Сборник задач для контрольных работ и практических занятий по дисциплине ''Системный анализ''

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ижевский государственный технический университет кафедра САПР

СБОРНИК ЗАДАЧ для контрольных работ, практических занятий и домашних заданий по дисциплине "Системный анализ"

Ижевск 1999

СБОРНИК ЗАДАЧ для контрольных работ, практических занятий по дисциплине "Системный анализ".

Составила: ст. преподаватель Исенбаева Е.Н.

СБОРНИК ЗАДАЧ рекомендуется студентам специальностей 2202, 2203 ИВТ факультета для проведения контрольных работ, практических занятий, выполнения домашних заданий при изучении дисциплины "Системный анализ". Утвержден на заседании кафедры САПР "____"________1999 г.

Зав. кафедрой САПР

Кучуганов В.Н.

Декан ИВТ факультета

Каюров Ю.А.

© ИжГТУ, 1999 2

ВВЕДЕНИЕ Предлагаемый сборник содержит задачи и упражнения по дисциплине "Системный анализ", которые могут применятся для проведения контрольных работ и практических занятий, для домашних заданий. Задачи сборника сгруппированы в задания №1 - №18. Задание №1 содержит задачи на построение математической модели задачи, которую нужно решить графически. Задание № 1 № вар. I

II

III

IV

V

Построить модель задачи и решить ее графически Продукция может производиться двумя технологическими способами Т1 и Т2. На производство продукции затрачиваются ресурсы трех видов R1; R2; R3, запасы которых равны: 15; 18; 8. Расход ресурсов на производство всей продукции по первому технологическому способу составляет 2; 4; 0, а по второму - 3; 2; 2. Выход продукции по способу Т1 равняется 10 единицам, по Т2 - 8. Определить с какой интенсивностью нужно применять каждый тех. способ, чтобы при этих запасах иметь максимум продукции. Из двух сортов бензина составляют две смеси А и Б. Смесь А содержит 60% бензина первого сорта и 40% - второго. Смесь Б содержит 80% бензина первого сорта, 20% - второго. Продажная цена 1 кг смеси А - 10 к.; смеси Б - 12 к. Составить план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если в наличии 50 т бензина 1-го сорта и 30 т - второго. Предприятие выпускает два вида изделий П1 и П2, на изготовление которых идет 3 вида сырья: S1; S2; S3, запасы которых равны 200, 110, 120 ед. Расход сырья на 1000 ед. продукции составляет: S1 - 20; 10; S2 - 20; 5; S3 10; 10. Оптовая цена за 1000 шт. изделий составляет: 15; 17 тыс. рублей. Себестоимость производства 1000 шт. изделий составляет 12 и 15 тыс. рублей. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль, предполагая, что сбыт неограничен. Предприятие имеет три производственных фактора в количестве 6; 5; 2 тыс. единиц и может организовать производство двумя различными способами. Расход производственных факторов по первому способу производства составляет 1; 1; 3 тыс. единиц, по второму - 3; 1; 2 тыс. По первому способу предприятие выпускает в месяц 3 тыс. изделий, в по второму 2 тыс. изделий. Сколько времени предприятие должно работать каждым способом, чтобы получить максимум продукции? На каждую автоколонну из 10 машин, направленных для вывоза груза из района А, выделяется 4 передвижных мастерских, 3 машины тех помощи, 2 мотоцикла. На такую же автоколонну для вывоза груза из района В выделяется 3 передвижные мастерские, 1 машина тех помощи. Одна колонна из района А вывозит 2 тыс. тонн груза, из района Б - 1 тыс. тонн груза. Какое количество автоколонн следует направить в каждый район, чтобы 3

VI

VII

VIII

IX

X

обеспечить максимальный вывоз груза, если имеется 200 машин, 20 авторемонтных мастерских, 10 машин тех помощи, 16 мотоциклов? Предприятие выпускает два вида изделий П1 и П2, используя 4 группы станков (А, Б, В, Г), фонды рабочего времени которых (час.) составляют 10; 30; 20; 12 часов. На производство одного изделия П1 каждая группа станков тратит (соответственно): 4; 0; 1; 3 ч. Для П2 - 2; 3; 2; 2 ч. Прибыль от реализации каждого изделия П1 равна 2 рубля; П2 - 3 рубля. Найти план производства, дающий максимальную прибыль. В животноводческом совхозе на производство одного центнера молока тратится 25 рублей, из них на трудовые затраты - 10 рублей, на материальные - 15 рублей; производство 1 центнера мяса обходится в 180 рублей, из которых 100 рублей - трудовые затраты, 80 рублей – материальные. Государственные закупочные цены за 1 центнер молока - 35 рублей, а за 1 центнер мяса - 200 рублей. Определить оптимальный план производства молока и мяса, если на животноводство выделено 190000 рублей. Фонд зарплаты - 100000 рублей, остальное - на оборудование. Из Минска в Гродно необходимо перевезти оборудование трех типов. I типа - 84 ед.; II - 80 ед.; III - 150 ед., для чего используют два вида транспорта А и Б. Количество оборудования каждого типа на транспорт А составляет: 3; 4; 3 ед., - транспорт Б: 2; 1; 13 ед. Затраты на перевозку транспортом А равны 8 ед., Б - 12 ед. Составить такой план перевозок, чтобы транспортные расходы были минимальными. Трикотажная фабрика производит свитеры и кофточки, используя шерсть, силон и нитрон, запасы которых соответственно равны 900; 400; 300 кг. Количество которых соответственно равны 900; 400; 300 кг. Количество каждой пряжи на изготовление 10 свитеров составляет: 4; 2; 1 кг, а 10 кофточек: 2; 1; 1 кг. Прибыль от реализации 10 ед. продукции: 6 и 5 рублей. Найти план выпуска, максимизирующий прибыль. Автомобильный завод выпускает машины типов А и Б. Значения производственных мощностей приведены в таблице: Наименование цеха и участка 1.Подготовка производства 2.Кузовной 3.Производство шасси 4.Производство двигателей 5.Сборочный 6.Участок испытаний

Мощности по типам машин 130 180 100 220 110 110 200 120 160 80 280 70

Составить наиболее рентабельную программу, при условии, что прибыль от машины типа А и Б соответственно равна 2000 рублей и 2400 рублей.

Задания №2 - №6 содержат задачи линейного программирования, решаемые симплекс-методом и имеющие некоторые особенности: неограниченность целевой функции, единственное решение, альтернативный оптимум, вырожденное решение.

4

Задание №2 № Система ограничений задана уравнением АХ = В. № вар. (Все xj ≥ 0, j = 1,…,n). вар. Решить задачу симплекс-методом. Z = x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5 max Z = x1 + 2x3 + x5 min 1 1 1 1 1 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ 1 1 − 1 1 − 1⎞ ⎞ ⎛1⎞ I A = ⎜ 0 1 1 1 − 1⎟; B = ⎜ 2 ⎟ A = ⎜ 1 − 1 1 1 5 ⎟; B = ⎜ 3 ⎟ II ⎜ 5⎟ ⎜ 0 0 1 −1 1 ⎟ ⎜1⎟ ⎜1 1 1 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 max Z = x1 + 3x2 - x3 - x5 max ⎛ 1 1 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ III A = ⎛⎜ 11 −11 −11 13 −13 ⎞⎟; B = ⎛⎜ 11 ⎞⎟ A = ⎜⎜ 0 − 2 − 2 1 − 1 ⎟⎟; B = ⎜⎜ − 6 IV ⎜ 3⎟ ⎜ 1 1 1 5 −1⎟ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 1 −1 6 1 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ V

Z = x1 + 3x2 - x3 - x4 - 5x5 max ⎛5⎞ ⎛ 1 −1 2 1 5 ⎞ A = ⎜ 2 1 1 1 5 ⎟; B = ⎜ 5 ⎟ ⎜ 6⎟ ⎜1 0 1 2 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

VII A = ⎛⎜ 11 ⎜ 2 ⎝

Z = 3x1 - x2 + 5 max 1 −1 −1 0 ⎞ ⎛ − 4⎞ − 2 − 1 0 − 1 ⎟; B = ⎜ − 7 ⎟ ⎜ 7 ⎟ − 1 0 1 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠

IX A = ⎛⎜ 52 ⎜ 1 ⎝

Z = 4x4 + x5 max − 2 2 1 −1 ⎞ ⎛13 ⎞ − 1 1 − 1 1 ⎟; B = ⎜ 5 ⎟ ⎜5⎟ 2 0 4 − 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠

Ответ

1 -1

2 3/2

3 3

4 4

5 5

Z = x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + 2x5 max ⎛ 1 1 4 −1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ A = ⎜ 1 − 1 − 2 − 3 1 ⎟; B = ⎜ − 3 ⎟ VI ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1 1 − 6 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Z = x1 + 2x3 + x5 max ⎛ 3⎞ ⎛1 1 1 1 1⎞ A = ⎜ 0 1 1 1 − 1⎟; B = ⎜ 2 ⎟ VIII ⎜1⎟ ⎜ 0 0 1 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Z = 3x1 - x2 + 5 min ⎛ 1 1 −1 −1 0 ⎞ ⎛ 4 ⎞ A = ⎜ 1 − 2 − 1 0 − 1 ⎟; B = ⎜ − 7 ⎟ X ⎜ 7 ⎟ ⎜ 2 −1 0 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6 13/2

7 16

8 20

9 30

10 Не знаю

Задание №3 № Решить задачу max и min симплекс-методом. вар. (Все xj ≥ 0). Z = 2x1 + 4x2 Z = x1 + x2 + x3 ⎧ 3x 1 + 2 x 2 − x 3 = 11 ⎪ ⎧− x1 − x 2 + x 3 = 1 I ⎨ − 2x 1 + x 2 + x 4 = 2 ⎨− x + x + x = 1 2 3 ⎩ 1 ⎪⎩ x 1 − 3x 2 + x 5 = 0 Z = x1 + x2 Z = x1 + x2 + x3 ⎧ − x1 + x 2 + x 3 = 1 x + 2 x 2 + 3x 3 − x 4 ⎪ ⎧ 1 III ⎨ x 1 − 2x 2 + x 4 = 0 ⎨ x ⎩ 1 + x 2 + 2x 3 − x 4 ⎪⎩ − x 1 + 2 x 2 + x 5 = 3 Z = x1 - 8x2 + x3 + 4x4 Z = x1 - 4x2 + 3x3 + 10x4 + x2 − x3 + x4 =0 ⎧ x1 − x 2 − x 3 + x 4 V ⎧ x1 ⎨ x ⎨ x ⎩ 1 + 12 x 2 + 10 x 3 − 10 x 4 = 11 ⎩ 1 + 8x 2 + 2 x 3 − 5x 4

5

№ вар.

II

=5 =3

IV

=0 =3

VI

VII

⎧ x1 ⎨ x ⎩ 1

Z = x1 - 4x2 + 3x3 + 10x4

Z = x1 - x2 + 3x3 + x 2 − 2x 3 = 0 + 2 x 2 − 3x 3 = 1

⎧ x 1 + 2 x 2 + 3x 3 − x 4 = 5 ⎨ ⎩ x 1 + x 2 + 2x 3 − x 4 = 3

Z = x1 - 4x2 + 4x3 ⎧− x1 − x 2 + x 3 = 1 ⎨− x + x + x = 1 2 3 ⎩ 1

IX

Z = x 1 + x2 + x 3 + x2 − x3 + x4 + 12x 2 + 10x 3 − 10x 4

⎧ x1 ⎨ x ⎩ 1 Zmin - одно решение. Zmin - не ограничена. Zmin - одно решение. Zmin - не ограничена.

Ответы: 1.Zmax - одно решение; 2. Zmax - одно решение; 3.Zmax - не ограничена; 4.Zmax - не ограничена; 5.Система несовместна. 6.Не знаю. "Z"

1 -7

2 -1/2

3 0

4 1

5 4

6 10

=0 = 11

VIII

X

7 Не знаю

Задание №4 № Решить задачу симплекс-методом. вар. (Все xj ≥ 0). Z = x1 + x2 + x3 + x4 max ⎧ x1 + x 2 − x 3 + x 4 = 2 ⎪ x1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0 I ⎨ 2 x + 3x + 2 x − 3x = 3 1 2 3 4 ⎪ ⎩ x 1 − 2 x 2 − 3x 3 + 4 x 4 = 0

№ вар.

III

+ 8x 2 − x 3 + 10x 4 + 14 x 5 + 24x 6 = 4 x 2 − 7 x 3 + 8x 4 − 5x 5 + 3x 6 = 28 = −4 x3 − x 4 + x5

Z = x1 - x2 + x3 - x4 + x5 - x6 max V

VII

⎧ 2 x1 − x 2 + 2 x 3 − 3 x 4 + x 5 − x 6 ⎪ 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 − 3x 5 + x 6 ⎨ − x3 + 2x 5 ⎪ − x4 ⎩ 2 x1 + x 2

=0 =0 =2 =4

Z = x1 + 2x6 max x x + + x6 ⎧ 1 2 ⎪ x2 + x5+ x6 ⎨ x3 + x4 + x6 ⎪ x4 − x5− x6 ⎩

=1 =1 =1 =2

II

Z = x1 + x2 + x3 -x5 max x − 4x 4 + 2x 5 = −2 ⎧ 1 + x2 ⎪ x + x ⎨ 2 3 + x 4 − 2 x 5 = −2 ⎪⎩ x 1 + x 3 + 3x 4 − 2x 5 = −2

IV

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

Z = 3x1 + 2x2 + x3 + x4 - 5x5 - 10x6 max ⎧ x1 ⎪ ⎨ ⎪⎩

Z = x1 + x2 - x3 + 5x4 max x 1 + 2x 2 − x 3 − x 4 = 1 − x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 2 x 1 + 5x 2 + x 3 − x 4 = 5

Z = x1 + 2x2 + x3 - 2x4 + x5 -2x6 max ⎧ x1 − x 2 + x 3 − x 4 + x 5 − x 6 = 7 ⎪ ⎨ 2 x1 + 3x 2 − 2 x 3 − 3x 4 + 2 x 5 + 3x 6 = 0 ⎪⎩ 3x1 + 2 x 2 − x 3 − 4 x 4 + 3x 5 + 2x 6 = 10

Z = x1 - 2x2 + 2x3 + 3x4 - x5 min ⎧ x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 ⎪ − x4 =2 ⎨ x1 − x 2 ⎪⎩ x2 + x3 = 1/ 2

Z = x1 + x2 + x3 - x5 min ⎧ x1 − x 2 + x 3 − x 4 + x 5 = 5 IX ⎪ x + x3 + 2x 5 = 4 ⎨ 1 ⎪⎩ x2 − x4 =0 Ответ: 1.Одно решение. 3.Неограниченная. 5.Не знаю.

VI

VIII

Z = x1 - x2 + 2x3 - x4 + x5 min ⎧ 2 x1 + 4x 2 + 2x 3 − 3x 4 + 3x 5 = 6 ⎪ ⎨ 3x1 + 6 x 2 + 5x 3 − 4 x 4 + 3x 5 = 5 ⎪⎩ x1 + 2x 2 + 7 x 3 − 4 x 4 + x 5 = 11

2.Множество решений. 4.Несовместная система.

6

X

Задание №5 Решить задачу симплекс-методом (все xj ≥ 0). Записать общее оптимальное решение. № Найти компоненты оптимального решения при условии: вар. k λ i ≥ 0, i = 1, k; ∑ λ i = 1 λ 1 = λ 2 = ... = λ k ,

№ вар.

i =1

I

III

V

VII

IX

Z = x1 + x2 + x3 max x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2 x1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0 3x 1 − x 2 + 3x 3 − x 4 = 2

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ Z = 2x1 + 3x2 - 6x3 + 8x4 + 10 min ⎧ 2 x 1 + 3x 2 − x 3 + x 4 = 1 ⎪ ⎨ 8x 1 + 12x 2 − 9 x 3 + 3x 4 = 3 ⎪⎩ 4x 1 + 6 x 2 + 3x 3 − 2 x 4 = 3 Z = x1 + 2x3 + 2x5 max ⎧ x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 5 ⎪ x2 + x3+ x4− x5 = 2 ⎨ ⎪⎩ x3 − x4+ x5 =1 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

2 1

3 2

Z = x1 - 3x2 + x3 -x4 min ⎧ x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 ⎨ x − 3x + x − x = −2 2 3 4 ⎩ 1

IV

Z = -x1 - x2 + x3 max x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 x 1 − 3 x 2 + x 3 − x 4 = −2 2x 1 − 2x 2 + 2x 3 =2

⎧ ⎪ VI ⎨ ⎪⎩ Z = x1 + x2 + x3 + 3x4 +x5 max x 1 − x 2 + x 3 + x 4 + 4x 5 = 4 x 1 + x 2 − x 3 + x 4 + 2x 5 = 0 VIII x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 + 12x 5 = 12

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

Z = x1 + 2x3 + 2x5 min ⎧ x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 5 ⎪ x 2 + x3+ x 4 − x5 = 2 ⎨ ⎪⎩ x3 − x4+ x5 = 1

Z = x1 + x2 + x3 max ⎧ x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 ⎪ ⎨ x 1 − 3x 2 + x 3 − x 4 = −2 ⎪⎩ 4x 2 + 2x 4 = 6 1 -2

II

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

Z = x1 - 4x2 + 2x3 min x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 = 3 x 1 − 4x 2 + x 3 = −2 2x 1 − 2x 2 + x4 =1

Ответ: "Z"

Z = x1 + x2 + x3 min x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 x 1 − 3x 2 + x 3 − x 4 = −2 2x 1 − 2x 2 + 2x 3 =2

4 3

5 4

1.(0,3/4,5/4,0). 3.(2/3,2/3,0/1). 5.(1/2,1,1/2,0). "Xопт" 7.(7/8,3/4,7/8,3/4). 9.(1/3,3,0,1/4,5/4). 11.Не знаю.

6 6

7 10

8 12

X

9 Не знаю

2.(1/2,0,1/2,0). 4.(5/4,3/2,5/4,0). 6.(3/10,1/5,1/5,0). 8.(3/2,0,3/2,5/4,3/4). 10.(1,3,5,1,0).

Задание №6 № вар. I III V VII IX

Составить последнюю симплексную таблицу для задачи, имеющей: Альтернативный оптимум. Вырожденное решение с двумя базисными нулями. Единственное решение для Zmax. Пустую область допустимых решений. Единственное решение для Zmin и неразрешимость Zmax.

7

№ вар. II IV VI VIII X

Задания №7 - №8 решаются методом искусственного базиса. Задание №7 № Решить задачу методом искусственного базиса. вар. (Все xj ≥ 0). Z = x1 - x2 - 3x3 max Z = x1 + 7x2 - x3 max =0 ⎧ x1 − x 2 ⎧ x 1 − x 2 − 2 x 3 = −1 I ⎨ ⎨ ⎩ x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 ⎩ x 1 + 2 x 2 + 13x 3 = 14

III

V

VII

IX

Z = x1 + x2 + x3 + x4 max ⎧ x 1 + 3x 2 + 7 x 3 − x 4 = 6 ⎨ ⎩ x 1 − x 2 − x 3 + 3x 4 = 2 Z = x1 - 2x2 - 4x3 max ⎧ 2x 1 + x 2 − x 3 = 1 ⎨ ⎩ 5x 1 + 6 x 2 + x 3 = 20 Z = 4x1 + 3x2 + 5x3 – 20x4 max ⎧ x 1 + 8x 2 + 7 x 3 − 15x 4 = 17 ⎨ ⎩ x 1 − 5x 2 − 6 x 3 + 11x 4 = −9 Z = x1 + 4x2 + x3 max ⎧ x1 − x 2 + x 3 = 3 ⎨ ⎩ 2 x 1 − 5x 2 − x 3 = 0

Z = x1 + x2 + x3 max ⎧ 3x 1 + x 2 − x 3 = 5 ⎨ ⎩ 3x 1 + 2 x 2 + x 3 = 7 Z = x1 + 4x2 + x3 - 4x4 max ⎧ x1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0 ⎨ ⎩ x 1 + 8x 2 + 2 x 3 − 5x 4 = 3 Z = 2x1 + 8x2 + 3x3 max ⎧ 4x 1 − x 2 + 3x 3 = 7 ⎨ ⎩ 7 x 1 + 5x 2 + 12x 3 = 19 Z = x1 – 5x2 – x3 + x4 max ⎧ x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 3 ⎨ + 3x 3 − x 4 = 4 ⎩ 2x 1 Ответ: "Zопт"

1 0

2 2

3 3

4 4

5 12

6 13

7 22

8 32

№ вар.

II

IV

VI

VIII

X

9 10 -14 Не знаю

Задание №8 № Решить задачу методом искусственного базиса. вар. (Все xj ≥ 0). Z = x1 + 10x2 - x3 + 5x4 max Z = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 max x + x − 2 x + 7 x = 2 ⎧ ⎧ x 1 + 2x 2 − x 3 − x 4 = 1 2 3 4 5 ⎪ ⎪ I + x 3 − 2x 4 − 6x 5 = 2 ⎨ x1 ⎨ − x 1 + 2 x 2 + 3x 3 + x 4 = 2 ⎪⎩ x 1 + x 2 ⎪⎩ x 1 + 5x 2 + x 3 − x 4 = 5 − 2x 4 + 7 x 5 = 2

III

V

Z = x1 + 2x6 max Z = x1 + 2x2 + x3 - 2x4 + x5 -2x6 max + x6 =1 ⎧ x1 + x 2 x − x 2 + x3 − x 4 + x5 − x6 = 7 ⎧ ⎪ x2 + x5+ x6 =1 ⎪ 1 2x1 + 3x 2 − 2x 3 − 3x 4 + 2 x 5 + 3x 6 = 0 ⎨ ⎨ x3 + x4 + x6 =1 ⎪⎩ 3x1 + 2 x 2 − x 3 − 4x 4 + 3x 5 + 2 x 6 = 10 ⎪ x x − 4 5− x6 = 2 ⎩ Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 max ⎧ x1 − x 2 + x 3 − x 4 + x 5 − x 6 + x 7 − x 8 = 1 ⎪ 2x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 + 2x 5 + x 6 + 2x 7 + x 8 = 2 ⎨ x − 2x + x − 2x + x − 2x + x − 2x = 0 2 3 4 5 6 7 8 ⎪ 1 ⎩ 4x 1 − 2x 2 + 4x 3 − 2x 4 + 4x 5 − 2x 6 + 4x 7 + 2x 8 = 1

8

№ вар. II

IV

Z = x1 - x2 + x3 - x4 + x5 - x6 + x7 max VII

Z = -x1 + x2 - 2x3 - 3x4 + x5 max ⎧ x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 ⎪ − x4 =2 ⎨ x1 − x 2 ⎪⎩ x2 + x3 = 1/ 2 Z = -x1 - x2 - x3 + x4 + x5 max ⎧ − 2 x 1 + x 2 + x 3 + 2 x 4 − 2 x 5 + 2 x 6 = −2 ⎪ ⎨ x 1 − 2 x 2 + x 3 − 2 x 4 + 4 x 5 − 4 x 6 = −2 ⎪⎩ x 1 + x 2 − 2 x 3 − 2 x 5 + 2 x 6 = −2

⎧ 2 x1 − x 2 + 2 x 3 − 3x 4 + x 5 − x 6 + x 7 ⎪ + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 − 3x 5 + x 6 − x 7 ⎨ − x3 + 2x 5 + 4x 7 ⎪ − x4 + 4x 7 ⎩ 2x1 + x 2

=0 =0 =2 =4

VI

VIII

Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 max 3 x − + x 6 + 2 x 7 − 3x 8 = 3 ⎧ 1 + x 2 + 2x 3 ⎪ − 2 x 1 + 3x 2 − x 3 + 2 x 6 + 3x 7 − 4 x 8 = 2 ⎨ 2x − 2 x 4 − x 5 + 3x 6 + 4 x 7 − x 8 = −3 1 ⎪ − 4 x 4 + x 5 + 4 x 6 + x 7 − 2 x 8 = −3 ⎩ 4x 1

IX

Z = x1 - 3x2 - x3 - x4 - x5 - x6 + x7 + x8 max ⎧ x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 = 1 ⎪ x 1 − x 2 + x 3 − x 4 + 11x 5 + 7 x 6 − 8x 7 − x 8 = 2 ⎪ ⎨ x 1 − 2 x 2 − 3x 3 − x 4 − x 5 − x 6 − x 7 − 5x 8 = 3 ⎪ 3x 1 − 2 x 2 − x 3 − x 4 + 11x 5 + 7 x 6 − 8x 7 − 5x 8 = 4 ⎪ x ⎩ 1 − x 2 + x 3 − x 4 + x 5 − 7 x 6 + 8x 7 − x 8 = 0 Ответ: 1.Одно решение. 2. Несовместную систему. 3.Неограниченную Z. 4. Множество решений.

X

Задания №9 - №13 содержат задачи по некоторым вопросам теории двойственности. Задание №9 № Составить задачу, двойственную к указанной. вар. Z = 2x1 - x2 + x3 -3x4 +x5 max Z = 7x1 + 6x2 + 3x3 –x4 min =5 ⎧ x 1 − 3x 2 + x 3 + 2 x 4 2 x 1 − x 2 + 2 x 3 − 3x 4 ≥ 12 ⎧ ⎪ 2x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 − x 5 ≤ 8 ⎪ − I ⎨ x + x + 3x + x + 2 x ≤ 9 ⎨ x 1 + 2 x 2 − x 3 + x 4 ≤ 10 2 3 4 5 ⎪⎩ 3x 1 + 5x 2 ⎪ 1 + 4x 4 = 7 ⎩ − x 1 − 2 x 2 + x 3 − 3x 4 − x 5 ≥ 4 x2,3 ≥ 0 x1,3 ≥ 0 Z = x1 + 2x2 + 3x3 +x4 max Z = 2x1 - x2 + x3 + x4 - 2x5 max 3 x 2 x x x x 8 − + + − ≤ ⎧ ⎧ x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 1 2 3 4 5 ⎪ x 1 + 3x 2 + x 3 + 3x 4 − 2 x 5 = 6 ⎪ 2 x 1 + 3x 2 + 4 x 3 − x 4 = 2 III ⎨ x + x + x − x ⎨ 3x + 3x + 3x = x ≤ 3 ≤5 2 3 4 1 2 3 4 ⎪ 1 ⎪ + x 4 + 3x 5 ≥ 7 ≤6 ⎩ 2 x 1 − 5x 2 ⎩ x 1 + 5x 2

V

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

x1,2,4 ≥ 0 Z = x1 + x2 + x3 max x1 + x 2 + x 3 + x 4 2x 1 − x 2 + x 3 − 4x 4 10x 1 + 9 x 2 − 9 x 3 + 10x 4 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4

№ вар.

II

IV

x4 ≥ 0 Z = x1 + 2x2 + 3x3 +4x4 +5x5 min

≤2 ≤0 =8 ≥8

⎧ x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≥ 0 ⎪ + x 4+ x5 ≤ 0 ⎨ x1 ⎪⎩ x1 − x5 = 1 x1,2 ≥ 0; x5 ≤ 0

x1,2 ≥ 0 9

VI

Z = x1 - 10x2 + 2x3 - x4 +7x5 max − x4 ≤1 ⎧ 2x 1 − x 2 ⎪ x 1 − x 2 + 2x 3 − x 4 + x 5 ≥ 4 ⎨ x2 + x3 =0 ⎪ x − x + 2 x 3 5 ≥3 ⎩ 1 x1,3 ≥ 0 Z = x2 - x3 +x4 min ≤2 ⎧ 3x 1 − x 2 ⎪ x 2 − 3x 3 ≥ −1 ⎨ 4x 3 − x 4 ≤ 3 ⎪ 5 x + x4 ≥ 6 ⎩ 1 x1,3 ≥ 0

Z = x1 - x2 - 2x3 -3x4 min ⎧ x1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1 ⎪ − x4 ≤ 5 ⎨− x1 ⎪⎩ x2 + x3 ≥ 10 x1,2,3 ≥ 0

VII

Z = 7x1 + 6x2 + 3x3 - x4 max ⎧ 2 x 1 − x 2 + 2 x 3 − 3x 4 ≥ 12 ⎪ ⎨ − x 1 + 2 x 2 − x 3 + x 4 ≤ 10 ⎪⎩ 3x 1 + 5x 2 + 4x 4 = 7

IX

x2,3 ≥ 0

VIII

X

Задание №10 № Составить задачу, двойственную к указанной. вар.

№ вар. n

Z=

∑γ x j

j

max

j=1

n

Z=

∑γ x j

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

min

j

j=1

∑a x

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

I

ij ij

= bi

i = 1, m

j

xj ≥ 0

j = 1, n

n

Z=

∑γ x j

j

∑a x ∑a x ∑a x ij

j

≥ bi

III

∑a ∑a ∑a

ij

j

≤ bi i = m1 + 1, m 2 ; m 2 < m1

ij

j

= bi i = m 2 + 1, m;

i = 1, m 1 ;

xj ≥ 0

j = 1, n1;

xj ≤ 0

j = n1 + 1, n

ij x j

≥ b i i = m 1 + 1, m 2 ;

ij x j

= b i i = m 2 + 1, m;

Z=

m1 < m 2

j

j = 1, n

j

j

min

⎧ ⎪∑ a ij x j ≤ b i i = 1, m; ⎪⎪ j j = 1, n 1 ; ⎨ xj ≥ 0 ⎪ ⎪ x j ≤ 0 j = n 1 + 1, n; ⎪⎩

j

max

i = 1, m

Z=

∑γ x j

IV

j = 1, n

n

j=1

V

j

⎧∑ a ij x ij ≤ b i ⎪ j ⎨ ⎪ xj ≤ 0 ⎩

m2 < m

j

n

∑γ x j=1

j

∑γ x

II

j

n

≤ bi

Z=

n1 < n

max

ij x j

xj ≥0

m1 < m 2

j

j=1

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

i = 1, m1;

j

j

min

j=1

∑a x

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

n1 ≤ n

10

ij ij

= bi

i = 1, m

j

xj ≤ 0

j = 1, n

VI

n

n

∑γ x

Z=

j

j

Z=

max

VII

∑a x ij

j

j

j = 1, n1;

xj ≤ 0

j = n1 + 1, n;

j

n

Z=

n

Z=

∑γ x j

j

IX

∑a x ∑a x ∑a x

min

ij j

≤ bi

i = 1, m1;

ij j

≥ bi i = m1 + 1, m 2 ;

ij j

= bi

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪

m1 < m 2

j

m2 < m

j

i = m 2 , m;

j

xj ≥ 0

∑γ x j

j

m1 < m VIII

min

j=1

j=1

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

min

⎧ ⎪ ∑ a ij x j ≤ b i i = 1, m1 ; ⎪⎪ j ⎨ ∑ a ij x j = b i j = m1 + 1, m; ⎪ j ⎪ xj ≥ 0 j = 1, n; ⎩⎪

= bi i = 1, m;

xj ≥ 0

j

j=1

j=1

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

∑γ x

j = 1, n

∑a ∑a ∑a

ij x j

≥ bi

i = 1, m 1 ;

m1 < m 2

ij x j

≤ b i i = m 1 + 1, m 2 ;

m 2 < m1

ij x j

= b i i = m 2 + 1, m;

n1 < n

j

j

X

j

xj ≥0

j = 1, n 1 ;

xj ≤0

j = n 1 + 1, n

Задание №11 № 1.Составить двойственную задачу к данной и проверить их взаимную № вар. вар. двойственность, считая все xj ≥ 0, j = 1, n ; 2.решить данную задачу симплекс-методом и найти решение двойственной из последней таблицы; 3.Найти решение двойственной по формуле Yопт = С Б А Б−1 ; 4.Найти решение двойственной по второй теореме двойственности. 5.Найти, как изменится Zопт при увеличении b1 на 10%; 6.решить данную двойственным симплекс-методом. Z = 6x1 + 9x2 + 3x3 min Z = 9x1 + 8x2 + 4x3 min − 2 x + x + x ≥ 1 ⎧ ⎧− 2 x 1 + x 2 + x 3 ≥ 1 I II 1 2 3 ⎨ 3x + x − x ≥ 2 ⎨ 3x + x − x ≥ −2 2 3 2 3 ⎩ 1 ⎩ 1 III

V

VII

IX

Z = 9x1 + 8x2 + 4x3 min ⎧ − x 1 + 2x 2 + x 3 ≥ 2 ⎨ 3x − x − x ≥ 1 2 3 ⎩ 1 Z = 6x1 + 9x2 + 3x3 min ⎧− 2 x 1 + x 2 + x 3 ≥ 1 ⎨ 3x + x − x ≥ 2 2 3 ⎩ 1

Z = 4x1 + 2x2 + 3x3 min ⎧− 2 x 1 + x 2 + x 3 ≥ 1 ⎨ 3x + x − x ≥ 2 2 3 ⎩ 1 Z = x1 + 4x2 + 5x3 min ⎧− 2 x 1 + x 2 + x 3 ≥ 1 ⎨ 3x + x − x ≥ 2 2 3 ⎩ 1

Z = 6x1 + 9x2 + 3x3 min ⎧ − x 1 + 2x 2 + x 3 ≥ 2 ⎨ 3x − x − x ≥ 1 2 3 ⎩ 1 Z = 6x1 + 9x2 – 3x3 min ⎧− 2 x 1 + x 2 + x 3 ≥ 2 ⎨ 3 x + x − x ≥ −1 2 3 ⎩ 1

Z = x1 + 4x2 + 5x3 min ⎧ − x 1 + 2x 2 + x 3 ≥ 2 ⎨ 3x − x − x ≥ 1 2 3 ⎩ 1 Z = x1 + 4x2 + 5x3 min ⎧ − x 1 + 2x 2 + x 3 ≥ 1 ⎨ 3x + x − x ≥ 1 1 2 3 ⎩

11

IV

VI

VIII

X

1 2 3 4 5 6 7 Ответ: "Zmin" 17/7 18/5 29/5 32/5 69/5 87/5 92/5

8 3

9 9

10 11 13 Не знаю

Задание №12 А. Определить, является ли указанный вектор X 0 оптимальным решением № № вар. данной задачи; вар. Б. Решив двойственную к данной графически, найти решение исходной. Z = x1 + 8x2 + 10x3 max Z = x1 + 4x2 + x3 max ⎧ x 1 + x 2 + 4x 3 = 2 ⎧ 4 x 1 + 11x 2 + 3x 3 = 7 ⎨ x − x + 2x = 0 ⎨ x I II 2 3 ⎩ 1 ⎩ 1 + x2 − x3 = 0 x1,2,3 ≥ 0; X 0 =(1,0,0) x1,2,3 ≥ 0; X 0 =(0,1/2,1/2) Z = x1 + x2 + x3 max Z = x1 + x2 + x3 min ⎧ x 1 + 17 x 2 − 12 x 3 = 1 ⎧ x 1 + x 2 − 3x 3 = 0 ⎨ x ⎨ x − 2x + x = 3 III IV x 6 x 1 − + = 2 3 2 3 ⎩ 1 ⎩ 1 x1,2,3 ≥ 0; X 0 =(1,0,0) x1,2,3 ≥ 0; X 0 =(1,0,1) Z = -4x1 - 3x2 - 2x3 - 5x4 max Z = x1 - 3x2 + x3 max ⎧ x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 ⎧ x 1 + 4 x 2 − 5x 3 = 2 ⎨ x −x +x −x =0 ⎨ x + 5x − 6 x = 3 V VI 2 3 4 2 3 ⎩ 1 ⎩ 1 x1,2,3,4 ≥ 0; X 0 =(0,2,2,0) x2,3 ≥ 0; X 0 =(2,1,0) Z = 2x1 + 3x2 - 7x3 + 14x4 max Z = x1 + x2 - 2x3 - 3x4 max ⎧ x1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ 2 ⎧ x 1 − x 2 + 3x 3 − 2 x 4 = 1 ⎨ x + 2 x − 4 x + 7 x ≤ −2 ⎨ x − 5x + 11x − 6 x = 9 VII VIII 2 3 4 2 3 4 ⎩ 1 ⎩ 1 x1,2,3,4 ≥ 0; X 0 =(0,1,1,0) x3,4 ≥ 0; X 0 =(-1,-2,0,0) Z = x1 + x2 - 4x3 max Z = x1 + x2 +x3 min ⎧ x 1 + x 2 − 3x 3 = 0 ⎧ 2 x 1 + 3x 2 + 4 x 3 = 1 ⎨ x − 2x + x = 3 ⎨ x −x −x =0 IX X 2 3 2 3 ⎩ 1 ⎩ 1 x1,2,3 ≥ 0; X 0 =(1,0,1) x1,2,3 ≥ 0; X 0 =(1,1,0) Ответ для "А": 1. Да; 2. Нет; 3. Не знаю. Ответ для "Б" (реше- 1.Y0 = (-5/2,1/2); 6. Y0 = (2/5,-1/5); 11. Не знаю. ние двойственной): 2. Y0 = (-1/3,5/3); 7. Y0 = (5/4,-1/4); 3. Y0 = (0,1); 8. Y0 = (3/2,-1/2); 4. Y0 = (5/18,13/18); 9. Y0 = (9/2,-7/2); 5. Y0 = (2/7,1/7); 10. Y0 = (13,-11);

Задание №13 № Построить двойственную задачу к данной. Решив одну из них, найти оп- № вар. тимальное решение другой любым известным способом. (все xj ≥ 0, j = 1, n ) вар. Z = 2x1 + 3x2 + 4x3 max Z = 4x1 + 3x2 + 5x3 max ⎧ x1 + x 2 + x 3 ≤ 8 ⎧ x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 7 ⎪ ⎪ I II ⎨ 2 x 1 − x 2 + 3x 3 ≥ 10 ⎨ 2 x 1 − x 2 + 3x 3 ≥ 10 ⎪⎩ 3x 1 + 2 x 2 + x 3 ≥ 12 ⎪⎩ 4 x 1 + 2x 2 + x 3 ≥ 15 12

III

V

VII

Z = -2x1 + 3x2 + x3 max ⎧ x1 + x 2 + x 3 ≥ 6 ⎪ ⎨ − 2x 1 − x 2 + 2x 3 ≤ 4 ⎪⎩ − 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 ≤ 7 Z = x1 + 2x2 + x3 - 3x4 max + x4 ≤ 8 ⎧ − x 1 + 2x 2 ⎪ + x3 = 11 ⎨ 2x 1 ⎪⎩ 4 x 1 + x 2 ≥ 10 Z = 3x1 - 2x2 - x3 min ⎧ 2x 1 − x 2 + x 3 ≥ 2 ⎪ ⎨ 3x 1 + 2 x 2 + x 3 ≤ 6 ⎪⎩ x 1 + x 2 + x 3 = 4

Z = 2x1 + 3x2 + x3 +x4 min ⎧ 2x 1 + x 2 − 2x 3 + x 4 = 2 ⎪ IX ⎨ x 1 − 2x 2 + x 3 − x 4 ≥ 3 ⎪⎩ x 1 − x3 ≤4 Ответ для "Zопт": 1. 95; 2. 40; 3. 38; 4. 68/3;

Z = x1 + 3x2 - x3 +2x4 min ⎧ x 1 + 2x 2 − 2x 3 + x 4 = 4 ⎪ ⎨ 3x 1 − x 2 + x 3 − x 4 ≥ 3 ⎪⎩ x 1 − x 3 + 2x 4 ≤ 7

IV

Z = -3x1 + x2 - 3x3 - 2x4 max ⎧ − 5x 1 + x 2 + 3x 3 + 3x 4 ≤ −1 ⎨ 2 x + x − x + 3x ≤ 2 2 3 4 ⎩ 1

VI

Z = 5x1 + 4x2 + 6x3 max ⎧ x1 + x 2 + x 3 ≤ 6 ⎪ ⎨ 2 x 1 − x 2 + 3x 3 ≥ 9 ⎪⎩ 3x 1 + x 2 + 2 x 3 ≥ 11

VIII

Z = 4x1 + 3x2 +4x3 + x4 -x5 max =8 ⎧ x 1 + 2x 2 + x 3 − x 4 ⎪ 2 x x 2 x 2 x 14 + + − = ⎨ 1 2 3 5 ⎪⎩ x 2 − x 3 + 2x 4 =8 5. 21; 9. -1/7; 6. 7; 10. -5; 7. 5; 11. Не знаю. 8. 4;

X

Задания №14, №15, №16 – транспортные задачи. Задание №14 № Решить методом потенциалов транспортную задачу, заданную матрицами: № вар. А - запасов; В - потребностей; С - тарифов. вар. ⎛6 7 3 5⎞ ⎛100 ⎞ ⎛1 4 3 5⎞ ⎛ 25 ⎞ C = ⎜ 1 2 5 6 ⎟A = ⎜150 ⎟ C = ⎜ 5 7 8 9 ⎟A = ⎜ 30 ⎟ ⎜ 3 10 20 1 ⎟ ⎜ 50 ⎟ ⎜10 4 5 6 ⎟ ⎜ 40 ⎟ II I ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B = (75 80 60 85) B = (20 20 40 15) III

⎛ 40 ⎞ ⎛ 4 5 1 2⎞ C = ⎜ 3 4 7 8 ⎟A = ⎜ 20 ⎟ ⎜ 30 ⎟ ⎜ 2 6 9 3⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝

⎛ 50 ⎞ ⎛3 2 4 1⎞ C = ⎜ 2 3 1 5 ⎟A = ⎜ 40 ⎟ ⎜ 20 ⎟ ⎜ 3 2 1 4⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝

⎛ 30 ⎞ ⎛ 2 3 5 4⎞ C = ⎜ 3 2 4 1 ⎟A = ⎜ 40 ⎟ ⎜ 20 ⎟ ⎜ 4 3 2 6⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ B = (20 25 35 10 )

⎛115 ⎞ ⎛4 7 3 9⎞ C = ⎜ 2 1 8 5 ⎟A = ⎜ 70 ⎟ ⎜ 68 ⎟ ⎜7 9 6 1⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ B = (95 38 50 70)

B = (20 25 30 15)

V

VII

⎛4 C=⎜5 ⎜8 ⎝ B = (30

IV

B = (30 25 35 20 )

7 1 3⎞ ⎛ 50 ⎞ 9 6 2 ⎟A = ⎜ 70 ⎟ ⎜ 40 ⎟ 2 9 11⎟⎠ ⎝ ⎠ 60 45 25)

⎛7 C=⎜8 ⎜3 ⎝ B = (110

13

2 11 5 9 ⎞ ⎛150 ⎞ 4 3 6 1 ⎟A = ⎜170 ⎟ ⎜110 ⎟ 5 10 7 8 ⎟⎠ ⎠ ⎝ 120 80 50 70 )

VI

VIII

⎛4 2 5 C = ⎜7 8 3 ⎜1 1 4 IX ⎝ B = (70 40 Ответ для "Zопт":

7 6⎞ ⎛ 20 ⎞ 4 5 ⎟A = ⎜110 ⎟ ⎜120 ⎟ 3 2 ⎟⎠ ⎠ ⎝ 30 60 50 ) 1. 930; 2. 690; 3. 665; 4. 518;

⎛2 7 3 C = ⎜9 4 5 ⎜5 7 6 ⎝ B = (10 40 5. 495; 6. 470; 7. 435; 8. 240;

6 2⎞ ⎛ 30 ⎞ 7 3 ⎟A = ⎜ 70 ⎟ ⎜ 50 ⎟ 2 4 ⎟⎠ ⎝ ⎠ 20 30 50 ) 9. 215; 10. 190; 11. Не знаю.

X

Задание №15 № Решить методом потенциалов транспортную задачу, заданную матрицами: № вар. А - запасов; В - потребностей; С - тарифов. вар. ⎛ 25 ⎞ ⎛ 40 ⎞ ⎛ 3 1 5 2⎞ ⎛3 2 4 1⎞ C = ⎜ 4 6 7 3 ⎟A = ⎜ 25 ⎟ C = ⎜ 2 3 1 5 ⎟A = ⎜ 50 ⎟ ⎜ 15 ⎟ ⎜ 30 ⎟ ⎜2 8 4 5⎟ ⎜ 3 2 4 4⎟ II I ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ B = (9 20 16 25) B = (35 40 40 30)

III

⎛13 4 7 2 ⎞ ⎛112 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C = ⎜ 3 8 0 12 ⎟A = ⎜ 72 ⎟ ⎜9 5 3 7⎟ ⎜120 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B = (75 125 64 60 )

V

C = ⎛⎜ 2 3 5 7 ⎞⎟A = ⎛⎜ 50 ⎞⎟ ⎝10 5 4 9 ⎠ ⎝ 38 ⎠ B = (18 16 12 14 )

C = ⎛⎜ 1 3 2 ⎞⎟A = ⎛⎜ 20 ⎞⎟ ⎝ 2 1 3⎠ ⎝ 15 ⎠ B = (8 `10 12 )

VI

VII

⎛4 3 2 7⎞ ⎛ 46 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C = ⎜ 1 1 6 4 ⎟A = ⎜ 34 ⎟ ⎜ 3 5 9 4⎟ ⎜ 40 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B = (40 35 30 45)

⎛2 4 5 1⎞ ⎛ 60 ⎞ C = ⎜ 2 3 9 4 ⎟A = ⎜ 70 ⎟ ⎜8 4 2 5⎟ ⎜ 50 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B = (40 30 20 50 )

VIII

⎛7 3 6⎞ ⎛ 74 ⎞ C = ⎜ 4 8 2 ⎟A = ⎜ 40 ⎟ ⎜1 5 9⎟ ⎜ 36 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B = (20 45 30 )

X

⎛3 C=⎜8 ⎜4 ⎝ B = (18

⎛ 20 ⎞ ⎛2 3 9 7⎞ ⎜ 16 ⎟ ⎜3 4 6 1⎟ C=⎜ ⎟A = ⎜ 14 ⎟ 5 1 2 2 IX ⎜ 22 ⎟ ⎜4 5 8 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B = (16 18 12 15) Ответ для "Zопт": 1. 965; 2. 320; 3. 287; 4. 215;

5. 214; 6. 210; 7. 190; 8. 162;

7 6 4⎞ ⎛ 28 ⎞ 2 5 7 ⎟A = ⎜ 30 ⎟ ⎜ 40 ⎟ 6 10 6 ⎟⎠ ⎝ ⎠ 10 20 10 )

IV

9. 80; 10. 42; 11. Не знаю.

Задание № 16 № вар. I

Построить математическую модель транспортной задачи и найти ее решение методом потенциалов. Составить план перевозок каменного угля с трех шахт в четыре пункта. Производительность шахт (тыс.т) равна соответственно 100; 150; 50. Потребности заказчиков равны: 75; 80; 60; 85 тыс. т. Стоимость перевозки одной тонны угля задается элементами матрицы

14

II

III

IV

V

VI

⎛6 7 3 5⎞ ⎜ 1 2 5 6 ⎟. ⎜ 3 10 20 4 ⎟ ⎝ ⎠ Составить план перевозки, обеспечивающий минимальные транспортные издержки. Три совхоза выделяют соответственно 40; 50; 30 ц молока для ежедневного снабжения четырех пунктов, потребности которых составляют соответственно 20; 40; 30; центнеров молока. Стоимости перевозок 1 ц молока задаются матрицей ⎛ 3 2,5 3,5 4 ⎞ ⎜ 2 4,5 5 1 ⎟ . ⎟ ⎜ ⎝ 6 3,8 4,2 2,8 ⎠ Организовать снабжение так, чтобы потребители были обеспечены молоком, а транспортные расходы были минимальны. В четырех хранилищах имеются соответственно 40; 50; 60 и 30 т топлива. Требуется спланировать перевозки так, чтобы спрос трех потребителей, составляющий соответственно 60; 80; 40 т, был удовлетворен, а затраты на транспортировку были минимальны. Стоимость перевозок 1 тонны топлива задаются матрицей ⎛ 4 3 5⎞ ⎜6 2 1⎟ ⎜ 7 4 2⎟ . ⎜ 5 6 3⎟ ⎝ ⎠ С четырех складов, где хранится соответственно 50; 160; 70; 100 т картофеля, необходимо вывезти его в пять торговых точек. Объем завоза составляет соответственно 80; 100; 90; 50; 60 тонн. Стоимости перевозок 1 т картофеля задаются матрицей ⎛4 2 3 6 1⎞ ⎜ 5 3 4 2 6⎟ ⎜ 3 4 7 3 2⎟ . ⎜ 2 6 5 4 3⎟ ⎝ ⎠ Закрепить поставщиков за торговыми точками так, чтобы общая сумма затрат на перевозку была минимальной. Товары с четырех баз поставляются в четыре магазина. Запасы товара на базах составляют 40; 60; 40; 80 тысяч единиц. Потребности магазинов равны (тыс. ед.) 30; 80; 60; 50. Затраты на перевозку 1 тысячи единиц заданы матрицей ⎛ 4,5 3 2 1,2 ⎞ ⎜ 4 5 6 1 ⎟. ⎟ ⎜ ⎝ 3,2 4,1 2,5 5,8 ⎠ Спланировать перевозки так, чтобы полностью удовлетворить потребности магазинов, а затраты на перевозку свести к минимуму. Продукцию трех заводов (тысячи единиц) 40; 50; 30 соответственно необходимо доставить потребителям, спрос которых составляет 20; 50; 45; 30 тысяч единиц. Известна матрица транспортных расходов: ⎛ 6,5 4,3 5,1 4 ⎞ ⎜ 3,0 7,4 3,5 6,3 ⎟ . ⎟ ⎜ ⎝ 4,3 5,7 6,5 3,8 ⎠ Составить план перевозок так, чтобы суммарные транспортные расходы были минимальны.

15

VII

Найти оптимальный план перевозок по данным задачи VI варианта при дополнительном условии обязательного полного удовлетворения спроса второго потребителя b2 = 50 тыс.ед. VIII Собранный урожай зерна в четырех совхозах должен быть перевезен на три элеватора, мощности которых составляют соответственно 90; 70; 50 тысяч тонн. Составить план перевозки зерна, минимизирующий транспортные расходы, если урожай по совхозам составил (тыс.т): 50; 60; 70; 40. Известна матрица транспортных расходов: ⎛ 10,5 22,0 17,4 ⎞ ⎜ 27,3 12,5 23,7 ⎟ ⎟. ⎜ ⎜ 13,7 18,6 15,3 ⎟ ⎝ 18,1 14,4 11,5 ⎠ IX Заводы №1, 2, 3 производят однородную продукцию в количестве соответственно 490; 450 и 470 единиц. Продукция отправляется в три пункта, потребности которых равны соответственно 300; 340 и 360 единицам. Известна матрица транспортных расходов: ⎛ 7 5 1⎞ ⎜ 3 4 5⎟ . ⎜ 4 2 1⎟ ⎠ ⎝ Организовать перевозки так, чтобы суммарная стоимость транспортных расходов была минимальной, при условии, что коммуникации между заводом №2 и первым пунктом не позволяют пропускать в рассматриваемый период более 200 единиц продукции. X Найти оптимальное распределение трех видов механизмов, имеющихся в количестве 45; 20 и 35, между четырьмя участками работ, потребности которых составляют соответственно 10; 20; 30; 40 механизмов при следующей матрице производительности каждого из механизмов на соответствующем участке работы: ⎛5 4 0 5⎞ ⎜ 3 5 3 0⎟ . ⎜0 6 7 6⎟ ⎝ ⎠ Нулевые элементы означают, что данный механизм не может быть использован на данном участке работы. 5. 565; 9. 451; Ответ: 1. 2618; 6. 560; 10. 296. "Zmin" 2. 1640; 3. 1020; 7. 528; 4. 805; 8. 460;

Задание №17 – целочисленное линейное программирование. Задание №17 Решить полностью целочисленную задачу: № 1.Методом Гомори. вар. 2.Методом ветвей и границ. Все xj ≥ 0, j = 1, n . Z = x1 + 2x2 max Z = 7x1 + 4x2 max 3 x + x ≤ 7 ⎧ 1 ⎧ 3x 2 + 2 x 2 ≤ 21 I 2 ⎨ x ⎨ 6 x + 3x ≤ 37 + 3 x ≤ 7 2 1 2 ⎩ 1 ⎩

16

№ вар. II

Z = 110x1 + 90x2 max ⎧3x 1 + 4 x 2 ≤ 10 ⎪ ⎨2 x 1 + x 2 ≤ 8 ⎪⎩ x2 ≤ 5 Z = x4 - x5 min

III

⎧ x V ⎪ 1 ⎨ ⎪⎩

VII

x2

x3

+ x 4 − 2x 5 − 2x 4 + x 5 + 3x 4 + x 5

=1 =2 =3

Z = 3x1 + 4x2 max ⎧ 3x 1 − 2 x 2 + x 3 ⎨ x + x4 ⎩ 1 + 4x 2 Ответ: 1. 1; 2. 2; 3. 5; 4. 6;

= 12 = 24

IV

⎧ x1 ⎨ x ⎩ 1

Z = x1 - x2 max − 2x 2 + x 3 + 3x 2 + x4

=1 =3

VI

Z = 2x1 - 2x2 + 3x3 - 3x4 min

Z = 7x1 + 3x2 max ⎧ 5x 1 + 2 x 2 ≤ 20 ⎨ 8x + 4 x ≤ 38 2 ⎩ 1

IX

⎧ x1 ⎨ 3x ⎩ 1

Z = x1 max + 3x 2 + x 3 − 8x 2 + x4

⎧ x1 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

− 2x 2

+ x4

=3

+ x3

x2 3x 2

=5 + x4

+ x5

Z = x1 + 8x2 max ⎧ 3x 1 + x 2 ≤ 19 ⎨− 4 x + x ≤9 1 2 ⎩ 9. 116; 10. 310; 11. Не знаю.

=8 = 10 5. 9; 6. 14; 7. 29; 8. 45;

VIII

=4

X

Задание №18 – задачи нелинейного программирования. Задание №18 № Найти условный экстремум функции Z = f (x1,x2), если переменные связа- № вар. ны условием ϕ(x1,x2) = 0. вар. Z = 6 - 4x1 - 3x2; Z = x1 ⋅ x2 ; II I x 12 + x 22 = 1 ; x1 +x2 = 1; x x Z = x 12 + x 22 ; Z= 1 + 2; 2 3 IV III x1 x 2 + = 1; 2 2 x 1 + x 2 = 1; 2 3 Z = x1 ⋅ x 2 ; Z = x 12 + x 22 ; VI V x 1 + x 2 = 2; x 12 + x 22 = 4; 1 1 Z= + ; Z = x 1 + 2x 2 ; x1 x 2 VIII VII 1 1 1 x 12 + x 52 = 5; + = ; x 12 x 22 4

IX

Z = x 12 + x 22 ;

Z = x1 ⋅ x 2 ;

x 1 ⋅ x 2 = 4;

2x 1 + 3x 2 = 5; 7. 36/13; 8. 38; 9. Не знаю.

Ответ: 1. -5; "Zmin" 2. -4; 3. -52/2; Ответ: 1. 25/24; "Zmax" 2. 13 6 ; 3. 1/4;

4. − 13 6 ; 5. 1; 6. 2; 4. 2 2 ; 5. 1; 6. 4 17

7. 5; 8. Не знаю.

X

В каждом задании 10 однотипных задач. Для каждого задания даны варианты ответов. Номер ответа не соответствует номеру задачи. Решив задачу, студент должен найти полученный им результат среди ответов задания.

18