Уравнения математической физики. Введение: Курс лекций

Федеральное агентство по образованию

Уравнениям математической физики. Введение

Курс лекций для вузов Составители: В.З. Мешков, А.Т. Астахов, А.А. Ларин

ВОРОНЕЖ 2007

2

Утверждено Научно — методическим советом факультета 25 января 2007 г., протокол №5

ПММ

Рецензент А.В. Ковалев

Учебное пособие подготовлено на кафедре дифференциальных уравнений факультета ПММ Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 3-5 курса д/о и в/о и магистров факультета ПММ

Для специальностей: 010501, 510200, 010500, 010200 – Прикладная математика и информатика

3 Программа дисциплины 1. Основные сведения об уравнениях с частными производными. 2. Классификация уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными. 3. Уравнения характеристик. 4. Канонические формы уравнений. 5. Классификация уравнений второго порядка со многими независимыми переменными в точке. 6. Вывод основных уравнений математической физики. Уравнение колебаний струны. 7. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле. 8. Задачи, приводящие к уравнениям Пуассона и Лапласа. 9. Характеристические уравнения и характеристики. 10. Постановка основных краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка. 11. Задача Коши. 12. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа. Смешанная краевая задача. 13. Корректность постановки задач математической физики. Теорема Ковалевской. Пример Адамара. 14. Основной оператор краевых задач математической физики. Первая и вторая формулы Грина для основного оператора математической физики. 15. Свойства основного оператора математической физики. Симметричность. Неположительность. 16. Задача на собственные значения. Свойства собственных значений и собственных функций. 17. Задача Штурма – Лиувилля. 18. Метод Фурье. Метод разделения переменных для решения первой начально–краевой задачи для уравнения колебания струны. 19. Сходимость рядов, определяющих классическое решение. 20. Метод разделения переменных для решения первой начально –краевой задачи для уравнения теплопроводности. Сходимость рядов, определяющих классическое решение. 21. Гиперболические уравнения. Задача Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера. 22. Неоднородное уравнение. Устойчивость решения.

4 23. Метод распространяющихся волн. Распространение волн отклонения. Распространения волн импульса. 24. Полуограниченная прямая и метод продолжений. 25. Распространение краевого режима. 26. Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Кирхгофа. 27. Задача Коши для двумерного волнового уравнения. Формула Пуассона. 28. Принцип Гюйгенса. Физическая интерпретация принципа Гюйгенса. 29. Неоднородное уравнение. Принцип Дюамеля. 30. Задача Коши. Энергетическое неравенство. Единственность решения задачи Коши. 31. Единственность решения начально-краевых задач для волнового уравнения. Интеграл энергии. 32. Преобразование Фурье функций из пространства S(Rn ) . Формула обратного преобразования Фурье в классе S(Rn ) . 33. Свойства преобразования Фурье. 34. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона. 35. Обоснование вывода интеграла Пуассона. 36. Физический смысл фундаментального решения уравнения теплопроводности. 37. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. 38. Следствия из принципа максимума. Принцип минимума. Принцип максимума модуля. О продолжении неравенств справедливых на нижнем основании или боковой поверхности. 39. Единственность решения первой начально - краевой задачи для уравнения теплопроводности. Об устойчивости решения начально - краевой задачи по начальным и граничным данным. 40. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. 41. Постановка основных задач для уравнения теплопроводности. Закон сохранения тепловой энергии. Теорема единственности решения для ограниченных областей. 42. Уравнение специальных функций. Уравнение Бесселя. 43. Степенной ряд для функций Бесселя. 44. Рекуррентные формулы. 45. Интегральное представление функций Бесселя.

5 46. Функции Ханкеля. Интегральное представление. 47. Связь функций Ханкеля и Бесселя. Функция Неймана. 48. Асимптотика цилиндрических функций при больших значениях аргумента. 49. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения Лапласа. 50. Задачи Дирихле и Неймана в круге. 51. Интеграл Пуассона. 52. Обобщенные функции. 53. Пространства основных и обобщенных функций. 54. Средние функции. Понятие обобщенной производной. 55. Обобщенные и фундаментальные решения дифференциальных уравнений. 56. Свертка и ее основные свойства. 57. Неравенство Фридрихса. 58. Пространства Hκ (Ω) . 59. Эллиптические уравнения. Постановка основных задач для уравнений эллиптического типа. 60. Некоторые свойства оператора Лапласа. Первая и вторая формулы Грина для оператора Лапласа. 61. Следствия из формулы Грина. 62. Фундаментальное решение оператора Лапласа. 63. Физический смысл фундаментального решения оператора Лапласа. 64. Интегральное представление функций класса C 2 (третья формула Грина). 65. Основные свойства гармонических функций. 1) Бесконечная дифференцируемость. 2) Теорема о потоке тепла (граничное свойство гармонических функций). 3) Связь аналитических и гармонических функций. 4) Теоремы о среднем значении. 5) Обратная теорема о среднем значении(без доказательства). 6) Принцип максимума. 7) Единственность внутренней задачи Дирихле. 8) Единственность внешней задачи Дирихле. 9) Теорема Лиувилля. 10) Оценка производной гармонической функции. 66. Преобразование Кельвина и его свойства. Следствия из теоремы Кельвина.

6 67. Скорость убывания на бесконечности гармонических функций. 68. Теорема единственности внешней задачи Неймана. 69. Функция Грина. Функция Грина внутренней и внешней задач Дирихле для внутренности и внешности единичного шара. 70. Функция Грина внутренней и внешней задачи Дирихле. 71. Симметрия функции Грина первой краевой задачи для уравнения Лапласа. 72. Функция Грина внутренней задачи Неймана. 73. Функция Грина внешней задачи Неймана. 74. Метод отражения. Функция Грина для полупространств. 75. Функция Грина внешней задачи Дирихле для полупространств. 76. Функция Грина внешней задачи Неймана для полупространств. Лекция 1 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Теория математических моделей физических явлений составляет предмет математической физики. Более подробно в этом курсе будем изучать дифференциальные, интегральные и функциональные уравнения, описывающие явления природы. Пусть Ω – область n -мерного пространства Rn точек x=(x1 , ..., xn ) , n > 2. Определение. Уравнение в частных производных — это уравнение, которое связывает независимые переменные x1 , x2 , ... , xn , неизвестную функцию многих переменных u = u(x1 , x2 , . . . , xn ) и ее частные производные, т. е. это уравнение вида µ ¶ ∂u ∂u ∂ 2 u ∂ mu F x1 , x2 , . . . , xn , u, ,..., , , . . . , m1 = 0, (1) n ∂x1 ∂xn ∂x21 ∂x1 · · · ∂xm n mi ∈ N ∪ {0} , m1 + m2 + · · · + mn = m . Здесь F (·) – некоторая заданная функция от соответствующего количества переменных. Определение. Функция u(x) , заданная в области Ω ⊂ Rn , называется регулярным (классическим) решением уравнения (1), если она непрерывна вместе со всеми своими производными до порядка m

7 включительно в этой области и при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Определение. Наивысший порядок входящих в уравнение частных производных называется порядком дифференциального уравнения с частными производными. Порядок уравнения (1) равен m . В курсе математической физики будем рассматривать только дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Пример. В случае n = 2 уравнение второго порядка имеет вид ¶ µ ∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u = 0. F x, y, u(x, y), , , 2 , 2 , ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x∂y Определение. Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных. Линейное уравнение с частными производными второго порядка от n независимых переменных может быть записано в виде n X ∂u ∂ 2u + bi (x) + c(x)u = f (x), aij (x) ∂xi ∂xj ∂x i i=1 j=1 i=1 aij (x) = aji (x), i, j = 1, . . . , n, n P n P

(2)

где aij (x) , bi (x) , c(x) , f (x) – заданные функции от n переменных. Определение. Функции aij (x) , bi (x) , c(x) в уравнении (2) называются коэффициентами линейного уравнения. Определение. Функция f (x) называется правой частью уравнения (2). Если f (x) ≡ 0 , то уравнение называется однородным. В противном случае – неоднородным. Уравнение с частными производными второго порядка, линейное относительно всех старших производных, имеет вид n X n X i=1

∂ 2u aij (x) + Φ(x, u(x), grad u(x)) = 0, ∂x ∂x i j j=1

где коэффициенты aij являются функциями только независимых переменных x1 , x2 , ... , xn . Если они зависят также от u(x) и ее первых производных, то уравнение называется квазилинейным. Таким образом, квазилинейное уравнение имеет вид n X n X i=1 j=1

aij (x, u(x), grad u(x))

∂ 2u + Φ(x, u(x), grad u(x)) = 0. ∂xi ∂xj

8 2. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ Рассмотрим уравнение второго порядка, линейное относительно старших производных, для неизвестной функции u(x, y) двух независимых переменных x и y : a11 (x, y)uxx + 2a12 (x, y)uxy + a22 (x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0,

(1)

где действительные функции aij (x, y) определены в области Ω . Будем считать, что все коэффициенты aij одновременно в нуль не обращаются ни в одной точке области Ω (a211 + a212 + a222 6= 0) . Введем новые независимые переменные: ξ = ξ(x, y), η = η(x, y),

(2)

где функции ξ и η дважды непрерывно дифференцируемы: ξ, η ∈ C 2 (Ω) . Будем считать, что это преобразование осуществляет взаимно однозначное отображение области Ω на область Ω0 . Потребуем, чтобы якобиан преобразования был отличен от нуля: D(ξ, η) 6= 0. D(x, y)

(3)

Попытаемся преобразование (2) выбрать таким образом, чтобы в новых переменных уравнение (1) имело наиболее простую форму. Преобразуем уравнение (1) к новым переменным, полагая U (ξ, η) = u(x(ξ, η), y(ξ, η)) . Тогда ux = Uξ ξx + Uη ηx , uy = Uξ ξy + Uη ηy , uxx = Uξξ ξx2 + 2Uξη ξx ηx + Uηη ηx2 + Uξ ξxx + Uη ηxx , uyy = Uξξ ξy2 + 2Uξη ξy ηy + Uηη ηy2 + Uξ ξyy + Uη ηyy , uxy = Uξξ ξx ξy + Uξη (ξx ηy + ξy ηx ) + Uηη ηx ηy + Uξ ξxy + Uη ηxy . В новых переменных уравнение (1) принимает вид a11 Uξξ + 2a12 Uξη + a22 Uηη + F = 0,

(4)

a11 = a11 ξx2 + 2a12 ξx ξy + a22 ξy2 ,

(5)

где

9 a22 = a11 ηx2 + 2a12 ηx ηy + a22 ηy2 ,

(6)

a12 = a11 ξx ηx + a12 (ξx ηy + ξy ηx ) + a22 ξy ηy ,

(7)

F = F (ξ, η, U, Uξ , Uη ) – функция, не зависящая от старших производных. При этом непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости тождества ¯ D(ξ, η) ¯2 ¯ ¯ 2 2 (8) a12 − a11 a22 = (a12 − a11 a22 )¯ ¯. D(x, y) Теперь можно ввести следующую классификацию уравнений, линейных относительно старших производных. Определение. Если в точке M (x0 , y0 ) a212 − a11 a22 > 0 , то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в точке M , если в точке M a212 − a11 a22 < 0 , то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в точке M , если в точке M a212 − a11 a22 = 0 , то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в точке M . Заметим, что согласно (8) при любой невырожденной замене переменных тип уравнения не изменяется. Если тип уравнения сохраняется во всех точках области Ω , то уравнение называется уравнением данного типа во всей области Ω . Если в разных точках области уравнение принадлежит разным типам, то оно называется уравнением смешанного типа в области Ω .

3. УРАВНЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК Теперь выясним, как нужно вводить новые переменные ξ и η , чтобы уравнение (1) приняло наиболее простой вид. Будем считать, что уравнение (1) принадлежит определенному типу во всей области Ω и коэффициенты a11 (x, y) и a22 (x, y) одновременно в нуль не обращаются. В противном случае уравнение (1) содержит только одну старшую производную uxy и уже имеет простейший вид. Для определенности считаем, что a11 (x, y) 6= 0 . Из соотношения (5) видно, что для того, чтобы a11 = 0 , нужно в качестве функции ξ(x, y) взять решение уравнения a11 zx2 + 2a12 zx zy + a22 zy2 = 0.

(9)

10 Определение. Уравнение (9) называется характеристическим уравнением для уравнения (1). Имеет место следующая лемма. Лемма. Пусть функция z(x, y) класса C 1 такова, что zy 6= 0 в рассматриваемой области Ω . Для того, чтобы семейство кривых z(x, y) = C представляло собой характеристики уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы выражение z(x, y) = C было общим интегралом обыкновенного дифференциального уравнения a11 (x, y)(dy)2 − 2a12 (x, y)dydx + a22 (x, y)(dx)2 = 0.

(10)

Доказательство. Необходимость. Пусть z(x, y) удовлетворяет (9). Равенство z(x, y) = C задает функцию y = f (x, C) (по теореме о дифференцировании неявной функции), для которой dy zx (x, y) ¯¯ =− . ¯ dx zy (x, y) y=f (x,C) Поскольку справедливо соотношение µ ¶2 dy dy a11 − 2a12 + a22 = dx dx # " µ µ ¶2 ¶ zx zx − 2a12 − = a11 − + a22 zy zy

= 0,

y=f (x,C)

то функция y = f (x, C) удовлетворяет уравнению (10). Достаточность. Пусть z(x, y) = C есть общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения (10). Через произвольную точку (x0 , y0 ) проведем интегральную кривую уравнения (10), полагая z(x0 , y0 ) = C0 и y = f (x, C0 ) . Т. к. y0 = f (x0 , C0 ) , то для всех точек этой кривой имеем: µ ¶2 dy dy a11 − 2a12 + a22 = dx dx " µ # ¶2 µ ¶ zx zx = a11 − − 2a12 − + a22 = 0. zy zy y=f (x,C0 )

Полагая в последнем равенстве x = x0 , получим (9). Лемма доказана. Полагая ξ = ϕ(x, y) , где ϕ(x, y) = C есть интеграл уравнения (10), мы обращаем в нуль коэффициент при Uξξ в уравнении (4). Если

11 ψ(x, y) = C – другой интеграл уравнения (10), независимый от ϕ(x, y) , то, полагая η = ψ(x, y) , мы обращаем в нуль также и коэффициент при Uηη . Уравнение (10) распадается на два уравнения: p a12 + a212 − a11 a22 dy = , (11) dx a11 p a212 − a11 a22 a − dy 12 = . (12) dx a11 В силу доказанной леммы уравнения (11) и (12) называют уравнениями характеристик для уравнения (1), а их решения – характеристиками.

4. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим область G , во всех точках которой уравнение имеет один и тот же тип. 1. Для уравнения гиперболического типа a212 − a11 a22 > 0 правые части уравнений (11) и (12) действительны и различны. Общие интегралы их, ϕ(x, y) = C1 и ψ(x, y) = C2 , определяют действительные семейства характеристик, которые не касаются друг друга. Выбирая ξ = ϕ(x, y) , η = ψ(x, y) , получим a11 = 0 , a22 = 0 . Следовательно, уравнение (4) после деления на a12 6= 0 принимает вид Uξη = F (ξ, η, U, Uξ , Uη ).

(13)

Определение. Форма уравнения (13) называется (первой) канонической формой уравнения гиперболического типа. Часто используется и другая каноническая форма, которую можно получить заменой 1 α = (ξ − η), 2

1 β = (ξ + η). 2

В этом случае уравнение принимает вид Uαα − Uββ = F1 (ξ, η, U, Uξ , Uη ). 2. Пусть в области G уравнение (1) есть уравнение эллиптического типа, т. е. a212 − a11 a22 < 0 . Тогда уравнения характеристик (11) и

12 (12) при действительных коэффициентах aij имеют комплексно– сопряженные правые части. Все характеристики будут комплексными. Считая, что коэффициенты aij определены в комплексной области и аналитичны, и делая формальную замену ξ = ξ(x, y) , η = ξ ∗ (x, y) , где ξ(x, y) = C1 и ξ ∗ (x, y) = C2 — комплексно–сопряженные интегралы (11) и (12), получим уравнение Uξη = F2 (ξ, η, U, Uξ , Uη )

(14)

в комплексной области. Если сделать еще одну замену 1 i α = (ξ + η) = Reξ, β = − (ξ − η) = Imξ, 2 2 уравнение (14) примет вид Uαα + Uββ = F3 (ξ, η, U, Uξ , Uη )

(15)

уже в действительной области. Определение. Форма (15) преобразованного уравнения (1) есть канонический вид уравнения эллиптического типа. 3. Рассмотрим, наконец, уравнение параболического типа в области G : a212 − a11 a22 = 0 . В этом случае существует только одно уравнение характеристик dy a12 . = dx a11 Пусть ξ(x, y) = C — его интеграл. Возьмем произвольную дважды дифференцируемую функцию η(x, y) такую, чтобы выполнялось условие D(ξ, η) 6= 0. (16) D(x, y) Тогда при замене ξ = ξ(x, y) , η = η(x, y) коэффициент a11 = 0 в силу (9) и a12 2 = 0 , т. к. a12 2 − a11 a22 = 0 . Коэффициент a22 6= 0 т. к. в противном случае не будет выполняться (16). Следовательно, уравнение (4) принимает вид Uηη = F4 (ξ, η, U, Uξ , Uη ). (17) Определение. Форма (17) преобразованного уравнения (1) представляет собой каноническую форму уравнения параболического типа. Отметим еще раз, что приведенная классификация справедлива во всей области, где уравнение сохраняет определенный тип.

13 Лекция 2 5. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО МНОГИМИ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ В ТОЧКЕ Рассмотрим уравнение вида n X n X i=1

∂ 2u aij (x) + Φ(x, u(x), grad u(x)) = 0 ∂x ∂x i j j=1

(1)

с непрерывными коэффициентами aij (x) , x = (x1 , x2 , ..., xn ) . Выясним, как преобразуется уравнение (1) при произвольной невырожденной замене независимых переменных ξ = ξ(x) , т. е. ξi = ξi (x1 , x2 , ..., xn ), ¯ ¯ ∂ξ1 ∂ξ1 ¯ ¯ ∂x1 ∂x2 · · · ¯ ∂ξ ∂ξ ¯ 2 2 ··· ¯ D= ¯ ∂x1 ∂x2 ¯ ··· ··· ··· ¯ ¯ ∂ξn ∂ξn ¯ ¯ ∂x ∂x · · · 1

2

i = 1, 2, ..., n; ¯ ∂ξ1 ¯ ¯ ∂xn ¯¯ ∂ξ2 ¯ ¯ 6= 0. ∂xn ¯ ¯ ··· ¯ ∂ξn ¯¯ ∂x ¯

(2)

n

Т. к. D 6= 0 , то в некоторой окрестности точки ξ = ξ(x) можно выразить переменные x через ξ , x = x(ξ) . Обозначим u(x(ξ)) = U (ξ) , тогда U (ξ(x)) = u(x) . Считая ξi ∈ C 2 , имеем n

X ∂U ∂ξκ ∂u = · , ∀i = 1, n, ∂xi ∂ξ ∂x κ i κ=1 Ã n ! µ ¶ 2 X ∂ ∂u ∂ ∂ u ∂U ∂ξκ = = · = ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi κ=1 ∂ξκ ∂xj µ ¶ µ ¶ n n X ∂ ∂U ∂ξκ X ∂U ∂ ∂ξκ = + = ∂x ∂ξ ∂x ∂ξ ∂x ∂x i κ j κ i j κ=1 κ=1 µ ¶ n n n X X ∂ ∂U ∂ξ` ∂ξκ X ∂ 2 ξκ ∂U = · + · = ∂ξ ∂ξ ∂x ∂x ∂ξ ∂x ∂x ` κ i j κ i j κ=1 κ=1 =

`=1 n X n X κ=1 `=1

n

∂ξ` ∂ξκ X ∂U ∂ 2 ξκ ∂ 2U · · + · . ∂ξκ ∂ξ` ∂xi ∂xj κ=1 ∂ξκ ∂xi ∂xj

(3)

14 Подставляя выражения для производных (3) в уравнение (1), получим " n n " n n # # n n X n 2 X X ∂ξ` ∂ξκ ∂ 2 U X XX X ∂ ξκ ∂U aij aij · + + ∂x ∂x ∂ξ ∂ξ ∂x ∂x ∂ξ i j κ ` i j κ κ=1 κ=1 i=1 j=1 i=1 j=1 `=1

µ +Φ∗

∂U ∂U ξ, U, ,..., ∂ξ1 ∂ξn

¶ = 0.

(4)

Здесь Φ∗ (ξ, U, grad U ) = Φ(x, u, grad u) . Обозначая теперь через Aκ` новые коэффициенты при вторых производных, Aκ` =

n X n X

aij

i=1 j=1

и полагая e U, grad U ) = Φ(ξ,

" n n n X XX κ=1

∂ξ` ∂ξκ · , ∂xi ∂xj

2

aij

i=1 j=1

(5)

#

∂ ξκ ∂U + Φ∗ (ξ, U, grad U ), ∂xi ∂xj ∂ξκ

перепишем уравнение (4) в виде: n X n X κ=1 `=1

∂ 2U e U, grad U ) = 0. + Φ(ξ, Aκ` ∂ξκ ∂ξ`

(6)

Далее фиксируем точку x0 и положим ξ0 = ξ(x0 ),

ακi =

∂ξκ (x0 ) . ∂xi

Тогда соотношение (5) в точке x0 , примет вид Aκ` (ξ0 ) =

n X n X

aij (x0 )α`i ακj .

(7)

i=1 j=1

Полученная формула преобразования коэффициентов aij в точке x0 совпадает с формулой преобразования коэффициентов квадратичной формы n X n X aij (x0 )pi pj (8) i=1 j=1

при невырожденном линейном преобразовании pi =

n X κ=1

ακi qκ ,

det (ακi ) 6= 0,

(9)

15 переводящим форму (8) в форму n X n X

Aκ` qκ q` .

(10)

κ=1 `=1

Итак, чтобы упростить уравнение (1) в точке x0 с помощью замены переменных (2), достаточно упростить в этой точке квадратичную форму (8) с помощью невырожденного линейного преобразования (9). В курсе линейной алгебры доказывается, что всегда существует преобразование (9), при котором квадратичная форма (10) принимает следующий канонический вид: r X κ=1

qκ2

−

m X

qκ2 ,

m 6 n.

(11)

κ=r+1

Кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм целые числа r и m не зависят от преобразования (9)(они зависят только от коэффициентов aij ). Это позволяет классифицировать уравнения следующим образом: 1) если в форме (11) m = n и все слагаемые одного знака (т. е. либо r = m , либо r = 0 ), то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа; 2) если m = n , но имеются слагаемые разных знаков (т. е. 1 6 r 6 n − 1 ), то уравнение (1) – гиперболического типа (при r = 1 или r = n − 1 – нормально-гиперболического типа); 3) если m < n , то это уравнение (1) – параболического типа (при r = n − 1 – нормально-параболического типа). Пусть коэффициенты aij в уравнении (1) постоянны, т.е. не зависят от x , и пусть преобразование (9) приводит квадратичную форму (8) к каноническому виду (11). Тогда линейная замена независимых переменных n X ξi = αiκ xκ κ=1

преобразует уравнение (1) к следующему каноническому виду: r X ∂ 2U κ=1

m X ∂ 2U e − + Φ(ξ, U, grad U ) = 0. ∂ξκ2 κ=r+1 ∂ξκ2

(12)

Замечание. Выше мы привели способ приведения уравнения (1) к каноническому виду в каждой отдельной точке, где задано это уравне-

16 ние. В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли одним и тем же преобразованием (2) привести уравнение (1) к каноническому виду (12) в достаточно малой окрестности каждой точки? Чтобы это приведение можно было сделать для любого уравнения, необходимо, чтобы число условий Aκ` = 0, Aκκ = εκ A11 ,

κ 6= `,

κ, ` = 1, 2, ..., n;

κ = 2, 3, ..., n,

A11 6= 0,

где ε = 0, ±1 не превосходило числа неизвестных функций ξκ , κ = 1, 2, ..., n , т. е. чтобы выполнялось условие n(n − 1) + n − 1 6 n, 2 т. е. n 6 2 . Для n = 2 это приведение всегда можно сделать (для n = 1 это очевидно).

ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ Многие задачи механики (колебания струн, стержней, мембран и трехмерных объемов) и физики (электромагнитные колебания) приводят к уравнению колебаний вида ∂ 2u = div (κ grad u) − qu + F (x, t), (1) ∂t2 где неизвестная функция u(x, t) зависит от n (n = 1, 2, 3) пространственных переменных x = (x1 , x2 , ..., xn ) и времени t , коэффициенты ρ , κ и q определяются свойствами среды; F (x, t) – плотность внешнего возмущения. В уравнении (1) в соответствии с определением операторов div и grad : µ ¶ n X ∂ ∂u div (κ grad u) = κ . ∂x ∂x i i i=1 ρ

Рассмотрим натянутую струну, закрепленную на концах. Под струной мы понимаем тонкую нить, которая не оказывает никакого сопротивления изменению ее формы, не связанного с изменением ее длины. Сила

17 натяжения T0 , действующая на струну, предполагается значительной, так что можно пренебречь действием силы тяжести. Пусть в положении равновесия струна направлена по оси x . Мы будем рассматривать только поперечные колебания струны, предполагая, что движение происходит в одной плоскости и что все точки струны движутся перпендикулярно оси x . Обозначим через u(x, t) смещение точек струны в момент времени t от положения равновесия. При каждом фиксированном значении t график функции u(x, t) , очевидно, дает форму струны в этот момент времени (рис. 1). u 6 − → T (x2 , t)

u(x2 , t) ¢¸ ¢

-

M2

¢

¢

− → T (x1 , t)

¢ ¢

¢

u(x1 , t)

¢

¢

¢

M1

¢ → − − T (x1 , t) ¢¢ ¢ ¢ ¢®

x1

x2

-

x

Puc. 1 Рассматривая далее только малые колебания струны, мы будем счи∂u тать, что смещение u(x, t) , а также производная столь малы, что их ∂x квадратами и произведениями можно пренебречь по сравнению с самими этими величинами. Выделим произвольный участок (x1 , x2 ) струны (рис. 1), который при колебании струны деформируется в участок M1 M2 . Длина дуги этого участка в момент времени t равна S0 =

Zx2 p

1 + u2x dx ≈ x2 − x1 = S,

x1

вследствие чего можно считать, что в процессе малых колебаний удлинения участков струны не происходит. Отсюда в силу закона Гука следует, что величина натяжения T в каждой точке струны не меняется

18 со временем. Таким образом, при наших предположениях изменением величины натяжения струны, возникающим при ее движении, можно пренебречь по сравнению с тем, которому она была уже подвергнута в положении равновесия. Покажем, что величину натяжения T можно считать не зависящей от x , т. е. T ≈ T0 . Действительно, на участок M1 M2 струны действуют силы натяжения, направленные по касательным к струне в точках M1 и M2 , внешние силы и силы инерции. Сумма проекций на ось x всех этих сил должна равняться нулю. Т. к. мы рассматриваем только поперечные колебания, то силы инерции и внешние силы направлены параллельно оси, и тогда T (x1 ) cos α(x1 ) − T (x2 ) cos α(x2 ) = 0, где α(x) — угол между касательной в точке с абсциссой x к струне в момент времени t с положительным направлением оси x . В силу малости колебаний 1 1 cos α(x) = p =p ≈1 1 + u2x 1 + tg2 α(x) и, следовательно, T (x1 ) ≈ T (x2 ). Отсюда, ввиду произвольности x1 и x2 , следует, что величина натяжения T не зависит от x . Таким образом, можно считать, что T ≈ T0 для всех значений x и t . Перейдем к выводу уравнения колебаний струны. Для этого воспользуемся принципом Даламбера, на основании которого все силы, действующие на некоторый выделенный участок в струне, включая силы инерции, должны уравновешиваться. Рассмотрим произвольный участок M1 M2 струны и составим условие равенства нулю суммы проекций на ось u всех сил, действующих на него: сил натяжения, равных по величине и направленных по касательным к струне в точках M1 и M2 , внешней силы, направленной параллельно оси u , и силы инерции. Сумма проекций на ось u сил натяжения, действующих в точках M1 и M2 , равняется Y = T0 [sin α(x2 ) − sin α(x1 )], но вследствие наших предположений sin α(x) = p

tg α(x) 1 + tg2 α(x)

=q

∂u ∂x

1+

∂u ≈ ¡ ∂u ¢2 ∂x ∂x

19 и, следовательно, "µ Y = T0

∂u ∂x

¶

µ − x=x2

∂u ∂x

#

¶

. x=x1

Замечая теперь, что µ

¶

∂u ∂x

µ −

x=x2

∂u ∂x

окончательно получим

¶

Zx2 Y = T0 x1

Zx2 = x=x1

x1

∂ 2u dx, ∂x2

∂ 2u dx. ∂x2

(2)

Обозначим через F (x, t) плотность внешних сил, действующих на струну в точке x в момент времени t и направленных перпендикулярно оси x . Тогда проекция на ось u внешней силы, действующей на участок M1 M2 струны, будет равна Zx2 F (x, t) dx.

(3)

x1

Пусть ρ(x) – линейная плотность струны, тогда сила инерции участка M1 M2 струны будет равна Zx2 − x1

∂ 2u ρ(x) 2 dx. ∂x

(4)

Сумма проекций (2)—(4) на ось u(x, t) всех сил, действующих на участок M1 M2 струны, должна быть равна нулю, т. е. Zx2 · x1

¸ ∂ 2u ∂ 2u T0 2 − ρ(x) 2 + F (x, t) dx = 0. ∂x ∂t

Отсюда в силу произвольности x1 и x2 следует, что подинтегральная функция должна равняться нулю для каждой точки струны в любой момент времени t , т. е. ρ(x)

∂ 2u ∂ 2u = T + F (x, t). 0 ∂t2 ∂x2

(5)

20 Это и есть искомое уравнение колебаний струны. Если ρ(x) = ρ = const , т. е. в случае однородной струны, уравнение (5) обычно записывается в виде s 2 2 ∂ u ∂ u T0 F (x, t) = a2 2 + f (x, t), a = , f (x, t) = . 2 ∂t ∂x ρ ρ Это уравнение будем также называть одномерным волновым уравнением. Если внешняя сила отсутствует, то мы имеем F (x, t) = 0 и получаем уравнение свободных колебаний струны 2 ∂ 2u 2∂ u = a . ∂t2 ∂x2 Уравнение вида (1) описывает также малые продольные колебания упругого стержня µ ¶ ∂ 2u ∂u ∂ ρS 2 = ES + F (x, t) ∂t ∂x ∂x

где S(x) – площадь поперечного сечения стержня и E(x) – модуль Юнга в точке x . Аналогично выводится уравнение малых поперечных колебаний мембраны: µ 2 ¶ ∂ 2u ∂ u ∂ 2u ρ(x) 2 = T0 + + F (x, t). ∂t ∂x21 ∂x22 Если плотность ρ постоянна, то уравнение колебаний мембраны принимает вид s µ 2 ¶ 2 2 ∂ u ∂ u T0 F (x, t) 2 ∂ u = a + + f (x, t), a = , f = . ∂t2 ∂x21 ∂x22 ρ ρ Последнее уравнение будем называть двумерным волновым уравнением. Трехмерное волновое уравнение ¶ µ 2 2 2 ∂ 2u ∂ u ∂ u ∂ u = a2 + + + f (x, t) 2 ∂t ∂x21 ∂x22 ∂x23 описывает процессы распространения звука в однородной среде и электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Этому уравнению удовлетворяет плотность газа, его давление и потенциал скоростей, а также составляющие напряженности электрического и магнитного полей и соответствующие потенциалы.

21 Мы будем записывать волновые уравнения единой формулой: ∂ 2u = a2 ∆u + f, 2 ∂t где ∆ – оператор Лапласа: ∆=

∂2 ∂2 ∂2 + + . ∂x21 ∂x22 ∂x23

Лекция 3. 7. УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ИЗОТРОПНОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описывается следующим общим уравнением диффузии: ρ

∂u = div (κ grad u) − qu + F (x, t). ∂t

(1)

Рассмотрим твердое тело, температура которого в точке (x, y, z) в момент времени t определяется функцией u(x, y, z, t) . Если различные части тела находятся при различной температуре, то в теле будет происходить движение тепла от более нагретых частей к менее нагретым. Возьмем какую-нибудь поверхность S внутри тела и на ней малый элемент ∆S . В теории теплопроводности принимается, что количество тепла ∆Q , проходящего через элемент ∆S за время ∆t , пропорционально ∂u ∆t · ∆S и нормальной производной , т. е. ∂~n ∆Q = −κ ·

∂u · ∆S · ∆t = −κ · ∆S · ∆t · gradn u, ∂~n

(2)

где κ > 0 — коэффициент внутренней теплопроводности, а ~n — нормаль к элементу поверхности ∆S в направлении движения тепла. Будем считать, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т. е. что коэффициент внутренней теплопроводности κ зависит только от точки (x, y, z) тела и не зависит от направления нормали к поверхности S в этой точке.

22 Обозначим через q тепловой поток, т. е. количество тепла, проходящего через единицу площади поверхности за единицу времени. Тогда (2) можно записать в виде q = −κ

∂u . ∂~n

(3)

Для вывода уравнения распространения тепла выделим внутри тела произвольный объем V , ограниченный гладкой замкнутой поверхностью S , и рассмотрим изменение количества тепла в этом объеме за промежуток времени (t1 , t2 ) . Нетрудно видеть, что через поверхность S за промежуток времени (t1 , t2 ) , согласно формуле (2), входит количество тепла, равное Zt2 Z Z ∂u Q1 = − dt κ(x, y, z) dS, ∂~n t1

S

где ~n — внутренняя нормаль к поверхности S . Рассмотрим элемент объема ∆V . На изменение температуры этого объема на ∆u за промежуток времени ∆t нужно затратить количество тепла ∆Q2 = [u(x, y, z, t + ∆t) − u(x, y, z, t)]γ(x, y, z)ρ(x, y, z)∆V, где ρ(x, y, z) , γ(x, y, z) есть соответственно плотность и теплоемкость вещества. Таким образом, количество тепла, необходимое для изменения температуры объема V на ∆u = u(x, y, z, t2 ) − u(x, y, z, t1 ), равно Z Z Z Q2 = [u(x, y, z, t2 ) − u(x, y, z, t1 )]γρ dV V

или

Zt2 Q2 =

Z Z Z dt

t1

γρ

∂u dV, ∂t

V

т. к.

Zt2 u(x, y, z, t2 ) − u(x, y, z, t1 ) = t1

∂u dt. ∂t

Предположим, что внутри рассматриваемого тела имеются источники тепла. Обозначим через F (x, y, z, t) плотность (количество поглощенного или выделяемого тепла в единицу времени в единице объема

23 тела) тепловых источников. Тогда количество тепла, выделяемого или поглощаемого в объеме V за промежуток времени (t1 , t2 ) , будет равно Z Z Z

Zt2 Q3 =

dt

F (x, y, z, t) dV.

t1

V

Составим теперь уравнение баланса тепла для выделенного объема V . Очевидно, что Q2 = Q1 + Q3 , т. е. Zt2

Z Z Z dt

t1

Zt2 =−

ZZ dt

t1

γρ V

∂u κ(x, y, z) dS + ∂~n

S

∂u dV = ∂t

Zt2

Z Z Z dt

t1

F (x, y, z, t) dV, V

или, применяя формулу Гаусса – Остроградского ко второму интегралу, будем иметь Z Z Z ·

Zt2 dt t1

¸ ∂u − div (κgrad u) − F (x, y, z, t) dV = 0. γρ ∂t

V

Т. к. подынтегральная функция непрерывна, объем V и промежуток времени (t1 , t2 ) произвольны, то для любой точки (x, y, z) рассматриваемого тела и для любого момента времени t должно быть γρ или

∂u = div (κ grad u) + F (x, y, z, t) ∂t

µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u γρ = κ + κ + κ + F (x, y, z, t). ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

(4)

(40 )

Это уравнение называется уравнением теплопроводности неоднородного изотропного тела. Если тело однородно, то γ , ρ и κ — постоянные и уравнение (4’) можно переписать в виде µ 2 ¶ ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u =a + + + f (x, y, z, t), (5) ∂t ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 где r F (x, y, z, t) κ , f (x, y, z, t) = . a= γρ γρ

24 Если в рассматриваемом однородном теле нет источников тепла, т. е. F (x, y, z, t) = 0 , то получаем однородное уравнение теплопроводности µ 2 ¶ 2 2 ∂u ∂ u ∂ u ∂ u = a2 + + . (6) ∂t ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 В частном случае, когда температура зависит только от координат x, y и t , что, например, имеет место при распространении тепла в тонкой однородной пластинке, уравнение (6) переходит в следующее: µ 2 ¶ ∂u ∂ 2u 2 ∂ u =a + . ∂t ∂x2 ∂y 2 Наконец, для тела линейного размера, например для однородного стержня, уравнение теплопроводности принимает такой вид: µ 2 ¶ ∂u 2 ∂ u =a . ∂t ∂x2 Отметим, что при такой форме уравнений не учитывается тепловой обмен между поверхностью пластинки или стержня с окружающим пространством. Мы будем записывать уравнения диффузии единой формулой: ∂u = a2 ∆u + f. ∂t

(7)

Уравнение (7) называется также уравнением теплопроводности.

8. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА Для стационарных процессов F (x, t) = F (x) , u(x, t) = u(x) и уравнения колебаний и диффузии принимают вид −div (κ grad u) + qu = F (x).

(1)

При κ = const , q = 0 уравнение (1) называется уравнением Пуассона F (x) ; κ при f = 0 уравнение Пуассона называется уравнением Лапласа ∆u = −f (x),

f=

∆u = 0.

25 Рассмотрим потенциальное течение жидкости без источников, а именно, пусть внутри некоторого объема V с границей S имеет место стационарное течение несжимаемой жидкости ( ρ = const ), характери→ зуемое скоростью − υ (x1 , x2 , x3 ) . Если течение жидкости не вихревое − → → ( rot υ = 0 ), то скорость − υ является потенциальным вектором, т. е. − → υ = grad u,

(2)

где u – скалярная функция, называемая потенциалом скорости. Если отсутствуют источники, то → div − υ = 0.

(3)

Теперь из формул (2) и (3) получим: div grad u = 0 или ∆u = 0, т. е. потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа.

9. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ Пусть функция ω(x) , x = (x1 , x2 , ..., xn ) , n > 2 , класса C 1 такова, что на поверхности ω(x) = 0 ∇ω(x) 6= 0 , и пусть n X n X i=1 j=1

aij (x)

∂ω(x) ∂ω(x) · = 0. ∂xi ∂xj

(1)

Тогда поверхность ω(x) = 0 называется характеристической поверхностью (или характеристикой) дифференциального уравнения n X n X i=1

∂ 2u aij (x) + Φ(x, u(x), grad u(x)) = 0 ∂x ∂x i j j=1

с непрерывными коэффициентами aij (x) , x = (x1 , x2 , ..., xn ) . Пусть ω(x) ∈ C2 (Ω) и пусть ω − c = 0 – характеристика при a < c < b . Тогда, если в преобразовании ξi = ξi (x1 , x2 , ..., xn ),

i = 1, 2, ..., n;

D(ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) 6= 0 D(x1 , x2 , ..., xn )

26 взять ξ1 = ω(x) , то в силу Aκ` =

n n X X i=1 j=1

aij

∂ξ` ∂ξκ · ∂xi ∂xj

и (1) коэффициент A11 обратится в нуль в соответствующей области Ω . Поэтому знание одного или нескольких семейств характеристик дифференциального уравнения дает возможность привести это уравнение к более простому виду. Примеры характеристик. 1. Для уравнения колебаний струны utt − a2 uxx = f (x, t) характеристическое уравнение имеет вид µ ¶2 µ ¶2 ∂ω ∂ω − a2 =0 ∂t ∂x или

∂ω ∂ω ∂ω ∂ω −a = 0, +a = 0. ∂t ∂x ∂t ∂x Поэтому мы имеем два семейства характеристик: x + at = C1 и x − at = C2 . 2. Характеристическое уравнение для трехмерного волнового уравнения utt − a2 (uxx + uyy + uzz ) = f (x, y, z, t) записывается так: õ ¶ µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 ! 2 ∂ω ∂ω ∂ω ∂ω − a2 + + = 0. ∂t ∂x ∂y ∂z Решением последнего является функция ω = a2 (t − t0 )2 − (x − x0 )2 − (y − y0 )2 − (z − z0 )2 на поверхности ω = 0 . Следовательно, поверхность a2 (t − t0 )2 − (x − x0 )2 − (y − y0 )2 − (z − z0 )2 = 0, называемая характеристическим конусом с вершиной (x0 , t0 ) , есть характеристика волнового уравнения.

в точке

27 Волновое уравнение имеет и другое семейство характеристических поверхностей – семейство плоскостей вида at + a1 x + a2 y + a3 z = C, где a1 , a2 , a3 и C – любые вещественные числа, причем a21 + a22 + a23 = 1. 3. Для уравнения теплопроводности ut − a2 (uxx + uyy + uzz ) = f (x, y, z, t) имеем характеристическое уравнение вида µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 ∂ω ∂ω ∂ω + + = 0. ∂x ∂y ∂z Его характеристиками являются семейство плоскостей t = C . 4. Уравнение Пуассона uxx + uyy + uzz = f (x, y, z) не имеет вещественных характеристик, ибо из характеристического уравнения µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 ∂ω ∂ω ∂ω + + =0 ∂x ∂y ∂z вытекает, что grad ω = 0 на ω = 0 .

Лекция 4 10. ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Как было показано, линейное уравнение второго порядка ∂ 2u ρ 2 = div (κ grad u) − qu + F (x, t) ∂t

(1)

описывает процессы колебаний, уравнение ρ

∂u = div (κ grad u) − qu + F (x, t) ∂t

(2)

28 описывает процессы диффузии, а уравнение −div (κ grad u) − qu = F (x)

(3)

процессы, установившиеся во времени. Уравнения математической физики разделяют на стационарные и нестационарные. Определение. Стационарными называют уравнения, которые описывают физические явления, не меняющиеся во времени. Определение. Нестационарными называются уравнения, описывающие физические процессы, характеристики которых меняются со временем. В нестационарных уравнениях и задачах вводится дополнительная переменная t , которая обозначает время. Пример. Уравнения (1) и (2) – нестационарные, а (3) – стационарное. Пусть Ω ⊂ Rn – область, где происходит процесс, и Γ – ее граница. Таким образом, Ω – область задания уравнения (3). Областью задания уравнений (1) и (2) будем считать цилиндр ΩT = Ω × (0, T ) высоты T и с основанием Ω . Его граница состоит из боковой поверхности Γ × (0, T ) и двух оснований: нижнего Ω × {0} и верхнего Ω × {T } (Рис. 2). Будем предполагать, что коэффициенты ρ , κ и q уравнений (1)– (3) не зависят от времени t ; далее в соответствии с их физическим смыслом будем считать, что ρ > 0 , κ(x) > c > 0 , q(x) > 0 , x ∈ Ω . При этих предположениях уравнение колебаний (1) – гиперболического типа, уравнение диффузии (2) – параболического типа и стационарное уравнение (3) – эллиптического типа. t6 T@

@ @ @

ΩT

0 ¡

¡

¡ ¡ ª

¡

¡

-

¡@

x2

@ @ @

Ω

x1 Puc.2

29 Далее, чтобы полностью описать физический процесс, необходимо, кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит процесс (граничные условия). Различают три типа задач для дифференциальных уравнений. 1. Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область Ω совпадает со всем пространством Rn , граничные условия отсутствуют. 2. Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе Γ , начальные условия отсутствуют. 3. Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные, и граничные условия, Ω 6= Rn . При постановки начальных и краевых условий из физического смысла задач следует: a) количество начальных условий в нестационарных задачах должно совпадать с порядком старшей производной по времени; b) количество краевых условий должно совпадать с половиной порядка старшей производной по пространственной переменной. Т. к. в одномерном случае ограниченная область представляет собой интервал, граница которого состоит из двух точек, краевое условие, которое ставится на всей границе, распадается на два условия, т. е. ставится на каждом из концов отрезка. Опишем подробнее постановку каждой из перечисленных краевых задач для рассматриваемых уравнений (1)–(3).

11. ЗАДАЧА КОШИ Для уравнения колебаний ∂ 2u ρ 2 = div (κ grad u) − qu + F (x, t) ∂t задача Коши ставится следующим образом: найти функцию u(x, t) класса C 2 (t > 0) ∩ C 1 (t > 0) , удовлетворяющую уравнению колебаний в полупространстве t > 0 и начальным условиям при t = 0 :   ρutt = div (κ grad u) − qu + F (x, t), x ∈ Rn , t > 0, u(x, 0) = ϕ(x),  ut (x, 0) = ψ(x).

30 При этом необходимо, чтобы F (x, t) ∈ C(t > 0),

ϕ(x) ∈ C 1 (Rn ),

ψ(x) ∈ C(Rn ).

Для уравнения диффузии ρ

∂u = div (κ grad u) − qu + F (x, t) ∂t

задача Коши ставится так: найти функцию u(x, t) класса C 2 (t > 0) ∩ C(t > 0) , удовлетворяющую уравнению диффузии в полупространстве t > 0 и начальному условию при t = 0 : ½ ρut = div (κ grad u) − qu + F (x, t), x ∈ Rn , t > 0, u(x, 0) = ϕ(x). При этом необходимо, чтобы F (x, t) ∈ C(t > 0),

ϕ(x) ∈ C(Rn ).

Приведенная постановка задачи Коши допускает следующее обобщение. Пусть даны дифференциальное уравнение второго порядка n

n

∂ 2u ∂ 2u X X + = a ij ∂t2 ∂x ∂x i j i=1 j=1 +

n X i=1

¶ µ ∂ 2u ∂u ∂u ∂u ai0 , ..., , , + Φ x, t, u(x, t), ∂xi ∂t ∂x1 ∂xn ∂t

(1)

кусочно-гладкая поверхность Σ : t = σ(x) и функции ϕ и ψ на Σ . Задача Коши для уравнения (1) состоит в нахождении в некоторой части области t > σ(x) , примыкающей к поверхности Σ , решения u(x, t) , удовлетворяющего на Σ краевым условиям u| = ϕ, Σ

∂u | = ψ, → ∂− n Σ

→ где − n – нормаль к Σ , направленная в сторону возрастающих t .

12. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА Краевая задача для уравнения −div (κ grad u) − qu = F (x)

(1)

31 состоит в нахождении функции u(x) класса C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) , удовлетворяющей в области Ω уравнению (1) и граничному условию на Γ вида ∂u | = µ, αu + β − ∂→ n Γ

(2)

где α , β и µ – заданные функции на S , причем α > 0 , β > 0 , α + β > 0. Выделяют следующие типы граничных условий (2). Граничное условие первого рода ( α = 1, β = 0 ) u|Γ = ϕ. Граничное условие второго рода ( α = 0, β = 1 ) ∂u | = ψ. → ∂− n Γ Граничное условие третьего рода ( β = 1, α > 0 ) ¶¯ µ ∂u ¯ + αu ¯ = χ. − → Γ ∂n Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами первого, второго и третьего рода соответственно. Для уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача первого рода ½ ∆u = −f (x), x ∈ Ω, u|Γ = ϕ(x) называется задачей Дирихле; краевая задача второго рода ( ∆u = −f (x), x ∈ Ω, ∂u | = ψ(x) → ∂− n Γ называется задачей Неймана. Для уравнений колебаний смешанная задача ставится следующим образом: найти функцию u(x, t) класса C 2 (Ω∞ ) ∩ C 1 (Ω∞ ) , удовлетворяющую уравнению колебаний в цилиндре Ω∞ , начальным условиям u(x, 0) = ϕ(x),

ut (x, 0) = ψ(x)

при t = 0 , x ∈ Ω и граничному условию ∂u αu + β − | =µ ∂→ n Γ

32 при x ∈ Γ , t > 0 . Так что имеем задачу вида  ∂ 2u   ρ 2 = div (κ grad u) − qu + F (x, t), x ∈ Ω, t > 0,     ∂t u(x, 0) = ϕ(x),  ut (x, 0) = ψ(x)),      αu + β ∂u | = µ. → ∂− n Γ Аналогично для уравнения диффузии смешанная задача ставится так: найти функцию u(x, t) класса C 2 (Ω∞ )∩C 1 (Ω∞ ) , удовлетворяющую уравнению диффузии в Ω∞ , начальному условию u(x, 0) = ϕ(x) и граничному условию ¶ µ ∂u ¯¯ αu + β − ¯ = µ, Γ ∂→ n т. е. задача имеет вид  ∂u   ρ   ∂t = div (κ grad u) − qu + F (x, t), x ∈ Ω, t > 0, u(x, 0) = ϕ(x),     αu + β ∂u |Γ = µ. − ∂→ n

13. КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ. ПРИМЕР АДАМАРА Поскольку задачи математической физики описывают реальные физические процессы, то математическая постановка этих задач должна удовлетворять следующим требованиям: а) решение должно существовать в каком-то классе функций M1 ; б) решение должно быть единственным в некотором класса функций M2 ; в) решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравнения и т.д.). Непрерывная зависимость решения u(x, t) от данных задачи u e обозначает следующее: пусть последовательность данных u eκ , κ = 1, 2, . . . , в некотором смысле стремится к u e и uκ , κ = 1, 2, . . . , u – соответствующие решения задачи; тогда uκ → u , κ → ∞ в смысле сходимости, выбранной надлежащим образом.

33 Требование непрерывной зависимости решения обуславливается тем обстоятельством, что данные физической задачи, как правило, определяются из эксперимента приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи не будет существенно зависеть от погрешностей измерений. Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям а)– с), называется корректно поставленной, а соответствующее множество функций M1 ∩ M2 – классом корректности. Нахождение корректных постановок задач математической физики и методов построения их решений и составляет основное содержание предмета уравнений математической физики. В этом параграфе мы выделим довольно общий класс задач Коши, для которых решение существует, и, единственно. А именно, рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений с N неизвестными функциями u1 , u2 , ..., uN : ¶ µ ∂ κi ui ∂ α0 +α1 +···+αn uj , ... , (1) = Φ x, t, u1 , u2 , ..., uN , ... α α1 ∂tκi ∂t 0 ∂x1 ...∂xαnn i = 1, . . . , N . Здесь правые части Φi не содержат производных порядка выше κi и производных по t порядка выше κi − 1 , т. е. α0 + α1 + · · · + αn 6 κi ,

α0 6 κi − 1.

Для системы уравнений (1) поставим следующую задачу Коши: найти решение u1 , u2 ,..., uN этой системы, удовлетворяющее начальным условиям при t = t0 : ∂ κ ui | = ϕiκ (x), κ = 0, 1, ..., κi − 1; i = 1, 2, ..., N, (2) ∂tκ t=t0 где ϕiκ (x) – заданные функции в некоторой области Ω ⊂ Rn . Теорема Ковалевской. Если все функции ϕiκ (x) аналитичны в некоторой окрестности точки x0 и все функции µ ¶ ∂ α0 +α1 +···+αn uj Φ x, t, u1 , u2 , ..., uN , ... α α1 , ... ∂t 0 ∂x1 ...∂xαnn аналитичны в окрестности точки µ ¶ ∂ α1 +···+αn ϕjα0 x0 , t0 , ϕ10 (x0 ), ..., ϕN 0 (x0 ), ..., , ... , ∂xα1 1 ...∂xαnn то задача Коши (1), (2) имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки (x0 , t0 ) , притом единственное в классе аналитических функций.

34 Данное утверждение примем без доказательства. Заметим только, что для доказательства этой теоремы решение ищется в виде ui (x, t) = =

∞ X ∞ X α0 =0 α1 =1

···

∞ X αn =1

∂ α0 +α1 +···+αn ui (x0 ,t0 ) α n ∂tα0 ∂x1 1 ...∂xα n

α0 !α1 !...αn !

(t−t0 )α0 (x1 −x01 )α1 · · · (xn −x0n )αn . (3)

Из начальных условий (2) и из уравнений (1) последовательно опредеα0 +α1 +···+αn ui (x0 ,t0 ) ляются все производные ∂ ∂tα0 ∂xα1 ...∂x в точке (x0 , t0 ) . Равномерная αn n 1 сходимость рядов (3) в окрестности точки (x0 , t0 ) доказывается методом мажорант. Единственность построенного решения в классе аналитических функций следует из теоремы единственности для аналитических функций. В заключение приведем пример, показывающий, что может и не быть непрерывной зависимости решения от начальных данных. Этот пример построен Адамаром. Решение задачи Коши:  2 ∂ u ∂ 2u     ∂t2 + ∂x2 = 0, u(x, 0) = 0,     ∂u(x, 0) = 1 sin κx ∂t κ есть sh κt uκ (x, t) = 2 sin κx. κ 1 Если κ → ∞ , то sin κx → 0 ; тем не менее при x 6= jπ , j = 0, ±1, ... κ uκ (x, t) не стремится к нулю при κ → ∞ . Таким образом, задача Коши для уравнения Лапласа поставлена некорректно. Литература 1. Тихонов А.М. Уравнения математической физики/ Тихонов А.М., Самарский А.А. – М.:Изд-во МГУ; Наука, 2004.–798с. 2. Свешников А.Г. Лекции по математической физике/ Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. – М.:Изд-во МГУ; Наука, 2004.–416с. 3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики/Владими– ров В.С. – М.: Наука, 1988.–512с. 4. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными/ Олейник О.А.– М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.–260с.

35

Учебное издание Уравнения математической физики. Введение

Курс лекций для вузов.

Составители: Мешков Виктор Захарович, Астахов Александр Тимофеевич, Ларин Александр Александрович

Редактор Е.С. Котлярова