Алгебра и логика,, 39, N 2 (2000), 206-226
УДК 510.64
НЕЗАВИСИМЫЕ БАЗИСЫ Д Л Я ПРАВИЛ, Д О П У С Т И М Ы Х В П Р Е Д Т А Б Л И Ч Н Ы Х ЛОГИКАХ*) В. В. РЫБАКОВ, В. Р. КИЯТКИН, М. ТЕРЗИЛЕР Введение
Исследование независимости для логических аксиоматических си стем является одним из актуальных направлений исследований в мате матической логике. Под базисом аксиом и правил вывода часто понимают просто совокупность аксиом и правил вывода таких, что все остальные яв ляются их следствиями. Однако зачастую определение базиса обязательно предполагает независимость составляющих его элементов. При изучении независимых аксиоматизаций в универсальной алге бре и алгебре классических объектов получены очень сильные результа ты. С начала 1980-х гг. была установлена обширная область, касающа яся различных аспектов независимости. Найдены примеры многообразий групп без независимой аксиоматизации (отрицательное решение проблемы А.Тарского),, развиты инструменты, устанавливающие отсутствие незави симой аксиоматизации для многообразий и квазимногообразий, доказа ны сильные теоремы, показывающие наличие или отсутствие независимой аксиоматизации для важных многообразий и квазимногообразий класси ческих алгебраических систем. Тем не менее, к настоящему времени по лучено сравнительно мало результатов по независимой аксиоматизации в ^Исследование поддержано Российским Фондом Фундаментальных Исследований (РФФИ) и Turkish Scientific Technical Research Council (TUBITAK, Ankara) во время пребывания В.В.Рыбакова в 1997/1998 году на математическом отделении научного факультета Ege University, Bornova-Izmir, Turkey.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
Независимые базисы
207
нестандартной логике. Отметим примеры Чагрова и Захарящева [1] мо дальных логик без независимого множества аксиом. В данной работе мы исследуем независимость базисов правил выво да. Доказывается ряд теорем о независимости базисов допустимых правил вывода в предтабличных модальных и суперинтуиционистских логиках (с алгебраической точки зрения это равносильно независимости базисов ква зитождеств соответствующих свободных модальных и псевдобулевых ал гебр). Относительно допустимых правил вывода ранее было показано (см. [2—7]), что практически большинство важных логик и целые классы та ких логик разрешимы по допустимости. Но при этом многие модальные и суперинтуиционистские логики не имеют конечных базисов допустимых правил вывода [3—5]; подробный обзор результатов такого рода приводит ся в [8]. Когда отсутствует конечный базис, резонно возникает вопрос, а существует ли независимый базис. Мы соотносим этот вопрос с предтабличными логиками. Теоремы Максимовой [9], Эсакия—Месхи [10] утвер ждают, что имеется в точности пять предтабличных модальных логик над S4, а теорема Максимовой [11] — что в точности три предтабличные су перинтуиционистские логики. Известно (см. [8]), что среди предтабличных модальных логик над 54 три имеют конечный базис допустимых правил вывода, а две остальные нет, и только одна предтабличная суперинтуици онистская логика обладает конечным базисом допустимых правил вывода. В настоящей статье мы доказываем, что предтабличные модальные и суперинтуиционистские логики всегда имеют независимые базисы допу стимых правил вывода.
§ 1. Обозначения* Предварительные результаты В настоящей работе активно используется семантика Крипке для мо дальных и суперинтуиционистских модальных логик, поэтому в нашем изложении предполагается знакомство читателя с ее аппаратом, а также знание основных фактов о правилах вывода и их допустимости, ниже мы напомним кратко необходимые факты. Более детальное изложение вопро-
208
В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер
сов, связанных с правилами вывода, и вопросов, связанных с модальными логиками, дано в [8] и [12] соответственно. Напомним, что фрейм Крипке, или просто фрейм, — это пара (3*, J?), где 3* — некоторое множество, а й - бинарное отношение на F. Посколь ку далее мы будем иметь дело только с модальными логиками, расширя ющими 54, то R всегда транзитивно и рефлексивно. Модель Крипке — это фрейм с некоторым означиванием V множества пропозициональных переменных. Истинность формулы а на элементе а модели Крипке при означивании V обозначают a \\-y ot. Определения р-морфизмов, откры тых подфреймов, прямого объединения фреймов и другие понятия семан тики Крипке содержатся, например, в [8] или [12]. Для всякого фрейма 3* := (F, R) и всякого элемента a € F через С(а) обозначается сгусток, содержащий а. Для любого подмножества X множества F
XR:={a\3beX{bRa)}> т. е. Xя — верхний конус, порожденный X, и ЗСЯ+ := {а | 36 е X(bRa)kVc e X(-*(aRc))}. Напомним, что антицепь сгустков на фрейме 2? := (F, R) — это множество Д-несравнимых сгустков. Для любой антицепи У сгустков из 3* сгусток С является ко-покрытием для У тогда и только тогда, когда
элемент является ко-покрытием, если сгусток, содержащий данный эле мент, является ко-покрытием. Будем говорить, что элемент а (или сгусток С) Д-видит элемент 6 (или сгусток Ci), если aRb (CRC\ соответственно). Элемент а (сгусток С) является непосредственным Д-последователем эле мента Ъ (сгустка Ci), если aRb (CRC\) и не существует элементов с таких, что aRc, cRb и -y{cRa)) -i(bRc) (CRc, cRC\ и -i(ci?C), -*(C\Rc)). Аналогич но определяем понятие непосредственного ^-предшественника. Для пары фреймов 3*i, 3*2 запись 9*1 С 3*2 означает, что фрейм 3*i является открытым подфреймом фрейма 3V Фрейм 3* является А-фреймом для логики А, если
Независимые базисы
209
все теоремы Л истинны на J ; \(3*) обозначает логику, порожденную фрей мом 3\ Фрейм У — корневой или острый, если За Е fJ такой, что Vb Е 'J aRb] тогда говорим, что С(а) — корень фрейма У, и обозначаем этот сгу сток root (У). Через 5 m ( J ) обозначается множество всех элементов из fJ глубины, не превышающей га, a Slm('J) — множество всех элементов глу бины га из У* Напомним, что логика А финитно аппроксимируема, если для любой формулы а $ А существует конечный фрейм У (или, что эк вивалентно, конечная алгебра Л) такой, что И 1^ а, но 'J lb /3 для любого /3 Е А (соответственно А \£ а, Л |= /3). Всю предварительную информацию о правилах вывода и их допустимости можно найти в [8]. Пусть o?i,..., а п , /3 — некоторые формулы и ai,...,an является (структурным) правилом вывода, которое выводит s(/3) из s ( a i ) , ... , s(an) для произвольной подстановки s. Говорят, что правило г выводи мо в логике А, если существует вывод /3 из множества посылок {a?i,..., a n } в А. Правило г называется допустимым в логике А, если для любой под становки s s(/3) Е А всякий раз, как только s(ai) E А,... ,s(a n ) € A. Очевидно, что всякое выводимое правило является допустимым, обратное в общем случае неверно. Непосредственно из определения следует, что мно жество всех правил, допустимых в логике А, является наибольшим классом правил вывода, с помощью которых можно расширить аксиоматическую систему логики А, сохраняя теоремы А. Алгебраическое описание допустимых правил идет от традиций поль ской логической школы. Правило г является допустимым в логике А тогда и только тогда, когда квазитождество q(r) := OLI = T&...&a n = Т => /3 = Т истинно на свободной алгебре счетного ранга Ул(^) многообразия Var (A) (всех алгебр, на которых все теоремы логики А истинны) (см. [13] или более подробно [8]). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пусть А — пропозициональная логика, правило г := o?i,..., &п/$ будет следствием семейства правил F в X (обозначение
В. В. Рыбаков, J3. Р. Кияткин, М. Терзилер
210
F \-\ г), если существует вывод /3 из a?i,... , a n , как посылок в аксиомати ческой системе А, расширенной добавлением семейства F в качестве новых правил. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Множество правил вывода 5 , допустимых в пропозициональной логике А, является базисом для всех правил, допусти мых в А, если для любого допустимого правила г имеем S Ид г, т.е. г — следствие 5 в А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Базис S для всех правил, допустимых в А, яв ляется независимым, если Уг £ S имеем S — {г} \/\ г. Для любого правила г := а\, ...,a n //3, q(r) := a\ = T&...&a„ = T => =3> /3 = Т — соответствующее ему квазитождество. Л Е М М А 1.1 (см. [8, теор. 1.4.15]). (i) Множество правил выво да S является базисом для всех правил вывода, допустимых в логике А, тогда и только тогда, когда множество Sq := {(?(г) | г € S}
является
базисом квазитождеств свободной алгебры 3*\(и>) счетного ранга много образия Var (А) := {Л | Va e А (Л |= а ) } . (И) Длл любого правила г, любого семейства S правил и для любой модальной логики А над 54 или любой суперинтуиционистской
логики А
выполняется 5 Ьд г тогда и только тогда, когда q{r) является
семан
тическим следствием семейства Sq в многообразии Var (A). Л Е М М А 1.2 (см. [8, лемма 4.1.7]). Множество S правил вывода является независимым базисом для всех правил, допустимых в логике X, тогда и только тогда, когда множество квазитоэюдеств Sq := {q(r) \ г G 5 } будет независимым базисом квазитождеств свободной алгебры
Нам понадобится также известное описание допустимых правил вы вода с помощью их истинности на специальных
п-характеристических
моделях Крипке. Описание этих моделей СЬд(гг), а также критерии для распознавания допустимости с их помощью приводятся в [8]. Напомним вкратце конструкцию Ch\(n) и семантический критерий для распознава ния допустимости. Пусть заданы финитно аппроксимируемая модальная
Независимые базисы
211
логика А, расширяющая А'4, и множество Рп := {pi,...»Pn} пропозицио нальных переменных. Первый спой Si(ChA(n)) состоит из множества всех сгустков со всевозможными означиваниями V переменных из Р„, кото рые не имеют дублирующих элементов с тем же самым означиванием и не имеют сгустков, которые изоморфны как модели Крипке. Пусть нами уже построен слой 5 т (СЬд(тг)), тогда сгустки слоя Sm+i(Ch\(n))
вводятся
следующим образом. Выбираем любую антицепь У сгустков из 5 т (СЬл(п)), имеющую по крайней мере один сгусток глубины га, и добавляем в Sm+i(Ch\(n))
любой
сгусток С из 5i(Clu(n)), полагая С непосредственным предшественником сгустков из У, но только при условиях, что (i) фрейм CR является А-фреймом, (ii) если У := {Ci}, то С не является подмоделью модели Крипке С\. Продолжая эту процедуру, получаем в итоге модель СЪ.\(п). Для фи нитно аппроксимируемых суперинтуиционистских логик построение то же самое, только R должно быть частичным порядком и означивание про позициональных переменных на элементах модели — интуиционистским, т.е. стабильным вверх. Говорим, что модель Ж является п-характеристической для логики А, если для любой формулы а, построенной из пе ременных множества P n , a £ А тогда и только тогда, когда Ж 1Ь а. Т Е О Р Е М А 1.1 (см., например, [8]). Для любой финитно аппрок симируемой модальной логики А, расширяющей КА, или
суперинтуицио
нистской финитно аппроксимируемой логики А модель СЬд(?г) является п-характеристической
для логики А.
Элемент а модели Крипке Ж называется формульным (определи мым) в М, если существует формула а такая, что Уж б Ж[(х 1Ьу а) <=> х = = а]. Означивание V называется формульным в модели JVC, если для любой переменной р из области определения V элемент V(p) формульный. Т Е О Р Е М А 1.2 (см., например, [8]). Для любой финитно аппрокси мируемой модальной логики А, расширяющей К4, каждый элемент мо дели СЪ\(п) формулен в СЬл(тг). Для любых финитно
аппроксимируемой
212
В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер
суперинтуиционистской формулен в
логики А и элемента а модели Ch\(n) конус а~
Ch\(n).
Для данных фрейма Т, означивания V и правила вывода г := :=z оц,... , о?п//3, полагаем, что г истинно на фрейме Э' при означивании V (обозначается J Wy г), если из того, что Ух £ 'SVi(x Iby а^) следует \/х £ З^ж Ihy /3). Правило вывода г истинно на фрейме 3^, если г истинно на У при любом означивании, — в этом случае используется обозначение ЗЧЬг. Т Е О Р Е М А 1.3 (см., например, [8]). Для любых финитно аппрок симируемой модальной логики А, расширяющей К4, и финитно аппрокси мируемой суперинтуиционистской
логики А правило вывода г допустимо
в А тогда и только тогда, когда г истинно на фрейме Ch\(n) для всех п и формульных
означиваний.
Говорим, что логика А табличная в том и только в том случае, если существует конечный фрейм У, для которого А = A(iF). Логика А называ ется предтабличной, если она не является табличной, но все логики, рас ширяющие А, — табличные. Таким образом, предтабличные логики — это просто максимальные логики в семействе нетабличных логик.
§ 2. Существование независимого базиса у предтабличных модальных логик В настоящей работе исследуются модальные предтабличные логи ки над 54. В статьях Максимовой [9] и Эсакия—Месхи [10] показано, что существует в точности пять предтабличных модальных логик над 54: РТ\ — РТ$. Ниже выражение У G RF обозначает, что фрейм У корневой. РТ\ := A({vF | ||ЗГ|| < и), fJ £ RF, У— линейно упорядоченное множество}); РТ2 := А({Э" | ||wF|| < CJ, 7 6 RF, £F— частично упорядоченное множество, depth (?) ^ 2}); РГз := ^({ЗР | \\'J\\ < w, {J G RF, {J— частично упорядоченное множество,
213
Независимые базисы depth (5) ^ 3, 3m € 3Vx e У (я? < m)}); РГ 4 := A({ J | ЦЗГЦ < a;, 5 € ДР, depth (?) < 2, 3m € JVz € ^[(ж < m ) f c ( m b => ж = m)]}); PT 5 := A({J | НУЦ < и, 7 e ЯР, depth (7) = 1}).
Известно, что PTi, PT\ и Р Г Б имеют конечные базисы правил вывода (см. [8, теор. 4.3.33]) и, значит, независимые базисы. Кстати, РТ\ и РТ± структурно полны, именно по этой причине они имеют конечный базис. Однако у логик РТ? и РТз отсутствуют конечные базисы для допустимых правил вывода (см. следствие из теор. 4.3.33 [8]). Таким образом, вопрос о существовании независимых базисов для них открыт. На этот вопрос мы ответим ниже. Рассмотрим последовательность правил вывода г п (РТз), п е ЛГ, О
3: г„(РГз) := - ^ - , где
А>:= Л ф ( « Л an:=U
Д
Ut->
П
Л Д
^П >
Q-iW|A7n,
7n := 71 ,n V 72,n V 7з,п V 7 4 , m 7i, n := 74,n =
Д
П-ipj, 72,n := V
«Л
Д
D-ip,- 1 , 7з,п := AM
\/ ex, ^ := Д Opi Л Д -»фр,-. xc{i,...,n},i<||X||,x*{2,...,n} iex t€{i,...,n}-x
Л Е М М А 2 . 1 . Каждое правило г п (РТз) допустимо в логике РТз. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для проверки по теореме 1.3 достаточно пока зать, что правило г п (РТз) истинно на любой n-характеристической модели Chpx 3 (n) при любом означивании. Это верно в силу конечности любой мо дели Chpj 8 (n) и теоремы 1.2. Пусть имеется означивание W и существует элемент а € СЬртЛ п ) такой, что a Ihv fin I :=
Д
0 j Pi А
Д
СЪр,
214
В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер
Тогда существуют элементы 6, Е СЪрт3{п), для которых aRb{ и
Предположим, что
ChpT8 (n) lh w П Д
I Pi ->
Д
D-i Pi J .
(2.1)
Тогда элементы Ь, попарно Д-несравнимы. По построению, модель ChpTi(n) содержит элемент с Е 5/з(СЬртз(п)) такой, что
cR-{c}= Если бы посылка правила гп(РТз)
(J (6fu{6,}). оказалась истинной в ChpTs(n)
при
означивании W, то дизъюнктивный член формулы уп был бы истинен при W. Формула 7i,n не может быть истинной, поскольку элементы Ьг, 2 ^ г ^ п, й-видимы из с, и на этих элементах соответствующие перемен ные pi истинны при означивании W. Итак, с i/w 7з,п в силу того, что р\ не истинна на элементах b2}..., Ьп и на элементе, Я-видимом из них соглас но (2.1). Кроме того, с l)Sv 72,п, поскольку п ^ 3. Имеет место и с l)Sv 74,n согласно выбору множества X в этой формуле. Таким образом, посылка ложна при означивании W, что и доказывает истинность правила г п (РТз) в модели Chpy3(ft) при означивании W. Следовательно, каждое правило гп(РТз) является РГз-ДОпустимым. D Л Е М М А 2.2. Правила гп(РТз)} п Е N, п ^ 3, образуют базис всех правил вывода, допустимых в логике РТ$. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть г — допустимое прави ло логики РТз, которое не является следствием гп(РТз),
п Е iV, п ^ 3,
в многообразии Уаг(РТз). По лемме 1.1 соответствующее квазитожде ство q(r) не является следствием квазитождеств д(г п )(РГз), п Е iV, п ^ 3. Пусть Л — алгебра из Var (РТ 3 ), отделяющая q(r) от #(г п )(РГз), n G iV, n ) 3. Тогда, очевидно, мы можем предположить, что А конечнопорождена и, значит, конечна, поскольку многообразие Var (РГз) локально
Независимые базисы
215
конечно. Следовательно, Л = JF+ для некоторого конечного частично упо рядоченного множества 3*. Соответственно У If- Гп(РТз), п G ЛГ, п ^ 3, и УI/ г.
(2.2)
Эти наблюдения позволяют утверждать, что У должно иметь глуби ну, в точности равную 3. Действительно, всякий конечный РТз-фрейм глу бины 2 или 1 является р-морфным образом некоторой модели Chpj 3 (тп), а коль скоро г не истинно на У, если depth (T) ^ 2, то г не будет истинно на некоторой Chpx 8 ( m )i
и по
теореме 1.3 г было бы недопустимо в логи
ке РГз, так как всякая Chpx3 конечна. Более того, можно считать, что J имеет единственный Я-наибальший элемент, поскольку всякий конечный РТз-фрейм является прямым объединением частично упорядоченных мно жеств с ^-наибольшим элементом, и любая компонента прямого объеди нения представляет собой р-морфный образ всего прямого объединения. Пусть
9:= JZ|ZCSJ2(3), К ||Z||, 3u(Z) € Sh{5) (u(Z)R - {u(Z)} = ( J w \ wez Если для любого подмножества У произвольного Z из S* где 1 < ||У||, У имеет ко-покрытие в У, тогда fJ является р-морфным образом модели СЬрхз(^) Для некоторогога,а в силу (2.2) и теоремы 1.3 правило г было бы недопустимо в РТз. Соответственно найдется нетривиальная антицепь Z из S такая, что существует У С £, 1 < ||%||, где У не имеет ко-покрытий в У. Очевидно, что мы можем выбрать такого рода множества У с наименьшим возможным количеством элементов. Тогда, в частности, VW С У ( ||W|| > 1 =» 3u £ Sl3(T) luR - {u} = ( J mR Теперь можно построить р~морфизм / 6 J следующим образом. Сжи маем при помощи / все элементы глубины 2, расположенные вне У, в один единственный элемент е(У). Полученный р-морфный образ 3^ имеет Д-наибольший элемент и в точности ||У || + 1 элементов глубины 2, каждый
216
В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер
из которых является Л-видимым из бывшего ко-покрытия для Z. Далее, любое подмножество Q из Shfii)
такое, что 1 < ||Q|| < ||У|| имеет ко-по-
крытие в 3^ согласно выбору у. Таким образом, только антицепи элементов глубины 2 из 3^1, имеющие в точности ||У|| элементов, могут не иметь ко-покрытий в vFi, и по крайней мере, один элемент не имеет. Пусть га := ЦУЦ + 1. Правило гп(РТз)
опровергается на У\ заданием означивания 5 3 следую
щим образом. Для любой пропозициональной переменной р., 1 ^ г ^ га, полагаем, что р, истинна при 5з только на единственном элементе gi глуби ны 2 из ЗГЬ где Sh{3\)
= {#ь - , 9п}- Можно считать, что У := {д2)..., #„}.
Тогда заключение правила г п (РТз) ложно на ко-покрытии 6 для
Sl^^i).
Истинность формул из посылки этого правила легко проверить: например, формула 74,п истинна на элементах глубины 3 из Э^, поскольку {д2,..., дп} не имеет ко-покрытия в 3*. Таким образом, правило гп(РТз) ложно на 3^, вследствие этого гп(РТз) ложно и на У, что противоречит (2.2). П Л Е М М А 2-3. Правила гп(РТ3),
2 < п £ N, независимы в РТ3.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно по лемме 1.2 достаточно показать, что квазитождества q(rn)(PTs)
независимы в многообразии
Var (PT3). Для этого зафиксируем фреймы Q n , га > 2, такие, что частично упорядоченное множество Qn имеет следующее строение: Qn := S/i(Q„) U Sl2(Qn) U 5/ 3 (Q„), где Sh(Qn)
:= W , 5/ 2 (Q„) := {bu..., Ь п }, причем У6,-(6,- < a),
Sh(Qn) := ic% 1 X С {fei,..., 6„}, 1 < ||X||, X ф {bu .-., M } ,
Независимые базисы
217
Л Е М М А 2.5. Любое правило гт(РТз) истинно на Qn, где гп > 2 и тиф п. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть означивание W опровергает заключе ние правила г т ( Р Г з ) на элементе и из Q n . Тогда 3UJ 6 Q n , I ^ J ^
m
?
такой, что * < ttj, Vji, j 2 (ji ^
j2
^ ttA ^ Ь л)
и tt
* "~w Л-
Значит, и имеет глубину 3, и по крайней мере га элементов глубины 2 должны быть последователями элемента и. Следовательно, случай m > п невозможен, и п > т. Тогда посылка правила г т ( Р Т з ) не может быть истинна на Q n , поскольку Qn имеет ко-покрытия для всех антицепей эле ментов глубины 2, состоящих из га — 1 элемента, в частности, {?i2, •••> ип} имеет ко-покрытие h. С другой стороны, ни один конъюнктивный член из 7 т ~~ формулы из посылки г т (РТз) — не может быть истинным на h. Таким образом, правило г т ( Р Г з ) истинно на Q n . D Объединяя леммы 2.4 и 2.5, а также учитывая, что любое частич но упорядоченное множество Qn является РГз-фреймом, мы завершаем доказательство леммы 2.3. О Применением лемм 2.2 и 2.3 непосредственно получается Т Е О Р Е М А 2.1. Правила г п (РГ 3 ), п G N, и > 2, образуют неза висимый базис для всех правил, допустимых в предтабличной модальной логике РГз. Таким образом, существование независимого базиса для правил, до пустимых в РГз, проверяется непосредственно построением такового бази са. Остается рассмотреть вопрос о независимости базиса только для пред табличной модальной логики РГ 2 . Мы можем построить независимый ба зис допустимых правил для РГ 2 так же, как для логики РГз. Кратко поясним, как преобразовать доказательство для логики РГз в случае логи ки РГ 2 . Сущность преобразования очевидна из различия в семантической структуре конечных фреймов для РГ 2 и РГз: необходимо удалить все фор мулы, отвечающие за поведение наибольшего элемента РГз-фреймов, и все аргументы в доказательстве, касающиеся этих элементов. Затем определя-
В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер
218
ем правила гп(РТ2)) п £ iV, 3 ^ п, точно так же, как правила г п (РТз), уда ляя формулы, отвечающие за наибольший элемент. Более точно,
гп(РТ2)
получается из гп(РТз) удалением подформулы 7i,n из подформулы уп в посылке. Л Е М М А 2.6, Любое правило rm(PT2), m > 2, допустимо в логике РТ2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО является упрощенным вариантом доказатель ства леммы 2.1 с удалением фрагментов, касающихся наибольших элемен тов фреймов. D Л Е М М А 2.7, Правила гп{РТ2), п £ N, п^ 3, образуют базис всех правил вывода, допустимых в РТ2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
является
вариантом доказательства лем
мы 2.2. • Л Е М М А 2.8- Правила гп(РТ2),
2 < п € N, независимы в РТ2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится по схеме доказательства лем мы 2.3. Рассматриваем частично упорядоченные фреймы W n : = 5 / ! ( W n ) U 5 / 2 ( W n ) , где
SMWn) :={&ь..., М , S/2(W„) := {сХ I X С {Ьи ..., U , 1 < Р И Д ф {Ьъ ..., Ьп}}7
с% ~Ы
= (J Ь~,
Ъех Заметим, что имеют место две следующие леммы. Л Е М М А 2.9. Правило гп(РТ2)
ложно на W„.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО очевидно. D Л Е М М А 2.10. Любое правило vrn{^PT2)) где m ]> 2 и тп ф п} истинно на W n . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО представляет собой упрощенный вариант до казательства леммы 2.5. О Из лемм 2.10 и 2.11 (поскольку любое W n является РТг-фреймом) следует утверждение леммы 2.8. •
Независимые базисы
219
Из лемм 2.8 и 2.9 прямо выводится ТЕОРЕМА 2.2. Правила гп(РТ2),
п £ N, п > 2, образуют неза
висимый базис для всех правил} допустимых в предтабличпой модальной логике РТ2. Суммируя результаты данного раздела, получаем ТЕОРЕМА 2.3. Все предтпабличные модальные логики над 54 име ют независимые базисы для допустимых правил вывода.
§ 3. Независимые базисы для предтабличных суперинтуиционистских логик Перед тем, как перейти к рассмотрению предтабличных суперинту иционистских логик, заметим, что язык модальных логик, вообще говоря, не транслируется в язык чистого пропозиционального исчисления. Следо вательно, используя наши предыдущие результаты, невозможно немедлен но ответить на вопросы, касающиеся независимых базисов для допустимых правил предтабличных суперинтуиционистских логик. Однако трансфор мировать наши результаты в интуиционистский случай нетрудно, это и делается в настоящем разделе. Что касается предтабличных суперинтуиционистских логик, то, со гласно результатам Максимовой [11], существуют в точности три такие логики: LC — логика всех конечных линейно упорядоченных множеств, £>2 -~ логика всех конечных корневых частично упорядоченных множеств глубины 2 и £ з — логика всех конечных корневых частично упорядочен ных множеств глубины 3 с наибольшим элементом. Логика LC структурно полна и, следовательно, имеет конечный базис для допустимых правил, а, значит, и независимый базис. Логики Ь2 и £ з не имеют конечных базисов допустимых правил вывода (теор. 4.3.34 из [8]). Таким образом, достаточно рассмотреть логики И2 и £з- Как и в случае с модальными логиками, начнем с £з- Введем правила г п (£з) сле дующим образом: г п ( £ з ) '-- "2Г» г Д е Рп
220
В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер
Рп'-=Ро-+
V
7i,»»:= Д
р„72,г.:=
7з,п =
[#->
\/
\/
Pj ) , <*„ := 7i,n V 72,п V 73.ni
р, Л
Д
(pfc Л д -> 7i,n)
ex. An •= {1, »., re},
V ХСЛ„,1<||Х||,Х;4(Л„-{1})
ex :=
Д
(й -> 7l,n) Л \/(р«-^Т1,п)-> У pj
*€Лп-Х
Для доказательства того, что эти правила образуют базис допустимых правил логики £з> последуем схеме доказательства для логики РТ$ (од нако доказательство будет существенно отличаться, поскольку интуицио нистская истинность стабильна вверх). Л Е М М А 3.1. Все правила г п (£з)? п > 2, допустимы в &з» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1.3 достаточно установить, что Ch£8(m)lb5rn(£3) для любых га-характеристической модели Ch£ 3 (ra) и означивания W. Предположим За Е Ch£ 3 ( m ) такой, что
a l)Sv А»
:= Ро -» V
( ^[ "*
V
W
Тогда существуют элементы Ь$ 6 Ch^ 3 (го) такие, что а < 6,- и
В частности, элементы 6,- будут <-несравнимы. Предположим Chcs(m)\\-w<xn.
(3.1)
Согласно построению СЪсг(т) ее фрейм имеет ко-покрытие для произ вольной нетривиальной антицепи элементов, которые видимы из любого
Независимые базисы данного элемента. Поэтому в ней найдется элемент с G ShCh^
221 (га) такой,
что
с д -{с}=
U (»?)•
Согласно (3.1) одна из формул 7j,n> 1 ^ j ^ 3, должна быть истинной на с при означивании W. Но это не 7i,n и не 72,п> поскольку элементы ^2 и Ьз будут <-видимы из с. Для проверки 7з,п выберем определенное £х- Известно, что X ф (Ап — {1}), следовательно, если 1 6 (X — Ап)> то с \fyj 7з,щ поскольку второй конъюнктивный член этой формулы ложен. Если же Зг € ((А п — {1}) — X), то первый конъюнктивный член формулы 7з,п ложен на с при означивании W. Таким образом, (3.1) не имеет места и всякое правило г п (£ 3 ) допустимо в логике £з- О Л Е М М А 3.2. Все правила г п (£з), n G iV, п ^ 3, образуют базис допустимых правил в логике &зДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть г — допустимое правило в &з? которое не является следствием совокупности правил г п (£з), n G iV, n ) 3. Из леммы 1.1 следует, что соответствующее квазитождество q(r) не является следствием совокупности квазитождеств п £ iV, n ^ 3, в мно гообразии Var(£ 3 )- Пусть Л 3 Е Var(£ 3 ) и Л 3 И= tf(r)> н о ^ з h 9(гп)(£>з), n € iV, n ^ 3. Как и раньше, мы можем полагать, что Л конечно-порож дена и, следовательно, конечна, поскольку многообразие Var (£3) локально конечно. Значит, А = 3*+ для некоторого конечного частично упорядочен ного множества 3*, У \\r r„(JC3), n € iV, n > 3, и J I/ r.
(3.2)
Отсюда J имеет глубину З, поскольку любой конечный -Сз-фрейм глубины 2 или 1 является р-морфным образом некоторого фрейма Ch£3(fc), а коль скоро правило г не истинно на У, если depth (У) ^ 2, то г не будет истин но на фрейме некоторой модели Ch£e(fc), а тогда по теореме 1.3 правило г было бы недопустимо в £ 3 - Можно предположить также, что rJ имеет единственный <-наибольший элемент (как и прежде, поскольку любой ко нечный £з~фрейм является прямым объединением частично упорядочен-
222
В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер
ных множеств с <-наибольшим элементом, и каждая компонента прямого объединения является аморфным образом всего прямого объединения). Рассмотрим (как в лемме 2.2) множество
S:= jz|ZCS/3(3), K||Z||, 3ti(Z) G Sl3(3)
lu(Z)R
- {u(Z)}
=\JwR
Предположим, что для любого подмножества У из любого Z из S, где 1 < ||У||, У имеет ко-покрытие в 3\ Тогда J является /ъморфным обра зом фрейма Ch£3(&) Для некоторого к. Из (3.2) и теоремы 1.3 следует, что г недопустимо в £з* Значит, 3% € S такой, что ЗУ С %, 1 < ||%|| и У не имеет ко-покрытий в 3t. Зафиксируем множества Z и У указанного типа и такие, что У содержит наименьшее количество элементов. Отсюда получаем VW с У (||W|| > 1 =» 3u е Ski?)
UR - {*} = ( J
m •
Теперь сжимаем все элементы глубины 2, расположенные вне множества У, в единственный элемент б (У) + 1; это сжатие является аморфизмом, а полученный р-морфный образ У\ имеет <-наиболыний элемент и в точно сти ||У|| + 1 элементов глубины 2, каждый из которых <-видим из быв шего ко-покрытия для У. Любое подмножество Q из Shi?)
такое, что
1 < ||Q|| < ||У||, уже имеет ко-покрытия в £Fi, согласно нашему выбору множества у. Заметим, что только антицепи элементов глубины 2 из 3^i, имеющие в точности ||У|| элементов, могут быть без ко-покрытий в Э^, и по крайней мере один из них — без ко-покрытий. Пусть п := ||У|| + 1. Определим означивание W следующим образом. Для любой пропозицио нальной переменной р,-, 0 ^ г ^ п, мы полагаем W(po) " 3*1 и W(p t ) := ejдля элементов е,- глубины 2 из 5Ti, где S^i^i)
= {ei,..., e n } , и мы мо
жем положить У = {е2,..., еп}. Легко видеть, что заключение /Зп правила г
п(^з) ложно на ко-покрытии Ь для Shfii).
Формула 7i,n истинна при
означивании W на наибольшем элементе fJ\\ соответственно 72,п истинна на всех элементах глубины 2, а формула 7з,п истинна на элементах глу бины 3, поскольку {е 2 ,..., еп} не имеет ко-покрытия в 1. Следовательно,
223
Независимые базисы
правило г п (£з) ложно на фрейме J i , тогда г п (£з) ложно на фрейме У, а это противоречит (3.2). • Л Е М М А 3.3. Все правила гп(&з), 2 < п е N, независимы в логи ке £зДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 1.2 достаточно установить, что ква зитождества я(гп)(£>з) независимы в многообразии Var (£з)- Для этого ис пользуем частично упорядоченные множества Q n , n ^ 2, введенные нами для доказательства леммы 2.3. О Л Е М М А 3,4, Правило г п (£з) ложно на Q„. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Опровергающим означиванием является
Щр0)^йп,Щр>):={Ь?} для г > 0. Элемент C5/2(Qn) опровергает заключение этого правила при означивании W, а проверка истинности посылки правила является легким упражнением. • Л Е М М А 3.5. Любое правило r m (& 3 ), где т > 2 и т ф п, истинно на Q n . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть при означивании W заключение прави ла г т ( £ з ) опровергается на элементе и из Q n . Тогда 3UJ 6 Qn> 1 ^ J ^
w
?
такой, что ^ < ^h VjbJ2(ji / J2 => % £ &j2), w,- Ihy ^ , ti; l/s
У
pj.
Таким образом, все щ являются <-несравнимыми, и имеет глубину 3 и по крайней мере га элементов глубины 2 будут <-видимы из и. Следова тельно, случай т > п невозможен, и тогда п > т. При п > т посылка правила г т ( £ з ) не может быть истинной на Q n , поскольку Qn имеет ко— покрытия для всех антицепей элементов глубины 2, состоящих из т - 1 элемента, в частности, {г^,..., ит} имеет ко-покрытие w. Однако ни один конъюнктивный член 7т-формулы из посылки правила г т ( £ з ) не может быть истинным на ш. Таким образом, г т ( £ з ) истинно на Q n . D
224
В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер Объединяя леммы 3.4, 3.5 и учитывая, что любое упорядоченное мно
жество Q„ является -С-фреймом, завершаем доказательство леммы 3.3. • Из лемм 3.2 и 3.3 непосредственно следует Т Е О Р Е М А 3.1. Правила гп(£з)> п £ N, п > 2, образуют незави симый базис для всех правил, допустимых в предтабличной
суперинтуи
ционистской логике £зТеперь обратимся к оставшейся предтабличной логике &2- Как и в случае модальных логик, рассуждение будет упрощенным вариантом на шего доказательства для предтабличной суперинтуиционистской логики £з> в данном случае просто нет необходимости учитывать наибольшие элементы. Приведем схему видоизмененного доказательства. Наш базис независимых правил будет состоять из правил rn(&2)? г
п(£з) := - А Рп
fin := V I Pi\-+ 7i,»:= У
Pi Л
Д
г
-*pj i 72,n =
Л„ := {1,..., n}, sx •=
Л
€ iV, n > 2:
Де
Pi I ' ап
V
n
:==: 1
I *" V 7**n>
\/ ХСАпА<\\Х\\,Х*(Ап-{1})
6%
'
~W Л
«6-An-X
U'€X
»бХ J
Л Е М М А 3.6. Все правила rn(Zj2) допустимы в -С 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО представляет собой упрощенный вариант до казательства леммы 3.1, детали мы оставляем читателю. П Л Е М М А 3,7. Все правила rn(£,2), n € N, п ^ 3, образуют базис допустимых правил в логике &$. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО аналогично доказательству леммы 3.2. D Л Е М М А 3.8. Все правила г„(£2), 2 < п £ N, независимы в логи ке &2ДОКАЗАТЕЛЬСТВО аналогично доказательству леммы 3.3. В этом случае мы рассматриваем частично упорядоченные множества Q n , n > 2, с удаленным наибольшим элементом. D
225
Независимые базисы Непосредственно из лемм 3.8 и 3.9 следует
Т Е О Р Е М А 3,2. Правила r n (U2), n G N, п > 2, образуют незави симый базис для всех правил, допустимых в предтабличной
суперинтуи
ционистской логике &2Суммируя результаты данного раздела, получаем, что справедлива ТЕОРЕМА 3.3, Любая предтабличная
суперинтуиционистская
логика имеет независимый базис для допустимых правил. Таким образом, получен исчерпывающий ответ на вопрос о независи мых базисах допустимых правил вывода предтабличных модальных логик над 54 и всех предтабличных суперинтуиционистских логик. Очевидно, что этот вопрос интересен и для некоторых индивидуальных модальных предтабличных логик над АЧ, но он остается открытым, как и вопрос о том, существует ли независимый базис допустимых правил вывода для основных транзитивных модальных логик КА, 54 или, скажем, для инту иционистского исчисления высказываний IPC.
ЛИТЕРАТУРА 1. A.Chagrov, V. Zakharyaschev, On the independent axiomatizability of modal and superintuitionistic logics, J. Log. Comput., 5, N 3 (1995), 287—302. 2. В, В. Рыбаков, Критерий допустимости правил в модальной системе S4 и интуиционистской логике, Алгебра и логика, 23, N 5 (1984), 546—572. 3. В. Б. Рыбаков, Базисы допустимых правил логик 54 и Int, Алгебра и ло гика, 24, N 1 (1985), 87-107. 4. Б. Б. Рыбаков, Базисы допустимых правил модальной системы Grz и инту иционистской логики, Матем. сборник, 128 (170), N 3 (1985), 321—338. 5. V. К Rybakov, Logical equations and admissible rules of inference with parameters in modal provability logics, Stud, Log., 49, N 2 (1990), 215—239. 6. V, V. Rybakov, Rules of inference with parameters for intuitionistic logic, J. Symb. Log., 57, N 3 (1992), 912-923. 7. V. V. Rybakov, Criteria for admissibility of inference rules. Modal and intermediate logics with the branching property, Stud. Log., 53, N 2 (1994), 203-225.
226
В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М.
Терзилер
8. V. V. Rybakov, Admissibility of logical inference rules (Studies in Logic and Foundations of Mathematics, 136), Elsevier Science Publishers B. V., Amsterdam-New York, 1997, 617. 9. Л. Л. Максимова, Предтабличные расширения логики Льюиса 54, Алгебра и логика, 14, N 1 (1975), 28-55. 10. L.Esakia,
V.Meskhi, The critical modal systems, Theoria, 43 (1977), 52—60.
11. Л.Л. Максимова, Предтабличные суперинтуиционистские логики, Алгебра и логика, 11, N 5 (1972), 558-570. 12. A.Chagrov,
M. Zakharyaschev,
Modal logics (Oxford Logic Guides, 35),
Oxford, Clarendon Press, 1997. 13. R. Wojcicki, Theory of Logical Calculi, Dordrecht, Kluwer, 1988. 14. R.Lorenzen,
Einfiihrung in die Operative Logik und Mathematik, Berlin—
Gottingen—Heidelberg, Springer-Verlag, 1955.
Адреса авторов:
Поступило 9 июня 1998 г.
РЫБАКОВ Владимир Владимирович, К И Я Т К И Н Владимир Ростиславич,
TERZILER Mehmet
РОССИЯ,
Mathematcal D e p a r t m e n t
660049, г. Красноярск,
Science University
пр. Свободный, 79,
Ege Ubiversity
Красноярский госуниверситет,
35 100 Bornova-Izrnir
математический факультет,
Turkey
e-mail:
[email protected]
[email protected]
