðè óñëîâèè, êîíå÷íî, âûäåëåíèÿ íà ýòè ðàçäåëû äîïîëíèòåëüíûõ ÷àñîâ). Ïîïûòêà æå ââåäåíèÿ ýòèõ ðàçäåëîâ çà ñ÷åò óäàëåíèÿ èç êóðñà ìîðàëüíî óñòàðåâøåãî ìàòåðèàëà âñòðå÷àåòñÿ â øòûêè  íåëüçÿ çàòðàãèâàòü 41 Æàí

Àëåêñàíäð Ýæåí ÄÜÅÄÎÍÍÅ (J.A.E. Diedonn
e, 1906-1992)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê. Ïàðèæñêàÿ ÀÍ ïÿòü ðàç íàãðàæäàëà åãî ðàáîòû ðàçëè÷íûìè ïðèçàìè. 42 Íèêîëà ÁÓÐÁÀÊÈ (N. Bourbaki)  ñîáèðàòåëüíûé ïñåâäîíèì, ïîä êîòîðûì ãðóïïà ìàòåìàòèêîâ ðàçíûõ ñòðàí âûñòóïèëà ñ ïîïûòêîé äàòü ñèñòåìàòè÷åñêîå èçëîæåíèå ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè íà îñíîâå àêñèîìàòè÷åñêîãî ìåòîäà. Îáðàçîâàëàñü ãðóïïà â 1935 ã., åå ÷èñëåííîñòü è òî÷íûé ñîñòàâ íå ðàçãëàøàëèñü. Âûøëè èç ïå÷àòè áîëåå 40 êíèã. Áóðáàêè ïðîÿâëÿëè èíòåðåñ è ê óëó÷øåíèþ ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè. 197

"îñíîâû"! Íàïîìíèì, ÷òî âî âðåìÿ ðåôîðìû øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè, ïðîâîäèâøåéñÿ À.Í. Êîëìîãîðîâûì â 70-å ãîäû (è, ê ñîæàëåíèþ, íå óäàâøåéñÿ), íàøëèñü ÿðûå ñòîðîííèêè ñîõðàíåíèÿ "ôóíäàìåíòàëüíîãî" ïîíÿòèÿ "íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë". Íåñìîòðÿ íà ïîñòåïåííîå ïðîíèêíîâåíèå â êóðñ ìàòåìàòèêè ëèíåéíîé àëãåáðû, íå ïðåêðàòèëèñü ïîïûòêè ñîõðàíèòü "íåòëåííûå öåííîñòè" àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Äî ñèõ ïîð ó÷àò äèôôåðåíöèðîâàòü "ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííûå ôóíêöèè", çàñòàâëÿþò áóäóùèõ èíæåíåðîâ âûó÷èâàòü òðè ñëó÷àÿ "èíòåãðèðóåìîñòè äèôôåðåíöèàëüíîãî áèíîìà", ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ "îñîáîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà", è ò.ï.  ðåçóëüòàòå íà íîâûå ðàçäåëû âðåìåíè íå õâàòàåò, è ðàçãîâîðû î ðåôîðìèðîâàíèè êóðñà ìàòåìàòèêè äëÿ èíæåíåðîâ îñòàþòñÿ ðàçãîâîðàìè. Ìû ñäåëàëè ïîïûòêó íåñêîëüêî îòîéòè îò ýòîé "òðàäèöèè". Âîçìîæíî, ñëåäîâàëî áû ñäåëàòü ýòî áîëåå ðàäèêàëüíî. Äðóãàÿ, íå ìåíåå âàæíàÿ ïðîáëåìà  ÷òî è êàê äîêàçûâàòü? Ñ íàøåé òî÷êè çðåíèÿ, êîëè÷åñòâî äîêàçàòåëüñòâ â êóðñå íå äîëæíî áûòü áîëüøèì. Óòâåðæäåíèÿ, èíòóèòèâíî î÷åâèäíûå, êàê ïðàâèëî, äîêàçûâàòü íå ñëåäóåò, îãðàíè÷èâàÿñü èõ àêêóðàòíîé ôîðìóëèðîâêîé. Äîêàçàòåëüñòâî íåî÷åâèäíîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò ïðèâîäèòü, åñëè îíî ëèáî íåñëîæíî è êðàñèâî, ëèáî îñíîâàíî íà àëãîðèòìå, ïîëåçíîì â ïðèëîæåíèÿõ.  èíûõ ñëó÷àÿõ ëó÷øå îãðàíè÷èòüñÿ ïðàâäîïîäîáíûì ðàññóæäåíèåì43 (íå âûäàâàÿ åãî çà äîêàçàòåëüñòâî!) èëè äàæå âîâñå îòêàçàòüñÿ îò ïîïûòêè äîêàçàòåëüñòâà, ïðèçíàâ, ÷òî òàêàÿ ïîïûòêà ëèøü çàïóòàåò ÷èòàòåëÿ. È, íàêîíåö, ñëåäóåò øèðîêî èñïîëüçîâàòü â ïðåïîäàâàíèè ìàòåìàòèêè ñîâðåìåííûå ñðåäû êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ. Ñ íàøåé òî÷êè çðåíèÿ íàèáîëåå ïîäõîäÿùåé èç íèõ ÿâëÿåòñÿ MAPLE.

43 Ýòîò

íåîäíîêðàòíî èñïîëüçîâàâøèéñÿ íàìè òåðìèí ââåë Äüåðäü ÏÎÉÀ (G. Polya, 1887-1985)  àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê, àâòîð ìíîãèõ çàìå÷àòåëüíûõ êíèã ïî ìàòåìàòèêå è ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòèêè, ñðåäè êîòîðûõ óïîìÿíåì ïåðåâåäåííûå íà ðóññêèé ÿçûê ðàáîòû: Ìàòåìàòèêà è ïðàâäîïîäîáíûå ðàññóæäåíèÿ (2 èçä.  Ì.: Íàóêà, 1975); Êàê ðåøàòü çàäà÷ó (2 èçä.  Ì.:, 1961); Ìàòåìàòè÷åñêîå îòêðûòèå (Ì.: Íàóêà, 1970). 198